संख्यात्मक विश्लेषण एवं कंप्यूटर प्रोग्रामन — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. परिबद्धन और द्विभाजन विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: व्यवहार में मिलने वाले अधिकांश समीकरणों, जैसे cos x = x या x³ − x − 1 = 0, के मूलों का कोई सूत्र नहीं होता। हमें ऐसी विधि चाहिए जो किसी भी माँगी गई शुद्धता तक मूल निश्चित रूप से ज्ञात करे, भले ही वह धीमी हो।

शब्दों में: परिबद्धक (bracket) एक अंतराल [a, b] है जिस पर f संतत है और f(a), f(b) के चिह्न विपरीत हैं। मध्यवर्ती मान प्रमेय (intermediate value theorem) से आलेख को भीतर कहीं x-अक्ष काटना ही होगा, अतः एक मूल (a, b) में है।

द्विभाजन (bisection) मध्यबिंदु c = (a + b)/2 पर f का मान निकालता है और वह आधा भाग रखता है जिस पर चिह्न अब भी बदलता है। प्रत्येक चरण परिबद्धक को आधा करता है, अतः n चरणों के बाद इसकी लंबाई (b − a)/2ⁿ है और इसका मध्यबिंदु किसी मूल से (b − a)/2ⁿ⁺¹ के भीतर है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: द्विभाजन से f(x) = cos x − x (x रेडियन में) का मूल ज्ञात कीजिए।

चरण 1: परिबद्धक खोजें: f(0) = 1 > 0 और f(1) = cos 1 − 1 = −0.459698 < 0, और f संतत है, अतः एक मूल (0, 1) में है।

चरण 2: c = 0.5 से f(0.5) = 0.377583 > 0, f(0) के समान चिह्न; चिह्न-परिवर्तन अब [0.5, 1] में है।

चरण 3: c = 0.75 से f(0.75) = −0.018311 < 0, अतः मूल [0.5, 0.75] में है।

चरण 4: c = 0.625 से f = 0.185963 > 0, अतः [0.625, 0.75]; c = 0.6875 से f = 0.085335 > 0, अतः [0.6875, 0.75]।

चरण 5: चार चरणों के बाद परिबद्धक की लंबाई 1/16 = 0.0625 है, ठीक जैसा सूत्र (b − a)/2ⁿ बताता है।

चरण 6: 10⁻³ लंबाई के परिबद्धक की गारंटी के लिए 2ⁿ ≥ 1000, अर्थात् n ≥ 9.97 चाहिए, अतः 10 चरण; मूल 0.739085 है।

चरण 7: ध्यान दें कि केवल f के चिह्नों का प्रयोग हुआ; परिमाणों की, जैसे f(0.75) पहले से कितना छोटा है, उपेक्षा हुई। इसीलिए द्विभाजन सुरक्षित पर धीमा है।

अ-उदाहरण (non-example): f(x) = tan x के लिए [1, 2] पर tan 1 > 0 और tan 2 < 0, फिर भी कोई मूल नहीं है: f, π/2 ≈ 1.5708 पर संतत नहीं है, जहाँ यह +∞ से −∞ पर कूदता है। द्विभाजन फिर भी ध्रुव π/2 की ओर 'अभिसरित' होगा। विफल प्रतिबंध सांतत्य है।

आगे बढ़ते हुए: त्रुटि परिबंध (b − a)/2ⁿ किसी भी गणना से पहले चरण संख्या n ≥ log((b − a)/ε)/log 2 देता है, और अनुपात 1/2 वाला रैखिक अभिसरण दिखाता है।

जो विधियाँ f के मानों (मिथ्या स्थिति, चौथा पाठ) या उसके अवकलज (न्यूटन-रैफ्सन, अगला पाठ) का भी प्रयोग करती हैं, वे अतिरिक्त प्रतिबंधों के मूल्य पर बहुत तेज़ हो सकती हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: 'कितनी पुनरावृत्तियाँ आवश्यक हैं' वाले प्रश्न, तेज़ विधियों के लिए सुरक्षित आरंभिक मान खोजना, और अंतिम विषय का द्विभाजन कलनविधि और प्रवाह संचित्र।

2. न्यूटन-रैफ्सन विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: द्विभाजन लगभग 3.3 चरणों में केवल एक दशमलव अंक प्राप्त करता है। यदि f′ उपलब्ध हो, तो स्पर्श रेखा वक्र की स्थानीय आकृति का प्रयोग करती है और प्रत्येक चरण में सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी हो जाती है।

शब्दों में: वर्तमान अनुमान x_n पर स्पर्श रेखा y = f(x_n) + f′(x_n)(x − x_n) खींचें। जहाँ यह x-अक्ष से मिलती है वही अगला अनुमान है: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n)।

सरल मूल (जहाँ f′ ≠ 0) के निकट वक्र लगभग सीधा होता है, अतः स्पर्श रेखा मूल के बहुत निकट गिरती है; नई त्रुटि पुरानी त्रुटि के वर्ग की लगभग [f″/(2f′)] गुनी होती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x₀ = 1 से न्यूटन-रैफ्सन द्वारा cos x − x = 0 हल कीजिए।

चरण 1: f(x) = cos x − x और f′(x) = −sin x − 1, अतः x_n+1 = x_n + (cos x_n − x_n)/(1 + sin x_n)।

चरण 2: x₀ = 1: f(1) = −0.459698 और 1 + sin 1 = 1.841471, अतः x₁ = 1 − 0.249636 = 0.750364।

चरण 3: x₂ = 0.739113, और x₃ = 0.739085, x₄ = 0.739085।

चरण 4: त्रुटियाँ देखें: लगभग 0.26, 0.011, 0.00003, फिर 10⁻⁹ से नीचे। प्रत्येक लगभग पिछली का वर्ग (एक अचर गुणा) है, जो द्विघाती अभिसरण है।

चरण 5: जब दो पुनरावृत्त अपेक्षित स्थानों तक मेल खाएँ तब रुकें: मूल छह दशमलव तक 0.739085 है, जो लगभग बीस द्विभाजनों के स्थान पर तीन चरणों में मिला।

चरण 6: ध्यान दें कि प्रत्येक चरण में f और f′ दोनों का प्रयोग हुआ; प्रति चरण अतिरिक्त कार्य गति का मूल्य है।

अ-उदाहरण (non-example): f(x) = tan⁻¹x (मूल 0) के लिए x₀ = 2 से आरंभ करें। तब x₁ = 2 − tan⁻¹(2)(1 + 4) = −3.5357, x₂ = 13.951, x₃ = −279.3: पुनरावृत्त दूर भागते हैं, क्योंकि वक्र चपटा होता जाता है और प्रत्येक स्पर्श रेखा आगे निकल जाती है। द्विघाती अभिसरण केवल स्थानीय है; विफल प्रतिबंध 'x₀ मूल के पर्याप्त निकट' है।

आगे बढ़ते हुए: शेषफल सहित टेलर प्रमेय e_n+1 = [f″(η)/(2f′(x_n))]e_n² देता है (नीचे 'व्युत्पत्ति: न्यूटन-रैफ्सन और मिथ्या स्थिति सूत्र'), अतः सरल मूल पर कोटि 2।

सुरक्षित आरंभ परिबद्धक का वह सिरा है जहाँ f(x₀)f″(x₀) > 0, बशर्ते परिबद्धक पर f′ और f″ का चिह्न एक ही रहे; बहुल मूल पर गुणनखंड m द्विघाती दर लौटाता है।

कहाँ प्रयोग होता है: √N, 1/N और N^1/k के पुनरावृत्त सूत्र (UPSC 2026), किसी स्थूल मूल को 8 सार्थक अंकों तक सुधारना (UPSC 2021), और न्यूटन-रैफ्सन कलनविधि तथा उसकी विफलता की स्थितियाँ।

3. नियत-बिंदु पुनरावृत्ति और अभिसरण की कोटि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक समीकरण स्वाभाविक रूप से x = φ(x) के रूप में लिखे जाते हैं, और प्रत्येक पुनरावृत्त विधि (न्यूटन सहित) इसी रूप की है। x_n+1 = φ(x_n) कब अभिसरित होता है और कितनी तेज़ी से, यह जानकर हम अच्छा पुनर्विन्यास चुन सकते हैं और विधियों की तुलना कर सकते हैं।

शब्दों में: नियत बिंदु (fixed point) α, α = φ(α) को संतुष्ट करता है। माध्य मान प्रमेय से x_n+1 − α = φ′(ξ_n)(x_n − α), अतः α के निकट प्रत्येक चरण त्रुटि को लगभग φ′(α) से गुणा करता है।

यदि α के निकट |φ′| ≤ k < 1 हो, तो त्रुटियाँ kⁿ की तरह घटती हैं (रैखिक अभिसरण, कोटि 1)। किसी विधि की कोटि (order) p है यदि |e_n+1| ≈ C|e_n|^p; कोटि 2 का अर्थ है कि प्रत्येक चरण में सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी होती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: पुनर्विन्यास x = cos x द्वारा x₀ = 1 से cos x − x = 0 हल कीजिए।

चरण 1: φ(x) = cos x और φ′(x) = −sin x; मूल α ≈ 0.739 के निकट |φ′(α)| = sin 0.739 ≈ 0.674 < 1, अतः पुनरावृत्ति अभिसरित होती है।

चरण 2: पुनरावृत्ति करें: x₁ = cos 1 = 0.540302, x₂ = 0.857553, x₃ = 0.654290, x₄ = 0.793480।

चरण 3: x₅ = 0.701369, x₆ = 0.763960, x₇ = 0.722102, x₈ = 0.750418।

चरण 4: प्रतिरूप पर ध्यान दें: पुनरावृत्त बारी-बारी से 0.739085 के नीचे और ऊपर पड़ते हैं, क्योंकि φ′ < 0, और प्रत्येक त्रुटि पिछली की लगभग 0.67 गुनी है।

चरण 5: छह दशमलव पाने के लिए 0.674ⁿ को लगभग 10⁻⁶ से नीचे होना चाहिए, अतः लगभग 35 चरण, जबकि इसी समीकरण के लिए न्यूटन के तीन चरण लगे (पिछला पाठ)।

चरण 6: न्यूटन विधि स्वयं x = φ(x) है जहाँ φ = x − f/f′, और इसके लिए φ′(α) = 0; ठीक इसीलिए यह रैखिक से तेज़ है।

अ-उदाहरण (non-example): इसी समीकरण का पुनर्विन्यास x = cos⁻¹x हो, तो φ′(x) = −1/√(1 − x²), और |φ′(0.739)| ≈ 1.48 > 1। प्रत्येक चरण त्रुटि को लगभग 1.48 से गुणा करता है, अतः पुनरावृत्त मूल से दूर जाते हैं। विफल प्रतिबंध मूल के निकट |φ′| < 1 है।

आगे बढ़ते हुए: यदि φ′(α) = 0 पर φ″(α) ≠ 0, तो टेलर प्रमेय e_n+1 ≈ (φ″(α)/2)e_n² देता है, कोटि 2; व्यापक रूप में कोटि वह पहला p है जिसके लिए φ^(p)(α) ≠ 0।

छेदक विधि, जो x = φ(x) के रूप की नहीं है, की कोटि 1.618 है, दोनों के बीच; बहुल मूल पर न्यूटन का φ′(α) = 1 − 1/m होता है और अभिसरण फिर रैखिक हो जाता है (नीचे न्यूटन-रैफ्सन के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है')।

कहाँ प्रयोग होता है: 'अभिसारी रूप चुनकर पुनरावृत्ति कीजिए' प्रश्न, यह उपपत्ति कि किसी विधि की कोटि बताई गई है, और सदिश रूप x = Tx + c में अगले विषय की जैकोबी और गाउस-सीडल विधियाँ।

4. मिथ्या स्थिति (regula-falsi) और छेदक विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: द्विभाजन f के परिमाण की उपेक्षा करता है, और न्यूटन विधि को f′ चाहिए। दो ज्ञात बिंदुओं से होकर जाने वाली जीवा बिना किसी अवकलज के f के परिमाणों का प्रयोग करती है।

शब्दों में: (a, f(a)) और (b, f(b)) को एक सीधी रेखा से मिलाएँ; यह x-अक्ष से c = (af(b) − bf(a))/(f(b) − f(a)) पर मिलती है। मिथ्या स्थिति फिर वह उप-अंतराल रखती है जिस पर f का चिह्न बदलता है, अतः मूल परिबद्ध रहता है।

छेदक विधि (secant method) यही सूत्र अंतिम दो पुनरावृत्तों के साथ प्रयोग करती है, उनके चिह्न कुछ भी हों; यह गारंटी खो देती है पर गति (कोटि लगभग 1.618) प्राप्त करती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: [0, 1] पर f(x) = cos x − x पर मिथ्या स्थिति लगाइए।

चरण 1: f(0) = 1 और f(1) = −0.459698 के चिह्न विपरीत हैं।

चरण 2: c₁ = (0 · f(1) − 1 · f(0))/(f(1) − f(0)) = −1/(−1.459698) = 0.685073, और f(c₁) = 0.089299 > 0।

चरण 3: f(c₁) का चिह्न f(0) जैसा है, अतः नया परिबद्धक [0.685073, 1] है।

चरण 4: c₂ = 0.736299 (f = 0.004660), c₃ = 0.738945 (f = 0.000234), c₄ = 0.739078 (f = 0.000012)।

चरण 5: ध्यान दें कि दायाँ सिरा b = 1 कभी नहीं हिलता: [0, 1] पर f″ = −cos x < 0, प्रत्येक जीवा वक्र के नीचे है, और प्रत्येक c मूल के बाईं ओर पड़ता है। त्रुटि लगभग अचर गुणनखंड (यहाँ लगभग 1/20) से घटती है, जो रैखिक अभिसरण है।

चरण 6: x₀ = 0, x₁ = 1 से छेदक विधि 0.685073, 0.736299, 0.739119, 0.739085 देती है: पुराना सिरा छोड़ते ही अभिसरण तेज़ हो जाता है।

अ-उदाहरण (non-example): [−3, 3] पर f(x) = x² − 4 के लिए f(−3) = f(3) = 5। जीवा क्षैतिज है और अक्ष से कभी नहीं मिलती (सूत्र f(b) − f(a) = 0 से भाग देता है), यद्यपि भीतर दो मूल हैं। विफल प्रतिबंध f(a)f(b) < 0 है; चिह्न-परिवर्तन होने पर जीवा सदा [a, b] के भीतर अक्ष को काटती है।

आगे बढ़ते हुए: जीवा सूत्र नीचे 'व्युत्पत्ति: न्यूटन-रैफ्सन और मिथ्या स्थिति सूत्र' में व्युत्पन्न है। न्यूटन सूत्र में f′(x_n) के स्थान पर जीवा की प्रवणता रखने से छेदक विधि मिलती है, जिसकी त्रुटि e_n+1 ≈ Ce_ne_n−1 को संतुष्ट करती है और अतः जिसकी कोटि (1 + √5)/2 है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'मिथ्या स्थिति से k दशमलव तक शुद्ध मूल ज्ञात कीजिए' प्रश्न (UPSC 2021, 2023), और न्यूटन विधि के अवकलज-रहित विकल्प के रूप में।

5. मूल बातें

मूल की स्थिति: मध्यमान प्रमेय से, यदि f, [a, b] पर संतत है और f(a)f(b) < 0, तो (a, b) में f का कम से कम एक मूल है।

भाव: संतत फलन का आलेख x-अक्ष के नीचे से ऊपर अक्ष को काटे बिना नहीं जा सकता। दोनों परिकल्पनाएँ आवश्यक हैं: f(x) = 1/x, [−1, 1] पर चिह्न बदलता है पर इसका कोई मूल नहीं (संतत नहीं), और f(x) = x² का [−1, 1] में मूल है पर चिह्न परिवर्तन नहीं (द्विक मूल अक्ष को केवल छूता है)। चिह्न परिवर्तन बहुकता सहित गिने गए मूलों की विषम संख्या की गारंटी देता है।

अभिसरण की कोटि (order of convergence): e_n = x_n − α लेकर, यदि n → ∞ पर |e_n+1| ≈ C|e_n|^p, तो विधि की कोटि p है (p = 1 रैखिक, p = 2 द्विघाती)।

भाव: रैखिक विधि प्रति चरण लगभग नियत संख्या में सही अंक जोड़ती है, जबकि द्विघाती विधि प्रत्येक चरण में सही अंकों की संख्या लगभग दोगुनी कर देती है। उदाहरण 3 में त्रुटियाँ लगभग 2.3 × 10⁻², 4.8 × 10⁻⁴ और 2 × 10⁻⁷ हैं।

नियत-बिंदु पुनरावृत्ति x_n+1 = φ(x_n), I = [α − r, α + r] के प्रत्येक x₀ से α की ओर अभिसरित होती है यदि φ, I पर अवकलनीय हो और |φ′(x)| ≤ k < 1 (तब φ, I को स्वयं में प्रतिचित्रित करता है; व्यापक रूप में, कोई भी संवृत अंतराल I जिसके लिए φ(I) ⊆ I और I पर |φ′| ≤ k < 1 हो, ठीक एक नियत बिंदु रखता है, और I के प्रत्येक x₀ से पुनरावृत्ति उसी की ओर अभिसरित होती है); न्यूटन विधि φ(x) = x − f(x)/f′(x) की स्थिति है, जहाँ φ′(α) = 0।

यह क्यों काम करता है: मध्यमान प्रमेय से x_n+1 − α = φ(x_n) − φ(α) = φ′(ξ_n)(x_n − α), अतः |e_n+1| ≤ k|e_n| ≤ kⁿ⁺¹|e₀| → 0। α के निकट e_n+1 ≈ φ′(α)e_n: अभिसरण अनुपात |φ′(α)| के साथ रैखिक है, और रैखिक से तेज़ ठीक तब है जब φ′(α) = 0, जैसा न्यूटन विधि में।

6. द्विभाजन विधि

चरण: f(a)f(b) < 0 वाले a, b लें और c = (a + b)/2 रखें; यदि f(a)f(c) < 0 तो b = c, अन्यथा a = c; दोहराएँ।

n चरणों के बाद त्रुटि अधिकतम (b − a)/2ⁿ है, अतः n ≥ log((b − a)/ε)/log 2 चरण यथार्थता ε देते हैं।

यह सदैव अभिसरित होती है, अनुपात 1/2 के साथ रैखिक रूप से, और केवल सांतत्य तथा चिह्न परिवर्तन चाहिए।

भाव: द्विभाजन (bisection) केवल f के चिह्न का प्रयोग करता है और उसके परिमाण को छोड़ देता है, जिससे यह सुरक्षित पर धीमा है: चूँकि 2^3.32 ≈ 10, इसे प्रत्येक अतिरिक्त दशमलव अंक के लिए लगभग 3.3 चरण चाहिए, f चाहे जो हो।

उदाहरण 1: [1, 2] पर f(x) = x³ − x − 1, जहाँ f(1) = −1 और f(2) = 5।

मध्यबिंदु 1.5 (f = 0.875), 1.25 (f = −0.297), 1.375 (f = 0.225), 1.3125 (f = −0.052); मूल [1.3125, 1.375] में है।

7. मिथ्या स्थिति (Regula-Falsi) विधि

वक्र के स्थान पर (a, f(a)) और (b, f(b)) से जाने वाली जीवा लें: c = (a f(b) − b f(a))/(f(b) − f(a)); वह उप-अंतराल रखें जहाँ चिह्न बदलता है।

चिह्न परिवर्तन वाले संतत f के लिए यह सदैव अभिसरित होती है; कोटि रैखिक है क्योंकि एक सिरा प्रायः स्थिर रहता है।

भाव: यदि f, [a, b] पर उत्तल है, तो प्रत्येक जीवा वक्र के ऊपर रहती है, अतः प्रत्येक नया बिंदु c मूल के एक ही ओर पड़ता है और दूर का अंत्य बिंदु कभी नहीं हिलता; कोष्ठक केवल एक ओर से सिकुड़ता है, इसीलिए कोटि 1 रहती है।

उदाहरण 2: [1, 2] पर x³ − x − 1: c₁ = (1 · 5 − 2 · (−1))/6 = 7/6 ≈ 1.1667 और f(c₁) ≈ −0.5787 < 0।

अतः अगला अंतराल [1.1667, 2] है और c₂ = (1.1667 · 5 + 2 · 0.5787)/5.5787 ≈ 1.2531।

छेदिका विधि (secant method) (परिबद्धन रहित): x_n+1 = x_n − f(x_n)(x_n − x_n−1)/(f(x_n) − f(x_n−1)), सरल मूल के निकट कोटि (1 + √5)/2 ≈ 1.618।

भाव: छेदक विधि (secant method) वह न्यूटन विधि है जिसमें f′(x_n) के स्थान पर अंतिम दो पुनरावृत्तियों से जाने वाली जीवा की प्रवणता ली जाती है। इसकी त्रुटि e_n+1 ≈ Ce_ne_n−1 का पालन करती है, और e_n+1 ~ e_n^p रखने पर p² = p + 1 मिलता है, जिसका धनात्मक मूल स्वर्ण अनुपात 1.618 है।

8. न्यूटन-रैफ्सन विधि

सूत्र: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n), जो x_n पर स्पर्शरेखा का x-अंतःखंड है (प्रथम कोटि टेलर प्रसार)।

भाव: सरल मूल के निकट वक्र लगभग सीधा होता है, अतः x_n पर स्पर्श रेखा अक्ष को मूल के बहुत निकट काटती है (ऊपर का चित्र देखें)। जब वक्र तीव्रता से मुड़ता है या लगभग सपाट होता है तो स्पर्श रेखा भटका सकती है, जिसका वर्णन खंड 13 की विफलता स्थितियाँ करती हैं।

अभिसरण: यदि सरल मूल α (f′(α) ≠ 0) के निकट f″ संतत है और x₀, α के पर्याप्त निकट है, तो पुनरावृत्तियाँ द्विघाती रूप से अभिसरित होती हैं, e_n+1 ≈ [f″(α)/(2f′(α))]e_n²।

पर्याप्त प्रतिबंध: यदि f(a)f(b) < 0, [a, b] पर f′ और f″ शून्येतर तथा स्थिर चिह्न वाले हैं, और x₀ ∈ [a, b] के लिए f(x₀)f″(x₀) > 0, तो पुनरावृत्तियाँ एकदिष्ट रूप से मूल की ओर अभिसरित होती हैं।

m बहुलता वाले मूल पर अभिसरण केवल रैखिक है; x_n+1 = x_n − m f(x_n)/f′(x_n) द्विघाती अभिसरण लौटाता है।

यह क्यों काम करता है: यदि f = (x − α)^mg, जहाँ g(α) ≠ 0, तो f/f′ = (x − α)g/(mg + (x − α)g′) ≈ (x − α)/m, अतः न्यूटन फलन φ = x − f/f′ के लिए φ′(α) = 1 − 1/m ≠ 0 (रैखिक, अनुपात (m − 1)/m); गुणनखंड m के साथ फिर से φ′(α) = 0।

उदाहरण 3: x₀ = 1.5 के साथ x³ − x − 1 = 0: x_n+1 = x_n − (x_n³ − x_n − 1)/(3x_n² − 1)।

x₁ = 1.347826, x₂ = 1.325200, x₃ = 1.324718; चार दशमलव तक मूल 1.3247 है।

वर्गमूल: f(x) = x² − N से x_n+1 = (x_n + N/x_n)/2; N = 2 और x₀ = 1 के लिए: 1.5, 1.416667, 1.414216।

अन्य मानक पुनरावृत्तियाँ: बिना भाग के व्युत्क्रम 1/N, x_n+1 = x_n(2 − Nx_n); k-वाँ मूल, x_n+1 = ((k − 1)x_n + N/x_n^k−1)/k।

9. व्युत्पत्ति: न्यूटन-रैफ्सन और मिथ्या स्थिति सूत्र

न्यूटन सूत्र: टेलर प्रमेय से x_n और α के बीच किसी η के लिए 0 = f(α) = f(x_n) + (α − x_n)f′(x_n) + (1/2)(α − x_n)²f″(η)।

द्विघाती पद छोड़कर α के लिए हल करने पर अगला सन्निकटन x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n) मिलता है।

द्विघाती अभिसरण: पद को रखकर f′(x_n) से भाग देने पर: α − x_n + f(x_n)/f′(x_n) = −f″(η)(α − x_n)²/(2f′(x_n)), अर्थात् α − x_n+1 = −f″(η)e_n²/(2f′(x_n))।

अतः e_n+1 = [f″(η)/(2f′(x_n))]e_n², और x_n → α होने पर e_n+1/e_n² → f″(α)/(2f′(α)): कोटि 2। x³ − x − 1 के लिए यह अचर 6α/(2(3α² − 1)) ≈ 0.93 है, जो उदाहरण 3 की त्रुटियों से मेल खाता है।

मिथ्या स्थिति सूत्र: (a, f(a)) और (b, f(b)) से जाने वाली जीवा y − f(a) = [(f(b) − f(a))/(b − a)](x − a) है; y = 0 रखने पर x = a − f(a)(b − a)/(f(b) − f(a)) = (af(b) − bf(a))/(f(b) − f(a))।

भाग के बिना पुनरावृत्ति: 1/N के लिए f(x) = 1/x − N, f′(x) = −1/x² लें; तब x − f/f′ = x + x²(1/x − N) = x(2 − Nx), जिसमें केवल गुणा है।

10. विधि का चयन

यदि प्रश्न किसी विधि का नाम देता है → उसी का प्रयोग करें, भले ही दूसरी तेज़ हो, और बताएँ कि वह क्यों लागू है (चिह्न परिवर्तन, f′ ≠ 0, |φ′| < 1)।

यदि केवल एक कोष्ठक ज्ञात है और f′ कठिन है → द्विभाजन (सुनिश्चित, चरणों की संख्या पहले से ज्ञात) या मिथ्या स्थिति।

यदि f′ की गणना सरल है और अच्छा प्रारंभिक मान उपलब्ध है → न्यूटन-रैफ्सन, उस सिरे से आरंभ करें जहाँ f(x₀)f″(x₀) > 0।

यदि f′ अनुपलब्ध या महँगा है → दो निकटवर्ती मानों से छेदक विधि।

यदि समीकरण x = φ(x) के रूप में पुनर्व्यवस्थित होता है → नियत-बिंदु पुनरावृत्ति, मूल के निकट सबसे छोटे |φ′| वाली व्यवस्था चुनें।

यदि मूल के निकट f और f′ दोनों छोटे हैं (बहुल मूल) → गुणनखंड m सहित संशोधित न्यूटन।

11. सामान्य गलतियाँ

अपसारी पुनर्व्यवस्था: x³ − x − 1 = 0 के लिए x = x³ − 1 में मूल पर φ′ = 3x² ≈ 5.3 है और यह अपसरित होता है; x = (x + 1)^1/3 में φ′ ≈ 0.19 है और यह अभिसरित होता है।

केवल |f(x_n)| पर रुकना: सपाट फलन अपने मूल से दूर भी बहुत छोटा हो सकता है; मुख्य परीक्षण के रूप में परिवर्तन |x_n+1 − x_n| का प्रयोग करें।

बहुत पहले पूर्णांकन: उत्तर की आवश्यकता से कम से कम दो दशमलव अधिक रखें, फिर अंत में एक बार पूर्णांकन करें।

द्विभाजन या मिथ्या स्थिति में गलत अंत्य बिंदु बदलना: वह सिरा रखें जहाँ f का चिह्न f(c) के विपरीत है।

द्विभाजन चरण गणना: log₁₀ 2 से भाग दिए बिना log₁₀ का प्रयोग, या n को अगले पूर्णांक तक न बढ़ाना।

मोड़ बिंदु के निकट न्यूटन आरंभ करना: बहुत छोटा f′(x₀), x₁ को बहुत दूर फेंक देता है; पहले f की सारणी बनाएँ और मूल के निकट से आरंभ करें।

संबंध: मध्यवर्ती मान और मध्यमान प्रमेय वास्तविक विश्लेषण से आते हैं, और प्रतिबंध |φ′| ≤ k < 1 एक विमा में संकुचन प्रतिचित्रण सिद्धांत (contraction mapping principle) है।

संबंध: नियत-बिंदु पुनरावृत्ति x = φ(x) अगले विषय की जैकोबी और गाउस-सीडल विधियों x = Tx + c का एक-चर प्रतिरूप है, जहाँ |φ′| < 1, 'T की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 1 से कम' बन जाता है।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: [0, 1] में x³ + x − 1 = 0 के मूल को 10⁻⁴ की यथार्थता तक पाने के लिए समद्विभाजन के कितने चरण पर्याप्त हैं? पहले तीन चरण कीजिए।

f(0) = −1 और f(1) = 1, अतः (0, 1) में एक मूल है; n चरणों के बाद त्रुटि अधिकतम 1/2ⁿ है।

1/2ⁿ ≤ 10⁻⁴ के लिए 2ⁿ ≥ 10⁴ चाहिए, अर्थात् n ≥ 4 log₂ 10 ≈ 13.29, अतः 14 चरण पर्याप्त हैं।

f(0.5) = −0.375 से [0.5, 1]; f(0.75) = 0.171875 से [0.5, 0.75]; f(0.625) = −0.130859 से [0.625, 0.75]। (मूल 0.682328 है।)

उदाहरण 5: न्यूटन-रैफ्सन विधि से x log₁₀ x = 1.2 का मूल चार दशमलव स्थानों तक शुद्ध ज्ञात कीजिए।

f(x) = x log₁₀ x − 1.2, f′(x) = log₁₀ x + log₁₀ e = log₁₀ x + 0.434294; f(2) = −0.598 और f(3) = 0.231, अतः मूल (2, 3) में है।

x₀ = 2.5: f(2.5) = −0.205150, f′(2.5) = 0.832234, अतः x₁ = 2.5 + 0.246505 = 2.746505।

x₂ = 2.740649, x₃ = 2.740646; मूल 2.7406 है।

उदाहरण 6: अभिसारी रूप चुनकर नियत-बिंदु पुनरावृत्ति (fixed-point iteration) से x³ + x² − 1 = 0 का धनात्मक मूल ज्ञात कीजिए।

f(0) = −1, f(1) = 1, अतः मूल (0, 1) में है। x²(x + 1) = 1 लिखें, अर्थात् x = φ(x) = 1/√(1 + x)।

φ′(x) = −1/(2(1 + x)^3/2), अतः [0, 1] पर |φ′(x)| ≤ 1/2 < 1, और φ, [0, 1] को स्वयं में प्रतिचित्रित करता है: [0, 1] के प्रत्येक x₀ के लिए पुनरावृत्ति अभिसारी है।

x₀ = 0.75: x₁ = 0.755929, x₂ = 0.754652, x₃ = 0.754926, x₄ = 0.754867, x₅ = 0.754880; मूल 0.7549 है।

उदाहरण 7: दर्शाइए कि √N (N > 0) के लिए न्यूटन पुनरावृत्ति x_n+1 = (x_n + N/x_n)/2 है और e_n+1 = e_n²/(2x_n), जहाँ e_n = x_n − √N; इससे प्रत्येक x₀ > 0 के लिए द्विघाती अभिसरण निगमित कीजिए।

f(x) = x² − N, f′(x) = 2x: x_n+1 = x_n − (x_n² − N)/(2x_n) = (x_n + N/x_n)/2।

x_n+1 − √N = (x_n² − 2x_n√N + N)/(2x_n) = (x_n − √N)²/(2x_n), अर्थात् e_n+1 = e_n²/(2x_n)।

अतः n ≥ 1 के लिए e_n ≥ 0; चूँकि 0 ≤ e_n ≤ x_n, e_n+1 ≤ e_n/2, अतः x_n घटते हुए √N तक जाता है, और e_n+1/e_n² → 1/(2√N): अभिसरण द्विघाती है।

उदाहरण 8: x₀ = 2, x₁ = 3 लेकर x³ − 2x − 5 = 0 पर छेदिका विधि (secant method) लगाइए।

f(2) = −1, f(3) = 16: x₂ = 3 − 16(3 − 2)/(16 + 1) = 2.058824, जहाँ f(x₂) = −0.3908।

x₃ = 2.081264 (f = −0.1472), x₄ = 2.094824 (f = 0.0030), x₅ = 2.094549; मूल 2.0946 है, जो उसी अंतराल से रेगुला-फाल्सी की अपेक्षा कहीं शीघ्र प्राप्त होता है।

13. मूलों का स्थान-निर्धारण, रोकने के नियम और विफलता की स्थितियाँ

सारणीकरण (tabulation): कुछ सुविधाजनक बिंदुओं पर f का मान निकालें; प्रत्येक चिह्न परिवर्तन एक मूल को घेरता है, जिससे द्विभाजन या मिथ्या-स्थिति के प्रारंभिक मान और न्यूटन विधि के लिए अच्छा x₀ मिलता है (वह सिरा चुनें जहाँ f(x₀)f″(x₀) > 0)।

रोकने का नियम: 'k दशमलव स्थानों तक शुद्ध' के लिए तब तक पुनरावृत्ति करें जब तक दो क्रमागत मान k दशमलव तक न मिलें, अर्थात् |x_n+1 − x_n| < 0.5 × 10^−k, फिर पूर्णांकन करें; 'k सार्थक अंकों' के लिए यही परीक्षण आपेक्षिक परिवर्तन पर लगाएँ।

मिथ्या-स्थिति का व्यवहार: यदि [a, b] पर f″ का चिह्न एक ही रहे, तो एक अंत्य बिंदु स्थिर रहता है और त्रुटि प्रत्येक चरण में लगभग स्थिर गुणक से घटती है (रैखिक अभिसरण); छेदिका विधि घेराबंदी छोड़कर कोटि 1.618 प्राप्त करती है।

ऐल्गोरिथ्म (मिथ्या-स्थिति): f(a)f(b) < 0 वाले a, b तथा ε पढ़ें; दोहराएँ: c = (af(b) − bf(a))/(f(b) − f(a)); यदि f(a)f(c) < 0 तो b = c अन्यथा a = c; जब तक दो क्रमागत c का अंतर ε से कम न हो; c मुद्रित करें।

न्यूटन विधि कब विफल होती है: f′(x_n) = 0 या बहुत छोटा (क्षैतिज स्पर्शरेखा); चक्रण, जैसे f(x) = x³ − 2x + 2 में x₀ = 0 से 0, 1, 0, 1, ...; अपसरण, जैसे f(x) = x^1/3 से x_n+1 = −2x_n; वर्तन बिंदु के निकट प्रारंभ से दूसरे मूल पर चले जाना; और बहुल मूल पर केवल रैखिक अभिसरण।

14. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 10 अंक): प्रारंभिक मानों 0, π/2 का उपयोग करके एक संख्यात्मक तकनीक के द्वारा समीकरण 3x = 1 + cos x का एक धनात्मक मूल ज्ञात कीजिए, तथा न्यूटन-राफ्सन विधि के द्वारा परिणाम को 8 सार्थक अंकों तक और शुद्ध मान के निकट लाइए।

f(x) = 3x − 1 − cos x संतत है, f(0) = −2 < 0 और f(π/2) = 3π/2 − 1 = 3.712389 > 0, अतः (0, π/2) में एक मूल है; चूँकि f′(x) = 3 + sin x > 0, यही एकमात्र वास्तविक मूल है।

a = 0, b = π/2 से मिथ्या-स्थिति: c₁ = (π/2)(2)/5.712389 = 0.549961 (f = −0.202661, अतः a = c₁), c₂ = 0.602804 (f = −0.015336), c₃ = 0.606787 (f = −0.001125), c₄ = 0.607079 (f = −0.000082)।

x₀ = 0.607079 से न्यूटन-रैफ्सन x_n+1 = x_n − (3x_n − 1 − cos x_n)/(3 + sin x_n): f(x₀) = −0.0000809, f′(x₀) = 3.570471, अतः x₁ = 0.60710165।

x₂ = 0.60710165 पुनः: द्विघाती अभिसरण प्रत्येक चरण में शुद्ध अंकों की संख्या लगभग दोगुनी कर देता है।

उत्तर: x = 0.60710165 (8 सार्थक अंक)।

उदाहरण 10 (UPSC 2023, 15 अंक): मिथ्या-स्थिति (रेगुला-फाल्सि) विधि से अंतराल [0, 3] में, समीकरण log₁₀(2x + 1) − x² + 3 = 0 के एक मूल का, दशमलव के 6 स्थानों तक सही, अभिकलन कीजिए।

मान लें f(x) = log₁₀(2x + 1) − x² + 3: f(0) = 3, f(1) = 2.477121, f(2) = −0.301030, f(3) = −5.154902, अतः [0, 3] का मूल (1, 2) में है; a = 1, b = 2 लें ([0, 3] से आरंभ भी अभिसारी है, केवल धीमा)।

x₁ = (1 · f(2) − 2 · f(1))/(f(2) − f(1)) = (−0.301030 − 4.954243)/(−2.778151) = 1.891644, तथा f(x₁) = 0.101410 > 0, अतः मूल (1.891644, 2) में है।

x₂ = 1.918948 (f = 0.002294), x₃ = 1.919561 (f = 0.0000511), x₄ = 1.919575 (f = 0.0000011), x₅ = 1.919575 (f ≈ 2.5 × 10⁻⁸)।

अंत्य बिंदु b = 2 पूरे समय स्थिर रहता है ([1, 2] पर f अवतल है), जो मिथ्या-स्थिति विधि का विशिष्ट एकतरफ़ा, रैखिक अभिसरण है।

उत्तर: x = 1.919575 (6 दशमलव स्थानों तक)।

उदाहरण 11 (UPSC 2026, 10 अंक): न्यूटन-रैफ्सन पुनरावृत्ति सूत्र के उपयोग से, N का घनमूल ज्ञात करने के लिए सूत्र x_i+1 = (1/3)(2x_i + N/x_i²) को प्रमाणित कीजिए। प्रमाणित होने पर, इस सूत्र के उपयोग से, प्रारंभिक सन्निकटन 3·9 लेकर, 63 का घनमूल दशमलव के चार स्थानों तक सही ज्ञात कीजिए।

f(x) = x³ − N, f′(x) = 3x²: x_i+1 = x_i − (x_i³ − N)/(3x_i²) = (2x_i³ + N)/(3x_i²) = (1/3)(2x_i + N/x_i²), जिससे सूत्र स्थापित होता है।

N = 63, x₀ = 3.9: x₁ = (1/3)(7.8 + 63/15.21) = (1/3)(7.8 + 4.142012) = 3.980671।

x₂ = (1/3)(7.961341 + 63/15.845741) = (1/3)(7.961341 + 3.975833) = 3.979058, और x₃ = 3.979057, जो चार दशमलव तक x₂ से मिलता है।

उत्तर: ∛63 = 3.9791 (चार दशमलव स्थानों तक)।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): दिखाइए कि x³ + 2x − 2 = 0 का एक मूल (0, 1) में है और द्विभाजन के दो चरण कीजिए।

उत्तर: f(0) = −2, f(1) = 1; f(0.5) = −0.875 से [0.5, 1]; f(0.75) = −0.078125 से [0.75, 1] (मूल 0.770917 है)।

अभ्यास 2 (मूल): x₀ = 0.1 से न्यूटन पुनरावृत्ति x_n+1 = x_n(2 − Nx_n) द्वारा 1/7 की गणना कीजिए (तीन चरण)।

उत्तर: 0.13, 0.1417, 0.142848; 1/7 = 0.142857।

अभ्यास 3 (मूल): [1, 2] पर द्विभाजन के कितने चरण अधिकतम 0.5 × 10⁻⁶ त्रुटि की गारंटी देते हैं (परिबद्धक लंबाई को त्रुटि परिबंध मानकर)?

