रैखिक प्रोग्रामन — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सूत्रण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक निर्णय, जैसे सीमित मशीन घंटों में प्रत्येक उत्पाद की कितनी इकाइयाँ बनाई जाएँ, शब्दों में कहे जाते हैं। कोई भी कलन-विधि शब्दों पर काम नहीं कर सकती, अतः पहला कार्य स्थिति को चरों, अनुकूलित किए जाने वाले एक फलन और असमिकाओं की सूची में बदलना है।

शब्दों में: निर्णय चर (decision variables) वे मात्राएँ हैं जिन्हें आप नियंत्रित करते हैं (इकाइयों सहित); उद्देश्य फलन (objective function) उनमें रैखिक व्यंजक के रूप में लिखा लाभ या लागत है; प्रत्येक व्यवरोध (constraint) कहता है कि किसी संसाधन का कुल उपयोग (या कुल आपूर्ति) उपलब्ध (या आवश्यक) मात्रा से अधिकतम (या न्यूनतम) है; अऋणात्मकता कहती है कि मात्राएँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक कार्यशाला कुर्सियाँ और स्टूल बनाती है। एक कुर्सी को 3 घंटे बढ़ईगिरी और 1 घंटा रंगाई चाहिए और Rs 50 मिलते हैं; एक स्टूल को दोनों का 1-1 घंटा चाहिए और Rs 30 मिलते हैं। प्रतिदिन 12 घंटे बढ़ईगिरी और 6 घंटे रंगाई उपलब्ध है।

(1) चर: x = प्रतिदिन कुर्सियाँ, y = प्रतिदिन स्टूल।

(2) उद्देश्य: प्रति कुर्सी Rs 50 और प्रति स्टूल Rs 30 लाभ, अतः Max Z = 50x + 30y।

(3) बढ़ईगिरी: प्रति कुर्सी 3 घंटे गुणा x कुर्सियाँ और प्रति स्टूल 1 घंटा गुणा y स्टूल, 12 घंटे से अधिक नहीं, अतः 3x + y ≤ 12।

(4) रंगाई: x + y ≤ 6। अऋणात्मकता: x, y ≥ 0।

(5) इकाइयाँ जाँचें: प्रत्येक व्यवरोध के दोनों ओर (घंटे प्रति इकाई) × (इकाइयाँ) = घंटे, और Z में (रुपये प्रति इकाई) × (इकाइयाँ) = रुपये।

(6) हल (आगे के लिए): कोने (0, 0), (4, 0), (3, 3), (0, 6) पर Z = 0, 200, 240, 180, अतः 3 कुर्सियाँ और 3 स्टूल अधिकतम Rs 240 देते हैं। ध्यान दें कि हल से पहले ही अच्छा सूत्रण आधे अंक दिला देता है।

अ-उदाहरण (non-example): यदि अधिक कुर्सियाँ बनाने पर प्रति कुर्सी लाभ घटता, जैसे लाभ 50x − x², या कोई स्थिर स्थापना लागत केवल तभी लगती जब कुछ कुर्सियाँ बनें, तो समस्या रैखिक नहीं रहती: आनुपातिकता (या योज्यता) विफल होती है, और सिम्प्लेक्स विधि लागू नहीं होती।

आगे बढ़ते हुए: (i) प्रत्येक रैखिक प्रोग्रामन समस्या को मानक रूप Ax = b, x ≥ 0, b ≥ 0 में लिखा जा सकता है: न्यूनता (slack) चर जोड़कर या आधिक्य (surplus) चर घटाकर, ऋणात्मक दाएँ पक्ष वाली पंक्तियों को −1 से गुणा कर, स्वतंत्र चरों को विभाजित कर, और Min Z = −Max(−Z) का उपयोग कर। (ii) तब सुसंगत बिंदुओं का समुच्चय अर्ध-समष्टियों का सर्वनिष्ठ, एक उत्तल समुच्चय है (नीचे प्रमेय 1)।

कहाँ प्रयोग होता है: सूत्रण प्रश्नों में (उत्पाद मिश्रण, आहार, सम्मिश्रण, कटाई स्टॉक), और प्रत्येक सिम्प्लेक्स, परिवहन या नियतन समस्या के पहले चरण के रूप में।

2. सूत्रण और मानक रूप

व्यापक LPP: रैखिक व्यवरोधों (constraints) (≤, = या ≥) तथा x_j ≥ 0 के अधीन Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n का इष्टतमीकरण करें।

भाव: प्रत्येक रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) के तीन अंग हैं: निर्णय चर (क्या चुना जाता है, इकाइयों सहित), एक रैखिक उद्देश्य फलन, और रैखिक व्यवरोध। रैखिकता में मॉडल की मान्यताएँ निहित हैं: आनुपातिकता (किसी क्रिया को दुगुना करने पर उसका लाभ और संसाधन उपयोग दुगुना), योज्यता (कोई अन्योन्य पद नहीं), विभाज्यता (भिन्नात्मक मान स्वीकार्य) और निश्चितता (सभी गुणांक ज्ञात अचर)।

मानक रूप: Ax = b, x ≥ 0 के अधीन Max Z = c^Tx, जहाँ A, m × n है, rank(A) = m < n तथा b ≥ 0।

ये शर्तें क्यों: rank(A) = m का अर्थ है कि कोई समीकरण अनावश्यक नहीं; m < n इष्टतमीकरण के लिए n − m स्वातंत्र्य कोटियाँ छोड़ता है (m = n पर निकाय का अधिकतम एक हल होता है)। b ≥ 0 न्यूनता चरों को सिम्प्लेक्स विधि के लिए सुसंगत प्रारंभिक आधार बनाता है।

रूपांतरण: प्रत्येक ≤ व्यवरोध में न्यूनता चर (slack variable) जोड़ें और प्रत्येक ≥ व्यवरोध से आधिक्य चर (surplus variable) घटाएँ; अप्रतिबंधित चर को x = x′ − x″ लिखें जहाँ x′, x″ ≥ 0; Min Z = −Max(−Z) का प्रयोग करें।

अर्थ: न्यूनता चर s = b_i − (a_i1x₁ + ... + a_inx_n) ≥ 0, संसाधन i की अप्रयुक्त मात्रा है, और आधिक्य चर किसी आवश्यकता से अधिकता है। अप्रतिबंधित चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या दो अऋणात्मक संख्याओं का अंतर है। Max(−Z) के इष्टतम बिंदु वही हैं जो Min Z के, केवल इष्टतम मान का चिह्न बदल जाता है।

सुसंगत हल (feasible solution): कोई भी x जो सभी व्यवरोधों और ऋणेतरता को संतुष्ट करे; इनका समुच्चय सुसंगत क्षेत्र है।

3. आधारी हलों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सुसंगत क्षेत्र में अनंत बिंदु हैं, परंतु इष्टतम (जब विद्यमान हो) किसी कोने पर होता है। आधारी हल कोनों का बीजगणितीय वर्णन हैं, अतः वे अनंत खोज को परिमित सूची में बदल देते हैं।

शब्दों में: n अज्ञातों (n > m) में m समीकरणों के साथ, ऐसे m चर चुनें जिनके स्तंभ रैखिकतः स्वतंत्र हों (आधार), शेष n − m चरों को 0 रखें, और m × m निकाय हल करें। परिणाम एक आधारी हल है; यदि इसके सभी मान ≥ 0 हों तो यह आधारी सुसंगत हल (BFS) है, और यदि कोई आधारी चर 0 हो तो अपभ्रष्ट।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: क्षेत्र x₁ + x₂ ≤ 4, x₁ − x₂ ≤ 2, x ≥ 0, जिसे x₁ + x₂ + s₁ = 4, x₁ − x₂ + s₂ = 2 लिखा गया: यहाँ n = 4, m = 2, अतः अधिकतम C(4, 2) = 6 आधार।

(1) आधार (s₁, s₂): x₁ = x₂ = 0 से s₁ = 4, s₂ = 2, एक BFS: कोना (0, 0)।

(2) आधार (x₁, x₂): x₁ + x₂ = 4 और x₁ − x₂ = 2 से (3, 1), एक BFS: वह कोना जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं।

(3) आधार (x₁, s₁): x₂ = s₂ = 0 से x₁ = 2, s₁ = 2, एक BFS: कोना (2, 0)।

(4) आधार (x₁, s₂): x₁ = 4, s₂ = 2 − 4 = −2, आधारी परंतु सुसंगत नहीं: बिंदु (4, 0) क्षेत्र के बाहर है।

(5) आधार (x₂, s₁): −x₂ = 2 से x₂ = −2, सुसंगत नहीं। आधार (x₂, s₂): x₂ = 4, s₂ = 6, एक BFS: कोना (0, 4)।

(6) अतः चार BFS ठीक क्षेत्र के चार कोने (0, 0), (2, 0), (3, 1), (0, 4) हैं; दो असंगत आधारी हल क्षेत्र के बाहर सीमा-रेखाओं के प्रतिच्छेद हैं। शब्दकोश पर ध्यान दें: किसी न्यूनता चर को 0 रखना उस व्यवरोध की रेखा पर खड़े होना है।

अ-उदाहरण (non-example): x₁ + 2x₂ + x₃ = 3, 2x₁ + 4x₂ + x₃ = 5 में चयन (x₁, x₂) से कोई आधारी हल नहीं मिलता: स्तंभ (1, 2) और (2, 4) समानुपाती हैं, अतः 2 × 2 निकाय अव्युत्क्रमणीय है (यहाँ असंगत)। जो शर्त विफल होती है वह चुने गए स्तंभों की रैखिक स्वतंत्रता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) अधिकतम C(n, m) आधारी हल होते हैं, कुछ चयन अव्युत्क्रमणीय हों तो कम। (ii) कोई सुसंगत बिंदु ठीक तब चरम बिंदु है जब वह BFS हो (प्रमेय 2)। (iii) यदि कोई सुसंगत बिंदु है तो BFS है (प्रमेय 3), और परिमित इष्टतम किसी BFS पर प्राप्त होता है (प्रमेय 4); मिलकर ये कहते हैं: केवल BFS की जाँच करें।

कहाँ प्रयोग होता है: PYQ प्रकार “सभी आधारी हल ज्ञात कर उनका वर्गीकरण कीजिए” में, और सिम्प्लेक्स विधि में, जो एक BFS से संलग्न BFS पर जाती है।

4. आधारी हल

आधारी हल (basic solution): A के m रैखिकतः स्वतंत्र स्तंभ (आधार B) चुनें, शेष n − m (अनाधारी) चरों को शून्य रखें और Bx_B = b हल करें।

भाव: n − m चरों को शून्य रखने का अर्थ है n − m अतिसमतलों x_j = 0 पर खड़ा होना; m समीकरणों के साथ यह एक ही बिंदु, एक संभावित कोना, निर्धारित कर देता है। चुने गए स्तंभों की रैखिक स्वतंत्रता ठीक यही शर्त है कि इस निकाय का अद्वितीय हल x_B = B⁻¹b हो।

अधिकतम C(n, m) = n!/(m!(n − m)!) आधारी हल होते हैं।

आधारी सुसंगत हल (BFS): वह आधारी हल जिसमें प्रत्येक आधारी चर ≥ 0 हो।

भाव: BFS वह संभावित कोना है जो वास्तव में सुसंगत है, अर्थात सुसंगत क्षेत्र का शीर्ष (नीचे प्रमेय 2)। ऊपर के चित्र में छायांकित क्षेत्र का प्रत्येक कोना, जैसे (2, 6), BFS है, जबकि उसके बाहर सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद, जैसे (4, 6) या (6, 0), ऐसे आधारी हल हैं जो सुसंगत नहीं।

अपभ्रष्ट (degenerate) BFS: कम से कम एक आधारी चर शून्य हो; अनपभ्रष्ट BFS में सभी m आधारी चर धनात्मक होते हैं।

भाव: अपभ्रष्टता का अर्थ है कि एक कोने से आवश्यकता से अधिक व्यवरोध-सीमाएँ गुज़रती हैं (दो चरों में, एक शीर्ष से तीन या अधिक रेखाएँ)। तब अनेक भिन्न आधार एक ही बिंदु का वर्णन करते हैं, और सिम्प्लेक्स विधि बिना आगे बढ़े आधार बदल सकती है।

इष्टतम हल (optimal solution): वह सुसंगत हल जो Z का सर्वोत्तम (अधिकतम या न्यूनतम) मान दे।

5. मूलभूत प्रमेय

प्रमेय 1: LPP का सुसंगत क्षेत्र एक उत्तल समुच्चय (convex set) है (परिमित संख्या में बंद अर्ध-समष्टियों और अतिसमतलों का प्रतिच्छेद)।

यह क्यों काम करता है: यदि Ax₁ = b, Ax₂ = b, x₁, x₂ ≥ 0 और 0 ≤ λ ≤ 1, तो A(λx₁ + (1 − λ)x₂) = λb + (1 − λ)b = b और λx₁ + (1 − λ)x₂ ≥ 0। अतः दो सुसंगत बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड सुसंगत है।

प्रमेय 2: सुसंगत x सुसंगत क्षेत्र का चरम बिंदु (extreme point) है यदि और केवल यदि वह आधारी सुसंगत हल है।

यह क्यों काम करता है (BFS ⇒ चरम): मान लीजिए BFS x = λu + (1 − λ)v, जहाँ u, v सुसंगत और 0 < λ < 1। जहाँ x_j = 0, वहाँ अऋणात्मकता से u_j = v_j = 0, अतः u और v एक ही निकाय Bx_B = b को हल करते हैं, जिसका हल अद्वितीय है; अतः u = v = x।

(चरम ⇒ BFS): यदि किसी चरम बिंदु x के धनात्मक घटकों के स्तंभ a_j परतंत्र होते, ∑d_ja_j = 0 जहाँ d ≠ 0 केवल उन्हीं घटकों पर है, तो छोटे ε > 0 के लिए x + εd और x − εd दोनों सुसंगत होते और x उनका मध्य बिंदु होता, जो विरोधाभास है। अतः वे स्तंभ स्वतंत्र हैं और उन्हें एक आधार तक बढ़ाया जा सकता है।

प्रमेय 3: यदि कोई सुसंगत हल विद्यमान है, तो एक आधारी सुसंगत हल भी विद्यमान है।

भाव: किसी भी सुसंगत x से आरंभ कीजिए; यदि उसके धनात्मक घटकों के स्तंभ परतंत्र हों, तो परतंत्रता की दिशा d में तब तक चलिए जब तक पहला घटक 0 न हो जाए। इससे सुसंगतता बनी रहती है और धनात्मक घटकों की संख्या घटती है; दोहराने पर BFS मिलता है।

प्रमेय 4 (मूलभूत प्रमेय): यदि LPP का परिमित इष्टतम मान है, तो वह कम से कम एक आधारी सुसंगत हल (चरम बिंदु) पर प्राप्त होता है।

यदि इष्टतम दो चरम बिंदुओं पर प्राप्त हो, तो वह उनके प्रत्येक उत्तल संचय पर भी प्राप्त होता है (अनंत इष्टतम हल)।

यह क्यों काम करता है: जब सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध हो, तो प्रत्येक सुसंगत x चरम बिंदुओं x_k का उत्तल संयोजन x = ∑λ_kx_k (λ_k ≥ 0, ∑λ_k = 1) है। तब Z(x) = ∑λ_kZ(x_k) ≤ max_k Z(x_k), अतः अधिकतम किसी चरम बिंदु पर होता है। यदि Z(x₁) = Z(x₂) = Z*, तो Z(λx₁ + (1 − λ)x₂) = λZ* + (1 − λ)Z* = Z*। अपरिबद्ध क्षेत्र के लिए भी प्रमेय सत्य है; उसकी उपपत्ति अपरिबद्धता की दिशाओं का भी प्रयोग करती है।

भाव: रैखिक फलन का कोई आंतरिक अधिकतम नहीं होता (उसकी प्रवणता c, c = 0 के अतिरिक्त कभी शून्य नहीं होती), अतः इष्टतम सीमा की ओर धकेला जाता है, और किसी समतल फलक पर वह केवल किसी कोने की ओर ही सुधर सकता है। इसीलिए केवल परिमित बिंदुओं, अर्थात BFS, की जाँच आवश्यक है।

6. आलेखी विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो निर्णय चरों के साथ पूरी समस्या एक समतल में देखी जा सकती है: अनुमत बिंदुओं का क्षेत्र और वह दिशा जिसमें उद्देश्य सुधरता है। इससे कोना-बिंदु सिद्धांत दिखाई देता है और उत्तर सीधे मिलता है।

शब्दों में: प्रत्येक असमिका a₁x + a₂y ≤ b, रेखा a₁x + a₂y = b से घिरा एक अर्ध-तल है; सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में सभी अर्ध-तलों का उभयनिष्ठ भाग है, एक उत्तल बहुभुज (संभवतः अपरिबद्ध)। सम-लाभ रेखाएँ Z = k समांतर हैं, और Z सदिश (c₁, c₂) की दिशा में बढ़ता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x + y ≤ 6, −x + y ≤ 2, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = x + 3y।

(1) रेखाएँ खींचें: x + y = 6, (6, 0) और (0, 6) से होकर; −x + y = 2, (0, 2) और (−2, 0) से होकर।

(2) पक्ष चुनें: मूलबिंदु 0 ≤ 6 और 0 ≤ 2 को संतुष्ट करता है, अतः दोनों सुसंगत अर्ध-तलों में मूलबिंदु है।

(3) कोनों की सूची बनाएँ: (0, 0), (6, 0), (0, 2), और दोनों रेखाओं का मिलन बिंदु: उन्हें जोड़ने से 2y = 8, अतः y = 4, x = 2।

(4) Z का मान: 0, 6, 6 और 2 + 12 = 14।

(5) अधिकतम 14, (2, 4) पर है। सम-लाभ रेखा x + 3y = 14 क्षेत्र को केवल वहीं स्पर्श करती है, क्योंकि उसकी प्रवणता −1/3 उस कोने के दोनों किनारों की प्रवणताओं −1 और 1 से भिन्न है, अतः इष्टतम अद्वितीय है।

अ-उदाहरण (non-example): बिंदु (0, 6), जहाँ x + y = 6, y-अक्ष से मिलती है, केवल पहली रेखा के रेखाचित्र पर कोने जैसा लगता है, परंतु यह −x + y ≤ 2 का उल्लंघन करता है (6 > 2)। यह असंगत आधारी हल है, और इसका मान Z = 18 प्रयोग नहीं करना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (i) उत्तल बहुभुज पर रैखिक फलन किसी शीर्ष पर सबसे बड़ा होता है, क्योंकि प्रत्येक बिंदु शीर्षों का भारित औसत है (मूलभूत प्रमेय)। (ii) यदि उद्देश्य रेखा इष्टतम किनारे के समांतर है, तो उस किनारे का प्रत्येक बिंदु इष्टतम है। (iii) अपरिबद्ध क्षेत्र पर, Z की परिबद्धता उन दिशाओं को देखकर तय करें जिनमें क्षेत्र फैला है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक दो-चर प्रश्न में, दो-चर द्वैती को आलेखी रूप से हल करने में, और सिम्प्लेक्स विधि के पीछे के चित्र के रूप में।

7. आलेखी विधि (दो चर)

चरण 1: प्रत्येक व्यवरोध को रेखा के रूप में खींचें और असमिका को संतुष्ट करने वाला अर्ध-तल पहचानें।

चरण 2: सुसंगत क्षेत्र अंकित करें: प्रथम चतुर्थांश में उभयनिष्ठ क्षेत्र।

चरण 3: सीमा रेखाओं के युग्मों को हल करके तथा शेष व्यवरोधों की जाँच करके प्रत्येक कोणीय बिंदु ज्ञात करें।

चरण 4: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर Z का मान निकालें और सर्वोत्तम चुनें; अथवा सम-लाभ रेखा Z = k को सुधार की दिशा में तब तक खिसकाएँ जब तक वह क्षेत्र को अंतिम बार न छुए।

सम-लाभ रेखा क्यों काम करती है: रेखाएँ Z = k समांतर हैं, और Z सदिश (c₁, c₂) की दिशा में बढ़ता है। रेखा को उस दिशा में खिसकाने पर क्षेत्र से अंतिम संपर्क एक कोना या पूरा किनारा होता है: चित्र में मूलभूत प्रमेय। ऊपर के चित्र में Z = 3x₁ + 5x₂ क्षेत्र को अंतिम बार (2, 6) पर छूता है, जिससे Z = 36।

विशेष स्थितियाँ: रिक्त क्षेत्र (असुसंगत); अपरिबद्ध क्षेत्र जिसमें Z असीमित रूप से सुधरे (अपरिबद्ध हल); सम-लाभ रेखा किसी बंधनकारी किनारे के समांतर (वैकल्पिक इष्टतम); अनावश्यक व्यवरोध जो क्षेत्र को प्रभावित न करे।

वैकल्पिक इष्टतम की पहचान: ये तब होते हैं जब उद्देश्य रेखा इष्टतम पर किसी बंधनकारी व्यवरोध के समांतर हो, अर्थात उस व्यवरोध a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b के लिए c₁/c₂ = a₁/a₂, और वही किनारा अंतिम संपर्क हो। केवल अपरिबद्ध क्षेत्र होने से अपरिबद्ध हल नहीं होता; यह सुधार की दिशा पर निर्भर है।

उदाहरण 1: x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x + 2y।

कोणीय बिंदु: (0, 0), (4, 0), x + y = 4 और x + 3y = 6 से (3, 1), तथा (0, 2); Z = 0, 12, 11, 4।

अधिकतम Z = 12, x = 4, y = 0 पर।

उदाहरण 2: x₁ + 2x₂ + x₃ = 4, 2x₁ + x₂ + 5x₃ = 5 के सभी आधारी हल ज्ञात कीजिए।

आधार (x₁, x₂): x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = 0; आधारी सुसंगत तथा अनपभ्रष्ट।

आधार (x₁, x₃): x₁ = 5, x₃ = −1, x₂ = 0; आधारी परंतु सुसंगत नहीं।

आधार (x₂, x₃): x₂ = 5/3, x₃ = 2/3, x₁ = 0; आधारी सुसंगत तथा अनपभ्रष्ट।

8. विधि का चयन

यदि दो निर्णय चर हों → आलेखी विधि, व्यवरोध कितने भी हों।

यदि तीन या अधिक चर हों, सभी व्यवरोध ≤ और b ≥ 0 → न्यूनता चरों को प्रारंभिक आधार लेकर सिम्प्लेक्स विधि।

यदि कुछ व्यवरोध ≥ या = हों → बिग-M या द्वि-चरण विधि (अगला विषय); यदि व्यवरोध अनेक हों पर द्वैती में केवल दो चर हों → द्वैती को आलेखी विधि से हल कीजिए।

यदि सभी आधारी हल पूछे जाएँ → m स्तंभों के C(n, m) चयन सूचीबद्ध कीजिए, प्रत्येक m × m निकाय हल कीजिए, विचित्र चयन छोड़िए, और प्रत्येक हल को सुसंगत या असुसंगत, अपभ्रष्ट या अनपभ्रष्ट के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

यदि दिखाना हो कि दिया गया बिंदु BFS या चरम बिंदु है (या नहीं) → सुसंगतता जाँचिए, फिर जाँचिए कि उसके धनात्मक घटकों के स्तंभ रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

यदि समस्या की संरचना आपूर्ति–माँग या एक-से-एक मिलान की हो → सामान्य सिम्प्लेक्स विधि के स्थान पर परिवहन या नियतन कलनविधि लीजिए।

9. सामान्य गलतियाँ

1. सूत्रण प्रश्न में निर्णय चरों को इकाइयों सहित परिभाषित न करना, या अऋणात्मकता शर्तें छोड़ देना।

2. व्यवरोध रेखा की गलत ओर छायांकन; प्रत्येक असमिका में मूलबिंदु जैसे किसी बिंदु से परीक्षण कीजिए।

3. किसी अन्य व्यवरोध का उल्लंघन करने वाले प्रतिच्छेद बिंदुओं पर Z निकालना, जैसे ऊपर के चित्र में (4, 6)।

4. केवल क्षेत्र के अपरिबद्ध होने से अपरिबद्ध हल घोषित करना; ऐसे क्षेत्र पर धनात्मक लागतों वाले न्यूनीकरण का प्रायः परिमित इष्टतम होता है।

5. विचित्र चयन हटाए बिना आधारी हलों की संख्या C(n, m) गिनना, या यह भूलना कि अपभ्रष्ट आधारी हल भी आधारी ही है।

6. उद्देश्य के इष्टतम किनारे के समांतर होने पर भी केवल एक इष्टतम बताना; बताइए कि किनारे का प्रत्येक बिंदु इष्टतम है और किनारा दीजिए।

संबंध: आधारी हल m × m रैखिक निकायों Bx_B = b के हल हैं, अतः रैखिक बीजगणित की कोटि (rank), रैखिक स्वतंत्रता और क्रेमर नियम तय करते हैं कि कौन से स्तंभ-चयन काम करते हैं।

संबंध: लग्रांज गुणक (कलन) समता व्यवरोधों वाले सुचारु उद्देश्य फलनों को आंतरिक क्रांतिक बिंदुओं पर सँभालते हैं; रैखिक उद्देश्य फलन का कोई क्रांतिक बिंदु नहीं होता, अतः LP के इष्टतम सीमा पर होते हैं, और द्वैतता विषय के द्वैती चर गुणकों की भूमिका निभाते हैं।

10. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 3: एक फर्म कुर्सियाँ (x) और मेजें (y) बनाती है, प्रति इकाई लाभ Rs 40 और Rs 30 है। एक कुर्सी को 2 घंटे मशीनन और 1 घंटा परिष्करण चाहिए, एक मेज को दोनों का 1-1 घंटा; 100 मशीनन घंटे और 80 परिष्करण घंटे उपलब्ध हैं, और अधिकतम 40 कुर्सियाँ बिक सकती हैं। सूत्रण कर आलेखी विधि से हल कीजिए।

2x + y ≤ 100, x + y ≤ 80, x ≤ 40, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = 40x + 30y।

कोणीय बिंदु: (0, 0), (40, 0), x = 40 और 2x + y = 100 से (40, 20), 2x + y = 100 और x + y = 80 से (20, 60), तथा (0, 80)।

Z = 0, 1600, 2200, 2600, 2400, अतः x = 20, y = 60 पर Max Z = 2600; इष्टतम पर व्यवरोध x ≤ 40 बंधनकारी नहीं है।

उदाहरण 4: x + y ≥ 4, x + 3y ≥ 6, x, y ≥ 0 के अधीन Min Z = 3x + 2y।

सुसंगत क्षेत्र दोनों रेखाओं के ऊपर है और अपरिबद्ध है, परंतु उस पर Z ≥ 0 है, अतः न्यूनतम विद्यमान है और किसी कोणीय बिंदु पर प्राप्त होता है।

कोणीय बिंदु: (0, 4), x + y = 4 और x + 3y = 6 से (3, 1), तथा (6, 0); Z = 8, 11, 18, अतः x = 0, y = 4 पर Min Z = 8।

उदाहरण 5: दर्शाइए कि x − y ≤ 2, x + y ≥ 4, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x + 3y का हल अपरिबद्ध है।

प्रत्येक t ≥ 4 के लिए बिंदु (0, t) सुसंगत है, क्योंकि x − y = −t ≤ 2 और x + y = t ≥ 4; इन बिंदुओं पर Z = 3t → ∞, अतः कोई परिमित अधिकतम नहीं है।

इसी क्षेत्र पर Min Z परिमित है: केवल कोणीय बिंदु (0, 4) और (3, 1) हैं, जिन पर Z = 12 और 9, अतः (3, 1) पर Min Z = 9।

उदाहरण 6: x + 2y ≤ 5, x + y ≤ 4, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x + 4y। दर्शाइए कि अनंत इष्टतम हल हैं।

कोणीय बिंदु: (0, 0), (4, 0), (3, 1) और (0, 5/2), जिन पर Z = 0, 8, 10, 10; अधिकतम 10 दो संलग्न कोणीय बिंदुओं पर है क्योंकि रेखा 2x + 4y = k किनारे x + 2y = 5 के समांतर है।

प्रत्येक बिंदु λ(3, 1) + (1 − λ)(0, 5/2) = (3λ, 5/2 − 3λ/2), 0 ≤ λ ≤ 1, इष्टतम है, क्योंकि Z = 6λ + 10 − 6λ = 10।

उदाहरण 7: x₁ = x₂ = x₃ = 1, x₁ + 2x₂ + x₃ = 4, 2x₁ + x₂ + 5x₃ = 8 का एक सुसंगत हल है। इसे आधारी सुसंगत हल में परिवर्तित कीजिए।

स्तंभ a₁ = (1, 2), a₂ = (2, 1), a₃ = (1, 5) रैखिकतः आश्रित हैं: a₃ = 3a₁ − a₂, अतः λ = (3, −1, −1) के साथ 3a₁ − a₂ − a₃ = 0।

केवल λ₁ > 0 है, अतः θ = min{x_j/λ_j : λ_j > 0} = 1/3, और x_j − θλ_j से (1 − 1, 1 + 1/3, 1 + 1/3) = (0, 4/3, 4/3) मिलता है।

जाँच: 8/3 + 4/3 = 4 और 4/3 + 20/3 = 8; a₂, a₃ स्वतंत्र हैं (det [[2, 1], [1, 5]] = 9 ≠ 0), अतः (0, 4/3, 4/3) एक अनपभ्रष्ट BFS है।

11. आधारी हलों की गणना, अपभ्रष्टता और इष्टतम का अस्तित्व

अव्युत्क्रमणीय चयन: चुने गए m स्तंभ तभी आधारी हल देते हैं जब वे रैखिकतः स्वतंत्र हों। यदि चुने गए दो स्तंभ समानुपाती हैं (सारणिक 0), तो उस चयन से कोई आधारी हल नहीं मिलता (तब घटा हुआ निकाय असंगत होता है या उसके अनंत हल होते हैं)। अतः आधारी हलों की संख्या C(n, m) में से अव्युत्क्रमणीय चयनों की संख्या घटाने पर मिलती है।

प्रत्येक आधारी हल का वर्गीकरण: सुसंगत यदि प्रत्येक आधारी चर ≥ 0; अपभ्रष्ट यदि कोई आधारी चर 0; अनपभ्रष्ट यदि सभी m आधारी चर अशून्य हों (BFS के लिए धनात्मक)। पूछे जाने पर प्रत्येक प्रकार की संख्या बताइए।

हल किए बिना इष्टतम का अस्तित्व: यदि सुसंगत क्षेत्र अरिक्त और परिबद्ध है (उदाहरणतः प्रत्येक चर ऋणेतर गुणांकों वाले किसी समीकरण से परिबद्ध है), तो रैखिक उद्देश्य फलन इस संवृत परिबद्ध समुच्चय पर अपना अधिकतम और न्यूनतम प्राप्त करता है, अतः परिमित इष्टतम विद्यमान है और किसी BFS पर प्राप्त होता है। सभी BFS पर Z निकालिए; दो BFS पर बराबर मान उन्हें मिलाने वाले पूरे रेखाखंड पर वैकल्पिक इष्टतम देता है।

अपरिबद्ध क्षेत्र: इष्टतम फिर भी हो सकता है (उदाहरणतः धनात्मक लागत वाली Min समस्या, जहाँ Z ≥ 0), परंतु इसका तर्क देना आवश्यक है, मान लेना नहीं।

12. सूत्रण के प्रतिरूप: मिश्रण, आवश्यकताएँ और कर्तन-स्टॉक

मिश्रण: यदि मिश्रण j संसाधनों को p : q : r के अनुपात में मिलाता है, तो इसके एक टन में पहले संसाधन का p/(p + q + r) टन होता है, इत्यादि; प्रत्येक संसाधन का भंडार एक ≤ व्यवरोध देता है।

आवश्यकताएँ (आहार प्रकार): न्यूनतम आवश्यकताएँ ≥ व्यवरोध देती हैं; क्षेत्र अपरिबद्ध होता है, परंतु धनात्मक लागतों के साथ न्यूनतम किसी कोने पर विद्यमान होता है।

कर्तन-स्टॉक (छँटाई हानि, trim loss): स्टॉक लंबाई के प्रत्येक कर्तन प्रतिरूप की सूची बनाइए (प्रत्येक आवश्यक लंबाई के कितने टुकड़े मिलते हैं), केवल वे प्रतिरूप रखिए जिनका शेष सबसे छोटे आवश्यक टुकड़े से छोटा हो। x_j को प्रतिरूप j से काटे गए स्टॉक टुकड़ों की संख्या मानिए; प्रत्येक आवश्यक लंबाई एक व्यवरोध देती है, और उद्देश्य Min ∑(प्रतिरूप j की छँटाई)x_j है।

आवश्यकताओं को समीकरणों के रूप में लिखने पर कुल छँटाई = (स्टॉक लंबाई)×(प्रयुक्त टुकड़े) − (कुल आवश्यक लंबाई), अतः छँटाई न्यूनतम करना प्रयुक्त स्टॉक टुकड़ों की संख्या न्यूनतम करने के समान है।

13. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 20 अंक): निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या पर विचार कीजिए:
अधिकतमीकरण कीजिए Z = x₁ + 2x₂ − 3x₃ + 4x₄
बशर्ते कि
x₁ + x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 12
x₂ + 2x₃ + x₄ = 8
x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0
(i) परिभाषा का इस्तेमाल करते हुए इसके सभी आधारी हल ज्ञात कीजिए। इनमें कौन-से अपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल हैं और कौन-से अनपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल हैं?
(ii) समस्या को हल किए बिना दर्शाइए कि इसका इष्टतम हल है। आधारी सुसंगत हलों में कौन-सा/से इष्टतम हल है/हैं?

