रैखिक बीजगणित — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. सदिश समष्टि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक भिन्न वस्तुएँ एक ही प्रकार से व्यवहार करती हैं: समतल में तीर, संख्याओं के स्तंभ, बहुपद, आव्यूह और y″ + y = 0 के हल।

इनमें से प्रत्येक में हम दो वस्तुओं को जोड़ सकते हैं और किसी वस्तु को एक संख्या से गुणा कर सकते हैं, तथा अंकगणित के वही नियम लागू होते हैं।

प्रत्येक प्रकार की वस्तु के लिए स्वतंत्रता, विमा और रैखिक प्रतिचित्रणों के तथ्य बार-बार सिद्ध करने के बजाय, हम उन्हें इन दो संक्रियाओं वाले प्रत्येक समुच्चय के लिए एक बार सिद्ध करते हैं। ऐसे समुच्चय को सदिश समष्टि (vector space) कहते हैं।

शब्दों में: 'एक अरिक्त समुच्चय V' का अर्थ है स्वयं वस्तुएँ; वे वास्तव में जो भी हों, हम उन्हें सदिश कहते हैं।

'सदिश योग' एक नियम है जो u, v ∈ V लेकर u + v देता है, और यह पुनः V में होना चाहिए (संवरकता परिभाषा का भाग है)।

'क्षेत्र F के अवयवों द्वारा अदिश गुणन' एक नियम है जो संख्या α ∈ F और v ∈ V लेकर αv ∈ V देता है। संख्याएँ α अदिश (scalars) कहलाती हैं; इस पाठ्यक्रम में F, ℝ या ℂ है।

'(V, +) एक आबेली समूह है' में चार नियम हैं: योग साहचर्य और क्रमविनिमेय है, एक शून्य सदिश 0 है जिससे v + 0 = v, और प्रत्येक v का ऋण −v है जिससे v + (−v) = 0.

अंतिम चार नियम दोनों संक्रियाओं को जोड़ते हैं: अदिश सदिशों के योग और अदिशों के योग पर वितरित होते हैं, पहले β और फिर α से गुणा करना αβ से गुणा करना है, और अदिश 1 कुछ नहीं बदलता।

ध्यान दें कि क्या आवश्यक नहीं है: हम दो सदिशों को आपस में कभी गुणा नहीं करते, और सदिशों की तुलना आकार से नहीं करते।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाइए कि P₂, अधिकतम घात 2 वाले वास्तविक बहुपद, ℝ पर सदिश समष्टि है।

चरण 1: एक सामान्य अवयव वास्तविक गुणांकों वाला p = a₀ + a₁x + a₂x² है; दूसरा q = b₀ + b₁x + b₂x² लें।

चरण 2: p + q = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x + (a₂ + b₂)x² की घात भी अधिकतम 2 है, अतः योग P₂ के अंदर रहता है।

चरण 3: αp = αa₀ + αa₁x + αa₂x² भी P₂ में है, अतः अदिश गुणन भी अंदर रहता है।

चरण 4: शून्य सदिश शून्य बहुपद है, और p का ऋण −a₀ − a₁x − a₂x² है।

चरण 5: प्रत्येक अन्य अभिगृहीत वास्तविक संख्याओं का वही नियम है जो गुणांक-दर-गुणांक लगाया जाता है; उदाहरणार्थ α(p + q) में x का गुणांक α(a₁ + b₁) = αa₁ + αb₁ है, जो αp + αq में उसका गुणांक है।

ध्यान दें: केवल गुणांक-सूची (a₀, a₁, a₂) का प्रयोग हुआ, अतः P₂ ठीक ℝ³ की तरह व्यवहार करता है; यह तुल्याकारिता P₂ ≅ ℝ³ का पहला संकेत है।

अ-उदाहरण (non-example): ℝ² को सामान्य योग के साथ, पर अदिश नियम α(x, y) = (αx, 0) के साथ लें।

वितरण नियम लागू है: α((x₁, y₁) + (x₂, y₂)) = (α(x₁ + x₂), 0) = α(x₁, y₁) + α(x₂, y₂), और (αβ)u = α(βu) भी लागू है।

परंतु 1·(0, 1) = (0, 0) ≠ (0, 1), अतः अभिगृहीत 1·u = u विफल है और यह सदिश समष्टि नहीं है। यह दृष्टांत दिखाता है कि अभिगृहीत 1·u = u स्वतः सत्य नहीं होता।

दूसरा प्रति-दृष्टांत: ठीक घात 2 वाले बहुपद योग के अंतर्गत संवृत नहीं हैं, क्योंकि x² + (1 − x²) = 1 की घात 0 है।

आगे बढ़ते हुए: बीजगणित के परिचित नियम अब केवल अभिगृहीतों से प्राप्त होते हैं।

0·v = 0: वास्तव में 0·v = (0 + 0)·v = 0·v + 0·v, और दोनों ओर −(0·v) जोड़ने पर 0 = 0·v बचता है।

(−1)v = −v: v + (−1)v = (1 + (−1))v = 0·v = 0, अतः (−1)v, v का ऋण है।

यदि αv = 0 तो α = 0 या v = 0: जब α ≠ 0, तो 1/α से गुणा करने पर v = (1/α)(αv) = (1/α)0 = 0.

इन नियमों से आप सदिश समीकरणों में संख्याओं की भाँति पुनर्व्यवस्था और निरसन कर सकते हैं, केवल दो सदिशों का गुणनफल नहीं होता।

कहाँ प्रयोग होता है: इस अध्याय का प्रत्येक आगामी विचार (उपसमष्टि, आधार, रैखिक प्रतिचित्रण, आइगेन मान) किसी सदिश समष्टि के अंदर रहता है, और समघात रैखिक अवकल समीकरण के हल एक सदिश समष्टि बनाते हैं (साधारण अवकल समीकरण)।

परीक्षा में 'दिखाइए कि V सदिश समष्टि है' का उत्तर लगभग सदैव यह दिखाकर दिया जाता है कि V किसी ज्ञात समष्टि की उपसमष्टि है, जो अगला पाठ है।

2. सदिश समष्टि

परिभाषा: सदिश योग तथा क्षेत्र (field) F (ℝ या ℂ) के अवयवों द्वारा अदिश गुणन से युक्त एक अरिक्त समुच्चय V, F पर सदिश समष्टि (vector space) है यदि (V, +) एक आबेली समूह (abelian group) हो और सभी α, β ∈ F तथा u, v ∈ V के लिए: α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βu, (αβ)u = α(βu) और 1·u = u.

भाव: सदिश समष्टि ऐसी कोई भी वस्तुओं का संग्रह है जिन्हें सामान्य नियमों से जोड़ा और अदिश से गुणा किया जा सके, अतः तीर, स्तंभ, आव्यूह, बहुपद और फलन सभी एक ही सिद्धांत से संभाले जाते हैं। क्षेत्र (field) तय करता है कि कौन-से अदिश अनुमत हैं, और अभिगृहीत ठीक वही हैं जो रैखिक संयोजनों α₁v₁ + ... + α_kv_k को अर्थपूर्ण बनाने के लिए आवश्यक हैं।

प्रत्येक अभिगृहीत का महत्त्व: सामान्य योग और गुणन के साथ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ ℝ पर सदिश समष्टि नहीं हैं, क्योंकि (−1)·v समुच्चय से बाहर चला जाता है और कोई शून्य सदिश नहीं है; ठीक n घात वाले बहुपदों का समुच्चय भी सदिश समष्टि नहीं है, क्योंकि xⁿ + (−xⁿ) की घात कम है।

मानक उदाहरण: ℝ पर ℝⁿ; ℂ पर ℂⁿ; m × n आव्यूह (matrix) M_m×n(F); घात ≤ n वाले बहुपद P_n; संतत फलन C[a, b].

ℂ, ℝ पर विमा 2 (आधार {1, i}) की और ℂ पर विमा 1 की सदिश समष्टि है, अतः क्षेत्र को सदैव स्पष्ट लिखना चाहिए।

3. उपसमष्टि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रत्येक नए समुच्चय के लिए सभी दस अभिगृहीत जाँचना धीमा है। व्यवहार में मिलने वाले अधिकांश समुच्चय किसी ज्ञात समष्टि (ℝⁿ, M_n, P_n, C[a, b]) के अंदर होते हैं और वही संक्रियाएँ प्रयोग करते हैं।

ऐसे समुच्चय के लिए अंकगणित के नियम बड़ी समष्टि से विरासत में मिलते हैं; केवल संवरकता विफल हो सकती है। अतः हमें संवरकता के लिए एक छोटा परीक्षण चाहिए।

शब्दों में: 'एक अरिक्त उपसमुच्चय W ⊆ V' का अर्थ है कि W, V का भाग है और उसमें कम से कम एक अवयव है; व्यवहार में जाँचें कि 0 ∈ W.

'सभी u, v ∈ W और सभी α, β ∈ F के लिए αu + βv ∈ W' का अर्थ है: W के कोई दो सदस्य और कोई दो अदिश लें, संयोजन बनाएँ, और आपको W के अंदर ही रहना चाहिए।

'सभी के लिए' का अर्थ है सामान्य अक्षरों से उपपत्ति; एक संख्यात्मक युग्म जाँचना कुछ सिद्ध नहीं करता, यद्यपि एक विफल युग्म असिद्ध कर देता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: W = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x − 2y + z = 0}.

चरण 1: (0, 0, 0) से 0 − 0 + 0 = 0, अतः 0 ∈ W और W अरिक्त है।

चरण 2: W में u = (x₁, y₁, z₁) और v = (x₂, y₂, z₂) लें, अतः x₁ − 2y₁ + z₁ = 0 और x₂ − 2y₂ + z₂ = 0.

चरण 3: αu + βv = (αx₁ + βx₂, αy₁ + βy₂, αz₁ + βz₂).

चरण 4: शर्त में रखकर पुनः समूहित करें: (αx₁ + βx₂) − 2(αy₁ + βy₂) + (αz₁ + βz₂) = α(x₁ − 2y₁ + z₁) + β(x₂ − 2y₂ + z₂) = α·0 + β·0 = 0.

चरण 5: अतः αu + βv ∈ W, और W उपसमष्टि है: मूल बिंदु से जाने वाला समतल जिसका अभिलंब (1, −2, 1) है।

ध्यान दें: चरण 4 केवल इसलिए काम करता है कि शर्त x, y, z में रैखिक है और उसमें कोई अचर पद नहीं है। कोई भी समघात रैखिक शर्त इसी प्रकार उपसमष्टि देती है।

अ-उदाहरण (non-example): W′ = {(x, y, z): x − 2y + z = 1} चरण 1 पर विफल है, क्योंकि 0 − 0 + 0 = 0 ≠ 1; यह मूल बिंदु से न जाने वाला समतल है।

W″ = {(x, y): xy = 0}, दोनों अक्षों का सम्मिलन, 0 को समाहित करता है और अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है, परंतु (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) के लिए xy = 1 ≠ 0. योग के अंतर्गत संवरकता वह शर्त है जो विफल होती है।

आगे बढ़ते हुए: यह परीक्षण तुरंत उपसमष्टियों के तीन परिवार देता है जो लगभग हर परीक्षा प्रश्न को समेटते हैं।

(1) अष्टियाँ (kernels): यदि T रैखिक है, तो T(u) = T(v) = 0 से T(αu + βv) = αT(u) + βT(v) = 0, अतः {v: T(v) = 0} उपसमष्टि है; AX = 0 के हल समुच्चय इसी प्रकार के हैं।

(2) विस्तृतियाँ (spans): S के दो रैखिक संयोजनों का संयोजन पुनः S का रैखिक संयोजन है, अतः L(S) उपसमष्टि है।

(3) योग और सर्वनिष्ठ: α(w₁ + w₂) + β(w₁′ + w₂′) = (αw₁ + βw₁′) + (αw₂ + βw₂′), अतः W₁ + W₂ उपसमष्टि है; सर्वनिष्ठ मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1 में सिद्ध है।

अतः हाथ से परीक्षण से पहले पूछें कि क्या समुच्चय अष्टि, विस्तृति, योग या सर्वनिष्ठ है; यदि हाँ, तो एक पंक्ति में प्रश्न हल हो जाता है।

कहाँ प्रयोग होता है: आइगेन समष्टियाँ, शून्य समष्टियाँ और रैखिक अवकल समीकरणों की हल समष्टियाँ उपसमष्टियाँ हैं; 'जादुई वर्ग सदिश समष्टि बनाते हैं' जैसे प्रश्न उपसमष्टि परीक्षण हैं; और प्रत्यक्ष योग V = W ⊕ K उपसमष्टियों से बनते हैं।

4. उपसमष्टियाँ

उपसमष्टि (subspace) परीक्षण: अरिक्त उपसमुच्चय W ⊆ V उपसमष्टि है यदि और केवल यदि सभी u, v ∈ W तथा α, β ∈ F के लिए αu + βv ∈ W.

भाव: उपसमष्टि (subspace) V के अंदर स्थित, उन्हीं संक्रियाओं वाली एक छोटी सदिश समष्टि है। ℝ³ में उपसमष्टियाँ ठीक {0}, मूल बिंदु से जाने वाली रेखाएँ, मूल बिंदु से जाने वाले समतल और स्वयं ℝ³ हैं; मूल बिंदु से न जाने वाली रेखा या समतल कभी उपसमष्टि नहीं होता।

एक परीक्षण क्यों पर्याप्त है: α = β = 0 से 0 ∈ W, α = −1 और β = 0 से −u ∈ W, और α = β = 1 से योग के अंतर्गत संवृतता मिलती है। शेष अभिगृहीत (साहचर्य, वितरण नियम) W में इसलिए सत्य हैं क्योंकि वे V में पहले से सत्य हैं।

प्रत्येक उपसमष्टि में 0 होता है, अतः {(x, y): x + y = 1} जैसा समुच्चय उपसमष्टि नहीं है।

दो उपसमष्टियों का सर्वनिष्ठ उपसमष्टि होता है; सम्मिलन W₁ ∪ W₂ उपसमष्टि है यदि और केवल यदि W₁ ⊆ W₂ या W₂ ⊆ W₁.

भाव: ℝ² में x-अक्ष और y-अक्ष के सम्मिलन में (1, 0) और (0, 1) हैं पर उनका योग (1, 1) नहीं, अतः दो उपसमष्टियों का सम्मिलन तभी उपसमष्टि है जब एक दूसरी को समाहित करे (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1 में सिद्ध)। दोनों को समाहित करने वाली सबसे छोटी उपसमष्टि योग W₁ + W₂ है।

योग: W₁ + W₂ = {w₁ + w₂: w₁ ∈ W₁, w₂ ∈ W₂}; जब W₁ ∩ W₂ = {0} हो तो योग प्रत्यक्ष (direct) कहलाता है, W₁ ⊕ W₂ लिखा जाता है, और तब योग के प्रत्येक सदिश का वियोजन अद्वितीय होता है।

वियोजन अद्वितीय क्यों है: यदि w₁ + w₂ = w₁′ + w₂′, तो w₁ − w₁′ = w₂′ − w₂, W₁ ∩ W₂ = {0} में है, अतः w₁ = w₁′ और w₂ = w₂′.

भाव: ℝ³ = (xy-समतल) ⊕ (z-अक्ष), क्योंकि प्रत्येक सदिश अद्वितीय रूप से (x, y, 0) + (0, 0, z) में टूटता है। मूल बिंदु से जाने वाले दो भिन्न समतलों का योग भी ℝ³ है, पर वह योग प्रत्यक्ष नहीं है, क्योंकि वे एक रेखा में मिलते हैं।

रैखिक विस्तृति (linear span): L(S), S के सदिशों के सभी परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय है; यह S को समाहित करने वाली सबसे छोटी उपसमष्टि है।

भाव: L(S) वह सब है जो S से जोड़कर और अदिश गुणा करके प्राप्त किया जा सके। ℝ³ में एक अशून्य सदिश की विस्तृति (span) एक रेखा है, दो असमांतर सदिशों की एक समतल; परिपाटी से L(∅) = {0}.

समीकरणों द्वारा दी गई उपसमष्टि: Fⁿ में समघात निकाय AX = 0 का हल समुच्चय n − ρ(A) विमा की उपसमष्टि है। आधार के लिए, धुरी (pivot) चरों को हल करें और व्यापक हल को प्रत्येक मुक्त चर के एक सदिश के संचय के रूप में लिखें।

व्यवहार में सर्वनिष्ठ: यदि W₁, W₂ समीकरणों द्वारा दिए हों, तो सभी समीकरणों को साथ हल करें; यदि कोई उपसमष्टि विस्तृति (span) के रूप में दी हो, तो उसका व्यापक सदिश a₁v₁ + ... + a_kv_k लिखें और गुणांकों पर दूसरी उपसमष्टि के समीकरण लगाएँ।

पूरक (complement): परिमित-विमीय V की प्रत्येक उपसमष्टि W का एक पूरक K होता है जिससे V = W ⊕ K; W के आधार को V के आधार तक विस्तारित करें और जोड़े गए सदिशों की विस्तृति K लें। पूरक अद्वितीय नहीं है (ℝ³ के समतल W में न पड़ने वाली कोई भी रेखा W का पूरक है)।

विभाग समष्टि (quotient space): V की उपसमष्टि W के लिए V/W = {v + W: v ∈ V}, जहाँ (u + W) + (v + W) = (u + v) + W और α(v + W) = αv + W, एक सदिश समष्टि है जिसका शून्य W है; u + W = v + W ⇔ u − v ∈ W.

भाव: V/W के अवयव W के स्थानांतरण (translates) हैं। V = ℝ² और W = x-अक्ष के लिए सहसमुच्चय v + W क्षैतिज रेखाएँ y = c हैं; दो ऐसी रेखाओं को जोड़ने पर उनकी ऊँचाइयाँ जुड़ती हैं, अतः V/W, y-अक्ष जैसा व्यवहार करता है और dim(V/W) = 1.

यदि W के आधार {w₁, ..., w_k} को V के आधार {w₁, ..., w_k, v₁, ..., v_r} तक विस्तारित किया जाए, तो {v₁ + W, ..., v_r + W}, V/W का आधार है, अतः dim(V/W) = dim V − dim W (मानक उपपत्तियों में सिद्ध)।

5. रैखिक स्वतंत्रता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक जनक (spanning) समुच्चय में अनावश्यक सदिश हो सकते हैं। उदाहरणार्थ (1, 0), (0, 1) और (1, 1), ℝ² को जनित करते हैं, पर (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) कुछ नया नहीं जोड़ता।

हमें 'कोई अनावश्यकता नहीं' का सटीक परीक्षण चाहिए, ताकि हम किसी समष्टि को यथासंभव कम सदिशों से वर्णित कर सकें।

शब्दों में: 'α₁v₁ + ... + α_kv_k = 0 से α₁ = ... = α_k = 0 विवश होता है' का अर्थ है कि सदिशों को शून्य सदिश में संयोजित करने का एकमात्र तरीका तुच्छ तरीका है, जिसमें प्रत्येक गुणांक 0 है।

यदि कोई अतुच्छ संयोजन 0 है, मान लें α₁ ≠ 0, तो v₁ = −(α₂/α₁)v₂ − ... − (α_k/α₁)v_k, अतः v₁ अनावश्यक है।

अतः 'आश्रित' का ठीक अर्थ है 'कम से कम एक सदिश शेष का रैखिक संयोजन है', और 'स्वतंत्र' का अर्थ है 'कोई नहीं है'।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: क्या ℝ³ में v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (2, 5, 7), v₃ = (1, 3, 5) स्वतंत्र हैं?

चरण 1: मान लें av₁ + bv₂ + cv₃ = 0. निर्देशांकों की तुलना से a + 2b + c = 0, 2a + 5b + 3c = 0 और 3a + 7b + 5c = 0.

चरण 2: दूसरे समीकरण में से पहले का दुगना घटाने पर b + c = 0; तीसरे में से पहले का तिगुना घटाने पर b + 2c = 0.

चरण 3: इन दोनों को घटाने पर c = 0, फिर b = 0, और पहला समीकरण a = 0 देता है।

चरण 4: केवल तुच्छ हल है, अतः सदिश स्वतंत्र हैं। जाँच के लिए, इन पंक्तियों वाला सारणिक 1(5·5 − 7·3) − 2(2·5 − 7·1) + 3(2·3 − 5·1) = 4 − 6 + 3 = 1 ≠ 0 है।

ध्यान दें: परीक्षण सदैव अज्ञात गुणांकों में एक समघात रैखिक निकाय है; स्वतंत्रता का अर्थ है कि उस निकाय का केवल शून्य हल है।

अ-उदाहरण (non-example): (1, 2, 3), (2, 5, 7), (3, 7, 10) समान दिखते हैं, पर तीसरा पहले दो का योग है, अतः 1·v₁ + 1·v₂ − 1·v₃ = 0 एक अतुच्छ संबंध है और शर्त 'सभी गुणांक 0 होने को विवश करता है' विफल होती है।

इसी प्रकार 0 वाला कोई भी समुच्चय आश्रित है, क्योंकि 1·0 = 0 एक अतुच्छ संबंध है।

आगे बढ़ते हुए: मुख्य प्रमेयिका यह है: यदि v₁, ..., v_k स्वतंत्र हैं और v ∉ L{v₁, ..., v_k}, तो v₁, ..., v_k, v स्वतंत्र हैं।

कारण: संबंध a₁v₁ + ... + a_kv_k + bv = 0 में b ≠ 0 होने पर v विस्तृति में आ जाता, अतः b = 0; तब पुराने सदिश प्रत्येक a_i = 0 विवश करते हैं।

इस प्रकार एक-एक सदिश जोड़कर ही आधार बनाए और विस्तारित किए जाते हैं। किसी समष्टि में कितने स्वतंत्र सदिश समा सकते हैं, यह प्रतिस्थापन प्रमेय (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2) सीमित करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: आव्यूह की कोटि स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है; भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश स्वतंत्र होते हैं (आइगेन मान); और साधारण अवकल समीकरणों में रॉन्स्कियन हलों की स्वतंत्रता जाँचता है।

6. रैखिक आश्रितता और स्वतंत्रता

सदिश v₁, ..., v_k रैखिकतः स्वतंत्र (linearly independent) हैं यदि α₁v₁ + ... + α_kv_k = 0 से α₁ = ... = α_k = 0 प्राप्त हो; अन्यथा वे आश्रित (dependent) हैं।

भाव: स्वतंत्र सदिशों में कोई अनावश्यक सूचना नहीं होती: उनमें से कोई भी शेष से नहीं बनाया जा सकता। ज्यामितीय रूप से, ℝ³ के दो सदिश ठीक तब आश्रित हैं जब वे 0 से जाने वाली एक रेखा पर हों, और तीन ठीक तब जब वे 0 से जाने वाले एक समतल में हों।

0 को समाहित करने वाला प्रत्येक समुच्चय आश्रित है; अशून्य सदिशों का क्रमित समुच्चय आश्रित है यदि और केवल यदि कोई सदिश अपने पूर्ववर्ती सदिशों का रैखिक संयोजन हो।

Fⁿ में परीक्षण: सदिशों को आव्यूह की पंक्तियों के रूप में रखकर सोपानक रूप (echelon form) में समानीत करें; वे स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि कोटि (rank) सदिशों की संख्या के बराबर हो (Fⁿ में n सदिशों के लिए, यदि और केवल यदि सारणिक अशून्य हो)।

विस्तृति सदस्यता परीक्षण: v ∈ L{v₁, ..., v_k} यदि और केवल यदि निकाय x₁v₁ + ... + x_kv_k = v संगत है, अर्थात यदि और केवल यदि स्तंभों v₁, ..., v_k वाले आव्यूह की कोटि स्तंभों v₁, ..., v_k, v वाले आव्यूह की कोटि के बराबर है।

स्पष्ट निर्भरता संबंध ज्ञात करने के लिए c₁v₁ + ... + c_kv_k = 0 हल करें; समानीत निकाय के मुक्त चर संबंध देते हैं।

7. आधार और विमा को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हमें निर्देशांक चाहिए, अर्थात V के प्रत्येक सदिश को संख्याओं की एक सूची से वर्णित करने का तरीका, जिसमें प्रत्येक सदिश के लिए ठीक एक सूची हो।

जनक समुच्चय सुनिश्चित करता है कि सूची मौजूद है; स्वतंत्रता सुनिश्चित करती है कि वह अद्वितीय है। दोनों गुणों वाला समुच्चय आधार (basis) है।

शब्दों में: 'आधार' = स्वतंत्र + जनक। 'क्रमित आधार' = निश्चित क्रम वाला आधार, ताकि i-वें निर्देशांक का अर्थ हो।

'विमा (dimension)' = आधार में सदिशों की संख्या। इसका अर्थ केवल इसलिए है कि एक ही समष्टि के प्रत्येक आधार में सदिशों की संख्या समान होती है (निश्चरता प्रमेय)।

'परिमिततः जनित' = किसी परिमित समुच्चय द्वारा जनित; केवल ऐसी समष्टियों की विमा परिमित होती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: W = {(x, y, z, w) ∈ ℝ⁴: x + y − z = 0, y + 2w = 0} का आधार और विमा ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दो चरों को शेष के पदों में हल करें: y = −2w और x = z − y = z + 2w; z और w मुक्त हैं।

चरण 2: व्यापक सदिश लिखकर मुक्त चरों के अनुसार विभाजित करें: (z + 2w, −2w, z, w) = z(1, 0, 1, 0) + w(2, −2, 0, 1).

चरण 3: जनकता: W का प्रत्येक सदिश इसी रूप का है, अतः (1, 0, 1, 0) और (2, −2, 0, 1), W को जनित करते हैं।

चरण 4: स्वतंत्रता: यदि z(1, 0, 1, 0) + w(2, −2, 0, 1) = 0, तो तीसरा निर्देशांक z = 0 और चौथा w = 0 देता है।

चरण 5: अतः {(1, 0, 1, 0), (2, −2, 0, 1)} आधार है और dim W = 2 = 4 − 2, चार अज्ञात घटा दो स्वतंत्र समीकरण।

चरण 6: निर्देशांक: (3, −2, 1, 1) ∈ W (क्योंकि 3 − 2 − 1 = 0 और −2 + 2 = 0) के लिए z = 1 और w = 1, अतः इसके निर्देशांक (1, 1) हैं; वास्तव में (1, 0, 1, 0) + (2, −2, 0, 1) = (3, −2, 1, 1).

