वास्तविक विश्लेषण — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. उच्चक और पूर्णता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक संख्याओं के अनेक समुच्चयों में कोई सबसे बड़ा अवयव नहीं होता। समुच्चय {1 − 1/n : n ∈ ℕ} = {0, 1/2, 2/3, 3/4, ...} बढ़ता रहता है परंतु 1 तक कभी नहीं पहुँचता।

फिर भी हम संख्या 1 को इसकी 'छत' कहना चाहते हैं। उच्चक (supremum) वही छत है, और पूर्णता (completeness) अभिगृहीत यह वचन देता है कि ℝ में यह छत सदा विद्यमान है।

शब्दों में: संख्या u, S की उपरि परिबंध (upper bound) है यदि S का प्रत्येक x, x ≤ u को संतुष्ट करे। S ऊपर से परिबद्ध (bounded above) है यदि इसकी कम से कम एक उपरि परिबंध हो।

s = sup S का अर्थ दो बातें एक साथ हैं। (i) s एक उपरि परिबंध है। (ii) इससे छोटी कोई संख्या उपरि परिबंध नहीं है: प्रत्येक ε > 0 के लिए S का कोई अवयव x, s − ε से ऊपर स्थित है।

वाक्यांश 'प्रत्येक ε > 0 के लिए' का अर्थ है: s से आप कितना भी छोटा कदम नीचे लें, आपको S का कोई बिंदु मिलेगा। ध्यान दें कि s का स्वयं S में होना आवश्यक नहीं है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें S = {1 − 1/n : n ∈ ℕ}। हमारा दावा है कि sup S = 1।

चरण 1 (1 एक उपरि परिबंध है): 1/n > 0, अतः प्रत्येक n के लिए 1 − 1/n < 1।

चरण 2 (कोई छोटी संख्या काम नहीं करती): कोई भी ε > 0 लें। हमें ऐसा n चाहिए कि 1 − 1/n > 1 − ε, अर्थात 1/n < ε, अर्थात n > 1/ε।

चरण 3: आर्किमिडीय गुण (Archimedean property) से ऐसा n विद्यमान है। ε = 0.01 के लिए n = 101 ले सकते हैं, जिससे 1 − 1/101 ≈ 0.990 > 0.99।

चरण 4: दोनों शर्तें सत्य हैं, अतः sup S = 1। चूँकि 1 − 1/n = 1 का कोई हल नहीं, 1 ∉ S: उच्चक प्राप्त नहीं होता, और S का कोई अधिकतम नहीं है।

अ-उदाहरण (non-example): ℚ में समुच्चय A = {x ∈ ℚ : x² < 2} ऊपर से (2 द्वारा) परिबद्ध है परंतु ℚ में इसकी कोई न्यूनतम उपरि परिबंध नहीं है। किसी भी परिमेय उपरि परिबंध r के लिए r² > 2, और उससे थोड़ी छोटी परिमेय संख्या भी उपरि परिबंध रहती है। अतः ℚ के भीतर शर्त (ii) कभी पूरी नहीं होती: ठीक पूर्णता ही विफल होती है।

आगे बढ़ते हुए: (1) पूर्णता मान लें: प्रत्येक अरिक्त ऊपर से परिबद्ध समुच्चय का उच्चक होता है। (2) इसे {nx : n ∈ ℕ} पर लगाएँ: यदि यह परिबद्ध होता, तो s − x उपरि परिबंध न होता, और तब किसी m के लिए (m + 1)x > s, जो विरोधाभास है; इससे आर्किमिडीय गुण मिलता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1)।

(3) इसे किसी वर्धमान परिबद्ध अनुक्रम के पदों के समुच्चय पर लगाएँ: उच्चक ही सीमा है (प्रमेय 2)। (4) आगे का सब कुछ, बोलज़ानो–वायरस्ट्रास, कॉशी कसौटी और चरम मान प्रमेय सहित, इन्हीं दो चरणों पर टिका है।

कहाँ प्रयोग होता है: समुच्चयों और फलनों के परिसर पर sup/inf प्रश्न (UPSC इन्हें 10 अंक के भाग के रूप में पूछता है); इस अध्याय की प्रत्येक अस्तित्व उपपत्ति; ऊपरी और निचले रीमान समाकल की परिभाषा।

2. अनुक्रम की सीमा को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: पद 1, 1/2, 1/3, ... '0 की ओर जाते हैं', और 0.9, 0.99, 0.999, ... '1 की ओर जाते हैं'। प्रमेय सिद्ध करने के लिए हमें 'की ओर जाने' की एक सटीक कसौटी चाहिए जो चित्र पर निर्भर न हो।

शब्दों में: a_n → l का अर्थ है: प्रत्येक ε > 0 (आपके द्वारा चुनी कोई भी सहनशीलता) के लिए कोई N (एक चरण) है कि सभी n ≥ N (प्रत्येक बाद के पद) के लिए |a_n − l| < ε (पद सहनशीलता के भीतर है)।

परिमाणकों का क्रम महत्त्वपूर्ण है। पहले ε दिया जाता है, और N को ε पर निर्भर होने की अनुमति है। N, n पर निर्भर नहीं हो सकता, क्योंकि उसे बाद के सभी n के लिए एक साथ काम करना है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: सिद्ध कीजिए कि (n + 3)/(2n) → 1/2।

चरण 1 (दूरी को सरल करें): |a_n − 1/2| = |(n + 3)/(2n) − n/(2n)| = 3/(2n)।

चरण 2 (n के लिए हल करें): 3/(2n) < ε ठीक तब सत्य है जब n > 3/(2ε)।

चरण 3 (N चुनें): N को 3/(2ε) से बड़ा कोई पूर्णांक लें, उदाहरणतः N = [3/(2ε)] + 1। ε = 0.001 के लिए इससे N = 1501 मिलता है।

चरण 4 (जाँच): यदि n ≥ N तो n > 3/(2ε), अतः |a_n − 1/2| = 3/(2n) < ε। यही ठीक परिभाषा है, अतः सीमा 1/2 है।

जब दूरी को ठीक-ठीक हल नहीं किया जा सके, तो उसे किसी सरल व्यंजक से ऊपर से परिबद्ध करें: उदाहरणतः n ≥ 1 के लिए |(n + 1)/(n² + 1)| ≤ 2n/n² = 2/n, और फिर 2/n < ε बनाएँ।

अ-उदाहरण (non-example): a_n = (−1)ⁿ अभिसारी नहीं है। ε = 1/2 लें। किसी भी l के लिए 1 और −1 दोनों का l से 1/2 के भीतर होना आवश्यक होगा, जिससे 1 और −1 की परस्पर दूरी 1 से कम होगी; परंतु उनकी दूरी 2 है। अतः इस ε के लिए कोई N काम नहीं करता।

आगे बढ़ते हुए: (1) अद्वितीयता: यदि a_n → l और a_n → m, तो ε = |l − m|/2 लेने पर विरोधाभास मिलता है जब तक l = m न हो। (2) परिबद्धता: ε = 1 के साथ N के बाद के सभी पद (l − 1, l + 1) में हैं, और पहले के परिमित पद परिबद्ध हैं।

(3) सीमाओं का बीजगणित: |a_nb_n − lm| ≤ |a_n||b_n − m| + |m||a_n − l|, और दोनों भाग छोटे हैं। (4) सैंडविच: यदि a_n ≤ c_n ≤ b_n और a_n, b_n → l, तो c_n → l। आगे की प्रत्येक सीमा में यही औज़ार प्रयुक्त होते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: ε–N उपपत्तियाँ सीधे पूछी जाती हैं; यही ढाँचा (ε दिया है, N या δ खोजिए) श्रेणी, सांतत्य, एकसमान अभिसरण और समाकलों में फिर आता है।

3. एकदिष्ट अनुक्रमों और उपानुक्रमों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: a_n+1 = √(2 + a_n) जैसे पुनरावर्ती अनुक्रम के लिए हम a_n को संवृत रूप में नहीं लिख सकते, अतः सीमा का अनुमान लगाकर ε–N से जाँच नहीं कर सकते। हमें पहले सीमा का अस्तित्व सिद्ध करने का तरीका चाहिए।

शब्दों में: (a_n) वर्धमान (increasing) है यदि प्रत्येक n के लिए a_n ≤ a_n+1, और एकदिष्ट (monotone) है यदि वह वर्धमान या ह्रासमान हो। एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय कहता है: वर्धमान और ऊपर से परिबद्ध ⇒ अभिसारी, जिसकी सीमा sup{a_n} है।

उपानुक्रम (subsequence) अनंत पदों को उनके मूल क्रम में चुनता है: a_n1, a_n2, ... जहाँ n₁ < n₂ < ...। उदाहरणतः सम पद a₂, a₄, a₆, ...।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: a₁ = 1, a_n+1 = (a_n + 6)/2; हम जाँचते हैं कि यह अभिसारी है या नहीं और सीमा ज्ञात करते हैं।

चरण 1 (कुछ पद निकालें): 1, 3.5, 4.75, 5.375, ...; ये 6 की ओर बढ़ते हैं, अतः हम परिबंध 6 का अनुमान लगाते हैं।

चरण 2 (आगमन से परिबद्ध): a₁ = 1 < 6, और यदि a_n < 6 तो a_n+1 = (a_n + 6)/2 < (6 + 6)/2 = 6।

चरण 3 (वर्धमान): चरण 2 का प्रयोग करके a_n+1 − a_n = (6 − a_n)/2 > 0।

चरण 4 (सीमा विद्यमान है): वर्धमान और ऊपर से परिबद्ध, अतः एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से a_n → l। केवल अब ही हम पुनरावृत्ति संबंध में सीमा ले सकते हैं।

चरण 5 (l ज्ञात करें): a_n+1 → l भी, अतः l = (l + 6)/2, जिससे l = 6।

अ-उदाहरण (non-example): a_n = n वर्धमान है परंतु परिबद्ध नहीं, अतः प्रमेय लागू नहीं होता, और वास्तव में a_n → ∞। अनुक्रम (−1)ⁿ परिबद्ध है परंतु एकदिष्ट नहीं; यह अपसारी है, यद्यपि इसके सम पदों का उपानुक्रम 1 की ओर अभिसारी है, जैसा बोलज़ानो–वायरस्ट्रास बताता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) एकदिष्ट अभिसरण: वर्धमान परिबद्ध अनुक्रम के पदों का उच्चक l होता है; l − ε से ऊपर के पहले पद के बाद प्रत्येक पद (l − ε, l] में होता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2)।

(2) प्रत्येक वास्तविक अनुक्रम का एक एकदिष्ट उपानुक्रम होता है ('शिखर' तर्क, प्रमेय 3)। (3) यदि अनुक्रम परिबद्ध है, तो वह एकदिष्ट उपानुक्रम अभिसारी है: यही बोलज़ानो–वायरस्ट्रास है। (4) अनुक्रम l की ओर अभिसारी है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपानुक्रम l की ओर अभिसारी हो; अतः भिन्न सीमाओं वाले दो उपानुक्रम अपसरण सिद्ध करते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC का मानक प्रश्न 'सिद्ध कीजिए कि पुनरावर्ती अनुक्रम अभिसारी है और उसकी सीमा ज्ञात कीजिए'; बोलज़ानो–वायरस्ट्रास उन उपपत्तियों का इंजन है कि [a, b] पर संतत फलन परिबद्ध हैं, अपने परिबंध प्राप्त करते हैं और एकसमान संतत हैं।

4. कॉशी अनुक्रमों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनुक्रम f_n = 1 + 1/1! + ... + 1/n! स्पष्टतः स्थिर होता जाता है, परंतु इसकी सीमा e पहले से ज्ञात नहीं है। सीमा की परिभाषा को l चाहिए; हम ऐसी कसौटी चाहते हैं जो केवल पदों का प्रयोग करे।

शब्दों में: (a_n) कॉशी अनुक्रम (Cauchy sequence) है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए ऐसा N हो कि N के बाद के कोई भी दो पद, a_m और a_n जहाँ m, n ≥ N, परस्पर ε के भीतर हों। 'कोई भी दो' आवश्यक है: केवल पड़ोसी पद नहीं।

व्यवहार में हम m > n लिखते हैं और |a_m − a_n| को केवल n के ऐसे व्यंजक से परिबद्ध करते हैं जो 0 की ओर जाता हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाइए कि a_n = ∑_k=1ⁿ (−1)^k+1/k² कॉशी अनुक्रम है।

चरण 1 (अंतर लिखें): m > n के लिए a_m − a_n = ∑_k=n+1^m (−1)^k+1/k²।

चरण 2 (चिह्न हटाएँ): त्रिभुज असमिका से |a_m − a_n| ≤ ∑_k=n+1^m 1/k²।

चरण 3 (दूरदर्शी योग): 1/k² < 1/(k(k − 1)) = 1/(k − 1) − 1/k, अतः योग 1/n − 1/m < 1/n से कम है।

चरण 4 (N चुनें): ε > 0 दिए होने पर N > 1/ε लें। m > n ≥ N के लिए |a_m − a_n| < 1/n ≤ 1/N < ε। अतः अनुक्रम कॉशी है और पूर्णता से अभिसारी है, यद्यपि हमने इसकी सीमा कभी नहीं निकाली (यह π²/12 है)।

अ-उदाहरण (non-example): a_n = log n के लिए a_n+1 − a_n = log(1 + 1/n) → 0, फिर भी प्रत्येक n के लिए a_2n − a_n = log 2। ε = log 2 और युग्म m = 2n के साथ शर्त प्रत्येक N के लिए विफल होती है, अतः (log n) कॉशी नहीं है; वास्तव में यह ∞ की ओर जाता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) अभिसारी ⇒ कॉशी, ε/2 त्रिभुज असमिका से। (2) कॉशी ⇒ परिबद्ध (ε = 1 लें)। (3) परिबद्ध ⇒ अभिसारी उपानुक्रम (बोलज़ानो–वायरस्ट्रास)। (4) अभिसारी उपानुक्रम वाला कॉशी अनुक्रम उसी सीमा की ओर अभिसारी होता है (फिर से ε/2)। चरण 1–4 मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 4 हैं।

(5) संकुचक अनुक्रम, |a_n+2 − a_n+1| ≤ k|a_n+1 − a_n| जहाँ k < 1, ज्यामितीय श्रेणी की सीमा से कॉशी है (प्रमेय 17); यह ह्रासमान g वाली पुनरावृत्तियों a_n+1 = g(a_n) को सँभालता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'कॉशी के व्यापक सिद्धांत का प्रयोग करके ... के अभिसरण की जाँच कीजिए' UPSC का सीधा प्रश्न है; श्रेणियों और एकसमान अभिसरण (तथा M-परीक्षण) की कॉशी कसौटी यही विचार है।

5. पूर्ण क्रमित क्षेत्र के रूप में ℝ

क्रमित क्षेत्र (ordered field): क्षेत्र F जिस पर संबंध < ऐसा हो कि a < b, a = b, b < a में से ठीक एक सत्य हो; a < b और b < c ⇒ a < c; a < b ⇒ a + c < b + c; और a < b, c > 0 ⇒ ac < bc।

भाव: ℚ और ℝ क्रमित क्षेत्र (ordered field) हैं, पर ℂ को क्रमित नहीं किया जा सकता। किसी भी क्रमित क्षेत्र में वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता (यदि a < 0 तो −a > 0 और a² = (−a)² > 0), अतः 1 = 1² > 0 और −1 < 0; तब i² = −1 एक ऋणात्मक वर्ग होता।

उच्चक (supremum): s = sup S यदि s, S का उपरि परिबंध है और प्रत्येक ε > 0 के लिए x ∈ S ऐसा है कि x > s − ε। निम्नक (infimum) इसी प्रकार परिभाषित है।

भाव: sup S, S के ऊपर सबसे कसी हुई छत है: ε-शर्त कहती है कि छत को किसी भी मात्रा से नीचे करने पर वह S को काट देगी। उच्चक (supremum) का S में होना आवश्यक नहीं: sup (0, 1) = 1 ∉ (0, 1); जब यह S में हो, तो यही अधिकतम है।

न्यूनतम उपरि परिबंध (पूर्णता) अभिगृहीत: ℝ का प्रत्येक अरिक्त, ऊपर से परिबद्ध उपसमुच्चय ℝ में उच्चक रखता है।

भाव: पूर्णता कहती है कि वास्तविक रेखा में कोई छिद्र नहीं है। क्षेत्र और क्रम के अन्य सभी अभिगृहीत ℚ में पहले से सत्य हैं, अतः यही एक अभिगृहीत ℝ को ℚ से अलग करता है, और विश्लेषण के प्रत्येक अस्तित्व प्रमेय (सीमाएँ, अधिकतम, समाकल) का अंतिम आधार यही है।

ℚ पूर्ण नहीं है: S = {x ∈ ℚ : x > 0, x² < 2}, ℚ में ऊपर से परिबद्ध है परंतु ℚ में इसका उच्चक नहीं है, क्योंकि √2 अपरिमेय है।

परिणाम: आर्किमिडीज गुणधर्म (x > 0 और किसी y के लिए n ∈ ℕ ऐसा है कि nx > y); ℝ में ℚ और अपरिमेय संख्याओं का सघन होना; नीडित अंतराल गुणधर्म।

अद्वितीयता: कोई भी दो पूर्ण क्रमित क्षेत्र तुल्याकारी होते हैं, अतः ℝ ही पूर्ण क्रमित क्षेत्र है।

6. अनुक्रम की सीमा

परिभाषा: a_n → l यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए N ऐसा हो कि सभी n ≥ N के लिए |a_n − l| < ε।

भाव: ε सहनशीलता है और N वह समय है जिसके बाद अनुक्रम उस सहनशीलता के भीतर रहता है; पट्टी (l − ε, l + ε) खींचिए और जाँचिए कि परिमित पदों को छोड़ सभी पद उसमें हैं। परिमित पदों को बदलने से अभिसरण या सीमा कभी प्रभावित नहीं होती।

N ज्ञात करना: a_n = (2n + 1)/(n + 2) के लिए |a_n − 2| = 3/(n + 2) < ε जैसे ही n > 3/ε − 2, अतः N = [3/ε] पर्याप्त है। |a_n − l| < ε से उलटा चलिए, |a_n − l| को सरल कीजिए या ऊपर से परिबद्ध कीजिए।

मूल परिणाम: सीमा अद्वितीय है; प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध है; सीमाएँ योग, गुणनफल और भागफल (अशून्य हर) का पालन करती हैं; सैंडविच प्रमेय लागू होता है।

एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय (monotone convergence theorem): एकदिष्ट अनुक्रम अभिसारी है यदि और केवल यदि परिबद्ध हो; ऊपर से परिबद्ध वर्धमान अनुक्रम अपने उच्चक की ओर अभिसरित होता है।

भाव: ऊपर से परिबद्ध वर्धमान अनुक्रम के पास अपने उच्चक तक जाने के सिवा कोई रास्ता नहीं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2 में सिद्ध)। ℚ में यह विफल है: 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... वर्धमान और परिबद्ध है, पर इसकी सीमा √2 परिमेय नहीं है।

बोल्ज़ानो–वायरस्ट्रास प्रमेय: प्रत्येक परिबद्ध वास्तविक अनुक्रम का एक अभिसारी उपानुक्रम होता है।

भाव: अनुक्रम को समाहित करने वाले अंतराल को समद्विभाजित कीजिए; कोई एक अर्ध सदा अनंत पद रखता है। नीड़ित अर्ध एक बिंदु तक सिकुड़ते हैं, और प्रत्येक अर्ध से एक पद चुनने पर उस बिंदु की ओर अभिसारी उपानुक्रम मिलता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 3)। परिबद्धता आवश्यक है: a_n = n का कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं।

मानक सीमाएँ: n^1/n → 1; a^1/n → 1 (a > 0); (1 + 1/n)ⁿ → e; |a| < 1 के लिए aⁿ → 0; a > 1 के लिए n^k/aⁿ → 0।

कॉशी का प्रथम प्रमेय: यदि a_n → l तो (a₁ + a₂ + ... + a_n)/n → l।

भाव: औसत लेना अभिसरण को नष्ट नहीं कर सकता, पर दोलन को ठीक कर सकता है: (−1)ⁿ अपसारी है जबकि इसके औसत 0 की ओर जाते हैं। अतः कौशी के प्रथम प्रमेय का विलोम असत्य है। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5 में है।

कॉशी का द्वितीय प्रमेय: यदि a_n > 0 और a_n → l तो (a₁a₂...a_n)^1/n → l। फलतः यदि a_n > 0 और a_n+1/a_n → l तो a_n^1/n → l।

उपरि और निम्न सीमाएँ: परिबद्ध अनुक्रम अभिसारी है यदि और केवल यदि lim sup a_n = lim inf a_n, और तब सीमा यही उभयनिष्ठ मान है।

उपपत्तियों में प्रयुक्त परिभाषा: lim sup a_n = lim_n→∞ sup_k≥n a_k, पुच्छ उच्चकों के ह्रासमान अनुक्रम की सीमा, और lim inf a_n = lim_n→∞ inf_k≥n a_k। a_n = (−1)ⁿ(1 + 1/n) के लिए lim sup = 1 और lim inf = −1, अतः अनुक्रम अपसारी है।

7. कॉशी अनुक्रम और पूर्णता

कॉशी अनुक्रम (Cauchy sequence): प्रत्येक ε > 0 के लिए N ऐसा हो कि सभी m, n ≥ N के लिए |a_m − a_n| < ε।

भाव: पद एक-दूसरे के निकट आ जाते हैं, और परिभाषा में सीमा का उल्लेख ही नहीं है। यही इसकी शक्ति है: सीमा अज्ञात होने पर भी अभिसरण सिद्ध किया जा सकता है। यहीं पूर्णता प्रवेश करती है, क्योंकि √2 के दशमलव सन्निकटन ℚ में कौशी हैं पर ℚ में उनकी कोई सीमा नहीं।

a_n+1 − a_n → 0 के समान नहीं: √n और H_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n के क्रमागत अंतर 0 की ओर जाते हैं पर वे अपसारी हैं; कौशी शर्त सभी m, n ≥ N के लिए |a_m − a_n| को नियंत्रित करती है, केवल m = n + 1 के लिए नहीं।

परिणाम: प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कॉशी है; प्रत्येक कॉशी अनुक्रम परिबद्ध है; अभिसारी उपानुक्रम वाला कॉशी अनुक्रम अभिसारी है।

कॉशी का व्यापक सिद्धांत (ℝ की पूर्णता): वास्तविक अनुक्रम अभिसारी है यदि और केवल यदि वह कॉशी अनुक्रम हो।

संकुचक अनुक्रम (contractive sequence): यदि 0 < k < 1 के साथ सभी n के लिए |a_n+2 − a_n+1| ≤ k|a_n+1 − a_n|, तो (a_n) कॉशी है और अतः अभिसारी है।

यह क्यों काम करता है: |a_n+1 − a_n| ≤ kⁿ⁻¹|a₂ − a₁|, अतः m > n के लिए |a_m − a_n| ≤ (kⁿ⁻¹ + ... + k^m−2)|a₂ − a₁| ≤ kⁿ⁻¹|a₂ − a₁|/(1 − k) → 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 17)। यही परिबंध त्रुटि |l − a_n| का भी आकलन देता है।

पूर्णता के तुल्य रूप: LUB गुणधर्म ⇔ एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय ⇔ बोल्ज़ानो–वायरस्ट्रास ⇔ (कॉशी कसौटी और आर्किमिडीज गुणधर्म एक साथ)।

उदाहरण 1: दिखाइए कि H_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n कॉशी अनुक्रम नहीं है।

प्रत्येक n के लिए H_2n − H_n = 1/(n + 1) + ... + 1/(2n) ≥ n·1/(2n) = 1/2, अतः ε = 1/2 के लिए कॉशी शर्त विफल है, और H_n अपसारी है।

उदाहरण 2: मान लीजिए a₁ = √2 और a_n+1 = √(2 + a_n)। दिखाइए कि (a_n) अभिसारी है और सीमा ज्ञात कीजिए।

आगमन से a_n < 2: n = 1 के लिए सत्य, और a_n < 2 ⇒ a_n+1 < √4 = 2। यह वर्धमान है, क्योंकि a_n+1² − a_n² = (2 − a_n)(1 + a_n) > 0। एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से a_n → l जहाँ l = √(2 + l), अतः l² − l − 2 = 0 और l = 2 (l > 0)।

उदाहरण 3: lim (n!)^1/n/n ज्ञात कीजिए।

a_n = n!/nⁿ रखिए। तब a_n+1/a_n = (n/(n + 1))ⁿ = 1/(1 + 1/n)ⁿ → 1/e। कॉशी के द्वितीय प्रमेय से a_n^1/n = (n!)^1/n/n → 1/e।

8. व्युत्पत्ति: ℚ और अपरिमेयों का घनत्व

मान लीजिए a < b। आर्किमिडीज़ गुण से n ∈ ℕ ऐसा चुनिए कि n(b − a) > 1। m = [na] + 1 लीजिए, तब na < m ≤ na + 1 < nb। n से भाग देने पर a < m/n < b: किन्हीं दो वास्तविकों के बीच एक परिमेय है।

इसे a/√2 < b/√2 पर लगाने से एक परिमेय r ≠ 0 मिलता है जिसके लिए a/√2 < r < b/√2 (यदि पहला चयन r = 0 हो, तो इसे (0, b/√2) पर पुनः लगाइए), अतः a < r√2 < b और r√2 अपरिमेय है। अतः प्रत्येक अंतराल में परिमेय और अपरिमेय दोनों हैं।

उपयोग: घनत्व के कारण ही डिरिक्ले फलन सर्वत्र असंतत और असमाकलनीय है (सांतत्य और रीमान समाकल प्रकरण)।

9. व्युत्पत्ति: (1 + 1/n)ⁿ अभिसारी है

द्विपद प्रमेय से a_n = (1 + 1/n)ⁿ = ∑_k=0ⁿ (1/k!)(1 − 1/n)(1 − 2/n)···(1 − (k − 1)/n)।

वर्धमान: n बढ़ने पर प्रत्येक कोष्ठक (1 − j/n) बढ़ता है और एक नया धनात्मक पद जुड़ता है, अतः a_n < a_n+1।

परिबद्ध: प्रत्येक कोष्ठक अधिकतम 1 है और k! ≥ 2^k−1, अतः a_n ≤ 1 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ⁻¹ < 3।

एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से सीमा अस्तित्व में है; इसे e कहते हैं, और 2 < e ≤ 3 (वास्तव में e = 2.71828...)।

10. व्युत्पत्ति: अनुक्रमों के लिए अनुपात कसौटी

दावा: यदि a_n > 0 और a_n+1/a_n → l < 1, तो a_n → 0।

उपपत्ति: r ऐसा चुनिए कि l < r < 1। n ≥ N के लिए a_n+1 ≤ ra_n, अतः a_n ≤ a_Nr^n−N → 0। इसी प्रकार, यदि l > 1 तो a_n → ∞।

उपयोग: a_n = n^k/aⁿ (a > 1) के लिए a_n+1/a_n = (1 + 1/n)^k/a → 1/a < 1, अतः n^k/aⁿ → 0; a_n = xⁿ/n! के लिए अनुपात |x|/(n + 1) → 0, अतः प्रत्येक x के लिए xⁿ/n! → 0।

11. विधि का चयन

यदि सीमा ज्ञात नहीं है और केवल अभिसरण पूछा गया है → कौशी कसौटी, या एकदिष्ट और परिबद्ध।

यदि दो उपानुक्रमों की सीमाएँ भिन्न हों → अनुक्रम अपसारी है; दोलनशील अनुक्रमों के अपसरण की यह सबसे तेज़ उपपत्ति है।

यदि किसी समुच्चय का sup या inf पूछा जाए → मान का अनुमान लगाइए, सिद्ध कीजिए कि वह परिबंध है, फिर ε-सन्निकटन सिद्ध कीजिए (या समुच्चय में उसकी ओर जाने वाला अनुक्रम खोजिए); अंत में बताइए कि वह प्राप्त होता है या नहीं।

12. सामान्य गलतियाँ

अभिसरण सिद्ध करने से पहले l = g(l) हल करना: a₁ = 1, a_n+1 = 2a_n के लिए समीकरण l = 2l से l = 0 मिलता है, फिर भी a_n = 2ⁿ⁻¹ → ∞। पहले अभिसरण सिद्ध कीजिए, फिर सीमा ज्ञात कीजिए।

N को n पर निर्भर करना: N, ε (और अनुक्रम) पर निर्भर हो सकता है, सूचकांक n पर कभी नहीं।

परिबद्ध को अभिसारी, या कौशी को a_n+1 − a_n → 0 समझना: (−1)ⁿ परिबद्ध है पर अपसारी; √n के अंतर 0 की ओर जाते हैं पर यह अपरिबद्ध है।

sup S ∈ S मान लेना: स्पष्ट बताइए कि उच्चक प्राप्त होता है (अधिकतम) या नहीं।

अनस्तित्व सीमाओं को बाँटना: lim a_nb_n = lim a_n·lim b_n के लिए दोनों सीमाओं का अस्तित्व चाहिए; a_n = 1/n, b_n = n के लिए गुणनफल 1 की ओर जाता है यद्यपि lim b_n अस्तित्व में नहीं है।

धनात्मकता के बिना कौशी का द्वितीय प्रमेय लगाना: इसके लिए a_n > 0 चाहिए; n-वाँ मूल लेने से पहले इसे जाँचिए।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: पूर्णता, बोल्ज़ानो–वायरस्ट्रास के माध्यम से, चरम मान प्रमेय और हाइने–कैंटर प्रमेय (सांतत्य प्रकरण) देती है, और इसलिए संतत फलनों की समाकलनीयता (रीमान समाकल प्रकरण)।

संबंध: संकुचन आकलन संख्यात्मक विश्लेषण में स्थिर-बिंदु पुनरावृत्ति x_n+1 = g(x_n) का अभिसरण सिद्धांत है: यदि g किसी अंतराल को स्वयं में ले जाए और वहाँ |g′| ≤ k < 1, तो पुनरावृत्त एक संकुचक अनुक्रम बनाते हैं।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: S = {1/m + 1/n : m, n ∈ ℕ} के लिए sup S और inf S ज्ञात कीजिए, और बताइए कि क्या वे प्राप्त होते हैं।

प्रत्येक अवयव अधिकतम 1 + 1 = 2 है, और 2 ∈ S (m = n = 1)। अतः sup S = max S = 2।

प्रत्येक अवयव धनात्मक है, अतः 0 निम्न परिबंध है। ε > 0 दिया हो तो n > 2/ε चुनिए (आर्किमिडीय गुणधर्म); तब 1/n + 1/n < ε, अतः ε निम्न परिबंध नहीं है।

अतः inf S = 0, और यह प्राप्त नहीं होता क्योंकि 1/m + 1/n > 0।

उदाहरण 5: सिद्ध कीजिए कि lim_n→∞ n^1/n = 1।

n ≥ 2 के लिए n^1/n = 1 + h_n लिखिए, जहाँ h_n ≥ 0।

द्विपद प्रमेय से n = (1 + h_n)ⁿ ≥ (n(n − 1)/2)h_n², अतः h_n² ≤ 2/(n − 1)।

अतः 0 ≤ h_n ≤ √(2/(n − 1)) → 0, और सैंडविच प्रमेय से n^1/n → 1।

उदाहरण 6: मान लीजिए a₁ = 1 और a_n+1 = 1/(1 + a_n)। दिखाइए कि (a_n) अभिसारी है और इसकी सीमा ज्ञात कीजिए।

आगमन से सभी n के लिए 1/2 ≤ a_n ≤ 1: n = 1 के लिए सत्य, और यदि a_n के लिए सत्य है तो a_n+1 = 1/(1 + a_n) ∈ [1/2, 2/3]।

|a_n+2 − a_n+1| = |a_n+1 − a_n|/((1 + a_n)(1 + a_n+1)) ≤ (4/9)|a_n+1 − a_n|, क्योंकि हर का प्रत्येक गुणनखंड कम से कम 3/2 है।

अतः (a_n), k = 4/9 के साथ संकुचक है, अतः कॉशी है, अतः अभिसारी है (अनुक्रम स्वयं एकदिष्ट नहीं है: 1, 1/2, 2/3, 3/5, ...)।

सीमा l ≥ 1/2, l = 1/(1 + l) को संतुष्ट करती है, अर्थात l² + l − 1 = 0, अतः l = (√5 − 1)/2।

15. ℝ की संस्थिति, उपानुक्रम और पुनरावर्ती अनुक्रम

प्रतिवेश, विवृत और संवृत समुच्चय: c का प्रतिवेश (neighbourhood) वह समुच्चय है जिसमें कोई अंतराल (c − δ, c + δ) हो। G विवृत (open) है यदि वह अपने प्रत्येक बिंदु का प्रतिवेश हो, और F संवृत (closed) है यदि उसका पूरक विवृत हो।

भाव: विवृत समुच्चय (open set) के प्रत्येक बिंदु के चारों ओर जगह होती है; संवृत समुच्चय (closed set) उन सभी बिंदुओं को रखता है जिन तक उसमें से पहुँचा जा सकता है। (0, 1) विवृत है, [0, 1] संवृत है, और [0, 1) दोनों में से कोई नहीं, क्योंकि 0 के पास जगह नहीं और 1 तक पहुँचा जाता है पर वह अनुपस्थित है।

सीमा बिंदु (limit point): c, S का सीमा बिंदु है यदि c के प्रत्येक प्रतिवेश में c से भिन्न S का कोई बिंदु हो। S संवृत है यदि और केवल यदि उसमें उसके सभी सीमा बिंदु हों; S का संवरक S और उसके सीमा बिंदुओं का सम्मिलन है।

समुच्चयों के लिए बोलज़ानो–वायरस्ट्रास प्रमेय: ℝ के प्रत्येक परिबद्ध अनंत उपसमुच्चय का ℝ में कम से कम एक सीमा बिंदु है। उदाहरणतः {1/n : n ∈ ℕ} का एकमात्र सीमा बिंदु 0 है, जबकि अपरिबद्ध समुच्चय ℕ का कोई सीमा बिंदु नहीं है।

तथ्य: विवृत समुच्चयों के यादृच्छिक सम्मिलन और परिमित सर्वनिष्ठ विवृत होते हैं; ℚ न विवृत है न संवृत; ∅ और ℝ ही ℝ के ऐसे उपसमुच्चय हैं जो विवृत और संवृत दोनों हैं।

उपानुक्रम (subsequences): यदि a_n → l, तो प्रत्येक उपानुक्रम l की ओर अभिसरित होता है। संख्या l, (a_n) का सीमा बिंदु (गुच्छ बिंदु) है यदि कोई उपानुक्रम l की ओर जाए; परिबद्ध अनुक्रम के लिए lim sup a_n और lim inf a_n ऐसे सबसे बड़े और सबसे छोटे बिंदु हैं।

परिसर का sup और inf: यदि f किसी अंतराल पर एकदिष्ट है, तो f का उच्चक और निम्नक अंत्य बिंदुओं पर उसके मान या एकपक्षीय सीमाएँ हैं; एकदिष्टता f′ के चिह्न से तय कीजिए, और बताइए कि प्रत्येक परिबंध प्राप्त होता है या नहीं।

पुनरावर्ती अनुक्रम a_n+1 = g(a_n): (1) दिखाइए कि पद ऐसे अंतराल I में रहते हैं जिसके लिए g(I) ⊆ I; (2) एकदिष्टता दिखाइए (यदि g, I पर वर्धमान है, तो अनुक्रम a₂ − a₁ की दिशा में चलता है); (3) एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय लगाइए और l = g(l) हल कीजिए। यदि g ह्रासमान है, तो संकुचन आकलन (contraction estimate) का प्रयोग कीजिए।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2016, 10 अंक): दो अनुक्रम {x_n} तथा {y_n} निम्न द्वारा आगमनतः परिभाषित होते हैं :
x₁ = 1/2, y₁ = 1 तथा x_n = √(x_n−1 y_n−1), n = 2, 3, 4, ...
1/y_n = (1/2)(1/x_n + 1/y_n−1), n = 2, 3, 4, ...
सिद्ध कीजिए कि
x_n−1 < x_n < y_n < y_n−1, n = 2, 3, 4, ...
तथा निगमन कीजिए कि दोनों अनुक्रम एक ही सीमान्त (limit) l पर अभिसरित होते हैं, जहाँ 1/2 < l < 1 है।

दावा: यदि 0 < x_n−1 < y_n−1, तो x_n−1 < x_n < y_n < y_n−1। पहले, x_n = √(x_n−1y_n−1) दो असमान धनात्मक संख्याओं का गुणोत्तर माध्य है, अतः x_n−1 < x_n < y_n−1।

y_n, x_n और y_n−1 का हरात्मक माध्य है: y_n = 2x_ny_n−1/(x_n + y_n−1)। अतः y_n − x_n = x_n(y_n−1 − x_n)/(x_n + y_n−1) > 0 और y_n−1 − y_n = y_n−1(y_n−1 − x_n)/(x_n + y_n−1) > 0।

चूँकि x₁ = 1/2 < 1 = y₁, आगमन से सभी n ≥ 2 के लिए x_n−1 < x_n < y_n < y_n−1।

अतः (x_n) वर्धमान है और y₁ = 1 द्वारा ऊपर से परिबद्ध है, तथा (y_n) ह्रासमान है और x₁ = 1/2 द्वारा नीचे से परिबद्ध है। एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से x_n → l और y_n → m।

x_n = √(x_n−1y_n−1) में n → ∞ करने पर l = √(lm), अतः l² = lm, और चूँकि l ≥ 1/2 > 0, l = m।

अंततः x₂ ≤ l ≤ y₂, जहाँ x₂ = 1/√2 > 1/2 और y₂ < y₁ = 1, अतः 1/2 < l < 1। (संख्यात्मक रूप से l = π/4 ≈ 0.785: यह π के लिए आर्किमिडीज़ की बहुभुज योजना है।)

उत्तर: n ≥ 2 के लिए x_n−1 < x_n < y_n < y_n−1, और दोनों अनुक्रम एक ही सीमा l की ओर अभिसरित होते हैं, जहाँ 1/2 < l < 1।

उदाहरण 8 (UPSC 2017, 10 अंक): x/sin x का अन्तराल (0, π/2] पर उच्चक और निम्नक मान ज्ञात कीजिए।

(0, π/2] पर f(x) = x/sin x लीजिए। तब f′(x) = (sin x − x cos x)/sin²x, जो x < π/2 के लिए cos x(tan x − x)/sin²x के बराबर है, और f′(π/2) = 1।

0 < x < π/2 के लिए tan x > x (g(x) = tan x − x के लिए g(0) = 0 और g′(x) = sec²x − 1 > 0), अतः f′ > 0 और f, (0, π/2] पर निरंतर वर्धमान है।

अतः sup f = max f = f(π/2) = π/2।

inf f = lim_x→0+ x/sin x = 1, और यह प्राप्त नहीं होता, क्योंकि f निरंतर वर्धमान है, अतः (0, π/2] के प्रत्येक x के लिए f(x) > 1।

उत्तर: sup = π/2 (x = π/2 पर प्राप्त) और inf = 1 (प्राप्त नहीं)।

उदाहरण 9 (UPSC 2024, 15 अंक): कौशी के अभिसरण के व्यापक (जनरल) सिद्धांत का उपयोग करते हुए, अनुक्रम ⟨f_n⟩ के अभिसरण की जाँच कीजिए, जहाँ f_n = 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n!.

