Figure transformations — सामान्य बुद्धि एवं तर्कशक्ति नोट्स

अवधारणाएं और नियम

एक वर्गाकार कागज़ को एक या अधिक बार मोड़ा जाता है, सभी परतों में से छेद किया जाता है, और आपको पूरा खोलने पर छेदों का पैटर्न बताना होता है।

इन नोट्स का ग्रिड: कागज़ एक 4×4 ग्रिड है, पंक्तियां R1 (ऊपर) से R4 (नीचे), स्तंभ C1 (बाएं) से C4 (दाएं); R2C3 का अर्थ है पंक्ति 2, स्तंभ 3।

हर मोड़ एक दर्पण-प्रतिबिंब है। खोलने पर, फ्लैप से होकर गए प्रत्येक छेद का एक जुड़वां छेद मोड़ रेखा के दूसरी ओर दर्पण स्थिति पर, रेखा से समान लंबवत दूरी पर बनता है।

ऊर्ध्वाधर मोड़ (रेखा ऊपर-नीचे): पंक्ति वही रहती है और स्तंभ प्रतिबिंबित होता है। क्षैतिज मोड़: स्तंभ वही रहता है और पंक्ति प्रतिबिंबित होती है।

बीच का ऊर्ध्वाधर मोड़ (C2 और C3 के बीच): स्तंभ c का प्रतिबिंब 5 − c, यानी C1↔C4 और C2↔C3। बीच का क्षैतिज मोड़ (R2 और R3 के बीच): पंक्ति r का प्रतिबिंब 5 − r।

सामान्य नियम: स्तंभ k और स्तंभ k + 1 के बीच की मोड़ रेखा स्तंभ c को 2k + 1 − c पर भेजती है (पंक्तियों के लिए भी यही नियम)।

ऊपर-बाएं कोने से नीचे-दाएं कोने वाले विकर्ण पर मोड़: कोष्ठ RrCc और कोष्ठ RcCr जुड़वां होते हैं (पंक्ति और स्तंभ आपस में बदल जाते हैं)।

दूसरे विकर्ण (ऊपर-दाएं कोने से नीचे-बाएं कोने) पर मोड़: कोष्ठ RrCc और कोष्ठ R(5 − c)C(5 − r) जुड़वां होते हैं।

गिनती नियम: यदि छेद हर मोड़ रेखा से दूर हो और हर मोड़ उसे पूरा ढके, तो हर मोड़ पर छेद दोगुने होते हैं: 1 मोड़ से 2 छेद, 2 मोड़ से 4, 3 मोड़ से 8।

अपवाद 1: मोड़ रेखा पर ठीक किया गया छेद उस मोड़ के लिए अलग जुड़वां नहीं बनाता; खुलने पर वह रेखा पर एक ही छेद रहता है (मुड़े किनारे पर अर्धवृत्त खुलकर एक पूरा वृत्त बनता है)।

अपवाद 2: असमान मोड़ में फ्लैप उस भाग से संकरा होता है जिस पर वह पड़ा है; फ्लैप से न ढके क्षेत्र का छेद कम परतों से गुजरता है और उस मोड़ से जुड़वां नहीं बनाता।

छेद का आकार: वृत्त या वर्ग प्रतिबिंब के बाद वैसा ही दिखता है, पर असममित कटाव उलट जाता है; ऊर्ध्वाधर मोड़ के पार दाएं इशारा करता त्रिभुज बाएं इशारा करने लगता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: मोड़ों को क्रम से मोड़ 1, मोड़ 2, मोड़ 3 लिखें और हर मोड़ रेखा तथा कौन सा भाग हिलता है, नोट करें।

चरण 2: अंतिम मुड़े आकार पर छेद को मूल ग्रिड के कोष्ठ नाम से चिह्नित करें।

चरण 3: सबसे अंतिम मोड़ पहले खोलें। हर वर्तमान छेद को उस मोड़ रेखा के पार प्रतिबिंबित कर जुड़वां जोड़ें, रेखा पर पड़े और फ्लैप के बाहर के छेद छोड़ दें।