उत्तर: 2⁻ⁿ ≤ 0.5 × 10⁻⁶ के लिए n ≥ 20.93 चाहिए, अतः 21 चरण।

अभ्यास 4 (मानक): x₀ = 2 से आरंभ करके न्यूटन-रैफ्सन द्वारा x⁴ − x − 10 = 0 का धनात्मक मूल छह दशमलव तक शुद्ध ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x₁ = 1.870968, x₂ = 1.855781, x₃ = 1.855585, x₄ = 1.855585।

अभ्यास 5 (मानक): [0, 1] पर e^x − 3x = 0 पर मिथ्या स्थिति के दो चरण लगाइए।

उत्तर: c₁ = 0.780203 (f = −0.158694), नया परिबद्धक [0, 0.780203]; c₂ = 0.673347 (मूल 0.619061 है)।

अभ्यास 6 (मानक): दिखाइए कि x = (cos x + 3)/2 किसी भी x₀ से अभिसरित होता है, और 2x − cos x − 3 = 0 का मूल चार दशमलव तक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सभी x के लिए |φ′(x)| = |sin x|/2 ≤ 1/2; x₀ = 1.5 से पुनरावृत्त 1.5236 पर स्थिर होते हैं।

अभ्यास 7 (मानक): x₀ = 2, x₁ = 3 के साथ x² − 5 = 0 पर छेदक विधि लगाइए (तीन नए पुनरावृत्त)।

उत्तर: x₂ = 2.2, x₃ = 2.230769, x₄ = 2.236111; √5 = 2.236068।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): f(x) = (x − 1)²(x + 2) का 1 पर दोहरा मूल है। x₀ = 2 से आरंभ करके न्यूटन विधि के दो चरणों की तुलना x_n+1 = x_n − 2f(x_n)/f′(x_n) के दो चरणों से कीजिए।

उत्तर: f′ = 3(x − 1)(x + 1); न्यूटन 1.555556, 1.297907 देता है (त्रुटियाँ लगभग आधी: रैखिक); संशोधित नियम 1.111111, 1.001949 देता है (त्रुटियाँ लगभग वर्गित: द्विघाती)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): न्यूटन विधि से tan x = x का सबसे छोटा धनात्मक शून्येतर मूल चार दशमलव तक ज्ञात कीजिए, और x₀ के चयन की व्याख्या कीजिए।

उत्तर: मूल (π, 3π/2) में है; f = tan x − x, f′ = tan²x; ध्रुव 3π/2 ≈ 4.712 के सुरक्षित रूप से बाईं ओर 4.5 से आरंभ करें: x₁ = 4.493614, x₂ = 4.493409, अतः x = 4.4934।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि x_n+1 = x_n(x_n² + 3N)/(3x_n² + N), कोटि 3 के साथ √N की ओर अभिसरित होता है।

उत्तर: x(x² + 3N) − √N(3x² + N) = (x − √N)³, अतः e_n+1 = e_n³/(3x_n² + N) ≈ e_n³/(4N)।

1. गाउसीय विलोपन और पश्च प्रतिस्थापन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: क्रेमर नियम को n + 1 सारणिक चाहिए और n = 3 या 4 के बाद यह निराशाजनक हो जाता है। विलोपन किसी भी n के लिए Ax = b को लगभग n³/3 गुणनों में, इतनी सरल प्रक्रिया से हल करता है कि उसे प्रोग्राम किया जा सके।

शब्दों में: धुरी (pivot) a_kk वह अवयव है जिससे विकर्ण के नीचे स्तंभ k साफ़ किया जाता है; पंक्ति i का गुणक m_ik = a_ik/a_kk है, और R_i → R_i − m_ikR_k समीकरण i से k-वाँ अज्ञात हटाता है।

ऐसी पंक्ति संक्रियाएँ एक समीकरण को एक तुल्य समीकरण से बदलती हैं, अतः हल कभी नहीं बदलता। जब प्रत्येक स्तंभ साफ़ हो जाता है तो आव्यूह उपरि त्रिभुजीय होता है, और पश्च प्रतिस्थापन (back substitution) अंतिम समीकरण से ऊपर की ओर हल करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3 हल कीजिए।

चरण 1: संवर्धित पंक्तियाँ (2, 1, −1 | 8), (−3, −1, 2 | −11), (−2, 1, 2 | −3) लिखें; पहली धुरी 2 है।

चरण 2: गुणक m₂₁ = −3/2 और m₃₁ = −1; R₂ + (3/2)R₁ = (0, 1/2, 1/2 | 1) और R₃ + R₁ = (0, 2, 1 | 5)।

चरण 3: दूसरी धुरी 1/2 है और m₃₂ = 2/(1/2) = 4; R₃ − 4R₂ = (0, 0, −1 | 1)। आव्यूह अब उपरि त्रिभुजीय है।

चरण 4: पश्च प्रतिस्थापन: अंतिम पंक्ति से −z = 1, अतः z = −1।

चरण 5: दूसरी पंक्ति से y/2 + z/2 = 1, अतः y = 2 − z = 3।

चरण 6: पहली पंक्ति से 2x + 3 − (−1) = 8, अतः x = 2।

चरण 7: मूल तीसरे समीकरण में जाँच: −4 + 3 − 2 = −3। धुरियाँ 2, 1/2, −1 हैं, अतः det A = 2 × (1/2) × (−1) = −1।

अ-उदाहरण (non-example): y + z = 2, x + y = 1, x + z = 3 के लिए पहली धुरी a₁₁ शून्य है, अतः कोई गुणक नहीं बन सकता और लिखे अनुसार विलोपन आरंभ नहीं हो सकता। आव्यूह अव्युत्क्रमणीय नहीं है (इसका सारणिक −2 है); उपाय पंक्ति-विनिमय है। विफल प्रतिबंध शून्येतर धुरी है।

आगे बढ़ते हुए: स्तंभ k साफ़ करने में लगभग (n − k)² अवयव प्रभावित होते हैं, अतः कुल कार्य लगभग n³/3 है, जबकि पश्च प्रतिस्थापन का व्यय केवल लगभग n²/2 है।

प्रत्येक पंक्ति संक्रिया एक इकाई निम्न त्रिभुजीय आव्यूह से गुणन है, अतः विलोपन गुणनखंडन A = LU है (नीचे 'व्युत्पत्ति: विलोपन एक गुणनखंडन है'), और धुरियों का गुणनफल det A है।

कहाँ प्रयोग होता है: 10–15 अंक के प्रश्नों में 3 × 3 निकाय, रैखिक बीजगणित में कोटि और संगतता, और अंतिम विषय में आंशिक धुरीकरण सहित कलनविधि।

2. आंशिक धुरीकरण और दुःप्रतिबंधन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कंप्यूटर केवल नियत संख्या में अंक रखता है। छोटी धुरी एक विशाल गुणक बनाती है जो पूर्णांकन में अन्य अवयवों को दबा देता है, और परिकलित उत्तर पूरी तरह गलत हो सकता है यद्यपि प्रत्येक चरण 'सही' था।

शब्दों में: आंशिक धुरीकरण (partial pivoting) का अर्थ है: स्तंभ k साफ़ करने से पहले स्तंभ k में विकर्ण पर और उसके नीचे के अवयव देखें, और पंक्तियाँ ऐसे बदलें कि सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाला अवयव धुरी बने। तब प्रत्येक गुणक |m_ik| ≤ 1 होता है।

दुःप्रतिबंधन (ill-conditioning) एक भिन्न समस्या है: यह विधि का नहीं, स्वयं निकाय का गुण है। यदि आँकड़ों में सूक्ष्म परिवर्तन हल में बड़े परिवर्तन लाएँ, तो कोई विधि आँकड़ों की अनुमति से अधिक शुद्धता नहीं दे सकती; प्रतिबंध संख्या (condition number) ‖A‖‖A⁻¹‖ इस संवेदनशीलता को मापती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 0.003x + 59.14y = 59.17, 5.291x − 6.130y = 46.78 (यथार्थ हल x = 10, y = 1) को 4-सार्थक-अंक अंकगणित में, धुरीकरण के बिना और उसके साथ हल कीजिए।

चरण 1: धुरीकरण के बिना गुणक m = 5.291/0.003 = 1764 (पूर्णांकित) है।

चरण 2: नई दूसरी पंक्ति: −6.130 − 1764 × 59.14 पूर्णांकन से −104300, और 46.78 − 1764 × 59.17 पूर्णांकन से −104400; छोटी संख्याएँ −6.130 और 46.78 पूर्णांकन में खो जाती हैं।

चरण 3: अतः y = −104400/(−104300) = 1.001, और x = (59.17 − 59.14 × 1.001)/0.003 = (59.17 − 59.20)/0.003 = −10.00। y की सूक्ष्म त्रुटि सूक्ष्म धुरी 0.003 से विभाजित होकर x में विनाशकारी बन जाती है।

चरण 4: धुरीकरण के साथ स्तंभ 1 का सबसे बड़ा अवयव 5.291 है, अतः पंक्तियाँ बदलें; अब m = 0.003/5.291 = 0.000567।

चरण 5: नई दूसरी पंक्ति: 59.14 + 0.000567 × 6.130 पूर्णांकन से 59.14, और 59.17 − 0.000567 × 46.78 पूर्णांकन से 59.14, अतः y = 1.000।

चरण 6: पश्च प्रतिस्थापन: x = (46.78 + 6.130 × 1.000)/5.291 = 52.91/5.291 = 10.00, रखे गए अंकों तक शुद्ध।

चरण 7: ध्यान दें कि निकाय हानिरहित था; केवल पंक्तियों के क्रम से विफलता हुई, और धुरीकरण ने उसे दूर किया।

अ-उदाहरण (non-example): x + 2y = 3, 1.001x + 2y = 3.001 का हल (1, 1) है, पर 3.001 को 3.002 करने पर (2, 0.5) मिलता है। यहाँ धुरीकरण सहायक नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों रेखाएँ लगभग समांतर हैं और हल स्वयं संवेदनशील है (प्रतिबंध संख्या लगभग 6000 है)। विफल प्रतिबंध सुप्रतिबंधन है, जिसे कोई कलनविधि नहीं दे सकती।

आगे बढ़ते हुए: धुरीकरण |m_ik| ≤ 1 रखता है, जो पूर्णांकन त्रुटियों की वृद्धि को सीमित करता है; तब उत्तर की सापेक्ष त्रुटि लगभग प्रतिबंध संख्या गुणा आँकड़ों की सापेक्ष त्रुटि होती है, ‖δx‖/‖x‖ ≤ ‖A‖‖A⁻¹‖ ‖δb‖/‖b‖।

कहाँ प्रयोग होता है: 'आंशिक धुरीकरण सहित गाउसीय विलोपन से हल कीजिए' प्रश्न, दुःप्रतिबंधन पर टिप्पणी जिसे परीक्षक पुरस्कृत करते हैं, और रैखिक निकायों की प्रत्येक लाइब्रेरी प्रक्रिया।

3. LU वियोजन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: व्यवहार में एक ही आव्यूह A का प्रयोग अनेक दाएँ पक्षों b (एक ही संरचना पर भिन्न भार, भिन्न समय-चरण) के साथ होता है। प्रत्येक b के लिए विलोपन दोहराना n³/3 कार्य व्यर्थ करता है; A का एक बार गुणनखंडन इससे बचाता है।

शब्दों में: A = LU, जहाँ L इकाई निम्न त्रिभुजीय (विकर्ण पर 1, उसके नीचे गुणक) और U उपरि त्रिभुजीय (विलोपन का परिणाम) है। तब Ax = b दो त्रिभुजीय निकायों में बँटता है: अग्र प्रतिस्थापन से Ly = b और पश्च प्रतिस्थापन से Ux = y।

प्रत्येक त्रिभुजीय हल का व्यय लगभग n²/2 संक्रियाएँ है, अतः गुणनखंडन के बाद प्रत्येक नया b सस्ता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A = [[2, 1, 1], [4, 3, 3], [8, 7, 9]] का गुणनखंडन कीजिए और Ax = (4, 10, 24) हल कीजिए।

चरण 1: स्तंभ 1: गुणक l₂₁ = 4/2 = 2 और l₃₁ = 8/2 = 4; R₂ − 2R₁ = (0, 1, 1) और R₃ − 4R₁ = (0, 3, 5)।

चरण 2: स्तंभ 2: l₃₂ = 3/1 = 3; (0, 3, 5) − 3(0, 1, 1) = (0, 0, 2)।

चरण 3: अतः U = [[2, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 2]] और L = [[1, 0, 0], [2, 1, 0], [4, 3, 1]]; वापस गुणा करने पर LU की पंक्ति 3, 4(2, 1, 1) + 3(0, 1, 1) + (0, 0, 2) = (8, 7, 9) है।

चरण 4: अग्र प्रतिस्थापन Ly = b: y₁ = 4, y₂ = 10 − 2(4) = 2, y₃ = 24 − 4(4) − 3(2) = 2।

चरण 5: पश्च प्रतिस्थापन Ux = y: 2x₃ = 2 से x₃ = 1; x₂ + x₃ = 2 से x₂ = 1; 2x₁ + 1 + 1 = 4 से x₁ = 1।

चरण 6: जाँच: A(1, 1, 1) = (4, 10, 24)। किसी अन्य दाएँ पक्ष के लिए केवल चरण 4 और 5 दोहराने होते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): A = [[0, 1], [1, 1]] व्युत्क्रमणीय है पर इकाई निम्न L के साथ इसका गुणनखंडन A = LU नहीं है: इसके लिए u₁₁ = 0 और फिर l₂₁u₁₁ = 1 चाहिए, जो असंभव है। विफल प्रतिबंध 'अग्रणी मुख्य उपसारणिक शून्येतर' है; पंक्ति-विनिमय के साथ PA = LU सदा विद्यमान है।

आगे बढ़ते हुए: डूलिटल सूत्र यही L और U सीधे, पंक्ति-दर-पंक्ति, निकालते हैं (नीचे 'LU वियोजन और व्यावहारिक बिंदु'); क्राउट का रूप 1 को U के विकर्ण पर रखता है, और सममित धनात्मक निश्चित A के लिए चोलेस्की रूप A = LL^T कार्य आधा कर देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'LU वियोजन से हल कीजिए' प्रश्न, सारणिक (det A = u₁₁u₂₂ ··· u_nn), और LU से स्तंभ-दर-स्तंभ निकाले गए व्युत्क्रम।

4. जैकोबी और गाउस-सीडल पुनरावृत्ति को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: लाप्लास समीकरण के विविक्तीकरण से बने निकायों में लाखों अज्ञात हो सकते हैं, पर प्रत्येक समीकरण में उनमें से कुछ ही होते हैं। विलोपन शून्यों को भर देगा; पुनरावृत्ति समीकरणों के साथ जैसे वे हैं वैसे ही काम करती है और प्रति चक्र केवल लगभग n² (या कम) कार्य चाहती है।

शब्दों में: समीकरण i को उसके अपने अज्ञात x_i के लिए हल करें, सभी अज्ञातों का अनुमान लगाएँ, और समीकरणों से अनुमान सुधारें। जैकोबी दाईं ओर केवल पुराने मानों का प्रयोग करती है; गाउस-सीडल प्रत्येक नया मान निकलते ही उसका प्रयोग करती है।

त्रुटि एक नियत पुनरावृत्ति आव्यूह T के लिए e^(k+1) = Te^(k) का पालन करती है, अतः विधि प्रत्येक आरंभ से ठीक तब अभिसरित होती है जब स्पेक्ट्रमी त्रिज्या ρ(T) (सबसे बड़ा |आइगेन मान|) 1 से कम हो। सुस्पष्ट विकर्ण प्रधानता (strict diagonal dominance) एक सरल पर्याप्त परीक्षण है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (0, 0) से जैकोबी और गाउस-सीडल द्वारा 4x + y = 6, x + 3y = 7 (यथार्थ हल (1, 2)) हल कीजिए।

चरण 1: निकाय सुस्पष्ट विकर्ण प्रधान है (4 > 1, 3 > 1), अतः दोनों विधियाँ अभिसरित होती हैं। x = (6 − y)/4 और y = (7 − x)/3 लिखें।

चरण 2: जैकोबी, दोनों अद्यतन पुराने युग्म से: (1.5, 2.3333), (0.9167, 1.8333), (1.0417, 2.0278), (0.9931, 1.9861)।

चरण 3: गाउस-सीडल, नया x तुरंत y में प्रयुक्त: x = 1.5, फिर y = (7 − 1.5)/3 = 1.8333।

चरण 4: आगे: (1.0417, 1.9861), (1.0035, 1.9988), (1.0003, 1.9999)।

चरण 5: दरों की तुलना करें: जैकोबी आव्यूह [[0, −1/4], [−1/3, 0]] के आइगेन मान ±√(1/12) ≈ ±0.289 हैं, जबकि गाउस-सीडल आव्यूह की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 1/12 ≈ 0.083 है, अर्थात् उसका वर्ग।

चरण 6: अतः प्रत्येक गाउस-सीडल चक्र लगभग दो जैकोबी चक्रों का कार्य करता है, जैसा संख्याएँ दिखाती हैं।

अ-उदाहरण (non-example): x + 3y = 4, 2x + y = 3 का हल भी (1, 1) है, पर (0, 0) से जैकोबी (4, 3), (−5, −5), (19, 13), (−35, −35) देती है: यह अपसरित होती है, क्योंकि पुनरावृत्ति आव्यूह के आइगेन मान ±√6 हैं और ρ ≈ 2.45 > 1। समीकरणों का विनिमय एक प्रधान निकाय देता है जो अभिसरित होता है। विफल प्रतिबंध ρ(T) < 1 है।

आगे बढ़ते हुए: A = L + D + U लिखने पर जैकोबी x^(k+1) = −D⁻¹(L + U)x^(k) + D⁻¹b है और गाउस-सीडल (D + L)x^(k+1) = b − Ux^(k); प्रधानता जैकोबी के लिए ‖T‖_∞ < 1 बनाती है (नीचे गाउस-सीडल के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है')।

प्रधानता पर्याप्त है, आवश्यक नहीं, और दोनों विधियाँ असहमत हो सकती हैं: ऐसे आव्यूह हैं जिनके लिए जैकोबी अभिसरित और गाउस-सीडल अपसरित होती है (नीचे अभ्यास 9)।

कहाँ प्रयोग होता है: 'विधि की प्रयोज्यता जाँचकर गाउस-सीडल से हल कीजिए' प्रश्न (UPSC 2019, 2021), और PDE अध्याय में लाप्लास समीकरण का परिमित-अंतर हल।

5. गाउसीय विलोपन

संवर्धित आव्यूह [A | b] बनाएँ। अग्र विलोपन: k = 1, ..., n − 1 और प्रत्येक i > k के लिए R_i → R_i − (a_ik/a_kk)R_k, जिससे A उपरि त्रिभुजीय बन जाए।

भाव: प्रत्येक पंक्ति संक्रिया एक समीकरण को उसके तुल्य समीकरण से बदलती है, अतः हल कभी नहीं बदलता; विलोपन एक-एक अज्ञात हटाने की विद्यालयी विधि है, जिसे स्तंभ-दर-स्तंभ इस तरह व्यवस्थित किया गया है कि उसका प्रोग्राम बन सके। a_kk धुरी (pivot) है और a_ik/a_kk गुणक (multiplier)।

पश्च-प्रतिस्थापन (back substitution): x_n = b_n/a_nn, फिर i = n − 1, ..., 1 के लिए x_i = (b_i − ∑_{j > i} a_ijx_j)/a_ii।

भाव: त्रिभुजाकार निकाय सरल है क्योंकि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात होता है, और प्रत्येक पिछला समीकरण ठीक एक नया अज्ञात लाता है; इस चरण की लागत केवल लगभग n²/2 संक्रियाएँ है।

आंशिक धुरीकरण (partial pivoting): स्तंभ k का विलोपन करने से पहले पंक्तियाँ ऐसे बदलें कि स्तंभ k (विकर्ण पर या उसके नीचे) का सबसे बड़ा निरपेक्ष मान वाला अवयव धुरी बने; इससे शून्य धुरी से बचाव होता है और पूर्णांकन त्रुटि की वृद्धि सीमित रहती है।

भाव: बहुत छोटी धुरी बहुत बड़ा गुणक देती है, जो पूर्णांकन में अन्य अवयवों को दबा देता है। 3-अंकीय अंकगणित में 0.0001x + y = 1, x + y = 2 बिना धुरीकरण के −1.00 × 10⁴y = −1.00 × 10⁴ देता है, अतः y = 1.00 और फिर x = 0, जबकि वास्तविक हल x = 1.0001, y = 0.9999 है। पहले पंक्तियाँ बदलने पर y = 1.00, x = 1.00 मिलता है, जो तीन अंकों तक सही है।

लागत: लगभग n³/3 गुणन।

यह क्यों काम करता है: स्तंभ k को साफ़ करने में (n − k) पंक्तियों के लगभग (n − k) अवयव बदलते हैं, अतः कुल कार्य ∑(n − k)² ≈ n³/3 है; n दोगुना करने पर कार्य लगभग 8 गुना हो जाता है।

उदाहरण 1: x + y + z = 6, 2x + 3y + z = 11, x + 2y + 3z = 14।

R₂ − 2R₁: y − z = −1; R₃ − R₁: y + 2z = 8; फिर R₃ − R₂: 3z = 9।

पश्च-प्रतिस्थापन: z = 3, y = −1 + 3 = 2, x = 6 − 2 − 3 = 1।

6. गाउस-जॉर्डन विधि

प्रत्येक धुरी चर को अन्य सभी पंक्तियों से, ऊपर और नीचे दोनों, विलोपित करें और प्रत्येक धुरी को 1 बनाएँ, ताकि [A | b], [I | x] बन जाए और हल सीधे पढ़ा जा सके।

लागत: लगभग n³/2 गुणन, गाउसीय विलोपन से अधिक; [A | I] पर लगाने से [I | A⁻¹] मिलता है, जो आव्यूह का व्युत्क्रम निकालने की मानक रीति है।

भाव: एक दाएँ पक्ष के लिए पश्च प्रतिस्थापन सहित गाउसीय विलोपन सस्ता है; गाउस-जॉर्डन तब लाभदायक है जब पूरा प्रतिलोम चाहिए, क्योंकि I के n स्तंभ एक साथ साथ चलते हैं।

उदाहरण 2: त्रिभुजीय पंक्तियों (1, 1, 1 | 6), (0, 1, −1 | −1), (0, 0, 3 | 9) से: R₃/3 से (0, 0, 1 | 3); R₂ + R₃ से (0, 1, 0 | 2); R₁ − R₂ − R₃ से (1, 0, 0 | 1)।

अतः [I | x] से x = 1, y = 2, z = 3।

प्रत्यक्ष विधियाँ पूर्णांकन त्रुटि को छोड़कर परिमित चरणों में यथार्थ हल देती हैं।

दुःप्रतिबंधन (ill-conditioning): यदि A या b में छोटे परिवर्तन x में बड़े परिवर्तन करें, तो निकाय दुःप्रतिबंधित है; प्रतिबंध संख्या ‖A‖‖A⁻¹‖ इसे मापती है।

भाव: ज्यामितीय रूप से समीकरण लगभग समांतर रेखाएँ हैं, अतः छोटा विस्थापन उनके प्रतिच्छेद बिंदु को बहुत दूर ले जाता है। x + y = 2, x + 1.0001y = 2.0001 का हल (1, 1) है, पर 2.0001 को 2.0002 करने पर (0, 2) मिलता है। व्यापक रूप में ‖δx‖/‖x‖ ≤ ‖A‖‖A⁻¹‖ · ‖δb‖/‖b‖, और कोई विधि प्रतिबंध संख्या (condition number) से बेहतर नहीं कर सकती।

7. गाउस-सीडल विधि

i-वें समीकरण को x_i के लिए हल करें: x_i = (b_i − ∑_j≠i a_ijx_j)/a_ii।

भाव: अनुमान लगाओ और सुधारो: प्रत्येक समीकरण का प्रयोग 'अपने' अज्ञात को सुधारने के लिए होता है, जो तब अच्छा काम करता है जब वह अज्ञात समीकरण पर प्रभावी हो (बड़ा a_ii), क्योंकि तब अन्य अज्ञातों की त्रुटियाँ एक बड़ी संख्या से विभाजित होती हैं।

गाउस-सीडल: x_i^(k+1) = (b_i − ∑_{j < i} a_ijx_j^(k+1) − ∑_{j > i} a_ijx_j^(k))/a_ii, प्रत्येक नया मान उपलब्ध होते ही प्रयोग करते हुए।

जैकोबी विधि: दाईं ओर केवल पुराने मान x^(k) लेती है; दोनों के अभिसरित होने पर गाउस-सीडल प्रायः तीव्र होती है (कई सामान्य आव्यूहों के लिए लगभग दोगुनी)।

पर्याप्त प्रतिबंध: यदि A निरंतर विकर्ण प्रधान है, अर्थात् प्रत्येक i के लिए |a_ii| > ∑_j≠i|a_ij|, तो जैकोबी और गाउस-सीडल दोनों किसी भी प्रारंभिक सदिश से अभिसरित होती हैं; A के सममित धनात्मक निश्चित होने पर भी गाउस-सीडल अभिसरित होती है।

यह क्यों काम करता है (जैकोबी): त्रुटि e^(k) = x^(k) − x, e^(k+1) = Te^(k) को संतुष्ट करती है, जहाँ T = −D⁻¹(L + U); T की पंक्ति i का निरपेक्ष योग ∑_j≠i|a_ij|/|a_ii| < 1 है, अतः ‖T‖_∞ = q < 1 और ‖e^(k)‖_∞ ≤ q^k‖e⁽⁰⁾‖_∞ → 0। प्रधानता पर्याप्त है, आवश्यक नहीं।

आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबंध: A = L + D + U लिखने पर गाउस-सीडल x^(k+1) = −(D + L)⁻¹Ux^(k) + (D + L)⁻¹b है, जो प्रत्येक प्रारंभ से अभिसरित होती है यदि और केवल यदि (D + L)⁻¹U की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 1 से कम हो।

यह क्यों काम करता है: Ax = b से (D + L)x = b − Ux; इसे पुनरावृत्ति (D + L)x^(k+1) = b − Ux^(k) से घटाने पर e^(k+1) = Ge^(k), जहाँ G = −(D + L)⁻¹U, अतः e^(k) = G^ke⁽⁰⁾, और G^k → 0 ठीक तब जब G के प्रत्येक आइगेन मान का मापांक 1 से कम हो।

पुनरावृत्ति से पहले समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित कर निकाय को विकर्ण प्रधान बनाएँ, और क्रमागत पुनरावृत्तियाँ अपेक्षित यथार्थता तक मिलने पर रुकें।

उदाहरण 3: 10x + y + z = 12, x + 10y + z = 12, x + y + 10z = 12, (0, 0, 0) से आरंभ।

पुनरावृत्ति 1: x = 1.2, y = (12 − 1.2)/10 = 1.08, z = (12 − 1.2 − 1.08)/10 = 0.972।

पुनरावृत्ति 2: x = 0.9948, y = 1.0033, z = 1.0002।

पुनरावृत्ति 3: x = 0.99965, y = 1.00002, z = 1.00003; यथार्थ हल (1, 1, 1) है।

8. व्युत्पत्ति: विलोपन एक गुणनखंडन है

चरण R_i → R_i − m_ikR_k, बाईं ओर E_ik = I − m_ike_ie_k^T से गुणा है, जो एकक निम्न त्रिभुजाकार आव्यूह है और जिसका प्रतिलोम I + m_ike_ie_k^T है।

अतः अग्र विलोपन E A = U है, जहाँ E ऐसे आव्यूहों का गुणनफल है, अतः A = E⁻¹U = LU, जहाँ L एकक निम्न त्रिभुजाकार है और गुणक m_ik अपने स्थान पर हैं (खंड 12 इसे डूलिटल सूत्रों से सीधे ज्ञात करता है)।

परिणाम: det A = (धुरियों का गुणनफल) × (−1)^{पंक्ति विनिमयों की संख्या}, और ऐसी शून्य धुरी जिसे कोई विनिमय न हटा सके, का अर्थ है A अव्युत्क्रमणीय (singular) है।

उदाहरण 1 पर जाँच: धुरियाँ 1, 1, 3 हैं और कोई विनिमय नहीं, अतः det A = 3; सीधे, det [[1, 1, 1], [2, 3, 1], [1, 2, 3]] = 1(9 − 2) − 1(6 − 1) + 1(4 − 3) = 3।

गाउस-सीडल सामान्यतः जैकोबी से तेज़ क्यों है: यह प्रत्येक सुधरे मान का तुरंत प्रयोग करती है, अतः एक ही चक्र में बाद के समीकरण सुधार का एक भाग पहले से देखते हैं; अनेक सामान्य आव्यूहों (उदाहरणार्थ त्रिविकर्णी) के लिए इसकी स्पेक्ट्रमी त्रिज्या जैकोबी की त्रिज्या का वर्ग होती है, जिससे पुनरावृत्तियों की संख्या आधी हो जाती है।

9. विधि का चयन

यदि निकाय छोटा और सघन है और यथार्थ उत्तर चाहिए → आंशिक धुरीकरण सहित गाउसीय विलोपन।

यदि प्रतिलोम चाहिए → [A | I] पर गाउस-जॉर्डन; यदि अनेक दाएँ पक्षों का A एक ही है → A = LU एक बार गुणनखंडित करें और प्रत्येक b के लिए दो त्रिभुजाकार हल करें।

यदि निकाय बड़ा, विरल और विकर्ण प्रधान है → गाउस-सीडल (या जैकोबी जब अद्यतन स्वतंत्र होने चाहिए, जैसे समांतर मशीनों पर)।

यदि दी गई पंक्तियाँ प्रधान नहीं हैं → समीकरणों का क्रम बदलें; यदि कोई भी क्रम प्रधान नहीं है → स्पेक्ट्रमी त्रिज्या जाँचें, या प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करें।

यदि A सममित धनात्मक निश्चित है → गाउस-सीडल का अभिसरण सुनिश्चित है, और चोलेस्की गुणनखंडन A = LL^T, LU का आधा कार्य लेता है।

10. सामान्य गलतियाँ

A की पंक्तियाँ बदलना पर b की नहीं: संवर्धित आव्यूह में दाएँ पक्ष की प्रविष्टि अपनी पंक्ति के साथ चलती है।

पंक्ति के अनुदिश धुरीकरण: आंशिक धुरीकरण वर्तमान स्तंभ में विकर्ण पर या उसके नीचे सबसे बड़ा |a_ik| चुनता है, पंक्ति का सबसे बड़ा अवयव नहीं।

हस्त गणना में जल्दी पूर्णांकन: पश्च प्रतिस्थापन तक भिन्न (5/3, 7/3, ...) रखें, जैसा उदाहरण 4 में; प्रत्येक चरण पर पूर्णांकित दशमलव अंतिम अंक बिगाड़ सकते हैं।

पहली शून्य धुरी पर ही, बिना पंक्ति विनिमय आज़माए, निकाय को अव्युत्क्रमणीय घोषित करना; x₁-रहित पहले समीकरण की पंक्ति को केवल नीचे की किसी पंक्ति से बदलना होता है।

अभिसरण तर्क के बिना पुनरावृत्ति: पहली पुनरावृत्ति से पहले विकर्ण प्रधानता बताएँ (या पुनर्व्यवस्था से प्राप्त करें), और बताई गई यथार्थता पर रुकें, मनमानी संख्या के चक्रों के बाद नहीं।

डूलिटल और क्राउट का मिश्रण: डूलिटल L के विकर्ण पर 1 रखता है, क्राउट U के विकर्ण पर; पहले निर्णय करें और उसी पर टिके रहें।

संबंध: गाउसीय विलोपन रैखिक बीजगणित में कोटि, संगतता और प्रतिलोम के लिए प्रयुक्त सोपानक रूप तक पंक्ति-लघुकरण है; अभिसरण परीक्षण 'स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 1 से कम' आइगेन मानों के बारे में एक कथन है।

संबंध: जैकोबी और गाउस-सीडल सदिशों के लिए नियत-बिंदु पुनरावृत्ति (पिछला विषय) हैं, और ये लाप्लास समीकरण (PDE अध्याय) के परिमित-अंतर रूपों से उत्पन्न बड़े निकायों को हल करने की मानक विधि हैं।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: आंशिक धुरीकरण (partial pivoting) सहित गाउसीय निरसन से x + 2y + 3z = 14, 3x + y + 2z = 11, 2x + 3y + z = 11 हल कीजिए।

स्तंभ 1: सबसे बड़ा धुरी 3 है, अतः R₁ और R₂ परस्पर बदलें: (3, 1, 2 | 11), (1, 2, 3 | 14), (2, 3, 1 | 11)।

R₂ − (1/3)R₁ = (0, 5/3, 7/3 | 31/3) और R₃ − (2/3)R₁ = (0, 7/3, −1/3 | 11/3)।

स्तंभ 2: 7/3 > 5/3, अतः इन दो पंक्तियों को बदलें; तब (0, 5/3, 7/3 | 31/3) − (5/7)(0, 7/3, −1/3 | 11/3) = (0, 0, 18/7 | 54/7)।

पश्च प्रतिस्थापन: z = 3; (7/3)y − 1 = 11/3 से y = 2; 3x + 2 + 6 = 11 से x = 1।

उदाहरण 5: गाउस-जॉर्डन विधि से A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]] का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

[A | I] से आरंभ करें। स्तंभ 1 (R₁/2, फिर R₂ − R₁, R₃ − R₁): (1, 1/2, 1/2 | 1/2, 0, 0), (0, 3/2, 1/2 | −1/2, 1, 0), (0, 1/2, 3/2 | −1/2, 0, 1)।

स्तंभ 2 (R₂ × 2/3, फिर ऊपर और नीचे शून्य करें): (1, 0, 1/3 | 2/3, −1/3, 0), (0, 1, 1/3 | −1/3, 2/3, 0), (0, 0, 4/3 | −1/3, −1/3, 1)।

स्तंभ 3 (R₃ × 3/4, फिर शून्य करें): (1, 0, 0 | 3/4, −1/4, −1/4), (0, 1, 0 | −1/4, 3/4, −1/4), (0, 0, 1 | −1/4, −1/4, 3/4)।

अतः A⁻¹ = (1/4)[[3, −1, −1], [−1, 3, −1], [−1, −1, 3]]; जाँच: A की पंक्ति 1 और A⁻¹ के स्तंभ 1 का गुणनफल (6 − 1 − 1)/4 = 1, और पंक्ति 1 तथा स्तंभ 2 का (−2 + 3 − 1)/4 = 0।

उदाहरण 6: (0, 0, 0) से आरंभ कर जैकोबी और गाउस-सीडल विधियों से 27x + 6y − z = 85, 6x + 15y + 2z = 72, x + y + 54z = 110 हल कीजिए और तुलना कीजिए।

आव्यूह निरपेक्षतः विकर्ण प्रधान है (27 > 7, 15 > 8, 54 > 2), अतः दोनों विधियाँ अभिसारी हैं।

जैकोबी: (3.1481, 4.8000, 2.0370), (2.1569, 3.2691, 1.8898), (2.4917, 3.6852, 1.9366), (2.4009, 3.5451, 1.9226), (2.4316, 3.5833, 1.9269)।

गाउस-सीडल: (3.1481, 3.5407, 1.9132), (2.4322, 3.5720, 1.9258), (2.4257, 3.5729, 1.9260), (2.4255, 3.5730, 1.9260)।

हल x = 2.4255, y = 3.5730, z = 1.9260: गाउस-सीडल चार पुनरावृत्तियों में स्थिर हो जाती है, जबकि जैकोबी पाँच के बाद भी दोलन कर रही है।

उदाहरण 7: सिद्ध या असिद्ध कीजिए: व्युत्क्रमणीय गुणांक आव्यूह वाले प्रत्येक निकाय के लिए गाउस-सीडल विधि अभिसारी है।

असत्य। x + 2y = 3, 3x + y = 4 (हल (1, 1)) के लिए पुनरावृत्ति x = 3 − 2y, y = 4 − 3x, (0, 0) से (3, −5), (13, −35), (73, −215) देती है, जो अपसारी है।

इसका पुनरावृत्ति आव्यूह −(D + L)⁻¹U = [[0, −2], [0, 6]] है, जिसकी स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 6 > 1 है।

समीकरणों का क्रम बदलने पर विकर्ण प्रधान निकाय 3x + y = 4, x + 2y = 3 मिलता है; तब x = (4 − y)/3, y = (3 − x)/2 से (1.3333, 0.8333), (1.0556, 0.9722), (1.0093, 0.9954), (1.0015, 0.9992) → (1, 1)।

12. LU वियोजन और व्यावहारिक बिंदु

LU वियोजन (LU decomposition): यदि A के सभी अग्रणी मुख्य उपसारणिक शून्येतर हों, तो A = LU, जहाँ L इकाई निम्न त्रिभुजाकार और U उपरि त्रिभुजाकार है (डूलिटल विधि); क्राउट विधि में 1 को U के विकर्ण पर रखा जाता है।

डूलिटल सूत्र: u_1j = a_1j, l_i1 = a_i1/u₁₁; फिर पंक्ति-दर-पंक्ति u_ij = a_ij − ∑_k=1ⁱ⁻¹ l_iku_kj (j ≥ i) तथा l_ij = (a_ij − ∑_k=1^j−1 l_iku_kj)/u_jj (i > j)।

तब Ax = b को Ly = b (अग्र प्रतिस्थापन) और Ux = y (पश्च प्रतिस्थापन) से हल किया जाता है; L में गाउसीय निरसन के गुणक होते हैं, अतः एक ही वियोजन अनेक दक्षिण पक्षों के लिए काम आता है।

उदाहरण 8: LU वियोजन से x + y + z = 1, 4x + 3y − z = 6, 3x + 5y + 3z = 4 हल कीजिए।

u₁₁ = u₁₂ = u₁₃ = 1; l₂₁ = 4, l₃₁ = 3; u₂₂ = 3 − 4 = −1, u₂₃ = −1 − 4 = −5; l₃₂ = (5 − 3)/(−1) = −2; u₃₃ = 3 − 3 − (−2)(−5) = −10।

Ly = b: y₁ = 1, y₂ = 6 − 4 = 2, y₃ = 4 − 3 + 2(2) = 5; Ux = y: −10z = 5, −y − 5z = 2, x + y + z = 1 से z = −1/2, y = 1/2, x = 1 (जाँच: 3 + 5/2 − 3/2 = 4)।

गाउस-जॉर्डन के मुख्य चरण (सैद्धांतिक भाग): (1) [A | b] या [A | I] लिखें; (2) k = 1 से n तक स्तंभ k में शून्येतर (अधिमानतः सबसे बड़ा) धुरी अवयव चुनें, आवश्यकता हो तो पंक्तियाँ बदलें और धुरी पंक्ति को धुरी से विभाजित करें; (3) अन्य सभी पंक्तियों से धुरी पंक्ति के गुणज घटाएँ ताकि स्तंभ k इकाई सदिश बने; (4) दाएँ खंड से x या A⁻¹ पढ़ें; धुरी पर और उसके नीचे पूरा शून्य स्तंभ होने का अर्थ है कि A अव्युत्क्रमणीय है।

गाउस-सीडल हेतु पुनर्व्यवस्था: प्रत्येक अज्ञात के लिए वह समीकरण चुनें जिसमें उसका गुणांक अन्य गुणांकों पर प्रधान हो, ताकि प्रत्येक पंक्ति सख़्ती से विकर्ण-प्रधान बने; तब अभिसरण सुनिश्चित है। प्रधानता पर्याप्त है, आवश्यक नहीं: वास्तविक कसौटी यह है कि पुनरावृत्ति आव्यूह की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 1 से कम हो।

13. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 15 अंक): समीकरणों के निकाय 3x₁ + 9x₂ − 2x₃ = 11, 4x₁ + 2x₂ + 13x₃ = 24, 4x₁ − 2x₂ + x₃ = −8 का गाउस-सीडल विधि द्वारा 4 सार्थक अंकों तक सही हल ज्ञात कीजिए, यह सत्यापन करने के बाद कि क्या यह विधि आपके द्वारा निकाय के रूपांतरित रूप में अनुप्रयोज्य है।

दिए गए रूप में कोई पंक्ति विकर्ण-प्रधान नहीं है। पुनर्व्यवस्था: x₁ के लिए तीसरा समीकरण (|4| > |−2| + |1|), x₂ के लिए पहला (|9| > |3| + |−2|) और x₃ के लिए दूसरा (|13| > |4| + |2|)।

निकाय 4x₁ − 2x₂ + x₃ = −8, 3x₁ + 9x₂ − 2x₃ = 11, 4x₁ + 2x₂ + 13x₃ = 24 सख़्ती से विकर्ण-प्रधान है, अतः गाउस-सीडल लागू होता है और किसी भी आरंभ से अभिसरित होता है।

योजना: x₁ = (−8 + 2x₂ − x₃)/4, x₂ = (11 − 3x₁ + 2x₃)/9, x₃ = (24 − 4x₁ − 2x₂)/13, (0, 0, 0) से आरंभ।

पुनरावृत्त मान: (−2, 1.88889, 2.17094), (−1.59829, 2.23742, 1.99372), (−1.37972, 2.12518, 1.94373), (−1.42334, 2.12861, 1.95663), (−1.42485, 2.13198, 1.95657), (−1.42315, 2.13140, 1.95614), (−1.42333, 2.13136, 1.95620), (−1.42337, 2.13139, 1.95621)।

उत्तर: x₁ = −1.423, x₂ = 2.131, x₃ = 1.956 (4 सार्थक अंक); यथार्थ हल (−195/137, 292/137, 268/137) है।

उदाहरण 10 (UPSC 2019, 15 अंक): निम्नलिखित समीकरणों को गाउस-साईडल पुनरावृत्ति विधि से हल, दशमलव के सही तीन स्थानों तक करें :
2x + y − 2z = 17,
3x + 20y − z = −18,
2x − 3y + 20z = 25.