कॉशी का व्यापक सिद्धांत: (f_n) अभिसारी है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए N ऐसा हो कि सभी m > n ≥ N के लिए |f_m − f_n| < ε।

m > n के लिए |f_m − f_n| = 1/(n + 1)! + 1/(n + 2)! + ⋯ + 1/m!।

चूँकि k ≥ 1 के लिए k! ≥ 2^k−1, यह अधिकतम 1/2ⁿ + 1/2ⁿ⁺¹ + ⋯ + 1/2^m−1 < 1/2ⁿ⁻¹ है।

ε > 0 दिया हो तो N ऐसा चुनिए कि 1/2^N−1 < ε; तब सभी m > n ≥ N के लिए |f_m − f_n| < ε, अतः (f_n) कॉशी अनुक्रम है।

ℝ की पूर्णता (कॉशी का व्यापक सिद्धांत) से अनुक्रम अभिसारी है; इसकी सीमा e है, जहाँ 2 < e < 3।

उत्तर: ⟨f_n⟩ कॉशी प्रतिबंध को संतुष्ट करता है और इसलिए (e की ओर) अभिसारी है।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): S = {(−1)ⁿ/n : n ∈ ℕ} के लिए sup S और inf S ज्ञात कीजिए, और बताइए कि प्रत्येक प्राप्त होता है या नहीं।

उत्तर: अवयव −1, 1/2, −1/3, 1/4, ... हैं; sup S = 1/2 (n = 2 पर प्राप्त) और inf S = −1 (n = 1 पर प्राप्त)।

अभ्यास 2 (मूल): ε–N परिभाषा से सिद्ध कीजिए कि (3n − 1)/(n + 4) → 3।

उत्तर: |a_n − 3| = 13/(n + 4) < ε जब n > 13/ε − 4; N = [13/ε] + 1 काम करता है।

अभ्यास 3 (मूल): क्या a_n = (−1)ⁿ + 1/n अभिसारी है? lim sup a_n और lim inf a_n ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सम पद 1 की ओर और विषम पद −1 की ओर जाते हैं, अतः यह अपसारी है; lim sup = 1, lim inf = −1।

अभ्यास 4 (मानक): मान लें a₁ = 1 और a_n+1 = √(3 + 2a_n)। सिद्ध कीजिए कि (a_n) अभिसारी है और इसकी सीमा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आगमन से a_n < 3 और a_n+1² − a_n² = (3 − a_n)(1 + a_n) > 0, अतः यह वर्धमान और परिबद्ध है; l² = 3 + 2l से l = 3।

अभ्यास 5 (मानक): lim_n→∞ (nⁿ/n!)^1/n ज्ञात कीजिए।

उत्तर: b_n = nⁿ/n! लेने पर b_n+1/b_n = (1 + 1/n)ⁿ → e, अतः कॉशी के द्वितीय प्रमेय से सीमा e है।

अभ्यास 6 (मानक): परिभाषा से सीधे दिखाइए कि s_n = ∑_k=1ⁿ 1/k² एक कॉशी अनुक्रम है।

उत्तर: m > n के लिए s_m − s_n ≤ ∑_k=n+1^m (1/(k − 1) − 1/k) < 1/n; N > 1/ε लें।

अभ्यास 7 (मानक): lim_n→∞ (1 + 2^1/2 + 3^1/3 + ... + n^1/n)/n का मान निकालिए।

उत्तर: 1, कॉशी के प्रथम प्रमेय से, क्योंकि n^1/n → 1।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): मान लें a₁ = 2 और a_n+1 = 2 + 1/a_n। दिखाइए कि (a_n) एकदिष्ट नहीं है परंतु अभिसारी है, और इसकी सीमा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पद 2, 2.5, 2.4, 2.4167, ... एकांतर क्रम में हैं; a_n ≥ 2 से |a_n+2 − a_n+1| = |a_n+1 − a_n|/(a_na_n+1) ≤ (1/4)|a_n+1 − a_n|, अतः यह संकुचक है; l = 2 + 1/l से l = 1 + √2।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि b_n = (1 + 1/n)ⁿ⁺¹ ह्रासमान है, और इसकी सीमा निकालिए।

उत्तर: बर्नूली असमिका से b_n−1/b_n = (1 + 1/(n² − 1))ⁿ·n/(n + 1) ≥ (1 + n/(n² − 1))·n/(n + 1) = (n³ + n² − n)/(n³ + n² − n − 1) > 1; b_n = (1 + 1/n)ⁿ(1 + 1/n) → e।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि x_n = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) अभिसारी है, और इसकी सीमा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x_n+1 − x_n = 1/(2n + 1) − 1/(2n + 2) > 0 और x_n < n·1/(n + 1) < 1, अतः यह अभिसारी है; [0, 1] पर 1/(1 + x) के रीमान योग के रूप में सीमा log 2 है।

1. आंशिक योगों और ∑a_n के अर्थ को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम अनंत संख्याओं को एक-एक करके नहीं जोड़ सकते। फिर भी 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... को 1 के बराबर होना चाहिए, और 1 + 1 + 1 + ... को 'अनंत'। हमें ऐसी परिभाषा चाहिए जो अंतहीन योग को परखने योग्य वस्तु में बदल दे।

शब्दों में: n-वाँ आंशिक योग (partial sum) S_n = a₁ + ... + a_n एक साधारण परिमित योग है। 'श्रेणी S की ओर अभिसारी है' का अर्थ है कि अनुक्रम S₁, S₂, S₃, ... S की ओर अभिसारी है। 'अपसारी' का अर्थ है कि इस अनुक्रम की कोई परिमित सीमा नहीं।

अतः सदा दो अनुक्रम सामने होते हैं: पद (a_n) और आंशिक योग (S_n)। इन्हें भ्रमित न करें: a_n → 0 पदों के विषय में कथन है; अभिसरण आंशिक योगों के विषय में कथन है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∑_n=1^∞ 1/(n(n + 1)) का योग ज्ञात कीजिए।

चरण 1 (आंशिक भिन्न): 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1)।

चरण 2 (S_n लिखें): S_n = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ... + (1/n − 1/(n + 1))।

चरण 3 (निरसन): बीच का प्रत्येक पद अपने पड़ोसी से कट जाता है, और S_n = 1 − 1/(n + 1) शेष रहता है।

चरण 4 (सीमा लें): S_n → 1, अतः श्रेणी अभिसारी है और उसका योग 1 है। ध्यान दें कि हमने आंशिक योगों की सीमा निकाली, पदों की नहीं (पद 0 की ओर जाते हैं)।

अ-उदाहरण (non-example): हरात्मक श्रेणी ∑1/n के पद 0 की ओर जाते हैं, परंतु समूहन S_2^k = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + ... + 1/8) + ... ≥ 1 + k/2 दिखाता है कि आंशिक योग अपरिबद्ध हैं। शर्त 'a_n → 0' आवश्यक है परंतु पर्याप्त नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) चूँकि a_n = S_n − S_n−1, अभिसरण से a_n → 0 अनिवार्य है। (2) (S_n) पर कॉशी सिद्धांत लगाने से कॉशी कसौटी मिलती है: खंड a_n+1 + ... + a_m छोटे होने चाहिए।

(3) यदि प्रत्येक a_n ≥ 0, तो (S_n) वर्धमान है, अतः एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से श्रेणी अभिसारी है यदि और केवल यदि आंशिक योग परिबद्ध हों। धनात्मक श्रेणियों का प्रत्येक परीक्षण इसी परिबंध को सिद्ध या असिद्ध करने का एक चतुर उपाय है।

कहाँ प्रयोग होता है: दूरदर्शी योग UPSC के योग-प्रश्नों में और संवृत रूप S_n(x) वाली श्रेणियों के एकसमान अभिसरण में आते हैं; n-वें पद का परीक्षण अपसरण की सबसे तेज़ उपपत्ति है।

2. ज्ञात श्रेणियों से तुलना को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अधिकांश श्रेणियों का योग संवृत रूप में नहीं निकाला जा सकता, उदाहरणतः ∑(n + 1)/(n³ + 2)। हम अभिसरण का निर्णय ऐसी श्रेणी से तुलना करके करते हैं जिसका व्यवहार पहले से ज्ञात है: ज्यामितीय श्रेणी और p-श्रेणी ∑1/n^p।

शब्दों में: तुलना परीक्षण (comparison test): यदि 0 ≤ a_n ≤ b_n (किसी n से आगे) और बड़ी श्रेणी ∑b_n अभिसारी है, तो छोटी अभिसारी है; यदि छोटी अपसारी है, तो बड़ी अपसारी है।

सीमा रूप: यदि a_n, b_n > 0 और a_n/b_n → l जहाँ 0 < l < ∞, तो अंततः (l/2)b_n < a_n < 2lb_n, अतः दोनों श्रेणियाँ एक-सा व्यवहार करती हैं। p-श्रेणी नियम: ∑1/n^p अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∑(n + 1)/(n³ + 2) का परीक्षण कीजिए।

चरण 1 (धनात्मक पद): प्रत्येक पद धनात्मक है, अतः तुलना परीक्षण प्रयोग किए जा सकते हैं।

चरण 2 (अग्रणी पद): बड़े n के लिए अंश n की तरह और हर n³ की तरह व्यवहार करता है, अतः a_n, n/n³ = 1/n² की तरह व्यवहार करता है। b_n = 1/n² चुनें।

चरण 3 (अनुपात): a_n/b_n = (n³ + n²)/(n³ + 2) = (1 + 1/n)/(1 + 2/n³) → 1, जो परिमित और शून्येतर है।

चरण 4 (निष्कर्ष): ∑1/n² अभिसारी है (p = 2 > 1), अतः सीमा तुलना परीक्षण से दी गई श्रेणी अभिसारी है।

अ-उदाहरण (non-example): ∑1/(n + 1) की ∑1/n² से तुलना करने पर a_n/b_n = n²/(n + 1) → ∞, जो 0 < l < ∞ के बाहर है, अतः सीमा रूप कुछ नहीं कहता। सही तुलना b_n = 1/n है (अनुपात → 1), और श्रेणी अपसारी है। तुलना-श्रेणी की घात सही होनी चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (1) तुलना आंशिक योगों की परिबद्धता से निकलती है: 0 ≤ a₁ + ... + a_n ≤ b₁ + ... + b_n ≤ ∑b_n। (2) p-श्रेणी नियम कॉशी के संघनन परीक्षण (नीचे व्युत्पत्ति 5) से निकलता है, जो ∑1/n^p की तुलना ज्यामितीय श्रेणी ∑(2^1−p)^k से करता है।

(3) n के परिमेय व्यंजकों के लिए घात p = (हर की घात) − (अंश की घात); √ वाले पदों में पहले परिमेयीकरण करें, और sin(1/n) या log(1 + 1/n) के लिए sin t ~ t, log(1 + t) ~ t का प्रयोग करें।

कहाँ प्रयोग होता है: किसी भी धनात्मक श्रेणी के लिए आज़माने वाला पहला परीक्षण; यह घात श्रेणियों में अनुपात परीक्षण द्वारा खुले छोड़े गए अंत्य बिंदुओं का भी निर्णय करता है।

3. अनुपात और मूल परीक्षणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: n!/nⁿ या n⁵/3ⁿ जैसे पदों की 1/n^p से सीधी तुलना कठिन है। यदि प्रत्येक पद पिछले पद का लगभग एक निश्चित भाग हो, तो श्रेणी ज्यामितीय श्रेणी की तरह व्यवहार करती है, और उसका निर्णय सरल है।

शब्दों में: अनुपात परीक्षण: l = lim a_n+1/a_n निकालें (पद धनात्मक)। l < 1: अभिसारी; l > 1: अपसारी; l = 1: कोई सूचना नहीं। मूल परीक्षण: यही, l = lim a_n^1/n के साथ।

संख्या l शेष भाग का 'प्रभावी सार्व अनुपात' है। जब l = 1, श्रेणी किसी ज्यामितीय श्रेणी जैसी नहीं होती, और सूक्ष्मतर p-श्रेणी परीक्षण (राबे, गाउस, लघुगणकीय) काम सँभालते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∑n⁵/3ⁿ का परीक्षण कीजिए।

चरण 1 (अनुपात बनाएँ): a_n+1/a_n = ((n + 1)⁵/3ⁿ⁺¹)·(3ⁿ/n⁵) = (1/3)(1 + 1/n)⁵।

चरण 2 (सीमा): (1 + 1/n)⁵ → 1, अतः l = 1/3।

चरण 3 (अर्थ): 1/3 और 1 के बीच r = 1/2 चुनें। किसी N से आगे प्रत्येक पद पिछले पद के आधे से कम है, अतः a_n ≤ a_N(1/2)^n−N।

चरण 4 (निष्कर्ष): दायाँ पक्ष अभिसारी ज्यामितीय श्रेणी है, अतः तुलना से ∑n⁵/3ⁿ अभिसारी है। बहुपद गुणक n⁵ घातांकीय 3ⁿ को नहीं हरा सकता।

अ-उदाहरण (non-example): ∑1/n और ∑1/n² के लिए अनुपात n/(n + 1) और n²/(n + 1)² दोनों 1 की ओर जाते हैं, फिर भी पहली अपसारी और दूसरी अभिसारी है। अतः l = 1 वास्तव में अनिर्णायक है; साथ ही 'प्रत्येक अनुपात 1 से कम है' पर्याप्त नहीं, क्योंकि n/(n + 1) < 1 सदा है।

आगे बढ़ते हुए: (1) अनुपात परीक्षण: l < r < 1 से a_n ≤ Crⁿ, और तुलना से काम पूरा होता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8)। (2) मूल परीक्षण: a_n^1/n < r से सीधे a_n < rⁿ।

(3) l > 1 के लिए पद अंततः बढ़ते हैं (या 1 से बड़े होते हैं), अतः a_n → 0 नहीं होता। (4) जब l = 1, राबे परीक्षण 1/n^p से तुलना करता है: n(a_n/a_n+1 − 1) → L, L > 1 पर अभिसारी, L < 1 पर अपसारी (नीचे व्युत्पत्ति 6)।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC श्रेणियों ∑(गुणनफल)·xⁿ में क्रमगुणित और घातें: अनुपात परीक्षण x का परिसर तय करता है, राबे या गाउस सीमा-मान का निर्णय करता है; यही परीक्षण घात श्रेणियों की अभिसरण त्रिज्या देते हैं।

4. निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब पद दोनों चिह्नों के हों, धनात्मक-पद परीक्षण सीधे लागू नहीं होते, और निरसन किसी श्रेणी को अभिसारी बना सकता है यद्यपि उसके परिमाणों का योग ∞ हो। हमें 'परिमाण से अभिसरण' को 'निरसन से अभिसरण' से अलग करना है।

शब्दों में: ∑a_n निरपेक्षतः अभिसारी (absolutely convergent) है यदि ∑|a_n| अभिसारी हो; तब ∑a_n स्वयं अभिसारी है। यह सप्रतिबंध अभिसारी (conditionally convergent) है यदि ∑a_n अभिसारी हो परंतु ∑|a_n| अपसारी।

लाइबनिट्ज़ परीक्षण सबसे सामान्य स्थिति सँभालता है: यदि u_n ≥ 0 घटते हुए 0 की ओर जाए, तो u₁ − u₂ + u₃ − ... अभिसारी है, और n पदों के बाद त्रुटि अधिकतम पहला छोड़ा गया पद u_n+1 है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∑(−1)ⁿ⁺¹/(2n − 1) = 1 − 1/3 + 1/5 − ... का वर्गीकरण कीजिए।

चरण 1 (पहले निरपेक्ष मान): ∑1/(2n − 1) की ∑1/n से तुलना करने पर अनुपात n/(2n − 1) → 1/2, परिमित और शून्येतर, अतः ∑|a_n| अपसारी है। श्रेणी निरपेक्षतः अभिसारी नहीं है।

चरण 2 (लाइबनिट्ज़ की शर्तें): u_n = 1/(2n − 1) > 0; u_n+1 = 1/(2n + 1) < u_n, अतः यह ह्रासमान है; और u_n → 0।

चरण 3 (निष्कर्ष): लाइबनिट्ज़ से श्रेणी अभिसारी है, अतः यह सप्रतिबंध अभिसारी है (इसका योग π/4 है)। 100 पदों के बाद रुकने पर त्रुटि u₁₀₁ = 1/201 से कम है।

अ-उदाहरण (non-example): ∑(−1)ⁿn/(n + 1) एकांतर है, परंतु u_n = n/(n + 1) → 1, 0 नहीं। लाइबनिट्ज़ की शर्त u_n → 0 विफल होती है, और वास्तव में श्रेणी अपसारी है क्योंकि इसके पद 0 की ओर नहीं जाते।

आगे बढ़ते हुए: (1) निरपेक्ष ⇒ साधारण अभिसरण: |a_n+1 + ... + a_m| ≤ |a_n+1| + ... + |a_m|, फिर कॉशी कसौटी (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6)। (2) लाइबनिट्ज़: सम आंशिक योग बढ़ते हैं, विषम घटते हैं, और वे एक-दूसरे में सिमट जाते हैं (प्रमेय 7)।

(3) क्रम केवल सप्रतिबंध अभिसरण में महत्त्व रखता है: निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणी का योग प्रत्येक क्रम में समान है, जबकि सप्रतिबंध अभिसारी वास्तविक श्रेणी को किसी भी योग तक पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, क्योंकि इसका धनात्मक भाग और ऋणात्मक भाग दोनों अपसारी हैं (रीमान, प्रमेय 18)।

कहाँ प्रयोग होता है: 'निरपेक्षतः या सप्रतिबंध अभिसारी?' प्रश्न; एकांतर श्रेणियों के लिए त्रुटि आकलन; पुनर्विन्यास सिद्धांत के प्रश्न; अंत्य बिंदु x = −R पर घात श्रेणियाँ।

5. मूल तथ्य

अभिसरण (convergence): ∑a_n, S की ओर अभिसरित होती है यदि आंशिक योग S_n = a₁ + ... + a_n, S की ओर अभिसरित हों।

भाव: श्रेणी (series) छिपे रूप में एक अनुक्रम है, आंशिक योगों का अनुक्रम, अतः अनुक्रमों के सभी प्रमेय लागू होते हैं। धनात्मक पदों के लिए आंशिक योग बढ़ते हैं, अतः ∑a_n अभिसारी है यदि और केवल यदि उसके आंशिक योग परिबद्ध हों; धनात्मक पदों का प्रत्येक परीक्षण उस परिबंध को सिद्ध करने का एक तरीका है।

आवश्यक शर्त: यदि ∑a_n अभिसारी है तो a_n → 0; हरात्मक श्रेणी ∑1/n दिखाती है कि यह पर्याप्त नहीं है।

यह क्यों काम करता है: a_n = S_n − S_n−1 → S − S = 0। अतः 'a_n, 0 की ओर नहीं जाता' तुरंत अपसरण सिद्ध करता है, पर 'a_n → 0' कुछ सिद्ध नहीं करता।

कॉशी कसौटी: ∑a_n अभिसारी है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए N ऐसा हो कि सभी m > n ≥ N के लिए |a_n+1 + ... + a_m| < ε।

मानक श्रेणियाँ: गुणोत्तर श्रेणी ∑rⁿ अभिसारी है यदि और केवल यदि |r| < 1; p-श्रेणी ∑1/n^p अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1।

क्यों (गुणोत्तर): r ≠ 1 के लिए S_n = 1 + r + ... + rⁿ⁻¹ = (1 − rⁿ)/(1 − r), जो 1/(1 − r) की ओर जाता है यदि और केवल यदि |r| < 1; |r| ≥ 1 के लिए पद 0 की ओर नहीं जाते। p-श्रेणी नीचे संघनन से व्युत्पन्न है।

6. धनात्मक पद श्रेणियों के परीक्षण

तुलना परीक्षण: यदि 0 ≤ a_n ≤ b_n और ∑b_n अभिसारी है, तो ∑a_n अभिसारी है। सीमा रूप: यदि 0 < l < ∞ के साथ a_n/b_n → l, तो दोनों श्रेणियाँ साथ-साथ अभिसारी या अपसारी होती हैं।

भाव: धनात्मक पदों के सभी परीक्षण तुलनाएँ हैं: अनुपात और मूल परीक्षण गुणोत्तर श्रेणी से तुलना करते हैं, जबकि राबे, गाउस और लघुगणकीय परीक्षण p-श्रेणी से। इसीलिए अनुपात और मूल परीक्षण ठीक तब विफल होते हैं जब श्रेणी 'गुणोत्तर से धीमी' हो, अर्थात् जब सीमा 1 हो।

डी'एलम्बर्ट अनुपात परीक्षण: यदि a_n+1/a_n → l, तो l < 1 पर श्रेणी अभिसारी और l > 1 पर अपसारी है; l = 1 पर परीक्षण विफल है।

भाव: यदि a_n+1/a_n → l < 1, तो पुच्छ लगभग l अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी जैसा व्यवहार करती है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8 में सिद्ध)। l = 1 पर परीक्षण मौन है: ∑1/n अपसारी है और ∑1/n² अभिसारी, फिर भी दोनों की अनुपात सीमा 1 है।

कॉशी मूल परीक्षण: यदि a_n^1/n → l, तो l < 1 पर श्रेणी अभिसारी और l > 1 पर अपसारी है; l = 1 पर यह विफल है।

यह क्यों काम करता है: यदि a_n^1/n → l < 1, तो r ऐसा चुनिए कि l < r < 1; तब n ≥ N के लिए a_n < rⁿ, और ∑rⁿ अभिसारी है। यदि l > 1, तो बड़े n के लिए a_n > 1, अतः a_n, 0 की ओर नहीं जाता।

मूल परीक्षण अनुपात से प्रबल है: जब भी a_n+1/a_n → l, तब a_n^1/n → l भी (कौशी का द्वितीय प्रमेय), पर विलोमतः नहीं। a_n = 2^−n+(−1)n के लिए अनुपात 1/8 और 2 के बीच बदलते हैं, जबकि a_n^1/n → 1/2, अतः मूल परीक्षण अभिसरण सिद्ध करता है।

राबे परीक्षण: यदि n(a_n/a_n+1 − 1) → l, तो l > 1 पर श्रेणी अभिसारी और l < 1 पर अपसारी है।

गॉस परीक्षण: यदि a_n/a_n+1 = 1 + μ/n + b_n/n^p, जहाँ p > 1 और (b_n) परिबद्ध, तो श्रेणी अभिसारी है यदि और केवल यदि μ > 1।

लघुगणकीय परीक्षण (logarithmic test): यदि n log(a_n/a_n+1) → l, तो l > 1 पर श्रेणी अभिसारी और l < 1 पर अपसारी है; यह तब सुविधाजनक है जब a_n में nⁿ या (1 + 1/n)ⁿ हो।

उपयोगी प्रसार: log(1 + 1/n)ⁿ = 1 − 1/(2n) + 1/(3n²) − ⋯, अतः e/(1 + 1/n)ⁿ = 1 + 1/(2n) + O(1/n²); स्टर्लिंग सूत्र n! ~ √(2πn) nⁿe⁻ⁿ है।

प्राचल x > 0 वाली श्रेणी: अनुपात या मूल परीक्षण किसी मान से कम x पर अभिसरण और अधिक पर अपसरण देता है; सीमांत मान का परीक्षण अलग से कीजिए (राबे, गॉस, लघुगणकीय परीक्षण या तुलना)।

कॉशी संघनन परीक्षण: यदि (a_n) धनात्मक और ह्रासमान है, तो ∑a_n और ∑2^ka_2^k साथ-साथ अभिसारी या अपसारी होती हैं; उदाहरणतः ∑1/(n(log n)^p) अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1।

समाकल परीक्षण (integral test): यदि f, [1, ∞) पर धनात्मक और ह्रासमान है, तो ∑f(n) और ∫₁^∞ f(x) dx साथ-साथ अभिसारी या अपसारी होते हैं।

प्रयोग का क्रम: पहले a_n → 0 देखिए, फिर p-श्रेणी से तुलना, फिर अनुपात या मूल; यदि अनुपात सीमा 1 हो, तो राबे, फिर गॉस या लघुगणकीय परीक्षण लगाइए।

7. एकांतर श्रेणी, निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण

लाइबनिट्ज परीक्षण: यदि (u_n) ह्रासमान है और u_n → 0, तो ∑(−1)ⁿ⁺¹u_n अभिसारी है, और |S − S_n| ≤ u_n+1।

भाव: आंशिक योग टेढ़े-मेढ़े चलते हैं: S₂ ≤ S₄ ≤ S₆ ≤ ... बढ़ते हैं, S₁ ≥ S₃ ≥ S₅ ≥ ... घटते हैं, और अंतर u_2n+1 → 0 दोनों को S तक दबा देता है, जो क्रमागत आंशिक योगों के बीच स्थित है (इसीलिए त्रुटि परिबंध)। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7 में है।

एकदिष्टता क्यों आवश्यक है: u_2k−1 = 1/k और u_2k = 1/k² लीजिए। तब u_n → 0, पर युग्मों से ∑(1/k − 1/k²) मिलता है, जो अपसारी है क्योंकि ∑1/k अपसारी है और ∑1/k² अभिसारी।

निरपेक्ष अभिसरण (absolute convergence): यदि ∑|a_n| अभिसारी है तो ∑a_n अभिसारी है। जो श्रेणी अभिसारी हो पर निरपेक्षतः नहीं, वह सप्रतिबंध अभिसारी (conditionally convergent) है, जैसे ∑(−1)ⁿ⁺¹/n = log 2।

भाव: निरपेक्ष अभिसरण केवल आकार से अभिसरण है, अतः यह चिह्नों या क्रम के किसी भी परिवर्तन में बना रहता है; सप्रतिबंध अभिसरण धनात्मक और ऋणात्मक पदों के बीच निरसन पर निर्भर है और नाज़ुक है। यह निहितार्थ मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6 में सिद्ध है।

डिरिक्ले परीक्षण: यदि ∑a_n के आंशिक योग परिबद्ध हैं और (b_n) एकदिष्ट रूप से 0 की ओर घटता है, तो ∑a_nb_n अभिसारी है; अतः ∑sin(nx)/n प्रत्येक वास्तविक x के लिए अभिसारी है।

आबेल परीक्षण: यदि ∑a_n अभिसारी है और (b_n) एकदिष्ट तथा परिबद्ध है, तो ∑a_nb_n अभिसारी है।

सम्मिश्र पद: ∑z_n अभिसारी है यदि और केवल यदि ∑Re z_n और ∑Im z_n दोनों अभिसारी हों; यदि ∑|z_n| अभिसारी है तो ∑z_n अभिसारी है; अनुपात और मूल परीक्षण |z_n| के साथ लागू होते हैं।

8. श्रेणी का पुनर्विन्यास

डिरिक्ले प्रमेय: यदि ∑a_n निरपेक्षतः अभिसारी है, तो उसका प्रत्येक पुनर्विन्यास (rearrangement) उसी योग की ओर निरपेक्षतः अभिसरित होता है।

रीमान पुनर्विन्यास प्रमेय: यदि वास्तविक श्रेणी ∑a_n सप्रतिबंध अभिसारी है, तो किसी भी वास्तविक α (या ±∞) के लिए ऐसा पुनर्विन्यास है जिसका योग α हो (या जो ±∞ की ओर अपसरित हो)।

भाव: सप्रतिबंध अभिसारी श्रेणी में केवल धनात्मक पदों और केवल ऋणात्मक पदों, दोनों के योग अनंत हैं। अतः धनात्मक पदों से किसी भी लक्ष्य α से ऊपर चढ़ा जा सकता है, ऋणात्मक पदों से नीचे गिरा जा सकता है, और यह दोहराया जा सकता है; चूँकि a_n → 0, अतिरेक 0 तक सिकुड़ते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 18)।

प्रसिद्ध उदाहरण: 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... = log 2, जबकि पुनर्विन्यास 1 + 1/3 − 1/2 + 1/5 + 1/7 − 1/4 + ... (दो धनात्मक पद, एक ऋणात्मक) का योग (3/2) log 2 है, और 1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + ... का योग (1/2) log 2 है।

कॉशी गुणनफल (मर्टेंस): यदि ∑a_n = A निरपेक्षतः अभिसारी है और ∑b_n = B अभिसारी है, तो कॉशी गुणनफल ∑c_n, c_n = a₀b_n + a₁b_n−1 + ... + a_nb₀, AB की ओर अभिसरित होता है।

उदाहरण 1: ∑a_n की जाँच कीजिए, जहाँ a_n = (1·3·5...(2n − 1))/(2·4·6...(2n)) · 1/(2n + 1)।

अनुपात a_n+1/a_n → 1, अतः राबे लगाइए। a_n/a_n+1 = (2n + 2)(2n + 3)/(2n + 1)², अतः n(a_n/a_n+1 − 1) = n(6n + 5)/(2n + 1)² → 6/4 = 3/2 > 1। श्रेणी अभिसारी है।

उदाहरण 2: ∑(−1)ⁿ⁺¹/√n की विवेचना कीजिए।

u_n = 1/√n घटते हुए 0 की ओर जाता है, अतः लाइबनिट्ज से श्रेणी अभिसारी है। परंतु ∑1/√n, p = 1/2 ≤ 1 वाली p-श्रेणी है, जो अपसारी है। अतः श्रेणी सप्रतिबंध अभिसारी है।

उदाहरण 3: किन x > 0 के लिए ∑xⁿ/n अभिसारी है?

a_n+1/a_n = nx/(n + 1) → x। यह x < 1 पर अभिसारी और x > 1 पर अपसारी है; x = 1 पर यह हरात्मक श्रेणी है, जो अपसारी है।

9. व्युत्पत्ति: कौशी संघनन परीक्षण और p-श्रेणी

ऊपरी परिबंध: मान लीजिए (a_n) धनात्मक और ह्रासमान है। समूहन से a₂ + a₃ ≤ 2a₂, a₄ + ... + a₇ ≤ 4a₄, इत्यादि, अतः S_2^k+1−1 ≤ ∑_j=0^k 2^ja_2^j।

निम्न परिबंध: a₃ + a₄ ≥ 2a₄, a₅ + ... + a₈ ≥ 4a₈, इत्यादि, अतः S_2^k ≥ (1/2)∑_j=1^k 2^ja_2^j। दोनों परिबंध दिखाते हैं कि ∑a_n और ∑2^ka_2^k साथ-साथ परिबद्ध हैं, अतः साथ-साथ अभिसारी हैं।

p-श्रेणी: a_n = 1/n^p (p > 0) के लिए 2^ka_2^k = (2^1−p)^k, एक गुणोत्तर श्रेणी जो अभिसारी है यदि और केवल यदि 2^1−p < 1, अर्थात् p > 1। p ≤ 0 के लिए पद 0 की ओर नहीं जाते।

10. व्युत्पत्ति: p-श्रेणी से राबे परीक्षण

अनुपात तुलना प्रमेयिका: यदि a_n, b_n > 0 और n ≥ N के लिए a_n+1/a_n ≤ b_n+1/b_n, तो N से आगे a_n/b_n ह्रासमान है, अतः a_n ≤ Cb_n; इसलिए ∑b_n अभिसारी ⇒ ∑a_n अभिसारी।

l > 1 के लिए अभिसरण: 1 < p < l वाला p और b_n = 1/n^p लीजिए। तब n(b_n/b_n+1 − 1) = n((1 + 1/n)^p − 1) → p < l, अतः बड़े n के लिए a_n/a_n+1 > b_n/b_n+1। व्युत्क्रम लेने पर प्रमेयिका की परिकल्पना मिलती है, और ∑1/n^p अभिसारी है।

l < 1 के लिए अपसरण: बड़े n के लिए n(a_n/a_n+1 − 1) < 1, अर्थात् a_n/a_n+1 < (n + 1)/n, अतः (n + 1)a_n+1 > na_n। इस प्रकार na_n ≥ c > 0 और a_n ≥ c/n, अतः हरात्मक श्रेणी से तुलना द्वारा ∑a_n अपसारी है।

11. व्युत्पत्ति: आबेल संकलन और डिरिक्ले परीक्षण

खंडशः संकलन: A_k = a₁ + ... + a_k लेकर ∑_k=n+1^m a_kb_k = A_mb_m − A_nb_n+1 + ∑_k=n+1^m−1 A_k(b_k − b_k+1), जो a_k = A_k − A_k−1 लिखकर और पुनः समूहन से मिलता है; यह खंडशः समाकलन का विविक्त रूप है।

डिरिक्ले परीक्षण: यदि |A_k| ≤ M और b_k घटते हुए 0 की ओर जाता है, तो दायाँ पक्ष निरपेक्ष मान में अधिकतम Mb_m + Mb_n+1 + M(b_n+1 − b_m) = 2Mb_n+1 है, जो 0 की ओर जाता है। कौशी कसौटी से ∑a_kb_k अभिसारी है।

परिबद्ध त्रिकोणमितीय योग: x ≠ 2kπ के लिए |sin x + sin 2x + ... + sin nx| ≤ 1/|sin(x/2)|, जो 2 sin(x/2) sin kx = cos((k − 1/2)x) − cos((k + 1/2)x) से मिलता है, और यह योग दूरदर्शी (telescoping) है। ∑sin(nx)/n और ∑cos(nx)/n के लिए यही परिबंध प्रयुक्त होता है।

12. विधि का चयन

यदि पदों के दोनों चिह्न हों → पहले ∑|a_n| जाँचिए; यदि वह अपसारी हो, तो लाइबनिज़ (एकांतर) या डिरिक्ले/आबेल लगाइए, और फिर 'सप्रतिबंध अभिसारी' लिखिए।

यदि श्रेणी में प्राचल x हो → x के परिसर के लिए अनुपात या मूल परीक्षण, फिर सीमांत मानों को किसी अन्य परीक्षण से अलग जाँचिए।

13. सामान्य गलतियाँ

a_n → 0 से अभिसरण निकालना: हरात्मक श्रेणी मानक प्रत्युदाहरण है।

अनुपात परीक्षण को 'a_n+1/a_n < 1 ⇒ अभिसरण' पढ़ना: ∑1/n के लिए अनुपात n/(n + 1) सदा 1 से कम है। अनुपात किसी निश्चित r < 1 से नीचे रहना चाहिए, जिसकी गारंटी l < 1 देता है।

ऋणात्मक पदों वाली श्रेणी पर धनात्मक-पद परीक्षण लगाना: तुलना, राबे और गाउस के लिए a_n ≥ 0 चाहिए; मिश्रित चिह्नों के लिए इन्हें |a_n| पर लगाइए।

लाइबनिज़ में 'ह्रासमान' जाँच छोड़ना: u_n+1 ≤ u_n दिखाइए (जैसे u(x) के अवकलज के चिह्न से), केवल u_n → 0 नहीं।

स्वतंत्र रूप से पुनः समूहन या पुनर्क्रमण: अभिसारी श्रेणी में कोष्ठक डाले जा सकते हैं, पर कोष्ठक हटाने या क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है: (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0, जबकि 1 − 1 + 1 − 1 + ... अपसारी है।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: घात श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या मूल और अनुपात परीक्षणों से आती है (एकसमान अभिसरण प्रकरण), और यही परीक्षण सम्मिश्र विश्लेषण में टेलर और लौरां श्रेणियों के अभिसरण क्षेत्र तय करते हैं।

संबंध: समाकल परीक्षण श्रेणियों को अनुचित समाकलों से जोड़ता है (रीमान समाकल प्रकरण): ∑1/n^p और ∫₁^∞ dx/x^p एक ही p के लिए अभिसारी हैं, और डिरिक्ले परीक्षण का यथार्थ समाकल अनुरूप है।

15. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: ∑(1 + 1/n)⁻ⁿ² के अभिसरण की जाँच कीजिए।

मूल परीक्षण लगाइए: a_n^1/n = (1 + 1/n)⁻ⁿ = 1/(1 + 1/n)ⁿ।

चूँकि (1 + 1/n)ⁿ → e, a_n^1/n → 1/e < 1।

अतः कॉशी मूल परीक्षण से श्रेणी अभिसारी है।

उदाहरण 5: ∑_n≥2 1/(n log n) और ∑_n≥2 1/(n(log n)²) की जाँच कीजिए।

दोनों पद धनात्मक और ह्रासमान हैं, अतः [2, ∞) पर समाकल परीक्षण लागू है।

∫₂^X dx/(x log x) = log(log X) − log(log 2) → ∞, अतः ∑1/(n log n) अपसारी है।

∫₂^X dx/(x(log x)²) = 1/log 2 − 1/log X → 1/log 2, अतः ∑1/(n(log n)²) अभिसारी है। (कॉशी संघनन परीक्षण भी यही देता है: यह इन्हें ∑1/(k log 2) और ∑1/(k²(log 2)²) में बदल देता है।)

उदाहरण 6: दिखाइए कि ∑cos(nx)/n प्रत्येक ऐसे x के लिए अभिसारी है जो 2π का गुणज नहीं है, और x = 2kπ पर अपसारी है।

x ≠ 2kπ के लिए sin(x/2) ≠ 0 और 2 sin(x/2)∑_k=1ⁿ cos kx = sin((n + 1/2)x) − sin(x/2), अतः प्रत्येक n के लिए |∑_k=1ⁿ cos kx| ≤ 1/|sin(x/2)|।

अतः ∑cos(nx) के आंशिक योग परिबद्ध हैं, और 1/n एकदिष्टतः घटते हुए 0 की ओर जाता है।

डिरिक्ले परीक्षण से ∑cos(nx)/n अभिसारी है। x = 2kπ पर प्रत्येक cos(nx) = 1 और श्रेणी अपसारी हरात्मक श्रेणी है।

उदाहरण 7: ∑a_n की जाँच कीजिए, जहाँ a_n = ((1·3·5...(2n − 1))/(2·4·6...(2n)))²।

a_n/a_n+1 = ((2n + 2)/(2n + 1))² → 1, अतः अनुपात परीक्षण विफल है; राबे से n(a_n/a_n+1 − 1) = n(4n + 3)/(2n + 1)² → 1, अतः राबे भी विफल है।

गॉस लगाइए: a_n/a_n+1 = (1 + 1/(2n + 1))² = 1 + 1/n + b_n/n², जहाँ b_n = n²[1/(2n + 1)² − 1/(n(2n + 1))] परिबद्ध है (यह −1/4 की ओर जाता है)।

यहाँ μ = 1, जो 1 से बड़ा नहीं है, अतः गॉस परीक्षण से श्रेणी अपसारी है।

उदाहरण 8: दिखाइए कि सम्मिश्र श्रेणी ∑_n=1^∞ iⁿ/n अभिसारी है, परंतु निरपेक्षतः नहीं।

सम n = 2k से वास्तविक भाग ∑(−1)^k/(2k) = −1/2 + 1/4 − 1/6 + ⋯ मिलता है, जो लाइबनिट्ज से अभिसारी है (−(1/2) log 2 की ओर)।

विषम n = 2k − 1 से काल्पनिक भाग ∑(−1)^k−1/(2k − 1) = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯ मिलता है, जो लाइबनिट्ज से अभिसारी है (π/4 की ओर)।

दोनों भाग अभिसारी हैं, अतः ∑iⁿ/n अभिसारी है (−(1/2) log 2 + iπ/4 की ओर); परंतु ∑|iⁿ/n| = ∑1/n अपसारी है, अतः अभिसरण सप्रतिबंध है।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2022, 15 अंक): श्रेणी x + 2²x²/2! + 3³x³/3! + 4⁴x⁴/4! + 5⁵x⁵/5! + ⋯ (x > 0) के अभिसरण या अपसरण का परीक्षण कीजिये।

a_n = nⁿxⁿ/n! > 0, और a_n+1/a_n = (n + 1)ⁿ⁺¹x/((n + 1)nⁿ) = (1 + 1/n)ⁿx → ex।

अनुपात परीक्षण से श्रेणी ex < 1, अर्थात 0 < x < 1/e के लिए अभिसारी और x > 1/e के लिए अपसारी है।

x = 1/e पर अनुपात 1 की ओर जाता है। log(1 + 1/n)ⁿ = 1 − 1/(2n) + 1/(3n²) − ⋯ से a_n/a_n+1 = e/(1 + 1/n)ⁿ = 1 + 1/(2n) + O(1/n²)।

अतः n(a_n/a_n+1 − 1) → 1/2 < 1, और राबे परीक्षण से श्रेणी अपसारी है (स्टर्लिंग सूत्र भी यही देता है: a_n ~ 1/√(2πn))।

उत्तर: 0 < x < 1/e के लिए अभिसारी और x ≥ 1/e के लिए अपसारी।

उदाहरण 10 (UPSC 2023, 10 अंक): श्रेणी ∑_n=1^∞ [1.3.5 … (2n − 1)]/[2.4.6 … (2n)] · x²ⁿ⁺¹/(2n + 1), x > 0 के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

a_n = (1·3···(2n − 1))/(2·4···(2n)) · x²ⁿ⁺¹/(2n + 1) लीजिए। तब a_n+1/a_n = ((2n + 1)/(2n + 2))·((2n + 1)/(2n + 3))·x² → x²।

अनुपात परीक्षण से श्रेणी 0 < x < 1 के लिए अभिसारी और x > 1 के लिए अपसारी है।

x = 1 पर a_n/a_n+1 = (2n + 2)(2n + 3)/(2n + 1)², अतः n(a_n/a_n+1 − 1) = n(6n + 5)/(2n + 1)² → 3/2 > 1, और राबे परीक्षण से श्रेणी अभिसारी है।

उत्तर: 0 < x ≤ 1 के लिए अभिसारी और x > 1 के लिए अपसारी (0 < x ≤ 1 के लिए योग sin⁻¹x − x है)।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): क्या ∑n/(2n + 1) अभिसारी है?

