विश्लेषणात्मक ज्यामिति — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. बेलनी और गोलीय निर्देशांकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कार्तीय निर्देशांक (Cartesian coordinates) डिब्बों और समतलों के लिए आदर्श हैं, पर किसी अक्ष या केंद्र वाली वस्तुओं के लिए असुविधाजनक हैं। बेलन x² + y² = 4 केवल r = 2 बन जाता है, और गोला x² + y² + z² = 9 केवल r = 3 बन जाता है। आकृति से मेल खाते निर्देशांक चुनने पर कठिन समीकरण या समाकल सरल हो जाता है।

शब्दों में (बेलनी): बिंदु P से xy-समतल पर लंब डालें, जिसका पाद N है। तब r दूरी ON है (जो z-अक्ष से P की दूरी भी है), θ धनात्मक x-अक्ष से ON तक वामावर्त मापा गया कोण है, और z ऊँचाई NP है। अतः बेलनी निर्देशांक (cylindrical coordinates) N के समतल ध्रुवीय निर्देशांक और ऊँचाई हैं।

शब्दों में (गोलीय): r = OP मूलबिंदु से दूरी है; θ, OP और धनात्मक z-अक्ष के बीच का कोण है, अतः 0 ≤ θ ≤ π (θ = 0 "उत्तरी ध्रुव" है, θ = π/2 xy-समतल); φ वही देशांतर कोण है जो बेलनी θ है, अतः 0 ≤ φ < 2π. ध्यान दें कि पृष्ठ r = अचर गोले हैं, θ = अचर z-अक्ष के परितः शंकु हैं, और φ = अचर z-अक्ष से होकर जाने वाले अर्ध-समतल हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: P(1, √3, 2) को बेलनी और गोलीय निर्देशांकों में बदलिए।

चरण 1 (बेलनी r): r = √(x² + y²) = √(1 + 3) = 2, जो z-अक्ष से दूरी है।

चरण 2 (अक्ष के परितः कोण): tan θ = y/x = √3, और x, y > 0 होने से N प्रथम चतुर्थांश में है, अतः θ = π/3. ऊँचाई z = 2 है, अतः बेलनी निर्देशांकों में P = (2, π/3, 2).

चरण 3 (गोलीय r): r = √(1 + 3 + 4) = √8 = 2√2.

चरण 4 (ध्रुवीय कोण): cos θ = z/r = 2/(2√2) = 1/√2, और θ को [0, π] में होना चाहिए, अतः θ = π/4. दिगंश φ बेलनी कोण ही है, φ = π/3.

चरण 5 (वापस बदलकर जाँच): x = 2√2 sin(π/4) cos(π/3) = 2√2 · (1/√2) · (1/2) = 1, y = 2√2 · (1/√2) · (√3/2) = √3, z = 2√2 cos(π/4) = 2. तीनों मिलते हैं, अतः P = (2√2, π/4, π/3).

अ-उदाहरण (non-example): Q(−1, −1, 0) के लिए सूत्र tan φ = y/x = 1 से φ = π/4 लिखने का मन करता है, पर वह कोण प्रथम चतुर्थांश की ओर है जबकि Q तृतीय चतुर्थांश में है। "x और y के चिह्नों से चतुर्थांश चुनें" वाली शर्त टूटती है, और सही मान φ = 5π/4 है। इसी प्रकार θ = −π/4 कभी वैध ध्रुवीय कोण नहीं है: θ, z-अक्ष से मापा गया अऋणात्मक कोण है।

आगे बढ़ते हुए: समकोण त्रिभुज ONP में O पर OP और z-अक्ष के बीच का कोण θ है, अतः ऊँचाई NP = r cos θ और क्षैतिज दूरी ON = r sin θ. अब N के समतल ध्रुवीय निर्देशांक (r sin θ, φ) हैं, अतः x = r sin θ cos φ और y = r sin θ sin φ. एक छोटे गोलीय "डिब्बे" की भुजाएँ dr (बाहर की ओर), r dθ (याम्योत्तर के अनुदिश) और r sin θ dφ (त्रिज्या r sin θ वाले अक्षांश वृत्त के अनुदिश) हैं, जिससे नीचे की तालिका का आयतन अवयव r² sin θ dr dθ dφ मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: छोटे रूपांतरण प्रश्न; गोलों, शंकुओं और बेलनों पर त्रि-समाकल (कलन); वक्रीय निर्देशांकों में लाप्लासी और अपसरण (सदिश विश्लेषण); और यह पहचानना कि θ = अचर एक लंब वृत्तीय शंकु है (शंकु और बेलन)।

2. निर्देशांक पद्धतियाँ

कार्तीय (x, y, z). बेलनी (r, θ, z): x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. गोलीय ध्रुवीय निर्देशांक (spherical polar coordinates) (r, θ, φ): x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, जहाँ r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π.

भाव: θ धनात्मक z-अक्ष से नीचे की ओर मापा जाता है (सह-अक्षांश की तरह) और φ धनात्मक x-अक्ष से z-अक्ष के चारों ओर (देशांतर की तरह)। राशि r sin θ बिंदु की z-अक्ष से दूरी है, जो ठीक बेलनी r है।

व्युत्क्रम संबंध: r = √(x² + y² + z²), cos θ = z/r, tan φ = y/x (φ का चतुर्थांश x और y के चिह्नों से चुनें)।

दूरी: PQ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). PQ को m : n में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n), (mz₂ + nz₁)/(m + n)) है।

भाव: विभाजन सूत्र एक भारित औसत है: विभाजक बिंदु अधिक भार वाले सिरे की ओर खिंचता है। m : n में बाह्य विभाजन के लिए n के स्थान पर −n रखें।

3. दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समतल में एक कोण दिशा निश्चित कर देता है। समष्टि में हमें यह कहने का ऐसा तरीका चाहिए कि "रेखा किस ओर है" जो निर्देशांकों के साथ काम करे, ताकि रेखाओं के बीच कोण, लंबता और समांतरता अंकगणित बन जाएँ। दिक्-कोसाइन (direction cosines) और दिक्-अनुपात (direction ratios) वही भाषा हैं; इस अध्याय की प्रत्येक रेखा, समतल, शंकु-अक्ष और अभिलंब इन्हीं से वर्णित होता है।

शब्दों में: रेखा को एक दिशा (तीर) दें। मान लें α, β, γ इस दिष्ट रेखा द्वारा धनात्मक x-, y- और z-अक्षों से बनाए गए कोण हैं, प्रत्येक 0 और π के बीच। तब l = cos α, m = cos β, n = cos γ इसके दिक्-कोसाइन हैं। l, m, n के समानुपाती कोई भी तीन संख्याएँ a, b, c, जो सभी शून्य न हों, दिक्-अनुपात हैं: वे दिशा बताती हैं, लंबाई नहीं।

अंतर पर ध्यान दें: एक रेखा के दिक्-कोसाइन के ठीक दो समुच्चय होते हैं, (l, m, n) और (−l, −m, −n), प्रत्येक दिशा-भाव के लिए एक, पर दिक्-अनुपात के अनंत समुच्चय होते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A(1, 2, 3) से B(3, −1, 9) तक की रेखा के दिक्-कोसाइन और z-अक्ष से उसका कोण ज्ञात कीजिए।

चरण 1: निर्देशांक घटाकर दिक्-अनुपात प्राप्त करें: B − A = (2, −3, 6).

चरण 2: लंबाई AB = √(4 + 9 + 36) = 7.

चरण 3: लंबाई से भाग दें: (l, m, n) = (2/7, −3/7, 6/7). जाँच: 4/49 + 9/49 + 36/49 = 1.

चरण 4: cos γ = n = 6/7, अतः γ = cos⁻¹(6/7) ≈ 31.0°. ध्यान दें कि z-अक्ष पर AB का प्रक्षेप AB · n = 7 · 6/7 = 6 है, जो ठीक z में परिवर्तन है, जैसा होना चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): (1/2, 1/2, 1/2) दिक्-कोसाइन नहीं हैं, क्योंकि 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 ≠ 1; ये केवल दिक्-अनुपात हैं, और वास्तविक दिक्-कोसाइन (1/√3, 1/√3, 1/√3) हैं। इसी प्रकार कोई रेखा तीनों अक्षों से 45° नहीं बना सकती, क्योंकि 3 cos² 45° = 3/2 ≠ 1.

आगे बढ़ते हुए: O से होकर जाने वाली दिष्ट रेखा पर O से दूरी r पर बिंदु P लें। इसका x-निर्देशांक x-अक्ष पर OP का प्रक्षेप r cos α = lr है; इसी प्रकार y = mr, z = nr. तब x² + y² + z² = r² से l² + m² + n² = 1 मिलता है। इकाई सदिशों u = (l₁, m₁, n₁) और v = (l₂, m₂, n₂) वाली दो रेखाओं के लिए, भुजाओं u, v, u − v वाले त्रिभुज में कोसाइन नियम से cos θ = u · v मिलता है, जो अगले खंड का कोण सूत्र है।

दो दी गई दिशाओं (a₁, b₁, c₁) और (a₂, b₂, c₂) पर लंब दिशा उनका सदिश गुणन (b₁c₂ − b₂c₁, c₁a₂ − c₂a₁, a₁b₂ − a₂b₁) है; समतलों के अभिलंब और न्यूनतम-दूरी रेखा के लिए आप इसका निरंतर प्रयोग करेंगे।

कहाँ प्रयोग होता है: रेखाओं और समतलों के बीच कोण, लंब और समांतर रेखाओं के परीक्षण, प्रक्षेप, रेखा का सममित रूप, समतलों और शांकवजों के अभिलंब, और शंकु या बेलन का अक्ष।

4. दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात

दिक्-कोसाइन (direction cosines) l, m, n (अक्षों से कोणों के कोसाइन) के लिए l² + m² + n² = 1; दिक्-अनुपात a, b, c इनके समानुपाती हैं: l = a/√(a² + b² + c²), और इसी प्रकार m, n.

भाव: (l, m, n) रेखा के अनुदिश इकाई सदिश (unit vector) के घटक हैं, अतः l² + m² + n² = 1 केवल पाइथागोरस प्रमेय है। दिक्-अनुपात इस सदिश का कोई भी शून्येतर गुणज हैं; (l, m, n) और (−l, −m, −n) एक ही रेखा को विपरीत दिशाओं में दर्शाते हैं।

दो रेखाओं के बीच कोण: cos θ = l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂; लंब ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0; समांतर ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.

यह क्यों कार्य करता है: इकाई सदिशों u और v के लिए u · v = |u||v| cos θ = cos θ. दिक्-अनुपातों के साथ दोनों लंबाइयों से भाग देना आवश्यक है: cos θ = (a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂)/(√(a₁² + b₁² + c₁²) √(a₂² + b₂² + c₂²)).

दिक्-कोसाइन l, m, n वाली रेखा पर PQ का प्रक्षेप: (x₂ − x₁)l + (y₂ − y₁)m + (z₂ − z₁)n.

भाव: प्रक्षेप (projection) PQ · (रेखा का इकाई सदिश) है, अर्थात रेखा पर PQ की छाया की लंबाई; यह चिह्नयुक्त है और इसका निरपेक्ष मान कभी PQ से अधिक नहीं होता।

5. समतल के समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समतल समष्टि के सबसे सरल पृष्ठ हैं। बाद की प्रत्येक वस्तु (दो समतलों के मिलन के रूप में रेखा, गोले का स्पर्श समतल, शंकु का परिच्छेद) इन्हीं से वर्णित होती है, अतः हमें ऐसा एक समीकरण चाहिए जो "सपाटपन" को व्यक्त करे और समतल का झुकाव और स्थिति सीधे पढ़ने दे।

शब्दों में: समतल अपने ऊपर के एक बिंदु A और उस पर लंब एक दिशा n = (a, b, c) से निश्चित होता है, जिसे अभिलंब (normal) कहते हैं। बिंदु X समतल पर ठीक तब है जब खंड AX, n पर लंब हो, अर्थात n · (X − A) = 0. विस्तार करने पर ax + by + cz + d = 0 मिलता है। इसे ऐसे पढ़ें: x, y, z के गुणांक अभिलंब हैं; अचर d यह निश्चित करता है कि उस अभिलंब वाले समांतर समतलों में से कौन-सा अभिप्रेत है; d = 0 का अर्थ है कि समतल मूलबिंदु से होकर जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A(2, −1, 3) से होकर जाने वाला, अभिलंब (1, 2, −2) वाला समतल, मूलबिंदु से उसकी दूरी और उसके अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

चरण 1: n · (X − A) = 0 लिखें: 1(x − 2) + 2(y + 1) − 2(z − 3) = 0.

चरण 2: विस्तार करें: x + 2y − 2z + 6 = 0. जाँचें कि A इसे संतुष्ट करता है: 2 − 2 − 6 + 6 = 0.

चरण 3 (अभिलंब रूप): √(1 + 4 + 4) = 3 से भाग दें और अचर को इस प्रकार दाईं ओर ले जाएँ कि वह धनात्मक हो: (−x − 2y + 2z)/3 = 2. अतः O से दूरी p = 2 है, और O से दूर की ओर इकाई अभिलंब (−1/3, −2/3, 2/3) है।

चरण 4 (अंतःखंड): एक बार में दो निर्देशांक शून्य रखें: x = −6, y = −3, z = 3. अतः अंतःखंड रूप x/(−6) + y/(−3) + z/3 = 1 है; −6 से गुणा करने पर फिर x + 2y − 2z = −6 मिलता है।

अ-उदाहरण (non-example): समतल x + 2y − 2z + 6 = 0 और 2x + 4y − 4z + 6 = 0 के अभिलंब समांतर हैं पर वे भिन्न समतल हैं: गुणांकों का अनुपात 1 : 2, अचरों के अनुपात 6 : 6 से मेल नहीं खाता। दो समीकरण एक ही समतल तभी दर्शाते हैं जब चारों संख्याएँ समानुपाती हों। साथ ही 0x + 0y + 0z + 5 = 0 समतल है ही नहीं: शर्त (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) टूटती है।

आगे बढ़ते हुए: अन्य प्रत्येक रूप "बिंदु और अभिलंब" से निकलता है। अभिलंब रूप: A को O से डाले गए लंब का पाद N लें, तब अभिलंब (l, m, n) इकाई सदिश है और lx + my + nz = (l, m, n) · N = p. तीन-बिंदु रूप: अभिलंब दो भुजाओं का सदिश गुणन (P₂ − P₁) × (P₃ − P₁) है, जो ठीक सारणिक रूप है। समतलों के बीच कोण: समतल ठीक वैसे ही घूमते हैं जैसे उनके अभिलंब, अतः उनके बीच का कोण अभिलंबों के बीच का कोण है।

कहाँ प्रयोग होता है: किसी भी समतल को एक पंक्ति में लिखना, कोण और लंबता के प्रश्नों के लिए अभिलंब पढ़ना, और बाद में गोले या शांकवज के स्पर्श समतल के रूप में (जिसका अभिलंब पृष्ठ की प्रवणता है)।

6. चिह्नित दूरी और समतल-कुल को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रश्न पूछते हैं कि कोई बिंदु समतल के किस ओर है, कितनी दूर है, कौन-सा समद्विभाजक मूलबिंदु को समाहित करता है, या किसी दी गई रेखा से होकर जाने वाला समतल। ये दो साधन इन सबका उत्तर देते हैं: चिह्नित दूरी (signed distance) और एक-प्राचल कुल P₁ + λP₂ = 0.

शब्दों में: समतल ax + by + cz + d = 0 और बिंदु P(x₁, y₁, z₁) के लिए संख्या S(P) = (ax₁ + by₁ + cz₁ + d)/√(a² + b² + c²) चिह्नित दूरी है: इसका परिमाण दूरी है और इसका चिह्न पक्ष बताता है (उस ओर धनात्मक जिधर अभिलंब (a, b, c) इंगित करता है)। उस रेखा से होकर जाने वाला समतलों का कुल (pencil), जहाँ P₁ = 0 और P₂ = 0 मिलते हैं, कुल P₁ + λP₂ = 0 है, प्रत्येक वास्तविक λ के लिए एक समतल।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: समतल 2x − y + 2z − 6 = 0 के लिए निर्णय कीजिए कि A(1, 1, 1) और B(3, 0, 1) एक ही ओर हैं या नहीं, और ज्ञात कीजिए कि AB समतल से कहाँ मिलता है।

चरण 1: √(4 + 1 + 4) = 3, अतः S(A) = (2 − 1 + 2 − 6)/3 = −1 और S(B) = (6 − 0 + 2 − 6)/3 = 2/3.

चरण 2: चिह्न भिन्न हैं, अतः A और B विपरीत ओर हैं और खंड AB समतल को पार करता है। A दूरी 1 पर और B दूरी 2/3 पर है।

चरण 3: प्रतिच्छेद बिंदु AB को दूरियों के अनुपात 1 : 2/3 = 3 : 2 में बाँटता है, अतः वह (3B + 2A)/5 = (11/5, 2/5, 1) है। जाँच: 22/5 − 2/5 + 2 − 6 = 0.

चरण 4 (कुल): x − y + z = 2 और 2x + y − z = 1 की रेखा से होकर O से जाने वाला समतल (x − y + z − 2) + λ(2x + y − z − 1) = 0 है, जहाँ O पर −2 − λ = 0, अतः λ = −2 और समतल −3x − 3y + 3z = 0, अर्थात x + y − z = 0 है। रेखा के दो बिंदुओं (1, 0, 1) और (1, 2, 3) से जाँचें: दोनों 0 देते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): यदि P₁ = 0 और P₂ = 0 समांतर हों, जैसे x + y + z = 1 और x + y + z = 5, तो उनकी कोई उभयनिष्ठ रेखा नहीं होती, और P₁ + λP₂ = 0 केवल समांतर समतलों का कुल x + y + z = (1 + 5λ)/(1 + λ) है। कुल वाले तर्क के लिए दोनों समतलों का प्रतिच्छेद होना आवश्यक है। साथ ही, चिह्नित दूरी की तुलना तभी वैध है जब दोनों बिंदु एक ही समीकरण में रखे जाएँ; समीकरण को −1 से गुणा करने पर दोनों चिह्न साथ-साथ बदलते हैं, कभी एक नहीं।

आगे बढ़ते हुए: कुल में रेखा L से होकर जाने वाला प्रत्येक समतल क्यों है? मान लें Q, L को समाहित करने वाला कोई समतल है, और R, Q का ऐसा बिंदु है जो L पर नहीं है। यदि P₂(R) = 0 तो Q स्वयं P₂ = 0 है। अन्यथा λ = −P₁(R)/P₂(R) चुनें; तब P₁ + λP₂ = 0 में L और R दोनों हैं, और एक रेखा तथा उससे बाहर के एक बिंदु से केवल एक समतल जाता है, अतः वह Q है। समद्विभाजक नियम चिह्नित दूरी से निकलता है: समद्विभाजक के बिंदुओं पर S₁ = ±S₂, और मूलबिंदु, जहाँ अचरों को धनात्मक करने पर दोनों S धनात्मक हैं, + समद्विभाजक वाले कोण में स्थित है।

कहाँ प्रयोग होता है: किसी रेखा और बिंदु से होकर या किसी समतल पर लंब समतल, समद्विभाजक, प्रतिबिंब और लंब-पाद (अगला विषय), रेखाओं की समतलीयता, और किसी दी गई रेखा से होकर गोले के स्पर्श समतल।

7. समतल

समतल (plane) का व्यापक रूप ax + by + cz + d = 0, जहाँ (a, b, c) समतल पर अभिलंब है। अभिलंब रूप lx + my + nz = p (p ≥ 0 मूलबिंदु से दूरी है)। अंतःखंड रूप x/a + y/b + z/c = 1.

भाव: यदि P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) दोनों ax + by + cz + d = 0 पर हों, तो घटाने पर a(x₂ − x₁) + b(y₂ − y₁) + c(z₂ − z₁) = 0 मिलता है, अतः (a, b, c) समतल में स्थित प्रत्येक रेखाखंड पर लंब है। "अभिलंब (normal)" का पूरा अर्थ यही है। समतल एक बिंदु और एक अभिलंब दिशा से निर्धारित होता है।

तीन-बिंदु सारणिक क्यों कार्य करता है: P(x, y, z) बिंदुओं P₁, P₂, P₃ के समतल में तभी और केवल तभी है जब सदिश P − P₁, P₂ − P₁, P₃ − P₁ समतलीय हों, अर्थात उनका अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) (नीचे का सारणिक) शून्य हो।

तीन बिंदुओं से होकर समतल: det[[x − x₁, y − y₁, z − z₁], [x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁], [x₃ − x₁, y₃ − y₁, z₃ − z₁]] = 0.

समतलों के बीच कोण: cos θ = (a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂)/(√(a₁² + b₁² + c₁²) √(a₂² + b₂² + c₂²)).

भाव: दो समतलों के बीच का कोण उनके अभिलंबों के बीच का कोण है। अंश का निरपेक्ष मान लेने पर न्यून कोण मिलता है; उसके बिना संपूरक अधिक कोण मिल सकता है।

समतल लंब हैं यदि a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 और समांतर हैं यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.

ax + by + cz + d = 0 से (x₁, y₁, z₁) की दूरी |ax₁ + by₁ + cz₁ + d|/√(a² + b² + c²) है। समांतर समतलों ax + by + cz + d₁ = 0 और ax + by + cz + d₂ = 0 के बीच दूरी |d₁ − d₂|/√(a² + b² + c²) है।

P₁ = 0 और P₂ = 0 की प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाने वाला कोई भी समतल P₁ + λP₂ = 0 (या स्वयं P₂ = 0) है।

भाव: P₁ + λP₂ उन सभी बिंदुओं पर शून्य है जहाँ P₁ और P₂ दोनों शून्य हैं, अतः इस एक-प्राचल कुल (समतल-कुल, pencil of planes) का प्रत्येक सदस्य उभयनिष्ठ रेखा को समाहित करता है। एक अतिरिक्त प्रतिबंध (एक बिंदु, लंबता, दूरी) λ को निर्धारित करता है। यदि प्रतिबंध से "λ = ∞" आए, तो उत्तर स्वयं P₂ = 0 है।

दो समतलों के बीच कोणों के समद्विभाजक: (a₁x + b₁y + c₁z + d₁)/√(a₁² + b₁² + c₁²) = ±(a₂x + b₂y + c₂z + d₂)/√(a₂² + b₂² + c₂²); जब d₁ और d₂ दोनों धनात्मक हों, तो + चिह्न मूलबिंदु वाले कोण का समद्विभाजक देता है।

भाव: समद्विभाजक समतल दोनों समतलों से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ है; दोनों चिह्नयुक्त दूरियों को बराबर रखने पर दोनों समद्विभाजक मिलते हैं। a₁x + b₁y + c₁z + d₁ का चिह्न बताता है कि बिंदु समतल के किस ओर है, इसीलिए पहले अचर पदों को धनात्मक किया जाता है (तब मूलबिंदु दोनों में धनात्मक मान देता है)।

दो बिंदु समतल के एक ही ओर हैं यदि दोनों पर ax + by + cz + d का चिह्न समान हो।

समतल युग्म: समघात समीकरण ax² + by² + cz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0 मूलबिंदु से होकर जाने वाले समतल युग्म को तभी निरूपित करता है जब abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0.

भाव: द्विघाती समघात (quadratic form) को दो रैखिक गुणनखंडों (a₁x + b₁y + c₁z)(a₂x + b₂y + c₂z) में टूटना चाहिए; तब इसके सममित आव्यूह [[a, h, g], [h, b, f], [g, f, c]] की कोटि अधिकतम 2 होती है, अतः इसका सारणिक शून्य होता है। यही सारणिक D व्यापक द्वितीय घात समीकरण के समानयन में फिर आता है।

8. व्युत्पत्ति: समतल से बिंदु की दूरी

मान लें P(x₁, y₁, z₁) दिया गया बिंदु है और Q(x₀, y₀, z₀) समतल ax + by + cz + d = 0 का कोई बिंदु है, अतः ax₀ + by₀ + cz₀ = −d.

लंब दूरी इकाई अभिलंब (a, b, c)/√(a² + b² + c²) पर QP के प्रक्षेप की लंबाई है: |a(x₁ − x₀) + b(y₁ − y₀) + c(z₁ − z₀)|/√(a² + b² + c²).

ax₀ + by₀ + cz₀ = −d का प्रयोग करने पर अंश |ax₁ + by₁ + cz₁ + d| बन जाता है, जिससे सूत्र मिलता है। Q का चुनाव मायने नहीं रखता, जैसा होना चाहिए।

निरपेक्ष मान के बिना यह व्यंजक चिह्नयुक्त दूरी है: यह उस ओर धनात्मक है जिधर (a, b, c) इंगित करता है और दूसरी ओर ऋणात्मक। इससे "एक ही ओर" वाला नियम सिद्ध होता है।

समांतर समतल: ax + by + cz + d₂ = 0 के किसी बिंदु के लिए ax₁ + by₁ + cz₁ = −d₂, अतः ax + by + cz + d₁ = 0 से उसकी दूरी |d₁ − d₂|/√(a² + b² + c²) है; इसके लिए दोनों समीकरणों में x, y, z के गुणांक समान होने चाहिए।

9. व्युत्पत्ति: अभिलंब रूप, क्षेत्रफल और आयतन सूत्र

अभिलंब रूप: मान लें ON मूलबिंदु O से समतल पर लंब है, जिसकी लंबाई p और दिक्-कोसाइन l, m, n हैं। बिंदु P समतल में ठीक तब है जब NP ⟂ ON, अर्थात जब ON पर OP का प्रक्षेप p के बराबर हो: lx + my + nz = p.

ax + by + cz + d = 0 से यह रूप पाने के लिए √(a² + b² + c²) से भाग दें, चिह्न ऐसा चुनें कि दाईं ओर का अचर p = −d/(±√(a² + b² + c²)) धनात्मक हो।

प्रक्षेपों से क्षेत्रफल: सदिश (1/2)(AB × AC) की लंबाई त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के बराबर है और यह उसके अभिलंब के अनुदिश है। इसका x-घटक AB और AC के y तथा z निर्देशांकों के 2 × 2 सारणिक का (1/2) गुना है, जो yz-तल पर प्रक्षेप का चिह्नयुक्त क्षेत्रफल है; अन्य घटकों के लिए भी ऐसा ही है। अतः क्षेत्रफल² = A_yz² + A_zx² + A_xy².

चतुष्फलक का आयतन: AB, AC, AD पर बने समांतर षट्फलक का आयतन |AB · (AC × AD)| है, और चतुष्फलक इसका छठा भाग है। 4 × 4 सारणिक की पहली पंक्ति को अन्य पंक्तियों से घटाकर अंतिम स्तंभ के अनुदिश प्रसार करने पर यही त्रिक गुणनफल मिलता है, जिससे सारणिक सूत्र सिद्ध होता है।

10. विधि का चयन

यदि एक बिंदु और अभिलंब दिशा ज्ञात हो → a(x − x₁) + b(y − y₁) + c(z − z₁) = 0.

यदि तीन बिंदु, या एक बिंदु और समतल के समांतर दो दिशाएँ दी हों → समतल के दो सदिशों का सदिश गुणनफल (cross product) अभिलंब के रूप में लें (या तीन-बिंदु सारणिक प्रयोग करें)।

यदि समतल को दो दिए गए समतलों की प्रतिच्छेद रेखा समाहित करनी हो → P₁ + λP₂ = 0, और λ शेष प्रतिबंध से।

यदि समतल अक्षों को चर बिंदुओं पर काटे, या चर समतल से जुड़े बिंदु का बिंदुपथ पूछा जाए → अंतःखंड रूप x/a + y/b + z/c = 1, फिर a, b, c का विलोपन करें।

यदि मूलबिंदु से दूरी और अभिलंब की दिशा दी हो → अभिलंब रूप lx + my + nz = p.

यदि तीन समतल दिए हों और प्रश्न यह हो कि वे एक बिंदु पर, एक रेखा में मिलते हैं या प्रिज़्म बनाते हैं → गुणांक आव्यूह और संवर्धित आव्यूह की कोटियों (rank) की तुलना करें।

11. सामान्य गलतियाँ

दिक्-अनुपातों को उनकी लंबाइयों से भाग दिए बिना cos θ = l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ में रखना; सूत्र के लिए दिक्-कोसाइन चाहिए।

दोनों समांतर समतलों के x, y, z गुणांक समान किए बिना |d₁ − d₂|/√(a² + b² + c²) लगाना (उदाहरण 3 में पहले दूसरे समीकरण को आधा किया गया है)।

दोनों अचर पदों को पहले धनात्मक किए बिना मूलबिंदु वाले कोण का समद्विभाजक चुनना, या न्यून/अधिक कोण का परीक्षण करना।

केवल अभिलंबों के सारणिक के शून्य होने से यह निष्कर्ष निकालना कि तीन समतलों की उभयनिष्ठ रेखा है; वे त्रिभुजीय प्रिज़्म भी बना सकते हैं, अतः संवर्धित आव्यूह भी जाँचें।

गोलीय या बेलनी निर्देशांकों में x और y के चिह्नों से चतुर्थांश जाँचे बिना φ = tan⁻¹(y/x) लेना।

12. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: तीन समतलों का प्रश्न 3 × 3 रैखिक निकाय की ज्यामिति है: कोटि 3 होने पर एक अद्वितीय बिंदु, दोनों कोटियाँ 2 होने पर उभयनिष्ठ रेखा, और कोटियाँ 2 तथा 3 होने पर प्रिज़्म (रैखिक बीजगणित, रैखिक समीकरण निकाय)।

संबंध: बेलनी और गोलीय निर्देशांक त्रि-समाकलों में जैकोबियन r और r² sin θ के साथ (कलन), तथा वक्रीय निर्देशांकों में लाप्लासियन में (सदिश विश्लेषण) फिर आते हैं।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: (1, 1, 1), (1, −1, 1) और (−7, −3, −5) से होकर जाने वाला समतल ज्ञात करें।

समतल में दो सदिश (0, −2, 0) और (−8, −4, −6) हैं; इनका सदिश गुणनफल (12, 0, −16) है, जो (3, 0, −4) के समानुपाती है। समतल 3(x − 1) − 4(z − 1) = 0, अर्थात 3x − 4z + 1 = 0 है, जो y-अक्ष के समांतर है।

उदाहरण 2: (1, 1, √2) को गोलीय ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलें। r = √(1 + 1 + 2) = 2, cos θ = √2/2 अतः θ = π/4, और x, y > 0 सहित tan φ = 1 अतः φ = π/4.

उदाहरण 3: समतलों 2x − 2y + z + 3 = 0 और 4x − 4y + 2z + 5 = 0 के बीच दूरी ज्ञात करें। दूसरे को 2x − 2y + z + 5/2 = 0 लिखने पर दूरी |3 − 5/2|/√(4 + 4 + 1) = 1/6 है।

उदाहरण 4: x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 की प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाने वाला वह समतल ज्ञात करें जो x − y + z = 0 पर लंब हो।

समतल (x + y + z − 1) + λ(2x + 3y + 4z − 5) = 0 का अभिलंब (1 + 2λ, 1 + 3λ, 1 + 4λ) है। लंबता से (1 + 2λ) − (1 + 3λ) + (1 + 4λ) = 1 + 3λ = 0, अतः λ = −1/3, और समतल x − z + 2 = 0 है।

उदाहरण 5: 3x − 6y + 2z + 5 = 0 और 4x − 12y + 3z − 3 = 0 के बीच के कोणों के समद्विभाजक (bisector) समतल ज्ञात करें। कौन-सा समतल मूलबिंदु वाले कोण को समद्विभाजित करता है, और वह कोण न्यून है या अधिक?

दोनों समतलों को धनात्मक अचर पद के साथ लिखें: 3x − 6y + 2z + 5 = 0 और −4x + 12y − 3z + 3 = 0; अभिलंबों की लंबाइयाँ 7 और 13 हैं।

समद्विभाजक (3x − 6y + 2z + 5)/7 = ±(−4x + 12y − 3z + 3)/13 हैं।

+ चिह्न मूलबिंदु वाले कोण का समद्विभाजक देता है: 13(3x − 6y + 2z + 5) = 7(−4x + 12y − 3z + 3), अर्थात 67x − 162y + 47z + 44 = 0. − चिह्न से 11x + 6y + 5z + 86 = 0 मिलता है।

अचर पद धनात्मक होने पर a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = −12 − 72 − 6 = −90 < 0, अतः मूलबिंदु न्यून कोण में है, और 67x − 162y + 47z + 44 = 0 न्यून कोण को समद्विभाजित करता है।

उदाहरण 6: सिद्ध करें कि यदि a² + b² + c² + 2abc = 1 हो, तो समतल x = cy + bz, y = az + cx, z = bx + ay मूलबिंदु से होकर एक उभयनिष्ठ रेखा रखते हैं।

तीनों समतल मूलबिंदु से होकर जाते हैं; उनके उभयनिष्ठ बिंदु समघात निकाय x − cy − bz = 0, −cx + y − az = 0, −bx − ay + z = 0 के हल हैं।

गुणांकों का सारणिक det[[1, −c, −b], [−c, 1, −a], [−b, −a, 1]] = 1(1 − a²) + c(−c − ab) − b(ac + b) = 1 − a² − b² − c² − 2abc है।

दी गई शर्त पर यह सारणिक 0 है, अतः निकाय की कोटि अधिकतम 2 है और हल समष्टि की विमा कम से कम 1 है: समतलों की मूलबिंदु से होकर (कम से कम) एक उभयनिष्ठ रेखा है।

14. क्षेत्रफल, आयतन और चर समतल

शीर्षों A, B, C वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल: (1/2)|AB × AC|. निर्देशांक तलों पर इसके प्रक्षेपों के क्षेत्रफल A_yz, A_zx, A_xy हों, तो क्षेत्रफल √(A_yz² + A_zx² + A_xy²) है।

शीर्षों (x_i, y_i, z_i), i = 1, ..., 4 वाले चतुष्फलक का आयतन: (1/6)|det[[x₁, y₁, z₁, 1], [x₂, y₂, z₂, 1], [x₃, y₃, z₃, 1], [x₄, y₄, z₄, 1]]|; अक्षों पर a, b, c पर स्थित A, B, C के लिए OABC का आयतन |abc|/6 है।

चर समतल के लिए बिंदुपथ (locus) विधि: समतल को x/a + y/b + z/c = 1 लिखें, दिए गए प्रतिबंध को a, b, c के बीच एक संबंध में बदलें, a, b, c को चल बिंदु के निर्देशांकों (α, β, γ) में व्यक्त करें और प्रतिस्थापित करें। त्रिभुज ABC का केन्द्रक (a/3, b/3, c/3) है; चतुष्फलक OABC का केन्द्रक (a/4, b/4, c/4) है।

O से दूरी p पर समतल के लिए: 1/a² + 1/b² + 1/c² = 1/p². चतुष्फलक के केन्द्रक (a/4, b/4, c/4) से बिंदुपथ 1/x² + 1/y² + 1/z² = 16/p² मिलता है; दूरी 3p होने पर यह 9(1/x² + 1/y² + 1/z²) = 16/p² हो जाता है।

यह क्यों कार्य करता है: x/a + y/b + z/c = 1 के अभिलंब रूप में दिक्-कोसाइन (1/a, 1/b, 1/c) के समानुपाती हैं, अतः p = 1/√(1/a² + 1/b² + 1/c²). केन्द्रक के लिए a = 4x, b = 4y, c = 4z रखने पर बिंदुपथ मिलता है।

तीन समतलों का प्रतिच्छेद: यदि अभिलंबों का सारणिक शून्येतर हो तो तीन समतल एक बिंदु पर मिलते हैं; शून्य होने पर, यदि उनमें से कोई दो समांतर नहीं हैं, तो या तो उनकी एक उभयनिष्ठ रेखा होती है (संवर्धित आव्यूह के सभी 3 × 3 उपसारणिक शून्य) या वे एक त्रिभुजीय प्रिज़्म बनाते हैं। यदि दो या तीनों समांतर हों तो कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता, जब तक समांतर समतल संपाती न हों।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): दिक्-अनुपात (2, −1, −2) वाली रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: लंबाई √(4 + 1 + 4) = 3 है, अतः (l, m, n) = ±(2/3, −1/3, −2/3).

अभ्यास 2 (मूल): क्या कोई रेखा x-, y- और z-अक्षों से क्रमशः 45°, 60° और 30° के कोण बना सकती है?

उत्तर: नहीं: cos² 45° + cos² 60° + cos² 30° = 1/2 + 1/4 + 3/4 = 3/2 ≠ 1.

अभ्यास 3 (मूल): गोलीय ध्रुवीय बिंदु (r, θ, φ) = (4, π/3, π/2) को कार्तीय निर्देशांकों में बदलिए।

उत्तर: x = 4 sin(π/3) cos(π/2) = 0, y = 4 sin(π/3) sin(π/2) = 2√3, z = 4 cos(π/3) = 2; बिंदु (0, 2√3, 2) है।

अभ्यास 4 (मानक): (1, 0, −1), (2, 1, 1) और (0, 2, 1) से होकर जाने वाला समतल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भुजा सदिशों (1, 1, 2) और (−1, 2, 2) का सदिश गुणन (−2, −4, 3) है, अतः समतल 2x + 4y − 3z = 5 है।

अभ्यास 5 (मानक): बिंदु (2, 1, −1) की समतल x − 2y + 4z = 9 से दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: |2 − 2 − 4 − 9|/√21 = 13/√21.

अभ्यास 6 (मानक): समतलों 2x − y + z = 6 और x + y + 2z = 3 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: cos θ = (2 − 1 + 2)/(√6 √6) = 1/2, अतः θ = 60°.