ध्यान दें: मुक्त चर सीधे निर्देशांक दे देते हैं, इसीलिए मुक्त-चर सदिश सदैव हल समष्टि का आधार बनाते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): {(1, 0, 1, 0), (2, −2, 0, 1), (3, −2, 1, 1)}, W को जनित करता है पर आधार नहीं है, क्योंकि तीसरा सदिश पहले दो का योग है (स्वतंत्रता विफल)।

{(1, 0, 1, 0)} स्वतंत्र है पर W का आधार नहीं है, क्योंकि (2, −2, 0, 1) उसका गुणज नहीं है (जनकता विफल)। प्रत्येक समुच्चय दो में से ठीक एक शर्त में विफल है।

आगे बढ़ते हुए: (1) परिमित जनक समुच्चय को छाँटकर आधार बनाया जा सकता है: कोई भी सदिश जो शेष का संयोजन हो, हटा दें; विस्तृति नहीं बदलती, और शेष स्वतंत्र होने पर रुक जाएँ।

(2) स्वतंत्र समुच्चय को, वर्तमान विस्तृति से बाहर के सदिश एक-एक करके जोड़कर (पिछले पाठ की प्रमेयिका), आधार तक बढ़ाया जा सकता है; परिमित-विमीय समष्टि में यह प्रक्रिया रुकती है।

(3) यदि V, m सदिशों से जनित है, तो कोई भी m + 1 सदिश आश्रित हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2)। अतः स्वतंत्र समुच्चय कभी जनक समुच्चय से बड़ा नहीं होता।

(4) आधार दोनों है, अतः दो आधार B₁, B₂ के लिए |B₁| ≤ |B₂| और |B₂| ≤ |B₁|: सभी आधारों का आकार समान है, और विमा सुपरिभाषित है।

(5) फलतः जब dim V = n, तो n स्वतंत्र सदिश पहले से जनित करते हैं और n जनक सदिश पहले से स्वतंत्र हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15); इससे परीक्षा उत्तरों में काम आधा हो जाता है।

कहाँ प्रयोग होता है: योग और सर्वनिष्ठ का विमा सूत्र, कोटि-शून्यता प्रमेय और रैखिक प्रतिचित्रण का आव्यूह, सभी को आधार चाहिए; dim N(A) = n − ρ(A), AX = 0 के मुक्त प्राचलों को गिनता है; और n-कोटि के रैखिक अवकल समीकरण की हल समष्टि n-विमीय होती है।

8. आधार और विमा

आधार (basis) एक रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय है जो V को जनित करता है; क्रमित आधार के सापेक्ष प्रत्येक सदिश के निर्देशांक अद्वितीय होते हैं।

भाव: आधार (basis) एक निर्देशांक पद्धति है। जनन यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक सदिश के निर्देशांक हों और स्वतंत्रता यह कि वे अद्वितीय हों: यदि v = ∑a_iv_i = ∑b_iv_i, तो ∑(a_i − b_i)v_i = 0 से प्रत्येक i के लिए a_i = b_i.

प्रमेय: परिमिततः जनित सदिश समष्टि के सभी आधारों में अवयवों की संख्या समान होती है; यही संख्या dim V, अर्थात विमा (dimension) है।

यह प्रतिस्थापन प्रमेय है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2 में सिद्ध)। भाव: V में कभी भी उतने से अधिक स्वतंत्र सदिश नहीं हो सकते जितने उसे जनित करने के लिए आवश्यक हैं, अतः आधार एक साथ सबसे बड़ा स्वतंत्र समुच्चय और सबसे छोटा जनक समुच्चय है।

यदि dim V = n, तो कोई भी n + 1 सदिश आश्रित होते हैं, कोई भी n स्वतंत्र सदिश आधार बनाते हैं, और कोई भी n जनक सदिश आधार बनाते हैं।

विस्तार प्रमेय: परिमित-विमीय समष्टि का प्रत्येक रैखिकतः स्वतंत्र उपसमुच्चय एक आधार तक विस्तारित किया जा सकता है।

मानक विमाएँ: dim ℝⁿ = n, dim M_m×n = mn, dim P_n = n + 1, वास्तविक सममित n × n आव्यूह n(n + 1)/2, वास्तविक विषम-सममित n × n आव्यूह n(n − 1)/2.

योग की विमा: dim(W₁ + W₂) = dim W₁ + dim W₂ − dim(W₁ ∩ W₂).

भाव: यह उपसमष्टियों के लिए समावेशन-अपवर्जन है, क्योंकि dim W₁ + dim W₂ सर्वनिष्ठ को दो बार गिनता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 3 में सिद्ध)। ℝ³ में 0 से जाने वाले दो समतलों के लिए: 2 + 2 − dim(W₁ ∩ W₂) ≤ 3 से dim(W₁ ∩ W₂) ≥ 1, अतः ऐसे दो समतल सदैव कम से कम एक रेखा साझा करते हैं।

विधि (विस्तृति का आधार और उसका विस्तार): (1) सदिशों को पंक्तियों में लिखकर सोपानक रूप में समानीत करें; (2) शून्येतर पंक्तियाँ विस्तृति का आधार हैं; (3) इसे Fⁿ के आधार तक बढ़ाने के लिए उन स्तंभों j के एकक सदिश e_j जोड़ें जिनमें कोई धुरी नहीं है।

एक ही उपसमष्टि के दो भिन्न आधार आसानी से बनते हैं: यदि {u, v} आधार है, तो {u + v, u − v} भी आधार है (यदि क्षेत्र की अभिलाक्षणिकता 2 न हो), या कोई भी {au + bv, cu + dv} जहाँ ad − bc ≠ 0.

9. व्युत्पत्ति: मानक आव्यूह समष्टियों की विमाएँ

सममित आव्यूह: A = A^T अपनी विकर्ण पर और उसके ऊपर की प्रविष्टियों से निर्धारित है, और ये स्वतंत्र रूप से चुनी जा सकती हैं। आधार E_ii (n आव्यूह) तथा i < j के लिए E_ij + E_ji (n(n − 1)/2 आव्यूह) है, अतः विमा (dimension) n + n(n − 1)/2 = n(n + 1)/2 है।

विषम-सममित आव्यूह: a_ii = −a_ii से विकर्ण शून्य होता है, और विकर्ण के ऊपर की प्रविष्टियाँ स्वतंत्र हैं; i < j के लिए E_ij − E_ji आधार है, अतः विमा n(n − 1)/2 है। जाँच: M_n = (सममित) ⊕ (विषम-सममित), क्योंकि A = (A + A^T)/2 + (A − A^T)/2 अद्वितीय रूप से, और n(n + 1)/2 + n(n − 1)/2 = n².

आच्छादक फलनकों की अष्टियाँ: M_n से F पर आच्छादक अनुरेख प्रतिचित्रण A ↦ tr A की कोटि 1 है, अतः शून्य-अनुरेख आव्यूह n² − 1 विमा की उपसमष्टि बनाते हैं; इसी प्रकार {p ∈ P_n: p(1) = 0}, p ↦ p(1) की अष्टि (kernel) है और उसकी विमा (n + 1) − 1 = n है, आधार x − 1, x² − 1, ..., xⁿ − 1.

AX = 0 के मुक्त-चर सदिश आधार क्यों बनाते हैं: प्रत्येक मूल हल में अपने मुक्त चर के स्थान पर 1 और अन्य मुक्त चरों के स्थानों पर 0 होता है। अतः उनका कोई शून्य संयोजन हो तो प्रत्येक गुणांक 0 होगा (स्वतंत्रता), और कोई भी हल उस संयोजन के बराबर है जिसके गुणांक उसके अपने मुक्त-चर मान हैं (जनन), अतः dim N(A) = मुक्त चरों की संख्या = n − ρ(A).

10. विधि का चयन

यदि पूछा जाए कि W उपसमष्टि है या नहीं → पहले 0 ∈ W जाँचें; फिर αu + βv ∈ W परखें, या W को किसी रैखिक प्रतिचित्रण की अष्टि अथवा किसी समुच्चय की विस्तृति के रूप में पहचानें, जो सदैव उपसमष्टियाँ होती हैं।

यदि W किसी अरैखिक प्रतिबंध से परिभाषित हो (x² = y², xy ≥ 0, det A = 0, अचर पद वाला प्रतिबंध) → संवृतता का प्रतिउदाहरण खोजें; ऐसे समुच्चय प्रायः उपसमष्टि नहीं होते।

यदि सदिश संख्यात्मक स्तंभ हों → सोपानक रूप (कोटि) स्वतंत्रता, विस्तृति सदस्यता और आधार तय करता है; यदि वे बहुपद या आव्यूह हों → पहले मानक आधार में निर्देशांक सदिशों पर जाएँ।

यदि dim W₁, dim W₂, dim(W₁ + W₂), dim(W₁ ∩ W₂) में से तीन ज्ञात हों → विमा सूत्र चौथा देता है; W₁ + W₂ का आधार सभी जनकों को साथ लेकर सोपानक रूप से मिलता है।

यदि dim V = n ज्ञात हो और ठीक n सदिश हों → केवल स्वतंत्रता (या केवल जनन) सिद्ध करें; दूसरा गुण स्वतः मिलता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15)।

11. सामान्य गलतियाँ

केवल योग के अंतर्गत संवृतता जाँचना: प्रथम चतुर्थांश {(x, y): x, y ≥ 0} योग के अंतर्गत संवृत है पर −1 से गुणन के अंतर्गत नहीं, अतः यह उपसमष्टि नहीं है।

जहाँ W₁ + W₂ अभिप्रेत हो वहाँ W₁ ∪ W₂ लिखना; सम्मिलन सामान्यतः उपसमष्टि नहीं होता।

सोपानक रूप के स्तंभों से स्तंभ समष्टि का आधार पढ़ना; पंक्ति संक्रियाएँ स्तंभ बदल देती हैं, अतः मूल आव्यूह के कीलक (pivot) स्तंभ लें (सोपानक रूप की शून्येतर पंक्तियाँ पंक्ति समष्टि का आधार हैं)।

क्षेत्र भूल जाना: {1, i}, ℝ पर स्वतंत्र है पर ℂ पर आश्रित, क्योंकि i·1 + (−1)·i = 0.

स्वतंत्रता जाँचे बिना जनक समुच्चय को आधार कहना, या dim P_n = n + 1 के स्थान पर n लिखना।

पहले W₁ ∩ W₂ = {0} दिखाए बिना dim(W₁ + W₂) = dim W₁ + dim W₂ लिखना।

12. संबंध

संबंध: n-कोटि के समघात रैखिक अवकल समीकरण (differential equation) के हल n-विमीय सदिश समष्टि बनाते हैं, अतः n स्वतंत्र हल (रॉन्स्कियन से परखे गए) व्यापक हल देते हैं (साधारण अवकल समीकरण)।

संबंध: सदिश समष्टि एक आबेली समूह है जिस पर एक क्षेत्र क्रिया करता है, अतः अमूर्त बीजगणित के उपसमूह और सहसमुच्चय के विचार यहाँ उपसमष्टि और विभाग समष्टि V/W के रूप में लौटते हैं।

संबंध: शून्य समष्टि N(A) समघात निकाय AX = 0 का हल समुच्चय है (रैखिक समीकरण निकाय), और आइगेन समष्टि शून्य समष्टि N(A − λI) है (आइगेन मान)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: क्या (1, 2, 1), (2, 1, 0), (1, −1, 2), ℝ³ का आधार बनाते हैं?

इन पंक्तियों वाले आव्यूह का सारणिक 1(2 − 0) − 2(4 − 0) + 1(−2 − 1) = 2 − 8 − 3 = −9 ≠ 0 है, अतः सदिश स्वतंत्र हैं; 3-विमीय समष्टि में तीन स्वतंत्र सदिश आधार बनाते हैं।

उदाहरण 2: मान लें W₁ = {(x, y, z): x + y + z = 0} और W₂ = {(x, y, z): x = y = z}. सिद्ध करें कि ℝ³ = W₁ ⊕ W₂.

dim W₁ = 2 (आधार (1, −1, 0), (1, 0, −1)) और dim W₂ = 1 (आधार (1, 1, 1))। यदि (a, a, a) ∈ W₁ तो 3a = 0, अतः W₁ ∩ W₂ = {0}.

अतः dim(W₁ + W₂) = 2 + 1 − 0 = 3, इसलिए W₁ + W₂ = ℝ³ और योग प्रत्यक्ष है।

उदाहरण 3: L{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 0, 1)} की विमा ज्ञात करें।

(2, 4, 6) = 2(1, 2, 3), और (1, 0, 1), (1, 2, 3) का गुणज नहीं है, अतः {(1, 2, 3), (1, 0, 1)} विस्तृति का आधार है और विमा 2 है।

उदाहरण 4: सिद्ध या असिद्ध करें: किसी सदिश समष्टि की दो उपसमष्टियों का सम्मिलन (union) उपसमष्टि होता है।

सामान्यतः असत्य। ℝ² में W₁ = x-अक्ष और W₂ = y-अक्ष लें; (1, 0) ∈ W₁ और (0, 1) ∈ W₂, परंतु (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) किसी में नहीं है, अतः W₁ ∪ W₂ योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।

सही कथन: W₁ ∪ W₂ उपसमष्टि है यदि और केवल यदि W₁ ⊆ W₂ या W₂ ⊆ W₁ (मानक उपपत्तियों में सिद्ध)।

उदाहरण 5: ℝ⁴ में W₁ = L{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)} और W₂ = L{(0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}. dim(W₁ + W₂) और W₁ ∩ W₂ का आधार ज्ञात करें।

सदिशों को v₁, v₂, v₃, v₄ कहें। प्रत्येक युग्म स्वतंत्र है, अतः dim W₁ = dim W₂ = 2. v₁, v₂, v₃ स्वतंत्र हैं (सोपानक रूप), और v₁ − v₂ + v₃ − v₄ = 0.

अतः dim(W₁ + W₂) = 3 और dim(W₁ ∩ W₂) = 2 + 2 − 3 = 1. संबंध से v₁ − v₂ = v₄ − v₃ = (1, 0, −1, 0), जो दोनों में है, अतः W₁ ∩ W₂ = L{(1, 0, −1, 0)}.

उदाहरण 6: सिद्ध करें कि {1, x − 1, (x − 1)²}, P₂ का आधार है और इसमें p(x) = 2 + 3x + x² के निर्देशांक ज्ञात करें।

तीनों बहुपदों की घातें 0, 1, 2 भिन्न हैं, अतः a(1) + b(x − 1) + c(x − 1)² = 0 से क्रमशः c = 0, b = 0, a = 0; 3-विमीय P₂ में तीन स्वतंत्र सदिश आधार बनाते हैं।

t = x − 1 रखें: p = 2 + 3(t + 1) + (t + 1)² = 6 + 5t + t². निर्देशांक (6, 5, 1) हैं, जो p(1), p′(1), p″(1)/2 हैं (1 के परितः टेलर प्रसार)।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): एक सदिश R³ में ज्ञात कीजिए, जो कि V तथा W के प्रतिच्छेद का जनक है, जहाँ कि V एक xy समतल है तथा W सदिश (1, 2, 3) तथा सदिश (1, −1, 1) के द्वारा जनित किया गया आकाश (स्पेस) है।

V = {(x, y, 0)}. W का सदिश a(1, 2, 3) + b(1, −1, 1) = (a + b, 2a − b, 3a + b) है; यह V में है यदि और केवल यदि 3a + b = 0, अर्थात b = −3a.

तब सदिश (a − 3a, 2a + 3a, 0) = a(−2, 5, 0) है। अतः V ∩ W = L{(−2, 5, 0)}, एक रेखा; जाँच: dim(V + W) = 2 + 2 − 1 = 3, और वास्तव में V + W में xy-समतल और (1, 2, 3) दोनों हैं।

उत्तर: (−2, 5, 0), या इसका कोई शून्येतर गुणज, V ∩ W का जनक है।

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 15 अंक): मान लीजिए कि V और W निम्न उपसमष्टियाँ हैं R⁴ की:
V = {(a, b, c, d) : b − 2c + d = 0} और
W = {(a, b, c, d) : a = d, b = 2c}.
(i) V, (ii) W, (iii) V ∩ W का एक आधार और विस्तार ज्ञात कीजिए।

(i) V: b = 2c − d, जहाँ a, c, d मुक्त हैं, अतः (a, b, c, d) = a(1, 0, 0, 0) + c(0, 2, 1, 0) + d(0, −1, 0, 1). ये तीनों सदिश स्वतंत्र हैं (पहले, तीसरे और चौथे निर्देशांक देखें), अतः dim V = 3.

(ii) W: a = d और b = 2c, जहाँ c, d मुक्त हैं, अतः (a, b, c, d) = c(0, 2, 1, 0) + d(1, 0, 0, 1); ये स्वतंत्र हैं और dim W = 2.

(iii) V ∩ W: a = d, b = 2c को b − 2c + d = 0 में रखने पर d = 0, अतः a = 0. अतः V ∩ W = {(0, 2c, c, 0)} = L{(0, 2, 1, 0)}, जिसकी विमा 1 है।

जाँच: dim(V + W) = 3 + 2 − 1 = 4, अतः V + W = ℝ⁴; यह इससे मेल खाता है कि (1, 0, 0, 1) ∈ W, V में नहीं है।

उत्तर: dim V = 3, आधार {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, −1, 0, 1)}; dim W = 2, आधार {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}; dim(V ∩ W) = 1, आधार {(0, 2, 1, 0)}.

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 10 अंक): मान लीजिए कि U व W सदिश समष्टि V के चार सुस्पष्ट विमीय उप-आकाश जहाँ पर विमा V = 6। उप-आकाश (U ∩ W) की सम्भावित विमाएँ ज्ञात कीजिए।

U ⊆ U + W ⊆ V, अतः 4 ≤ dim(U + W) ≤ 6. यदि dim(U + W) = 4, तो U + W = U (समान परिमित विमा की उपसमष्टि), और इसी प्रकार U + W = W, अतः U = W, जो वर्जित है। अतः dim(U + W) = 5 या 6.

dim(U ∩ W) = dim U + dim W − dim(U + W) = 8 − dim(U + W) = 3 या 2.

दोनों मान संभव हैं: ℝ⁶ में U = L{e₁, e₂, e₃, e₄} और W = L{e₁, e₂, e₃, e₅} (सर्वनिष्ठ की विमा 3) या W = L{e₁, e₂, e₅, e₆} (सर्वनिष्ठ की विमा 2) लें।

उत्तर: dim(U ∩ W) = 2 या 3.

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 10 अंक): माना समुच्चय V में सभी n × n के वास्तविक मैजिक वर्ग हैं। दिखाइए कि समुच्चय V, R पर एक सदिश समष्टि है। दो भिन्न-भिन्न 2 × 2 मैजिक वर्ग के उदाहरण दीजिए।

n × n वास्तविक आव्यूह जादुई वर्ग है यदि उसके सभी पंक्ति-योग, स्तंभ-योग और दोनों विकर्ण-योग समान हों। V ⊆ M_n(ℝ), जो एक सदिश समष्टि है, अतः उपसमष्टि परीक्षण लगाना पर्याप्त है।

शून्य आव्यूह जादुई वर्ग है (सभी योग 0), अतः V ≠ ∅. यदि A, B ∈ V के उभयनिष्ठ योग s और t हैं, तो αA + βB का प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण योग αs + βt है, क्योंकि प्रत्येक ऐसा योग प्रविष्टियों का रैखिक फलन है।

अतः सभी α, β ∈ ℝ के लिए αA + βB ∈ V: V, M_n(ℝ) की उपसमष्टि है और इसलिए ℝ पर सदिश समष्टि है।

n = 2 के लिए [[a, b], [c, d]] में a + b = c + d = a + c = b + d = a + d = b + c चाहिए। तब a + b = a + c से b = c, a + b = b + d से a = d, और a + d = b + c से a = b; अतः प्रत्येक 2 × 2 जादुई वर्ग [[1, 1], [1, 1]] का गुणज है।

उत्तर: V, M_n(ℝ) की उपसमष्टि है, अतः सदिश समष्टि है; दो भिन्न 2 × 2 जादुई वर्ग [[1, 1], [1, 1]] और [[2, 2], [2, 2]] हैं (n = 2 के लिए समष्टि एक-विमीय है)।

उदाहरण 11 (UPSC 2023, 10 अंक): मान लीजिए V₁ = (2, −1, 3, 2), V₂ = (−1, 1, 1, −3), V₃ = (1, 1, 9, −5) समष्टि ℝ⁴ के तीन सदिश हैं। क्या (3, −1, 0, −1) ∈ विस्तृति {V₁, V₂, V₃}? अपने उत्तर को तर्कसहित सिद्ध कीजिए।

v = (3, −1, 0, −1) ∈ विस्तृति ⇔ xV₁ + yV₂ + zV₃ = v संगत है। स्तंभों V₁, V₂, V₃ | v वाले संवर्धित आव्यूह की पंक्तियाँ (2, −1, 1 | 3), (−1, 1, 1 | −1), (3, 1, 9 | 0), (2, −3, −5 | −1) हैं।

R₁ ↔ R₂, फिर R₂ + 2R₁, R₃ + 3R₁, R₄ + 2R₁ से (−1, 1, 1 | −1), (0, 1, 3 | 1), (0, 4, 12 | −3), (0, −1, −3 | −3) मिलते हैं।

R₃ − 4R₂ और R₄ + R₂ से (0, 0, 0 | −7) और (0, 0, 0 | −2) मिलते हैं। अतः गुणांक आव्यूह की कोटि 2 पर संवर्धित आव्यूह की कोटि 3 है, और निकाय असंगत है।

(वास्तव में V₃ = 2V₁ + 3V₂, अतः विस्तृति समतल L{V₁, V₂} है, जिसमें v नहीं है।)

उत्तर: नहीं: (3, −1, 0, −1) ∉ span{V₁, V₂, V₃}.

उदाहरण 12 (UPSC 2026, 15 अंक): क्षेत्र ℝ पर एक सदिश समष्टि के रूप में P₃[x] = {a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ | a₀, a₁, a₂, a₃ ∈ ℝ} दिया गया है।
(i) माना H = {p(x) ∈ P₃[x] | ∫₋₁¹ p(x) dx = 0} है। सिद्ध कीजिए कि H, P₃[x] की एक उपसमष्टि है तथा H का एक आधार ज्ञात कीजिए।
(ii) P₃[x] की एक उपसमष्टि K ज्ञात कीजिए, जिसके लिए P₃[x] = H ⊕ K है। (8 + 7 = 15)

(i) p = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ के लिए φ(p) = ∫₋₁¹ p dx = 2a₀ + (2/3)a₂, क्योंकि विषम घातों का समाकल 0 है। φ रैखिक है, अतः H = ker φ उपसमष्टि है (सीधे: 0 ∈ H, और p, q ∈ H के लिए ∫(αp + βq) dx = α∫p dx + β∫q dx = 0)।

p ∈ H ⇔ a₂ = −3a₀, अतः p = a₀(1 − 3x²) + a₁x + a₃x³. बहुपद 1 − 3x², x, x³, H में हैं, उसे विस्तृत करते हैं और स्वतंत्र हैं, अतः आधार बनाते हैं और dim H = 3.

(ii) K = L{1}, अर्थात अचर बहुपद लें। φ(c) = 2c = 0 केवल c = 0 के लिए, अतः H ∩ K = {0}; और dim H + dim K = 3 + 1 = 4 = dim P₃[x], अतः H + K = P₃[x].

स्पष्टतः p = (p − φ(p)/2) + φ(p)/2, जहाँ पहला भाग H में है (उसका समाकल φ(p) − φ(p) = 0) और दूसरा अचर है।

उत्तर: H उपसमष्टि है जिसका आधार {1 − 3x², x, x³} है (विमा 3); K = L{1} से P₃[x] = H ⊕ K.

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): क्या W = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x = 2y, z = 0}, ℝ³ की उपसमष्टि है? यदि हाँ, तो आधार दीजिए।

उत्तर: हाँ; यह दो समघात रैखिक समीकरणों का हल समुच्चय है। W = L{(2, 1, 0)}, 0 से जाने वाली रेखा, अतः dim W = 1.

अभ्यास 2 (मूल): क्या {(x, y) ∈ ℝ²: x² = y²}, ℝ² की उपसमष्टि है?

उत्तर: नहीं। (1, 1) और (1, −1) इसमें हैं, पर उनके योग (2, 0) के लिए x² = 4 ≠ 0 = y²; यह समुच्चय रेखाओं y = x और y = −x का सम्मिलन है।

अभ्यास 3 (मूल): क्या (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), ℝ पर रैखिकतः स्वतंत्र हैं? क्या वे ℝ³ का आधार बनाते हैं?

उत्तर: इन पंक्तियों वाला सारणिक 2 ≠ 0 है, अतः वे स्वतंत्र हैं, और ℝ³ में तीन स्वतंत्र सदिश आधार बनाते हैं।

अभ्यास 4 (मानक): L{(1, 2, 0, 1), (2, 1, 3, 0), (3, 3, 3, 1), (1, −1, 3, −1)} का आधार और विमा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीसरा सदिश पहले दो का योग और चौथा उनका अंतर (दूसरा घटा पहला) है, और पहले दो समानुपाती नहीं हैं। आधार {(1, 2, 0, 1), (2, 1, 3, 0)}, विमा 2.

अभ्यास 5 (मानक): किन वास्तविक k के लिए (1, 1, k), (1, k, 1), (k, 1, 1) रैखिकतः आश्रित हैं?

उत्तर: सारणिक −(k − 1)²(k + 2) है, अतः वे ठीक k = 1 और k = −2 के लिए आश्रित हैं।

अभ्यास 6 (मानक): मान लें W = {p ∈ P₃: p(1) = p(−1) = 0}. दिखाइए कि W उपसमष्टि है और आधार तथा dim W ज्ञात कीजिए।

उत्तर: W रैखिक प्रतिचित्रण p ↦ (p(1), p(−1)) की अष्टि है। प्रत्येक p ∈ W, (x² − 1)(a + bx) है, अतः {x² − 1, x³ − x} आधार है और dim W = 2.

अभ्यास 7 (मानक): {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)} को ℝ⁴ के आधार तक विस्तारित कीजिए।

उत्तर: कीलक स्तंभ 1 और 2 में हैं, अतः e₃ = (0, 0, 1, 0) और e₄ = (0, 0, 0, 1) जोड़ें; चारों पंक्तियाँ सारणिक 1 वाला उपरि त्रिभुजाकार आव्यूह बनाती हैं।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): ℝ⁴ में W₁ = {(x, y, z, w): x + y + z + w = 0} और W₂ = {(x, y, z, w): x = y, z = w}. W₁, W₂, W₁ ∩ W₂ और W₁ + W₂ के आधार और विमाएँ ज्ञात कीजिए। क्या योग प्रत्यक्ष है?