उत्तर: नहीं; इसके पद 1/2 ≠ 0 की ओर जाते हैं, अतः n-वें पद के परीक्षण से यह अपसारी है।

अभ्यास 2 (मूल): ∑_n=1^∞ 1/(n² + 3n + 2) का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1/((n + 1)(n + 2)) = 1/(n + 1) − 1/(n + 2) दूरदर्शी है, जिससे S_n = 1/2 − 1/(n + 2) → 1/2।

अभ्यास 3 (मूल): ∑_n=0^∞ (2/3)ⁿ का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अनुपात 2/3 < 1 वाली ज्यामितीय श्रेणी; योग 1/(1 − 2/3) = 3 है।

अभ्यास 4 (मानक): ∑(√(n + 1) − √n)/n का परीक्षण कीजिए।

उत्तर: पद 1/(n(√(n + 1) + √n)) है, जो 1/(2n^3/2) की तरह व्यवहार करता है; ∑1/n^3/2 से सीमा तुलना द्वारा अभिसारी।

अभ्यास 5 (मानक): ∑n!/nⁿ का परीक्षण कीजिए।

उत्तर: a_n+1/a_n = (n/(n + 1))ⁿ → 1/e < 1; अनुपात परीक्षण से अभिसारी।

अभ्यास 6 (मानक): ∑(n/(n + 1))ⁿ² का परीक्षण कीजिए।

उत्तर: a_n^1/n = 1/(1 + 1/n)ⁿ → 1/e < 1; मूल परीक्षण से अभिसारी।

अभ्यास 7 (मानक): किन x > 0 के लिए ∑xⁿ/n² अभिसारी है?

उत्तर: अनुपात x की ओर जाता है: x < 1 पर अभिसारी, x > 1 पर अपसारी, और x = 1 पर यह ∑1/n² है, अभिसारी; अतः ठीक 0 < x ≤ 1 के लिए।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): क्या ∑(−1)ⁿ⁺¹n/(n² + 1) निरपेक्षतः अभिसारी, सप्रतिबंध अभिसारी या अपसारी है?

उत्तर: सप्रतिबंध अभिसारी: u(x) = x/(x² + 1) के लिए x ≥ 1 पर u′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)² ≤ 0 और u_n → 0 (लाइबनिट्ज़), जबकि u_n/(1/n) → 1 से ∑u_n अपसारी है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): ∑_n≥1 (1·2·3···n)/(3·5·7···(2n + 1)) xⁿ, x > 0 का परीक्षण कीजिए।

उत्तर: a_n+1/a_n = (n + 1)x/(2n + 3) → x/2; x = 2 पर n(a_n/a_n+1 − 1) = n/(2n + 2) → 1/2 < 1 (राबे)। 0 < x < 2 के लिए अभिसारी, x ≥ 2 के लिए अपसारी।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): ∑1/n^1+1/n का परीक्षण कीजिए, और समझाइए कि अनुपात और मूल परीक्षण इसका निर्णय क्यों नहीं कर सकते।

उत्तर: दोनों सीमाएँ 1 के बराबर हैं; परंतु a_n/(1/n) = 1/n^1/n → 1, अतः हरात्मक श्रेणी से सीमा तुलना द्वारा यह अपसारी है।

1. ε–δ सांतत्य को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: 'कलम उठाए बिना खींचा गया आलेख' एक चित्र है, उपपत्ति नहीं। x sin(1/x) जैसे फलनों या ℚ और अपरिमेयों पर भिन्न परिभाषित फलनों के लिए चित्र विफल होता है, और हमें ऐसी परिभाषा चाहिए जिसे पंक्ति-दर-पंक्ति जाँचा जा सके।

शब्दों में: f, c पर संतत है यदि: प्रत्येक ε > 0 (आप f(x) को f(c) के कितना निकट चाहते हैं) के लिए कोई δ > 0 (x को c के कितना निकट होना चाहिए) हो कि प्रांत के प्रत्येक x के लिए जिसमें |x − c| < δ, |f(x) − f(c)| < ε हो।

समतुल्य रूप से, lim_x→c f(x) विद्यमान है और f(c) के बराबर है। तीन बातें होनी चाहिए: f(c) परिभाषित है, सीमा विद्यमान है, और दोनों बराबर हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: सिद्ध कीजिए कि f(x) = 3x + 1, c = 2 पर संतत है।

चरण 1 (अंतर लिखें): |f(x) − f(2)| = |3x + 1 − 7| = 3|x − 2|।

चरण 2 (क्या चाहिए): 3|x − 2| < ε, अर्थात |x − 2| < ε/3।

चरण 3 (δ चुनें): δ = ε/3। ε = 0.03 के लिए यह δ = 0.01 है: (1.99, 2.01) के प्रत्येक x के लिए f(x), (6.97, 7.03) में है।

चरण 4 (जाँच): |x − 2| < δ ⇒ |f(x) − 7| = 3|x − 2| < 3δ = ε। पूर्ण।

अरैखिक f के लिए पहले x को सीमित करें (मान लें |x − c| < 1) ताकि अतिरिक्त गुणक परिबद्ध हो, और δ को 1 तथा उस परिबंध से मिले δ का न्यूनतम लें, जैसे x² के लिए δ = min(1, ε/(2|c| + 1))।

अ-उदाहरण (non-example): f(x) = 1, x ≥ 0 के लिए और f(x) = 0, x < 0 के लिए, 0 पर संतत नहीं है। ε = 1/2 लें: प्रत्येक अंतराल (−δ, δ) में एक ऋणात्मक x है जिसके लिए |f(x) − f(0)| = 1 > 1/2, अतः कोई δ काम नहीं करता।

आगे बढ़ते हुए: (1) संतत फलनों के योग, गुणनफल, भागफल (शून्येतर हर) और संयोजन संतत होते हैं, उन्हीं असमिकाओं से जो अनुक्रमों में थीं। (2) अनुक्रमिक कसौटी: f, c पर संतत है यदि और केवल यदि x_n → c ⇒ f(x_n) → f(c)।

(3) यह कसौटी प्रत्येक अनुक्रम-प्रमेय को सांतत्य-प्रमेय में बदल देती है, और सबसे सरल खंडन देती है: c की ओर जाते दो अनुक्रम जिनके लिए f(x_n) की सीमाएँ भिन्न हों। (4) परिमेय/अपरिमेय परिभाषाएँ c की ओर जाते एक परिमेय और एक अपरिमेय अनुक्रम से सँभाली जाती हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: संधि-बिंदुओं पर खंडशः फलनों का सांतत्य, असांतत्य का वर्गीकरण, और नीचे [a, b] पर प्रत्येक प्रमेय; यही ε–δ ढाँचा दो चरों में सीमाएँ देता है।

2. [a, b] पर संतत फलनों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: यह जानने के लिए कि किसी समीकरण का मूल है, या किसी इष्टतमीकरण प्रश्न का उत्तर है, हमें गारंटी चाहिए: अधिकतम विद्यमान है, प्रत्येक मध्यवर्ती मान लिया जाता है। केवल सांतत्य यह नहीं देता; संवृत परिबद्ध अंतराल देता है।

शब्दों में: [a, b] पर संतत f परिबद्ध है (किसी M के लिए |f(x)| ≤ M), अपने अधिकतम और न्यूनतम प्राप्त करता है (ऐसे बिंदु हैं जहाँ f, sup f और inf f के बराबर है), और f(a) तथा f(b) के बीच का प्रत्येक मान लेता है (मध्यवर्ती मान प्रमेय)।

'संवृत' का अर्थ है अंत्य बिंदु सम्मिलित हैं; 'परिबद्ध' का अर्थ है अंतराल परिमित है। अधिक व्यापक रूप में ये किसी भी संहत (compact) समुच्चय (ℝⁿ में संवृत और परिबद्ध) पर सत्य हैं, सिवाय मध्यवर्ती मान गुण के, जिसे अंतराल चाहिए।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाइए कि x⁵ − 3x − 1 = 0 का एक मूल 1 और 2 के बीच है, और इसे एक दशमलव स्थान तक ज्ञात कीजिए।

चरण 1 (सांतत्य): f(x) = x⁵ − 3x − 1 बहुपद है, अतः [1, 2] पर संतत है।

चरण 2 (अंत्य बिंदुओं पर चिह्न): f(1) = 1 − 3 − 1 = −3 < 0 और f(2) = 32 − 6 − 1 = 25 > 0।

चरण 3 (IVT): 0, −3 और 25 के बीच है, अतः किसी c ∈ (1, 2) के लिए f(c) = 0।

चरण 4 (द्विभाजन): f(1.5) ≈ 2.09 > 0, अतः c ∈ (1, 1.5); f(1.3) ≈ −1.19 < 0 और f(1.4) ≈ 0.18 > 0, अतः c ∈ (1.3, 1.4); f(1.35) ≈ −0.57 < 0 से c ∈ (1.35, 1.4), अतः एक दशमलव स्थान तक c ≈ 1.4 (वास्तव में c ≈ 1.389)।

अ-उदाहरण (non-example): विवृत अंतराल (0, 1) पर f(x) = x संतत और परिबद्ध है परंतु अपने उच्चक 1 तक कभी नहीं पहुँचता: अंत्य बिंदु 1 अनुपस्थित है, अतः 'संवृत' विफल है। [0, ∞) पर f(x) = x अपरिबद्ध है: 'परिबद्ध अंतराल' विफल है।

आगे बढ़ते हुए: (1) परिबद्धता: यदि नहीं, तो x_n ऐसे चुनें कि |f(x_n)| > n; बोलज़ानो–वायरस्ट्रास से x_nk → c ∈ [a, b] (संवृतता c को भीतर रखती है), और सांतत्य से f(x_nk) परिबद्ध होता है, जो विरोधाभास है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9)।

(2) अधिकतम की प्राप्ति: f(y_n) > M − 1/n चुनें और उपानुक्रम तर्क दोहराएँ। (3) IVT: c = sup{x : f(x) < k} के लिए न f(c) < k हो सकता है, न f(c) > k (प्रमेय 10)।

कहाँ प्रयोग होता है: मूलों का अस्तित्व और अद्वितीयता (IVT और एकदिष्टता), स्थिर-बिंदु प्रश्न, निरपेक्ष चरम; संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि IVT को कलन-विधि बनाती है।

3. एकसमान सांतत्य को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: साधारण सांतत्य में δ बिंदु-दर-बिंदु बदल सकता है। पूरे अंतराल पर f को एक साथ नियंत्रित करने के लिए (उदाहरणतः यह दिखाने के लिए कि संतत फलन समाकलनीय है), हमें एक ऐसा δ चाहिए जो सर्वत्र काम करे।

शब्दों में: f, E पर एकसमान संतत (uniformly continuous) है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए कोई δ > 0 हो, जो किसी बिंदु के नाम लेने से पहले चुना गया हो, कि E के कोई भी दो बिंदु x, y जो δ से अधिक निकट हों, उनके f-मान ε से अधिक निकट हों।

परिमाणकों की तुलना करें: सांतत्य है 'प्रत्येक c, प्रत्येक ε के लिए, कोई δ(ε, c) है'; एकसमान सांतत्य है 'प्रत्येक ε के लिए कोई δ(ε) है, प्रत्येक x, y के लिए'। 'कोई δ है' को 'प्रत्येक बिंदु' से पहले ले आना ही पूरा अंतर है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाइए कि f(x) = 1/x, [1, ∞) पर एकसमान संतत है।

चरण 1 (अंतर): |1/x − 1/y| = |x − y|/(xy)।

चरण 2 (अतिरिक्त गुणक को एकसमान रूप से परिबद्ध करें): x, y ≥ 1 से xy ≥ 1, अतः |1/x − 1/y| ≤ |x − y|। यह परिबंध इस पर निर्भर नहीं कि x और y कहाँ हैं।

चरण 3 (δ चुनें): δ = ε। तब सभी x, y ≥ 1 के लिए |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε।

चरण 4 (ध्यान दें): (0, 1] पर वही गणना |x − y|/(xy) देती है जहाँ xy मनचाहा छोटा हो सकता है, अतः वहाँ कोई एक δ काम नहीं कर सकता; प्रांत भी उतना ही महत्त्वपूर्ण है जितना सूत्र।

अ-उदाहरण (non-example): ℝ पर f(x) = x² प्रत्येक बिंदु पर संतत है परंतु एकसमान संतत नहीं। x_n = n + 1/n और y_n = n के साथ निवेश निकट आते हैं (|x_n − y_n| = 1/n) जबकि निर्गत 2 से अधिक दूर रहते हैं, अतः ε = 2 के लिए शर्त विफल है।

आगे बढ़ते हुए: (1) लिप्शिट्ज़ ⇒ δ = ε/L के साथ एकसमान संतत; अंतराल पर परिबद्ध अवकलज माध्य मान प्रमेय से लिप्शिट्ज़ परिबंध देता है। (2) हाइने–कैंटर: [a, b] पर संतत ⇒ एकसमान संतत, बोलज़ानो–वायरस्ट्रास के साथ विरोधाभास से (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11)।

(3) निषेध: एकसमान संतत नहीं यदि और केवल यदि कोई ε₀ और युग्म x_n, y_n हों जिनमें |x_n − y_n| → 0 और |f(x_n) − f(y_n)| ≥ ε₀। (4) परिबद्ध विवृत अंतराल पर, एकसमान संतत यदि और केवल यदि f अंत्य बिंदुओं तक संतत रूप से विस्तारित हो।

कहाँ प्रयोग होता है: 'एकसमान सांतत्य सिद्ध या असिद्ध कीजिए' प्रश्न; संतत फलनों की समाकलनीयता (रीमान समाकल विषय); एकसमान अभिसरण के तर्क उसी 'सभी x के लिए एक N' विचार का प्रयोग करते हैं।

4. सांतत्य

ε-δ परिभाषा: f, c पर संतत है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए δ > 0 ऐसा हो कि |x − c| < δ ⇒ |f(x) − f(c)| < ε।

भाव: जो भी निर्गत सहनशीलता ε माँगी जाए, कोई निविष्ट सहनशीलता δ उसे पूरा करती है: (c − δ, c + δ) के ऊपर आलेख (c, f(c)) पर केंद्रित 2ε ऊँचाई के बक्से में रहता है। यहाँ δ, ε और बिंदु c दोनों पर निर्भर हो सकता है।

δ ज्ञात करना: f(x) = x² के लिए c पर, यदि |x − c| < 1 तो |x + c| ≤ 2|c| + 1, अतः |x² − c²| = |x − c||x + c| ≤ (2|c| + 1)|x − c|। अतः δ = min(1, ε/(2|c| + 1)) पर्याप्त है। यह δ, |c| बढ़ने पर सिकुड़ता है, जो पहला संकेत है कि x², ℝ पर एकसमान संतत नहीं है।

अनुक्रमिक कसौटी: f, c पर संतत है यदि और केवल यदि प्रांत के प्रत्येक अनुक्रम (x_n) के लिए x_n → c से f(x_n) → f(c) हो।

उपयोग: असांतत्य सिद्ध करने का यह सबसे तेज़ तरीका है। 0 पर sin(1/x) के लिए (0 पर कोई भी मान), x_n = 1/(nπ) से f(x_n) = 0 और y_n = 1/(2nπ + π/2) से f(y_n) = 1; 0 की ओर जाने वाले दो अनुक्रम जिनके लिए f की सीमाएँ भिन्न हैं, दिखाते हैं कि lim_x→0 f(x) अस्तित्व में नहीं है।

असांतत्य के प्रकार: अपनेय (removable) (सीमा है पर ≠ f(c) या f(c) अपरिभाषित); प्रथम प्रकार या उछाल (jump) (दोनों एकपक्षीय सीमाएँ हैं पर भिन्न); द्वितीय प्रकार (कम से कम एक एकपक्षीय सीमा अस्तित्वहीन)।

एकदिष्ट फलन: अंतराल पर एकदिष्ट फलन में केवल उछाल असांतत्य होते हैं, और वे अधिकतम गणनीय होते हैं।

गणनीय रूप से अनेक क्यों: प्रत्येक उछाल c पर विवृत अंतराल (f(c−), f(c+)) अरिक्त है, भिन्न उछालों के अंतराल असंयुक्त हैं (एकदिष्टता से), और प्रत्येक में एक परिमेय है। प्रत्येक उछाल के लिए एक परिमेय चुनने से उछालों से ℚ में एकैकी प्रतिचित्र मिलता है।

मानक उदाहरण: डिरिक्ले फलन (ℚ पर 1, अन्यत्र 0) सर्वत्र असंतत है; 0 पर मान 0 के साथ x sin(1/x), 0 पर संतत है; थोमे फलन (न्यूनतम रूप p/q पर 1/q, अपरिमेय पर 0) ठीक अपरिमेय बिंदुओं पर संतत है।

5. संहत समुच्चयों पर संतत फलन

संहतता (compactness): K संहत है यदि K के प्रत्येक विवृत आवरण का परिमित उपावरण हो। हाइने–बोरेल प्रमेय: ℝⁿ का उपसमुच्चय संहत है यदि और केवल यदि वह संवृत और परिबद्ध हो; समतुल्य रूप से K के प्रत्येक अनुक्रम का K में अभिसारी उपानुक्रम हो।

भाव: संहत (compact) का अर्थ है 'छिपे रूप में परिमित': स्थानीय सूचना (प्रत्येक बिंदु के निकट f परिबद्ध है) वैश्विक बन जाती है क्योंकि परिमित सामीप्य पर्याप्त हैं। (0, 1] पर, जो संवृत नहीं है, संतत फलन 1/x प्रत्येक बिंदु के निकट परिबद्ध है पर पूरे समुच्चय पर नहीं।

परिबद्धता प्रमेय: संहत समुच्चय पर संतत फलन परिबद्ध होता है।

चरम मान प्रमेय (extreme value theorem): अरिक्त संहत समुच्चय पर संतत वास्तविक फलन अपना उच्चक और निम्नक प्राप्त करता है।

प्रत्येक परिकल्पना क्यों आवश्यक है: (0, 1) पर f(x) = x का उच्चक 1 है पर वह कभी प्राप्त नहीं होता (संवृत नहीं); ℝ पर f(x) = x अपरिबद्ध है (परिबद्ध नहीं); [−1, 1] पर x ≠ 0 के लिए f(x) = 1/x तथा f(0) = 0 अपरिबद्ध है (संतत नहीं)। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9 में है।

प्रतिबिंब प्रमेय: संहत समुच्चय का संतत प्रतिबिंब संहत होता है, और संबद्ध समुच्चय (ℝ में अंतराल) का संतत प्रतिबिंब संबद्ध होता है।

मध्यवर्ती मान प्रमेय (intermediate value theorem): यदि f, [a, b] पर संतत है और k, f(a) तथा f(b) के बीच है, तो किसी c ∈ [a, b] के लिए f(c) = k।

भाव: संतत आलेख किसी क्षैतिज रेखा को लाँघ नहीं सकता। सांतत्य और अंतराल दोनों आवश्यक हैं: चिह्न फलन [−1, 1] पर 0 को लाँघ जाता है, और असंबद्ध समुच्चय [0, 1] ∪ [2, 3] पर पहले 0 फिर 1 मान वाला फलन संतत है पर 1/2 छोड़ देता है। समद्विभाजन द्वारा उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 10 में है।

प्रतिलोम फलन: संहत समुच्चय से उसके प्रतिबिंब पर संतत एकैकी आच्छादी फलन का प्रतिलोम संतत होता है; अंतराल पर संतत एकैकी फलन निरंतर एकदिष्ट होता है।

स्थिर बिंदु: प्रत्येक संतत f : [a, b] → [a, b] का एक स्थिर बिंदु होता है (f(x) − x पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए)।

यह क्यों काम करता है: g(x) = f(x) − x संतत है तथा g(a) = f(a) − a ≥ 0 और g(b) = f(b) − b ≤ 0, क्योंकि f के मान [a, b] में हैं; IVT से ऐसा c मिलता है कि g(c) = 0।

6. एकसमान सांतत्य

परिभाषा: f, E पर एकसमान संतत (uniformly continuous) है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए केवल ε पर निर्भर δ > 0 ऐसा हो कि x, y ∈ E और |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε।

भाव: एक ही δ को पूरे प्रांत के लिए एक साथ काम करना चाहिए। ऊपर का चित्र देखिए: (0, 1) पर 1/x का आलेख 0 के निकट अधिक खड़ा होता जाता है, अतः निश्चित चौड़ाई δ की निविष्ट खिड़की बाईं ओर खिसकने पर बड़े से बड़े निर्गत उछाल देती है, और कोई एक δ काम नहीं करता। a > 0 के साथ [a, ∞) पर ढाल अधिकतम 1/a² है, और δ = a²ε सर्वत्र काम करता है।

हाइने–कैंटर प्रमेय: संहत समुच्चय पर संतत फलन वहाँ एकसमान संतत होता है।

पर्याप्त शर्तें: लिपशिट्ज फलन (|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|) एकसमान संतत है; अंतराल पर परिबद्ध अवकलज वाला अवकलनीय फलन माध्य मान प्रमेय से लिपशिट्ज है।

यह क्यों काम करता है: मध्यमान प्रमेय से |f(x) − f(y)| = |f′(ξ)||x − y| ≤ M|x − y|, अतः δ = ε/M पर्याप्त है। विलोम असत्य है: √x, [0, ∞) पर एकसमान संतत है, क्योंकि |√x − √y| ≤ √|x − y| से δ = ε² मिलता है, यद्यपि 0 के निकट इसका अवकलज अपरिबद्ध है।

विफलता परीक्षण: f, E पर एकसमान संतत नहीं है यदि और केवल यदि ε₀ > 0 और E में अनुक्रम x_n, y_n ऐसे हों कि |x_n − y_n| → 0 पर |f(x_n) − f(y_n)| ≥ ε₀।

यह क्यों काम करता है: यह परिभाषा का तार्किक निषेध है: 'कोई ε₀ है जिसके लिए प्रत्येक δ विफल है', δ = 1/n लेने पर युग्म x_n, y_n बन जाता है जिसके लिए |x_n − y_n| < 1/n और |f(x_n) − f(y_n)| ≥ ε₀। ℝ पर x² के लिए x_n = n + 1/n, y_n = n लीजिए: वर्गों का अंतर 2 + 1/n² > 2 है।

गुणधर्म: एकसमान संतत फलन कॉशी अनुक्रमों को कॉशी अनुक्रमों में ले जाता है; परिबद्ध विवृत अंतराल (a, b) पर f एकसमान संतत है यदि और केवल यदि उसका [a, b] पर संतत विस्तार हो।

अपरिबद्ध प्रांत: यदि f, [a, ∞) पर संतत है और lim_x→∞ f(x) परिमित रूप से विद्यमान है, तो f, [a, ∞) पर एकसमान संतत है; इसी प्रकार ℝ पर, जब ±∞ पर दोनों सीमाएँ विद्यमान हों। संतत आवर्ती फलन ℝ पर एकसमान संतत होता है।

संतत विस्तार: (a, b) पर संतत फलन जिसकी a और b पर परिमित एकपक्षीय सीमाएँ हों, [a, b] तक संतत रूप से विस्तारित होता है। उदाहरणतः x² sin(1/x), x = 0 पर मान 0 से विस्तारित होता है, और विस्तार वहाँ अवकलनीय भी है।

मानक स्थितियाँ: [0, ∞) पर √x और ℝ पर sin x एकसमान संतत हैं; ℝ पर x², (0, 1) पर 1/x और (0, 1) पर sin(1/x) नहीं हैं; a > 0 के साथ [a, ∞) पर 1/x है।

7. व्युत्पत्ति: विस्तार प्रमेय और अपरिबद्ध प्रांत

(a, b) पर एकसमान संतत ⇒ [a, b] तक विस्तार: मान लीजिए (a, b) में x_n → a। तब (x_n) कौशी है, अतः (f(x_n)) कौशी है (एकसमान सांतत्य) और अभिसारी है। यदि x_n → a और y_n → a, तो अंतर्गुंथित अनुक्रम x₁, y₁, x₂, y₂, ... भी a की ओर जाता है, अतः दोनों सीमाएँ समान हैं। f(a) को यह सीमा (और इसी प्रकार f(b)) परिभाषित करने से संतत विस्तार मिलता है।

परिणाम: sin(1/x) और 1/x, (0, 1) पर एकसमान संतत नहीं हैं, क्योंकि 0 पर उनकी कोई परिमित सीमा नहीं है; x sin(1/x) है, क्योंकि वह 0 की ओर जाता है।

[a, ∞) पर संतत और ∞ पर परिमित सीमा L ⇒ एकसमान संतत: ε दिया हो तो M ऐसा चुनिए कि x ≥ M के लिए |f(x) − L| < ε/2, अतः x, y ≥ M के लिए |f(x) − f(y)| < ε। संहत [a, M + 1] पर हाइने–कैंटर से δ₁ मिलता है। δ = min(δ₁, 1) लेने पर |x − y| < δ वाले दो बिंदु या तो दोनों [a, M + 1] में हैं या दोनों [M, ∞) में, और प्रत्येक स्थिति में |f(x) − f(y)| < ε।

8. व्युत्पत्ति: संहत समुच्चय का संतत प्रतिबिंब

मान लीजिए y_n = f(x_n), f(K) में कोई अनुक्रम है। K संहत है, अतः कोई उपानुक्रम x_nk → x ∈ K, और सांतत्य से y_nk = f(x_nk) → f(x) ∈ f(K)। अतः f(K) के प्रत्येक अनुक्रम का f(K) में अभिसारी उपानुक्रम है: f(K) संहत है।

ℝ का संहत उपसमुच्चय संवृत और परिबद्ध है, अतः उसका अधिकतम और न्यूनतम अवयव होता है; इससे चरम मान प्रमेय पुनः सिद्ध होता है।

9. विधि का चयन

यदि किसी खंडशः फलन का संधि-बिंदु पर सांतत्य पूछा जाए → दोनों एकपक्षीय सीमाएँ निकालिए और f(c) से तुलना कीजिए; x sin(1/x) जैसे दोलनशील गुणनखंडों के लिए सैंडविच परिबंध |x sin(1/x)| ≤ |x| लगाइए।

यदि असांतत्य सिद्ध करना हो → c की ओर जाने वाले दो अनुक्रम जिनके साथ f की सीमाएँ भिन्न हों (या f(c) से भिन्न सीमा)।

यदि एकसमान सांतत्य सिद्ध करना हो → संहत प्रांत: हाइने–कैंटर; परिबद्ध अवकलज: लिप्शित्ज़; ∞ पर परिमित सीमा के साथ [a, ∞): ऊपर की व्युत्पत्ति; अन्यथा प्रत्यक्ष आकलन जैसे |√x − √y| ≤ √|x − y|।

यदि एकसमान सांतत्य का खंडन करना हो → अनुक्रमों का युग्म जिसके लिए |x_n − y_n| → 0 पर |f(x_n) − f(y_n)| ≥ ε₀; या कौशी अनुक्रम जो अकौशी अनुक्रम पर जाए; या परिबद्ध अंतराल पर f अपरिबद्ध हो या उसकी अंत्य-बिंदु पर परिमित सीमा न हो।

यदि मूल का अस्तित्व दिखाना हो → चिह्न परिवर्तन पर IVT; अद्वितीयता के लिए निरंतर एकदिष्टता (f′ > 0 या f′ < 0) जोड़िए।

10. सामान्य गलतियाँ

एकसमान सांतत्य सिद्ध करते समय δ को बिंदु पर निर्भर करना: δ = ε/(2|c| + 1), x² का सांतत्य सिद्ध करता है, एकसमान सांतत्य नहीं।

मान लेना कि विवृत या अपरिबद्ध समुच्चय पर सांतत्य से एकसमान सांतत्य मिलता है: (0, 1) पर 1/x और ℝ पर x² मानक प्रत्युदाहरण हैं।

यह सोचना कि 'अपरिबद्ध अवकलज ⇒ एकसमान संतत नहीं': [0, 1] पर √x एकसमान संतत है (हाइने–कैंटर) यद्यपि x → 0 पर f′(x) → ∞।

यह सोचना कि 'परिबद्ध ⇒ एकसमान संतत': (0, 1) पर sin(1/x) परिबद्ध और संतत है पर एकसमान संतत नहीं।

जहाँ f पूरे संवृत अंतराल पर संतत न हो वहाँ IVT लगाना: tan(π/4) = 1 > 0 और tan(3π/4) = −1 < 0, फिर भी [π/4, 3π/4] में tan x का कोई शून्य नहीं है, क्योंकि π/2 पर यह असंतत है।

11. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: हाइने–कैंटर यह सिद्ध करने का मुख्य चरण है कि संतत फलन रीमान समाकलनीय हैं (रीमान समाकल प्रकरण): छोटे उप-अंतरालों पर दोलन एकसमान रूप से छोटा होता है।

संबंध: IVT संख्यात्मक विश्लेषण में समद्विभाजन विधि का आधार है, और संवृत परिबद्ध क्षेत्रों पर चरम मान प्रमेय बहुचर प्रकरण में निरपेक्ष चरमों की खोज को उचित ठहराता है।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: दिखाइए कि f(x) = x², [0, 1] पर एकसमान संतत है पर ℝ पर नहीं।

[0, 1] पर |x² − y²| = |x + y||x − y| ≤ 2|x − y|, अतः δ = ε/2 काम करता है। ℝ पर x_n = n + 1/n और y_n = n लीजिए: |x_n − y_n| = 1/n → 0 पर x_n² − y_n² = 2 + 1/n² ≥ 2, अतः f एकसमान संतत नहीं है।

उदाहरण 2: दिखाइए कि f(x) = 1/(1 + x²), ℝ पर एकसमान संतत है।

f′(x) = −2x/(1 + x²)², और 2|x| ≤ 1 + x² ≤ (1 + x²)², अतः |f′(x)| ≤ 1। माध्य मान प्रमेय से |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|, और δ = ε काम करता है।

उदाहरण 3: दिखाइए कि x³ + x − 1 = 0 का ठीक एक वास्तविक मूल है, और वह (0, 1) में है।

f(x) = x³ + x − 1 संतत है, f(0) = −1 < 0 और f(1) = 1 > 0, अतः मध्यवर्ती मान प्रमेय से (0, 1) में एक मूल है। चूँकि f′(x) = 3x² + 1 > 0, f निरंतर वर्धमान है, अतः मूल अद्वितीय है।

उदाहरण 4: दिखाइए कि f(x) = sin(1/x), (0, 1) पर संतत होते हुए भी वहाँ एकसमान संतत नहीं है।

x_n = 1/(2nπ + π/2) और y_n = 1/(2nπ) लीजिए, दोनों (0, 1) में हैं।

|x_n − y_n| → 0, परंतु प्रत्येक n के लिए f(x_n) − f(y_n) = 1 − 0 = 1।

अनुक्रमिक परीक्षण (ε₀ = 1) से f, (0, 1) पर एकसमान संतत नहीं है। यह इस तथ्य से संगत है कि sin(1/x) की 0 पर कोई सीमा नहीं है, अतः इसे [0, 1] तक संतत रूप से विस्तारित नहीं किया जा सकता।

उदाहरण 5: दिखाइए कि f(x) = √x, [0, ∞) पर एकसमान संतत है।

x ≥ y ≥ 0 के लिए (√x − √y)² ≤ (√x − √y)(√x + √y) = x − y, अतः सभी x, y ≥ 0 के लिए |√x − √y| ≤ √|x − y|।

ε > 0 दिया हो तो δ = ε² लीजिए। तब |x − y| < δ ⇒ |√x − √y| < ε, और δ, x या y पर निर्भर नहीं है।

अतः √x, [0, ∞) पर एकसमान संतत है, यद्यपि 0 के निकट यह लिप्शित्ज़ नहीं है (वहाँ इसका अवकलज अपरिबद्ध है)।

उदाहरण 6: मान लीजिए f : ℝ → ℝ संतत है और सभी x, y के लिए f(x + y) = f(x) + f(y)। सिद्ध कीजिए कि f(x) = cx, जहाँ c = f(1)।

x = y = 0 से f(0) = 0, और f(x) + f(−x) = f(0) = 0 से f(−x) = −f(x)। आगमन से n ∈ ℕ के लिए f(nx) = nf(x)।

अतः f(n) = nc, और nf(m/n) = f(m) = mc से f(m/n) = (m/n)c। अतः प्रत्येक परिमेय r के लिए f(r) = cr (ऋणात्मक r के लिए विषमता का प्रयोग कर)।

वास्तविक x के लिए परिमेय r_k → x चुनिए (ℚ सघन है)। सांतत्य से f(x) = lim f(r_k) = lim cr_k = cx।

उदाहरण 7: x ≠ 0 के लिए f(x) = e^1/x/(1 + e^1/x), f(0) = 0 के x = 0 पर असांतत्य का वर्गीकरण कीजिए।

x → 0+ पर 1/x → +∞; f = 1/(e^−1/x + 1) लिखने पर f(x) → 1/(0 + 1) = 1।

x → 0− पर 1/x → −∞ और e^1/x → 0, अतः f(x) → 0/(1 + 0) = 0।

दोनों एकपक्षीय सीमाएँ विद्यमान हैं पर भिन्न हैं, अतः x = 0 प्रथम प्रकार का असांतत्य (आकार 1 का उछाल) है; वहाँ f बाईं ओर से संतत है।

13. उत्तल फलन और सीमाओं द्वारा परिभाषित फलन

उत्तल फलन (convex function): f अंतराल I पर उत्तल है यदि सभी x, y ∈ I और 0 ≤ λ ≤ 1 के लिए f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y); दो बार अवकलनीय f उत्तल है यदि और केवल यदि f″ ≥ 0।

त्रि-जीवा प्रमेयिका (three-chord lemma): I में s < x < t के लिए (f(x) − f(s))/(x − s) ≤ (f(t) − f(s))/(t − s) ≤ (f(t) − f(x))/(t − x); जीवाओं की प्रवणताएँ बायें से दायें बढ़ती हैं।

उत्तल फलनों का सांतत्य: विवृत अंतराल पर उत्तल फलन संतत है (वस्तुतः प्रत्येक संवृत उप-अंतराल पर लिपशिट्ज़) और प्रत्येक बिंदु पर उसके एकपक्षीय अवकलज हैं; संवृत अंतराल पर वह किसी अंत्य बिंदु पर उछल सकता है।

सीमाओं द्वारा परिभाषित फलन: t(x)ⁿ वाले व्यंजक की सीमा f(x) = lim_n→∞ के लिए प्रयोग कीजिए: |t| < 1 पर tⁿ → 0, t = 1 पर tⁿ = 1 और t > 1 पर tⁿ → ∞। f को खंडशः ज्ञात कीजिए, फिर जहाँ स्थिति बदलती है वहाँ सांतत्य जाँचिए।

उदाहरण 8: f(x) = lim_n→∞ x²ⁿ/(1 + x²ⁿ), x ∈ ℝ, के असांतत्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

|x| < 1 के लिए x²ⁿ → 0, अतः f(x) = 0; |x| = 1 के लिए f(x) = 1/2; |x| > 1 के लिए f(x) = lim 1/(x⁻²ⁿ + 1) = 1।

विवृत समुच्चयों |x| < 1 और |x| > 1 में से प्रत्येक पर f अचर, अतः संतत है। x = ±1 पर एकपक्षीय सीमाएँ 0 और 1 हैं, अतः f के उछाल असांतत्य ठीक x = 1 और x = −1 पर हैं।

14. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 10 अंक): f(x) = x² sin(1/x), 0 < x < ∞
द्वारा दिए गए फलन f : (0, ∞) → ℝ के लिए दर्शाइए कि एक अवकलनीय फलन g : ℝ → ℝ है जो f का विस्तार करता है।

g : ℝ → ℝ, x ≠ 0 के लिए g(x) = x² sin(1/x) और g(0) = 0 परिभाषित कीजिए। तब (0, ∞) पर g = f, अतः g, f का विस्तार है।

x ≠ 0 के लिए g अवकलनीय फलनों का गुणनफल और संयोजन होने से अवकलनीय है: g′(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x)।

0 पर (g(h) − g(0))/h = h sin(1/h), और |h sin(1/h)| ≤ |h| → 0, अतः g′(0) = 0।

अतः g, ℝ पर अवकलनीय है (यद्यपि g′, 0 पर संतत नहीं है, क्योंकि x → 0 पर cos(1/x) की कोई सीमा नहीं है)।

उत्तर: x ≠ 0 के लिए g(x) = x² sin(1/x), g(0) = 0, f का ℝ पर अवकलनीय विस्तार है।

उदाहरण 10 (UPSC 2016, 15 अंक): मान लीजिए f : ℝ → ℝ एक संतत फलन इस प्रकार है कि lim_x→+∞ f(x) तथा lim_x→−∞ f(x) का अस्तित्व है तथा ये परिमित हैं। सिद्ध कीजिए कि ℝ पर f एकसमान संतत है।

मान लीजिए L = lim_x→+∞ f(x), M = lim_x→−∞ f(x) और ε > 0। A > 0 ऐसा चुनिए कि x ≥ A के लिए |f(x) − L| < ε/2 और x ≤ −A के लिए |f(x) − M| < ε/2।

f संहत अंतराल [−A − 1, A + 1] पर संतत है, अतः वहाँ एकसमान संतत है (हाइने–कैंटर): कोई δ₁ > 0 है कि इस अंतराल में x, y और |x − y| < δ₁ से |f(x) − f(y)| < ε।

δ = min(δ₁, 1) रखिए और मान लीजिए |x − y| < δ। यदि x, y दोनों [−A − 1, A + 1] में हैं, तो |f(x) − f(y)| < ε।

अन्यथा उनमें से एक, मान लीजिए x, के लिए x > A + 1 या x < −A − 1। पहली स्थिति में y > x − 1 > A, अतः |f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − L| + |L − f(y)| < ε; दूसरी स्थिति M के साथ समान है।

δ केवल ε पर निर्भर है, अतः f, ℝ पर एकसमान संतत है।

उत्तर: f, ℝ पर एकसमान संतत है।

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 15 अंक): दर्शाइए कि यदि ℝ के विवृत अन्तराल (a, b) पर परिभाषित फलन f अवमुख हो, तो वह संतत है। उदाहरण के द्वारा दर्शाइए कि यदि विवृत अन्तराल होने की शर्त न हो, तब अवमुख फलन का संतत होना आवश्यक नहीं है।

मान लीजिए f, (a, b) पर उत्तल है, x₀ ∈ (a, b), और a < s < x₀ < t < b वाले s, t स्थिर कीजिए। त्रि-जीवा प्रमेयिका से x₀ < x < t के लिए (f(x₀) − f(s))/(x₀ − s) ≤ (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) ≤ (f(t) − f(x₀))/(t − x₀)।

s < x < x₀ के लिए (f(x₀) − f(x))/(x₀ − x) पर भी, पुनः प्रमेयिका से, वही दोनों परिबंध लागू होते हैं।

अतः s < x < t के लिए |f(x) − f(x₀)| ≤ K|x − x₀|, जहाँ K दोनों स्थिर जीवा प्रवणताओं के निरपेक्ष मानों में बड़ा है। अतः f(x) → f(x₀): f, (a, b) के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।

विवृत अंतराल आवश्यक है: f : [0, 1] → ℝ, 0 ≤ x < 1 के लिए f(x) = 0 और f(1) = 1, उत्तल है (प्रत्येक जीवा आलेख पर या उसके ऊपर है) परंतु x = 1 पर असंतत है।

उत्तर: विवृत अंतराल पर उत्तल फलन संतत है (स्थानीयतः लिपशिट्ज़ भी); [0, 1] पर उपर्युक्त उत्तल फलन 1 पर उछलता है।

उदाहरण 12 (UPSC 2026, 10 अंक): f(x) = lim_n→∞ [(1 + sin(π/x))ⁿ − 1]/[(1 + sin(π/x))ⁿ + 1], x ∈ (0, 1) द्वारा परिभाषित फलन f : (0, 1) → ℝ के असांतत्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

t = 1 + sin(π/x) ∈ [0, 2] रखिए। यदि t > 1, तो (tⁿ − 1)/(tⁿ + 1) = (1 − t⁻ⁿ)/(1 + t⁻ⁿ) → 1; यदि t = 1 तो भागफल 0 है; यदि 0 ≤ t < 1, तो tⁿ → 0 और भागफल −1 की ओर जाता है।

अतः sin(π/x) > 0, = 0 या < 0 के अनुसार f(x) = 1, 0 या −1; अर्थात f(x) = sgn(sin(π/x))।

x ∈ (0, 1) के लिए π/x ∈ (π, ∞), और sin(π/x) = 0 यदि और केवल यदि π/x = kπ, अर्थात x = 1/k, जहाँ k ≥ 2 पूर्णांक है।

यदि sin(π/x₀) ≠ 0, तो सांतत्य से x₀ के निकट sin(π/x) का चिह्न नहीं बदलता, अतः x₀ के निकट f अचर है और वहाँ संतत है।

x = 1/k पर f(1/k) = 0, जबकि π/x के kπ पार करने पर sin(π/x) का चिह्न बदलता है, अतः f की एकपक्षीय सीमाएँ 1 और −1 हैं: उछाल असांतत्य।

उत्तर: f ठीक x = 1/2, 1/3, 1/4, ... पर असंतत है (सभी उछाल असांतत्य) और (0, 1) के अन्य प्रत्येक बिंदु पर संतत है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ε–δ से सिद्ध कीजिए कि f(x) = 5 − 2x प्रत्येक वास्तविक c पर संतत है।

उत्तर: |f(x) − f(c)| = 2|x − c|; δ = ε/2 काम करता है (और c पर निर्भर नहीं)।

अभ्यास 2 (मूल): k ज्ञात कीजिए ताकि f(x) = (sin 3x)/x, x ≠ 0 के लिए, f(0) = k, 0 पर संतत हो।

उत्तर: k = 3, क्योंकि (sin 3x)/x = 3·(sin 3x)/(3x) → 3।

अभ्यास 3 (मूल): x = 0 पर f(x) = |x|/x (x ≠ 0), f(0) = 0 के असांतत्य का वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: दक्षिण सीमा 1 और वाम सीमा −1 है: उछाल असांतत्य (प्रथम प्रकार)।

अभ्यास 4 (मानक): क्या f(x) = 1/(1 + x), [0, ∞) पर एकसमान संतत है?