(i) n = 4, m = 2, अतः अधिकतम C(4, 2) = 6 आधार। स्तंभ a₁ = (1, 0), a₂ = (1, 1), a₃ = (2, 2), a₄ = (3, 1) हैं; a₃ = 2a₂, अतः (x₂, x₃) अव्युत्क्रमणीय है (इससे x₂ + 2x₃ = 12 और x₂ + 2x₃ = 8 मिलते हैं, जो असंगत हैं)।

(x₁, x₂): x₂ = 8, x₁ = 4, अर्थात (4, 8, 0, 0), BFS, Z = 20। (x₁, x₃): 2x₃ = 8, x₁ = 4, अर्थात (4, 0, 4, 0), BFS, Z = −8।

(x₁, x₄): x₄ = 8, x₁ = 12 − 24 = −12, आधारी पर असुसंगत। (x₂, x₄): x₂ + 3x₄ = 12, x₂ + x₄ = 8 से (0, 6, 0, 2), BFS, Z = 20। (x₃, x₄): 2x₃ + 3x₄ = 12, 2x₃ + x₄ = 8 से (0, 0, 3, 2), BFS, Z = −1।

अतः 5 आधारी हल हैं; 4 आधारी सुसंगत हैं, और चारों अनपभ्रष्ट हैं (प्रत्येक आधारी चर धनात्मक है)। कोई अपभ्रष्ट BFS नहीं है।

(ii) x ≥ 0 के साथ दूसरा समीकरण x₂, x₄ ≤ 8 और x₃ ≤ 4 देता है, और पहला x₁ ≤ 12 देता है। अतः सुसंगत समुच्चय अरिक्त, संवृत और परिबद्ध है, और रैखिक Z परिमित अधिकतम किसी BFS पर प्राप्त करता है (मूलभूत प्रमेय)।

चारों BFS पर Z की तुलना से अधिकतम 20, (4, 8, 0, 0) और (0, 6, 0, 2) पर प्राप्त होता है, अतः प्रत्येक λ(4, 8, 0, 0) + (1 − λ)(0, 6, 0, 2), 0 ≤ λ ≤ 1 पर भी।

उत्तर: 5 आधारी हल, जिनमें 4 अनपभ्रष्ट BFS हैं और कोई अपभ्रष्ट नहीं; इष्टतम BFS (4, 8, 0, 0) और (0, 6, 0, 2) हैं, Max Z = 20।

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 15 अंक): अधोलिखित समीकरणों के रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय में कितने आधारी हल हैं ? उन सभी को ज्ञात कीजिए।
2x₁ − x₂ + 3x₃ + x₄ = 6
4x₁ − 2x₂ − x₃ + 2x₄ = 10.

यहाँ m = 2 और n = 4, अतः अधिकतम C(4, 2) = 6 आधारी हल हैं। स्तंभ a₁ = (2, 4), a₂ = (−1, −2), a₃ = (3, −1), a₄ = (1, 2) हैं।

a₁, a₂, a₄ सभी (1, 2) के गुणज हैं, अतः युग्म (x₁, x₂), (x₁, x₄), (x₂, x₄) अव्युत्क्रमणीय हैं। x₃ = 0 रखने पर समीकरण 2x₁ − x₂ + x₄ = 6 और 2(2x₁ − x₂ + x₄) = 10 बनते हैं, जो असंगत हैं, अतः इनसे कोई हल नहीं मिलता।

(x₁, x₃): 2x₁ + 3x₃ = 6, 4x₁ − x₃ = 10 से x₁ = 18/7, x₃ = 2/7।

(x₂, x₃): −x₂ + 3x₃ = 6, −2x₂ − x₃ = 10 से x₂ = −36/7, x₃ = 2/7।

(x₃, x₄): 3x₃ + x₄ = 6, −x₃ + 2x₄ = 10 से x₃ = 2/7, x₄ = 36/7।

उत्तर: ठीक 3 आधारी हल: (18/7, 0, 2/7, 0), (0, −36/7, 2/7, 0) और (0, 0, 2/7, 36/7)।

उदाहरण 10 (UPSC 2025, 10 अंक): समीकरण निकाय
2x₁ − x₂ + 3x₃ + x₄ = 6
4x₁ − 2x₂ − x₃ + 2x₄ = 10
के कितने आधारी हल हैं? उन सभी को ज्ञात कीजिए। उन आधारी हलों की संख्या भी ज्ञात कीजिए जो सुसंगत/असुसंगत/अनपभ्रष्ट हैं।

यह उदाहरण 9 का निकाय है: 6 में से 3 स्तंभ-युग्म अव्युत्क्रमणीय हैं, अतः 3 आधारी हल हैं।

(18/7, 0, 2/7, 0) और (0, 0, 2/7, 36/7) में दोनों आधारी चर धनात्मक हैं, अतः ये आधारी सुसंगत और अनपभ्रष्ट हैं।

(0, −36/7, 2/7, 0) में x₂ < 0, अतः यह आधारी पर असुसंगत है; यह भी अनपभ्रष्ट है, क्योंकि कोई आधारी चर 0 नहीं।

उत्तर: 3 आधारी हल: 2 सुसंगत, 1 असुसंगत, और तीनों अनपभ्रष्ट (कोई अपभ्रष्ट नहीं)।

उदाहरण 11 (UPSC 2020, 10 अंक): यू.पी.एस.सी. के रखरखाव विभाग ने भवन में पर्दों की आवश्यकता-पूर्ति हेतु पर्दा-कपडे के पर्याप्त संख्या में टुकड़े खरीदे हैं। प्रत्येक टुकड़े की लम्बाई 17 फुट है। पर्दों की लम्बाई के अनुसार आवश्यकता निम्नलिखित है :
पर्दे की लम्बाई (फुटों में) : 5, 9, 7
आवश्यक संख्या : 700, 400, 300
टुकड़ों एवं सभी पर्दों की चौड़ाइयाँ समान हैं। विभिन्न रूप से काटे गये टुकड़ों की संख्या का निर्णय इस प्रकार करने हेतु कि कुल कटान-हानि न्यूनतम हो, एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का प्रामाणिक रूप में निर्धारण कीजिए। इसका एक आधारी सुसंगत हल भी दीजिए।

17 फुट के टुकड़े के प्रतिरूप (5, 9, 7 फुट के टुकड़े; शेष 5 फुट से कम): P₁ = (3, 0, 0), छँटाई 2; P₂ = (2, 0, 1), छँटाई 0; P₃ = (1, 1, 0), छँटाई 3; P₄ = (0, 1, 1), छँटाई 1; P₅ = (0, 0, 2), छँटाई 3।

x_j को प्रतिरूप P_j से काटे गए टुकड़ों की संख्या मानिए। Z = 2x₁ + 0x₂ + 3x₃ + x₄ + 3x₅ न्यूनतम कीजिए।

व्यवरोध 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 700 (5 फुट), x₃ + x₄ = 400 (9 फुट), x₂ + x₄ + 2x₅ = 300 (7 फुट), x_j ≥ 0 (पूर्णांक)। समीकरण अतिरिक्त पर्दों को उपयोगी गिने जाने से रोकते हैं, और यही मानक रूप है (समता व्यवरोध, b ≥ 0, x ≥ 0)।

एक BFS: आधार (x₁, x₃, x₅) लीजिए, x₂ = x₄ = 0। तब x₃ = 400, 3x₁ = 300 अतः x₁ = 100, और 2x₅ = 300 अतः x₅ = 150; स्तंभ (3, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 2) स्वतंत्र हैं और सभी मान ≥ 0 हैं।

इस BFS की छँटाई 200 + 1200 + 450 = 1850 फुट है। (सभी आधार जाँचने पर न्यूनतम छँटाई 1000 फुट है, उदाहरणतः x₁ = 200, x₃ = 100, x₄ = 300, जिसमें 600 टुकड़े लगते हैं।)

उत्तर: ऊपर के तीन समीकरणों और x ≥ 0 के अधीन Min Z = 2x₁ + 3x₃ + x₄ + 3x₅; एक BFS (x₁, ..., x₅) = (100, 0, 400, 0, 150) है।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): मानक रूप में लिखिए: x₁ + x₂ ≥ 2, x₁ − x₂ ≤ 3, x₁ ≥ 0, x₂ अप्रतिबंधित के अधीन Min Z = 2x₁ − x₂।

उत्तर: x₂ = x₂′ − x₂″ के साथ: x₁ + x₂′ − x₂″ − s₁ = 2, x₁ − x₂′ + x₂″ + s₂ = 3, सभी चर ≥ 0 के अधीन Max Z′ = −2x₁ + x₂′ − x₂″।

अभ्यास 2 (मूल): क्या (1, 1, 1), x₁ + x₂ + x₃ = 3, x₁ − x₂ = 0 का आधारी हल है?

उत्तर: नहीं: यह सुसंगत है, परंतु इसके तीन शून्येतर घटक हैं जबकि m = 2, अतः यह आधारी नहीं हो सकता (तीनों स्तंभ आश्रित हैं)।

अभ्यास 3 (मूल): 5 अज्ञातों में 3 स्वतंत्र समीकरणों के निकाय के अधिकतम कितने आधारी हल हो सकते हैं?

उत्तर: C(5, 3) = 10।

अभ्यास 4 (मानक): आलेखी विधि से हल कीजिए: x + y ≤ 5, x + 3y ≤ 9, x ≤ 4, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = 4x + 5y।

उत्तर: कोने (0, 0), (4, 0), (4, 1), (3, 2), (0, 3) पर Z = 0, 16, 21, 22, 15: Max Z = 22, (3, 2) पर।

अभ्यास 5 (मानक): आलेखी विधि से हल कीजिए: 3x + y ≥ 6, x + y ≥ 4, x + 3y ≥ 6, x, y ≥ 0 के अधीन Min Z = 5x + 2y।

उत्तर: कोने (0, 6), (1, 3), (3, 1), (6, 0) पर Z = 12, 11, 17, 30: Min Z = 11, (1, 3) पर; क्षेत्र अपरिबद्ध है परंतु उस पर Z ≥ 0।

अभ्यास 6 (मानक): x₁ + x₂ + 2x₃ = 4, 2x₁ − x₂ + x₃ = 2 के सभी आधारी हल ज्ञात कर उनका वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: (x₁, x₂): (2, 2, 0), अनपभ्रष्ट BFS; (x₁, x₃) और (x₂, x₃) दोनों (0, 0, 2) देते हैं, अपभ्रष्ट BFS (एक आधारी चर 0 है), दो आधारों से एक ही बिंदु।

अभ्यास 7 (मानक): दिखाइए कि x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 6, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x + 6y के अनंत इष्टतम हल हैं, और उनका वर्णन कीजिए।

उत्तर: कोने (0, 0), (6, 0), (4, 2), (0, 4) पर Z = 0, 18, 24, 24; प्रत्येक बिंदु λ(4, 2) + (1 − λ)(0, 4), 0 ≤ λ ≤ 1, Z = 24 के साथ इष्टतम है (Z, x + 2y = 8 के समांतर है)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): (2, 1, 1), x₁ + x₂ + x₃ = 4, 2x₁ + x₂ + 3x₃ = 8 का सुसंगत हल है। इसे आधारी सुसंगत हल में बदलिए।

उत्तर: a₃ = 2a₁ − a₂, अतः d = (2, −1, −1); θ = 2/2 = 1 से (0, 2, 2), अनपभ्रष्ट BFS (−d लेने पर अपभ्रष्ट BFS (4, 0, 0) मिलता है)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): एक किसान के पास 100 एकड़ भूमि है। गेहूँ से प्रति एकड़ Rs 4000 लाभ होता है और प्रति एकड़ 3 मानव-दिवस चाहिए; धान से प्रति एकड़ Rs 5000 और प्रति एकड़ 5 मानव-दिवस। 400 मानव-दिवस उपलब्ध हैं और अधिकतम 60 एकड़ में धान हो सकता है। सूत्रण कर हल कीजिए।

उत्तर: Max Z = 4000x + 5000y, x + y ≤ 100, 3x + 5y ≤ 400, y ≤ 60, x, y ≥ 0; कोने (0, 0), (100, 0), (50, 50), (100/3, 60), (0, 60): Max Z = Rs 4,50,000, प्रत्येक के 50 एकड़ के साथ।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): 2x₁ + 3x₂ − x₃ + 4x₄ = 8, x₁ − 2x₂ + 6x₃ − 7x₄ = −3 के सभी आधारी हल, और Z = 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 7x₄ को अधिकतम करने वाला BFS ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छह आधार; BFS (1, 2, 0, 0), (22/9, 0, 0, 7/9), (0, 45/16, 7/16, 0), (0, 0, 44/17, 45/17), जिन पर Z = 8, 31/3, 163/16, 491/17; (45/13, 0, −14/13, 0) और (0, 44/13, 0, −7/13) असंगत हैं। Max Z = 491/17, (0, 0, 44/17, 45/17) पर।

1. सिम्प्लेक्स सारणी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: तीन या अधिक चरों के साथ सुसंगत क्षेत्र खींचा नहीं जा सकता, और हर आधारी हल की सूची तेजी से बढ़ती है (5 व्यवरोधों और 10 चरों के लिए ही C(10, 5) = 252 आधार)। हमें ऐसी बीजगणितीय यात्रा चाहिए जो केवल सुधार करने वाले कोनों पर जाए और जाने कि कब रुकना है।

शब्दों में: सिम्प्लेक्स सारणी वर्तमान आधारी चरों, उनकी लागतों c_B और मानों x_B को, तथा प्रत्येक चर के लिए उसका स्तंभ y_j (आधार के माध्यम से वह कैसे व्यक्त होता है) दर्शाती है। शुद्ध मूल्यांकन Δ_j = c_B^Ty_j − c_j वह मात्रा है जितना Z, x_j की प्रति इकाई लाने पर घटेगा; अतः ऋणात्मक Δ_j (Max समस्या में) का अर्थ है कि x_j लाने से Z बढ़ता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x₁ + x₂ ≤ 4, x₁ + 3x₂ ≤ 6, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x₁ + 3x₂ (स्तंभ x₁, x₂, s₁, s₂ | x_B)।

(1) सारणी 1: s₁: 1, 1, 1, 0 | 4; s₂: 1, 3, 0, 1 | 6; Δ_j: −2, −3, 0, 0 | Z = 0। यह कोना (0, 0) है।

(2) सबसे ऋणात्मक Δ −3 है, अतः x₂ प्रवेश करता है। अनुपात 4/1 = 4 और 6/3 = 2: न्यूनतम पंक्ति s₂ में है, जो निकलती है; मुख्य अवयव 3 है।

(3) सारणी 2 (मुख्य पंक्ति को 3 से भाग दें, फिर स्तंभ साफ करें): x₂: 1/3, 1, 0, 1/3 | 2; s₁: 2/3, 0, 1, −1/3 | 2; Δ_j: −1, 0, 0, 1 | Z = 6। यह कोना (0, 2) है।

(4) Δ₁ = 3(1/3) − 2 = −1 ऋणात्मक है, अतः x₁ प्रवेश करता है। अनुपात 2/(1/3) = 6 और 2/(2/3) = 3: s₁ निकलता है; मुख्य अवयव 2/3।

(5) सारणी 3: x₁: 1, 0, 3/2, −1/2 | 3; x₂: 0, 1, −1/2, 1/2 | 1; Δ_j: 0, 0, 3/2, 1/2 | Z = 9।

(6) सभी Δ_j ≥ 0, अतः x₁ = 3, x₂ = 1, Max Z = 9। जाँच: कोने (0, 0), (4, 0), (3, 1), (0, 2) पर 0, 8, 9, 6। ध्यान दें कि विधि (0, 0) → (0, 2) → (3, 1) गई, हर बार बढ़ते Z के साथ संलग्न कोने, और (4, 0) को कभी नहीं देखा।

अ-उदाहरण (non-example): व्यवरोध x₁ + x₂ ≥ 4 के लिए आधिक्य रूप x₁ + x₂ − s₁ = 4 प्रारंभिक BFS नहीं देता: x = 0 रखने पर s₁ = −4 < 0। साधारण सारणी को x_B ≥ 0 वाला तत्समक आधार चाहिए, जो यहाँ विफल है; कृत्रिम चर (आगे का पाठ) इसे ठीक करते हैं।

आगे बढ़ते हुए: (i) प्रत्येक सारणी Z को अनाधारी चरों पर Z = Z₀ − ∑Δ_jx_j के रूप में व्यक्त करती है (नीचे व्युत्पत्ति खंड), जो इष्टतमता परीक्षण सिद्ध करता है। (ii) अनुपात परीक्षण वह सबसे बड़ा पद है जो प्रत्येक आधारी चर को ≥ 0 रखे। (iii) एक धुरी-क्रिया (pivot) गॉस–जॉर्डन का एक चरण है, अतः सारणी सदैव B⁻¹A और B⁻¹b रखती है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक “सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए” प्रश्न में (15–20 अंक), और बिग-M, द्वि-चरण तथा द्वैती सिम्प्लेक्स विधियों के अंदर।

2. सिम्प्लेक्स कलनविधि (Max, सभी व्यवरोध ≤, b ≥ 0)

चरण 1: न्यूनता चरों (slack variables) से मानक रूप बनाएँ; न्यूनता चर प्रारंभिक आधार (तत्समक आव्यूह) बनाते हैं और प्रारंभिक BFS देते हैं।

भाव: सिम्प्लेक्स विधि सुसंगत क्षेत्र के किनारों के अनुदिश एक कोने (BFS) से आसन्न बेहतर कोने तक चलती है, और उस कोने पर रुकती है जहाँ से कोई किनारा Z को नहीं सुधारता। बीजीय रूप से, आसन्न कोनों में केवल एक आधारी चर का अंतर होता है: एक चर आधार में प्रवेश करता है और एक निकलता है।

चरण 2: प्रत्येक अनाधारी स्तंभ के लिए शुद्ध मूल्यांकन (net evaluation) Δ_j = Z_j − C_j = c_B^Ty_j − c_j निकालें, जहाँ y_j, x_j का वर्तमान स्तंभ है।

इष्टतमता परीक्षण: यदि प्रत्येक Δ_j ≥ 0, तो वर्तमान BFS इष्टतम है।

चरण 3 (प्रवेशी चर): सर्वाधिक ऋणात्मक Δ_k चुनें; x_k प्रवेश करता है (मुख्य स्तंभ)।

अपरिबद्धता परीक्षण: यदि मुख्य स्तंभ की प्रत्येक प्रविष्टि y_ik ≤ 0 हो, तो समस्या का हल अपरिबद्ध (unbounded) है।

चरण 4 (निर्गामी चर): y_ik > 0 के लिए अनुपात x_Bi/y_ik बनाएँ; न्यूनतम अनुपात वाली पंक्ति निकलती है (मुख्य पंक्ति) और y_rk मुख्य अवयव है।

चरण 5 (धुरीकरण): मुख्य पंक्ति को मुख्य अवयव से भाग दें और पंक्ति संक्रियाओं से मुख्य स्तंभ की अन्य सभी प्रविष्टियाँ शून्य करें; चरण 2 पर लौटें।

प्रत्येक पुनरावृत्ति संलग्न चरम बिंदु पर ले जाती है और Z घटता नहीं; अपभ्रष्टता न होने पर Z निरंतर बढ़ता है, अतः विधि परिमित चरणों में समाप्त होती है।

3. व्युत्पत्ति: इष्टतमता और अनुपात परीक्षण क्यों काम करते हैं

A = [B N] और x = (x_B, x_N) में विभाजित कीजिए। Ax = b से x_B = B⁻¹b − ∑_j∈N y_jx_j, जहाँ y_j = B⁻¹a_j वर्तमान सारणी में x_j का स्तंभ है।

Z = c_B^Tx_B + ∑_j∈N c_jx_j में रखने पर Z = c_B^TB⁻¹b − ∑_j∈N (c_B^Ty_j − c_j)x_j = Z₀ − ∑_j∈N Δ_jx_j, जो प्रत्येक सुसंगत x के लिए मान्य सर्वसमिका है।

इष्टतमता परीक्षण: यदि प्रत्येक Δ_j ≥ 0, तो, चूँकि प्रत्येक x_j ≥ 0, प्रत्येक सुसंगत x के लिए Z ≤ Z₀, अतः वर्तमान BFS (Z = Z₀) इष्टतम है।

प्रवेशी चर: यदि Δ_k < 0, तो x_k को 0 से t तक बढ़ाने पर (अन्य अनाधारी चर 0 पर रखकर) Z = Z₀ − Δ_kt, जो प्रति इकाई |Δ_k| की दर से बढ़ता है। सर्वाधिक ऋणात्मक Δ_k (डैंट्ज़िग नियम) प्रति इकाई सबसे तेज़ दर देता है, आवश्यक नहीं कि सबसे बड़ा कुल लाभ।

अनुपात परीक्षण: आधारी चर x_Bi = x̂_Bi − t y_ik हो जाते हैं, जहाँ x̂_Bi वर्तमान मान है। y_ik ≤ 0 वाली पंक्ति कभी ऋणात्मक नहीं होती; y_ik > 0 वाली पंक्ति केवल तब तक ≥ 0 रहती है जब तक t ≤ x̂_Bi/y_ik। अतः सबसे बड़ा कदम t* = min{x̂_Bi/y_ik : y_ik > 0} है, और उसे प्राप्त करने वाली पंक्ति का आधारी चर 0 हो जाता है और निकल जाता है।

अपरिबद्धता: यदि प्रत्येक y_ik ≤ 0, तो कोई आधारी चर कभी ऋणात्मक नहीं होता, t असीमित रूप से बढ़ सकता है, और Z = Z₀ − Δ_kt → ∞।

धुरी-संक्रिया और समाप्ति: चरण 5 की पंक्ति संक्रियाएँ नया B⁻¹ निकालती हैं, अतः प्रत्येक सारणी B⁻¹A और B⁻¹b दिखाती है। अधिकतम C(n, m) आधार हैं; जब कोई BFS अपभ्रष्ट न हो, t* > 0 और Z निरंतर बढ़ता है, अतः कोई आधार दोहराया नहीं जाता और विधि परिमित पुनरावृत्तियों में रुक जाती है।

4. सिम्प्लेक्स सारणी के संकेतों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अंतिम सारणी “इष्टतम क्या है” से अधिक का उत्तर देती है। प्रश्न पूछते हैं कि क्या इष्टतम अद्वितीय है, क्या समस्या अपरिबद्ध या असंगत है, और क्या अपभ्रष्टता हुई; प्रत्येक का सारणी में एक निश्चित संकेत है।

शब्दों में: (a) इष्टतम सारणी में Δ_j = 0 वाला अनाधारी चर बताता है कि दूसरा इष्टतम कोना प्राप्त किया जा सकता है; (b) बिना धनात्मक प्रविष्टि वाला प्रवेशी स्तंभ बताता है कि Z असीमित बढ़ सकता है; (c) अनुपात परीक्षण में बराबरी, या 0 के बराबर आधारी चर, अपभ्रष्टता बताता है; (d) धनात्मक बचा कृत्रिम चर असंगति बताता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x₁ + x₂ ≤ 4, x₁ ≤ 3, x ≥ 0 के अधीन Max Z = x₁ + x₂।

(1) सारणी 1: s₁: 1, 1, 1, 0 | 4; s₂: 1, 0, 0, 1 | 3; Δ_j: −1, −1, 0, 0। −1 और −1 की बराबरी x₁ लेकर तोड़ी जाती है; अनुपात 4 और 3, अतः s₂ निकलता है।

(2) सारणी 2: x₁: 1, 0, 0, 1 | 3; s₁: 0, 1, 1, −1 | 1; Δ_j: 0, −1, 0, 1 | Z = 3। अब x₂ प्रवेश करता है; केवल पंक्ति s₁ में धनात्मक प्रविष्टि है, अनुपात 1, अतः s₁ निकलता है।

(3) सारणी 3: x₂: 0, 1, 1, −1 | 1; x₁: 1, 0, 0, 1 | 3; Δ_j: 0, 0, 1, 0 | Z = 4। सभी Δ_j ≥ 0: (3, 1) इष्टतम है।

(4) संकेत पढ़ें: s₂ अनाधारी है और Δ = 0। इसे लाएँ: इसका स्तंभ (−1, 1) है, अतः केवल पंक्ति x₁ अनुपात देती है, 3/1 = 3, और x₁ निकलता है।

(5) नया BFS x₁ = 0, x₂ = 4, s₂ = 3 है, वही Z = 4। अतः (3, 1) और (0, 4) दोनों इष्टतम हैं, और उनके बीच का प्रत्येक बिंदु भी। ज्यामिति पर ध्यान दें: Z = x₁ + x₂ किनारे x₁ + x₂ = 4 के समांतर है।

अ-उदाहरण (non-example): किसी आधारी चर के नीचे शून्य Δ_j कोई संकेत नहीं: प्रत्येक आधारी स्तंभ एक इकाई सदिश e_i है, अतः Δ_j = c_B^Te_i − c_j = c_j − c_j = 0 सदैव। केवल अनाधारी चर के नीचे शून्य वैकल्पिक इष्टतम बताता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) Z = Z₀ − ∑Δ_jx_j से, शून्य Δ_j, Z बदले बिना x_j को बढ़ने देता है। (ii) यदि प्रवेशी स्तंभ में कोई धनात्मक प्रविष्टि नहीं, तो x_B = x̂_B − t y_k सभी t के लिए ≥ 0 रहता है, अतः Z → ∞। (iii) अनुपात परीक्षण में बराबरी किसी आधारी चर को 0 पर छोड़ती है; तब अगले चरण में t* = 0 हो सकता है, और आधार बिना हिले बदलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक सिम्प्लेक्स उत्तर के अंतिम वाक्य में, जिसमें अद्वितीयता या वैकल्पिक इष्टतम बताए जाने चाहिए, और “दिखाइए कि समस्या अपरिबद्ध (या असंगत) है” प्रश्नों में।

5. अंतिम सारणी का पठन

वैकल्पिक इष्टतम: इष्टतमता पर किसी अनाधारी चर का Δ_j = 0; उस x_j को आधार में लाने से दूसरा इष्टतम BFS मिलता है।

यह क्यों काम करता है: Z = Z₀ − ∑Δ_jx_j से, शून्य Δ_j का अर्थ है कि x_j बढ़ाने से Z नहीं बदलता; दोनों इष्टतम BFS के बीच के किनारे का प्रत्येक बिंदु इष्टतम है। यदि उस स्तंभ का अनुपात परीक्षण t* = 0 दे (अपभ्रष्ट), तो नया आधार उसी बिंदु का वर्णन करता है और संभव है कि कोई दूसरा इष्टतम बिंदु न हो।

अपभ्रष्टता (degeneracy): न्यूनतम अनुपात में बराबरी, या कोई आधारी चर शून्य स्तर पर; सिद्धांततः चक्रण संभव है, जिसे ब्लैंड नियम या कोशक्रमीय नियम रोकता है।

भाव: न्यूनतम अनुपात में बराबरी से दो आधारी चर एक साथ 0 तक पहुँचते हैं; एक निकलता है और दूसरा मान 0 के साथ आधारी रहता है। अगले चरण में t* = 0 हो सकता है, अतः बिंदु और Z वही रहते हुए आधार बदलता है; चक्रण का अर्थ है कि ऐसे शून्य कदम किसी पूर्व आधार पर लौट आएँ।

असुसंगतता: इष्टतम आधार में कोई कृत्रिम चर धनात्मक स्तर पर बना रहे।

क्यों: कृत्रिम चर मापते हैं कि मूल व्यवरोध संतुष्ट होने से कितने दूर हैं। यदि सर्वोत्तम सारणी में भी कोई धनात्मक बना रहे, तो ऐसा कोई बिंदु नहीं जहाँ सभी मूल व्यवरोध लागू हों।

न्यूनतमीकरण: Min Z = −Max(−Z) लें, अथवा सर्वाधिक धनात्मक Δ_j को प्रवेश दें और सभी Δ_j ≤ 0 होने पर रुकें।

6. कृत्रिम चरों (बिग-M और द्वि-चरण) को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सिम्प्लेक्स विधि को तत्समक आधार वाले BFS से आरंभ करना होता है। ≥ या = प्रकार के व्यवरोध ऐसा आधार नहीं देते, अतः हम अस्थायी चर जोड़ते हैं जो आरंभ देते हैं, और फिर उन्हें बाहर निकालने को बाध्य करते हैं।

शब्दों में: कृत्रिम चर a_i ≥ 0, ≥ या = पंक्ति में जोड़ा जाता है ताकि उसका स्तंभ इकाई सदिश हो। जिस बिंदु पर कोई a_i > 0 हो वह मूल समस्या का हल नहीं है। बिग-M ऐसे बिंदुओं को बहुत महँगा बनाता है (Max समस्या में लागत −M); द्वि-चरण विधि पहले केवल ∑a_i को न्यूनतम करती है (चरण I) और उसके बाद ही वास्तविक उद्देश्य को (चरण II)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: व्यवरोधों x₁ + 2x₂ ≥ 4, x₁ + x₂ ≤ 3, x ≥ 0 के लिए चरण I।

(1) पंक्तियाँ लिखें: x₁ + 2x₂ − s₁ + a₁ = 4 और x₁ + x₂ + s₂ = 3। प्रारंभिक आधार (a₁, s₂) = (4, 3) है, अऋणात्मक मानों वाला तत्समक आधार।

(2) चरण I उद्देश्य: Max Z* = −a₁, अतः c_B = (−1, 0)। शुद्ध मूल्यांकन (स्तंभ x₁, x₂, s₁, s₂, a₁) −1, −2, 1, 0, 0 हैं, और Z* = −4।

(3) x₂ प्रवेश करता है (सबसे ऋणात्मक); अनुपात 4/2 = 2 और 3/1 = 3, अतः a₁ निकलता है।

(4) नई सारणी (कृत्रिम स्तंभ हटाकर): x₂: 1/2, 1, −1/2, 0 | 2; s₂: 1/2, 0, 1/2, 1 | 1; अब Z* = 0।

(5) चरण I ने ∑a_i = 0 प्राप्त कर लिया, अतः x = (0, 2) मूल व्यवरोधों का BFS है (जाँच: 0 + 4 = 4 ≥ 4 और 2 ≤ 3)। चरण II वास्तविक लागतों के साथ इसी सारणी से आरंभ होता है। ध्यान दें कि चरण I वास्तविक उद्देश्य को पूरी तरह अनदेखा करता है; उसका एकमात्र कार्य एक सुसंगत कोना खोजना है।

अ-उदाहरण (non-example): पहले व्यवरोध को x₁ + 2x₂ ≥ 8 से बदलें। x₁ + x₂ ≤ 3 पर x₁ + 2x₂ का सबसे बड़ा मान 6 है, (0, 3) पर, अतः a₁ कभी 2 से नीचे नहीं जा सकता: चरण I धनात्मक कृत्रिम चर के साथ समाप्त होता है और समस्या असंगत है। जो शर्त विफल होती है वह है “चरण I न्यूनतम = 0”।

आगे बढ़ते हुए: (i) बिग-M में प्रत्येक Δ_j का रूप αM + β है; चूँकि M प्रभावी है, पहले α की तुलना करें। (ii) चरण I सुसंगत आरंभ वाली साधारण LP है, अतः सदैव समाप्त होती है; इसका इष्टतम ठीक तब 0 है जब मूल व्यवरोध संगत हों। (iii) चरण I के बाद 0 स्तर पर आधारी कृत्रिम चर को धुरी-क्रिया से निकाला जाता है, या उसकी पंक्ति अतिरिक्त है।

