कलन — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. सुप्रीमम और पूर्णता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कलन बार-बार बिंदु उत्पन्न करता है: वह बिंदु जहाँ संतत वक्र किसी स्तर को पार करता है, आलेख का सबसे ऊँचा बिंदु, वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज है।

हमें यह गारंटी चाहिए कि ऐसा बिंदु सचमुच एक संख्या के रूप में विद्यमान है। केवल परिमेय संख्याओं ℚ पर यह गारंटी विफल होती है, अतः हमें एक ऐसा अभिगृहीत चाहिए जो कहे कि वास्तविक रेखा में कोई छिद्र नहीं है।

शब्दों में: संख्या M समुच्चय S का उपरि परिबंध (upper bound) है यदि S का कोई भी अवयव M से बड़ा नहीं है।

किसी समुच्चय के अनेक उपरि परिबंध हो सकते हैं; यदि 5 एक है तो 6 और 100 भी हैं। सुप्रीमम (supremum) अर्थात् न्यूनतम उपरि परिबंध इनमें सबसे छोटा है।

अतः 'M = sup S' के दो भाग हैं। भाग 1: प्रत्येक x ∈ S के लिए x ≤ M (M एक छत है)। भाग 2: प्रत्येक ε > 0 के लिए कोई x ∈ S ऐसा है कि x > M − ε (कोई नीची छत काम नहीं करती)।

परिमाणकों (quantifiers) को ध्यान से पढ़ें: 'प्रत्येक ε के लिए' पहले आता है, और अवयव x, ε पर निर्भर हो सकता है। इन्फिमम (infimum) की परिभाषा असमिकाएँ उलटकर इसी प्रकार है।

पूर्णता अभिगृहीत (completeness axiom) कहता है: वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक अरिक्त समुच्चय जिसका कोई उपरि परिबंध है, उसका सुप्रीमम होता है और वह स्वयं एक वास्तविक संख्या है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: S = {1 − 1/n : n ∈ ℕ} = {0, 1/2, 2/3, 3/4, ...} लें।

चरण 1 (अनुमान): अवयव बढ़ते हुए 1 की ओर जाते हैं, अतः अनुमान sup S = 1.

चरण 2 (छत): प्रत्येक n के लिए 1 − 1/n < 1, क्योंकि 1/n > 0. अतः 1 एक उपरि परिबंध है।

चरण 3 (कोई नीची छत नहीं): मान लें ε > 0. आर्किमिडीज़ गुण (Archimedean property) से n > 1/ε चुनें। तब 1/n < ε, अतः 1 − 1/n > 1 − ε.

चरण 4 (निष्कर्ष): दोनों भाग सत्य हैं, अतः sup S = 1. ध्यान दें कि 1 ∉ S: सुप्रीमम का समुच्चय का अवयव होना आवश्यक नहीं। यहाँ inf S = min S = 0, जो n = 1 पर प्राप्त होता है।

अ-उदाहरण (non-example): ℚ के भीतर समुच्चय A = {x ∈ ℚ : x > 0, x² < 2} ऊपर से (2 द्वारा) परिबद्ध है, परंतु इसका कोई न्यूनतम परिमेय उपरि परिबंध नहीं है।

कोई भी परिमेय उपरि परिबंध r ऐसा है कि r² > 2 (किसी परिमेय का वर्ग 2 नहीं), और तब उससे थोड़ा छोटा परिमेय भी उपरि परिबंध रहता है। विफल होने वाला प्रतिबंध पूर्णता है: 'सुप्रीमम' √2, ℚ में नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: [a, b] पर बड़े प्रमेयों के पीछे पूर्णता ही इंजन है।

मध्यवर्ती मान प्रमेय के लिए c = sup{x ∈ [a, b] : f(x) < k} लेकर दिखाया जाता है कि f(c) = k (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2)।

पूर्णता से बोल्ज़ानो-वाइअरस्ट्रास प्रमेय (प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का एक अभिसारी उपानुक्रम होता है) भी मिलता है, जो परिबद्धता, परिबंधों की प्राप्ति और एकसमान सांतत्य सिद्ध करता है (प्रमेय 3, 4 और 10)।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC {1/m + 1/n} या {(−1)ⁿ/n} जैसे समुच्चयों के sup और inf पूछता है: सदैव दोनों भाग सिद्ध करें और बताएँ कि परिबंध प्राप्त होता है या नहीं।

वास्तविक विश्लेषण में यही विचार अनुक्रमों के लिए एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय और कौशी कसौटी देता है।

2. वास्तविक संख्या पद्धति

ℝ एक पूर्ण क्रमित क्षेत्र (complete ordered field) है। पूर्णता (न्यूनतम उपरि परिबंध) अभिगृहीत: ℝ के ऊपर से परिबद्ध प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय का ℝ में न्यूनतम उपरि परिबंध (उच्चक, supremum) होता है।

भाव: पूर्णता का अर्थ है कि वास्तविक रेखा में कोई रिक्ति नहीं है: ऊपर से परिबद्ध प्रत्येक समुच्चय की एक न्यूनतम 'छत' होती है, और वह छत स्वयं एक वास्तविक संख्या है। ℚ में रिक्तियाँ हैं (√2, π, ... पर), और नीचे का प्रत्येक प्रमेय जो कोई बिंदु देता है (मध्यवर्ती मान प्रमेय, चरम मान, रोल) पूर्णता पर निर्भर है: x² − 2 का चिह्न [1, 2] ∩ ℚ पर बदलता है पर उसका कोई परिमेय शून्यक नहीं है।

आर्किमिडीय गुण: किन्हीं x, y > 0 के लिए ऐसा n ∈ ℕ है कि nx > y. किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के बीच एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या दोनों होती हैं (सघनता)।

व्युत्पत्ति (x < y के बीच एक परिमेय): आर्किमिडीय गुण से ऐसा n ∈ ℕ चुनें कि n(y − x) > 1, और m को nx से बड़ा न्यूनतम पूर्णांक लें। तब m − 1 ≤ nx < m, अतः nx < m ≤ nx + 1 < ny, अर्थात x < m/n < y.

अपरिमेय के लिए, ऐसा परिमेय r लें कि x − √2 < r < y − √2; तब r + √2 अपरिमेय है और x तथा y के बीच है।

sup S = M का अर्थ: सभी x ∈ S के लिए x ≤ M, और प्रत्येक ε > 0 के लिए ऐसा x ∈ S है कि x > M − ε. ℚ पूर्ण नहीं है: {x ∈ ℚ: x² < 2} का ℚ में कोई उच्चक नहीं है।

भाव: M ऐसा उपरि परिबंध है जिसे घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि कोई भी छोटी संख्या M − ε, S के किसी अवयव से छोटी पड़ जाती है। उच्चक (supremum) का S में होना आवश्यक नहीं: sup{1 − 1/n: n ∈ ℕ} = 1, जो समुच्चय में नहीं है।

3. सीमा की ε-δ परिभाषा को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: 'x के a के निकट जाने पर f(x), l के निकट जाता है' कुछ भी सिद्ध करने के लिए बहुत अस्पष्ट है। कितना निकट, और किन x के लिए निकट?

ε-δ परिभाषा 'निकट' को दो संख्याओं में बदल देती है, जिससे सीमा को असमिकाओं द्वारा सिद्ध या खंडित किया जा सके।

शब्दों में: lim_x→a f(x) = l का अर्थ है: प्रत्येक ε > 0 के लिए ऐसा δ > 0 है कि 0 < |x − a| < δ से |f(x) − l| < ε प्राप्त हो।

ε निर्गत सहनशीलता है: f(x), l से कितना दूर हो सकता है। यह आपको दिया जाता है, और विरोधी जितना चाहे उतना छोटा हो सकता है।

δ निवेश खिड़की है: x को a के कितने निकट होना चाहिए। इसे आपको खोजना है, और यह ε पर निर्भर हो सकता है।

'0 < |x − a|' स्वयं x = a को बाहर रखता है, अतः सीमा के लिए मान f(a) कभी महत्त्व नहीं रखता।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: सिद्ध करें कि lim_x→1 (3x + 2) = 5.

चरण 1 (उलटी दिशा में सोचें): हमें |(3x + 2) − 5| < ε चाहिए। सरल करें: |3x − 3| = 3|x − 1|.

चरण 2: 3|x − 1| < ε ठीक तब सत्य है जब |x − 1| < ε/3. अतः δ = ε/3 चुनें।

चरण 3 (आगे की दिशा में लिखें): ε > 0 दिया है, δ = ε/3 लें। यदि 0 < |x − 1| < δ, तो |(3x + 2) − 5| = 3|x − 1| < 3δ = ε.

चरण 4: ध्यान दें कि δ, ε पर निर्भर है (छोटा ε, छोटा δ), जो अनुमत है। अरैखिक f के लिए पहले |x − a| < 1 तक सीमित करके अतिरिक्त गुणनखंड को परिबद्ध करें, जैसा नीचे की विधि में है।

अ-उदाहरण (non-example): x → 0 पर f(x) = sin(1/x) की कोई सीमा नहीं है।

x_n = 1/(2nπ + π/2) के अनुदिश f = 1; y_n = 1/(2nπ) के अनुदिश f = 0; दोनों अनुक्रम 0 की ओर जाते हैं।

आप कोई भी l प्रस्तावित करें, ε = 1/2 लेने पर 0 के चारों ओर की हर खिड़की में ऐसे बिंदु हैं जहाँ f = 1 और ऐसे भी जहाँ f = 0, और ये दोनों l से 1/2 के भीतर नहीं हो सकते। 'ऐसा δ है' वाला प्रतिबंध विफल होता है।

आगे बढ़ते हुए: परिभाषा से सीमाओं का बीजगणित (योग, गुणनफल, शून्येतर सीमा वाला भागफल), सैंडविच प्रमेय और अनुक्रमिक कसौटी सिद्ध होते हैं।

सैंडविच प्रमेय के लिए: यदि a के निकट g ≤ f ≤ h और g, h → l, तो g और h के दोनों δ में से छोटा लें; तब l − ε < g ≤ f ≤ h < l + ε.

अनुक्रमिक कसौटी हर सीमा-प्रश्न को अनुक्रमों के प्रश्न में बदल देती है: एक बुरा अनुक्रम सीमा का खंडन कर देता है, परंतु प्रमाण के लिए सभी अनुक्रम (या सीधा ε-δ तर्क) चाहिए।

कहाँ प्रयोग होता है: 'दिए गए ε के लिए δ ज्ञात करें' वाले प्रश्न (प्रायः ε = 0.01), दो चरों के फलनों की सीमाएँ, और आगे की हर परिभाषा: सांतत्य, अवकलज, रीमान समाकल।

4. सीमाएँ

lim_x→a f(x) = l, यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए ऐसा δ > 0 हो कि 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε. यह सीमा (limit) की परिभाषा है।

भाव: परिभाषा को एक चुनौती की तरह पढ़ें: l के चारों ओर माँगी गई प्रत्येक सहनसीमा ε के लिए a के चारों ओर (a को छोड़कर) अर्ध-चौड़ाई δ की ऐसी खिड़की मिल सकती है जिस पर f उस सहनसीमा के अंदर रहे। मान f(a), और f का a पर परिभाषित होना भी, कोई भूमिका नहीं निभाता।

δ ज्ञात करना (विधि): |f(x) − l| को |x − a|·g(x) के रूप में गुणनखंडित करें, |x − a| < 1 पर g को अचर K से परिबद्ध करें, और δ = min(1, ε/K) लें। x → 2 पर x² → 4 के लिए: |x − 2| < 1 होने पर |x² − 4| = |x − 2||x + 2| ≤ 5|x − 2|, अतः δ = min(1, ε/5) उपयुक्त है।

सीमा का अस्तित्व है यदि और केवल यदि वाम सीमा f(a − 0) और दक्षिण सीमा f(a + 0) विद्यमान हों और बराबर हों।

अनुक्रमिक कसौटी: lim_x→a f(x) = l यदि और केवल यदि x_n ≠ a वाले प्रत्येक अनुक्रम x_n → a के लिए f(x_n) → l; सीमा का अनस्तित्व दिखाने के लिए ऐसे दो अनुक्रम खोजें जिन पर f की सीमाएँ भिन्न हों।

मानक सीमाएँ: lim_x→0 (sin x)/x = 1, lim_x→0 (e^x − 1)/x = 1, lim_x→0 (1 + x)^1/x = e, lim_x→0 (a^x − 1)/x = log a (a > 0).

lim (sin x)/x = 1 की व्युत्पत्ति: 0 < x < π/2 के लिए एकक वृत्त के चाप x पर त्रिभुज, त्रिज्यखंड और स्पर्शरेखा-त्रिभुज के क्षेत्रफलों की तुलना से sin x < x < tan x, अतः cos x < (sin x)/x < 1. चूँकि cos x → 1 और (sin x)/x सम फलन है, सैंडविच प्रमेय से सीमा 1 है; कोण रेडियन में होना चाहिए।

5. सांतत्य और एकसमान सांतत्य को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हमें ऐसे फलन चाहिए जिनके मान निकटवर्ती मानों से अनुमानित किए जा सकें: x में छोटी त्रुटि से f(x) में केवल छोटी त्रुटि हो।

एक बिंदु पर ठीक यही गुण सांतत्य (continuity) है; एकसमान सांतत्य (uniform continuity) पूरे अंतराल पर एक ही परिशुद्धता के साथ यही माँगता है।

शब्दों में: f, a पर संतत है जब तीन बातें सत्य हों: f(a) परिभाषित है, lim_x→a f(x) विद्यमान है, और दोनों बराबर हैं।

ε-δ भाषा में: प्रत्येक ε > 0 के लिए ऐसा δ > 0 है कि |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε. यहाँ x = a अनुमत है, क्योंकि अब f(a) ही लक्ष्य है।

किसी समुच्चय I पर एकसमान सांतत्य के लिए परिमाणकों का क्रम बदल जाता है: δ, ε के बाद परंतु बिंदुओं से पहले चुना जाता है, अतः एक ही δ, I के उन सभी युग्मों x, y के लिए काम करता है जिनके लिए |x − y| < δ.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x ≠ 2 के लिए f(x) = (x² − 4)/(x − 2), f(2) = 3, की x = 2 पर जाँच करें।

चरण 1: f(2) = 3 परिभाषित है।

चरण 2: x ≠ 2 के लिए f(x) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, अतः lim_x→2 f(x) = 4. निरसन वैध है क्योंकि सीमा में x = 2 का कभी उपयोग नहीं होता।

चरण 3: 4 ≠ 3, अतः f, 2 पर असंतत है। सीमा विद्यमान है, अतः असांतत्य निराकरणीय (removable) है: f(2) = 4 पुनः परिभाषित करने पर f संतत हो जाता है।

चरण 4 (एकसमानता): पूरे ℝ पर पुनर्परिभाषित f(x) = x + 2 के लिए |f(x) − f(y)| = |x − y|, अतः δ = ε हर बिंदु पर एक साथ काम करता है: f एकसमान संतत है।

अ-उदाहरण (non-example): f(x) = x², ℝ के हर बिंदु पर संतत है परंतु ℝ पर एकसमान संतत नहीं है।

x_n = n + 1/n और y_n = n लें। तब |x_n − y_n| = 1/n → 0, परंतु x_n² − y_n² = 2 + 1/n² > 2.

अतः ε = 2 के लिए कोई एक δ काम नहीं करता: x बढ़ने पर आलेख अधिक खड़ा होता जाता है, और x पर आवश्यक δ लगभग ε/(2|x|) की तरह घटता है। विफल प्रतिबंध है 'δ बिंदु से स्वतंत्र'।

आगे बढ़ते हुए: सांतत्य योग, गुणनफल, भागफल (शून्येतर हर) और संयोजन से सुरक्षित रहता है, क्योंकि सीमाएँ सुरक्षित रहती हैं।

संवृत परिबद्ध अंतराल पर सांतत्य कहीं अधिक प्रबल हो जाता है: f परिबद्ध है, अपना उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ प्राप्त करता है, हर मध्यवर्ती मान लेता है और एकसमान संतत है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2, 3, 4 और 10)।

एकसमान सांतत्य (हाइने-कैंटर) की उपपत्ति विरोधाभास से है: यदि एक ε हर δ = 1/n को परास्त करे, तो बोल्ज़ानो-वाइअरस्ट्रास से एक सीमा बिंदु c मिलता है जहाँ सांतत्य विफल होगा, जो असंभव है।

कहाँ प्रयोग होता है: खंडशः फलनों के असांतत्य का वर्गीकरण, f को संतत बनाने वाला अचर ज्ञात करना, IVT द्वारा मूल के अस्तित्व के प्रश्न, और संतत फलनों की रीमान समाकलनीयता सिद्ध करना।

6. सांतत्य

f बिंदु a पर संतत (सांतत्य, continuity) है यदि lim_x→a f(x) = f(a), अर्थात f(a − 0) = f(a + 0) = f(a).

भाव: सांतत्य (continuity) का अर्थ है a पर न कोई उछाल, न छिद्र, न अनियंत्रित दोलन, अतः a के पास आलेख कलम उठाए बिना खींचा जा सकता है। तुल्य रूप से (अनुक्रमिक रूप), x_n → a से f(x_n) → f(a).

असांतत्य: अपनेय (सीमा विद्यमान है पर f(a) से भिन्न है, या f(a) अपरिभाषित है); प्रथम प्रकार या उछाल (दोनों एकपक्षीय सीमाएँ विद्यमान पर भिन्न); द्वितीय प्रकार (कम से कम एक एकपक्षीय सीमा विद्यमान नहीं, जैसे 0 पर sin(1/x))।

[a, b] पर प्रमेय: संवृत परिबद्ध अंतराल पर संतत फलन परिबद्ध होता है, अपना उच्चक और निम्नक प्राप्त करता है, f(a) और f(b) के बीच प्रत्येक मान ग्रहण करता है (मध्यवर्ती मान प्रमेय), और एकसमानतः संतत होता है।

ये मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2, 3, 4 और 10 में सिद्ध हैं। 'संवृत' और 'परिबद्ध' दोनों आवश्यक हैं: (0, 1] पर 1/x संतत है पर अपरिबद्ध, (0, 1) पर x का कोई उच्चिष्ठ नहीं, और [0, ∞) पर x/(1 + x) परिबद्ध है पर अपना उच्चक 1 कभी प्राप्त नहीं करता।

एकसमान सांतत्य (uniform continuity): प्रत्येक ε > 0 के लिए बिंदु से स्वतंत्र ऐसा δ > 0 हो कि |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε. उदाहरण: (0, 1) पर 1/x संतत है पर एकसमानतः संतत नहीं, और ℝ पर x² एकसमानतः संतत नहीं है।

भाव: एक ही δ को सभी बिंदुओं पर एक साथ काम करना चाहिए। 0 के पास 1/x का आलेख अधिकाधिक खड़ा होता जाता है, अतः x → 0+ पर x पर काम करने वाला δ, 0 की ओर सिकुड़ता है। परिबद्ध अवकलज |f′| ≤ K, δ = ε/K के साथ एकसमान सांतत्य देता है, क्योंकि माध्यमान प्रमेय से |f(x) − f(y)| = |f′(c)||x − y| ≤ K|x − y|.

चरघातांकी एकपक्षीय सीमाएँ: x → 0+ पर e^1/x → ∞ और e^−1/x → 0; x → 0− पर e^1/x → 0 और e^−1/x → ∞. e^±1/x से बने फलनों में प्रायः 0 पर उछाल (jump) होता है, अतः सदैव दोनों एकपक्षीय सीमाएँ निकालें।

f को संतत बनाने वाला मान: यदि f, [a, b) पर किसी सूत्र से दिया है और [a, b] पर संतत होना है, तो f(b) = lim_x→b− f(x) होना चाहिए, जो प्रायः 0/0 रूप होता है।

7. अवकलज को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी राशि के एक क्षण पर परिवर्तन की दर (चाल, स्पर्श रेखा की प्रवणता, सीमांत लागत) मापने के लिए हमें सांतत्य से अधिक चाहिए।

अवकलज (derivative) 'एक बिंदु पर परिवर्तन की दर' को एक ऐसी सीमा में बदलता है जिसकी गणना और जाँच हो सके।

शब्दों में: (f(a + h) − f(a))/h, (a, f(a)) से (a + h, f(a + h)) तक की जीवा की प्रवणता है।

h → 0 पर दोनों ओर से इन जीवा-प्रवणताओं की सीमा f′(a) है। केवल h → 0+ से दक्षिण अवकलज Rf′(a) मिलता है; केवल h → 0− से वाम अवकलज Lf′(a).

f, a पर ठीक तब अवकलनीय है जब दोनों एकपक्षीय अवकलज विद्यमान हों, परिमित हों और बराबर हों।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: a = 0 पर f(x) = x|x|.

चरण 1: f(0) = 0, अतः अंतर-भागफल (f(h) − 0)/h = h|h|/h = |h|.

चरण 2: h → 0+ पर |h| = h → 0, अतः Rf′(0) = 0. h → 0− पर |h| = −h → 0, अतः Lf′(0) = 0.

चरण 3: दोनों परिमित और बराबर हैं, अतः f′(0) = 0, यद्यपि f, |x| से बना है जिसका 0 पर कोना है।

चरण 4: 0 से दूर f(x) = x² (x > 0) या −x² (x < 0), अतः हर x के लिए f′(x) = 2|x|. यह f′ संतत है परंतु इसका 0 पर कोना है, अतः f″(0) विद्यमान नहीं।

अ-उदाहरण (non-example): 0 पर f(x) = x^1/3 संतत है, और इसके आलेख की वहाँ स्पर्श रेखा (y-अक्ष) भी है।

परंतु (f(h) − f(0))/h = h^−2/3 → +∞, अतः सीमा परिमित नहीं है और f, 0 पर अवकलनीय नहीं है। विफल होने वाला प्रतिबंध परिमितता है, दोनों पक्षों की समानता नहीं।

आगे बढ़ते हुए: f(a + h) − f(a) = h·(अंतर-भागफल) लिखने से तुरंत दिखता है कि अवकलनीय फलन संतत होता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1)।

यही सर्वसमिका, उन बिंदुओं पर सावधानी के साथ जहाँ f(x) = f(a), गुणनफल, भागफल और शृंखला नियम देती है (नीचे व्युत्पन्न)।

फिर डार्बू प्रमेय दिखाता है कि अवकलज, असंतत होने पर भी, मध्यवर्ती मान गुण रखते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9)।

कहाँ प्रयोग होता है: खंडशः और मापांक फलनों के संधि-बिंदुओं पर अवकलनीयता, फलनिक समीकरण, और अगले विषय में रोले, माध्यमान प्रमेयों और टेलर प्रमेय की परिकल्पना के रूप में।

8. अवकलनीयता

f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h; f बिंदु a पर अवकलनीय (differentiable) है यदि वाम अवकलज Lf′(a) और दक्षिण अवकलज Rf′(a) परिमित और बराबर हों।

भाव: f′(a) स्पर्शरेखा की प्रवणता है, (a, f(a)) से जाने वाली जीवाओं की प्रवणताओं की सीमा। अवकलनीयता (differentiability) का अर्थ है कि a के पास f लगभग रैखिक है: f(a + h) = f(a) + hf′(a) + hε(h), जहाँ ε(h) → 0.

अवकलनीयता ⇒ सांतत्य, पर विलोमतः नहीं: |x|, 0 पर संतत है जबकि Lf′(0) = −1 और Rf′(0) = 1.

मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1 में सिद्ध। अन्य मानक उदाहरण (x = 0 पर मान 0): x sin(1/x), 0 पर संतत है पर अवकलनीय नहीं; x² sin(1/x), 0 पर अवकलनीय है और f′(0) = 0, पर x ≠ 0 के लिए f′(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) की 0 पर कोई सीमा नहीं, अतः f′ वहाँ संतत नहीं है।

डार्बू प्रमेय: यदि f, [a, b] पर अवकलनीय है, तो f′, f′(a) और f′(b) के बीच प्रत्येक मान ग्रहण करता है; अतः किसी अवकलज में उछाल असांतत्य नहीं हो सकता।

मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9 में सिद्ध। भाव: अवकलज असंतत हो सकता है, जैसे x² sin(1/x) का, पर केवल दोलन से, उछाल से कभी नहीं; अतः sgn x जैसा सोपान फलन 0 को समाहित करने वाले अंतराल पर किसी भी फलन का अवकलज नहीं है।

मापांक फलन: यदि g, c पर अवकलनीय है, g(c) = 0 और g′(c) ≠ 0, तो c पर |g| के एकपक्षीय अवकलज −|g′(c)| और |g′(c)| हैं और वह वहाँ अवकलनीय नहीं है; जहाँ g(c) ≠ 0, वहाँ c के निकट |g| = g या −g.

सारणिक का अवकलज: यदि प्रविष्टियाँ x के अवकलनीय फलन हैं, तो अवकलज उन सारणिकों का योग है जो एक बार में एक पंक्ति का अवकलन करके मिलते हैं।

फलनिक समीकरण: f(x + y) = f(x)f(y) या f(x + y) = f(x) + f(y) के लिए x = y = 0 रखकर f(0) ज्ञात करें, फिर समीकरण की सहायता से प्रथम सिद्धांत से f′(x) निकालें। f(0) = 1 के साथ f′ = kf से f = e^kx; f(0) = 0 के साथ f′ = k से f = kx.

9. व्युत्पत्ति: परिभाषा से गुणन और शृंखला नियम

गुणन नियम: f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a) = f(a + h)[g(a + h) − g(a)] + g(a)[f(a + h) − f(a)]. h से भाग देकर h → 0 करें; f(a + h) → f(a) क्योंकि f, a पर अवकलनीय, अतः संतत, है, इसलिए (fg)′(a) = f(a)g′(a) + g(a)f′(a).

कैराथियोडोरी रूप: f, a पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि a पर संतत किसी फलन φ के लिए f(x) − f(a) = φ(x)(x − a), और तब f′(a) = φ(a) (x ≠ a के लिए φ(x) = (f(x) − f(a))/(x − a) और φ(a) = f′(a) लें)।

शृंखला नियम: f(x) − f(a) = φ(x)(x − a) और g(y) − g(f(a)) = ψ(y)(y − f(a)) लिखें। तब g(f(x)) − g(f(a)) = ψ(f(x))φ(x)(x − a), और ψ(f(x))φ(x), a पर संतत है जिसका मान g′(f(a))f′(a) है, अतः (g∘f)′(a) = g′(f(a))f′(a). इससे f(x) − f(a) से भाग देने का गलत चरण बचता है, जो x ≠ a के लिए भी 0 हो सकता है।

10. विधि का चयन

यदि f खंडशः परिभाषित हो → संधि बिंदु पर सांतत्य के लिए f(a − 0), f(a + 0) और f(a), तथा अवकलनीयता के लिए परिभाषा से Lf′(a), Rf′(a) निकालें; संधि से दूर सामान्य नियम लागू होते हैं।

यदि संदेह हो कि सीमा विद्यमान नहीं है → दो अनुक्रम x_n, y_n → a (दोनों ≠ a) खोजें जिन पर f की सीमाएँ भिन्न हों; यदि सीमा का अस्तित्व सिद्ध करना हो → ε-δ आकलन, सैंडविच प्रमेय या मानक सीमाओं का प्रयोग करें, कभी एक अनुक्रम का नहीं।

इस विषय की तालिका मानक स्थितियाँ एकत्र करती है; परीक्षक अपेक्षा करते हैं कि एकपक्षीय सीमाएँ या अवकलज स्पष्ट रूप से लिखे जाएँ।

11. सामान्य गलतियाँ

संधि बिंदु पर प्रत्येक सूत्र का अवकलन करके a रखकर f′(a) निकालना; इससे lim f′(x) निकलती है, जो f′(a) के विद्यमान होने पर भी अविद्यमान हो सकती है (0 पर x² sin(1/x))। संधि पर परिभाषा का प्रयोग करें।

'सीमा विद्यमान है' को 'f संतत है' मान लेना; सीमा को f(a) के बराबर भी होना चाहिए, और f(a) परिभाषित होना चाहिए।

एक अनुक्रम या एक दिशा जाँचकर सीमा का अस्तित्व सिद्ध करना; अनुक्रम केवल खंडन कर सकते हैं।

एकसमान सांतत्य सिद्ध करते समय δ को बिंदु x पर निर्भर होने देना; δ केवल ε पर निर्भर हो सकता है।

lim_x→∞ (sin x)/x = 1 लिखना (यह 0 है), या (sin x)/x → 1 में अंशों (degrees) का प्रयोग करना।

यह मान लेना कि जहाँ g = 0 वहाँ |g| कभी अवकलनीय नहीं: |x³|, 0 पर अवकलनीय है, क्योंकि वहाँ g′(0) = 0.

12. संबंध

संबंध: वास्तविक विश्लेषण में अनुक्रम, श्रेणियाँ और एकसमान अभिसरण इसी पूर्णता अभिगृहीत पर आधारित हैं, और अनुक्रमिक कसौटी फलनों की सीमाओं को अनुक्रमों की सीमाओं से जोड़ती है।

संबंध: सम्मिश्र अवकलनीयता वही अंतर-भागफल प्रयोग करती है, पर h, ℂ में प्रत्येक दिशा से 0 की ओर जाता है, जिससे कोशी-रीमान समीकरण अनिवार्य हो जाते हैं (सम्मिश्र विश्लेषण)।

संबंध: [a, b] पर सांतत्य रीमान समाकलनीयता सुनिश्चित करता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11), और मध्यवर्ती मान प्रमेय मूल ज्ञात करने की द्विभाजन विधि का आधार है (संख्यात्मक विश्लेषण)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: x ≠ 0 के लिए f(x) = x sin(1/x), f(0) = 0 के 0 पर सांतत्य और अवकलनीयता की विवेचना करें।

|f(x) − 0| ≤ |x| → 0, अतः f, 0 पर संतत है। (f(h) − f(0))/h = sin(1/h) की h → 0 पर कोई सीमा नहीं, अतः f, 0 पर अवकलनीय नहीं है।

g(x) = x² sin(1/x), g(0) = 0 के लिए: (g(h) − g(0))/h = h sin(1/h) → 0, अतः g′(0) = 0; किंतु x ≠ 0 के लिए g′(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) की 0 पर कोई सीमा नहीं, अतः g′ सर्वत्र विद्यमान है पर 0 पर संतत नहीं।

उदाहरण 2: सिद्ध करें कि परिमेय x के लिए f(x) = 1 और अपरिमेय x के लिए f(x) = 0 प्रत्येक बिंदु पर असंतत है।

किसी भी a के निकट, a की ओर जाने वाला परिमेय अनुक्रम f → 1 और अपरिमेय अनुक्रम f → 0 देता है, अतः lim_x→a f(x) विद्यमान नहीं है।

उदाहरण 3: a और b ज्ञात करें ताकि x < 1 के लिए f(x) = ax + b और x ≥ 1 के लिए f(x) = x², बिंदु 1 पर अवकलनीय हो।

1 पर सांतत्य से a + b = 1. Lf′(1) = a और Rf′(1) = 2, अतः a = 2 और b = −1.

उदाहरण 4: माना x ≠ 0 के लिए f(x) = x² sin(1/x) और f(0) = 0 है। सिद्ध करें कि f सर्वत्र अवकलनीय है परंतु f′, 0 पर संतत नहीं है।

f′(0) = lim_h→0 (h² sin(1/h))/h = lim_h→0 h sin(1/h) = 0, क्योंकि |h sin(1/h)| ≤ |h|.

x ≠ 0 के लिए f′(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x). x → 0 पर पहला पद 0 की ओर जाता है।

x_n = 1/(nπ) → 0 के अनुदिश f′(x_n) = −cos(nπ) = (−1)ⁿ⁺¹, जो 1 और −1 के बीच दोलन करता है। अतः lim_x→0 f′(x) का अस्तित्व नहीं है और f′ में 0 पर द्वितीय प्रकार का असांतत्य है।

उदाहरण 5: सिद्ध करें कि f(x) = 1/x, (0, 1) पर संतत है परंतु एकसमान संतत नहीं है, तथा प्रत्येक a > 0 के लिए [a, 1] पर एकसमान संतत है।

(0, 1) पर सांतत्य स्पष्ट है, क्योंकि 1/x शून्येतर हर वाले संतत फलनों का भागफल है।

x_n = 1/n और y_n = 1/(n + 1) लें: |x_n − y_n| = 1/(n(n + 1)) → 0 परंतु |f(x_n) − f(y_n)| = 1. अतः ε = 1/2 के लिए कोई δ > 0 कार्य नहीं करता, और f, (0, 1) पर एकसमान संतत नहीं है।

[a, 1] पर: |1/x − 1/y| = |x − y|/(xy) ≤ |x − y|/a², अतः सभी बिंदु-युग्मों के लिए δ = a²ε पर्याप्त है।

उदाहरण 6: S = {1/m + 1/n : m, n ∈ ℕ} का उच्चक (supremum) और निम्नक (infimum) ज्ञात करें तथा बताएँ कि वे S में हैं या नहीं।

चूँकि 1/m ≤ 1 और 1/n ≤ 1, प्रत्येक अवयव ≤ 2 है, और 2 = 1/1 + 1/1 ∈ S. अतः sup S = max S = 2.

प्रत्येक अवयव > 0 है, अतः 0 एक निम्न परिबंध है। ε > 0 दिए होने पर m = n > 2/ε चुनें; तब 1/m + 1/n = 2/n < ε, अतः कोई संख्या ε > 0 निम्न परिबंध नहीं है।

अतः inf S = 0, और 0 ∉ S (निम्नक प्राप्त नहीं होता)।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2016, 15 अंक): मान लीजिये
f(x, y) = (2x⁴y − 5x²y² + y⁵)/(x² + y²)², (x, y) ≠ (0, 0)
f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0)
δ > 0 प्राप्त कीजिये इस प्रकार कि |f(x, y) − f(0, 0)| < ·01, जब √(x² + y²) < δ हो।

[मुद्रण त्रुटि: छपे रूप में मध्य पद 5x²y² की घात 4 है, और y = x के अनुदिश f = (3x⁵ − 5x⁴)/(4x⁴) → −5/4 ≠ 0, अतः f, (0, 0) पर संतत नहीं और कोई δ नहीं है। अभिप्रेत पद 5x²y³ है, जिसका हल नीचे है।]

r = √(x² + y²) रखें, अतः |x| ≤ r और |y| ≤ r. तब |2x⁴y| ≤ 2r⁵, |5x²y³| ≤ 5r⁵, |y⁵| ≤ r⁵, और (x² + y²)² = r⁴.

अतः (x, y) ≠ (0, 0) के लिए |f(x, y) − f(0, 0)| ≤ 8r⁵/r⁴ = 8r, और जब भी r < 0.01/8 = 0.00125, तब 8r < 0.01.

अतः δ = 0.00125 (या कोई छोटी धन संख्या) उपयुक्त है; 0.01 के स्थान पर ε रखकर यही तर्क सिद्ध करता है कि f, (0, 0) पर संतत है।

उत्तर: δ = 0.00125 = 1/800 (अभिप्रेत फलन के लिए)।

उदाहरण 8 (UPSC 2019, 15 अंक): क्या f(x) = |cos x| + |sin x|, x = π/2 पर अवकलनीय है? अगर आपका उत्तर हाँ है, तो f(x) का अवकलज x = π/2 पर ज्ञात कीजिए। अगर आपका उत्तर ना है, तो अपने उत्तर का प्रमाण दीजिए।

x = π/2 के निकट sin x > 0, अतः |sin x| = sin x, जबकि π/2 के बाईं ओर cos x > 0 और दाईं ओर cos x < 0. साथ ही f(π/2) = 0 + 1 = 1.

x = π/2 + h लेने पर cos x = −sin h और sin x = cos h. h < 0 के लिए |cos x| = −sin h, अतः (f(π/2 + h) − 1)/h = (cos h − 1)/h − (sin h)/h → 0 − 1 = −1; अतः Lf′(π/2) = −1.

h > 0 के लिए |cos x| = sin h, अतः (f(π/2 + h) − 1)/h = (sin h)/h + (cos h − 1)/h → 1; अतः Rf′(π/2) = 1.

Lf′(π/2) ≠ Rf′(π/2), अतः f, π/2 पर अवकलनीय नहीं है (वहाँ संतत है, पर कोना है)।

उत्तर: नहीं: बायाँ अवकलज −1 और दायाँ अवकलज 1 है।

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 10 अंक): दिया गया है : Δ(x) = |[f(x + α), f(x + 2α), f(x + 3α)], [f(α), f(2α), f(3α)], [f′(α), f′(2α), f′(3α)]| जहाँ f एक वास्तविक-मान अवकलनीय फलन है तथा α एक अचर है। lim_x→0 Δ(x)/x को ज्ञात कीजिए।

Δ(0) की पहली दो पंक्तियाँ समान हैं, अतः Δ(0) = 0 और lim_x→0 Δ(x)/x = lim (Δ(x) − Δ(0))/(x − 0) = Δ′(0).

केवल पहली पंक्ति x पर निर्भर है, और f अवकलनीय है, अतः Δ′(x) वह सारणिक है जिसकी पहली पंक्ति (f′(x + α), f′(x + 2α), f′(x + 3α)) है और शेष दो पंक्तियाँ अपरिवर्तित हैं।

x = 0 पर यह पहली पंक्ति (f′(α), f′(2α), f′(3α)) है, जो तीसरी पंक्ति के समान है, अतः Δ′(0) = 0.

उत्तर: lim_x→0 Δ(x)/x = 0.

उदाहरण 10 (UPSC 2024, 10 अंक): x के सभी मानों के लिए फलन
f(x) = 1/(1 − e^−1/x), x ≠ 0
f(x) = 0, x = 0
के सांतत्य की चर्चा कीजिए।

x ≠ 0 के लिए e^−1/x = 1 असंभव है (−1/x ≠ 0), अतः हर कभी शून्य नहीं होता और f प्रत्येक x ≠ 0 पर संतत है, क्योंकि यह संतत फलनों का भागफल है।

x → 0+: −1/x → −∞, e^−1/x → 0, अतः f(0 + 0) = 1. x → 0−: −1/x → +∞, e^−1/x → ∞, अतः f(0 − 0) = 0.

f(0 − 0) = 0 = f(0) ≠ 1 = f(0 + 0): f बाएँ से संतत है पर दाएँ से नहीं, और x = 0 प्रथम प्रकार की असांतत्यता (उछाल 1) है।

उत्तर: f सभी x ≠ 0 के लिए संतत है और x = 0 पर उछाल असांतत्यता है।

उदाहरण 11 (UPSC 2025, 10 अंक): दिया गया है कि f(x + y) = f(x) f(y), सभी वास्तविक x, y के लिए, f(x) ≠ 0 किसी भी वास्तविक x के लिए और f′(0) = 2 है। सभी वास्तविक x के लिए दर्शाइए कि f′(x) = 2f(x) है। अतः f(x) ज्ञात कीजिए।

x = y = 0 रखें: f(0) = f(0)², और f(0) ≠ 0, अतः f(0) = 1.

किसी भी x के लिए: (f(x + h) − f(x))/h = f(x)(f(h) − 1)/h = f(x)(f(0 + h) − f(0))/h → f(x)f′(0), जब h → 0. अतः f सर्वत्र अवकलनीय है और f′(x) = 2f(x).

तब (e^−2xf(x))′ = e^−2x(f′(x) − 2f(x)) = 0, अतः e^−2xf(x) अचर है, जो x = 0 पर अपने मान f(0) = 1 के बराबर है।

उत्तर: सभी x के लिए f′(x) = 2f(x), और f(x) = e^2x.

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): S = {(−1)ⁿ + 1/n : n ∈ ℕ} के लिए sup S और inf S ज्ञात करें, और बताएँ कि प्रत्येक S में है या नहीं।

उत्तर: sup S = max S = 3/2 (n = 2 पर); inf S = −1, प्राप्त नहीं होता (विषम n पर −1 + 1/n > −1)।

अभ्यास 2 (मूल): ε-δ परिभाषा से सिद्ध करें कि lim_x→3 (2x + 1) = 7.

उत्तर: जब भी |x − 3| < δ = ε/2, तब |(2x + 1) − 7| = 2|x − 3| < ε.

अभ्यास 3 (मूल): x = 2 पर f(x) = [x] (x से अनधिक महत्तम पूर्णांक) के असांतत्य का वर्गीकरण करें।

उत्तर: f(2 − 0) = 1, f(2 + 0) = 2 = f(2): केवल दाईं ओर से संतत; आकार 1 का उछाल (प्रथम प्रकार)।

अभ्यास 4 (मानक): ऐसा δ > 0 ज्ञात करें कि जब भी |x − 2| < δ, तब |x² + x − 6| < 0.01.

उत्तर: |x − 2| < 1 के लिए |x² + x − 6| = |x − 2||x + 3| ≤ 6|x − 2|, अतः δ = min(1, 0.01/6) = 1/600 उपयुक्त है।

अभ्यास 5 (मानक): k ज्ञात करें ताकि x ≠ 0 के लिए f(x) = (1 − cos 4x)/x² और f(0) = k, 0 पर संतत हो।

उत्तर: 1 − cos 4x = 2 sin²2x, अतः सीमा 2·4 = 8; k = 8.

अभ्यास 6 (मानक): वे बिंदु ज्ञात करें जहाँ f(x) = |x − 1| + |x − 2| अवकलनीय नहीं है, तथा वहाँ के एकपक्षीय अवकलज।

उत्तर: तीन खंडों पर f = 3 − 2x, 1 और 2x − 3; x = 1 पर Lf′ = −2, Rf′ = 0; x = 2 पर Lf′ = 0, Rf′ = 2. अन्यत्र अवकलनीय।

अभ्यास 7 (मानक): दिखाएँ कि sin x, ℝ पर एकसमान संतत है, परंतु sin(1/x), (0, 1) पर एकसमान संतत नहीं है।

उत्तर: |sin x − sin y| ≤ |x − y| (माध्यमान प्रमेय), अतः δ = ε. sin(1/x) के लिए x_n = 1/(2nπ + π/2), y_n = 1/(2nπ) लें: |x_n − y_n| → 0 परंतु |f(x_n) − f(y_n)| = 1.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): मान लें x ≠ 0 के लिए f(x) = |x|^p sin(1/x) और f(0) = 0, जहाँ p वास्तविक है। p के वे मान ज्ञात करें जिनके लिए (i) f, 0 पर संतत है, (ii) f, 0 पर अवकलनीय है, (iii) f′, 0 पर संतत है।

उत्तर: (i) p > 0; (ii) p > 1, तथा f′(0) = 0; (iii) p > 2, क्योंकि x > 0 के लिए f′(x) = px^p−1 sin(1/x) − x^p−2 cos(1/x) केवल p − 2 > 0 होने पर 0 की ओर जाता है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): मान लें सभी वास्तविक x, y के लिए f(x + y) = f(x) + f(y), और f, 0 पर अवकलनीय है तथा f′(0) = 3. दिखाएँ कि f सर्वत्र अवकलनीय है और f ज्ञात करें।

उत्तर: x = y = 0 से f(0) = 0; (f(x + h) − f(x))/h = (f(h) − f(0))/h → 3, अतः f′ ≡ 3 और f(x) = 3x.

