Symbolic calculations — सामान्य बुद्धि एवं तर्कशक्ति नोट्स

अवधारणाएं और नियम

इन प्रश्नों में छपे चिह्नों का सामान्य अर्थ नहीं होता। प्रश्न एक शब्दकोश देता है, जैसे '+ का अर्थ ÷' या 'P का अर्थ ×', और आपको छपे चिह्नों से नहीं, इन अर्थों से गणना करनी होती है।

संक्रियाओं का क्रम (BODMAS): पहले कोष्ठक; फिर भाग और गुणा, जिनकी प्राथमिकता बराबर है और जो बाएं से दाएं किए जाते हैं; फिर जोड़ और घटाव, ये भी बराबर हैं और बाएं से दाएं किए जाते हैं।

क्योंकि ÷ और × की प्राथमिकता बराबर है, 24 ÷ 4 × 2 = 6 × 2 = 12, न कि 24 ÷ 8 = 3। इसी प्रकार 10 − 4 + 3 = 9, न कि 3।

चिह्न प्रतिस्थापन: हर छपे चिह्न को एक ही बार में उसके अर्थ से बदलें, और कोई गणना करने से पहले नया व्यंजक पूरा लिख लें।

अक्षर-कूटित संक्रियाएं: P, Q, R, S जैसे अक्षर संक्रियाओं के लिए होते हैं। इन्हें ठीक प्रतिस्थापित चिह्नों की तरह लें।

अदला-बदली प्रश्न: '+ और × आपस में बदले जाएं' का अर्थ है हर + को × और हर × को + एक साथ बनाना। जब संख्याएं भी बदली जाएं (मान लें 3 और 5), तो हर 3 और 5 को भी बदलें।

समीकरण सही करना: जब पूछा जाए कि समीकरण सही करने के लिए कौन से दो चिह्न बदलने होंगे, तो हर विकल्प बाईं ओर लगाकर देखें कि कौन सा दाईं ओर का मान देता है।

संतुलन: जब चिह्न गायब हों (* से दिखाए गए), तो हर विकल्प के चिह्न-क्रम को बाएं से दाएं क्रम में लगाकर जांचें।

सूत्र संक्रियक: किसी चिह्न को सूत्र से परिभाषित किया जा सकता है, जैसे a # b = 2a + 3b। तब a # b और b # a प्रायः अलग होते हैं, अतः इनपुट का क्रम बनाए रखें।

नेस्टेड सूत्र संक्रियकों को सबसे भीतरी कोष्ठक से बाहर की ओर हल किया जाता है, और भीतरी परिणाम को बाहरी संक्रिया का इनपुट बनाया जाता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: शब्दकोश एक पंक्ति में लिखें, उदाहरण + → ÷, − → ×, × → +, ÷ → −।

चरण 2: व्यंजक को मूल के नीचे चिह्न-दर-चिह्न दोबारा लिखें, ताकि कोई चिह्न दो बार न बदले।

चरण 3: सभी ÷ और × बाएं से दाएं करें, फिर सभी + और − बाएं से दाएं।

चरण 4: विकल्प-जांच वाले प्रश्नों में हर विकल्प के लिए बायां पक्ष निकालें और पहले सटीक मेल पर रुकें; समय हो तो बाकी पर भी नजर डालें, क्योंकि केवल एक विकल्प सही होना चाहिए।

शॉर्टकट: जो भाग पूरा न बंटे (जैसे 59.5), वह विकल्प तुरंत हट जाता है, क्योंकि इन प्रश्नों में SSC के उत्तर पूर्णांक होते हैं।

शॉर्टकट: पहले आकार का अनुमान लगाएं। यदि दायां पक्ष छोटा है, तो दो बड़ी संख्याओं के बीच + को × बनाने वाला विकल्प प्रायः गलत है।

उदाहरण 1: चिह्न प्रतिस्थापन

प्रश्न: यदि + का अर्थ ÷, − का अर्थ ×, × का अर्थ + और ÷ का अर्थ − हो, तो 36 + 4 − 3 × 5 ÷ 2 का मान ज्ञात करें।

हल: दोबारा लिखें: 36 ÷ 4 × 3 + 5 − 2। ÷ और × बाएं से दाएं: 36 ÷ 4 = 9, 9 × 3 = 27। फिर 27 + 5 − 2 = 30।

