यांत्रिकी एवं तरल गतिकी — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. व्यापकीकृत निर्देशांक और स्वातंत्र्य कोटि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: न्यूटन के नियम कार्तीय निर्देशांकों में लिखे जाते हैं, प्रत्येक कण के लिए एक सदिश समीकरण। लोलक, तार पर मनका या लुढ़कते वलय में कण स्वतंत्र नहीं होते: छड़ें, तार और पृष्ठ उन पर ऐसे बल (व्यवरोध बल, forces of constraint) लगाते हैं जो हमें पहले से ज्ञात नहीं। हम गति का वर्णन यथासंभव कम संख्याओं से करना चाहते हैं, और उन अज्ञात बलों से कभी सामना किए बिना।

शब्दों में: व्यवरोध (constraint) वह प्रतिबंध है जिसे स्थितियों को हर समय संतुष्ट करना होता है, जैसे "गोलक सदैव O से l दूरी पर रहता है"। स्वातंत्र्य कोटियों की संख्या (degrees of freedom) n उन राशियों की संख्या है जिन्हें सभी व्यवरोधों का पालन होने के बाद भी स्वेच्छा से चुना जा सकता है।

व्यापकीकृत निर्देशांक (generalized coordinates) q₁, ..., q_n ऐसी कोई भी n राशियाँ (लंबाइयाँ, कोण, चाप-लंबाइयाँ) हैं जो मिलकर प्रत्येक कण की स्थिति निर्धारित करें, और जो स्वतंत्र हों: कोई समीकरण उन्हें न जोड़े। बिंदु काल-अवकलज दर्शाता है, अतः q̇ = dq/dt व्यापकीकृत वेग है और θ̈ = d²θ/dt²।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: सरल लोलक: लंबाई l की हल्की छड़ पर द्रव्यमान m का गोलक एक स्थिर ऊर्ध्वाधर तल में O के परितः दोलन करता है।

चरण 1: O को मूलबिंदु, Ox क्षैतिज और Oy ऊर्ध्वाधरतः नीचे की ओर लें। गोलक (x, y) पर है: दो कार्तीय निर्देशांक, क्योंकि गति एक ही तल में रहती है।

चरण 2: छड़ एक व्यवरोध देती है, x² + y² = l²। इसमें केवल स्थितियाँ हैं, वेग नहीं, अतः यह होलोनोमिक है, और यह एक निर्देशांक हटा देता है: n = 2 − 1 = 1।

चरण 3: q = θ चुनें, छड़ का नीचे की ऊर्ध्वाधर रेखा से कोण। तब x = l sin θ और y = l cos θ, और ये प्रत्येक θ के लिए x² + y² = l² को संतुष्ट करते हैं: व्यवरोध अब अंतर्निहित है।

चरण 4: अवकलन करें: ẋ = l cos θ θ̇ और ẏ = −l sin θ θ̇, अतः ẋ² + ẏ² = l²θ̇² और गतिज ऊर्जा T = (1/2)ml²θ̇² है।

चरण 5: ध्यान दें कि क्या हुआ। एक ही फलन θ(t) पूरी गति का वर्णन करता है, और छड़ का तनाव कहीं नहीं आता। यही व्यापकीकृत निर्देशांकों का लाभ है।

अ-उदाहरण (non-example): इसी लोलक के लिए युग्म (x, θ) व्यापकीकृत निर्देशांकों का समुच्चय नहीं है, क्योंकि x = l sin θ उन्हें जोड़ता है: वे स्वतंत्र नहीं हैं। इस लोलक के लिए दो कोण लेना विपरीत कारण से विफल है: स्वातंत्र्य कोटि केवल एक है, अतः दूसरा निर्देशांक अनावश्यक है।

आगे बढ़ते हुए: अंतरिक्ष में N कणों के 3N कार्तीय निर्देशांक होते हैं। प्रत्येक स्वतंत्र होलोनोमिक व्यवरोध f(r₁, ..., r_N, t) = 0 को शेष के पदों में एक निर्देशांक के लिए हल किया जा सकता है, अतः k व्यवरोध n = 3N − k स्वतंत्र राशियाँ छोड़ते हैं।

प्रत्येक स्थिति को r_i = r_i(q₁, ..., q_n, t) लिखने से सभी व्यवरोध स्वतः संतुष्ट होते हैं; स्पष्ट t तभी आता है जब व्यवरोध गतिमान हो (घूमता तार)। अहोलोनोमिक व्यवरोध, अर्थात वेगों पर ऐसा प्रतिबंध जिसका समाकलन न हो सके (समतल पर लुढ़कता सिक्का), निर्देशांकों की संख्या नहीं घटाता और उसे अलग से साथ रखना पड़ता है (खंड 13)।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक लग्रांजी या हैमिल्टनी उत्तर "व्यापकीकृत निर्देशांक ... हैं, और n = ..." से आरंभ होता है। अच्छा चयन (लोलक का कोण, लुढ़कते वलय की तल पर नीचे की दूरी) आधा हल है, और यही गणना तल में गतिमान दृढ़ पिंड के लिए n = 3 देती है।

2. व्यवरोध और व्यापकीकृत निर्देशांक

संकेतन: बिंदु d/dt दर्शाता है, अतः q̇ = dq/dt और θ̈ = d²θ/dt²।

होलोनोमिक व्यवरोध (holonomic constraint): f(r₁, ..., r_N, t) = 0 के रूप में व्यक्त हो सके; अन्यथा अहोलोनोमिक (जैसे रूक्ष तल पर लुढ़कता गोला, या असमिका व्यवरोध)।

भाव: होलोनोमिक व्यवरोध को किसी एक निर्देशांक के लिए हल किया जा सकता है, अतः प्रत्येक व्यवरोध एक निर्देशांक सीधे घटा देता है। समतल पर सीधा खड़ा होकर लुढ़कता सिक्का अहोलोनोमिक का मानक उदाहरण है: इसके संपर्क प्रतिबंध ẋ = aθ̇ cos φ, ẏ = aθ̇ sin φ वेगों को सीमित करते हैं परंतु x, y, θ, φ के बीच संबंधों में समाकलित नहीं हो सकते, अतः चारों निर्देशांक बने रहते हैं।

स्क्लेरोनोमिक व्यवरोधों में t स्पष्टतः नहीं होता; रियोनोमिक व्यवरोधों में होता है (जैसे घूमते तार पर मनका)।

स्वातंत्र्य कोटि: k स्वतंत्र होलोनोमिक व्यवरोधों वाले N कणों की n = 3N − k स्वातंत्र्य कोटियाँ होती हैं।

भाव: उन राशियों को गिनें जिन्हें आप अब भी स्वेच्छा से निर्धारित कर सकते हैं। ऊपर के चित्र के द्विक लोलक (double pendulum) में ऊर्ध्वाधर तल में दो कण (4 निर्देशांक) और दो छड़-लंबाई व्यवरोध हैं, अतः n = 4 − 2 = 2 और q = (θ₁, θ₂); तल में गतिमान दृढ़ पिंड के लिए n = 3 (दो G के लिए और एक कोण)।

व्यापकीकृत निर्देशांक (generalized coordinates) q₁, ..., q_n: विन्यास निर्धारित करने वाली स्वतंत्र राशियाँ, r_i = r_i(q₁, ..., q_n, t); q̇_j व्यापकीकृत वेग हैं।

भाव: व्यापकीकृत निर्देशांकों का लंबाई होना आवश्यक नहीं: कोण, चाप-लंबाई या उदाहरण 10 का u = cos(θ/2), सभी मान्य हैं, बशर्ते वे स्वतंत्र हों (कोई संबंध उन्हें न जोड़े) और पर्याप्त हों (प्रत्येक कण की स्थिति निर्धारित करें)। अच्छा चयन व्यवरोधों को स्वतः संतुष्ट कर देता है, जिससे व्यवरोध बल कभी प्रकट नहीं होते।

आभासी विस्थापन δr_i: किसी स्थिर क्षण (δt = 0) पर व्यवरोधों से संगत विन्यास का अतिसूक्ष्म परिवर्तन।

भाव: ऊपर के चित्र के घूमते तार के लिए समय dt में वास्तविक विस्थापन में तार का घूमना भी सम्मिलित है, परंतु आभासी विस्थापन (virtual displacement) तार को स्थिर मानता है और उसके अनुदिश होता है। अतः चिकने तार की अभिलंब प्रतिक्रिया कोई आभासी कार्य नहीं करती, यद्यपि वह मनके पर वास्तविक कार्य करती है: इसी कारण वास्तविक नहीं, आभासी (δt = 0) विस्थापन का प्रयोग होता है।

व्यापकीकृत बल: Q_j = ∑_i F_i·∂r_i/∂q_j, अतः आभासी कार्य ∑ Q_jδq_j है; संरक्षी बलों के लिए Q_j = −∂V/∂q_j।

भाव: Q_j, q_j का संयुग्मी बल है: Q_jδq_j की इकाई सदा कार्य की होती है, अतः यदि q_j लंबाई है तो Q_j बल है, और यदि q_j कोण है तो Q_j संगत अक्ष के परितः बल-आघूर्ण है।

3. आभासी विस्थापन और डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम ऐसे गति समीकरण चाहते हैं जिनमें व्यवरोध बल (अभिलंब प्रतिक्रियाएँ, छड़ों के तनाव) कभी न आएँ। स्थैतिकी में आभासी कार्य का सिद्धांत विराम में पिंडों के लिए ठीक यही करता है; डी'एलेम्बर्ट का विचार इसे गतिमान पिंडों तक बढ़ाता है।

शब्दों में: आभासी विस्थापन (virtual displacement) δr_i स्थितियों में एक काल्पनिक, अत्यल्प परिवर्तन है, जो एक स्थिर किए गए क्षण पर (δt = 0) किया जाता है और उस क्षण के व्यवरोधों द्वारा अनुमत होता है। "आभासी" का अर्थ है कि यह वास्तविक गति होना आवश्यक नहीं। बल F का आभासी कार्य F·δr है।

कोई व्यवरोध कार्यहीन (workless) है यदि प्रत्येक आभासी विस्थापन के लिए उसके बलों का कुल आभासी कार्य शून्य हो: चिकना पृष्ठ (प्रतिक्रिया अभिलंब है और δr स्पर्शी), दृढ़ छड़ (छड़ के अनुदिश समान और विपरीत खिंचाव), अवितान्य डोरी, लुढ़कन संपर्क (संपर्क बिंदु का δr = 0)।

तब डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत कहता है: प्रयुक्त बल और उत्क्रमित प्रभावी बल (reversed effective forces) −m_ir̈_i मिलकर शून्य कुल आभासी कार्य करते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: द्रव्यमान m का मनका क्षैतिज से कोण α पर झुके एक चिकने सीधे तार पर फिसलता है। इसका त्वरण ज्ञात करें।

चरण 1: तार पर नीचे की ओर चली दूरी s लें। मनके पर बल हैं उसका भार mg (प्रयुक्त बल) और तार की अभिलंब प्रतिक्रिया N (व्यवरोध बल), जो तार के लंबवत है।

चरण 2: तार केवल अपने अनुदिश विस्थापन की अनुमति देता है: δr = δs गुणा तार पर नीचे की ओर इकाई सदिश।

चरण 3: N का आभासी कार्य: N, δr के लंबवत है, अतः N·δr = 0। इसी कारण N कभी नहीं आएगा।

चरण 4: भार का आभासी कार्य: तार पर नीचे की ओर इसका घटक mg sin α है, अतः यह mg sin α δs देता है।

चरण 5: उत्क्रमित प्रभावी बल का आभासी कार्य: त्वरण तार के अनुदिश s̈ है, अतः यह −ms̈ δs देता है।

चरण 6: डी'एलेम्बर्ट: प्रत्येक δs के लिए (mg sin α − ms̈)δs = 0, अतः s̈ = g sin α। यह परिचित उत्तर है, जो N की गणना किए बिना मिला।

अ-उदाहरण (non-example): रूक्ष तार पर घर्षण μN तार के अनुदिश गति के विरुद्ध लगता है और आभासी कार्य −μN δs करता है। सिद्धांत अब भी सत्य है, परंतु घर्षण को प्रयुक्त बलों में गिनना होगा और N अलग से ज्ञात करना होगा (यहाँ N = mg cos α): प्रतिक्रिया का घर्षण भाग कार्यहीन नहीं है, अतः "व्यवरोध बल हट जाते हैं" वाला संक्षिप्त मार्ग विफल होता है।

आगे बढ़ते हुए: न्यूटन के नियम m_ir̈_i = F_i + R_i से आरंभ करें, R_i कण i पर व्यवरोध बल है, अतः F_i − m_ir̈_i = −R_i। प्रत्येक का δr_i से अदिश गुणन कर जोड़ें: ∑(F_i − m_ir̈_i)·δr_i = −∑R_i·δr_i, जो कार्यहीन व्यवरोधों के लिए शून्य है।

r̈_i = 0 रखने पर स्थैतिकी का आभासी कार्य सिद्धांत वापस मिलता है। यह तर्क ठीक नीचे "यह क्यों काम करता है" में लिखा है, और खंड 7 इस सिद्धांत को लग्रांज समीकरणों में बदलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC कभी-कभी पूछता है "डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत से गति समीकरण ज्ञात कीजिए" (उदाहरण 7)। प्रायः यह सिद्धांत लग्रांज समीकरणों की व्युत्पत्ति का पहला चरण है, जो 15 अंकों का एक मानक सैद्धांतिक प्रश्न है।

4. डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत

आभासी कार्य का सिद्धांत: कार्यहीन व्यवरोधों वाला निकाय संतुलन में है यदि और केवल यदि सभी आभासी विस्थापनों के लिए ∑ F_i·δr_i = 0, जहाँ F_i प्रयुक्त बल हैं।

डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत (D'Alembert's principle): उत्क्रमित प्रभावी बल −m_ir̈_i जोड़कर, ∑_i (F_i − m_ir̈_i)·δr_i = 0, बशर्ते व्यवरोध बल कोई आभासी कार्य न करें।

यह गतिकी को स्थैतिकी में बदल देता है और व्यवरोध के अज्ञात बलों को विलोपित करता है।

यह क्यों काम करता है: कण i के लिए न्यूटन नियम m_ir̈_i = F_i + R_i है, जहाँ R_i व्यवरोध बल है। δr_i से अदिश गुणन कर योग लेने पर ∑(F_i − m_ir̈_i)·δr_i = −∑R_i·δr_i, और कार्यहीन व्यवरोधों के लिए दायाँ पक्ष शून्य है: चिकने पृष्ठ और तार, दृढ़ छड़ें, अवितान्य डोरियाँ, और बिना फिसले लुढ़कना।

भाव: परिकल्पना महत्त्वपूर्ण है। रूक्ष पृष्ठ पर फिसलन घर्षण आभासी कार्य करता है, अतः इसे छोड़ा नहीं जा सकता; इसे प्रयुक्त बलों F_i में रखना होगा, और इसका मान μR अलग से ज्ञात करना होगा।

संबंध: डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत स्थैतिकी (प्रश्नपत्र I) में प्रयुक्त आभासी कार्य के सिद्धांत का गतिक रूप है; r̈_i = 0 रखने पर वही सिद्धांत प्राप्त होता है।

5. लग्रांज समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: न्यूटन के समीकरणों को प्रतिक्रियाओं सहित प्रत्येक बल चाहिए, और जब स्वाभाविक निर्देशांक कोण हों तो वे असुविधाजनक हो जाते हैं। हम एक ऐसी विधि चाहते हैं जो किसी भी निर्देशांक में काम करे: दो अदिश फलन, गतिज ऊर्जा T और स्थितिज ऊर्जा V, लिखें और केवल अवकलन से गति समीकरण प्राप्त करें।

शब्दों में: लग्रांजी (Lagrangian) L = T − V है, जिसे व्यापकीकृत निर्देशांकों q_j, व्यापकीकृत वेगों q̇_j और संभवतः t के फलन के रूप में लिखा जाता है। q_j के लिए लग्रांज समीकरण d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j = 0 है, प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटि के लिए एक समीकरण।

इसे तीन चरणों में पढ़ें। (1) L का q̇_j के सापेक्ष आंशिक अवकलन करें, q और q̇ को स्वतंत्र अक्षर मानकर; परिणाम p_j व्यापकीकृत संवेग है। (2) p_j का गति के अनुदिश t के सापेक्ष पूर्ण अवकलन करें, ताकि इसमें प्रत्येक q और q̇ भी बदले। (3) ∂L/∂q_j घटाएँ।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: द्रव्यमान m का कण चिकने क्षैतिज तल पर चलता है और स्थिर बिंदु O की ओर बल kr से आकर्षित होता है, अतः V = (1/2)kr²। ध्रुवी निर्देशांक (r, θ) लें।

चरण 1: वेग का त्रिज्य घटक ṙ और अनुप्रस्थ घटक rθ̇ है, अतः T = (m/2)(ṙ² + r²θ̇²) और L = (m/2)(ṙ² + r²θ̇²) − (1/2)kr²।

चरण 2 (r-समीकरण): ∂L/∂ṙ = mṙ, जिसका काल-अवकलज mr̈ है; ∂L/∂r = mrθ̇² − kr। अतः mr̈ − mrθ̇² + kr = 0।

चरण 3 (θ-समीकरण): ∂L/∂θ̇ = mr²θ̇, और ∂L/∂θ = 0 क्योंकि L में θ नहीं है। अतः d/dt(mr²θ̇) = 0।

चरण 4: व्याख्या करें। r-समीकरण का अर्थ है "द्रव्यमान × त्रिज्य त्वरण (r̈ − rθ̇²) = त्रिज्य बल −kr"; अभिकेंद्री पद −rθ̇² स्वयं ∂L/∂r से निकल आया। θ-समीकरण कहता है कि कोणीय संवेग mr²θ̇ अचर है।

चरण 5: ध्यान दें कि हमने न कोई बल वियोजित किया और न ध्रुवी निर्देशांकों में त्वरण लिखा: सारा कार्य T और V ने किया।

अ-उदाहरण (non-example): रूप d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j = 0 के लिए आवश्यक है कि सभी प्रयुक्त बल किसी विभव V(q, t) से आएँ। वायु प्रतिरोध −cv के विरुद्ध चलते कण के लिए ऐसा कोई V नहीं है, और केवल L = T लेने से प्रतिरोध छूट जाएगा। सही रूप दाईं ओर व्यापकीकृत बल रखता है, d/dt(∂T/∂q̇_j) − ∂T/∂q_j = Q_j, या नीचे की भाँति रैले फलन का प्रयोग करता है।

आगे बढ़ते हुए: व्युत्पत्ति (खंड 7) में चार विचार हैं: (i) प्रत्येक आभासी विस्थापन δr_i = ∑(∂r_i/∂q_j)δq_j है; (ii) तब प्रयुक्त बल ∑Q_jδq_j देते हैं; (iii) कलन की दो सर्वसमिकाएँ जड़त्व पदों को d/dt(∂T/∂q̇_j) − ∂T/∂q_j में बदलती हैं; (iv) δq_j स्वतंत्र हैं, अतः प्रत्येक गुणांक अलग-अलग शून्य होता है।

जब Q_j = −∂V/∂q_j हो, तो V को दोनों अवकलजों के भीतर ले जाया जा सकता है (इसमें q̇ नहीं है), और L = T − V प्रकट होता है। L से अनुपस्थित निर्देशांक संरक्षित संवेग देता है, और स्पष्ट t रहित L ऊर्जा समाकल देता है (खंड 8)।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रश्नपत्र II के लगभग हर यांत्रिकी प्रश्न में: लोलक, घूमते तारों पर मनके, लुढ़कते पिंड, युग्मित दोलित्र। यह हैमिल्टन समीकरणों का द्वार भी है, जहाँ p_j = ∂L/∂q̇_j एक नया चर बन जाता है।

6. लग्रांज समीकरण

T = (1/2)∑m_iṙ_i² और स्वतंत्र q_j के साथ डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत से: d/dt(∂T/∂q̇_j) − ∂T/∂q_j = Q_j, j = 1, ..., n।

व्युत्पत्ति में ∂ṙ_i/∂q̇_j = ∂r_i/∂q_j और d/dt(∂r_i/∂q_j) = ∂ṙ_i/∂q_j का प्रयोग होता है।

संरक्षी निकाय: L = T − V (V, q̇ से स्वतंत्र) के साथ, d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j = 0।

व्यापकीकृत संवेग p_j = ∂L/∂q̇_j; यदि q_j, L में न हो (चक्रीय या उपेक्षणीय निर्देशांक), तो p_j अचर है।

भाव: चक्रीय निर्देशांक (cyclic coordinate) एक सममिति व्यक्त करता है: q_j को खिसकाने पर L नहीं बदलता। स्थानांतरण के प्रति निश्चरता से रैखिक संवेग का संरक्षण, और घूर्णन के प्रति निश्चरता (उदाहरण 2 में θ चक्रीय) से कोणीय संवेग का संरक्षण मिलता है।

ऊर्जा समाकल: यदि L में t स्पष्टतः न हो, तो h = ∑q̇_j∂L/∂q̇_j − L अचर है; स्क्लेरोनोमिक व्यवरोधों के लिए h = T + V।

भाव: h जैकोबी समाकल है। यह ऊर्जा T + V के बराबर केवल तब है जब व्यवरोध समय पर निर्भर न हों; गतिमान व्यवरोध (घूमता तार या वलय) निकाय में ऊर्जा डाल सकता है, फिर भी h संरक्षित रहता है।

क्षयकारी बल: रैले क्षय फलन R = (1/2)∑k_iv_i² के साथ, d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j + ∂R/∂q̇_j = 0।

यह क्यों काम करता है: प्रतिरोधी बलों −k_iv_i के लिए व्यापकीकृत बल Q_j = −∑k_iv_i·∂r_i/∂q_j = −∑k_iv_i·∂v_i/∂q̇_j = −∂R/∂q̇_j है, जहाँ ∂v_i/∂q̇_j = ∂r_i/∂q_j का प्रयोग हुआ; स्थिर व्यवरोधों के लिए ऊर्जा 2R की दर से नष्ट होती है।

संबंध: लग्रांज समीकरण क्रिया (action) ∫L dt के ऑयलर–लग्रांज समीकरण हैं (हैमिल्टन सिद्धांत, अगला विषय), और खंड 13 का गुणक नियम प्रश्नपत्र I के कलन में व्यवरोधित उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ के लग्रांज गुणकों वाला ही विचार है।

7. व्युत्पत्ति: डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत से लग्रांज समीकरण

चरण 1 (दो सर्वसमिकाएँ): r_i = r_i(q₁, ..., q_n, t) से ṙ_i = ∑_k(∂r_i/∂q_k)q̇_k + ∂r_i/∂t। यह q̇_k में रैखिक है, अतः ∂ṙ_i/∂q̇_j = ∂r_i/∂q_j (बिंदुओं का निरसन)।

साथ ही d/dt(∂r_i/∂q_j) = ∑_k(∂²r_i/∂q_k∂q_j)q̇_k + ∂²r_i/∂t∂q_j = ∂ṙ_i/∂q_j (d/dt और ∂/∂q_j का क्रम बदला जा सकता है)।

चरण 2 (प्रयुक्त बल): आभासी विस्थापन में δt = 0, अतः δr_i = ∑_j(∂r_i/∂q_j)δq_j और ∑_iF_i·δr_i = ∑_jQ_jδq_j।

चरण 3 (जड़त्व पद): ∑_im_ir̈_i·∂r_i/∂q_j = d/dt(∑m_iṙ_i·∂r_i/∂q_j) − ∑m_iṙ_i·d/dt(∂r_i/∂q_j)।

दोनों सर्वसमिकाओं से यह d/dt(∑m_iṙ_i·∂ṙ_i/∂q̇_j) − ∑m_iṙ_i·∂ṙ_i/∂q_j = d/dt(∂T/∂q̇_j) − ∂T/∂q_j है।

चरण 4: डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत ∑_j[d/dt(∂T/∂q̇_j) − ∂T/∂q_j − Q_j]δq_j = 0 बन जाता है। व्यवरोध होलोनोमिक हैं, अतः δq_j स्वतंत्र और स्वेच्छ हैं; एक को छोड़ सभी को शून्य चुनने पर प्रत्येक कोष्ठक शून्य सिद्ध होता है।

चरण 5: यदि Q_j = −∂V/∂q_j जहाँ V = V(q, t), तो ∂V/∂q̇_j = 0, अतः V को दोनों अवकलजों के भीतर ले जाया जा सकता है और L = T − V से d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j = 0 मिलता है।

भाव: चरण 4 में ही होलोनोमिक परिकल्पना का प्रयोग होता है। अहोलोनोमिक या अविलोपित व्यवरोध के साथ δq_j परस्पर संबद्ध होते हैं, कोष्ठकों का अलग-अलग शून्य होना आवश्यक नहीं, और गुणकों की आवश्यकता होती है (खंड 13)।

8. व्युत्पत्ति: ऊर्जा (जैकोबी) समाकल

h = ∑q̇_j∂L/∂q̇_j − L रखें। तब dh/dt = ∑q̈_j∂L/∂q̇_j + ∑q̇_jd/dt(∂L/∂q̇_j) − ∑(∂L/∂q_j q̇_j + ∂L/∂q̇_j q̈_j) − ∂L/∂t।

q̈ वाले पद कट जाते हैं, और शेष ∑q̇_j[d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j] − ∂L/∂t लग्रांज समीकरणों से −∂L/∂t है। अतः जब भी L में t स्पष्टतः न हो, h अचर है।

T = T₂ + T₁ + T₀ लिखें, जो q̇_j में घात 2, 1, 0 के भाग हैं। समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय से ∑q̇_j∂T/∂q̇_j = 2T₂ + T₁, अतः h = T₂ − T₀ + V।

स्क्लेरोनोमिक व्यवरोधों से T = T₂ और h = T + V। घूमते तार (उदाहरण 4) के लिए T₂ = (m/2)ṙ², T₀ = (m/2)ω²r², V = 0, अतः h = (m/2)(ṙ² − ω²r²), जैसा वहाँ कहा गया है।

9. लघु दोलनों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: लोलक, द्विक लोलक या कटोरे में मनका प्रायः किसी साम्य स्थिति के निकट रहता है। यथार्थ समीकरण अरैखिक होते हैं (उनमें sin θ आता है) और विरले ही हल होते हैं, परंतु साम्य के निकट वे रैखिक हो जाते हैं और पूर्णतः हल किए जा सकते हैं। हमें आवृत्तियाँ और गतियों के आकार ज्ञात करने की एक व्यवस्थित विधि चाहिए।

शब्दों में: साम्य (equilibrium) q₀ वह विन्यास है जहाँ प्रत्येक ∂V/∂q_j = 0, अतः सभी व्यापकीकृत बल शून्य होते हैं। "लघु दोलन" (small oscillations) का अर्थ है कि η = q − q₀ लेकर हम T और V में η और η̇ के केवल द्वितीय कोटि के पद रखते हैं।

तब T = (1/2)η̇^TAη̇ और V = (1/2)η^TBη, जहाँ A (जड़त्व, q₀ पर स्थिर किए गए T के गुणांक) और B (दृढ़ता, q₀ पर V के द्वितीय अवकलज) अचर सममित आव्यूह हैं, और लग्रांज समीकरण Aη̈ + Bη = 0 बन जाते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: सरल लोलक, T = (1/2)ml²θ̇² और V = −mgl cos θ।

चरण 1: साम्य: V′(θ) = mgl sin θ = 0 से θ = 0 और θ = π।

चरण 2: θ = 0 पर V″(0) = mgl cos 0 = mgl > 0, अतः वहाँ V का निम्निष्ठ है।

चरण 3: प्रसार करें: cos θ ≈ 1 − θ²/2, अतः V ≈ −mgl + (1/2)mglθ²। इस प्रकार A = ml² और B = mgl (अचर −mgl गति को प्रभावित नहीं करता)।

चरण 4: द्विघाती L का लग्रांज समीकरण ml²θ̈ + mglθ = 0 है, अतः θ = θ₀cos(ωt + ε) जहाँ ω² = B/A = g/l।

चरण 5: θ = π पर V″(π) = −mgl, ऋणात्मक। समीकरण η̈ − (g/l)η = 0 बनता है, जिसके हल e^{±√(g/l) t} हैं: सूक्ष्मतम विक्षोभ भी बढ़ता है, अतः उलटी स्थिति अस्थायी है।

चरण 6: ध्यान दें कि ω² = B/A, det(B − ω²A) = 0 की एक-निर्देशांक स्थिति है।

अ-उदाहरण (non-example): जिस बिंदु पर ∂V/∂q ≠ 0 हो वह साम्य नहीं है। उसके परितः प्रसार करने पर V में एक रैखिक पद, अर्थात एक अचर बल, बचता है, और उस बिंदु के परितः कोई दोलन होता ही नहीं। इसी प्रकार T में θ-आश्रित गुणांक (जैसे sin²θ) रखना लघु-दोलन सन्निकटन नहीं है: गुणांक q₀ पर स्थिर करने होते हैं।

आगे बढ़ते हुए: दो या अधिक निर्देशांकों के साथ η = X cos(ωt + ε) आज़माएँ। तब (B − ω²A)X = 0, जिसका शून्येतर हल X ठीक तभी है जब det(B − ω²A) = 0, जो ω² में घात n का समीकरण है।

दो समान द्रव्यमान m, जो परस्पर और दो स्थिर दीवारों से तीन समान कमानियों k द्वारा जुड़े हैं (रेखा के अनुदिश गति): A = mI और B = [[2k, −k], [−k, 2k]], अतः (2k − mω²)² − k² = 0 और ω² = k/m (द्रव्यमान साथ-साथ चलते हैं, X = (1, 1)) या 3k/m (वे विपरीत चलते हैं, X = (1, −1))।

ऐसी प्रत्येक गति एक प्रसामान्य विधा (normal mode) है, और व्यापक लघु गति विधाओं का योग है; प्रसामान्य निर्देशांक T और V को वर्गों के योग बना देते हैं (खंड 14)।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC युग्मित निकायों की आवृत्तियाँ, प्रसामान्य विधाएँ और प्रसामान्य निर्देशांक पूछता है (उदाहरण 12 और 13)। यह गणना रैखिक बीजगणित की व्यापकीकृत आइगेन मान समस्या है, और स्थायित्व (सभी ω² धनात्मक) B की धनात्मक निश्चितता है।

10. विधि का चयन

यदि केवल गति चाहिए और व्यवरोध चिकने या लुढ़कन वाले हैं → ऐसे n स्वतंत्र q_j चुनें जो व्यवरोधों को स्वतः संतुष्ट करें, T और V लिखें, और L = T − V के साथ लग्रांज समीकरण लगाएँ।

यदि कोई प्रतिक्रिया, तनाव या लुढ़कन में घर्षण भी चाहिए → एक अतिरिक्त निर्देशांक और व्यवरोध के लिए गुणक λ रखें (खंड 13), या गति ज्ञात करने के बाद संबंधित पिंड पर न्यूटन नियम लगाएँ।

यदि प्रश्न में "डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत की सहायता से" कहा है → व्यवरोध के स्पर्शी आभासी विस्थापन के साथ ∑(F_i − m_ir̈_i)·δr_i = 0 लिखें (उदाहरण 7), सीधे लग्रांज समीकरण नहीं।

यदि कोई q_j चक्रीय है → तुरंत p_j = अचर लिखें और इससे अन्य समीकरणों या ऊर्जा समाकल में से q̇_j का विलोपन करें।

यदि L में t स्पष्टतः नहीं है और कोई चाल पूछी गई है ("तल पर वेग") → ऊर्जा समाकल h = अचर प्रथम कोटि समीकरण है और प्रायः सबसे शीघ्र है।

यदि संतुलन के निकट गति पूछी गई है → T और V को द्वितीय कोटि तक प्रसारित करें और det(B − ω²A) = 0 हल करें (खंड 14)।

11. सामान्य गलतियाँ

प्रथम समाकल को L में प्रतिस्थापित करना। θ-समीकरण बनाने से पहले L = (1/2)I(θ̇² + sin²θ φ̇²) − V में φ̇ के स्थान पर p_φ/(I sin²θ) रखने से अपकेंद्री पद का चिह्न उलट जाता है। प्रतिस्थापन गति समीकरणों (या ऊर्जा) में करें, L में कभी नहीं।

दृढ़ पिंड की अपूर्ण गतिज ऊर्जा। T = (1/2)Mv_G² + (1/2)I_Gω² है, या केवल स्थिर बिंदु O के परितः (1/2)I_Oω²; घूर्णी पद प्रायः भूल जाते हैं, और G के अतिरिक्त किसी गतिमान बिंदु के परितः I लेना मान्य नहीं।

गतिमान व्यवरोध में h को ऊर्जा कहना। घूमते तार या वलय के लिए h = T₂ − T₀ + V संरक्षित है जबकि T + V नहीं।

बहुत अधिक निर्देशांक। लुढ़कते वलय के x और θ को व्यवरोध x = aθ (या गुणक) के बिना स्वतंत्र मानना मुक्त रूप से फिसलते वलय का वर्णन करता है और गलत त्वरण देता है।

V का चिह्न। y नीचे की ओर मापने पर V = −mgy; +mgy लेने से लोलक उल्टा लोलक बन जाता है, और स्थायी संतुलन अस्थायी प्रतीत होता है।

पूर्ण के स्थान पर आंशिक समय अवकलज। d/dt(sin²θ φ̇) = sin²θ φ̈ + 2sin θ cos θ θ̇φ̇; दूसरा पद प्रायः छूट जाता है।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (सरल लोलक): q = θ, T = (1/2)ml²θ̇², V = −mgl cos θ; लग्रांज समीकरण से θ̈ + (g/l) sin θ = 0, लघु दोलनों के लिए आवर्तकाल 2π√(l/g)।

उदाहरण 2 (केंद्रीय बल): L = (m/2)(ṙ² + r²θ̇²) − V(r)। r-समीकरण m(r̈ − rθ̇²) = −V′(r) है; θ चक्रीय है, अतः mr²θ̇ अचर है (कोणीय संवेग)।

उदाहरण 3 (एटवुड मशीन): चिकनी हल्की घिरनी पर हल्की डोरी से लटके द्रव्यमान m₁, m₂, x = m₁ का अवतरण: L = (1/2)(m₁ + m₂)ẋ² + m₁gx + m₂g(l − x)।

तब (m₁ + m₂)ẍ = (m₁ − m₂)g, अतः ẍ = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂)।

उदाहरण 4 (घूमते तार पर मनका): एक चिकना सीधा तार क्षैतिज तल में अचर ω से घूमता है; L = (m/2)(ṙ² + ω²r²), अतः r̈ = ω²r और r = Ae^ωt + Be^−ωt।

व्यवरोध रियोनोमिक है, अतः संरक्षित राशि h = (m/2)(ṙ² − ω²r²) गतिज ऊर्जा T नहीं है।

उदाहरण 5 (घूर्णी छल्ले पर मनका): त्रिज्या a के चिकने वृत्तीय छल्ले पर एक मनका सरकता है, जो अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के परितः अचर कोणीय वेग ω से घूमता है, और θ नीचे की ऊर्ध्वाधर दिशा से मापा जाता है। गति समीकरण और सापेक्ष साम्य की स्थितियाँ ज्ञात कीजिए।

T = (1/2)ma²(θ̇² + ω²sin²θ), V = −mga cos θ, अतः लग्रांज समीकरण से θ̈ = sin θ(ω²cos θ − g/a)।

साम्य: θ = 0, θ = π, और cos θ₀ = g/(aω²), जो केवल ω² > g/a होने पर विद्यमान है।

रैखिकीकरण: θ₀ पर sin θ(ω²cos θ − g/a) का अवकलज −ω²sin²θ₀ है, अतः θ₀ स्थायी है और लघु दोलन आवृत्ति ω sin θ₀ है; θ = 0 पर अवकलज ω² − g/a > 0 है, अतः तब θ = 0 अस्थायी है।

उदाहरण 6 (सीढ़ी): लंबाई 2a की एकसमान छड़ ऊर्ध्वाधर तल में अपने सिरों को चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार और चिकने क्षैतिज फर्श पर टिकाए है, और ऊर्ध्वाधर से α झुकाव पर विरामावस्था से फिसलती है। दिखाइए कि यह cos θ = (2/3)cos α होने पर दीवार छोड़ देती है।

θ को ऊर्ध्वाधर से झुकाव लेकर G = (a sin θ, a cos θ), T = (1/2)Ma²θ̇² + (1/2)(Ma²/3)θ̇² = (2/3)Ma²θ̇² और V = Mga cos θ।

लग्रांज समीकरण: (4/3)Ma²θ̈ = Mga sin θ, अतः θ̈ = (3g/(4a))sin θ, और ऊर्जा समाकल से θ̇² = (3g/(2a))(cos α − cos θ)।

दीवार की प्रतिक्रिया R = Mẍ_G = Ma(θ̈ cos θ − θ̇²sin θ) = (3Mg/4)sin θ(3cos θ − 2cos α) है, जो cos θ = (2/3)cos α पर शून्य होती है; वहीं छड़ दीवार छोड़ देती है।

13. लोटन व्यवरोध, गुणक और व्यापकीकृत बल

r त्रिज्या के पिंड का सीधे पथ पर बिना फिसले लुढ़कना (rolling): संपर्क बिंदु विरामावस्था में है, अतः ẋ = rθ̇, जिसका समाकलन x = rθ है; यह व्यवरोध होलोनोमिक है और एक निर्देशांक घटा देता है।

भाव: सीधी रेखा पर लुढ़कना होलोनोमिक है क्योंकि ẋ = rθ̇ का समाकल x = rθ है। समतल पर सीधी लुढ़कती चक्रिका, जिसका तल भी घूमता है, होलोनोमिक नहीं: वेग प्रतिबंधों का समाकलन नहीं हो सकता, और तब गुणक अनिवार्य होते हैं।

लग्रांज के अनिर्धारित गुणक (undetermined multipliers): यदि निर्देशांक किसी होलोनोमिक व्यवरोध f(q, t) = 0 से जुड़े हों जिसे विलोपित नहीं किया गया, तो d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j = λ ∂f/∂q_j लें; पद λ ∂f/∂q_j व्यवरोध के व्यापकीकृत बल हैं (जैसे लुढ़कने में घर्षण)।

यह क्यों काम करता है: E_j = d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j लिखें। डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत से ∑(∂f/∂q_j)δq_j = 0 को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक δq के लिए ∑E_jδq_j = 0। अतः सदिश (E_j), (∂f/∂q_j) के लंबवत प्रत्येक सदिश के लंबवत है, इसलिए उसके समांतर है: किसी एक λ(t) के लिए E_j = λ∂f/∂q_j।

भाव: λ केवल युक्ति नहीं है: λ∂f/∂q_j वह व्यापकीकृत बल है जो व्यवरोध लगाता है, अतः गुणक विधि गति और प्रतिक्रिया (या घर्षण) दोनों एक साथ देती है, जैसे उदाहरण 8 में।

बिंदु P पर बल (X, Y) का व्यापकीकृत बल: x_P, y_P को q_j में व्यक्त करें; Q_j, X δx_P + Y δy_P में δq_j का गुणांक है, अर्थात Q_j = X ∂x_P/∂q_j + Y ∂y_P/∂q_j।

छड़ों की गतिज ऊर्जा: समतल गति में 2a लंबाई की छड़ के लिए T = (1/2)Mv_G² + (1/2)(Ma²/3)ω² (कोनिग प्रमेय); स्थिर सिरे O के परितः ध्रुवीय कोणों θ, φ के साथ घूमती छड़ के लिए T = (1/2)(4Ma²/3)(θ̇² + sin²θ φ̇²)।

व्यवरुद्ध कण के लिए डी'एलम्बर्ट सिद्धांत: व्यवरोध की स्पर्शी दिशा में कल्पित विस्थापन लें (f(x, y) = 0 के लिए δx : δy = f_y : −f_x) और F − mr̈ के कल्पित कार्य को शून्य रखें।

उदाहरण 7 (UPSC 2021, 10 अंक): ऊर्ध्वाधर xy-तल में स्थित एक वृत्त के अनुदिश एक कण गति के लिए व्यवरुद्ध है। डी’एलम्बर्ट के नियम की सहायता से दर्शाइए कि इसकी गति का समीकरण ẍy − ÿx − gx = 0 है, जहाँ g गुरुत्वीय त्वरण है।

y को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर लें, अतः F = (0, −mg); व्यवरोध x² + y² = a² से x δx + y δy = 0, अतः δx = yε, δy = −xε लिया जा सकता है।

डी'एलम्बर्ट: (F_x − mẍ)δx + (F_y − mÿ)δy = 0, अर्थात (−mẍ)(yε) + (−mg − mÿ)(−xε) = 0।

−mε से भाग देने पर ẍy − ÿx − gx = 0; x = a sin θ, y = −a cos θ रखने पर यह θ̈ + (g/a)sin θ = 0 बनता है, सरल लोलक।

उत्तर: ẍy − ÿx − gx = 0।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 15 अंक): लम्बाई l तथा झुकाव के कोण φ के साथ एक झुके हुए समतल पर r त्रिज्या का एक हूप बिना फिसले लुढ़क रहा है। तंत्र को उचित व्यापकीकृत निर्देशांक दीजिए। व्यवरोध, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए। तंत्र के लिए लग्रांजी समीकरण लिखिए। तब या अन्यथा झुके हुए समतल के निचले सिरे पर हूप का वेग ज्ञात कीजिए।

निर्देशांक: x, तल पर नीचे की ओर केंद्र की दूरी, और θ, घूमा हुआ कोण; लुढ़कने से होलोनोमिक व्यवरोध x = rθ मिलता है, अतः स्वातंत्र्य कोटि एक है, q = x।

हूप के लिए k = r, अतः T = (1/2)Mẋ² + (1/2)Mr²θ̇² = Mẋ², V = −Mgx sin φ, और L = Mẋ² + Mgx sin φ।

लग्रांज समीकरण: 2Mẍ − Mg sin φ = 0, अतः ẍ = (1/2)g sin φ; विराम से आरंभ कर तली पर v² = 2ẍl = gl sin φ।

x और θ दोनों तथा f = x − rθ = 0 के लिए गुणक λ लेने पर: Mẍ − Mg sin φ = λ और Mr²θ̈ = −λr, जिससे λ = −(1/2)Mg sin φ, तल पर ऊपर की ओर कार्यरत घर्षण।

उत्तर: व्यवरोध x = rθ; समीकरण 2ẍ = g sin φ; तली पर वेग √(gl sin φ)।

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 20 अंक): दो एकसमान छड़ों AB, AC को, जिसमें प्रत्येक का द्रव्यमान m तथा लम्बाई 2a है, मसृण तरीक़े से A पर कब्ज़े के साथ जोड़ा गया है तथा वे क्षैतिज समतल पर गतिमान हैं। समय t पर, समतल में स्थिर लंब अक्ष Ox, Oy के सन्दर्भ में छड़ों का द्रव्यमान केन्द्र बिन्दु (ξ, η) पर है तथा छड़ें Ox के साथ θ ± φ का कोण बनाती हैं। सिद्ध कीजिए कि तंत्र की गतिज ऊर्जा
m[ξ̇² + η̇² + (1/3 + sin²φ)a²θ̇² + (1/3 + cos²φ)a²φ̇²] है।
साथ ही तंत्र के लिए गति के लग्रांज समीकरणों को भी व्युत्पन्न कीजिए, यदि घटकों [X, Y] सहित एक बाहरी बल अक्षों के साथ-साथ, A बिन्दु पर क्रिया करता है।

माना A = (x_A, y_A)। AB और AC के केंद्र A + a(cos(θ ± φ), sin(θ ± φ)) हैं, अतः उनका माध्य G = (ξ, η) = A + a cos φ(cos θ, sin θ) है।

G के सापेक्ष छड़-केंद्र ±a sin φ(−sin θ, cos θ) पर हैं, जिनकी चाल का वर्ग a²(φ̇²cos²φ + θ̇²sin²φ) है; छड़ें θ̇ ± φ̇ कोणीय वेगों से घूमती हैं।

दोनों छड़ों के लिए (1/2)mv² + (1/2)(ma²/3)ω² जोड़ने पर (वज्र पद कट जाते हैं): T = m(ξ̇² + η̇²) + ma²(φ̇²cos²φ + θ̇²sin²φ) + (ma²/3)(θ̇² + φ̇²), जो दिया गया रूप है।

व्यापकीकृत बल: x_A = ξ − a cos φ cos θ, y_A = η − a cos φ sin θ, अतः Q_ξ = X, Q_η = Y, Q_θ = a cos φ(X sin θ − Y cos θ), Q_φ = a sin φ(X cos θ + Y sin θ)।

लग्रांज समीकरण: 2mξ̈ = X, 2mη̈ = Y, d/dt[2ma²(1/3 + sin²φ)θ̇] = a cos φ(X sin θ − Y cos θ)।

तथा 2ma²(1/3 + cos²φ)φ̈ − ma²sin 2φ(φ̇² + θ̇²) = a sin φ(X cos θ + Y sin θ)।

उत्तर: T दिए अनुसार, और ऊपर के चार समीकरण; पहले दो बताते हैं कि G बल (X, Y) के अधीन 2m द्रव्यमान के कण की भाँति चलता है।

उदाहरण 10 (UPSC 2025, 10 अंक): x = a(θ − sin θ), y = a(1 + cos θ), (0 ≤ θ ≤ 2π) द्वारा दिए गए एक चक्रज के रूप में एक घर्षणहीन तार पर m द्रव्यमान का एक मनका फिसलता है। लग्रांजी फलन ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि गति का समीकरण
d²u/dt² + (g/4a) u = 0
के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ u = cos(θ/2) है। (4 + 6 = 10 अंक)

ẋ = a(1 − cos θ)θ̇, ẏ = −a sin θ θ̇, अतः v² = 2a²(1 − cos θ)θ̇² = 4a²sin²(θ/2)θ̇²।

y को ऊर्ध्वाधर ऊपर लेने पर V = mgy = 2mga cos²(θ/2), अतः L = 2ma²sin²(θ/2)θ̇² − 2mga cos²(θ/2)।

u = cos(θ/2) रखें, जो 0 ≤ θ ≤ 2π पर एकदिष्ट होने से वैध निर्देशांक है: u̇ = −(1/2)sin(θ/2)θ̇, अतः sin²(θ/2)θ̇² = 4u̇² और L = 8ma²u̇² − 2mgau²।

u में लग्रांज समीकरण: 16ma²ü + 4mgau = 0।

उत्तर: L = 2ma²sin²(θ/2)θ̇² − 2mga cos²(θ/2); d²u/dt² + (g/(4a))u = 0, आवर्तकाल 4π√(a/g) वाली सरल आवर्त गति, आयाम कुछ भी हो (चक्रज समकालिक है)।

उदाहरण 11 (UPSC 2026, 20 अंक): 2a लंबी और m द्रव्यमान की एक चिकनी एकसमान छड़, माना OA, का एक सिरा एक निश्चित बिंदु O पर धुराग्रस्थ (पिवटिड) है। छड़ नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर रेखा OZ से θ कोण पर झुकी हुई है और समतल OAZ, एक निश्चित ऊर्ध्वाधर समतल से कोण φ बनाती है। λm द्रव्यमान का एक मनका छड़ पर निर्विघ्न (स्मूथली) फिसलता है और nmg मापांक (मॉड्यूल्स) और प्राकृतिक लंबाई a की एक हल्की प्रत्यास्थ डोरी के द्वारा O से जुड़ा है। दर्शाइए कि इस तंत्र (सिस्टम) की गतिज ऊर्जा T, 2T = (4/3)ma²(θ̇² + φ̇² sin θ) + λm(ẋ² + x²θ̇² + x²θ̇² sin²θ) द्वारा दी जाती है, जहाँ x डोरी की तनी हुई (स्ट्रेच्ड) लंबाई है, और गति के समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

