Logical inference — सामान्य बुद्धि एवं तर्कशक्ति नोट्स

अवधारणाएं और नियम

न्याय-वाक्य में वर्गों के बारे में कथन दिए जाते हैं और पूछा जाता है कि कौन से निष्कर्ष अवश्य सत्य हैं। कथनों को सत्य मानें चाहे वे बेतुके लगें, और बाहरी ज्ञान का कभी प्रयोग न करें।

4 प्रकार के कथन: सभी A, B हैं (A का वृत्त पूरा B के अंदर); कोई A, B नहीं है (A और B छूते नहीं); कुछ A, B हैं (कम से कम एक A, B है, संभवतः सभी); कुछ A, B नहीं हैं (कम से कम एक A, B के बाहर है)।

'कुछ' का अर्थ कम से कम एक है और यह 'सभी' को नहीं रोकता। अतः 'कुछ A, B हैं' से 'कुछ A, B नहीं हैं' नहीं निकाला जा सकता।

उल्लिखित हर वर्ग में कम से कम एक सदस्य माना जाता है, अतः 'सभी A, B हैं' से 'कुछ A, B हैं' और 'कुछ B, A हैं' भी मिलता है।

मान्य रूपांतरण: सभी A, B हैं → कुछ B, A हैं (सभी B, A नहीं)। कोई A, B नहीं → कोई B, A नहीं। कुछ A, B हैं → कुछ B, A हैं। 'कुछ A, B नहीं हैं' का कोई रूपांतरण नहीं होता।

मध्य पद B से जोड़ना: सभी A, B + सभी B, C → सभी A, C। सभी A, B + कोई B, C नहीं → कोई A, C नहीं। कुछ A, B + सभी B, C → कुछ A, C। कुछ A, B + कोई B, C नहीं → कुछ A, C नहीं।

कोई निश्चित संबंध नहीं: सभी A, B + कुछ B, C, और कुछ A, B + कुछ B, C, से A और C में कोई निश्चित संबंध नहीं मिलता, क्योंकि B का C वाला भाग A को छू भी सकता है और नहीं भी।

या तो-या: जब 2 में से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता पर वे समान 2 वर्गों के बारे में हों और उनमें से एक अवश्य सत्य हो (जैसे 'कुछ A, C हैं' और 'कोई A, C नहीं'), तो उत्तर है 'या तो I या II निकलता है'।

संभावना वाले निष्कर्ष ('सभी A के C होने की संभावना है') तब निकलते हैं जब कम से कम एक मान्य आरेख उन्हें सत्य बनाए, यानी कोई कथन उन्हें रोकता न हो।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: कथनों की अनुमति वाले न्यूनतम ओवरलैप से मूल आरेख बनाएं: 'कुछ' को छोटे ओवरलैप से, 'सभी' को अंदर वृत्त से, 'कोई नहीं' को अलग वृत्तों से।

चरण 2: हर निष्कर्ष के लिए ऐसा दूसरा मान्य आरेख बनाने का प्रयास करें जिसमें वह असत्य हो। यदि सफल हों, तो वह नहीं निकलता; यदि हर प्रयास किसी कथन को तोड़े, तो वह निकलता है।

चरण 3: 2 असफल निष्कर्षों को अस्वीकार करने से पहले जांचें कि क्या वे समान 2 वर्गों पर या तो-या की जोड़ी बनाते हैं।

शॉर्टकट: 'सभी' वाले निष्कर्ष के लिए 'सभी' कथनों की शृंखला चाहिए; शृंखला में कोई भी 'कुछ' होने पर 'सभी' निष्कर्ष नहीं निकल सकता।

शॉर्टकट: नकारात्मक निष्कर्ष (कोई नहीं, कुछ नहीं) के लिए कम से कम एक नकारात्मक कथन चाहिए; 2 सकारात्मक कथन कभी नकारात्मक निष्कर्ष नहीं देते।

उदाहरण 1: 'सभी' की शृंखला

प्रश्न: कथन: सभी पेन किताबें हैं। सभी किताबें मेजें हैं। निष्कर्ष: I. सभी पेन मेजें हैं। II. कुछ मेजें पेन हैं।

हल: पेन किताबों के अंदर हैं, जो मेजों के अंदर हैं, अतः हर पेन मेज है (I)। पेन मौजूद हैं और मेजें हैं, अतः कुछ मेजें पेन हैं (II)।