उत्तर: dim W₁ = 3 (आधार (1, −1, 0, 0), (1, 0, −1, 0), (1, 0, 0, −1)); dim W₂ = 2 (आधार (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)); W₁ ∩ W₂ = L{(1, 1, −1, −1)}, विमा 1; अतः dim(W₁ + W₂) = 3 + 2 − 1 = 4 और W₁ + W₂ = ℝ⁴. योग प्रत्यक्ष नहीं है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): मान लें B = [[1, 1], [0, 1]] और W = {A ∈ M₂(ℝ): AB = BA}. दिखाइए कि W, M₂(ℝ) की उपसमष्टि है और आधार तथा विमा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: W रैखिक प्रतिचित्रण A ↦ AB − BA की अष्टि है। A = [[a, b], [c, d]] के लिए AB = BA से c = 0 और a = d, अतः W = {[[a, b], [0, a]]}, आधार I, [[0, 1], [0, 0]] और dim W = 2.

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): W₁, W₂, ℝ⁵ की उपसमष्टियाँ हैं जिनमें dim W₁ = 3 और dim W₂ = 4. सिद्ध कीजिए कि dim(W₁ ∩ W₂) ≥ 2 और ऐसे दृष्टांत दीजिए जहाँ यह 2 और 3 हो।

उत्तर: dim(W₁ + W₂) ≤ 5 से dim(W₁ ∩ W₂) ≥ 3 + 4 − 5 = 2. W₂ = L{e₁, e₂, e₃, e₄} लें; W₁ = L{e₁, e₂, e₅} से 2 और W₁ = L{e₁, e₂, e₃} से 3 मिलता है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): मान लें W = L{(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} ⊆ ℝ⁴. dim(ℝ⁴/W) और विभाग समष्टि (quotient space) का आधार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dim(ℝ⁴/W) = 4 − 2 = 2. W का आधार e₃, e₄ से विस्तारित होता है (चारों सदिश सारणिक 1 वाला उपरि त्रिभुजाकार आव्यूह बनाते हैं), अतः {e₃ + W, e₄ + W}, ℝ⁴/W का आधार है।

1. रैखिक रूपांतरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सदिश समष्टियाँ मिल जाने पर हमें उनके बीच ऐसे प्रतिचित्रण चाहिए जो उनकी संरचना का सम्मान करें, ताकि किसी संयोजन का प्रतिबिंब प्रतिबिंबों का वही संयोजन हो।

ऐसे प्रतिचित्रण एक समष्टि के प्रश्न को दूसरी समष्टि के सरल प्रश्न में बदल देते हैं। आव्यूह से गुणन, d/dx, समाकलन, घूर्णन और प्रक्षेप सभी इसी प्रकार के हैं।

शब्दों में: 'T: U → V' एक नियम है जो प्रत्येक u ∈ U को एक सदिश T(u) ∈ V देता है; U और V एक ही क्षेत्र F पर हैं, अतः अदिश α का दोनों ओर समान अर्थ है।

'T(αu + βv) = αT(u) + βT(v)' का अर्थ है: पहले संयोजन करके फिर T लगाना वही परिणाम देता है जो पहले T लगाकर फिर संयोजन करना।

यह एक शर्त दो शर्तों के तुल्य है: योगात्मकता T(u + v) = T(u) + T(v) (α = β = 1 लें) और समघातता T(αu) = αT(u) (β = 0 लें)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: दिखाइए कि ℝ² से ℝ³ में T(x, y) = (2x − y, x + 3y, y) रैखिक है।

चरण 1: मान लें u = (x₁, y₁) और v = (x₂, y₂); तब αu + βv = (αx₁ + βx₂, αy₁ + βy₂).

चरण 2: T(αu + βv) का पहला निर्देशांक 2(αx₁ + βx₂) − (αy₁ + βy₂) = α(2x₁ − y₁) + β(2x₂ − y₂) है।

चरण 3: इसी प्रकार दूसरा निर्देशांक α(x₁ + 3y₁) + β(x₂ + 3y₂) और तीसरा αy₁ + βy₂ है।

चरण 4: ये तीनों निर्देशांक α(2x₁ − y₁, x₁ + 3y₁, y₁) + β(2x₂ − y₂, x₂ + 3y₂, y₂) = αT(u) + βT(v) के हैं, अतः T रैखिक है।

ध्यान दें: चरण 2 का पुनः समूहन इसलिए काम करता है कि प्रत्येक निर्देशांक x, y में एक रैखिक व्यंजक है जिसमें न अचर पद है न चरों का गुणनफल। इसके आव्यूह के स्तंभ प्रतिबिंब T(e₁) = (2, 1, 0) और T(e₂) = (−1, 3, 1) हैं।

अ-उदाहरण (non-example): S(x, y) = (x + y, xy) के लिए S(0) = 0, फिर भी S(1, 1) = (2, 1) जबकि S(2, 2) = (4, 4) ≠ 2S(1, 1) = (4, 2). गुणनफल xy के कारण समघातता विफल है।

अतः T(0) = 0 आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं; उपपत्ति के लिए T(αu + βv) = αT(u) + βT(v) की पूरी जाँच सदैव आवश्यक है।

आगे बढ़ते हुए: पदों की संख्या पर आगमन से T(α₁u₁ + ... + α_nu_n) = α₁T(u₁) + ... + α_nT(u_n).

अतः आधार पर ज्ञात होते ही T सर्वत्र ज्ञात है, और आधार सदिशों के प्रतिबिंबों का कोई भी चयन ठीक एक रैखिक प्रतिचित्रण परिभाषित करता है (नीचे 'यह क्यों काम करता है' देखें)।

रैखिक प्रतिचित्रणों का संयोजन रैखिक है: S(T(αu + βv)) = S(αTu + βTv) = αS(Tu) + βS(Tv).

द्विएकैकी रैखिक प्रतिचित्रण का प्रतिलोम रैखिक है: यदि Tu = v और Tu′ = v′, तो T(αu + βu′) = αv + βv′, अतः T⁻¹(αv + βv′) = αT⁻¹v + βT⁻¹v′.

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक आव्यूह A रैखिक प्रतिचित्रण X ↦ AX देता है; रैखिक अवकल समीकरण का अवकल संकारक रैखिक है, इसीलिए हल अध्यारोपित होते हैं; और कलन में अनेक चरों के फलन का अवकलज एक रैखिक प्रतिचित्रण है।

2. रैखिक रूपांतरण

परिभाषा: T: U → V (U, V एक ही क्षेत्र F पर सदिश समष्टियाँ) रैखिक (linear) है यदि सभी u, v ∈ U और α, β ∈ F के लिए T(αu + βv) = αT(u) + βT(v).

भाव: रैखिक प्रतिचित्रण दोनों संक्रियाओं का सम्मान करता है, अतः यह 0 से जाने वाली रेखाओं को 0 से जाने वाली रेखाओं (या केवल बिंदु 0) पर और समांतर चतुर्भुजों को समांतर चतुर्भुजों पर भेजता है। घूर्णन, परावर्तन, प्रक्षेप, P_n पर d/dx, ∫₀^x और A ↦ A^T रैखिक हैं; x ↦ x², स्थानांतरण और A ↦ det A रैखिक नहीं हैं।

परिणाम: T(0) = 0 और T(−u) = −T(u); T(0) ≠ 0 वाला प्रतिचित्रण, जैसे T(x, y) = (x + 1, y), रैखिक नहीं है।

रैखिक प्रतिचित्रण आधार पर अपने मानों से पूर्णतः निर्धारित होता है: U का आधार {u₁, ..., u_n} और V में कोई भी सदिश v₁, ..., v_n दिए हों, तो T(u_i) = v_i वाला ठीक एक रैखिक T होता है।

यह क्यों काम करता है: प्रत्येक u ∈ U अद्वितीय रूप से u = ∑α_iu_i है, अतः T(u) = ∑α_iv_i सुपरिभाषित और रैखिक है; T(u_i) = v_i वाला कोई भी रैखिक प्रतिचित्रण रैखिकता से यही मान लेगा, जिससे अद्वितीयता मिलती है।

3. अष्टि, परिसर और कोटि-शून्यता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी भी प्रतिचित्रण के बारे में दो मूल प्रश्न पूछे जा सकते हैं: कौन-से निवेश खो जाते हैं (0 पर भेजे जाते हैं), और कौन-से निर्गत वास्तव में प्राप्त होते हैं?

T(X) = AX के लिए ये प्रश्न हैं 'कौन-से X, AX = 0 को संतुष्ट करते हैं?' और 'किन b के लिए AX = b हल योग्य है?', जो रैखिक निकायों के दो केंद्रीय प्रश्न हैं।

शब्दों में: अष्टि (kernel) N(T) उन सभी u का समुच्चय है जिनके लिए T(u) = 0: जो T नष्ट करता है। परिसर (range) R(T) सभी निर्गतों T(u) का समुच्चय है: जो T उत्पन्न करता है।

शून्यता (nullity) dim N(T) है, खोई गई स्वतंत्र दिशाओं की संख्या; कोटि (rank) dim R(T) है, उत्पन्न स्वतंत्र दिशाओं की संख्या।

कोटि-शून्यता, ρ(T) + ν(T) = dim U, कहता है कि प्रांत की विमाएँ 'खोई' और 'रखी' के बीच बँटती हैं; ध्यान दें कि यह प्रांत को गिनता है, सहप्रांत को नहीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: T: ℝ³ → ℝ², T(x, y, z) = (x − y, y − z).

चरण 1: अष्टि: T(x, y, z) = 0 का अर्थ है x − y = 0 और y − z = 0, अतः x = y = z. अतः N(T) = L{(1, 1, 1)} और ν(T) = 1.

चरण 2: परिसर: R(T), T(e₁) = (1, 0), T(e₂) = (−1, 1) और T(e₃) = (0, −1) से जनित है। पहले दो स्वतंत्र हैं, अतः R(T) = ℝ² और ρ(T) = 2.

चरण 3: जाँच: ρ + ν = 2 + 1 = 3 = dim ℝ³.

चरण 4: व्याख्या: T रेखा x = y = z को 0 पर चपटा कर देता है और शेष दो विमाएँ ℝ² को भर देती हैं। उदाहरणार्थ (p, q), T(p + q, q, 0) = (p + q − q, q − 0) = (p, q) से प्राप्त होता है।

ध्यान दें: अष्टि ज्ञात करने के लिए आप समीकरण हल करते हैं; परिसर ज्ञात करने के लिए आधार के प्रतिबिंब देखते हैं। ये दो भिन्न गणनाएँ हैं।

अ-उदाहरण (non-example): ℝ² से ℝ³ में T(x, y) = (x, y, 0) के लिए कोटि 2 + शून्यता 0 = 2 = dim ℝ², न कि 3 = dim ℝ³. यहाँ कोटि-शून्यता में सहप्रांत लेना वह शर्त है जो विफल होती है।

साथ ही, आव्यूह प्रतिचित्रण की अष्टि 'A की शून्य पंक्तियाँ' नहीं है: [[1, 1], [1, 1]] में कोई शून्य पंक्ति नहीं है, फिर भी उसकी अष्टि L{(1, −1)} है।

आगे बढ़ते हुए: उपपत्ति (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 4) तीन चरणों में चलती है। पहले N(T) का आधार u₁, ..., u_k लेकर उसे v₁, ..., v_r द्वारा U के आधार तक बढ़ाएँ।

दूसरा, Tv₁, ..., Tv_r, R(T) को जनित करते हैं, क्योंकि अष्टि सदिशों का योगदान T(u_i) = 0 है।

तीसरा, वे स्वतंत्र हैं: संबंध ∑c_jTv_j = 0 से ∑c_jv_j अष्टि में आ जाता है, जो तभी संभव है जब प्रत्येक c_j = 0. अतः ρ(T) = r = dim U − k.

परिणाम: T ठीक तब एकैकी है जब N(T) = {0}; जब dim U = dim V, तो एकैकी ⇔ आच्छादक; ℝ³ → ℝ² प्रतिचित्रण कभी एकैकी नहीं और ℝ² → ℝ³ प्रतिचित्रण कभी आच्छादक नहीं होता।

कहाँ प्रयोग होता है: AX = 0 की हल समष्टि की विमा n − ρ(A) है (रैखिक समीकरण निकाय); λ की आइगेन समष्टि N(A − λI) है (आइगेन मान); और प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय U/N(T) ≅ R(T), कोटि-शून्यता का बीजीय रूप है (अमूर्त बीजगणित)।

4. परिसर, अष्टि, कोटि और शून्यता

परिसर (range) R(T) = {T(u): u ∈ U}, V की उपसमष्टि है; कोटि (rank) ρ(T) = dim R(T).

अष्टि (kernel, शून्य समष्टि) N(T) = {u ∈ U: T(u) = 0}, U की उपसमष्टि है; शून्यता (nullity) ν(T) = dim N(T).

भाव: अष्टि (kernel) मापती है कि T क्या नष्ट करता है और परिसर (range) कि T क्या उत्पन्न करता है। प्रक्षेप P(x, y, z) = (x, y, 0) के लिए अष्टि z-अक्ष है और परिसर xy-समतल।

कोटि-शून्यता प्रमेय (सिल्वेस्टर): यदि U परिमित-विमीय है और T: U → V रैखिक है, तो ρ(T) + ν(T) = dim U.

भाव: प्रांत की dim U विमाओं में से प्रत्येक या तो 0 में सिमट जाती है (शून्यता द्वारा गिनी गई) या प्रतिबिंब में बची रहती है (कोटि द्वारा गिनी गई); न कोई खोती है, न कोई बनती है। ऊपर के प्रक्षेप के लिए 2 + 1 = 3. मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 4 में सिद्ध।

T एकैकी है यदि और केवल यदि N(T) = {0}. यदि dim U = dim V परिमित है, तो T एकैकी ⇔ T आच्छादक ⇔ T व्युत्क्रमणीय (non-singular).

यह क्यों काम करता है: T(u) = T(v) ⇔ T(u − v) = 0 ⇔ u − v ∈ N(T). समान परिमित विमाओं के लिए, कोटि-शून्यता से ν = 0 ⇔ ρ = dim U = dim V (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5)।

समान-विमा परिकल्पना हटाई नहीं जा सकती: ℝ² से ℝ³ में (x, y) ↦ (x, y, 0) एकैकी है पर आच्छादक नहीं, और सभी बहुपदों की अनंत-विमीय समष्टि पर d/dx आच्छादक है पर एकैकी नहीं, जबकि p ↦ ∫₀^x p(t) dt एकैकी है पर आच्छादक नहीं।

आधार के प्रतिबिंब T(u₁), ..., T(u_n), R(T) को जनित करते हैं; आश्रित सदिश हटाकर परिसर का आधार प्राप्त करें।

तुल्याकारिता (isomorphism): F पर दो परिमित-विमीय समष्टियाँ तुल्याकारी हैं यदि और केवल यदि उनकी विमा समान हो; F पर प्रत्येक n-विमीय समष्टि Fⁿ के तुल्याकारी है।

भाव: तुल्याकारिता सदिशों का केवल पुनर्नामकरण है। V का क्रमित आधार चुनना एक तुल्याकारिता V → Fⁿ चुनने के समान है (सदिश अपने निर्देशांक स्तंभ पर जाता है), इसीलिए प्रत्येक परिमित-विमीय प्रश्न स्तंभ सदिशों और आव्यूहों से हल किया जा सकता है।

परिसर सदस्यता: T(X) = AX के लिए सदिश b, R(T) में है यदि और केवल यदि AX = b संगत है। b = (a, b, c) को अक्षरों में रखकर [A | b] को समानीत करें; गुणांक भाग की प्रत्येक शून्य पंक्ति a, b, c पर एक रैखिक शर्त देती है।

आधार पर दिए प्रतिबिंब: यदि किसी आधार के लिए T(v₁), ..., T(v_n) ज्ञात हों, तो R(T) = L{T(v_i)}, और प्रत्येक निर्भरता ∑c_iT(v_i) = 0 से अष्टि सदिश ∑c_iv_i मिलता है।

संकारक का प्रतिलोम: परिमित-विमीय V पर T व्युत्क्रमणीय है ⇔ N(T) = {0} ⇔ det[T] ≠ 0; तब [T⁻¹] = [T]⁻¹. व्यवहार में T(x, y, z) = (a, b, c) को a, b, c के पदों में x, y, z के लिए हल करें।

5. रैखिक प्रतिचित्रण के आव्यूह को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: रैखिक प्रतिचित्रण n आधार सदिशों के प्रतिबिंबों से निर्धारित होता है, और प्रत्येक प्रतिबिंब अपने m निर्देशांकों से। अतः mn संख्याएँ T का पूर्ण वर्णन करती हैं।

इन संख्याओं को एक सारणी, T के आव्यूह, में व्यवस्थित करने से T की प्रत्येक गणना आव्यूह अंकगणित बन जाती है, जो यांत्रिक है।

शब्दों में: 'U का क्रमित आधार B = {u₁, ..., u_n} और V का B′ = {v₁, ..., v_m}': क्रम महत्त्वपूर्ण है, क्योंकि निर्देशांक क्रमित सूचियाँ हैं।

'T(u_j) = a_1jv₁ + ... + a_mjv_m': j-वें निवेश आधार सदिश के प्रतिबिंब को निर्गत आधार में प्रसारित करें।

'[T] का स्तंभ j, (a_1j, ..., a_mj) है': T(u_j) के निर्देशांक स्तंभ j में नीचे जाते हैं। अतः [T], m × n है: पंक्तियाँ = dim V (सहप्रांत), स्तंभ = dim U (प्रांत)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: D: P₂ → P₁, D(p) = p′, जहाँ B = {1, x, x²} और B′ = {1, x}.

चरण 1: D(1) = 0 = 0·1 + 0·x, अतः स्तंभ 1, (0, 0) है।

चरण 2: D(x) = 1 = 1·1 + 0·x, अतः स्तंभ 2, (1, 0) है।

चरण 3: D(x²) = 2x = 0·1 + 2·x, अतः स्तंभ 3, (0, 2) है।

चरण 4: [D] = [[0, 1, 0], [0, 0, 2]], एक 2 × 3 आव्यूह (सहप्रांत विमा 2, प्रांत विमा 3)।

चरण 5: परीक्षण करें: p = 3 + 4x + 5x² का निर्देशांक स्तंभ (3, 4, 5) है, और [D](3, 4, 5)^T = (4, 10)^T, जो 4 + 10x = p′ है। आव्यूह वही करता है जो D करता है।

अ-उदाहरण (non-example): प्रतिबिंबों को पंक्तियों में लिखने से [[0, 0], [1, 0], [0, 2]], एक 3 × 2 आव्यूह मिलता है; निर्देशांक स्तंभ (3, 4, 5) से इसका गुणनफल परिभाषित भी नहीं है। 'प्रतिबिंब स्तंभों में' नियम वह शर्त है जो विफल होती है।

B का क्रम {x, 1, x²} करने पर भी आव्यूह बदल जाता है ([[1, 0, 0], [0, 0, 2]] में), अतः क्रमित आधार सदैव लिखा जाना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (1) स्तंभ नियम से [T(u)]_B′ = [T][u]_B, जो नीचे 'यह क्यों काम करता है' में सिद्ध है; (2) इसे दो बार लगाने से [S∘T] = [S][T], इसीलिए आव्यूह गुणन पंक्ति-गुणा-स्तंभ से परिभाषित है।

(3) प्रतिचित्रण T ↦ [T] एक तुल्याकारिता L(U, V) ≅ M_m×n(F) है (नीचे व्युत्पत्ति)। (4) T की कोटि, अष्टि और व्युत्क्रमणीयता [T] से पढ़ी जा सकती है: ρ(T) = ρ([T]), और u ∈ N(T) ⇔ [T][u] = 0.

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC प्रायः अमानक आधारों में [T], या दिए गए आव्यूह से T पूछता है; किसी संकारक के आइगेन मान किसी भी आधार में उसके आव्यूह के आइगेन मान हैं; और विकर्णन का अर्थ ऐसा आधार ढूँढना है जिसमें [T] विकर्ण हो।

6. रैखिक रूपांतरण का आव्यूह

मान लें B = {u₁, ..., u_n}, U का और B′ = {v₁, ..., v_m}, V का क्रमित आधार है। T(u_j) = a_1jv₁ + ... + a_mjv_m लिखें।

m × n आव्यूह (matrix) [T] = [a_ij], B, B′ के सापेक्ष T का आव्यूह है: इसका j-वाँ स्तंभ T(u_j) का निर्देशांक सदिश है।

भाव: याद रखें 'प्रतिबिंब स्तंभों में जाते हैं'। इस परिपाटी से गुणनफल [T][u], T(u) के निर्देशांक देता है, और प्रतिचित्रणों का संयोजन उसी क्रम में आव्यूहों का गुणन बन जाता है।

तब [T(u)]_B′ = [T][u]_B, [S∘T] = [S][T], और T की कोटि [T] की कोटि के बराबर है।

यह क्यों काम करता है: यदि u = ∑_jx_ju_j, तो T(u) = ∑_jx_jT(u_j) = ∑_jx_j∑_ia_ijv_i = ∑_i(∑_ja_ijx_j)v_i, और i-वाँ निर्देशांक ∑_ja_ijx_j, [T][u]_B की i-वीं प्रविष्टि है।

आधार परिवर्तन: यदि P वह संक्रमण आव्यूह है जिसके स्तंभ पुराने आधार में लिखे नए आधार सदिश हैं, तो [T]_new = P⁻¹[T]_oldP; अतः भिन्न आधारों में एक ही संकारक के आव्यूह समरूप (similar) होते हैं।

विधि (T का आव्यूह): (1) प्रांत के प्रत्येक आधार सदिश पर T लगाएँ; (2) रैखिक निकाय हल करके प्रत्येक प्रतिबिंब को सहप्रांत के आधार के संयोजन के रूप में लिखें; (3) गुणांकों को स्तंभों के रूप में लिखें।

रैखिक प्रतिचित्रणों की समष्टि: L(U, V) विमा (dim U)(dim V) की सदिश समष्टि है।

आव्यूहों और बहुपदों की समष्टियाँ: M₂ के मानक आधार E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂ (E_ij में स्थान (i, j) पर 1) और P_n के 1, x, x², ... इसी क्रम में लें; बहुपद के निर्देशांक उसके गुणांक हैं।

M₂ पर बाएँ गुणन प्रतिचित्रण L_M(A) = MA के लिए आव्यूह A अष्टि में है ⇔ A के दोनों स्तंभ N(M) में हैं; अतः nullity L_M = 2·nullity M, rank L_M = 2·rank M और det[L_M] = (det M)².

आव्यूह से T प्राप्त करना: यदि B = {u_j} और B′ = {v_i} के सापेक्ष [T] = [a_ij] है, तो T(u_j) = ∑_i a_ijv_i; मानक आधार सदिशों को u_j के पदों में व्यक्त करें और रैखिकता से व्यापक सदिश पर T ज्ञात करें।

7. आधार परिवर्तन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक ही संकारक का प्रत्येक आधार में भिन्न आव्यूह होता है, और भली-भाँति चुना गया आधार आव्यूह को बहुत सरल, यहाँ तक कि विकर्ण, बना सकता है। हमें आव्यूहों को जोड़ने वाला सटीक नियम चाहिए।

शब्दों में: संक्रमण आव्यूह P के स्तंभ j में j-वें नए आधार सदिश के पुराने निर्देशांक होते हैं।

'[u]_old = P[u]_new': P नए निर्देशांकों को पुराने में बदलता है, और P⁻¹ वापस बदलता है।

'[T]_new = P⁻¹[T]_oldP', दाएँ से बाएँ पढ़ें: नए निर्देशांकों को पुराने में बदलें (P), पुरानी प्रणाली में T लगाएँ ([T]_old), उत्तर को वापस नए निर्देशांकों में बदलें (P⁻¹)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ℝ² पर T(x, y) = (3x + y, x + 3y), नया आधार f₁ = (1, 1), f₂ = (1, −1).

चरण 1: मानक आव्यूह A = [[3, 1], [1, 3]] है।

चरण 2: P के स्तंभ f₁, f₂ हैं: P = [[1, 1], [1, −1]], det P = −2, P⁻¹ = (1/2)[[1, 1], [1, −1]].

चरण 3: AP = [[4, 2], [4, −2]], क्योंकि Af₁ = (4, 4) और Af₂ = (2, −2).

चरण 4: P⁻¹AP = (1/2)[[8, 0], [0, 4]] = [[4, 0], [0, 2]].

चरण 5: सीधे जाँचें: T(f₁) = (4, 4) = 4f₁ + 0f₂ और T(f₂) = (2, −2) = 0f₁ + 2f₂, अतः स्तंभ (4, 0) और (0, 2) हैं, जैसा पाया गया।

ध्यान दें: नए आधार में T केवल f₁ को 4 गुना और f₂ को 2 गुना खींचता है। आइगेन सदिशों का आधार चुनना ठीक वही है जो विकर्णन करता है।

अ-उदाहरण (non-example): वही T और नया आधार f₁ = (1, 0), f₂ = (1, 1) लें, अतः P = [[1, 1], [0, 1]] और P⁻¹ = [[1, −1], [0, 1]].

सही P⁻¹AP = [[2, 0], [1, 4]]: वास्तव में T(f₁) = (3, 1) = 2f₁ + 1f₂ और T(f₂) = (4, 4) = 0f₁ + 4f₂.

उलटा गुणनफल PAP⁻¹ = [[4, 0], [1, 2]] यह दावा करेगा कि T(f₁) = 4f₁ + f₂ = (5, 1), जो असत्य है। P और P⁻¹ का क्रम वह शर्त है जो विफल होती है।

आगे बढ़ते हुए: सूत्र अगले उप-खंड में [u]_old = P[u]_new से व्युत्पन्न है। चूँकि समरूप आव्यूह एक ही संकारक को निरूपित करते हैं, उनकी हर आधार-मुक्त राशि समान होती है: सारणिक, अनुरेख, अभिलक्षणिक बहुपद, आइगेन मान और कोटि (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9 और 17)।

ऊपर के दोनों दृष्टांतों में A, [[4, 0], [0, 2]] और [[2, 0], [1, 4]] के लिए अनुरेख 6 और सारणिक 8 समान हैं; U → V प्रतिचित्रण में दोनों आधार बदलने पर केवल कोटि बचती है, क्योंकि नया आव्यूह Q⁻¹AP है।

कहाँ प्रयोग होता है: विकर्णन A = PDP⁻¹ और Aⁿ की गणना (आइगेन मान); शांकव से xy पद हटाने के लिए अक्षों का घूर्णन (विश्लेषणात्मक ज्यामिति); और यह सिद्ध करना कि दो आव्यूह समरूप हैं या नहीं।

8. व्युत्पत्ति: आधार परिवर्तन सूत्र

मान लें P का j-वाँ स्तंभ, पुराने आधार B में, j-वें नए आधार सदिश के निर्देशांक हैं। तब प्रत्येक सदिश u के लिए [u]_B = P[u]_new, क्योंकि u = ∑y_j(नया सदिश j) और प्रत्येक नए सदिश के पुराने निर्देशांक P के स्तंभ j द्वारा दिए गए हैं।

इसे T(u) पर लगाएँ: एक ओर [T(u)]_B = [T]_old[u]_B = [T]_oldP[u]_new; दूसरी ओर [T(u)]_B = P[T(u)]_new = P[T]_new[u]_new.