[मुद्रित रूप में पहला गुणांक 2 है; पाठ्यपुस्तकों में प्रायः 20x + y − 2z = 17 छपता है, जो हल किए गए प्रश्नों वाले विषय में हल है (उत्तर (1, −1, 1))। यहाँ मुद्रित निकाय हल किया गया है।]

योजना: x = (17 − y + 2z)/2, y = (−18 − 3x + z)/20, z = (25 − 2x + 3y)/20, (0, 0, 0) से। पंक्ति 1 प्रधान नहीं है (2 < 1 + 2), परंतु गाउस-सीडल पुनरावृत्ति आव्यूह की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या लगभग 0.074 < 1 है, अतः विधि अभिसारी है।

पुनरावृत्त मान: (8.5, −2.175, 0.07375), (9.66125, −2.34550, −0.06795), (9.60480, −2.34412, −0.06210), (9.60996, −2.34460, −0.06269), (9.60961, −2.34458, −0.06265), (9.60964, −2.34458, −0.06265)।

उत्तर: x = 9.610, y = −2.345, z = −0.063 (तीन दशमलव); यथार्थतः (3988/415, −973/415, −26/415), जो तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): त्रिभुजीय निकाय 2x + y + z = 6, 3y − z = 4, 2z = 4 हल कीजिए।

उत्तर: z = 2, y = (4 + 2)/3 = 2, x = (6 − 2 − 2)/2 = 1।

अभ्यास 2 (मूल): क्या [[5, 2, 1], [1, 4, 2], [2, 1, 6]] सुस्पष्ट विकर्ण प्रधान है? इससे क्या सुनिश्चित होता है?

उत्तर: हाँ (5 > 3, 4 > 3, 6 > 3); जैकोबी और गाउस-सीडल प्रत्येक दाएँ पक्ष और प्रत्येक आरंभिक सदिश के लिए अभिसरित होती हैं।

अभ्यास 3 (मूल): 10x + y = 11, 2x + 10y = 12 के जैकोबी सूत्र लिखिए और (0, 0) से एक पुनरावृत्ति कीजिए।

उत्तर: x = (11 − y)/10, y = (12 − 2x)/10; एक चरण (1.1, 1.2) देता है (हल (1, 1) है)।

अभ्यास 4 (मानक): गाउसीय विलोपन से x + y + z = 9, 2x − 3y + 4z = 13, 3x + 4y + 5z = 40 हल कीजिए।

उत्तर: R₂ − 2R₁: −5y + 2z = −5; R₃ − 3R₁: y + 2z = 13; फिर 12z = 60, अतः z = 5, y = 3, x = 1।

अभ्यास 5 (मानक): गाउस-जॉर्डन विधि से [[1, 2], [3, 4]] का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: [[−2, 1], [3/2, −1/2]]।

अभ्यास 6 (मानक): [[1, 1, 1], [2, 3, 1], [1, 2, 3]] का डूलिटल गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: L = [[1, 0, 0], [2, 1, 0], [1, 1, 1]], U = [[1, 1, 1], [0, 1, −1], [0, 0, 3]] (det = 3)।

अभ्यास 7 (मानक): (0, 0) से 5x + y = 7, x + 4y = 6 के लिए गाउस-सीडल की तीन पुनरावृत्तियाँ कीजिए और यथार्थ हल से तुलना कीजिए।

उत्तर: (1.4, 1.15), (1.17, 1.2075), (1.1585, 1.210375); यथार्थ (22/19, 23/19) = (1.157895, 1.210526)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): आंशिक धुरीकरण सहित गाउसीय विलोपन से 2x + 3y − z = 5, 4x + 4y − 3z = 3, −2x + 3y − z = 1 हल कीजिए।

उत्तर: धुरी 4 (पहले पंक्ति 2), फिर स्तंभ 2 में धुरी 5; हल x = 1, y = 2, z = 3 है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): A = [[1, 2, −2], [1, 1, 1], [2, 2, 1]] के लिए दिखाइए कि जैकोबी विधि अभिसरित होती है जबकि गाउस-सीडल विधि अपसरित होती है।

उत्तर: जैकोबी आव्यूह T के लिए T³ = 0 (सभी आइगेन मान 0), अतः जैकोबी अधिकतम तीन चरणों में हल तक पहुँचती है; गाउस-सीडल आव्यूह के आइगेन मान 0, 2, 2 हैं, अतः ρ = 2 > 1 और यह अपसरित होती है (b = (1, 3, 5) के लिए 0 से पुनरावृत्त असीमित रूप से बढ़ते हैं)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): A = [[1, 2], [1.001, 2]] की प्रतिबंध संख्या ‖A‖_∞‖A⁻¹‖_∞ निकालिए और उसकी व्याख्या कीजिए।

उत्तर: A⁻¹ = [[−1000, 1000], [500.5, −500]], ‖A‖_∞ = 3.001, ‖A⁻¹‖_∞ = 2000, अतः प्रतिबंध संख्या 6002 है: b में सापेक्ष परिवर्तन x में लगभग 6000 गुना तक बढ़ सकता है।

1. अंतर सारणी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समान चरणों पर मानों की सारणियाँ (किसी फलन की, या मापों की) अंतर्वेशन (interpolation) की कच्ची सामग्री हैं। सूत्र चुनने से पहले हमें देखना होता है कि मान पंक्ति-दर-पंक्ति कैसे बदलते हैं, और अंतर सारणी यह एक दृष्टि में दिखाती है।

शब्दों में: x_i = x₀ + ih के साथ प्रथम अंतर Δy_i = y_i+1 − y_i एक चरण पर परिवर्तन है; Δ²y_i = Δy_i+1 − Δy_i परिवर्तन का परिवर्तन है, इत्यादि। सारणी का प्रत्येक स्तंभ उसके बाएँ स्तंभ के पड़ोसियों को घटाकर बनता है।

अंतर अवकलजों की तरह व्यवहार करते हैं: घात n के बहुपद के लिए n-वें अंतर अचर (n!a_nhⁿ) होते हैं और उच्चतर शून्य। अतः सारणी आँकड़ों की घात प्रकट करती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x = 0, 1, 2, 3, 4 के लिए y = x³ − 2x की अग्र अंतर सारणी बनाइए।

चरण 1: मान y = 0, −1, 4, 21, 56 हैं।

चरण 2: प्रथम अंतर: −1 − 0 = −1, 4 − (−1) = 5, 21 − 4 = 17, 56 − 21 = 35।

चरण 3: द्वितीय अंतर: 6, 12, 18।

चरण 4: तृतीय अंतर: 6, 6; चतुर्थ अंतर: 0।

चरण 5: तृतीय अंतर अचर हैं, जैसा घन के लिए होना चाहिए: 3! × a₃ × h³ = 6 × 1 × 1 = 6।

चरण 6: सारणी को विकर्णों से पढ़ें: ऊपरी विकर्ण y₀ = 0, Δy₀ = −1, Δ²y₀ = 6, Δ³y₀ = 6 अग्र सूत्र में जाता है, और निचला विकर्ण 56, 35, 18, 6 (अर्थात् ∇y₄, ∇²y₄, ∇³y₄) पश्च सूत्र में।

चरण 7: ध्यान दें कि कोई त्रुटि कैसे दिखेगी: यदि 21 गलती से 22 छपा होता, तो तृतीय अंतर 6, 6 के स्थान पर 7, 3 हो जाते, क्योंकि त्रुटि द्विपद भारों 1, −3, 3, −1 के साथ फैलती है।

अ-उदाहरण (non-example): बिंदुओं x = 0, 1, 3 और y = 1, 3, 2 के लिए चरण अचर नहीं है, अतः y₂ − y₁ = −1 दो इकाइयों पर परिवर्तन है जबकि y₁ − y₀ = 2 एक इकाई पर; इनकी तुलना का कोई अर्थ नहीं। विफल प्रतिबंध समान अंतराल है; ऐसे आँकड़ों के लिए विभाजित अंतर या लग्रांज सूत्र चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: संकारक रूप में Δ = E − 1 और ∇ = 1 − E⁻¹, जहाँ Ey_i = y_i+1, और टेलर श्रेणी E = e^hD देती है (नीचे 'परिमित अंतर')। इन सर्वसमिकाओं से अंतर्वेशन सूत्र द्विपद प्रमेय से निकलते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: न्यूटन सूत्र, लुप्त-मान प्रश्न (Δⁿ = 0 मानकर), गलत सारणी प्रविष्टि पकड़ना, और संख्यात्मक अवकलन तथा समाकलन।

2. न्यूटन के अग्र और पश्च सूत्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम सारणीबद्ध बिंदुओं के बीच सारणीबद्ध फलन का मान चाहते हैं, उन बिंदुओं से होकर जाने वाले बहुपद का प्रयोग करके। न्यूटन सूत्र उस बहुपद को सीधे सारणी में पहले से उपस्थित अंतरों के पदों में लिखते हैं।

शब्दों में: p = (x − x₀)/h, x को आरंभिक पंक्ति से चरणों में मापता है। अग्र सूत्र y₀ + pΔy₀ + p(p − 1)Δ²y₀/2! + ... ऊपरी विकर्ण का प्रयोग करता है और सारणी के आरंभ के निकट x के लिए उपयुक्त है।

पश्च सूत्र y_n + p∇y_n + p(p + 1)∇²y_n/2! + ..., जहाँ p = (x − x_n)/h (सारणी के भीतर ऋणात्मक), निचले विकर्ण का प्रयोग करता है और अंत के निकट x के लिए उपयुक्त है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: पिछले पाठ की y = x³ − 2x की सारणी से अग्र सूत्र द्वारा y(0.5) और पश्च सूत्र द्वारा y(3.5) ज्ञात कीजिए।

चरण 1: अग्र, x₀ = 0, h = 1, p = 0.5; ऊपरी विकर्ण 0, −1, 6, 6 है।

चरण 2: गुणांक p = 0.5, p(p − 1)/2 = −0.125 और p(p − 1)(p − 2)/6 = 0.0625 हैं।

चरण 3: y(0.5) = 0 + 0.5(−1) − 0.125(6) + 0.0625(6) = −0.5 − 0.75 + 0.375 = −0.875, जो 0.5³ − 2(0.5) के बराबर है: यथार्थ, क्योंकि आँकड़े घन से आते हैं।

चरण 4: पश्च, x_n = 4, p = (3.5 − 4)/1 = −0.5; निचला विकर्ण 56, 35, 18, 6 है।

चरण 5: गुणांक p = −0.5, p(p + 1)/2 = −0.125 और p(p + 1)(p + 2)/6 = −0.0625 हैं।

चरण 6: y(3.5) = 56 − 0.5(35) − 0.125(18) − 0.0625(6) = 56 − 17.5 − 2.25 − 0.375 = 35.875 = 3.5³ − 7।

चरण 7: ध्यान दें कि पश्च गुणांकों में गुणनखंड p, p + 1, p + 2 हैं, जो x के x_n के निकट होने पर छोटे रहते हैं; इसीलिए प्रत्येक सूत्र सारणी के अपने सिरे पर प्रयुक्त होता है।

अ-उदाहरण (non-example): सारणी x = 0, ..., 4, y = 1, 2, 4, 8, 16, 2^x से आती है। इससे होकर जाने वाला चतुर्घात बहुपद P(10) = 1 + 10 + 45 + 120 + 210 = 386 देता है, जबकि 2¹⁰ = 1024। सारणी से बहुत बाहर बहिर्वेशन विफल होता है क्योंकि त्रुटि गुणनखंड p(p − 1)···(p − 4) विशाल हो जाता है; विफल प्रतिबंध 'x सारणी के भीतर या ठीक बाहर' है।

आगे बढ़ते हुए: y(x₀ + ph) = E^py₀ = (1 + Δ)^py₀, और Δⁿ पर रोकी गई द्विपद श्रेणी अग्र सूत्र है; (1 − ∇)^−p पश्च सूत्र देता है (नीचे 'व्युत्पत्ति: पश्च सूत्र और त्रुटि पद')।

सारणी के मध्य में x के लिए केंद्रीय-अंतर सूत्र (स्टर्लिंग, बेसल, एवरेट) x₀ से होकर जाने वाली रेखा के अंतरों का प्रयोग करते हैं और सबसे तेज़ी से अभिसरित होते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: संख्यात्मक अंतर्वेशन प्रश्न, UPSC 2021 में पूछी गई व्युत्पत्ति (नीचे उदाहरण 8), और अगले विषय के न्यूटन–कोट्स समाकलन नियम, जो इन बहुपदों का समाकलन करते हैं।

3. लग्रांज अंतर्वेशन सूत्र को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: मापे गए आँकड़े प्रायः असमान अंतराल पर होते हैं, और तब अंतर और p उपलब्ध नहीं होते। लग्रांज सूत्र किन्हीं भी भिन्न नोडों के लिए अंतर्वेशी बहुपद बनाता है।

शब्दों में: प्रत्येक नोड x_i के लिए आधार बहुपद L_i(x) = ∏_j≠i(x − x_j)/(x_i − x_j) बनाएँ। अंश L_i को प्रत्येक अन्य नोड पर शून्य करता है; हर L_i(x_i) = 1 बनाता है।

तब P(x) = ∑y_iL_i(x), x_i पर मान y_i लेता है, क्योंकि वहाँ ठीक एक पद बचता है। अद्वितीयता से यह न्यूटन वाला ही बहुपद है, केवल भिन्न रूप में लिखा हुआ।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (1, 2), (2, 3), (4, 11) से होकर f(3) का आकलन कीजिए।

चरण 1: L₀(3) = (3 − 2)(3 − 4)/((1 − 2)(1 − 4)) = (1)(−1)/(3) = −1/3।

चरण 2: L₁(3) = (3 − 1)(3 − 4)/((2 − 1)(2 − 4)) = (2)(−1)/(−2) = 1।

चरण 3: L₂(3) = (3 − 1)(3 − 2)/((4 − 1)(4 − 2)) = 2/6 = 1/3।

चरण 4: जाँच: −1/3 + 1 + 1/3 = 1, जैसा L_i का योग सदा होना चाहिए।

चरण 5: f(3) ≈ 2(−1/3) + 3(1) + 11(1/3) = −2/3 + 3 + 11/3 = 6।

चरण 6: तीनों पदों का प्रसार P(x) = x² − 2x + 3 देता है; जाँच P(1) = 2, P(2) = 3, P(4) = 11 और P(3) = 6।

अ-उदाहरण (non-example): यदि दो नोड संपाती हों, मान लें x₀ = x₁ = 1, तो हर x₀ − x₁ शून्य है और L₀ अपरिभाषित है; एक ही x पर दो भिन्न y-मानों के साथ कोई फलन बैठ ही नहीं सकता। विफल प्रतिबंध भिन्न नोड है; दी गई प्रवणताओं वाले पुनरावृत्त नोड इसके बजाय हर्माइट अंतर्वेशन तक ले जाते हैं।

आगे बढ़ते हुए: अद्वितीयता इसलिए है कि दो अंतर्वेशी बहुपदों के अंतर की घात ≤ n है और उसके n + 1 मूल हैं (नीचे 'अद्वितीयता प्रमेय')। विभाजित अंतर यही बहुपद न्यूटन रूप में देते हैं, जिसमें नया बिंदु फिर से आरंभ किए बिना जोड़ा जा सकता है।

x और y की भूमिकाएँ बदलने पर (प्रतिलोम अंतर्वेशन) यह आकलन होता है कि फलन कोई दिया मान कहाँ लेता है, बशर्ते नोडों पर y एकदिष्ट हो।

कहाँ प्रयोग होता है: असमान अंतराल के आँकड़े, 'इन बिंदुओं से होकर अद्वितीय बहुपद ज्ञात कीजिए' प्रश्न (UPSC 2025), लग्रांज से एवरेट और हर्माइट सीमाएँ (UPSC 2017, 2020), और अंतिम विषय की लग्रांज कलनविधि।

4. अंतर्वेशन त्रुटि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अंतर्वेशित मान केवल एक आकलन है। उस पर विश्वास करने, या यह तय करने के लिए कि कितने बिंदु या कौन-सा अंतराल प्रयोग करें, हमें f(x) − P(x) पर एक परिबंध चाहिए।

शब्दों में: यदि f के n + 1 संतत अवकलज हों, तो f(x) − P(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)w(x)/(n + 1)!, जहाँ w(x) = (x − x₀)(x − x₁)···(x − x_n) और ξ, x तथा नोडों द्वारा फैले अंतराल का कोई बिंदु है।

हम ξ नहीं जानते, अतः परिबंध लेते हैं: |f − P| ≤ M_n+1|w(x)|/(n + 1)!, जहाँ M_n+1 उस अंतराल पर |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है। गुणनखंड w(x) नोडों पर शून्य है और उनके बीच तथा बाहर सबसे बड़ा।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: नोडों 0, π/2, π पर f(x) = sin x का अंतर्वेशन कीजिए और त्रुटि परिबंध सहित sin(π/4) का आकलन कीजिए।

चरण 1: आँकड़े (0, 0), (π/2, 1), (π, 0) हैं; इनसे होकर जाने वाला द्विघात P(x) = 4x(π − x)/π² है (यह 0 और π पर शून्य और π/2 पर 1 है)।

चरण 2: P(π/4) = 4(π/4)(3π/4)/π² = 3/4 = 0.75।

चरण 3: वास्तविक मान sin(π/4) = 0.707107 है, अतः वास्तविक त्रुटि 0.707107 − 0.75 = −0.042893 है।

चरण 4: परिबंध के लिए n = 2, अतः हमें f‴ = −cos x चाहिए, और |f‴| ≤ 1, अतः M₃ = 1।

चरण 5: |w(π/4)| = (π/4)(π/4)(3π/4) = 3π³/64 ≈ 1.4534।

चरण 6: अतः |त्रुटि| ≤ 1 × 1.4534/3! ≈ 0.2422; वास्तविक त्रुटि 0.0429 इसके भीतर है।

चरण 7: ध्यान दें कि परिबंध किससे बना है: एक अवकलज गुणनखंड जो f पर निर्भर है, और एक नोड गुणनखंड w(x) जो केवल नोडों की स्थिति पर निर्भर है।

अ-उदाहरण (non-example): अधिक समान अंतराल वाले नोड जोड़ना सदा सहायक नहीं होता। [−1, 1] पर f(x) = 1/(1 + 25x²) के लिए n बढ़ने पर अंतर्वेशी बहुपद ±1 के निकट अधिकाधिक उग्र दोलन करते हैं (रुंगे परिघटना), क्योंकि M_n+1/(n + 1)!, max|w| के घटने से तेज़ बढ़ता है। विफल प्रतिबंध अवकलजों की सीमित वृद्धि है; चेबिशेव नोड या खंडशः अंतर्वेशन इसे ठीक करते हैं।

आगे बढ़ते हुए: सूत्र g(t) = f(t) − P(t) − [f(x) − P(x)]w(t)/w(x), जिसके n + 2 शून्य हैं, पर रोल प्रमेय n + 1 बार लगाकर सिद्ध होता है (नीचे 'व्युत्पत्ति: पश्च सूत्र और त्रुटि पद')।

चरण h पर रैखिक अंतर्वेशन के लिए यह |E| ≤ h²M₂/8 बन जाता है, और एक पट्टी पर समाकलित होकर समलंबी और सिम्पसन नियमों के त्रुटि पद देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'त्रुटि परिबंध और वास्तविक त्रुटि निकालिए' प्रश्न (UPSC 2016, 2025), दी गई शुद्धता के लिए सारणी अंतराल चुनना, और संख्यात्मक समाकलन के त्रुटि पद।

5. परिमित अंतर

समान अंतराल बिंदु x_i = x₀ + ih। अग्र अंतर Δy_i = y_i+1 − y_i; पश्च अंतर ∇y_i = y_i − y_i−1; विस्थापन संकारक Ey_i = y_i+1।

संबंध: Δ = E − 1, ∇ = 1 − E⁻¹, E = e^hD जहाँ D = d/dx, और Δ^ky₀ = ∇^ky_k।

यह क्यों काम करता है: Δy_i = Ey_i − y_i से Δ = E − 1, और ∇y_i = y_i − E⁻¹y_i से ∇ = 1 − E⁻¹; टेलर श्रेणी y(x + h) = y + hy′ + h²y″/2! + ... = (1 + hD + h²D²/2! + ...)y ही E = e^hD है। एक ही संख्या Δ^ky₀ और ∇^ky_k के रूप में आती है क्योंकि ∇ = ΔE⁻¹; सारणी में केवल उसका नाम बदलता है।

घात n के बहुपद के n-वें अंतर अचर (n! a_nhⁿ के बराबर) होते हैं और सभी उच्च अंतर शून्य होते हैं।

यह क्यों काम करता है: Δxⁿ = (x + h)ⁿ − xⁿ = nhxⁿ⁻¹ + (निम्न घातें), अतः प्रत्येक Δ घात को एक घटाता है और अग्रणी गुणांक को (घात) × h से गुणा करता है; n चरणों के बाद a_nxⁿ, n!a_nhⁿ बन जाता है। भाव: यह 'घात n के बहुपद का n-वाँ अवकलज अचर है' का विविक्त रूप है। इससे सारणीबद्ध आँकड़ों की घात पता चलती है, और कोई गलत प्रविष्टि उजागर होती है: एक मान में त्रुटि ε, k-वें अंतरों में एकांतर चिह्नों वाले द्विपद गुणांकों गुना ε के रूप में फैलती है (द्वितीय अंतरों में ε, −2ε, ε)।

6. न्यूटन का अग्र अंतर्वेशन सूत्र

y(x₀ + ph) = y₀ + pΔy₀ + p(p − 1)/2! Δ²y₀ + p(p − 1)(p − 2)/3! Δ³y₀ + ..., जहाँ p = (x − x₀)/h।

सारणी के आरंभ के निकट अंतर्वेशन के लिए इसका प्रयोग करें।

भाव: अग्र सूत्र y₀ से नीचे जाने वाले विकर्ण के अंतरों का प्रयोग करता है, जो x₀, x₁, x₂, ... से बनते हैं; जब x, x₀ के निकट होता है तो ये नोड x के निकट होते हैं, गुणनखंड p(p − 1)...(p − k) छोटे रहते हैं और श्रेणी कुछ पदों के बाद स्थिर हो जाती है। x₀ कोई भी सारणीबद्ध बिंदु हो सकता है: x के ठीक नीचे वाला लें।

उदाहरण 1: x = 0, 1, 2, 3 और y = 0, 1, 8, 27 (x³ के मान): Δy₀ = 1, Δ²y₀ = 6, Δ³y₀ = 6।

y(0.5) के लिए p = 0.5: y = 0 + 0.5 − 0.75 + 0.375 = 0.125 = (0.5)³, यथार्थ क्योंकि आँकड़े त्रिघात बहुपद से हैं।

7. न्यूटन का पश्च अंतर्वेशन सूत्र

y(x_n + ph) = y_n + p∇y_n + p(p + 1)/2! ∇²y_n + p(p + 1)(p + 2)/3! ∇³y_n + ..., जहाँ p = (x − x_n)/h (सारणी के भीतर p < 0)।

सारणी के अंत के निकट तथा उससे थोड़ा आगे बहिर्वेशन के लिए इसका प्रयोग करें।

भाव: पश्च सूत्र y_n से ऊपर जाने वाले विकर्ण पर चढ़ता है और x_n, x_n−1, ... का प्रयोग करता है, जो सारणी के अंत के निकटतम नोड हैं, इसीलिए वहाँ यह स्वाभाविक चयन है; सारणी से बहुत बाहर कोई भी अंतर्वेशी बहुपद अविश्वसनीय हो जाता है।

उदाहरण 2: वही सारणी, y(2.5): x_n = 3, p = −0.5, ∇y₃ = 19, ∇²y₃ = 12, ∇³y₃ = 6।

y = 27 − 9.5 − 1.5 − 0.375 = 15.625 = (2.5)³।

8. लग्रांज अंतर्वेशन सूत्र

P(x) = ∑_i=0ⁿ L_i(x)y_i, जहाँ L_i(x) = ∏_j≠i (x − x_j)/(x_i − x_j); अतः i = j होने पर L_i(x_j) = 1 और अन्यथा 0।

असमान अंतराल वाले बिंदुओं पर कार्य करता है; सभी x के लिए ∑L_i(x) = 1।

यह क्यों काम करता है: L_i को इस प्रकार बनाया गया है कि वह x_i के अतिरिक्त प्रत्येक नोड पर शून्य हो (अंश) और x_i पर 1 के बराबर हो (हर)। अचर फलन 1 का अंतर्वेशन यथार्थ है, अतः ∑L_i(x) · 1 = 1, जो हस्त गणना की उपयोगी जाँच है।

अद्वितीयता प्रमेय: भिन्न x_i वाले n + 1 बिंदुओं से घात ≤ n का ठीक एक बहुपद जाता है; न्यूटन और लग्रांज रूप एक ही बहुपद को भिन्न प्रकार से लिखते हैं।

यह क्यों काम करता है: यदि P और Q दोनों आँकड़ों का अंतर्वेशन करते हैं, तो P − Q की घात ≤ n है और यह n + 1 भिन्न बिंदुओं पर शून्य है, अतः यह शून्य बहुपद है। तुल्य रूप से, नोडों का वान्डरमॉन्ड आव्यूह व्युत्क्रमणीय है।

त्रुटि: यदि f के n + 1 संतत अवकलज हों, तो x और नोडों को समाहित करने वाले लघुतम अंतराल में किसी ξ के लिए f(x) − P(x) = [f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)!](x − x₀)(x − x₁)...(x − x_n)।

उदाहरण 3: (0, 1), (1, 3), (3, 2) से f(2) का आकलन कीजिए।

L₀(2) = (2 − 1)(2 − 3)/((0 − 1)(0 − 3)) = −1/3, L₁(2) = (2 − 0)(2 − 3)/((1 − 0)(1 − 3)) = 1, L₂(2) = (2 − 0)(2 − 1)/((3 − 0)(3 − 1)) = 1/3।

f(2) ≈ 1 · (−1/3) + 3 · 1 + 2 · (1/3) = 10/3।

विभाजित अंतर (divided differences): f[x₀, x₁] = (f₁ − f₀)/(x₁ − x₀), और P(x) = f₀ + (x − x₀)f[x₀, x₁] + (x − x₀)(x − x₁)f[x₀, x₁, x₂] + ...; नया बिंदु पुनर्गणना के बिना जोड़ा जा सकता है।

भाव: विभाजित अंतर (divided difference) मापित अवकलज जैसा व्यवहार करता है: नोडों के बीच किसी ξ के लिए f[x₀, ..., x_k] = f^(k)(ξ)/k!, और यह नोडों के क्रम पर निर्भर नहीं करता। समान अंतराल के लिए f[x₀, ..., x_k] = Δ^ky₀/(k!h^k), जो विभाजित-अंतर सूत्र को न्यूटन के अग्र सूत्र में बदल देता है।

प्रतिलोम अंतर्वेशन: दिए गए y के संगत x ज्ञात करने हेतु लग्रांज सूत्र में x और y की भूमिकाएँ बदल दें।

भाव: यह x को y का फलन मानता है, जो तभी सार्थक है जब प्रयुक्त नोडों पर y एकदिष्ट (monotonic) हो; अन्यथा अनेक x एक ही y देते हैं और सूत्र विश्वसनीय रूप से किसी को नहीं चुनता।

9. व्युत्पत्ति: पश्च सूत्र और त्रुटि पद

पश्च सूत्र: x = x_n + ph के साथ y(x) = E^py_n, और E⁻¹ = 1 − ∇ से द्विपद श्रेणी द्वारा E^p = (1 − ∇)^−p = 1 + p∇ + p(p + 1)∇²/2! + p(p + 1)(p + 2)∇³/3! + ...; y_n पर लगाने पर यही खंड 7 का सूत्र है (अग्र सूत्र इसी प्रकार (1 + Δ)^p से आता है, खंड 13)।

त्रुटि पद: x (जो नोड नहीं है) को स्थिर करें, w(t) = (t − x₀)(t − x₁)...(t − x_n) और g(t) = f(t) − P(t) − [f(x) − P(x)]w(t)/w(x) लें।

g, n + 2 बिंदुओं x₀, ..., x_n और x पर शून्य है, अतः रोल प्रमेय से g′ के n + 1 शून्यक हैं, g″ के n, ..., और g⁽ⁿ⁺¹⁾ का x और नोडों को समाहित करने वाले सबसे छोटे अंतराल में एक शून्यक ξ है।

चूँकि P की घात ≤ n है, P⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0, और w⁽ⁿ⁺¹⁾ = (n + 1)!; अतः 0 = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) − [f(x) − P(x)](n + 1)!/w(x), जो f(x) − P(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)w(x)/(n + 1)! है।

x = x₀ + ph के साथ w(x) = hⁿ⁺¹p(p − 1)...(p − n), जो खंड 13 में उद्धृत न्यूटन अग्र सूत्र की त्रुटि देता है।

10. विधि का चयन

यदि आँकड़े समान अंतराल पर हैं और x आरंभ के निकट है → न्यूटन अग्र; अंत के निकट या उससे थोड़ा आगे → न्यूटन पश्च; मध्य में → स्टर्लिंग (|p| ≤ 1/4) या बेसेल/एवरेट (p लगभग 1/2)।

यदि बिंदु असमान अंतराल पर हैं → एक मान के लिए लग्रांज, और जब बहुपद विस्तारित रूप में चाहिए या और बिंदु जोड़े जा सकते हैं तब विभाजित अंतर।

यदि दिए गए y के लिए x चाहिए → प्रतिलोम अंतर्वेशन (जाँचें कि y एकदिष्ट है); यदि अवकलज मान भी दिए हैं → हर्माइट अंतर्वेशन।

यदि सारणी की कोई प्रविष्टि लुप्त है → k ज्ञात मानों के साथ घात k − 1 मानें, अतः Δ^k−1y अचर और परिसर पर Δ^ky = 0, और E = 1 + Δ से प्रसार करें।

11. सामान्य गलतियाँ

असमान अंतराल पर न्यूटन सूत्र: इन्हें अचर h चाहिए; इसके स्थान पर लग्रांज या विभाजित अंतर का प्रयोग करें।

सदैव पहली पंक्ति से आरंभ करना: सारणी के भीतर गहरे x के लिए x₀ के रूप में x के ठीक नीचे का सारणीबद्ध बिंदु चुनें और उसी पंक्ति का विकर्ण पढ़ें।

L_i में चिह्न की भूलें: प्रत्येक L_i(x) अलग से ज्ञात करें और जाँचें कि उनका योग 1 है।

विभाजित अंतरों में गलत हर: f[x₀, x₁, x₂] = (f[x₁, x₂] − f[x₀, x₁])/(x₂ − x₀), सबसे बाहरी नोड, x₂ − x₁ नहीं।

लुप्त-मान समस्याएँ: मानी गई घात न बताना, या गलत n के साथ Δⁿ = 0 का प्रयोग; घात के साथ उत्तर बदल जाता है (उदाहरण 5)।

संबंध: अगले विषय के समलंबी और सिम्पसन नियम इन अंतर्वेशी बहुपदों के समाकल हैं, और उनके त्रुटि पद ऊपर व्युत्पन्न त्रुटि सूत्र से आते हैं।

संबंध: E = e^hD टेलर प्रमेय (कलन) है, रोल तर्क वही है जो टेलर शेषफल के लिए प्रयुक्त होता है, और L_i घात ≤ n वाले बहुपदों की सदिश समष्टि का एक आधार बनाते हैं (रैखिक बीजगणित)।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: सारणी x = 0, 1, 2, 3, 4; y = 1, 2, 4, 8, 16, y = 2^x से बनी है। न्यूटन अग्र सूत्र से y(0.5) का आकलन कीजिए और √2 से तुलना कीजिए।

h = 1 के लिए Δ2^x = 2^x, अतः प्रत्येक अग्र अंतर 1 है: Δy₀ = Δ²y₀ = Δ³y₀ = Δ⁴y₀ = 1।

p = 0.5: y = 1 + 0.5 + (0.5)(−0.5)/2 + (0.5)(−0.5)(−1.5)/6 + (0.5)(−0.5)(−1.5)(−2.5)/24 = 1 + 0.5 − 0.125 + 0.0625 − 0.039063 = 1.398438।

√2 = 1.414214, अतः त्रुटि 0.0158 है: 2^x बहुपद नहीं है और उसके अंतर समाप्त नहीं होते, अतः पद धीरे-धीरे घटते हैं।

उदाहरण 5: यह मानकर कि y घात 3 का बहुपद है, सारणी x = 0, 1, 2, 3, 4; y = 1, 3, 9, ?, 81 का लुप्त मान ज्ञात कीजिए।

त्रिघाती के लिए Δ⁴y₀ = 0, अर्थात् (E − 1)⁴ y₀ = y₄ − 4y₃ + 6y₂ − 4y₁ + y₀ = 0।

81 − 4y₃ + 54 − 12 + 1 = 0 से 4y₃ = 124, अतः y₃ = 31।

(आँकड़े 3^x के निकट हैं, जिसके लिए y₃ = 27; उत्तर मानी गई घात पर निर्भर है, जिसका उल्लेख आवश्यक है।)

उदाहरण 6: न्यूटन के विभाजित अंतर सूत्र से (0, 2), (1, 3), (2, 12), (5, 147) से जाने वाला बहुपद और f(3) ज्ञात कीजिए।

प्रथम विभाजित अंतर: f[0, 1] = 1, f[1, 2] = 9, f[2, 5] = (147 − 12)/3 = 45।

द्वितीय: f[0, 1, 2] = (9 − 1)/2 = 4, f[1, 2, 5] = (45 − 9)/4 = 9। तृतीय: f[0, 1, 2, 5] = (9 − 4)/5 = 1।

P(x) = 2 + x + 4x(x − 1) + x(x − 1)(x − 2) = x³ + x² − x + 2, अतः f(3) = 27 + 9 − 3 + 2 = 35।

उदाहरण 7: x₀ = 0 और x₁ = 0.1 के बीच f(x) = e^x के रैखिक अंतर्वेशन की त्रुटि की सीमा ज्ञात कीजिए।

E(x) = f″(ξ)(x − x₀)(x − x₁)/2, और [x₀, x₁] पर |(x − x₀)(x − x₁)| ≤ h²/4 (मध्य बिंदु पर अधिकतम), जहाँ h = 0.1।

अतः |E| ≤ (h²/8) max|f″| = (0.01/8)e^0.1 = 0.00125 × 1.105171 ≈ 0.00138।

x = 0.05 पर जाँच: रैखिक मान (1 + 1.105171)/2 = 1.052585 और e^0.05 = 1.051271 में अंतर 0.001314 है, जो सीमा के भीतर है।

13. व्युत्पत्तियाँ, केंद्रीय अंतर और हर्माइट अंतर्वेशन

अग्र सूत्र की व्युत्पत्ति: x = x₀ + ph लेकर y(x) = E^py₀ = (1 + Δ)^py₀; Δⁿ पर रोका गया द्विपद प्रसार x₀, ..., x_n से जाने वाला घात n का बहुपद है, जिसकी त्रुटि p(p − 1)...(p − n)hⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)! है।

केंद्रीय अंतर (central differences): δ = E^1/2 − E^−1/2 तथा μ = (E^1/2 + E^−1/2)/2; δ²y₀ = Δ²y₋₁। केंद्रीय सूत्र x₀ से होकर जाने वाली रेखा के अंतरों का प्रयोग करते हैं और सारणी के मध्य में सबसे तेज़ अभिसरित होते हैं: |p| ≤ 1/4 के लिए स्टर्लिंग, p ≈ 1/2 के लिए बेसल और एवरेट।

स्टर्लिंग: y_p = y₀ + p(Δy₀ + Δy₋₁)/2 + (p²/2!)Δ²y₋₁ + [p(p² − 1)/3!](Δ³y₋₁ + Δ³y₋₂)/2 + [p²(p² − 1)/4!]Δ⁴y₋₂ + ...