[छपे हुए 2T में दो मुद्रण त्रुटियाँ हैं: छड़ का पद θ̇² + φ̇²sin²θ और मनके का अंतिम पद x²φ̇²sin²θ होना चाहिए; संशोधित रूप सिद्ध किया गया है।]

छड़: यह O के परितः घूमती है, इसके कोणीय वेग का वर्ग θ̇² + sin²θ φ̇² है, और O से इसके लंबवत प्रत्येक रेखा के परितः आघूर्ण 4ma²/3 है, अतः 2T_छड़ = (4/3)ma²(θ̇² + φ̇²sin²θ)।

छड़ पर x दूरी पर मनका, गोलीय निर्देशांकों (x, θ, φ) में: 2T_मनका = λm(ẋ² + x²θ̇² + x²φ̇²sin²θ)।

V = −mga cos θ − λmgx cos θ + nmg(x − a)²/(2a), जहाँ डोरी की ऊर्जा = मापांक × प्रसार²/(2 × प्राकृतिक लंबाई), x ≥ a के लिए।

I = (4/3)ma² + λmx² रखें। φ चक्रीय है: I sin²θ φ̇ = अचर।

θ-समीकरण: d/dt(Iθ̇) − I sin θ cos θ φ̇² + mg(a + λx)sin θ = 0।

x-समीकरण: λmẍ − λmx(θ̇² + sin²θ φ̇²) − λmg cos θ + nmg(x − a)/a = 0।

उत्तर: 2T = (4/3)ma²(θ̇² + φ̇²sin²θ) + λm(ẋ² + x²θ̇² + x²φ̇²sin²θ), तथा ऊपर के तीन गति समीकरण।

14. लघु दोलन और प्रसामान्य निर्देशांक

लघु दोलन (small oscillations): स्क्लेरोनोमिक व्यवरोधों के साथ स्थायी साम्य (V न्यूनतम) के निकट T = (1/2)∑a_ijq̇_iq̇_j और V = (1/2)∑b_ijq_iq_j, जहाँ A, B अचर सममित आव्यूह हैं और A धनात्मक निश्चित है।

लग्रांज समीकरण AQ̈ + BQ = 0 बन जाते हैं; Q = Xe^iωt रखने पर आवृत्ति समीकरण det(B − ω²A) = 0 मिलता है।

यह क्यों काम करता है: संतुलन q₀ के परितः q = q₀ + η रखें। टेलर प्रमेय से V = V(q₀) + ∑(∂V/∂q_j)₀η_j + (1/2)∑b_ijη_iη_j + ..., और रैखिक पद शून्य हैं क्योंकि q₀ संतुलन है।

T = (1/2)∑a_ij(q)η̇_iη̇_j में गुणांकों को q₀ पर स्थिर लिया जा सकता है, क्योंकि त्रुटि तृतीय कोटि की है। इन द्विघाती T और V के लग्रांज समीकरण रैखिक हैं: Aη̈ + Bη = 0।

A धनात्मक निश्चित है, अतः det(B − ω²A) = 0 के मूल ω² वास्तविक हैं। ये सभी धनात्मक ठीक तब हैं जब B धनात्मक निश्चित हो, अर्थात V का निश्चित निम्निष्ठ हो; ऋणात्मक मूल का अर्थ घातीय वृद्धि, अर्थात अस्थायी संतुलन है।

प्रसामान्य निर्देशांक (normal coordinates): चरों का ऐसा रैखिक परिवर्तन जो T और V दोनों को एक साथ वर्गों के योग में बदल दे, T = (1/2)∑ξ̇_k², V = (1/2)∑ω_k²ξ_k²; तब प्रत्येक ξ_k, ξ̈_k + ω_k²ξ_k = 0 का पालन करता है।

जब T = (m/2)(ẋ² + ẏ²) हो, तो अक्षों का घूर्णन T को इसी रूप में रखता है, और घूर्णन कोण V के वज्र पद को हटाने के लिए चुना जाता है, ठीक वैसे जैसे शांकव को उसके मुख्य अक्षों पर घुमाया जाता है।

भाव: प्रसामान्य विधा (normal mode) में प्रत्येक कण समान आवृत्ति से और समान कला (या विपरीत कला) में गति करता है, और कोई भी लघु गति विधाओं का अध्यारोपण है। ऊपर के चित्र के समान द्रव्यमानों और लंबाइयों वाले द्विक लोलक के लिए ω² = (2 ∓ √2)g/l: धीमी विधा में दोनों गोलक एक ही ओर, और तीव्र विधा में विपरीत ओर झूलते हैं।

संबंध: det(B − ω²A) = 0 एक व्यापकीकृत आइगेन मान समस्या है, और प्रसामान्य निर्देशांक दो द्विघाती समघातों को एक साथ विकर्णित करते हैं (रैखिक बीजगणित, प्रश्नपत्र I), ठीक जैसे केंद्रीय शांकव या शांकवज को उसके मुख्य अक्षों पर समानीत किया जाता है।

उदाहरण 12 (UPSC 2018, 20 अंक): मान लीजिए किसी यांत्रिक-निकाय का लेगरान्जियन :
L = (1/2) m(aẋ² + 2bẋẏ + cẏ²) − (1/2) k(ax² + 2bxy + cy²),
के द्वारा द्योतित है जहाँ a, b, c, m (> 0), k (> 0) स्थिरांक हैं तथा b² ≠ ac लेगरान्जियन समीकरणों को लिखिए तथा निकाय को पहचानिए।

∂L/∂ẋ = m(aẋ + bẏ), ∂L/∂x = −k(ax + by); ∂L/∂ẏ = m(bẋ + cẏ), ∂L/∂y = −k(bx + cy)।

लग्रांज समीकरण: m(aẍ + bÿ) + k(ax + by) = 0 और m(bẍ + cÿ) + k(bx + cy) = 0।

आव्यूह रूप में P(mẌ + kX) = 0, जहाँ P = [[a, b], [b, c]], X = (x, y); det P = ac − b² ≠ 0, अतः P हटाया जा सकता है: ẍ + (k/m)x = 0, ÿ + (k/m)y = 0।

अतः x = C₁cos(ωt + ε₁), y = C₂cos(ωt + ε₂), जहाँ ω = √(k/m)।

उत्तर: ऊपर के समीकरण; निकाय तिर्यक निर्देशांकों में लिखा गया द्विविमीय समदैशिक आवर्ती दोलित्र है (समान आवृत्ति √(k/m) के दो अयुग्मित दोलन), जिसका पथ सामान्यतः दीर्घवृत्त होता है।

उदाहरण 13 (UPSC 2023, 20 अंक): स्वतंत्रता की कोटि 2 के एक यांत्रिक तंत्र का लग्रांजियन L = (1/2)m(ẋ² + ẏ²) − (1/2)m(w₁²x² + w₂²y²) + kxy है, जहाँ m, w₁, w₂, k अचर हैं। वह प्राचल θ ज्ञात कीजिए, जिसके लिए रूपांतरण x = q₁ cos θ − q₂ sin θ, y = q₁ sin θ + q₂ cos θ के अंतर्गत q₁, q₂ के पदों में लग्रांजियन में गुणन पद q₁q₂ नहीं होगा। प्राचल θ से स्वतंत्र, q₁ तथा q₂ के सापेक्ष लग्रांज समीकरणों को ज्ञात कीजिए।

घूर्णन गतिज ऊर्जा को अपरिवर्तित रखता है: ẋ² + ẏ² = q̇₁² + q̇₂²। c = cos θ, s = sin θ लेकर: x² = c²q₁² − 2csq₁q₂ + s²q₂², y² = s²q₁² + 2csq₁q₂ + c²q₂², xy = csq₁² + (c² − s²)q₁q₂ − csq₂²।

L में q₁q₂ का गुणांक (m/2)(w₁² − w₂²)sin 2θ + k cos 2θ है, जो tan 2θ = 2k/(m(w₂² − w₁²)) होने पर शून्य होता है।

तब L = (m/2)(q̇₁² + q̇₂²) − (m/2)(Ω₁²q₁² + Ω₂²q₂²), जहाँ Ω₁² = w₁²c² + w₂²s² − (k/m)sin 2θ और Ω₂² = w₁²s² + w₂²c² + (k/m)sin 2θ।

Ω₁², Ω₂² आव्यूह [[w₁², −k/m], [−k/m, w₂²]] के आइगेन मान हैं, अतः θ से स्वतंत्र रूप में Ω² = (w₁² + w₂²)/2 ± √((w₁² − w₂²)²/4 + k²/m²)।

उत्तर: tan 2θ = 2k/(m(w₂² − w₁²)); q̈₁ + Ω₁²q₁ = 0 और q̈₂ + Ω₂²q₂ = 0, Ω² ऊपर अनुसार (q₁, q₂ प्रसामान्य निर्देशांक हैं)।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): (a) ऊर्ध्वाधर तल में गतिमान द्विक लोलक, (b) अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से गतिमान दृढ़ पिंड, (c) स्थिर वृत्ताकार तार पर मनका, इनकी स्वातंत्र्य कोटियों की संख्या बताइए।

उत्तर: (a) 2 (दो कोण); (b) 6 (तीन G के लिए, तीन कोण); (c) 1।

अभ्यास 2 (मूल): प्रत्येक व्यवरोध को होलोनोमिक या अहोलोनोमिक, तथा स्क्लेरोनोमिक या रिओनोमिक के रूप में वर्गीकृत कीजिए: (a) अचर कोणीय वेग ω से घूमते सीधे तार पर मनका; (b) एक कण जिसे त्रिज्या a के गोले के भीतर ही रहना है।

उत्तर: (a) होलोनोमिक और रिओनोमिक (y cos ωt − x sin ωt = 0 में t है); (b) अहोलोनोमिक, क्योंकि x² + y² + z² ≤ a² एक असमिका है; यह स्क्लेरोनोमिक है।

अभ्यास 3 (मूल): L = (m/2)(ṙ² + r²θ̇²) + mμ/r के लिए चक्रीय निर्देशांक बताइए और गति के दो अचर लिखिए।

उत्तर: θ चक्रीय है, अतः mr²θ̇ अचर है; L में स्पष्ट t नहीं है, अतः ऊर्जा (m/2)(ṙ² + r²θ̇²) − mμ/r अचर है।

अभ्यास 4 (मानक): द्रव्यमान m का मनका परवलय y = x²/(4a) के आकार के चिकने तार पर फिसलता है, Oy ऊर्ध्वाधरतः ऊपर। x को निर्देशांक लेकर L, गति समीकरण और निम्नतम बिंदु के परितः लघु दोलनों का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: L = (m/2)(1 + x²/(4a²))ẋ² − mgx²/(4a); (1 + x²/(4a²))ẍ + xẋ²/(4a²) + gx/(2a) = 0; लघु दोलनों के लिए ω² = g/(2a), आवर्तकाल 2π√(2a/g)।

अभ्यास 5 (मानक): द्रव्यमान m₁ > m₂ एक हल्की अवितान्य डोरी से एक घिरनी पर लटके हैं, जो द्रव्यमान M और त्रिज्या a की एकसमान चकती है और स्थिर चिकनी अक्ष के परितः घूमती है; डोरी फिसलती नहीं। लग्रांज समीकरण से त्वरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: m₁ का अवतरण x लेकर T = (1/2)(m₁ + m₂ + M/2)ẋ², अतः ẍ = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂ + M/2)।

अभ्यास 6 (मानक): एक चिकना सीधा तार ऊर्ध्वाधर तल में, तार के बिंदु O से जाने वाली क्षैतिज अक्ष के परितः, अचर कोणीय वेग ω से घूमता है और t = 0 पर क्षैतिज है। द्रव्यमान m का मनका उस पर फिसलता है, O से उसकी दूरी r है। गति समीकरण और उसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: L = (m/2)(ṙ² + ω²r²) − mgr sin ωt, अतः r̈ − ω²r = −g sin ωt और r = Ae^ωt + Be^−ωt + (g/(2ω²))sin ωt।

अभ्यास 7 (मानक): द्रव्यमान m का कण दृढ़ता k की कमानी से लटका है और प्रतिरोध cv के विरुद्ध ऊर्ध्वाधर गति करता है। रैले क्षय फलन से गति समीकरण और ऊर्जा E = T + V के घटने की दर लिखिए।

उत्तर: साम्य स्थिति से x मापकर R = (1/2)cẋ²; mẍ + cẋ + kx = 0, और dE/dt = −cẋ² = −2R।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): द्रव्यमान M और लंबाई 2a की एकसमान छड़ का सिरा A, Ox के अनुदिश एक चिकने क्षैतिज तार पर है, और छड़ तार से जाने वाले ऊर्ध्वाधर तल में चलती है। x को A का भुज और θ को छड़ का नीचे की ऊर्ध्वाधर रेखा से कोण लेकर T और V, चक्रीय निर्देशांक से एक प्रथम समाकल, और विराम से आरंभ होने पर लघु दोलनों का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: T = (M/2)[(ẋ + aθ̇ cos θ)² + a²θ̇²sin²θ] + (Ma²/6)θ̇², V = −Mga cos θ; x चक्रीय है, अतः M(ẋ + aθ̇ cos θ) अचर है (विराम से शून्य, G एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर रहता है); लघु दोलनों के लिए ω² = 3g/a, आवर्तकाल 2π√(a/(3g))।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): दो सरल लोलक, प्रत्येक लंबाई l और गोलक m, एक ही स्तर के बिंदुओं से लटके हैं, और उनके गोलक दृढ़ता k की एक हल्की कमानी से जुड़े हैं जिसकी प्राकृतिक लंबाई निलंबन बिंदुओं की दूरी के बराबर है। प्रसामान्य आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिए और विधाओं का वर्णन कीजिए।

उत्तर: लघु कोणों θ₁, θ₂ के लिए: A = ml²I, B = [[mgl + kl², −kl²], [−kl², mgl + kl²]]; ω² = g/l (θ₁ = θ₂, कमानी नहीं खिंचती) और ω² = g/l + 2k/m (θ₁ = −θ₂)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): द्रव्यमान m का कण त्रिज्या a के एक चिकने स्थिर गोले के शीर्ष से विराम से फिसलता है। निर्देशांक (r, θ) लें, θ ऊपर की ऊर्ध्वाधर रेखा से, व्यवरोध r = a को लग्रांज गुणक λ के साथ रखें, और अभिलंब प्रतिक्रिया तथा वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ कण गोले को छोड़ता है।

उत्तर: r-समीकरण से λ = mg cos θ − maθ̇², और ऊर्जा से aθ̇² = 2g(1 − cos θ); अतः प्रतिक्रिया λ = mg(3cos θ − 2), जो cos θ = 2/3 पर शून्य होती है, जहाँ कण गोले को छोड़ देता है।

1. हैमिल्टनी और लेजान्ड्रे रूपांतरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: लग्रांज समीकरण q के लिए n द्वितीय कोटि के समीकरण हैं। हैमिल्टन का विचार है कि q_j के साथ संवेगों p_j को भी स्वतंत्र चर लिया जाए। इससे 2n प्रथम कोटि के समीकरण मिलते हैं जिनका रूप अत्यंत सममित है, और जो एक ही फलन H से नियंत्रित होते हैं जो प्रायः ऊर्जा है। चरों को (q, q̇) से (q, p) में सही ढंग से बदलने के लिए एक सटीक विधि चाहिए: लेजान्ड्रे रूपांतरण (Legendre transform)।

शब्दों में: p_j = ∂L/∂q̇_j, q_j का संयुग्मी संवेग (conjugate momentum) है। हैमिल्टनी (Hamiltonian) H = ∑p_jq̇_j − L का मान पिछले विषय के जैकोबी समाकल h के बराबर है, परंतु इसे केवल q, p और t के फलन के रूप में लिखना अनिवार्य है: प्रत्येक q̇_j को p के पदों में उसके व्यंजक से बदला जाता है।

"H, p का फलन है" यही मूल बात है: जिस सूत्र में अभी भी q̇ है वह सही संख्या है परंतु अभी हैमिल्टनी नहीं, और उसके अवकलज ∂H/∂p का कोई अर्थ नहीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: विभव V(x) में एक रेखा पर द्रव्यमान m का कण, अतः L = (1/2)mẋ² − V(x)।

चरण 1: संवेग p = ∂L/∂ẋ = mẋ है।

चरण 2: वेग के लिए हल करें: ẋ = p/m। यही व्युत्क्रमण वह चरण है जो सदैव संभव होना चाहिए।

चरण 3: pẋ − L बनाएँ = p(p/m) − (1/2)m(p/m)² + V(x) = p²/m − p²/(2m) + V(x)।

चरण 4: अतः H(x, p) = p²/(2m) + V(x): p में लिखी गतिज ऊर्जा, और स्थितिज ऊर्जा।

चरण 5: संख्याओं से जाँचें: उस बिंदु पर m = 2, ẋ = 3 और V = 4। तब p = 6 और H = 36/4 + 4 = 13, जबकि T + V = (1/2)(2)(9) + 4 = 13। मान वही है; केवल चर बदले हैं।

अ-उदाहरण (non-example): अचर ω से घूमते तार पर मनके के लिए L = (m/2)(ṙ² + ω²r²) से H = p²/(2m) − (1/2)mω²r² मिलता है, जो T + V = p²/(2m) + (1/2)mω²r² नहीं है: विफल प्रतिबंध है "व्यवरोध t से स्वतंत्र हों"।

एक भिन्न विफलता: L = qq̇ − q² केवल q̇ में रैखिक है, अतः p = q में q̇ है ही नहीं, चरण 2 असंभव है, और इस प्रकार का कोई हैमिल्टनी नहीं होता।

आगे बढ़ते हुए: (i) व्युत्क्रमण ठीक तब संभव है जब det(∂²L/∂q̇_i∂q̇_j) ≠ 0। धनात्मक निश्चित A वाले T = (1/2)q̇^TA(q)q̇ के लिए यह सत्य है, p = Aq̇ और q̇ = A⁻¹p।

(ii) तब ∑p_jq̇_j = q̇^TAq̇ = 2T, अतः H = 2T − (T − V) = T + V = (1/2)p^TA⁻¹p + V। (iii) गतिमान व्यवरोधों में T के वेगों में घात 1 और 0 वाले भाग T₁ और T₀ भी होते हैं, और यही गणना H = T₂ − T₀ + V देती है (नीचे "यह क्यों काम करता है")।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक हैमिल्टनी प्रश्न का पहला चरण है "p ज्ञात करें, व्युत्क्रमण करें, H बनाएँ"; जब H में वेग बचे रहते हैं तब सर्वाधिक अंक कटते हैं। H पॉयसां कोष्ठकों और हैमिल्टन–जैकोबी समीकरण का भी प्रारंभ बिंदु है।

2. हैमिल्टनी

व्यापकीकृत संवेग: p_j = ∂L/∂q̇_j, j = 1, ..., n।

भाव: p_j निर्देशांक q_j का स्वाभाविक "संवेग" है: कार्तीय निर्देशांक के लिए यह mẋ है, कोण के लिए कोणीय संवेग (p_θ = mr²θ̇), और इसमें वेग-रहित पद भी हो सकते हैं (चुंबकीय क्षेत्र में आवेश के लिए p = mv + eA)।

हैमिल्टनी (L का लेजान्ड्रे रूपांतरण): H(q, p, t) = ∑ p_jq̇_j − L, जहाँ प्रत्येक q̇_j को q, p और t के पदों में व्यक्त किया जाता है।

भाव: लजांड्र रूपांतरण (Legendre transform) चर q̇ के स्थान पर L की प्रवणता p = ∂L/∂q̇ ले आता है। इसके लिए समीकरण p_j = ∂L/∂q̇_j का q̇_j के लिए हल होना आवश्यक है, अर्थात det(∂²L/∂q̇_i∂q̇_j) ≠ 0, जो तब सदा सत्य है जब T वेगों में धनात्मक निश्चित द्विघात हो।

यदि L, q̇ में केवल रैखिक हो (जैसे L = qq̇ − q²), तो p = q में q̇ है ही नहीं, रूपांतरण विफल होता है, और इस प्रकार का कोई हैमिल्टनी विद्यमान नहीं।

यदि व्यवरोध स्क्लेरोनोमिक हों और V वेगों पर निर्भर न हो, तो T, q̇_j में समघात द्विघाती है; ऑयलर प्रमेय से ∑q̇_j∂T/∂q̇_j = 2T, अतः H = T + V, कुल ऊर्जा।

यह क्यों काम करता है: H = ∑q̇_j∂L/∂q̇_j − L = ∑q̇_j∂T/∂q̇_j − T + V = 2T − T + V। गतिमान व्यवरोधों के साथ T = T₂ + T₁ + T₀ और यही गणना H = T₂ − T₀ + V देती है, जैसे उदाहरण 5 में; वेग-आश्रित विभव भी H = T + V को भंग करता है।

3. हैमिल्टन के विहित समीकरणों और प्रावस्था समष्टि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: H(q, p, t) ज्ञात होने पर हमें उसके पदों में गति समीकरण चाहिए। हैमिल्टन के समीकरण इन्हें 2n प्रथम कोटि के समीकरणों के रूप में देते हैं, जिन्हें (q, p) तल में बिंदुओं के प्रवाह के रूप में देखा जा सकता है और क्षेत्रकलन (quadrature) या संख्यात्मक विधि से हल किया जा सकता है।

शब्दों में: q̇_j = ∂H/∂p_j सभी q और अन्य p को स्थिर रखकर H का संवेग के सापेक्ष अवकलन करके वेग वापस देता है। ṗ_j = −∂H/∂q_j कहता है कि सभी p स्थिर रखकर, संवेग व्यापकीकृत बल −∂H/∂q_j की दर से बदलता है। ऋण चिह्न ṗ वाले समीकरण का है।

प्रावस्था समष्टि (phase space) सभी अवस्थाओं (q, p) का समुच्चय है। इसका एक बिंदु वर्तमान अवस्था निर्धारित करता है, और इन समीकरणों द्वारा पूरा भविष्य: गति वह वक्र है, प्रावस्था पथ (phase path), जिसे वह बिंदु अनुरेखित करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दोलित्र H = p²/(2m) + (1/2)kx²।

चरण 1: ẋ = ∂H/∂p = p/m। यह बस p = mẋ वापस देता है।

चरण 2: ṗ = −∂H/∂x = −kx। यह न्यूटन का नियम है: संवेग परिवर्तन की दर बल के बराबर है।

चरण 3: p का विलोपन करें: mẍ = ṗ = −kx, अतः x = A cos(√(k/m) t + ε) और p = mẋ = −A√(mk) sin(√(k/m) t + ε)।

चरण 4: प्रावस्था पथ: H में स्पष्ट t नहीं है, अतः p²/(2m) + (1/2)kx² = E अचर है, जो (x, p) तल में एक दीर्घवृत्त है।

चरण 5: दिशा: बिंदु (A, 0) पर ṗ = −kA, ऋणात्मक, अतः x को क्षैतिज और p को ऊपर की ओर खींचने पर अवस्था दीर्घवृत्त पर दक्षिणावर्त चलती है।

अ-उदाहरण (non-example): H = (1/2)mẋ² + (1/2)kx² लिखकर फिर "∂H/∂p" लेना निरर्थक है, क्योंकि पहले H को p में व्यक्त करना होगा। और चिह्न महत्त्वपूर्ण है: ṗ = +∂H/∂x से mẍ = +kx मिलेगा, जिसके हल चरघातांकी रूप से बढ़ते हैं, जो गलत गति है।

आगे बढ़ते हुए: H = ∑p_jq̇_j − L का अवकलन करें; dq̇ वाले पद कट जाते हैं क्योंकि p_j = ∂L/∂q̇_j, और dH से dp_j, dq_j तथा dt के गुणांकों की तुलना तीनों संबंध देती है (नीचे "व्युत्पत्ति" और "यह क्यों काम करता है")।

दो परिणाम तुरंत निकलते हैं: dH/dt = ∂H/∂t, अतः t अनुपस्थित होने पर H संरक्षित है; और H से अनुपस्थित निर्देशांक का संयुग्मी संवेग अचर होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: लोलकों, केंद्रीय बलों और पृष्ठों पर कणों के लिए हैमिल्टन समीकरण लिखना और हल करना (उदाहरण 8 से 14); यह सिद्ध करना कि H गति का अचर है; H में न आने वाले निर्देशांकों से संरक्षित संवेग पढ़ना।

4. हैमिल्टन के विहित समीकरण

q̇_j = ∂H/∂p_j, ṗ_j = −∂H/∂q_j (j = 1, ..., n), और ∂H/∂t = −∂L/∂t।

व्युत्पत्ति: लग्रांज समीकरणों से ṗ_j = ∂L/∂q_j लेकर dH = ∑(q̇_jdp_j − ṗ_jdq_j) − (∂L/∂t)dt; इसकी dH = ∑(∂H/∂q_j dq_j + ∂H/∂p_j dp_j) + (∂H/∂t)dt से तुलना करने पर समीकरण मिलते हैं।

यह क्यों काम करता है: H = ∑p_jq̇_j − L(q, q̇, t) से dH = ∑(q̇_jdp_j + p_jdq̇_j) − ∑(∂L/∂q_j dq_j + ∂L/∂q̇_j dq̇_j) − (∂L/∂t)dt। dq̇_j वाले पद कट जाते हैं क्योंकि p_j = ∂L/∂q̇_j, और ठीक इसी कारण H केवल q, p, t पर निर्भर है।

तब H के आंशिक अवकलज p को स्थिर रखकर (∂H/∂q_j) या q को स्थिर रखकर (∂H/∂p_j) लिए जाते हैं, q̇ को स्थिर रखकर कभी नहीं।

ये 2n प्रथम कोटि समीकरण n द्वितीय कोटि लग्रांज समीकरणों के तुल्य हैं।

भाव: अवस्था 2n-विमीय कला समष्टि (phase space) का बिंदु (q, p) है, और हैमिल्टन समीकरण उस बिंदु का वेग देते हैं। एक स्वातंत्र्य कोटि और H = E अचर होने पर कला-पथ H के स्तर वक्र हैं: दोलक p²/(2m) + (1/2)kx² = E के लिए ये अर्धाक्ष √(2E/k) और √(2mE) वाले दीर्घवृत्त हैं।

लोलक H = p²/(2ml²) − mgl cos θ के लिए mgl से कम E वाले वक्र बंद (झूलना) हैं, mgl से अधिक E वाले खुले (पूरा चक्कर) हैं, और E = mgl इनके बीच का पृथक्कारी वक्र (separatrix) है।

dH/dt = ∂H/∂t, अतः यदि H में t स्पष्टतः न हो, तो H गति का अचर है।

यह क्यों काम करता है: गति के अनुदिश dH/dt = ∑(∂H/∂q_j q̇_j + ∂H/∂p_j ṗ_j) + ∂H/∂t = ∑(∂H/∂q_j ∂H/∂p_j − ∂H/∂p_j ∂H/∂q_j) + ∂H/∂t = ∂H/∂t।

H में अनुपस्थित निर्देशांक चक्रीय है, और उसका संयुग्मी संवेग अचर है।

भाव: L में चक्रीय निर्देशांक H में भी चक्रीय है, क्योंकि ∂H/∂q_j = −∂L/∂q_j। H में वह अपने अचर संवेग के साथ बस हट जाता है, इसीलिए हैमिल्टनी रूप उपेक्षणीय निर्देशांकों को इतनी सरलता से संभालता है (उदाहरण 3 का गोलीय लोलक θ में एक स्वातंत्र्य कोटि की समस्या बन जाता है)।

5. हैमिल्टन सिद्धांत को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: न्यूटन, लग्रांज और हैमिल्टन के समीकरण सभी गति का स्थानीय वर्णन करते हैं, क्षण-प्रति-क्षण। हैमिल्टन सिद्धांत उसी गति का वर्णन पूरे पथ के बारे में एक कथन से करता है। यह स्पष्ट करता है कि लग्रांज समीकरणों का रूप प्रत्येक निर्देशांक पद्धति में वही क्यों रहता है, और यह यांत्रिकी को विचरण कलन (calculus of variations) से जोड़ता है।

शब्दों में: दो समयों t₁ और t₂ पर विन्यास स्थिर करें। उन्हें जोड़ने वाले प्रत्येक कल्पनीय पथ q(t) के लिए क्रिया (action) S = ∫_t1^t₂L(q, q̇, t) dt की गणना करें, जो एक संख्या है। हैमिल्टन सिद्धांत: वास्तविक पथ वह है जिसके लिए S स्तब्ध (stationary) है, अर्थात दोनों सिरों पर शून्य होने वाला कोई भी छोटा परिवर्तन δq(t), S को केवल द्वितीय कोटि तक बदलता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: रेखा पर मुक्त कण, L = (1/2)mẋ², जो t = 0 पर x = 0 से t = 1 पर x = d तक जाता है।

चरण 1: वास्तविक पथ x = dt (एकसमान गति) है, ẋ = d, अतः इसकी क्रिया S = (1/2)md² है।

चरण 2: निकटवर्ती पथों के कुल x = dt + ε sin πt से तुलना करें। प्रत्येक अब भी 0 से आरंभ होकर d पर समाप्त होता है, क्योंकि sin 0 = sin π = 0।

चरण 3: ऐसे पथ पर ẋ = d + επ cos πt।

चरण 4: S(ε) = (1/2)m∫₀¹(d + επ cos πt)² dt = (1/2)m[d² + 2dεπ∫₀¹cos πt dt + ε²π²∫₀¹cos²πt dt] = (1/2)m[d² + 0 + ε²π²/2]।

चरण 5: ε में प्रथम कोटि का पद शून्य है, अतः ε = 0 पर S स्तब्ध है; यहाँ यह निम्निष्ठ भी है, क्योंकि ε² वाला पद धनात्मक है।

चरण 6: ध्यान दें कि सिद्धांत द्वारा चुना गया सीधा, एकसमान पथ ठीक लग्रांज समीकरण mẍ = 0 का हल है।

अ-उदाहरण (non-example): यदि अंत्य बिंदु स्थिर न रखे जाएँ, तो व्युत्पत्ति का सीमा पद [∑p_jδq_j] शून्य नहीं होता, और वास्तविक पथ पर भी S का प्रथम विचरण शून्य होना आवश्यक नहीं। और "स्तब्ध" का अर्थ "न्यूनतम" नहीं: आधे आवर्तकाल से अधिक अवधि में दोलित्र का वास्तविक पथ S का पल्याण बिंदु (saddle point) होता है (नीचे "भाव")।

आगे बढ़ते हुए: स्थिर सिरों के साथ पथ को δq_j(t) से बदलें, δq̇_j वाले पद का खंडशः समाकलन करें, सीमा पद हटाएँ, और विचरण कलन की मूल प्रमेयिका लगाएँ: प्रत्येक गुणांक d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j शून्य होना चाहिए (खंड 8)।

चूँकि S की परिभाषा किसी निर्देशांक पर निर्भर नहीं, उसकी स्तब्धता, और इसलिए लग्रांज समीकरणों का रूप, सभी निर्देशांकों में वही है। ∫(∑pq̇ − H) dt में q और p का स्वतंत्र विचरण हैमिल्टन समीकरण देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: सैद्धांतिक प्रश्न इस सिद्धांत से लग्रांज या हैमिल्टन समीकरण व्युत्पन्न करने को कहते हैं। अंतिम सिरे को मुक्त रखने से ∂S/∂q_j = p_j मिलता है, जो हैमिल्टन–जैकोबी सिद्धांत का प्रारंभ बिंदु है (खंड 12)।

6. पॉयसां कोष्ठक और गति के अचरों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम प्रायः जानना चाहते हैं कि कोई राशि (कोणीय संवेग, ऊर्जा का एक भाग, q और p का कोई संयोजन) अचर रहती है या नहीं, गति समीकरणों को हल किए बिना। पॉयसां कोष्ठक इसका एक यांत्रिक परीक्षण देता है, और यह हैमिल्टन समीकरणों को एक सूत्र में समेट भी देता है।

शब्दों में: दो फलनों F(q, p, t) और G(q, p, t) के लिए [F, G] = ∑_j(∂F/∂q_j ∂G/∂p_j − ∂F/∂p_j ∂G/∂q_j): प्रत्येक युग्म (q_j, p_j) के लिए "F का q से अवकलज गुणा G का p से, घटा F का p से गुणा G का q से" लें, और युग्मों पर जोड़ें।

मूल तथ्य यह है कि प्रत्येक गति के अनुदिश dF/dt = [F, H] + ∂F/∂t। अतः F गति का अचर (constant of motion) ठीक तब है जब [F, H] + ∂F/∂t = 0।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: द्विविमीय दोलित्र H = (p_x² + p_y²)/(2m) + (1/2)k(x² + y²) लें, और F = p_x²/(2m) + (1/2)kx², अर्थात केवल x-गति की ऊर्जा, का परीक्षण करें।

चरण 1: F के अवकलज ∂F/∂x = kx, ∂F/∂p_x = p_x/m, ∂F/∂y = ∂F/∂p_y = 0, और ∂F/∂t = 0 हैं।

चरण 2: H के आवश्यक अवकलज ∂H/∂x = kx और ∂H/∂p_x = p_x/m हैं।

चरण 3: x-युग्म (kx)(p_x/m) − (p_x/m)(kx) = 0 देता है, और y-युग्म 0 देता है क्योंकि F में न y है न p_y।

चरण 4: अतः [F, H] = 0 और x-ऊर्जा स्वयं संरक्षित है: x- और y-गतियाँ कोई ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करतीं।

चरण 5: अब H में युग्मन पद cxy जोड़ें। तब ∂H/∂x = kx + cy, और [F, H] = (kx)(p_x/m) − (p_x/m)(kx + cy) = −cyp_x/m ≠ 0: युग्मन दोनों गतियों के बीच ऊर्जा स्थानांतरित करता है।

अ-उदाहरण (non-example): मुक्त कण, H = p²/(2m), के लिए F = x − pt/m का परीक्षण करें। यहाँ [F, H] = (1)(p/m) − (−t/m)(0) = p/m ≠ 0, जो अकेले "संरक्षित नहीं" सुझाता है। परंतु ∂F/∂t = −p/m इसे निरस्त कर देता है, अतः F संरक्षित है (यह प्रारंभिक स्थिति है)। ∂F/∂t भूलने से गलत निर्णय मिलता है।

आगे बढ़ते हुए: नियम dF/dt = [F, H] + ∂F/∂t बस शृंखला नियम है जिसमें q̇_j और ṗ_j को हैमिल्टन समीकरणों से रखा गया है (नीचे "यह क्यों काम करता है")। F = q_j या p_j लेने से स्वयं हैमिल्टन समीकरण मिलते हैं, और [q_i, p_j] = δ_ij।

कोष्ठक प्रतिसममित है और जैकोबी सर्वसमिका को संतुष्ट करता है, और इनसे पॉयसां प्रमेय मिलता है: गति के दो अचरों का कोष्ठक फिर से गति का अचर है।

कहाँ प्रयोग होता है: "सिद्ध कीजिए कि ... गति का अचर है", "जैकोबी सर्वसमिका सिद्ध कीजिए" या "दिखाइए कि [L_x, L_y] = L_z" जैसे प्रश्नों में; कोष्ठक यह भी परखते हैं कि चरों का कोई परिवर्तन विहित (canonical) है या नहीं।

7. हैमिल्टन सिद्धांत और पॉयसां कोष्ठक

हैमिल्टन सिद्धांत: समय t₁ और t₂ पर स्थिर विन्यासों के बीच सभी पथों में से वास्तविक गति क्रिया ∫_t1^t₂ L dt को स्तब्ध बनाती है, δ∫L dt = 0; इसके ऑयलर–लग्रांज समीकरण ही लग्रांज समीकरण हैं।

भाव: "स्थावर", "न्यूनतम" नहीं: आवृत्ति ω वाले सरल आवर्ती दोलक के लिए क्रिया (action) वास्तविक निम्निष्ठ केवल तब है जब t₂ − t₁, π/ω (आधा आवर्तकाल) से कम हो; अधिक लंबे अंतरालों पर वास्तविक पथ क्रिया का पल्याण बिंदु (saddle point) है।

पॉयसां कोष्ठक (Poisson bracket): [F, G] = ∑(∂F/∂q_j ∂G/∂p_j − ∂F/∂p_j ∂G/∂q_j); तब dF/dt = [F, H] + ∂F/∂t और [q_i, p_j] = δ_ij।

यह क्यों काम करता है: शृंखला नियम से dF/dt = ∑(∂F/∂q_j q̇_j + ∂F/∂p_j ṗ_j) + ∂F/∂t, और q̇_j के स्थान पर ∂H/∂p_j तथा ṗ_j के स्थान पर −∂H/∂q_j रखने पर [F, H] + ∂F/∂t मिलता है। विशेष रूप से हैमिल्टन समीकरण स्वयं q̇_j = [q_j, H], ṗ_j = [p_j, H] हैं।

गुणधर्म: [F, G] = −[G, F] (अतः [F, F] = 0), कोष्ठक प्रत्येक स्थान में रैखिक है, [FG, K] = F[G, K] + [F, K]G, और जैकोबी सर्वसमिका [F, [G, K]] + [G, [K, F]] + [K, [F, G]] = 0 सत्य है।

F गति का अचर है यदि और केवल यदि [F, H] + ∂F/∂t = 0।

पॉयसां प्रमेय: यदि F और G, t से स्पष्टतः रहित गति के अचर हों, तो [F, G] भी है (K = H लेकर जैकोबी सर्वसमिका से)। उदाहरण के लिए कोणीय संवेग घटक [L_x, L_y] = L_z को संतुष्ट करते हैं, अतः L_x और L_y का संरक्षण L_z के संरक्षण को अनिवार्य करता है।

8. व्युत्पत्ति: हैमिल्टन सिद्धांत से लग्रांज समीकरण

पथ में विचरण करें: q_j(t) → q_j(t) + δq_j(t), जहाँ δq_j(t₁) = δq_j(t₂) = 0। तब δ∫L dt = ∫∑(∂L/∂q_j δq_j + ∂L/∂q̇_j δq̇_j) dt, और δq̇_j = d(δq_j)/dt।

दूसरे पद का खंडशः समाकलन करें: ∫(∂L/∂q̇_j)(d δq_j/dt) dt = [∂L/∂q̇_j δq_j]_t1^t₂ − ∫d/dt(∂L/∂q̇_j)δq_j dt, और सीमा पद शून्य है।

अतः ऐसे सभी δq_j के लिए δ∫L dt = ∫∑[∂L/∂q_j − d/dt(∂L/∂q̇_j)]δq_j dt = 0। δq_j स्वतंत्र हैं (होलोनोमिक निकाय), अतः विचरण कलन की मूल प्रमेयिका से प्रत्येक कोष्ठक शून्य है: लग्रांज समीकरण।

संशोधित हैमिल्टन सिद्धांत: q और p का स्वतंत्र विचरण करते हुए δ∫(∑p_jq̇_j − H) dt = 0 से q̇_j = ∂H/∂p_j (δp से) और ṗ_j = −∂H/∂q_j (δq से, खंडशः समाकलन के बाद) मिलते हैं।

9. विधि का चयन

यदि व्यवरोध स्थिर हैं और V वेगों पर निर्भर नहीं → तुरंत H = T + V लिखें और फिर प्रत्येक q̇_j के स्थान पर p के पदों में उसका व्यंजक रखें।

यदि L अनुप्रस्थ पदों, समय-आश्रितता या गतिमान व्यवरोध के साथ दिया है → p_j = ∂L/∂q̇_j निकालें, q̇_j के लिए हल करें, और H = ∑p_jq̇_j − L बनाएँ।

यदि T = (1/2)q̇^TAq̇ जहाँ A अविकर्ण है → p = Aq̇, q̇ = A⁻¹p और H = (1/2)p^TA⁻¹p + V।

यदि H दिया है और L पूछा गया है → q̇_j = ∂H/∂p_j को p_j के लिए हल करें, फिर L = ∑p_jq̇_j − H (उदाहरण 10); dF(q, t)/dt से भिन्न लग्रांजी तुल्य हैं।

यदि गति का अचर पूछा गया है → पहले चक्रीय निर्देशांक और ∂H/∂t = 0 देखें; अन्यथा [F, H] + ∂F/∂t = 0 सिद्ध करें।

यदि प्रश्न में "हैमिल्टन–जैकोबी" या "अभिलाक्षणिक फलन" कहा है → ∂S/∂t + H(q, ∂S/∂q, t) = 0 में चरों का पृथक्करण करें (खंड 12)।

10. सामान्य गलतियाँ

H में वेग छोड़ देना। H = (1/2)ml²θ̇² − mgl cos θ मान में सही परंतु फलन के रूप में गलत है; जब तक θ̇ के स्थान पर p/(ml²) न रखा जाए, ∂H/∂p निरर्थक है।

घूमते तार, घूर्णी निर्देश तंत्र या वेग-आश्रित विभव के लिए H = T + V मान लेना; परिभाषा का प्रयोग करें (उदाहरण 5)।

ṗ का चिह्न। ṗ = +∂H/∂q लिखने से दोलक घातीय वृद्धि में बदल जाता है; ऋण चिह्न ṗ के साथ है।

p = Aq̇ का गलत व्युत्क्रम। L = mẋẏ − mω₀²xy के लिए p_x = mẏ और p_y = mẋ, अतः H = p_xp_y/m + mω₀²xy, न कि (p_x² + p_y²)/(2m) + ...