अभ्यास 7 (मानक): x + 2y + 3z = 4 और 2x + y − z + 5 = 0 की प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाने वाला वह समतल ज्ञात कीजिए जो समतल x + y + z = 0 पर लंब है।

उत्तर: (x + 2y + 3z − 4) + λ(2x + y − z + 5) = 0 का अभिलंब (1 + 2λ, 2 + λ, 3 − λ) है; लंबता से 6 + 2λ = 0, λ = −3, और समतल 5x + y − 6z + 19 = 0 है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): मूलबिंदु से अचर दूरी p पर स्थित एक चर समतल अक्षों को A, B, C पर मिलता है। त्रिभुज ABC के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समतल x/a + y/b + z/c = 1 के साथ 1/a² + 1/b² + 1/c² = 1/p² और केंद्रक (a/3, b/3, c/3) है; बिंदुपथ 1/x² + 1/y² + 1/z² = 9/p² है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): k के किस मान के लिए समतलों x + y + z = 3, x + 2y + 3z = 6 और 2x + 3y + 4z = k की एक उभयनिष्ठ रेखा है? वह रेखा ज्ञात कीजिए, और k के अन्य मानों के लिए विन्यास का वर्णन कीजिए।

उत्तर: अभिलंबों का सारणिक 0 है क्योंकि पंक्ति 3 = पंक्ति 1 + पंक्ति 2; दोनों कोटियाँ ठीक तब 2 हैं जब k = 9, जिससे रेखा x/1 = (y − 3)/(−2) = z/1 मिलती है। k ≠ 9 के लिए कोई दो समतल समांतर नहीं हैं और कोटियाँ 2 और 3 हैं, अतः वे त्रिभुजीय प्रिज़्म बनाते हैं।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): x + 2y + 2z = 9 और 4x − 3y + 12z + 13 = 0 के बीच के न्यून कोण को समद्विभाजित करने वाला समतल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: धनात्मक अचरों के साथ, −x − 2y − 2z + 9 = 0 और 4x − 3y + 12z + 13 = 0, a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = −22 < 0, अतः मूलबिंदु न्यून कोण में है और + समद्विभाजक 13(−x − 2y − 2z + 9) = 3(4x − 3y + 12z + 13) से 25x + 17y + 62z − 78 = 0 मिलता है।

1. रेखा के समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समष्टि में रेखा एक रैखिक समीकरण से नहीं दी जा सकती, क्योंकि x, y, z में एक रैखिक समीकरण एक समतल है। हमें ऐसा वर्णन चाहिए जो कहे "यहाँ से आरंभ करें और इस दिशा में चलें", और दूसरा वर्णन दो समतलों के मिलन के रूप में, और हमें एक से दूसरे में जाना आना चाहिए।

शब्दों में: बिंदु P, A से होकर दिशा b वाली रेखा पर ठीक तब है जब P − A, b का गुणज हो: किसी वास्तविक r के लिए P = A + rb. इसे निर्देशांक-वार लिखकर प्रत्येक को r के लिए हल करने पर सममित रूप (symmetric form) (x − x₁)/l = (y − y₁)/m = (z − z₁)/n = r मिलता है। उभयनिष्ठ मान r प्राचल है; r का प्रत्येक मान एक बिंदु है। असममित रूप (unsymmetric form) दो समतल बताता है जिनके उभयनिष्ठ बिंदु रेखा हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: रेखा x + y + z = 6, x − y + 2z = 5 को सममित रूप में लिखिए।

चरण 1 (दिशा): रेखा दोनों समतलों में है, अतः उसकी दिशा दोनों अभिलंबों (1, 1, 1) और (1, −1, 2) पर लंब है। उनका सदिश गुणन (1·2 − 1·(−1), 1·1 − 1·2, 1·(−1) − 1·1) = (3, −1, −2) है।

चरण 2 (एक बिंदु): किसी एक निर्देशांक को सुविधाजनक मान दें। y = 0 रखने पर समीकरण x + z = 6 और x + 2z = 5 बनते हैं, अतः z = −1 और x = 7. बिंदु (7, 0, −1) रेखा पर है।

चरण 3 (लिखें): (x − 7)/3 = y/(−1) = (z + 1)/(−2), जिसका व्यापक बिंदु (7 + 3r, −r, −1 − 2r) है।

चरण 4 (जाँच): r = 1 से (10, −1, −3) मिलता है; तब 10 − 1 − 3 = 6 और 10 + 1 − 6 = 5, अतः यह बिंदु भी दोनों समतलों पर है।

अ-उदाहरण (non-example): समतल x + y + z = 1 और 2x + 2y + 2z = 5 कोई रेखा परिभाषित नहीं करते: उनके अभिलंब समांतर हैं, सदिश गुणन (0, 0, 0) है, और समतल कभी नहीं मिलते। इसी प्रकार x/0 = y/0 = z/0 रेखा नहीं है, क्योंकि (0, 0, 0) कोई दिशा नहीं है। यदि y = 0 रखने से दोनों समीकरण असंगत हो जाते, तो उसका अर्थ केवल यह होता कि रेखा समतल y = 0 के समांतर है; तब x = 0 या z = 0 आज़माएँ।

आगे बढ़ते हुए: दो-बिंदु रूप, b = B − A वाला सममित रूप ही है। जब (l, m, n) दिक्-कोसाइन हों, तो |r| = |P − A|, A से वास्तविक दूरी है; "रेखा पर A से दूरी 3 वाला बिंदु" इसी से मिलता है। व्यापक बिंदु (x₁ + lr, y₁ + mr, z₁ + nr) बाद की लगभग प्रत्येक विधि की कुंजी है: इसे किसी समतल, गोले या लंबता प्रतिबंध में रखें और r के लिए हल करें।

कहाँ प्रयोग होता है: रेखा का समतल, गोले या शांकवज से मिलन बिंदु; लंब-पाद; बिंदु विधि से न्यूनतम दूरी; और शंकुओं तथा शांकवजों की जनक रेखाएँ।

2. रेखा के समीकरण

सममित रूप: (x − x₁)/l = (y − y₁)/m = (z − z₁)/n, जो (x₁, y₁, z₁) से होकर दिक्-अनुपात l, m, n वाली सरल रेखा (straight line) है; इसका व्यापक बिंदु (x₁ + lr, y₁ + mr, z₁ + nr) है।

भाव: रेखा "एक बिंदु और एक दिशा" है। प्राचल (parameter) r बताता है कि दिशा के अनुदिश कितना चले; जब (l, m, n) दिक्-कोसाइन हों, तो |r| बिंदु (x₁, y₁, z₁) से वास्तविक दूरी है।

हर में शून्य एक परिपाटी है, भाग नहीं: (x − 1)/0 = (y − 2)/3 = z/4 का अर्थ है कि पूरी रेखा पर x = 1 है तथा (y − 2)/3 = z/4.

दो-बिंदु रूप: (x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (z − z₁)/(z₂ − z₁).

असममित रूप: दो समतलों a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 का प्रतिच्छेद।

सममित रूप में रूपांतरण: दिक्-अनुपात (b₁c₂ − b₂c₁, c₁a₂ − c₂a₁, a₁b₂ − a₂b₁) हैं; रेखा पर एक बिंदु, उदाहरणार्थ z = 0 रखकर हल करने से प्राप्त करें।

यह क्यों कार्य करता है: रेखा दोनों समतलों में है, अतः इसकी दिशा दोनों अभिलंबों (a₁, b₁, c₁) और (a₂, b₂, c₂) पर लंब है; अभिलंबों का सदिश गुणनफल ऐसा ही सदिश है। यदि अभिलंब समांतर हों, तो समतल कोई रेखा परिभाषित नहीं करते।

3. रेखा और समतल को साथ-साथ समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: रेखा और समतल एक बिंदु पर मिल सकते हैं, समांतर हो सकते हैं, या रेखा समतल में स्थित हो सकती है। परीक्षा के प्रश्न पूछते हैं कि कौन-सी स्थिति है, उनके बीच कोण, मिलन बिंदु, लंब-पाद, या किसी बिंदु का प्रतिबिंब। ये सब उन्हीं दो संख्याओं का प्रयोग करते हैं।

शब्दों में: A(x₁, y₁, z₁) से होकर दिशा (l, m, n) वाली रेखा और समतल ax + by + cz + d = 0 के लिए k = al + bm + cn (अभिलंब · दिशा) और f(A) = ax₁ + by₁ + cz₁ + d देखें। यदि k ≠ 0 तो रेखा समतल को ठीक एक बिंदु पर काटती है। यदि k = 0 तो दिशा अभिलंब पर लंब है, अतः रेखा समतल के समांतर है; यदि साथ ही f(A) = 0 हो तो वह समतल में स्थित है, अन्यथा दूरी |f(A)|/√(a² + b² + c²) पर है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: रेखा (x − 1)/2 = (y + 1)/1 = (z − 2)/(−1) लें, जो A(1, −1, 2) से होकर दिशा (2, 1, −1) वाली है।

चरण 1 (समतल x + y + 3z = 6): k = 2 + 1 − 3 = 0, अतः रेखा समतल के समांतर है; f(A) = 1 − 1 + 6 − 6 = 0, अतः A समतल पर है। निष्कर्ष: पूरी रेखा x + y + 3z = 6 में स्थित है।

चरण 2 (समतल 2x − y + z = 1): k = 4 − 1 − 1 = 2 ≠ 0, अतः रेखा इस समतल को काटती है। कोण के लिए sin θ = |k|/(√6 √6) = 1/3, अतः θ = sin⁻¹(1/3) ≈ 19.5°.

चरण 3 (मिलन बिंदु): व्यापक बिंदु (1 + 2r, −1 + r, 2 − r) रखें: 2(1 + 2r) − (−1 + r) + (2 − r) = 5 + 2r = 1, अतः r = −2 और बिंदु (−3, −3, 4) है। जाँच: −6 + 3 + 4 = 1.

अ-उदाहरण (non-example): (0, 0, 1) से होकर दिशा (1, 1, 1) वाली रेखा और समतल x + y − 2z = 0 के लिए k = 1 + 1 − 2 = 0, जो "रेखा समतल में है" जैसा लगता है। ऐसा नहीं है: f(0, 0, 1) = −2 ≠ 0, अतः रेखा समतल के समांतर दूरी 2/√6 पर है। समांतरता परीक्षण k = 0 को लंबता परीक्षण a/l = b/m = c/n (दिशा अभिलंब के अनुदिश) से न मिलाएँ।

आगे बढ़ते हुए: व्यापक बिंदु रखने पर सदैव f(A) + kr = 0 मिलता है। अतः k ≠ 0 से एकमात्र मान r = −f(A)/k मिलता है; k = 0 और f(A) ≠ 0 से कोई हल नहीं (समांतर); k = 0 और f(A) = 0 से प्रत्येक r (रेखा समतल में है)। P से समतल पर लंब-पाद वह विशेष स्थिति है जिसमें रेखा P से होकर अभिलंब है: दिशा (a, b, c), k = a² + b² + c², और r को दुगना करने पर प्रतिबिंब मिलता है (नीचे प्रतिबिंब सूत्र की व्युत्पत्ति देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: यह तय करना कि रेखा समतल में है या नहीं (समतलीयता और जनक रेखाओं के लिए आवश्यक), रेखाओं के प्रक्षेप और प्रतिबिंब, और रेखा तथा समतल के बीच कोण।

4. रेखा और समतल

रेखा (x − x₁)/l = (y − y₁)/m = (z − z₁)/n समतल ax + by + cz + d = 0 के समांतर है यदि al + bm + cn = 0, उस पर लंब है यदि a/l = b/m = c/n, और उसमें स्थित है यदि al + bm + cn = 0 तथा ax₁ + by₁ + cz₁ + d = 0.

भाव: समतल के समांतर होने का अर्थ है कि दिशा अभिलंब पर लंब है; समतल में स्थित होने के लिए इसके अतिरिक्त रेखा का एक बिंदु समतल में होना चाहिए। x-अक्ष की दिशा (1, 0, 0) और समतल z = 1 के लिए al + bm + cn = 0 है, परंतु x-अक्ष उस समतल में नहीं है।

रेखा और समतल के बीच कोण θ: sin θ = |al + bm + cn|/(√(a² + b² + c²) √(l² + m² + n²)).

साइन क्यों: रेखा और समतल के बीच का कोण रेखा और अभिलंब के बीच के कोण का पूरक है, और cos(90° − θ) = sin θ.

P से रेखा पर लंब का पाद: रेखा का व्यापक बिंदु Q लें और r ज्ञात करने हेतु PQ · (l, m, n) = 0 रखें। समतल में किसी बिंदु का प्रतिबिंब उस बिंदु से होकर जाने वाले अभिलंब पर, लंब दूरी के दोगुने पर होता है।

5. समतलीय और विषमतलीय रेखाओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो रेखाओं का मिलन बिंदु पूछने से पहले हमें जानना चाहिए कि वे मिलती भी हैं या नहीं। समष्टि में दो रेखाएँ मिल सकती हैं, समांतर हो सकती हैं, या विषमतलीय (skew) हो सकती हैं, और केवल पहली दो स्थितियाँ एक उभयनिष्ठ समतल में होती हैं।

शब्दों में: दो रेखाएँ समतलीय (coplanar) हैं यदि कोई समतल दोनों को समाहित करे। A से होकर दिशा b₁ वाली रेखा 1 और C से होकर दिशा b₂ वाली रेखा 2 ठीक तब समतलीय हैं जब तीन सदिश C − A, b₁, b₂ एक समतल में हों, जो ठीक तब होता है जब पंक्तियों C − A, b₁, b₂ वाला सारणिक शून्य हो। समतलीय और असमांतर का अर्थ है कि वे प्रतिच्छेदी हैं; असमतलीय का अर्थ है विषमतलीय।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: रेखा 1: (x − 1)/1 = (y − 2)/2 = (z − 3)/3; रेखा 2: (x − 3)/1 = (y − 5)/1 = (z − 4)/(−2).

चरण 1: A = (1, 2, 3), C = (3, 5, 4), अतः C − A = (2, 3, 1); b₁ = (1, 2, 3), b₂ = (1, 1, −2). दिशाएँ समानुपाती नहीं हैं, अतः रेखाएँ समांतर नहीं हैं।

चरण 2: det[[2, 3, 1], [1, 2, 3], [1, 1, −2]] = 2(−4 − 3) − 3(−2 − 3) + 1(1 − 2) = −14 + 15 − 1 = 0. अतः रेखाएँ समतलीय हैं, इसलिए वे प्रतिच्छेदी हैं।

चरण 3 (बिंदु): व्यापक बिंदुओं को बराबर करें: (1 + r, 2 + 2r, 3 + 3r) = (3 + s, 5 + s, 4 − 2s). पहले दो निर्देशांकों से r − s = 2 और 2r − s = 3, अतः r = 1, s = −1. तीसरा निर्देशांक जाँच के रूप में मिलना चाहिए: 3 + 3 = 6 और 4 + 2 = 6. उभयनिष्ठ बिंदु (2, 4, 6) है।

चरण 4 (समतल): इसका अभिलंब b₁ × b₂ = (−7, 5, −1) है, और यह A से होकर जाता है: −7(x − 1) + 5(y − 2) − (z − 3) = 0, अर्थात 7x − 5y + z = 0. A और C दोनों इसे संतुष्ट करते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): x/1 = y/1 = z/1 और (x − 1)/2 = y/2 = z/2 से det[[1, 0, 0], [1, 1, 1], [2, 2, 2]] = 0 (दो समानुपाती पंक्तियाँ) मिलता है, फिर भी रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं: वे भिन्न समांतर रेखाएँ हैं। शून्य सारणिक "समतलीय" देता है, और "प्रतिच्छेदी" के लिए साथ में असमांतर दिशाएँ भी चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: यदि रेखाएँ P पर मिलती हैं, तो C − A = (P − A) − (P − C), b₁ और b₂ का संयोजन है, अतः सारणिक शून्य होता है। विलोमतः, यदि सारणिक शून्य हो और b₁, b₂ स्वतंत्र हों, तो किन्हीं r, s के लिए C − A = rb₁ − sb₂, और A + rb₁ = C + sb₂ उभयनिष्ठ बिंदु है। असममित रूप u₁ = 0 = v₁, u₂ = 0 = v₂ वाली रेखाओं के लिए, रेखाएँ ठीक तब मिलती हैं जब चारों समतलों का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, अर्थात जब उनके गुणांकों का 4 × 4 सारणिक शून्य हो (बशर्ते रेखाएँ समांतर न हों)।

कहाँ प्रयोग होता है: "दिखाइए कि रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं और बिंदु तथा समतल ज्ञात कीजिए" प्रकार के प्रश्न, परीक्षण SD = 0, और यह जाँचना कि कोई रेखा शंकु या शांकवज की जनक है।

6. समतलीय रेखाएँ

रेखाएँ (x − x₁)/l₁ = (y − y₁)/m₁ = (z − z₁)/n₁ और (x − x₂)/l₂ = (y − y₂)/m₂ = (z − z₂)/n₂ समतलीय हैं यदि और केवल यदि det[[x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁], [l₁, m₁, n₁], [l₂, m₂, n₂]] = 0; उन्हें समाहित करने वाला समतल det[[x − x₁, y − y₁, z − z₁], [l₁, m₁, n₁], [l₂, m₂, n₂]] = 0 है।

यह क्यों कार्य करता है: दोनों रेखाएँ एक समतल में ठीक तब हैं जब तीन सदिश AB (उनके दिए बिंदुओं को मिलाने वाला), b₁ और b₂ एक समतल में हों, अर्थात जब उनका अदिश त्रिक गुणनफल, ऊपर का सारणिक, शून्य हो।

जो रेखाएँ न समांतर हों न प्रतिच्छेदी, वे विषमतलीय (skew) हैं; विषमतलीय रेखाएँ समतलीय नहीं होतीं।

भाव: समतल में दो रेखाएँ या तो मिलती हैं या समांतर होती हैं; अंतरिक्ष में एक तीसरी संभावना है। रेल लाइन के ऊपर पुल से गुजरती सड़क की कल्पना करें: दोनों कभी नहीं मिलतीं और समांतर भी नहीं हैं। ऊपर का चित्र देखें।

7. न्यूनतम दूरी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो विषमतलीय रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, पर प्रत्येक रेखा पर एक-एक बिंदु वाला कोई युग्म अन्य सभी युग्मों से निकट होता है। वह दूरी बताती है कि रेखाएँ कितनी दूर हैं, और दो निकटतम बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड ही वह एकमात्र रेखा है जो दोनों से समकोण पर मिलती है।

शब्दों में: उभयनिष्ठ लंब (common perpendicular) वह रेखा है जो दोनों दी गई रेखाओं से मिलती है और दोनों पर लंब है; इसकी दिशा n = b₁ × b₂ है। न्यूनतम दूरी (SD) दोनों रेखाओं के बीच उभयनिष्ठ लंब की लंबाई है। इसकी गणना के लिए रेखा 1 का कोई बिंदु A और रेखा 2 का कोई बिंदु C लें और AC का n पर प्रक्षेप लें: SD = |(C − A) · n|/|n|.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x-अक्ष और (1, 0, 2) से होकर y-अक्ष के समांतर रेखा के बीच SD ज्ञात कीजिए।

चरण 1 (चित्र): रेखा 1 फ़र्श (z = 0) पर x-अक्ष के अनुदिश है; रेखा 2 बिंदु (1, 0, 0) के ऊपर ऊँचाई 2 पर y-दिशा में चलती है। हम SD = 2 की अपेक्षा करते हैं, और उभयनिष्ठ लंब (1, 0, 0) से होकर ऊर्ध्वाधर होगा।

चरण 2 (सूत्र): A = (0, 0, 0), b₁ = (1, 0, 0), C = (1, 0, 2), b₂ = (0, 1, 0). तब n = b₁ × b₂ = (0, 0, 1), (C − A) · n = 2 और |n| = 1, अतः SD = 2.

चरण 3 (बिंदु विधि): रेखा 1 पर P = (r, 0, 0) और रेखा 2 पर Q = (1, s, 2), अतः PQ = (1 − r, s, 2). PQ · b₁ = 1 − r = 0 और PQ · b₂ = s = 0. पाद P(1, 0, 0) और Q(1, 0, 2) हैं, और |PQ| = 2, जैसा अपेक्षित था।

ध्यान दें: A या C को उन्हीं रेखाओं के अन्य बिंदुओं से बदलने पर C − A में केवल b₁ और b₂ के गुणज जुड़ते हैं, जो n पर लंब हैं, अतः प्रक्षेप, और SD, नहीं बदलते।

अ-उदाहरण (non-example): समांतर रेखाओं x/1 = y/2 = z/2 और (x − 1)/1 = y/2 = z/2 के लिए b₁ × b₂ = (0, 0, 0) और सूत्र 0/0 बन जाता है: परिकल्पना "समांतर नहीं" टूटती है। इसके स्थान पर समांतर रेखाओं का सूत्र लें: |(C − A) × b|/|b| = |(1, 0, 0) × (1, 2, 2)|/3 = |(0, −2, 2)|/3 = 2√2/3.

आगे बढ़ते हुए: पूरा तर्क नीचे की व्युत्पत्ति में है: प्रत्येक युग्म P, Q के लिए PQ · n समान है, और कॉशी-श्वार्ज़ असमिका दिखाती है कि |PQ| ठीक तब न्यूनतम है जब PQ, n के समांतर हो। असमांतर रेखाओं के लिए बिंदु विधि के दोनों लंबता समीकरणों का सदैव अद्वितीय हल होता है, अतः पाद विद्यमान हैं। आयतन वाला चित्र याद रखने में सहायक है: |(C − A) · (b₁ × b₂)| आधार क्षेत्रफल |b₁ × b₂| वाले डिब्बे का आयतन है, और SD उसकी ऊँचाई है।

कहाँ प्रयोग होता है: मानक 10–15 अंकों का SD प्रश्न (मान, SD रेखा, पाद), दो रेखाओं के प्रतिच्छेदी होने का प्रतिबंध (SD = 0), दो रेखाओं को स्पर्श करने वाला सबसे छोटा गोला, और किसी रेखा तथा अक्ष के बीच दूरी।

8. विषमतलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी

मान लें रेखा 1, A (स्थिति सदिश a) से होकर दिशा b₁ वाली है, और रेखा 2, C (स्थिति सदिश c) से होकर दिशा b₂ वाली। न्यूनतम दूरी (shortest distance) उभयनिष्ठ लंब के अनुदिश मापी जाती है, जिसकी दिशा b₁ × b₂ है।

सूत्र: SD = |(c − a) · (b₁ × b₂)|/|b₁ × b₂|. SD = 0 यदि और केवल यदि रेखाएँ समतलीय हों (असमांतर रेखाओं के लिए, प्रतिच्छेदी)।

भाव: न्यूनतम दूरी उभयनिष्ठ लंब पर AC का प्रक्षेप है (ऊपर का चित्र देखें)। निर्देशांकों में: SD = |det[[x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁], [l₁, m₁, n₁], [l₂, m₂, n₂]]|/√((m₁n₂ − m₂n₁)² + (n₁l₂ − n₂l₁)² + (l₁m₂ − l₂m₁)²).

समांतर रेखाएँ (उभयनिष्ठ दिशा b): दूरी = |(c − a) × b|/|b|.

यह क्यों कार्य करता है: |(c − a) × b| = |AC| |b| sin α, जहाँ α, AC और रेखाओं के बीच का कोण है, और |AC| sin α बिंदु C से रेखा 1 पर लंब की ऊँचाई है।

न्यूनतम दूरी रेखा के समीकरण: (l, m, n) को b₁ × b₂ के समानुपाती लेकर, यह रेखा 1 से होकर उभयनिष्ठ लंब वाले समतल और रेखा 2 से होकर उभयनिष्ठ लंब वाले समतल का प्रतिच्छेद है: det[[x − x₁, y − y₁, z − z₁], [l₁, m₁, n₁], [l, m, n]] = 0 और det[[x − x₂, y − y₂, z − z₂], [l₂, m₂, n₂], [l, m, n]] = 0.

बिंदु विधि: रेखा 1 पर व्यापक बिंदु P(r) और रेखा 2 पर Q(s) लें; PQ ⟂ b₁ और PQ ⟂ b₂ रखें; r और s हल करें। तब SD = |PQ|, और P, Q उभयनिष्ठ लंब के पाद हैं।

असममित रूप में रेखाएँ: यदि रेखाएँ u₁ = 0 = v₁ और u₂ = 0 = v₂ हैं, तो λ ऐसा चुनें कि रेखा 1 से होकर समतल u₁ + λv₁ = 0 रेखा 2 के समांतर हो; रेखा 2 के किसी भी बिंदु की इस समतल से दूरी SD है।

यह क्यों कार्य करता है: रेखा 1 से होकर रेखा 2 के समांतर समतल में दोनों दिशाएँ b₁ और b₂ हैं, अतः इसका अभिलंब उभयनिष्ठ लंब के अनुदिश है। रेखा 2 का प्रत्येक बिंदु इस समतल से समान दूरी पर है, और वही दूरी SD है।

9. व्युत्पत्ति: न्यूनतम दूरी का सूत्र

रेखा 1 पर कोई बिंदु P = a + rb₁ और रेखा 2 पर Q = c + sb₂ लें। तब PQ = (c − a) + sb₂ − rb₁.

मान लें n = b₁ × b₂, जो शून्येतर है क्योंकि रेखाएँ समांतर नहीं हैं। चूँकि b₁ · n = b₂ · n = 0, हमें प्रत्येक r और s के लिए PQ · n = (c − a) · n मिलता है।

कोशी-श्वार्ज़ असमिका (Cauchy-Schwarz inequality) से |PQ| |n| ≥ |PQ · n| = |(c − a) · n|, अतः बिंदुओं P, Q के प्रत्येक युग्म के लिए |PQ| ≥ |(c − a) · n|/|n|.

समता ठीक तब होती है जब PQ, n के समांतर हो, अर्थात जब PQ ⟂ b₁ और PQ ⟂ b₂: बिंदु-विधि के दो समीकरण। इनके 2 × 2 निकाय का सारणिक |b₁|²|b₂|² − (b₁ · b₂)² = |b₁ × b₂|² ≠ 0 है, अतः लंबपाद P, Q विद्यमान और अद्वितीय हैं।

अतः न्यूनतम दूरी उभयनिष्ठ लंब के अनुदिश प्राप्त होती है और |(c − a) · (b₁ × b₂)|/|b₁ × b₂| के बराबर है। ज्यामितीय रूप से यह c − a, b₁, b₂ पर बने समांतर षट्फलक के आयतन को उसके आधार के क्षेत्रफल से भाग देने पर मिलती है।

10. व्युत्पत्ति: समतल में बिंदु का प्रतिबिंब

P(x₁, y₁, z₁) का प्रतिबिंब P′, P से होकर जाने वाले अभिलंब पर है, अतः किसी t के लिए P′ = P + t(a, b, c), और मध्यबिंदु M = P + (t/2)(a, b, c) समतल में है।

M को ax + by + cz + d = 0 में रखने पर: (ax₁ + by₁ + cz₁ + d) + (t/2)(a² + b² + c²) = 0, अतः t = −2(ax₁ + by₁ + cz₁ + d)/(a² + b² + c²).

यही उदाहरण 3 में प्रयुक्त प्रतिबिंब सूत्र का उभयनिष्ठ अनुपात है; लंबपाद t/2 के संगत है, अर्थात उस अनुपात का आधा।

11. विधि का चयन

यदि केवल SD का मान पूछा जाए और दोनों रेखाएँ सममित रूप में हों → सारणिक सूत्र प्रयोग करें।

यदि SD के साथ उसकी रेखा या उभयनिष्ठ लंब के पाद पूछे जाएँ → बिंदु-विधि प्रयोग करें; यह तीनों एक साथ देती है।

यदि कोई रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेद के रूप में दी हो, या एक रेखा कोई निर्देशांक अक्ष हो → उस रेखा से होकर दूसरी रेखा के समांतर समतल लें और दूसरी रेखा के किसी बिंदु की उससे दूरी ज्ञात करें (उदाहरण 11)।

यदि प्रश्न यह हो कि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं → समतलीयता सारणिक और दिशाओं का असमांतर होना जाँचें, फिर उभयनिष्ठ बिंदु के लिए व्यापक बिंदुओं को बराबर रखें।

यदि दो दी गई रेखाओं से मिलने वाली और एक और प्रतिबंध पूरा करने वाली रेखा पूछी जाए, या ऐसी रेखाओं से जनित पृष्ठ → u₁ + λv₁ = 0, u₂ + μv₂ = 0, फिर λ और μ का विलोपन करें।

यदि किसी रेखा का समतल पर प्रक्षेप पूछा जाए → दिए गए समतल को उस समतल से काटें जो रेखा से होकर उस पर लंब है।

12. सामान्य गलतियाँ

निरपेक्ष मान छोड़ देना और ऋणात्मक SD लिखना।

c − a को एक बिंदु और एक दिशा का अंतर लेना; इसे रेखा 1 के एक बिंदु को रेखा 2 के एक बिंदु से मिलाना चाहिए।

केवल शून्य समतलीयता सारणिक से "रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं" निष्कर्ष निकालना; भिन्न समांतर रेखाएँ भी समतलीय होती हैं।

बिंदु-विधि में केवल PQ ⟂ b₁ लगाना; r और s निर्धारित करने के लिए दोनों लंबता प्रतिबंध आवश्यक हैं।

रेखा और समतल के बीच के कोण के लिए sin के स्थान पर cos लेना।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: बिंदु-विधि एक न्यूनीकरण है: |PQ|² के ∂/∂r और ∂/∂s को शून्य रखने पर ठीक PQ · b₁ = 0 और PQ · b₂ = 0 मिलते हैं (कलन, दो चरों के फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ)।

संबंध: दो विषमतलीय रेखाओं से मिलने वाली और एक नियत समतल के समांतर रेखाएँ एक अतिपरवलयिक परवलयज (hyperbolic paraboloid) बनाती हैं (उदाहरण 9); ये इसकी जनक रेखाएँ हैं, जिनका अध्ययन शांकवज (conicoid) विषय में है।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: (x − 3)/3 = (y − 8)/(−1) = (z − 3)/1 और (x + 3)/(−3) = (y + 7)/2 = (z − 6)/4 के बीच न्यूनतम दूरी और न्यूनतम दूरी रेखा ज्ञात करें।

यहाँ a = (3, 8, 3), b₁ = (3, −1, 1), c = (−3, −7, 6), b₂ = (−3, 2, 4). तब b₁ × b₂ = (−6, −15, 3) और c − a = (−6, −15, 3).

SD = |(−6)(−6) + (−15)(−15) + 3·3|/√(36 + 225 + 9) = 270/√270 = √270 = 3√30.

बिंदु विधि: P = (3 + 3r, 8 − r, 3 + r) और Q = (−3 − 3s, −7 + 2s, 6 + 4s); PQ · b₁ = 0 और PQ · b₂ = 0 से 11r − 7s = 0 और 7r − 29s = 0, अतः r = s = 0.

उभयनिष्ठ लंब के पाद (3, 8, 3) और (−3, −7, 6) हैं, और न्यूनतम दूरी रेखा (x − 3)/2 = (y − 8)/5 = (z − 3)/(−1) है।

उदाहरण 2: सिद्ध करें कि (x − 1)/2 = (y − 2)/3 = (z − 3)/4 और (x − 4)/5 = (y − 1)/2 = z/1 प्रतिच्छेद करती हैं, और उभयनिष्ठ बिंदु ज्ञात करें।

det[[3, −1, −3], [2, 3, 4], [5, 2, 1]] = 3(3 − 8) + 1(2 − 20) − 3(4 − 15) = −15 − 18 + 33 = 0, अतः रेखाएँ समतलीय हैं, और समांतर नहीं हैं। व्यापक बिंदुओं को बराबर रखने पर r = s = −1 और उभयनिष्ठ बिंदु (−1, −1, −1) मिलता है।

उदाहरण 3: समतल 2x − y + z + 3 = 0 में बिंदु (1, 3, 4) का प्रतिबिंब (image) ज्ञात करें।

ax + by + cz + d = 0 में P(x₁, y₁, z₁) का प्रतिबिंब (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c = −2(ax₁ + by₁ + cz₁ + d)/(a² + b² + c²) से मिलता है।

यहाँ ax₁ + by₁ + cz₁ + d = 2 − 3 + 4 + 3 = 6 और a² + b² + c² = 6, अतः उभयनिष्ठ अनुपात −2 है।

प्रतिबिंब (1 − 4, 3 + 2, 4 − 2) = (−3, 5, 2) है। जाँच: मध्यबिंदु (−1, 4, 3) के लिए −2 − 4 + 3 + 3 = 0.

उदाहरण 4: वह समतल ज्ञात करें जो रेखा (x − 1)/2 = (y + 1)/(−1) = (z − 3)/4 को समाहित करता है और समतल x + 2y + z = 12 पर लंब है।

अभिलंब रेखा की दिशा (2, −1, 4) और दिए गए समतल के अभिलंब (1, 2, 1) दोनों पर लंब होना चाहिए: (2, −1, 4) × (1, 2, 1) = (−9, 2, 5).

समतल (1, −1, 3) से होकर जाता है: −9(x − 1) + 2(y + 1) + 5(z − 3) = 0, अर्थात 9x − 2y − 5z + 4 = 0.

उदाहरण 5: P(1, 6, 3) से रेखा x/1 = (y − 1)/2 = (z − 2)/3 पर लंब का पाद और लंब की लंबाई ज्ञात करें।

रेखा का व्यापक बिंदु Q(r, 1 + 2r, 2 + 3r) है, अतः PQ के दिक्-अनुपात (r − 1, 2r − 5, 3r − 1) हैं।

PQ रेखा पर लंब है: (r − 1) + 2(2r − 5) + 3(3r − 1) = 14r − 14 = 0, अतः r = 1.

लंब का पाद (1, 3, 5) है और लंब की लंबाई √(0 + 9 + 4) = √13 है।

उदाहरण 6: सिद्ध या असिद्ध करें: रेखाएँ x = y = z और x − 1 = y/2 = z/3 प्रतिच्छेद करती हैं।

पहली रेखा A(0, 0, 0) से होकर दिशा b₁ = (1, 1, 1) में है; दूसरी B(1, 0, 0) से होकर दिशा b₂ = (1, 2, 3) में।

b₁ × b₂ = (1, −2, 1) और (B − A)·(b₁ × b₂) = 1 ≠ 0, अतः रेखाएँ समतलीय नहीं हैं: वे विषमतलीय हैं और प्रतिच्छेद नहीं करतीं। कथन असत्य है।

उनकी न्यूनतम दूरी |(B − A)·(b₁ × b₂)|/|b₁ × b₂| = 1/√6 है।

15. प्रक्षेप, प्रतिबिंब, प्रतीकात्मक न्यूनतम दूरी और दी गई रेखाओं से मिलने वाली रेखाएँ

समतल पर रेखा का प्रक्षेप (projection): रेखा से होकर दिए गए समतल पर लंब समतल (जिसका अभिलंब रेखा की दिशा और समतल के अभिलंब का सदिश गुणनफल है) दिए गए समतल को प्रक्षेप में काटता है।

समतल में रेखा का प्रतिबिंब: यदि रेखा समतल से Q पर मिलती है, तो प्रतिबिंब Q से तथा रेखा के किसी अन्य बिंदु के प्रतिबिंब से होकर जाता है; यदि रेखा समतल के समांतर है, तो प्रतिबिंब किसी एक बिंदु के प्रतिबिंब से होकर समांतर रेखा है।

दो (या तीन) दी गई रेखाओं से मिलने वाली रेखाएँ: यदि दी गई रेखाएँ u₁ = 0 = v₁ और u₂ = 0 = v₂ हैं, तो दोनों से मिलने वाली प्रत्येक रेखा u₁ + λv₁ = 0, u₂ + μv₂ = 0 है। अतिरिक्त प्रतिबंध (किसी समतल के समांतर, किसी वक्र से मिलना, ...) से λ और μ में एक संबंध प्राप्त करें, फिर λ = −u₁/v₁ और μ = −u₂/v₂ का विलोपन कर जनित पृष्ठ प्राप्त करें।

दो विषमतलीय रेखाओं को स्पर्श करने वाले न्यूनतम त्रिज्या के गोले का व्यास न्यूनतम दूरी का खंड होता है: उभयनिष्ठ लंब के पादों के साथ व्यास-रूप का प्रयोग करें।

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 13 अंक): (i) उस समतल का समीकरण निकालिए जो बिन्दुओं (2, 3, 1) एवं (4, −5, 3) से गुजरता है व x-अक्ष के समान्तर है। (6)
(ii) सत्यापित कीजिये कि रेखाएँ (x − a + d)/(α − δ) = (y − a)/α = (z − a − d)/(α + δ) तथा (x − b + c)/(β − γ) = (y − b)/β = (z − b − c)/(β + γ) समतलीय हैं। यदि हाँ, तो उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसमें उपरोक्त दोनों रेखाएँ स्थित हैं। (7)

(i) अभिलंब (4 − 2, −5 − 3, 3 − 1) = (2, −8, 2) और x-अक्ष (1, 0, 0) दोनों पर लंब है: (2, −8, 2) × (1, 0, 0) = (0, 2, 8), जो (0, 1, 4) के समानुपाती है। समतल (y − 3) + 4(z − 1) = 0, अर्थात y + 4z = 7 है (जाँच: −5 + 12 = 7)।

(ii) रेखाएँ A(a − d, a, a + d) और B(b − c, b, b + c) से होकर दिशाओं (α − δ, α, α + δ) और (β − γ, β, β + γ) में हैं। समतलीयता के लिए det[[b − c − a + d, b − a, b + c − a − d], [α − δ, α, α + δ], [β − γ, β, β + γ]] = 0 चाहिए।

C₁ → C₁ + C₃ − 2C₂ लगाएँ: पहले स्तंभ की प्रत्येक प्रविष्टि 0 हो जाती है, अतः सारणिक 0 है और रेखाएँ समतलीय हैं।

उनका समतल det[[x − a + d, y − a, z − a − d], [α − δ, α, α + δ], [β − γ, β, β + γ]] = 0 है; वही स्तंभ संक्रिया पहले स्तंभ को (x − 2y + z, 0, 0) बना देती है, अतः समीकरण (x − 2y + z)(αγ − βδ) = 0 है।

उत्तर: (i) y + 4z = 7; (ii) रेखाएँ समतलीय हैं और समतल x − 2y + z = 0 में स्थित हैं (मानते हुए कि αγ ≠ βδ, अर्थात रेखाएँ समांतर नहीं हैं)।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 10 अंक): रेखाओं (x − 1)/2 = (y − 2)/4 = z − 3 तथा y − mx = z = 0 के बीच लघुतम दूरी (shortest distance) निकालिये। m के किस मान के लिए दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद (intersect) करेंगी?

रेखा 1: A(1, 2, 3), b₁ = (2, 4, 1). रेखा 2 (y = mx, z = 0): O से होकर, b₂ = (1, m, 0).

b₁ × b₂ = (−m, 1, 2m − 4), जहाँ |b₁ × b₂|² = m² + 1 + (2m − 4)² = 5m² − 16m + 17, और (O − A)·(b₁ × b₂) = (−1, −2, −3)·(−m, 1, 2m − 4) = 10 − 5m.