कहाँ प्रयोग होता है: “बिग-M विधि से हल कीजिए” और “द्वि-चरण विधि से हल कीजिए” प्रश्नों में, ≥ व्यवरोधों वाली Min समस्याओं में, और असंगति की उपपत्तियों में।

7. कृत्रिम चर

प्रत्येक ≥ या = व्यवरोध में कृत्रिम चर (artificial variable) a_i ≥ 0 जोड़ें ताकि तत्समक प्रारंभिक आधार उपलब्ध हो।

भाव: आधिक्य चर वाला ≥ व्यवरोध, a_ix − s_i = b_i, स्तंभ −e_i देता है, और s_i = −b_i ऋणात्मक होगा; = व्यवरोध में कोई न्यूनता चर होता ही नहीं। कृत्रिम चर तत्समक आधार प्राप्त करने का अस्थायी साधन है; इसका कोई भौतिक अर्थ नहीं और इसे शून्य तक लाना आवश्यक है।

बिग-M विधि: Max समस्या में प्रत्येक कृत्रिम चर की लागत −M (Min समस्या में +M) रखें, M अत्यंत बड़ा, और सिम्प्लेक्स विधि लगाएँ।

यह क्यों काम करता है: M इतना बड़ा है कि धनात्मक कृत्रिम चर वाला कोई भी हल मूल समस्या के प्रत्येक हल से बुरा है, अतः सिम्प्लेक्स विधि यदि संभव हो तो पहले कृत्रिम चरों को हटाती है। सारणी में प्रत्येक Δ_j का रूप αM + β है; पहले M-गुणांकों α की तुलना कीजिए, और β का प्रयोग केवल बराबरी तोड़ने के लिए कीजिए।

द्वि-चरण विधि: चरण I में कृत्रिम चरों का योग न्यूनतम करें; यदि यह न्यूनतम 0 है तो मूल समस्या का BFS मिल जाता है, अन्यथा समस्या असुसंगत है।

चरण II में कृत्रिम स्तंभ हटाकर, चरण I की अंतिम सारणी से आरंभ करके मूल उद्देश्य फलन का इष्टतमीकरण करें।

चरण I की सूक्ष्मता: यदि चरण I का न्यूनतम 0 है पर कोई कृत्रिम चर अब भी मान 0 के साथ आधारी है, तो उसकी पंक्ति में किसी अकृत्रिम स्तंभ के नीचे की किसी अशून्य प्रविष्टि पर धुरी-संक्रिया कर उसे निकालिए; यदि ऐसी कोई प्रविष्टि न हो, तो वह मूल व्यवरोध अनावश्यक है और उसकी पंक्ति हटाई जा सकती है। द्वि-चरण विधि M के संख्यात्मक मान से होने वाली पूर्णांकन त्रुटियों से बचाती है।

8. विधि का चयन

यदि Max समस्या हो, सभी व्यवरोध ≤ और b ≥ 0 → न्यूनता आधार के साथ साधारण सिम्प्लेक्स।

यदि ≥ या = व्यवरोध हों → प्रश्न में नाम हो तो बिग-M, अन्यथा कोई भी; जब M-अंकगणित भारी हो तो द्वि-चरण को वरीयता दीजिए।

यदि Min समस्या हो → −Z का अधिकतमीकरण कीजिए, या Min रखकर उलटे नियम लीजिए (सर्वाधिक धनात्मक Δ_j प्रवेश, सभी Δ_j ≤ 0 पर रुकें); प्रयुक्त परिपाटी लिखिए।

यदि प्रारंभिक सारणी इष्टतम हो (सभी Δ_j ≥ 0) पर कुछ b_i < 0 → द्वैती सिम्प्लेक्स विधि (द्वैतता विषय), बिना कृत्रिम चरों के।

यदि चरों की निम्न सीमाएँ, उच्च सीमाएँ हों या वे अप्रतिबंधित हों → पहले प्रतिस्थापन कीजिए (परिबद्ध, अप्रतिबंधित और स्थानांतरित चरों वाला खंड)।

यदि न्यूनतम अनुपात में बराबरी हो → कोई भी पंक्ति चुनिए (मान लीजिए छोटे अधोलेख वाली, ब्लैंड नियम) और लिखिए कि अगला BFS अपभ्रष्ट है।

9. सामान्य गलतियाँ

1. अनुपात परीक्षण में y_ik = 0 या y_ik < 0 वाली पंक्तियाँ सम्मिलित करना; केवल मुख्य स्तंभ की धनात्मक प्रविष्टियाँ अनुपात देती हैं।

2. चिह्न परिपाटियाँ मिलाना: Δ_j = Z_j − C_j के साथ Max सारणी तब इष्टतम है जब सभी Δ_j ≥ 0; कुछ पुस्तकें C_j − Z_j विपरीत परीक्षण के साथ लेती हैं। एक चुनिए और उसे लिखिए।

3. ऋणात्मक दक्षिण पक्ष वाली पंक्ति में न्यूनता चर जोड़ना, जिससे असुसंगत आरंभ मिलता है; पहले पंक्ति को −1 से गुणा कीजिए।

4. किसी कृत्रिम चर के धनात्मक स्तर पर आधारी रहते हुए इष्टतम घोषित करना; सही निष्कर्ष यह है कि समस्या असुसंगत है।

5. अंतिम सारणी में किसी अनाधारी चर के शून्य Δ_j की उपेक्षा, और इस प्रकार उन वैकल्पिक इष्टतमों को छोड़ देना जिन्हें प्रश्न बताने की अपेक्षा करता है।

6. बिग-M में Δ_j के M-गुणांकों से पहले उनके अचर भागों की तुलना करना।

संबंध: प्रत्येक धुरी-संक्रिया गॉस–जॉर्डन निराकरण का एक चरण है (रैखिक बीजगणित, संख्यात्मक विश्लेषण), और प्रारंभिक न्यूनता चरों के नीचे के स्तंभों में सदैव वर्तमान B⁻¹ होता है।

संबंध: Δ_j घटित लागतें y^Ta_j − c_j हैं, जहाँ y^T = c_B^TB⁻¹, अतः इष्टतमता परीक्षण द्वैती की सुसंगतता के समान है (अगला विषय)।

10. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: x₁ ≤ 4, 2x₂ ≤ 12, 3x₁ + 2x₂ ≤ 18, x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x₁ + 5x₂।

न्यूनता चर s₁, s₂, s₃ जोड़ें: प्रारंभिक BFS (s₁, s₂, s₃) = (4, 12, 18), Z = 0, Δ₁ = −3, Δ₂ = −5।

पुनरावृत्ति 1: x₂ प्रवेश करता है; अनुपात 12/2 = 6 और 18/2 = 9, अतः s₂ निकलता है; अब s₁ = 4, x₂ = 6, s₃ = 6, Z = 30।

पुनरावृत्ति 2: Δ₁ = −3, अतः x₁ प्रवेश करता है; अनुपात 4/1 = 4 और 6/3 = 2, अतः s₃ निकलता है; अब s₁ = 2, x₂ = 6, x₁ = 2।

अब Z = 36 − (3/2)s₂ − s₃, अतः s₂, s₃ के Δ, 3/2 और 1 हैं, दोनों ≥ 0: इष्टतम x₁ = 2, x₂ = 6, Max Z = 36।

उदाहरण 2 (बिग-M संरचना): 3x₁ + x₂ ≥ 3, x₁ + x₂ ≥ 2, x ≥ 0 के अधीन Min Z = 2x₁ + x₂।

Max Z′ = −2x₁ − x₂ − Ma₁ − Ma₂ लिखें, जहाँ 3x₁ + x₂ − s₁ + a₁ = 3 और x₁ + x₂ − s₂ + a₂ = 2; प्रारंभिक आधार (a₁, a₂) है।

सिम्प्लेक्स दोनों कृत्रिम चरों को बाहर कर x₁ = 1/2, x₂ = 3/2, Min Z = 5/2 देती है (जाँच: कोणीय बिंदु (0, 3), (1/2, 3/2), (2, 0) पर Z = 3, 5/2, 4)।

उदाहरण 3: सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए: x₁ + 2x₂ + x₃ ≤ 430, 3x₁ + 2x₃ ≤ 460, x₁ + 4x₂ ≤ 420, x₁, x₂, x₃ ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x₁ + 2x₂ + 5x₃।

न्यूनता चर s₁, s₂, s₃ जोड़ें; तीनों सिम्प्लेक्स सारणियाँ नीचे की सारणी 'सिम्प्लेक्स सारणियाँ: Max Z = 3x₁ + 2x₂ + 5x₃' में पूर्ण रूप से दी गई हैं (मुख्य अवयव वर्ग कोष्ठक में)।

सारणी 1: Δ = (−3, −2, −5), अतः x₃ प्रवेश करता है; अनुपात 430/1 = 430 और 460/2 = 230 (पंक्ति 3 में कोई धनात्मक प्रविष्टि नहीं), अतः s₂ निकलता है, मुख्य अवयव 2।

सारणी 2: Z = 1150 और केवल Δ₂ = −2 ऋणात्मक है; अनुपात 200/2 = 100 और 420/4 = 105, अतः s₁ निकलता है, मुख्य अवयव 2।

सारणी 3: सभी Δ_j ≥ 0, अतः x₁ = 0, x₂ = 100, x₃ = 230 और Max Z = 1350 (तीसरे संसाधन की s₃ = 20 इकाइयाँ अप्रयुक्त हैं)।

द्वैती से जाँच: s₁, s₂, s₃ के नीचे के Δ मान y = (1, 2, 0) देते हैं; तब y₁ + 3y₂ + y₃ = 7 ≥ 3, 2y₁ + 4y₃ = 2 ≥ 2, y₁ + 2y₂ = 5 ≥ 5, और W = 430 + 920 = 1350 = Z।

उदाहरण 4: बिग-M विधि से हल कीजिए: 3x₁ + x₂ = 3, 4x₁ + 3x₂ ≥ 6, x₁ + 2x₂ ≤ 4, x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन Min Z = 4x₁ + x₂।

Max Z′ = −4x₁ − x₂ − Ma₁ − Ma₂, जहाँ 3x₁ + x₂ + a₁ = 3, 4x₁ + 3x₂ − s₂ + a₂ = 6, x₁ + 2x₂ + s₃ = 4; स्तंभ x₁, x₂, s₂, s₃, a₁, a₂ | x_B।

सारणी 1: a₁: 3, 1, 0, 0, 1, 0 | 3; a₂: 4, 3, −1, 0, 0, 1 | 6; s₃: 1, 2, 0, 1, 0, 0 | 4; Δ_j: 4 − 7M, 1 − 4M, M, 0, 0, 0 | Z′ = −9M। x₁ प्रवेश; अनुपात 1, 3/2, 4; a₁ निर्गत।

सारणी 2: x₁: 1, 1/3, 0, 0, 1/3, 0 | 1; a₂: 0, 5/3, −1, 0, −4/3, 1 | 2; s₃: 0, 5/3, 0, 1, −1/3, 0 | 3; Δ_j: 0, −(1 + 5M)/3, M, 0, (7M − 4)/3, 0 | Z′ = −4 − 2M। x₂ प्रवेश; अनुपात 3, 6/5, 9/5; a₂ निर्गत।

सारणी 3: x₁: 1, 0, 1/5, 0, 3/5, −1/5 | 3/5; x₂: 0, 1, −3/5, 0, −4/5, 3/5 | 6/5; s₃: 0, 0, 1, 1, 1, −1 | 1; Δ_j: 0, 0, −1/5, 0, M − 8/5, M + 1/5 | Z′ = −18/5। s₂ प्रवेश; अनुपात 3, −, 1; s₃ निर्गत।

सारणी 4: x₁: 1, 0, 0, −1/5, 2/5, 0 | 2/5; x₂: 0, 1, 0, 3/5, −1/5, 0 | 9/5; s₂: 0, 0, 1, 1, 1, −1 | 1; Δ_j: 0, 0, 0, 1/5, M − 7/5, M ≥ 0, अतः x₁ = 2/5, x₂ = 9/5, Min Z = 17/5।

जाँच: रेखा 3x₁ + x₂ = 3 पर शेष दो व्यवरोध 2/5 ≤ x₁ ≤ 3/5 देते हैं, अतः केवल कोणीय बिंदु (2/5, 9/5) और (3/5, 6/5) हैं, जिन पर Z = 17/5 और 18/5।

उदाहरण 5: द्वि-चरण विधि से हल कीजिए: 2x₁ + x₂ ≥ 4, x₁ + 7x₂ ≥ 7, x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन Min Z = x₁ + x₂।

चरण I: Max Z* = −a₁ − a₂, जहाँ 2x₁ + x₂ − s₁ + a₁ = 4, x₁ + 7x₂ − s₂ + a₂ = 7; स्तंभ x₁, x₂, s₁, s₂, a₁, a₂ | x_B।

सारणी 1: a₁: 2, 1, −1, 0, 1, 0 | 4; a₂: 1, 7, 0, −1, 0, 1 | 7; Δ_j: −3, −8, 1, 1, 0, 0 | Z* = −11। x₂ प्रवेश; अनुपात 4, 1; a₂ निर्गत।

सारणी 2: a₁: 13/7, 0, −1, 1/7, 1, −1/7 | 3; x₂: 1/7, 1, 0, −1/7, 0, 1/7 | 1; Δ_j: −13/7, 0, 1, −1/7, 0, 8/7 | Z* = −3। x₁ प्रवेश; अनुपात 21/13, 7; a₁ निर्गत।

सारणी 3: x₁: 1, 0, −7/13, 1/13 | 21/13; x₂: 0, 1, 1/13, −2/13 | 10/13 (कृत्रिम स्तंभ हटाए गए); Z* = 0, अतः मूल समस्या का एक BFS मिल गया।

चरण II (Max −Z, लागतें −1, −1, 0, 0): Δ_j = 0, 0, 6/13, 1/13 ≥ 0, अतः यही सारणी इष्टतम है: x₁ = 21/13, x₂ = 10/13, Min Z = 31/13; कोणीय बिंदु (0, 4), (21/13, 10/13), (7, 0) पर Z = 4, 31/13, 7।

उदाहरण 6: सिम्प्लेक्स विधि से दर्शाइए कि x₁ − x₂ ≤ 10, 2x₁ − x₂ ≤ 40, x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x₁ + x₂ अपरिबद्ध है।

सारणी 1 (स्तंभ x₁, x₂, s₁, s₂ | x_B): s₁: 1, −1, 1, 0 | 10; s₂: 2, −1, 0, 1 | 40; Δ_j: −2, −1, 0, 0 | Z = 0। x₁ प्रवेश; अनुपात 10, 20; s₁ निर्गत।

सारणी 2: x₁: 1, −1, 1, 0 | 10; s₂: 0, 1, −2, 1 | 20; Δ_j: 0, −3, 2, 0 | Z = 20। x₂ प्रवेश; एकमात्र अनुपात 20; s₂ निर्गत।

सारणी 3: x₁: 1, 0, −1, 1 | 30; x₂: 0, 1, −2, 1 | 20; Δ_j: 0, 0, −4, 3 | Z = 80। s₁ को प्रवेश करना चाहिए, परंतु उसके स्तंभ (−1, −2) में कोई धनात्मक प्रविष्टि नहीं, अतः कोई चर नहीं निकल सकता: हल अपरिबद्ध है।

वस्तुतः x₁ = 30 + t, x₂ = 20 + 2t, s₁ = t, s₂ = 0 प्रत्येक t ≥ 0 के लिए सुसंगत है और Z = 80 + 4t → ∞ देता है।

उदाहरण 7: x₁ + 2x₂ ≤ 5, x₁ + x₂ ≤ 4, x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x₁ + 4x₂ हल कीजिए और वैकल्पिक इष्टतम पहचानिए।

सारणी 1: s₁: 1, 2, 1, 0 | 5; s₂: 1, 1, 0, 1 | 4; Δ_j: −2, −4, 0, 0 | Z = 0। x₂ प्रवेश; अनुपात 5/2, 4; s₁ निर्गत।

सारणी 2: x₂: 1/2, 1, 1/2, 0 | 5/2; s₂: 1/2, 0, −1/2, 1 | 3/2; Δ_j: 0, 0, 2, 0 | Z = 10। सभी Δ_j ≥ 0: इष्टतम x₁ = 0, x₂ = 5/2, Z = 10।

अनाधारी x₁ का Δ₁ = 0 है, जो वैकल्पिक इष्टतम का संकेत है; x₁ को प्रवेश देने पर (अनुपात 5 और 3, अतः s₂ निर्गत) x₁ = 3, x₂ = 1 मिलता है, फिर Z = 10।

अतः प्रत्येक बिंदु λ(0, 5/2) + (1 − λ)(3, 1), 0 ≤ λ ≤ 1, इष्टतम है, जो इसी समस्या के आलेखी हल से मेल खाता है।

11. परिबद्ध, अप्रतिबंधित और विस्थापित चर

निम्न परिबंध: यदि x_j ≥ l_j, तो x_j = y_j + l_j रखिए, y_j ≥ 0; प्रत्येक व्यवरोध में (दाएँ पक्ष बदलते हैं) और Z में (एक अचर जुड़ता है) प्रतिस्थापित कीजिए, y में हल कीजिए, फिर l_j वापस जोड़िए।

उच्च परिबंध: x_j ≤ u_j को अपने न्यूनता चर सहित अतिरिक्त ≤ पंक्ति के रूप में रखा जा सकता है (या चर के परिबंध पर पहुँचने पर x_j = u_j − y_j रखकर)।

अप्रतिबंधित चर: x_j = x_j′ − x_j″ लिखिए, दोनों भाग ≥ 0; किसी भी BFS में इनमें से अधिकतम एक आधारी होता है।

ऋणात्मक दायाँ पक्ष: पहले पंक्ति को −1 से गुणा कीजिए (असमिका उलट जाती है), ताकि न्यूनता या कृत्रिम चर जोड़ने से पहले b ≥ 0 हो।

स्पष्ट आधार रहित समीकरण: कृत्रिम चर जोड़िए (बिग-M या द्वि-चरण), या, यदि पंक्ति संक्रियाओं से ऋणेतर दाएँ पक्ष वाला तत्समक उप-आव्यूह मिल जाए, तो सीधे उसी आधार से आरंभ कीजिए।

12. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2020, 15 अंक): एकधा विधि के द्वारा निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए z = −6x₁ − 2x₂ − 5x₃
बशर्ते कि 2x₁ − 3x₂ + x₃ ≤ 14
−4x₁ + 4x₂ + 10x₃ ≤ 46
2x₁ + 2x₂ − 4x₃ ≤ 37
x₁ ≥ 2, x₂ ≥ 1, x₃ ≥ 3

x₁ = y₁ + 2, x₂ = y₂ + 1, x₃ = y₃ + 3 रखिए, y_j ≥ 0। व्यवरोध 2y₁ − 3y₂ + y₃ ≤ 10, −4y₁ + 4y₂ + 10y₃ ≤ 20, 2y₁ + 2y₂ − 4y₃ ≤ 43 बनते हैं, और z = −6y₁ − 2y₂ − 5y₃ − 29।

z न्यूनतम करना Z′ = 6y₁ + 2y₂ + 5y₃ अधिकतम करना है। न्यूनता चर s₁, s₂, s₃ जोड़िए; स्तंभ y₁, y₂, y₃, s₁, s₂, s₃ | x_B।

सारणी 1: s₁: 2, −3, 1, 1, 0, 0 | 10; s₂: −4, 4, 10, 0, 1, 0 | 20; s₃: 2, 2, −4, 0, 0, 1 | 43; Δ_j: −6, −2, −5, 0, 0, 0 | Z′ = 0। y₁ प्रवेश करता है; अनुपात 5, −, 43/2; s₁ निकलता है।

सारणी 2: y₁: 1, −3/2, 1/2, 1/2, 0, 0 | 5; s₂: 0, −2, 12, 2, 1, 0 | 40; s₃: 0, 5, −5, −1, 0, 1 | 33; Δ_j: 0, −11, −2, 3, 0, 0 | Z′ = 30। y₂ प्रवेश करता है; एकमात्र अनुपात 33/5; s₃ निकलता है।

सारणी 3: y₁: 1, 0, −1, 1/5, 0, 3/10 | 149/10; s₂: 0, 0, 10, 8/5, 1, 2/5 | 266/5; y₂: 0, 1, −1, −1/5, 0, 1/5 | 33/5; Δ_j: 0, 0, −13, 4/5, 0, 11/5 | Z′ = 513/5। y₃ प्रवेश करता है; एकमात्र अनुपात (266/5)/10 = 133/25; s₂ निकलता है।

सारणी 4: y₁: 1, 0, 0, 9/25, 1/10, 17/50 | 1011/50; y₃: 0, 0, 1, 4/25, 1/10, 1/25 | 133/25; y₂: 0, 1, 0, −1/25, 1/10, 6/25 | 298/25; Δ_j: 0, 0, 0, 72/25, 13/10, 68/25 | Z′ = 4294/25। सभी Δ_j ≥ 0: इष्टतम।

पुनः प्रतिस्थापन: x₁ = 1011/50 + 2 = 1111/50, x₂ = 298/25 + 1 = 323/25, x₃ = 133/25 + 3 = 208/25, और z = −4294/25 − 29 = −5019/25। जाँच: तीनों मूल व्यवरोध समता से संतुष्ट होते हैं (14, 46, 37)।

उत्तर: x₁ = 1111/50 = 22.22, x₂ = 323/25 = 12.92, x₃ = 208/25 = 8.32, Min z = −5019/25 = −200.76।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): 2x₁ + x₂ ≤ 10, x₁ + x₂ ≤ 8, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 4x₁ + 3x₂ की प्रारंभिक सिम्प्लेक्स सारणी लिखिए, और प्रवेशी तथा निर्गामी चरों के नाम बताइए।

उत्तर: s₁: 2, 1, 1, 0 | 10; s₂: 1, 1, 0, 1 | 8; Δ_j: −4, −3, 0, 0। x₁ प्रवेश करता है; अनुपात 5 और 8, अतः s₁ निकलता है (मुख्य अवयव 2)।

अभ्यास 2 (मूल): किसी Max सारणी में अनाधारी x_k का Δ_k = −2 है और स्तंभ प्रविष्टियाँ (−1, 0, −3) हैं। आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

उत्तर: x_k को प्रवेश करना चाहिए परंतु कोई प्रविष्टि धनात्मक नहीं, अतः कोई अनुपात नहीं: समस्या का हल अपरिबद्ध है।

अभ्यास 3 (मूल): आधारी चर के लिए Δ_j सदैव 0 क्यों होता है?

उत्तर: सारणी में उसका स्तंभ उसकी अपनी पंक्ति का इकाई सदिश e_i है, अतः Z_j = c_B^Te_i = c_j।

अभ्यास 4 (मानक): अभ्यास 1 का सिम्प्लेक्स हल पूरा कीजिए।

उत्तर: सारणी 2: x₁: 1, 1/2, 1/2, 0 | 5; s₂: 0, 1/2, −1/2, 1 | 3; Δ: 0, −1, 2, 0 (Z = 20)। सारणी 3: x₂ = 6, x₁ = 2, s₁, s₂ के लिए Δ = 1, 2: Max Z = 26।

अभ्यास 5 (मानक): सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए: x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 4, 2x₁ + x₃ ≤ 5, 2x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 7, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x₁ + 2x₂ + 4x₃।

उत्तर: x₁ = 5/2, x₂ = 3/2, x₃ = 0, Max Z = 21/2 (पहले दो व्यवरोध बंधनकारी हैं; तीसरे में न्यूनता 1/2 है)।

अभ्यास 6 (मानक): बिग-M विधि से हल कीजिए: x₁ + x₂ ≥ 5, x₁ + 3x₂ ≥ 9, x ≥ 0 के अधीन Min Z = 2x₁ + 3x₂।

उत्तर: x₁ = 3, x₂ = 2, Min Z = 12 (जाँच: कोने (0, 5), (3, 2), (9, 0) पर 15, 12, 18)।

अभ्यास 7 (मानक): चरण I का उपयोग करके दिखाइए कि x₁ + x₂ ≤ 1, 2x₁ + 3x₂ ≥ 6, x ≥ 0 का कोई सुसंगत हल नहीं है।

उत्तर: x₂ प्रवेश करता है और s₁ निकलता है; अगली सारणी में सभी Δ ≥ 0 और a₁ = 3 > 0, अतः निकाय असंगत है (वास्तव में पहले व्यवरोध पर 2x₁ + 3x₂ ≤ 3)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): बिग-M विधि से हल कीजिए: 2x₁ + x₂ ≥ 2, x₁ + 3x₂ ≤ 3, x₂ ≤ 4, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x₁ − x₂।

उत्तर: x₁ = 3, x₂ = 0, Max Z = 9 (सुसंगत कोने (1, 0), (3, 0), (3/5, 4/5) पर Z = 3, 9, 1; व्यवरोध x₂ ≤ 4 अतिरिक्त है)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): −2x₁ + x₂ + 3x₃ = 2, 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 1, x ≥ 0 के अधीन Min Z = x₁ − 2x₂ − 3x₃ पर द्वि-चरण विधि लगाइए।

उत्तर: चरण I, a₁ + a₂ = 5/4 > 0 (x₃ = 1/4 पर) के साथ समाप्त होता है, अतः समस्या असंगत है। प्रत्यक्षतः: x₁ ≥ 0 के लिए x₂ + 3x₃ ≥ 2 चाहिए, और तब दूसरा समीकरण x₂ < 0 को बाध्य करता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): पहले चरों को खिसकाकर x₁ + x₂ ≤ 10, x₁ ≤ 6, x₁ ≥ 2, x₂ ≥ 1 के अधीन Max Z = 2x₁ + x₂ हल कीजिए।

उत्तर: x₁ = y₁ + 2, x₂ = y₂ + 1 से y₁ + y₂ ≤ 7, y₁ ≤ 4, Z = 2y₁ + y₂ + 5; सिम्प्लेक्स विधि से y = (4, 3), अतः x = (6, 4) और Max Z = 16।

1. द्वैती समस्या को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: Max समस्या निम्न सीमाएँ देती है (प्रत्येक सुसंगत बिंदु का मान इष्टतम से कम है), परंतु हम कैसे जानें कि प्रस्तावित उत्तर से बेहतर संभव नहीं? द्वैती (dual) उन्हीं संख्याओं से बनी दूसरी LP है, जिसके सुसंगत बिंदु उच्च सीमाएँ देते हैं। यह संसाधनों का मूल्य भी निर्धारित करती है और कभी-कभी हल करने में बहुत सरल होती है।

शब्दों में: प्रत्येक आद्य व्यवरोध के साथ एक द्वैती चर y_i जोड़ें और प्रत्येक आद्य चर के लिए एक द्वैती व्यवरोध लिखें। दाएँ पक्ष b द्वैती लागतें बन जाते हैं, लागतें c द्वैती दाएँ पक्ष, आव्यूह का परिवर्त लिया जाता है, और Max, Min बन जाता है। विहित रूप (Max, सभी ≤, x ≥ 0) के लिए प्रत्येक द्वैती चर ≥ 0 और प्रत्येक द्वैती व्यवरोध ≥ है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x₁ + x₂ ≤ 4, x₁ + 3x₂ ≤ 6, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x₁ + 2x₂।

(1) पहले व्यवरोध से y₁ ≥ 0 और दूसरे से y₂ ≥ 0 जोड़ें (दोनों Max समस्या की ≤ पंक्तियाँ हैं)।

(2) द्वैती उद्देश्य: दाएँ पक्ष 4 और 6 लागतें बनते हैं, Min W = 4y₁ + 6y₂।

(3) x₁ का स्तंभ (1, 1), लागत 3: y₁ + y₂ ≥ 3। x₂ का स्तंभ (1, 3), लागत 2: y₁ + 3y₂ ≥ 2।

(4) आद्य इष्टतम (4, 0) पर Z = 12 है। y = (3, 0) आज़माएँ: 3 ≥ 3 और 3 ≥ 2, अतः y द्वैती सुसंगत है, और W = 12।

(5) किसी सुसंगत युग्म के समान मान सिद्ध करते हैं कि दोनों इष्टतम हैं (दुर्बल द्वैतता, अगला पाठ)। y₁ = 3 का अर्थ देखें: पहले संसाधन की एक और इकाई अधिकतम लाभ में 3 जोड़ेगी, जबकि दूसरा संसाधन दुर्लभ नहीं (y₂ = 0)।

अ-उदाहरण (non-example): x₁ + 2x₂ ≥ 2, x ≥ 0 के अधीन Max Z = x₁ + x₂ अपरिबद्ध है। इसका द्वैती असावधानी से y ≥ 0 के साथ लिखने पर Min 2y, y ≥ 1, 2y ≥ 1 मिलता है, जिसका परिमित इष्टतम 2 है, जो अपरिबद्ध समस्या के द्वैती के लिए असंभव है। Max समस्या की ≥ पंक्ति के लिए y ≤ 0 चाहिए; तब y ≥ 1 संभव नहीं और द्वैती असंगत है, जैसा होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (i) प्रत्येक व्यवरोध को y_i ≥ 0 से गुणा कर जोड़ने पर y^TAx ≤ y^Tb मिलता है; यदि A^Ty ≥ c तो यह c^Tx को सीमित करता है, और द्वैती ऐसी सबसे छोटी सीमा माँगती है (नीचे व्युत्पत्ति खंड)। (ii) = और ≥ पंक्तियों तथा स्वतंत्र चरों के चिह्न नियम इसी गुणन तर्क से निकलते हैं। (iii) द्वैती की द्वैती आद्य है।

कहाँ प्रयोग होता है: “द्वैती लिखिए” प्रश्नों में, दो-चर द्वैती को आलेखी रूप से हल करने में, छाया मूल्य पढ़ने में, और परिवहन MODI विधि के u, v में।

2. द्वैती का सूत्रण

सममित युग्म: आद्य (primal): Ax ≤ b, x ≥ 0 के अधीन Max Z = c^Tx। द्वैती (dual): A^Ty ≥ c, y ≥ 0 के अधीन Min W = b^Ty।

भाव (आर्थिक): आद्य (primal) एक उत्पादक है जो सीमित संसाधनों b से लाभ अधिकतम करने के लिए उत्पादन x चुनता है। द्वैती (dual) एक क्रेता है जो संसाधन i की प्रति इकाई मूल्य y_i प्रस्तावित करता है, इतना ऊँचा कि प्रत्येक उत्पाद के संसाधनों का मूल्य कम से कम उसके लाभ के बराबर हो (A^Ty ≥ c), और जो सभी संसाधनों के लिए यथासंभव कम भुगतान करना चाहता है (Min b^Ty)।

प्रत्येक आद्य व्यवरोध से एक द्वैती चर और प्रत्येक आद्य चर से एक द्वैती व्यवरोध बनता है; c और b परस्पर बदलते हैं; A, A^T बन जाता है।

नियम (आद्य Max): व्यवरोध ≤ से द्वैती चर ≥ 0; व्यवरोध = से द्वैती चर चिह्न में अप्रतिबंधित; व्यवरोध ≥ से द्वैती चर ≤ 0।

आद्य चर x_j ≥ 0 से द्वैती व्यवरोध ≥; x_j अप्रतिबंधित से द्वैती व्यवरोध =।

चिह्न त्रुटियों से बचने हेतु पहले आद्य को विहित रूप (सभी ≤ के साथ Max, या सभी ≥ के साथ Min) में लिखें, आवश्यकता हो तो व्यवरोधों को −1 से गुणा करें।

प्रमेय: द्वैती का द्वैती आद्य होता है।

यह क्यों काम करता है: द्वैती Min b^Ty, A^Ty ≥ c, y ≥ 0 को Max (−b)^Ty, (−A^T)y ≤ −c, y ≥ 0 लिखिए। इसका द्वैती Min (−c)^Tx, (−A)x ≥ −b, x ≥ 0 है, जो Max c^Tx, Ax ≤ b, x ≥ 0 है।

3. व्युत्पत्ति: द्वैती और उसके नियम कहाँ से आते हैं

आद्य Max c^Tx, Ax ≤ b, x ≥ 0 के लिए व्यवरोध i को एक संख्या y_i ≥ 0 से गुणा कर जोड़िए: y^TAx ≤ y^Tb। चिह्न y_i ≥ 0 आवश्यक है ताकि असमिका उलट न जाए।

यदि साथ ही A^Ty ≥ c, तो, क्योंकि x ≥ 0, c^Tx ≤ (A^Ty)^Tx = y^TAx ≤ b^Ty। अतः प्रत्येक ऐसा y आद्य उद्देश्य पर एक ऊपरी सीमा b^Ty देता है, और द्वैती सर्वोत्तम (सबसे छोटी) ऐसी सीमा माँगता है।