उत्तर: 30।

उदाहरण 2: अक्षर-कूटित संक्रियाएं

प्रश्न: यदि P का अर्थ ×, Q का अर्थ ÷, R का अर्थ + और S का अर्थ − हो, तो 18 Q 3 P 4 R 7 S 5 का मान ज्ञात करें।

हल: 18 ÷ 3 × 4 + 7 − 5 = 6 × 4 + 7 − 5 = 24 + 7 − 5 = 26।

उत्तर: 26।

उदाहरण 3: नेस्टेड सूत्र संक्रियक

प्रश्न: यदि a # b = 2a + 3b और a @ b = a × b − b, तो (4 # 2) @ 3 का मान ज्ञात करें।

हल: भीतरी कोष्ठक: 4 # 2 = 2 × 4 + 3 × 2 = 8 + 6 = 14। बाहरी: 14 @ 3 = 14 × 3 − 3 = 42 − 3 = 39।

उत्तर: 39।

उदाहरण 4: कौन से चिह्न बदलें

प्रश्न: समीकरण को सही करने के लिए कौन से दो चिह्न आपस में बदलने चाहिए? 18 × 3 + 6 ÷ 2 − 4 = 23 (a) + और × (b) + और − (c) × और ÷ (d) − और ÷

हल: (a) 18 + 3 × 6 ÷ 2 − 4 = 18 + 9 − 4 = 23, सही। बाकी जांचें: (b) 18 × 3 − 6 ÷ 2 + 4 = 55; (c) 18 ÷ 3 + 6 × 2 − 4 = 14; (d) 18 × 3 + 6 − 2 ÷ 4 = 59.5।

उत्तर: (a) + और ×।

उदाहरण 5: चिह्न और संख्याएं दोनों बदलीं

प्रश्न: यदि + और × आपस में बदले जाएं और संख्याएं 3 और 5 आपस में बदली जाएं, तो कौन सा समीकरण सही हो जाएगा? (a) 5 + 3 × 2 = 13 (b) 5 × 6 + 3 = 33 (c) 3 + 7 × 5 = 50 (d) 3 × 8 + 5 = 39

हल: केवल बाएं पक्ष में चिह्न और संख्याएं दोनों बदलें। (a) 3 × 5 + 2 = 17, 13 नहीं। (b) 3 + 6 × 5 = 3 + 30 = 33, सही। (c) 5 × 7 + 3 = 38, 50 नहीं। (d) 5 + 8 × 3 = 29, 39 नहीं।

ध्यान दें: दायां पक्ष परिणाम है, इसलिए उसे नहीं बदला जाता, भले ही 33 में अंक 3 हो; केवल व्यंजक में लिखी संख्याएं 3 और 5 बदली जाती हैं।

उत्तर: (b)।

उदाहरण 6: गायब चिह्नों से संतुलन

प्रश्न: कौन सा चिह्न-क्रम, क्रम से रखने पर, 8 * 4 * 2 * 6 * 3 = 24 को सही बनाता है? (a) × − + ÷ (b) + × − ÷ (c) − ÷ + × (d) ÷ − + ×

हल: (a) 8 × 4 − 2 + 6 ÷ 3 = 32 − 2 + 2 = 32। (b) 8 + 4 × 2 − 6 ÷ 3 = 8 + 8 − 2 = 14। (c) 8 − 4 ÷ 2 + 6 × 3 = 8 − 2 + 18 = 24। (d) 8 ÷ 4 − 2 + 6 × 3 = 2 − 2 + 18 = 18।

उत्तर: (c) − ÷ + ×।

सामान्य गलतियां

बदलते-बदलते गणना करना। पहले पूरा व्यंजक बदलें; वरना पहले से बदला चिह्न दोबारा बदल सकता है।

हमेशा ÷ से पहले × करना। दोनों बराबर हैं; बाएं से दाएं चलें: 36 ÷ 4 × 3 = 27, न कि 3।

केवल एक ओर बदलना। '+ और × बदलें' दोनों को बदलता है: हर + को × और हर × को +।

संख्याएं बदलते समय उत्तर के अंदर के अंक बदल देना। केवल जांचे जा रहे व्यंजक की संख्याएं बदलें।