एवरेट: q = 1 − p लेकर y_p = qy₀ + [q(q² − 1)/3!]δ²y₀ + ... + py₁ + [p(p² − 1)/3!]δ²y₁ + ..., जिसमें केवल सम कोटि के अंतर आते हैं (δ²y₀ = Δ²y₋₁, δ²y₁ = Δ²y₀)।

हर्माइट (स्पर्शी) अंतर्वेशन (Hermite interpolation): यदि n + 1 भिन्न नोडों पर f और f′ दिए हों, तो दोनों से मेल खाने वाला घात ≤ 2n + 1 का अद्वितीय बहुपद होता है, जिसकी त्रुटि f⁽²ⁿ⁺²⁾(ξ)∏(x − x_i)²/(2n + 2)! है; यह नोड-युग्मों के संपाती होने पर लग्रांज अंतर्वेशन की सीमा है।

जब f दिया न हो तब परिबंध: रुंडन त्रुटि को |E(x)| ≤ M_n+1 max|∏(x − x_i)|/(n + 1)! के रूप में लिखें, जहाँ M_n+1 = अंतराल पर max|f⁽ⁿ⁺¹⁾|, और max|∏(x − x_i)| कलन से ज्ञात करें।

14. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2021, 15 अंक): न्यूटन के पश्चांतर अंतर्वेशन सूत्र की व्युत्पत्ति कीजिए तथा त्रुटि-विश्लेषण भी कीजिए।

मान लें x_i = x₀ + ih (i = 0, ..., n) और x = x_n + ph। चूँकि E⁻¹ = 1 − ∇, y(x) = E^py_n = (1 − ∇)^−py_n = [1 + p∇ + p(p + 1)/2! ∇² + ...]y_n।

∇ⁿ पर रोकने पर: P(x) = y_n + p∇y_n + p(p + 1)/2! ∇²y_n + ... + p(p + 1)...(p + n − 1)/n! ∇ⁿy_n, जो x में घात n का बहुपद है।

x = x_n−k (p = −k, 0 ≤ k ≤ n) पर जाँच: j-वाँ गुणांक (−1)^jC(k, j) बनता है, जो j > k के लिए शून्य है, अतः P = (1 − ∇)^ky_n = E^−ky_n = y_n−k; P सभी n + 1 बिंदुओं से होकर जाता है।

त्रुटि: w(t) = (t − x₀)...(t − x_n) तथा किसी अ-नोड स्थिर x के लिए g(t) = f(t) − P(t) − [f(x) − P(x)]w(t)/w(x) लें; g, n + 2 बिंदुओं x₀, ..., x_n, x पर शून्य है, अतः रोल प्रमेय बार-बार लगाने से उन्हें समाहित करने वाले अंतराल के किसी ξ के लिए g⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) = 0।

चूँकि P⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0 और w⁽ⁿ⁺¹⁾ = (n + 1)!, f(x) − P(x) = w(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)!; x − x_n−k = (p + k)h से यह E(x) = p(p + 1)...(p + n)hⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)! ≈ [p(p + 1)...(p + n)/(n + 1)!]∇ⁿ⁺¹y_n है।

उत्तर: ऊपर दिया न्यूटन का पश्चांतर सूत्र, त्रुटि p(p + 1)...(p + n)hⁿ⁺¹f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)! सहित, जो छोटे |p| अर्थात् सारणी के अंत के निकट छोटी होती है।

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 15 अंक): दिए गए समदूरस्थ मान u₋₁, u₀, u₁ और u₂ के लिए, एक मान लग्रांज फॉर्मूला से अंतर्वेशित किया जाता है। दर्शाइए कि इसको
u_x = yu₀ + xu₁ + (y(y² − 1)/3!) Δ²u₋₁ + (x(x² − 1)/3!) Δ²u₀
के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x + y = 1 है।

h = 1, नोड −1, 0, 1, 2 और y = 1 − x लें; तब दक्षिण पक्ष R(x), x में घात ≤ 3 का बहुपद है। अद्वितीयता से, यदि k = −1, 0, 1, 2 के लिए R(k) = u_k हो, तो R चार बिंदुओं से जाने वाला लग्रांज घन बहुपद है।

x = 0 (y = 1): दोनों घन पद शून्य हैं क्योंकि y(y² − 1) = 0 = x(x² − 1), अतः R = u₀; x = 1 (y = 0): R = u₁।

x = −1 (y = 2): R = 2u₀ − u₁ + (2 · 3/6)Δ²u₋₁ = 2u₀ − u₁ + (u₁ − 2u₀ + u₋₁) = u₋₁।

x = 2 (y = −1): R = −u₀ + 2u₁ + (2 · 3/6)Δ²u₀ = −u₀ + 2u₁ + (u₂ − 2u₁ + u₀) = u₂।

उत्तर: R चारों नोडों पर u से मेल खाता है, अतः यही लग्रांज अंतर्वेशी घन बहुपद है; यह द्वितीय अंतरों तक एवरेट सूत्र है।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 15 अंक): बिन्दुओं x₀, x₀ + ε तथा x₁ के सापेक्ष तीन-बिन्दु लेगरान्ज-अन्तर्वेशन बहुपद को लिखिए। तदुपरान्त limit ε → 0 करने पर निम्नलिखित सम्बन्ध को स्थापित कीजिए : f(x) = ((x₁ − x)(x + x₁ − 2x₀)/(x₁ − x₀)²) f(x₀) + ((x − x₀)(x₁ − x)/(x₁ − x₀)) f′(x₀) + ((x − x₀)²/(x₁ − x₀)²) f(x₁) + E(x) जहाँ पर E(x) = (1/6)(x − x₀)²(x − x₁)f‴(ξ) त्रुटि-फलन है और न्यूनतम (x₀, x₀ + ε, x₁) < ξ < उच्चतम (x₀, x₀ + ε, x₁)

लग्रांज: P_ε(x) = f(x₀)(x − x₀ − ε)(x − x₁)/(−ε(x₀ − x₁)) + f(x₀ + ε)(x − x₀)(x − x₁)/(ε(x₀ + ε − x₁)) + f(x₁)(x − x₀)(x − x₀ − ε)/((x₁ − x₀)(x₁ − x₀ − ε))।

अद्वितीयता से यह न्यूटन रूप f(x₀) + (x − x₀)f[x₀, x₀ + ε] + (x − x₀)(x − x₀ − ε)f[x₀, x₀ + ε, x₁] के बराबर है; ε → 0 पर f[x₀, x₀ + ε] → f′(x₀) तथा f[x₀, x₀ + ε, x₁] → (f₁ − f₀ − hf′₀)/h², जहाँ h = x₁ − x₀।

अतः सीमा P(x) = f₀ + (x − x₀)f′₀ + (x − x₀)²(f₁ − f₀ − hf′₀)/h² है।

संग्रह करने पर: f₀ का गुणांक 1 − (x − x₀)²/h² = (x₁ − x)(x + x₁ − 2x₀)/h²; f′₀ का (x − x₀) − (x − x₀)²/h = (x − x₀)(x₁ − x)/h; f₁ का (x − x₀)²/h²।

त्रुटि: f(x) − P_ε(x) = (x − x₀)(x − x₀ − ε)(x − x₁)f‴(ξ_ε)/3!, और ε → 0 करने पर (f‴ संतत) E(x) = (1/6)(x − x₀)²(x − x₁)f‴(ξ) मिलता है।

उत्तर: दिया गया संबंध, जो f(x₀), f′(x₀) और f(x₁) से मेल खाने वाला हर्माइट-प्रकार का द्विघात बहुपद है।

उदाहरण 11 (UPSC 2016, 20 अंक): मान लीजिए x ∈ [0, 1] के लिए f(x) = e^2x cos 3x है। नोड x = 0, x = 0·3, x = 0·6 तथा x = 1 पर घात 3 के लग्रांज अंतर्वेशी बहुपद का इस्तेमाल करते हुए f(0·5) के मान का आकलन कीजिए। अन्तराल [0, 1] पर त्रुटि सीमा तथा वास्तविक त्रुटि E(0·5) का अभिकलन भी कीजिए।

मान: f(0) = 1, f(0.3) = 1.132647, f(0.6) = −0.754338, f(1) = −7.315110।

x = 0.5 पर: L₀ = (0.2)(−0.1)(−0.5)/((−0.3)(−0.6)(−1)) = −0.055556, L₁ = (0.5)(−0.1)(−0.5)/((0.3)(−0.3)(−0.7)) = 0.396825, L₂ = (0.5)(0.2)(−0.5)/((0.6)(0.3)(−0.4)) = 0.694444, L₃ = (0.5)(0.2)(−0.1)/((1)(0.7)(0.4)) = −0.035714।

P₃(0.5) = −0.055556 + 0.396825(1.132647) + 0.694444(−0.754338) − 0.035714(−7.315110) = 0.131316।

त्रुटि पद E(x) = f⁗(ξ)x(x − 0.3)(x − 0.6)(x − 1)/4!; चूँकि f = Re e^(2+3i)x, f⁗ = Re[(2 + 3i)⁴e^(2+3i)x] = e^2x(120 sin 3x − 119 cos 3x)।

[0, 1] पर max|f⁗| ≈ 998.3 (x = 0.98 के निकट; स्थूल परिबंध |2 + 3i|⁴e² = 169e² ≈ 1249 भी चलेगा) तथा max|x(x − 0.3)(x − 0.6)(x − 1)| ≈ 0.01755 (x = 0.855 के निकट)।

[0, 1] पर त्रुटि परिबंध: |E| ≤ 998.3 × 0.01755/24 ≈ 0.730; x = 0.5 पर |w(0.5)| = 0.005 से |E(0.5)| ≤ 998.3 × 0.005/24 ≈ 0.416।

उत्तर: f(0.5) ≈ 0.131316; वास्तविक f(0.5) = e cos 1.5 = 0.192284, अतः E(0.5) = 0.060968, जो परिबंध 0.730 के भीतर है।

उदाहरण 12 (UPSC 2025, 15 अंक): घात 2 या 2 से कम का वह अद्वितीय बहुपद, जो आँकड़ों
x : 0, 1, 3
f(x) : 1, 3, 55
पर ठीक बैठता है, ज्ञात कीजिए। रुंडन त्रुटि पर परिबंध भी प्राप्त कीजिए।

लग्रांज: P(x) = 1 · (x − 1)(x − 3)/3 + 3 · x(x − 3)/(−2) + 55 · x(x − 1)/6।

x² का गुणांक: 1/3 − 3/2 + 55/6 = 8; x का: −4/3 + 9/2 − 55/6 = −6; अचर 1। अतः P(x) = 8x² − 6x + 1 (जाँच: P(0) = 1, P(1) = 3, P(3) = 55)।

अद्वितीयता: ऐसे दो बहुपदों का अंतर घात ≤ 2 का बहुपद होगा जिसके तीन मूल 0, 1, 3 हैं, अतः वह शून्य है।

रुंडन त्रुटि E(x) = f‴(ξ)x(x − 1)(x − 3)/3!। w(x) = x³ − 4x² + 3x के लिए w′ = 3x² − 8x + 3 = 0, x = (4 ± √7)/3 = 0.4514, 2.2153 पर, जहाँ |w| = 0.6311 और 2.1126।

उत्तर: P(x) = 8x² − 6x + 1; 0 ≤ x ≤ 3 के लिए |E(x)| ≤ 2.1126 M₃/6 ≈ 0.352 M₃, जहाँ M₃ = [0, 3] पर max|f‴|।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): x = 0, 1, 2, 3 पर y = 2, 5, 10, 17 की अंतर सारणी बनाइए और आँकड़ों की घात बताइए।

उत्तर: Δy = 3, 5, 7; Δ²y = 2, 2; Δ³y = 0: घात 2 (y = x² + 2x + 2)।

अभ्यास 2 (मूल): h = 1 के साथ Δ(x²) और Δ²(x²) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Δx² = (x + 1)² − x² = 2x + 1 और Δ²x² = 2 = 2! × 1 × 1²।

अभ्यास 3 (मूल): f(1) = 3 और f(3) = 7 दिए हैं; रैखिक लग्रांज अंतर्वेशन से f(2) का आकलन कीजिए।

उत्तर: L₀(2) = L₁(2) = 1/2, अतः f(2) ≈ 5।

अभ्यास 4 (मानक): x = 0, 1, 2, 3 और y = 1, 2, 11, 34 से न्यूटन के अग्र सूत्र द्वारा अंतर्वेशी बहुपद और y(1.5) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Δy₀ = 1, Δ²y₀ = 8, Δ³y₀ = 6; P(x) = x³ + x² − x + 1 और y(1.5) = 5.125।

अभ्यास 5 (मानक): उसी सारणी से न्यूटन के पश्च सूत्र द्वारा y(2.5) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∇y₃ = 23, ∇²y₃ = 14, ∇³y₃ = 6, p = −0.5: y = 34 − 11.5 − 1.75 − 0.375 = 20.375।

अभ्यास 6 (मानक): लग्रांज सूत्र से (0, −1), (1, 1), (3, 23) से होकर जाने वाला द्विघात और f(2) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: P(x) = 3x² − x − 1, अतः f(2) ≈ 9।

अभ्यास 7 (मानक): (1, 1), (2, 5), (4, 17), (5, 26) के लिए न्यूटन के विभाजित अंतरों से f(3) का आकलन कीजिए।

उत्तर: f[1, 2] = 4, f[1, 2, 4] = 2/3, f[1, 2, 4, 5] = 1/12; P(3) = 1 + 8 + 4/3 − 1/6 = 61/6 ≈ 10.1667।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): सारणी x = 0, 1, 2, 3, 4, 5; y = 1, 3, ?, 31, ?, 131 एक घन से आती है। दोनों लुप्त मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Δ⁴y₀ = 0 से y₄ + 6y₂ = 135 और Δ⁴y₁ = 0 से y₄ + y₂ = 80, अतः y₂ = 11 और y₄ = 69 (घन x³ + x + 1 है)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): sin x (x रेडियन में) की एक सारणी का रैखिक अंतर्वेशन के साथ प्रयोग करना है। कौन-सा चरण h अधिकतम 5 × 10⁻⁷ अंतर्वेशन त्रुटि की गारंटी देता है?

उत्तर: M₂ = 1 के साथ |E| ≤ h²M₂/8, अतः h²/8 ≤ 5 × 10⁻⁷ से h ≤ 0.002।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): x = 1, 2, 3 और y = −2, 1, 6 से प्रतिलोम लग्रांज अंतर्वेशन द्वारा वह x आकलित कीजिए जिस पर y = 0।

उत्तर: y वर्धमान है, अतः y पर बने L_i के साथ x = ∑x_iL_i(0): 1(0.25) + 2(0.8) + 3(−0.05) = 1.7 (आँकड़े x² − 3 से आते हैं, जिसका मूल 1.7321 है)।

1. समलंबी और सिम्पसन नियमों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक समाकलों, जैसे ∫e^−x2 dx, का कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं होता, और प्रयोगों में समाकल्य केवल मानों की सारणी के रूप में ज्ञात होता है। हमें मानों y_i = f(x_i) से ∫_a^b f(x) dx का सन्निकटन करना होता है।

शब्दों में: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें। समलंबी नियम प्रत्येक पट्टी पर वक्र को उसकी जीवा से बदलता है; सिम्पसन का 1/3 नियम प्रत्येक पट्टी-युग्म पर उसे तीन बिंदुओं से होकर जाने वाले परवलय से बदलता है।

टुकड़ों को जोड़ने से भार मिलते हैं: समलंबी (h/2)(1, 2, 2, ..., 2, 1), सिम्पसन (h/3)(1, 4, 2, 4, ..., 4, 1), बाद वाला केवल सम n के लिए। त्रुटियाँ O(h²) और O(h⁴) हैं, अतः h आधा करने पर वे लगभग 4 और 16 गुना घटती हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: h = 0.25 के साथ दोनों नियमों से ∫₁² dx/x का मान निकालिए और ln 2 = 0.693147 से तुलना कीजिए।

चरण 1: n = (2 − 1)/0.25 = 4 पट्टियाँ (सम, अतः सिम्पसन 1/3 नियम अनुमत है); नोड 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2 हैं।

चरण 2: कोटियाँ 1, 0.8, 0.666667, 0.571429, 0.5 हैं।

चरण 3: समलंबी: (0.25/2)[1 + 0.5 + 2(0.8 + 0.666667 + 0.571429)] = 0.125 × 5.576190 = 0.697024।

चरण 4: सिम्पसन: (0.25/3)[1 + 0.5 + 4(0.8 + 0.571429) + 2(0.666667)] = (0.25/3) × 8.319048 = 0.693254।

चरण 5: त्रुटियाँ: समलंबी 0.693147 − 0.697024 = −0.003877, सिम्पसन −0.000107, उन्हीं पाँच मानों से लगभग 36 गुना छोटी।

चरण 6: चिह्न पर ध्यान दें: 1/x उत्तल है (f″ > 0), प्रत्येक जीवा वक्र के ऊपर है, और समलंबी नियम अधिक आकलन करता है, जैसा उसका त्रुटि पद −(b − a)h²f″(ξ)/12 बताता है।

अ-उदाहरण (non-example): n = 3 पट्टियों के साथ सिम्पसन 1/3 नियम लागू नहीं हो सकता: पट्टियों को युग्मों में नहीं बाँटा जा सकता, और भार प्रतिरूप 1, 4, 2, ..., 4, 1 चार कोटियों पर नहीं बैठता। विफल प्रतिबंध 'n सम' है; इसके बजाय तीन पट्टियों पर 3/8 नियम लें।

आगे बढ़ते हुए: दोनों नियम एक या दो पट्टियों पर न्यूटन अग्र बहुपद के समाकल हैं; सिम्पसन नियम घनों के लिए भी यथार्थ है क्योंकि घन पद पट्टी-युग्म पर शून्य में समाकलित होता है (नीचे 'व्युत्पत्ति: त्रुटि पदों सहित समलंबी और सिम्पसन नियम')।

कहाँ प्रयोग होता है: रेलगाड़ी की चाल जैसे सारणीबद्ध आँकड़े (UPSC 2018, 2022), ln 2 या π के आकलन, और 'दी गई शुद्धता के लिए कितने उप-अंतराल' वाले प्रश्न।

2. परिशुद्धता की घात और गाउसीय क्षेत्रकलन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: क्षेत्रकलन (quadrature) नियमों की तुलना करने, और नए नियम बनाने, के लिए हमें यह मापने का एक ही पैमाना चाहिए कि नियम कितना अच्छा है। यदि प्रत्येक फलन-मूल्यांकन महँगा हो, तो हम बहुत कम बिंदुओं से सर्वोत्तम संभव शुद्धता भी चाहते हैं।

शब्दों में: किसी नियम की परिशुद्धता की घात (degree of precision) m है यदि वह 1, x, ..., x^m का यथार्थ समाकलन करे पर x^m+1 का नहीं। चूँकि कोई भी चिकना f अपने टेलर बहुपद के निकट होता है, अधिक m का प्रायः अर्थ छोटी त्रुटि है।

न्यूटन–कोट्स नियम समान अंतराल वाले नोड नियत करते हैं और केवल भार चुनते हैं। गाउस–लेजेंड्र नियम नोड और भार दोनों चुनते हैं; n नोडों के साथ यह 2n स्वतंत्र संख्याएँ हैं, जो घात 2n − 1 के लिए पर्याप्त हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मध्यबिंदु नियम ∫₋₁¹ f dt ≈ 2f(0) की परिशुद्धता की घात ज्ञात कीजिए, फिर दो-बिंदु गाउस नियम से ∫₀¹ e^x dx का मान निकालिए।

चरण 1: f = 1: यथार्थ मान 2, नियम 2। f = t: यथार्थ 0, नियम 0। f = t²: यथार्थ 2/3, नियम 0। अतः मध्यबिंदु नियम की घात 1 है, केवल एक बिंदु से समलंबी नियम जितनी।

चरण 2: गाउस के लिए x = (t + 1)/2, dx = dt/2 से [0, 1] को [−1, 1] पर प्रतिचित्रित करें, अतः ∫₀¹ e^x dx = (1/2)∫₋₁¹ e^(t+1)/2 dt।

चरण 3: नोड t = ±1/√3 = ±0.577350, x = 0.211325 और 0.788675 पर जाते हैं, भार 1 के साथ।

चरण 4: e^0.211325 = 1.235314 और e^0.788675 = 2.200479।

चरण 5: I ≈ (1/2)(1.235314 + 2.200479) = 1.717896, जबकि e − 1 = 1.718282।

चरण 6: दो फलन-मानों से त्रुटि 0.000386, चार पट्टियों (पाँच मान, त्रुटि लगभग −0.0090) वाले समलंबी नियम की त्रुटि से छोटी है।

अ-उदाहरण (non-example): भार 1, 1 वाले दो समान अंतराल बिंदु ±1 समलंबी नियम 2 × [f(−1) + f(1)]/2 देते हैं, जो t² के लिए ही विफल है (यह 2/3 के स्थान पर 2 देता है): घात 1, 3 नहीं। विफल प्रतिबंध 'लेजेंड्र बहुपद के शून्यों पर नोड' है; केवल वही नोड घात 2n − 1 तक पहुँचते हैं।

आगे बढ़ते हुए: अनिर्धारित गुणांकों की विधि (1, t, t², t³ के लिए यथार्थता माँगना) दो-बिंदु नोड ±1/√3 देती है (नीचे 'दो-बिंदु गाउस नियम की व्युत्पत्ति'); अगली घात परखने से त्रुटि अचर और त्रुटि पद C f^(m+1)(ξ)/(m + 1)! मिलते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: 'दो-बिंदु गाउस नियम व्युत्पन्न कीजिए और प्रयोग कीजिए' (UPSC 2016), 'अचर ऐसे ज्ञात कीजिए कि सूत्र उच्चतम घात के बहुपदों के लिए यथार्थ हो' (UPSC 2018, 2020, 2025), और ∫f(x)dx/√(x(1 − x)) जैसे भारित नियम।

3. ऑयलर विधि और स्थानीय बनाम वैश्विक त्रुटि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अधिकांश आरंभिक मान समस्याएँ y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ बंद रूप में हल नहीं होतीं। हमें हल को चरण-दर-चरण आगे बढ़ाना होता है, और समझना होता है कि चरणों की त्रुटियाँ कैसे संचित होती हैं।

शब्दों में: (x_n, y_n) पर समीकरण उस बिंदु से होकर जाने वाले हल की प्रवणता f(x_n, y_n) देता है। ऑयलर विधि एक चरण के लिए इसी स्पर्श रेखा का अनुसरण करती है: y_n+1 = y_n + hf(x_n, y_n)।

स्थानीय त्रुटि (local error) यथार्थ मानों से आरंभ करके एक चरण में हुई त्रुटि है, लगभग h²y″/2। किसी नियत बिंदु x पर वैश्विक त्रुटि (global error) (x − x₀)/h चरणों के बाद संचित त्रुटि है, लगभग (1/h) × h² = h: अतः ऑयलर विधि प्रथम कोटि की है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y′ = y, y(0) = 1 पर x = 0.3 तक ऑयलर विधि लगाइए, पहले h = 0.1 और फिर h = 0.05 के साथ।

चरण 1: यहाँ f(x, y) = y, अतः प्रत्येक चरण y_n+1 = y_n + hy_n = (1 + h)y_n है।

चरण 2: h = 0.1 के साथ: y₁ = 1.1, y₂ = 1.21, y₃ = 1.331।

चरण 3: यथार्थ मान e^0.3 = 1.349859 है, अतः वैश्विक त्रुटि 0.018859 है।

चरण 4: h = 0.05 के साथ छह चरण चाहिए: y₆ = 1.05⁶ = 1.340096, त्रुटि 0.009763।

चरण 5: h आधा करने पर त्रुटि लगभग आधी हुई (0.0189 से 0.0098): 'प्रथम कोटि' का यही अर्थ है।

चरण 6: पूर्वाग्रह पर ध्यान दें: y उत्तल है, प्रत्येक स्पर्श रेखा वक्र के नीचे है, अतः यहाँ ऑयलर के मान सदा बहुत छोटे हैं।

अ-उदाहरण (non-example): y′ = −50y, y(0) = 1 के लिए हल e^−50x तुरंत क्षीण होता है, पर h = 0.1 के साथ ऑयलर y_n+1 = (1 − 5)y_n, अर्थात् −4, 16, −64, ... देता है: संख्याएँ विस्फोटित होती हैं। इस कठोर (stiff) समीकरण के लिए चरण बहुत बड़ा है; विफल प्रतिबंध |1 + hλ| < 1 है (यहाँ h < 0.04)।

आगे बढ़ते हुए: टेलर प्रमेय स्थानीय त्रुटि (h²/2)y″(ξ) देता है, और f पर लिप्शित्ज़ प्रतिबंध प्रसारित त्रुटियों को गुणनखंड e^{L(b − a)} से परिबद्ध रखता है, जिससे वैश्विक त्रुटि O(h) मिलती है (नीचे 'ऑयलर की वैश्विक त्रुटि')।

चरण के दोनों सिरों पर प्रवणताओं का औसत लेने से (ह्यून की संशोधित ऑयलर विधि) h² पद कट जाता है और द्वितीय कोटि की विधि मिलती है; अगला पाठ इससे आगे जाता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'ऑयलर विधि लगाइए और यथार्थ हल से तुलना कीजिए' प्रश्न, प्रागुक्ति-संशोधक विधियों का प्रागुक्ति चरण, और किसी भी ODE विधि की कोटि का अर्थ।

4. रुंगे-कुट्टा विधियों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ऑयलर विधि को अच्छी शुद्धता के लिए बहुत छोटे चरण चाहिए, और टेलर श्रेणी विधि को f के अवकलज चाहिए, जो जटिल हो सकते हैं। रुंगे-कुट्टा विधियाँ केवल f के मानों से उच्च कोटि प्राप्त करती हैं।

शब्दों में: प्रत्येक चरण के भीतर विधि कई परीक्षण बिंदुओं पर प्रवणता का प्रतिदर्श लेती है और भारित औसत लेती है। RK4 में k₁ आरंभ पर प्रवणता है, k₂ और k₃ मध्यबिंदु पर दो आकलन हैं, और k₄ अंत पर; अद्यतन भार 1, 2, 2, 1 को 6 से भाग देकर प्रयोग करता है।

भार ऐसे चुने जाते हैं कि y_n+1 वास्तविक हल की टेलर श्रेणी से h⁴ पद तक मेल खाए: स्थानीय त्रुटि O(h⁵), वैश्विक त्रुटि O(h⁴)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y′ = y, y(0) = 1 के लिए h = 0.1 का एक RK4 चरण लीजिए, और e^0.1 से तुलना कीजिए।

चरण 1: k₁ = hf(0, 1) = 0.1 × 1 = 0.1।

चरण 2: k₂ = hf(0.05, 1 + k₁/2) = 0.1 × 1.05 = 0.105।

चरण 3: k₃ = hf(0.05, 1 + k₂/2) = 0.1 × 1.0525 = 0.10525।

चरण 4: k₄ = hf(0.1, 1 + k₃) = 0.1 × 1.10525 = 0.110525।

चरण 5: y₁ = 1 + (0.1 + 0.21 + 0.2105 + 0.110525)/6 = 1 + 0.631025/6 = 1.105171।

चरण 6: छह दशमलव तक e^0.1 = 1.105171। वास्तव में y₁ = 1 + h + h²/2 + h³/6 + h⁴/24 यथार्थतः: h⁴ तक टेलर श्रेणी, जैसा वचन दिया गया था।

अ-उदाहरण (non-example): नियम y_n+1 = y_n + k₂, जहाँ k₂ = hf(x_n + h, y_n + k₁), दो-चरणीय रुंगे-कुट्टा विधि जैसा दिखता है, पर यह केवल प्रथम कोटि का है: y′ = y के लिए यह 1 + h + h²/2 के स्थान पर 1 + h + h² देता है। कुल w₁k₁ + w₂k₂ में, जहाँ k₂, x_n + αh पर है, द्वितीय कोटि के लिए w₁ + w₂ = 1 और αw₂ = 1/2 चाहिए; यहाँ αw₂ = 1 है।

आगे बढ़ते हुए: टेलर श्रेणी का पद-दर-पद मिलान कोटि प्रतिबंध देता है (नीचे 'द्वितीय कोटि रुंगे-कुट्टा कुल'); जब f केवल x पर निर्भर हो, RK4 चरण पर सिम्पसन नियम बन जाता है।

किसी निकाय या द्वितीय कोटि समीकरण के लिए प्रत्येक चरण, किसी भी घटक को अद्यतन करने से पहले, उन्हीं पुराने मानों से सभी घटकों के k निकालता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'चतुर्थ कोटि रुंगे-कुट्टा विधि से y(0.2) ज्ञात कीजिए' प्रश्न, अंतिम विषय की RK4 कलनविधि, और जब भी प्रश्न केवल शुद्धता माँगे, डिफ़ॉल्ट शुद्ध विधि के रूप में।

5. न्यूटन–कोट्स नियम (h = (b − a)/n, y_i = f(x_i))

समलंबी नियम (trapezoidal rule): ∫_a^b f(x) dx ≈ (h/2)[y₀ + 2(y₁ + ... + y_n−1) + y_n]; त्रुटि −(b − a)h²f″(ξ)/12; रैखिक f के लिए यथार्थ।

भाव: प्रत्येक पट्टी पर वक्र के स्थान पर उसकी जीवा ली जाती है, अतः नियम समलंबों के क्षेत्रफल जोड़ता है (ऊपर का चित्र देखें)। उत्तल फलन (f″ > 0) के लिए प्रत्येक जीवा वक्र के ऊपर होती है और नियम अधिक मान देता है, यही ऋणात्मक त्रुटि I − T = −(b − a)h²f″(ξ)/12 कहती है।

सिम्पसन 1/3 नियम (n सम): (h/3)[y₀ + 4(y₁ + y₃ + ...) + 2(y₂ + y₄ + ...) + y_n]; त्रुटि −(b − a)h⁴f⁽⁴⁾(ξ)/180; त्रिघात के लिए यथार्थ।

भाव: पट्टियों के प्रत्येक युग्म के स्थान पर तीन बिंदुओं से जाने वाला परवलय लिया जाता है, जो चिकने वक्र से जीवाओं की अपेक्षा कहीं अधिक सटा रहता है (ऊपर का चित्र देखें)। यह त्रिघातों के लिए भी यथार्थ है, जो उसके द्वारा बैठाए गए परवलय से एक घात अधिक है, क्योंकि दोहरी पट्टी पर सममिति से त्रुटि का त्रिघाती भाग कट जाता है (नीचे व्युत्पन्न)।

सिम्पसन 3/8 नियम (n, 3 का गुणज): (3h/8)[y₀ + 3y₁ + 3y₂ + 2y₃ + 3y₄ + 3y₅ + 2y₆ + ... + y_n]; त्रुटि −(b − a)h⁴f⁽⁴⁾(ξ)/80।

भाव: समान h के लिए 3/8 नियम का त्रुटि अचर 1/80, सिम्पसन के 1/180 से बड़ा है, अतः n सम होने पर 1/3 नियम को प्राथमिकता दी जाती है; 3/8 नियम n विषम होने पर उपयोगी है: इसे तीन पट्टियों पर और 1/3 नियम को शेष सम संख्या की पट्टियों पर लगाएँ।

तीनों न्यूटन अग्र सूत्र का 1, 2 या 3 पट्टियों पर समाकलन कर जोड़ने से प्राप्त होते हैं।

उदाहरण 1: h = 0.25 के साथ ∫₀¹ dx/(1 + x²) = π/4 ≈ 0.785398: y = 1, 0.941176, 0.8, 0.64, 0.5।

समलंबी: 0.125[1.5 + 2(2.381176)] = 0.782794। सिम्पसन 1/3: (0.25/3)[1.5 + 4(1.581176) + 2(0.8)] = 0.785392, जिससे π ≈ 3.14157।

6. गाउसीय क्षेत्रकलन

∫₋₁¹ f(t) dt ≈ ∑_i=1ⁿ w_if(t_i), जहाँ नोड t_i लेजान्ड्रे बहुपद P_n के शून्यक हैं; नियम घात ≤ 2n − 1 के सभी बहुपदों के लिए यथार्थ है।

भाव: न्यूटन–कोट्स नियम नोड स्थिर रखकर केवल भार चुनते हैं; गाउस दोनों चुनता है, अतः n नोड और n भार 2n मुक्त प्राचल देते हैं, जो 1, t, ..., t²ⁿ⁻¹ को यथार्थ समाकलित करने के लिए पर्याप्त हैं। यह अंत्य बिंदुओं का प्रयोग नहीं करता, जो वहाँ f के कठिन होने पर सहायक है।

द्वि-बिंदु नियम: t = ±1/√3, w = 1, अतः ∫₋₁¹ f(t) dt ≈ f(−1/√3) + f(1/√3)।

त्रि-बिंदु नियम: t = 0, ±√(3/5), भार 8/9, 5/9, 5/9।

कोई भी अंतराल: x = [(b − a)t + (b + a)]/2 से ∫_a^b f(x) dx = ((b − a)/2)∫₋₁¹ f(x(t)) dt।

उदाहरण 2: द्वि-बिंदु नियम से ∫₀¹ x³ dx: x = (t + 1)/2 से (1/2)[(0.211325)³ + (0.788675)³] = (1/2)(0.009437 + 0.490563) = 0.25, जो घात 3 के लिए अपेक्षानुसार यथार्थ है।

7. y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ के लिए ऑयलर विधि

y_n+1 = y_n + hf(x_n, y_n), x_n+1 = x_n + h; स्थानीय त्रुटि O(h²), वैश्विक त्रुटि O(h), अतः यह प्रथम कोटि की है।

भाव: प्रत्येक चरण (x_n, y_n) से जाने वाले हल-वक्र की स्पर्श रेखा का अनुसरण करता है; वास्तविक वक्र एक चरण में लगभग h²y″/2 दूर मुड़ जाता है, और (b − a)/h चरणों में ये स्थानीय त्रुटियाँ जुड़कर O(h) बनती हैं। h आधा करने पर त्रुटि लगभग आधी होती है (उदाहरण 8)।

संशोधित ऑयलर (ह्यून) विधि: y* = y_n + hf(x_n, y_n), फिर y_n+1 = y_n + (h/2)[f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y*)]; यह द्वितीय कोटि की रुंगे-कुट्टा विधि है।

भाव: ह्यून चरण के दोनों सिरों की प्रवणताओं का औसत लेता है, जो y′ = f पर लागू समलंबी नियम है; ऑयलर प्रागुक्तक (predictor) अज्ञात अंत्य मान y* प्रदान करता है।

8. रुंगे-कुट्टा विधियाँ

चतुर्थ कोटि RK: k₁ = hf(x_n, y_n), k₂ = hf(x_n + h/2, y_n + k₁/2), k₃ = hf(x_n + h/2, y_n + k₂/2), k₄ = hf(x_n + h, y_n + k₃)।

y_n+1 = y_n + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6; स्थानीय त्रुटि O(h⁵), वैश्विक त्रुटि O(h⁴)।

भाव: k₁, ..., k₄ चरण के आरंभ, मध्य बिंदु (दो बार) और अंत पर प्रवणता के नमूने हैं; जब f केवल x पर निर्भर हो तो ये hf(x_n), hf(x_n + h/2) (दो बार) और hf(x_n + h) बन जाते हैं, और अद्यतन (h/6)[f(x_n) + 4f(x_n + h/2) + f(x_n + h)] है, जो सिम्पसन नियम है। इससे भार 1, 2, 2, 1 स्पष्ट होते हैं।

उदाहरण 3: y′ = x + y, y(0) = 1, h = 0.1; यथार्थ हल y = 2e^x − x − 1 है, अतः y(0.1) = 1.110342।

ऑयलर: y₁ = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1। ह्यून: y* = 1.1, y₁ = 1 + 0.05(1 + 1.2) = 1.11।

RK4: k₁ = 0.1, k₂ = 0.1(0.05 + 1.05) = 0.11, k₃ = 0.1(0.05 + 1.055) = 0.1105, k₄ = 0.1(0.1 + 1.1105) = 0.12105।

y₁ = 1 + (0.1 + 0.22 + 0.221 + 0.12105)/6 = 1.110342, छह दशमलव तक शुद्ध।

उच्च कोटि के समीकरण प्रथम कोटि निकायों के रूप में लिखे जाते हैं और वही सूत्र प्रत्येक घटक पर लगाए जाते हैं।

भाव: y″ = g(x, y, y′), y′ = z, z′ = g(x, y, z) बन जाता है; प्रत्येक RK चरण y का k और z का k उन्हीं पुराने मानों से ज्ञात करता है, किसी को भी अद्यतन करने से पहले।

9. व्युत्पत्ति: त्रुटि पदों सहित समलंबी और सिम्पसन नियम

समलंबी, एक पट्टी: x = x₀ + ph के साथ ∫_x0^x₁ f dx ≈ h∫₀¹(y₀ + pΔy₀) dp = h(y₀ + Δy₀/2) = (h/2)(y₀ + y₁)।

इसकी त्रुटि ∫ f″(ξ_x)(x − x₀)(x − x₁)/2 dx है; गुणनखंड (x − x₀)(x − x₁) एक ही चिह्न रखता है, अतः समाकलों के मध्यमान प्रमेय से यह (f″(η)/2)∫_x0^x₁(x − x₀)(x − x₁) dx = (f″(η)/2)(−h³/6) = −h³f″(η)/12 के बराबर है।

संयुक्त नियम: n पट्टियाँ जोड़ने पर −(h³/12)∑f″(η_i) = −(nh³/12)f″(ξ) (मध्यवर्ती मान प्रमेय से f″(η_i) का औसत कोई मान f″(ξ) है), और nh = b − a से −(b − a)h²f″(ξ)/12।

सिम्पसन, दो पट्टियाँ: h∫₀²[y₀ + pΔy₀ + p(p − 1)Δ²y₀/2] dp = h[2y₀ + 2Δy₀ + Δ²y₀/3]; Δy₀ = y₁ − y₀ और Δ²y₀ = y₂ − 2y₁ + y₀ के साथ यह (h/3)(y₀ + 4y₁ + y₂) है।

न्यूटन सूत्र का अगला पद p(p − 1)(p − 2)Δ³y₀/6 शून्य पर समाकलित होता है क्योंकि ∫₀²p(p − 1)(p − 2) dp = 0 (p = 1 के परितः विषम), अतः नियम त्रिघातों के लिए यथार्थ है।

[−h, h] पर f = x⁴ के लिए त्रुटि अचर I − Q = 2h⁵/5 − (h/3)(2h⁴) = −4h⁵/15 है; 4! से भाग देने पर एक खंड की त्रुटि −h⁵f⁗(η)/90, और nh = b − a के साथ n/2 खंड −(b − a)h⁴f⁗(ξ)/180 देते हैं।

ऑयलर की वैश्विक त्रुटि: टेलर प्रमेय से y(x_n+1) = y(x_n) + hy′(x_n) + (h²/2)y″(ξ), अतः एक चरण में त्रुटि O(h²) है; (b − a)/h चरण हैं, अतः y में f के लिप्शिट्ज़ होने पर संचित त्रुटि O(h) है (त्रुटियाँ अधिकतम एक नियत गुणक e^{L(b − a)} से बढ़ती हैं)।

10. विधि का चयन

यदि समाकल्य n पट्टियों वाली सारणी है → n सम: सिम्पसन 1/3; n, 3 का गुणज: सिम्पसन 3/8 अनुमत; n विषम और 3 का गुणज नहीं: तीन पट्टियों पर 3/8 और शेष पर 1/3; अन्यथा समलंबी।

यदि f एक सूत्र है और केवल कुछ मूल्यांकनों की अनुमति है → [a, b] को [−1, 1] पर प्रतिचित्रित करके गाउस–लेजान्ड्रे।

यदि यथार्थता निर्धारित है → [a, b] पर संबंधित अवकलज को परिबद्ध करें और त्रुटि सूत्र को h के लिए हल करें, फिर n को ऊपर पूर्णांकित करें (और सिम्पसन के लिए सम बनाएँ)।

यदि ODE प्रश्न विधि का नाम देता है → ठीक उसी का पालन करें (ऑयलर, संशोधित ऑयलर, RK2, RK4); यदि केवल यथार्थता पूछी गई है → RK4 डिफ़ॉल्ट है; यदि f का अवकलन सरल है → टेलर श्रेणी विधि भी स्वीकार्य है।

यदि ODE द्वितीय कोटि का है → प्रथम कोटि निकाय के रूप में लिखें और y और y′ को साथ-साथ आगे बढ़ाएँ।

11. सामान्य गलतियाँ

विषम संख्या की पट्टियों पर सिम्पसन 1/3 नियम: नियम को पट्टियों के युग्म चाहिए; आरंभ से पहले n जाँचें।

गलत भार प्रतिरूप: अंत्य कोटियों को भार 1 मिलता है, और आंतरिक कोटियाँ 4, 2, 4, ..., 4 एकांतर क्रम में, 4 से आरंभ और 4 पर समाप्त।

गाउस क्षेत्रकलन में [a, b] को [−1, 1] पर प्रतिचित्रित करते समय गुणनखंड (b − a)/2 भूल जाना।

RK4 की भूलें: k₂ में y_n + k₁/2 के स्थान पर y_n + k₁ लेना, या k में से गुणनखंड h छोड़ देना।

निकाय: उसी चरण में y′ की प्रवणता ज्ञात करने से पहले y को अद्यतन करना, जिससे पुराने और नए मान मिल जाते हैं।

एक बिंदु पर त्रुटि सीमा: सीमा के लिए पूरे अंतराल पर max|f″| (या max|f⁗|) चाहिए, जो उदाहरण 6 की तरह कलन से ज्ञात किया जाता है।

संबंध: प्रत्येक न्यूटन–कोट्स नियम पिछले विषय के अंतर्वेशी बहुपद का समाकल है, और उसकी त्रुटि पट्टी पर समाकलित लग्रांज त्रुटि सूत्र है।

संबंध: रुंगे-कुट्टा विधियाँ हल की टेलर श्रेणी से मेल खाती हैं (कलन), और y′ = f(x, y) का अस्तित्व एवं अद्वितीयता प्रमेय (साधारण अवकल समीकरण) ही गारंटी देता है कि सन्निकटन के लिए कोई हल है; y′ = f(x) के लिए RK4 सिम्पसन नियम बन जाता है।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: h = 1 लेकर समलंब, सिम्पसन 1/3 और सिम्पसन 3/8 नियमों से ∫₀⁶ dx/(1 + x²) का मान निकालिए और tan⁻¹6 से तुलना कीजिए।

x = 0, 1, ..., 6 पर कोटियाँ: 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.058824, 0.038462, 0.027027।

समलंब: (1/2)[1.027027 + 2(0.897286)] = 1.410799। सिम्पसन 1/3: (1/3)[1.027027 + 4(0.638462) + 2(0.258824)] = 1.366173।

सिम्पसन 3/8: (3/8)[1.027027 + 3(0.5 + 0.2 + 0.058824 + 0.038462) + 2(0.1)] = 1.357081।

