अमूर्त बीजगणित — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. समूह और समूह अभिगृहीतों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: योग के अंतर्गत पूर्णांक, गुणन के अंतर्गत शून्येतर वास्तविक संख्याएँ, वर्ग के घूर्णन और ताश की गड्डी को फेंटने के तरीके, सभी कुछ गिने-चुने समान नियमों का पालन करते हैं।

'प्रतिलोम अद्वितीय होते हैं' जैसे तथ्य को प्रत्येक के लिए अलग-अलग सिद्ध करने के बजाय, हम उसे इन नियमों का पालन करने वाली प्रत्येक संरचना के लिए एक ही बार सिद्ध करते हैं। समूह (group) ठीक यही नियम-सूची है।

शब्दों में: 'एक अरिक्त समुच्चय G' का अर्थ है कि G में कम से कम एक अवयव है (उसमें तत्समक होगा)। 'द्विआधारी संक्रिया (binary operation) *' वह नियम है जो G के अवयवों का क्रमित युग्म (a, b) लेकर एक अवयव a*b देता है।

संवरक (closure) कहता है कि उत्तर a*b फिर से G में है। साहचर्य (associativity) कहता है कि तीन अवयवों को मिलाते समय कोष्ठक लगाने का ढंग मायने नहीं रखता; अवयवों का क्रम फिर भी मायने रख सकता है।

तत्समक (identity) e एक निश्चित अवयव है जो दोनों ओर से कुछ नहीं बदलता। a का प्रतिलोम (inverse) वह अवयव है जो दोनों ओर से a के प्रभाव को उलट देता है।

परिमाणकों (quantifiers) के क्रम पर ध्यान दें। एक ही e प्रत्येक a के लिए काम करता है (∃e ∀a), परंतु प्रतिलोम a पर निर्भर करता है (∀a ∃a⁻¹)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें G = {1, −1, i, −i}, सम्मिश्र संख्याओं के सामान्य गुणन के साथ। हम चारों अभिगृहीतों की एक-एक करके जाँच करते हैं।

चरण 1 (संवरक): i·i = −1, i·(−i) = 1, (−i)·(−i) = −1, (−1)·i = −i, (−1)·(−1) = 1, और प्रत्येक अन्य गुणनफल ±1 या ±i है। अतः प्रत्येक गुणनफल G में है।

चरण 2 (साहचर्य): पूरे ℂ में गुणन साहचर्य है, और G ⊆ ℂ, अतः G पर भी साहचर्य है। हाथ से कुछ जाँचने की आवश्यकता नहीं।

चरण 3 (तत्समक): प्रत्येक z ∈ G के लिए 1·z = z·1 = z, अतः e = 1।

चरण 4 (प्रतिलोम): 1·1 = 1, (−1)(−1) = 1 और i·(−i) = 1। अतः 1⁻¹ = 1, (−1)⁻¹ = −1, i⁻¹ = −i और (−i)⁻¹ = i, सभी G में।

चरण 5 (निष्कर्ष): G एक समूह है, और आबेली है क्योंकि सम्मिश्र गुणन क्रमविनिमेय है। इसकी कोटि 4 है, और o(i) = 4 क्योंकि i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1।

अ-उदाहरण (non-example): मॉड्यूलो 4 गुणन के अंतर्गत {0, 1, 2, 3} संवृत है और इसमें तत्समक 1 है, परंतु 2 का प्रतिलोम नहीं है: 2·0 = 0, 2·1 = 2, 2·2 = 0, 2·3 = 2 (mod 4), कभी 1 नहीं। अतः अभिगृहीत (iv) विफल है।

0 को हटाने से भी काम नहीं बनता, क्योंकि तब 2·2 = 0 संवरक को तोड़ देता है। मॉड्यूलो 4 गुणन के अंतर्गत केवल मात्रक {1, 3} = U(4) समूह बनाते हैं।

आगे बढ़ते हुए: मूल तथ्य केवल अभिगृहीतों से, प्रत्येक चरण में एक अभिगृहीत लगाकर, निकलते हैं। (1) तत्समक अद्वितीय है: यदि e और e′ दोनों तत्समक हैं, तो e = ee′ = e′।

(2) प्रतिलोम अद्वितीय है: यदि b और c दोनों a के प्रतिलोम हैं, तो b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c। यहाँ बीच के चरण में साहचर्य का प्रयोग हुआ है।

(3) निरसन: यदि ab = ac, तो बाईं ओर से a⁻¹ से गुणा करें और साहचर्य लगाएँ, तब b = c। (4) (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹, क्योंकि (ab)(b⁻¹a⁻¹) = a(bb⁻¹)a⁻¹ = aa⁻¹ = e।

परीक्षा के उत्तर में ऐसे प्रत्येक चरण में प्रयुक्त अभिगृहीत का नाम लिखें; परीक्षक यही देखते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: आगे का प्रत्येक विषय (उपसमूह, समाकारिता, वलय, सदिश समष्टि) इन्हीं अभिगृहीतों की जाँच से आरंभ होता है, और अद्वितीयता तथा निरसन इस अध्याय की लगभग प्रत्येक उपपत्ति में चुपचाप प्रयुक्त होते हैं।

2. उपसमूह और एक-चरण परीक्षण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: बड़े समूह में प्रायः छोटे समूह होते हैं: ℤ के भीतर सम पूर्णांक, वर्ग की सभी सममितियों के भीतर घूर्णन। हमें एक त्वरित परीक्षण चाहिए कि कोई उपसमुच्चय स्वयं समूह कब है, चारों अभिगृहीत दोबारा जाँचे बिना।

शब्दों में: H ≤ G का अर्थ है H ⊆ G और H, G की ही संक्रिया के अंतर्गत समूह है। एक-चरण परीक्षण (one-step test) दो बातें पूछता है: H रिक्त नहीं है, और प्रत्येक a, b ∈ H के लिए अवयव ab⁻¹ फिर से H में है।

यहाँ b⁻¹, G में प्रतिलोम है। योगात्मक संकेतन में शर्त a − b ∈ H बनती है: 'दो सदस्यों का अंतर भी सदस्य है'।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें (ℤ, +) में H = 3ℤ = {..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}।

चरण 1: H रिक्त नहीं है, क्योंकि 0 = 3·0 ∈ H।

चरण 2: कोई भी a, b ∈ H लें। सदस्यता का अर्थ है कि किन्हीं पूर्णांकों m, n के लिए a = 3m और b = 3n।

चरण 3: योगात्मक संकेतन में ab⁻¹ का अर्थ a − b = 3m − 3n = 3(m − n) है।

चरण 4: m − n एक पूर्णांक है, अतः a − b ∈ H, और एक-चरण परीक्षण से 3ℤ ≤ ℤ। ध्यान दें कि हमने साहचर्य (यह ℤ से विरासत में मिलता है) या तत्समक (परीक्षण स्वयं उसे देता है) की जाँच कभी नहीं की।

अ-उदाहरण (non-example): (ℤ, +) में विषम पूर्णांक एक अरिक्त समुच्चय बनाते हैं, परंतु 3 − 1 = 2 सम है, अतः परीक्षण विफल है; वास्तव में 0 विषम नहीं है। साथ ही ℕ = {1, 2, 3, ...}, + के अंतर्गत संवृत है, फिर भी 1 − 2 = −1 ∉ ℕ: अपरिमित उपसमुच्चय के लिए केवल संवरक पर्याप्त नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: एक शर्त क्यों पर्याप्त है। (i) b = a रखें: aa⁻¹ = e ∈ H। (ii) a = e रखें: eb⁻¹ = b⁻¹ ∈ H, अतः H में प्रतिलोम हैं।

(iii) a, b ∈ H के लिए अब हम जानते हैं कि b⁻¹ ∈ H, अतः a(b⁻¹)⁻¹ = ab ∈ H: H संवृत है। (iv) साहचर्य G में सत्य है, अतः H में भी।

परिमित H के लिए केवल संवरक से प्रतिलोम भी मिल जाते हैं, क्योंकि n = o(a) के साथ a⁻¹ = aⁿ⁻¹; यही नीचे दिया गया परिमित उपसमूह परीक्षण है।

कहाँ प्रयोग होता है: यह सिद्ध करने में कि अष्टि, केंद्र, केंद्रक, सर्वनिष्ठ और प्रतिबिंब उपसमूह हैं; यही विचार रैखिक बीजगणित का उपसमष्टि परीक्षण और वलय विषय के उपवलय तथा गुणजावली परीक्षण है।

3. चक्रीय समूह और अवयवों की कोटि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सबसे सरल समूह वे हैं जो एक अवयव और उसकी घातों से बनते हैं। इन्हें पूरी तरह समझा जा चुका है, अतः ये तैयार उदाहरण देते हैं, और नियम o(a^k) = n/gcd(n, k) अधिकांश गणना-प्रश्नों का उत्तर देता है।

शब्दों में: ⟨a⟩ = {aⁿ : n ∈ ℤ}, a की सभी घातों का समुच्चय है, जिसमें a⁰ = e और ऋणात्मक घातें a⁻ⁿ = (a⁻¹)ⁿ भी हैं। G चक्रीय (cyclic) है यदि किसी a के लिए G = ⟨a⟩, और a को जनक (generator) कहते हैं।

कोटि o(a) वह न्यूनतम धन n है जिसके लिए aⁿ = e। परिमित होने पर यह ⟨a⟩ के अवयवों की संख्या के बराबर है। योगात्मक संकेतन में 'aⁿ' का अर्थ na = a + a + ... + a (n पद) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: योग के अंतर्गत ℤ₁₂ में काम करें। 8 की 'घातें' इसके गुणज हैं: 1·8 = 8, 2·8 = 16 ≡ 4, 3·8 = 24 ≡ 0।

अतः o(8) = 3 और ⟨8⟩ = {0, 4, 8}। सूत्र भी यही देता है: 12/gcd(12, 8) = 12/4 = 3।

अब 5 लें: इसके गुणज 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 0 हैं, सभी बारह शेषफल। अतः 5, ℤ₁₂ का जनक है, जो gcd(5, 12) = 1 से मेल खाता है।

ध्यान देने की बात: ⟨a⟩ का आकार केवल इस पर निर्भर है कि a को तत्समक पर लौटने में कितने चरण लगते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): मॉड्यूलो 8 गुणन के अंतर्गत U(8) = {1, 3, 5, 7} कोटि 4 का आबेली समूह है, परंतु चक्रीय नहीं: 3² ≡ 5² ≡ 7² ≡ 1, अतः प्रत्येक ⟨a⟩ में अधिकतम 2 अवयव हैं। आबेली होने से चक्रीय होना नहीं निकलता।

आगे बढ़ते हुए: (1) यदि o(a) = n, तो अवयव e, a, ..., aⁿ⁻¹ भिन्न हैं, और a^m केवल m के mod n शेषफल पर निर्भर है; अतः |⟨a⟩| = n।

(2) विभाजन कलन-विधि से a^m = e यदि और केवल यदि n, m को विभाजित करे (नीचे 'यह क्यों काम करता है' पंक्ति)। (3) अतः o(a^k) = n/gcd(n, k)।

(4) a^k तभी जनक है जब यह कोटि n हो, अर्थात gcd(n, k) = 1, जिससे φ(n) जनक मिलते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 16)। (5) ⟨a⟩ का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय है (प्रमेय 2), और n के प्रत्येक भाजक के लिए ठीक एक है।

कहाँ प्रयोग होता है: ℤ_n और U(n) के सभी उपसमूहों की सूची बनाने, दी गई कोटि के अवयव गिनने, परिमित क्षेत्र के चक्रीय गुणनात्मक समूह, और अभाज्य कोटि के समूहों की संरचना में।

4. सहसमुच्चय और लग्रांज प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम जानना चाहते हैं कि परिमित समूह के उपसमूह के कौन-से आकार संभव हैं, उपसमूहों की सूची बनाए बिना। सहसमुच्चय समूह को बराबर टुकड़ों में काटते हैं, और टुकड़ों की गिनती प्रश्न का उत्तर देती है।

शब्दों में: H ≤ G और a ∈ G के लिए वाम सहसमुच्चय aH = {ah : h ∈ H}, H के प्रत्येक अवयव को बाईं ओर से a से गुणा करके मिलता है। अवयव a इस सहसमुच्चय का प्रतिनिधि (representative) है।

भिन्न प्रतिनिधि एक ही सहसमुच्चय दे सकते हैं: aH = bH ठीक तब जब a⁻¹b ∈ H। सूचकांक [G : H] भिन्न वाम सहसमुच्चयों की संख्या है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: योग के अंतर्गत G = ℤ₆ और H = {0, 3} लें। योगात्मक संकेतन में a का सहसमुच्चय a + H है।

चरण 1: 0 + H = {0, 3}, 1 + H = {1, 4}, 2 + H = {2, 5}।

चरण 2: 3 + H = {3, 0} = फिर से H, 4 + H = {4, 1} = 1 + H और 5 + H = 2 + H। अतः ठीक तीन भिन्न सहसमुच्चय हैं, और [G : H] = 3।

चरण 3: तीनों सहसमुच्चयों में 2-2 अवयव हैं, वे परस्पर अतिव्याप्त नहीं होते, और मिलकर सभी छह अवयव रखते हैं। अतः 6 = 3 × 2, अर्थात |G| = [G : H]·|H|।

अ-उदाहरण (non-example): उपसमुच्चय S = {0, 1} लें, जो उपसमूह नहीं है: 0 + S = {0, 1} और 1 + S = {1, 2}, बराबर हुए बिना 1 पर अतिव्याप्त होते हैं। वास्तविक उपसमूह के सहसमुच्चय सदा बराबर या असंयुक्त होते हैं, और गिनती के लिए यही आवश्यक है।

आगे बढ़ते हुए: (1) संबंध a ~ b यदि और केवल यदि a⁻¹b ∈ H एक तुल्यता संबंध है, और इसके वर्ग वाम सहसमुच्चय हैं, अतः सहसमुच्चय G का विभाजन करते हैं।

(2) h ↦ ah, H → aH एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्र है, अतः प्रत्येक सहसमुच्चय में |H| अवयव हैं। (3) गिनती से |G| = [G : H]·|H| मिलता है, जो लग्रांज प्रमेय है; पूरी उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1 में है।

(4) इसे H = ⟨a⟩ पर लगाएँ: o(a), o(G) को विभाजित करता है, अतः a^o(G) = e। (5) यदि o(G) = p अभाज्य है, तो प्रत्येक a ≠ e के लिए o(a) = p, अतः G = ⟨a⟩ चक्रीय है।

कहाँ प्रयोग होता है: फ़र्मा और ऑयलर प्रमेयों में, अभाज्य कोटि के समूहों में, समाकारिताओं की गिनती में, सूचकांक-2 उपसमूहों के प्रसामान्य होने में, और आगे के विषयों की सभी साइलो-प्रकार की गणनाओं में।

5. समूह और मूल गुणधर्म

समूह (group): एक अरिक्त समुच्चय G जिस पर द्विआधारी संक्रिया * ऐसी हो कि (i) संवरक: a*b ∈ G, (ii) साहचर्य: (a*b)*c = a*(b*c), (iii) तत्समक e हो जिससे a*e = e*a = a, (iv) प्रत्येक a का प्रतिलोम a⁻¹ हो जिससे a*a⁻¹ = a⁻¹*a = e।

भाव: समूह उत्क्रमणीय क्रियाओं का बीजगणित है, जैसे किसी आकृति की सममितियाँ या ताश की गड्डी को फेंटने के तरीके। संवरक गुण हमें समुच्चय के भीतर रखता है, साहचर्य से कोष्ठक हटाए जा सकते हैं, तत्समक 'कुछ न करना' है और प्रतिलोम 'किए को उलटना' है।

प्रत्येक अभिगृहीत क्यों आवश्यक है: (ℤ, ·) में संवरक, साहचर्य और तत्समक 1 हैं परंतु 2 का प्रतिलोम नहीं है; (ℤ, −) संवृत है पर साहचर्य नहीं, क्योंकि (1 − 2) − 3 = −4 जबकि 1 − (2 − 3) = 2; (ℕ, +) में न तत्समक है न प्रतिलोम।

आबेली समूह (abelian group): वह समूह जिसमें सभी a, b ∈ G के लिए a*b = b*a हो।

मूल तथ्य: तत्समक और प्रत्येक प्रतिलोम अद्वितीय होते हैं; (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹; वाम और दक्षिण निरसन नियम लागू होते हैं।

कोटि (order): o(G) = |G| अवयवों की संख्या है; o(a) वह न्यूनतम n ≥ 1 है जिसके लिए aⁿ = e, और ऐसा n न हो तो o(a) = ∞।

भाव: o(a) चक्र e, a, a², ... की लंबाई है, जब तक वह वापस e पर न लौटे। परिमित समूह में घातें दोहराई जानी ही हैं, अतः i > j के साथ aⁱ = a^j से a^i−j = e मिलता है; इसलिए परिमित समूह के प्रत्येक अवयव की कोटि परिमित होती है। (ℤ, +) में प्रत्येक शून्येतर अवयव की कोटि अनंत है, जबकि ℂ^* में i की कोटि 4 है।

यह क्यों काम करता है (a^m = e ⇒ o(a) | m): n = o(a) लेकर m = qn + r लिखिए, जहाँ 0 ≤ r < n। तब e = a^m = (aⁿ)^qa^r = a^r, और n के न्यूनतम होने से r = 0 होना ही चाहिए।

कोटि संबंधी परिणाम: यदि a^m = e तो o(a), m को विभाजित करता है; o(a) = o(a⁻¹) = o(gag⁻¹); o(ab) = o(ba)।

आबेली होने की कसौटी: यदि सभी a, b के लिए (ab)² = a²b² हो, या प्रत्येक a ∈ G के लिए a² = e हो, तो G आबेली है।

6. उपसमूह

उपसमूह (subgroup): G का अरिक्त उपसमुच्चय H जो G की संक्रिया के अंतर्गत स्वयं समूह हो; इसे H ≤ G लिखते हैं।

एक-चरण परीक्षण: अरिक्त उपसमुच्चय H उपसमूह है यदि और केवल यदि a, b ∈ H ⇒ ab⁻¹ ∈ H।

भाव: अकेली शर्त ab⁻¹ ∈ H उपसमूह के सभी अभिगृहीतों को समेट लेती है। b = a लेने से e ∈ H; फिर a = e लेने से b⁻¹ ∈ H; फिर a(b⁻¹)⁻¹ = ab ∈ H। साहचर्य G से विरासत में मिलता है। अरिक्तता अनिवार्य है, क्योंकि रिक्त समुच्चय यह प्रतिबंध रिक्त रूप से संतुष्ट करता है।

परिमित उपसमूह परीक्षण: अरिक्त परिमित उपसमुच्चय H उपसमूह है यदि और केवल यदि वह संक्रिया के अंतर्गत संवृत हो।

यह क्यों काम करता है: a ∈ H के लिए संवरक से a, a², a³, ... सभी H में हैं; H परिमित है अतः o(a) = n परिमित है, इसलिए e = aⁿ ∈ H और a⁻¹ = aⁿ⁻¹ ∈ H। परिमितता अनिवार्य है: ℕ, (ℤ, +) में + के अंतर्गत संवृत है पर उपसमूह नहीं है।

सम्मिलन और गुणन: उपसमूहों का सर्वनिष्ठ उपसमूह होता है; H ∪ K उपसमूह है यदि और केवल यदि H ⊆ K या K ⊆ H; HK उपसमूह है यदि और केवल यदि HK = KH।

भाव: दो उपसमूहों का सम्मिलन केवल तुच्छ स्थिति में उपसमूह होता है। यदि h ∈ H∖K और k ∈ K∖H, तो hk ∈ H से k = h⁻¹(hk) ∈ H मिलेगा, और hk ∈ K से h ∈ K; अतः hk, H ∪ K के बाहर है। उदाहरणतः 2ℤ ∪ 3ℤ में 2 और 3 हैं पर 5 नहीं।

गुणन सूत्र: परिमित उपसमूहों H और K के लिए |HK| = |H|·|K|/|H ∩ K|।

यह क्यों काम करता है: प्रतिचित्र H × K → HK, (h, k) ↦ hk लीजिए। hk = h′k′ यदि और केवल यदि h⁻¹h′ = k(k′)⁻¹, और यह उभयनिष्ठ अवयव H ∩ K में है। अतः HK का प्रत्येक अवयव ठीक |H ∩ K| बार प्राप्त होता है, और |H||K| = |HK|·|H ∩ K|।

चेतावनी उदाहरण: S₃ में H = {e, (1 2)} और K = {e, (1 3)} से |HK| = 2·2/1 = 4 मिलता है, जो 6 को विभाजित नहीं करता; अतः HK, S₃ का उपसमुच्चय है पर उपसमूह नहीं।

केंद्र और केंद्रक (centre, centraliser): Z(G) = {z ∈ G : सभी g ∈ G के लिए zg = gz} और C(a) = {g ∈ G : ga = ag}, G के उपसमूह हैं।

7. चक्रीय समूह

चक्रीय समूह (cyclic group): किसी अवयव a के लिए G = ⟨a⟩ = {aⁿ : n ∈ ℤ}; a को जनक (generator) कहते हैं।

भाव: चक्रीय समूह एक जनक और उसकी सभी घातें है: घड़ी का डायल (ℤ_n) या पूर्णांक रेखा (ℤ)। इसके बारे में सब कुछ, उपसमूह, जनक और विभाग समूह, जनक की कोटि से तय होता है।

संरचना प्रमेय: अनंत चक्रीय समूह (ℤ, +) के तुल्याकारी है; कोटि n का चक्रीय समूह (ℤ_n, +_n) के तुल्याकारी है।

प्रमेय: प्रत्येक चक्रीय समूह आबेली है, और चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय है।

घात की कोटि: यदि o(a) = n तो o(a^k) = n/gcd(n, k)।

यह क्यों काम करता है: d = gcd(n, k) लीजिए। तब (a^k)^m = e ⇔ n | km ⇔ (n/d) | (k/d)m ⇔ (n/d) | m, अंतिम चरण इसलिए क्योंकि gcd(n/d, k/d) = 1। अतः ऐसा न्यूनतम m, n/d है। ℤ₁₂ में जाँच: 8 की कोटि 12/gcd(12, 8) = 3 है, और वास्तव में 8, 16 ≡ 4, 24 ≡ 0।

जनक: यदि o(a) = n, तो a^k समूह ⟨a⟩ का जनक है यदि और केवल यदि gcd(k, n) = 1, अतः φ(n) जनक होते हैं। अनंत चक्रीय समूह के ठीक दो जनक होते हैं, a और a⁻¹।

एककों के समूह: U(n) = {k : 1 ≤ k ≤ n, gcd(k, n) = 1}, mod n गुणन के अंतर्गत φ(n) कोटि का समूह है। प्रत्येक अभाज्य p के लिए U(p) चक्रीय है (इसके जनक को mod p आद्य मूल (primitive root) कहते हैं); व्यापक रूप से U(n) चक्रीय है यदि और केवल यदि n = 1, 2, 4, p^k या 2p^k, जहाँ p विषम अभाज्य है।

अनंत समूह: (ℤ, +) के भिन्न उपसमूह nℤ (n = 0, 1, 2, ...) हैं। (ℚ, +) चक्रीय नहीं है, और इसके चक्रीय उपसमूह ⟨1/n⟩ = {k/n : k ∈ ℤ} भिन्न n ≥ 1 के लिए भिन्न हैं।

परिमित चक्रीय समूह के उपसमूह: n के प्रत्येक भाजक d के लिए कोटि d का ठीक एक उपसमूह होता है, जो ⟨a^n/d⟩ है।

भाव: ऊपर का चित्र देखिए: ℤ₁₂ का उपसमूह जालक (lattice) 12 के भाजकों के जालक की प्रतिलिपि है। व्यापक रूप से ⟨a^n/d⟩ ⊆ ⟨a^n/e⟩ यदि और केवल यदि d | e, अतः उपसमूहों का अंतर्विष्ट होना उनकी कोटियों की विभाज्यता को दर्शाता है।

उदाहरण 1: ℤ₁₂ के सभी जनक और सभी उपसमूह ज्ञात कीजिए।

जनक वे k हैं जिनके लिए gcd(k, 12) = 1: 1, 5, 7, 11, अतः φ(12) = 4। प्रत्येक भाजक 1, 2, 3, 4, 6, 12 के लिए एक उपसमूह: ⟨0⟩, ⟨6⟩ = {0, 6}, ⟨4⟩ = {0, 4, 8}, ⟨3⟩ = {0, 3, 6, 9}, कोटि 6 का ⟨2⟩, और ℤ₁₂।

8. सहसमुच्चय और लग्रांज प्रमेय

सहसमुच्चय (coset): H ≤ G और a ∈ G के लिए वाम सहसमुच्चय aH = {ah : h ∈ H} तथा दक्षिण सहसमुच्चय Ha = {ha : h ∈ H} है।

भाव: सहसमुच्चय H का स्थानांतरण (translate) है। (ℝ², +) में यदि H मूलबिंदु से होकर जाने वाली रेखा है, तो सहसमुच्चय H के समांतर रेखाएँ हैं। ℤ₁₂ में H = ⟨4⟩ = {0, 4, 8} के सहसमुच्चय {0, 4, 8}, {1, 5, 9}, {2, 6, 10}, {3, 7, 11} हैं (ऊपर का चित्र देखिए): समान आकार के चार खंड।

गुणधर्म: aH = bH यदि और केवल यदि a⁻¹b ∈ H; दो वाम सहसमुच्चय या तो समान होते हैं या असंयुक्त; |aH| = |H|; वाम सहसमुच्चय G का विभाजन करते हैं।

सूचकांक (index): [G : H] भिन्न वाम सहसमुच्चयों की संख्या है, जो भिन्न दक्षिण सहसमुच्चयों की संख्या के बराबर है।

सूचकांक का स्तंभ नियम: यदि K ≤ H ≤ G और G परिमित है, तो [G : K] = [G : H][H : K], क्योंकि o(G)/o(K) = (o(G)/o(H))·(o(H)/o(K))। सूचकांक परिमित हों तो यह किसी भी समूह में सत्य है।

लग्रांज प्रमेय (Lagrange's theorem): यदि G परिमित समूह है और H ≤ G, तो o(H), o(G) को विभाजित करता है, और [G : H] = o(G)/o(H)।

भाव: वाम सहसमुच्चय G को [G : H] असंयुक्त खंडों में बाँटते हैं, प्रत्येक का आकार |H|, अतः |G| = [G : H]·|H|; पूरी उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1 में है। परिमितता केवल विभाज्यता के कथन के लिए चाहिए; अनंत समूह में भी सूचकांक परिमित हो सकता है, जैसे [ℤ : nℤ] = n।

उपप्रमेय: परिमित समूह में o(a), o(G) को विभाजित करता है और a^o(G) = e; अभाज्य कोटि p का प्रत्येक समूह चक्रीय है और उसका प्रत्येक अतत्समक अवयव उसका जनक है।

संख्या सिद्धांत: mod n इकाइयों के समूह U(n) पर लग्रांज लगाने से ऑयलर प्रमेय a^φ(n) ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1 के लिए, और फर्मा का लघु प्रमेय a^p−1 ≡ 1 (mod p), a को विभाजित न करने वाले अभाज्य p के लिए, प्राप्त होते हैं।

विलोम असत्य: A₄ की कोटि 12 है परंतु इसका कोटि 6 का कोई उपसमूह नहीं है।

भाव: लग्रांज उपसमूह की कोटि पर केवल आवश्यक शर्त देता है। आंशिक विलोम सत्य हैं: चक्रीय समूह (व्यापक रूप से परिमित आबेली समूह) में |G| के प्रत्येक भाजक कोटि का उपसमूह होता है, कौशी प्रमेय |G| को विभाजित करने वाले प्रत्येक अभाज्य के लिए उपसमूह देता है, और साइलो प्रमेय |G| को विभाजित करने वाली प्रत्येक अभाज्य-घात कोटि का उपसमूह देता है।

HK से गणना: G के परिमित उपसमूहों H, K के लिए HK ⊆ G से o(H)o(K)/o(H ∩ K) ≤ o(G)। अतः यदि o(H)o(K) > o(G), तो H ∩ K ≠ {e}।

4 कोटि के समूह: तुल्याकारिता तक ठीक दो हैं, चक्रीय समूह ℤ₄ (किसी अवयव की कोटि 4) और क्लाइन चतुष्क समूह V₄ (प्रत्येक अतत्समक अवयव की कोटि 2)।

उदाहरण 2: सिद्ध कीजिए कि कोटि 4 का प्रत्येक समूह आबेली है।

लग्रांज से प्रत्येक अतत्समक अवयव की कोटि 2 या 4 है। यदि किसी अवयव की कोटि 4 है तो G चक्रीय है, अतः आबेली। अन्यथा सभी a के लिए a² = e, अतः a = a⁻¹ और ab = (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ = ba।

उदाहरण 3: 3¹⁰⁰ को 7 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

फर्मा से 3⁶ ≡ 1 (mod 7)। चूँकि 100 = 6·16 + 4, अतः 3¹⁰⁰ ≡ 3⁴ = 81 ≡ 4 (mod 7)।

9. व्युत्पत्ति: तुल्यता वर्गों के रूप में सहसमुच्चय

चरण 1: H ≤ G के लिए a ~ b परिभाषित कीजिए यदि और केवल यदि a⁻¹b ∈ H। यह स्वतुल्य (a⁻¹a = e ∈ H), सममित (b⁻¹a = (a⁻¹b)⁻¹ ∈ H) और संक्रामक (a⁻¹c = (a⁻¹b)(b⁻¹c) ∈ H) है।

चरण 2: a का वर्ग {b : a⁻¹b ∈ H} = {ah : h ∈ H} = aH है। तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त, और G को आच्छादित करते हैं; इससे 'समान या असंयुक्त' और 'विभाजन' दोनों गुण एक साथ सिद्ध हो जाते हैं।

चरण 3: h ↦ ah, H → aH एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्र है (a का निरसन कीजिए), अतः |aH| = |H|।

चरण 4 (वाम और दक्षिण सहसमुच्चय संख्या में समान): aH ↦ Ha⁻¹ सुपरिभाषित और एकैकी है, क्योंकि aH = bH ⇔ a⁻¹b ∈ H ⇔ Ha⁻¹ = Hb⁻¹। यह आच्छादक है, अतः सूचकांक [G : H] पक्ष पर निर्भर नहीं करता, यद्यपि सामान्यतः aH ≠ Ha।

10. व्युत्पत्ति: चक्रीय समूह में प्रत्येक कोटि के अवयवों की गणना

दावा: कोटि n के चक्रीय समूह G में n के प्रत्येक भाजक d के लिए कोटि d के ठीक φ(d) अवयव हैं, और इसलिए ∑_d|n φ(d) = n।

उपपत्ति: यदि o(x) = d, तो ⟨x⟩ कोटि d का उपसमूह है, और G में ऐसा केवल एक उपसमूह H_d = ⟨a^n/d⟩ है। अतः कोटि d के अवयव ठीक चक्रीय समूह H_d के जनक हैं, और उनकी संख्या φ(d) है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 16)।

प्रत्येक अवयव की कोई कोटि d है जो n को विभाजित करती है, अतः d पर योग G को एक बार गिनता है: ∑_d|n φ(d) = n। n = 12 के लिए जाँच: φ(1) + φ(2) + φ(3) + φ(4) + φ(6) + φ(12) = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12।

उपयोग: यह गणना 'ℤ₂₀ में कोटि 4 के कितने अवयव हैं?' का उत्तर तुरंत देती है: φ(4) = 2, अर्थात् 5 और 15।

11. विधि का चयन

यदि अनंत G के लिए H ≤ G दिखाना हो → H ≠ ∅ (प्रायः e ∈ H) जाँचिए और एक-चरण परीक्षण ab⁻¹ ∈ H लगाइए।

यदि H परिमित है → केवल संवरक पर्याप्त है (परिमित उपसमूह परीक्षण)।

यदि पूछा जाए कि G चक्रीय है या नहीं → 'हाँ' के लिए कोटि |G| का अवयव दिखाइए; 'नहीं' के लिए दिखाइए कि प्रत्येक अवयव की कोटि |G| से कम है, या G अनाबेली है, या G में समान कोटि के दो भिन्न उपसमूह हैं।

यदि प्रश्न परिमित समूह के अवयवों या उपसमूहों की संभव कोटियों के बारे में है → पहले लग्रांज, फिर o(a^k) = n/gcd(n, k) और φ(d) गणना।

यदि किसी बड़ी घात का शेषफल पूछा जाए → फर्मा या ऑयलर, अर्थात् U(n) में लग्रांज।

यदि G को आबेली सिद्ध करना हो → सभी a के लिए a² = e, (ab)² = a²b², o(G) = p या p², या G/Z(G) चक्रीय, आज़माइए।

यदि H ∩ K ≠ {e} दिखाना हो → गणना कीजिए: |H||K|/|H ∩ K| = |HK| ≤ |G|।

12. सामान्य गलतियाँ

अनंत समुच्चय पर परिमित उपसमूह परीक्षण लगाना: ℕ ⊆ ℤ, + के अंतर्गत संवृत है पर उपसमूह नहीं है। जब तक H परिमित ज्ञात न हो, एक-चरण परीक्षण लगाइए।

लग्रांज का विलोम मान लेना: '6, 12 को विभाजित करता है, अतः A₄ में कोटि 6 का उपसमूह है' असत्य है। उपसमूहों के अस्तित्व के लिए कौशी, साइलो या चक्रीयता चाहिए।

(ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹ लिखना: सही नियम (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ है; दोनों तभी समान हैं जब a और b क्रमविनिमेय हों।

o(ab) = lcm(o(a), o(b)) मान लेना: इसके लिए ab = ba चाहिए (और o(ab) = o(a)o(b) के लिए साथ में gcd(o(a), o(b)) = 1 भी)। S₃ में (1 2) और (1 3) की कोटि 2 है पर उनके गुणनफल (1 3 2) की कोटि 3 है।

HK को उपसमूह मान लेना: HK उपसमूह तभी है जब HK = KH (जैसे जब इनमें से एक प्रसामान्य हो); गुणन सूत्र दोनों स्थितियों में HK को समुच्चय के रूप में गिनता है।

ℤ के बहुत अधिक जनक बताना: अनंत चक्रीय समूह के ठीक दो जनक होते हैं, ℤ में ±1; φ(n) नियम केवल परिमित चक्रीय समूहों के लिए है।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: सहसमुच्चय रैखिक निकाय के हल समुच्चय का समूह-रूप हैं: Ax = b के हल x₀ + N(A) बनाते हैं, जो रैखिक बीजगणित में शून्य समष्टि (null space) का सहसमुच्चय है।

संबंध: रैखिक बीजगणित के सदिश समष्टि अभिगृहीत '(V, +) एक आबेली समूह है' से आरंभ होते हैं, और परिमित क्षेत्र का गुणनात्मक समूह (क्षेत्र विस्तार प्रकरण) चक्रीय है, इसी कारण mod p आद्य मूल अस्तित्व में हैं।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: सिद्ध कीजिए कि सम कोटि के प्रत्येक समूह में कोटि 2 का एक अवयव होता है।

प्रत्येक अवयव a को उसके प्रतिलोम a⁻¹ के साथ युग्मित कीजिए। जिन अवयवों के लिए a ≠ a⁻¹ है, वे असंयुक्त युग्मों {a, a⁻¹} में बँटते हैं, अतः उनकी संख्या सम है।

अतः a = a⁻¹, अर्थात a² = e, वाले अवयवों की संख्या o(G) में से एक सम संख्या घटाने पर मिलती है, जो सम है।

इस समुच्चय में e है, अतः इसमें कम से कम एक और अवयव a ≠ e है, और उस अवयव की कोटि 2 है।

उदाहरण 5: सिद्ध या असिद्ध कीजिए: U(8) चक्रीय है।

U(8) = {1, 3, 5, 7}, mod 8 गुणन के अंतर्गत, कोटि 4 का समूह है।

3² = 9 ≡ 1, 5² = 25 ≡ 1 और 7² = 49 ≡ 1 (mod 8), अतः प्रत्येक अतत्समक अवयव की कोटि 2 है।

कोटि 4 के चक्रीय समूह में कोटि 4 का अवयव होना चाहिए, अतः U(8) चक्रीय नहीं है; यह क्लाइन चतुर्-समूह V₄ के तुल्याकारी है।

उदाहरण 6: मान लीजिए समूह G में सभी a, b ∈ G और तीन क्रमागत पूर्णांकों n = k, k + 1, k + 2 के लिए (ab)ⁿ = aⁿbⁿ है। दिखाइए कि G आबेली है।

(ab)^k+1 = (ab)^k(ab) लिखने पर a^k+1b^k+1 = a^kb^kab मिलता है। बाईं ओर a^k और दाईं ओर b का निरसन करने पर: ab^k = b^ka।

इसी प्रकार n = k + 1 और n = k + 2 से ab^k+1 = b^k+1a मिलता है।

अब ab^k+1 = (ab^k)b = b^kab, जबकि b^k+1a = b^k(ba)। बाईं ओर b^k का निरसन करने पर ab = ba, अतः G आबेली है।

15. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 10 अंक): (i) कोटि 8 के चक्रीय समूह G के कितने जनक होते हैं? व्याख्या कीजिए।
(ii) कोटि 4 के एक समूह {e, a, b, c} को लेते हुए, जहाँ e तत्समक (आइडेंटिटि) है, संयोजन सारणियाँ बनाइए यह दर्शाते हुए कि एक चक्रीय है जबकि दूसरी नहीं है। (5 + 5 = 10)

(i) यदि G = ⟨a⟩ की कोटि 8 है, तो o(a^k) = 8/gcd(8, k), अतः a^k, G को जनित करता है यदि और केवल यदि gcd(k, 8) = 1। जनक a, a³, a⁵, a⁷ हैं: इनकी संख्या φ(8) = 4 है।

(ii) चक्रीय सारणी: o(a) = 4, b = a², c = a³ लीजिए। पंक्तियाँ (पंक्ति अवयव × स्तंभ अवयव, स्तंभ e, a, b, c): e: e, a, b, c; a: a, b, c, e; b: b, c, e, a; c: c, e, a, b।

यह समूह a (और c) से जनित है, अतः यह चक्रीय है और ℤ₄ के तुल्याकारी है।

अचक्रीय सारणी: a² = b² = c² = e, ab = ba = c, bc = cb = a, ca = ac = b लीजिए। पंक्तियाँ: e: e, a, b, c; a: a, e, c, b; b: b, c, e, a; c: c, b, a, e।

यह समूह ℤ₂ × ℤ₂ (a = (1, 0), b = (0, 1), c = (1, 1)) है, अतः साहचर्य सत्य है; प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ {e, a, b, c} का क्रमचय है। प्रत्येक अतत्समक अवयव की कोटि 2 है, अतः कोई अवयव समूह को जनित नहीं करता: यह चक्रीय नहीं है।

उत्तर: (i) 4 जनक, a, a³, a⁵, a⁷; (ii) पहली सारणी चक्रीय समूह ℤ₄ की और दूसरी अचक्रीय क्लाइन समूह V₄ की है।

उदाहरण 8 (UPSC 2018, 20 अंक): क्षेत्र (ℤ₁₃, +₁₃, ×₁₃), जहाँ पर +₁₃ तथा ×₁₃ क्रमशः योग मोड्यूलो 13 व गुणन मोड्यूलो 13 निरूपित करते हैं, के गुणनात्मक समूह के सभी उचित उपसमूहों को ज्ञात कीजिए।

गुणनात्मक समूह U(13) = {1, 2, ..., 12} है, जिसकी कोटि 12 है। mod 13 में 2 की घातें 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1 हैं, अतः o(2) = 12 और U(13) = ⟨2⟩ चक्रीय है।

12 कोटि के चक्रीय समूह में 12 के प्रत्येक भाजक d के लिए d कोटि का ठीक एक उपसमूह है, अर्थात ⟨2^12/d⟩।

d = 1: {1}; d = 2: ⟨2⁶⟩ = ⟨12⟩ = {1, 12}; d = 3: ⟨2⁴⟩ = ⟨3⟩ = {1, 3, 9}।

d = 4: ⟨2³⟩ = ⟨8⟩ = {1, 8, 12, 5}; d = 6: ⟨2²⟩ = ⟨4⟩ = {1, 4, 3, 12, 9, 10}; d = 12 से स्वयं U(13) मिलता है।

उत्तर: उचित उपसमूह {1}, {1, 12}, {1, 3, 9}, {1, 5, 8, 12} और {1, 3, 4, 9, 10, 12} हैं (अंतिम चार अतुच्छ हैं)।

उदाहरण 9 (UPSC 2019, 10 अंक): मान लीजिए कि G एक परिमित समूह है और H तथा K, G के उप-समूह हैं, ऐसा कि K ⊂ H। दर्शाइए (G : K) = (G : H)(H : K)।

G परिमित है, अतः लग्रांज प्रमेय से (G : K) = o(G)/o(K), (G : H) = o(G)/o(H) और (H : K) = o(H)/o(K)।

अतः (G : H)(H : K) = (o(G)/o(H))·(o(H)/o(K)) = o(G)/o(K) = (G : K)।

(किसी भी समूह में परिमित सूचकांकों के लिए सहसमुच्चय उपपत्ति: यदि G, a_iH (1 ≤ i ≤ m) का असंयुक्त सम्मिलन है और H, b_jK (1 ≤ j ≤ n) का, तो G, mn सहसमुच्चयों a_ib_jK का असंयुक्त सम्मिलन है।)

उत्तर: (G : K) = (G : H)(H : K)।

उदाहरण 10 (UPSC 2021, 15 अंक): दर्शाइए कि परिमेय संख्याओं के योज्य समूह ℚ के अपरिमित रूप से अनेक उपसमूह हैं।

प्रत्येक n ∈ ℕ के लिए H_n = nℤ = {nk : k ∈ ℤ}, (ℚ, +) का उपसमूह है: यह अरिक्त है और nk − nl = n(k − l) ∈ H_n।

यदि m < n, तो m ∈ H_m परंतु m ∉ H_n, क्योंकि H_n का प्रत्येक धनात्मक अवयव कम से कम n है। अतः उपसमूह H₁, H₂, H₃, ... युग्मतः भिन्न हैं।

इसी प्रकार ⟨1/n⟩ = {k/n : k ∈ ℤ}, n ≥ 1, अनंत भिन्न उपसमूह हैं जो ℤ में निहित नहीं हैं। ध्यान दें कि ℚ स्वयं चक्रीय नहीं है: यदि r ≠ 0 के साथ ℚ = ⟨r⟩, तो r/2, r का पूर्णांक गुणज होगा, जो असत्य है।

उत्तर: उपसमूह nℤ (n = 1, 2, 3, ...), (ℚ, +) के अनंत भिन्न उपसमूह हैं।

उदाहरण 11 (UPSC 2025, 10 अंक): माना एक समूह G के दो उपसमूह H और K इस प्रकार हैं कि o(H) > √o(G) और o(K) > √o(G) हैं। दर्शाइए कि H ∩ K ≠ {e} है, जहाँ e तत्समक अवयव है। यहाँ o(H), o(K) और o(G) क्रमशः H, K और G की कोटि को दर्शाते हैं।

HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}, G का उपसमुच्चय है (आवश्यक नहीं कि उपसमूह हो), और परिमित उपसमूहों H, K के लिए |HK| = o(H)o(K)/o(H ∩ K)।

मान लीजिए H ∩ K = {e}। तब |HK| = o(H)o(K) > √o(G)·√o(G) = o(G)।

परंतु HK ⊆ G, अतः |HK| ≤ o(G), जो विरोधाभास है।

उत्तर: H ∩ K ≠ {e}; H और K में एक उभयनिष्ठ अतत्समक अवयव है।

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ℤ पर a ∗ b = a + b − 1 परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि (ℤ, ∗) समूह है और तत्समक तथा a का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संवरक स्पष्ट है; (a ∗ b) ∗ c = a + b + c − 2 = a ∗ (b ∗ c); तत्समक 1 है (a ∗ 1 = a); a का प्रतिलोम 2 − a है। समूह आबेली है।

अभ्यास 2 (मूल): U(10) = {1, 3, 7, 9} के प्रत्येक अवयव की कोटि ज्ञात कीजिए और बताइए कि U(10) चक्रीय है या नहीं।

उत्तर: o(1) = 1, o(9) = 2, o(3) = o(7) = 4 (3 की घातें 3, 9, 7, 1 हैं)। अतः U(10) = ⟨3⟩ = ⟨7⟩ चक्रीय है।

अभ्यास 3 (मूल): ℤ₂₀ में H = {0, 5, 10, 15} के सहसमुच्चयों की सूची बनाइए और सूचकांक [ℤ₂₀ : H] बताइए।

उत्तर: {0, 5, 10, 15}, {1, 6, 11, 16}, {2, 7, 12, 17}, {3, 8, 13, 18}, {4, 9, 14, 19}; सूचकांक 20/4 = 5 है।

अभ्यास 4 (मानक): ℤ₃₆ में कोटि 6 के कितने अवयव हैं? उनकी सूची बनाइए।

उत्तर: φ(6) = 2 अवयव, अर्थात 6 और 30 (36/gcd(36, k) = 6 से gcd(36, k) = 6 होना आवश्यक है)।

अभ्यास 5 (मानक): ℤ₁₈ के सभी उपसमूह उनकी कोटियों सहित ज्ञात कीजिए, और बताइए कौन किसमें अंतर्विष्ट है।

