Spatial reasoning — सामान्य बुद्धि एवं तर्कशक्ति नोट्स

अवधारणाएं और नियम

4 मुख्य दिशाएं उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम हैं, इसी क्रम में दक्षिणावर्त। इनके बीच उत्तर-पूर्व, दक्षिण-पूर्व, दक्षिण-पश्चिम और उत्तर-पश्चिम हैं।

उत्तर से दक्षिणावर्त मापे कोण: N = 0°, NE = 45°, E = 90°, SE = 135°, S = 180°, SW = 225°, W = 270°, NW = 315°।

दायां मोड़ 90° दक्षिणावर्त और बायां मोड़ 90° वामावर्त होता है, जो व्यक्ति की वर्तमान दिशा से मापा जाता है, उत्तर से नहीं।

कोण से मुड़ना: दक्षिणावर्त मोड़ जोड़ें और वामावर्त मोड़ घटाएं, फिर 360° जोड़कर या घटाकर कुल को 0°–359° में लाएं।

निर्देशांक: पूर्व x में जोड़ता है, पश्चिम x से घटाता है, उत्तर y में जोड़ता है, दक्षिण y से घटाता है। चरणों का क्रम अंतिम बिंदु नहीं बदलता, पर मोड़ तय करते हैं कि हर चरण किस ओर जाएगा।

प्रारंभ से न्यूनतम दूरी = √(x² + y²) (पाइथागोरस)। सामान्य त्रिक: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17, 9-12-15, 15-20-25।

अंतिम दिशा: x > 0 और y > 0 का अर्थ प्रारंभ से उत्तर-पूर्व; x < 0 और y > 0, उत्तर-पश्चिम; x < 0 और y < 0, दक्षिण-पश्चिम; x > 0 और y < 0, दक्षिण-पूर्व। यदि x = 0 या y = 0 हो तो दिशा 4 मुख्य दिशाओं में से एक है।

'B से A की दिशा' का अर्थ है B पर खड़े होकर A को देखना: A के निर्देशांक में से B के निर्देशांक घटाएं।

छाया: सूर्य पूर्व में उगता है, अतः सुबह छाया पश्चिम की ओर पड़ती है; शाम को छाया पूर्व की ओर पड़ती है। भारत में दोपहर को सूर्य दक्षिण की ओर होता है, अतः छोटी छाया उत्तर की ओर होती है। छाया प्रश्न रात के लिए नहीं पूछे जाते।

आमने-सामने: यदि 2 लोग एक-दूसरे की ओर मुंह करें और एक उत्तर की ओर देखे, तो दूसरा दक्षिण की ओर देखता है; एक का दायां हाथ दूसरे के बाईं ओर होता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: कोने में एक छोटा कम्पास बनाएं और हर मोड़ के बाद वर्तमान दिशा लिखते जाएं।

चरण 2: हर चरण को x या y के बदलाव में बदलें और (x, y) का चलता योग रखें।

चरण 3: दूरी = √(x² + y²); दिशा चिह्नों से। पहले विकल्पों की दूरियों से मिलाएं; अक्सर वही उत्तर तय कर देती हैं।

शॉर्टकट: विपरीत दिशाओं के चरण कट जाते हैं। 5 km उत्तर फिर 5 km दक्षिण का कोई योगदान नहीं, अतः केवल शुद्ध पूर्व-पश्चिम और शुद्ध उत्तर-दक्षिण जोड़ें।

छाया का शॉर्टकट: लिखें कि सूर्य कहां है (सुबह पूर्व, शाम पश्चिम); छाया उलटी ओर होती है; फिर व्यक्ति के दाएं या बाएं से उसकी दिशा निकालें।

उदाहरण 1: शुद्ध विस्थापन

प्रश्न: अनिल 5 km उत्तर चलता है, दाएं मुड़कर 3 km चलता है, फिर दोबारा दाएं मुड़कर 5 km चलता है। वह प्रारंभ से कितनी दूर है?

हल: उत्तर 5 → (0, 5)। उत्तर की ओर मुंह, दायां पूर्व है: 3 → (3, 5)। पूर्व की ओर मुंह, दायां दक्षिण है: 5 → (3, 0)। दूरी = 3 km, पूर्व की ओर।

उत्तर: प्रारंभ से 3 km पूर्व।

उदाहरण 2: पाइथागोरस का प्रयोग

प्रश्न: प्रिया 6 km पूर्व चलती है, बाएं मुड़कर 8 km चलती है। वह प्रारंभ से कितनी दूर और किस दिशा में है?