चरण 4: पहले के मोड़ों के लिए यही दोहराएं जब तक कागज़ पूरा न खुले, फिर छेद गिनें और पैटर्न को विकल्पों से मिलाएं।

उल्टा क्रम क्यों: अंतिम मोड़ सबसे ऊपर होता है, इसलिए वही पहले खुलता है; मोड़ 1 पहले खोलने पर छेद ऐसी रेखा के पार प्रतिबिंबित होंगे जो अभी मुड़ी परतों के भीतर छिपी है।

शॉर्टकट 1 (सममिति जांच): अंतिम पैटर्न हर उस मोड़ रेखा के सापेक्ष सममित होना चाहिए जिससे छेद गुजरा, इसलिए पहले वे विकल्प काटें जो इन रेखाओं के सापेक्ष सममित नहीं हैं।

शॉर्टकट 2 (चौथाई मोड़): बीच के ऊर्ध्वाधर और बीच के क्षैतिज मोड़ के बाद RrCc पर छेद खुलकर RrCc, RrC(5 − c), R(5 − r)Cc और R(5 − r)C(5 − c) बनता है।

शॉर्टकट 3 (पहले गिनती): जब विकल्पों में छेदों की संख्या अलग हो, तो स्थान जांचने से पहले दोगुना नियम और 2 अपवादों से गिनती करें।

शॉर्टकट कब विफल: असमान मोड़, मोड़ रेखा पर छेद और सीधे मोड़ों के साथ विकर्ण मोड़ को चरण-दर-चरण ही खोलें।

उदाहरण 1: एक ऊर्ध्वाधर मोड़

प्रश्न: एक 4×4 कागज़ को बीच की ऊर्ध्वाधर रेखा पर ऐसे मोड़ा जाता है कि बायां आधा दाएं आधे पर आ जाए। R2C3 पर छेद किया जाता है। खोलने पर छेद कहां होंगे?

हल: मुड़ा कागज़ C3 और C4 पर है। मोड़ खोलने पर R2C3 का प्रतिबिंब स्तंभ 5 − 3 = 2 पर, यानी R2C2 पर बनता है।

उत्तर: 2 छेद, R2C2 और R2C3 पर।

उदाहरण 2: चौथाई मोड़

प्रश्न: एक 4×4 कागज़ को पहले बाएं आधे को दाएं आधे पर (मोड़ 1) और फिर ऊपरी आधे को निचले आधे पर (मोड़ 2) मोड़ा जाता है। R4C3 पर छेद किया जाता है। खोलने पर छेद बताइए।

हल: मुड़ा कागज़ R3–R4, C3–C4 का खंड है। पहले मोड़ 2 खोलें: R4C3 का जुड़वां R1C3 (पंक्ति 5 − 4 = 1)।

मोड़ 1 खोलें: R4C3 से R4C2 और R1C3 से R1C2 बनता है।

उत्तर: 4 छेद, R1C2, R1C3, R4C2 और R4C3 पर।

उदाहरण 3: मोड़ रेखा पर छेद

प्रश्न: एक 4×4 कागज़ का बायां आधा दाएं आधे पर मोड़ा जाता है। एक छेद पंक्ति R1 में मुड़े किनारे पर ठीक किया जाता है और दूसरा R3C4 पर। खोलने पर कितने छेद दिखेंगे?