उत्तर: I और II दोनों निकलते हैं।

उदाहरण 2: 'कुछ' के साथ 'कोई नहीं'

प्रश्न: कथन: कुछ बिल्लियां कुत्ते हैं। कोई कुत्ता चूहा नहीं है। निष्कर्ष: I. कुछ बिल्लियां चूहे नहीं हैं। II. कोई बिल्ली चूहा नहीं है।

हल: जो बिल्लियां कुत्ते हैं वे चूहे नहीं हो सकतीं, अतः I निकलता है। पर बाकी बिल्लियां स्वतंत्र हैं: ऐसा आरेख जिसमें कुछ गैर-कुत्ता बिल्लियां चूहे हों, कोई कथन नहीं तोड़ता, अतः II नहीं निकलता।

उत्तर: केवल I निकलता है।

उदाहरण 3: कोई निश्चित संबंध नहीं

प्रश्न: कथन: सभी गुलाब फूल हैं। कुछ फूल लाल हैं। निष्कर्ष: I. कुछ गुलाब लाल हैं। II. कुछ लाल वस्तुएं फूल हैं।

हल: फूलों का लाल भाग गुलाब के वृत्त के बाहर हो सकता है, अतः I नहीं निकलता। II, 'कुछ फूल लाल हैं' का रूपांतरण है, अतः वह निकलता है।

उत्तर: केवल II निकलता है।

उदाहरण 4: 'सभी' के साथ 'कोई नहीं'

प्रश्न: कथन: कोई सेब आम नहीं है। सभी आम फल हैं। निष्कर्ष: I. कुछ फल सेब नहीं हैं। II. कोई सेब फल नहीं है। (a) केवल I निकलता है (b) केवल II निकलता है (c) दोनों निकलते हैं (d) कोई नहीं निकलता

हल: आम फल हैं और सेब नहीं हैं, अतः कुछ फल (आम) सेब नहीं हैं: I निकलता है। सेब फिर भी फलों के बाकी वृत्त से ओवरलैप कर सकते हैं, अतः II नहीं निकलता।

ध्यान दें: 'कोई सेब फल नहीं है' एक सामान्य जाल है; 'कोई नहीं' वाला कथन आमों के बारे में है, फलों के बारे में नहीं।

उत्तर: (a) केवल I निकलता है।

उदाहरण 5: या तो-या की जोड़ी

प्रश्न: कथन: सभी कप प्लेटें हैं। कुछ प्लेटें कटोरे हैं। निष्कर्ष: I. कुछ कप कटोरे हैं। II. कोई कप कटोरा नहीं है। (a) केवल I निकलता है (b) केवल II निकलता है (c) या तो I या II निकलता है (d) न I न II निकलता है

हल: कटोरे कप के वृत्त को छू भी सकते हैं और उससे दूर भी रह सकते हैं, अतः न I निश्चित है न II। दोनों कप और कटोरों के बारे में हैं, और हर आरेख में इनमें से ठीक एक सत्य है।

उत्तर: (c) या तो I या II निकलता है।

उदाहरण 6: तीन कथन, चार निष्कर्ष

प्रश्न: कथन: कुछ पेंसिलें रबड़ हैं। सभी रबड़ शार्पनर हैं। कोई शार्पनर स्केल नहीं है। निष्कर्ष: I. कुछ पेंसिलें शार्पनर हैं। II. कुछ पेंसिलें स्केल नहीं हैं। III. कोई रबड़ स्केल नहीं है। IV. कुछ स्केल पेंसिलें हैं। (a) केवल I और III (b) केवल I, II और III (c) केवल II और IV (d) चारों

हल: कुछ + सभी से I: जो पेंसिलें रबड़ हैं वे शार्पनर हैं। सभी + कोई नहीं से III: रबड़ शार्पनर के अंदर हैं, जो स्केल को कभी नहीं छूते। अतः वही पेंसिलें स्केल नहीं हैं, इसलिए II निकलता है।

IV: शार्पनर के बाहर की अन्य पेंसिलें स्केल हो भी सकती हैं और नहीं भी, अतः IV निश्चित नहीं है।

उत्तर: (b) केवल I, II और III।

सामान्य गलतियां

'सभी A, B हैं' को 'सभी B, A हैं' में बदलना। सही रूपांतरण 'कुछ B, A हैं' है।

'कुछ A, B हैं' को 'कुछ A, B नहीं हैं' पढ़ना। 'कुछ' में 'सभी' भी संभव है।

दोनों ओर केवल 'कुछ' वाले मध्य पद से A और C को जोड़ना। कुछ + कुछ से कुछ नहीं मिलता।