SD = |10 − 5m|/√(5m² − 16m + 17). रेखाएँ कभी समांतर नहीं हैं, अतः वे ठीक तब प्रतिच्छेद करती हैं जब SD = 0, अर्थात m = 2; तब रेखा 1, z = 0 से (−5, −10, 0) पर मिलती है, जो y = 2x पर है।

उत्तर: SD = 5|2 − m|/√(5m² − 16m + 17); m = 2 के लिए रेखाएँ (−5, −10, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 10 अंक): एक रेखा, जो रेखाओं y = a = z, x + 3z = a = y + z को प्रतिच्छेद (intersect) करती है तथा तल x + y = 0 के समानान्तर है, द्वारा जनित सतह (surface generated) निकालिये।

दोनों दी गई रेखाओं से मिलने वाली कोई भी रेखा (y − a) + λ(z − a) = 0, (x + 3z − a) + μ(y + z − a) = 0 है। इसकी दिशा (0, 1, λ) × (1, μ, 3 + μ) = (3 + μ − λμ, λ, −1) है।

x + y = 0 के समांतर: (3 + μ − λμ) + λ = 0. λ = −(y − a)/(z − a) और μ = −(x + 3z − a)/(y + z − a) रखकर हर हटाएँ: 3(z − a)(y + z − a) − (x + 3z − a)(z − a) − (y − a)(y + z − a) − (y − a)(x + 3z − a) = 0.

विस्तार करने पर z² पद, y पद और अचर कट जाते हैं, और −y² − yz − zx − xy + 2ax + 2az = 0 बचता है, अर्थात y² + yz + zx + xy = 2a(x + z).

उत्तर: पृष्ठ (x + y)(y + z) = 2a(x + z) है, एक अतिपरवलयिक परवलयज।

उदाहरण 10 (UPSC 2018, 10 अंक): सरल रेखा (x − 1)/2 = (y − 1)/3 = (z + 1)/(−1) का समतल x + y + 2z = 6 पर प्रक्षेपण ज्ञात कीजिये।

रेखा (1, 1, −1) से होकर दिशा (2, 3, −1) में है; समतल का अभिलंब (1, 1, 2) है। रेखा से होकर दिए गए समतल पर लंब समतल का अभिलंब (2, 3, −1) × (1, 1, 2) = (7, −5, −1) है: 7(x − 1) − 5(y − 1) − (z + 1) = 0, अर्थात 7x − 5y − z = 3.

प्रक्षेप रेखा 7x − 5y − z = 3, x + y + 2z = 6 है। इसकी दिशा (7, −5, −1) × (1, 1, 2) = (−9, −15, 12) है, जो (3, 5, −4) के समानुपाती है।

दी गई रेखा समतल से वहाँ मिलती है जहाँ (1 + 2t) + (1 + 3t) + 2(−1 − t) = 6, अतः t = 2 और बिंदु (5, 7, −3) है; यह बिंदु प्रक्षेप पर स्थित है।

उत्तर: प्रक्षेप (x − 5)/3 = (y − 7)/5 = (z + 3)/(−4) है, अर्थात 7x − 5y − z = 3, x + y + 2z = 6.

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 12 अंक): रेखाओं
a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0
और z-अक्ष के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये।

P_i = a_ix + b_iy + c_iz + d_i लिखें। दी गई रेखा से होकर समतल P₁ + λP₂ = 0 है; यह z-अक्ष (दिशा (0, 0, 1)) के समांतर है जब c₁ + λc₂ = 0, अतः c₂P₁ − c₁P₂ = 0 लें।

यह समतल (a₁c₂ − a₂c₁)x + (b₁c₂ − b₂c₁)y + (d₁c₂ − d₂c₁) = 0 है। z-अक्ष के किसी भी बिंदु, जैसे मूलबिंदु, की इससे दूरी ही SD है।

उत्तर: SD = |d₁c₂ − d₂c₁|/√((a₁c₂ − a₂c₁)² + (b₁c₂ − b₂c₁)²).

उदाहरण 12 (UPSC 2022, 15 अंक): लघुतम संभाव्य त्रिज्या के गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सरल रेखाओं: (x − 3)/3 = (y − 8)/(−1) = (z − 3)/1 तथा (x + 3)/(−3) = (y + 7)/2 = (z − 6)/4 को स्पर्श करता है।

इस विषय के उदाहरण 1 से उभयनिष्ठ लंब के पाद P(3, 8, 3) और Q(−3, −7, 6) हैं, और PQ = 3√30.

दोनों रेखाओं को स्पर्श करने वाले गोले की त्रिज्या कम से कम उनके बीच की दूरी की आधी होती है, क्योंकि केंद्र की दोनों रेखाओं से दूरियों का योग कम से कम PQ होता है। PQ को व्यास मानकर बना गोला इस समता को प्राप्त करता है और प्रत्येक रेखा को P तथा Q पर स्पर्श करता है (वहाँ त्रिज्या उभयनिष्ठ लंब की दिशा में है)।

व्यास-रूप: (x − 3)(x + 3) + (y − 8)(y + 7) + (z − 3)(z − 6) = 0, अर्थात x² + y² + z² − y − 9z − 47 = 0, केंद्र (0, 1/2, 9/2) और त्रिज्या √270/2 = 3√30/2.

उत्तर: x² + y² + z² − y − 9z − 47 = 0.

उदाहरण 13 (UPSC 2023, 15 अंक): सिद्ध कीजिए कि रेखाओं y = mx, z = c; y = −mx, z = −c और वृत्त x² + y² = a², z = 0 से मिलने वाली रेखा का बिन्दु-पथ c²m²(cy − mzx)² + c²(yz − cmx)² = a²m²(z² − c²)² है।

पहली दो रेखाओं से मिलने वाली रेखा (y − mx) + λ(z − c) = 0, (y + mx) + μ(z + c) = 0 है। यह z = 0 से वहाँ मिलती है जहाँ y − mx = λc और y + mx = −μc, अर्थात x = −c(λ + μ)/(2m), y = c(λ − μ)/2 पर।

यह बिंदु वृत्त पर है: c²(λ + μ)²/(4m²) + c²(λ − μ)²/4 = a².

λ = −(y − mx)/(z − c) और μ = −(y + mx)/(z + c) से: λ + μ = −2(yz − cmx)/(z² − c²) और λ − μ = −2(cy − mzx)/(z² − c²).

प्रतिस्थापित कर m²(z² − c²)² से गुणा करने पर: c²(yz − cmx)² + c²m²(cy − mzx)² = a²m²(z² − c²)².

उत्तर: बिंदुपथ c²m²(cy − mzx)² + c²(yz − cmx)² = a²m²(z² − c²)² है, जैसा अपेक्षित था।

उदाहरण 14 (UPSC 2024, 20 अंक): रेखा x = 3 − 6t, y = 2t, z = 3 + 2t का समतल 3x + 4y − 5z + 26 = 0 में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए।

रेखा A(3, 0, 3) से होकर दिशा (−6, 2, 2) में है; समतल का अभिलंब (3, 4, −5) है, और (−6, 2, 2)·(3, 4, −5) = −20 ≠ 0, अतः रेखा समतल से मिलती है।

मिलन बिंदु: 3(3 − 6t) + 4(2t) − 5(3 + 2t) + 26 = 20 − 20t = 0, अतः t = 1 और Q = (−3, 2, 5).

A का प्रतिबिंब: 3·3 + 0 − 15 + 26 = 20 और 3² + 4² + 5² = 50, अतः उभयनिष्ठ अनुपात −2·20/50 = −4/5 और A′ = (3 − 12/5, −16/5, 3 + 4) = (3/5, −16/5, 7).

प्रतिबिंब रेखा Q और A′ को मिलाती है: दिशा (18/5, −26/5, 2), जो (9, −13, 5) के समानुपाती है।

उत्तर: (x + 3)/9 = (y − 2)/(−13) = (z − 5)/5, अर्थात x = −3 + 9k, y = 2 − 13k, z = 5 + 5k.

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): (2, −1, 3) और (4, 3, −1) से होकर जाने वाली रेखा को सममित रूप में लिखिए।

उत्तर: दिशा (2, 4, −4), (1, 2, −2) के समानुपाती है: (x − 2)/1 = (y + 1)/2 = (z − 3)/(−2).

अभ्यास 2 (मूल): क्या रेखा (x − 1)/2 = (y − 2)/3 = (z − 3)/4 समतल x + 2y − 2z = 5 के समांतर है? क्या वह उसमें स्थित है?

उत्तर: 2 + 6 − 8 = 0, अतः समांतर है; बिंदु (1, 2, 3) से 1 + 4 − 6 = −1 ≠ 5, अतः वह समतल में नहीं है, और समतल से उसकी दूरी |−1 − 5|/3 = 2 है।

अभ्यास 3 (मूल): रेखा x/2 = y/3 = z/6 और समतल x − 2y + 2z = 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: sin θ = |2 − 6 + 12|/(7 · 3) = 8/21, अतः θ = sin⁻¹(8/21).

अभ्यास 4 (मानक): रेखा x + 2y − z = 3, 2x − y + 3z = 1 को सममित रूप में लिखिए।

उत्तर: दिशा (1, 2, −1) × (2, −1, 3) = (5, −5, −5), (1, −1, −1) के समानुपाती है; z = 0 रखने पर बिंदु (1, 1, 0) मिलता है; रेखा (x − 1)/1 = (y − 1)/(−1) = z/(−1) है।

अभ्यास 5 (मानक): (4, 5, 6) से रेखा x/2 = (y − 2)/3 = (z − 3)/4 पर लंब का पाद और लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Q = (2r, 2 + 3r, 3 + 4r) लेने पर प्रतिबंध 29r − 29 = 0 से r = 1; पाद (2, 5, 7) है और लंबाई √5 है।

अभ्यास 6 (मानक): दिखाइए कि रेखाएँ (x − 1)/1 = (y + 1)/2 = (z − 2)/(−1) और (x − 1)/2 = (y − 2)/1 = (z + 1)/1 प्रतिच्छेदी हैं। उभयनिष्ठ बिंदु और उन्हें समाहित करने वाला समतल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: det[[0, 3, −3], [1, 2, −1], [2, 1, 1]] = 0 और दिशाएँ समांतर नहीं हैं; r = 2, s = 1 से बिंदु (3, 3, 0) मिलता है, और समतल x − y − z = 0 है।

अभ्यास 7 (मानक): (1, 0, −1) से होकर दिशा (1, 1, 0) वाली रेखा और (0, 2, 1) से होकर दिशा (0, 1, 1) वाली रेखा के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: n = (1, −1, 1), (C − A) · n = (−1, 2, 2) · (1, −1, 1) = −1, अतः SD = 1/√3.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): x/1 = (y + 1)/2 = z/1 और (x + 3)/1 = (y − 2)/1 = (z − 1)/(−1) के बीच न्यूनतम दूरी, उभयनिष्ठ लंब के पाद, और न्यूनतम दूरी की रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: b₁ × b₂ = (−3, 2, −1); बिंदु विधि से r = 1, s = 1, पाद (1, 1, 1) और (−2, 3, 0); SD = √14; SD की रेखा (x − 1)/(−3) = (y − 1)/2 = (z − 1)/(−1) है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): रेखा x + y + 2z − 3 = 0 = 2x + 3y + 4z − 4 और z-अक्ष के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रेखा से होकर z-अक्ष के समांतर समतल 4(x + y + 2z − 3) − 2(2x + 3y + 4z − 4) = 0, अर्थात y = −2 है; SD इससे मूलबिंदु की दूरी, 2 है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): उस रेखा द्वारा जनित पृष्ठ ज्ञात कीजिए जो रेखाओं y = 0, z = c और x = 0, z = −c से मिलती है और समतल x + 2y = 0 के समांतर है।

उत्तर: रेखा y + λ(z − c) = 0, x + μ(z + c) = 0 है जिसकी दिशा (μ, λ, −1) है; समांतरता से μ + 2λ = 0, और λ, μ का विलोपन करने पर z(x + 2y) = c(x − 2y) मिलता है, जो एक अतिपरवलयिक परवलयज है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): समतल x + y + z = 2 में रेखा (x − 1)/1 = (y − 2)/2 = (z − 3)/1 का प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रेखा समतल से (0, 0, 2) पर मिलती है (r = −1); (1, 2, 3) का प्रतिबिंब (−5/3, −2/3, 1/3) है; प्रतिबिंब रेखा x/5 = y/2 = (z − 2)/5 है।

1. गोले के समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: गोला (sphere) एक स्थिर बिंदु से स्थिर दूरी पर स्थित बिंदुओं का समुच्चय है। प्रश्न इसे या तो केंद्र और त्रिज्या से देते हैं या विस्तारित समीकरण से, और हमें दोनों के बीच शीघ्रता से आना-जाना चाहिए, और यह पहचानना चाहिए कि कब कोई समीकरण वास्तविक गोला है ही नहीं।

शब्दों में: P(x, y, z) केंद्र C(a, b, c) और त्रिज्या r वाले गोले पर ठीक तब है जब CP = r; वर्ग करने से मूल हट जाता है और (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² मिलता है। विस्तार करने पर सदा समान गुणांकों वाले x² + y² + z² मिलते हैं, कोई गुणन पद xy, yz, zx नहीं, फिर रैखिक पद और एक अचर। अतः व्यापक रूप में चार स्वतंत्र संख्याएँ u, v, w, d हैं: तीन केंद्र निश्चित करती हैं और एक और त्रिज्या।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 2x² + 2y² + 2z² − 4x + 8y − 12z + 10 = 0 का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

चरण 1: 2 से भाग देकर x² का गुणांक 1 करें: x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0.

चरण 2: 2u = −2, 2v = 4, 2w = −6, d = 5 पढ़ें, अतः u = −1, v = 2, w = −3 और केंद्र (−u, −v, −w) = (1, −2, 3) है।

चरण 3: त्रिज्या² = u² + v² + w² − d = 1 + 4 + 9 − 5 = 9, अतः त्रिज्या 3 है।

चरण 4 (वर्ग पूरा करके जाँच): (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 1 + 4 + 9 − 5 = 9, वही उत्तर।

अ-उदाहरण (non-example): x² + y² + z² − 2x + 4y + 6 = 0 गोले के रूप का है, पर u² + v² + w² − d = 1 + 4 − 6 = −1 < 0: कोई वास्तविक बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता (काल्पनिक गोला)। और x² + 2y² + z² = 4 या x² + y² + z² + xy = 4 गोले हैं ही नहीं, क्योंकि वर्ग पदों के गुणांक असमान हैं या गुणन पद उपस्थित है।

आगे बढ़ते हुए: क्योंकि व्यापक रूप में चार अज्ञात हैं, चार स्वतंत्र प्रतिबंध एक गोला निश्चित करते हैं: चार असमतलीय बिंदु (u, v, w, d में चार रैखिक समीकरण), या केंद्र का प्रतिबंध और बिंदु, या स्पर्श प्रतिबंध। जब दिए गए दो बिंदु किसी व्यास के सिरे हों, तो व्यास रूप लें: यह "अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है" को व्यक्त करता है और इसमें हल करने की आवश्यकता नहीं।

कहाँ प्रयोग होता है: गोले का प्रत्येक प्रश्न केंद्र और त्रिज्या को सही पढ़ने से आरंभ होता है; यही "पहले भाग दें, फिर पढ़ें" चरण शांकवजों और मूलाक्ष तल के लिए भी आवश्यक है।

2. गोले के समीकरण

केंद्र (a, b, c) और त्रिज्या r वाला गोला (sphere): (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r².

व्यापक रूप: x² + y² + z² + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0, जिसका केंद्र (−u, −v, −w) और त्रिज्या √(u² + v² + w² − d) है, जो u² + v² + w² > d होने पर वास्तविक है। द्विघात समीकरण गोला तभी है जब x², y², z² के गुणांक बराबर हों और xy, yz, zx पद न हों।

भाव: केंद्र और त्रिज्या वर्ग पूरा करने से आते हैं: x² + 2ux = (x + u)² − u², और इसी प्रकार y तथा z के लिए, अतः समीकरण (x + u)² + (y + v)² + (z + w)² = u² + v² + w² − d बन जाता है।

यदि u² + v² + w² = d हो तो गोला (sphere) एक बिंदु में सिकुड़ जाता है (बिंदु-गोला); यदि यह d से कम हो तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं होता (काल्पनिक गोला)। xy पद या x², y² के असमान गुणांक पृष्ठ को खींचकर या झुकाकर दीर्घवृत्तज या अतिपरवलयज बना देते।

व्यास रूप (सिरे (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂)): (x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) + (z − z₁)(z − z₂) = 0.

यह क्यों कार्य करता है: अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है, अतः P व्यास AB वाले गोले पर ठीक तब है जब PA ⟂ PB, अर्थात (P − A) · (P − B) = 0, जो विस्तार से लिखा गया व्यास रूप है।

चार असमतलीय बिंदु एक अद्वितीय गोला निर्धारित करते हैं: उन्हें व्यापक रूप में रखकर u, v, w, d हल करें।

भाव: चार अज्ञात u, v, w, d के लिए चार प्रतिबंध चाहिए। यदि चारों बिंदु समतलीय हों, तो वे या तो एक वृत्त पर हैं (अनंत गोले) या किसी पर नहीं (कोई गोला नहीं), अतः रैखिक निकाय अव्युत्क्रमणीय होता है।

3. समतल परिच्छेदों और कुल S + λP = 0 को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समष्टि में वृत्त का कोई एकल समीकरण नहीं होता; उसे समतल द्वारा कटे गोले के रूप में वर्णित किया जाता है। हमें उसका केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करनी होती है, और किसी दिए गए वृत्त से होकर जाने वाले सभी गोले लिखने होते हैं, क्योंकि अनेक प्रश्न गोले को "इस वृत्त से होकर और एक और प्रतिबंध" से निश्चित करते हैं।

शब्दों में: युग्म S = 0, P = 0 (गोला और समतल साथ में) परिच्छेद वृत्त है। इसका केंद्र N, गोले के केंद्र C से समतल पर डाले गए लंब का पाद है, और इसकी त्रिज्या √(R² − p²) है, जहाँ p = CN. समीकरण S + λP = 0, जहाँ λ कोई वास्तविक संख्या है, प्रत्येक λ के लिए एक गोला है, और यह वृत्त के प्रत्येक बिंदु से होकर जाता है, क्योंकि वहाँ S और P दोनों शून्य हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: गोला x² + y² + z² = 25 समतल 2x + y + 2z = 9 द्वारा काटा जाता है।

चरण 1: केंद्र C = (0, 0, 0), R = 5; दूरी p = |−9|/√(4 + 1 + 4) = 3. चूँकि p < R, परिच्छेद वास्तविक वृत्त है।

चरण 2: वृत्त की त्रिज्या = √(25 − 9) = 4.

चरण 3: वृत्त का केंद्र: C से अभिलंब के अनुदिश चलें, N = t(2, 1, 2), और N को समतल में रखें: 9t = 9, t = 1, अतः N = (2, 1, 2). जाँच: 4 + 1 + 4 = 9.

चरण 4 (इस वृत्त और मूलबिंदु से होकर गोला): x² + y² + z² − 25 + λ(2x + y + 2z − 9) = 0 में (0, 0, 0) रखने पर −25 − 9λ = 0, λ = −25/9. 9 से गुणा करने पर: 9(x² + y² + z²) − 50x − 25y − 50z = 0; अचर पद लुप्त हो जाता है, जैसा O से होकर जाने वाले गोले के लिए होना चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): समतल 2x + y + 2z = 18, O से दूरी 6 पर है, और 6 > 5, अतः R² − p² = −11 < 0: कोई वास्तविक वृत्त नहीं है। तब युग्म S = 0, P = 0 रिक्त है, यद्यपि S + λP = 0 फिर भी गोलों का एक कुल देता है। "वृत्त" की बात करने से पहले सदा p < R जाँचें।

आगे बढ़ते हुए: S + λP = 0 में वृत्त से होकर जाने वाला प्रत्येक गोला Σ = 0 क्यों है? दोनों को x² गुणांक 1 के साथ लिखें। तब Σ − S रैखिक है (वर्ग पद कट जाते हैं) और वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर शून्य है। समतल P = 0 के तीन असंरेख बिंदुओं और वृत्त के अन्य सभी बिंदुओं पर शून्य होने वाला रैखिक व्यंजक P का गुणज ही होगा, अतः Σ − S = λP. बृहत् वृत्त के लिए समतल को S + λP = 0 के केंद्र से होकर जाना चाहिए, जिससे λ में एक रैखिक समीकरण मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: वृत्त और एक बिंदु से होकर गोला, वृत्त से होकर और किसी समतल को स्पर्श करता गोला (λ में द्विघात), वृत्त को बृहत् वृत्त मानकर गोला, और अक्षों पर समतल द्वारा काटे गए त्रिभुज का परिवृत्त।

4. समतल परिच्छेद और वृत्त

गोला S = 0 और समतल P = 0 मिलकर एक वृत्त निरूपित करते हैं। इसका केंद्र गोले के केंद्र से समतल पर डाले गए लंब का पाद है, और इसकी त्रिज्या √(R² − p²) है, जहाँ R गोले की त्रिज्या और p उसके केंद्र की समतल से दूरी है।

भाव: ऊपर का चित्र देखें। गोले का केंद्र C, वृत्त का केंद्र N और वृत्त का कोई बिंदु Q एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें N पर समकोण है, अतः NQ² = CQ² − CN² = R² − p². यदि p > R हो तो समतल गोले को नहीं काटता; यदि p = R हो तो उसे स्पर्श करता है।

वृत्त S = 0, P = 0 से होकर गोले: S + λP = 0. दो गोलों के प्रतिच्छेद वृत्त से होकर गोले: S₁ + λS₂ = 0 (λ ≠ −1).

भाव: S + λP वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर शून्य है, और यह अब भी गोले के रूप में है (समान वर्ग पद, कोई गुणन पद नहीं), अतः प्रत्येक λ वृत्त से होकर एक गोला देता है; एक अतिरिक्त प्रतिबंध λ निर्धारित करता है। S₁ + λS₂ में λ = −1 वर्जित है क्योंकि S₁ − S₂ = 0 वृत्त का समतल है, गोला नहीं।

दीर्घ वृत्त (great circle) केंद्र से होकर जाने वाले समतल द्वारा परिच्छेद है; इसकी त्रिज्या गोले की त्रिज्या के बराबर है।

5. स्पर्श तल और बिंदु की घात को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कोई समतल गोले को वृत्त में काट सकता है, उससे अलग रह सकता है, या उसे ठीक एक बिंदु पर स्पर्श कर सकता है। स्पर्श करने वाला समतल, बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई, और बिंदु की स्थिति (भीतर, ऊपर, बाहर) बार-बार पूछे जाते हैं, और सब दो सरल तथ्यों से निकलते हैं।

शब्दों में: तथ्य 1: गोले के बिंदु T पर स्पर्श तल (tangent plane) वह समतल है जो T से होकर त्रिज्या CT पर लंब है। तथ्य 2: किसी भी बिंदु P के लिए, P को S में (x² गुणांक 1 के साथ) रखने पर मिलने वाली संख्या S₁, CP² − R² के बराबर है; यह P की घात (power) है। यह गोले के बाहर धनात्मक, ऊपर शून्य, भीतर ऋणात्मक है, और बाहरी बिंदु के लिए स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: S: x² + y² + z² − 2x − 4y − 6z − 2 = 0 लें, जिसका केंद्र (1, 2, 3) और त्रिज्या √(1 + 4 + 9 + 2) = 4 है।

चरण 1: T(1, 2, 7), S पर है, क्योंकि 1 + 4 + 49 − 2 − 8 − 42 − 2 = 0. यह गोले का "शीर्ष" है, केंद्र से 4 इकाई ऊपर।

चरण 2 (प्रतिस्थापन नियम): x·1 + y·2 + z·7 − (x + 1) − 2(y + 2) − 3(z + 7) − 2 = 0 सरल होकर 4z − 28 = 0, अर्थात z = 7 बनता है: शीर्ष से होकर क्षैतिज समतल, ठीक जैसा चित्र बताता है।

चरण 3 (घात): P(5, 2, 7) के लिए S₁ = 25 + 4 + 49 − 10 − 8 − 42 − 2 = 16 > 0, अतः P बाहर है और P से प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई √16 = 4 है। जाँच: CP² − R² = (16 + 0 + 16) − 16 = 16.

अ-उदाहरण (non-example): P(5, 2, 7) पर, जो गोले पर नहीं है, प्रतिस्थापन नियम लगाने से 4x + 4z − 32 = 0, अर्थात x + z = 8 मिलता है। यह स्पर्श तल नहीं है: केंद्र से इसकी दूरी |1 + 3 − 8|/√2 = 2√2 < 4 है, अतः यह गोले को काटता है। यह P का ध्रुवी तल (polar plane) है, और यह गोले को उस वृत्त में काटता है जिसके अनुदिश P से स्पर्श रेखाएँ स्पर्श करती हैं। नियम स्पर्श तल तभी देता है जब बिंदु पृष्ठ पर हो।

आगे बढ़ते हुए: नीचे की व्युत्पत्तियाँ दिखाती हैं कि "CT पर लंब" का विस्तार प्रतिस्थापन नियम है, और S₁ = CP² − R². निर्धारित अभिलंब वाले या निर्धारित रेखा से होकर जाने वाले समतल के लिए T पहले से ज्ञात नहीं होता; तब तुल्य परीक्षण "केंद्र से दूरी = त्रिज्या" लें। अंत में, S में P + te रखने पर t में द्विघात मिलता है जिसके मूलों का गुणनफल S₁ है, अतः P से होकर प्रत्येक रेखा पर घात समान है।

कहाँ प्रयोग होता है: किसी बिंदु पर या किसी समतल के समांतर स्पर्श तल, किसी समतल को स्पर्श करते गोले, बिंदु की स्थिति, मूलाक्ष तल (समान घात वाले बिंदु), और बाद में अन्वालोपी शंकु SS₁ = T².

6. स्पर्श तल, घात और ध्रुवी तल

(x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल (tangent plane): xx₁ + yy₁ + zz₁ + u(x + x₁) + v(y + y₁) + w(z + z₁) + d = 0.

स्मरण नियम: x² के स्थान पर xx₁ और 2x के स्थान पर x + x₁ रखें (और इसी प्रकार y, z के लिए)। यही नियम प्रत्येक शांकवज का स्पर्श तल (tangent plane) देता है; इसकी व्युत्पत्ति नीचे है।

कोई समतल गोले को स्पर्श करता है यदि और केवल यदि केंद्र से उसकी दूरी त्रिज्या के बराबर हो; x² + y² + z² = a² के लिए समतल lx + my + nz = p तब स्पर्श करता है जब p² = a²(l² + m² + n²).

बिंदु (x₁, y₁, z₁) की घात (power): S₁ = x₁² + y₁² + z₁² + 2ux₁ + 2vy₁ + 2wz₁ + d; बाह्य बिंदु के लिए यह स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग है। S₁ > 0, = 0 या < 0 के अनुसार बिंदु गोले के बाहर, पर या अंदर है।

भाव: S₁ = CP² − R², जहाँ C केंद्र है। P से होकर जाने वाली और गोले को A तथा B पर काटने वाली किसी भी रेखा के लिए PA · PB = |S₁|, चाहे रेखा की दिशा कुछ भी हो; इसी अचर के कारण इसे P की घात (power) कहते हैं।

(x₁, y₁, z₁) के ध्रुवी तल का समीकरण स्पर्श तल जैसा ही है; बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ गोले को उस वृत्त के अनुदिश स्पर्श करती हैं जिसमें ध्रुवी तल उसे काटता है।

7. लांबिक गोलों और मूलाक्ष तल को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब दो गोले मिलते हैं, तो हम जानना चाहते हैं कि वे किस कोण पर काटते हैं, उनके उभयनिष्ठ वृत्त का समतल क्या है, और "दिए गए गोले को समकोण पर काटता है" जैसे प्रतिबंध। इनसे अनेक बिंदुपथ प्रश्न बनते हैं।

शब्दों में: किसी उभयनिष्ठ बिंदु Q पर दो गोलों के बीच का कोण वहाँ उनके स्पर्श तलों के बीच का कोण है, जो त्रिज्याओं C₁Q और C₂Q के बीच के कोण के बराबर है। जब यह कोण 90° हो तो वे लांबिक (orthogonal) हैं। मूलाक्ष तल उन बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी दोनों गोलों के सापेक्ष घात समान है; जब गोले मिलते हैं तो इसमें उनका उभयनिष्ठ वृत्त होता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: d ज्ञात कीजिए ताकि S₂: x² + y² + z² − 6x + d = 0, S₁: x² + y² + z² − 4 = 0 को लांबिकतः काटे, और उनका उभयनिष्ठ वृत्त ज्ञात कीजिए।

चरण 1: S₁ के लिए u₁ = v₁ = w₁ = 0 और d₁ = −4; S₂ के लिए u₂ = −3, v₂ = w₂ = 0, d₂ = d.

चरण 2: लांबिकता, 2u₁u₂ + 2v₁v₂ + 2w₁w₂ = d₁ + d₂, से 0 = −4 + d, अतः d = 4. तब S₂ का केंद्र (3, 0, 0) और त्रिज्या² 9 − 4 = 5 है।

चरण 3 (ज्यामिति से जाँच): δ² = 9 और r₁² + r₂² = 4 + 5 = 9, अतः त्रिभुज C₁QC₂ में Q पर समकोण है।

चरण 4 (उभयनिष्ठ वृत्त): S₁ − S₂ = 6x − 8 = 0, अतः वृत्त x = 4/3 में है, C₁ से दूरी 4/3 पर; इसकी त्रिज्या √(4 − 16/9) = 2√5/3 है, जो r₁r₂/δ = 2√5/3 से मेल खाती है।

अ-उदाहरण (non-example): यदि दूसरा गोला 2x² + 2y² + 2z² − 12x + 8 = 0 (वही गोला) लिखा जाए, तो S₁ − S₂ = −x² − y² − z² + 12x − 12 समतल नहीं है। नियम "मूलाक्ष तल = S₁ − S₂" और लांबिकता प्रतिबंध दोनों के लिए पहले x² गुणांकों को 1 करना आवश्यक है।

आगे बढ़ते हुए: त्रिभुज C₁QC₂ की भुजाएँ r₁, r₂, δ हैं, अतः कोसाइन नियम से कोण मिलता है, और 90° का अर्थ है δ² = r₁² + r₂²; δ, r₁, r₂ को u, v, w, d के पदों में लिखने पर यह 2u₁u₂ + 2v₁v₂ + 2w₁w₂ = d₁ + d₂ बन जाता है। समान घात का अर्थ है S₁ = S₂, एक रैखिक समीकरण जिसका अभिलंब 2(u₁ − u₂, v₁ − v₂, w₁ − w₂) केंद्रों की रेखा के अनुदिश है, अतः मूलाक्ष तल उस पर लंब है।

कहाँ प्रयोग होता है: दिए गए गोलों को लांबिकतः काटने वाले गोले, केंद्रों के बिंदुपथ, दो गोलों का उभयनिष्ठ वृत्त, समाक्ष निकाय और सीमांत बिंदु।

8. प्रतिच्छेदी गोले

प्रतिच्छेद कोण: यदि गोलों की त्रिज्याएँ r₁, r₂ हों और उनके केंद्रों के बीच दूरी δ हो, तो उभयनिष्ठ बिंदु पर त्रिज्याओं के बीच कोण θ के लिए cos θ = (r₁² + r₂² − δ²)/(2r₁r₂).

लांबिक गोले: वे समकोण पर काटते हैं यदि और केवल यदि δ² = r₁² + r₂², अर्थात 2u₁u₂ + 2v₁v₂ + 2w₁w₂ = d₁ + d₂.

यह क्यों कार्य करता है: उभयनिष्ठ बिंदु पर त्रिज्याएँ अभिलंबों के अनुदिश हैं; दोनों केंद्रों और उभयनिष्ठ बिंदु से बने त्रिभुज की भुजाएँ r₁, r₂, δ हैं, अतः कोसाइन नियम से कोण मिलता है। लंबकोणीयता के लिए δ² = (u₁ − u₂)² + (v₁ − v₂)² + (w₁ − w₂)² और r_i² = u_i² + v_i² + w_i² − d_i; वर्ग कट जाते हैं और 2u₁u₂ + 2v₁v₂ + 2w₁w₂ = d₁ + d₂ बचता है।

स्पर्शी गोले: δ = r₁ + r₂ हो तो बाह्यतः और δ = |r₁ − r₂| हो तो अंतःतः स्पर्श करते हैं।

S₁ = 0 और S₂ = 0 (दोनों में x² का गुणांक 1) का मूलाक्ष तल (radical plane): S₁ − S₂ = 0, समान घात वाले बिंदुओं का बिंदुपथ; यह केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंब है।

यह क्यों कार्य करता है: दोनों में x² का गुणांक 1 होने पर S₁ − S₂ में वर्ग पद कट जाते हैं और एक रैखिक समीकरण बचता है। इस समतल के किसी बिंदु पर S₁ = S₂, अतः दोनों गोलों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर हैं।

तीन गोलों के युग्मशः मूलाक्ष तल एक रेखा (मूलाक्ष रेखा) से होकर जाते हैं, बशर्ते केंद्र संरेख न हों; चार गोलों के मूलाक्ष तल एक बिंदु (मूल केंद्र) पर मिलते हैं, बशर्ते केंद्र समतलीय न हों।

समाक्ष निकाय: S + λP = 0; प्रत्येक युग्म का मूलाक्ष तल P = 0 ही है। निकाय के बिंदु-गोले (त्रिज्या 0) इसके सीमांत बिंदु हैं।

भाव: समाक्षी निकाय (coaxal system) एक मूलक समतल साझा करने वाले गोलों का "कुल" है, जो समाक्षी वृत्त-कुल का त्रिविमीय रूप है। इसके सदस्यों के केंद्र P = 0 पर लंब एक रेखा पर स्थित होते हैं।

9. व्युत्पत्ति: स्पर्श तल और स्पर्श प्रतिबंध

P(x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल त्रिज्या CP पर लंब है, जहाँ C = (−u, −v, −w): (x − x₁)(x₁ + u) + (y − y₁)(y₁ + v) + (z − z₁)(z₁ + w) = 0.

प्रसार करने पर: xx₁ + yy₁ + zz₁ + ux + vy + wz − (x₁² + y₁² + z₁² + ux₁ + vy₁ + wz₁) = 0.

चूँकि P गोले पर है, x₁² + y₁² + z₁² = −2ux₁ − 2vy₁ − 2wz₁ − d, अतः कोष्ठक −ux₁ − vy₁ − wz₁ − d के बराबर है।

प्रतिस्थापन से xx₁ + yy₁ + zz₁ + u(x + x₁) + v(y + y₁) + w(z + z₁) + d = 0 मिलता है, जो बताया गया स्पर्श तल है।

स्पर्श प्रतिबंध: समतल गोले को √(R² − p²) त्रिज्या के वृत्त में काटता है, जो ठीक p = R होने पर एक बिंदु बन जाता है। x² + y² + z² = a² और lx + my + nz = p के लिए यह |p|/√(l² + m² + n²) = a है।

10. व्युत्पत्ति: बिंदु की घात

CP² − R² = (x₁ + u)² + (y₁ + v)² + (z₁ + w)² − (u² + v² + w² − d) = S₁. बाह्य बिंदु के लिए स्पर्श रेखा PT, CT पर लंब है, अतः PT² = CP² − R² = S₁.

बिंदु P + te (e एक इकाई सदिश) को S = 0 में रखें: t² + 2t e · (P − C) + S₁ = 0. मूलों का गुणनफल S₁ है, अतः प्रत्येक दिशा e के लिए PA · PB = |S₁|.

11. विधि का चयन

यदि चार बिंदु दिए हों → व्यापक रूप और चार रैखिक समीकरण; यदि दो बिंदु किसी व्यास के सिरे हों → व्यास रूप।

यदि गोला दिए गए वृत्त S = 0, P = 0 से होकर जाए → S + λP = 0; दो गोलों के वृत्त से होकर → S₁ + λS₂ = 0, या S₁ + λ(S₁ − S₂) = 0.

यदि गोला दिए गए समतल P = 0 को दिए बिंदु (x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श करे → (x − x₁)² + (y − y₁)² + (z − z₁)² + λP = 0 (बिंदु-गोला और समतल)।

यदि किसी बिंदु पर स्पर्श तल पूछा जाए → प्रतिस्थापन नियम; दी गई अभिलंब दिशा के साथ, या दी गई रेखा से होकर → केंद्र से दूरी = त्रिज्या।

यदि परिच्छेद वृत्त का केंद्र या त्रिज्या पूछी जाए → केंद्र से लंब का पाद, और √(R² − p²).

यदि लंबकोणीय प्रतिच्छेद या केंद्रों का बिंदुपथ पूछा जाए → 2u₁u₂ + 2v₁v₂ + 2w₁w₂ = d₁ + d₂, फिर केंद्र को (α, β, γ) लिखकर प्राचलों का विलोपन करें।

12. सामान्य गलतियाँ

समीकरण को x² के गुणांक से भाग दिए बिना केंद्र (−u, −v, −w) पढ़ लेना।

परिच्छेद वृत्त के लिए p को गोले के केंद्र के स्थान पर मूलबिंदु से मापना।

S₁ + λS₂ = 0 में λ = −1 लेना, जिससे वृत्त का समतल मिलता है, गोला नहीं।

जब स्पर्श प्रतिबंध λ में द्विघात दे, तब केवल एक मूल रखना; प्रायः दो गोले (या दो स्पर्श तल) होते हैं।

चिह्न परीक्षण उलट देना: S₁ > 0 का अर्थ है कि बिंदु गोले के बाहर है, अंदर नहीं।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: S + λP = 0 वही "कुल" विचार है जो समतलों के लिए P₁ + λP₂ = 0 में है, और समतल ज्यामिति में वृत्त तथा रेखा के प्रतिच्छेद बिंदुओं से होकर जाने वाले वृत्त-कुल में है।

संबंध: ध्रुवी तल और घात S₁ प्रत्येक शांकवज के लिए अन्वालोपी शंकु SS₁ = T² में फिर आते हैं (शंकु और बेलन विषय); गोले का प्राचलीकरण (a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ) सदिश विश्लेषण में पृष्ठ समाकलों के लिए प्रयुक्त होता है।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: वृत्त x² + y² + z² − 2y − 4z = 11, x + 2y + 2z = 15 का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करें।

गोले का केंद्र C(0, 1, 2) और त्रिज्या √(1 + 4 + 11) = 4 है। समतल से C की दूरी |0 + 2 + 4 − 15|/3 = 3 है, अतः वृत्त की त्रिज्या √(16 − 9) = √7 है।

C से लंब का पाद: बिंदु (t, 1 + 2t, 2 + 2t) समतल में है जब 9t + 6 = 15, अतः t = 1 और वृत्त का केंद्र (1, 3, 4) है।

उदाहरण 2: वृत्त x² + y² + z² = 9, 2x + 3y + 4z = 5 और बिंदु (1, 2, 3) से होकर जाने वाला गोला ज्ञात करें।

x² + y² + z² − 9 + λ(2x + 3y + 4z − 5) = 0, (1, 2, 3) से होकर जाता है जब 5 + 15λ = 0, अतः λ = −1/3 और गोला 3(x² + y² + z²) − 2x − 3y − 4z − 22 = 0 है।

उदाहरण 3: सिद्ध करें कि गोले x² + y² + z² = 25 और x² + y² + z² − 18x − 24y − 40z + 225 = 0 बाह्यतः स्पर्श करते हैं, और स्पर्श बिंदु ज्ञात करें।

केंद्र (0, 0, 0) और (9, 12, 20) हैं, त्रिज्याएँ 5 और √(81 + 144 + 400 − 225) = 20. केंद्रों के बीच दूरी √625 = 25 = 5 + 20 है, अतः वे बाह्यतः स्पर्श करते हैं, उस बिंदु पर जो मिलाने वाली रेखा को 5 : 20 = 1 : 4 में विभाजित करता है, अर्थात (9/5, 12/5, 4).