समता व्यवरोध: किसी समीकरण को किसी भी चिह्न की संख्या से गुणा करने पर वह मान्य रहता है, अतः उसका द्वैती चर अप्रतिबंधित है। Max आद्य में ≥ व्यवरोध: उसे ≤ संबंध में बदलने के लिए y_i ≤ 0 से गुणा करना होगा, अतः y_i ≤ 0।

अप्रतिबंधित आद्य चर: चरण c_jx_j ≤ (A^Ty)_jx_j में x_j ≥ 0 का प्रयोग हुआ; यदि x_j किसी भी चिह्न का हो सकता है तो यह केवल तब सत्य है जब (A^Ty)_j = c_j, इसीलिए अप्रतिबंधित चर समता वाला द्वैती व्यवरोध देता है।

4. दुर्बल और प्रबल द्वैतता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम इष्टतमता का प्रमाणपत्र चाहते हैं: एक संक्षिप्त प्रमाण कि प्रस्तावित हल सर्वोत्तम है, जिसे कोई भी सिम्प्लेक्स विधि दोहराए बिना जाँच सके।

शब्दों में: दुर्बल द्वैतता: किसी भी आद्य-सुसंगत x और द्वैती-सुसंगत y के लिए c^Tx ≤ b^Ty, अतः प्रत्येक आद्य मान प्रत्येक द्वैती मान से नीचे है। प्रबल द्वैतता: यदि किसी भी समस्या का इष्टतम है, तो दोनों का है, और दोनों इष्टतम मान बराबर हैं। अतः समान मानों वाला सुसंगत युग्म इष्टतम है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: आद्य x₁ + 2x₂ ≤ 4, 3x₁ + x₂ ≤ 6, x ≥ 0 के अधीन Max Z = x₁ + x₂; द्वैती y₁ + 3y₂ ≥ 1, 2y₁ + y₂ ≥ 1, y ≥ 0 के अधीन Min W = 4y₁ + 6y₂।

(1) एक सुसंगत आद्य बिंदु: x = (1, 1), 3 ≤ 4 और 4 ≤ 6 को संतुष्ट करता है, Z = 2।

(2) एक सुसंगत द्वैती बिंदु: y = (1, 0), 1 ≥ 1 और 2 ≥ 1 को संतुष्ट करता है, W = 4।

(3) दुर्बल द्वैतता से इष्टतम 2 और 4 के बीच है।

(4) बेहतर आद्य बिंदु: दोनों व्यवरोधों को कसा बनाएँ, x₁ + 2x₂ = 4 और 3x₁ + x₂ = 6, जिससे x = (8/5, 6/5) और Z = 14/5।

(5) बेहतर द्वैती बिंदु: दोनों द्वैती व्यवरोधों को कसा बनाएँ, y₁ + 3y₂ = 1 और 2y₁ + y₂ = 1, जिससे y = (2/5, 1/5) ≥ 0 और W = 8/5 + 6/5 = 14/5।

(6) सुसंगत युग्म के लिए Z = W = 14/5, अतः दोनों इष्टतम हैं। ध्यान दें कि कोई सिम्प्लेक्स सारणी नहीं चाहिए थी: युग्म स्वयं प्रमाणपत्र है।

अ-उदाहरण (non-example): x = (2, 0) से Z = 2 और y = (0, 1/3) से W = 2, समान मान; परंतु y द्वैती सुसंगत नहीं (2y₁ + y₂ = 1/3 < 1), अतः W = 2 उच्च सीमा नहीं और यह समता कुछ सिद्ध नहीं करती। वास्तव में इष्टतम 14/5 > 2 है। जो शर्त विफल होती है वह दोनों बिंदुओं की सुसंगतता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) दुर्बल द्वैतता शृंखला c^Tx ≤ (A^Ty)^Tx = y^TAx ≤ y^Tb है, प्रत्येक चरण एक चिह्न शर्त का उपयोग करता है। (ii) प्रबल द्वैतता: इष्टतम सिम्प्लेक्स सारणी पर y^T = c_B^TB⁻¹ द्वैती सुसंगत है क्योंकि सभी Δ_j ≥ 0, और b^Ty = Z*। (iii) यदि एक समस्या अपरिबद्ध है, तो दुर्बल द्वैतता दूसरी के लिए कोई सुसंगत बिंदु नहीं छोड़ती।

कहाँ प्रयोग होता है: दावा किए गए इष्टतम की पुष्टि में, बिना हल किए अपरिबद्धता या असंगति सिद्ध करने में, और प्रत्येक सिम्प्लेक्स उत्तर के अंत में W = Z जाँच में।

5. पूरक शिथिलता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी संभावित आद्य हल के दिए होने पर, हम संगत द्वैती हल शीघ्र ज्ञात करना और यह तय करना चाहते हैं कि वह इष्टतम है या नहीं; या, द्वैती हल करने के बाद, आद्य हल पुनः प्राप्त करना चाहते हैं।

शब्दों में: इष्टतमता पर प्रत्येक गुणनफल (द्वैती चर) × (उसके आद्य व्यवरोध की न्यूनता) 0 है, और प्रत्येक गुणनफल (आद्य चर) × (उसके द्वैती व्यवरोध का आधिक्य) 0 है। अतः: न्यूनता वाले व्यवरोध का मूल्य शून्य है; धनात्मक मूल्य उसके व्यवरोध को कसा बनाता है; धनात्मक आद्य चर उसके द्वैती व्यवरोध को समीकरण बनाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x₁ + x₂ ≤ 4, x₁ ≤ 3, x₂ ≤ 3, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x₁ + x₂ के लिए x* = (3, 1) की जाँच।

(1) सुसंगतता: 4 ≤ 4, 3 ≤ 3, 1 ≤ 3; Z = 7।

(2) तीसरे व्यवरोध में न्यूनता है (1 < 3), अतः उसका मूल्य y₃ = 0।

(3) x₁ > 0, अतः उसका द्वैती व्यवरोध समीकरण है: y₁ + y₂ = 2। x₂ > 0, अतः y₁ + y₃ = 1।

(4) हल करें: y₁ = 1, y₂ = 1, y₃ = 0।

(5) द्वैती सुसंगतता जाँचें: सभी y_i ≥ 0, अतः y द्वैती सुसंगत है, और W = 4 + 3 + 0 = 7 = Z। अतः x* इष्टतम है। ध्यान दें कि प्रमेय ने अनुकूलन प्रश्न को दो रैखिक समीकरणों में बदल दिया।

अ-उदाहरण (non-example): इसके स्थान पर x = (1, 3) की जाँच करें (Z = 5)। व्यवरोध 2 में न्यूनता है, अतः y₂ = 0; तब y₁ + y₂ = 2 से y₁ = 2, और y₁ + y₃ = 1 से y₃ = −1 < 0। एकमात्र संभावित y द्वैती सुसंगत नहीं, अतः x = (1, 3) इष्टतम नहीं। जो शर्त विफल होती है वह प्राप्त y की द्वैती सुसंगतता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) सुसंगत x, y के लिए अंतर b^Ty − c^Tx = y^T(b − Ax) + x^T(A^Ty − c) है, अऋणात्मक संख्याओं के गुणनफलों का योग। (ii) प्रबल द्वैतता से युग्म इष्टतम है यदि और केवल यदि अंतर 0 हो, अर्थात् प्रत्येक गुणनफल 0 हो।

कहाँ प्रयोग होता है: “द्वैती का उपयोग करके पुष्टि (या खंडन) कीजिए कि दिया गया हल इष्टतम है” में, द्वैती को आलेखी रूप से हल करने के बाद आद्य हल प्राप्त करने में, और भरे खानों के लिए MODI समीकरणों u_i + v_j = c_ij में।

6. द्वैतता प्रमेय

दुर्बल द्वैतता (weak duality): यदि x, Max आद्य के लिए सुसंगत है और y, Min द्वैती के लिए सुसंगत है, तो c^Tx ≤ b^Ty।

भाव: प्रत्येक सुसंगत आद्य मान प्रत्येक सुसंगत द्वैती मान से नीचे है, अतः एक सुसंगत युग्म इष्टतम को घेर लेता है: c^Tx ≤ Max Z ≤ Min W ≤ b^Ty। अंतराल b^Ty − c^Tx मापता है कि युग्म इष्टतम से कितना दूर है।

प्रमाण: x ≥ 0, A^Ty ≥ c, y ≥ 0 तथा Ax ≤ b का प्रयोग करके c^Tx ≤ (A^Ty)^Tx = y^T(Ax) ≤ y^Tb।

उपप्रमेय: यदि सुसंगत x*, y* के लिए c^Tx* = b^Ty*, तो दोनों इष्टतम हैं।

प्रबल द्वैतता प्रमेय (strong duality): यदि आद्य या द्वैती में से किसी का परिमित इष्टतम हल है, तो दूसरे का भी है, और Max Z = Min W।

यह क्यों काम करता है (सिम्प्लेक्स विधि द्वारा): इष्टतम सारणी पर y^T = c_B^TB⁻¹ रखिए। संरचनात्मक स्तंभों के लिए इष्टतमता Δ_j = y^Ta_j − c_j ≥ 0 कहती है A^Ty ≥ c, और न्यूनता स्तंभों (जहाँ a_j = e_i, c_j = 0) के लिए Δ ≥ 0 कहता है y_i ≥ 0। अतः y द्वैती सुसंगत है, और b^Ty = c_B^TB⁻¹b = Z*; दुर्बल द्वैतता के उपप्रमेय से y द्वैती इष्टतम है।

अस्तित्व प्रमेय: यदि एक समस्या का उद्देश्य अपरिबद्ध है, तो दूसरी का कोई सुसंगत हल नहीं; यह भी संभव है कि दोनों असुसंगत हों।

क्यों: यदि द्वैती का कोई सुसंगत y होता, तो दुर्बल द्वैतता आद्य उद्देश्य को b^Ty से परिबद्ध कर देती, अतः आद्य अपरिबद्ध नहीं हो सकता था। चार संभावित परिणाम हैं: दोनों के समान मान वाले इष्टतम; आद्य अपरिबद्ध और द्वैती असुसंगत; द्वैती अपरिबद्ध और आद्य असुसंगत; दोनों असुसंगत।

पूरक शिथिलता प्रमेय (complementary slackness): सुसंगत x और y इष्टतम हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक i के लिए y_i(b_i − (Ax)_i) = 0 और प्रत्येक j के लिए x_j((A^Ty)_j − c_j) = 0।

व्युत्पत्ति: सुसंगत x और y के लिए b^Ty − c^Tx = y^T(b − Ax) + x^T(A^Ty − c), जैसा दायाँ पक्ष विस्तारित करने पर दिखता है। दोनों पद अऋणात्मक संख्याओं के गुणनफलों के योग हैं। प्रबल द्वैतता से युग्म इष्टतम है यदि और केवल यदि अंतराल 0 हो, अर्थात यदि और केवल यदि प्रत्येक गुणनफल y_i(b − Ax)_i और x_j(A^Ty − c)_j शून्य हो।

अतः धनात्मक द्वैती चर अपने आद्य व्यवरोध को बंधनकारी बनाता है, और शिथिलता वाला आद्य व्यवरोध अपने द्वैती चर (छाया मूल्य) को शून्य कर देता है।

7. इष्टतम सिम्प्लेक्स सारणी से द्वैती मान

इष्टतम द्वैती हल: y^T = c_B^TB⁻¹, जहाँ B⁻¹ उन स्तंभों के नीचे पढ़ा जाता है जिन्होंने प्रारंभिक तत्समक आधार बनाया था।

≤ व्यवरोधों वाली Max समस्या में इष्टतम y_i, न्यूनता स्तंभों के नीचे की Δ_j प्रविष्टियाँ हैं।

आर्थिक अर्थ: y_i छाया मूल्य है, अर्थात् b_i में एक इकाई वृद्धि पर इष्टतम Z में वृद्धि, जब तक वर्तमान आधार इष्टतम रहे।

यह क्यों काम करता है: स्थिर इष्टतम आधार B के लिए Z* = c_B^TB⁻¹b = y^Tb, b में रैखिक है, अतः ∂Z*/∂b_i = y_i। सूत्र तब तक मान्य है जब तक B⁻¹b ≥ 0, अर्थात वही आधार सुसंगत रहे; b_i का यही परिसर सुग्राहिता विश्लेषण (sensitivity analysis) निकालता है।

उदाहरण 1: Max Z = 3x₁ + 5x₂, x₁ ≤ 4, 2x₂ ≤ 12, 3x₁ + 2x₂ ≤ 18, x ≥ 0।

द्वैती: y₁ + 3y₃ ≥ 3, 2y₂ + 2y₃ ≥ 5, y₁, y₂, y₃ ≥ 0 के अधीन Min W = 4y₁ + 12y₂ + 18y₃।

आद्य इष्टतम x₁ = 2, x₂ = 6; न्यूनता स्तंभों के Δ मान y = (0, 3/2, 1) देते हैं और W = 18 + 18 = 36 = Max Z।

पूरक शिथिलता से जाँच: x₁ = 2 < 4, अतः y₁ = 0; x₁, x₂ > 0, अतः 3y₃ = 3 और 2y₂ + 2y₃ = 5, जिससे y₃ = 1, y₂ = 3/2।

8. द्वैती सिम्प्लेक्स विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ≥ व्यवरोधों और धनात्मक लागतों वाली Min समस्या, पंक्तियों को −1 से गुणा कर न्यूनता चर जोड़ने के बाद, ऐसी सारणी बन जाती है जो इष्टतमता परीक्षण पहले से पार करती है परंतु x_B में ऋणात्मक मान हैं। कृत्रिम चर जोड़ने के स्थान पर, हम इष्टतमता बनाए रखते हुए सुसंगतता सुधार सकते हैं।

शब्दों में: पहले निर्गामी पंक्ति चुनें: सबसे ऋणात्मक x_Bi। फिर उस पंक्ति की ऋणात्मक प्रविष्टियों में से, न्यूनतम अनुपात |Δ_j/y_rj| द्वारा, प्रवेशी स्तंभ चुनें, जो प्रत्येक Δ_j ≥ 0 रखता है। धुरी-क्रिया करें और x_B ≥ 0 होने तक दोहराएँ।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 2x₁ + x₂ ≥ 4, x₁ + 2x₂ ≥ 4, x ≥ 0 के अधीन Min Z = x₁ + x₂, Max Z′ = −x₁ − x₂ के रूप में (स्तंभ x₁, x₂, s₁, s₂ | x_B)।

(1) सारणी 1: s₁: −2, −1, 1, 0 | −4; s₂: −1, −2, 0, 1 | −4; Δ_j: 1, 1, 0, 0। सभी Δ ≥ 0 (इष्टतम रूप) परंतु x_B < 0 (असंगत)।

(2) दोनों पंक्तियों में −4 है; s₁ को निकलने के लिए लें। इसकी ऋणात्मक प्रविष्टियाँ अनुपात 1/2 (x₁) और 1/1 (x₂) देती हैं, अतः x₁ प्रवेश करता है।

(3) सारणी 2: x₁: 1, 1/2, −1/2, 0 | 2; s₂: 0, −3/2, −1/2, 1 | −2; Δ_j: 0, 1/2, 1/2, 0 | Z′ = −2।

(4) s₂ = −2 निकलता है; x₂ के लिए अनुपात (1/2)/(3/2) = 1/3 और s₁ के लिए (1/2)/(1/2) = 1, अतः x₂ प्रवेश करता है।

(5) सारणी 3: x₂: 0, 1, 1/3, −2/3 | 4/3; x₁: 1, 0, −2/3, 1/3 | 4/3; Δ_j: 0, 0, 1/3, 1/3 | Z′ = −8/3। अब x_B ≥ 0, अतः सारणी इष्टतम और सुसंगत है।

(6) x₁ = x₂ = 4/3, Min Z = 8/3; कोने (0, 4), (4/3, 4/3), (4, 0) पर 4, 8/3, 4। ध्यान दें कि Δ पंक्ति प्रत्येक चरण पर अऋणात्मक रही; केवल x_B सुधारा जा रहा था।

अ-उदाहरण (non-example): x_B = −1 वाली ऐसी पंक्ति जिसकी सभी प्रविष्टियाँ ≥ 0 हों (जैसे x₁ + x₂ + s₁ = −1) कोई प्रवेशी चर नहीं देती: प्रत्येक x ≥ 0 के लिए बायाँ पक्ष ≥ 0 है, अतः समस्या असंगत है। इसके स्थान पर धनात्मक प्रविष्टि वाला स्तंभ चुनने से नया x_B फिर भी ऋणात्मक रहेगा।

आगे बढ़ते हुए: (i) धुरी ऋणात्मक होनी चाहिए ताकि प्रवेशी चर धनात्मक मान b_r/y_rk ले। (ii) नए Δ_j′ = Δ_j − (y_rj/y_rk)Δ_k ठीक तब ≥ 0 रहते हैं जब न्यूनतम अनुपात लिया जाए। (iii) प्रत्येक चरण द्वैती पर एक सिम्प्लेक्स चरण है, अतः Z′ एकदिष्ट रूप से चलता है और विधि समाप्त होती है।

कहाँ प्रयोग होता है: “द्वैती सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए” प्रश्नों में, ≥ व्यवरोधों वाली Min समस्याओं में, और नया व्यवरोध जोड़ने के बाद पुनः इष्टतमीकरण में (सुग्राहिता विश्लेषण)।

9. द्वैती सिम्प्लेक्स विधि

तब लागू होती है जब सारणी इष्टतमता संतुष्ट करे (Max के लिए सभी Δ_j ≥ 0) पर असुसंगत हो (कुछ x_Bi < 0); −1 से गुणा किए गए ≥ व्यवरोधों वाली Min समस्याओं में सामान्य।

निर्गामी चर: सर्वाधिक ऋणात्मक x_Bi वाला आधारी चर (पंक्ति r)।

धुरी अवयव ऋणात्मक क्यों: पंक्ति r है x_Br + ∑y_rjx_j = b_r, जहाँ b_r < 0। y_rk पर धुरी-संक्रिया से प्रवेशी चर का नया मान b_r/y_rk होता है, जो केवल y_rk < 0 होने पर धनात्मक है। यदि प्रत्येक y_rj ≥ 0, तो प्रत्येक x ≥ 0 के लिए बायाँ पक्ष ≥ 0 है जबकि b_r < 0, अतः समस्या असुसंगत है।

प्रवेशी चर: y_rj < 0 वाले स्तंभों में वह जिसका |Δ_j/y_rj| न्यूनतम हो; यदि कोई y_rj < 0 न हो तो समस्या असुसंगत है।

अनुपात नियम क्यों: y_rk पर धुरी-संक्रिया के बाद नए शुद्ध मूल्यांकन Δ_j′ = Δ_j − (y_rj/y_rk)Δ_k हैं। y_rj ≥ 0 के लिए यह स्वतः ≥ Δ_j ≥ 0 है; y_rj < 0 के लिए यह ≥ 0 है यदि और केवल यदि Δ_j/|y_rj| ≥ Δ_k/|y_rk|। अतः न्यूनतम अनुपात |Δ_j/y_rj| चुनने से प्रत्येक Δ_j ≥ 0 रहता है, अर्थात सारणी इष्टतम (द्वैती सुसंगत) रहती है।

सिम्प्लेक्स विधि की भाँति धुरीकरण करें और प्रत्येक x_Bi ≥ 0 होने पर रुकें; तब सारणी इष्टतम और सुसंगत है।

द्वैती सिम्प्लेक्स विधि वस्तुतः द्वैती पर लगाई गई सिम्प्लेक्स विधि है जो आद्य सारणी पर चलती है; नया व्यवरोध जोड़ने के बाद (सुग्राहिता विश्लेषण) भी इसका प्रयोग होता है।

10. विधि का चयन

यदि आद्य में व्यवरोध अनेक और चर कम हों → द्वैती हल कीजिए, जिसमें पंक्तियाँ कम हैं (दो द्वैती चर हों तो आलेखी विधि भी); आद्य हल द्वैती के न्यूनता या आधिक्य स्तंभों के नीचे के Δ_j से पढ़िए।

यदि यह परखना हो कि दिया गया आद्य हल इष्टतम है या नहीं → पूरक शिथिलता: धनात्मक x_j अपने द्वैती व्यवरोधों को समीकरण बनाते हैं, शिथिल आद्य व्यवरोध अपने y_i = 0 करते हैं; y निकालिए और जाँचिए कि वह द्वैती सुसंगत है।

यदि Min समस्या हो, सभी व्यवरोध ≥ और सभी लागतें ≥ 0 → व्यवरोधों को −1 से गुणा कर द्वैती सिम्प्लेक्स विधि लगाइए; कृत्रिम चरों की आवश्यकता नहीं।

यदि इष्टतम मिलने के बाद नया व्यवरोध जोड़ा जाए → उसे इष्टतम सारणी में जोड़कर द्वैती सिम्प्लेक्स विधि से सुसंगतता पुनः स्थापित कीजिए।

यदि छाया मूल्य पूछे जाएँ → इष्टतम सारणी के न्यूनता स्तंभों के नीचे के Δ_j (≤ व्यवरोधों वाली Max समस्या के लिए)।

यदि बिना हल किए सिद्ध करना हो कि समस्या अपरिबद्ध या असुसंगत है → दुर्बल द्वैतता का प्रयोग करते हुए एक समस्या का सुसंगत बिंदु दिखाइए और दूसरी को असुसंगत सिद्ध कीजिए।

11. सामान्य गलतियाँ

1. आद्य को विहित रूप में लाए बिना द्वैती लिखना, या Max और Min के नियम मिला देना, जिससे द्वैती चरों के चिह्न गलत हो जाते हैं।

2. यह भूलना कि समता व्यवरोध अप्रतिबंधित द्वैती चर देता है, और अप्रतिबंधित आद्य चर समता वाला द्वैती व्यवरोध देता है।

3. गलत स्तंभों से द्वैती मान पढ़ना: बिग-M सारणी में कृत्रिम स्तंभों के नीचे M वाला भाग छोड़िए, और याद रखिए कि आधिक्य स्तंभ द्वैती मान का ऋणात्मक देता है।

4. द्वैती सिम्प्लेक्स विधि में y_rj ≥ 0 वाले स्तंभ से प्रवेशी चर चुनना, या निर्गामी पंक्ति साधारण न्यूनतम अनुपात से चुनना।

5. आद्य के असुसंगत होने से द्वैती को अपरिबद्ध मान लेना; दोनों असुसंगत हो सकते हैं।

6. सुसंगतता की जाँच किए बिना किसी युग्म पर पूरक शिथिलता लगाना; प्रमेय मानता है कि x और y दोनों सुसंगत हैं।

संबंध: द्वैती बनाना एक परिवर्त (transpose) है (रैखिक बीजगणित), और यह कथन कि Ax ≤ b, x ≥ 0 तथा A^Ty ≥ 0, y ≥ 0, b^Ty < 0 में से ठीक एक का हल होता है (फ़ारकस प्रमेयिका), प्रबल द्वैतता के पीछे का विकल्प प्रमेय है।

संबंध: द्वैती चर लग्रांज गुणकों (कलन) का LP रूप हैं: दोनों में गुणक व्यवरोध स्तर के सापेक्ष इष्टतम मान के परिवर्तन की दर के बराबर है। परिवहन समस्या में MODI विधि के u_i, v_j ठीक द्वैती चर हैं।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 2: x₁ + x₂ ≤ 6, 2x₁ − x₂ = 4, x₁ + 3x₂ ≥ 3, x₁ ≥ 0, x₂ अप्रतिबंधित के अधीन Max Z = 5x₁ + 3x₂ का द्वैती लिखिए और सत्यापित कीजिए कि Max Z = Min W।

द्वैती चर: y₁ ≥ 0 (≤ पंक्ति), y₂ अप्रतिबंधित (= पंक्ति), y₃ ≤ 0 (Max समस्या की ≥ पंक्ति)। द्वैती: y₁ + 2y₂ + y₃ ≥ 5 (x₁ ≥ 0) और y₁ − y₂ + 3y₃ = 3 (x₂ मुक्त) के अधीन Min W = 6y₁ + 4y₂ + 3y₃।

आद्य: समीकरण से x₂ = 2x₁ − 4, अतः Z = 11x₁ − 12; शेष पंक्तियाँ 15/7 ≤ x₁ ≤ 10/3 देती हैं, अतः x₁ = 10/3, x₂ = 8/3 पर Max Z = 74/3।

पूरक शिथिलता से द्वैती: x₁ + 3x₂ = 34/3 > 3 से y₃ = 0; x₁ > 0 और x₂ ≠ 0 दोनों द्वैती व्यवरोधों को समता बनाते हैं: y₁ + 2y₂ = 5, y₁ − y₂ = 3, अतः y₂ = 2/3, y₁ = 11/3।

W = 6(11/3) + 4(2/3) = 22 + 8/3 = 74/3 = Max Z, और y₁ ≥ 0, y₃ = 0 चिह्न नियमों को संतुष्ट करते हैं, अतः दोनों हल इष्टतम हैं।

उदाहरण 3: द्वैती की सहायता से हल कीजिए: x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ + 3x₅ ≥ 4, 2x₁ − 2x₂ + 3x₃ + x₄ + x₅ ≥ 3, x_j ≥ 0 के अधीन Min Z = 2x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 2x₄ + 3x₅।

द्वैती: y₁ + 2y₂ ≤ 2, y₁ − 2y₂ ≤ 3, 2y₁ + 3y₂ ≤ 5, y₁ + y₂ ≤ 2, 3y₁ + y₂ ≤ 3, y₁, y₂ ≥ 0 के अधीन Max W = 4y₁ + 3y₂ (दो चर, अतः आलेखी विधि से हल हो सकता है)।

द्वैती क्षेत्र के कोणीय बिंदु (0, 0), (1, 0), (4/5, 3/5) और (0, 1) हैं, जिन पर W = 0, 4, 5, 3, अतः y₁ = 4/5, y₂ = 3/5 पर Max W = 5।

इस बिंदु पर दूसरा, तीसरा और चौथा द्वैती व्यवरोध असमता में है (−2/5 < 3, 17/5 < 5, 7/5 < 2), अतः x₂ = x₃ = x₄ = 0; y₁, y₂ > 0 दोनों आद्य पंक्तियों को समता बनाते हैं।

x₁ + 3x₅ = 4 और 2x₁ + x₅ = 3 से x₁ = 1, x₅ = 1, अतः Min Z = 2 + 3 = 5 = Max W।

उदाहरण 4: सिद्ध या असिद्ध कीजिए: यदि आद्य का कोई सुसंगत हल नहीं है, तो द्वैती अपरिबद्ध है।

असत्य। Max Z = x₁ + x₂, x₁ − x₂ ≤ −1, −x₁ + x₂ ≤ −1, x ≥ 0 लें; पंक्तियाँ जोड़ने पर 0 ≤ −2, अतः आद्य असुसंगत है।

इसका द्वैती, y₁ − y₂ ≥ 1, −y₁ + y₂ ≥ 1, y ≥ 0 के अधीन Min W = −y₁ − y₂, जोड़ने पर 0 ≥ 2 देता है, अतः द्वैती भी असुसंगत है, अपरिबद्ध नहीं।

सही कथन: यदि आद्य असुसंगत है, तो द्वैती या तो असुसंगत है या अपरिबद्ध।

उदाहरण 5: द्वैती सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए: 3x₁ + x₂ ≥ 3, 4x₁ + 3x₂ ≥ 6, x₁ + 2x₂ ≥ 3, x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन Min Z = 2x₁ + x₂।

Max Z′ = −2x₁ − x₂, जहाँ −3x₁ − x₂ + s₁ = −3, −4x₁ − 3x₂ + s₂ = −6, −x₁ − 2x₂ + s₃ = −3; स्तंभ x₁, x₂, s₁, s₂, s₃ | x_B। सभी Δ_j ≥ 0 परंतु x_B < 0, अतः द्वैती सिम्प्लेक्स विधि लागू होती है।

सारणी 1: s₁: −3, −1, 1, 0, 0 | −3; s₂: −4, −3, 0, 1, 0 | −6; s₃: −1, −2, 0, 0, 1 | −3; Δ_j: 2, 1, 0, 0, 0। s₂ (सर्वाधिक ऋणात्मक) निर्गत; अनुपात |Δ_j/y_2j| = 2/4, 1/3, अतः x₂ प्रवेश।

सारणी 2: s₁: −5/3, 0, 1, −1/3, 0 | −1; x₂: 4/3, 1, 0, −1/3, 0 | 2; s₃: 5/3, 0, 0, −2/3, 1 | 1; Δ_j: 2/3, 0, 0, 1/3, 0। s₁ निर्गत; अनुपात (2/3)/(5/3) = 2/5 और (1/3)/(1/3) = 1, अतः x₁ प्रवेश।

सारणी 3: x₁: 1, 0, −3/5, 1/5, 0 | 3/5; x₂: 0, 1, 4/5, −3/5, 0 | 6/5; s₃: 0, 0, 1, −1, 1 | 0; Δ_j: 0, 0, 2/5, 1/5, 0। सभी x_B ≥ 0, अतः सारणी इष्टतम है।

x₁ = 3/5, x₂ = 6/5, Min Z = 12/5 (s₃ = 0: अपभ्रष्ट इष्टतम, क्योंकि तीनों रेखाएँ (3/5, 6/5) से होकर जाती हैं); कोणीय बिंदु (0, 3), (3/5, 6/5), (3, 0) पर Z = 3, 12/5, 6।

उदाहरण 6: उदाहरण 1 में दूसरे संसाधन को 12 से 13 करने का प्रभाव ज्ञात कीजिए, तथा b₂ का वह परास जिसमें छाया मूल्य y₂ = 3/2 मान्य रहता है।

इष्टतम आधार (s₁, x₂, x₁) के साथ: 2x₂ = b₂ से x₂ = b₂/2, फिर 3x₁ + 2x₂ = 18 से x₁ = (18 − b₂)/3, और s₁ = 4 − x₁।

आधार तब तक सुसंगत रहता है जब तक x₁ ≥ 0 और s₁ ≥ 0, अर्थात् b₂ ≤ 18 और (18 − b₂)/3 ≤ 4: परास 6 ≤ b₂ ≤ 18 है।

b₂ = 13 के लिए: x₁ = 5/3, x₂ = 13/2, Z = 5 + 65/2 = 37.5 = 36 + 3/2, अर्थात् वृद्धि छाया मूल्य y₂ = 3/2 के बराबर।

13. न्यूनीकरण समस्या का द्वैती और द्वैती से हलों का परीक्षण

नियम (आद्य Min): ≥ व्यवरोध से द्वैती चर ≥ 0, ≤ व्यवरोध से द्वैती चर ≤ 0 (या पहले पंक्ति को −1 से गुणा करें), और = व्यवरोध से अप्रतिबंधित द्वैती चर। आद्य x_j ≥ 0 से द्वैती ≤ व्यवरोध (द्वैती Max समस्या है), और x_j अप्रतिबंधित से द्वैती = व्यवरोध।

द्वैती से आधारी हल का परीक्षण: आधार B के लिए B^Ty = c_B हल कीजिए, अर्थात y^T = c_B^TB⁻¹। सुसंगत आधारी हल इष्टतम है यदि और केवल यदि यह y द्वैती-सुसंगत है, अर्थात Max समस्या में प्रत्येक अनाधारी j के लिए y^Ta_j ≥ c_j; कोई उल्लंघित द्वैती व्यवरोध (Δ_j = y^Ta_j − c_j < 0) प्रवेश करने योग्य चर बताता है।

हल करने के साधन के रूप में द्वैतता सिद्धांत: यदि द्वैती असुसंगत है और आद्य सुसंगत है, तो आद्य अपरिबद्ध है; यदि द्वैती का परिमित इष्टतम है, तो आद्य का भी समान मान वाला इष्टतम है, और पूरक शिथिलता से आद्य हल प्राप्त होता है।

14. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2019, 10 अंक): निम्नलिखित एल. पी. पी. पर विचार करें,
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 2x₁ + 4x₂ + 4x₃ − 3x₄
बशर्ते कि
x₁ + x₂ + x₃ = 4
x₁ + 4x₂ + x₄ = 8
और x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0
प्रति समस्या का उपयोग करते हुए, सत्यापित करें कि बुनियादी समाधान (x₁, x₂) इष्टतम नहीं है।

आधार (x₁, x₂): B = [[1, 1], [1, 4]], c_B = (2, 4)। x₁ + x₂ = 4, x₁ + 4x₂ = 8 हल करने पर x₁ = 8/3, x₂ = 4/3 (सुसंगत) और Z = 32/3।

द्वैती (आद्य समीकरणों से अप्रतिबंधित द्वैती चर): y₁ + y₂ ≥ 2, y₁ + 4y₂ ≥ 4, y₁ ≥ 4, y₂ ≥ −3 के अधीन Min W = 4y₁ + 8y₂, जहाँ y₁, y₂ अप्रतिबंधित।