सूत्र संक्रियक के इनपुट उलट देना। a # b = 2a + 3b हो तो 4 # 2 = 14 पर 2 # 4 = 16।

अभ्यास प्रश्न

Q1. यदि A का अर्थ ÷, B का अर्थ +, C का अर्थ − और D का अर्थ × हो, तो 20 A 4 D 6 C 9 B 3 का मान ज्ञात करें। (a) 21 (b) 24 (c) 27 (d) 18

Q2. समीकरण को सही करने के लिए कौन से दो चिह्न आपस में बदलने चाहिए? 24 − 6 ÷ 3 + 2 × 5 = 45 (a) + और − (b) − और ÷ (c) + और × (d) − और ×

Q3. यदि a ★ b = a² + b² − ab, तो (3 ★ 2) ★ 1 का मान ज्ञात करें। (a) 43 (b) 41 (c) 45 (d) 37

उत्तर

Q1. (b) 20 ÷ 4 × 6 − 9 + 3 = 5 × 6 − 9 + 3 = 30 − 9 + 3 = 24।

Q2. (d) 24 × 6 ÷ 3 + 2 − 5 = 48 + 2 − 5 = 45। अन्य अदला-बदली 16, 11 और 25 देती हैं।

Q3. (a) 3 ★ 2 = 9 + 4 − 6 = 7; 7 ★ 1 = 49 + 1 − 7 = 43।

त्वरित पुनरावृत्ति

पहले सब कुछ डिकोड करें, फिर गणना करें।

÷ और × बराबर (बाएं से दाएं); + और − बराबर (बाएं से दाएं)।

अदला-बदली का अर्थ है दोनों ओर एक साथ; संख्याओं में केवल व्यंजक के अंदर बदलें।

सूत्र संक्रियक: पहले भीतरी कोष्ठक, इनपुट का क्रम बनाए रखें।

अवधारणाएं और नियम

यह इकाई संख्याओं के साथ 3 प्रकार के तर्क को कवर करती है: छिपे नियम वाले समीकरण (यदि 3 # 4 = 25 …), छोटी अंकगणितीय पहेलियां (सिर और पैर, उल्टा हल करना, सड़क पर पेड़), और असमिका शृंखलाएं (A > B ≥ C)।

छिपे नियम वाले समीकरण: हर पंक्ति अपनी 2 संख्याओं पर एक ही नियम लगाती है। सामान्य नियम हैं a² + b², a² − b², a × b + a + b, (a + b)², और दो परिणाम पास-पास लिखना, जैसे (a − b) के बाद (a + b)।

नियम तभी पक्का है जब वह हर दी गई पंक्ति पर फिट हो। यदि आउटपुट में अपेक्षा से अधिक अंक हों, तो दो परिणामों को पास-पास लिखे जाने का संदेह करें।

सिर और पैर: यदि सभी जानवरों के 2 पैर होते, तो पैर 2 × सिर होते। हर 4 पैर वाला जानवर 2 अतिरिक्त पैर जोड़ता है, अतः 4 पैर वाले जानवर = (पैर − 2 × सिर) ÷ 2।

उल्टा हल करना: जब कई चरणों के बाद अंतिम मान दिया हो, तो चरणों को अंतिम से पहले की ओर उलटें: '10 जोड़ो' को 10 घटाकर, 'आधे उतर गए' को दोगुना करके उलटें।

खंभा नियम: लंबाई L की खुली रेखा पर हर d मीटर पर खंभा, दोनों सिरों सहित, हो तो खंभे = L ÷ d + 1। बंद घेरे (गोल पथ या खेत की सीमा) पर खंभे = L ÷ d।

असमिका शृंखलाएं: A > B और B > C से A > C। A ≥ B और B ≥ C से A ≥ C। यदि एक ही दिशा वाली शृंखला की कोई कड़ी सख्त (> या <) हो, तो संयुक्त संबंध सख्त होता है।

यदि दो अक्षरों के बीच के चिह्न विपरीत दिशाओं में हों (A > B < C या A ≥ B ≤ C), तो A और C के बीच कोई निश्चित संबंध नहीं निकलता।

या तो-या: जब शृंखला A ≥ C देती है, तो न 'A > C' अकेला निकलता है न 'A = C', पर मिलकर वे हर स्थिति कवर करते हैं, अतः उत्तर 'या तो I या II निकलता है'।