उत्तर: प्रत्येक भाजक के लिए एक: ⟨0⟩ (1), ⟨9⟩ = {0, 9} (2), ⟨6⟩ = {0, 6, 12} (3), ⟨3⟩ (6), ⟨2⟩ (9), ℤ₁₈ (18)। कोटि d वाला उपसमूह कोटि e वाले में है यदि और केवल यदि d | e।

अभ्यास 6 (मानक): 7²²² को 15 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 4। यहाँ φ(15) = 8 और 222 = 8·27 + 6; वास्तव में 7⁴ ≡ 1, अतः 7²²² ≡ 7² = 49 ≡ 4 (mod 15)।

अभ्यास 7 (मानक): मान लें G आबेली समूह है। दिखाइए कि H = {a ∈ G : a² = e} उपसमूह है, और S₃ में एक दृष्टांत से दिखाइए कि G आबेली न हो तो यह विफल हो सकता है।

उत्तर: e ∈ H, और a, b ∈ H के लिए (ab⁻¹)² = a²(b²)⁻¹ = e क्योंकि G आबेली है। S₃ में (1 2) और (1 3) का वर्ग e है परंतु (1 2)(1 3) = (1 3 2) की कोटि 3 है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): कोटि 72 वाले समूह G के उपसमूह H और K हैं, जहाँ o(H) = 12 और o(K) = 18। o(H ∩ K) के संभव मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 3 या 6। लग्रांज से o(H ∩ K), gcd(12, 18) = 6 को विभाजित करता है, और |HK| = 216/o(H ∩ K) ≤ 72 से o(H ∩ K) ≥ 3।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): मान लें G कोटि n का परिमित आबेली समूह है और m ऐसा पूर्णांक है कि gcd(m, n) = 1। सिद्ध कीजिए कि x ↦ x^m, G से G पर एकैकी आच्छादक प्रतिचित्र है, अतः G के प्रत्येक अवयव का अद्वितीय m-वाँ मूल है।

उत्तर: G आबेली है, अतः x^my^−m = (xy⁻¹)^m; यदि x^m = y^m, तो o(xy⁻¹), m और n दोनों को विभाजित करता है (लग्रांज), अतः यह 1 है और x = y। परिमित समुच्चय का स्वयं पर एकैकी प्रतिचित्र आच्छादक होता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि (ℚ, +) चक्रीय नहीं है, परंतु (ℚ, +) का प्रत्येक परिमिततः जनित उपसमूह चक्रीय है।

उत्तर: यदि r ≠ 0 के साथ ℚ = ⟨r⟩, तो किसी पूर्णांक k के लिए r/2 = kr, जो असंभव है। ⟨a₁/b, ..., a_k/b⟩ (उभयनिष्ठ हर b) का प्रत्येक जनक चक्रीय समूह ⟨1/b⟩ में है, और चक्रीय समूह का उपसमूह चक्रीय होता है।

1. प्रसामान्य उपसमूहों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम समूह G को उपसमूह H से 'भाग' देकर H के सहसमुच्चयों से एक नया समूह बनाना चाहते हैं। इसके लिए दो सहसमुच्चयों का गुणनफल इस पर निर्भर नहीं होना चाहिए कि हम कौन-से प्रतिनिधि चुनते हैं। यह केवल विशेष उपसमूहों, अर्थात प्रसामान्य उपसमूहों, के लिए होता है।

शब्दों में: gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ : h ∈ H}, 'g के माध्यम से देखा गया' H है: प्रत्येक h लें और उसे g से संयुग्मित करें। H प्रसामान्य (normal) है (H ⊴ G) यदि प्रत्येक g ∈ G के लिए gHg⁻¹ ⊆ H।

'प्रत्येक g के लिए' ही कठिन भाग है: एक भी g जिसके लिए कोई ghg⁻¹, H के बाहर हो, प्रसामान्यता नष्ट कर देता है। तुल्य रूप gH = Hg समुच्चयों की समता है, प्रत्येक h के लिए gh = hg नहीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: S₃ में A₃ = {e, (1 2 3), (1 3 2)} लें और g = (1 2) लें। किसी चक्र को g से संयुग्मित करने पर उसके प्रतीकों का नाम g द्वारा बदल जाता है (क्रमचय समूह विषय का पुनर्नामकरण नियम)।

चरण 1: (1 2)(1 2 3)(1 2)⁻¹ = (2 1 3) = (1 3 2) ∈ A₃। चरण 2: (1 2)(1 3 2)(1 2)⁻¹ = (2 3 1) = (1 2 3) ∈ A₃। चरण 3: geg⁻¹ = e।

चरण 4: g = (1 3) और g = (2 3) के लिए भी यही होता है, और आबेली समूह A₃ के अवयव से संयुग्मन A₃ के प्रत्येक अवयव को स्थिर रखता है। अतः सभी छह g के लिए gA₃g⁻¹ ⊆ A₃, और A₃ ⊴ S₃।

ध्यान देने की बात: अधिक त्वरित मार्ग यह है कि [S₃ : A₃] = 2, और सूचकांक 2 का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य होता है।

अ-उदाहरण (non-example): S₃ में H = {e, (1 2)} और g = (1 3): g(1 2)g⁻¹ = (3 2) ∉ H, अतः H प्रसामान्य नहीं है। तदनुसार (1 3)H = {(1 3), (1 2 3)}, H(1 3) = {(1 3), (1 3 2)} से भिन्न है।

आगे बढ़ते हुए: मानक परीक्षण, जिस क्रम में उन्हें आज़माना चाहिए: आबेली समूह का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है (ghg⁻¹ = h); सूचकांक 2 का उपसमूह प्रसामान्य है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 4); अष्टि प्रसामान्य है (प्रमेय 5)।

साथ ही: दी गई कोटि का एकमात्र उपसमूह प्रसामान्य है (नीचे उदाहरण 3), और केंद्र Z(G) प्रसामान्य है। जब इनमें से कोई लागू न हो, तभी gng⁻¹ ∈ N सीधे जाँचें; 'केवल ⊆ क्यों पर्याप्त है' पंक्ति दिखाती है कि एक समावेशन पर्याप्त है।

कहाँ प्रयोग होता है: विभाग समूहों, सरल समूहों, साइलो सिद्धांत (n_p = 1 ठीक तब जब साइलो p-उपसमूह प्रसामान्य हो) और आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफलों में।

2. विभाग समूहों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: मॉड्यूलो n अंकगणित, n के गुणजों की उपेक्षा करके पूर्णांकों का अंकगणित है। विभाग समूह (quotient group) किसी भी समूह के लिए यही करता है: वह प्रसामान्य उपसमूह N को तत्समक में समेट देता है और शेष संरचना बनाए रखता है।

शब्दों में: G/N के अवयव सहसमुच्चय gN हैं, जो स्वयं समुच्चय हैं। दो सहसमुच्चयों को गुणा करने के लिए प्रत्येक का एक प्रतिनिधि चुनें, उन्हें G में गुणा करें और गुणनफल का सहसमुच्चय लें: (aN)(bN) = abN।

G/N का तत्समक eN = स्वयं N है, aN का प्रतिलोम a⁻¹N है, और परिमित G के लिए कोटि |G/N| = |G|/|N| है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: G = ℤ₁₂ और N = ⟨4⟩ = {0, 4, 8} लें। G आबेली है, अतः N प्रसामान्य है।

चरण 1 (अवयव): N, 1 + N = {1, 5, 9}, 2 + N = {2, 6, 10}, 3 + N = {3, 7, 11}। अतः G/N में 12/3 = 4 अवयव हैं।

चरण 2 (एक योग): (2 + N) + (3 + N) = 5 + N, और 5 ∈ 1 + N, अतः योग 1 + N है।

चरण 3 (प्रतिनिधियों से स्वतंत्रता): इसके स्थान पर 6 ∈ 2 + N और 11 ∈ 3 + N लें। तब 6 + 11 = 17 ≡ 5, फिर से 1 + N में। उत्तर नहीं बदला।

चरण 4 (समूह की पहचान): 1 + N के गुणज 1 + N, 2 + N, 3 + N, N हैं, अतः 1 + N की कोटि 4 है और G/N ≅ ℤ₄, जो ℤ_n/⟨d⟩ ≅ ℤ_d के अनुरूप है।

अ-उदाहरण (non-example): S₃ में H = {e, (1 2)} के लिए सहसमुच्चयों का 'गुणनफल' प्रतिनिधियों पर निर्भर करता है (नीचे व्युत्पत्ति 'सहसमुच्चय गुणन सुपरिभाषित है यदि और केवल यदि N प्रसामान्य हो' देखें), अतः S₃/H समूह नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) N की प्रसामान्यता गुणनफल को सुपरिभाषित बनाती है (वही व्युत्पत्ति)। (2) तब अभिगृहीत G से विरासत में मिलते हैं: (aN·bN)·cN = (ab)cN = a(bc)N = aN·(bN·cN)।

(3) लग्रांज से |G/N| = [G : N] = |G|/|N|। (4) गुणधर्म नीचे उतरते हैं: यदि G आबेली है तो G/N भी, और यदि G = ⟨g⟩ तो G/N = ⟨gN⟩।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय, आबेली समूहों के लिए G/Z(G) तर्क, रचना ℤ_n = ℤ/nℤ, और वलय विषय में विभाग वलय R/I में।

3. समाकारिता और अष्टि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो समूहों की तुलना के लिए हमें ऐसे प्रतिचित्र चाहिए जो संक्रियाओं का सम्मान करें। ऐसा प्रतिचित्र एक समूह की जानकारी दूसरे तक ले जाता है; जब यह एकैकी आच्छादक भी हो तो दोनों समूह 'भिन्न नामों वाला एक ही समूह' होते हैं।

शब्दों में: f : G → G′ समाकारिता (homomorphism) है यदि सभी a, b के लिए f(ab) = f(a)f(b)। बाईं ओर गुणनफल ab, G में निकाला जाता है; दाईं ओर f(a)f(b), G′ में।

अष्टि (kernel) ker f उन अवयवों का समुच्चय है जो G′ के तत्समक e′ पर जाते हैं; यह मापती है कि f कितना समेटता है। प्रतिबिंब f(G) वास्तव में प्राप्त मानों का समुच्चय है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें f : ℤ → ℤ₅, f(n) = n mod 5।

चरण 1: f(m + n) = (m + n) mod 5 = (m mod 5 + n mod 5) mod 5 = f(m) + f(n), अतः f योगात्मक समूहों की समाकारिता है।

चरण 2: ker f = {n : 5 | n} = 5ℤ। चरण 3: k = 0, 1, 2, 3, 4 के लिए f(k) = k, अतः f आच्छादक है।

चरण 4: f(a) = f(b) ठीक तब जब a − b ∈ 5ℤ, अर्थात जब a और b अष्टि के एक ही सहसमुच्चय में हों। अतः f एकैकी नहीं है: f(2) = f(7)।

ध्यान देने की बात: समान प्रतिबिंब वाले बिंदु अष्टि का एक सहसमुच्चय बनाते हैं। प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय के पीछे यही पूरा विचार है।

अ-उदाहरण (non-example): g : ℤ → ℤ, g(n) = n + 1, समाकारिता नहीं है: g(0 + 0) = 1 परंतु g(0) + g(0) = 2। एक त्वरित परीक्षण यह है कि समाकारिता तत्समक को तत्समक पर भेजती है, और g(0) = 1 ≠ 0।

आगे बढ़ते हुए: (1) f(e) = e′: f(e) = f(ee) = f(e)f(e), फिर निरसन करें। (2) f(a⁻¹) = f(a)⁻¹, क्योंकि f(a)f(a⁻¹) = f(e) = e′।

(3) यदि aⁿ = e तो f(a)ⁿ = f(aⁿ) = e′, अतः o(f(a)), o(a) को विभाजित करता है। (4) ker f प्रसामान्य उपसमूह है, और f एकैकी है यदि और केवल यदि ker f = {e} (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5)।

कहाँ प्रयोग होता है: अष्टि दिखाकर प्रसामान्यता सिद्ध करने में, f(1) के द्वारा समाकारिताएँ ℤ_m → ℤ_n गिनने में, दो समूहों के तुल्याकारी न होने को सिद्ध करने में, और विभाग समूहों की प्रत्येक पहचान में।

4. प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: विभाग समूह G/N सहसमुच्चयों का समूह है, जिसकी कल्पना कठिन है। यह प्रमेय हमें इसे एक परिचित समूह के रूप में पहचानने देता है: ऐसी आच्छादक समाकारिता खोजें जिसकी अष्टि ठीक N हो।

शब्दों में: G/ker f ≅ f(G), और तुल्याकारिता सहसमुच्चय a·ker f को f(a) पर भेजती है। ठीक उतना समेटें जितना f समेटता है, और जो बचता है वह प्रतिबिंब की प्रति है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें ℂ^* गुणन के अंतर्गत शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं और T = {z : |z| = 1} एकक वृत्त है। हम दिखाते हैं कि ℂ^*/T ≅ ℝ⁺।

चरण 1 (प्रतिचित्र): f(z) = |z|, ℂ^* से ℝ⁺ (गुणन के अंतर्गत धन वास्तविक संख्याएँ) में। चरण 2 (समाकारिता): |zw| = |z||w|।

चरण 3 (आच्छादक): r > 0 के लिए f(r) = r। चरण 4 (अष्टि): f(z) = 1 यदि और केवल यदि |z| = 1, अतः ker f = T।

चरण 5 (निष्कर्ष): प्रमेय से ℂ^*/T ≅ ℝ⁺। चित्र: सहसमुच्चय zT, 0 के परितः त्रिज्या |z| का वृत्त है, और ऐसे दो वृत्तों को गुणा करने पर उनकी त्रिज्याएँ गुणा होती हैं।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ/4ℤ की पहचान के लिए कोई n ↦ n mod 2, ℤ₂ पर, आज़मा सकता है। इसकी अष्टि 2ℤ है, 4ℤ नहीं, अतः प्रमेय ℤ/2ℤ ≅ ℤ₂ देता है और ℤ/4ℤ के बारे में कुछ नहीं कहता। अष्टि ठीक N के बराबर होनी चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: K = ker f रखें और φ(aK) = f(a) परिभाषित करें। (1) aK = bK ⇔ a⁻¹b ∈ K ⇔ f(a) = f(b): '⇒' को 'φ सुपरिभाषित है' और '⇐' को 'φ एकैकी है' पढ़ें।

(2) φ(aK·bK) = f(ab) = f(a)f(b), अतः φ समाकारिता है। (3) परिभाषा से φ, f(G) पर आच्छादक है। पूरी उपपत्ति: मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6; व्यवहार में नीचे दी गई पाँच-चरण विधि अपनाएँ।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक 'दिखाइए G/N ≅ G′' प्रश्न में, समाकारिताओं की गिनती में, वलय रूप R/ker f ≅ f(R) में, और रैखिक बीजगणित के कोटि–शून्यता प्रमेय में।

5. प्रसामान्य उपसमूह

परिभाषा: H ≤ G प्रसामान्य (normal) है, जिसे H ⊴ G लिखते हैं, यदि सभी g ∈ G के लिए gHg⁻¹ ⊆ H; समतुल्य रूप से सभी g ∈ G के लिए gH = Hg।

भाव: संयुग्मन x ↦ gxg⁻¹, g द्वारा G का पुनर्नामकरण है, और प्रसामान्य उपसमूह (normal subgroup) वह है जिसे कोई पुनर्नामकरण हिला न सके। ध्यान दें कि gH = Hg समुच्चयों की समता है, प्रत्येक h के लिए gh = hg नहीं: S₃ में (1 2)(1 2 3) = (2 3) पर (1 2 3)(1 2) = (1 3), फिर भी (1 2)A₃ = A₃(1 2), क्योंकि दोनों विषम क्रमचयों का समुच्चय हैं।

⊆ क्यों पर्याप्त है: यदि प्रत्येक g के लिए gHg⁻¹ ⊆ H, तो इसे g⁻¹ पर लगाने से g⁻¹Hg ⊆ H, अर्थात् H ⊆ gHg⁻¹। अतः सभी g के लिए अंतर्विष्टि से ही gHg⁻¹ = H मिल जाता है।

त्वरित परीक्षण: आबेली समूह का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है; सूचकांक 2 का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है; केंद्र Z(G) प्रसामान्य है।

परिणाम: प्रसामान्य उपसमूहों का सर्वनिष्ठ प्रसामान्य है; यदि N ⊴ G और H ≤ G तो HN उपसमूह है; यदि H, N दोनों प्रसामान्य हैं तो HN प्रसामान्य है।

संक्रामक नहीं: D₄ = ⟨r, s⟩ में {e, s} ⊴ {e, s, r², sr²} ⊴ D₄, परंतु {e, s}, D₄ में प्रसामान्य नहीं है।

भाव: प्रसामान्यता बड़े समूह के सापेक्ष होती है। K ⊴ H केवल H के अवयवों द्वारा संयुग्मन को नियंत्रित करता है; H से बाहर का G का अवयव K को हिला सकता है, जैसे D₄ में घूर्णन r, {e, s} को {e, sr²} में बदल देता है।

सरल समूह (simple group): वह समूह जिसके केवल प्रसामान्य उपसमूह {e} और G हों; ℤ_p (p अभाज्य) और A_n (n ≥ 5) सरल हैं।

भाव: सरल समूह (simple group) समूह सिद्धांत के 'अभाज्य' हैं: जिस समूह का उचित अतुच्छ प्रसामान्य उपसमूह N हो, उसे छोटे टुकड़ों N और G/N में तोड़ा जा सकता है, सरल समूह को नहीं।

6. विभाग समूह

परिभाषा: यदि N ⊴ G, तो समुच्चय G/N = {gN : g ∈ G} संक्रिया (aN)(bN) = abN के अंतर्गत समूह है, जिसका तत्समक N और प्रतिलोम (aN)⁻¹ = a⁻¹N है।

भाव: G/N, G को धुंधली दृष्टि से देखना है: N के अवयव अदृश्य हो जाते हैं (सभी तत्समक जैसा व्यवहार करते हैं), और जिन दो अवयवों का अंतर N में हो वे एक माने जाते हैं। ℤ/nℤ 'वे पूर्णांक हैं जिनमें केवल mod n शेषफल दिखाई देता है'।

प्रसामान्यता क्यों आवश्यक: नियम aN·bN = abN सुपरिभाषित (प्रतिनिधियों a, b से स्वतंत्र) ठीक तभी होता है जब N प्रसामान्य हो।

कोटि: यदि G परिमित है तो o(G/N) = o(G)/o(N)।

परिणाम: आबेली समूह का विभाग समूह आबेली और चक्रीय समूह का विभाग समूह चक्रीय होता है; यदि G/Z(G) चक्रीय है तो G आबेली है।

चक्रीय समूहों के विभाग समूह: ℤ_n के उपसमूह d | n के लिए ⟨d⟩ हैं, जहाँ o(⟨d⟩) = n/d, और ℤ_n/⟨d⟩ ≅ ℤ_d। साथ ही ℤ/nℤ ≅ ℤ_n, और t ↦ e^2πit द्वारा ℝ/ℤ ≅ T = {z ∈ ℂ : |z| = 1}।

क्रमविनिमेयक उपसमूह (commutator subgroup): G′ सभी aba⁻¹b⁻¹ से जनित है; G′ ⊴ G, और G/N आबेली है यदि और केवल यदि G′ ⊆ N।

7. समाकारिता

समाकारिता (homomorphism): प्रतिचित्रण f : G → G′ जिसमें सभी a, b ∈ G के लिए f(ab) = f(a)f(b) हो।

भाव: समाकारिता (homomorphism) गुणन सारणी का सम्मान करती है: वह अनेक अवयवों को एक में समेट सकती है (अष्टि यह मापती है कि कितना), परंतु गुणनफलों को कभी गड़बड़ नहीं करती। मानक उदाहरण: det : GL(n, ℝ) → ℝ^*, sgn : S_n → {±1}, exp : (ℝ, +) → (ℝ⁺, ·), और mod n अपचयन ℤ → ℤ_n।

गुणधर्म: f(e) = e′; f(a⁻¹) = f(a)⁻¹; यदि o(a) परिमित है तो o(f(a)), o(a) को विभाजित करता है; उपसमूहों के प्रतिबिंब और प्रतिलोम प्रतिबिंब उपसमूह होते हैं।

परिमित समूहों के लिए कोटि प्रतिबंध: यदि f : G → G′ परिमित समूहों की समाकारिता है, तो o(f(G)), o(G) को (क्योंकि f(G) ≅ G/ker f) और o(G′) को (लग्रांज) विभाजित करती है, अतः gcd(o(G), o(G′)) को विभाजित करती है। यदि यह gcd 1 है तो f तुच्छ है; आच्छादी समाकारिता के लिए o(G′) | o(G) आवश्यक है।

प्रतिबिंब गुणधर्म ग्रहण करते हैं: आबेली समूह का समाकारी प्रतिबिंब आबेली होता है, और चक्रीय समूह का चक्रीय (f(⟨a⟩) = ⟨f(a)⟩); विलोम असत्य हैं।

अष्टि द्वारा प्रसामान्यता: N ⊴ G दिखाने का प्रायः सबसे तेज़ तरीका G से ऐसी समाकारिता प्रस्तुत करना है जिसकी अष्टि N हो (जैसे det, चिह्न, या 'विकर्ण अवयव पढ़ना')।

अष्टि (kernel): ker f = {a ∈ G : f(a) = e′}, G का प्रसामान्य उपसमूह है, और f एकैकी है यदि और केवल यदि ker f = {e}।

यह क्यों काम करता है: f(a) = f(b) ⇔ f(a⁻¹b) = e′ ⇔ a⁻¹b ∈ ker f ⇔ a ker f = b ker f। अतः जिन बिंदुओं का प्रतिबिंब a के समान है वे ठीक सहसमुच्चय a·ker f हैं, और f एकैकी है यदि और केवल यदि ये सहसमुच्चय एकल बिंदु हों, अर्थात् ker f = {e}।

तुल्याकारिता (isomorphism): एकैकी आच्छादी समाकारिता, जिसे G ≅ G′ लिखते हैं। स्वसमाकारिता (automorphism) G का स्वयं पर तुल्याकारिता है; आंतरिक स्वसमाकारिताएँ x ↦ gxg⁻¹ हैं, और Inn(G) ≅ G/Z(G)।

प्राकृतिक प्रतिचित्रण: π : G → G/N, π(g) = gN, अष्टि N वाली आच्छादी समाकारिता है, अतः प्रत्येक प्रसामान्य उपसमूह किसी समाकारिता की अष्टि होता है।

8. तुल्याकारिता प्रमेय

प्रथम (मूलभूत) प्रमेय: यदि f : G → G′ समाकारिता है, तो G/ker f ≅ f(G)। विशेष रूप से, यदि f आच्छादी है तो G/ker f ≅ G′।

भाव: प्रत्येक समाकारी प्रतिबिंब एक विभाग समूह है। f, ker f के प्रत्येक सहसमुच्चय को एक बिंदु में दबा देता है, और ये बिंदु ठीक f(G) हैं; अतः तुल्याकारिता तक G के प्रतिबिंब समूह G/N, N ⊴ G हैं। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6 में है।

द्वितीय प्रमेय: यदि H ≤ G और N ⊴ G, तो H ∩ N ⊴ H और HN/N ≅ H/(H ∩ N)।

तृतीय प्रमेय: यदि N ⊴ G, K ⊴ G और N ⊆ K, तो K/N ⊴ G/N और (G/N)/(K/N) ≅ G/K।

संगतता प्रमेय (correspondence theorem): G/N के उपसमूह N को अंतर्विष्ट करने वाले G के उपसमूहों से एकैकी संगत होते हैं, और प्रसामान्य उपसमूह प्रसामान्य उपसमूहों से संगत होते हैं।

भाव: G/N का उपसमूह जालक G के जालक का वह भाग है जो N के ऊपर स्थित है। उदाहरणतः ℤ/12ℤ के उपसमूह ℤ के उन उपसमूहों dℤ के संगत हैं जिनमें 12ℤ है, अर्थात् 12 के भाजकों d के संगत।

G/N ≅ G′ सिद्ध करने की विधि:

1. प्रश्न से सुझाया गया प्रतिचित्रण f : G → G′ परिभाषित कीजिए।

2. सिद्ध कीजिए कि f(ab) = f(a)f(b)।

3. सिद्ध कीजिए कि f आच्छादी है।

4. ker f ज्ञात कर दिखाइए कि यह N के बराबर है।

5. प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से G/N ≅ G′ निष्कर्ष निकालिए।

उदाहरण 1: दिखाइए कि ℝ^*/{1, −1} ≅ ℝ⁺, दोनों गुणन के अंतर्गत।

f(x) = |x| लीजिए। तब f(xy) = |xy| = |x||y| = f(x)f(y), f आच्छादी है क्योंकि r > 0 के लिए f(r) = r, और ker f = {x : |x| = 1} = {1, −1}। अतः ℝ^*/{1, −1} ≅ ℝ⁺।

उदाहरण 2: दिखाइए कि SL(n, ℝ) ⊴ GL(n, ℝ) और GL(n, ℝ)/SL(n, ℝ) ≅ ℝ^*।

f(A) = det A लीजिए। तब det(AB) = det A·det B, f आच्छादी है क्योंकि diag(a, 1, ..., 1) का सारणिक a है, और ker f = {A : det A = 1} = SL(n, ℝ)। अतः SL(n, ℝ) प्रसामान्य है और विभाग समूह ≅ ℝ^*।

9. व्युत्पत्ति: सहसमुच्चय गुणन सुपरिभाषित है यदि और केवल यदि N प्रसामान्य है

(⇐) मान लीजिए N ⊴ G, aN = a′N और bN = b′N। तब n₁, n₂ ∈ N के साथ a′ = an₁ और b′ = bn₂, तथा a′b′ = an₁bn₂ = ab(b⁻¹n₁b)n₂। चूँकि b⁻¹n₁b ∈ N, अतः a′b′ ∈ abN, इसलिए a′b′N = abN।

(⇒) मान लीजिए नियम सुपरिभाषित है, और n ∈ N, g ∈ G। चूँकि nN = eN, गुणनफल (nN)(g⁻¹N) और (eN)(g⁻¹N) समान हैं: ng⁻¹N = g⁻¹N। अतः (g⁻¹)⁻¹ng⁻¹ = gng⁻¹ ∈ N, इसलिए N प्रसामान्य है।

निष्कर्ष: प्रसामान्य उपसमूह ठीक वे उपसमूह हैं जिनसे 'भाग' दिया जा सकता है। S₃ में H = {e, (1 2)} लेने पर H = (1 2)H, फिर भी प्रत्येक को दाईं ओर से (1 3)H से गुणा करने पर (1 3)H = {(1 3), (1 2 3)} और (1 2)(1 3)H = (1 3 2)H = {(1 3 2), (2 3)} मिलेंगे, जो भिन्न सहसमुच्चय हैं।

10. व्युत्पत्ति: द्वितीय और तृतीय तुल्याकारिता प्रमेय

द्वितीय प्रमेय: मान लीजिए H ≤ G और N ⊴ G। तब HN उपसमूह है (N प्रसामान्य है अतः HN = NH) और N ⊴ HN। φ : H → HN/N, φ(h) = hN परिभाषित कीजिए; यह H पर सीमित प्राकृतिक प्रतिचित्र है, अतः समाकारिता है।

φ आच्छादक है, क्योंकि HN/N का सहसमुच्चय hnN = hN = φ(h)। इसकी अष्टि {h ∈ H : hN = N} = H ∩ N है। प्रथम प्रमेय से H ∩ N ⊴ H और H/(H ∩ N) ≅ HN/N; परिमित समूहों के लिए इससे पुनः |HN| = |H||N|/|H ∩ N| प्राप्त होता है।

तृतीय प्रमेय: मान लीजिए N ⊆ K तथा N, K ⊴ G। ψ : G/N → G/K, ψ(gN) = gK परिभाषित कीजिए। यह सुपरिभाषित है, क्योंकि gN = g′N ⇒ g⁻¹g′ ∈ N ⊆ K ⇒ gK = g′K; स्पष्टतः यह आच्छादक समाकारिता है।

ker ψ = {gN : gK = K} = {gN : g ∈ K} = K/N। अतः K/N ⊴ G/N और (G/N)/(K/N) ≅ G/K: 'N कट जाता है'। उदाहरण: (ℤ/12ℤ)/(4ℤ/12ℤ) ≅ ℤ/4ℤ।

11. व्युत्पत्ति: समाकारिताओं ℤ_m → ℤ_n की संख्या

समाकारिता f, a = f(1) से निर्धारित है, क्योंकि f(k) = ka। नियम k ↦ ka (mod n), ℤ_m पर सुपरिभाषित है यदि और केवल यदि ma ≡ 0 (mod n), अर्थात् यदि और केवल यदि o(a), m को विभाजित करे।

d = gcd(m, n) लेकर: n | ma ⇔ (n/d) | (m/d)a ⇔ (n/d) | a। ℤ_n में n/d के गुणज d हैं, अतः ठीक gcd(m, n) समाकारिताएँ हैं, f(k) = j(n/d)k, j = 0, 1, ..., d − 1।

जाँच: ℤ₁₂ → ℤ₃₀ की gcd(12, 30) = 6 समाकारिताएँ हैं (नीचे उदाहरण 5), और gcd(m, n) = 1 होने पर ℤ_m → ℤ_n की केवल तुच्छ समाकारिता है।

12. विधि का चयन

यदि N ⊴ G दिखाना हो → इस क्रम में आज़माइए: G आबेली; [G : N] = 2; N किसी प्राकृतिक समाकारिता (det, sgn, प्रक्षेप, 'विकर्ण अवयव पढ़ना') की अष्टि है; N अपनी कोटि का एकमात्र उपसमूह है; अंत में प्रत्यक्ष जाँच gng⁻¹ ∈ N।

यदि दिखाना हो कि N प्रसामान्य नहीं है → एक स्पष्ट युग्म g ∈ G, n ∈ N जिसके लिए gng⁻¹ ∉ N, पर्याप्त है।

यदि G/N को पहचानना हो → अष्टि N वाली आच्छादक समाकारिता खोजिए और प्रथम प्रमेय लगाइए (ऊपर की पाँच-चरण विधि); छोटे परिमित विभाग समूह के लिए उसकी कोटि और अवयवों की कोटियाँ प्रायः निर्णय कर देती हैं।

यदि समाकारिताएँ G → G′ गिननी या खोजनी हों → जनकों को ऐसे अवयवों पर भेजिए जिनकी कोटियाँ उनकी कोटियों को (और |G′| को) विभाजित करें, और परिभाषक संबंध जाँचिए।

यदि पूछा जाए कि आच्छादक समाकारिता G → G′ है या नहीं → |G′|, |G| को विभाजित करे, और G का ऐसा प्रसामान्य उपसमूह N हो कि G/N ≅ G′।

यदि G ≅ G′ का निर्णय करना हो → 'नहीं' के लिए निश्चर (invariants) तुलना कीजिए: कोटि, आबेली या नहीं, चक्रीय या नहीं, प्रत्येक कोटि के अवयवों की संख्या, केंद्र, x² = a जैसे समीकरणों की हलनीयता (उदाहरण 6 की विधि)।

13. सामान्य गलतियाँ

gNg⁻¹ = N के स्थान पर gn = ng जाँचना: अवयवशः क्रमविनिमेयता बहुत प्रबल शर्त है और प्रायः असत्य होती है; केवल समुच्चय समता gN = Ng चाहिए।

अप्रसामान्य H के लिए G/H बनाना: S₃/{e, (1 2)} समूह नहीं है (ऊपर की व्युत्पत्ति देखिए)। सदा लिखिए 'N प्रसामान्य है, अतः G/N समूह है'।

सहसमुच्चयों पर प्रतिचित्र को सुपरिभाषित जाँचे बिना परिभाषित करना: ℤ₁₂ से ℤ₅ में k ↦ k mod 5 फलन नहीं है, क्योंकि ℤ₁₂ में 0 = 12 पर ℤ₅ में 0 ≠ 2।

'आच्छादक' छोड़ देना: इसके बिना प्रथम प्रमेय केवल G/ker f ≅ f(G) देता है, ≅ G′ नहीं।

विभाग समूह से गुण ऊपर ले जाना: G/N आबेली (या चक्रीय) होने से G आबेली नहीं होता; S₃/A₃ ≅ ℤ₂। याद रखने योग्य एकमात्र अपवाद N = Z(G) है जब G/Z(G) चक्रीय हो।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: रैखिक बीजगणित का कोटि–शून्यता प्रमेय (rank–nullity theorem) सदिश समष्टियों का प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय है: V/ker T ≅ T(V), अतः dim V − nullity T = rank T।

संबंध: यही तीन प्रमेय वलयों के लिए भी सत्य हैं, प्रसामान्य उपसमूहों के स्थान पर गुणजावलियों (ideals) के साथ (वलय प्रकरण); और t ↦ e^2πit द्वारा ℝ/ℤ ≅ इकाई वृत्त, आवर्ती फलनों और फूरिये श्रेणी (PDE अध्याय) के पीछे का बीजगणित है।

15. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 3: यदि H समूह G में कोटि m का एकमात्र उपसमूह है, तो दिखाइए कि H ⊴ G।

g ∈ G के लिए प्रतिचित्रण x ↦ gxg⁻¹, G की स्वसमाकारिता है, अतः gHg⁻¹, G का उपसमूह है।

यह प्रतिचित्रण एकैकी है, अतः o(gHg⁻¹) = o(H) = m। अद्वितीयता से प्रत्येक g ∈ G के लिए gHg⁻¹ = H, अतः H ⊴ G।

अनुप्रयोग: A₃ = ⟨(1 2 3)⟩, S₃ में कोटि 3 का एकमात्र उपसमूह है, अतः यह S₃ में प्रसामान्य है।

उदाहरण 4: सिद्ध कीजिए कि यदि G/Z(G) चक्रीय है, तो G आबेली है।

Z = Z(G) लिखिए और मान लीजिए G/Z = ⟨gZ⟩। प्रत्येक सहसमुच्चय किसी पूर्णांक m के लिए g^mZ है, अतः प्रत्येक a ∈ G का रूप a = g^mz है, जहाँ z ∈ Z।

a = g^mz₁ और b = gⁿz₂ लीजिए। चूँकि z₁, z₂ प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय हैं, ab = g^m+nz₁z₂ = g^n+mz₂z₁ = ba।

अतः G आबेली है; तब Z(G) = G, इसलिए वास्तव में G/Z(G) तुच्छ है। इस प्रकार G/Z(G) कभी भी अतुच्छ चक्रीय समूह नहीं हो सकता।

उदाहरण 5: ℤ₁₂ से ℤ₃₀ में सभी समूह समाकारिताएँ ज्ञात कीजिए।

समाकारिता f, a = f(1) से निर्धारित है, क्योंकि f(x) = xa (mod 30)। यह नियम सुपरिभाषित है यदि और केवल यदि 12a ≡ 0 (mod 30)।

30 | 12a ⇔ 5 | 2a ⇔ 5 | a, अतः a ∈ {0, 5, 10, 15, 20, 25}।

अतः ठीक gcd(12, 30) = 6 समाकारिताएँ हैं, f(x) = 5kx (mod 30), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5; कोई भी आच्छादी नहीं है, क्योंकि प्रतिबिंब में अधिकतम 12 अवयव हैं और ℤ₃₀ में 30।

उदाहरण 6: सिद्ध या असिद्ध कीजिए: (ℚ, +) ≅ (ℚ⁺, ·)।

मान लीजिए f : ℚ → ℚ⁺ तुल्याकारिता है। f आच्छादी है, अतः किसी a ∈ ℚ के लिए f(a) = 2।

तब 2 = f(a) = f(a/2 + a/2) = f(a/2)², अतः r = f(a/2) एक धनात्मक परिमेय संख्या है जिसके लिए r² = 2।

यह असंभव है क्योंकि √2 अपरिमेय है। अतः (ℚ, +) और (ℚ⁺, ·) तुल्याकारी नहीं हैं।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): मान लीजिए G सभी 2 × 2 के वास्तविक आव्यूहों [[x, y], [0, z]] का समुच्चय है, जहाँ कि xz ≠ 0. दर्शाइए कि G आव्यूह गुणन के अन्तर्गत एक समूह है। मान लीजिए N उपसमुच्चय {[[1, a], [0, 1]] : a ∈ ℝ} को द्योतित करता है। क्या N समूह G का सामान्य (नॉर्मल) उपसमूह है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए।

संवरक: [[x, y], [0, z]]·[[x′, y′], [0, z′]] = [[xx′, xy′ + yz′], [0, zz′]], और (xx′)(zz′) = (xz)(x′z′) ≠ 0।

आव्यूह गुणन साहचर्य है; I = [[1, 0], [0, 1]] ∈ G; और [[1/x, −y/(xz)], [0, 1/z]] ∈ G, [[x, y], [0, z]] का प्रतिलोम है। अतः G एक (अनाबेली) समूह है।

φ : G → ℝ^* × ℝ^*, φ([[x, y], [0, z]]) = (x, z) परिभाषित कीजिए। गुणन सूत्र से φ(AB) = (xx′, zz′) = φ(A)φ(B), अतः φ समाकारिता है।

ker φ = {A ∈ G : x = z = 1} = {[[1, a], [0, 1]] : a ∈ ℝ} = N। समाकारिता की अष्टि प्रसामान्य उपसमूह होती है, अतः N ⊴ G।

प्रत्यक्ष जाँच: A = [[x, y], [0, z]] के लिए A[[1, a], [0, 1]]A⁻¹ = [[1, xa/z], [0, 1]] ∈ N।

उत्तर: G समूह है और N, G का प्रसामान्य उपसमूह है (A ↦ (x, z) की अष्टि); साथ ही G/N ≅ ℝ^* × ℝ^*, क्योंकि φ आच्छादी है।

उदाहरण 8 (UPSC 2018, 15 अंक): दर्शाइए कि (ℝ, +) मोड्यूलो ℤ का विभाग समूह, सम्मिश्र तल में एकांक वृत्त पर सम्मिश्र संख्याओं के गुणनात्मक समूह से तुल्यकारी होता है। यहाँ पर ℝ, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा ℤ पूर्णांकों का समुच्चय है।

गुणन के अंतर्गत T = {z ∈ ℂ : |z| = 1} लीजिए, और φ : ℝ → T, φ(t) = e^2πit = cos 2πt + i sin 2πt परिभाषित कीजिए।

φ(s + t) = e^2πi(s+t) = e^2πise^2πit = φ(s)φ(t), अतः φ, (ℝ, +) से (T, ·) में समाकारिता है।

आच्छादी: प्रत्येक z ∈ T किसी θ ∈ [0, 2π) के लिए e^iθ है, और तब z = φ(θ/(2π))।

अष्टि: e^2πit = 1 ⇔ cos 2πt = 1 और sin 2πt = 0 ⇔ t ∈ ℤ, अतः ker φ = ℤ।

प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से ℝ/ℤ ≅ T।

उत्तर: ℝ/ℤ ≅ T, तुल्याकारिता t + ℤ ↦ e^2πit है।

उदाहरण 9 (UPSC 2019, 10 अंक): यदि G और H परिमित समूह हैं जिनकी कोटियां सापेक्षतः अभाज्य हैं, तो सिद्ध करें कि G से H तक केवल एक ही समाकारिता होमोमोर्फिज्म है जो कि तुच्छ है।

मान लीजिए f : G → H अष्टि K वाली समाकारिता है। प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से G/K ≅ f(G), अतः o(f(G)) = o(G)/o(K), o(G) को विभाजित करती है।

f(G), H का उपसमूह है, अतः लग्रांज से o(f(G)), o(H) को विभाजित करती है।

अतः o(f(G)), gcd(o(G), o(H)) = 1 को विभाजित करती है, अतः f(G) = {e_H}: प्रत्येक g ∈ G के लिए f(g) = e_H।

तुच्छ प्रतिचित्रण g ↦ e_H सदा समाकारिता है, अतः केवल यही समाकारिता है।

उत्तर: G → H की एकमात्र समाकारिता तुच्छ समाकारिता है।

उदाहरण 10 (UPSC 2019, 10 अंक): समूह Z₁₂ के सभी विभाग समूह लिखिए।

ℤ₁₂ चक्रीय, अतः आबेली है, इसलिए प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है। इसके उपसमूह d = 1, 2, 3, 4, 6, 12 के लिए ⟨d⟩ (⟨12⟩ = ⟨0⟩) हैं, जिनकी कोटियाँ 12, 6, 4, 3, 2, 1 हैं।

ℤ₁₂/⟨0⟩ ≅ ℤ₁₂, और ℤ₁₂/⟨1⟩ = {ℤ₁₂} तुच्छ समूह है।

ℤ₁₂/⟨2⟩ = {⟨2⟩, 1 + ⟨2⟩} ≅ ℤ₂, जहाँ ⟨2⟩ = {0, 2, 4, 6, 8, 10}।

ℤ₁₂/⟨3⟩ = {⟨3⟩, 1 + ⟨3⟩, 2 + ⟨3⟩} ≅ ℤ₃, जहाँ ⟨3⟩ = {0, 3, 6, 9}।

ℤ₁₂/⟨4⟩ = {⟨4⟩, 1 + ⟨4⟩, 2 + ⟨4⟩, 3 + ⟨4⟩} ≅ ℤ₄, जहाँ ⟨4⟩ = {0, 4, 8}।

ℤ₁₂/⟨6⟩ = {k + ⟨6⟩ : k = 0, 1, ..., 5} ≅ ℤ₆, जहाँ ⟨6⟩ = {0, 6}।

उत्तर: तुल्याकारिता तक ℤ₁₂ के विभाग समूह ℤ₁₂, ℤ₆, ℤ₄, ℤ₃, ℤ₂ और तुच्छ समूह हैं, सभी चक्रीय।

उदाहरण 11 (UPSC 2020, 10 अंक): मान लीजिए कि S₃ व Z₃ क्रमशः 3 प्रतीकों का क्रमचय समूह एवं मॉड्यूल 3 अवशिष्ट वर्गों के समूह हैं। दर्शाइए कि S₃ का Z₃ में तुच्छ समाकारिता के अतिरिक्त कोई भी समाकारिता नहीं है।

मान लीजिए f : S₃ → ℤ₃ समाकारिता है। पक्षांतरण τ की कोटि 2 है, अतः o(f(τ)), 2 को विभाजित करती है; यह o(ℤ₃) = 3 को भी विभाजित करती है। अतः o(f(τ)) = 1, अर्थात f(τ) = 0।

S₃ अपने पक्षांतरणों से जनित है (उदाहरणतः (1 2 3) = (1 3)(1 2)), अतः प्रत्येक σ ∈ S₃ के लिए f(σ) = 0।

वैकल्पिक रूप से: अतुच्छ f का प्रतिबिंब 3 कोटि का होगा, अतः ker f, 6/3 = 2 कोटि का प्रसामान्य उपसमूह होगा। परंतु 2 कोटि का कोई उपसमूह प्रसामान्य नहीं है; जैसे (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) ∉ {e, (1 2)}।

उत्तर: S₃ → ℤ₃ की एकमात्र समाकारिता तुच्छ है।

उदाहरण 12 (UPSC 2023, 10 अंक): मान लीजिए कोटि 10 का एक समूह G है तथा कोटि 6 का एक समूह G′ है। जाँच कीजिए कि क्या G से G′ पर एक आच्छादक समाकारिता का अस्तित्व है।

मान लीजिए f : G → G′ आच्छादी समाकारिता है। प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से G/ker f ≅ G′, अतः o(G′) = o(G)/o(ker f)।

तब 6 · o(ker f) = 10, जो असंभव है क्योंकि 6, 10 को विभाजित नहीं करता।

(G′ में समाकारिताएँ विद्यमान हैं, जैसे तुच्छ समाकारिता; प्रत्येक प्रतिबिंब की कोटि gcd(10, 6) = 2 को विभाजित करती है।)

उत्तर: G से G′ पर कोई आच्छादी समाकारिता विद्यमान नहीं है।

उदाहरण 13 (UPSC 2024, 15 अंक): दर्शाइए कि एक आबेली समूह का प्रत्येक समाकारी प्रतिबिम्ब आबेली है, लेकिन इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

मान लीजिए G आबेली है और f : G → G′ समाकारिता है। x, y ∈ f(G) के लिए x = f(a), y = f(b) लिखिए। तब xy = f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a) = yx।

अतः f(G) आबेली है; समतुल्यतः, आबेली समूह का प्रत्येक विभाग समूह आबेली है।

विलोम असत्य है: sgn : S₃ → {1, −1} आबेली प्रतिबिंब वाली आच्छादी समाकारिता है, परंतु S₃ आबेली नहीं है, क्योंकि (1 2)(1 3) = (1 3 2) जबकि (1 3)(1 2) = (1 2 3)।

उत्तर: आबेली समूहों के समाकारी प्रतिबिंब आबेली होते हैं; S₃ → {±1} दिखाता है कि अनाबेली समूह का प्रतिबिंब आबेली हो सकता है।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): क्या V = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, S₄ का प्रसामान्य उपसमूह है?

उत्तर: हाँ। V संवृत है (दो अतत्समक अवयवों का गुणनफल तीसरा है), और यह वर्गों {e} तथा 'दो असंयुक्त पक्षांतरणों के सभी गुणनफल' का सम्मिलन है, अतः प्रत्येक संयुग्मी V में ही रहता है।

अभ्यास 2 (मूल): क्या विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह D, GL(2, ℝ) में प्रसामान्य है?