हल: पूर्व 6 → (6, 0)। पूर्व की ओर मुंह, बायां उत्तर है: 8 → (6, 8)। दूरी = √(36 + 64) = √100 = 10 km। x और y दोनों धनात्मक हैं, अतः उत्तर-पूर्व।

उत्तर: 10 km, उत्तर-पूर्व।

उदाहरण 3: छाया

प्रश्न: एक सुबह सूर्योदय के बाद राजू एक मैदान में खड़ा है और उसकी छाया ठीक उसके दाईं ओर पड़ती है। उसका मुंह किस दिशा में है?

हल: सुबह सूर्य पूर्व में होता है, अतः छाया पश्चिम की ओर होती है। उसका दायां पक्ष पश्चिम है। जिसका दायां पश्चिम हो, उसका मुंह दक्षिण की ओर है (दक्षिण की ओर मुंह करने पर दायां हाथ पश्चिम की ओर होता है)।

उत्तर: दक्षिण।

उदाहरण 4: कई मोड़

प्रश्न: रोहित 10 m दक्षिण चलता है, बाएं मुड़कर 15 m चलता है, फिर बाएं मुड़कर 30 m चलता है। वह प्रारंभ से कितनी दूर और किस दिशा में है? (a) 35 m उत्तर-पूर्व (b) 25 m उत्तर-पश्चिम (c) 25 m उत्तर-पूर्व (d) 20 m उत्तर

हल: दक्षिण 10 → (0, −10)। दक्षिण की ओर मुंह, बायां पूर्व है: 15 → (15, −10)। पूर्व की ओर मुंह, बायां उत्तर है: 30 → (15, 20)। दूरी = √(225 + 400) = √625 = 25 m; x > 0, y > 0, अतः उत्तर-पूर्व।

उत्तर: (c) 25 m उत्तर-पूर्व।

उदाहरण 5: कोणों से मुड़ना

प्रश्न: उत्तर की ओर मुंह किए एक व्यक्ति 135° दक्षिणावर्त, फिर 180° वामावर्त, और फिर 90° दक्षिणावर्त मुड़ता है। अब उसका मुंह किस दिशा में है? (a) उत्तर-पश्चिम (b) दक्षिण-पूर्व (c) दक्षिण-पश्चिम (d) उत्तर-पूर्व

हल: कुल मोड़ = +135° − 180° + 90° = +45°, यानी उत्तर से 45° दक्षिणावर्त। चरणबद्ध: 135° दक्षिण-पूर्व है, फिर −180° से 315° (उत्तर-पश्चिम), फिर +90° से 405° − 360° = 45°।

उत्तर: (d) उत्तर-पूर्व।

उदाहरण 6: एक-दूसरे से वर्णित बिंदु

प्रश्न: M, N से 12 m दक्षिण में है। O, M से 8 m पश्चिम में है। P, O से 6 m उत्तर में है। P, N से कितनी दूर और किस दिशा में है? (a) 10 m दक्षिण-पश्चिम (b) 10 m दक्षिण-पूर्व (c) 14 m दक्षिण-पश्चिम (d) 10 m उत्तर-पश्चिम

हल: N को (0, 0) पर रखें। M = (0, −12)। O = (−8, −12)। P = (−8, −6)। N से P: x = −8, y = −6, दूरी = √(64 + 36) = 10 m, दोनों ऋणात्मक, अतः दक्षिण-पश्चिम।

विकल्प (c) 8 और 6 को ऐसे जोड़ता है मानो सड़क पर चलना हो; प्रश्न सीधी रेखा की दूरी पूछता है।

उत्तर: (a) 10 m दक्षिण-पश्चिम।

सामान्य गलतियां

'दाएं मुड़ो' को हर बार 'पूर्व जाओ' मानना। दायां तभी पूर्व है जब मुंह उत्तर की ओर हो।

'B से A की दिशा' के उत्तर में A से B की दिशा देना। दोनों उल्टी होती हैं, जैसे उत्तर-पूर्व बनाम दक्षिण-पश्चिम।