कूटित असमिकाएं: 'छोटा नहीं' का अर्थ ≥, 'बड़ा नहीं' का अर्थ ≤, 'न बड़ा न बराबर' का अर्थ <, 'न छोटा न बराबर' का अर्थ >, और 'न बड़ा न छोटा' का अर्थ = है।

विधि और शॉर्टकट

छिपे नियम का चरण 1: पहली पंक्ति पर सबसे सरल नियम (योग, गुणा, वर्ग) जांचें, फिर बचे नियम को बाकी पंक्तियों पर पक्का करें।

पहेलियों का चरण 2: हर शर्त को समीकरण या उल्टे चरण के रूप में लिखें; पहले विकल्पों से उत्तर का अनुमान न लगाएं।

असमिकाओं का चरण 3: चिह्न डिकोड करें, सभी कथनों को एक शृंखला में जोड़ें, फिर हर निष्कर्ष के दो अक्षरों के बीच का रास्ता देखें।

शॉर्टकट: निष्कर्ष तभी निकलता है जब रास्ते का हर चिह्न एक ही दिशा में हो; एक भी उल्टा चिह्न उसे खत्म कर देता है।

शॉर्टकट: उल्टा हल करने वाले प्रश्नों में अपने प्रारंभिक मान को एक बार आगे की ओर जांचें; इसमें कुछ सेकंड लगते हैं और उल्टे चरण की गलती पकड़ में आती है।

उदाहरण 1: वर्गों का नियम

प्रश्न: यदि 3 # 4 = 25 और 5 # 12 = 169, तो 8 # 6 ज्ञात करें।

हल: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 और 5² + 12² = 25 + 144 = 169। अतः a # b = a² + b², और 8 # 6 = 64 + 36 = 100।

उत्तर: 100।

उदाहरण 2: सिर और पैर

प्रश्न: एक फार्म में मुर्गियां और गायें हैं, जिनके कुल 50 सिर और 140 पैर हैं। गायें कितनी हैं?

हल: यदि सभी 50 मुर्गियां होतीं, तो पैर = 100। अतिरिक्त 40 पैर गायों से हैं, हर गाय 2 अतिरिक्त देती है, अतः गायें = 40 ÷ 2 = 20 और मुर्गियां = 30। जांच: 20 × 4 + 30 × 2 = 80 + 60 = 140।

उत्तर: 20 गायें।

उदाहरण 3: असमिका शृंखला पढ़ना

प्रश्न: A > B ≥ C = D < E दिया है। इनमें से कौन निश्चित रूप से सत्य हैं: A > D, B ≥ D, A > E?

हल: A > B ≥ C = D से A > D (एक सख्त कड़ी)। B ≥ C = D से B ≥ D। A और E के बीच रास्ता A > … = D < E है, जिसमें चिह्न विपरीत दिशाओं में हैं, अतः A और E में कोई निश्चित संबंध नहीं।

उत्तर: A > D और B ≥ D सत्य हैं; A > E निश्चित नहीं।

उदाहरण 4: दो परिणाम पास-पास

प्रश्न: यदि 5 + 3 = 28, 9 + 1 = 810 और 8 + 6 = 214, तो 7 + 3 = ? (a) 104 (b) 410 (c) 421 (d) 310

हल: 5 − 3 = 2 और 5 + 3 = 8 से 28; 9 − 1 = 8 और 9 + 1 = 10 से 810; 8 − 6 = 2 और 8 + 6 = 14 से 214। अतः पहले (a − b) फिर (a + b) लिखें। 7 और 3 के लिए: 4 और 10, अतः 410। विकल्प (a) इन्हें गलत क्रम में लिखता है।

उत्तर: (b) 410।

उदाहरण 5: उल्टा हल करना

प्रश्न: एक बस कुछ यात्रियों के साथ डिपो से चलती है। पहले स्टॉप पर आधे यात्री उतरते हैं और 10 चढ़ते हैं। दूसरे स्टॉप पर आधे उतरते हैं और 5 चढ़ते हैं। अब 25 यात्री हैं। शुरुआत में कितने थे? (a) 70 (b) 50 (c) 80 (d) 60