उदाहरण 4: वह गोला ज्ञात करें जो समतल 3x + 2y − z + 2 = 0 को (1, −2, 1) पर स्पर्श करता है और गोले x² + y² + z² − 4x + 6y + 4 = 0 को लंबकोणीय रूप से (orthogonally) काटता है।

बिंदु पर समतल को स्पर्श करने वाले गोले: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 1)² + λ(3x + 2y − z + 2) = 0, अर्थात x² + y² + z² + (3λ − 2)x + (2λ + 4)y − (λ + 2)z + (2λ + 6) = 0.

लंबकोणीयता 2u₁u₂ + 2v₁v₂ + 2w₁w₂ = d₁ + d₂, जहाँ u₂ = −2, v₂ = 3, w₂ = 0, d₂ = 4: −2(3λ − 2) + 3(2λ + 4) = 2λ + 10, अर्थात 16 = 2λ + 10, अतः λ = 3.

अभीष्ट गोला x² + y² + z² + 7x + 10y − 5z + 12 = 0 है।

उदाहरण 5: गोले x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z + 5 = 0 के वे स्पर्श तल ज्ञात करें जो समतल 2x + 2y − z = 0 के समांतर हैं, और उनके स्पर्श बिंदु भी।

केंद्र C(2, −1, 3), त्रिज्या √(4 + 1 + 9 − 5) = 3. समांतर समतल 2x + 2y − z + k = 0 है।

स्पर्श की शर्त: |4 − 2 − 3 + k|/3 = 3, अतः |k − 1| = 9 और k = 10 या k = −8.

समतल 2x + 2y − z + 10 = 0 और 2x + 2y − z − 8 = 0 हैं, जो क्रमशः C ∓ (2, 2, −1), अर्थात (0, −3, 4) और (4, 1, 2) पर स्पर्श करते हैं।

उदाहरण 6: सिद्ध करें कि गोले x² + y² + z² − 2x − 4y − 6z + 5 = 0 और x² + y² + z² + 2x − 2y + 2z − 9 = 0 लंबकोणीय रूप से काटते हैं, और उनके उभयनिष्ठ वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

केंद्र C₁(1, 2, 3) और C₂(−1, 1, −1); r₁² = 1 + 4 + 9 − 5 = 9 और r₂² = 1 + 1 + 1 + 9 = 12. तब δ² = 4 + 1 + 16 = 21 = r₁² + r₂², अतः वे लंबकोणीय रूप से काटते हैं (समतुल्य रूप से 2(−1 + 2 − 3) = −4 = d₁ + d₂).

उभयनिष्ठ वृत्त मूलाक्ष समतल S₁ − S₂ = 0, अर्थात 2x + y + 4z − 7 = 0 में है, जो C₁ से |2 + 2 + 12 − 7|/√21 = 9/√21 दूरी पर है।

वृत्त की त्रिज्या = √(9 − 81/21) = √(36/7) = 6/√7, जो r₁r₂/δ = 3·2√3/√21 के बराबर है, जैसा लंबकोणीय गोलों के लिए होना चाहिए।

15. बिंदुओं और वृत्तों से होकर गोले, स्पर्शता और बिंदुपथ प्रश्न

O और अंतःखंडों A(α, 0, 0), B(0, β, 0), C(0, 0, γ) से होकर गोला: x² + y² + z² − αx − βy − γz = 0, केंद्र (α/2, β/2, γ/2) और त्रिज्या √(α² + β² + γ²)/2. वृत्त ABC यही गोला और समतल x/α + y/β + z/γ = 1 है।

कुल S + λP = 0 से किसी समतल को स्पर्श: केंद्र और त्रिज्या को λ में लिखें और (केंद्र की समतल से दूरी)² = त्रिज्या² रखें; यह λ में द्विघात है, अतः सामान्यतः ऐसे दो गोले होते हैं।

रेखा से होकर स्पर्श तल: रेखा से होकर समतल P₁ + λP₂ = 0 गोले को स्पर्श करता है जब केंद्र से उसकी दूरी त्रिज्या के बराबर हो। कोई वास्तविक λ ठीक तब नहीं मिलता जब रेखा गोले को दो वास्तविक बिंदुओं पर काटती है।

उदाहरण 7 (UPSC 2016, 10 अंक): उस गोले (sphere) का समीकरण निकालिये, जो वृत्त x² + y² = 4; z = 0 से गुजरता है और जो तल x + 2y + 2z = 0 से एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 3 है, में काटा जाता है।

वृत्त से होकर गोले: x² + y² + z² − 4 + λz = 0, केंद्र (0, 0, −λ/2) और R² = λ²/4 + 4.

केंद्र की x + 2y + 2z = 0 से दूरी: |2(−λ/2)|/3 = |λ|/3. परिच्छेद की त्रिज्या 3 है, अतः R² − λ²/9 = 9, अर्थात 5λ²/36 = 5 और λ = ±6.

उत्तर: x² + y² + z² ± 6z − 4 = 0 (दो गोले, प्रत्येक की त्रिज्या √13)।

उदाहरण 8 (UPSC 2022, 10 अंक; 2017 में भी पूछा गया): एक चर समतल एक स्थिर बिन्दु (a, b, c) से गुज़रता है तथा अक्षों को क्रमशः A, B व C बिन्दुओं पर मिलता है। बिन्दुओं O, A, B तथा C से गुज़रते हुए गोले के केन्द्र का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जहाँ O मूल-बिन्दु है।

माना समतल x/α + y/β + z/γ = 1 है, जो अक्षों को A(α, 0, 0), B(0, β, 0), C(0, 0, γ) पर काटता है। यह (a, b, c) से होकर जाता है: a/α + b/β + c/γ = 1.

गोला OABC x² + y² + z² − αx − βy − γz = 0 है, जिसका केंद्र (x, y, z) = (α/2, β/2, γ/2) है, अतः α = 2x, β = 2y, γ = 2z.

प्रतिस्थापन से: a/(2x) + b/(2y) + c/(2z) = 1.

उत्तर: केंद्र का बिंदुपथ a/x + b/y + c/z = 2 है।

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 12 अंक): xyz-समतल में स्थित, बिन्दुओं (0, 0, 0), (0, 1, −1), (−1, 2, 0) और (1, 2, 3) में से गुजरते हुये गोले का समीकरण ज्ञात कीजिये।

x² + y² + z² + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0 लें; मूलबिंदु से d = 0.

(0, 1, −1): 2 + 2v − 2w = 0, अतः w = v + 1. (−1, 2, 0): 5 − 2u + 4v = 0. (1, 2, 3): 14 + 2u + 4v + 6w = 0.

अंतिम दो जोड़ने पर: 19 + 8v + 6w = 0, अतः 14v + 25 = 0 और v = −25/14, w = −11/14, u = (5 + 4v)/2 = −15/14.

उत्तर: 7(x² + y² + z²) − 15x − 25y − 11z = 0 ((1, 2, 3) से जाँच: 98 − 15 − 50 − 33 = 0)।

उदाहरण 10 (UPSC 2019, 10 अंक): (i) समतल x + 2y + 3z = 12 निर्देशांक अक्षों को A, B, C पर काटता है। त्रिभुज ABC के परिवृत्त के समीकरण ज्ञात कीजिए।

A = (12, 0, 0), B = (0, 6, 0), C = (0, 0, 4). O, A, B, C से होकर गोला x² + y² + z² − 12x − 6y − 4z = 0 है।

ABC का परिवृत्त इस गोले का समतल ABC द्वारा परिच्छेद है।

उत्तर: x² + y² + z² − 12x − 6y − 4z = 0, x + 2y + 3z = 12.

उदाहरण 11 (UPSC 2021, 15 अंक): अचर त्रिज्या r का एक गोला मूल-बिंदु O से गुजरता है तथा अक्षों को A, B, C बिन्दुओं पर काटता है। O से समतल ABC पर खींचे गए लंब-पाद का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।

माना A(α, 0, 0), B(0, β, 0), C(0, 0, γ). गोला OABC x² + y² + z² − αx − βy − γz = 0 है, और इसकी त्रिज्या r है, अतः α² + β² + γ² = 4r².

O से x/α + y/β + z/γ = 1 पर लंब का पाद F(x, y, z) O से होकर अभिलंब पर है, अतः (x, y, z) = t(1/α, 1/β, 1/γ). तब x² + y² + z² = t²(1/α² + 1/β² + 1/γ²), जबकि F के समतल पर होने से t(1/α² + 1/β² + 1/γ²) = 1.

अतः t = x² + y² + z² और α = t/x = (x² + y² + z²)/x, β = (x² + y² + z²)/y, γ = (x² + y² + z²)/z.

उत्तर: α² + β² + γ² = 4r² में रखने पर बिंदुपथ (x² + y² + z²)²(x⁻² + y⁻² + z⁻²) = 4r² है।

उदाहरण 12 (UPSC 2023, 15 अंक): वृत्त x² + y² + z² − 4x − 6y + 2z − 16 = 0; 3x + y + 3z − 4 = 0 से होकर गुजरने वाले गोले का समीकरण निम्न दो स्थितियों में ज्ञात कीजिए।
(i) बिन्दु (1, 0, −3) गोले पर हो।
(ii) दिया गया वृत्त गोले का एक वृहत् वृत्त हो।

माना S = x² + y² + z² − 4x − 6y + 2z − 16 और P = 3x + y + 3z − 4; वृत्त से होकर प्रत्येक गोला S + λP = 0 है।

(i) (1, 0, −3) पर: S = 1 + 9 − 4 − 6 − 16 = −16 और P = 3 − 9 − 4 = −10, अतः λ = −8/5 और 5S − 8P = 0: 5(x² + y² + z²) − 44x − 38y − 14z − 48 = 0.

(ii) S + λP = 0 का केंद्र (2 − 3λ/2, 3 − λ/2, −1 − 3λ/2) है। बृहत् वृत्त के लिए यह P = 0 पर होना चाहिए: 3(2 − 3λ/2) + (3 − λ/2) + 3(−1 − 3λ/2) − 4 = 2 − 19λ/2 = 0, अतः λ = 4/19.

उत्तर: (i) 5(x² + y² + z²) − 44x − 38y − 14z − 48 = 0; (ii) 19(x² + y² + z²) − 64x − 110y + 50z − 320 = 0.

उदाहरण 13 (UPSC 2025, 15 अंक): उन गोलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो वृत्त x² + y² + z² − 2x + 2y + 4z − 3 = 0, 2x + y + z = 4 से होकर गुज़रते हैं और समतल 3x + 4y = 14 को स्पर्श करते हैं।

S + λP = 0: x² + y² + z² + (2λ − 2)x + (2 + λ)y + (4 + λ)z − 3 − 4λ = 0, केंद्र (1 − λ, −(2 + λ)/2, −(4 + λ)/2).

R² = (1 − λ)² + (2 + λ)²/4 + (4 + λ)²/4 + 3 + 4λ = (3/2)λ² + 5λ + 9.

केंद्र की 3x + 4y − 14 = 0 से दूरी: |3(1 − λ) − 2(2 + λ) − 14|/5 = |λ + 3|. स्पर्शता: (λ + 3)² = (3/2)λ² + 5λ + 9, अर्थात λ²/2 − λ = 0, अतः λ = 0 या λ = 2.

उत्तर: x² + y² + z² − 2x + 2y + 4z − 3 = 0 (केंद्र (1, −1, −2), त्रिज्या 3) और x² + y² + z² + 2x + 4y + 6z − 11 = 0 (केंद्र (−1, −2, −3), त्रिज्या 5)।

उदाहरण 14 (UPSC 2025, 15 अंक): दर्शाइए कि गोले
x² + y² + z² − 4x + 2y − 4z + 4 = 0
का कोई ऐसा स्पर्श समतल नहीं है, जो कि सरल रेखा (x + 6)/2 = y + 3 = z + 1 से होकर गुज़र सके।

गोले का केंद्र (2, −1, 2) और त्रिज्या √(4 + 1 + 4 − 4) = √5 है। रेखा का व्यापक बिंदु (−6 + 2t, −3 + t, −1 + t) है।

गोले में रखने पर: 6t² − 42t + 72 = 6(t − 3)(t − 4) = 0, अतः रेखा गोले को दो वास्तविक बिंदुओं (0, 0, 2) और (2, 1, 3) पर काटती है।

रेखा से होकर प्रत्येक समतल में गोले के ये दो बिंदु हैं, अतः वह गोले को दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक वृत्त में काटता है, जो एकल स्पर्श-बिंदु नहीं हो सकता। अतः रेखा से होकर कोई समतल गोले को स्पर्श नहीं करता।

उत्तर: रेखा गोले की छेदक है (केंद्र से उसकी दूरी √(7/2), √5 से कम है), अतः उससे होकर कोई स्पर्श तल नहीं जाता।

उदाहरण 15 (UPSC 2026, 10 अंक): उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र, रेखा 5y + 2z = 0 = 2x − 3y पर है तथा जो बिंदुओं (0, −2, −4) और (2, −1, −1) से होकर जाता है।

रेखा 5y + 2z = 0 = 2x − 3y मूलबिंदु से होकर दिशा (0, 5, 2) × (2, −3, 0) = (6, 4, −10) में है, जो (3, 2, −5) के समानुपाती है; अतः केंद्र (3t, 2t, −5t) है।

दोनों बिंदुओं से समान दूरी: 9t² + (2t + 2)² + (4 − 5t)² = (3t − 2)² + (2t + 1)² + (1 − 5t)², अर्थात 38t² − 32t + 20 = 38t² − 18t + 6, अतः t = 1.

केंद्र (3, 2, −5); त्रिज्या² = 9 + 16 + 1 = 26.

उत्तर: x² + y² + z² − 6x − 4y + 10z + 12 = 0.

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): x² + y² + z² + 4x − 6y + 2z − 2 = 0 का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: केंद्र (−2, 3, −1), त्रिज्या √(4 + 9 + 1 + 2) = 4.

अभ्यास 2 (मूल): बिंदु (1, 1, 1) गोले x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z = 11 के भीतर, ऊपर या बाहर है?

उत्तर: S₁ = 3 − 2 + 4 − 6 − 11 = −12 < 0, अतः बिंदु भीतर है।

अभ्यास 3 (मूल): (2, −1, 3) और (0, 3, −1) को मिलाने वाले खंड को व्यास मानकर गोला, और उसका केंद्र तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (x − 2)x + (y + 1)(y − 3) + (z − 3)(z + 1) = 0, अर्थात x² + y² + z² − 2x − 2y − 2z − 6 = 0; केंद्र (1, 1, 1), त्रिज्या 3.

अभ्यास 4 (मानक): वृत्त x² + y² + z² − 2x + 2y − 4z − 3 = 0, x + 2y + 2z = 6 का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गोले का केंद्र (1, −1, 2) और त्रिज्या 3 है; p = |1 − 2 + 4 − 6|/3 = 1; वृत्त की त्रिज्या 2√2 और केंद्र (4/3, −1/3, 8/3) है।

अभ्यास 5 (मानक): वृत्त x² + y² + z² = 9, x + y + z = 3 और बिंदु (1, 1, 2) से होकर जाने वाला गोला ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1, 1, 2) पर S = −3 और P = 1, अतः λ = 3: x² + y² + z² + 3x + 3y + 3z − 18 = 0.

अभ्यास 6 (मानक): x² + y² + z² − 2x − 4y + 2z − 3 = 0 का (3, 3, 1) पर स्पर्श तल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बिंदु गोले पर है; त्रिज्या की दिशा (3, 3, 1) − (1, 2, −1) = (2, 1, 2) है, अतः स्पर्श तल 2x + y + 2z = 11 है।

अभ्यास 7 (मानक): k के किन मानों के लिए समतल x + y + z = k गोले x² + y² + z² − 2x − 2y − 2z − 6 = 0 को स्पर्श करता है?

उत्तर: केंद्र (1, 1, 1), त्रिज्या 3; |3 − k|/√3 = 3 से k = 3 ± 3√3.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाइए कि गोले x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 और x² + y² + z² + 4x + 2y − 2z + 4 = 0 लांबिकतः काटते हैं, और उनके उभयनिष्ठ वृत्त का समतल तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2(−2 + 2 + 0) = 0 = −4 + 4, अतः वे लांबिक हैं; मूलाक्ष तल 3x − y − z + 4 = 0 है; r₁ = 3, r₂ = √2, δ = √11 से वृत्त की त्रिज्या r₁r₂/δ = 3√2/√11 है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): वृत्त x² + y² + z² = 4, x + z = 1 से होकर जाने वाले वे गोले ज्ञात कीजिए जो समतल x = 3 को स्पर्श करते हैं।

उत्तर: S + λP का केंद्र (−λ/2, 0, −λ/2) और R² = λ²/2 + λ + 4 है; स्पर्श प्रतिबंध (3 + λ/2)² = R² से λ² − 8λ − 20 = 0, λ = −2 या 10: x² + y² + z² − 2x − 2z − 2 = 0 (त्रिज्या 2) और x² + y² + z² + 10x + 10z − 14 = 0 (त्रिज्या 8).

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): उन गोलों के केंद्रों का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो (1, 0, 0) से होकर जाते हैं और गोले x² + y² + z² = 4 को लांबिकतः काटते हैं।

उत्तर: केंद्र (α, β, γ) के साथ गोला x² + y² + z² − 2αx − 2βy − 2γz + d = 0 है; लांबिकता से d = 4 और बिंदु से d = 2α − 1, अतः α = 5/2: बिंदुपथ समतल x = 5/2 है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): गोले x² + y² + z² = 4 के वे स्पर्श तल ज्ञात कीजिए जो रेखा x + y = 3, z = 0 से होकर जाते हैं।

उत्तर: रेखा से होकर समतल x + y − 3 + λz = 0 हैं; दूरी प्रतिबंध 3/√(2 + λ²) = 2 से λ = ±1/2, अतः समतल 2x + 2y + z = 6 और 2x + 2y − z = 6 हैं।

1. शंकुओं और समघात समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक पृष्ठ पूर्णतः एक बिंदु से होकर जाने वाली सरल रेखाओं से बने होते हैं: टॉर्च का प्रकाश-शंकु, किसी बिंदु से गोले पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का समुच्चय। हमें उनके समीकरण लिखने होते हैं और किसी समीकरण से पहचानना होता है कि पृष्ठ ऐसा शंकु (cone) है और उसका शीर्ष कहाँ है।

शब्दों में: शीर्ष V वाला शंकु ऐसा पृष्ठ है कि जब भी P उस पर हो, पूरी रेखा VP उस पर हो। ये रेखाएँ जनक रेखाएँ (generators) हैं। बहुपद f घात 2 का समघात (homogeneous) है यदि प्रत्येक पद की कुल घात 2 हो (x², yz, ...), अतः f(tx, ty, tz) = t²f(x, y, z). यही मापन गुण इस कथन के बराबर है कि "यदि P, f = 0 पर है, तो रेखा OP का प्रत्येक बिंदु tP भी है", इसीलिए समघात समीकरण O शीर्ष वाले शंकु हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: वह शंकु ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष O है और निर्देशक वक्र x² + y² + 2x = 3, z = 2 है।

चरण 1: वक्र के समतल पर z/2 = 1. वक्र के समीकरण के प्रत्येक पद को z/2 की उस घात से गुणा करें जो उसे घात 2 का बना दे: x² और y² वैसे ही रहते हैं, 2x बनता है 2x(z/2), और 3 बनता है 3(z/2)².

चरण 2: x² + y² + xz = 3z²/4, अर्थात 4x² + 4y² + 4xz − 3z² = 0. यह समघात है, अतः O शीर्ष वाला शंकु है।

चरण 3 (जाँच): वक्र का बिंदु (1, 0, 2) देता है 4 + 8 − 12 = 0, और (−3, 0, 2) देता है 36 − 24 − 12 = 0. बिंदु (−1.5, 0, 1), जो O से (−3, 0, 2) के ठीक बीच में है, भी 9 − 6 − 3 = 0 देता है, जैसा शंकु के लिए होना चाहिए।

ध्यान दें यह क्यों कार्य करता है: समतल z = 2 पर नया समीकरण पुराना ही है, और नया समीकरण समघात है; अतः यह वक्र से होकर जाने वाला शंकु है।

अ-उदाहरण (non-example): x² + y² = z² + 1 में (1, 0, 0) है पर (2, 0, 0) नहीं, अतः O से (1, 0, 0) होकर जाने वाली रेखा पृष्ठ से बाहर निकल जाती है; यह अतिपरवलयज है, शंकु नहीं, क्योंकि अचर पद समघातता बिगाड़ देता है। साथ ही x² + y² + z² = 0 समघात है पर उसमें केवल मूलबिंदु है, और x² − y² = 0 समघात है पर समतल-युग्म x = ±y है (अपभ्रष्ट शंकु)।

आगे बढ़ते हुए: शीर्ष V(α, β, γ) होने पर मूलबिंदु को V पर ले जाएँ: नए निर्देशांकों में शंकु समघात है। तुल्य रूप से, V से होकर दिशा (l, m, n) वाली जनक रेखा लिखें, उसे निर्देशक वक्र से मिलाएँ, और l : m : n को (x − α) : (y − β) : (z − γ) से बदल दें। विलोमतः, किसी दिए गए द्वितीय घात समीकरण F = 0 के शंकु होने की जाँच के लिए वह बिंदु खोजें जहाँ सभी प्रथम आंशिक अवकलज शून्य हों (t से समघात बनाने के बाद): वही बिंदु शीर्ष है, क्योंकि मूलबिंदु को वहाँ ले जाने पर सभी रैखिक पद और अचर हट जाते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: शांकवों से होकर शंकु, अक्षों से होकर शंकु (fyz + gzx + hxy = 0), अन्वालोपी शंकु, वृत्त ABC वाला शंकु, और व्यापक द्वितीय घात समीकरण के समानयन में शंकुओं की पहचान।

2. शंकु

शंकु (cone) वह पृष्ठ है जो एक स्थिर बिंदु (शीर्ष) से होकर जाने वाली और दिए गए वक्र (निर्देशक वक्र) से मिलने वाली सरल रेखाओं (जनक रेखाओं, generators) से जनित होता है।

भाव: शीर्ष पर रखी टॉर्च की कल्पना करें जिसका प्रकाश एक तार के छल्ले से होकर जाता है: प्रकाश किरणें जनक रेखाएँ (generators) हैं (ऊपर का चित्र देखें)। निर्देशक वक्र (guiding curve) कोई भी वक्र हो सकता है, अतः इस अर्थ में शंकु (cone) का वृत्तीय होना आवश्यक नहीं, और यह शीर्ष के दोनों ओर फैला होता है।

घात दो का समघात समीकरण ax² + by² + cz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0 मूलबिंदु पर शीर्ष वाले शंकु को निरूपित करता है, और विलोमतः।

यह क्यों कार्य करता है: यदि f समघात हो और f(x, y, z) = 0, तो प्रत्येक t के लिए f(tx, ty, tz) = t²f(x, y, z) = 0, अतः O को उस बिंदु से मिलाने वाली पूरी रेखा पृष्ठ पर है: पृष्ठ O से होकर जाने वाली रेखाओं से बना है। सावधानी: x² + y² + z² = 0 केवल मूलबिंदु है, और गुणनखंडित होने वाला समघात समीकरण समतल युग्म (अपभ्रष्ट शंकु) है।

यदि मूलबिंदु पर शीर्ष वाला शंकु f(x, y, z) = 0 (f समघात) है, तो प्रत्येक जनक रेखा के दिक्-अनुपात (l, m, n) के लिए f(l, m, n) = 0.

शीर्ष (α, β, γ) और निर्देशक वक्र f(x, y) = 0, z = 0 वाला शंकु: जनक रेखा (x − α)/l = (y − β)/m = (z − γ)/n, z = 0 से (α − lγ/n, β − mγ/n) पर मिलती है। इस बिंदु को f = 0 में रखें और l/n = (x − α)/(z − γ), m/n = (y − β)/(z − γ) से l/n और m/n का विलोपन करें।

यह क्यों कार्य करता है: बिंदु (x, y, z) शंकु पर ठीक तब है जब उसे शीर्ष से मिलाने वाली रेखा निर्देशक वक्र से मिले; उस रेखा के लिए l : m : n = (x − α) : (y − β) : (z − γ), अतः "वक्र से मिलती है" वाला प्रतिबंध x, y, z में एक समीकरण बन जाता है।

द्विघात F(x, y, z) = 0 वाले शंकु का शीर्ष: चौथे चर t से F को समघात बनाएँ; समीकरण शंकु है यदि और केवल यदि F_x = F_y = F_z = F_t = 0 (t = 1 सहित) का उभयनिष्ठ हल हो, और वही हल शीर्ष है।

यह क्यों कार्य करता है: मूलबिंदु को शीर्ष पर स्थानांतरित करने से समीकरण समघात हो जाता है, और समघात द्विघात के सभी प्रथम आंशिक अवकलज मूलबिंदु पर शून्य होते हैं। विलोमतः, ऑयलर प्रमेय से 2F = xF_x + yF_y + zF_z + tF_t, अतः चारों अवकलजों का उभयनिष्ठ शून्य पृष्ठ पर है और उसका शीर्ष है।

शीर्ष (x₁, y₁, z₁) वाला गोले (या किसी शांकवज) S = 0 का अन्वालोपी शंकु: SS₁ = T², जहाँ T = 0 शीर्ष के ध्रुवी तल का समीकरण (स्पर्श-तल रूप) है।

शीर्ष (α, β, γ), अक्ष दिशा (l, m, n) और अर्ध-शीर्ष कोण θ वाला लंब वृत्तीय शंकु: [l(x − α) + m(y − β) + n(z − γ)]² = cos²θ (l² + m² + n²)[(x − α)² + (y − β)² + (z − γ)²].

यह क्यों कार्य करता है: बिंदु P लंब वृत्तीय शंकु पर ठीक तब है जब VP और अक्ष के बीच का कोण θ (या π − θ) हो: cos²θ = [l(x − α) + m(y − β) + n(z − γ)]²/((l² + m² + n²)VP²). वर्ग लेने से दोनों भाग (nappes) एक साथ आ जाते हैं।

3. जनक रेखाओं और लंब जनक रेखाओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: O शीर्ष वाला शंकु अपनी जनक दिशाओं के समुच्चय से पूर्णतः वर्णित होता है। प्रश्न पूछते हैं कि O से होकर कोई समतल शंकु को किन जनक रेखाओं में काटता है, उनके बीच का कोण, और क्या शंकु में तीन परस्पर लंब जनक रेखाएँ हैं।

शब्दों में: रेखा x/l = y/m = z/n, f(x, y, z) = 0 की जनक रेखा ठीक तब है जब f(l, m, n) = 0. O से होकर समतल ux + vy + wz = 0 शंकु से उन दिशाओं में मिलता है जो f(l, m, n) = 0 और ul + vm + wn = 0 दोनों को संतुष्ट करती हैं: एक चर का विलोपन करने पर द्विघात बचता है, अतः दो जनक रेखाएँ, एक पुनरावृत्त जनक रेखा (समतल स्पर्शी है), या कोई नहीं (वास्तविक)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: शंकु xy + yz + zx = 0 में a + b + c = 0 है। दिशा (2, 2, −1) को समाहित करने वाला तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं का एक समुच्चय ज्ञात कीजिए।

चरण 1: (2, 2, −1) एक जनक रेखा है, क्योंकि 4 − 2 − 2 = 0.

चरण 2: शेष दो इस पर लंब होनी चाहिए, अतः वे O से होकर समतल 2x + 2y − z = 0 में हैं। z = 2x + 2y रखें: xy + (x + y)(2x + 2y) = 2x² + 5xy + 2y² = (2x + y)(x + 2y) = 0.

चरण 3: y = −2x से z = −2x, दिशा (1, −2, −2); x = −2y से z = −2y, दिशा (2, −1, 2).

चरण 4 (जाँच): तीनों xy + yz + zx = 0 को संतुष्ट करती हैं, और बिंदु गुणनफल (2, 2, −1)·(1, −2, −2), (2, 2, −1)·(2, −1, 2) और (1, −2, −2)·(2, −1, 2) सभी 0 हैं। ध्यान दें कि निर्देशांक अक्ष भी ऐसा एक समुच्चय हैं, क्योंकि यह शंकु तीनों अक्षों को समाहित करता है।

अ-उदाहरण (non-example): लंब वृत्तीय शंकु x² + y² − z² = 0 में a + b + c = 1 ≠ 0 है, और वास्तव में इसमें तीन परस्पर लंब जनक रेखाएँ नहीं हैं: प्रत्येक जनक रेखा z-अक्ष से 45° बनाती है, अतः उसके इकाई सदिश के z-घटक का वर्ग 1/2 है; तीन परस्पर लंब इकाई सदिशों के लिए इन वर्गों का योग 1 होना चाहिए, पर 3 × 1/2 = 3/2.

आगे बढ़ते हुए: प्रति-उदाहरण ही लघु रूप में व्यापक उपपत्ति है। यदि e₁, e₂, e₃ परस्पर लंब इकाई सदिश हों, तो f(e₁) + f(e₂) + f(e₃) अनुरेख a + b + c है (घूर्णन से अनुरेख नहीं बदलता), अतः तीन लंब जनक रेखाएँ a + b + c = 0 के लिए बाध्य करती हैं। विलोम किसी समतल में दो जनक रेखाओं के लंबता प्रतिबंध का प्रयोग करता है, जो बाद के खंड में सिद्ध है। जनक रेखा (l, m, n) के अनुदिश स्पर्श तल का अभिलंब (al + hm + gn, hl + bm + fn, gl + fm + cn), अर्थात M(l, m, n)^T है।

कहाँ प्रयोग होता है: "शेष दो जनक रेखाएँ ज्ञात कीजिए" वाले प्रश्न, किसी समतल द्वारा काटी गई रेखाओं के बीच कोण, शंकुओं पर समतलों का स्पर्श, और व्युत्क्रम शंकु।

4. शंकु ax² + by² + cz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0 के गुणधर्म

तीन परस्पर लंब जनक रेखाएँ: शंकु में तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं के अनंत समुच्चय होते हैं यदि और केवल यदि a + b + c = 0.

a + b + c = 0 क्यों आवश्यक है: यदि तीन परस्पर लंब जनक रेखाएँ हों, तो उन्हें नए आयतीय अक्ष मानें। प्रत्येक अक्ष शंकु पर है, अतः x², y², z² के नए गुणांक शून्य हैं। योग a + b + c द्विघाती रूप के आव्यूह का अनुरेख (trace) है, जो अक्षों के घूर्णन से नहीं बदलता, अतः a + b + c = 0. पर्याप्तता नीचे "लंब जनक रेखाएँ, शंकु के प्रतिबंध और लंब वृत्तीय बेलन" खंड में दिखाई गई है।

शंकु के बिंदु (x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल: x(ax₁ + hy₁ + gz₁) + y(hx₁ + by₁ + fz₁) + z(gx₁ + fy₁ + cz₁) = 0; यह शीर्ष से होकर जाता है और उस बिंदु से होकर जाने वाली पूरी जनक रेखा के अनुदिश शंकु को स्पर्श करता है।

स्पर्श प्रतिबंध: समतल ux + vy + wz = 0 शंकु को स्पर्श करता है यदि और केवल यदि Au² + Bv² + Cw² + 2Fvw + 2Gwu + 2Huv = 0, जहाँ A = bc − f², B = ca − g², C = ab − h², F = gh − af, G = hf − bg, H = fg − ch सहखंड हैं।

भाव: शंकु का स्पर्श तल सदा शीर्ष से होकर जाता है और एक पूरी जनक रेखा, स्पर्श रेखा, को समाहित करता है। यहाँ "स्पर्श" का अर्थ है कि दो काटने वाली जनक रेखाएँ मिलकर एक हो जाती हैं।

व्युत्क्रम शंकु: स्पर्श तलों पर शीर्ष से होकर डाले गए अभिलंबों का बिंदुपथ Ax² + By² + Cz² + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy = 0 है; ax² + by² + cz² = 0 के लिए यह x²/a + y²/b + z²/c = 0 है।

भाव: एक शंकु के स्पर्श तलों के अभिलंब व्युत्क्रम शंकु (reciprocal cone) बनाते हैं, और व्युत्क्रम शंकु का व्युत्क्रम मूल शंकु है; इसका आव्यूह मूल आव्यूह का सहखंडज (adjugate) है।

शीर्ष से होकर समतल द्वारा परिच्छेद: समतल ux + vy + wz = 0 शंकु को दो जनक रेखाओं में काटता है; वे लंब हैं यदि और केवल यदि (a + b + c)(u² + v² + w²) = au² + bv² + cw² + 2fvw + 2gwu + 2huv, और जब समतल उपर्युक्त स्पर्श प्रतिबंध को संतुष्ट करे तब वे संपाती होती हैं।

5. लंब वृत्तीय शंकुओं और बेलनों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सबसे सममित शंकु और बेलन वे हैं जिनका एक घूर्णन-सममिति अक्ष होता है। उनके समीकरण सीधे एक ज्यामितीय गुण से आते हैं, और प्रश्न ठीक वही आँकड़े देते हैं: अक्ष और एक कोण, या अक्ष और एक त्रिज्या।

शब्दों में: शीर्ष V, अक्ष दिशा a और अर्ध-शीर्ष कोण θ वाला लंब वृत्तीय शंकु उन बिंदुओं P का समुच्चय है जिनके लिए VP अक्ष से कोण θ (या π − θ) बनाता है। A से होकर दिशा a वाले अक्ष और त्रिज्या r वाला लंब वृत्तीय बेलन अक्ष से दूरी r पर स्थित बिंदुओं का समुच्चय है। अतः शंकु एक "कोण" प्रतिबंध (बिंदु गुणन) है और बेलन एक "दूरी" प्रतिबंध (पाइथागोरस)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (a) O शीर्ष और z-अक्ष को अक्ष मानकर (3, 0, 4) से होकर जाने वाला लंब वृत्तीय शंकु; (b) अक्ष x = y = z और त्रिज्या 1 वाला लंब वृत्तीय बेलन।

चरण 1 (दिए गए बिंदु से कोण): बिंदु (3, 0, 4) की O से दूरी 5 है, और अक्ष (0, 0, 1) पर इसका प्रक्षेप 4 है, अतः cos θ = 4/5.

चरण 2 (शंकु): z² = (16/25)(x² + y² + z²), अर्थात 16x² + 16y² − 9z² = 0. (3, 0, 4) से जाँच: 144 − 144 = 0.

चरण 3 (बेलन): अक्ष O से होकर दिशा (1, 1, 1) वाला है, जिसकी लंबाई √3 है। P(x, y, z) के लिए OP² = x² + y² + z² और अक्ष पर प्रक्षेप (x + y + z)/√3 है, अतः (दूरी)² = x² + y² + z² − (x + y + z)²/3 = 1.

चरण 4: 3 से गुणा कर विस्तार करने पर 2(x² + y² + z²) − 2(xy + yz + zx) = 3. (1/√2, −1/√2, 0) से जाँच, जो अक्ष पर लंब दिशा में दूरी 1 पर है: 2(1) − 2(−1/2) = 3.

अ-उदाहरण (non-example): अक्ष (1, 1, 1) और θ = 45° वाले शंकु के लिए (x + y + z)² = cos²45° (x² + y² + z²) लिखने से गुणक l² + m² + n² = 3 छूट जाता है। वह पृष्ठ लंब वृत्तीय शंकु तो है, पर cos²θ = 1/6 के साथ, लगभग 65.9° अर्ध-शीर्ष कोण वाला, 45° नहीं। सूत्र को दिक्-कोसाइन, या गुणक l² + m² + n², चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: शंकु सूत्र cos θ = (VP · a)/(|VP| |a|) का वर्ग है, जिसमें विपरीत नैप (कोण π − θ) भी सम्मिलित है। बेलन सूत्र AP² − (अक्ष पर AP का प्रक्षेप)² = r² है। z = 0 में किसी वक्र से होकर (l, m, n) के समांतर जनक रेखाओं वाला व्यापक (अवृत्तीय) बेलन, प्रत्येक बिंदु को जनक रेखा के अनुदिश z = 0 तक वापस खिसकाकर मिलता है, जिससे f(x − lz/n, y − mz/n) = 0 मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: दिए गए बिंदुओं से होकर लंब वृत्तीय शंकु, किसी वृत्त से होकर बेलन, बेलनों के परिच्छेदों के क्षेत्रफल, और विहित रूप में समानयन के बाद घूर्णन पृष्ठों की पहचान।

6. बेलन

बेलन (cylinder) वह पृष्ठ है जो किसी स्थिर दिशा के समांतर और दिए गए वक्र से मिलने वाली सरल रेखाओं से जनित होता है।

भाव: बेलन (cylinder) वह शंकु है जिसका शीर्ष अनंत पर चला गया है: सभी जनक रेखाएँ समांतर हो जाती हैं।

(l, m, n) के समांतर जनक रेखाओं और निर्देशक वक्र f(x, y) = 0, z = 0 वाला बेलन: (x, y, z) से होकर जनक रेखा z = 0 से (x − lz/n, y − mz/n) पर मिलती है, अतः बेलन f(x − lz/n, y − mz/n) = 0 है।

z-रहित समीकरण f(x, y) = 0, z-अक्ष के समांतर जनक रेखाओं वाले बेलन को निरूपित करता है।

अक्ष (x − α)/l = (y − β)/m = (z − γ)/n और त्रिज्या r वाला लंब वृत्तीय बेलन: (x − α)² + (y − β)² + (z − γ)² − [l(x − α) + m(y − β) + n(z − γ)]²/(l² + m² + n²) = r².