हल: किनारे वाला छेद मोड़ रेखा (C2 और C3 के बीच) पर है, इसलिए वह रेखा पर एक ही छेद रहता है। R3C4 वाला छेद रेखा से दूर है और उसका जुड़वां R3C1 बनता है।

उत्तर: 3 छेद: पंक्ति R1 में बीच की रेखा पर एक, साथ में R3C1 और R3C4।

उदाहरण 4: विकर्ण मोड़

प्रश्न: एक 4×4 वर्गाकार कागज़ को ऊपर-बाएं कोने से नीचे-दाएं कोने वाले विकर्ण पर मोड़ा जाता है, ताकि निचला-बायां त्रिभुज ऊपरी-दाएं त्रिभुज पर आ जाए। R1C3 और R2C4 पर छेद किए जाते हैं। खोलने पर किन कोष्ठों में छेद होंगे? (a) R1C3, R2C4, R1C2, R2C1 (b) R1C3, R2C4, R4C3, R3C4 (c) R1C3, R2C4, R3C1, R4C2 (d) R1C3, R2C4, R1C1, R4C4

हल: इस विकर्ण के लिए जुड़वां में पंक्ति और स्तंभ बदल जाते हैं। R1C3 से R3C1 और R2C4 से R4C2 बनता है। विकल्प (a) ऊर्ध्वाधर मोड़ का और विकल्प (b) क्षैतिज मोड़ का जुड़वां है, दोनों गलत अक्ष हैं।

उत्तर: (c) R1C3, R2C4, R3C1, R4C2।

उदाहरण 5: तीन मोड़

प्रश्न: एक 4×4 कागज़: मोड़ 1 बाएं आधे को दाएं आधे पर, मोड़ 2 ऊपरी आधे को निचले आधे पर रखता है, और मोड़ 3 बचे 2×2 खंड के स्तंभ C4 को स्तंभ C3 पर मोड़ता है। R4C3 पर एक छेद किया जाता है। खोलने पर पैटर्न क्या होगा? (a) 4 कोनों पर 4 छेद (b) पंक्ति R1 और R4 को भरते 8 छेद (c) स्तंभ C1 और C4 को भरते 8 छेद (d) पंक्ति R3 और R4 को भरते 8 छेद

हल: मोड़ 3 खोलें (रेखा C3 और C4 के बीच, अतः c का प्रतिबिंब 7 − c): R4C3 से R4C4। मोड़ 2 खोलें (r का प्रतिबिंब 5 − r): R1C3 और R1C4 जुड़ते हैं।

मोड़ 1 खोलें (c का प्रतिबिंब 5 − c): C3 से C2 और C4 से C1, यानी R1C1, R1C2, R4C1 और R4C2 जुड़ते हैं। पंक्ति R1 और R4 के सभी 8 कोष्ठों में छेद; 3 मोड़, 8 छेद, दोगुना नियम के अनुसार।

उत्तर: (b) पंक्ति R1 और R4 को भरते 8 छेद।

उदाहरण 6: असमान मोड़

प्रश्न: एक 4×4 कागज़: मोड़ 1 स्तंभ C1 को स्तंभ C2 पर पलटता है (मोड़ रेखा C1 और C2 के बीच)। मोड़ 2 ऊपरी आधे को निचले आधे पर रखता है। R3C2 और R4C4 पर छेद किए जाते हैं। खोलने पर कितने छेद होंगे? (a) 8 (b) 4 (c) 7 (d) 6

हल: मोड़ 2 खोलें: R3C2 से R2C2 और R4C4 से R1C4, अभी तक 4 छेद।

मोड़ 1 खोलें: फ्लैप केवल स्तंभ C1 था और उसने केवल स्तंभ C2 को ढका। R3C2 और R2C2 के जुड़वां R3C1 और R2C1 बनते हैं, पर R4C4 और R1C4 कभी फ्लैप के नीचे नहीं थे, इसलिए उनके जुड़वां नहीं बनते।

उत्तर: (d) 6 छेद, R1C4, R2C1, R2C2, R3C1, R3C2 और R4C4 पर। आंख मूंदकर दोगुना करने से 8 आता है, जो विकल्प (a) का जाल है।

सामान्य गलतियां

मोड़ 1 पहले खोलना। अंतिम मोड़ पहले खोलना चाहिए; वरना जुड़वां गलत रेखा के पार बनते हैं।