"संरक्षित" और "ऊर्जा" में भ्रम। t से स्पष्टतः रहित H संरक्षित है भले ही वह T + V न हो; विलोमतः ∂H/∂t ≠ 0 हो तो H = T + V का संरक्षित होना आवश्यक नहीं।

पॉयसां कोष्ठकों से किसी राशि F(q, p, t) की जाँच करते समय ∂F/∂t भूल जाना।

संबंध: हैमिल्टन–जैकोबी समीकरण प्रथम कोटि का अरैखिक आंशिक अवकल समीकरण है, जो चर-पृथक्करण या चार्पिट विधि से हल होता है (आंशिक अवकल समीकरण अध्याय); हैमिल्टन सिद्धांत विचरण कलन की ऑयलर–लग्रांज समस्या है।

संबंध: हैमिल्टन समीकरण z = (q, p) और J = [[0, I], [−I, 0]] के साथ प्रथम कोटि निकाय ż = J∇H बनाते हैं; द्विघाती H के लिए इस रैखिक निकाय के आव्यूह के आइगेन मान ±λ युग्मों में आते हैं (रैखिक बीजगणित)।

11. चरण और उदाहरण

चरण 1: q_j चुनें और T, V तथा L लिखें।

चरण 2: p_j = ∂L/∂q̇_j ज्ञात करें और प्रत्येक q̇_j के लिए हल करें।

चरण 3: q और p के पदों में H = ∑p_jq̇_j − L बनाएँ (या अनुमत हो तो T + V), फिर विहित समीकरण लिखें।

उदाहरण 1 (सरल आवर्त दोलित्र): L = (1/2)mẋ² − (1/2)kx², p = mẋ, H = p²/(2m) + (1/2)kx²।

ẋ = p/m और ṗ = −kx, अतः mẍ + kx = 0 और x = A cos(√(k/m) t + ε)।

उदाहरण 2 (केंद्रीय बल): p_r = mṙ, p_θ = mr²θ̇, H = p_r²/(2m) + p_θ²/(2mr²) + V(r)।

ṙ = p_r/m, θ̇ = p_θ/(mr²), ṗ_r = p_θ²/(mr³) − V′(r), ṗ_θ = 0, अतः कोणीय संवेग p_θ अचर है।

उदाहरण 3 (गोलीय लोलक): θ को अधोमुखी ऊर्ध्वाधर से मापकर, T = (1/2)ml²(θ̇² + sin²θ φ̇²), V = −mgl cos θ।

p_θ = ml²θ̇, p_φ = ml²sin²θ φ̇, H = p_θ²/(2ml²) + p_φ²/(2ml²sin²θ) − mgl cos θ; φ चक्रीय है, अतः p_φ अचर है।

उदाहरण 4 (प्रक्षेप्य): H = (p_x² + p_y²)/(2m) + mgy से ṗ_x = 0 और ṗ_y = −mg: क्षैतिज संवेग संरक्षित है और ऊर्ध्वाधर त्वरण −g है।

उदाहरण 5 (H ≠ T + V): द्रव्यमान m का मनका एक चिकने सीधे तार पर सरकता है, जो तार के स्थिर बिंदु O के परितः क्षैतिज तल में अचर कोणीय वेग ω से घूमता है। H और हैमिल्टन समीकरण ज्ञात कीजिए।

L = (m/2)(ṙ² + ω²r²), p = mṙ, H = pṙ − L = p²/(2m) − (1/2)mω²r²।

ṙ = p/m, ṗ = mω²r, अतः r̈ = ω²r; H में t स्पष्ट रूप से नहीं है, अतः यह संरक्षित है, परंतु H ≠ T = p²/(2m) + (1/2)mω²r², क्योंकि प्रतिबंध कालाश्रित (rheonomic) है।

उदाहरण 6 (प्वासों कोष्ठक): H = (p_x² + p_y²)/(2m) + V(r), r = √(x² + y²) के लिए दिखाइए कि L_z = xp_y − yp_x गति का अचर है।

[L_z, H] = (∂L_z/∂x)(∂H/∂p_x) − (∂L_z/∂p_x)(∂H/∂x) + (∂L_z/∂y)(∂H/∂p_y) − (∂L_z/∂p_y)(∂H/∂y)।

= p_yp_x/m + yV′(r)x/r − p_xp_y/m − xV′(r)y/r = 0, और L_z में t स्पष्ट रूप से नहीं है, अतः dL_z/dt = 0: कोणीय संवेग संरक्षित है।

12. हैमिल्टन–जैकोबी सिद्धांत और मुख्य फलन

हैमिल्टन का मुख्य फलन (principal function): S(q, t) = ∫_t0^t L dt, जो स्थिर प्रारंभिक विन्यास से समय t पर विन्यास q तक वास्तविक पथ के अनुदिश लिया जाता है।

यह ∂S/∂q_j = p_j और ∂S/∂t = −H को संतुष्ट करता है, अतः हैमिल्टन–जैकोबी समीकरण ∂S/∂t + H(q, ∂S/∂q, t) = 0।

यह क्यों काम करता है: खंड 8 की व्युत्पत्ति में अंतिम सिरे को मुक्त रखें: तब समय t पर δS = [∑p_jδq_j], अतः ∂S/∂q_j = p_j। वास्तविक पथ के अनुदिश dS/dt = L, जबकि शृंखला नियम से dS/dt = ∂S/∂t + ∑(∂S/∂q_j)q̇_j = ∂S/∂t + ∑p_jq̇_j; अतः ∂S/∂t = L − ∑p_jq̇_j = −H।

हैमिल्टन का अभिलक्षण फलन (characteristic function): H = E वाले संरक्षी निकाय के लिए S = W(q) − Et, जहाँ W = ∫∑p_jdq_j, H(q, ∂W/∂q) = E को संतुष्ट करता है; कुछ पुस्तकें और प्रश्नपत्र यह नाम S के लिए ही प्रयोग करते हैं।

विधि: अचरों α_k के साथ चरों के पृथक्करण से H–J समीकरण हल करें; तब ∂S/∂α_k = β_k (नए अचर) से गति प्राप्त होती है।

भाव: एक स्वातंत्र्य कोटि और H = p²/(2m) + V(x) = E के लिए W = ∫√(2m(E − V)) dx, और ∂S/∂E = β से t + β = ∂W/∂E = ∫dx/√(2(E − V)/m) = ∫dx/v। यह परिचित ऊर्जा-समाकल क्षेत्रकलन है, अतः H–J विधि "ऊर्जा समीकरण का प्रयोग करें" का व्यवस्थित रूप है।

उदाहरण 7 (UPSC 2016, 10 अंक): m द्रव्यमान का एक मुक्त-कण, जो बिना बलों के दिक्काल (space) में गतिमान है, का विचार कीजिए। यदि कण t = 0 पर मूल-बिन्दु से शुरुआत करता है तथा τ समय पर स्थिति (x, y, z) पर पहुँचता है, तो हैमिल्टन के अभिलक्षण फलन S को x, y, z, τ के एक फलन के रूप में ज्ञात कीजिए।

बल न होने से कण सरल रेखा में एकसमान गति करता है: r(t) = (t/τ)(x, y, z), अचर चाल v = √(x² + y² + z²)/τ।

पथ पर L = (1/2)mv² अचर है, अतः S = ∫₀^τ L dt = (1/2)mv²τ = m(x² + y² + z²)/(2τ)।

जाँच: ∂S/∂x = mx/τ = p_x, और ∂S/∂τ = −m(x² + y² + z²)/(2τ²) = −(1/2)mv² = −H, अतः ∂S/∂τ + |∇S|²/(2m) = 0।

उत्तर: S = m(x² + y² + z²)/(2τ); ऊर्जा E के पदों में W = √(2mE) √(x² + y² + z²)।

13. मानक निकायों के लिए हैमिल्टन समीकरण

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 10 अंक): हैमिल्टन के समीकरणों का इस्तेमाल करते हुए असरल लोलक की गति का समीकरण ज्ञात कीजिए।

माना पिंड (द्रव्यमान M, G के परितः घूर्णन त्रिज्या k) O से जाने वाली स्थिर क्षैतिज अक्ष के परितः घूमता है, OG = h, और θ, OG का नीचे की ऊर्ध्वाधर से कोण है।

T = (1/2)M(k² + h²)θ̇², V = −Mgh cos θ, p = M(k² + h²)θ̇, और H = T + V = p²/(2M(k² + h²)) − Mgh cos θ।

θ̇ = ∂H/∂p = p/(M(k² + h²)), ṗ = −∂H/∂θ = −Mgh sin θ।

उत्तर: θ̈ + (gh/(k² + h²))sin θ = 0; लघु दोलनों का आवर्तकाल 2π√((k² + h²)/(gh))।

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 15 अंक): हैमिल्टोनियन उपागम का इस्तेमाल करते हुए समतल लोलक समस्या को हल कीजिए तथा दर्शाइए कि H गति का एक स्थिरांक है।

q = θ, T = (1/2)ml²θ̇², V = −mgl cos θ, p = ml²θ̇, H = p²/(2ml²) − mgl cos θ।

θ̇ = p/(ml²), ṗ = −mgl sin θ, अतः θ̈ + (g/l)sin θ = 0; छोटे θ के लिए θ = θ₀cos(√(g/l) t + ε)।

dH/dt = (∂H/∂θ)θ̇ + (∂H/∂p)ṗ + ∂H/∂t = (∂H/∂θ)(∂H/∂p) − (∂H/∂p)(∂H/∂θ) + 0 = 0।

उत्तर: H = p²/(2ml²) − mgl cos θ गति का अचर (ऊर्जा) है; आयाम α के लिए इससे θ̇² = (2g/l)(cos θ − cos α)।

उदाहरण 10 (UPSC 2015, 20 अंक): स्वातंत्र्य कोटि एक के एक निकाय के एक हैमिल्टोनियन का रूप निम्नलिखित है: H = p²/(2α) − bqpe^−αt + (bα/2)q²e^−αt(α + be^−αt) + (k/2)q² जहाँ α, b, k स्थिरांक हैं, q व्यापकीकृत निर्देशांक है तथा p संगत व्यापकीकृत संवेग है।
(i) इस हैमिल्टोनियन के संगत एक लग्रांजी ज्ञात कीजिए।
(ii) एक तुल्य लग्रांजी ज्ञात कीजिए, जो कि समय पर स्पष्ट रूप से आश्रित नहीं है। (10 + 10 = 20)

E = e^−αt लिखें। q̇ = ∂H/∂p = p/α − bqE, अतः p = α(q̇ + bqE); प्रतिस्थापन से H = (α/2)q̇² + (α²b/2)Eq² + (k/2)q² (b²E² वाले पद कट जाते हैं)।

(i) L = pq̇ − H = (α/2)q̇² + αbe^−αtqq̇ − (α²b/2)e^−αtq² − (k/2)q²।

(ii) d/dt[(αb/2)e^−αtq²] = αbe^−αtqq̇ − (α²b/2)e^−αtq², अतः L = (α/2)q̇² − (k/2)q² + dF/dt, जहाँ F = (αb/2)e^−αtq²।

जो लग्रांजी किसी पूर्ण काल-अवकलज dF(q, t)/dt से भिन्न हों, वे समान गति समीकरण देते हैं।

उत्तर: (i) ऊपर का L; (ii) L′ = (α/2)q̇² − (k/2)q², एक आवर्ती दोलित्र αq̈ + kq = 0।

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 20 अंक): किसी यांत्रिक निकाय का हैमिल्टोनियन H = p₁q₁ − aq₁² + bq₂² − p₂q₂ के द्वारा द्योतित है, जहाँ a, b स्थिरांक हैं। हैमिल्टोनियन समीकरणों का हल निकालिए तथा दर्शाइए कि (p₂ − bq₂)/q₁ = स्थिरांक।

q̇₁ = ∂H/∂p₁ = q₁, q̇₂ = ∂H/∂p₂ = −q₂, ṗ₁ = −∂H/∂q₁ = −p₁ + 2aq₁, ṗ₂ = −∂H/∂q₂ = −2bq₂ + p₂।

अतः q₁ = Ae^t, q₂ = Be^−t; तब ṗ₁ + p₁ = 2aAe^t से p₁ = aAe^t + Ce^−t, और ṗ₂ − p₂ = −2bBe^−t से p₂ = bBe^−t + De^t।

अतः p₂ − bq₂ = De^t और (p₂ − bq₂)/q₁ = D/A, एक अचर।

उत्तर: q₁ = Ae^t, q₂ = Be^−t, p₁ = aAe^t + Ce^−t, p₂ = bBe^−t + De^t; (p₂ − bq₂)/q₁ = D/A अचर है।

उदाहरण 12 (UPSC 2019, 15 अंक): हेमिल्टन समीकरण का उपयोग करते हुए, एक गोला, जो कि एक खुरदरी आनत तल (inclined plane) पर नीचे की ओर लुढ़क रहा है, का त्वरण ज्ञात करें, यदि x, तल पर निश्चित बिन्दु से गोले के सम्पर्क बिन्दु की दूरी है।

M द्रव्यमान और a त्रिज्या का गोला, α झुकाव के रूक्ष तल पर; लुढ़कने से कोणीय वेग ẋ/a।

T = (1/2)Mẋ² + (1/2)(2Ma²/5)(ẋ/a)² = (7/10)Mẋ², V = −Mgx sin α; p = (7/5)Mẋ और H = 5p²/(14M) − Mgx sin α।

ẋ = ∂H/∂p = 5p/(7M), ṗ = −∂H/∂x = Mg sin α, अतः (7/5)Mẍ = Mg sin α।

उत्तर: ẍ = (5/7)g sin α।

उदाहरण 13 (UPSC 2020, 20 अंक): एक कण जिसकी संहति m है, x² + y² = R², जहाँ पर R अचर है, द्वारा परिभाषित बेलन पर गति के लिए व्यवरोधित है। कण मूल बिन्दु की ओर लगे बल जो कण की मूल बिन्दु से दूरी r के है, से प्रतिबन्धित है। बल F = −kr, जहाँ पर k अचर है, से दिया गया है। हैमिल्टनी लिखकर कण की गति के समीकरण ज्ञात कीजिए।

बेलनी निर्देशांक (R, θ, z) लें, R स्थिर; F = −kr संरक्षी है, V = (k/2)r² = (k/2)(R² + z²)।

T = (m/2)(R²θ̇² + ż²), p_θ = mR²θ̇, p_z = mż, और H = p_θ²/(2mR²) + p_z²/(2m) + (k/2)(R² + z²)।

θ̇ = p_θ/(mR²), ṗ_θ = 0, ż = p_z/m, ṗ_z = −kz।

उत्तर: θ चक्रीय है, अतः θ̇ = ω अचर; z̈ + (k/m)z = 0, z = A cos(√(k/m) t + ε): कण बेलन के चारों ओर एकसमान घूमता है और साथ ही उसकी लंबाई के अनुदिश दोलन करता है।

उदाहरण 14 (UPSC 2025, 20 अंक): (i) विभव
V(r) = −k cos θ/r², k अचर है
के एक बल क्षेत्र में द्रव्यमान m का एक कण गतिमान है। गोलीय ध्रुवीय निर्देशांकों (r, θ, φ) में हैमिल्टोनियन और हैमिल्टन का समीकरण ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(ii) लग्रांजी L = m ẋ ẏ − mω₀² xy, जहाँ m और ω₀ अचर हैं, का विचार कीजिए। हैमिल्टोनियन और गति का हैमिल्टन समीकरण ज्ञात कीजिए। तंत्र (सिस्टम) की पहचान बताइए। (10 अंक)

(i) T = (m/2)(ṙ² + r²θ̇² + r²sin²θ φ̇²); p_r = mṙ, p_θ = mr²θ̇, p_φ = mr²sin²θ φ̇; H = (1/(2m))(p_r² + p_θ²/r² + p_φ²/(r²sin²θ)) − k cos θ/r²।

ṙ = p_r/m, θ̇ = p_θ/(mr²), φ̇ = p_φ/(mr²sin²θ), ṗ_r = (p_θ² + p_φ²/sin²θ)/(mr³) − 2k cos θ/r³।

ṗ_θ = p_φ²cos θ/(mr²sin³θ) − k sin θ/r², ṗ_φ = 0 (φ चक्रीय है)।

(ii) p_x = ∂L/∂ẋ = mẏ, p_y = mẋ; H = p_xẋ + p_yẏ − L = mẋẏ + mω₀²xy = p_xp_y/m + mω₀²xy।

ẋ = p_y/m, ẏ = p_x/m, ṗ_x = −mω₀²y, ṗ_y = −mω₀²x, अतः ẍ + ω₀²x = 0 और ÿ + ω₀²y = 0।

उत्तर: (i) H और ऊपर के छह समीकरण; (ii) H = p_xp_y/m + mω₀²xy, और निकाय आवृत्ति ω₀ का द्विविमीय समदैशिक आवर्ती दोलित्र है (H संरक्षित है, यद्यपि T + V के रूप में नहीं)।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): L = (1/2)(q̇₁² + 2q̇₂²) − q₁q₂ के लिए संवेग और हैमिल्टनी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: p₁ = q̇₁, p₂ = 2q̇₂; H = p₁²/2 + p₂²/4 + q₁q₂।

अभ्यास 2 (मूल): एक स्वातंत्र्य कोटि के लिए [q, p²] और [q², p²] का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: [q, p²] = 2p और [q², p²] = (2q)(2p) = 4qp।

अभ्यास 3 (मूल): मुक्त रूप से गिरते कण, H = p²/(2m) + mgq, के लिए निर्णय कीजिए कि (a) p और (b) p + mgt में से कौन गति का अचर है।

उत्तर: (a) नहीं: ṗ = [p, H] = −mg; (b) हाँ: [p + mgt, H] + ∂(p + mgt)/∂t = −mg + mg = 0।

अभ्यास 4 (मानक): एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के लिए L = (m/2)(ẋ² + ẏ²) + (m/2)Ω(xẏ − yẋ), Ω अचर। p_x, p_y, H ज्ञात कीजिए, और दिखाइए कि कण कोणीय वेग Ω से वृत्त में चलता है।

उत्तर: p_x = mẋ − mΩy/2, p_y = mẏ + mΩx/2; H = [(p_x + mΩy/2)² + (p_y − mΩx/2)²]/(2m) (H = T, क्षेत्र कोई कार्य नहीं करता); समीकरण ẍ = Ωẏ, ÿ = −Ωẋ बनते हैं, अतः वेग अचर दर Ω से घूमता है और पथ त्रिज्या (चाल)/Ω का वृत्त है।

अभ्यास 5 (मानक): द्रव्यमान m का कण अर्ध-शीर्ष कोण α के एक लंब वृत्तीय शंकु के चिकने आंतरिक पृष्ठ पर चलता है, अक्ष ऊर्ध्वाधर और शीर्ष नीचे। जनक रेखा के अनुदिश शीर्ष से दूरी r और दिगंश ψ लेकर H और हैमिल्टन समीकरण लिखिए, और संरक्षित राशियाँ बताइए।

उत्तर: H = p_r²/(2m) + p_ψ²/(2mr²sin²α) + mgr cos α; ṙ = p_r/m, ψ̇ = p_ψ/(mr²sin²α), ṗ_r = p_ψ²/(mr³sin²α) − mg cos α, ṗ_ψ = 0; p_ψ (अक्ष के परितः कोणीय संवेग) और H (ऊर्जा) संरक्षित हैं।

अभ्यास 6 (मानक): H = (p² + q²)/2 के लिए दिखाइए कि F = q cos t − p sin t गति का अचर है और इसकी पहचान कीजिए।

उत्तर: [F, H] = p cos t + q sin t और ∂F/∂t = −q sin t − p cos t, अतः योग 0 है। चूँकि q = q₀cos t + p₀sin t और p = −q₀sin t + p₀cos t, F = q₀, अर्थात प्रारंभिक स्थिति।

अभ्यास 7 (मानक): 0 ≤ t ≤ 1 पर x(0) = 0 और x(1) = 1 के साथ L = (1/2)ẋ² के लिए x = t और x = t² के अनुदिश क्रिया की गणना कीजिए, और टिप्पणी कीजिए।

उत्तर: 1/2 और 2/3। वास्तविक पथ x = t (ẍ = 0 का हल) छोटा मान देता है, जैसा हैमिल्टन सिद्धांत मुक्त कण के लिए बताता है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): एक निकाय के लिए H = (p²/(2m))e^−γt + (1/2)mω²q²e^γt, γ और ω अचर। एक लग्रांजी, गति समीकरण ज्ञात कीजिए, और बताइए कि H संरक्षित है या नहीं।

उत्तर: q̇ = (p/m)e^−γt, अतः p = mq̇e^γt और L = e^γt[(1/2)mq̇² − (1/2)mω²q²]; समीकरण q̈ + γq̇ + ω²q = 0 है, एक अवमंदित दोलित्र; H में स्पष्ट t है और यह संरक्षित नहीं है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): गुरुत्व के अधीन गिरते कण, H = p²/(2m) + mgq, की गति हैमिल्टन–जैकोबी विधि से हल कीजिए।

उत्तर: S = W(q) − Et लेकर (W′)²/(2m) + mgq = E से W = −(2m(E − mgq))^3/2/(3m²g); तब ∂S/∂E = β से q = E/(mg) − (1/2)g(t + β)², मुक्त पतन।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): द्रव्यमान m का कण तल में H = (p_x² + p_y²)/(2m) + (k/2)(x² + 4y²) के साथ चलता है। हैमिल्टन समीकरण हल कीजिए, दिखाइए कि प्रत्येक पथ बंद है, और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ẍ + (k/m)x = 0 और ÿ + (4k/m)y = 0, अतः x = A cos(ωt + α), y = B cos(2ωt + β) जहाँ ω = √(k/m); आवृत्तियाँ 1 : 2 के अनुपात में हैं, अतः पथ 2π/ω = 2π√(m/k) के बाद बंद हो जाता है।

1. जड़त्व आघूर्ण और अक्ष प्रमेयों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: स्थानांतरण में द्रव्यमान यह मापता है कि पिंड को त्वरित करना कितना कठिन है: F = Ma। किसी अक्ष के परितः घूर्णन में वही बल बहुत भिन्न कोणीय त्वरण उत्पन्न कर सकता है, इस पर निर्भर करते हुए कि द्रव्यमान अक्ष से कितनी दूर है। हमें एक ऐसी संख्या चाहिए जो घूर्णन के लिए द्रव्यमान की भूमिका निभाए: जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia)।

शब्दों में: पिंड को द्रव्यमान dm के छोटे अवयवों में काटें। प्रत्येक अवयव के लिए r लें, चुनी गई अक्ष से उसकी लंब दूरी (रेखा से दूरी, बिंदु से नहीं)। तब I = ∫r² dm प्रत्येक अवयव को उसकी दूरी के वर्ग से भारित करके जोड़ता है।

एक ही पिंड के भिन्न अक्षों के परितः भिन्न आघूर्ण होते हैं, अतः सदैव बताएँ "किस अक्ष के परितः"। घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) k, जो I = Mk² से परिभाषित है, वह दूरी है जिस पर संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित होने पर वही I देता।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: द्रव्यमान M और लंबाई 2a की एकसमान छड़, उसके केंद्र से छड़ के लंबवत जाने वाली अक्ष के परितः।

चरण 1: प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान M/(2a) है। छड़ को −a ≤ x ≤ a पर रखें; x से x + dx तक के अवयव का dm = (M/(2a))dx।

चरण 2: उस अवयव की अक्ष से दूरी |x| है, अतः वह x² dm का योगदान देता है।

चरण 3: I = ∫_−a^a x²(M/(2a)) dx = (M/(2a))(2a³/3) = Ma²/3।

चरण 4: अतः k² = a²/3 और k = a/√3 ≈ 0.577a: इस अक्ष के परितः घूर्णन में छड़ ऐसे व्यवहार करती है मानो उसका संपूर्ण द्रव्यमान केंद्र से 0.577a पर हो।

चरण 5: एक सिरे से जाने वाली समांतर अक्ष के परितः, समांतर अक्ष प्रमेय Ma²/3 + Ma² = 4Ma²/3 देता है; सीधे, ∫₀^2a x²(M/(2a)) dx = (M/(2a))(8a³/3) = 4Ma²/3, वही।

अ-उदाहरण (non-example): समांतर अक्ष प्रमेय ऐसी दो अक्षों के लिए, जिनमें से कोई G से न जाती हो, I₁ = I₂ + Md² नहीं कहता। छड़ के लिए, सिरे से जाने वाली अक्ष का आघूर्ण 4Ma²/3 है और केंद्र से a/2 पर (उसी ओर) समांतर अक्ष का Ma²/3 + Ma²/4 = 7Ma²/12। इनका अंतर 3Ma²/4 है, M(a/2)² = Ma²/4 नहीं।

आगे बढ़ते हुए: तीन उपकरण हैं समांतर अक्ष प्रमेय I = I_G + Md², पटल के लिए लंब अक्ष प्रमेय I_z = I_x + I_y, और झुकी रेखा का सूत्र (सभी नीचे "यह क्यों काम करता है" में सिद्ध)।

मिलकर ये एक समाकल को अनेक परिणामों में बदल देते हैं। चकती के लिए सममिति से I_x = I_y, अतः लंब अक्ष प्रमेय अक्षीय आघूर्ण Ma²/2 से व्यास का आघूर्ण Ma²/4 देता है, और फिर समांतर अक्ष प्रमेय स्पर्श रेखा के परितः 5Ma²/4 देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: I घूर्णन के प्रत्येक समीकरण (I_Oθ̈ = आघूर्ण), गतिज ऊर्जा (1/2)Iω² और यौगिक लोलक के आवर्तकाल में आता है। UPSC शंकु, अर्धगोले, दीर्घवृत्त या त्रिभुज के लिए सीधी गणनाएँ भी पूछता है (खंड 10)।

2. जड़त्व गुणनफल और मुख्य अक्षों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी बिंदु से जाने वाली तीन अक्षों के परितः आघूर्ण उस बिंदु से जाने वाली प्रत्येक अन्य रेखा के परितः आघूर्ण नहीं बताते, और जो पिंड किसी "असंतुलित" रेखा के परितः घूमता है वह डगमगाता है। जड़त्व गुणनफल इस असंतुलन को मापते हैं, और मुख्य अक्ष वे दिशाएँ हैं जिनमें यह लुप्त हो जाता है। इनके साथ छह संख्याएँ उस बिंदु से जाने वाली प्रत्येक रेखा के परितः आघूर्ण दे देती हैं।

शब्दों में: O से जाने वाली अक्षों Ox, Oy, Oz के साथ A, B और C अक्षों के परितः आघूर्ण हैं, और D = ∫yz dm, E = ∫zx dm, F = ∫xy dm जड़त्व गुणनफल (products of inertia) हैं। जब द्रव्यमान सममित रूप से फैला हो तो गुणनफल शून्य होता है, उदाहरणार्थ यदि (x, y, z) पर प्रत्येक अवयव का (x, −y, z) पर एक समान अवयव हो तो F = 0।

O पर मुख्य अक्ष (principal axes) O से जाने वाली तीन परस्पर लंब रेखाएँ हैं जिनके परितः तीनों गुणनफल शून्य हों; उनके परितः आघूर्ण मुख्य आघूर्ण हैं। ये जड़त्व आव्यूह [[A, −F, −E], [−F, B, −D], [−E, −D, C]] के आइगेन सदिश और आइगेन मान हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: भुजा 2a और द्रव्यमान M का एकसमान वर्गाकार पटल, अक्ष Ox और Oy कोने O से दो भुजाओं के अनुदिश, अतः पटल 0 ≤ x ≤ 2a, 0 ≤ y ≤ 2a को भरता है।

चरण 1: A = ∫y² dm। पटल पर y, [0, 2a] पर एकसमान फैला है, अतः y² का माध्य (2a)²/3 है और A = 4Ma²/3। इसी प्रकार B = ∫x² dm = 4Ma²/3।

चरण 2: F = ∫xy dm। यहाँ x और y स्वतंत्र हैं और प्रत्येक का माध्य a है, अतः F = M·a·a = Ma², जो शून्य नहीं है।

चरण 3: तल में मुख्य दिशाएँ tan 2θ = 2F/(B − A) = 2Ma²/0 को संतुष्ट करती हैं, जो अनंत है। अतः 2θ = π/2 और θ = π/4: तल में मुख्य अक्ष O से जाने वाला विकर्ण और O से उसके लंबवत रेखा हैं।

चरण 4: इनके परितः आघूर्ण, I(θ) = A cos²θ + B sin²θ − 2F sin θ cos θ से, θ = π/4 पर 4Ma²/3 − Ma² = Ma²/3 और θ = 3π/4 पर 4Ma²/3 + Ma² = 7Ma²/3 हैं।

चरण 5: तीसरी मुख्य अक्ष O पर पटल का अभिलंब है, C = A + B = 8Ma²/3 के साथ। जाँच: Ma²/3 + 7Ma²/3 = 8Ma²/3, जैसा लंब अक्ष प्रमेय चाहता है।

अ-उदाहरण (non-example): कोने से भुजाओं के अनुदिश रेखाएँ कोने पर मुख्य अक्ष नहीं हैं, क्योंकि F = Ma² ≠ 0। फिर भी केंद्र से जाने वाली समांतर रेखाएँ मुख्य हैं (वे सममिति रेखाएँ हैं, अतः वहाँ F = 0)। मुख्य अक्ष किसी बिंदु के होते हैं: वही दिशाएँ एक बिंदु पर मुख्य और दूसरे पर अमुख्य हो सकती हैं।

आगे बढ़ते हुए: झुकी रेखा का सूत्र I = Al² + Bm² + Cn² − 2Dmn − 2Enl − 2Flm, इकाई सदिश (l, m, n) पर जड़त्व आव्यूह का द्विघाती रूप है।

वास्तविक सममित आव्यूह के सदैव तीन परस्पर लंब आइगेन सदिश होते हैं (स्पेक्ट्रमी प्रमेय), अतः प्रत्येक बिंदु पर मुख्य अक्ष विद्यमान हैं। उनके द्वारा निर्धारित अक्षों में रूप में कोई मिश्र पद नहीं होता, और आघूर्णी दीर्घवृत्तज अपनी मानक स्थिति में होता है; पटल के लिए यही विचार tan 2θ = 2F/(B − A) बन जाता है, और सममिति अक्ष सदैव मुख्य होती है।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC आयत के कोने या त्रिभुज के शीर्ष पर मुख्य अक्ष, और विकर्ण, जनक रेखा या किसी झुकी रेखा के परितः आघूर्ण पूछता है (उदाहरण 3 और 11)। यही गणना केंद्रीय शांकवज को उसके मुख्य अक्षों में समानीत करती है।

3. जड़त्व आघूर्ण और जड़त्व गुणनफल

किसी रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia): I = ∑m_ir_i² = ∫r² dm, r रेखा से दूरी है; घूर्णन त्रिज्या k, I = Mk² से परिभाषित है।

भाव: I द्रव्यमान का घूर्णी प्रतिरूप है: यह रेखा के परितः कोणीय त्वरण के प्रतिरोध को मापता है, और रेखा से दूर स्थित द्रव्यमान भार r² के साथ गिना जाता है। समान द्रव्यमान और त्रिज्या वाले वलय और चक्रिका के लिए I = Ma² और Ma²/2; परिभ्रमण त्रिज्या (radius of gyration) k वह दूरी है जिस पर पूरा द्रव्यमान केंद्रित होकर वही I देगा।

निर्देशांक अक्षों के परितः: A = ∫(y² + z²) dm, B = ∫(z² + x²) dm, C = ∫(x² + y²) dm; जड़त्व गुणनफल D = ∫yz dm, E = ∫zx dm, F = ∫xy dm।

समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + Md², जहाँ I_G द्रव्यमान केंद्र G से जाने वाले समांतर अक्ष के परितः है और d अक्षों के बीच की दूरी है।

यह क्यों काम करता है: G को मूलबिंदु और G से जाने वाले अक्ष को Oz लें, और समांतर अक्ष (a, b, 0) से गुजरे। तब I = ∫[(x − a)² + (y − b)²] dm = I_G − 2a∫x dm − 2b∫y dm + M(a² + b²), और ∫x dm = ∫y dm = 0 क्योंकि G द्रव्यमान केंद्र है।

भाव: दोनों में से एक अक्ष G से अवश्य गुजरना चाहिए। G से दूरियों d₁, d₂ पर स्थित दो समांतर अक्षों के लिए I₁ − I₂ = M(d₁² − d₂²), न कि M गुणा उनके बीच की दूरी का वर्ग; समांतर अक्षों के प्रत्येक कुल में I_G न्यूनतम आघूर्ण है।

लंब अक्ष प्रमेय (xy-तल में समतल पटल): I_z = I_x + I_y।

यह क्यों काम करता है: I_z = ∫(x² + y²) dm = ∫y² dm + ∫x² dm = I_x + I_y, क्योंकि पटल (lamina) के प्रत्येक बिंदु पर z = 0। ठोस के लिए z² पद बचे रहते हैं और प्रमेय विफल होता है (ठोस गोले के लिए I_z = (2/5)Ma² परंतु I_x + I_y = (4/5)Ma²)।

चक्रिका के लिए यह व्यास के परितः आघूर्ण तुरंत देता है: I_x = I_y = I_z/2 = Ma²/4।

दिक्-कोज्याओं (l, m, n) वाली O से जाने वाली रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण: I = Al² + Bm² + Cn² − 2Dmn − 2Enl − 2Flm।

यह क्यों काम करता है: O से जाने वाली इकाई सदिश (l, m, n) वाली रेखा से (x, y, z) की दूरी का वर्ग r² − (lx + my + nz)² = (x² + y² + z²)(l² + m² + n²) − (lx + my + nz)² है।

प्रसार करने पर यह l²(y² + z²) + m²(z² + x²) + n²(x² + y²) − 2mnyz − 2nlzx − 2lmxy है; dm से गुणा कर समाकलन करने पर सूत्र मिलता है।

O पर आघूर्ण दीर्घवृत्तज (momental ellipsoid): Ax² + By² + Cz² − 2Dyz − 2Ezx − 2Fxy = अचर; इसके अक्ष O पर मुख्य अक्ष हैं, जिनके परितः सभी जड़त्व गुणनफल शून्य होते हैं।

भाव: O से जाने वाली प्रत्येक रेखा पर O से 1/√I दूरी पर बिंदु अंकित करें; चूँकि (x, y, z) = (l, m, n)/√I, I का सूत्र Ax² + By² + Cz² − 2Dyz − 2Ezx − 2Fxy = 1 बन जाता है। दीर्घवृत्तज का सबसे लंबा अक्ष न्यूनतम आघूर्ण का अक्ष है।

मुख्य अक्ष जड़त्व आव्यूह [[A, −F, −E], [−F, B, −D], [−E, −D, C]] के आइगेन सदिश, और मुख्य आघूर्ण उसके आइगेन मान हैं; यह वास्तविक सममित है, अतः तीन परस्पर लंब मुख्य अक्ष सदा विद्यमान होते हैं।

xy-तल में पटल के मुख्य अक्ष (A = ∫y² dm, B = ∫x² dm, F = ∫xy dm): ये Ox से कोण θ बनाते हैं जहाँ tan 2θ = 2F/(B − A)।

यह क्यों काम करता है: O से जाने वाली, Ox से θ कोण बनाती रेखा (दिशा (cos θ, sin θ)) के परितः I(θ) = A cos²θ + B sin²θ − 2F sin θ cos θ। तब dI/dθ = (B − A)sin 2θ − 2F cos 2θ, जो ठीक तब शून्य है जब tan 2θ = 2F/(B − A): मुख्य अक्ष महत्तम और न्यूनतम आघूर्ण की दिशाएँ हैं।

यदि B = A और F = 0 (केंद्र के परितः वर्ग या वृत्त), तो O से जाने वाली प्रत्येक रेखा मुख्य है; यदि B = A और F ≠ 0, तो अक्ष θ = π/4 और 3π/4 पर हैं।

पिंड का सममिति अक्ष उस पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर मुख्य अक्ष है।

यह क्यों काम करता है: यदि पिंड Oz के परितः सममित है, तो (x, y, z) पर अवयव का (−x, −y, z) पर समान अवयव से मिलान होता है, अतः Oz पर किसी भी मूलबिंदु के लिए D = ∫yz dm = 0 और E = ∫zx dm = 0। Ox के परितः सममित पटल में (x, y) का (x, −y) से मिलान होता है और F = ∫xy dm = 0।

उदाहरण 1: भुजाओं 2a, 2b वाला एकसमान आयताकार पटल: केंद्र से भुजा 2b के समांतर अक्ष के परितः I = Ma²/3; केंद्र से लंब अक्ष के परितः I = M(a² + b²)/3।

उदाहरण 2: त्रिज्या a की एकसमान वृत्ताकार चक्रिका, अपने तल में स्पर्शरेखा के परितः: I = Ma²/4 + Ma² = 5Ma²/4।

उदाहरण 3: द्रव्यमान M की एकसमान आयताकार पटल के, जिसकी भुजाएँ Ox के अनुदिश 2a और Oy के अनुदिश 2b हैं, कोने O पर मुख्य अक्ष ज्ञात कीजिए।

A = ∫y² dm = M(2b)²/3 = 4Mb²/3, B = ∫x² dm = 4Ma²/3, और F = ∫xy dm = M · a · b = Mab, क्योंकि x और y स्वतंत्र तथा एकसमान रूप से वितरित हैं जिनके माध्य a और b हैं।

tan 2θ = 2F/(B − A) = 2Mab/((4M/3)(a² − b²)) = 3ab/(2(a² − b²)); O पर तीसरा मुख्य अक्ष पटल का अभिलंब है।

4. समतल गति के समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: तल में गतिमान दृढ़ पिंड (फिसलती सीढ़ी, लुढ़कता पहिया, आवेग से टकराई छड़) आगे भी बढ़ता है और घूमता भी है। एकल सदिश समीकरण F = Ma यह नहीं बताता कि वह कितनी तेजी से घूमता है, अतः हमें दोनों गतियों के समीकरण चाहिए, और यह नियम कि आघूर्ण किस बिंदु के परितः लिए जा सकते हैं।

शब्दों में: तीन संख्याएँ पिंड को निर्धारित करती हैं: द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक x_G, y_G और वह कोण θ जितना पिंड घूमा है। तीन समीकरण हैं: Mẍ_G = ∑X और Mÿ_G = ∑Y (G संपूर्ण द्रव्यमान वाले कण की भाँति, सभी बाह्य बलों के अधीन चलता है), और Mk²θ̈ = ∑(G के परितः आघूर्ण) (G के परितः घूर्णन G के परितः आघूर्णों पर ऐसे प्रतिक्रिया करता है मानो G स्थिर हो)।

आंतरिक बल युग्मों में कट जाते हैं और कभी नहीं आते; कब्जों, फर्शों और दीवारों पर प्रतिक्रियाएँ बाह्य हैं और सम्मिलित करनी होती हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: द्रव्यमान M और लंबाई 2a की एकसमान छड़ AB, A पर चिकने कब्जे से जुड़ी है और क्षैतिज स्थिति में विराम से छोड़ी जाती है। उसका प्रारंभिक कोणीय त्वरण और उस क्षण कब्जे पर प्रतिक्रिया ज्ञात करें।

चरण 1: A स्थिर बिंदु है, अतः A के परितः आघूर्ण लें: I_Aθ̈ = (A के परितः भार का आघूर्ण), अर्थात (4Ma²/3)θ̈ = Mga, अतः θ̈ = 3g/(4a)।

चरण 2: G, A के परितः त्रिज्या a के वृत्त पर चलता है। आरंभ में ω = 0, अतः G का कोई अभिकेंद्री त्वरण नहीं; उसका त्वरण स्पर्शरेखीय है, परिमाण aθ̈ = 3g/4, ऊर्ध्वाधरतः नीचे।

चरण 3: G का ऊर्ध्वाधर समीकरण, R ऊपर की ओर प्रतिक्रिया: M(3g/4) = Mg − R, अतः R = Mg/4।

चरण 4: G का क्षैतिज त्वरण अभिकेंद्री aω² = 0 है, अतः क्षैतिज प्रतिक्रिया शून्य है।

चरण 5: परिणाम पर ध्यान दें: छोड़ने के क्षण कब्जा भार का केवल एक-चौथाई वहन करता है, क्योंकि छड़ गिरने लगी है।

अ-उदाहरण (non-example): चिकनी दीवार पर नीचे फिसलती सीढ़ी के लिए उसके निचले सिरे के परितः ऐसे आघूर्ण लेना मानो वह सिरा स्थिर हो, गलत θ̈ देता है: वह सिरा त्वरित होता है, और G के अतिरिक्त किसी त्वरित बिंदु के परितः आघूर्ण समीकरण में एक अतिरिक्त जड़त्व पद चाहिए। G या किसी स्थिर बिंदु का प्रयोग करें।

आगे बढ़ते हुए: पिंड के सभी कणों पर न्यूटन का नियम जोड़ें; आंतरिक बल कट जाते हैं, और Mr̈_G = ∑F बचता है। समतल गति में G के परितः कोणीय संवेग Mk²ω है, और उसके परिवर्तन की दर G के परितः बाह्य बलों का आघूर्ण है; कोनिग प्रमेय T = (1/2)Mv_G² + (1/2)Mk²ω² देता है (सब नीचे "यह क्यों काम करता है" में)।

आवेग के अत्यल्प समय पर समीकरणों का समाकलन आवेगी रूप देता है: MΔv_G = J और Mk²Δω = G के परितः J का आघूर्ण।

कहाँ प्रयोग होता है: चिकने या रूक्ष तलों पर फिसलती सीढ़ियाँ और छड़ें, आवेग से टकराई छड़ें (उदाहरण 7 और 15), पहियों वाले ट्रक (उदाहरण 18), और प्रत्येक लुढ़कन प्रश्न; जब केवल चालें चाहिए तब ऊर्जा समीकरण आघूर्ण समीकरण का स्थान लेता है।

5. समतल गति के समीकरण

समतल गति की तीन स्वातंत्र्य कोटियाँ हैं: G के निर्देशांक (x_G, y_G) और पिंड द्वारा घूमा गया कोण θ।

गति के समीकरण: Mẍ_G = ∑X, Mÿ_G = ∑Y, Mk²θ̈ = ∑(G के परितः बाह्य बलों के आघूर्ण)।

यह क्यों काम करता है: सभी कणों पर m_ir̈_i = (बाह्य + आंतरिक बल) का योग लेने पर आंतरिक बल युग्मों में कट जाते हैं (न्यूटन का तृतीय नियम), और Mr̈_G = ∑F_ext बचता है। G के परितः कोणीय संवेग h_G = ∑m_ir′_i × ṙ′_i (r′, G से मापित) समतल गति में Mk²ω है, और dh_G/dt बाह्य बलों का G के परितः आघूर्ण है।

भाव: आघूर्ण समीकरण G के परितः (G त्वरित हो तब भी) और स्थिर बिंदु के परितः सत्य है, परंतु किसी स्वेच्छ गतिमान बिंदु के परितः नहीं। लुढ़कते एकसमान पहिये के संपर्क बिंदु के परितः यह संयोग से सत्य है, क्योंकि वह बिंदु G के समांतर चलता है; डोलते अर्धगोले के लिए नहीं।

O से जाने वाले स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन के लिए: I_Oθ̈ = ∑(O के परितः आघूर्ण), और अक्ष पर प्रतिक्रिया G के समीकरणों से मिलती है।

गतिज ऊर्जा: T = (1/2)Mv_G² + (1/2)Mk²ω²; G के परितः कोणीय संवेग: Mk²ω।

यह क्यों काम करता है (कोनिग प्रमेय): r_i = r_G + r′_i लिखें। तब T = (1/2)∑m_i|ṙ_G + ṙ′_i|² = (1/2)Mv_G² + ṙ_G·∑m_iṙ′_i + (1/2)∑m_i|ṙ′_i|²। मध्य पद शून्य है क्योंकि ∑m_ir′_i = 0, और दृढ़ समतल गति में |ṙ′_i| = ωr′_i, अतः अंतिम पद (1/2)Mk²ω² है।

ऊर्जा सिद्धांत: T में परिवर्तन बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है; संरक्षी बलों के लिए T + V अचर है।

आवेगी गति: रैखिक संवेग में परिवर्तन = कुल आवेग; G के परितः कोणीय संवेग में परिवर्तन = G के परितः आवेगों का आघूर्ण।

भाव: आवेगी बल (impulsive force) अत्यधिक बड़ा होता है और बहुत कम समय तक कार्य करता है, अतः प्रहार के दौरान गुरुत्व जैसे परिमित बलों का आवेग नगण्य है और पिंड उल्लेखनीय रूप से विस्थापित नहीं होता; केवल वेग अचानक बदलते हैं। संघट्ट में गतिज ऊर्जा सामान्यतः संरक्षित नहीं होती, अतः ऊर्जा नहीं, संवेग ही साधन है।

6. बिना फिसले लुढ़कने को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: पहिए, गेंदें और बेलन प्रायः लुढ़कते हैं, और लुढ़कना स्थानांतरण को घूर्णन से बाँध देता है: पिंड स्वतंत्र रूप से आगे नहीं बढ़ सकता और घूम नहीं सकता। हमें वह प्रतिबंध चाहिए जो "बिना फिसले" को व्यक्त करे, घर्षण और ऊर्जा पर उसका प्रभाव, और यह जाँचने की विधि कि लुढ़कना वास्तव में संभव है।

शब्दों में: बिना फिसले लुढ़कने (rolling without slipping) का अर्थ है कि पृष्ठ के संपर्क में पिंड के बिंदु का पृष्ठ के सापेक्ष वेग शून्य है। स्थिर सीधे पथ पर त्रिज्या a के पिंड के लिए इससे v_G = aω, और अवकलन से f = aω̇ मिलता है, f, G का त्वरण है।

तब संपर्क पर घर्षण F एक अज्ञात है, जिसके बारे में केवल |F| ≤ μR ज्ञात है। यह विराम में स्थित बिंदु पर लगने वाला स्थैतिक घर्षण है, अतः यह कोई कार्य नहीं करता।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक पतला एकसमान गोलीय कोश (k² = 2a²/3) कोण α पर झुके रूक्ष तल पर विराम से लुढ़कता है। त्वरण, घर्षण और न्यूनतम μ ज्ञात करें।

चरण 1: बल हैं भार Mg, अभिलंब प्रतिक्रिया R और घर्षण F, तल पर ऊपर की ओर लिया गया।

चरण 2: तल के अनुदिश G के लिए: Mf = Mg sin α − F।

चरण 3: G के परितः आघूर्ण: केवल F का आघूर्ण है, अतः Mk²ω̇ = Fa, अर्थात (2/3)Ma²ω̇ = Fa।

चरण 4: लुढ़कन: ω̇ = f/a, अतः F = (2/3)Mf।

चरण 5: प्रतिस्थापन: Mf = Mg sin α − (2/3)Mf, अतः f = (3/5)g sin α और F = (2/5)Mg sin α।

चरण 6: तल के लंबवत R = Mg cos α। लुढ़कना तभी संभव है जब F ≤ μR, अर्थात μ ≥ (2/5)tan α।

चरण 7: ऊर्जा से जाँच: विराम से दूरी s के बाद, (1/2)Mv²(1 + k²/a²) = (5/6)Mv² = Mgs sin α, अतः v² = (6/5)gs sin α = 2fs, जो संगत है।

अ-उदाहरण (non-example): यदि μ, (2/5)tan α से कम हो तो कोश लुढ़क नहीं सकता; वह घूमते हुए फिसलता है। तब v_G ≠ aω, घर्षण गतिज है जिसका ज्ञात मान μMg cos α है, समीकरण Mf = Mg sin α − μMg cos α और (2/3)Ma²ω̇ = μMga cos α अलग-अलग हल होते हैं, और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती।

आगे बढ़ते हुए: व्यापक रूप में f = g sin α/(1 + k²/a²), F = Mk²f/a² और μ ≥ k²tan α/(k² + a²) (नीचे "यह क्यों काम करता है")। चूँकि संपर्क बिंदु तात्क्षणिक केंद्र है, T = (1/2)I_Cω² जहाँ I_C = I_G + M·CG²।

वृत्त के भीतर, गोले के बाहर या गतिमान पृष्ठ पर लुढ़कना उपयुक्त ज्यामिति के साथ यही प्रतिबंध प्रयोग करता है (खंड 12)।

कहाँ प्रयोग होता है: आनत तल पर दौड़, बेलनों के भीतर लुढ़कते बेलन (उदाहरण 17), गतिमान रोलरों में गेंदें (उदाहरण 19), डोलते अर्धगोले (उदाहरण 20), और वे लग्रांजी प्रश्न जिनमें x = aθ एक निर्देशांक हटा देता है।

7. मानक स्थितियाँ

बिना फिसले लुढ़कना: v_G = aω, और संपर्क बिंदु पर घर्षण कोई कार्य नहीं करता, अतः ऊर्जा संरक्षित रहती है।

भाव: लुढ़कने का अर्थ है संपर्क बिंदु C के परितः तात्क्षणिक घूर्णन, जो क्षणभर विरामावस्था में है; स्थैतिक घर्षण शून्य वेग वाले बिंदु पर कार्य करता है, अतः कोई कार्य नहीं करता। यदि आवश्यक घर्षण μR से अधिक हो तो पिंड फिसलता है, v_G ≠ aω, और तब गतिज घर्षण μR कार्य करता है।

कोण α के रूक्ष आनत तल पर लुढ़कना: त्वरण f = g sin α/(1 + k²/a²), जिसके लिए μ ≥ [k²/(k² + a²)] tan α आवश्यक है; वलय g sin α/2, ठोस बेलन 2g sin α/3, ठोस गोला 5g sin α/7।

यह क्यों काम करता है: तल के ऊपर की ओर घर्षण F के साथ Mf = Mg sin α − F और Mk²ω̇ = Fa, जबकि लुढ़कन से ω̇ = f/a। अतः F = Mk²f/a² और f(1 + k²/a²) = g sin α। लुढ़कने के लिए F ≤ μMg cos α आवश्यक है, अर्थात μ ≥ k²tan α/(k² + a²)।

भाव: k/a जितना बड़ा, ऊर्जा का उतना अधिक भाग घूर्णन में जाता है और उतना धीमा उतरना: विराम से ठोस गोला ठोस बेलन से आगे, और ठोस बेलन वलय से आगे रहता है, उनके द्रव्यमान और त्रिज्या जो भी हों।

यौगिक लोलक: G से दूरी h पर क्षैतिज अक्ष के परितः दोलित पिंड θ̈ + [gh/(k² + h²)] sin θ = 0 को संतुष्ट करता है।

लघु दोलनों के लिए इसका आवर्तकाल 2π√((k² + h²)/(gh)) है, तुल्य सरल लोलक की लंबाई (k² + h²)/h है, और h = k पर आवर्तकाल न्यूनतम होता है।

यह क्यों काम करता है: स्थिर अक्ष O के परितः आघूर्ण लेने पर M(k² + h²)θ̈ = −Mgh sin θ, क्योंकि I_O = M(k² + h²)। तुल्य लंबाई L(h) = h + k²/h के लिए dL/dh = 1 − k²/h², जो h = k पर शून्य है, जहाँ L = 2k न्यूनतम है।

भाव: OG को आगे बढ़ाने पर OC = L वाला बिंदु C दोलन केंद्र (centre of oscillation) है (ऊपर का चित्र देखें), और GC = L − h = k²/h। चूँकि h·GC = k², पिंड को C से लटकाने पर वही तुल्य लंबाई L मिलती है: निलंबन केंद्र और दोलन केंद्र परस्पर विनिमेय हैं, जो केटर के उत्क्रमणीय लोलक का सिद्धांत है।

उदाहरण 4: एक सिरे के परितः दोलित 2a लंबाई की एकसमान छड़: k² = a²/3, h = a, अतः तुल्य लंबाई 4a/3 और आवर्तकाल 2π√(4a/(3g))।

उदाहरण 5: एक सिरे पर कब्जेदार 2a लंबाई की एकसमान छड़ क्षैतिज से गिरती है: (1/2)(4Ma²/3)ω² = Mga, अतः ऊर्ध्वाधर होने पर ω² = 3g/(2a)।

उदाहरण 6: एक ठोस गोला 30° के रूक्ष आनत तल पर विराम से लुढ़कता है: f = (5/7)g sin 30° = 5g/14, और लुढ़कने के लिए μ ≥ (2/7)tan 30° ≈ 0.165।

उदाहरण 7 (आवेग): द्रव्यमान M और लंबाई 2a की एकसमान छड़ AB चिकनी क्षैतिज मेज़ पर विरामावस्था में है और A पर छड़ के लंबवत क्षैतिज आवेग J से टकराई जाती है। प्रारंभिक गति ज्ञात कीजिए।

रैखिक संवेग: Mv_G = J; G के परितः कोणीय संवेग: M(a²/3)ω = Ja; अतः v_G = J/M और ω = 3J/(Ma)।

A का वेग = v_G + aω = 4J/M; B का वेग = v_G − aω = −2J/M (प्रहार के विपरीत); विरामावस्था वाला बिंदु G से B की ओर v_G/ω = a/3 दूरी पर है।

8. विधि का चयन

यदि पिंड स्थिर अक्ष के परितः घूमता है → गति के लिए I_Oθ̈ = O के परितः आघूर्ण (या कोणीय चाल के लिए ऊर्जा), फिर अक्ष पर प्रतिक्रिया के लिए Mẍ_G = ∑X, Mÿ_G = ∑Y।

यदि पिंड अपने तल में मुक्त है → तीन समीकरण: दो G की गति के लिए और एक G के परितः आघूर्णों के लिए।

यदि यह बिना फिसले लुढ़कता है और केवल चाल चाहिए → ऊर्जा, T = (1/2)I_Cω² या कोनिग रूप के साथ; यदि घर्षण या अभिलंब प्रतिक्रिया चाहिए → बल और आघूर्ण समीकरण, फिर F ≤ μR की जाँच।

यदि प्रहार या अचानक झटका लगता है → आवेग = रैखिक संवेग में परिवर्तन, और G (या कब्जे के आवेग से बचने के लिए स्थिर कब्जे) के परितः आवेग का आघूर्ण = कोणीय संवेग में परिवर्तन।

यदि किसी बाह्य बल का क्षैतिज घटक नहीं है → क्षैतिज संवेग संरक्षित है, और विराम से G क्षैतिजतः नहीं चलता (उदाहरण 16)।