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): मान लें परिमेय x के लिए f(x) = x और अपरिमेय x के लिए f(x) = 1 − x. सिद्ध करें कि f केवल x = 1/2 पर संतत है।

उत्तर: प्रत्येक x के लिए |f(x) − 1/2| = |x − 1/2|, अतः 1/2 पर δ = ε उपयुक्त है। a ≠ 1/2 पर a की ओर जाने वाले परिमेय और अपरिमेय अनुक्रम भिन्न सीमाएँ a और 1 − a देते हैं।

1. रोले प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रश्नों में दिखाना होता है कि किसी समीकरण का मूल है, या कोई अवकलज कहीं शून्य होता है, जबकि कुछ भी स्पष्ट रूप से हल नहीं किया जा सकता।

रोले प्रमेय (Rolle's theorem) मूल अस्तित्व-उपकरण है: दो बिंदुओं पर समान मान उनके बीच एक क्षैतिज स्पर्श रेखा को बाध्य करते हैं।

शब्दों में: इसमें तीन परिकल्पनाएँ और एक निष्कर्ष है।

(1) f संवृत अंतराल [a, b] पर संतत है: अंत्य बिंदुओं सहित कोई उछाल नहीं।

(2) f विवृत अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है: भीतर कोई कोना या ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा नहीं; a और b पर कुछ आवश्यक नहीं।

(3) f(a) = f(b). निष्कर्ष: a और b के ठीक बीच कम से कम एक c है जिसके लिए f′(c) = 0. प्रमेय यह नहीं बताता कि ऐसे c कितने हैं या ठीक कहाँ हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: [1, 3] पर f(x) = x² − 4x + 3 के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन करें।

चरण 1: f एक बहुपद है, अतः [1, 3] पर संतत और (1, 3) पर अवकलनीय है।

चरण 2: f(1) = 1 − 4 + 3 = 0 और f(3) = 9 − 12 + 3 = 0, अतः f(1) = f(3).

चरण 3: f′(x) = 2x − 4 = 0 से c = 2, और 2 ∈ (1, 3). प्रमेय सत्यापित है।

चरण 4 (चित्र): परवलय का शीर्ष (2, −1) पर है, जो दोनों समान अंत्य मानों के बीच का निम्नतम बिंदु है।

अ-उदाहरण (non-example): [−1, 1] पर f(x) = 1/x² के लिए f(−1) = f(1) = 1, परंतु f′(x) = −2/x³ कभी 0 नहीं होता।

विफल परिकल्पना [−1, 1] पर सांतत्य है: f, 0 पर परिभाषित भी नहीं है, जहाँ आलेख अनंत तक चला जाता है।

आगे बढ़ते हुए: [a, b] पर संतत f उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ प्राप्त करता है। यदि दोनों केवल अंत्य बिंदुओं पर हों, तो f अचर है (अंत्य मान समान हैं) और सर्वत्र f′ = 0.

अन्यथा उनमें से एक किसी आंतरिक बिंदु c पर होता है, और आंतरिक चरम पर दक्षिण अवकलज ≤ 0 और वाम अवकलज ≥ 0 (या उलटा) होता है, अतः f′(c) = 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5)।

कहाँ प्रयोग होता है: मूलों के बीच मूल (e^−xF(x) जैसे सहायक फलन के साथ), यह सिद्ध करना कि समीकरण का अधिकतम एक मूल है, और वह चरण जिससे हर माध्यमान प्रमेय और टेलर प्रमेय सिद्ध होता है।

2. रोले प्रमेय

यदि f, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय है और f(a) = f(b), तो किसी c ∈ (a, b) के लिए f′(c) = 0.

भाव: जो चिकना वक्र एक ही ऊँचाई पर आरंभ और समाप्त हो, उसकी बीच में कहीं, किसी उच्चतम या निम्नतम बिंदु पर, क्षैतिज स्पर्शरेखा होनी चाहिए (ऊपर का चित्र देखें)। मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5 में सिद्ध।

प्रत्येक परिकल्पना आवश्यक है: [−1, 1] पर |x|, 0 पर अवकलनीय नहीं है और ऐसा कोई c नहीं है।

अंत्य बिंदुओं पर सांतत्य भी आवश्यक है: [0, 1) पर f(x) = x और f(1) = 0 के लिए f(0) = f(1), फिर भी पूरे (0, 1) पर f′ = 1. समान अंत्य मान आवश्यक हैं: [0, 1] पर f(x) = x शेष दोनों प्रतिबंध संतुष्ट करता है और f′ = 1.

मूलों के बीच मूल (विधि): यह दिखाने के लिए कि F(x) = 0 के दो मूलों के बीच g(x) = 0 का मूल है, F के समान शून्यों वाला φ खोजें (प्रायः e^−xF, F/cos x आदि) जिसका अवकलज g का शून्येतर गुणज हो, और φ पर रोल प्रमेय लगाएँ।

3. माध्यमान प्रमेयों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रायः हमें f′ के बारे में तथ्य ज्ञात होते हैं (वह धनात्मक है, या अधिकतम 1/2 है) और हम स्वयं f के बारे में तथ्य चाहते हैं (वह बढ़ता है, या x के परिवर्तन के आधे से अधिक नहीं बदलता)।

माध्यमान प्रमेय (mean value theorem) एक बिंदु पर अवकलज से किसी अंतराल पर f के परिवर्तन तक का सेतु है।

शब्दों में: (f(b) − f(a))/(b − a), [a, b] पर f के परिवर्तन की औसत दर है, अर्थात् जीवा की प्रवणता।

लग्रांज माध्यमान प्रमेय कहता है कि यह औसत दर किसी आंतरिक बिंदु c पर तात्क्षणिक दर f′(c) के बराबर है, रोले जैसी ही सांतत्य और अवकलनीयता परिकल्पनाओं के अंतर्गत (परंतु f(a) = f(b) के बिना)।

f(a + h) = f(a) + hf′(a + θh) रूप में अज्ञात बिंदु a + θh के रूप में लिखा जाता है, जहाँ 0 < θ < 1; θ, f, a और h पर निर्भर है।

कौशी माध्यमान प्रमेय दो फलनों की तुलना करता है: उनके परिवर्तनों का अनुपात एक ही उभयनिष्ठ बिंदु c पर उनके अवकलजों के अनुपात के बराबर है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाएँ कि सभी वास्तविक a, b के लिए |sin b − sin a| ≤ |b − a|.

चरण 1: यदि a = b तो दोनों पक्ष 0 हैं। अन्यथा a < b मानें (असमिका सममित है)।

चरण 2: sin x, [a, b] पर संतत और (a, b) पर अवकलनीय है, अतः लग्रांज माध्यमान प्रमेय लागू होता है।

चरण 3: किसी c ∈ (a, b) के लिए sin b − sin a = (b − a) cos c.

चरण 4: |cos c| ≤ 1, अतः |sin b − sin a| ≤ |b − a|. हमें c जानने की कभी आवश्यकता नहीं पड़ी: केवल पूरे अंतराल पर f′ का एक परिबंध चाहिए था।

अ-उदाहरण (non-example): [−1, 2] पर f(x) = |x| की जीवा-प्रवणता (2 − 1)/3 = 1/3 है, परंतु f′(x) जहाँ भी विद्यमान है, −1 या 1 है, कभी 1/3 नहीं।

विफल परिकल्पना आंतरिक बिंदु 0 पर अवकलनीयता है।

आगे बढ़ते हुए: चित्र को झुका दें। f में से जीवा घटाएँ: φ(x) = f(x) − f(a) − ((f(b) − f(a))/(b − a))(x − a).

तब φ(a) = φ(b) = 0, रोले से φ′(c) = 0, और φ′(c) = 0 ठीक f′(c) = जीवा-प्रवणता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6)।

कौशी रूप φ = f − Kg लेता है, जहाँ K परिवर्तनों का अनुपात है, ताकि φ(a) = φ(b) (प्रमेय 7)। लग्रांज से: किसी अंतराल पर f′ ≥ 0 से f वर्धमान, और |f′| ≤ M से |f(x) − f(y)| ≤ M|x − y|.

कहाँ प्रयोग होता है: log, tan⁻¹ या sin⁻¹ के परिबंध जैसी द्विपक्षीय असमिकाएँ, θ और lim θ ज्ञात करना, एकदिष्टता, और लोपिताल नियम की उपपत्ति।

4. माध्यमान प्रमेय

लग्रांज माध्यमान प्रमेय (mean value theorem): यदि f, [a, b] पर संतत और (a, b) पर अवकलनीय है, तो किसी c ∈ (a, b) के लिए f(b) − f(a) = (b − a)f′(c). तुल्य रूप: f(a + h) = f(a) + hf′(a + θh), 0 < θ < 1.

भाव: किसी आंतरिक बिंदु पर स्पर्शरेखा अंत्य बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा AB के समांतर होती है (ऊपर का चित्र देखें); गति के रूप में, किसी समय अंतराल का औसत वेग किसी क्षण तात्क्षणिक वेग के रूप में प्राप्त होता है। उपपत्ति (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6) f में से उसकी जीवा घटाकर, φ(x) = f(x) − f(a) − ((f(b) − f(a))/(b − a))(x − a), पर रोल प्रमेय लगाती है।

कॉशी माध्यमान प्रमेय: यदि f, g, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय हैं और (a, b) पर g′(x) ≠ 0, तो किसी c ∈ (a, b) के लिए (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)) = f′(c)/g′(c).

भाव: वक्र x = g(t), y = f(t) के लिए बायाँ पक्ष जीवा की प्रवणता है और f′(c)/g′(c) एक स्पर्शरेखा की प्रवणता, अतः यह प्राचलिक रूप में दिए वक्र के लिए लग्रांज प्रमेय है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7)। प्रतिबंध g′ ≠ 0 से g(b) ≠ g(a) (रोल से) और f′(c)/g′(c) परिभाषित होता है।

f और g पर अलग-अलग लग्रांज माध्यमान प्रमेय लगाने से दो भिन्न बिंदु c₁, c₂ मिलते हैं, अतः दोनों परिणामों को भाग देकर कोशी प्रमेय प्राप्त नहीं किया जा सकता।

परिणाम: किसी अंतराल पर f′ = 0 ⇒ f अचर है; f′ > 0 ⇒ f निरंतर वर्धमान है; माध्यमान प्रमेय x > 0 के लिए x/(1 + x) < log(1 + x) < x जैसी असमिकाएँ सिद्ध करता है।

यह क्यों काम करता है: अंतराल में किन्हीं x < y के लिए f(y) − f(x) = (y − x)f′(c) = 0. अंतराल का होना आवश्यक है: ℝ − {0} पर sgn x का अवकलज अपने प्रांत में सर्वत्र 0 है पर वह अचर नहीं है।

माध्यमान प्रमेय से असमिकाएँ (विधि): [a, b] पर f के लिए लग्रांज माध्यमान प्रमेय से f(b) − f(a) = (b − a)f′(c); यदि f′, [a, b] पर एकदिष्ट है, तो f′(c), f′(a) और f′(b) के बीच है, जिससे दोनों परिबंध एक साथ मिलते हैं।

5. टेलर प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: बहुपदों की गणना, अवकलन और तुलना आसान है। हम किसी बिंदु के निकट एक जटिल फलन को बहुपद से बदलना चाहते हैं और जानना चाहते हैं कि त्रुटि कितनी बड़ी है।

माध्यमान प्रमेय पहला चरण है (f लगभग अचर है, त्रुटि hf′ के साथ); टेलर प्रमेय (Taylor's theorem) इसे किसी भी कोटि तक आगे बढ़ाता है।

शब्दों में: a के परितः घात n − 1 का टेलर बहुपद वह अद्वितीय बहुपद है जिसका मान और प्रथम n − 1 अवकलज a पर f के मानों से मेल खाते हैं।

h^k का गुणांक f^(k)(a)/k! है, क्योंकि h^k का k बार अवकलन k! देता है।

शेषफल R_n वह है जो बचा रहता है। लग्रांज रूप कहता है कि यह अगले पद hⁿf⁽ⁿ⁾/n! के बराबर है, परंतु n-वाँ अवकलज एक अज्ञात बिंदु a + θh पर लिया जाता है।

अतः अंतराल पर परिबंध |f⁽ⁿ⁾| ≤ M से |R_n| ≤ M|h|ⁿ/n! मिलता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: a = 1 के परितः f(x) = √x के घात-2 टेलर बहुपद से √(1.2) का सन्निकटन करें और त्रुटि को परिबद्ध करें।

चरण 1 (अवकलज): f = x^1/2, f′ = (1/2)x^−1/2, f″ = −(1/4)x^−3/2, f‴ = (3/8)x^−5/2. x = 1 पर: f = 1, f′ = 1/2, f″ = −1/4.

चरण 2 (बहुपद): h = 0.2 के साथ √(1.2) ≈ 1 + (1/2)(0.2) − (1/8)(0.04) = 1 + 0.1 − 0.005 = 1.095.

चरण 3 (शेषफल, n = 3): R₃ = (h³/3!)f‴(1 + θh) = (0.008/6)(3/8)(1 + 0.2θ)^−5/2.

चरण 4 (परिबंध): (1 + 0.2θ)^−5/2 अधिकतम 1 है, अतः 0 < R₃ ≤ 0.0005. अतः 1.095 < √(1.2) ≤ 1.0955; वास्तविक मान 1.09545... है।

ध्यान दें कि शेषफल के चिह्न से पता चला कि सन्निकटन वास्तविक मान से छोटा है।

अ-उदाहरण (non-example): f(x) = |x|³ के लिए f(0) = f′(0) = f″(0) = 0, परंतु f‴(0) विद्यमान नहीं (f″(x) = 6|x|)।

0 के परितः n = 3 के साथ टेलर प्रमेय अब भी लागू होता है, क्योंकि f″ संतत है और (0, h) पर f‴ विद्यमान है। परंतु f‴(0) विद्यमान नहीं है, अतः 0 के परितः घात 3 का टेलर बहुपद परिभाषित नहीं है, और f की मैक्लॉरिन श्रेणी नहीं है।

सभी अवकलज विद्यमान होने पर भी श्रेणी विफल हो सकती है: e^−1/x2 के लिए यह 0 है। जाँचने योग्य प्रतिबंध R_n → 0 है।

आगे बढ़ते हुए: एक सहायक फलन बनाएँ जो दोनों सिरों पर f(b) के बराबर हो, चलायमान केंद्र x वाले टेलर बहुपद तथा संशोधक पद A(b − x)^p का उपयोग करके।

इसका अवकलज दूरदर्शी (telescoping) होकर एक ही पद रह जाता है, रोले प्रमेय इसे किसी c पर शून्य करता है, और A के लिए हल करने पर शेषफल मिलता है; p = n से लग्रांज रूप, p = 1 से कौशी रूप (नीचे तथा मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8 में व्युत्पन्न)।

कहाँ प्रयोग होता है: संयुक्त फलनों के श्रेणी-प्रसार, निर्दिष्ट परिशुद्धता तक सन्निकट मान, प्रसार द्वारा सीमाएँ, चरम मानों का उच्चतर अवकलज परीक्षण, और संख्यात्मक विश्लेषण में त्रुटि पद।

6. शेषफल सहित टेलर प्रमेय

यदि f⁽ⁿ⁻¹⁾, [a, a + h] पर संतत है और f⁽ⁿ⁾, (a, a + h) पर विद्यमान है, तो f(a + h) = f(a) + hf′(a) + (h²/2!)f″(a) + ... + (hⁿ⁻¹/(n − 1)!)f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) + R_n, जहाँ किसी θ ∈ (0, 1) के लिए (टेलर प्रमेय, Taylor's theorem):

भाव: टेलर बहुपद घात n − 1 का वह बहुपद है जो a पर f और उसके पहले n − 1 अवकलजों से मेल खाता है; शेषफल R_n त्रुटि है, और लग्रांज रूप कहता है कि त्रुटि अगले पद जैसी दिखती है जिसमें f⁽ⁿ⁾ किसी अज्ञात मध्यवर्ती बिंदु पर लिया गया है। लग्रांज रूप मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8 में सिद्ध है।

लग्रांज रूप: R_n = (hⁿ/n!) f⁽ⁿ⁾(a + θh).

कॉशी रूप: R_n = (hⁿ(1 − θ)ⁿ⁻¹/(n − 1)!) f⁽ⁿ⁾(a + θh).

श्लोमिल्ख-रोश रूप: p > 0 के साथ R_n = (hⁿ(1 − θ)^n−p/(p·(n − 1)!)) f⁽ⁿ⁾(a + θh); p = n से लग्रांज रूप और p = 1 से कॉशी रूप मिलता है।

व्यापक शेषफल की व्युत्पत्ति: मान लें b = a + h और φ(x) = f(x) + (b − x)f′(x) + ... + ((b − x)ⁿ⁻¹/(n − 1)!)f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + A(b − x)^p, जहाँ A इस प्रकार चुना गया कि φ(a) = f(b); साथ ही φ(b) = f(b).

योग मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8 की तरह संकुचित (telescope) होता है, अतः φ′(x) = ((b − x)ⁿ⁻¹/(n − 1)!)f⁽ⁿ⁾(x) − pA(b − x)^p−1. रोल प्रमेय से c = a + θh पर φ′(c) = 0, जहाँ b − c = h(1 − θ) ≠ 0, अतः A = (h(1 − θ))^n−pf⁽ⁿ⁾(a + θh)/(p·(n − 1)!).

समीकरण φ(a) = f(a + h) ही टेलर सूत्र है, जिसमें R_n = Ah^p = (hⁿ(1 − θ)^n−p/(p·(n − 1)!))f⁽ⁿ⁾(a + θh). θ का मान p, n और h पर निर्भर है, अतः लग्रांज रूप और कोशी रूप के θ सामान्यतः भिन्न संख्याएँ हैं।

मैक्लॉरिन प्रमेय: a = 0, h = x रखें। अनंत श्रेणी f(x) में ठीक तब अभिसरित होती है जब n → ∞ पर R_n → 0.

R_n → 0 क्यों जाँचना आवश्यक है: f(x) = e^−1/x2 (f(0) = 0 के साथ) के लिए प्रत्येक n पर f⁽ⁿ⁾(0) = 0, अतः इसकी मैक्लॉरिन श्रेणी सर्वथा 0 है जबकि x ≠ 0 के लिए f(x) > 0. e^x के लिए |R_n| = |x|ⁿe^θx/n! ≤ |x|ⁿe^|x|/n! → 0 प्रत्येक x के लिए, अतः श्रेणी पूरे ℝ पर मान्य है।

मानक प्रसार: e^x = 1 + x + x²/2! + ...; sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ...; cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ...; log(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ... (−1 < x ≤ 1); (1 + x)^m = 1 + mx + m(m − 1)x²/2! + ... (|x| < 1).

संयुक्त श्रेणी: e^{x cos x} या log(1 + sin x) जैसे फलनों के लिए आंतरिक फलन की श्रेणी को बाहरी फलन की श्रेणी में रखें और अपेक्षित घात तक पद रखें; xⁿ का गुणांक f⁽ⁿ⁾(0)/n! है।

x = 1 के परितः प्रसार: 0 < x ≤ 2 के लिए log x = (x − 1) − (x − 1)²/2 + (x − 1)³/3 − ... . 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी में किसी पद के बाद की त्रुटि पहले छोड़े गए पद से कम होती है।

7. अनिर्धार्य रूपों और लोपिताल नियम को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: 'भागफल की सीमा = सीमाओं का भागफल' नियम तब विफल होता है जब दोनों सीमाएँ 0 हों या दोनों अनंत हों।

तब उत्तर इस पर निर्भर करता है कि अंश और हर कितनी तेज़ी से बदलते हैं, और हमें इन गतियों की तुलना की एक व्यवस्थित विधि चाहिए।

शब्दों में: कोई रूप अनिर्धार्य (indeterminate) तब है जब भागों की सीमाएँ जानने से पूरे की सीमा ज्ञात नहीं होती।

0/0 के लिए: x → 0 पर x/x → 1, x²/x → 0 और x/x³ → ∞, यद्यपि हर अंश और हर 0 की ओर जाता है।

लोपिताल नियम (L'Hôpital's rule) मानों के अनुपात को दरों के अनुपात से बदलता है: यदि f, g → 0 (या g → ∞) और f′/g′ की सीमा l है, तो f/g → l.

अन्य रूप 0·∞, ∞ − ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰ पहले 0/0 या ∞/∞ में बदले जाते हैं, किसी गुणनखंड को हर में ले जाकर, भिन्नों को मिलाकर, या लघुगणक लेकर।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: lim_x→0+ x^x ज्ञात करें (रूप 0⁰)।

चरण 1: y = x^x लें, तो log y = x log x, जो 0·∞ रूप है (x → 0, log x → −∞)।

चरण 2: भागफल के रूप में लिखें: x log x = (log x)/(1/x), अब ∞/∞ रूप।

चरण 3: लोपिताल: (1/x)/(−1/x²) = −x → 0. अतः log y → 0.

चरण 4: y = e^{log y} और e^t संतत है, अतः y → e⁰ = 1. अंत में लघुगणक को सदैव उलटें।

अ-उदाहरण (non-example): lim_x→0 (1 + x)/(2 + x) = 1/2 अनिर्धार्य नहीं है।

फिर भी नियम लगाने पर 1/1 = 1 मिलता है, जो गलत है: परिकल्पना 'f, g → 0 या g → ∞' विफल है, अतः नियम कुछ नहीं कहता।

आगे बढ़ते हुए: a पर 0/0 के लिए f(a) = g(a) = 0 परिभाषित करें और [a, x] पर कौशी माध्यमान प्रमेय लगाएँ: f(x)/g(x) = f′(c)/g′(c), जहाँ c, a और x के बीच है।

x → a पर c, a की ओर दब जाता है, अतः f(x)/g(x) की सीमा वही है जो f′/g′ की (पूर्ण व्युत्पत्ति नीचे)।

टेलर प्रसार वही उत्तर देते हैं और कारण भी दिखाते हैं: यदि f = αx^k + ... और g = βx^k + ..., जहाँ β ≠ 0, तो f/g → α/β, प्रथम शून्येतर पदों का अनुपात।

कहाँ प्रयोग होता है: 10 अंकों के सीमा-प्रश्न, सीमा को परिमित बनाने वाले अचर ज्ञात करना, 'f को संतत बनाने वाला मान', अनंतस्पर्शी के अंतःखंड और अनुचित समाकलों में सीमाएँ।

8. अनिर्धार्य रूप

लोपिताल नियम: यदि x → a पर f(x), g(x) → 0 (या दोनों → ∞), a के निकट f और g अवकलनीय हैं तथा g′(x) ≠ 0, और lim f′(x)/g′(x) = l विद्यमान है (परिमित या अनंत), तो lim f(x)/g(x) = l. यह अनिर्धार्य रूपों (indeterminate forms) का मुख्य साधन है।

व्युत्पत्ति (0/0 स्थिति, x → a+): f(a) = g(a) = 0 रखें, जिससे f और g, [a, x] पर संतत हैं। कोशी माध्यमान प्रमेय से किसी c ∈ (a, x) के लिए f(x)/g(x) = (f(x) − f(a))/(g(x) − g(a)) = f′(c)/g′(c); x → a+ पर c → a+, अतः f(x)/g(x) → l. वाम-सीमा भी इसी प्रकार।

भाव: a के पास f और g अपनी स्पर्शरेखाओं f′(a)(x − a) और g′(a)(x − a) जैसा व्यवहार करते हैं, अतः उनका अनुपात प्रवणताओं के अनुपात जैसा होता है।

0·∞: f·g को f/(1/g) लिखें। ∞ − ∞: एक भिन्न में मिलाएँ। 0⁰, 1^∞, ∞⁰: y = f^g रखें, L = lim g log f ज्ञात करें; सीमा e^L है।

लघुगणक क्यों काम करता है: f^g = e^{g log f} और e^x संतत है, अतः lim f^g = e^{lim g log f}. 1^∞ के लिए संक्षिप्त विधि lim f^g = e^{lim g(f − 1)} है, क्योंकि f → 1 पर (log f)/(f − 1) → 1; उदाहरणार्थ lim_x→0 (1 + sin x)^1/x = e^{lim (sin x)/x} = e.

श्रेणी प्रसार प्रायः बार-बार लोपिताल लगाने से तेज़ होता है; प्रत्येक प्रयोग से पहले जाँचें कि रूप अभी भी अनिर्धार्य है।

अचर ज्ञात करना: lim_x→0 (व्यंजक)/xⁿ को परिमित बनाने हेतु अंश को x की घातों में प्रसारित करें; x⁰, ..., xⁿ⁻¹ के गुणांक शून्य होने चाहिए, और तब xⁿ का गुणांक सीमा है।

एक मानक 0·∞ सीमा: lim_x→a (a − x) tan(πx/2a) = 2a/π, जो गुणनफल को (a − x)/cot(πx/2a) लिखकर लोपिताल नियम से मिलती है।

9. विधि का चयन

यदि f(b) − f(a) और b − a वाली असमिका पूछी जाए (log, tan⁻¹, sin⁻¹, e^x) → [a, b] पर लग्रांज माध्यमान प्रमेय, जिसमें f′ की एकदिष्टता दोनों सीमाएँ देती है।

यदि दो अंतरों का अनुपात (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)) आए → कोशी माध्यमान प्रमेय, जिसमें g हर वाला फलन है (प्रायः x², 1/x, log x या e^x)।

यदि दो मूलों के बीच मूल पूछा जाए → किसी उपयुक्त गुणनफल या प्रतिअवकलज पर रोल प्रमेय; यदि ठीक एक मूल पूछा जाए → मध्यवर्ती मान प्रमेय से अस्तित्व और रोल से अद्वितीयता (दो मूल उनके बीच f′ = 0 कर देंगे)।

यदि f(a + h) = f(a) + hf′(a + θh) में θ या h → 0 पर उसकी सीमा पूछी जाए → θ के लिए सीधे हल करें; जब f″, a पर संतत हो और f″(a) ≠ 0, तो द्वितीय-कोटि टेलर सूत्र से तुलना करने पर lim_h→0 θ = 1/2.

यदि 0/0 सीमा में sin, tan, e^x, log(1 + x) या (1 + x)^m हों → प्रथम अशून्य कोटि तक मैक्लॉरिन प्रसार प्रायः बार-बार लोपिताल से तेज़ और सुरक्षित है; यदि रूप 1^∞, 0⁰ या ∞⁰ हो → पहले लघुगणक लें।

यदि संयुक्त फलन का श्रेणी प्रसार पूछा जाए → ज्ञात श्रेणियाँ प्रतिस्थापित करें; यदि व्यापक गुणांक पूछा जाए → (1 + x)y′ = my जैसे संबंध का अवकलन करके f⁽ⁿ⁾(0) की पुनरावृत्ति प्राप्त करें (लाइबनिज़ प्रमेय)।

10. सामान्य गलतियाँ

ऐसे रूप पर लोपिताल नियम लगाना जो 0/0 या ∞/∞ नहीं है: lim_x→0 (cos x)/(x + 1) = 1, पर अंश और हर का अवकलन गलत मान 0 देता है।

f और g का अलग-अलग अवकलन करने के स्थान पर भागफल नियम से f/g का अवकलन करना।

यह निष्कर्ष निकालना कि lim f′/g′ अविद्यमान है इसलिए lim f/g भी अविद्यमान है: x → ∞ पर (x + sin x)/x → 1, यद्यपि (1 + cos x)/1 दोलन करता है।

परिकल्पनाएँ जाँचे बिना रोल प्रमेय या माध्यमान प्रमेय लगाना: [−1, 1] पर x^2/3 के अंत्य मान समान हैं पर यह 0 पर अवकलनीय नहीं, और f′(x) = (2/3)x^−1/3 कभी शून्य नहीं होता।

θ को h से स्वतंत्र मानना, या कोशी माध्यमान प्रमेय में f के लिए एक c और g के लिए दूसरा c लेना।

मैक्लॉरिन श्रेणी का उसके परिसर से बाहर प्रयोग: log(1 + x) = x − x²/2 + ... के लिए −1 < x ≤ 1 आवश्यक है, और द्विपद श्रेणी के लिए |x| < 1.

11. संबंध

संबंध: लग्रांज शेषफल अंतर्वेशन सूत्रों तथा समलंबी और सिम्पसन नियमों के त्रुटि पद देता है, और द्वितीय-कोटि टेलर प्रसार न्यूटन-रैफ़सन का द्विघाती अभिसरण देता है (संख्यात्मक विश्लेषण)।

संबंध: सम्मिश्र विश्लेषण में किसी चक्रिका में अवकलनीय फलन वहाँ सदैव अपनी टेलर श्रेणी के बराबर होता है, जो ℝ पर e^−1/x2 के विपरीत है।

संबंध: माध्यमान प्रमेय पूरे वास्तविक विश्लेषण में अवकलजों से एकदिष्टता और परिबंधों तक का सेतु है (परिबद्ध अवकलज से एकसमान सांतत्य, श्रेणियों का पदशः अवकलन)।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: lim_x→0 (x − sin x)/x³ का मान ज्ञात करें।

x − sin x = x³/6 − x⁵/120 + ..., अतः सीमा 1/6 है; लोपिताल नियम तीन बार लगाने से भी यही मान मिलता है।

उदाहरण 2: lim_x→0 (1/x² − 1/sin²x) का मान ज्ञात करें।

व्यंजक (sin²x − x²)/(x² sin²x) के बराबर है। चूँकि sin²x = x² − x⁴/3 + ..., अंश −x⁴/3 की तरह और हर x⁴ की तरह व्यवहार करता है, अतः सीमा −1/3 है।

उदाहरण 3: lim_x→0 (cos x)^1/x2 का मान ज्ञात करें।

log y = (log cos x)/x², और लोपिताल से lim (−tan x)/(2x) = −1/2, अतः सीमा e^−1/2 है।

उदाहरण 4: f(x) = x³ के लिए f(h) = f(0) + hf′(θh) में θ ज्ञात करें। यहाँ h³ = h·3θ²h², अतः θ = 1/√3, जो (0, 1) में है।

उदाहरण 5: x > 0 के लिए x/(1 + x) < log(1 + x) < x सिद्ध करें। [1, 1 + x] पर log t के लिए लग्रांज प्रमेय से log(1 + x) = x/c, जहाँ 1 < c < 1 + x, और 1/(1 + x) < 1/c < 1 से परिणाम मिलता है।

उदाहरण 6: लग्रांज शेषफल सहित मैक्लॉरिन प्रमेय से सिद्ध करें कि 0 ≤ x ≤ 1 के लिए log(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ..., और निगमन करें कि log 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − ...

f(x) = log(1 + x) के लिए f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ⁻¹(n − 1)!/(1 + x)ⁿ, अतः f⁽ⁿ⁾(0) = (−1)ⁿ⁻¹(n − 1)!.

लग्रांज शेषफल: R_n = (xⁿ/n!) f⁽ⁿ⁾(θx) = (−1)ⁿ⁻¹ xⁿ/(n(1 + θx)ⁿ), 0 < θ < 1.

0 ≤ x ≤ 1 के लिए 0 ≤ x/(1 + θx) ≤ 1, अतः |R_n| ≤ 1/n → 0, और मैक्लॉरिन श्रेणी log(1 + x) में अभिसरित होती है। x = 1 रखने पर log 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − ...

−1 < x < 0 के लिए यह परिबंध विफल होता है; वहाँ शेषफल का कॉशी रूप प्रयोग किया जाता है।

13. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): सिद्ध कीजिए कि e^x cos x + 1 = 0 के दो वास्तविक मूलों के बीच e^x sin x + 1 = 0 का एक वास्तविक मूल स्थित है।

मान लें φ(x) = e^−x + cos x. चूँकि e^x > 0, e^x cos x + 1 = e^xφ(x) = 0 ⇔ φ(x) = 0.

मान लें α < β, e^x cos x + 1 = 0 के वास्तविक मूल हैं। तब φ(α) = φ(β) = 0, और φ, [α, β] पर संतत तथा (α, β) पर अवकलनीय है; रोल प्रमेय से किसी c ∈ (α, β) के लिए φ′(c) = 0.

φ′(x) = −e^−x − sin x = −e^−x(1 + e^x sin x), अतः φ′(c) = 0 से e^c sin c + 1 = 0.

उत्तर: c ∈ (α, β), e^x sin x + 1 = 0 का मूल है, जैसा अपेक्षित था।

उदाहरण 8 (UPSC 2021, 10 अंक): दर्शाइए कि e^x cos x = 1 के किन्हीं दो मूलों के बीच में e^x sin x − 1 = 0 का कम से कम एक मूल विद्यमान है।

मान लें ψ(x) = e^−x − cos x. तब e^x cos x = 1 ⇔ cos x = e^−x ⇔ ψ(x) = 0.

यदि α < β, e^x cos x = 1 के मूल हैं, तो ψ(α) = ψ(β) = 0 और ψ, ℝ पर अवकलनीय है, अतः रोल प्रमेय से c ∈ (α, β) मिलता है जिसके लिए ψ′(c) = 0.

ψ′(x) = −e^−x + sin x = e^−x(e^x sin x − 1), अतः ψ′(c) = 0 से e^c sin c − 1 = 0.

उत्तर: e^x cos x = 1 के किन्हीं दो मूलों के बीच e^x sin x − 1 = 0 का मूल c है।

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 10 अंक): निर्धारित कीजिये कि lim_z→1 (1 − z) tan(πz/2) का अस्तित्व है या कि नहीं। अगर यह सीमा विद्यमान है, तो इसका मान ज्ञात कीजिये।

z → 1 पर 1 − z → 0 और tan(πz/2) → ±∞: रूप 0·∞ है। (1 − z) tan(πz/2) = [(1 − z)/cos(πz/2)] · sin(πz/2) लिखें।

(1 − z)/cos(πz/2) एक 0/0 रूप है; लोपिताल नियम से यह lim (−1)/(−(π/2) sin(πz/2)) = 2/π की ओर जाता है, और sin(πz/2) → 1.

(जाँच: z = 1 − t लेने पर tan(π/2 − πt/2) = cot(πt/2), और t cot(πt/2) = (2/π)·(πt/2)/tan(πt/2) → 2/π, दोनों ओर से।)

उत्तर: सीमा का अस्तित्व है और वह 2/π है।

उदाहरण 10 (UPSC 2022, 10 अंक): lim_x→∞ (e^x + x)^1/x का मान निकालिए।

मान लें y = (e^x + x)^1/x (रूप ∞⁰), अतः log y = log(e^x + x)/x, जो ∞/∞ रूप है।

लोपिताल नियम से lim log y = lim (e^x + 1)/(e^x + x) = lim (1 + e^−x)/(1 + xe^−x) = 1, क्योंकि e^−x → 0 और xe^−x → 0.

(सीधे: log(e^x + x) = x + log(1 + xe^−x), अतः log y = 1 + log(1 + xe^−x)/x → 1.)

उत्तर: lim_x→∞ (e^x + x)^1/x = e.

उदाहरण 11 (UPSC 2023, 10 अंक): p तथा q के वो मान निकालिए जिसके लिए lim_x→0 [x(1 + p cos x) − q sin x]/x³ का अस्तित्व है एवं 1 के बराबर है।

cos x = 1 − x²/2 + O(x⁴) और sin x = x − x³/6 + O(x⁵) से: x(1 + p cos x) − q sin x = (1 + p − q)x + (−p/2 + q/6)x³ + O(x⁵).

x³ से भाग देने पर सीमा तभी परिमित है जब 1 + p − q = 0, और तब वह −p/2 + q/6 है।

अतः q = 1 + p और −p/2 + (1 + p)/6 = 1, अर्थात −3p + 1 + p = 6, जिससे p = −5/2 और q = −3/2.

जाँच: x − (5/2)x cos x + (3/2) sin x = x − (5/2)x + (5/4)x³ + (3/2)x − (1/4)x³ + O(x⁵) = x³ + O(x⁵).

उत्तर: p = −5/2, q = −3/2.

उदाहरण 12 (UPSC 2024, 10 अंक): टेलर प्रमेय द्वारा ln(x) का (x − 1) की घात में प्रसार कीजिए तथा ln(1·1) का दशमलव के चार स्थानों तक सही मान ज्ञात कीजिए।

f(x) = ln x के लिए f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ⁻¹(n − 1)!/xⁿ, अतः f(1) = 0 और f⁽ⁿ⁾(1)/n! = (−1)ⁿ⁻¹/n.

h = x − 1 के साथ 1 के परितः टेलर प्रमेय: ln x = h − h²/2 + h³/3 − ... + (−1)ⁿhⁿ⁻¹/(n − 1) + R_n, जहाँ लग्रांज शेषफल R_n = (−1)ⁿ⁻¹hⁿ/(n(1 + θh)ⁿ); 0 ≤ h ≤ 1 के लिए |R_n| ≤ hⁿ/n → 0.

x = 1.1, h = 0.1 के लिए: ln 1.1 = 0.1 − 0.005 + 0.000333 − 0.000025 + 0.000002 − ... ; चार पदों के साथ |R₅| ≤ (0.1)⁵/5 = 0.000002.

चार पदों का योग: 0.1 − 0.005 + 0.0003333 − 0.000025 = 0.0953083, और वास्तविक मान 0.0953083 और 0.0953103 के बीच है।

उत्तर: ln x = (x − 1) − (x − 1)²/2 + (x − 1)³/3 − ... (0 < x ≤ 2); चार दशमलव स्थानों तक ln 1.1 = 0.0953.

उदाहरण 13 (UPSC 2025, 15 अंक): माध्यमान प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि
π/6 + √3/15 < sin⁻¹(3/5) < π/6 + 1/8.

[1/2, 3/5] पर f(x) = sin⁻¹x के लिए लग्रांज माध्यमान प्रमेय लगाएँ; f वहाँ संतत है और विवृत अंतराल पर अवकलनीय है, f′(x) = 1/√(1 − x²).

अतः किसी c ∈ (1/2, 3/5) के लिए sin⁻¹(3/5) − sin⁻¹(1/2) = (3/5 − 1/2)/√(1 − c²) = 1/(10√(1 − c²)), और sin⁻¹(1/2) = π/6.

1/√(1 − x²), (0, 1) पर वर्धमान है, अतः 1/√(1 − 1/4) < 1/√(1 − c²) < 1/√(1 − 9/25), अर्थात 2/√3 < 1/√(1 − c²) < 5/4.

10 से भाग देने पर: √3/15 = 2/(10√3) < sin⁻¹(3/5) − π/6 < 5/40 = 1/8.

उत्तर: π/6 + √3/15 < sin⁻¹(3/5) < π/6 + 1/8.

उदाहरण 14 (UPSC 2026, 10 अंक): मैकलॉरिन प्रमेय का प्रयोग करते हुए x की आरोही घातों में e^{x cos x} के प्रसार के प्रथम चार पद प्राप्त कीजिए। अतः या अन्य विधि से (e^x − e^{x cos x})/(x − sin x) की सीमा (लिमिट) ज्ञात कीजिए, जब x शून्य की ओर अग्रसर होता है।

u = x cos x = x − x³/2 + O(x⁵), अतः u² = x² + O(x⁴) और u³ = x³ + O(x⁵). e^u = 1 + u + u²/2 + u³/6 + O(u⁴) में:

e^{x cos x} = 1 + (x − x³/2) + x²/2 + x³/6 + O(x⁴) = 1 + x + x²/2 − x³/3 + O(x⁴). मैक्लॉरिन प्रमेय से f(x) = e^{x cos x} के लिए ये f(0), f′(0)x, f″(0)x²/2! और f‴(0)x³/3! हैं।

e^x − e^{x cos x} = (1 + x + x²/2 + x³/6) − (1 + x + x²/2 − x³/3) + O(x⁴) = x³/2 + O(x⁴), और x − sin x = x³/6 + O(x⁵).

अतः अनुपात (1/2 + O(x))/(1/6 + O(x²)) → 3.

उत्तर: e^{x cos x} = 1 + x + x²/2 − x³/3 + ...; सीमा 3 है।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): [2, 3] पर f(x) = x² − 5x + 6 के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन करें।

उत्तर: f(2) = f(3) = 0, f बहुपद है, और f′(c) = 2c − 5 = 0 से c = 5/2 ∈ (2, 3).

अभ्यास 2 (मूल): [0, 2] पर f(x) = x³ के लिए लग्रांज माध्यमान प्रमेय का बिंदु c ज्ञात करें।

उत्तर: 8 − 0 = 2·3c², अतः c² = 4/3 और c = 2/√3 ≈ 1.155 ∈ (0, 2).

अभ्यास 3 (मूल): lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x² का मान ज्ञात करें।

उत्तर: 1/2 (अंश = x²/2 + x³/6 + ...)।

अभ्यास 4 (मानक): 0 < a < b के लिए सिद्ध करें कि (b − a)/b < log(b/a) < (b − a)/a.

उत्तर: [a, b] पर log x के लिए लग्रांज माध्यमान प्रमेय: log b − log a = (b − a)/c, जहाँ a < c < b, और 1/b < 1/c < 1/a.

अभ्यास 5 (मानक): lim_x→0 (tan x − x)/(x − sin x) का मान ज्ञात करें।

उत्तर: 2, क्योंकि tan x − x = x³/3 + ... और x − sin x = x³/6 + ...

अभ्यास 6 (मानक): lim_x→0 (1/x − 1/(e^x − 1)) का मान ज्ञात करें।

उत्तर: मिलाएँ: (e^x − 1 − x)/(x(e^x − 1)) = (x²/2 + ...)/(x² + ...) → 1/2.

अभ्यास 7 (मानक): e^x sin x का x की घातों में x⁵ वाले पद तक प्रसार करें।

उत्तर: x + x² + x³/3 − x⁵/30 + ... (x⁴ का गुणांक 0 है)।

अभ्यास 8 (मानक): दिखाएँ कि वास्तविक संख्या c कुछ भी हो, x³ − 3x + c = 0 के (0, 1) में दो भिन्न मूल नहीं हो सकते।

उत्तर: (0, 1) में दो मूल होने पर रोले से (0, 1) में 3x² − 3 का एक शून्य मिलेगा; परंतु वहाँ 3x² − 3 < 0.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): f(x) = 1/x, a = 1 और h > 0 के लिए f(a + h) = f(a) + hf′(a + θh) में θ ज्ञात करें और दिखाएँ कि h → 0 पर θ → 1/2.