उत्तर: हाँ: |f′(x)| = 1/(1 + x)² ≤ 1, अतः |f(x) − f(y)| ≤ |x − y| और δ = ε काम करता है।

अभ्यास 5 (मानक): दिखाइए कि x³ − 3x + 1 = 0 के तीन वास्तविक मूल हैं, और प्रत्येक को अधिकतम लंबाई 2 के अंतराल में स्थित कीजिए।

उत्तर: f(−2) = −1, f(0) = 1, f(1) = −1, f(2) = 3; IVT से (−2, 0), (0, 1) और (1, 2) में मूल हैं, और त्रिघाती के अधिकतम तीन मूल होते हैं।

अभ्यास 6 (मानक): सिद्ध कीजिए कि f(x) = x sin x, ℝ पर एकसमान संतत नहीं है।

उत्तर: x_n = 2nπ + 1/n, y_n = 2nπ के साथ |x_n − y_n| → 0 परंतु f(x_n) − f(y_n) = (2nπ + 1/n) sin(1/n) → 2π, अतः बड़े n के लिए यह 1 से ऊपर रहता है।

अभ्यास 7 (मानक): [0, 2] पर f(x) = x² के लिए ऐसा δ ज्ञात कीजिए जो एकसमान सांतत्य की परिभाषा में प्रत्येक ε के लिए काम करे।

उत्तर: |x² − y²| = |x + y||x − y| ≤ 4|x − y|, अतः δ = ε/4।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): मान लें f : [0, 1] → ℝ संतत है और f(0) = f(1)। सिद्ध कीजिए कि किसी c ∈ [0, 1/2] के लिए f(c) = f(c + 1/2)।

उत्तर: g(x) = f(x + 1/2) − f(x), [0, 1/2] पर संतत है और g(1/2) = f(1) − f(1/2) = −g(0); अतः g(0) और g(1/2) विपरीत चिह्न के हैं (या कोई एक 0 है), और IVT से ऐसा c मिलता है कि g(c) = 0।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि sin(x²), ℝ पर एकसमान संतत नहीं है, यद्यपि यह परिबद्ध है।

उत्तर: x_n = √((n + 1/2)π), y_n = √(nπ) के लिए x_n − y_n = (π/2)/(x_n + y_n) → 0, जबकि |sin x_n² − sin y_n²| = 1।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): [0, 1] पर f(x) = x, परिमेय x के लिए और f(x) = 1 − x, अपरिमेय x के लिए। सांतत्य के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: केवल x = 1/2: c की ओर जाते परिमेय और अपरिमेय अनुक्रम सीमाएँ c और 1 − c देते हैं, जो केवल c = 1/2 पर बराबर हैं; 1/2 पर प्रत्येक x के लिए |f(x) − 1/2| = |x − 1/2|।

1. ऊपरी और निचले योगों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: 'वक्र के नीचे का क्षेत्रफल' के विषय में कुछ सिद्ध करने से पहले उसकी परिभाषा चाहिए, और कुछ फलनों (जैसे डिरिक्ले फलन) का कोई समुचित क्षेत्रफल नहीं होता। ऊपरी और निचले योग एक साथ परिभाषा और कसौटी दोनों देते हैं।

शब्दों में: विभाजन (partition) P, [a, b] को लंबाई Δx_i वाले टुकड़ों [x_i−1, x_i] में काटता है। प्रत्येक टुकड़े पर M_i, f का उच्चक और m_i निम्नक है। U(P, f) = ∑M_iΔx_i प्रत्येक टुकड़े पर सबसे ऊँचा आयत लेता है, L(P, f) = ∑m_iΔx_i सबसे छोटा।

f रीमान समाकलनीय है जब सबसे छोटा संभव ऊपरी योग (ऊपरी समाकल, inf U) सबसे बड़े संभव निचले योग (निचला समाकल, sup L) के बराबर हो। रीमान की कसौटी कहती है कि यह तभी होता है जब उपयुक्त P से U(P, f) − L(P, f) को किसी भी ε से कम बनाया जा सके।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: परिभाषा से दिखाइए कि ∫₀¹ x² dx = 1/3।

चरण 1 (विभाजन): P_n = {0, 1/n, 2/n, ..., 1}, प्रत्येक Δx_i = 1/n।

चरण 2 (प्रत्येक टुकड़े पर sup और inf): [0, 1] पर x² वर्धमान है, अतः [(i − 1)/n, i/n] पर M_i = i²/n² और m_i = (i − 1)²/n²।

चरण 3 (योग): U = (1/n³)∑_i=1ⁿ i² = (n + 1)(2n + 1)/(6n²) और L = (1/n³)∑_i=0ⁿ⁻¹ i² = (n − 1)(2n − 1)/(6n²)।

चरण 4 (दबाव): U − L = 1/n → 0, अतः रीमान कसौटी से f समाकलनीय है; U और L दोनों 2/6 = 1/3 की ओर जाते हैं, जो समाकल है। n = 10 के लिए L = 0.285 और U = 0.385 पहले से ही 1/3 को घेर लेते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): ℚ ∩ [0, 1] पर f = 1 और अन्यत्र 0। प्रत्येक टुकड़े में परिमेय और अपरिमेय दोनों हैं, अतः प्रत्येक विभाजन के लिए M_i = 1 और m_i = 0: U = 1, L = 0, और U − L = 1 को कभी छोटा नहीं बनाया जा सकता। फलन परिबद्ध है परंतु समाकलनीय नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) P को परिष्कृत करने से U घटता है और L बढ़ता है, अतः प्रत्येक निचला योग प्रत्येक ऊपरी योग से अधिक नहीं (व्युत्पत्ति 4)। (2) अतः निचला समाकल ≤ ऊपरी समाकल, और समानता तभी जब U − L छोटा बनाया जा सके (रीमान कसौटी)।

(3) U − L = ∑(टुकड़े i पर दोलन)·Δx_i। संतत f का छोटे टुकड़ों पर दोलन छोटा होता है (हाइने–कैंटर, मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12); एकदिष्ट f योग को दूरदर्शी बना देता है (प्रमेय 16)।

कहाँ प्रयोग होता है: 'परिभाषा से मान निकालिए', 'ऊपरी और निचले समाकल ज्ञात कीजिए' (परिमेय/अपरिमेय फलन), और योगों की सीमाएँ ∑(1/n)f(r/n), जो L और U के बीच स्थित रीमान योग हैं।

2. मूलभूत प्रमेयों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समाकलों को योगों की सीमा के रूप में निकालना धीमा है। मूलभूत प्रमेय कहते हैं कि समाकलन और अवकलन एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, अतः ∫_a^b f किसी भी प्रतिअवकलज से निकाला जा सकता है, और समाकलों द्वारा परिभाषित फलनों का अवकलन किया जा सकता है।

शब्दों में: प्रथम प्रमेय: F(x) = ∫_a^x f(t) dt, x तक संचित क्षेत्रफल, संतत है, और प्रत्येक बिंदु c पर जहाँ f संतत है, F′(c) = f(c)। द्वितीय प्रमेय: यदि [a, b] पर F′ = f और f समाकलनीय है, तो ∫_a^b f = F(b) − F(a)।

ध्यान देने योग्य दो परिकल्पनाएँ हैं: प्रथम में 'f, c पर संतत' और द्वितीय में 'f समाकलनीय'; ये स्वतः सत्य नहीं होतीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: lim_x→0 (1/x²)∫₀^x t cos t dt ज्ञात कीजिए।

चरण 1 (रूप): x = 0 पर ∫₀⁰ t cos t dt = 0 और x² = 0 दोनों हैं, अतः भागफल 0/0 है।

चरण 2 (अंश का अवकलन): t cos t संतत है, अतः प्रथम मूलभूत प्रमेय से d/dx ∫₀^x t cos t dt = x cos x।

चरण 3 (लोपिताल): सीमा lim x cos x/(2x) = lim (cos x)/2 = 1/2 के बराबर है।

चरण 4 (द्वितीय प्रमेय से जाँच): t cos t का एक प्रतिअवकलज t sin t + cos t है, अतः समाकल x sin x + cos x − 1 ≈ x² − x²/2 = x²/2 छोटे x के लिए, जो 1/2 की पुष्टि करता है।

अ-उदाहरण (non-example): [0, 2] पर f = [x] के लिए F(x) = ∫₀^x [t] dt, [0, 1] पर 0 और [1, 2] पर x − 1 है। F संतत है, परंतु x = 1 पर इसका वाम अवकलज 0 और दक्षिण अवकलज 1 है, अतः F′(1) विद्यमान नहीं: f, 1 पर संतत नहीं, और प्रथम प्रमेय वहाँ कुछ नहीं देता।

आगे बढ़ते हुए: (1) |F(y) − F(x)| ≤ M|y − x| से F का सांतत्य मिलता है। (2) (F(c + h) − F(c))/h − f(c), [c, c + h] पर f(t) − f(c) का औसत है, जो f के c पर संतत होने पर छोटा है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 13)।

(3) द्वितीय प्रमेय: माध्य मान प्रमेय F(b) − F(a) को रीमान योग ∑f(ξ_i)Δx_i के रूप में लिखता है, जो प्रत्येक P के लिए L(P, f) और U(P, f) के बीच है, अतः यह समाकल के बराबर है (व्युत्पत्ति 5)। (4) शृंखला नियम के साथ मिलाकर यह चर सीमाओं के लिए लाइबनिट्ज़ नियम देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: ∫₀^x वाले अनुपातों की सीमाएँ, F(t) = ∫₀^t [x] dx की अवकलनीयता, ∫(2x sin(1/x) − cos(1/x)) dx जैसे दोषपूर्ण बिंदु वाले समाकल, और समाकल चिह्न के भीतर अवकलन।

3. अनुचित समाकलों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: रीमान समाकल को परिबद्ध अंतराल पर परिबद्ध फलन चाहिए। फिर भी ∫₀^∞ e^−x dx और ∫₀¹ dx/√x स्पष्टतः परिमित क्षेत्रफल दर्शाते हैं। अनुचित समाकल (improper integral) को उचित समाकलों की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है।

शब्दों में: ∫_a^∞ f = lim_X→∞ ∫_a^X f, और यदि f, a पर अनंत हो जाए, तो ∫_a^b f = lim_ε→0+ ∫_a+ε^b f। 'अभिसारी' का अर्थ है सीमा विद्यमान और परिमित है। यदि कई दोषपूर्ण बिंदु हों, तो परिसर को ऐसे बाँटें कि प्रत्येक भाग का एक ही दोषपूर्ण सिरा हो, और प्रत्येक भाग का अभिसारी होना आवश्यक है।

मापदंड हैं ∫₁^∞ dx/x^p (p > 1 पर ही अभिसारी) और ∫₀¹ dx/x^p (p < 1 पर ही अभिसारी)। f ≥ 0 के लिए इनसे तुलना अधिकांश प्रश्नों का निर्णय करती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∫₀^∞ dx/(√x(1 + x²)) का परीक्षण कीजिए।

चरण 1 (दोषपूर्ण बिंदु खोजें): समाकल्य (0, ∞) पर धनात्मक और संतत है; यह 0 पर अनंत होता है और परिसर अनंत है। ∫₀¹ + ∫₁^∞ में बाँटें।

चरण 2 (0 के निकट): 1 + x² → 1, अतः समाकल्य 1/x^1/2 की तरह व्यवहार करता है; p = 1/2 < 1, अतः ∫₀¹ अभिसारी है (μ = 1/2 के साथ μ-परीक्षण: x^1/2f(x) → 1)।

चरण 3 (∞ के निकट): समाकल्य 1/(x^1/2x²) = 1/x^5/2 की तरह व्यवहार करता है; p = 5/2 > 1, अतः ∫₁^∞ अभिसारी है (x^5/2f(x) → 1)।

चरण 4 (निष्कर्ष): दोनों भाग अभिसारी हैं, अतः समाकल अभिसारी है (प्रतिस्थापन x = t² और एक मानक समाकल से इसका मान π/√2 है)।

अ-उदाहरण (non-example): ∫₀^∞ dx/x^p प्रत्येक p के लिए अपसारी है: 0 के निकट इसे p < 1 चाहिए और ∞ के निकट p > 1, जो दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते। प्रत्येक भाग को स्वयं अभिसारी होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (1) f ≥ 0 के लिए फलन X ↦ ∫_a^X f वर्धमान है, अतः समाकल अभिसारी है यदि और केवल यदि यह परिबद्ध हो, ठीक धनात्मक श्रेणियों की तरह। (2) तुलना और μ-परीक्षण इसी से निकलते हैं (ऊपर 'यह क्यों काम करता है')।

(3) दोलनी समाकल्यों के लिए ∫|f| < ∞ निरपेक्ष अभिसरण देता है; अन्यथा डिरिक्ले परीक्षण (परिबद्ध ∫_a^X f गुणा 0 की ओर घटता गुणक) सप्रतिबंध अभिसरण दे सकता है, जैसे ∫(sin x)/x के लिए। (4) Γ और B अनुचित समाकल हैं जिनका अभिसरण इन्हीं परीक्षणों से निकलता है (व्युत्पत्ति 6)।

कहाँ प्रयोग होता है: '∫... के अभिसरण का परीक्षण कीजिए' प्रश्न (प्रायः दो दोषपूर्ण बिंदुओं के साथ), बीटा–गामा मूल्यांकन, ODE अध्याय में लाप्लास रूपांतर और सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों से निकाले जाने वाले वास्तविक समाकल।

4. रीमान (डार्बू) समाकल

योग: [a, b] पर परिबद्ध f और विभाजन P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b} के लिए U(P, f) = ∑M_iΔx_i और L(P, f) = ∑m_iΔx_i, जहाँ M_i, m_i, [x_i−1, x_i] पर f के उच्चक और निम्नक हैं।

भाव: ऊपर का चित्र देखिए: U(P, f) परिगत आयतों का क्षेत्रफल है और अधिक आकलन करता है, L(P, f) अंतर्गत आयतों का क्षेत्रफल है और कम आकलन करता है। P में बिंदु जोड़ने से U केवल घट सकता है और L केवल बढ़ सकता है, अतः वास्तविक क्षेत्रफल, यदि अस्तित्व में हो, इनके बीच फँसा रहता है।

समाकल (integral): उपरि समाकल inf_P U(P, f) और निम्न समाकल sup_P L(P, f) है; यदि ये बराबर हों तो f ∈ R[a, b], और उभयनिष्ठ मान ∫_a^b f(x) dx है।

भाव: f समाकलनीय है जब अधिक और कम आकलनों को एक साथ दबाया जा सके। परिबद्धता परिभाषा का अंग है, क्योंकि अन्यथा कोई M_i या m_i अनंत होगा; अपरिबद्ध समाकल्यों को अनुचित समाकलों के रूप में लिया जाता है।

रीमान कसौटी: परिबद्ध f समाकलनीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए विभाजन P ऐसा हो कि U(P, f) − L(P, f) < ε।

समाकलनीय वर्ग: संतत फलन; एकदिष्ट फलन; परिमित (या गणनीय) असांतत्यों वाले परिबद्ध फलन। लेबेग कसौटी: परिबद्ध f समाकलनीय है यदि और केवल यदि उसके असांतत्य बिंदुओं का समुच्चय शून्य माप का हो।

यह क्यों काम करता है: संतत f के लिए एकसमान सांतत्य से, मानक (mesh) छोटा होने पर प्रत्येक दोलन M_i − m_i छोटा हो जाता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)। एकदिष्ट f के लिए n समान भागों पर U − L दूरदर्शी होकर |f(b) − f(a)|·(b − a)/n बन जाता है (प्रमेय 16)। परिमित उछालों को इच्छानुसार छोटी कुल लंबाई के उप-अंतरालों में घेरा जा सकता है, अतः वे U − L में बहुत कम योगदान देते हैं।

असमाकलनीय: [0, 1] पर डिरिक्ले फलन के लिए प्रत्येक P पर U(P, f) = 1 और L(P, f) = 0।

गुणधर्म: रैखिकता; ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b; यदि f ∈ R तो |f| और f² ∈ R, और |∫f| ≤ ∫|f|; समाकलनीय फलनों का गुणनफल समाकलनीय है। विलोम असत्य है: f समाकलनीय न होने पर भी |f| हो सकता है (ℚ पर f = 1, अन्यत्र −1)।

योगों की सीमा: mesh ‖P‖ → 0 पर ∫_a^b f = lim ∑f(ξ_i)Δx_i; इससे योगों की सीमाएँ समाकलों में बदलती हैं।

5. माध्य मान और मूलभूत प्रमेय

प्रथम माध्य मान प्रमेय: यदि f, [a, b] पर संतत है, तो किसी c ∈ [a, b] के लिए ∫_a^b f = f(c)(b − a)। अधिक व्यापक रूप से, यदि f संतत है और g ∈ R[a, b] चिह्न नहीं बदलता, तो ∫fg = f(c)∫g।

यह क्यों काम करता है: [a, b] पर m = min f और M = max f लेकर m(b − a) ≤ ∫_a^b f ≤ M(b − a)। अतः औसत मान (1/(b − a))∫_a^b f, m और M के बीच है, और IVT से ऐसा c मिलता है कि f(c) उसके बराबर हो। भारित रूप के लिए m ≤ f ≤ M को g ≥ 0 से गुणा कर समाकलन कीजिए।

द्वितीय माध्य मान प्रमेय (वायरस्ट्रास रूप): यदि f एकदिष्ट है और g ∈ R[a, b], तो किसी ξ ∈ [a, b] के लिए ∫_a^b fg = f(a)∫_a^ξ g + f(b)∫_ξ^b g। बोने रूप इसकी विशेष स्थिति है जब f ≥ 0 ह्रासमान हो: ∫_a^b fg = f(a)∫_a^ξ g।

प्रथम मूलभूत प्रमेय: यदि f ∈ R[a, b] और F(x) = ∫_a^x f(t) dt, तो F, [a, b] पर संतत है; यदि f, c पर संतत है, तो F, c पर अवकलनीय है और F′(c) = f(c)।

भाव: संचित क्षेत्रफल वर्तमान ऊँचाई के बराबर दर से बढ़ता है: F(c + h) − F(c) ≈ f(c)h। c पर f का सांतत्य आवश्यक है: [−1, 1] पर f = sgn के लिए F(x) = ∫₋₁^x sgn t dt = |x| − 1, जो 0 पर अवकलनीय नहीं है। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 13 में है।

द्वितीय मूलभूत प्रमेय: यदि f ∈ R[a, b] और F, [a, b] पर अवकलनीय है तथा F′ = f, तो ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)।

लाइबनिट्ज नियम: संतत f और अवकलनीय u, v के लिए d/dx ∫_u(x)^v(x) f(t) dt = f(v(x))v′(x) − f(u(x))u′(x)।

यह क्यों काम करता है: मान लीजिए F, f का प्रतिअवकलज है (प्रथम मूल प्रमेय से यह अस्तित्व में है, क्योंकि f संतत है)। तब ∫_u(x)^v(x) f = F(v(x)) − F(u(x)), और शृंखला नियम से F′(v)v′ − F′(u)u′ = f(v(x))v′(x) − f(u(x))u′(x)।

उदाहरण 1: परिभाषा से ∫₀¹ x dx ज्ञात कीजिए।

P_n = {i/n} लेने पर U = ∑(i/n)(1/n) = (n + 1)/(2n) और L = ∑((i − 1)/n)(1/n) = (n − 1)/(2n)। U − L = 1/n → 0, अतः f ∈ R[0, 1] और समाकल 1/2 है।

उदाहरण 2: lim_n→∞ ∑_r=1ⁿ n/(n² + r²) ज्ञात कीजिए।

योग ∑(1/n)·1/(1 + (r/n)²) है, जो [0, 1] पर 1/(1 + x²) का रीमान योग है। सीमा ∫₀¹ dx/(1 + x²) = π/4 है।

उदाहरण 3: lim_x→0 (∫₀^x sin(t²) dt)/x³ ज्ञात कीजिए।

यह 0/0 रूप है; लोपिताल और प्रथम मूलभूत प्रमेय से सीमा lim sin(x²)/(3x²) = 1/3 है।

6. अनुचित समाकल

प्रथम प्रकार: ∫_a^∞ f = lim_b→∞ ∫_a^b f, यदि सीमा विद्यमान हो। द्वितीय प्रकार: यदि f, a के निकट अपरिबद्ध है, तो ∫_a^b f = lim_ε→0+ ∫_a+ε^b f।

भाव: अनुचित समाकल (improper integral) उचित समाकलों की सीमा है। अनंत लंबे या अनंत ऊँचे क्षेत्र का क्षेत्रफल भी परिमित हो सकता है, बशर्ते f, ∞ पर पर्याप्त तेज़ी से घटे या विचित्र बिंदु पर पर्याप्त धीरे बढ़े।

मानक समाकल: ∫₁^∞ dx/x^p अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1; ∫₀¹ dx/x^p अभिसारी है यदि और केवल यदि p < 1; ∫₀^∞ e^−ax dx अभिसारी है यदि और केवल यदि a > 0।

यह क्यों काम करता है: p ≠ 1 के लिए ∫₁^b x^−p dx = (b^1−p − 1)/(1 − p), जिसकी b → ∞ पर परिमित सीमा है यदि और केवल यदि p > 1; p = 1 के लिए यह log b → ∞ है। इसी प्रकार ∫_ε¹ x^−p dx = (1 − ε^1−p)/(1 − p) की ε → 0+ पर परिमित सीमा है यदि और केवल यदि p < 1।

∞ पर μ-परीक्षण (f ≥ 0): यदि किसी μ > 1 के लिए lim_x→∞ x^μf(x) परिमित है, तो ∫_a^∞ f अभिसारी है; यदि किसी μ ≤ 1 के लिए यह अशून्य (या ∞) है, तो समाकल अपसारी है।

यह क्यों काम करता है: यह 1/x^μ से सीमा तुलना है। यदि x^μf(x) → l परिमित, तो बड़े x के लिए f(x) ≤ (l + 1)/x^μ, और μ > 1 के लिए ∫dx/x^μ अभिसारी है। यदि μ ≤ 1 के साथ x^μf(x) → l > 0 (या ∞), तो बड़े x के लिए f(x) ≥ c/x^μ, और ∫dx/x^μ अपसारी है।

विचित्र बिंदु a पर μ-परीक्षण (f ≥ 0): यदि किसी μ < 1 के लिए lim_x→a+ (x − a)^μf(x) परिमित है, तो ∫_a^b f अभिसारी है; यदि किसी μ ≥ 1 के लिए यह अशून्य (या ∞) है, तो यह अपसारी है।

निरपेक्ष अभिसरण और परीक्षण: यदि ∫|f| अभिसारी है तो ∫f अभिसारी है। डिरिक्ले परीक्षण: यदि सभी X के लिए ∫_a^X f परिबद्ध है और g एकदिष्ट रूप से घटकर 0 की ओर जाता है, तो ∫_a^∞ fg अभिसारी है। आबेल परीक्षण: यदि ∫_a^∞ f अभिसारी है और g एकदिष्ट तथा परिबद्ध है, तो ∫_a^∞ fg अभिसारी है।

सप्रतिबंध अभिसरण: ∫₀^∞ (sin x)/x dx (डिरिक्ले से) π/2 की ओर अभिसारी है पर निरपेक्षतः अभिसारी नहीं।

बीटा और गामा फलन: Γ(n) = ∫₀^∞ e^−xxⁿ⁻¹ dx अभिसारी है यदि और केवल यदि n > 0, तथा Γ(n + 1) = nΓ(n) और Γ(1/2) = √π; B(m, n) = ∫₀¹ x^m−1(1 − x)ⁿ⁻¹ dx अभिसारी है यदि और केवल यदि m, n > 0, और B(m, n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m + n)।

उदाहरण 4: किन m के लिए ∫₀^∞ x^m−1/(1 + x) dx अभिसारी है?

0 के निकट समाकल्य x^m−1 = 1/x^1−m जैसा है, जिसके लिए 1 − m < 1, अर्थात m > 0 चाहिए। ∞ के निकट यह 1/x^2−m जैसा है, जिसके लिए 2 − m > 1, अर्थात m < 1 चाहिए। यह अभिसारी है यदि और केवल यदि 0 < m < 1।

उदाहरण 5: ∫₀^∞ e^−x2 dx ज्ञात कीजिए।

x² = t, dx = dt/(2√t) रखने पर समाकल (1/2)∫₀^∞ e^−tt^−1/2 dt = (1/2)Γ(1/2) = √π/2 है।

7. व्युत्पत्ति: परिष्करण और रीमान कसौटी

परिष्करण: [x_i−1, x_i] में एक बिंदु जोड़ने से वह दो भागों में बँटता है जिन पर उच्चक अधिकतम M_i और निम्नक कम से कम m_i हैं। अतः P के परिष्करण P* के लिए L(P, f) ≤ L(P*, f) ≤ U(P*, f) ≤ U(P, f)।

कोई भी निम्न योग ≤ कोई भी उच्च योग: विभाजनों P, Q के लिए L(P) ≤ L(P ∪ Q) ≤ U(P ∪ Q) ≤ U(Q)। P पर sup और Q पर inf लेने से निम्न समाकल कभी उच्च समाकल से अधिक नहीं होता।

कसौटी (⇐): यदि U(P) − L(P) < ε, तो प्रत्येक ε के लिए 0 ≤ उच्च समाकल − निम्न समाकल ≤ U(P) − L(P) < ε, अतः दोनों समान हैं।

कसौटी (⇒): यदि दोनों I के बराबर हैं, तो P₁ ऐसा चुनिए कि U(P₁) < I + ε/2 और P₂ ऐसा कि L(P₂) > I − ε/2। P = P₁ ∪ P₂ के लिए परिष्करण से U(P) − L(P) ≤ U(P₁) − L(P₂) < ε।

8. व्युत्पत्ति: द्वितीय मूल प्रमेय

मान लीजिए [a, b] पर F′ = f जहाँ f ∈ R[a, b], और P कोई विभाजन है। मध्यमान प्रमेय से किसी ξ_i ∈ (x_i−1, x_i) के लिए F(x_i) − F(x_i−1) = f(ξ_i)Δx_i। जोड़ने पर F(b) − F(a) = ∑f(ξ_i)Δx_i।

चूँकि m_i ≤ f(ξ_i) ≤ M_i, प्रत्येक P के लिए L(P, f) ≤ F(b) − F(a) ≤ U(P, f)। समाकलनीय f के सभी निम्न और सभी उच्च योगों के बीच की एकमात्र संख्या ∫_a^b f है, अतः F(b) − F(a) = ∫_a^b f।

टिप्पणी: f के सांतत्य का कहीं उपयोग नहीं हुआ, केवल F की अवकलनीयता और f की समाकलनीयता का; इसीलिए यह प्रमेय उदाहरण 8 में f(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) पर लागू होता है।

9. व्युत्पत्ति: गामा फलन का अभिसरण और पुनरावृत्ति

अभिसरण: 0 के निकट e^−xxⁿ⁻¹, xⁿ⁻¹ = 1/x¹⁻ⁿ जैसा व्यवहार करता है, जो समाकलनीय है यदि और केवल यदि 1 − n < 1, अर्थात् n > 0। ∞ के निकट xⁿ⁺¹e^−x → 0, अतः x²·e^−xxⁿ⁻¹ → 0 और μ = 2 के साथ μ-परीक्षण प्रत्येक n के लिए अभिसरण देता है।

पुनरावृत्ति: खंडशः समाकलन से ∫₀^∞ e^−xxⁿ dx = [−e^−xxⁿ]₀^∞ + n∫₀^∞ e^−xxⁿ⁻¹ dx, और n > 0 के लिए कोष्ठक 0 है। अतः Γ(n + 1) = nΓ(n); Γ(1) = 1 के साथ इससे n ∈ ℕ के लिए Γ(n + 1) = n! मिलता है।

10. सामान्य गलतियाँ

असमाकलनीय विचित्रता के पार F(b) − F(a) का उपयोग: ∫₋₁¹ dx/x² = [−1/x]₋₁¹ = −2 गलत है (धनात्मक समाकल्य ऋणात्मक उत्तर नहीं दे सकता); समाकल 0 पर अपसारी है। सदा पहले विचित्र बिंदु खोजिए।

∫_−∞^∞ के लिए सममित सीमा लेना: lim_R→∞ ∫_−R^R x dx = 0, पर ∫_−∞^∞ x dx अपसारी है; दोनों सिरे अलग-अलग अभिसारी होने चाहिए (सममित सीमा केवल मुख्य मान है)।

अनंत असांतत्यों के कारण फलन को असमाकलनीय घोषित करना: 1/n सोपान फलन और थोमे फलन समाकलनीय हैं; महत्त्वपूर्ण यह है कि असांतत्यों का माप शून्य हो और f परिबद्ध हो।

∫_a^∞ f के अभिसरण को f(x) → 0 से जोड़ना: 1/x → 0 पर ∫₁^∞ dx/x अपसारी है, और ∫₀^∞ sin(x²) dx अभिसारी है यद्यपि sin(x²) की कोई सीमा नहीं।

μ-परीक्षण को उलट देना: ∞ पर अभिसरण के लिए परिमित सीमा के साथ μ > 1 चाहिए; परिमित विचित्र बिंदु पर अभिसरण के लिए μ < 1। μ = 1 के साथ परिमित शून्येतर सीमा का अर्थ दोनों स्थितियों में अपसरण है।

11. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: संख्यात्मक विश्लेषण के समलंबी और सिम्पसन नियम स्पष्ट त्रुटि पदों वाले रीमान-प्रकार के योग हैं, और योगों की सीमा वाला सूत्र उसी विचार की उलटी दिशा है।

संबंध: लाप्लास रूपांतर ∫₀^∞ e^−stf(t) dt (ODE अध्याय) प्रथम प्रकार का अनुचित समाकल है, और अनेक अनुचित समाकल, जैसे ∫₀^∞ dx/(1 + x⁴), सम्मिश्र विश्लेषण में कंटूर समाकलन से निकाले जाते हैं।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 6: दिखाइए कि परिमेय x के लिए f(x) = x और अपरिमेय x के लिए f(x) = 0, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय नहीं है।

परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं, अतः प्रत्येक उपांतराल [x_i−1, x_i] पर m_i = 0 और M_i = x_i।

अतः प्रत्येक P के लिए L(P, f) = 0, जबकि U(P, f) = ∑x_iΔx_i ≥ ∑((x_i−1 + x_i)/2)Δx_i = ∑(x_i² − x_i−1²)/2 = 1/2।

अतः उपरि समाकल कम से कम 1/2 (वस्तुतः ठीक 1/2) है और निम्न समाकल 0 है। ये भिन्न हैं, अतः f ∉ R[0, 1]; ध्यान दें कि f केवल x = 0 पर संतत है।

उदाहरण 7: बीटा और गामा फलनों से ∫₀^π/2 sin⁴x cos²x dx का मान ज्ञात कीजिए।

p, q > −1 के लिए ∫₀^π/2 sin^px cos^qx dx = (1/2)B((p + 1)/2, (q + 1)/2)।

p = 4, q = 2 के साथ: (1/2)B(5/2, 3/2) = (1/2)Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4)।

Γ(3/2) = √π/2, Γ(5/2) = (3/2)(√π/2) = 3√π/4 और Γ(4) = 3! = 6, अतः मान (1/2)(3π/8)/6 = π/32 है।

13. अतिरिक्त तकनीकें: दोलन, असमिकाएँ, प्राचल और तुलना

दोलन (oscillation): अंतराल I पर परिबद्ध f का दोलन ω(f, I) = M − m है, जो I पर sup f और inf f का अंतर है। तब U(P, f) − L(P, f) = ∑ω_iΔx_i, और ω(f, I) = sup{|f(x₁) − f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ I}।

समाकल असमिकाएँ: यदि f, g ∈ R[a, b] और f ≤ g, तो ∫f ≤ ∫g; यदि साथ ही f, g संतत हैं और किसी बिंदु c पर f(c) < g(c), तो ∫f < ∫g। विशेषतः m(b − a) ≤ ∫_a^b f ≤ M(b − a)।

परिमेयों और अपरिमेयों पर भिन्न नियम: मान लीजिए g, h, [a, b] पर संतत हैं, ℚ पर f = g और अपरिमेयों पर f = h। सघनता और सांतत्य से प्रत्येक उप-अंतराल पर sup f = sup max(g, h) और inf f = inf min(g, h)।

अतः f का उपरि समाकल ∫_a^b max(g, h) और निम्न समाकल ∫_a^b min(g, h) है; f ∈ R[a, b] यदि और केवल यदि [a, b] पर g = h।

अनंत सोपानों वाले सोपान फलन: परिबद्ध एकदिष्ट फलन, या ऐसा फलन जिसके असांतत्य 1/2, 1/3, 1/4, ... हों, समाकलनीय है; इसे खंड-दर-खंड समाकलित कीजिए, जिससे अनंत श्रेणी मिलती है।

दोषपूर्ण बिंदु वाले प्रतिअवकलज: यदि F, [a, b] पर अवकलनीय है और F′ = f ∈ R[a, b], तो द्वितीय मूलभूत प्रमेय ∫_a^b f = F(b) − F(a) देता है, भले f असंतत हो (जैसे F(x) = x² sin(1/x), F(0) = 0)।

समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन: यदि f और ∂f/∂α, [a, b] × [c, d] पर संतत हैं, तो d/dα ∫_a^b f(x, α) dx = ∫_a^b ∂f/∂α dx। अनंत परिसर पर ∫_a^∞ ∂f/∂α dx का α में एकसमान अभिसरण भी चाहिए, जैसे परिबंध |∂f/∂α| ≤ M(x) द्वारा, जहाँ ∫M अभिसारी हो।

अनुचित समाकलों के लिए तुलना: यदि 0 ≤ f ≤ g, तो ∫g के अभिसरण से ∫f अभिसारी है; सीमा रूप में, यदि 0 < l < ∞ के साथ f/g → l, तो दोनों साथ अभिसारी या साथ अपसारी हैं। दो विचित्र बिंदुओं (या एक विचित्र बिंदु और ∞) पर परिसर विभाजित कर प्रत्येक खंड का परीक्षण कीजिए।

श्रेणी द्वारा अपसरण: f ≥ 0 के लिए ∫₀^∞ f अभिसारी है यदि और केवल यदि ∑_n ∫_nπ^(n+1)π f अभिसारी हो; यह 1/(1 + x²sin²x) जैसे अनेकदिष्ट समाकल्यों को सँभालता है।

14. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 15 अंक): ∫₀¹ f(x) dx का समाकलन कीजिए, जहाँ
f(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x), x ∈ ]0, 1]
f(x) = 0, x = 0

f, [0, 1] पर परिबद्ध है (|f(x)| ≤ 2x + 1 ≤ 3) और x = 0 के अतिरिक्त संतत है, अतः f ∈ R[0, 1]।

x ≠ 0 के लिए F(x) = x² sin(1/x) और F(0) = 0 लीजिए। 0 < x ≤ 1 के लिए F′(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) = f(x)।

0 पर F′(0) = lim_h→0+ h sin(1/h) = 0 = f(0)। अतः F, [0, 1] पर अवकलनीय है और F′ = f।

द्वितीय मूलभूत प्रमेय से (F′ = f ∈ R[0, 1]), ∫₀¹ f(x) dx = F(1) − F(0) = sin 1।

उत्तर: ∫₀¹ f(x) dx = sin 1 ≈ 0.8415।

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 15 अंक): क्या फलन
f(x) = 1/n, 1/(n + 1) < x ≤ 1/n
f(x) = 0, x = 0
रीमान समाकलनीय है? यदि हाँ, तो ∫₀¹ f(x) dx का मान ज्ञात कीजिए।

f परिबद्ध (0 ≤ f ≤ 1) और [0, 1] पर वर्धमान है: बड़ा x छोटे n वाले अंतराल (1/(n + 1), 1/n] में होता है, अतः उसका मान 1/n बड़ा होता है।

एकदिष्ट फलन रीमान समाकलनीय होता है, अतः f ∈ R[0, 1] (वैकल्पिक रूप से, इसके असांतत्य 1/2, 1/3, ... गणनीय समुच्चय बनाते हैं)।

चूँकि 0 ≤ ∫₀^c f ≤ c, ∫₀¹ f = lim_c→0+ ∫_c¹ f, और प्रत्येक खंड (1/(n + 1), 1/n] पर f अचर 1/n है।

अतः ∫₀¹ f = ∑_n=1^∞ (1/n)(1/n − 1/(n + 1)) = ∑ 1/(n²(n + 1))।

1/(n²(n + 1)) = 1/n² − 1/n + 1/(n + 1), और ∑(1/(n + 1) − 1/n) = −1 (दूरदर्शी योग), अतः योग π²/6 − 1 है।

उत्तर: हाँ, f रीमान समाकलनीय है और ∫₀¹ f(x) dx = π²/6 − 1 ≈ 0.645।

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 15 अंक): मान लीजिए कि f(t) = ∫₀^t [x] dx, जहाँ [x] सबसे बड़ी पूर्ण संख्या है, जो x से छोटी या x के बराबर है, को दर्शाता है।
(i) निर्धारित कीजिए सभी वास्तविक संख्याएँ t, जहाँ f अवकलनीय है।
(ii) निर्धारित कीजिए सभी वास्तविक संख्याएँ t, जहाँ f संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

[x] परिबद्ध अंतरालों पर परिबद्ध है और पूर्णांकों के अतिरिक्त संतत है, अतः f(t) = ∫₀^t [x] dx प्रत्येक वास्तविक t के लिए परिभाषित है (t < 0 के लिए इसका अर्थ −∫_t⁰ [x] dx है)।

प्रथम मूलभूत प्रमेय से f, ℝ पर संतत है, और जहाँ [x] संतत है, अर्थात प्रत्येक t ∉ ℤ पर, f′(t) = [t]।

पूर्णांक n पर: n ≤ t < n + 1 के लिए f(t) = f(n) + n(t − n), अतः दक्षिण अवकलज n है; n − 1 ≤ t < n के लिए f(t) = f(n) − (n − 1)(n − t), अतः वाम अवकलज n − 1 है।

एकपक्षीय अवकलज भिन्न हैं, अतः f किसी भी पूर्णांक पर अवकलनीय नहीं है।

उत्तर: (i) f ठीक t ∈ ℝ∖ℤ पर अवकलनीय है, f′(t) = [t]; (ii) f सर्वत्र संतत है, अतः ठीक पूर्णांकों पर संतत परंतु अनवकलनीय है।

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 10 अंक): असमिका : π²/9 < ∫_π/6^π/2 (x/sin x) dx < 2π²/9 को सिद्ध कीजिए।

[π/6, π/2] पर 1/2 ≤ sin x ≤ 1, अतः x ≤ x/sin x ≤ 2x।

x < π/2 के लिए sin x < 1 और x > π/6 के लिए sin x > 1/2, अतः प्रत्येक असमिका एक अंत्य बिंदु के अतिरिक्त निरंतर है; फलन संतत हैं, अतः समाकलित असमिकाएँ निरंतर हैं।

∫_π/6^π/2 x dx = (1/2)(π²/4 − π²/36) = π²/9, और ∫_π/6^π/2 2x dx = 2π²/9।

उत्तर: π²/9 < ∫_π/6^π/2 (x/sin x) dx < 2π²/9 (संख्यात्मक रूप से 1.097 < 1.300 < 2.193)।

उदाहरण 12 (UPSC 2019, 10 अंक): मूल्यांकन कीजिए :
∫₀^∞ tan⁻¹(ax)/(x(1 + x²)) dx, a > 0, a ≠ 1.