यथार्थ मान tan⁻¹6 = 1.405648। यहाँ संयोगवश समलंब नियम सबसे निकट है: h = 1 पर 0 के निकट 1/(1 + x²) के उच्च अवकलज बड़े हैं, अतः सिम्पसन त्रुटि पद छोटे नहीं हैं; h आधा करने पर सिम्पसन की श्रेष्ठता लौट आती है।

उदाहरण 5: दो-बिंदु गाउस-लेजेंड्र नियम से ∫₁² dx/x का मान निकालिए।

x = (t + 3)/2, dx = dt/2, अतः I = ∫₋₁¹ dt/(t + 3)।

I ≈ 1/(3 − 1/√3) + 1/(3 + 1/√3) = 6/(9 − 1/3) = 9/13 = 0.692308।

ln 2 = 0.693147, अतः केवल दो फलन मानों से त्रुटि 0.00084 है।

उदाहरण 6: समलंब नियम से ∫₀¹ e^−x2 dx को अधिकतम 0.5 × 10⁻⁴ त्रुटि के साथ निकालने के लिए कितने उप-अंतराल चाहिए?

|E| ≤ (b − a)h² max|f″|/12, जहाँ f″(x) = (4x² − 2)e^−x2।

(0, 1] पर f‴(x) = (12x − 8x³)e^−x2 > 0, अतः f″, −2 से 2/e तक बढ़ता है; अतः max|f″| = 2 (x = 0 पर) और |E| ≤ h²/6।

h²/6 ≤ 0.5 × 10⁻⁴ के लिए h ≤ 0.017321 चाहिए, अतः n = 1/h ≥ 57.7: n = 58 लें।

उदाहरण 7: h = 0.2 लेकर चतुर्थ-कोटि रुंगे-कुट्टा विधि से dy/dx = (y − x)/(y + x), y(0) = 1 के लिए y(0.2) ज्ञात कीजिए।

k₁ = 0.2 f(0, 1) = 0.2; k₂ = 0.2 f(0.1, 1.1) = 0.2(1.0/1.2) = 0.166667।

k₃ = 0.2 f(0.1, 1.083333) = 0.2(0.983333/1.183333) = 0.166197; k₄ = 0.2 f(0.2, 1.166197) = 0.2(0.966197/1.366197) = 0.141443।

y(0.2) = 1 + (0.2 + 0.333333 + 0.332394 + 0.141443)/6 = 1.167862।

उदाहरण 8: h = 0.1 लेकर dy/dx = −2xy, y(0) = 1 पर x = 0.3 तक ऑयलर विधि लगाइए और यथार्थ हल y = e^−x2 से तुलना कीजिए।

y₁ = 1 + 0.1(−2 · 0 · 1) = 1; y₂ = 1 + 0.1(−2 · 0.1 · 1) = 0.98; y₃ = 0.98 + 0.1(−2 · 0.2 · 0.98) = 0.9408।

यथार्थ y(0.3) = e^−0.09 = 0.913931, अतः त्रुटि 0.0269 है; h आधा करने पर यह लगभग आधी हो जाती है, जैसा प्रथम-कोटि विधि से अपेक्षित है।

13. परिशुद्धता की घात, व्युत्पत्तियाँ और अन्य ODE विधियाँ

परिशुद्धता की घात (degree of precision): I(f) = ∫ w(x)f(x) dx के नियम Q की परिशुद्धता घात m है यदि वह 1, x, ..., x^m के लिए यथातथ हो परंतु x^m+1 के लिए नहीं।

अनिर्धारित गुणांकों की विधि (method of undetermined coefficients): नियम को अज्ञात भारों (और नोडों) सहित लिखें, f = 1, x, x², ... के लिए यथातथता की शर्त तब तक लगाएँ जब तक अज्ञात निर्धारित न हों, फिर अगली घात जाँचकर m ज्ञात करें।

त्रुटि पद: मानक नियमों के लिए (जिनका पियानो कर्नेल एक ही चिह्न रखता है) E = I − Q = C f^(m+1)(ξ)/(m + 1)!, जहाँ त्रुटि अचर C = I(x^m+1) − Q(x^m+1); चौड़ाई h के एक खंड के लिए त्रुटि O(h^m+2) है।

द्वि-बिंदु गाउस नियम की व्युत्पत्ति: ∫₋₁¹ f ≈ w₁f(t₁) + w₂f(t₂) को 1, t, t², t³ के लिए यथातथ माँगें: w₁ + w₂ = 2, w₁t₁ + w₂t₂ = 0, w₁t₁² + w₂t₂² = 2/3, w₁t₁³ + w₂t₂³ = 0।

चौथे समीकरण से दूसरे का t₂² गुना घटाने पर w₁t₁(t₁² − t₂²) = 0, अतः t₂ = −t₁ (भिन्न शून्येतर नोड); तब w₁ = w₂ = 1 तथा 2t₁² = 2/3, अतः t = ±1/√3। f = t⁴ के लिए C = 2/5 − 2/9 = 8/45, अतः त्रुटि f⁗(ξ)/135 है।

प्रागुक्ति-संशोधक के रूप में संशोधित ऑयलर: प्रागुक्ति y_n+1⁽⁰⁾ = y_n + hf(x_n, y_n); संशोधक y_n+1^(k+1) = y_n + (h/2)[f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n+1^(k))], जब तक दो मान न मिलें; स्थानीय त्रुटि O(h³)।

द्वितीय कोटि रुंगे-कुट्टा परिवार: y_n+1 = y_n + w₁k₁ + w₂k₂, k₁ = hf(x_n, y_n), k₂ = hf(x_n + αh, y_n + αk₁); h² तक टेलर श्रेणी से मिलान के लिए w₁ + w₂ = 1 तथा αw₂ = 1/2 चाहिए (α = 1: ह्यून; α = 1/2: मध्यबिंदु विधि)।

टेलर श्रेणी विधि: y_n+1 = y_n + hy′_n + (h²/2!)y″_n + (h³/3!)y‴_n + ..., जहाँ y″, y‴ समीकरण के अवकलन से मिलते हैं; रुंगे-कुट्टा विधियाँ f के अवकलजों के बिना ये पद पुनः प्राप्त करती हैं।

14. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 15 अंक): समाकल ∫₋₁¹ f(x) dx के लिए, दर्शाइए कि द्वि-बिन्दु गाउस क्षेत्रकलन नियम, ∫₋₁¹ f(x) dx = f(1/√3) + f(−1/√3) द्वारा दिया गया है। इस नियम का इस्तेमाल करते हुए ∫₂⁴ 2x e^x dx का आकलन कीजिए।

पिछले उप-खंड की व्युत्पत्ति से ∫₋₁¹ f(x) dx ≈ f(−1/√3) + f(1/√3), जो सभी घन बहुपदों के लिए यथातथ है।

∫₂⁴ 2xe^x dx में x = t + 3 रखें (dx = dt, t ∈ [−1, 1]): I = ∫₋₁¹ g(t) dt, जहाँ g(t) = 2(t + 3)e^t+3।

g(1/√3) = 2(3.577350)e^3.577350 = 255.985 तथा g(−1/√3) = 2(2.422650)e^2.422650 = 54.634।

उत्तर: I ≈ 310.62; यथार्थ मान 2[(x − 1)e^x]₂⁴ = 6e⁴ − 2e² = 312.81, लगभग 0.7% की त्रुटि।

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 20 अंक): सूत्र
∫_a^b y dx = (3h/8)[(y₀ + y_n) + 3(y₁ + y₂ + y₄ + y₅ + ... + y_n−1) + 2(y₃ + y₆ + ... + y_n−3)]
को व्युत्पन्न कीजिए। क्या n पर कोई प्रतिबन्ध है? उस शर्त को लिखिए। सिम्प्सन के 3/8 नियम के मामले में त्रुटि परिबंध क्या है?

x = x₀ + ph तथा Δ³ तक न्यूटन अग्र सूत्र से: ∫_x0^x₃ y dx = h∫₀³[y₀ + pΔy₀ + p(p − 1)/2 Δ²y₀ + p(p − 1)(p − 2)/6 Δ³y₀] dp = h[3y₀ + (9/2)Δy₀ + (9/4)Δ²y₀ + (3/8)Δ³y₀]।

Δy₀ = y₁ − y₀, Δ²y₀ = y₂ − 2y₁ + y₀, Δ³y₀ = y₃ − 3y₂ + 3y₁ − y₀ रखने पर गुणांक हैं y₀: 3 − 9/2 + 9/4 − 3/8 = 3/8; y₁: 9/2 − 9/2 + 9/8 = 9/8; y₂: 9/4 − 9/8 = 9/8; y₃: 3/8।

अतः ∫_x0^x₃ y dx = (3h/8)(y₀ + 3y₁ + 3y₂ + y₃); यही नियम [x₃, x₆], ..., [x_n−3, x_n] पर जोड़ने से संधि-कोटियाँ y₃, y₆, ... दो बार आती हैं, जिससे दिया गया संयुक्त सूत्र मिलता है।

प्रतिबंध: n, 3 का गुणज होना चाहिए, क्योंकि पट्टियाँ तीन-तीन करके ली जाती हैं।

उत्तर: एक खंड की त्रुटि −(3/80)h⁵y⁗(ξ); n/3 खंडों पर त्रुटि −((b − a)/80)h⁴y⁗(ξ), अतः |E| ≤ ((b − a)h⁴/80) [a, b] पर max|y⁗| (नियम घन बहुपदों के लिए यथातथ है)।

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 10 अंक): विराम अवस्था से प्रारम्भ हो कर एक रेलगाड़ी की रफ़्तार (किमी/घं में) विभिन्न समयों (मिनट में) पर निम्न सारणी के द्वारा दी गई है :
[सारणी: समय (मिनट): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20; रफ़्तार (किमी/घं): 10, 18, 25, 29, 32, 20, 11, 5, 2, 8.5]
सिम्पसन के (1/3) नियम के इस्तेमाल से प्रारंभ से 20 मिनटों में चली गई सन्निकट दूरी (किमी. में) ज्ञात कीजिए।

दूरी = ∫v dt। विराम से आरंभ होने के कारण t = 0 पर v = 0, अतः 11 कोटियाँ (t = 0, 2, ..., 20), n = 10 पट्टियाँ (सम) और h = 2 मिनट = 1/30 घंटा।

सिम्पसन: (h/3)[(v₀ + v₁₀) + 4(v₁ + v₃ + v₅ + v₇ + v₉) + 2(v₂ + v₄ + v₆ + v₈)] = (1/90)[(0 + 8.5) + 4(10 + 25 + 32 + 11 + 2) + 2(18 + 29 + 20 + 5)]।

उत्तर: (1/90)(8.5 + 320 + 144) = 472.5/90 = 5.25 किमी।

उदाहरण 12 (UPSC 2022, 15 अंक): एक रेलगाड़ी, जो कि विश्राम से चलना प्रारंभ करती है, का वेग निम्नलिखित सारणी द्वारा दिया गया है। प्रस्थान से समय की गणना मिनट में तथा वेग की कि॰ मी॰/घण्टा में की गयी है:
t (मिनट): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
v (कि॰ मी॰/घण्टा): 16, 28·8, 40, 46·4, 51·2, 32, 17·6, 8, 3·2, 0
सिम्पसन के 1/3 नियम का उपयोग करके 20 मिनट में तय की गयी कुल दूरी (लगभग) का आकलन कि॰ मी॰ में कीजिये।

t = 0 (विराम से आरंभ) और t = 20 पर v = 0; h = 2 मिनट = 1/30 घंटा तथा n = 10।

विषम कोटियाँ: 16 + 40 + 51.2 + 17.6 + 3.2 = 128; सम कोटियाँ: 28.8 + 46.4 + 32 + 8 = 115.2।

उत्तर: दूरी = (1/90)[0 + 0 + 4(128) + 2(115.2)] = 742.4/90 ≈ 8.25 किमी।

उदाहरण 13 (UPSC 2018, 15 अंक): स्थिरांकों a, b, c के मान निकालिए ताकि क्षेत्रकलन-सूत्र
∫₀^h f(x) dx = h[a f(0) + b f(h/3) + c f(h)]
अधिक से अधिक सम्भव घातीय बहुपदों के लिए सही हो। अतएव रुंडन-त्रुटि का क्रम भी ज्ञात कीजिए।

f = 1: a + b + c = 1; f = x: h²/2 = h(bh/3 + ch), अतः b/3 + c = 1/2; f = x²: h³/3 = h(bh²/9 + ch²), अतः b/9 + c = 1/3।

घटाने पर 2b/9 = 1/6, अतः b = 3/4, c = 1/4 और a = 0: ∫₀^h f dx ≈ (h/4)[3f(h/3) + f(h)]।

f = x³: यथार्थ h⁴/4 परंतु नियम h(3/4 · h³/27 + h³/4) = 5h⁴/18 देता है, अतः परिशुद्धता की घात 2 है।

त्रुटि अचर C = h⁴/4 − 5h⁴/18 = −h⁴/36, अतः E = Cf‴(ξ)/3! = −(h⁴/216)f‴(ξ), 0 < ξ < h (f = e^x, h = 0.7 से जाँच: वास्तविक त्रुटि −0.00163, सूत्र लगभग −0.00158)।

उत्तर: a = 0, b = 3/4, c = 1/4; घात 2 तक यथातथ; रुंडन त्रुटि −(h⁴/216)f‴(ξ), कोटि h⁴।

उदाहरण 14 (UPSC 2020, 20 अंक): क्षेत्रकलन के लिए ∫₀¹ f(x) dx/√(x(1 − x)) = α₁f(0) + α₂f(1/2) + α₃f(1) द्वारा उस सूत्र को ज्ञात कीजिए जो अधिकतम सम्भव घात के बहुपद के लिए यथातथ (बिल्कुल ठीक) हो। सूत्र का उपयोग ∫₀¹ dx/√(x − x³) का (दशमलव के तीन स्थानों तक सही) मूल्यांकन के लिए कीजिए।

आघूर्ण (x = sin²θ रखें, जिससे dx/√(x(1 − x)) = 2 dθ): ∫w = π, ∫xw = π/2, ∫x²w = 3π/8, ∫x³w = 5π/16, ∫x⁴w = 35π/128, जहाँ [0, 1] पर w = 1/√(x(1 − x))।

1, x, x² के लिए यथातथता: α₁ + α₂ + α₃ = π, α₂/2 + α₃ = π/2, α₂/4 + α₃ = 3π/8, अतः α₂ = π/2, α₃ = π/4, α₁ = π/4।

f = x³: नियम π/16 + π/4 = 5π/16, यथातथ; f = x⁴: नियम π/32 + π/4 = 9π/32 ≠ 35π/128, अतः परिशुद्धता घात 3 है और सूत्र (π/4)[f(0) + 2f(1/2) + f(1)] है।

चूँकि x − x³ = x(1 − x)(1 + x), ∫₀¹ dx/√(x − x³) में f(x) = 1/√(1 + x): f(0) = 1, f(1/2) = 0.816497, f(1) = 0.707107।

उत्तर: (π/4)(1 + 1.632993 + 0.707107) = (π/4)(3.340100) = 2.623 (यथार्थ मान 2.6221 है)।

उदाहरण 15 (UPSC 2025, 15 अंक): क्षेत्रकलन-सूत्र
∫_x0^x₁ f(x) dx = (h/2)(f₀ + f₁) + ph²(f′₀ − f′₁)
जहाँ x₀ + h = x₁, f₀ = f(x₀), f₁ = f(x₁) हैं और प्राइम (′), x के सापेक्ष अवकलज को निरूपित करता है, के लिए अचर p और त्रुटि-पद ज्ञात कीजिए। अतः समाकलन
∫_a^b f(x) dx, a = x₀ < x₁ < ⋯ < x_N = b
का मान ज्ञात करने के लिए संयुक्त नियम का निगमन कीजिए।

x₀ = 0 लें (स्थानांतरण से नियम नहीं बदलता)। f = 1 और f = x के लिए नियम हर p के लिए यथातथ है (समलंबी भाग यथातथ है और f′₀ − f′₁ = 0)।

f = x²: h³/3 = (h/2)h² + ph²(0 − 2h) = h³/2 − 2ph³, अतः p = 1/12।

f = x³: नियम h⁴/2 − (h²/12)(3h²) = h⁴/4, यथातथ; f = x⁴: नियम h⁵/2 − h⁵/3 = h⁵/6 जबकि यथार्थ h⁵/5, अतः घात 3, C = h⁵/30 और E = Cf⁗(ξ)/4! = (h⁵/720)f⁗(ξ)।

संयुक्त नियम: h = (b − a)/N, x_i = a + ih लेकर प्रत्येक [x_i−1, x_i] पर नियम जोड़ने से अवकलज पद दूरदर्शी रूप से (h²/12)[f′(a) − f′(b)] बनते हैं।

उत्तर: p = 1/12, त्रुटि (h⁵/720)f⁗(ξ); ∫_a^b f dx = h[f₀/2 + f₁ + ... + f_N−1 + f_N/2] + (h²/12)[f′(a) − f′(b)] + ((b − a)h⁴/720)f⁗(η), जो संशोधित समलंबी नियम है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): h = 1 के साथ समलंबी नियम से ∫₀² x² dx का मान निकालिए और त्रुटि की त्रुटि-सूत्र से जाँच कीजिए।

उत्तर: 8/3 के विरुद्ध (1/2)[0 + 2(1) + 4] = 3; त्रुटि −1/3 ठीक −(b − a)h²f″/12 = −2 × 1 × 2/12 के बराबर है (f″ अचर है)।

अभ्यास 2 (मूल): h = 1 के साथ सिम्पसन 1/3 नियम से ∫₀² x³ dx का मान निकालिए।

उत्तर: (1/3)[0 + 4(1) + 8] = 4, जो यथार्थ है, जैसा घन के लिए होना चाहिए।

अभ्यास 3 (मूल): y′ = x + y, y(0) = 1 के लिए h = 0.2 का एक ऑयलर चरण लीजिए।

उत्तर: y(0.2) ≈ 1 + 0.2(0 + 1) = 1.2 (यथार्थ 2e^0.2 − 1.2 = 1.242806)।

अभ्यास 4 (मानक): h = 0.25 के साथ सिम्पसन 1/3 नियम से ∫₀¹ e^−x2 dx का मान निकालिए।

उत्तर: 0.746855 (वास्तविक मान 0.746824 है)।

अभ्यास 5 (मानक): h = 1 के साथ सिम्पसन 3/8 नियम से ∫₀³ dx/(1 + x) का मान निकालिए।

उत्तर: (3/8)[1 + 3(0.5) + 3(0.333333) + 0.25] = 1.40625; ln 4 = 1.386294।

अभ्यास 6 (मानक): दो-बिंदु गाउस-लेजेंड्र नियम से ∫₁³ dx/x का मान निकालिए।

उत्तर: x = t + 2: 1/(2 − 1/√3) + 1/(2 + 1/√3) = 12/11 = 1.090909; ln 3 = 1.098612।

अभ्यास 7 (मानक): y′ = x − y, y(0) = 1 के लिए h = 0.1 का एक RK4 चरण लीजिए, और यथार्थ हल y = x − 1 + 2e^−x से तुलना कीजिए।

उत्तर: k₁ = −0.1, k₂ = −0.09, k₃ = −0.0905, k₄ = −0.08095; y(0.1) ≈ 0.909675, जो छह दशमलव तक यथार्थ 0.909675 से मेल खाता है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): w₀, w₁ और x₁ ऐसे ज्ञात कीजिए कि ∫₀¹ f(x) dx ≈ w₀f(0) + w₁f(x₁) यथासंभव उच्च घात के बहुपदों के लिए यथार्थ हो, और इसका त्रुटि पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: w₀ + w₁ = 1, w₁x₁ = 1/2, w₁x₁² = 1/3 से x₁ = 2/3, w₁ = 3/4, w₀ = 1/4; x³ के लिए नियम 1/4 के विरुद्ध 2/9 देता है, अतः घात 2 है और त्रुटि (1/36)f‴(ξ)/3! = f‴(ξ)/216 है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): अधिकतम 10⁻⁶ त्रुटि के साथ ∫₀¹ e^x dx निकालने के लिए सिम्पसन 1/3 नियम को कितने उप-अंतराल चाहिए?

उत्तर: |E| ≤ (b − a)h⁴max|f⁗|/180 = eh⁴/180 ≤ 10⁻⁶ से h ≤ 0.0902, अतः n ≥ 11.09; n = 12 (सम) लें।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): y″ = −y, y(0) = 0, y′(0) = 1 को प्रथम कोटि निकाय के रूप में लिखिए और h = 0.1 के साथ ह्यून (संशोधित ऑयलर) विधि का एक चरण लीजिए।

उत्तर: y′ = z, z′ = −y; प्रागुक्ति (0.1, 1); संशोधक y₁ = 0 + 0.05(1 + 1) = 0.1, z₁ = 1 + 0.05(0 − 0.1) = 0.995 (यथार्थ sin 0.1 = 0.099833, cos 0.1 = 0.995004)।

1. स्थानीय मान पद्धति और आधार परिवर्तन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कंप्यूटर सब कुछ बिट के रूप में संग्रहीत करता है, जबकि लोग संख्याएँ दशमलव में लिखते हैं। अतः प्रत्येक निवेश और निर्गम एक आधार परिवर्तन से गुजरता है, और अष्टाधारी तथा षोडशाधारी वह संक्षिप्त लिपि हैं जिसका प्रयोग प्रोग्रामर बिटों की लंबी शृंखलाओं के लिए करते हैं।

शब्दों में: आधार b में प्रत्येक अंक को उसकी स्थिति द्वारा निर्धारित b की घात से गुणा किया जाता है: (d_k...d₀.d₋₁d₋₂...)_b = ∑d_ibⁱ, जहाँ अंक 0 से b − 1 तक हैं। बिंदु के बाईं ओर की स्थितियाँ b⁰, b¹, ... और दाईं ओर की b⁻¹, b⁻², ... वहन करती हैं।

दशमलव से आधार b में जाने के लिए: पूर्णांक भाग को बार-बार b से भाग दें (शेषफल अंक हैं, अंतिम पहले) और भिन्नात्मक भाग को बार-बार b से गुणा करें (पूर्णांक भाग अंक हैं, पहला पहले)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 157.375 को द्विआधारी, अष्टाधारी और षोडशाधारी में बदलिए।

चरण 1: पूर्णांक भाग 2 से बार-बार भाग द्वारा: 157 = 2 × 78 + 1, 78 = 2 × 39 + 0, 39 = 2 × 19 + 1, 19 = 2 × 9 + 1, 9 = 2 × 4 + 1, 4 = 2 × 2 + 0, 2 = 2 × 1 + 0, 1 = 2 × 0 + 1।

चरण 2: शेषफलों को अंतिम से पहले की ओर पढ़ने पर 157 = (10011101)₂।

चरण 3: भिन्न बार-बार गुणन द्वारा: 0.375 × 2 = 0.75 (अंक 0), 0.75 × 2 = 1.5 (अंक 1), 0.5 × 2 = 1.0 (अंक 1), अतः 0.375 = (0.011)₂।

चरण 4: अतः 157.375 = (10011101.011)₂।

चरण 5: अष्टाधारी: बिंदु से बाहर की ओर तीन-तीन के समूह बनाएँ: 010 011 101 . 011 = (235.3)₈।

चरण 6: षोडशाधारी: चार-चार के समूह बनाएँ: 1001 1101 . 0110 = (9D.6)₁₆।

चरण 7: दशमलव में जाँच: 9 × 16 + 13 + 6/16 = 144 + 13 + 0.375 = 157.375, और 2 × 64 + 3 × 8 + 5 + 3/8 = 157.375।

अ-उदाहरण (non-example): 0.2 द्विआधारी में सांत नहीं होता: 0.2 × 2 = 0.4 (0), 0.8 (0), 1.6 (1), 1.2 (1), 0.4 (0), ... और खंड 0011 सदा दोहराता है, अतः 0.2 = (0.001100110011...)₂। निम्नतम पदों में भिन्न m/n आधार 2 में तभी सांत होता है जब n, 2 की घात हो; यहाँ n = 5, अतः कंप्यूटर 0.2 को केवल लगभग संग्रहीत कर सकता है।

आगे बढ़ते हुए: बार-बार भाग इसलिए काम करता है कि N = qb + r, जहाँ 0 ≤ r < b, अतः r अंतिम अंक है और q शेष अंक रखता है (नीचे स्थानीय संख्या पद्धतियों के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है'); हॉर्नर नियम दशमलव में परिवर्तन केवल k गुणनों से करता है।

तीन या चार के समूह इसलिए काम करते हैं कि 8 = 2³ और 16 = 2⁴; अष्टाधारी और षोडशाधारी के बीच सदा द्विआधारी से होकर जाएँ।

कहाँ प्रयोग होता है: लगभग प्रतिवर्ष पूछे जाने वाले परिवर्तन प्रश्न (UPSC 2021, 2024, 2026), द्विआधारी के माध्यम से अष्टाधारी और षोडशाधारी अंकगणित (UPSC 2023), और चल-बिंदु की पूर्णांकन-चर्चा।

2. पूरकों और चिह्नित पूर्णांकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कंप्यूटर के पास नियत संख्या में बिट होते हैं और कोई ऋण चिह्न नहीं। हमें ऋणात्मक पूर्णांकों को संग्रहीत करने का ऐसा तरीका चाहिए कि वही योजक परिपथ जोड़ और घटाव दोनों सँभाले।

शब्दों में: n बिटों में किसी प्रतिरूप का 1 का पूरक (1's complement) प्रत्येक बिट उलटता है, और 2 का पूरक (2's complement) 1 का पूरक जमा 1 है। संख्यात्मक रूप में B का 2 का पूरक 2ⁿ − B है, अतः −B को 2ⁿ − B के रूप में संग्रहीत करने पर A − B साधारण योग A + (2ⁿ − B) बन जाता है।

यदि सबसे बाएँ बिट से हासिल निकले, तो उसे छोड़ दें और उत्तर धनात्मक है; यदि कोई हासिल न निकले, तो उत्तर ऋणात्मक है और स्वयं 2 के पूरक रूप में है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 8 बिटों में 2 के पूरक योग से 45 − 37 और 37 − 45 की गणना कीजिए।

चरण 1: 45 = 00101101 और 37 = 00100101।

चरण 2: −37: 00100101 को उलटकर 11011010 पाएँ, फिर 1 जोड़ें: 11011011 (जाँच: 256 − 37 = 219 = 11011011)।

चरण 3: 45 − 37: 00101101 + 11011011 = 1 00001000; हासिल निकलता है, अतः उसे छोड़ें: 00001000 = 8।

चरण 4: −45: 00101101 को 11010010 में उलटें और 1 जोड़ें: 11010011।

चरण 5: 37 − 45: 00100101 + 11010011 = 11111000, कोई हासिल नहीं, अतः परिणाम ऋणात्मक है।

चरण 6: इसका परिमाण 11111000 का 2 का पूरक है, जो 00000111 + 1 = 00001000 = 8 है; अतः उत्तर −8 है।

चरण 7: ध्यान दें कि किसी घटाव परिपथ की आवश्यकता नहीं पड़ी: केवल उलटना, 1 जोड़ना और साधारण योग।

अ-उदाहरण (non-example): चिह्न-परिमाण रूप में +5 = 00000101 और −5 = 10000101, और साधारण द्विआधारी योग 10001010 देता है, जो 0 के स्थान पर −10 पढ़ा जाता है। चिह्न-परिमाण संख्याओं को योजक से सीधे नहीं जोड़ा जा सकता; विफल प्रतिबंध निरूपण −B = 2ⁿ − B है, जो केवल 2 का पूरक देता है।

आगे बढ़ते हुए: 2 के पूरक में अग्रणी बिट का भार −2ⁿ⁻¹ होता है, जिससे परिसर −2ⁿ⁻¹ से 2ⁿ⁻¹ − 1 और एक ही शून्य मिलता है; 1 के पूरक में योग एक कम होता है और अंत-चक्रीय हासिल (end-around carry) उसे ठीक करता है (नीचे द्विआधारी अंकगणित के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है')।

अतिप्रवाह (overflow) ठीक तब होता है जब चिह्न बिट में आने वाला हासिल उससे निकलने वाले हासिल से भिन्न हो (नीचे 'व्युत्पत्ति: अतिप्रवाह नियम')।

कहाँ प्रयोग होता है: पूरकों द्वारा घटाव, (8D)₁₆ जैसे चिह्नित बाइटों का विकोडन (UPSC 2024), प्रोग्रामन भाषाओं के पूर्णांक परिसर, और मापांक 2ⁿ अंकगणित।

3. चल-बिंदु निरूपण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वैज्ञानिक संगणन 10⁻³⁰ से 10³⁰ तक की संख्याएँ सँभालता है। बिंदु के बाद नियत संख्या में अंक इस परिसर को नहीं ढक सकते, अतः कंप्यूटर वास्तविक संख्याओं को आधार 2 की वैज्ञानिक संकेतन में संग्रहीत करते हैं।

शब्दों में: x = (−1)^s × 1.f × 2^E: एक चिह्न बिट s, एक प्रसामान्यीकृत सार्थकांक 1.f जिसका अग्रणी 1 संग्रहीत नहीं होता (छिपा बिट), और E + bias के रूप में संग्रहीत घातांक E। IEEE एकल परिशुद्धता में 1 + 8 + 23 बिट हैं और bias 127 है।

केवल परिमित वास्तविक संख्याएँ निरूपणीय हैं, अतः अधिकांश संख्याएँ निकटतम निरूपणीय संख्या पर पूर्णांकित होती हैं, जिसकी सापेक्ष त्रुटि अधिकतम मशीन एप्सिलॉन का आधा (एकल परिशुद्धता में 2⁻²⁴) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 0.15625 को IEEE एकल परिशुद्धता में कूटबद्ध कीजिए।

चरण 1: 0.15625 = 5/32, और बार-बार दोगुना करने से (0.00101)₂ मिलता है।

चरण 2: बिंदु को तीन स्थान दाईं ओर ले जाकर प्रसामान्यीकरण करें: 0.00101 = 1.01 × 2⁻³।

चरण 3: चिह्न s = 0; संग्रहीत घातांक −3 + 127 = 124 = (01111100)₂।

चरण 4: भिन्न क्षेत्र छिपे 1 के बाद के बिट रखता है: 01 के बाद 21 शून्य।

चरण 5: 32 बिट 0 01111100 01000000000000000000000 हैं; चार-चार में समूहित करने पर यह षोडशाधारी में 0011 1110 0010 0000 ... = 3E200000 है।

चरण 6: जाँच के लिए विकोडन करें: घातांक 124 − 127 = −3 और सार्थकांक (1.01)₂ = 1.25, अतः मान 1.25 × 2⁻³ = 0.15625 यथार्थतः।

अ-उदाहरण (non-example): 0.1 और 0.2, m/2^k के रूप के नहीं हैं, अतः प्रत्येक पूर्णांकन त्रुटि के साथ संग्रहीत होता है, और द्विगुण परिशुद्धता में 0.1 + 0.2 का मान 0.3 नहीं, 0.30000000000000004 आता है। यथार्थ संग्रहण का प्रतिबंध (सार्थकांक में समाने वाला सांत द्विआधारी भिन्न) विफल होता है, इसीलिए प्रोग्रामों को चल-बिंदु संख्याओं की यथार्थ समता कभी नहीं परखनी चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: 24 सार्थक बिट लगभग 24 log₁₀2 ≈ 7.2 दशमलव अंक देते हैं, और आरक्षित घातांक प्रतिरूप लगभग 3.4 × 10³⁸ तक का परिसर देते हैं (नीचे वास्तविक संख्याओं के निरूपण के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है')।

लंबी गणनाओं में पूर्णांकन त्रुटियाँ बढ़ती हैं और लगभग समान संख्याओं को घटाने पर आवर्धित होती हैं; यह एक निम्न सीमा तय करता है जिसके नीचे पिछले विषयों की कोई रोक-सहनशीलता अर्थपूर्ण नहीं है।

कहाँ प्रयोग होता है: −6.75 या प्रतिरूप 41200000 जैसे कूटबद्धन और विकोडन प्रश्न, संख्यात्मक विधियों में पूर्णांकन त्रुटि की व्याख्या, और एकल या द्विगुण परिशुद्धता का चयन।

4. स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ

आधार b में संख्या: (d_k...d₁d₀.d₋₁d₋₂...)_b = ∑ d_ibⁱ, अंक 0 से b − 1 तक।

भाव: प्रत्येक स्थान अपने दाएँ वाले स्थान का b गुना होता है, और अंक बताता है कि उस घात की कितनी इकाइयाँ हैं; b के बराबर अंक बस अगले स्थान में हासिल बन जाता, इसीलिए अंक b − 1 पर रुकते हैं।

द्विआधारी (binary, आधार 2) में 0, 1; अष्टाधारी (octal, आधार 8) में 0–7; षोडशाधारी (hexadecimal, आधार 16) में 0–9 तथा A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15।

दशमलव से आधार b: पूर्णांक भाग को b से बार-बार भाग देकर बदलें, शेषफल अंतिम से प्रथम की ओर पढ़ें; भिन्न को b से बार-बार गुणा करके बदलें, पूर्णांक भाग प्रथम से अंतिम की ओर पढ़ें।

यह क्यों काम करता है: N को b से भाग देने पर N = qb + r, जहाँ 0 ≤ r < b, और r अंतिम अंक d₀ है; q पर दोहराने से d₁, d₂, ... मिलते हैं, अतः शेषफल दाएँ से बाएँ क्रम में आते हैं। भिन्न F = (0.d₋₁d₋₂...)_b के लिए bF = d₋₁ + (0.d₋₂...)_b, अतः पूर्णांक भाग बाएँ से दाएँ क्रम में आते हैं।

आधार b से दशमलव: ∑ d_ibⁱ का विस्तार करें।

द्विआधारी से अष्टाधारी या षोडशाधारी: द्विआधारी बिंदु के दोनों ओर बिटों को तीन-तीन (अष्टाधारी) या चार-चार (षोडशाधारी) के समूहों में बाँटें, आवश्यकता हो तो शून्य जोड़ें।

यह क्यों काम करता है: 8 = 2³ और 16 = 2⁴, अतः एक अष्टाधारी अंक ठीक तीन बिटों का खंड है और एक षोडशाधारी अंक चार बिटों का; खंड द्विआधारी बिंदु से बाहर की ओर गिनने चाहिए, क्योंकि घातें 2⁰ और 2⁻¹ वहीं स्थित हैं।

उदाहरण 1: 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = (101101)₂; 0.625 × 2 = 1.25, 0.25 × 2 = 0.5, 0.5 × 2 = 1.0, अतः 0.625 = (0.101)₂।

अतः (45.625)₁₀ = (101101.101)₂ = (55.5)₈ = (2D.A)₁₆; जाँच: 2 × 16 + 13 + 10/16 = 45.625।

सांत दशमलव भिन्न द्विआधारी में सांत हो, यह आवश्यक नहीं: (0.1)₁₀ = (0.000110011...)₂, अतः 0.1 यथार्थ रूप से संचित नहीं हो सकता।

यह क्यों काम करता है: निम्नतम पदों में भिन्न m/n आधार b में ठीक तब सांत होती है जब n का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड b को विभाजित करे; 1/10 में गुणनखंड 5 है, जो 2 को विभाजित नहीं करता। अतः 0.5, 0.25 और 0.375 द्विआधारी में यथार्थ हैं, पर 0.1, 0.2 और 1/3 नहीं।

5. द्विआधारी अंकगणित और तार्किक संक्रियाएँ

योग: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10 (योग 0, हासिल 1), 1 + 1 + 1 = 11।

गुणन खिसकाओ-और-जोड़ो तथा भाग खिसकाओ-और-घटाओ है; 2^k से गुणा करना k स्थान बाईं ओर खिसकाना है।

पूरकों द्वारा व्यवकलन: A − B = A + (B का 2 का पूरक), अंतिम हासिल छोड़ दें; 2 का पूरक = 1 का पूरक (सभी बिट उलटे) + 1।

यह क्यों काम करता है: n बिटों में B का 1 का पूरक (2ⁿ − 1) − B है और 2 का पूरक 2ⁿ − B। अतः A + (2ⁿ − B) = 2ⁿ + (A − B): A ≥ B होने पर हासिल 2ⁿ छोड़ने से A − B बचता है; A < B होने पर कोई हासिल नहीं होता और परिणाम 2ⁿ − (B − A) ऋणात्मक उत्तर का 2 के पूरक वाला रूप है। 1 के पूरक के साथ परिणाम एक कम आता है, जिसे चक्रीय हासिल (end-around carry) ठीक करता है।

उदाहरण 2 (4 बिट): 7 − 5 = 0111 + 1011 = 1 0010; हासिल छोड़ने पर 0010 = 2 बचता है।

बिटवार तार्किक संक्रियाएँ: 1100 AND 1010 = 1000, 1100 OR 1010 = 1110, 1100 XOR 1010 = 0110, NOT 1100 = 0011।

द्विआधारी संख्याओं का बीजगणित: योग और गुणन क्रमविनिमेय तथा साहचर्य हैं, गुणन योग पर वितरित होता है, और n-बिट अंकगणित मापांक 2ⁿ अंकगणित है, अतः परास से बाहर के परिणाम अतिप्रवाहित (overflow) होते हैं।

6. पूर्णांकों का निरूपण

अचिह्नित (unsigned) n-बिट: 0 से 2ⁿ − 1 (8 बिट: 0 से 255)।

चिह्न-परिमाण: सबसे बायाँ बिट चिह्न है; परास −(2ⁿ⁻¹ − 1) से 2ⁿ⁻¹ − 1, दो शून्य (+0 और −0) के साथ।

1 का पूरक: ऋणात्मक संख्या धनात्मक संख्या के सभी बिट उलटकर बनती है; वही परास और दो शून्य।

2 का पूरक: उलटें और 1 जोड़ें; परास −2ⁿ⁻¹ से 2ⁿ⁻¹ − 1, एकल शून्य के साथ; लगभग सभी कंप्यूटर इसका प्रयोग करते हैं।

भाव: 2 के पूरक में अग्रणी बिट का भार +2ⁿ⁻¹ के स्थान पर −2ⁿ⁻¹ है: मान = −b_n−12ⁿ⁻¹ + ∑_{i < n−1} b_i2ⁱ। 11111011 के लिए −128 + 123 = −5। 2ⁿ प्रतिरूपों को घड़ी के डायल पर सोचें, जिसका ऊपरी आधा ऋणात्मक संख्याओं के रूप में पुनः अंकित है; इससे एकल शून्य और परिसर में धनात्मक से एक अधिक ऋणात्मक संख्या का कारण स्पष्ट होता है।

उदाहरण 3: 8 बिट में −5 है 10000101 (चिह्न-परिमाण), 11111010 (1 का पूरक), 11111011 (2 का पूरक)।

पूर्णांक और दीर्घ पूर्णांक (long integers): 16-बिट पूर्णांक −32768 से 32767 तक; 32-बिट दीर्घ पूर्णांक −2147483648 से 2147483647 तक; 64-बिट पूर्णांक लगभग 9.22 × 10¹⁸ तक।

7. वास्तविक संख्याओं का निरूपण

चल बिंदु: x = (−1)^s × 1.f × 2^{e − bias}, छिपे अग्रणी 1 वाला प्रसामान्यीकृत अपूर्णांश (mantissa)।

भाव: यह आधार 2 में वैज्ञानिक संकेतन है। प्रसामान्यीकरण अग्रणी बिट को सदैव 1 बनाता है, अतः उसे संग्रहित करना आवश्यक नहीं, जिससे एक बिट की परिशुद्धता मुफ़्त मिलती है; अभिनति (bias) घातांक को अचिह्नित क्षेत्र के रूप में संग्रहित करती है, ताकि धनात्मक संख्याओं के चल-बिंदु प्रतिरूप पूर्णांकों की तरह तुलनीय हों।

IEEE 754 एकल परिशुद्धता (32 बिट): 1 चिह्न बिट, 8 घातांक बिट (bias 127), 23 भिन्न बिट; लगभग 7 सार्थक दशमलव अंक, परिमाण लगभग 3.4 × 10³⁸ तक।