मोड़ रेखा पर पड़े छेद को दोगुना करना। रेखा पर का छेद उस मोड़ के लिए एक ही रहता है।

असमान मोड़ में उस छेद का प्रतिबिंब बनाना जिसे फ्लैप ने कभी नहीं ढका। जुड़वां जोड़ने से पहले देखें कि फ्लैप उस कोष्ठ तक पहुंचा था या नहीं।

गलत निर्देशांक का प्रतिबिंब लेना। ऊर्ध्वाधर मोड़ स्तंभ बदलता है और पंक्ति रखता है; क्षैतिज मोड़ पंक्ति बदलता है और स्तंभ रखता है।

विकर्ण मोड़ को ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज मोड़ की तरह लेना। विकर्ण मोड़ में पंक्ति और स्तंभ बदलें (दूसरे विकर्ण के लिए R(5 − c)C(5 − r) लें)।

भूल जाना कि असममित कटाव उलटते हैं। दाएं इशारा करता त्रिभुज ऊर्ध्वाधर मोड़ के पार बाएं इशारा करते जुड़वां के रूप में खुलता है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक 4×4 कागज़ को ऊपरी आधा निचले आधे पर और फिर बायां आधा दाएं आधे पर मोड़ा जाता है। R3C4 पर छेद किया जाता है। खोलने पर छेद कहां होंगे? (a) R1C1, R1C4, R4C1, R4C4 (b) R2C1, R2C4, R3C1, R3C4 (c) R2C2, R2C3, R3C2, R3C3 (d) केवल R3C1 और R3C4

Q2. एक 4×4 कागज़ को ऊपर-दाएं कोने से नीचे-बाएं कोने वाले विकर्ण पर मोड़ा जाता है, ताकि ऊपरी-बायां त्रिभुज निचले-दाएं त्रिभुज पर आ जाए। R4C4 और R3C2 (जिस कोष्ठ का केंद्र मोड़ रेखा पर है) पर छेद किए जाते हैं। खोलने पर कितने छेद होंगे? (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 6

Q3. एक 4×4 कागज़: मोड़ 1 बाएं आधे को दाएं आधे पर रखता है, मोड़ 2 स्तंभ C3 को स्तंभ C4 पर पलटता है, और मोड़ 3 ऊपरी आधे को निचले आधे पर रखता है। R3C4 पर छेद किया जाता है। खोलने पर पैटर्न क्या होगा? (a) पंक्ति R2 और R3 को भरते 8 छेद (b) स्तंभ C2 और C3 को भरते 8 छेद (c) R2C3, R2C4, R3C3 और R3C4 पर 4 छेद (d) 6 छेद

उत्तर

Q1. (b) ऊर्ध्वाधर मोड़ (अंतिम) खोलें: R3C4 से R3C1। क्षैतिज मोड़ खोलें: R3C1 और R3C4 से R2C1 और R2C4।

Q2. (c) इस विकर्ण के लिए RrCc का जुड़वां R(5 − c)C(5 − r) है। R4C4 से R1C1; R3C2 रेखा पर है (3 + 2 = 5) और अकेला रहता है। कुल 3।

Q3. (a) मोड़ 3: R3C4 से R2C4। मोड़ 2 (c का प्रतिबिंब 7 − c): R3C3 और R2C3 जुड़ते हैं। मोड़ 1 (c का प्रतिबिंब 5 − c): R3C1, R3C2, R2C1 और R2C2 जुड़ते हैं। पंक्ति R2 और R3 के सभी 8 कोष्ठ।

त्वरित पुनरावृत्ति

अंतिम मोड़ पहले खोलें और हर छेद को उस मोड़ रेखा के पार प्रतिबिंबित करें।

4×4 ग्रिड पर बीच के मोड़: स्तंभ c का प्रतिबिंब 5 − c, पंक्ति r का 5 − r; k और k + 1 के बीच का मोड़ c को 2k + 1 − c पर भेजता है।