चूँकि [u]_new कोई भी स्तंभ हो सकता है, P[T]_new = [T]_oldP, और P व्युत्क्रमणीय है (इसके स्तंभ स्वतंत्र हैं), अतः [T]_new = P⁻¹[T]_oldP.

T: U → V के लिए, जब दोनों समष्टियों में आधार बदला जाए (U में संक्रमण आव्यूह P और V में Q), यही तर्क [T]_new = Q⁻¹[T]_oldP देता है। भाव: P⁻¹AP को दाएँ से बाएँ पढ़ें: नए निर्देशांकों को पुराने में बदलें (P), T लगाएँ (A), वापस बदलें (P⁻¹)।

9. व्युत्पत्ति: dim L(U, V) = (dim U)(dim V)

U का आधार B (n सदिश) और V का आधार B′ (m सदिश) नियत करें। L(U, V) से M_m×n(F) में प्रतिचित्रण T ↦ [T] रैखिक है ([S + T] = [S] + [T], [αT] = α[T]), एकैकी है (जिस प्रतिचित्रण का आव्यूह 0 है वह प्रत्येक आधार सदिश को, अतः प्रत्येक सदिश को, 0 पर भेजता है) और आच्छादक है (प्रत्येक आव्यूह स्तंभ नियम से एक प्रतिचित्रण परिभाषित करता है)।

अतः L(U, V) ≅ M_m×n(F), जिसकी विमा mn है। L(U, V) का आधार वे प्रतिचित्रण E_ij हैं जो u_j को v_i पर और U के अन्य आधार सदिशों को 0 पर भेजते हैं।

10. विधि का चयन

यदि T को रैखिक सिद्ध करना हो → एक पंक्ति में T(αu + βv) = αT(u) + βT(v) जाँचें; यदि खंडन करना हो → पहले T(0) = 0 परखें, फिर विशिष्ट सदिशों के लिए T(2u) = 2T(u) या T(u + v) = T(u) + T(v).

यदि T, Fⁿ पर सूत्र से दिया हो → उसका मानक आव्यूह A लिखें; तब N(T) = N(A) (AX = 0 हल करें) और R(T) = A की स्तंभ समष्टि (A के कीलक स्तंभ)।

यदि T केवल किसी आधार पर दिया हो → प्रतिबिंब R(T) को जनित करते हैं, और उनमें प्रत्येक निर्भरता संबंध एक अष्टि सदिश देता है; अंत में ρ + ν = dim U जाँचें।

यदि T बहुपदों या आव्यूहों पर क्रिया करे → मानक आधार (1, x, x², ... या E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂) में निर्देशांक लें और T के आव्यूह से काम करें।

यदि पूछा जाए कि परिमित-विमीय समष्टि पर संकारक व्युत्क्रमणीय है या नहीं → N(T) = {0}, det[T] ≠ 0 या ρ(T) = n में से कोई एक पर्याप्त है; एकैकी और आच्छादक दोनों सिद्ध न करें।

11. सामान्य गलतियाँ

T(u_j) के निर्देशांक स्तंभों के स्थान पर पंक्तियों में लिखना; परिणाम [T] का परिवर्त होता है और आगे का प्रत्येक गुणनफल गलत हो जाता है।

जब कोई अन्य आधार B′ दिया हो तब सहप्रांत का मानक आधार लेना; प्रत्येक प्रतिबिंब को रैखिक निकाय हल करके B′ में व्यक्त करना होता है।

आव्यूह के स्तंभों (और पंक्तियों) का क्रम बदले बिना आधार सदिशों का क्रम बदलना; क्रम, क्रमित आधार का भाग है।

आश्रित सदिश हटाए बिना सभी प्रतिबिंबों T(u₁), ..., T(u_n) को R(T) का आधार बताना।

भिन्न विमाओं वाली समष्टियों के बीच या अनंत-विमीय समष्टियों के प्रतिचित्रणों के लिए 'एकैकी ⇒ आच्छादक' निष्कर्ष निकालना।

जब P के स्तंभ पुराने निर्देशांकों में नए आधार सदिश हों, तब P⁻¹[T]P के स्थान पर P[T]P⁻¹ लिखना।

12. संबंध

संबंध: संकारक L = a₀Dⁿ + ... + a_n (D = d/dx) रैखिक है, अतः L(y) = f का व्यापक हल (L की अष्टि) + (एक विशेष हल) है, ठीक AX = B की तरह: यही साधारण अवकल समीकरणों में CF + PI है।

संबंध: आइगेन सदिशों का आधार चुनने से संकारक का आव्यूह विकर्ण हो जाता है (आइगेन मान और विकर्णन), और प्रसामान्य-लांबिक आइगेन आधार शांकव या शांकवज के मुख्य अक्ष देता है (विश्लेषणात्मक ज्यामिति)।

संबंध: समूह समाकारिता की भी अष्टि और प्रतिबिंब होते हैं, और प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय U/N(T) ≅ R(T) कोटि-शून्यता का संरचनात्मक रूप है, क्योंकि dim(U/N(T)) = dim U − ν(T) (अमूर्त बीजगणित)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: T: ℝ³ → ℝ³, T(x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z). कोटि, शून्यता तथा परिसर और अष्टि के आधार ज्ञात करें।

मानक आधार में आव्यूह: A = [[1, 2, −1], [0, 1, 1], [1, 1, −2]]. R₃ → R₃ − R₁ से (0, −1, −1) मिलता है, और R₂ जोड़ने पर शून्य पंक्ति बनती है, अतः कोटि 2 है।

अष्टि: y + z = 0 और x + 2y − z = 0 से y = −z, x = 3z, अतः N(T) = L{(3, −1, 1)} और शून्यता 1; जाँच 2 + 1 = 3 = dim ℝ³.

परिसर: पहले दो स्तंभ (1, 0, 1) और (2, 1, 1) स्वतंत्र हैं, और तीसरा स्तंभ (−1, 1, −2) = −3(1, 0, 1) + (2, 1, 1), अतः {(1, 0, 1), (2, 1, 1)}, R(T) का आधार है।

उदाहरण 2: आधार {1, x, x²} के सापेक्ष अवकलन प्रतिचित्रण D: P₂ → P₂ का आव्यूह ज्ञात करें।

D(1) = 0, D(x) = 1, D(x²) = 2x, अतः स्तंभ (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) हैं और [D] = [[0, 1, 0], [0, 0, 2], [0, 0, 0]]: कोटि 2, शून्यता 1 (अष्टि = अचर)।

उदाहरण 3: T: ℝ² → ℝ², T(x, y) = (2x + y, x − y). B = {(1, 1), (1, −1)} के सापेक्ष [T] ज्ञात करें।

T(1, 1) = (3, 0) = (3/2)(1, 1) + (3/2)(1, −1) और T(1, −1) = (1, 2) = (3/2)(1, 1) − (1/2)(1, −1), अतः [T]_B = [[3/2, 3/2], [3/2, −1/2]]; यही परिणाम A = [[2, 1], [1, −1]] और P = [[1, 1], [1, −1]] लेकर P⁻¹AP से मिलता है।

उदाहरण 4: वह रैखिक प्रतिचित्रण T: ℝ³ → ℝ² ज्ञात करें जिसके लिए T(1, 1, 1) = (1, 0), T(1, 1, 0) = (2, 1), T(1, 0, 0) = (3, 2), और इसकी अष्टि (kernel) ज्ञात करें।

तीनों सदिश आधार बनाते हैं, और (x, y, z) = z(1, 1, 1) + (y − z)(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0).

रैखिकता से T(x, y, z) = z(1, 0) + (y − z)(2, 1) + (x − y)(3, 2) = (3x − y − z, 2x − y − z); जाँच: T(1, 1, 1) = (1, 0).

अष्टि: 3x − y − z = 0 और 2x − y − z = 0 से x = 0, z = −y, अतः N(T) = L{(0, 1, −1)}; शून्यता 1, कोटि 2, और T, ℝ² पर आच्छादक है।

उदाहरण 5: सिद्ध या असिद्ध करें: एक एकैकी रैखिक प्रतिचित्रण T: ℝ³ → ℝ² और एक आच्छादक रैखिक प्रतिचित्रण S: ℝ² → ℝ³ विद्यमान है।

दोनों असत्य हैं। T के लिए कोटि T ≤ dim ℝ² = 2, अतः शून्यता T = 3 − कोटि T ≥ 1 और अष्टि शून्येतर है: T एकैकी नहीं है।

S के लिए कोटि S = 2 − शून्यता S ≤ 2 < 3 = dim ℝ³, अतः R(S) ≠ ℝ³: S आच्छादक नहीं है।

उदाहरण 6: ℝ³ पर एक रैखिक संकारक T ज्ञात करें जिसका परिसर (1, 0, −1) और (1, 2, 2) द्वारा विस्तृत हो।

रैखिक प्रतिचित्रण आधार पर अपने मानों से निर्धारित होता है: T(e₁) = (1, 0, −1), T(e₂) = (1, 2, 2), T(e₃) = 0 रखें।

तब T(x, y, z) = x(1, 0, −1) + y(1, 2, 2) = (x + y, 2y, −x + 2y), और R(T) = L{T(e₁), T(e₂), T(e₃)} = L{(1, 0, −1), (1, 2, 2)}, जैसा अपेक्षित है।

उदाहरण 7: यदि T: V → V रैखिक है और T² = T, तो सिद्ध करें कि V = R(T) ⊕ N(T).

v ∈ V के लिए v = Tv + (v − Tv) लिखें; यहाँ Tv ∈ R(T) और T(v − Tv) = Tv − T²v = 0, अतः v − Tv ∈ N(T). इसलिए V = R(T) + N(T).

यदि w ∈ R(T) ∩ N(T), तो किसी u के लिए w = Tu और Tw = 0, अतः w = Tu = T²u = Tw = 0. योग प्रत्यक्ष है।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 12 अंक): यदि V = ℝ³ तथा T ∈ A(V) जहाँ सभी a_i, A(V) के सदस्य हैं। यदि T(a₁, a₂, a₃) = (2a₁ + 5a₂ + a₃, −3a₁ + a₂ − a₃, −a₁ + 2a₂ + 3a₃) के द्वारा परिभाषित हैं। तब आधार V₁ = (1, 0, 1), V₂ = (−1, 2, 1), V₃ = (3, −1, 1) के सापेक्ष आव्यूह T ज्ञात कीजिये।

प्रतिबिंब: T(V₁) = T(1, 0, 1) = (3, −4, 2), T(V₂) = T(−1, 2, 1) = (9, 4, 8), T(V₃) = T(3, −1, 1) = (2, −11, −2).

किसी सदिश w को xV₁ + yV₂ + zV₃ के रूप में लिखने के लिए P(x, y, z)^T = w हल करें, जहाँ P = [[1, −1, 3], [0, 2, −1], [1, 1, 1]] (स्तंभ V_i, det P = −2); P⁻¹ = (1/2)[[−3, −4, 5], [1, 2, −1], [2, 2, −2]].

तब (3, −4, 2) = (17/2)V₁ − (7/2)V₂ − 3V₃, (9, 4, 8) = −(3/2)V₁ + (9/2)V₂ + 5V₃, (2, −11, −2) = 14V₁ − 9V₂ − 7V₃.

पहले की जाँच: (17/2)(1, 0, 1) − (7/2)(−1, 2, 1) − 3(3, −1, 1) = (17/2 + 7/2 − 9, −7 + 3, 17/2 − 7/2 − 3) = (3, −4, 2).

उत्तर: [T]_B = [[17/2, −3/2, 14], [−7/2, 9/2, −9], [−3, 5, −7]] (निर्देशांक सदिश स्तंभ हैं); यह P⁻¹AP के बराबर है, जहाँ A, T का मानक आव्यूह है।

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 16 अंक): (i) यदि M₂(R), 2 × 2 कोटि (order) के वास्तविक आव्यूहों की समष्टि (space) तथा P₂(x), वास्तविक बहुपदों (polynomials), जिनकी अधिकतम घात (degree) 2 है, की समष्टि (space) हो, तो T : M₂(R) → P₂(x), जहाँ T([[a, b], [c, d]]) = a + c + (a − d)x + (b + c)x², का M₂(R) एवं P₂(x) के मानक आधारों (standard bases) के सापेक्ष आव्यूह निरूपित कीजिये। इसके अलावा T का शून्य समष्टि (null space) प्राप्त कीजिये। (10 अंक)
(ii) यदि T : P₂(x) → P₃(x) इस प्रकार है कि T(f(x)) = f(x) + 5∫₀^x f(t) dt, तो {1, 1 + x, 1 − x²} एवं {1, x, x², x³} को क्रमशः P₂(x) एवं P₃(x) का आधार (bases) लेते हुए T का आव्यूह निकालिये। (6 अंक)

(i) आधार: M₂(ℝ) के E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂ और P₂(x) के 1, x, x². T(E₁₁) = 1 + x, T(E₁₂) = x², T(E₂₁) = 1 + x², T(E₂₂) = −x.

निर्देशांकों को स्तंभों में लिखने पर [T] = [[1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, −1], [0, 1, 1, 0]] (3 × 4 आव्यूह)।

शून्य समष्टि: a + c = 0, a − d = 0, b + c = 0 से c = −a, d = a, b = a. अतः N(T) = {a[[1, 1], [−1, 1]]: a ∈ ℝ}, शून्यता 1 और कोटि 3 (T, P₂(x) पर आच्छादी है)।

(ii) T(1) = 1 + 5x; T(1 + x) = 1 + x + 5(x + x²/2) = 1 + 6x + (5/2)x²; T(1 − x²) = 1 − x² + 5(x − x³/3) = 1 + 5x − x² − (5/3)x³.

{1, x, x², x³} में इनके निर्देशांक (1, 5, 0, 0), (1, 6, 5/2, 0) और (1, 5, −1, −5/3) हैं, जो [T] के स्तंभ हैं।

उत्तर: (i) [T] = [[1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, −1], [0, 1, 1, 0]], N(T) = L{[[1, 1], [−1, 1]]}; (ii) [T] = [[1, 1, 1], [5, 6, 5], [0, 5/2, −1], [0, 0, −5/3]].

उदाहरण 10 (UPSC 2016, 18 अंक): यदि आधारों (bases) {1 − x, x(1 − x), x(1 + x)} एवं {1, 1 + x, 1 + x²} के सापेक्ष रैखिक रूपांतरण (linear transformation) T : P₂(x) → P₂(x) के तहत आव्यूह निरूपण A = [[1, −1, 2], [−2, 1, −1], [1, 2, 3]] हो, तो T प्राप्त कीजिये।

परिभाषा से T(u_j) = ∑_i a_ijv_i, जहाँ u₁ = 1 − x, u₂ = x − x², u₃ = x + x² और v₁ = 1, v₂ = 1 + x, v₃ = 1 + x².

T(u₁) = 1 − 2(1 + x) + (1 + x²) = −2x + x²; T(u₂) = −1 + (1 + x) + 2(1 + x²) = 2 + x + 2x²; T(u₃) = 2 − (1 + x) + 3(1 + x²) = 4 − x + 3x².

u_j के पदों में मानक आधार: x = (u₂ + u₃)/2, x² = (u₃ − u₂)/2, 1 = u₁ + x.

अतः T(x) = (6 + 5x²)/2 = 3 + (5/2)x², T(x²) = (2 − 2x + x²)/2 = 1 − x + (1/2)x², और T(1) = T(u₁) + T(x) = 3 − 2x + (7/2)x².

रैखिकता से T(a + bx + cx²) = aT(1) + bT(x) + cT(x²). जाँच: T(1 − x) = T(1) − T(x) = −2x + x², जैसा अपेक्षित है।

उत्तर: T(a + bx + cx²) = (3a + 3b + c) − (2a + c)x + ((7a + 5b + c)/2)x².

उदाहरण 11 (UPSC 2020, 10 अंक): माना M₂(R) सभी 2 × 2 वास्तविक आव्यूहों का सदिश समष्टि है। माना B = [[1, −1], [−4, 4]]. माना T : M₂(R) → M₂(R) एक रैखिक रूपांतरण है, जो T(A) = BA द्वारा परिभाषित है। T की कोटि (रैंक) व शून्यता (नलिटि) ज्ञात कीजिए। आव्यूह A ज्ञात कीजिए, जो शून्य आव्यूह को प्रतिचित्रित करता है।

T रैखिक है क्योंकि B(αA + βC) = αBA + βBC. A = [X₁ X₂] को स्तंभों में लिखें; तब BA = [BX₁ BX₂], अतः T(A) = 0 ⇔ दोनों स्तंभ N(B) में हैं।

B = [[1, −1], [−4, 4]] की कोटि 1 है (दूसरी पंक्ति = −4 × पहली पंक्ति), और BX = 0 ⇔ x = y, अतः N(B) = L{(1, 1)^T}.

अतः N(T) = {[[a, b], [a, b]]: a, b ∈ ℝ}, जिसका आधार [[1, 0], [1, 0]] और [[0, 1], [0, 1]] है: शून्यता 2, और कोटि-शून्यता से rank T = 4 − 2 = 2.

(परिसर जाँच: BA का प्रत्येक स्तंभ B की स्तंभ समष्टि L{(1, −4)^T} में है, अतः R(T) = {[[p, q], [−4p, −4q]]}, जिसकी विमा भी 2 है।)

उत्तर: rank T = 2, nullity T = 2; उदाहरणार्थ A = [[1, 1], [1, 1]] से BA = 0.

उदाहरण 12 (UPSC 2020, 15 अंक): माना F सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है व T : F³ → F³ एक ऐसा फलन है, जो निम्न रूप से परिभाषित है : T(x₁, x₂, x₃) = (x₁ + x₂ + 3x₃, 2x₁ − x₂, −3x₁ + x₂ − x₃). a, b, c पर क्या शर्तें हैं कि (a, b, c), T के शून्य समष्टि में है? T की शून्यता निकालिए।

(a, b, c) ∈ N(T) ⇔ a + b + 3c = 0, 2a − b = 0 और −3a + b − c = 0.

दूसरे समीकरण से b = 2a; तब पहले से 3a + 3c = 0, अतः c = −a; तीसरा, −3a + 2a + a = 0, स्वतः सत्य है (गुणांक आव्यूह का सारणिक 0 और कोटि 2 है)।

अतः N(T) = {(a, 2a, −a)} = L{(1, 2, −1)}. जाँच: T(1, 2, −1) = (1 + 2 − 3, 2 − 2, −3 + 2 + 1) = (0, 0, 0).

उत्तर: (a, b, c) ∈ N(T) ⇔ b = 2a और c = −a; nullity T = 1 (और rank T = 2)।

उदाहरण 13 (UPSC 2021, 10 अंक): क्रमित आधारक B = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} के सापेक्ष V₃(R) पर परिभाषित रैखिक संकारक : T(a, b, c) = (a + b, a − b, 2c) से संबन्धित आव्यूह ज्ञात कीजिए।

मान लें b₁ = (0, 1, 1), b₂ = (1, 0, 1), b₃ = (1, 1, 0). तब T(b₁) = (1, −1, 2), T(b₂) = (1, 1, 2), T(b₃) = (2, 0, 0).

(p, q, r) = xb₁ + yb₂ + zb₃ के लिए y + z = p, x + z = q, x + y = r चाहिए; s = (p + q + r)/2 लेने पर x = s − p, y = s − q, z = s − r.

(1, −1, 2): s = 1, निर्देशांक (0, 2, −1). (1, 1, 2): s = 2, निर्देशांक (1, 1, 0). (2, 0, 0): s = 1, निर्देशांक (−1, 1, 1).

जाँच: 2b₂ − b₃ = (2, 0, 2) − (1, 1, 0) = (1, −1, 2) = T(b₁).

उत्तर: [T]_B = [[0, 1, −1], [2, 1, 1], [−1, 0, 1]].

उदाहरण 14 (UPSC 2024, 10 अंक): माना T : ℝ³ → ℝ³ एक रैखिक संकारक है तथा ℝ पर ℝ³ का एक आधार B = {v₁, v₂, v₃} है। माना कि Tv₁ = (1, 1, 0), Tv₂ = (1, 0, −1), Tv₃ = (2, 1, −1) हैं। T की परिसर समष्टि तथा शून्य समष्टि के लिए एक आधार ज्ञात कीजिए।

चूँकि B आधार है, R(T) = L{Tv₁, Tv₂, Tv₃} = L{(1, 1, 0), (1, 0, −1), (2, 1, −1)}. यहाँ Tv₃ = Tv₁ + Tv₂, जबकि Tv₁ और Tv₂ समानुपाती नहीं हैं।

अतः {(1, 1, 0), (1, 0, −1)}, R(T) का आधार है, rank T = 2, और कोटि-शून्यता से nullity T = 3 − 2 = 1.

T(v₁ + v₂ − v₃) = Tv₁ + Tv₂ − Tv₃ = 0, और v₁ + v₂ − v₃ ≠ 0 क्योंकि v_i स्वतंत्र हैं; अतः यह सदिश एक-विमीय N(T) को विस्तृत करता है।

उत्तर: R(T) का आधार: {(1, 1, 0), (1, 0, −1)}; N(T) का आधार: {v₁ + v₂ − v₃}.

उदाहरण 15 (UPSC 2024, 15 अंक): माना ℝ के ऊपर ℝ³ पर एक रैखिक संकारक T, T(x, y, z) = (2x, 4x − y, 2x + 3y − z) द्वारा परिभाषित है। क्या T व्युत्क्रमणीय है? यदि हाँ, तो अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए तथा T⁻¹ ज्ञात कीजिए।

अष्टि: 2x = 0, 4x − y = 0, 2x + 3y − z = 0 से x = y = z = 0, अतः N(T) = {0}. परिमित-विमीय समष्टि पर एकैकी संकारक आच्छादी होता है, अतः T व्युत्क्रमणीय है (समतुल्यतः det [[2, 0, 0], [4, −1, 0], [2, 3, −1]] = 2 ≠ 0)।

T(x, y, z) = (a, b, c) हल करें: 2x = a, 4x − y = b, 2x + 3y − z = c. अतः x = a/2, y = 4x − b = 2a − b, z = 2x + 3y − c = 7a − 3b − c.

जाँच: T(a/2, 2a − b, 7a − 3b − c) = (a, 2a − (2a − b), a + 6a − 3b − 7a + 3b + c) = (a, b, c).

उत्तर: हाँ, T व्युत्क्रमणीय है और T⁻¹(a, b, c) = (a/2, 2a − b, 7a − 3b − c).

उदाहरण 16 (UPSC 2024, 15 अंक): माना V = M_2×2(ℝ) वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि दर्शाता है। M_2×2(ℝ) के मानक आधार के सन्दर्भ में φ(v) = [[1, 2], [3, −1]] v द्वारा दिए गए रैखिक प्रतिचित्रण φ : V → V का आव्यूह ज्ञात कीजिए और तब φ की कोटि (रैंक) ज्ञात कीजिए। क्या φ व्युत्क्रमणीय है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए।

मान लें M = [[1, 2], [3, −1]] और आधार का क्रम E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂ है। φ(E₁₁) = [[1, 0], [3, 0]] = E₁₁ + 3E₂₁; φ(E₁₂) = [[0, 1], [0, 3]] = E₁₂ + 3E₂₂.

φ(E₂₁) = [[2, 0], [−1, 0]] = 2E₁₁ − E₂₁; φ(E₂₂) = [[0, 2], [0, −1]] = 2E₁₂ − E₂₂.

अतः [φ] = [[1, 0, 2, 0], [0, 1, 0, 2], [3, 0, −1, 0], [0, 3, 0, −1]]. दूसरी-तीसरी पंक्तियों और दूसरे-तीसरे स्तंभों को बदलने पर diag(M, M) मिलता है, अतः det[φ] = (det M)² = (−7)² = 49 ≠ 0.

अतः rank φ = 4 और φ व्युत्क्रमणीय है, जहाँ φ⁻¹(v) = M⁻¹v और M⁻¹ = (1/7)M (क्योंकि M² = 7I)।

उत्तर: [φ] = [[1, 0, 2, 0], [0, 1, 0, 2], [3, 0, −1, 0], [0, 3, 0, −1]], rank φ = 4, और φ व्युत्क्रमणीय है।

उदाहरण 17 (UPSC 2026, 15 अंक): माना F सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है तथा T, F³ से F³ तक रैखिक रूपांतरण है, जिसे
T(x, y, z) = (x − y + 2z, 2x + y, −x − 2y + 2z)
द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि F³ में (a, b, c) एक सदिश है, तो निम्नलिखित के उत्तर दीजिए:
(i) a, b, c पर वह शर्त ज्ञात कीजिए, जिसके लिए सदिश (a, b, c), T की शून्य समष्टि में हो। T की शून्यता क्या है?
(ii) a, b, c पर वह शर्त ज्ञात कीजिए, जिसके लिए सदिश (a, b, c), T के परिसर (रेंज) में हो। T की कोटि (रैंक) क्या है? (8 + 7 = 15)

T(X) = AX, जहाँ A = [[1, −1, 2], [2, 1, 0], [−1, −2, 2]]. (i) (a, b, c) ∈ N(T) ⇔ a − b + 2c = 0, 2a + b = 0, −a − 2b + 2c = 0.

2a + b = 0 से b = −2a; पहले से 3a + 2c = 0, c = −3a/2; तीसरा, −a + 4a − 3a = 0, सत्य है। अतः N(T) = L{(2, −4, −3)} और nullity T = 1; जाँच T(2, −4, −3) = (2 + 4 − 6, 4 − 4, −2 + 8 − 6) = 0.

(ii) (a, b, c) ∈ R(T) ⇔ x − y + 2z = a, 2x + y = b, −x − 2y + 2z = c संगत है। गुणांक पंक्तियाँ (पंक्ति 3) = (पंक्ति 1) − (पंक्ति 2) को संतुष्ट करती हैं, अतः R₃ − R₁ + R₂ से संवर्धित पंक्ति 3, (0, 0, 0 | c − a + b) बन जाती है।

पहली दो पंक्तियाँ स्वतंत्र हैं, अतः निकाय संगत है ⇔ a − b − c = 0. अतः R(T) समतल a = b + c है और rank T = 2; जाँच 2 + 1 = 3 = dim F³.