इस आधार से संबंधित द्वैती हल B^Ty = c_B को हल करता है: y₁ + y₂ = 2, y₁ + 4y₂ = 4, अतः y = (4/3, 2/3) और W = 32/3 = Z।

यह y, x₃ के द्वैती व्यवरोध का उल्लंघन करता है, जिसमें y₁ ≥ 4 चाहिए जबकि y₁ = 4/3 (समतुल्यतः Δ₃ = 4/3 − 4 = −8/3 < 0); x₄ का व्यवरोध y₂ ≥ −3 संतुष्ट है।

चूँकि आधार से मेल खाने वाला y द्वैती-सुसंगत नहीं है, आधारी हल (8/3, 4/3, 0, 0) इष्टतम नहीं है और x₃ को प्रवेश करना चाहिए। (इष्टतम x₂ = x₃ = 2, Z = 16 है, द्वैती y = (4, 0) और W = 16।)

उत्तर: आधार (x₁, x₂) के द्वैती मान y = (4/3, 2/3), y₁ ≥ 4 का उल्लंघन करते हैं, अतः (x₁, x₂) = (8/3, 4/3) इष्टतम नहीं है।

उदाहरण 8 (UPSC 2021, 15 अंक): निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को द्वैती रैखिक प्रोग्रामन समस्या में परिवर्तित कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए Z = x₁ − 3x₂ − 2x₃
बशर्ते कि 3x₁ − x₂ + 2x₃ ≤ 7
2x₁ − 4x₂ ≥ 12
−4x₁ + 3x₂ + 8x₃ = 10
जहाँ x₁, x₂ ≥ 0 तथा x₃ का चिह्न अप्रतिबंधित है।

Min समस्या को विहित रूप (सभी ≥) में लिखिए: पंक्ति 1 को −1 से गुणा करने पर −3x₁ + x₂ − 2x₃ ≥ −7; पंक्ति 2, 2x₁ − 4x₂ ≥ 12 है; पंक्ति 3 समीकरण रहती है।

द्वैती चर: दोनों ≥ पंक्तियों के लिए y₁ ≥ 0 और y₂ ≥ 0, समीकरण के लिए y₃ अप्रतिबंधित। द्वैती उद्देश्य: Max W = −7y₁ + 12y₂ + 10y₃।

द्वैती व्यवरोध: x₁ ≥ 0 से −3y₁ + 2y₂ − 4y₃ ≤ 1; x₂ ≥ 0 से y₁ − 4y₂ + 3y₃ ≤ −3; x₃ अप्रतिबंधित से −2y₁ + 8y₃ = −2।

समतुल्यतः, मूल ≤ पंक्ति से जुड़े w₁ = −y₁ ≤ 0 के साथ: Max W = 7w₁ + 12y₂ + 10y₃, 3w₁ + 2y₂ − 4y₃ ≤ 1, −w₁ − 4y₂ + 3y₃ ≤ −3, 2w₁ + 8y₃ = −2।

उत्तर: −3y₁ + 2y₂ − 4y₃ ≤ 1, y₁ − 4y₂ + 3y₃ ≤ −3, −2y₁ + 8y₃ = −2, y₁, y₂ ≥ 0, y₃ चिह्न में अप्रतिबंधित के अधीन Max W = −7y₁ + 12y₂ + 10y₃।

उदाहरण 9 (UPSC 2025, 15 अंक): द्वैतता (ड्यूअलिटी) के सिद्धान्त का उपयोग कर निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 3x₁ + 4x₂
बशर्ते कि
x₁ − x₂ ≤ 1
x₁ + x₂ ≥ 4
x₁ − 3x₂ ≤ 3
x₁, x₂ ≥ 0

Max विहित रूप में आद्य: x₁ − x₂ ≤ 1, −x₁ − x₂ ≤ −4, x₁ − 3x₂ ≤ 3, x ≥ 0।

द्वैती: y₁ − y₂ + y₃ ≥ 3, −y₁ − y₂ − 3y₃ ≥ 4, y₁, y₂, y₃ ≥ 0 के अधीन Min W = y₁ − 4y₂ + 3y₃।

दूसरा द्वैती व्यवरोध असंभव है: y ≥ 0 के लिए इसका बायाँ पक्ष ≤ 0 है, परंतु इसे ≥ 4 होना चाहिए। अतः द्वैती का कोई सुसंगत हल नहीं है।

अस्तित्व प्रमेय से तब आद्य असुसंगत या अपरिबद्ध है। यह सुसंगत है, क्योंकि (2, 2) से 0 ≤ 1, 4 ≥ 4, −4 ≤ 3; अतः यह अपरिबद्ध है। प्रत्यक्षतः, प्रत्येक t के लिए x₁ = 0, x₂ = t ≥ 4 सुसंगत है, और Z = 4t → ∞।

उत्तर: द्वैती असुसंगत है और आद्य सुसंगत है, अतः समस्या का हल अपरिबद्ध है (कोई परिमित अधिकतम नहीं)।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): x₁ + x₂ ≤ 3, x₁ + 4x₂ ≤ 8, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x₁ + 5x₂ का द्वैती लिखिए।

उत्तर: y₁ + y₂ ≥ 2, y₁ + 4y₂ ≥ 5, y ≥ 0 के अधीन Min W = 3y₁ + 8y₂।

अभ्यास 2 (मूल): x₁ + x₂ ≥ 2, 2x₁ − x₂ = 1, x ≥ 0 के अधीन Min Z = 3x₁ + x₂ का द्वैती लिखिए।

उत्तर: y₁ + 2y₂ ≤ 3, y₁ − y₂ ≤ 1, y₁ ≥ 0, y₂ अप्रतिबंधित के अधीन Max W = 2y₁ + y₂।

अभ्यास 3 (मूल): x किसी Max आद्य के लिए Z = 8 के साथ सुसंगत है, और y उसके द्वैती के लिए W = 8 के साथ सुसंगत है। आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

उत्तर: दोनों इष्टतम हैं (दुर्बल द्वैतता का उपप्रमेय), और उभयनिष्ठ इष्टतम मान 8 है।

अभ्यास 4 (मानक): अभ्यास 1 के आद्य को आलेखी रूप से हल कीजिए और पूरक शिथिलता द्वारा द्वैती हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कोने (0, 0), (3, 0), (4/3, 5/3), (0, 2) पर 0, 6, 11, 10: Max Z = 11, (4/3, 5/3) पर। दोनों x_j > 0, अतः y₁ + y₂ = 2, y₁ + 4y₂ = 5: y = (1, 1), W = 11।

अभ्यास 5 (मानक): पूरक शिथिलता का उपयोग करके दिखाइए कि x₁ + x₂ ≤ 3, x₁ + 2x₂ ≤ 5, x₁ ≤ 2, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 3x₁ + 4x₂ के लिए x* = (1, 2) इष्टतम है।

उत्तर: तीसरे व्यवरोध में न्यूनता है, अतः y₃ = 0; y₁ + y₂ = 3 और y₁ + 2y₂ = 4 से y = (2, 1, 0) ≥ 0, और W = 6 + 5 = 11 = Z।

अभ्यास 6 (मानक): द्वैती सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए: x₁ + x₂ ≥ 2, x₁ + 3x₂ ≥ 3, x ≥ 0 के अधीन Min Z = 3x₁ + 2x₂।

उत्तर: s₂ निकलता है और x₂ प्रवेश करता है; फिर s₁ निकलता है और s₂ प्रवेश करता है; अंतिम सारणी x₁ = 0, x₂ = 2, Min Z = 4 देती है।

अभ्यास 7 (मानक): अभ्यास 4 में छाया मूल्य y = (1, 1) हैं। जब पहला दायाँ पक्ष 3 से 3.5 हो जाए तो नए अधिकतम का पूर्वानुमान कीजिए, और जाँचिए।

उत्तर: पूर्वानुमान 11 + 0.5 × 1 = 11.5; वास्तव में x₁ + x₂ = 3.5, x₁ + 4x₂ = 8 से (2, 1.5) ≥ 0 और Z = 4 + 7.5 = 11.5।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): द्वैती का उपयोग करके x₁ + x₃ ≥ 2, x₂ + x₃ ≥ 5, x ≥ 0 के अधीन Min Z = 4x₁ + 3x₂ + 6x₃ हल कीजिए।

उत्तर: द्वैती Max W = 2y₁ + 5y₂, y₁ ≤ 4, y₂ ≤ 3, y₁ + y₂ ≤ 6, y ≥ 0: कोनों से Max W = 21, (3, 3) पर। तब y₁ < 4 से x₁ = 0, और y₁, y₂ > 0 दोनों आद्य पंक्तियों को समीकरण बनाते हैं: x₃ = 2, x₂ = 3, Min Z = 21।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि यदि Max आद्य का सुसंगत हल है और उसके द्वैती का कोई नहीं, तो आद्य अपरिबद्ध है।

उत्तर: संकेत: यदि आद्य का परिमित इष्टतम होता, तो प्रबल द्वैतता द्वैती को इष्टतम, अतः सुसंगत, हल देती; परिमित इष्टतम रहित सुसंगत LP अपरिबद्ध होती है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): द्वैती सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए: 2x₁ + 3x₂ + 5x₃ ≥ 2, 3x₁ + x₂ + 7x₃ ≤ 3, x₁ + 4x₂ + 6x₃ ≤ 5, x ≥ 0 के अधीन Min Z = 2x₁ + 2x₂ + 4x₃।

उत्तर: पहली पंक्ति को −1 से गुणा करने के बाद केवल वही ऋणात्मक है; अनुपात 2/2, 2/3, 4/5 से x₂ प्रवेश करता है, और एक धुरी-क्रिया x₂ = 2/3, x₁ = x₃ = 0, Min Z = 4/3 देती है।

1. परिवहन सारणी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक कंपनी एक उत्पाद को कई कारखानों से कई बाज़ारों तक भेजती है, और प्रत्येक मार्ग की प्रति इकाई अपनी लागत है। LPP के रूप में इसमें प्रत्येक मार्ग के लिए एक चर है, 3 कारखानों और 4 बाज़ारों के लिए ही 12, परंतु इसकी संरचना इतनी नियमित है कि पूरी विधि एक ही सारणी पर की जा सकती है।

शब्दों में: पंक्तियाँ a_i आपूर्ति वाले स्रोत हैं, स्तंभ b_j माँग वाले गंतव्य, प्रत्येक खाने में लागत c_ij और आवंटन x_ij है। प्रत्येक पंक्ति का योग उसकी आपूर्ति और प्रत्येक स्तंभ का योग उसकी माँग के बराबर होना चाहिए। जब कुल आपूर्ति कुल माँग के बराबर हो तो समस्या संतुलित (balanced) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दो स्रोत S₁ (आपूर्ति 30) और S₂ (20), दो गंतव्य D₁, D₂ (प्रत्येक की माँग 25); इकाई लागतें S₁: (4, 6), S₂: (5, 3)।

(1) संतुलन: 30 + 20 = 50 = 25 + 25।

(2) समीकरण: x₁₁ + x₁₂ = 30, x₂₁ + x₂₂ = 20, x₁₁ + x₂₁ = 25, x₁₂ + x₂₂ = 25।

(3) एक समीकरण अतिरिक्त है: (पंक्ति 1) + (पंक्ति 2) − (स्तंभ 1) से स्तंभ 2 मिलता है। अतः केवल 3 = m + n − 1 स्वतंत्र हैं।

(4) 4 अज्ञातों और 3 स्वतंत्र समीकरणों के साथ एक चयन स्वतंत्र है: x₁₁ = t रखें; तब x₁₂ = 30 − t, x₂₁ = 25 − t, x₂₂ = t − 5, और सभी ठीक तब ≥ 0 हैं जब 5 ≤ t ≤ 25।

(5) लागत: 4t + 6(30 − t) + 5(25 − t) + 3(t − 5) = 290 − 4t, t = 25 पर न्यूनतम: x₁₁ = 25, x₁₂ = 5, x₂₂ = 20, लागत 190।

(6) ध्यान दें कि इष्टतम अंतराल के एक सिरे पर है, जहाँ एक आवंटन (x₂₁) 0 है: m + n − 1 = 3 भरे खानों वाला BFS।

अ-उदाहरण (non-example): आपूर्ति 30, 20 और माँग 25, 30। पंक्ति समीकरणों को जोड़ने पर 50 और स्तंभ समीकरणों को जोड़ने पर 55 मिलता है, अतः समीकरण परस्पर विरोधी हैं और कोई अनुसूची विद्यमान नहीं। समस्या असंतुलित है; पहले 5 इकाइयों (अपूरित माँग) का एक कल्पित (dummy) स्रोत जोड़ना होगा।

आगे बढ़ते हुए: (i) संतुलन सुसंगतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त है, और सुसंगत समुच्चय परिबद्ध है, अतः इष्टतम सदैव विद्यमान है। (ii) व्यवरोधों की कोटि m + n − 1 है, अतः BFS में m + n − 1 आधारी खाने होते हैं। (iii) आधारी खानों में कभी संवृत पाश नहीं होता। (iv) पूर्णांक आपूर्ति और माँग के साथ प्रत्येक BFS पूर्णांकीय है।

कहाँ प्रयोग होता है: समस्या के सूत्रण में, संतुलन जाँचने में, और उन m + n − 1 आवंटनों को गिनने में जो नीचे की प्रत्येक विधि को चाहिए।

2. मॉडल

a_i आपूर्ति वाले m स्रोत, b_j माँग वाले n गंतव्य, इकाई लागत c_ij: ∑_j x_ij = a_i, ∑_i x_ij = b_j, x_ij ≥ 0 के अधीन Z = ∑_i∑_j c_ijx_ij न्यूनतम करें।

भाव: यह mn चरों और m + n समता व्यवरोधों वाली LPP है, पर आव्यूह अत्यंत विशेष है: x_ij के स्तंभ में ठीक दो प्रविष्टियाँ 1 हैं, एक आपूर्ति पंक्ति i में और एक माँग पंक्ति j में। इस संरचना के कारण सिम्प्लेक्स के चरण लागत सारणी पर जोड़-घटाव में बदल जाते हैं, और जब सभी a_i, b_j पूर्णांक हों तो प्रत्येक BFS पूर्णांकीय होता है (आव्यूह पूर्णतः एकमापांकी, totally unimodular, है)।

संतुलित (balanced): ∑a_i = ∑b_j; यह सुसंगत हल के लिए आवश्यक और पर्याप्त है (x_ij = a_ib_j/∑a_i सदैव सुसंगत है)।

यह क्यों काम करता है: सभी आपूर्ति समीकरण जोड़ने पर ∑∑x_ij = ∑a_i, और सभी माँग समीकरण जोड़ने पर ∑∑x_ij = ∑b_j, अतः संतुलन आवश्यक है। पर्याप्तता के लिए, S = ∑a_i लेकर, x_ij = a_ib_j/S ≥ 0 के पंक्ति-योग a_i∑b_j/S = a_i और स्तंभ-योग b_j हैं। चूँकि 0 ≤ x_ij ≤ min(a_i, b_j), सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध भी है, अतः संतुलित समस्या का इष्टतम हल सदैव होता है।

असंतुलित: आधिक्य को समाहित करने हेतु शून्य (या दंड) लागत वाली डमी (dummy) पंक्ति या स्तंभ जोड़ें।

अर्थ: यदि आपूर्ति माँग से अधिक हो, तो माँग ∑a_i − ∑b_j वाला एक कल्पित (dummy) गंतव्य स्रोतों पर बचे माल को समाहित करता है; यदि माँग आपूर्ति से अधिक हो, तो एक कल्पित स्रोत कमी की आपूर्ति करता है, अर्थात अपूरित माँग। शून्य लागत का अर्थ है कि वास्तव में कुछ नहीं भेजा जाता; यदि अपूरित माँग या भंडारण का मूल्य लगता हो तो दंड लागत लीजिए।

m + n व्यवरोधों में से केवल m + n − 1 स्वतंत्र हैं, अतः अनपभ्रष्ट BFS में ठीक m + n − 1 धनात्मक आवंटन होते हैं, और उसके भरे खानों में कोई बंद पाश (closed loop) नहीं होता।

m + n − 1 क्यों: m आपूर्ति समीकरणों का योग घटा n माँग समीकरणों का योग 0 = ∑a_i − ∑b_j है, एक सर्वसमिका, अतः एक समीकरण अनावश्यक है; कोटि ठीक m + n − 1 है। अतः एक आधार में m + n − 1 खाने होते हैं।

कोई पाश क्यों नहीं: यदि खाने एक बंद पाश बनाएँ, तो उनके स्तंभों को एकांतर चिह्न +, −, +, − देने पर प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ की गिनती निरस्त हो जाती है, अतः स्तंभ रैखिकतः परतंत्र हैं और सभी आधारी नहीं हो सकते। विलोमतः, बिना पाश वाले m + n − 1 खाने सदैव एक आधार बनाते हैं; आलेख के रूप में वे सभी पंक्तियों और स्तंभों को एक वृक्ष (tree) में जोड़ते हैं।

3. प्रारंभिक हलों (NWCR, LCM और VAM) को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: इष्टतमता परीक्षण के लिए प्रारंभिक BFS चाहिए, और आरंभ जितना अच्छा, बाद के सुधार चरण उतने कम। तीनों मानक विधियाँ गति और गुणवत्ता के बीच संतुलन करती हैं।

शब्दों में: प्रत्येक विधि एक बार में एक खाना यथासंभव अधिक (शेष आपूर्ति और माँग में से छोटी) से भरती है, जिससे एक पंक्ति या स्तंभ समाप्त होता है, और फिर उस रेखा को छोड़ देती है। NWCR सदैव ऊपर-बाएँ का शेष खाना लेती है; LCM सबसे सस्ता शेष खाना लेती है; VAM सबसे बड़े दंड (उसकी दो न्यूनतम लागतों का अंतर) वाली रेखा का सबसे सस्ता खाना लेती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: लागतों S₁: (2, 4, 5), S₂: (3, 1, 6); आपूर्ति 40, 30; माँग 20, 25, 25 (संतुलित, कुल 70) के लिए VAM।

(1) दंड: पंक्तियाँ S₁: 4 − 2 = 2, S₂: 3 − 1 = 2; स्तंभ D₁: 3 − 2 = 1, D₂: 4 − 1 = 3, D₃: 6 − 5 = 1।

(2) सबसे बड़ा दंड 3, D₂ का है; इसका सबसे सस्ता खाना लागत 1 वाला (2, 2) है। x₂₂ = min(30, 25) = 25 आवंटित करें; D₂ पूर्ण और S₂ में 5 शेष।

(3) नए दंड (केवल स्तंभ D₁, D₃): S₁: 5 − 2 = 3, S₂: 6 − 3 = 3, D₁: 1, D₃: 1। बराबरी S₁ से तोड़ें: इसका सबसे सस्ता खाना (1, 1), x₁₁ = 20 पाता है; D₁ पूर्ण और S₁ में 20 शेष।

(4) केवल D₃ शेष (25 इकाइयाँ): x₁₃ = 20 और x₂₃ = 5।

(5) लागत = 20·2 + 25·1 + 20·5 + 5·6 = 40 + 25 + 100 + 30 = 195, m + n − 1 = 4 भरे खानों के साथ।

(6) NWCR से तुलना करें: x₁₁ = 20, x₁₂ = 20, x₂₂ = 5, x₂₃ = 25, लागत 40 + 80 + 5 + 150 = 275। ध्यान दें कि स्थिति के बजाय पछतावे (regret) को देखकर VAM कितना लाभ पाती है।

अ-उदाहरण (non-example): किसी भी सारणी के चार खाने (1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1) एक संवृत आयताकार पाश बनाते हैं। जो प्रारंभिक आवंटन चारों को भरे वह आधारी नहीं, उसकी लागत कुछ भी हो: पाश के चारों ओर इकाइयाँ खिसकाने से वह सुसंगतता छोड़े बिना बदलता है, अतः वह कोना नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (i) प्रत्येक चरण एक पंक्ति या स्तंभ हटाता है, अतः अधिकतम m + n − 1 खाने भरते हैं और कोई पाश नहीं बन सकता: परिणाम BFS है। (ii) जब कोई चरण एक साथ पंक्ति और स्तंभ दोनों समाप्त करता है, तो कम खाने भरते हैं (अपभ्रष्टता) और बाद में ε चाहिए। (iii) VAM का दंड दूसरे सबसे सस्ते खाने पर विवश होने की प्रति इकाई अतिरिक्त लागत है, इसी कारण यह इष्टतम के निकट आरंभ करती है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक परिवहन प्रश्न के पहले भाग में; प्रश्न में बताई गई विधि का ठीक-ठीक उपयोग करना चाहिए।

4. प्रारंभिक आधारी सुसंगत हल

उत्तर-पश्चिम कोना नियम (NWCR): खाना (1, 1) से आरंभ कर min(a₁, b₁) आवंटित करें, और स्तंभ या पंक्ति समाप्त होने पर दाएँ या नीचे बढ़ें; लागतों की उपेक्षा होती है।

भाव: त्वरित और सदैव सुसंगत, पर यह लागतों की उपेक्षा करता है, अतः प्रायः इष्टतम से दूर आरंभ करता है। प्रत्येक आवंटन एक पंक्ति या एक स्तंभ को समाप्त करता है; जब दोनों एक साथ समाप्त हों, तो हल अपभ्रष्ट होता है और m + n − 1 से कम खाने भरते हैं।

न्यूनतम लागत (आव्यूह न्यूनतम) विधि: सबसे सस्ते उपलब्ध खाने में अधिकतम संभव आवंटन करें, समाप्त पंक्ति या स्तंभ काटें, और दोहराएँ।

बराबरी: यदि दो खानों की न्यूनतम लागत समान हो, तो उसे चुनिए जिसमें बड़ा आवंटन संभव हो।

वोगेल सन्निकटन विधि (VAM): प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का दंड उसकी दो न्यूनतम लागतों का अंतर है; सबसे बड़े दंड वाली पंक्ति या स्तंभ में उसके न्यूनतम लागत खाने में अधिकतम आवंटन करें; दंड पुनः निकालें और दोहराएँ।

भाव: किसी पंक्ति का दंड वह अतिरिक्त प्रति इकाई लागत है जो चुकानी पड़ेगी यदि वह पंक्ति अपना सबसे सस्ता खाना उपयोग न कर सके और अगला सस्ता लेना पड़े, अर्थात पछतावे की माप। VAM पहले वहाँ आवंटन करता है जहाँ पछतावा सबसे अधिक हो, इसीलिए यह प्रायः इष्टतम के निकट आरंभ करता है।

VAM प्रायः इष्टतम या उसके निकट हल देती है।

5. MODI विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रारंभिक BFS प्रायः इष्टतम नहीं होता। हमें ऐसा परीक्षण चाहिए जो बताए कि क्या कोई अप्रयुक्त मार्ग लागत घटाएगा, और प्रति इकाई कितना, सभी अनुसूचियों की गणना किए बिना।

शब्दों में: प्रत्येक पंक्ति को एक संख्या u_i और प्रत्येक स्तंभ को एक संख्या v_j दें ताकि प्रत्येक भरे खाने पर u_i + v_j = c_ij। किसी खाली खाने के लिए Δ_ij = c_ij − (u_i + v_j), उस मार्ग पर (और उसके पाश के चारों ओर) भेजी गई प्रति इकाई कुल लागत में परिवर्तन है। सभी Δ_ij ≥ 0 का अर्थ है कि कोई मार्ग सहायक नहीं: हल इष्टतम है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: पिछले पाठ के VAM हल का परीक्षण: x₁₁ = 20, x₁₃ = 20, x₂₂ = 25, x₂₃ = 5 (लागतें S₁: (2, 4, 5), S₂: (3, 1, 6))।

(1) u₁ = 0 रखें। खाने (1, 1) और (1, 3) से v₁ = 2 और v₃ = 5।

(2) खाना (2, 3): u₂ + 5 = 6, अतः u₂ = 1। खाना (2, 2): 1 + v₂ = 1, अतः v₂ = 0।

(3) खाली खाने: Δ₁₂ = 4 − (0 + 0) = 4 और Δ₂₁ = 3 − (1 + 2) = 0।

(4) दोनों ≥ 0 हैं, अतः लागत 195 न्यूनतम है। जाँच: ∑a_iu_i + ∑b_jv_j = 40·0 + 30·1 + 20·2 + 25·0 + 25·5 = 195।

(5) Δ₂₁ = 0 दूसरे इष्टतम का संकेत है। इसका पाश (2, 1)+ → (1, 1)− → (1, 3)+ → (2, 3)− है; θ = min(20, 5) = 5 से x₂₁ = 5, x₁₁ = 15, x₁₃ = 25, x₂₃ = 0, फिर लागत 30 + 125 + 25 + 15 = 195। ध्यान दें कि Δ ने परिवर्तन ठीक बताया: प्रति इकाई 0।

अ-उदाहरण (non-example): किसी खाली खाने पर मुड़ने वाला, या तिरछा चलने वाला पाश अनुमत नहीं: तब θ इकाइयों का खिसकाव किसी पंक्ति या स्तंभ के योग को तोड़ देगा या नया अनाधारी खाना बनाएगा। प्रवेशी खाने को छोड़कर पाश का प्रत्येक कोना भरा खाना होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (i) u_i, v_j द्वैती चर हैं, और आधारी खानों पर u_i + v_j = c_ij पूरक शिथिलता है। (ii) पाश पर भरे खानों की लागतों को u + v से बदला जा सकता है, और सब कुछ कटकर c_ij − u_i − v_j रह जाता है। (iii) θ = − खानों में न्यूनतम आवंटन अनुपात परीक्षण है (नीचे व्युत्पत्ति खंड)।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक परिवहन प्रश्न के दूसरे भाग में (इष्टतम अनुसूची ज्ञात करना), किसी Δ_ij = 0 होने पर वैकल्पिक इष्टतम की टिप्पणी के साथ।

6. अपभ्रष्टता और असंतुलित समस्याओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: परीक्षकों को दो मोड़ पसंद हैं: आपूर्ति और माँग जो संतुलित नहीं, और m + n − 1 से कम खानों वाले आवंटन। दोनों स्थितियों में सारणी सुधारे बिना MODI आरंभ भी नहीं हो सकती।

शब्दों में: असंतुलित समस्या में शून्य लागत वाली एक कल्पित पंक्ति या स्तंभ जोड़ा जाता है, जो अंतर रखता है (स्रोतों पर बचा स्टॉक, या अपूरित माँग)। अपभ्रष्ट आवंटन में किसी ऐसे खाली खाने में अति सूक्ष्म मात्रा ε रखी जाती है जो भरे खानों के साथ कोई पाश न बनाए; u, v निकालने में ε को आवंटन माना जाता है और अंत में 0 कर दिया जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: लागतें S₁: (3, 5), S₂: (6, 2); आपूर्ति 20, 30; माँग 20, 30।

(1) NWCR: x₁₁ = 20 एक साथ S₁ और D₁ को समाप्त करता है; फिर x₂₂ = 30।

(2) केवल 2 खाने भरे हैं, परंतु m + n − 1 = 3: BFS अपभ्रष्ट है, और तीन अज्ञात u₂, v₁, v₂ (u₁ = 0 के साथ) दो समीकरणों से नहीं निकाले जा सकते।

(3) किसी ऐसे खाली खाने में ε रखें जो पाश न बनाए, अधिमानतः सस्ता: लागत 6 वाले (2, 1) के बजाय लागत 5 वाला (1, 2)।

(4) अब u₁ = 0, v₁ = 3, v₂ = 5, u₂ = 2 − 5 = −3, और Δ₂₁ = 6 − (−3 + 3) = 6 ≥ 0।

(5) अतः अनुसूची x₁₁ = 20, x₂₂ = 30 (ε → 0) लागत 60 + 60 = 120 के साथ इष्टतम है। ध्यान दें कि ε ने कोई प्रेषण नहीं बदला; उसने केवल लुप्त समीकरण दिया।

अ-उदाहरण (non-example): भरे खानों (1, 1), (1, 2), (2, 2) वाली 2 × 3 सारणी में ε को (2, 1) पर रखने से पाश (1, 1) → (1, 2) → (2, 2) → (2, 1) बंद हो जाएगा और चारों खाने आश्रित होंगे; ε को (2, 3) या (1, 3) जैसे खाने में जाना चाहिए जो नया स्तंभ जोड़ता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) शून्य लागत वाला कल्पित किसी वास्तविक प्रेषण की लागत नहीं बदलता, अतः संतुलित समस्या का इष्टतम मूल समस्या का इष्टतम देता है। (ii) ε, m + n − 1 स्वतंत्र आधारी खाने पुनः स्थापित करता है, अतः u, v निर्धारित हो जाते हैं। (iii) निषिद्ध मार्गों को लागत M दी जाती है, अतः यदि कोई सुसंगत विकल्प हो तो वे इष्टतम में कभी प्रयुक्त नहीं होते।

कहाँ प्रयोग होता है: असमान योगों वाले परिवहन प्रश्नों में, “सीढ़ीनुमा” आँकड़ों पर NWCR आरंभ में, और निषिद्ध मार्गों में।

7. इष्टतमता परीक्षण: MODI (u-v) विधि

चरण 1: प्रत्येक भरे खाने के लिए u_i + v_j = c_ij लिखें; एक u_i = 0 रखें (प्रायः सर्वाधिक आवंटनों वाली पंक्ति का) और हल करें।

चरण 2: प्रत्येक रिक्त खाने के लिए Δ_ij = c_ij − (u_i + v_j) निकालें।

चरण 3: यदि सभी Δ_ij ≥ 0 तो हल इष्टतम है; यदि कोई Δ_ij = 0 हो तो वैकल्पिक इष्टतम है।

वैकल्पिक इष्टतम: Δ_ij = 0 वाले खाने को (θ > 0 के साथ) प्रवेश कराने पर समान कुल लागत वाला एक अन्य इष्टतम आवंटन मिलता है।

चरण 4: अन्यथा सर्वाधिक ऋणात्मक Δ_ij वाला खाना प्रवेश करता है; उससे भरे खानों से होकर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर चालों द्वारा बंद पाश बनाएँ, प्रवेशी खाने पर + से आरंभ कर +, −, +, − अंकित करें।

चरण 5: θ = − खानों में न्यूनतम आवंटन; + खानों में θ जोड़ें, − खानों से θ घटाएँ (एक खाना निकलता है), और परीक्षण दोहराएँ।

u_i और v_j पंक्ति और स्तंभ व्यवरोधों के द्वैती चर हैं, और Δ_ij ≥ 0 द्वैती सुसंगतता है।

अपभ्रष्टता: यदि आवंटन m + n − 1 से कम हों, तो किसी स्वतंत्र रिक्त खाने (जो पाश न बनाए, अधिमानतः न्यूनतम लागत का) में अति लघु ε > 0 रखें और अंत में ε → 0 करें।

ε क्यों आवश्यक है: m + n अज्ञात u_i, v_j के लिए m + n − 1 समीकरण u_i + v_j = c_ij चाहिए (एक मान स्वेच्छा से तय होता है)। कम भरे खानों से कुछ u_i या v_j नहीं निकलते; ε-खाना किसी प्रेषण को बदले बिना छूटा आधारी खाना पूरा करता है।

8. व्युत्पत्ति: MODI विधि क्यों काम करती है

द्वैती: आपूर्ति समीकरणों को गुणक u_i और माँग समीकरणों को गुणक v_j देने पर संतुलित समस्या का द्वैती है Max ∑a_iu_i + ∑b_jv_j, सभी i, j के लिए u_i + v_j ≤ c_ij के अधीन, u_i, v_j अप्रतिबंधित (आद्य व्यवरोध समीकरण हैं)।

चरण 1 पूरक शिथिलता है: आधारी खाने में x_ij > 0 (या वह 0 पर आधारी) है, अतः उसका द्वैती व्यवरोध कसा होना चाहिए, u_i + v_j = c_ij। इससे m + n अज्ञातों में m + n − 1 समीकरण मिलते हैं; चूँकि एक आद्य समीकरण अनावश्यक है, एक द्वैती चर स्वतंत्र है, अतः u₁ = 0 रख सकते हैं।

Δ_ij किसी मार्ग के उपयोग की लागत है: किसी रिक्त खाने (i, j) के पाश पर θ इकाइयाँ भेजिए, (i, j) पर + के साथ। लागत पाश की लागतों के एकांतर योग के θ गुना बदलती है; प्रत्येक भरे खाने की लागत को u + v से बदलने पर c_ij − u_i − v_j के अतिरिक्त सभी पद निरस्त हो जाते हैं। अतः परिवर्तन θΔ_ij है, अर्थात x_ij की घटित लागत।