उत्तर: 1/(1 + h) − 1 = −h/(1 + θh)² से (1 + θh)² = 1 + h, θ = (√(1 + h) − 1)/h = 1/(√(1 + h) + 1) → 1/2.

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): a, b, c ज्ञात करें ताकि lim_x→0 (ae^x − b cos x + ce^−x)/(x sin x) = 2.

उत्तर: अचर और x के गुणांक शून्य होने चाहिए: a − b + c = 0, a − c = 0; x² का गुणांक (a + b + c)/2 = 2 होना चाहिए। अतः a = 1, b = 2, c = 1.

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): लग्रांज शेषफल सहित मैक्लॉरिन प्रमेय से दिखाएँ कि |sin x − (x − x³/6)| ≤ |x|⁵/120, और इससे sin(0.2) पाँच दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें। lim_x→0 ((1 + x)^1/x/e)^1/x का मान भी ज्ञात करें।

उत्तर: x⁴ वाला पद 0 है, अतः R₅ = (x⁵/120) cos θx; sin(0.2) ≈ 0.2 − 0.0013333 = 0.198667, और शेषफल धनात्मक तथा अधिकतम 0.0000027 है, अतः sin(0.2) = 0.19867. सीमा e^−1/2 है, क्योंकि (1/x)(log(1 + x)/x − 1) → −1/2.

1. स्थानीय चरम मानों और अवकलज परीक्षणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: इष्टतमीकरण के प्रश्न (अधिकतम आयतन, न्यूनतम लागत, न्यूनतम दूरी) किसी राशि का सर्वोत्तम मान पूछते हैं। हर x की जाँच असंभव है, अतः हमें प्रत्याशियों की एक छोटी सूची और प्रत्येक को परखने की विधि चाहिए।

शब्दों में: f का c पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) है यदि c के चारों ओर किसी अंतराल के सभी x के लिए f(c) ≥ f(x); 'स्थानीय' का अर्थ है कि केवल निकट के बिंदुओं से तुलना होती है।

किसी समुच्चय पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ (absolute maximum) c की तुलना समुच्चय के हर बिंदु से करता है। स्थानीय उच्चिष्ठ का निरपेक्ष होना आवश्यक नहीं, और [a, b] पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ किसी अंत्य बिंदु पर हो सकता है, जहाँ f′ का शून्य होना आवश्यक नहीं।

क्रांतिक बिंदु (critical point) वह आंतरिक बिंदु है जहाँ f′ = 0 हो या f′ विद्यमान न हो। हर आंतरिक स्थानीय चरम क्रांतिक बिंदु होता है, अतः प्रत्याशी हैं: क्रांतिक बिंदु और अंत्य बिंदु।

प्रथम अवकलज परीक्षण दोनों ओर f′ का चिह्न पढ़ता है: पहले चढ़ना फिर उतरना (+ से −) का अर्थ शिखर; पहले उतरना फिर चढ़ना (− से +) का अर्थ घाटी।

द्वितीय अवकलज परीक्षण c पर मोड़ पढ़ता है: f′(c) = 0 और f″(c) < 0 का अर्थ है कि आलेख वहाँ टोपी के आकार का है (उच्चिष्ठ); f″(c) > 0 का अर्थ प्याले के आकार का (निम्निष्ठ)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: [0, 2] पर f(x) = x³ − 3x के निरपेक्ष चरम मान ज्ञात करें।

चरण 1 (क्रांतिक बिंदु): f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). विवृत अंतराल (0, 2) में केवल x = 1 योग्य है; x = −1 बाहर है।

चरण 2 (वर्गीकरण): f″(x) = 6x, अतः f″(1) = 6 > 0, स्थानीय निम्निष्ठ। चिह्नों से जाँच: (0, 1) पर f′ < 0 और (1, 2) पर f′ > 0, − से +.

चरण 3 (मान): f(0) = 0, f(1) = −2, f(2) = 8 − 6 = 2.

चरण 4 (तुलना): निरपेक्ष निम्निष्ठ x = 1 पर −2 है और निरपेक्ष उच्चिष्ठ अंत्य बिंदु x = 2 पर 2 है, जहाँ f′(2) = 9 ≠ 0. अंत्य बिंदु की अलग से जाँच आवश्यक थी।

अ-उदाहरण (non-example): 0 पर f(x) = x³ के लिए f′(0) = 0 परंतु कोई चरम नहीं: f′ = 3x² दोनों ओर धनात्मक है, अतः f, 0 से होकर बढ़ता ही रहता है।

विफल प्रतिबंध f′ का चिह्न-परिवर्तन है। यहाँ f″(0) = 0 और f‴(0) = 6 ≠ 0, प्रथम शून्येतर अवकलज विषम कोटि का है, और 0 नत परिवर्तन बिंदु (point of inflexion) है।

आगे बढ़ते हुए: प्रथम अवकलज परीक्षण माध्यमान प्रमेय से निकलता है: (c − δ, c) पर f′ > 0 से f, c तक वर्धमान है, और (c, c + δ) पर f′ < 0 से c के बाद ह्रासमान, अतः f(c) निकट का सबसे बड़ा मान है।

उच्चतर अवकलज परीक्षण टेलर प्रमेय से निकलता है: c के निकट f(c + h) − f(c), (hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(c) की तरह व्यवहार करता है, जिसका चिह्न सम n के लिए स्थिर रहता है और विषम n के लिए h के साथ पलटता है (नीचे व्युत्पन्न)।

कहाँ प्रयोग होता है: शंकु, बेलन, बक्सों और त्रिभुजों पर 10 से 20 अंकों के इष्टतमीकरण प्रश्न, संवृत अंतराल पर चरम मान, स्थैतिकी में साम्य का स्थायित्व, और अनेक चरों में हेसियन परीक्षण के प्रतिरूप के रूप में।

2. उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (एक चर)

f का c पर स्थानीय उच्चिष्ठ (maximum) है यदि c के किसी सामीप्य में f(c) ≥ f(x). आवश्यक प्रतिबंध: यदि f किसी आंतरिक चरम बिंदु c पर अवकलनीय है, तो f′(c) = 0.

f′(c) = 0 क्यों: यदि f′(c) > 0, तो छोटे h के लिए भागफल (f(c + h) − f(c))/h धनात्मक है, अतः छोटे h > 0 के लिए f(c + h) > f(c), जो उच्चिष्ठ के विपरीत है; f′(c) < 0 भी इसी प्रकार असंभव है। प्रतिबंध पर्याप्त नहीं है (0 पर x³) और चरम वहाँ भी हो सकता है जहाँ f′ विद्यमान न हो (0 पर |x|)।

प्रथम अवकलज परीक्षण: यदि c पर f′ का चिह्न + से − बदले तो उच्चिष्ठ; − से + बदले तो निम्निष्ठ (minimum); चिह्न न बदले तो कोई चरम नहीं।

उच्चतर अवकलज परीक्षण: यदि f′(c) = f″(c) = ... = f⁽ⁿ⁻¹⁾(c) = 0 और f⁽ⁿ⁾(c) ≠ 0, तो n सम होने पर f⁽ⁿ⁾(c) < 0 हो तो उच्चिष्ठ और f⁽ⁿ⁾(c) > 0 हो तो निम्निष्ठ; n विषम होने पर कोई चरम नहीं (c नति परिवर्तन बिंदु है)।

व्युत्पत्ति: टेलर प्रमेय से f(c + h) − f(c) = (hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(c + θh). यदि f⁽ⁿ⁾, c पर संतत है, तो छोटे h के लिए f⁽ⁿ⁾(c + θh) का चिह्न f⁽ⁿ⁾(c) वाला है; सम n के लिए दोनों ओर hⁿ > 0 (चरम), जबकि विषम n के लिए hⁿ का चिह्न h के साथ बदलता है (कोई चरम नहीं)।

भाव: f″(c) > 0 का अर्थ है कि आलेख प्याले की तरह ऊपर की ओर मुड़ता है, अतः वहाँ क्षैतिज स्पर्शरेखा तल पर होती है; 0 पर x⁴ के लिए चौथे अवकलज की आवश्यकता है क्योंकि वहाँ f′ = f″ = f‴ = 0.

[a, b] पर निरपेक्ष चरम: क्रांतिक बिंदुओं (f′ = 0 या f′ अपरिभाषित) और अंत्य बिंदुओं a, b पर f के मानों की तुलना करें।

इष्टतमीकरण प्रश्न (विधि): (1) चरों के नाम रखें और इष्टतम की जाने वाली राशि लिखें; (2) प्रतिबंध से उसे उसके प्राकृतिक अंतराल पर एक चर में बदलें; (3) f′ = 0 हल करें; (4) f″ से या अंत्य मानों की तुलना से पुष्टि करें; (5) ठीक वही उत्तर दें जो पूछा गया है (अनुपात, कोण, ऊँचाई)।

एकदिष्ट स्थिति: यदि [a, b] के भीतर f′ शून्य नहीं होता, तो f वहाँ एकदिष्ट है और उसके उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ अंत्य बिंदुओं पर होते हैं।

समाकलों द्वारा परिभाषित फलन: संतत g के साथ f(x) = ∫_a^x g(t) dt के लिए f′(x) = g(x); क्रांतिक बिंदु g के शून्य हैं, और g का चिह्न तय करता है कि f कहाँ बढ़ता या घटता है।

3. अनंतस्पर्शियों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी वक्र का रेखाचित्र उसकी अनंत शाखाओं के व्यवहार को जाने बिना अधूरा है। अनंतस्पर्शी (asymptotes) वे रेखाएँ हैं जिनकी ओर वक्र के दूरस्थ भाग जाते हैं, और वे किनारों पर रेखाचित्र का आकार तय करती हैं।

शब्दों में: रेखा L अनंतस्पर्शी है यदि वक्र की किसी शाखा पर बिंदु P के अनंत की ओर जाने पर P से L तक की लंबवत दूरी 0 की ओर जाए।

तीन प्रकार होते हैं। ऊर्ध्वाधर: x = k, जहाँ x → k पर y → ±∞. क्षैतिज: y = k, जहाँ x → ±∞ पर y → k. तिर्यक: y = mx + c, जहाँ m ≠ 0, और x → ±∞ पर y − (mx + c) → 0.

y = f(x) के तिर्यक अनंतस्पर्शी के लिए प्रवणता m = lim f(x)/x और अंतःखंड c = lim (f(x) − mx) है, दोनों x → ∞ (या x → −∞) पर ली जाती हैं।

बीजीय वक्र के लिए यही दो सीमाएँ φ_n(m) = 0 और c = −φ_n−1(m)/φ_n′(m) के रूप में आती हैं: उच्चतम घात के पद दिशाएँ तय करते हैं और अगले पद स्थितियाँ।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y = (2x² + 3x − 1)/(x − 1) के अनंतस्पर्शी ज्ञात करें।

चरण 1 (ऊर्ध्वाधर): x = 1 पर हर शून्य होता है, और वहाँ अंश 2 + 3 − 1 = 4 ≠ 0 है, अतः x → 1 पर y → ±∞: x = 1 ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

चरण 2 (प्रवणता): m = lim y/x = lim (2x² + 3x − 1)/(x² − x) = 2.

चरण 3 (अंतःखंड): y − 2x = (2x² + 3x − 1 − 2x² + 2x)/(x − 1) = (5x − 1)/(x − 1) → 5, अतः c = 5.

चरण 4 (भाग द्वारा जाँच): 2x² + 3x − 1 = (2x + 5)(x − 1) + 4, अतः y = 2x + 5 + 4/(x − 1), और अंतिम पद → 0. अनंतस्पर्शी x = 1 और y = 2x + 5 हैं।

चरण 5 (किस ओर से): बड़े धनात्मक x के लिए 4/(x − 1) > 0, अतः वक्र रेखा के ठीक ऊपर है; बड़े ऋणात्मक x के लिए ठीक नीचे। ऐसे विवरण रेखाचित्र को सही बनाते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): परवलय y = x² अनंत तक जाता है परंतु इसका कोई अनंतस्पर्शी नहीं है।

यहाँ y/x = x → ∞, अतः कोई परिमित प्रवणता m विद्यमान नहीं। इसी प्रकार y = x + √|x| के लिए प्रवणता-सीमा m = 1 है, परंतु y − x = √|x| → ∞, अतः अंतःखंड प्रतिबंध विफल है और किसी भी c के लिए y = x + c अनंतस्पर्शी नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: घात n के बीजीय समीकरण में y = mx + c रखने पर x में एक समीकरण मिलता है जिसके अग्र गुणांक φ_n(m) और cφ_n′(m) + φ_n−1(m) हैं।

कोई रेखा वक्र से 'अनंत पर दो बार' मिलती है, जो अनंतस्पर्शी का गुण है, ठीक तब जब दोनों गुणांक शून्य हों; यही नीचे दी गई व्युत्पत्ति है।

अक्षों के समांतर अनंतस्पर्शी वे विशेष दिशाएँ हैं जिनमें m अनंत या 0 है, और वे y तथा x की उच्चतम घातों के गुणांकों से मिलते हैं। ध्रुवीय वक्रों के लिए 1/r = f(θ) → 0 होने पर r → ∞, जिससे r sin(θ − θ₁) = 1/f′(θ₁) मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'सभी अनंतस्पर्शी ज्ञात करें' वाले प्रश्न (10 अंक), हर वक्र-अनुरेखण प्रश्न, और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में अतिपरवलयों के अनंतस्पर्शी तथा अनंतस्पर्शी शंकु।

4. अनंतस्पर्शी

कोई सरल रेखा वक्र की अनंतस्पर्शी (asymptote) है यदि वक्र के अनुदिश बिंदु के अनंत की ओर जाने पर उस बिंदु की रेखा से दूरी 0 की ओर जाए।

भाव: अनंतस्पर्शी (asymptote) वह रेखा है जिससे वक्र की कोई शाखा दूर जाकर सटी रहती है। वक्र अपनी अनंतस्पर्शी को काट सकता है, अनंत बार भी (y = (sin x)/x, प्रत्येक x = kπ (k ≠ 0) पर y = 0 को काटता है); केवल दूरी का 0 की ओर जाना महत्त्वपूर्ण है।

घात n के बीजीय वक्र की तिर्यक अनंतस्पर्शियाँ y = mx + c: मान लें φ_k(m), x = 1, y = m रखने पर समीकरण का k-घात भाग है। y = mx + c रखने पर xⁿφ_n(m) + xⁿ⁻¹[cφ_n′(m) + φ_n−1(m)] + ... = 0 मिलता है।

φ_n(m) = 0 से m ज्ञात करें और c = −φ_n−1(m)/φ_n′(m) लें; यदि φ_n′(m) = 0 भी हो, तो c, (c²/2)φ_n″(m) + cφ_n−1′(m) + φ_n−2(m) = 0 से मिलता है, जो दो समांतर अनंतस्पर्शियाँ देता है।

यह क्यों काम करता है: जिन बिंदुओं पर रेखा y = mx + c वक्र से मिलती है उनके भुज ऊपर के समीकरण के मूल हैं। रेखा तब अनंतस्पर्शी है जब इनमें से दो बिंदु अनंत पर चले गए हों, जो ठीक तब होता है जब xⁿ और xⁿ⁻¹ दोनों के गुणांक शून्य हों: φ_n(m) = 0 और cφ_n′(m) + φ_n−1(m) = 0.

उदाहरण (ऊपर का चित्र): फ़ोलियम x³ + y³ = 3axy के लिए φ₃(m) = 1 + m³ और φ₂(m) = −3am, अतः m = −1 और c = −φ₂(−1)/φ₃′(−1) = −3a/3 = −a; अनंतस्पर्शी x + y + a = 0 है।

अक्षों के समांतर अनंतस्पर्शियाँ: x की उच्चतम घात के गुणांक (यह क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = k देता है) और y की उच्चतम घात के गुणांक (ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = k) को शून्य के बराबर रखें, जब ये गुणांक अचर न हों।

घात n के बीजीय वक्र की अधिकतम n अनंतस्पर्शियाँ होती हैं।

ध्रुवीय वक्र: यदि 1/r = f(θ), f(θ₁) = 0 और f′(θ₁) ≠ 0, तो अनंतस्पर्शी r sin(θ − θ₁) = 1/f′(θ₁) है।

व्युत्पत्ति: θ → θ₁ पर r → ∞, अतः शाखा θ = θ₁ दिशा में जाती है और अनंतस्पर्शी उसके समांतर है। ध्रुव से अनंतस्पर्शी की दूरी p = lim_θ→θ1 r sin(θ − θ₁) = lim sin(θ − θ₁)/f(θ) = 1/f′(θ₁) (लोपिताल से), और θ = θ₁ के समांतर इस दूरी पर रेखा r sin(θ − θ₁) = 1/f′(θ₁) है।

परिमेय फलन: निम्नतम पदों में y = P(x)/Q(x) के लिए Q के शून्य ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी देते हैं; यदि deg P = deg Q + 1, तो भाग P = (mx + c)Q + R से तिर्यक अनंतस्पर्शी y = mx + c मिलती है; यदि deg P ≤ deg Q तो क्षैतिज अनंतस्पर्शी होती है।

5. वक्र अनुरेखण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: y²(a − x) = x³ जैसा समीकरण अपना आकार छिपाए रखता है। अनेक बिंदु आलेखित करना धीमा है और महत्त्वपूर्ण लक्षण छूट जाते हैं, अतः हम जाँचों के एक निश्चित क्रम में समीकरण से आकार पढ़ते हैं।

शब्दों में: वक्र अनुरेखण (curve tracing) का अर्थ है वे गुणात्मक लक्षण ज्ञात करना जो चित्र तय करते हैं: सममिति, मूलबिंदु पर व्यवहार, अंतःखंड, अनंतस्पर्शी, वक्र कहाँ विद्यमान है, कहाँ चढ़ता या उतरता है, और विशेष बिंदु।

द्विक बिंदु (node) वह बिंदु है जहाँ दो शाखाएँ भिन्न स्पर्श रेखाओं के साथ एक-दूसरे को काटती हैं; उभयाग्र (cusp) वह बिंदु है जहाँ दो शाखाएँ एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के साथ मिलकर रुक जाती हैं; विलगित (संयुग्मी) बिंदु (isolated point) वक्र का वह बिंदु है जिसके निकट वक्र का कोई अन्य बिंदु नहीं।

प्रत्येक मद चित्र के बारे में एक प्रश्न का उत्तर देता है, और मद स्वतंत्र हैं, अतः एक में त्रुटि दूसरों को नहीं बिगाड़ती।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y² = x²(1 − x) का अनुरेखण करें।

चरण 1 (सममिति): केवल y² आता है, अतः वक्र x-अक्ष के प्रति सममित है। ऊपरी आधा बनाकर उसका प्रतिबिंब लें।

चरण 2 (मूलबिंदु): कोई अचर पद नहीं, अतः O वक्र पर है। निम्नतम घात के पद y² − x² हैं, जिनसे स्पर्श रेखाएँ y = ±x मिलती हैं: दो वास्तविक भिन्न स्पर्श रेखाएँ, अतः O द्विक बिंदु है।

चरण 3 (अंतःखंड): y = 0 से x = 0 या x = 1. (1, 0) पर वक्र अक्ष को ऊर्ध्वाधर रूप से पार करता है, क्योंकि वहाँ 1 − x का चिह्न बदलता है (दाएँ पक्ष का सरल शून्य)।

चरण 4 (क्षेत्र): y² ≥ 0 के लिए 1 − x ≥ 0 आवश्यक है, अतः वक्र पूर्णतः x ≤ 1 में है।

चरण 5 (अनंतस्पर्शी): y² का गुणांक अचर 1 है और त्रिघाती पद φ₃(m) = 1 देते हैं, जिसका कोई मूल नहीं; अतः कोई अनंतस्पर्शी नहीं।

चरण 6 (आकार): 0 ≤ x ≤ 1 के लिए y = x√(1 − x), 0 से बढ़कर पुनः 0 पर आता है, O और (1, 0) के बीच एक पाश। x < 0 के लिए |y| = |x|√(1 − x) असीमित बढ़ता है, द्वितीय और तृतीय चतुर्थांशों में अनंत तक जाती दो शाखाएँ।

चरण 7 (विशेष बिंदु): पाश पर dy/dx = (2 − 3x)/(2√(1 − x)) = 0, x = 2/3 पर, अतः पाश x = 2/3 पर सबसे चौड़ा है, जहाँ y = (2/3)√(1/3) = 2√3/9.

अ-उदाहरण (non-example): y² = x²(x − 1) के लिए निम्नतम घात के पद y² + x² = 0 मूलबिंदु पर कोई वास्तविक स्पर्श रेखा नहीं देते।

O अब भी समीकरण को संतुष्ट करता है, परंतु O के निकट x − 1 < 0, अतः O के निकट वक्र का कोई अन्य बिंदु नहीं: O विलगित बिंदु है, द्विक बिंदु नहीं, और शेष वक्र x ≥ 1 में है। O से होकर शाखाएँ खींचना गलत होगा।

आगे बढ़ते हुए: प्रत्येक चरण पहले देखा गया एक छोटा प्रमेय है। सममिति समीकरण की अपरिवर्तिता से, O पर स्पर्श रेखाएँ O के निकट निम्नतम घात वाले पदों के प्रभुत्व से, और अनंतस्पर्शी दूर उच्चतम घात वाले पदों के प्रभुत्व से आते हैं।

चढ़ाव-उतार dy/dx के चिह्न से (माध्यमान प्रमेय), और अवतलता d²y/dx² के चिह्न से आती है। ध्रुवीय वक्रों के लिए यही योजना सममिति हेतु θ → −θ, r बनाम θ की सारणी, दिशाओं हेतु tan φ = r dθ/dr, और θ का वह परास जहाँ r वास्तविक है, का उपयोग करती है।

कहाँ प्रयोग होता है: 15 से 20 अंकों के अनुरेखण प्रश्न (स्ट्रोफॉइड, सिसॉइड, फोलियम, y² = g(x) वक्र), और बहु-समाकल विषय में हर क्षेत्रफल, चाप-लंबाई या आयतन प्रश्न का पहला चरण, जहाँ क्षेत्र की सही पहचान आवश्यक है।

6. वक्र अनुरेखण

चरण 1, सममिति: यदि y की केवल सम घातें हों तो x-अक्ष के प्रति; x की केवल सम घातें हों तो y-अक्ष के प्रति; (x, y) → (−x, −y) से समीकरण न बदले तो मूलबिंदु के प्रति; x और y परस्पर बदलने पर न बदले तो y = x के प्रति। यह वक्र अनुरेखण (curve tracing) का पहला चरण है।

चरण 2, मूलबिंदु: अचर पद न हो तो वक्र मूलबिंदु से गुजरता है; वहाँ की स्पर्श रेखाएँ निम्नतम घात के पदों को शून्य रखकर मिलती हैं (दो वास्तविक भिन्न स्पर्श रेखाएँ: द्विक बिंदु; संपाती: प्रायः उभयाग्र (cusp), परंतु निकट की शाखाएँ जाँचें, क्योंकि स्पर्श-द्विक बिंदु (tacnode) या विलगित बिंदु भी संभव है; काल्पनिक: विलगित बिंदु)।

निम्नतम घात के पद क्यों: मूल बिंदु के पास उच्च घात के पद निम्नतम घात वालों की तुलना में नगण्य हैं, अतः वक्र उन पदों से प्राप्त रेखाओं जैसा दिखता है। फ़ोलियम x³ + y³ = 3axy के लिए निम्नतम पद xy = 0 देते हैं, अतः नोड O पर स्पर्शरेखाएँ दोनों अक्ष हैं (ऊपर का चित्र देखें)।

चरण 3 से 6: अक्षों से प्रतिच्छेद बिंदु और वहाँ स्पर्श रेखाएँ; अनंतस्पर्शियाँ; वे क्षेत्र जहाँ वक्र विद्यमान नहीं (y² < 0); वर्धमान और ह्रासमान भागों के लिए dy/dx का चिह्न, और नति परिवर्तन बिंदु।

ध्रुवीय वक्र: θ → −θ से समीकरण न बदले तो प्रारंभिक रेखा के प्रति सममिति; θ = 0, π/4, π/2, ... पर r की सारणी बनाएँ; tan φ = r dθ/dr, ध्रुवांतर रेखा और स्पर्श रेखा के बीच कोण देता है; θ का वह परिसर देखें जिसके लिए r वास्तविक है।

प्राचलिक वक्र: dx/dt और dy/dt, वे बिंदु जहाँ प्रत्येक शून्य हो, और t के अपने परिसर में चलने पर व्यवहार ज्ञात करें (जैसे चक्रज x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t))।

y² = g(x) का अस्तित्व क्षेत्र: अंश और हर के शून्यों से g की चिह्न-सारणी बनाएँ। वक्र केवल वहाँ है जहाँ g(x) ≥ 0, g के सरल शून्यों पर ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के साथ x-अक्ष को काटता है, और हर के शून्यों पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रखता है।

स्ट्रोफॉइड-प्रकार के वक्र y²(a + x) = x²(b − x) (a, b > 0): मूलबिंदु पर स्पर्शरेखाओं ay² = bx² वाला नोड, 0 ≤ x ≤ b के लिए एक पाश (loop), और −a < x < 0 के लिए दो शाखाएँ जो अनंतस्पर्शी x = −a की ओर जाती हैं।

7. विधि का चयन

यदि f″(c) सरलता से निकले और अशून्य हो → द्वितीय अवकलज परीक्षण; यदि f″(c) = 0 हो या जटिल हो → c के चारों ओर f′ का चिह्न परिवर्तन, या उच्च अवकलज।

यदि प्रांत संवृत अंतराल हो → क्रांतिक बिंदुओं और अंत्य बिंदुओं पर मानों की तुलना करें; केवल f″ निरपेक्ष चरम नहीं देता।

यदि ज्यामितीय इष्टतमीकरण पूछा जाए (गोले में सबसे बड़ा बेलन, न्यूनतम दूरी) → एक चर में बदलें, या प्रतिबंध सममित हो तो लग्रांज गुणक लें (अनेक चरों के फलन)।

यदि y = P(x)/Q(x) → Q = 0 से ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और भाग से तिर्यक; यदि व्यापक बीजीय वक्र → φ_n(m) विधि तथा अक्षों के समांतर अनंतस्पर्शी; यदि ध्रुवी → r sin(θ − θ₁) = 1/f′(θ₁); यदि प्राचलिक → वह t ज्ञात करें जहाँ x या y → ∞, फिर m = lim y/x और c = lim (y − mx).

यदि वक्र अनुरेखित करना हो → निश्चित क्रम अपनाएँ: सममिति, मूल बिंदु, अंतःखंड, अनंतस्पर्शी, अस्तित्व का क्षेत्र, एकदिष्टता, विशेष बिंदु, और चित्र बनाने से पहले उत्तर में प्रत्येक बिंदु लिखें।

8. सामान्य गलतियाँ

वे क्रांतिक बिंदु छोड़ देना जहाँ f′ विद्यमान नहीं (x = 1 पर |x − 1|), या संवृत अंतराल के अंत्य बिंदु भूल जाना।

f″(c) = 0 को नति परिवर्तन बिंदु का प्रमाण मानना: x⁴ के लिए f″(0) = 0 और 0 पर निम्निष्ठ है। नति परिवर्तन के लिए अवतलता का परिवर्तन (f″ का चिह्न परिवर्तन) आवश्यक है।

φ_n(m) विधि के बाद अक्षों के समांतर अनंतस्पर्शी भूल जाना, या घात n के वक्र के लिए n से अधिक अनंतस्पर्शी लिखना।

यह मान लेना कि वक्र अपनी अनंतस्पर्शी से कभी नहीं मिलता; परिमित प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने चाहिए, क्योंकि वे रेखाचित्र में सहायक हैं।

यह बताए बिना वक्र अनुरेखित करना कि वह कहाँ विद्यमान नहीं (y² < 0), या उस क्षेत्र में शाखाएँ खींचना।

बिना परीक्षण के 'उच्चिष्ठ' या 'निम्निष्ठ' लिखना, या जब प्रश्न मान पूछे तब बिंदु देना (या इसका उलटा)।

9. संबंध

संबंध: स्थैतिकी में साम्यावस्था स्थायी होती है जब वहाँ स्थितिज ऊर्जा निम्निष्ठ हो, अतः इस विषय के परीक्षण साम्य का स्थायित्व तय करते हैं।

संबंध: f′ = 0 और f″ परीक्षण अनेक चरों के लिए प्रवणता और हेसियन परीक्षणों में व्यापक होते हैं, और अतिपरवलय की अनंतस्पर्शियाँ या अतिपरवलयज का अनंतस्पर्शी शंकु उसी उच्चतम-घात-पदों के विचार से आते हैं (विश्लेषणात्मक ज्यामिति)।

संबंध: रैखिक प्रोग्रामन एक रैखिक फलन का इष्टतमीकरण करता है, जिसका अवकलज कभी शून्य नहीं होता, अतः इष्टतम परिसीमा पर, सुसंगत क्षेत्र के किसी शीर्ष पर, होता है, ठीक ऊपर की एकदिष्ट स्थिति की तरह।

10. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: फोलियम x³ + y³ = 3axy की अनंतस्पर्शियाँ ज्ञात करें।

अक्षों के समांतर कोई अनंतस्पर्शी नहीं, क्योंकि x³ और y³ के गुणांक अचर हैं। φ₃(m) = 1 + m³ और φ₂(m) = −3am; φ₃(m) = 0 का वास्तविक मूल m = −1 है, और c = −φ₂(m)/φ₃′(m) = 3am/(3m²) = a/m = −a. अनंतस्पर्शी x + y + a = 0 है।

अनुरेखण: वक्र y = x के प्रति सममित है, स्पर्श रेखाओं x = 0 और y = 0 के साथ मूलबिंदु से गुजरता है (द्विक बिंदु), y = x को (3a/2, 3a/2) पर काटता है, प्रथम चतुर्थांश में एक पाश बनाता है, और द्वितीय तथा चतुर्थ चतुर्थांश की शाखाएँ x + y + a = 0 की ओर जाती हैं।

उदाहरण 2: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान ज्ञात करें।

f′(x) = 3(x − 1)(x − 3) = 0, x = 1, 3 पर। f″(x) = 6x − 12, x = 1 पर −6 (उच्चिष्ठ, f(1) = 5) और x = 3 पर 6 (निम्निष्ठ, f(3) = 1) है।

उदाहरण 3: सिसॉइड y²(a − x) = x³ का अनुरेखण करें। यह x-अक्ष के प्रति सममित है, मूलबिंदु पर उभयाग्र है (स्पर्श रेखा y² = 0), केवल 0 ≤ x < a के लिए विद्यमान है, और इसकी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = a है।

उदाहरण 4: हृदयाभ (cardioid) r = a(1 + cos θ) का अनुरेखण करें। यह प्रारंभिक रेखा के प्रति सममित है; θ = 0 पर r = 2a, θ = π/2 पर r = a और θ = π पर r = 0 (ध्रुव पर उभयाग्र); चूँकि r ≤ 2a, वक्र संवृत है, और इसका क्षेत्रफल 3πa²/2 है।

उदाहरण 5: त्रिघाती वक्र (x² − y²)(x + 2y) + 3xy + x + y − 1 = 0 की सभी अनंतस्पर्शियाँ ज्ञात करें।

x³ (1) और y³ (−2) के गुणांक अचर हैं, अतः अक्षों के समांतर कोई अनंतस्पर्शी नहीं है।

y = mx + c रखें: φ₃(m) = (1 − m²)(1 + 2m) = 1 + 2m − m² − 2m³, φ₂(m) = 3m. φ₃(m) = 0 से m = 1, −1, −1/2.

c = −φ₂(m)/φ₃′(m), जहाँ φ₃′(m) = 2 − 2m − 6m²: m = 1 से c = −3/(−6) = 1/2; m = −1 से c = 3/(−2) = −3/2; m = −1/2 से c = (3/2)/(3/2) = 1.

अनंतस्पर्शियाँ y = x + 1/2, y = −x − 3/2 और y = −x/2 + 1 हैं, अर्थात 2x − 2y + 1 = 0, x + y + 3/2 = 0 और x + 2y − 2 = 0 (तीन, जो त्रिघाती वक्र के लिए अधिकतम संख्या है)।

उदाहरण 6: [0, π] पर f(x) = sin x (1 + cos x) का उच्चिष्ठ मान ज्ञात करें।

f′(x) = cos x + cos²x − sin²x = 2cos²x + cos x − 1 = (2cos x − 1)(cos x + 1).

(0, π) में f′ = 0 केवल cos x = 1/2, अर्थात x = π/3 पर है। f″(x) = −sin x − 2 sin 2x, अतः f″(π/3) = −√3/2 − √3 = −3√3/2 < 0: उच्चिष्ठ।

f(π/3) = (√3/2)(3/2) = 3√3/4, जो अंत्य मानों f(0) = f(π) = 0 से अधिक है, अतः उच्चिष्ठ मान 3√3/4 है।

11. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 13 अंक): एक शंक्वाकार टेंट एक दत्त क्षमता का है। यदि उस टेंट में न्यूनतम कैनवास लगाना हो, तो उसकी ऊँचाई का उसके आधार की त्रिज्या पर अनुपात मालूम कीजिये।

मान लें r आधार त्रिज्या, h ऊँचाई और l = √(r² + h²) तिर्यक ऊँचाई है। धारिता V = πr²h/3 नियत है और कैनवास वक्र पृष्ठ S = πrl है।

S न्यूनतम है जब S² = π²r²(r² + h²) न्यूनतम है। h = 3V/(πr²) से S² = F(r) = π²r⁴ + 9V²/r².

F′(r) = 4π²r³ − 18V²/r³ = 0 से 2π²r⁶ = 9V² = π²r⁴h², अतः h² = 2r².

F″(r) = 12π²r² + 54V²/r⁴ > 0, अतः यह क्रांतिक बिंदु न्यूनतम देता है।

उत्तर: ऊँचाई : त्रिज्या = √2 : 1.

उदाहरण 8 (UPSC 2018, 13 अंक): अन्तराल [2, 3] पर x⁴ − 5x² + 4 के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिये।

f(x) = x⁴ − 5x² + 4, f′(x) = 4x³ − 10x = 2x(2x² − 5), जो x = 0 और x = ±√(5/2) ≈ ±1.58 पर शून्य है, इनमें से कोई [2, 3] में नहीं।

[2, 3] पर f′(x) = 2x(2x² − 5) > 0, अतः f निरंतर वर्धमान है और चरम मान अंत्य बिंदुओं पर हैं: f(2) = 16 − 20 + 4 = 0, f(3) = 81 − 45 + 4 = 40.

उत्तर: न्यूनतम 0 (x = 2 पर), अधिकतम 40 (x = 3 पर)।

उदाहरण 9 (UPSC 2019, 15 अंक): फलन f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 6 का अंतराल [2, 3] पर अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2), जो x = 1, 2 पर शून्य है और x > 2 के लिए धनात्मक है।

अतः f, [2, 3] पर वर्धमान है (x = 2 अंत्य बिंदु है, आंतरिक चरम नहीं), और चरम मान सिरों पर हैं: f(2) = 16 − 36 + 24 + 6 = 10, f(3) = 54 − 81 + 36 + 6 = 15.

उत्तर: न्यूनतम 10 (x = 2 पर), अधिकतम 15 (x = 3 पर)।

उदाहरण 10 (UPSC 2021, 15 अंक): f(x) = x³ − 9x² + 26x − 24 का, 0 ≤ x ≤ 1 के लिए, अधिकतम तथा न्यूनतम मान निकालिए।

f′(x) = 3x² − 18x + 26 = 3(x − 3)² − 1, जो केवल x = 3 ± 1/√3 (≈ 2.42 और 3.58) पर शून्य है, दोनों [0, 1] के बाहर।

[0, 1] पर (x − 3)² ≥ 4, अतः f′(x) ≥ 11 > 0 और f वर्धमान है: f(0) = −24, f(1) = 1 − 9 + 26 − 24 = −6.

उत्तर: न्यूनतम −24 (x = 0 पर), अधिकतम −6 (x = 1 पर)।

उदाहरण 11 (UPSC 2020, 10 अंक): वक्र (2x + 3)y = (x − 1)² के सभी अनंतस्पर्शी निकालिए।

ऊर्ध्वाधर: y (y की उच्चतम घात) का गुणांक 2x + 3 है, अतः x = −3/2 अनंतस्पर्शी है; वास्तव में x → −3/2 पर y = (x − 1)²/(2x + 3) → ±∞, क्योंकि अंश 25/4 ≠ 0 की ओर जाता है।

तिर्यक: भाग देने पर y = x/2 − 7/4 + (25/4)/(2x + 3), और x → ±∞ पर अंतिम पद → 0. (जाँच: (2x + 3)(x/2 − 7/4) = x² − 2x − 21/4, और 25/4 जोड़ने पर (x − 1)².)

कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है, क्योंकि x² (x की उच्चतम घात) का गुणांक अचर 1 है। घात 3 के वक्र की अधिकतम तीन अनंतस्पर्शी हो सकती हैं; यहाँ दो वास्तविक हैं।

उत्तर: x = −3/2 और y = x/2 − 7/4 (अर्थात 2x − 4y − 7 = 0)।

उदाहरण 12 (UPSC 2020, 20 अंक): निम्न फलन पर विचार कीजिए : f(x) = ∫₀^x (t² − 5t + 4)(t² − 5t + 6) dt
(i) फलन f(x) के क्रांतिक बिंदु निकालिए।
(ii) वे बिंदु निकालिए, जहाँ f(x) का स्थानीय न्यूनतम होगा।
(iii) वे बिंदु निकालिए, जहाँ f(x) का स्थानीय अधिकतम होगा।
(iv) फलन f(x) के [0, 5] में कितने शून्यक होंगे, निकालिए।

कलन के मूल प्रमेय से f′(x) = (x² − 5x + 4)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). (i) क्रांतिक बिंदु x = 1, 2, 3, 4 हैं।

f′ के चिह्न: (−∞, 1) पर +, (1, 2) पर −, (2, 3) पर +, (3, 4) पर −, (4, ∞) पर +, क्योंकि प्रत्येक क्रांतिक बिंदु पर एक गुणनखंड चिह्न बदलता है।

(ii) x = 2 और x = 4 पर f′, − से + होता है: स्थानीय निम्निष्ठ। (iii) x = 1 और x = 3 पर f′, + से − होता है: स्थानीय उच्चिष्ठ।

(iv) f(x) = x⁵/5 − 5x⁴/2 + 35x³/3 − 25x² + 24x, अतः f(0) = 0, f(1) = 251/30, f(2) = 116/15, f(3) = 81/10, f(4) = 112/15, f(5) = 95/6.

[0, 1] पर f, f(0) = 0 से बढ़ता है, और [1, 5] पर उसका न्यूनतम मान छोटा स्थानीय निम्निष्ठ f(4) = 112/15 > 0 है। अतः (0, 5] पर f > 0.

उत्तर: (i) 1, 2, 3, 4; (ii) x = 2, 4 पर स्थानीय निम्निष्ठ; (iii) x = 1, 3 पर स्थानीय उच्चिष्ठ; (iv) [0, 5] में ठीक एक शून्य, x = 0.

उदाहरण 13 (UPSC 2022, 20 अंक): वक्र y²x² = x² − a² का अनुरेख (ट्रेस) कीजिए, जहाँ a एक वास्तविक अचर है।

a ≠ 0 के लिए y² = 1 − a²/x² (a = 0 के लिए समीकरण x²(y² − 1) = 0 हो जाता है, अर्थात् तीन रेखाएँ x = 0, y = 1 और y = −1)। सममिति: x और y की केवल सम घातें हैं, अतः वक्र दोनों अक्षों के प्रति सममित है।

क्षेत्र: y² ≥ 0 के लिए |x| ≥ |a| चाहिए, अतः पट्टी |x| < |a| में कुछ नहीं है और वक्र मूलबिंदु से नहीं जाता; साथ ही y² < 1, अतः वक्र y = −1 और y = 1 के बीच है।

अक्ष बिंदु: (±a, 0). अवकलन से dy/dx = (1 − y²)/(xy), जो y → 0 पर → ∞, अतः (±a, 0) पर स्पर्शरेखाएँ ऊर्ध्वाधर हैं।

अनंतस्पर्शी: x²(y² − 1) + a² = 0 लिखने पर x की उच्चतम घात का गुणांक y = ±1 देता है। y² का गुणांक x² है, जो x = 0 सुझाता है, पर कोई वास्तविक शाखा उसकी ओर नहीं जाती क्योंकि |x| < |a| के लिए वक्र नहीं है।

आकृति: x ≥ |a| के लिए |y|, 0 से 1 की ओर बढ़ता है; शाखा (|a|, 0) से ऊर्ध्वाधर निकलती है और ऊपर y = 1 तथा नीचे y = −1 की ओर समतल होती जाती है। इसका दर्पण प्रतिबिंब x ≤ −|a| में है, जिससे y-अक्ष से दूर खुलने वाली दो धनुषाकार शाखाएँ बनती हैं।

उत्तर: |x| ≥ |a| में दो शाखाएँ, दोनों अक्षों के प्रति सममित, (±a, 0) पर ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखाएँ और अनंतस्पर्शी y = ±1; वक्र −1 < y < 1 के भीतर है।

उदाहरण 14 (UPSC 2023, 20 अंक): वक्र y²(x² − 1) = 2x − 1 को अनुरेखित कीजिए।

y² = g(x) = (2x − 1)/(x² − 1). सममिति: केवल y² है, अतः वक्र x-अक्ष के प्रति सममित है; यह मूलबिंदु से नहीं जाता, और g(0) = 1 से बिंदु (0, ±1) मिलते हैं।

क्षेत्र: x < −1: g < 0, वक्र नहीं; −1 < x ≤ 1/2: g ≥ 0, वक्र है; 1/2 < x < 1: g < 0, वक्र नहीं; x > 1: g > 0, वक्र है।

अनंतस्पर्शी: y² का गुणांक x² − 1 है, जिससे x = 1 और x = −1; x² का गुणांक y² है, जिससे y = 0 (x → +∞ पर y² ≈ 2/x → 0; x < −1 के लिए वक्र नहीं है)।

एकदिष्टता: g′(x) = −2(x² − x + 1)/(x² − 1)² < 0, अतः जहाँ वक्र है उस प्रत्येक अंतराल पर y² घटता है।

आकृति: (−1, 1/2] पर y², +∞ (x → −1+) से 1 (x = 0) होते हुए x = 1/2 पर 0 तक गिरता है, जहाँ वक्र x-अक्ष को ऊर्ध्वाधर काटता है: ')' जैसी एक शाखा, जिसके दोनों सिरे x = −1 के अनुदिश ऊपर-नीचे जाते हैं। (1, ∞) पर y², +∞ से 0 तक गिरता है: दो भुजाएँ अनंतस्पर्शी x = 1 से नीचे आती हैं और ऊपर तथा नीचे से x-अक्ष की ओर जाती हैं।

उत्तर: x-अक्ष के प्रति सममित; केवल −1 < x ≤ 1/2 और x > 1 के लिए; अनंतस्पर्शी x = ±1 और y = 0; (0, ±1) और (1/2, 0) से होकर।

उदाहरण 15 (UPSC 2024, 20 अंक): ऊँचाई h तथा अर्ध-शीर्ष कोण α वाले एक शंकु के अंतर्गत सबसे बड़े बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

मान लें बेलन की त्रिज्या x और ऊँचाई y है, उसका आधार शंकु के आधार पर और ऊपरी किनारा शंकु पर है। ऊँचाई y पर शंकु की त्रिज्या (h − y) tan α है, अतः x = (h − y) tan α.