उत्तर: (i) b = −2a और c = −3a/2, अर्थात (a, b, c), (2, −4, −3) का गुणज है; शून्यता 1. (ii) a − b − c = 0; कोटि 2.

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): इनमें से कौन-से प्रतिचित्रण ℝ² → ℝ² रैखिक हैं: T₁(x, y) = (x + y, x − y), T₂(x, y) = (x, |y|), T₃(x, y) = (x + 2, y)?

उत्तर: केवल T₁. T₂(−(0, 1)) = (0, 1) ≠ −T₂(0, 1) = (0, −1), और T₃(0, 0) = (2, 0) ≠ 0.

अभ्यास 2 (मूल): ℝ³ पर T(x, y, z) = (x, 0, z) के लिए N(T), R(T), कोटि और शून्यता ज्ञात कीजिए।

उत्तर: N(T) = L{(0, 1, 0)} (y-अक्ष), R(T) = xz-समतल L{(1, 0, 0), (0, 0, 1)}; कोटि 2, शून्यता 1, और 2 + 1 = 3.

अभ्यास 3 (मूल): क्या कोई रैखिक प्रतिचित्रण T: ℝ⁵ → ℝ³ शून्यता 1 रख सकता है?

उत्तर: नहीं। कोटि अधिकतम 3 है, अतः शून्यता 5 − कोटि ≥ 2.

अभ्यास 4 (मानक): ℝ³ पर T(x, y, z) = (x − y + 2z, 2x + y − z, 3x + z). N(T) और R(T) के आधार, तथा (a, b, c) के R(T) में होने की शर्त ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीसरी पंक्ति पहली दो का योग है, अतः कोटि 2 है। N(T) = L{(1, −5, −3)}, शून्यता 1; R(T) = L{(1, 2, 3), (−1, 1, 0)} = {(a, b, c): c = a + b}.

अभ्यास 5 (मानक): वह रैखिक प्रतिचित्रण T: ℝ² → ℝ³ ज्ञात कीजिए जिसके लिए T(1, 1) = (1, 0, 2) और T(1, −1) = (3, 2, 0).

उत्तर: (x, y) = ((x + y)/2)(1, 1) + ((x − y)/2)(1, −1), अतः T(x, y) = (2x − y, x − y, x + y).

अभ्यास 6 (मानक): B = {(1, 0), (1, 1)} (प्रांत और सहप्रांत दोनों में) के सापेक्ष T(x, y) = (x + 2y, 3x − y) का आव्यूह ज्ञात कीजिए, और उसका अनुरेख तथा सारणिक जाँचिए।

उत्तर: T(1, 0) = (1, 3) = −2(1, 0) + 3(1, 1) और T(1, 1) = (3, 2) = 1(1, 0) + 2(1, 1), अतः [T]_B = [[−2, 1], [3, 2]]; अनुरेख 0 और सारणिक −7, जैसा [[1, 2], [3, −1]] के लिए।

अभ्यास 7 (मानक): P₂ पर T(p(x)) = p(x + 1). {1, x, x²} के सापेक्ष [T] ज्ञात कीजिए और बताइए कि T व्युत्क्रमणीय है या नहीं।

उत्तर: T(1) = 1, T(x) = 1 + x, T(x²) = 1 + 2x + x², अतः [T] = [[1, 1, 1], [0, 1, 2], [0, 0, 1]], सारणिक 1; T व्युत्क्रमणीय है और T⁻¹(p(x)) = p(x − 1).

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): T: M₂(ℝ) → M₂(ℝ), T(A) = A − A^T. दिखाइए कि T रैखिक है तथा इसकी अष्टि और परिसर के आधार, कोटि और शून्यता ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रैखिक है क्योंकि परिवर्त (transpose) रैखिक है। N(T) = सममित आव्यूह, आधार E₁₁, E₂₂, E₁₂ + E₂₁ (शून्यता 3); R(T) = L{[[0, 1], [−1, 0]]} (कोटि 1); 3 + 1 = 4.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): T: P₃ → ℝ², T(p) = (p(0), p(1)). N(T) का आधार, T की कोटि ज्ञात कीजिए और कोटि-शून्यता प्रमेय सत्यापित कीजिए।

उत्तर: p ∈ N(T) ⇔ p = x(x − 1)(a + bx), अतः N(T) का आधार {x² − x, x³ − x²}, शून्यता 2. T(1) = (1, 1) और T(x) = (0, 1) स्वतंत्र हैं, अतः कोटि 2 (T आच्छादक है); 2 + 2 = 4 = dim P₃.

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): ℝ³ पर T(x, y, z) = (2x + y, y − z, 2y + 4z). B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)} के सापेक्ष [T] ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि इसका अनुरेख और सारणिक मानक आव्यूह के बराबर हैं।

उत्तर: T(1, 0, 0) = (2, 0, 0) → (2, 0, 0); T(0, 1, 1) = (1, 0, 6) → (1, −6, 6); T(0, 1, 2) = (1, −1, 10) → (1, −12, 11). अतः [T]_B = [[2, 1, 1], [0, −6, −12], [0, 6, 11]], अनुरेख 7 और सारणिक 12, जो [[2, 1, 0], [0, 1, −1], [0, 2, 4]] के समान हैं।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि ℝ³ पर किसी रैखिक संकारक T के लिए N(T) = R(T) नहीं हो सकता, और ℝ⁴ पर ऐसा संकारक दीजिए जिसके लिए N(T) = R(T).

उत्तर: N(T) = R(T) से ρ = ν और ρ + ν = 3, जो असंभव है क्योंकि 3 विषम है। ℝ⁴ पर T(x, y, z, w) = (z, w, 0, 0) के लिए N(T) = R(T) = L{e₁, e₂}.

1. आव्यूह गुणन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: आव्यूह (matrix) एक रैखिक प्रतिचित्रण को अभिलिखित करता है, और एक प्रतिचित्रण के बाद दूसरा लगाना प्रतिचित्रणों पर सबसे सामान्य संक्रिया है। आव्यूह गुणन इस प्रकार परिभाषित है कि 'पहले T फिर S' का आव्यूह गुणनफल [S][T] हो।

इसीलिए विचित्र दिखने वाला पंक्ति-गुणा-स्तंभ नियम सही है, और इसके गुण (साहचर्य, पर क्रमविनिमेय नहीं) संयोजन के गुण हैं।

शब्दों में: m × n आकार के A और n × p आकार के B के लिए आंतरिक आकार मेल खाने चाहिए: A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। गुणनफल AB, m × p है।

'(AB)_ij = ∑_k a_ikb_kj': A की पंक्ति i को B के स्तंभ j से प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि गुणा करके जोड़ें।

स्तंभ दृष्टि: AB का स्तंभ j = A × (B का स्तंभ j), A के स्तंभों का संयोजन। पंक्ति दृष्टि: AB की पंक्ति i = (A की पंक्ति i) × B, B की पंक्तियों का संयोजन।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A = [[1, 2], [0, 1]] और B = [[3, 0], [1, 2]].

चरण 1: A की पंक्ति 1, B के स्तंभों के साथ: (AB)₁₁ = 1·3 + 2·1 = 5 और (AB)₁₂ = 1·0 + 2·2 = 4.

चरण 2: A की पंक्ति 2: (AB)₂₁ = 0·3 + 1·1 = 1 और (AB)₂₂ = 0·0 + 1·2 = 2. अतः AB = [[5, 4], [1, 2]].

चरण 3: दूसरे क्रम में, BA = [[3·1 + 0·0, 3·2 + 0·1], [1·1 + 2·0, 1·2 + 2·1]] = [[3, 6], [1, 4]].

चरण 4: AB ≠ BA, परंतु tr(AB) = 7 = tr(BA) और det(AB) = 10 − 4 = 6 = det(BA) = 12 − 6, जो det A · det B = 1 · 6 है।

ध्यान दें: गुणनखंडों का क्रम गुणनफल बदल देता है, पर अनुरेख और सारणिक क्रम पर ध्यान नहीं देते। ये दोनों तथ्य निरंतर प्रयुक्त होते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): 2 × 3 आव्यूह गुणा 2 × 3 आव्यूह परिभाषित नहीं है, क्योंकि 3 ≠ 2. आकार की शर्त परिभाषा का भाग है।

विद्यालय की सर्वसमिका (A + B)² = A² + 2AB + B² भी विफल होती है: (A + B)² = A² + AB + BA + B², और ऊपर के आव्यूहों के लिए AB − BA = [[2, −2], [0, −2]] ≠ 0. सर्वसमिका के लिए AB = BA आवश्यक है।

आगे बढ़ते हुए: (AB)C = A(BC) क्योंकि दोनों तीन प्रतिचित्रणों के एक ही संयोजन के आव्यूह हैं; इसीलिए घातें A^k और A के बहुपद अर्थपूर्ण हैं।

(AB)^T = B^TA^T: (AB)^T की (i, j) प्रविष्टि (AB)_ji = ∑_k a_jkb_ki = ∑_k (B^T)_ik(A^T)_kj है, जो B^TA^T की (i, j) प्रविष्टि है।

एक ही आव्यूह के कोई दो बहुपद क्रमविनिमेय होते हैं, p(A)q(A) = q(A)p(A), क्योंकि A की घातें आपस में क्रमविनिमेय हैं; यह केली-हैमिल्टन के साथ प्रयुक्त होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: संयुक्त प्रतिचित्रणों के आव्यूह, विकर्णन द्वारा Aⁿ, केली-हैमिल्टन प्रमेय (आइगेन मान), और द्विघाती रूप X^TAX (विश्लेषणात्मक ज्यामिति)।

2. आव्यूहों का बीजगणित

आव्यूह (matrix) योग क्रमविनिमेय और साहचर्य है; गुणन साहचर्य और वितरणात्मक है, किंतु सामान्यतः AB ≠ BA, और AB = 0 से A = 0 या B = 0 नहीं निकलता।

भाव: AB का अर्थ है 'पहले B, फिर A लगाएँ', और प्रतिचित्रणों का संयोजन क्रमविनिमेय नहीं है, अतः आव्यूह (matrix) गुणन भी नहीं। A = [[0, 1], [0, 0]] से A ≠ 0 होते हुए A² = 0: यह प्रतिचित्रण e₂ को e₁ पर और e₁ को 0 पर भेजता है।

(AB)^T = B^TA^T, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, (AB)* = B*A* (A* = संयुग्मी परिवर्त), det(AB) = det A · det B, tr(AB) = tr(BA).

क्रम क्यों उलटता है: (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AA⁻¹ = I; जो प्रतिचित्रण अंत में लगाया गया उसे पहले उलटना पड़ता है, जैसे पहले मोज़े और फिर जूते पहनने में।

विशेष प्रकार: वर्गसम (idempotent, A² = A), शून्यभावी (nilpotent, किसी k के लिए A^k = 0), अंतर्वलनी (involutory, A² = I).

भाव: वर्गसम (idempotent) = प्रक्षेप (दो बार करना एक बार करने के समान), अंतर्वलनी (involutory) = परावर्तन (दो बार करने पर आरंभ पर लौटना), शून्यंभावी (nilpotent) = ऐसा प्रतिचित्रण जो k चरणों के बाद प्रत्येक सदिश को नष्ट कर दे, जैसे P_n पर d/dx, जिसके लिए Dⁿ⁺¹ = 0.

अनुरेख (trace): tr(A + B) = tr A + tr B, tr(kA) = k tr A, tr A^T = tr A और tr(AB) = tr(BA) = ∑_i∑_k a_ikb_ki. परिणाम: ℝ या ℂ पर n × n आव्यूहों के लिए AB − BA = I असंभव है, क्योंकि बाएँ पक्ष का अनुरेख 0 और I का n है।

tr(AB) = tr(BA) क्यों: tr(AB) = ∑_i∑_ka_ikb_ki, और नाम i ↔ k बदलने पर ∑_k∑_ib_kia_ik = tr(BA). अनुरेख (trace) चक्रीय विस्थापन में अपरिवर्तित है, tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), पर सामान्यतः tr(ABC) ≠ tr(BAC).

सारणिक: det A^T = det A, det(kA) = kⁿ det A, det A⁻¹ = 1/det A; R_i ↔ R_j चिह्न बदलता है, R_i → kR_i सारणिक को k से गुणा करता है, और R_i → R_i + kR_j उसे अपरिवर्तित रखता है।

शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह: यदि A^k = 0 तो प्रत्येक आइगेन मान 0 है, n × n शून्यंभावी आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद λⁿ है, अतः Aⁿ = 0, और A का कोई भी बहुपद n से कम घात के पदों में घट जाता है।

3. पंक्ति समानयन, सोपानक रूप और कोटि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कोटि, स्वतंत्रता, समीकरणों की संगतता और व्युत्क्रम के सभी प्रश्नों में आव्यूह को बिना सूचना खोए सरल करना होता है। पंक्ति संक्रियाएँ ठीक वही चरण हैं जिनसे समीकरणों से अज्ञात विलुप्त किए जाते हैं।

आव्यूह में अनेक पंक्तियाँ हो सकती हैं पर वास्तव में भिन्न कम; कोटि (rank) वास्तविक भिन्न पंक्तियों को गिनती है।

शब्दों में: तीन पंक्ति संक्रियाएँ हैं: दो पंक्तियों की अदला-बदली; किसी पंक्ति को k ≠ 0 से गुणा (k = 0 पंक्ति मिटा देगा और सूचना खो जाएगी); एक पंक्ति के k गुने को दूसरी में जोड़ना।

कीलक (pivot) किसी पंक्ति की पहली अशून्य प्रविष्टि है। सोपानक रूप (echelon form) का अर्थ सीढ़ी है: प्रत्येक कीलक ऊपर वाले कीलक के ठीक दाईं ओर होता है, और शून्य पंक्तियाँ नीचे होती हैं।

कोटि ρ(A) किसी सोपानक रूप के कीलकों (अशून्य पंक्तियों) की संख्या है; समतुल्यतः किसी अशून्य उपसारणिक की सबसे बड़ी कोटि, जहाँ r कोटि का उपसारणिक किसी r × r उप-आव्यूह का सारणिक है।

'सबसे बड़ा अशून्य उपसारणिक' के दो भाग हैं: कोई r × r उपसारणिक अशून्य है, और प्रत्येक (r + 1) × (r + 1) उपसारणिक शून्य है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A = [[1, 2, 1], [2, 5, 3], [1, 4, 3]] को समानीत करके उसकी कोटि और शून्य समष्टि पढ़िए।

चरण 1: R₂ → R₂ − 2R₁ से (0, 1, 1), और R₃ → R₃ − R₁ से (0, 2, 2); पहला स्तंभ अब कीलक 1 के नीचे साफ़ है।

चरण 2: R₃ → R₃ − 2R₂ से (0, 0, 0). सोपानक रूप [[1, 2, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 0]].

चरण 3: दो कीलक हैं (स्तंभ 1 और 2), अतः ρ(A) = 2; स्तंभ 3 में कीलक नहीं है, अतः z, AX = 0 का मुक्त चर है।

चरण 4: R₁ → R₁ − 2R₂ से समानीत रूप [[1, 0, −1], [0, 1, 1], [0, 0, 0]], अर्थात x − z = 0 और y + z = 0.

चरण 5: अतः N(A) = L{(1, −1, 1)}, और जाँच A(1, −1, 1)^T = (1 − 2 + 1, 2 − 5 + 3, 1 − 4 + 3) = (0, 0, 0) इसकी पुष्टि करती है; dim N(A) = 3 − 2 = 1.

चरण 6: उपसारणिकों से: det A = 0 (पंक्तियाँ आश्रित हैं), जबकि पंक्तियों 1, 2 और स्तंभों 1, 2 का उपसारणिक 1·5 − 2·2 = 1 ≠ 0, अतः पुनः ρ(A) = 2.

अ-उदाहरण (non-example): [[0, 1, 2], [1, 3, 0], [0, 0, 4]] सोपानक रूप में नहीं है: पंक्ति 2 का कीलक (स्तंभ 1) पंक्ति 1 के कीलक (स्तंभ 2) के बाईं ओर है। R₁ और R₂ की अदला-बदली इसे ठीक करती है।

स्वयं A की अशून्य पंक्तियाँ गिनने से कोटि नहीं मिलती: [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]] में तीन अशून्य पंक्तियाँ हैं पर कोटि 2 है, क्योंकि R₂ = 2R₁.

इसी आव्यूह में पंक्तियों 1, 2 और स्तंभों 1, 2 का उपसारणिक 4 − 4 = 0 है, फिर भी कोटि 2 है (पंक्तियाँ 1, 3 और स्तंभ 1, 2 से 1 − 2 = −1 ≠ 0)। एक शून्य उपसारणिक कुछ सिद्ध नहीं करता; केवल किसी कोटि के सभी उपसारणिक शून्य होने पर ही कोटि घटती है।

आगे बढ़ते हुए: (1) प्रत्येक पंक्ति संक्रिया बाईं ओर से एक व्युत्क्रमणीय प्रारंभिक आव्यूह से गुणन है, अतः यह पंक्ति समष्टि, शून्य समष्टि और कोटि को बनाए रखती है।

(2) सोपानक रूप की अशून्य पंक्तियाँ स्वतंत्र हैं: किसी शून्य संयोजन में पहले कीलक स्तंभ को देखें; वहाँ केवल पहली पंक्ति की अशून्य प्रविष्टि है, अतः उसका गुणांक 0 है, और यही दोहराएँ। अतः वे पंक्ति समष्टि का आधार हैं।

(3) स्तंभ संक्रियाएँ भी जोड़ने पर A प्रसामान्य रूप [[I_r, 0], [0, 0]] में आता है, जो दिखाता है कि पंक्ति कोटि = स्तंभ कोटि। (4) ρ(AB) ≤ min{ρ(A), ρ(B)} (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6), और ρ(A) + dim N(A) = n.

कहाँ प्रयोग होता है: AX = B की संगतता और मुक्त प्राचलों की संख्या n − r (रैखिक समीकरण निकाय); A − λI की शून्य समष्टि के रूप में आइगेन सदिश (आइगेन मान); और द्विघाती रूपों की कोटि तथा सूचकांक।

4. प्रारंभिक संक्रियाएँ और सोपानक रूप

प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाएँ: R_i ↔ R_j, R_i → kR_i (k ≠ 0), R_i → R_i + kR_j; प्रत्येक किसी प्रारंभिक आव्यूह से पूर्व-गुणन के तुल्य है (स्तंभ संक्रियाएँ पश्च-गुणन के तुल्य हैं)।

यह क्यों काम करता है: I पर पंक्ति संक्रिया करने से प्रारंभिक आव्यूह E मिलता है, और EA की पंक्ति i = (E की पंक्ति i)·A, अतः EA वही है जो A की पंक्तियों पर वही संक्रिया करने से मिलता है। प्रत्येक E व्युत्क्रमणीय है (इसका व्युत्क्रम संक्रिया को उलटता है), अतः पंक्ति संक्रियाएँ कोटि, पंक्ति समष्टि या AX = B के हल समुच्चय को कभी नहीं बदलतीं।

पंक्ति सोपानक रूप (row echelon form): शून्य पंक्तियाँ नीचे होती हैं, और प्रत्येक पंक्ति की पहली अशून्य प्रविष्टि (कीलक) ऊपर की पंक्ति के कीलक के दाईं ओर होती है। समानीत सोपानक रूप: प्रत्येक कीलक 1 है और अपने स्तंभ की एकमात्र अशून्य प्रविष्टि है।

भाव: सोपानक रूप (echelon form) A की संरचना प्रकट करता है: कीलकों की संख्या स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या (कोटि) है, और बिना कीलक वाले स्तंभ AX = 0 के मुक्त चरों के संगत हैं।

प्रसामान्य रूप (normal form): पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं द्वारा कोटि r का प्रत्येक m × n आव्यूह [[I_r, 0], [0, 0]] में समानीत होता है; अर्थात किन्हीं व्युत्क्रमणीय P, Q के लिए PAQ = [[I_r, 0], [0, 0]].

भाव: कोटि ही वह एकमात्र चीज़ है जिसे पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ मिलकर नहीं बदल सकतीं: दो m × n आव्यूह किसी व्युत्क्रमणीय P, Q के लिए B = PAQ को संतुष्ट करते हैं (तुल्य हैं) यदि और केवल यदि ρ(A) = ρ(B). इसी से समझ आता है कि पंक्ति कोटि = स्तंभ कोटि क्यों: प्रसामान्य रूप के लिए दोनों r हैं, और व्युत्क्रमणीय P, Q से गुणन दोनों में से किसी को नहीं बदलता।

5. आव्यूह की कोटि

कोटि (rank) ρ(A) = सबसे बड़े अशून्य उपसारणिक की कोटि = सोपानक रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या = स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या = स्वतंत्र स्तंभों की अधिकतम संख्या।

भाव: कोटि (rank) AX = B में वास्तव में स्वतंत्र समीकरणों की संख्या और प्रतिबिंब {AX} की विमा है; उदाहरणार्थ कोटि 3 का 3 × 4 आव्यूह F⁴ को पूरे F³ पर प्रतिचित्रित करता है, और उसकी शून्य समष्टि एक रेखा है।

प्रारंभिक संक्रियाएँ कोटि नहीं बदलतीं, और ρ(A) = ρ(A^T) = ρ(A*).

ρ(AB) ≤ min{ρ(A), ρ(B)}; ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B); सिल्वेस्टर असमिका: A (m × n) और B (n × p) के लिए ρ(A) + ρ(B) − n ≤ ρ(AB).

सिल्वेस्टर असमिका की व्युत्पत्ति: B को N(AB) ⊆ F^p पर सीमित करें; वहाँ इसकी अष्टि N(B) और प्रतिबिंब R(B) ∩ N(A) है, अतः कोटि-शून्यता से ν(AB) = ν(B) + dim(R(B) ∩ N(A)) ≤ ν(B) + ν(A). ν(AB) = p − ρ(AB), ν(B) = p − ρ(B), ν(A) = n − ρ(A) रखने पर ρ(AB) ≥ ρ(A) + ρ(B) − n. ऊपरी सीमा ρ(AB) ≤ min{ρ(A), ρ(B)} मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6 में सिद्ध है।

व्युत्क्रमणीय आव्यूह से गुणा करने पर कोटि नहीं बदलती।

उदाहरण 1: A = [[1, 2, 3, 4], [2, 4, 6, 8], [3, 7, 10, 13]] की कोटि ज्ञात करें।

R₂ → R₂ − 2R₁ से शून्य पंक्ति और R₃ → R₃ − 3R₁ से (0, 1, 1, 1) मिलता है। सोपानक रूप में दो अशून्य पंक्तियाँ हैं, अतः ρ(A) = 2.

पंक्ति, स्तंभ और शून्य समष्टियाँ: m × n आव्यूह A के लिए dim(पंक्ति समष्टि) = dim(स्तंभ समष्टि) = ρ(A) और dim N(A) = n − ρ(A). पंक्ति संक्रियाएँ पंक्ति समष्टि और शून्य समष्टि को सुरक्षित रखती हैं, स्तंभ समष्टि को नहीं; मूल A के धुरी स्तंभ स्तंभ समष्टि का आधार हैं।

ρ(AB) ≤ min{ρ(A), ρ(B)} से अव्युत्क्रमणीयता का त्वरित परीक्षण मिलता है: यदि A, m × k और B, k × m है जहाँ k < m, तो AB (m × m) की कोटि अधिकतम k < m है और वह अव्युत्क्रमणीय है।

6. व्युत्क्रम को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: आव्यूह से 'भाग' देने के लिए: AX = B को X = A⁻¹B के रूप में हल करने, रैखिक प्रतिचित्रण को उलटने, और P⁻¹ से निर्देशांक बदलने के लिए। केवल कुछ वर्ग आव्यूह उलटे जा सकते हैं।

शब्दों में: A⁻¹ ऐसा आव्यूह है जिसके लिए AA⁻¹ = A⁻¹A = I; यह केवल वर्ग A के लिए हो सकता है।

यह अद्वितीय है: यदि B और C दोनों व्युत्क्रम हैं, तो B = B(AC) = (BA)C = C.

यह ठीक तब होता है जब det A ≠ 0, समतुल्यतः ρ(A) = n, समतुल्यतः AX = 0 का केवल हल X = 0: जो प्रतिचित्रण कोई दिशा नहीं खोता, उसे उलटा जा सकता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: गॉस-जॉर्डन विधि से A = [[2, 1], [5, 3]] का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

चरण 1: [A | I] लिखें, पंक्तियाँ (2, 1 | 1, 0) और (5, 3 | 0, 1).

चरण 2: R₁ → R₁/2 से (1, 1/2 | 1/2, 0), जिससे पहला कीलक 1 बनता है।

चरण 3: R₂ → R₂ − 5R₁ से (0, 1/2 | −5/2, 1); फिर R₂ → 2R₂ से (0, 1 | −5, 2).

चरण 4: R₁ → R₁ − (1/2)R₂ से (1, 0 | 3, −1). बायाँ खंड अब I है, अतः A⁻¹ = [[3, −1], [−5, 2]].

चरण 5: जाँच: AA⁻¹ = [[6 − 5, −2 + 2], [15 − 15, −5 + 6]] = I, और 2 × 2 सूत्र (1/(ad − bc))[[d, −b], [−c, a]], जहाँ ad − bc = 6 − 5 = 1, वही आव्यूह देता है।

अ-उदाहरण (non-example): A = [[1, 2], [2, 4]] के लिए [A | I] पर R₂ → R₂ − 2R₁ से (0, 0 | −2, 1): बाईं ओर शून्य पंक्ति आती है, अतः A का व्युत्क्रम नहीं है।

विफल शर्त तीन प्रकार से दिखती है: det A = 4 − 4 = 0, ρ(A) = 1 जो 2 से कम है, और (2, −1) ≠ 0 के साथ A(2, −1)^T = 0, अतः A एक दिशा खो देता है और उलटा नहीं जा सकता।

आगे बढ़ते हुए: (1) A·adj A = (det A)I (नीचे 'A·adj A = (det A)I क्यों' में सिद्ध) से det A ≠ 0 होने पर A⁻¹ = adj A/det A.