यह क्यों काम करता है: छिपे बिट सहित सार्थकांक (significand) में 24 बिट हैं, और 24 log₁₀2 ≈ 7.2 दशमलव अंक। घातांक क्षेत्र 0 और 255 आरक्षित हैं (शून्य और उपप्रसामान्य, अनंत और NaN), अतः सबसे बड़ी संख्या (2 − 2⁻²³) × 2¹²⁷ ≈ 3.4 × 10³⁸ और सबसे छोटी प्रसामान्यीकृत संख्या 2⁻¹²⁶ ≈ 1.18 × 10⁻³⁸ है। द्वि-परिशुद्धता के लिए 53 log₁₀2 ≈ 16।

द्वि-परिशुद्धता (64 बिट): 1 चिह्न बिट, 11 घातांक बिट (bias 1023), 52 भिन्न बिट; लगभग 15–16 सार्थक अंक, परिमाण लगभग 1.8 × 10³⁰⁸ तक।

मशीन एप्सिलॉन (1 और अगली संख्या का अंतर) एकल में 2⁻²³ ≈ 1.19 × 10⁻⁷ और द्वि-परिशुद्धता में 2⁻⁵² ≈ 2.22 × 10⁻¹⁶ है।

भाव: निकटतम तक पूर्णांकन के साथ परिसर की कोई भी वास्तविक संख्या अधिकतम मशीन एप्सिलॉन के आधे (एकल परिशुद्धता में 2⁻²⁴ ≈ 6 × 10⁻⁸) की सापेक्ष त्रुटि के साथ संग्रहित होती है; यह वह तल है जिसके नीचे किसी परिकलित उत्तर पर भरोसा नहीं किया जा सकता।

उदाहरण 4: −6.75 = −(110.11)₂ = −1.1011 × 2²; s = 1, e = 2 + 127 = 129 = (10000001)₂, f = 1011000...0; 32-बिट प्रतिरूप षोडशाधारी में C0D80000 है।

चल बिंदु अंकगणित में पूर्णांकन त्रुटि होती है, यह पूर्णतः साहचर्य नहीं है, और लगभग बराबर संख्याओं के व्यवकलन में सार्थक अंक खो जाते हैं।

भाव: 3-सार्थक-अंक अंकगणित में (1.00 + 0.004) + 0.004 = 1.00 + 0.004 = 1.00, पर 1.00 + (0.004 + 0.004) = 1.00 + 0.008 = 1.01, अतः संक्रियाओं का क्रम महत्त्वपूर्ण है। निरसन (cancellation) से पुनर्लेखन द्वारा बचा जाता है: बड़े x के लिए √(x + 1) − √x = 1/(√(x + 1) + √x)।

8. व्युत्पत्ति: अतिप्रवाह नियम और हॉर्नर रूपांतरण

अतिप्रवाह (overflow): 2 के पूरक योग में अतिप्रवाह का अर्थ है कि वास्तविक योग −2ⁿ⁻¹ से 2ⁿ⁻¹ − 1 के बाहर है। चिह्न स्थान में आने वाले और उससे बाहर जाने वाले हासिल c_in और c_out लें।

दोनों संकार्य धनात्मक (चिह्न बिट 0, 0): c_out = 0 और परिणाम का चिह्न बिट c_in है, अतः गलत (ऋणात्मक) चिह्न ठीक तब आता है जब c_in = 1 ≠ c_out।

दोनों ऋणात्मक (चिह्न बिट 1, 1): c_out = 1 और चिह्न बिट c_in है, अतः गलत (धनात्मक) चिह्न ठीक तब आता है जब c_in = 0 ≠ c_out।

विपरीत चिह्न (बिट 1, 0): योग कभी अतिप्रवाहित नहीं हो सकता, और वास्तव में c_out = c_in। अतः अतिप्रवाह ⇔ c_in ≠ c_out, जो उदाहरण 6 में प्रयुक्त नियम है।

आधार b से दशमलव के लिए हॉर्नर नियम: (d_kd_k−1...d₀)_b = (...((d_kb + d_k−1)b + d_k−2)b + ...)b + d₀, जिसमें केवल k गुणन चाहिए; उदाहरणार्थ (2D)₁₆ = 2 × 16 + 13 = 45 और (101101)₂ = ((((1 · 2 + 0)2 + 1)2 + 1)2 + 0)2 + 1 = 45।

9. विधि का चयन

यदि द्विआधारी, अष्टाधारी और षोडशाधारी के बीच रूपांतरण है → द्विआधारी बिंदु से बिटों का समूहन; अष्टाधारी से षोडशाधारी द्विआधारी से होकर जाता है, दशमलव से कभी नहीं।

यदि दशमलव से रूपांतरण है → पूर्णांक भाग के लिए बार-बार भाग और भिन्न के लिए बार-बार गुणा; यदि दशमलव में रूपांतरण है → ∑d_ibⁱ का प्रसार करें या हॉर्नर नियम लें।

यदि किसी ऋणात्मक पूर्णांक को n बिटों में संग्रहित करना है → |x| को n बिटों में लिखें, उलटें और 1 जोड़ें (या 2ⁿ − |x| ज्ञात करें)।

यदि व्यवकलन पूछा गया है → 2 का पूरक जोड़ें और हासिल छोड़ें, या 1 का पूरक जोड़ें और चक्रीय हासिल जोड़ें; हासिल न होने का अर्थ है उत्तर ऋणात्मक है और पूरक रूप में है।

यदि किसी वास्तविक संख्या का कूटन करना है → द्विआधारी में बदलें, 1.f × 2^e में प्रसामान्यीकृत करें, फिर चिह्न, e + bias और f लिखें; यदि किसी प्रतिरूप का विकूटन करना है → क्षेत्र अलग करें, अभिनति घटाएँ और छिपा 1 पुनः जोड़ें।

10. सामान्य गलतियाँ

गलत क्रम में शेषफल: पहला शेषफल सबसे कम सार्थक अंक है; उन्हें अंतिम से प्रथम की ओर पढ़ें।

पूर्णांक बिटों का बाएँ से समूहन: (1011101)₂, 001 011 101 = (135)₈ है, 101 110 1 नहीं।

शब्द-लंबाई निश्चित किए बिना पूरक लेना: 8 बिटों में −5 के लिए 00000101 से आरंभ करें, जिससे 11111011 मिलता है; केवल 101 को उलटने से अर्थहीन परिणाम आता है।

1 के पूरक व्यवकलन में चक्रीय हासिल भूल जाना, जिससे उत्तर एक कम रह जाता है।

अतिप्रवाह की उपेक्षा: जब समान चिह्न की दो संख्याएँ विपरीत चिह्न का परिणाम दें, तो गलत मान बताने के स्थान पर 'अतिप्रवाह' लिखें।

IEEE की भूलें: 127 के स्थान पर अभिनति 128 लेना, या अग्रणी 1 को भिन्न क्षेत्र में संग्रहित करना।

संबंध: n-बिट पूर्णांक अंकगणित वलय ℤ/2ⁿℤ में अंकगणित है (अमूर्त बीजगणित); 2 का पूरक केवल अवशेष वर्गों के प्रतिनिधि −2ⁿ⁻¹, ..., 2ⁿ⁻¹ − 1 चुनता है।

संबंध: मशीन एप्सिलॉन इस अध्याय की प्रत्येक विधि को सीमित करता है: एकल परिशुद्धता में लगभग 10⁻⁷ से कम रोक-सहनशीलता अर्थहीन है, और लगभग समान संख्याओं का व्यवकलन (संख्यात्मक अवकलन, दुष्प्रतिबंधित निकाय) पूर्णांकन त्रुटि को बढ़ा देता है।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 5: (3A7.C)₁₆ को दशमलव, द्विआधारी और अष्टआधारी में बदलिए।

दशमलव: 3 × 256 + 10 × 16 + 7 + 12/16 = 768 + 160 + 7 + 0.75 = 935.75।

द्विआधारी: प्रत्येक हेक्स अंक को 4 बिट से बदलें: 0011 1010 0111 . 1100 = (1110100111.11)₂।

अष्टआधारी: द्विआधारी बिंदु से तीन-तीन के समूह बनाएँ: 001 110 100 111 . 110 = (1647.6)₈; जाँच: 512 + 384 + 32 + 7 + 6/8 = 935.75।

उदाहरण 6: 8-बिट 2 के पूरक में 100 + 50 और (−20) + (−30) जोड़िए और अतिप्रवाह (overflow) पहचानिए।

100 = 01100100 और 50 = 00110010; योग 10010110 का चिह्न बिट 1 है और यह −106 पढ़ा जाता है, जबकि 150 > 127: अतिप्रवाह (दो धनात्मक संकार्यों से ऋणात्मक परिणाम)।

−20 = 11101100 और −30 = 11100010; योग 1 11001110 है, और हासिल छोड़ने पर 11001110 = −50 बचता है, जो सही है।

नियम: अतिप्रवाह ठीक तब होता है जब चिह्न बिट में आने वाला हासिल उससे बाहर जाने वाले हासिल से भिन्न हो (यहाँ पहले योग में 1 और 0, दूसरे में 1 और 1)।

उदाहरण 7: IEEE एकल-परिशुद्धता प्रतिरूप 41200000 (हेक्स) के रूप में संग्रहीत वास्तविक संख्या ज्ञात कीजिए।

द्विआधारी: 0 | 10000010 | 01000000000000000000000, अतः s = 0, घातांक क्षेत्र 130 और भिन्न .01 है।

मान = (+1) × (1.01)₂ × 2^{130 − 127} = 1.25 × 8 = 10।

उदाहरण 8: द्विआधारी में 1011 × 110 और 100111 ÷ 101 परिकलित कीजिए।

1011 × 110 = 1011 × 100 + 1011 × 10 = 101100 + 10110 = 1000010, अर्थात् 11 × 6 = 66।

100111 ÷ 101: 1001 − 101 = 100 (भागफल बिट 1), 1 नीचे लाएँ: 1001 − 101 = 100 (बिट 1), 1 नीचे लाएँ: 1001 − 101 = 100 (बिट 1); भागफल 111, शेषफल 100, अर्थात् 39 = 5 × 7 + 4।

12. स्थिर-बिंदु संख्याएँ तथा अष्टाधारी या षोडशाधारी अंकगणित

स्थिर-बिंदु प्रारूप (fixed-point format): f भिन्नात्मक बिट वाले n-बिट शब्द में प्रतिरूप (उसका पूर्णांक मान)/2^f को दर्शाता है; सचिह्न शब्द में सबसे बायाँ बिट चिह्न होता है (सचिह्न परिमाण) या शब्द को 2 के पूरक में पढ़ा जाता है।

सचिह्न बाइट का अर्थ निकालना: सचिह्न परिमाण में पहला बिट चिह्न और शेष n − 1 बिट परिमाण हैं; 2 के पूरक में पहला बिट 1 हो तो अचिह्नित मान से 2ⁿ घटाया जाता है (अतः (FF)₁₆ सचिह्न परिमाण में −127 परंतु 2 के पूरक में −1 है)।

द्विआधारी के माध्यम से अष्टाधारी या षोडशाधारी अंकगणित: प्रत्येक अंक को 3 (अष्टाधारी) या 4 (षोडशाधारी) बिट से बदलें, बिंदु संरेखित करें, जोड़ें (घटाने के लिए घटाए जाने वाले का 2 का पूरक जोड़ें) और पुनः समूहित करें; आधार 8 या 16 में उधार अगले निचले स्थान की 8 या 16 इकाइयों के बराबर है।

आवर्ती भिन्न: केवल m/2^k रूप के भिन्न द्विआधारी, अष्टाधारी और षोडशाधारी में सांत होते हैं; अन्य भिन्नों के लिए गुणा तब तक जारी रखें जब तक शेष दोहराए नहीं और आवर्ती खंड दिखाएँ, या माँगे गए स्थानों तक पूर्णांकन करें।

13. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 10 अंक): (i) (3798·3875)₁₀ को अष्टाधारी तथा षोडशाधारी तुल्यमानों में बदलिए।
(ii) (¬P → R) ∧ (Q ⇄ P) का मुख्य संयोजक सामान्य रूप (प्रिंसिपल कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म) प्राप्त कीजिए।

(i) 3798 = 8 × 474 + 6, 474 = 8 × 59 + 2, 59 = 8 × 7 + 3, अतः 3798 = (7326)₈; 3798 = 16 × 237 + 6, 237 = 16 × 14 + 13, अतः 3798 = (ED6)₁₆।

0.3875 × 8 से 3.1, 0.8, 6.4, 3.2, 1.6, 4.8, 6.4, ... (अंक 3, 0, फिर 6, 3, 1, 4 आवर्ती); 0.3875 × 16 से 6.2, 3.2, 3.2, ...। अतः (3798.3875)₁₀ = (7326.30631463146...)₈ = (ED6.6333...)₁₆।

(ii) ¬P → R ≡ P ∨ R, और Q ⇄ P ठीक तब सत्य है जब P, Q का मान समान हो; अतः सूत्र केवल (P, Q, R) = (T, T, T), (T, T, F), (F, F, T) के लिए सत्य है।

PCNF पाँच असत्य पंक्तियों FFF, FTF, FTT, TFF, TFT के मैक्सटर्मों का गुणनफल है (प्रत्येक मैक्सटर्म में चर तब आता है जब उस पंक्ति में वह F हो और उसका निषेध तब जब वह T हो)।

उत्तर: (i) (7326.3063146...)₈, (ED6.6333...)₁₆; (ii) (P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ R) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ ¬R)।

उदाहरण 10 (UPSC 2023, 10 अंक): द्वि-आधारी अंकगणित का उपयोग कर निम्नलिखित संख्याओं का मूल्यांकन उनकी दी गई पद्धति में कीजिए:
(i) (634·235)₈ − (132·223)₈
(ii) (7AB·432)₁₆ − (5CA·D61)₁₆

(i) (634.235)₈ = 110 011 100.010 011 101 तथा (132.223)₈ = 001 011 010.010 010 011; द्विआधारी व्यवकलन से 101 000 010.000 001 010 = (502.012)₈।

दशमलव में जाँच: 412.306641 − 90.287109 = 322.019531 = (502.012)₈।

(ii) (7AB.432)₁₆ = 0111 1010 1011.0100 0011 0010 तथा (5CA.D61)₁₆ = 0101 1100 1010.1101 0110 0001; द्विआधारी व्यवकलन से 0001 1110 0000.0110 1101 0001 = (1E0.6D1)₁₆।

सीधे: .432 − .D61 में इकाई से उधार चाहिए (1.432 − 0.D61 = 0.6D1), फिर 7AA − 5CA = 1E0; जाँच: 1963.262207 − 1482.836182 = 480.426025।

उत्तर: (502.012)₈ तथा (1E0.6D1)₁₆।

उदाहरण 11 (UPSC 2024, 10 अंक): (i) (8D)₁₆ और (FF)₁₆ के सचिह्न परिमाण रूप में दशमलव समतुल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) (9B2.1A)₁₆ का दशमलव समतुल्य ज्ञात कीजिए।

(i) (8D)₁₆ = 1000 1101: चिह्न बिट 1 (ऋणात्मक) और परिमाण 000 1101 = 13, अतः −13; (FF)₁₆ = 1111 1111: चिह्न 1 और परिमाण 111 1111 = 127, अतः −127।

(ii) (9B2.1A)₁₆ = 9 × 256 + 11 × 16 + 2 + 1/16 + 10/256 = 2304 + 176 + 2 + 0.0625 + 0.0390625।

उत्तर: −13 और −127; (9B2.1A)₁₆ = 2482.1015625।

उदाहरण 12 (UPSC 2026, 15 अंक): (i) निम्नलिखित चल (फ्लोटिंग) बिंदु 10-द्वयंक (बिट) संख्याओं के दशमलव तुल्यांक ज्ञात कीजिए, जिनमें 5 द्वयंक भिन्न भाग हों: 1010111011 और 0100101010। (8)
(ii) (11001.1011)₁₀ + (33.24)₈ + (101101)₂ का मूल्यांकन कीजिए और अंतिम परिणाम को षोडश आधारी (हैक्साडेसिमल) पद्धति में बदलिए। (7)

(i) 5 पूर्णांक और 5 भिन्नात्मक बिट से: 10101.11011 = 21 + 27/32 = 21.84375 तथा 01001.01010 = 9 + 10/32 = 9.3125। (यदि सबसे बायाँ बिट चिह्न बिट हो, तो पहली संख्या −(0101.11011)₂ = −5.84375 और दूसरी 9.3125 ही रहती है।)

(ii) [(11001.1011)₁₀ के सभी अंक 0 और 1 हैं, अतः स्पष्टतः आधार 2 अभिप्रेत है।] (11001.1011)₂ = 25 + 11/16 = 25.6875, (33.24)₈ = 27 + 2/8 + 4/64 = 27.3125 तथा (101101)₂ = 45।

योग = 25.6875 + 27.3125 + 45 = 98 = 6 × 16 + 2। शाब्दिक रूप से दशमलव मानने पर 11001.1011 + 27.3125 + 45 = 11073.4136 = (2B41.69E1...)₁₆, क्योंकि 11073 = 2 × 4096 + 11 × 256 + 4 × 16 + 1।

उत्तर: (i) 21.84375 और 9.3125; (ii) (62)₁₆ (शाब्दिक पाठ: (2B41.69E1...)₁₆)।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): (110101)₂ को दशमलव में बदलिए।

उत्तर: 32 + 16 + 4 + 1 = 53।

अभ्यास 2 (मूल): 87 को द्विआधारी, अष्टाधारी और षोडशाधारी में बदलिए।

उत्तर: (1010111)₂ = (127)₈ = (57)₁₆।

अभ्यास 3 (मूल): 8-बिट प्रतिरूप 00101100 के 1 और 2 के पूरक लिखिए।

उत्तर: 11010011 और 11010100 (अर्थात् 2 के पूरक में −44)।

अभ्यास 4 (मानक): 0.6875 को द्विआधारी में बदलिए।

उत्तर: 0.6875 × 2 = 1.375 (1), 0.75 (0), 1.5 (1), 1.0 (1): (0.1011)₂।

अभ्यास 5 (मानक): (2F.8)₁₆ को अष्टाधारी और दशमलव में बदलिए।

उत्तर: 0010 1111 . 1000 = 101 111 . 100 = (57.4)₈ = 47.5।

अभ्यास 6 (मानक): 8-बिट 2 के पूरक में −100 + 30 की गणना कीजिए और परिणाम की व्याख्या कीजिए।

उत्तर: 10011100 + 00011110 = 10111010, कोई हासिल नहीं और चिह्न बिट 1; इसका 2 का पूरक 01000110 = 70 है, अतः परिणाम −70 है (कोई अतिप्रवाह नहीं, क्योंकि संकार्यों के चिह्न विपरीत हैं)।

अभ्यास 7 (मानक): IEEE एकल परिशुद्धता प्रतिरूप C1480000 (षोडशाधारी) का विकोडन कीजिए।

उत्तर: 1 | 10000010 | 1001000...: s = 1, घातांक 130 − 127 = 3, सार्थकांक (1.1001)₂ = 1.5625; मान −1.5625 × 8 = −12.5।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाइए कि 0.1 एक आवर्ती द्विआधारी भिन्न है और इसका IEEE एकल परिशुद्धता प्रतिरूप ज्ञात कीजिए (निकटतम पर पूर्णांकन)।

उत्तर: 0.1 = (0.0001100110011...)₂ = 1.10011001100... × 2⁻⁴; घातांक 123 = 01111011; 23 भिन्न बिटों 10011001100110011001100 के बाद 11... आते हैं, अतः वे ...1101 पर ऊपर पूर्णांकित होते हैं; प्रतिरूप 3DCCCCCD है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): 8-बिट 2 के पूरक में −1 और −128 लिखिए, और समझाइए कि +128 क्यों निरूपित नहीं किया जा सकता।

उत्तर: −1 = 256 − 1 = 11111111 और −128 = 256 − 128 = 10000000; अग्रणी बिट 0 वाले प्रतिरूप केवल 0 से 127 तक ढकते हैं, और 10000000 पहले से −128 के लिए प्रयुक्त है, अतः परिसर −128 से 127 है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): द्विआधारी के माध्यम से (A9F.7)₁₆ + (5E3.C)₁₆ का मान निकालिए और दशमलव में जाँचिए।

उत्तर: (1083.3)₁₆; जाँच: 2719.4375 + 1507.75 = 4227.1875 = 1 × 4096 + 8 × 16 + 3 + 3/16।

1. बूलीय बीजगणित के नियमों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रत्येक तर्क परिपथ एक बूलीय व्यंजक की गणना करता है, और छोटा तुल्य व्यंजक कम द्वार, कम लागत और कम विलंब का अर्थ है। बूलीय बीजगणित के नियम व्यंजक को उसकी सत्य सारणी बदले बिना पुनः लिखने के नियम हैं।

शब्दों में: चर केवल 0 और 1 मान लेते हैं; + OR है (1 यदि कम-से-कम एक निवेश 1 हो), · AND है (1 केवल यदि दोनों 1 हों), और ′ NOT है। अनेक नियम साधारण बीजगणित जैसे दिखते हैं (क्रमविनिमेय, साहचर्य, A(B + C) = AB + AC), पर कुछ नए हैं: A + A = A, A + 1 = 1, A + AB = A और A + BC = (A + B)(A + C)।

नियमों द्वारा उपपत्ति समताओं की एक शृंखला है जिसमें प्रत्येक चरण एक नियम उद्धृत करता है; किसी भी सर्वसमिका की जाँच उसकी सत्य सारणी (पूर्ण आगमन) से भी हो सकती है, क्योंकि केवल 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाइए कि AB + A′C + BC = AB + A′C (सर्वसम्मति प्रमेय, consensus theorem)।

चरण 1: पद BC संदिग्ध है, अतः इसे A + A′ रूप में 1 से गुणा करें (पूरक नियम, तत्समक नियम): BC = BC(A + A′)।

चरण 2: वितरण करें: BC(A + A′) = ABC + A′BC।

चरण 3: व्यंजक AB + ABC + A′C + A′BC बन जाता है (पुनः समूहन के लिए क्रमविनिमेय नियम)।

चरण 4: अवशोषण: AB + ABC = AB(1 + C) = AB, क्योंकि 1 + C = 1 (शून्य नियम)।

चरण 5: इसी प्रकार A′C + A′BC = A′C(1 + B) = A′C।

चरण 6: अतः AB + A′C + BC = AB + A′C।

चरण 7: सत्य सारणी से जाँच: दोनों पक्ष ठीक पंक्तियों ABC = 001, 011, 110, 111 पर 1 हैं। विचार पर ध्यान दें: BC अनावश्यक है क्योंकि जब भी B = C = 1, या तो A = 1 (अतः AB = 1) या A = 0 (अतः A′C = 1)।

अ-उदाहरण (non-example): A + B = A + C से A काटकर B = C नहीं निकाला जा सकता: A = 1, B = 0, C = 1 लें; दोनों पक्ष 1 के बराबर हैं पर B ≠ C। बूलीय बीजगणित में घटाव नहीं है, अतः साधारण निरसन नियम लागू नहीं होता; B = C तभी निकलता है जब A + B = A + C और AB = AC दोनों हों।

आगे बढ़ते हुए: सभी नियम हंटिंगटन अभिगृहीतों से निकलते हैं; डी मॉर्गन नियम (A + B)′ = A′B′, (AB)′ = A′ + B′ पूरकों की अद्वितीयता से आते हैं (नीचे 'व्युत्पत्ति: डी मॉर्गन नियम और विहित प्रसार')।

द्वैतता कार्य आधा करती है: किसी सिद्ध सर्वसमिका में + को · से और 0 को 1 से बदलने पर दूसरी सर्वसमिका मिलती है, उदाहरणार्थ द्वैत सर्वसम्मति (A + B)(A′ + C)(B + C) = (A + B)(A′ + C)।

कहाँ प्रयोग होता है: 'बूलीय बीजगणित के नियमों से सरल कीजिए और प्रत्येक नियम का नाम दीजिए' प्रश्न (UPSC 2014, 2017, 2018), परिपथ न्यूनीकरण, और PCNF तथा PDNF प्रश्नों का प्रतिज्ञप्ति तर्क।

2. मिनटर्म, मैक्सटर्म और विहित रूपों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक ही फलन अनेक प्रकार से लिखा जा सकता है, अतः दो व्यंजकों की तुलना करने, या सत्य सारणी से अभिकल्पना आरंभ करने के लिए, हमें ऐसा मानक रूप चाहिए जो प्रत्येक फलन का ठीक एक ही प्रकार से हो।

शब्दों में: मिनटर्म (minterm) एक गुणनफल है जिसमें प्रत्येक चर एक बार, सरल या पूरक रूप में, आता है, और यह सत्य सारणी की ठीक एक पंक्ति पर 1 होता है; A, B, C (A सबसे सार्थक बिट) के लिए पंक्ति 101 का मिनटर्म m₅ = AB′C है। मैक्सटर्म (maxterm) एक योग है जो ठीक एक पंक्ति पर 0 होता है: M₅ = A′ + B + C′।

f का विहित DNF उन पंक्तियों के मिनटर्मों का योग है जहाँ f = 1, जिसे ∑m(...) लिखते हैं; विहित CNF उन पंक्तियों के मैक्सटर्मों का गुणनफल है जहाँ f = 0, जिसे ∏M(...) लिखते हैं। पंक्ति संख्याओं की दोनों सूचियाँ परस्पर पूरक हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(A, B, C) = A′B + C का विहित DNF और CNF ज्ञात कीजिए।

चरण 1: क्रम 000, 001, ..., 111 में सत्य सारणी बनाएँ: f = 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1 (f, 1 है जब C = 1, या जब A = 0 और B = 1)।

चरण 2: f = 1 वाली पंक्तियाँ 1, 2, 3, 5, 7 हैं, अतः f = ∑m(1, 2, 3, 5, 7)।

चरण 3: विस्तार से: f = A′B′C + A′BC′ + A′BC + AB′C + ABC।

चरण 4: f = 0 वाली पंक्तियाँ 0, 4, 6 हैं, अतः f = ∏M(0, 4, 6) = (A + B + C)(A′ + B + C)(A′ + B′ + C)।

चरण 5: बीजगणित से वही DNF: A′B = A′B(C + C′) = A′BC + A′BC′, और C = C(A + A′)(B + B′) से C वाले चार मिनटर्म मिलते हैं; दोहराया गया A′BC हटाएँ।

चरण 6: जाँच: 5 मिनटर्म और 3 मैक्सटर्म सभी 2³ = 8 पंक्तियों का हिसाब देते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): A′B + C स्वयं एक वियोजनीय प्रसामान्य रूप (गुणनफलों का योग) है पर विहित नहीं, क्योंकि इसके पदों में हर चर नहीं है; वही फलन A′B + A′C + C के बराबर भी है, अतः केवल DNF अद्वितीय नहीं है। मिनटर्मों में पूर्ण प्रसार ही अद्वितीय है।

आगे बढ़ते हुए: विहित DNF विद्यमान और अद्वितीय है क्योंकि 1-पंक्तियों के 'पंक्ति संसूचकों' का OR ठीक उन्हीं पंक्तियों पर 1 है; डी मॉर्गन इसे विहित CNF में बदलता है (नीचे प्रसामान्य रूपों के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है')। शैनन प्रसार f = Af(1, B, C) + A′f(0, B, C) चर-दर-चर वही परिणाम देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'फलन को मिनटर्म (या मैक्सटर्म) प्रसामान्य रूप में लिखिए' प्रश्न (UPSC 2018, 2020, 2023), प्रतिज्ञप्तियों के PDNF और PCNF (UPSC 2015, 2021), और कारनॉ मानचित्रों के आरंभ-बिंदु के रूप में।

3. कारनॉ मानचित्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: नियमों से सरलीकरण में यह अंतर्दृष्टि चाहिए कि अगला कौन-सा नियम लगाएँ। कारनॉ मानचित्र (Karnaugh map) सरलीकरण को एक चित्र में बदल देता है: संयोजित होने योग्य पद पड़ोसी कोष्ठकों के रूप में दिखते हैं।

शब्दों में: मानचित्र में सत्य सारणी की प्रत्येक पंक्ति के लिए एक कोष्ठक होता है, प्रत्येक भुजा के अनुदिश ग्रे-कोड क्रम 00, 01, 11, 10 में व्यवस्थित, ताकि पड़ोसी कोष्ठक (किनारों के पार वाले सहित, जो घूमकर मिलते हैं) ठीक एक चर में भिन्न हों।

चूँकि XY + XY′ = X, 2^k आसन्न 1-कोष्ठकों का एक आयत k चर हटाकर एक गुणनफल में सिमट जाता है। सभी 1 को यथासंभव कम और बड़े आयतों (आकार 1, 2, 4, 8) से ढकें।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(A, B, C, D) = ∑m(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15) का न्यूनीकरण कीजिए।

चरण 1: पंक्तियों AB = 00, 01, 11, 10 और स्तंभों CD = 00, 01, 11, 10 वाला 4 × 4 मानचित्र बनाएँ।

चरण 2: 1 रखें: m₀ = 0000 (पंक्ति 00, स्तंभ 00), m₂ = 0010 (पंक्ति 00, स्तंभ 10), m₈ = 1000 (पंक्ति 10, स्तंभ 00), m₁₀ = 1010 (पंक्ति 10, स्तंभ 10): चारों कोने।

चरण 3: शेष, m₅ = 0101, m₇ = 0111, m₁₃ = 1101, m₁₅ = 1111, केंद्रीय 2 × 2 वर्ग (पंक्तियाँ 01, 11 और स्तंभ 01, 11) भरते हैं।

चरण 4: चारों कोने घूमकर मिलने वाले किनारों से आसन्न हैं; उन पर सर्वत्र B = 0 और D = 0, अतः यह समूह B′D′ देता है।

चरण 5: केंद्रीय वर्ग पर सर्वत्र B = 1 और D = 1, जबकि A और C बदलते हैं, अतः यह BD देता है।

चरण 6: f = B′D′ + BD: चार-चार लिटरल वाले आठ मिनटर्मों के स्थान पर दो-दो लिटरल वाले दो पद।

चरण 7: अर्थ की जाँच: f = 1 ठीक तब जब B = D, अतः f, B और D का XNOR है, A और C से स्वतंत्र।

अ-उदाहरण (non-example): m₁ = 0001 और m₂ = 0010 द्विआधारी क्रम 00, 01, 10, 11 में अगल-बगल बैठते हैं, पर वे दो चरों (C और D) में भिन्न हैं, और A′B′C′D + A′B′CD′ एक गुणनफल में नहीं घटता। उन्हें समूहित करना गलत है; विफल प्रतिबंध ग्रे कोड में आसन्नता (एक चर का बदलना) है।

आगे बढ़ते हुए: प्रत्येक समूहन XY + XY′ = X का बार-बार प्रयोग है (नीचे 'कारनॉ मानचित्र क्यों काम करते हैं'); 'परवाह नहीं' कोष्ठकों को किसी समूह में शामिल किया जा सकता है जब इससे वह बड़ा हो।

1 के स्थान पर 0 का समूहन न्यूनतम योगों का गुणनफल देता है, जो NOR–NOR परिपथों के लिए उपयुक्त है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'व्यंजक का न्यूनीकरण कीजिए और घटा हुआ परिपथ बनाइए' प्रश्न (UPSC 2016, 2019), और नियमों द्वारा किए गए सरलीकरणों की त्वरित जाँच।

4. संख्यात्मक विधियों के लिए कलनविधियों और प्रवाह संचित्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कोई संख्यात्मक विधि तभी उपयोगी होती है जब मशीन उसे कर सके। इसके लिए कलनविधि (algorithm) चाहिए: प्रत्येक चरण यथार्थ रूप से बताया हुआ, स्पष्ट निवेश, निर्गम और रोक-नियम के साथ; प्रवाह संचित्र (flow chart) उसी कलनविधि को चित्र के रूप में दिखाता है।

शब्दों में: कलनविधि अस्पष्टता-रहित, निष्पाद्य चरणों का परिमित अनुक्रम है जो सदा समाप्त होता है। पुनरावृत्त विधि के लिए इसका अर्थ है: आँकड़े, सहनशीलता ε और पुनरावृत्तियों की अधिकतम संख्या N पढ़ें; अद्यतन दोहराएँ; जब क्रमागत मान ε के भीतर मिलें या N पूरा हो जाए तब रुकें; परिणाम या विफलता संदेश छापें।

प्रवाह संचित्र में अंडाकार आरंभ और अंत, समांतर चतुर्भुज निवेश और निर्गम, आयत गणनाएँ, और हीरे (diamond) निर्णय दर्शाते हैं; प्रत्येक लूप किसी हीरे से होकर गुजरना चाहिए।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: छेदक विधि की कलनविधि लिखिए और x₀ = 1, x₁ = 2 के साथ f(x) = x² − 2 पर उसका अनुरेखण कीजिए।

चरण 1 (निवेश): x₀, x₁, ε और N पढ़ें; i = 1 रखें।

चरण 2 (रक्षक): यदि f(x₁) = f(x₀), तो 'समान फलन मान' छापें और रुकें, क्योंकि सूत्र शून्य से भाग देगा।

चरण 3 (अद्यतन): x₂ = x₁ − f(x₁)(x₁ − x₀)/(f(x₁) − f(x₀))।

चरण 4 (परीक्षण): यदि |x₂ − x₁| < ε, तो x₂ छापें और रुकें; अन्यथा x₀ = x₁, x₁ = x₂, i = i + 1 रखें।

चरण 5 (सीमा): यदि i > N, तो 'N चरणों में अभिसरण नहीं' छापें और रुकें; अन्यथा चरण 2 पर लौटें।

चरण 6 (अनुरेखण): f(1) = −1, f(2) = 2 के साथ पुनरावृत्त 1.333333, 1.4, 1.414634, 1.414211, 1.414214 हैं; ε = 10⁻⁵ के साथ परीक्षण इनमें से अंतिम पर सफल होता है, और निर्गम √2 ≈ 1.414214 है।

चरण 7 (प्रवाह संचित्र): आरंभ → पढ़ें → हीरा 'f(x₁) = f(x₀)?' → x₂ के लिए आयत → हीरा '|x₂ − x₁| < ε?' → स्थानांतरण के लिए आयत → हीरा 'i > N?' → वापसी तीर; प्रत्येक निकास एक छापें-बॉक्स और अंत तक जाता है।

अ-उदाहरण (non-example): 'दोहराएँ: c = (a + b)/2, a या b बदलें, जब तक f(c) = 0 न हो' चल-बिंदु अंकगणित में द्विभाजन की कलनविधि नहीं है: f(c) लगभग कभी भी यथार्थतः 0 नहीं होता, अतः लूप कभी समाप्त न हो। यह परिमितता की अपेक्षा में विफल है; परीक्षण |b − a| < ε (या f पर सहनशीलता) और पुनरावृत्ति सीमा के साथ होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: यही ढाँचा (निवेश, आरंभीकरण, अद्यतन सहित लूप, परीक्षण, सीमा, निर्गम) इस विषय में द्विभाजन, न्यूटन-रैफ्सन, सिम्पसन नियम, गाउस-सीडल और रुंगे-कुट्टा की कलनविधियाँ देता है (नीचे 'कलनविधियाँ और प्रवाह संचित्र' और 'संख्यात्मक विधियों के लिए प्रोग्राम लिखना')।

कहाँ प्रयोग होता है: नियमित 10–15 अंक के '... के लिए कलनविधि लिखिए और प्रवाह संचित्र बनाइए' प्रश्न (UPSC 2014, 2017, 2019), और कलनविधि का C या FORTRAN में अनुवाद।

5. कंप्यूटर तंत्र के अवयव

इकाइयाँ: निवेश, निर्गम, केंद्रीय संसाधन इकाई (CPU) और स्मृति (memory), जो आँकड़ा, पता और नियंत्रण बसों से जुड़ी होती हैं।

CPU: अंकगणितीय तर्क इकाई (ALU) अंकगणितीय और तार्किक संक्रियाएँ करती है; नियंत्रण इकाई निर्देशों का आनयन, विकूटन और निष्पादन करती है; रजिस्टर संकार्य, पते और प्रोग्राम गणक रखते हैं।

संचित-प्रोग्राम (वॉन न्यूमैन) संकल्पना: प्रोग्राम और आँकड़े एक ही स्मृति में रहते हैं, और CPU आनयन–विकूटन–निष्पादन चक्र दोहराती है।

भाव: क्योंकि निर्देश आँकड़ों की तरह संग्रहित हैं, वही हार्डवेयर केवल भिन्न स्मृति सामग्री लोड करके कोई भी प्रोग्राम चला सकता है। प्रत्येक चक्र में CPU उस निर्देश का आनयन करता है जिसका पता प्रोग्राम गणक में है, गणक को आगे बढ़ाता है, निर्देश का विकूटन करता है और उसे निष्पादित करता है; जंप केवल गणक में नया पता लिखता है, इसी से लूप और निर्णय बनते हैं।

स्मृति पदानुक्रम (सबसे तीव्र और सबसे छोटी पहले): रजिस्टर, कैश, मुख्य स्मृति (RAM), द्वितीयक भंडारण (हार्ड डिस्क, SSD)।

भाव: तेज़ स्मृति छोटी और प्रति बाइट महँगी होती है, अतः पदानुक्रम प्रयोग में आ रहे आँकड़ों को CPU के निकट रखता है। कैश इसलिए काम करता है क्योंकि प्रोग्राम हाल में प्रयुक्त आँकड़ों और पास में संग्रहित आँकड़ों का बार-बार प्रयोग करते हैं (संदर्भ की स्थानिकता)।

RAM अस्थायी पठन-लेखन स्मृति है; ROM (PROM, EPROM, EEPROM सहित) स्थायी है और बूट प्रोग्राम जैसे फर्मवेयर रखती है।

इकाइयाँ: बिट; बाइट = 8 बिट; शब्द (word) = मशीन की स्वाभाविक इकाई (जैसे 32 या 64 बिट); 1 KB = 2¹⁰ बाइट, 1 MB = 2²⁰ बाइट, 1 GB = 2³⁰ बाइट।

n पता रेखाओं वाली स्मृति में 2ⁿ पता योग्य स्थान होते हैं; 16 पता रेखाएँ 65536 स्थानों को संबोधित करती हैं।

यह क्यों काम करता है: प्रत्येक पता-रेखा पते का एक बिट वहन करती है, और n बिटों के 2ⁿ प्रतिरूप होते हैं; 2¹⁶ = 65536 = 64 K स्थान, और 1 MB बाइट-संबोधित स्मृति के लिए 20 रेखाएँ चाहिए क्योंकि 2²⁰ = 1048576।

6. तर्क द्वार

AND A·B, OR A + B, NOT A′, NAND (AB)′, NOR (A + B)′, XOR A ⊕ B = A′B + AB′, XNOR (A ⊕ B)′।

भाव: AND केवल तब 1 देता है जब प्रत्येक निवेश 1 हो, OR केवल तब 0 देता है जब प्रत्येक निवेश 0 हो, और XOR तब 1 देता है जब निवेश भिन्न हों, अतः यह मापांक 2 योग है (ऊपर का चित्र देखें)। NAND और NOR, NOT के बाद लगे AND और OR हैं।

NAND और NOR सार्वत्रिक द्वार (universal gates) हैं: A′ = A NAND A, AB = (A NAND B) NAND (A NAND B), A + B = (A NAND A) NAND (B NAND B)।

यह क्यों काम करता है: प्रत्येक बूलीय फलन का विहित DNF होता है, अतः AND, OR और NOT मिलकर कुछ भी बना सकते हैं; चूँकि अकेला NAND, NOT, AND और OR बनाता है, वह भी कुछ भी बना सकता है। द्वैतता से यही NOR के लिए सत्य है: A′ = A NOR A, A + B = (A NOR B) NOR (A NOR B), AB = (A NOR A) NOR (B NOR B)।

अर्ध योजक: योग S = A ⊕ B, हासिल C = AB। पूर्ण योजक: S = A ⊕ B ⊕ C_in, C_out = AB + C_in(A ⊕ B)।