0 < y < h के लिए V = πx²y = π tan²α (h − y)²y, और dV/dy = π tan²α (h − y)(h − 3y) = 0 से y = h/3.

y = h/3 पर d²V/dy² = π tan²α (6y − 4h) = −2πh tan²α < 0, उच्चिष्ठ। तब x = (2h/3) tan α.

V_max = π(4h²/9)tan²α (h/3) = (4/27)πh³ tan²α, जो शंकु के आयतन (1/3)πh³tan²α का 4/9 है।

उत्तर: अधिकतम आयतन (4/27)πh³ tan²α, ऊँचाई h/3 वाले बेलन के लिए।

उदाहरण 16 (UPSC 2025, 10 अंक): लम्बाई 6 मीटर और चौड़ाई 2 मीटर की एक आयताकार धातु की चादर दी गई है। चारों कोनों से चार बराबर वर्गों को हटाया गया है। इस चादर के फलकों को मोड़कर एक खुला आयताकार सन्दूक बनाना है। सन्दूक की ऐसी सन्निकट ऊँचाई ज्ञात कीजिए कि सन्दूक का आयतन अधिकतम हो।

मान लें वर्गों की भुजा x m है; यही बक्से की ऊँचाई है, 0 < x < 1. आधार (6 − 2x) × (2 − 2x) है, अतः V = x(6 − 2x)(2 − 2x) = 4(x³ − 4x² + 3x).

V′ = 4(3x² − 8x + 3) = 0 से x = (4 ± √7)/3; केवल (4 − √7)/3 ≈ 0.451, (0, 1) में है।

x < 4/3 के लिए V″ = 4(6x − 8) < 0, अतः यह उच्चिष्ठ है, V_max ≈ 2.52 m³.

उत्तर: ऊँचाई = (4 − √7)/3 ≈ 0.45 m.

उदाहरण 17 (UPSC 2026, 15 अंक): यदि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण तथा एक अन्य भुजा की लंबाइयों का योग दिया गया हो, तो इन भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए, जिसके लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम है।

मान लें दी गई भुजा a, कर्ण c, a + c = k (अचर), और उनके बीच का कोण θ है। तीसरी भुजा √(c² − a²) है, अतः क्षेत्रफल A = (1/2)a√((k − a)² − a²) = (1/2)a√(k² − 2ka).

F = A² = (1/4)(k²a² − 2ka³) को अधिकतम करें: F′(a) = (ka/2)(k − 3a) = 0 से a = k/3.

a = k/3 पर F″(a) = (1/4)(2k² − 12ka) = −k²/2 < 0, उच्चिष्ठ। तब c = 2k/3 और cos θ = a/c = 1/2.

उत्तर: θ = π/3 (60°)।

उदाहरण 18 (UPSC 2026, 15 अंक): वक्र y²(a + x) = x²(3a − x) का अनुरेखण कीजिए।

a > 0 लें; y² = x²(3a − x)/(a + x). सममिति: केवल y² है, अतः वक्र x-अक्ष के प्रति सममित है।

मूलबिंदु: वक्र O से जाता है, और निम्नतम घात के पद ay² − 3ax² = 0 दो वास्तविक स्पर्शरेखाएँ y = ±√3 x देते हैं: O एक नोड है।

क्षेत्र: y² ≥ 0 के लिए −a < x ≤ 3a; वक्र x-अक्ष को x = 0 और x = 3a पर मिलता है, (3a, 0) पर ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के साथ।

अनंतस्पर्शी: y² का गुणांक a + x है, अतः x = −a अनंतस्पर्शी है, x → −a+ पर y² → +∞. त्रिघात पद x(x² + y²) से φ₃(m) = 1 + m² ≠ 0, अतः कोई तिर्यक अनंतस्पर्शी नहीं।

आकृति: 0 ≤ x ≤ 3a के लिए वक्र नोड O से (3a, 0) तक एक पाश बनाता है; −a < x < 0 के लिए दो शाखाएँ O से (y = ±√3 x को स्पर्श करती हुई) निकलकर x = −a के अनुदिश अनंत तक जाती हैं, एक ऊपर और एक नीचे।

उत्तर: x-अक्ष के प्रति सममित, O पर स्पर्शरेखाओं y = ±√3x वाला नोड, [0, 3a] पर पाश, अनंतस्पर्शी x = −a, वक्र −a < x ≤ 3a में सीमित।

12. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): f(x) = x e^−x के स्थानीय चरम मान ज्ञात करें।

उत्तर: f′(x) = (1 − x)e^−x का चिह्न x = 1 पर + से − होता है: स्थानीय (और निरपेक्ष) उच्चिष्ठ 1/e; कोई निम्निष्ठ नहीं।

अभ्यास 2 (मूल): y = (x² + 1)/(x − 2) के अनंतस्पर्शी ज्ञात करें।

उत्तर: x² + 1 = (x + 2)(x − 2) + 5, अतः y = x + 2 + 5/(x − 2): अनंतस्पर्शी x = 2 और y = x + 2.

अभ्यास 3 (मूल): उच्चतर अवकलज परीक्षण से ज्ञात करें कि f(x) = x⁴ − x³ का x = 0 पर चरम है या नहीं।

उत्तर: f′(0) = f″(0) = 0 और f‴(0) = −6 ≠ 0; कोटि 3 विषम है, अतः कोई चरम नहीं (नत परिवर्तन बिंदु)।

अभ्यास 4 (मानक): f(x) = x⁵ − 5x⁴ + 5x³ − 1 के स्तब्ध बिंदु ज्ञात कर उनका वर्गीकरण करें।

उत्तर: f′ = 5x²(x − 1)(x − 3). x = 1: उच्चिष्ठ, f(1) = 0; x = 3: निम्निष्ठ, f(3) = −28; x = 0: कोई चरम नहीं, क्योंकि f′ का चिह्न नहीं बदलता।

अभ्यास 5 (मानक): [0, π] पर f(x) = x + 2 cos x के निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करें।

उत्तर: f′ = 1 − 2 sin x = 0, π/6 और 5π/6 पर। मान: f(0) = 2, f(π/6) = π/6 + √3 ≈ 2.256, f(5π/6) = 5π/6 − √3 ≈ 0.886, f(π) = π − 2 ≈ 1.142. उच्चिष्ठ π/6 + √3, निम्निष्ठ 5π/6 − √3.

अभ्यास 6 (मानक): x²y − xy² + xy + y² + x − y = 0 के सभी अनंतस्पर्शी ज्ञात करें।

उत्तर: φ₃(m) = m − m², φ₂(m) = m + m²; m = 0 से y = 0, m = 1 से c = 2. y² का गुणांक 1 − x है, जिससे x = 1. अनंतस्पर्शी: y = 0, x = 1, y = x + 2.

अभ्यास 7 (मानक): ध्रुवीय वक्र r = a/(1 + 2 cos θ), a > 0, के अनंतस्पर्शी ज्ञात करें।

उत्तर: 1/r = f(θ) = (1 + 2 cos θ)/a, θ = 2π/3, 4π/3 पर शून्य है, जहाँ f′ = −√3/a और √3/a: r sin(θ − 2π/3) = −a/√3 और r sin(θ − 4π/3) = a/√3.

अभ्यास 8 (मानक): बिंदु (0, 3) से परवलय y = x² की न्यूनतम दूरी ज्ञात करें।

उत्तर: D = x² + (x² − 3)², D′ = 2x(2x² − 5) = 0 से x² = 5/2 (निम्निष्ठ), D = 11/4; दूरी √11/2 ≈ 1.658, (±√(5/2), 5/2) पर।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): दिखाएँ कि R त्रिज्या के गोले में अंतर्निहित अधिकतम वक्र पृष्ठ वाले लंब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई R√2 है, और वह पृष्ठ ज्ञात करें।

उत्तर: r² + h²/4 = R², S = 2πrh; S² का उच्चिष्ठ r = R/√2, h = R√2 देता है, S_max = 2πR² (गोले के पृष्ठ का आधा)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाएँ कि (0, ∞) पर (log x)/x का महत्तम मान 1/e है, और निष्कर्ष निकालें कि e^π > π^e.

उत्तर: अवकलज (1 − log x)/x² का चिह्न x = e पर + से − होता है। चूँकि π ≠ e, (log π)/π < 1/e, अर्थात् e log π < π, अतः π^e < e^π.

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): वक्र y²(x − a) = x²(x + a), a > 0, का अनुरेखण करें।

उत्तर: x-अक्ष के प्रति सममित; O विलगित बिंदु है (स्पर्श रेखाएँ x² + y² = 0); अन्यथा वक्र केवल x ≤ −a और x > a के लिए है, अक्ष से (−a, 0) पर ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा के साथ मिलता है; अनंतस्पर्शी x = a, y = x + a और y = −x − a.

1. दो चरों में सीमा को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक चर के फलन में x, a की ओर केवल बाएँ या दाएँ से जा सकता है। f(x, y) जैसे फलन में, उदाहरणतः धातु की प्लेट पर तापमान, बिंदु (x, y), (a, b) की ओर प्रत्येक दिशा से और प्रत्येक वक्र के अनुदिश पहुँच सकता है।

सांतत्य (continuity), आंशिक अवकलज (partial derivatives) और अवकलनीयता (differentiability) सभी इसी सीमा से परिभाषित हैं, अतः उनकी जाँच से पहले यह ठीक-ठीक जानना आवश्यक है कि सीमा (limit) क्या कहती है।

शब्दों में: lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y) = l का अर्थ है: जो भी परिशुद्धता ε > 0 माँगी जाए, ऐसी त्रिज्या δ > 0 मिलती है कि (a, b) के परितः त्रिज्या δ की चकती का प्रत्येक बिंदु (x, y), स्वयं (a, b) को छोड़कर, l से ε के भीतर मान f(x, y) देता है।

'प्रत्येक ε के लिए' का अर्थ है कि चुनौती देने वाला परिशुद्धता चुनता है; 'कोई δ है' का अर्थ है कि आप एक चकती से उत्तर देते हैं; '0 < दूरी' का अर्थ है कि सीमा में मान f(a, b) की कोई भूमिका नहीं है।

चकती में प्रत्येक दिशा के बिंदु हैं, अतः यदि सीमा विद्यमान है तो वह (a, b) में आने वाले प्रत्येक पथ के अनुदिश समान होगी।

(a, b) पर सांतत्य दो शर्तें और जोड़ता है: f(a, b) परिभाषित हो, और वह सीमा के बराबर हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: हम दिखाते हैं कि lim_{(x,y)→(0,0)} x²y/(x² + y²) = 0.

चरण 1: सीमा का अनुमान लगाएँ। दोनों अक्षों पर फलन 0 है, अतः एकमात्र संभव मान l = 0 है।

चरण 2: x = r cos θ, y = r sin θ रखें। तब x² + y² = r², और r ठीक मूल बिंदु से दूरी है।

चरण 3: फलन r³ cos²θ sin θ/r² = r cos²θ sin θ बन जाता है।

चरण 4: परिबंध द्वारा θ हटाएँ: |f − 0| = r|cos²θ sin θ| ≤ r, क्योंकि |cos θ| ≤ 1 और |sin θ| ≤ 1.

चरण 5: दिए गए ε > 0 के लिए δ = ε चुनें। यदि 0 < r < δ, तो |f| ≤ r < ε.

चरण 6: अतः सीमा 0 है। ध्यान दें कि परिबंध r में θ नहीं है; एक ही δ सभी दिशाओं के लिए एक साथ काम करता है, और परिभाषा ठीक यही माँगती है।

अ-उदाहरण (non-example): g(x, y) = x²/(x² + y²) ध्रुवीय रूप में cos²θ बन जाता है। r → 0 पर यह छोटा नहीं होता: x-अक्ष पर यह 1 है और y-अक्ष पर 0.

जो शर्त विफल होती है वह है 'सभी दिशाओं के लिए एक δ': मूल बिंदु के परितः कोई भी चकती g को किसी एक संख्या से ε = 1/4 के भीतर नहीं रखती, अतः सीमा विद्यमान नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: परिभाषा से सीधे चार तथ्य निकलते हैं।

(1) (a, b) में आने वाला प्रत्येक पथ (a, b) के परितः प्रत्येक चकती में स्थित है, अतः भिन्न सीमाओं वाले दो पथ सिद्ध करते हैं कि सीमा विद्यमान नहीं है।

(2) सभी सरल रेखाओं पर सहमति पर्याप्त नहीं है: x²y/(x⁴ + y²) प्रत्येक रेखा y = mx के अनुदिश 0 की ओर जाता है, परंतु परवलय y = x² पर 1/2 के बराबर है।

(3) सीमा का अस्तित्व सिद्ध करने के लिए α > 0 और θ से मुक्त K सहित परिबंध |f − l| ≤ Kr^α सदैव काम करता है, δ = (ε/K)^1/α के साथ।

(4) (a, b) पर f का सांतत्य x ↦ f(x, b) और y ↦ f(a, y) का सांतत्य देता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 14), परंतु प्रत्येक चर में अलग-अलग सांतत्य से f का सांतत्य नहीं मिलता।

कहाँ प्रयोग होता है: 'f के (0, 0) पर सांतत्य (या अवकलनीयता) की जाँच करें' वाला प्रत्येक प्रश्न इसी सीमा से आरंभ होता है। यही ε–δ भाषा वास्तविक विश्लेषण में, और सम्मिश्र विश्लेषण में लौटती है, जहाँ z → z₀ भी सभी दिशाओं से पहुँचता है।

2. सीमा और सांतत्य

lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y) = l, यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए ऐसा δ > 0 हो कि 0 < √((x − a)² + (y − b)²) < δ ⇒ |f(x, y) − l| < ε.

भाव: समतल में (x, y), (a, b) तक अनंत पथों (रेखाएँ, परवलय, सर्पिल) से पहुँच सकता है, केवल बाएँ और दाएँ से नहीं, अतः दो चरों की सीमा (limit) एक चर की सीमा से कहीं अधिक कठोर अपेक्षा है।

सीमा प्रत्येक पथ पर समान होनी चाहिए। अनस्तित्व दिखाने के लिए y = mx या y = mx² जैसे पथ लें; अस्तित्व सिद्ध करने के लिए x = r cos θ, y = r sin θ रखें और |f − l| को केवल r के ऐसे फलन से परिबद्ध करें जो 0 की ओर जाए।

(0, 0) पर मानक उदाहरण: y = mx के अनुदिश xy/(x² + y²) = m/(1 + m²), जो m पर निर्भर है, अतः सीमा नहीं है; x²y/(x⁴ + y²) प्रत्येक रेखा y = mx के अनुदिश 0 की ओर जाता है पर y = x² के अनुदिश 1/2 है, अतः केवल रेखाएँ सीमा का अस्तित्व कभी सिद्ध नहीं कर सकतीं।

पुनरावृत्त सीमाओं lim_x→a lim_y→b f और lim_y→b lim_x→a f की समानता से द्विक सीमा का अस्तित्व नहीं निकलता।

दिए ε के लिए δ चुनना: ध्रुवी निर्देशांकों में |x| ≤ r और |y| ≤ r से |f(x, y) − l| ≤ Kr^α (α > 0) परिबद्ध करें; तब δ = (ε/K)^1/α उपयुक्त है।

यदि f(x, y), (a, b) पर संतत है, तो x ↦ f(x, b), a पर और y ↦ f(a, y), b पर संतत हैं (मानक उपपत्तियों में सिद्ध); विलोम असत्य है।

3. आंशिक अवकलज और अवकलनीयता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक चर में किसी बिंदु पर अवकलज एक स्पर्श रेखा देता है और सांतत्य को अनिवार्य करता है। दो चरों में आंशिक अवकलज (partial derivatives) बिंदु से होकर केवल दो रेखाओं के अनुदिश देखते हैं, अतः वे इनमें से किसी की गारंटी नहीं देते।

हमें एक प्रबलतर धारणा, अवकलनीयता (differentiability), चाहिए जो स्पर्श तल (tangent plane), सांतत्य, शृंखला नियम और टेलर प्रमेय की गारंटी देती है।

शब्दों में: f_x(a, b) ज्ञात करने के लिए y = b स्थिर करें और एक चर के फलन x ↦ f(x, b) का x = a पर अवकलन करें। ज्यामितीय रूप से यह पृष्ठ z = f(x, y) से तल y = b द्वारा काटे गए वक्र की प्रवणता है।

f_y(a, b) इसी प्रकार x को a पर स्थिर रखकर ज्ञात किया जाता है।

f, (a, b) पर अवकलनीय है यदि f(a + h, b + k) − f(a, b) = Ah + Bk + ερ, जहाँ ρ = √(h² + k²) और (h, k) → (0, 0) पर ε → 0. k = 0 रखकर h → 0 करने पर A = f_x(a, b) मिलता है; इसी प्रकार B = f_y(a, b).

सरल शब्दों में: बिंदु के निकट f एक रैखिक फलन और एक ऐसी त्रुटि का योग है जो बिंदु से दूरी ρ की तुलना में भी छोटी है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: बिंदु (1, 2) पर f(x, y) = x² + 3xy लें।

चरण 1: (1, 2) पर f_x = 2x + 3y = 8 और f_y = 3x = 3, तथा f(1, 2) = 7.

चरण 2: प्रसार करें: f(1 + h, 2 + k) = (1 + h)² + 3(1 + h)(2 + k) = 7 + 8h + 3k + h² + 3hk.

चरण 3: वृद्धि 8h + 3k + (h² + 3hk) है। रैखिक भाग के गुणांक ठीक f_x = 8 और f_y = 3 हैं।

चरण 4: त्रुटि h² + 3hk है। चूँकि |h| ≤ ρ और |k| ≤ ρ, इसका परिमाण अधिकतम ρ² + 3ρ² = 4ρ² है।

चरण 5: अतः ε = (त्रुटि)/ρ के लिए |ε| ≤ 4ρ → 0. इसलिए f, (1, 2) पर अवकलनीय है, और स्पर्श तल z = 7 + 8(x − 1) + 3(y − 2) है।

अ-उदाहरण (non-example): f = xy/√(x² + y²), f(0, 0) = 0 (नीचे हल किया गया उदाहरण 5) मूल बिंदु पर संतत है और f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0.

ध्रुवीय रूप में f = (r/2) sin 2θ, अतः प्रत्येक किरण के अनुदिश पृष्ठ एक सरल रेखा है: आलेख मूल बिंदु के ऊपर शंकु-जैसा पृष्ठ है। त्रुटि-अनुपात hk/(h² + k²), k = h के अनुदिश 1/2 है, अतः वह 0 की ओर नहीं जाता, और कोई स्पर्श तल नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: परिभाषा से निहितार्थों की एक शृंखला मिलती है, और कोई भी तीर उलटा नहीं जा सकता।

(1) अवकलनीय ⇒ संतत, क्योंकि वृद्धि Ah + Bk + ερ, 0 की ओर जाती है। (2) अवकलनीय ⇒ दोनों आंशिक अवकलज विद्यमान (k = 0 लें, फिर h = 0).

(3) यदि f_x, f_y बिंदु के निकट विद्यमान हों और उस पर संतत हों, तो f अवकलनीय है: यह नीचे की पंक्ति 'संतत आंशिक अवकलज क्यों पर्याप्त हैं' का माध्य मान तर्क है।

(4) विलोम विफल हैं: xy/(x² + y²) के आंशिक अवकलज हैं पर वह संतत नहीं है; ऊपर का प्रति-दृष्टांत संतत है पर अवकलनीय नहीं; और f = (x² + y²) sin(1/√(x² + y²)), f(0, 0) = 0, मूल बिंदु पर अवकलनीय है यद्यपि वहाँ f_x संतत नहीं है।

(5) मिश्रित अवकलजों के लिए f_xy = f_yx तब है जब श्वार्ज़ या यंग प्रमेय (नीचे) की परिकल्पनाएँ लागू हों; अन्यथा प्रत्येक को अंतर-भागफलों से निकालना होगा।

कहाँ प्रयोग होता है: अवकलनीयता शृंखला नियम, ऑयलर प्रमेय, टेलर प्रमेय और स्पर्श तलों के पीछे की परिकल्पना है; UPSC प्रायः मूल बिंदु पर अलग से परिभाषित फलन के लिए इसकी जाँच पूछता है।

4. आंशिक अवकलज और अवकलनीयता

f_x(a, b) = lim_h→0 (f(a + h, b) − f(a, b))/h, और इसी प्रकार f_y; ये आंशिक अवकलज (partial derivatives) हैं। आंशिक अवकलजों के अस्तित्व से सांतत्य नहीं निकलता।

भाव: f_x केवल बिंदु से जाने वाली रेखा y = b के अनुदिश देखता है, अतः अन्य दिशाओं के बारे में कुछ नहीं कहता: मूल बिंदु पर मान 0 वाले xy/(x² + y²) के लिए f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0 (f दोनों अक्षों पर शून्य है) पर वह वहाँ संतत भी नहीं है।

f बिंदु (a, b) पर अवकलनीय है यदि f(a + h, b + k) − f(a, b) = hf_x(a, b) + kf_y(a, b) + ε√(h² + k²), जहाँ (h, k) → (0, 0) पर ε → 0. अवकलनीय ⇒ संतत; बिंदु के निकट संतत आंशिक अवकलज ⇒ अवकलनीय।

भाव: अवकलनीयता का अर्थ है कि पृष्ठ z = f(x, y) का वास्तविक स्पर्श तल z − f(a, b) = f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) है, जिसकी त्रुटि दूरी √(h² + k²) की तुलना में छोटी है।

किसी बिंदु पर अवकलनीयता की जाँच (विधि): वहाँ परिभाषा से f_x, f_y ज्ञात करें, ε(h, k) = (f(a + h, b + k) − f(a, b) − hf_x − kf_y)/√(h² + k²) बनाएँ, और ध्रुवी निर्देशांक h = r cos θ, k = r sin θ लेकर जाँचें कि (h, k) → (0, 0) पर ε → 0 है या नहीं।

संतत आंशिक अवकलज क्यों पर्याप्त हैं: माध्यमान प्रमेय से f(a + h, b + k) − f(a, b) = [f(a + h, b + k) − f(a, b + k)] + [f(a, b + k) − f(a, b)] = hf_x(a + θ₁h, b + k) + kf_y(a, b + θ₂k), और (a, b) पर f_x, f_y के सांतत्य से इनका hf_x(a, b) + kf_y(a, b) से अंतर √(h² + k²) की तुलना में छोटा होता है।

श्वार्ज़ प्रमेय: यदि (a, b) के निकट f_x और f_y विद्यमान हैं और एक मिश्र आंशिक अवकलज निकट विद्यमान तथा (a, b) पर संतत है, तो दूसरा मिश्र आंशिक अवकलज (a, b) पर विद्यमान है और दोनों बराबर हैं। यंग प्रमेय: यदि f_x और f_y, (a, b) पर अवकलनीय हैं, तो f_xy(a, b) = f_yx(a, b).

इन परिकल्पनाओं के बिना मिश्र अवकलज भिन्न हो सकते हैं: f = xy(x² − y²)/(x² + y²), f(0, 0) = 0, के लिए f_x(0, y) = −y और f_y(x, 0) = x, अतः (f_x)_y(0, 0) = −1 जबकि (f_y)_x(0, 0) = 1.

ऑयलर प्रमेय: यदि f घात n का समघात फलन है और उसके प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं, तो xf_x + yf_y = nf; संतत द्वितीय अवकलजों के साथ x²f_xx + 2xyf_xy + y²f_yy = n(n − 1)f.

मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 13 में सिद्ध। भाव: f(tx, ty) = tⁿf(x, y) का t के सापेक्ष अवकलन करें और t = 1 रखें।

द्वितीय-कोटि रूप की व्युत्पत्ति: xf_x + yf_y = nf का x और y के सापेक्ष अवकलन करने पर xf_xx + yf_xy = (n − 1)f_x और xf_xy + yf_yy = (n − 1)f_y (f_xy = f_yx प्रयोग करके)। x और y से गुणा करके जोड़ने पर: x²f_xx + 2xyf_xy + y²f_yy = (n − 1)(xf_x + yf_y) = n(n − 1)f.

शृंखला नियम: यदि z = f(x, y), x = x(t), y = y(t), तो dz/dt = f_x dx/dt + f_y dy/dt. दो चरों में टेलर प्रमेय: f(a + h, b + k) = f(a, b) + (h∂/∂x + k∂/∂y)f + (1/2!)(h∂/∂x + k∂/∂y)²f + ..., अवकलज (a, b) पर।

शृंखला नियम को अवकलनीयता क्यों चाहिए: Δz = f_xΔx + f_yΔy + ε√(Δx² + Δy²), जहाँ ε → 0; Δt से भाग देकर Δt → 0 करने पर ε-पद हट जाता है, क्योंकि √(Δx² + Δy²)/|Δt| परिबद्ध रहता है। यदि केवल आंशिक अवकलज विद्यमान हों, तो सूत्र विफल हो सकता है।

मूलबिंदु पर मिश्र अवकलज (विधि): y ≠ 0 के लिए f_x(0, y) = lim_h→0 (f(h, y) − f(0, y))/h और f_x(0, 0) अलग से निकालें; तब (f_x)_y(0, 0) = lim_k→0 (f_x(0, k) − f_x(0, 0))/k, और इसी प्रकार दूसरे क्रम में। पुस्तकों में f_xy के अर्थ (f_x)_y पर मतभेद है, अतः अपनी परिपाटी लिखें।

संयुक्त फलनों के लिए ऑयलर प्रमेय: यदि F(u) = z, x, y में n घात का समघात है, तो xu_x + yu_y = nF(u)/F′(u) = g(u) और x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = g(u)(g′(u) − 1). भिन्न घातों के समघात फलनों के योग के लिए प्रत्येक पद पर प्रमेय लगाकर जोड़ें।

rⁿ का लाप्लासियन: r = √(x² + y² + z²) के साथ ∂²(rⁿ)/∂x² + ∂²(rⁿ)/∂y² + ∂²(rⁿ)/∂z² = n(n + 1)rⁿ⁻²; विशेषतः r ≠ 0 के लिए 1/r प्रसंवादी (harmonic) है।

5. उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ

स्तब्ध बिंदु: f_x = f_y = 0 हल करें। उस बिंदु पर r = f_xx, s = f_xy, t = f_yy लें।

rt − s² > 0 और r < 0: उच्चिष्ठ; rt − s² > 0 और r > 0: निम्निष्ठ; rt − s² < 0: पल्याण बिंदु (saddle point); rt − s² = 0: संदिग्ध, आगे जाँचें।

व्युत्पत्ति: स्तब्ध बिंदु पर टेलर प्रमेय से f(a + h, b + k) − f(a, b) ≈ (1/2)(rh² + 2shk + tk²), और r ≠ 0 के लिए rh² + 2shk + tk² = [(rh + sk)² + (rt − s²)k²]/r. यदि rt − s² > 0 तो (h, k) ≠ (0, 0) के लिए कोष्ठक धनात्मक है, अतः अंतर का चिह्न r वाला है; यदि rt − s² < 0 तो कोष्ठक k = 0 पर धनात्मक और rh + sk = 0 पर ऋणात्मक है, अतः f कुछ दिशाओं में बढ़ता और अन्य में घटता है।

भाव: पल्याण बिंदु (saddle point) एक पहाड़ी दर्रा है, एक दिशा में उच्चिष्ठ और दूसरी में निम्निष्ठ, जैसे मूल बिंदु पर z = x² − y².

तीन चरों के लिए हेसियन H = [[f_xx, f_xy, f_xz], [f_yx, f_yy, f_yz], [f_zx, f_zy, f_zz]] लें: सभी अग्र मुख्य उपसारणिक धनात्मक हों तो निम्निष्ठ, ऋणात्मक से आरंभ होकर एकांतर चिह्न हों तो उच्चिष्ठ।

जब rt − s² = 0: f(a + h, b + k) − f(a, b) का सीधे अध्ययन करें। उसका गुणनखंडन, या वक्रों के अनुदिश (केवल सरल रेखाओं के नहीं) परीक्षण, चिह्न-परिवर्तन दिखा सकता है, और तब कोई चरम मान नहीं है।

6. लग्रांज गुणकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रश्नों में किसी राशि को इष्टतम करना होता है जबकि चर एक प्रतिबंध (constraint) से बँधे हों: दिए गए पृष्ठ क्षेत्रफल वाला सबसे बड़ा बक्सा, किसी पृष्ठ का दिए गए बिंदु से निकटतम बिंदु। प्रतिबंध को एक चर के लिए हल करके प्रतिस्थापित करना प्रायः जटिल होता है और प्रश्न की सममिति नष्ट कर देता है।

लग्रांज विधि सभी चरों को समान स्तर पर रखती है।

शब्दों में: पृष्ठ φ(x, y, z) = 0 पर f(x, y, z) के चरम मान ज्ञात करने के लिए F = f + λφ बनाएँ, जहाँ λ एक अज्ञात संख्या है जिसे गुणक (multiplier) कहते हैं।

समीकरण F_x = F_y = F_z = 0 कहते हैं कि ∇f = −λ∇φ: f की प्रवणता (gradient) प्रतिबंध पृष्ठ के अभिलंब के समांतर है।

φ = 0 के साथ ये चार अज्ञातों x, y, z, λ में चार समीकरण हैं। इनके हल केवल प्रत्याशी हैं; प्रत्येक उच्चिष्ठ है, निम्निष्ठ है या कोई नहीं, यह बाद में तय होता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x + y = 10 के प्रतिबंध के अधीन f = xy का उच्चिष्ठ ज्ञात करें।

चरण 1: प्रतिबंध को φ = x + y − 10 = 0 लिखें और F = xy + λ(x + y − 10) बनाएँ।

चरण 2: F_x = y + λ = 0 और F_y = x + λ = 0.

चरण 3: दोनों समीकरणों को घटाने से λ विलुप्त हो जाता है और x = y मिलता है।

चरण 4: प्रतिबंध से 2x = 10, अतः x = y = 5 (और λ = −5, जो उत्तर में आवश्यक नहीं है)।

चरण 5: रेखा पर f = x(10 − x) नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है, अतः एकमात्र प्रत्याशी उच्चिष्ठ मान f = 25 देता है।

चित्र: स्तर वक्र xy = c अतिपरवलय हैं। c बढ़ने पर वे मूल बिंदु से दूर हटते हैं, और अंतिम वक्र जो अब भी रेखा x + y = 10 से मिलता है, उसे (5, 5) पर स्पर्श करता है; स्पर्श बिंदु पर दोनों अभिलंब समांतर होते हैं, और यही लग्रांज शर्त है।

अ-उदाहरण (non-example): वक्र φ = y² − x³ = 0 पर f = x का निम्निष्ठ ज्ञात करें। वक्र पर x³ = y² ≥ 0, अतः x ≥ 0 और निम्निष्ठ मूल बिंदु पर है।

परंतु F_x = 1 − 3λx² और F_y = 2λy का वक्र पर कोई उभयनिष्ठ शून्य नहीं है: y = 0 से x = 0 और तब F_x = 1, जबकि λ = 0 से भी F_x = 1. विधि निम्निष्ठ से चूक जाती है क्योंकि ∇φ = (−3x², 2y) मूल बिंदु पर 0 है, अतः परिकल्पना ∇φ ≠ 0 विफल है (वहाँ वक्र में उभार-बिंदु (cusp) है)।

आगे बढ़ते हुए: (1) प्रतिबंधित चरम बिंदु P पर, P से होकर पृष्ठ पर स्थित प्रत्येक वक्र एक प्राचल का ऐसा फलन देता है जिसका P पर स्थिर मान है, अतः P पर ∇f · (स्पर्श सदिश) = 0.

(2) अतः ∇f, P पर पूरे स्पर्श तल के लंबवत् है, इसलिए अभिलंब ∇φ के समांतर, बशर्ते ∇φ ≠ 0. ∇f = −λ∇φ लिखने पर F_x = F_y = F_z = 0 मिलता है (व्युत्पत्ति नीचे)।

(3) दो प्रतिबंधों के साथ अनुमत दिशाएँ एक ही रेखा बनाती हैं, जो ∇φ और ∇ψ दोनों के लंबवत् है; तब ∇f, ∇φ और ∇ψ के तल में होता है, इसीलिए दो गुणक आते हैं।

(4) प्रकृति तय करने के लिए ज्यामिति का उपयोग करें: संवृत परिबद्ध प्रतिबंध समुच्चय पर संतत फलन अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करता है, अतः सभी प्रत्याशियों पर f की तुलना करें; या dφ = 0 के अधीन d²F के चिह्न की जाँच करें।

कहाँ प्रयोग होता है: पारंपरिक 15–20 अंक का प्रश्न (शांकवज के केंद्रीय परिच्छेद पर चरम मान, दीर्घवृत्तज में सबसे बड़ा बक्सा, किसी वक्र या पृष्ठ से न्यूनतम दूरी); विश्लेषणात्मक ज्यामिति में यही स्पर्श-शर्त अभिलंब और केंद्रीय परिच्छेदों के अर्ध-अक्ष देती है।

7. लग्रांज गुणक विधि

φ(x, y, z) = 0 के अधीन f(x, y, z) के चरम मान ज्ञात करने के लिए (लग्रांज गुणक विधि, Lagrange's method of multipliers): (1) F = f + λφ बनाएँ; (2) φ = 0 के साथ F_x = F_y = F_z = 0 हल करें; (3) प्रश्न की ज्यामिति से या dφ = 0 के अधीन d²F के चिह्न से प्रकृति तय करें।

व्युत्पत्ति: प्रतिबंधित चरम पर पृष्ठ φ = 0 के स्पर्शी प्रत्येक विस्थापन के लिए df = f_xdx + f_ydy + f_zdz = 0, अर्थात φ_xdx + φ_ydy + φ_zdz = 0 वाले प्रत्येक (dx, dy, dz) के लिए। अतः ∇f, φ = 0 के स्पर्श तल पर लंब है और इसलिए उसके अभिलंब ∇φ ≠ 0 के समांतर: ∇f = −λ∇φ, जो F = f + λφ के लिए ठीक F_x = F_y = F_z = 0 है।

भाव: चरम पर स्तर पृष्ठ f = अचर, प्रतिबंध पृष्ठ को ठीक स्पर्श करता है; यदि वह उसे काटता, तो प्रतिबंध के अनुदिश चलने पर एक ओर f बढ़ता और दूसरी ओर घटता।

दो प्रतिबंधों φ = 0, ψ = 0 के साथ F = f + λ₁φ + λ₂ψ लें। यह विधि केवल आवश्यक प्रतिबंध देती है, और बिंदु पर ∇φ ≠ 0 (दो प्रतिबंधों के लिए ∇φ और ∇ψ स्वतंत्र) अपेक्षित है।

केंद्रीय शांकवज पर दो प्रतिबंध: ax² + by² + cz² = 1 और lx + my + nz = 0 के अधीन x² + y² + z² के लिए F_x = 0, F_y = 0, F_z = 0 को x, y, z से गुणा कर जोड़ने पर λ₁ = −u, और स्थिर मान u, l²/(1 − au) + m²/(1 − bu) + n²/(1 − cu) = 0 को संतुष्ट करते हैं।

किसी बाह्य बिंदु से गोले के निकटतम और दूरतम बिंदु उस बिंदु और केंद्र को मिलाने वाली रेखा पर होते हैं; लग्रांज समीकरण इसकी पुष्टि करते हैं।

8. जैकोबियन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब हम चरों को (x, y) से (u, v) में बदलते हैं, तो तीन प्रश्न उठते हैं: छोटे क्षेत्रफल कैसे बदलते हैं (द्विक समाकलों में आवश्यक), क्या परिवर्तन उलटा जा सकता है, और क्या u और v स्वतंत्र सूचना रखते हैं? एक ही सारणिक तीनों का उत्तर देता है।

शब्दों में: ∂(u, v)/∂(x, y) उस 2 × 2 आव्यूह का सारणिक है जिसकी पहली पंक्ति (u_x, u_y) बताती है कि u, x और y के साथ कैसे बदलता है, और दूसरी पंक्ति (v_x, v_y) यही v के लिए बताती है।

इसका निरपेक्ष मान वह गुणक है जिससे xy-तल का एक सूक्ष्म क्षेत्रफल uv-तल में ले जाए जाने पर गुणा होता है; इसका चिह्न बताता है कि अभिविन्यास बना रहता है (+) या उलट जाता है (−)।

शून्य जैकोबियन (Jacobian) का अर्थ है कि दोनों पंक्तियाँ, अर्थात् प्रवणताएँ ∇u और ∇v, समांतर हैं: u और v एक ही दिशा में बढ़ते हैं, अतः वे स्वतंत्र नहीं हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: u = x + y, v = x − y लें।

चरण 1: u_x = 1, u_y = 1, v_x = 1, v_y = −1.

चरण 2: ∂(u, v)/∂(x, y) = (1)(−1) − (1)(1) = −2.

चरण 3: |J| = 2 का अर्थ जाँचें। शीर्षों (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) वाला इकाई वर्ग शीर्षों (0, 0), (1, 1), (1, −1), (2, 0) वाले वर्ग में जाता है, जिसकी भुजा √2 और क्षेत्रफल 2 है।

चरण 4: ऋणात्मक चिह्न बताता है कि प्रतिचित्रण परावर्तन की भाँति अभिविन्यास उलट देता है।

चरण 5: प्रतिलोम प्रतिचित्रण x = (u + v)/2, y = (u − v)/2 है, जिसमें ∂(x, y)/∂(u, v) = (1/2)(−1/2) − (1/2)(1/2) = −1/2, और (−2)(−1/2) = 1, जैसा प्रतिलोम नियम कहता है।

अ-उदाहरण (non-example): u = x + y, v = (x + y)² से सर्वत्र J = 1·2(x + y) − 1·2(x + y) = 0. यह युग्म नए निर्देशांकों का काम नहीं कर सकता: प्रत्येक बिंदु (x, y) परवलय v = u² पर जाता है, अनेक बिंदु एक ही (u, v) पर जाते हैं, और कोई प्रतिलोम नहीं है। विफल होने वाली शर्त J ≠ 0 है।

आगे बढ़ते हुए: (1) रैखिक प्रतिचित्रण x = au + bv, y = cu + dv इकाई वर्ग को |ad − bc| क्षेत्रफल वाले समांतर चतुर्भुज में भेजता है, जो उसके सारणिक का निरपेक्ष मान है।

(2) अवकलनीय प्रतिचित्रण एक सूक्ष्म आयत पर लगभग रैखिक होता है, जिसका रैखिक भाग आंशिक अवकलजों का आव्यूह है, अतः स्थानीय रूप से क्षेत्रफल गुणक |J| है।

(3) शृंखला नियम ∂(u, v)/∂(r, s) = ∂(u, v)/∂(x, y)·∂(x, y)/∂(r, s) और प्रतिलोम नियम det(AB) = det A·det B से निकलते हैं, क्योंकि संयुक्त प्रतिचित्रण का आव्यूह आव्यूहों का गुणनफल है।

(4) यदि किसी क्षेत्र में J ≡ 0, तो ∇u और ∇v सर्वत्र समांतर हैं, u और v के स्तर वक्र संपाती हैं, और जहाँ ∇u ≠ 0 हो ऐसे प्रत्येक बिंदु के निकट v, u का फलन है।

(5) यदि u, v के आंशिक अवकलज संतत हों और किसी बिंदु पर J ≠ 0, तो प्रतिलोम फलन प्रमेय कहता है कि उस बिंदु के निकट प्रतिचित्रण उलटा जा सकता है।

कहाँ प्रयोग होता है: अगले विषय में dx dy = |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv, और फलनिक आश्रितता के प्रश्न (हल किया गया उदाहरण 4 तथा नीचे हल किए गए UPSC प्रश्नों में जैकोबियन वाले प्रश्न)।

9. जैकोबियन

जैकोबियन (Jacobian) J = ∂(u, v)/∂(x, y) = det[[u_x, u_y], [v_x, v_y]]. शृंखला नियम: ∂(u, v)/∂(r, s) = ∂(u, v)/∂(x, y) · ∂(x, y)/∂(r, s); व्युत्क्रम नियम: ∂(u, v)/∂(x, y) · ∂(x, y)/∂(u, v) = 1.

भाव: जैकोबियन (Jacobian) प्रतिचित्रण (x, y) ↦ (u, v) का स्थानीय क्षेत्रफल (या आयतन) आवर्धन गुणक है: क्षेत्रफल dx dy का छोटा आयत क्षेत्रफल |J| dx dy के छोटे समांतर चतुर्भुज पर जाता है, और J का चिह्न बताता है कि अभिविन्यास बना रहता है या नहीं। शृंखला और प्रतिलोम नियम आंशिक अवकलजों के आव्यूहों पर लगाया गया det(AB) = det A·det B है।

फलनिक आश्रितता: u और v (संतत आंशिक अवकलजों सहित) फलनतः संबंधित हैं यदि और केवल यदि क्षेत्र में ∂(u, v)/∂(x, y) सर्वसमतः 0 हो ('यदि' वाला भाग स्थानीय रूप से, उन बिंदुओं के निकट सत्य है जहाँ u_x और u_y दोनों शून्य न हों)।

भाव: यदि v = φ(u), तो u और v के स्तर वक्र संपाती हैं, अतः ∇u और ∇v समांतर हैं और उनके घटकों का सारणिक शून्य है; u = x + y, v = (x + y)² के लिए J = 1·2(x + y) − 1·2(x + y) = 0.