(2) यदि वर्ग A, B के लिए AB = I, तो det A · det B = 1, अतः det A ≠ 0, A⁻¹ मौजूद है, और B = A⁻¹(AB) = A⁻¹: वर्ग आव्यूह का एक-पक्षीय व्युत्क्रम द्वि-पक्षीय होता है।

(3) नियम (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T और det A⁻¹ = 1/det A, यह जाँचकर मिलते हैं कि प्रस्तावित आव्यूह से गुणनफल I है।

कहाँ प्रयोग होता है: AX = B का हल और क्रैमर नियम (रैखिक समीकरण निकाय), आधार परिवर्तन सूत्र P⁻¹AP, और केली-हैमिल्टन प्रमेय से A⁻¹ (आइगेन मान)।

7. आव्यूह का व्युत्क्रम

कोटि n का वर्ग आव्यूह A व्युत्क्रमणीय (non-singular) है ⇔ det A ≠ 0 ⇔ ρ(A) = n ⇔ AX = 0 का केवल हल X = 0; तब A⁻¹ = (adj A)/det A.

A·adj A = (det A)I क्यों: A·adj A की (i, j) प्रविष्टि ∑_ka_ikC_jk है, जहाँ C_jk, a_jk का सहखंड (cofactor) है। i = j के लिए यह पंक्ति i के अनुदिश det A का प्रसार है; i ≠ j के लिए यह उस सारणिक का प्रसार है जिसमें पंक्ति j को पंक्ति i से बदला गया हो, जिसमें दो समान पंक्तियाँ हैं, अतः वह 0 है।

गाउस-जॉर्डन विधि: (1) [A | I] लिखें; (2) केवल पंक्ति संक्रियाएँ तब तक लगाएँ जब तक बायाँ खंड I न बन जाए; (3) तब दायाँ खंड A⁻¹ है। यदि बाईं ओर शून्य पंक्ति आए तो A अव्युत्क्रमणीय है।

यह क्यों काम करता है: यदि पंक्ति संक्रियाएँ E₁, ..., E_k, A को I में बदल दें, तो E_k...E₁A = I, अतः E_k...E₁ = A⁻¹; दाएँ खंड पर वही संक्रियाएँ E_k...E₁I = A⁻¹ देती हैं।

उदाहरण 2: A = [[1, 0, 2], [2, 1, 0], [0, 1, 1]] का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात करें।

det A = 1(1 − 0) − 0 + 2(2 − 0) = 5. सहखंडों से adj A = [[1, 2, −2], [−2, 1, 4], [2, −1, 1]], अतः A⁻¹ = (1/5)[[1, 2, −2], [−2, 1, 4], [2, −1, 1]]; जाँचें कि A·adj A = 5I.

गुणनफल से प्रतिलोम: यदि A, B n × n हैं और AB = kI जहाँ k ≠ 0, तो A⁻¹ = B/k और B⁻¹ = A/k (वर्ग आव्यूह का एक-पक्षीय प्रतिलोम द्वि-पक्षीय होता है)। तब निकाय BX = C का हल X = (1/k)AC है।

8. समरूपता और सर्वांगसमता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो भिन्न प्रश्न किसी आव्यूह को 'बदलने' के दो तरीकों तक ले जाते हैं।

(a) नए आधार में लिखे उसी रैखिक संकारक का आव्यूह P⁻¹AP है: समरूपता (similarity)। (b) प्रतिस्थापन X = PY के बाद द्विघाती रूप X^TAX, Y^T(P^TAP)Y बन जाता है: सर्वांगसमता (congruence)।

जब P लांबिक है, तो P^T = P⁻¹ और दोनों एक हो जाते हैं।

शब्दों में: 'A, B के समरूप है' का अर्थ है कि कम से कम एक व्युत्क्रमणीय P है जिससे B = P⁻¹AP. 'A, B के सर्वांगसम है' का अर्थ है कि एक व्युत्क्रमणीय P है जिससे B = P^TAP.

समरूपता आइगेन मान, अनुरेख, सारणिक और कोटि बनाए रखती है। सर्वांगसमता कोटि और सममितता तथा, वास्तविक सममित आव्यूहों के लिए, धनात्मक और ऋणात्मक वर्गों की संख्या (सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम) बनाए रखती है, पर आइगेन मान नहीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A = [[1, 2], [2, 1]], रूप q = x² + 4xy + y² का आव्यूह।

चरण 1 (समरूपता): det(A − λI) = (1 − λ)² − 4 = λ² − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1), अतः आइगेन मान 3 और −1 हैं।

चरण 2: लांबिक P, जिसके स्तंभ (1, 1)/√2 और (1, −1)/√2 हैं, के साथ P^TAP = P⁻¹AP = diag(3, −1).

चरण 3 (सर्वांगसमता, वर्गमूल आवश्यक नहीं): वर्ग पूरा करें, q = (x + 2y)² − 3y². X = x + 2y, Y = y रखें, अतः q = X² − 3Y².

चरण 4: उलटने पर x = X − 2Y और y = Y, अतः P = [[1, −2], [0, 1]], और P^TAP = [[1, 0], [−2, 1]]·[[1, 2], [2, 1]]·[[1, −2], [0, 1]] = [[1, 2], [0, −3]]·[[1, −2], [0, 1]] = diag(1, −3).

चरण 5: तुलना करें। diag(3, −1) और diag(1, −3) सर्वांगसम हैं (दोनों में एक धनात्मक और एक ऋणात्मक प्रविष्टि: कोटि 2, सूचकांक 1, चिह्नक 0) पर समरूप नहीं, क्योंकि उनके अनुरेख 2 और −2 हैं।

ध्यान दें: सर्वांगसमता समानयन अनेक विकर्ण रूप दे सकता है, पर चिह्न सदैव आइगेन मानों के चिह्नों से मेल खाते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): [[1, 1], [0, 1]] और I के आइगेन मान, अनुरेख और सारणिक समान हैं, पर वे समरूप नहीं हैं, क्योंकि प्रत्येक P के लिए P⁻¹IP = I. समान निश्चर समरूपता सिद्ध नहीं करते।

सर्वांगसमता के लिए, I और −I (2 × 2) की कोटि 2 समान है पर वे सर्वांगसम नहीं हैं: P^TIP = P^TP की विकर्ण प्रविष्टियाँ P के स्तंभों के वर्गों के योग हैं, अतः धनात्मक, कभी −1 नहीं। अंतर चिह्नक में है।

आगे बढ़ते हुए: दो आव्यूहों को असमरूप सिद्ध करने के लिए एक भिन्न निश्चर ढूँढें (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9 और 17); समरूप सिद्ध करने के लिए दिखाएँ कि दोनों समान आइगेन मानों के साथ विकर्णनीय हैं, अतः दोनों एक ही विकर्ण आव्यूह के समरूप हैं।

सर्वांगसमता के लिए, नीचे दी गई युग्मित पंक्ति-स्तंभ संक्रियाएँ किसी भी वास्तविक सममित आव्यूह का विकर्णन करती हैं, और सिल्वेस्टर का नियम सुनिश्चित करता है कि धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य प्रविष्टियों की संख्या मार्ग पर निर्भर नहीं करती।

कहाँ प्रयोग होता है: विकर्णन और Aⁿ (आइगेन मान); द्विघाती रूपों का धनात्मक निश्चित, अनिश्चित आदि में वर्गीकरण; और समीकरण से शांकवज की पहचान (विश्लेषणात्मक ज्यामिति)।

9. सर्वांगसमता और समरूपता

समरूप (similar): किसी व्युत्क्रमणीय P के लिए B = P⁻¹AP. समरूप आव्यूहों के अभिलक्षणिक बहुपद, आइगेन मान, अनुरेख, सारणिक और कोटि समान होते हैं; वे भिन्न आधारों में एक ही रैखिक संकारक को निरूपित करते हैं।

भाव: समरूप (similar) आव्यूह दो निर्देशांक पद्धतियों में देखा गया एक ही संकारक हैं, अतः आधार पर निर्भर न करने वाली प्रत्येक राशि (आइगेन मान, अनुरेख, सारणिक, कोटि, अल्पिष्ठ बहुपद) समान होती है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9 और 17)। विलोम असत्य है: [[1, 1], [0, 1]] और I का अभिलक्षणिक बहुपद समान है पर वे समरूप नहीं, क्योंकि प्रत्येक P के लिए P⁻¹IP = I.

सर्वांगसम (congruent): किसी व्युत्क्रमणीय P के लिए B = P^TAP (हर्मिटी आव्यूहों के लिए B = P*AP)। सर्वांगसमता कोटि और सममितता को संरक्षित करती है और द्विघाती रूपों के समानयन में प्रयुक्त होती है।

भाव: सर्वांगसमता (congruence) वही है जो चर परिवर्तन X = PY किसी द्विघाती समघात (quadratic form) के साथ करता है, क्योंकि X^TAX = Y^T(P^TAP)Y. यह आइगेन मान सुरक्षित नहीं रखती (diag(1, 4), I के सर्वांगसम है), केवल कोटि तथा धनात्मक और ऋणात्मक पदों की संख्याएँ (नीचे सिल्वेस्टर नियम)।

विधि (सर्वांगसमता द्वारा समानयन): प्रत्येक पंक्ति संक्रिया के बाद वही स्तंभ संक्रिया करें, जब तक सममित आव्यूह विकर्ण न बन जाए; I पर स्तंभ संक्रियाएँ अंकित करने से P मिलता है।

यह क्यों काम करता है: पंक्ति संक्रिया प्रारंभिक आव्यूह E से पूर्व-गुणन है और वही स्तंभ संक्रिया E^T से पश्च-गुणन, अतः प्रत्येक जोड़ी A को EAE^T से बदलती है और सममिति बनाए रखती है। k जोड़ियों के बाद D = (E_k...E₁)A(E_k...E₁)^T = P^TAP, जहाँ P = (E_k...E₁)^T = E₁^T...E_k^T, जो ठीक वही है जो स्तंभ संक्रियाएँ I से बनाती हैं।

सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम: कोटि r का वास्तविक सममित आव्यूह diag(I_p, −I_r−p, 0) के सर्वांगसम है; सूचकांक p और चिह्नक 2p − r ऐसे प्रत्येक समानयन में समान रहते हैं।

उदाहरण 3: A = [[1, 2], [2, 1]] को सर्वांगसमता द्वारा समानीत करें। R₂ → R₂ − 2R₁ के बाद C₂ → C₂ − 2C₁ से diag(1, −3) मिलता है: कोटि 2, सूचकांक 1, चिह्नक 0, अतः रूप x² + 4xy + y² अनिश्चित है।

लांबिक P के लिए P^T = P⁻¹, अतः समरूपता और सर्वांगसमता संपाती हो जाती हैं; इसी कारण वास्तविक सममित आव्यूह लांबिक समरूपता से विकर्णित हो सकता है।

10. विधि का चयन

यदि संख्यात्मक आव्यूह की कोटि पूछी जाए → पंक्ति संक्रियाओं से सोपानक रूप में लाएँ; उपसारणिकों का प्रयोग केवल छोटे आव्यूहों के लिए या किसी विशेष उपसारणिक को शून्येतर दिखाने के लिए करें।

यदि कोटि किसी प्राचल पर निर्भर हो → वर्ग आव्यूह के लिए पहले det निकालें (कोटि ठीक वहाँ पूर्ण है जहाँ det ≠ 0), फिर det = 0 के प्रत्येक मूल पर अलग से समानीत करें।

यदि व्युत्क्रम पूछा जाए → 2 × 2 के लिए A⁻¹ = (1/(ad − bc))[[d, −b], [−c, a]]; 3 × 3 के लिए सहखंडज या गाउस-जॉर्डन; जब प्रश्न में अभिलक्षणिक समीकरण का उल्लेख हो, तो कैली-हैमिल्टन।

यदि दो आव्यूहों को समरूप या असमरूप दिखाना हो → पहले निश्चर तुलना करें (अनुरेख, det, आइगेन मान, प्रत्येक आइगेन मान के लिए ρ(A − λI)); यदि सभी मिलें और दोनों विकर्णनीय हों, तो दोनों एक ही विकर्ण आव्यूह के समरूप हैं।

यदि किसी द्विघाती समघात या सममित आव्यूह को समानीत करना हो → जब केवल विहित रूप, कोटि और चिह्नक पूछे जाएँ तो युग्मित पंक्ति-स्तंभ संक्रियाएँ (सर्वांगसमता); जब आइगेन मान या लांबिक अक्ष परिवर्तन चाहिए तो लांबिक विकर्णन।

11. सामान्य गलतियाँ

गाउस-जॉर्डन व्युत्क्रमण में पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ मिलाना; पूरे समय केवल पंक्ति संक्रियाएँ (या केवल स्तंभ संक्रियाएँ, [A के नीचे I] पर) करें।

det(kA) = kⁿ det A के स्थान पर k det A लिखना, या det(A + B) = det A + det B लिखना, जो सामान्यतः असत्य है।

सोपानक रूप के स्तंभों को स्तंभ समष्टि का आधार मानना; मूल आव्यूह के कीलक स्तंभ लें।

सर्वांगसमता समानयन में समान स्तंभ संक्रिया के बिना पंक्ति संक्रिया करना; परिणाम सममित नहीं रहता और A के सर्वांगसम नहीं होता।

A के व्युत्क्रमणीय हुए बिना AB = AC में A काटना: A = [[1, 0], [0, 0]], B = [[0, 0], [0, 1]] और C = 0 के साथ AB = AC = 0 पर B ≠ C.

विकर्णनीयता या A − λI की कोटियाँ जाँचे बिना यह निष्कर्ष निकालना कि समान आइगेन मान वाले दो आव्यूह समरूप हैं।

12. संबंध

संबंध: शांकवज के द्विघाती भाग का सर्वांगसमता समानयन उसका विहित समीकरण देता है, और सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम (कोटि और चिह्नक) तय करता है कि वह दीर्घवृत्तज, एक या दो पृष्ठों वाला अतिपरवलयज, या शंकु है (विश्लेषणात्मक ज्यामिति)।

संबंध: गाउस-जॉर्डन विलोपन संख्यात्मक विश्लेषण की प्रत्यक्ष विधियों का हस्त-रूप है; बड़े निकायों के लिए A⁻¹ बनाने के स्थान पर विलोपन से AX = B हल किया जाता है।

संबंध: व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह गुणन के अंतर्गत समूह GL(n, F) बनाते हैं, और det: GL(n, F) → F* एक समाकारिता है जिसकी अष्टि SL(n, F) है (अमूर्त बीजगणित)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: A = [[1, 2, −1, 3], [2, 4, 1, −2], [3, 6, 3, −7]] को पंक्ति सोपानक रूप में समानीत करें और इसकी कोटि ज्ञात करें।

R₂ → R₂ − 2R₁ से (0, 0, 3, −8); R₃ → R₃ − 3R₁ से (0, 0, 6, −16); फिर R₃ → R₃ − 2R₂ से शून्य पंक्ति मिलती है।

सोपानक रूप [[1, 2, −1, 3], [0, 0, 3, −8], [0, 0, 0, 0]] में दो शून्येतर पंक्तियाँ हैं (कीलक स्तंभ 1 और 3 में), अतः ρ(A) = 2.

उदाहरण 5: A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]] के लिए A⁻¹ ज्ञात करें।

det A = 2(4 − 1) − 1(2 − 1) + 1(1 − 2) = 4. विकर्ण पर सहखंड 3 और अन्यत्र −1 हैं, और A सममित है, अतः adj A = [[3, −1, −1], [−1, 3, −1], [−1, −1, 3]].

A⁻¹ = (1/4)[[3, −1, −1], [−1, 3, −1], [−1, −1, 3]]. जाँच: A की पहली पंक्ति गुणा adj A का पहला स्तंभ = 6 − 1 − 1 = 4, और दूसरा स्तंभ = −2 + 3 − 1 = 0.

उदाहरण 6: सिद्ध या असिद्ध करें: समान आइगेन मानों वाले दो n × n आव्यूह समरूप होते हैं।

असत्य। A = [[1, 1], [0, 1]] और I दोनों के आइगेन मान 1, 1 हैं। किसी भी व्युत्क्रमणीय P के लिए P⁻¹IP = I ≠ A, अतः A, I के समरूप नहीं है।

समरूप आव्यूहों का अभिलक्षणिक बहुपद समान होता है, परंतु विलोम के लिए अधिक चाहिए: ℂ पर, समान आइगेन मानों वाले दो आव्यूह समरूप हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक आइगेन मान λ और प्रत्येक k के लिए ρ((A − λI)^k) = ρ((B − λI)^k), अर्थात उनका जॉर्डन रूप समान है।

उदाहरण 7: द्विघाती समघात q = x² + 2y² + 3z² + 2xy + 2yz को वर्गों के योग में समानीत करें और इसकी कोटि, सूचकांक और चिह्नक ज्ञात करें।

इसका आव्यूह [[1, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 3]] है। वर्ग पूर्ण करने पर: q = (x + y)² + y² + 2yz + 3z² = (x + y)² + (y + z)² + 2z².

X = x + y, Y = y + z, Z = z (एक व्युत्क्रमणीय चर-परिवर्तन) से q = X² + Y² + 2Z²: कोटि 3, सूचकांक 3, चिह्नक 3, अतः q धनात्मक निश्चित है (अग्रणी उपसारणिक 1, 1, 2 सभी धनात्मक, इससे संगत)।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 10 अंक): (i) यदि A = [[1, 2, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 1]] है, तो प्रारम्भिक पंक्ति संक्रिया (elementary row operation) के प्रयोग से A⁻¹ निकालिये। (6 अंक)
(ii) यदि A = [[1, 1, 3], [5, 2, 6], [−2, −1, −3]] है, तो A¹⁴ + 3A − 2I का मान निकालिये। (4 अंक)

(i) [A | I] की पंक्तियाँ (1, 2, 1 | 1, 0, 0), (1, 3, 2 | 0, 1, 0), (1, 0, 1 | 0, 0, 1). R₂ − R₁ और R₃ − R₁ से (0, 1, 1 | −1, 1, 0) और (0, −2, 0 | −1, 0, 1) मिलते हैं।

R₃ + 2R₂ से (0, 0, 2 | −3, 2, 1), और R₃/2 से (0, 0, 1 | −3/2, 1, 1/2). तब R₂ − R₃ = (0, 1, 0 | 1/2, 0, −1/2) और R₁ − 2R₂ − R₃ = (1, 0, 0 | 3/2, −1, 1/2).

अतः A⁻¹ = (1/2)[[3, −2, 1], [1, 0, −1], [−3, 2, 1]]; जाँच: A की पहली पंक्ति स्तंभों के साथ (3 + 2 − 3)/2 = 1, (−2 + 0 + 2)/2 = 0, (1 − 2 + 1)/2 = 0 देती है।

(ii) A = [[1, 1, 3], [5, 2, 6], [−2, −1, −3]] के लिए: tr A = 0, मुख्य 2 × 2 उपसारणिकों का योग −3 + 3 + 0 = 0 और det A = 0, अतः अभिलक्षणिक बहुपद λ³ है और केली-हैमिल्टन से A³ = 0.

प्रत्यक्ष रूप से A² = [[0, 0, 0], [3, 3, 9], [−1, −1, −3]] और A·A² = 0. अतः A¹⁴ = A¹¹A³ = 0 और A¹⁴ + 3A − 2I = 3A − 2I.

उत्तर: (i) A⁻¹ = (1/2)[[3, −2, 1], [1, 0, −1], [−3, 2, 1]]; (ii) A¹⁴ + 3A − 2I = [[1, 3, 9], [15, 4, 18], [−6, −3, −11]].

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 10 अंक): मान लीजिये कि A एक 3 × 2 आव्यूह है और B एक 2 × 3 आव्यूह है। दर्शाइये कि C = A·B एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है।

ρ(C) = ρ(AB) ≤ min{ρ(A), ρ(B)} ≤ 2, क्योंकि A के केवल 2 स्तंभ (और B की केवल 2 पंक्तियाँ) हैं।

C, 3 × 3 है, अतः ρ(C) ≤ 2 < 3 और det C = 0. (वैकल्पिक: BX = 0 तीन अज्ञातों में 2 समीकरण हैं, अतः इसका हल X ≠ 0 है; तब X ≠ 0 के साथ CX = A(BX) = 0.)

उत्तर: C = AB की कोटि अधिकतम 2 है, अतः यह अव्युत्क्रमणीय है।

उदाहरण 10 (UPSC 2026, 10 अंक): यदि A और B समरूप आव्यूह हैं, तो दर्शाइए कि A और B की कोटि (रैंक), अनुरेख (ट्रेस), अभिलाक्षणिक बहुपद और अभिलाक्षणिक मान समान होते हैं।

मान लें B = P⁻¹AP, P व्युत्क्रमणीय। तब B − λI = P⁻¹(A − λI)P, अतः det(B − λI) = det P⁻¹ · det(A − λI) · det P = det(A − λI): अभिलक्षणिक बहुपद, और इसलिए बहुलताओं सहित आइगेन मान, समान हैं।

अनुरेख: tr(XY) = tr(YX) का प्रयोग कर tr B = tr(P⁻¹(AP)) = tr((AP)P⁻¹) = tr A.

कोटि: ρ(XY) ≤ ρ(X) और ρ(XY) ≤ ρ(Y). अतः ρ(B) = ρ(P⁻¹AP) ≤ ρ(A), और चूँकि A = PBP⁻¹, ρ(A) ≤ ρ(B) भी। अतः ρ(A) = ρ(B).

उत्तर: समरूप आव्यूहों की कोटि, अनुरेख, अभिलक्षणिक बहुपद और आइगेन मान (तथा सारणिक) समान होते हैं।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): A = [[1, −1], [2, 0]] और B = [[0, 1], [1, 1]] के लिए AB और BA की गणना कीजिए।

उत्तर: AB = [[−1, 0], [0, 2]] और BA = [[2, 0], [3, −1]]; ये भिन्न हैं, पर दोनों का अनुरेख 1 और सारणिक −2 है।

अभ्यास 2 (मूल): [[1, 2, −1], [2, 4, −2], [3, 6, −3]] की कोटि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक पंक्ति (1, 2, −1) का गुणज है, अतः कोटि 1 है।

अभ्यास 3 (मूल): दिखाइए कि A = [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]] शून्यघाती (nilpotent) है और वह न्यूनतम k ज्ञात कीजिए जिसके लिए A^k = 0.

उत्तर: A² = [[0, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] ≠ 0 और A³ = 0, अतः k = 3.

अभ्यास 4 (मानक): [[1, 2, 3, 2], [2, 3, 5, 1], [1, 3, 4, 5]] को सोपानक रूप में समानीत करके उसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: R₂ − 2R₁ = (0, −1, −1, −3) और R₃ − R₁ = (0, 1, 1, 3); इन्हें जोड़ने पर शून्य पंक्ति। सोपानक रूप [[1, 2, 3, 2], [0, −1, −1, −3], [0, 0, 0, 0]], कोटि 2.

अभ्यास 5 (मानक): प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं से A = [[1, 1, 1], [0, 1, 2], [1, 2, 4]] का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: det A = 1 और A⁻¹ = [[0, −2, 1], [2, 3, −2], [−1, −1, 1]]; जाँच: A की पंक्ति 1 गुणा A⁻¹ का स्तंभ 1 = 0 + 2 − 1 = 1.

अभ्यास 6 (मानक): प्रत्येक वास्तविक λ के लिए [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [1, 4, λ]] की कोटि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सारणिक λ − 7 है। λ ≠ 7 के लिए कोटि 3; λ = 7 के लिए उपसारणिक det [[1, 1], [1, 2]] = 1 ≠ 0, अतः कोटि 2.

अभ्यास 7 (मानक): A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6]] के लिए ऐसे व्युत्क्रमणीय P, Q ज्ञात कीजिए कि PAQ प्रसामान्य रूप में हो।

उत्तर: R₂ → R₂ − 2R₁ से P = [[1, 0], [−2, 1]]; C₂ → C₂ − 2C₁ और C₃ → C₃ − 3C₁ से Q = [[1, −2, −3], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]. तब PAQ = [[1, 0, 0], [0, 0, 0]] = [[I₁, 0], [0, 0]], कोटि 1.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): यदि A एक n × n आव्यूह है जिसके लिए A² = A, तो सिद्ध कीजिए कि ρ(A) + ρ(I − A) = n.

उत्तर: संकेत: ρ(A) + ρ(I − A) ≥ ρ(A + (I − A)) = ρ(I) = n; और सिल्वेस्टर की असमिका से ρ(A) + ρ(I − A) − n ≤ ρ(A(I − A)) = ρ(A − A²) = 0.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): एक व्युत्क्रमणीय चर-परिवर्तन द्वारा q = x² − 2y² + z² + 2xy + 4yz को वर्गों के योग में समानीत कीजिए, और इसकी कोटि, सूचकांक, चिह्नक और प्रकृति ज्ञात कीजिए।

उत्तर: q = (x + y)² − 3(y − 2z/3)² + (7/3)z². कोटि 3, सूचकांक 2, चिह्नक 1; रूप अनिश्चित है (इसके आव्यूह [[1, 1, 0], [1, −2, 2], [0, 2, 1]] का सारणिक −7 है)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): कारण सहित बताइए कि क्या (i) [[2, 1], [0, 2]], 2I के समरूप है, और (ii) [[1, 2], [0, 3]], [[3, 0], [5, 1]] के समरूप है।

उत्तर: (i) नहीं: प्रत्येक P के लिए P⁻¹(2I)P = 2I. (ii) हाँ: दोनों के भिन्न आइगेन मान 1 और 3 हैं, अतः दोनों विकर्णनीय हैं और diag(1, 3) के समरूप हैं, इसलिए परस्पर समरूप हैं।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): एक व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह A (n ≥ 2) के लिए सिद्ध कीजिए कि det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹ और adj(adj A) = (det A)ⁿ⁻²A.

उत्तर: संकेत: adj A = (det A)A⁻¹, अतः det(adj A) = (det A)ⁿ/det A. यही सर्वसमिका adj A पर लगाएँ: adj(adj A) = det(adj A)(adj A)⁻¹ = (det A)ⁿ⁻¹ · A/det A.