विकर्ण मोड़: पंक्ति-स्तंभ बदलें, या दूसरे विकर्ण के लिए R(5 − c)C(5 − r) लें।

हर मोड़ पर छेद दोगुने होते हैं, सिवाय मोड़ रेखा पर पड़े और संकरे फ्लैप के बाहर के छेदों के।

गलत विकल्प जल्दी काटने के लिए हर मोड़ रेखा के सापेक्ष सममिति का उपयोग करें।

अवधारणाएं और नियम

आकृति पूर्ति: आकृति का एक भाग गायब होता है, और आपको वह विकल्प चुनना है जो उसे ऐसे पूरा करे कि हर रेखा, छायांकन और सममिति सही ढंग से जारी रहे।

अंतर्निहित आकृति: एक छोटी लक्ष्य आकृति बड़ी आकृति में छिपी होती है, और आपको बताना है कि कौन सा विकल्प उसे समाहित करता है (या नहीं करता)।

यहां प्रयुक्त पाठ मॉडल: 4×4 ग्रिड, पंक्तियां R1 से R4 (ऊपर से नीचे) और स्तंभ C1 से C4 (बाएं से दाएं); पैटर्न छायांकित कोष्ठों की सूची है।

ऊर्ध्वाधर मध्य रेखा के सापेक्ष दर्पण: RrCc का जोड़ा RrC(5 − c)। क्षैतिज मध्य रेखा के सापेक्ष दर्पण: RrCc का जोड़ा R(5 − r)Cc।

मुख्य विकर्ण (ऊपर-बाएं से नीचे-दाएं) के सापेक्ष दर्पण: RrCc का जोड़ा RcCr।

केंद्र के परितः 90° दक्षिणावर्त घूर्णन: RrCc जाता है RcC(5 − r) पर। 180° घूर्णन: RrCc जाता है R(5 − r)C(5 − c) पर। 90° वामावर्त घूर्णन: RrCc जाता है R(5 − c)Cr पर।

दोनों मध्य रेखाओं के सापेक्ष सममिति से 180° सममिति भी मिलती है, पर 90° घूर्णन सममिति से कोई दर्पण सममिति नहीं मिलती; पवनचक्की जैसा पैटर्न घूमकर स्वयं पर आता है पर उसकी कोई दर्पण रेखा नहीं होती।

अंतर्निहित आकृति तभी मौजूद मानी जाती है जब उसका हर भाग बड़ी आकृति के वास्तव में मौजूद भागों पर हो; उसके आसपास अतिरिक्त रेखाएं या अतिरिक्त छायांकित कोष्ठ उसे रद्द नहीं करते।

जब तक प्रश्न अन्यथा न कहे, छिपी आकृति घुमाई जा सकती है; पलटी (प्रतिबिंबित) तभी जा सकती है जब प्रश्न अनुमति दे। यदि प्रश्न कहे कि आकृति घुमाई जा सकती है पर पलटी नहीं, तो दर्पण प्रतिबिंब नहीं गिना जाता।

छिपी आकृति का आकार नहीं बदलता, और आप कोई गायब किनारा नहीं जोड़ सकते या खाली जगह नहीं भर सकते।

विधि और शॉर्टकट

पूर्ति चरण 1: दिए गए भागों से जांचें कि वे कौन सी सममिति मानते हैं: ऊर्ध्वाधर दर्पण, क्षैतिज दर्पण, विकर्ण दर्पण, 90° घूर्णन या 180° घूर्णन।

पूर्ति चरण 2: उसी सममिति नियम से हर दिए गए छायांकित कोष्ठ को गायब क्षेत्र में ले जाएं और प्राप्त कोष्ठों की सूची बनाएं।

पूर्ति चरण 3: जहां गायब भाग आकृति से मिलता है उन किनारों को जांचें; जो भी रेखा या छायांकित पट्टी खाली जगह तक पहुंचती है वह विकल्प में जारी रहनी चाहिए।