किन्हीं भी 2 संदिग्ध निष्कर्षों पर 'या तो-या' लगाना। जोड़ी समान 2 वर्गों के बारे में होनी चाहिए और एक हमेशा सत्य होना चाहिए।

वास्तविक दुनिया के तथ्य प्रयोग करना। यदि कथन कहें कि सभी मछलियां उड़ती हैं, तो प्रश्न के लिए इसे मान लें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. कथन: सभी डॉक्टर स्नातक हैं। कोई स्नातक निरक्षर नहीं है। निष्कर्ष: I. कोई डॉक्टर निरक्षर नहीं है। II. कुछ स्नातक डॉक्टर हैं। (a) केवल I (b) केवल II (c) I और II दोनों (d) न I न II

Q2. कथन: कुछ किताबें पेन हैं। कुछ पेन पेंसिलें हैं। निष्कर्ष: I. कुछ किताबें पेंसिलें हैं। II. कोई किताब पेंसिल नहीं है। (a) केवल I (b) या तो I या II (c) न I न II (d) केवल II

Q3. कथन: कुछ पेड़ लंबे हैं। कोई लंबी वस्तु झाड़ी नहीं है। निष्कर्ष: I. कुछ पेड़ झाड़ियां नहीं हैं। II. कुछ झाड़ियां पेड़ हैं। III. सभी पेड़ों के झाड़ी होने की संभावना है। (a) केवल I (b) केवल I और III (c) केवल II (d) केवल I और II

उत्तर

Q1. (c) सभी + कोई नहीं से I। सभी डॉक्टर स्नातक हैं और डॉक्टर मौजूद हैं, अतः कुछ स्नातक डॉक्टर हैं (II)।

Q2. (b) कुछ + कुछ से कोई निश्चित संबंध नहीं, अतः कोई निश्चित नहीं; दोनों किताबों और पेंसिलों के बारे में हैं और इनमें से एक अवश्य सत्य है।

Q3. (a) लंबे पेड़ झाड़ियां नहीं हैं, अतः I निकलता है और III असंभव है। झाड़ियां पेड़ों से पूरी तरह अलग रह सकती हैं, अतः II नहीं निकलता।

त्वरित पुनरावृत्ति

निकलता है = हर मान्य आरेख में सत्य; संभावना = कम से कम एक में सत्य।

सभी+सभी = सभी; सभी+कोई नहीं = कोई नहीं; कुछ+सभी = कुछ; कुछ+कोई नहीं = कुछ नहीं; कुछ+कुछ = कुछ नहीं मिलता।

सभी A, B हैं का रूपांतरण केवल कुछ B, A हैं; 'कुछ नहीं' का रूपांतरण नहीं होता।

या तो-या: समान 2 वर्ग, कोई निश्चित नहीं, एक हमेशा सत्य।

अवधारणाएं और नियम

कोई भी 2 वर्ग ठीक 3 में से एक संबंध में होते हैं: एक दूसरे के अंदर (एक के सभी सदस्य दूसरे में), ओवरलैप (कुछ सदस्य साझा, कुछ नहीं), या अलग (कुछ भी साझा नहीं)।

3 वर्गों के आरेख, शब्दों में: 3 संकेंद्री वृत्त (A, B के अंदर, B, C के अंदर); एक तीसरे के अंदर 2 अलग वृत्त (एक वस्तु के 2 प्रकार); एक तीसरे के अंदर 2 ओवरलैप वृत्त; 3 परस्पर ओवरलैप वृत्त; एक वृत्त दूसरे के अंदर और तीसरा अलग; एक वृत्त दूसरे के अंदर और तीसरा दोनों से ओवरलैप; 3 अलग वृत्त।

आरेख 3 जोड़ीवार संबंधों से चुनें, पहले शब्द से नहीं। उदाहरण दिल्ली, भारत, एशिया: दिल्ली भारत के अंदर और भारत एशिया के अंदर, अतः आरेख संकेंद्री है।

डॉक्टर, महिला, गायक, माता-पिता जैसी भूमिकाएं आपस में ओवरलैप करती हैं, क्योंकि एक व्यक्ति कई भूमिकाएं निभा सकता है। एक वस्तु के प्रकार (जानवर के रूप में कुत्ता और बिल्ली) बड़े वर्ग के अंदर अलग होते हैं।