मानक मान: ∂(x, y)/∂(r, θ) = r (ध्रुवीय); ∂(x, y, z)/∂(r, θ, z) = r (बेलनी); ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ) = r² sin θ (गोलीय)।

व्युत्पत्ति: x = r cos θ, y = r sin θ से ∂(x, y)/∂(r, θ) = det[[cos θ, −r sin θ], [sin θ, r cos θ]] = r cos²θ + r sin²θ = r; गोलीय मान की व्युत्पत्ति अगले विषय में है।

संबंध ज्ञात करना: ∂(u, v)/∂(x, y) = 0 होने पर चरों का विलोपन करें, या u = φ(v) में एक चर को सुविधाजनक अचर (प्रायः 0) रखकर φ पहचानें।

10. विधि का चयन

यदि फलन समघात हो, या किसी समघात व्यंजक का फलन हो → अवकलज निकालने के स्थान पर ऑयलर प्रमेय (या उसका संयुक्त रूप)।

यदि चर बदले जाएँ (x, y को r, θ या u, v के पदों में) → शृंखला नियम; प्रतिस्थापन से पहले पूरी शृंखला लिखें।

यदि चरम मुक्त हो → स्तब्ध बिंदु और rt − s²; यदि प्रतिबंध हों → लग्रांज गुणक, या प्रतिस्थापन जब प्रतिबंध से कोई चर सरलता से निकले। इस विषय की दूसरी तालिका मानक प्रश्नों का सारांश देती है।

11. सामान्य गलतियाँ

यह दावा करना कि सीमा विद्यमान है क्योंकि वह प्रत्येक रेखा y = mx के अनुदिश समान है।

'आंशिक अवकलज विद्यमान हैं, अतः f अवकलनीय (या संतत) है' लिखना; दोनों निष्कर्ष असत्य हैं।

(x, y) ≠ (0, 0) के लिए मान्य सूत्र का अवकलन करके फिर (0, 0) रखकर f_xy(0, 0) निकालना; मूल बिंदु पर अंतर-भागफलों का प्रयोग करें।

r, s, t को प्रत्येक स्तब्ध बिंदु पर निकालने के स्थान पर व्यापक व्यंजक के रूप में लेना, या rt − s² = 0 होने पर 'कोई चरम नहीं' घोषित करना।

लग्रांज प्रश्नों में λ के मानों पर रुक जाना या निकाय के कुछ हल छोड़ देना; λ सहायक है, और प्रत्येक हल की जाँच आवश्यक है।

जैकोबियन उलटा प्रयोग करना: dx dy = |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv है, |∂(u, v)/∂(x, y)| du dv नहीं।

12. संबंध

संबंध: ∇f, स्पर्श तल और पृष्ठ φ = 0 का अभिलंब सीधे सदिश विश्लेषण की प्रवणता और दिक् अवकलज तथा शांकवजों के स्पर्श तलों (विश्लेषणात्मक ज्यामिति) तक ले जाते हैं।

संबंध: जैकोबियन द्विक और त्रिक समाकलों में चर परिवर्तन का गुणक है (अगला विषय), और हेसियन परीक्षण सममित आव्यूहों का धनात्मक-निश्चितता परीक्षण है (रैखिक बीजगणित)।

संबंध: f = u + iv सम्मिश्र अवकलनीय है जब u, v अवकलनीय हों और u_x = v_y, u_y = −v_x, और तब ∂(u, v)/∂(x, y) = u_x² + v_x² = |f′(z)|² (सम्मिश्र विश्लेषण)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सिद्ध करें कि lim_{(x,y)→(0,0)} xy/(x² + y²) विद्यमान नहीं है। y = mx के अनुदिश मान m/(1 + m²) है, जो m पर निर्भर है।

उदाहरण 2: f = x³ + y³ − 3axy (a > 0) के चरम मान ज्ञात करें।

f_x = 3x² − 3ay = 0 और f_y = 3y² − 3ax = 0 से (0, 0) और (a, a). (0, 0) पर: r = t = 0, s = −3a, rt − s² < 0, पल्याण बिंदु। (a, a) पर: r = 6a > 0 और rt − s² = 36a² − 9a² > 0, निम्निष्ठ, मान −a³.

उदाहरण 3: x + y + z = 3a के अधीन x² + y² + z² का निम्निष्ठ ज्ञात करें।

F = x² + y² + z² + λ(x + y + z − 3a); 2x + λ = 2y + λ = 2z + λ = 0 से x = y = z = a, और निम्निष्ठ मान 3a² है (मूलबिंदु से समतल की दूरी का वर्ग)।

उदाहरण 4: यदि u = x + y + z, v = xy + yz + zx और w = x² + y² + z², तो ∂(u, v, w)/∂(x, y, z) = 0, क्योंकि w = u² − 2v: u, v, w फलनतः आश्रित हैं।

उदाहरण 5: माना (x, y) ≠ (0, 0) के लिए f(x, y) = xy/√(x² + y²) और f(0, 0) = 0 है। सिद्ध करें कि f, (0, 0) पर संतत है और वहाँ आंशिक अवकलज विद्यमान हैं, परंतु f, (0, 0) पर अवकलनीय नहीं है।

चूँकि |xy| ≤ (x² + y²)/2, |f(x, y)| ≤ √(x² + y²)/2 → 0, अतः f, (0, 0) पर संतत है।

f(h, 0) = 0 = f(0, k), अतः f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0.

यदि f अवकलनीय होता, तो ρ = √(h² + k²) के साथ (f(h, k) − 0 − 0·h − 0·k)/ρ → 0 होता। परंतु यह अनुपात hk/(h² + k²) है, जो k = h के अनुदिश 1/2 है। अतः f, (0, 0) पर अवकलनीय नहीं है।

उदाहरण 6: यदि u = sin⁻¹((x² + y²)/(x + y)), तो सिद्ध करें कि xu_x + yu_y = tan u और x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = tan³u.

z = sin u = (x² + y²)/(x + y) घात 1 का समघात फलन है, अतः ऑयलर प्रमेय (Euler's theorem) से xz_x + yz_y = z.

चूँकि z_x = cos u·u_x और z_y = cos u·u_y: cos u (xu_x + yu_y) = sin u, अतः xu_x + yu_y = tan u = g(u).

xu_x + yu_y = g(u) का x और y के सापेक्ष अवकलन कर, क्रमशः x और y से गुणा कर जोड़ने पर x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = g(u)(g′(u) − 1) = tan u (sec²u − 1) = tan³u.

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 20 अंक): ax² + by² + cz² = 1 तथा lx + my + nz = 0 के द्वारा प्रतिबंधित x² + y² + z² के अधिकतम या निम्नतम मान ज्ञात कीजिए। परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

F = x² + y² + z² + λ₁(ax² + by² + cz² − 1) + λ₂(lx + my + nz). F_x = 0 से 2x + 2λ₁ax + λ₂l = 0, और इसी प्रकार 2y + 2λ₁by + λ₂m = 0, 2z + 2λ₁cz + λ₂n = 0.

x, y, z से गुणा कर जोड़ें और दोनों प्रतिबंधों का प्रयोग करें: 2u + 2λ₁ = 0, जहाँ u = x² + y² + z² स्थिर मान है। अतः λ₁ = −u.

तब 2x(1 − au) = −λ₂l, अतः x = −λ₂l/(2(1 − au)), y = −λ₂m/(2(1 − bu)), z = −λ₂n/(2(1 − cu)) (सामान्य स्थिति में 1 − au, 1 − bu, 1 − cu ≠ 0, और λ₂ ≠ 0 क्योंकि (x, y, z) ≠ 0)।

lx + my + nz = 0 में रखने पर: l²/(1 − au) + m²/(1 − bu) + n²/(1 − cu) = 0, जो (हर हटाने पर) u में द्विघात है और जिसके दो मूल अधिकतम और न्यूनतम मान हैं।

व्याख्या: ax² + by² + cz² = 1 एक केंद्रीय शांकवज है और lx + my + nz = 0 उसके केंद्र से जाने वाला समतल। उनका परिच्छेद एक केंद्रीय शांकव है, और x² + y² + z² केंद्र से दूरी का वर्ग है, अतः दोनों मूल इस परिच्छेद के अर्ध-अक्षों के वर्ग हैं।

उत्तर: चरम मान u, l²/(1 − au) + m²/(1 − bu) + n²/(1 − cu) = 0 के मूल हैं; ये केंद्रीय परिच्छेद के अर्ध-अक्षों के वर्ग हैं।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 20 अंक): x² + y² + z² का अधिकतम तथा न्यूनतम मान निकालिये, जहाँ x²/4 + y²/5 + z²/25 = 1 तथा x + y − z = 0 हो।

यह पिछला उदाहरण है जिसमें a = 1/4, b = 1/5, c = 1/25 और l = m = 1, n = −1. स्थिर मान u, 4/(4 − u) + 5/(5 − u) + 25/(25 − u) = 0 को संतुष्ट करते हैं।

हर हटाने पर: 4(5 − u)(25 − u) + 5(4 − u)(25 − u) + 25(4 − u)(5 − u) = (500 − 120u + 4u²) + (500 − 145u + 5u²) + (500 − 225u + 25u²) = 0.

अतः 34u² − 490u + 1500 = 0, अर्थात 17u² − 245u + 750 = 0, जिसका विविक्तकर 245² − 51000 = 9025 = 95² और मूल u = (245 ± 95)/34 = 10, 75/17.

दोनों प्राप्त होते हैं: समतल x + y = z दीर्घवृत्तज को अर्ध-अक्षों √10 और √(75/17) वाले दीर्घवृत्त में काटता है।

उत्तर: अधिकतम 10, न्यूनतम 75/17.

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 13 अंक): गोलक x² + y² + z² = 1 पर स्थित बिन्दु निकालिए जो बिन्दु (2, 1, 3) से अधिकतम दूरी पर है।

x² + y² + z² = 1 के अधीन D = (x − 2)² + (y − 1)² + (z − 3)² को अधिकतम करें, F = D + λ(x² + y² + z² − 1).

F_x = 2(x − 2) + 2λx = 0 से x = 2/(1 + λ); इसी प्रकार y = 1/(1 + λ), z = 3/(1 + λ). अतः (x, y, z) = t(2, 1, 3), जहाँ t = 1/(1 + λ).

प्रतिबंध से 14t² = 1, t = ±1/√14. दूरी |1 − t|√14 है: t = 1/√14 के लिए √14 − 1 (निकटतम) और t = −1/√14 के लिए √14 + 1 (दूरतम)।

उत्तर: बिंदु (−2/√14, −1/√14, −3/√14), दूरी √14 + 1.

उदाहरण 10 (UPSC 2015, 12 अंक): दिए गए फलन f(x, y) = (x² − x√y)/(x² + y), (x, y) ≠ (0, 0); f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0) के लिए सांतत्य एवं अवकलनीयता का परीक्षण कीजिये।

√y के लिए y ≥ 0 चाहिए, अतः f संवृत ऊपरी अर्ध-तल पर परिभाषित है (सिवाय वहाँ जहाँ x² + y = 0, अर्थात मूलबिंदु, जहाँ परिभाषा से f = 0)।

y = 0 (x ≠ 0) के अनुदिश: f(x, 0) = x²/x² = 1 → 1. x = 0 (y > 0) के अनुदिश: f(0, y) = 0 → 0.

दो पथों पर सीमाएँ भिन्न हैं, अतः lim_{(x,y)→(0,0)} f का अस्तित्व नहीं: f, (0, 0) पर असंतत है, और इसलिए वहाँ अवकलनीय नहीं। (f_x(0, 0) = lim (f(h, 0) − 0)/h = lim 1/h भी अस्तित्व में नहीं है।)

y > 0 वाले प्रत्येक अन्य बिंदु पर f संतत आंशिक अवकलजों वाले फलनों का शून्येतर हर वाला भागफल है, अतः संतत और अवकलनीय है।

उत्तर: f, (0, 0) पर न संतत है न अवकलनीय; y > 0 वाले अन्य बिंदुओं पर दोनों है।

उदाहरण 11 (UPSC 2017, 15 अंक): यदि f(x, y) = xy(x² − y²)/(x² + y²), (x, y) ≠ (0, 0);
f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0),
तब ∂²f/∂x∂y व ∂²f/∂y∂x की (0, 0) का परिकलन कीजिए।

परिपाटी: ∂²f/∂x∂y = ∂/∂x(∂f/∂y) और ∂²f/∂y∂x = ∂/∂y(∂f/∂x).

y ≠ 0 के लिए: f_x(0, y) = lim_h→0 f(h, y)/h = lim y(h² − y²)/(h² + y²) = −y; और f_x(0, 0) = lim f(h, 0)/h = 0. अतः सभी y के लिए f_x(0, y) = −y.

x ≠ 0 के लिए: f_y(x, 0) = lim_k→0 f(x, k)/k = lim x(x² − k²)/(x² + k²) = x; और f_y(0, 0) = 0. अतः सभी x के लिए f_y(x, 0) = x.

∂²f/∂y∂x (0, 0) = lim_k→0 (f_x(0, k) − f_x(0, 0))/k = −1, और ∂²f/∂x∂y (0, 0) = lim_h→0 (f_y(h, 0) − f_y(0, 0))/h = 1.

दोनों असमान हैं; श्वार्ज़ प्रमेय लागू नहीं होता क्योंकि मिश्र आंशिक अवकलज (0, 0) पर संतत नहीं हैं।

उत्तर: ∂²f/∂x∂y (0, 0) = 1 और ∂²f/∂y∂x (0, 0) = −1.

उदाहरण 12 (UPSC 2025, 15 अंक): यदि f(x, y) = xy (x² − y²)/(x² + y²), जब (x, y) ≠ (0, 0)
f(x, y) = 0, जब (x, y) = (0, 0)
है, तो f_xy(0, 0) और f_yx(0, 0) ज्ञात कीजिए।

यह पिछले उदाहरण का फलन है। प्रथम सिद्धांत से सभी y के लिए f_x(0, y) = −y और सभी x के लिए f_y(x, 0) = x.

f_xy = (f_x)_y लेने पर: f_xy(0, 0) = lim_k→0 (f_x(0, k) − f_x(0, 0))/k = lim (−k)/k = −1.

f_yx = (f_y)_x: f_yx(0, 0) = lim_h→0 (f_y(h, 0) − f_y(0, 0))/h = lim h/h = 1. (विपरीत परिपाटी में दोनों मान आपस में बदल जाते हैं; उत्तर में परिपाटी लिखें।)

उत्तर: f_xy(0, 0) = −1, f_yx(0, 0) = 1, अतः f_xy(0, 0) ≠ f_yx(0, 0).

उदाहरण 13 (UPSC 2018, 13 अंक): बिन्दु (1, 0) से परवलय y² = 4x तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये।

y² = 4x (अतः x ≥ 0) के अधीन D = (x − 1)² + y² को न्यूनतम करें, F = (x − 1)² + y² + λ(y² − 4x).

F_x = 2(x − 1) − 4λ = 0 और F_y = 2y(1 + λ) = 0. यदि λ = −1 तो x = −1, जो असंभव है क्योंकि y² = 4x ≥ 0; अतः y = 0 और x = 0.

सीधी जाँच: परवलय पर D = (x − 1)² + 4x = (x + 1)², जो x ≥ 0 के लिए x = 0 पर न्यूनतम है। (बिंदु (1, 0) नाभि है, और शीर्ष निकटतम बिंदु है।)

उत्तर: न्यूनतम दूरी 1, शीर्ष (0, 0) पर।

उदाहरण 14 (UPSC 2018, 12 अंक): मान लीजिये कि
f(x, y) = xy², यदि y > 0
= −xy², यदि y ≤ 0
निर्धारित कीजिये कि ∂f/∂x (0, 1) और ∂f/∂y (0, 1) में से किसका अस्तित्व है और किसका अस्तित्व नहीं है।

सभी (x, y) के लिए f(x, y) = xy|y| (y ≤ 0 के लिए xy|y| = −xy²)। (0, 1) के निकट y > 0, अतः वहाँ f = xy².

∂f/∂x (0, 1) = lim_h→0 (f(h, 1) − f(0, 1))/h = lim (h − 0)/h = 1, अतः इसका अस्तित्व है।

∂f/∂y (0, 1) = lim_k→0 (f(0, 1 + k) − f(0, 1))/k = lim (0 − 0)/k = 0, अतः इसका भी अस्तित्व है।

वास्तव में f_x = y|y| और f_y = 2x|y| प्रत्येक बिंदु पर अस्तित्व में हैं, y = 0 पर भी जहाँ सूत्र बदलता है, क्योंकि t|t| अवकलनीय है और उसका अवकलज 2|t| है।

उत्तर: दोनों अस्तित्व में हैं: ∂f/∂x (0, 1) = 1 और ∂f/∂y (0, 1) = 0.

उदाहरण 15 (UPSC 2019, 20 अंक): (i) अगर
u = sin⁻¹ √((x^1/3 + y^1/3)/(x^1/2 + y^1/2))
है, तो दर्शाइए कि sin²u, x और y का −1/6 घातविशिष्ट समांगी फलन है। अतएव दर्शाइए कि
x² ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² = (tan u/12)(13/12 + tan²u/12) (12 अंक)
(ii) जैकोबियन विधि का व्यवहार करते हुए दर्शाइए कि अगर f′(x) = 1/(1 + x²) और f(0) = 0 है, तो
f(x) + f(y) = f((x + y)/(1 − xy)) (8 अंक)

(i) z = sin²u = (x^1/3 + y^1/3)/(x^1/2 + y^1/2); x, y के स्थान पर tx, ty रखने से यह t^1/3/t^1/2 = t^−1/6 से गुणित होता है, अतः z, −1/6 घात का समघात है।

ऑयलर: xz_x + yz_y = −z/6. चूँकि z_x = 2 sin u cos u · u_x (y के लिए भी), 2 sin u cos u (xu_x + yu_y) = −sin²u/6, अतः xu_x + yu_y = −tan u/12 = g(u).

xu_x + yu_y = g(u) का x और y के सापेक्ष अवकलन कर, x और y से गुणा कर जोड़ने पर: x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = g(u)(g′(u) − 1) = (−tan u/12)(−sec²u/12 − 1) = (tan u/12)(1 + (1 + tan²u)/12) = (tan u/12)(13/12 + tan²u/12).

(ii) मान लें u = f(x) + f(y), v = (x + y)/(1 − xy). तब u_x = 1/(1 + x²), u_y = 1/(1 + y²), v_x = (1 + y²)/(1 − xy)², v_y = (1 + x²)/(1 − xy)².

∂(u, v)/∂(x, y) = u_xv_y − u_yv_x = 1/(1 − xy)² − 1/(1 − xy)² = 0, अतः u और v फलनतः संबद्ध हैं: u = φ(v).

y = 0 रखें: f(x) + f(0) = φ(x), अर्थात φ = f क्योंकि f(0) = 0. अतः f(x) + f(y) = f((x + y)/(1 − xy)).

उत्तर: दोनों सर्वसमिकाएँ दिखाए अनुसार सत्य हैं (वास्तव में f = tan⁻¹x)।

उदाहरण 16 (UPSC 2024, 15 अंक): यदि u = (x + y)/(1 − xy) तथा v = tan⁻¹ x + tan⁻¹ y हैं, तब ∂(u, v)/∂(x, y) ज्ञात कीजिए। क्या u तथा v फलनतः सम्बन्धित हैं? यदि हाँ, तो सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।

u_x = (1 + y²)/(1 − xy)², u_y = (1 + x²)/(1 − xy)², v_x = 1/(1 + x²), v_y = 1/(1 + y²).

∂(u, v)/∂(x, y) = u_xv_y − u_yv_x = 1/(1 − xy)² − 1/(1 − xy)² = 0 (xy ≠ 1 के लिए), अतः u और v फलनतः संबद्ध हैं।

संबंध: tan v = tan(tan⁻¹x + tan⁻¹y) = (x + y)/(1 − xy) = u.

उत्तर: ∂(u, v)/∂(x, y) = 0; हाँ, u = tan v.

उदाहरण 17 (UPSC 2021, 15 अंक): दिया गया है : f(x, y) = |x² − y²|, तब f_xy(0, 0) तथा f_yx(0, 0) ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि f_xy(0, 0) = f_yx(0, 0)।

y ≠ 0 और |h| < |y| के लिए |h² − y²| = y² − h², अतः f_x(0, y) = lim_h→0 (y² − h² − y²)/h = lim (−h) = 0. y = 0 पर f_x(0, 0) = lim h²/h = 0. अतः सभी y के लिए f_x(0, y) = 0.

अतः f_xy(0, 0) = lim_k→0 (f_x(0, k) − f_x(0, 0))/k = 0.

f(x, y) = f(y, x), अतः इसी प्रकार सभी x के लिए f_y(x, 0) = 0 और f_yx(0, 0) = lim_h→0 (f_y(h, 0) − f_y(0, 0))/h = 0.

उत्तर: f_xy(0, 0) = f_yx(0, 0) = 0.

उदाहरण 18 (UPSC 2022, 15 अंक): एक l लम्बाई के तार को दो भागों में काटकर क्रमशः एक वर्ग तथा एक वृत्त के रूप में मोड़ा गया है। लग्रांज की अनिर्धारित गुणक विधि का प्रयोग करके, इस तरह से प्राप्त किए गए क्षेत्रफलों के योगफल का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लें वर्ग की भुजा a और वृत्त की त्रिज्या r है। प्रतिबंध 4a + 2πr = l है और कुल क्षेत्रफल A = a² + πr².

F = a² + πr² + λ(4a + 2πr − l): F_a = 2a + 4λ = 0 और F_r = 2πr + 2πλ = 0 से a = −2λ, r = −λ, अतः a = 2r.

तब 8r + 2πr = l, अतः r = l/(2(π + 4)) और a = l/(π + 4). A = l²/(π + 4)² + πl²/(4(π + 4)²) = l²(4 + π)/(4(π + 4)²) = l²/(4(π + 4)).

यह न्यूनतम है: प्रतिबंध रेखा पर A एक उत्तल द्विघात है, और अंत्य मान l²/16 (सब वर्ग) और l²/(4π) (सब वृत्त) दोनों बड़े हैं।

उत्तर: न्यूनतम कुल क्षेत्रफल l²/(4(π + 4)), जब वर्ग की भुजा वृत्त के व्यास के बराबर हो।

उदाहरण 19 (UPSC 2023, 15 अंक): तर्क सहित दर्शाइये कि (0, 0), फलन f(x, y) = 2x⁴ − 3x²y + y² का चरम-बिन्दु है अथवा नहीं।

f_x = 8x³ − 6xy और f_y = −3x² + 2y, (0, 0) पर शून्य हैं। वहाँ r = 24x² − 6y = 0, s = −6x = 0, t = 2, अतः rt − s² = 0 और परीक्षण अनिर्णायक है।

गुणनखंड: f(x, y) = (2x² − y)(x² − y), और f(0, 0) = 0.

y-अक्ष पर f(0, y) = y² > 0 (y ≠ 0)। परवलय y = (3/2)x² पर, जो y = x² और y = 2x² के बीच है, f = (x²/2)(−x²/2) = −x⁴/4 < 0 (x ≠ 0)।

अतः (0, 0) के प्रत्येक सामीप्य में f > 0 वाले और f < 0 वाले बिंदु हैं। (मूलबिंदु से जाने वाली प्रत्येक सरल रेखा के अनुदिश f का O पर न्यूनतम है, जो दिखाता है कि केवल रेखाओं की जाँच पर्याप्त नहीं।)

उत्तर: (0, 0) स्थिर बिंदु है, पर f का चरम बिंदु नहीं।

उदाहरण 20 (UPSC 2026, 10 अंक): यदि u(x, y, z) = (x² + y² + z²)^−1/2 है, तो ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² का मान ज्ञात कीजिए।

मान लें r = √(x² + y² + z²), अतः u = r⁻¹ और ∂r/∂x = x/r. तब u_x = −r⁻²(x/r) = −xr⁻³.

u_xx = −r⁻³ + 3xr⁻⁴(x/r) = −r⁻³ + 3x²r⁻⁵; इसी प्रकार u_yy = −r⁻³ + 3y²r⁻⁵ और u_zz = −r⁻³ + 3z²r⁻⁵.

जोड़ने पर: −3r⁻³ + 3(x² + y² + z²)r⁻⁵ = −3r⁻³ + 3r⁻³ = 0.

उत्तर: मूलबिंदु के अतिरिक्त प्रत्येक बिंदु पर 0 (u = 1/r लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है)।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): दिखाइए कि lim_{(x,y)→(0,0)} (x² − y²)/(x² + y²) विद्यमान नहीं है।

उत्तर: y = mx के अनुदिश मान (1 − m²)/(1 + m²) है, जो m पर निर्भर है (x-अक्ष पर 1 और y-अक्ष पर −1)।

अभ्यास 2 (मूल): f(x, y) = x³y + e^xy के लिए f_x(1, 0) और f_y(1, 0) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1, 0) पर f_x = 3x²y + ye^xy = 0 और f_y = x³ + xe^xy = 2.

अभ्यास 3 (मूल): u = x² − y², v = 2xy के लिए ∂(u, v)/∂(x, y) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: det [[2x, −2y], [2y, 2x]] = 4(x² + y²).

अभ्यास 4 (मानक): (x, y) ≠ (0, 0) के लिए f(x, y) = (x³ − y³)/(x² + y²) और f(0, 0) = 0. दिखाइए कि f, (0, 0) पर संतत है, f_x(0, 0) और f_y(0, 0) ज्ञात कीजिए, और निर्णय कीजिए कि क्या f, (0, 0) पर अवकलनीय है।

उत्तर: |f| ≤ 2r, अतः f संतत है; f_x(0, 0) = 1, f_y(0, 0) = −1. अनुपात (f(h, k) − h + k)/ρ = (cos θ − sin θ) sin θ cos θ, जो θ = −π/4 के लिए −1/√2 है और 0 की ओर नहीं जाता, अतः f, (0, 0) पर अवकलनीय नहीं है।

अभ्यास 5 (मानक): यदि u = tan⁻¹((x³ + y³)/(x − y)), तो दिखाइए कि xu_x + yu_y = sin 2u.

उत्तर: tan u घात 2 का समघात फलन है, अतः संयुक्त फलनों के ऑयलर प्रमेय से xu_x + yu_y = 2 tan u/sec²u = 2 sin u cos u = sin 2u.

अभ्यास 6 (मानक): f(x, y) = x² + xy + y² − 3x − 6y के स्तब्ध बिंदु ज्ञात करके उनका वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: केवल (0, 3); r = 2, s = 1, t = 2, rt − s² = 3 > 0 और r > 0, अतः निम्निष्ठ, जिसका मान −9 है।

अभ्यास 7 (मानक): लग्रांज विधि से धनात्मक x, y, z के लिए, जहाँ x + y + z = 12, xyz का उच्चिष्ठ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: yz = xz = xy = −λ से x = y = z = 4; उच्चिष्ठ 64 है (त्रिभुज की सीमा पर xyz → 0)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के अंतर्गत, अक्षों के समांतर किनारों वाले, सबसे बड़े आयताकार समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: V = 8xyz और F = 8xyz + λ(x²/a² + y²/b² + z²/c² − 1) के साथ, F_x = 0, F_y = 0, F_z = 0 को x, y, z से गुणा करने पर x²/a² = y²/b² = z²/c² = 1/3; अधिकतम आयतन 8abc/(3√3) है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 2x² + 4xy − 2y² के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की जाँच कीजिए।

उत्तर: स्तब्ध बिंदु (0, 0), (√2, −√2), (−√2, √2). अंतिम दो पर r = t = 20, s = 4, अतः निम्निष्ठ, मान −8. (0, 0) पर rt − s² = 0; छोटे x ≠ 0 के लिए f(x, 0) = x⁴ − 2x² < 0 और f(x, x) = 2x⁴ > 0, अतः कोई चरम नहीं है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): यदि u = x + y + z, v = x² + y² + z² − 2xy − 2yz − 2zx और w = x³ + y³ + z³ − 3xyz, तो दिखाइए कि u, v, w फलनतः आश्रित हैं और संबंध ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∂(u, v, w)/∂(x, y, z) = 0. s = x² + y² + z² और p = xy + yz + zx लेने पर: u² = s + 2p, v = s − 2p और w = u(s − p), जिनसे 4w = u³ + 3uv मिलता है।

1. उपरि और निम्न योगों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: 'वक्र के नीचे का क्षेत्रफल' कल्पना में सरल है, परंतु गणना से पहले उसे परिभाषित करना आवश्यक है। हमें यह भी जानना है कि किन फलनों का समाकल (integral) होता ही है, क्योंकि बहुत उछलने वाले फलन का शायद न हो।

रीमान का विचार क्षेत्रफल को ऊपर से खींचे गए आयतों के योग और नीचे से खींचे गए आयतों के योग के बीच फँसाना है।

शब्दों में: विभाजन (partition) P, [a, b] को बिंदुओं a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b पर टुकड़ों में काटता है। i-वें टुकड़े पर M_i उच्चक (वहाँ f का शीर्ष) और m_i निम्नक (तल) है।

U(P, f) = ∑M_iΔx_i क्षेत्रफल का अधिमान (over-estimate) और L(P, f) = ∑m_iΔx_i न्यूनमान (under-estimate) है।

उपरि समाकल सभी विभाजनों पर सर्वोत्तम (न्यूनतम) अधिमान है, और निम्न समाकल सर्वोत्तम (अधिकतम) न्यूनमान। f समाकलनीय है जब ये दोनों सर्वोत्तम अनुमान मिल जाएँ।

f परिबद्ध होना चाहिए, ताकि प्रत्येक M_i और m_i एक परिमित संख्या हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: [0, 1] पर f(x) = x², n समान भागों वाले विभाजन P_n के साथ।

चरण 1: बिंदु x_i = i/n हैं, और प्रत्येक Δx_i = 1/n.

चरण 2: [0, 1] पर x² वर्धमान है, अतः प्रत्येक टुकड़े पर शीर्ष दाएँ सिरे पर और तल बाएँ सिरे पर है: M_i = (i/n)², m_i = ((i − 1)/n)².

चरण 3: U = (1/n³)(1² + 2² + ... + n²) = n(n + 1)(2n + 1)/(6n³).

चरण 4: L = (1/n³)(0² + 1² + ... + (n − 1)²) = (n − 1)n(2n − 1)/(6n³).

चरण 5: U − L = n²/n³ = 1/n → 0, और U तथा L दोनों 2/6 = 1/3 की ओर जाते हैं।

चरण 6: उपरि समाकल प्रत्येक U से अधिक नहीं और निम्न समाकल प्रत्येक L से कम नहीं, अतः दोनों 1/3 के बराबर हैं: ∫₀¹ x² dx = 1/3.

अ-उदाहरण (non-example): [0, 1] पर डिरिक्ले फलन (परिमेयों पर 1, अपरिमेयों पर 0) परिबद्ध है, परंतु प्रत्येक विभाजन के प्रत्येक टुकड़े में दोनों प्रकार की संख्याएँ हैं, अतः प्रत्येक M_i = 1 और m_i = 0.

तब प्रत्येक P के लिए U = 1 और L = 0, उपरि समाकल 1 और निम्न समाकल 0 है। विफल होने वाली शर्त यह है कि U − L को छोटा किया जा सके; f प्रत्येक बिंदु पर असंतत है।

आगे बढ़ते हुए: (1) विभाजन में बिंदु जोड़ने से U केवल घट सकता है और L केवल बढ़ सकता है (नीचे परिष्करण वाली पंक्ति)।

(2) अतः प्रत्येक निम्न योग प्रत्येक उपरि योग से अधिक नहीं: दोनों की तुलना उनके उभयनिष्ठ परिष्करण से करें।

(3) अतः प्रत्येक P के लिए L(P, f) ≤ निम्न समाकल ≤ उपरि समाकल ≤ U(P, f), और रीमान निकष निकलता है: f समाकलनीय है यदि और केवल यदि U − L को किसी भी ε > 0 से कम किया जा सके।

(4) संतत f के लिए एकसमान सांतत्य छोटे टुकड़ों पर M_i − m_i को छोटा कर देता है, अतः U − L → 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11); एकदिष्ट f के लिए अंतर दूरदर्शी (telescoping) रूप से कट जाते हैं।

(5) f को परिमित बिंदुओं पर बदलने से न समाकलनीयता बदलती है न समाकल का मान, क्योंकि उन बिंदुओं को इच्छानुसार छोटी कुल लंबाई वाले टुकड़ों में घेरा जा सकता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'परिभाषा से दिखाइए' या 'उपरि और निम्न योगों द्वारा' वाले प्रश्न, खंडशः फलनों की समाकलनीयता, और संख्यात्मक विश्लेषण के समलंबी और सिम्पसन नियम, जो इन्हीं योगों के परिष्कृत रूप हैं।

2. योग की सीमा के रूप में समाकल और मूलभूत प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: उपरि और निम्न योग समाकल को परिभाषित करते हैं, परंतु प्रत्येक विभाजन के लिए उच्चक निकालना धीमा है। वास्तविक काम दो लघुमार्ग करते हैं: यदि f समाकलनीय ज्ञात है, तो कोई भी सुविधाजनक योग-अनुक्रम समाकल देता है; और यदि f का प्रतिअवकलज (antiderivative) F है, तो समाकल F(b) − F(a) है।

उलटा पढ़ने पर पहला लघुमार्ग योगों की कुछ सीमाओं को समाकलों में बदल देता है।

शब्दों में: रीमान योग S = ∑f(t_i)Δx_i, i-वें टुकड़े के किसी भी बिंदु t_i का उपयोग करता है। चूँकि m_i ≤ f(t_i) ≤ M_i, प्रत्येक रीमान योग L(P, f) और U(P, f) के बीच स्थित है।

n समान भागों और दाएँ अंत्य बिंदुओं के साथ S = ((b − a)/n)∑_r=1ⁿ f(a + r(b − a)/n); [0, 1] पर यह (1/n)∑f(r/n) है, जहाँ r/n, x की और 1/n, dx की भूमिका निभाते हैं।

मूलभूत प्रमेय कहता है कि F(x) = ∫_a^x f(t) dt, अर्थात् x तक संचित क्षेत्रफल, का अवकलज वहाँ f(x) है जहाँ f संतत है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: lim_n→∞ (1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n)) ज्ञात करें।

चरण 1: व्यापक पद 1/(n + r) है, r = 1, 2, ..., n के लिए।

चरण 2: 1/n बाहर निकालें: 1/(n + r) = (1/n)·1/(1 + r/n).

चरण 3: अतः योग (1/n)∑f(r/n) है जहाँ f(x) = 1/(1 + x), जो [0, 1] पर एक रीमान योग है।

चरण 4: f, [0, 1] पर संतत है, अतः समाकलनीय, इसलिए योग ∫₀¹ dx/(1 + x) की ओर जाता है।

चरण 5: एक प्रतिअवकलज log(1 + x) है, अतः मूलभूत प्रमेय से सीमा log 2 − log 1 = log 2 ≈ 0.693 है।

अ-उदाहरण (non-example): ∑_r=1ⁿ 1/(n² + r) मिलता-जुलता दिखता है, परंतु इसका व्यापक पद n से स्वतंत्र f के साथ (1/n)f(r/n) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अतः यह रीमान योग नहीं है।

यहाँ इसके स्थान पर सीधा परिबंध काम करता है: प्रत्येक पद अधिकतम 1/n² है, अतः योग अधिकतम 1/n है और सीमा 0 है।

आगे बढ़ते हुए: (1) समाकलनीय f के लिए L(P_n, f) ≤ S_n ≤ U(P_n, f) और टुकड़ों के छोटा होने पर U − L → 0, जिससे योग-की-सीमा सूत्र मिलता है।

(2) जब f, c पर संतत हो तो F(c + h) − F(c) = ∫_c^c+h f(t) dt लगभग f(c)h है, अतः F′(c) = f(c) (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)।

(3) यदि f संतत है और G कोई भी प्रतिअवकलज है, तो F − G का अवकलज शून्य है, अतः वह अचर है; चूँकि F(a) = 0, ∫_a^b f dx = F(b) = G(b) − G(a).

(4) गुणनफल या n-वें मूल की सीमा के लिए पहले लघुगणक लें; लघुगणक गुणनफल को रीमान योग में बदल देता है (हल किए गए प्रश्न: (n!/nⁿ)^1/n की सीमा)।

कहाँ प्रयोग होता है: योग की सीमा वाले छोटे प्रश्न, समाकल समीकरणों के लिए लाइबनिज़ नियम, और प्रत्येक निश्चित समाकल का मान निकालना।

3. रीमान की परिभाषा

मान लें f, [a, b] पर परिबद्ध है। विभाजन P: a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b के लिए M_i और m_i, [x_i−1, x_i] पर f के उच्चक और निम्नक हैं और Δx_i = x_i − x_i−1.

उपरि योग U(P, f) = ∑ M_iΔx_i, निम्न योग L(P, f) = ∑ m_iΔx_i. P को परिष्कृत करने पर U बढ़ता नहीं और L घटता नहीं, और किन्हीं दो विभाजनों के लिए L(P₁, f) ≤ U(P₂, f).

भाव: U(P, f) प्रत्येक पट्टी पर f के उच्चतम मान तक खींचे गए आयतों का कुल क्षेत्रफल है और L(P, f) निम्नतम मान तक का; आलेख के नीचे का क्षेत्रफल इनके बीच फँसा रहता है, और विभाजन को परिष्कृत करने पर अंतर सिकुड़ता है।

परिष्करण से U क्यों नहीं बढ़ता: [x_i−1, x_i] के अंदर एक बिंदु x* जोड़ने पर M_iΔx_i के स्थान पर M′(x* − x_i−1) + M″(x_i − x*) आता है, जहाँ M′, M″ दोनों टुकड़ों पर उच्चक हैं, और M′, M″ ≤ M_i.

उपरि समाकल = सभी P पर U(P, f) का निम्नक, निम्न समाकल = सभी P पर L(P, f) का उच्चक; यदि ये बराबर हों तो f, [a, b] पर रीमान समाकलनीय है, और उभयनिष्ठ मान निश्चित समाकल (integral) ∫_a^b f(x) dx है।

रीमान कसौटी: परिबद्ध f समाकलनीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए ऐसा विभाजन P हो कि U(P, f) − L(P, f) < ε.

यह क्यों काम करता है: प्रत्येक P के लिए L(P, f) ≤ निम्न समाकल ≤ उपरि समाकल ≤ U(P, f), अतः प्रत्येक ε के लिए अंतर U − L < ε दोनों समाकलों को बराबर कर देता है। विलोमतः, यदि वे बराबर हों, तो उभयनिष्ठ मान से ε/2 के अंदर योगों वाले P₁, P₂ चुनें; उनका उभयनिष्ठ परिष्करण U − L < ε देता है।

समाकलनीय वर्ग: संतत फलन; एकदिष्ट फलन; परिमित (या गणनीय) असांतत्यों वाले परिबद्ध फलन। डिरिक्ले फलन (परिमेयों पर 1, अपरिमेयों पर 0), [a, b] पर समाकलनीय नहीं है: प्रत्येक U = b − a और प्रत्येक L = 0.

एकदिष्ट फलन समाकलनीय क्यों हैं: वर्धमान f और n समान भागों के विभाजन के लिए U − L = ∑(f(x_i) − f(x_i−1))(b − a)/n = (f(b) − f(a))(b − a)/n, क्योंकि योग संकुचित होता है, और यह 0 की ओर जाता है। संतत फलन: मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11.

परिबद्धता परिभाषा का भाग है: अपरिबद्ध f के लिए कोई M_i अनंत होता है और U(P, f) परिभाषित नहीं होता, अतः अपरिबद्ध फलनों के समाकल अनुचित समाकल माने जाते हैं।

योग की सीमा के रूप में समाकल: समाकलनीय f के लिए ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ ((b − a)/n) ∑_r=1ⁿ f(a + r(b − a)/n); विशेषतः lim (1/n)∑_r=1ⁿ f(r/n) = ∫₀¹ f(x) dx.

यह क्यों काम करता है: n समान भागों वाले विभाजन P_n के लिए, प्रत्येक पट्टी के दाएँ अंत्य बिंदु को चिह्न लेकर, योग L(P_n, f) और U(P_n, f) के बीच है; समाकलनीय f के लिए n → ∞ पर दोनों ∫_a^b f dx की ओर जाते हैं (जाल-माप 0 की ओर जाने पर U − L → 0), अतः योग भी। व्यवहार में व्यापक पद को (1/n)f(r/n) लिखें और r/n को x तथा 1/n को dx पढ़ें।

कलन का मूलभूत प्रमेय: यदि f, [a, b] पर समाकलनीय है और [a, b] पर F′ = f, तो ∫_a^b f dx = F(b) − F(a); यदि f संतत है, तो d/dx ∫_a^x f(t) dt = f(x).

मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12 में सिद्ध। भाव: ∫_a^x f संचित क्षेत्रफल है, और x तथा x + h के बीच जुड़ा क्षेत्रफल लगभग f(x)h है, अतः उसकी परिवर्तन दर f(x) है।

समाकलनीयता और प्रतिअवकलज का होना भिन्न गुण हैं: sgn x, [−1, 1] पर समाकलनीय है पर किसी फलन का अवकलज नहीं (डार्बू प्रमेय), जबकि F(x) = x² sin(1/x²), F(0) = 0, सर्वत्र अवकलनीय है और 0 के पास F′ अपरिबद्ध है, अतः F′, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय नहीं है।

प्रथम माध्यमान प्रमेय: यदि f, [a, b] पर संतत है, तो किसी c ∈ [a, b] के लिए ∫_a^b f dx = f(c)(b − a).