इष्टतमता और θ: सभी Δ_ij ≥ 0 का अर्थ है कि (u, v) द्वैती सुसंगत है, अतः वर्तमान हल इष्टतम है। θ = − खानों का न्यूनतम आवंटन चुनना अनुपात परीक्षण है: यह वह सबसे बड़ा विस्थापन है जिसमें प्रत्येक आवंटन ≥ 0 रहे, और जहाँ यह प्राप्त हो वह खाना आधार से निकलता है।

अंकगणितीय जाँच: किसी भी आधारी हल के लिए, कुल लागत = भरे खानों पर ∑c_ijx_ij = ∑(u_i + v_j)x_ij = ∑a_iu_i + ∑b_jv_j। दोनों पक्षों की गणना u, v मानों या आवंटनों की त्रुटियाँ पकड़ लेती है।

9. विधि का चयन

यदि केवल प्रारंभिक BFS पूछा जाए → प्रश्न में नामित विधि लीजिए; यदि कोई नाम न हो, तो VAM, क्योंकि यह सर्वोत्तम आरंभ देती है।

यदि इष्टतम हल पूछा जाए → VAM (या नामित विधि) और फिर सभी Δ_ij ≥ 0 होने तक MODI पुनरावृत्तियाँ।

यदि कुल आपूर्ति ≠ कुल माँग → कोई भी विधि लगाने से पहले कल्पित पंक्ति या स्तंभ जोड़िए।

यदि लागतों के स्थान पर लाभ दिए हों → न्यूनीकरण में बदलिए (प्रत्येक प्रविष्टि को सबसे बड़ी से घटाइए, या सभी चिह्न बदलिए)।

यदि कुछ मार्ग निषिद्ध हों → उन खानों को लागत M (अत्यंत बड़ी) दीजिए।

यदि आवंटन में m + n − 1 से कम खाने हों → u, v निकालने से पहले किसी स्वतंत्र रिक्त खाने में ε रखिए।

10. सामान्य गलतियाँ

1. m + n − 1 से कम भरे खानों के साथ MODI लगाना, जिससे कुछ u_i या v_j नहीं निकलते।

2. ε को ऐसे खाने में रखना जो भरे खानों के साथ बंद पाश बनाए; ε-खाना स्वतंत्र होना चाहिए।

3. किसी रिक्त खाने पर पाश मोड़ना, या विकर्ण चालें लेना; प्रवेशी खाने को छोड़कर पाश का प्रत्येक कोना भरा खाना होना चाहिए।

4. θ को + खानों का, या पाश के सभी खानों का न्यूनतम आवंटन लेना; यह − खानों में न्यूनतम है।

5. कल्पित पंक्ति/स्तंभ भूल जाना, या अंतिम योग में उसकी लागत गलत ढंग से सम्मिलित करना।

6. इष्टतम लागत को ∑a_iu_i + ∑b_jv_j से जाँचे बिना बताना, और इस प्रकार अंकगणितीय भूल छोड़ देना।

संबंध: u_i, v_j द्वैतता विषय के द्वैती चर हैं, Δ_ij सिम्प्लेक्स की घटित लागतें हैं, और पाश किसी अनाधारी स्तंभ का आधारी स्तंभों के पदों में निरूपण है (रैखिक बीजगणित)।

संबंध: नियतन समस्या (अगला विषय) वह परिवहन समस्या है जिसमें प्रत्येक a_i = b_j = 1।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: D₁, D₂, D₃ तक लागतें S₁: (2, 3, 1), S₂: (5, 4, 8), S₃: (5, 6, 8); आपूर्ति 30, 50, 20; माँग 20, 40, 40 (संतुलित, कुल 100)।

NWCR: x₁₁ = 20, x₁₂ = 10, x₂₂ = 30, x₂₃ = 20, x₃₃ = 20; लागत = 40 + 30 + 120 + 160 + 160 = 510।

VAM: D₃ का दंड 7 सबसे बड़ा है, अतः x₁₃ = 30; फिर D₂ (दंड 2) से x₂₂ = 40; फिर x₂₁ = 10, x₃₁ = 10, x₃₃ = 10।

VAM लागत = 30 + 160 + 50 + 50 + 80 = 370, जिसमें 5 = m + n − 1 आवंटन हैं।

u₁ = 0 लेकर MODI: v₃ = 1, u₃ = 7, v₁ = −2, u₂ = 7, v₂ = −3।

Δ₁₁ = 4, Δ₁₂ = 6, Δ₂₃ = 0, Δ₃₂ = 2: सभी ≥ 0, अतः न्यूनतम लागत 370 है; Δ₂₃ = 0 वैकल्पिक इष्टतम अनुसूची दर्शाता है।

अधिकतमीकरण (लाभ) समस्याएँ: प्रत्येक प्रविष्टि को सबसे बड़ी प्रविष्टि से घटाएँ (या चिह्न बदलें) और न्यूनतम करें।

निषिद्ध मार्ग: उस खाने की लागत M (अत्यंत बड़ा) रखें।

उदाहरण 2: उत्तर-पश्चिम कोना नियम से प्रारंभिक BFS ज्ञात कीजिए: D₁, ..., D₄ तक लागतें S₁: (19, 30, 50, 10), S₂: (70, 30, 40, 60), S₃: (40, 8, 70, 20); आपूर्ति 7, 9, 18; माँग 5, 8, 7, 14 (संतुलित, कुल 34)।

x₁₁ = 5, x₁₂ = 2 (S₁ समाप्त), x₂₂ = 6 (D₂ पूर्ण), x₂₃ = 3 (S₂ समाप्त), x₃₃ = 4, x₃₄ = 14।

छह = m + n − 1 धनात्मक आवंटन, अतः BFS अनपभ्रष्ट है; लागत = 95 + 60 + 180 + 120 + 280 + 280 = 1015।

उदाहरण 3: इसी समस्या का VAM हल ज्ञात कीजिए।

दंड: पंक्तियाँ 9, 10, 12; स्तंभ 21, 22, 10, 10। सबसे बड़ा, 22, D₂ का है, अतः x₃₂ = 8 (लागत 8)।

अगला D₁ (दंड 21): x₁₁ = 5; फिर S₃ (दंड 70 − 20 = 50): x₃₄ = 10; फिर D₄ (दंड 60 − 10 = 50): x₁₄ = 2; अंत में x₂₄ = 2 और x₂₃ = 7।

VAM लागत = 95 + 20 + 280 + 120 + 64 + 200 = 779, जो NWCR लागत 1015 से बहुत अच्छी है।

उदाहरण 4: पिछले उदाहरण के VAM हल की MODI विधि से इष्टतमता जाँचिए और उसमें सुधार कीजिए।

भरे खानों पर u₁ = 0 लेकर: v₁ = 19, v₄ = 10, u₂ = 50, u₃ = 10, v₂ = −2, v₃ = −10।

Δ₁₂ = 32, Δ₁₃ = 60, Δ₂₁ = 1, Δ₂₂ = 30 − 50 + 2 = −18, Δ₃₁ = 11, Δ₃₃ = 70, अतः खाना (2, 2) प्रवेश करता है।

पाश (2, 2)+ → (2, 4)− → (3, 4)+ → (3, 2)−; θ = min(2, 8) = 2: x₂₂ = 2, x₂₄ = 0 (निर्गत), x₃₄ = 12, x₃₂ = 6; लागत = 779 − 18 × 2 = 743।

नए u = (0, 32, 10), v = (19, −2, 8, 10); रिक्त खानों के Δ_ij = 32, 42, 19, 18, 11, 52, सभी ≥ 0, अतः न्यूनतम लागत 743 है, जहाँ x₁₁ = 5, x₁₄ = 2, x₂₂ = 2, x₂₃ = 7, x₃₂ = 6, x₃₄ = 12।

उदाहरण 5: असंतुलित समस्या हल कीजिए: D₁, D₂, D₃ तक लागतें S₁: (4, 6, 3), S₂: (5, 3, 7); आपूर्ति 20, 30; माँग 15, 20, 25।

आपूर्ति 50 माँग 60 से कम है, अतः आपूर्ति 10 और शून्य लागतों वाला डमी स्रोत S₃ जोड़ें। VAM: x₃₁ = 10 (D₁, दंड 4), x₁₃ = 20 (D₃, दंड 4), फिर x₂₃ = 5, x₂₁ = 5, x₂₂ = 20; लागत = 60 + 35 + 25 + 60 = 180।

MODI (u₁ = 0): v₃ = 3, u₂ = 4, v₁ = 1, v₂ = −1, u₃ = −1; Δ₃₃ = 0 − (−1) − 3 = −2, अतः (3, 3) प्रवेश करता है।

पाश (3, 3)+ → (3, 1)− → (2, 1)+ → (2, 3)−, θ = 5: x₃₃ = 5, x₃₁ = 5, x₂₁ = 10, x₂₃ = 0; लागत = 180 − 2 × 5 = 170।

नए Δ_ij = 1, 5, 2, 2 ≥ 0, अतः न्यूनतम लागत 170 है (x₁₃ = 20, x₂₁ = 10, x₂₂ = 20); D₁ और D₃ को माँग से 5-5 इकाई कम मिलती है (डमी आवंटन)।

उदाहरण 6: लागतें S₁: (8, 6, 10), S₂: (9, 12, 13), S₃: (14, 9, 16); आपूर्ति 20, 30, 50; माँग 20, 30, 50। उत्तर-पश्चिम कोना हल से आरंभ कर इष्टतम ज्ञात कीजिए।

NWCR से x₁₁ = 20, x₂₂ = 30, x₃₃ = 50: m + n − 1 = 5 के स्थान पर केवल 3 धनात्मक आवंटन, क्योंकि प्रत्येक आवंटन एक पंक्ति और एक स्तंभ को साथ-साथ समाप्त करता है, अतः BFS अपभ्रष्ट है।

सीढ़ी क्रम जारी रखते हुए (2, 1) और (3, 2) में ε रखें, ताकि आधारी खाने कोई पाश न बनाएँ (लागत 1320)। MODI (u₁ = 0): v₁ = 8, u₂ = 1, v₂ = 11, u₃ = −2, v₃ = 18; Δ₁₂ = −5, Δ₁₃ = −8, Δ₂₃ = −6, Δ₃₁ = 8।

(1, 3) प्रवेश; पाश (1, 3)+ (1, 1)− (2, 1)+ (2, 2)− (3, 2)+ (3, 3)−, θ = 20: x₁₃ = 20, x₂₁ = 20, x₂₂ = 10, x₃₂ = 20, x₃₃ = 30, लागत 1160।

अब u = (0, 9, 6), v = (0, 3, 10) और Δ₂₃ = −6, अतः (2, 3) प्रवेश; पाश (2, 3)+ (2, 2)− (3, 2)+ (3, 3)−, θ = 10: x₂₃ = 10, x₃₂ = 30, x₃₃ = 20, x₂₂ निर्गत; लागत 1100।

अंततः u = (0, 3, 6), v = (6, 3, 10) और Δ₁₁ = 2, Δ₁₂ = 3, Δ₂₂ = 6, Δ₃₁ = 2 ≥ 0: न्यूनतम लागत 1100, जहाँ x₁₃ = 20, x₂₁ = 20, x₂₃ = 10, x₃₂ = 30, x₃₃ = 20।

12. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): आपूर्ति 15, 25 और माँग 10, 20, 10। क्या समस्या संतुलित है, और अनपभ्रष्ट BFS कितने खाने भरता है?

उत्तर: हाँ, 40 = 40; m + n − 1 = 2 + 3 − 1 = 4 खाने।

अभ्यास 2 (मूल): आपूर्ति 10, 15 और माँग 5, 12, 8 के लिए NWCR आवंटन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x₁₁ = 5, x₁₂ = 5, x₂₂ = 7, x₂₃ = 8 (चार खाने, अनपभ्रष्ट)।

अभ्यास 3 (मूल): आपूर्ति 50, 40 और माँग 30, 35। हल करने से पहले क्या जोड़ना होगा?

उत्तर: माँग 90 − 65 = 25 और शून्य लागतों वाला एक कल्पित गंतव्य।

अभ्यास 4 (मानक): लागतें S₁: (4, 2, 7), S₂: (3, 5, 6); आपूर्ति 30, 40; माँग 20, 25, 25। LCM हल ज्ञात कर MODI से उसका परीक्षण कीजिए।

उत्तर: x₁₂ = 25, x₂₁ = 20, x₂₃ = 20, x₁₃ = 5, लागत 265; u = (0, −1), v = (4, 2, 7), Δ₁₁ = 0, Δ₂₂ = 4: इष्टतम, एक वैकल्पिक इष्टतम के साथ।

अभ्यास 5 (मानक): लागतें S₁: (5, 3, 6), S₂: (4, 7, 2), S₃: (8, 4, 3); आपूर्ति 20, 30, 25; माँग 25, 20, 30। VAM हल ज्ञात कर दिखाइए कि वह इष्टतम है।

उत्तर: VAM, बराबरी पहली पंक्ति के पक्ष में तोड़ते हुए: x₁₂ = 20 (S₁ और D₂ को एक साथ समाप्त करते हुए), x₂₁ = 25, x₂₃ = 5, x₃₃ = 25, लागत 245; (3, 2) पर ε जोड़ें; u = (0, 0, 1), v = (4, 3, 2) से Δ₁₁ = 1, Δ₁₃ = 4, Δ₂₂ = 4, Δ₃₁ = 3: इष्टतम।

अभ्यास 6 (मानक): अभ्यास 5 के आँकड़ों के लिए NWCR हल का MODI से परीक्षण कर एक सुधार कीजिए।

उत्तर: NWCR x₁₁ = 20, x₂₁ = 5, x₂₂ = 20, x₂₃ = 5, x₃₃ = 25 की लागत 345; u = (0, −1, 0), v = (5, 8, 3) से Δ₁₂ = −5, Δ₃₂ = −4। θ = 20 के साथ (1, 2) का प्रवेश लागत 100 घटाकर 245 करता है, जो इष्टतम है (अपभ्रष्ट: x₁₁, x₂₂ में से एक को आधारी शून्य रखें)।

अभ्यास 7 (मानक): लागतें S₁: (2, 3), S₂: (4, 1); आपूर्ति 30, 40; माँग 25, 35। न्यूनतम लागत अनुसूची ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 10 इकाइयों का कल्पित D₃ जोड़ें; इष्टतम x₁₁ = 25, x₂₂ = 35 है, प्रत्येक स्रोत पर 5 इकाइयाँ शेष, लागत 85।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): लागतें S₁: (10, 2, 20, 11), S₂: (12, 7, 9, 20), S₃: (4, 14, 16, 18); आपूर्ति 15, 25, 10; माँग 5, 15, 15, 15। NWCR और VAM लागतें तथा इष्टतम अनुसूची ज्ञात कीजिए।

उत्तर: NWCR 520, VAM 475; MODI सुधार कर इष्टतम 435 देती है, x₁₂ = 5, x₁₄ = 10, x₂₂ = 10, x₂₃ = 15, x₃₁ = 5, x₃₄ = 5 के साथ।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): लागतें S₁: (2, 7, 4), S₂: (3, 3, 1), S₃: (5, 4, 7), S₄: (1, 6, 2); आपूर्ति 5, 8, 7, 14; माँग 7, 9, 18। VAM से आरंभ कर इष्टतम अनुसूची ज्ञात कीजिए।

उत्तर: VAM (बराबरी पहली पंक्ति के पक्ष में तोड़ते हुए) लागत 80; MODI इष्टतम 76 देती है, x₁₁ = 5, x₂₂ = 2, x₂₃ = 6, x₃₂ = 7, x₄₁ = 2, x₄₃ = 12 के साथ।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): इकाई लाभ S₁: (6, 8, 10), S₂: (7, 11, 11), S₃: (4, 5, 12); आपूर्ति 150, 175, 275; माँग 200, 100, 300। अधिकतम लाभ की अनुसूची ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हानियों 12 − p_ij को न्यूनतम करें; एक इष्टतम अनुसूची x₁₁ = 125, x₁₃ = 25, x₂₁ = 75, x₂₂ = 100, x₃₃ = 275 है, अधिकतम लाभ 5925।

1. नियतन मॉडल को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक निर्णय एक-से-एक मिलान होते हैं: प्रत्येक कर्मचारी को ठीक एक कार्य और प्रत्येक कार्य को ठीक एक कर्मचारी मिलता है, और कुल लागत (या समय) यथासंभव कम होनी चाहिए। बहुत छोटे आकार से आगे सभी मिलान आज़माना असंभव है, अतः पहले संरचना समझनी होगी।

शब्दों में: एक नियतन n × n लागत आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में ठीक एक प्रविष्टि चुनता है; समतुल्य रूप से यह कार्यों का एक क्रमचय है। इसकी लागत चुनी गई प्रविष्टियों का योग है। LP के रूप में चुने खानों के लिए x_ij = 1 और अन्यथा 0, प्रत्येक पंक्ति-योग और स्तंभ-योग 1 के बराबर।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: व्यक्ति A, B, C और कार्य 1, 2, 3, लागतें [[5, 8, 4], [6, 7, 9], [3, 6, 5]]।

(1) संभावनाएँ गिनें: 3! = 6 क्रमचय।

(2) इन्हें (A का कार्य, B का कार्य, C का कार्य) के रूप में सूचीबद्ध करें: (1, 2, 3) की लागत 5 + 7 + 5 = 17; (1, 3, 2) की 20; (2, 1, 3) की 19; (2, 3, 1) की 20; (3, 1, 2) की 4 + 6 + 6 = 16; (3, 2, 1) की 4 + 7 + 3 = 14।

(3) सर्वोत्तम A → 3, B → 2, C → 1 है, लागत 14।

(4) लोभी (greedy) चयन से तुलना करें: बारी-बारी से प्रत्येक व्यक्ति को उसका सबसे सस्ता खाली कार्य दें। A, 3 लेता है (लागत 4), B, 1 लेता है (लागत 6), C के लिए 2 बचता है (लागत 6): कुल 16, इष्टतम नहीं।

(5) दो सीख देखें: किसी पंक्ति की सबसे सस्ती प्रविष्टि का उपयोग आवश्यक नहीं, और क्रमचयों की सूची n = 4 के लिए ही 24 और n = 10 के लिए 3,628,800 स्थितियाँ माँगती है। पूरे आव्यूह पर काम करने वाली विधि चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): A → 3 और B → 3 (दोनों सस्ते) चुनना नियतन नहीं: स्तंभ 3 दो बार प्रयुक्त है और कार्य 1 या 2 अधूरा छूटता है। जो शर्त विफल होती है वह है “प्रत्येक स्तंभ में ठीक एक चुनी प्रविष्टि”।

आगे बढ़ते हुए: (i) नियतन समस्या ऐसी परिवहन समस्या है जिसकी सभी आपूर्तियाँ और माँगें 1 हैं, अतः इसके LP शिथिलीकरण के शीर्ष पूर्णांकीय (0-1) हैं; पूर्णांक व्यवरोधों की आवश्यकता नहीं। (ii) प्रत्येक BFS में 2n − 1 आधारी खाने हैं परंतु उनमें से केवल n का मान 1, अतः समस्या अत्यधिक अपभ्रष्ट है और MODI धीमी है। (iii) इसी कारण एक विशेष विधि, जो समानीत आव्यूह के शून्यों के साथ काम करती है, प्रयुक्त होती है।

(iv) नियतन LP का द्वैती u_i + v_j ≤ c_ij के अधीन Max ∑u_i + ∑v_j है। पंक्तियों और स्तंभों से घटाई गई कोई भी संख्याएँ जो प्रत्येक प्रविष्टि को ≥ 0 छोड़ें, एक सुसंगत द्वैती हल बनाती हैं, अतः उनका योग इष्टतम लागत की निम्न सीमा है; हंगेरियन विधि इस सीमा को तब तक बढ़ाती है जब तक कोई नियतन उससे न मिल जाए।

कहाँ प्रयोग होता है: कार्य, मशीन, विक्रेता और मार्ग नियतनों के सूत्रण में, और यह पहचानने में कि कोई LPP वास्तव में नियतन समस्या है।

2. मॉडल

n कार्य, n व्यक्ति, लागत c_ij; यदि व्यक्ति i को कार्य j मिले तो x_ij = 1, अन्यथा 0। प्रत्येक i के लिए ∑_j x_ij = 1 और प्रत्येक j के लिए ∑_i x_ij = 1 के अधीन ∑∑ c_ijx_ij न्यूनतम करें।

भाव: एक नियतन (assignment) लागत आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में ठीक एक प्रविष्टि चुनता है, अर्थात कार्यों का एक क्रमचय, और उसकी लागत चुनी गई प्रविष्टियों का योग है। n! नियतन होते हैं (n = 10 के लिए 3,628,800), अतः गणना द्वारा सभी देखना असंभव है; हंगेरियन विधि आव्यूह में परिवर्तन करके सर्वोत्तम ढूँढती है।

0-1 शर्त क्यों छोड़ी जा सकती है: x_ij ∈ {0, 1} के स्थान पर x_ij ≥ 0 लेने से एक LP मिलती है जिसके चरम बिंदु ठीक क्रमचय आव्यूह हैं (बिरखॉफ़ प्रमेय; यह परिवहन आव्यूह की पूर्ण एकमापांकिता से भी निकलता है)। अतः LP का इष्टतम स्वतः एक वास्तविक नियतन है।

यह सभी a_i = b_j = 1 वाली परिवहन समस्या है; किसी भी BFS में 2n − 1 आधारी चरों में से केवल n धनात्मक होते हैं, अतः यह अत्यधिक अपभ्रष्ट है और MODI अदक्ष है।

भाव: एक आधार में 2n − 1 खाने होते हैं पर उनमें से केवल n में मान 1 होता है, अतः n − 1 आधारी चर सदैव 0 रहते हैं। लगभग प्रत्येक MODI चरण θ = 0 वाला अपभ्रष्ट चरण होगा, इसीलिए विशेष विधि प्रयुक्त होती है।

समानयन प्रमेय: किसी पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक अवयव में एक अचर जोड़ने या घटाने से इष्टतम नियतन नहीं बदलता; कुल लागत उसी अचर से बदलती है।

व्युत्पत्ति: मान लीजिए c′_ij = c_ij − p_i − q_j। प्रत्येक नियतन प्रत्येक पंक्ति में ठीक एक और प्रत्येक स्तंभ में ठीक एक खाना लेता है, अतः c′ के अंतर्गत उसकी लागत ∑c_ijx_ij − ∑p_i − ∑q_j है। घटाई गई राशि प्रत्येक नियतन के लिए समान है, अतः लागत के अनुसार नियतनों का क्रम, और अतः इष्टतम नियतन, नहीं बदलता।

शून्य इष्टतम क्यों देते हैं: समानयन के बाद प्रत्येक c′_ij ≥ 0, अतः c′ के अंतर्गत कोई नियतन 0 से कम लागत का नहीं हो सकता। केवल शून्य खानों का उपयोग करने वाला नियतन c′ के अंतर्गत ठीक 0 लागत का है, अतः वह c′ के लिए और इसलिए c के लिए इष्टतम है; उसकी वास्तविक लागत ∑p_i + ∑q_j है, अर्थात कुल घटाई गई राशि।

कोनिग प्रमेय: किसी आव्यूह में स्वतंत्र शून्यों की अधिकतम संख्या उसके सभी शून्यों को ढकने वाली रेखाओं (पंक्तियों या स्तंभों) की न्यूनतम संख्या के बराबर है।

भाव: स्वतंत्र शून्य वे शून्य हैं जिनमें से कोई दो एक ही पंक्ति या स्तंभ में न हों। यदि n से कम रेखाएँ सभी शून्यों को ढक लें, तो कोनिग प्रमेय कहता है कि n से कम स्वतंत्र शून्य हैं, अतः अभी कोई पूर्ण शून्य-लागत नियतन नहीं है और नए शून्य बनाने होंगे (चरण 6)।

3. पंक्ति और स्तंभ समानयन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हम लागत आव्यूह को बदलना चाहते हैं, यह बदले बिना कि कौन-सा नियतन सर्वोत्तम है, जब तक सर्वोत्तम नियतन शून्यों के एक समुच्चय के रूप में दिखाई न दे।

शब्दों में: किसी एक पंक्ति की प्रत्येक प्रविष्टि से संख्या p घटाने पर प्रत्येक नियतन की लागत ठीक p घटती है, क्योंकि प्रत्येक नियतन उस पंक्ति की ठीक एक प्रविष्टि प्रयोग करता है; स्तंभों के लिए भी यही सत्य है। अतः नियतनों का क्रम नहीं बदलता। पंक्ति-न्यूनतम और फिर स्तंभ-न्यूनतम घटाने के बाद सभी प्रविष्टियाँ ≥ 0 हैं और प्रत्येक पंक्ति व स्तंभ में एक शून्य है; केवल शून्यों का उपयोग करने वाले नियतन की नए आव्यूह में लागत 0 है और इसलिए वह इष्टतम है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: पिछले पाठ का आव्यूह [[5, 8, 4], [6, 7, 9], [3, 6, 5]]।

(1) पंक्ति-न्यूनतम 4, 6, 3; इन्हें घटाएँ: [[1, 4, 0], [0, 1, 3], [0, 3, 2]]।

(2) स्तंभ-न्यूनतम 0, 1, 0; इन्हें घटाएँ: [[1, 3, 0], [0, 0, 3], [0, 2, 2]]।

(3) शून्य (A, 3), (B, 1), (B, 2), (C, 1) पर हैं।

(4) पंक्ति A में एक शून्य है: (A, 3) को बॉक्स करें। पंक्ति C में एक शून्य है: (C, 1) को बॉक्स करें और उसी स्तंभ में (B, 1) को काटें। अब पंक्ति B में एक अचिह्नित शून्य है: (B, 2) को बॉक्स करें।

(5) तीन स्वतंत्र शून्य: A → 3, B → 2, C → 1, मूल लागत 4 + 7 + 3 = 14, जो कुल घटाई गई मात्रा 4 + 6 + 3 + 1 के बराबर है। ध्यान दें कि समानयन ने बिना गणना के छह-स्थिति सूची वाला उत्तर पा लिया।

अ-उदाहरण (non-example): केवल अकेली प्रविष्टि (A, 2) से (पूरी पंक्ति से नहीं) 3 घटाना अनुमत नहीं: यह केवल (A, 2) का उपयोग करने वाले नियतनों की लागत घटाता है, अतः यह बदल सकता है कि कौन-सा नियतन सबसे सस्ता है। समानयन पूरी पंक्ति या पूरे स्तंभ पर होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (i) c′_ij = c_ij − p_i − q_j के साथ प्रत्येक नियतन लागत′ = लागत − ∑p_i − ∑q_j को संतुष्ट करता है (समानयन प्रमेय)। (ii) चूँकि c′ ≥ 0, c′ के अंतर्गत शून्य-लागत नियतन इष्टतम है, और उसकी वास्तविक लागत ∑p_i + ∑q_j है। (iii) p_i, q_j सुसंगत द्वैती मान हैं, अतः यह क्रियाशील प्रबल द्वैतता है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक हंगेरियन हल के चरण 1 और 2 में; परीक्षक दोनों समानीत आव्यूह दिखाए जाने की अपेक्षा करते हैं।

4. आवरक रेखाओं और समायोजन चरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समानयन के बाद प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में शून्य हो सकते हैं और फिर भी n स्वतंत्र शून्यों का पूरा समुच्चय न हो। हमें ऐसा परीक्षण चाहिए जो इसका पता लगाए और ऐसी चाल जो समानयन नष्ट किए बिना नए शून्य बनाए।

शब्दों में: कोनिग: स्वतंत्र शून्यों की सबसे बड़ी संख्या, सभी शून्यों को ढकने वाली रेखाओं (पंक्तियों या स्तंभों) की सबसे छोटी संख्या के बराबर है। यदि n से कम रेखाएँ पर्याप्त हों, तो सबसे छोटी अनावृत प्रविष्टि k लें, उसे प्रत्येक अनावृत प्रविष्टि से घटाएँ और दो रेखाओं के प्रत्येक प्रतिच्छेद पर जोड़ें।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: व्यक्तियों A, B, C और कार्यों 1, 2, 3 के लिए लागतें [[1, 2, 4], [2, 4, 3], [3, 3, 3]]।

(1) पंक्ति-न्यूनतम 1, 2, 3 से [[0, 1, 3], [0, 2, 1], [0, 0, 0]]; प्रत्येक स्तंभ में पहले से शून्य है।

(2) बॉक्सिंग: पंक्ति A में एक शून्य, (A, 1) को बॉक्स करें और (B, 1), (C, 1) को काटें; पंक्ति B में कोई शून्य शेष नहीं; स्तंभ 2 में एक, (C, 2) को बॉक्स करें और (C, 3) को काटें। केवल 2 बॉक्स, अतः अभी 3 स्वतंत्र शून्य विद्यमान नहीं।

(3) रेखाएँ: पंक्ति B पर निशान (कोई बॉक्स नहीं), फिर स्तंभ 1 (उसका शून्य), फिर पंक्ति A (उसका बॉक्स स्तंभ 1 में)। बिना निशान वाली पंक्ति C और निशान वाले स्तंभ 1 से रेखाएँ खींचें: 2 रेखाएँ सभी शून्यों को ढकती हैं।

(4) अनावृत प्रविष्टियाँ 1, 3, 2, 1 हैं, अतः k = 1। इनसे 1 घटाएँ और प्रतिच्छेद (C, 1) पर 1 जोड़ें: [[0, 0, 2], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]।

(5) अब तीन स्वतंत्र शून्य हैं, उदाहरणार्थ (A, 1), (B, 3), (C, 2): लागत 1 + 3 + 3 = 7; चयन (A, 2), (B, 1), (C, 3) की लागत भी 7। जाँच: निम्न सीमा 1 + 2 + 3 = 6 से k(n − r − s) = 1·(3 − 1 − 1) = 1 बढ़कर 7 हुई। ध्यान दें कि बराबरी से दो इष्टतम नियतन मिले।

अ-उदाहरण (non-example): चरण (1) के शून्यों को तीन रेखाओं (मान लें तीनों स्तंभ) से ढकना वैध है परंतु न्यूनतम नहीं; यह गलत संकेत देगा कि तीन स्वतंत्र शून्य उपस्थित हैं। परीक्षण रेखाओं की न्यूनतम संख्या का उपयोग करता है, जिसकी गारंटी निशान लगाने की प्रक्रिया देती है।

आगे बढ़ते हुए: (i) समायोजन प्रत्येक अनावृत पंक्ति से k घटाने और प्रत्येक आवृत स्तंभ में k जोड़ने के बराबर है, अतः यह वैध समानयन है। (ii) सभी प्रविष्टियाँ ≥ 0 रहती हैं और जहाँ k था वहाँ नया शून्य बनता है। (iii) कुल घटाई गई मात्रा हर बार k(n − r − s) > 0 बढ़ती है, अतः विधि समाप्त होती है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक अतुच्छ प्रश्न में हंगेरियन विधि के चरण 5 और 6 में; रेखाएँ और k का मान दिखाएँ।

5. हंगेरियन विधि

चरण 1: प्रत्येक पंक्ति के सबसे छोटे अवयव को उस पंक्ति के प्रत्येक अवयव से घटाएँ।

चरण 2: प्रत्येक स्तंभ के सबसे छोटे अवयव को उस स्तंभ के प्रत्येक अवयव से घटाएँ।

चरण 3: पंक्तियों को एक-एक कर देखें; जिस पंक्ति में ठीक एक अचिह्नित शून्य हो, उसे बॉक्स करें और उसके स्तंभ के अन्य शून्य काटें। स्तंभों के लिए भी यही करें और तब तक दोहराएँ जब तक कोई अचिह्नित शून्य न बचे।

चरण 4: यदि n शून्य बॉक्स हो जाएँ, तो वे इष्टतम नियतन देते हैं।

चरण 5: अन्यथा सभी शून्यों को न्यूनतम रेखाओं से ढकें: बिना बॉक्स वाली पंक्तियों पर चिह्न लगाएँ, चिह्नित पंक्तियों में शून्य वाले स्तंभों पर चिह्न लगाएँ, चिह्नित स्तंभों में बॉक्स वाली पंक्तियों पर चिह्न लगाएँ, दोहराएँ; अचिह्नित पंक्तियों और चिह्नित स्तंभों से रेखाएँ खींचें।

चरण 6: मान लें k सबसे छोटा अनाच्छादित अवयव है; सभी अनाच्छादित अवयवों से k घटाएँ, दो रेखाओं के प्रतिच्छेद वाले अवयवों में k जोड़ें, शेष यथावत रखें। चरण 3 पर लौटें।