शॉर्टकट: यदि 3 चतुर्थांश दिए हों, तो खाली जगह के पास के 2 चतुर्थांश मिलाएं। यदि हर एक अगले का दर्पण है तो नियम दर्पण है; यदि हर एक घुमाई गई प्रति है तो नियम घूर्णन है।

अंतर्निहित चरण 1: लक्ष्य का सबसे विशिष्ट भाग चुनें, जैसे 3 छायांकित पड़ोसी वाला कोष्ठ (T-जंक्शन) या सीढ़ी (टेढ़ा-मेढ़ा मोड़)।

अंतर्निहित चरण 2: विकल्प में वह विशेषता खोजें; न मिले तो विकल्प तुरंत अस्वीकार करें। मिले तो हर अनुमत दिशा में लक्ष्य का शेष भाग उसके चारों ओर ढूंढें।

यह क्यों काम करता है: T-जंक्शन जैसी विशेषता हर घूर्णन और प्रतिबिंब में बनी रहती है, इसलिए उसका न होना सिद्ध करता है कि आकृति किसी भी दिशा में वहां नहीं है।

उदाहरण 1: दर्पण पूर्ति

प्रश्न: एक 4×4 पैटर्न अपनी ऊर्ध्वाधर मध्य रेखा के सापेक्ष सममित है। बाएं आधे में छायांकित कोष्ठ R1C1, R2C2, R3C1 और R4C2 हैं। दाएं आधे के कौन से कोष्ठ छायांकित हैं?

हल: पंक्ति वही रखें और स्तंभ c को 5 − c पर भेजें: R1C1 से R1C4, R2C2 से R2C3, R3C1 से R3C4, R4C2 से R4C3।

उत्तर: R1C4, R2C3, R3C4 और R4C3।

उदाहरण 2: दोनों रेखाओं के सापेक्ष सममिति

प्रश्न: एक 4×4 पैटर्न दोनों मध्य रेखाओं के सापेक्ष सममित है। ऊपरी-बाएं चतुर्थांश (R1–R2, C1–C2) में छायांकित कोष्ठ R1C2 और R2C1 हैं। निचले-दाएं चतुर्थांश के कौन से कोष्ठ छायांकित हैं?

हल: लगातार दो दर्पण पंक्ति और स्तंभ दोनों बदलते हैं: RrCc जाता है R(5 − r)C(5 − c) पर। R1C2 से R4C3 और R2C1 से R3C4।

उत्तर: R3C4 और R4C3।

उदाहरण 3: घूर्णन पूर्ति

प्रश्न: एक 4×4 पैटर्न 90° दक्षिणावर्त घुमाने पर वैसा ही दिखता है। इसके ऊपरी-बाएं चतुर्थांश में R1C1 और R2C1 छायांकित हैं। ऊपरी-दाएं चतुर्थांश के कौन से कोष्ठ छायांकित हैं?

हल: 90° दक्षिणावर्त घुमाव ऊपरी-बाएं चतुर्थांश को ऊपरी-दाएं चतुर्थांश पर ले जाता है, RrCc जाता है RcC(5 − r) पर। R1C1 से R1C4 और R2C1 से R1C3।

उत्तर: R1C3 और R1C4 (ऊर्ध्वाधर दर्पण गलत रूप से R1C4 और R2C4 देता)।

उदाहरण 4: छिपी T-आकृति

प्रश्न: लक्ष्य 4 कोष्ठों की T-आकृति है: एक रेखा में 3 कोष्ठ और बीच वाले से जुड़ा 4था कोष्ठ (इसे घुमाया या पलटा जा सकता है)। यह किस छायांकित पैटर्न में छिपी है? (a) R1C1, R1C2, R1C3, R2C1, R3C1 (b) R1C1, R1C2, R2C1, R2C2, R3C3 (c) R1C1, R1C2, R2C2, R2C3, R3C3 (d) R1C1, R2C1, R2C2, R3C1, R3C3