हल: दूसरे स्टॉप को उलटें: 25 − 5 = 20 बचे, जो आधे थे, अतः उससे पहले 40 थे। पहले स्टॉप को उलटें: 40 − 10 = 30 बचे, जो आधे थे, अतः शुरुआत में 60।

आगे की ओर जांच: 60 → 30 + 10 = 40 → 20 + 5 = 25। सही।

उत्तर: (d) 60।

उदाहरण 6: कूटित असमिकाएं

प्रश्न: P @ Q का अर्थ है P, Q से छोटा नहीं; P # Q का अर्थ है P, Q से न छोटा है न बराबर; P & Q का अर्थ है P, Q से न बड़ा है न छोटा; P % Q का अर्थ है P, Q से बड़ा नहीं। M @ N, N # R, R & T, T % K दिए हैं; कौन सा निष्कर्ष निकलता है? I. M # T II. K @ N (a) केवल I (b) केवल II (c) I और II दोनों (d) न I न II

हल: डिकोड करें: @ का अर्थ ≥, # का अर्थ >, & का अर्थ =, % का अर्थ ≤। शृंखला: M ≥ N > R = T ≤ K।

I. M # T का अर्थ M > T: रास्ता M ≥ N > R = T में एक सख्त कड़ी है, अतः M > T सत्य है। II. K @ N का अर्थ K ≥ N: रास्ता N > R = T ≤ K, T पर दिशा बदलता है, अतः यह निश्चित नहीं।

उत्तर: (a) केवल I।

सामान्य गलतियां

एक पंक्ति जांचकर छिपा नियम मान लेना। a² + b² और (a + b)² − 2ab समान हैं, पर कई नियम केवल पहली पंक्ति पर फिट होते हैं; सभी पंक्तियां जांचें।

चरणों को आगे वाले क्रम में उलटना। उल्टा हल करते समय अंतिम चरण पहले उलटा जाता है।

खुली सड़क के लिए L ÷ d लेना। दोनों सिरों पर पेड़ वाली खुली रेखा पर L ÷ d + 1 पेड़ चाहिए।

A ≥ C को A > C लिखना। सख्त निष्कर्ष के लिए कम से कम एक सख्त चिह्न चाहिए।

किन्हीं भी 2 संदिग्ध निष्कर्षों पर 'या तो-या' लगाना। या तो-या के लिए समान 2 अक्षर चाहिए और 2 निष्कर्ष मिलकर हर स्थिति कवर करें (जैसे ≥ ज्ञात हो तो > और =)।

अभ्यास प्रश्न

Q1. यदि 2 * 3 = 11, 4 * 5 = 29 और 3 * 6 = 27, तो 6 * 7 = ? (a) 49 (b) 54 (c) 55 (d) 56

Q2. 100 m लंबी सीधी सड़क के एक ओर हर 5 m पर पेड़ लगाए गए हैं, दोनों सिरों पर भी एक-एक पेड़ है। कुल कितने पेड़ हैं? (a) 20 (b) 21 (c) 19 (d) 22

Q3. P ≥ Q = R > S और T ≤ R दिए हैं; कौन सा निकलता है? I. P > T II. P = T (a) केवल I (b) केवल II (c) या तो I या II (d) न I न II

उत्तर

Q1. (c) नियम a × b + a + b: 6 + 5 = 11, 20 + 9 = 29, 18 + 9 = 27। अतः 6 * 7 = 42 + 13 = 55।

Q2. (b) दोनों सिरों वाली खुली रेखा: 100 ÷ 5 + 1 = 21।

Q3. (c) P ≥ Q = R ≥ T से केवल P ≥ T मिलता है। न P > T निश्चित है न P = T, पर इनमें से एक अवश्य सत्य है, अतः या तो I या II निकलता है।

त्वरित पुनरावृत्ति

छिपे नियम: a² ± b², ab + a + b, और पास-पास लिखे दो परिणाम आजमाएं; हर पंक्ति जांचें।

सिर और पैर: 4 पैर वाले = (पैर − 2 × सिर) ÷ 2।

खुली रेखा: L ÷ d + 1 खंभे; बंद घेरा: L ÷ d खंभे।

असमिकाएं: रास्ते में एक ही दिशा, और सख्त परिणाम के लिए कम से कम एक सख्त चिह्न; ≥ ज्ञात हो तो या > या =।