यदि जड़त्व आघूर्ण पूछा गया है → तालिका का प्रयोग करें: परिक्रमण ठोसों के लिए स्लाइस या कोश, संयुक्त पिंडों के लिए समांतर और लंब अक्ष, झुकी रेखा के लिए I = Al² + Bm² + Cn² − 2Dmn − 2Enl − 2Flm, त्रिभुज के लिए समआघूर्णी कण, और परिवर्ती घनत्व के लिए जैकोबियन।

9. सामान्य गलतियाँ

G के बिना समांतर अक्ष। ऐसे दो अक्षों के बीच I = I₁ + Md² लगाना जिनमें से कोई भी G से नहीं गुजरता।

ठोस के लिए लंब अक्ष। यह प्रमेय केवल समतल पटलों के लिए है।

गलत बिंदु के परितः आघूर्ण। अतिरिक्त जड़त्व पद के बिना G के अतिरिक्त किसी त्वरित बिंदु (जैसे डोलते अर्धगोले का निम्नतम बिंदु) के परितः आघूर्ण लेना।

लुढ़कना मान लेना। यह जाँच न करना कि आवश्यक घर्षण अधिकतम μR है; यदि नहीं, तो पिंड फिसलता है और v_G = aω असत्य है।

संघट्ट में ऊर्जा। प्रहार या डोरी के अचानक तनने के दौरान ऊर्जा संरक्षण लगाना; संवेग का प्रयोग करें, और ऊर्जा का केवल पहले या बाद में।

k और K में भ्रम। यौगिक लोलक में k, G के परितः है और K² = k² + h², O के परितः; आवर्तकाल में K²/h आता है।

संबंध: मुख्य अक्ष वास्तविक सममित जड़त्व आव्यूह के आइगेन सदिश हैं, वही गणना जो केंद्रीय शांकवज को मुख्य अक्षों पर समानीत करने में होती है (विश्लेषणात्मक ज्यामिति, प्रश्नपत्र I); जड़त्व आघूर्ण समाकल जैकोबियन वाले बहुसमाकल हैं (कलन)।

संबंध: यही दृढ़ पिंड लग्रांज और हैमिल्टन समीकरणों में पुनः आते हैं (यौगिक लोलक हैमिल्टन समीकरण विषय का उदाहरण 8 है), जहाँ केवल T = (1/2)Mv_G² + (1/2)I_Gω² चाहिए।

10. जड़त्व आघूर्ण की गणना

विधि: पिंड को ऐसे अवयवों (पट्टियाँ, चक्रिकाएँ, कोश) में काटें जिनका अक्ष के परितः आघूर्ण ज्ञात हो और समाकलन करें; फिर समांतर और लंब अक्ष प्रमेय, सममिति, और झुकी रेखा के लिए I = Al² + Bm² + Cn² − 2Dmn − 2Enl − 2Flm का प्रयोग करें।

समआघूर्णी निकाय (equimomental systems): दो निकाय समआघूर्णी हैं यदि प्रत्येक रेखा के परितः उनके जड़त्व आघूर्ण और जड़त्व गुणनफल बराबर हों (अतः द्रव्यमान और द्रव्यमान केंद्र भी समान)। M द्रव्यमान का एकसमान त्रिभुजाकार पटल भुजाओं के मध्य-बिंदुओं पर M/3 के कणों के, और प्रत्येक शीर्ष पर M/12 तथा केंद्रक पर 3M/4 के कणों के भी, समआघूर्णी है।

भाव: प्रत्येक रेखा के परितः समान आघूर्णों के लिए केवल समान द्रव्यमान, समान द्रव्यमान केंद्र और किसी एक बिंदु के परितः समान द्वितीय आघूर्ण ∫x² dm, ∫xy dm, ... चाहिए, क्योंकि प्रत्येक आघूर्ण और गुणनफल इन्हीं से समांतर अक्ष प्रमेय और झुकी रेखा के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है। अतः पटल को तीन या चार कणों से प्रतिस्थापित किया जा सकता है और किसी भी रेखा के परितः I अंकगणित बन जाता है (उदाहरण 10)।

परिवर्ती घनत्व: M = ∭ρ dV और I = ∭ρd² dV; दीर्घवृत्तीय क्षेत्र पर x = ar cos θ, y = br sin θ रखें, जिससे dA = ab r dr dθ।

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 10 अंक): भार m का एक ठोस एकसमान गोलार्ध x² + y² + z² = a², z ≥ 0 के, OZ-अक्ष के इर्द-गिर्द, जड़त्व-आघूर्ण का परिकलन कीजिए।

√(a² − z²) त्रिज्या और dz मोटाई की चक्रिकाओं में काटें, द्रव्यमान ρπ(a² − z²)dz, प्रत्येक का OZ के परितः आघूर्ण (1/2)(द्रव्यमान)(त्रिज्या)²।

I = (ρπ/2)∫₀^a(a² − z²)² dz = (ρπ/2)(8a⁵/15) = 4ρπa⁵/15, और m = (2/3)πa³ρ।

उत्तर: I_OZ = 2ma²/5, जो पूरे गोले के व्यास के परितः मान के समान है (प्रत्येक अर्ध भाग समान योगदान देता है)।

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 10 अंक): दर्शाइए कि एक दीर्घवृत्ताकार क्षेत्रफल, जिसका द्रव्यमान M है तथा अर्धाक्ष a व b हैं, का अर्ध-व्यास, जिसकी लम्बाई r है, के इर्दगिर्द जड़त्व आघूर्ण (1/4)M a²b²/r² होगा। आगे सिद्ध कीजिए कि स्पर्शरेखा के इर्दगिर्द जड़त्व आघूर्ण (5M/4)p² होगा, जहाँ p दीर्घवृत्त के केन्द्र से स्पर्शरेखा की लम्बवत् दूरी है।

अक्षों के परितः A = Mb²/4, B = Ma²/4, F = 0, अतः दीर्घ अक्ष से θ कोण पर व्यास के परितः I = A cos²θ + B sin²θ = (M/4)(b²cos²θ + a²sin²θ)।

अर्ध-व्यास दीर्घवृत्त पर (r cos θ, r sin θ) पर समाप्त होता है, अतः 1/r² = cos²θ/a² + sin²θ/b², अर्थात b²cos²θ + a²sin²θ = a²b²/r²; अतः I = Ma²b²/(4r²)।

इस व्यास के समांतर स्पर्श रेखा संयुग्मी व्यास के सिरे पर स्पर्श करती है, और केंद्र से उसकी दूरी p, pr = ab को संतुष्ट करती है (संयुग्मी अर्ध-व्यासों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)।

समांतर अक्ष प्रमेय: I_{स्पर्श रेखा} = Ma²b²/(4r²) + Mp² = Mp²/4 + Mp²।

उत्तर: अर्ध-व्यास के परितः Ma²b²/(4r²) और स्पर्श रेखा के परितः 5Mp²/4।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 10 अंक): सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजाकार पटल ABC का इसके तल में A से होकर जाने वाली किसी भी अक्ष के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण (M/6)(β² + βγ + γ²) है, जहाँ पर M पटल की संहति तथा β व γ क्रमशः B व C से अक्ष पर डाले गये लम्बों की लम्बाइयां हैं।

पटल के स्थान पर उसका समआघूर्णी निकाय लें: AB, AC और BC के मध्य-बिंदुओं पर M/3।

B और C अक्ष के एक ही ओर हों तो अक्ष से इनकी दूरियाँ β/2, γ/2 और (β + γ)/2 हैं।

I = (M/3)[β² + γ² + (β + γ)²]/4 = (M/12)(2β² + 2βγ + 2γ²)।

उत्तर: I = (M/6)(β² + βγ + γ²) (यदि B और C विपरीत ओर हों तो γ ऋणात्मक लें)।

उदाहरण 11 (UPSC 2022, 15 अंक): एक लम्ब वृत्तीय ठोस शंकु का उसकी संहति M, ऊँचाई h तथा आधार की त्रिज्या a के रूप में उसकी एक तिर्यक् रेखा (जनक रेखा) के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण ज्ञात कीजिये।

शीर्ष O मूल बिंदु, अक्ष Oz; ऊँचाई z पर चक्रिकाओं की त्रिज्या az/h है, और ठोस शंकु के लिए ∫(x² + y²) dm = (3/10)Ma², ∫x² dm = (3/20)Ma², ∫z² dm = (3/5)Mh²।

O पर: अक्ष के परितः C = (3/10)Ma², A = B = (3/20)Ma² + (3/5)Mh² = (3/20)M(a² + 4h²), और सममिति से जड़त्व गुणनफल शून्य हैं।

O से जाने वाली जनक रेखा अक्ष से α कोण बनाती है, sin α = a/√(a² + h²), cos α = h/√(a² + h²); इसे xz-तल में लेकर I = A sin²α + C cos²α।

I = [(3/20)M(a² + 4h²)a² + (3/10)Ma²h²]/(a² + h²)।

उत्तर: I = 3Ma²(a² + 6h²)/(20(a² + h²))।

उदाहरण 12 (UPSC 2024, 15 अंक): दीर्घवृत्तीय डिस्क x²/a² + y²/b² = 1, के एक चतुर्थांश, जिसका द्रव्यमान M है, का उसके तल के लंबवत तथा उसके केन्द्र से गुज़रने वाली रेखा के सापेक्ष, जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए। दिया गया है कि किसी भी बिन्दु पर घनत्व xy के समानुपाती है।

घनत्व ρ = λxy। x = ar cos θ, y = br sin θ (0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2) रखने पर dA = ab r dr dθ।

M = λ∬xy dA = λa²b²∫₀¹r³ dr ∫₀^π/2sin θ cos θ dθ = λa²b²/8।

I = λ∬xy(x² + y²) dA = λa²b²∫₀¹r⁵ dr ∫₀^π/2sin θ cos θ(a²cos²θ + b²sin²θ) dθ = λa²b²(1/6)(a² + b²)/4।

उत्तर: I = M(a² + b²)/3।

उदाहरण 13 (UPSC 2025, 15 अंक): द्रव्यमान M, त्रिज्या R और लम्बाई L के एक एकसमान ठोस बेलन का, बेलन के केन्द्र से होकर जाने वाले अक्षों के एक समुच्चय के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण की गणना कीजिए, जहाँ z-अक्ष, बेलन का अक्ष है और ρ, बेलन के किसी भी बिन्दु पर अचर घनत्व है। बेलन के एक दिए गए द्रव्यमान के लिए L/R, जिसके लिए x- या y-अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम होगा, भी ज्ञात कीजिए।

बेलनी निर्देशांक (s, θ, z), −L/2 ≤ z ≤ L/2, M = ρπR²L: I_z = ρ∭s² · s ds dθ dz = ρ · 2π · L · R⁴/4 = MR²/2।

∫x² dm = ∫y² dm = I_z/2 = MR²/4 और ∫z² dm = ρπR²∫z² dz = ML²/12, अतः I_x = I_y = M(R²/4 + L²/12); सभी जड़त्व गुणनफल शून्य हैं (मुख्य अक्ष)।

स्थिर M के लिए R² = M/(ρπL), अतः I_x = M[M/(4ρπL) + L²/12] और dI_x/dL = M[−M/(4ρπL²) + L/6] = 0 से L³ = 3M/(2ρπ) = (3/2)R²L।

द्वितीय अवकलज M[M/(2ρπL³) + 1/6] धनात्मक है, अतः यह न्यूनतम है।

उत्तर: I_z = MR²/2, I_x = I_y = M(3R² + L²)/12; न्यूनतम जब L/R = √(3/2) ≈ 1.225।

11. घूर्णी पिंड, संवेग और आवेग

दृढ़ पिंड के लिए डी'एलम्बर्ट सिद्धांत: बाह्य बल और विपरीत प्रभावी बल (प्रत्येक अवयव का −dm × त्वरण) साम्यावस्था में होते हैं; वहाँ की प्रतिक्रियाओं से बचने के लिए स्थिर बिंदु के परितः आघूर्ण लें।

ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः अचर कोणीय वेग ω से घूमते पिंड के अवयव के लिए विपरीत प्रभावी बल अपकेंद्री बल dm ω²ϖ है, क्षैतिजतः बाहर की ओर, ϖ अक्ष से उसकी दूरी है।

रैखिक संवेग संरक्षण: यदि बाह्य बलों का कोई क्षैतिज घटक न हो, तो क्षैतिज संवेग अचर रहता है; विराम से आरंभ होने पर द्रव्यमान केंद्र क्षैतिजतः नहीं हिलता।

मुक्त पिंड पर आवेगी प्रहार: v_G = P/M और ω = Pd/I_G, जहाँ d, G से प्रहार की रेखा की दूरी है; उत्पन्न गतिज ऊर्जा (1/2)Mv_G² + (1/2)I_Gω² है।

भाव: G से दूरी d पर प्रहार P स्थानांतरण और घूर्णन दोनों उत्पन्न करता है; प्रहार के लंबवत G से जाने वाली रेखा पर, दूसरी ओर G से k²/d दूरी पर स्थित पिंड का बिंदु विराम से प्रारंभ करता है। यह संघात केंद्र (centre of percussion) है; चूँकि संबंध d · (k²/d) = k² सममित है, दोनों में से एक बिंदु पर पकड़ा गया और दूसरे पर टकराया गया बल्ला हाथों को झटका नहीं देता।

उदाहरण 14 (UPSC 2019, 10 अंक): एक 2a लम्बाई की एक एकसमान छड़ OA अपने सिरे O के इर्दगिर्द घूमने के लिये स्वतन्त्र है, जो O से ऊर्ध्वाधर OZ के परितः ω कोणीय वेग से घूमती है, और OZ से निश्चित कोण α बनाती है; α कोण का मान ज्ञात कीजिए।

O से s दूरी पर अवयव ds का द्रव्यमान (m/(2a))ds है और वह s sin α त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में चलता है, अतः उसका विपरीत प्रभावी बल (m/(2a))ω²s sin α ds क्षैतिजतः बाहर की ओर है।

O के परितः इसका आघूर्ण (m/(2a))ω²s²sin α cos α ds है; 0 ≤ s ≤ 2a पर समाकलन से (4/3)ma²ω²sin α cos α।

भार केंद्र पर विपरीत आघूर्ण mga sin α के साथ कार्य करता है; बराबर करने पर (4/3)ma²ω²sin α cos α = mga sin α।

उत्तर: cos α = 3g/(4aω²), केवल तभी संभव जब ω² ≥ 3g/(4a); अन्यथा छड़ ऊर्ध्वाधर रहती है (α = 0)।

उदाहरण 15 (UPSC 2020, 10 अंक): एक हल्की दृढ़ छड़ ABC से तीन कण, जिनमें से हरेक का द्रव्यमान m है, A, B तथा C पर बंधे हुए हैं। उस छड़ को बिंदु A से BC दूरी के बराबर स्थित बिंदु पर एक बल P के द्वारा लम्बवत् मारा जाता है। सिद्ध कीजिए कि पैदा हुई गतिज ऊर्जा का मान (1/2)(P²/m)(a² − ab + b²)/(a² + ab + b²) है, जहाँ AB = a तथा BC = b.

A, B, C को x = 0, a, a + b पर रखें; प्रहार x = b पर है। द्रव्यमान केंद्र x̄ = (2a + b)/3 पर है और कुल द्रव्यमान 3m है।

I_G = m[(2a + b)² + (a − b)² + (a + 2b)²]/9 = (2m/3)(a² + ab + b²)।

प्रहार G से d = x̄ − b = 2(a − b)/3 दूरी पर है, अतः v_G = P/(3m), ω = Pd/I_G, और गतिज ऊर्जा = P²/(6m) + P²d²/(2I_G) = P²/(6m) + P²(a − b)²/(3m(a² + ab + b²))।

= (P²/(6m))[(a² + ab + b²) + 2(a − b)²]/(a² + ab + b²) = (P²/(6m)) · 3(a² − ab + b²)/(a² + ab + b²)।

उत्तर: गतिज ऊर्जा = (1/2)(P²/m)(a² − ab + b²)/(a² + ab + b²)।

उदाहरण 16 (UPSC 2024, 10 अंक): द्रव्यमान m तथा लम्बाई 2a का एक खुरदुरा एकसमान बोर्ड एक चिकने क्षैतिज तल पर रखा है और M द्रव्यमान का एक व्यक्ति उस पर एक छोर से दूसरे छोर तक चलता है। इस दौरान बोर्ड द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

कोई क्षैतिज बाह्य बल नहीं है और निकाय विराम से आरंभ होता है, अतः व्यक्ति और बोर्ड का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है: MΔx_{व्यक्ति} + mΔx_{बोर्ड} = 0।

व्यक्ति बोर्ड के सापेक्ष 2a चलता है: Δx_{व्यक्ति} − Δx_{बोर्ड} = 2a; हल करने पर Δx_{बोर्ड} = −2Ma/(M + m) और Δx_{व्यक्ति} = 2ma/(M + m)।

उत्तर: बोर्ड 2Ma/(M + m) दूरी पीछे खिसकता है (व्यक्ति और बोर्ड के बीच का घर्षण आंतरिक है)।

12. वक्र और गतिमान पृष्ठों पर लुढ़कना

स्थिर वृत्त के भीतर लुढ़कना: b त्रिज्या के वृत्त के भीतर लुढ़कते a त्रिज्या के पिंड का केंद्र b − a त्रिज्या के वृत्त पर रहता है; केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के कोण θ के साथ v_G = (b − a)θ̇ और लुढ़कने से ω = (b − a)θ̇/a।

तात्क्षणिक केंद्र: बिना फिसले लुढ़कने में संपर्क बिंदु C विरामावस्था में है, अतः T = (1/2)I_Cω², जहाँ I_C = I_G + M·CG²; घर्षण कार्य नहीं करता और ऊर्जा संरक्षित रहती है।

गतिमान पृष्ठ: यदि पृष्ठ एकसमान गति से चलता है तो उसके विराम फ्रेम (जड़त्वीय) में कार्य करें; यदि वह घूमता भी है तो उस फ्रेम में घर्षण कार्य करता है, अतः ऊर्जा के बजाय बल और आघूर्ण समीकरणों का प्रयोग करें।

भाव: स्थिर वृत्त के भीतर लुढ़कने में लुढ़कन प्रतिबंध और ऊर्जा समीकरण एक लोलक समीकरण देते हैं; परिभ्रमण त्रिज्या जितनी बड़ी, तुल्य लोलक उतना लंबा (उदाहरण 17 में l = (b − a)(1 + k²/a²))। गोले या बेलन के बाहर लुढ़कना तब समाप्त होता है जब अभिलंब प्रतिक्रिया शून्य हो जाती है, अतः सदा R लिखें और ज्ञात करें कि वह कहाँ शून्य होती है।

उदाहरण 17 (UPSC 2019, 20 अंक): एक त्रिज्या a तथा परिभ्रमण त्रिज्या k वाला गोलाकार सिलिन्डर बिना फिसले, एक b त्रिज्या वाले, स्थिर खोखले सिलिन्डर में लुढ़कता (roll) है। दर्शाएँ कि इनकी अक्षों में से तल एक (b − a)(1 + k²/a²) लम्बाई वाले गोलाकार लोलक में चलता है।

T = (1/2)M(b − a)²θ̇² + (1/2)Mk²ω² = (1/2)M(b − a)²(1 + k²/a²)θ̇² और V = −Mg(b − a)cos θ, θ नीचे की ऊर्ध्वाधर से मापा गया।

T + V अचर है; अवकलन कर M(b − a)²θ̇ से भाग देने पर: (1 + k²/a²)θ̈ = −(g/(b − a))sin θ।

यह θ̈ + (g/l)sin θ = 0 है, जहाँ l = (b − a)(1 + k²/a²)।

उत्तर: अक्षों से जाने वाला तल (b − a)(1 + k²/a²) लंबाई के सरल (वृत्तीय) लोलक की भाँति चलता है।

उदाहरण 18 (UPSC 2020, 15 अंक): एक चार पहियों वाला रेलवे ट्रक, जिसका कुल द्रव्यमान M है, के पहिए और धुरी के हर युग्म का द्रव्यमान व परिभ्रमण त्रिज्या क्रमशः m तथा k है। हर पहिए की त्रिज्या r है। यदि ट्रक को बल P द्वारा सीधे पथ (ट्रैक) पर धकेला जाता है, तब सिद्ध कीजिए कि उसका त्वरण P/(M + 2mk²/r²) है तथा ट्रक द्वारा प्रत्येक धुरी पर लगाए गए क्षैतिज बल का मान ज्ञात कीजिए। धुरी घर्षण व हवा का प्रतिरोध नगण्य है।

माना f त्वरण है और F प्रत्येक पहिया-युग्म पर पटरी का पीछे की ओर घर्षण; प्रत्येक युग्म लुढ़कता है, अतः उसका कोणीय त्वरण f/r और mk²(f/r) = Fr, F = mk²f/r²।

पूरा ट्रक (धुरी प्रतिक्रियाएँ आंतरिक): Mf = P − 2F = P − 2mk²f/r², अतः f = P/(M + 2mk²/r²)।

एक धुरी: यदि R उस पर ट्रक का आगे की ओर क्षैतिज बल है, तो mf = R − F, अतः R = m(1 + k²/r²)f।

उत्तर: f = P/(M + 2mk²/r²); प्रत्येक धुरी पर बल R = m(r² + k²)P/(Mr² + 2mk²)।

उदाहरण 19 (UPSC 2023, 15 अंक): एक आदर्श रुक्ष गेंद एक खोखले बेलनाकार रोलर में विराम की स्थिति में है। रोलर को एक समतल पथ के अनुदिश एकसमान वेग V से खींचा जाता है। मान लीजिए कि a तथा b क्रमशः गेंद तथा रोलर की त्रिज्याएँ हैं। यदि V² > (27/7)g(b − a) है, तब दर्शाइए कि गेंद रोलर के अन्दर पूर्ण रूप से घूम जाएगी।

रोलर एकसमान रूप से लुढ़कता है और Ω = V/b से घूमता है; उसकी अक्ष के फ्रेम (जड़त्वीय) में गेंद सबसे निचले बिंदु पर V वेग से पीछे की ओर और बिना घूर्णन के आरंभ करती है, जो वहाँ रोलर के पृष्ठ से पहले ही मेल खाता है, अतः कोई आवेग नहीं लगता।

माना θ केंद्रों को मिलाने वाली रेखा का नीचे की ऊर्ध्वाधर से कोण है और ω गेंद का घूर्णन; एकसमान घूमते पृष्ठ पर लुढ़कने से (b − a)θ̇ + aω = अचर, अतः aω̇ = −(b − a)θ̈।

स्पर्शरेखीय समीकरण m(b − a)θ̈ = −mg sin θ + F और आघूर्ण समीकरण (2/5)ma²ω̇ = aF से F = −(2/5)m(b − a)θ̈, अतः (7/5)(b − a)θ̈ = −g sin θ।

θ = 0 पर (b − a)θ̇ = V लेकर समाकलन: (b − a)θ̇² = V²/(b − a) − (10/7)g(1 − cos θ)।

अभिलंब प्रतिक्रिया R = m(b − a)θ̇² + mg cos θ = m[V²/(b − a) − (10/7)g + (17/7)g cos θ], जो शीर्ष पर न्यूनतम है, जहाँ R = m[V²/(b − a) − (27/7)g]।

उत्तर: जब V² > (27/7)g(b − a), तो R पूरे चक्कर में धनात्मक रहता है, अतः गेंद रोलर के भीतर पूरा चक्कर लगाती है।

उदाहरण 20 (UPSC 2026, 10 अंक): त्रिज्या 'a' का एक एकसमान भारी ठोस अर्धगोला विरामावस्था की स्थिति में रखा है जबकि इसका आधार ऊर्ध्वाधर है और इसका वक्र पृष्ठ एक क्षैतिज समतल के संपर्क में है। यदि अर्धगोले को मुक्त (रिलीज़) किया जाता है, जब समतल इतना रूक्ष है कि फिसलन को रोक सके, तो दर्शाइए कि t समय पर कोण θ, जो अर्धगोले का आधार क्षैतिज से बनाता है, इस प्रकार है कि (dθ/dt)² = 15g cos θ/(a(28 − 15 cos θ)) है।

माना O आधार का केंद्र और G द्रव्यमान केंद्र है, OG = c = 3a/8; θ आधार का क्षैतिज से कोण है, जो OG के ऊर्ध्वाधर से कोण के बराबर है। O ऊँचाई a पर रहता है, और संपर्क बिंदु C, O के ठीक नीचे है।

CG² = a² + c² − 2ac cos θ और I_G = (2/5)Ma² − Mc², अतः I_C = M[(7/5)a² − 2ac cos θ] = Ma²(28 − 15 cos θ)/20।

G की ऊँचाई a − c cos θ है; θ = π/2 पर विराम से ऊर्जा: (1/2)I_Cθ̇² = Mgc cos θ = (3/8)Mga cos θ।

उत्तर: θ̇² = (3/4)ga cos θ · 20/(a²(28 − 15 cos θ)) = 15g cos θ/(a(28 − 15 cos θ))।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): द्रव्यमान M और त्रिज्या a के एकसमान वलय का (a) उसके तल में स्पर्श रेखा, (b) उसके तल के लंबवत स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (a) Ma²/2 + Ma² = 3Ma²/2; (b) Ma² + Ma² = 2Ma²।

अभ्यास 2 (मूल): त्रिज्या a के एकसमान ठोस गोले की स्पर्श रेखा के परितः घूर्णन त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: I = (2/5)Ma² + Ma² = (7/5)Ma², अतः k = a√(7/5) ≈ 1.18a।

अभ्यास 3 (मूल): क्या लंब अक्ष प्रमेय एकसमान ठोस बेलन (त्रिज्या a, लंबाई L) का उसकी अक्ष के परितः आघूर्ण, केंद्रीय अनुप्रस्थ काट के दो लंब व्यासों के परितः आघूर्णों से दे सकता है? स्पष्ट कीजिए।

उत्तर: नहीं: प्रमेय केवल पटल के लिए सत्य है। यहाँ I_x + I_y = M(a²/2 + L²/6), जो I_z = Ma²/2 से ML²/6 = 2∫z² dm से भिन्न है।

अभ्यास 4 (मानक): भुजाओं 2a, 2b वाले एकसमान आयताकार पटल का विकर्ण के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: केंद्र पर A = Mb²/3, B = Ma²/3, F = 0; विकर्ण की दिशा (a, b)/√(a² + b²) है, अतः I = 2Ma²b²/(3(a² + b²))।

अभ्यास 5 (मानक): द्रव्यमान M, ऊँचाई h और आधार त्रिज्या a के एकसमान ठोस लंब वृत्तीय शंकु का उसके आधार के एक व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शीर्ष से जाने वाली समांतर अक्ष के परितः 3M(a² + 4h²)/20; G शीर्ष से 3h/4 पर है, अतः I_G = 3Ma²/20 + 3Mh²/80, और G से h/4 दूरी पर आधार व्यास M(3a² + 2h²)/20 देता है।

अभ्यास 6 (मानक): लंबाई 2a की एकसमान छड़, अपने केंद्र से दूरी x पर अपने लंबवत एक क्षैतिज अक्ष के परितः यौगिक लोलक की भाँति दोलन करती है। न्यूनतम आवर्तकाल के लिए x और न्यूनतम आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: k² = a²/3, और आवर्तकाल 2π√((k² + x²)/(gx)), x = k = a/√3 पर न्यूनतम है, जहाँ तुल्य लंबाई 2a/√3 और आवर्तकाल 2π√(2a/(√3 g)) है।

अभ्यास 7 (मानक): द्रव्यमान M और त्रिज्या a की एकसमान चकती पर एक हल्की डोरी लपेटी है, और उसका मुक्त सिरा डोरी को ऊर्ध्वाधर रखते हुए स्थिर पकड़ा गया है (यो-यो)। चकती का त्वरण और तनाव ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Mf = Mg − T और (Ma²/2)(f/a) = Ta से f = 2g/3 और T = Mg/3।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): द्रव्यमान M और लंबाई 2a की एकसमान छड़ रूक्ष फर्श पर ऊर्ध्वाधर खड़ी है और गिरती है, उसका निचला सिरा नहीं फिसलता। जब छड़ ऊर्ध्वाधर से कोण θ बनाती है तब θ̇² ज्ञात कीजिए, और दिखाइए कि अभिलंब प्रतिक्रिया (Mg/4)(3cos θ − 1)² है।

उत्तर: स्थिर सिरे के परितः ऊर्जा से (2/3)Ma²θ̇² = Mga(1 − cos θ), अतः θ̇² = 3g(1 − cos θ)/(2a) और θ̈ = (3g/(4a))sin θ; G का ऊर्ध्वाधर समीकरण R − Mg = −Ma(θ̈ sin θ + θ̇²cos θ) सरल होकर R = (Mg/4)(3cos θ − 1)² देता है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): त्रिज्या a का एकसमान गोला त्रिज्या b के एक स्थिर रूक्ष गोले के शीर्ष से विराम से बिना फिसले लुढ़कता है। दिखाइए कि जब केंद्रों को मिलाने वाली रेखा ऊर्ध्वाधर से cos⁻¹(10/17) कोण बनाती है तब वह स्थिर गोले को छोड़ देता है।

उत्तर: लुढ़कन से T = (7/10)Mv², अतः ऊर्जा से v² = (10/7)g(a + b)(1 − cos θ); त्रिज्य समीकरण R = Mg cos θ − Mv²/(a + b) तब शून्य होता है जब 17cos θ = 10।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): द्रव्यमान m और लंबाई 2a की एकसमान छड़ चिकनी क्षैतिज मेज़ पर पड़ी है और उसके केंद्र से दूरी b पर उसके लंबवत क्षैतिज आवेग J से टकराती है। विराम से आरंभ होने वाला बिंदु और उत्पन्न गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: v_G = J/m और ω = 3Jb/(ma²); G से दूसरी ओर a²/(3b) दूरी का बिंदु विराम से आरंभ होता है (यह छड़ पर तभी है जब b ≥ a/3); KE = (J²/(2m))(1 + 3b²/a²)।

1. ऑयलरी वर्णन और पदार्थीय अवकलज को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: तरल में इतने अधिक कण होते हैं कि प्रत्येक का अनुसरण करना असंभव है। इसके स्थान पर हम प्रवाह का वर्णन स्थिर बिंदुओं पर मापी गई राशि से करते हैं: वेग क्षेत्र। परंतु न्यूटन के नियम कणों पर लागू होते हैं, अतः हमें स्थिर बिंदुओं पर दिए गए क्षेत्र से गतिमान कण द्वारा अनुभव की गई परिवर्तन दर की गणना की विधि चाहिए।

शब्दों में: ऑयलरी वर्णन (Eulerian description) में q(x, y, z, t) उस कण का वेग है जो समय t पर (x, y, z) पर हो। किसी भी राशि f(x, y, z, t) (ताप, घनत्व, वेग घटक) का पदार्थीय अवकलज (material derivative) Df/Dt एक कण का अनुसरण करते हुए उसकी परिवर्तन दर है।

इसके दो भाग हैं: ∂f/∂t उस बिंदु पर स्थिर यंत्र द्वारा देखा गया परिवर्तन है (स्थानीय परिवर्तन), और q·∇f = u∂f/∂x + v∂f/∂y + w∂f/∂z कण के ऐसे स्थान पर जाने से हुआ परिवर्तन है जहाँ f का मान भिन्न है (संवहनी परिवर्तन)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक नदी Ox के अनुदिश एकसमान चाल U से बहती है, और उसका ताप T(x, t) = T₀ + αx − βt है, α, β धनात्मक अचर।

चरण 1: एक बिंदु पर स्थिर तापमापी ∂T/∂t = −β दर्ज करता है: वहाँ का जल ठंडा हो रहा है।

चरण 2: एक कण u = U से धारा के साथ चलता है, ऐसे जल में जो प्रति इकाई लंबाई α अधिक गर्म है, अतः वह प्रति इकाई समय u∂T/∂x = Uα प्राप्त करता है।

चरण 3: कण का अनुसरण करते हुए DT/Dt = ∂T/∂t + u∂T/∂x = −β + Uα।

चरण 4: व्याख्या: यदि Uα = β, तो प्रत्येक स्थिर तापमापी ठंडक दिखाता है, फिर भी प्रत्येक कण अपना ताप बनाए रखता है; प्रतिरूप बस धारा के साथ बहता जाता है।

चरण 5: वेग घटकों पर यही नियम त्वरण देता है। अपरिवर्ती प्रवाह u = x, v = −y के लिए: a_x = ∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y = 0 + x·1 + (−y)·0 = x और a_y = 0 + x·0 + (−y)(−1) = y। (2, 3) पर त्वरण (2, 3) है, यद्यपि किसी स्थिर बिंदु पर कुछ नहीं बदलता।

अ-उदाहरण (non-example): त्वरण को केवल ∂q/∂t के रूप में लेना। अपरिवर्ती प्रवाह u = x, v = −y के लिए यह शून्य देता है, जो गलत है: मूलबिंदु पर स्तब्धता बिंदु से दूर जाते हुए कण तेज होते हैं। आंशिक अवकलज ∂/∂t पदार्थीय अवकलज D/Dt नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: ẋ = u, ẏ = v, ż = w वाले कण-पथ x(t), y(t), z(t) के अनुदिश शृंखला नियम df/dt = ∂f/∂t + ẋ∂f/∂x + ẏ∂f/∂y + ż∂f/∂z = Df/Dt देता है (नीचे "यह क्यों काम करता है")।

ρ पर लगाने से यह सांतत्य समीकरण Dρ/Dt + ρ∇·q = 0 में आता है; q पर लगाने से ऑयलर समीकरण का त्वरण Dq/Dt = ∂q/∂t + (q·∇)q मिलता है; किसी सीमा के समीकरण F = 0 पर लगाने से प्रतिबंध DF/Dt = 0 मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: त्वरण संबंधी प्रश्न (उदाहरण 1 और 11), दृढ़ और मुक्त पृष्ठों पर सीमा प्रतिबंध, और अगले विषय का प्रत्येक गति समीकरण।

2. तरल गति का वर्णन

चिह्न परिपाटी (इस पूरे अध्याय में प्रयुक्त): वेग विभव φ को q = −∇φ द्वारा परिभाषित किया जाता है, अतः u = −∂φ/∂x, v = −∂φ/∂y, w = −∂φ/∂z, जैसा रायसिंघानिया और चॉर्लटन की पुस्तकों में है; जो पुस्तकें q = ∇φ लेती हैं उनमें φ का चिह्न विपरीत होता है।

लग्रांजी वर्णन: प्रत्येक कण का अनुसरण करें, r = r(r₀, t)। ऑयलरी वर्णन: वेग q = (u, v, w) को स्थिति और समय के फलन के रूप में दें।

भाव: लग्रांजी वर्णन (Lagrangian description) एक कण पर सवार कैमरे जैसा है (नदी में छोड़ा गया तैरता पिंड); ऑयलरी वर्णन (Eulerian description) स्थिर मापकों का समूह है, प्रत्येक अपने बिंदु पर वेग अंकित करता है। लगभग सभी प्रश्नों में ऑयलरी क्षेत्र q(x, y, z, t) का प्रयोग होता है।

पदार्थीय अवकलज (material derivative): D/Dt = ∂/∂t + q·∇ = ∂/∂t + u∂/∂x + v∂/∂y + w∂/∂z; त्वरण Dq/Dt = ∂q/∂t + (q·∇)q है।

यह क्यों काम करता है: (x(t), y(t), z(t)) पर स्थित कण का वेग q(x(t), y(t), z(t), t) है, जहाँ ẋ = u, ẏ = v, ż = w। शृंखला नियम से इसके परिवर्तन की दर ∂q/∂t + ẋ∂q/∂x + ẏ∂q/∂y + ż∂q/∂z = ∂q/∂t + (q·∇)q है।

भाव: ∂q/∂t स्थिर मापक द्वारा देखा गया परिवर्तन है; (q·∇)q भिन्न वेग वाले स्थान पर पहुँचने से होने वाला संवहनी (convective) परिवर्तन है। अतः स्थायी प्रवाह भी अपने कणों को त्वरित कर सकता है: u = x, v = −y स्थायी है, फिर भी Dq/Dt = (x, y) ≠ 0।

स्थायी प्रवाह: प्रत्येक स्थिर बिंदु पर ∂/∂t = 0; एकसमान प्रवाह: दिए समय पर प्रत्येक बिंदु पर q समान।

भाव: स्थायित्व प्रेक्षक पर निर्भर करता है: स्थिर तरल में एकसमान गति से चलते पिंड के चारों ओर का प्रवाह स्थिर प्रेक्षक के लिए अस्थायी है परंतु पिंड के साथ चलने वाले अक्षों में स्थायी है, इसीलिए ऐसे प्रश्न प्रायः पिंड के निर्देश तंत्र में हल किए जाते हैं।

उदाहरण 1: u = x²t, v = −2xyt के लिए दिखाइए कि प्रवाह एक संभव असंपीड्य प्रवाह है, और t = 1 पर (1, 1) पर त्वरण ज्ञात कीजिए।

∂u/∂x + ∂v/∂y = 2xt − 2xt = 0।

a_x = ∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y = x² + 2x³t², a_y = ∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y = −2xy − 2x²yt² + 4x²yt² = −2xy + 2x²yt²।

(1, 1), t = 1 पर: त्वरण (3, 0) है, जिसका परिमाण 3 है।

3. धारारेखाओं और कण-पथों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रवाह की कल्पना के लिए हम वक्र खींचते हैं, और ये दो स्वाभाविक प्रकार के हैं: एक क्षण पर गति की दिशाओं का चित्र, और कणों के वास्तविक मार्ग। परिवर्ती प्रवाह में ये भिन्न होते हैं, और परीक्षक जाँचते हैं कि आप जानते हैं कि कौन-सा समीकरण क्या देता है।

शब्दों में: स्थिर क्षण t₀ पर धारारेखा (streamline) वह वक्र है जिसकी प्रत्येक बिंदु पर स्पर्श रेखा वहाँ का वेग q(x, y, z, t₀) है: t को अचर मानकर dx/u = dy/v = dz/w हल करें।

कण-पथ (path line) एक कण का प्रक्षेप-पथ है: t को चर मानकर, कण की प्रारंभिक स्थिति से आरंभ करके, dx/dt = u(x, y, z, t), dy/dt = v, dz/dt = w हल करें। लकीर रेखा (streak line) एक क्षण पर उन सभी कणों को जोड़ती है जो एक स्थिर बिंदु से गुज़र चुके हैं (रंग की एक रेखा)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: परिवर्ती समतल प्रवाह u = 1, v = t।

चरण 1 (समय t₀ पर धारारेखाएँ): dx/1 = dy/t₀, अतः y = t₀x + c: ढाल t₀ की सरल रेखाएँ। t₀ = 0 पर वे क्षैतिज हैं; t₀ = 1 पर वे Ox से 45° बनाती हैं।

चरण 2 (t = 0 पर मूलबिंदु वाले कण का कण-पथ): dx/dt = 1 से x = t, और dy/dt = t से y = t²/2।

चरण 3: t का विलोपन करने पर पथ परवलय y = x²/2 है।

चरण 4: तुलना करें: t = 0 पर O वाला कण धारारेखा y = 0 के अनुदिश चलता है (दोनों का ढाल 0), परंतु बाद में धारारेखाएँ घूम जाती हैं जबकि कण का पथ धीरे-धीरे मुड़ता है: दोनों कुल भिन्न हैं क्योंकि वेग की दिशा समय के साथ बदलती है।

चरण 5 (O से लकीर रेखा): समय τ पर O से छोड़ा गया कण समय t पर x = t − τ, y = (t² − τ²)/2 पर है। τ = t − x का विलोपन y = tx − x²/2 देता है, एक तीसरा, भिन्न वक्र (t = 1 पर y = x − x²/2)।

अ-उदाहरण (non-example): u = 1, v = t के लिए dy/dx = v/u = t लिखकर फिर t = x रखना (क्योंकि कण के अनुदिश x = t) y = x²/2 देता है, जो कण-पथ है, धारारेखा नहीं: t को बदलने दिया गया। धारारेखा समीकरणों में t स्थिर रखना अनिवार्य है।

आगे बढ़ते हुए: अपरिवर्ती प्रवाह में दिशा क्षेत्र नहीं बदलता, अतः कण-पथ, धारारेखाएँ और लकीर रेखाएँ संपाती होती हैं; विलोम असत्य है, क्योंकि जिस प्रवाह में केवल चाल समय के साथ बदलती है उसकी धारारेखाएँ वही रहती हैं (नीचे "यह क्यों काम करता है")।

त्रिविम में dx/u = dy/v = dz/w के दो स्वतंत्र समाकल F₁ = c₁, F₂ = c₂ चाहिए, जो प्रायः गुणकों से मिलते हैं, और ध्रुवी निर्देशांकों में समीकरण dr/q_r = r dθ/q_θ बन जाते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: 10 अंकों के मानक भाग "धारारेखाएँ और कण-पथ ज्ञात कीजिए" (उदाहरण 2, 3 और 8 से 10), और भ्रमिल रेखाएँ dx/ω₁ = dy/ω₂ = dz/ω₃, जो ठीक इसी प्रकार मिलती हैं।

4. धारारेखाएँ, कण-पथ और लकीर रेखाएँ

धारारेखा (streamline): किसी स्थिर क्षण पर प्रत्येक बिंदु पर वेग की स्पर्शी वक्र: t स्थिर रखकर dx/u = dy/v = dz/w।

कण-पथ (path line): कण का वास्तविक पथ: dx/dt = u(x, y, z, t), dy/dt = v, dz/dt = w, कण की प्रारंभिक स्थिति से समाकलित।

लकीर रेखा (streak line): किसी स्थिर बिंदु से गुजर चुके सभी कणों का दिए समय पर बिंदुपथ (किसी बिंदु से छोड़ा गया रंजक)।

भाव: धारारेखा एक क्षण पर दिशा क्षेत्र का छायाचित्र है; कण-पथ एक कण का दीर्घ-अनावरण छायाचित्र है; लकीर रेखा चिमनी से निकलते धुएँ का छायाचित्र है। अस्थायी प्रवाह में ये वक्रों के तीन भिन्न कुल हैं (उदाहरण 3)।

स्थायी प्रवाह में धारारेखाएँ, कण-पथ और लकीर रेखाएँ संपाती होती हैं।

यह क्यों काम करता है: स्थायी प्रवाह में कण-पथ समीकरणों dx/dt = u(x, y, z) का दिशा क्षेत्र dx/u = dy/v = dz/w वाला ही है, अतः उनके हल वक्र संपाती हैं; तब किसी स्थिर बिंदु से गुजरने वाला प्रत्येक कण उसी पथ पर चलता है, अतः लकीर रेखा भी वही पथ है।

विलोम असत्य है: q = f(t)(x, −y) अस्थायी है, परंतु इसकी दिशा कभी नहीं बदलती, अतः धारारेखाएँ और कण-पथ वही वक्र xy = अचर हैं।

उदाहरण 2 (स्थायी): u = x, v = −y: dx/x = dy/(−y) से धारारेखाएँ xy = अचर; कण-पथ x = x₀e^t, y = y₀e^−t उन्हीं अतिपरवलयों पर स्थित हैं।

उदाहरण 3 (अस्थायी): u = x/(1 + t), v = y: समय t पर धारारेखाएँ y = Cx^{1 + t} हैं; (x₀, y₀) से कण-पथ x = x₀(1 + t), y = y₀e^t, अर्थात् y = y₀e^{x/x₀ − 1} है।

t = 0 पर (x₀, y₀) से जाने वाली धारारेखा सरल रेखा y = (y₀/x₀)x है, जो कण-पथ से भिन्न है।

5. सांतत्य समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: स्रोतों रहित प्रवाह में द्रव्यमान न बनता है न नष्ट होता है। यह एक भौतिक तथ्य सीमित करता है कि कौन-से वेग क्षेत्र संभव हैं, और हमें यह u, v, w और ρ में एक समीकरण के रूप में चाहिए।

शब्दों में: तरल में कोई स्थिर बंद पृष्ठ लें। भीतर का द्रव्यमान केवल इसलिए बदल सकता है कि तरल पृष्ठ को पार करता है। समीकरण ∂ρ/∂t + ∇·(ρq) = 0 प्रति इकाई आयतन यही द्रव्यमान लेखा है: ∇·(ρq) वह शुद्ध दर है जिससे द्रव्यमान इकाई आयतन से बाहर बहता है।

द्रव (असंपीड्य तरल) के लिए यह ∇·q = 0 बन जाता है: किसी भी छोटे क्षेत्र से आयतन का कोई शुद्ध बहिर्प्रवाह नहीं, जो भीतर जाता है वही बाहर आता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: अचर अनुप्रस्थ काट A की नली में Ox के अनुदिश वेग u(x) का प्रवाह, घनत्व अचर।

चरण 1: x और x + δx के बीच की परत लें। x वाले फलक से द्रव्यमान ρuA की दर से प्रवेश करता है।

चरण 2: x + δx वाले फलक से द्रव्यमान प्रथम कोटि तक ρ(u + (du/dx)δx)A की दर से निकलता है।

चरण 3: शुद्ध बहिर्प्रवाह ρ(du/dx)δx A = ρ(du/dx)δV है।

चरण 4: तरल असंपीड्य है और परत द्रव्यमान न पा सकती है न खो सकती है, अतः du/dx = 0: अचर काट की नली में चाल सर्वत्र समान है।

चरण 5: त्रिविम में छोटे घनाभ के फलकों के तीन युग्म अपने शुद्ध बहिर्प्रवाह जोड़ते हैं, जिससे ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 मिलता है।

चरण 6: परीक्षण: u = x, v = y, w = −2z से 1 + 1 − 2 = 0, द्रव की संभव गति; u = x, v = y, w = z से 3 ≠ 0, जिसके लिए प्रत्येक बिंदु पर तरल का निर्माण चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): समतल ध्रुवी क्षेत्र q_r = 1/r, q_θ = 0 को कार्तीय-जैसे सूत्र ∂q_r/∂r = −1/r² ≠ 0 से जाँचने पर वह असंभव लगता है। सही ध्रुवी अपसरण (1/r)∂(rq_r)/∂r = (1/r)∂(1)/∂r = 0 है, अतः यह संभव प्रवाह है, एक रेखीय स्रोत; त्रुटि ध्रुवी घटकों के लिए कार्तीय रूप लेने की है।

आगे बढ़ते हुए: स्थिर आयतन V के लिए d/dt∭ρ dV, बहिर्प्रवाह ∬ρq·n dS के ऋण के बराबर है, और गाउस प्रमेय बहिर्प्रवाह को ∭∇·(ρq) dV में बदलता है; चूँकि V स्वेच्छ है, समाकल्य शून्य होता है (नीचे "यह क्यों काम करता है")।

∇·(ρq) = q·∇ρ + ρ∇·q का प्रसार पदार्थीय रूप Dρ/Dt + ρ∇·q = 0 देता है। वक्ररेखीय निर्देशांकों में क्षेत्रफल गुणक r और r²sin θ अवकलजों के भीतर आते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: "क्या यह द्रव की संभव गति है?", लुप्त वेग घटक ज्ञात करना (उदाहरण 11), धारा फलन का अस्तित्व सिद्ध करना (सांतत्य ठीक उसका यथातथता प्रतिबंध है), और स्वयं व्युत्पत्ति, जो 15 अंकों का बारंबार पूछा जाने वाला सैद्धांतिक प्रश्न है।

6. सांतत्य समीकरण

किसी भी स्थिर आयतन के लिए द्रव्यमान संरक्षण से ∂ρ/∂t + ∇·(ρq) = 0, अथवा Dρ/Dt + ρ∇·q = 0।

यह क्यों काम करता है: पृष्ठ S और बहिर्मुखी अभिलंब n वाले स्थिर आयतन V के लिए भीतर का द्रव्यमान बहिर्वाह की दर से घटता है: गाउस के अपसरण प्रमेय से d/dt∭_Vρ dV = −∬_Sρq·n dS = −∭_V∇·(ρq) dV।