यह क्यों काम करता है: [a, b] पर f के निम्निष्ठ m और उच्चिष्ठ M के साथ m(b − a) ≤ ∫_a^b f dx ≤ M(b − a), अतः औसत ऊँचाई (1/(b − a))∫_a^b f dx, m और M के बीच है और मध्यवर्ती मान प्रमेय से किसी f(c) के बराबर है।

लाइबनिज़ नियम: यदि f संतत है और a(x), b(x) अवकलनीय हैं, तो d/dx ∫_a(x)^b(x) f(t) dt = f(b(x))b′(x) − f(a(x))a′(x); विशेषतः d/dx ∫_x^c f(t) dt = −f(x). इससे समाकल समीकरण बीजीय या अवकल समीकरणों में बदल जाते हैं।

व्युत्पत्ति: मान लें G, f का प्रतिअवकलज है (f संतत है अतः विद्यमान है), तो ∫_a(x)^b(x) f(t) dt = G(b(x)) − G(a(x)); शृंखला नियम f(b(x))b′(x) − f(a(x))a′(x) देता है। जब समाकल्य में x भी हो, तो d/dx ∫_a(x)^b(x) f(x, t) dt में अतिरिक्त पद ∫_a(x)^b(x) (∂f/∂x) dt आता है, बशर्ते f और ∂f/∂x संतत हों।

योग की सीमा का सूत्र ∑_r=1ⁿ के स्थान पर ∑_r=0ⁿ⁻¹ के साथ भी सत्य है, क्योंकि दोनों योगों का अंतर (f(1) − f(0))/n → 0 है।

4. खंडशः समाकलन और समानयन सूत्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक समाकल्य गुणनफल होते हैं, जैसे x e^x, x sin x, log x या sin x की घातें, और केवल प्रतिस्थापन से वे हल नहीं होते। खंडशः समाकलन (integration by parts) अवकलज को एक गुणनखंड से दूसरे पर ले जाता है; बार-बार प्रयोग से यह I_n को I_n−2 से जोड़कर समानयन सूत्र (reduction formulas) देता है।

शब्दों में: ∫u dv = uv − ∫v du. u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन से सरल हो जाए, और dv उसे जिसका समाकलन आसान हो।

निश्चित समाकल में सीमांत पद [uv]_a^b आता है। समानयन सूत्र I_n को छोटे सूचकांक वाले उसी प्रकार के समाकल द्वारा व्यक्त करता है, ताकि बार-बार प्रयोग किसी ज्ञात समाकल पर समाप्त हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∫₀¹ x e^x dx का मान ज्ञात करें।

चरण 1: u = x लें, क्योंकि इसका अवकलज 1 सरल है, और dv = e^x dx, अतः v = e^x.

चरण 2: ∫x e^x dx = x e^x − ∫e^x dx = x e^x − e^x + C.

चरण 3: अवकलन से जाँचें: (x e^x − e^x)′ = e^x + x e^x − e^x = x e^x.

चरण 4: [x e^x − e^x]₀¹ = (e − e) − (0 − 1) = 1.

अ-उदाहरण (non-example): चुनाव u = e^x, dv = x dx वैध है परंतु ∫x e^x dx = (x²/2)e^x − ∫(x²/2)e^x dx देता है, जो कठिनतर समाकल है। विफल होने वाला उद्देश्य है 'नया समाकल पुराने से सरल हो'।

आगे बढ़ते हुए: (1) गुणनफल नियम (uv)′ = u′v + uv′ का समाकलन सूत्र देता है।

(2) I_n = ∫₀^π/2 sinⁿx dx के लिए u = sinⁿ⁻¹x और dv = sin x dx लें। सीमांत पद शून्य हो जाता है, और cos²x = 1 − sin²x लिखने पर I_n लौट आता है, जिससे I_n = ((n − 1)/n)I_n−2 मिलता है (व्युत्पत्ति नीचे)।

(3) ∫e^ax sin bx dx के लिए दो बार खंडशः समाकलन मूल समाकल को लौटा देता है; प्राप्त समीकरण को हल करने पर e^ax(a sin bx − b cos bx)/(a² + b²) + C मिलता है।

(4) जब खंडशः समाकलन और प्रतिस्थापन दोनों भारी लगें, तो सममिति गुणों का प्रयोग करें: [0, a] पर x → a − x, या [a, b] पर x → a + b − x, और दोनों रूपों को जोड़ें।

कहाँ प्रयोग होता है: एस्ट्रॉइड और कार्डियॉइड के क्षेत्रफलों में वालिस-प्रकार के मान, गामा पुनरावृत्ति Γ(n + 1) = nΓ(n), और साधारण अवकल समीकरणों में लाप्लास रूपांतर।

5. अनिश्चित समाकल

विधियाँ: प्रतिस्थापन, खंडशः समाकलन (∫u dv = uv − ∫v du), आंशिक भिन्न, समानयन सूत्र, और प्रतिस्थापन t = tan(x/2), जिससे sin x = 2t/(1 + t²), cos x = (1 − t²)/(1 + t²), dx = 2dt/(1 + t²) मिलते हैं।

खंडशः समाकलन क्यों काम करता है: गुणन नियम (uv)′ = u′v + uv′ का समाकलन करें। u चुनने का क्रम ILATE (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय, चरघातांकी) एक स्मृति-सहायक है, नियम नहीं।

सावधानी: t = tan(x/2), x = π पर अपरिभाषित है, अतः π को समाहित करने वाले अंतराल पर निश्चित समाकल को प्रतिस्थापन से पहले वहाँ विभाजित करना (या आवर्तिता से समानीत करना) चाहिए।

उपयोगी गुणधर्म: ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a − x) dx; f सम हो तो ∫_−a^a f dx = 2∫₀^a f dx और विषम हो तो 0; ∫₀^π/2 sinⁿx dx = ((n − 1)/n)((n − 3)/(n − 2))... × (n सम हो तो π/2, विषम हो तो 1).

sinⁿ सूत्र की व्युत्पत्ति: I_n = ∫₀^π/2 sinⁿx dx (n ≥ 2) के साथ sinⁿ⁻¹x·sin x का खंडशः समाकलन I_n = (n − 1)∫₀^π/2 sinⁿ⁻²x cos²x dx = (n − 1)(I_n−2 − I_n) देता है, अतः I_n = ((n − 1)/n)I_n−2. I₀ = π/2 या I₁ = 1 तक दोहराने पर सूत्र मिलता है; उदाहरणार्थ I₄ = (3/4)(1/2)(π/2) = 3π/16 और I₅ = (4/5)(2/3) = 8/15.

किंग गुणधर्म: ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b f(a + b − x) dx; दोनों रूपों को जोड़ने पर प्रायः 2I = ∫_a^b 1 dx या सरल समाकल मिलता है।

[a, b] पर बीटा फलन: m, n > −1 के लिए ∫_a^b (x − a)^m(b − x)ⁿ dx = (b − a)^m+n+1 β(m + 1, n + 1), प्रतिस्थापन x = a + (b − a)t से।

6. अनुचित समाकलों और अभिसरण परीक्षणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: रीमान की परिभाषा को परिबद्ध अंतराल पर परिबद्ध फलन चाहिए। फिर भी ∫₀^∞ e^−x dx, ∫₀¹ dx/√x और गामा फलन स्वाभाविक और महत्त्वपूर्ण हैं।

ऐसे समाकलों को हम साधारण समाकलों की सीमा के रूप में परिभाषित करते हैं, और हमें ऐसे परीक्षण चाहिए जो प्रतिअवकलज उपलब्ध न होने पर भी अभिसरण तय करें।

शब्दों में: प्रथम प्रकार: ∫_a^∞ f dx = lim_X→∞ ∫_a^X f dx. द्वितीय प्रकार (a के निकट f अपरिबद्ध): ∫_a^b f dx = lim_ε→0+ ∫_a+ε^b f dx. 'अभिसारी' का अर्थ है कि सीमा विद्यमान और परिमित है।

f ≥ 0 के लिए ∫_a^X f dx, X के साथ बढ़ता है, अतः यह ठीक तब अभिसारी है जब परिबद्ध रहे। इसीलिए तुलना (comparison) काम करती है: अभिसारी समाकल वाला बड़ा समाकल्य परिबंध दे देता है।

μ-परीक्षण, सीमा के माध्यम से x^−μ के साथ की गई तुलना है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∫₁^∞ dx/(x² + x + 1) की जाँच करें।

चरण 1: समाकल्य [1, ∞) पर धनात्मक और संतत है, अतः एकमात्र कठिनाई अनंत परिसर है।

चरण 2: बड़े x के लिए हर में x² प्रधान है, अतः μ = 2 आज़माएँ।

चरण 3: x²f(x) = x²/(x² + x + 1) → 1, एक परिमित सीमा।

चरण 4: चूँकि μ = 2 > 1, μ-परीक्षण अभिसरण देता है। सीधे: 0 ≤ f ≤ 1/x² और ∫₁^∞ dx/x² = 1.

चरण 5: मान, यदि चाहिए: x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4, अतः समाकल (2/√3)[tan⁻¹((2x + 1)/√3)]₁^∞ = (2/√3)(π/2 − π/3) = π/(3√3) है।

अ-उदाहरण (non-example): ∫₁^∞ dx/(x + √x) का समाकल्य 0 की ओर जाता है, फिर भी μ = 1 के साथ x·f(x) = x/(x + √x) → 1 ≠ 0, अतः समाकल ∫dx/x की भाँति अपसारी है।

विफल होने वाली शर्त है 'f को μ > 1 वाले किसी x^−μ जितनी तेज़ी से घटना चाहिए'; केवल f → 0 कभी पर्याप्त नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) p-समाकल मापदंड हैं: ∫₁^∞ x^−p dx अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1, और ∫₀¹ x^−p dx यदि और केवल यदि p < 1 (व्युत्पत्ति नीचे)।

(2) f ≥ 0 के लिए मापदंड से तुलना अभिसरण तय करती है; μ-परीक्षण सीमा-रूप में वही तुलना है।

(3) चिह्न बदलने वाले समाकल्य के लिए पहले |f| की जाँच करें (निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण मिलता है); यदि वह विफल हो, तो डिरिक्ले परीक्षण निरसन (cancellation) के द्वारा फिर भी अभिसरण दे सकता है।

(4) अनेक समस्या-बिंदुओं के साथ अंतराल को ऐसे विभाजित करें कि प्रत्येक टुकड़े में ठीक एक हो, और प्रत्येक टुकड़े का अभिसारी होना आवश्यक है।

(5) गामा और बीटा फलन अनुचित समाकल हैं; उनकी शर्तें n > 0 और m, n > 0, बिंदुओं 0, 1 और ∞ पर (1) और (2) लागू करने से आती हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: 'अभिसरण की जाँच कीजिए' वाला प्रत्येक प्रश्न, बीटा और गामा मान, लाप्लास रूपांतर, और वास्तविक विश्लेषण में श्रेणियों का समाकल परीक्षण।

7. अनुचित समाकल

प्रथम प्रकार (अनंत परिसर): ∫_a^∞ f dx = lim_X→∞ ∫_a^X f dx. द्वितीय प्रकार (a के निकट f अपरिबद्ध): ∫_a^b f dx = lim_ε→0+ ∫_a+ε^b f dx. सीमा परिमित हो तो अनुचित समाकल (improper integral) अभिसारी है।

भाव: अनुचित समाकल साधारण समाकलों की सीमा है; अभिसरण का अर्थ है कि आलेख के नीचे का अनंत लंबा (या अनंत ऊँचा) क्षेत्र परिमित क्षेत्रफल वाला है।

p-परीक्षण: ∫₁^∞ dx/x^p अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1; ∫₀¹ dx/x^p अभिसारी है यदि और केवल यदि p < 1.

व्युत्पत्ति: p ≠ 1 के लिए ∫₁^X x^−p dx = (X^1−p − 1)/(1 − p), जिसकी X → ∞ पर परिमित सीमा ठीक तब है जब p > 1; p = 1 के लिए समाकल log X → ∞. इसी प्रकार ∫_ε¹ x^−p dx = (1 − ε^1−p)/(1 − p) की ε → 0+ पर परिमित सीमा ठीक तब है जब p < 1, और p = 1 से −log ε → ∞.

तुलना परीक्षण: यदि 0 ≤ f ≤ g, तो ∫g के अभिसरण से ∫f का अभिसरण निकलता है। μ-परीक्षण: f ≥ 0 के लिए, यदि किसी μ > 1 हेतु lim_x→∞ x^μf(x) परिमित है, तो ∫_a^∞ f dx अभिसारी है; यदि किसी μ ≤ 1 हेतु यह अशून्य (या अनंत) है, तो समाकल अपसारी है।

μ-परीक्षण की व्युत्पत्ति: यदि x^μf(x) → l (परिमित), तो बड़े x के लिए 0 ≤ f(x) ≤ (l + 1)/x^μ, और μ > 1 के लिए ∫dx/x^μ अभिसारी है, अतः तुलना से ∫f अभिसारी है। यदि μ ≤ 1 के साथ x^μf(x) → l > 0 (या ∞), तो किसी c > 0 और सभी बड़े x के लिए f(x) ≥ c/x^μ, और ∫f अपसारी है।

निरपेक्ष अभिसरण: यदि ∫|f| अभिसारी है, तो ∫f भी। डिरिक्ले परीक्षण: यदि सभी X के लिए ∫_a^X f dx परिबद्ध है और g एकदिष्ट है तथा x → ∞ पर g(x) → 0, तो ∫_a^∞ fg dx अभिसारी है; उदाहरणार्थ ∫₀^∞ (sin x)/x dx (सप्रतिबंध) π/2 में अभिसरित होता है।

भाव: निरपेक्ष अभिसरण के लिए |f| का कुल क्षेत्रफल परिमित होना चाहिए; सप्रतिबंध अभिसरण धनात्मक और ऋणात्मक पालियों के परस्पर निरसन से आता है। (sin x)/x के लिए [kπ, (k + 1)π] पर पाली का क्षेत्रफल निरपेक्ष मान में कम से कम 2/((k + 1)π) है, और ये हरात्मक श्रेणी की तरह जुड़ते हैं, अतः ∫₀^∞ |sin x|/x dx अपसारी है।

बीटा और गामा फलन: Γ(n) = ∫₀^∞ e^−xxⁿ⁻¹ dx (n > 0); β(m, n) = ∫₀¹ x^m−1(1 − x)ⁿ⁻¹ dx (m, n > 0); β(m, n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m + n); Γ(n + 1) = nΓ(n); Γ(1/2) = √π.

व्युत्पत्ति: खंडशः समाकलन से Γ(n + 1) = [−e^−xxⁿ]₀^∞ + n∫₀^∞ e^−xxⁿ⁻¹ dx = nΓ(n), n > 0; Γ(1) = 1 के साथ n ∈ ℕ के लिए Γ(n + 1) = n! मिलता है। x = t² रखने पर Γ(1/2) = 2∫₀^∞ e^−t2 dt = √π, जो गाउसीय समाकल है और उसका वर्ग करके ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलकर निकाला जाता है।

p, q > −1 के लिए ∫₀^π/2 sin^pθ cos^qθ dθ = Γ((p + 1)/2)Γ((q + 1)/2)/(2Γ((p + q + 2)/2)).

आंतरिक विचित्रता: यदि f किसी आंतरिक बिंदु c के निकट अपरिबद्ध है, तो ∫_a^b f dx तभी अस्तित्व में है जब ∫_a^c f dx और ∫_c^b f dx दोनों अभिसारी हों (कोशी मुख्य मान पर्याप्त नहीं)।

μ-परीक्षण (द्वितीय प्रकार, a पर): a के निकट f ≥ 0 के लिए, यदि किसी 0 < μ < 1 के लिए lim_x→a+ (x − a)^μf(x) परिमित है, तो समाकल अभिसारी है; यदि किसी μ ≥ 1 के लिए यह शून्येतर (या अनंत) है, तो अपसारी है।

प्रतिस्थापन से गामा: x = e^−t से m > −1, n > −1 के लिए ∫₀¹ x^m(log(1/x))ⁿ dx = Γ(n + 1)/(m + 1)ⁿ⁺¹.

8. विधि का चयन

यदि परिभाषा से ∫_a^b f dx पूछा जाए → n समान भाग लें, U और L (एकदिष्ट f के लिए) या योग की सीमा निकालें, ∑r = n(n + 1)/2, ∑r² = n(n + 1)(2n + 1)/6, ∑r³ = (n(n + 1)/2)² और e^x के लिए गुणोत्तर योगों का प्रयोग करें।

यदि असांतत्यों वाले परिबद्ध फलन की समाकलनीयता पूछी जाए → असांतत्य गिनें (परिमित या गणनीय ⇒ समाकलनीय) या U − L < ε वाला विभाजन बनाएँ; डिरिक्ले-प्रकार के फलनों के लिए दिखाएँ कि U − L स्थिर रहता है।

यदि योग की सीमा (1/n)∑f(r/n) आए → उसे ∫₀¹ f dx में बदलें; यदि यह गुणनफल या n-वें मूल की सीमा हो → पहले लघुगणक लें।

यदि ∞ पर धनात्मक समाकल्य का अभिसरण पूछा जाए → μ-परीक्षण या x^−μ से तुलना; परिमित विचित्र बिंदु पर → द्वितीय प्रकार का μ-परीक्षण; यदि समाकल्य दोलन करे, जैसे [1, ∞) पर (sin x)/x^p → p > 1 के लिए निरपेक्ष अभिसरण, 0 < p ≤ 1 के लिए डिरिक्ले परीक्षण।

यदि दोनों प्रकार हों, जैसे ∫₀^∞ xⁿ⁻¹e^−x dx में → किसी सुविधाजनक बिंदु (प्रायः 1) पर विभाजित करके प्रत्येक भाग परखें; यदि समाकल्य घातों का गुणनफल हो, या घात गुणा e^−x → बीटा या गामा फलनों में समानीत करें।

9. सामान्य गलतियाँ

अनुचित समाकल को उचित मानना: ∫₋₁¹ dx/x², [−1/x]₋₁¹ = −2 नहीं है (धनात्मक समाकल्य का ऋणात्मक उत्तर); समाकल्य 0 पर अपरिबद्ध है और समाकल अपसारी है।

कोशी मुख्य मान को अभिसरण मान लेना: ∫₋₁¹ dx/x का मुख्य मान 0 है पर यह अपसारी है।

चिह्न बदलने वाले समाकल्य पर μ-परीक्षण या तुलना परीक्षण लगाना; इन परीक्षणों के लिए f ≥ 0 आवश्यक है, अतः |f| या डिरिक्ले परीक्षण लें।

ऐसे प्रतिअवकलज का प्रयोग जो अंतराल के अंदर असंतत हो, उदाहरणार्थ x = π के पार t = tan(x/2) से प्राप्त प्रतिअवकलज।

बीटा प्राचलों में भ्रम: β(m, n) = ∫₀¹ x^m−1(1 − x)ⁿ⁻¹ dx, अतः ∫₀¹ x^m(1 − x)ⁿ dx = β(m + 1, n + 1).

ह्रासमान फलन के लिए प्रत्येक पट्टी के दाएँ अंत्य बिंदु पर M_i लेना; ह्रासमान f के लिए उच्चक बाएँ अंत्य बिंदु पर होता है।

10. संबंध

संबंध: वास्तविक विश्लेषण रीमान समाकलनीयता को फलनों के अनुक्रमों और श्रेणियों की सीमाओं तक बढ़ाता है: एकसमान अभिसरण पदशः समाकलन की अनुमति देता है।

संबंध: परिरेखा समाकलन और अवशेष (सम्मिश्र विश्लेषण) ∫₀^∞ (sin x)/x dx = π/2 और ∫_−∞^∞ dx/(1 + x²) = π जैसे अनुचित समाकल निकालते हैं।

संबंध: लाप्लास रूपांतर ∫₀^∞ e^−stf(t) dt प्रथम प्रकार का अनुचित समाकल है (साधारण अवकल समीकरण), और समलंबी तथा सिम्पसन नियम परिष्कृत रीमान योग हैं (संख्यात्मक विश्लेषण)।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: lim_n→∞ ∑_r=1ⁿ n/(n² + r²) का मान ज्ञात करें।

योग (1/n)∑ 1/(1 + (r/n)²) के बराबर है, अतः सीमा ∫₀¹ dx/(1 + x²) = π/4 है।

उदाहरण 2: ∫₀^∞ x^m−1/(1 + x) dx के अभिसरण की जाँच करें।

0 के निकट समाकल्य x^m−1 की तरह व्यवहार करता है, जिसके लिए m > 0 चाहिए; ∞ के निकट x^m−2 की तरह, जिसके लिए 2 − m > 1, अर्थात m < 1 चाहिए। अतः समाकल अभिसारी है यदि और केवल यदि 0 < m < 1 (तब इसका मान π/sin mπ है)।

उदाहरण 3: उपरि और निम्न योगों से सिद्ध करें कि f(x) = x, [0, 1] पर समाकलनीय है।

P_n = {0, 1/n, ..., 1} के लिए: U = ∑ (r/n)(1/n) = (n + 1)/(2n) और L = ∑ ((r − 1)/n)(1/n) = (n − 1)/(2n). U − L = 1/n → 0 और दोनों 1/2 की ओर जाते हैं, अतः ∫₀¹ x dx = 1/2.

उदाहरण 4: ∫₀^π/2 sin⁴x cos²x dx = Γ(5/2)Γ(3/2)/(2Γ(4)) = ((3/4)√π)((1/2)√π)/12 = π/32.

उदाहरण 5: सिद्ध करें कि ∫₀^∞ (sin x)/x dx अभिसारी है परंतु निरपेक्षतः अभिसारी नहीं है।

0 के निकट (sin x)/x → 1, अतः ∫₀¹ उचित समाकल है। [1, X] पर खंडशः समाकलन से: ∫₁^X (sin x)/x dx = cos 1 − (cos X)/X − ∫₁^X (cos x)/x² dx.

X → ∞ पर (cos X)/X → 0 और ∫₁^∞ (cos x)/x² dx निरपेक्षतः अभिसारी है क्योंकि |cos x|/x² ≤ 1/x². अतः समाकल अभिसारी है।

निरपेक्षतः नहीं: ∫_(k−1)π^kπ |sin x|/x dx ≥ (1/(kπ))∫_(k−1)π^kπ |sin x| dx = 2/(kπ), और ∑ 2/(kπ) अपसारी है, अतः ∫₀^∞ |sin x|/x dx = ∞.

उदाहरण 6: सिद्ध करें कि ∫₀^π/2 log sin x dx अभिसारी है और इसका मान −(π/2) log 2 है।

अभिसरण: 0 के निकट log sin x = log x + log((sin x)/x) और ∫₀¹ log x dx = −1 अभिसारी है; दूसरा पद परिबद्ध है।

माना I = ∫₀^π/2 log sin x dx = ∫₀^π/2 log cos x dx (x → π/2 − x रखें)। जोड़ने पर 2I = ∫₀^π/2 log(sin 2x/2) dx = ∫₀^π/2 log sin 2x dx − (π/2) log 2.

t = 2x रखने पर ∫₀^π/2 log sin 2x dx = (1/2)∫₀^π log sin t dt = (1/2)(2I) = I, क्योंकि sin t, π/2 के परितः सममित है।

अतः 2I = I − (π/2) log 2, जिससे I = −(π/2) log 2.

12. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): मूल्यांकन कीजिए: ∫₀¹ [log_e(1 + x)/(1 + x²)] dx

x = tan θ, dx = sec²θ dθ, और 1 + x² = sec²θ रखें: I = ∫₀^π/4 log(1 + tan θ) dθ.

θ के स्थान पर π/4 − θ रखें: 1 + tan(π/4 − θ) = 1 + (1 − tan θ)/(1 + tan θ) = 2/(1 + tan θ).

अतः I = ∫₀^π/4 [log 2 − log(1 + tan θ)] dθ = (π/4) log 2 − I, और 2I = (π/4) log 2.

उत्तर: (π/8) log_e2.

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 10 अंक): निम्नलिखित समाकल का मान निकालिए: ∫_π/6^π/3 [∛(sin x)/(∛(sin x) + ∛(cos x))] dx.

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b f(a + b − x) dx लें, a + b = π/2; sin(π/2 − x) = cos x और cos(π/2 − x) = sin x.

अतः I = ∫_π/6^π/3 ∛(cos x)/(∛(cos x) + ∛(sin x)) dx. इसे मूल रूप में जोड़ने पर समाकल्यों का योग 1 है, अतः 2I = π/3 − π/6 = π/6.

उत्तर: π/12.

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 10 अंक): मान निकालिये :
I = ∫₀¹ ∛(x log(1/x)) dx

x = e^−t रखें: log(1/x) = t, dx = −e^−t dt, और x के 0 से 1 के संगत t, ∞ से 0 है।

I = ∫₀^∞ (te^−t)^1/3e^−t dt = ∫₀^∞ t^1/3e^−4t/3 dt, एक अभिसारी गामा-प्रकार का समाकल।

s = 4t/3 लेने पर: I = (3/4)^4/3∫₀^∞ s^1/3e^−s ds = (3/4)^4/3Γ(4/3) = (1/3)(3/4)^4/3Γ(1/3).

उत्तर: I = (3/4)^4/3 Γ(4/3) ≈ 0.6085.

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 10 अंक): परीक्षण कीजिए कि क्या अनंत समाकल ∫₀³ 2x dx/(1 − x²)^2/3 का अस्तित्व है।

[0, 3] में समाकल्य केवल x = 1 पर अपरिबद्ध है, अतः समाकल तभी अस्तित्व में है जब ∫₀¹ और ∫₁³ दोनों अभिसारी हों।

u = 1 − x², du = −2x dx से एक प्रतिअवकलज −3(1 − x²)^1/3 (वास्तविक घनमूल) है, जो [0, 3] पर संतत है।

∫₀^1−ε = 3 − 3(1 − (1 − ε)²)^1/3 → 3, और ∫_1+ε³ = −3(−8)^1/3 + 3(1 − (1 + ε)²)^1/3 → 6.

दोनों सीमाएँ परिमित हैं, जैसा अपेक्षित है क्योंकि x = 1 के निकट समाकल्य एक अचर × |1 − x|^−2/3 जैसा है, और 2/3 < 1.

उत्तर: समाकल का अस्तित्व है और उसका मान 3 + 6 = 9 है।

उदाहरण 11 (UPSC 2020, 15 अंक): ∫₀¹ tan⁻¹(1 − 1/x) dx का मान निकालिए।

समाकल्य (0, 1] पर संतत है और x → 0+ पर −π/2 की ओर जाता है, अतः समाकल का अस्तित्व है। u = tan⁻¹(1 − 1/x) लेकर खंडशः समाकलन: du = (1/x²)/(1 + (1 − 1/x)²) dx = dx/(2x² − 2x + 1).

I = [x tan⁻¹(1 − 1/x)]₀₊¹ − J, जहाँ J = ∫₀¹ x dx/(2x² − 2x + 1); कोष्ठक 0 − 0 है, क्योंकि tan⁻¹0 = 0 और x → 0+ पर x tan⁻¹(1 − 1/x) → 0.

x → 1 − x से हर अपरिवर्तित रहता है, अतः J = ∫₀¹ (1 − x) dx/(2x² − 2x + 1), और 2J = ∫₀¹ dx/(2x² − 2x + 1).

चूँकि 2x² − 2x + 1 = ((2x − 1)² + 1)/2, 2J = ∫₀¹ 2 dx/((2x − 1)² + 1) = [tan⁻¹(2x − 1)]₀¹ = π/2, अतः J = π/4.

उत्तर: −π/4.

उदाहरण 12 (UPSC 2021, 20 अंक): (i) यदि u = x² + y², v = x² − y², जहाँ पर x = r cos θ, y = r sin θ हैं, तब ∂(u, v)/∂(r, θ) ज्ञात कीजिए। (7 अंक)
(ii) यदि ∫₀^x f(t) dt = x + ∫_x¹ t f(t) dt है, तो f(1) का मान ज्ञात कीजिए। (5 अंक)
(iii) ∫_a^b (x − a)^m(b − x)ⁿ dx को बीटा-फलन के रूप में व्यक्त कीजिए। (8 अंक)

(i) ध्रुवी रूप में u = r² और v = r²(cos²θ − sin²θ) = r² cos 2θ, अतः ∂(u, v)/∂(r, θ) = det [[2r, 0], [2r cos 2θ, −2r² sin 2θ]] = −4r³ sin 2θ.

(शृंखला नियम से जाँच: ∂(u, v)/∂(x, y) = det [[2x, 2y], [2x, −2y]] = −8xy और ∂(x, y)/∂(r, θ) = r, अतः गुणनफल −8r³ sin θ cos θ = −4r³ sin 2θ.)

(ii) दोनों पक्षों का अवकलन करें (f संतत): f(x) = 1 − x f(x), क्योंकि d/dx ∫_x¹ t f(t) dt = −x f(x). अतः f(x) = 1/(1 + x) और f(1) = 1/2. (वस्तुतः कोई संतत f दिए गए समीकरण को संतुष्ट नहीं करता: x = 0 पर यह ∫₀¹ t f(t) dt = 0 माँगता है, जबकि f = 1/(1 + x) से 1 − log 2 मिलता है। अवकलन से प्राप्त अभीष्ट उत्तर f(1) = 1/2 है; उत्तर में इसका उल्लेख करें।)

(iii) x = a + (b − a)t, dx = (b − a) dt रखें, अतः x − a = (b − a)t और b − x = (b − a)(1 − t); t, 0 से 1 तक।

m, n > −1 के लिए ∫_a^b (x − a)^m(b − x)ⁿ dx = (b − a)^m+n+1∫₀¹ t^m(1 − t)ⁿ dt = (b − a)^m+n+1 β(m + 1, n + 1).

उत्तर: (i) −4r³ sin 2θ; (ii) f(1) = 1/2; (iii) (b − a)^m+n+1 β(m + 1, n + 1).

उदाहरण 13 (UPSC 2022, 10 अंक): ∫₀² dx/(2x − x²) की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए।

2x − x² = x(2 − x) दोनों अंत्य बिंदुओं पर शून्य है, अतः समाकल्य (0, 2) पर धनात्मक तथा 0 और 2 पर अपरिबद्ध है; x = 1 पर विभाजित करें।

(0, 1] पर 1/(x(2 − x)) ≥ 1/(2x), और ∫₀¹ dx/x अपसारी है (p = 1), अतः तुलना से ∫₀¹ अपसारी है।

सीधे, 1/(x(2 − x)) = (1/2)(1/x + 1/(2 − x)) से: ∫_ε¹ = (1/2)[log x − log(2 − x)]_ε¹ = (1/2) log((2 − ε)/ε) → ∞, जब ε → 0+.

उत्तर: समाकल अपसारी है।

उदाहरण 14 (UPSC 2023, 10 अंक): समाकल ∫₀¹ (log x)/(1 + x) dx की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए।

समाकल्य (0, 1] पर संतत है और x → 0+ पर log x → −∞, अतः समाकल 0 पर अनुचित है। समाकल्य ≤ 0 है, अतः ऋणेतर फलन g(x) = −log x/(1 + x) का परीक्षण करें।

μ = 1/2 के साथ μ-परीक्षण: x → 0+ पर x^1/2g(x) = −x^1/2 log x/(1 + x) → 0, जो μ < 1 के साथ परिमित है, अतः समाकल अभिसारी है। (तुलना: g(x) ≤ −log x और ∫₀¹ −log x dx = 1.)

इसका मान: log x/(1 + x) = ∑(−1)ⁿxⁿ log x और ∫₀¹ xⁿ log x dx = −1/(n + 1)², अतः समाकल −(1 − 1/4 + 1/9 − ...) = −π²/12 है।

उत्तर: समाकल अभिसारी है (इसका मान −π²/12 है)।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): [0, 1] पर f(x) = x² और P = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1} के लिए U(P, f) और L(P, f) की गणना कीजिए।

उत्तर: U = (1/4)(1 + 4 + 9 + 16)/16 = 15/32 और L = (1/4)(0 + 1 + 4 + 9)/16 = 7/32; अंतर 1/4 है।

अभ्यास 2 (मूल): मान लीजिए f(x) = 1 यदि किसी n ∈ ℕ के लिए x = 1/n, और अन्यथा f(x) = 0. क्या f, [0, 1] पर समाकलनीय है? यदि हाँ, तो समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हाँ: f परिबद्ध है और उसकी असांतत्यताएँ (बिंदु 1/n और 0) गणनीय हैं। प्रत्येक L(P, f) = 0, और [0, δ] तथा परिमित बिंदुओं 1/n > δ को छोटे टुकड़ों में घेरकर U(P, f) को छोटा किया जा सकता है, अतः समाकल 0 है।

अभ्यास 3 (मूल): lim_n→∞ ∑_r=1ⁿ r/(n² + r²) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: योग (1/n)∑(r/n)/(1 + (r/n)²) है, अतः सीमा ∫₀¹ x dx/(1 + x²) = (1/2) log 2 है।

अभ्यास 4 (मानक): ∫₀^π/2 sin⁶x dx का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (5/6)(3/4)(1/2)(π/2) = 5π/32.

अभ्यास 5 (मानक): ∫₀^π x dx/(1 + sin x) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x → π − x से 2I = π∫₀^π dx/(1 + sin x) = 2π (भीतरी समाकल 2 है, [0, π/2] पर t = tan(x/2) और सममिति से), अतः I = π.

अभ्यास 6 (मानक): दिखाइए कि ∫₀¹ dx/√(x(1 − x)) अभिसारी है और उसका मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 0 के निकट समाकल्य x^−1/2 की भाँति और 1 के निकट (1 − x)^−1/2 की भाँति व्यवहार करता है (दोनों सिरों पर μ = 1/2 < 1), अतः अभिसारी है; मान β(1/2, 1/2) = Γ(1/2)²/Γ(1) = π है।

अभ्यास 7 (मानक): ∫₀^∞ x⁴e^−x2 dx का मान गामा फलन के पदों में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x² = t रखने पर समाकल (1/2)∫₀^∞ t^3/2e^−t dt = (1/2)Γ(5/2) = 3√π/8 है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन द्वारा दिखाइए कि a > −1 के लिए ∫₀¹ (x^a − 1)/log x dx = log(1 + a).

उत्तर: समाकल को I(a) लेने पर I′(a) = ∫₀¹ x^a dx = 1/(a + 1) और I(0) = 0, अतः I(a) = log(1 + a).

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): दिखाइए कि ∫₀^∞ dx/(1 + x⁴) अभिसारी है और बीटा तथा गामा फलनों से उसका मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: μ = 4 > 1 के साथ x⁴f(x) → 1, अतः अभिसारी है। x⁴ = t रखने पर यह (1/4)∫₀^∞ t^−3/4dt/(1 + t) = (1/4)Γ(1/4)Γ(3/4) = (1/4)π/sin(π/4) = π/(2√2) बनता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): lim_n→∞ [(1 + 1/n)(1 + 2/n)...(1 + n/n)]^1/n ज्ञात कीजिए।

उत्तर: लघुगणक (1/n)∑log(1 + r/n) → ∫₀¹ log(1 + x) dx = 2 log 2 − 1, अतः सीमा e^{2 log 2 − 1} = 4/e है।

1. पुनरावृत्त समाकलों के रूप में द्विक समाकलों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी पृष्ठ के नीचे का आयतन, परिवर्ती घनत्व वाली प्लेट का द्रव्यमान और वक्र क्षेत्र का क्षेत्रफल, सभी में f(x, y) को द्वि-विमीय क्षेत्र पर जोड़ना पड़ता है। पुनरावृत्त समाकलन (repeated integration) इसे दो एकल समाकलों में बदल देता है, जिन्हें हम पहले से करना जानते हैं।

शब्दों में: ∬_R f dA, R को ढकने वाले छोटे कोष्ठों पर योगों ∑f(x_i, y_i)ΔA_i की सीमा है, जब कोष्ठ सिकुड़ते हैं।

वक्रों y = φ₁(x) और y = φ₂(x), a ≤ x ≤ b के बीच के क्षेत्र के लिए: x स्थिर करें, y में निचले वक्र से ऊपरी वक्र तक समाकलन करें (ऊर्ध्वाधर पट्टी), फिर x = a से x = b तक पट्टियों को जोड़ें।

भीतरी समाकल की सीमाएँ बाहरी चर पर निर्भर हो सकती हैं; बाहरी समाकल की सीमाएँ अचर होनी चाहिए।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∬_R xy dA का मान ज्ञात करें, जहाँ R, y = x² और y = x के बीच का क्षेत्र है।

चरण 1: रेखाचित्र बनाएँ। वक्र वहाँ मिलते हैं जहाँ x² = x, अर्थात् (0, 0) और (1, 1) पर; 0 < x < 1 के लिए x² < x, अतः परवलय निचला वक्र है।

चरण 2: x पर ऊर्ध्वाधर पट्टी y = x² से y = x तक जाती है।

चरण 3: भीतरी समाकल: ∫x2x xy dy = x[y2/2]x2x = (x3 − x5)/2.

चरण 4: बाहरी समाकल: ∫₀¹ (x³ − x⁵)/2 dx = (1/2)(1/4 − 1/6) = 1/24.

चरण 5: क्षैतिज पट्टियों से जाँचें: स्थिर y के लिए x, y से √y तक जाता है, ∫_y^√y xy dx = (y² − y³)/2, और ∫₀¹ (y² − y³)/2 dy = (1/2)(1/3 − 1/4) = 1/24 पुनः।

अ-उदाहरण (non-example): व्यंजक ∫01∫x2x f dx dy का कोई अर्थ नहीं है: भीतरी समाकलन x में है, फिर भी उसकी सीमाओं में x है। विफल होने वाली शर्त यह है कि भीतरी सीमाएँ केवल बाहरी चर पर निर्भर हो सकती हैं।

आगे बढ़ते हुए: (1) f ≥ 0 के लिए भीतरी समाकल स्थिर x पर ठोस के अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल है, और अनुप्रस्थ-काटों का समाकलन आयतन देता है (स्लाइस विधि)।

(2) फ़ुबिनी प्रमेय कहता है कि संतत f के लिए दोनों क्रम समान उत्तर देते हैं, अतः वह क्रम चुनें जिसकी सीमाएँ या भीतरी समाकल सरल हो।

(3) क्रम बदलने के लिए क्षेत्र को रेखाचित्र से पढ़कर दूसरे क्रम की असमिकाओं के रूप में लिखें, और जहाँ पट्टी किसी अन्य वक्र पर समाप्त हो वहाँ क्षेत्र को विभाजित करें।

(4) f = 1 लेने पर द्विक समाकल R का क्षेत्रफल है, और नीचे क्षेत्रफल इसी प्रकार ज्ञात किए जाते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: क्रम-परिवर्तन के प्रश्न, वक्रों के बीच क्षेत्रफल, और यांत्रिकी में द्रव्यमान केंद्र तथा जड़त्व आघूर्ण।

2. चर-परिवर्तन और ध्रुवीय निर्देशांकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: चकती, त्रिज्यखंड और दीर्घवृत्त √(a² − x²) जैसी असुविधाजनक कार्तीय सीमाएँ देते हैं, और x² + y² वाले समाकल्यों का समाकलन कठिन है। उपयुक्त नए चरों में क्षेत्र आयत बन जाता है और समाकल्य सरल हो जाता है।

परंतु परिवर्तन में छोटे क्षेत्रफलों का आकार बदलता है, अतः एक संशोधन गुणक आवश्यक है।

शब्दों में: मान लें x = x(u, v), y = y(u, v), uv-तल के क्षेत्र S को एकैकी रूप से R पर प्रतिचित्रित करते हैं। तब ∬_R f dx dy = ∬_S f(x(u, v), y(u, v))|J| du dv, जहाँ J = ∂(x, y)/∂(u, v).

|J| वह गुणक है जिससे सूक्ष्म आयत du × dv खिंचता है। ध्रुवीय निर्देशांकों में J = r, अतः dx dy = r dr dθ: ध्रुवीय कोष्ठ की भुजाएँ dr और r dθ हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: चकती x² + y² ≤ 4 पर ∬(x² + y²) dx dy का मान ज्ञात करें।

चरण 1: ध्रुवीय निर्देशांकों में चकती 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π है, जो (r, θ)-तल में एक आयत है।

चरण 2: समाकल्य x² + y², r² बन जाता है।

चरण 3: अवयव dx dy, r dr dθ बन जाता है।

चरण 4: ∫₀^2π∫₀² r²·r dr dθ = 2π[r⁴/4]₀² = 2π·4 = 8π.

चरण 5: अतिरिक्त गुणक r पर ध्यान दें; इसे भूलने पर 2π·8/3 = 16π/3 मिलता है, जो गलत है।

अ-उदाहरण (non-example): आयत −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 पर u = x², v = y एकैकी नहीं है: x और −x एक ही u देते हैं, और जैकोबियन 2x, x = 0 पर शून्य है।

0 ≤ u ≤ 1 पर सूत्र एक बार लगाने से आयत का केवल आधा भाग गिना जाता है। विफल होने वाली शर्त एकैकी होना है; उपाय यह है कि आयत को x ≥ 0 और x ≤ 0 में विभाजित करके प्रत्येक अर्धभाग पर सूत्र लगाएँ।

आगे बढ़ते हुए: (1) भुजाओं du, dv वाला सूक्ष्म आयत (x_u, y_u)du और (x_v, y_v)dv से जनित लगभग-समांतर चतुर्भुज में जाता है, क्योंकि प्रतिचित्रण अवकलनीय है।

(2) इसका क्षेत्रफल |x_uy_v − x_vy_u| du dv = |J| du dv है (व्युत्पत्ति नीचे)।

(3) इन टुकड़ों को जोड़ने से सूत्र मिलता है। जब नए चर u(x, y), v(x, y) के रूप में दिए हों, तो प्रतिचित्रण को उलटने के स्थान पर |J| = 1/|∂(u, v)/∂(x, y)| लें।

(4) मानक गुणक: ध्रुवीय r, दीर्घवृत्तीय ध्रुवीय abr, रैखिक |ad − bc| (इस और पिछले विषय की तालिकाएँ देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: गाउसीय समाकल, कार्डियॉइड और वृत्तों के अंदर के क्षेत्रफल, और xy = c या x² − y² = c जैसे वक्रों से घिरे क्षेत्र (नीचे हल किए गए UPSC प्रश्न देखें)।

3. द्विक समाकल

क्षेत्र R पर द्विक समाकल (double integral) ∬_R f(x, y) dx dy. यदि R = {a ≤ x ≤ b, φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x)}, तो समाकल ∫_a^b [∫_φ1(x)^φ₂(x) f dy] dx है; चर सीमाओं वाला आंतरिक समाकल पहले निकाला जाता है।

भाव: f ≥ 0 के लिए ∬_R f dx dy, पृष्ठ z = f(x, y) और क्षेत्र R के बीच के ठोस का आयतन है। आंतरिक समाकल ∫f dy नियत x पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और इन काटों का x पर समाकलन आयतन देता है (स्लाइस विधि)।

फ़ूबिनी प्रमेय: आयत (या उपर्युक्त प्रकार के क्षेत्र) पर संतत f के लिए द्विक समाकल किसी भी पुनरावृत्त समाकल के बराबर है, अतः समाकलन का क्रम बदला जा सकता है।

सांतत्य (या कम से कम परिबद्धता) महत्त्वपूर्ण है: 0 < x, y ≤ 1 पर f = (x² − y²)/(x² + y²)² के लिए पहले y में समाकलन ∫₀¹ dx/(1 + x²) = π/4 देता है, जबकि पहले x में समाकलन −π/4, क्योंकि मूल बिंदु के पास f अपरिबद्ध है।

क्रम परिवर्तन (विधि): (1) सीमाओं को असमिकाओं के रूप में लिखें; (2) क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ; (3) दूसरी दिशा में पट्टियाँ खींचकर नई सीमाएँ पढ़ें, और जहाँ पट्टी भिन्न सीमा वक्रों पर समाप्त हो वहाँ क्षेत्र को विभाजित करें।

ऊपर का चित्र देखें: [0, 1] पर y = x2 और y = x के बीच के क्षेत्र के लिए ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ y = x2 से y = x तक और क्षैतिज पट्टियाँ x = y से x = √y तक जाती हैं, अतः ∫01∫x2x f dy dx = ∫01∫y√y f dx dy.