यह क्यों कार्य करता है: अक्ष से P की दूरी के लिए (दूरी)² = AP² − (अक्ष पर AP का प्रक्षेप)², जहाँ A = (α, β, γ) अक्ष पर है (पाइथागोरस); इसे r² के बराबर रखने पर समीकरण मिलता है।

(l, m, n) के समांतर जनक रेखाओं वाला गोले या शांकवज का अन्वालोपी बेलन: उस दिशा की पृष्ठ को स्पर्श करने वाली रेखाओं का बिंदुपथ, जो रेखा-प्राचल वाले द्विघात के विविक्तकर को शून्य रखकर मिलता है।

7. अन्वालोपी शंकु को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी बाहरी बिंदु V से गोले पर अनंत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं; मिलकर वे एक शंकु बनाती हैं जो गोले को लपेटता है और उसे एक वृत्त के अनुदिश स्पर्श करता है। इसका समीकरण SS₁ = T² इस अध्याय के सबसे अधिक उद्धृत सूत्रों में से है।

शब्दों में: S, व्यापक बिंदु (x, y, z) पर पृष्ठ समीकरण का बायाँ पक्ष है; S₁, शीर्ष पर S का मान है (V की घात); T, शीर्ष को "बिंदु" मानकर स्पर्श-तल व्यंजक है (अतः T = 0, V का ध्रुवी तल है)। अन्वालोपी शंकु (enveloping cone) SS₁ = T² है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: V(0, 0, 2) से x² + y² + z² = 1 का अन्वालोपी शंकु।

चरण 1: S = x² + y² + z² − 1, S₁ = 0 + 0 + 4 − 1 = 3, और T = x·0 + y·0 + z·2 − 1 = 2z − 1.

चरण 2: 3(x² + y² + z² − 1) = (2z − 1)², जो सरल होकर 3x² + 3y² − z² + 4z − 4 = 0 बनता है। शीर्ष इसे संतुष्ट करता है: −4 + 8 − 4 = 0.

चरण 3 (ज्यामितीय जाँच): V से स्पर्श रेखा VO से कोण α बनाती है जहाँ sin α = त्रिज्या/VO = 1/2, अतः α = 30°. शीर्ष (0, 0, 2), z-अक्ष अक्ष और θ = 30° वाला लंब वृत्तीय शंकु (z − 2)² = 3(x² + y²) है, जिसका विस्तार वही समीकरण देता है।

चरण 4 (स्पर्श वृत्त): यह ध्रुवी तल T = 0, अर्थात z = 1/2 में है, जहाँ गोले से x² + y² = 3/4 मिलता है।

अ-उदाहरण (non-example): भीतरी बिंदु V(0, 0, 1/2) से S₁ = −3/4 < 0 और कोई स्पर्श रेखा विद्यमान नहीं। सूत्र फिर भी एक समीकरण देता है, −(3/4)(x² + y² + z² − 1) = (z/2 − 1)², पर यह सरल होकर (3/4)x² + (3/4)y² + (z − 1/2)² = 0 बनता है, जिसका एकमात्र वास्तविक बिंदु शीर्ष है। अन्वालोपी शंकु तभी वास्तविक है जब शीर्ष बाहर हो (S₁ > 0)।

आगे बढ़ते हुए: नीचे की व्युत्पत्ति रेखा VP के व्यापक बिंदु को S = 0 में रखकर द्विघात k²S + 2kT + S₁ = 0 प्राप्त करती है; "VP स्पर्श रेखा है" का अर्थ है पुनरावृत्त मूल, अर्थात T² = SS₁. ठीक यही बीजगणित किसी भी शांकवज के लिए कार्य करता है। यदि शीर्ष के स्थान पर स्पर्श रेखाओं की एक दिशा (l, m, n) निश्चित करें, तो पुनरावृत्त-मूल प्रतिबंध अन्वालोपी बेलन देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: गोलों और शांकवजों के अन्वालोपी शंकु, इन शंकुओं के परिच्छेद (समकोणीय अतिपरवलय या परवलय वाले प्रश्न), और उन बिंदुओं का बिंदुपथ जिनसे अन्वालोपी शंकु में कोई दिया गया गुण हो।

8. व्युत्पत्ति: अन्वालोपी शंकु SS₁ = T²

गोला S = x² + y² + z² − a² और शीर्ष V(x₁, y₁, z₁) लें। मान लें P(x, y, z) शंकु का एक बिंदु है; रेखा VP के बिंदु ((kx + x₁)/(k + 1), (ky + y₁)/(k + 1), (kz + z₁)/(k + 1)) हैं।

S = 0 में रखकर (k + 1)² से गुणा करने पर: k²S + 2kT + S₁ = 0, जहाँ S = x² + y² + z² − a², T = xx₁ + yy₁ + zz₁ − a² और S₁ = x₁² + y₁² + z₁² − a².

VP गोले को ठीक तब स्पर्श करती है जब k में यह द्विघात समान मूल रखे: 4T² = 4SS₁, अर्थात SS₁ = T². यही गणना ax² + by² + cz² = 1 के लिए S = ax² + by² + cz² − 1 और T = axx₁ + byy₁ + czz₁ − 1 के साथ कार्य करती है।

गोले S = 0 पर शंकु का समीकरण T² = 0 हो जाता है, अतः शंकु गोले को उस वृत्त के अनुदिश स्पर्श करता है जिसमें ध्रुवी तल T = 0 उसे काटता है।

9. व्युत्पत्ति: समतल के शंकु को स्पर्श करने का प्रतिबंध

शंकु को X^TMX = 0 लिखें जहाँ M = [[a, h, g], [h, b, f], [g, f, c]], और मान लें ux + vy + wz = 0 इसे दिशा X₀ = (l, m, n) वाली जनक रेखा के अनुदिश स्पर्श करता है।

X₀ के अनुदिश स्पर्श तल का अभिलंब MX₀ है, अतः MX₀ = k(u, v, w)^T, और X₀ समतल में है: ul + vm + wn = 0.

यदि det M ≠ 0, तो X₀ = kM⁻¹(u, v, w)^T = (k/det M) adj(M)(u, v, w)^T; इसे ul + vm + wn = 0 में रखने पर (u, v, w) adj(M) (u, v, w)^T = 0 मिलता है।

विस्तार से यह सहगुणनखंडों A, B, C, F, G, H के साथ Au² + Bv² + Cw² + 2Fvw + 2Gwu + 2Huv = 0 है। इससे यह भी पता चलता है कि स्पर्श तलों के अभिलंब (u, v, w) व्युत्क्रम शंकु बनाते हैं।

10. विधि का चयन

यदि शीर्ष मूलबिंदु हो और निर्देशक वक्र किसी समतल में एक शांकव हो → समघातीकरण करें: समतल के समीकरण (जैसे z/c = 1) का प्रयोग करके शांकव के प्रत्येक पद को घात 2 का बनाएँ।

यदि शीर्ष मूलबिंदु न हो → व्यापक जनक रेखा विधि (l/n, m/n का विलोपन), या मूलबिंदु को शीर्ष पर स्थानांतरित करके समघातीकरण।

यदि किसी बिंदु से गोले या शांकवज पर स्पर्श रेखाएँ हों → SS₁ = T²; नियत दिशा में स्पर्श रेखाएँ → अन्वालोपी बेलन (रेखा प्राचल में द्विघात का विविक्तकर)।

यदि अक्ष और अर्ध-शीर्ष कोण ज्ञात हों → लंब वृत्तीय शंकु सूत्र; यदि अक्ष और शंकु का एक बिंदु ज्ञात हो, तो पहले उस बिंदु से cos θ ज्ञात करें।

यदि शंकु तीनों निर्देशांक अक्षों से होकर जाए → fyz + gzx + hxy = 0; यदि इसकी तीन परस्पर लंब जनक रेखाएँ होनी हों → a + b + c = 0.

यदि लंब वृत्तीय बेलन ज्ञात करना हो → अक्ष से दूरी = त्रिज्या; यदि वह दिए वृत्त से होकर जाए, तो अक्ष वृत्त के केंद्र से होकर उसके समतल का अभिलंब है।

11. सामान्य गलतियाँ

केवल कुछ पदों का समघातीकरण करना: अचर पद को (z/c)² से और प्रत्येक रैखिक पद को (z/c) से गुणा करना आवश्यक है।

SS₁ = T² में T को अचर पद के बिना लिखना (जैसे xx₁ + yy₁ + zz₁ − a² के स्थान पर xx₁ + yy₁ + zz₁)।

लंब वृत्तीय शंकु सूत्र में अर्ध-शीर्ष कोण θ के स्थान पर पूरा शीर्ष कोण लेना।

a + b + c = 0 परीक्षण उस समीकरण पर लगाना जिसका शीर्ष मूलबिंदु पर न हो; पहले मूलबिंदु को शीर्ष पर स्थानांतरित करें।

गुणनखंडनीय रूप (समतल युग्म) या x² + y² + z² = 0 प्रकार (केवल एक बिंदु) जाँचे बिना प्रत्येक समघात द्वितीय घात समीकरण को वास्तविक शंकु कहना।

12. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: स्पर्श प्रतिबंध और व्युत्क्रम शंकु सममित आव्यूह के सहखंडज का प्रयोग करते हैं, और a + b + c = 0 की उपपत्ति अनुरेख की निश्चरता का प्रयोग करती है (रैखिक बीजगणित)।

संबंध: व्यापक द्वितीय घात समीकरण के वर्गीकरण में शंकु D ≠ 0, Δ = 0 की स्थिति है, और दीर्घवृत्तीय, अतिपरवलयिक तथा परवलयिक बेलन शून्य आइगेन मान (eigenvalue) वाली स्थितियाँ हैं (विहित रूप में समानयन विषय)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूलबिंदु पर शीर्ष और निर्देशक वक्र x²/a² + y²/b² = 1, z = c वाला शंकु ज्ञात करें।

z/c = 1 का प्रयोग कर वक्र के समीकरण को समघात बनाएँ: x²/a² + y²/b² = z²/c².

उदाहरण 2: मूलबिंदु पर शीर्ष, अक्ष x = y = z और अर्ध-शीर्ष कोण 45° वाला लंब वृत्तीय शंकु ज्ञात करें।

(x + y + z)² = cos²45° · 3(x² + y² + z²) से 2(x + y + z)² = 3(x² + y² + z²), अर्थात x² + y² + z² − 4xy − 4yz − 4zx = 0.

उदाहरण 3: त्रिज्या 2 और अक्ष x/1 = y/2 = z/2 वाला लंब वृत्तीय बेलन ज्ञात करें।

9(x² + y² + z²) − (x + 2y + 2z)² = 36, अर्थात 8x² + 5y² + 5z² − 4xy − 8yz − 4zx − 36 = 0.

उदाहरण 4: शंकु 3yz − 2zx − 4xy = 0 में a = b = c = 0, अतः a + b + c = 0, और इसमें तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं के अनंत समुच्चय हैं।

उदाहरण 5: शीर्ष (1, 2, 3) और निर्देशक वक्र x² + y² = 4, z = 0 वाला शंकु ज्ञात करें।

शीर्ष (α, β, γ) को शंकु के बिंदु (x, y, z) से मिलाने वाली रेखा z = 0 से ((αz − γx)/(z − γ), (βz − γy)/(z − γ), 0) पर मिलती है, यहाँ ((z − 3x)/(z − 3), (2z − 3y)/(z − 3), 0).

यह बिंदु निर्देशक वक्र पर है: (z − 3x)² + (2z − 3y)² = 4(z − 3)².

प्रसार करने पर शंकु 9x² + 9y² + z² − 12yz − 6zx + 24z − 36 = 0 है (जाँच: शीर्ष (1, 2, 3) पर 9 + 36 + 9 − 72 − 18 + 72 − 36 = 0).

उदाहरण 6: समतल 3x + y + 5z = 0 शंकु 6yz − 2zx + 5xy = 0 को जिन रेखाओं में काटता है, उनके बीच का कोण ज्ञात करें।

शंकु में y = −3x − 5z रखें: 6z(−3x − 5z) − 2zx + 5x(−3x − 5z) = −15x² − 45zx − 30z² = 0, अर्थात (x + z)(x + 2z) = 0.

x = −z से y = −2z: दिशा (1, 2, −1). x = −2z से y = z: दिशा (2, −1, −1).

cos θ = (2 − 2 + 1)/(√6·√6) = 1/6, अतः θ = cos⁻¹(1/6).

14. लंब जनक रेखाएँ, शंकु के प्रतिबंध और लंब वृत्तीय बेलन

तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं में से शेष दो ज्ञात करना (जब a + b + c = 0): ज्ञात जनक रेखा पर लंब, शीर्ष से होकर समतल लें; यह शंकु को दो जनक रेखाओं में काटता है, जो परस्पर लंब हैं और ज्ञात रेखा पर भी लंब हैं।

a + b + c = 0 पर्याप्त क्यों है: यदि a + b + c = 0, तो शीर्ष से होकर किसी जनक रेखा (l, m, n) पर लंब समतल lx + my + nz = 0 (जिसका अभिलंब (l, m, n) है) लंबता प्रतिबंध (a + b + c)(l² + m² + n²) = f(l, m, n) को संतुष्ट करता है, क्योंकि दोनों पक्ष 0 हैं; अतः उसकी दोनों जनक रेखाएँ लंब हैं। प्रत्येक जनक रेखा ऐसा एक समुच्चय देती है, अतः अनंत समुच्चय।

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल Ax² + 2Hxy + By² = K (AB − H² > 0, K > 0): πK/√(AB − H²). बेलन या शंकु के समतल परिच्छेद के क्षेत्रफल के लिए इसका प्रयोग करें।

वृत्त S = 0, P = 0 से होकर लंब वृत्तीय बेलन: इसका अक्ष S के केंद्र से होकर P का अभिलंब है, और त्रिज्या वृत्त की त्रिज्या √(R² − p²) है।

शीर्ष O वाले शंकु का समतल z = k द्वारा परिच्छेद आयतीय अतिपरवलय होता है जब इसके x² और y² गुणांकों का योग शून्य हो (और यह रेखा-युग्म न हो)।

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): (ii) सिद्ध कीजिए कि समीकरण ax² + by² + cz² + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0 एक शंकु को निरूपित करता है यदि u²/a + v²/b + w²/c = d.

समीकरण को समघात बनाएँ: F(x, y, z, t) = ax² + by² + cz² + 2uxt + 2vyt + 2wzt + dt². द्वितीय घात समीकरण शंकु है यदि और केवल यदि t = 1 के साथ F_x = F_y = F_z = F_t = 0 का उभयनिष्ठ हल हो।

F_x = 0, F_y = 0, F_z = 0 से ax + u = 0, by + v = 0, cz + w = 0, अतः x = −u/a, y = −v/b, z = −w/c.

F_t = 0 है ux + vy + wz + d = 0; प्रतिस्थापन से −u²/a − v²/b − w²/c + d = 0, जो ठीक दिया गया प्रतिबंध है।

उत्तर: इस प्रतिबंध पर पृष्ठ शीर्ष (−u/a, −v/b, −w/c) वाला शंकु है (समतुल्यतः, मूलबिंदु वहाँ खिसकाने पर रैखिक पद और अचर हट जाते हैं और समघात समीकरण बचता है)।

उदाहरण 8 (UPSC 2020, 15 अंक; 2015 और 2026 में भी पूछा गया): यदि सरल रेखा x/1 = y/2 = z/3 शंकु 5yz − 8zx − 3xy = 0 के तीन परस्पर लांबिक जनकों के समुच्चय में से एक है, तब अन्य दो जनकों के समीकरण निकालिए।

यहाँ a = b = c = 0, अतः a + b + c = 0 और तीन लंब जनक रेखाओं के समुच्चय विद्यमान हैं। रेखा x/1 = y/2 = z/3 (वही रेखा जो 6x = 3y = 2z है) जनक रेखा है: 5·6 − 8·3 − 3·2 = 0.

O से होकर इस पर लंब समतल x + 2y + 3z = 0 है। शंकु में x = −2y − 3z रखें: 5yz + 8z(2y + 3z) + 3y(2y + 3z) = 6y² + 30yz + 24z² = 6(y + z)(y + 4z) = 0.

y = −z से x = −z: दिशा (1, 1, −1). y = −4z से x = 5z: दिशा (5, −4, 1).

जाँच: (1, 1, −1)·(5, −4, 1) = 0, (1, 2, 3)·(1, 1, −1) = 0 और (1, 2, 3)·(5, −4, 1) = 0.

उत्तर: x/1 = y/1 = z/(−1) और x/5 = y/(−4) = z/1.

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 10 अंक): सिद्ध कीजिये कि शंकु (cone) 3yz − 2zx − 2xy = 0 के तीन परस्पर लम्बीय जनकों (generators) का एक अनन्त समुच्चय है। यदि x/1 = y/1 = z/2 ऐसे किसी समुच्चय का एक जनक (generator) हो, तो बाकी दो निकालिये।

शंकु में a = b = c = 0, अतः a + b + c = 0: ऊपर के परिणाम से इसमें तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं के अनंत समुच्चय हैं। रेखा x/1 = y/1 = z/2 जनक रेखा है: 3·2 − 2·2 − 2·1 = 0.

O से होकर इस पर लंब समतल: x + y + 2z = 0. x = −y − 2z रखने पर: 3yz + 2z(y + 2z) + 2y(y + 2z) = 2y² + 9yz + 4z² = (2y + z)(y + 4z) = 0.

z = −2y से x = 3y: दिशा (3, 1, −2). y = −4z से x = 2z: दिशा (2, −4, 1). जाँच: 6 − 4 − 2 = 0, 3 + 1 − 4 = 0, 2 − 4 + 2 = 0.

उत्तर: x/3 = y/1 = z/(−2) और x/2 = y/(−4) = z/1.

उदाहरण 10 (UPSC 2022, 15 अंक): यदि समतल ux + vy + wz = 0, शंकु ax² + by² + cz² = 0 को लंब जनकों में काटता है, तो सिद्ध कीजिए कि (b + c)u² + (c + a)v² + (a + b)w² = 0.

समतल में जनक रेखा (l, m, n) ul + vm + wn = 0 और al² + bm² + cn² = 0 को संतुष्ट करती है। n = −(ul + vm)/w का विलोपन करने पर: (aw² + cu²)l² + 2cuv lm + (bw² + cv²)m² = 0.

यदि दोनों जनक रेखाएँ (l₁, m₁, n₁) और (l₂, m₂, n₂) हैं, तो मूलों का गुणनफल l₁l₂/(bw² + cv²) = m₁m₂/(cu² + aw²) देता है, और सममिति से दोनों n₁n₂/(av² + bu²) के बराबर हैं।

जनक रेखाएँ लंब हैं यदि और केवल यदि l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0, अर्थात हरों का योग शून्य हो: (b + c)u² + (c + a)v² + (a + b)w² = 0.

उत्तर: अतः सिद्ध हुआ; यह ऊपर दिए व्यापक प्रतिबंध (a + b + c)(u² + v² + w²) = au² + bv² + cw² + ... की विशेष स्थिति f = g = h = 0 है।

उदाहरण 11 (UPSC 2021, 20 अंक): दर्शाइए कि वे समतल, जो कि शंकु ax² + by² + cz² = 0 को लंब जनकों में काटते हैं, शंकु x²/(b + c) + y²/(c + a) + z²/(a + b) = 0 को स्पर्श करते हैं।

पिछले उदाहरण से, ux + vy + wz = 0 शंकु को लंब जनक रेखाओं में काटता है यदि और केवल यदि (b + c)u² + (c + a)v² + (a + b)w² = 0.

समतल ux + vy + wz = 0 शंकु αx² + βy² + γz² = 0 को स्पर्श करता है यदि और केवल यदि u²/α + v²/β + w²/γ = 0 (A = βγ, B = γα, C = αβ वाले स्पर्शता प्रतिबंध को αβγ से भाग देकर)।

α = 1/(b + c), β = 1/(c + a), γ = 1/(a + b) के लिए यह प्रतिबंध (b + c)u² + (c + a)v² + (a + b)w² = 0 बनता है, जो लंबता प्रतिबंध ही है।

उत्तर: प्रत्येक ऐसा समतल x²/(b + c) + y²/(c + a) + z²/(a + b) = 0 को स्पर्श करता है; अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 12 (UPSC 2019, 10 अंक): (ii) सिद्ध कीजिए कि समतल z = 0 गोले x² + y² + z² = 11 के उस अन्वालोपी शंकु को, जिसका शीर्ष (2, 4, 1) है, एक आयतीय अतिपरवलय में काटता है।

S = x² + y² + z² − 11, S₁ = 4 + 16 + 1 − 11 = 10, T = 2x + 4y + z − 11. अन्वालोपी शंकु SS₁ = T² है: 10(x² + y² + z² − 11) = (2x + 4y + z − 11)².

z = 0 रखें: 10x² + 10y² − 110 = 4x² + 16y² + 16xy − 44x − 88y + 121, अर्थात 6x² − 16xy − 6y² + 44x + 88y − 231 = 0.

यहाँ h² − ab = 64 + 36 > 0, अतः शांकव अतिपरवलय है (इसका 3 × 3 विविक्तकर शून्येतर है, अतः यह रेखा-युग्म नहीं है), और x² तथा y² के गुणांकों का योग 6 − 6 = 0 है।

उत्तर: परिच्छेद आयतीय अतिपरवलय 6x² − 16xy − 6y² + 44x + 88y − 231 = 0, z = 0 है; अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 13 (UPSC 2023, 10 अंक): (ii) समतल x/a + y/b + z/c = 1 निर्देशांक अक्षों से क्रमशः A, B, C पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि मूलबिंदु O से वृत्त ABC से मिलने के लिए खींची गई रेखाओं द्वारा जनित शंकु का समीकरण yz(b/c + c/b) + zx(c/a + a/c) + xy(b/a + a/b) = 0 है।

वृत्त ABC है x² + y² + z² − ax − by − cz = 0, x/a + y/b + z/c = 1 (गोला OABC और समतल)।

समतल की सहायता से गोले के समीकरण को समघात बनाएँ: x² + y² + z² − (ax + by + cz)(x/a + y/b + z/c) = 0.

गुणनफल में x² + y² + z² है, जो कट जाता है, और xy(a/b + b/a) + yz(b/c + c/b) + zx(c/a + a/c).

उत्तर: शंकु yz(b/c + c/b) + zx(c/a + a/c) + xy(b/a + a/b) = 0 है; अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 14 (UPSC 2024, 10 अंक): वृत्त x² + y² + z² = 9, x − y + z = 3 से होकर जाने वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए।

गोले का केंद्र O और त्रिज्या 3 है; O की x − y + z = 3 से दूरी 3/√3 = √3 है, अतः वृत्त की त्रिज्या √(9 − 3) = √6 है।

अक्ष O से होकर अभिलंब है: x/1 = y/(−1) = z/1. लंब वृत्तीय बेलन: x² + y² + z² − (x − y + z)²/3 = 6.

3 से गुणा कर विस्तार करने पर: 2x² + 2y² + 2z² + 2xy + 2yz − 2zx = 18.

उत्तर: x² + y² + z² + xy + yz − zx − 9 = 0.

उदाहरण 15 (UPSC 2026, 10 अंक): (ii) उस लंब वृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अक्ष x = 2y = −z और त्रिज्या 4 है। सिद्ध कीजिए कि समतल z = 0 द्वारा इस बेलन के परिच्छेद का क्षेत्रफल 24π है।

x = 2y = −z = t लिखने पर अक्ष O से होकर दिशा (1, 1/2, −1), अर्थात (2, 1, −2) में है, जिसकी लंबाई 3 है।

बेलन: x² + y² + z² − (2x + y − 2z)²/9 = 16, अर्थात 5x² + 8y² + 5z² − 4xy + 4yz + 8zx − 144 = 0.

परिच्छेद z = 0: 5x² − 4xy + 8y² = 144, एक दीर्घवृत्त जिसमें A = 5, H = −2, B = 8, K = 144; क्षेत्रफल = πK/√(AB − H²) = 144π/√36 = 24π.

ज्यामिति से जाँच: जिस समतल का अभिलंब अक्ष से कोण φ बनाता है, वह त्रिज्या r के बेलन को क्षेत्रफल πr²/cos φ वाले दीर्घवृत्त में काटता है; यहाँ cos φ = |(2, 1, −2)·(0, 0, 1)|/3 = 2/3 और 16π/(2/3) = 24π.

उत्तर: 5x² + 8y² + 5z² − 4xy + 4yz + 8zx − 144 = 0; z = 0 द्वारा परिच्छेद का क्षेत्रफल 24π है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): O शीर्ष वाला वह शंकु ज्ञात कीजिए जिसका निर्देशक वक्र y² = 4x, z = 2 है।

उत्तर: z/2 = 1 से समघात बनाएँ: y² = 4x(z/2), अर्थात y² = 2zx.

अभ्यास 2 (मूल): शंकुओं x² + 2y² − 3z² = 0 और x² + y² − z² = 0 में से किसमें तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं के समुच्चय हैं?

उत्तर: केवल पहले में, क्योंकि 1 + 2 − 3 = 0 जबकि 1 + 1 − 1 = 1 ≠ 0.

अभ्यास 3 (मूल): वह लंब वृत्तीय बेलन लिखिए जिसकी त्रिज्या 2 और अक्ष x-अक्ष है।

उत्तर: x² + y² + z² − x² = 4, अर्थात y² + z² = 4.

अभ्यास 4 (मानक): O शीर्ष, z-अक्ष अक्ष वाला और (1, 1, 1) से होकर जाने वाला लंब वृत्तीय शंकु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: cos²θ = 1/3, अतः z² = (x² + y² + z²)/3, अर्थात x² + y² − 2z² = 0.

अभ्यास 5 (मानक): शीर्ष (0, 0, 2) और निर्देशक वक्र x² + y² = 1, z = 0 वाला शंकु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शीर्ष से (x, y, z) होकर रेखा z = 0 से (2x/(2 − z), 2y/(2 − z), 0) पर मिलती है; शंकु 4x² + 4y² = (z − 2)², अर्थात 4x² + 4y² − z² + 4z − 4 = 0 है।

अभ्यास 6 (मानक): शीर्ष (0, 0, 4) वाला गोले x² + y² + z² = 4 का अन्वालोपी शंकु, और उसका अर्ध-शीर्ष कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: S₁ = 12, T = 4z − 4; 12(x² + y² + z² − 4) = 16(z − 1)² से 3x² + 3y² − z² + 8z − 16 = 0; sin θ = 2/4, θ = 30°.

अभ्यास 7 (मानक): वह लंब वृत्तीय बेलन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 1 और अक्ष (x − 1)/2 = y/1 = (z + 1)/2 है।

उत्तर: 9[(x − 1)² + y² + (z + 1)²] − (2x + y + 2z)² = 9, अर्थात 5x² + 8y² + 5z² − 4xy − 4yz − 8zx − 18x + 18z + 9 = 0.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाइए कि x/1 = y/2 = z/1 शंकु 2yz + 2zx − 3xy = 0 की एक जनक रेखा है, और इसे समाहित करने वाले तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं के समुच्चय की शेष दो जनक रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 4 + 2 − 6 = 0 और a + b + c = 0; समतल x + 2y + z = 0 शंकु को (2x + y)(x + 4y) = 0 में काटता है, जिससे x/1 = y/(−2) = z/3 और x/(−4) = y/1 = z/2 मिलती हैं।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि समतल x + y + z = 0 शंकु 2x² + y² − 3z² = 0 को लंब जनक रेखाओं में काटता है।

उत्तर: प्रतिबंध (a + b + c)(u² + v² + w²) = au² + bv² + cw² से 0 · 3 = 2 + 1 − 3, जो सत्य है; तुल्य रूप से (b + c)u² + (c + a)v² + (a + b)w² = −2 − 1 + 3 = 0.

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि समतल z = 0, शीर्ष (1, 1, 2) वाले गोले x² + y² + z² = 4 के अन्वालोपी शंकु को एक परवलय में काटता है।

उत्तर: 2(x² + y² + z² − 4) = (x + y + 2z − 4)²; z = 0 पर यह x² − 2xy + y² + 8x + 8y − 24 = 0 है, जिसमें h² = ab और 3 × 3 विविक्तकर शून्येतर (−64) है, अतः यह परवलय है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): दिखाइए कि 2x² + y² − 3z² + 2xy − 8x − 6y − 6z + 7 = 0 एक शंकु निरूपित करता है और उसका शीर्ष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: F_x = 4x + 2y − 8, F_y = 2x + 2y − 6, F_z = −6z − 6, (1, 2, −1) पर शून्य हैं, और F_t = −8x − 6y − 6z + 14 भी वहाँ शून्य है; शीर्ष (1, 2, −1) है, और शंकु X = x − 1, Y = y − 2, Z = z + 1 के साथ 2X² + Y² − 3Z² + 2XY = 0 है।

1. मानक द्विघात पृष्ठों को उनके परिच्छेदों से समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: x, y, z में द्वितीय घात का एक समीकरण पाँच बिल्कुल भिन्न पृष्ठों को वर्णित कर सकता है। कोई भी सूत्र प्रयोग करने से पहले पृष्ठ का नाम पहचानना आवश्यक है, क्योंकि स्पर्श प्रतिबंध, जनक रेखाएँ और अभिलंब एक प्रकार से दूसरे प्रकार में भिन्न होते हैं।

शब्दों में: पृष्ठ को निर्देशांक तलों के समांतर तलों से काटें और प्राप्त वक्रों को देखें। केंद्रीय शांकवज (central conicoid) का एक केंद्र (यहाँ मूलबिंदु) होता है जो अपने से होकर जाने वाली प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है; इसे ±x²/a² ± y²/b² ± z²/c² = 1 लिखा जाता है। परवलयज (paraboloid) में एक चर केवल प्रथम घात में आता है, और इसका कोई केंद्र नहीं होता। दायाँ पक्ष +1 करने के बाद चिह्न प्रकार तय करते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 9x² + 4y² − 36z² = 36 को पहचानिए और उसकी आकृति का वर्णन कीजिए।

चरण 1: दायाँ पक्ष 1 करने के लिए 36 से भाग दें: x²/4 + y²/9 − z²/1 = 1.

चरण 2: एक ऋण चिह्न है, अतः यह एक पृष्ठी अतिपरवलयज (hyperboloid of one sheet) है, जिसका अक्ष z-अक्ष है (विषम चिह्न वाला चर)।

चरण 3 (क्षैतिज परिच्छेद): z = k से x²/4 + y²/9 = 1 + k², प्रत्येक k के लिए दीर्घवृत्त; सबसे छोटा, z = 0 पर, अर्ध-अक्षों 2 और 3 वाला है (कंठ)।

चरण 4 (ऊर्ध्वाधर परिच्छेद): x = 0 से y²/9 − z² = 1, एक अतिपरवलय। दोनों दिशाओं में चौड़े होते दीर्घवृत्त, अतिपरवलयों के अनुदिश जुड़े हुए: शीतलन-मीनार जैसी आकृति।

अ-उदाहरण (non-example): x² + 4y² − z² + 4 = 0 में भी बाईं ओर एक ऋण चिह्न दिखता है, पर यह एक पृष्ठी अतिपरवलयज नहीं है। दायाँ पक्ष +1 करने पर −x²/4 − y² + z²/4 = 1 मिलता है, दो ऋण चिह्नों के साथ: द्वि-पृष्ठी अतिपरवलयज, क्योंकि z = k से x² + 4y² = k² − 4, जो |k| < 2 के लिए रिक्त है। और x² + 4y² − z² = 0 (दायाँ पक्ष 0) एक शंकु है।

आगे बढ़ते हुए: ये चिह्न द्विघात भाग के आव्यूह के आइगेन मानों (eigenvalues) के चिह्न हैं, अतः नामकरण का यह नियम समानयन विषय के आइगेन मान वर्गीकरण के समान है। केंद्रीय रूपों को ax² + by² + cz² = 1 (a, b, c किसी भी चिह्न के) लिखने से सूत्रों का एक ही समुच्चय दीर्घवृत्तज और दोनों अतिपरवलयजों पर लागू होता है; परवलयजों के अपने सूत्र हैं, ax² + by² = 2z.

कहाँ प्रयोग होता है: शांकवज के प्रत्येक उत्तर की पहली पंक्ति, केंद्रीय और परवलयज सूत्रों के बीच चयन, यह तय करना कि वास्तविक जनक रेखाएँ हैं या नहीं, और व्यापक द्वितीय घात समीकरण के समानयन का अंतिम चरण।

2. मानक रूप

दीर्घवृत्तज (ellipsoid): x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1; यह संवृत और परिबद्ध है, प्रत्येक निर्देशांक तल के प्रति सममित है, और प्रत्येक समतल परिच्छेद एक दीर्घवृत्त, एक बिंदु या रिक्त है।

भाव: दीर्घवृत्तज (ellipsoid) अक्षों के अनुदिश a, b, c गुणकों से खींचा गया गोला है (ऊपर का चित्र देखें)। परिच्छेद z = k, x²/a² + y²/b² = 1 − k²/c² है: |k| < c के लिए दीर्घवृत्त, |k| = c के लिए बिंदु और उससे आगे रिक्त।

एक पृष्ठी अतिपरवलयज (hyperboloid of one sheet): x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1; यह संबद्ध है, प्रत्येक k के लिए परिच्छेद z = k दीर्घवृत्त हैं, और यह एक रेखज पृष्ठ है।

भाव: शीतलन मीनार की कल्पना करें। परिच्छेद z = k, x²/a² + y²/b² = 1 + k²/c² को संतुष्ट करते हैं, ये दीर्घवृत्त |k| बढ़ने के साथ बड़े होते हैं और सबसे छोटा (कंठ) z = 0 पर है; x = 0 और y = 0 द्वारा परिच्छेद अतिपरवलय हैं।

द्वि पृष्ठी अतिपरवलयज: x²/a² − y²/b² − z²/c² = 1; इसके दो पृथक भाग हैं और |x| < a वाले कोई वास्तविक बिंदु नहीं हैं।

स्मरण नियम: दाईं ओर +1 होने पर ऋण चिह्नों की संख्या पत्रकों (sheets) की संख्या के बराबर है: शून्य (दीर्घवृत्तज), एक (एक पत्रक), दो (दो पत्रक); तीन ऋण चिह्न होने पर कोई वास्तविक बिंदु नहीं।

दीर्घवृत्तीय परवलयज (elliptic paraboloid): x²/a² + y²/b² = 2z/c. अतिपरवलयिक परवलयज: x²/a² − y²/b² = 2z/c; यह काठी के आकार का और रेखज है।

भाव: दीर्घवृत्तीय परवलयज (elliptic paraboloid) एक कटोरा है: परिच्छेद z = k > 0 दीर्घवृत्त हैं। अतिपरवलयिक परवलयज एक काठी है: परिच्छेद z = k अतिपरवलय हैं, z = 0 रेखा युग्म x/a = ±y/b देता है, और परिच्छेद x = 0 तथा y = 0 विपरीत दिशाओं में खुलने वाले परवलय हैं।

पहले तीन केंद्रीय शांकवज (central conicoids) ax² + by² + cz² = 1 हैं जिनका केंद्र मूलबिंदु है; परवलयज ax² + by² = 2z का कोई केंद्र नहीं है।

3. स्पर्श तलों और स्पर्श प्रतिबंध को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: शांकवज के अधिकांश प्रश्न स्पर्श तलों के बारे में हैं: दिए गए बिंदु पर, दिए गए समतल के समांतर, दी गई रेखा से होकर, या परस्पर समकोण पर तीन। दो साधन यह सब करते हैं: प्रतिस्थापन नियम (जब बिंदु ज्ञात हो) और स्पर्श प्रतिबंध (जब ज्ञात न हो)।

शब्दों में: ax² + by² + cz² = 1 के लिए पृष्ठ के बिंदु P(x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल axx₁ + byy₁ + czz₁ = 1 है; इसका अभिलंब (ax₁, by₁, cz₁) प्रवणता की दिशा है। दिया गया समतल lx + my + nz = p ठीक तब (किसी बिंदु पर) स्पर्श तल है जब l²/a + m²/b + n²/c = p², और तब वह (l/(ap), m/(bp), n/(cp)) पर स्पर्श करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दीर्घवृत्तज 2x² + y² + 4z² = 7 लें।

चरण 1 (मानक रूप): 7 से भाग दें: a = 2/7, b = 1/7, c = 4/7, अतः 1/a = 7/2, 1/b = 7, 1/c = 7/4.

चरण 2 (ज्ञात बिंदु पर): (1, 1, 1) पृष्ठ पर है (2 + 1 + 4 = 7)। x² को x·1 से बदलें, इत्यादि: 2x + y + 4z = 7.

चरण 3 (प्रतिबंध से जाँच): 2x + y + 4z = 7 के लिए l²/a + m²/b + n²/c = 4(7/2) + 1(7) + 16(7/4) = 14 + 7 + 28 = 49 = 7², जैसा होना चाहिए।

चरण 4 (बिंदु अज्ञात): x + y + z = 0 के समांतर स्पर्श तल x + y + z = p हैं जहाँ 7/2 + 7 + 7/4 = 49/4 = p², अतः p = ±7/2. p = 7/2 के लिए स्पर्श बिंदु (1/(ap), 1/(bp), 1/(cp)) = (1, 2, 1/2) है; जाँच: 2 + 4 + 1 = 7 और 1 + 2 + 1/2 = 7/2.

अ-उदाहरण (non-example): यदि आप 7 से भाग देना भूलकर समतल 2x + y + 4z = 7 के लिए a = 2, b = 1, c = 4 लेते हैं, तो 4/2 + 1 + 16/4 = 7 ≠ 49 मिलता है और आप गलत निष्कर्ष निकालते हैं कि समतल स्पर्श तल नहीं है। प्रतिबंध l²/a + m²/b + n²/c = p² केवल दाएँ पक्ष ठीक 1 वाले रूप के लिए वैध है।

आगे बढ़ते हुए: lx + my + nz = p की axx₁ + byy₁ + czz₁ = 1 से तुलना करने पर स्पर्श बिंदु मिलता है, और उसे पृष्ठ में रखने पर प्रतिबंध मिलता है (नीचे व्युत्पत्ति)। तीन परस्पर लंब स्पर्श तलों की वर्ग दूरियों p_i² का योग 1/a + 1/b + 1/c होता है, जिससे नियामक गोला मिलता है। यही "स्पर्श तल से तुलना" वाला विचार ध्रुवी तल, अन्वालोपी शंकु SS₁ = T² और दिए गए केंद्र वाला परिच्छेद T = S₁ देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: किसी रेखा से होकर स्पर्श तल (P₁ + λP₂ = 0 और प्रतिबंध), नियामक गोले, ध्रुवों के बिंदुपथ, अभिलंब और अभिलंब जीवाएँ।

4. केंद्रीय शांकवज ax² + by² + cz² = 1

(x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल: axx₁ + byy₁ + czz₁ = 1.

स्मरण नियम: x² के स्थान पर xx₁, y² के स्थान पर yy₁, z² के स्थान पर zz₁ रखें (और परवलयज के लिए 2z के स्थान पर z + z₁)। यह तल प्रवणता (gradient) (ax₁, by₁, cz₁) पर लंब है; व्युत्पत्ति नीचे है।

स्पर्श प्रतिबंध: समतल lx + my + nz = p शांकवज को स्पर्श करता है यदि और केवल यदि l²/a + m²/b + n²/c = p².