उत्तर: नहीं। g = [[1, 1], [0, 1]] और d = diag(1, 2) के साथ gdg⁻¹ = [[1, 1], [0, 2]], जो विकर्ण नहीं है।

अभ्यास 3 (मूल): ℤ₁₈/⟨6⟩ में अवयव 3 + ⟨6⟩ की कोटि ज्ञात कीजिए, और विभाग समूह की पहचान कीजिए।

उत्तर: ⟨6⟩ = {0, 6, 12}, अतः विभाग समूह की कोटि 6 है और यह ≅ ℤ₆। चूँकि 3 ∉ ⟨6⟩ और 2·3 = 6 ∈ ⟨6⟩, कोटि 2 है।

अभ्यास 4 (मानक): ℤ₈ से ℤ₁₂ में सभी समाकारिताएँ ज्ञात कीजिए। क्या इनमें से कोई आच्छादक है?

उत्तर: f(x) = ax जहाँ 8a ≡ 0 (mod 12), अर्थात a ∈ {0, 3, 6, 9}: gcd(8, 12) = 4 समाकारिताएँ। कोई आच्छादक नहीं, क्योंकि प्रतिबिंब में अधिकतम 8 अवयव हैं।

अभ्यास 5 (मानक): G = ℤ × ℤ में N = {(a, b) : a + b सम है} लें। दिखाइए कि N ⊴ G और G/N ≅ ℤ₂।

उत्तर: f(a, b) = (a + b) mod 2, G → ℤ₂ एक आच्छादक समाकारिता है जिसकी अष्टि N है; प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय लगाएँ (N अष्टि होने से, या G आबेली होने से, प्रसामान्य है)।

अभ्यास 6 (मानक): दिखाइए कि ℂ^*/ℝ⁺ ≅ T, जहाँ ℝ⁺ धन वास्तविक संख्याओं का समूह और T एकक वृत्त है, सभी गुणन के अंतर्गत।

उत्तर: f(z) = z/|z|, f(zw) = f(z)f(w) को संतुष्ट करता है, आच्छादक है (u ∈ T के लिए f(u) = u), और f(z) = 1 यदि और केवल यदि z धन वास्तविक हो। अतः ker f = ℝ⁺।

अभ्यास 7 (मानक): मान लें N ⊴ G और [G : N] = m परिमित है। सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक g ∈ G के लिए g^m ∈ N।

उत्तर: G/N कोटि m का समूह है, अतः लग्रांज से (gN)^m = N, अर्थात g^mN = N, अर्थात g^m ∈ N।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि समूह G आबेली है यदि और केवल यदि प्रतिचित्र x ↦ x⁻¹, G की स्वसमाकारिता है।

उत्तर: प्रतिचित्र सदा एकैकी आच्छादक है (यह स्वयं अपना प्रतिलोम है)। यह समाकारिता है यदि और केवल यदि सभी a, b के लिए (ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹, अर्थात b⁻¹a⁻¹ = a⁻¹b⁻¹; प्रतिलोम लेने पर इसका अर्थ ab = ba है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): H ≤ G और N ⊴ G परिमित हैं, o(H) = 10, o(N) = 15 और o(H ∩ N) = 5। o(HN) और [HN : N] ज्ञात कीजिए, और द्वितीय तुल्याकारिता प्रमेय की जाँच कीजिए।

उत्तर: o(HN) = 10·15/5 = 30 और [HN : N] = 30/15 = 2, जो [H : H ∩ N] = 10/5 = 2 के बराबर है, जैसा HN/N ≅ H/(H ∩ N) माँगता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): S₃ के सभी प्रसामान्य उपसमूह और, तुल्याकारिता तक, S₃ के सभी विभाग समूह ज्ञात कीजिए।

उत्तर: {e}, A₃ और S₃ (कोटि 2 के तीनों उपसमूह प्रसामान्य नहीं हैं)। विभाग समूह S₃/{e} ≅ S₃, S₃/A₃ ≅ ℤ₂ और तुच्छ समूह हैं।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): दिखाइए कि ℚ/ℤ एक अपरिमित समूह है जिसमें प्रत्येक अवयव की कोटि परिमित है।

उत्तर: q·(p/q + ℤ) = p + ℤ = ℤ, अतः p/q + ℤ की कोटि q को विभाजित करती है। सहसमुच्चय 1/n + ℤ (n ≥ 2) भिन्न हैं, क्योंकि 2 ≤ m < n के लिए 1/m − 1/n ∉ ℤ, अतः ℚ/ℤ अपरिमित है।

1. क्रमचय और चक्र संकेतन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वस्तुओं की पुनर्व्यवस्थाएँ हर जगह मिलती हैं: ताश फेंटना, बहुभुज के शीर्षों का पुनर्नामकरण, बहुपद के मूलों का क्रमचय। केली प्रमेय से प्रत्येक समूह इन्हीं के बीच रहता है।

इनके साथ गणना के लिए हमें एक संक्षिप्त संकेतन और दो पुनर्व्यवस्थाओं के संयोजन का एक निश्चित नियम चाहिए।

शब्दों में: {1, 2, ..., n} का क्रमचय (permutation) σ एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्र है: प्रत्येक प्रतीक ठीक एक प्रतीक पर जाता है, और कोई दो प्रतीक एक ही स्थान पर नहीं जाते। S_n इन सबका समुच्चय है; इसमें n! अवयव हैं।

चक्र (a₁ a₂ ... a_k) प्रत्येक a_i को अगले पर और a_k को वापस a₁ पर भेजता है; जो प्रतीक नहीं लिखे गए वे स्थिर रहते हैं। गुणनफल στ का अर्थ 'पहले τ, फिर σ' (दाएँ से बाएँ) है, फलनों के संयोजन की भाँति।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: S₅ में मान लें σ(1) = 3, σ(2) = 5, σ(3) = 1, σ(4) = 4, σ(5) = 2।

चरण 1: 1 से आरंभ करें और तीरों का अनुसरण करें: 1 → 3 → 1। चक्र बंद होता है, जिससे (1 3) मिलता है।

चरण 2: सबसे छोटा अप्रयुक्त प्रतीक 2 है: 2 → 5 → 2, जिससे (2 5) मिलता है। चरण 3: 4 → 4 स्थिर है और लिखा नहीं जाता। अतः σ = (1 3)(2 5)।

चरण 4: τ = (1 2 3) के साथ संयोजन करें, पहले τ लगाते हुए। 1: τ(1) = 2, σ(2) = 5, अतः 1 → 5। 5: τ(5) = 5, σ(5) = 2, अतः 5 → 2। 2: τ(2) = 3, σ(3) = 1, अतः 2 → 1। 3 और 4 स्थिर हैं। अतः στ = (1 5 2)।

चरण 5: दूसरे क्रम में τσ = (2 5 3)। अतः στ ≠ τσ: ध्यान दें कि S_n में संयोजन का क्रम मायने रखता है।

अ-उदाहरण (non-example): {1, 2, 3} पर नियम 1 → 2, 2 → 2, 3 → 1 क्रमचय नहीं है, क्योंकि 1 और 2 दोनों 2 पर जाते हैं (यह एकैकी नहीं है)। साथ ही (1 2)(2 3) चक्रों का गुणनफल तो है पर असंयुक्त चक्रों का नहीं; इसका असंयुक्त रूप (1 2 3) है।

आगे बढ़ते हुए: (1) तीरों का अनुसरण सदा एक चक्र बंद करता है, क्योंकि σ एकैकी है और प्रतीक परिमित हैं। (2) असंयुक्त चक्र क्रमविनिमेय हैं, क्योंकि वे भिन्न प्रतीकों को हिलाते हैं।

(3) अतः σ की कोटि उसके असंयुक्त चक्रों की लंबाइयों का lcm है: (1 3)(2 5) की कोटि 2 है। (4) प्रतिलोम प्रत्येक चक्र को उलट देता है: (1 5 2)⁻¹ = (2 5 1) = (1 2 5)।

कहाँ प्रयोग होता है: S_n की प्रत्येक गणना (कोटि, घातें, समता, संयुग्मी) असंयुक्त चक्र लिखने से आरंभ होती है, और केली प्रमेय किसी भी परिमित समूह को ऐसे क्रमचयों में बदल देता है।

2. सम और विषम क्रमचयों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रत्येक पुनर्व्यवस्था एक बार में दो वस्तुओं की अदला-बदली करके की जा सकती है। हम जानना चाहते हैं कि 'सम संख्या में अदला-बदली' स्वयं क्रमचय का गुणधर्म है, न कि उसे करने के हमारे चुने हुए ढंग का।

इसका उत्तर प्रत्यावर्ती समूह A_n और वह चिह्न देता है जो प्रत्येक सारणिक में आता है।

शब्दों में: पक्षांतरण (a b) दो प्रतीकों की अदला-बदली करता है और शेष को स्थिर रखता है। प्रत्येक क्रमचय अनेक ढंगों से पक्षांतरणों का गुणनफल है, परंतु समता प्रमेय (parity theorem) से गुणनखंडों की संख्या सदा सम या सदा विषम रहती है।

तदनुसार σ सम या विषम है, और sgn σ = +1 या −1। k-चक्र, k − 1 पक्षांतरणों का गुणनफल है, अतः इसका चिह्न (−1)^k−1 है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 5-चक्र σ = (1 4 2 5 3) लें। नियम (a₁ ... a_k) = (a₁ a_k)(a₁ a_k−1)···(a₁ a₂) से σ = (1 3)(1 5)(1 2)(1 4)।

चरण 1 (एक प्रतीक की जाँच): गुणनखंडों को दाएँ से बाएँ लगाने पर (1 4) से 1 → 4, और शेष तीन गुणनखंड 4 को स्थिर रखते हैं; अतः 1 → 4, जैसा σ में है।

चरण 2: σ, 4 पक्षांतरणों का गुणनफल है, अतः σ सम है। (1 2)(1 2) = e जोड़ने पर 6 पक्षांतरणों का गुणनफल मिलता है: फिर भी सम, जैसा समता प्रमेय कहता है।

चरण 3 (चक्रों का गुणनफल): τ = (1 2)(3 4 5 6) के लिए असंयुक्त चक्रों पर (k − 1) जोड़ें: 1 + 3 = 4, अतः τ सम है।

अ-उदाहरण (non-example): समता को कोटि से नहीं पढ़ा जा सकता। (1 2) और (1 2)(3 4) दोनों की कोटि 2 है, परंतु पहला विषम और दूसरा सम है।

आगे बढ़ते हुए: (1) समता प्रमेय गुणनफल Δ से सिद्ध होता है (नीचे व्युत्पत्ति 'समता सुपरिभाषित क्यों है')। (2) अतः sgn : S_n → {1, −1} एक समाकारिता है, जो n ≥ 2 के लिए आच्छादक है।

(3) A_n = ker sgn सूचकांक 2 और कोटि n!/2 का प्रसामान्य उपसमूह है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8)। (4) विषम क्रमचय सहसमुच्चय (1 2)A_n बनाते हैं; वे उपसमूह नहीं हैं, क्योंकि उनमें e नहीं है।

कहाँ प्रयोग होता है: A_n में सदस्यता तय करने में, सारणिक प्रसार के चिह्न में, यह दिखाने में कि विषम कोटि का उपसमूह A_n में होता है, और प्रसिद्ध 15-पहेली की असंभवता में।

3. S_n में संयुग्मता और चक्र प्रकार को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो क्रमचय भिन्न नाम वाले प्रतीकों के साथ 'एक ही काम' कर सकते हैं। इसे पहचानने से तीन सामान्य प्रश्नों का उत्तर मिलता है: क्या σ और ρ संयुग्मी हैं, दी गई कोटि के कितने अवयव हैं, और कौन-से उपसमूह प्रसामान्य हैं?

शब्दों में: τστ⁻¹, वही σ है जिसके प्रत्येक प्रतीक का नाम τ द्वारा बदला गया हो: σ के चक्र रूप में प्रत्येक प्रतीक i के स्थान पर τ(i) लिखें। σ का चक्र प्रकार (cycle type) उसके असंयुक्त चक्रों की लंबाइयों की सूची है, जैसे (1 2 3)(4 5) के लिए (3)(2)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: S₅ में σ = (1 2 3)(4 5) और τ = (1 5 3) लें, अतः τ(1) = 5, τ(2) = 2, τ(3) = 1, τ(4) = 4, τ(5) = 3।

चरण 1: प्रत्येक चक्र के भीतर नाम बदलें: (1 2 3) बन जाता है (τ(1) τ(2) τ(3)) = (5 2 1), और (4 5) बन जाता है (τ(4) τ(5)) = (4 3)।

चरण 2: अतः τστ⁻¹ = (5 2 1)(4 3) = (1 5 2)(3 4)। चरण 3 (एक प्रतीक की सीधी जाँच): τ⁻¹(5) = 1, σ(1) = 2, τ(2) = 2, अतः 5 → 2, जैसा चक्र (1 5 2) कहता है।

ध्यान देने की बात: चक्र-लंबाइयाँ 3 और 2 नहीं बदलीं; केवल चक्रों के भीतर के नाम बदले।

अ-उदाहरण (non-example): S₄ में (1 2 3) और (1 2)(3 4) संयुग्मी नहीं हैं, क्योंकि उनके चक्र प्रकार (3)(1) और (2)(2) भिन्न हैं; कोई भी पुनर्नामकरण 3-चक्र को दो 2-चक्रों में नहीं बदल सकता। उनकी कोटियाँ 3 और 2 भी भिन्न हैं।

आगे बढ़ते हुए: (1) पुनर्नामकरण नियम नीचे व्युत्पत्ति 'पुनर्नामकरण नियम और वर्ग आकार' में सिद्ध है। (2) विलोमतः, यदि σ और ρ का चक्र प्रकार समान है, तो समान लंबाई के चक्रों को एक के नीचे एक लिखें; स्तंभों को नीचे पढ़ने से ऐसा τ मिलता है कि τστ⁻¹ = ρ।

(3) अतः S_n के संयुग्मी वर्ग ठीक चक्र प्रकार हैं, जिनके आकार n!/∏(k^m_k·m_k!) हैं। (4) प्रसामान्य उपसमूह पूरे वर्गों का सम्मिलन होता है, इसीलिए V₄ ⊴ S₄।

कहाँ प्रयोग होता है: दी गई कोटि के अवयव गिनने, वर्ग समीकरण लिखने, τστ⁻¹ = ρ वाला τ खोजने, और यह सिद्ध करने में कि A₄ में कोटि 6 का उपसमूह नहीं है।

4. केली प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: क्या क्रमचय समूहों का अध्ययन एक विशेष स्थिति है, या प्रत्येक समूह वहाँ आता है? केली प्रमेय कहता है कि प्रत्येक समूह किसी क्रमचय समूह के तुल्याकारी है, अतः समूह के अवयवों को पुनर्व्यवस्थाएँ मानने से कुछ नहीं खोता।

शब्दों में: प्रत्येक a ∈ G के लिए प्रतिचित्र T_a(x) = ax समुच्चय G को पुनर्व्यवस्थित करता है (यह G का क्रमचय है)। नियम a ↦ T_a, G से Sym(G) में एकैकी समाकारिता है।

'Sym(G) के उपसमूह के तुल्याकारी' का अर्थ है: प्रतिबिंब {T_a : a ∈ G}, Sym(G) का उपसमूह है, और G उस प्रतिबिंब के तुल्याकारी है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: योग के अंतर्गत G = ℤ₃ = {0, 1, 2} लें, और 0, 1, 2 को हिलाए जाने वाले प्रतीक मानें।

चरण 1: T₀(x) = x तत्समक क्रमचय है। चरण 2: T₁, 0 → 1, 1 → 2, 2 → 0 भेजता है, जो चक्र (0 1 2) है।

चरण 3: T₂, 0 → 2, 2 → 1, 1 → 0 भेजता है, जो (0 2 1) है। चरण 4 (समाकारिता की जाँच): T₁T₁ = (0 1 2)² = (0 2 1) = T₂ = T₁₊₁।

चरण 5: प्रतिबिंब {e, (0 1 2), (0 2 1)} तीन प्रतीकों पर प्रत्यावर्ती समूह है, S₃ के भीतर ℤ₃ की एक प्रति। ध्यान दें कि प्रत्येक T_a केली सारणी में a की पंक्ति ही है।

अ-उदाहरण (non-example): दक्षिण गुणन R_a(x) = xa भी क्रमचय देता है, परंतु a ↦ R_a गुणनफलों को उलट देता है: R_aR_b(x) = xba = R_ba(x)। अनाबेली समूह में यह समाकारिता नहीं है; सुधार a ↦ R_a⁻¹ है।

आगे बढ़ते हुए: (1) निरसन से T_a एकैकी है, और T_a(a⁻¹y) = y होने से आच्छादक। (2) साहचर्य से T_aT_b = T_ab। (3) T_a = तत्समक से a = ae = e। (4) प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से निष्कर्ष निकालें (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7)।

G के स्थान पर उपसमूह H के सहसमुच्चयों पर क्रिया करने से नीचे दिया गया व्यापक केली प्रमेय मिलता है, जो G/K को कहीं छोटे S_n में अंतःस्थापित करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: स्वयं मानक उपपत्ति प्रश्न में, कोटि n के समूह को S_n में अंतःस्थापित करने में, और 'A₅ में सूचकांक 2, 3 या 4 का उपसमूह नहीं है' जैसे सूचकांक तर्कों में।

5. क्रमचय और चक्र

क्रमचय (permutation): किसी समुच्चय का स्वयं पर एकैकी आच्छादी प्रतिचित्रण। S_n, {1, 2, ..., n} के सभी क्रमचयों का संयोजन के अंतर्गत समूह है, और o(S_n) = n!।

भाव: क्रमचय (permutation) को नामांकित आसनों की पुनर्व्यवस्था समझिए; दो क्रमचयों का संयोजन एक पुनर्व्यवस्था के बाद दूसरी करना है। उन्हें करने का क्रम महत्त्वपूर्ण है, इसीलिए ऊपर के चित्र में S₃ की केली सारणी अपने मुख्य विकर्ण के परितः सममित नहीं है।

अनाबेली: n ≥ 3 के लिए S_n अनाबेली है; उदाहरणतः (1 2)(1 3) ≠ (1 3)(1 2)।

चक्र (cycle): (a₁ a₂ ... a_k), a₁ → a₂ → ... → a_k → a₁ भेजता है और शेष प्रतीकों को स्थिर रखता है; 2-चक्र को पक्षांतरण (transposition) कहते हैं।

असंयुक्त चक्र वियोजन: प्रत्येक क्रमचय असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, जो गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर अद्वितीय है; असंयुक्त चक्र क्रमविनिमेय होते हैं।

यह क्यों काम करता है: सबसे छोटे प्रतीक a से आरंभ कर a → σ(a) → σ²(a) → ... का अनुसरण कीजिए; प्रतीक परिमित हैं और σ एकैकी है, अतः पहला दोहराया गया मान स्वयं a होगा, जो एक चक्र पूरा करता है। फिर अब तक अप्रयुक्त सबसे छोटे प्रतीक से दोहराइए। असंयुक्त चक्र क्रमविनिमेय होते हैं क्योंकि वे भिन्न प्रतीकों को हिलाते हैं।

कोटि: क्रमचय की कोटि उसके असंयुक्त चक्रों की लंबाइयों का लघुत्तम समापवर्त्य (lcm) है।

यह क्यों काम करता है: यदि σ = c₁c₂···c_r, जहाँ चक्र असंयुक्त हैं और लंबाइयाँ k_i हैं, तो σ^m = c₁^m···c_r^m (वे क्रमविनिमेय हैं), और यह तत्समक है यदि और केवल यदि प्रत्येक c_i^m = e, अर्थात् प्रत्येक k_i, m को विभाजित करे। नियम के लिए असंयुक्तता आवश्यक है: (1 2)(2 3) = (1 2 3) की कोटि 3 है, lcm(2, 2) = 2 नहीं।

प्रतिलोम: (a₁ a₂ ... a_k)⁻¹ = (a_k ... a₂ a₁)।

परिपाटी: इन नोट्स में στ का अर्थ है पहले τ, फिर σ (दाएँ से बाएँ); उत्तर में अपनी परिपाटी स्पष्ट लिखिए।

6. सम और विषम क्रमचय

पक्षांतरण: (a₁ a₂ ... a_k) = (a₁ a_k)(a₁ a_k−1)...(a₁ a₂), अतः k-चक्र k − 1 पक्षांतरणों का गुणनफल है।

समता प्रमेय: कोई भी क्रमचय सम संख्या और विषम संख्या, दोनों प्रकार के पक्षांतरणों के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

चिह्न नियम: यदि असंयुक्त चक्रों की लंबाइयाँ k₁, ..., k_r हैं, तो क्रमचय सम है यदि और केवल यदि ∑(k_i − 1) सम हो; सम लंबाई का चक्र विषम होता है।

प्रत्यावर्ती समूह (alternating group): A_n, सम क्रमचयों का समुच्चय, S_n का सूचकांक 2 का प्रसामान्य उपसमूह है, अतः n ≥ 2 के लिए o(A_n) = n!/2।

भाव: A_n चिह्न समाकारिता sgn : S_n → {1, −1} की अष्टि है, जो n ≥ 2 के लिए आच्छादक है; अतः A_n स्वतः सूचकांक 2 का प्रसामान्य उपसमूह है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8 में सिद्ध)। विषम क्रमचय दूसरा सहसमुच्चय (1 2)A_n बनाते हैं और उपसमूह नहीं बनाते।

जनक: S_n पक्षांतरणों से जनित है, और दो अवयवों (1 2) तथा (1 2 ... n) से भी; A_n (n ≥ 3) 3-चक्रों से जनित है।

यह क्यों काम करता है: प्रत्येक चक्र पक्षांतरणों (transpositions) का गुणनफल है, अतः पक्षांतरण S_n को जनित करते हैं। सम क्रमचय पक्षांतरणों के युग्मों का गुणनफल है, और प्रत्येक युग्म 3-चक्रों का गुणनफल है: (a b)(a c) = (a c b), और भिन्न a, b, c, d के लिए (a b)(c d) = (a c b)(a c d)। अतः 3-चक्र A_n को जनित करते हैं।

7. S_n में संयुग्मता

पुनर्नामकरण नियम: σ(a₁ a₂ ... a_k)σ⁻¹ = (σ(a₁) σ(a₂) ... σ(a_k))।

संयुग्मी वर्ग (conjugacy classes): दो क्रमचय S_n में संयुग्मी हैं यदि और केवल यदि उनकी चक्र संरचना समान हो।

भाव: σ द्वारा संयुग्मन केवल प्रतीकों का नाम बदलता है, अतः चक्रों की लंबाइयाँ नहीं बदल सकता; विलोमतः समान चक्र-प्रकार (cycle type) वाले दो क्रमचयों को चक्र-दर-चक्र मिलाया जा सकता है, और यही मिलान नाम-परिवर्तन σ है (नीचे उदाहरण 6)।

गणना: S_n में k-चक्रों की संख्या n!/((n − k)!·k) है।

S₄ में जाँच: तत्समक 1, पक्षांतरण 6, 3-चक्र 8, 4-चक्र 6, दो असंयुक्त पक्षांतरणों के गुणनफल 3; कुल 24।

8. केली प्रमेय

कथन: प्रत्येक समूह G, Sym(G) अर्थात समुच्चय G के सभी क्रमचयों के समूह, के किसी उपसमूह के तुल्याकारी है। विशेषतः कोटि n का समूह S_n के किसी उपसमूह के तुल्याकारी है।

भाव: प्रत्येक समूह सममितियों का समूह है, अर्थात् अपने ही आधार समुच्चय की सममितियों का: अवयव a, x ↦ ax द्वारा G को 'फेंटता' है। केली सारणी (ऊपर का चित्र) में a की पंक्ति ठीक यही फेंटना है, और निरसन नियम के कारण प्रत्येक पंक्ति अवयवों का एक क्रमचय है। नीचे की उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7 में भी दी गई है।

उपपत्ति:

1. a ∈ G के लिए T_a : G → G, T_a(x) = ax परिभाषित कीजिए।

2. T_a एकैकी है, क्योंकि ax = ay ⇒ x = y, और आच्छादी है, क्योंकि T_a(a⁻¹y) = y; अतः T_a ∈ Sym(G)।

3. (T_aT_b)(x) = a(bx) = (ab)x = T_ab(x), अतः φ(a) = T_a, G से Sym(G) में समाकारिता है।

4. यदि T_a तत्समक प्रतिचित्रण है तो ae = e, अतः a = e; इसलिए φ एकैकी है।

5. अतः G ≅ φ(G) = {T_a : a ∈ G}, जो Sym(G) का उपसमूह है।

व्यापकीकृत केली प्रमेय: यदि H ≤ G और [G : H] = n, तो H के वाम सहसमुच्चयों पर G की क्रिया से समाकारिता G → S_n मिलती है जिसकी अष्टि H में समाविष्ट है।

उपयोग: अष्टि K, H के भीतर स्थित G का प्रसामान्य उपसमूह है, और G/K, S_n में अंतःस्थापित होता है, अतः [G : K], n! को विभाजित करता है। n = 2 के लिए इससे K = H होना पड़ता है, जो 'सूचकांक 2 ⇒ प्रसामान्य' को पुनः सिद्ध करता है। सरल समूह के लिए K = {e}, अतः |G|, n! को विभाजित करता है; इसलिए A₅ (कोटि 60) का सूचकांक 2, 3 या 4 का कोई उपसमूह नहीं है, अर्थात् कोटि 30, 20 या 15 का कोई नहीं।

उदाहरण 1: S₅ में σ = (1 2 3)(4 5) की कोटि और समता ज्ञात कीजिए।

चक्र असंयुक्त हैं और लंबाइयाँ 3 तथा 2 हैं, अतः o(σ) = lcm(3, 2) = 6। σ, 2 + 1 = 3 पक्षांतरणों का गुणनफल है, अतः σ विषम है।

उदाहरण 2: S₄ में (1 2 3)(2 3 4) ज्ञात कीजिए (दाएँ से बाएँ)।

1 → 1 → 2; 2 → 3 → 1; 3 → 4 → 4; 4 → 2 → 3। अतः (1 2 3)(2 3 4) = (1 2)(3 4), जो सम क्रमचय है, जैसा दो 3-चक्रों के गुणनफल से अपेक्षित है।

9. व्युत्पत्ति: समता सुपरिभाषित क्यों है

चरण 1: Δ = ∏_{i < j} (x_j − x_i) लीजिए, जो सभी युग्मों 1 ≤ i < j ≤ n पर गुणनफल है। σ ∈ S_n के लिए σΔ = ∏_{i < j} (x_σ(j) − x_σ(i)) लीजिए। प्रत्येक युग्म {i, j} अब भी ठीक एक बार आता है, संभवतः उलटे क्रम में, अतः σΔ = ±Δ; σΔ = sgn(σ)Δ लिखिए।

चरण 2: चरों पर पहले τ और फिर σ लगाने से (στ)Δ = σ(τΔ) = sgn(τ)·σΔ = sgn(σ)sgn(τ)Δ, अतः sgn एक समाकारिता S_n → {1, −1} है।

चरण 3: a < b वाले पक्षांतरण (a b) के लिए गुणनखंड x_b − x_a का चिह्न बदलता है। प्रत्येक अन्य प्रतीक c के लिए, c तथा a या b वाले दो गुणनखंड आपस में बदल जाते हैं, और उनके चिह्न-परिवर्तन युग्मों में निरस्त हो जाते हैं। अतः sgn(a b) = −1।

निष्कर्ष: r पक्षांतरणों के गुणनफल का चिह्न (−1)^r है। यदि σ सम और विषम दोनों संख्या के पक्षांतरणों का गुणनफल होता, तो sgn σ, 1 और −1 दोनों के बराबर होता। अतः समता सुपरिभाषित है, और k-चक्र का sgn, (−1)^k−1 है।

10. व्युत्पत्ति: पुनर्नामकरण नियम और वर्ग आकार

पुनर्नामकरण नियम: c = (a₁ ... a_k) लीजिए। तब σcσ⁻¹(σ(a_i)) = σ(c(a_i)) = σ(a_i+1) (सूचकांक mod k)। यदि x कोई σ(a_i) नहीं है, तो σ⁻¹(x), c द्वारा स्थिर है, अतः σcσ⁻¹(x) = x। अतः σcσ⁻¹ = (σ(a₁) ... σ(a_k)); इसे प्रत्येक असंयुक्त चक्र पर लगाइए।

k-चक्रों की गणना: k भिन्न प्रतीकों की क्रमित सूची n!/(n − k)! प्रकार से चुनी जा सकती है, और प्रत्येक k-चक्र ठीक k प्रकार से लिखा जाता है (उसके किसी भी प्रतीक से आरंभ)। अतः k-चक्रों की संख्या n!/((n − k)!·k) है; S₄ में 3-चक्रों के लिए 24/(1·3) = 8।

व्यापक वर्ग आकार: यदि चक्र-प्रकार में लंबाई k के m_k चक्र हों (स्थिर बिंदु 1-चक्र गिने जाते हैं, ∑k·m_k = n), तो ऐसे क्रमचयों की संख्या n!/∏_k(k^m_k·m_k!) है। अतिरिक्त m_k! इसलिए है क्योंकि समान लंबाई के चक्र किसी भी क्रम में लिखे जा सकते हैं। जाँच: S₄ में प्रकार (2)(2) से 24/(2²·2!) = 3।

S_n के प्रसामान्य उपसमूह: प्रसामान्य उपसमूह संयुग्मन के अंतर्गत संवृत है, अतः पूरे संयुग्मी वर्गों का सम्मिलन है। S₄ में V₄ = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} आकार 1 और 3 के वर्गों का सम्मिलन है, अतः V₄ ⊴ S₄।

11. विधि का चयन

यदि क्रमचय की कोटि पूछी जाए → पहले उसे असंयुक्त चक्रों में लिखिए, फिर लंबाइयों का lcm लीजिए।

यदि समता पूछी जाए → असंयुक्त चक्रों पर ∑(k_i − 1) निकालिए; कोटि से इसका अनुमान न लगाइए।

यदि कोई ऊँची घात σ^N पूछी जाए → N को प्रत्येक चक्र की लंबाई के मॉड्यूलो अलग-अलग घटाइए।

यदि τστ⁻¹ = ρ वाला τ खोजना हो → σ और ρ को चक्र रूप में, समान लंबाई के चक्र एक-दूसरे के नीचे, लिखिए और τ को प्रतीक-दर-प्रतीक पढ़िए।

यदि S_n में दी गई कोटि के अवयव गिनने हों → वे चक्र-प्रकार सूचीबद्ध कीजिए जिनका lcm वह कोटि है और उनके वर्ग आकार जोड़िए।

यदि निर्णय करना हो कि H ≤ S_n प्रसामान्य है या नहीं → जाँचिए कि H संयुग्मी वर्गों का सम्मिलन है या नहीं (एक प्रकार के सभी चक्र साथ में)।

यदि किसी समूह को क्रमचय समूह में अंतःस्थापित करना हो → G पर वाम गुणन (केली) लगाइए, या छोटे S_n के लिए किसी उपसमूह के सहसमुच्चयों पर।

12. सामान्य गलतियाँ

परिपाटियाँ मिलाना: एक पंक्ति में στ बाएँ से दाएँ और अगली में दाएँ से बाएँ निकालना। परिपाटी एक बार बताइए और उसी पर टिके रहिए।

अतिव्यापी चक्रों का lcm लेना: lcm नियम केवल असंयुक्त चक्रों के लिए है; (1 2)(2 3) = (1 2 3) की कोटि 3 है।

चक्र की समता उलटी बताना: सम लंबाई का चक्र विषम है, और विषम लंबाई का चक्र सम है, क्योंकि k-चक्र k − 1 पक्षांतरणों का गुणनफल है।

चक्रों की अधिक गणना: k-चक्र लिखने के k प्रकारों के लिए k से, या समान लंबाई के चक्रों के लिए m_k! से भाग देना भूल जाना।

A_n के भीतर S_n के वर्ग लेना: S_n का कोई वर्ग A_n में विभाजित हो सकता है; A₄ के आठ 3-चक्र आकार 4 के दो वर्ग बनाते हैं, अतः A₄ का वर्ग समीकरण 12 = 1 + 3 + 4 + 4 है।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: क्रमचय का चिह्न रैखिक बीजगणित के प्रसार det A = ∑_σ sgn(σ) a_1σ(1)a_2σ(2)···a_nσ(n) का चिह्न है; इसी कारण दो पंक्तियों को बदलने से सारणिक का चिह्न बदल जाता है।

संबंध: σ को उसके क्रमचय आव्यूह पर भेजने से S_n, GL(n, ℝ) में det = sgn σ के साथ अंतःस्थापित होता है; केली प्रमेय के साथ मिलाकर, प्रत्येक परिमित समूह आव्यूहों का समूह है।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 3: S₆ में कोटि 6 के अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

कोटि असंयुक्त चक्रों की लंबाइयों का lcm है, और लंबाइयों का योग अधिकतम 6 है। lcm = 6 केवल 6-चक्र के लिए, या एक 3-चक्र और एक असंयुक्त 2-चक्र (एक बिंदु स्थिर) के लिए संभव है।

6-चक्रों की संख्या = 6!/6 = 120।

प्रकार (3)(2): 3-चक्र C(6, 3)·2 = 40 प्रकार से और शेष 3 बिंदुओं से 2-चक्र 3 प्रकार से चुना जा सकता है, अतः 120।

कुल = 120 + 120 = 240।

उदाहरण 4: दिखाइए कि A₄ का कोटि 6 का कोई उपसमूह नहीं है।

मान लीजिए H ≤ A₄ और o(H) = 6। तब [A₄ : H] = 2, अतः H ⊴ A₄ और A₄/H की कोटि 2 है; इसलिए प्रत्येक g ∈ A₄ के लिए g² ∈ H।

यदि σ एक 3-चक्र है, तो σ³ = e, अतः σ = σ⁴ = (σ²)² ∈ H। इस प्रकार A₄ के सभी आठ 3-चक्र H में हैं।

e सहित H में कम से कम 9 अवयव हैं, जो o(H) = 6 का खंडन है। अतः A₄ का कोटि 6 का उपसमूह नहीं है, और लग्रांज प्रमेय का विलोम असत्य है।

उदाहरण 5: मान लीजिए σ ∈ S₆, σ(1) = 2, σ(2) = 4, σ(3) = 5, σ(4) = 1, σ(5) = 3, σ(6) = 6 द्वारा दिया गया है। σ को असंयुक्त चक्रों के गुणनफल के रूप में लिखिए, इसकी कोटि और समता ज्ञात कीजिए, और σ¹⁰⁰ परिकलित कीजिए।

1 → 2 → 4 → 1 और 3 → 5 → 3 का अनुसरण करने पर σ = (1 2 4)(3 5), जिसमें 6 स्थिर है।

o(σ) = lcm(3, 2) = 6। σ, 2 + 1 = 3 पक्षांतरणों का गुणनफल है, अतः σ विषम है।

असंयुक्त चक्र क्रमविनिमेय हैं, अतः σ¹⁰⁰ = (1 2 4)¹⁰⁰(3 5)¹⁰⁰। चूँकि 100 ≡ 1 (mod 3) और 100 ≡ 0 (mod 2), σ¹⁰⁰ = (1 2 4)।

उदाहरण 6: τ ∈ S₅ ज्ञात कीजिए जिसके लिए τ(1 2 3)(4 5)τ⁻¹ = (2 4 5)(1 3)।

पुनर्नामकरण नियम से τ(1 2 3)(4 5)τ⁻¹ = (τ(1) τ(2) τ(3))(τ(4) τ(5))। इसका मिलान (2 4 5)(1 3) से कीजिए।

τ(1) = 2, τ(2) = 4, τ(3) = 5, τ(4) = 1, τ(5) = 3 लीजिए, अर्थात τ = (1 2 4)(3 5)।

उत्तर अद्वितीय नहीं है: उदाहरणतः लक्ष्य को (4 5 2)(3 1) लिखने पर दूसरा वैध τ मिलता है। ऐसा τ इसलिए मौजूद है क्योंकि दोनों क्रमचयों की चक्र संरचना (3)(2) है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): S₆ में मान लें σ(1) = 4, σ(2) = 6, σ(3) = 1, σ(4) = 3, σ(5) = 2, σ(6) = 5। σ को असंयुक्त चक्रों में लिखिए और इसकी कोटि तथा समता ज्ञात कीजिए।

उत्तर: σ = (1 4 3)(2 6 5); कोटि lcm(3, 3) = 3; सम, क्योंकि 2 + 2 = 4 पक्षांतरण।

अभ्यास 2 (मूल): S₅ में दाएँ से बाएँ संयोजन करते हुए (1 3 5)(1 2) और (1 2)(1 3 5) की गणना कीजिए।

उत्तर: (1 3 5)(1 2) = (1 2 3 5) और (1 2)(1 3 5) = (1 3 5 2); ये भिन्न हैं।

अभ्यास 3 (मूल): (1 2 4 3)(5 6) का प्रतिलोम लिखिए।

उत्तर: (3 4 2 1)(6 5) = (1 3 4 2)(5 6)।

अभ्यास 4 (मानक): S₅ में कोटि 2 के कितने अवयव हैं?

उत्तर: 25: पक्षांतरण C(5, 2) = 10, और दो असंयुक्त पक्षांतरणों के गुणनफल 5·3 = 15।

अभ्यास 5 (मानक): S₈ में σ = (1 2 3 4 5)(6 7 8) के लिए σ⁹⁹ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 99 ≡ 4 (mod 5) और 99 ≡ 0 (mod 3), अतः σ⁹⁹ = (1 2 3 4 5)⁴ = (1 2 3 4 5)⁻¹ = (1 5 4 3 2)।

अभ्यास 6 (मानक): क्या (1 2 3 4)(5 6 7), A₇ में है? इसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: नहीं: यह 3 + 2 = 5 पक्षांतरणों का गुणनफल है, अतः विषम। इसकी कोटि lcm(4, 3) = 12 है।

अभ्यास 7 (मानक): ऐसा τ ∈ S₅ ज्ञात कीजिए कि τ(1 2)(3 4 5)τ⁻¹ = (2 5)(1 3 4)।

उत्तर: प्रतीक-दर-प्रतीक मिलाएँ: τ(1) = 2, τ(2) = 5, τ(3) = 1, τ(4) = 3, τ(5) = 4, अर्थात τ = (1 2 5 4 3) (अन्य विकल्प भी काम करते हैं)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): S₇ के किसी अवयव की अधिकतम कोटि ज्ञात कीजिए और उस कोटि का एक अवयव दीजिए।

उत्तर: 12, चक्र प्रकार (4)(3) से, जैसे (1 2 3)(4 5 6 7)। अन्य प्रकार अधिकतम lcm(5, 2) = 10, 7, 6 या कम देते हैं।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि S_n (n ≥ 2) पक्षांतरणों (1 2), (1 3), ..., (1 n) से जनित है।

उत्तर: प्रत्येक क्रमचय पक्षांतरणों का गुणनफल है, और a, b ≠ 1 के लिए (a b) = (1 a)(1 b)(1 a)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि V₄ = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, A₄ का प्रसामान्य उपसमूह है, और A₄/V₄ की पहचान कीजिए।

उत्तर: V₄, S₄ के संयुग्मी वर्गों का सम्मिलन है, अतः S₄ में और इसलिए A₄ में प्रसामान्य है। A₄/V₄ की कोटि 12/4 = 3 है, अतः यह ≅ ℤ₃।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): S₅ में कितने संयुग्मी वर्ग हैं? प्रत्येक का आकार दीजिए और जाँचिए कि उनका योग 120 है।

उत्तर: 7, 5 के प्रत्येक विभाजन के लिए एक: e (1), (2) (10), (3) (20), (4) (30), (5) (24), (2)(2) (15), (3)(2) (20); 1 + 10 + 20 + 30 + 24 + 15 + 20 = 120।

1. प्रत्यक्ष गुणनफल को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम छोटे समूहों से बड़े समूह बनाना चाहते हैं, और दूसरी दिशा में, दिए गए समूह को सरल टुकड़ों से बना पहचानना चाहते हैं, उदाहरणार्थ ℤ₆ को साथ-साथ चलते ℤ₂ और ℤ₃ के रूप में।

शब्दों में: G₁ × G₂ क्रमित युग्मों (g₁, g₂) का समुच्चय है। युग्मों को निर्देशांक-दर-निर्देशांक मिलाया जाता है, प्रत्येक निर्देशांक अपने समूह की संक्रिया से, अतः इसकी कोटि o(G₁)·o(G₂) है।

युग्म की घात घातों का युग्म है, अतः युग्म तभी तत्समक पर लौटता है जब दोनों निर्देशांक लौट आएँ। इसीलिए o((g₁, g₂)) दोनों कोटियों का lcm है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ℤ₂ × ℤ₃ में (1, 1) के गुणज लिखें: (1, 1), (0, 2), (1, 0), (0, 1), (1, 2), (0, 0)।

चरण 1: पहला निर्देशांक आवर्त 2 से और दूसरा आवर्त 3 से घूमता है। चरण 2: दोनों पहली बार छठे चरण पर 0 होते हैं, और 6 = lcm(2, 3)।

चरण 3: सभी छह अवयव आ गए, अतः (1, 1) समूह का जनक है, और ℤ₂ × ℤ₃ ≅ ℤ₆।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ₂ × ℤ₂ में प्रत्येक अवयव को स्वयं में जोड़ने पर (0, 0) मिलता है, अतः प्रत्येक अवयव की कोटि 1 या 2 है। किसी अवयव की कोटि 4 नहीं है, अतः ℤ₂ × ℤ₂, ℤ₄ के तुल्याकारी नहीं है; यहाँ gcd(2, 2) ≠ 1।

आगे बढ़ते हुए: (1) o((g₁, g₂)) = lcm(o(g₁), o(g₂))। (2) अतः ℤ_m × ℤ_n चक्रीय है यदि और केवल यदि gcd(m, n) = 1 (नीचे 'यह क्यों काम करता है' पंक्ति)।

(3) एक ही समूह के भीतर G ≅ H × K जब H, K प्रसामान्य हों, H ∩ K = {e} और G = HK। (4) प्रत्येक परिमित आबेली समूह अभाज्य-घात कोटि वाले चक्रीय समूहों का गुणनफल है, अतः इसकी संरचना घातांकों के विभाजनों पर आ जाती है।

कहाँ प्रयोग होता है: कोटि n के आबेली समूहों की सूची, चीनी शेषफल प्रमेय ℤ_mn ≅ ℤ_m × ℤ_n, U(mn) ≅ U(m) × U(n), और कोटि pq के समूहों में।

2. द्वितल समूहों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सम बहुभुज की सममितियाँ अनाबेली समूहों का सबसे महत्वपूर्ण परिवार बनाती हैं। ये हाथ से गणना के लिए पर्याप्त छोटे हैं, और इस अध्याय के मानक प्रति-उदाहरण देते हैं।

शब्दों में: r, 2π/n कोण का घूर्णन है और s एक परावर्तन है। संबंध rⁿ = e, s² = e और srs⁻¹ = r⁻¹ कहते हैं: n घुमाव वापस ले आते हैं, दो पलट वापस ले आते हैं, और दर्पण में देखा गया घुमाव उलटी दिशा का घुमाव है।

तब प्रत्येक अवयव घूर्णन r^k या परावर्तन sr^k (0 ≤ k ≤ n − 1) है, अतः o(D_n) = 2n।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: वर्ग के शीर्षों को वामावर्त 1, 2, 3, 4 नाम दें। तब r = (1 2 3 4), और शीर्षों 1 तथा 3 से होकर जाने वाले विकर्ण में परावर्तन s = (2 4) है।

चरण 1: पुनर्नामकरण नियम से srs⁻¹ = (s(1) s(2) s(3) s(4)) = (1 4 3 2) = r⁻¹। संबंध सत्य है।

चरण 2: sr = (2 4)(1 2 3 4): 1 → 2 → 4, 4 → 1 → 1, 2 → 3 → 3, 3 → 4 → 2। अतः sr = (1 4)(2 3), भुजाओं 14 और 23 के मध्य-बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा में परावर्तन। प्रत्येक परावर्तन की भाँति इसकी कोटि 2 है।

चरण 3: rs = (1 2 3 4)(2 4) = (1 2)(3 4) ≠ sr, अतः D₄ आबेली नहीं है।

अ-उदाहरण (non-example): Q₈ भी कोटि 8 का अनाबेली समूह है, परंतु D₄ के तुल्याकारी नहीं। D₄ में कोटि 2 के पाँच अवयव हैं (चार परावर्तन और r²), जबकि Q₈ में कोटि 2 का एकमात्र अवयव −1 है।

आगे बढ़ते हुए: (1) srs⁻¹ = r⁻¹ से sr = r⁻¹s मिलता है, और आगमन से sr^k = r^−ks: घूर्णन को उलटकर परावर्तन को घूर्णन के पार ले जाया जा सकता है।

(2) प्रत्येक परावर्तन की कोटि 2 है: (sr^k)² = s(r^ks)r^k = s(sr^−k)r^k = e। (3) केंद्र विषम n के लिए {e} और सम n के लिए {e, r^n/2} है (नीचे 'यह क्यों काम करता है' पंक्ति)। (4) ⟨r⟩ का सूचकांक 2 है, अतः यह प्रसामान्य है।

कहाँ प्रयोग होता है: कोटि 2p के समूहों, कोटि 2 के दो अवयवों से जनित समूहों, प्रसामान्यता की असंक्रामकता, और वर्ग समीकरण की गणनाओं में।