सीधी रेखा की दूरी निकालने के बजाय चली गई सभी दूरियां जोड़ देना।

सुबह की छाया को पूर्व में रखना। छाया हमेशा सूर्य से दूर वाली ओर होती है।

405° या −45° जैसे कोण-योग को 0°–359° की सीमा में लाना भूल जाना।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक व्यक्ति 4 km पूर्व चलता है और फिर दाएं मुड़कर 3 km चलता है। वह प्रारंभ बिंदु से कितनी दूर है? (a) 7 km (b) 5 km (c) 1 km (d) 6 km

Q2. एक शाम सूर्यास्त से पहले मीना सीधे अपनी छाया की ओर चलती है। वह किस दिशा में चल रही है? (a) पश्चिम (b) उत्तर (c) पूर्व (d) दक्षिण

Q3. दक्षिण-पश्चिम की ओर मुंह किए एक लड़की 90° दक्षिणावर्त और फिर 225° वामावर्त मुड़ती है। अब उसका मुंह किस दिशा में है? (a) उत्तर (b) दक्षिण-पूर्व (c) पश्चिम (d) पूर्व

उत्तर

Q1. (b) पूर्व 4 → (4, 0); पूर्व का दायां दक्षिण है: (4, −3)। दूरी = √(16 + 9) = 5 km।

Q2. (c) शाम को सूर्य पश्चिम में होता है, अतः छाया पूर्व की ओर पड़ती है; उसकी ओर चलना पूर्व की ओर चलना है।

Q3. (d) दक्षिण-पश्चिम = 225°; 225° + 90° − 225° = 90°, जो पूर्व है।

त्वरित पुनरावृत्ति

पूर्व +x, उत्तर +y; दूरी √(x² + y²); दिशा चिह्नों से।

दायां = वर्तमान दिशा से 90° दक्षिणावर्त; बायां = 90° वामावर्त।

उत्तर से कोण: E 90°, S 180°, W 270°; योग को 360° से घटाएं।

सुबह छाया पश्चिम, शाम छाया पूर्व।

अवधारणाएं और नियम

नोट्स आकृतियों का वर्णन शब्दों में करते हैं: ग्रिड में पंक्तियां ऊपर से और स्तंभ बाएं से गिने जाते हैं, अतः 3×3 ग्रिड में (पंक्ति 1, स्तंभ 3) ऊपर-दायां खाना है।

n×n ग्रिड में 90° दक्षिणावर्त घूर्णन: खाना (r, c), (c, n + 1 − r) पर जाता है। ऊपरी पंक्ति दायां स्तंभ बनती है, और बायां स्तंभ ऊपरी पंक्ति बनता है।

90° वामावर्त घूर्णन: (r, c), (n + 1 − c, r) पर जाता है। 180° घूर्णन: (r, c), (n + 1 − r, n + 1 − c) पर जाता है। 270° दक्षिणावर्त मोड़ 90° वामावर्त के बराबर है, और 360° से कुछ नहीं बदलता।

घुमाई गई आकृति के अंदर तीर या संकेतक उतने ही कोण से घूमता है: उत्तर की ओर का तीर 90° दक्षिणावर्त घूमकर पूर्व की ओर हो जाता है। घूर्णन कभी दर्पण प्रतिबिंब नहीं बनाता; F जैसा अक्षर पठनीय रहता है, बस झुक जाता है।

पासा, नियम 1: घन के 6 फलक 3 विपरीत जोड़ियों में होते हैं। एक दृश्य में साथ दिखे कोई भी 2 फलक आसन्न हैं, अतः विपरीत नहीं। यदि फलक X के साथ 4 अलग फलक दिखें, तो X के साथ कभी न दिखने वाला 1 फलक X के विपरीत है।

पासा, नियम 2: यदि 2 दृश्यों में ऊपरी फलक समान है, तो पासा केवल ऊर्ध्व अक्ष के चारों ओर घुमाया गया है। ऐसा घुमाने पर कि पुराना सामने वाला नया दायां बने, पुराना बायां नया सामने वाला बन जाता है।

यह न मानें कि विपरीत फलकों का योग 7 होता है। यह केवल मानक पासे पर लागू है; तर्क प्रश्नों में दिए गए दृश्यों का प्रयोग करें।

रंगा घन n×n×n समान छोटे घनों में काटा जाए (n ≥ 2): 3 फलक रंगे = 8 (कोने); ठीक 2 = 12(n − 2) (किनारे); ठीक 1 = 6(n − 2)² (फलक के मध्य); कोई नहीं = (n − 2)³ (अंदर)। 4 गिनतियों का योग n³ है।