यह क्यों काम करता है: दो बिट जोड़ने पर योग 1 तब है जब ठीक एक 1 हो (XOR) और हासिल 1 तब जब दोनों 1 हों (AND)। तीन बिट जोड़ने पर योग 1 तब है जब विषम संख्या में बिट 1 हों (A ⊕ B ⊕ C_in) और हासिल 1 तब जब कम से कम दो 1 हों, जो उदाहरण 5 का बहुमत फलन है और AB + C_in(A ⊕ B) के बराबर है। n पूर्ण योजकों की शृंखला दो n-बिट संख्याएँ जोड़ती है।

7. बूलीय बीजगणित

बूलीय बीजगणित (Boolean algebra) संक्रियाओं +, ·, ′ और अवयवों 0, 1 वाला समुच्चय है जो क्रमविनिमेय नियम, दोनों वितरण नियम, तत्समक नियम (A + 0 = A, A · 1 = A) और पूरक नियम (A + A′ = 1, A · A′ = 0) संतुष्ट करता है (हंटिंगटन अभिगृहीत)।

भाव: तीन परिचित निकाय इन नियमों का पालन करते हैं: ∪, ∩, पूरक के अंतर्गत समुच्चय (∅ और सार्वत्रिक समुच्चय के साथ), ∨, ∧, ¬ के अंतर्गत प्रतिज्ञप्तियाँ (असत्य, सत्य), और स्विचन परिपथ (खुला, बंद)। यह साधारण बीजगणित नहीं है: A + A = A, A + 1 = 1, और + भी · पर वितरित होता है, A + BC = (A + B)(A + C)।

व्युत्पन्न नियम: वर्गसम A + A = A; शून्य A + 1 = 1, A · 0 = 0; अवशोषण A + AB = A, A(A + B) = A; अंतर्वलन (A′)′ = A; डी मॉर्गन (A + B)′ = A′B′, (AB)′ = A′ + B′; तथा A + A′B = A + B।

यह क्यों काम करता है: अवशोषण A + AB = A(1 + B) = A · 1 = A है, और + को · पर वितरित करने से A + A′B = (A + A′)(A + B) = 1 · (A + B) = A + B। डी मॉर्गन नियम नीचे खंड 10 में अभिगृहीतों से सिद्ध किए गए हैं।

द्वैत सिद्धांत: किसी वैध सर्वसमिका में + को · से और 0 को 1 से परस्पर बदलने पर दूसरी वैध सर्वसमिका मिलती है।

भाव: प्रत्येक अभिगृहीत अपने द्वैत के साथ सूचीबद्ध है, अतः प्रत्येक उपपत्ति का पंक्ति-दर-पंक्ति द्वैत लिया जा सकता है। द्वैतता चरों का पूरक नहीं लेती: A + A′B = A + B का द्वैत A(A′ + B) = AB है, जबकि पूरक लेने से डी मॉर्गन मिलता है।

उदाहरण 1: A′B + AB′ + AB = A′B + A(B′ + B) = A′B + A = A + B।

8. प्रसामान्य रूप

वियोजनीय प्रसामान्य रूप (DNF): शाब्दिकों के गुणनफलों का योग। संयोजनीय प्रसामान्य रूप (CNF): शाब्दिकों के योगों का गुणनफल।

विहित DNF: लघुपदों (minterms) का योग, प्रत्येक में हर चर एक बार; लघुपद m_i सत्यता सारणी की केवल पंक्ति i पर 1 होता है।

भाव: लघुपद (minterm) एक पंक्ति का संसूचक है: जहाँ पंक्ति में 1 है वहाँ चर सामान्य और जहाँ 0 है वहाँ पूरक रूप में आता है, अतः पंक्ति 101 के लिए m₅ = AB′C। गुरुपद (maxterm) इसका उलटा है: M₅ = A′ + B + C′ केवल पंक्ति 101 पर 0 है। A सदैव सबसे अधिक सार्थक बिट है।

विहित CNF: गुरुपदों (maxterms) M_i का गुणनफल, प्रत्येक केवल पंक्ति i पर 0; f = ∑m(पंक्तियाँ जहाँ f = 1) = ∏M(पंक्तियाँ जहाँ f = 0)।

यह क्यों काम करता है: जिन पंक्तियों पर f = 1 है उनके संसूचकों का OR ठीक उन्हीं पंक्तियों पर 1 है, अतः वह f के बराबर है। चूँकि M_i = m_i′, डी मॉर्गन से ∏M(जहाँ f = 0) = [∑m(जहाँ f = 0)]′ = (f′)′ = f।

उदाहरण 2: f(A, B, C) = A + B′C पंक्तियों 1 (001), 4, 5, 6, 7 पर 1 है, अतः f = ∑m(1, 4, 5, 6, 7) = ∏M(0, 2, 3)।

विहित DNF: A′B′C + AB′C′ + AB′C + ABC′ + ABC; कारनॉ मानचित्र या बूलीय नियम इसे पुनः A + B′C में बदल देते हैं।

9. कलनविधियाँ और प्रवाह संचित्र

कलनविधि (algorithm) परिभाषित निवेश और निर्गम वाले चरणों का परिमित, असंदिग्ध अनुक्रम है जो सदैव समाप्त होता है; प्रवाह संचित्र (flow chart) इसे आरेखीय रूप में दर्शाता है।

भाव: मानक जाँच-सूची है परिमितता (यह रुकती है), निश्चितता (प्रत्येक चरण का एक ही अर्थ), निवेश, निर्गम और प्रभाविता (प्रत्येक चरण वास्तव में किया जा सकता है)। कोई पुनरावृत्त संख्यात्मक विधि तभी कलनविधि बनती है जब उसमें रोक-परीक्षण और पुनरावृत्ति सीमा हो।

प्रवाह संचित्र प्रतीक: अंडाकार (आरंभ या अंत), समांतर चतुर्भुज (निवेश या निर्गम), आयत (प्रक्रिया), समचतुर्भुज (निर्णय), तीर (नियंत्रण प्रवाह), छोटा वृत्त (संयोजक)।

कलनविधि (न्यूटन-रैफ्सन): x₀, ε, N पढ़ें; i = 1 से N तक: यदि f′(x₀) = 0, तो 'शून्य अवकलज' छापें और रुकें; x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) रखें; यदि |x₁ − x₀| < ε, तो x₁ छापें और रुकें; अन्यथा x₀ = x₁ रखें; पाश के बाद 'अभिसरण नहीं' छापें।

कलनविधि (द्विभाजन): f(a)f(b) < 0 वाले a, b, ε पढ़ें; जब तक (b − a) > ε: c = (a + b)/2; यदि f(a)f(c) ≤ 0 तो b = c अन्यथा a = c; अंत में (a + b)/2 छापें।

कलनविधि (सिम्पसन 1/3 नियम): a, b और सम n पढ़ें; h = (b − a)/n; S = f(a) + f(b); i = 1 से n − 1 तक, i विषम हो तो 4f(a + ih) और सम हो तो 2f(a + ih) जोड़ें; hS/3 छापें।

प्रवाह संचित्र में रुकने का परीक्षण एक समचतुर्भुज है जिससे पुनरावृत्ति बॉक्स तक लौटता तीर जाता है, और पुनरावृत्ति गणक अनभिसरण से रक्षा करता है।

10. व्युत्पत्ति: डी मॉर्गन नियम और विहित प्रसार

पूरक अद्वितीय है: यदि x + y = 1, xy = 0 और x + z = 1, xz = 0, तो y = y(x + z) = yx + yz = xz + yz = (x + y)z = z।

डी मॉर्गन: (A + B) + A′B′ = (A + B + A′)(A + B + B′) = 1 · 1 = 1 और (A + B)A′B′ = AA′B′ + BA′B′ = 0, अतः A′B′, A + B का पूरक है, अर्थात् (A + B)′ = A′B′; दूसरा नियम इसका द्वैत है।

शैनन प्रसार: f(A, B, C) = A f(1, B, C) + A′ f(0, B, C), जिसकी जाँच A = 1 और A = 0 रखकर होती है। प्रत्येक चर में बारी-बारी से प्रसार करने पर कोई भी f लघुपदों के योग के रूप में लिखा जाता है, जो सिद्ध करता है कि विहित DNF सदैव विद्यमान और अद्वितीय है।

कारनॉ मानचित्र क्यों काम करते हैं: पड़ोसी कोष्ठ एक चर में भिन्न होते हैं, और XY + XY′ = X(Y + Y′) = X; अतः आसन्न 1 का युग्म एक चर खोता है, चार का समूह दो और आठ का समूह तीन।

NAND–NAND साकार रूप: डी मॉर्गन से AB + CD = [(AB)′(CD)′]′, अतः गुणनफलों का कोई भी योग NAND द्वारों की एक परत है जो एक NAND द्वार को निवेश देती है; द्वैततः योगों का गुणनफल NOR–NOR परिपथ है, (A + B)(C + D) = [(A + B)′ + (C + D)′]′।

11. विधि का चयन

यदि प्रश्न 'बूलीय बीजगणित के नियमों का प्रयोग करके' कहता है → प्रत्येक चरण पर नियम का नाम दें; यदि केवल 'सरल करें' कहता है और अधिकतम चार चर हैं → कारनॉ मानचित्र सबसे तेज़ है, उसके बाद सत्य-सारणी से जाँच।

यदि किसी सर्वसमिका को सिद्ध करना है → चरणबद्ध नियम, या अनुमति होने पर सत्य-सारणी (पूर्ण आगमन द्वारा उपपत्ति)।

यदि विहित रूप चाहिए → सत्य-सारणी से पंक्तियाँ पढ़ें, या DNF के लिए X = X(v + v′) और CNF के लिए X = (X + v)(X + v′) से लुप्त चरों का प्रसार करें।

यदि केवल NAND द्वार अनुमत हैं → गुणनफलों के योग से आरंभ करें; यदि केवल NOR द्वार → योगों के गुणनफल से आरंभ करें।

यदि परिपथ शब्दों में वर्णित है → सत्य-सारणी, फिर विहित रूप, फिर सरलीकरण, फिर द्वार; यदि कलनविधि पूछी गई है → निवेश, आरंभीकरण, अद्यतन सहित लूप, पुनरावृत्ति सीमा सहित रोक-परीक्षण, निर्गम, और चरण-दर-चरण मेल खाता प्रवाह संचित्र बनाएँ।

12. सामान्य गलतियाँ

साधारण बीजगणित की तरह निरसन: A + B = A + C से B = C नहीं निकलता (A = 1 लें); A + B = A + C और AB = AC दोनों आवश्यक हैं।

अधूरा डी मॉर्गन: (AB)′, A′ + B′ है, A′B′ नहीं; रेखा तोड़ें और संक्रिया बदलें।

द्वैतता को पूरक से भ्रमित करना: द्वैत + और ·, 0 और 1 को बदलता है, पर प्रत्येक चर को वैसा ही छोड़ता है।

द्विआधारी क्रम में कारनॉ मानचित्र: स्तंभ 00, 01, 11, 10 (ग्रे कोड) क्रम में होने चाहिए; चारों ओर मुड़ने वाले समूह और यह भी याद रखें कि प्रत्येक समूह में 1, 2, 4 या 8 कोष्ठ होते हैं।

लघुपद संख्यांकन: A के स्थान पर C को सबसे सार्थक बिट मानने से प्रत्येक पंक्ति का संख्यांकन बदल जाता है और भिन्न फलन मिलता है।

न रुकने वाली कलनविधियाँ: केवल अभिसरण परीक्षण वाला और बिना पुनरावृत्ति सीमा का लूप, या एक ही निकास वाला निर्णय हीरा, अंक गँवाता है।

संबंध: ∪, ∩, पूरक सहित समुच्चय और ∨, ∧, ¬ सहित प्रतिज्ञप्तियाँ एक ही प्रकार के बूलीय बीजगणित हैं; XOR को योग और AND को गुणन मानने पर {0, 1} क्षेत्र ℤ₂ है, और बूलीय बीजगणित एक बूलीय वलय बन जाता है जिसमें x² = x (अमूर्त बीजगणित)।

संबंध: अर्ध और पूर्ण योजक पिछले विषय का द्विआधारी योग करते हैं, 2 के पूरक व्यवकलन के लिए केवल योजक और NOT द्वार चाहिए, और पूछी जाने वाली कलनविधियाँ पिछले विषयों की हैं (द्विभाजन, न्यूटन-रैफ्सन, सिम्पसन, गाउस-सीडल, रुंगे-कुट्टा)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 3: बूलीय बीजगणित के नियमों से (A + B)(A + C) = A + BC सिद्ध कीजिए।

(A + B)(A + C) = AA + AC + BA + BC = A + AC + AB + BC (वर्गसम नियम AA = A)।

= A(1 + C + B) + BC = A · 1 + BC = A + BC (शून्य नियम 1 + X = 1, तत्समक नियम)।

यह · पर + का बंटन नियम है, जो A(B + C) = AB + AC का द्वैत है।

उदाहरण 4: f(A, B, C) = ∑m(0, 2, 3, 4, 6, 7) को सरल कीजिए और इसका विहित CNF लिखिए।

कारनॉ मानचित्र में C = 0 वाले चार खाने (m₀, m₂, m₄, m₆) एक समूह बनाकर C′ देते हैं, और B = 1 वाले चार खाने (m₂, m₃, m₆, m₇) एक समूह बनाकर B देते हैं।

अतः f = B + C′। जाँच: केवल m₁ (001) और m₅ (101) पर 0 है, ठीक वहीं जहाँ B = 0 और C = 1।

विहित CNF: f = M₁ M₅ = (A + B + C′)(A′ + B + C′) = (B + C′) + AA′ = B + C′।

उदाहरण 5: ऐसा परिपथ बनाइए जिसका निर्गम तब 1 हो जब तीन निवेशों A, B, C में से कम से कम दो 1 हों (बहुमत फलन)।

निर्गम पंक्तियों 011, 101, 110, 111 पर 1 है, अतः f = ∑m(3, 5, 6, 7) = A′BC + AB′C + ABC′ + ABC।

ABC का तीन बार प्रयोग कर (X + X = X): f = (A′BC + ABC) + (AB′C + ABC) + (ABC′ + ABC) = BC + AC + AB।

परिपथ: तीन 2-निवेश AND द्वार (AB, BC, CA) जो एक 3-निवेश OR द्वार को निवेश देते हैं; यही पूर्ण योजक का हासिल निर्गम भी है।

उदाहरण 6: दर्शाइए कि A ⊕ B को चार NAND द्वारों से बनाया जा सकता है।

द्वार 1: N = (AB)′। द्वार 2: P = (A · N)′। द्वार 3: Q = (B · N)′। द्वार 4: (P · Q)′ = P′ + Q′ = A · N + B · N (डी मॉर्गन)।

A · N + B · N = (A + B)(AB)′ = (A + B)(A′ + B′) = AB′ + A′B = A ⊕ B।

उदाहरण 7: दिए गए बिंदु x पर लग्रांज अंतर्वेशन की कलनविधि लिखिए और उसके प्रवाह संचित्र का वर्णन कीजिए।

चरण 1: n, बिंदु (x_i, y_i), i = 0, ..., n, और x पढ़ें। चरण 2: S = 0 रखें।

चरण 3: i = 0 से n तक: L = 1 रखें; j = 0 से n तक, यदि j ≠ i, तो L = L × (x − x_j)/(x_i − x_j); फिर S = S + L × y_i। चरण 4: S मुद्रित करें और रुकें।

प्रवाह संचित्र: एक निवेश समांतर चतुर्भुज, दो नीडित लूप (प्रत्येक में गणक और निर्णय हीरा), j = i के लिए उपमार्ग, और एक निर्गम समांतर चतुर्भुज; भिन्न x_i शून्य से भाग नहीं होने देते।

उदाहरण 8: सहनसीमा ε और अधिकतम N पुनरावृत्तियों वाले n × n निकाय के लिए गाउस-सीडल विधि की कलनविधि लिखिए।

चरण 1: n, a_ij, b_i, प्रारंभिक मान x_i, ε और N पढ़ें। चरण 2: k = 1 से N तक चरण 3 और 4 करें।

चरण 3: big = 0 रखें; i = 1 से n तक: s = b_i − ∑_{j ≠ i} a_ij x_j, new = s/a_ii, big = max(big, |new − x_i|), x_i = new।

चरण 4: यदि big < ε, तो x₁, ..., x_n और k मुद्रित करें और रुकें। चरण 5: लूप के बाद 'N पुनरावृत्तियों में अभिसरण नहीं' मुद्रित करें।

चूँकि x_i तुरंत अधिलेखित होता है, नवीनतम मान स्वतः प्रयुक्त होते हैं; जैकोबी विधि को नए मानों के लिए दूसरी सरणी चाहिए होती।

14. तार्किक संयोजक, विशिष्ट अनुक्रम और कारनॉ मानचित्र

संयोजक (connectives): ¬p (NOT), p ∧ q (AND), p ∨ q (OR), p → q ≡ ¬p ∨ q (केवल तब असत्य जब p सत्य और q असत्य), p ⇄ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) (जब p और q समान हों तब सत्य)।

पुनरुक्ति (tautology) हर पंक्ति में सत्य होती है (इसके मुख्य DNF में सभी 2ⁿ मिनटर्म होते हैं); विरोध (contradiction) हर पंक्ति में असत्य होता है (इसके मुख्य CNF में सभी 2ⁿ मैक्सटर्म होते हैं); अन्यथा सूत्र आकस्मिक है।

विहित रूप में प्रसार: चर v रहित गुणन पद को X = X(v + v′) = Xv + Xv′ से फैलाएँ; v रहित योग गुणक को X = (X + v)(X + v′) में तोड़ें; तब तक दोहराएँ जब तक हर पद में सभी चर न हों, फिर पुनरावृत्त पद हटाएँ।

सहमति प्रमेय (consensus theorem): xy + x′z + yz = xy + x′z, तथा द्वैत रूप में xP + x′Q = (x + Q)(x′ + P), जो गुणनों के योग को योगों के गुणन में बदलता है।

विशिष्ट अनुक्रम (special sequences): पंक्तियाँ 000, 001, ..., 111 क्रम से लिखें और A = 00001111, B = 00110011, C = 01010101 लें; इन शृंखलाओं पर व्यंजक का बिट-दर-बिट मान उसका सत्यमान सारणी स्तंभ देता है। चार चरों के लिए 0000000011111111, 0000111100001111, 0011001100110011, 0101010101010101 लें।

कारनॉ मानचित्र (Karnaugh map): खानों को ग्रे-कोड क्रम (00, 01, 11, 10) में रखें ताकि पड़ोसी खाने एक चर में भिन्न हों; 1 वाले खानों को 1, 2, 4 या 8 खानों के यथासंभव कम और बड़े आयतों में घेरें (किनारे मुड़कर जुड़ते हैं); प्रत्येक आयत उस पर स्थिर चरों का गुणन देता है।

15. संख्यात्मक विधियों के लिए प्रोग्राम लिखना

संख्यात्मक विधि के हर प्रोग्राम का ढाँचा एक-सा होता है: चर घोषित करें, f (और f′) को फलन के रूप में परिभाषित करें, आँकड़े पढ़ें, संचायक सहित लूप या अभिसरण परीक्षण और पुनरावृत्ति-सीमा सहित पुनरावृत्ति चलाएँ, और परिणाम मुद्रित करें।

C में फलन float f(float x) { return ...; } लिखा जाता है और लूप for (i = 1; i < n; i++) { ... } i को 1 से n − 1 तक चलाता है; FORTRAN में यही लूप DO 10 I = 1, N − 1 ... 10 CONTINUE है।

विभाजनों की सदैव रक्षा करें (न्यूटन विधि में f′(x) = 0, निरसन में शून्य धुरी) और पुनरावृत्तियों की संख्या सीमित रखें, सीमा पहुँचने पर संदेश मुद्रित करें।

16. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2014, 15 अंक): किसी भी बूलीय चर x और y के लिए दर्शाइए कि x + xy = x.

x + xy = x · 1 + x · y (तत्समक नियम) = x(1 + y) (बंटन नियम) = x · 1 = x (तत्समक नियम), बशर्ते 1 + y = 1।

अभिगृहीतों से 1 + y = 1 की उपपत्ति: y + 1 = (y + 1) · 1 = (y + 1)(y + y′) = y + 1 · y′ (· पर + का बंटन नियम) = y + y′ = 1।

सत्यमान सारणी जाँच: यदि x = 0 तो x + xy = 0 + 0 = 0; यदि x = 1 तो x + xy = 1 + y = 1; दोनों स्थितियों में मान x के बराबर है।

उत्तर: x + xy = x (अवशोषण नियम)।

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 10 अंक): बूलीय अभिगृहीत नियमों का इस्तेमाल करते हुए बूलीय व्यंजक
z(y + z)(x + y + z)
को इसके सरलतम रूप में लिखिए। सरलीकरण के दौरान इस्तेमाल होने वाले नियमों का उल्लेख कीजिए। दिए गए व्यंजक तथा उसके सरलतम रूप के लिए सत्यमान सारणी बनाकर अपने परिणाम को सत्यापित कीजिए।

z(y + z) = z(z + y) (क्रमविनिमेय नियम) = z (अवशोषण नियम a(a + b) = a)।

फिर z(x + y + z) = z(z + (x + y)) (क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम) = z (पुनः अवशोषण नियम)।

xyz = 000, ..., 111 पर सत्यमान सारणी: y + z = 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1 तथा x + y + z = 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, अतः z(y + z)(x + y + z) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, जो ठीक z का स्तंभ है।

उत्तर: z(y + z)(x + y + z) = z।

उदाहरण 11 (UPSC 2016, 15 अंक): मान लीजिए A, B, C बूलीय चर हैं, A का पूरक A̅ द्वारा निर्दिष्ट होता है, A OR B के लिए व्यंजक A + B तथा A AND B के लिए व्यंजक A . B है। तो निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए तथा AND और OR गेट्स का इस्तेमाल करते हुए सरलीकृत व्यंजक का ब्लॉक आरेख खींचिए।
A . (A + B + C) . (A̅ + B + C) . (A + B̅ + C) . (A + B + C̅).

अवशोषण से किसी भी X के लिए A(A + X) = A, अतः A(A + B + C) = A, फिर A(A + B′ + C) = A और A(A + B + C′) = A: ये तीनों गुणक A में अवशोषित हो जाते हैं।

व्यंजक A(A′ + B + C) = AA′ + AB + AC = AB + AC = A(B + C) बन जाता है।

ब्लॉक आरेख: B और C एक OR गेट में जाते हैं; उसका निर्गम और A एक 2-निवेश AND गेट में जाते हैं, जिसका निर्गम A(B + C) है।

उत्तर: A(B + C) = AB + AC।

उदाहरण 12 (UPSC 2018, 15 अंक): बूलीय व्यंजक :
(a + b)·(b̄ + c) + b·(ā + c̄)
को बूलीय-बीजगणित के नियमों का उपयोग करने के द्वारा सरल कीजिए। इस की सत्यता-सारणी से इसको मिनटर्म प्रसामान्य रूप में लिखिए।

(a + b)(b′ + c) = ab′ + ac + bb′ + bc = ab′ + ac + bc, तथा b(a′ + c′) = a′b + bc′।

योग = ab′ + ac + b(c + c′) + a′b = ab′ + ac + b (क्योंकि b + a′b = b) = (a + b) + ac (क्योंकि ab′ + b = a + b) = a + b (अवशोषण)।

abc = 000, 001, ..., 111 के लिए सत्यमान सारणी: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1।

उत्तर: a + b; मिनटर्म प्रसामान्य रूप a′bc′ + a′bc + ab′c′ + ab′c + abc′ + abc = ∑m(2, 3, 4, 5, 6, 7)।

उदाहरण 13 (UPSC 2019, 15 अंक): दिये गये बूलीय व्यंजक के लिए
X = AB + ABC + AB̄C̄ + AC̄
(i) व्यंजक के लिये तार्किक आरेख खींचें।
(ii) व्यंजक न्यूनतम करें।
(iii) समानीत व्यंजक के लिये तार्किक आरेख खींचें।

(i) दिया गया रूप: इन्वर्टर B′ और C′ देते हैं; चार AND गेट AB, ABC, AB′C′ और AC′ बनाते हैं; एक 4-निवेश OR गेट उन्हें X में जोड़ता है।

(ii) AB + ABC = AB(1 + C) = AB तथा AB′C′ + AC′ = AC′(B′ + 1) = AC′, अतः X = AB + AC′ = A(B + C′)।

(iii) समानीत परिपथ: C पर एक इन्वर्टर, B + C′ बनाने वाला एक OR गेट, और A के साथ एक AND गेट; जाँच: दोनों रूप ठीक ABC = 100, 110, 111 पर 1 हैं।

उत्तर: X = A(B + C′)।

उदाहरण 14 (UPSC 2020, 10 अंक): मान लीजिए g(w, x, y, z) = (w + x + y)(x + ȳ + z)(w + ȳ) एक बूलीय-फलन है। g(w, x, y, z) का योगात्मक प्रसामान्य स्वरूप (कन्जंकटिव नार्मल फॉर्म) प्राप्त कीजिए। g(w, x, y, z) को उच्च-पदों (मैक्स टर्म्स) के गुणन के रूप में भी व्यक्त कीजिए।

g पहले से योगों का गुणन है, अतः इसका CNF g = (w + x + y)(x + y′ + z)(w + y′) है।

प्रत्येक गुणक को X = (X + v)(X + v′) से फैलाएँ: w + x + y = (w + x + y + z)(w + x + y + z′); x + y′ + z = (w + x + y′ + z)(w′ + x + y′ + z); w + y′ = (w + x + y′ + z)(w + x + y′ + z′)(w + x′ + y′ + z)(w + x′ + y′ + z′)।

पुनरावृत्त गुणक w + x + y′ + z हटाकर और पंक्तियों wxyz को 0 से 15 तक क्रमांकित कर, मैक्सटर्म पंक्तियों 0000, 0001, 0010, 0011, 0110, 0111, 1010 के हैं।

उत्तर: g = ∏M(0, 1, 2, 3, 6, 7, 10) = (w + x + y + z)(w + x + y + z′)(w + x + y′ + z)(w + x + y′ + z′)(w + x′ + y′ + z)(w + x′ + y′ + z′)(w′ + x + y′ + z)।

उदाहरण 15 (UPSC 2023, 15 अंक): (i) निम्न बूलीय फलन का योगात्मक प्रसामान्य स्वरूप (CNF) ज्ञात कीजिए: f(x, y, z, t) = x · y · z + x̄ · y · (t + z̄)
(ii) बूलीय फलन f(x, y, z) = x + (x̄ · ȳ + x̄ · z)′ + z [पूरक-रेखा पूरे कोष्ठक पर है] को वियोजनीय (डिसजंक्टिव) प्रसामान्य स्वरूप (DNF) में व्यक्त कीजिए तथा इस फलन के लिए सत्यमान सारणी बनाइए।

(i) f = xyz + x′y(t + z′) = y[xz + x′(t + z′)]; xP + x′Q = (x + Q)(x′ + P) से, P = z, Q = t + z′ लेकर, f = y(x + z′ + t)(x′ + z), जो CNF है (जाँच: x = 1 पर yz, x = 0 पर y(t + z′))।

(ii) डी मॉर्गन से (x′y′ + x′z)′ = (x + y)(x + z′) = x + yz′, अतः f = x + yz′ + z = x + y + z (क्योंकि z + yz′ = z + y)।

xyz = 000, 001, ..., 111 के लिए सत्यमान सारणी: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1।

उत्तर: (i) y(x + z′ + t)(x′ + z); (ii) DNF x + y + z, पूर्ण DNF ∑m(1, ..., 7) = x′y′z + x′yz′ + x′yz + xy′z′ + xy′z + xyz′ + xyz।

उदाहरण 16 (UPSC 2024, 15 अंक): बूलीय व्यंजक Y = ABC̄ + BC̄ + ĀB के लिए तर्कसंगत परिपथ (लॉजिकल सर्किट) खींचिए। तीन निवेश द्वयंक अनुक्रमों
A = 10001111, B = 00111100, C = 11000100
के लिए निर्गत Y (सत्यमान सारणी) भी प्राप्त कीजिए।

दिए रूप का परिपथ: A′ और C′ के लिए इन्वर्टर, एक 3-निवेश AND गेट (A, B, C′), 2-निवेश AND गेट (B, C′) और (A′, B), तथा एक 3-निवेश OR गेट।

सरलीकरण: ABC′ + BC′ = BC′, अतः Y = BC′ + A′B = B(A′ + C′) = B(AC)′, जिसे A, C पर एक NAND गेट और फिर B के साथ AND गेट से बनाया जाता है।

बिट-दर-बिट: AC = 10001111 AND 11000100 = 10000100, (AC)′ = 01111011, तथा Y = 00111100 AND 01111011 = 00111000।

उत्तर: Y = 00111000 (Y = B(A′ + C′))।

उदाहरण 17 (UPSC 2026, 10 अंक): निम्न तर्क परिपथ L का विचार कीजिए:
[चित्र: निवेश A, B, C तीन AND गेटों को जाते हैं जिनके निर्गम एक OR गेट में जाते हैं जिसका निर्गम Y है। पहला AND गेट: निवेश A, B, C। दूसरा AND गेट: निवेश A, NOT B (इन्वर्टर द्वारा), C। तीसरा AND गेट: निवेश NOT A (इन्वर्टर द्वारा), B।]
(i) Y को बूलीय व्यंजक के रूप में अभिव्यक्त कीजिए।
(ii) A, B और C के लिए 8-बिट विशिष्ट अनुक्रम लिखिए।
(iii) 8-बिट विशिष्ट अनुक्रमों के उपयोग से L की सत्यमान सारणी ज्ञात कीजिए।

(i) Y = ABC + AB′C + A′B = AC(B + B′) + A′B = AC + A′B।

(ii) विशिष्ट अनुक्रम (पंक्तियाँ 000 से 111 क्रम में): A = 00001111, B = 00110011, C = 01010101।

(iii) ABC = 00000001, AB′C = 00001111 AND 11001100 AND 01010101 = 00000100, A′B = 11110000 AND 00110011 = 00110000; OR करने पर Y = 00110101।

उत्तर: Y = AC + A′B; सत्यमान स्तंभ 00110101, अर्थात् Y = 1 ठीक ABC = 010, 011, 101, 111 पर।

उदाहरण 18 (UPSC 2015, 10 अंक): बूलीय व्यंजक ((p ∧ q) → r) ∨ ((p ∧ q) → ¬r) के लिए तीन चरों p, q, r में मुख्य (अथवा विहित) वियोजनीय (डिसजंक्टिव) प्रसामान्य रूप ज्ञात कीजिए। क्या दिया गया बूलीय व्यंजक एक विरोध है या कि एक पुनरावृत्ति है?

(p ∧ q) → r ≡ ¬(p ∧ q) ∨ r तथा (p ∧ q) → ¬r ≡ ¬(p ∧ q) ∨ ¬r।

इनका वियोजन ¬(p ∧ q) ∨ r ∨ ¬r = ¬(p ∧ q) ∨ T = T है, अतः व्यंजक आठों पंक्तियों में सत्य है।

PDNF = सभी आठ मिनटर्मों का योग: (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r)।

उत्तर: व्यंजक एक पुनरुक्ति है (विरोध नहीं)।

उदाहरण 19 (UPSC 2014, 15 अंक): सिम्प्सन के एक-तिहाई नियम के लिए एक प्रवाह-चार्ट बनाइए।

(1) अंडाकार START; (2) समांतर चतुर्भुज READ a, b, n; (3) हीरा 'n सम?', और यदि NO तो 'n सम होना चाहिए' मुद्रित कर STOP पर जाएँ।

(4) आयत h = (b − a)/n, S = f(a) + f(b), i = 1; (5) हीरा 'i ≤ n − 1?', और यदि NO तो (8) पर जाएँ।

(6) हीरा 'i विषम?': YES पर S = S + 4f(a + ih), NO पर S = S + 2f(a + ih); (7) आयत i = i + 1, (5) पर लौटने वाले तीर सहित।

(8) आयत I = (h/3)S; (9) समांतर चतुर्भुज PRINT I; (10) अंडाकार STOP।

उत्तर: उपर्युक्त प्रवाह चार्ट I ≈ (h/3)[y₀ + 4(y₁ + y₃ + ...) + 2(y₂ + y₄ + ...) + y_n] की गणना करता है।

उदाहरण 20 (UPSC 2017, 15 अंक): न्यूटन-रैफ्सन विधि के लिए प्रवाह चार्ट के रूप में एक ऐल्गोरिथ्म लिखिए। इस विधि की विफलता की स्थितियों का वर्णन कीजिए।

प्रवाह चार्ट: START → READ x₀, ε, N → i = 1 → f(x₀), f′(x₀) की गणना → हीरा '|f′(x₀)| बहुत छोटा?' (YES: PRINT 'प्रवणता शून्य, अन्य x₀ चुनें', STOP)।

→ x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) → हीरा '|x₁ − x₀| < ε?' (YES: PRINT x₁, STOP) → x₀ = x₁, i = i + 1 → हीरा 'i > N?' (YES: PRINT 'अभिसरण नहीं', STOP; NO: f, f′ की गणना पर वापस)।

विफलता की स्थितियाँ: (i) f′(x_n) = 0 या लगभग 0, जिससे स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है और अगला मान अपरिभाषित या बहुत दूर होता है; (ii) चक्रण, जैसे f(x) = x³ − 2x + 2 में x₀ = 0 से 0, 1, 0, 1, ...

(iii) अपसरण, जैसे f(x) = x^1/3 से x_n+1 = −2x_n; (iv) वर्तन या नति-परिवर्तन बिंदु के निकट प्रारंभ से मान दूर के मूल पर या बाहर चले जाते हैं; (v) बहुल मूल पर अभिसरण केवल रैखिक होता है (x_n+1 = x_n − mf/f′ लें), और वास्तविक x₀ से सम्मिश्र मूल नहीं मिल सकते।

उत्तर: उपर्युक्त प्रवाह चार्ट, पाँचों विफलता स्थितियों सहित।

उदाहरण 21 (UPSC 2019, 10 अंक): ट्रेपेजाइडल नियम के इस्तेमाल के द्वारा समाकल y = ∫₀⁶ dx/(1 + x²) का मूल्यांकन करने के लिये, एक प्रवाह चार्ट बनाइए तथा एक बुनियादी एल्गोरिथ्म (फोर्ट्रान/C/C⁺⁺ में) लिखें।

ऐल्गोरिथ्म: (1) n पढ़ें; a = 0, b = 6, h = (b − a)/n रखें; (2) S = f(a) + f(b), जहाँ f(x) = 1/(1 + x²); (3) i = 1 से n − 1 तक S = S + 2f(a + ih); (4) y = hS/2; y मुद्रित करें; रुकें।

प्रवाह चार्ट: START → READ n → h = 6/n, S = f(0) + f(6), i = 1 → हीरा 'i ≤ n − 1?' (YES: S = S + 2f(ih), i = i + 1, वापस लूप; NO: y = hS/2) → PRINT y → STOP।

C कोड (मानक इनपुट-आउटपुट हेडर के बाद): float f(float x) { return 1.0/(1.0 + x*x); } int main() { int i, n; float a = 0.0, b = 6.0, h, s; scanf("%d", &n); h = (b - a)/n; s = f(a) + f(b); for (i = 1; i < n; i++) s = s + 2.0*f(a + i*h); printf("%f", h*s/2.0); return 0; }

उत्तर: n = 6 (h = 1) पर प्रोग्राम 1.410799 मुद्रित करता है; यथार्थ मान tan⁻¹6 = 1.405648 है।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): (A, B) = (1, 1), (1, 0) के लिए A′B + AB′ का मान निकालिए, और फलन का नाम बताइए।

उत्तर: 0 और 1; यह XOR है, जो ठीक तब 1 है जब A ≠ B।

अभ्यास 2 (मूल): A + A′B = A + B का द्वैत लिखिए।

उत्तर: A(A′ + B) = AB (+ और · बदलें; चरों का पूरक नहीं लिया जाता)।

अभ्यास 3 (मूल): चरों A, B, C के लिए मिनटर्म m₆ और मैक्सटर्म M₆ लिखिए।

उत्तर: पंक्ति 110: m₆ = ABC′ और M₆ = A′ + B′ + C।

अभ्यास 4 (मानक): बूलीय बीजगणित के नियमों से A′B′C + A′BC + AB′C को सरल कीजिए।

उत्तर: A′B′C + A′BC = A′C; फिर A′C + AB′C = C(A′ + AB′) = C(A′ + B′) = A′C + B′C (अर्थात् ∑m(1, 3, 5))।

अभ्यास 5 (मानक): f(A, B, C) = A + BC को विहित DNF में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: f पंक्तियों 3, 4, 5, 6, 7 पर 1 है: f = A′BC + AB′C′ + AB′C + ABC′ + ABC = ∑m(3, 4, 5, 6, 7)।

अभ्यास 6 (मानक): कारनॉ मानचित्र से f(A, B, C, D) = ∑m(0, 1, 4, 5, 6, 7, 14, 15) का न्यूनीकरण कीजिए।

उत्तर: चतुष्क m₀, m₁, m₄, m₅ से A′C′ और चतुष्क m₆, m₇, m₁₄, m₁₅ से BC; f = A′C′ + BC।

अभ्यास 7 (मानक): NOR द्वारों से NOT, OR और AND बनाकर दिखाइए कि NOR एक सार्वत्रिक द्वार है।

उत्तर: A′ = A NOR A; A + B = (A NOR B) NOR (A NOR B); AB = (A NOR A) NOR (B NOR B) = (A′ + B′)′।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): निवेशों A, B, C_in वाले पूर्ण योजक के लिए योग S और हासिल C_out को विहित DNF में लिखिए, और C_out को सरल कीजिए।

उत्तर: S = ∑m(1, 2, 4, 7) = A ⊕ B ⊕ C_in; C_out = ∑m(3, 5, 6, 7) = AB + BC_in + AC_in (ABC_in का तीन बार प्रयोग करके)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): f(A, B, C, D) = ∑m(0, 2, 3, 7, 8, 10, 11, 15) का न्यूनीकरण कीजिए और घटे हुए परिपथ का शब्दों में वर्णन कीजिए।

उत्तर: कोने m₀, m₂, m₈, m₁₀ से B′D′ और स्तंभ CD = 11 (m₃, m₇, m₁₁, m₁₅) से CD; f = B′D′ + CD: दो प्रतिलोमक, दो AND द्वार और एक OR द्वार।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ के लिए x₀ से दिए X तक चरण h के साथ चतुर्थ कोटि रुंगे-कुट्टा विधि की कलनविधि लिखिए।

उत्तर: x₀, y₀, h, X पढ़ें; x = x₀, y = y₀ और n = (X − x₀)/h रखें; i = 1 से n तक: k₁ = hf(x, y), k₂ = hf(x + h/2, y + k₁/2), k₃ = hf(x + h/2, y + k₂/2), k₄ = hf(x + h, y + k₃), y = y + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6, x = x + h, x, y छापें; रुकें।

1. समीकरणों के मूल

प्रश्न 1 (15 अंक): न्यूटन-रैफ्सन विधि से x e^x = 1 का वास्तविक मूल पाँच दशमलव स्थानों तक शुद्ध ज्ञात कीजिए।

f(x) = x e^x − 1, f′(x) = e^x(1 + x); f(0) = −1 और f(1) = e − 1 > 0, तथा [0, 1] पर f′ > 0, अतः (0, 1) में ठीक एक मूल है।

सूत्र: x_n+1 = x_n − (x_n e^x_n − 1)/(e^x_n(1 + x_n))।

x₀ = 0.5: f(0.5) = −0.175639, f′(0.5) = 2.473082, अतः x₁ = 0.5 + 0.071020 = 0.571020।

x₂ = 0.567156, x₃ = 0.567143, x₄ = 0.567143; त्रुटियाँ (लगभग 4 × 10⁻³, 1.3 × 10⁻⁵, 10⁻⁹ से कम) द्विघाती अभिसरण दर्शाती हैं।