3. संयुग्मी वर्ग और वर्ग समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: G के अवयवों को संयुग्मी वर्गों में बाँटने से तुरंत पता चलता है कि कौन-से अवयव केंद्रीय हैं, और वर्गों के आकार कठोर विभाज्यता नियमों का पालन करते हैं। ये नियम सिद्ध करते हैं, उदाहरणार्थ, कि कोटि pⁿ के समूह का केंद्र अतुच्छ होता है।

शब्दों में: cl(a) = {gag⁻¹ : g ∈ G} उन सभी अवयवों को एकत्र करता है जो किसी दृष्टिकोण से 'a जैसे दिखते' हैं। C(a) = {g : ga = ag} उन अवयवों का समुच्चय है जो संयुग्मन से a को नहीं हिलाते।

जितने अधिक अवयव a से क्रमविनिमेय हों, उसका वर्ग उतना छोटा: |cl(a)| = [G : C(a)]। वर्ग समीकरण वर्ग आकारों को जोड़ता है, और एक-अवयवी वर्गों (केंद्र) को अलग लिखता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: sr^k = r^−ks का प्रयोग करते हुए D₄ = {e, r, r², r³, s, sr, sr², sr³} के वर्ग ज्ञात करें।

चरण 1: Z(D₄) = {e, r²}, जिससे आकार 1 के दो वर्ग मिलते हैं। चरण 2: srs⁻¹ = r⁻¹ = r³, अतः cl(r) = {r, r³}।

चरण 3: rsr⁻¹ = r(sr⁻¹) = r(rs) = r²s = sr⁻² = sr², अतः cl(s) = {s, sr²}। चरण 4: r(sr)r⁻¹ = rs = sr⁻¹ = sr³, अतः cl(sr) = {sr, sr³}।

चरण 5: वर्ग समीकरण 8 = 2 + 2 + 2 + 2 है, जहाँ पहला 2, o(Z(D₄)) है। प्रत्येक वर्ग आकार 8 को विभाजित करता है, जैसा होना चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): 8 = 1 + 1 + 3 + 3 कोटि 8 के किसी भी समूह का वर्ग समीकरण नहीं हो सकता, क्योंकि आकार 3 के वर्ग के लिए 3 का 8 को विभाजित करना आवश्यक होगा।

आगे बढ़ते हुए: (1) संयुग्मता तुल्यता संबंध है, अतः वर्ग G का विभाजन करते हैं। (2) gC(a) ↦ gag⁻¹, C(a) के सहसमुच्चयों से cl(a) पर एकैकी आच्छादक है, जिससे |cl(a)| = [G : C(a)]।

(3) यदि o(G) = pⁿ, तो प्रत्येक अकेंद्रीय वर्ग आकार 1 से बड़ी p की घात है, अतः p, o(Z(G)) को विभाजित करता है और Z(G) ≠ {e}। (4) G/Z(G) प्रमेय के साथ इससे कोटि p² का प्रत्येक समूह आबेली होता है (नीचे व्युत्पत्ति)।

कहाँ प्रयोग होता है: p-समूहों के केंद्रों, कोटि p² के समूहों, S_n, A₄ और D_n के वर्ग समीकरणों, तथा कॉशी और साइलो प्रमेयों की उपपत्तियों में।

4. साइलो प्रमेयों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: लग्रांज प्रमेय का विलोम असत्य है, अतः o(G) का भाजक किसी उपसमूह की कोटि होना आवश्यक नहीं। साइलो प्रमेय सबसे बड़ी अभाज्य-घात कोटियों के उपसमूहों की गारंटी देते हैं और उन्हें गिनते हैं, जिससे प्रायः एक प्रसामान्य उपसमूह निकलता है।

शब्दों में: o(G) = p^km लिखें, जहाँ p अभाज्य है और p, m को विभाजित नहीं करता। साइलो p-उपसमूह ठीक p^k कोटि का उपसमूह है, जो o(G) में p की पूरी घात है।

प्रमेय कहते हैं: ऐसे उपसमूह विद्यमान हैं; कोई भी दो संयुग्मी हैं; और उनकी संख्या n_p, n_p ≡ 1 (mod p) तथा n_p | m को संतुष्ट करती है। यदि n_p = 1, तो साइलो p-उपसमूह अपने सभी संयुग्मियों के बराबर है, अर्थात प्रसामान्य है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें o(G) = 45 = 3²·5।

चरण 1 (p = 3): n₃, 5 को विभाजित करता है, अतः n₃ ∈ {1, 5}; n₃ ≡ 1 (mod 3) से 5 बाहर हो जाता है (5 ≡ 2)। अतः n₃ = 1, और साइलो 3-उपसमूह P (कोटि 9) प्रसामान्य है।

चरण 2 (p = 5): n₅, 9 को विभाजित करता है, अतः n₅ ∈ {1, 3, 9}; मॉड्यूलो 5 ये 1, 3, 4 हैं, अतः n₅ = 1 और साइलो 5-उपसमूह Q (कोटि 5) प्रसामान्य है।

चरण 3: P ∩ Q = {e}, क्योंकि इसकी कोटि 9 और 5 दोनों को विभाजित करती है, और |PQ| = 9·5 = 45। अतः G = PQ ≅ P × Q।

चरण 4: P की कोटि 3² है, अतः यह आबेली है, और Q ≅ ℤ₅। अतः कोटि 45 का प्रत्येक समूह आबेली है: यह ℤ₉ × ℤ₅ ≅ ℤ₄₅ या ℤ₃ × ℤ₃ × ℤ₅ है।

अ-उदाहरण (non-example): o(G) = 12 = 2²·3 के लिए शर्तें n₃ ∈ {1, 4} की अनुमति देती हैं, और A₄ में वास्तव में n₃ = 4 है (इसके आठ 3-चक्र कोटि 3 के चार उपसमूहों में हैं)। अतः केवल साइलो शर्तें सदा प्रसामान्य उपसमूह नहीं देतीं; तब अवयवों की गिनती आवश्यक होती है।

आगे बढ़ते हुए: (1) साइलो उपसमूह P के संयुग्मी ही सभी साइलो p-उपसमूह हैं, अतः n_p = [G : N(P)], जो [G : P] = m को विभाजित करता है। (2) n_p = 1 ⇔ P ⊴ G।

(3) अभाज्य कोटि p के उपसमूह केवल e पर मिलते हैं, अतः उनमें से n_p में कोटि p के n_p(p − 1) अवयव हैं; नीचे कोटि 12 के लिए यही गिनती प्रयुक्त है। (4) साइलो प्रमेयों की पूरी उपपत्तियाँ पाठ्यक्रम से बाहर हैं; कॉशी प्रमेय नीचे व्युत्पत्ति में सिद्ध है।

कहाँ प्रयोग होता है: यह सिद्ध करने में कि कोटि 15, 33, 35, 45 या pq के समूह चक्रीय या आबेली हैं, यह दिखाने में कि कोटि 20, 30 या 63 के समूह सरल नहीं हैं, और अभाज्य कोटि के अवयव गिनने में।

5. प्रत्यक्ष गुणनफल

बाह्य प्रत्यक्ष गुणनफल (external direct product): समूहों G₁, ..., G_n के लिए समुच्चय G₁ × ... × G_n = {(g₁, ..., g_n)} घटकवार संक्रिया के साथ o(G₁)···o(G_n) कोटि का समूह है; यह आबेली है यदि और केवल यदि प्रत्येक G_i आबेली है।

भाव: साथ-साथ चलती स्वतंत्र घड़ियों की कल्पना कीजिए: अवयव (g₁, g₂) प्रत्येक की स्थिति दर्ज करता है, और संक्रिया प्रत्येक घड़ी को उसके अपने नियम से चलाती है। एक निर्देशांक में कुछ भी दूसरे को प्रभावित नहीं करता।

अवयव की कोटि: o((g₁, ..., g_n)) = lcm(o(g₁), ..., o(g_n))।

यह क्यों काम करता है: (g₁, ..., g_n)^m = (g₁^m, ..., g_n^m) तत्समक है यदि और केवल यदि प्रत्येक i के लिए g_i^m = e, अर्थात् प्रत्येक o(g_i), m को विभाजित करे; ऐसा न्यूनतम m, lcm है।

चक्रीय गुणनफल: ℤ_m × ℤ_n चक्रीय है, और तब ≅ ℤ_mn, यदि और केवल यदि gcd(m, n) = 1। अतः ℤ₂ × ℤ₃ ≅ ℤ₆ परंतु ℤ₂ × ℤ₂ ≇ ℤ₄; वलयों के लिए gcd(m, n) = 1 होने पर ℤ_mn ≅ ℤ_m × ℤ_n (चीनी शेषफल प्रमेय)।

यह क्यों काम करता है: यदि gcd(m, n) = 1, तो o((1, 1)) = lcm(m, n) = mn, अतः (1, 1) जनक है। यदि d = gcd(m, n) > 1, तो प्रत्येक अवयव की कोटि lcm(m, n) = mn/d < mn को विभाजित करती है, अतः कोई अवयव जनक नहीं है।

आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफल: यदि H, K ⊴ G, H ∩ K = {e} और G = HK, तो (h, k) ↦ hk द्वारा G ≅ H × K; इस स्थिति में सभी h ∈ H, k ∈ K के लिए hk = kh।

यह क्यों काम करता है: h ∈ H और k ∈ K के लिए क्रमविनिमायक hkh⁻¹k⁻¹ = (hkh⁻¹)k⁻¹, K में है और = h(kh⁻¹k⁻¹), H में है, क्योंकि दोनों प्रसामान्य हैं; अतः यह H ∩ K = {e} में है और hk = kh। तब (h, k) ↦ hk समाकारिता है, एकैकी क्योंकि hk = e ⇒ h = k⁻¹ ∈ H ∩ K, और आच्छादक क्योंकि G = HK।

दोनों प्रसामान्य होने चाहिए: S₃ = A₃·{e, (1 2)} और सर्वनिष्ठ तुच्छ है, परंतु {e, (1 2)} प्रसामान्य नहीं है, और S₃, ℤ₃ × ℤ₂ (जो आबेली है) के तुल्याकारी नहीं है।

परिमित आबेली समूहों का मूलभूत प्रमेय: प्रत्येक परिमित आबेली समूह अभाज्य-घात कोटि के चक्रीय समूहों का प्रत्यक्ष गुणनफल है, जो क्रम के अतिरिक्त अद्वितीय है। उदाहरणतः 8 कोटि के आबेली समूह ℤ₈, ℤ₄ × ℤ₂ और ℤ₂ × ℤ₂ × ℤ₂ हैं।

सूची कैसे बनाएँ: n = p₁^a₁···p_r^a_r के लिए प्रत्येक अभाज्य के घातांक a_i का एक विभाजन (partition) चुनिए। अतः कोटि n के आबेली समूहों की संख्या विभाजन संख्याओं का गुणनफल है; 72 = 2³·3² के लिए यह 3·2 = 6 है।

उदाहरण 1: क्या ℤ₂ × ℤ₄ चक्रीय है?

(a, b) की कोटि lcm(o(a), o(b)) है जहाँ o(a) | 2 और o(b) | 4, अतः यह अधिकतम 4 < 8 है। किसी अवयव की कोटि 8 नहीं है, अतः ℤ₂ × ℤ₄ चक्रीय नहीं है (gcd(2, 4) = 2 ≠ 1 के अनुरूप)।

6. द्वितल समूह

परिभाषा: D_n (n ≥ 3) सम n-भुज के सममितियों का समूह है: n घूर्णन e, r, ..., rⁿ⁻¹ (r = 2π/n का घूर्णन) और n परावर्तन s, sr, ..., srⁿ⁻¹; o(D_n) = 2n।

भाव: r बहुभुज को घुमाता है और s उसे पलट देता है। पलटने से घूमने की दिशा उलट जाती है, जो ठीक संबंध srs⁻¹ = r⁻¹ है: पलटिए, वामावर्त घुमाइए, वापस पलटिए, यह दक्षिणावर्त घुमाने के समान है।

प्रस्तुति (presentation): D_n = ⟨r, s : rⁿ = s² = e, srs⁻¹ = r⁻¹⟩। उपयोगी नियम: sr^k = r^−ks, प्रत्येक परावर्तन sr^k की कोटि 2 है, और ⟨r⟩ सूचकांक 2 का प्रसामान्य उपसमूह है।

केंद्र: विषम n के लिए Z(D_n) = {e} और सम n के लिए {e, r^n/2}। D₃ ≅ S₃, और n ≥ 3 के लिए D_n अनाबेली है।

यह क्यों काम करता है: r^k, s के साथ क्रमविनिमेय है यदि और केवल यदि r^−ks = r^ks, अर्थात् r^2k = e, अर्थात् n | 2k; अतः k = 0, या n सम होने पर k = n/2। n ≥ 3 के लिए परावर्तन sr^k कभी r के साथ क्रमविनिमेय नहीं है, क्योंकि r(sr^k) = sr^k−1 जबकि (sr^k)r = sr^k+1।

दो अंतर्वलनों (involutions) से जनित: यदि u ≠ v की कोटि 2 है और uv की कोटि n है, तो n ≥ 3 के लिए ⟨u, v⟩ ≅ D_n (r = uv, s = u लीजिए; n = 2 के लिए यह समूह क्लाइन चतुर्-समूह है); विलोमतः D_n दो परावर्तनों s और sr से जनित है।

2p कोटि के समूह: विषम अभाज्य p के लिए 2p कोटि का समूह या तो चक्रीय (ℤ_2p) है या द्वितल (D_p)।

उदाहरण 2: D₄ = ⟨r, s⟩ के अवयव लिखिए और उसका केंद्र ज्ञात कीजिए।

D₄ = {e, r, r², r³, s, sr, sr², sr³}। r², s के साथ क्रमविनिमेय है, क्योंकि sr² = r⁻²s = r²s, और r की प्रत्येक घात के साथ भी।

r और r³, s के साथ क्रमविनिमेय नहीं हैं (sr = r³s ≠ rs), और कोई परावर्तन sr^k, r के साथ क्रमविनिमेय नहीं है, क्योंकि r(sr^k) = sr^k−1 ≠ sr^k+1। अतः Z(D₄) = {e, r²}।

7. संयुग्मता, वर्ग समीकरण और कॉशी प्रमेय

संयुग्मता (conjugacy): b, a का संयुग्मी है यदि किसी g ∈ G के लिए b = gag⁻¹; यह तुल्यता संबंध है जिसके वर्ग cl(a), G का विभाजन करते हैं, और cl(a) = {a} यदि और केवल यदि a ∈ Z(G)।

भाव: संयुग्मी अवयव एक ही काम को भिन्न दृष्टिकोण से करते हैं। D_n में दो परावर्तन संयुग्मी हैं जब कोई सममिति एक अक्ष को दूसरे पर ले जाए: विषम n के लिए सभी n परावर्तन एक वर्ग बनाते हैं, और सम n के लिए वे n/2 के दो वर्गों में बँटते हैं (शीर्षों से होकर जाने वाले अक्ष और भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से होकर जाने वाले अक्ष)।

वर्ग का आकार: |cl(a)| = [G : C(a)], जहाँ C(a), a का केंद्रक (centraliser) है; अतः प्रत्येक वर्ग का आकार o(G) को विभाजित करता है।

यह क्यों काम करता है: C(a) के वाम सहसमुच्चयों से cl(a) पर प्रतिचित्र gC(a) ↦ gag⁻¹ सुपरिभाषित और एकैकी है, क्योंकि gag⁻¹ = hah⁻¹ ⇔ h⁻¹g ∈ C(a) ⇔ gC(a) = hC(a)। अतः |cl(a)| = [G : C(a)]।

वर्ग समीकरण: o(G) = o(Z(G)) + ∑[G : C(a)], जहाँ योग एक से अधिक अवयव वाले प्रत्येक वर्ग के एक प्रतिनिधि a पर है।

यह क्यों काम करता है: संयुग्मी वर्ग G का विभाजन करते हैं, और एक-अवयवी वर्ग ठीक z ∈ Z(G) के लिए {z} हैं। वर्ग आकारों को जोड़ने से समीकरण मिलता है; प्रत्येक पद o(G) को विभाजित करता है।

p-समूह: यदि o(G) = pⁿ (p अभाज्य, n ≥ 1), तो Z(G) ≠ {e}, क्योंकि प्रत्येक पद [G : C(a)] > 1, p का गुणज है। p² कोटि का प्रत्येक समूह आबेली है (≅ ℤ_p² या ℤ_p × ℤ_p)।

G/Z(G) प्रमेय: यदि G/Z(G) चक्रीय है, तो G आबेली है। अतः o(G/Z(G)) कभी अभाज्य नहीं हो सकती।

कॉशी प्रमेय (Cauchy's theorem): यदि अभाज्य p, o(G) को विभाजित करता है, तो G में p कोटि का अवयव है (और इसलिए p कोटि का उपसमूह)।

प्रसामान्यक (normaliser): N(H) = {g ∈ G : gHg⁻¹ = H}, G का वह सबसे बड़ा उपसमूह है जिसमें H प्रसामान्य है; H के संयुग्मियों की संख्या [G : N(H)] है।

उदाहरण 3: S₃ का वर्ग समीकरण लिखिए।

S_n में संयुग्मी वर्ग चक्र-प्रकार होते हैं, अतः वर्ग {e}, तीन पक्षांतरण और दो 3-चक्र हैं। Z(S₃) = {e}, अतः वर्ग समीकरण 6 = 1 + 3 + 2 है; प्रत्येक वर्ग का आकार 6 को विभाजित करता है।

8. साइलो प्रमेय और छोटी कोटि के समूह

साइलो प्रमेय (Sylow theorems): मान लीजिए o(G) = p^km, जहाँ p अभाज्य है और p ∤ m। (1) G में p^k कोटि का उपसमूह (साइलो p-उपसमूह) है। (2) कोई भी दो साइलो p-उपसमूह संयुग्मी हैं। (3) साइलो p-उपसमूहों की संख्या n_p, n_p ≡ 1 (mod p) और n_p | m को संतुष्ट करती है।

भाव: साइलो p-उपसमूह G का अधिकतम संभव p-भाग है। सभी एक-दूसरे की प्रतियाँ (संयुग्मी) हैं, और n_p = [G : N(P)], इसीलिए n_p, m को विभाजित करता है। n_p की गणना यह सिद्ध करने का मानक तरीका है कि दी गई कोटि के समूह का प्रसामान्य उपसमूह है।

प्रसामान्यता परीक्षण: साइलो p-उपसमूह प्रसामान्य है यदि और केवल यदि n_p = 1; अधिक व्यापक रूप से, अपनी कोटि का एकमात्र उपसमूह प्रसामान्य होता है।

pq कोटि के समूह: मान लीजिए p < q अभाज्य हैं। q कोटि का उपसमूह अद्वितीय है, अतः प्रसामान्य है; यदि साथ ही p ∤ (q − 1), तो समूह चक्रीय है (अतः 15, 33 या 35 कोटि का प्रत्येक समूह चक्रीय है)।

यह क्यों काम करता है: n_q ≡ 1 (mod q) और n_q | p < q से n_q = 1। साथ ही n_p ∈ {1, q}, और n_p = q के लिए q ≡ 1 (mod p) चाहिए; यदि p ∤ (q − 1), तो n_p = 1 भी, दोनों उपसमूह प्रसामान्य हैं और सर्वनिष्ठ तुच्छ है, तथा G ≅ ℤ_p × ℤ_q ≅ ℤ_pq।

साइलो के बिना प्रारंभिक विधि: अभाज्य कोटि m के दो भिन्न उपसमूह H, K केवल {e} में मिलते हैं, अतः |HK| = m²; यदि m² > o(G), तो m कोटि का अधिकतम एक उपसमूह है।

उदाहरण 4: दिखाइए कि 15 कोटि का प्रत्येक समूह चक्रीय है।

n₅ ≡ 1 (mod 5) और n₅ | 3 से n₅ = 1; n₃ ≡ 1 (mod 3) और n₃ | 5 से n₃ = 1।

अतः G में 3 और 5 कोटि के अद्वितीय, अतः प्रसामान्य, उपसमूह H और K हैं। H ∩ K = {e} और |HK| = 15, अतः G = HK ≅ H × K ≅ ℤ₃ × ℤ₅ ≅ ℤ₁₅।

9. व्युत्पत्ति: कौशी प्रमेय (मैके की गणना उपपत्ति)

स्थिति: मान लीजिए अभाज्य p, o(G) को विभाजित करता है और X = {(a₁, ..., a_p) ∈ G^p : a₁a₂···a_p = e}। पहली p − 1 प्रविष्टियाँ स्वेच्छ हैं और तब a_p निर्धारित हो जाता है, अतः |X| = o(G)^p−1, जो p का गुणज है।

चक्रीय विस्थापन: यदि a₁a₂···a_p = e तो a₂···a_pa₁ = a₁⁻¹(a₁···a_p)a₁ = e, अतः प्रविष्टियों का विस्थापन X को X पर ले जाता है। p बार विस्थापन से वही टपल लौट आता है, अतः प्रत्येक कक्षा (orbit) का आकार 1 या p है (अभाज्य p का भाजक)।

गणना: आकार 1 की कक्षाएँ अचर टपल (a, ..., a) हैं जिनमें a^p = e। चूँकि |X| और अन्य कक्षाओं के आकार p के गुणज हैं, ऐसे a की संख्या p का गुणज है। यह कम से कम 1 (a = e) है, अतः कम से कम p, इसलिए किसी a ≠ e के लिए a^p = e, अर्थात् o(a) = p।

10. व्युत्पत्ति: वर्ग समीकरण और साइलो गणना का उपयोग

कोटि p² के समूह आबेली हैं: Z(G) ≠ {e} (p-समूह), अतः o(G/Z(G)), 1 या p है। दोनों स्थितियों में G/Z(G) चक्रीय है, अतः G आबेली है (और तब Z(G) = G)।

अवयवों की गणना (कोटि 12): n₃ ∈ {1, 4}। यदि n₃ = 4, तो कोटि 3 के चार उपसमूह केवल e में मिलते हैं और कोटि 3 के 4·2 = 8 अवयव देते हैं। केवल 4 अवयव बचते हैं, और साइलो 2-उपसमूह (कोटि 4) में कोटि 3 का कोई अवयव नहीं है, अतः वह ठीक इन्हीं 4 अवयवों से बना है; वह अद्वितीय है, अतः प्रसामान्य। इसलिए कोटि 12 के समूह का साइलो 3-उपसमूह या साइलो 2-उपसमूह प्रसामान्य है।

सरल नहीं: o(G) = 20 के लिए n₅ ≡ 1 (mod 5) और n₅ | 4 से n₅ = 1, अतः साइलो 5-उपसमूह उचित अतुच्छ प्रसामान्य उपसमूह है और G सरल नहीं है।

11. विधि का चयन

यदि पूछा जाए कि G₁ × G₂ चक्रीय है या नहीं → दोनों गुणनखंड सहअभाज्य कोटियों के चक्रीय होने चाहिए; अन्यथा प्रत्येक अवयव की कोटि को एक lcm से परिबद्ध कीजिए।

यदि कोटि n के आबेली समूह सूचीबद्ध करने हों → n का गुणनखंड कीजिए और प्रत्येक अभाज्य घातांक के विभाजन लीजिए।

यदि आंतरिक रूप से G = H × K दिखाना हो → H ⊴ G, K ⊴ G, H ∩ K = {e} और |H||K| = |G| सत्यापित कीजिए।

यदि अभाज्य कोटि p का अवयव चाहिए → कौशी; कोटि p^k का उपसमूह → साइलो।

यदि दिखाना हो कि कोटि n का समूह सरल नहीं है → ऐसा p खोजिए जिसके लिए n_p = 1; यदि प्रत्येक n_p 1 से अधिक हो सकता हो, तो ऊपर की भाँति अभाज्य कोटि के अवयव गिनिए।

यदि p-समूह का केंद्र या आबेलीपन पूछा जाए → वर्ग समीकरण, फिर G/Z(G) प्रमेय।

यदि D_n के संयुग्मी वर्ग पूछे जाएँ → sr^k = r^−ks लगाइए: घूर्णन {r^k, r^−k} युग्मों में आते हैं, और परावर्तन एक वर्ग (n विषम) या दो वर्ग (n सम) बनाते हैं।

12. सामान्य गलतियाँ

gcd(m, n) = 1 के बिना ℤ_m × ℤ_n ≅ ℤ_mn लिखना: ℤ₂ × ℤ₂ क्लाइन समूह है, ℤ₄ नहीं।

o((a, b)) = o(a)·o(b) लेना: कोटि lcm है; ℤ₄ × ℤ₆ में (1, 3) की कोटि lcm(4, 2) = 4 है, 4·2 = 8 नहीं।

n_p का गलत उपयोग: n_p, m को विभाजित करता है, जो o(G) का p से सहअभाज्य भाग है, केवल o(G) को नहीं; और n_p = 1 का अर्थ प्रसामान्य है, 'G एक p-समूह है' नहीं।

मान लेना कि भिन्न साइलो उपसमूह तुच्छ रूप से मिलते हैं: यह केवल तब निश्चित है जब उनकी कोटि अभाज्य p हो; कोटि 4 के दो साइलो 2-उपसमूह कोटि 2 का अवयव साझा कर सकते हैं।

वर्ग समीकरण की भूलें: केंद्रीय अवयवों को योग में डालना, या ऐसा वर्ग आकार लिखना जो o(G) को विभाजित न करे।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: ℤ_mn ≅ ℤ_m × ℤ_n (gcd(m, n) = 1) वलय तुल्याकारिता भी है (वलय प्रकरण); इसे इकाइयों तक सीमित करने से U(mn) ≅ U(m) × U(n) मिलता है, इसी कारण φ(mn) = φ(m)φ(n)।

संबंध: रैखिक बीजगणित की भाषा में D_n के घूर्णन सारणिक 1 वाले लांबिक आव्यूह हैं और परावर्तनों का सारणिक −1 है, अतः ⟨r⟩ = D_n ∩ SO(2), det की अष्टि है, फिर से सूचकांक 2 का प्रसामान्य उपसमूह।

14. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 5 (UPSC 2017, 15 अंक): दर्शाइए कि समूहें ℤ₅ × ℤ₇ एवं ℤ₃₅ समरूपी हैं।

ℤ₅ × ℤ₇ की कोटि 35 है, और o((1, 1)) = lcm(5, 7) = 35।

अतः ℤ₅ × ℤ₇ = ⟨(1, 1)⟩, 35 कोटि का चक्रीय समूह है, और 35 कोटि का प्रत्येक चक्रीय समूह ℤ₃₅ के तुल्याकारी है।

स्पष्ट रूप से, φ(k) = (k mod 5, k mod 7) सुपरिभाषित समाकारिता ℤ₃₅ → ℤ₅ × ℤ₇ है (5 और 7, 35 को विभाजित करते हैं)। φ(k) = (0, 0) ⇔ 5 | k और 7 | k ⇔ 35 | k, अतः φ एकैकी है, और इसलिए आच्छादी, क्योंकि दोनों समूहों में 35 अवयव हैं।

उत्तर: ℤ₅ × ℤ₇ ≅ ℤ₃₅, क्योंकि gcd(5, 7) = 1।

उदाहरण 6 (UPSC 2023, 15 अंक): सिद्ध कीजिए कि 2p कोटि के एक अक्रमविनिमेय समूह, जहाँ p एक विषम अभाज्य संख्या है, में p कोटि का एक उपसमूह होना आवश्यक है।

मान लीजिए o(G) = 2p। लग्रांज से प्रत्येक अवयव की कोटि 1, 2, p या 2p है।

किसी अवयव की कोटि 2p नहीं है, अन्यथा G चक्रीय, अतः क्रमविनिमेय होगा।

यदि प्रत्येक अतत्समक अवयव की कोटि 2 होती, तो सभी a, b के लिए ab = (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ = ba, और G आबेली होता। यह अपवर्जित है।

अतः किसी a ∈ G की कोटि p है, और H = ⟨a⟩, p कोटि का उपसमूह है (प्रसामान्य, क्योंकि इसका सूचकांक 2 है)।

उत्तर: G का p कोटि का (प्रसामान्य) उपसमूह ⟨a⟩ है; वस्तुतः G ≅ D_p।

उदाहरण 7 (UPSC 2024, 10 अंक): मान लीजिए कि कोटि mn का एक परिमित समूह G है, जहाँ m और n, (m > n) अभाज्य संख्याएँ हैं। दर्शाइए कि G का कोटि m का अधिक-से-अधिक एक उपसमूह है।

मान लीजिए H ≠ K, m कोटि के उपसमूह हैं। H ∩ K, H का उपसमूह है, अतः इसकी कोटि अभाज्य m को विभाजित करती है, और यह m नहीं है (अन्यथा H = H ∩ K = K)। अतः H ∩ K = {e}।

तब |HK| = o(H)o(K)/o(H ∩ K) = m²।

परंतु HK ⊆ G, अतः m² ≤ mn, अर्थात m ≤ n, जो m > n का खंडन है।

उत्तर: G में m कोटि का अधिकतम एक उपसमूह है (कॉशी प्रमेय से ठीक एक), और इसलिए वह प्रसामान्य है।

उदाहरण 8 (UPSC 2025, 10 अंक): माना G = {e, x, x², y, yx, yx²} एक अन्-आबेली समूह है तथा o(x) = 3 और o(y) = 2 हैं। दर्शाइए कि xy = yx² है (जहाँ e, समूह G का तत्समक अवयव है और o(x), o(y) क्रमशः अवयवों x, y की कोटि को दर्शाते हैं)।

xy ∈ G। यदि xy ∈ {e, x, x²} = ⟨x⟩, तो y = x⁻¹(xy) ∈ ⟨x⟩, जो असत्य है; अतः xy ∈ {y, yx, yx²}।

xy = y से x = e, जो असंभव है क्योंकि o(x) = 3।

xy = yx से x और y क्रमविनिमेय होंगे; चूँकि G का प्रत्येक अवयव x और y की घातों का गुणनफल है, G आबेली होगा, जो परिकल्पना के विपरीत है।

अतः xy = yx² = yx⁻¹, जो D₃ ≅ S₃ का परिभाषी संबंध है (एक प्रतिरूप: x = (1 2 3), y = (1 2), जहाँ दोनों पक्ष (1 3) हैं)।

उत्तर: xy = yx²।

उदाहरण 9 (UPSC 2026, 10 अंक): माना कोटि pq का एक समूह G है, जहाँ p और q अभाज्य हैं। दर्शाइए कि या तो G एक आबेली समूह है या कोई भी अतत्समक (नॉन-आइडेन्टिटी) अवयव, G के प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय नहीं करता।

Z(G) उपसमूह है, अतः लग्रांज से o(Z(G)) ∈ {1, p, q, pq}।

यदि o(Z(G)) = pq, तो G = Z(G) आबेली है।

यदि o(Z(G)) = p या q, तो o(G/Z(G)), q या p (अभाज्य) है, अतः G/Z(G) चक्रीय है। तब G आबेली है, अतः Z(G) = G, जो विरोधाभास है।

अतः या तो G आबेली है, या Z(G) = {e}, जिसका ठीक यही अर्थ है कि कोई अतत्समक अवयव G के प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय नहीं है।

उत्तर: G आबेली है या उसका केंद्र तुच्छ है।

उदाहरण 10 (UPSC 2026, 15 अंक): माना कोटि 2 के दो अवयवों u और v से जनित एक परिमित समूह G है। दर्शाइए कि G, 2n कोटि के द्वितल समूह के तुल्याकारी है, जहाँ O(uv) = n है।

r = uv और s = u रखिए। तब o(r) = n और s² = e; चूँकि u⁻¹ = u और v⁻¹ = v, srs⁻¹ = u(uv)u = vu = (uv)⁻¹ = r⁻¹।

v = u(uv) = sr, अतः G = ⟨u, v⟩ = ⟨r, s⟩। sr = r⁻¹s के प्रयोग से r, s का प्रत्येक शब्द 0 ≤ i ≤ n − 1 के साथ rⁱ या rⁱs में बदल जाता है, अतः G = ⟨r⟩ ∪ ⟨r⟩s और o(G) ≤ 2n।

s ∉ ⟨r⟩: अन्यथा u और v = sr दोनों चक्रीय समूह ⟨r⟩ में होंगे, जिसमें 2 कोटि का अधिकतम एक अवयव है; तब u = v, r = e, n = 1, और ⟨r⟩ = {e} में u नहीं हो सकता। अतः ⟨r⟩ और ⟨r⟩s असंयुक्त हैं और o(G) = 2n।

D_n = ⟨ρ, σ⟩ का वर्णन भी यही है: o(ρ) = n, σ² = e, σρσ⁻¹ = ρ⁻¹ के साथ 2n अवयव ρⁱσ^j। अतः ψ(rⁱs^j) = ρⁱσ^j (0 ≤ i ≤ n − 1, j = 0, 1) एकैकी आच्छादी है, और गुणनफल संरक्षित करता है क्योंकि दोनों समूहों में गुणनफल समान नियमों rⁿ = s² = e, srⁱ = r⁻ⁱs से निकलते हैं।

उत्तर: G ≅ D_n, 2n कोटि का द्वितल समूह, जिसमें uv घूर्णन और u परावर्तन है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ℤ₄ × ℤ₉ में (2, 3) की कोटि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ℤ₄ में o(2) = 2 और ℤ₉ में o(3) = 3, अतः कोटि lcm(2, 3) = 6 है।

अभ्यास 2 (मूल): क्या ℤ₃ × ℤ₁₀ ≅ ℤ₃₀? क्या ℤ₆ × ℤ₁₀ ≅ ℤ₆₀?

उत्तर: हाँ, क्योंकि gcd(3, 10) = 1; नहीं, क्योंकि gcd(6, 10) = 2 और ℤ₆ × ℤ₁₀ के प्रत्येक अवयव की कोटि lcm(6, 10) = 30 को विभाजित करती है।

अभ्यास 3 (मूल): D₅ का वर्ग समीकरण लिखिए।

उत्तर: वर्ग {e}, {r, r⁴}, {r², r³} और पाँचों परावर्तन हैं, अतः 10 = 1 + 2 + 2 + 5।

अभ्यास 4 (मानक): तुल्याकारिता तक कोटि 36 के सभी आबेली समूहों की सूची बनाइए।

उत्तर: 36 = 2²·3² से 2·2 = 4 समूह: ℤ₄ × ℤ₉, ℤ₂ × ℤ₂ × ℤ₉, ℤ₄ × ℤ₃ × ℤ₃, ℤ₂ × ℤ₂ × ℤ₃ × ℤ₃।

अभ्यास 5 (मानक): सम षट्भुज के सममिति समूह D₆ का केंद्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर: n = 6 सम है, अतः Z(D₆) = {e, r³}, जहाँ r³ अर्ध-घूर्णन है।

अभ्यास 6 (मानक): सिद्ध कीजिए कि कोटि 33 का प्रत्येक समूह चक्रीय है।

उत्तर: n₁₁ | 3 और n₁₁ ≡ 1 (mod 11) से n₁₁ = 1; n₃ | 11 और n₃ ≡ 1 (mod 3) से n₃ = 1 (11 ≡ 2)। दोनों प्रसामान्य उपसमूह तुच्छ रूप से मिलते हैं, अतः G ≅ ℤ₃ × ℤ₁₁ ≅ ℤ₃₃।

अभ्यास 7 (मानक): सरल समूह G की कोटि 168 = 2³·3·7 है। इसमें कोटि 7 के कितने अवयव हैं?

उत्तर: n₇ | 24 और n₇ ≡ 1 (mod 7) से n₇ ∈ {1, 8}; सरलता 1 को बाहर कर देती है। कोटि 7 के 8 उपसमूह केवल e पर मिलते हैं, जिससे कोटि 7 के 8·6 = 48 अवयव मिलते हैं।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि कोटि 30 का कोई समूह सरल नहीं है।

उत्तर: n₅ ∈ {1, 6} और n₃ ∈ {1, 10}। यदि दोनों 1 से बड़े होते तो कोटि 5 के 6·4 = 24 और कोटि 3 के 10·2 = 20 अवयव होते, अर्थात 44 > 30 अवयव। अतः n₅ = 1 या n₃ = 1, जिससे एक उचित अतुच्छ प्रसामान्य उपसमूह मिलता है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): मान लें o(G) = pⁿ, जहाँ p अभाज्य और n ≥ 1। सिद्ध कीजिए कि G में कोटि p का प्रसामान्य उपसमूह है।

उत्तर: वर्ग समीकरण से Z(G) ≠ {e}, और p, o(Z(G)) को विभाजित करता है। कॉशी प्रमेय से Z(G) में कोटि p का अवयव z है। ⟨z⟩ में केंद्रीय अवयव हैं, अतः सभी g के लिए g⟨z⟩g⁻¹ = ⟨z⟩: यह प्रसामान्य है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि D₄ और Q₈ कोटि 8 के अनाबेली, परस्पर अतुल्याकारी समूह हैं, और इनमें से कोई ℤ₂ × ℤ₄ के तुल्याकारी नहीं है।

उत्तर: कोटि 2 के अवयव गिनें: D₄ में 5, Q₈ में 1, अतः ये तुल्याकारी नहीं हैं। ℤ₂ × ℤ₄ आबेली है (इसमें कोटि 2 के 3 अवयव हैं), जबकि D₄ और Q₈ नहीं।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): दिखाइए कि कोटि 63 के समूह में कोटि 7 का प्रसामान्य उपसमूह है।

उत्तर: 63 = 3²·7, अतः n₇, 9 को विभाजित करता है और n₇ ≡ 1 (mod 7)। 1, 3, 9 (mod 7 में ≡ 1, 3, 2) में से केवल 1 उपयुक्त है, अतः साइलो 7-उपसमूह अद्वितीय और प्रसामान्य है।

1. वलयों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: पूर्णांक, बहुपद, वर्ग आव्यूह और वास्तविक फलन, सभी को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है, और दोनों संक्रियाएँ वितरण नियम से जुड़ी हैं। वलय (ring) ठीक यही पकड़ता है, अतः गुणनखंडन, विभाजन और विभाग वलयों के तथ्य इन सबके लिए एक बार में सिद्ध हो सकते हैं।

शब्दों में: '(R, +) आबेली समूह है' से शून्य 0, ऋणात्मक −a और किसी भी क्रम में जोड़ने की स्वतंत्रता मिलती है। 'गुणन साहचर्य है' से हम abc बिना कोष्ठक के लिख सकते हैं।

दोनों वितरण नियम संक्रियाओं को बाईं और दाईं ओर से जोड़ते हैं। ab = ba, इकाई 1, या गुणनात्मक प्रतिलोमों के बारे में कुछ नहीं कहा गया; इनमें से प्रत्येक एक अतिरिक्त गुणधर्म है।

मात्रक (unit) वह अवयव है जिसका गुणनात्मक प्रतिलोम हो। शून्य भाजक (zero divisor) वह शून्येतर a है जिसके लिए किसी शून्येतर b के साथ ab = 0 या ba = 0।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: जाँचें कि ℤ₆ वलय है और इसके अवयवों को छाँटें।

चरण 1: मॉड्यूलो 6 योग से ℤ₆ आबेली समूह बनता है। चरण 2: मॉड्यूलो 6 गुणन साहचर्य और वितरणशील है, क्योंकि ये नियम ℤ में सत्य हैं और मॉड्यूलो 6 अपचयन + और × का सम्मान करता है।

चरण 3: 1 इकाई है और गुणन क्रमविनिमेय है। चरण 4 (मात्रक): 1·1 = 1 और 5·5 = 25 ≡ 1, अतः मात्रक 1 और 5 हैं।

चरण 5 (शून्य भाजक): 2·3 = 6 ≡ 0 और 4·3 = 12 ≡ 0, अतः 2, 3 और 4 शून्य भाजक हैं। ध्यान दें कि प्रत्येक शून्येतर अवयव या तो मात्रक है या शून्य भाजक।

अ-उदाहरण (non-example): आव्यूह योग और गुणन के साथ व्युत्क्रमणीय 2 × 2 वास्तविक आव्यूह वलय नहीं बनाते: I + (−I) = 0 व्युत्क्रमणीय नहीं है, अतः समुच्चय योग के अंतर्गत संवृत नहीं है और इसमें शून्य अवयव नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) a·0 = 0 और (−a)(−b) = ab अभिगृहीतों से निकलते हैं (नीचे व्युत्पत्ति 'चिह्नों के नियम')। (2) मात्रक कभी शून्य भाजक नहीं होता: यदि ab = 0 और a मात्रक है, तो b = a⁻¹ab = 0।

(3) ℤ_n में शून्येतर k मात्रक है यदि और केवल यदि gcd(k, n) = 1, अन्यथा शून्य भाजक। (4) इकाई वाले वलय में अभिलक्षण 1 की योगात्मक कोटि है।

कहाँ प्रयोग होता है: पूर्णांकीय प्रांत और क्षेत्र अतिरिक्त गुणधर्मों वाले वलय हैं; बहुपद वलय, आव्यूह वलय और फलन वलय अगले विषयों के मुख्य उदाहरण हैं।

2. गुणजावली और विभाग वलय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ℤ_n, ℤ से n के गुणजों को शून्य घोषित करके बनता है। किसी भी वलय R में यही करने के लिए हमें जानना होगा कि कौन-से उपसमुच्चय I 'शून्य माने' जा सकते हैं ताकि R/I फिर से वलय हो। उत्तर है: गुणजावलियाँ।

शब्दों में: गुणजावली (ideal) I, R का योगात्मक उपसमूह है जो R के प्रत्येक अवयव से गुणन को सोख लेता है, केवल I के अवयवों से नहीं: सभी r ∈ R और a ∈ I के लिए r·a ∈ I और a·r ∈ I।

R/I के अवयव सहसमुच्चय a + I हैं, जिन्हें प्रतिनिधियों के द्वारा जोड़ा और गुणा किया जाता है: (a + I)(b + I) = ab + I।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: R = ℤ × ℤ में I = {(a, 0) : a ∈ ℤ} लें।

चरण 1 (उपसमूह): (a, 0) − (b, 0) = (a − b, 0) ∈ I, और (0, 0) ∈ I। चरण 2 (सोखना): किसी भी (r, s) ∈ R के लिए (r, s)(a, 0) = (ra, 0) ∈ I, और दूसरी ओर का गुणनफल भी यही है क्योंकि R क्रमविनिमेय है।

चरण 3: अतः I गुणजावली है। सहसमुच्चय (a, b) + I केवल b पर निर्भर है, क्योंकि a बदलने से अवयव उसी सहसमुच्चय के भीतर खिसकता है।

चरण 4: अतः (a, b) + I ↦ b एक वलय तुल्याकारिता R/I ≅ ℤ है। ध्यान देने की बात: पहले निर्देशांक को शून्य करने पर दूसरे गुणनखंड की प्रति बचती है।

अ-उदाहरण (non-example): विकर्ण D = {(a, a)}, ℤ × ℤ का उपवलय है (यह − और × के अंतर्गत संवृत है और इसमें (1, 1) है), परंतु (1, 0)(2, 2) = (2, 0) ∉ D। यह सोखता नहीं, अतः गुणजावली नहीं है और (ℤ × ℤ)/D वलय नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) गुणजावली परीक्षण: I ≠ ∅, a − b ∈ I, और ra, ar ∈ I। (2) सहसमुच्चय गुणन ठीक तब सुपरिभाषित है जब I गुणजावली हो (नीचे व्युत्पत्ति 'R/I ठीक तब वलय है जब I गुणजावली हो')।

(3) वलय समाकारिताओं की अष्टियाँ गुणजावलियाँ हैं। (4) मात्रक वाली गुणजावली पूरा R है। (5) ℤ की प्रत्येक गुणजावली nℤ है, और ℤ_n की प्रत्येक गुणजावली n के किसी भाजक d के लिए ⟨d⟩ है।

कहाँ प्रयोग होता है: विभाग वलयों, अभाज्य और उच्चिष्ठ गुणजावलियों, क्षेत्रों F[x]/⟨p(x)⟩ की रचना, और इस उपपत्ति में कि इकाई वाला क्रमविनिमेय वलय क्षेत्र है यदि और केवल यदि उसमें कोई उचित अतुच्छ गुणजावली न हो।

3. अभाज्य और उच्चिष्ठ गुणजावलियों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम प्रायः R/I की विस्तृत गणना किए बिना जानना चाहते हैं कि वह पूर्णांकीय प्रांत है या क्षेत्र। अभाज्य और उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ ठीक वे गुणजावलियाँ हैं जिनके लिए उत्तर हाँ है।

शब्दों में: P अभाज्य है यदि P ≠ R और ab ∈ P से a ∈ P या b ∈ P; यह 'p | ab ⇒ p | a या p | b' की नकल है। M उच्चिष्ठ है यदि M ≠ R और M तथा R के बीच कोई गुणजावली सख्ती से नहीं समाती।

मुख्य प्रमेयों के लिए R का इकाई वाला क्रमविनिमेय वलय होना आवश्यक है: तब R/P पूर्णांकीय प्रांत है यदि और केवल यदि P अभाज्य हो, और R/M क्षेत्र है यदि और केवल यदि M उच्चिष्ठ हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ℤ में I = 5ℤ लें।

चरण 1 (अभाज्य): यदि ab ∈ 5ℤ तो 5 | ab, और 5 अभाज्य संख्या है, अतः 5 | a या 5 | b (यूक्लिड प्रमेयिका)। अतः 5ℤ अभाज्य है।