I(a) = ∫₀^∞ tan⁻¹(ax)/(x(1 + x²)) dx, a ≥ 0, लीजिए। समाकल्य (0, ∞) पर संतत है, x → 0 पर a की ओर जाता है और अधिकतम π/(2x(1 + x²)) है, अतः I(a) अभिसारी है, और I(0) = 0।

समाकल्य का ∂/∂a, 1/((1 + a²x²)(1 + x²)) ≤ 1/(1 + x²) है, जिसका समाकल अभिसारी है; अतः अवकलित समाकल a ≥ 0 के लिए एकसमान अभिसारी है और हम समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन कर सकते हैं।

a ≠ 1 के लिए 1/((1 + a²x²)(1 + x²)) = (1/(1 − a²))[1/(1 + x²) − a²/(1 + a²x²)]।

चूँकि a > 0 के लिए ∫₀^∞ a dx/(1 + a²x²) = π/2, I′(a) = (1/(1 − a²))(π/2 − aπ/2) = π/(2(1 + a))।

समाकलन से I(a) = (π/2) log(1 + a) + C, और I(0) = 0 से C = 0।

उत्तर: ∫₀^∞ tan⁻¹(ax)/(x(1 + x²)) dx = (π/2) log_e(1 + a) (संख्यात्मक जाँच: a = 2 पर 1.7257)।

उदाहरण 13 (UPSC 2020, 15 अंक): दर्शाइए कि ∫₀^π/2 sin²x/(sin x + cos x) dx = (1/√2) log_e(1 + √2)

मान लीजिए I दिया गया समाकल है। प्रतिस्थापन x → π/2 − x से I = ∫₀^π/2 cos²x/(cos x + sin x) dx।

जोड़ने पर 2I = ∫₀^π/2 dx/(sin x + cos x) = (1/√2)∫₀^π/2 dx/sin(x + π/4)।

∫cosec θ dθ = log tan(θ/2) से 2I = (1/√2)[log tan(3π/8) − log tan(π/8)]।

tan(3π/8) = √2 + 1 और tan(π/8) = √2 − 1, अतः 2I = (1/√2) log((√2 + 1)/(√2 − 1)) = (1/√2) log(√2 + 1)² = √2 log(1 + √2)।

उत्तर: I = (1/√2) log_e(1 + √2) ≈ 0.6232, जैसा अपेक्षित था।

उदाहरण 14 (UPSC 2023, 15 अंक): सिद्ध कीजिए कि [a, b] पर परिभाषित एक वास्तविक मान परिबद्ध फलन f का दोलन, समुच्चय {|f(x₁) − f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ [a, b]} का उच्चक है।

मान लीजिए [a, b] पर M = sup f और m = inf f, अतः दोलन M − m है, और S = {|f(x₁) − f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ [a, b]}, एक परिबद्ध समुच्चय है।

सभी x₁, x₂ के लिए m ≤ f(x₁), f(x₂) ≤ M, अतः |f(x₁) − f(x₂)| ≤ M − m: M − m, S का उपरि परिबंध है।

मान लीजिए ε > 0। sup और inf की परिभाषा से ऐसे x₁, x₂ हैं कि f(x₁) > M − ε/2 और f(x₂) < m + ε/2।

तब |f(x₁) − f(x₂)| ≥ f(x₁) − f(x₂) > M − m − ε, अतः M − m से छोटी कोई संख्या S का उपरि परिबंध नहीं है।

उत्तर: sup S = M − m, जो [a, b] पर f का दोलन है।

उदाहरण 15 (UPSC 2024, 10 अंक): ∫₀² log x/√(2 − x) dx के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

समाकल्य के दो विचित्र बिंदु हैं, x = 0 (log x → −∞) और x = 2 (हर शून्य होता है)। समाकल को 1 पर विभाजित कीजिए।

(0, 1] पर समाकल्य ≤ 0 है; g(x) = −log x/√(2 − x) ≥ 0 लीजिए। μ = 1/2 के साथ x → 0+ पर x^μg(x) = −√x log x/√(2 − x) → 0, जो μ < 1 के साथ परिमित सीमा है, अतः ∫₀¹ अभिसारी है।

[1, 2) पर समाकल्य ≥ 0 है, और μ = 1/2 के साथ x → 2− पर (2 − x)^μ·log x/√(2 − x) = log x → log 2, जो μ < 1 के साथ परिमित है, अतः ∫₁² अभिसारी है।

उत्तर: ∫₀² log x/√(2 − x) dx अभिसारी है।

उदाहरण 16 (UPSC 2024, 15 अंक): [0, 1] पर परिभाषित निम्नलिखित फलन f के लिए उपरि तथा निम्न रीमान समाकल ज्ञात कीजिए:
f(x) = (1 − x²)^1/2, यदि x परिमेय है।
f(x) = (1 − x), यदि x अपरिमेय है।
अतः दर्शाइए कि [0, 1] पर f रीमान समाकलनीय नहीं है।

g(x) = √(1 − x²) और h(x) = 1 − x लीजिए, जो [0, 1] पर संतत हैं। चूँकि (1 − x²) − (1 − x)² = 2x(1 − x) ≥ 0, [0, 1] पर g ≥ h, समता केवल 0 और 1 पर।

विभाजन के प्रत्येक उप-अंतराल J पर परिमेय और अपरिमेय सघन हैं, अतः sup_J f = sup_J g और inf_J f = inf_J h।

अतः प्रत्येक P के लिए U(P, f) = U(P, g) और L(P, f) = L(P, h), इसलिए उपरि समाकल ∫₀¹ √(1 − x²) dx = π/4 (इकाई चकती का चौथाई) और निम्न समाकल ∫₀¹ (1 − x) dx = 1/2 है।

π/4 ≈ 0.785 ≠ 1/2, अतः f, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय नहीं है।

उत्तर: उपरि समाकल π/4, निम्न समाकल 1/2; f ∉ R[0, 1]।

उदाहरण 17 (UPSC 2026, 20 अंक): अंतराल [0, 1] पर एक फलन
f(x) = x², जब x परिमेय है;
f(x) = x³, जब x अपरिमेय है
द्वारा परिभाषित है। निम्न समाकल ∫₀¹ f और उच्च समाकल ∫₀¹ f का मूल्यांकन कीजिए। क्या समाकल ∫₀¹ f का अस्तित्व है?

[0, 1] पर x³ ≤ x², समता केवल 0 और 1 पर; दोनों फलन संतत हैं।

सघनता से प्रत्येक उप-अंतराल पर sup f = sup x² और inf f = inf x³, अतः प्रत्येक विभाजन P के लिए U(P, f) = U(P, x²) और L(P, f) = L(P, x³)।

अतः उपरि समाकल ∫₀¹ x² dx = 1/3 और निम्न समाकल ∫₀¹ x³ dx = 1/4 है।

उत्तर: निम्न समाकल 1/4, उपरि समाकल 1/3; ये भिन्न हैं, अतः ∫₀¹ f विद्यमान नहीं है।

उदाहरण 18 (UPSC 2026, 15 अंक): सिद्ध कीजिए कि अनंत समाकल ∫₀^∞ dx/(1 + x² sin²x) अपसारी है।

f(x) = 1/(1 + x²sin²x) > 0, अतः ∫₀^∞ f अभिसारी है यदि और केवल यदि ∑_n≥0 I_n अभिसारी हो, जहाँ I_n = ∫_nπ^(n+1)π f(x) dx।

[nπ, (n + 1)π] पर x ≤ (n + 1)π, और x = nπ + t से sin²x = sin²t। अतः A = (n + 1)²π² के साथ I_n ≥ ∫₀^π dt/(1 + A sin²t)।

∫₀^π dt/(1 + A sin²t) = 2∫₀^π/2 sec²t dt/(1 + (1 + A)tan²t) = π/√(1 + A) (u = tan t रखिए)।

अतः I_n ≥ π/√(1 + (n + 1)²π²) ≥ π/√(2(n + 1)²π²) = 1/(√2(n + 1)), क्योंकि 1 ≤ (n + 1)²π²।

∑1/(n + 1) अपसारी है, अतः तुलना से ∑I_n अपसारी है। (ध्यान दें कि समाकल्य 0 की ओर नहीं जाता: प्रत्येक x = nπ पर यह 1 है।)

उत्तर: ∫₀^∞ dx/(1 + x²sin²x) अपसारी है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): [0, 1] पर f(x) = x² और P = {0, 1/2, 1} के लिए U(P, f) और L(P, f) निकालिए।

उत्तर: U = (1/4 + 1)(1/2) = 5/8 और L = (0 + 1/4)(1/2) = 1/8।

अभ्यास 2 (मूल): क्या f(x) = 1/x, 0 < x ≤ 1 के लिए, f(0) = 0, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है?

उत्तर: नहीं: यह अपरिबद्ध है, अतः प्रत्येक विभाजन के पहले टुकड़े पर M₁ = ∞ (और अनुचित समाकल के रूप में भी ∫₀¹ dx/x अपसारी है)।

अभ्यास 3 (मूल): d/dx ∫₀^x2 cos(t²) dt ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2x cos(x⁴), प्रथम मूलभूत प्रमेय और शृंखला नियम से।

अभ्यास 4 (मानक): lim_n→∞ ∑_r=1ⁿ 1/(n + r) का मान निकालिए।

उत्तर: ∑(1/n)·1/(1 + r/n) → ∫₀¹ dx/(1 + x) = log 2।

अभ्यास 5 (मानक): lim_n→∞ (1² + 2² + ... + n²)/n³ को समाकल के रूप में निकालिए।

उत्तर: ∑(1/n)(r/n)² → ∫₀¹ x² dx = 1/3।

अभ्यास 6 (मानक): ∫₀^∞ dx/(√x(1 + x)) का परीक्षण कीजिए और इसका मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 0 के निकट यह x^−1/2 की तरह और ∞ के निकट x^−3/2 की तरह व्यवहार करता है, अतः अभिसारी है; x = t² से 2∫₀^∞ dt/(1 + t²) = π।

अभ्यास 7 (मानक): दिखाइए कि ∫₀¹ log x dx अभिसारी है और इसका मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∫_ε¹ log x dx = [x log x − x]_ε¹ = −1 − ε log ε + ε → −1, क्योंकि ε log ε → 0।

अभ्यास 8 (मानक): बीटा फलन से ∫₀¹ x³(1 − x)⁴ dx का मान निकालिए।

उत्तर: B(4, 5) = Γ(4)Γ(5)/Γ(9) = 3!·4!/8! = 1/280।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): p > 0 के लिए ∫₁^∞ (sin x)/x^p dx के निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण की विवेचना कीजिए।

उत्तर: p > 1 के लिए |sin x|/x^p ≤ 1/x^p: निरपेक्षतः अभिसारी। 0 < p ≤ 1 के लिए डिरिक्ले परीक्षण (|∫₁^X sin x dx| ≤ 2, 1/x^p घटते हुए 0 की ओर) अभिसरण देता है, जबकि |sin x| ≥ sin²x = (1 − cos 2x)/2 दिखाता है कि ∫|sin x|/x^p अपसारी है: सप्रतिबंध अभिसारी।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): समाकल चिह्न के भीतर अवकलन से दिखाइए कि a > 0 के लिए ∫₀^∞ e^−ax(sin x)/x dx = tan⁻¹(1/a)।

उत्तर: I′(a) = −∫₀^∞ e^−ax sin x dx = −1/(1 + a²) (a ≥ a₀ > 0 के लिए एकसमान), और a → ∞ पर I(a) → 0, अतः I(a) = π/2 − tan⁻¹a = tan⁻¹(1/a)।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): [0, 1] पर f(x) = 2x, परिमेय x के लिए और f(x) = x², अपरिमेय x के लिए। ऊपरी और निचले समाकल ज्ञात कीजिए। क्या f समाकलनीय है?

उत्तर: [0, 1] पर 2x − x² = x(2 − x) ≥ 0, अतः ऊपरी समाकल ∫₀¹ 2x dx = 1 और निचला समाकल ∫₀¹ x² dx = 1/3; ये भिन्न हैं, अतः f समाकलनीय नहीं।

1. बिंदुशः और एकसमान अभिसरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: फलन प्रायः सीमाओं के रूप में बनाए जाते हैं, उदाहरणतः घात श्रेणियों या फूरिये श्रेणियों के योग। हम चाहते हैं कि सीमा अच्छे गुण (सांतत्य, समाकल, अवकलज) ग्रहण करे। इसके लिए बिंदुशः अभिसरण बहुत दुर्बल है: प्रत्येक f_n(x) = xⁿ, [0, 1] पर संतत है, परंतु सीमा x = 1 पर उछलती है।

शब्दों में: बिंदुशः (pointwise): पहले x स्थिर करें; तब संख्याएँ f_n(x), f(x) की ओर अभिसारी हैं, ऐसे N के साथ जो x पर निर्भर हो सकता है। एकसमान (uniform): प्रत्येक ε के लिए एक ही N, E के सभी x के लिए एक साथ काम करता है, अर्थात sup_x∈E |f_n(x) − f(x)| → 0।

संख्या M_n = sup_x∈E |f_n(x) − f(x)| पूरे समुच्चय पर f_n की सबसे बड़ी त्रुटि है। एकसमान अभिसरण का अर्थ है कि सबसे बड़ी त्रुटि 0 की ओर जाती है; बिंदुशः का अर्थ केवल इतना है कि प्रत्येक अलग त्रुटि जाती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: [0, ∞) पर f_n(x) = x/(1 + nx)।

चरण 1 (बिंदुशः सीमा): f_n(0) = 0; स्थिर x > 0 के लिए x/(1 + nx) ≤ x/(nx) = 1/n → 0। अतः f = 0।

चरण 2 (सबसे बड़ी त्रुटि): M_n = sup_x≥0 x/(1 + nx)। फलन x/(1 + nx), x के साथ बढ़ता है (इसका अवकलज 1/(1 + nx)² > 0 है) और x → ∞ पर 1/n की ओर जाता है, अतः M_n = 1/n।

चरण 3 (निर्णय): M_n = 1/n → 0, अतः [0, ∞) पर अभिसरण एकसमान है। ε दिए होने पर N > 1/ε सभी x के लिए एक साथ काम करता है।

चरण 4 (तुलना): g_n(x) = nx/(1 + nx) के लिए बिंदुशः सीमा x > 0 पर 1 और x = 0 पर 0 है; यह असंतत है, अतः इन संतत g_n का अभिसरण [0, ∞) पर एकसमान नहीं हो सकता।

अ-उदाहरण (non-example): [0, 1) पर f_n(x) = xⁿ प्रत्येक बिंदु पर 0 की ओर अभिसारी है, परंतु प्रत्येक n के लिए M_n = sup_{[0, 1)} xⁿ = 1 (x को 1 के निकट लें)। सबसे बड़ी त्रुटि कभी नहीं घटती, अतः अभिसरण बिंदुशः है परंतु एकसमान नहीं, यद्यपि सीमा 0 संतत है।

आगे बढ़ते हुए: (1) M_n-परीक्षण केवल उच्चक के साथ पुनर्लिखित परिभाषा है। (2) M_n निकालने के लिए |f_n − f| को कलन से अधिकतम करें और अंत्य बिंदु जाँचें (व्युत्पत्ति 5)। (3) एकसमानता असिद्ध करने के लिए प्रत्येक n के लिए ऐसा एक x_n पर्याप्त है जिसमें |f_n(x_n) − f(x_n)| ≥ ε₀।

(4) उत्तर समुच्चय पर निर्भर करता है: a < 1 के लिए xⁿ, [0, a] पर एकसमान अभिसारी है (M_n = aⁿ) परंतु [0, 1) पर नहीं। जिस समुच्चय पर आप एकसमानता का दावा करते हैं, उसे सदा बताएँ।

कहाँ प्रयोग होता है: इस विषय का सबसे सामान्य UPSC प्रश्न: '... पर f_n(x) = ... के एकसमान अभिसरण का परीक्षण कीजिए'; सीमाओं के सांतत्य, समाकलन और अवकलन के प्रत्येक प्रमेय का आरंभ-बिंदु भी।

2. वायरस्ट्रास M-परीक्षण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: श्रेणी ∑u_n(x) के लिए हम प्रायः योग S(x) नहीं लिख सकते, अतः sup|S_n − S| नहीं निकाल सकते। हमें ऐसा परीक्षण चाहिए जो केवल अलग-अलग पदों का प्रयोग करे।

शब्दों में: ऐसी संख्याएँ M_n (अचर, x पर निर्भर नहीं) खोजें कि प्रत्येक x ∈ E और प्रत्येक n के लिए |u_n(x)| ≤ M_n। यदि संख्या-श्रेणी ∑M_n अभिसारी है, तो ∑u_n(x), E पर एकसमान और निरपेक्ष रूप से अभिसारी है।

सर्वोत्तम चयन M_n = sup_x∈E |u_n(x)| है, जो कलन या किसी सरल असमिका से मिलता है; कोई भी बड़ा अचर भी काम करता है यदि उसकी श्रेणी अभिसारी रहे।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाइए कि ∑_n=1^∞ cos(nx)/(n² + x²), ℝ पर एकसमान अभिसारी है।

चरण 1 (अंश को परिबद्ध करें): सभी x के लिए |cos(nx)| ≤ 1।

चरण 2 (हर को नीचे से परिबद्ध करें): सभी x के लिए n² + x² ≥ n²।

चरण 3 (मिलाएँ): |u_n(x)| ≤ 1/n² = M_n, x से स्वतंत्र एक संख्या।

चरण 4 (निष्कर्ष): ∑1/n² अभिसारी है, अतः M-परीक्षण से श्रेणी ℝ पर एकसमान (और निरपेक्ष) रूप से अभिसारी है। प्रत्येक पद संतत है, अतः योग ℝ पर संतत फलन है।

अ-उदाहरण (non-example): (−1, 1) पर ∑xⁿ के लिए sup|xⁿ| = 1, अतः सर्वोत्तम M_n = 1 है और ∑1 अपसारी है: M-परीक्षण विफल है, और वास्तव में (−1, 1) पर अभिसरण एकसमान नहीं (शेष xⁿ/(1 − x), 1 के निकट अपरिबद्ध है)। r < 1 के साथ [−r, r] पर M_n = rⁿ काम करता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) फलन-श्रेणी का शेष ∑M_n के शेष से अधिक नहीं: |u_n+1(x) + ... + u_m(x)| ≤ M_n+1 + ... + M_m, दाईं ओर कोई x नहीं। (2) तब एकसमान अभिसरण की कॉशी कसौटी लागू होती है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15)।

(3) M-परीक्षण निरपेक्ष और एकसमान अभिसरण एक साथ सिद्ध करता है, अतः यह केवल सप्रतिबंध अभिसारी श्रेणियों, जैसे ∑(−1)ⁿ/(n + x²), को नहीं सँभाल सकता; उनके लिए डिरिक्ले या एबेल के एकसमान परीक्षण प्रयोग करें।

कहाँ प्रयोग होता है: फलनों की किसी भी श्रेणी के लिए पहला औज़ार; [−r, r] पर घात श्रेणियाँ; ∑|a_n| < ∞ वाली फूरिये श्रेणियाँ; अवकलित श्रेणी पर लगाने पर पद-दर-पद अवकलन का औचित्य।

3. एकसमान अभिसरण द्वारा सुरक्षित गुणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: परीक्षा में पूछा जाता है कि क्या lim ∫f_n = ∫lim f_n, क्या श्रेणी का योग संतत है, या क्या श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन हो सकता है। ये दो सीमा-प्रक्रियाओं के परस्पर विनिमय हैं, और विफल हो सकते हैं।

शब्दों में: (i) संतत फलनों की एकसमान सीमा संतत है; (ii) परिबद्ध अंतराल पर समाकलनीय फलनों की एकसमान सीमा समाकलनीय है और ∫f_n → ∫f; (iii) यदि f_n′ एकसमान अभिसारी हों और f_n(x₀) एक बिंदु पर अभिसारी हो, तो (lim f_n)′ = lim f_n′।

ध्यान दें कि (iii) में परिकल्पना अवकलजों पर है, फलनों पर नहीं। तीनों पर्याप्त शर्तें हैं; जब वे विफल हों, तब भी निष्कर्ष सत्य हो सकता है और उसे सीधे जाँचना होगा।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f_n(x) = 2n²x e^−n2x2 के लिए निर्णय कीजिए कि क्या lim ∫₀¹ f_n = ∫₀¹ lim f_n।

चरण 1 (बिंदुशः सीमा): f_n(0) = 0, और स्थिर x > 0 के लिए घातांकी e^−n2x2 गुणक 2n² को हरा देता है, अतः f_n(x) → 0। इस प्रकार ∫₀¹ lim f_n = 0।

चरण 2 (पहले समाकलन): ∫₀¹ 2n²x e^−n2x2 dx = [−e^−n2x2]₀¹ = 1 − e⁻ⁿ² → 1।

चरण 3 (तुलना): 1 ≠ 0, अतः विनिमय विफल है। प्रमेय (ii) से, [0, 1] पर अभिसरण एकसमान नहीं हो सकता।

चरण 4 (M_n से पुष्टि): f_n, x = 1/(n√2) पर अधिकतम है, जहाँ इसका मान n√2·e^−1/2 → ∞ है। f_n का द्रव्यमान लगभग 1 क्षेत्रफल वाला एक नुकीला शिखर है जो 0 की ओर सिकुड़ता है: बिंदुशः यह लुप्त होता है, परंतु इसका क्षेत्रफल नहीं।

अ-उदाहरण (non-example): f_n(x) = sin(n²x)/n → 0, ℝ पर एकसमान रूप से (M_n = 1/n), परंतु f_n′(x) = n cos(n²x) अभिसारी नहीं (x = 0 पर यह n है)। फलनों का एकसमान अभिसरण पद-दर-पद अवकलन की अनुमति नहीं देता; (iii) की अवकलज शर्त विफल है।

आगे बढ़ते हुए: (1) सांतत्य: ε/3 तर्क (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 14)। (2) समाकलन: |∫f_n − ∫f| ≤ (b − a)M_n → 0 (व्युत्पत्ति 6)। (3) अवकलन: f_n′ पर (ii) लगाकर f_n(x) − f_n(x₀) = ∫_x0^x f_n′ → ∫_x0^x g मिलता है, फिर मूलभूत प्रमेय f′ = g देता है (जब f_n′ संतत हों)।

(4) प्रतिधनात्मक रूप त्वरित औज़ार हैं: संतत फलनों की असंतत सीमा, या परिबद्ध अंतराल पर lim ∫f_n ≠ ∫lim f_n, सिद्ध करते हैं कि अभिसरण एकसमान नहीं है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'क्या श्रेणी का पद-दर-पद समाकलन या अवकलन हो सकता है?' प्रश्न; श्रेणियों के योगों का सांतत्य; PDE में यह जाँचना कि फूरिये-श्रेणी हल वास्तव में समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

4. घात श्रेणियों और अभिसरण त्रिज्या को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: e^x, sin x और log(1 + x) जैसे फलन घात श्रेणियों (power series) ∑a_nxⁿ द्वारा दिए जाते हैं। हमें जानना चाहिए कि किन x के लिए ऐसी श्रेणी अभिसारी है, और क्या हम उसका पद-दर-पद अवकलन या समाकलन कर सकते हैं।

शब्दों में: एक संख्या R, 0 ≤ R ≤ ∞, अभिसरण त्रिज्या (radius of convergence), ऐसी है कि श्रेणी |x| < R के लिए निरपेक्षतः अभिसारी और |x| > R के लिए अपसारी है। यह 1/R = lim sup |a_n|^1/n से, या जब सीमा विद्यमान हो तब 1/R = lim |a_n+1/a_n| से मिलती है। x = ±R पर कुछ भी हो सकता है।

भीतर, r < R वाले प्रत्येक संवृत अंतराल [−r, r] पर अभिसरण एकसमान है, अतः योग संतत है और (−R, R) पर उसका पद-दर-पद अवकलन और समाकलन हो सकता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ज्ञात कीजिए कि ∑_n=1^∞ xⁿ/(n·2ⁿ) कहाँ अभिसारी है।

चरण 1 (गुणांक): a_n = 1/(n·2ⁿ), अतः |a_n+1/a_n| = n/(2(n + 1)) → 1/2। अतः R = 2।

चरण 2 (भीतर और बाहर): |x| < 2 पर निरपेक्ष अभिसरण, |x| > 2 पर अपसरण (पद 0 की ओर नहीं जाते)।

चरण 3 (अंत्य बिंदु x = 2): श्रेणी ∑1/n बन जाती है, जो अपसारी है।

चरण 4 (अंत्य बिंदु x = −2): यह ∑(−1)ⁿ/n बन जाती है, जो लाइबनिट्ज़ से अभिसारी है परंतु निरपेक्षतः नहीं। अतः अभिसरण अंतराल [−2, 2) है, और वहाँ योग −log(1 − x/2) है।

अ-उदाहरण (non-example): ∑n!xⁿ के लिए |a_n+1/a_n| = n + 1 → ∞, अतः R = 0: श्रेणी केवल x = 0 पर अभिसारी है। x की घातों वाला सूत्र होना कहीं और अभिसरण की गारंटी नहीं देता।

आगे बढ़ते हुए: (1) |a_nxⁿ| पर मूल परीक्षण त्रिज्या देता है (कॉशी–हैडामार्ड, व्युत्पत्ति 7)। (2) [−r, r] पर |a_nxⁿ| ≤ |a_n|rⁿ, एक अभिसारी संख्या-श्रेणी: M-परीक्षण एकसमानता देता है।

(3) अवकलित श्रेणी ∑na_nxⁿ⁻¹ की त्रिज्या वही है, अतः भीतर पद-दर-पद अवकलन मान्य है। (4) यदि श्रेणी x = R पर अभिसारी है, तो एबेल का सीमा प्रमेय योग को R तक संतत बनाता है; इसी से log 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − ... सिद्ध होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: त्रिज्या और अभिसरण अंतराल के प्रश्न; ज्यामितीय श्रेणी के अवकलन या समाकलन से श्रेणियों का योग; सम्मिश्र विश्लेषण में टेलर और लौरां श्रेणियाँ; ODE के श्रेणी हल।

5. बिंदुशः और एकसमान अभिसरण

बिंदुशः (pointwise): E पर f_n → f यदि प्रत्येक x ∈ E के लिए f_n(x) → f(x); यहाँ N, ε और x दोनों पर निर्भर हो सकता है।

भाव: बिंदुशः अभिसरण (pointwise convergence) प्रत्येक x को अपनी गति से अभिसरित होने देता है। [0, 1) पर xⁿ के लिए बिंदु x = 0.5 को 0 के 0.01 के भीतर आने में लगभग 7 पद चाहिए, जबकि x = 0.99 को लगभग 459; कोई एक N सभी x के लिए काम नहीं करता।

एकसमान (uniform): E पर f_n → f एकसमान रूप से यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए केवल ε पर निर्भर N ऐसा हो कि सभी n ≥ N और सभी x ∈ E के लिए |f_n(x) − f(x)| < ε।

भाव: ऊपर का चित्र देखिए: एकसमान अभिसरण का अर्थ है कि n ≥ N के लिए f_n का पूरा आलेख f के आलेख के चारों ओर ε अर्ध-चौड़ाई की पट्टी के भीतर हो। [0, 1] पर xⁿ का प्रत्येक आलेख x = 1 के निकट लगभग 0 से 1 तक चढ़ता है, अतः सदा पट्टी से बाहर निकलता है; a < 1 के साथ [0, a] पर अंततः वह भीतर रहता है।

M_n-परीक्षण: E पर f_n → f एकसमान रूप से यदि और केवल यदि M_n = sup_x∈E |f_n(x) − f(x)| → 0।

कॉशी कसौटी: (f_n), E पर एकसमान अभिसारी है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए N ऐसा हो कि सभी m, n ≥ N और सभी x ∈ E के लिए |f_m(x) − f_n(x)| < ε।

उपयोग: संख्याओं की कौशी कसौटी की भाँति, यह सीमा फलन अज्ञात होने पर एकसमान अभिसरण सिद्ध करती है, जो श्रेणी ∑u_n(x) की सामान्य स्थिति है; आंशिक योगों पर लगाने पर यह बन जाती है: सभी x ∈ E और m > n ≥ N के लिए |u_n+1(x) + ... + u_m(x)| < ε।

उदाहरण 1: [0, 1] पर f_n(x) = xⁿ।

बिंदुशः सीमा 0 ≤ x < 1 के लिए 0 और x = 1 पर 1 है। सीमा असंतत है जबकि प्रत्येक f_n संतत है, अतः [0, 1] पर अभिसरण एकसमान नहीं है। a < 1 के साथ [0, a] पर M_n = aⁿ → 0, अतः वहाँ यह एकसमान है।

उदाहरण 2: [0, 1] पर f_n(x) = nx/(1 + n²x²)।

बिंदुशः सीमा 0 है। f_n का अधिकतम x = 1/n पर है, जहाँ f_n = 1/2, अतः M_n = 1/2, 0 की ओर नहीं जाता; सीमा संतत होने पर भी अभिसरण एकसमान नहीं है।

6. फलनों की श्रेणियों के परीक्षण

वायरस्ट्रास M-परीक्षण: यदि सभी x ∈ E के लिए |u_n(x)| ≤ M_n और ∑M_n अभिसारी है, तो ∑u_n(x), E पर एकसमान और निरपेक्षतः अभिसारी है।

भाव: प्रत्येक पद को x में एकसमान रूप से किसी संख्या से अधिशासित कीजिए; तब ∑u_n(x) की पुच्छ अधिकतम ∑M_n की पुच्छ है, जो x पर निर्भर नहीं करती (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15)। परीक्षण निरपेक्ष और एकसमान अभिसरण साथ-साथ देता है, अतः यह केवल सप्रतिबंध अभिसारी श्रेणियों को नहीं सँभाल सकता।

डिरिक्ले परीक्षण: यदि ∑a_n(x) के आंशिक योग E पर एकसमान परिबद्ध हैं और b_n(x) प्रत्येक x के लिए n में एकदिष्ट है तथा एकसमान रूप से 0 की ओर जाता है, तो ∑a_n(x)b_n(x), E पर एकसमान अभिसारी है।

आबेल परीक्षण: यदि ∑a_n(x), E पर एकसमान अभिसारी है और b_n(x) प्रत्येक x के लिए n में एकदिष्ट तथा एकसमान परिबद्ध है, तो ∑a_n(x)b_n(x), E पर एकसमान अभिसारी है।

उदाहरण 3: ∑sin(nx)/n², ℝ पर एकसमान अभिसारी है, क्योंकि |sin(nx)/n²| ≤ 1/n² और ∑1/n² अभिसारी है।

7. सांतत्य, समाकलनीयता और अवकलनीयता

सांतत्य: यदि प्रत्येक f_n, E पर संतत है और E पर f_n → f एकसमान रूप से, तो f, E पर संतत है। अतः संतत फलनों की एकसमान अभिसारी श्रेणी का योग संतत होता है।

भाव: ε/3 तर्क: |f(x) − f(c)| ≤ |f(x) − f_N(x)| + |f_N(x) − f_N(c)| + |f_N(c) − f(c)|, जहाँ एकसमानता बाहरी पदों को सभी x के लिए एक साथ नियंत्रित करती है और f_N का सांतत्य बीच वाले को (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 14)। इसका प्रतिधनात्मक रूप सबसे तेज़ परीक्षण है: संतत फलनों की असंतत सीमा का अर्थ है कि अभिसरण एकसमान नहीं है।

डीनी प्रमेय: यदि E संहत है, f_n संतत हैं, प्रत्येक x के लिए f_n(x), n में एकदिष्ट है, और बिंदुशः सीमा f संतत है, तो अभिसरण एकसमान है।

प्रत्येक परिकल्पना क्यों आवश्यक है: [0, 1) पर xⁿ संतत सीमा 0 तक घटता है पर एकसमान रूप से नहीं (प्रांत संहत नहीं); [0, 1] पर xⁿ एकदिष्ट है पर उसकी सीमा असंतत है; और [0, 1] पर nx/(1 + n²x²) की संहत समुच्चय पर संतत सीमा है पर यह n में एकदिष्ट नहीं, और अभिसरण एकसमान नहीं।

समाकलन: यदि f_n ∈ R[a, b] और [a, b] पर f_n → f एकसमान रूप से, तो f ∈ R[a, b] और ∫_a^b f_n → ∫_a^b f; समाकलनीय फलनों की एकसमान अभिसारी श्रेणी का पदशः समाकलन किया जा सकता है।

अवकलन: यदि प्रत्येक f_n, [a, b] पर अवकलनीय है, किसी x₀ ∈ [a, b] के लिए (f_n(x₀)) अभिसारी है, और (f_n′), [a, b] पर एकसमान अभिसारी है, तो (f_n) किसी f की ओर एकसमान अभिसारी है, f अवकलनीय है, और f′ = lim f_n′।

भाव: अवकलज छोटे तीव्र कंपनों के प्रति संवेदनशील होते हैं। sin(nx)/√n एकसमान रूप से 0 के 1/√n के भीतर है, फिर भी इसकी ढाल √n cos(nx) असीमित रूप से बढ़ती है। इसीलिए परिकल्पना अवकलजों पर रखी गई है (f_n′ एकसमान अभिसारी हों), फलनों पर नहीं।

एकसमान अभिसरण पर्याप्त है, आवश्यक नहीं: [0, 1] पर xⁿ एकसमान अभिसारी नहीं, फिर भी ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1) → 0 = ∫₀¹ f।

एकसमानता के बिना पदशः अवकलन: lim f_n′ = (lim f_n)′ तब भी सत्य हो सकता है जब (f_n′) एकसमान अभिसारी न हो, क्योंकि वह प्रतिबंध केवल पर्याप्त है। दी गई श्रेणी के परीक्षण के लिए S(x) = lim S_n(x) और lim S_n′(x) सीधे ज्ञात कर तुलना कीजिए।

पहले बिंदुशः अभिसरण जाँचिए: जो श्रेणी ∑u_n(x) कुछ बिंदुओं पर अपसारी है (जैसे वहाँ u_n(x), c/n जैसा व्यवहार करे), वह उन बिंदुओं वाले किसी भी समुच्चय पर एकसमान अभिसारी नहीं हो सकती।

वायरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय: [a, b] पर प्रत्येक संतत फलन [a, b] पर बहुपदों के किसी अनुक्रम की एकसमान सीमा है।

भाव: [a, b] पर संतत फलनों में बहुपद सघन हैं: कोई भी संतत आलेख, चाहे कितना भी अनियमित हो, किसी भी ε के भीतर एक ही बहुपद से अनुसरित किया जा सकता है। अपरिबद्ध अंतराल पर यह विफल है, क्योंकि अचरेतर बहुपद ℝ पर अपरिबद्ध है जबकि sin x परिबद्ध है।

समाकलन की विफलता: [0, 1] पर f_n(x) = n²x e^−nx बिंदुशः 0 की ओर जाता है, परंतु ∫₀¹ f_n = 1 − (n + 1)e⁻ⁿ → 1 ≠ 0।

अवकलन की विफलता: f_n(x) = sin(nx)/√n, ℝ पर एकसमान रूप से 0 की ओर जाता है, परंतु f_n′(x) = √n cos(nx) अभिसारी नहीं (x = 0 पर यह √n है)।

8. घात श्रेणी

अभिसरण त्रिज्या (radius of convergence): ∑a_nxⁿ के लिए 1/R = lim sup |a_n|^1/n (या lim |a_n+1/a_n| जब यह विद्यमान हो)। श्रेणी |x| < R के लिए निरपेक्षतः अभिसारी और |x| > R के लिए अपसारी है।

एकसमानता: घात श्रेणी प्रत्येक r < R के लिए [−r, r] पर एकसमान अभिसारी है, अतः इसका योग (−R, R) पर संतत है और वहाँ पदशः अवकलन और समाकलन किया जा सकता है।

आबेल सीमा प्रमेय: यदि ∑a_nRⁿ अभिसारी है, तो श्रेणी [0, R] पर एकसमान अभिसारी है और इसका योग x = R पर बाईं ओर से संतत है; उदाहरणतः log 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − ...।

उदाहरण 4: दिखाइए कि ∑x/((1 + (n − 1)x)(1 + nx)), [0, 1] पर एकसमान अभिसारी नहीं है।

पद दूरदर्शी (telescoping) हैं: x/((1 + (n − 1)x)(1 + nx)) = 1/(1 + (n − 1)x) − 1/(1 + nx), अतः S_n(x) = 1 − 1/(1 + nx)। योग x > 0 के लिए 1 और x = 0 पर 0 है, जो असंतत है, अतः [0, 1] पर अभिसरण एकसमान नहीं हो सकता।

9. व्युत्पत्ति: व्यवहार में M_n निकालना

चरण: (1) बिंदुशः सीमा f ज्ञात कीजिए; (2) g_n(x) = |f_n(x) − f(x)| रखिए; (3) g_n′ = 0 और अंत्य बिंदुओं से E पर g_n का अधिकतम निकालिए; (4) निर्णय कीजिए कि M_n → 0 है या नहीं।