अतः प्रत्येक V के लिए ∭_V[∂ρ/∂t + ∇·(ρq)] dV = 0, और जिस संतत समाकल्य का प्रत्येक आयतन पर समाकल शून्य हो, वह स्वयं शून्य होना चाहिए। ∇·(ρq) = q·∇ρ + ρ∇·q प्रसारित करने पर दूसरा रूप मिलता है।

भाव: ∇·q तरल अवयव के प्रति इकाई आयतन प्रसार की दर (1/δV)D(δV)/Dt है। असंपीड्य (incompressible) का अर्थ है कि प्रत्येक अवयव अपना आयतन बनाए रखता है, Dρ/Dt = 0; इसका अर्थ यह नहीं कि ρ सर्वत्र समान है (परतदार महासागर असंपीड्य है परंतु समांग नहीं)।

असंपीड्य तरल (Dρ/Dt = 0): ∇·q = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0।

बेलनीय (r, θ, z): ∂ρ/∂t + (1/r)∂(ρrq_r)/∂r + (1/r)∂(ρq_θ)/∂θ + ∂(ρq_z)/∂z = 0।

गोलीय (r, θ, φ): ∂ρ/∂t + (1/r²)∂(ρr²q_r)/∂r + (1/(r sin θ))∂(ρq_θ sin θ)/∂θ + (1/(r sin θ))∂(ρq_φ)/∂φ = 0।

भाव: गुणक r और r² sin θ निर्देशांक पृष्ठों के क्षेत्रफल गुणक हैं: बिंदु स्रोत से स्थायी त्रिज्य प्रवाह के लिए प्रत्येक गोले से अभिवाह 4πr²q_r समान है, अतः (1/r²)∂(r²q_r)/∂r = 0 से q_r ∝ 1/r²।

परिसीमा प्रतिबंध: सदैव उन्हीं तरल कणों से बना पृष्ठ F(x, y, z, t) = 0 (जैसे दृढ़ या मुक्त परिसीमा) DF/Dt = 0 संतुष्ट करता है, अतः तरल का अभिलंब वेग पृष्ठ के अभिलंब वेग के बराबर होता है।

यह क्यों काम करता है: पृष्ठ पर स्थित कण उसी पर रहता है, अतः सभी t के लिए F(x(t), y(t), z(t), t) = 0 और DF/Dt = ∂F/∂t + q·∇F = 0। |∇F| से भाग देने पर q·n = −(∂F/∂t)/|∇F|, जो स्वयं पृष्ठ की अभिलंब चाल है।

स्थिर गोले r = a के लिए इससे r = a पर q_r = 0 मिलता है; जिस गोले का केंद्र Ox के अनुदिश वेग U से चलता है, उसके लिए F = (x − Ut)² + y² + z² − a² से q·n = U n_x।

7. वेग विभव और धारा फलन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वेग क्षेत्र के तीन घटक होते हैं। यदि एक अदिश फलन उसका वर्णन कर सके तो प्रश्न बहुत सरल हो जाएँ। दो स्थितियाँ यह संभव बनाती हैं: भ्रमिलता रहित प्रवाह का वेग विभव φ होता है, और द्विविमीय असंपीड्य प्रवाह का धारा फलन ψ होता है। जब दोनों हों, φ + iψ एक विश्लेषिक फलन है और सम्मिश्र विश्लेषण काम सँभाल लेता है।

शब्दों में: भ्रमिलता (vorticity) ω = ∇ × q तरल अवयवों के स्थानीय घूर्णन को मापती है, और ω = 0 होने पर प्रवाह अघूर्णी है। तब, सरलतः संबद्ध क्षेत्र में, एक फलन φ होता है जिसके लिए q = −∇φ (इस अध्याय की परिपाटी: तरल उच्च से निम्न φ की ओर बहता है, जैसे ऊष्मा उच्च से निम्न ताप की ओर)।

समतल असंपीड्य प्रवाह के लिए धारा फलन (stream function) ψ, u = −∂ψ/∂y, v = ∂ψ/∂x से परिभाषित है; यह प्रत्येक धारारेखा के अनुदिश अचर है, और दो धारारेखाओं पर इसके मानों का अंतर उनके बीच का आयतन अभिवाह है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: समतल प्रवाह u = 2x, v = −2y।

चरण 1 (सांतत्य): ∂u/∂x + ∂v/∂y = 2 − 2 = 0, अतः ψ विद्यमान है।

चरण 2 (भ्रमिलता): ∂v/∂x − ∂u/∂y = 0 − 0 = 0, अतः φ विद्यमान है।

चरण 3 (φ): −∂φ/∂x = 2x से φ = −x² + f(y); फिर −∂φ/∂y = −f′(y), v = −2y के बराबर होना चाहिए, अतः f = y² और φ = y² − x²।

चरण 4 (ψ): ∂ψ/∂x = v = −2y से ψ = −2xy + g(y); फिर −∂ψ/∂y = 2x − g′(y), u = 2x के बराबर होना चाहिए, अतः g अचर है और ψ = −2xy।

चरण 5 (जाँच): w = φ + iψ = −(x² − y² + 2ixy) = −z², एक विश्लेषिक फलन, और dw/dz = −2z = −2x − 2iy, जो अपेक्षानुसार −u + iv है।

चरण 6: धारारेखाएँ xy = अचर और समविभव रेखाएँ x² − y² = अचर समकोणीय अतिपरवलयों के दो कुल हैं जो परस्पर समकोण पर काटते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): अपरूपण प्रवाह u = y, v = 0 सांतत्य को संतुष्ट करता है, अतः इसका धारा फलन ψ = −y²/2 है; परंतु ∂v/∂x − ∂u/∂y = −1 ≠ 0, अतः इसका कोई वेग विभव नहीं। वस्तुतः −∂φ/∂x = y से φ = −xy + f(y), और तब −∂φ/∂y = x − f′(y) को प्रत्येक x के लिए शून्य होना पड़ेगा, जो असंभव है।

आगे बढ़ते हुए: q·dr = −dφ, अतः φ(P) = −∫q·dr, जो स्टोक्स प्रमेय से ठीक तब पथ-स्वतंत्र है जब सरलतः संबद्ध क्षेत्र में ∇ × q = 0। तब सांतत्य लाप्लास समीकरण ∇²φ = 0 देता है।

द्विविम में φ और ψ के परिभाषी संबंध कौशी–रीमान समीकरण हैं, ∇²ψ भ्रमिलता के बराबर है, और वक्रों के दोनों कुल लांबिक हैं (सब नीचे "यह क्यों काम करता है" में)।

कहाँ प्रयोग होता है: φ और ψ ज्ञात करना (उदाहरण 4 से 13), मिल्ने-थॉमसन विधि, और द्विविमीय गति वाले विषय का सम्मिश्र विभव; लाप्लास समीकरण इस विषय को आंशिक अवकल समीकरण अध्याय से जोड़ता है।

8. भ्रमिलता और विभव प्रवाह

भ्रमिलता (vorticity) ω = ∇ × q; यदि ω = 0 तो प्रवाह अघूर्णी (irrotational) है।

भाव: भ्रमिलता तरल अवयव के स्थानीय कोणीय वेग की दोगुनी है: दृढ़ घूर्णन u = −Ωy, v = Ωx के लिए ω = 2Ωk। इसका संबंध धारारेखाओं की आकृति से नहीं है: रेखीय भँवर q = k/r (उदाहरण 5) की धारारेखाएँ वृत्तीय हैं और ω = 0, जबकि अपरूपण प्रवाह u = y, v = 0 की धारारेखाएँ सीधी हैं और ω = −k ≠ 0।

सरलतः संबद्ध क्षेत्र में अघूर्णी प्रवाह (∇ × q = 0) का वेग विभव (velocity potential) φ होता है जहाँ q = −∇φ, क्योंकि प्रवणता का कर्ल शून्य होता है।

यह क्यों काम करता है: q = −∇φ के साथ q·dr = −dφ, अतः φ(P) = −∫_O^Pq·dr। स्टोक्स प्रमेय से यह समाकल पथ से स्वतंत्र ठीक तब है जब ∇ × q = 0 हो और क्षेत्र का प्रत्येक बंद वक्र उसी के भीतर किसी पृष्ठ को परिबद्ध करे (सरल संबद्धता)।

बेलन के बाहर यह विफल होता है: रेखीय भँवर के लिए φ = −kθ, जो बेलन के प्रत्येक चक्कर में −2πk से बदलता है, अतः φ बहुमानी है।

असंपीड्य अघूर्णी प्रवाह में ∇·q = 0 से लाप्लास समीकरण ∇²φ = 0 मिलता है।

धारा फलन (stream function) (2D असंपीड्य): u = −∂ψ/∂y, v = ∂ψ/∂x सांतत्य को सर्वथा संतुष्ट करते हैं और q = −∇φ से सुसंगत हैं, जिससे φ + iψ विश्लेषिक है; ψ धारारेखाओं के अनुदिश अचर है, और दो धारारेखाओं के बीच आयतन अभिवाह परिमाण में उनके ψ मानों के अंतर के बराबर है।

यह क्यों काम करता है: v dx − u dy पूर्ण अवकल dψ ठीक तब है जब ∂v/∂y = ∂(−u)/∂x, अर्थात ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0, जो सांतत्य है; तब ψ_x = v और ψ_y = −u। धारारेखा के अनुदिश dx/u = dy/v, अतः v dx − u dy = 0 और dψ = 0।

A से B तक किसी वक्र के पार अभिवाह, n = (dy, −dx)/ds के साथ, ∫(u dy − v dx) = −∫_A^Bdψ = ψ(A) − ψ(B) है।

अघूर्णी 2D प्रवाह में ψ भी प्रसंवादी है, और वक्र φ = अचर तथा ψ = अचर परस्पर लंबवत काटते हैं।

यह क्यों काम करता है: ∇²ψ = ψ_xx + ψ_yy = ∂v/∂x − ∂u/∂y, जो भ्रमिलता है, अतः ψ ठीक तब प्रसंवादी है जब प्रवाह अघूर्णी हो। लांबिकता: कौशी–रीमान समीकरणों से ∇φ·∇ψ = φ_xψ_x + φ_yψ_y = ψ_yψ_x − ψ_xψ_y = 0।

उदाहरण 4: u = x, v = −y के लिए ∇·q = 0 और ω = 0; −∂φ/∂x = x, −∂φ/∂y = −y से φ = (y² − x²)/2, तथा ∂ψ/∂x = −y, −∂ψ/∂y = x से ψ = −xy, अतः w = φ + iψ = −z²/2: समकोणीय कोने में प्रवाह।

उदाहरण 5: q = (−ky/(x² + y²), kx/(x² + y²), 0) के लिए ∇·q = 0 और यह मूलबिंदु को छोड़कर अघूर्णी है; φ = −kθ, ψ = k log r और w = ik log z, वामावर्त परिसंचरण 2πk वाला रेखीय भँवर (line vortex)।

उदाहरण 6: दिखाइए कि u = −2xyz/(x² + y²)², v = (x² − y²)z/(x² + y²)², w = y/(x² + y²) असंपीड्य तरल की एक संभव अघूर्णी गति है, और φ ज्ञात कीजिए।

φ = −yz/(x² + y²) लें: −∂φ/∂x = −2xyz/(x² + y²)² = u, −∂φ/∂y = z(x² − y²)/(x² + y²)² = v, −∂φ/∂z = y/(x² + y²) = w।

अतः q = −∇φ और जहाँ भी x² + y² ≠ 0 है वहाँ गति अघूर्णी है, क्योंकि curl grad = 0।

∇·q = −∇²φ, और φ = −z · y/(x² + y²), z और एक 2D प्रसंवादी फलन (1/z̄ का काल्पनिक भाग) का गुणनफल है, अतः ∇²φ = 0 और गति सांतत्य को संतुष्ट करती है।

9. विधि का चयन

यदि पूछा गया है कि गति किसी द्रव के लिए संभव है या नहीं → जिन निर्देशांकों में q दिया है उनके अपसरण सूत्र से ∇·q = 0 जाँचें; गैस के लिए ρ सहित पूर्ण सांतत्य समीकरण लें।

यदि पूछा गया है कि गति अघूर्णी है या नहीं, या φ ज्ञात करना है → ∇ × q निकालें; यदि यह शून्य है तो −∂φ/∂x = u का समाकलन करें और स्वेच्छ फलन v और w से निर्धारित करें।

यदि φ दिया है → q = −∇φ, और यह द्रव की संभव गति ठीक तब है जब ∇²φ = 0।

यदि द्विविम में φ दिया है और ψ चाहिए → ∂ψ/∂y = ∂φ/∂x, ∂ψ/∂x = −∂φ/∂y लें, या मिल्ने-थॉमसन विधि: w′(z) = φ_x(z, 0) − iφ_y(z, 0), समाकलन करें, और काल्पनिक भाग लें।

यदि धारारेखाएँ चाहिए → t को स्थिर रखकर dx/u = dy/v = dz/w हल करें (ध्रुवी में dr/q_r = r dθ/q_θ); कण-पथों के लिए t को परिवर्ती रखकर dx/dt = u, dy/dt = v का समाकलन करें।

यदि त्वरण चाहिए → संवहनी पदों सहित Dq/Dt; समतल ध्रुवी में घटक Dq_r/Dt − q_θ²/r और Dq_θ/Dt + q_rq_θ/r हैं।

10. सामान्य गलतियाँ

चिह्न परिपाटियों का मिश्रण। यह अध्याय q = −∇φ लेता है; q = ∇φ वाली पुस्तक से सूत्र उतारने पर φ और ψ का चिह्न बदल जाता है। प्रत्येक उत्तर के आरंभ में परिपाटी लिखें।

ध्रुवी घटकों के लिए कार्तीय अपसरण। ध्रुवी में ∇·q = (1/r)∂(rq_r)/∂r + (1/r)∂q_θ/∂θ है, ∂q_r/∂r + ∂q_θ/∂θ नहीं।

धारारेखा समीकरणों में t को परिवर्ती लेना। अस्थायी प्रवाह में इससे धारारेखाएँ नहीं, कण-पथ मिलते हैं।

स्वेच्छ फलन छोड़ देना। ∂w/∂z का z में समाकलन + f(x, y) देता है; ∂ψ/∂y से ψ निकालने पर + g(x) आता है, जिसे फिर दूसरे समीकरण से निर्धारित करना होता है (उदाहरण 11 और 13)।

चित्र देखकर घूर्णन का निर्णय। वृत्तीय धारारेखाओं से भ्रमिलता सिद्ध नहीं होती, और सीधी धारारेखाओं से उसका अभाव सिद्ध नहीं होता; ∇ × q निकालें।

विचित्रता के परितः शून्य परिसंचरण मानना। भँवर या बेलन के अक्ष को घेरने वाले वक्र के परितः Γ शून्येतर हो सकता है, यद्यपि तरल में ∇ × q = 0, क्योंकि वहाँ φ बहुमानी है।

संबंध: सांतत्य अपसरण प्रमेय है और परिसंचरण स्टोक्स प्रमेय (सदिश विश्लेषण); अघूर्णी प्रवाह संरक्षी क्षेत्र है, और φ का अस्तित्व उसी पूर्णता परीक्षण से है जो संरक्षी बल के लिए है।

संबंध: w = φ + iψ विश्लेषिक है, अतः φ और ψ प्रसंवादी संयुग्मी हैं जो कौशी–रीमान समीकरणों या मिल्ने-थॉमसन विधि से मिलते हैं (सम्मिश्र विश्लेषण); धारारेखा समीकरण dx/u = dy/v = dz/w प्रथम कोटि रैखिक आंशिक अवकल समीकरण के लग्रांज सहायक समीकरण हैं, जो उन्हीं गुणकों से हल होते हैं (आंशिक अवकल समीकरण अध्याय)।

11. त्रिविमीय धारा रेखाएँ, परिसंचरण और विभव

त्रिविमीय धारा रेखाएँ: dx/u = dy/v = dz/w को दो स्वतंत्र समाकलों F₁ = c₁, F₂ = c₂ के लिए हल करें; धारा रेखाएँ इनके प्रतिच्छेद हैं। गोलीय ध्रुवी निर्देशांकों में dr/q_r = r dθ/q_θ = r sin θ dφ/q_φ लें।

बंद वक्र C के परितः परिसंचरण (circulation): Γ = ∮_Cq·dr = ∬_S(∇ × q)·n dS (स्टोक्स प्रमेय); यदि C पर एकमानी φ के साथ q = −∇φ हो, तो Γ = 0।

भाव: परिसंचरण किसी पाश के परितः ले जाए गए कुल घुमाव को मापता है। रेखीय भँवर के लिए अक्ष को घेरने वाले प्रत्येक पाश के परितः Γ = 2πk, यद्यपि तरल के प्रत्येक बिंदु पर ω = 0; स्टोक्स प्रमेय का खंडन नहीं होता, क्योंकि ऐसा पाश पूर्णतः तरल में स्थित किसी पृष्ठ को परिबद्ध नहीं करता।

अक्षसममित प्रवाह (q_φ = 0) के लिए गोलीय ध्रुवी निर्देशांकों में कर्ल: एकमात्र घटक (1/r)[∂(rq_θ)/∂r − ∂q_r/∂θ] है।

φ ज्ञात करना: −∂φ/∂x = u का x में समाकलन करें, फिर अन्य घटकों से स्वेच्छ फलन निर्धारित करें। द्विविम में ψ ज्ञात करना: ∂ψ/∂y = ∂φ/∂x और ∂ψ/∂x = −∂φ/∂y लें (w = φ + iψ के कौशी–रीमान समीकरण)।

उदाहरण 7 (UPSC 2016, 10 अंक): क्या वेग q⃗ = [z − 2x/r, 2y − 3z − 2y/r, x − 3y − 2z/r] के द्रव की भ्रमिलता होती है, जहाँ q⃗(u, v, w) कार्तीय फ्रेम में वेग है तथा r⃗ = (x, y, z) एवं r² = x² + y² + z² हैं? वृत्त x² + y² = 9, z = 0 में परिसंचरण (circulation) क्या है?

q = (z, 2y − 3z, x − 3y) − 2r⃗/r लिखें; दूसरा भाग −2∇r है, जिसका कर्ल शून्य है।

पहले भाग के लिए कर्ल = (∂w/∂y − ∂v/∂z, ∂u/∂z − ∂w/∂x, ∂v/∂x − ∂u/∂y) = (−3 + 3, 1 − 1, 0 − 0) = 0, अतः r ≠ 0 के लिए ∇ × q = 0।

वास्तव में q = −∇φ, जहाँ φ = 2r − xz − y² + 3yz, जो वृत्त x² + y² = 9, z = 0 (जहाँ r = 3 ≠ 0) पर एकमानी है, अतः Γ = −∮dφ = 0।

उत्तर: द्रव में भ्रमिलता नहीं है (गति अघूर्णी है), और वृत्त के परितः परिसंचरण 0 है।

उदाहरण 8 (UPSC 2017, 15 अंक): यदि (x, y, z) बिन्दु पर असंपीड्य तरल का वेग
(3xz/r⁵, 3yz/r⁵, (3z² − r²)/r⁵), r² = x² + y² + z²
के द्वारा दत्त है, तो सिद्ध कीजिए कि द्रव गति सम्भव है तथा वेग विभव z/r³ है। और आगे, धारा-रेखाओं का भी निर्धारण कीजिए।

φ = z/r³ के साथ: −∂φ/∂x = 3xz/r⁵, −∂φ/∂y = 3yz/r⁵, −∂φ/∂z = −1/r³ + 3z²/r⁵ = (3z² − r²)/r⁵, जो u, v, w हैं; अतः q = −∇φ।

∇·q = −∇²φ = 0, क्योंकि z/r³ = −∂(1/r)/∂z और r ≠ 0 के लिए 1/r प्रसंवादी है; अतः द्रव गति संभव (और अघूर्णी) है।

धारा रेखाएँ: dx/(3xz) = dy/(3yz) से y = c₁x (Oz से जाने वाले तल); गोलीय ध्रुवी निर्देशांकों में φ = cos θ/r², q_r = 2cos θ/r³, q_θ = sin θ/r³, अतः dr/(2cos θ) = r dθ/sin θ और r = c₂sin²θ।

उत्तर: φ = z/r³ (Oz के अनुदिश द्विक); धारा रेखाएँ y = c₁x, (x² + y² + z²)³ = c(x² + y²)²।

उदाहरण 9 (UPSC 2022, 10 अंक): किसी असंपीड्य तरल के गोलीय ध्रुवी निर्देशांकों (r, θ, ψ) में वेग-घटक (2Mr⁻³ cos θ, Mr⁻² sin θ, 0) हैं, जहाँ M एक स्थिरांक है। दर्शाइये कि वेग, विभव प्रकार का है। वेग विभव तथा धारारेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिये।

[छपे रूप में q_θ = Mr⁻²sin θ, q_r से विमीय रूप से असंगत है और सांतत्य को संतुष्ट नहीं करता; अभिप्रेत क्षेत्र (2Mr⁻³cos θ, Mr⁻³sin θ, 0) हल किया गया है।]

सांतत्य: (1/r²)∂(r²q_r)/∂r + (1/(r sin θ))∂(q_θsin θ)/∂θ = −2M cos θ/r⁴ + 2M cos θ/r⁴ = 0।

कर्ल: (1/r)[∂(rq_θ)/∂r − ∂q_r/∂θ] = (1/r)[−2M sin θ/r³ + 2M sin θ/r³] = 0, अतः वेग विभव प्रकार का है; −∂φ/∂r = 2M cos θ/r³, −(1/r)∂φ/∂θ = M sin θ/r³ से φ = M cos θ/r²।

धारा रेखाएँ: dr/(2cos θ) = r dθ/sin θ, अतः dr/r = 2cot θ dθ और r = c sin²θ, जो तलों ψ = अचर में स्थित हैं।

उत्तर: φ = M cos θ/r² (त्रिविमीय द्विक); धारा रेखाएँ r = c sin²θ, ψ = अचर।

उदाहरण 10 (UPSC 2024, 10 अंक): एक प्रवाह का वेग विभव φ,
φ = (1/2)(x² + y² − 2z²)
के द्वारा दिया गया है। धारा रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

q = −∇φ = (−x, −y, 2z), और ∇²φ = 1 + 1 − 2 = 0, अतः यह संभव असंपीड्य प्रवाह है।

dx/(−x) = dy/(−y) = dz/(2z): पहले युग्म से y = Ax; पहले और तीसरे से −2 log x = log z + अचर, अर्थात x²z = B।

उत्तर: धारा रेखाएँ वक्र y = Ax, x²z = B हैं (समतुल्यतः प्रत्येक तल y = Ax में (x² + y²)z = अचर)।

12. सांतत्य और धारा-फलन संबंधी प्रश्न

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 10 अंक): एक असंपीड्य तरल प्रवाह के लिए वेग (u, v, w) के दो घटक u = x² + 2y² + 3z² व v = x²y − y²z + zx दिए गए हैं। वेग के तीसरे घटक w का निर्धारण कीजिए ताकि वे सांतत्य समीकरण को सन्तुष्ट करें। त्वरण के z-घटक को भी ज्ञात कीजिए।

सांतत्य: ∂w/∂z = −(∂u/∂x + ∂v/∂y) = −(2x + x² − 2yz), अतः w = −2xz − x²z + yz² + f(x, y); सबसे सरल चयन f = 0 लें।

प्रवाह अपरिवर्ती है, अतः a_z = Dw/Dt = u ∂w/∂x + v ∂w/∂y + w ∂w/∂z, जहाँ ∂w/∂x = −2z(1 + x), ∂w/∂y = z², ∂w/∂z = 2yz − 2x − x²।

उत्तर: w = yz² − 2xz − x²z (+ f(x, y)); a_z = −2z(1 + x)(x² + 2y² + 3z²) + z²(x²y − y²z + zx) + (yz² − 2xz − x²z)(2yz − 2x − x²)।

उदाहरण 12 (UPSC 2018, 15 अंक): एक द्विविमीय विभव-प्रवाह के लिए वेग विभव φ = x²y − xy² + (1/3)(x³ − y³) के द्वारा दिया गया है। x व y दिशाओं के अनुदिश वेग घटकों का निर्धारण कीजिए। धारा-फलन ψ का भी निर्धारण कीजिए और जांच कीजिए कि क्या φ एक सम्भव प्रवाह को निरूपित करता है अथवा नहीं।

u = −∂φ/∂x = −(x² + 2xy − y²), v = −∂φ/∂y = −(x² − 2xy − y²)।

∇²φ = (2x + 2y) + (−2x − 2y) = 0, अतः ∇·q = 0 और φ एक संभव (असंपीड्य, अघूर्णी) प्रवाह को निरूपित करता है।

∂ψ/∂y = ∂φ/∂x = x² + 2xy − y² से ψ = x²y + xy² − y³/3 + g(x); तब ∂ψ/∂x = 2xy + y² + g′(x) = −∂φ/∂y = −x² + 2xy + y², अतः g = −x³/3।

उत्तर: u = −(x² + 2xy − y²), v = 2xy + y² − x²; ψ = x²y + xy² − (x³ + y³)/3; प्रवाह संभव है। (परिपाटी q = ∇φ में u, v और ψ का चिह्न बदल जाता है।)

उदाहरण 13 (UPSC 2020, 15 अंक): एक द्विविमीय द्रव्य-प्रवाह का वेग विभव φ(x, y) = xy + x² − y² द्वारा दिया गया है। इस प्रवाह का धारा-फलन ज्ञात कीजिए।

∇²φ = 2 − 2 = 0, अतः धारा फलन विद्यमान है; ∂ψ/∂y = ∂φ/∂x = y + 2x और ∂ψ/∂x = −∂φ/∂y = 2y − x।

पहले से ψ = y²/2 + 2xy + g(x); तब दूसरे से 2y + g′(x) = 2y − x, अतः g = −x²/2।

उत्तर: ψ = 2xy + (y² − x²)/2 + अचर; वास्तव में w = φ + iψ = (1 − i/2)z²।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): क्या u = x² − y², v = −2xy, w = 0 द्रव की संभव गति है? क्या यह अघूर्णी है?

उत्तर: ∇·q = 2x − 2x = 0, अतः संभव है; ∂v/∂x − ∂u/∂y = −2y + 2y = 0, अतः अघूर्णी है।

अभ्यास 2 (मूल): समतल प्रवाह u = y, v = x की धारारेखाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dx/y = dy/x से x dx = y dy, अतः x² − y² = अचर (समकोणीय अतिपरवलय)।

अभ्यास 3 (मूल): अपरिवर्ती प्रवाह u = y, v = x का बिंदु (1, 2) पर त्वरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a_x = u∂u/∂x + v∂u/∂y = x और a_y = u∂v/∂x + v∂v/∂y = y, अतः त्वरण (1, 2) है।

अभ्यास 4 (मानक): परिवर्ती प्रवाह u = x(1 + t), v = y के लिए समय t पर धारारेखाएँ और t = 0 पर (1, 1) वाले कण का कण-पथ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: धारारेखाएँ y = Cx^{1/(1 + t)}; कण-पथ x = e^{t + t2/2}, y = e^t, अर्थात x = y^{1 + (log y)/2}।

अभ्यास 5 (मानक): q = −∇φ के साथ एक समतल प्रवाह का φ = log r है। प्रवाह का वर्णन कीजिए और ψ तथा सम्मिश्र विभव ज्ञात कीजिए।

उत्तर: q_r = −1/r, q_θ = 0: मूलबिंदु पर इकाई रेखीय अभिगम (प्रति इकाई लंबाई 2π आयतन अभिवाह भीतर की ओर); ψ = θ और w = log z।

अभ्यास 6 (मानक): गोलीय ध्रुवी निर्देशांकों में q_r = −U(1 − a³/r³)cos θ, q_θ = U(1 + a³/(2r³))sin θ, q_φ = 0। दिखाइए कि यह द्रव की संभव अघूर्णी गति है, φ ज्ञात कीजिए, और प्रवाह की पहचान कीजिए।

उत्तर: अपसरण के पद −U(2/r + a³/r⁴)cos θ और +U(2/r + a³/r⁴)cos θ कट जाते हैं, और कर्ल घटक शून्य है; φ = U(r + a³/(2r²))cos θ: −x दिशा में चाल U की एकसमान धारा, स्थिर गोले r = a के पार (वहाँ q_r = 0)।

अभ्यास 7 (मानक): प्रवाह u = −y, v = x के लिए शीर्षों (±1, ±1) वाले वर्ग के परितः परिसंचरण सीधे और स्टोक्स प्रमेय से ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक भुजा 2 का योगदान देती है, अतः Γ = 8; स्टोक्स से, भ्रमिलता 2 और क्षेत्रफल 4 है, अतः Γ = 8।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाइए कि q = (y + z, z + x, x + y) द्रव की संभव अघूर्णी गति है, φ ज्ञात कीजिए, और धारारेखाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∇·q = 0 और ∇ × q = 0; φ = −(xy + yz + zx); गुणकों (1, −1, 0), (0, 1, −1) और (1, 1, 1) से धारारेखाएँ (x − y)/(y − z) = c₁ और (x − y)²(x + y + z) = c₂ हैं।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): त्रिज्या R(t) का गोला अपना केंद्र स्थिर रखते हुए एक अनंत द्रव में फैलता है। सांतत्य से दूरी r पर त्रिज्य वेग ज्ञात कीजिए, और वहाँ द्रव का त्वरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: r²q = R²Ṙ, अतः q = R²Ṙ/r²; Dq/Dt = ∂q/∂t + q∂q/∂r = (2RṘ² + R²R̈)/r² − 2R⁴Ṙ²/r⁵।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): एक समतल प्रवाह का धारा फलन ψ = x²y − y³/3 है (परिपाटी u = −∂ψ/∂y, v = ∂ψ/∂x)। वेग ज्ञात कीजिए, दिखाइए कि प्रवाह अघूर्णी है, और φ तथा सम्मिश्र विभव ज्ञात कीजिए।

उत्तर: u = y² − x², v = 2xy; ∇²ψ = 2y − 2y = 0, अतः प्रवाह अघूर्णी है; φ = x³/3 − xy² और w = z³/3।

1. ऑयलर के गति समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: शुद्धगतिकी बताती है कि कौन-से प्रवाह संभव हैं; गतिकी बताती है कि दिए गए बलों के अधीन वास्तव में कौन-सा प्रवाह होता है, और दाब कैसे वितरित होता है। ऑयलर समीकरण अश्यान तरल के एक छोटे अंश के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम है।

शब्दों में: Dq/Dt = F − (1/ρ)∇p। बायाँ पक्ष अंश का त्वरण है, संवहनी भाग (q·∇)q सहित। F प्रति इकाई द्रव्यमान पिंड बल है, उदाहरणार्थ Oz ऊपर की ओर लेने पर गुरुत्व के लिए (0, 0, −g)। −(1/ρ)∇p प्रति इकाई द्रव्यमान शुद्ध दाब बल है: दाब उच्च से निम्न दाब की ओर धकेलता है, अतः बल दाब प्रवणता के विपरीत दिशा में होता है।

"अश्यान" (inviscid) का अर्थ है कि एकमात्र पृष्ठ बल दाब है, जो प्रत्येक पृष्ठ अवयव पर अभिलंबतः लगता है; कोई स्पर्शरेखीय (घर्षणी) प्रतिबल नहीं होता।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: गुरुत्व के अधीन पात्र में विराम में द्रव, Oz ऊर्ध्वाधरतः ऊपर।

चरण 1: सर्वत्र q = 0, अतः Dq/Dt = 0।

चरण 2: ऑयलर समीकरण से 0 = −(1/ρ)∂p/∂x, 0 = −(1/ρ)∂p/∂y और 0 = −g − (1/ρ)∂p/∂z।

चरण 3: अतः p केवल z पर निर्भर है, dp/dz = −ρg, और p = p₀ − ρgz। जिस मुक्त पृष्ठ पर p = p_a है उसके नीचे गहराई h पर p = p_a + ρgh: द्रवस्थैतिक नियम।

चरण 4: अब पात्र को Ox के अनुदिश अचर क्षैतिज त्वरण a से चलाएँ, द्रव उसके सापेक्ष विराम में। तब Dq/Dt = (a, 0, 0), अतः a = −(1/ρ)∂p/∂x और 0 = −g − (1/ρ)∂p/∂z।

चरण 5: समाकलन से p = p₀ − ρax − ρgz। मुक्त पृष्ठ p = p₀ समतल z = −(a/g)x है, जो क्षैतिज से कोण tan⁻¹(a/g) पर झुका है, आगे की ओर नीचा।

अ-उदाहरण (non-example): बिना पिंड बल के अपरिवर्ती प्रवाह u = x, v = −y के लिए यह कहना लुभावना है कि "अपरिवर्ती है, अतः त्वरण नहीं, अतः दाब एकसमान है"। यह गलत है: Dq/Dt = (x, y) ≠ 0, अतः ∇p = −ρ(x, y) और p = p₀ − (1/2)ρ(x² + y²), जो स्तब्धता बिंदु पर अधिकतम है।

आगे बढ़ते हुए: पदार्थीय आयतन के लिए संवेग परिवर्तन की दर पिंड बल और दाब बल −∬pn dS के योग के बराबर है। गाउस प्रमेय पृष्ठ समाकल को −∭∇p dV में बदलता है, और आयतन स्वेच्छ होने से समाकल्य बिंदुवार संतुलित होते हैं (खंड 3)।

फिर सर्वसमिका (q·∇)q = ∇(q²/2) − q × ω लैम्ब रूप देती है, जिससे बर्नूली समीकरण निकलते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: व्युत्पत्ति प्रश्न (सदिश और घटक रूप), घूमते या त्वरित द्रवों में दाब (उदाहरण 5), और बर्नूली समीकरण तथा केल्विन परिसंचरण प्रमेय का प्रारंभ बिंदु।

2. ऑयलर का गति समीकरण

तरल अवयव पर बल: प्रति इकाई द्रव्यमान पिंड बल F, और दाब p, जो अश्यान तरल में अभिलंबवत् कार्य करता है और किसी बिंदु पर सभी दिशाओं में समान होता है।

दाब सभी दिशाओं में समान क्यों है: निर्देशांक तलों पर तीन फलकों वाले आकार ε के छोटे चतुष्फलक पर बलों का संतुलन करें। पृष्ठ बल ε² कोटि के हैं, जबकि पिंड बल और द्रव्यमान गुणा त्वरण ε³ कोटि के; ε → 0 करने पर p_x = p_y = p_z = p_n बचता है, बशर्ते कोई स्पर्शरेखीय प्रतिबल न हो (तरल विराम में या अश्यान)।

ऑयलर समीकरण (Euler's equation): Dq/Dt = ∂q/∂t + (q·∇)q = F − (1/ρ)∇p।

घटक रूप: ∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z = X − (1/ρ)∂p/∂x, और इसी प्रकार v तथा w के लिए।

लैम्ब रूप: (q·∇)q = ∇(q²/2) − q × ω का प्रयोग कर, ∂q/∂t − q × ω = F − (1/ρ)∇p − ∇(q²/2)।

भाव: सर्वसमिका (q·∇)q = ∇(q²/2) − q × (∇ × q) संवहनी त्वरण को प्रति इकाई द्रव्यमान गतिज ऊर्जा की प्रवणता और एक भ्रमिल पद में विभाजित करती है। अघूर्णी प्रवाह में भ्रमिल पद शून्य है, और इसी से बर्नूली समीकरण ऐसे प्रवाह में सर्वत्र सत्य होता है।

व्युत्पत्ति की रूपरेखा: पदार्थीय आयतन V के लिए d/dt∭ρq dV = ∭ρF dV − ∬p n dS; गाउस प्रमेय और सांतत्य से बिंदुवार समीकरण मिलता है।

3. व्युत्पत्ति: ऑयलर समीकरण

ऑयलर (समाकल रूप): पृष्ठ S वाले पदार्थीय आयतन V(t) के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम d/dt∭_Vρq dV = ∭_VρF dV − ∬_Spn dS है।

प्रत्येक अवयव का द्रव्यमान ρ dV समय में अचर है, अतः d/dt∭ρq dV = ∭ρ(Dq/Dt) dV। प्रवणता रूप में गाउस प्रमेय से ∬_Spn dS = ∭_V∇p dV।

अतः प्रत्येक V के लिए ∭_V[ρDq/Dt − ρF + ∇p] dV = 0, इसलिए समाकल्य शून्य है: Dq/Dt = F − (1/ρ)∇p।

ऑयलर (प्रारंभिक घनाभ): घनाभ δx δy δz पर x-दिशा में दाब बल p δy δz − (p + (∂p/∂x)δx)δy δz = −(∂p/∂x)δV है; ρδV Du/Dt = ρXδV − (∂p/∂x)δV को ρδV से भाग देने पर x-घटक मिलता है।

4. बर्नूली समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ऑयलर समीकरण एक सदिश आंशिक अवकल समीकरण है, परंतु प्रायः हम चाल ज्ञात होने पर किसी बिंदु का दाब ही चाहते हैं। उपयुक्त परिकल्पनाओं के अधीन ऑयलर समीकरण का एक बार समाकलन होकर दाब, चाल और ऊँचाई के बीच एक बीजीय संबंध मिल जाता है।

शब्दों में: गुरुत्व के अधीन (प्रति इकाई द्रव्यमान विभव gz, Oz ऊपर) अश्यान असंपीड्य तरल के अपरिवर्ती प्रवाह के लिए p/ρ + q²/2 + gz प्रत्येक धारारेखा के अनुदिश अचर है। प्रत्येक पद प्रति इकाई द्रव्यमान एक ऊर्जा है: दाब का कार्य, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा।

यदि प्रवाह अघूर्णी भी हो तो वही अचर पूरे तरल में मान्य है। परिवर्ती अघूर्णी प्रवाह (q = −∇φ के साथ) के लिए पद −∂φ/∂t जुड़ता है और अचर केवल t का फलन बन जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: जल (ρ = 1000 kg/m³) एक क्षैतिज नली में अपरिवर्ती रूप से बहता है जो अनुप्रस्थ काट A₁ = 0.02 m² से A₂ = 0.01 m² तक सँकरी होती है; चौड़े भाग में चाल q₁ = 2 m/s है। दाबांतर ज्ञात करें।

चरण 1 (सांतत्य): A₁q₁ = A₂q₂, अतः q₂ = 0.02 × 2/0.01 = 4 m/s।

चरण 2 (धारारेखा के अनुदिश बर्नूली, समान ऊँचाई): p₁/ρ + q₁²/2 = p₂/ρ + q₂²/2।

चरण 3: p₁ − p₂ = (ρ/2)(q₂² − q₁²) = 500 × (16 − 4) = 6000 Pa।

चरण 4: ध्यान दें कि जहाँ चाल अधिक है वहाँ दाब कम है: पीछे के अतिरिक्त दाब से तरल सँकरे भाग में त्वरित होता है।

चरण 5: तर्क उलटने पर, p₁ − p₂ मापने से निस्सरण Q = A₁A₂√(2(p₁ − p₂)/(ρ(A₁² − A₂²))) मिलता है, यहाँ 0.04 m³/s, जो वेंचुरी मापी का सिद्धांत है।

अ-उदाहरण (non-example): एकसमान क्षैतिज नली में श्यान प्रवाह (प्वाज़ॉय प्रवाह) में दोनों सिरों पर चाल और ऊँचाई समान हैं, अतः बर्नूली समान दाब बताएगा; वस्तुतः श्यानता पर काबू पाने के लिए नली के अनुदिश दाब निरंतर घटता है। बर्नूली विफल है क्योंकि तरल अश्यान नहीं है, अतः ऑयलर समीकरण, जिससे बर्नूली व्युत्पन्न होता है, सत्य नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: F = −∇Ω और दाब-घनत्व आश्रित तरल के साथ लैम्ब रूप ∂q/∂t − q × ω = −∇(P + q²/2 + Ω) है। अपरिवर्ती प्रवाह में q से अदिश गुणन धारारेखा के अनुदिश q × ω पद को हटा देता है; अघूर्णी प्रवाह में वह पद सर्वत्र शून्य है; q = −∇φ के साथ बायाँ पक्ष −∇(∂φ/∂t) बन जाता है (नीचे "उपपत्ति" पंक्तियाँ)।

गैस के लिए p/ρ के स्थान पर P = ∫dp/ρ आता है, उदाहरणार्थ समतापी प्रवाह के लिए P = K log ρ।

कहाँ प्रयोग होता है: बेलन या गोले पर दाब, टॉरिसेली प्रमेय और टंकियों का खाली होना, भँवर में दाब, और फैलते बुलबुलों तथा कंपित गोलों के लिए दाब समीकरण (उदाहरण 12)।

5. बर्नूली समीकरण

संरक्षी पिंड बल F = −∇Ω और दाब-घनत्व आश्रित तरल ρ = ρ(p) मानें, और P = ∫dp/ρ रखें (असंपीड्य तरल के लिए P = p/ρ)।

स्थायी प्रवाह: प्रत्येक धारारेखा (और प्रत्येक भँवर रेखा) के अनुदिश P + q²/2 + Ω = अचर।

स्थायी अघूर्णी प्रवाह: अचर पूरे तरल में एक ही है।

अस्थायी अघूर्णी प्रवाह (q = −∇φ): पूरे तरल में −∂φ/∂t + q²/2 + Ω + P = f(t)।

बर्नूली की व्युत्पत्ति: F = −∇Ω और दाबघनत्वी (barotropic) तरल के साथ (1/ρ)∇p = ∇P, क्योंकि dP = dp/ρ(p)। लैम्ब रूप ∂q/∂t − q × ω = −∇B बन जाता है, जहाँ B = P + q²/2 + Ω।

प्रमाण, स्थायी प्रवाह: ∇B = q × ω। q से अदिश गुणन पर q·∇B = 0, अतः B प्रत्येक धारारेखा के अनुदिश अचर है; ω से अदिश गुणन पर B प्रत्येक भ्रमिल रेखा के अनुदिश अचर है।

प्रमाण, स्थायी अघूर्णी प्रवाह: ω = 0 से ∇B = 0, अतः B सर्वत्र एक ही अचर है।

प्रमाण, अस्थायी अघूर्णी प्रवाह: q = −∇φ से ∂q/∂t = −∇(∂φ/∂t), अतः ∇(−∂φ/∂t + B) = 0 और −∂φ/∂t + q²/2 + Ω + P केवल t पर निर्भर है।

भाव: बर्नूली समीकरण प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा है: दाब ऊर्जा + गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा। जहाँ तरल तेज होता है वहाँ दाब घटता है (वेंचुरी नली का कंठ, पंख का ऊपरी पृष्ठ)।

भाव: प्रत्येक परिकल्पना महत्त्वपूर्ण है। श्यान नली प्रवाह में चाल नली के अनुदिश अचर है परंतु दाब घटता है, अतः स्थायी बर्नूली समीकरण विफल होता है; घूर्णी प्रवाह में अचर एक धारारेखा से दूसरी पर भिन्न होता है (नीचे उदाहरण 5)।

उदाहरण 1 (टॉरिसेली): बड़ी खुली टंकी में मुक्त पृष्ठ से h गहराई पर छोटे छिद्र से द्रव निकलता है; दोनों बिंदुओं पर p वायुमंडलीय है और पृष्ठ की चाल नगण्य है, अतः q²/2 = gh और q = √(2gh)।

उदाहरण 2 (वृत्तीय बेलन): स्थिर बेलन के पार एकसमान धारा U के लिए पृष्ठ पर चाल 2U|sin θ| है, अतः p = p_∞ + (1/2)ρU²(1 − 4sin²θ)।

यह दाब आगे-पीछे सममित है, अतः कुल बल शून्य है (डी'एलेम्बर्ट विरोधाभास), जो श्यानता की उपेक्षा का परिणाम है।

उदाहरण 3 (रेखीय भँवर में दाब): भँवर w = ik log z (चाल k/r) के लिए, जहाँ अनंत पर दाब p_∞ है और कोई पिंड बल नहीं है, p तथा वह त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिस पर यह शून्य हो जाएगा।

r > 0 के लिए प्रवाह स्थायी और अघूर्णी है, अतः p/ρ + k²/(2r²) = p_∞/ρ, जिससे p = p_∞ − ρk²/(2r²)।

r₀ = k√(ρ/(2p_∞)) पर p = 0, अतः वास्तविक भँवर का कम से कम इतनी त्रिज्या का खोखला या घूर्णी क्रोड होना चाहिए।

उदाहरण 4 (गोला): एकसमान धारा U त्रिज्या a के स्थिर गोले के पार बहती है, जिसके पृष्ठ पर चाल (3/2)U sin θ है। गोले पर दाब और उसका न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

बर्नूली (स्थायी अघूर्णी प्रवाह, कोई पिंड बल नहीं): p = p_∞ + (1/2)ρU²(1 − (9/4)sin²θ)।

न्यूनतम दाब θ = π/2 पर है: p_min = p_∞ − (5/8)ρU²; अधिकतम p_∞ + (1/2)ρU² स्तब्धता बिंदुओं θ = 0, π पर है।

केल्विन परिसंचरण प्रमेय: संरक्षी पिंड बलों वाले अश्यान दाब-घनत्व आश्रित तरल में, तरल के साथ गतिशील किसी भी बंद परिपथ के परितः परिसंचरण समय के साथ अचर रहता है।

अतः अघूर्णी गति एक बार स्थापित होने पर अघूर्णी बनी रहती है (अघूर्णी गति का स्थायित्व)।

यह क्यों काम करता है (केल्विन): तरल के साथ चलने वाले बंद वक्र C के लिए dΓ/dt = d/dt∮q·dr = ∮(Dq/Dt)·dr + ∮q·dq। यहाँ Dq/Dt = −∇(Ω + P) एक प्रवणता है, अतः इसका परिपथ समाकल शून्य है, और ∮q·dq = ∮d(q²/2) = 0। यदि तरल विराम से प्रारंभ हो, तो प्रत्येक परिपथ के लिए Γ = 0, अतः सदा ω = 0।

भाव: प्रमेय को तीनों परिकल्पनाएँ चाहिए: श्यानता (सीमा परतें), अदाबघनत्वी तरल (समुद्री समीर, जहाँ ρ, p के साथ ताप पर भी निर्भर है) या असंरक्षी बल (घूर्णी तंत्र में कोरियोलिस बल), इनमें से प्रत्येक भ्रमिलता उत्पन्न कर सकता है।

उदाहरण 5 (घूर्णी प्रवाह): बिना पिंड बल के स्थायी प्रवाह u = −ωy, v = ωx में दाब ज्ञात कीजिए, और दिखाइए कि बर्नूली अचर एक धारारेखा से दूसरी पर बदलता है।

ऑयलर: u∂u/∂x + v∂u/∂y = −ω²x = −(1/ρ)∂p/∂x और u∂v/∂x + v∂v/∂y = −ω²y = −(1/ρ)∂p/∂y, अतः p = p₀ + (1/2)ρω²(x² + y²)।

तब p/ρ + q²/2 = p₀/ρ + ω²r², जो प्रत्येक धारारेखा r = अचर पर अचर है परंतु भिन्न धारारेखाओं पर भिन्न है, क्योंकि भ्रमिलता 2ω शून्येतर है।

6. श्यानता और नेवियर–स्टोक्स समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक तरल दीवारों से चिपकते हैं और अपरूपण का प्रतिरोध करते हैं: नली में शहद, बेयरिंग की प्लेटों के बीच तेल। अश्यान तरल कर्षण, नली के अनुदिश दाब पतन या दीवार पर विराम में तरल की व्याख्या नहीं कर सकता। हमें ऑयलर समीकरण में आंतरिक घर्षण जोड़ना होगा।

शब्दों में: अपरूपण प्रवाह u = u(y) में पड़ोसी परतें एक-दूसरे पर फिसलती हैं, और उनके बीच स्पर्शरेखीय प्रतिबल (प्रति इकाई क्षेत्रफल बल) τ = μ du/dy है, μ श्यानता (viscosity) है।