नियामक गोला (director sphere): तीन परस्पर लंब स्पर्श तलों के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ x² + y² + z² = 1/a + 1/b + 1/c है; दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के लिए यह x² + y² + z² = a² + b² + c² है।

भाव: नियामक गोला (director sphere) शांकव के नियामक वृत्त का त्रिविमीय रूप है: यह वह स्थान है जहाँ तीन स्पर्श तलों का लंबकोणीय "कोना" स्थित हो सकता है। व्युत्पत्ति नीचे है।

(x₁, y₁, z₁) पर अभिलंब: (x − x₁)/(ax₁) = (y − y₁)/(by₁) = (z − z₁)/(cz₁). सामान्यतः किसी दिए गए बिंदु से दीर्घवृत्तज पर छह अभिलंब खींचे जा सकते हैं।

भाव: पृष्ठ F = 0 का अभिलंब प्रवणता ∇F के अनुदिश है, यहाँ (ax₁, by₁, cz₁). गोले के विपरीत, किसी व्यापक बिंदु पर अभिलंब केंद्र से होकर नहीं जाता।

(x₁, y₁, z₁) का ध्रुवी तल: axx₁ + byy₁ + czz₁ = 1. इस बिंदु से अन्वालोपी शंकु SS₁ = T² है, जहाँ S = ax² + by² + cz² − 1.

दिशा (l, m, n) का संयुग्मी व्यासीय तल: alx + bmy + cnz = 0; यह उस दिशा के समांतर सभी जीवाओं को समद्विभाजित करता है।

यह क्यों कार्य करता है: जीवा के बिंदु (x₀ + lr, y₀ + mr, z₀ + nr) को समीकरण में रखें। जीवा (x₀, y₀, z₀) पर ठीक तब समद्विभाजित होती है जब r के दोनों मूल बराबर और विपरीत हों, अर्थात जब r का गुणांक शून्य हो: alx₀ + bmy₀ + cnz₀ = 0.

यही विचार दिए केंद्र (α, β, γ) वाला समतल परिच्छेद देता है: यह T = S₁ है, अर्थात aαx + bβy + cγz = aα² + bβ² + cγ².

दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के संयुग्मी अर्ध-व्यास: यदि OP, OQ, OR संयुग्मी हैं, तो OP² + OQ² + OR² = a² + b² + c², और OP, OQ, OR पर बने समांतर षट्फलक का आयतन abc है।

भाव: प्रतिचित्रण (x, y, z) ↦ (x/a, y/b, z/c) के अंतर्गत दीर्घवृत्तज इकाई गोला बन जाता है और संयुग्मी अर्ध-व्यास (conjugate semi-diameters) तीन परस्पर लंब त्रिज्याएँ बन जाते हैं। इसीलिए वर्गों का योग और आयतन abc अचर रहते हैं।

5. परवलयजों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: परवलयज का कोई केंद्र नहीं होता, अतः केंद्रीय सूत्र लागू नहीं होते। इसके स्पर्श तलों, स्पर्श प्रतिबंध और नियामक तल के अपने संक्षिप्त रूप हैं, और परीक्षक जाँचते हैं कि आप इन्हें मिलाते नहीं।

शब्दों में: परवलयज को ax² + by² = 2z लिखें। यदि a और b समान चिह्न के हों तो यह दीर्घवृत्तीय (कटोरा) है, अन्यथा अतिपरवलयिक (काठी)। प्रतिस्थापन नियम अब 2z को भी z + z₁ से बदलता है, जिससे स्पर्श तल axx₁ + byy₁ = z + z₁ मिलता है; समतल lx + my + nz = p ठीक तब स्पर्शी है जब l²/a + m²/b + 2np = 0.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: परवलयज x² + 2y² = 4z और उसका बिंदु (2, 1, 3/2).

चरण 1 (मानक रूप): 2 से भाग दें: (1/2)x² + y² = 2z, अतः a = 1/2, b = 1. बिंदु इस पर है: 2 + 1 = 3 = 2(3/2).

चरण 2 (स्पर्श तल): (1/2)(2)x + (1)(1)y = z + 3/2, अर्थात x + y − z = 3/2.

चरण 3 (प्रतिबंध से जाँच): l = 1, m = 1, n = −1, p = 3/2: l²/a + m²/b + 2np = 2 + 1 − 3 = 0.

अ-उदाहरण (non-example): ऊर्ध्वाधर समतल x = 1 (l = 1, m = n = 0, p = 1) से l²/a + m²/b + 2np = 2 ≠ 0, अतः यह स्पर्श तल नहीं है; वास्तव में प्रत्येक ऊर्ध्वाधर समतल इस परवलयज को एक परवलय में काटता है। और यहाँ केंद्रीय परीक्षण l²/a + m²/b + n²/c = p² लगाना निरर्थक है: z² पद नहीं है, अतः c नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: lx + my + nz = p की ax₁x + by₁y − z = z₁ से तुलना करने पर स्पर्श बिंदु (−l/(an), −m/(bn), −p/n) मिलता है, और उसे पृष्ठ में रखने पर प्रतिबंध मिलता है। तीन परस्पर लंब स्पर्श तलों के लिए पद 2n_ip_i का योग 2z होता है, अतः उनका उभयनिष्ठ बिंदु 1/a + 1/b + 2z = 0 को संतुष्ट करता है: नियामक गोले के स्थान पर नियामक तल।

कहाँ प्रयोग होता है: परवलयजों के स्पर्श तल और अभिलंब, x² + y² = 2z पर अन्वालोप प्रश्न, नियामक तल, और अतिपरवलयिक परवलयज की जनक रेखाएँ।

6. परवलयज ax² + by² = 2z

(x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल: axx₁ + byy₁ = z + z₁. समतल lx + my + nz = p परवलयज (paraboloid) को स्पर्श करता है यदि और केवल यदि l²/a + m²/b + 2np = 0.

तीन परस्पर लंब स्पर्श तलों के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ समतल 2z + 1/a + 1/b = 0 (नियामक तल) है।

7. जनक रेखाओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: यह आश्चर्यजनक है कि कोई वक्र पृष्ठ पूर्णतः सरल रेखाओं से बना हो सकता है। एक पृष्ठी अतिपरवलयज और अतिपरवलयिक परवलयज ऐसे रेखज पृष्ठ (ruled surfaces) हैं, प्रत्येक दो भिन्न प्रकार से। प्रश्न किसी बिंदु से होकर रेखाएँ, उनका कोण, और उनके प्रतिच्छेदों के बिंदुपथ पूछते हैं।

शब्दों में: किसी पृष्ठ की जनक रेखा (generator) ऐसी सरल रेखा है जिसका प्रत्येक बिंदु पृष्ठ पर स्थित हो। एक पृष्ठी अतिपरवलयज पर दो कुल (निकाय) होते हैं, जिन्हें λ और μ से चिह्नित करते हैं; प्रत्येक बिंदु से प्रत्येक कुल की ठीक एक रेखा गुजरती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (1, 0, 0) से होकर x² + y² − z² = 1 की जनक रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

चरण 1 (गुणनखंड): (x − z)(x + z) = (1 − y)(1 + y).

चरण 2 (λ-निकाय): x − z = λ(1 − y), x + z = (1/λ)(1 + y). (1, 0, 0) पर: 1 = λ, अतः λ = 1. दोनों समीकरण जोड़ने पर x = 1, और तब z = y: रेखा x = 1, y = z, दिशा (0, 1, 1).

चरण 3 (μ-निकाय): x − z = μ(1 + y), x + z = (1/μ)(1 − y). (1, 0, 0) पर μ = 1, जिससे x = 1, z = −y, दिशा (0, 1, −1).

चरण 4 (जाँच): बिंदु (1, t, t) और (1, t, −t) प्रत्येक t के लिए 1 + t² − t² = 1 देते हैं, अतः दोनों रेखाएँ पूर्णतः पृष्ठ पर हैं। यह भी ध्यान दें कि λ = −1 वाली रेखा, x = −1, z = −y, λ = 1 वाली रेखा से कभी नहीं मिलती (x को 1 और −1 दोनों होना पड़ेगा): एक ही निकाय की रेखाएँ विषमतलीय हैं।

अ-उदाहरण (non-example): द्वि-पृष्ठी अतिपरवलयज x² − y² − z² = 1 की कोई वास्तविक जनक रेखा नहीं है। (1, 0, 0) पर प्रत्यक्ष विधि आज़माएँ: (1 + lr, mr, nr) रखने पर सभी r के लिए 2lr + (l² − m² − n²)r² = 0, अतः l = 0 और तब m² + n² = 0, जो m = n = 0 के लिए बाध्य करता है: कोई दिशा है ही नहीं।

आगे बढ़ते हुए: गुणनखंड "गुणनफल = गुणनफल" को "अनुपात = अनुपात = λ" में बदल देता है, प्रत्येक λ के लिए दो रैखिक समीकरण, अर्थात एक रेखा। प्रत्यक्ष विधि किसी भी द्विघात पृष्ठ के लिए कार्य करती है: पृष्ठ के किसी बिंदु से होकर रेखा पृष्ठ पर ठीक तब है जब r और r² के गुणांक शून्य हों (अचर पद पहले से शून्य है)। r-गुणांक कहता है कि दिशा स्पर्श तल में है, और r²-गुणांक कहता है कि वह अनंतस्पर्शी शंकु पर है, अतः किसी बिंदु से होकर दो जनक रेखाएँ वे रेखाएँ हैं जिनमें स्पर्श तल पृष्ठ को काटता है।

कहाँ प्रयोग होता है: किसी बिंदु से होकर जनक रेखाएँ, लंब जनक रेखाएँ और उनका बिंदुपथ, विषमतलीय रेखाओं से मिलने वाली रेखाओं द्वारा जनित पृष्ठ (सरल रेखाएँ विषय), और मीनारों में अतिपरवलयजों का संरचनात्मक प्रयोग।

8. जनक रेखाएँ

एक पृष्ठी अतिपरवलयज x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 में सरल रेखाओं (जनक रेखाओं, generating lines) के दो निकाय हैं: λ-निकाय x/a − z/c = λ(1 − y/b), x/a + z/c = (1/λ)(1 + y/b), और μ-निकाय x/a − z/c = μ(1 + y/b), x/a + z/c = (1/μ)(1 − y/b).

रेखाएँ क्यों हैं: समीकरण को (x/a − z/c)(x/a + z/c) = (1 − y/b)(1 + y/b) लिखें। एक गुणनफल दूसरे गुणनफल के बराबर है, अतः अनुपातों को बराबर रखने पर, (x/a − z/c)/(1 − y/b) = (1 + y/b)/(x/a + z/c) = λ, प्रत्येक λ के लिए दो रैखिक समीकरण, अर्थात एक सरल रेखा, मिलती है। गुणनखंडों को दूसरी तरह जोड़ने पर μ-निकाय मिलता है।

गुणधर्म: पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु से प्रत्येक निकाय की ठीक एक रेखा गुजरती है; एक ही निकाय की दो रेखाएँ नहीं मिलतीं (वे विषमतलीय हैं); एक निकाय की रेखा और दूसरे निकाय की रेखा समतलीय होती हैं (वे मिलती हैं या समांतर हैं)।

एक निकाय की रेखाएँ विषमतलीय (skew) क्यों हैं: λ₁ ≠ λ₂ लें। पहले समीकरणों को घटाने पर (λ₁ − λ₂)(1 − y/b) = 0, अतः y = b और x/a − z/c = 0; तब दूसरे समीकरणों से x/a + z/c = 2/λ₁ = 2/λ₂, जो विरोधाभास है। अतः रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, और समांतर भी नहीं हैं, अतः विषमतलीय हैं।

प्रत्येक बिंदु से हर निकाय की ठीक एक रेखा क्यों जाती है: पृष्ठ के किसी बिंदु पर λ = (x/a − z/c)/(1 − y/b), या यदि यह 0/0 हो तो (1 + y/b)/(x/a + z/c), एक ही निश्चित मान है (λ = ∞ सीमांत रेखा है)।

अतिपरवलयिक परवलयज x²/a² − y²/b² = 2z/c के निकाय x/a − y/b = λ, λ(x/a + y/b) = 2z/c और x/a + y/b = μ, μ(x/a − y/b) = 2z/c हैं; एक निकाय की सभी रेखाएँ एक स्थिर समतल (x/a − y/b = 0 या x/a + y/b = 0) के समांतर हैं।

दीर्घवृत्तज, द्वि पृष्ठी अतिपरवलयज और दीर्घवृत्तीय परवलयज में कोई वास्तविक सरल रेखा नहीं होती।

क्यों: दीर्घवृत्तज परिबद्ध है, अतः इसमें अनंत रेखा नहीं हो सकती। दो पत्रकों वाले अतिपरवलयज के लिए, समतल x = 0 के असमांतर रेखा को पट्टी |x| < a पार करनी पड़ेगी, जिसमें पृष्ठ का कोई बिंदु नहीं है; l = 0 वाली रेखा के लिए r² के गुणांक से m²/b² + n²/c² = 0 चाहिए, जो असंभव है। दीर्घवृत्तीय परवलयज के लिए r² का गुणांक l²/a² + m²/b² = 0 ऊर्ध्वाधर रेखा को बाध्य करता है, जिस पर z बदलता है परंतु x, y नहीं।

9. व्युत्पत्ति: स्पर्श तल और स्पर्श का प्रतिबंध

F = ax² + by² + cz² − 1 के लिए P(x₁, y₁, z₁) पर अभिलंब ∇F = 2(ax₁, by₁, cz₁) है। स्पर्श तल ax₁(x − x₁) + by₁(y − y₁) + cz₁(z − z₁) = 0 बन जाता है axx₁ + byy₁ + czz₁ = ax₁² + by₁² + cz₁² = 1.

केंद्रीय शांकवज: यदि lx + my + nz = p बिंदु (x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल है, तो axx₁ + byy₁ + czz₁ = 1 से तुलना करने पर ax₁/l = by₁/m = cz₁/n = 1/p, अतः स्पर्श बिंदु (l/(ap), m/(bp), n/(cp)) है।

यह बिंदु शांकवज पर है: l²/(ap²) + m²/(bp²) + n²/(cp²) = 1, अर्थात l²/a + m²/b + n²/c = p².

परवलयज ax² + by² = 2z: स्पर्श तल ax₁x + by₁y − z = z₁ की lx + my + nz = p से तुलना करने पर x₁ = −l/(an), y₁ = −m/(bn), z₁ = −p/n. इन्हें ax₁² + by₁² = 2z₁ में रखने पर l²/a + m²/b + 2np = 0 मिलता है।

10. व्युत्पत्ति: नियामक गोला

मान लें तीन परस्पर लंब स्पर्श तल l_ix + m_iy + n_iz = p_i (i = 1, 2, 3) हैं, जहाँ (l_i, m_i, n_i) दिक्-कोसाइन हैं। स्पर्श से p_i² = l_i²/a + m_i²/b + n_i²/c.

पंक्तियों (l_i, m_i, n_i) वाला आव्यूह लांबिक (orthogonal) है, अतः इसके स्तंभ भी इकाई सदिश हैं: Σl_i² = Σm_i² = Σn_i² = 1. जोड़ने पर Σp_i² = 1/a + 1/b + 1/c.

उभयनिष्ठ बिंदु (x, y, z) पर तीनों तल समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर Σ(l_ix + m_iy + n_iz)² = x² + y² + z² (लांबिक आव्यूह लंबाई सुरक्षित रखता है)। अतः x² + y² + z² = 1/a + 1/b + 1/c.

परवलयज के लिए यही चरण l_i²/a + m_i²/b + 2n_ip_i = 0 और Σn_ip_i = Σn_i(l_ix + m_iy + n_iz) = z के साथ 1/a + 1/b + 2z = 0, नियामक तल, देते हैं।

11. विधि का चयन

यदि दिए बिंदु पर स्पर्श तल पूछा जाए → प्रतिस्थापन नियम।

यदि दिए समतल के समांतर, या दी गई रेखा से होकर, स्पर्श तल पूछे जाएँ → तल को lx + my + nz = p लिखें और l²/a + m²/b + n²/c = p² (केंद्रीय) या l²/a + m²/b + 2np = 0 (परवलयज) प्रयोग करें।

यदि तीन लंब स्पर्श तलों के मिलन बिंदु का बिंदुपथ पूछा जाए → नियामक गोला (या नियामक तल)।

यदि किसी बिंदु पर समद्विभाजित जीवाएँ, या समतल परिच्छेद का केंद्र, शामिल हों → T = S₁ या व्यासीय तल alx + bmy + cnz = 0.

यदि दिए बिंदु से होकर अभिलंब शामिल हों → पादों का λ-प्राचलीकरण x = a²α/(a² + λ), ...

यदि जनक रेखाएँ पूछी जाएँ → मानक रूपों के लिए λ- और μ-निकाय; किसी अन्य रेखित (ruled) द्विघाती पृष्ठ के लिए प्रत्यक्ष विधि (r और r² के गुणांक शून्य)।

यदि वृत्तीय परिच्छेद पूछे जाएँ → S − λ(x² + y² + z² − 1/λ) = 0, जहाँ S = x²/a² + y²/b² + z²/c² − 1, वास्तविक समतल युग्म होना चाहिए; a > b > c के लिए इसके लिए λ = 1/b² चाहिए।

12. सामान्य गलतियाँ

दाईं ओर को पहले +1 किए बिना ऋण चिह्नों की संख्या से पृष्ठ का नाम रखना (जैसे −x² − y² + z² = −1 एक पत्रक वाला अतिपरवलयज है)।

परवलयज के लिए केंद्रीय स्पर्श प्रतिबंध l²/a + m²/b + n²/c = p² प्रयोग करना।

यह मान लेना कि किसी बिंदु पर अभिलंब केंद्र से होकर जाता है, जो केवल गोले के लिए सत्य है।

किसी बिंदु से एक ही निकाय की दो जनक रेखाएँ देना; किसी बिंदु से जाने वाली दोनों रेखाएँ भिन्न निकायों की होती हैं।

वृत्तीय परिच्छेदों के लिए λ = 1/a² या 1/c² चुनना, जिससे काल्पनिक समतल मिलते हैं।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: कोई द्विघाती पृष्ठ कौन-सा मानक रूप लेगा, यह उसके सममित आव्यूह के आइगेन मानों के चिह्नों से तय होता है (सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम, रैखिक बीजगणित); विहित रूप में समानयन विषय देखें।

संबंध: अभिलंब ∇F के रूप में और स्पर्श तल उस पर लंब तल के रूप में, सदिश विश्लेषण के प्रवणता विचार हैं; एक पत्रक वाला अतिपरवलयज और अतिपरवलयिक परवलयज वे रेखित पृष्ठ हैं जो दी गई विषमतलीय रेखाओं से मिलने वाली रेखाओं से बनते हैं (सरल रेखाएँ विषय)।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 2x² − 6y² + 3z² = 5 के वे स्पर्श तल ज्ञात करें जो रेखा x + 9y − 3z = 0 = 3x − 3y + 6z − 5 से होकर जाते हैं।

रेखा से होकर समतल: (3x − 3y + 6z − 5) + λ(x + 9y − 3z) = 0, अर्थात (3 + λ)x + (9λ − 3)y + (6 − 3λ)z = 5. शांकवज (2/5)x² − (6/5)y² + (3/5)z² = 1 है, और l²/a + m²/b + n²/c = p² समानीत होकर −60λ² + 90 = 30 देता है, अतः λ = ±1.

स्पर्श तल 4x + 6y + 3z = 5 (λ = 1) और 2x − 12y + 9z = 5 (λ = −1) हैं।

उदाहरण 2: बिंदु (2, 3, −4) से होकर x²/4 + y²/9 − z²/16 = 1 की जनक रेखाएँ ज्ञात करें।

यहाँ x/2 = 1, y/3 = 1 और z/4 = −1. μ-निकाय x/2 − z/4 = μ(1 + y/3), x/2 + z/4 = (1/μ)(1 − y/3) से μ = 1 और रेखा x = 2, (y − 3)/(−3) = (z + 4)/4 मिलती है।

λ-निकाय में x/2 − z/4 = 2 जबकि 1 − y/3 = 0, अतः λ → ∞; रेखा 1 − y/3 = 0, x/2 + z/4 = 0 है, अर्थात (x − 2)/1 = (y − 3)/0 = (z + 4)/(−2).

उदाहरण 3: x² + 2y² + 3z² = 6 के वे स्पर्श तल ज्ञात करें जो x + 2y + 3z = 0 के समांतर हैं, और उनके स्पर्श बिंदु भी।

ax² + by² + cz² = 1 के रूप में: a = 1/6, b = 1/3, c = 1/2. समतल x + 2y + 3z = p स्पर्श करता है यदि 1/a + 4/b + 9/c = p², अर्थात 6 + 12 + 18 = 36, अतः p = ±6.

lx + my + nz = p की स्पर्श तल axx₁ + byy₁ + czz₁ = 1 से तुलना करने पर x₁ = l/(ap), y₁ = m/(bp), z₁ = n/(cp).

स्पर्श तल x + 2y + 3z = 6, जो (1, 1, 1) पर स्पर्श करता है, और x + 2y + 3z = −6, जो (−1, −1, −1) पर स्पर्श करता है।

उदाहरण 4: समतल x + y + z = 1 दीर्घवृत्तज x² + 2y² + 3z² = 6 को जिस शांकव में काटता है, उसका केंद्र ज्ञात करें।

केंद्र (α, β, γ) वाला परिच्छेद समतल T = S₁, अर्थात αx + 2βy + 3γz = α² + 2β² + 3γ² में है। यह समतल x + y + z = 1 ही होना चाहिए, अतः α = 2β = 3γ = k (मान लें)।

तब (α, β, γ) = (k, k/2, k/3), और केंद्र समतल पर है, अतः k(1 + 1/2 + 1/3) = 1, अर्थात k = 6/11.

परिच्छेद का केंद्र (6/11, 3/11, 2/11) है।

उदाहरण 5: सिद्ध करें कि समतल 8x − 6y − z = 5 परवलयज x²/2 − y²/3 = z को स्पर्श करता है, और स्पर्श बिंदु ज्ञात करें।

परवलयज को x² − (2/3)y² = 2z लिखें, अतः a = 1 और b = −2/3. lx + my + nz = p, (l, m, n, p) = (8, −6, −1, 5) के लिए: l²/a + m²/b + 2np = 64 − 54 − 10 = 0, अतः समतल स्पर्श करता है।

(x₁, y₁, z₁) पर स्पर्श तल xx₁ − (2/3)yy₁ = z + z₁ है। 8x − 6y − z = 5 से तुलना करने पर x₁ = 8, y₁ = 9, z₁ = 5.

जाँच: 64/2 − 81/3 = 32 − 27 = 5. स्पर्श बिंदु (8, 9, 5) है।

उदाहरण 6: बिंदु (2, 3, 0) से होकर अतिपरवलयिक परवलयज x²/4 − y²/9 = 2z की दोनों जनक रेखाएँ ज्ञात करें।

यहाँ a = 2, b = 3, c = 1. दोनों निकाय x/2 − y/3 = λ, λ(x/2 + y/3) = 2z और x/2 + y/3 = μ, μ(x/2 − y/3) = 2z हैं।

(2, 3, 0) पर x/2 − y/3 = 0, अतः λ = 0 और पहली जनक रेखा x/2 − y/3 = 0, z = 0, अर्थात x/2 = y/3, z = 0 है।

साथ ही x/2 + y/3 = 2, अतः μ = 2 और दूसरी जनक रेखा x/2 + y/3 = 2, x/2 − y/3 = z है; इसकी दिशा (2, −3, 2) है, अर्थात (x − 2)/2 = (y − 3)/(−3) = z/2.

जाँच: दूसरी रेखा के बिंदु (4, 0, 2) पर 16/4 − 0 = 4 = 2z, अतः यह पृष्ठ पर है।

15. शांकवजों के अभिलंब

दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के बिंदु P(x₁, y₁, z₁) पर अभिलंब (normal): दिशा (x₁/a², y₁/b², z₁/c²). इसकी दिक्-कोज्याएँ p(x₁/a², y₁/b², z₁/c²) हैं, जहाँ 1/p² = x₁²/a⁴ + y₁²/b⁴ + z₁²/c⁴ और p केंद्र से P पर स्पर्श तल पर लंब है।

छह अभिलंब: (x, y, z) पर अभिलंब (α, β, γ) से होकर जाता है जब x = a²α/(a² + λ), y = b²β/(b² + λ), z = c²γ/(c² + λ); इन्हें दीर्घवृत्तज में रखने पर λ में षट्घाती समीकरण मिलता है, अतः किसी व्यापक बिंदु से छह अभिलंब जाते हैं। पाद इन प्राचलिक समीकरणों वाले वक्र (एक त्रिघाती वक्र) पर तथा तीन बेलनों (b² − c²)yz + c²γy − b²βz = 0 और इसके चक्रीय रूपों पर स्थित होते हैं।

परवलयज x²/a + y²/b = 2z के (x₁, y₁, z₁) पर अभिलंब: (x − x₁)/(x₁/a) = (y − y₁)/(y₁/b) = (z − z₁)/(−1); सामान्यतः किसी दिए बिंदु से पाँच अभिलंब जाते हैं। परिक्रमण परवलयज x² + y² = 2az के लिए यह संख्या घटकर तीन हो जाती है: प्रत्येक अभिलंब अक्ष से मिलता है, अतः किसी बिंदु से अभिलंब उस बिंदु और अक्ष से होकर जाने वाले समतल में होते हैं, और पाद का प्रतिबंध एक त्रिघात बन जाता है (उदाहरण 8)।

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 15 अंक): दर्शाइए कि उद्गम (मूल-बिन्दु) से खींची हुई रेखाएँ, जो केन्द्रीय शांकवज ax² + by² + cz² = 1 के समतल lx + my + nz = p के साथ प्रतिच्छेदन बिन्दुओं पर लम्बों के समान्तर हैं, शंकु p²(x²/a + y²/b + z²/c) = (lx/a + my/b + nz/c)² का जनन करती हैं।

माना (α, β, γ) समतल पर शांकवज का एक बिंदु है: aα² + bβ² + cγ² = 1 और lα + mβ + nγ = p. वहाँ अभिलंब की दिशा (aα, bβ, cγ) है।

O से होकर समांतर रेखा x/(aα) = y/(bβ) = z/(cγ) = 1/k (माना) है, अतः इसके बिंदु (x, y, z) के लिए α = kx/a, β = ky/b, γ = kz/c.

समतल प्रतिबंध से k(lx/a + my/b + nz/c) = p; शांकवज से k²(x²/a + y²/b + z²/c) = 1.

k का विलोपन (पहले का वर्ग कर दूसरे से भाग): p²(x²/a + y²/b + z²/c) = (lx/a + my/b + nz/c)².

उत्तर: यह घात 2 का समघात समीकरण है, अतः रेखाएँ दिया गया शंकु जनित करती हैं; अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 8 (UPSC 2019, 15 अंक): सिद्ध कीजिए कि साधारणतः किसी एक बिंदु से परवलयज x² + y² = 2az पर तीन अभिलंब बनाए जा सकते हैं, लेकिन अगर बिंदु सतह 27a(x² + y²) + 8(a − z)³ = 0 पर स्थित है, तो इन तीन अभिलंबों में से दो अभिलंब एक ही हैं।

x² + y² = 2az के (x₁, y₁, z₁) पर अभिलंब (x − x₁)/x₁ = (y − y₁)/y₁ = (z − z₁)/(−a) है। यदि यह (α, β, γ) से होकर जाए, उभयनिष्ठ अनुपात t के साथ: x₁ = α/(1 + t), y₁ = β/(1 + t), z₁ = γ + at.

पाद परवलयज पर है: f(t) = 2a(γ + at)(1 + t)² − (α² + β²) = 0, t में त्रिघाती; प्रत्येक मूल एक अभिलंब देता है, अतः सामान्यतः (α, β, γ) से तीन अभिलंब जाते हैं।

दो अभिलंब संपाती होते हैं जब f का द्विमूल हो: f′(t) = 2a(1 + t)[3at + a + 2γ] = 0. मूल t = −1 के लिए α² + β² = 0 चाहिए, अतः t = −(a + 2γ)/(3a), जिससे 1 + t = 2(a − γ)/(3a) और γ + at = −(a − γ)/3.

तब f(t) = 0 बनता है −2a·(a − γ)/3·4(a − γ)²/(9a²) = α² + β², अर्थात 27a(α² + β²) + 8(a − γ)³ = 0.

उत्तर: तीन में से दो अभिलंब ठीक तब संपाती होते हैं जब (α, β, γ) पृष्ठ 27a(x² + y²) + 8(a − z)³ = 0 पर हो; अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 9 (UPSC 2019, 15 अंक): बिंदु P से गुजरने वाली दीर्घवृत्तज
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
की अभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि अगर यह 4PG₃ के समान है, जहाँ G₃ वह बिंदु है जहाँ P से गुजरने वाली अभिलंब जीवा xy-तल पर मिलती है, तो P शंकु
(x²/a⁶)(2c² − a²) + (y²/b⁶)(2c² − b²) + z²/c⁴ = 0
पर स्थित है।

माना P(x₁, y₁, z₁) पर अभिलंब की दिक्-कोज्याएँ (l, m, n) = p(x₁/a², y₁/b², z₁/c²) हैं, जहाँ 1/p² = ∑x₁²/a⁴. इस पर दूरी r पर बिंदु (x₁ + lr, y₁ + mr, z₁ + nr) है।

यह दीर्घवृत्तज पर है जब 2r∑(lx₁/a²) + r²∑(l²/a²) = 0. यहाँ ∑lx₁/a² = p∑x₁²/a⁴ = 1/p और ∑l²/a² = p²∑x₁²/a⁶.

अतः अभिलंब जीवा की लंबाई |r| = 2/(p³∑x₁²/a⁶) है।

अभिलंब z = 0 से वहाँ मिलता है जहाँ z₁ + nr = 0, अर्थात r = −z₁/n = −c²/p, अतः PG₃ = c²/p.

जीवा = 4PG₃ से 2/(p³∑x₁²/a⁶) = 4c²/p, अर्थात ∑x₁²/a⁴ = 2c²∑x₁²/a⁶ (1/p² = ∑x₁²/a⁴ का प्रयोग कर)।

पदों को एकत्र करने पर: (x₁²/a⁶)(2c² − a²) + (y₁²/b⁶)(2c² − b²) + z₁²(2c² − c²)/c⁶ = 0.

उत्तर: अभिलंब जीवा = 2/(p³∑x₁²/a⁶), और P शंकु (x²/a⁶)(2c² − a²) + (y²/b⁶)(2c² − b²) + z²/c⁴ = 0 पर है; अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 10 (UPSC 2022, 20 अंक): यदि P, Q, R; P′, Q′, R′, एक बिन्दु से दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 पर छः (सिक्स) अभिलम्ब पाद हैं तथा lx + my + nz = p से समतल PQR निरूपित है, दर्शाइए कि x/(a²l) + y/(b²m) + z/(c²n) + 1/p = 0, समतल P′Q′R′ को निरूपित करता है।

माना अभिलंब (α, β, γ) से खींचे गए हैं। पाद (x, y, z) के लिए a²α/x − a² = b²β/y − b² = c²γ/z − c² (= λ), अतः छहों पाद दीर्घवृत्तज S ≡ ∑x²/a² − 1 = 0 और तीन शांकवजों f₁ ≡ (b² − c²)yz + c²γy − b²βz = 0, f₂ ≡ (c² − a²)zx + a²αz − c²γx = 0, f₃ ≡ (a² − b²)xy + b²βx − a²αy = 0 पर हैं।

माना P′Q′R′ है l′x + m′y + n′z = p′. समतल-युग्म (lx + my + nz − p)(l′x + m′y + n′z − p′) = 0 छहों पादों से होकर जाता है; मानक तर्क (शांति नारायण) इसे पादों से होकर जाने वाले शांकवज कुल kS + k₁f₁ + k₂f₂ + k₃f₃ = 0 के एक सदस्य के रूप में पहचानता है।

f_i में x², y², z² या अचर पद नहीं हैं। x², y², z² और अचर पदों की तुलना से: ll′ = k/a², mm′ = k/b², nn′ = k/c² और pp′ = −k.

अतः l′ = −pp′/(a²l), m′ = −pp′/(b²m), n′ = −pp′/(c²n), और l′x + m′y + n′z = p′ बनता है −pp′[x/(a²l) + y/(b²m) + z/(c²n)] = p′.

उत्तर: −pp′ से भाग देने पर समतल P′Q′R′ है x/(a²l) + y/(b²m) + z/(c²n) + 1/p = 0; अतः सिद्ध हुआ (छह परिकलित पादों से संख्यात्मक जाँच इसकी पुष्टि करती है)।

16. जनक रेखाएँ: पिछले प्रश्न

पृष्ठ F = 0 के बिंदु (x₁, y₁, z₁) से होकर जनक रेखाओं की सीधी विधि: F में (x₁ + lr, y₁ + mr, z₁ + nr) रखें और r तथा r² के गुणांक शून्य करें; इससे l : m : n के लिए दो समीकरण और अतः दो जनक रेखाएँ मिलती हैं।

पृष्ठ UV = kz के लिए, जहाँ U, V रैखिक हैं (अतिपरवलयिक परवलयज), दोनों निकाय U = λ, λV = kz और V = μ, μU = kz हैं।

x²/a² − y²/b² = 2z के दोनों निकायों की जनक रेखाओं की दिशाएँ (a, b, λ) और (a, −b, μ) हैं, जहाँ उनके उभयनिष्ठ बिंदु पर λ = x/a − y/b और μ = x/a + y/b.

उदाहरण 11 (UPSC 2014, 15 अंक): अतिपरवलयज के समतल z = 0 के द्वारा मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड x²/a² + y²/b² = 1, z = 0 के कोई बिन्दु (a cos θ, b sin θ, 0) में से दो जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु P(a cos θ, b sin θ, 0) पृष्ठ x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 पर है। समीकरण में (a cos θ + lr, b sin θ + mr, nr) रखें।

r का गुणांक: (l cos θ)/a + (m sin θ)/b = 0, अतः l/a : m/b = sin θ : −cos θ, अर्थात l = ka sin θ, m = −kb cos θ.

r² का गुणांक: l²/a² + m²/b² − n²/c² = 0 से k² = n²/c², अतः n = ±kc.

उत्तर: (x − a cos θ)/(a sin θ) = (y − b sin θ)/(−b cos θ) = z/(±c).

उदाहरण 12 (UPSC 2018, 13 अंक): परवलयज (x + y + z)(2x + y − z) = 6z की उन जनक रेखाओं के समीकरणों को ज्ञात कीजिये, जो बिन्दु (1, 1, 1) में से गुजरती हैं।

U = x + y + z, V = 2x + y − z लिखें, अतः UV = 6z; (1, 1, 1) पर U = 3, V = 2 और UV = 6 = 6z, अतः बिंदु पृष्ठ पर है।

निकाय U = λ, λV = 6z: λ = 3 से x + y + z = 3, 3(2x + y − z) = 6z, अर्थात 2x + y − 3z = 0; दिशा (1, 1, 1) × (2, 1, −3) = (−4, 5, −1).

निकाय V = μ, μU = 6z: μ = 2 से 2x + y − z = 2, 2(x + y + z) = 6z, अर्थात x + y − 2z = 0; दिशा (2, 1, −1) × (1, 1, −2) = (−1, 3, 1).

उत्तर: (x − 1)/4 = (y − 1)/(−5) = (z − 1)/1 और (x − 1)/(−1) = (y − 1)/3 = (z − 1)/1 (जाँच: (5, −4, 2) और (0, 4, 2) पृष्ठ पर हैं)।

उदाहरण 13 (UPSC 2020, 15 अंक): अतिपरवलयिक परवलयज x²/a² − y²/b² = 2z के लांबिक जनकों के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ निकालिए।

λ-निकाय: x/a − y/b = λ, λ(x/a + y/b) = 2z; इसकी दिशा (1/a, −1/b, 0) × (λ/a, λ/b, −2) है, जो (a, b, λ) के समानुपाती है।

μ-निकाय: x/a + y/b = μ, μ(x/a − y/b) = 2z; इसकी दिशा (a, −b, μ) के समानुपाती है।

पृष्ठ के बिंदु (x, y, z) से होकर दोनों जनक रेखाओं के लिए λ = x/a − y/b, μ = x/a + y/b, अतः λμ = x²/a² − y²/b² = 2z.

वे लंब हैं जब a² − b² + λμ = 0, अर्थात 2z = b² − a².

उत्तर: बिंदुपथ वक्र x²/a² − y²/b² = b² − a², 2z = b² − a² है (पृष्ठ का समतल 2z + a² − b² = 0 द्वारा परिच्छेद)।

उदाहरण 14 (UPSC 2026, 10 अंक): (i) अतिपरवलयज x²/4 + y²/9 − z²/16 = 1 की उन जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (2, 3, −4) और (2, −1, 4/3) से होकर जाती हैं।

(2, 3, −4) से होकर (इस विषय का उदाहरण 2): x = 2, (y − 3)/(−3) = (z + 4)/4 और (x − 2)/1 = (y − 3)/0 = (z + 4)/(−2).

(2, −1, 4/3) पर: x/2 = 1, y/3 = −1/3, z/4 = 1/3. λ-निकाय x/2 − z/4 = λ(1 − y/3): 2/3 = (4/3)λ, अतः λ = 1/2; रेखा 6x + 2y − 3z = 6, 6x − 8y + 3z = 24 है, दिशा (3, 6, 10).

μ-निकाय x/2 − z/4 = μ(1 + y/3): 2/3 = (2/3)μ, अतः μ = 1; रेखा x/2 − z/4 = 1 + y/3, x/2 + z/4 = 1 − y/3 है, अर्थात x = 2, 4y + 3z = 0.

दूसरी रेखा (2, 3, −4) से होकर जनक रेखा x = 2, (y − 3)/(−3) = (z + 4)/4 ही है: दोनों दिए गए बिंदु एक ही उभयनिष्ठ जनक रेखा पर हैं।

उत्तर: (2, 3, −4) से होकर: x = 2, (y − 3)/(−3) = (z + 4)/4 और (x − 2)/1 = (y − 3)/0 = (z + 4)/(−2); (2, −1, 4/3) से होकर: (x − 2)/3 = (y + 1)/6 = (z − 4/3)/10 और x = 2, (y + 1)/3 = (z − 4/3)/(−4).