हल: T के लिए एक ऐसा कोष्ठ चाहिए जिसके 3 छायांकित बगल वाले पड़ोसी हों। (a) में हर कोष्ठ के अधिकतम 2, (b) में वर्ग खंड से अधिकतम 2, (c) में सीढ़ी से अधिकतम 2। (d) में R2C1 को R1C1, R3C1 और R2C2 छूते हैं, यह खड़ी T है जिसकी भुजा दाईं ओर है; R3C3 बस अतिरिक्त कोष्ठ है।

उत्तर: (d)

उदाहरण 5: घूर्णन, दर्पण नहीं

प्रश्न: एक 4×4 पैटर्न के 3 चतुर्थांशों में ये कोष्ठ छायांकित हैं: ऊपरी-बायां R1C1, R1C2, R2C2; ऊपरी-दायां R1C4, R2C4, R2C3; निचला-दायां R4C4, R4C3, R3C3। निचले-बाएं चतुर्थांश को कौन से कोष्ठ पूरा करते हैं? (a) R3C2, R4C1, R4C2 (b) R3C1, R3C2, R4C2 (c) R3C1, R3C2, R4C1 (d) R3C1, R4C1, R4C2

हल: नियम जांचें। ऊपरी-बाएं चतुर्थांश का ऊर्ध्वाधर दर्पण R1C4, R1C3, R2C3 देता, पर ऊपरी-दाएं में R1C3 की जगह R2C4 है, अतः यह दर्पण नहीं है। ऊपरी-बाएं को 90° दक्षिणावर्त घुमाने (RrCc से RcC(5 − r)) पर R1C4, R2C4, R2C3 मिलता है, जो मेल खाता है; फिर घुमाने पर R4C4, R4C3, R3C3 भी मेल खाता है।

अतः पैटर्न पवनचक्की जैसा है। एक और घुमाव, निचले-दाएं से निचले-बाएं, R4C4 को R4C1, R4C3 को R3C1 और R3C3 को R3C2 पर भेजता है। विकल्प (a) निचले-दाएं चतुर्थांश का दर्पण प्रतिबिंब है, यही जाल है।

उत्तर: (c) R3C1, R3C2, R4C1।

उदाहरण 6: घुमाया पर पलटा नहीं

प्रश्न: लक्ष्य Z-आकृति है: R1C1, R1C2, R2C2, R2C3। इसे घुमाया जा सकता है पर पलटा नहीं। यह किस पैटर्न में छिपी है? (a) R1C2, R2C1, R2C2, R3C1, R4C4 (b) R1C2, R1C3, R2C1, R2C2, R4C4 (c) R1C1, R2C1, R2C2, R3C2, R1C4 (d) R1C1, R1C2, R1C3, R2C3, R3C3

हल: घुमाने पर Z की 2 स्थितियां होती हैं: लेटी (ऊपरी जोड़ी बाईं ओर, निचली जोड़ी दाईं ओर) और खड़ी (R1C2, R2C1, R2C2, R3C1, यानी ऊपर दायां स्तंभ, नीचे बायां स्तंभ)। इसका पलटा रूप S-आकृति है, जिसकी अनुमति नहीं है।

विकल्प (b) में लेटी S (R1C2, R1C3, R2C1, R2C2) और विकल्प (c) में खड़ी S (R1C1, R2C1, R2C2, R3C2) है; दोनों पलटे रूप हैं। विकल्प (d) एक सीधी रेखा और मोड़ है, उसमें कोई सीढ़ी नहीं। विकल्प (a) में ठीक खड़ी Z है।

उत्तर: (a)

सामान्य गलतियां

आकृति में घूर्णन सममिति होने पर दर्पण लगाना। खाली जगह पर लगाने से पहले नियम को हमेशा 2 दिए गए चतुर्थांशों पर जांचें।