चर परिवर्तन: ∬ f(x, y) dx dy = ∬ f(x(u, v), y(u, v)) |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv; ध्रुवीय निर्देशांकों में dx dy = r dr dθ.

व्युत्पत्ति: uv-समतल में छोटा आयत du × dv, (x_u, y_u)du और (x_v, y_v)dv द्वारा जनित लगभग समांतर चतुर्भुज पर जाता है, जिसका क्षेत्रफल |x_uy_v − x_vy_u| du dv = |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv है। ध्रुवीय निर्देशांकों में अवयव भुजाओं dr और r dθ वाला वक्ररेखीय आयत है, अतः dx dy = r dr dθ.

समाकल के परिबंध: यदि R पर m ≤ f ≤ M, तो m·(R का क्षेत्रफल) ≤ ∬_R f dx dy ≤ M·(R का क्षेत्रफल)।

क्षेत्र का विभाजन: |g(x, y)| वाले या खंडशः परिभाषित समाकल्य के लिए R को वक्र g = 0 (या खंडों की सीमा-वक्रों) के अनुदिश बाँटें और प्रत्येक भाग पर समाकलन करें।

u(x, y), v(x, y) के रूप में दिया चर-परिवर्तन: dx dy = du dv/|∂(u, v)/∂(x, y)| लें, जिससे प्रतिचित्रण का प्रतिलोम नहीं निकालना पड़ता; जाँचें कि क्षेत्र पर प्रतिचित्रण एकैकी है और सीमा-वक्रों से नई सीमाएँ ज्ञात करें।

4. त्रिक समाकलों और गोलीय निर्देशांकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ठोसों के आयतन, द्रव्यमान और जड़त्व आघूर्ण के लिए त्रि-विमीय क्षेत्रों पर जोड़ना पड़ता है। द्विक समाकलों की भाँति हम इस काम को पुनरावृत्त एकल समाकलों में बदल देते हैं।

शब्दों में: कार्तीय निर्देशांकों में ∭_V f dV के लिए, स्थिर (x, y) हेतु z को निचले पृष्ठ से ऊपरी पृष्ठ तक चलाएँ, फिर xy-तल पर ठोस के प्रक्षेप D पर समाकलन करें। सबसे भीतरी सीमाएँ पृष्ठ हैं, मध्य सीमाएँ वक्र, और बाहरी सीमाएँ संख्याएँ।

बेलनाकार निर्देशांकों (r, θ, z) में dV = r dr dθ dz. गोलीय निर्देशांकों (r, θ, φ) में r मूल बिंदु से दूरी, θ धनात्मक z-अक्ष से कोण (0 से π) और φ, z-अक्ष के परितः कोण (0 से 2π) है, और dV = r² sin θ dr dθ dφ.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: शंकु z = √(x² + y²) और तल z = 1 के बीच के ठोस का आयतन ज्ञात करें।

चरण 1: शंकु तल से वृत्त x² + y² = 1 पर मिलता है, अतः इकाई चकती के (x, y) के लिए z, √(x² + y²) से 1 तक जाता है।

चरण 2: बेलनाकार निर्देशांकों में √(x² + y²) = r, अतः ठोस r ≤ z ≤ 1, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π है।

चरण 3: V = ∫₀^2π∫₀¹∫_r¹ r dz dr dθ.

चरण 4: सबसे भीतरी समाकल ∫_r¹ r dz = r(1 − r) है।

चरण 5: मध्य समाकल ∫₀¹ (r − r²) dr = 1/2 − 1/3 = 1/6 है।

चरण 6: बाहरी समाकल V = 2π/6 = π/3 देता है, जो शंकु के लिए (1/3)(आधार क्षेत्रफल)(ऊँचाई) = (1/3)π(1)(1) से मेल खाता है।

अ-उदाहरण (non-example): गोलीय अवयव को sin θ के बिना r² dr dθ dφ लिखने पर त्रिज्या a की गेंद का 'आयतन' 4πa³/3 के स्थान पर ∫₀^2π∫₀^π∫₀^a r² dr dθ dφ = 2π²a³/3 आता है।

छूटा हुआ गुणक sin θ यह दर्ज करता है कि ध्रुवों के निकट अक्षांश वृत्त छोटे होते हैं: कोण θ पर वृत्त की त्रिज्या r sin θ है।

आगे बढ़ते हुए: (1) z पर सबसे भीतरी समाकल त्रिक समाकल को द्विक समाकल में बदल देता है; f = 1 के साथ यह ऊँचाई h − g है, अतः V = ∬_D (h − g) dx dy.

(2) गोलीय बक्से के किनारे dr, r dθ और r sin θ dφ हैं, अतः dV = r² sin θ dr dθ dφ (व्युत्पत्ति नीचे), जो जैकोबियन ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ) के बराबर है।

(3) x + y + z ≤ 1 पर घात-समाकल्य के साथ पुनरावृत्त बीटा समाकल डिरिक्ले सूत्र देते हैं, अतः सीमाएँ लिखने की आवश्यकता ही नहीं रहती।

कहाँ प्रयोग होता है: परवलयजों के बीच आयतन, गोले–बेलन प्रतिच्छेद, किसी अष्टांश पर ∭xyz, यांत्रिकी में गुरुत्व केंद्र और जड़त्व आघूर्ण, और सदिश विश्लेषण में अपसरण प्रमेय।

5. त्रिक समाकल

त्रिक समाकल (triple integral) ∭_V f dx dy dz का मान तीन क्रमिक एकल समाकलों के रूप में निकलता है; क्षेत्र में संगत सममिति हो तो बेलनी (dV = r dr dθ dz) या गोलीय (dV = r² sin θ dr dθ dφ) निर्देशांक लें।

गोलीय अवयव की व्युत्पत्ति: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ (θ, z-अक्ष से मापा गया) के साथ अवयव एक वक्र डिब्बा है जिसके किनारे dr, r dθ (याम्योत्तर के अनुदिश) और r sin θ dφ (त्रिज्या r sin θ के अक्षांश वृत्त के अनुदिश) हैं, अतः dV = r² sin θ dr dθ dφ, जो ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ) = r² sin θ से मेल खाता है।

डिरिक्ले समाकल: x, y, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1 पर ∭ x^l−1y^m−1zⁿ⁻¹ dx dy dz = Γ(l)Γ(m)Γ(n)/Γ(l + m + n + 1).

व्युत्पत्ति (दो चर): x, y ≥ 0, x + y ≤ 1 पर आंतरिक समाकल ∫₀^1−x y^m−1 dy = (1 − x)^m/m है, और फिर ∫₀¹ x^l−1(1 − x)^m dx/m = β(l, m + 1)/m = Γ(l)Γ(m + 1)/(mΓ(l + m + 1)) = Γ(l)Γ(m)/Γ(l + m + 1). इसी प्रकार एक और समाकलन तीन चरों का सूत्र देता है; x/a + y/b + z/c ≤ 1 के लिए पहले x = au, y = bv, z = cw रखें।

लिउविल विस्तार: x, y, z ≥ 0, x + y + z ≤ h पर ∭ f(x + y + z)x^l−1y^m−1zⁿ⁻¹ dx dy dz = (Γ(l)Γ(m)Γ(n)/Γ(l + m + n)) ∫₀^h f(u)u^l+m+n−1 du.

दो पृष्ठों के बीच आयतन: यदि D पर g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y), तो V = ∭ dz dy dx = ∬_D (h − g) dx dy, जहाँ D वक्र h = g के xy-समतल पर प्रक्षेप से मिलता है। प्रथम अष्टांश में चतुष्फलक x/a + y/b + z/c ≤ 1 का आयतन abc/6 है।

6. क्षेत्रफल

कार्तीय: क्षेत्रफल (area) A = ∬_R dx dy = ∫_a^b (y₂ − y₁) dx. ध्रुवीय: A = (1/2)∫_α^β r² dθ = ∬ r dr dθ. प्राचलिक रूप में दिया संवृत वक्र: A = (1/2)∮(x dy − y dx).

व्युत्पत्ति: θ और θ + dθ के बीच का पतला त्रिज्यखंड लगभग त्रिज्या r का वृत्तीय त्रिज्यखंड है, जिसका क्षेत्रफल (1/2)r² dθ है; इन त्रिज्यखंडों को जोड़ने पर (1/2)∫r² dθ मिलता है। सूत्र (1/2)∮(x dy − y dx), P = −y/2, Q = x/2 के साथ ग्रीन प्रमेय है, क्योंकि ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1.

ध्रुवी वक्रों के बीच क्षेत्रफल r₁(θ) ≤ r ≤ r₂(θ), α ≤ θ ≤ β: A = (1/2)∫_α^β (r₂² − r₁²) dθ, जहाँ θ की सीमाएँ r₁ = r₂ से मिलती हैं।

दो वक्रों का उभयनिष्ठ क्षेत्रफल: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें, सममिति का प्रयोग करें, और पट्टियाँ (ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज) ऐसी चुनें कि प्रत्येक पट्टी उन्हीं दो वक्रों के बीच हो।

7. परिक्रमण के आयतनों और पृष्ठों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक ठोस, जैसे गोला, शंकु, टोरस और परवलयज कटोरे, किसी समतल क्षेत्र को एक अक्ष के परितः घुमाकर बनते हैं। अक्ष के आर-पार काटने से चकतियाँ और चाप घुमाने से पतली पट्टियाँ मिलती हैं, अतः ये प्रश्न एकल समाकलों में बदल जाते हैं।

शब्दों में: आयतन के लिए x पर स्लाइस त्रिज्या y = f(x) और मोटाई dx की चकती है, अतः dV = πy² dx.

पृष्ठ के लिए ऊँचाई y पर छोटा चाप ds परिधि 2πy और चौड़ाई ds की पट्टी बनाता है, अतः dS = 2πy ds, जहाँ ds = √(1 + (dy/dx)²) dx चाप की प्रवणता का ध्यान रखता है।

पैपस प्रमेय यही बात एक पंक्ति में कहते हैं: आयतन = क्षेत्रफल × क्षेत्रफल के केंद्रक द्वारा तय दूरी; पृष्ठ = चाप लंबाई × चाप के केंद्रक द्वारा तय दूरी।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y = √(a² − x²), −a ≤ x ≤ a, को x-अक्ष के परितः घुमाकर त्रिज्या a का गोला प्राप्त करें।

चरण 1: आयतन: V = π∫_−a^a (a² − x²) dx = π(2a³ − 2a³/3) = 4πa³/3.

चरण 2: पृष्ठ के लिए dy/dx = −x/√(a² − x²), अतः 1 + (dy/dx)² = a²/(a² − x²) और √(1 + (dy/dx)²) = a/y.

चरण 3: dS = 2πy·(a/y) dx = 2πa dx; y कट जाता है।

चरण 4: S = 2πa·2a = 4πa².

चरण 5: ध्यान दें कि x की प्रति इकाई लंबाई पर पट्टी का क्षेत्रफल अचर है, अतः दो समांतर तलों द्वारा गोले से काटी गई मोटाई h की किसी भी परत का वक्र पृष्ठ 2πah है (आर्किमिडीज़)।

अ-उदाहरण (non-example): गोले के लिए 2π∫y dx लेने पर 4πa² ≈ 12.57a² के स्थान पर 2π(πa²/2) = π²a² ≈ 9.87a² आता है। विफल होने वाला चरण पट्टी की चौड़ाई है: वह ds है, dx नहीं, और ढलान वाले चाप पर ds > dx.

आगे बढ़ते हुए: (1) पाइथागोरस से ds² = dx² + dy², जिससे चाप लंबाई के सभी रूप मिलते हैं (व्युत्पत्ति नीचे)।

(2) चकती और पट्टी अवयव V = π∫y² dx और S = 2π∫y ds देते हैं।

(3) पैपस प्रमेय केंद्रक की परिभाषा से निकलता है: अक्ष से दूरी y पर अवयव dA आयतन 2πy dA बनाता है, और ∫2πy dA = 2πȳA, जहाँ ȳ अक्ष से केंद्रक की दूरी है।

(4) ध्रुवीय रूप में क्षेत्रफल अवयव (1/2)r² dθ का केंद्रक ऊँचाई (2/3)r sin θ पर है, अतः पैपस से V = (2π/3)∫r³ sin θ dθ.

कहाँ प्रयोग होता है: कार्डियॉइड, एस्ट्रॉइड और वक्रों के पाशों से जनित आयतन और पृष्ठ, टोरस, और स्थैतिकी में आवश्यक केंद्रक।

8. चाप लंबाई, पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन

चाप लंबाई: s = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx = ∫ √(r² + (dr/dθ)²) dθ = ∫ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

व्युत्पत्ति: वक्र के छोटे टुकड़े के लिए ds² = dx² + dy² (पाइथागोरस), जिससे तीनों रूप मिलते हैं; ध्रुवीय निर्देशांकों में dx² + dy² = dr² + r²dθ².

x-अक्ष के परितः परिक्रमण आयतन (volume): V = π∫_a^b y² dx. r = f(θ), α ≤ θ ≤ β से घिरे ध्रुवीय क्षेत्र का प्रारंभिक रेखा के परितः परिक्रमण: V = (2π/3)∫_α^β r³ sin θ dθ.

व्युत्पत्ति: x पर पतली स्लाइस त्रिज्या y और मोटाई dx की चकती है, जिसका आयतन πy² dx है। ध्रुवीय रूप के लिए, क्षेत्रफल (1/2)r² dθ के त्रिभुजाकार अवयव का केन्द्रक प्रारंभिक रेखा से (2/3)r sin θ दूरी पर है, अतः पैपस प्रमेय से dV = 2π·(2/3)r sin θ·(1/2)r² dθ = (2π/3)r³ sin θ dθ.

x-अक्ष के परितः परिक्रमण पृष्ठ (surface): S = 2π∫ y ds = 2π∫_a^b y√(1 + (dy/dx)²) dx.

व्युत्पत्ति: ऊँचाई y पर छोटा चाप ds त्रिज्या y और तिर्यक ऊँचाई ds की पतली पट्टी (शंकु का छिन्नक) बनाता है, जिसका क्षेत्रफल 2πy ds है। इसके स्थान पर 2π∫y dx लिखना गलत है, क्योंकि यह चाप की प्रवणता की उपेक्षा करता है।

पैपस प्रमेय: आयतन = (क्षेत्र का क्षेत्रफल) × (उसके केंद्रक द्वारा तय दूरी); पृष्ठ क्षेत्रफल = (चाप की लंबाई) × (चाप के केंद्रक द्वारा तय दूरी); अक्ष क्षेत्र को नहीं काटना चाहिए।

उदाहरणार्थ, त्रिज्या a के वृत्त को उसके केंद्र से b > a दूरी पर स्थित रेखा के परितः घुमाने से बने टोरस के लिए V = πa²·2πb = 2π²a²b और S = 2πa·2πb = 4π²ab.

पृष्ठ के नीचे आयतन: V = ∬_R z dx dy, या V = ∭ dx dy dz. R पर z = f(x, y) का पृष्ठ क्षेत्रफल: S = ∬_R √(1 + z_x² + z_y²) dx dy.

पृष्ठ सूत्र की व्युत्पत्ति: छोटे आयत dx dy के ऊपर स्पर्श तल के टुकड़े का क्षेत्रफल dx dy/|cos γ| है, जहाँ γ अभिलंब (−z_x, −z_y, 1) और z-अक्ष के बीच का कोण है; चूँकि |cos γ| = 1/√(1 + z_x² + z_y²), पृष्ठ अवयव √(1 + z_x² + z_y²) dx dy है।

9. विधि का चयन

यदि आंतरिक समाकल प्रारंभिक पदों में न निकले (e^x2, (sin y)/y, e^−y2) → समाकलन का क्रम बदलें; नया आंतरिक समाकल प्रायः प्रारंभिक बन जाता है।

यदि क्षेत्र या समाकल्य में वृत्तीय, बेलनाकार या गोलीय सममिति हो → इस विषय की दूसरी तालिका के अनुसार निर्देशांक बदलें; यदि क्षेत्र x + y + z ≤ h हो और समाकल्य घातों वाला हो → डिरिक्ले या लिउविल समाकल।

यदि ज्ञात केन्द्रक वाले क्षेत्र का परिक्रमण आयतन या पृष्ठ पूछा जाए → पैपस प्रमेय उसे एक पंक्ति में देते हैं।

10. सामान्य गलतियाँ

ध्रुवीय निर्देशांकों में गुणक r या गोलीय निर्देशांकों में r² sin θ भूल जाना।

क्षेत्र दोबारा खींचे बिना केवल सीमाएँ अदल-बदल कर समाकलन का क्रम बदलना; नई सीमाएँ रेखाचित्र से पढ़नी चाहिए, और क्षेत्र को विभाजित करना पड़ सकता है।

सममिति के लिए 4 से गुणा करना जबकि समाकल्य x और y दोनों में सम न हो।

परिक्रमण पृष्ठ के लिए 2π∫y ds के स्थान पर 2π∫y dx लेना।

अक्ष के क्षेत्र को काटने पर पैपस लगाना, या पृष्ठ प्रश्न में क्षेत्रफल का केन्द्रक लेना, जहाँ चाप का केन्द्रक चाहिए।

उत्तर को अमूल्यांकित गामा व्यंजक के रूप में छोड़ देना जबकि वह सरल हो सकता है (Γ(1/2) = √π, Γ(n + 1) = n!)।

11. संबंध

संबंध: समतल में ग्रीन प्रमेय, स्टोक्स प्रमेय और गाउस अपसरण प्रमेय रेखा, पृष्ठ और आयतन समाकलों को एक-दूसरे में बदलते हैं, और क्षेत्रफल सूत्र (1/2)∮(x dy − y dx) सबसे सरल स्थिति है (सदिश विश्लेषण)।

संबंध: यांत्रिकी में द्रव्यमान केंद्र और जड़त्व आघूर्ण ठीक इसी प्रकार के बहु-समाकल हैं।

संबंध: डिरिक्ले समाकल बीटा और गामा फलनों में समानीत होता है (पिछला विषय), और प्रत्येक प्रतिस्थापन का जैकोबियन वही सारणिक है जो अनेक चरों के फलनों में पढ़ा गया।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: समाकलन का क्रम बदलकर ∫₀^∞∫_x^∞ (e^−y/y) dy dx का मान ज्ञात करें।

क्षेत्र 0 ≤ x ≤ y < ∞ है। क्रम बदलने पर x, 0 से y तक चलता है: ∫₀^∞ (e^−y/y)·y dy = ∫₀^∞ e^−y dy = 1.

उदाहरण 2: प्रथम चतुर्थांश पर ∬ e^−(x2+y2) dx dy का मान ज्ञात कर ∫₀^∞ e^−x2 dx निगमित करें।

ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल ∫₀^π/2∫₀^∞ e^−r2 r dr dθ = (π/2)(1/2) = π/4 है। यह I² के बराबर भी है, जहाँ I = ∫₀^∞ e^−x2 dx, अतः I = √π/2.

उदाहरण 3: त्रिक समाकल से गोले x² + y² + z² = a² का आयतन ज्ञात करें।

V = ∫₀^2π∫₀^π∫₀^a r² sin θ dr dθ dφ = (a³/3)(2)(2π) = 4πa³/3.

उदाहरण 4: गोले x² + y² + z² = a² के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें जो बेलन x² + y² = ax के अंदर है (विवियानी समस्या)।

ऊपरी अर्ध के लिए √(1 + z_x² + z_y²) = a/√(a² − r²), अतः S = ∫_−π/2^π/2∫₀^{a cos θ} ar dr dθ/√(a² − r²) = ∫_−π/2^π/2 a²(1 − |sin θ|) dθ = a²(π − 2). दोनों अर्ध मिलकर 2a²(π − 2) देते हैं।

उदाहरण 5: हृदयाभ r = a(1 + cos θ) को प्रारंभिक रेखा के परितः घुमाने से जनित आयतन V = (2π/3)∫₀^π a³(1 + cos θ)³ sin θ dθ = (2π/3)a³·4 = 8πa³/3 है।

उदाहरण 6: ∬_R (x + y)² dx dy का मान ज्ञात करें, जहाँ R रेखाओं x + y = 0, x + y = 2, 3x − 2y = 0 और 3x − 2y = 3 से घिरा समांतर चतुर्भुज है।

u = x + y, v = 3x − 2y रखें; R आयत 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 3 बन जाता है।

∂(u, v)/∂(x, y) = det [[1, 1], [3, −2]] = −5, अतः dx dy = |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv = (1/5) du dv.

समाकल = (1/5)∫₀³∫₀² u² du dv = (1/5)(8/3)(3) = 8/5.

उदाहरण 7: गोले x² + y² + z² ≤ a² के धनात्मक अष्टांश पर ∭ xyz dx dy dz का मान ज्ञात करें।

गोलीय निर्देशांकों में xyz = r³ sin²θ cos θ sin φ cos φ और dV = r² sin θ dr dθ dφ, जहाँ 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2.

समाकल पृथक हो जाता है: ∫₀^a r⁵ dr · ∫₀^π/2 sin³θ cos θ dθ · ∫₀^π/2 sin φ cos φ dφ = (a⁶/6)(1/4)(1/2) = a⁶/48.

13. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 15 अंक): रूपांतर x + y = u, y = uv का प्रयोग करते हुए, समाकल ∬ {xy(1 − x − y)}^1/2 dx dy का सीधी रेखाएँ x = 0, y = 0 तथा x + y = 1 के द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर मूल्यांकन कीजिए।

x + y = u, y = uv से x = u(1 − v), y = uv; त्रिभुज x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 वर्ग 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 बन जाता है।

∂(x, y)/∂(u, v) = det [[1 − v, −u], [v, u]] = u(1 − v) + uv = u, अतः dx dy = u du dv.

xy(1 − x − y) = u²v(1 − v)(1 − u), अतः समाकल ∫₀¹∫₀¹ u²(1 − u)^1/2v^1/2(1 − v)^1/2 du dv = β(3, 3/2)β(3/2, 3/2) है।

β(3, 3/2) = Γ(3)Γ(3/2)/Γ(9/2) = 2(√π/2)/((105/16)√π) = 16/105 और β(3/2, 3/2) = (√π/2)²/Γ(3) = π/8.

उत्तर: (16/105)(π/8) = 2π/105.

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 13 अंक): निम्नलिखित का मान निकालिए: ∬_R √|y − x²| dx dy जहाँ R = [−1, 1 ; 0, 2].

R = [−1, 1] × [0, 2] को y = x² के अनुदिश बाँटें: R₁: x² ≤ y ≤ 2 और R₂: 0 ≤ y ≤ x² (−1 ≤ x ≤ 1)।

R₂ पर: ∫₀^x2 √(x² − y) dy = (2/3)|x|³, और ∫₋₁¹ (2/3)|x|³ dx = 1/3.

R1 पर: ∫x22 √(y − x2) dy = (2/3)(2 − x2)3/2, और ∫−11 (2/3)(2 − x2)3/2 dx = (4/3)∫01 (2 − x2)3/2 dx.

x = √2 sin θ (0 ≤ θ ≤ π/4) से: ∫₀¹ (2 − x²)^3/2 dx = ∫₀^π/4 4 cos⁴θ dθ = (1/2)∫₀^π/4 (3 + 4 cos 2θ + cos 4θ) dθ = (1/2)(3π/4 + 2) = 3π/8 + 1.

अतः R₁ भाग (4/3)(3π/8 + 1) = π/2 + 4/3 है, और कुल π/2 + 4/3 + 1/3.

उत्तर: π/2 + 5/3 ≈ 3.237.

उदाहरण 10 (UPSC 2016, 15 अंक): तल x + 2y + 2z = 12 के x = 0, y = 0 तथा x² + y² = 16 द्वारा काटे गये क्षेत्र का पृष्ठीय क्षेत्रफल (surface area) निकालिये।

समतल पर z = (12 − x − 2y)/2, अतः z_x = −1/2, z_y = −1 और √(1 + z_x² + z_y²) = √(1 + 1/4 + 1) = 3/2.

x = 0, y = 0 और बेलन x² + y² = 16 द्वारा कटा भाग चतुर्थांश चक्र D: x, y ≥ 0, x² + y² ≤ 16 पर प्रक्षेपित होता है, जिसका क्षेत्रफल 4π है (वहाँ z धनात्मक रहता है)।

S = ∬_D (3/2) dx dy = (3/2)(4π). (समतुल्यतः S = (प्रक्षेप का क्षेत्रफल)/cos γ, जहाँ एकक अभिलंब (1, 2, 2)/3 के लिए cos γ = 2/3.)

उत्तर: 6π.

उदाहरण 11 (UPSC 2016, 15 अंक): ∬_R f(x, y) dx dy का मान निकालिये, जहाँ आयत R = [0, 1; 0, 1] तथा
f(x, y) = x + y, यदि x² < y < 2x²
f(x, y) = 0, अन्यथा
है।

f वर्ग के भीतर केवल परवलयों y = x² और y = 2x² के बीच शून्येतर है, और x ≤ 1/√2 के लिए 2x² ≤ 1. f परिबद्ध है और उसकी असांतत्यताएँ केवल दो वक्रों पर हैं, अतः यह समाकलनीय है।

0 ≤ x ≤ 1/√2 के लिए y, x² से 2x² तक: ∫(x + y) dy = x³ + 3x⁴/2, और ∫₀^1/√2 (x³ + 3x⁴/2) dx = 1/16 + 3/(40√2).

1/√2 ≤ x ≤ 1 के लिए y, x² से 1 तक: ∫(x + y) dy = x − x³ + (1 − x⁴)/2, और ∫_1/√2¹ = [x²/2 − x⁴/4 + x/2 − x⁵/10]_1/√2¹ = 13/20 − 3/16 − 19/(40√2).

कुल = 1/16 + 13/20 − 3/16 − 16/(40√2) = 21/40 − √2/5.

उत्तर: 21/40 − √2/5 ≈ 0.242.

उदाहरण 12 (UPSC 2017, 10 अंक): प्रान्त R : {−3 ≤ x² − y² ≤ 3, 1 ≤ xy ≤ 4} पर फलन f(x, y) = xy(x² + y²) का समाकलन कीजिए।

u = x² − y², v = xy रखें। तब ∂(u, v)/∂(x, y) = det [[2x, −2y], [y, x]] = 2(x² + y²), अतः dx dy = du dv/(2(x² + y²)).

अतः xy(x² + y²) dx dy = (v/2) du dv.

प्रथम चतुर्थांश में प्रतिचित्रण आयत −3 ≤ u ≤ 3, 1 ≤ v ≤ 4 पर एकैकी है (यह z = x + iy के लिए z ↦ z² है, क्योंकि z² = u + 2iv), अतः समाकल (1/2)∫₋₃³ du ∫₁⁴ v dv = (1/2)(6)(15/2) = 45/2 है।

[समुच्चय 1 ≤ xy ≤ 4 की तीसरे चतुर्थांश में भी एक शाखा है, जहाँ समाकल्य वही मान लेता है; अभिप्रेत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश वाला है। दोनों शाखाएँ गिनने पर समाकल 45 है।]

उत्तर: 45/2 (प्रथम चतुर्थांश वाले क्षेत्र पर)।

उदाहरण 13 (UPSC 2017, 15 अंक): xy-तल के ऊपर के और ठीक नीचे के दीर्घवृत्तीय पैराबोलौएड x² + y²/4 = z, जो समतल z = 9 से कटा हुआ है, का आयतन मालूम कीजिए।

परवलयज z = x² + y²/4, z = 9 से दीर्घवृत्त E: x² + y²/4 ≤ 9 (अर्ध-अक्ष 3 और 6, क्षेत्रफल 18π) के ऊपर मिलता है। z = 0 से ऊपर और इस भाग के नीचे के ठोस का आयतन V = ∬_E (x² + y²/4) dx dy.

x = r cos θ, y = 2r sin θ रखें (जैकोबियन 2r): E, 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π बन जाता है, और समाकल्य r² है।

V = ∫₀^2π∫₀³ r²·2r dr dθ = 2π · 2 · 81/4 = 81π. (परवलयज के भीतर z = 9 तक के ठोस का आयतन भी 9 · 18π − 81π = 81π है, अतः दोनों अर्थ मेल खाते हैं।)

उत्तर: 81π.

उदाहरण 14 (UPSC 2017, 10 अंक): सिद्ध कीजिए कि π/3 ≤ ∬_D dx dy/√(x² + (y − 2)²) ≤ π जहाँ पर D एकक डिस्क है।

f(x, y) = 1/√(x² + (y − 2)²) = 1/d, जहाँ d, (x, y) से P(0, 2) की दूरी है, और |OP| = 2.

इकाई चक्र D के (x, y) के लिए त्रिभुज असमिका से 2 − 1 ≤ d ≤ 2 + 1, अर्थात 1 ≤ d ≤ 3 ((0, 1) और (0, −1) पर प्राप्त); अतः D पर 1/3 ≤ f ≤ 1.

m = 1/3, M = 1 और क्षेत्रफल(D) = π के साथ: m·π ≤ ∬_D f dx dy ≤ M·π.

उत्तर: π/3 ≤ ∬_D dx dy/√(x² + (y − 2)²) ≤ π.

उदाहरण 15 (UPSC 2018, 12 अंक): समाकल ∫₀^a ∫_x/a^x x dy dx/(x² + y²) का मान निकालिये।

आंतरिक समाकल (x > 0 नियत): ∫_x/a^x x dy/(x² + y²) = [tan⁻¹(y/x)]_y=x/a^y=x = π/4 − tan⁻¹(1/a), जो x पर निर्भर नहीं।

बाह्य समाकल: ∫₀^a (π/4 − tan⁻¹(1/a)) dx = a(π/4 − tan⁻¹(1/a)).

चूँकि tan(π/4 − φ) = (1 − tan φ)/(1 + tan φ), a > 0 के लिए यह a tan⁻¹((a − 1)/(a + 1)) के बराबर भी है।

उत्तर: a(π/4 − tan⁻¹(1/a)) = a tan⁻¹((a − 1)/(a + 1)).

उदाहरण 16 (UPSC 2021, 15 अंक): दर्शाइए कि ऐस्ट्रॉइड : x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 का पूरा क्षेत्रफल (3/8)πa² है।

एस्ट्रॉइड को x = a cos³t, y = a sin³t से प्राचलित करें। यह दोनों अक्षों के प्रति सममित है, अतः A = 4∫₀^a y dx (प्रथम चतुर्थांश)।

x के 0 से a जाने पर t, π/2 से 0 जाता है, और dx = −3a cos²t sin t dt; अतः A = 4∫_π/2⁰ a sin³t(−3a cos²t sin t) dt = 12a²∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt.

वालिस सूत्र से ∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt = (3·1·1)/(6·4·2)·(π/2) = π/32.

उत्तर: A = 12a²(π/32) = (3/8)πa².

उदाहरण 17 (UPSC 2022, 15 अंक): द्विशः समाकलन का उपयोग करके, वृत्त x² + y² = 4 तथा परवलय y² = 3x के उभयनिष्ठ क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।

प्रतिच्छेद: x² + 3x = 4 से x = 1 (x = −4 असंभव है क्योंकि 3x = y² ≥ 0), अतः बिंदु (1, ±√3) हैं। उभयनिष्ठ क्षेत्र x-अक्ष के प्रति सममित है।

क्षैतिज पट्टियाँ: −√3 ≤ y ≤ √3 के लिए x परवलय x = y²/3 से वृत्त x = √(4 − y²) तक। A = ∫_−√3^√3∫_y²/3^√(4−y2) dx dy = 2∫₀^√3 (√(4 − y²) − y²/3) dy.

∫₀^√3 √(4 − y²) dy = [y√(4 − y²)/2 + 2 sin⁻¹(y/2)]₀^√3 = √3/2 + 2π/3, और ∫₀^√3 (y²/3) dy = √3/3.

A = 2(√3/2 + 2π/3 − √3/3) = 4π/3 + √3/3.

उत्तर: (4π + √3)/3 वर्ग इकाई।

उदाहरण 18 (UPSC 2023, 15 अंक): दो परवलयजों Z = 5(x² + y²) और Z = 6 − 7x² − y² के बीच घिरे ठोस के आयतन को दर्शाने वाले त्रिशः समाकल का मान निकालिए।

पृष्ठ वहाँ मिलते हैं जहाँ 5(x² + y²) = 6 − 7x² − y², अर्थात 2x² + y² = 1. ठोस दीर्घवृत्त E: 2x² + y² ≤ 1 के ऊपर, नीचे z = 5(x² + y²) और ऊपर z = 6 − 7x² − y² के बीच है।

V = ∬_E ∫_5(x²+y²)^6−7x2−y2 dz dx dy = ∬_E (6 − 12x² − 6y²) dx dy = 6∬_E (1 − 2x² − y²) dx dy.

x = r cos θ/√2, y = r sin θ रखें (जैकोबियन r/√2): V = 6∫₀^2π∫₀¹ (1 − r²)(r/√2) dr dθ = (6/√2)(2π)(1/4).

उत्तर: V = 3π/√2 = (3√2/2)π ≈ 6.66 घन इकाई।

उदाहरण 19 (UPSC 2024, 15 अंक): द्विशः समाकलन का प्रयोग करते हुए हृदयाभ (कार्डिऑइड) r = a(1 + cos θ) के अन्दर तथा वृत्त r = a के बाह्य स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

वक्र वहाँ मिलते हैं जहाँ a(1 + cos θ) = a, अर्थात θ = ±π/2, और −π/2 ≤ θ ≤ π/2 (जहाँ cos θ ≥ 0) के लिए कार्डियॉइड वृत्त के बाहर है।

A = ∫_−π/2^π/2∫_a^{a(1+cos θ)} r dr dθ = (a²/2)∫_−π/2^π/2 [(1 + cos θ)² − 1] dθ = (a²/2)∫_−π/2^π/2 (2 cos θ + cos²θ) dθ.

∫_−π/2^π/2 2 cos θ dθ = 4 और ∫_−π/2^π/2 cos²θ dθ = π/2, अतः A = (a²/2)(4 + π/2).

उत्तर: A = a²(8 + π)/4.

उदाहरण 20 (UPSC 2025, 20 अंक): (i) ∬_R y dx dy का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ R, y = x तथा y = 4x − x² से परिबद्ध क्षेत्र है। (10 अंक)
(ii) यदि u(x, y) = x f(y/x) + g(y/x) है, जहाँ f और g स्वेच्छ फलन हैं, तो दर्शाइए कि
I. x ∂u/∂x + y ∂u/∂y = x f(y/x) है,
II. x² ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² = 0 है। (10 अंक)

(i) वक्र वहाँ मिलते हैं जहाँ x = 4x − x², अर्थात x = 0 और x = 3, और [0, 3] पर 4x − x² ≥ x. अतः ∬_R y dx dy = ∫₀³∫_x^4x−x2 y dy dx = (1/2)∫₀³ [(4x − x²)² − x²] dx.

= (1/2)∫₀³ (15x² − 8x³ + x⁴) dx = (1/2)(135 − 162 + 243/5) = (1/2)(108/5) = 54/5.

(ii) मान लें f, g के संतत द्वितीय अवकलज हैं। v = x f(y/x), 1 घात का और w = g(y/x), 0 घात का समघात है (x, y के स्थान पर tx, ty रखने से वे t और 1 से गुणित होते हैं)।

I. ऑयलर प्रमेय से xv_x + yv_y = v और xw_x + yw_y = 0; जोड़ने पर xu_x + yu_y = v = x f(y/x).

II. द्वितीय कोटि रूप से x²v_xx + 2xyv_xy + y²v_yy = 1(1 − 1)v = 0, और w में वही व्यंजक 0(0 − 1)w = 0; जोड़ने पर परिणाम मिलता है।

उत्तर: (i) 54/5; (ii) दोनों सर्वसमिकाएँ सत्य हैं।

उदाहरण 21 (UPSC 2026, 20 अंक): (i) समाकलन के क्रम को उलटकर द्विशः समाकल ∫₀² ∫_x²+1^2x+1 x²y dy dx का मान ज्ञात कीजिए। (10)
(ii) उस ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए, जो निर्देशांक समतलों x = 0, y = 0, z = 0 तथा समतल x/a + y/b + z/c = 1 के प्रतिच्छेदन से बनता है। (10)

(i) क्षेत्र: 0 ≤ x ≤ 2, x² + 1 ≤ y ≤ 2x + 1; परवलय और रेखा (0, 1) और (2, 5) पर मिलते हैं। 1 ≤ y ≤ 5 के लिए x रेखा x = (y − 1)/2 से परवलय x = √(y − 1) तक।

I = ∫₁⁵∫_(y−1)/2^√(y−1) x²y dx dy = ∫₁⁵ (y/3)[(y − 1)^3/2 − (y − 1)³/8] dy.

t = y − 1 से: I = (1/3)∫₀⁴ (t + 1)(t^3/2 − t³/8) dt = (1/3)[2t^7/2/7 + 2t^5/2/5 − t⁵/40 − t⁴/32]₀⁴ = (1/3)(256/7 + 64/5 − 128/5 − 8) = (1/3)(552/35) = 184/35.

मूल क्रम में जाँच: (1/2)∫₀² x²[(2x + 1)² − (x² + 1)²] dx = (1/2)∫₀² (4x³ + 2x⁴ − x⁶) dx = (1/2)(16 + 64/5 − 128/7) = 184/35.

(ii) चतुष्फलक 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b(1 − x/a), 0 ≤ z ≤ c(1 − x/a − y/b) (a, b, c > 0) है। V = ∫₀^a∫₀^b(1−x/a) c(1 − x/a − y/b) dy dx = ∫₀^a (bc/2)(1 − x/a)² dx = abc/6.

उत्तर: (i) 184/35; (ii) abc/6.

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ∫₀¹∫₀² (x + y) dy dx का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भीतरी समाकल 2x + 2 है, और ∫₀¹ (2x + 2) dx = 3.

अभ्यास 2 (मूल): द्विक समाकल से y = x² और y = 2x के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वक्र x = 0 और x = 2 पर मिलते हैं; A = ∫02∫x22x dy dx = 4 − 8/3 = 4/3.

अभ्यास 3 (मूल): ∫₀¹∫₀^x f(x, y) dy dx में समाकलन का क्रम बदलिए।

उत्तर: क्षेत्र त्रिभुज 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 है, अतः समाकल ∫₀¹∫_y¹ f(x, y) dx dy है।

अभ्यास 4 (मानक): समाकलन का क्रम बदलकर ∫₀¹∫_x¹ sin(y²) dy dx का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∫₀¹∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀¹ y sin(y²) dy = (1 − cos 1)/2.

अभ्यास 5 (मानक): वलय 1 ≤ x² + y² ≤ 4 पर ∬ dx dy/(x² + y²) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ध्रुवीय निर्देशांकों में ∫₀^2π∫₁² (1/r²) r dr dθ = 2π log 2.

अभ्यास 6 (मानक): परवलयज z = 4 − x² − y² और तल z = 0 से घिरे ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: V = ∫₀^2π∫₀² (4 − r²) r dr dθ = 2π(8 − 4) = 8π.

अभ्यास 7 (मानक): कार्डियॉइड r = a(1 + cos θ) की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: r² + (dr/dθ)² = 2a²(1 + cos θ) = 4a²cos²(θ/2), अतः s = 2∫₀^π 2a cos(θ/2) dθ = 8a.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): गेंद x² + y² + z² ≤ a² पर ∭(x² + y² + z²) dx dy dz का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गोलीय निर्देशांकों में ∫₀^2π∫₀^π∫₀^a r⁴ sin θ dr dθ dφ = (a⁵/5)(2)(2π) = 4πa⁵/5.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): परवलयज z = x² + y² के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो तल z = 1 के नीचे है।

उत्तर: √(1 + z_x² + z_y²) = √(1 + 4r²), अतः S = ∫₀^2π∫₀¹ √(1 + 4r²) r dr dθ = (π/6)(5√5 − 1).

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): गेंद x² + y² + z² ≤ a² के उस भाग का आयतन ज्ञात कीजिए जो बेलन x² + y² = ax के अंदर है।

उत्तर: V = 2∫_−π/2^π/2∫₀^{a cos θ} √(a² − r²) r dr dθ = (2a³/3)∫_−π/2^π/2 (1 − |sin θ|³) dθ = (2a³/3)(π − 4/3).

1. अवकलनीयता से सांतत्य

कथन: यदि f, c के किसी प्रतिवेश में परिभाषित है और c पर अवकलनीय है, तो f, c पर संतत है।

उपपत्ति: x ≠ c के लिए f(x) − f(c) = ((f(x) − f(c))/(x − c))·(x − c).

x → c पर पहला गुणनखंड परिमित संख्या f′(c) की ओर तथा दूसरा 0 की ओर जाता है।

सीमाओं के गुणन नियम से lim_x→c (f(x) − f(c)) = f′(c)·0 = 0, अर्थात lim_x→c f(x) = f(c). (विलोम असत्य है: |x|, 0 पर संतत है परंतु अवकलनीय नहीं।)

अतः सिद्ध हुआ।

2. मध्यवर्ती मान प्रमेय

कथन: यदि f, [a, b] पर संतत है और k, f(a) तथा f(b) के बीच (निरपेक्षतः) स्थित है, तो किसी c ∈ (a, b) के लिए f(c) = k.

उपपत्ति: f(a) < k < f(b) लें (अन्यथा −f और −k पर परिणाम लगाएँ)। माना S = {x ∈ [a, b] : f(x) < k}; S में a है और b, S का उपरि परिबंध है, अतः ℝ की पूर्णता से c = sup S विद्यमान है, और a ≤ c ≤ b.