असंपीड्य तरल के लिए नेवियर–स्टोक्स समीकरण ρDq/Dt = ρF − ∇p + μ∇²q है, ∇·q = 0 के साथ। नया पद μ∇²q इकाई आयतन पर शुद्ध श्यान बल है; यह तब शून्येतर है जब किसी अंश का वेग उसके पड़ोसियों के औसत वेग से भिन्न हो। ठोस दीवार पर असर्पण प्रतिबंध (no-slip condition) लागू है: तरल का वेग दीवार का वेग होता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: समतल कूएट प्रवाह: स्थिर प्लेट y = 0 और Ox के अनुदिश चाल U से चलती प्लेट y = h के बीच तरल, बिना दाब प्रवणता और बिना पिंड बल के।

चरण 1: u = u(y), v = w = 0 खोजें। सांतत्य ∂u/∂x = 0 सत्य है।

चरण 2: जड़त्व पद u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z सभी शून्य हैं, अतः बायाँ पक्ष शून्य है।

चरण 3: x-समीकरण ∂p/∂x = 0 के साथ 0 = −∂p/∂x + μu″(y) बनता है, अतः u″ = 0 और u = C₁y + C₂।

चरण 4: असर्पण: u(0) = 0 से C₂ = 0, और u(h) = U से C₁ = U/h। अतः u = Uy/h, एक रैखिक परिच्छेदिका।

चरण 5: अपरूपण प्रतिबल τ = μ du/dy = μU/h प्रत्येक स्तर पर समान है; यह ऊपरी प्लेट को खींचने के लिए आवश्यक प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है। μ = 0.1 Pa s, U = 2 m/s और h = 0.01 m के लिए τ = 20 Pa।

अ-उदाहरण (non-example): वृत्तीय बेलन के पार विभव प्रवाह नेवियर–स्टोक्स समीकरणों को संतुष्ट करता है, क्योंकि अघूर्णी असंपीड्य प्रवाह के लिए ∇²q = 0, परंतु बेलन पर वह चाल 2U|sin θ| से फिसलता है। यह असर्पण प्रतिबंध का उल्लंघन करता है, अतः यह बेलन के पार श्यान प्रवाह नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: न्यूटनी तरल के लिए प्रतिबल −p और विकृति दरों के समानुपाती पदों का योग है; कौशी समीकरण ρDq/Dt = ρF + (प्रतिबल का अपसरण) प्रत्येक सांतत्यक के लिए सत्य है, और अचर μ के साथ अपसरण −∇p + μ∇²q + (λ + μ)∇(∇·q) बन जाता है (नीचे "यह क्यों काम करता है")।

जड़त्व और श्यान पदों का अनुपात रेनॉल्ड्स संख्या UL/ν है। प्लेटों के बीच, नलियों में और बेलनों के बीच प्रवाह के लिए समीकरण साधारण अवकल समीकरणों में समानीत होते हैं, जो असर्पण और अक्ष पर नियमितता के साथ हल होते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: नेवियर–स्टोक्स समीकरण लिखना और प्रत्येक पद की व्याख्या करना, यथार्थ हल (कूएट, प्वाज़ॉय और हेगन–प्वाज़ॉय प्रवाह, घूमते बेलनों के बीच प्रवाह), और यह जाँचना कि दिया गया क्षेत्र हल है या नहीं (उदाहरण 8 और 9)।

7. नेवियर–स्टोक्स समीकरण

न्यूटनी तरल: प्रतिबल σ_ij = −pδ_ij + λ(∇·q)δ_ij + 2μe_ij, विकृति दर e_ij = (1/2)(∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i) के साथ; स्टोक्स परिकल्पना 3λ + 2μ = 0 है।

भाव: श्यानता (viscosity) आंतरिक घर्षण है: प्रतिबल विकृति की दर के समानुपाती है, जो अपरूपण प्रवाह के लिए न्यूटन नियम τ = μ du/dy का त्रिविमीय रूप है। माध्य अभिलंब प्रतिबल −p + (λ + 2μ/3)∇·q है, अतः स्टोक्स परिकल्पना 3λ + 2μ = 0 इसे −p के बराबर कर देती है।

असंपीड्य, अचर μ: ρ(∂q/∂t + (q·∇)q) = ρF − ∇p + μ∇²q, साथ में ∇·q = 0।

यह क्यों काम करता है: कौशी का गति समीकरण ρDu_i/Dt = ρF_i + ∂σ_ij/∂x_j किसी भी सतत माध्यम के लिए सत्य है। न्यूटनी प्रतिबल और अचर μ के साथ ∂σ_ij/∂x_j = −∂p/∂x_i + (λ + μ)∂(∇·q)/∂x_i + μ∇²u_i।

असंपीड्य तरल के लिए ∇·q = 0 और यह −∂p/∂x_i + μ∇²u_i है; λ = −2μ/3 लेने पर नीचे का संपीड्य रूप मिलता है, क्योंकि λ + μ = μ/3।

संपीड्य (स्टोक्स परिकल्पना): ρDq/Dt = ρF − ∇p + μ∇²q + (μ/3)∇(∇·q)।

शुद्धगतिक श्यानता ν = μ/ρ; रेनॉल्ड्स संख्या Re = UL/ν जड़त्वीय बलों को श्यान बलों के सापेक्ष मापती है।

यह क्यों काम करता है: चाल पैमाना U और लंबाई पैमाना L के साथ जड़त्व पद ρ(q·∇)q का परिमाण ρU²/L और श्यान पद μ∇²q का परिमाण μU/L² है; इनका अनुपात ρUL/μ = Re है। छोटे Re (विसर्पी प्रवाह) पर जड़त्व छोड़ा जा सकता है; बड़े Re पर दीवारों के निकट पतली सीमा परतों को छोड़कर प्रवाह लगभग अश्यान होता है।

अफिसलन प्रतिबंध (no-slip): ठोस दीवार पर तरल का वेग दीवार के वेग के बराबर होता है।

भाव: अश्यान तरल के लिए दीवार पर केवल अभिलंब वेग का मिलान आवश्यक है और वह उसके अनुदिश फिसल सकता है (बेलन के पार विभव प्रवाह की पृष्ठ पर चाल 2U है)। श्यान तरल को स्पर्शरेखीय वेग का भी मिलान करना होता है, अतः समीकरणों की कोटि बढ़ती है और एक अतिरिक्त सीमा प्रतिबंध चाहिए।

समतल कूएट प्रवाह (प्लेट y = 0 स्थिर, प्लेट y = h चाल U से गतिशील, कोई दाब प्रवणता नहीं): u = Uy/h।

समतल प्वाज़ॉय प्रवाह (स्थिर प्लेटें y = 0 और y = h, G = −dp/dx अचर): u = (G/(2μ))y(h − y), मध्य में अधिकतम Gh²/(8μ)।

त्रिज्या a की नली में हेगन–प्वाज़ॉय प्रवाह: u = (G/(4μ))(a² − r²), निस्सरण Q = πGa⁴/(8μ)।

यह क्यों काम करता है: नली के अनुदिश u = u(r) के लिए अक्षीय नेवियर–स्टोक्स समीकरण μ(1/r)d/dr(r du/dr) = −G है। समाकलन से r du/dr = −Gr²/(2μ) + A, और अक्ष पर परिमित वेग प्रवणता के लिए A = 0; तब u = B − Gr²/(4μ) और अफिसलन u(a) = 0 से B = Ga²/(4μ)।

निस्सरण Q = ∫₀^a2πr u dr = (πG/(2μ))∫₀^a(a²r − r³) dr = (πG/(2μ))(a⁴/4) = πGa⁴/(8μ) है: चतुर्थ घात नियम, अतः त्रिज्या आधी करने पर प्रवाह सोलहवाँ भाग रह जाता है।

उदाहरण 6: समतल प्वाज़ॉय प्रवाह के लिए दिखाइए कि माध्य वेग अधिकतम का दो-तिहाई है, और दीवारों पर अपरूपण प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

माध्य = (1/h)∫₀^h (G/(2μ))y(h − y) dy = (G/(2μ))(h²/6) = Gh²/(12μ) = (2/3)(Gh²/(8μ))।

y = 0 पर दीवार प्रतिबल μ du/dy = μ(G/(2μ))h = Gh/2 है, और y = h पर भी इतना ही परिमाण; दोनों दीवारें मिलकर प्रति इकाई लंबाई Gh का प्रतिरोध करती हैं, जो अंतराल पर दाब पतन को संतुलित करता है।

8. विधि का चयन

यदि तरल अश्यान और प्रवाह स्थायी है → धारारेखा के अनुदिश बर्नूली; भिन्न धारारेखाओं के बीच केवल तब जब प्रवाह अघूर्णी हो।

यदि प्रवाह अघूर्णी और अस्थायी है (फैलता बुलबुला, आवेगतः चलाया गया गोला, गतिमान स्रोत) → दाब समीकरण −∂φ/∂t + q²/2 + Ω + p/ρ = f(t)।

यदि प्रवाह घूर्णी है और धारारेखाओं के आर-पार दाब चाहिए → ऑयलर समीकरण के घटकों का सीधे समाकलन करें (उदाहरण 5)।

यदि श्यान प्रवाह समांतर (प्लेटों के बीच, नली में) या वृत्तीय (बेलनों के बीच) है → नेवियर–स्टोक्स समीकरणों को साधारण अवकल समीकरण में बदलें और अफिसलन प्रतिबंध लगाएँ।

यदि पूछा गया है कि दिया गया क्षेत्र नेवियर–स्टोक्स समीकरणों का हल है या नहीं → ∇·q = 0 जाँचें, ρDq/Dt − μ∇²q − ρF निकालें, और देखें कि यह प्रवणता है या नहीं (इसका कर्ल शून्य है); यदि हाँ तो यह −∇p के बराबर है और समाकलन से p मिलता है (उदाहरण 9)।

यदि तरल p = Kρ या p = Kρ^γ वाली गैस है → P = ∫dp/ρ क्रमशः K log ρ या γp/((γ − 1)ρ) है, और धारा नलिका के अनुदिश सांतत्य ρqA = अचर।

9. सामान्य गलतियाँ

घूर्णी प्रवाह में धारारेखाओं के आर-पार बर्नूली। जब तक ω = 0 न हो, अचर एक धारारेखा से दूसरी पर भिन्न होता है।

∂φ/∂t का गलत चिह्न या लोप। q = −∇φ के साथ अस्थायी पद −∂φ/∂t है; q = ∇φ के साथ +∂φ/∂t। फैलते बुलबुले की समस्या में इसे छोड़ने से R̈ पद खो जाता है।

श्यान प्रवाह में बर्नूली। प्वाज़ॉय प्रवाह में दाब पतन श्यानता से संतुलित होता है, चाल के परिवर्तन से नहीं।

संवहनी त्वरण भूल जाना। स्थायी का अर्थ Dq/Dt = 0 नहीं; (q·∇)q बना रहता है।

गलत सीमा प्रतिबंध। नली के अक्ष पर log r या 1/r पद रखना, या गतिमान प्लेट पर प्लेट के वेग के स्थान पर u = 0 लेना।

गैस के लिए P = p/ρ। संपीड्य तरल के लिए P = ∫dp/ρ को p और ρ के दिए गए संबंध से निकालना होता है।

संबंध: ऑयलर समीकरण तरल अवयव के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम है, जिसमें दाब पद गाउस प्रमेय से आता है (सदिश विश्लेषण); बर्नूली समीकरण लग्रांजी यांत्रिकी के ऊर्जा समाकल की भूमिका निभाता है।

संबंध: समांतर श्यान प्रवाह μu″ = dp/dx में, और वृत्तीय कूएट प्रवाह ऑयलर–कौशी समीकरण r²v″ + rv′ − v = 0 में बदल जाते हैं, जिसके हल r और 1/r हैं (साधारण अवकल समीकरण अध्याय); द्विविम अघूर्णी प्रवाह में q² = |dw/dz|² बर्नूली को सम्मिश्र विभव से जोड़ता है (अगला विषय)।

10. नैवियर–स्टोक्स समीकरणों के यथार्थ हल

कार्तीय रूप (असंपीड्य, अचर μ): ρ(∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z) = ρX − ∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²), और इसी प्रकार v तथा w के लिए।

समांतर प्रवाह u = u(y), v = w = 0: सांतत्य संतुष्ट होता है, जड़त्व पद लुप्त होते हैं, और पिंड बल न होने पर समीकरण dp/dx = μ d²u/dy², ∂p/∂y = ∂p/∂z = 0 बन जाते हैं; तब प्रत्येक पक्ष एक ही अचर है।

बेलनी निर्देशांकों में वृत्तीय प्रवाह q = v(r)e_θ: ∂p/∂θ = 0 के साथ θ-समीकरण μ(v″ + v′/r − v/r²) = 0 है, अर्थात d/dr[(1/r)d(rv)/dr] = 0, अतः v = Ar + B/r; r-समीकरण dp/dr = ρv²/r से दाब मिलता है।

विभव प्रवाह श्यान हल भी हैं: यदि ∇·q = 0 और ∇ × q = 0, तो ∇²q = ∇(∇·q) − ∇ × (∇ × q) = 0, अतः श्यान पद लुप्त हो जाता है; केवल अ-फिसलन प्रतिबंध पूरा नहीं होता।

भाव: इसी कारण रेखीय भँवर v = B/r वृत्तीय कूएट प्रवाह में आता है: यह अघूर्णी है, अतः श्यानता किसी तरल अवयव पर कोई परिणामी बल नहीं लगाती, यद्यपि अपरूपण प्रतिबल μ(dv/dr − v/r) = −2μB/r² शून्य नहीं है और दीवारों पर कार्य करता है।

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 20 अंक): दो अनंत समांतर प्लेटों के बीच, एक श्यान असंपीड्य तरल के अपरिवर्ती स्तरीय (लैमिनर) प्रवाह के लिए, नैवियर-स्टोक्स समीकरण ज्ञात कीजिए।

स्थिर प्लेटें y = 0 और y = h, प्रवाह Ox के अनुदिश: q = (u(y), 0, 0), अपरिवर्ती, कोई पिंड बल नहीं; सांतत्य ∂u/∂x = 0 संतुष्ट है और (q·∇)q = u ∂q/∂x = 0।

नैवियर–स्टोक्स समीकरण 0 = −∂p/∂x + μ d²u/dy², 0 = −∂p/∂y, 0 = −∂p/∂z बन जाते हैं, अतः p = p(x) और dp/dx = μu″(y) = अचर = −G।

समाकलन से u = −(G/(2μ))y² + C₁y + C₂; अ-फिसलन u(0) = u(h) = 0 से u = (G/(2μ))y(h − y)।

प्रति एकक चौड़ाई निस्सरण Q = Gh³/(12μ); अधिकतम चाल y = h/2 पर Gh²/(8μ); दीवार पर अपरूपण प्रतिबल Gh/2।

उत्तर: समीकरण μ d²u/dy² = dp/dx, ∂p/∂y = ∂p/∂z = 0 में बदल जाते हैं, जिससे परवलयिक रूप u = (G/(2μ))y(h − y) मिलता है (समतल प्वाजय प्रवाह)।

उदाहरण 8 (UPSC 2025, 20 अंक): दर्शाइए कि अचर विस्कासिता के एक असंपीड्य अपरिवर्ती प्रवाह के लिए वेग घटक
u(y) = (U/h) y − (hy/2μ)(dp/dx)(1 − y/h)
v = 0 = w, p = p(x) के साथ, पिंड बल की अनुपस्थिति में गति के समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं। यह दिया गया है कि U, h और dp/dx अचर हैं।

यहाँ u = (U/h)y − (1/(2μ))(dp/dx)(hy − y²), v = w = 0, अतः ∂u/∂x = 0 और सांतत्य संतुष्ट है; जड़त्व पद u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z सभी शून्य हैं।

d²u/dy² = (1/(2μ))(dp/dx) · 2 = (1/μ)dp/dx, और ∂²u/∂x² = ∂²u/∂z² = 0, अतः x-समीकरण 0 = −dp/dx + μ∇²u संतुष्ट है।

y- और z-समीकरण ∂p/∂y = ∂p/∂z = 0 में बदलते हैं, जो p = p(x) होने से सत्य है।

उत्तर: यह क्षेत्र सभी गति समीकरणों को संतुष्ट करता है; यह कुएट–प्वाजय प्रवाह है जिसमें u(0) = 0 और u(h) = U (निचली प्लेट स्थिर, ऊपरी प्लेट U चाल से गतिमान)।

उदाहरण 9 (UPSC 2023, 20 अंक): ज्ञात कीजिए कि किन शर्तों के अंतर्गत वेग क्षेत्र (velocity field) u = c(x² − y²), v = −2cxy, w = 0 नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरणों का एक हल है। यह मानते हुए कि शर्तें मान्य हैं, परिणामी दाब बंटन ज्ञात कीजिए, जब z ऊपर है तथा बाह्य पिंड बल B_x = 0 = B_y, B_z = −g हैं।

सांतत्य: प्रत्येक c के लिए ∂u/∂x + ∂v/∂y = 2cx − 2cx = 0, अतः यह क्षेत्र असंपीड्य तरल के लिए स्वीकार्य है; यह अघूर्णी भी है (∂v/∂x − ∂u/∂y = −2cy + 2cy = 0)।

∇²u = 2c − 2c = 0 और ∇²v = 0, अतः किसी भी μ के लिए श्यान पद शून्य हैं; जड़त्व: u∂u/∂x + v∂u/∂y = 2c²x(x² + y²), u∂v/∂x + v∂v/∂y = 2c²y(x² + y²)।

अतः ∂p/∂x = −2ρc²x(x² + y²), ∂p/∂y = −2ρc²y(x² + y²), ∂p/∂z = −ρg; ये संगत हैं (दोनों से ∂²p/∂x∂y = −4ρc²xy)।

उत्तर: यह किसी भी अचर c के लिए अपरिवर्ती हल है, बशर्ते तरल असंपीड्य हो (कोई भी श्यानता); दाब p = p₀ − (1/2)ρc²(x² + y²)² − ρgz।

उदाहरण 10 (UPSC 2026, 20 अंक): त्रिज्या a, b (b > a) के दो संकेंद्री बेलनों के बीच एक श्यान असंपीड्य तरल भरा है। प्रवाह अपरिवर्ती है और कोई भी पिंड बल विचाराधीन नहीं है। तरल के वेग की विवेचना और इसे सूत्रित कीजिए यदि:
(i) आंतरिक बेलन को कोणीय वेग Ω दिया जाता है जबकि बाहरी बेलन को विरामावस्था में रखा जाता है;
(ii) बाहरी बेलन को कोणीय वेग Ω से घुमाया जाता है जबकि आंतरिक बेलन को विरामावस्था में रखा जाता है।

q = v(r)e_θ लें; सांतत्य संतुष्ट है, और ∂p/∂θ = 0 के साथ θ-समीकरण से d/dr[(1/r)d(rv)/dr] = 0, अतः v = Ar + B/r।

(i) अ-फिसलन: Aa + B/a = Ωa और Ab + B/b = 0, अतः A = −Ωa²/(b² − a²), B = Ωa²b²/(b² − a²)।

(ii) Aa + B/a = 0 और Ab + B/b = Ωb, अतः A = Ωb²/(b² − a²), B = −Ωa²b²/(b² − a²)।

दोनों स्थितियों में दाब dp/dr = ρv²/r से मिलता है, और अपरूपण प्रतिबल μr d(v/r)/dr = −2μB/r² है।

उत्तर: (i) v = Ωa²(b² − r²)/((b² − a²)r); (ii) v = Ωb²(r² − a²)/((b² − a²)r) (वृत्तीय कुएट प्रवाह)।

11. बर्नूली समीकरण से दाब

समतापी गैस, p = Kρ: P = ∫dp/ρ = K log ρ, अतः अपरिवर्ती प्रवाह में धारा रेखा के अनुदिश K log ρ + q²/2 = अचर, और सांतत्य से अनुप्रस्थ-काट A वाली धारा नलिका के अनुदिश ρqA = अचर।

द्रव की गोलीय सममित गति: असंपीड्यता से r²q = F(t), अतः φ = F(t)/r (q = −∇φ), और दाब −∂φ/∂t + q²/2 + p/ρ = अचर से मिलता है।

भाव: गोलीय सममित गति में पूरा प्रवाह समय के एक फलन, बुलबुले या गोले की त्रिज्या R(t), से निर्धारित होता है, क्योंकि असंपीड्यता प्रत्येक गोले पर r²q को समान रखती है; तब दाब समीकरण R के लिए साधारण अवकल समीकरण देता है (उदाहरण 12 का रैले समीकरण)।

उदाहरण 11 (UPSC 2017, 15 अंक): एक बॉयलर से एक शंक्वाकार नलिका में से जिसके सिरों के व्यास D तथा d हैं, धारा तेज़ी से निकल रही है। यदि V तथा v धारा के संगत-वेग हों तथा यदि माना जाए कि गति अपरिवर्ती है तथा शंकु-शीर्ष से अपसारित हो रही है, तो सिद्ध कीजिए कि
v/V = (D²/d²) e^{(v2 − V2)/2K} होगा,
जहाँ K घनत्व द्वारा विभाजित दाब है तथा अपरिवर्ती है।

प्रवाह शीर्ष से त्रिज्य है, अतः r दूरी पर अनुप्रस्थ-काट r² के, अर्थात (व्यास)² के समानुपाती है; सांतत्य से ρ₁VD² = ρ₂vd²।

p = Kρ के साथ बर्नूली (अपरिवर्ती, कोई पिंड बल नहीं): K log ρ + q²/2 अचर है, अतः K log(ρ₁/ρ₂) = (v² − V²)/2 और ρ₁/ρ₂ = e^{(v2 − V2)/(2K)}।

सांतत्य से v/V = (ρ₁/ρ₂)(D²/d²)।

उत्तर: v/V = (D²/d²)e^{(v2 − V2)/(2K)}।

उदाहरण 12 (UPSC 2019, 15 अंक): एक त्रिज्या R का गोला, जिसका केन्द्र स्थिर है वह घनत्व ρ के एक अनंत असंपीड्य तरल में त्रिज्यतः कंपन करता है। अगर अनंत पर दबाव Π हो, तो दर्शाएं कि गोले की सतह पर किसी समय t पर दाब
Π + (1/2)ρ{d²R²/dt² + (dR/dt)²} होगा।

सांतत्य: r²q = R²Ṙ, अतः q = R²Ṙ/r² और φ = R²Ṙ/r (q = −∂φ/∂r); तब ∂φ/∂t = (2RṘ² + R²R̈)/r।

अनंत पर q, φ → 0 और p → Π के साथ दाब समीकरण: p/ρ = Π/ρ + ∂φ/∂t − q²/2; r = R पर p/ρ = Π/ρ + 2Ṙ² + RR̈ − Ṙ²/2 = Π/ρ + RR̈ + (3/2)Ṙ²।

चूँकि d²(R²)/dt² = 2RR̈ + 2Ṙ², RR̈ + (3/2)Ṙ² = (1/2)[d²(R²)/dt² + Ṙ²]।

उत्तर: पृष्ठ पर p = Π + (1/2)ρ{d²(R²)/dt² + (dR/dt)²}।

उदाहरण 13 (UPSC 2024, 20 अंक): मान लीजिए कि वेग क्षेत्र
u(x, y) = B(x² − y²)/(x² + y²)², v(x, y) = 2Bxy/(x² + y²)², w(x, y) = 0,
जहाँ B एक अचर है, अश्यान असंपीड्य प्रवाह के लिए गति समीकरणों को संतुष्ट करता है। इस वेग क्षेत्र से सहचारी (एसोसिएटेड) दाब का निर्धारण कीजिए।

u − iv = B(x − iy)²/(x² + y²)² = B/z² विश्लेषिक है, अतः प्रवाह असंपीड्य और अघूर्णी है, सम्मिश्र विभव w = B/z (एक द्विक)।

q² = |B/z²|² = B²/(x² + y²)²; पिंड बल रहित अपरिवर्ती अघूर्णी प्रवाह में ऑयलर समीकरणों का समाकलन पूरे तरल में p/ρ + q²/2 = अचर देता है।

उत्तर: p = p_∞ − ρB²/(2(x² + y²)²), जहाँ p_∞ अनंत पर दाब है (यदि गुरुत्व −Oz के अनुदिश हो तो −ρgz जोड़ें)।

12. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): यदि वायुमंडलीय दाब 1.013 × 10⁵ Pa हो तो विराम में जल (ρ = 1000 kg/m³, g = 9.8 m/s²) में 5 m गहराई पर दाब ज्ञात कीजिए।

उत्तर: p = p_a + ρgh = 1.013 × 10⁵ + 49 000 ≈ 1.503 × 10⁵ Pa।

अभ्यास 2 (मूल): एक बड़ी खुली टंकी के मुक्त पृष्ठ से 1.8 m नीचे एक छोटे छिद्र से जल निकलता है। धार की चाल ज्ञात कीजिए (g = 9.8 m/s²)।

उत्तर: q = √(2gh) = √35.28 ≈ 5.94 m/s।

अभ्यास 3 (मूल): अश्यान द्रव के अपरिवर्ती घूर्णी प्रवाह में क्या भिन्न धारारेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के दाबों की तुलना के लिए बर्नूली समीकरण का प्रयोग किया जा सकता है? इसके स्थान पर क्या करना चाहिए?

उत्तर: नहीं: ω ≠ 0 होने पर बर्नूली अचर एक धारारेखा से दूसरी पर बदलता है। ऑयलर समीकरण के घटकों का सीधे समाकलन करें (जैसे उदाहरण 5 में)।

अभ्यास 4 (मानक): एक खुले ऊर्ध्वाधर बेलन में द्रव अक्ष Oz (ऊपर) के परितः कोणीय वेग ω से दृढ़ पिंड की भाँति घूमता है। दिखाइए कि मुक्त पृष्ठ एक परिक्रमण परवलयज है।

उत्तर: ऑयलर समीकरणों से ∂p/∂r = ρω²r और ∂p/∂z = −ρg, अतः p = p₀ + (1/2)ρω²r² − ρgz; मुक्त पृष्ठ पर p = p_a, अतः z = ω²r²/(2g) + अचर।

अभ्यास 5 (मानक): बिना पिंड बल के एक अपरिवर्ती समतल अघूर्णी प्रवाह का w = z² है (q = −∇φ), और मूलबिंदु पर दाब p₀ है। किसी भी बिंदु पर दाब ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dw/dz = 2z, अतः q² = 4r²; बर्नूली से p = p₀ − 2ρr², r² = x² + y²।

अभ्यास 6 (मानक): जल (μ = 0.001 Pa s) 2 mm दूर स्थित दो स्थिर समांतर प्लेटों के बीच दाब प्रवणता G = −dp/dx = 100 Pa/m के अधीन बहता है। प्रति इकाई चौड़ाई निस्सरण और अधिकतम चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Q = Gh³/(12μ) = 100 × 8 × 10⁻⁹/0.012 ≈ 6.67 × 10⁻⁵ m²/s; u_max = Gh²/(8μ) = 0.05 m/s।

अभ्यास 7 (मानक): हेगन–प्वाज़ॉय प्रवाह में, समान दाब प्रवणता के साथ नली की त्रिज्या दुगुनी करने पर निस्सरण कैसे बदलता है? त्रिज्या आधी करने पर निस्सरण बनाए रखने के लिए दाब प्रवणता को किस गुणक से बदलना होगा?

उत्तर: Q = πGa⁴/(8μ), अतः a दुगुना करने से Q 16 गुना होता है, और a आधा करने पर G को 16 गुना करना होगा।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): घनत्व ρ के अनंत विराम द्रव में, जिसका अनंत पर दाब Π है, अचानक त्रिज्या a की एक गोलीय गुहा बनती है। गुहा में दाब शून्य मानकर त्रिज्या R होने पर Ṙ, और गुहा के बंद होने में लगा समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: r = R पर दाब समीकरण RR̈ + (3/2)Ṙ² = −Π/ρ देता है, जिसका प्रथम समाकल R³Ṙ² = (2Π/(3ρ))(a³ − R³) है; समय √(3ρ/(2Π))∫₀^adR/√(a³/R³ − 1) ≈ 0.915a√(ρ/Π) है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): त्रिज्याओं a और b (a, b से कम) के समाक्ष बेलनों के बीच का स्थान श्यान द्रव से भरा है; भीतरी बेलन कोणीय वेग Ω से घूमता है और बाहरी विराम में है। भीतरी बेलन को घुमाते रहने के लिए प्रति इकाई लंबाई आवश्यक बल-आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: v = Ar + B/r जहाँ B = Ωa²b²/(b² − a²); अपरूपण प्रतिबल का परिमाण 2μB/r² है, अतः बल-आघूर्ण 2πa · a · 2μB/a² = 4πμΩa²b²/(b² − a²) है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): एकसमान छोटी अनुप्रस्थ काट वाली U-नली की लंबाई l में द्रव भरा है और दोलन करता है। श्यानता की उपेक्षा करते हुए दिखाइए कि गति सरल आवर्त है और उसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यदि एक पृष्ठ x ऊपर उठे तो दूसरा x नीचे गिरता है; ऊर्जा से (1/2)ρAlẋ² + ρgAx² = अचर, अतः ẍ + (2g/l)x = 0, आवर्तकाल 2π√(l/(2g))।

1. सम्मिश्र विभव को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: द्रव के द्विविमीय अघूर्णी प्रवाह के लिए दो फलन φ और ψ चाहिए, प्रत्येक प्रसंवादी और कौशी–रीमान समीकरणों से जुड़े। सम्मिश्र विश्लेषण ठीक ऐसे युग्मों के लिए बना है: एक विश्लेषिक फलन w(z) दोनों को समेटता है, और एक ही अवकलन वेग दे देता है।

शब्दों में: सम्मिश्र विभव (complex potential) w(z) = φ + iψ है, z = x + iy: इसका वास्तविक भाग वेग विभव और काल्पनिक भाग धारा फलन है। इस अध्याय की परिपाटी q = −∇φ के साथ dw/dz = −u + iv, अतः u − iv = −dw/dz और चाल |dw/dz| है।

जिन बिंदुओं पर dw/dz = 0 हो वे स्तब्धता बिंदु (stagnation points) हैं, वक्र ψ = अचर धारारेखाएँ हैं, और प्रत्येक विश्लेषिक फलन w एक संभव प्रवाह है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: w = −Uz, जहाँ U धनात्मक अचर है।

चरण 1: w = −U(x + iy), अतः φ = −Ux और ψ = −Uy।

चरण 2: dw/dz = −U, और −u + iv से तुलना करने पर u = U, v = 0: +Ox के अनुदिश चाल U की एकसमान धारा।

चरण 3: धारारेखाएँ ψ = अचर रेखाएँ y = अचर हैं, अपेक्षानुसार क्षैतिज, और समविभव रेखाएँ φ = अचर ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं।

चरण 4: अब w = −(1 + i)z: dw/dz = −1 − i = −u + iv, अतः u = 1, v = −1, चाल √2 की धारा जो Ox से −45° पर है।

चरण 5: और w = iUz: dw/dz = iU = −u + iv, अतः u = 0, v = U, Oy के अनुदिश सीधी ऊपर की धारा, ψ = Ux के साथ।

चरण 6: प्रतिरूप पर ध्यान दें: w को किसी सम्मिश्र अचर से गुणा करने पर पूरा प्रवाह घूमता है और मापक्रम बदलता है।

अ-उदाहरण (non-example): x² + y² = zz̄, z का विश्लेषिक फलन नहीं है, अतः यह सम्मिश्र विभव नहीं है। तदनुसार φ = x² + y² प्रसंवादी नहीं है (∇²φ = 4), और प्रवाह q = −∇φ = (−2x, −2y) के लिए ∇·q = −4: यह असंपीड्य नहीं है। दृढ़ घूर्णन दूसरे कारण से विफल है: उसका ψ है परंतु φ नहीं।

आगे बढ़ते हुए: परिभाषाएँ u = −∂φ/∂x = −∂ψ/∂y और v = −∂φ/∂y = ∂ψ/∂x ठीक कौशी–रीमान समीकरण हैं, अतः φ + iψ विश्लेषिक है; इसका अवकलज Ox के अनुदिश लिया जा सकता है, जिससे dw/dz = φ_x + iψ_x = −u + iv (नीचे "यह क्यों काम करता है")।

लाप्लास समीकरण रैखिक है, अतः सम्मिश्र विभव जुड़ते हैं; बर्नूली समीकरण q² = |dw/dz|² का प्रयोग करता है, और ब्लैसियस प्रमेय बल ज्ञात करने के लिए (dw/dz)² का।

कहाँ प्रयोग होता है: द्विविम में स्रोतों, अभिगमों, द्विकों, भँवरों और प्रतिबिंबों का प्रत्येक प्रश्न, स्तब्धता बिंदुओं की स्थिति, और बेलनों पर बल।

2. सम्मिश्र विभव

2D असंपीड्य अघूर्णी प्रवाह में w(z) = φ + iψ, z = x + iy में विश्लेषिक है: u = −∂φ/∂x = −∂ψ/∂y और v = −∂φ/∂y = ∂ψ/∂x से कॉशी–रीमान समीकरण φ_x = ψ_y, φ_y = −ψ_x मिलते हैं।

यह क्यों काम करता है: असंपीड्यता से ψ और अघूर्णिता से φ मिलता है (पिछला विषय); उनके परिभाषी संबंध ठीक कौशी–रीमान समीकरण हैं, और आंशिक अवकलज संतत हैं, अतः φ + iψ विश्लेषिक है। दोनों परिकल्पनाएँ आवश्यक हैं: दृढ़ घूर्णन u = −Ωy, v = Ωx का धारा फलन है परंतु वेग विभव नहीं, अतः इसका कोई सम्मिश्र विभव (complex potential) नहीं।

सम्मिश्र वेग: dw/dz = φ_x + iψ_x = −u + iv, अतः चाल |dw/dz| है; जिन बिंदुओं पर dw/dz = 0 हो वे स्तब्धता बिंदु हैं।

यह क्यों काम करता है: विश्लेषिक w का अवकलज प्रत्येक दिशा में समान है, अतः dw/dz = ∂w/∂x = φ_x + iψ_x = −u + iv। अतः u − iv = −dw/dz और q² = |dw/dz|², जो बर्नूली समीकरण के लिए आवश्यक है।

प्रत्येक विश्लेषिक w एक संभव प्रवाह है, जिसकी धारारेखाएँ ψ = अचर हैं।

भाव: लाप्लास समीकरण रैखिक है, अतः सम्मिश्र विभव जुड़ते हैं: जटिल प्रवाह ऊपर के चित्र में दिखाए पाँच मूल खंडों (स्रोत, स्रोत–अभिगम युग्म, द्विक (doublet), भँवर, बेलन के पार धारा) के अध्यारोपण से बनते हैं, और योग की धारारेखाएँ ψ₁ + ψ₂ + ... = अचर हैं।

3. स्रोत, अभिगम, द्विक और भँवर को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जटिल समतल प्रवाह कुछ प्रारंभिक प्रवाहों से बनते हैं। यदि हम उनके सम्मिश्र विभव, और प्रत्येक के लिए "सामर्थ्य" का ठीक अर्थ जानते हों, तो केवल लघुगणक जोड़कर किसी भी व्यवस्था का w लिख सकते हैं।

शब्दों में: सामर्थ्य m का रेखीय स्रोत (line source) प्रति इकाई लंबाई 2πm की आयतन दर से तरल निकालता है (प्रत्येक प्रश्न की परिभाषा जाँचें, क्योंकि कुछ पुस्तकें निर्गम को ही सामर्थ्य कहती हैं); हमारी परिपाटी में w = −m log(z − z₀), और त्रिज्य चाल m/r है। अभिगम (sink) उलटे चिह्न वाला स्रोत है।

द्विक (doublet) एक स्रोत और एक समान अभिगम है जिन्हें इस प्रकार पास लाया जाए कि सामर्थ्य गुणा दूरी μ पर स्थिर रहे: अभिगम से स्रोत की ओर Ox के अनुदिश अक्ष के लिए w = μ/z। रेखीय भँवर (line vortex) तरल को z₀ के परितः चाल Γ/(2πr) से घुमाता है: w = (iΓ/(2π))log(z − z₀), Γ > 0 होने पर वामावर्त।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मूलबिंदु पर सामर्थ्य m का स्रोत।

चरण 1: w = −m log z = −m(log r + iθ), अतः φ = −m log r और ψ = −mθ।

चरण 2: dw/dz = −m/z, अतः u − iv = m/z = (m/r)e^−iθ, अर्थात u = (m/r)cos θ और v = (m/r)sin θ।

चरण 3: अतः वेग त्रिज्यतः बाहर की ओर है, चाल m/r: तरल प्रत्येक दिशा में मूलबिंदु से दूर बहता है।

चरण 4: त्रिज्या r के वृत्त के पार अभिवाह चाल × परिधि = (m/r)(2πr) = 2πm है, प्रत्येक वृत्त के लिए समान, जैसा सांतत्य चाहता है।

चरण 5: धारारेखाएँ ψ = अचर, θ = अचर हैं, अर्थात स्रोत से जाने वाली त्रिज्य रेखाएँ।

चरण 6: r = 0 पर चाल अनंत है: स्रोत एक विचित्र बिंदु है और तरल का भाग नहीं।

अ-उदाहरण (non-example): त्रिविम में बिंदु स्रोत रेखीय स्रोत नहीं है: उसका φ = m/r और चाल m/r² है, प्रत्येक गोले के पार अभिवाह 4πm के साथ। त्रिविम प्रश्न में φ = −m log r, या द्विविम प्रश्न में m/r लेने से गलत चालें और दाब मिलते हैं।

आगे बढ़ते हुए: स्रोत विभव को ±i से गुणा करने पर वह भँवर बन जाता है (φ और ψ भूमिकाएँ बदलते हैं)। z = δ पर स्रोत m और मूलबिंदु पर अभिगम का अध्यारोपण करके mδ = μ रखते हुए δ → 0 करने पर द्विक μ/z मिलता है (नीचे "द्विक" वाली पंक्ति)।

धारा −Uz में द्विक −Ua²/z जोड़ने से वृत्त |z| = a धारारेखा बन जाता है, जो बेलन के पार प्रवाह है, और भँवर जोड़ने से परिसंचरण और उत्थापन मिलता है; बल ब्लैसियस प्रमेय से आता है।

कहाँ प्रयोग होता है: रैंकिन पिंड, स्तब्धता बिंदु और धारारेखाओं के समीकरण (उदाहरण 1, 2 और 10 से 17), परिसंचरण सहित बेलनों के पार प्रवाह, और कुट्टा–जूकोव्स्की उत्थापन।

4. मानक प्रवाह

Ox से कोण α पर चाल U की एकसमान धारा: w = −Ue^−iαz।

z₀ पर सामर्थ्य m का स्रोत (source) (प्रति इकाई गहराई आयतन अभिवाह 2πm): w = −m log(z − z₀), अतः φ = −m log r, ψ = −mθ (r, θ, z₀ से मापे गए) और त्रिज्य चाल m/r है; अभिगम (sink) के लिए w = m log(z − z₀)।

यह क्यों काम करता है: q_r = −∂φ/∂r = m/r, अतः त्रिज्या r के वृत्त के पार अभिवाह 2πr·(m/r) = 2πm है, जो सांतत्य की अपेक्षा के अनुसार प्रत्येक वृत्त के लिए समान है। ψ = −mθ स्रोत के परितः −2πm से बदलता है; ψ की बहुमानिता स्रोत से निकलने वाले तरल को अंकित करती है।

द्विक (doublet): z = δ पर स्रोत m और मूलबिंदु पर अभिगम m से w = −m log(z − δ) + m log z = −m log(1 − δ/z), जो mδ = μ स्थिर रखकर δ → 0 करने पर μ/z हो जाता है (अक्ष अभिगम से स्रोत की ओर, Ox के अनुदिश)।

भाव: द्विक ऐसा स्रोत और अभिगम है जो इस प्रकार मिल गए हैं कि उनके अभिवाह कट जाते हैं परंतु दूरी गुणा सामर्थ्य परिमित रहता है। w = μ/z के लिए ψ = −μy/(x² + y²), अतः धारारेखाएँ x² + y² + (μ/c)y = 0 मूलबिंदु पर Ox को स्पर्श करने वाले वृत्त हैं, जैसा चित्र में है।

z₀ पर वामावर्त परिसंचरण Γ का रेखीय भँवर: w = (iΓ/(2π)) log(z − z₀), अतः φ = −Γθ/(2π), ψ = (Γ/(2π)) log r; चाल Γ/(2πr) है और धारारेखाएँ वृत्त हैं।

यह क्यों काम करता है: φ = −Γθ/(2π), z₀ को घेरने वाले किसी भी परिपथ के परितः −Γ से बदलता है, अतः परिसंचरण ∮q·dr = −∮dφ = Γ है। प्रवाह z₀ को छोड़ हर बिंदु पर अघूर्णी है, जहाँ सारी भ्रमिलता केंद्रित है; w को ±i से गुणा करने पर स्रोत और भँवर परस्पर बदल जाते हैं (ψ और φ की भूमिकाएँ बदलती हैं)।

वृत्तीय बेलन |z| = a के पार एकसमान धारा (Ox के अनुदिश धारा U): w = −U(z + a²/z), ψ = −U(r − a²/r)sin θ, जो r = a पर 0 है; स्तब्धता बिंदु z = ±a, पृष्ठ पर चाल 2U|sin θ|, अधिकतम 2U।

यह क्यों काम करता है: |z| = a पर a²/z = z̄, अतः z + a²/z = z + z̄ = 2x वास्तविक है और ψ = 0: वृत्त एक धारारेखा है। |z| → ∞ पर dw/dz → −U, अतः u → U, v → 0। z = ae^iθ पर |dw/dz| = U|1 − e^−2iθ| = 2U|sin θ|।

भाव: पद −Ua²/z केंद्र पर एक द्विक है जो धारा को ठीक इतना हटाता है कि तरल वृत्त से बाहर रहे; तरल कंधों θ = ±π/2 पर सबसे तेज (2U) है और आगे तथा पीछे के स्तब्धता बिंदुओं पर विराम में है।

वामावर्त परिसंचरण Γ जोड़ने पर w = −U(z + a²/z) + (iΓ/(2π)) log z; तब बेलन पर धारा के लंबवत प्रति इकाई लंबाई ρUΓ बल लगता है और कोई कर्षण नहीं (कुट्टा–जुकोव्स्की प्रमेय)।

भाव: वामावर्त भँवर बेलन के नीचे चाल बढ़ाता और ऊपर घटाता है, अतः बर्नूली से नीचे दाब कम होता है और बेलन नीचे धकेला जाता है; यह घूमती गेंद का मैग्नस प्रभाव है, और यही परिसंचरण क्रियाविधि वायुपर्ण (aerofoil) का उत्थापन देती है।

ब्लासियस प्रमेय: स्थायी प्रवाह में स्थिर बेलन C के लिए प्रति इकाई लंबाई बल X − iY = (iρ/2)∮_C(dw/dz)² dz को संतुष्ट करता है; यह सूत्र दोनों चिह्न परिपाटियों में समान है, क्योंकि दोनों में (dw/dz)² = (u − iv)²।

यह क्यों काम करता है: C को वामावर्त लेने पर सीमा के एक अवयव पर दाब से dX = −p dy, dY = p dx, अतः d(X − iY) = −ip dz̄। बर्नूली से p = p₀ − (1/2)ρ|w′|², और अचर p₀ का कोई योगदान नहीं क्योंकि ∮dz̄ = 0।

धारारेखा C पर dψ = 0, अतः w′dz = dw = dφ वास्तविक है और w̄′dz̄ = w′dz। अतः |w′|²dz̄ = w′(w̄′dz̄) = (w′)²dz, और X − iY = (iρ/2)∮_C(w′)²dz।

तब कौशी प्रमेय से C के स्थान पर कोई भी ऐसा कंटूर लिया जा सकता है जो पिंड को घेरे और किसी अन्य विचित्रता को नहीं, अतः बल 2πi गुणा अवशेष है: (dw/dz)² में केवल 1/z का गुणांक मायने रखता है।

उदाहरण 1: z = a पर स्रोत m और z = −a पर अभिगम m: w = −m log(z − a) + m log(z + a) = −m log((z − a)/(z + a)), अतः ψ = −m(θ₁ − θ₂), और धारारेखाएँ θ₁ − θ₂ = अचर, (a, 0) तथा (−a, 0) से जाने वाले वृत्तीय चाप हैं।

उदाहरण 2 (रैंकिन अर्ध-पिंड): मूलबिंदु पर स्रोत m को Ox के अनुदिश एकसमान धारा U में रखा जाता है। स्तब्धता बिंदु और विभाजक धारारेखा से बने पिंड की बहुत दूर अनुप्रवाह में चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

w = −Uz − m log z, और dw/dz = −U − m/z = 0, z = −m/U पर, जो स्तब्धता बिंदु है।

ψ = −Uy − mθ; स्तब्धता बिंदु पर θ = π, y = 0, अतः ψ = −mπ और विभाजक धारारेखा Uy + mθ = mπ है।

θ → 0 पर y → mπ/U, और θ → 2π पर y → −mπ/U, अतः चौड़ाई 2πm/U की ओर जाती है: स्रोत का निर्गम 2πm भाजित U।

उदाहरण 3 (ब्लासियस): प्रवाह w = −U(z + a²/z) + (iΓ/(2π)) log z में बेलन |z| = a पर बल ज्ञात कीजिए।

dw/dz = −U(1 − a²/z²) + iΓ/(2πz); (dw/dz)² में एकमात्र 1/z पद 2(−U)(iΓ/(2πz)) = −iUΓ/(πz) है।

अवशेष प्रमेय से ∮(dw/dz)² dz = 2πi(−iUΓ/π) = 2UΓ, अतः X − iY = (iρ/2)(2UΓ) = iρUΓ।

अतः X = 0 (कोई कर्षण नहीं) और Y = −ρUΓ: प्रति इकाई लंबाई ρUΓ बल, जो +Ox के अनुदिश धारा और वामावर्त परिसंचरण के लिए नीचे की ओर है।

उदाहरण 4 (सभी स्तब्धता बिंदु ज्ञात कीजिए): उसी प्रवाह के स्तब्धता बिंदु ज्ञात कीजिए।

r = a पर φ = −2Ua cos θ − Γθ/(2π), अतः q_r = 0 और q_θ = −(1/a)∂φ/∂θ = −2U sin θ + Γ/(2πa)।

sin θ = Γ/(4πaU) होने पर q_θ = 0: Γ < 4πaU हो तो बेलन पर दो स्तब्धता बिंदु, Γ = 4πaU हो तो एक (θ = π/2 पर)।

यदि Γ > 4πaU, तो dw/dz = 0 से Uz² − iΓz/(2π) − Ua² = 0, जिसके मूल धनात्मक काल्पनिक अक्ष पर हैं और उनके मापांकों का गुणनफल a² है, अतः ठीक एक स्तब्धता बिंदु तरल में, अक्ष θ = π/2 पर, स्थित है।

5. प्रतिबिंब विधि और वृत्त प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दृढ़ सीमा, दीवार या बेलन, स्रोत या भँवर से होने वाले प्रवाह को बदल देती है, क्योंकि तरल उसे पार नहीं कर सकता। सीमा-मान समस्या को सीधे हल करने के स्थान पर हम तरल के बाहर काल्पनिक विचित्रताएँ रखते हैं ताकि सीमा धारारेखा बन जाए।

शब्दों में: स्थिर दृढ़ सीमा एक धारारेखा होनी चाहिए, उस पर ψ = अचर, ताकि उसके आर-पार कोई वेग न हो। प्रतिबिंब निकाय (image system) तरल से रिक्त क्षेत्र में रखी गई विचित्रताओं का वह समुच्चय है जो यह कर दे।

सीमा पर निर्धारित अभिलंब वेग और तरल में निर्धारित विचित्रताओं के साथ लाप्लास समीकरण का केवल एक हल होता है (बाधा के परितः परिसंचरण को छोड़कर), अतः यदि अनुमानित प्रतिबिंब निकाय सीमा को धारारेखा बना दे, तो वही प्रवाह है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दृढ़ दीवार y = 0 के ऊपर (0, d) पर परिसंचरण Γ का भँवर।