1. संवर्धित आव्यूह और पंक्ति संक्रियाओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: 2x + 3y − z = 5, x − y + 4z = 2, ... जैसे निकाय (system) को हर चरण पर दोबारा लिखना लंबा है, और अक्षर x, y, z कभी नहीं बदलते।

केवल संख्याएँ बदलती हैं, अतः हम केवल संख्याओं को एक आयत में रखते हैं और उसी आयत पर काम करते हैं।

हमें यह भी जानना है कि समीकरणों में कौन-से परिवर्तन सुरक्षित हैं, अर्थात् कौन-से हल समुच्चय को ठीक वैसा ही रखते हैं।

शब्दों में: गुणांक आव्यूह (coefficient matrix) A में प्रत्येक समीकरण की एक पंक्ति और प्रत्येक अज्ञात का एक स्तंभ होता है; प्रविष्टि a_ij, i-वें समीकरण में j-वें अज्ञात का गुणांक है।

X अज्ञातों का स्तंभ है और B दाएँ पक्षों का स्तंभ, अतः पूरा निकाय एक आव्यूह समीकरण AX = B है।

संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) [A | B], A के दाईं ओर स्तंभ B लिखकर बनता है; खड़ी रेखा केवल याद दिलाती है कि बराबर का चिह्न कहाँ था।

[A | B] की एक पंक्ति एक पूरा समीकरण है, अतः पंक्ति संक्रिया (row operation) समीकरणों पर की गई संक्रिया है।

तीन प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाएँ हैं: R_i ↔ R_j (दो समीकरणों का विनिमय), k ≠ 0 के साथ R_i → kR_i (समीकरण को गुणा करना), और R_i → R_i + kR_j (एक समीकरण के गुणज को दूसरे में जोड़ना)।

इनमें से प्रत्येक को उसी प्रकार की दूसरी संक्रिया से उलटा जा सकता है, और यही उत्क्रमणीयता कारण है कि वे हल समुच्चय को नहीं बदलतीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x + 2y = 5 और 3x + 4y = 11 लें।

चरण 1: [A | B] = [[1, 2 | 5], [3, 4 | 11]] लिखें; पहली पंक्ति पहला समीकरण है और दूसरी पंक्ति दूसरा।

चरण 2: दूसरे समीकरण से x हटाने के लिए R₂ → R₂ − 3R₁ लगाएँ; नई दूसरी पंक्ति (3 − 3, 4 − 6 | 11 − 15) = (0, −2 | −4) है।

चरण 3: पंक्ति को फिर से समीकरण के रूप में पढ़ें: 0x − 2y = −4, अतः y = 2.

चरण 4: पहली पंक्ति अब भी x + 2y = 5 कहती है, अतः x = 5 − 4 = 1.

चरण 5: मूल समीकरणों में जाँचें: 1 + 4 = 5 और 3 + 8 = 11. ध्यान दें कि चरण 2 की संक्रिया R₂ → R₂ + 3R₁ से उलटी जा सकती है, अतः कुछ भी नहीं खोया।

अ-उदाहरण (non-example): इसी निकाय के x-स्तंभ को दाएँ पक्ष के स्तंभ में जोड़ने (स्तंभ संक्रिया) से x + 2y = 6, 3x + 4y = 14 मिलता है, जिसका हल (2, 2) है, (1, 2) नहीं: B को छूने वाली स्तंभ संक्रियाएँ प्रश्न ही बदल देती हैं।

किसी पंक्ति को k = 0 से गुणा करना भी वर्जित है: यह समीकरण को 0 = 0 बना देता है, चरण उलटा नहीं जा सकता, और मिटाए गए समीकरण का उल्लंघन करने वाले शेष समीकरणों के हल गलत ढंग से स्वीकार हो जाएँगे।

आगे बढ़ते हुए: (1) पुराने निकाय का प्रत्येक हल नए निकाय को संतुष्ट करता है, क्योंकि नए समीकरण पुराने समीकरणों के संयोजन हैं।

(2) उलटी संक्रिया नए निकाय को फिर पुराने में बदल देती है, अतः इसी तर्क से प्रत्येक नया हल पुराना हल भी है।

(3) आव्यूह भाषा में प्रत्येक संक्रिया बाईं ओर से एक व्युत्क्रमणीय प्रारंभिक आव्यूह (elementary matrix) E से गुणन है, और EAX = EB ⇔ AX = B क्योंकि E⁻¹ विद्यमान है।

कहाँ प्रयोग होता है: इस विषय की प्रत्येक आगे की विधि (कोटि परीक्षण, गाउस विलोपन, गाउस-जॉर्डन, a, b, c पर प्रतिबंध) [A | B] पर इन्हीं तीन पंक्ति संक्रियाओं का क्रम है।

2. आव्यूह रूप

n अज्ञातों में m समीकरणों का निकाय AX = B है, जिसमें गुणांक आव्यूह A (m × n) और संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) [A | B] है। यदि B = 0 हो तो यह समघात (homogeneous) है।

भाव (पंक्ति चित्र): तीन अज्ञातों वाला प्रत्येक समीकरण एक समतल है, और हल सभी समतलों का उभयनिष्ठ बिंदु है (ऊपर का चित्र देखें)। स्तंभ चित्र: AX = B पूछता है कि क्या B, A के स्तंभों का संयोजन x₁C₁ + ... + x_nC_n है, अतः निकाय ठीक तब हल योग्य है जब B, A की स्तंभ समष्टि में हो।

तुल्य निकाय: दो समीकरणों का परस्पर विनिमय, किसी को k ≠ 0 से गुणा करना, या एक के गुणज को दूसरे में जोड़ना उलटा जा सकता है, अतः [A | B] पर ये पंक्ति संक्रियाएँ हल समुच्चय को कभी नहीं बदलतीं। [A | B] पर स्तंभ संक्रियाएँ अनुमत नहीं हैं, सिवाय A के दो स्तंभों के विनिमय के, जो केवल अज्ञातों के नाम बदलता है।

3. कोटि और संगतता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हल करने से पहले हम जानना चाहते हैं कि हल है भी या नहीं, और यदि है तो क्या वह अद्वितीय है।

समीकरणों और अज्ञातों की गिनती से इसका उत्तर नहीं मिलता, क्योंकि कुछ समीकरण वही जानकारी दोहरा सकते हैं या एक-दूसरे का खंडन कर सकते हैं।

कोटि (rank) मापती है कि कितने समीकरण वास्तव में स्वतंत्र हैं, और दो कोटियों की तुलना से प्रश्न सुलझ जाता है।

शब्दों में: ρ(A), A को सोपानक रूप (echelon form) में लाने के बाद बची अशून्य पंक्तियों की संख्या है; यह स्वतंत्र बाएँ पक्षों को गिनती है।

ρ([A | B]) दाएँ पक्षों को सम्मिलित करने पर स्वतंत्र पंक्तियों को गिनती है।

सदैव ρ(A) ≤ ρ([A | B]) ≤ ρ(A) + 1, क्योंकि एक स्तंभ जोड़ने से कोटि अधिकतम एक बढ़ सकती है।

यदि दोनों कोटियाँ भिन्न हों, तो समीकरणों के किसी संयोजन का बायाँ पक्ष 0 पर दायाँ पक्ष c ≠ 0 होता है, जो असंभव कथन 0 = c है।

यदि दोनों r के बराबर हों, तो निकाय संगत (consistent) है, r अज्ञात निश्चित होते हैं और शेष n − r स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x + y = 2 और 2x + 2y = 5 लें।

चरण 1: [A | B] = [[1, 1 | 2], [2, 2 | 5]].

चरण 2: R₂ → R₂ − 2R₁ से पंक्ति (0, 0 | 1) मिलती है।

चरण 3: A-भाग में केवल एक अशून्य पंक्ति बची है, अतः ρ(A) = 1; पूरे आव्यूह में दो अशून्य पंक्तियाँ बची हैं, अतः ρ([A | B]) = 2.

चरण 4: दूसरी पंक्ति 0x + 0y = 1 कहती है, जिसे कोई (x, y) संतुष्ट नहीं करता, अतः कोई हल नहीं है। ज्यामितीय रूप से दोनों रेखाएँ समांतर हैं।

चरण 5: 5 को 4 कर दें। अब दूसरी पंक्ति (0, 0 | 0) है, दोनों कोटियाँ 1 < 2 = n हैं, और हल प्रत्येक t के लिए x = 2 − t, y = t हैं: एक स्वेच्छ प्राचल, जैसा n − r = 1 बताता है।

अ-उदाहरण (non-example): 'अज्ञातों से अधिक समीकरण हों तो हल नहीं' गलत है: x + y = 2, x − y = 0, 2x + 3y = 5 में दो अज्ञातों में तीन समीकरण हैं और हल (1, 1) है, क्योंकि ρ(A) = ρ([A | B]) = 2.

इसी प्रकार 'अज्ञातों से कम समीकरण हों तो हल है' भी गलत है: x + y + z = 1, x + y + z = 2 का कोई हल नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) AX = x₁C₁ + ... + x_nC_n, जहाँ C_j, A के स्तंभ हैं, अतः AX = B ठीक तब हल योग्य है जब B स्तंभों का संयोजन हो।

(2) B ऐसा संयोजन ठीक तब है जब B जोड़ने से कोई नया स्वतंत्र स्तंभ न जुड़े, अर्थात् जब ρ([A | B]) = ρ(A).

(3) रैंक-शून्यता प्रमेय को X ↦ AX पर लगाने से स्वेच्छ अज्ञातों की संख्या n − r है। पूरी उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7 में है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'संगतता की विवेचना करें' या 'λ, μ के किन मानों के लिए' वाला प्रत्येक प्रश्न इसी कोटि-तुलना से हल होता है; रैखिक प्रोग्रामन में आधारी हल भी इसी से तय होते हैं।

4. संगतता प्रमेय (रूशे-कपेली)

AX = B संगत (consistent) है यदि और केवल यदि ρ(A) = ρ([A | B]).

भाव: ρ(A) = ρ([A | B]) का अर्थ है कि स्तंभ B जोड़ने से कोई नया स्वतंत्र स्तंभ नहीं बनता, अर्थात B पहले से A की स्तंभ समष्टि में है। सोपानक रूप में असंगतता एक पंक्ति (0 0 ... 0 | c), c ≠ 0, के रूप में दिखती है, जो असंभव समीकरण 0 = c है। मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7 में सिद्ध।

यदि ρ(A) = ρ([A | B]) = n, तो हल अद्वितीय है।

यदि ρ(A) = ρ([A | B]) = r < n, तो अनंत हल हैं, जो n − r स्वेच्छ प्राचलों के पदों में व्यक्त होते हैं।

n − r प्राचल क्यों: सोपानक रूप में r कीलक (pivot) हैं, अतः r कीलक चर शेष चरों से निर्धारित होते हैं, जबकि n − r मुक्त चरों को स्वेच्छ मान दिए जा सकते हैं।

यदि ρ(A) < ρ([A | B]), तो निकाय का कोई हल नहीं है।

संरचना: व्यापक हल = एक विशेष हल + AX = 0 का व्यापक हल; AX = 0 के हल विमा n − ρ(A) की उपसमष्टि बनाते हैं।

यह क्यों काम करता है: यदि AX₀ = B और AX = B, तो A(X − X₀) = 0, अतः X − X₀ ∈ N(A); विलोमतः प्रत्येक Y ∈ N(A) के लिए A(X₀ + Y) = B. अतः हल समुच्चय स्थानांतरण X₀ + N(A) है: शून्य समष्टि के समांतर एक बिंदु, रेखा या समतल, जो मूल बिंदु से केवल B = 0 होने पर जाता है।

परिणाम: ℝ या ℂ पर रैखिक निकाय का कोई हल नहीं, ठीक एक, या अनंत हल होते हैं, ठीक दो कभी नहीं; यदि X₁ ≠ X₂ हल हैं, तो प्रत्येक अदिश t के लिए X₁ + t(X₂ − X₁) हल है।

5. हल समुच्चय (विशेष हल और समघात हल) को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब निकाय के अनंत हल हों तो हम उन्हें सूचीबद्ध नहीं कर सकते; हमें एक छोटा सूत्र चाहिए जो प्रत्येक हल दे और कोई अन्य वस्तु नहीं।

उत्तर है: एक हल और उसी A वाले समघात (homogeneous) निकाय के सभी हल।

शब्दों में: समघात निकाय AX = 0 के बाएँ पक्ष AX = B जैसे ही हैं पर दाएँ पक्ष शून्य हैं।

इसका हल समुच्चय N(A) शून्य समष्टि (null space) कहलाता है; इसमें सदैव X = 0 होता है और यह योग तथा अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है, अतः यह Fⁿ की उपसमष्टि है।

विशेष हल (particular solution) X₀, AX = B का कोई भी एक हल है, जो स्वेच्छ चरों को कोई सुविधाजनक मान, प्रायः 0, देकर मिलता है।

व्यापक हल X = X₀ + Y है, जहाँ Y, N(A) में चलता है; यदि N(A) का आधार Y₁, ..., Y_n−r हो, तो X = X₀ + t₁Y₁ + ... + t_n−rY_n−r.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x + y + z = 3, x − y = 0 हल करें।

चरण 1: एक विशेष हल सरलता से अनुमानित है: X₀ = (1, 1, 1), क्योंकि 1 + 1 + 1 = 3 और 1 − 1 = 0.

चरण 2: समघात निकाय x + y + z = 0, x − y = 0 है। दूसरे से y = x; फिर z = −2x.

चरण 3: x = t रखने पर N(A) = {t(1, 1, −2)}, मूल बिंदु से जाने वाली एक रेखा; इसकी विमा 1 = n − r = 3 − 2 है।

चरण 4: व्यापक हल X = (1, 1, 1) + t(1, 1, −2) = (1 + t, 1 + t, 1 − 2t) है।

चरण 5: जाँच: प्रत्येक t के लिए (1 + t) + (1 + t) + (1 − 2t) = 3 और (1 + t) − (1 + t) = 0. हल समुच्चय (1, 1, 1) से जाने वाली और (1, 1, −2) के समांतर रेखा है।

ध्यान दें कि दूसरा विशेष हल, जैसे (2, 2, −1) (t = 1), वही रेखा देता है, केवल प्राचल खिसक जाता है।

अ-उदाहरण (non-example): असमघात निकाय का हल समुच्चय उपसमष्टि नहीं है: (1, 1, 1), x + y + z = 3 को संतुष्ट करता है, पर 2(1, 1, 1) = (2, 2, 2) से 6 मिलता है, और (0, 0, 0) हल ही नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) यदि AX₀ = B और AX = B, तो घटाने पर A(X − X₀) = 0, अतः प्रत्येक हल X₀ से N(A) के किसी अवयव जितना भिन्न है।

(2) विलोमतः प्रत्येक Y ∈ N(A) के लिए A(X₀ + Y) = B + 0 = B.

(3) रैंक-शून्यता से dim N(A) = n − ρ(A), अतः AX = 0 का अतुच्छ हल ठीक तब है जब ρ(A) < n; चूँकि ρ(A) ≤ m, यह m < n होने पर स्वतः होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: यही 'विशेष + समघात' संरचना रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल (विशेष समाकल + पूरक फलन) देती है, और आइगेन सदिश ठीक N(A − λI) के अशून्य सदिश हैं।

6. समघात निकाय

AX = 0 का तुच्छ हल X = 0 सदैव होता है। अतुच्छ हल होता है यदि और केवल यदि ρ(A) < n; वर्ग निकाय के लिए, यदि और केवल यदि det A = 0.

भाव: प्रत्येक समतल ax + by + cz = 0 मूल बिंदु से जाता है, अतः X = 0 सदैव हल है; अतुच्छ हल का अर्थ है कि समतल मूल बिंदु से जाने वाली कम से कम एक पूरी रेखा साझा करते हैं। वर्ग निकाय के लिए det A = 0 ⇔ ρ(A) < n ⇔ कम से कम एक मुक्त चर।

यदि m < n (अज्ञातों से कम समीकरण), तो अतुच्छ हल सदैव विद्यमान होता है।

यह क्यों काम करता है: ρ(A) ≤ m < n, अतः कम से कम n − m चर मुक्त हैं और उन्हें शून्येतर मान दिए जा सकते हैं।

7. गाउस विलोपन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रतिस्थापन दो समीकरणों के लिए चलता है पर तीन या अधिक के लिए अव्यवस्थित हो जाता है; हमें एक निश्चित विधि चाहिए जो सदैव उत्तर पर, या यह सिद्ध करके कि हल नहीं है, समाप्त हो।

शब्दों में: धुरी (pivot) समानीत आव्यूह की किसी पंक्ति की पहली अशून्य प्रविष्टि है; जिस स्तंभ में वह है वह धुरी चर (pivot variable) का है।

पंक्ति i का गुणक a_i1/a₁₁ है: धुरी पंक्ति के उतने गुणज को घटाने से धुरी के नीचे की प्रविष्टि शून्य हो जाती है।

सोपानक रूप का अर्थ है: प्रत्येक धुरी ऊपर की पंक्ति की धुरी के दाईं ओर है, और शून्य पंक्तियाँ सबसे नीचे हैं; आव्यूह सीढ़ी जैसा दिखता है।

जिन चरों की धुरी नहीं है वे मुक्त चर (free variables) हैं; वे उत्तर के प्राचल t, s, ... बनते हैं।

पश्च प्रतिस्थापन (back-substitution) पहले अंतिम अशून्य समीकरण को हल करता है और ऊपर की ओर बढ़ता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x + y + z = 4, 2x + 3y + z = 9, x + 3y + 4z = 11 हल करें।

चरण 1: स्तंभ 1 की धुरी a₁₁ = 1 है। R₂ → R₂ − 2R₁ से (0, 1, −1 | 1); R₃ → R₃ − R₁ से (0, 2, 3 | 7).

चरण 2: अब स्तंभ 2 की धुरी 1 (पंक्ति 2) है। R₃ → R₃ − 2R₂ से (0, 0, 5 | 5).

चरण 3: तीन धुरियाँ, अतः ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 = n: अद्वितीय हल, कोई मुक्त चर नहीं।

चरण 4: पश्च प्रतिस्थापन: 5z = 5 से z = 1; y − z = 1 से y = 2; x + y + z = 4 से x = 1.

चरण 5: तीसरे मूल समीकरण में जाँच: 1 + 6 + 4 = 11.

मुक्त चर के साथ: x + 2y − z = 1, 2x + 4y + z = 8. R₂ − 2R₁ से (0, 0, 3 | 6), अतः धुरियाँ x- और z-स्तंभों में हैं और y = t मुक्त है; तब z = 2 और x = 1 − 2t + 2 = 3 − 2t.

अ-उदाहरण (non-example): y + z = 1, x + y = 3, x + z = 4 में प्रविष्टि a₁₁ = 0 है, अतः यह धुरी नहीं हो सकती और 'R₂ − (a₂₁/a₁₁)R₁' शून्य से भाग होगा; पहले R₁ ↔ R₂ करें।

आगे बढ़ते हुए: (1) प्रत्येक विलोपन चरण एक पंक्ति संक्रिया है, अतः समानीत निकाय के हल वही हैं (पंक्ति संक्रियाओं का पाठ)।

(2) सोपानक रूप में कोटियाँ धुरियों की संख्या के रूप में दिखती हैं, अतः संगतता तुरंत पढ़ी जाती है।

(3) सोपानक निकाय धुरी चरों में त्रिभुजाकार है, अतः पश्च प्रतिस्थापन सदैव सफल होता है, और मुक्त चर कोई भी मान ले सकते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: यही विलोपन कोटि, व्युत्क्रम ([A | I] पर गाउस-जॉर्डन), शून्य समष्टियों के आधार और आइगेन सदिश निकालता है, और संख्यात्मक विश्लेषण की प्रत्यक्ष विधि है।

8. विधियाँ

गाउस विलोपन: (1) [A | B] को पंक्ति सोपानक रूप में समानीत करें; (2) दोनों कोटियाँ पढ़कर संगतता तय करें; (3) अकीलक (स्वतंत्र) चरों को प्राचल दें; (4) पश्च-प्रतिस्थापन करें।

पश्च-प्रतिस्थापन क्यों काम करता है: सोपानक निकाय कीलक चरों में त्रिभुजीय है, अतः अंतिम शून्येतर समीकरण अंतिम कीलक चर को मुक्त चरों के पदों में देता है, और प्रत्येक पिछला समीकरण एक और कीलक चर देता है।

गाउस-जॉर्डन: [A | B] को समानीत सोपानक रूप में लाकर हल सीधे पढ़ें।

क्रेमर नियम: यदि A, n × n है और Δ = det A ≠ 0, तो x_i = Δ_i/Δ, जहाँ Δ_i, A का वह सारणिक है जिसमें i-वाँ स्तंभ B से प्रतिस्थापित हो।

क्रेमर नियम की व्युत्पत्ति: X = A⁻¹B = (adj A)B/Δ, अतः x_i = (∑_jC_jib_j)/Δ, जहाँ C_ji, a_ji का सहखंड है। योग ∑_jb_jC_ji, A के स्तंभ i को B से बदलकर प्राप्त सारणिक का स्तंभ i के अनुदिश प्रसार है, अर्थात Δ_i, अतः x_i = Δ_i/Δ.

जब Δ = 0: A·adj A = ΔI से प्रत्येक हल के लिए Δx_i = Δ_i, अतः यदि Δ = 0 और कोई Δ_i ≠ 0 हो तो निकाय असंगत है। पर n ≥ 3 होने पर Δ = Δ₁ = ... = Δ_n = 0 हल की गारंटी नहीं देता (n = 2 के लिए देता है, जब तक A शून्य आव्यूह न हो): x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3 के चारों सारणिक 0 हैं और कोई हल नहीं है।

व्युत्क्रम विधि: A के व्युत्क्रमणीय होने पर X = A⁻¹B.

प्राचलयुक्त निकाय: वर्ग निकाय में पहले वे प्राचल मान ज्ञात करें जिनके लिए det A = 0; अन्य सभी मानों के लिए हल अद्वितीय है (क्रेमर)। det A = 0 वाले प्रत्येक मान के लिए [A | B] को समानीत करें और ρ(A) की ρ([A | B]) से तुलना करें।

संगतता शर्तें: हल के लिए दाएँ पक्ष (a, b, c) पर शर्त ज्ञात करने हेतु [A | B] को समानीत करते समय a, b, c को अक्षरों में रखें; A की शून्य पंक्ति के सामने वाली प्रविष्टि शून्य होनी चाहिए।

9. व्युत्पत्ति: संक्रिया रूप में गाउस विलोपन

चरण 1: पहले स्तंभ में कीलक a₁₁ ≠ 0 चुनें (आवश्यक हो तो पंक्तियाँ बदलें)। चरण 2: i = 2, ..., m के लिए R_i → R_i − (a_i1/a₁₁)R₁ से कीलक के नीचे पहला स्तंभ शून्य हो जाता है।

चरण 3: कीलक के नीचे की पंक्तियों पर दोहराएँ, जब किसी स्तंभ में कोई शून्येतर प्रविष्टि न बचे तो अगले स्तंभ पर जाएँ; पंक्तियाँ समाप्त होने पर रुकें। प्रत्येक चरण एक व्युत्क्रमणीय प्रारंभिक आव्यूह से पूर्व-गुणन है, अतः E = E_k...E₁ के साथ नए निकाय EAX = EB के हल ठीक वही हैं जो AX = B के।

कोटियाँ पढ़ना: ρ(A), A-भाग में कीलकों की संख्या है और ρ([A | B]) पूरे संवर्धित आव्यूह में; ये ठीक तब भिन्न होती हैं (ठीक 1 से) जब कोई पंक्ति (0 ... 0 | c), c ≠ 0, आती है।

LU रूप: जब पंक्ति विनिमय की आवश्यकता न हो, तो I के विकर्ण के नीचे रखे गुणक a_i1/a₁₁, ... एकक निम्न त्रिभुजीय L बनाते हैं जिससे A = LU, जहाँ U सोपानक रूप है; LY = B और फिर UX = Y हल करना वही विलोपन दो चरणों में करना है।

10. तीन अज्ञातों में तीन समीकरणों की ज्यामिति

प्रत्येक समीकरण a_ix + b_iy + c_iz = d_i अभिलंब (a_i, b_i, c_i) वाला एक समतल है, और ρ(A) स्वतंत्र अभिलंबों की संख्या है (ऊपर का चित्र और इस विषय की कोटियों की तालिका देखें)।

ρ(A) = 3: अभिलंब स्वतंत्र हैं और तीनों समतल ठीक एक बिंदु पर मिलते हैं।

ρ(A) = 2: अभिलंब एक समतल में हैं, अतः तीनों समतल एक नियत रेखा के समांतर हैं। यदि ρ([A | B]) = 2 तो वे एक उभयनिष्ठ रेखा साझा करते हैं; यदि ρ([A | B]) = 3 तो वे त्रिभुजाकार प्रिज़्म बनाते हैं, या उनमें से दो समांतर हैं और तीसरा दोनों को काटता है।

ρ(A) = 1: तीनों समतल समांतर हैं। यदि ρ([A | B]) = 1 तो वे संपाती हैं (हलों का द्वि-प्राचल कुल); यदि ρ([A | B]) = 2 तो कम से कम दो भिन्न समांतर समतल हैं और कोई हल नहीं है।

11. विधि का चयन

यदि A वर्ग हो और Δ = det A ≠ 0 सरलता से दिखे → क्रेमर नियम (n ≤ 3 के लिए) या X = A⁻¹B, जब A⁻¹ पहले से ज्ञात हो या वह भी पूछा गया हो।

यदि निकाय वर्ग न हो, या Δ = 0 हो, या संगतता की चर्चा करनी हो → [A | B] पर गाउस विलोपन और दोनों कोटियों की तुलना।

यदि गुणांकों में प्राचल हो → पहले det A = 0 वाले मान ज्ञात करें; अन्य सभी मानों के लिए हल अद्वितीय है, और प्रत्येक विशेष मान पर [A | B] को अलग से समानीत करें।

यदि दाएँ पक्ष (a, b, c) पर शर्तें पूछी जाएँ → अंतिम स्तंभ में a, b, c को अक्षरों में रखें; A-भाग की प्रत्येक शून्य पंक्ति एक रैखिक शर्त देती है।

यदि निकाय समघात हो → केवल ρ(A) महत्त्वपूर्ण है; वर्ग निकाय के लिए अतुच्छ हलों की शर्त det A = 0 है, और उत्तर N(A) का आधार होना चाहिए।

यदि n बड़ा हो या गुणांक दशमलव हों → आंशिक कीलकन के साथ विलोपन, या जब A विकर्णतः प्रधान हो तब गाउस-सीडल जैसी पुनरावृत्ति विधि (संख्यात्मक विश्लेषण)।

12. सामान्य गलतियाँ

Δ = 0 होने पर क्रेमर नियम लगाना, या केवल Δ = Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ = 0 के आधार पर 'अनंत हल' निष्कर्ष निकालना; कोटियों की तुलना आवश्यक है।

[A | B] पर स्तंभ संक्रियाएँ करना; वे अज्ञातों को दाएँ पक्ष से मिला देती हैं और हल समुच्चय बदल देती हैं।

ठीक n − r प्राचलों के साथ प्राचलिक रूप में व्यापक हल लिखे बिना 'निकाय संगत है' पर रुक जाना।

λ = 3 पर अलग से विचार किए बिना प्राचल वाले व्यंजक (जैसे λ − 3) से भाग देना।

det A = 0 वाले समघात निकाय के लिए केवल X = 0 उत्तर देना, जबकि हल समष्टि का आधार अपेक्षित है।

अंतिम हल को मूल समीकरणों में वापस न रखना; एक पंक्ति की जाँच अधिकांश अंकगणितीय भूलें पकड़ लेती है।

13. संबंध

संबंध: रैखिक प्रोग्रामन (linear programming) में AX = B (m समीकरण, कोटि m) का आधारी हल n − m चरों को 0 रखकर शेष m के लिए हल करने से मिलता है, जिनके स्तंभ स्वतंत्र होने चाहिए; एकधा विधि एक ऐसे हल से दूसरे पर जाती है।

संबंध: आइगेन सदिश समघात निकाय (A − λI)X = 0 के अतुच्छ हल हैं, अतः शर्त det(A − λI) = 0 ठीक अभिलक्षणिक समीकरण है (आइगेन मान)।

संबंध: गाउस विलोपन, गाउस-जॉर्डन और गाउस-सीडल संख्यात्मक विश्लेषण की प्रत्यक्ष और पुनरावृत्ति विधियाँ हैं; यहाँ का कोटि सिद्धांत किसी भी संख्यात्मक विधि से पहले तय करता है कि हल विद्यमान है या नहीं।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: λ और μ के किन मानों के लिए निकाय x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 10, x + 2y + λz = μ का (i) कोई हल नहीं, (ii) अद्वितीय हल, (iii) अनंत हल होंगे?