चरण 2 (उच्चिष्ठ): मान लें 5ℤ ⊊ J और a ∈ J ऐसा चुनें कि 5 ∤ a। तब gcd(a, 5) = 1, अतः किन्हीं पूर्णांकों x, y के लिए 1 = ax + 5y (बेज़ू)।

चरण 3: ax ∈ J और 5y ∈ 5ℤ ⊆ J, अतः 1 ∈ J और J = ℤ। अतः 5ℤ उच्चिष्ठ है। चरण 4: संगत रूप से ℤ/5ℤ = ℤ₅ एक क्षेत्र है।

अ-उदाहरण (non-example): 6ℤ अभाज्य नहीं है, क्योंकि 2·3 ∈ 6ℤ परंतु 2, 3 ∉ 6ℤ, और ℤ₆ में शून्य भाजक हैं। साथ ही ℤ में {0} अभाज्य है परंतु उच्चिष्ठ नहीं, क्योंकि {0} ⊊ 2ℤ ⊊ ℤ; अतः अभाज्य से उच्चिष्ठ नहीं निकलता।

आगे बढ़ते हुए: (1) R/P में (a + P)(b + P) = P का अर्थ ab ∈ P है, अतः 'कोई शून्य भाजक नहीं' शब्दशः 'P अभाज्य है' है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11)।

(2) यदि M उच्चिष्ठ है और a ∉ M, तो गुणजावली M + Ra, M से बड़ी है, अतः R है; इससे a + M का प्रतिलोम मिलता है (प्रमेय 10)। (3) क्षेत्र पूर्णांकीय प्रांत है, अतः प्रत्येक उच्चिष्ठ गुणजावली अभाज्य है।

कहाँ प्रयोग होता है: यह तय करने में कि R/I पूर्णांकीय प्रांत है या क्षेत्र, ℤ_p और F[x]/⟨p(x)⟩ जैसे क्षेत्र बनाने में, और बार-बार पूछे जाने वाले 'क्या R[x]/S पूर्णांकीय प्रांत है?' प्रश्नों में।

4. वलय समाकारिताओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समूहों की भाँति, विभाग वलय R/I को पहचानने का सबसे आसान ढंग R से ऐसा आच्छादक प्रतिचित्र खोजना है जो दोनों संक्रियाओं का सम्मान करे और जिसकी अष्टि I हो।

शब्दों में: f : R → R′ वलय समाकारिता है यदि सभी a, b के लिए f(a + b) = f(a) + f(b) और f(ab) = f(a)f(b)। इसकी अष्टि {a : f(a) = 0} एक गुणजावली है, और R/ker f ≅ f(R)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें φ : ℤ[x] → ℤ, φ(f) = f(0), अर्थात अचर पद।

चरण 1: (f + g)(0) = f(0) + g(0) और (fg)(0) = f(0)g(0), अतः φ वलय समाकारिता है। चरण 2: प्रत्येक अचर c के लिए φ(c) = c, अतः φ आच्छादक है।

चरण 3: f(0) = 0 का अर्थ है कि f के प्रत्येक पद में x है, अतः किसी g ∈ ℤ[x] के लिए f = x·g; अतः ker φ = ⟨x⟩।

चरण 4: प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से ℤ[x]/⟨x⟩ ≅ ℤ। चरण 5: ℤ पूर्णांकीय प्रांत है परंतु क्षेत्र नहीं, अतः ⟨x⟩, ℤ[x] की अभाज्य गुणजावली है जो उच्चिष्ठ नहीं।

अ-उदाहरण (non-example): f : ℤ → ℤ, f(n) = 2n, योग को सुरक्षित रखता है, परंतु f(1·1) = 2 जबकि f(1)f(1) = 4। अतः यह (ℤ, +) की समूह समाकारिता है परंतु वलय समाकारिता नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) वलय समाकारिता विशेष रूप से योगात्मक समूह समाकारिता है, अतः ker f उपसमूह है और f एकैकी है यदि और केवल यदि ker f = {0}। (2) यदि a ∈ ker f और r ∈ R, तो f(ra) = f(r)·0 = 0, अतः अष्टि सोखती है: यह गुणजावली है।

(3) प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय की समूह उपपत्ति, प्रसामान्य उपसमूहों के स्थान पर गुणजावलियाँ रखकर, R/ker f ≅ f(R) देती है। (4) क्षेत्र से समाकारिता की अष्टि {0} या पूरा क्षेत्र होती है, अतः ऐसा प्रतिचित्र शून्य या एकैकी होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: ℝ[x]/⟨x² + 1⟩ ≅ ℂ, C[0, 1]/M ≅ ℝ, ℤ_mn ≅ ℤ_m × ℤ_n, फ्रोबेनियस प्रतिचित्रण, और क्रोनेकर प्रमेय के अंतःस्थापनों में।

5. वलय

वलय (ring): संक्रियाओं + और · सहित समुच्चय R जिसमें (R, +) आबेली समूह हो, · साहचर्य हो, और वितरण नियम a(b + c) = ab + ac तथा (a + b)c = ac + bc लागू हों।

भाव: वलय (ring) भाग के बिना अंकगणित है: जोड़, घटाना और गुणा किया जा सकता है, जैसे ℤ, बहुपदों, n × n आव्यूहों या वास्तविक फलनों में। दो परिचित आदतें विफल हो सकती हैं: गुणन का क्रमविनिमेय होना आवश्यक नहीं (आव्यूह), और शून्येतर अवयवों का गुणनफल 0 हो सकता है (ℤ₆ में 2·3 = 0)।

प्रकार: यदि सभी a, b के लिए ab = ba तो R क्रमविनिमेय है; यदि 1 ऐसा हो कि 1·a = a·1 = a तो R इकाई सहित है; मात्रक (unit) वह अवयव है जिसका गुणनात्मक प्रतिलोम हो।

मूल नियम: a·0 = 0·a = 0; a(−b) = (−a)b = −(ab); (−a)(−b) = ab।

शून्य भाजक (zero divisor): a ≠ 0 जिसके लिए किसी b ≠ 0 से ab = 0 या ba = 0 हो। ℤ_n में अशून्य k शून्य भाजक है यदि और केवल यदि gcd(k, n) > 1, और मात्रक है यदि और केवल यदि gcd(k, n) = 1।

भाव: शून्य भाजक (zero divisors) ही निरसन को तोड़ते हैं: ℤ₆ में 2·3 = 2·0 परंतु 3 ≠ 0। जिस वलय में ये न हों उसमें शून्येतर गुणनखंडों का निरसन किया जा सकता है, जो पूर्णांकीय प्रांत का परिभाषक गुण है।

बूलीय वलय (Boolean ring): वह वलय जिसमें सभी a के लिए a² = a; प्रत्येक बूलीय वलय क्रमविनिमेय है और a + a = 0 को संतुष्ट करता है।

अभिलक्षण (characteristic): वह न्यूनतम n ≥ 1 जिसके लिए सभी a ∈ R के लिए na = 0, और ऐसा n न हो तो 0; इकाई सहित वलय में यह 1 की योगात्मक कोटि है।

यह क्यों काम करता है: यदि 1 की योगात्मक कोटि n है, तो प्रत्येक a के लिए n·a = (n·1)a = 0·a = 0, और कोई छोटा धनात्मक गुणज 1 को शून्य नहीं करता। ℤ_m × ℤ_n का अभिलक्षण (characteristic) lcm(m, n) है, जो (1, 1) की योगात्मक कोटि है।

6. उपवलय और गुणजावली

उपवलय परीक्षण (subring test): अरिक्त S ⊆ R उपवलय है यदि और केवल यदि सभी a, b ∈ S के लिए a − b ∈ S और ab ∈ S।

उपवलय की इकाई: उपवलय में R की इकाई होना आवश्यक नहीं, और उसकी अपनी इकाई हो सकती है: ℤ₆ में उपवलय {0, 2, 4} की इकाई 4 है, और ℤ × ℤ में उपवलय ℤ × {0} की इकाई (1, 0) ≠ (1, 1) है। ℤ के उपवलय 2ℤ की कोई इकाई नहीं है।

गुणजावली (ideal): उपवलय I जिसमें सभी r ∈ R और a ∈ I के लिए ra ∈ I और ar ∈ I हों।

भाव: गुणजावली (ideal) वह उपवलय है जो बाहर से गुणन को सोख लेती है, जैसे सम पूर्णांक: किसी भी पूर्णांक का सम पूर्णांक से गुणनफल सम होता है। यही अवशोषण R/I को वलय बनाता है, ठीक जैसे प्रसामान्यता G/N को समूह बनाती है। उपवलय का सोखना आवश्यक नहीं: ℤ, ℚ का उपवलय है, पर (1/2)·1 ∉ ℤ।

गुणजावली परीक्षण: अरिक्त I ⊆ R गुणजावली है यदि और केवल यदि सभी a, b ∈ I और r ∈ R के लिए a − b ∈ I तथा ra, ar ∈ I।

मुख्य गुणजावली (principal ideal): इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय में ⟨a⟩ = aR = {ar : r ∈ R}। ℤ की प्रत्येक गुणजावली nℤ के रूप की है।

परिणाम: यदि गुणजावली में कोई मात्रक हो तो I = R; इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय क्षेत्र है यदि और केवल यदि उसकी केवल गुणजावलियाँ {0} और R हों।

यह क्यों काम करता है: यदि इकाई u ∈ I, तो 1 = u⁻¹u ∈ I, और तब प्रत्येक r ∈ R के लिए r = r·1 ∈ I। अतः उचित गुणजावलियों में कोई इकाई नहीं होती, और क्षेत्र में, जहाँ प्रत्येक शून्येतर अवयव इकाई है, केवल गुणजावलियाँ {0} और स्वयं क्षेत्र हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9 विलोम देता है)।

संक्रियाएँ: I + J और I ∩ J गुणजावली हैं; I ∪ J गुणजावली है यदि और केवल यदि I ⊆ J या J ⊆ I।

विभाग वलय (quotient ring): R/I = {a + I : a ∈ R}, जिसमें (a + I) + (b + I) = (a + b) + I और (a + I)(b + I) = ab + I; I के गुणजावली होने से ये सुपरिभाषित हैं।

7. अभाज्य और उच्चिष्ठ गुणजावली

अभाज्य गुणजावली (prime ideal): गुणजावली P ≠ R जिसमें ab ∈ P ⇒ a ∈ P या b ∈ P (R क्रमविनिमेय)।

भाव: गुणजावली को 'किसी के गुणजों का समुच्चय' समझिए। तब P अभाज्य है जब P से विभाज्यता किसी अभाज्य संख्या से विभाज्यता जैसा व्यवहार करे: p | ab ⇒ p | a या p | b। ℤ में 6ℤ अभाज्य नहीं है क्योंकि 2·3 ∈ 6ℤ पर 2, 3 ∉ 6ℤ।

उच्चिष्ठ गुणजावली (maximal ideal): गुणजावली M ≠ R ऐसी कि यदि किसी गुणजावली J के लिए M ⊆ J ⊆ R, तो J = M या J = R।

भाव: M उच्चिष्ठ (maximal) है जब M और R के बीच कोई स्थान न हो। ℤ में 6ℤ ⊊ 3ℤ ⊊ ℤ, अतः 6ℤ उच्चिष्ठ नहीं है, जबकि 3ℤ और ℤ के बीच कुछ नहीं आता।

मुख्य प्रमेय: मान लीजिए R इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय है। तब R/P पूर्णांकीय प्रांत है यदि और केवल यदि P अभाज्य है, और R/M क्षेत्र है यदि और केवल यदि M उच्चिष्ठ है। अतः प्रत्येक उच्चिष्ठ गुणजावली अभाज्य है।

भाव: विभाग वलय गुणजावली के गुणों को वलय के गुणों में अनूदित करता है: 'P अभाज्य' बन जाता है 'R/P में शून्य भाजक नहीं', और 'M उच्चिष्ठ' बन जाता है 'R/M की कोई अतुच्छ गुणजावली नहीं', अर्थात् R/M क्षेत्र है। उपपत्तियाँ मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 10 और 11 में हैं; 'उच्चिष्ठ ⇒ अभाज्य' तब इसलिए आता है क्योंकि प्रत्येक क्षेत्र पूर्णांकीय प्रांत है।

इकाई अवयव क्यों आवश्यक है: वलय 2ℤ (बिना इकाई) में 4ℤ उच्चिष्ठ है, क्योंकि [2ℤ : 4ℤ] = 2 उनके बीच कोई स्थान नहीं छोड़ता, परंतु यह अभाज्य नहीं है, क्योंकि 2·2 = 4 ∈ 4ℤ जबकि 2 ∉ 4ℤ।

ℤ में: nℤ अभाज्य है यदि और केवल यदि n = 0 या n अभाज्य हो; nℤ उच्चिष्ठ है यदि और केवल यदि n अभाज्य हो।

अभाज्य परंतु उच्चिष्ठ नहीं: ℤ[x] में ⟨x⟩ अभाज्य है क्योंकि ℤ[x]/⟨x⟩ ≅ ℤ पूर्णांकीय प्रांत है, परंतु उच्चिष्ठ नहीं है क्योंकि ⟨x⟩ ⊊ ⟨2, x⟩ ⊊ ℤ[x]।

8. वलय समाकारिता

परिभाषा: f : R → R′ जिसमें सभी a, b ∈ R के लिए f(a + b) = f(a) + f(b) और f(ab) = f(a)f(b)।

भाव: वलय समाकारिता दोनों संक्रियाओं का सम्मान करती है, अतः विशेष रूप से योगात्मक समूहों की समाकारिता है; अष्टियों और सहसमुच्चयों के बारे में सब कुछ लागू रहता है, जहाँ गुणजावलियाँ प्रसामान्य उपसमूहों की भूमिका निभाती हैं। आवश्यक नहीं कि यह 1 को 1 पर भेजे: ℤ से ℤ × ℤ में x ↦ (x, 0), 1 को (1, 0) पर भेजता है।

अष्टि (kernel): ker f = {a : f(a) = 0}, R की गुणजावली है, और f एकैकी है यदि और केवल यदि ker f = {0}।

तुल्याकारिता प्रमेय: (1) R/ker f ≅ f(R); (2) उपवलय S और गुणजावली I के लिए (S + I)/I ≅ S/(S ∩ I); (3) गुणजावलियों I ⊆ J के लिए (R/I)/(J/I) ≅ R/J।

तथ्य: क्षेत्र से वलय समाकारिता या तो शून्य होती है या एकैकी, क्योंकि उसकी अष्टि क्षेत्र की गुणजावली है।

समाकारिता के अंतर्गत इकाई: यदि φ : R → R′ आच्छादी है और R की इकाई 1 है, तो φ(1), R′ की इकाई है। यदि φ किसी पूर्णांकीय प्रांत में जाती है और φ ≠ 0, तो φ(1) = 1′, क्योंकि φ(1)² = φ(1) ≠ 0 से φ(1)(φ(1) − 1′) = 0।

मान-निर्धारण समाकारिता (evaluation homomorphism): इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय R और c ∈ R के लिए f(x) ↦ f(c) आच्छादी वलय समाकारिता R[x] → R है जिसकी अष्टि ⟨x − c⟩ है; अतः ℤ[x]/⟨x⟩ ≅ ℤ और F[x]/⟨x − c⟩ ≅ F। क्षेत्र F में c₁ ≠ c₂ के लिए {f : f(c₁) = f(c₂) = 0} = ⟨(x − c₁)(x − c₂)⟩, और विभाग वलय ≅ F × F है, जो पूर्णांकीय प्रांत नहीं है।

ℝ और ℤ की वलय समाकारिताएँ: ℝ → ℝ की केवल वलय समाकारिताएँ 0 और तत्समक हैं, और ℤ → ℤ के लिए भी यही सत्य है।

उदाहरण 1: दिखाइए कि ℝ[x]/⟨x² + 1⟩ ≅ ℂ।

f : ℝ[x] → ℂ, f(p(x)) = p(i) परिभाषित कीजिए। यह वलय समाकारिता है और आच्छादी है, क्योंकि f(a + bx) = a + bi। यदि वास्तविक बहुपद p के लिए p(i) = 0, तो p(−i) = 0 भी, अतः x² + 1, p को विभाजित करता है; इसलिए ker f = ⟨x² + 1⟩। प्रथम प्रमेय से ℝ[x]/⟨x² + 1⟩ ≅ ℂ, और ℂ क्षेत्र है अतः यह गुणजावली उच्चिष्ठ है।

उदाहरण 2: ℤ₁₂ की सभी गुणजावलियाँ और उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ ज्ञात कीजिए।

गुणजावलियाँ 12 के भाजकों d के लिए ⟨d⟩ हैं: ⟨1⟩ = ℤ₁₂, ⟨2⟩, ⟨3⟩, ⟨4⟩, ⟨6⟩, ⟨0⟩। उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ ⟨2⟩ और ⟨3⟩ हैं, क्योंकि ℤ₁₂/⟨2⟩ ≅ ℤ₂ और ℤ₁₂/⟨3⟩ ≅ ℤ₃ क्षेत्र हैं।

9. व्युत्पत्ति: अभिगृहीतों से चिह्नों के नियम

a·0 = 0: a·0 = a(0 + 0) = a·0 + a·0; समूह (R, +) में दोनों पक्षों में −(a·0) जोड़ने से a·0 = 0। इसी प्रकार 0·a = 0।

a(−b) = −(ab): ab + a(−b) = a(b + (−b)) = a·0 = 0, अतः a(−b), ab का योगात्मक प्रतिलोम है। इसे दो बार लगाने से (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab।

निष्कर्ष: 'ऋण गुणा ऋण धन है' कोई अतिरिक्त नियम नहीं है; वितरण नियम इसे बाध्य करता है।

10. व्युत्पत्ति: R/I वलय ठीक तब है जब I गुणजावली हो

मान लीजिए I योगात्मक उपसमूह है, a′ = a + i और b′ = b + j जहाँ i, j ∈ I। तब a′b′ = ab + (aj + ib + ij)। यदि I गुणजावली है, तो कोष्ठक I में है, अतः a′b′ + I = ab + I और सहसमुच्चयों का गुणनफल सुपरिभाषित है।

विलोमतः, यदि गुणनफल सुपरिभाषित है, तो j ∈ I के लिए (a + I)(0 + I) = I की तुलना (a + I)(j + I) = aj + I से कीजिए: दोनों समान होने चाहिए, अतः aj ∈ I। इसी प्रकार ja ∈ I, अतः I दोनों ओर से गुणन सोखती है।

11. व्युत्पत्ति: ℤ और ℤ_n की गुणजावलियाँ, इकाइयाँ और शून्य भाजक

ℤ की प्रत्येक गुणजावली nℤ है: यदि I ≠ {0}, तो n को I का न्यूनतम धनात्मक अवयव लीजिए। a ∈ I के लिए a = qn + r लिखिए जहाँ 0 ≤ r < n; तब r = a − qn ∈ I, अतः न्यूनतमता से r = 0, और I = nℤ। घातों के साथ यही तर्क दिखाता है कि F[x] की प्रत्येक गुणजावली मुख्य है।

ℤ_n की गुणजावलियाँ: संगति प्रमेय से ये dℤ ⊇ nℤ के लिए dℤ/nℤ हैं, अर्थात् n के भाजकों d के लिए ⟨d⟩; और ⟨k⟩ = ⟨gcd(k, n)⟩, अतः ℤ₁₂ में ⟨8⟩ = ⟨4⟩।

ℤ_n की इकाइयाँ और शून्य भाजक: यदि gcd(k, n) = 1, तो बेज़ू से kx + ny = 1, अतः kx ≡ 1 और k इकाई है। यदि d = gcd(k, n) > 1 और k ≢ 0, तो k·(n/d) = (k/d)·n ≡ 0 जहाँ n/d ≢ 0, अतः k शून्य भाजक है। इस प्रकार ℤ_n का प्रत्येक शून्येतर अवयव या तो इकाई है या शून्य भाजक।

12. विधि का चयन

यदि दिखाना हो कि I गुणजावली है → गुणजावली परीक्षण (a − b ∈ I, ra और ar ∈ I) लगाइए, या I को किसी वलय समाकारिता की अष्टि के रूप में दिखाइए।

यदि निर्णय करना हो कि I अभाज्य या उच्चिष्ठ है → R/I को पहचानिए और देखिए कि वह पूर्णांकीय प्रांत है या क्षेत्र; ℤ या F[x] में जनक देखिए (अभाज्य संख्या, अखंडनीय बहुपद)।

यदि ℤ_n (या ℤ_m × ℤ_n) की सभी गुणजावलियाँ पूछी जाएँ → d | n के लिए ⟨d⟩ सूचीबद्ध कीजिए; इकाई सहित वलयों के गुणनफल में प्रत्येक गुणजावली I × J होती है।

यदि R/I को पहचानना हो → अष्टि I वाला मूल्यांकन या अपचयन प्रतिचित्र परिभाषित कीजिए और प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय लगाइए।

यदि दिखाना हो कि वलय पूर्णांकीय प्रांत या क्षेत्र नहीं है → कोई शून्य भाजक, शून्येतर अनिकाई, या उचित अतुच्छ गुणजावली दिखाइए।

13. सामान्य गलतियाँ

उपवलय को गुणजावली कहना: ℤ ⊂ ℚ और विकर्ण {(a, a)} ⊂ ℤ × ℤ उपवलय हैं पर गुणजावलियाँ नहीं; सदा अवशोषण जाँचिए।

'R/M क्षेत्र ⇔ M उच्चिष्ठ' का उसकी परिकल्पनाओं के बिना उपयोग: R क्रमविनिमेय और इकाई सहित होना चाहिए; 2ℤ में 4ℤ उच्चिष्ठ है पर अभाज्य नहीं।

f(1) = 1 मान लेना: वलय समाकारिता का इकाई को सुरक्षित रखना आवश्यक नहीं, जब तक वह आच्छादक न हो या पूर्णांकीय प्रांत में जाने वाली शून्येतर समाकारिता न हो।

कहना कि {0} कभी अभाज्य नहीं: {0} अभाज्य गुणजावली ठीक तब है जब R पूर्णांकीय प्रांत हो (अतः {0}, ℤ में अभाज्य है पर ℤ₆ में नहीं)।

ℤ_n में प्रत्येक k के लिए ⟨k⟩ को भिन्न गुणजावली गिनना: ⟨k⟩ = ⟨gcd(k, n)⟩, अतः ℤ_n की गुणजावलियाँ ठीक उतनी हैं जितने n के भाजक।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: वलयों के लिए गुणजावलियाँ वही हैं जो समूहों के लिए प्रसामान्य उपसमूह: अष्टियाँ, विभाग और तीनों तुल्याकारिता प्रमेय की उपपत्तियाँ प्रसामान्य उपसमूह प्रकरण जैसी ही हैं।

संबंध: रैखिक बीजगणित का M_n(ℝ) मानक अक्रमविनिमेय वलय है, और इसके शून्य भाजक शून्येतर अव्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं; ℝ[x]/⟨x² + 1⟩ ≅ ℂ (उदाहरण 1) सम्मिश्र विश्लेषण में प्रयुक्त सम्मिश्र संख्याओं की बीजीय रचना है।

15. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 3: सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक बूलीय वलय R क्रमविनिमेय है, और प्रत्येक a ∈ R के लिए 2a = 0।

a ∈ R के लिए: a + a = (a + a)² = a² + a² + a² + a² = a + a + a + a, अतः a + a = 0, अर्थात −a = a।

a, b ∈ R के लिए: a + b = (a + b)² = a² + ab + ba + b² = a + ab + ba + b, अतः ab + ba = 0।

अतः ab = −ba = ba, इसलिए R क्रमविनिमेय है; यदि R ≠ {0} तो इसका अभिलक्षण 2 है।

उदाहरण 4: दिखाइए कि क्रमविनिमेय वलय R के शून्यंभावी (nilpotent) अवयवों का समुच्चय N, R की गुणजावली है।

0 ∈ N। मान लीजिए a^m = 0 और bⁿ = 0। R क्रमविनिमेय है, अतः द्विपद प्रमेय लागू है: (a − b)^m+n = ∑_i C(m + n, i)aⁱ(−b)^m+n−i।

प्रत्येक पद में या तो i ≥ m, अतः aⁱ = 0, या i ≤ m − 1, अतः m + n − i ≥ n + 1 और b^m+n−i = 0। अतः (a − b)^m+n = 0 और a − b ∈ N।

r ∈ R के लिए (ra)^m = r^ma^m = 0, अतः ra ∈ N। अतः N गुणजावली है (R का शून्यंभावी मूलक)।

उदाहरण 5: वलय ℤ₃ × ℤ₄ का अभिलक्षण ज्ञात कीजिए और निर्णय कीजिए कि यह पूर्णांकीय प्रांत है या नहीं।

इकाई (1, 1) है, और k(1, 1) = (k mod 3, k mod 4) = (0, 0) यदि और केवल यदि 3 | k और 4 | k, अर्थात 12 | k। अतः अभिलक्षण lcm(3, 4) = 12 है।

यह पूर्णांकीय प्रांत नहीं है: (1, 0)·(0, 1) = (0, 0), जबकि दोनों गुणनखंड अशून्य हैं।

यह इस प्रमेय से संगत है कि पूर्णांकीय प्रांत का अभिलक्षण 0 या अभाज्य होता है; वस्तुतः वलयों के रूप में ℤ₃ × ℤ₄ ≅ ℤ₁₂।

उदाहरण 6: दिखाइए कि ⟨x² + 1⟩, ℤ₂[x] की अभाज्य गुणजावली नहीं है, यद्यपि यह ℤ₃[x] की उच्चिष्ठ गुणजावली है।

ℤ₂[x] में (x + 1)² = x² + 2x + 1 = x² + 1, अतः (x + 1)(x + 1) ∈ I = ⟨x² + 1⟩।

परंतु x + 1 ∉ I, क्योंकि I के प्रत्येक अशून्य अवयव की घात कम से कम 2 है। अतः I अभाज्य नहीं है, और (x + 1) + I, ℤ₂[x]/I का शून्य भाजक है।

ℤ₃ पर x² + 1 के मान 0, 1, 2 पर 1, 2, 2 हैं, अतः इसका कोई मूल नहीं है और यह अखंडनीय है; ℤ₃[x] मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः वहाँ यह गुणजावली उच्चिष्ठ है।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 10 अंक): वलय का एक ऐसा उदाहरण दीजिए, जिसका तत्समक है परन्तु जिसके एक उपवलय का भिन्न तत्समक है।

R = ℤ₆ लीजिए, जिसका तत्समक 1 है, और S = {0, 2, 4}। a, b ∈ S के लिए a − b और ab, mod 6 के सम अवशेष हैं, अतः S उपवलय है।

S में 4·0 = 0, 4·2 = 8 = 2 और 4·4 = 16 = 4 (mod 6), अतः 4, S का तत्समक है, जो R के तत्समक 1 से भिन्न है।

दूसरा उदाहरण: तत्समक (1, 1) वाला R = ℤ × ℤ और उपवलय S = ℤ × {0}, जिसका तत्समक (1, 0) है।

उत्तर: ℤ₆ (तत्समक 1) का उपवलय {0, 2, 4} है जिसका तत्समक 4 है।

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 15 अंक): यदि R एक वलय है, जिसका तत्समक अवयव 1 है तथा R आच्छादक R′ (R onto R′) की एक समाकारिता φ है, तो सिद्ध कीजिए R′ का तत्समक अवयव φ(1) है।

मान लीजिए r′ ∈ R′। φ आच्छादी है, अतः किसी r ∈ R के लिए r′ = φ(r)।

तब φ(1)r′ = φ(1)φ(r) = φ(1·r) = φ(r) = r′, और इसी प्रकार r′φ(1) = φ(r·1) = r′।

अतः φ(1), R′ का द्विपक्षीय गुणनात्मक तत्समक है, और अद्वितीयता से यह R′ का इकाई अवयव है।

आच्छादिता आवश्यक है: n ↦ (n, 0) समाकारिता ℤ → ℤ × ℤ है जिसमें φ(1) = (1, 0), जो तत्समक (1, 1) नहीं है।

उत्तर: φ(1), R′ का इकाई अवयव है।

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 20 अंक): मान लीजिए ℝ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा f : ℝ → ℝ ऐसा फलन है कि सभी x, y ∈ ℝ के लिए निम्नलिखित समीकरण लागू होते हैं :
(i) f(x + y) = f(x) + f(y)
(ii) f(xy) = f(x) f(y)
दर्शाइए कि सभी ∀ x ∈ ℝ के लिए या तो f(x) = 0 या f(x) = x है।

(ii) में x = y = 1 रखिए: f(1) = f(1)², अतः f(1) = 0 या f(1) = 1।

यदि f(1) = 0, तो सभी x के लिए f(x) = f(x·1) = f(x)f(1) = 0।

मान लीजिए f(1) = 1। (i) से f(0) = 0, f(−x) = −f(x) और n ∈ ℕ के लिए f(nx) = nf(x); अतः n ∈ ℤ के लिए f(n) = n, और nf(m/n) = f(m) = m से प्रत्येक q ∈ ℚ के लिए f(q) = q।

f क्रम संरक्षित करता है: यदि t ≥ 0 तो s = √t के साथ t = s², अतः f(t) = f(s)² ≥ 0। अतः x ≤ y ⇒ f(y) − f(x) = f(y − x) ≥ 0।

x ∈ ℝ स्थिर कीजिए। परिमेय r < x < s के लिए r = f(r) ≤ f(x) ≤ f(s) = s। r और s को x की ओर ले जाने पर (ℚ सघन है) f(x) = x।

उत्तर: या तो सभी x के लिए f(x) = 0, या सभी x ∈ ℝ के लिए f(x) = x।

उदाहरण 10 (UPSC 2022, 15 अंक): मान लीजिये कि R वास्तविक संख्याओं का एक क्षेत्र है तथा S, उन सभी बहुपदों f(x) ∈ R[x], जिनके लिये f(0) = 0 = f(1) है, का क्षेत्र है। सिद्ध कीजिये कि S, R[x] की एक गुणजावली है। क्या अवशेष वर्ग वलय R[x]/S एक पूर्णांकीय प्रांत है? अपने उत्तर का स्पष्टीकरण दीजिये।

(प्रश्नपत्र में 'उन सभी बहुपदों का क्षेत्र' लिखा है; S केवल ℝ[x] का उपसमुच्चय है, अतः 'समुच्चय' पढ़िए। यहाँ R = ℝ।)

0 ∈ S। यदि f, g ∈ S, तो (f − g)(0) = 0 और (f − g)(1) = 0, अतः f − g ∈ S।

यदि f ∈ S और h ∈ ℝ[x], तो (hf)(0) = h(0)f(0) = 0 और (hf)(1) = h(1)f(1) = 0, अतः hf ∈ S। अतः S गुणजावली है; वस्तुतः S = ⟨x(x − 1)⟩, क्योंकि x और x − 1 दोनों f को विभाजित करते हैं।

x ∉ S (x = 1 पर यह 1 है) और x − 1 ∉ S (x = 0 पर यह −1 है), परंतु x(x − 1) ∈ S।

अतः (x + S)(x − 1 + S) = S, जो ℝ[x]/S का शून्य है, और दोनों गुणनखंड शून्येतर हैं: ℝ[x]/S में शून्य भाजक हैं, और S अभाज्य गुणजावली नहीं है।

उत्तर: S, ℝ[x] की गुणजावली है, परंतु ℝ[x]/S पूर्णांकीय प्रांत नहीं है (वस्तुतः f + S ↦ (f(0), f(1)) द्वारा ℝ[x]/S ≅ ℝ × ℝ)।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ℤ₁₀ के सभी मात्रक और सभी शून्य भाजक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मात्रक 1, 3, 7, 9 (10 के साथ gcd 1); शून्य भाजक 2, 4, 5, 6, 8 (उदाहरणार्थ 2·5 = 0, 4·5 = 0, 6·5 = 0, 8·5 = 0)।

अभ्यास 2 (मूल): क्या {0, 3, 6, 9}, ℤ₁₂ की गुणजावली है? क्या यह उच्चिष्ठ गुणजावली है?

उत्तर: हाँ, यह ⟨3⟩ है। यह उच्चिष्ठ है, क्योंकि ℤ₁₂/⟨3⟩ ≅ ℤ₃ क्षेत्र है।

अभ्यास 3 (मूल): क्या वास्तविक उपरि त्रिभुजीय 2 × 2 आव्यूहों का समुच्चय M₂(ℝ) की गुणजावली है?

उत्तर: नहीं। यह उपवलय है, परंतु [[0, 0], [1, 0]]·[[1, 0], [0, 0]] = [[0, 0], [1, 0]] उपरि त्रिभुजीय नहीं है, अतः यह बाईं ओर से गुणन को नहीं सोखता।

अभ्यास 4 (मानक): ℤ₃₆ की सभी उच्चिष्ठ और सभी अभाज्य गुणजावलियाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गुणजावलियाँ d | 36 के लिए ⟨d⟩ हैं, जहाँ ℤ₃₆/⟨d⟩ ≅ ℤ_d। यह क्षेत्र है (परिमित वलय के लिए तुल्यतः पूर्णांकीय प्रांत) यदि और केवल यदि d अभाज्य हो, अतः उच्चिष्ठ और अभाज्य गुणजावलियाँ ⟨2⟩ और ⟨3⟩ हैं।

अभ्यास 5 (मानक): दिखाइए कि I = {f ∈ ℤ[x] : f(0) सम है}, ℤ[x] की उच्चिष्ठ गुणजावली है और I = ⟨2, x⟩।

उत्तर: f ↦ f(0) mod 2, ℤ[x] → ℤ₂ एक आच्छादक वलय समाकारिता है जिसकी अष्टि I है, अतः ℤ[x]/I ≅ ℤ₂, एक क्षेत्र। f = f(0) + x·g लिखने से I = ⟨2, x⟩ दिखता है।

अभ्यास 6 (मानक): ℤ₄ × ℤ₆ और ℤ₃[x] का अभिलक्षण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: lcm(4, 6) = 12 ((1, 1) की योगात्मक कोटि) और 3 (अचर 1 की योगात्मक कोटि)।

अभ्यास 7 (मानक): इकाई वाले वलय R में सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक a के लिए (−1)a = −a, और निष्कर्ष निकालिए कि (−1)(−1) = 1।

उत्तर: a + (−1)a = (1 + (−1))a = 0·a = 0, अतः (−1)a, a का योगात्मक प्रतिलोम है। a = −1 रखें: (−1)(−1) = −(−1) = 1।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि ⟨x² + 1⟩, ℝ[x] की उच्चिष्ठ गुणजावली है, जबकि ⟨x² − 1⟩ अभाज्य गुणजावली भी नहीं है।

उत्तर: x² + 1 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, अतः यह ℝ पर अखंडनीय है और PID ℝ[x] में ⟨x² + 1⟩ उच्चिष्ठ है (वास्तव में ℝ[x]/⟨x² + 1⟩ ≅ ℂ)। परंतु (x − 1)(x + 1) ∈ ⟨x² − 1⟩ जबकि कोई गुणनखंड नहीं, क्योंकि उनकी घात 1 है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): ℤ₆ से ℤ₆ में सभी वलय समाकारिताएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: e = f(1) के साथ f(x) = ex; योगात्मकता प्रत्येक e के लिए सत्य है, और f(1·1) = f(1)² से e² = e। ℤ₆ के वर्गसम (idempotent) अवयव 0, 1, 3, 4 हैं, जिससे चार समाकारिताएँ x ↦ 0, x, 3x, 4x मिलती हैं।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि ℤ[x]/⟨x² + 1⟩ ≅ ℤ[i], और तय कीजिए कि ℤ[x] में ⟨x² + 1⟩ अभाज्य है या उच्चिष्ठ।

उत्तर: f ↦ f(i), ℤ[i] पर आच्छादक है, और इसकी अष्टि ⟨x² + 1⟩ है (अग्र बहुपद x² + 1 से भाग दें; शेषफल a + bx, i पर तभी शून्य है जब a = b = 0)। ℤ[i] पूर्णांकीय प्रांत है परंतु क्षेत्र नहीं, अतः गुणजावली अभाज्य है परंतु उच्चिष्ठ नहीं।

1. पूर्णांकीय प्रांत और क्षेत्र को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समीकरण हल करते समय हम उभयनिष्ठ गुणनखंडों का निरसन करते हैं और भाग देते हैं। ये चरण ℚ में वैध हैं और ℤ में आंशिक रूप से वैध, परंतु ℤ₆ में नहीं, जहाँ 3 ≠ 0 होते हुए भी 2·3 = 2·0। हमें उन वलयों के नाम चाहिए जिनमें ये सुरक्षित हैं।

शब्दों में: पूर्णांकीय प्रांत (integral domain) 1 ≠ 0 वाला ऐसा क्रमविनिमेय वलय है जिसमें ab = 0 से a = 0 या b = 0। ठीक यही शर्त किसी शून्येतर गुणनखंड के निरसन की अनुमति देती है।

क्षेत्र (field) 1 ≠ 0 वाला ऐसा क्रमविनिमेय वलय है जिसमें प्रत्येक शून्येतर अवयव का गुणनात्मक प्रतिलोम हो, ताकि हम भाग भी दे सकें।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाएँ कि ℤ₇ क्षेत्र है। चरण 1: ℤ₇, इकाई 1 ≠ 0 वाला क्रमविनिमेय वलय है।

चरण 2 (प्रतिलोम): 1·1 = 1, 2·4 = 8 ≡ 1, 3·5 = 15 ≡ 1 और 6·6 = 36 ≡ 1। अतः 1⁻¹ = 1, 2⁻¹ = 4, 3⁻¹ = 5, 4⁻¹ = 2, 5⁻¹ = 3 और 6⁻¹ = 6।

चरण 3: प्रत्येक शून्येतर अवयव मात्रक है, अतः ℤ₇ क्षेत्र है। चरण 4: तब यह स्वतः पूर्णांकीय प्रांत है: यदि ab = 0 और a ≠ 0, तो a⁻¹ से गुणा करने पर b = 0।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ₈ पूर्णांकीय प्रांत नहीं है, क्योंकि 2, 4 ≠ 0 के साथ 2·4 = 8 ≡ 0। और ℤ पूर्णांकीय प्रांत है परंतु क्षेत्र नहीं: 2x = 1 का कोई पूर्णांक हल नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) प्रत्येक क्षेत्र पूर्णांकीय प्रांत है (ऊपर चरण 4)। (2) प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रांत क्षेत्र है: निरसन से x ↦ ax एकैकी है, अतः आच्छादक, अतः ax = 1 हल योग्य है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)।

(3) अतः ℤ_n क्षेत्र है यदि और केवल यदि n अभाज्य हो। (4) पूर्णांकीय प्रांत का अभिलक्षण 0 या कोई अभाज्य है (प्रमेय 13)।

कहाँ प्रयोग होता है: पूर्णांकीय प्रांत पर घात n के बहुपद के अधिकतम n मूल होते हैं; D[x] में घातें जुड़ती हैं; विभाग क्षेत्र केवल पूर्णांकीय प्रांतों के लिए होते हैं; और परिमित क्षेत्र ℤ_p से बनते हैं।

2. अखंडनीय और अभाज्य अवयवों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ℤ के अतिरिक्त अन्य वलयों में गुणनखंडन की बात करने के लिए हमें 'अभाज्य संख्या' का समरूप चाहिए। ℤ में अभाज्यों के दो भिन्न गुणधर्म एक हो जाते हैं; सामान्य वलयों में वे अलग हो सकते हैं, और यही अलगाव अद्वितीय गुणनखंडन को तोड़ता है।

शब्दों में: मात्रक 1 को विभाजित करता है, और सहचारी किसी मात्रक गुणनखंड से भिन्न होते हैं (जैसे 3 और −3), अतः विभाज्यता में वे एक जैसे व्यवहार करते हैं। 'अखंडनीय' कहता है कि p को तोड़ा नहीं जा सकता: p = ab से a या b मात्रक होना चाहिए।

'अभाज्य' कहता है कि p गुणनफलों में अच्छा व्यवहार करता है: p | ab से p | a या p | b। दोनों परिभाषाएँ 0 और मात्रकों को बाहर रखती हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ℤ[i] में मानक (norm) N(a + bi) = a² + b² के साथ काम करें, जो गुणनात्मक है; मात्रक मानक 1 वाले अवयव हैं, अर्थात ±1 और ±i।

चरण 1: N(1 + i) = 2। यदि 1 + i = αβ, तो N(α)N(β) = 2, अतः एक मानक 1 है और वह गुणनखंड मात्रक है। अतः 1 + i अखंडनीय है।

चरण 2: 2 = (1 + i)(1 − i), और N(1 ± i) = 2 ≠ 1, अतः कोई गुणनखंड मात्रक नहीं। अतः 2, जो ℤ में अभाज्य संख्या है, ℤ[i] में अखंडनीय नहीं है। ध्यान दें कि अभाज्य होना वलय पर निर्भर करता है।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ[√−5] में 2 अखंडनीय है (किसी अवयव का मानक 2 नहीं) परंतु अभाज्य नहीं: 2, (1 + √−5)(1 − √−5) = 6 को विभाजित करता है, फिर भी (1 ± √−5)/2 ∉ ℤ[√−5], अतः 2 किसी गुणनखंड को विभाजित नहीं करता।

आगे बढ़ते हुए: (1) किसी भी पूर्णांकीय प्रांत में अभाज्य अखंडनीय होता है (नीचे 'अभाज्य ⇒ अखंडनीय क्यों' पंक्ति)। (2) PID में अखंडनीय अवयव अभाज्य होता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15)।

(3) मानक गुणनखंडन के प्रश्नों को पूर्णांकों के प्रश्नों में बदल देता है: अभाज्य मानक वाला अवयव अखंडनीय है, और α के गुणनखंड का मानक N(α) को विभाजित करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: यह सिद्ध करने में कि ℤ[√−5] UFD नहीं है, गाउसीय पूर्णांकों के गुणनखंडन में, और यह दिखाने में कि p अखंडनीय हो तो F[x]/⟨p(x)⟩ क्षेत्र है।

3. यूक्लिडीय प्रांत, PID और UFD को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ℤ में अद्वितीय गुणनखंडन तथ्यों की एक शृंखला पर टिका है: शेषफल सहित भाग से gcd मिलते हैं, gcd से यूक्लिड प्रमेयिका, और यूक्लिड प्रमेयिका से अद्वितीयता। वलयों के ये तीन वर्ग इस शृंखला की कड़ियों के नाम हैं, ताकि हम देख सकें कि किसी वलय में कौन-सी कड़ी टूटती है।

शब्दों में: यूक्लिडीय प्रांत में आकार फलन d और छोटे शेषफल वाला भाग होता है: a = bq + r जहाँ r = 0 या d(r) < d(b)। PID वह है जिसमें प्रत्येक गुणजावली किसी एक अवयव के गुणजों से बनी हो।

UFD वह है जिसमें प्रत्येक अशून्य अमात्रक अखंडनीयों का गुणनफल है, और ऐसे कोई भी दो गुणनफल पुनर्क्रमण तथा गुणनखंडों को सहचारियों से बदलने के बाद मेल खाते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ℤ[i] में d = N लेकर 7 + 3i को 2 + i से भाग दें।

चरण 1 (ℂ में यथार्थ भागफल): (7 + 3i)/(2 + i) = (7 + 3i)(2 − i)/5 = (17 − i)/5 = 3.4 − 0.2i।

चरण 2 (निकटतम जालक बिंदु तक पूर्णांकन): q = 3। चरण 3 (शेषफल): r = (7 + 3i) − 3(2 + i) = 1, जहाँ N(r) = 1 < N(2 + i) = 5।

चरण 4: अतः 7 + 3i = 3(2 + i) + 1। अगला भाग, 2 + i का 1 से, शेषफल 0 छोड़ता है, अतः अंतिम अशून्य शेषफल 1 एक gcd है: 7 + 3i और 2 + i सहअभाज्य हैं।

ध्यान देने की बात: प्रत्येक निर्देशांक के पूर्णांकन से N(α/β − q) अधिकतम 1/4 + 1/4 = 1/2 होता है, इसीलिए शेषफल सदा छोटा होता है।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ[x] UFD है परंतु PID नहीं, क्योंकि ⟨2, x⟩ मुख्य नहीं है (नीचे पंक्ति 'ℤ[x] PID क्यों नहीं')। और ℤ[√−5] UFD भी नहीं है: 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5)।

आगे बढ़ते हुए: (1) ED ⇒ PID: अशून्य गुणजावली में न्यूनतम आकार का अवयव उसे जनित करता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 14)। (2) PID ⇒ UFD: मुख्य गुणजावलियों की शृंखलाएँ रुकती हैं, जिससे अस्तित्व मिलता है, और अखंडनीय = अभाज्य से अद्वितीयता (नीचे रूपरेखा 'प्रत्येक PID, UFD है')।

(3) गॉस: यदि D, UFD है तो D[x] भी; इसीलिए ℤ[x] और F[x, y], UFD हैं। (4) शृंखला क्षेत्र ⊂ ED ⊂ PID ⊂ UFD ⊂ पूर्णांकीय प्रांत का प्रत्येक समावेशन सख्त है।

कहाँ प्रयोग होता है: ℤ[i] और F[x] में gcd और बेज़ू सर्वसमिकाओं में, आव्यूह या बीजीय अवयव के न्यूनतम बहुपद में, और प्रश्नों 'सिद्ध करें ℤ[i] यूक्लिडीय है' तथा 'दिखाएँ ℤ[√−5] UFD नहीं है' में।