यदि विपरीत फलकों के रंग अलग हों, तो हर रंग-जोड़ी किसी दूसरी रंग-जोड़ी के साथ 4 साझा किनारे बनाती है, और ऐसे एक किनारे पर किनारे वाले घन n − 2 होते हैं।

विधि और शॉर्टकट

घूर्णन का चरण 1: हर चिह्नित खाने को (पंक्ति, स्तंभ) में लिखें, सूत्र लगाएं, और ग्रिड दोबारा बनाएं; तीरों के लिए तीर की दिशा-कोण में मोड़ का कोण जोड़ें।

पासे का चरण 2: पूछे गए फलक के साथ दिखे सभी फलकों की सूची बनाएं। यदि 4 मिलें, तो 5वां फलक उत्तर है; यदि केवल 3, तो समान फलक वाले 2 दृश्य खोजें और नियम 2 लगाएं।

रंगे घन का चरण 3: छोटे घनों की संख्या से n निकालें (64 → n = 4, 125 → n = 5), फिर 4 सूत्र लगाएं; रंगीन फलकों में केवल बताए गए रंगों के किनारे या फलक गिनें।

शॉर्टकट: 180° का मोड़ ऊपर-बाएं कोने को नीचे-दाएं कोने पर ले जाता है; विकल्प हटाने के लिए पहले यही एक कोना जांचें।

शॉर्टकट: जब 2 पासा-दृश्यों का ऊपरी फलक समान हो, तो एक ही स्थान (जैसे दोनों दाएं) वाले फलक आवश्यक रूप से विपरीत नहीं होते; बिना सोचे स्थान मिलाने के बजाय नियम 2 लगाएं।

उदाहरण 1: चिह्नित खानों को घुमाना

प्रश्न: 3×3 ग्रिड में एक बिंदु (पंक्ति 1, स्तंभ 3) में और एक क्रॉस (पंक्ति 2, स्तंभ 1) में है। ग्रिड को 90° दक्षिणावर्त घुमाया जाता है। अब बिंदु और क्रॉस कहां हैं?

हल: (r, c) → (c, 3 + 1 − r) लगाएं। बिंदु (1, 3) → (3, 3), नीचे-दायां कोना। क्रॉस (2, 1) → (1, 2), ऊपर-मध्य खाना।

उत्तर: बिंदु (पंक्ति 3, स्तंभ 3) पर; क्रॉस (पंक्ति 1, स्तंभ 2) पर।

उदाहरण 2: तीर घुमाना

प्रश्न: एक आकृति में तीर उत्तर-पूर्व की ओर है। आकृति को 135° वामावर्त घुमाया जाता है। अब तीर किस ओर है?

हल: उत्तर-पूर्व = 45°। वामावर्त घटाता है: 45° − 135° = −90°, और −90° + 360° = 270°, जो पश्चिम है।

उत्तर: पश्चिम।

उदाहरण 3: रंगे घन की गिनती

प्रश्न: सभी फलकों पर रंगा एक घन 64 समान छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों पर 3, ठीक 2, ठीक 1 और कोई भी रंगा फलक नहीं है?

हल: 64 = 4³, अतः n = 4 और n − 2 = 2। 3 फलक: 8। ठीक 2: 12 × 2 = 24। ठीक 1: 6 × 2² = 24। कोई नहीं: 2³ = 8। जांच: 8 + 24 + 24 + 8 = 64।

उत्तर: 8, 24, 24 और 8।

उदाहरण 4: आसन्नता से विपरीत फलक

प्रश्न: एक ही पासे के 2 दृश्यों में फलक {1, 2, 3} और {1, 5, 6} दिखते हैं। 1 के विपरीत कौन सी संख्या है? (a) 2 (b) 4 (c) 5 (d) 6

हल: 1 के साथ दिखे फलक 2, 3, 5 और 6 हैं, अतः इनमें से कोई 1 के विपरीत नहीं। 1 के साथ कभी न दिखा फलक केवल 4 है।

उत्तर: (b) 4।

उदाहरण 5: समान ऊपरी फलक वाले दो दृश्य

प्रश्न: पासे की स्थिति 1 में ऊपर 1, सामने 2, दाएं 3 है। स्थिति 2 में ऊपर 1, सामने 4, दाएं 2 है। 3 के विपरीत कौन सी संख्या है? (a) 2 (b) 5 (c) 4 (d) 6