दृष्टांत: [0, 1] पर f_n(x) = xⁿ(1 − x) के लिए f = 0, और f_n′(x) = xⁿ⁻¹(n − (n + 1)x) = 0, x = n/(n + 1) पर। अतः M_n = (n/(n + 1))ⁿ·1/(n + 1) ≤ 1/(n + 1) → 0, और [0, 1] पर अभिसरण एकसमान है, यद्यपि वहाँ केवल xⁿ एकसमान अभिसारी नहीं है।

एकसमानता का शीघ्र खंडन: प्रत्येक n के लिए एक बिंदु x_n जिसके लिए |f_n(x_n) − f(x_n)| ≥ ε₀, पर्याप्त है, क्योंकि तब M_n ≥ ε₀। nx/(1 + n²x²) के लिए x_n = 1/n लीजिए, जहाँ मान 1/2 है।

10. व्युत्पत्ति: पदशः समाकलन

यदि [a, b] पर f_n → f एकसमान रूप से और सभी समाकलनीय हैं, तो |∫_a^b f_n − ∫_a^b f| ≤ ∫_a^b |f_n − f| ≤ (b − a)M_n → 0।

किसी एकसमान अभिसारी श्रेणी के आंशिक योगों S_n पर लगाने से ∫∑u_n = ∑∫u_n मिलता है। गुणनखंड (b − a) के कारण ही तर्क को परिबद्ध अंतराल चाहिए: [0, ∞) पर f_n = (1/n)·([0, n] का सूचक फलन) एकसमान रूप से 0 की ओर जाता है, पर प्रत्येक n के लिए ∫₀^∞ f_n = 1।

11. व्युत्पत्ति: घात श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या और एकसमानता

कौशी–हैडमार्ड: ∑|a_nxⁿ| पर मूल परीक्षण लगाइए: lim sup |a_nxⁿ|^1/n = |x|·lim sup |a_n|^1/n = |x|/R। यह |x| < R के लिए 1 से कम है (निरपेक्ष अभिसरण) और |x| > R के लिए 1 से अधिक (पद 0 की ओर नहीं जाते)।

[−r, r], r < R पर एकसमान: |a_nxⁿ| ≤ |a_n|rⁿ = M_n, और ∑M_n अभिसारी है क्योंकि r < R; M-परीक्षण लागू होता है।

अवकलित श्रेणी: ∑na_nxⁿ⁻¹ की त्रिज्या वही है, क्योंकि n^1/n → 1, lim sup को नहीं बदलता। अतः अवकलित श्रेणी भी [−r, r] पर एकसमान अभिसारी है, और अवकलन प्रमेय (−R, R) पर (∑a_nxⁿ)′ = ∑na_nxⁿ⁻¹ को उचित ठहराता है।

12. विधि का चयन

यदि अनुक्रम (f_n) दिया हो → f ज्ञात कीजिए; यदि f_n संतत हैं और f नहीं, तो रुकिए: एकसमान नहीं। अन्यथा कलन से M_n निकालिए।

यदि श्रेणी में |u_n(x)| ≤ M_n और ∑M_n अभिसारी हो → वायरस्ट्रास M-परीक्षण; M_n को sup_x|u_n(x)| के रूप में ज्ञात कीजिए।

यदि श्रेणी में दोलनशील गुणनखंड हों, जैसे sin(nx) या (−1)ⁿ गुणा कोई ह्रासमान गुणनखंड → डिरिक्ले या आबेल परीक्षण, उन समुच्चयों पर जहाँ आंशिक योग एकसमान परिबद्ध हों।

यदि पद दूरदर्शी हों → S_n(x) बंद रूप में निकालिए और उसे अनुक्रम मानिए।

यदि f_n, n में एकदिष्ट हो और संहत समुच्चय पर सीमा संतत हो → दीनी प्रमेय M_n निकाले बिना एकसमानता देता है।

यदि पदशः समाकलन या अवकलन पूछा जाए → परिकल्पनाएँ सत्यापित कीजिए; यदि वे विफल हों, तो निष्कर्ष से पहले दोनों पक्ष प्रत्यक्ष निकालिए।

13. सामान्य गलतियाँ

x स्थिर कर उसे एकसमान कहना: प्रत्येक x के लिए f_n(x) → f(x) दिखाना केवल बिंदुशः अभिसरण सिद्ध करता है; एकसमानता के लिए x से स्वतंत्र परिबंध चाहिए।

x पर निर्भर M_n: |xⁿ/n| ≤ xⁿ, M-परीक्षण परिबंध नहीं है; M_n एक संख्या होनी चाहिए।

M-परीक्षण विफल होने से 'एकसमान नहीं' निकालना: M-परीक्षण केवल पर्याप्त है; ∑(−1)ⁿ/n, अचर फलनों की श्रेणी के रूप में, ℝ पर एकसमान अभिसारी है यद्यपि ∑1/n अपसारी है।

मान लेना कि संतत सीमा का अर्थ एकसमान अभिसरण है: [0, 1] पर nx/(1 + n²x²) → 0 जबकि M_n = 1/2।

त्रिज्या से अंत्य बिंदुओं का निर्णय करना: |x| = R पर R कुछ नहीं बताता; ∑xⁿ/n, x = −1 पर अभिसारी और x = 1 पर अपसारी है। अंत्य बिंदुओं को अलग से जाँचिए।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: सम्मिश्र विश्लेषण में टेलर और लौरां श्रेणियाँ अपनी चक्रिकाओं या वलयों के संहत उपसमुच्चयों पर एकसमान अभिसारी होती हैं, और यही अवशेष प्रमेय में कंटूरों के साथ पदशः समाकलन की अनुमति देता है।

संबंध: ऊष्मा और तरंग समीकरणों (PDE अध्याय) के फूरिये श्रेणी हलों की जाँच M-परीक्षण से होती है, जो यह सत्यापित करने के लिए उनके पदशः अवकलन को उचित ठहराता है कि वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

15. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 5: दिखाइए कि f_n(x) = x/(1 + nx²), ℝ पर एकसमान अभिसारी है, परंतु lim f_n′(0) ≠ f′(0), जहाँ f = lim f_n।

बिंदुशः सीमा f = 0 है। x ≠ 0 के लिए 1 + nx² ≥ 2√n|x| (समांतर-गुणोत्तर माध्य), अतः सभी x के लिए |f_n(x)| ≤ 1/(2√n); x = 1/√n पर समता है।

अतः M_n = 1/(2√n) → 0 और ℝ पर f_n → 0 एकसमान रूप से।

f_n′(x) = (1 − nx²)/(1 + nx²)², अतः प्रत्येक n के लिए f_n′(0) = 1, जबकि f′(0) = 0।

(f_n) का एकसमान अभिसरण पदशः अवकलन की अनुमति नहीं देता; इसके लिए (f_n′) का एकसमान अभिसरण चाहिए, जो 0 के निकट विफल है।

उदाहरण 6: दिखाइए कि ∑_n=1^∞ x/(n(1 + nx²)), ℝ पर एकसमान अभिसारी है।

पिछले उदाहरण से सभी वास्तविक x के लिए |x|/(1 + nx²) ≤ 1/(2√n)।

अतः |u_n(x)| ≤ 1/(2n^3/2) = M_n, और ∑M_n अभिसारी है (p = 3/2 > 1 वाली p-श्रेणी)।

वायरस्ट्रास M-परीक्षण से श्रेणी ℝ पर एकसमान (और निरपेक्षतः) अभिसारी है, अतः इसका योग ℝ पर संतत है।

उदाहरण 7: ∑((n!)²/(2n)!)xⁿ की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

a_n = (n!)²/(2n)! के साथ a_n/a_n+1 = (2n + 1)(2n + 2)/(n + 1)² = 2(2n + 1)/(n + 1)।

यह 4 की ओर जाता है, अतः R = lim |a_n/a_n+1| = 4।

श्रेणी |x| < 4 पर निरपेक्षतः अभिसारी, प्रत्येक r < 4 के लिए [−r, r] पर एकसमान अभिसारी, और |x| > 4 पर अपसारी है।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 15 अंक): फलनों की श्रेणी ∑_n=1^∞ nx/(1 + n²x²) का एकसमान अभिसरण के लिए परीक्षण कीजिए।

(छपे रूप में यह श्रेणी है, और इसके पद 1/(nx) जैसे व्यवहार करते हैं, अतः यह प्रत्येक x ≠ 0 पर अपसारी है। हम यह दिखाकर अनुक्रम f_n(x) = nx/(1 + n²x²) पर विचार करते हैं, जो स्पष्टतः अभीष्ट है।)

श्रेणी: स्थिर x > 0 के लिए u_n(x) > 0 और n·u_n(x) = n²x/(1 + n²x²) → 1/x ≠ 0, अतः ∑1/n से सीमा तुलना द्वारा ∑u_n(x) अपसारी है (x < 0 के लिए भी इसी प्रकार)। यह केवल x = 0 पर अभिसारी है, अतः किसी अंतराल पर एकसमान अभिसारी नहीं है।

अनुक्रम: f_n(0) = 0 और x ≠ 0 के लिए |f_n(x)| ≤ 1/(n|x|) → 0, अतः ℝ पर f_n → 0 बिंदुशः।

f_n′(x) = n(1 − n²x²)/(1 + n²x²)², x = ±1/n पर शून्य है, और f_n(1/n) = 1/2। अतः 0 युक्त किसी भी अंतराल पर (बड़े n के लिए) sup|f_n| = 1/2, जो 0 की ओर नहीं जाता: वहाँ अभिसरण एकसमान नहीं है।

a > 0 वाले [a, ∞) पर n > 1/a के लिए f_n ह्रासमान है, अतः sup|f_n| = na/(1 + n²a²) ≤ 1/(na) → 0: वहाँ अभिसरण एकसमान है।

उत्तर: श्रेणी x ≠ 0 पर अपसारी है, अतः एकसमान अभिसारी नहीं है; अनुक्रम nx/(1 + n²x²) → 0, 0 युक्त किसी भी अंतराल पर अएकसमान रूप से और [a, ∞), a > 0, पर एकसमान रूप से।

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 10 अंक): श्रेणी x⁴ + x⁴/(1 + x⁴) + x⁴/(1 + x⁴)² + x⁴/(1 + x⁴)³ + ⋯ के [0, 1] पर एकसमान अभिसरण की जाँच कीजिए।

x = 0 पर प्रत्येक पद 0 है, अतः S(0) = 0। 0 < x ≤ 1 के लिए श्रेणी गुणोत्तर है जिसका प्रथम पद x⁴ और अनुपात r = 1/(1 + x⁴) < 1 है, अतः S(x) = x⁴/(1 − r) = 1 + x⁴।

अतः x → 0+ पर S(x) → 1, जबकि S(0) = 0: योग 0 पर असंतत है।

प्रत्येक पद [0, 1] पर संतत है, और संतत फलनों की एकसमान अभिसारी श्रेणी का योग संतत होता है; अतः [0, 1] पर अभिसरण एकसमान नहीं है।

प्रत्यक्ष रूप से: x > 0 के लिए S(x) − S_n(x) = (1 + x⁴)¹⁻ⁿ → 1 जब x → 0+, अतः प्रत्येक n के लिए sup|S − S_n| ≥ 1। a > 0 वाले [a, 1] पर sup (1 + a⁴)¹⁻ⁿ → 0 है, अतः वहाँ अभिसरण एकसमान है।

उत्तर: श्रेणी [0, 1] पर बिंदुशः अभिसारी है परंतु एकसमान नहीं (प्रत्येक a > 0 के लिए [a, 1] पर एकसमान)।

उदाहरण 10 (UPSC 2024, 20 अंक): श्रेणी ∑_n=1^∞ U_n(x), 0 ≤ x ≤ 1 का विचार कीजिए, जिसके पहले n पदों का योगफल S_n(x) = (1/2n²) log(1 + n⁴x²), x ∈ [0, 1] के द्वारा दिया गया है। दर्शाइए कि दी गई श्रेणी को पद-दर-पद अवकलित किया जा सकता है, यद्यपि ∑_n=1^∞ U′_n(x), [0, 1] पर एकसमान अभिसरित नहीं होती है।

x ∈ [0, 1] के लिए 0 ≤ S_n(x) ≤ log(1 + n⁴)/(2n²) → 0, अतः [0, 1] पर योग S(x) = 0 और S′(x) = 0।

S_n′(x) = U₁′(x) + ⋯ + U_n′(x) = (1/(2n²))·2n⁴x/(1 + n⁴x²) = n²x/(1 + n⁴x²)।

x = 0 पर यह 0 है, और 0 < x ≤ 1 के लिए यह अधिकतम n²x/(n⁴x²) = 1/(n²x) → 0 है। अतः प्रत्येक x के लिए ∑U_n′(x) = lim S_n′(x) = 0 = S′(x): पदशः अवकलन मान्य है।

परंतु x_n = 1/n² ∈ [0, 1] पर S_n′(x_n) = 1/2, अतः प्रत्येक n के लिए sup_{[0, 1]} |S_n′(x) − 0| ≥ 1/2, और ∑U_n′, [0, 1] पर एकसमान अभिसारी नहीं है।

उत्तर: श्रेणी का पदशः अवकलन किया जा सकता है (दोनों पक्ष 0 हैं), यद्यपि ∑U_n′(x), [0, 1] पर एकसमान अभिसारी नहीं है; अवकलित श्रेणी का एकसमान अभिसरण पर्याप्त है, आवश्यक नहीं।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ℝ पर f_n(x) = x/n की बिंदुशः सीमा ज्ञात कीजिए। क्या [0, 1] पर अभिसरण एकसमान है? ℝ पर?

उत्तर: सीमा 0 है; [0, 1] पर M_n = 1/n → 0 (एकसमान); ℝ पर प्रत्येक n के लिए sup|x/n| = ∞ (एकसमान नहीं)।

अभ्यास 2 (मूल): दिखाइए कि f_n(x) = sin(nx)/n, ℝ पर एकसमान अभिसारी है।

उत्तर: सभी x के लिए |f_n(x)| ≤ 1/n, अतः M_n ≤ 1/n → 0।

अभ्यास 3 (मूल): ∑n²xⁿ की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: |a_n+1/a_n| = (1 + 1/n)² → 1, अतः R = 1।

अभ्यास 4 (मानक): [0, 1] पर और [a, 1], 0 < a < 1 पर f_n(x) = nx/(1 + nx) के एकसमान अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

उत्तर: सीमा x > 0 पर 1 और x = 0 पर 0 है (असंतत), अतः [0, 1] पर एकसमान नहीं; [a, 1] पर sup|f_n − 1| = 1/(1 + na) → 0, एकसमान।

अभ्यास 5 (मानक): दिखाइए कि f_n(x) = x e^−nx, [0, ∞) पर एकसमान अभिसारी है।

उत्तर: f = 0; f_n′ = e^−nx(1 − nx) = 0, x = 1/n पर, अतः M_n = 1/(ne) → 0।

अभ्यास 6 (मानक): दिखाइए कि ∑1/(n² + x²), ℝ पर एकसमान अभिसारी है और इसका योग संतत है।

उत्तर: 0 < 1/(n² + x²) ≤ 1/n²; ∑1/n² के साथ M-परीक्षण, और प्रत्येक पद का सांतत्य।

अभ्यास 7 (मानक): ∑(n!/nⁿ)xⁿ की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: |a_n/a_n+1| = (1 + 1/n)ⁿ → e, अतः R = e।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाइए कि ∑_n=1^∞ xⁿ(1 − x), [0, 1] पर अभिसारी है परंतु एकसमान रूप से नहीं।

उत्तर: S_n(x) = x − xⁿ⁺¹, अतः 0 ≤ x < 1 के लिए S(x) = x और S(1) = 0; संतत पदों का योग 1 पर असंतत है, अतः अभिसरण एकसमान नहीं (x = 1 के निकट sup|S − S_n| = 1)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): [0, 1/2] पर ∑_n≥0 tⁿ के पद-दर-पद समाकलन से दिखाइए कि ∑_n=1^∞ 1/(n·2ⁿ) = log 2।

उत्तर: |tⁿ| ≤ (1/2)ⁿ से एकसमान अभिसरण (M-परीक्षण), अतः ∫₀^1/2 dt/(1 − t) = log 2, ∑∫₀^1/2 tⁿ dt = ∑(1/2)ⁿ⁺¹/(n + 1) के बराबर है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): [0, 1] पर f_n(x) = nx(1 − x²)ⁿ के लिए lim ∫₀¹ f_n की तुलना ∫₀¹ lim f_n से कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि अभिसरण एकसमान है या नहीं।

उत्तर: f_n → 0 बिंदुशः, परंतु ∫₀¹ f_n = n/(2(n + 1)) → 1/2 ≠ 0; अतः [0, 1] पर अभिसरण एकसमान नहीं।

1. दो चरों में सीमाओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक चर में x, a की ओर केवल बाएँ या दाएँ से जा सकता है। समतल में (x, y), (a, b) की ओर अनंत रेखाओं और वक्रों के अनुदिश जा सकता है, अतः सीमा एक कहीं अधिक कठोर शर्त है, और UPSC प्रश्नों के अनेक खंडशः फलन इसमें विफल होते हैं।

शब्दों में: (x, y) → (a, b) पर f(x, y) → l यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए कोई δ > 0 हो कि (a, b) से δ से कम दूरी वाले प्रत्येक बिंदु ((a, b) को छोड़कर) के लिए |f(x, y) − l| < ε। दूरी √((x − a)² + (y − b)²) है, और पहुँचने की दिशा पर कोई प्रतिबंध नहीं।

दो व्यावहारिक परिणाम: सीमा सिद्ध करने के लिए |f − l| को केवल दूरी r पर निर्भर व्यंजक से परिबद्ध करें; खंडन के लिए भिन्न सीमाएँ देने वाले दो पथ खोजें।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: lim_{(x, y)→(0, 0)} (x³ + y³)/(x² + y²) ज्ञात कीजिए।

चरण 1 (अनुमान): y = 0 के अनुदिश फलन x³/x² = x → 0 है, अतः एकमात्र संभावित मान l = 0 है।

चरण 2 (ध्रुवीय रूप): x = r cos θ, y = r sin θ रखें। तब f = r³(cos³θ + sin³θ)/r² = r(cos³θ + sin³θ)।

चरण 3 (θ से स्वतंत्र परिबंध): |cos³θ + sin³θ| ≤ 2, अतः |f − 0| ≤ 2r।

चरण 4 (δ चुनें): ε दिए होने पर δ = ε/2 काम करता है: r < δ ⇒ |f| < ε, दिशा चाहे जो हो। अतः सीमा 0 है।

अ-उदाहरण (non-example): f = (x² − y²)/(x² + y²) ध्रुवीय रूप में cos 2θ है, जो r के साथ नहीं घटता। x-अक्ष के अनुदिश मान 1 और y-अक्ष के अनुदिश −1 है, अतः (0, 0) पर कोई सीमा नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) परिबंध |f − l| ≤ g(r), जहाँ g(r) → 0, सीमा सिद्ध करता है (ध्रुवीय परीक्षण)। (2) प्रत्येक रेखा के अनुदिश सीमा आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं: x²y/(x⁴ + y²) सभी रेखाओं पर 0 की ओर जाता है परंतु y = x² पर 1/2 है (उदाहरण 5)। (3) (a, b) पर सांतत्य का अर्थ है सीमा विद्यमान है और f(a, b) के बराबर है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक '(0, 0) पर सांतत्य, आंशिक अवकलज और अवकलनीयता की विवेचना कीजिए' प्रश्न का पहला भाग; यही ध्रुवीय परिबंध बाद में अवकलनीयता का परीक्षण करता है।

2. आंशिक अवकलजों और अवकलनीयता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक चर में 'अवकलज है' का अर्थ पहले से 'स्पर्श रेखा है' है और सांतत्य निहित है। दो चरों में आंशिक अवकलज केवल दो अक्ष-दिशाएँ देखते हैं, अतः हमें एक कठोर धारणा, अवकलनीयता, चाहिए जो वास्तविक स्पर्श तल को पकड़े।

शब्दों में: f_x(a, b), a पर x ↦ f(x, b) का साधारण अवकलज है, जो अंतर-भागफल की सीमा के रूप में निकाला जाता है। f, (a, b) पर अवकलनीय है यदि त्रुटि E(h, k) = f(a + h, b + k) − f(a, b) − hf_x − kf_y दूरी ρ = √(h² + k²) की तुलना में छोटी हो, अर्थात E/ρ → 0।

तार्किक शृंखला: बिंदु के निकट संतत आंशिक अवकलज ⇒ अवकलनीय ⇒ संतत और आंशिक अवकलज विद्यमान। किसी भी तीर को उलटा नहीं जा सकता।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(x, y) = x²y²/(x² + y²), f(0, 0) = 0। क्या f, (0, 0) पर अवकलनीय है?

चरण 1 (परिभाषा से आंशिक अवकलज): f(h, 0) = 0, अतः f_x(0, 0) = lim (f(h, 0) − f(0, 0))/h = 0; इसी प्रकार f_y(0, 0) = 0।

चरण 2 (त्रुटि): E(h, k) = f(h, k) − 0 − 0 − 0 = h²k²/(h² + k²)।

चरण 3 (ρ से तुलना): ध्रुवीय रूप h = ρ cos θ, k = ρ sin θ में E = ρ²cos²θ sin²θ, अतः |E/ρ| = ρ cos²θ sin²θ ≤ ρ → 0।

चरण 4 (निष्कर्ष): f, (0, 0) पर अवकलनीय है और df = 0·dx + 0·dy; वहाँ इसका स्पर्श तल z = 0 है।

अ-उदाहरण (non-example): f = xy/√(x² + y²), f(0, 0) = 0, संतत है और f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, परंतु h = k के अनुदिश E/ρ = hk/(h² + k²) = 1/2। त्रुटि ρ की तुलना में छोटी नहीं, अतः f अवकलनीय नहीं: आलेख में स्पर्श तल नहीं, एक सिलवट है।

आगे बढ़ते हुए: (1) अवकलनीय ⇒ संतत, क्योंकि E → 0 और रैखिक भाग → 0। (2) बिंदु के निकट किसी एक आंशिक अवकलज का सांतत्य माध्य मान प्रमेय से अवकलनीयता देता है (ऊपर 'पर्याप्त शर्त क्यों काम करती है')। (3) मिश्र अवकलज: f_xy = f_yx जब इनमें से एक संतत हो (श्वार्ज़); विशेष बिंदु पर प्रत्येक को परिभाषा से निकालें।

कहाँ प्रयोग होता है: (0, 0) पर सांतत्य–आंशिक अवकलज–अवकलनीयता प्रश्न; अवकलों द्वारा सन्निकटन; शृंखला नियम और अस्पष्ट अवकलन, जिन्हें अवकलनीयता चाहिए।

3. स्तब्ध बिंदुओं और द्वितीय अवकलज परीक्षण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी बिंदु के निकट f(x, y) का उच्चतम या निम्नतम मान खोजने के लिए हम पहले संभावित बिंदु खोजते हैं (जहाँ स्पर्श तल क्षैतिज है) और फिर शिखर, गड्ढे और दर्रे में अंतर करने का त्वरित तरीका चाहिए।

शब्दों में: स्तब्ध बिंदु f_x = 0 और f_y = 0 को हल करता है। वहाँ r = f_xx, s = f_xy, t = f_yy के साथ द्विघात Q(h, k) = rh² + 2shk + tk² बिंदु के निकट f का वर्णन करता है: f(a + h, b + k) − f(a, b) ≈ Q/2।

rt − s² > 0 का अर्थ है Q एक ही चिह्न (r का) रखता है: r > 0 पर निम्निष्ठ, r < 0 पर उच्चिष्ठ। rt − s² < 0 का अर्थ है Q दोनों चिह्न लेता है: पल्याण बिंदु। rt − s² = 0 का अर्थ है Q अपभ्रष्ट है और उच्चतर पद निर्णय करते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(x, y) = x² − xy + y² − 2x + y के स्तब्ध बिंदुओं का वर्गीकरण कीजिए।

चरण 1 (स्तब्ध समीकरण): f_x = 2x − y − 2 = 0 और f_y = −x + 2y + 1 = 0।

चरण 2 (हल करें): पहले से y = 2x − 2; प्रतिस्थापन से −x + 4x − 4 + 1 = 0, अतः x = 1 और y = 0। एकमात्र स्तब्ध बिंदु (1, 0) है।

चरण 3 (द्वितीय अवकलज): r = 2, s = −1, t = 2, अतः rt − s² = 4 − 1 = 3 > 0 और r > 0।

चरण 4 (निष्कर्ष): (1, 0) निम्निष्ठ है, और f(1, 0) = 1 − 0 + 0 − 2 + 0 = −1। चूँकि f धनात्मक निश्चित भाग वाला द्विघात है, यह वास्तव में निरपेक्ष न्यूनतम है।

अ-उदाहरण (non-example): (0, 0) पर f = x² + y³ के लिए r = 2, s = 0, t = 0, अतः rt − s² = 0 और परीक्षण मौन है। y-अक्ष के अनुदिश f = y³ दोनों चिह्न लेता है, अतः मूलबिंदु चरम नहीं है, यद्यपि केवल x-दिशा निम्निष्ठ का संकेत देती है।

आगे बढ़ते हुए: (1) आंतरिक चरम पर प्रत्येक एक-चर खंड का अवकलज शून्य है, अतः f_x = f_y = 0। (2) द्वितीय कोटि तक टेलर प्रमेय f − f(a, b) = Q/2 + o(h² + k²) देता है। (3) वर्ग पूरा करने पर rQ = (rh + sk)² + (rt − s²)k², जो चिह्न-नियम दिखाता है (व्युत्पत्ति 6)।

कहाँ प्रयोग होता है: '... के चरम मान ज्ञात कीजिए' प्रश्न; तीन चरों में यही विचार हेसियन के अग्रणी उप-सारणिकों का प्रयोग करता है; रैखिक बीजगणित में यह द्विघाती रूप की निश्चितता है।

4. लग्रांज गुणकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रश्न किसी शर्त के अधीन f का चरम मान पूछते हैं, जैसे दीर्घवृत्तज के भीतर सबसे बड़ा बक्सा। शर्त को किसी एक चर के लिए हल करना प्रायः असंभव या जटिल होता है; लग्रांज विधि सभी चरों को सममित रूप से लेती है।

शब्दों में: पृष्ठ φ = 0 पर (∇φ ≠ 0 के साथ) f के प्रतिबंधित चरम पर प्रवणताएँ समांतर होती हैं: किसी संख्या λ, गुणक (multiplier), के लिए ∇f = −λ∇φ। समतुल्य रूप से F = f + λφ के लिए F_x = F_y = F_z = 0, और ये समीकरण φ = 0 के साथ संभावित बिंदु देते हैं।

विधि केवल संभावित बिंदु देती है। प्रत्येक उच्चिष्ठ है या निम्निष्ठ, यह अलग से तर्क करना होता है, प्रायः संहतता से (संवृत परिबद्ध शर्त-समुच्चय पर संतत f दोनों प्राप्त करता है) या ज्यामिति से।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: वृत्त x² + y² = 2 पर f = xy का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए।

चरण 1 (स्थापना): F = xy + λ(x² + y² − 2)। F_x = y + 2λx = 0 और F_y = x + 2λy = 0।

चरण 2 (शून्य से भाग दिए बिना हल): पहले से y = −2λx; प्रतिस्थापन से x(1 − 4λ²) = 0। यदि x = 0 तो y = 0, जो वृत्त पर नहीं है; अतः λ = ±1/2।

चरण 3 (बिंदु): λ = −1/2 से y = x और 2x² = 2, अतः (1, 1), (−1, −1) जहाँ f = 1; λ = 1/2 से y = −x, अतः (1, −1), (−1, 1) जहाँ f = −1।

चरण 4 (निर्णय): वृत्त संवृत और परिबद्ध है तथा f संतत है, अतः दोनों चरम विद्यमान हैं और इन्हीं मानों में होने चाहिए: अधिकतम 1, न्यूनतम −1। जाँच: xy ≤ (x² + y²)/2 = 1।

अ-उदाहरण (non-example): उभयाग्र वक्र y² = x³ पर x का न्यूनतमीकरण कीजिए। न्यूनतम (0, 0) पर है, परंतु वहाँ ∇f = (1, 0) और ∇φ = (−3x², 2y) = (0, 0), अतः ∇f = −λ∇φ का कोई हल नहीं। विधि उन बिंदुओं को छोड़ देती है जहाँ ∇φ = 0; ऐसे बिंदुओं को अलग से जाँचना होगा।

आगे बढ़ते हुए: (1) φ_y ≠ 0 वाले बिंदु के निकट शर्त y = y(x) परिभाषित करती है (अस्पष्ट फलन प्रमेय)। (2) f(x, y(x)) का साधारण चरम है, अतः f_x + f_yy′ = 0 जहाँ y′ = −φ_x/φ_y। (3) λ = −f_y/φ_y रखने पर यह F_x = F_y = 0 बन जाता है (व्युत्पत्ति 7)।

कहाँ प्रयोग होता है: दीर्घवृत्तज में बक्सा, बिंदु से पृष्ठ की दूरी, और केंद्रीय परिच्छेदों पर x² + y² + z² के स्तब्ध मान (20 अंक के UPSC प्रश्न); रैखिक प्रोग्रामन में द्वैतता असमिका शर्तों के साथ यही विचार है।

5. सीमा, सांतत्य और आंशिक अवकलज

सीमा: (x, y) → (a, b) पर f(x, y) → l यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए δ > 0 ऐसा हो कि 0 < √((x − a)² + (y − b)²) < δ होने पर |f(x, y) − l| < ε।

भाव: समतल में किसी बिंदु तक अनंत दिशाओं से और वक्र पथों के साथ पहुँचा जा सकता है, और सीमा सभी पथों पर समान होनी चाहिए। प्रत्येक सरल रेखा पर सहमति पर्याप्त नहीं है: x²y/(x⁴ + y²) मूलबिंदु से होकर जाने वाली प्रत्येक रेखा पर 0 की ओर जाता है पर y = x² पर 1/2 के बराबर है (उदाहरण 5)।

ध्रुवीय परीक्षण: x = a + r cos θ, y = b + r sin θ रखिए। यदि |f − l| ≤ g(r) जहाँ g(r) → 0, θ से स्वतंत्र रूप से, तो सीमा l है; उदाहरणतः |x²y/(x² + y²)| = r|cos²θ sin θ| ≤ r → 0।

पथ परीक्षण: यदि दो पथों पर सीमा भिन्न हो, तो सीमा विद्यमान नहीं। xy/(x² + y²) के लिए y = mx पर मान m/(1 + m²) है, जो m पर निर्भर है, अतः (0, 0) पर सीमा नहीं है।

पुनरावृत्त सीमाएँ (repeated limits): lim_x→a lim_y→b f और lim_y→b lim_x→a f विद्यमान होकर भिन्न हो सकती हैं, या द्वि-सीमा के बिना भी विद्यमान हो सकती हैं।

आंशिक अवकलज (partial derivative): f_x(a, b) = lim_h→0 (f(a + h, b) − f(a, b))/h, और इसी प्रकार f_y।

भाव: f_x, आलेख के खंड y = b की ढाल है। आंशिक अवकलज केवल दो अक्षों के साथ देखते हैं, अतः अन्य दिशाओं के बारे में कुछ नहीं बताते, इसीलिए किसी बिंदु पर दोनों आंशिक अवकलज होते हुए भी फलन वहाँ असंतत हो सकता है (उदाहरण 1)।

6. अवकलनीयता और मिश्र आंशिक अवकलज

अवकलनीयता (differentiability): f, (a, b) पर अवकलनीय है यदि f(a + h, b + k) − f(a, b) = hf_x(a, b) + kf_y(a, b) + ε√(h² + k²), जहाँ (h, k) → (0, 0) पर ε → 0।

भाव: अवकलनीय का अर्थ है कि आलेख का वास्तविक स्पर्श तल z = f(a, b) + hf_x + kf_y है जो प्रत्येक दिशा में f का सन्निकटन करता है, और त्रुटि दूरी √(h² + k²) की तुलना में छोटी है। परीक्षण: बिंदु पर f_x, f_y निकालिए और जाँचिए कि (f(a + h, b + k) − f(a, b) − hf_x − kf_y)/√(h² + k²) → 0, प्रायः ध्रुवीय रूप में।

निहितार्थ: अवकलनीय ⇒ संतत और आंशिक अवकलज विद्यमान; विलोम असत्य है। पर्याप्त शर्त: f_x, f_y, (a, b) के निकट विद्यमान हों और उनमें से एक (a, b) पर संतत हो।

पर्याप्त शर्त क्यों काम करती है: मान लीजिए (a, b) पर f_y अस्तित्व में है और f_x वहाँ संतत है। f(a + h, b + k) − f(a, b) = [f(a + h, b + k) − f(a, b + k)] + [f(a, b + k) − f(a, b)] लिखिए। मध्यमान प्रमेय से पहला कोष्ठक hf_x(a + θh, b + k) है, = h(f_x(a, b) + ε₁) जहाँ सांतत्य से ε₁ → 0; दूसरा f_y की परिभाषा से k(f_y(a, b) + ε₂) है। अतः त्रुटि hε₁ + kε₂ = o(√(h² + k²)) है।

उदाहरण 1: f(x, y) = xy/(x² + y²), f(0, 0) = 0 के लिए f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0 (क्योंकि दोनों अक्षों पर f = 0) परंतु यह (0, 0) पर संतत नहीं, अतः अवकलनीय नहीं।

श्वार्ज प्रमेय: यदि f_x, f_y, f_xy, (a, b) के किसी प्रतिवेश में विद्यमान हों और f_xy, (a, b) पर संतत हो, तो f_yx(a, b) विद्यमान है और f_xy(a, b) के बराबर है।

भाव: f_xy और f_yx एक ही द्विक अंतर भागफल (f(a + h, b + k) − f(a + h, b) − f(a, b + k) + f(a, b))/(hk) की दो भिन्न सीमाएँ हैं, जो विपरीत क्रमों में ली गई हैं। मिश्र आंशिक अवकलज का सांतत्य ही दोनों सीमाओं का क्रम बदलने देता है; इसके बिना वे भिन्न हो सकती हैं, जैसे नीचे के प्रत्युदाहरण में।

यंग प्रमेय: यदि f_x और f_y, (a, b) पर अवकलनीय हैं, तो f_xy(a, b) = f_yx(a, b)।

प्रति-उदाहरण: f = xy(x² − y²)/(x² + y²), f(0, 0) = 0 के लिए f_x(0, y) = −y और f_y(x, 0) = x, अतः f_xy(0, 0) = −1 और f_yx(0, 0) = 1 (यहाँ f_xy = ∂/∂y(∂f/∂x))।

ऑयलर प्रमेय: यदि f घात n का समघात फलन है, तो xf_x + yf_y = nf और x²f_xx + 2xyf_xy + y²f_yy = n(n − 1)f।

समघात फलन के फलन के लिए ऑयलर: यदि z = f(u), x, y में n घात का समघात फलन है, तो g(u) = nf(u)/f′(u) के साथ xu_x + yu_y = g(u), और x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = g(u)(g′(u) − 1)।

अवकलन (differentials) और सन्निकटन: यदि f, (a, b) पर अवकलनीय है, तो छोटे h, k के लिए f(a + h, b + k) ≈ f(a, b) + hf_x(a, b) + kf_y(a, b), त्रुटि o(√(h² + k²)) है।

स्थानीय सूत्र: यदि f किसी बिंदु के पूरे प्रतिवेश पर, उस बिंदु सहित, किसी बहुपद (या किसी C¹ फलन) के बराबर है, तो f वहाँ संतत और अवकलनीय है; सदा जाँचिए कि खंडशः सूत्र पूरे प्रतिवेश पर लागू होता है।

शृंखला नियम और अस्पष्ट फलन: यदि z = f(x, y), x = x(t), y = y(t), तो dz/dt = f_xdx/dt + f_ydy/dt; यदि f(x, y) = 0 और f_y ≠ 0, तो dy/dx = −f_x/f_y।

dy/dx = −f_x/f_y क्यों: वक्र f(x, y(x)) = 0 के साथ शृंखला नियम से f_x + f_y·dy/dx = 0। शृंखला नियम के लिए f का अवकलनीय होना चाहिए, केवल आंशिक अवकलजों का होना नहीं, और f_y ≠ 0 अस्पष्ट फलन प्रमेय की परिकल्पना है जो y(x) के अस्तित्व की गारंटी देती है।

टेलर प्रमेय: f(a + h, b + k) = f(a, b) + (h∂/∂x + k∂/∂y)f + (1/2!)(h∂/∂x + k∂/∂y)²f + ... + R_n, जहाँ अवकलज (a, b) पर मूल्यांकित हैं।

7. उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ

आवश्यक शर्त: यदि f का किसी आंतरिक बिंदु (a, b) पर, जहाँ f_x, f_y विद्यमान हैं, स्थानीय चरम मान है, तो वहाँ f_x = f_y = 0 (स्तब्ध बिंदु, stationary point)।

यह क्यों काम करता है: एक-चर फलन x ↦ f(x, b) का a पर स्थानीय चरम है, अतः उसका अवकलज f_x(a, b) = 0; इसी प्रकार f_y(a, b) = 0। यह शर्त पर्याप्त नहीं है: f = xy के लिए मूलबिंदु पर f_x = f_y = 0, और वह पल्याण बिंदु (saddle point) है।

द्वितीय अवकलज परीक्षण: मान लें स्तब्ध बिंदु के निकट f के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत हैं, और वहाँ r = f_xx, s = f_xy, t = f_yy रखें: rt − s² > 0 और r < 0 से उच्चिष्ठ (maximum); rt − s² > 0 और r > 0 से निम्निष्ठ (minimum); rt − s² < 0 से पल्याण बिंदु (saddle point); rt − s² = 0 पर आगे जाँच आवश्यक।

rt − s² = 0 कुछ तय क्यों नहीं करता: x⁴ + y⁴ (निम्निष्ठ), −x⁴ − y⁴ (उच्चिष्ठ) और x⁴ − y⁴ (पल्याण) सभी के लिए मूलबिंदु पर r = s = t = 0; उच्च कोटि के पद निर्णय करते हैं।

तीन चर: मान लीजिए D₁ = f_xx, D₂, D₃ हेसियन [[f_xx, f_xy, f_xz], [f_yx, f_yy, f_yz], [f_zx, f_zy, f_zz]] के अग्रणी मुख्य उपसारणिक हैं। सभी धनात्मक हों तो निम्निष्ठ; D₁ < 0, D₂ > 0, D₃ < 0 हों तो उच्चिष्ठ।

संवृत परिबद्ध क्षेत्र D पर निरपेक्ष चरम: संतत f, D पर उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ प्राप्त करता है। (1) D के भीतर स्थिर बिंदु ज्ञात कीजिए। (2) परिसीमा पर f के चरम मान, प्राचलीकरण से या लग्रांज विधि से, ज्ञात कीजिए। (3) इन सभी मानों की तुलना कीजिए; सबसे बड़ा निरपेक्ष उच्चिष्ठ और सबसे छोटा निरपेक्ष निम्निष्ठ है।

उदाहरण 2: f(x, y) = x³ + y³ − 3xy के चरम मान ज्ञात कीजिए।

f_x = 3x² − 3y = 0 और f_y = 3y² − 3x = 0 से y = x², x = y², अतः x⁴ = x और बिंदु (0, 0), (1, 1) हैं। यहाँ r = 6x, s = −3, t = 6y। (0, 0) पर rt − s² = −9 < 0: पल्याण बिंदु। (1, 1) पर rt − s² = 27 > 0 और r = 6 > 0: निम्निष्ठ, मान −1।

8. लग्रांज गुणक विधि

विधि: φ(x, y, z) = 0 के प्रतिबंध पर f(x, y, z) के चरम मान ज्ञात करने के लिए:

1. F = f + λφ बनाइए।

2. F_x = 0, F_y = 0, F_z = 0 और φ = 0 को x, y, z तथा λ के लिए हल कीजिए।

3. प्रत्येक बिंदु की प्रकृति d²F (dφ = 0 के साथ), परिबद्ध हेसियन (bordered Hessian), या प्रश्न की ज्यामिति से तय कीजिए।

दो प्रतिबंधों φ = 0 और ψ = 0 के लिए F = f + λφ + μψ लीजिए।

द्विघात प्रश्नों की मानक युक्ति: जब f और प्रतिबंध द्विघात या रैखिक रूप हों, तो F_x = 0, F_y = 0, F_z = 0 को x, y, z से गुणा कर जोड़िए। तब ऑयलर प्रमेय λ को स्थिर मान u के रूप में व्यक्त करता है, और x, y, z को रैखिक प्रतिबंध में वापस रखने पर u का समीकरण सीधे मिलता है।

केंद्रीय परिच्छेद: समतल lx + my + nz = 0 द्वारा काटे गए दीर्घवृत्तज ax² + by² + cz² = 1 के लिए x² + y² + z² के स्थिर मान r², l²/(1 − ar²) + m²/(1 − br²) + n²/(1 − cr²) = 0 को संतुष्ट करते हैं; दोनों मूल दीर्घवृत्तीय परिच्छेद के अर्ध-अक्षों के वर्ग हैं।

उदाहरण 3: x + y + z = a, x, y, z > 0 के प्रतिबंध पर xyz का उच्चिष्ठ ज्ञात कीजिए।

F = xyz + λ(x + y + z − a)। F_x = yz + λ = 0, F_y = xz + λ = 0, F_z = xy + λ = 0 से yz = xz = xy, अतः x = y = z = a/3। उच्चिष्ठ मान a³/27 है।

उदाहरण 4: ax + by + cz = p के प्रतिबंध पर x² + y² + z² का निम्निष्ठ ज्ञात कीजिए।

2x + λa = 0 और इसी प्रकार y, z के लिए, से (x, y, z) = −(λ/2)(a, b, c); प्रतिस्थापन से −(λ/2)(a² + b² + c²) = p। निम्निष्ठ p²/(a² + b² + c²) है, जो मूलबिंदु से समतल की दूरी का वर्ग है।

9. व्युत्पत्ति: समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय

प्रथम कोटि: f, घात n का समघात है यदि t > 0 के लिए f(tx, ty) = tⁿf(x, y)। शृंखला नियम से t के सापेक्ष अवकलन करने पर xf_x(tx, ty) + yf_y(tx, ty) = ntⁿ⁻¹f(x, y); t = 1 रखने पर xf_x + yf_y = nf।

द्वितीय कोटि: f_x और f_y घात n − 1 के समघात हैं, अतः xf_xx + yf_xy = (n − 1)f_x और xf_yx + yf_yy = (n − 1)f_y। x और y से गुणा कर जोड़िए, और f_xy = f_yx लगाइए: x²f_xx + 2xyf_xy + y²f_yy = (n − 1)(xf_x + yf_y) = n(n − 1)f।

u के लिए जब f(u) समघात हो: प्रथम परिणाम z = f(u) पर लगाइए: f′(u)(xu_x + yu_y) = nf(u), अतः xu_x + yu_y = nf(u)/f′(u) = g(u)। जाँच: u = sin⁻¹((x² + y²)/(x + y)) के लिए sin u घात 1 का समघात है और g(u) = sin u/cos u = tan u।

10. व्युत्पत्ति: द्वितीय अवकलज परीक्षण

स्थिर बिंदु पर टेलर प्रमेय से f(a + h, b + k) − f(a, b) = (1/2)Q(h, k) + o(h² + k²), जहाँ Q(h, k) = rh² + 2shk + tk²।

r ≠ 0 के लिए वर्ग पूरा करने पर Q = (1/r)[(rh + sk)² + (rt − s²)k²]। यदि rt − s² > 0, तो (h, k) ≠ (0, 0) के लिए कोष्ठक धनात्मक है, अतः प्रत्येक दिशा में Q का चिह्न r वाला है; तब इकाई वृत्त पर Q शून्य से दूर परिबद्ध है और o-पद पर प्रभावी है, जिससे r > 0 के लिए निम्निष्ठ और r < 0 के लिए उच्चिष्ठ मिलता है।

यदि rt − s² < 0, तो Q दोनों चिह्न लेता है (उदाहरणतः k = 0 के साथ और r ≠ 0 होने पर rh + sk = 0 के साथ), अतः f कुछ दिशाओं में बढ़ता है और कुछ में घटता है: पल्याण बिंदु। आव्यूह की भाषा में परीक्षण पूछता है कि हेसियन [[r, s], [s, t]] धनात्मक निश्चित, ऋणात्मक निश्चित या अनिश्चित है।

11. व्युत्पत्ति: लग्रांज विधि क्यों काम करती है

मान लीजिए वक्र φ(x, y) = 0 पर f(x, y) का किसी ऐसे बिंदु पर चरम है जहाँ φ_y ≠ 0। उसके निकट वक्र y = y(x) है जहाँ y′ = −φ_x/φ_y, और x ↦ f(x, y(x)) का साधारण चरम है, अतः f_x + f_yy′ = 0, अर्थात् f_xφ_y − f_yφ_x = 0।

अतः ∇f, ∇φ के समांतर है, और λ = −f_y/φ_y लेने पर f_x + λφ_x = 0 और f_y + λφ_y = 0 मिलते हैं, जो F = f + λφ के लिए F_x = F_y = 0 हैं।

चित्र: प्रतिबंधित उच्चिष्ठ पर स्तर वक्र f = c प्रतिबंध वक्र को ठीक स्पर्श करता है; स्पर्श करने वाले वक्रों का उभयनिष्ठ अभिलंब होता है, जो समांतर-प्रवणता शर्त है। जिन बिंदुओं पर ∇φ = 0 है वे इसमें सम्मिलित नहीं हैं और उन्हें अलग से जाँचना चाहिए।

12. विधि का चयन

यदि किसी बिंदु पर सीमा पूछी जाए → अस्तित्व के लिए ध्रुवीय परिबंध; अनस्तित्व के लिए दो पथ (रेखाएँ y = mx, और यदि रेखाएँ सहमत हों तो परवलय y = mx²)।

यदि किसी बिंदु पर अवकलनीयता पूछी जाए → वहाँ परिभाषा से f_x, f_y निकालिए, फिर त्रुटि भागफल जाँचिए; यदि बिंदु के निकट f_x या f_y संतत हो, तो अवकलनीयता तुरंत मिलती है।

यदि खंडशः f के लिए f_xy(0, 0) पूछा जाए → y ≠ 0 के लिए f_x(0, y) और परिभाषा से f_x(0, 0) ज्ञात कीजिए, फिर f_xy(0, 0) = lim_k→0 (f_x(0, k) − f_x(0, 0))/k।

यदि xu_x + yu_y जैसा व्यंजक पूछा जाए और u किसी समघात व्यंजक का फलन हो → f(u) पर ऑयलर प्रमेय।

यदि मुक्त चरम पूछे जाएँ → स्थिर बिंदु, फिर rt − s² (या तीन चरों में हेसियन के उपसारणिक)।

यदि प्रतिबंध के अंतर्गत चरम पूछे जाएँ → लग्रांज गुणक, या यदि प्रतिबंध सरलता से हल हो तो प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन; रैखिक या द्विघात प्रतिबंध के साथ द्विघात f के लिए x, y, z से गुणा करने की युक्ति।

यदि संवृत परिबद्ध क्षेत्र पर निरपेक्ष चरम पूछे जाएँ → आंतरिक स्थिर बिंदु, सीमा पर चरम, फिर मानों की तुलना।

13. सामान्य गलतियाँ

केवल सरल रेखाओं से सीमा का अस्तित्व सिद्ध करना: सभी रेखाओं y = mx पर सहमति सीमा सिद्ध नहीं करती; पथ से स्वतंत्र परिबंध लगाइए।

'आंशिक अवकलज हैं, अतः f अवकलनीय (या संतत) है': असत्य, जैसा xy/(x² + y²) दिखाता है।

(x, y) ≠ (0, 0) वाले सूत्र का अवकलन कर (0, 0) रखना: विशेष बिंदु पर अवकलज परिभाषा (अंतर भागफलों) से ही निकालने चाहिए।

rt − s² = 0 से निष्कर्ष निकालना: परीक्षण अनिर्णायक है; बिंदु के निकट f की जाँच कीजिए (रेखाओं के साथ, या चिह्न तर्कों से)।

लग्रांज समीकरणों में हल खो देना: x, y या λ से भाग देना जब वह 0 हो सकता हो, स्थिर बिंदुओं को त्याग देता है; इसके स्थान पर स्थितियों में बाँटिए।

असमघात u पर ऑयलर प्रमेय लगाना: u = sin⁻¹(...) या tan⁻¹(...) के लिए इसे sin u या tan u पर लगाइए, जो समघात फलन है।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: द्वितीय अवकलज परीक्षण हेसियन की निश्चितता है, जो वास्तविक सममित आव्यूह है जिसके आइगेन मान वास्तविक हैं (रैखिक बीजगणित); द्विघात रूपों का यही वर्गीकरण शंकवों और शांकवजों को विहित रूप में लाता है (विश्लेषिक ज्यामिति)।

संबंध: सदिश विश्लेषण अध्याय की प्रवणता ∇f स्तर पृष्ठों पर अभिलंब है, जो ∇f = −λ∇φ के पीछे की ज्यामिति है; और रैखिक प्रोग्रामन में द्वैत चर प्रतिबंधों से जुड़े गुणकों की भूमिका निभाते हैं।

15. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 5: मान लीजिए (x, y) ≠ (0, 0) के लिए f(x, y) = x²y/(x⁴ + y²), f(0, 0) = 0। दिखाइए कि मूलबिंदु से जाने वाली प्रत्येक सरल रेखा पर f → 0, फिर भी f, (0, 0) पर संतत नहीं है।

y = mx पर: f = mx³/(x⁴ + m²x²) = mx/(x² + m²) → 0 जब x → 0 (m = 0 पर यह सर्वथा 0 है); y-अक्ष पर f = 0।

परवलय y = x² पर: प्रत्येक x ≠ 0 के लिए f = x⁴/(2x⁴) = 1/2।

अतः y = x² के अनुदिश सीमा 1/2 ≠ 0 = f(0, 0); द्वि-सीमा विद्यमान नहीं है और f मूलबिंदु पर असंतत है। केवल सरल-रेखा पथ कभी सीमा का अस्तित्व सिद्ध नहीं करते।

उदाहरण 6: यदि u = sin⁻¹((x² + y²)/(x + y)), तो दिखाइए कि xu_x + yu_y = tan u।

u स्वयं समघात नहीं है, परंतु z = sin u = (x² + y²)/(x + y) घात 1 का समघात फलन है।

ऑयलर प्रमेय से xz_x + yz_y = z, अर्थात x cos u·u_x + y cos u·u_y = sin u।

cos u (≠ 0) से भाग देने पर xu_x + yu_y = tan u।

उदाहरण 7: मूलबिंदु से वक्र x² + 8xy + 7y² = 225 की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

F = x² + y² + λ(x² + 8xy + 7y² − 225) के साथ x² + y² का चरम ज्ञात कीजिए। F_x = 0 और F_y = 0 से x + λ(x + 4y) = 0 और y + λ(4x + 7y) = 0।

x और y से गुणा कर जोड़ने पर: x² + y² + λ(x² + 8xy + 7y²) = 0, अतः r² = x² + y² = −225λ।

अशून्य हल के लिए (1 + λ)(1 + 7λ) − 16λ² = 0, अर्थात 9λ² − 8λ − 1 = 0, अतः λ = 1 या λ = −1/9।

r² > 0 से λ = −1/9, जिससे r² = 25। न्यूनतम दूरी 5 है (वक्र अतिपरवलय है, अतः कोई उच्चिष्ठ नहीं है)।

16. हल किए गए विगत UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 15 अंक): फलन
f(x, y) = xy(3x² − 2y²)/(x² + y²), (x, y) ≠ (0, 0)
f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0)
के लिए ∂²f(0, 0)/∂x∂y तथा ∂²f(0, 0)/∂y∂x ज्ञात कीजिए। इसके साथ, बिन्दु (0, 0) पर ∂²f/∂x∂y तथा ∂²f/∂y∂x के सांतत्य की भी विवेचना कीजिए।

दोनों अक्षों पर f = 0, अतः f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0। y ≠ 0 के लिए f_x(0, y) = lim_h→0 f(h, y)/h = lim y(3h² − 2y²)/(h² + y²) = −2y, जो y = 0 पर भी सत्य है।

x ≠ 0 के लिए f_y(x, 0) = lim_k→0 f(x, k)/k = lim x(3x² − 2k²)/(x² + k²) = 3x, जो x = 0 पर भी सत्य है।

अतः ∂²f/∂y∂x (0, 0) = (0, 0) पर ∂/∂y(f_x) = lim_k→0 (f_x(0, k) − f_x(0, 0))/k = −2, और ∂²f/∂x∂y (0, 0) = (0, 0) पर ∂/∂x(f_y) = lim_h→0 (f_y(h, 0) − f_y(0, 0))/h = 3।

मूल बिंदु से हटकर f शून्येतर हर वाला परिमेय फलन है, अतः दोनों मिश्र आंशिक अवकलज (0, 0) के निकट विद्यमान हैं। यदि उनमें से कोई (0, 0) पर संतत होता, तो श्वार्ज़ प्रमेय से दोनों वहाँ बराबर होते; चूँकि −2 ≠ 3, कोई भी (0, 0) पर संतत नहीं है।

(परिपाटी: ∂²f/∂x∂y का अर्थ ∂/∂x(∂f/∂y) है; विपरीत परिपाटी में दोनों मान परस्पर बदल जाते हैं।)

उत्तर: ∂²f/∂x∂y (0, 0) = 3 और ∂²f/∂y∂x (0, 0) = −2; दोनों मिश्र आंशिक अवकलज (0, 0) पर असंतत हैं।

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 15 अंक): क्षेत्र x² + 2y² ≤ 1 पर फलन f(x, y) = x² + 3y² − y के निरपेक्ष (ऐब्सोल्यूट) उच्चतम तथा निम्नतम मानों को ज्ञात कीजिए।

D = {x² + 2y² ≤ 1} संवृत और परिबद्ध है तथा f संतत है, अतः निरपेक्ष चरम विद्यमान हैं।

आंतरिक भाग: f_x = 2x = 0 और f_y = 6y − 1 = 0 से (0, 1/6), जो D के भीतर है, और f(0, 1/6) = 3/36 − 1/6 = −1/12।

परिसीमा: −1/√2 ≤ y ≤ 1/√2 के साथ x² = 1 − 2y², अतः f = 1 − 2y² + 3y² − y = y² − y + 1 = φ(y)।

y = 1/2 (x = ±1/√2) पर φ′(y) = 2y − 1 = 0, जहाँ φ = 3/4। अंत्य बिंदुओं पर: y = 1/√2 (x = 0) से 3/2 − 1/√2 ≈ 0.793, और y = −1/√2 (x = 0) से 3/2 + 1/√2 ≈ 2.207।

−1/12, 3/4, 3/2 − 1/√2 और 3/2 + 1/√2 की तुलना करने पर (D पर जालक खोज परिणाम की पुष्टि करती है):

उत्तर: निरपेक्ष उच्चिष्ठ (0, −1/√2) पर 3/2 + 1/√2; निरपेक्ष निम्निष्ठ (0, 1/6) पर −1/12।

उदाहरण 10 (UPSC 2019, 10 अंक): दर्शाईए कि फलन
f(x, y) = (x² − y²)/(x − y), (x, y) ≠ (1, −1), (1, 1)
= 0, (x, y) = (1, 1), (1, −1)
संतत और बिन्दु (1, −1) पर अवकलनीय है।

N = {|x − 1| < 1/2, |y + 1| < 1/2} पर x > 1/2 > −1/2 > y, अतः x ≠ y, और (1, −1) के अतिरिक्त N के प्रत्येक बिंदु पर (x² − y²)/(x − y) = x + y।

स्वयं (1, −1) पर f = 0 = 1 + (−1)। अतः पूरे प्रतिवेश N पर f(x, y) = x + y।

बहुपद संतत होता है, अतः f, (1, −1) पर संतत है।

f_x(1, −1) = f_y(1, −1) = 1, और छोटे h, k के लिए ठीक f(1 + h, −1 + k) − f(1, −1) = h + k, अतः शेष 0 है और f, df = dx + dy के साथ (1, −1) पर अवकलनीय है।

((1, 1) पर स्थिति भिन्न है: x + y → 2 ≠ 0 = f(1, 1), अतः f वहाँ असंतत है।)

उत्तर: (1, −1) के निकट f, x + y के बराबर है, अतः वहाँ संतत और अवकलनीय है, f_x = f_y = 1।

उदाहरण 11 (UPSC 2019, 15 अंक): अवकलों का उपयोग करते हुए, f(4.1, 4.9) का सन्निकट मान ज्ञात करें, जहाँ
f(x, y) = (x³ + x²y)^1/2 है।

(a, b) = (4, 5), h = 0.1, k = −0.1 लीजिए। f(4, 5) = √(64 + 80) = √144 = 12।

(4, 5) पर f_x = (3x² + 2xy)/(2√(x³ + x²y)) = (48 + 40)/24 = 11/3, और f_y = x²/(2√(x³ + x²y)) = 16/24 = 2/3।

df = f_xh + f_yk = (11/3)(0.1) + (2/3)(−0.1) = 0.3।

अतः f(4.1, 4.9) ≈ 12 + 0.3 = 12.3। (यहाँ सन्निकटन संयोगवश यथार्थ है: 4.1³ + 4.1²·4.9 = 4.1²·9 = 151.29 = 12.3²।)

उत्तर: f(4.1, 4.9) ≈ 12.3।

उदाहरण 12 (UPSC 2020, 20 अंक): यदि u = tan⁻¹((x³ + y³)/(x − y)), x ≠ y, तब दर्शाइए कि x² ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² = (1 − 4 sin²u) sin 2u

z = tan u = (x³ + y³)/(x − y) लीजिए, जो 3 − 1 = 2 घात का समघात फलन है।

ऑयलर से xz_x + yz_y = 2z, अर्थात sec²u(xu_x + yu_y) = 2 tan u, अतः xu_x + yu_y = 2 sin u cos u = sin 2u = g(u)।

xu_x + yu_y = g(u) का x और y के सापेक्ष अवकलन कीजिए: u_x + xu_xx + yu_xy = g′(u)u_x और xu_xy + u_y + yu_yy = g′(u)u_y।

x और y से गुणा कर जोड़िए: x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = (g′(u) − 1)(xu_x + yu_y) = g(u)(g′(u) − 1)।

g(u) = sin 2u के साथ g′(u) = 2 cos 2u, अतः दायाँ पक्ष sin 2u(2 cos 2u − 1) = sin 2u(2(1 − 2 sin²u) − 1) = (1 − 4 sin²u) sin 2u है।

उत्तर: x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = (1 − 4 sin²u) sin 2u, जैसा अपेक्षित था।

उदाहरण 13 (UPSC 2021, 20 अंक): शर्तों ax² + by² + cz² = 1 तथा lx + my + nz = 0 से प्रतिबन्धित x² + y² + z² के स्तब्ध (अचर) मान निकालिए। परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

F = x² + y² + z² + λ(ax² + by² + cz² − 1) + μ(lx + my + nz)। F_x = 0 से 2x + 2λax + μl = 0, और इसी प्रकार 2y + 2λby + μm = 0, 2z + 2λcz + μn = 0।

x, y, z से गुणा कर जोड़िए। u = x² + y² + z² और दोनों प्रतिबंधों से 2u + 2λ = 0, अतः λ = −u।

तब 2x(1 − au) = −μl, अतः x = −μl/(2(1 − au)); इसी प्रकार y = −μm/(2(1 − bu)) और z = −μn/(2(1 − cu)) (व्यापक स्थिति में 1 − au, 1 − bu, 1 − cu ≠ 0; तब μ ≠ 0, अन्यथा x = y = z = 0)।

lx + my + nz = 0 में रखने पर l²/(1 − au) + m²/(1 − bu) + n²/(1 − cu) = 0।

हर हटाने पर l²(1 − bu)(1 − cu) + m²(1 − cu)(1 − au) + n²(1 − au)(1 − bu) = 0, जो u में द्विघात है और जिसके दोनों मूल स्थिर (उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ) मान हैं। (जाँच: a = 1, b = 2, c = 3, l = m = n = 1 से u ≈ 0.388 और 0.703, जो प्रत्यक्ष संख्यात्मक खोज से मेल खाते हैं।)

ज्यामितीय रूप से, केंद्र से जाने वाला समतल दीर्घवृत्तज को एक दीर्घवृत्त में काटता है, और u इस दीर्घवृत्त के किसी बिंदु की केंद्र से दूरी का वर्ग है; अतः मूल इस केंद्रीय परिच्छेद के अर्ध-अक्षों के वर्ग हैं।

उत्तर: x² + y² + z² के स्थिर मान u, l²/(1 − au) + m²/(1 − bu) + n²/(1 − cu) = 0 के मूल हैं; ये समतल द्वारा दीर्घवृत्तज के परिच्छेद के अर्ध-अक्षों के वर्ग हैं।

उदाहरण 14 (UPSC 2022, 20 अंक): x²/a⁴ + y²/b⁴ + z²/c⁴ के अधिकतम तथा न्यूनतम मान निकालिये, जब lx + my + nz = 0 तथा x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 हैं। परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिये।

F = x²/a⁴ + y²/b⁴ + z²/c⁴ + λ(x²/a² + y²/b² + z²/c² − 1) + μ(lx + my + nz)। F_x = 0 से 2x/a⁴ + 2λx/a² + μl = 0, और इसी प्रकार y, z के लिए।

x, y, z से गुणा कर जोड़िए; u = x²/a⁴ + y²/b⁴ + z²/c⁴ के साथ 2u + 2λ = 0, अतः λ = −u।

तब 2x(1 − a²u)/a⁴ = −μl, अतः x = −μla⁴/(2(1 − a²u)); इसी प्रकार y और z के लिए।

lx + my + nz = 0 में रखने पर (पहले की भाँति μ ≠ 0): l²a⁴/(1 − a²u) + m²b⁴/(1 − b²u) + n²c⁴/(1 − c²u) = 0, जो u में द्विघात है और जिसके मूल उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान हैं। (जाँच: a = 1, b = 2, c = 3, l = m = n = 1 से इस समीकरण और प्रत्यक्ष खोज दोनों से u ≈ 0.207 और 0.940।)

ज्यामितीय अर्थ: (x, y, z) पर दीर्घवृत्तज का स्पर्श समतल Xx/a² + Yy/b² + Zz/c² = 1 है, जिसकी केंद्र से दूरी p के लिए 1/p² = x²/a⁴ + y²/b⁴ + z²/c⁴।

उत्तर: चरम मान ∑ l²a⁴/(1 − a²u) = 0 के मूल u हैं; ये 1/p² के चरम मान हैं, जहाँ p, lx + my + nz = 0 द्वारा केंद्रीय परिच्छेद के बिंदुओं पर स्पर्श समतलों पर केंद्र से डाला गया लंब है।

उदाहरण 15 (UPSC 2023, 15 अंक): लग्रांज गुणक विधि के उपयोग से बिंदु P(2, 6, 3) की गोले x² + y² + z² = 4 से न्यूनतम तथा अधिकतम दूरियाँ ज्ञात कीजिए।

x² + y² + z² = 4 के प्रतिबंध के साथ D = (x − 2)² + (y − 6)² + (z − 3)² को चरम कीजिए, F = D + λ(x² + y² + z² − 4)।

F_x = 2(x − 2) + 2λx = 0 से x = 2/(1 + λ); इसी प्रकार y = 6/(1 + λ) और z = 3/(1 + λ)।

प्रतिबंध में रखने पर (4 + 36 + 9)/(1 + λ)² = 4, अतः 1 + λ = ±7/2।

1 + λ = 7/2 से (4/7, 12/7, 6/7) और D = (100 + 900 + 225)/49 = 25; 1 + λ = −7/2 से (−4/7, −12/7, −6/7) और D = (324 + 2916 + 729)/49 = 81।

जाँच: |OP| = √49 = 7, और गोले के निकटतम तथा दूरतम बिंदु रेखा OP पर 7 − 2 और 7 + 2 की दूरी पर हैं।

उत्तर: न्यूनतम दूरी 5 ((4/7, 12/7, 6/7) पर) और अधिकतम दूरी 9 ((−4/7, −12/7, −6/7) पर)।

उदाहरण 16 (UPSC 2025, 20 अंक): सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के अंतर्गत सबसे बड़े समकोणिक समांतरषट्फलक का आयतन 8abc/(3√3) है।

सममिति से शीर्ष (±x, ±y, ±z) हैं, जहाँ x, y, z > 0 दीर्घवृत्तज पर हैं, और आयतन V = 8xyz है।

F = xyz + λ(x²/a² + y²/b² + z²/c² − 1)। F_x = yz + 2λx/a² = 0, F_y = xz + 2λy/b² = 0, F_z = xy + 2λz/c² = 0।

x, y, z से गुणा करने पर xyz = −2λx²/a² = −2λy²/b² = −2λz²/c²। चूँकि xyz ≠ 0, x²/a² = y²/b² = z²/c², और इनका योग 1 है, अतः प्रत्येक 1/3 है।

अतः x = a/√3, y = b/√3, z = c/√3 और V = 8abc/(3√3)।

यह उच्चिष्ठ है: V, x, y, z ≥ 0 वाले दीर्घवृत्तज के संहत भाग पर संतत है, उसके किनारों पर (जहाँ कोई निर्देशांक 0 है) शून्य है, और भीतर केवल यही स्थिर बिंदु है।

उत्तर: महत्तम आयतन 8abc/(3√3) है।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): f(x, y) = x²y + e^xy के लिए f_x और f_y ज्ञात कीजिए।

उत्तर: f_x = 2xy + ye^xy, f_y = x² + xe^xy।

अभ्यास 2 (मूल): दिखाइए कि lim_{(x, y)→(0, 0)} x²/(x² + y²) विद्यमान नहीं है।

उत्तर: y = mx के अनुदिश मान 1/(1 + m²) है, जो m पर निर्भर है।

अभ्यास 3 (मूल): f = x³ + x²y + y³ के लिए ऑयलर प्रमेय सत्यापित कीजिए।

उत्तर: xf_x + yf_y = x(3x² + 2xy) + y(x² + 3y²) = 3x³ + 3x²y + 3y³ = 3f (घात 3)।

अभ्यास 4 (मानक): lim_{(x, y)→(0, 0)} x³/(x² + y²) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 0, क्योंकि ध्रुवीय रूप में |f| = r|cos³θ| ≤ r।

अभ्यास 5 (मानक): f = x² + xy + y² − 3x के स्तब्ध बिंदु ज्ञात कीजिए और उनका वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: 2x + y = 3, x + 2y = 0 से (2, −1); r = 2, s = 1, t = 2, rt − s² = 3 > 0, r > 0: न्यूनतम मान f(2, −1) = −3।

अभ्यास 6 (मानक): क्या f(x, y) = √|xy|, (0, 0) पर अवकलनीय है?

उत्तर: नहीं: f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, परंतु h = k के अनुदिश E/ρ = √|hk|/√(h² + k²) = 1/√2 (f वहाँ संतत है)।

अभ्यास 7 (मानक): लग्रांज विधि से x² + y² = 1 पर x + y के चरम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1 + 2λx = 1 + 2λy = 0 से x = y = ±1/√2: अधिकतम √2, न्यूनतम −√2।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): f(x, y) = x³ + 3xy² − 15x² − 15y² + 72x के चरम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: स्तब्ध बिंदु (4, 0), (6, 0), (5, ±1); r = t = 6x − 30, s = 6y। (4, 0) पर उच्चिष्ठ 112, (6, 0) पर निम्निष्ठ 108; (5, ±1) पल्याण बिंदु हैं (rt − s² = −36)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): xyz = a³, a > 0 के अधीन x² + y² + z² का न्यूनतम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2x + λyz = 0 इत्यादि; x, y, z से गुणा करने पर x² = y² = z² = a², अतः न्यूनतम 3a² है ((a, a, a) पर और xyz > 0 रखने वाले चिह्न-परिवर्तनों पर); AM–GM इसकी पुष्टि करता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): f(x, y) = x² tan⁻¹(y/x) − y² tan⁻¹(x/y) (xy ≠ 0), अक्षों पर f = 0, के लिए (0, 0) पर f_xy(0, 0) = ∂/∂y(∂f/∂x) और f_yx(0, 0) = ∂/∂x(∂f/∂y) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: f_x(0, y) = lim f(h, y)/h = −y और f_y(x, 0) = x, अतः f_xy(0, 0) = −1 और f_yx(0, 0) = 1; मिश्र अवकलज असमान हैं (अतः मूलबिंदु पर संतत नहीं)।

1. आर्किमिडीय गुणधर्म (Archimedean property)

कथन: यदि x > 0 और y ∈ ℝ, तो कोई n ∈ ℕ ऐसा है कि nx > y। विशेषतः 1/n → 0।

उपपत्ति: मान लीजिए ऐसा नहीं है। तब प्रत्येक n ∈ ℕ के लिए nx ≤ y, अतः S = {nx : n ∈ ℕ} अरिक्त है और y द्वारा ऊपर से परिबद्ध है।

पूर्णता अभिगृहीत से s = sup S विद्यमान है। चूँकि x > 0, s − x < s, अतः s − x, S का उपरि परिबंध नहीं है।

अतः किसी m ∈ ℕ के लिए mx > s − x, अर्थात (m + 1)x > s। परंतु (m + 1)x ∈ S, जो s = sup S का खंडन है।

अंतिम भाग के लिए, ε > 0 दिया हो तो x = ε, y = 1 के साथ गुणधर्म लगाकर N ऐसा पाइए कि Nε > 1; तब सभी n ≥ N के लिए 0 < 1/n ≤ 1/N < ε।

अतः सिद्ध हुआ।

2. एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय (monotone convergence theorem)

कथन: ऊपर से परिबद्ध वास्तविक वर्धमान अनुक्रम (a_n) अभिसारी है, और lim a_n = sup{a_n : n ∈ ℕ}। इसी प्रकार नीचे से परिबद्ध ह्रासमान अनुक्रम अपने निम्नक की ओर अभिसारी है।

उपपत्ति: समुच्चय {a_n} अरिक्त और ऊपर से परिबद्ध है, अतः पूर्णता से l = sup{a_n} विद्यमान है।

मान लीजिए ε > 0। चूँकि l − ε उपरि परिबंध नहीं है, किसी N के लिए a_N > l − ε।

n ≥ N के लिए एकदिष्टता से l − ε < a_N ≤ a_n ≤ l < l + ε, अतः |a_n − l| < ε। अतः a_n → l।

यदि (a_n) ह्रासमान और नीचे से परिबद्ध है, तो (−a_n) वर्धमान और ऊपर से परिबद्ध है, अतः −a_n → sup(−a_n) = −inf a_n, अर्थात a_n → inf a_n।

अतः सिद्ध हुआ।

3. बोलज़ानो–वायरस्ट्रास प्रमेय

कथन: वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का कोई अभिसारी उपानुक्रम होता है।

उपपत्ति: सूचक m को शिखर कहिए यदि प्रत्येक n > m के लिए a_m ≥ a_n। हम दिखाते हैं कि (a_n) का कोई एकदिष्ट उपानुक्रम है।

स्थिति 1: अनंत शिखर m₁ < m₂ < ... हैं। तब a_m1 ≥ a_m2 ≥ ... ह्रासमान उपानुक्रम है।

स्थिति 2: शिखर परिमित हैं। n₁ को उन सबसे बड़ा चुनिए। n₁ शिखर नहीं है, अतः कोई n₂ > n₁ है जिसके लिए a_n2 > a_n1; n₂ भी शिखर नहीं है, अतः कोई n₃ > n₂ है जिसके लिए a_n3 > a_n2, इत्यादि।

इससे निरंतर वर्धमान उपानुक्रम मिलता है।

दोनों स्थितियों में एकदिष्ट उपानुक्रम परिबद्ध है, क्योंकि (a_n) परिबद्ध है, अतः एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से यह अभिसारी है।

अतः सिद्ध हुआ।

4. कॉशी का अभिसरण का व्यापक सिद्धांत

कथन: वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम (a_n) अभिसारी है यदि और केवल यदि वह कॉशी अनुक्रम है।

उपपत्ति: (⇒) मान लीजिए a_n → l और ε > 0। N ऐसा चुनिए कि n ≥ N के लिए |a_n − l| < ε/2। तब m, n ≥ N के लिए |a_m − a_n| ≤ |a_m − l| + |l − a_n| < ε।

(⇐) मान लीजिए (a_n) कॉशी है। ε = 1 के लिए कोई N₀ है जिससे n ≥ N₀ पर |a_n| ≤ |a_N0| + 1, अतः सभी n के लिए |a_n| ≤ max(|a₁|, ..., |a_N0|) + 1: अनुक्रम परिबद्ध है।

बोलज़ानो–वायरस्ट्रास से कोई उपानुक्रम a_nk → l।

मान लीजिए ε > 0। N ऐसा चुनिए कि m, n ≥ N के लिए |a_m − a_n| < ε/2, और फिर k ऐसा कि n_k ≥ N और |a_nk − l| < ε/2 (संभव है क्योंकि n_k → ∞ और a_nk → l)।

n ≥ N के लिए |a_n − l| ≤ |a_n − a_nk| + |a_nk − l| < ε/2 + ε/2 = ε। अतः a_n → l।

अतः सिद्ध हुआ।

5. सीमाओं पर कॉशी का प्रथम प्रमेय

कथन: यदि a_n → l, तो (a₁ + a₂ + ... + a_n)/n → l।

उपपत्ति: b_n = a_n − l रखिए, अतः b_n → 0; यह दिखाना पर्याप्त है कि (b₁ + ... + b_n)/n → 0, क्योंकि यह (a₁ + ... + a_n)/n − l के बराबर है।

अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होता है, अतः सभी n के लिए |b_n| ≤ M।

मान लीजिए ε > 0 और N ऐसा चुनिए कि n > N के लिए |b_n| < ε/2। n > N के लिए |b₁ + ... + b_n|/n ≤ (|b₁| + ... + |b_N|)/n + ((n − N)/n)(ε/2) ≤ NM/n + ε/2।

N₁ ≥ N ऐसा चुनिए कि NM/N₁ < ε/2। तब n > N₁ के लिए व्यंजक ε/2 + ε/2 = ε से कम है।

अतः (b₁ + ... + b_n)/n → 0, और (a_n) के समांतर माध्य l की ओर जाते हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

6. निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण

कथन: यदि ∑|a_n| अभिसारी है, तो ∑a_n अभिसारी है, और |∑a_n| ≤ ∑|a_n|।

उपपत्ति: आंशिक योगों पर कॉशी सिद्धांत लगाने से श्रेणियों की कॉशी कसौटी मिलती है: ∑u_n अभिसारी है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए N ऐसा हो कि सभी m > n ≥ N के लिए |u_n+1 + ... + u_m| < ε।

चूँकि ∑|a_n| अभिसारी है, ε > 0 के लिए N ऐसा है कि सभी m > n ≥ N के लिए |a_n+1| + ... + |a_m| < ε।

त्रिभुज असमिका से उन्हीं m, n के लिए |a_n+1 + ... + a_m| ≤ |a_n+1| + ... + |a_m| < ε।

अतः ∑a_n कॉशी कसौटी को संतुष्ट करती है और अभिसारी है। |a₁ + ... + a_n| ≤ |a₁| + ... + |a_n| में n → ∞ करने पर |∑a_n| ≤ ∑|a_n|।

अतः सिद्ध हुआ।

7. एकांतर श्रेणी के लिए लाइबनिट्ज परीक्षण

कथन: यदि (u_n) धनात्मक पदों का ह्रासमान अनुक्रम है और u_n → 0, तो ∑(−1)ⁿ⁺¹u_n अभिसारी है, और इसका योग S, 0 ≤ S ≤ u₁ को संतुष्ट करता है। इसे शेष श्रेणी u_n+1 − u_n+2 + ⋯ पर लगाने से त्रुटि-सीमा |S − S_n| ≤ u_n+1 मिलती है।

उपपत्ति: मान लीजिए S_n आंशिक योग हैं। S_2n+2 − S_2n = u_2n+1 − u_2n+2 ≥ 0, अतः (S_2n) वर्धमान है; साथ ही S_2n = (u₁ − u₂) + ... + (u_2n−1 − u_2n) ≥ 0।

S_2n = u₁ − (u₂ − u₃) − ... − (u_2n−2 − u_2n−1) − u_2n ≤ u₁, क्योंकि प्रत्येक कोष्ठक अऋणात्मक है।

एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से किसी S के लिए S_2n → S, जहाँ 0 ≤ S ≤ u₁।

S_2n+1 = S_2n + u_2n+1 → S + 0 = S।

ε > 0 दिया हो तो N₁, N₂ ऐसे चुनिए कि n ≥ N₁ पर |S_2n − S| < ε और n ≥ N₂ पर |S_2n+1 − S| < ε; तब सभी m ≥ 2max(N₁, N₂) + 1 के लिए |S_m − S| < ε। अतः S_n → S।

अतः सिद्ध हुआ।

8. डी'एलम्बर्ट अनुपात परीक्षण

कथन: मान लीजिए a_n > 0 और a_n+1/a_n → l। यदि l < 1 तो ∑a_n अभिसारी है; यदि l > 1 तो ∑a_n अपसारी है।

उपपत्ति: मान लीजिए l < 1 और r ऐसा स्थिर कीजिए कि l < r < 1। ε = r − l लेने पर कोई N है जिससे सभी n ≥ N के लिए a_n+1/a_n < r।

तब a_N+1 < ra_N, a_N+2 < r²a_N, और व्यापक रूप से n ≥ N के लिए a_n ≤ a_Nr^n−N = (a_Nr^−N)rⁿ।

∑rⁿ अभिसारी है क्योंकि 0 < r < 1, अतः तुलना परीक्षण से ∑a_n अभिसारी है (आरंभिक परिमित पद अभिसरण को प्रभावित नहीं करते)।

मान लीजिए l > 1। ε = l − 1 लेने पर कोई N है जिससे n ≥ N के लिए a_n+1/a_n > 1, अतः सभी n ≥ N के लिए a_n ≥ a_N > 0।

तब a_n, 0 की ओर नहीं जाता, अतः ∑a_n अपसारी है। (l = 1 पर कोई निष्कर्ष नहीं: ∑1/n अपसारी है जबकि ∑1/n² अभिसारी है, दोनों में l = 1।)

अतः सिद्ध हुआ।

9. [a, b] पर संतत फलन परिबद्ध होता है और अपने परिबंध प्राप्त करता है

कथन: मान लीजिए f संवृत परिबद्ध अंतराल [a, b] पर संतत है। तब f परिबद्ध है, और बिंदु c, d ∈ [a, b] ऐसे हैं कि f(c) = sup f और f(d) = inf f।

उपपत्ति: मान लीजिए f अपरिबद्ध है। तब प्रत्येक n के लिए कोई x_n ∈ [a, b] है जिसके लिए |f(x_n)| > n।

(x_n) परिबद्ध है, अतः बोलज़ानो–वायरस्ट्रास से कोई उपानुक्रम x_nk → c, और a ≤ x_nk ≤ b से c ∈ [a, b]।

सांतत्य से f(x_nk) → f(c), अतः (f(x_nk)) परिबद्ध है; परंतु |f(x_nk)| > n_k → ∞। यह विरोधाभास दिखाता है कि f परिबद्ध है।

M = sup f लीजिए, जो पूर्णता से विद्यमान है। प्रत्येक n के लिए कोई y_n ∈ [a, b] है जिसके लिए M − 1/n < f(y_n) ≤ M।