चरण 1: दर्पण बिंदु (0, −d) पर प्रतिबिंब भँवर −Γ आज़माएँ।

चरण 2: w = (iΓ/(2π))[log(z − id) − log(z + id)]।

चरण 3: तब ψ = (Γ/(2π))log(r₁/r₂), जहाँ r₁, r₂ बिंदुओं (0, d) और (0, −d) से दूरियाँ हैं।

चरण 4: y = 0 पर प्रत्येक बिंदु दोनों भँवरों से समदूरस्थ है, r₁ = r₂, अतः ψ = 0: दीवार अपेक्षानुसार धारारेखा है।

चरण 5: भँवर केवल अपने प्रतिबिंब द्वारा प्रेरित वेग से चलता है: z = id पर −u + iv = d/dz[−(iΓ/(2π))log(z + id)], जो −(iΓ/(2π))/(2id) = −Γ/(4πd) है। अतः u = Γ/(4πd), v = 0।

चरण 6: भँवर दीवार के समांतर चाल Γ/(4πd) से सरकता है, दीवार के ऊपर वामावर्त भँवर के लिए दाईं ओर; वह कभी दीवार के पास नहीं आता।

अ-उदाहरण (non-example): प्रतिबिंब के रूप में समान भँवर +Γ लेना, जैसा स्रोत के लिए करते हैं, ψ = (Γ/(2π))log(r₁r₂) देता है; y = 0 पर r₁r₂ = x² + d² अचर नहीं है, अतः दीवार धारारेखा नहीं है। भँवर के प्रतिबिंब का चिह्न विपरीत होता है क्योंकि परावर्तन घूर्णन की दिशा उलट देता है।

आगे बढ़ते हुए: वृत्त |z| = a के लिए मिल्न-थॉमसन वृत्त प्रमेय w = f(z) + f̄(a²/z) प्रतिबिंब स्वतः दे देता है (उपपत्ति नीचे "यह क्यों काम करता है" में)।

वृत्त के बाहर दूरी c पर स्रोत का प्रतिबिंब प्रतिलोम बिंदु a²/c पर समान स्रोत और केंद्र पर अभिगम है; भँवर Γ के लिए यह प्रतिलोम बिंदु पर −Γ और केंद्र पर +Γ है; एकसमान धारा के लिए यह केंद्र पर द्विक है, जो बेलन के पार प्रवाह देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: दीवारों के पास, कोनों में और बेलनों के बाहर स्रोत और भँवर (उदाहरण 5, 6, 16, 19 और 20, तथा हल किए गए प्रश्नों में कोने में भँवर), जिसके बाद सीमा पर बल के लिए ब्लैसियस प्रमेय।

6. प्रतिबिंब विधि

प्रतिबिंब निकाय तरल के बाहर विचित्रताओं का वह समुच्चय है जो दी गई परिसीमा को धारारेखा बना दे।

भाव: तरल के बाहर हम कोई भी विचित्रताएँ रख सकते हैं; यदि वे सीमा को धारारेखा बना दें और तरल में दी गई विचित्रताओं को अपरिवर्तित रखें, तो दिए गए अभिलंब वेग के साथ लाप्लास समीकरण के हल की अद्वितीयता सुनिश्चित करती है कि यही प्रवाह है।

समतल दीवार: स्रोत का प्रतिबिंब दर्पण बिंदु पर समान स्रोत है; भँवर का प्रतिबिंब दर्पण बिंदु पर समान और विपरीत भँवर है।

यह क्यों काम करता है: (0, a) पर स्रोत और (0, −a) पर समान स्रोत y = 0 के प्रत्येक बिंदु पर समान और विपरीत अभिलंब वेग देते हैं, अतः वहाँ v = 0; भँवर के लिए प्रतिबिंब विपरीत होना चाहिए, क्योंकि परावर्तन घूर्णन की दिशा उलट देता है।

मिल्न-थॉमसन वृत्त प्रमेय: यदि f(z) ऐसा सम्मिश्र विभव है जिसकी |z| ≤ a में कोई विचित्रता नहीं, तो w = f(z) + f̄(a²/z), जहाँ f̄(z), f(z̄) का संयुग्मी है, के लिए |z| = a एक धारारेखा है और |z| > a में f जैसी ही विचित्रताएँ हैं।

यह क्यों काम करता है: |z| = a पर a²/z = z̄, अतः f̄(a²/z) = f̄(z̄), जो f(z) का सम्मिश्र संयुग्मी है; अतः w = f(z) + conj(f(z)) = 2 Re f(z) वृत्त पर वास्तविक है और ψ = 0। यदि f, |z| ≤ a में नियमित है तो f̄(a²/z), |z| ≥ a में नियमित है, अतः तरल में कोई नई विचित्रता नहीं आती।

वृत्त के बाहर स्रोत: केंद्र से c (> a) दूरी पर स्रोत m का प्रतिबिंब प्रतिलोम बिंदु a²/c पर समान स्रोत तथा केंद्र पर समान अभिगम है।

यह क्यों काम करता है: f = −m log(z − c) (c वास्तविक, c > a) के लिए f̄(a²/z) = −m log(a²/z − c) = −m log(z − a²/c) + m log z + अचर: व्युत्क्रम बिंदु पर स्रोत और केंद्र पर अभिगम। अभिगम आवश्यक है क्योंकि बेलन तरल को सोख नहीं सकता: उससे बाहर कुल अभिवाह शून्य होना चाहिए।

उदाहरण 5: f(z) = −Uz (Ox के अनुदिश धारा U) पर प्रमेय लगाने से w = −Uz − Ua²/z = −U(z + a²/z) मिलता है, जो ऊपर का बेलन के पार प्रवाह है।

उदाहरण 6 (दीवार में प्रतिबिंब): दृढ़ दीवार y = 0 के ऊपर (0, a) पर स्रोत m है। अनंत पर दाब p_∞ दिया होने पर दीवार पर वेग और दाब ज्ञात कीजिए।

प्रतिबिंब (0, −a) पर समान स्रोत है, अतः w = −m log(z − ia) − m log(z + ia) = −m log(z² + a²)।

z = x पर dw/dz = −2mz/(z² + a²) वास्तविक है, अतः v = 0 और u = 2mx/(x² + a²), जिसकी अधिकतम चाल x = ±a पर m/a है।

बर्नूली, अनंत पर q → 0 के साथ: p = p_∞ − 2ρm²x²/(x² + a²)², जो x = ±a पर न्यूनतम है जहाँ p = p_∞ − ρm²/(2a²)।

7. भँवर गति

परिसंचरण: स्टोक्स प्रमेय से Γ = ∮q·dr = ∬(∇ × q)·n dS; भँवर रेखाएँ सर्वत्र ω की स्पर्शी होती हैं।

हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय (अश्यान, दाब-घनत्व आश्रित, संरक्षी बल): भँवर रेखाएँ तरल के साथ गति करती हैं, और भँवर नलिका का सामर्थ्य प्रत्येक अनुप्रस्थ काट पर समान तथा समय में अचर है, अतः भँवर नलिका तरल के भीतर समाप्त नहीं हो सकती।

भाव: आदर्श तरल में भ्रमिल रेखाएँ पदार्थीय धागों जैसा व्यवहार करती हैं: वे तरल के साथ बहती हैं और अपनी सामर्थ्य बनाए रखती हैं, इसीलिए धुएँ का छल्ला टूटे बिना दूर तक जाता है। ये प्रमेय भ्रमिल नलिका पर और उसके परितः खींचे गए परिपथों पर केल्विन प्रमेय (पिछला विषय) लगाने से प्राप्त होते हैं।

सरलरेखीय भँवर अपनी स्थिति पर अन्य सभी भँवरों और प्रतिबिंबों द्वारा प्रेरित वेग से गति करता है, स्वयं द्वारा नहीं।

यह क्यों काम करता है: भँवर का अपना क्षेत्र उसके केंद्र के परितः पूर्णतः वृत्तीय है, हर दिशा में चाल Γ/(2πr), अतः वहाँ उसका कोई परिणामी वेग नहीं। व्यवहार में z_k पर स्थित भँवर Γ_k का वेग u − iv = −d/dz[w − (iΓ_k/(2π))log(z − z_k)] है, जिसका मान z = z_k पर लिया जाए।

भँवर युग्म: 2d दूरी पर स्थित भँवर +Γ और −Γ एक साथ, उन्हें मिलाने वाली रेखा के लंबवत, चाल Γ/(4πd) से गति करते हैं।

2d दूरी पर दो समान भँवर Γ अपने मध्यबिंदु के परितः कोणीय वेग Γ/(4πd²) से घूमते हैं।

यह क्यों काम करता है: प्रत्येक भँवर दूसरे से 2d दूरी पर है, अतः उन्हें मिलाने वाली रेखा के लंबवत चाल Γ/(2π·2d) = Γ/(4πd) से चलता है। विपरीत भँवरों के दोनों वेग समांतर हैं और युग्म स्थानांतरित होता है; समान भँवरों के वेग विपरीत हैं, मध्य बिंदु स्थिर रहता है और प्रत्येक भँवर त्रिज्या d का वृत्त बनाता है, अतः कोणीय वेग Γ/(4πd²) है।

दीवार से दूरी d पर भँवर युग्म वाली ही समस्या है: उसका प्रतिबिंब 2d दूरी पर −Γ है, अतः वह दीवार के समांतर चाल Γ/(4πd) से चलता है।

दीवार के निकट भँवर: समतल दीवार से d दूरी पर भँवर अपने प्रतिबिंब द्वारा प्रेरित चाल Γ/(4πd) से दीवार के समांतर गति करता है।

8. अक्षसममित प्रवाह और स्टोक्स धारा फलन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: गोले के पार प्रवाह, बिंदु स्रोत से प्रवाह और किसी भी परिक्रमण पिंड के परितः प्रवाह त्रिविमीय होते हैं, अतः सम्मिश्र विभव का प्रयोग नहीं हो सकता। परंतु जब प्रवाह किसी अक्ष से जाने वाले प्रत्येक तल में समान हो, तो दो चरों का एक फलन फिर भी उसका वर्णन कर सकता है, जैसे द्विविम में ψ करता है।

शब्दों में: अक्ष θ = 0 वाले गोलीय ध्रुवी निर्देशांकों (r, θ) में अक्षसममित (axisymmetric) प्रवाह में कुछ भी दिगंश कोण पर निर्भर नहीं करता और कोई दिगंशी वेग नहीं होता। वेग विभव (q = −∇φ) से q_r = −∂φ/∂r और q_θ = −(1/r)∂φ/∂θ।

स्टोक्स धारा फलन (Stokes stream function) ψ(r, θ) से q_r = −(1/(r²sin θ))∂ψ/∂θ और q_θ = (1/(r sin θ))∂ψ/∂r। यह प्रत्येक धारा पृष्ठ पर अचर है, और दो धारा पृष्ठों पर इसके मानों के अंतर का 2π गुना उनके बीच का आयतन अभिवाह है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मूलबिंदु पर सामर्थ्य m (निर्गम 4πm) का बिंदु स्रोत।

चरण 1: सममिति से वेग त्रिज्य है, q_r = Q(r), q_θ = 0।

चरण 2: सांतत्य: त्रिज्या r के गोले के पार अभिवाह 4πr²Q है, और प्रत्येक r के लिए यह 4πm के बराबर होना चाहिए, अतः Q = m/r²।

चरण 3 (φ): −∂φ/∂r = m/r² से φ = m/r।

चरण 4 (ψ): −(1/(r²sin θ))∂ψ/∂θ = m/r² से ∂ψ/∂θ = −m sin θ, अतः ψ = m cos θ; और (1/(r sin θ))∂ψ/∂r = 0 = q_θ, जैसा होना चाहिए।

चरण 5 (अभिवाह जाँच): गोले की टोपी 0 ≤ θ ≤ θ₀ के पार अभिवाह ∫q_r·2πr²sin θ dθ = 2πm(1 − cos θ₀) है, जो 2π[ψ(0) − ψ(θ₀)] है।

चरण 6: अतः ψ = अचर का अर्थ θ = अचर है: धारा पृष्ठ अक्ष के परितः शंकु हैं, जो त्रिज्य धारारेखाओं से बने हैं।

अ-उदाहरण (non-example): स्टोक्स धारा फलन प्रसंवादी नहीं है। एकसमान धारा ψ = −(1/2)Ur²sin²θ = −(1/2)Uϖ² के लिए, ϖ अक्ष से दूरी, ∇²ψ = −2U ≠ 0 मिलता है, जबकि स्टोक्स संकारक E²ψ = 0 देता है। ψ के लिए लाप्लास समीकरण, या गोले के लिए सम्मिश्र विभव, लेने से गलत उत्तर मिलते हैं।

आगे बढ़ते हुए: अक्षसममित रूप में सांतत्य ठीक ψ के अस्तित्व का प्रतिबंध है, और अघूर्णिता स्टोक्स समीकरण E²ψ = 0 देती है (खंड 12)।

चूँकि φ अब भी प्रसंवादी है, प्रायः पहले पृथक्कृत हलों r cos θ और cos θ/r² से φ ज्ञात करना सरल होता है: एकसमान धारा और केंद्र पर द्विक गोले के पार प्रवाह देते हैं, जिसकी अधिकतम पृष्ठ चाल (3/2)U है।

कहाँ प्रयोग होता है: उदाहरण 7 से 9 (ψ का अस्तित्व और स्टोक्स समीकरण, एकसमान धारा में स्रोत, द्रव में गतिमान गोले), और बर्नूली समीकरण से गोले पर दाब।

9. अक्षसममित गति

किसी अक्ष के परितः सममित प्रवाहों (गोलीय r, θ, दिगंशीय निर्भरता नहीं) में स्टोक्स धारा फलन ψ, q = −∇φ और ऊपर के 2D चिह्नों से सुसंगत रूप में, q_r = −(1/(r² sin θ))∂ψ/∂θ, q_θ = (1/(r sin θ))∂ψ/∂r द्वारा लिया जाता है (कुछ पुस्तकें ψ का चिह्न उलट देती हैं); दो धारा पृष्ठों के बीच ψ के अंतर का 2π गुना उनके बीच का आयतन अभिवाह है।

भाव: अक्षसममित प्रवाह में धारा पृष्ठ ψ = अचर अक्ष के परितः परिक्रमण पृष्ठ हैं, और दो पृष्ठों के बीच अभिवाह ψ के अंतर का 2π गुणा है, अंतर स्वयं नहीं, क्योंकि ψ दिगंश के प्रति रेडियन परिभाषित है।

अक्ष θ = 0 के अनुदिश एकसमान धारा U: φ = −Ur cos θ, ψ = −(1/2)Ur²sin²θ; सामर्थ्य m (अभिवाह 4πm) का बिंदु स्रोत: φ = m/r, ψ = m cos θ।

एकसमान धारा U में त्रिज्या a का गोला: φ = −U(r + a³/(2r²))cos θ, ψ = −(1/2)U(r² − a³/r)sin²θ; r = a पर q_r = 0 और ψ = 0, तथा पृष्ठ पर चाल (3/2)U sin θ है।

यह क्यों काम करता है: धारा और केंद्र पर द्विक लेकर प्रयास करें: φ = −Ur cos θ + μ cos θ/r², दोनों प्रसंवादी। तब q_r = −∂φ/∂r = U cos θ + 2μ cos θ/r³, और r = a पर q_r = 0 से μ = −Ua³/2।

अतः φ = −U(r + a³/(2r²))cos θ और q_θ = −(1/r)∂φ/∂θ = −U(1 + a³/(2r³))sin θ, जो गोले पर −(3/2)U sin θ है: गोले पर अधिकतम चाल 1.5U है, जबकि बेलन पर 2U।

10. विधि का चयन

यदि सीमा समतल दीवार है → परावर्तन करें: स्रोत का प्रतिबिंब समान स्रोत, भँवर का विपरीत भँवर।

यदि सीमा वृत्त है और विचित्रताएँ उसके बाहर हैं → वृत्त प्रमेय w = f(z) + f̄(a²/z); यदि भीतर हैं, तो व्युत्क्रम बिंदुओं a²/c̄ पर प्रतिबिंब रखें।

यदि बेलन पर बल चाहिए → ब्लासियस: (dw/dz)² में 1/z का गुणांक निकालें; धारा में परिसंचरणयुक्त बेलन के लिए उत्तर ρUΓ (कुट्टा–जूकोव्स्की) है, कोई कर्षण नहीं।

यदि धारारेखाएँ चाहिए → ψ = Im w; लघुगणकों के साथ ψ कोणों का योग है, और ψ = अचर का स्पर्शज्या लेने पर बीजीय वक्र मिलता है।

यदि स्तब्धता बिंदु चाहिए → dw/dz = 0 हल करें और पिंड के भीतर के मूल छोड़ दें।

यदि दाब चाहिए → बर्नूली p + (1/2)ρ|dw/dz|² = अचर (स्थायी), और विचित्रताएँ चलती हों तो −ρ∂φ/∂t जोड़ें।

यदि भँवर चलते हैं → प्रत्येक अन्य सभी भँवरों और सभी प्रतिबिंबों द्वारा प्रेरित वेग से चलता है, स्वयं द्वारा कभी नहीं।

यदि प्रवाह त्रिविमीय और अक्षसममित है (गोले, बिंदु स्रोत) → गोलीय ध्रुवी में φ और स्टोक्स ψ लें; सम्मिश्र विभव लागू नहीं होता।

11. सामान्य गलतियाँ

परिपाटी का टकराव। q = −∇φ के साथ स्रोत w = −m log(z − z₀) है; पुस्तकीय रूप w = m log z, q = ∇φ का है, और दोनों को मिलाने से प्रवाह उलट जाता है।

स्व-प्रेरित वेग। भँवर का वेग निकालते समय उसका अपना पद सम्मिलित करने से अनंत उत्तर मिलता है।

ब्लासियस संबंधी त्रुटियाँ। (dw/dz)² के स्थान पर |dw/dz|² लेना, या कंटूर के बाहर (तरल में) की विचित्रताओं पर अवशेष लेना, या कंटूर दोनों को घेरता हो तब केवल पिंड के भीतर की विचित्रताएँ लेना।

केंद्र पर प्रतिबिंब छूटना। वृत्त के बाहर स्रोत के लिए व्युत्क्रम बिंदु पर स्रोत के साथ केंद्र पर अभिगम भी चाहिए; वृत्त के बाहर भँवर Γ का प्रतिबिंब व्युत्क्रम बिंदु पर −Γ है, और जब बेलन के परितः परिसंचरण शून्य रखना हो (वृत्त प्रमेय वाला प्रतिबिंब) तब केंद्र पर भँवर +Γ भी चाहिए।

पिंड के भीतर स्तब्धता बिंदु। dw/dz = 0 के वे मूल जिनके लिए |z|, a से कम है, प्रवाह के बिंदु नहीं हैं।

द्विविम और त्रिविम सूत्रों का मिश्रण। रेखीय स्रोत के लिए φ = −m log r; बिंदु स्रोत के लिए φ = m/r। स्टोक्स ψ, E²ψ = 0 को संतुष्ट करता है, ∇²ψ = 0 को नहीं।

संबंध: सम्मिश्र विभव, ब्लासियस प्रमेय और वृत्त प्रमेय विश्लेषिक फलनों, कौशी प्रमेय और अवशेषों के अनुप्रयोग हैं (सम्मिश्र विश्लेषण); प्रतिचित्रण z → a²/z̄ वृत्त में व्युत्क्रमण है।

संबंध: अक्षसममित विभव r cos θ और cos θ/r², गोलीय ध्रुवी में लाप्लास समीकरण के n = 1 वाले पृथक्कृत हल rⁿP_n(cos θ), r⁻ⁿ⁻¹P_n(cos θ) हैं (आंशिक अवकल समीकरण अध्याय)।

12. स्टोक्स धारा फलन: अस्तित्व, समीकरण और गोले

अस्तित्व: अक्षसममित असंपीड्य प्रवाह (q_φ = 0, φ पर निर्भरता नहीं) के लिए सांतत्य ∂(r²sin θ q_r)/∂r + ∂(r sin θ q_θ)/∂θ = 0 है, जो ठीक वही प्रतिबंध है जिससे r sin θ q_θ dr − r²sin θ q_r dθ एक यथार्थ अवकल dψ हो।

अतः ψ विद्यमान है, जहाँ q_r = −(1/(r²sin θ))∂ψ/∂θ, q_θ = (1/(r sin θ))∂ψ/∂r; बेलनी निर्देशांकों (ϖ, z) में वही ψ, q_ϖ = (1/ϖ)∂ψ/∂z, q_z = −(1/ϖ)∂ψ/∂ϖ देता है।

अघूर्णी स्थिति: भ्रमिलता (1/r)[∂(rq_θ)/∂r − ∂q_r/∂θ] को शून्य रखने पर स्टोक्स समीकरण E²ψ ≡ ∂²ψ/∂r² + (sin θ/r²)∂/∂θ((1/sin θ)∂ψ/∂θ) = 0, या ∂²ψ/∂z² + ∂²ψ/∂ϖ² − (1/ϖ)∂ψ/∂ϖ = 0 मिलता है।

ψ प्रसंवादी नहीं है, क्योंकि E², ∇² से भिन्न है; उदाहरण के लिए एकसमान धारा ψ = −(1/2)Uϖ², E²ψ = 0 को संतुष्ट करती है पर ∇²ψ = 0 को नहीं।

भाव: (ϖ, z) में अक्षसममित लाप्लासी ψ_zz + ψ_ϖϖ + (1/ϖ)ψ_ϖ है, जबकि E²ψ में −(1/ϖ)ψ_ϖ है; चिह्न का यह परिवर्तन q_z = −(1/ϖ)∂ψ/∂ϖ के गुणक 1/ϖ से आता है। चूँकि φ अब भी प्रसंवादी है, अतः अक्षसममित प्रश्नों में प्रायः पहले φ निकालकर ψ प्राप्त करना सरल होता है।

गतिमान गोले: Ox के अनुदिश U वेग से चलते गोले r = a के लिए r = a पर −∂φ/∂r = Ux/r आवश्यक है; प्रसंवादी परीक्षण फलन x, x/r³ (और y, y/r³, ...) हैं, अर्थात r cos θ और cos θ/r²।

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 20 अंक): दर्शाइए कि अक्षतः सममित गति में सांतत्य समीकरण के कारण धारा फलन का अस्तित्व है। धारा फलन के पदों में वेग घटकों को व्यक्त कीजिए। यदि प्रवाह अघूर्णनी है, तो समीकरण ज्ञात कीजिए जो कि धारा फलन द्वारा सन्तुष्ट होती है।

सांतत्य (अक्षसममित, असंपीड्य) ∂(r²sin θ q_r)/∂r + ∂(r sin θ q_θ)/∂θ = 0, ∂ψ/∂θ = −r²sin θ q_r, ∂ψ/∂r = r sin θ q_θ वाले ψ के लिए समाकलनीयता प्रतिबंध है; अतः सांतत्य के कारण ψ विद्यमान है।

वेग घटक: q_r = −(1/(r²sin θ))∂ψ/∂θ, q_θ = (1/(r sin θ))∂ψ/∂r; अक्ष पर ψ = 0 होने पर धारा पृष्ठ द्वारा काटे गए वृत्त से फ्लक्स 2π|ψ| है।

अघूर्णी: (1/r)[∂(rq_θ)/∂r − ∂q_r/∂θ] = (1/(r sin θ))[∂²ψ/∂r² + (sin θ/r²)∂/∂θ((1/sin θ)∂ψ/∂θ)] = 0।

उत्तर: ∂²ψ/∂r² + (sin θ/r²)∂/∂θ((1/sin θ)∂ψ/∂θ) = 0 (जो पुस्तकें ψ को विपरीत चिह्न से परिभाषित करती हैं, उन्हें भी यही समीकरण मिलता है)।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 15 अंक; UPSC 2026 में पुनः, 10 अंक): वेग U i⃗ से गतिमान असंपीड्य तरल की एकसमान धारा में मूल-बिन्दु O पर प्रबलता m का एक सरल उद्गम दृढ़ है। दर्शाइए कि धारा के किसी बिन्दु P पर वेग विभव φ का मान m/r − Ur cos θ है, जहाँ OP = r तथा θ वह कोण है जो OP⃗, दिशा i⃗ के साथ बनाता है। धारारेखाओं का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए तथा दर्शाइए कि वे पृष्ठों Ur² sin²θ − 2m cos θ = अचर (constant) पर स्थित हैं।

m सामर्थ्य (फ्लक्स 4πm) के सरल स्रोत के लिए q_r = m/r², φ = m/r; Ox (θ = 0) के अनुदिश धारा U के लिए φ = −Ur cos θ; अध्यारोपण से φ = m/r − Ur cos θ।

q_r = −∂φ/∂r = m/r² + U cos θ, q_θ = −(1/r)∂φ/∂θ = −U sin θ; Ox से जाने वाले प्रत्येक तल में धारा रेखाएँ: dr/q_r = r dθ/q_θ, अर्थात −U sin θ dr = (m/r + Ur cos θ)dθ।

2r sin θ से गुणा करने पर: 2Ur sin²θ dr + 2Ur²sin θ cos θ dθ + 2m sin θ dθ = 0, अर्थात d(Ur²sin²θ − 2m cos θ) = 0।

उत्तर: φ = m/r − Ur cos θ; धारा रेखाएँ पृष्ठों Ur²sin²θ − 2m cos θ = अचर पर हैं (स्टोक्स धारा फलन ψ = m cos θ − (1/2)Ur²sin²θ)।

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 20 अंक): त्रिज्याओं a, b (a < b) के दो संकेन्द्र गोलीय कोशों के बीच की जगह को घनत्व ρ के तरल से भरा गया है। यदि कोशों को गतिमान कर दिया जाए, अन्दर वाले को x-दिशा में वेग U के साथ तथा बाहर वाले को y-दिशा में वेग V के साथ, तो दर्शाइए कि तरल की प्रारम्भिक गति, वेग विभव
φ = {a³U(1 + (1/2)b³r⁻³)x − b³V(1 + (1/2)a³r⁻³)y}/(b³ − a³)
द्वारा दी जाती है, जहाँ r² = x² + y² + z² तथा निर्देशांक समकोणिक हैं। तरल के किसी भी बिन्दु पर वेग का मान निकालिए।

द्रव विराम से आवेगी रूप से गतिमान होता है, अतः गति अघूर्णी है: ∇²φ = 0, जहाँ r = a पर −∂φ/∂r = Ux/r और r = b पर −∂φ/∂r = Vy/r (प्रत्येक कोश का अभिलंब वेग)।

φ = (A + B/r³)x + (C + D/r³)y लेकर देखें; तब −∂φ/∂r = −(A − 2B/r³)x/r − (C − 2D/r³)y/r, और प्रतिबंध A − 2B/a³ = −U, A − 2B/b³ = 0, C − 2D/a³ = 0, C − 2D/b³ = −V हैं।

अतः A = a³U/(b³ − a³), B = a³b³U/(2(b³ − a³)), C = −b³V/(b³ − a³), D = −a³b³V/(2(b³ − a³)), जो दिया गया φ है।

P = a³U/(b³ − a³), Q = b³V/(b³ − a³), S = Pb³x − Qa³y लेकर q = −∇φ से u = −P(1 + b³/(2r³)) + 3xS/(2r⁵), v = Q(1 + a³/(2r³)) + 3yS/(2r⁵), w = 3zS/(2r⁵)।

उत्तर: φ दिए अनुसार है, और किसी भी बिंदु पर वेग ऊपर का (u, v, w) है।

13. स्रोत, अभिगम, भ्रमिल और प्रतिबिंब: पिछले प्रश्न

विधि: w को लघुगणकों के योग के रूप में लिखें, ψ = Im w को कोणों के योग के रूप में लें, और कोण का स्पर्शज्या लेकर (गुणनफल या भागफल का arg) ψ = अचर को बीजीय वक्र में बदलें।

वृत्त के भीतर प्रतिबिंब: वृत्त प्रमेय |z| = a के भीतर स्थित विचित्रताओं वाले आंतरिक प्रवाह के लिए भी लागू है; भीतर बिंदुओं c₁, c₂ पर स्रोत और बराबर अभिगम के प्रतिबिंब प्रतिलोम बिंदुओं a²/c̄₁, a²/c̄₂ पर बराबर स्रोत और अभिगम हैं (केंद्र वाले पद कट जाते हैं)।

यहाँ प्रयुक्त भ्रमिल परिपाटी: w = ik log(z − z₀) सामर्थ्य k का भ्रमिल है, वामावर्त परिसंचरण 2πk; भ्रमिल अन्य सभी भ्रमिलों और प्रतिबिंबों द्वारा प्रेरित वेग से चलता है।

उदाहरण 10 (UPSC 2014, 20 अंक): दत्त वेग विभव φ = (1/2) log[((x + a)² + y²)/((x − a)² + y²)] के लिए प्रवाह-रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

φ = log r₁ − log r₂, जहाँ r₁, r₂ बिंदुओं (−a, 0) और (a, 0) से दूरियाँ हैं, w = log(z + a) − log(z − a) का वास्तविक भाग है: (a, 0) पर एकक स्रोत और (−a, 0) पर एकक अभिगम (q = −∇φ)।

ψ = θ₁ − θ₂, (−a, 0) और (a, 0) पर कोण; tan(θ₁ − θ₂) = [y/(x + a) − y/(x − a)]/[1 + y²/(x² − a²)] = −2ay/(x² + y² − a²)।

उत्तर: धारा रेखाएँ x² + y² − a² = λy (λ प्राचल) हैं, (±a, 0) से जाने वाले समाक्ष वृत्त।

उदाहरण 11 (UPSC 2019, 20 अंक): दो स्रोतों, प्रत्येक m शक्ति का (−a, 0), (a, 0) बिन्दुओं पर तथा 2m शक्ति का सिन्क मूल बिन्दु पर स्थित है। दर्शाएं कि धारा-रेखाएं वक्र (x² + y²)² = a²(x² − y² + λxy) हैं। यहां λ चर एक पैरामीटर है।
और ये भी दर्शाएं कि तरल गति किसी भी बिन्दु पर (2ma²)/(r₁r₂r₃) है, जहां r₁, r₂, r₃ स्रोतों से और सिंक से बिन्दुओं की क्रमशः दूरियां हैं।

w = −m log(z − a) − m log(z + a) + 2m log z = −m log((z² − a²)/z²), और (z² − a²)/z² = 1 − a²z̄²/r⁴ = [r⁴ − a²(x² − y²) + 2ia²xy]/r⁴।

ψ = −m tan⁻¹[2a²xy/(r⁴ − a²(x² − y²))] = अचर से r⁴ − a²(x² − y²) = λa²xy।

dw/dz = −m[2z/(z² − a²) − 2/z] = −2ma²/(z(z − a)(z + a))।

उत्तर: धारा रेखाएँ (x² + y²)² = a²(x² − y² + λxy); चाल |dw/dz| = 2ma²/(r₁r₂r₃)।

उदाहरण 12 (UPSC 2020, 15 अंक): m/2 शक्ति वाले दो स्रोत, बिन्दुओं (±a, 0) पर स्थित हैं। दर्शाइए कि वृत्त x² + y² = a² के किसी भी बिन्दु पर वेग y-अक्ष के समान्तर तथा y के व्युत्क्रमानुपाती है।

w = −(m/2)log(z − a) − (m/2)log(z + a) = −(m/2)log(z² − a²), अतः dw/dz = −mz/(z² − a²)।

z = ae^iθ पर: z² − a² = a²e^iθ(e^iθ − e^−iθ) = 2ia²e^iθsin θ, अतः dw/dz = −m/(2ia sin θ) = im/(2y); चूँकि dw/dz = −u + iv, u = 0 और v = m/(2y)।

उत्तर: वृत्त पर वेग Oy के समांतर है, परिमाण m/(2|y|), जो y के व्युत्क्रमानुपाती है।

उदाहरण 13 (UPSC 2021, 10 अंक): उद्गमों (स्रोतों) व अभिगमों (सिंकों) के किस विन्यास से वेग विभव w = log_e(z − a²/z) हो सकता है? संगत धारा-रेखाओं का ख़ाका खींचिए और सिद्ध कीजिए कि उनमें से दो, वृत्त r = a तथा y-अक्ष में प्रविभाजित होती हैं।

w = log(z − a²/z) = log(z − a) + log(z + a) − log z; q = −∇φ के साथ (स्रोत m: w = −m log(z − z₀)) यह z = ±a में से प्रत्येक पर एकक अभिगम और z = 0 पर एकक स्रोत है (q = ∇φ के साथ: ±a पर स्रोत और O पर अभिगम)।

ψ = arg(z − a²/z) और z − a²/z = x(1 − a²/r²) + iy(1 + a²/r²), अतः tan ψ = y(r² + a²)/(x(r² − a²))।

ψ = 0, π से y = 0 (x-अक्ष); ψ = ±π/2 के लिए x(1 − a²/r²) = 0, अर्थात x = 0 या r = a। रेखाचित्र: दोनों अक्षों के प्रति सममित वक्र, जो स्रोत O से निकलते (या अनंत से आते) हैं और अभिगमों ±a पर समाप्त होते हैं।

उत्तर: ±a पर अभिगम और O पर स्रोत (इस परिपाटी में सामर्थ्य 1); धारा रेखा ψ = ±π/2, वृत्त r = a और y-अक्ष में विभाजित होती है।

उदाहरण 14 (UPSC 2021, 20 अंक): दर्शाइए कि सम्मिश्र विभव tan⁻¹z के लिए धारा-रेखाएँ तथा समविभव वक्र, वृत्त हैं। किसी भी बिन्दु पर वेग निकालिए तथा z = ±i पर विचित्रता जाँचिए।

tan⁻¹z = (1/(2i))log((1 + iz)/(1 − iz)) = −(i/2)log((z − i)/(z + i)) + अचर; z − i = r₁e^iθ₁, z + i = r₂e^iθ₂ लेकर φ = (θ₁ − θ₂)/2 और ψ = −(1/2)log(r₁/r₂)।

धारा रेखाएँ r₁/r₂ = λ: x² + (y − 1)² = λ²[x² + (y + 1)²], सीमा बिंदुओं ±i वाले वृत्त; समविभव θ₁ − θ₂ = अचर: x² + y² − 1 = μx, ±i से जाने वाले वृत्त।

dw/dz = 1/(1 + z²), अतः चाल 1/|1 + z²| = 1/(r₁r₂), जो z = ±i पर अनंत है।

z = i के निकट w ≈ −(i/2)log(z − i): φ बहुमानी और ψ एकमानी है, अतः यह बिंदु भ्रमिल है, i के परितः परिसंचरण −π (दक्षिणावर्त) और −i के परितः +π।

उत्तर: धारा रेखाएँ और समविभव समाक्ष वृत्तों के दो लांबिक कुल हैं; चाल 1/(r₁r₂); ±i पर विचित्रताएँ परिसंचरण π के बराबर और विपरीत बिंदु भ्रमिल हैं (विभव i tan⁻¹z के लिए ये स्रोत और अभिगम होते)।

उदाहरण 15 (UPSC 2022, 20 अंक): दो बिन्दु भ्रमिल, जहाँ प्रत्येक का सामर्थ्य k है, (±a, 0) पर स्थित हैं तथा −k/2 सामर्थ्य का एक बिन्दु भ्रमिल, मूलबिन्दु पर स्थित है। दर्शाइये कि तरल गति अचल है तथा धारारेखाओं के समीकरण भी ज्ञात कीजिये। यदि धारारेखाएँ, जो कि प्रगतिरोध बिन्दुओं (स्टैगनेशन पॉइन्ट) से गुजरती हैं, x-अक्ष पर (±b, 0) पर मिलती हैं, तब दर्शाइये कि 3√3 (b² − a²)² = 16a³b.

w = ik[log(z − a) + log(z + a) − (1/2)log z]। a पर स्थित भ्रमिल अन्यों के वेग से चलता है: −u + iv = ik/(2a) − (ik/2)/a = 0; सममिति से −a वाला भ्रमिल भी स्थिर है, और O पर ±a के प्रभाव कट जाते हैं, अतः गति अचल है।

ψ = k[log r₁ + log r₂ − (1/2)log r], अतः धारा रेखाएँ r₁²r₂² = cr हैं, अर्थात [(x² + y² + a²)² − 4a²x²]² = c²(x² + y²)।

प्रगतिरोध बिंदु: dw/dz = ik(3z² + a²)/(2z(z² − a²)) = 0, z = ±ia/√3 पर, जहाँ r₁²r₂² = |z² − a²|² = 16a⁴/9 और r = a/√3, अतः c = 16√3a³/9।

(b, 0) पर r₁²r₂² = (b² − a²)² और r = b, अतः (b² − a²)² = 16√3a³b/9।

उत्तर: गति अचल है; धारा रेखाएँ r₁²r₂² = cr; अंतिम संबंध से 3√3(b² − a²)² = 16a³b।

उदाहरण 16 (UPSC 2022, 20 अंक): सत्यापित कीजिये कि एक वृत्ताकार बेलन के इर्द-गिर्द एक तरल के अपरिवर्ती प्रवाह का सम्मिश्र विभव w = ik log{(z − ia)/(z + ia)} है, जहाँ समतल y = 0 एक दृढ़ सीमा है। बेलन की एकक लम्बाई (यूनिट लेंथ) पर तरल द्वारा लगाये गये बल को भी ज्ञात कीजिये।

z − ia = r₁e^iθ₁, z + ia = r₂e^iθ₂ लेकर: ψ = k log(r₁/r₂); y = 0 पर r₁ = r₂ और ψ = 0, अतः तल y = 0 धारा रेखा (दृढ़ सीमा) है।

प्रत्येक वृत्त r₁/r₂ = λ (0 < λ < 1), z = ia के परितः धारा रेखा है; इनमें से एक को स्थिर बेलन मानने पर w, y > 0 में उसके बाहर एक अपरिवर्ती प्रवाह है: बेलन के परितः परिसंचरण 2πk, और दीवार में −ia पर उसका प्रतिबिंब −k।

ब्लेसियस (कंटूर केवल z = ia को घेरता है): (dw/dz)² = −k²[1/(z − ia)² + 1/(z + ia)² − 2/((z − ia)(z + ia))], जिसका ia पर अवशेष −k²(−2/(2ia)) = −ik²/a है।

अतः ∮(dw/dz)²dz = 2πi(−ik²/a) = 2πk²/a और X − iY = (iρ/2)(2πk²/a) = iπρk²/a: X = 0, Y = −πρk²/a।

उत्तर: w दिया गया अपरिवर्ती प्रवाह है; प्रति एकक लंबाई बल πρk²/a है, दीवार के लंबवत और उसकी ओर (बेलन दीवार की ओर आकर्षित होता है)।

उदाहरण 17 (UPSC 2023, 10 अंक): एक तरल प्रवाह में, 2m सामर्थ्य का एक स्रोत z = 2 पर स्थित है तथा m सामर्थ्य के दो अभिगम (सिंक) z = 2 + i और z = 2 − i पर स्थित हैं। प्रवाह-रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

w = −2m log(z − 2) + m log(z − 2 − i) + m log(z − 2 + i) = m log(1 + 1/ζ²), जहाँ ζ = z − 2 = X + iY, X = x − 2, Y = y।

1 + 1/ζ² = 1 + ζ̄²/|ζ|⁴ = [(X² + Y²)² + X² − Y² − 2iXY]/(X² + Y²)², अतः ψ = −m tan⁻¹[2XY/((X² + Y²)² + X² − Y²)]।

उत्तर: धारा रेखाएँ ((x − 2)² + y²)² + (x − 2)² − y² = λ(x − 2)y, λ एक प्राचल।

उदाहरण 18 (UPSC 2024, 20 अंक): मान लीजिए कि एक अनंत द्रव में दो समानांतर, समान तथा विपरीत सरलरेखीय भ्रमिल 2a की दूरी पर हैं। दर्शाइए कि भ्रमिल के सापेक्ष धारा रेखाएँ समीकरण
log [(x² + (y − a)²)/(x² + (y + a)²)] + y/a = C
द्वारा दी गई हैं, जहाँ C एक अचर है, मूल-बिंदु जुड़ाव का मध्य बिंदु है, और भ्रमिलों को जोड़ने वाली रेखा y का अक्ष है।

ia पर भ्रमिल k और −ia पर −k रखें: w = ik log((z − ia)/(z + ia))। ia वाले भ्रमिल के लिए −u + iv = −ik/(2ia) = −k/(2a), अतः u = k/(2a), v = 0; दूसरे का वेग भी यही है, अतः युग्म Ox के अनुदिश U = k/(2a) चाल से चलता है।

भ्रमिलों को विराम में लाने के लिए Ox के अनुदिश धारा −U (विभव Uz) अध्यारोपित करें: w′ = ik log((z − ia)/(z + ia)) + kz/(2a)।

ψ′ = k log(r₁/r₂) + ky/(2a) = (k/2){log[(x² + (y − a)²)/(x² + (y + a)²)] + y/a}।

उत्तर: सापेक्ष धारा रेखाएँ ψ′ = अचर हैं: log[(x² + (y − a)²)/(x² + (y + a)²)] + y/a = C।

उदाहरण 19 (UPSC 2025, 10 अंक): बराबर सामर्थ्य के एक स्रोत और एक अभिगम एक निश्चित वृत्तीय सीमा x² + y² = a² के अंतर्गत बिंदुओं (±a/2, 0) पर रखे हैं। दर्शाइए कि धारारेखाएँ
(r² − a²/4)(r² − 4a²) − 4a²y² = ky(r² − a²)
द्वारा दी जाती हैं, जहाँ k एक अचर है और r² = x² + y² है।

f(z) = −m log(z − a/2) + m log(z + a/2); वृत्त प्रमेय से f̄(a²/z) = −m log(z − 2a) + m log(z + 2a) + अचर (log z वाले पद कट जाते हैं): प्रतिबिंब 2a पर स्रोत और −2a पर अभिगम।

w = −m log[(P − Q)/(P + Q)], जहाँ P = z² + a², Q = (5a/2)z, क्योंकि (z − a/2)(z − 2a) = P − Q और (z + a/2)(z + 2a) = P + Q।

arg[(P − Q)/(P + Q)] = arg[(P − Q)(P̄ + Q̄)] और (P − Q)(P̄ + Q̄) = |P|² − |Q|² + 2i Im(PQ̄), जहाँ Im(PQ̄) = (5a/2)y(r² − a²)।

|P|² − |Q|² = r⁴ + 2a²(x² − y²) + a⁴ − (25/4)a²r² = (r² − a²/4)(r² − 4a²) − 4a²y²।

उत्तर: ψ = अचर से (r² − a²/4)(r² − 4a²) − 4a²y² = ky(r² − a²); सीमा r = a और x-अक्ष धारा रेखा y(r² − a²) = 0 बनाते हैं।

उदाहरण 20 (UPSC 2026, 15 अंक): माना त्रिज्या 'a' के एक अनंत लंबे बेलन को वेग −V î की एक एकसमान धारा में रखा गया है। मिल्ने-थॉमसन के वृत्त प्रमेय के उपयोग से इसका सम्मिश्र वेग विभव क्या होगा? इसके अतिरिक्त, यदि बेलन के परितः k का एक परिसंचरण उत्पन्न किया जाता है, तो प्रगतिरोध बिंदु ज्ञात कीजिए। क्या वे ऊर्ध्वाधर दिशा में उत्थापन प्रवृत्ति उत्पन्न करते हैं? व्याख्या कीजिए कि कैसे।

Ox के अनुदिश धारा U का विभव −Uz है, अतः धारा −Vî के लिए f(z) = Vz; वृत्त प्रमेय से w = Vz + Va²/z = V(z + a²/z), और वामावर्त परिसंचरण k के साथ w = V(z + a²/z) + (ik/(2π))log z।

dw/dz = V(1 − a²/z²) + ik/(2πz) = 0 से Vz² + (ik/(2π))z − Va² = 0, z = [−ik/(2π) ± √(4V²a² − k²/(4π²))]/(2V)।

यदि k < 4πaV तो दोनों r = a पर sin θ = −k/(4πaV) (निचला अर्ध) पर हैं; यदि k = 4πaV तो वे z = −ia पर संपाती हैं; यदि k > 4πaV तो एक ऋण y-अक्ष पर तरल में है।

ब्लेसियस: (dw/dz)² का 1/z पद iVk/(πz) है, अतः ∮(dw/dz)²dz = −2Vk और X − iY = (iρ/2)(−2Vk) = −iρVk: X = 0, Y = ρVk।

उत्तर: w = V(z + a²/z) + (ik/(2π))log z; प्रगतिरोध बिंदु ऊपर अनुसार; हाँ, प्रति एकक लंबाई ρVk का उत्थापन ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर लगता है: परिसंचरण बेलन के ऊपर धारा की चाल बढ़ाता और नीचे घटाता है, अतः बर्नूली से ऊपर दाब कम होता है (कुट्टा–जूकोव्स्की; मैग्नस प्रभाव)।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): w = z² (परिपाटी q = −∇φ) के लिए z = 1 + i पर वेग घटक और चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dw/dz = 2z = 2 + 2i = −u + iv, अतः u = −2, v = 2 और चाल 2√2 है।

अभ्यास 2 (मूल): z = 1 पर सामर्थ्य 2 के स्रोत और z = −1 पर सामर्थ्य 2 के अभिगम का सम्मिश्र विभव लिखिए, और मूलबिंदु पर वेग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: w = −2 log(z − 1) + 2 log(z + 1); z = 0 पर dw/dz = 2 + 2 = 4 = −u + iv, अतः u = −4, v = 0: अभिगम की ओर चाल 4।

अभ्यास 3 (मूल): सम्मिश्र विभव w = −(iΓ/(2π))log z, Γ > 0, वाले प्रवाह का वर्णन कीजिए।

उत्तर: मूलबिंदु पर दक्षिणावर्त परिसंचरण Γ का रेखीय भँवर (वामावर्त अर्थ में परिसंचरण −Γ); चाल Γ/(2πr) है।

अभ्यास 4 (मानक): दिखाइए कि w = −(m + ik)log z (m, k धनात्मक) की धारारेखाएँ समकोणिक सर्पिल हैं, और चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ψ = −(mθ + k log r), अतः ψ = अचर से r = Ce^−mθ/k, एक समकोणिक सर्पिल; चाल |dw/dz| = √(m² + k²)/r है (भँवर के साथ संयुक्त स्रोत)।

अभ्यास 5 (मानक): त्रिज्या a के स्थिर वृत्तीय बेलन के पार बिना परिसंचरण की एकसमान धारा U के लिए पृष्ठ के वे बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ दाब अनंत पर दाब p_∞ के बराबर है।

उत्तर: p = p_∞ + (1/2)ρU²(1 − 4sin²θ), जो sin θ = ±1/2 पर p_∞ के बराबर है: θ = ±π/6 और ±5π/6, जहाँ पृष्ठ चाल ठीक U है।

अभ्यास 6 (मानक): परिसंचरण Γ₁ और Γ₂ (Γ₁ + Γ₂ ≠ 0) के दो रेखीय भँवर एक अनंत द्रव में दूरी d पर हैं। दिखाइए कि वे एक स्थिर बिंदु के परितः घूमते हैं और कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक संयोजक रेखा के लंबवत चाल Γ_{दूसरा}/(2πd) से चलता है; संयोजक रेखा को Γ₂ : Γ₁ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु स्थिर रहता है, और संयोजक रेखा का कोणीय वेग (Γ₁ + Γ₂)/(2πd²) है।