आधे भाग को बिना पलटे नकल करना। दर्पण स्तंभ c को 5 − c बनाता है; बाएं आधे को दाईं ओर खिसकाना (c + 2) दर्पण नहीं है।

अतिरिक्त रेखाओं या कोष्ठों के कारण अंतर्निहित आकृति अस्वीकार करना। केवल लक्ष्य के अपने भाग मौजूद होने चाहिए।

जब प्रश्न केवल घुमाने की अनुमति दे तब पलटी प्रति स्वीकार करना। देखें कि सीढ़ी या भुजा लक्ष्य की तरह उसी ओर जाती है या नहीं।

केवल बाहरी रेखा मिलाना। भीतरी रेखाएं, बिंदु और छायांकन भी गायब भाग के पार जारी रहने चाहिए।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक 4×4 पैटर्न अपनी ऊर्ध्वाधर मध्य रेखा के सापेक्ष सममित है। बाएं आधे में R1C2, R2C1, R3C1, R3C2 और R4C2 छायांकित हैं। दाएं आधे के कौन से कोष्ठ छायांकित हैं? (a) R1C4, R2C3, R3C3, R3C4, R4C4 (b) R1C3, R2C4, R3C3, R3C4, R4C3 (c) R1C3, R2C4, R3C3, R4C3 (d) R1C3, R2C3, R3C3, R3C4, R4C4

Q2. एक 4×4 पैटर्न ऊपर-बाएं कोने से नीचे-दाएं कोने वाले विकर्ण के सापेक्ष सममित है। विकर्ण के ऊपर छायांकित कोष्ठ R1C2, R1C4 और R2C3 हैं। विकर्ण के नीचे कौन से कोष्ठ छायांकित हैं? (a) R3C1, R4C1, R4C2 (b) R2C1, R4C1, R4C3 (c) R2C1, R3C1, R3C2 (d) R2C1, R4C1, R3C2

Q3. लक्ष्य L-आकृति है: एक रेखा में 3 कोष्ठ और एक सिरे के बगल में जुड़ा 4था कोष्ठ (इसे घुमाया या पलटा जा सकता है)। कौन सा पैटर्न इसे समाहित नहीं करता? (a) R1C1, R2C1, R3C1, R3C2, R3C3 (b) R1C1, R1C2, R1C3, R1C4, R2C4 (c) R1C1, R1C2, R2C2, R2C3, R3C3 (d) R1C4, R2C2, R3C2, R3C3, R3C4

उत्तर

Q1. (b) c को 5 − c पर भेजें और पंक्ति रखें: R1C3, R2C4, R3C3, R3C4, R4C3। विकल्प (a) आधे को बिना पलटे खिसकाता है।

Q2. (d) पंक्ति और स्तंभ बदलें: R1C2 से R2C1, R1C4 से R4C1, R2C3 से R3C2।

Q3. (c) L के लिए एक सीधी रेखा में 3 कोष्ठ चाहिए; (c) की सीढ़ी में कभी 3 एक रेखा में नहीं हैं। (a) में R1C1, R2C1, R3C1, R3C2; (b) में R1C2, R1C3, R1C4, R2C4; (d) में R2C2, R3C2, R3C3, R3C4 है।

त्वरित पुनरावृत्ति

ऊर्ध्वाधर दर्पण: c से 5 − c। क्षैतिज दर्पण: r से 5 − r। विकर्ण दर्पण: r और c बदलें।

90° दक्षिणावर्त: RrCc से RcC(5 − r); 180°: RrCc से R(5 − r)C(5 − c)।

पहले दिए भागों पर नियम जांचें: पवनचक्की पैटर्न में दर्पण और घूर्णन अलग उत्तर देते हैं।

छिपी आकृतियों के लिए वह विशेषता देखें जो घुमाने पर नहीं बदलती: T-जंक्शन, सीढ़ी, एक रेखा में 3।

घुमाया पर पलटा नहीं का अर्थ है कि दर्पण प्रति गलत है।