दो समुच्चय: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)। केवल A = n(A) − n(A ∩ B)। कोई नहीं = कुल − n(A ∪ B)।

तीन समुच्चय: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)। तीनों वाला भाग जोड़ी पदों में 3 बार घटता है, अतः उसे एक बार वापस जोड़ा जाता है।

केवल A (3 समुच्चयों में) = n(A) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)। ठीक 2 समुच्चयों में = (जोड़ी ओवरलैप का योग) − 3 × (तीनों का ओवरलैप)।

यदि हर व्यक्ति कम से कम एक समुच्चय में है, तो n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − कुल।

विधि और शॉर्टकट

आरेख चुनने का चरण 1: 3 जोड़ियां (A-B, B-C, A-C) लिखें और हर एक को अंदर, ओवरलैप या अलग अंकित करें; फिर पैटर्न को आरेख से मिलाएं।

गिनती का चरण 2: वेन क्षेत्रों को केंद्र से बाहर की ओर भरें: पहले तीनों वाला भाग, फिर 'ठीक दो' वाले भाग, फिर 'केवल' वाले भाग, फिर 'कोई नहीं'।

चरण 3: जांचें कि सभी क्षेत्रों का योग कुल के बराबर है; ऋणात्मक क्षेत्र का अर्थ है कोई संख्या गलत पढ़ी गई।

शॉर्टकट: प्रश्नों में 'जोड़ी ओवरलैप' संख्याओं में प्रायः तीनों वाला भाग शामिल होता है; 'ठीक वही दो' पाने के लिए तीनों वाला भाग घटाएं। यदि प्रश्न 'केवल चाय और कॉफी' कहे, तो तीनों वाला भाग पहले से बाहर है।

उदाहरण 1: एक वर्ग के अंदर प्रकार

प्रश्न: कौन सा आरेख स्तनधारी, कुत्ते और बिल्लियां दर्शाता है?

हल: कुत्ते स्तनधारियों के अंदर हैं, बिल्लियां स्तनधारियों के अंदर हैं, और कोई कुत्ता बिल्ली नहीं है। पैटर्न: अंदर, अंदर, अलग।

उत्तर: एक बड़े वृत्त के अंदर 2 अलग वृत्त।

उदाहरण 2: समावेश की शृंखला

प्रश्न: कौन सा आरेख दिल्ली, भारत और एशिया दर्शाता है?

हल: दिल्ली भारत के अंदर है और भारत एशिया के अंदर है, अतः दिल्ली एशिया के भी अंदर है।

उत्तर: 3 संकेंद्री वृत्त।

उदाहरण 3: दो समुच्चयों का सर्वेक्षण

प्रश्न: 60 विद्यार्थियों में से 35 को चाय, 30 को कॉफी और 10 को दोनों पसंद हैं। कितनों को कोई भी पसंद नहीं?

हल: n(चाय ∪ कॉफी) = 35 + 30 − 10 = 55। कोई नहीं = 60 − 55 = 5। क्षेत्र: केवल चाय 25, केवल कॉफी 20, दोनों 10, कोई नहीं 5, कुल 60।

उत्तर: 5।

उदाहरण 4: भूमिकाएं ओवरलैप करती हैं

प्रश्न: कौन सा आरेख डॉक्टर, महिलाएं और गायक को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है? (a) 3 संकेंद्री वृत्त (b) 3 परस्पर ओवरलैप वृत्त (c) एक तीसरे के अंदर 2 अलग वृत्त (d) 3 अलग वृत्त

हल: कुछ डॉक्टर महिलाएं हैं और कुछ नहीं; कुछ महिलाएं गायक हैं और कुछ नहीं; कुछ डॉक्टर गाते हैं और कुछ नहीं। तीनों जोड़ियां ओवरलैप करती हैं, और गाने वाली महिला डॉक्टर संभव है।

उत्तर: (b) 3 परस्पर ओवरलैप वृत्त।

उदाहरण 5: तीन समुच्चयों का सर्वेक्षण

प्रश्न: 100 लोगों के समूह में 50 अखबार A, 40 अखबार B और 30 अखबार C पढ़ते हैं; 15 A और B, 10 B और C, 12 A और C पढ़ते हैं, और 5 तीनों पढ़ते हैं। कितने लोग ठीक एक अखबार पढ़ते हैं? (a) 56 (b) 88 (c) 66 (d) 61