अभ्यास 7 (मानक): रेखीय भँवर Γ, स्थिर बेलन |z| = a के बाहर z = c (c वास्तविक, c > a) पर है, बेलन के परितः कोई परिसंचरण नहीं। प्रतिबिंब निकाय और भँवर का वेग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वृत्त प्रमेय से प्रतिबिंब a²/c पर −Γ और केंद्र पर +Γ हैं; भँवर केंद्रों की रेखा के लंबवत चाल Γa²/(2πc(c² − a²)) से चलता है, अतः वह बेलन की परिक्रमा कोणीय वेग Γa²/(2πc²(c² − a²)) से, अपने घूर्णन की विपरीत दिशा में करता है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): घनत्व ρ के द्रव में स्थिर वृत्तीय बेलन |z| = a के बाहर z = c (c > a) पर सामर्थ्य m का स्रोत है। वृत्त प्रमेय और ब्लैसियस प्रमेय से बेलन पर प्रति इकाई लंबाई बल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: w = −m log(z − c) − m log(z − a²/c) + m log z; a²/c और 0 पर (dw/dz)² के अवशेष केंद्रों की रेखा के अनुदिश स्रोत की ओर बल 2πρm²a²/(c(c² − a²)) देते हैं (बेलन आकर्षित होता है)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): त्रिज्या a का गोला अनंत पर विराम में घनत्व ρ के द्रव में Ox के अनुदिश वेग U से चलता है। φ (q = −∇φ) और द्रव की गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: φ = Ua³cos θ/(2r²), जो r = a पर q_r = U cos θ देता है; गतिज ऊर्जा (1/3)πρa³U² है, अर्थात योजित द्रव्यमान M′ = (2/3)πρa³ के साथ (1/2)M′U², जो विस्थापित द्रव के द्रव्यमान का आधा है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): मूलबिंदु पर बिंदु स्रोत m (निर्गम 4πm) को Ox के अनुदिश एकसमान धारा U में रखा गया है। ψ = m cos θ − (1/2)Ur²sin²θ से स्तब्धता बिंदु, विभाजक धारा पृष्ठ, और बहुत दूर अनुप्रवाह में उससे बने पिंड की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: θ = π, r = √(m/U) पर q_r = m/r² + U cos θ = 0; वहाँ ψ = −m, अतः विभाजक पृष्ठ Ur²sin²θ = 2m(1 + cos θ) है; θ → 0 पर अक्ष से दूरी 2√(m/U) की ओर प्रवृत्त होती है।

1. लग्रांजी और हैमिल्टनी यांत्रिकी

प्रश्न 1 (15 अंक): द्रव्यमान m का कण अर्ध-शीर्ष कोण α वाले लंब वृत्तीय शंकु के चिकने आंतरिक पृष्ठ पर गति करता है, जिसका अक्ष ऊर्ध्वाधर और शीर्ष नीचे है। लग्रांज समीकरणों से दिखाइए कि अक्ष के परितः कोणीय संवेग अचर है, और जनक के अनुदिश शीर्ष से r₀ दूरी पर क्षैतिज वृत्त में स्थायी गति के लिए कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

व्यापकीकृत निर्देशांक: r (जनक के अनुदिश शीर्ष से दूरी) और दिगंश θ; कण की ऊँचाई r cos α और अक्ष से दूरी r sin α है।

T = (m/2)(ṙ² + r²sin²α θ̇²), V = mgr cos α।

θ चक्रीय है, अतः p_θ = mr²sin²α θ̇ अचर है: यही अक्ष के परितः कोणीय संवेग है।

r-समीकरण r̈ − r sin²α θ̇² + g cos α = 0 है।

स्थायी गति r = r₀ के लिए r̈ = 0 से r₀sin²α θ̇² = g cos α।

उत्तर: mr²sin²α θ̇ अचर है; θ̇² = g cos α/(r₀sin²α)।

प्रश्न 2 (15 अंक): चिकनी क्षैतिज मेज़ पर द्रव्यमान m का कण मेज़ के स्थिर बिंदु O से दृढ़ता k और स्वाभाविक लंबाई l की हल्की स्प्रिंग द्वारा जुड़ा है। ध्रुवीय निर्देशांकों में हैमिल्टनी और हैमिल्टन समीकरण लिखिए, और त्रिज्या b (b > l) की स्थायी वृत्तीय गति का कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

T = (m/2)(ṙ² + r²θ̇²), V = (k/2)(r − l)²; p_r = mṙ, p_θ = mr²θ̇।

प्रतिबंध कालनिरपेक्ष (scleronomic) हैं, अतः H = T + V = p_r²/(2m) + p_θ²/(2mr²) + (k/2)(r − l)²।

ṙ = p_r/m, θ̇ = p_θ/(mr²), ṗ_r = p_θ²/(mr³) − k(r − l), ṗ_θ = 0।

स्थायी गति r = b के लिए p_r = 0 और ṗ_r = 0 चाहिए; p_θ = mb²ω लेकर इससे mbω² = k(b − l) मिलता है।

उत्तर: H = p_r²/(2m) + p_θ²/(2mr²) + (k/2)(r − l)²; ω = √(k(b − l)/(mb))।

प्रश्न 3 (10 अंक): दोलित्र H = (p² + ω²q²)/2 के लिए दिखाइए कि F = log(p + iωq) − iωt गति का अचर है।

dF/dt = [F, H] + ∂F/∂t, जहाँ ∂F/∂t = −iω।

∂F/∂q = iω/(p + iωq), ∂F/∂p = 1/(p + iωq), ∂H/∂q = ω²q, ∂H/∂p = p।

[F, H] = (∂F/∂q)(∂H/∂p) − (∂F/∂p)(∂H/∂q) = (iωp − ω²q)/(p + iωq) = iω(p + iωq)/(p + iωq) = iω।

अतः dF/dt = iω − iω = 0।

उत्तर: F अचर है; तुल्यतः p + iωq = Ce^iωt, जिसमें हल q = A sin(ωt + ε), p = Aω cos(ωt + ε) निहित है।

2. जड़त्व आघूर्ण और समतल दृढ़ पिंड गति

प्रश्न 4 (15 अंक): द्रव्यमान M और त्रिज्या a का एकसमान ठोस बेलन क्षैतिज से α पर झुके खुरदरे तल पर बिना फिसले लुढ़कता है। उसके केंद्र का त्वरण, घर्षण, आवश्यक न्यूनतम घर्षण गुणांक, और विरामावस्था से s दूरी उतरने के बाद उसकी चाल ज्ञात कीजिए।

तल के अनुदिश Mf = Mg sin α − F; G के परितः (Ma²/2)ω̇ = Fa; लोटन से f = aω̇।

अतः F = Mf/2 और Mf = Mg sin α − Mf/2, जिससे f = (2/3)g sin α और F = (1/3)Mg sin α।

अभिलंब प्रतिक्रिया Mg cos α है, और लोटन के लिए F ≤ μMg cos α, अर्थात् μ ≥ (1/3)tan α चाहिए।

ऊर्जा (लोटन में घर्षण कोई कार्य नहीं करता): (1/2)Mv² + (1/2)(Ma²/2)(v/a)² = (3/4)Mv² = Mgs sin α।

उत्तर: f = (2/3)g sin α, F = (1/3)Mg sin α, μ ≥ (1/3)tan α, v = √((4/3)gs sin α)।

प्रश्न 5 (15 अंक): लंबाई 2a की एकसमान छड़ को उसके निचले सिरे को चिकने क्षैतिज फर्श पर रखकर ऊर्ध्वाधर पकड़ा जाता है और छोड़ दिया जाता है। ऊर्ध्वाधर से कोण θ बनाने पर उसका कोणीय वेग, और फर्श पर पहुँचने पर उसके केंद्र की चाल ज्ञात कीजिए।

फर्श चिकना है, अतः कोई क्षैतिज बल नहीं: G का क्षैतिज निर्देशांक अचर रहता है और G ऊर्ध्वाधर गिरता है, जहाँ y_G = a cos θ।

ẏ_G = −a sin θ θ̇, अतः T = (1/2)Ma²sin²θ θ̇² + (1/2)(Ma²/3)θ̇²।

ऊर्जा: (1/2)Ma²(sin²θ + 1/3)θ̇² = Mga(1 − cos θ), अतः θ̇² = 6g(1 − cos θ)/(a(1 + 3sin²θ))।

θ = π/2 पर: θ̇² = 6g/(4a) = 3g/(2a), और G की चाल aθ̇ sin θ = a√(3g/(2a)) है।

उत्तर: θ̇² = 6g(1 − cos θ)/(a(1 + 3sin²θ)); G फर्श पर √(3ga/2) चाल से पहुँचता है।

प्रश्न 6 (10 अंक): द्रव्यमान M की एकसमान त्रिभुजाकार पटल का उसकी एक भुजा के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए, जहाँ उस भुजा पर शीर्षलंब h है।

मान लें भुजा की लंबाई b है और वह Ox के अनुदिश है; ऊँचाई y पर पट्टी की लंबाई b(1 − y/h) और चौड़ाई dy है, तथा पृष्ठ घनत्व σ = 2M/(bh) है।

I = ∫₀^h y²σb(1 − y/h) dy = σb(h³/3 − h³/4) = σbh³/12।

σ रखने पर: I = (2M/(bh))(bh³/12)।

उत्तर: I = Mh²/6।

प्रश्न 7 (10 अंक): त्रिज्या a की एकसमान वृत्तीय चक्रिका अपनी परिधि के एक बिंदु से जाने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः अपने ही ऊर्ध्वाधर तल में दोलन करती है। तुल्य सरल लोलक की लंबाई, और चक्रिका के लंबवत अक्षों से प्राप्त हो सकने वाला न्यूनतम आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

G से जाने वाले समांतर अक्ष के परितः k² = a²/2, और यहाँ h = a।

तुल्य लंबाई (k² + h²)/h = (a²/2 + a²)/a = 3a/2, अतः आवर्तकाल 2π√(3a/(2g)) है।

आवर्तकाल 2π√((k² + h²)/(gh)) तब न्यूनतम है जब h = k = a/√2, जहाँ तुल्य लंबाई 2k = √2 a है।

उत्तर: 3a/2, आवर्तकाल 2π√(3a/(2g)) के साथ; न्यूनतम आवर्तकाल 2π√(√2 a/g) है, केंद्र से a/√2 दूरी पर अक्ष के लिए।

3. तरल शुद्धगतिकी (परिपाटी q = −∇φ)

प्रश्न 8 (15 अंक): दिखाइए कि u = −2xy/(x² + y²)², v = (x² − y²)/(x² + y²)² असंपीड्य तरल की एक संभव अघूर्णी गति है। φ, ψ, सम्मिश्र विभव और धारारेखाएँ ज्ञात कीजिए।

−u + iv = (2xy + i(x² − y²))/(x² + y²)² = i(x − iy)²/|z|⁴ = i/z², जो z ≠ 0 के लिए z का विश्लेषिक फलन है।

−u + iv के कॉशी–रीमान समीकरण ठीक ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 और ∂v/∂x − ∂u/∂y = 0 हैं, अतः गति असंपीड्य और अघूर्णी है; dw/dz = i/z² का समाकलन w = −i/z देता है।

w = −i(x − iy)/(x² + y²) = (−y − ix)/(x² + y²), अतः φ = −y/(x² + y²) और ψ = −x/(x² + y²)।

जाँच: −∂φ/∂x = −2xy/(x² + y²)² = u और −∂ψ/∂y = −2xy/(x² + y²)² = u।

धारारेखाएँ ψ = अचर: x² + y² = cx, मूलबिंदु पर y-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्त; यह प्रवाह मूलबिंदु पर ऋणात्मक y-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाला द्विक है (w = μe^iα/z, जहाँ μ = 1, α = −π/2)।

उत्तर: φ = −y/(x² + y²), ψ = −x/(x² + y²), w = −i/z; धारारेखाएँ x² + y² = cx।

प्रश्न 9 (10 अंक): अस्थायी प्रवाह u = x + t, v = −y + t के लिए समय t पर धारारेखाएँ और उस कण का कण-पथ ज्ञात कीजिए जो t = 0 पर (1, 1) पर है।

धारारेखाएँ (t स्थिर): dx/(x + t) = dy/(t − y), अतः log(x + t) = −log(y − t) + अचर, अर्थात् (x + t)(y − t) = C।

कण-पथ: dx/dt = x + t से x = Ae^t − t − 1, और dy/dt = −y + t से y = Be^−t + t − 1।

t = 0 पर x = y = 1 से A = 2, B = 2।

t = 0 पर (1, 1) से जाने वाली धारारेखा xy = 1 है, जबकि कण-पथ (1, 1) से उसी दिशा में चलकर बाद में उससे हट जाता है, जैसा अस्थायी प्रवाह में अपेक्षित है।

उत्तर: धारारेखाएँ (x + t)(y − t) = C; कण-पथ x = 2e^t − t − 1, y = 2e^−t + t − 1।

प्रश्न 10 (10 अंक): सबसे व्यापक f(r), जहाँ r² = x² + y² + z², ज्ञात कीजिए जिसके लिए φ = xf(r) असंपीड्य तरल की किसी गति का वेग विभव हो।

चूँकि ∇·q = −∇²φ, सांतत्य के लिए ∇²φ = 0 आवश्यक है।

∇²(xf) = x∇²f + 2∇x·∇f + f∇²x = x(f″ + 2f′/r) + 2f′x/r = x(f″ + 4f′/r)।

अतः f″ + 4f′/r = 0, अर्थात् (r⁴f′)′ = 0, जिससे f′ = C/r⁴ और f = A + B/r³।

A = −U और B = −Ua³/2 लेने पर यह त्रिज्या a के गोले के पार प्रवाह φ = −U(r + a³/(2r²))cos θ है।

उत्तर: f(r) = A + B/r³, जहाँ A और B अचर हैं।

4. ऑयलर, बर्नूली और श्यान प्रवाह

प्रश्न 11 (15 अंक): त्रिज्या a का वृत्तीय बेलन, जिस पर वामावर्त परिसंचरण Γ है, Ox के अनुदिश एकसमान धारा U में रखा है। बेलन पर दाब और उसके समाकलन द्वारा प्रति इकाई लंबाई बल ज्ञात कीजिए।

w = −U(z + a²/z) + (iΓ/(2π)) log z से, r = a पर वेग स्पर्शरेखीय है और q_θ = −2U sin θ + Γ/(2πa)।

बर्नूली: p = p_∞ + (1/2)ρU² − (1/2)ρ[4U²sin²θ − 2UΓ sin θ/(πa) + Γ²/(4π²a²)]।

बल (X, Y) = −∫₀^2π p(cos θ, sin θ)a dθ है; cos θ के साथ अचर, sin θ और sin²θ पदों का समाकल 0 है, अतः X = 0।

sin θ के साथ केवल पद ρUΓ sin θ/(πa) शेष रहता है: Y = −(ρUΓ/(πa)) · a∫₀^2π sin²θ dθ = −ρUΓ।

उत्तर: p = p_∞ + (1/2)ρ[U² − (2U sin θ − Γ/(2πa))²]; धारा के लंबवत प्रति इकाई लंबाई ρUΓ बल (यहाँ नीचे की ओर) और शून्य कर्षण, जो ब्लासियस प्रमेय से मेल खाता है।

प्रश्न 12 (15 अंक): नेवियर–स्टोक्स समीकरणों से आरंभ करके, अचर दाब प्रवणता G = −dp/dz के अधीन त्रिज्या a की वृत्तीय नली से श्यान असंपीड्य तरल का स्थायी प्रवाह ज्ञात कीजिए, तथा निस्सरण और दीवार पर अपरूपण प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

बेलनी निर्देशांकों में वेग अक्ष Oz के अनुदिश u(r) लें; सांतत्य संतुष्ट है, (q·∇)q = 0, और अक्षीय समीकरण 0 = G + μ(1/r)d/dr(r du/dr) में बदल जाता है।

समाकलन से: r du/dr = −Gr²/(2μ) + A, जहाँ अक्ष पर du/dr परिमित रहने हेतु A = 0; तब u = −Gr²/(4μ) + B।

अफिसलन प्रतिबंध u(a) = 0 से u = (G/(4μ))(a² − r²)।

Q = ∫₀^a 2πru dr = (πG/(2μ))(a⁴/2 − a⁴/4) = πGa⁴/(8μ); माध्य चाल Q/(πa²) = Ga²/(8μ) अधिकतम की आधी है।

दीवार पर अपरूपण प्रतिबल: r = a पर μ|du/dr| = μ · Ga/(2μ) = Ga/2।

उत्तर: u = (G/(4μ))(a² − r²), Q = πGa⁴/(8μ), दीवार पर अपरूपण प्रतिबल Ga/2।

प्रश्न 13 (10 अंक): अनुप्रस्थ काट A की ऊर्ध्वाधर बेलनाकार टंकी में ऊँचाई H तक द्रव है, जो उसके तल में क्षेत्रफल a के छोटे छिद्र से निकलता है। अर्ध-स्थायी प्रवाह मानकर उसे खाली होने में लगा समय ज्ञात कीजिए।

मुक्त पृष्ठ और जेट के बीच बर्नूली (दोनों पर वायुमंडलीय दाब, पृष्ठ की चाल नगण्य): गहराई h पर निस्सरण चाल √(2gh) है।

सांतत्य: A dh/dt = −a√(2gh)।

चर पृथक करने पर: dh/√h = −(a/A)√(2g) dt, अतः 2√H = (a/A)√(2g) T।

उत्तर: T = (A/a)√(2H/g)।

5. सम्मिश्र विभव, प्रतिबिंब और भँवर

प्रश्न 14 (15 अंक): (−a, 0) पर सामर्थ्य m का स्रोत और (a, 0) पर सामर्थ्य m का अभिगम Ox के अनुदिश एकसमान धारा U में रखे गए हैं। सम्मिश्र विभव, स्तब्धता बिंदु और विभाजक धारारेखा से घिरे बंद पिंड (रैंकिन अंडाकार) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

w = −Uz − m log(z + a) + m log(z − a)।

dw/dz = −U − m/(z + a) + m/(z − a) = −U + 2ma/(z² − a²)।

dw/dz = 0 से z² = a² + 2ma/U, अतः स्तब्धता बिंदु Ox पर z = ±√(a² + 2ma/U) हैं।

ψ = −Uy − mθ₁ + mθ₂, जहाँ θ₁ और θ₂ स्रोत और अभिगम पर कोण हैं; उन्हें मिलाने वाले खंड के बाहर Ox पर ψ = 0, अतः विभाजक धारारेखा ψ = 0 है और यह दोनों स्तब्धता बिंदुओं से गुजरती है।

उत्तर: w = −Uz − m log((z + a)/(z − a)); स्तब्धता बिंदु (±√(a² + 2ma/U), 0); अंडाकार की लंबाई 2√(a² + 2ma/U)।

प्रश्न 15 (15 अंक): वामावर्त परिसंचरण Γ का सरलरेखीय भँवर धनात्मक अक्षों के अनुदिश दृढ़ दीवारों से घिरे चतुर्थांश x > 0, y > 0 में है। प्रतिबिंब निकाय ज्ञात कीजिए, और दिखाइए कि भँवर वक्र 1/x² + 1/y² = अचर के अनुदिश गति करता है।

प्रतिबिंब: (−x, y) पर −Γ, (x, −y) पर −Γ और (−x, −y) पर +Γ; यह निकाय दोनों अक्षों को धारारेखा बनाता है।

2x दूरी पर प्रतिबिंब −Γ, y-दिशा में वेग −Γ/(4πx) प्रेरित करता है; 2y दूरी पर प्रतिबिंब −Γ, x-दिशा में Γ/(4πy) प्रेरित करता है।

2r दूरी (r² = x² + y²) पर प्रतिबिंब +Γ, (Γ/(4πr²))(−y, x) प्रेरित करता है।

अतः ẋ = (Γ/(4π))(1/y − y/r²) = Γx²/(4πyr²) और ẏ = −(Γ/(4π))(1/x − x/r²) = −Γy²/(4πxr²)।

भाग देने पर dy/dx = −y³/x³, अतः dx/x³ + dy/y³ = 0।

उत्तर: पथ 1/x² + 1/y² = अचर है, जो दोनों दीवारों के समांतर रेखाओं की ओर अनंतस्पर्शी वक्र है।

1. व्यापकीकृत निर्देशांक, डी'एलेम्बर्ट सिद्धांत और लग्रांज समीकरण

2026 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: 2a लंबी और m द्रव्यमान की एक चिकनी एकसमान छड़, माना OA, का एक सिरा एक निश्चित बिंदु O पर धुराग्रस्थ (पिवटिड) है। छड़ नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर रेखा OZ से θ कोण पर झुकी हुई है और समतल OAZ, एक निश्चित ऊर्ध्वाधर समतल से कोण φ बनाती है। λm द्रव्यमान का एक मनका छड़ पर निर्विघ्न (स्मूथली) फिसलता है और nmg मापांक (मॉड्यूल्स) और प्राकृतिक लंबाई a की एक हल्की प्रत्यास्थ डोरी के द्वारा O से जुड़ा है। दर्शाइए कि इस तंत्र (सिस्टम) की गतिज ऊर्जा T, 2T = (4/3)ma²(θ̇² + φ̇² sin θ) + λm(ẋ² + x²θ̇² + x²θ̇² sin²θ) द्वारा दी जाती है, जहाँ x डोरी की तनी हुई (स्ट्रेच्ड) लंबाई है, और गति के समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: x = a(θ − sin θ), y = a(1 + cos θ), (0 ≤ θ ≤ 2π) द्वारा दिए गए एक चक्रज के रूप में एक घर्षणहीन तार पर m द्रव्यमान का एक मनका फिसलता है। लग्रांजी फलन ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि गति का समीकरण
d²u/dt² + (g/4a) u = 0
के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ u = cos(θ/2) है। (4 + 6 = 10 अंक)

2023 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: स्वतंत्रता की कोटि 2 के एक यांत्रिक तंत्र का लग्रांजियन L = (1/2)m(ẋ² + ẏ²) − (1/2)m(w₁²x² + w₂²y²) + kxy है, जहाँ m, w₁, w₂, k अचर हैं। वह प्राचल θ ज्ञात कीजिए, जिसके लिए रूपांतरण x = q₁ cos θ − q₂ sin θ, y = q₁ sin θ + q₂ cos θ के अंतर्गत q₁, q₂ के पदों में लग्रांजियन में गुणन पद q₁q₂ नहीं होगा। प्राचल θ से स्वतंत्र, q₁ तथा q₂ के सापेक्ष लग्रांज समीकरणों को ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: एक कण, जो बल-केन्द्र से r दूरी पर है, केन्द्रीय बल F = −k/r², जहाँ k एक स्थिरांक है, के प्रभाव में गतिमान है। लग्रांजियन निकालिये तथा गति के समीकरणों को व्युत्पन्न कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: ऊर्ध्वाधर xy-तल में स्थित एक वृत्त के अनुदिश एक कण गति के लिए व्यवरुद्ध है। डी’एलम्बर्ट के नियम की सहायता से दर्शाइए कि इसकी गति का समीकरण ẍy − ÿx − gx = 0 है, जहाँ g गुरुत्वीय त्वरण है।

2021 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 15 अंक: एक छोटी चिकनी घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली एक अवितान्य डोरी के सिरों से बंधे असमान संहति वाले दो कणों के निकाय की गति के लिए लग्रांजी समीकरण ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: मान लीजिए किसी यांत्रिक-निकाय का लेगरान्जियन :
L = (1/2) m(aẋ² + 2bẋẏ + cẏ²) − (1/2) k(ax² + 2bxy + cy²),
के द्वारा द्योतित है जहाँ a, b, c, m (> 0), k (> 0) स्थिरांक हैं तथा b² ≠ ac लेगरान्जियन समीकरणों को लिखिए तथा निकाय को पहचानिए।

2017 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: दो एकसमान छड़ों AB, AC को, जिसमें प्रत्येक का द्रव्यमान m तथा लम्बाई 2a है, मसृण तरीक़े से A पर कब्ज़े के साथ जोड़ा गया है तथा वे क्षैतिज समतल पर गतिमान हैं। समय t पर, समतल में स्थिर लंब अक्ष Ox, Oy के सन्दर्भ में छड़ों का द्रव्यमान केन्द्र बिन्दु (ξ, η) पर है तथा छड़ें Ox के साथ θ ± φ का कोण बनाती हैं। सिद्ध कीजिए कि तंत्र की गतिज ऊर्जा
m[ξ̇² + η̇² + (1/3 + sin²φ)a²θ̇² + (1/3 + cos²φ)a²φ̇²] है।
साथ ही तंत्र के लिए गति के लग्रांज समीकरणों को भी व्युत्पन्न कीजिए, यदि घटकों [X, Y] सहित एक बाहरी बल अक्षों के साथ-साथ, A बिन्दु पर क्रिया करता है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: लम्बाई l तथा झुकाव के कोण φ के साथ एक झुके हुए समतल पर r त्रिज्या का एक हूप बिना फिसले लुढ़क रहा है। तंत्र को उचित व्यापकीकृत निर्देशांक दीजिए। व्यवरोध, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए। तंत्र के लिए लग्रांजी समीकरण लिखिए। तब या अन्यथा झुके हुए समतल के निचले सिरे पर हूप का वेग ज्ञात कीजिए।

2. हैमिल्टन समीकरण

2025 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: (i) विभव
V(r) = −k cos θ/r², k अचर है
के एक बल क्षेत्र में द्रव्यमान m का एक कण गतिमान है। गोलीय ध्रुवीय निर्देशांकों (r, θ, φ) में हैमिल्टोनियन और हैमिल्टन का समीकरण ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(ii) लग्रांजी L = m ẋ ẏ − mω₀² xy, जहाँ m और ω₀ अचर हैं, का विचार कीजिए। हैमिल्टोनियन और गति का हैमिल्टन समीकरण ज्ञात कीजिए। तंत्र (सिस्टम) की पहचान बताइए। (10 अंक)

2023 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: m द्रव्यमान का एक ग्रह M द्रव्यमान के सूर्य की परिक्रमा कर रहा है। ग्रह की गतिज ऊर्जा T तथा स्थितिज ऊर्जा V, T = (1/2)m(ṙ² + r²θ̇²) तथा V = GMm(1/(2a) − 1/r) द्वारा दी गई हैं, जहाँ t समय पर ग्रह के ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) हैं, गुरुत्वीय स्थिरांक G है तथा दीर्घवृत्त (ग्रह का पथ) का दीर्घ अक्ष 2a है। ग्रह की गति के लिए हैमिल्टनी तथा हैमिल्टन समीकरणों को ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: एक कण जिसकी संहति m है, x² + y² = R², जहाँ पर R अचर है, द्वारा परिभाषित बेलन पर गति के लिए व्यवरोधित है। कण मूल बिन्दु की ओर लगे बल जो कण की मूल बिन्दु से दूरी r के है, से प्रतिबन्धित है। बल F = −kr, जहाँ पर k अचर है, से दिया गया है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: हेमिल्टन समीकरण का उपयोग करते हुए, एक गोला, जो कि एक खुरदरी आनत तल (inclined plane) पर नीचे की ओर लुढ़क रहा है, का त्वरण ज्ञात करें, यदि x, तल पर निश्चित बिन्दु से गोले के सम्पर्क बिन्दु की दूरी है।

2018 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: किसी यांत्रिक निकाय का हैमिल्टोनियन H = p₁q₁ − aq₁² + bq₂² − p₂q₂ के द्वारा द्योतित है, जहाँ a, b स्थिरांक हैं। हैमिल्टोनियन समीकरणों का हल निकालिए तथा दर्शाइए कि (p₂ − bq₂)/q₁ = स्थिरांक।

2016 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: m द्रव्यमान का एक मुक्त-कण, जो बिना बलों के दिक्काल (space) में गतिमान है, का विचार कीजिए। यदि कण t = 0 पर मूल-बिन्दु से शुरुआत करता है तथा τ समय पर स्थिति (x, y, z) पर पहुँचता है, तो हैमिल्टन के अभिलक्षण फलन S को x, y, z, τ के एक फलन के रूप में ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: हैमिल्टोनियन उपागम का इस्तेमाल करते हुए समतल लोलक समस्या को हल कीजिए तथा दर्शाइए कि H गति का एक स्थिरांक है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: स्वातंत्र्य कोटि एक के एक निकाय के एक हैमिल्टोनियन का रूप निम्नलिखित है: H = p²/(2α) − bqpe^−αt + (bα/2)q²e^−αt(α + be^−αt) + (k/2)q² जहाँ α, b, k स्थिरांक हैं, q व्यापकीकृत निर्देशांक है तथा p संगत व्यापकीकृत संवेग है।
(i) इस हैमिल्टोनियन के संगत एक लग्रांजी ज्ञात कीजिए।
(ii) एक तुल्य लग्रांजी ज्ञात कीजिए, जो कि समय पर स्पष्ट रूप से आश्रित नहीं है। (10 + 10 = 20)

2014 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: हैमिल्टन के समीकरणों का इस्तेमाल करते हुए असरल लोलक की गति का समीकरण ज्ञात कीजिए।

3. जड़त्व आघूर्ण और दो विमाओं में दृढ़ पिंडों की गति

2026 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: त्रिज्या 'a' का एक एकसमान भारी ठोस अर्धगोला विरामावस्था की स्थिति में रखा है जबकि इसका आधार ऊर्ध्वाधर है और इसका वक्र पृष्ठ एक क्षैतिज समतल के संपर्क में है। यदि अर्धगोले को मुक्त (रिलीज़) किया जाता है, जब समतल इतना रूक्ष है कि फिसलन को रोक सके, तो दर्शाइए कि t समय पर कोण θ, जो अर्धगोले का आधार क्षैतिज से बनाता है, इस प्रकार है कि (dθ/dt)² = 15g cos θ/(a(28 − 15 cos θ)) है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 15 अंक: द्रव्यमान M, त्रिज्या R और लम्बाई L के एक एकसमान ठोस बेलन का, बेलन के केन्द्र से होकर जाने वाले अक्षों के एक समुच्चय के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण की गणना कीजिए, जहाँ z-अक्ष, बेलन का अक्ष है और ρ, बेलन के किसी भी बिन्दु पर अचर घनत्व है। बेलन के एक दिए गए द्रव्यमान के लिए L/R, जिसके लिए x- या y-अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम होगा, भी ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: द्रव्यमान m तथा लम्बाई 2a का एक खुरदुरा एकसमान बोर्ड एक चिकने क्षैतिज तल पर रखा है और M द्रव्यमान का एक व्यक्ति उस पर एक छोर से दूसरे छोर तक चलता है। इस दौरान बोर्ड द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 15 अंक: दीर्घवृत्तीय डिस्क x²/a² + y²/b² = 1, के एक चतुर्थांश, जिसका द्रव्यमान M है, का उसके तल के लंबवत तथा उसके केन्द्र से गुज़रने वाली रेखा के सापेक्ष, जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए। दिया गया है कि किसी भी बिन्दु पर घनत्व xy के समानुपाती है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 15 अंक: एक आदर्श रुक्ष गेंद एक खोखले बेलनाकार रोलर में विराम की स्थिति में है। रोलर को एक समतल पथ के अनुदिश एकसमान वेग V से खींचा जाता है। मान लीजिए कि a तथा b क्रमशः गेंद तथा रोलर की त्रिज्याएँ हैं। यदि V² > (27/7)g(b − a) है, तब दर्शाइए कि गेंद रोलर के अन्दर पूर्ण रूप से घूम जाएगी।

2022 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 15 अंक: एक लम्ब वृत्तीय ठोस शंकु का उसकी संहति M, ऊँचाई h तथा आधार की त्रिज्या a के रूप में उसकी एक तिर्यक् रेखा (जनक रेखा) के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण ज्ञात कीजिये।

2020 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: एक हल्की दृढ़ छड़ ABC से तीन कण, जिनमें से हरेक का द्रव्यमान m है, A, B तथा C पर बंधे हुए हैं। उस छड़ को बिंदु A से BC दूरी के बराबर स्थित बिंदु पर एक बल P के द्वारा लम्बवत् मारा जाता है। सिद्ध कीजिए कि पैदा हुई गतिज ऊर्जा का मान (1/2)(P²/m)(a² − ab + b²)/(a² + ab + b²) है, जहाँ AB = a तथा BC = b.

2020 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 15 अंक: एक चार पहियों वाला रेलवे ट्रक, जिसका कुल द्रव्यमान M है, के पहिए और धुरी के हर युग्म का द्रव्यमान व परिभ्रमण त्रिज्या क्रमशः m तथा k है। हर पहिए की त्रिज्या r है। यदि ट्रक को बल P द्वारा सीधे पथ (ट्रैक) पर धकेला जाता है, तब सिद्ध कीजिए कि उसका त्वरण P/(M + 2mk²/r²) है तथा ट्रक द्वारा प्रत्येक धुरी पर लगाए गए क्षैतिज बल का मान ज्ञात कीजिए। धुरी घर्षण व हवा का प्रतिरोध नगण्य है।

2020 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजाकार पटल ABC का इसके तल में A से होकर जाने वाली किसी भी अक्ष के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण (M/6)(β² + βγ + γ²) है, जहाँ पर M पटल की संहति तथा β व γ क्रमशः B व C से अक्ष पर डाले गये लम्बों की लम्बाइयां हैं।

2019 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: एक 2a लम्बाई की एक एकसमान छड़ OA अपने सिरे O के इर्दगिर्द घूमने के लिये स्वतन्त्र है, जो O से ऊर्ध्वाधर OZ के परितः ω कोणीय वेग से घूमती है, और OZ से निश्चित कोण α बनाती है; α कोण का मान ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 20 अंक: एक त्रिज्या a तथा परिभ्रमण त्रिज्या k वाला गोलाकार सिलिन्डर बिना फिसले, एक b त्रिज्या वाले, स्थिर खोखले सिलिन्डर में लुढ़कता (roll) है। दर्शाएँ कि इनकी अक्षों में से तल एक (b − a)(1 + k²/a²) लम्बाई वाले गोलाकार लोलक में चलता है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: दर्शाइए कि एक दीर्घवृत्ताकार क्षेत्रफल, जिसका द्रव्यमान M है तथा अर्धाक्ष a व b हैं, का अर्ध-व्यास, जिसकी लम्बाई r है, के इर्दगिर्द जड़त्व आघूर्ण (1/4)M a²b²/r² होगा। आगे सिद्ध कीजिए कि स्पर्शरेखा के इर्दगिर्द जड़त्व आघूर्ण (5M/4)p² होगा, जहाँ p दीर्घवृत्त के केन्द्र से स्पर्शरेखा की लम्बवत् दूरी है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: भार m का एक ठोस एकसमान गोलार्ध x² + y² + z² = a², z ≥ 0 के, OZ-अक्ष के इर्द-गिर्द, जड़त्व-आघूर्ण का परिकलन कीजिए।

4. तरलों की शुद्धगतिकी: सांतत्य, धारारेखाएँ और विभव प्रवाह

2024 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: एक प्रवाह का वेग विभव φ,
φ = (1/2)(x² + y² − 2z²)
के द्वारा दिया गया है। धारा रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: किसी असंपीड्य तरल के गोलीय ध्रुवी निर्देशांकों (r, θ, ψ) में वेग-घटक (2Mr⁻³ cos θ, Mr⁻² sin θ, 0) हैं, जहाँ M एक स्थिरांक है। दर्शाइये कि वेग, विभव प्रकार का है। वेग विभव तथा धारारेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: दर्शाइए कि q = λ(−yî + xĵ)/(x² + y²), (λ = स्थिरांक) एक संभाव्य असंपीड्य तरल गति है। धारा-रेखाएँ निकालिए। क्या गति का प्रकार विभव है? यदि हाँ, तो वेग विभव निकालिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 15 अंक: एक द्विविमीय द्रव्य-प्रवाह का वेग विभव φ(x, y) = xy + x² − y² द्वारा दिया गया है। इस प्रवाह का धारा-फलन ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q5(c), 10 अंक: एक असंपीड्य तरल प्रवाह के लिए वेग (u, v, w) के दो घटक u = x² + 2y² + 3z² व v = x²y − y²z + zx दिए गए हैं। वेग के तीसरे घटक w का निर्धारण कीजिए ताकि वे सांतत्य समीकरण को सन्तुष्ट करें। त्वरण के z-घटक को भी ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: एक द्विविमीय विभव-प्रवाह के लिए वेग विभव φ = x²y − xy² + (1/3)(x³ − y³) के द्वारा दिया गया है। x व y दिशाओं के अनुदिश वेग घटकों का निर्धारण कीजिए। धारा-फलन ψ का भी निर्धारण कीजिए और जांच कीजिए कि क्या φ एक सम्भव प्रवाह को निरूपित करता है अथवा नहीं।

2017 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 15 अंक: यदि (x, y, z) बिन्दु पर असंपीड्य तरल का वेग
(3xz/r⁵, 3yz/r⁵, (3z² − r²)/r⁵), r² = x² + y² + z²
के द्वारा दत्त है, तो सिद्ध कीजिए कि द्रव गति सम्भव है तथा वेग विभव z/r³ है। और आगे, धारा-रेखाओं का भी निर्धारण कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: क्या वेग q⃗ = [z − 2x/r, 2y − 3z − 2y/r, x − 3y − 2z/r] के द्रव की भ्रमिलता होती है, जहाँ q⃗(u, v, w) कार्तीय फ्रेम में वेग है तथा r⃗ = (x, y, z) एवं r² = x² + y² + z² हैं? वृत्त x² + y² = 9, z = 0 में परिसंचरण (circulation) क्या है?

5. ऑयलर समीकरण, बर्नूली प्रमेय और नेवियर–स्टोक्स समीकरण

2026 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: त्रिज्या a, b (b > a) के दो संकेंद्री बेलनों के बीच एक श्यान असंपीड्य तरल भरा है। प्रवाह अपरिवर्ती है और कोई भी पिंड बल विचाराधीन नहीं है। तरल के वेग की विवेचना और इसे सूत्रित कीजिए यदि:
(i) आंतरिक बेलन को कोणीय वेग Ω दिया जाता है जबकि बाहरी बेलन को विरामावस्था में रखा जाता है;
(ii) बाहरी बेलन को कोणीय वेग Ω से घुमाया जाता है जबकि आंतरिक बेलन को विरामावस्था में रखा जाता है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: दर्शाइए कि अचर विस्कासिता के एक असंपीड्य अपरिवर्ती प्रवाह के लिए वेग घटक
u(y) = (U/h) y − (hy/2μ)(dp/dx)(1 − y/h)
v = 0 = w, p = p(x) के साथ, पिंड बल की अनुपस्थिति में गति के समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं। यह दिया गया है कि U, h और dp/dx अचर हैं।

2024 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: मान लीजिए कि वेग क्षेत्र
u(x, y) = B(x² − y²)/(x² + y²)², v(x, y) = 2Bxy/(x² + y²)², w(x, y) = 0,
जहाँ B एक अचर है, अश्यान असंपीड्य प्रवाह के लिए गति समीकरणों को संतुष्ट करता है। इस वेग क्षेत्र से सहचारी (एसोसिएटेड) दाब का निर्धारण कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: ज्ञात कीजिए कि किन शर्तों के अंतर्गत वेग क्षेत्र (velocity field) u = c(x² − y²), v = −2cxy, w = 0 नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरणों का एक हल है। यह मानते हुए कि शर्तें मान्य हैं, परिणामी दाब बंटन ज्ञात कीजिए, जब z ऊपर है तथा बाह्य पिंड बल B_x = 0 = B_y, B_z = −g हैं।

2019 प्रश्नपत्र II, Q8(b), 15 अंक: एक त्रिज्या R का गोला, जिसका केन्द्र स्थिर है वह घनत्व ρ के एक अनंत असंपीड्य तरल में त्रिज्यतः कंपन करता है। अगर अनंत पर दबाव Π हो, तो दर्शाएं कि गोले की सतह पर किसी समय t पर दाब
Π + (1/2)ρ{d²R²/dt² + (dR/dt)²} होगा।

2017 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 15 अंक: एक बॉयलर से एक शंक्वाकार नलिका में से जिसके सिरों के व्यास D तथा d हैं, धारा तेज़ी से निकल रही है। यदि V तथा v धारा के संगत-वेग हों तथा यदि माना जाए कि गति अपरिवर्ती है तथा शंकु-शीर्ष से अपसारित हो रही है, तो सिद्ध कीजिए कि
v/V = (D²/d²) e^{(v2 − V2)/2K} होगा,
जहाँ K घनत्व द्वारा विभाजित दाब है तथा अपरिवर्ती है।

2014 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: दो अनंत समांतर प्लेटों के बीच, एक श्यान असंपीड्य तरल के अपरिवर्ती स्तरीय (लैमिनर) प्रवाह के लिए, नैवियर-स्टोक्स समीकरण ज्ञात कीजिए।

6. द्वि-विमीय और अक्षसममित गति: स्रोत, अभिगम और भँवर

2026 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: असंपीड्य तरल का वेग U î की एक एकसमान धारा में मूल-बिंदु O पर एक m प्रबलता का सरल स्रोत स्थित है। धारा के किसी बिंदु P पर वेग विभव φ ज्ञात कीजिए, जहाँ OP = r और θ वह कोण है जो OP, î की दिशा से बनाता है। धारा रेखाओं के अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि वे पृष्ठ Ur² sin²θ − 2m cos θ = अचर पर स्थित हैं।

2026 प्रश्नपत्र II, Q6(c), 15 अंक: माना त्रिज्या 'a' के एक अनंत लंबे बेलन को वेग −V î की एक एकसमान धारा में रखा गया है। मिल्ने-थॉमसन के वृत्त प्रमेय के उपयोग से इसका सम्मिश्र वेग विभव क्या होगा? इसके अतिरिक्त, यदि बेलन के परितः k का एक परिसंचरण उत्पन्न किया जाता है, तो प्रगतिरोध बिंदु ज्ञात कीजिए। क्या वे ऊर्ध्वाधर दिशा में उत्थापन प्रवृत्ति उत्पन्न करते हैं? व्याख्या कीजिए कि कैसे।

2025 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: बराबर सामर्थ्य के एक स्रोत और एक अभिगम एक निश्चित वृत्तीय सीमा x² + y² = a² के अंतर्गत बिंदुओं (±a/2, 0) पर रखे हैं। दर्शाइए कि धारारेखाएँ
(r² − a²/4)(r² − 4a²) − 4a²y² = ky(r² − a²)
द्वारा दी जाती हैं, जहाँ k एक अचर है और r² = x² + y² है।

2024 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: मान लीजिए कि एक अनंत द्रव में दो समानांतर, समान तथा विपरीत सरलरेखीय भ्रमिल 2a की दूरी पर हैं। दर्शाइए कि भ्रमिल के सापेक्ष धारा रेखाएँ समीकरण
log [(x² + (y − a)²)/(x² + (y + a)²)] + y/a = C
द्वारा दी गई हैं, जहाँ C एक अचर है, मूल-बिंदु जुड़ाव का मध्य बिंदु है, और भ्रमिलों को जोड़ने वाली रेखा y का अक्ष है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: एक तरल प्रवाह में, 2m सामर्थ्य का एक स्रोत z = 2 पर स्थित है तथा m सामर्थ्य के दो अभिगम (सिंक) z = 2 + i और z = 2 − i पर स्थित हैं। प्रवाह-रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: दो बिन्दु भ्रमिल, जहाँ प्रत्येक का सामर्थ्य k है, (±a, 0) पर स्थित हैं तथा −k/2 सामर्थ्य का एक बिन्दु भ्रमिल, मूलबिन्दु पर स्थित है। दर्शाइये कि तरल गति अचल है तथा धारारेखाओं के समीकरण भी ज्ञात कीजिये। यदि धारारेखाएँ, जो कि प्रगतिरोध बिन्दुओं (स्टैगनेशन पॉइन्ट) से गुजरती हैं, x-अक्ष पर (±b, 0) पर मिलती हैं, तब दर्शाइये कि 3√3 (b² − a²)² = 16a³b.

2022 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: सत्यापित कीजिये कि एक वृत्ताकार बेलन के इर्द-गिर्द एक तरल के अपरिवर्ती प्रवाह का सम्मिश्र विभव w = ik log{(z − ia)/(z + ia)} है, जहाँ समतल y = 0 एक दृढ़ सीमा है। बेलन की एकक लम्बाई (यूनिट लेंथ) पर तरल द्वारा लगाये गये बल को भी ज्ञात कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: उद्गमों (स्रोतों) व अभिगमों (सिंकों) के किस विन्यास से वेग विभव w = log_e(z − a²/z) हो सकता है? संगत धारा-रेखाओं का ख़ाका खींचिए और सिद्ध कीजिए कि उनमें से दो, वृत्त r = a तथा y-अक्ष में प्रविभाजित होती हैं।

2021 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: दर्शाइए कि सम्मिश्र विभव tan⁻¹z के लिए धारा-रेखाएँ तथा समविभव वक्र, वृत्त हैं। किसी भी बिन्दु पर वेग निकालिए तथा z = ±i पर विचित्रता जाँचिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 15 अंक: m/2 शक्ति वाले दो स्रोत, बिन्दुओं (±a, 0) पर स्थित हैं। दर्शाइए कि वृत्त x² + y² = a² के किसी भी बिन्दु पर वेग y-अक्ष के समान्तर तथा y के व्युत्क्रमानुपाती है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: दो स्रोतों, प्रत्येक m शक्ति का (−a, 0), (a, 0) बिन्दुओं पर तथा 2m शक्ति का सिन्क मूल बिन्दु पर स्थित है। दर्शाएं कि धारा-रेखाएं वक्र (x² + y²)² = a²(x² − y² + λxy) हैं। यहां λ चर एक पैरामीटर है।
और ये भी दर्शाएं कि तरल गति किसी भी बिन्दु पर (2ma²)/(r₁r₂r₃) है, जहां r₁, r₂, r₃ स्रोतों से और सिंक से बिन्दुओं की क्रमशः दूरियां हैं।

2016 प्रश्नपत्र II, Q6(b), 15 अंक: वेग U i⃗ से गतिमान असंपीड्य तरल की एकसमान धारा में मूल-बिन्दु O पर प्रबलता m का एक सरल उद्गम दृढ़ है। दर्शाइए कि धारा के किसी बिन्दु P पर वेग विभव φ का मान m/r − Ur cos θ है, जहाँ OP = r तथा θ वह कोण है जो OP⃗, दिशा i⃗ के साथ बनाता है। धारारेखाओं का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए तथा दर्शाइए कि वे पृष्ठों Ur² sin²θ − 2m cos θ = अचर (constant) पर स्थित हैं।

2016 प्रश्नपत्र II, Q7(b), 20 अंक: त्रिज्याओं a, b (a < b) के दो संकेन्द्र गोलीय कोशों के बीच की जगह को घनत्व ρ के तरल से भरा गया है। यदि कोशों को गतिमान कर दिया जाए, अन्दर वाले को x-दिशा में वेग U के साथ तथा बाहर वाले को y-दिशा में वेग V के साथ, तो दर्शाइए कि तरल की प्रारम्भिक गति, वेग विभव
φ = {a³U(1 + (1/2)b³r⁻³)x − b³V(1 + (1/2)a³r⁻³)y}/(b³ − a³)
द्वारा दी जाती है, जहाँ r² = x² + y² + z² तथा निर्देशांक समकोणिक हैं। तरल के किसी भी बिन्दु पर वेग का मान निकालिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: धनात्मक x-दिशा में एक एकसमान प्रवाह U₀ का विचार कीजिए। त्रिज्या a का एक बेलन मूलबिन्दु पर स्थित है। प्रवाह फलन तथा वेग विभव ज्ञात कीजिए। प्रगतिरोध (स्टैग्नेशन) बिन्दु भी ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: दर्शाइए कि अक्षतः सममित गति में सांतत्य समीकरण के कारण धारा फलन का अस्तित्व है। धारा फलन के पदों में वेग घटकों को व्यक्त कीजिए। यदि प्रवाह अघूर्णनी है, तो समीकरण ज्ञात कीजिए जो कि धारा फलन द्वारा सन्तुष्ट होती है।

2014 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: दत्त वेग विभव φ = (1/2) log[((x + a)² + y²)/((x − a)² + y²)] के लिए प्रवाह-रेखाएँ ज्ञात कीजिए।