उत्तर: x = 0.56714।

प्रश्न 2 (10 अंक): दर्शाइए कि f के सरल मूल α (f(α) = 0, f′(α) ≠ 0) पर, जब α के निकट f″ संतत हो, न्यूटन-रैफ्सन विधि की कोटि दो है।

मान लें e_n = x_n − α। x_n के परितः टेलर प्रमेय से: 0 = f(α) = f(x_n) + (α − x_n)f′(x_n) + (α − x_n)² f″(ξ_n)/2, जहाँ ξ_n, α और x_n के बीच है।

α के निकट f′(x_n) ≠ 0, क्योंकि f′(α) ≠ 0 और f′ संतत है; इससे भाग देने पर f(x_n)/f′(x_n) + (α − x_n) = −e_n² f″(ξ_n)/(2f′(x_n))।

अतः e_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n) − α = e_n² f″(ξ_n)/(2f′(x_n))।

यदि α के निकट |f″(ξ)/(2f′(x))| ≤ K और K|e₀| < 1, तो |e_n+1| ≤ (K|e_n|)|e_n| से e_n → 0; तब ξ_n → α और e_n+1/e_n² → f″(α)/(2f′(α)), एक परिमित अचर।

उत्तर: e_n+1 ≈ [f″(α)/(2f′(α))]e_n², अतः अभिसरण की कोटि 2 है।

प्रश्न 3 (10 अंक): [2, 3] पर x³ − 2x − 5 = 0 के लिए रेगुला-फाल्सी विधि की तीन पुनरावृत्तियाँ कीजिए और अभिसरण की दर पर टिप्पणी कीजिए।

f(2) = −1, f(3) = 16। c₁ = (2 × 16 − 3 × (−1))/(16 + 1) = 35/17 = 2.05882, f(c₁) = −0.3908 < 0, अतः मूल [2.05882, 3] में है।

c₂ = (2.05882 × 16 + 3 × 0.3908)/16.3908 = 2.08126, f(c₂) = −0.1472, अतः मूल [2.08126, 3] में है।

c₃ = 2.08964, f(c₃) = −0.0547। अंत बिंदु 3 पूरे समय स्थिर रहता है (वहाँ f उत्तल है), अतः प्रत्येक चरण में त्रुटि लगभग अचर गुणक से ही घटती है: रैखिक अभिसरण।

उत्तर: तीन पुनरावृत्तियों के बाद 2.0896; वास्तविक मूल 2.09455 है।

2. रैखिक समीकरण निकाय

प्रश्न 4 (15 अंक): गाउसीय निरसन से 2x + y + z = 10, 3x + 2y + 3z = 18, x + 4y + 9z = 16 हल कीजिए।

संवर्धित पंक्तियाँ: (2, 1, 1 | 10), (3, 2, 3 | 18), (1, 4, 9 | 16)।

R₂ − (3/2)R₁ = (0, 1/2, 3/2 | 3); R₃ − (1/2)R₁ = (0, 7/2, 17/2 | 11); फिर R₃ − 7R₂ = (0, 0, −2 | −10)।

पश्च प्रतिस्थापन: z = 5; y/2 + 15/2 = 3 से y = −9; 2x − 9 + 5 = 10 से x = 7।

तीसरे समीकरण में जाँच: 7 − 36 + 45 = 16।

उत्तर: x = 7, y = −9, z = 5।

प्रश्न 5 (15 अंक): गाउस-सीडल विधि से 20x + y − 2z = 17, 3x + 20y − z = −18, 2x − 3y + 20z = 25 हल कीजिए।

निकाय निरपेक्षतः विकर्ण प्रधान है (20 > 3, 20 > 4, 20 > 5), अतः किसी भी आरंभ से विधि अभिसारी है।

x = (17 − y + 2z)/20, y = (−18 − 3x + z)/20, z = (25 − 2x + 3y)/20।

पुनरावृत्ति 1 (0, 0, 0 से): x = 0.85, y = (−18 − 2.55)/20 = −1.0275, z = (25 − 1.7 − 3.0825)/20 = 1.0109।

पुनरावृत्ति 2: x = 1.0025, y = −0.9998, z = 0.9998। पुनरावृत्ति 3: x = 1.0000, y = −1.0000, z = 1.0000, जो पुनरावृत्ति 4 में अपरिवर्तित रहते हैं।

उत्तर: x = 1, y = −1, z = 1 (यथार्थ, जैसा प्रतिस्थापन से पुष्टि होती है)।

प्रश्न 6 (15 अंक): गाउस-जॉर्डन विधि से A = [[1, 1, 3], [1, 3, −3], [−2, −4, −4]] का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

[A | I] से आरंभ करें। स्तंभ 1: R₂ − R₁ और R₃ + 2R₁ से (1, 1, 3 | 1, 0, 0), (0, 2, −6 | −1, 1, 0), (0, −2, 2 | 2, 0, 1)।

स्तंभ 2: R₂/2, फिर R₁ − R₂ और R₃ + 2R₂: (1, 0, 6 | 3/2, −1/2, 0), (0, 1, −3 | −1/2, 1/2, 0), (0, 0, −4 | 1, 1, 1)।

स्तंभ 3: R₃/(−4) = (0, 0, 1 | −1/4, −1/4, −1/4); फिर R₁ − 6R₃ = (1, 0, 0 | 3, 1, 3/2) और R₂ + 3R₃ = (0, 1, 0 | −5/4, −1/4, −3/4)।

जाँच: det A = −8 और adj A = [[−24, −8, −12], [10, 2, 6], [2, 2, 2]], अतः A⁻¹ = adj A/(−8) मेल खाता है।

उत्तर: A⁻¹ = (1/4)[[12, 4, 6], [−5, −1, −3], [−1, −1, −1]]।

3. अंतर्वेशन और परिमित अंतर

प्रश्न 7 (15 अंक): सारणी x = 0, 1, 2, 3, 4; y = 1, 7, 23, 55, 109 से न्यूटन अग्र सूत्र द्वारा अंतर्वेशी बहुपद ज्ञात कीजिए और y(0.5) का आकलन कीजिए।

अंतर: Δy = 6, 16, 32, 54; Δ²y = 10, 16, 22; Δ³y = 6, 6; Δ⁴y = 0, अतः आँकड़े एक त्रिघाती से आते हैं।

h = 1, p = x के साथ: P(x) = 1 + 6x + 10x(x − 1)/2 + 6x(x − 1)(x − 2)/6।

= 1 + 6x + 5x² − 5x + x³ − 3x² + 2x = x³ + 2x² + 3x + 1।

P(0.5) = 0.125 + 0.5 + 1.5 + 1 = 3.125; p = 0.5 पर सूत्र भी यही देता है: 1 + 3 − 1.25 + 0.375 = 3.125।

उत्तर: P(x) = x³ + 2x² + 3x + 1 और y(0.5) = 3.125।

प्रश्न 8 (10 अंक): लग्रांज सूत्र से (−1, 2), (0, 1), (2, 5) से जाने वाला घात ≤ 2 का बहुपद ज्ञात कीजिए और x = 1 पर उसका मान निकालिए।

L₀(x) = x(x − 2)/((−1)(−3)) = x(x − 2)/3; L₁(x) = (x + 1)(x − 2)/((1)(−2)) = −(x + 1)(x − 2)/2; L₂(x) = (x + 1)x/((3)(2)) = x(x + 1)/6।

P(x) = 2x(x − 2)/3 − (x + 1)(x − 2)/2 + 5x(x + 1)/6।

x² का गुणांक: 2/3 − 1/2 + 5/6 = 1; x का: −4/3 + 1/2 + 5/6 = 0; अचर: 0 + 1 + 0 = 1।

अतः P(x) = x² + 1; जाँच: P(−1) = 2, P(0) = 1, P(2) = 5।

उत्तर: P(x) = x² + 1 और P(1) = 2।

प्रश्न 9 (10 अंक): चरण h के साथ सिद्ध कीजिए कि (i) Δ − ∇ = Δ∇, (ii) E∇ = Δ = ∇E, (iii) (1 + Δ)(1 − ∇) = 1।

(i) Δ∇f(x) = Δ[f(x) − f(x − h)] = f(x + h) − f(x) − f(x) + f(x − h), और (Δ − ∇)f(x) = [f(x + h) − f(x)] − [f(x) − f(x − h)], वही व्यंजक।

(ii) E∇f(x) = E[f(x) − f(x − h)] = f(x + h) − f(x) = Δf(x), और ∇Ef(x) = ∇f(x + h) = f(x + h) − f(x) = Δf(x)।

(iii) (1 − ∇)f(x) = f(x − h), और फिर (1 + Δ)f(x − h) = f(x − h) + f(x) − f(x − h) = f(x); समतुल्यतः EE⁻¹ = 1।

उत्तर: प्रत्येक सर्वसमिका हर फलन f के लिए सत्य है, अतः संकारक सर्वसमिका के रूप में सत्य है।

4. संख्यात्मक समाकलन और अवकल समीकरण

प्रश्न 10 (15 अंक): छह उप-अंतरालों के साथ समलंब और सिम्पसन 1/3 नियमों से ∫₀^π sin x dx का मान निकालिए और त्रुटियों की तुलना कीजिए।

h = π/6; कोटियाँ sin(kπ/6), k = 0, ..., 6: 0, 0.5, 0.866025, 1, 0.866025, 0.5, 0।

समलंब: (h/2)[0 + 0 + 2(0.5 + 0.866025 + 1 + 0.866025 + 0.5)] = (π/12)(7.464102) = 1.954097।

सिम्पसन 1/3: (h/3)[0 + 0 + 4(0.5 + 1 + 0.5) + 2(0.866025 + 0.866025)] = (π/18)(11.464102) = 2.000863।

यथार्थ मान 2 है, अतः त्रुटियाँ 0.0459 और 0.00086 हैं; सिम्पसन की त्रुटि लगभग 50 गुना छोटी है, जैसा O(h⁴) बनाम O(h²) से अपेक्षित है।

उत्तर: समलंब 1.954097, सिम्पसन 2.000863 (यथार्थ 2)।

प्रश्न 11 (15 अंक): त्रि-बिंदु गाउस-लेजेंड्र नियम से ∫₀¹ dx/(1 + x) का मान निकालिए और ln 2 से तुलना कीजिए।

x = (t + 1)/2, dx = dt/2, अतः I = (1/2)∫₋₁¹ f(x(t)) dt, जहाँ नोड t = 0, ±√0.6 = ±0.774597 और भार 8/9, 5/9, 5/9।

x में नोड 0.112702, 0.5, 0.887298 हैं, जहाँ f = 0.898713, 0.666667, 0.529858।

I ≈ (1/2)[(5/9)(0.898713 + 0.529858) + (8/9)(0.666667)] = (1/2)(0.793651 + 0.592593) = 0.693122।

ln 2 = 0.693147: केवल तीन फलन मानों से त्रुटि 2.5 × 10⁻⁵ है, क्योंकि यह नियम घात 5 तक के बहुपदों के लिए यथार्थ है।

उत्तर: 0.693122।

प्रश्न 12 (15 अंक): h = 0.2 लेकर चतुर्थ-कोटि रुंगे-कुट्टा विधि से dy/dx = 1 + y², y(0) = 0 के लिए y(0.2) और y(0.4) ज्ञात कीजिए और यथार्थ हल से तुलना कीजिए।

चरण 1: k₁ = 0.2(1 + 0) = 0.2, k₂ = 0.2(1 + 0.1²) = 0.202, k₃ = 0.2(1 + 0.101²) = 0.202040, k₄ = 0.2(1 + 0.20204²) = 0.208164।

y(0.2) = (0.2 + 0.404 + 0.40408 + 0.208164)/6 = 0.202707।

चरण 2 (y₁ = 0.202707 से): k₁ = 0.208218, k₂ = 0.218827, k₃ = 0.219484, k₄ = 0.235649।

y(0.4) = 0.202707 + (0.208218 + 0.437654 + 0.438968 + 0.235649)/6 = 0.422789।

यथार्थ हल y = tan x है: tan 0.2 = 0.202710 और tan 0.4 = 0.422793, अतः त्रुटियाँ लगभग 3 × 10⁻⁶ और 4 × 10⁻⁶ हैं।

उत्तर: y(0.2) = 0.202707, y(0.4) = 0.422789।

5. कंप्यूटर अंकगणित, बूलीय बीजगणित और कलनविधियाँ

प्रश्न 13 (10 अंक): (1011101.011)₂ को दशमलव, अष्टआधारी और षोडशआधारी में बदलिए, और 8-बिट 2 के पूरक अंकगणित में 25 − 37 परिकलित कीजिए।

दशमलव: 64 + 16 + 8 + 4 + 1 = 93 और 0.011 = 1/4 + 1/8 = 0.375, अतः 93.375।

अष्टआधारी: 001 011 101 . 011 = (135.3)₈; षोडशआधारी: 0101 1101 . 0110 = (5D.6)₁₆; जाँच: 5 × 16 + 13 + 6/16 = 93.375।

25 = 00011001, 37 = 00100101, और 37 का 2 का पूरक 11011010 + 1 = 11011011 है।

00011001 + 11011011 = 11110100, कोई बाहरी हासिल नहीं; चिह्न बिट 1 है, और 11110100 का 2 का पूरक 00001100 = 12 है, अतः परिणाम −12 है।

उत्तर: 93.375 = (135.3)₈ = (5D.6)₁₆; 25 − 37 = 11110100 = −12।

प्रश्न 14 (15 अंक): f(A, B, C) = ∑m(1, 3, 5, 6, 7) के लिए न्यूनतम गुणनफलों का योग रूप, विहित CNF, और केवल NAND द्वारों से एक प्राप्ति ज्ञात कीजिए।

f पंक्तियों 001, 011, 101, 110, 111 पर 1 है। खाने m₁, m₃, m₅, m₇ (सभी में C = 1) C देते हैं, और m₆, m₇ (A = B = 1) AB देते हैं।

बीजीय रूप से: f = C(A′B′ + A′B + AB′ + AB) + ABC′ = C + ABC′ = C + AB, X + X′Y = X + Y के प्रयोग से।

विहित CNF: f = ∏M(0, 2, 4) = (A + B + C)(A + B′ + C)(A′ + B + C)।

NAND रूप: AB + C = ((AB)′ · C′)′ = NAND(NAND(A, B), NAND(C, C)), तीन NAND द्वारों से।

उत्तर: f = AB + C = (A + B + C)(A + B′ + C)(A′ + B + C), तीन NAND द्वारों से प्राप्त।

प्रश्न 15 (15 अंक): आंशिक धुरीकरण सहित गाउसीय निरसन से Ax = b हल करने की कलनविधि, प्रवाह संचित्र के वर्णन सहित, लिखिए।

चरण 1: n और संवर्धित आव्यूह a_ij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., n + 1) पढ़ें।

चरण 2: k = 1 से n − 1 तक: वह p ≥ k ज्ञात करें जिसके लिए |a_pk| सबसे बड़ा हो; यदि a_pk = 0, तो 'अव्युत्क्रमणीय' मुद्रित कर रुकें; पंक्तियाँ k और p बदलें।

चरण 3: i = k + 1 से n तक: m = a_ik/a_kk, और j = k से n + 1 तक a_ij = a_ij − m a_kj रखें।

चरण 4: यदि a_nn = 0, तो 'अव्युत्क्रमणीय' मुद्रित कर रुकें; x_n = a_n,n+1/a_nn। चरण 5: i = n − 1 से 1 तक, x_i = (a_i,n+1 − ∑_j=i+1ⁿ a_ij x_j)/a_ii। चरण 6: x₁, ..., x_n मुद्रित करें।

प्रवाह संचित्र: निवेश → k पर बाहरी लूप, शून्य धुरी के लिए निर्णय हीरा → पंक्ति विनिमय → आंतरिक निरसन लूप → पश्च प्रतिस्थापन लूप → निर्गम; कार्य लगभग n³/3 गुणन है।

उत्तर: उपर्युक्त कलनविधि; यह 'अव्युत्क्रमणीय' संदेश के साथ केवल तब रुकती है जब A अव्युत्क्रमणीय हो।

1. बीजीय और अबीजीय समीकरणों के मूल

2026 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: न्यूटन-रैफ्सन पुनरावृत्ति सूत्र के उपयोग से, N का घनमूल ज्ञात करने के लिए सूत्र x_i+1 = (1/3)(2x_i + N/x_i²) को प्रमाणित कीजिए। प्रमाणित होने पर, इस सूत्र के उपयोग से, प्रारंभिक सन्निकटन 3·9 लेकर, 63 का घनमूल दशमलव के चार स्थानों तक सही ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: मिथ्या-स्थिति (रेगुला-फाल्सि) विधि से अंतराल [0, 3] में, समीकरण log₁₀(2x + 1) − x² + 3 = 0 के एक मूल का, दशमलव के 6 स्थानों तक सही, अभिकलन कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: प्रारंभिक मानों 0, π/2 का उपयोग करके एक संख्यात्मक तकनीक के द्वारा समीकरण 3x = 1 + cos x का एक धनात्मक मूल ज्ञात कीजिए, तथा न्यूटन-राफ्सन विधि के द्वारा परिणाम को 8 सार्थक अंकों तक और शुद्ध मान के निकट लाइए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: दर्शाइए कि समीकरण : f(x) = cos(π(x + 1)/8) + 0·148x − 0·9062 = 0 का एक मूल अन्तराल (−1, 0) में तथा एक मूल (0, 1) में है। ऋणात्मक मूल की न्यूटन-रॉफसन विधि से दशमलव के चार स्थान तक सही गणना कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: न्यूटन-रेफ्सन विधि का उपयोग करते हुये अबीजीय (ट्रांसिडेंटल) समीकरण x log₁₀x = 1.2 का वास्तविक मूल दशमलव के तीन स्थानों तक सही निकालें।

2018 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: समीकरण : xe^x − 1 = 0 को द्विभाजन-विधि के द्वारा, दशमलव के 4 अंकों तक, हल करने के लिए, आधारी ऐल्गोरिथ्म लिखिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: समीकरण cos x − xe^x = 0 का, चार दशमलव स्थानों तक सही, मूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन-रैफसन विधि का इस्तेमाल कीजिए।

2. रैखिक समीकरण निकाय: प्रत्यक्ष और पुनरावृत्ति विधियाँ

2025 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: निम्न रैखिक समीकरण निकाय को गाउस-सीडल विधि से हल कीजिए:
10x + 2y + z = 9
2x + 20y − 2z = −44
−2x + 3y + 10z = 22

2024 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: गाउस-जॉर्डन विधि द्वारा निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए:
2x + 3y − z = 5
4x + 4y − 3z = 3
2x − 3y + 2z = 2

2023 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: गाउस-सीडेल पुनरावर्ती विधि से रैखिक समीकरण निकाय
7x₁ − x₂ + 2x₃ = 11
2x₁ + 8x₂ − x₃ = 9
x₁ − 2x₂ + 9x₃ = 7
का 4 सार्थक अंकों तक सही हल ज्ञात कीजिए। आरंभिक अनुमानित हल x₁ = x₂ = x₃ = 0 लीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: गाउस विलोपन विधि द्वारा समीकरण निकाय
2x + 2y + 4z = 18
x + 3y + 2z = 13
3x + y + 3z = 14
को हल कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: समीकरणों के निकाय 3x₁ + 9x₂ − 2x₃ = 11, 4x₁ + 2x₂ + 13x₃ = 24, 4x₁ − 2x₂ + x₃ = −8 का गाउस-सीडल विधि द्वारा 4 सार्थक अंकों तक सही हल ज्ञात कीजिए, यह सत्यापन करने के बाद कि क्या यह विधि आपके द्वारा निकाय के रूपांतरित रूप में अनुप्रयोज्य है।

2020 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: समीकरण निकाय : 4x + y + 2z = 4, 3x + 5y + z = 7, x + y + 3z = 3 के हल के लिए गाउस-सीडल पुनरावर्ती क्रिया-विधि निर्धारित कीजिए तथा आरंभिक सदिश X⁽⁰⁾ = 0 से प्रारंभ करके तीन बार पुनरावर्त कीजिए। यथातथ (बिल्कुल ठीक) हल भी निकालिए और पुनरावर्त हलों से तुलना कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: निम्नलिखित समीकरणों को गाउस-साईडल पुनरावृत्ति विधि से हल, दशमलव के सही तीन स्थानों तक करें :
2x + y − 2z = 17,
3x + 20y − z = −18,
2x − 3y + 20z = 25.

2017 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: गाउस-जॉर्डन विधि के मुख्य सोपानों की व्याख्या कीजिए तथा इस विधि का इस्तेमाल करते हुए आव्यूह
[[2, 6, 6], [2, 8, 6], [2, 6, 8]]
का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: गाउस-सीडेल विधि का इस्तेमाल करते हुए निकाय
10x₁ − 2x₂ − x₃ − x₄ = 3
−2x₁ + 10x₂ − x₃ − x₄ = 15
−x₁ − x₂ + 10x₃ − 2x₄ = 27
−x₁ − x₂ − 2x₃ + 10x₄ = −9
का हल ज्ञात कीजिए (चार पुनरावृत्ति कीजिए)।

2014 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: गाउस-साइडल पुनरावृत्ति विधि के द्वारा समीकरण निकाय
2x₁ − x₂ = 7
−x₁ + 2x₂ − x₃ = 1
−x₂ + 2x₃ = 1
का हल कीजिए (तीन पुनरावृत्तियाँ कीजिए)।

3. अंतर्वेशन: न्यूटन के अग्र, पश्च और लग्रांज सूत्र

2025 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: घात 2 या 2 से कम का वह अद्वितीय बहुपद, जो आँकड़ों
x : 0, 1, 3
f(x) : 1, 3, 55
पर ठीक बैठता है, ज्ञात कीजिए। रुंडन त्रुटि पर परिबंध भी प्राप्त कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: अंतर्वेशन के लिए न्यूटन के अग्रांतर सूत्र का उपयोग करके निम्नलिखित आँकड़ों से f(2·5) के मान का आकलन कीजिए:
x : 1, 2, 3, 4, 5, 6
f(x) : 0, 1, 8, 27, 64, 125

2021 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: न्यूटन के पश्चांतर अंतर्वेशन सूत्र की व्युत्पत्ति कीजिए तथा त्रुटि-विश्लेषण भी कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: बिन्दुओं x₀, x₀ + ε तथा x₁ के सापेक्ष तीन-बिन्दु लेगरान्ज-अन्तर्वेशन बहुपद को लिखिए। तदुपरान्त limit ε → 0 करने पर निम्नलिखित सम्बन्ध को स्थापित कीजिए : f(x) = ((x₁ − x)(x + x₁ − 2x₀)/(x₁ − x₀)²) f(x₀) + ((x − x₀)(x₁ − x)/(x₁ − x₀)) f′(x₀) + ((x − x₀)²/(x₁ − x₀)²) f(x₁) + E(x) जहाँ पर E(x) = (1/6)(x − x₀)²(x − x₁)f‴(ξ) त्रुटि-फलन है और न्यूनतम (x₀, x₀ + ε, x₁) < ξ < उच्चतम (x₀, x₀ + ε, x₁)

2018 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: न्यूटन के अग्रांतर फार्मूले से निम्नतम-घातीय बहुपद u_x ज्ञात कीजिए जब कि u₁ = 1, u₂ = 9, u₃ = 25, u₄ = 55 तथा u₅ = 105 दिया गया है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: दिए गए समदूरस्थ मान u₋₁, u₀, u₁ और u₂ के लिए, एक मान लग्रांज फॉर्मूला से अंतर्वेशित किया जाता है। दर्शाइए कि इसको
u_x = yu₀ + xu₁ + (y(y² − 1)/3!) Δ²u₋₁ + (x(x² − 1)/3!) Δ²u₀
के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x + y = 1 है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: मान लीजिए x ∈ [0, 1] के लिए f(x) = e^2x cos 3x है। नोड x = 0, x = 0·3, x = 0·6 तथा x = 1 पर घात 3 के लग्रांज अंतर्वेशी बहुपद का इस्तेमाल करते हुए f(0·5) के मान का आकलन कीजिए। अन्तराल [0, 1] पर त्रुटि सीमा तथा वास्तविक त्रुटि E(0·5) का अभिकलन भी कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: लग्रांज अंतर्वेशी बहुपद ज्ञात कीजिए, जो निम्नलिखित आँकड़ों को समंजन करता है:
x : −1, 2, 3, 4
f(x) : −1, 11, 31, 69
f(1.5) ज्ञात कीजिए।

4. संख्यात्मक समाकलन और साधारण अवकल समीकरणों का संख्यात्मक हल

2026 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: सिम्प्सन के 3/8 नियम को एक बार उपयोग कर समाकल ∫₀^0·8 f(x) dx का मूल्यांकन कीजिए, जहाँ f(x) = 0·2 + 25x − 200x² + 675x³ − 900x⁴ + 400x⁵ है।

2026 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: प्रारंभिक मान समस्या dy/dx = 1 + y/x, y(1) = 1, h = 1 (पग-माप) का विचार कीजिए।
(i) y(2) का सन्निकट मान प्राप्त करने के लिए चिरप्रतिष्ठित चतुष्कोटि रुंगे-कुट्टा विधि का उपयोग कीजिए।
(ii) y(2) और y(3) के मान ज्ञात करने के लिए ऑयलर विधि का उपयोग कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: क्षेत्रकलन-सूत्र
∫_x0^x₁ f(x) dx = (h/2)(f₀ + f₁) + ph²(f′₀ − f′₁)
जहाँ x₀ + h = x₁, f₀ = f(x₀), f₁ = f(x₁) हैं और प्राइम (′), x के सापेक्ष अवकलज को निरूपित करता है, के लिए अचर p और त्रुटि-पद ज्ञात कीजिए। अतः समाकलन
∫_a^b f(x) dx, a = x₀ < x₁ < ⋯ < x_N = b
का मान ज्ञात करने के लिए संयुक्त नियम का निगमन कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: (i) चौड़ाई h = 1 के साथ सिम्प्सन के 3/8 नियम, और
(ii) चौड़ाई h = 1 के साथ समलंबी (ट्रेपिज़ोइडल) नियम
का उपयोग करके f(x) = 5x³ − 3x² + 2x + 1 का x = −2 से x = 4 तक समाकलन कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: दिया है dy/dx = (y² − x)/(y² + x) तथा प्रारंभिक प्रतिबंध x = 0 पर y = 1 है। ऑयलर की विधि से पग लंबाई (स्टेप लेंथ) h = 0·1 लेते हुए x = 0·4 के लिए y का मान, दशमलव के 4 स्थानों तक सही, ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: एक रेलगाड़ी, जो कि विश्राम से चलना प्रारंभ करती है, का वेग निम्नलिखित सारणी द्वारा दिया गया है। प्रस्थान से समय की गणना मिनट में तथा वेग की कि॰ मी॰/घण्टा में की गयी है:
t (मिनट): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
v (कि॰ मी॰/घण्टा): 16, 28·8, 40, 46·4, 51·2, 32, 17·6, 8, 3·2, 0
सिम्पसन के 1/3 नियम का उपयोग करके 20 मिनट में तय की गयी कुल दूरी (लगभग) का आकलन कि॰ मी॰ में कीजिये।

2022 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: चतुर्थ कोटि की रुन्गे-कुट्टा विधि का उपयोग करके अवकल समीकरण dy/dx = x + y², जबकि y(0) = 1 है, को x = 0·2 पर हल कीजिये। परिकलन में दशमलव के चार स्थानों तक तथा पग लम्बाई (स्टेप लेंथ) 0·1 का उपयोग कीजिये।

2020 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 20 अंक: क्षेत्रकलन के लिए ∫₀¹ f(x) dx/√(x(1 − x)) = α₁f(0) + α₂f(1/2) + α₃f(1) द्वारा उस सूत्र को ज्ञात कीजिए जो अधिकतम सम्भव घात के बहुपद के लिए यथातथ (बिल्कुल ठीक) हो। सूत्र का उपयोग ∫₀¹ dx/√(x − x³) का (दशमलव के तीन स्थानों तक सही) मूल्यांकन के लिए कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: चौथी कोटि की रुन्गे-कुट्टा विधि का उपयोग करके y(0) = 1 के साथ अवकल समीकरण dy/dx = (y² − x²)/(y² + x²) को x = 0.2 पर हल करें। परिकलन के लिये चार दशमलव स्थानों और अन्तराल लम्बाई (स्टैप लैंथ) 0.2 का उपयोग कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: विराम अवस्था से प्रारम्भ हो कर एक रेलगाड़ी की रफ़्तार (किमी/घं में) विभिन्न समयों (मिनट में) पर निम्न सारणी के द्वारा दी गई है :
[सारणी: समय (मिनट): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20; रफ़्तार (किमी/घं): 10, 18, 25, 29, 32, 20, 11, 5, 2, 8.5]
सिम्पसन के (1/3) नियम के इस्तेमाल से प्रारंभ से 20 मिनटों में चली गई सन्निकट दूरी (किमी. में) ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: स्थिरांकों a, b, c के मान निकालिए ताकि क्षेत्रकलन-सूत्र
∫₀^h f(x) dx = h[a f(0) + b f(h/3) + c f(h)]
अधिक से अधिक सम्भव घातीय बहुपदों के लिए सही हो। अतएव रुंडन-त्रुटि का क्रम भी ज्ञात कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 20 अंक: सूत्र
∫_a^b y dx = (3h/8)[(y₀ + y_n) + 3(y₁ + y₂ + y₄ + y₅ + ... + y_n−1) + 2(y₃ + y₆ + ... + y_n−3)]
को व्युत्पन्न कीजिए। क्या n पर कोई प्रतिबन्ध है? उस शर्त को लिखिए। सिम्प्सन के 3/8 नियम के मामले में त्रुटि परिबंध क्या है?

2016 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 15 अंक: समाकल ∫₋₁¹ f(x) dx के लिए, दर्शाइए कि द्वि-बिन्दु गाउस क्षेत्रकलन नियम, ∫₋₁¹ f(x) dx = f(1/√3) + f(−1/√3) द्वारा दिया गया है। इस नियम का इस्तेमाल करते हुए ∫₂⁴ 2x e^x dx का आकलन कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: पग आकार h = 0.2 के साथ रंगे-कुट्टा चतुष्कोटि विधि का इस्तेमाल करते हुए प्रारंभिक मान समस्या dy/dx = x(y − x), y(2) = 3 को अंतराल [2, 2.4] में हल कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: समलंबी नियम के द्वारा ∫₀¹ dx/(1 + x²) का समाकलन करने के लिए पाँच उपांतरालों का इस्तेमाल कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: x = 0.8 पर y का मान ज्ञात करने के लिए, जहाँ dy/dx = √(x + y), y(0.4) = 0.41 चतुष्कोटि के रुन्गे-कुट्टा फॉर्म्यूले का इस्तेमाल कीजिए। पग लंबाई h = 0.2 लीजिए।

5. संख्या पद्धतियाँ और कंप्यूटर में संख्याओं का निरूपण

2026 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: (i) निम्नलिखित चल (फ्लोटिंग) बिंदु 10-द्वयंक (बिट) संख्याओं के दशमलव तुल्यांक ज्ञात कीजिए, जिनमें 5 द्वयंक भिन्न भाग हों: 1010111011 और 0100101010। (8)
(ii) (11001.1011)₁₀ + (33.24)₈ + (101101)₂ का मूल्यांकन कीजिए और अंतिम परिणाम को षोडश आधारी (हैक्साडेसिमल) पद्धति में बदलिए। (7)

2025 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: (i) संख्या (3479)₁₀ को द्वि-आधारी पद्धति और संख्या (7AE·9F)₁₆ को दशमलव पद्धति में बदलिए।
(ii) बूलीय फलन F(x, y, z) = (x + y + z′)(x′ + y′) के लिए सत्यमान सारणी ज्ञात कीजिए। सत्यमान सारणी से F(x, y, z) का पूर्ण वियोजनीय प्रसामान्य रूप भी प्राप्त कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: (i) (8D)₁₆ और (FF)₁₆ के सचिह्न परिमाण रूप में दशमलव समतुल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) (9B2.1A)₁₆ का दशमलव समतुल्य ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: द्वि-आधारी अंकगणित का उपयोग कर निम्नलिखित संख्याओं का मूल्यांकन उनकी दी गई पद्धति में कीजिए:
(i) (634·235)₈ − (132·223)₈
(ii) (7AB·432)₁₆ − (5CA·D61)₁₆

2022 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: (i) संख्या (1093·21875)₁₀ को अष्टाधारी तथा संख्या (1693·0628)₁₀ को षोडश-आधारी पद्धति में बदलिये।
(ii) बूलीय फलन F(x, y, z) = xy + x′z को योपद (मैक्सटर्म) के गुणन के रूप में अभिव्यक्त कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: (i) (3798·3875)₁₀ को अष्टाधारी तथा षोडशाधारी तुल्यमानों में बदलिए।
(ii) (¬P → R) ∧ (Q ⇄ P) का मुख्य संयोजक सामान्य रूप (प्रिंसिपल कंजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म) प्राप्त कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: अधोलिखित संख्याओं के समतुल्यों को उनके सम्मुख दरशाई गई विशिष्ट संख्या पद्धति में ज्ञात कीजिए :
(i) पूर्णांक 524 को द्विआधारी पद्धति में।
(ii) 101010110101.101101011 को अष्टाधारी पद्धति में।
(iii) दशमलव 5280 को षड्दशमलव पद्धति में।
(iv) अज्ञात संख्या ज्ञात कीजिए (1101.101)₈ → (?)₁₀।

2018 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: अधोलिखित संख्याओं के समतुल्यों को उनके सम्मुख दर्शाई गई विशिष्ट संख्या पद्धति में, ज्ञात कीजिए।
(i) (111011.101)₂ को दशमलव पद्धति में
(ii) (1000111110000.00101100)₂ को षड्दशमलव पद्धति में
(iii) (C4F2)₁₆ को दशमलव पद्धति में
(iv) (418)₁₀ को द्विआधारी पद्धति में

2016 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: निम्नलिखित दशमलव संख्याओं को तुल्य द्वि-आधारी तथा षोडश-आधारी संख्याओं में बदलिए :
(i) 4096
(ii) 0·4375
(iii) 2048·0625

6. कंप्यूटर तंत्र, तर्क द्वार, बूलीय बीजगणित और कलनविधियाँ

2026 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: निम्न तर्क परिपथ L का विचार कीजिए:
[चित्र: निवेश A, B, C तीन AND गेटों को जाते हैं जिनके निर्गम एक OR गेट में जाते हैं जिसका निर्गम Y है। पहला AND गेट: निवेश A, B, C। दूसरा AND गेट: निवेश A, NOT B (इन्वर्टर द्वारा), C। तीसरा AND गेट: निवेश NOT A (इन्वर्टर द्वारा), B।]
(i) Y को बूलीय व्यंजक के रूप में अभिव्यक्त कीजिए।
(ii) A, B और C के लिए 8-बिट विशिष्ट अनुक्रम लिखिए।
(iii) 8-बिट विशिष्ट अनुक्रमों के उपयोग से L की सत्यमान सारणी ज्ञात कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: बूलीय फलन
F(x, y, z) = xyz + x′yz + xy′z + xyz′
का सरलीकरण कीजिए और संगत GATE परिपथ को रेखांकित कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: बूलीय व्यंजक Y = ABC̄ + BC̄ + ĀB के लिए तर्कसंगत परिपथ (लॉजिकल सर्किट) खींचिए। तीन निवेश द्वयंक अनुक्रमों
A = 10001111, B = 00111100, C = 11000100
के लिए निर्गत Y (सत्यमान सारणी) भी प्राप्त कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: (i) निम्न बूलीय फलन का योगात्मक प्रसामान्य स्वरूप (CNF) ज्ञात कीजिए: f(x, y, z, t) = x · y · z + x̄ · y · (t + z̄)
(ii) बूलीय फलन f(x, y, z) = x + (x̄ · ȳ + x̄ · z)′ + z [पूरक-रेखा पूरे कोष्ठक पर है] को वियोजनीय (डिसजंक्टिव) प्रसामान्य स्वरूप (DNF) में व्यक्त कीजिए तथा इस फलन के लिए सत्यमान सारणी बनाइए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: बूलीय फलन f(x, y, z) = [x · (ȳ + z)] + y का संगत संचयविन्यास परिपथ (कॉम्बिनेटोरियल सर्किट) ज्ञात कीजिये तथा परिपथ के लिये निवेश/निर्गत (इनपुट/आउटपुट) सारणी लिखिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: नीचे दी गई सारणी पर आधारित बूलीय फलन F(x, y, z) को निकालिए और तब F(x, y, z) को सरल कीजिए तथा उसके अनुरूप GATE परिपथ खींचिए :
[सत्य सारणी: x, y, z, F(x, y, z)]
1 1 1 : 1
1 1 0 : 1
1 0 1 : 1
1 0 0 : 0
0 1 1 : 1
0 1 0 : 0
0 0 1 : 0
0 0 0 : 0

2020 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: मान लीजिए g(w, x, y, z) = (w + x + y)(x + ȳ + z)(w + ȳ) एक बूलीय-फलन है। g(w, x, y, z) का योगात्मक प्रसामान्य स्वरूप (कन्जंकटिव नार्मल फॉर्म) प्राप्त कीजिए। g(w, x, y, z) को उच्च-पदों (मैक्स टर्म्स) के गुणन के रूप में भी व्यक्त कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: ट्रेपेजाइडल नियम के इस्तेमाल के द्वारा समाकल y = ∫₀⁶ dx/(1 + x²) का मूल्यांकन करने के लिये, एक प्रवाह चार्ट बनाइए तथा एक बुनियादी एल्गोरिथ्म (फोर्ट्रान/C/C⁺⁺ में) लिखें।

2019 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: दिये गये बूलीय व्यंजक के लिए
X = AB + ABC + AB̄C̄ + AC̄
(i) व्यंजक के लिये तार्किक आरेख खींचें।
(ii) व्यंजक न्यूनतम करें।
(iii) समानीत व्यंजक के लिये तार्किक आरेख खींचें।

2018 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: बूलीय व्यंजक :
(a + b)·(b̄ + c) + b·(ā + c̄)
को बूलीय-बीजगणित के नियमों का उपयोग करने के द्वारा सरल कीजिए। इस की सत्यता-सारणी से इसको मिनटर्म प्रसामान्य रूप में लिखिए।

2017 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: बूलीय अभिगृहीत नियमों का इस्तेमाल करते हुए बूलीय व्यंजक
z(y + z)(x + y + z)
को इसके सरलतम रूप में लिखिए। सरलीकरण के दौरान इस्तेमाल होने वाले नियमों का उल्लेख कीजिए। दिए गए व्यंजक तथा उसके सरलतम रूप के लिए सत्यमान सारणी बनाकर अपने परिणाम को सत्यापित कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: न्यूटन-रैफ्सन विधि के लिए प्रवाह चार्ट के रूप में एक ऐल्गोरिथ्म लिखिए। इस विधि की विफलता की स्थितियों का वर्णन कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 15 अंक: मान लीजिए A, B, C बूलीय चर हैं, A का पूरक A̅ द्वारा निर्दिष्ट होता है, A OR B के लिए व्यंजक A + B तथा A AND B के लिए व्यंजक A . B है। तो निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए तथा AND और OR गेट्स का इस्तेमाल करते हुए सरलीकृत व्यंजक का ब्लॉक आरेख खींचिए।
A . (A + B + C) . (A̅ + B + C) . (A + B̅ + C) . (A + B + C̅).

2015 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: बूलीय व्यंजक ((p ∧ q) → r) ∨ ((p ∧ q) → ¬r) के लिए तीन चरों p, q, r में मुख्य (अथवा विहित) वियोजनीय (डिसजंक्टिव) प्रसामान्य रूप ज्ञात कीजिए। क्या दिया गया बूलीय व्यंजक एक विरोध है या कि एक पुनरावृत्ति है?

2014 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: केवल AND तथा OR तर्कसंगत द्वार इस्तेमाल करते हुए बूलीय व्यंजक z = xy + uv के लिए एक तर्क परिपथ की रचना कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: सिम्प्सन के एक-तिहाई नियम के लिए एक प्रवाह-चार्ट बनाइए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: किसी भी बूलीय चर x और y के लिए दर्शाइए कि x + xy = x.