4. विभाग क्षेत्र को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ℤ में समीकरण 2x = 1 का कोई हल नहीं, और हम भिन्नों पर जाकर इसे ठीक करते हैं। यही उपाय प्रत्येक पूर्णांकीय प्रांत के लिए काम करता है: वह एक लघुतम क्षेत्र, अपने विभाग क्षेत्र (quotient field), के भीतर बैठता है।

शब्दों में: भिन्न a/b एक युग्म (a, b) है जहाँ b ≠ 0। दो युग्म एक ही भिन्न को दर्शाते हैं जब ad = bc; यह परीक्षण केवल गुणन का प्रयोग करता है, जो D में पहले से है।

भिन्नों को विद्यालय के नियमों a/b + c/d = (ad + bc)/bd और (a/b)(c/d) = ac/bd से जोड़ा और गुणा किया जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: D = ℤ[i] और भिन्न 1/(1 + i) लें।

चरण 1: (1, 1 + i) ~ (1 − i, 2), क्योंकि 1·2 = 2 = (1 + i)(1 − i)। अतः 1/(1 + i) = (1 − i)/2 = 1/2 − i/2।

चरण 2: इसी प्रकार (a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di)/(c² + d²), जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग परिमेय हैं। अतः प्रत्येक भिन्न ℚ(i) = {p + qi : p, q ∈ ℚ} में है।

चरण 3: विलोमतः p/q + (r/s)i = (ps + qri)/(qs) गाउसीय पूर्णांकों का भिन्न है। अतः ℤ[i] का विभाग क्षेत्र ℚ(i) है।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ₆ पर भिन्न आज़माएँ, जिसमें शून्य भाजक हैं। (2, 1) ~ (0, 3) क्योंकि 2·3 = 0 = 1·0, और (0, 3) ~ (0, 1), परंतु (2, 1) ~ (0, 1) विफल है क्योंकि 2·1 ≠ 1·0। संक्रामकता टूटती है, अतः शून्य भाजक रचना को असंभव बना देते हैं।

आगे बढ़ते हुए: (1) ~ तुल्यता संबंध है; संक्रामकता निरसन का प्रयोग करती है (नीचे पंक्ति 'D पूर्णांकीय प्रांत क्यों होना चाहिए')। (2) संक्रियाएँ सुपरिभाषित हैं, और bd ≠ 0 क्योंकि D में शून्य भाजक नहीं हैं।

(3) क्षेत्र अभिगृहीत ℚ की भाँति जाँचे जाते हैं, जहाँ a ≠ 0 होने पर (b, a), (a, b) का प्रतिलोम है। (4) a ↦ a/1, D को अंतःस्थापित करता है, और D वाला प्रत्येक क्षेत्र इन भिन्नों की प्रति रखता है।

कहाँ प्रयोग होता है: ℤ से ℚ, F[x] से परिमेय फलन F(x), ℚ बनाम ℤ पर गुणनखंडन संबंधी गॉस प्रमेयिका, और अभिलक्षण 0 वाले क्षेत्र के अभाज्य उपक्षेत्र ℚ में।

5. पूर्णांकीय प्रांत और क्षेत्र

पूर्णांकीय प्रांत (integral domain): इकाई 1 ≠ 0 सहित और शून्य भाजक रहित क्रमविनिमेय वलय; समतुल्य रूप से निरसन नियम ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c लागू होता है।

भाव: पूर्णांकीय प्रांत (integral domain) वह वलय है जिसमें ℤ की भाँति निरसन किया जा सकता है; क्षेत्र (field) वह है जिसमें भाग भी दिया जा सकता है। शर्त 1 ≠ 0 केवल शून्य वलय {0} को बाहर करती है।

क्षेत्र (field): इकाई 1 ≠ 0 सहित क्रमविनिमेय वलय जिसमें प्रत्येक अशून्य अवयव मात्रक हो।

परिणाम: प्रत्येक क्षेत्र पूर्णांकीय प्रांत है; प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रांत क्षेत्र है; ℤ_n क्षेत्र है यदि और केवल यदि n अभाज्य हो।

भाव: परिमित पूर्णांकीय प्रांत में x ↦ ax (a ≠ 0) निरसन से एकैकी है, अतः गणना से आच्छादक, इसलिए ax = 1 हल योग्य है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)। परिमितता अनिवार्य है: ℤ में x ↦ 2x एकैकी है पर आच्छादक नहीं।

अभिलक्षण: पूर्णांकीय प्रांत का अभिलक्षण या तो 0 होता है या कोई अभाज्य p।

उदाहरण: ℤ[i] = {a + bi : a, b ∈ ℤ} पूर्णांकीय प्रांत है परंतु क्षेत्र नहीं, क्योंकि 2 का प्रतिलोम नहीं है; ℤ₆ पूर्णांकीय प्रांत नहीं है, क्योंकि 2·3 = 0।

6. पूर्णांकीय प्रांत में विभाज्यता

विभाजन और सहचारी (associates): पूर्णांकीय प्रांत D में a | b यदि किसी c ∈ D के लिए b = ac; a और b सहचारी हैं यदि किसी मात्रक u के लिए a = ub।

भाव: विभाज्यता इकाइयों को नहीं देख सकती: a और ua ठीक एक ही अवयवों को विभाजित करते हैं और एक ही गुणजावली जनित करते हैं। ℤ में 3 के सहचर (associates) ±3 हैं; ℤ[i] में 1 + 2i के सहचर ±(1 + 2i) और ±i(1 + 2i) = ±(−2 + i) हैं।

अखंडनीय अवयव (irreducible element): अशून्य अमात्रक p ऐसा कि p = ab से a या b मात्रक हो।

अभाज्य अवयव (prime element): अशून्य अमात्रक p ऐसा कि p | ab से p | a या p | b हो।

संबंध: प्रत्येक अभाज्य अखंडनीय है; अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत में (विशेषतः मुख्य गुणजावली प्रांत में) प्रत्येक अखंडनीय अभाज्य है।

अभाज्य ⇒ अखंडनीय क्यों: मान लीजिए p अभाज्य है और p = ab। तब p | ab, मान लीजिए p | a, अतः a = pc और p = pcb। p का निरसन (पूर्णांकीय प्रांत) करने पर cb = 1, अतः b इकाई है। PID में विलोम के लिए मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15 देखिए।

भाव: 'अखंडनीय' (irreducible) कहता है कि अवयव का गुणनखंडन नहीं हो सकता; 'अभाज्य' (prime) कहता है कि वह गुणनफलों के भीतर अच्छा व्यवहार करता है। ℤ में ये समान हैं, और ℤ[√−5] जैसे वलयों में इनके बीच का अंतर ठीक अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता है।

प्रति-उदाहरण: ℤ[√−5] में 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5)। यहाँ 2 अखंडनीय है (किसी अवयव का मानक a² + 5b² = 2 नहीं होता) परंतु अभाज्य नहीं, क्योंकि 2 गुणनफल (1 + √−5)(1 − √−5) को विभाजित करता है पर किसी गुणनखंड को नहीं।

7. यूक्लिडीय प्रांत, मुख्य गुणजावली प्रांत और अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत

यूक्लिडीय प्रांत (Euclidean domain, ED): पूर्णांकीय प्रांत D जिसमें फलन d : D∖{0} → {0, 1, 2, ...} ऐसा हो कि (i) सभी अशून्य a, b के लिए d(a) ≤ d(ab), और (ii) किसी a और b ≠ 0 के लिए q, r ∈ D ऐसे हों कि a = bq + r, जहाँ r = 0 या d(r) < d(b)।

भाव: यूक्लिडीय प्रांत (Euclidean domain) वह वलय है जिसमें विभाजन कलन-विधि है: d आकार मापता है, और प्रत्येक भाग छोटा शेषफल छोड़ता है। अतः यूक्लिड की कलन-विधि रुकती है, और gcd अस्तित्व में होते हैं तथा निकाले जा सकते हैं।

मानक यूक्लिडीय प्रांत: ℤ, d(n) = |n| के साथ; क्षेत्र F के लिए F[x], d = घात के साथ; ℤ[i], d(a + bi) = a² + b² के साथ।

मुख्य गुणजावली प्रांत (principal ideal domain, PID): वह पूर्णांकीय प्रांत जिसकी प्रत्येक गुणजावली मुख्य हो।

भाव: PID में प्रत्येक गुणजावली 'एक अवयव के गुणज' है। ⟨a, b⟩ पर लगाने से इसका अर्थ है कि gcd(a, b) अस्तित्व में है और संयोजन ax + by है (बेज़ू)। ED के PID होने की उपपत्ति (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 14) गुणजावली में न्यूनतम आकार का अवयव लेती है, ठीक ℤ की भाँति।

अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत (unique factorization domain, UFD): वह पूर्णांकीय प्रांत जिसमें प्रत्येक अशून्य अमात्रक अखंडनीयों का गुणनफल हो, जो क्रम और सहचारियों को छोड़कर अद्वितीय हो।

प्रमेय: प्रत्येक यूक्लिडीय प्रांत मुख्य गुणजावली प्रांत है; प्रत्येक मुख्य गुणजावली प्रांत अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत है; यदि D अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत है तो D[x] भी है (गॉस)।

सख्त (strict) शृंखला: क्षेत्र ⊂ ED ⊂ PID ⊂ UFD ⊂ पूर्णांकीय प्रांत। ℤ यूक्लिडीय प्रांत है परंतु क्षेत्र नहीं; ℤ[(1 + √−19)/2] PID है परंतु ED नहीं; ℤ[x] और F[x, y] UFD हैं परंतु PID नहीं; ℤ[√−5] पूर्णांकीय प्रांत है परंतु UFD नहीं।

PID में उच्चिष्ठ गुणजावली: अशून्य गुणजावली ⟨p⟩ उच्चिष्ठ है यदि और केवल यदि p अखंडनीय हो। अतः F[x]/⟨p(x)⟩ क्षेत्र है यदि और केवल यदि p(x), F पर अखंडनीय हो।

ℤ[x] PID क्यों नहीं: यदि ⟨2, x⟩ = ⟨f⟩, तो f, 2 और x दोनों को विभाजित करता है, अतः f = ±1; परंतु 1 ∉ ⟨2, x⟩, क्योंकि ⟨2, x⟩ के प्रत्येक अवयव का अचर पद सम है।

उदाहरण 1: सिद्ध कीजिए कि ℤ[i] यूक्लिडीय प्रांत है।

α = a + bi के लिए d(α) = N(α) = a² + b² लीजिए; N गुणनात्मक है, अतः β ≠ 0 के लिए N(αβ) = N(α)N(β) ≥ N(α)। α, β ≠ 0 के लिए α/β = x + iy, x, y ∈ ℚ लिखिए और पूर्णांक m, n ऐसे चुनिए कि |x − m| ≤ 1/2 और |y − n| ≤ 1/2। q = m + in और r = α − βq ∈ ℤ[i] रखिए। तब N(r) = N(β)·N(α/β − q) ≤ N(β)(1/4 + 1/4) < N(β)।

उदाहरण 2: क्या ℤ₃[x]/⟨x² + 1⟩ क्षेत्र है?

x² + 1 का ℤ₃ में कोई मूल नहीं है (0, 1, 2 पर मान 1, 2, 2 हैं), और मूल रहित द्विघात बहुपद अखंडनीय होता है। अतः विभाग वलय 3² = 9 अवयवों वाला क्षेत्र है।

8. विभाग क्षेत्र

रचना: पूर्णांकीय प्रांत D के लिए b ≠ 0 वाले युग्म (a, b) लीजिए और (a, b) ~ (c, d) यदि और केवल यदि ad = bc; यह तुल्यता संबंध है, और (a, b) के वर्ग को a/b लिखते हैं।

भाव: ℤ से ℚ इसी प्रकार बनता है: भिन्न एक युग्म है, और 1/2 = 2/4 क्योंकि 1·4 = 2·2। परीक्षण ad = bc भाग से बचता है, जो D में अभी उपलब्ध नहीं है।

D पूर्णांकीय प्रांत क्यों होना चाहिए: संक्रामकता के लिए मान लीजिए ad = bc और cf = de जहाँ b, d, f ≠ 0। तब adf = bcf = bde, अतः d(af − be) = 0, और चूँकि d ≠ 0 तथा D में शून्य भाजक नहीं हैं, af = be।

संक्रियाएँ: a/b + c/d = (ad + bc)/bd और (a/b)·(c/d) = ac/bd; दोनों सुपरिभाषित हैं, और bd ≠ 0 क्योंकि D में शून्य भाजक नहीं हैं।

प्रमेय: ये वर्ग एक क्षेत्र F बनाते हैं, और a ↦ a/1, D से F में एकैकी वलय समाकारिता है।

न्यूनतमता: F, D को अंतर्विष्ट करने वाला लघुतम क्षेत्र है: D को अंतर्विष्ट करने वाले प्रत्येक क्षेत्र K में F के तुल्याकारी उपक्षेत्र होता है।

उदाहरण: ℤ का विभाग क्षेत्र ℚ है; ℤ[i] का ℚ(i) = {p + qi : p, q ∈ ℚ}; F[x] का F(x), परिमेय फलनों का क्षेत्र; किसी क्षेत्र का विभाग क्षेत्र वही क्षेत्र है।

9. व्युत्पत्ति: प्रत्येक PID एक UFD है (रूपरेखा)

चरण 1 (शृंखलाएँ रुकती हैं): यदि PID में ⟨a₁⟩ ⊆ ⟨a₂⟩ ⊆ ..., तो सम्मिलन एक गुणजावली है, अतः किसी a के लिए ⟨a⟩ के बराबर है; a किसी ⟨a_n⟩ में है, और तब शृंखला n से आगे अचर है।

चरण 2 (अस्तित्व): यदि किसी शून्येतर अनिकाई a का अखंडनीयों में गुणनखंडन न होता, तो a = a₁b₁ होता जहाँ a₁ का भी गुणनखंडन नहीं और ⟨a⟩ ⊊ ⟨a₁⟩; दोहराने पर निरंतर बढ़ती शृंखला मिलती, जो चरण 1 के विरुद्ध है।

चरण 3 (अद्वितीयता): PID में प्रत्येक अखंडनीय अभाज्य है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15)। यदि p₁···p_r = q₁···q_s, तो p₁ किसी q_j को विभाजित करता है, अतः p₁ और q_j सहचर हैं; निरसन कीजिए और r पर आगमन लगाइए।

10. व्युत्पत्ति: द्विघात वलयों में मानक (norm) तकनीक

गुणनात्मकता: ℤ[√−n] में N(a + b√−n) = a² + nb² = |a + b√−n|² रखिए। चूँकि |zw|² = |z|²|w|², अतः N(αβ) = N(α)N(β), और N ऋणेतर पूर्णांक मान लेता है।

इकाइयाँ: यदि αβ = 1 तो N(α)N(β) = 1, अतः N(α) = 1; विलोमतः N(α) = 1 का अर्थ αᾱ = 1 है। अतः ℤ[√−5] की इकाइयाँ ±1 हैं, और ℤ[i] की ±1, ±i।

अखंडनीयता: यदि α = βγ जहाँ कोई भी इकाई नहीं, तो N(β), N(α) का 1 से बड़ा उचित भाजक है। अतः अभाज्य मानक वाला अवयव अखंडनीय है, और 2 ∈ ℤ[√−5] अखंडनीय है क्योंकि किसी अवयव का मानक 2 नहीं है (a² + 5b² = 2 का कोई पूर्णांक हल नहीं)।

विभाग वलयों से अभाज्यता: p अभाज्य है यदि और केवल यदि D/⟨p⟩ पूर्णांकीय प्रांत हो। ℤ[i] में 3 के लिए ℤ[i]/⟨3⟩ ≅ ℤ₃[x]/⟨x² + 1⟩, जो 9 अवयवों का क्षेत्र है, अतः 3, ℤ[i] में अभाज्य है; 5 = (2 + i)(2 − i) के लिए विभाग वलय में शून्य भाजक हैं।

11. विधि का चयन

यदि वलय ℤ_n या F[x]/⟨p(x)⟩ है → यह क्षेत्र है यदि और केवल यदि n अभाज्य हो, या p(x), F पर अखंडनीय हो।

यदि सिद्ध करना हो कि वलय ED है → d स्पष्ट दीजिए और यथार्थ भागफल को निकटतम जालक बिंदु तक पूर्णांकित कर भाग-चरण सिद्ध कीजिए (जैसे ℤ[i] के लिए)।

यदि सिद्ध करना हो कि वलय PID नहीं है → कोई अमुख्य गुणजावली दिखाइए, जैसे ⟨2, x⟩ ⊂ ℤ[x] या ⟨x, y⟩ ⊂ F[x, y]।

यदि सिद्ध करना हो कि वलय UFD नहीं है → अखंडनीयों में दो ऐसे गुणनखंडन दीजिए जिनके गुणनखंड सहचर न हों, और अखंडनीयता मानक से जाँचिए।

यदि ℚ पर किसी बहुपद को अखंडनीय दिखाना हो → आइज़ेन्स्टाइन (संभवतः x ↦ x + 1 के बाद), घात ≤ 3 के लिए परिमेय मूल परीक्षण, या किसी अभाज्य मॉड्यूलो अपचयन; परिमित क्षेत्र पर घात ≤ 3 के लिए मूल जाँचिए, और घात 4 के लिए दो अखंडनीय द्विघातों का गुणनफल भी बाहर कीजिए।

यदि ℤ[i] या F[x] में gcd पूछा जाए → यूक्लिड की कलन-विधि चलाइए, ℤ[i] में भागफलों का पूर्णांकन करते हुए।

12. सामान्य गलतियाँ

प्रत्येक पूर्णांकीय प्रांत में अखंडनीय और अभाज्य को समान मानना: UFD में ये समान हैं, पर 2 ∈ ℤ[√−5] अखंडनीय है और अभाज्य नहीं।

घात 4 या अधिक के लिए 'मूल नहीं, अतः अखंडनीय': ℤ₂ पर x⁴ + x² + 1 का कोई मूल नहीं है पर यह (x² + x + 1)² के बराबर है; ℚ पर x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)।

ℤ के PID होने से ℤ[x] को PID समझना: R[x] केवल तभी PID है जब R क्षेत्र हो।

अद्वितीयता में इकाइयों की उपेक्षा: 6 = 2·3 = (−2)(−3) एक ही गुणनखंडन है, दो नहीं; अद्वितीयता केवल क्रम और सहचरों तक है।

आइज़ेन्स्टाइन का गलत प्रयोग: तीनों शर्तें चाहिए: p अग्र गुणांक को छोड़ प्रत्येक गुणांक को विभाजित करे, p अग्र गुणांक को विभाजित न करे, और p² अचर पद को विभाजित न करे।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: गाउसीय पूर्णांक सम्मिश्र समतल के जालक बिंदु हैं और N(z) = |z|² (सम्मिश्र विश्लेषण); ℤ[i] में यूक्लिड कलन-विधि इसलिए चलती है क्योंकि समतल का प्रत्येक बिंदु किसी जालक बिंदु से √2/2 दूरी के भीतर है।

संबंध: F[x] का PID होना ही रैखिक बीजगणित में आव्यूह के अल्पिष्ठ बहुपद (minimal polynomial) को परिभाषित करता है: {p ∈ F[x] : p(A) = 0} एक गुणजावली है, जो अल्पिष्ठ बहुपद से जनित है, अतः वह अभिलाक्षणिक बहुपद को विभाजित करता है (केली–हैमिल्टन)।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 3: दिखाइए कि ℤ[√−5] में 3 अखंडनीय है परंतु अभाज्य नहीं।

मानक N(a + b√−5) = a² + 5b² का प्रयोग कीजिए, जो गुणनात्मक है; मात्रक ठीक वे अवयव हैं जिनका मानक 1 है, अर्थात ±1।

यदि 3 = αβ जहाँ कोई भी गुणनखंड मात्रक नहीं, तो N(α)N(β) = 9 से N(α) = 3; परंतु a² + 5b² = 3 का कोई पूर्णांक हल नहीं है। अतः 3 अखंडनीय है।

3, 6 = (1 + √−5)(1 − √−5) को विभाजित करता है, परंतु (1 ± √−5)/3 ∉ ℤ[√−5], अतः 3 किसी भी गुणनखंड को विभाजित नहीं करता। अतः 3 अभाज्य नहीं है, और ℤ[√−5] अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत नहीं है।

उदाहरण 4: ℤ[i] में 3 + 4i और 1 + 3i का एक महत्तम समापवर्तक (gcd) ज्ञात कीजिए।

भाग दीजिए: (3 + 4i)/(1 + 3i) = (3 + 4i)(1 − 3i)/10 = (15 − 5i)/10 = 1.5 − 0.5i। q = 1 लीजिए: r = (3 + 4i) − (1 + 3i) = 2 + i, जहाँ N(r) = 5 < N(1 + 3i) = 10।

आगे, (1 + 3i)/(2 + i) = (1 + 3i)(2 − i)/5 = (5 + 5i)/5 = 1 + i ठीक-ठीक, अतः शेषफल 0 है।

अंतिम अशून्य शेषफल 2 + i एक gcd है, जो मात्रकों ±1, ±i को छोड़कर अद्वितीय है। जाँच: 1 + 3i = (2 + i)(1 + i) और 3 + 4i = (2 + i)²।

उदाहरण 5: 8 अवयवों वाले क्षेत्र की रचना कीजिए।

ℤ₂ पर p(x) = x³ + x + 1 के लिए p(0) = 1 और p(1) = 1, अतः इसका कोई मूल नहीं है; मूल रहित त्रिघात बहुपद का कोई रैखिक गुणनखंड नहीं होता, अतः यह अखंडनीय है।

ℤ₂[x] मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः ⟨p(x)⟩ उच्चिष्ठ गुणजावली है और F = ℤ₂[x]/⟨p(x)⟩ क्षेत्र है।

इसके अवयव a + bα + cα² हैं, a, b, c ∈ ℤ₂, जहाँ α = x + ⟨p(x)⟩, α³ = α + 1 को संतुष्ट करता है। अतः o(F) = 2³ = 8।

उदाहरण 6: पूर्णांकीय प्रांत D में दिखाइए कि ⟨a⟩ = ⟨b⟩ यदि और केवल यदि a और b सहचारी हैं।

यदि a = ub जहाँ u मात्रक है, तो a ∈ ⟨b⟩ और b = u⁻¹a ∈ ⟨a⟩, अतः ⟨a⟩ = ⟨b⟩।

विलोमतः, यदि ⟨a⟩ = ⟨b⟩, तो किन्हीं s, t ∈ D के लिए a = bs और b = at, अतः a = a(ts)। यदि a = 0 तो b = 0, और a, b स्पष्टतः सहचारी हैं।

यदि a ≠ 0, तो निरसन नियम (जो पूर्णांकीय प्रांत में मान्य है) से ts = 1, अतः s मात्रक है और a = sb। अतः a और b सहचारी हैं।

15. बहुपद वलय, महत्तम समापवर्तक और गाउसीय पूर्णांक

बहुपद वलय (polynomial ring): इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय R के लिए R[x] = {a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ : a_i ∈ R} सामान्य योग और गुणन के साथ इकाई 1 सहित क्रमविनिमेय वलय है।

घात: यदि R पूर्णांकीय प्रांत है, तो शून्येतर f, g के लिए deg(fg) = deg f + deg g, क्योंकि अग्र गुणांकों का गुणनफल शून्येतर है। अतः R[x] पूर्णांकीय प्रांत है, और इसके एकक ठीक R के एकक हैं।

शून्य भाजकों के साथ यह विफल है: ℤ₄[x] में (1 + 2x)² = 1 + 4x + 4x² = 1, अतः 1 + 2x घात 1 का एकक है।

विभाजन कलन-विधि (division algorithm): यदि F क्षेत्र है, f, g ∈ F[x] और g ≠ 0, तो अद्वितीय q, r ∈ F[x] हैं जिनसे f = qg + r और r = 0 या deg r < deg g। इकाई सहित किसी भी क्रमविनिमेय वलय पर यही सत्य है जब g का अग्र गुणांक एकक हो (जैसे g एकघाती-अग्र हो)।

शेषफल और गुणनखंड प्रमेय: f(x) = (x − c)q(x) + f(c), अतः c मूल है यदि और केवल यदि (x − c) | f। क्षेत्र (या पूर्णांकीय प्रांत) पर n घात के शून्येतर बहुपद के अधिकतम n मूल होते हैं।

अखंडनीयता परीक्षण: क्षेत्र पर घात 2 या 3 का बहुपद अखंडनीय है यदि और केवल यदि क्षेत्र में उसका कोई मूल न हो। ℚ पर गाउस प्रमेयिका (ℚ पर गुणनखंडित होने वाला आद्य पूर्णांक बहुपद ℤ पर उन्हीं घातों के साथ गुणनखंडित होता है), आइज़ेंस्टाइन निकष, परिमेय मूल परीक्षण (न्यूनतम रूप के मूल p/q के लिए p | a₀ और q | a_n), तथा अग्र गुणांक को विभाजित न करने वाले अभाज्य से mod करना प्रयोग कीजिए।

F[x] की संरचना: F[x] यूक्लिडीय प्रांत है, अतः मुख्य गुणजावली प्रांत और अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत है; इसकी उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ अखंडनीय p के लिए ⟨p(x)⟩ हैं, और F में q अवयव तथा deg p = n हो तो F[x]/⟨p(x)⟩, qⁿ अवयवों का क्षेत्र है। ℤ[x] अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत है परंतु मुख्य गुणजावली प्रांत नहीं।

मुख्य गुणजावली प्रांत में महत्तम समापवर्तक (gcd) और बेज़ू सर्वसमिका: मुख्य गुणजावली प्रांत D में d = gcd(a, b) के साथ ⟨a, b⟩ = ⟨d⟩, अतः किन्हीं x, y ∈ D के लिए d = ax + by। ℤ में d = gcd(m₁, ..., m_k) के साथ m₁ℤ + ... + m_kℤ = dℤ; उदाहरणतः 4ℤ + 6ℤ = 2ℤ।

मुख्य गुणजावली प्रांत की अभाज्य गुणजावलियाँ और विभाग वलय: मुख्य गुणजावली प्रांत में प्रत्येक शून्येतर अभाज्य गुणजावली उच्चिष्ठ है, और विभाग वलय D/I की प्रत्येक गुणजावली मुख्य है (यह किसी गुणजावली J = ⟨a⟩ ⊇ I के लिए J/I है, अतः ⟨a + I⟩ के बराबर है)।

गाउसीय पूर्णांक: ℤ[i] में मानक N(a + bi) = a² + b² गुणनात्मक है, एकक ±1, ±i (मानक 1) हैं, और अभाज्य मानक वाला अवयव अखंडनीय है। विषम अभाज्य p, ℤ[i] में अखंडनीय है यदि और केवल यदि p ≡ 3 (mod 4); 2 = −i(1 + i)² और 5 = (2 + i)(2 − i) अखंडनीय नहीं हैं।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 15 अंक): दर्शाइए कि समुच्चय {a + bω : ω³ = 1}, जहाँ a तथा b वास्तविक संख्याएँ हैं, सामान्य योग तथा गुणन के अन्तर्गत एक क्षेत्र है।

(यहाँ ω इकाई का अवास्तविक घनमूल है, ω = (−1 + i√3)/2; ω = 1 लेने पर समुच्चय केवल ℝ होगा।)

मान लीजिए F = {a + bω : a, b ∈ ℝ} ⊆ ℂ। चूँकि ω² + ω + 1 = 0, ω² = −1 − ω। F व्यवकलन के अंतर्गत संवृत है: (a + bω) − (c + dω) = (a − c) + (b − d)ω।

(a + bω)(c + dω) = ac + (ad + bc)ω + bdω² = (ac − bd) + (ad + bc − bd)ω ∈ F। संक्रियाएँ ℂ की हैं, अतः साहचर्य, क्रमविनिमेय और वितरणशील हैं, और 0, 1 ∈ F।

प्रतिलोम: ω + ω² = −1 का प्रयोग कर (a + bω)((a − b) − bω) = a² − ab − b²(ω + ω²) = a² − ab + b²।

a² − ab + b² = (a − b/2)² + 3b²/4 > 0, जब तक a = b = 0 न हो। अतः a + bω ≠ 0 के लिए (a + bω)⁻¹ = ((a − b) − bω)/(a² − ab + b²) ∈ F।

उत्तर: F क्षेत्र है; वस्तुतः F = ℂ, क्योंकि a + bω = (a − b/2) + i(√3b/2) प्रत्येक सम्मिश्र मान लेता है।

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 15 अंक): क्या निम्नलिखित समुच्चय साधारण योग तथा गुणन के अन्तर्गत पूर्णांकीय प्रांत बनाते हैं? यदि ऐसा है, तो बताइए कि क्या वे क्षेत्र हैं:
(i) b√2 के रूप की संख्याओं का समुच्चय, जहाँ b परिमेय संख्या है
(ii) सम पूर्णांकों का समुच्चय
(iii) धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय (5 + 6 + 4 = 15)

(i) S = {b√2 : b ∈ ℚ}, + और − के अंतर्गत संवृत है, परंतु √2·√2 = 2, और 2 = b√2 के लिए b = √2 ∉ ℚ चाहिए। अतः S गुणन के अंतर्गत संवृत नहीं है: यह वलय नहीं है, अतः पूर्णांकीय प्रांत नहीं है।

(ii) 2ℤ शून्य भाजक रहित क्रमविनिमेय वलय है (ℤ में ab = 0 से a = 0 या b = 0), परंतु इसकी कोई इकाई नहीं है: 2e = 2 से e = 1 ∉ 2ℤ।

अतः सामान्य परिभाषा (इकाई सहित, शून्य भाजक रहित क्रमविनिमेय वलय) के अनुसार 2ℤ पूर्णांकीय प्रांत नहीं है; हर्स्टीन की परिभाषा में, जो इकाई नहीं माँगती, यह पूर्णांकीय प्रांत है। दोनों स्थितियों में यह क्षेत्र नहीं है, क्योंकि 2ℤ में 2 का प्रतिलोम नहीं है।

(iii) ℤ⁺ में योज्य तत्समक 0 और योज्य प्रतिलोम नहीं हैं, अतः (ℤ⁺, +) समूह नहीं है और ℤ⁺ वलय नहीं है।

उत्तर: (i) नहीं (गुणन के अंतर्गत संवृत नहीं); (ii) इकाई माँगने वाली परिभाषा में पूर्णांकीय प्रांत नहीं (हर्स्टीन के अर्थ में है), और क्षेत्र नहीं; (iii) नहीं।

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 10 अंक): मान लीजिए R तत्समक अवयव सहित एक पूर्णांकीय प्रांत है। दर्शाइए कि R[x] में कोई भी एकक R में एक एकक है।

मान लीजिए f ∈ R[x] एकक है: किसी g ∈ R[x] के लिए fg = 1, अतः f, g ≠ 0।

R में शून्य भाजक नहीं हैं, अतः f और g के अग्र गुणांकों का गुणनफल शून्येतर है और deg(fg) = deg f + deg g।

अतः deg f + deg g = deg 1 = 0, इसलिए f = a और g = b, R के अचर हैं जिनके लिए ab = 1। अतः f = a, R का एकक है।

(परिकल्पना आवश्यक है: ℤ₄[x] में (1 + 2x)² = 1, अतः 1 + 2x ऐसा एकक है जो ℤ₄ में नहीं है।)

उत्तर: R[x] का प्रत्येक एकक एक अचर बहुपद है जो R का एकक है।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 10 अंक): मान लीजिए R मुख्य गुणजावली प्रान्त है। दर्शाइए कि R के विभाग-वलय की प्रत्येक गुणजावली, मुख्य गुणजावली है तथा R/P, R के अभाज्य गुणजावली P के लिए मुख्य गुणजावली प्रान्त है।

मान लीजिए I ≠ R, R की गुणजावली है, π : R → R/I प्राकृतिक प्रतिचित्रण है, और A, R/I की गुणजावली है। तब J = π⁻¹(A) = {a ∈ R : a + I ∈ A}, R की I युक्त गुणजावली है, और π(J) = A क्योंकि π आच्छादी है।

R मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः J = ⟨a⟩। तब A का प्रत्येक अवयव ra + I = (r + I)(a + I) है, अतः A = ⟨a + I⟩ मुख्य है।

अब मान लीजिए P अभाज्य गुणजावली है। R/P इकाई 1 + P ≠ P (क्योंकि P ≠ R) सहित क्रमविनिमेय है, और (a + P)(b + P) = P ⇒ ab ∈ P ⇒ a ∈ P या b ∈ P, अतः R/P में शून्य भाजक नहीं हैं।

अतः R/P ऐसा पूर्णांकीय प्रांत है जिसमें, पहले भाग से, प्रत्येक गुणजावली मुख्य है। (यदि P ≠ {0}, तो P उच्चिष्ठ भी है और R/P क्षेत्र है।)

उत्तर: R/I की प्रत्येक गुणजावली मुख्य है, और प्रत्येक अभाज्य गुणजावली P के लिए R/P मुख्य गुणजावली प्रांत है।

उदाहरण 11 (UPSC 2021, 10 अंक): मान लीजिए कि m₁, m₂, ⋯, m_k धनात्मक पूर्णांक हैं तथा d > 0, m₁, m₂, ⋯, m_k का महत्तम समापवर्तक है। दर्शाइए कि ऐसे पूर्णांक x₁, x₂, ⋯, x_k अस्तित्व में हैं ताकि d = x₁m₁ + x₂m₂ + ⋯ + x_km_k

मान लीजिए I = {a₁m₁ + ... + a_km_k : a_i ∈ ℤ}। I व्यवकलन और पूर्णांकों से गुणन के अंतर्गत संवृत है, अतः ℤ की गुणजावली है, और इसमें धनात्मक पूर्णांक m₁ है।

मान लीजिए d′ = x₁m₁ + ... + x_km_k, I का न्यूनतम धनात्मक अवयव है। a ∈ I के लिए a = qd′ + r, 0 ≤ r < d′ लिखिए; तब r = a − qd′ ∈ I, अतः न्यूनतमता से r = 0, और I = d′ℤ।

प्रत्येक m_i ∈ I, अतः प्रत्येक i के लिए d′ | m_i: d′ उभयनिष्ठ भाजक है, अतः d′ ≤ d।

विलोमतः d प्रत्येक m_i को विभाजित करता है, अतः d′ = ∑x_im_i को विभाजित करता है, इसलिए d ≤ d′। अतः d = d′।

उत्तर: उपयुक्त पूर्णांकों x_i के लिए d = x₁m₁ + x₂m₂ + ... + x_km_k; समतुल्यतः m₁ℤ + ... + m_kℤ = dℤ।

उदाहरण 12 (UPSC 2023, 10 अंक): गुणजावली 4Z + 6Z को पूर्णांकीय प्रांत Z में एक मुख्य गुणजावली के रूप में व्यक्त कीजिए।

4ℤ + 6ℤ = {4a + 6b : a, b ∈ ℤ}, ℤ की गुणजावली है, और ℤ मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः यह अपने न्यूनतम धनात्मक अवयव n के लिए nℤ के बराबर है।

प्रत्येक 4a + 6b = 2(2a + 3b) सम है, अतः 4ℤ + 6ℤ ⊆ 2ℤ।

2 = 4(−1) + 6(1) ∈ 4ℤ + 6ℤ, अतः 2ℤ ⊆ 4ℤ + 6ℤ।

उत्तर: 4ℤ + 6ℤ = 2ℤ = ⟨2⟩, जो gcd(4, 6) = 2 से जनित है।

उदाहरण 13 (UPSC 2025, 15 अंक): दर्शाइए कि पूर्णांकीय प्रांत Z[i] में 3 एक अखंडनीय अवयव है।

मानक N(a + bi) = a² + b² का प्रयोग कीजिए। N(αβ) = N(α)N(β), और α एकक है यदि और केवल यदि N(α) = 1, अर्थात α ∈ {±1, ±i}।

3 ≠ 0 और N(3) = 9 ≠ 1, अतः 3 शून्येतर अ-एकक है।

यदि 3 = αβ, तो N(α)N(β) = 9, अतः N(α) ∈ {1, 3, 9}।

N(α) = 3 के लिए पूर्णांकों में a² + b² = 3 चाहिए, जो असंभव है क्योंकि वर्ग 0, 1, 4, 9, ... हैं। अतः N(α) = 1 या N(β) = 1: α या β एकक है।

उत्तर: 3, ℤ[i] में अखंडनीय है; ℤ[i] मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः यह अभाज्य भी है, और ℤ[i]/⟨3⟩ 9 अवयवों का क्षेत्र है।

उदाहरण 14 (UPSC 2026, 10 अंक): दर्शाइए कि यूक्लिडीय प्रांत में प्रत्येक शून्येतर अभाज्य गुणजावली उच्चिष्ठ है।

मान लीजिए D यूक्लिडीय प्रांत है; यह मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः शून्येतर अभाज्य गुणजावली P = ⟨p⟩, p ≠ 0, है, और p एकक नहीं है क्योंकि P ≠ D।

मान लीजिए J ऐसी गुणजावली है कि P ⊆ J ⊆ D। तब J = ⟨a⟩ और p ∈ ⟨a⟩, अतः किसी b ∈ D के लिए p = ab।

ab ∈ P और P अभाज्य है, अतः a ∈ P या b ∈ P।

यदि a ∈ P, तो J = ⟨a⟩ ⊆ P, अतः J = P। यदि b ∈ P, तो b = pc लिखिए; तब p = apc, और p ≠ 0 का निरसन करने पर ac = 1, अतः a एकक है और J = D।

उत्तर: P उच्चिष्ठ है। ('शून्येतर' आवश्यक है: ⟨0⟩ प्रत्येक पूर्णांकीय प्रांत में अभाज्य है परंतु केवल क्षेत्र में उच्चिष्ठ।)

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): क्या ℤ₂ × ℤ₂ पूर्णांकीय प्रांत है?

उत्तर: नहीं: (1, 0)(0, 1) = (0, 0), जबकि दोनों गुणनखंड शून्येतर हैं।

अभ्यास 2 (मूल): ℤ[i] के मात्रक और 3 + 2i के सहचारी लिखिए।

उत्तर: मात्रक ±1, ±i; सहचारी ±(3 + 2i) और ±i(3 + 2i) = ±(−2 + 3i)।

अभ्यास 3 (मूल): क्षेत्र ℤ₁₃ में 5 का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 8, क्योंकि 5·8 = 40 = 3·13 + 1।

अभ्यास 4 (मानक): दिखाइए कि 7, ℤ[i] में अखंडनीय है।

उत्तर: यदि अमात्रकों के साथ 7 = αβ, तो N(α) = 7 = a² + b²; परंतु वर्ग 0, 1, 4 से योग 7 नहीं बनता। (सामान्यतः विषम अभाज्य p ≡ 3 (mod 4) अखंडनीय रहता है।)

अभ्यास 5 (मानक): ℤ[i] में 5 और 13 के अखंडनीय गुणनखंड कीजिए।

उत्तर: 5 = (2 + i)(2 − i) और 13 = (3 + 2i)(3 − 2i); प्रत्येक गुणनखंड का मानक अभाज्य (5 या 13) है, अतः वह अखंडनीय है।

अभ्यास 6 (मानक): यूक्लिड कलन-विधि से ℤ[i] में 11 + 3i और 1 + 8i का एक gcd ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 11 + 3i = (1 − i)(1 + 8i) + (2 − 4i); 1 + 8i = (−1 + i)(2 − 4i) + (−1 + 2i); 2 − 4i = (−2)(−1 + 2i)। अतः एक gcd −1 + 2i है, जो 2 + i (मानक 5) का सहचारी है।

अभ्यास 7 (मानक): दिखाइए कि x² + x + 2, ℤ₃ पर अखंडनीय है, और ℤ₃[x]/⟨x² + x + 2⟩ के अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 0, 1, 2 पर मान 2, 1, 2 हैं, अतः कोई मूल नहीं और द्विघात अखंडनीय है। विभाग वलय 3² = 9 अवयवों वाला क्षेत्र है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): ℤ[√−5] में दिखाइए कि 9 = 3·3 = (2 + √−5)(2 − √−5) अखंडनीयों में ऐसे दो गुणनखंडन हैं जो मात्रकों द्वारा संबंधित नहीं हैं।

उत्तर: N(3) = N(2 ± √−5) = 9, और उचित गुणनखंड का मानक 3 = a² + 5b² होगा, जो असंभव है; अतः चारों गुणनखंड अखंडनीय हैं। मात्रक ±1 हैं और 2 ± √−5 ≠ ±3, अतः गुणनखंडन भिन्न हैं: ℤ[√−5] UFD नहीं है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि ℤ[√2] = {a + b√2 : a, b ∈ ℤ}, d(a + b√2) = |a² − 2b²| के साथ यूक्लिडीय प्रांत है।

उत्तर: d गुणनात्मक है और शून्येतर अवयवों के लिए ≥ 1 है (√2 अपरिमेय है)। x, y ∈ ℚ के साथ α/β = x + y√2 लिखें, पूर्णांकों m, n तक पूर्णांकित करें; तब d(α/β − q) = |(x − m)² − 2(y − n)²| ≤ max(1/4, 1/2) = 1/2 < 1, अतः d(r) < d(β)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि ℤ[√2] का विभाग क्षेत्र ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ} है।

उत्तर: 1/(a + b√2) = (a − b√2)/(a² − 2b²), अतः ℤ[√2] के अवयवों का प्रत्येक भिन्न ℚ(√2) में है; विलोमतः p/q + (r/s)√2 = (ps + qr√2)/(qs)। ℚ(√2) क्षेत्र है, अतः यही विभाग क्षेत्र है।

1. क्षेत्र विस्तार और घात को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समीकरण x² = 2 का ℚ में कोई हल नहीं, अतः हमें बड़े क्षेत्र में काम करना पड़ता है। हम मापना चाहते हैं कि नया क्षेत्र कितना बड़ा है, और सही माप क्षेत्र के प्रश्नों को रैखिक बीजगणित में बदल देता है।

शब्दों में: K, F का विस्तार है जब F, K का उपक्षेत्र हो। K के अवयवों को जोड़ा जा सकता है और F के अवयवों ('अदिशों') से गुणा किया जा सकता है, अतः K, F पर सदिश समष्टि है।

घात [K : F] इस सदिश समष्टि की विमा है: किसी आधार के अवयवों की संख्या, जो अपरिमित भी हो सकती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: F = ℚ पर K = ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ}।

चरण 1 (एक वलय): (a + b√2) + (c + d√2) = (a + c) + (b + d)√2 और (a + b√2)(c + d√2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)√2 फिर से उसी रूप के हैं।

चरण 2 (एक क्षेत्र): 1/(a + b√2) = (a − b√2)/(a² − 2b²), और हर शून्येतर है क्योंकि √2 अपरिमेय है।

चरण 3 (विस्तृति): प्रत्येक अवयव a·1 + b·√2 है, अतः {1, √2}, ℚ पर K का विस्तार करता है। चरण 4 (स्वतंत्रता): यदि b ≠ 0 के साथ a + b√2 = 0, तो √2 = −a/b परिमेय होता; अतः b = 0 और फिर a = 0।

चरण 5: {1, √2} एक आधार है, अतः [ℚ(√2) : ℚ] = 2।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ[√2] = {a + b√2 : a, b ∈ ℤ} में ℤ है परंतु यह क्षेत्र नहीं है: 1/2 = a + b√2 के लिए a = 1/2 चाहिए। अतः यह ℚ का विस्तार क्षेत्र नहीं है (इसमें ℚ भी नहीं है)।

आगे बढ़ते हुए: (1) स्तंभ नियम [L : F] = [L : K][K : F] सत्य है क्योंकि आधार अवयवों के गुणनफल एक आधार बनाते हैं (नीचे व्युत्पत्ति 'स्तंभ नियम')।

(2) परिणामतः किसी भी मध्यवर्ती क्षेत्र की घात [L : F] को विभाजित करती है। (3) यही विभाज्यता 'α ∉ F(β)' प्रश्नों का औज़ार है, जैसे ∛2 ∉ ℚ(√2)।

कहाँ प्रयोग होता है: [ℚ(√2, √3) : ℚ] की गणना में, यह सिद्ध करने में कि बीजीय अवयव क्षेत्र बनाते हैं, परिमित क्षेत्रों के उपक्षेत्रों में, और घन-द्विगुणन जैसी पटरी-परकार रचनाओं की प्राचीन असंभवता में।

2. बीजीय अवयव और न्यूनतम बहुपद को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: F(α) को समझने के लिए हमें वह सबसे सरल समीकरण चाहिए जिसे α, F पर संतुष्ट करता है। वह समीकरण, न्यूनतम बहुपद, हमें घात [F(α) : F], एक आधार, और F(α) में प्रतिलोम निकालने का ढंग बताता है।

शब्दों में: α, F पर बीजीय है यदि F में गुणांकों वाले किसी शून्येतर बहुपद का α मूल हो। इसका न्यूनतम बहुपद न्यूनतम घात वाला अग्र (monic, अग्र गुणांक 1) बहुपद है।

यह F पर अखंडनीय है और F[x] के उस प्रत्येक बहुपद को विभाजित करता है जो α पर शून्य हो। व्यावहारिक परीक्षण: α मूल वाला अग्र अखंडनीय बहुपद ही न्यूनतम बहुपद है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ℚ पर α = ∛2 लें। चरण 1: α³ − 2 = 0, अतः α बीजीय है।