हल: केवल A = 50 − 15 − 12 + 5 = 28। केवल B = 40 − 15 − 10 + 5 = 20। केवल C = 30 − 10 − 12 + 5 = 13। ठीक एक = 28 + 20 + 13 = 61।

जांच: ठीक दो = (15 + 10 + 12) − 3 × 5 = 22, तीनों = 5, अतः पाठक = 61 + 22 + 5 = 88 और गैर-पाठक = 12। विकल्प (b) 88 कम से कम एक पढ़ने वालों की संख्या है।

उत्तर: (d) 61।

उदाहरण 6: संख्याओं वाला आरेख पढ़ना

प्रश्न: एक आरेख में वृत्त स्नातक, त्रिभुज नौकरीपेशा लोग और आयत महिलाएं हैं। क्षेत्रों में संख्याएं: केवल स्नातक 12, केवल नौकरीपेशा 9, केवल महिलाएं 15, केवल स्नातक और नौकरीपेशा 6, केवल स्नातक और महिला 8, केवल नौकरीपेशा और महिला 5, तीनों 4। कितने स्नातक नौकरीपेशा या महिला हैं, पर दोनों नहीं? (a) 18 (b) 10 (c) 14 (d) 22

हल: वृत्त के अंदर, 'नौकरीपेशा पर महिला नहीं' क्षेत्र केवल स्नातक और नौकरीपेशा = 6 है, और 'महिला पर नौकरीपेशा नहीं' क्षेत्र केवल स्नातक और महिला = 8 है। तीनों वाला क्षेत्र बाहर है क्योंकि वह दोनों है। कुल = 6 + 8 = 14।

विकल्प (a) 18 गलती से तीनों वाले 4 को जोड़ देता है।

उत्तर: (c) 14।

सामान्य गलतियां

केवल 1 जोड़ी देखकर आरेख चुनना। तीनों जोड़ियां जांचें; महिलाएं, माताएं, शिक्षक 3 परस्पर ओवरलैप वृत्त नहीं है, क्योंकि हर माता महिला है।

ओवरलैप घटाए बिना 2 समुच्चय जोड़ना, जिससे साझा सदस्य दो बार गिने जाते हैं।

3 समुच्चयों वाले सूत्र में तीनों वाला भाग वापस जोड़ना भूल जाना।

'A और B पढ़ते हैं' को 'केवल A और B पढ़ते हैं' मानना। जब तक 'केवल' न लिखा हो, संख्या में तीनों पढ़ने वाले भी शामिल हैं।

अभ्यास प्रश्न

Q1. कौन सा आरेख लेखन सामग्री, पेन और नोटबुक को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है? (a) 3 संकेंद्री वृत्त (b) 3 परस्पर ओवरलैप वृत्त (c) एक तीसरे के अंदर 2 अलग वृत्त (d) 3 अलग वृत्त

Q2. 80 लोगों के समूह में 50 को क्रिकेट और 45 को फुटबॉल पसंद है, और हर व्यक्ति को दोनों में से कम से कम एक पसंद है। कितनों को दोनों पसंद हैं? (a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 25

Q3. कौन सा आरेख महिलाएं, माताएं और शिक्षक को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है? (a) एक वृत्त दूसरे के अंदर, और तीसरा वृत्त दोनों से ओवरलैप (b) 3 संकेंद्री वृत्त (c) एक तीसरे के अंदर 2 अलग वृत्त (d) 3 परस्पर ओवरलैप वृत्त

उत्तर

Q1. (c) पेन और नोटबुक दोनों लेखन सामग्री हैं और कोई पेन नोटबुक नहीं है।

Q2. (b) दोनों = 50 + 45 − 80 = 15।

Q3. (a) हर माता महिला है, अतः माताएं महिलाओं के अंदर है। कुछ शिक्षक महिलाएं हैं और कुछ नहीं, और कुछ शिक्षक माताएं हैं और कुछ नहीं, अतः शिक्षक दोनों से ओवरलैप करता है।

त्वरित पुनरावृत्ति

हर जोड़ी अंकित करें: अंदर, ओवरलैप या अलग; फिर आरेख चुनें।

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); 3 समुच्चयों में जोड़ियां घटाएं और तीनों वाला जोड़ें।

क्षेत्र केंद्र से बाहर की ओर भरें और कुल जांचें।