चरण 6 क्यों वैध है: यह प्रत्येक अनाच्छादित पंक्ति से k घटाने और प्रत्येक आच्छादित स्तंभ में k जोड़ने के समान है, जिसकी अनुमति समानयन प्रमेय देता है। जाँच: अनाच्छादित प्रविष्टि में −k; आच्छादित पंक्ति और अनाच्छादित स्तंभ की प्रविष्टि अपरिवर्तित; अनाच्छादित पंक्ति और आच्छादित स्तंभ की प्रविष्टि में −k + k = 0 परिवर्तन; आच्छादित पंक्ति और आच्छादित स्तंभ के प्रतिच्छेद की प्रविष्टि में +k।

यह समाप्त क्यों होती है: चूँकि k न्यूनतम अनाच्छादित प्रविष्टि है, सभी प्रविष्टियाँ ≥ 0 रहती हैं और कम से कम एक नया शून्य बनता है। r आच्छादित पंक्तियों और s आच्छादित स्तंभों (r + s < n) के साथ, कुल घटाई गई राशि, जो इष्टतम लागत की निम्न सीमा है, k(n − r) − ks = k(n − r − s) > 0 बढ़ती है, अतः सीमा बढ़ती रहती है और विधि परिमित चरणों में समाप्त होती है।

चरण 3 में बराबरी: यदि प्रत्येक शेष पंक्ति और स्तंभ में दो या अधिक अचिह्नित शून्य हों, तो उनमें से एक को स्वेच्छा से बॉक्स करें और उसकी पंक्ति और स्तंभ के अन्य शून्य काटें; भिन्न चुनाव समान लागत के भिन्न इष्टतम नियतन दे सकते हैं।

6. अधिकतमीकरण, असंतुलित और प्रतिबंधित समस्याओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हंगेरियन विधि को न्यूनतम की जाने वाली लागतों का वर्ग आव्यूह चाहिए। वास्तविक प्रश्न लाभ, व्यक्तियों और कार्यों की असमान संख्या, या निषिद्ध युग्म देते हैं, और इन्हें पहले बदलना होता है।

शब्दों में: लाभ p_ij हानियाँ L − p_ij बन जाते हैं, जहाँ L सबसे बड़ा लाभ है; अवर्ग आव्यूह में शून्यों की कल्पित पंक्तियाँ या स्तंभ जोड़े जाते हैं (कल्पित कार्य का अर्थ है व्यक्ति निष्क्रिय रहता है); निषिद्ध युग्म को लागत M मिलती है, जो वास्तविक लागतों के किसी भी योग से बड़ी संख्या है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दो विक्रेता A, B और तीन क्षेत्र 1, 2, 3, लाभ [[7, 5, 9], [6, 8, 4]]; कुल लाभ अधिकतम करें।

(1) वर्ग बनाएँ: लाभ (0, 0, 0) वाला एक कल्पित विक्रेता D जोड़ें।

(2) L = 9 के साथ हानियों में बदलें: A: (2, 4, 0), B: (3, 1, 5), D: (9, 9, 9)।

(3) पंक्ति-न्यूनतम 0, 1, 9 से A: (2, 4, 0), B: (2, 0, 4), D: (0, 0, 0); प्रत्येक स्तंभ में शून्य है।

(4) (A, 3) को बॉक्स करें और (D, 3) को काटें; (B, 2) को बॉक्स करें और (D, 2) को काटें; (D, 1) को बॉक्स करें।

(5) उत्तर: A → 3 (लाभ 9), B → 2 (लाभ 8), कुल 17; क्षेत्र 1 बिना सेवा के रहता है (वह कल्पित को गया)। जाँच: छह संभावनाएँ 15, 11, 11, 9, 15, 17 देती हैं। ध्यान दें कि रूपांतरण किसी भी समानयन से पहले किया जाता है।

अ-उदाहरण (non-example): हंगेरियन विधि को सीधे लाभ आव्यूह पर लगाने से लाभ न्यूनतम होता है: [[7, 5, 9], [6, 8, 4]] और एक कल्पित पंक्ति के लिए यह A → 2, B → 3, कुल 9 चुनेगी, जो सबसे बुरा चयन है। जो शर्त विफल होती है वह है “न्यूनतम की जाने वाली लागतें”।

आगे बढ़ते हुए: (i) प्रत्येक नियतन के लिए ∑(L − p_ij)x_ij = nL − ∑p_ijx_ij, अतः हानियाँ न्यूनतम करना लाभ अधिकतम करना है। (ii) प्रत्येक कल्पित पंक्ति में कल्पित प्रविष्टियाँ बराबर हैं, अतः वे कभी प्रभावित नहीं करतीं कि कौन-से वास्तविक युग्म चुने जाएँ। (iii) लागत M, निषिद्ध खाने से होकर जाने वाले किसी भी नियतन को हर अनुमत नियतन से बुरा बनाती है। (iv) यात्री विक्रेता समस्या एक ही यात्रा की अतिरिक्त शर्त जोड़ती है, जिसे हल के बाद जाँचा जाता है।

(v) यात्री विक्रेता के लिए c_ii = ∞ के साथ हल करें और नियतन को चक्रों के समुच्चय के रूप में पढ़ें। सभी नगरों से होकर एक चक्र एक यात्रा है और इष्टतम है; यदि यह उप-यात्राओं में बँट जाए, तो यात्रा की लागत कम से कम नियतन न्यूनतम है, अतः अगले सर्वोत्तम नियतनों की जाँच करें (या 4 या 5 नगरों के लिए (n − 1)!/2 यात्राओं की सूची बनाएँ) और सबसे छोटी चुनें।

कहाँ प्रयोग होता है: उन मोड़ों में जो अधिकांश नियतन PYQs में होते हैं: अधिकतमीकरण, कार्यों से अधिक व्यक्ति (या उलटा), निषिद्ध नियतन और संवृत यात्राएँ।

7. प्रकार

असंतुलित: आव्यूह को वर्ग बनाने हेतु शून्यों की डमी पंक्तियाँ या स्तंभ जोड़ें।

अर्थ: कल्पित कार्य को दिया गया व्यक्ति (या कल्पित व्यक्ति को दिया गया कार्य) बस बिना नियतन के रह जाता है; शून्य लागत का अर्थ है कि इससे कुल पर प्रभाव नहीं पड़ता।

अधिकतमीकरण: प्रत्येक c_ij के स्थान पर (सबसे बड़ा अवयव − c_ij) रखें, या सभी प्रविष्टियों को −1 से गुणा करें, और न्यूनतम करें।

यह क्यों काम करता है: L को सबसे बड़ी प्रविष्टि लेकर, प्रत्येक नियतन के लिए ∑(L − c_ij)x_ij = nL − ∑c_ijx_ij, क्योंकि ठीक n खाने प्रयुक्त होते हैं। अतः बाएँ पक्ष का न्यूनीकरण ∑c_ijx_ij के अधिकतमीकरण के समान है, और नए आव्यूह में कोई ऋणात्मक प्रविष्टि नहीं।

प्रतिबंधित नियतन: जहाँ नियतन की अनुमति न हो वहाँ लागत M (अत्यंत बड़ा) रखें।

भ्रमणशील विक्रेता समस्या: c_ii = ∞ वाली नियतन समस्या जिसमें अतिरिक्त शर्त है कि नियतन एक पूर्ण यात्रा बनाए; यदि हंगेरियन हल उप-यात्राओं में बँटे, तो अगले सर्वोत्तम शून्य आज़माएँ।

8. विधि का चयन

यदि लागत आव्यूह वर्ग हो और लागतों का न्यूनीकरण करना हो → सीधे हंगेरियन विधि।

यदि आव्यूह वर्ग न हो → पहले शून्यों की कल्पित पंक्तियाँ या स्तंभ जोड़िए।

यदि लाभ का अधिकतमीकरण करना हो → किसी भी पंक्ति या स्तंभ समानयन से पहले L − c_ij (या −c_ij) से रूपांतरित कीजिए।

यदि कुछ युग्म निषिद्ध हों → उन खानों में लागत M।

यदि कोई व्यक्ति k कार्य ले सकता है → उस व्यक्ति की पंक्ति k बार दोहराइए।

यदि एक संवृत यात्रा-पथ आवश्यक हो (यात्री विक्रेता) → c_ii = ∞ के साथ हंगेरियन विधि, फिर हल में उप-यात्राओं की जाँच।

यदि n ≤ 3 हो और प्रश्न संभावनाएँ सूचीबद्ध करने को कहे → n! नियतनों की गणना स्वीकार्य है, पर प्रयुक्त विधि लिखिए।

9. सामान्य गलतियाँ

1. आवरण रेखाओं की न्यूनतम संख्या निकालने के स्थान पर अनुमान से रेखाएँ खींचना; चरण 5 की चिह्न-प्रक्रिया अपनाइए।

2. चरण 6 में आच्छादित प्रविष्टियों से भी k घटाना, या दो रेखाओं के प्रतिच्छेदों पर k जोड़ना भूल जाना।

3. पंक्ति समानयन हो जाने के बाद अधिकतमीकरण समस्या को रूपांतरित करना; पहले रूपांतरित कीजिए।

4. समानीत आव्यूह से पढ़ी गई लागत बताना; उत्तर चुने गए खानों के मूल c_ij का योग है (समतुल्य रूप से कुल घटाई गई राशि)।

5. बराबरी की उपेक्षा: जब अनेक शून्य विकल्प बचें, तो एक से अधिक इष्टतम नियतन हो सकते हैं, और प्रश्न उन सभी को माँग सकता है।

6. उप-यात्राओं में बँटे यात्री विक्रेता हल को स्वीकार कर लेना।

संबंध: हंगेरियन विधि में घटाए गए पंक्ति और स्तंभ अचर p_i, q_j द्वैती चर हैं (परिवहन द्वैती के u_i, v_j), और अंत में उनका योग इष्टतम लागत के बराबर है, जो प्रबल द्वैतता है।

संबंध: नियतन S_n के क्रमचय हैं (अमूर्त बीजगणित), वही n! पद जो n × n सारणिक के प्रसार में आते हैं (रैखिक बीजगणित)।

10. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: व्यक्ति A, B, C और कार्य J₁, J₂, J₃, लागत आव्यूह [[9, 11, 14], [6, 15, 13], [12, 13, 6]]।

पंक्ति समानयन (9, 6, 6 घटाएँ): [[0, 2, 5], [0, 9, 7], [6, 7, 0]]।

स्तंभ समानयन (0, 2, 0 घटाएँ): [[0, 0, 5], [0, 7, 7], [6, 5, 0]]।

पंक्ति B में एक ही शून्य है: (B, J₁) बॉक्स करें और (A, J₁) का शून्य काटें; फिर (A, J₂) और (C, J₃) बॉक्स करें।

तीन स्वतंत्र शून्य हैं, अतः नियतन A → J₂, B → J₁, C → J₃ इष्टतम है, न्यूनतम लागत 11 + 6 + 6 = 23।

जाँच: छह संभव नियतनों की लागतें 30, 35, 23, 36, 33 और 41 हैं; न्यूनतम 23 है।

उदाहरण 2: लागत आव्यूह [[1, 4, 6, 3], [9, 7, 10, 9], [4, 5, 11, 7], [8, 7, 8, 5]] (पंक्तियाँ A–D, स्तंभ J₁–J₄) वाली नियतन समस्या हल कीजिए।

पंक्ति समानयन (1, 7, 4, 5), फिर स्तंभ समानयन (0, 0, 3, 0), से [[0, 3, 2, 2], [2, 0, 0, 2], [0, 1, 4, 3], [3, 2, 0, 0]] मिलता है।

(A, J₁) बॉक्स करें और (C, J₁) काटें; स्तंभ J₂ में एक शून्य है, अतः (B, J₂) बॉक्स करें और (B, J₃) काटें; फिर (D, J₃) बॉक्स करें और (D, J₄) काटें। केवल 3 बॉक्स, और पंक्ति C में कोई नहीं।

पंक्ति C पर चिह्न लगाएँ, फिर स्तंभ J₁ (उसका शून्य), फिर पंक्ति A (उसका बॉक्स J₁ में); अचिह्नित पंक्तियों B, D और चिह्नित स्तंभ J₁ से 3 रेखाएँ सभी शून्यों को ढकती हैं।

न्यूनतम अनावृत अवयव k = 1 है; इसे अनावृत खानों से घटाएँ और (B, J₁) तथा (D, J₁) पर जोड़ें: [[0, 2, 1, 1], [3, 0, 0, 2], [0, 0, 3, 2], [4, 2, 0, 0]]।

अब (A, J₁), (C, J₂), (B, J₃), (D, J₄) बॉक्स करें: इष्टतम नियतन A → J₁, B → J₃, C → J₂, D → J₄ की लागत 1 + 10 + 5 + 5 = 21 है (सभी 24 क्रमचय इसकी पुष्टि करते हैं)।

उदाहरण 3: चार विक्रेताओं A–D को चार जिलों में नियत करना है; अपेक्षित लाभ [[16, 10, 14, 11], [14, 11, 15, 15], [15, 15, 13, 12], [13, 12, 14, 15]] हैं। अधिकतम लाभ वाला नियतन ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक प्रविष्टि को सबसे बड़ी प्रविष्टि 16 से घटाकर हानि आव्यूह बनाएँ: [[0, 6, 2, 5], [2, 5, 1, 1], [1, 1, 3, 4], [3, 4, 2, 1]]।

पंक्ति न्यूनतम 0, 1, 1, 1 से [[0, 6, 2, 5], [1, 4, 0, 0], [0, 0, 2, 3], [2, 3, 1, 0]]; प्रत्येक स्तंभ में पहले से शून्य है।

(A, 1) बॉक्स करें और (C, 1) काटें; (C, 2) बॉक्स करें; (D, 4) बॉक्स करें और (B, 4) काटें; (B, 3) बॉक्स करें। चार स्वतंत्र शून्य: A → 1, B → 3, C → 2, D → 4, अधिकतम लाभ 16 + 15 + 15 + 15 = 61।

उदाहरण 4: चार प्रचालकों A–D और तीन मशीनों M₁–M₃ की लागतें [[9, 26, 15], [13, 27, 6], [35, 20, 15], [18, 30, 20]] हैं। इष्टतम नियतन ज्ञात कीजिए।

आव्यूह को 4 × 4 बनाने हेतु शून्य लागतों वाली डमी मशीन M₄ जोड़ें; सभी पंक्ति न्यूनतम 0 हैं, और स्तंभ समानयन (9, 20, 6, 0) से [[0, 6, 9, 0], [4, 7, 0, 0], [26, 0, 9, 0], [9, 10, 14, 0]] मिलता है।

पंक्ति D में एक ही शून्य है: (D, M₄) बॉक्स करें और M₄ के अन्य शून्य काटें; फिर (A, M₁), (B, M₃), (C, M₂) बॉक्स करें।

इष्टतम: A → M₁, B → M₃, C → M₂, D निष्क्रिय; न्यूनतम लागत 9 + 6 + 20 = 35।

उदाहरण 5: चार कार्यों को चार मशीनों A–D पर नियत कीजिए, लागतें [[10, −, 9, 8], [7, 8, −, 7], [−, 9, 7, 10], [8, 8, 9, −]], जहाँ − का अर्थ है कि वह नियतन अनुमत नहीं।

प्रत्येक − को M (अत्यंत बड़ा; M में से अचर घटाने पर भी M लिखें) से बदलें। पंक्ति न्यूनतम 8, 7, 7, 8 से [[2, M, 1, 0], [0, 1, M, 0], [M, 2, 0, 3], [0, 0, 1, M]], और प्रत्येक स्तंभ में शून्य है।

पंक्ति A में एक शून्य: (A, 4) बॉक्स, (B, 4) काटें; पंक्ति B: (B, 1) बॉक्स, (D, 1) काटें; पंक्ति C: (C, 3) बॉक्स; पंक्ति D: (D, 2) बॉक्स।

इष्टतम: A → 4, B → 1, C → 3, D → 2, न्यूनतम लागत 8 + 7 + 7 + 8 = 30; कोई M खाना प्रयुक्त नहीं, अतः सभी प्रतिबंधों का पालन होता है।

उदाहरण 6: एक विक्रेता को नगर 1–4 में प्रत्येक पर एक बार जाकर आरंभ बिंदु पर लौटना है; सममित दूरियाँ d₁₂ = 4, d₁₃ = 7, d₁₄ = 3, d₂₃ = 6, d₂₄ = 3, d₃₄ = 7 हैं। लघुतम भ्रमण ज्ञात कीजिए।

d_ii = ∞ वाली नियतन समस्या के रूप में हंगेरियन विधि 1 → 4, 4 → 1, 2 → 3, 3 → 2 देती है, लागत 18।

यह दो उप-भ्रमणों (1-4-1 और 2-3-2) में बँट जाता है, अतः यह भ्रमण नहीं है; अगले श्रेष्ठ नियतनों की जाँच करनी होगी।

तीन भिन्न भ्रमण हैं 1-2-3-4-1 = 4 + 6 + 7 + 3 = 20, 1-2-4-3-1 = 4 + 3 + 7 + 7 = 21 और 1-3-2-4-1 = 7 + 6 + 3 + 3 = 19 (विपरीत क्रम की लंबाई समान)।

लघुतम भ्रमण 1 → 3 → 2 → 4 → 1 (या उसका विपरीत) है, लंबाई 19।

11. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): 4 × 4 नियतन समस्या के कितने भिन्न नियतन होते हैं?

उत्तर: 4! = 24।

अभ्यास 2 (मूल): लागत आव्यूह [[3, 5], [4, 9]] वाली नियतन समस्या हल कीजिए।

उत्तर: A → 2, B → 1, लागत 5 + 4 = 9 (दूसरे चयन की लागत 12)।

अभ्यास 3 (मूल): पंक्ति-न्यूनतम 2, 5, 1 और फिर स्तंभ-न्यूनतम 0, 3, 0 घटाए गए, और केवल शून्यों का उपयोग करने वाला नियतन मिला। उसकी मूल लागत क्या है?

उत्तर: कुल घटाई गई मात्रा, 2 + 5 + 1 + 0 + 3 + 0 = 11।

अभ्यास 4 (मानक): हंगेरियन विधि से हल कीजिए: [[10, 7, 8], [6, 9, 7], [8, 6, 11]]।

उत्तर: समानयन के बाद [[3, 0, 0], [0, 3, 0], [2, 0, 4]]; A → 3, B → 1, C → 2, लागत 8 + 6 + 6 = 20।

अभ्यास 5 (मानक): हल कीजिए: [[8, 26, 17, 11], [13, 28, 4, 26], [38, 19, 18, 15], [19, 26, 24, 10]]।

उत्तर: पंक्ति-न्यूनतम 8, 4, 15, 10 और स्तंभ-न्यूनतम 0, 4, 0, 0 तुरंत चार स्वतंत्र शून्य देते हैं: A → 1, B → 3, C → 2, D → 4, लागत 41।

अभ्यास 6 (मानक): लाभ आव्यूह [[6, 7, 4], [8, 5, 9], [7, 9, 6]] के लिए अधिकतम लाभ का नियतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हानियाँ 9 − p_ij; इष्टतम A → 1, B → 3, C → 2 है, लाभ 6 + 9 + 9 = 24।

अभ्यास 7 (मानक): तीन कार्यों और चार मशीनों की लागतें [[18, 24, 28, 32], [8, 13, 17, 19], [10, 15, 19, 22]] हैं। इष्टतम नियतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शून्यों की कल्पित कार्य पंक्ति जोड़ें; न्यूनतम लागत 50, उदाहरणार्थ J₁ → M₁, J₂ → M₂, J₃ → M₃ (या J₂ → M₃, J₃ → M₂), M₄ निष्क्रिय।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): नियतन समस्या [[−, 12, 10, 8], [9, −, 7, 11], [12, 8, −, 6], [7, 10, 9, −]] हल कीजिए, जहाँ − निषिद्ध नियतन दर्शाता है।

उत्तर: निषिद्ध खानों में M रखें; इष्टतम A → 4, B → 3, C → 2, D → 1, लागत 8 + 7 + 8 + 7 = 30।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): 5 × 5 समस्या [[11, 17, 8, 16, 20], [9, 7, 12, 6, 15], [13, 16, 15, 12, 16], [21, 24, 17, 28, 26], [14, 10, 12, 11, 15]] हल कीजिए।

उत्तर: A → 1, B → 4, C → 5, D → 3, E → 2, न्यूनतम लागत 11 + 6 + 16 + 17 + 10 = 60 (कम से कम एक रेखा-आवरण समायोजन आवश्यक है)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): एक विक्रेता को नगर 1–4 घूमकर लौटना है; सममित दूरियाँ d₁₂ = 10, d₁₃ = 15, d₁₄ = 20, d₂₃ = 35, d₂₄ = 25, d₃₄ = 30 हैं। सबसे छोटी यात्रा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: नियतन शिथिलीकरण का न्यूनतम 80 है, जो यात्रा 1 → 2 → 4 → 3 → 1 (10 + 25 + 30 + 15 = 80) से भी प्राप्त होता है; अन्य यात्राओं की लंबाई 95 है, अतः यह यात्रा (या इसका उलटा) इष्टतम है।

1. सूत्रण और आलेखी विधि

प्रश्न 1 (10 अंक): एक रोगी को प्रतिदिन कम से कम 8 इकाई प्रोटीन और 10 इकाई विटामिन चाहिए। भोजन F₁ का मूल्य Rs 4 प्रति इकाई है और यह 2 इकाई प्रोटीन और 1 इकाई विटामिन देता है; भोजन F₂ का मूल्य Rs 3 प्रति इकाई है और यह 1 इकाई प्रोटीन और 2 इकाई विटामिन देता है। सूत्रण कर आलेखी विधि से सबसे सस्ता आहार ज्ञात कीजिए।

मान लें x, y क्रमशः F₁, F₂ की इकाइयाँ हैं। 2x + y ≥ 8 (प्रोटीन), x + 2y ≥ 10 (विटामिन), x, y ≥ 0 के अधीन Min Z = 4x + 3y।

सुसंगत क्षेत्र दोनों रेखाओं के ऊपर है और अपरिबद्ध है; इसके कोणीय बिंदु (0, 8), (10, 0) और 2x + y = 8 तथा x + 2y = 10 का प्रतिच्छेद (2, 4) हैं।

Z(0, 8) = 24, Z(2, 4) = 20, Z(10, 0) = 40। लागतें धनात्मक हैं, अतः क्षेत्र पर Z नीचे से परिबद्ध है और उसका न्यूनतम किसी कोणीय बिंदु पर है।

उत्तर: F₁ की 2 इकाई और F₂ की 4 इकाई; न्यूनतम लागत Rs 20।

प्रश्न 2 (15 अंक): आलेखी विधि से हल कीजिए: 6x + 4y ≤ 24, x + 2y ≤ 6, −x + y ≤ 1, y ≤ 2, x, y ≥ 0 के अधीन Max Z = 5x + 4y। इष्टतम पर कौन-से व्यवरोध बंधनकारी नहीं हैं?

सीमा रेखाएँ: 6x + 4y = 24, (4, 0) और (0, 6) से; x + 2y = 6, (6, 0) और (0, 3) से; −x + y = 1, (0, 1) से; तथा y = 2।

कोणीय बिंदु: O(0, 0), A(4, 0), 6x + 4y = 24 और x + 2y = 6 से B(3, 3/2), x + 2y = 6 और y = 2 से C(2, 2), −x + y = 1 और y = 2 से D(1, 2), E(0, 1)।

O, A, B, C, D, E पर Z: 0, 20, 21, 18, 13, 4। सम-लाभ रेखा 5x + 4y = k क्षेत्र को अंतिम बार B पर स्पर्श करती है।

B पर 6x + 4y = 24 और x + 2y = 6 बंधनकारी हैं, जबकि −x + y = −3/2 < 1 और y = 3/2 < 2 में शिथिलता है।

उत्तर: x = 3, y = 3/2, Max Z = 21; व्यवरोध −x + y ≤ 1 और y ≤ 2 बंधनकारी नहीं हैं।

2. उत्तलता और आधारी सुसंगत हल

प्रश्न 3 (10 अंक): दर्शाइए कि किसी LPP के सुसंगत हलों का समुच्चय S = {x : Ax = b, x ≥ 0} उत्तल है, और उसके इष्टतम हलों का समुच्चय भी उत्तल है।

मान लें x₁, x₂ ∈ S, 0 ≤ λ ≤ 1 और x = λx₁ + (1 − λ)x₂। तब Ax = λAx₁ + (1 − λ)Ax₂ = λb + (1 − λ)b = b।

साथ ही x ≥ 0, क्योंकि λ ≥ 0, 1 − λ ≥ 0 और x₁, x₂ ≥ 0। अतः x ∈ S, इसलिए S उत्तल है (रिक्त समुच्चय स्वतः उत्तल है)।

यदि x₁, x₂ दोनों इष्टतम हैं और c^T x₁ = c^T x₂ = Z*, तो x ∈ S और c^T x = λZ* + (1 − λ)Z* = Z*, अतः x भी इष्टतम है।

उत्तर: दोनों समुच्चय उत्तल हैं; विशेषतः दो भिन्न इष्टतम हलों वाली LPP के अनंत इष्टतम हल होते हैं।

प्रश्न 4 (10 अंक): 2x₁ + x₂ + 4x₃ = 11, 3x₁ + x₂ + 5x₃ = 14 के सभी आधारी हल ज्ञात कीजिए, बताइए कि कौन-से सुसंगत हैं, और इन समीकरणों तथा x ≥ 0 के अधीन Z = x₁ + 2x₂ + 3x₃ का अधिकतम ज्ञात कीजिए।

अधिकतम C(3, 2) = 3 आधार हैं। आधार (x₁, x₂), x₃ = 0: 2x₁ + x₂ = 11, 3x₁ + x₂ = 14 से x₁ = 3, x₂ = 5: सुसंगत, Z = 13।

आधार (x₁, x₃), x₂ = 0: 2x₁ + 4x₃ = 11, 3x₁ + 5x₃ = 14 से x₁ = 1/2, x₃ = 5/2: सुसंगत, Z = 1/2 + 15/2 = 8।

आधार (x₂, x₃), x₁ = 0: x₂ + 4x₃ = 11, x₂ + 5x₃ = 14 से x₃ = 3, x₂ = −1: आधारी परंतु असुसंगत।

सुसंगत समुच्चय दोनों BFS (दोनों अनपभ्रष्ट) को जोड़ने वाला रेखाखंड है, और परिमित इष्टतम किसी BFS पर प्राप्त होता है।

उत्तर: BFS (3, 5, 0) और (1/2, 0, 5/2); x₁ = 3, x₂ = 5, x₃ = 0 पर Max Z = 13।

3. सिम्प्लेक्स, बिग-M और द्वि-चरण विधियाँ

प्रश्न 5 (15 अंक): सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए: 3x₁ + 4x₂ + 2x₃ ≤ 60, 2x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 40, x₁ + 3x₂ + 2x₃ ≤ 80, x₁, x₂, x₃ ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x₁ + 4x₂ + 3x₃।

न्यूनता चर s₁, s₂, s₃ जोड़ें; स्तंभ x₁, x₂, x₃, s₁, s₂, s₃ | x_B।

सारणी 1: s₁: 3, 4, 2, 1, 0, 0 | 60; s₂: 2, 1, 2, 0, 1, 0 | 40; s₃: 1, 3, 2, 0, 0, 1 | 80; Δ_j: −2, −4, −3, 0, 0, 0 | Z = 0। x₂ प्रवेश; अनुपात 15, 40, 80/3; s₁ निर्गत (मुख्य अवयव 4)।

सारणी 2: x₂: 3/4, 1, 1/2, 1/4, 0, 0 | 15; s₂: 5/4, 0, 3/2, −1/4, 1, 0 | 25; s₃: −5/4, 0, 1/2, −3/4, 0, 1 | 35; Δ_j: 1, 0, −1, 1, 0, 0 | Z = 60। x₃ प्रवेश; अनुपात 30, 50/3, 70; s₂ निर्गत (मुख्य अवयव 3/2)।

सारणी 3: x₂: 1/3, 1, 0, 1/3, −1/3, 0 | 20/3; x₃: 5/6, 0, 1, −1/6, 2/3, 0 | 50/3; s₃: −5/3, 0, 0, −2/3, −1/3, 1 | 80/3; Δ_j: 11/6, 0, 0, 5/6, 2/3, 0 | Z = 230/3। सभी Δ_j ≥ 0: इष्टतम।

द्वैतता से जाँच: न्यूनता स्तंभ y = (5/6, 2/3, 0) देते हैं; तब 3y₁ + 2y₂ + y₃ = 23/6 ≥ 2, 4y₁ + y₂ + 3y₃ = 4 ≥ 4, 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 3 ≥ 3, और W = 50 + 80/3 = 230/3 = Z।

उत्तर: x₁ = 0, x₂ = 20/3, x₃ = 50/3, Max Z = 230/3।

प्रश्न 6 (20 अंक): बिग-M विधि से हल कीजिए: x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 15, 2x₁ + x₂ + 5x₃ = 20, x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ = 10, x_j ≥ 0 के अधीन Max Z = x₁ + 2x₂ + 3x₃ − x₄।

x₄ केवल तीसरे समीकरण में गुणांक 1 के साथ है, अतः वह आरंभिक आधार में रह सकता है; पहली दो पंक्तियों में कृत्रिम चर a₁, a₂ (लागत −M) जोड़ें। स्तंभ x₁, x₂, x₃, x₄, a₁, a₂ | x_B।

सारणी 1: a₁: 1, 2, 3, 0, 1, 0 | 15; a₂: 2, 1, 5, 0, 0, 1 | 20; x₄: 1, 2, 1, 1, 0, 0 | 10; Δ_j: −3M − 2, −3M − 4, −8M − 4, 0, 0, 0 | Z = −35M − 10। x₃ प्रवेश; अनुपात 5, 4, 10; a₂ निर्गत।

सारणी 2: a₁: −1/5, 7/5, 0, 0, 1, −3/5 | 3; x₃: 2/5, 1/5, 1, 0, 0, 1/5 | 4; x₄: 3/5, 9/5, 0, 1, 0, −1/5 | 6; Δ_j: (M − 2)/5, −(7M + 16)/5, 0, 0, 0, (8M + 4)/5 | Z = 6 − 3M। x₂ प्रवेश; अनुपात 15/7, 20, 10/3; a₁ निर्गत।

सारणी 3: x₂: −1/7, 1, 0, 0, 5/7, −3/7 | 15/7; x₃: 3/7, 0, 1, 0, −1/7, 2/7 | 25/7; x₄: 6/7, 0, 0, 1, −9/7, 4/7 | 15/7; Δ_j: −6/7, 0, 0, 0, M + 16/7, M − 4/7 | Z = 90/7। x₁ प्रवेश; अनुपात −, 25/3, 5/2; x₄ निर्गत।

सारणी 4: x₂: 0, 1, 0, 1/6, 1/2, −1/3 | 5/2; x₃: 0, 0, 1, −1/2, 1/2, 0 | 5/2; x₁: 1, 0, 0, 7/6, −3/2, 2/3 | 5/2; Δ_j: 0, 0, 0, 1, M + 1, M | Z = 15। सभी Δ_j ≥ 0 और कोई कृत्रिम चर आधार में नहीं।

जाँच: (5/2)(1 + 2 + 3) = 15, (5/2)(2 + 1 + 5) = 20, (5/2)(1 + 2 + 1) = 10; एकमात्र अन्य शीर्ष (0, 15/7, 25/7, 15/7) पर Z = 90/7 < 15।

उत्तर: x₁ = x₂ = x₃ = 5/2, x₄ = 0, Max Z = 15।

प्रश्न 7 (10 अंक): द्वि-चरण विधि से दर्शाइए कि x₁ + x₂ ≤ 2, 2x₁ + x₂ ≥ 6, x₁, x₂ ≥ 0 के अधीन Max Z = 2x₁ + 3x₂ का कोई सुसंगत हल नहीं है।

चरण I: Max Z* = −a₁, जहाँ x₁ + x₂ + s₁ = 2, 2x₁ + x₂ − s₂ + a₁ = 6; स्तंभ x₁, x₂, s₁, s₂, a₁ | x_B।

सारणी 1: s₁: 1, 1, 1, 0, 0 | 2; a₁: 2, 1, 0, −1, 1 | 6; Δ_j: −2, −1, 0, 1, 0 | Z* = −6। x₁ प्रवेश; अनुपात 2, 3; s₁ निर्गत।

सारणी 2: x₁: 1, 1, 1, 0, 0 | 2; a₁: 0, −1, −2, −1, 1 | 2; Δ_j: 0, 1, 2, 1, 0 | Z* = −2। सभी Δ_j ≥ 0, अतः चरण I इष्टतम है और a₁ = 2 > 0।