हल: ऊपरी फलक 1 ही रहा, अतः पासा केवल ऊर्ध्व अक्ष पर घूमा। फलक 2 सामने से दाएं गया, अतः नियम 2 से नया सामने वाला 4 पुराना बायां था। स्थिति 1 में बायां = 4 और दायां = 3, और बायां तथा दायां विपरीत फलक हैं।

उत्तर: (c) 4।

उदाहरण 6: रंगीन फलकों वाला घन

प्रश्न: एक घन के 2 विपरीत फलक लाल, 2 विपरीत फलक नीले और 2 विपरीत फलक हरे हैं। इसे 64 समान छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों पर ठीक 2 रंगे फलक हैं, एक लाल और एक हरा? (a) 12 (b) 4 (c) 16 (d) 8

हल: n = 4। 2 लाल फलकों में से हर एक, 2 हरे फलकों में से हर एक से एक किनारे पर मिलता है, अतः 2 × 2 = 4 लाल-हरे किनारे। हर किनारे पर n − 2 = 2 ऐसे छोटे घन हैं जो कोने नहीं हैं (कोनों पर 3 रंगे फलक होते हैं)। कुल = 4 × 2 = 8।

उत्तर: (d) 8।

सामान्य गलतियां

घूर्णन और परावर्तन को मिलाना। घूर्णन में अक्षर पठनीय रहते हैं; केवल दर्पण उन्हें उलटता है।

वामावर्त मोड़ के लिए दक्षिणावर्त सूत्र लगाना। दक्षिणावर्त: (c, n + 1 − r); वामावर्त: (n + 1 − c, r)।

हर पासे पर 1 को 6 के विपरीत मान लेना। केवल दिए गए दृश्यों का प्रयोग करें।

कोने के घनों को 2-फलक वाले घन गिनना। कोनों पर 3 रंगे फलक होते हैं, अतः हर किनारा केवल n − 2 देता है।

2 फलकों को इसलिए विपरीत कहना कि वे 2 दृश्यों में एक ही स्थान (दोनों 'दाएं') पर हैं। दृश्यों के बीच पासा घूम सकता है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 4×4 ग्रिड में एक काला खाना (पंक्ति 1, स्तंभ 2) पर है। ग्रिड को 90° वामावर्त घुमाया जाता है। अब काला खाना कहां है? (a) पंक्ति 3, स्तंभ 1 (b) पंक्ति 2, स्तंभ 4 (c) पंक्ति 1, स्तंभ 3 (d) पंक्ति 4, स्तंभ 2

Q2. सभी फलकों पर रंगा एक घन 125 समान छोटे घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों पर ठीक 2 रंगे फलक हैं? (a) 54 (b) 27 (c) 36 (d) 24

Q3. पासे की स्थिति 1 में ऊपर 6, सामने 2, दाएं 4 है। स्थिति 2 में ऊपर 6, सामने 5, दाएं 2 है। 4 के विपरीत कौन सी संख्या है? (a) 2 (b) 6 (c) 1 (d) 5

उत्तर

Q1. (a) वामावर्त: (r, c) → (4 + 1 − c, r) = (4 + 1 − 2, 1) = (3, 1)।

Q2. (c) n = 5, अतः ठीक 2 रंगे फलक = 12 × (5 − 2) = 36।

Q3. (d) ऊपर 6 नहीं बदला; 2 सामने से दाएं गया, अतः नया सामने वाला 5 पुराना बायां था। स्थिति 1 में बायां 5, दाएं 4 के विपरीत है।

त्वरित पुनरावृत्ति

90° दक्षिणावर्त: (r, c) → (c, n + 1 − r); वामावर्त: (n + 1 − c, r); 180°: (n + 1 − r, n + 1 − c)।

तीर आकृति जितने ही कोण से घूमते हैं; घूर्णन कभी दर्पण नहीं बनाता।

साथ दिखे फलक कभी विपरीत नहीं; 2 दृश्यों में समान ऊपरी फलक का अर्थ ऊर्ध्व अक्ष पर घूर्णन।

रंगा घन: 8, 12(n − 2), 6(n − 2)², (n − 2)³।