17. अन्वालोप, वृत्तीय परिच्छेद और परिच्छेदों के क्षेत्रफल

किसी समतल में एक-प्राचल कुल f(x, y, m) = 0 का अन्वालोप (envelope): f = 0 और ∂f/∂m = 0 के बीच m का विलोपन करें।

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 (a > b > c) के वृत्तीय परिच्छेद (circular sections): S = x²/a² + y²/b² + z²/c² − 1 लेने पर S − (x² + y² + z² − b²)/b² = 0 मध्य अक्ष से होकर वास्तविक समतल-युग्म za√(b² − c²) = ±xc√(a² − b²) है; ये दीर्घवृत्तज को त्रिज्या b के वृत्तों में काटते हैं, और इनमें से किसी के समांतर प्रत्येक समतल इसे एक वृत्त में काटता है।

यह क्यों कार्य करता है: दीर्घवृत्तज पर S = 0, अतः जब कोई समतल S − (x² + y² + z² − b²)/b² = 0 का भाग हो, तो उसके द्वारा काटा गया वक्र x² + y² + z² = b² पर भी है; गोले पर स्थित समतल परिच्छेद एक वृत्त होता है। λ = 1/b² लेने पर y² पद लुप्त हो जाता है और शेष x², z² पदों के चिह्न विपरीत होते हैं, अतः समीकरण वास्तविक समतलों में गुणनखंडित होता है।

नाभि-बिंदु (umbilics) (जहाँ स्पर्श तल किसी वृत्तीय परिच्छेद के समांतर हो): (±a√((a² − b²)/(a² − c²)), 0, ±c√((b² − c²)/(a² − c²))), चार वास्तविक बिंदु।

दीर्घवृत्तज के lx + my + nz = 0 (l, m, n दिक्-कोज्याएँ) द्वारा केंद्रीय परिच्छेद का क्षेत्रफल: πabc/√(a²l² + b²m² + c²n²).

उदाहरण 15 (UPSC 2015, 13 अंक): यदि परवलयज x² + y² = 2z पर दो लम्बवत् स्पर्शीय समतल एक सीधी रेखा में, जो समतल x = 0 में, पर काटते हैं। उस वक्र को प्राप्त कीजिए जिस पर वह सीधी रेखा स्पर्श करती है।

z = (x² + y²)/2 का स्पर्श तल z = lx + my − (l² + m²)/2 है, जिसका अभिलंब (l, m, −1) है।

ऐसे दो समतल (l₁, m₁) और (l₂, m₂) x = 0 में स्थित रेखा में तभी मिलते हैं जब x = 0 पर उनके अनुरेख संपाती हों: m₁ = m₂ = m और l₁² = l₂², अतः भिन्न समतलों के लिए l₂ = −l₁ = −l.

लंब: l₁l₂ + m₁m₂ + 1 = −l² + m² + 1 = 0, अतः l² = m² + 1. उभयनिष्ठ रेखा x = 0, z = my − (2m² + 1)/2 है।

समतल x = 0 में अन्वालोप: m के सापेक्ष अवकलन से 0 = y − 2m, अतः m = y/2 और z = y²/2 − y²/4 − 1/2.

उत्तर: रेखा सदैव परवलय y² = 4z + 2, x = 0 को स्पर्श करती है।

18. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): पृष्ठ 4x² − y² + 2z² = −4 का नाम बताइए।

उत्तर: −4 से भाग देने पर −x² + y²/4 − z²/2 = 1, दो ऋण चिह्नों के साथ: y-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाला द्वि-पृष्ठी अतिपरवलयज।

अभ्यास 2 (मूल): पृष्ठ x² − 4y² = 6z का नाम बताइए और उसके परिच्छेदों z = k का वर्णन कीजिए।

उत्तर: अतिपरवलयिक परवलयज; z = k से k ≠ 0 के लिए अतिपरवलय और k = 0 के लिए रेखा-युग्म x = ±2y.

अभ्यास 3 (मूल): 3x² − y² + 2z² = 4 का (1, 1, 1) पर स्पर्श तल लिखिए।

उत्तर: बिंदु पृष्ठ पर है (3 − 1 + 2 = 4), और प्रतिस्थापन नियम से 3x − y + 2z = 4.

अभ्यास 4 (मानक): दिखाइए कि समतल x + 2y + 2z = 6 दीर्घवृत्तज x² + 2y² + 4z² = 9 को स्पर्श करता है, और स्पर्श बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a = 1/9, b = 2/9, c = 4/9 के साथ: 9 + 18 + 9 = 36 = 6²; स्पर्श बिंदु (l/(ap), m/(bp), n/(cp)) = (3/2, 3/2, 3/4) है।

अभ्यास 5 (मानक): x² − 2y² + 3z² = 2 के वे स्पर्श तल, स्पर्श बिंदुओं सहित, ज्ञात कीजिए जो x − 2y + 3z = 0 के समांतर हैं।

उत्तर: a = 1/2, b = −1, c = 3/2, अतः p² = 2 − 4 + 6 = 4: x − 2y + 3z = ±2, जो (1, 1, 1) और (−1, −1, −1) पर स्पर्श करते हैं।

अभ्यास 6 (मानक): k के किस मान के लिए समतल 2x + 4y + z = k परवलयज x² + 2y² = 2z को स्पर्श करता है? स्पर्श बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a = 1, b = 2: 4 + 8 + 2k = 0, अतः k = −6; स्पर्श बिंदु (−l/(an), −m/(bn), −p/n) = (−2, −2, 6) है।

अभ्यास 7 (मानक): दीर्घवृत्तज 2x² + 3y² + 6z² = 6 का नियामक गोला ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दीर्घवृत्तज x²/3 + y²/2 + z²/1 = 1 है, अतः नियामक गोला x² + y² + z² = 3 + 2 + 1 = 6 है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): बिंदु (2, 1, 3) से होकर अतिपरवलयज x²/4 + y² − z²/9 = 1 की जनक रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: λ-निकाय से λ = 1: x/2 − z/3 = 1 − y, x/2 + z/3 = 1 + y, अर्थात x = 2, (y − 1)/1 = (z − 3)/3; μ-निकाय से μ = 0: y = 1, x/2 = z/3, अर्थात (x − 2)/2 = (y − 1)/0 = (z − 3)/3.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): (3, 1, 2) से होकर अतिपरवलयिक परवलयज x² − y² = 4z की दो जनक रेखाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (x − y)(x + y) = 4z से: x − y = 2, x + y = 2z, अर्थात (x − 3)/1 = (y − 1)/1 = (z − 2)/1; और x + y = 4, x − y = z, अर्थात (x − 3)/1 = (y − 1)/(−1) = (z − 2)/2.

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): परवलयज 2x² + 3y² = 6z के तीन परस्पर लंब स्पर्श तलों के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: परवलयज (2/3)x² + y² = 2z है, अतः a = 2/3, b = 1 और नियामक तल 2z + 3/2 + 1 = 0, अर्थात 4z + 5 = 0 है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): उस शांकव का केंद्र ज्ञात कीजिए जिसमें समतल x + y + z = 1 दीर्घवृत्तज x²/4 + y²/9 + z² = 1 को काटता है।

उत्तर: T = S₁ दिया गया समतल होना चाहिए, अतः α/4 = β/9 = γ = k; केंद्र समतल पर है, 14k = 1, अतः केंद्र (2/7, 9/14, 1/14) है।

1. द्वितीय घात समीकरण के आव्यूह को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: 2x² − y² + 3z² + 4xy − 6yz + 2x − 8z + 7 = 0 जैसा समीकरण अपनी आकृति छिपाता है, क्योंकि गुणन पद उसे झुकाते हैं और रैखिक पद उसे खिसकाते हैं। गुणांकों को आव्यूह (matrix) के रूप में लिखने से "यह कौन-सा पृष्ठ है?" आइगेन मानों और सारणिकों के प्रश्न बन जाता है, जिनके उत्तर यांत्रिक हैं।

शब्दों में: द्विघाती भाग ax² + by² + cz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy, सममित आव्यूह A = [[a, h, g], [h, b, f], [g, f, c]] के लिए X^TAX के बराबर है: वर्ग विकर्ण पर जाते हैं और प्रत्येक गुणन गुणांक का आधा दोनों सममित स्थानों में से प्रत्येक में जाता है। 4 × 4 आव्यूह E में रैखिक गुणांकों के आधे (u, v, w) का स्तंभ और अचर d जुड़ते हैं। D = det A और Δ = det E.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 2x² − y² + 3z² + 4xy − 6yz + 2x − 8z + 7 = 0 के लिए A, E और D लिखिए।

चरण 1 (वर्ग): a = 2, b = −1, c = 3.

चरण 2 (गुणन पद, आधे करके): 4xy से h = 2; −6yz से f = −3; zx पद नहीं है, अतः g = 0. अतः A = [[2, 2, 0], [2, −1, −3], [0, −3, 3]].

चरण 3 (रैखिक पद, आधे करके): 2x से u = 1, y पद नहीं है अतः v = 0, और −8z से w = −4; d = 7. अतः E = [[2, 2, 0, 1], [2, −1, −3, 0], [0, −3, 3, −4], [1, 0, −4, 7]].

चरण 4: D = 2(−3 − 9) − 2(6 − 0) + 0 = −36 (और Δ = −192)। X^TAX का विस्तार कर आव्यूह जाँचें: xy प्रविष्टियाँ 2 + 2 = 4xy और yz प्रविष्टियाँ −3 − 3 = −6yz देती हैं, जो समीकरण से मेल खाती हैं।

अ-उदाहरण (non-example): xy स्थानों में पूरा गुणांक 4 रखने पर, A = [[2, 4, 0], [4, −1, −3], ...], X^TAX में 4xy नहीं, 8xy आएगा: वह आव्यूह किसी भिन्न पृष्ठ का है, और उससे निकाला गया प्रत्येक आइगेन मान गलत है। प्रत्येक विकर्णेतर प्रविष्टि गुणांक का आधा है।

आगे बढ़ते हुए: आव्यूह रूप में F = X^TAX + 2b^TX + d, जहाँ b = (u, v, w)^T, और F = (X, 1)E(X, 1)^T. घूर्णन X = PY (P लांबिक) A को P^TAP में बदलता है, और मूलबिंदु का स्थानांतरण केवल b और d बदलता है। अतः जो कुछ इन संक्रियाओं से नहीं बदलता, A के आइगेन मान, D और Δ, वह चुने गए अक्षों का नहीं, स्वयं पृष्ठ का वर्णन करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: समानयन का प्रत्येक प्रश्न यहीं से आरंभ होता है; यही आव्यूह समतल-युग्म (D = 0), शंकु परीक्षणों, शंकुओं के स्पर्श प्रतिबंधों (A के सहखंड) और चरम मानों के हेसियन परीक्षण में आता है।

2. व्यापक समीकरण

F(x, y, z) = ax² + by² + cz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0, तीन चरों में द्वितीय घात समीकरण (second degree equation) है। इसके द्विघाती भाग का सममित आव्यूह A = [[a, h, g], [h, b, f], [g, f, c]] है।

भाव: X = (x, y, z)^T और b = (u, v, w)^T के साथ F = X^TAX + 2b^TX + d. गुणन पद इसलिए हैं क्योंकि निर्देशांक अक्ष पृष्ठ के सममिति अक्षों के सापेक्ष झुके हुए हैं; रैखिक पद इसलिए हैं क्योंकि मूलबिंदु केंद्र पर नहीं है।

F का 4 × 4 आव्यूह E = [[a, h, g, u], [h, b, f, v], [g, f, c, w], [u, v, w, d]] है; D = det A और Δ = det E लिखें।

भाव: E समघाती निर्देशांकों में F का आव्यूह है: F = (x, y, z, 1) E (x, y, z, 1)^T. D द्विघाती भाग के आकार को नियंत्रित करता है; Δ रैखिक पदों और अचर को भी समाहित करता है, और तय करता है कि पृष्ठ अपभ्रष्ट (शंकु, बेलन, समतल) है या नहीं।

3. मुख्य अक्षों तक घूर्णन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: गुणन पद केवल आयतीय अक्षों के एक विशेष समुच्चय में लुप्त होते हैं, जो पृष्ठ के मुख्य अक्ष (principal axes) हैं। इन्हें ज्ञात करना आइगेन मान समस्या है, और आइगेन मान X², Y², Z² के गुणांक बन जाते हैं।

शब्दों में: A का आइगेन सदिश (eigenvector) e, जिसका आइगेन मान λ है, Ae = λe को संतुष्ट करता है: उस दिशा में द्विघाती रूप वर्ग-लंबाई को केवल λ से गुणा करता है। वास्तविक सममित A के तीन वास्तविक आइगेन मान और तीन परस्पर लंब इकाई आइगेन सदिश होते हैं; इन इकाई सदिशों को नए अक्ष लेने से प्रत्येक गुणन पद हट जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 2x² + 2y² + 5z² + 2xy = 6 का समानयन कीजिए।

चरण 1: A = [[2, 1, 0], [1, 2, 0], [0, 0, 5]]. त्रिघात के गुणांक a + b + c = 9, bc + ca + ab − h² = 10 + 10 + 4 − 1 = 23 और D = 5(4 − 1) = 15 हैं: λ³ − 9λ² + 23λ − 15 = (λ − 1)(λ − 3)(λ − 5).

चरण 2 (आइगेन सदिश): λ = 1: (1, −1, 0); λ = 3: (1, 1, 0); λ = 5: (0, 0, 1). प्रसामान्यीकरण करें: (1, −1, 0)/√2, (1, 1, 0)/√2, (0, 0, 1). ध्यान दें कि वे परस्पर लंब हैं, जैसा सिद्धांत बताता है।

चरण 3: इन अक्षों में समीकरण X² + 3Y² + 5Z² = 6 है, तीनों दिशाओं के अनुदिश अर्ध-अक्षों √6, √2, √(6/5) वाला दीर्घवृत्तज।

चरण 4 (एक अक्ष की जाँच): (1, 1, 0)/√2 के अनुदिश दूरी √2 पर बिंदु (1, 1, 0) है, और 2 + 2 + 0 + 2 = 6, अतः यह पृष्ठ पर है, जैसा Y = √2 बताता है। निश्चर भी जाँचें: 1 + 3 + 5 = 9 = अनुरेख और 1 · 3 · 5 = 15 = D.

अ-उदाहरण (non-example): अप्रसामान्यीकृत सदिश (1, 1, 0) से घुमाने, अर्थात (x, y, z) = Y(1, 1, 0) रखने पर 3Y² के स्थान पर 2Y² + 2Y² + 2Y² = 6Y² मिलता है: गुणांक दुगना हो जाता है क्योंकि |(1, 1, 0)|² = 2. केवल इकाई आइगेन सदिश घूर्णन देते हैं, और केवल घूर्णन आकृति सुरक्षित रखता है।

आगे बढ़ते हुए: P = [e₁ e₂ e₃] लांबिक होने पर AP = P diag(λ₁, λ₂, λ₃), अतः P^TAP विकर्ण है और X^TAX = λ₁X² + λ₂Y² + λ₃Z². सममित आव्यूह के भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश स्वतः लंब होते हैं; पुनरावृत्त आइगेन मान के लिए उसके आइगेन तल का कोई भी प्रसामान्य लांबिक युग्म चलता है, और पृष्ठ परिक्रमण पृष्ठ होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: केंद्रीय शांकवजों के मुख्य अक्ष और अर्ध-अक्ष, परिक्रमण पृष्ठों के अक्ष, झुके रूप में दिए गए लंब वृत्तीय शंकु और बेलन, और रैखिक बीजगणित के विकर्णीकरण प्रश्न।

4. समानयन विधि

चरण 1 (xy, yz, zx पद हटाना): विविक्तकर त्रिघात λ³ − (a + b + c)λ² + (bc + ca + ab − f² − g² − h²)λ − D = 0 से A के आइगेन मान (eigenvalues) λ₁, λ₂, λ₃ ज्ञात करें। मूल वास्तविक हैं, क्योंकि A वास्तविक सममित है।

यह क्यों कार्य करता है: वर्णक्रमीय प्रमेय (spectral theorem) से वास्तविक सममित आव्यूह के आइगेन मान (eigenvalues) वास्तविक होते हैं और आइगेन सदिशों का एक प्रसामान्य लांबिक आधार होता है। मान लें P वह लांबिक आव्यूह है जिसके स्तंभ ये आइगेन सदिश हैं, और X = PY रखें। तब X^TAX = Y^T(P^TAP)Y = λ₁Y₁² + λ₂Y₂² + λ₃Y₃². चूँकि P लांबिक है, परिवर्तन X = PY एक घूर्णन (या परावर्तन) है और लंबाइयों या आकार को नहीं बदलता।

प्रसामान्य-लांबिक आइगेन सदिश (l_i, m_i, n_i) ज्ञात करें; ये मुख्य अक्षों की दिशाएँ देते हैं। अक्षों को इन दिशाओं में घुमाने से द्विघाती भाग λ₁X² + λ₂Y² + λ₃Z² बन जाता है।

यदि दो आइगेन मान बराबर हों, तो उनके आइगेन तल में कोई भी प्रसामान्य लांबिक युग्म चलेगा, और पृष्ठ तीसरे मुख्य अक्ष के परितः परिक्रमण पृष्ठ होता है।

चरण 2 (केंद्र): केंद्र विद्यमान है यदि F_x = F_y = F_z = 0, अर्थात ax + hy + gz + u = 0, hx + by + fz + v = 0, gx + fy + cz + w = 0 संगत हो। यदि D ≠ 0 तो केंद्र (x₀, y₀, z₀) अद्वितीय है।

भाव: केंद्र वह बिंदु है जहाँ F की प्रवणता शून्य होती है; उसके परितः पृष्ठ सममित है, क्योंकि X में रैखिक पद न होने पर F(x₀ + X) = F(x₀ − X).

मूलबिंदु को केंद्र पर ले जाने से λ₁X² + λ₂Y² + λ₃Z² + d′ = 0 मिलता है, जहाँ d′ = ux₀ + vy₀ + wz₀ + d = Δ/D. यह विहित रूप (canonical form) है।

d′ = Δ/D क्यों: Ax₀ = −b के साथ F(x₀ + X) = X^TAX + F(x₀) और F(x₀) = x₀^TAx₀ + 2b^Tx₀ + d = b^Tx₀ + d. खंड सारणिक सूत्र से Δ = det A · (d − b^TA⁻¹b) = D(d + b^Tx₀), अतः d′ = Δ/D.

चरण 3 (अद्वितीय केंद्र नहीं, D = 0): यदि एक आइगेन मान 0 हो, मान लें λ₃ = 0, तो घुमाए गए निर्देशांकों में रैखिक पदों के गुणांक 2(ul_i + vm_i + wn_i) हैं; वर्ग पूर्ण करने पर λ₁X² + λ₂Y² = 2kZ मिलता है, एक परवलयज (या k = 0 हो तो बेलन)।

परवलयज λ₁X² + λ₂Y² = 2kZ के लिए k² = −Δ/(λ₁λ₂).

k² = −Δ/(λ₁λ₂) क्यों: Δ घूर्णन और स्थानांतरण से नहीं बदलता। घूर्णन के बाद 4 × 4 आव्यूह [[λ₁, 0, 0, p₁], [0, λ₂, 0, p₂], [0, 0, 0, p₃], [p₁, p₂, p₃, d]] है, जिसका सारणिक −λ₁λ₂p₃² है। वर्ग पूरे करने पर λ₁X² + λ₂Y² + 2p₃Z = 0 बचता है, अतः k = −p₃ और k² = p₃² = −Δ/(λ₁λ₂).

5. केंद्र, d′ और वर्गीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: घूर्णन के बाद रैखिक पद बचे रहते हैं; उनका अर्थ है कि पृष्ठ का केंद्र मूलबिंदु पर नहीं है। मूलबिंदु को केंद्र पर ले जाने से λ₁X² + λ₂Y² + λ₃Z² + d′ = 0 बचता है, और λ के चिह्न d′ के साथ पृष्ठ का नाम बताते हैं।

शब्दों में: केंद्र वह बिंदु है जहाँ F के तीनों प्रथम आंशिक अवकलज शून्य हों; D ≠ 0 होने पर ठीक एक केंद्र होता है। नया अचर d′ केंद्र पर F का मान है, और इसे केंद्र के बिना भी d′ = Δ/D से ज्ञात किया जा सकता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: d = 5, 11 और 17 के लिए 2x² + 2y² + 5z² + 2xy − 6x − 6y − 10z + d = 0 का वर्गीकरण कीजिए।

चरण 1 (केंद्र): अर्ध-अवकलज 2x + y − 3 = 0, x + 2y − 3 = 0, 5z − 5 = 0 से केंद्र (1, 1, 1) मिलता है।

चरण 2 (d′): d′ = ux₀ + vy₀ + wz₀ + d = −3 − 3 − 5 + d = d − 11. (Δ/D से जाँच: d = 5 के लिए Δ = −90 और D = 15, अतः Δ/D = −6.)

चरण 3 (वर्गीकरण): द्विघाती भाग ऊपर समानीत किया गया वही है, आइगेन मान 1, 3, 5. d = 5 के लिए: X² + 3Y² + 5Z² = 6, दीर्घवृत्तज। d = 11 के लिए: X² + 3Y² + 5Z² = 0, केवल बिंदु (1, 1, 1) (वास्तविक शीर्ष वाला काल्पनिक शंकु)। d = 17 के लिए: X² + 3Y² + 5Z² = −6, कोई वास्तविक बिंदु नहीं।

अ-उदाहरण (non-example): "सभी आइगेन मान धनात्मक हैं, अतः यह दीर्घवृत्तज है" कहना ऊपर d = 11 और d = 17 के लिए गलत है: उसी द्विघाती भाग से एक बिंदु और एक रिक्त समुच्चय मिला। आइगेन मान आकृति को केवल d′ के चिह्न और परिमाण तक निश्चित करते हैं; वर्गीकरण को दोनों चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: केंद्र x₀ पर Ax₀ = −b, अतः F(x₀ + X) = X^TAX + F(x₀): कोई रैखिक पद नहीं बचता, और पृष्ठ x₀ के परितः सममित है। तब खंड सारणिक से Δ = D · F(x₀) मिलता है, जो d′ = Δ/D है। विशेषतः D ≠ 0 के साथ Δ = 0 का अर्थ है d′ = 0, केंद्र पर शीर्ष वाला शंकु।

कहाँ प्रयोग होता है: पृष्ठ का नाम, उसका केंद्र और अर्ध-अक्ष बताना, और यह दिखाना कि कोई समीकरण शंकु है (Δ = 0) तथा उसका शीर्ष ज्ञात करना।

6. स्थिति D = 0 को समझना: परवलयज और बेलन

इसकी आवश्यकता क्यों: जब कोई आइगेन मान शून्य हो, तो पृष्ठ का कोई अद्वितीय केंद्र नहीं होता, और पिछले पाठ की विधि विफल हो जाती है। आगे क्या होता है यह इस पर निर्भर है कि रैखिक पदों का शून्य-आइगेन मान दिशा के अनुदिश घटक है या नहीं।

शब्दों में: मान लें n, आइगेन मान 0 वाला इकाई आइगेन सदिश है। यदि रैखिक भाग का n के अनुदिश शून्येतर घटक हो, तो अन्य दो दिशाओं में वर्ग पूर्ण करने पर λ₁X² + λ₂Y² = 2kZ बचता है, एक परवलयज, जहाँ k² = −Δ/(λ₁λ₂). यदि वह घटक शून्य हो, तो Z आता ही नहीं और पृष्ठ n के अनुदिश जनक रेखाओं वाला बेलन (या समतल-युग्म) है; तब Δ = 0.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x² + 2xy + y² + 2z² − 4x + 4y = 0 को पहचानिए।

चरण 1: A = [[1, 1, 0], [1, 1, 0], [0, 0, 2]] के आइगेन मान 2 ((1, 1, 0) के अनुदिश), 2 ((0, 0, 1) के अनुदिश) और 0 ((1, −1, 0) के अनुदिश) हैं। अतः D = 0.

चरण 2 (केंद्र?): x + y − 2 = 0 और x + y + 2 = 0 दोनों सत्य नहीं हो सकते, अतः कोई केंद्र नहीं है।

चरण 3 (घूर्णन): X = (x + y)/√2, Z = (x − y)/√2 रखें और z को वैसा रखें। तब (x + y)² = 2X² और −4x + 4y = −4√2 Z, अतः 2X² + 2z² = 4√2 Z: दीर्घवृत्तीय परवलयज, वास्तव में परिक्रमण वाला क्योंकि दोनों शून्येतर आइगेन मान बराबर हैं।

चरण 4 (निश्चरों से जाँच): यहाँ 2k = 4√2, अतः k² = 8, और −Δ/(λ₁λ₂) = 32/4 = 8, क्योंकि Δ = −32.

अ-उदाहरण (non-example): रैखिक भाग को −4x − 4y कर दें। अब यह (1, 1, 0) के अनुदिश है और शून्य दिशा (1, −1, 0) के अनुदिश इसका कोई घटक नहीं। केंद्र समीकरण x + y − 2 = 0 (दो बार) और z = 0 संगत हैं (केंद्रों की रेखा), Δ = 0, और समीकरण 2(X − √2)² + 2z² = 4 बनता है: त्रिज्या √2 वाला वृत्तीय बेलन, परवलयज नहीं।

आगे बढ़ते हुए: सूत्र k² = −Δ/(λ₁λ₂) इस तथ्य से आता है कि Δ घूर्णन और स्थानांतरण से नहीं बदलता (व्युत्पत्ति समानयन विधि खंड में)। शीर्ष वर्ग पूर्ण करके मिलता है: X = Y = 0 और Z का वह मान जो अचर को हटा दे। दो शून्य आइगेन मानों के साथ द्विघाती भाग पूर्ण वर्ग होता है, और पृष्ठ परवलयिक बेलन या समांतर समतलों का युग्म होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: अक्ष और शीर्ष सहित परवलयज समानयन, झुके रूप में लंब वृत्तीय बेलन, और समतल-युग्म।

7. आइगेन मानों द्वारा वर्गीकरण

केंद्रीय रूप को λ₁X² + λ₂Y² + λ₃Z² = −d′ लिखें।

सभी λ_i का चिह्न −d′ के समान: दीर्घवृत्तज (सभी बराबर हों तो गोला)। दो का चिह्न −d′ के समान और एक विपरीत: एक पृष्ठी अतिपरवलयज। एक का चिह्न −d′ के समान और दो विपरीत: द्वि पृष्ठी अतिपरवलयज। सभी का चिह्न −d′ के विपरीत: कोई वास्तविक बिंदु नहीं (काल्पनिक दीर्घवृत्तज)।

भाव: −d′ से भाग देने पर X²/A + Y²/B + Z²/C = 1 रूप मिलता है जहाँ A = −d′/λ₁, इत्यादि; ऋणात्मक हरों की संख्या पत्रकों की संख्या है, ठीक शांकवज विषय की तरह। कौन-से चिह्न आते हैं, यह किसी भी आयतीय अक्ष-परिवर्तन से नहीं बदल सकता (सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम)।

d′ = 0 (Δ = 0, D ≠ 0): शंकु, जो वास्तविक है यदि सभी λ_i एक ही चिह्न के न हों।

एक λ_i = 0: Δ ≠ 0 हो तो दीर्घवृत्तीय परवलयज (शेष दो समान चिह्न) या अतिपरवलयिक परवलयज (विपरीत चिह्न); Δ = 0 हो तो दीर्घवृत्तीय या अतिपरवलयिक बेलन, या समतल युग्म।

दो λ_i = 0: परवलयिक बेलन या समांतर समतलों का युग्म।

आयतीय अक्षों के परिवर्तन के अंतर्गत निश्चर: a + b + c, bc + ca + ab − f² − g² − h², D और Δ.

ये निश्चर क्यों हैं: X = PY + x₀ के अंतर्गत आव्यूह A, P^TAP बन जाता है, जिसका अभिलाक्षणिक बहुपद वही है, अतः विविक्तकर त्रिघात के गुणांक a + b + c, bc + ca + ab − f² − g² − h² और D नहीं बदलते। E सारणिक ±1 वाले 4 × 4 आव्यूह से रूपांतरित होता है, अतः Δ भी नहीं बदलता।

8. विधि का चयन

यदि xy, yz, zx पद न हों → सीधे वर्ग पूरे करें; आइगेन मानों की आवश्यकता नहीं।

यदि D ≠ 0 → F_x = F_y = F_z = 0 से केंद्र ज्ञात करें, d′ = ux₀ + vy₀ + wz₀ + d परिकलित करें और Δ/D से जाँचें; Δ = 0 का अर्थ है केंद्र पर शीर्ष वाला शंकु।

यदि D = 0 और केंद्र समीकरण संगत हों → केंद्रों की रेखा (या तल): बेलन या समतल युग्म। यदि D = 0, ठीक एक आइगेन मान शून्य हो और वे असंगत हों → परवलयज, जहाँ k² = −Δ/(λ₁λ₂); दो आइगेन मान शून्य हों और समीकरण असंगत हों तो यह परवलयिक बेलन है (जैसे x² = y)।

यदि केवल पृष्ठ का नाम पूछा जाए → विविक्तकर त्रिघात से आइगेन मानों के चिह्न (सभी मूल वास्तविक हैं, अतः देकार्त का चिह्न नियम धनात्मक मूलों की ठीक गिनती देता है), साथ में Δ; आइगेन सदिशों की आवश्यकता नहीं।

यदि "लंब वृत्तीय" बेलन या शंकु, या परिक्रमण पृष्ठ, दिखाना हो → दिखाएँ कि दो आइगेन मान बराबर हैं; अक्ष तीसरे के आइगेन सदिश के अनुदिश है।

यदि द्विघाती भाग पूर्ण वर्ग हो (कोटि 1, दो शून्य आइगेन मान) → परवलयिक बेलन या समांतर समतल युग्म।

9. सामान्य गलतियाँ

आव्यूह में xy का पूरा गुणांक रखना: प्रविष्टियाँ गुणांकों की आधी हैं, h = (xy का गुणांक)/2, f = (yz का गुणांक)/2, g = (zx का गुणांक)/2, और इसी प्रकार u, v, w, x, y, z के गुणांकों के आधे हैं।

ऐसे आइगेन सदिशों से घुमाना जो प्रसामान्यीकृत नहीं हैं, जिससे अक्षों का पैमाना बदल जाता है और गुणांक बदल जाते हैं।

किसी आइगेन मान को गलत आइगेन सदिश से जोड़ना, जिससे मुख्य अक्ष गलत क्रम में लिखे जाते हैं।

केवल λ_i के चिह्नों से वर्गीकरण करना; −d′ का चिह्न (या Δ = 0 है या नहीं) भी ध्यान में रखना आवश्यक है।

D = 0 होने पर अद्वितीय केंद्र हल करने का प्रयास करना।

10. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: यह विषय ज्यामिति में लागू वास्तविक सममित आव्यूह का विकर्णीकरण है (रैखिक बीजगणित: आइगेन मान, लांबिक आव्यूह, द्विघाती रूप)।

संबंध: f(x, y, z) के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ में हेसियन आव्यूह भी वास्तविक सममित है, और उसके आइगेन मानों के चिह्न क्रांतिक बिंदु को यहाँ की तरह ही वर्गीकृत करते हैं (कलन); दो विमाओं में यही विधि शांकवों को ab − h² से वर्गीकृत करती है।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 3x² + 5y² + 3z² + 2yz + 2zx + 2xy − 4x − 8z + 5 = 0 को विहित रूप में समानीत करें।

A = [[3, 1, 1], [1, 5, 1], [1, 1, 3]]: विविक्तकर त्रिघात λ³ − 11λ² + 36λ − 36 = 0 है, अर्थात (λ − 2)(λ − 3)(λ − 6) = 0.

मुख्य दिशाएँ: λ = 2: (1, 0, −1)/√2; λ = 3: (1, −1, 1)/√3; λ = 6: (1, 2, 1)/√6.

केंद्र: 3x + y + z − 2 = 0, x + 5y + z = 0, x + y + 3z − 4 = 0 से (1/3, −1/3, 4/3).

d′ = ux₀ + vy₀ + wz₀ + d = (−2)(1/3) + 0 + (−4)(4/3) + 5 = −1.

विहित रूप: 2X² + 3Y² + 6Z² = 1, एक दीर्घवृत्तज जिसके अर्ध-अक्ष 1/√2, 1/√3, 1/√6 केंद्र से होकर मुख्य दिशाओं के अनुदिश हैं।

उदाहरण 2: पृष्ठ 4x² − y² − z² + 2yz − 8x − 4y + 8z − 2 = 0 की पहचान करें।

[[4, 0, 0], [0, −1, 1], [0, 1, −1]] के आइगेन मान 4, −2, 0 हैं, अतः D = 0 और कोई अद्वितीय केंद्र नहीं है। Δ = 16 ≠ 0, अतः पृष्ठ परवलयज है, और k² = −Δ/(λ₁λ₂) = −16/(−8) = 2.

विहित रूप: 4X² − 2Y² = 2√2 Z, अर्थात 2X² − Y² = √2 Z, एक अतिपरवलयिक परवलयज।

उदाहरण 3: x² + y² + z² + 4yz + 4zx + 4xy − 10x − 10y − 10z + 12 = 0 को विहित रूप में समानीत करें और पृष्ठ का नाम बताएँ।

A = [[1, 2, 2], [2, 1, 2], [2, 2, 1]]; विविक्तकर त्रिघात λ³ − 3λ² − 9λ − 5 = (λ − 5)(λ + 1)² = 0 है, अतः λ = 5, −1, −1, और λ = 5 की दिशा (1, 1, 1) है।

केंद्र: x + 2y + 2z − 5 = 0 और इसके चक्रीय रूपों से x = y = z = 1. तब d′ = ux₀ + vy₀ + wz₀ + d = −5 − 5 − 5 + 12 = −3.

विहित रूप: 5X² − Y² − Z² = 3, अर्थात X²/(3/5) − Y²/3 − Z²/3 = 1: दो पृष्ठों वाला अतिपरवलयज, जो रेखा x = y = z के परितः परिक्रमण पृष्ठ है।

उदाहरण 4: सिद्ध करें कि x² + y² − z² + 4xy − 6x − 6y + 2z + 5 = 0 एक शंकु निरूपित करता है, और उसका शीर्ष तथा अर्ध-शीर्ष कोण ज्ञात करें।

F_x = F_y = F_z = 0 से x + 2y − 3 = 0, 2x + y − 3 = 0, −z + 1 = 0, अतः (1, 1, 1). यह बिंदु F = 0 को संतुष्ट करता है (1 + 1 − 1 + 4 − 6 − 6 + 2 + 5 = 0), अतः पृष्ठ शीर्ष (1, 1, 1) वाला शंकु है; समतुल्य रूप से Δ = 0 और D = 3 ≠ 0.

A = [[1, 2, 0], [2, 1, 0], [0, 0, −1]] का त्रिघात λ³ − λ² − 5λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1)² है, अतः λ = 3, −1, −1, और λ = 3 की दिशा (1, 1, 0) है।

शीर्ष को मूलबिंदु लेने पर: 3X² − Y² − Z² = 0, अर्थात Y² + Z² = 3X². यह लंब वृत्तीय शंकु है जिसका अक्ष (1, 1, 1) से होकर (1, 1, 0) की दिशा में है, और tan α = √3, अतः अर्ध-शीर्ष कोण 60° है।

उदाहरण 5: सिद्ध करें कि x² + y² + z² − yz − zx − xy = 3 एक लंब वृत्तीय बेलन है, और उसका अक्ष तथा त्रिज्या ज्ञात करें।

रेखा x = y = z से (x, y, z) की दूरी का वर्ग x² + y² + z² − (x + y + z)²/3 = (2/3)(x² + y² + z² − yz − zx − xy) है।

अतः समीकरण का अर्थ है कि यह वर्ग-दूरी (2/3)·3 = 2 है: बिंदुपथ अक्ष x = y = z और त्रिज्या √2 वाला लंब वृत्तीय बेलन है।

आइगेन मानों से जाँच: A = [[1, −1/2, −1/2], [−1/2, 1, −1/2], [−1/2, −1/2, 1]] के आइगेन मान 0, 3/2, 3/2 हैं, λ = 0 की दिशा (1, 1, 1), जिससे (3/2)(X² + Y²) = 3, अर्थात X² + Y² = 2.

उदाहरण 6: पृष्ठ x² + y² + z² + 2xy + 4x − 4y + 2z + 1 = 0 की पहचान करें और उसका विहित रूप लिखें।

A = [[1, 1, 0], [1, 1, 0], [0, 0, 1]] के आइगेन मान 2, 1, 0 हैं, अतः D = 0. केंद्र के समीकरण x + y + 2 = 0 और x + y − 2 = 0 असंगत हैं: कोई केंद्र नहीं है।

Δ = det[[1, 1, 0, 2], [1, 1, 0, −2], [0, 0, 1, 1], [2, −2, 1, 1]] = −16 ≠ 0, अतः पृष्ठ परवलयज है; λ₁ = 2 और λ₂ = 1 समान चिह्न के हैं, अतः यह दीर्घवृत्तीय है, और k² = −Δ/(λ₁λ₂) = 8.

सीधे: समीकरण (x + y)² + (z + 1)² + 4(x − y) = 0 है; X = (x + y)/√2, Y = z + 1, Z = −(x − y)/√2 रखने पर यह दीर्घवृत्तीय परवलयज 2X² + Y² = 4√2 Z बन जाता है।

12. परवलयज: वर्ग पूर्ण करना, अक्ष और शीर्ष

जब द्विघाती भाग में अनुप्रस्थ पद न हों, तो सीधे वर्ग पूर्ण करें; जब उसका एक आइगेन मान शून्य हो और आइगेन सदिश n हो, तो रैखिक भाग का n की दिशा में घटक 2kZ पद देता है, और शेष दो दिशाओं में वर्ग पूर्ण करने से शीर्ष मिलता है।

परवलयज का मुख्य अक्ष शीर्ष से होकर n की दिशा में रेखा है; मुख्य तल इस अक्ष से होकर शेष दो मुख्य दिशाओं में दो समतल हैं।

उदाहरण 7 (UPSC 2017, 15 अंक): समीकरण x² + y² + z² − yz − zx − xy − 3x − 6y − 9z + 21 = 0 को प्रमाणिक-रूप में व्यक्त कीजिए अतः शांकवज की प्रकृति निर्धारित कीजिए।

द्विघाती भाग के आइगेन मान 0, 3/2, 3/2 हैं (उदाहरण 5 की तरह), λ = 0 की दिशा n = (1, 1, 1)/√3. लांबिक इकाई दिशाएँ e₁ = (1, −1, 0)/√2, e₂ = (1, 1, −2)/√6, e₃ = n लें।

रैखिक भाग −3x − 6y − 9z के e₁, e₂, e₃ की दिशाओं में घटक 3/√2, 9/√6 और −18/√3 = −6√3 हैं, अतः समीकरण (3/2)(X² + Y²) + (3/√2)X + (9/√6)Y − 6√3Z + 21 = 0 बनता है।

वर्ग पूर्ण करने पर: (3/2)[(X + 1/√2)² + (Y + 3/√6)²] − 3 − 6√3Z + 21 = 0, अर्थात (3/2)(X′² + Y′²) = 6√3(Z − √3).