कृत्रिम चरों का न्यूनतम योग 2 है, 0 नहीं, अतः व्यवरोध पूरे नहीं हो सकते। सीधे: x₂ ≥ 0 और x₁ + x₂ ≤ 2 से 2x₁ + x₂ ≤ 2(x₁ + x₂) ≤ 4 < 6।

उत्तर: समस्या असुसंगत है; चरण II की आवश्यकता नहीं।

4. द्वैतता और द्वैती सिम्प्लेक्स विधि

प्रश्न 8 (15 अंक): x₁ + 4x₂ + 2x₃ ≥ 5, 3x₁ + x₂ + 2x₃ ≥ 4, x₁, x₂, x₃ ≥ 0 के अधीन Min Z = 2x₁ + 9x₂ + x₃ को उसके द्वैती को आलेखी विधि से हल करके हल कीजिए।

द्वैती: y₁ + 3y₂ ≤ 2, 4y₁ + y₂ ≤ 9, 2y₁ + 2y₂ ≤ 1, y₁, y₂ ≥ 0 के अधीन Max W = 5y₁ + 4y₂।

y₁ + y₂ ≤ 1/2 से y₁ + 3y₂ ≤ 3/2 < 2 और 4y₁ + y₂ ≤ 2 < 9, अतः पहले दो व्यवरोध अनावश्यक हैं; कोणीय बिंदु (0, 0), (1/2, 0), (0, 1/2) पर W = 0, 5/2, 2।

y₁ = 1/2, y₂ = 0 पर Max W = 5/2। पूरक शिथिलता: पहले दो द्वैती व्यवरोध असमता में हैं (1/2 < 2, 2 < 9), अतः x₁ = x₂ = 0; y₁ > 0 से x₁ + 4x₂ + 2x₃ = 5, अतः x₃ = 5/2।

दूसरी आद्य पंक्ति की जाँच: 2x₃ = 5 ≥ 4, शिथिल पंक्ति, जो y₂ = 0 से संगत है; Z = 5/2 = W, अतः दोनों इष्टतम हैं।

उत्तर: x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 5/2, Min Z = 5/2।

प्रश्न 9 (10 अंक): पूरक शिथिलता से दर्शाइए कि x* = (2, 0, 1), 2x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 5, 4x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 11, 3x₁ + 4x₂ + 2x₃ ≤ 8, x ≥ 0 के अधीन Max Z = 5x₁ + 4x₂ + 3x₃ के लिए इष्टतम है।

x* सुसंगत है: तीनों पंक्तियाँ 5 ≤ 5, 10 ≤ 11, 8 ≤ 8 देती हैं, और Z = 13।

द्वैती: 2y₁ + 4y₂ + 3y₃ ≥ 5, 3y₁ + y₂ + 4y₃ ≥ 4, y₁ + 2y₂ + 2y₃ ≥ 3, y ≥ 0 के अधीन Min W = 5y₁ + 11y₂ + 8y₃।

पंक्ति 2 में शिथिलता है (10 < 11), अतः y₂ = 0; x₁, x₃ > 0, अतः पहला और तीसरा द्वैती व्यवरोध समता हैं: 2y₁ + 3y₃ = 5, y₁ + 2y₃ = 3, जिससे y₁ = 1, y₃ = 1।

शेष द्वैती व्यवरोध भी संतुष्ट है: 3y₁ + y₂ + 4y₃ = 7 ≥ 4, अतः y = (1, 0, 1) द्वैती सुसंगत है, और W = 5 + 8 = 13 = Z; दुर्बल द्वैतता से दोनों इष्टतम हैं।

उत्तर: x* = (2, 0, 1) इष्टतम है, Max Z = 13; छाया मूल्य (1, 0, 1) हैं।

प्रश्न 10 (15 अंक): द्वैती सिम्प्लेक्स विधि से हल कीजिए: 2x₁ − x₂ + x₃ ≥ 4, x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 8, x₂ − x₃ ≥ 2, x_j ≥ 0 के अधीन Min Z = x₁ + 2x₂ + 3x₃।

≥ पंक्तियों को −1 से गुणा कर न्यूनता चर जोड़ें; Max Z′ = −x₁ − 2x₂ − 3x₃; स्तंभ x₁, x₂, x₃, s₁, s₂, s₃ | x_B।

सारणी 1: s₁: −2, 1, −1, 1, 0, 0 | −4; s₂: 1, 1, 2, 0, 1, 0 | 8; s₃: 0, −1, 1, 0, 0, 1 | −2; Δ_j: 1, 2, 3, 0, 0, 0। s₁ (−4) निर्गत; अनुपात |Δ_j/y_1j| = 1/2 (x₁), 3 (x₃); x₁ प्रवेश।

सारणी 2: x₁: 1, −1/2, 1/2, −1/2, 0, 0 | 2; s₂: 0, 3/2, 3/2, 1/2, 1, 0 | 6; s₃: 0, −1, 1, 0, 0, 1 | −2; Δ_j: 0, 5/2, 5/2, 1/2, 0, 0। s₃ निर्गत; केवल y₃₂ = −1 ऋणात्मक है, अतः x₂ प्रवेश।

सारणी 3: x₁: 1, 0, 0, −1/2, 0, −1/2 | 3; s₂: 0, 0, 3, 1/2, 1, 3/2 | 3; x₂: 0, 1, −1, 0, 0, −1 | 2; Δ_j: 0, 0, 5, 1/2, 0, 5/2 | Z′ = −7। सभी x_B ≥ 0: इष्टतम।

जाँच: (3, 2, 0) से 6 − 2 = 4 ≥ 4, 5 ≤ 8, 2 ≥ 2; अन्य शीर्ष (6, 2, 0), (4, 4, 0) और (3, 3, 1) पर Z = 10, 12 और 12; द्वैती मान (1/2, 0, 5/2) से W = 4(1/2) + 2(5/2) = 7।

उत्तर: x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = 0, Min Z = 7।

5. परिवहन और नियतन

प्रश्न 11 (15 अंक): इष्टतम परिवहन अनुसूची ज्ञात कीजिए: D₁, ..., D₄ तक लागतें S₁: (3, 1, 7, 4), S₂: (2, 6, 5, 9), S₃: (8, 3, 3, 2); आपूर्ति 300, 400, 500; माँग 250, 350, 400, 200।

कुल आपूर्ति = कुल माँग = 1200 (संतुलित)। VAM दंड: पंक्तियाँ 2, 3, 1; स्तंभ 1, 2, 2, 2; सबसे बड़ा पंक्ति S₂ का है, अतः लागत 2 पर x₂₁ = 250।

अगला S₁ (दंड 3): x₁₂ = 300; फिर D₄ (दंड 7): x₃₄ = 200; फिर D₂ (दंड 3): x₃₂ = 50; अंत में x₂₃ = 150 और x₃₃ = 250।

लागत = 300 + 500 + 750 + 150 + 750 + 400 = 2850, जिसमें 6 = m + n − 1 आवंटन हैं।

u₁ = 0 के साथ MODI: v₂ = 1, u₃ = 2, v₃ = 1, v₄ = 0, u₂ = 4, v₁ = −2।

Δ₁₁ = 5, Δ₁₃ = 6, Δ₁₄ = 4, Δ₂₂ = 1, Δ₂₄ = 5, Δ₃₁ = 8: सभी धनात्मक, अतः VAM हल इष्टतम और अद्वितीय है।

उत्तर: x₁₂ = 300, x₂₁ = 250, x₂₃ = 150, x₃₂ = 50, x₃₃ = 250, x₃₄ = 200; न्यूनतम लागत 2850।

प्रश्न 12 (20 अंक): D₁, D₂, D₃ तक लागतें S₁: (5, 8, −), S₂: (6, 4, 3), S₃: (7, 5, 6), जहाँ मार्ग S₁ → D₃ अनुमत नहीं; आपूर्ति 40, 60, 50; माँग 50, 40, 40। न्यूनतम लागत अनुसूची ज्ञात कीजिए।

आपूर्ति 150 माँग 130 से अधिक है: माँग 20 और शून्य लागतों वाला डमी D₄ जोड़ें, और निषिद्ध खाने (1, 3) में लागत M रखें।

VAM (बराबरी में पहली पंक्ति/स्तंभ को वरीयता): x₁₄ = 20 (S₁, दंड 5), x₁₁ = 20 (S₁, दंड 3), x₂₃ = 40 (D₃, दंड 3), x₂₂ = 20 (S₂, दंड 2), फिर x₃₁ = 30, x₃₂ = 20; लागत 100 + 0 + 120 + 80 + 210 + 100 = 610।

MODI (u₁ = 0): v₁ = 5, v₄ = 0, u₃ = 2, v₂ = 3, u₂ = 1, v₃ = 2; Δ₂₄ = −1 और Δ₃₄ = −2 (शेष सभी ≥ 0), अतः (3, 4) प्रवेश करता है।

पाश (3, 4)+ → (1, 4)− → (1, 1)+ → (3, 1)−, θ = min(20, 30) = 20: x₃₄ = 20, x₁₄ = 0 (निर्गत), x₁₁ = 40, x₃₁ = 10; लागत = 610 − 2 × 20 = 570।

नए u = (0, 1, 2), v = (5, 3, 2, −2): Δ₁₂ = 5, Δ₁₃ = M − 2, Δ₁₄ = 2, Δ₂₁ = 0, Δ₂₄ = 1, Δ₃₃ = 2, सभी ≥ 0, अतः अनुसूची इष्टतम है; Δ₂₁ = 0 वैकल्पिक इष्टतम दर्शाता है।

उत्तर: x₁₁ = 40, x₂₂ = 20, x₂₃ = 40, x₃₁ = 10, x₃₂ = 20, तथा S₃ पर 20 इकाई शेष; न्यूनतम लागत 570।

प्रश्न 13 (15 अंक): पाँच मशीनों A–E को पाँच कार्य 1–5 करने हैं, लागतें [[8, 4, 2, 6, 1], [0, 9, 5, 5, 4], [3, 8, 9, 2, 6], [4, 3, 1, 0, 3], [9, 5, 8, 9, 5]]। न्यूनतम लागत नियतन ज्ञात कीजिए।

पंक्ति न्यूनतम 1, 0, 2, 0, 5 से [[7, 3, 1, 5, 0], [0, 9, 5, 5, 4], [1, 6, 7, 0, 4], [4, 3, 1, 0, 3], [4, 0, 3, 4, 0]]।

स्तंभ न्यूनतम 0, 0, 1, 0, 0 से [[7, 3, 0, 5, 0], [0, 9, 4, 5, 4], [1, 6, 6, 0, 4], [4, 3, 0, 0, 3], [4, 0, 2, 4, 0]]।

पंक्ति B: एक शून्य, (B, 1) बॉक्स। पंक्ति C: (C, 4) बॉक्स, (D, 4) काटें। पंक्ति D: (D, 3) बॉक्स, (A, 3) काटें। पंक्ति A: (A, 5) बॉक्स, (E, 5) काटें। पंक्ति E: (E, 2) बॉक्स।

5 × 5 आव्यूह में पाँच स्वतंत्र शून्य, अतः नियतन इष्टतम है (सभी 120 क्रमचयों की जाँच वही न्यूनतम देती है)।

उत्तर: A → 5, B → 1, C → 4, D → 3, E → 2; न्यूनतम लागत 1 + 0 + 2 + 1 + 5 = 9।

प्रश्न 14 (10 अंक): दर्शाइए कि संतुलित परिवहन समस्या (∑a_i = ∑b_j = S > 0, a_i, b_j ≥ 0) का सदैव सुसंगत हल और इष्टतम हल होता है, और उसके m + n व्यवरोधों में से अधिकतम m + n − 1 स्वतंत्र हैं।

सुसंगतता: x_ij = a_i b_j/S ≥ 0 रखें; तब ∑_j x_ij = a_i(∑_j b_j)/S = a_i और ∑_i x_ij = b_j(∑_i a_i)/S = b_j।

इष्टतम: प्रत्येक सुसंगत x के लिए 0 ≤ x_ij ≤ min(a_i, b_j), अतः सुसंगत समुच्चय अरिक्त, संवृत और परिबद्ध है; संतत रैखिक उद्देश्य फलन उस पर अपना न्यूनतम प्राप्त करता है (किसी शीर्ष, अर्थात् BFS पर)।

आश्रितता: m पंक्ति समीकरणों का योग और n स्तंभ समीकरणों का योग दोनों ∑∑x_ij = S के बराबर हैं, अतः कोई भी एक समीकरण शेष m + n − 1 से प्राप्त होता है; अतः कोटि अधिकतम m + n − 1 है।

(वास्तव में कोटि ठीक m + n − 1 है, इसीलिए अनपभ्रष्ट BFS में m + n − 1 धनात्मक आवंटन होते हैं।)

उत्तर: x_ij = a_i b_j/S सुसंगत है, इष्टतम BFS विद्यमान है, और व्यवरोधों की कोटि m + n − 1 है।

1. रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सूत्रण, आधारी हल और आलेखी विधि

2025 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: समीकरण निकाय
2x₁ − x₂ + 3x₃ + x₄ = 6
4x₁ − 2x₂ − x₃ + 2x₄ = 10
के कितने आधारी हल हैं? उन सभी को ज्ञात कीजिए। उन आधारी हलों की संख्या भी ज्ञात कीजिए जो सुसंगत/असुसंगत/अनपभ्रष्ट हैं।

2023 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: एक व्यक्ति को अपने उद्यान के लिए रसायन A, B तथा C की क्रमशः 24, 24 तथा 20 इकाई की आवश्यकता है। उत्पाद P के प्रत्येक मर्तबान में रसायन A, B तथा C की क्रमशः 2, 4 तथा 1 इकाई हैं तथा उत्पाद Q के प्रत्येक मर्तबान में रसायन A, B तथा C की क्रमशः 2, 1 तथा 5 इकाई हैं। यदि P के एक मर्तबान का मूल्य ₹ 30 है तथा Q के एक मर्तबान का मूल्य ₹ 50 है, तब न्यूनतम खर्च तथा आवश्यकताओं की पूर्ति के लिए प्रत्येक उत्पाद के कितने मर्तबान खरीदे जाएँ?

2020 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: यू.पी.एस.सी. के रखरखाव विभाग ने भवन में पर्दों की आवश्यकता-पूर्ति हेतु पर्दा-कपडे के पर्याप्त संख्या में टुकड़े खरीदे हैं। प्रत्येक टुकड़े की लम्बाई 17 फुट है। पर्दों की लम्बाई के अनुसार आवश्यकता निम्नलिखित है :
पर्दे की लम्बाई (फुटों में) : 5, 9, 7
आवश्यक संख्या : 700, 400, 300
टुकड़ों एवं सभी पर्दों की चौड़ाइयाँ समान हैं। विभिन्न रूप से काटे गये टुकड़ों की संख्या का निर्णय इस प्रकार करने हेतु कि कुल कटान-हानि न्यूनतम हो, एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का प्रामाणिक रूप में निर्धारण कीजिए। इसका एक आधारी सुसंगत हल भी दीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: ग्राफी विधि के इस्तेमाल के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए।
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 3x₁ + 2x₂
बशर्ते कि
x₁ − x₂ ≥ 1,
x₁ + x₃ ≥ 3
और x₁, x₂, x₃ ≥ 0

2018 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: एक कृषि फर्म के पास 180 टन नाइट्रोजन उर्वरक, 250 टन फॉस्फेट तथा 220 टन पोटाश है। फर्म इन पदार्थों के क्रमशः 3 : 3 : 4 के अनुपात में मिश्रण को 1500 रुपये प्रति टन के मुनाफे से तथा 2 : 4 : 2 के अनुपात में मिश्रण को 1200 रुपये प्रति टन के मुनाफे से बेच पायेगी। एक रैखिक-प्रोग्रामन समस्या प्रस्तुत कीजिए, जो यह दर्शाए कि अधिकतम मुनाफा प्राप्त करने के लिए, इन मिश्रणों की कितने टन मात्रा तैयार की जानी चाहिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 15 अंक: अधोलिखित समीकरणों के रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय में कितने आधारी हल हैं ? उन सभी को ज्ञात कीजिए।
2x₁ − x₂ + 3x₃ + x₄ = 6
4x₁ − 2x₂ − x₃ + 2x₄ = 10.

2017 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: ग्राफी विधि के इस्तेमाल के द्वारा
2x + y
का उच्चतम मान, बशर्ते
4x + 3y ≤ 12
4x + y ≤ 8
4x − y ≤ 8
x, y ≥ 0
ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: व्यवरोधों
x + 2y ≥ 1, 2x + y ≤ 1, x ≥ 0 तथा y ≥ 0
के साथ 5x + 2y का अधिकतम मान आलेखीय विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 20 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या पर विचार कीजिए:
अधिकतमीकरण कीजिए Z = x₁ + 2x₂ − 3x₃ + 4x₄
बशर्ते कि
x₁ + x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 12
x₂ + 2x₃ + x₄ = 8
x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0
(i) परिभाषा का इस्तेमाल करते हुए इसके सभी आधारी हल ज्ञात कीजिए। इनमें कौन-से अपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल हैं और कौन-से अनपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल हैं?
(ii) समस्या को हल किए बिना दर्शाइए कि इसका इष्टतम हल है। आधारी सुसंगत हलों में कौन-सा/से इष्टतम हल है/हैं?

2014 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: आलेखीय (ग्राफीय) विधि के द्वारा हल कीजिए:
अधिकतमीकृत कीजिए Z = 6x₁ + 5x₂
बशर्ते कि
2x₁ + x₂ ≤ 16
x₁ + x₂ ≤ 11
x₁ + 2x₂ ≥ 6
5x₁ + 6x₂ ≤ 90
x₁, x₂ ≥ 0

2. सिम्प्लेक्स विधि

2026 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को एकधा विधि से हल कीजिए:
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 4x₁ + 10x₂
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
2x₁ + x₂ ≤ 10
2x₁ + 5x₂ ≤ 20
2x₁ + 3x₂ ≤ 18
x₁, x₂ ≥ 0
व्याख्या सहित, एक वैकल्पिक (alternate) इष्टतम हल, यदि इसका अस्तित्व है, प्राप्त कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करने के लिए द्विचरण विधि का उपयोग कीजिए:
अधिकतमीकरण कीजिए z = x₁ + 2x₂
बशर्ते कि x₁ − x₂ ≥ 3
2x₁ + x₂ ≤ 10
x₁, x₂ ≥ 0

2023 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 20 अंक: बड़ा M (बिग M) विधि से निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
न्यूनतमीकरण कीजिए Z = 2x₁ + 3x₂
बशर्ते कि
x₁ + x₂ ≥ 9
x₁ + 2x₂ ≥ 15
2x₁ − 3x₂ ≤ 9
x₁, x₂ ≥ 0
क्या इष्टतम हल अद्वितीय है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करने के लिये द्विचरण विधि का उपयोग कीजिये:
न्यूनतमीकरण कीजिये Z = x₁ + x₂
बशर्ते कि
2x₁ + x₂ ≥ 4
x₁ + 7x₂ ≥ 7
x₁, x₂ ≥ 0

2021 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 15 अंक: बड़ा M (बिग M) विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 4x₁ + 5x₂ + 2x₃
बशर्ते कि 2x₁ + x₂ + x₃ ≥ 10
x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 12
x₁ + x₂ + x₃ = 6
x₁, x₂, x₃ ≥ 0

2020 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: एकधा विधि के द्वारा निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए z = −6x₁ − 2x₂ − 5x₃
बशर्ते कि 2x₁ − 3x₂ + x₃ ≤ 14
−4x₁ + 4x₂ + 10x₃ ≤ 46
2x₁ + 2x₂ − 4x₃ ≤ 37
x₁ ≥ 2, x₂ ≥ 1, x₃ ≥ 3

2019 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: एकधा विधि का इस्तेमाल करते हुए रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिये :
न्यूनतमीकरण कीजिए Z = x₁ + 2x₂ − 3x₃ − 2x₄
बशर्ते कि
x₁ + 2x₂ − 3x₃ + x₄ = 4
x₁ + 2x₂ + x₃ + 2x₄ = 4
और x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0

2018 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 20 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को Big M विधि से हल कीजिए तथा दर्शाइए कि समस्या के परिमित इष्टतम हल हैं। साथ ही उद्देश्य फलन का मान भी ज्ञात कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए z = 3x₁ + 5x₂
बशर्ते कि x₁ + 2x₂ ≥ 8
3x₁ + 2x₂ ≥ 12
5x₁ + 6x₂ ≤ 60,
x₁, x₂ ≥ 0.

2017 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 20 अंक: एकधा विधि के द्वारा निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
अधिकतमीकरण कीजिए
z = 3x₁ + 5x₂ + 4x₃
बशर्ते कि
2x₁ + 3x₂ ≤ 8
2x₂ + 5x₃ ≤ 10
3x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≤ 15
x₁, x₂, x₃ ≥ 0.

2016 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: अधिकतमीकरण कीजिए
z = 2x₁ + 3x₂ + 6x₃
बशर्ते कि
2x₁ + x₂ + x₃ ≤ 5
3x₂ + 2x₃ ≤ 6
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0.
क्या इष्टतम हल अद्वितीय है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: एकधा विधि के द्वारा निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सभी इष्टतम हल ज्ञात कीजिए:
अधिकतमीकृत कीजिए Z = 30x₁ + 24x₂
बशर्ते कि
5x₁ + 4x₂ ≤ 200
x₁ ≤ 32
x₂ ≤ 40
x₁, x₂ ≥ 0

3. रैखिक प्रोग्रामन में द्वैतता

2026 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैत समस्या को ग्राफीय विधि से हल कीजिए:
न्यूनतमीकरण कीजिए Y = 10y₁ + 6y₂ + 2y₃ + y₄
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत:
y₁ + y₂ + y₃ + y₄ ≥ 2
2y₁ + y₂ − y₃ − 2y₄ ≥ 1
y₁, y₂, y₃, y₄ ≥ 0

2025 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 15 अंक: द्वैतता (ड्यूअलिटी) के सिद्धान्त का उपयोग कर निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 3x₁ + 4x₂
बशर्ते कि
x₁ − x₂ ≤ 1
x₁ + x₂ ≥ 4
x₁ − 3x₂ ≤ 3
x₁, x₂ ≥ 0

2024 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 15 अंक: द्वैत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
न्यूनतमीकरण कीजिए z = 4x₁ + 3x₂ + x₃
बशर्ते कि x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≥ 12
3x₁ + 2x₂ + x₃ ≥ 8
x₁, x₂, x₃ ≥ 0

2022 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 15 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को एकधा विधि द्वारा हल कीजिये। इसकी द्वैती समस्या लिखिये। दी गयी समस्या की इष्टतम सारणी से द्वैती समस्या का इष्टतम हल भी लिखिये:
अधिकतमीकरण कीजिये Z = x₁ + x₂ + x₃
बशर्ते कि
2x₁ + x₂ + x₃ ≤ 2
4x₁ + 2x₂ + x₃ ≤ 2
x₁, x₂, x₃ ≥ 0

2021 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 15 अंक: निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को द्वैती रैखिक प्रोग्रामन समस्या में परिवर्तित कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए Z = x₁ − 3x₂ − 2x₃
बशर्ते कि 3x₁ − x₂ + 2x₃ ≤ 7
2x₁ − 4x₂ ≥ 12
−4x₁ + 3x₂ + 8x₃ = 10
जहाँ x₁, x₂ ≥ 0 तथा x₃ का चिह्न अप्रतिबंधित है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q4(d), 10 अंक: निम्नलिखित एल. पी. पी. पर विचार करें,
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 2x₁ + 4x₂ + 4x₃ − 3x₄
बशर्ते कि
x₁ + x₂ + x₃ = 4
x₁ + 4x₂ + x₄ = 8
और x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0
प्रति समस्या का उपयोग करते हुए, सत्यापित करें कि बुनियादी समाधान (x₁, x₂) इष्टतम नहीं है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को एकधा विधि द्वारा हल कीजिए। इसकी द्वैती समस्या लिखिए। दी गई समस्या की इष्टतम सारणी से द्वैती समस्या का इष्टतम हल भी लिखिए:
अधिकतमीकरण कीजिए Z = 2x₁ − 4x₂ + 5x₃
बशर्ते कि
x₁ + 4x₂ − 2x₃ ≤ 2
−x₁ + 2x₂ + 3x₃ ≤ 1
x₁, x₂, x₃ ≥ 0

4. परिवहन समस्या

2025 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: निम्न सारणी में प्रत्येक गोदाम में उपलब्ध सप्लाई, प्रत्येक बाजार की आवश्यकता और प्रत्येक गोदाम से प्रत्येक बाजार की इकाई परिवहन लागत की सभी आवश्यक जानकारी दी गई है:
गोदाम / बाजार: I, II, III, IV, सप्लाई
A: 5, 2, 4, 3, 22
B: 4, 8, 1, 6, 15
C: 4, 6, 7, 5, 8
आवश्यकता: 7, 12, 17, 9
अनुभव के आधार पर शिपिंग क्लर्क ने निम्न अनुसूची (शेड्यूल) तैयार की है:
A से II पर 12 इकाई, A से III पर 1 इकाई, A से IV पर 9 इकाई, B से III पर 15 इकाई, C से I पर 7 इकाई और C से III पर 1 इकाई
इष्टतम अनुसूची और निम्नतम कुल परिवहन लागत ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: वोगेल की सन्निकटन विधि से निम्नलिखित परिवहन समस्या का आरंभिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिये। इस हल का उपयोग कर समस्या का इष्टतम हल एवं परिवहन लागत ज्ञात कीजिये:
[सारणी: उद्गम S₁, S₂, S₃ से गन्तव्य A, B, C, D तक लागत]
S₁: 21, 16, 25, 13; प्राप्यता 11
S₂: 17, 18, 14, 23; प्राप्यता 13
S₃: 32, 27, 18, 41; प्राप्यता 19
माँग: 6, 10, 12, 15; कुल 43

2020 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: वोगेल की सन्निकटन विधि से निम्नलिखित परिवहन समस्या का आरंभिक आधारिक सुसंगत हल ज्ञात कीजिए। इस हल का उपयोग कर समस्या का इष्टतम हल एवं परिवहन लागत ज्ञात कीजिए।
[सारणी: उद्गम S₁, S₂, S₃ तथा गन्तव्य D₁, D₂, D₃, D₄ के लिए लागत आव्यूह]
S₁ : 10, 0, 20, 11; प्राप्यता 15
S₂ : 12, 8, 9, 20; प्राप्यता 25
S₃ : 0, 14, 16, 18; प्राप्यता 10
माँग : 5, 20, 15, 10

2017 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: निम्नलिखित परिवहन समस्या के लिए, वोगेल की सन्निकटन विधि के द्वारा, आरंभिक आधारिक सुसंगत हल ज्ञात कीजिए तथा लागत ज्ञात कीजिए।
[सारणी: उद्गम O₁, O₂, O₃ से गन्तव्य D₁ से D₅ तक लागत]
O₁: 4, 7, 0, 3, 6; पूर्ति 14
O₂: 1, 2, −3, 3, 8; पूर्ति 9
O₃: 3, −1, 4, 0, 5; पूर्ति 17
माँग: 8, 3, 8, 13, 8

2014 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: निम्नलिखित परिवहन समस्या के लिए वोगेल की सन्निकटन विधि के द्वारा आरंभिक आधारिक साध्य हल ज्ञात कीजिए। इसका इष्टतम हल तथा न्यूनतम परिवहन लागत भी ज्ञात कीजिए:
लागत (पंक्तियाँ उद्गम O₁, O₂, O₃; स्तंभ गन्तव्य D₁, D₂, D₃, D₄):
O₁: 6, 4, 1, 5; उपलब्धता 14
O₂: 8, 9, 2, 7; उपलब्धता 16
O₃: 4, 3, 6, 2; उपलब्धता 5
माँग: 6, 10, 15, 4

5. नियतन समस्या

2026 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 15 अंक: निम्नलिखित सारणी कार्यों को मशीनें नियत करने पर अनुमानित लागत निरूपित करती है। कुल लागत को न्यूनतम करने के लिए इस नियतन समस्या को हल कीजिए।
[लागत सारणी, पंक्तियाँ कार्य J₁, J₂, J₃; स्तंभ मशीन M₁, M₂, M₃, M₄]
J₁: 8, 24, 28, 32
J₂: 8, 13, 17, 19
J₃: 8, 15, 19, 22
क्या कुल न्यूनतम लागत के लिए नियतन अद्वितीय है? अपने उत्तर का तर्क दीजिए और एक वैकल्पिक (alternate) नियतन, यदि इसका अस्तित्व है, प्राप्त कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: एक कंपनी का कार्मिक प्रबंधक, अधिकारियों A, B और C को क्षेत्रीय कार्यालयों दिल्ली, मुंबई, कोलकाता और चेन्नई में नियुक्त करना चाहता है। चार क्षेत्रीय कार्यालयों में इन तीन अधिकारियों के स्थानांतरण की लागत (हजार रुपयों में) नीचे दी गई है:
अधिकारी / कार्यालय: दिल्ली, मुंबई, कोलकाता, चेन्नई
A: 16, 22, 24, 20
B: 10, 32, 26, 16
C: 10, 20, 46, 30
वह नियतन (असाइनमेन्ट) ज्ञात कीजिए, जो स्थानांतरण की कुल लागत को न्यूनतम करता है और न्यूनतम लागत भी निर्धारित कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: एक विभाग के अध्यक्ष के आधीन 5 कर्मचारी हैं तथा उसके पास 5 कार्य हैं। प्रत्येक कर्मचारी के लिए प्रत्येक कार्य को करने का समय (घण्टों में) नीचे आव्यूह में दिया गया है:
[सारणी: पंक्तियाँ कर्मचारी I–V, स्तंभ कार्य A–E]
I: 4, 9, 4, 12, 4
II: 15, 11, 20, 5, 8
III: 17, 7, 15, 12, 18
IV: 9, 13, 11, 9, 14
V: 6, 11, 12, 9, 14
कुल समय के न्यूनतमीकरण के लिए, प्रत्येक कर्मचारी को एक कार्य किस प्रकार दिया जाए? यदि कर्मचारी IV को कार्य C नहीं दिया जा सकता है, तो सभी कार्यों को करने में लगने वाला कुल न्यूनतम समय भी ज्ञात कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: एक कम्पनी के एक विभाग के पाँच कर्मचारियों को पाँच कार्य सम्पन्न करने हैं। जितना समय (घंटों में) एक व्यक्ति एक कार्य को सम्पन्न करने के लिए लेता है, वह प्रभाविता आव्यूह में दिया गया है। इन पाँच कर्मचारियों को इन सभी कार्यों को इस तरह निर्धारित कीजिए जिससे कि समस्त कार्य सम्पन्न करने का समय न्यूनतम हो :
[सारणी: पंक्तियाँ कार्य A–E, स्तंभ कर्मचारी I–V]
A : 10, 5, 13, 15, 16
B : 3, 9, 18, 13, 6
C : 10, 7, 2, 2, 2
D : 7, 11, 9, 7, 12
E : 7, 9, 10, 4, 12

2018 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 15 अंक: एक फैक्ट्री में पांच प्रचालक O₁, O₂, O₃, O₄, O₅ तथा पांच मशीनें M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ हैं। परिचालन लागत, जब कि O_i प्रचालक M_j (i, j = 1, 2, ..., 5) मशीन को परिचालन करता है, दी गई है। लेकिन एक प्रतिबन्ध है कि O₃ को तीसरी मशीन M₃ का परिचालन करने तथा O₂ को पाँचवीं मशीन M₅ का परिचालन करने की इजाज़त नहीं दी जा सकती है। लागत आव्यूह नीचे दी है। इष्टतम नियतन तथा इष्टतम नियतन की लागत ज्ञात कीजिए।
[लागत आव्यूह: पंक्तियाँ प्रचालक O₁ से O₅, स्तम्भ मशीन M₁ से M₅]
[[24, 29, 18, 32, 19], [17, 26, 34, 22, 21], [27, 16, 28, 17, 25], [22, 18, 28, 30, 24], [28, 16, 31, 24, 27]]

2015 प्रश्नपत्र II, Q1(e), 10 अंक: निम्नलिखित नियतन समस्या को अधिकतम बिक्री करने के लिए हल कीजिए:
बिक्री (पंक्तियाँ विक्रेता A से E; स्तंभ क्षेत्र I, II, III, IV, V):
A: 3, 4, 5, 6, 7
B: 4, 15, 13, 7, 6
C: 6, 13, 12, 5, 11
D: 7, 12, 15, 8, 5
E: 8, 13, 10, 6, 9