पुनः कोई उपानुक्रम y_nk → c ∈ [a, b], और सैंडविच प्रमेय से f(y_nk) → M। सांतत्य से f(c) = M।

इसे −f पर लगाने से ऐसा बिंदु d मिलता है जिसके लिए f(d) = inf f।

अतः सिद्ध हुआ।

10. मध्यवर्ती मान प्रमेय (intermediate value theorem)

कथन: मान लीजिए f, [a, b] पर संतत है और k, f(a) और f(b) के निरंतर बीच में है। तब किसी c ∈ (a, b) के लिए f(c) = k।

उपपत्ति: मान लीजिए f(a) < k < f(b); अन्यथा तर्क को −f और −k पर लगाइए।

S = {x ∈ [a, b] : f(x) < k} लीजिए। S में a है और b द्वारा ऊपर से परिबद्ध है, अतः c = sup S विद्यमान है और a ≤ c ≤ b।

मान लीजिए f(c) < k। तब c ≠ b (क्योंकि f(b) > k), और सांतत्य से कोई δ > 0 है जिससे x ∈ [c, c + δ) ∩ [a, b] के लिए f(x) < k। इनमें c से बड़े S के बिंदु हैं, जो c = sup S का खंडन है।

मान लीजिए f(c) > k। तब c ≠ a (क्योंकि f(a) < k), और सांतत्य से कोई δ, 0 < δ < c − a, है जिससे (c − δ, c] पर f(x) > k। तब S का कोई बिंदु (c − δ, c] में नहीं है, और कोई बिंदु c से बड़ा नहीं है, अतः c − δ, S का उपरि परिबंध है, जो c = sup S का खंडन है।

अतः f(c) = k, और c ≠ a, b क्योंकि f(a) ≠ k ≠ f(b)।

अतः सिद्ध हुआ।

11. हाइने–कैंटर प्रमेय ([a, b] पर एकसमान सांतत्य)

कथन: संवृत परिबद्ध अंतराल [a, b] पर संतत फलन f, [a, b] पर एकसमान संतत होता है।

उपपत्ति: मान लीजिए ऐसा नहीं है। तब कोई ε₀ > 0 है कि प्रत्येक δ > 0 के लिए किसी युग्म x, y ∈ [a, b] में |x − y| < δ परंतु |f(x) − f(y)| ≥ ε₀।

δ = 1/n लेने पर x_n, y_n ∈ [a, b] मिलते हैं जिनके लिए |x_n − y_n| < 1/n और |f(x_n) − f(y_n)| ≥ ε₀।

बोलज़ानो–वायरस्ट्रास से कोई उपानुक्रम x_nk → c, और अंतराल संवृत है अतः c ∈ [a, b]। चूँकि |x_nk − y_nk| < 1/n_k → 0, y_nk → c भी।

c पर सांतत्य से f(x_nk) − f(y_nk) → f(c) − f(c) = 0, जो |f(x_nk) − f(y_nk)| ≥ ε₀ का खंडन है।

अतः f एकसमान संतत है। संवृतता और परिबद्धता दोनों आवश्यक हैं: (0, 1] पर 1/x और ℝ पर x² संतत हैं पर एकसमान संतत नहीं।

अतः सिद्ध हुआ।

12. [a, b] पर प्रत्येक संतत फलन रीमान समाकलनीय है

कथन: यदि f, [a, b] पर संतत है, तो f ∈ R[a, b]।

उपपत्ति: f परिबद्ध है (पिछला प्रमेय), अतः उपरि और निम्न योग परिभाषित हैं।

मान लीजिए ε > 0। हाइने–कैंटर प्रमेय से कोई δ > 0 है जिससे |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε/(b − a)।

कोई भी विभाजन P लीजिए जिसमें प्रत्येक Δx_i < δ। [x_i−1, x_i] पर f, M_i और m_i को δ से कम दूरी वाले दो बिंदुओं पर प्राप्त करता है, अतः M_i − m_i < ε/(b − a)।

तब U(P, f) − L(P, f) = ∑(M_i − m_i)Δx_i < (ε/(b − a))∑Δx_i = ε।

रीमान कसौटी से f ∈ R[a, b]।

अतः सिद्ध हुआ।

13. समाकलन गणित का प्रथम मूलभूत प्रमेय

कथन: मान लीजिए f ∈ R[a, b] और x ∈ [a, b] के लिए F(x) = ∫_a^x f(t) dt। तब F, [a, b] पर संतत है, और यदि f, c ∈ [a, b] पर संतत है, तो F, c पर अवकलनीय है और F′(c) = f(c) (अंत्य बिंदु पर एकपक्षीय)।

उपपत्ति: समाकलनीय फलन परिबद्ध होता है, मान लीजिए |f| ≤ M। x, y ∈ [a, b] के लिए |F(y) − F(x)| = |∫_x^y f(t) dt| ≤ M|y − x|, अतः F (एकसमान) संतत है।

मान लीजिए f, c पर संतत है। h ≠ 0, c + h ∈ [a, b] के लिए (F(c + h) − F(c))/h − f(c) = (1/h)∫_c^c+h (f(t) − f(c)) dt, क्योंकि ∫_c^c+h f(c) dt = hf(c)।

ε > 0 दिया हो तो δ > 0 ऐसा चुनिए कि |t − c| < δ होने पर |f(t) − f(c)| < ε।

0 < |h| < δ के लिए c और c + h के बीच प्रत्येक t, |t − c| < δ को संतुष्ट करता है, अतः |(F(c + h) − F(c))/h − f(c)| ≤ (1/|h|)·ε|h| = ε।

अतः F′(c) = f(c)।

अतः सिद्ध हुआ।

14. संतत फलनों की एकसमान सीमा संतत होती है

कथन: मान लीजिए प्रत्येक f_n, c ∈ E पर संतत है और E पर f_n → f एकसमान रूप से। तब f, c पर संतत है। अतः संतत फलनों की एकसमान अभिसारी श्रेणी का योग संतत होता है।

उपपत्ति: मान लीजिए ε > 0। एकसमान अभिसरण से N ऐसा चुनिए कि सभी x ∈ E के लिए |f_N(x) − f(x)| < ε/3।

f_N, c पर संतत है, अतः कोई δ > 0 है जिससे x ∈ E, |x − c| < δ के लिए |f_N(x) − f_N(c)| < ε/3।

ऐसे x के लिए |f(x) − f(c)| ≤ |f(x) − f_N(x)| + |f_N(x) − f_N(c)| + |f_N(c) − f(c)| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε।

अतः f, c पर संतत है। इसे आंशिक योगों S_n = u₁ + ... + u_n पर लगाने से श्रेणियों का कथन मिलता है।

व्यवहार में प्रयुक्त प्रतिधनात्मक रूप: यदि संतत f_n असंतत सीमा की ओर अभिसरित हों, तो अभिसरण एकसमान नहीं है (उदाहरणतः [0, 1] पर xⁿ)।

अतः सिद्ध हुआ।

15. वायरस्ट्रास M-परीक्षण

कथन: मान लीजिए सभी x ∈ E और सभी n के लिए |u_n(x)| ≤ M_n, जहाँ ∑M_n अचरों की अभिसारी श्रेणी है। तब ∑u_n(x), E पर एकसमान और निरपेक्षतः अभिसारी है।

उपपत्ति: मान लीजिए ε > 0। ∑M_n की कॉशी कसौटी से कोई N है जिससे सभी m > n ≥ N के लिए M_n+1 + ... + M_m < ε; ध्यान दें कि N में x नहीं है।

प्रत्येक x ∈ E और m > n ≥ N के लिए |u_n+1(x) + ... + u_m(x)| ≤ |u_n+1(x)| + ... + |u_m(x)| ≤ M_n+1 + ... + M_m < ε।

अतः आंशिक योग S_n(x) सभी x ∈ E और m > n ≥ N के लिए |S_m(x) − S_n(x)| < ε को संतुष्ट करते हैं: एकसमान अभिसरण की कॉशी कसौटी से ∑u_n, E पर एकसमान अभिसारी है।

बीच की असमिका दिखाती है कि ∑|u_n(x)| भी कॉशी कसौटी को संतुष्ट करती है, अतः अभिसरण निरपेक्ष भी है।

अतः सिद्ध हुआ।

16. [a, b] पर एकदिष्ट फलन रीमान समाकलनीय है

कथन: मान लीजिए f, [a, b] पर एकदिष्ट है। तब f ∈ R[a, b]।

उपपत्ति: मान लीजिए f वर्धमान है (ह्रासमान f के लिए तर्क −f पर लगाइए)। तब f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), अतः f परिबद्ध है। यदि f(a) = f(b), तो f अचर और समाकलनीय है, अतः मान लीजिए f(b) > f(a)।

ε > 0 दिया हो, तो P, [a, b] को h = (b − a)/n लंबाई के n समान भागों में बाँटे, जहाँ n इतना बड़ा हो कि (f(b) − f(a))(b − a)/n < ε।

चूँकि f वर्धमान है, [x_i−1, x_i] पर M_i = f(x_i) और m_i = f(x_i−1)।

अतः U(P, f) − L(P, f) = ∑_i=1ⁿ (f(x_i) − f(x_i−1))h = h(f(b) − f(a)) < ε, योग दूरदर्शी होने से।

रीमान कसौटी से f ∈ R[a, b]।

अतः सिद्ध हुआ।

17. संकुचनशील अनुक्रम कॉशी अनुक्रम है

कथन: मान लीजिए (a_n) ऐसा वास्तविक अनुक्रम है कि सभी n ≥ 2 के लिए |a_n+1 − a_n| ≤ α|a_n − a_n−1|, जहाँ 0 < α < 1। तब (a_n) कॉशी अनुक्रम है, और इसलिए अभिसारी।

उपपत्ति: मान लीजिए d = |a₂ − a₁|। परिकल्पना बार-बार लगाने पर सभी n ≥ 1 के लिए |a_n+1 − a_n| ≤ α|a_n − a_n−1| ≤ ⋯ ≤ αⁿ⁻¹d।

m > n के लिए त्रिभुज असमिका से |a_m − a_n| ≤ |a_m − a_m−1| + ⋯ + |a_n+1 − a_n| ≤ d(α^m−2 + ⋯ + αⁿ⁻¹)।

गुणोत्तर योग αⁿ⁻¹/(1 − α) से कम है, अतः |a_m − a_n| < dαⁿ⁻¹/(1 − α)।

चूँकि 0 < α < 1, αⁿ⁻¹ → 0। ε > 0 दिया हो तो N ऐसा चुनिए कि dα^N−1/(1 − α) < ε (d = 0 हो तो कोई भी N); तब सभी m > n ≥ N के लिए |a_m − a_n| < ε।

अतः (a_n) कॉशी है, और कॉशी के व्यापक सिद्धांत से अभिसारी है।

अतः सिद्ध हुआ।

18. रीमान का पुनर्विन्यास प्रमेय

कथन: मान लीजिए ∑x_n वास्तविक संख्याओं की सप्रतिबंध अभिसारी श्रेणी है और S कोई वास्तविक संख्या है (जैसे S = 100)। तब किसी पुनर्विन्यास ∑x_π(n) का योग S है।

उपपत्ति: मान लीजिए p₁, p₂, ... ऋणेतर पद और q₁, q₂, ... ऋण पदों के निरपेक्ष मान हैं, प्रत्येक अपने मूल क्रम में; दोनों सूचियाँ अनंत हैं।

∑p_k और ∑q_k दोनों अपसारी हैं: यदि दोनों अभिसारी होतीं तो ∑|x_n| अभिसारी होती, और यदि ठीक एक अभिसारी होती तो ∑x_n अपसारी होती। साथ ही p_k → 0 और q_k → 0, क्योंकि x_n → 0।

पुनर्विन्यास खंडों में बनाइए: p₁, p₂, ... तब तक लीजिए जब तक आंशिक योग पहली बार S से अधिक न हो जाए, फिर −q₁, −q₂, ... जब तक वह पहली बार S से कम न हो जाए, फिर पुनः धनात्मक पद, इत्यादि।

प्रत्येक खंड परिमित है क्योंकि अप्रयुक्त धनात्मक (और ऋण) पदों का योग अब भी अनंत है। अतः प्रक्रिया कभी नहीं रुकती, और मूल श्रेणी का प्रत्येक पद ठीक एक बार प्रयुक्त होता है: परिणाम एक पुनर्विन्यास है।

धनात्मक खंड समाप्त होने पर आंशिक योग T, S < T ≤ S + p को संतुष्ट करता है, जहाँ p अंतिम प्रयुक्त पद है; अगले ऋण खंड में आंशिक योग T से घटकर कम से कम S − q तक आते हैं, जहाँ q उस खंड का अंतिम पद है। अतः प्रथम खंड के बाद प्रत्येक आंशिक योग, नवीनतम खंड-अंत पदों p, q के लिए, S से max(p, q) के भीतर है।

खंड-अंत पद k → ∞ के साथ p_k, q_k हैं, और ये 0 की ओर जाते हैं, अतः पुनर्विन्यस्त श्रेणी के आंशिक योग S की ओर अभिसरित होते हैं। S = 100 लेने पर योग 100 वाला पुनर्विन्यास मिलता है।

अतः सिद्ध हुआ।

1. अनुक्रम और श्रेणी

प्रश्न 1 (10 अंक): दिखाइए कि अनुक्रम a_n = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! अभिसारी है, और इसकी सीमा 2 और 3 के बीच है।

a_n+1 − a_n = 1/(n + 1)! > 0, अतः (a_n) निरंतर वर्धमान है।

k ≥ 1 के लिए k! = 1·2·3···k ≥ 2^k−1, अतः 1/k! ≤ 1/2^k−1।

अतः प्रत्येक n के लिए a_n ≤ 1 + (1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ⁻¹) < 1 + 2 = 3।

एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से a_n → l (यह सीमा e है), और चूँकि a₂ = 2.5, a_n < 3 तथा (a_n) वर्धमान है, 2.5 ≤ l ≤ 3।

उत्तर: अनुक्रम वर्धमान और 3 द्वारा ऊपर से परिबद्ध है, अतः अभिसारी है; इसकी सीमा e, 2 < e ≤ 3 को संतुष्ट करती है (e ≈ 2.718)।

प्रश्न 2 (10 अंक): मान लीजिए a₁ = 1 और a_n+1 = (2a_n + 3)/(a_n + 2)। सिद्ध कीजिए कि (a_n) अभिसारी है और इसकी सीमा ज्ञात कीजिए।

स्पष्टतः सभी n के लिए a_n > 0। साथ ही a_n+1 − √3 = (2 − √3)(a_n − √3)/(a_n + 2)।

चूँकि 2 − √3 > 0 और a₁ = 1 < √3, आगमन से सभी n के लिए a_n < √3।

a_n+1 − a_n = (2a_n + 3 − a_n² − 2a_n)/(a_n + 2) = (3 − a_n²)/(a_n + 2) > 0, अतः (a_n) वर्धमान है।

वर्धमान और ऊपर से परिबद्ध है, अतः a_n → l, 1 ≤ l ≤ √3। सीमा लेने पर l = (2l + 3)/(l + 2), अतः l² = 3 और l = √3।

उत्तर: (a_n) वर्धमान और √3 द्वारा ऊपर से परिबद्ध है, और lim a_n = √3।

प्रश्न 3 (15 अंक): अभिसरण की जाँच कीजिए: (i) ∑(√(n⁴ + 1) − n²), (ii) ∑(1 − 1/n)ⁿ², (iii) ∑sin(1/n)।

(i) परिमेयीकरण: √(n⁴ + 1) − n² = 1/(√(n⁴ + 1) + n²)। b_n = 1/n² से तुलना करने पर a_n/b_n = n²/(√(n⁴ + 1) + n²) → 1/2।

चूँकि ∑1/n² अभिसारी है, सीमा तुलना परीक्षण से (i) अभिसारी है।

(ii) मूल परीक्षण: a_n^1/n = (1 − 1/n)ⁿ → e⁻¹ < 1, अतः (ii) अभिसारी है।

(iii) sin(1/n) > 0 और sin(1/n)/(1/n) → 1। चूँकि ∑1/n अपसारी है, सीमा तुलना से (iii) अपसारी है, यद्यपि इसके पद 0 की ओर जाते हैं।

उत्तर: (i) अभिसारी, (ii) अभिसारी, (iii) अपसारी।

प्रश्न 4 (15 अंक): वे सभी वास्तविक x ज्ञात कीजिए जिनके लिए ∑_n=1^∞ (x − 2)ⁿ/(n·3ⁿ) निरपेक्षतः अभिसारी, सप्रतिबंध अभिसारी, या अपसारी है।

निरपेक्ष मानों पर अनुपात परीक्षण: |a_n+1/a_n| = (n/(n + 1))·|x − 2|/3 → |x − 2|/3।

अतः श्रेणी |x − 2| < 3, अर्थात −1 < x < 5, के लिए निरपेक्षतः अभिसारी है, और |x − 2| > 3 के लिए अपसारी है (वहाँ इसके पद 0 की ओर नहीं जाते)।

x = 5 पर श्रेणी ∑1/n, हरात्मक श्रेणी है, जो अपसारी है।

x = −1 पर यह ∑(−1)ⁿ/n है, जो लाइबनिट्ज परीक्षण से अभिसारी है (1/n घटते हुए 0 की ओर) परंतु निरपेक्षतः नहीं; अतः यह सप्रतिबंध अभिसारी है।

उत्तर: −1 < x < 5 के लिए निरपेक्षतः अभिसारी; x = −1 पर सप्रतिबंध अभिसारी; x ≥ 5 और x < −1 के लिए अपसारी।

2. सांतत्य और रीमान समाकलन

प्रश्न 5 (10 अंक): मान लीजिए x ≠ 0 के लिए f(x) = x sin(1/x) और f(0) = 0। दिखाइए कि f, [0, 1] पर एकसमान संतत है परंतु 0 पर अवकलनीय नहीं है।

x ≠ 0 के लिए f संतत फलनों का गुणनफल और संयोजन है, अतः संतत है।

0 पर |f(x) − f(0)| = |x||sin(1/x)| ≤ |x| → 0, अतः f, 0 पर संतत है। इस प्रकार f संवृत परिबद्ध अंतराल [0, 1] पर संतत है।

हाइने–कैंटर प्रमेय से f, [0, 1] पर एकसमान संतत है।

0 पर (f(h) − f(0))/h = sin(1/h), जिसकी h → 0 पर कोई सीमा नहीं है (h = 1/(2nπ + π/2) पर यह 1 और h = 1/(nπ) पर 0 है)। अतः f′(0) विद्यमान नहीं है।

उत्तर: f, [0, 1] पर एकसमान संतत है (हाइने–कैंटर) और f′(0) विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 6 (15 अंक): [0, 1] पर f को इस प्रकार परिभाषित कीजिए: न्यूनतम रूप p/q, q ≥ 1, के लिए f(p/q) = 1/q (अतः f(0) = f(1) = 1), और अपरिमेय x के लिए f(x) = 0। दिखाइए कि f ∈ R[0, 1] और ∫₀¹ f = 0।

प्रत्येक उपांतराल में अपरिमेय हैं, अतः प्रत्येक विभाजन P के लिए m_i = 0 और L(P, f) = 0।

मान लीजिए ε > 0। f(x) ≥ ε/2 केवल तब जब x = p/q, q ≤ 2/ε, और [0, 1] में ऐसे बिंदु परिमित हैं, मान लीजिए k।

ε/(4k) से कम लंबाई के बराबर भागों में विभाजन P लीजिए। k बिंदुओं में से प्रत्येक अधिकतम दो उपांतरालों में है, अतः उन्हें अंतर्विष्ट करने वाले उपांतरालों की कुल लंबाई 2k·ε/(4k) = ε/2 से कम है; इन पर M_i ≤ 1।

शेष प्रत्येक उपांतराल पर M_i < ε/2, और उनकी कुल लंबाई अधिकतम 1 है।

अतः U(P, f) < 1·(ε/2) + (ε/2)·1 = ε, और U(P, f) − L(P, f) < ε। रीमान कसौटी से f ∈ R[0, 1], और ∫₀¹ f = sup L(P, f) = 0।

उत्तर: f, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है और ∫₀¹ f = 0, यद्यपि यह प्रत्येक परिमेय बिंदु पर असंतत है।

प्रश्न 7 (10 अंक): मान लीजिए F(x) = ∫_x^x2 e^−t2 dt। F′(x), F′(1) और lim_x→0 F(x)/x ज्ञात कीजिए।

e^−t2 संतत है, अतः लाइबनिट्ज नियम लागू है: F′(x) = e^−x4·2x − e^−x2·1।

x = 1 पर F′(1) = 2e⁻¹ − e⁻¹ = 1/e।

F(0) = ∫₀⁰ = 0, अतः 0 पर F(x)/x, 0/0 रूप का है। लोपिटाल नियम से सीमा F′(0) = 0 − 1 = −1।

उत्तर: F′(x) = 2xe^−x4 − e^−x2, F′(1) = 1/e, और lim_x→0 F(x)/x = −1।

प्रश्न 8 (15 अंक): दिखाइए कि ∫₀^∞ (sin x)/x dx अभिसारी है परंतु ∫₀^∞ |sin x|/x dx अपसारी है।

0 के निकट (sin x)/x → 1, अतः समाकल्य (0, 1] पर परिबद्ध और संतत है; ∫₀¹ में कोई कठिनाई नहीं।

[1, ∞) पर: सभी X के लिए |∫₁^X sin x dx| = |cos 1 − cos X| ≤ 2, और 1/x एकदिष्टतः घटते हुए 0 की ओर जाता है। डिरिक्ले परीक्षण से ∫₁^∞ (sin x)/x dx अभिसारी है।

निरपेक्ष समाकल के लिए, [kπ, (k + 1)π] पर 1/x ≥ 1/((k + 1)π), अतः ∫_kπ^(k+1)π |sin x|/x dx ≥ (1/((k + 1)π))∫_kπ^(k+1)π |sin x| dx = 2/((k + 1)π)।

योग करने पर ∫₀^nπ |sin x|/x dx ≥ (2/π)(1 + 1/2 + ... + 1/n) → ∞।

उत्तर: ∫₀^∞ (sin x)/x dx अभिसारी है (मान π/2), परंतु केवल सप्रतिबंध, क्योंकि ∫₀^∞ |sin x|/x dx अपसारी है।

प्रश्न 9 (10 अंक): lim_n→∞ [(1 + 1/n)(1 + 2/n)···(1 + n/n)]^1/n का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक को P_n कहिए। तब log P_n = (1/n)∑_r=1ⁿ log(1 + r/n), जो [0, 1] पर log(1 + x) का रीमान योग है।

log(1 + x), [0, 1] पर संतत है, अतः log P_n → ∫₀¹ log(1 + x) dx।

∫₀¹ log(1 + x) dx = [(1 + x)log(1 + x) − (1 + x)]₀¹ = (2 log 2 − 2) − (0 − 1) = 2 log 2 − 1।

चरघातांकी फलन के सांतत्य से P_n → e^{2 log 2 − 1} = 4/e।

उत्तर: सीमा 4/e ≈ 1.4715 है।

3. एकसमान अभिसरण और अनेक चरों के फलन

प्रश्न 10 (15 अंक): दिखाइए कि f_n(x) = nxe^−nx2, [0, 1] पर बिंदुशः अभिसारी है परंतु एकसमान नहीं, और lim ∫₀¹ f_n ≠ ∫₀¹ lim f_n।

f_n(0) = 0, और स्थिर x > 0 के लिए nxe^−nx2 → 0 क्योंकि e^−nx2, n की वृद्धि से तेज घटता है। अतः बिंदुशः f_n → f = 0।

f_n′(x) = ne^−nx2(1 − 2nx²) = 0, x = 1/√(2n) पर, जहाँ f_n = √(n/2)·e^−1/2।

अतः M_n = sup |f_n − 0| ≥ √(n/2)e^−1/2 → ∞, और अभिसरण एकसमान नहीं है।

∫₀¹ f_n dx = [−e^−nx2/2]₀¹ = (1 − e⁻ⁿ)/2 → 1/2, जबकि ∫₀¹ f = 0।

उत्तर: f_n → 0 बिंदुशः, एकसमान नहीं (M_n → ∞); lim ∫₀¹ f_n = 1/2 ≠ 0 = ∫₀¹ lim f_n।

प्रश्न 11 (10 अंक): सिद्ध कीजिए कि f(x) = ∑_n=1^∞ sin(nx)/n³, ℝ पर अवकलनीय है और f′(x) = ∑_n=1^∞ cos(nx)/n²।

प्रत्येक पद u_n(x) = sin(nx)/n³ अवकलनीय है और u_n′(x) = cos(nx)/n²।

सभी x के लिए |u_n′(x)| ≤ 1/n², और ∑1/n² अभिसारी है, अतः M-परीक्षण से ∑u_n′, ℝ पर एकसमान अभिसारी है।

∑u_n(0) = 0 अभिसारी है (वस्तुतः ∑u_n, ℝ पर एकसमान अभिसारी है, क्योंकि |u_n| ≤ 1/n³)।

पदशः अवकलन प्रमेय से (प्रत्येक अंतराल [−a, a] पर लगाकर) f अवकलनीय है और f′ = ∑u_n′।

उत्तर: f, ℝ पर अवकलनीय है, और f′(x) = ∑cos(nx)/n², जो स्वयं संतत फलन है।

प्रश्न 12 (15 अंक): मान लीजिए (x, y) ≠ (0, 0) के लिए f(x, y) = xy/√(x² + y²) और f(0, 0) = 0। (0, 0) पर सांतत्य, आंशिक अवकलजों के अस्तित्व और अवकलनीयता की विवेचना कीजिए।

सांतत्य: |xy| ≤ (x² + y²)/2, अतः |f(x, y)| ≤ √(x² + y²)/2 → 0। अतः f, (0, 0) पर संतत है।

आंशिक अवकलज: f(h, 0) = 0 और f(0, k) = 0, अतः f_x(0, 0) = lim (f(h, 0) − 0)/h = 0 और इसी प्रकार f_y(0, 0) = 0।

अवकलनीयता के लिए आवश्यक होगा कि (h, k) → (0, 0) पर ε(h, k) = [f(h, k) − 0 − 0·h − 0·k]/√(h² + k²) = hk/(h² + k²) → 0।

k = h के अनुदिश यह अनुपात प्रत्येक h ≠ 0 के लिए 1/2 है, अतः 0 की ओर नहीं जाता। अतः f, (0, 0) पर अवकलनीय नहीं है।

उत्तर: f, (0, 0) पर संतत है और f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, परंतु f, (0, 0) पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 13 (15 अंक): f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 2x² + 4xy − 2y² के स्थिर बिंदु ज्ञात कर उनका वर्गीकरण कीजिए।

f_x = 4x³ − 4x + 4y = 0 और f_y = 4y³ + 4x − 4y = 0। जोड़ने पर x³ + y³ = 0, अतः y = −x।

तब x³ − x − x = 0, अर्थात x(x² − 2) = 0: स्थिर बिंदु (0, 0), (√2, −√2) और (−√2, √2) हैं।

r = f_xx = 12x² − 4, s = f_xy = 4, t = f_yy = 12y² − 4।

(±√2, ∓√2) पर: r = t = 20, rt − s² = 400 − 16 = 384 > 0 और r > 0, अतः दोनों निम्निष्ठ हैं, जहाँ f = 4 + 4 − 4 − 8 − 4 = −8।

(0, 0) पर: r = t = −4, s = 4, अतः rt − s² = 0 और परीक्षण विफल है।

सीधे जाँचिए: y = 0 पर छोटे x ≠ 0 के लिए f = x⁴ − 2x² < 0 = f(0, 0); y = x पर f = 2x⁴ > 0। अतः मूलबिंदु के निकट f दोनों चिह्न लेता है, और (0, 0) पल्याण बिंदु (saddle point) है।

उत्तर: (√2, −√2) और (−√2, √2) पर निम्निष्ठ, निम्निष्ठ मान −8; (0, 0) पल्याण बिंदु है।

1. वास्तविक संख्या पद्धति, अनुक्रम, कॉशी अनुक्रम और पूर्णता

2026 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि प्रतिवर्तन सूत्र u_n+1 = √(7 + u_n), u₁ = √7, द्वारा परिभाषित अनुक्रम (u_n), समीकरण x² − x − 7 = 0 के धनात्मक मूल पर अभिसरित होता है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: कौशी अनुक्रम की परिभाषा दीजिए और सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम एक कौशी अनुक्रम है। कौशी की शर्त का क्या महत्त्व है?

2024 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: कौशी के अभिसरण के व्यापक (जनरल) सिद्धांत का उपयोग करते हुए, अनुक्रम ⟨f_n⟩ के अभिसरण की जाँच कीजिए, जहाँ f_n = 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n!.

2020 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि शर्त |a_n+1 − a_n| ≤ α|a_n − a_n−1|, जहाँ पर 0 < α < 1 को सभी प्राकृतिक संख्याओं n ≥ 2 के लिए सन्तुष्ट करने वाला अनुक्रम (a_n), कॉशी-अनुक्रम होता है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए कि x₁ = 2 और x_n+1 = √(x_n + 20), n = 1, 2, 3, ... है। दर्शाइए कि अनुक्रम x₁, x₂, x₃, ... अभिसारी है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: x/sin x का अन्तराल (0, π/2] पर उच्चक और निम्नक मान ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: दो अनुक्रम {x_n} तथा {y_n} निम्न द्वारा आगमनतः परिभाषित होते हैं :
x₁ = 1/2, y₁ = 1 तथा x_n = √(x_n−1 y_n−1), n = 2, 3, 4, ...
1/y_n = (1/2)(1/x_n + 1/y_n−1), n = 2, 3, 4, ...
सिद्ध कीजिए कि
x_n−1 < x_n < y_n < y_n−1, n = 2, 3, 4, ...
तथा निगमन कीजिए कि दोनों अनुक्रम एक ही सीमान्त (limit) l पर अभिसरित होते हैं, जहाँ 1/2 < l < 1 है।

2. श्रेणी: अभिसरण परीक्षण, निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण, पुनर्विन्यास

2025 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: श्रेणी ∑_n=1^∞ (−1)ⁿ⁻¹/n के निरपेक्षतः या सापेक्ष अभिसारी होने की जाँच कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: श्रेणी ∑_n=1^∞ [1.3.5 … (2n − 1)]/[2.4.6 … (2n)] · x²ⁿ⁺¹/(2n + 1), x > 0 के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: श्रेणी x + 2²x²/2! + 3³x³/3! + 4⁴x⁴/4! + 5⁵x⁵/5! + ⋯ (x > 0) के अभिसरण या अपसरण का परीक्षण कीजिये।

2018 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: p (> 0) का वह परास ज्ञात कीजिए, जिसके लिए श्रेणी :
1/(1 + a)^p − 1/(2 + a)^p + 1/(3 + a)^p − ..., a > 0
(i) निरपेक्षतः अभिसारी तथा (ii) सापेक्ष अभिसारी है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: मान लीजिए कि ∑_n=1^∞ x_n एक वास्तविक संख्याओं की सप्रतिबन्ध अभिसारी श्रेणी है। दर्शाइए कि श्रेणी ∑_n=1^∞ x_n का एक पुनर्विन्यास ∑_n=1^∞ x_π(n) होगा जो 100 को अभिसरित होता है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: दर्शाइए कि श्रेणी
∑_n=1^∞ (−1)ⁿ⁺¹/(n + 1)
सापेक्ष अभिसारी है। (यदि इसे दर्शाने के लिए आप किसी प्रमेय/प्रमेयों का इस्तेमाल करते हैं, तो उसकी/उनकी उपपत्ति भी दीजिए।)

2015 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: श्रेणी ∑_n=1^∞ (−1)ⁿ⁺¹ n/(n² + 1) के अभिसरण तथा निरपेक्ष अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

3. सांतत्य, एकसमान सांतत्य और संहत समुच्चयों पर संतत फलन

2026 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: f(x) = lim_n→∞ [(1 + sin(π/x))ⁿ − 1]/[(1 + sin(π/x))ⁿ + 1], x ∈ (0, 1) द्वारा परिभाषित फलन f : (0, 1) → ℝ के असांतत्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = sin x² अंतराल [0, ∞[ पर एकसमान संतत नहीं है।

2018 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 15 अंक: दर्शाइए कि यदि ℝ के विवृत अन्तराल (a, b) पर परिभाषित फलन f अवमुख हो, तो वह संतत है। उदाहरण के द्वारा दर्शाइए कि यदि विवृत अन्तराल होने की शर्त न हो, तब अवमुख फलन का संतत होना आवश्यक नहीं है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: f(x) = x² sin(1/x), 0 < x < ∞
द्वारा दिए गए फलन f : (0, ∞) → ℝ के लिए दर्शाइए कि एक अवकलनीय फलन g : ℝ → ℝ है जो f का विस्तार करता है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: मान लीजिए f : ℝ → ℝ एक संतत फलन इस प्रकार है कि lim_x→+∞ f(x) तथा lim_x→−∞ f(x) का अस्तित्व है तथा ये परिमित हैं। सिद्ध कीजिए कि ℝ पर f एकसमान संतत है।

4. रीमान समाकल, अनुचित समाकल और समाकलन गणित के मूलभूत प्रमेय

2026 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 20 अंक: अंतराल [0, 1] पर एक फलन
f(x) = x², जब x परिमेय है;
f(x) = x³, जब x अपरिमेय है
द्वारा परिभाषित है। निम्न समाकल ∫₀¹ f और उच्च समाकल ∫₀¹ f का मूल्यांकन कीजिए। क्या समाकल ∫₀¹ f का अस्तित्व है?

2026 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि अनंत समाकल ∫₀^∞ dx/(1 + x² sin²x) अपसारी है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक सतत फलन रीमान समाकलनीय है।

2024 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: ∫₀² log x/√(2 − x) dx के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: [0, 1] पर परिभाषित निम्नलिखित फलन f के लिए उपरि तथा निम्न रीमान समाकल ज्ञात कीजिए:
f(x) = (1 − x²)^1/2, यदि x परिमेय है।
f(x) = (1 − x), यदि x अपरिमेय है।
अतः दर्शाइए कि [0, 1] पर f रीमान समाकलनीय नहीं है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि [a, b] पर परिभाषित एक वास्तविक मान परिबद्ध फलन f का दोलन, समुच्चय {|f(x₁) − f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ [a, b]} का उच्चक है।

2022 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: ∫₀^∞ cos x/(1 + x²) dx के अभिसरण का परीक्षण कीजिये।

2022 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: मान लीजिये कि [0, k], k > 0 पर f(x) = x² है। दर्शाइये कि f बंद अन्तराल [0, k] पर रीमान समाकलनीय है तथा ∫₀^k f dx = k³/3 है।

2021 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: यदि एक फलन f, अन्तराल [a, b] में एकदिष्ट है, तब सिद्ध कीजिए कि f, [a, b] में रीमान समाकलनीय है।

2020 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: दर्शाइए कि ∫₀^π/2 sin²x/(sin x + cos x) dx = (1/√2) log_e(1 + √2)

2019 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: मूल्यांकन कीजिए :
∫₀^∞ tan⁻¹(ax)/(x(1 + x²)) dx, a > 0, a ≠ 1.

2019 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 15 अंक: ∫₁² √x/ln x dx के अभिसरण पर चर्चा कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: असमिका : π²/9 < ∫_π/6^π/2 (x/sin x) dx < 2π²/9 को सिद्ध कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: मान लीजिए कि f(t) = ∫₀^t [x] dx, जहाँ [x] सबसे बड़ी पूर्ण संख्या है, जो x से छोटी या x के बराबर है, को दर्शाता है।
(i) निर्धारित कीजिए सभी वास्तविक संख्याएँ t, जहाँ f अवकलनीय है।
(ii) निर्धारित कीजिए सभी वास्तविक संख्याएँ t, जहाँ f संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: क्या फलन
f(x) = 1/n, 1/(n + 1) < x ≤ 1/n
f(x) = 0, x = 0
रीमान समाकलनीय है? यदि हाँ, तो ∫₀¹ f(x) dx का मान ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: अनंत समाकल ∫₁^∞ dx/[x²(1 + e^−x)] के अभिसरण का परीक्षण कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: ∫₀¹ f(x) dx का समाकलन कीजिए, जहाँ
f(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x), x ∈ ]0, 1]
f(x) = 0, x = 0

5. फलनों के अनुक्रमों और श्रेणियों का एकसमान अभिसरण

2024 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 20 अंक: श्रेणी ∑_n=1^∞ U_n(x), 0 ≤ x ≤ 1 का विचार कीजिए, जिसके पहले n पदों का योगफल S_n(x) = (1/2n²) log(1 + n⁴x²), x ∈ [0, 1] के द्वारा दिया गया है। दर्शाइए कि दी गई श्रेणी को पद-दर-पद अवकलित किया जा सकता है, यद्यपि ∑_n=1^∞ U′_n(x), [0, 1] पर एकसमान अभिसरित नहीं होती है।

2021 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: श्रेणी x⁴ + x⁴/(1 + x⁴) + x⁴/(1 + x⁴)² + x⁴/(1 + x⁴)³ + ⋯ के [0, 1] पर एकसमान अभिसरण की जाँच कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: f_n(x) = nx/(1 + n²x²), ∀ x ∈ ℝ (−∞, ∞)
n = 1, 2, 3, ....
के एकसमान अभिसरण पर चर्चा करें।

2015 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: फलनों की श्रेणी ∑_n=1^∞ nx/(1 + n²x²) का एकसमान अभिसरण के लिए परीक्षण कीजिए।

6. अनेक चरों के फलन: आंशिक अवकलज, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ

2025 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 20 अंक: सिद्ध कीजिए कि दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के अंतर्गत सबसे बड़े समकोणिक समांतरषट्फलक का आयतन 8abc/(3√3) है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: लग्रांज गुणक विधि के उपयोग से बिंदु P(2, 6, 3) की गोले x² + y² + z² = 4 से न्यूनतम तथा अधिकतम दूरियाँ ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 20 अंक: x²/a⁴ + y²/b⁴ + z²/c⁴ के अधिकतम तथा न्यूनतम मान निकालिये, जब lx + my + nz = 0 तथा x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 हैं। परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 20 अंक: शर्तों ax² + by² + cz² = 1 तथा lx + my + nz = 0 से प्रतिबन्धित x² + y² + z² के स्तब्ध (अचर) मान निकालिए। परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 20 अंक: यदि u = tan⁻¹((x³ + y³)/(x − y)), x ≠ y, तब दर्शाइए कि x² ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² = (1 − 4 sin²u) sin 2u

2019 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: दर्शाईए कि फलन
f(x, y) = (x² − y²)/(x − y), (x, y) ≠ (1, −1), (1, 1)
= 0, (x, y) = (1, 1), (1, −1)
संतत और बिन्दु (1, −1) पर अवकलनीय है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 15 अंक: अवकलों का उपयोग करते हुए, f(4.1, 4.9) का सन्निकट मान ज्ञात करें, जहाँ
f(x, y) = (x³ + x²y)^1/2 है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: f(x, y, z) = x²y²z² का अधिकतम मान ज्ञात करें बशर्ते कि गौण शर्त x² + y² + z² = c², (x, y, z > 0) है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: फलन
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 2x² + 4xy − 2y²
के आपेक्षिक उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: क्षेत्र x² + 2y² ≤ 1 पर फलन f(x, y) = x² + 3y² − y के निरपेक्ष (ऐब्सोल्यूट) उच्चतम तथा निम्नतम मानों को ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: फलन
f(x, y) = xy(3x² − 2y²)/(x² + y²), (x, y) ≠ (0, 0)
f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0)
के लिए ∂²f(0, 0)/∂x∂y तथा ∂²f(0, 0)/∂y∂x ज्ञात कीजिए। इसके साथ, बिन्दु (0, 0) पर ∂²f/∂x∂y तथा ∂²f/∂y∂x के सांतत्य की भी विवेचना कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: लग्रांज गुणकों की विधि के द्वारा x² + y² + z² का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए बशर्ते कि xyz = a³.