यदि f(c) < k, तो c ≠ b (क्योंकि f(b) > k), और सांतत्य से ऐसा δ > 0 मिलता है कि [c, c + δ) ⊂ [a, b] पर f(x) < k; तब S में c से बड़े बिंदु हैं, जो c = sup S का विरोध है।

यदि f(c) > k, तो c ≠ a (क्योंकि f(a) < k), और सांतत्य से ऐसा 0 < δ ≤ c − a मिलता है कि (c − δ, c] पर f(x) > k; तब S का कोई बिंदु (c − δ, c] में नहीं है, अतः c − δ, S का उपरि परिबंध है, पुनः विरोधाभास।

अतः f(c) = k, और c ≠ a, b क्योंकि f(a) ≠ k ≠ f(b).

अतः सिद्ध हुआ।

3. [a, b] पर संतत फलन परिबद्ध होता है

कथन: यदि f संवृत परिबद्ध अंतराल [a, b] पर संतत है, तो f, [a, b] पर परिबद्ध है।

उपपत्ति: मान लें ऐसा नहीं है। तब प्रत्येक n ∈ ℕ के लिए ऐसा x_n ∈ [a, b] है कि |f(x_n)| > n.

अनुक्रम (x_n) परिबद्ध है, अतः बोल्ज़ानो-वाइरस्ट्रास प्रमेय से इसका एक उप-अनुक्रम x_nk → c है, और c ∈ [a, b] क्योंकि a ≤ x_nk ≤ b.

c पर सांतत्य से f(x_nk) → f(c), अतः अनुक्रम f(x_nk) परिबद्ध है।

परंतु |f(x_nk)| > n_k ≥ k → ∞, जो विरोधाभास है।

अतः सिद्ध हुआ।

4. [a, b] पर संतत फलन अपने परिबंध प्राप्त करता है

कथन: यदि f, [a, b] पर संतत है, तो ऐसे c, d ∈ [a, b] हैं कि [a, b] पर f(c) = sup f और f(d) = inf f.

उपपत्ति: प्रमेय 3 से M = sup_{[a, b]} f परिमित है। मान लें प्रत्येक x ∈ [a, b] के लिए f(x) ≠ M, अतः सर्वत्र M − f(x) > 0.

तब g(x) = 1/(M − f(x)), [a, b] पर संतत और धनात्मक है, अतः प्रमेय 3 से परिबद्ध है: किसी K > 0 के लिए g(x) ≤ K.

अतः M − f(x) ≥ 1/K, अर्थात सभी x के लिए f(x) ≤ M − 1/K, अतः M − 1/K, M से छोटा उपरि परिबंध है, जो M = sup f का विरोध है।

अतः किसी c के लिए f(c) = M. इसे −f पर लगाने से ऐसा d मिलता है कि f(d) = inf f.

अतः सिद्ध हुआ।

5. रोले प्रमेय

कथन: यदि f, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय है और f(a) = f(b), तो किसी c ∈ (a, b) के लिए f′(c) = 0.

उपपत्ति: प्रमेय 4 से f, [a, b] पर उच्चिष्ठ M और निम्निष्ठ m प्राप्त करता है। यदि M = m, तो f अचर है और प्रत्येक c ∈ (a, b) के लिए f′(c) = 0.

यदि M ≠ m, तो इनमें से कोई एक f(a) = f(b) से भिन्न है; माना M ≠ f(a). तब किसी c के लिए M = f(c), और c ∈ (a, b) क्योंकि अंत्य मान M नहीं हैं।

छोटे h > 0 के लिए (f(c + h) − f(c))/h ≤ 0, अतः Rf′(c) ≤ 0; छोटे h < 0 के लिए (f(c + h) − f(c))/h ≥ 0, अतः Lf′(c) ≥ 0.

चूँकि f′(c) विद्यमान है, f′(c) = Rf′(c) = Lf′(c), जिससे f′(c) = 0. (यदि इसके स्थान पर m ≠ f(a), तो निम्निष्ठ बिंदु पर उलटी असमिकाओं के साथ यही तर्क चलता है।)

अतः सिद्ध हुआ।

6. लग्रांज माध्यमान प्रमेय

कथन: यदि f, [a, b] पर संतत और (a, b) पर अवकलनीय है, तो किसी c ∈ (a, b) के लिए f(b) − f(a) = (b − a)f′(c).

उपपत्ति: φ(x) = f(x) − f(a) − ((f(b) − f(a))/(b − a))(x − a) परिभाषित करें।

φ, [a, b] पर संतत और (a, b) पर अवकलनीय है (f में से एक रैखिक फलन घटाया गया है), और φ(a) = 0 = φ(b).

रोले प्रमेय से किसी c ∈ (a, b) के लिए φ′(c) = 0, अर्थात f′(c) − (f(b) − f(a))/(b − a) = 0.

उपप्रमेय: यदि अंतराल I पर f′ = 0, तो I में x < y के लिए f(y) − f(x) = f′(ξ)(y − x) = 0, अतः f अचर है; यदि I पर f′ > 0, तो f निरंतर वर्धमान है।

अतः सिद्ध हुआ।

7. कॉशी माध्यमान प्रमेय

कथन: यदि f और g, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय हैं, तथा सभी x ∈ (a, b) के लिए g′(x) ≠ 0, तो किसी c ∈ (a, b) के लिए (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)) = f′(c)/g′(c).

उपपत्ति: g(b) ≠ g(a), अन्यथा रोले प्रमेय से (a, b) के किसी बिंदु पर g′ = 0 होता। अतः K = (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)) परिभाषित है।

माना φ(x) = f(x) − Kg(x). तब φ, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय है, और φ(b) − φ(a) = (f(b) − f(a)) − K(g(b) − g(a)) = 0.

रोले प्रमेय से किसी c ∈ (a, b) के लिए φ′(c) = f′(c) − Kg′(c) = 0; g′(c) ≠ 0 से भाग देने पर K = f′(c)/g′(c).

अतः सिद्ध हुआ।

8. लग्रांज शेषफल सहित टेलर प्रमेय

कथन: यदि f⁽ⁿ⁻¹⁾, [a, a + h] पर संतत है और f⁽ⁿ⁾, (a, a + h) पर विद्यमान है, तो किसी θ ∈ (0, 1) के लिए f(a + h) = f(a) + hf′(a) + ... + (hⁿ⁻¹/(n − 1)!)f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) + (hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(a + θh).

उपपत्ति: माना b = a + h और φ(x) = f(x) + (b − x)f′(x) + ((b − x)²/2!)f″(x) + ... + ((b − x)ⁿ⁻¹/(n − 1)!)f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + A(b − x)ⁿ, जहाँ A ऐसा चुना गया है कि φ(a) = f(b).

साथ ही φ(b) = f(b), अतः φ(a) = φ(b); परिकल्पनाओं से φ, [a, b] पर संतत और (a, b) पर अवकलनीय है।

अवकलन करने पर d/dx[((b − x)^k/k!)f^(k)(x)] = ((b − x)^k/k!)f^(k+1)(x) − ((b − x)^k−1/(k − 1)!)f^(k)(x), अतः योग संकुचित (telescope) होता है: φ′(x) = ((b − x)ⁿ⁻¹/(n − 1)!)f⁽ⁿ⁾(x) − nA(b − x)ⁿ⁻¹.

रोले प्रमेय से किसी c = a + θh, 0 < θ < 1, के लिए φ′(c) = 0. चूँकि b − c ≠ 0, A = f⁽ⁿ⁾(a + θh)/n!.

इस A को φ(a) = f(a + h) में, b − a = h लेकर, रखने पर कथित सूत्र प्राप्त होता है।

अतः सिद्ध हुआ।

9. डार्बू प्रमेय

कथन: यदि f, [a, b] पर अवकलनीय है (a और b पर एकपक्षीय अवकलज) और f′(a) < k < f′(b), तो किसी c ∈ (a, b) के लिए f′(c) = k.

उपपत्ति: माना g(x) = f(x) − kx. g, [a, b] पर अवकलनीय, अतः संतत है, तथा g′(a) = f′(a) − k < 0 और g′(b) = f′(b) − k > 0.

प्रमेय 4 से g, [a, b] पर किसी बिंदु c पर अपना निम्निष्ठ प्राप्त करता है।

चूँकि x → a+ पर (g(x) − g(a))/(x − a) → g′(a) < 0, a से थोड़ा बड़े x के लिए g(x) < g(a), अतः c ≠ a. चूँकि x → b− पर (g(x) − g(b))/(x − b) → g′(b) > 0, और x − b < 0, b से थोड़ा छोटे x के लिए g(x) < g(b), अतः c ≠ b.

अतः c ∈ (a, b) एक आंतरिक निम्निष्ठ है, और रोले प्रमेय की भाँति g′(c) = 0, अर्थात f′(c) = k. (फलतः किसी अवकलज में उच्छेद (jump) असांतत्य नहीं हो सकता।)

अतः सिद्ध हुआ।

10. [a, b] पर एकसमान सांतत्य (हाइने-कैंटर)

कथन: संवृत परिबद्ध अंतराल [a, b] पर संतत फलन वहाँ एकसमान संतत होता है।

उपपत्ति: मान लें ऐसा नहीं है। तब ऐसा ε > 0 है कि प्रत्येक n ∈ ℕ के लिए x_n, y_n ∈ [a, b] हैं जिनके लिए |x_n − y_n| < 1/n परंतु |f(x_n) − f(y_n)| ≥ ε.

बोल्ज़ानो-वाइरस्ट्रास से एक उप-अनुक्रम x_nk → c ∈ [a, b]; चूँकि |x_nk − y_nk| < 1/n_k → 0, अतः y_nk → c भी।

c पर सांतत्य से f(x_nk) − f(y_nk) → f(c) − f(c) = 0, जो सभी k के लिए |f(x_nk) − f(y_nk)| ≥ ε का विरोध है।

अतः सिद्ध हुआ।

11. [a, b] पर प्रत्येक संतत फलन रीमान समाकलनीय है

कथन: यदि f, [a, b] पर संतत है, तो f ∈ R[a, b].

उपपत्ति: माना ε > 0. प्रमेय 10 से ऐसा δ > 0 है कि |x − y| < δ से |f(x) − f(y)| < ε/(b − a) प्राप्त होता है।

ऐसा विभाजन P = {x₀, ..., x_n} लें जिसमें प्रत्येक Δx_i < δ. प्रमेय 4 से [x_i−1, x_i] पर f, M_i और m_i को δ से कम दूरी वाले दो बिंदुओं पर प्राप्त करता है, अतः M_i − m_i < ε/(b − a).

तब U(P, f) − L(P, f) = ∑(M_i − m_i)Δx_i < (ε/(b − a))∑Δx_i = ε.

चूँकि ε स्वेच्छ है, रीमान कसौटी से f ∈ R[a, b].

अतः सिद्ध हुआ।

12. कलन की मूलभूत प्रमेय

कथन: माना f ∈ R[a, b] और F(x) = ∫_a^x f(t) dt. तब F, [a, b] पर संतत है, और यदि f, c ∈ (a, b) पर संतत है, तो F, c पर अवकलनीय है तथा F′(c) = f(c).

उपपत्ति: रीमान समाकलनीय फलन परिबद्ध होता है, माना |f| ≤ K. तब |F(y) − F(x)| = |∫_x^y f(t) dt| ≤ K|y − x|, अतः F संतत (वस्तुतः लिप्शिट्ज़) है।

छोटे h ≠ 0 के लिए (F(c + h) − F(c))/h − f(c) = (1/h)∫_c^c+h (f(t) − f(c)) dt.

ε > 0 दिए होने पर c पर सांतत्य से ऐसा δ > 0 मिलता है कि |t − c| < δ के लिए |f(t) − f(c)| < ε; अतः 0 < |h| < δ के लिए दाएँ पक्ष का निरपेक्ष मान अधिकतम (1/|h|)·ε|h| = ε है।

अतः F′(c) = f(c). (संतत f और किसी भी प्रतिअवकलज G के लिए इससे ∫_a^b f(x) dx = G(b) − G(a) प्राप्त होता है।)

अतः सिद्ध हुआ।

13. समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय

कथन: यदि f(x, y) विवृत समुच्चय D पर अवकलनीय है और वहाँ घात n का समघात है, अर्थात (tx, ty) ∈ D वाले सभी t > 0 के लिए f(tx, ty) = tⁿf(x, y), तो D पर xf_x + yf_y = nf.

उपपत्ति: (x, y) ∈ D स्थिर करें और 1 के निकट t के लिए g(t) = f(tx, ty) लें (D विवृत है, अतः (tx, ty) ∈ D)।

चूँकि f अवकलनीय है, शृंखला नियम से g′(t) = xf_x(tx, ty) + yf_y(tx, ty).

समघातता से g(t) = tⁿf(x, y), अतः g′(t) = ntⁿ⁻¹f(x, y) भी।

t = 1 पर दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर xf_x(x, y) + yf_y(x, y) = nf(x, y).

अतः सिद्ध हुआ।

14. दो चरों के फलन का सांतत्य प्रत्येक चर में सांतत्य देता है

कथन: मान लें f: D (⊆ ℝ²) → ℝ, (a, b) ∈ D पर संतत है। तब φ(x) = f(x, b), x = a पर और ψ(y) = f(a, y), y = b पर संतत हैं (उन समुच्चयों पर जहाँ वे परिभाषित हैं)।

उपपत्ति: मान लें ε > 0. (a, b) पर f के सांतत्य से ऐसा δ > 0 है कि जब भी (x, y) ∈ D और √((x − a)² + (y − b)²) < δ, तब |f(x, y) − f(a, b)| < ε.

यदि (x, b) ∈ D और |x − a| < δ, तो (x, b) से (a, b) की दूरी |x − a| < δ है, अतः |φ(x) − φ(a)| = |f(x, b) − f(a, b)| < ε. अतः φ, a पर संतत है।

इसी प्रकार, यदि (a, y) ∈ D और |y − b| < δ, तो |ψ(y) − ψ(b)| = |f(a, y) − f(a, b)| < ε, अतः ψ, b पर संतत है।

विलोम असत्य है: f = xy/(x² + y²), f(0, 0) = 0 के लिए f(x, 0) = 0 = f(0, y), दोनों संतत, पर f, (0, 0) पर संतत नहीं (y = mx के अनुदिश उसका मान m/(1 + m²) है)।

अतः सिद्ध हुआ।

1. सीमा, सांतत्य और अवकलनीयता

प्रश्न 1 (10 अंक): माना x ≠ 0 के लिए f(x) = x e^1/x/(1 + e^1/x) और f(0) = 0. x = 0 पर f के सांतत्य और अवकलनीयता की विवेचना करें।

f(x) = x·g(x) लिखें, जहाँ g(x) = e^1/x/(1 + e^1/x) = 1/(e^−1/x + 1); तब 0 < g(x) < 1.

सांतत्य: |f(x)| ≤ |x| → 0 = f(0), अतः f, 0 पर संतत है।

(f(h) − f(0))/h = g(h). h → 0+ पर e^−1/h → 0, अतः g(h) → 1: Rf′(0) = 1.

h → 0− पर e^1/h → 0, अतः g(h) → 0: Lf′(0) = 0.

उत्तर: f, 0 पर संतत है परंतु अवकलनीय नहीं, क्योंकि Rf′(0) = 1 ≠ 0 = Lf′(0).

प्रश्न 2 (10 अंक): lim_x→0 ((1 + x)^1/x − e)/x का मान ज्ञात करें।

छोटे x के लिए (1/x) log(1 + x) = 1 − x/2 + x²/3 − ..., अतः (1 + x)^1/x = e·e^{−x/2 + x2/3 − ...}.

घातांकीय का प्रसार करने पर: (1 + x)^1/x = e(1 − x/2 + 11x²/24 − ...).

अतः ((1 + x)^1/x − e)/x = e(−1/2 + 11x/24 − ...) → −e/2.

उत्तर: −e/2.

2. माध्यमान प्रमेय और टेलर प्रमेय

प्रश्न 3 (10 अंक): सिद्ध करें कि प्रत्येक x > 0 के लिए 0 < (1/x) log((e^x − 1)/x) < 1.

[0, x] पर e^t पर लग्रांज माध्यमान प्रमेय लगाएँ; यह सर्वत्र संतत और अवकलनीय है।

तब किसी θ ∈ (0, 1) के लिए (e^x − 1)/x = e^θx.

लघुगणक लेने पर log((e^x − 1)/x) = θx, अतः (1/x) log((e^x − 1)/x) = θ.

उत्तर: व्यंजक θ के बराबर है, जो (0, 1) में है; अतः असमिका सिद्ध।

प्रश्न 4 (10 अंक): लग्रांज शेषफल सहित मैक्लॉरिन प्रमेय से सिद्ध करें कि सभी वास्तविक x के लिए 1 − x²/2 ≤ cos x ≤ 1 − x²/2 + x⁴/24.

f(x) = cos x के लिए: f(0) = 1, f′(0) = 0, f″(0) = −1, f‴(0) = 0, और f″(x) = −cos x, f⁽⁴⁾(x) = cos x.

n = 2 लेने पर: cos x = 1 + 0·x + (x²/2)f″(θ₁x) = 1 − (x²/2) cos(θ₁x) ≥ 1 − x²/2, क्योंकि cos(θ₁x) ≤ 1.

n = 4 लेने पर: cos x = 1 − x²/2 + (x⁴/24) cos(θ₂x) ≤ 1 − x²/2 + x⁴/24, क्योंकि x⁴ ≥ 0 और cos(θ₂x) ≤ 1.

उत्तर: दोनों असमिकाएँ प्रत्येक वास्तविक x के लिए सत्य हैं (समता केवल x = 0 पर)।

3. उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ और अनंतस्पर्शी

प्रश्न 5 (15 अंक): सिद्ध करें कि त्रिज्या R के गोले में अंतर्निहित किए जा सकने वाले अधिकतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई 4R/3 है, और यह आयतन ज्ञात करें।

माना शीर्ष किसी व्यास के एक सिरे पर है और आधार शीर्ष से h दूरी पर है। तब आधार केंद्र से |R − h| दूरी पर है, अतः उसकी त्रिज्या r के लिए r² = R² − (R − h)² = 2Rh − h².

V(h) = (1/3)πr²h = (π/3)(2Rh² − h³), 0 < h < 2R.

V′(h) = (π/3)(4Rh − 3h²) = 0 से h = 4R/3 (h ≠ 0)।

V″(h) = (π/3)(4R − 6h), अतः V″(4R/3) = (π/3)(−4R) < 0: उच्चिष्ठ, और (0, 2R) में यही एकमात्र क्रांतिक बिंदु है।

V(4R/3) = (π/3)(32R³/9 − 64R³/27) = (π/3)(32R³/27) = 32πR³/81.

उत्तर: ऊँचाई 4R/3; अधिकतम आयतन 32πR³/81, जो गोले के आयतन का 8/27 है।

प्रश्न 6 (10 अंक): वक्र x²y² − x²y − xy² + x + y + 1 = 0 की सभी अनंतस्पर्शियाँ ज्ञात करें।

वक्र की घात 4 है। x की उच्चतम घात x² है, जिसका गुणांक y² − y है; इसे शून्य रखने पर x-अक्ष के समांतर अनंतस्पर्शियाँ y = 0 और y = 1 प्राप्त होती हैं।

y की उच्चतम घात y² है, जिसका गुणांक x² − x है; इससे y-अक्ष के समांतर x = 0 और x = 1 प्राप्त होती हैं।

तिर्यक अनंतस्पर्शी: चतुर्थ घात के पद x²y² हैं, अतः φ₄(m) = m², जिसका एकमात्र मूल m = 0 अक्षों के समांतर दिशाएँ देता है, जो पहले ही प्राप्त हैं। चतुर्घाती वक्र की अधिकतम 4 अनंतस्पर्शियाँ होती हैं।

उत्तर: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.

4. अनेक चरों के फलन

प्रश्न 7 (15 अंक): f(x, y) = x³ + y³ − 3x − 12y + 20 के स्तब्ध बिंदु ज्ञात कर उनका वर्गीकरण करें।

f_x = 3x² − 3 = 0 और f_y = 3y² − 12 = 0 से x = ±1, y = ±2: चार बिंदु (1, 2), (1, −2), (−1, 2), (−1, −2).

r = f_xx = 6x, s = f_xy = 0, t = f_yy = 6y, अतः rt − s² = 36xy.

(1, 2): rt − s² = 72 > 0, r = 6 > 0, निम्निष्ठ, f = 1 + 8 − 3 − 24 + 20 = 2. (−1, −2): rt − s² = 72 > 0, r = −6 < 0, उच्चिष्ठ, f = −1 − 8 + 3 + 24 + 20 = 38.

(1, −2) और (−1, 2): rt − s² = −72 < 0, पल्याण (saddle) बिंदु।

उत्तर: (1, 2) पर स्थानीय निम्निष्ठ 2; (−1, −2) पर स्थानीय उच्चिष्ठ 38; (1, −2) और (−1, 2) पर पल्याण बिंदु।

प्रश्न 8 (15 अंक): ऊपर से खुले एक आयताकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 108 वर्ग इकाई है। लग्रांज विधि से अधिकतम आयतन के लिए इसकी विमाएँ ज्ञात करें।

φ = xy + 2yz + 2zx − 108 = 0 के अधीन V = xyz का उच्चिष्ठ ज्ञात करना है (x, y आधार, z ऊँचाई)। F = xyz + λ(xy + 2yz + 2zx − 108).

F_x = yz + λ(y + 2z) = 0, F_y = xz + λ(x + 2z) = 0, F_z = xy + λ(2x + 2y) = 0.

क्रमशः x, y, z से गुणा करने पर: xyz = −λ(xy + 2xz) = −λ(xy + 2yz) = −λ(2xz + 2yz). पहले दो से x = y; दूसरे और तीसरे से xy = 2xz, अतः z = y/2 = x/2.

प्रतिबंध x² + x² + x² = 108 बन जाता है, अतः x = 6, y = 6, z = 3, और V = 108. सुसंगत क्षेत्र की सीमा पर V → 0, अतः यह एकमात्र क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ देता है।

उत्तर: आधार 6 × 6, ऊँचाई 3; अधिकतम आयतन 108 घन इकाई।

प्रश्न 9 (10 अंक): यदि x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, तो सिद्ध करें कि ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ) = r² sin θ.

J = det [[sin θ cos φ, r cos θ cos φ, −r sin θ sin φ], [sin θ sin φ, r cos θ sin φ, r sin θ cos φ], [cos θ, −r sin θ, 0]].

तीसरी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें। cos θ का सहखंड: r² sin θ cos θ cos²φ + r² sin θ cos θ sin²φ = r² sin θ cos θ.

−r sin θ का सहखंड: −(r sin²θ cos²φ + r sin²θ sin²φ) = −r sin²θ.

J = cos θ·r² sin θ cos θ + (−r sin θ)(−r sin²θ) = r² sin θ (cos²θ + sin²θ) = r² sin θ.

उत्तर: ∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ) = r² sin θ, अतः dx dy dz = r² sin θ dr dθ dφ.

5. रीमान, निश्चित और अनुचित समाकल

प्रश्न 10 (10 अंक): lim_n→∞ (n!/nⁿ)^1/n का मान ज्ञात करें।

माना P = (n!/nⁿ)^1/n. तब log P = (1/n)∑_r=1ⁿ log(r/n), जो [0, 1] पर log x का रीमान योग है।

log x, 0 के निकट अपरिबद्ध है, परंतु अनुचित समाकल ∫₀¹ log x dx = [x log x − x]₀¹ = −1 अभिसारी है, और log x वर्धमान होने से योग ∫_1/n¹ log x dx + (1/n)log(1/n) और ∫_1/n¹ log x dx के बीच दबे हैं, जो दोनों −1 की ओर जाते हैं।

अतः log P → −1 और P → e⁻¹.

उत्तर: 1/e.

प्रश्न 11 (10 अंक): ∫₀^π x sin x/(1 + cos²x) dx का मान ज्ञात करें।

∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a − x) dx से: I = ∫₀^π (π − x) sin x/(1 + cos²x) dx.

जोड़ने पर 2I = π∫₀^π sin x/(1 + cos²x) dx. t = cos x रखें: 2I = π∫₋₁¹ dt/(1 + t²) = π(π/4 + π/4) = π²/2.

उत्तर: I = π²/4.

प्रश्न 12 (15 अंक): सिद्ध करें कि ∫₀¹ x^m−1(1 − x)ⁿ⁻¹ dx तभी और केवल तभी अभिसारी है जब m > 0 और n > 0, तथा ∫₀¹ x^3/2(1 − x)^1/2 dx का मान ज्ञात करें।

1/2 पर विभाजित करें। 0 के निकट समाकल्य x^m−1 की भाँति व्यवहार करता है (सीमा तुलना: अनुपात 1 की ओर), और ∫₀^1/2 x^m−1 dx तभी और केवल तभी अभिसारी है जब m − 1 > −1, अर्थात m > 0.

1 के निकट यह (1 − x)ⁿ⁻¹ की भाँति है, जो [1/2, 1) पर तभी और केवल तभी समाकलनीय है जब n > 0. अतः समाकल (बीटा फलन B(m, n)) ठीक तभी अभिसारी है जब m, n > 0.

यहाँ m = 5/2, n = 3/2: B(5/2, 3/2) = Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4) = ((3/4)√π)((1/2)√π)/6 = 3π/48 = π/16.

उत्तर: m, n > 0 होने पर और केवल तभी अभिसारी; दिया गया समाकल π/16 है।

6. बहु समाकल, क्षेत्रफल और आयतन

प्रश्न 13 (10 अंक): समाकलन का क्रम बदलकर ∫₀¹∫_y¹ e^x2 dx dy का मान ज्ञात करें।

आंतरिक समाकल का कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं है, अतः क्रम बदलें। क्षेत्र 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 है, शीर्षों (0, 0), (1, 0), (1, 1) वाला त्रिभुज।

ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ लेने पर: I = ∫₀¹∫₀^x e^x2 dy dx = ∫₀¹ x e^x2 dx.

u = x² रखने पर: I = (1/2)∫₀¹ e^u du = (e − 1)/2.

उत्तर: (e − 1)/2.

प्रश्न 14 (15 अंक): बेलनों x² + y² = a² और x² + z² = a² का उभयनिष्ठ आयतन ज्ञात करें।

ठोस आठों अष्टांशों में सममित है, अतः V = 8 × (प्रथम अष्टांश में आयतन)।

प्रथम अष्टांश में, स्थिर x ∈ [0, a] के लिए: 0 ≤ y ≤ √(a² − x²) और 0 ≤ z ≤ √(a² − x²).

V = 8∫₀^a∫₀^√(a2−x2) √(a² − x²) dy dx = 8∫₀^a (a² − x²) dx = 8(a³ − a³/3) = 16a³/3.

उत्तर: 16a³/3.

प्रश्न 15 (10 अंक): डिरिक्ले समाकल से चतुष्फलक x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1 पर ∭ xyz dx dy dz का मान ज्ञात करें।

डिरिक्ले प्रमेय: x, y, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1 पर ∭ x^l−1y^m−1zⁿ⁻¹ dx dy dz = Γ(l)Γ(m)Γ(n)/Γ(l + m + n + 1), जहाँ l, m, n > 0.

यहाँ l = m = n = 2: समाकल Γ(2)³/Γ(7) = 1/6! = 1/720.

उत्तर: 1/720.

1. वास्तविक संख्याएँ, सीमा, सांतत्य और अवकलनीयता

2025 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: दिया गया है कि f(x + y) = f(x) f(y), सभी वास्तविक x, y के लिए, f(x) ≠ 0 किसी भी वास्तविक x के लिए और f′(0) = 2 है। सभी वास्तविक x के लिए दर्शाइए कि f′(x) = 2f(x) है। अतः f(x) ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: x के सभी मानों के लिए फलन
f(x) = 1/(1 − e^−1/x), x ≠ 0
f(x) = 0, x = 0
के सांतत्य की चर्चा कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: दिया गया है : Δ(x) = |[f(x + α), f(x + 2α), f(x + 3α)], [f(α), f(2α), f(3α)], [f′(α), f′(2α), f′(3α)]| जहाँ f एक वास्तविक-मान अवकलनीय फलन है तथा α एक अचर है। lim_x→0 Δ(x)/x को ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: माना कि f : [0, π/2] → ℝ एक संतत फलन है, जैसा कि
f(x) = cos²x/(4x² − π²), 0 ≤ x < π/2.
f(π/2) का मान ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: क्या f(x) = |cos x| + |sin x|, x = π/2 पर अवकलनीय है? अगर आपका उत्तर हाँ है, तो f(x) का अवकलज x = π/2 पर ज्ञात कीजिए। अगर आपका उत्तर ना है, तो अपने उत्तर का प्रमाण दीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 15 अंक: मान लीजिये
f(x, y) = (2x⁴y − 5x²y² + y⁵)/(x² + y²)², (x, y) ≠ (0, 0)
f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0)
δ > 0 प्राप्त कीजिये इस प्रकार कि |f(x, y) − f(0, 0)| < ·01, जब √(x² + y²) < δ हो।

2. माध्यमान प्रमेय, टेलर प्रमेय और अनिर्धार्य रूप

2026 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: मैकलॉरिन प्रमेय का प्रयोग करते हुए x की आरोही घातों में e^{x cos x} के प्रसार के प्रथम चार पद प्राप्त कीजिए। अतः या अन्य विधि से (e^x − e^{x cos x})/(x − sin x) की सीमा (लिमिट) ज्ञात कीजिए, जब x शून्य की ओर अग्रसर होता है।

2025 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: माध्यमान प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि
π/6 + √3/15 < sin⁻¹(3/5) < π/6 + 1/8.

2024 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: टेलर प्रमेय द्वारा ln(x) का (x − 1) की घात में प्रसार कीजिए तथा ln(1·1) का दशमलव के चार स्थानों तक सही मान ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: p तथा q के वो मान निकालिए जिसके लिए lim_x→0 [x(1 + p cos x) − q sin x]/x³ का अस्तित्व है एवं 1 के बराबर है।

2022 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: lim_x→∞ (e^x + x)^1/x का मान निकालिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: दर्शाइए कि e^x cos x = 1 के किन्हीं दो मूलों के बीच में e^x sin x − 1 = 0 का कम से कम एक मूल विद्यमान है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: lim_x→π/4 (tan x)^{tan 2x} का मान निकालिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: निर्धारित कीजिये कि lim_z→1 (1 − z) tan(πz/2) का अस्तित्व है या कि नहीं। अगर यह सीमा विद्यमान है, तो इसका मान ज्ञात कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: निम्नलिखित सीमा का मान निकालिए: lim_x→a (2 − x/a)^tan(πx/2a).

2014 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि e^x cos x + 1 = 0 के दो वास्तविक मूलों के बीच e^x sin x + 1 = 0 का एक वास्तविक मूल स्थित है।

3. उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ, अनंतस्पर्शी और वक्र अनुरेखण

2026 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: यदि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण तथा एक अन्य भुजा की लंबाइयों का योग दिया गया हो, तो इन भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए, जिसके लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम है।

2026 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: वक्र y²(a + x) = x²(3a − x) का अनुरेखण कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: लम्बाई 6 मीटर और चौड़ाई 2 मीटर की एक आयताकार धातु की चादर दी गई है। चारों कोनों से चार बराबर वर्गों को हटाया गया है। इस चादर के फलकों को मोड़कर एक खुला आयताकार सन्दूक बनाना है। सन्दूक की ऐसी सन्निकट ऊँचाई ज्ञात कीजिए कि सन्दूक का आयतन अधिकतम हो।

2024 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 20 अंक: ऊँचाई h तथा अर्ध-शीर्ष कोण α वाले एक शंकु के अंतर्गत सबसे बड़े बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 20 अंक: वक्र y²(x² − 1) = 2x − 1 को अनुरेखित कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 20 अंक: वक्र y²x² = x² − a² का अनुरेख (ट्रेस) कीजिए, जहाँ a एक वास्तविक अचर है।

2021 प्रश्नपत्र II, Q2(a), 15 अंक: f(x) = x³ − 9x² + 26x − 24 का, 0 ≤ x ≤ 1 के लिए, अधिकतम तथा न्यूनतम मान निकालिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: वक्र (2x + 3)y = (x − 1)² के सभी अनंतस्पर्शी निकालिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 20 अंक: निम्न फलन पर विचार कीजिए : f(x) = ∫₀^x (t² − 5t + 4)(t² − 5t + 6) dt
(i) फलन f(x) के क्रांतिक बिंदु निकालिए।
(ii) वे बिंदु निकालिए, जहाँ f(x) का स्थानीय न्यूनतम होगा।
(iii) वे बिंदु निकालिए, जहाँ f(x) का स्थानीय अधिकतम होगा।
(iv) फलन f(x) के [0, 5] में कितने शून्यक होंगे, निकालिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 15 अंक: फलन f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 6 का अंतराल [2, 3] पर अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 13 अंक: अन्तराल [2, 3] पर x⁴ − 5x² + 4 के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 13 अंक: एक शंक्वाकार टेंट एक दत्त क्षमता का है। यदि उस टेंट में न्यूनतम कैनवास लगाना हो, तो उसकी ऊँचाई का उसके आधार की त्रिज्या पर अनुपात मालूम कीजिये।

2014 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 15 अंक: एक ऐसे महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जो कि a त्रिज्या के गोले के भीतर आ सके।

4. अनेक चरों के फलन: आंशिक अवकलज, चरम मान, लग्रांज गुणक और जैकोबियन

2026 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: यदि u(x, y, z) = (x² + y² + z²)^−1/2 है, तो ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² का मान ज्ञात कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: यदि f(x, y) = xy (x² − y²)/(x² + y²), जब (x, y) ≠ (0, 0)
f(x, y) = 0, जब (x, y) = (0, 0)
है, तो f_xy(0, 0) और f_yx(0, 0) ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: यदि u = (x + y)/(1 − xy) तथा v = tan⁻¹ x + tan⁻¹ y हैं, तब ∂(u, v)/∂(x, y) ज्ञात कीजिए। क्या u तथा v फलनतः सम्बन्धित हैं? यदि हाँ, तो सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 15 अंक: तर्क सहित दर्शाइये कि (0, 0), फलन f(x, y) = 2x⁴ − 3x²y + y² का चरम-बिन्दु है अथवा नहीं।

2022 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: एक l लम्बाई के तार को दो भागों में काटकर क्रमशः एक वर्ग तथा एक वृत्त के रूप में मोड़ा गया है। लग्रांज की अनिर्धारित गुणक विधि का प्रयोग करके, इस तरह से प्राप्त किए गए क्षेत्रफलों के योगफल का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: दिया गया है : f(x, y) = |x² − y²|, तब f_xy(0, 0) तथा f_yx(0, 0) ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि f_xy(0, 0) = f_yx(0, 0)।

2020 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 20 अंक: लाग्रांज की अनिर्धारित गुणक विधि का प्रयोग करके फलन u = x² + y² + z² का चरम मान ज्ञात कीजिए, जो 2x + 3y + 5z = 30 शर्त द्वारा प्रतिबंधित है।

2019 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: माना कि f : D (⊆ ℝ²) → ℝ एक फलन है और (a, b) ∈ D. अगर f(x, y) बिंदु (a, b) पर संतत है, तो दर्शाइए कि फलन f(x, b) और f(a, y) क्रमशः x = a और y = b पर संतत हैं।

2019 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 20 अंक: (i) अगर
u = sin⁻¹ √((x^1/3 + y^1/3)/(x^1/2 + y^1/2))
है, तो दर्शाइए कि sin²u, x और y का −1/6 घातविशिष्ट समांगी फलन है। अतएव दर्शाइए कि
x² ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² = (tan u/12)(13/12 + tan²u/12) (12 अंक)
(ii) जैकोबियन विधि का व्यवहार करते हुए दर्शाइए कि अगर f′(x) = 1/(1 + x²) और f(0) = 0 है, तो
f(x) + f(y) = f((x + y)/(1 − xy)) (8 अंक)

2018 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 13 अंक: बिन्दु (1, 0) से परवलय y² = 4x तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये।

2018 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 12 अंक: मान लीजिये कि
f(x, y) = xy², यदि y > 0
= −xy², यदि y ≤ 0
निर्धारित कीजिये कि ∂f/∂x (0, 1) और ∂f/∂y (0, 1) में से किसका अस्तित्व है और किसका अस्तित्व नहीं है।

2017 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: यदि f(x, y) = xy(x² − y²)/(x² + y²), (x, y) ≠ (0, 0);
f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0),
तब ∂²f/∂x∂y व ∂²f/∂y∂x की (0, 0) का परिकलन कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 20 अंक: x² + y² + z² का अधिकतम तथा न्यूनतम मान निकालिये, जहाँ x²/4 + y²/5 + z²/25 = 1 तथा x + y − z = 0 हो।

2015 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 13 अंक: गोलक x² + y² + z² = 1 पर स्थित बिन्दु निकालिए जो बिन्दु (2, 1, 3) से अधिकतम दूरी पर है।

2015 प्रश्नपत्र I, Q4(d), 12 अंक: दिए गए फलन f(x, y) = (x² − x√y)/(x² + y), (x, y) ≠ (0, 0); f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0) के लिए सांतत्य एवं अवकलनीयता का परीक्षण कीजिये।

2014 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 20 अंक: ax² + by² + cz² = 1 तथा lx + my + nz = 0 के द्वारा प्रतिबंधित x² + y² + z² के अधिकतम या निम्नतम मान ज्ञात कीजिए। परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

5. रीमान समाकल, अनिश्चित समाकल और अनंत तथा अनुचित समाकल

2023 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: समाकल ∫₀¹ (log x)/(1 + x) dx की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: ∫₀² dx/(2x − x²) की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 20 अंक: (i) यदि u = x² + y², v = x² − y², जहाँ पर x = r cos θ, y = r sin θ हैं, तब ∂(u, v)/∂(r, θ) ज्ञात कीजिए। (7 अंक)
(ii) यदि ∫₀^x f(t) dt = x + ∫_x¹ t f(t) dt है, तो f(1) का मान ज्ञात कीजिए। (5 अंक)
(iii) ∫_a^b (x − a)^m(b − x)ⁿ dx को बीटा-फलन के रूप में व्यक्त कीजिए। (8 अंक)

2020 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: ∫₀¹ tan⁻¹(1 − 1/x) dx का मान निकालिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: सीमा lim_n→∞ (1/n²) ∑_r=0ⁿ⁻¹ √(n² − r²) का मान ज्ञात कीजिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 10 अंक: परीक्षण कीजिए कि क्या अनंत समाकल ∫₀³ 2x dx/(1 − x²)^2/3 का अस्तित्व है।

2016 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: मान निकालिये :
I = ∫₀¹ ∛(x log(1/x)) dx

2015 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: निम्नलिखित समाकल का मान निकालिए: ∫_π/6^π/3 [∛(sin x)/(∛(sin x) + ∛(cos x))] dx.

2014 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: मूल्यांकन कीजिए: ∫₀¹ [log_e(1 + x)/(1 + x²)] dx

6. द्विक और त्रिक समाकल; क्षेत्रफल, पृष्ठ और आयतन

2026 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 20 अंक: (i) समाकलन के क्रम को उलटकर द्विशः समाकल ∫₀² ∫_x²+1^2x+1 x²y dy dx का मान ज्ञात कीजिए। (10)
(ii) उस ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए, जो निर्देशांक समतलों x = 0, y = 0, z = 0 तथा समतल x/a + y/b + z/c = 1 के प्रतिच्छेदन से बनता है। (10)

2025 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 20 अंक: (i) ∬_R y dx dy का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ R, y = x तथा y = 4x − x² से परिबद्ध क्षेत्र है। (10 अंक)
(ii) यदि u(x, y) = x f(y/x) + g(y/x) है, जहाँ f और g स्वेच्छ फलन हैं, तो दर्शाइए कि
I. x ∂u/∂x + y ∂u/∂y = x f(y/x) है,
II. x² ∂²u/∂x² + 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² = 0 है। (10 अंक)

2024 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: द्विशः समाकलन का प्रयोग करते हुए हृदयाभ (कार्डिऑइड) r = a(1 + cos θ) के अन्दर तथा वृत्त r = a के बाह्य स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: दो परवलयजों Z = 5(x² + y²) और Z = 6 − 7x² − y² के बीच घिरे ठोस के आयतन को दर्शाने वाले त्रिशः समाकल का मान निकालिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 15 अंक: द्विशः समाकलन का उपयोग करके, वृत्त x² + y² = 4 तथा परवलय y² = 3x के उभयनिष्ठ क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: दर्शाइए कि ऐस्ट्रॉइड : x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 का पूरा क्षेत्रफल (3/8)πa² है।

2018 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 13 अंक: दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 x-अक्ष के चारों तरफ परिभ्रमण कर रहा है। परिक्रमित घन का आयतन ज्ञात कीजिये।

2018 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 12 अंक: समाकल ∫₀^a ∫_x/a^x x dy dx/(x² + y²) का मान निकालिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: प्रान्त R : {−3 ≤ x² − y² ≤ 3, 1 ≤ xy ≤ 4} पर फलन f(x, y) = xy(x² + y²) का समाकलन कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: xy-तल के ऊपर के और ठीक नीचे के दीर्घवृत्तीय पैराबोलौएड x² + y²/4 = z, जो समतल z = 9 से कटा हुआ है, का आयतन मालूम कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q4(d), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि π/3 ≤ ∬_D dx dy/√(x² + (y − 2)²) ≤ π जहाँ पर D एकक डिस्क है।

2016 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: तल x + 2y + 2z = 12 के x = 0, y = 0 तथा x² + y² = 16 द्वारा काटे गये क्षेत्र का पृष्ठीय क्षेत्रफल (surface area) निकालिये।

2016 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 15 अंक: ∬_R f(x, y) dx dy का मान निकालिये, जहाँ आयत R = [0, 1; 0, 1] तथा
f(x, y) = x + y, यदि x² < y < 2x²
f(x, y) = 0, अन्यथा
है।

2015 प्रश्नपत्र I, Q3(d), 12 अंक: निम्न समाकलन का मूल्यांकन करें: ∬_R (x − y)² cos²(x + y) dx dy जहाँ R एक समचतुर्भुज है, जिसके शीर्ष क्रमवार (π, 0), (2π, π), (π, 2π), (0, π) हैं।

2015 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 13 अंक: निम्नलिखित का मान निकालिए: ∬_R √|y − x²| dx dy जहाँ R = [−1, 1 ; 0, 2].

2014 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 15 अंक: रूपांतर x + y = u, y = uv का प्रयोग करते हुए, समाकल ∬ {xy(1 − x − y)}^1/2 dx dy का सीधी रेखाएँ x = 0, y = 0 तथा x + y = 1 के द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर मूल्यांकन कीजिए।