चरण 2: p = 2 के साथ आइज़ेंस्टाइन से x³ − 2, ℚ पर अखंडनीय है: 2 शीर्ष से नीचे के गुणांकों 0, 0, −2 को विभाजित करता है, 2 अग्र गुणांक 1 को विभाजित नहीं करता, और 4, −2 को विभाजित नहीं करता।

चरण 3: यह अग्र और अखंडनीय है तथा α इसका मूल है, अतः यही न्यूनतम बहुपद है, और [ℚ(α) : ℚ] = 3, आधार 1, α, α² के साथ।

चरण 4 (आधार में गणना): α⁴ = α·α³ = 2α, और α·α² = 2 से 1/α = α²/2। ध्यान देने की बात: संबंध α³ = 2 प्रत्येक व्यंजक को 1, α, α² के संयोजन में बदल देता है।

अ-उदाहरण (non-example): √2, x⁴ − 4 का मूल है, परंतु x⁴ − 4 = (x² − 2)(x² + 2) खंडनीय है, अतः यह न्यूनतम बहुपद नहीं है; इसके प्रयोग से 2 के स्थान पर गलत घात 4 मिलती।

आगे बढ़ते हुए: (1) {f : f(α) = 0}, PID F[x] की गुणजावली है, जो न्यूनतम बहुपद p से जनित है, और p अखंडनीय है (नीचे व्युत्पत्ति 'न्यूनतम बहुपद')।

(2) α पर मान निकालने से F[x]/⟨p⟩ ≅ F(α), अतः [F(α) : F] = deg p। (3) परिमित विस्तार का प्रत्येक अवयव बीजीय है, क्योंकि 1, α, ..., αⁿ, n-विमीय समष्टि में n + 1 सदिश हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: घातें ज्ञात करने, F(α) में प्रतिलोम लिखने, UPSC प्रश्नों के स्तंभ-नियम तर्कों, और परिमित क्षेत्रों की रचना में।

3. क्रोनेकर प्रमेय और विभाजन क्षेत्र को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कभी-कभी कोई ज्ञात क्षेत्र किसी बहुपद का मूल नहीं रखता, उदाहरणार्थ ℤ₂ पर x² + x + 1। क्रोनेकर प्रमेय केवल F[x] और एक अखंडनीय गुणनखंड का प्रयोग करके ऐसा क्षेत्र बनाता है जिसमें मूल विद्यमान हो।

शब्दों में: f का एक अखंडनीय गुणनखंड p लें और K = F[x]/⟨p⟩ बनाएँ, जो क्षेत्र है क्योंकि ⟨p⟩ उच्चिष्ठ है। वर्ग α = x + ⟨p⟩, p(α) = 0 को संतुष्ट करता है, क्योंकि p स्वयं ⟨p⟩ में है।

F, अचर वर्गों a + ⟨p⟩ के रूप में K के भीतर बैठता है। इसे तब तक दोहराने से विभाजन क्षेत्र मिलता है जब तक f पूरी तरह रैखिक गुणनखंडों में न टूट जाए।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: F = ℤ₂ और p = x² + x + 1। चरण 1: p(0) = 1 और p(1) = 1, अतः p का कोई मूल नहीं, और मूल रहित द्विघात अखंडनीय होता है।

चरण 2: K = ℤ₂[x]/⟨p⟩ = {0, 1, α, α + 1}, जहाँ α² + α + 1 = 0, अर्थात α² = α + 1 (क्योंकि अभिलक्षण 2 में −1 = 1)।

चरण 3 (गुणनफल): α·α = α + 1, α(α + 1) = α² + α = 1, और (α + 1)² = α² + 1 = α। अतः α⁻¹ = α + 1, और प्रत्येक शून्येतर अवयव व्युत्क्रमणीय है।

चरण 4: K, 4 अवयवों वाला क्षेत्र GF(4) है, और K में α, p का मूल है। वास्तव में वहाँ p = (x − α)(x − (α + 1)), अतः K पहले से ही p का विभाजन क्षेत्र है।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ₂ पर x² + 1 = (x + 1)² खंडनीय है। ℤ₂[x]/⟨x² + 1⟩ में वर्ग β = x + 1 + ⟨x² + 1⟩ शून्येतर है परंतु β² = 0, अतः यह विभाग वलय क्षेत्र नहीं है। रचना के लिए अखंडनीय गुणनखंड आवश्यक है।

आगे बढ़ते हुए: (1) F[x], PID है, अतः अखंडनीय p उच्चिष्ठ गुणजावली जनित करता है, और F[x]/⟨p⟩ क्षेत्र है। (2) a ↦ a + ⟨p⟩ एकैकी है, क्योंकि इसकी अष्टि क्षेत्र F की ऐसी गुणजावली है जिसमें 1 नहीं।

(3) प्रत्येक चरण एक मूल जोड़ता है और उसकी घात वर्तमान घात से अधिक नहीं, अतः घात n के बहुपद के विभाजन क्षेत्र की F पर घात अधिकतम n! है (नीचे 'अधिकतम n! क्यों' पंक्ति)।

कहाँ प्रयोग होता है: ℂ की ℝ[x]/⟨x² + 1⟩ के रूप में रचना, GF(pⁿ) के अस्तित्व, और बार-बार पूछे जाने वाले क्रोनेकर-प्रकार के उपपत्ति प्रश्न में।

4. परिमित क्षेत्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: परिमित क्षेत्र अंकीय कूटों और अभाज्य मापांक वाले 'घड़ी अंकगणित' का अंकगणित हैं। अधिकांश बीजीय वस्तुओं के विपरीत इनका पूर्ण वर्गीकरण ज्ञात है, और इनकी संरचना पूरे प्रश्नों का उत्तर एक साथ देती है।

शब्दों में: परिमित क्षेत्र का अभिलक्षण कोई अभाज्य p है और वह ℤ_p पर किसी विमा n की सदिश समष्टि है, अतः उसमें pⁿ अवयव हैं। प्रत्येक ऐसे q = pⁿ के लिए तुल्याकारिता तक ठीक एक क्षेत्र GF(q) है।

इसके शून्येतर अवयव कोटि q − 1 का चक्रीय समूह बनाते हैं, और इसके उपक्षेत्र वे GF(p^m) हैं जहाँ m, n को विभाजित करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: α² = −1 = 2 के साथ GF(9) = ℤ₃[x]/⟨x² + 1⟩। इसके 9 अवयव a + bα हैं, a, b ∈ ℤ₃। हम गुणनात्मक समूह का जनक खोजते हैं, जिसकी कोटि 8 है।

चरण 1: α² = 2 और α⁴ = 4 = 1, अतः o(α) = 4 और α जनक नहीं है।

चरण 2: 1 + α आज़माएँ: (1 + α)² = 1 + 2α + α² = 1 + 2α + 2 = 2α, क्योंकि 3 = 0।

चरण 3: (1 + α)⁴ = (2α)² = 4α² = 4·2 = 8 = 2 ≠ 1, अतः (1 + α)⁸ = 2² = 1।

चरण 4: कोटि 8 को विभाजित करती है पर 4 को नहीं, अतः यह 8 है, और 1 + α, GF(9)^* का जनक है। संक्षिप्त मार्ग पर ध्यान दें: 8 को विभाजित करने वाला एकमात्र अभाज्य 2 है, अतः यह जाँचना पर्याप्त था कि चौथी घात 1 नहीं है।

अ-उदाहरण (non-example): ℤ₉ में भी 9 अवयव हैं परंतु यह क्षेत्र नहीं है, क्योंकि 3·3 = 0। '9 अवयवों वाला क्षेत्र' GF(9) है, ℤ₉ नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) परिमित क्षेत्र का अभाज्य उपक्षेत्र ℤ_p है, और n अवयवों का आधार pⁿ अवयव देता है। (2) K^* में लग्रांज से प्रत्येक अवयव a^q = a को संतुष्ट करता है, अतः K, x^q − x के मूलों का समुच्चय है।

(3) φ-गणना तर्क से K^* चक्रीय है (नीचे व्युत्पत्ति 'परिमित क्षेत्र का गुणनात्मक समूह चक्रीय है')। (4) स्तंभ नियम उपक्षेत्रों की घातों को n का भाजक होने पर बाध्य करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: GF(q)^* के जनकों और मॉड्यूलो p आद्य मूलों में, फ्रोबेनियस स्वसमाकारिता में, इस उपपत्ति में कि कोई परिमित क्षेत्र बीजीयतः संवृत नहीं है, और त्रुटि-सुधारक कूटों में।

5. अभाज्य उपक्षेत्र और अभिलक्षण

अभाज्य उपक्षेत्र (prime subfield): क्षेत्र K का सबसे छोटा उपक्षेत्र। यदि char K = 0 तो यह ≅ ℚ, और यदि char K = p (अभाज्य) तो ≅ ℤ_p है।

यह क्यों काम करता है: वलय समाकारिता ℤ → K, n ↦ n·1 की अष्टि 0 या pℤ है (इसका प्रतिबिंब पूर्णांकीय प्रांत है, अतः अष्टि अभाज्य गुणजावली है)। पहली स्थिति में K में ℤ की और इसलिए उसके भिन्न क्षेत्र ℚ की प्रतिलिपि है; दूसरी में ℤ/pℤ = ℤ_p की। प्रत्येक उपक्षेत्र में 1 है, अतः उसमें यह प्रतिलिपि है।

'फ्रेशमैन का स्वप्न': अभाज्य अभिलक्षण p के क्रमविनिमेय वलय में (a + b)^p = a^p + b^p, क्योंकि 0 < k < p के लिए p द्विपद गुणांक C(p, k) को विभाजित करता है।

p | C(p, k) क्यों: C(p, k) = p!/(k!(p − k)!) एक पूर्णांक है जिसके अंश में अभाज्य p है, जबकि 0 < k < p के लिए हर का कोई गुणनखंड p नहीं रखता। नियम के लिए अभाज्य चाहिए: ℤ₄ (अभिलक्षण 4) में (1 + 1)⁴ = 16 = 0 परंतु 1⁴ + 1⁴ = 2।

फ्रोबेनियस प्रतिचित्रण (Frobenius map): अभिलक्षण p के क्षेत्र K में a ↦ a^p एकैकी वलय समाकारिता K → K है, और K परिमित हो तो स्वसमाकारिता (automorphism)। फर्मा से प्रत्येक a ∈ ℤ_p के लिए a^p = a।

यह क्यों काम करता है: यह गुणनफलों को सहज ही और योगों को फ्रेशमैन स्वप्न से सुरक्षित रखता है; यह एकैकी है क्योंकि क्षेत्र में a^p = 0 ⇒ a = 0; परिमित K के लिए एकैकी से आच्छादक निकलता है। अनंत K के लिए यह आच्छादक न भी हो: ℤ_p(t) में अवयव t किसी की p-वीं घात नहीं है।

6. विस्तार और घात

विस्तार: यदि F, K का उपक्षेत्र है, तो K, F का विस्तार है (K/F लिखते हैं), और K, F पर सदिश समष्टि है। इसकी विमा [K : F] घात (degree) है, और [K : F] परिमित हो तो K/F परिमित विस्तार है।

भाव: K को F पर सदिश समष्टि मानिए, तब पूरा रैखिक बीजगणित लागू होता है और घात (degree) एक विमा है। ℝ पर ℂ का आधार {1, i} है और घात 2; ℚ पर ℝ की घात अनंत है, क्योंकि ℚ गणनीय है जबकि ℝ नहीं।

स्तंभ नियम (tower law): यदि F ⊆ K ⊆ L क्षेत्र हैं, तो [L : F] = [L : K][K : F]; यदि {α_i}, K/F का आधार और {β_j}, L/K का आधार है, तो {α_iβ_j}, L/F का आधार है।

संलग्नन (adjunction): F(α), K का वह सबसे छोटा उपक्षेत्र है जिसमें F और α हों, और F(α, β) = F(α)(β)।

भाव: ℚ(√2) = {a + b√2 : a, b ∈ ℚ}। यह पहले से क्षेत्र है, क्योंकि 1/(a + b√2) = (a − b√2)/(a² − 2b²) और (a, b) ≠ (0, 0) के लिए a² − 2b² ≠ 0, क्योंकि √2 अपरिमेय है।

उदाहरण 1: [ℚ(√2, √3) : ℚ] और एक आधार ज्ञात कीजिए।

x² − 2, ℚ पर अखंडनीय है (आइज़ेंस्टाइन, p = 2), अतः [ℚ(√2) : ℚ] = 2 और आधार {1, √2}।

यदि a, b ∈ ℚ के साथ √3 = a + b√2, तो वर्ग करने पर 3 = a² + 2b² + 2ab√2, अतः ab = 0। b = 0 से √3 परिमेय होगा, और a = 0 से √(3/2) परिमेय होगा; दोनों असंभव हैं।

अतः x² − 3 का ℚ(√2) में कोई मूल नहीं है और यह वहाँ अखंडनीय है: [ℚ(√2, √3) : ℚ(√2)] = 2। स्तंभ नियम से [ℚ(√2, √3) : ℚ] = 4, आधार {1, √2, √3, √6}।

उदाहरण 2: दिखाइए कि ∛2 ∉ ℚ(√2)।

x³ − 2, ℚ पर अखंडनीय है (आइज़ेंस्टाइन, p = 2), अतः [ℚ(∛2) : ℚ] = 3। यदि ∛2 ∈ ℚ(√2), तो ℚ ⊆ ℚ(∛2) ⊆ ℚ(√2), और स्तंभ नियम से 3, [ℚ(√2) : ℚ] = 2 को विभाजित करेगा, जो असत्य है।

7. बीजीय अवयव

बीजीय और अबीजीय: α ∈ K, F पर बीजीय है यदि किसी शून्येतर f ∈ F[x] के लिए f(α) = 0; अन्यथा α अबीजीय (transcendental) है (जैसे ℚ पर π और e)।

भाव: α, F पर बीजीय (algebraic) है जब वह F में गुणांकों वाले बहुपद समीकरण को संतुष्ट करे, जैसे ℚ पर √2, i, ∛2 या e^2πi/n। यह धारणा F पर निर्भर है: π, ℚ पर अबीजीय (transcendental) है पर ℝ पर बीजीय, x − π के मूल के रूप में।

न्यूनतम बहुपद (minimal polynomial): यदि α बीजीय है, तो p(α) = 0 वाला न्यूनतम घात का एकघाती-अग्र (monic) बहुपद p ∈ F[x] अद्वितीय और अखंडनीय है, और यह F[x] के उस प्रत्येक बहुपद को विभाजित करता है जो α पर शून्य हो।

सरल बीजीय विस्तार: x ↦ α द्वारा F(α) ≅ F[x]/⟨p(x)⟩, और [F(α) : F] = deg p, आधार 1, α, ..., αⁿ⁻¹; विशेषतः F[α] = F(α)।

यह क्यों काम करता है: मूल्यांकन f ↦ f(α), F[x] को F[α] पर अष्टि ⟨p⟩ के साथ ले जाता है, और p अखंडनीय है, अतः ⟨p⟩ उच्चिष्ठ है और F[α] ≅ F[x]/⟨p⟩ क्षेत्र है; इसलिए F[α] = F(α)। प्रत्येक f(α), r(α) के बराबर है, जहाँ r, f को p से भाग देने पर शेषफल है और deg r < n, जिससे आधार 1, α, ..., αⁿ⁻¹ मिलता है।

परिमित ⇒ बीजीय: यदि [K : F] = n, तो n + 1 अवयव 1, α, ..., αⁿ, F पर रैखिकतः आश्रित हैं, अतः प्रत्येक α ∈ K बीजीय है और उसकी घात n को विभाजित करती है। साथ ही α बीजीय है यदि और केवल यदि [F(α) : F] परिमित है।

संवरक गुणधर्म: K के वे अवयव जो F पर बीजीय हैं, K का उपक्षेत्र बनाते हैं; और यदि L/K तथा K/F बीजीय हैं, तो L/F बीजीय है।

उदाहरण 3: ℚ पर α = √2 + √3 का न्यूनतम बहुपद ज्ञात कीजिए।

α² = 5 + 2√6, अतः (α² − 5)² = 24, अर्थात α⁴ − 10α² + 1 = 0।

α³ = 11√2 + 9√3, अतः √2 = (α³ − 9α)/2 ∈ ℚ(α) और √3 = α − √2 ∈ ℚ(α)। अतः ℚ(α) = ℚ(√2, √3) की ℚ पर घात 4 है।

न्यूनतम बहुपद की घात 4 है और यह x⁴ − 10x² + 1 को विभाजित करता है, अतः यह x⁴ − 10x² + 1 है।

8. क्रोनेकर प्रमेय, विभाजन क्षेत्र और बीजीय संवरक

क्रोनेकर प्रमेय (Kronecker's theorem): प्रत्येक अचर-भिन्न f ∈ F[x] का F के किसी विस्तार में मूल है: f का एक अखंडनीय गुणनखंड p और K = F[x]/⟨p⟩ लीजिए, जिसमें α = x + ⟨p⟩ एक मूल है।

भाव: यदि बहुपद का कोई मूल नहीं है, तो ऐसा क्षेत्र बनाइए जिसमें उसका मूल हो: F[x]/⟨p⟩ में x का वर्ग रचना से ही p को संतुष्ट करता है। ℂ = ℝ[x]/⟨x² + 1⟩ आदर्श उदाहरण है, जहाँ i = x + ⟨x² + 1⟩।

विभाजन क्षेत्र (splitting field): क्रोनेकर रचना दोहराने पर अधिकतम n! घात का विस्तार मिलता है जिसमें f (घात n) रैखिक गुणनखंडों में टूट जाता है; ऐसा सबसे छोटा विस्तार f का विभाजन क्षेत्र है, जो तुल्याकारिता तक अद्वितीय है।

अधिकतम n! क्यों: एक मूल α₁ जोड़ने से घात ≤ n; F(α₁) पर f/(x − α₁) की घात n − 1 है, अतः अगले चरण की घात ≤ n − 1, इत्यादि। उदाहरण: ℚ पर x³ − 2, ℚ(∛2, ω), ω = e^2πi/3 में विभक्त होता है, जिसकी घात 3·2 = 6 = 3! है।

बीजीयतः संवृत क्षेत्र (algebraically closed field): वह क्षेत्र जिसमें प्रत्येक अचर-भिन्न बहुपद का मूल हो (समतुल्यतः, वह रैखिक गुणनखंडों में टूटे)। ℂ बीजीयतः संवृत है (बीजगणित का मूलभूत प्रमेय); ℝ और ℚ नहीं हैं, और कोई परिमित क्षेत्र नहीं है।

बीजीय संवरक (algebraic closure): प्रत्येक क्षेत्र F का एक बीजीय विस्तार है जो बीजीयतः संवृत है; ℚ पर बीजीय सम्मिश्र संख्याएँ ℚ का बीजीय संवरक बनाती हैं।

9. परिमित क्षेत्र

कोटि: परिमित क्षेत्र K का अभिलक्षण कोई अभाज्य p है, यह ℤ_p पर किसी विमा n की सदिश समष्टि है, अतः इसमें pⁿ अवयव हैं।

गुणनात्मक समूह: परिमित क्षेत्र के शून्येतर अवयव pⁿ − 1 कोटि का चक्रीय समूह बनाते हैं। विशेषतः U(p) = ℤ_p^* चक्रीय है।

अस्तित्व और अद्वितीयता: प्रत्येक अभाज्य घात q = pⁿ के लिए तुल्याकारिता तक q अवयवों वाला ठीक एक क्षेत्र GF(q) है, जो ℤ_p पर x^q − x का विभाजन क्षेत्र है; इसके अवयव ठीक x^q − x के मूल हैं।

अवयव x^q − x के मूल क्यों हैं: K^* कोटि q − 1 का समूह है, अतः लग्रांज से a ≠ 0 के लिए a^q−1 = 1, और प्रत्येक a ∈ K के लिए a^q = a। इससे घात q के बहुपद के q भिन्न मूल मिलते हैं, अतः x^q − x = ∏_a∈K (x − a)।

रचना: ℤ_p पर n घात के किसी भी अखंडनीय f के लिए GF(pⁿ) ≅ ℤ_p[x]/⟨f(x)⟩; जैसे GF(4) = ℤ₂[x]/⟨x² + x + 1⟩ और GF(9) = ℤ₃[x]/⟨x² + 1⟩।

उपक्षेत्र: GF(pⁿ) में p^m कोटि का उपक्षेत्र है यदि और केवल यदि m, n को विभाजित करे, और वह उपक्षेत्र अद्वितीय है।

m को n को विभाजित क्यों करना चाहिए: यदि L, p^m अवयवों का उपक्षेत्र है, तो स्तंभ नियम से n = [GF(pⁿ) : ℤ_p] = [GF(pⁿ) : L]·m। अतः GF(4), GF(8) का उपक्षेत्र नहीं है, यद्यपि 4 < 8।

उदाहरण 4: दिखाइए कि GF(8) का 0 और 1 के अतिरिक्त प्रत्येक अवयव गुणनात्मक समूह GF(8)^* को जनित करता है।

GF(8)^* की कोटि 8 − 1 = 7 है, जो अभाज्य है। लग्रांज से 1 के अतिरिक्त प्रत्येक अवयव की कोटि 7 है, अतः वह पूरे समूह को जनित करता है।

10. व्युत्पत्ति: स्तंभ नियम (tower law)

विस्तृति: मान लीजिए {α_i}, F पर K का आधार है और {β_j}, K पर L का आधार। कोई भी x ∈ L, x = ∑_j c_jβ_j है जहाँ c_j ∈ K, और प्रत्येक c_j = ∑_i a_ijα_i जहाँ a_ij ∈ F। अतः x = ∑_i,j a_ijα_iβ_j।

स्वतंत्रता: यदि ∑_i,j a_ijα_iβ_j = 0, तो इसे ∑_j(∑_i a_ijα_i)β_j = 0 के रूप में समूहित कीजिए। भीतरी योग K में हैं और β_j, K पर स्वतंत्र हैं, अतः प्रत्येक भीतरी योग 0 है; फिर α_i, F पर स्वतंत्र हैं, अतः प्रत्येक a_ij = 0।

परिणाम: [L : F] = [L : K][K : F]। विशेष रूप से K के किसी भी अवयव की घात [K : F] को विभाजित करती है, और यदि F पर deg α और deg β सहअभाज्य हों, तो [F(α, β) : F] = deg α · deg β।

11. व्युत्पत्ति: अल्पिष्ठ बहुपद

अस्तित्व और विभाज्यता: I = {f ∈ F[x] : f(α) = 0}, α पर मूल्यांकन की अष्टि है, जो F[x] की गुणजावली है, और α बीजीय हो तो शून्येतर। F[x] एक PID है, अतः I = ⟨p⟩; p को एकघाती अग्र गुणांक (monic) बनाने से वह अद्वितीय हो जाता है, और α पर शून्य होने वाला प्रत्येक f, p का गुणज है।

यह अखंडनीय है: यदि p = gh जहाँ deg g, deg h < deg p, तो क्षेत्र K में g(α)h(α) = 0, अतः g(α) = 0 या h(α) = 0, जो deg p की न्यूनतमता के विरुद्ध है।

व्यावहारिक परीक्षण: α को मूल रखने वाला एकघाती अग्र गुणांक वाला अखंडनीय बहुपद ही अल्पिष्ठ बहुपद है; अतः deg α ज्ञात करने के लिए ऐसा बहुपद खोजिए और उसकी अखंडनीयता सिद्ध कीजिए।

12. व्युत्पत्ति: परिमित क्षेत्र का गुणनात्मक समूह चक्रीय है

मान लीजिए |K| = q और d | q − 1 के लिए ψ(d), K^* में कोटि d के अवयवों की संख्या है। यदि किसी a की कोटि d है, तो ⟨a⟩ के d अवयव x^d − 1 के मूल हैं, जिसके क्षेत्र में अधिकतम d मूल होते हैं; अतः कोटि d का प्रत्येक अवयव ⟨a⟩ में है, और ψ(d) = φ(d)। अतः ψ(d) या तो 0 है या φ(d)।

अब ∑_d|q−1 ψ(d) = q − 1 = ∑_d|q−1 φ(d) (समूह प्रकरण की गणना) और प्रत्येक d के लिए ψ(d) ≤ φ(d), अतः प्रत्येक d के लिए ψ(d) = φ(d)। विशेष रूप से ψ(q − 1) = φ(q − 1) ≥ 1: किसी अवयव की कोटि q − 1 है और वह K^* को जनित करता है।

जाँच: ℤ₇^* में 3 की घातें 3, 2, 6, 4, 5, 1 हैं, अतः 3 जनक है, और जनकों की संख्या φ(6) = 2 है (3 और 5)।

13. विधि का चयन

यदि [F(α) : F] पूछा जाए → मूल α वाला एकघाती अग्र गुणांक बहुपद खोजिए और उसकी अखंडनीयता सिद्ध कीजिए (आइज़ेन्स्टाइन, परिमेय मूल, घात ≤ 3 के लिए कोई मूल नहीं)।

यदि [F(α, β) : F] पूछा जाए → स्तंभ नियम; दिखाइए कि β का अल्पिष्ठ बहुपद F(α) पर भी अखंडनीय रहता है, या सहअभाज्य घातें लगाइए।

यदि α ∉ F(β) दिखाना हो → घातों की तुलना कीजिए: deg α को [F(β) : F] को विभाजित करना चाहिए।

यदि किसी अवयव को बीजीय दिखाना हो → वह बहुपद दीजिए जिसे वह संतुष्ट करता है, या दिखाइए कि वह किसी परिमित विस्तार में है।

यदि GF(pⁿ) की रचना करनी हो → ℤ_p पर घात n का अखंडनीय बहुपद खोजिए (n = 2, 3 के लिए बिना मूल वाला) और ℤ_p[x]/⟨f⟩ लीजिए।

यदि GF(q)^* का जनक पूछा जाए → q − 1 को विभाजित करने वाले प्रत्येक अभाज्य r के लिए जाँचिए कि a^(q−1)/r ≠ 1।

14. सामान्य गलतियाँ

α द्वारा संतुष्ट किसी भी बहुपद की घात ले लेना: √2, x⁴ − 4 को संतुष्ट करता है, पर ℚ पर इसकी घात 2 है; केवल अखंडनीय बहुपद मान्य है।

घातों का आँख मूँदकर गुणा: [ℚ(√2, √8) : ℚ] = 2 है, 4 नहीं, क्योंकि √8 = 2√2 ∈ ℚ(√2)।

ℤ_pⁿ को GF(pⁿ) समझना: ℤ₄ क्षेत्र नहीं है (2·2 = 0); GF(4) = ℤ₂[x]/⟨x² + x + 1⟩।

(a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ का उसकी सीमा से बाहर उपयोग: यह केवल अभिलक्षण p में n = p (और इसकी घातों) के लिए सत्य है।

अखंडनीयता सिद्ध किए बिना अल्पिष्ठ बहुपद का दावा: परीक्षक अंक काटते हैं; कारण दीजिए (आइज़ेन्स्टाइन, कोई परिमेय मूल नहीं, घात तर्क)।

15. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: घात विमा है (रैखिक बीजगणित): स्तंभ नियम आधारों के बारे में कथन है, और F पर α का अल्पिष्ठ बहुपद K के रैखिक प्रतिचित्र x ↦ αx का अल्पिष्ठ बहुपद है।

संबंध: बीजगणित का मूल प्रमेय (ℂ बीजीय रूप से संवृत है) सम्मिश्र विश्लेषण में लिउविल प्रमेय से सिद्ध होता है; परिमित क्षेत्र त्रुटि-संशोधक कूटों और कंप्यूटर प्रोग्रामन अध्याय के द्विआधारी अंकगणित के पीछे हैं (GF(2) = {0, 1}, जिसमें योग XOR है)।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 5 (UPSC 2016, 20 अंक): मान लीजिए K, क्षेत्र F का एक विस्तार है। सिद्ध कीजिए कि K के अवयव, जो कि F पर बीजीय हैं, K का उपक्षेत्र बनाते हैं। आगे, यदि F ⊂ K ⊂ L क्षेत्र हैं, L, K पर बीजीय है तथा K, F पर बीजीय है, तब सिद्ध कीजिए कि L, F पर बीजीय है।

मान लीजिए α, β ∈ K, F पर बीजीय हैं। [F(α) : F] परिमित है; β, F पर बीजीय है, अतः F(α) पर भी (वही बहुपद काम करता है), इसलिए [F(α, β) : F(α)] परिमित है।

स्तंभ नियम से [F(α, β) : F] = [F(α, β) : F(α)][F(α) : F] परिमित है।

α ± β, αβ और α/β (β ≠ 0), F(α, β) में हैं, और परिमित विस्तार का प्रत्येक अवयव बीजीय है। अतः ये F पर बीजीय हैं, और 0, 1 सहित बीजीय अवयव K का उपक्षेत्र बनाते हैं।

अब मान लीजिए L/K और K/F बीजीय हैं और γ ∈ L। तब किन्हीं a_i ∈ K के लिए γⁿ + a_n−1γⁿ⁻¹ + ... + a₀ = 0।

E = F(a₀, ..., a_n−1) रखिए। प्रत्येक a_i, F पर बीजीय है, अतः इन्हें एक-एक कर संलग्न करने और स्तंभ नियम से [E : F] परिमित है; और उसी समीकरण से γ, E पर बीजीय है, अतः [E(γ) : E] ≤ n।

अतः [E(γ) : F] = [E(γ) : E][E : F] परिमित है, इसलिए γ, F पर बीजीय है।

उत्तर: K के बीजीय अवयव उपक्षेत्र बनाते हैं, और बीजीय विस्तार का बीजीय विस्तार बीजीय होता है (L/F बीजीय है)।

उदाहरण 6 (UPSC 2016, 15 अंक): दर्शाइए कि प्रत्येक बीजतः संवृत क्षेत्र अनंत है।

मान लीजिए F बीजीयतः संवृत है और F परिमित है, F = {a₁, a₂, ..., a_n}।

f(x) = (x − a₁)(x − a₂)···(x − a_n) + 1 ∈ F[x] लीजिए, जिसकी घात n ≥ 2 है (क्षेत्र में 0 ≠ 1)।

प्रत्येक i के लिए f(a_i) = 0 + 1 = 1 ≠ 0, अतः F में f का कोई मूल नहीं है, जो बीजीय संवृतता का खंडन है।

उत्तर: प्रत्येक बीजीयतः संवृत क्षेत्र अनंत है।

उदाहरण 7 (UPSC 2020, 15 अंक): मान लीजिए R, p (> 0) अभिलक्षण का एक परिमित क्षेत्र है। दर्शाइए कि f(a) = a^p, ∀a ∈ R द्वारा परिभाषित प्रतिचित्रण f : R → R एकैक समाकारी है।

f(ab) = (ab)^p = a^pb^p = f(a)f(b), क्योंकि R क्रमविनिमेय है।

(a + b)^p = ∑_k=0^p C(p, k)a^kb^p−k। 0 < k < p के लिए C(p, k) = p!/(k!(p − k)!), p से विभाज्य है (p अंश को विभाजित करता है परंतु k!(p − k)! को नहीं), अतः अभिलक्षण p में ये पद लुप्त होते हैं, और f(a + b) = a^p + b^p = f(a) + f(b)।

एकैकी: f(a) = 0 ⇒ a^p = 0 ⇒ a = 0, क्योंकि क्षेत्र में शून्य भाजक नहीं होते; अतः ker f = {0}। साथ ही f(1) = 1।

आच्छादी: R परिमित है और f : R → R एकैकी है, अतः f आच्छादी है।

उत्तर: f(a) = a^p, R का स्वयं पर वलय तुल्याकारिता है (फ्रोबेनियस स्वसमाकारिता)।

उदाहरण 8 (UPSC 2021, 15 अंक): मान लीजिए कि F एक क्षेत्र है तथा f(x) ∈ F[x], क्षेत्र F के ऊपर घात > 0 का एक बहुपद है। दर्शाइए कि एक क्षेत्र F′ तथा एक अंतःस्थापन q : F → F′ इस प्रकार से अस्तित्व में हैं कि बहुपद f^q ∈ F′[x] का एक मूल F′ में है, जहाँ f^q, f के प्रत्येक गुणांक a को q(a) द्वारा प्रतिस्थापित करने से प्राप्त होता है।

F[x] अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत है और deg f > 0, अतः अखंडनीय p ∈ F[x] के साथ f = p·g।

F[x] मुख्य गुणजावली प्रांत है और p अखंडनीय है, अतः ⟨p⟩ उच्चिष्ठ गुणजावली है और F′ = F[x]/⟨p⟩ क्षेत्र है।

q : F → F′, q(a) = a + ⟨p⟩ परिभाषित कीजिए। यह वलय समाकारिता है जिसमें q(1) = 1 + ⟨p⟩ ≠ 0 (deg p ≥ 1), अतः इसकी अष्टि क्षेत्र F की F से भिन्न गुणजावली, अर्थात {0} है: q अंतःस्थापन (imbedding) है।

α = x + ⟨p⟩ ∈ F′ लीजिए। यदि p = ∑c_ixⁱ, तो F′ में p^q(α) = ∑(c_i + ⟨p⟩)(x + ⟨p⟩)ⁱ = p(x) + ⟨p⟩ = 0।

h ↦ h^q वलय समाकारिता F[x] → F′[x] है, अतः f^q = p^qg^q और f^q(α) = p^q(α)g^q(α) = 0।

उत्तर: अंतःस्थापन a ↦ a + ⟨p⟩ के साथ F′ = F[x]/⟨p(x)⟩ उपयुक्त है, और α = x + ⟨p(x)⟩, f^q का मूल है (क्रोनेकर प्रमेय)।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): [ℚ(i) : ℚ], एक आधार, और ℚ पर i का न्यूनतम बहुपद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x² + 1 अग्र है, ℚ पर अखंडनीय है (कोई परिमेय, वास्तव में कोई वास्तविक, मूल नहीं) और इसका मूल i है; अतः घात 2 है, आधार {1, i} के साथ।

अभ्यास 2 (मूल): क्या ℚ(√2) = ℚ(√8)? क्या ℚ(√2) = ℚ(√3)?

उत्तर: हाँ, क्योंकि √8 = 2√2; नहीं, क्योंकि √3 ∉ ℚ(√2) (√3 = a + b√2 का वर्ग करने पर ab = 0, और दोनों स्थितियाँ असंभव हैं)।

अभ्यास 3 (मूल): ℤ₅ पर परिमेय फलनों के क्षेत्र ℤ₅(t) का अभिलक्षण और अभाज्य उपक्षेत्र बताइए।

उत्तर: अभिलक्षण 5, अभाज्य उपक्षेत्र ℤ₅; अभिलक्षण 0 न होते हुए भी यह क्षेत्र अपरिमित है।

अभ्यास 4 (मानक): ℚ पर 1 + √3 का न्यूनतम बहुपद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (x − 1)² = 3 से x² − 2x − 2, जो p = 2 के साथ आइज़ेंस्टाइन से अखंडनीय है; अतः यही न्यूनतम बहुपद है और घात 2 है।

अभ्यास 5 (मानक): [ℚ(√2, ∛2) : ℚ] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 6। √2 और ∛2 की घातें 2 और 3 दोनों कुल घात को विभाजित करती हैं, जो अधिकतम 2·3 है; gcd(2, 3) = 1 होने से यह 6 है।

अभ्यास 6 (मानक): मान लें α, x³ − x − 1 का वास्तविक मूल है। दिखाइए कि यह बहुपद ℚ पर अखंडनीय है और α⁻¹ को आधार 1, α, α² में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: संभावित परिमेय मूल केवल ±1 हैं, जो −1 और −1 देते हैं, अतः त्रिघात का कोई मूल नहीं और यह अखंडनीय है। α³ − α = 1 से α(α² − 1) = 1, अतः α⁻¹ = α² − 1।

अभ्यास 7 (मानक): GF(8) = ℤ₂[x]/⟨x³ + x + 1⟩ में, α = x + ⟨x³ + x + 1⟩ के साथ, घातें α, α², ..., α⁷ लिखिए।

उत्तर: α, α², α³ = α + 1, α⁴ = α² + α, α⁵ = α² + α + 1, α⁶ = α² + 1, α⁷ = 1: सभी सात शून्येतर अवयव आते हैं, अतः α, GF(8)^* का जनक है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि GF(16) में 4 अवयवों वाला ठीक एक उपक्षेत्र है और 8 अवयवों वाला कोई उपक्षेत्र नहीं है।

उत्तर: स्तंभ नियम से कोटि 2^m के उपक्षेत्र के लिए m | 4 आवश्यक है, अतः 8 = 2³ असंभव है। m = 2 के लिए उपक्षेत्र {a : a⁴ = a}, अर्थात x⁴ − x के मूल, है, अतः ठीक एक है; यह विद्यमान है क्योंकि GF(16)^* कोटि 15 का चक्रीय समूह है और उसमें कोटि 3 का अद्वितीय उपसमूह है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): ℚ पर x⁴ − 2 के विभाजन क्षेत्र की घात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 8। मूल ±⁴√2 और ±i⁴√2 हैं, अतः विभाजन क्षेत्र ℚ(⁴√2, i) है। x⁴ − 2, 2 पर आइज़ेंस्टाइन है, जिससे ℚ(⁴√2) ⊂ ℝ की घात 4 है, और i ∉ ℝ गुणनखंड 2 जोड़ता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): मान लें α, F पर बीजीय है और [F(α) : F] विषम है। सिद्ध कीजिए कि F(α²) = F(α)।

उत्तर: F(α²) पर α, x² − α² का मूल है, अतः [F(α) : F(α²)] ≤ 2। स्तंभ नियम से यह विषम संख्या [F(α) : F] को विभाजित करता है, अतः यह 1 है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): मान लें F अभिलक्षण p का क्षेत्र है और a ∈ F। सिद्ध कीजिए कि F के किसी भी विस्तार में x^p − a का अधिकतम एक मूल है।

उत्तर: यदि b एक मूल है, तो 'फ्रेशमैन के स्वप्न' (freshman's dream) से (x − b)^p = x^p − b^p = x^p − a, अतः प्रत्येक मूल c के लिए (c − b)^p = 0, अर्थात c = b।

1. लग्रांज प्रमेय (Lagrange's theorem)

कथन: मान लीजिए G परिमित समूह है और H, G का उपसमूह है। तब o(H), o(G) को विभाजित करता है, और [G : H] = o(G)/o(H)।

उपपत्ति: G पर a ~ b परिभाषित कीजिए यदि a⁻¹b ∈ H। यह स्वतुल्य (a⁻¹a = e ∈ H), सममित (b⁻¹a = (a⁻¹b)⁻¹ ∈ H) और संक्रामक (a⁻¹c = (a⁻¹b)(b⁻¹c) ∈ H) है, अतः तुल्यता संबंध है।

a का वर्ग {b : a⁻¹b ∈ H} = {ah : h ∈ H} = aH है। अतः भिन्न वाम सहसमुच्चय युग्मतः असंयुक्त हैं और उनका सम्मिलन G है।

प्रत्येक a के लिए प्रतिचित्रण h ↦ ah, H से aH पर, परिभाषा से आच्छादी और वाम निरसन से एकैकी है (ah₁ = ah₂ ⇒ h₁ = h₂)। अतः |aH| = |H|।

G परिमित है, अतः भिन्न सहसमुच्चय परिमित संख्या में हैं, मान लीजिए a₁H, ..., a_kH जहाँ k = [G : H], और G = a₁H ∪ ... ∪ a_kH असंयुक्त सम्मिलन है।

अवयव गिनने पर o(G) = k·o(H)। अतः o(H), o(G) को विभाजित करता है और [G : H] = o(G)/o(H)।

अतः सिद्ध हुआ।

2. चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय है

कथन: मान लीजिए G = ⟨a⟩ चक्रीय समूह है और H, G का उपसमूह है। तब H चक्रीय है।

उपपत्ति: यदि H = {e}, तो H = ⟨e⟩ चक्रीय है। अन्यथा H में कोई a^k, k ≠ 0, है, और तब a^−k भी, अतः H में a की कोई धनात्मक घात है।

सुक्रमण सिद्धांत से, m वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक लीजिए जिसके लिए a^m ∈ H। H संवृत है, अतः ⟨a^m⟩ ⊆ H।

मान लीजिए aⁿ ∈ H। विभाजन एल्गोरिथ्म से n = qm + r, जहाँ 0 ≤ r ≤ m − 1।

तब a^r = aⁿ(a^m)^−q ∈ H। चूँकि r, m से छोटा है, m की न्यूनतमता से r = 0।

अतः aⁿ = (a^m)^q ∈ ⟨a^m⟩, जिससे H ⊆ ⟨a^m⟩। अतः H = ⟨a^m⟩ चक्रीय है।

अतः सिद्ध हुआ।

3. अभाज्य कोटि का समूह चक्रीय है

कथन: मान लीजिए G कोटि p का समूह है, जहाँ p अभाज्य है। तब G चक्रीय है, प्रत्येक अतत्समक अवयव G का जनक है, और G ≅ ℤ_p।

उपपत्ति: चूँकि p ≥ 2, G में कोई अवयव a ≠ e है। H = ⟨a⟩ लीजिए, जो G का उपसमूह है।

लग्रांज प्रमेय से o(H), p को विभाजित करता है, अतः o(H) = 1 या p।

H में दो भिन्न अवयव e और a हैं, अतः o(H) ≠ 1। अतः o(H) = p = o(G), और H ⊆ G होने से H = G।

इस प्रकार प्रत्येक a ≠ e के लिए G = ⟨a⟩, और कोटि p का चक्रीय समूह ℤ_p के तुल्याकारी है (a^k ↦ k mod p)। विशेषतः G आबेली है।

अतः सिद्ध हुआ।

4. सूचकांक 2 का उपसमूह प्रसामान्य है

कथन: मान लीजिए H समूह G (परिमित या अपरिमित) का उपसमूह है और [G : H] = 2। तब H ⊴ G।

उपपत्ति: मान लीजिए g ∈ G। यदि g ∈ H, तो gH = H = Hg।

यदि g ∉ H, तो gH ≠ H। केवल दो वाम सहसमुच्चय हैं और वे G का विभाजन करते हैं, अतः gH = G ∖ H।

इसी प्रकार केवल दो दक्षिण सहसमुच्चय हैं, H और Hg ≠ H (क्योंकि g ∈ Hg परंतु g ∉ H), अतः Hg = G ∖ H।

इस प्रकार प्रत्येक g ∈ G के लिए gH = Hg, जो प्रसामान्य उपसमूह की परिभाषा है।

अतः सिद्ध हुआ।

5. समाकारिता की अष्टि

कथन: मान लीजिए f : G → G′ समूह समाकारिता है और K = ker f = {a ∈ G : f(a) = e′}। तब K ⊴ G, और f एकैकी है यदि और केवल यदि K = {e}।

उपपत्ति: f(e) = f(ee) = f(e)f(e), और निरसन से f(e) = e′। तब f(a)f(a⁻¹) = f(e) = e′, अतः f(a⁻¹) = f(a)⁻¹।

अतः e ∈ K और K अरिक्त है। a, b ∈ K के लिए f(ab⁻¹) = f(a)f(b)⁻¹ = e′, अतः ab⁻¹ ∈ K और एक-चरण परीक्षण से K ≤ G।

g ∈ G और k ∈ K के लिए f(gkg⁻¹) = f(g)e′f(g)⁻¹ = e′, अतः gKg⁻¹ ⊆ K और K ⊴ G।

यदि f एकैकी है और a ∈ K, तो f(a) = e′ = f(e) से a = e; अतः K = {e}।

विलोमतः, यदि K = {e} और f(a) = f(b), तो f(ab⁻¹) = e′, अतः ab⁻¹ = e और a = b; अतः f एकैकी है।

अतः सिद्ध हुआ।

6. समाकारिता का मूलभूत प्रमेय (प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय)

कथन: मान लीजिए f : G → G′ अष्टि K वाली समूह समाकारिता है। तब G/K ≅ f(G)। विशेषतः, यदि f आच्छादी है, तो G/K ≅ G′।

उपपत्ति: पिछले प्रमेय से K ⊴ G, अतः G/K संक्रिया (aK)(bK) = abK के अंतर्गत समूह है।

φ : G/K → f(G), φ(aK) = f(a) परिभाषित कीजिए।

सुपरिभाषित और एकैकी: aK = bK ⇔ a⁻¹b ∈ K ⇔ f(a)⁻¹f(b) = e′ ⇔ f(a) = f(b)। ⇒ दिशा से φ सुपरिभाषित है, और ⇐ दिशा से φ एकैकी है।

समाकारिता: φ(aK·bK) = φ(abK) = f(ab) = f(a)f(b) = φ(aK)φ(bK)।

आच्छादी: f(G) का प्रत्येक अवयव किसी a ∈ G के लिए f(a) = φ(aK) है।

अतः φ तुल्याकारिता है और G/K ≅ f(G); यदि f आच्छादी है तो f(G) = G′।

अतः सिद्ध हुआ।

7. केली प्रमेय (Cayley's theorem)

कथन: प्रत्येक समूह G, Sym(G) अर्थात समुच्चय G के सभी क्रमचयों के समूह, के किसी उपसमूह के तुल्याकारी है। विशेषतः कोटि n का प्रत्येक समूह S_n के किसी उपसमूह के तुल्याकारी है।

उपपत्ति: a ∈ G के लिए T_a : G → G, T_a(x) = ax परिभाषित कीजिए।

T_a एकैकी है, क्योंकि ax = ay ⇒ x = y, और आच्छादी है, क्योंकि T_a(a⁻¹y) = y। अतः T_a ∈ Sym(G)।