शीर्ष X′ = Y′ = 0, Z = √3 है −(1/√2)e₁ − (3/√6)e₂ + √3n = (0, 1, 2), जो समीकरण को संतुष्ट करता है। निश्चरों से जाँच: Δ = −243/4 और k² = −Δ/(λ₁λ₂) = (243/4)/(9/4) = 27, अतः 2k = 6√3.

उत्तर: X² + Y² = 4√3 Z, परिक्रमण परवलयज जिसका शीर्ष (0, 1, 2) और अक्ष x/1 = (y − 1)/1 = (z − 2)/1 है।

उदाहरण 8 (UPSC 2023, 10 अंक): (i) दर्शाइए कि समीकरण 2x² + 3y² − 8x + 6y − 12z + 11 = 0 एक दीर्घवृत्तीय परवलयज को निरूपित करता है। इसका मुख्य अक्ष और मुख्य तल भी ज्ञात कीजिए।

वर्ग पूर्ण करने पर: 2(x − 2)² − 8 + 3(y + 1)² − 3 − 12z + 11 = 0, अर्थात 2(x − 2)² + 3(y + 1)² = 12z.

X = x − 2, Y = y + 1, Z = z लेने पर: X²/6 + Y²/4 = Z, और दोनों गुणांक धनात्मक हैं, अतः यह शीर्ष (2, −1, 0) वाला दीर्घवृत्तीय परवलयज है।

उत्तर: मुख्य अक्ष x = 2, y = −1 (z-अक्ष के समांतर); मुख्य तल x = 2 और y = −1.

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): द्विघाती रूप x² + 2y² − z² + 6yz − 2zx + 4xy का आव्यूह A लिखिए और D = det A ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A = [[1, 2, −1], [2, 2, 3], [−1, 3, −1]] (h = 2, f = 3, g = −1), और D = 1(−2 − 9) − 2(−2 + 3) − 1(6 + 2) = −21.

अभ्यास 2 (मूल): समानयन के बाद एक पृष्ठ λ₁X² + λ₂Y² + λ₃Z² + d′ = 0 है, जहाँ आइगेन मान 1, 4, −2 और d′ = −4 है। इसका नाम बताइए।

उत्तर: X² + 4Y² − 2Z² = 4, अर्थात X²/4 + Y² − Z²/2 = 1: एक पृष्ठी अतिपरवलयज।

अभ्यास 3 (मूल): द्विघाती रूप x² + y² + z² + 2xy का विविक्तकर त्रिघात और आइगेन मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: λ³ − 3λ² + 2λ = λ(λ − 1)(λ − 2) = 0, अतः आइगेन मान 0, 1, 2 हैं।

अभ्यास 4 (मानक): 2x² + 2y² + 2z² + 2xy + 2yz + 2zx = 4 को विहित रूप में समानीत कीजिए और पृष्ठ का नाम बताइए।

उत्तर: आइगेन मान 4 ((1, 1, 1) के अनुदिश) और 1, 1 हैं; विहित रूप 4X² + Y² + Z² = 4 है, रेखा x = y = z के परितः परिक्रमण दीर्घवृत्तज।

अभ्यास 5 (मानक): x² + 3y² + 3z² − 2yz − 2x − 2y + 6z + 3 = 0 का केंद्र और विहित रूप ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आइगेन मान 1, 2, 4 हैं; केंद्र समीकरण x − 1 = 0, 3y − z − 1 = 0, −y + 3z + 3 = 0 से (1, 0, −1); d′ = −1 − 0 − 3 + 3 = −1 (= Δ/D = −8/8); अतः X² + 2Y² + 4Z² = 1, एक दीर्घवृत्तज।

अभ्यास 6 (मानक): पृष्ठ x² + y² − 2z² + 4xy + 6 = 0 को पहचानिए।

उत्तर: आइगेन मान 3, −1, −2 हैं और केंद्र O है, अतः 3X² − Y² − 2Z² = −6, अर्थात −X²/2 + Y²/6 + Z²/3 = 1: एक पृष्ठी अतिपरवलयज।

अभ्यास 7 (मानक): दिखाइए कि 5x² + 5y² + 8z² − 8yz − 8zx − 2xy = 36 एक दीर्घवृत्तीय बेलन है, और उसका अक्ष तथा अर्ध-अक्ष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आइगेन मान 0 ((1, 1, 1) के अनुदिश), 6 ((1, −1, 0) के अनुदिश) और 12 ((1, 1, −2) के अनुदिश) हैं; रूप 6X² + 12Y² = 36 है, अक्ष x = y = z और अर्ध-अक्षों √6 तथा √3 वाला दीर्घवृत्तीय बेलन।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाइए कि x² + y² + z² − 2yz − 2zx − 2xy + 2x + 2y + 2z − 3 = 0 एक लंब वृत्तीय शंकु है; उसका शीर्ष, अक्ष और अर्ध-शीर्ष कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: केंद्र समीकरणों से (1, 1, 1) और d′ = 1 + 1 + 1 − 3 = 0, अतः Δ = 0: शीर्ष (1, 1, 1) वाला शंकु। आइगेन मान −1 ((1, 1, 1) के अनुदिश) और 2, 2 हैं, अतः 2(X² + Y²) = Z²: अक्ष x − 1 = y − 1 = z − 1, अर्ध-शीर्ष कोण tan⁻¹(1/√2).

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): x² + y² + 2yz + z² − 2x + 4y − 4z = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिए और शीर्ष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आइगेन मान 1, 2, 0 हैं ((0, 1, −1) के अनुदिश शून्य) और Δ = −16, अतः यह दीर्घवृत्तीय परवलयज है; Y = (y + z)/√2, Z = (y − z)/√2 के साथ समीकरण (x − 1)² + 2Y² = −4√2(Z − 1/(4√2)) है, अर्थात X² + 2Y² = 4√2 Z′ (k² = 16/2 = 8); शीर्ष (1, 1/8, −1/8) है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि x² − y² − z² + 2yz + 2y − 2z − 1 = 0 एक समतल-युग्म निरूपित करता है, और उनकी प्रतिच्छेद रेखा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: D = 0 और Δ = 0; समीकरण x² − (y − z − 1)² = 0, अर्थात (x − y + z + 1)(x + y − z − 1) = 0 है; समतल रेखा x = 0, y − z = 1 में मिलते हैं।

1. समतल और सरल रेखाएँ

प्रश्न 1 (10 अंक): मूलबिंदु से अचर दूरी p पर स्थित एक चर समतल अक्षों को A, B, C पर मिलता है। सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC के केंद्रक का बिंदुपथ (locus) 1/x² + 1/y² + 1/z² = 9/p² है।

माना समतल x/a + y/b + z/c = 1 है, अतः A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0), C = (0, 0, c).

मूलबिंदु से इसकी दूरी 1/√(1/a² + 1/b² + 1/c²) = p है, अतः 1/a² + 1/b² + 1/c² = 1/p².

केंद्रक (α, β, γ) = (a/3, b/3, c/3) है, अतः a = 3α, b = 3β, c = 3γ.

प्रतिस्थापन से: 1/(9α²) + 1/(9β²) + 1/(9γ²) = 1/p², अर्थात 1/α² + 1/β² + 1/γ² = 9/p².

उत्तर: बिंदुपथ 1/x² + 1/y² + 1/z² = 9/p² है।

प्रश्न 2 (15 अंक): (x − 1)/2 = (y − 2)/3 = (z − 3)/4 और (x − 2)/3 = (y − 4)/4 = (z − 5)/5 के बीच न्यूनतम दूरी (shortest distance) का मान और न्यूनतम दूरी रेखा के समीकरण ज्ञात करें, तथा वे बिंदु भी जहाँ यह दोनों रेखाओं से मिलती है।

A(1, 2, 3), b₁ = (2, 3, 4); B(2, 4, 5), b₂ = (3, 4, 5). तब b₁ × b₂ = (−1, 2, −1), जिसकी लंबाई √6 है, और B − A = (1, 2, 2).

न्यूनतम दूरी = |(B − A)·(b₁ × b₂)|/|b₁ × b₂| = |−1 + 4 − 2|/√6 = 1/√6.

व्यापक बिंदु: P(1 + 2r, 2 + 3r, 3 + 4r) और Q(2 + 3s, 4 + 4s, 5 + 5s). PQ·b₁ = 0 और PQ·b₂ = 0 से 29r − 38s = 16 और 38r − 50s = 21.

हल करने पर r = 1/3 और s = −1/6, अतः P = (5/3, 3, 13/3) और Q = (3/2, 10/3, 25/6). तब PQ = (−1/6, 1/3, −1/6), जो (−1, 2, −1) के समांतर है और जिसकी लंबाई 1/√6 है; इससे न्यूनतम दूरी की जाँच होती है।

उत्तर: न्यूनतम दूरी = 1/√6; न्यूनतम दूरी रेखा (x − 5/3)/1 = (y − 3)/(−2) = (z − 13/3)/1 है, जो रेखाओं से (5/3, 3, 13/3) और (3/2, 10/3, 25/6) पर मिलती है।

प्रश्न 3 (10 अंक): वह बिंदु ज्ञात करें जहाँ रेखा (x − 2)/3 = (y + 1)/4 = (z − 2)/12 समतल x − y + z = 5 से मिलती है, (−1, −5, −10) से उसकी दूरी, और रेखा तथा समतल के बीच का कोण।

रेखा का व्यापक बिंदु (2 + 3t, −1 + 4t, 2 + 12t) है। समतल में: (2 + 3t) − (−1 + 4t) + (2 + 12t) = 5 + 11t = 5, अतः t = 0 और बिंदु (2, −1, 2) है।

(−1, −5, −10) से इसकी दूरी √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13 है।

दिशा (3, 4, 12) वाली रेखा और अभिलंब (1, −1, 1) वाले समतल के बीच कोण θ के लिए sin θ = |3 − 4 + 12|/(13·√3) = 11/(13√3).

उत्तर: बिंदु (2, −1, 2) है; दूरी 13 है; θ = sin⁻¹(11/(13√3)).

2. गोला

प्रश्न 4 (10 अंक): वृत्त x² + y² + z² + 2x + 3y + 6 = 0, x − 2y + 4z − 9 = 0 और गोले x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0 के केंद्र से होकर जाने वाला गोला (sphere) ज्ञात करें।

वृत्त से होकर जाने वाला प्रत्येक गोला S + λP = 0 है, जहाँ S = 0 दिया गया गोला और P = 0 समतल है। दूसरे गोले का केंद्र (1, −2, 3) है।

(1, −2, 3) पर: S = 1 + 4 + 9 + 2 − 6 + 6 = 16 और P = 1 + 4 + 12 − 9 = 8, अतः 16 + 8λ = 0 और λ = −2.

गोला x² + y² + z² + 2x + 3y + 6 − 2(x − 2y + 4z − 9) = 0 है।

उत्तर: x² + y² + z² + 7y − 8z + 24 = 0.

प्रश्न 5 (15 अंक): (1, 0, 0), (0, 1, 0) और (0, 0, 1) से होकर जाने वाला न्यूनतम त्रिज्या का गोला ज्ञात करें।

माना गोला x² + y² + z² + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0 है। तीनों बिंदुओं से 1 + 2u + d = 0, 1 + 2v + d = 0, 1 + 2w + d = 0, अतः u = v = w = −(1 + d)/2.

तब r² = u² + v² + w² − d = (3/4)(1 + d)² − d.

d के सापेक्ष अवकलज को शून्य रखने पर: (3/2)(1 + d) − 1 = 0, अतः d = −1/3; द्वितीय अवकलज 3/2 > 0 निम्निष्ठ की पुष्टि करता है। तब u = v = w = −1/3 और r² = 1/3 + 1/3 = 2/3.

केंद्र (1/3, 1/3, 1/3) तीनों बिंदुओं से बने त्रिभुज का परिकेंद्र है, अतः इनसे होकर जाने वाला वृत्त इस गोले का वृहत् वृत्त है, जैसा न्यूनतम गोले के लिए अपेक्षित है।

उत्तर: 3(x² + y² + z²) − 2(x + y + z) − 1 = 0, त्रिज्या √(2/3).

प्रश्न 6 (10 अंक): सिद्ध करें कि समतल 2x − 2y + z + 12 = 0 गोले x² + y² + z² − 2x − 4y + 2z − 3 = 0 को स्पर्श करता है, और स्पर्श बिंदु ज्ञात करें।

केंद्र (1, 2, −1), त्रिज्या √(1 + 4 + 1 + 3) = 3. समतल से केंद्र की दूरी |2 − 4 − 1 + 12|/√9 = 3 है, जो त्रिज्या के बराबर है, अतः समतल गोले को स्पर्श करता है।

स्पर्श बिंदु केंद्र से लंब का पाद है: बिंदु (1 + 2t, 2 − 2t, −1 + t) समतल में है जब 9 + 9t = 0, अतः t = −1.

उत्तर: समतल गोले को (−1, 4, −2) पर स्पर्श करता है।

3. शंकु और बेलन

प्रश्न 7 (15 अंक): गोले x² + y² + z² + 2x − 2y = 2 का वह अन्वालोपी शंकु (enveloping cone) ज्ञात करें जिसका शीर्ष (1, 1, 1) है।

S = x² + y² + z² + 2x − 2y − 2 और S₁ = 1 + 1 + 1 + 2 − 2 − 2 = 1 > 0, अतः शीर्ष गोले के बाहर है।

T = x·1 + y·1 + z·1 + (x + 1) − (y + 1) − 2 = 2x + z − 2.

शंकु SS₁ = T² है: x² + y² + z² + 2x − 2y − 2 = 4x² + z² + 4zx − 8x − 4z + 4.

जाँच: (1, 1, 1) परिणाम को संतुष्ट करता है (3 − 1 + 4 − 10 + 2 − 4 + 6 = 0), और वहाँ सभी प्रथम आंशिक अवकलज शून्य हैं, जैसा शीर्ष पर होना चाहिए।

उत्तर: 3x² − y² + 4zx − 10x + 2y − 4z + 6 = 0.

प्रश्न 8 (10 अंक): वह बेलन ज्ञात करें जिसकी जनक रेखाएँ x/1 = y/(−2) = z/3 के समांतर हैं और निर्देशक वक्र x² + y² = 4, z = 0 है।

बेलन के बिंदु (x, y, z) से जाने वाली जनक रेखा की दिशा (1, −2, 3) है; यह z = 0 से (x − z/3, y + 2z/3, 0) पर मिलती है।

यह बिंदु निर्देशक वक्र पर है: (x − z/3)² + (y + 2z/3)² = 4, अर्थात (3x − z)² + (3y + 2z)² = 36.

उत्तर: 9x² + 9y² + 5z² − 6zx + 12yz − 36 = 0.

प्रश्न 9 (15 अंक): मूलबिंदु पर शीर्ष वाला वह शंकु ज्ञात करें जो वक्र x² + y² + z² + x − 2y + 3z − 4 = 0, x − y + 2z = 2 से होकर जाता है। क्या इसकी तीन परस्पर लंब जनक रेखाएँ हैं?

(x − y + 2z)/2 = 1 का प्रयोग कर गोले के समीकरण को समघात बनाएँ: x² + y² + z² + (x − 2y + 3z)(x − y + 2z)/2 − 4(x − y + 2z)²/4 = 0.

2 से गुणा करने पर: 2(x² + y² + z²) + (x² + 2y² + 6z² − 3xy + 5zx − 7yz) − 2(x² + y² + 4z² − 2xy + 4zx − 4yz) = 0.

पदों को एकत्र करने पर: x² + 2y² + xy − 3zx + yz = 0. यह द्वितीय घात का समघात समीकरण है, अतः मूलबिंदु पर शीर्ष वाला शंकु है।

यहाँ a + b + c = 1 + 2 + 0 = 3 ≠ 0, अतः शंकु में तीन परस्पर लंब जनक रेखाओं के समुच्चय नहीं हैं।

उत्तर: x² + 2y² + xy − 3zx + yz = 0; नहीं, क्योंकि a + b + c ≠ 0.

4. शांकवज और जनक रेखाएँ

प्रश्न 10 (15 अंक): सिद्ध करें कि समतल 3x + 12y − 6z − 17 = 0 शांकवज (conicoid) 3x² − 6y² + 9z² + 17 = 0 को स्पर्श करता है, और स्पर्श बिंदु ज्ञात करें।

शांकवज को ax² + by² + cz² = 1 के रूप में लिखें, a = −3/17, b = 6/17, c = −9/17, और समतल को lx + my + nz = p, (l, m, n, p) = (3, 12, −6, 17).

l²/a + m²/b + n²/c = −51 + 408 − 68 = 289 = 17² = p², अतः समतल शांकवज को स्पर्श करता है।

स्पर्श बिंदु: x₁ = l/(ap) = −1, y₁ = m/(bp) = 2, z₁ = n/(cp) = 2/3. जाँच: 3 − 24 + 4 + 17 = 0.

उत्तर: समतल शांकवज को (−1, 2, 2/3) पर स्पर्श करता है।

प्रश्न 11 (15 अंक): अतिपरवलयज yz + 2zx + 3xy + 6 = 0 की वे जनक रेखाएँ ज्ञात करें जो बिंदु (−1, 0, 3) से होकर जाती हैं।

बिंदु पृष्ठ पर है: 0 − 6 + 0 + 6 = 0. रेखा (x + 1)/l = y/m = (z − 3)/n पृष्ठ पर है यदि और केवल यदि (−1 + lt, mt, 3 + nt) प्रत्येक t के लिए समीकरण को संतुष्ट करे।

t² का गुणांक mn + 2nl + 3lm = 0 देता है। t का गुणांक (−1, 0, 3) पर l(2z + 3y) + m(z + 3x) + n(y + 2x), अर्थात 6l − 2n = 0 है, अतः n = 3l. अचर पद 0 है क्योंकि बिंदु पृष्ठ पर है।

तब 3lm + 6l² + 3lm = 6l(l + m) = 0. यदि l = 0 तो n = 0, दिशा (0, 1, 0); यदि m = −l, तो दिशा (1, −1, 3).

उत्तर: x = −1, z = 3 (अर्थात (x + 1)/0 = y/1 = (z − 3)/0) और (x + 1)/1 = y/(−1) = (z − 3)/3.

प्रश्न 12 (15 अंक): सिद्ध करें कि केंद्रीय शांकवज ax² + by² + cz² = 1 के तीन परस्पर लंब स्पर्श तलों के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ गोला x² + y² + z² = 1/a + 1/b + 1/c है।

माना समतलों के परस्पर लंब इकाई अभिलंब (l_i, m_i, n_i), i = 1, 2, 3 हैं। स्पर्श की शर्त से वे l_ix + m_iy + n_iz = p_i हैं, जहाँ p_i² = l_i²/a + m_i²/b + n_i²/c.

उनके उभयनिष्ठ बिंदु (x, y, z) पर तीनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ें।

पंक्तियों (l_i, m_i, n_i) वाला आव्यूह लांबिक है, अतः इसके स्तंभ भी प्रसामान्य-लांबिक हैं: ∑l_i² = ∑m_i² = ∑n_i² = 1 और ∑l_im_i = ∑m_in_i = ∑n_il_i = 0.

अतः बायाँ पक्ष x² + y² + z² हो जाता है (वज्र पद निरस्त हो जाते हैं) और दायाँ पक्ष ∑p_i² = 1/a + 1/b + 1/c हो जाता है, जो समतलों के चयन पर निर्भर नहीं है।

उत्तर: बिंदुपथ नियामक गोला x² + y² + z² = 1/a + 1/b + 1/c है; x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के लिए यह x² + y² + z² = a² + b² + c² है।

5. व्यापक द्वितीय घात समीकरण का समानयन

प्रश्न 13 (20 अंक): 2x² + y² + 4xy + 4yz − 8x − 10y − 4z + 7 = 0 को विहित रूप (canonical form) में समानीत करें। केंद्र और मुख्य दिशाएँ ज्ञात करें, और पृष्ठ का नाम बताएँ।

A = [[2, 2, 0], [2, 1, 2], [0, 2, 0]]. विविक्तकर त्रिघात λ³ − 3λ² − 6λ + 8 = (λ − 1)(λ + 2)(λ − 4) = 0 है, अतः λ = 4, 1, −2.

इकाई आइगेन सदिश: λ = 4: (2, 2, 1)/3; λ = 1: (−2, 1, 2)/3; λ = −2: (1, −2, 2)/3. ये परस्पर लंब हैं, जैसा वास्तविक सममित आव्यूह के लिए होना चाहिए।

केंद्र: 2x + 2y − 4 = 0, 2x + y + 2z − 5 = 0, 2y − 2 = 0 से (1, 1, 1).

d′ = ux₀ + vy₀ + wz₀ + d = −4 − 5 − 2 + 7 = −4 (जाँच: D = −8 और Δ = 32, अतः Δ/D = −4).

केंद्र को मूलबिंदु और मुख्य दिशाओं को अक्ष लेने पर: 4X² + Y² − 2Z² − 4 = 0.

उत्तर: X²/1 + Y²/4 − Z²/2 = 1, एक पृष्ठ वाला अतिपरवलयज, केंद्र (1, 1, 1), अक्ष (2, 2, 1), (−2, 1, 2) और (1, −2, 2) के अनुदिश।

प्रश्न 14 (15 अंक): सिद्ध करें कि 2x² − 2y² − z² + 3xy + 3yz − zx − x − 7y + 4z − 3 = 0 समतल-युग्म निरूपित करता है, और उनके बीच का कोण ज्ञात करें।

द्विघात भाग के गुणनखंड: 2x² − 2y² − z² + 3xy + 3yz − zx = (x + 2y − z)(2x − y + z).

(x + 2y − z + p)(2x − y + z + q) मानें। x, y और z के गुणांकों की तुलना से: 2p + q = −1, 2q − p = −7, p − q = 4.

पहले और तीसरे से p = 1, q = −3; ये दूसरे (−6 − 1 = −7) और अचर पद pq = −3 को भी संतुष्ट करते हैं। अतः समीकरण (x + 2y − z + 1)(2x − y + z − 3) = 0 है, एक समतल-युग्म।

अभिलंब (1, 2, −1) और (2, −1, 1) से cos θ = |2 − 2 − 1|/(√6·√6) = 1/6.

उत्तर: समतल x + 2y − z + 1 = 0 और 2x − y + z − 3 = 0, जिनके बीच का कोण cos⁻¹(1/6) है।

1. त्रिविमीय निर्देशांक और समतल

2023 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: एक चर समतल, जो कि मूल-बिन्दु O से अचर दूरी 3p पर है, अक्षों को क्रमशः बिन्दुओं A, B, C पर काटता है। दर्शाइए कि चतुष्फलक OABC के केन्द्रक का बिन्दुपथ 9(1/x² + 1/y² + 1/z²) = 16/p² है।

2018 प्रश्नपत्र I, Q4(d), 12 अंक: 3x − y + 3z = 8 के समांतर और बिन्दु (1, 1, 1) से गुजरते हुये समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये।

2. सरल रेखाएँ और विषमतलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी

2026 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 15 अंक: रेखाओं (x − 3)/1 = (y − 5)/(−2) = (z − 7)/1 और (x + 1)/7 = (y + 1)/(−6) = (z + 1)/1 पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए, जो एक-दूसरे के निकटतम हैं। अतः इन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी तथा इसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 20 अंक: रेखा x = 3 − 6t, y = 2t, z = 3 + 2t का समतल 3x + 4y − 5z + 26 = 0 में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि रेखाओं y = mx, z = c; y = −mx, z = −c और वृत्त x² + y² = a², z = 0 से मिलने वाली रेखा का बिन्दु-पथ c²m²(cy − mzx)² + c²(yz − cmx)² = a²m²(z² − c²)² है।

2022 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: लघुतम संभाव्य त्रिज्या के गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सरल रेखाओं: (x − 3)/3 = (y − 8)/(−1) = (z − 3)/1 तथा (x + 3)/(−3) = (y + 7)/2 = (z − 6)/4 को स्पर्श करता है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 15 अंक: रेखाओं (x + 1)/3 = (y + 3)/5 = (z + 5)/7, (x − 2)/1 = (y − 4)/3 = (z − 6)/5 को अंतर्विष्ट करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु को भी ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: दर्शाइए कि
(x + 1)/(−3) = (y − 3)/2 = (z + 2)/1 और x/1 = (y − 7)/(−3) = (z + 7)/2
प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं। प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांकों और उस समतल, जिसमें दोनों रेखाएँ हैं, का समीकरण ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: सरल रेखा (x − 1)/2 = (y − 1)/3 = (z + 1)/(−1) का समतल x + y + 2z = 6 पर प्रक्षेपण ज्ञात कीजिये।

2018 प्रश्नपत्र I, Q2(d), 12 अंक: रेखाओं
a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0
और z-अक्ष के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: विषमतलीय रेखाओं (x − 3)/3 = (8 − y)/1 = (z − 3)/1 व (x + 3)/(−3) = (y + 7)/2 = (z − 6)/4 के बीच न्यूनतम-दूरी ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: रेखाओं (x − 1)/2 = (y − 2)/4 = z − 3 तथा y − mx = z = 0 के बीच लघुतम दूरी (shortest distance) निकालिये। m के किस मान के लिए दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद (intersect) करेंगी?

2016 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 10 अंक: एक रेखा, जो रेखाओं y = a = z, x + 3z = a = y + z को प्रतिच्छेद (intersect) करती है तथा तल x + y = 0 के समानान्तर है, द्वारा जनित सतह (surface generated) निकालिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 13 अंक: (i) उस समतल का समीकरण निकालिए जो बिन्दुओं (2, 3, 1) एवं (4, −5, 3) से गुजरता है व x-अक्ष के समान्तर है। (6)
(ii) सत्यापित कीजिये कि रेखाएँ (x − a + d)/(α − δ) = (y − a)/α = (z − a − d)/(α + δ) तथा (x − b + c)/(β − γ) = (y − b)/β = (z − b − c)/(β + γ) समतलीय हैं। यदि हाँ, तो उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसमें उपरोक्त दोनों रेखाएँ स्थित हैं। (7)

3. गोला

2026 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र, रेखा 5y + 2z = 0 = 2x − 3y पर है तथा जो बिंदुओं (0, −2, −4) और (2, −1, −1) से होकर जाता है।

2025 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 15 अंक: उन गोलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो वृत्त x² + y² + z² − 2x + 2y + 4z − 3 = 0, 2x + y + z = 4 से होकर गुज़रते हैं और समतल 3x + 4y = 14 को स्पर्श करते हैं।

2025 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 15 अंक: दर्शाइए कि गोले
x² + y² + z² − 4x + 2y − 4z + 4 = 0
का कोई ऐसा स्पर्श समतल नहीं है, जो कि सरल रेखा (x + 6)/2 = y + 3 = z + 1 से होकर गुज़र सके।

2024 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 15 अंक: उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो समतल 3x + 2y − z + 2 = 0 को बिन्दु (1, −2, 1) पर स्पर्श करता है और गोले x² + y² + z² − 4x + 6y + 4 = 0 को लांबिकतः काटता है।

2023 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: वृत्त x² + y² + z² − 4x − 6y + 2z − 16 = 0; 3x + y + 3z − 4 = 0 से होकर गुजरने वाले गोले का समीकरण निम्न दो स्थितियों में ज्ञात कीजिए।
(i) बिन्दु (1, 0, −3) गोले पर हो।
(ii) दिया गया वृत्त गोले का एक वृहत् वृत्त हो।

2022 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: एक चर समतल एक स्थिर बिन्दु (a, b, c) से गुज़रता है तथा अक्षों को क्रमशः A, B व C बिन्दुओं पर मिलता है। बिन्दुओं O, A, B तथा C से गुज़रते हुए गोले के केन्द्र का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जहाँ O मूल-बिन्दु है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 15 अंक: अचर त्रिज्या r का एक गोला मूल-बिंदु O से गुजरता है तथा अक्षों को A, B, C बिन्दुओं पर काटता है। O से समतल ABC पर खींचे गए लंब-पाद का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 20 अंक: (i) समतल x + 2y + 3z = 12 निर्देशांक अक्षों को A, B, C पर प्रतिच्छेद करता है। त्रिभुज ABC के परिवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(ii) सिद्ध कीजिए कि समतल z = 0 गोलक x² + y² + z² = 11 के अन्वालोपी शंकु, जिसका शीर्ष (2, 4, 1) पर है, को एक समकोणीय अतिपरवलय पर प्रतिच्छेद करता है। (10 अंक)

2018 प्रश्नपत्र I, Q3(d), 12 अंक: xyz-समतल में स्थित, बिन्दुओं (0, 0, 0), (0, 1, −1), (−1, 2, 0) और (1, 2, 3) में से गुजरते हुये गोले का समीकरण ज्ञात कीजिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: एक समतल, नियत बिन्दु (a, b, c) में से गुज़रता है तथा अक्षों को क्रमशः बिन्दुओं A, B व C पर काटता है। मूल बिन्दु O तथा A, B व C में से गुज़रने वाले गोले के केन्द्र का बिन्दु-पथ ज्ञात कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 10 अंक: दर्शाइए कि समतल 2x − 2y + z + 12 = 0, गोले x² + y² + z² − 2x − 4y + 2z − 3 = 0, को स्पर्श करता है। सम्पर्क बिन्दु ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: उस गोले (sphere) का समीकरण निकालिये, जो वृत्त x² + y² = 4; z = 0 से गुजरता है और जो तल x + 2y + 2z = 0 से एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 3 है, में काटा जाता है।

2015 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: 'a' के किस धनात्मक मान के लिए, समतल ax − 2y + z + 12 = 0, गोलक x² + y² + z² − 2x − 4y + 2z − 3 = 0 को स्पर्श करता है। स्पर्श बिन्दु को भी ज्ञात कीजिये।

2014 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 20 अंक: (i) गोलक x² + y² + z² − 4x + 2y = 4 के बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसके स्पर्शी समतल, समतल 2x − y + 2z = 1 के समांतर हैं। (10)
(ii) सिद्ध कीजिए कि समीकरण ax² + by² + cz² + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0 एक शंकु निरूपित करता है, यदि u²/a + v²/b + w²/c = d हो तो। (10)

4. शंकु और बेलन

2026 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: यदि x/1 = y/2 = z/3, शंकु 5yz − 8zx − 3xy = 0 के तीन परस्पर लंबवत् जनकों के समुच्चय में से किसी एक को निरूपित करता है, तब अन्य दो के समीकरण ज्ञात कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष बिंदु (1, 1, 0) है तथा जिसका निर्देशक वक्र y = 0, x² + z² = 4 है।

2025 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 20 अंक: (i) उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके जनक, रेखा x/1 = y/2 = z/3 के समांतर हैं और जो वक्र x² + y² = 16, z = 0 से होकर गुज़रता है। (10 अंक)
(ii) सरल रेखाओं (x − 3)/3 = (y − 8)/(−1) = (z − 3)/1 और (x + 3)/(−3) = (y + 7)/2 = (z − 6)/4 के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। (10 अंक)

2024 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: वृत्त x² + y² + z² = 9, x − y + z = 3 से होकर जाने वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: शंकु 4x² − y² + 2z² + 2xy − 3yz + 12x − 11y + 6z + 4 = 0 का शीर्ष ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 15 अंक: यदि समतल ux + vy + wz = 0, शंकु ax² + by² + cz² = 0 को लंब जनकों में काटता है, तो सिद्ध कीजिए कि (b + c)u² + (c + a)v² + (a + b)w² = 0.

2021 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके जनक, रेखा : x = −y/2 = z/3 के समानान्तर हैं तथा जिसका निर्देशक-वक्र x² + 2y² = 1, z = 0 है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 20 अंक: दर्शाइए कि वे समतल, जो कि शंकु ax² + by² + cz² = 0 को लंब जनकों में काटते हैं, शंकु x²/(b + c) + y²/(c + a) + z²/(a + b) = 0 को स्पर्श करते हैं।

2020 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 15 अंक: एक ऐसे बेलन का समीकरण निकालिए, जिसकी जनक-रेखाएँ, रेखा x/1 = y/(−2) = z/3 के समांतर हैं तथा जिसका मार्गदर्शक वक्र x² + y² = 4, z = 2 है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: यदि सरल रेखा x/1 = y/2 = z/3 शंकु 5yz − 8zx − 3xy = 0 के तीन परस्पर लांबिक जनकों के समुच्चय में से एक है, तब अन्य दो जनकों के समीकरण निकालिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 13 अंक: उस शंकु, जिसका शीर्ष (0, 0, 1) है और जिसका निर्देशक वक्र 2x² − y² = 4, z = 0 है, का समीकरण ज्ञात कीजिये।

2016 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 10 अंक: सिद्ध कीजिये कि शंकु (cone) 3yz − 2zx − 2xy = 0 के तीन परस्पर लम्बीय जनकों (generators) का एक अनन्त समुच्चय है। यदि x/1 = y/1 = z/2 ऐसे किसी समुच्चय का एक जनक (generator) हो, तो बाकी दो निकालिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q2(d), 13 अंक: यदि शंकु 5yz − 8zx − 3xy = 0 की तीन परस्पर लम्बवत् जनक रेखाओं में से एक जनक रेखा 6x = 3y = 2z हो, तब अन्य दो जनक रेखाओं के समीकरण मालूम कीजिये।

2014 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: परीक्षण कीजिए कि क्या समतल x + y + z = 0 शंकु yz + zx + xy = 0 को समकोणीय (लंब) रेखाओं में काटता है।

5. दीर्घवृत्तज, अतिपरवलयज और परवलयज

2026 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 20 अंक: (i) अतिपरवलयज x²/4 + y²/9 − z²/16 = 1 की उन जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (2, 3, −4) और (2, −1, 4/3) से होकर जाती हैं। (10)
(ii) उस लंबवृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका अक्ष x = 2y = −z है तथा त्रिज्या 4 है। सिद्ध कीजिए कि समतल z = 0 द्वारा इस बेलन के परिच्छेद (सेक्शन) का क्षेत्रफल 24π है। (10)

2023 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 20 अंक: (i) दर्शाइए कि समीकरण 2x² + 3y² − 8x + 6y − 12z + 11 = 0 एक दीर्घवृत्तीय परवलयज प्रदर्शित करता है। साथ ही मुख्य अक्ष और मुख्य समतलों को भी ज्ञात कीजिए। (10)
(ii) समतल x/a + y/b + z/c = 1, निर्देशांक अक्षों को क्रमशः A, B, C में मिलता है। सिद्ध कीजिये कि मूल बिन्दु O से वृत्त ABC को मिलाने वाली रेखाओं द्वारा जनित शंकु का समीकरण yz(b/c + c/b) + zx(c/a + a/c) + xy(b/a + a/b) = 0 है। (10)

2022 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 20 अंक: यदि P, Q, R; P′, Q′, R′, एक बिन्दु से दीर्घवृत्तज x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 पर छः (सिक्स) अभिलम्ब पाद हैं तथा lx + my + nz = p से समतल PQR निरूपित है, दर्शाइए कि x/(a²l) + y/(b²m) + z/(c²n) + 1/p = 0, समतल P′Q′R′ को निरूपित करता है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q1(e), 10 अंक: दीर्घवृत्तज 2x² + 6y² + 3z² = 27 के स्पर्श समतल का समीकरण निकालिए, जो रेखा x − y − z = 0 = x − y + 2z − 9 से होकर गुजरता है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: अतिपरवलयिक परवलयज x²/a² − y²/b² = 2z के लांबिक जनकों के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ निकालिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि साधारणतः किसी एक बिंदु से परवलयज x² + y² = 2az पर तीन अभिलंब बनाए जा सकते हैं, लेकिन अगर बिंदु सतह 27a(x² + y²) + 8(a − z)³ = 0 पर स्थित है, तो इन तीन अभिलंबों में से दो अभिलंब एक ही हैं।

2019 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: बिंदु P से गुजरने वाली दीर्घवृत्तज
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
की अभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि अगर यह 4PG₃ के समान है, जहाँ G₃ वह बिंदु है जहाँ P से गुजरने वाली अभिलंब जीवा xy-तल पर मिलती है, तो P शंकु
(x²/a⁶)(2c² − a²) + (y²/b⁶)(2c² − b²) + z²/c⁴ = 0
पर स्थित है।

2018 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 13 अंक: परवलयज (x + y + z)(2x + y − z) = 6z की उन जनक रेखाओं के समीकरणों को ज्ञात कीजिये, जो बिन्दु (1, 1, 1) में से गुजरती हैं।

2017 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: बिन्दु (1, 1, 1) पर शांकवज 3x² − y² = 2z के स्पर्श-तल का समीकरण निकालिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q3(d), 10 अंक: ax² + by² + cz² = 1 के तीन परस्पर लम्बवत् स्पर्शतलों के प्रतिच्छेदन बिन्दु का बिन्दु-पथ ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q4(d), 15 अंक: शांकवज (conicoid) ax² + by² + cz² = 1 के तीन पारस्परिक लम्बीय स्पर्शी तलों के प्रतिच्छेदन बिन्दु का बिन्दुपथ निकालिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 13 अंक: यदि परवलयज x² + y² = 2z पर दो लम्बवत् स्पर्शीय समतल एक सीधी रेखा में, जो समतल x = 0 में, पर काटते हैं। उस वक्र को प्राप्त कीजिए जिस पर वह सीधी रेखा स्पर्श करती है।

2014 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: दर्शाइए कि उद्गम (मूल-बिन्दु) से खींची हुई रेखाएँ, जो केन्द्रीय शांकवज ax² + by² + cz² = 1 के समतल lx + my + nz = p के साथ प्रतिच्छेदन बिन्दुओं पर लम्बों के समान्तर हैं, शंकु p²(x²/a + y²/b + z²/c) = (lx/a + my/b + nz/c)² का जनन करती हैं।

2014 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 15 अंक: अतिपरवलयज के समतल z = 0 के द्वारा मुख्य दीर्घवृत्तीय खण्ड x²/a² + y²/b² = 1, z = 0 के कोई बिन्दु (a cos θ, b sin θ, 0) में से दो जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

6. व्यापक द्वितीय घात समीकरण और विहित रूप में समानयन

2017 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 15 अंक: समीकरण x² + y² + z² − yz − zx − xy − 3x − 6y − 9z + 21 = 0 को प्रमाणिक-रूप में व्यक्त कीजिए अतः शांकवज की प्रकृति निर्धारित कीजिए।