φ : G → Sym(G), φ(a) = T_a परिभाषित कीजिए। सभी x के लिए (T_a ∘ T_b)(x) = a(bx) = (ab)x = T_ab(x), अतः φ(ab) = φ(a)φ(b) और φ समाकारिता है।

यदि φ(a) = T_a तत्समक प्रतिचित्रण है, तो a = ae = T_a(e) = e। अतः ker φ = {e} और φ एकैकी है।

प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से G ≅ φ(G) = {T_a : a ∈ G}, जो Sym(G) का उपसमूह है। यदि o(G) = n, तो अवयवों को 1, ..., n नाम देने पर Sym(G) की पहचान S_n से हो जाती है।

अतः सिद्ध हुआ।

8. A_n, S_n का सूचकांक 2 का प्रसामान्य उपसमूह है

कथन: n ≥ 2 के लिए सम क्रमचयों का समुच्चय A_n, S_n का प्रसामान्य उपसमूह है, और o(A_n) = n!/2। (समता प्रमेय मान लीजिए: कोई क्रमचय सम और विषम दोनों नहीं होता।)

उपपत्ति: sgn : S_n → {1, −1} (गुणन के अंतर्गत समूह) परिभाषित कीजिए: यदि σ सम है तो sgn σ = 1 और विषम है तो −1। समता प्रमेय से यह सुपरिभाषित है।

यदि σ, r पक्षांतरणों का और τ, s पक्षांतरणों का गुणनफल है, तो στ, r + s पक्षांतरणों का गुणनफल है, अतः sgn(στ) = (−1)^r+s = sgn σ · sgn τ। इस प्रकार sgn समाकारिता है।

sgn आच्छादी है, क्योंकि sgn(e) = 1 और sgn((1 2)) = −1 (इसके लिए n ≥ 2 आवश्यक है)।

ker sgn = {σ : σ सम} = A_n, अतः अष्टि प्रमेय से A_n ⊴ S_n।

प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से S_n/A_n ≅ {1, −1}, अतः [S_n : A_n] = 2 और o(A_n) = n!/2।

अतः सिद्ध हुआ।

9. इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय क्षेत्र है यदि और केवल यदि उसकी कोई उचित अतुच्छ गुणजावली न हो

कथन: मान लीजिए R इकाई 1 ≠ 0 सहित क्रमविनिमेय वलय है। तब R क्षेत्र है यदि और केवल यदि R की केवल गुणजावलियाँ {0} और R हैं।

उपपत्ति: (⇒) मान लीजिए R क्षेत्र है और I अशून्य गुणजावली है। a ∈ I, a ≠ 0 चुनिए। तब 1 = a⁻¹a ∈ I, अतः प्रत्येक r ∈ R के लिए r = r·1 ∈ I, और I = R।

(⇐) मान लीजिए केवल गुणजावलियाँ {0} और R हैं, और a ∈ R, a ≠ 0। aR = {ar : r ∈ R} पर विचार कीजिए।

aR गुणजावली है: ar − as = a(r − s) ∈ aR, और t ∈ R के लिए क्रमविनिमेयता से t(ar) = a(rt) ∈ aR।

aR में a = a·1 ≠ 0 है, अतः aR ≠ {0} और इसलिए aR = R।

विशेषतः 1 ∈ aR, अतः किसी b ∈ R के लिए 1 = ab। इस प्रकार प्रत्येक अशून्य अवयव मात्रक है, और R क्षेत्र है।

अतः सिद्ध हुआ।

10. R/M क्षेत्र है यदि और केवल यदि M उच्चिष्ठ गुणजावली है

कथन: मान लीजिए R इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय है और M, R की गुणजावली है। तब R/M क्षेत्र है यदि और केवल यदि M उच्चिष्ठ गुणजावली है।

उपपत्ति: R/M इकाई 1 + M सहित क्रमविनिमेय वलय है, और 1 + M ≠ 0 + M यदि और केवल यदि 1 ∉ M, अर्थात M ≠ R।

(⇒) मान लीजिए R/M क्षेत्र है; तब M ≠ R। मान लीजिए J गुणजावली है जिसके लिए M ⊊ J, और a ∈ J ∖ M चुनिए। तब a + M ≠ M, अतः कोई b है जिसके लिए (a + M)(b + M) = 1 + M, अर्थात 1 − ab ∈ M ⊆ J।

चूँकि ab ∈ J, 1 = (1 − ab) + ab ∈ J, अतः J = R। अतः M उच्चिष्ठ है।

(⇐) मान लीजिए M उच्चिष्ठ है, अतः M ≠ R और 1 + M ≠ 0 + M। a + M ≠ M लीजिए, अर्थात a ∉ M, और J = M + Ra = {m + ra : m ∈ M, r ∈ R} रखिए।

J गुणजावली है ((m + ra) − (m′ + r′a) = (m − m′) + (r − r′)a और s(m + ra) = sm + (sr)a), इसमें M है, और a = 0 + 1·a ∉ M भी है। उच्चिष्ठता से J = R।

अतः किसी m ∈ M, b ∈ R के लिए 1 = m + ba, और (b + M)(a + M) = ba + M = (1 − m) + M = 1 + M। R/M का प्रत्येक अशून्य अवयव मात्रक है, अतः R/M क्षेत्र है।

अतः सिद्ध हुआ।

11. R/P पूर्णांकीय प्रांत है यदि और केवल यदि P अभाज्य गुणजावली है

कथन: मान लीजिए R इकाई सहित क्रमविनिमेय वलय है और P, R की गुणजावली है। तब R/P पूर्णांकीय प्रांत है यदि और केवल यदि P अभाज्य गुणजावली है। फलतः प्रत्येक उच्चिष्ठ गुणजावली अभाज्य है।

उपपत्ति: R/P इकाई 1 + P सहित क्रमविनिमेय वलय है, और 1 + P ≠ 0 + P यदि और केवल यदि P ≠ R।

R/P का शून्य P है, और (a + P)(b + P) = ab + P, अतः (a + P)(b + P) = P ⇔ ab ∈ P, जबकि a + P = P ⇔ a ∈ P।

अतः 'R/P में शून्य भाजक नहीं हैं' का अर्थ है: ab ∈ P ⇒ a ∈ P या b ∈ P।

अतः R/P पूर्णांकीय प्रांत है ⇔ P ≠ R और [ab ∈ P ⇒ a ∈ P या b ∈ P] ⇔ P अभाज्य गुणजावली है।

यदि M उच्चिष्ठ है, तो पिछले प्रमेय से R/M क्षेत्र है; क्षेत्र पूर्णांकीय प्रांत होता है, अतः M अभाज्य है।

अतः सिद्ध हुआ।

12. प्रत्येक परिमित पूर्णांकीय प्रांत क्षेत्र है

कथन: मान लीजिए D परिमित पूर्णांकीय प्रांत है। तब D क्षेत्र है। विशेषतः प्रत्येक अभाज्य p के लिए ℤ_p क्षेत्र है।

उपपत्ति: D इकाई 1 ≠ 0 सहित क्रमविनिमेय है, अतः यह दिखाना पर्याप्त है कि प्रत्येक a ≠ 0 मात्रक है।

a ≠ 0 स्थिर कीजिए और λ_a : D → D, λ_a(x) = ax परिभाषित कीजिए।

λ_a एकैकी है: ax = ay ⇒ a(x − y) = 0 ⇒ x − y = 0, क्योंकि a ≠ 0 और D में शून्य भाजक नहीं हैं।

परिमित समुच्चय का स्वयं में एकैकी प्रतिचित्रण आच्छादी होता है, अतः किसी b ∈ D के लिए ab = 1। अतः a मात्रक है और D क्षेत्र है।

अभाज्य p के लिए ℤ_p में शून्य भाजक नहीं हैं (p | ab ⇒ p | a या p | b), अतः यह परिमित पूर्णांकीय प्रांत है और इसलिए क्षेत्र है।

अतः सिद्ध हुआ।

13. पूर्णांकीय प्रांत का अभिलक्षण 0 या अभाज्य होता है

कथन: मान लीजिए D पूर्णांकीय प्रांत है। तब D का अभिलक्षण या तो 0 है या कोई अभाज्य संख्या p।

उपपत्ति: किसी a ∈ D और n ∈ ℕ के लिए n·a = (n·1)a। अतः यदि n·1 = 0 तो सभी a के लिए n·a = 0, और अभिलक्षण 1 की योगात्मक कोटि के बराबर है (या 0, यदि वह कोटि अनंत है)।

मान लीजिए अभिलक्षण n > 0 है, अर्थात n वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए n·1 = 0। चूँकि 1 ≠ 0, n ≠ 1।

यदि n भाज्य होता, तो n = rs जहाँ 1 < r, s < n। वितरण नियम से 0 = n·1 = (r·1)(s·1)।

D में शून्य भाजक नहीं हैं, अतः r·1 = 0 या s·1 = 0, जो n की न्यूनतमता का खंडन है।

अतः n अभाज्य है; अन्यथा अभिलक्षण 0 है।

अतः सिद्ध हुआ।

14. प्रत्येक यूक्लिडीय प्रांत मुख्य गुणजावली प्रांत है

कथन: मान लीजिए D यूक्लिडीय फलन d वाला यूक्लिडीय प्रांत है। तब D की प्रत्येक गुणजावली मुख्य है, अतः D मुख्य गुणजावली प्रांत है। विशेषतः ℤ, F[x] (F क्षेत्र) और ℤ[i] मुख्य गुणजावली प्रांत हैं।

उपपत्ति: मान लीजिए I, D की गुणजावली है। यदि I = {0}, तो I = ⟨0⟩ मुख्य है।

अन्यथा समुच्चय {d(x) : x ∈ I, x ≠ 0} अऋणात्मक पूर्णांकों का अरिक्त समुच्चय है; सुक्रमण से b ∈ I, b ≠ 0 ऐसा चुनिए कि d(b) न्यूनतम हो। I गुणजावली है, अतः ⟨b⟩ ⊆ I।

मान लीजिए a ∈ I। विभाजन गुणधर्म से a = bq + r, जहाँ r = 0 या d(r) < d(b)।

r = a − bq ∈ I क्योंकि a, bq ∈ I। यदि r ≠ 0, तो d(r) < d(b), b के चयन का खंडन करता है; अतः r = 0।

अतः a = bq ∈ ⟨b⟩, इसलिए I ⊆ ⟨b⟩ और I = ⟨b⟩। प्रत्येक गुणजावली मुख्य है, और D मुख्य गुणजावली प्रांत है।

अतः सिद्ध हुआ।

15. मुख्य गुणजावली प्रांत में अखंडनीय अवयव उच्चिष्ठ गुणजावली जनित करते हैं और अभाज्य होते हैं

कथन: मान लीजिए D मुख्य गुणजावली प्रांत है और p ∈ D अशून्य अमात्रक है। तब ⟨p⟩ उच्चिष्ठ गुणजावली है यदि और केवल यदि p अखंडनीय है। फलतः D का प्रत्येक अखंडनीय अवयव अभाज्य है।

उपपत्ति: ⟨p⟩ ≠ D, क्योंकि p मात्रक नहीं है (1 ∉ ⟨p⟩)।

(⇐) मान लीजिए p अखंडनीय है और किसी गुणजावली J के लिए ⟨p⟩ ⊆ J। D मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः J = ⟨a⟩, इसलिए किसी b ∈ D के लिए p = ab।

अखंडनीयता से या तो a मात्रक है, जिससे J = D, या b मात्रक है, जिससे a = pb⁻¹ ∈ ⟨p⟩ और J = ⟨p⟩। अतः ⟨p⟩ उच्चिष्ठ है।

(⇒) मान लीजिए ⟨p⟩ उच्चिष्ठ है और p = ab जहाँ a मात्रक नहीं है। तब ⟨p⟩ ⊆ ⟨a⟩ ≠ D, अतः ⟨a⟩ = ⟨p⟩ और किसी c के लिए a = pc।

तब p = pcb, और p ≠ 0 का निरसन करने पर cb = 1, अतः b मात्रक है। अतः p अखंडनीय है।

अंत में, यदि p अखंडनीय है, तो ⟨p⟩ उच्चिष्ठ है, अतः अभाज्य है। इसलिए p | ab ⇒ ab ∈ ⟨p⟩ ⇒ a ∈ ⟨p⟩ या b ∈ ⟨p⟩ ⇒ p | a या p | b, अर्थात p अभाज्य अवयव है।

अतः सिद्ध हुआ।

16. n कोटि के परिमित चक्रीय समूह के φ(n) जनक होते हैं

कथन: मान लीजिए G = ⟨a⟩, n कोटि का चक्रीय समूह है। तब a^k, G को जनित करता है यदि और केवल यदि gcd(k, n) = 1, अतः G के ठीक φ(n) जनक हैं।

उपपत्ति: अवयव a¹, a², ..., aⁿ = e भिन्न हैं, क्योंकि 1 ≤ i < j ≤ n के साथ aⁱ = a^j से 0 < j − i < n के साथ a^j−i = e होगा; अतः G = {a^k : 1 ≤ k ≤ n}।

मान लीजिए 1 ≤ k ≤ n और d = gcd(k, n)। तब (a^k)^n/d = (aⁿ)^k/d = e।

यदि (a^k)^m = e, तो n | km, अतः (n/d) | (k/d)m; चूँकि gcd(n/d, k/d) = 1, (n/d) | m। अतः o(a^k) = n/d।

⟨a^k⟩ में o(a^k) = n/d अवयव हैं, अतः a^k, G को जनित करता है यदि और केवल यदि n/d = n, अर्थात gcd(k, n) = 1।

परिभाषा से 1 ≤ k ≤ n और gcd(k, n) = 1 वाले k की संख्या φ(n) है, अतः G के ठीक φ(n) जनक हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

17. F[x] में विभाजन कलन-विधि

कथन: मान लीजिए F क्षेत्र है और f, g ∈ F[x], g ≠ 0। तब अद्वितीय q, r ∈ F[x] विद्यमान हैं जिनसे f = qg + r, जहाँ r = 0 या deg r < deg g।

उपपत्ति: अस्तित्व। मान लीजिए m = deg g। यदि f = 0 या deg f < m, तो q = 0, r = f लीजिए। अन्यथा n = deg f ≥ m पर आगमन का प्रयोग कीजिए।

f = a_nxⁿ + ... और g = b_mx^m + ..., b_m ≠ 0, लिखिए। F क्षेत्र है, अतः b_m⁻¹ विद्यमान है; f₁ = f − a_nb_m⁻¹x^n−mg रखिए।

xⁿ पद निरस्त हो जाते हैं, अतः f₁ = 0 या deg f₁ < n। आगमन परिकल्पना से (या तुच्छतः) f₁ = q₁g + r, जहाँ r = 0 या deg r < m।

तब f = (a_nb_m⁻¹x^n−m + q₁)g + r, जो अभीष्ट रूप है।

अद्वितीयता। यदि f = qg + r = q′g + r′, तो (q − q′)g = r′ − r। यदि q ≠ q′, तो बायें पक्ष की घात ≥ deg g है (पूर्णांकीय प्रांत F[x] में घातें जुड़ती हैं), जबकि r′ − r शून्य है या उसकी घात < deg g; यह असंभव है।

अतः q = q′, और तब r = r′।

अतः सिद्ध हुआ।

1. समूह, उपसमूह और सहसमुच्चय

प्रश्न 1 (10 अंक): दिखाइए कि G = {[[a, a], [a, a]] : a ∈ ℝ, a ≠ 0} आव्यूह गुणन के अंतर्गत समूह है, यद्यपि इसका कोई भी अवयव व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं है।

संवरक: [[a, a], [a, a]]·[[b, b], [b, b]] = [[2ab, 2ab], [2ab, 2ab]] ∈ G, क्योंकि 2ab ≠ 0।

साहचर्य आव्यूह गुणन से प्राप्त होता है।

तत्समक: प्रत्येक a ≠ 0 के लिए 2ae = a चाहिए, अतः e = 1/2। E = [[1/2, 1/2], [1/2, 1/2]] ∈ G और AE = EA = A।

प्रतिलोम: A = [[a, a], [a, a]] के लिए 2ab = 1/2 चाहिए, अतः b = 1/(4a) ≠ 0, और [[b, b], [b, b]] ∈ G।

गुणनफल a और b में सममित है, अतः G आबेली है। प्रत्येक अवयव का सारणिक a² − a² = 0 है, अतः समूह-प्रतिलोम आव्यूह-व्युत्क्रम नहीं है।

उत्तर: G तत्समक [[1/2, 1/2], [1/2, 1/2]] वाला आबेली समूह है; [[a, a], [a, a]] का प्रतिलोम [[1/(4a), 1/(4a)], [1/(4a), 1/(4a)]] है।

प्रश्न 2 (15 अंक): U(15) के प्रत्येक अवयव की कोटि ज्ञात कीजिए, इसके सभी उपसमूह लिखिए, और निर्णय कीजिए कि U(15) चक्रीय है या नहीं।

U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}, mod 15 गुणन के अंतर्गत, कोटि φ(15) = 8।

4² = 16 ≡ 1, 11² = 121 ≡ 1 और 14² = 196 ≡ 1, अतः 4, 11, 14 की कोटि 2 है।

2² = 4 और 2⁴ = 16 ≡ 1, अतः o(2) = 4; इसी प्रकार 7² ≡ 8² ≡ 13² ≡ 4, अतः 2, 7, 8, 13 सभी की कोटि 4 है।

किसी अवयव की कोटि 8 नहीं है, अतः U(15) चक्रीय नहीं है।

कोटि 2 के उपसमूह कोटि 2 के अवयवों से जनित होते हैं: {1, 4}, {1, 11}, {1, 14}। कोटि 4 के चक्रीय उपसमूह: ⟨2⟩ = ⟨8⟩ = {1, 2, 4, 8} और ⟨7⟩ = ⟨13⟩ = {1, 4, 7, 13}।

कोटि 4 के अचक्रीय उपसमूह में e और कोटि 2 के तीन अवयव होने चाहिए: {1, 4, 11, 14}, जो संवृत है (4·11 ≡ 14, 4·14 ≡ 11, 11·14 ≡ 4)।

{1} और स्वयं U(15) जोड़ने पर सभी उपसमूह मिल जाते हैं (कोटियाँ 8 को विभाजित करनी चाहिए)।

उत्तर: कोटियाँ: 1 → 1; 4, 11, 14 → 2; 2, 7, 8, 13 → 4। कुल 8 उपसमूह: {1}, {1, 4}, {1, 11}, {1, 14}, {1, 2, 4, 8}, {1, 4, 7, 13}, {1, 4, 11, 14}, U(15)। U(15) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ चक्रीय नहीं है।

प्रश्न 3 (10 अंक): मान लीजिए a, b समूह G के अवयव हैं, ab = ba, o(a) = m, o(b) = n और gcd(m, n) = 1। सिद्ध कीजिए कि o(ab) = mn।

चूँकि ab = ba, (ab)^mn = (a^m)ⁿ(bⁿ)^m = e, अतः o(ab), mn को विभाजित करता है।

मान लीजिए (ab)^k = e। तब a^kb^k = e, अतः a^k = b^−k ∈ ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩।

⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩, ⟨a⟩ और ⟨b⟩ दोनों का उपसमूह है, अतः लग्रांज से इसकी कोटि m और n दोनों को, और इसलिए gcd(m, n) = 1 को, विभाजित करती है। अतः ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {e}।

अतः a^k = e और b^k = e, जिससे m | k और n | k। चूँकि gcd(m, n) = 1, mn | k।

अतः ऐसा न्यूनतम k, mn है।

उत्तर: o(ab) = mn।

प्रश्न 4 (15 अंक): S₃ में H = {e, (1 2)} लीजिए। H के सभी वाम और सभी दक्षिण सहसमुच्चय ज्ञात कीजिए, और निर्णय कीजिए कि H, S₃ में प्रसामान्य है या नहीं। (क्रमचयों को दाएँ से बाएँ संयोजित कीजिए।)

[S₃ : H] = 6/2 = 3, अतः तीन वाम और तीन दक्षिण सहसमुच्चय हैं।

(1 3)(1 2) = (1 2 3) और (2 3)(1 2) = (1 3 2)। अतः वाम सहसमुच्चय H, (1 3)H = {(1 3), (1 2 3)} और (2 3)H = {(2 3), (1 3 2)} हैं।

(1 2)(1 3) = (1 3 2) और (1 2)(2 3) = (1 2 3)। अतः दक्षिण सहसमुच्चय H, H(1 3) = {(1 3), (1 3 2)} और H(2 3) = {(2 3), (1 2 3)} हैं।

चूँकि (1 3)H ≠ H(1 3), H प्रसामान्य नहीं है। समतुल्य रूप से, (1 3)(1 2)(1 3)⁻¹ = (3 2) ∉ H।

उत्तर: वाम सहसमुच्चय: H, {(1 3), (1 2 3)}, {(2 3), (1 3 2)}। दक्षिण सहसमुच्चय: H, {(1 3), (1 3 2)}, {(2 3), (1 2 3)}। H, S₃ में प्रसामान्य नहीं है।

2. प्रसामान्य उपसमूह, समाकारिता और क्रमचय समूह

प्रश्न 5 (10 अंक): सिद्ध कीजिए कि (ℤ × ℤ)/⟨(1, 1)⟩ ≅ ℤ।

f : ℤ × ℤ → ℤ, f(a, b) = a − b परिभाषित कीजिए।

f((a, b) + (c, d)) = (a + c) − (b + d) = f(a, b) + f(c, d), अतः f समाकारिता है।

f आच्छादी है, क्योंकि प्रत्येक n ∈ ℤ के लिए f(n, 0) = n।

ker f = {(a, b) : a = b} = {a(1, 1) : a ∈ ℤ} = ⟨(1, 1)⟩।

प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से (ℤ × ℤ)/⟨(1, 1)⟩ ≅ ℤ।

उत्तर: प्रतिचित्रण (a, b) + ⟨(1, 1)⟩ ↦ a − b, (ℤ × ℤ)/⟨(1, 1)⟩ से ℤ पर तुल्याकारिता है।

प्रश्न 6 (15 अंक): सिद्ध कीजिए कि n ≥ 3 के लिए S_n का केंद्र तुच्छ है। Z(S₂) क्या है?

मान लीजिए σ ∈ S_n, σ ≠ e। तब किसी i ≠ j के लिए σ(i) = j।

चूँकि n ≥ 3, k ∉ {i, j} चुनिए और τ = (j k) लीजिए। तब τ⁻¹ = τ और τ(i) = i।

(τστ⁻¹)(i) = τ(σ(τ(i))) = τ(σ(i)) = τ(j) = k, जबकि σ(i) = j ≠ k।

अतः τστ⁻¹ ≠ σ, अर्थात τσ ≠ στ, और σ ∉ Z(S_n)। अतः Z(S_n) = {e}।

n = 2 के लिए S₂ = {e, (1 2)} आबेली है, अतः Z(S₂) = S₂; वहाँ उपपत्ति विफल होती है क्योंकि कोई तीसरा प्रतीक k नहीं है।

उत्तर: n ≥ 3 के लिए Z(S_n) = {e}, और Z(S₂) = S₂।

प्रश्न 7 (10 अंक): ℤ₂₀ से ℤ₁₀ में कितनी समूह समाकारिताएँ हैं? उनमें से कितनी आच्छादी हैं?

समाकारिता f, a = f(1) से निर्धारित है, जहाँ f(x) = xa (mod 10)।

यह नियम सुपरिभाषित है यदि और केवल यदि 20a ≡ 0 (mod 10), जो प्रत्येक a ∈ ℤ₁₀ के लिए सत्य है। अतः 10 समाकारिताएँ हैं; व्यापक रूप से ℤ_m से ℤ_n में संख्या gcd(m, n) = gcd(20, 10) = 10 है।

f आच्छादी है यदि और केवल यदि प्रतिबिंब ⟨a⟩ पूरा ℤ₁₀ हो, अर्थात a जनक हो: gcd(a, 10) = 1, अतः a ∈ {1, 3, 7, 9}।

उत्तर: 10 समाकारिताएँ, जिनमें से 4 (f(1) = 1, 3, 7, 9) आच्छादी हैं।

प्रश्न 8 (15 अंक): Q₈ = {±1, ±i, ±j, ±k}, जहाँ i² = j² = k² = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik। दिखाइए कि Q₈ अनाबेली है परंतु Q₈ का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है।

ij = k परंतु ji = −k ≠ k, अतः Q₈ अनाबेली है।

कोटियाँ: 1 की कोटि 1, −1 की कोटि 2, और ±i, ±j, ±k की कोटि 4 (उदाहरणतः i² = −1, i⁴ = 1)। अतः −1 कोटि 2 का एकमात्र अवयव है।

संभव उपसमूह कोटियाँ 1, 2, 4, 8 हैं। कोटि 2: केवल {±1}। कोटि 4: क्लाइन समूह के लिए कोटि 2 के तीन अवयव चाहिए, अतः प्रत्येक चक्रीय है: ⟨i⟩ = {±1, ±i}, ⟨j⟩ = {±1, ±j}, ⟨k⟩ = {±1, ±k}।

{1} और Q₈ प्रसामान्य हैं। {±1} प्रसामान्य है क्योंकि ±1 सभी से क्रमविनिमेय हैं (यह केंद्र है)।

कोटि 4 के प्रत्येक उपसमूह का सूचकांक 2 है, अतः वह प्रसामान्य है।

उत्तर: Q₈ अनाबेली है, और इसके सभी छह उपसमूह {1}, {±1}, ⟨i⟩, ⟨j⟩, ⟨k⟩, Q₈ प्रसामान्य हैं (Q₈ हैमिल्टनी समूह है)।

3. वलय, गुणजावली और क्षेत्र

प्रश्न 9 (10 अंक): ℤ₁₂ में सभी मात्रक, शून्य भाजक, वर्गसम (x² = x) और शून्यंभावी अवयव ज्ञात कीजिए।

मात्रक वे k हैं जिनके लिए gcd(k, 12) = 1: 1, 5, 7, 11। प्रत्येक स्वयं का प्रतिलोम है, क्योंकि 25, 49 और 121 सभी ≡ 1 (mod 12)।

परिमित क्रमविनिमेय वलय में प्रत्येक अशून्य अवयव या तो मात्रक है या शून्य भाजक, अतः शून्य भाजक 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 हैं (उदाहरणतः 4·3 = 0, 9·4 = 0, 10·6 = 0)।

वर्गसम: x² ≡ x का अर्थ है 12 | x(x − 1)। जाँचने पर x = 0, 1, 4 (16 ≡ 4) और 9 (81 ≡ 9)।

शून्यंभावी: xⁿ ≡ 0 के लिए 2 | x और 3 | x आवश्यक है, अतः x = 0 या 6, और वस्तुतः 6² = 36 ≡ 0।

उत्तर: मात्रक 1, 5, 7, 11; शून्य भाजक 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10; वर्गसम 0, 1, 4, 9; शून्यंभावी 0, 6।

प्रश्न 10 (10 अंक): दिखाइए कि ℤ[√2] = {a + b√2 : a, b ∈ ℤ} अनंत मात्रकों वाला पूर्णांकीय प्रांत है।

ℤ[√2] में 1 है, यह व्यवकलन के अंतर्गत संवृत है, और (a + b√2)(c + d√2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)√2, अतः यह ℝ का उपवलय है।

क्षेत्र ℝ का 1 युक्त उपवलय होने से यह इकाई सहित क्रमविनिमेय है और इसमें शून्य भाजक नहीं हैं, अतः यह पूर्णांकीय प्रांत है।

(1 + √2)(−1 + √2) = 2 − 1 = 1, अतः u = 1 + √2 मात्रक है जिसका प्रतिलोम −1 + √2 है; अतः प्रत्येक घात uⁿ (n ∈ ℤ) मात्रक है।

चूँकि u > 1, संख्याएँ 1 < u < u² < u³ < ... भिन्न हैं, अतः अनंत मात्रक हैं।

उत्तर: ℤ[√2] पूर्णांकीय प्रांत है, और ±(1 + √2)ⁿ, n ∈ ℤ, अनंत भिन्न मात्रक हैं।

प्रश्न 11 (15 अंक): मान लीजिए R = C[0, 1], [0, 1] पर संतत वास्तविक फलनों का बिंदुवार योग और गुणन के अंतर्गत वलय है। दिखाइए कि M = {f ∈ R : f(1/2) = 0}, R की उच्चिष्ठ गुणजावली है। क्या R पूर्णांकीय प्रांत है?

φ : R → ℝ, φ(f) = f(1/2) परिभाषित कीजिए। तब φ(f + g) = φ(f) + φ(g) और φ(fg) = φ(f)φ(g), अतः φ वलय समाकारिता है।

φ आच्छादी है: c ∈ ℝ के लिए अचर फलन c संतत है और φ(c) = c।

ker φ = {f : f(1/2) = 0} = M, अतः M गुणजावली है और प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से R/M ≅ ℝ।

ℝ क्षेत्र है, अतः M उच्चिष्ठ गुणजावली है।

R पूर्णांकीय प्रांत नहीं है: f(x) = max(0, x − 1/2) और g(x) = max(0, 1/2 − x) संतत और अशून्य हैं, परंतु प्रत्येक x के लिए f(x)g(x) = 0।

उत्तर: M उच्चिष्ठ गुणजावली है क्योंकि R/M ≅ ℝ; R पूर्णांकीय प्रांत नहीं है।

प्रश्न 12 (15 अंक): दिखाइए कि F = ℚ[x]/⟨x³ − 2⟩ क्षेत्र है, और F में 1 + α का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए, जहाँ α = x + ⟨x³ − 2⟩।

p(x) = x³ − 2 का कोई परिमेय मूल नहीं है: परिमेय मूल परीक्षण से संभावित मूल ±1, ±2 हैं, जिन पर p = −1, −3, 6, −10।

ℚ में मूल रहित त्रिघात बहुपद का कोई रैखिक गुणनखंड नहीं होता, अतः p(x), ℚ पर अखंडनीय है।

ℚ[x] मुख्य गुणजावली प्रांत है, अतः ⟨p(x)⟩ उच्चिष्ठ गुणजावली है और F क्षेत्र है। इसके अवयव a + bα + cα² (a, b, c ∈ ℚ) हैं, जहाँ α³ = 2।

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) से: (1 + α)(1 − α + α²) = 1 + α³ = 1 + 2 = 3।

अतः (1 + α)⁻¹ = (1 − α + α²)/3।

उत्तर: F क्षेत्र है (ℚ(∛2) के तुल्याकारी), और (1 + α)⁻¹ = (1 − α + α²)/3।

प्रश्न 13 (10 अंक): दिखाइए कि x⁴ + 1, ℚ पर अखंडनीय है।

आइज़ेंस्टाइन निकष (Eisenstein's criterion): यदि f = a_nxⁿ + ... + a₀ ∈ ℤ[x] और कोई अभाज्य p, a₀, ..., a_n−1 को विभाजित करे, a_n को न करे, और p², a₀ को न करे, तो f, ℚ पर अखंडनीय है।

x⁴ + 1 के लिए सीधे कोई अभाज्य काम नहीं करता, अतः x = y + 1 रखिए: f(y + 1) = y⁴ + 4y³ + 6y² + 4y + 2।

p = 2 के साथ: 2, 4, 6, 4, 2 को विभाजित करता है; 2 अग्र गुणांक 1 को विभाजित नहीं करता; 4, 2 को विभाजित नहीं करता। अतः f(y + 1), ℚ पर अखंडनीय है।

यदि f(x) = g(x)h(x) जहाँ deg g, deg h ≥ 1, तो f(y + 1) = g(y + 1)h(y + 1) समान घातों के साथ, जो विरोधाभास है। अतः f अखंडनीय है।

उत्तर: x⁴ + 1, ℚ पर अखंडनीय है (x = y + 1 विस्थापन के बाद p = 2 के साथ आइज़ेंस्टाइन)।

1. समूह, उपसमूह, चक्रीय समूह, सहसमुच्चय और लग्रांज प्रमेय

2025 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: माना एक समूह G के दो उपसमूह H और K इस प्रकार हैं कि o(H) > √o(G) और o(K) > √o(G) हैं। दर्शाइए कि H ∩ K ≠ {e} है, जहाँ e तत्समक अवयव है। यहाँ o(H), o(K) और o(G) क्रमशः H, K और G की कोटि को दर्शाते हैं।

2021 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: दर्शाइए कि परिमेय संख्याओं के योज्य समूह ℚ के अपरिमित रूप से अनेक उपसमूह हैं।

2020 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: मान लीजिए G, n समूहांक का परिमित चक्रीय समूह है। तब सिद्ध कीजिए कि G के φ(n) जनक हैं (जहाँ पर φ ऑयलर φ-फलन है)।

2019 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए कि G एक परिमित समूह है और H तथा K, G के उप-समूह हैं, ऐसा कि K ⊂ H। दर्शाइए (G : K) = (G : H)(H : K)।

2018 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 20 अंक: क्षेत्र (ℤ₁₃, +₁₃, ×₁₃), जहाँ पर +₁₃ तथा ×₁₃ क्रमशः योग मोड्यूलो 13 व गुणन मोड्यूलो 13 निरूपित करते हैं, के गुणनात्मक समूह के सभी उचित उपसमूहों को ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है तथा ℤ_p पूर्णांक मॉड्यूलो p के योज्य समूह को निर्दिष्ट करता है। दर्शाइए कि ℤ_p का प्रत्येक शून्येतर अवयव ℤ_p का जनन करता है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: (i) कोटि 8 के चक्रीय समूह G के कितने जनक होते हैं? व्याख्या कीजिए।
(ii) कोटि 4 के एक समूह {e, a, b, c} को लेते हुए, जहाँ e तत्समक (आइडेंटिटि) है, संयोजन सारणियाँ बनाइए यह दर्शाते हुए कि एक चक्रीय है जबकि दूसरी नहीं है। (5 + 5 = 10)

2. प्रसामान्य उपसमूह, विभाग समूह, समाकारिता और तुल्याकारिता प्रमेय

2024 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: दर्शाइए कि एक आबेली समूह का प्रत्येक समाकारी प्रतिबिम्ब आबेली है, लेकिन इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए कोटि 10 का एक समूह G है तथा कोटि 6 का एक समूह G′ है। जाँच कीजिए कि क्या G से G′ पर एक आच्छादक समाकारिता का अस्तित्व है।

2022 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: दर्शाइये कि गुणनात्मक समूह G = {1, −1, i, −i}, जहाँ i = √(−1) है, समूह G′ = ({0, 1, 2, 3}, +₄) के तुल्याकारी है।

2022 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: सिद्ध कीजिये कि एक समूह G का प्रत्येक समाकारी प्रतिबिम्ब, G के किसी विभाग समूह के तुल्याकारी है।

2020 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए कि S₃ व Z₃ क्रमशः 3 प्रतीकों का क्रमचय समूह एवं मॉड्यूल 3 अवशिष्ट वर्गों के समूह हैं। दर्शाइए कि S₃ का Z₃ में तुच्छ समाकारिता के अतिरिक्त कोई भी समाकारिता नहीं है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 10 अंक: यदि G और H परिमित समूह हैं जिनकी कोटियां सापेक्षतः अभाज्य हैं, तो सिद्ध करें कि G से H तक केवल एक ही समाकारिता होमोमोर्फिज्म है जो कि तुच्छ है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 10 अंक: समूह Z₁₂ के सभी विभाग समूह लिखिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: दर्शाइए कि (ℝ, +) मोड्यूलो ℤ का विभाग समूह, सम्मिश्र तल में एकांक वृत्त पर सम्मिश्र संख्याओं के गुणनात्मक समूह से तुल्यकारी होता है। यहाँ पर ℝ, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा ℤ पूर्णांकों का समुच्चय है।

2014 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए G सभी 2 × 2 के वास्तविक आव्यूहों [[x, y], [0, z]] का समुच्चय है, जहाँ कि xz ≠ 0. दर्शाइए कि G आव्यूह गुणन के अन्तर्गत एक समूह है। मान लीजिए N उपसमुच्चय {[[1, a], [0, 1]] : a ∈ ℝ} को द्योतित करता है। क्या N समूह G का सामान्य (नॉर्मल) उपसमूह है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए।

3. क्रमचय समूह और केली प्रमेय

2017 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: मान लीजिए कि G कोटि n का एक समूह है। दर्शाइए कि G क्रमचय समूह S_n के एक उपसमूह के समरूपी है।

4. प्रत्यक्ष गुणनफल, द्वितल समूह, वर्ग समीकरण और साइलो प्रमेय

2026 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: माना कोटि pq का एक समूह G है, जहाँ p और q अभाज्य हैं। दर्शाइए कि या तो G एक आबेली समूह है या कोई भी अतत्समक (नॉन-आइडेन्टिटी) अवयव, G के प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय नहीं करता।

2026 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: माना कोटि 2 के दो अवयवों u और v से जनित एक परिमित समूह G है। दर्शाइए कि G, 2n कोटि के द्वितल समूह के तुल्याकारी है, जहाँ O(uv) = n है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: माना G = {e, x, x², y, yx, yx²} एक अन्-आबेली समूह है तथा o(x) = 3 और o(y) = 2 हैं। दर्शाइए कि xy = yx² है (जहाँ e, समूह G का तत्समक अवयव है और o(x), o(y) क्रमशः अवयवों x, y की कोटि को दर्शाते हैं)।

2024 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए कि कोटि mn का एक परिमित समूह G है, जहाँ m और n, (m > n) अभाज्य संख्याएँ हैं। दर्शाइए कि G का कोटि m का अधिक-से-अधिक एक उपसमूह है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि 2p कोटि के एक अक्रमविनिमेय समूह, जहाँ p एक विषम अभाज्य संख्या है, में p कोटि का एक उपसमूह होना आवश्यक है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: दर्शाइए कि समूहें ℤ₅ × ℤ₇ एवं ℤ₃₅ समरूपी हैं।

5. वलय, उपवलय, गुणजावली और वलय समाकारिता

2025 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: जाँचिए कि क्या f(x) ∈ Z[x] के लिए φ(f(x)) = f(0) द्वारा परिभाषित प्रतिचित्रण φ : Z[x] → Z एक समाकारिता है। निगमन कीजिए कि गुणजावली ⟨x⟩, Z[x] में एक अभाज्य गुणजावली है, किन्तु Z[x] में एक उच्चिष्ठ गुणजावली नहीं है।

2024 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: पूर्णांकों के वलय Z पर बहुपद वलय Z[x] का विचार कीजिए। मान लीजिए x द्वारा जनित Z[x] की एक गुणजावली S है। दर्शाइए कि S, Z[x] की एक अभाज्य गुणजावली है लेकिन उच्चिष्ठ गुणजावली नहीं है।

2022 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: मान लीजिये कि R वास्तविक संख्याओं का एक क्षेत्र है तथा S, उन सभी बहुपदों f(x) ∈ R[x], जिनके लिये f(0) = 0 = f(1) है, का क्षेत्र है। सिद्ध कीजिये कि S, R[x] की एक गुणजावली है। क्या अवशेष वर्ग वलय R[x]/S एक पूर्णांकीय प्रांत है? अपने उत्तर का स्पष्टीकरण दीजिये।

2018 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 20 अंक: मान लीजिए ℝ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा f : ℝ → ℝ ऐसा फलन है कि सभी x, y ∈ ℝ के लिए निम्नलिखित समीकरण लागू होते हैं :
(i) f(x + y) = f(x) + f(y)
(ii) f(xy) = f(x) f(y)
दर्शाइए कि सभी ∀ x ∈ ℝ के लिए या तो f(x) = 0 या f(x) = x है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: वलय का एक ऐसा उदाहरण दीजिए, जिसका तत्समक है परन्तु जिसके एक उपवलय का भिन्न तत्समक है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: यदि R एक वलय है, जिसका तत्समक अवयव 1 है तथा R आच्छादक R′ (R onto R′) की एक समाकारिता φ है, तो सिद्ध कीजिए R′ का तत्समक अवयव φ(1) है।

2014 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि समुच्चय ℚ(√5) = {a + b√5 : a, b ∈ ℚ} तत्समक सहित एक क्रमविनिमेय वलय है।

6. पूर्णांकीय प्रांत, मुख्य गुणजावली प्रांत, यूक्लिडीय प्रांत, अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत, क्षेत्र और विभाग क्षेत्र

2026 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: दर्शाइए कि यूक्लिडीय प्रांत में प्रत्येक शून्येतर अभाज्य गुणजावली उच्चिष्ठ है।

2026 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: माना n एक धनात्मक पूर्णांक है। दर्शाइए कि निम्नलिखित कथन तुल्य हैं:
(i) ℤ/nℤ एक पूर्णांकीय प्रांत है।
(ii) ℤ/nℤ एक क्षेत्र है।
(iii) n अभाज्य है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: दर्शाइए कि पूर्णांकीय प्रांत Z[i] में 3 एक अखंडनीय अवयव है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: गुणजावली 4Z + 6Z को पूर्णांकीय प्रांत Z में एक मुख्य गुणजावली के रूप में व्यक्त कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि x² + 1, Z₃[x] में एक अखंडनीय बहुपद है। यह भी दर्शाइए कि विभाग वलय Z₃[x]/⟨x² + 1⟩, 9 अवयवों का एक क्षेत्र है।

2021 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए कि m₁, m₂, ⋯, m_k धनात्मक पूर्णांक हैं तथा d > 0, m₁, m₂, ⋯, m_k का महत्तम समापवर्तक है। दर्शाइए कि ऐसे पूर्णांक x₁, x₂, ⋯, x_k अस्तित्व में हैं ताकि d = x₁m₁ + x₂m₂ + ⋯ + x_km_k

2020 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: मान लीजिए R मुख्य गुणजावली प्रान्त है। दर्शाइए कि R के विभाग-वलय की प्रत्येक गुणजावली, मुख्य गुणजावली है तथा R/P, R के अभाज्य गुणजावली P के लिए मुख्य गुणजावली प्रान्त है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q3(d), 10 अंक: मानिए कि a, यूक्लिडीयन वलय R का एक अखंडनीय अवयव है तब सिद्ध करें कि R/(a) एक क्षेत्र है।

2018 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए R तत्समक अवयव सहित एक पूर्णांकीय प्रांत है। दर्शाइए कि R[x] में कोई भी एकक R में एक एकक है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: मान लीजिए कि F एक क्षेत्र है और F[X] सभी बहुपद, जो F में एकल चर X में हैं, का वलय द्योतित करता है। f(X), g(X) ∈ F[X] बशर्ते g(X) ≠ 0 के लिए, दर्शाइए कि ऐसे q(X), r(X) ∈ F[X] हैं जिनके लिए (r(X)) का घात (g(X)) के घात से छोटा है और
f(X) = q(X) . g(X) + r(X)।

2016 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए 𝕂 एक क्षेत्र है तथा 𝕂[X], 𝕂 पर एक एकल चर X में बहुपदों का वलय है। एक बहुपद f ∈ 𝕂[X] के लिए मान लीजिए (f), f द्वारा जनित 𝕂[X] में गुणजावली को निर्दिष्ट करता है। दर्शाइए कि (f), 𝕂[X] में एक उच्चिष्ठ गुणजावली है यदि और केवल यदि f, 𝕂 पर अखंडनीय बहुपद है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: क्या निम्नलिखित समुच्चय साधारण योग तथा गुणन के अन्तर्गत पूर्णांकीय प्रांत बनाते हैं? यदि ऐसा है, तो बताइए कि क्या वे क्षेत्र हैं:
(i) b√2 के रूप की संख्याओं का समुच्चय, जहाँ b परिमेय संख्या है
(ii) सम पूर्णांकों का समुच्चय
(iii) धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय (5 + 6 + 4 = 15)

2014 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: दर्शाइए कि ℤ₇ एक क्षेत्र है। तब ℤ₇ में ([5] + [6])⁻¹ तथा (−[4])⁻¹ ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: दर्शाइए कि समुच्चय {a + bω : ω³ = 1}, जहाँ a तथा b वास्तविक संख्याएँ हैं, सामान्य योग तथा गुणन के अन्तर्गत एक क्षेत्र है।

7. क्षेत्र विस्तार, बीजीय अवयव और परिमित क्षेत्र

2021 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: मान लीजिए कि F एक क्षेत्र है तथा f(x) ∈ F[x], क्षेत्र F के ऊपर घात > 0 का एक बहुपद है। दर्शाइए कि एक क्षेत्र F′ तथा एक अंतःस्थापन q : F → F′ इस प्रकार से अस्तित्व में हैं कि बहुपद f^q ∈ F′[x] का एक मूल F′ में है, जहाँ f^q, f के प्रत्येक गुणांक a को q(a) द्वारा प्रतिस्थापित करने से प्राप्त होता है।

2020 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: मान लीजिए R, p (> 0) अभिलक्षण का एक परिमित क्षेत्र है। दर्शाइए कि f(a) = a^p, ∀a ∈ R द्वारा परिभाषित प्रतिचित्रण f : R → R एकैक समाकारी है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 20 अंक: मान लीजिए K, क्षेत्र F का एक विस्तार है। सिद्ध कीजिए कि K के अवयव, जो कि F पर बीजीय हैं, K का उपक्षेत्र बनाते हैं। आगे, यदि F ⊂ K ⊂ L क्षेत्र हैं, L, K पर बीजीय है तथा K, F पर बीजीय है, तब सिद्ध कीजिए कि L, F पर बीजीय है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: दर्शाइए कि प्रत्येक बीजतः संवृत क्षेत्र अनंत है।