R₂ − R₁ से y + 2z = 4, और R₃ − R₂ से (λ − 3)z = μ − 10.

(i) λ = 3, μ ≠ 10: ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 3, कोई हल नहीं। (ii) λ ≠ 3: ρ(A) = ρ([A | B]) = 3, अद्वितीय हल। (iii) λ = 3, μ = 10: दोनों कोटियाँ 2, अनंत हल।

स्थिति (iii) में z = t लेने पर: y = 4 − 2t और x = 6 − y − z = 2 + t, अतः X = (2 + t, 4 − 2t, t), t ∈ ℝ.

उदाहरण 2: k ज्ञात करें जिसके लिए kx + y + z = 0, x + ky + z = 0, x + y + kz = 0 का अतुच्छ हल हो।

det [[k, 1, 1], [1, k, 1], [1, 1, k]] = k³ − 3k + 2 = (k − 1)²(k + 2) = 0, अतः k = 1 या k = −2.

k = 1 के लिए निकाय एकल समीकरण x + y + z = 0 है, एक द्वि-प्राचल कुल। k = −2 के लिए कोटि 2 है और हल x = y = z = t है।

उदाहरण 3 (क्रेमर): 2x + y = 5, x − y = 1. Δ = −3, Δ₁ = det [[5, 1], [1, −1]] = −6, Δ₂ = det [[2, 5], [1, 1]] = −3, अतः x = 2, y = 1.

उदाहरण 4: गाउसीय निरसन से हल करें: x + y + z = 6, 2x − y + 3z = 9, x + 2y − z = 2.

R₂ − 2R₁: −3y + z = −3; R₃ − R₁: y − 2z = −4.

दूसरे से y = 2z − 4; प्रतिस्थापन से −3(2z − 4) + z = −3, अतः −5z = −15 और z = 3, y = 2, x = 6 − 2 − 3 = 1. हल (1, 2, 3); दूसरे समीकरण में जाँच: 2 − 2 + 9 = 9.

उदाहरण 5: x + 2y − z + w = 0, 2x + 4y + z − w = 0, 3x + 6y = 0 के हल समष्टि का आधार ज्ञात करें।

तीसरा समीकरण पहले दो का योग है, और पहले दो स्वतंत्र हैं, अतः ρ(A) = 2 और हल समष्टि की विमा 4 − 2 = 2 है।

पहले दो को जोड़ने पर 3x + 6y = 0, अतः x = −2y; तब पहले से w = z. y = s, z = t लेने पर: X = s(−2, 1, 0, 0) + t(0, 0, 1, 1), और ये दो सदिश आधार हैं।

उदाहरण 6: सिद्ध करें कि x + 2y + 3z = 1, 2x + 3y + 4z = 2, 3x + 4y + 5z = 4 असंगत है।

गुणांक पंक्तियाँ R₃ = 2R₂ − R₁ संतुष्ट करती हैं, अतः ρ(A) = 2. दाएँ पक्षों का यही संचय 2(2) − 1 = 3 ≠ 4 देता है।

अतः समानीत संवर्धित आव्यूह में पंक्ति (0, 0, 0 | 1) आती है, ρ([A | B]) = 3 ≠ ρ(A), और रूशे-कैपेली प्रमेय से कोई हल नहीं है।

उदाहरण 7: a के किन मानों के लिए निकाय x + y + z = 1, x + 2y + 4z = a, x + 4y + 10z = a² संगत है? प्रत्येक स्थिति में हल करें।

R₂ − R₁: y + 3z = a − 1; R₃ − R₁: 3y + 9z = a² − 1. पहले का 3 गुना घटाने पर: 0 = a² − 3a + 2 = (a − 1)(a − 2).

अतः सदैव ρ(A) = 2, और निकाय केवल a = 1 या a = 2 पर संगत है।

a = 1: y = −3k, x = 1 + 2k, z = k. a = 2: y = 1 − 3k, x = 2k, z = k (k ∈ ℝ); जाँच a = 2, k = 0: (0, 1, 0) से 1, 2, 4.

15. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 10 अंक): (i) प्रारम्भिक पंक्ति संक्रिया (elementary row operation) के प्रयोग से वह शर्त निकालिये, जिससे कि प्रथम-घातीय समीकरणों (linear equations)
x − 2y + z = a
2x + 7y − 3z = b
3x + 5y − 2z = c
का एक हल हो। (7 अंक)
(ii) यदि
W₁ = {(x, y, z) | x + y − z = 0}
W₂ = {(x, y, z) | 3x + y − 2z = 0}
W₃ = {(x, y, z) | x − 7y + 3z = 0}
तो dim(W₁ ∩ W₂ ∩ W₃) तथा dim(W₁ + W₂) का मान निकालिये। (3 अंक)

(i) [A | B] में R₂ − 2R₁ से (0, 11, −5 | b − 2a) और R₃ − 3R₁ से (0, 11, −5 | c − 3a); फिर R₃ − R₂ से (0, 0, 0 | c − a − b).

ρ(A) = 2, अतः निकाय संगत है ⇔ ρ([A | B]) = 2 ⇔ c = a + b (तब इसके अनंत हल हैं)।

(ii) W₁ ∩ W₂ ∩ W₃ आव्यूह [[1, 1, −1], [3, 1, −2], [1, −7, 3]] की हल समष्टि है; R₂ − 3R₁ = (0, −2, 1) और R₃ − R₁ = (0, −8, 4) = 4(0, −2, 1), अतः कोटि 2 और विमा 3 − 2 = 1 (रेखा L{(1, 1, 2)})।

W₁, W₂ मूलबिंदु से जाने वाले भिन्न समतल हैं (प्रत्येक की विमा 2) और W₁ ∩ W₂ = L{(1, 1, 2)}, अतः dim(W₁ + W₂) = 2 + 2 − 1 = 3, अर्थात W₁ + W₂ = ℝ³.

उत्तर: (i) c = a + b; (ii) dim(W₁ ∩ W₂ ∩ W₃) = 1 और dim(W₁ + W₂) = 3.

उदाहरण 9 (UPSC 2019, 10 अंक): अगर
A = [[1, 2, 1], [1, −4, 1], [3, 0, −3]] और B = [[2, 1, 1], [1, −1, 0], [2, 1, −1]]
है, तो दर्शाइए कि AB = 6I₃. इस परिणाम का उपयोग करते हुए निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए :
2x + y + z = 5
x − y = 0
2x + y − z = 1

A की पंक्ति 1, B के स्तंभों के साथ: (2 + 2 + 2, 1 − 2 + 1, 1 + 0 − 1) = (6, 0, 0); पंक्ति 2: (2 − 4 + 2, 1 + 4 + 1, 1 + 0 − 1) = (0, 6, 0); पंक्ति 3: (6 + 0 − 6, 3 + 0 − 3, 3 + 0 + 3) = (0, 0, 6). अतः AB = 6I₃.

अतः B⁻¹ = A/6. दिया गया निकाय BX = C है, जहाँ C = (5, 0, 1)^T, क्योंकि इसका गुणांक आव्यूह ठीक B है।

X = B⁻¹C = (1/6)AC = (1/6)(5 + 0 + 1, 5 − 0 + 1, 15 + 0 − 3) = (1, 1, 2). जाँच: 2 + 1 + 2 = 5, 1 − 1 = 0, 2 + 1 − 2 = 1.

उत्तर: x = 1, y = 1, z = 2.

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 15 अंक): माना A = [[1, 0, 2], [2, −1, 3], [4, 1, 8]] और B = [[−11, 2, 2], [−4, 0, 1], [6, −1, −1]]
(i) AB ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिक (A) व सारणिक (B) ज्ञात कीजिए।
(iii) निम्न रैखिक समीकरणों के निकाय का हल निकालिए : x + 2z = 3, 2x − y + 3z = 3, 4x + y + 8z = 14

(i) A की पंक्ति 1 (1, 0, 2), B के स्तंभों के साथ (−11 + 12, 2 − 2, 2 − 2) = (1, 0, 0) देती है; पंक्ति 2 (2, −1, 3): (−22 + 4 + 18, 4 − 3, 4 − 1 − 3) = (0, 1, 0); पंक्ति 3 (4, 1, 8): (−44 − 4 + 48, 8 − 8, 8 + 1 − 8) = (0, 0, 1). अतः AB = I.

(ii) det A = 1(−8 − 3) − 0 + 2(2 + 4) = 1, और det A · det B = det(AB) = 1 से det B = 1.

(iii) निकाय AX = C है, जहाँ C = (3, 3, 14)^T और A⁻¹ = B, अतः X = BC = (−33 + 6 + 28, −12 + 0 + 14, 18 − 3 − 14) = (1, 2, 1).

जाँच: 1 + 2 = 3, 2 − 2 + 3 = 3, 4 + 2 + 8 = 14.

उत्तर: AB = I, det A = det B = 1, और x = 1, y = 2, z = 1.

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): x + 2y = 3, 2x + 4y = 7 का संवर्धित आव्यूह लिखें, ρ(A) और ρ([A | B]) ज्ञात करें, और बताएँ कि निकाय संगत है या नहीं।

उत्तर: [[1, 2 | 3], [2, 4 | 7]]; R₂ − 2R₁ = (0, 0 | 1), अतः ρ(A) = 1, ρ([A | B]) = 2: असंगत (समांतर रेखाएँ)।

अभ्यास 2 (मूल): क्या x + y − z = 1 का हल समुच्चय ℝ³ की उपसमष्टि है? और x + y − z = 0 का?

उत्तर: पहला नहीं (इसमें 0 नहीं है); दूसरा है, मूल बिंदु से जाने वाला विमा 2 का समतल।

अभ्यास 3 (मूल): एक संगत निकाय में 6 अज्ञातों में 4 समीकरण हैं और ρ(A) = 3. इसके व्यापक हल में कितने स्वेच्छ प्राचल हैं, और dim N(A) क्या है?

उत्तर: n − r = 6 − 3 = 3 प्राचल; dim N(A) = 3.

अभ्यास 4 (मानक): गाउस विलोपन से हल करें: x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 14, x + 4y + 9z = 36.

उत्तर: y + 2z = 8, 3y + 8z = 30, फिर 2z = 6: z = 3, y = 2, x = 1.

अभ्यास 5 (मानक): x + y + z + w = 0, x + 2y + 3z + 4w = 0 की हल समष्टि का आधार और विमा ज्ञात करें।

उत्तर: y = −2z − 3w, x = z + 2w; आधार (1, −2, 1, 0), (2, −3, 0, 1); विमा 2.

अभ्यास 6 (मानक): सभी वास्तविक k और m के लिए निकाय x + y + z = 1, x + 2y − z = 2, 2x + 3y + kz = m की विवेचना करें, और अनंत हल होने पर इसे हल करें।

उत्तर: विलोपन से y − 2z = 1 और kz = m − 3. k ≠ 0: अद्वितीय हल; k = 0, m = 3: अनंत हल, (x, y, z) = (−3t, 1 + 2t, t); k = 0, m ≠ 3: कोई हल नहीं।

अभ्यास 7 (मानक): क्रेमर नियम से 3x + 2y = 7, x − y = −1 हल करें।

उत्तर: Δ = −5, Δ₁ = −5, Δ₂ = −10, अतः x = 1, y = 2.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं से x + 2y − 3z = a, 2x + 6y − 11z = b, x − 2y + 7z = c के संगत होने के लिए a, b, c पर प्रतिबंध ज्ञात करें, और तब स्वेच्छ प्राचलों की संख्या बताएँ।

उत्तर: R₂ − 2R₁ = (0, 2, −5 | b − 2a), R₃ − R₁ = (0, −4, 10 | c − a), फिर R₃ + 2R₂ = (0, 0, 0 | c + 2b − 5a). संगत ⇔ 5a = 2b + c, ρ = 2 और एक स्वेच्छ प्राचल।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): मान लें a, b, c भिन्न हैं। दिखाएँ कि x + y + z = 1, ax + by + cz = d, a²x + b²y + c²z = d² का अद्वितीय हल है और x ज्ञात करें।

उत्तर: Δ वांडरमॉन्ड सारणिक (b − a)(c − a)(c − b) ≠ 0 है; क्रेमर से x = (d − b)(d − c)/((a − b)(a − c)), और y, z चक्रीय परिवर्तन से।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): λ के वे वास्तविक मान ज्ञात करें जिनके लिए x + 2y + 3z = λx, 3x + y + 2z = λy, 2x + 3y + z = λz का अतुच्छ हल हो, और वह हल ज्ञात करें।

उत्तर: det(A − λI) = 0 से λ³ − 3λ² − 15λ − 18 = (λ − 6)(λ² + 3λ + 3) = 0; द्विघात का कोई वास्तविक मूल नहीं, अतः λ = 6, और तब ρ = 2 तथा हल x = y = z = t.

1. आइगेन मान और आइगेन सदिश को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: आव्यूह A लगभग प्रत्येक सदिश को नई दिशा में ले जाता है, जिससे A², A¹⁰ या e^A की कल्पना या गणना कठिन हो जाती है।

यदि हम ऐसी विशेष दिशाएँ ढूँढ़ लें जिन्हें A केवल खींचता है, तो उन दिशाओं पर A एक साधारण संख्या जैसा व्यवहार करता है, और सब कुछ सरल हो जाता है।

शब्दों में: 'AX = λX' कहता है: जब A, X पर क्रिया करता है, तो परिणाम X की ही दिशा में होता है, संख्या λ से गुणित।

'किसी अशून्य X के लिए' आवश्यक है: X = 0 प्रत्येक λ के लिए A0 = λ0 को संतुष्ट करता है, अतः वह कोई जानकारी नहीं देता।

λ आइगेन मान (eigenvalue), अर्थात् खिंचाव गुणांक है; यह ऋणात्मक (दिशा उलट जाती है), शून्य (दिशा 0 में दब जाती है) या ℂ पर सम्मिश्र हो सकता है।

X, λ से संबद्ध आइगेन सदिश (eigenvector) है; कोई भी अशून्य गुणज kX भी आइगेन सदिश है, अतः वास्तव में हम आइगेन सदिशों की पूरी रेखा (या समतल) पाते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें A = [[2, 1], [1, 2]].

चरण 1: X = (1, 1) आज़माएँ। AX = (2 + 1, 1 + 2) = (3, 3) = 3(1, 1). अतः X, λ = 3 वाला आइगेन सदिश है।

चरण 2: X = (1, −1) आज़माएँ। AX = (2 − 1, 1 − 2) = (1, −1) = 1·(1, −1). अतः λ = 1 दूसरा आइगेन मान है।

चरण 3: X = (1, 0) आज़माएँ। AX = (2, 1), जो (1, 0) का गुणज नहीं है, अतः (1, 0) आइगेन सदिश नहीं है: A उसे घुमा देता है।

चरण 4: ध्यान दें कि (1, 0) = ½(1, 1) + ½(1, −1); A लगाने पर ½·3(1, 1) + ½·1(1, −1) = (2, 1) मिलता है। सदिश को आइगेन सदिशों के अनुदिश विभाजित करने से A की क्रिया दो गुणनों में बदल जाती है।

अ-उदाहरण (non-example): चौथाई-घूर्णन R = [[0, −1], [1, 0]], (x, y) को (−y, x) पर भेजता है, जो (x, y) के लंबवत है; कोई अशून्य वास्तविक सदिश अपनी दिशा नहीं रखता, अतः R का कोई वास्तविक आइगेन मान नहीं है (इसके आइगेन मान ±i हैं)।

आगे बढ़ते हुए: (1) AX = λX वही है जो (A − λI)X = 0, अज्ञात सदिश X वाला एक समघात निकाय।

(2) समघात वर्ग निकाय का अशून्य हल ठीक तब होता है जब उसका सारणिक 0 हो, अतः λ आइगेन मान है ⇔ det(A − λI) = 0.

(3) λ ज्ञात होने पर आइगेन सदिश शून्य समष्टि N(A − λI) के अशून्य सदिश हैं, जो विलोपन से मिलते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: आव्यूहों की घातें और व्युत्क्रम, अवकल समीकरणों के निकाय X′ = AX, शांकवों और शांकवजों के मुख्य अक्ष, और पुनरावृत्तियों का स्थायित्व।

2. अभिलक्षणिक बहुपद और बहुलताओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: आइगेन सदिशों का अनुमान केवल बहुत सरल आव्यूहों के लिए चलता है; हमें ऐसी प्रक्रिया चाहिए जो किसी भी वर्ग आव्यूह के सभी आइगेन मान दे।

हमें आइगेन सदिशों को सही गिनना भी है, क्योंकि वही गिनती विकर्णीकरण तय करती है।

शब्दों में: p(λ) = det(λI − A), अक्षर λ में घात n का बहुपद है, जिसका अग्र गुणांक 1 है; इसे अभिलक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) कहते हैं।

इसके मूल ठीक आइगेन मान हैं, अतः n × n आव्यूह के अधिकतम n भिन्न आइगेन मान होते हैं, और ℂ पर बहुलता सहित गिनने पर ठीक n.

बीजीय बहुलता (algebraic multiplicity) AM(λ) यह है कि λ, p के मूल के रूप में कितनी बार दोहराया गया है।

ज्यामितीय बहुलता (geometric multiplicity) GM(λ), λ के स्वतंत्र आइगेन सदिशों की संख्या है, अर्थात् dim N(A − λI) = n − ρ(A − λI).

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें A = [[4, 1], [2, 3]].

चरण 1: λI − A = [[λ − 4, −1], [−2, λ − 3]].

चरण 2: p(λ) = (λ − 4)(λ − 3) − (−1)(−2) = λ² − 7λ + 12 − 2 = λ² − 7λ + 10.

चरण 3: गुणनखंड: p(λ) = (λ − 2)(λ − 5), अतः λ = 2 और λ = 5, प्रत्येक की AM = 1.

चरण 4: λ = 5: A − 5I = [[−1, 1], [2, −2]], जिसकी दोनों पंक्तियाँ x = y कहती हैं; आइगेन सदिश (1, 1), जाँच A(1, 1) = (5, 5).

चरण 5: λ = 2: A − 2I = [[2, 1], [2, 1]] से 2x + y = 0; आइगेन सदिश (1, −2), जाँच A(1, −2) = (2, −4).

चरण 6: ध्यान दें कि 2 + 5 = 7 = tr A और 2 × 5 = 10 = det A: यह गणना की निःशुल्क जाँच है।

अ-उदाहरण (non-example): अपरूपण [[3, 1], [0, 3]] के लिए p(λ) = (λ − 3)², अतः AM(3) = 2, पर A − 3I = [[0, 1], [0, 0]] की कोटि 1 है और GM(3) = 1: पुनरावृत्त मूल दो स्वतंत्र आइगेन सदिशों की गारंटी नहीं देता।

आगे बढ़ते हुए: (1) det(λI − A) के प्रसार में λⁿ और λⁿ⁻¹ पद केवल विकर्ण गुणनफल से आते हैं, जिससे λⁿ − (tr A)λⁿ⁻¹ मिलता है; λ = 0 से अचर पद (−1)ⁿdet A मिलता है।

(2) (λ − λ₁)...(λ − λ_n) से तुलना करने पर ∑λ_i = tr A और ∏λ_i = det A.

(3) GM ≤ AM क्यों: E_λ का आधार (g सदिश) लेकर उसे Fⁿ के आधार तक बढ़ाएँ; उस आधार में A, [[λI_g, *], [0, C]] बन जाता है, जिसके अभिलक्षणिक बहुपद (t − λ)^gdet(tI − C) में (t − λ)^g पहले से है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक आइगेन मान प्रश्न यहीं से शुरू होता है; 3 × 3 आव्यूहों के लिए संक्षिप्त सूत्र λ³ − (tr A)λ² + (मुख्य 2 × 2 उपसारणिकों का योग)λ − det A लें।

3. परिभाषाएँ

λ ∈ F, n × n आव्यूह A का आइगेन मान (eigenvalue) है यदि किसी अशून्य X के लिए AX = λX; ऐसा X, λ से संबद्ध आइगेन सदिश (eigenvector) है।

भाव: आइगेन सदिश (eigenvector) वह दिशा है जिसे A घुमाता नहीं: A उसे केवल λ गुना खींचता है, और λ < 0 होने पर उलट देता है। ऊपर के चित्र में एक सममित आव्यूह एकक वृत्त को दीर्घवृत्त पर प्रतिचित्रित करता है; आइगेन सदिश दीर्घवृत्त के अक्षों के अनुदिश हैं और आइगेन मान (eigenvalues) 3 और 1 अर्ध-अक्ष हैं, जबकि कोई अन्य सदिश घूम जाता है।

X ≠ 0 क्यों आवश्यक है: प्रत्येक अदिश λ के लिए A0 = λ0, अतः X = 0 की अनुमति देने पर प्रत्येक संख्या आइगेन मान बन जाएगी।

अभिलक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial): p(λ) = det(λI − A) = λⁿ − (tr A)λⁿ⁻¹ + ... + (−1)ⁿ det A; आइगेन मान p(λ) = 0 के मूल हैं।

व्युत्पत्ति: X ≠ 0 के साथ AX = λX ⇔ (λI − A)X = 0 का अतुच्छ हल है ⇔ det(λI − A) = 0. λ = 0 रखने पर अचर पद p(0) = det(−A) = (−1)ⁿdet A मिलता है। λⁿ⁻¹ का पद केवल (λ − a₁₁)(λ − a₂₂)...(λ − a_nn) से आता है, क्योंकि प्रसार का प्रत्येक अन्य पद कम से कम दो विकर्ण प्रविष्टियाँ छोड़ देता है, अतः इसका गुणांक −(a₁₁ + ... + a_nn) = −tr A है।

3 × 3 आव्यूह के लिए: λ³ − (tr A)λ² + (मुख्य 2 × 2 उपसारणिकों का योग)λ − det A = 0.

आइगेन समष्टि E_λ = N(A − λI). बीजीय बहुलता (AM) = मूल के रूप में λ की बहुलता; ज्यामितीय बहुलता (GM) = dim E_λ = n − ρ(A − λI); सदैव 1 ≤ GM ≤ AM.

भाव: AM गिनता है कि λ मूल के रूप में कितनी बार आता है और GM गिनता है कि λ वास्तव में कितनी स्वतंत्र दिशाओं को खींचता है। अपरूपण (shear) [[2, 1], [0, 2]] के लिए λ = 2 की AM = 2 पर GM = 2 − ρ([[0, 1], [0, 0]]) = 1 (केवल x-दिशा), अतः यह अपरूपण विकर्णनीय नहीं है।

4. गुणधर्म

आइगेन मानों का योग = tr A; गुणनफल = det A; A अव्युत्क्रमणीय ⇔ 0 एक आइगेन मान है।

यह क्यों काम करता है: ℂ पर p(λ) = (λ − λ₁)(λ − λ₂)...(λ − λ_n); λⁿ⁻¹ और अचर पदों की ऊपर प्राप्त पदों से तुलना करने पर λ₁ + ... + λ_n = tr A और λ₁λ₂...λ_n = det A (आइगेन मान बहुलता सहित गिने गए)।

यदि λ, A का आइगेन मान है, तो λ^k, A^k का; 1/λ, A⁻¹ का (λ ≠ 0); λ − k, A − kI का; f(λ), किसी भी बहुपद f के लिए f(A) का; और (det A)/λ, adj A का (A व्युत्क्रमणीय) आइगेन मान है।

यह क्यों काम करता है: AX = λX से A²X = A(λX) = λ²X, और आगमन से A^kX = λ^kX; गुणजों को जोड़ने पर f(A)X = f(λ)X. AX = λX को A⁻¹ से गुणा करने पर A⁻¹X = (1/λ)X, और adj A = (det A)A⁻¹ से adj A·X = ((det A)/λ)X. प्रत्येक स्थिति में आइगेन सदिश X वही रहता है।

A और A^T के आइगेन मान समान हैं; त्रिभुजीय या विकर्ण आव्यूह के आइगेन मान उसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं; समरूप आव्यूहों के आइगेन मान समान होते हैं।

भिन्न आइगेन मानों से संबद्ध आइगेन सदिश रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं।

मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8 में सिद्ध। भाव: भिन्न खिंचाव गुणक किसी एक संयुक्त दिशा से उत्पन्न नहीं हो सकते, अतः प्रत्येक नया आइगेन मान एक वास्तव में नई दिशा जोड़ता है।

रैखिक संकारक के आइगेन मान: T: V → V के आइगेन मान किसी भी आधार में उसके आव्यूह [T] के आइगेन मान हैं (ऐसे सभी आव्यूह समरूप हैं); X, [T] का आइगेन सदिश है ठीक तब जब निर्देशांक X वाला सदिश T का आइगेन सदिश है, उदाहरणार्थ V = P_n होने पर एक बहुपद।

घूर्णन: R_θ = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] के आइगेन मान e^±iθ = cos θ ± i sin θ हैं, जो केवल θ = kπ के लिए वास्तविक हैं। शून्यंभावी आव्यूहों का केवल आइगेन मान 0, वर्गसम (idempotent) के केवल 0 और 1, और अंतर्वलनी (involutory) के केवल ±1 होते हैं।

5. विकर्णीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: विकर्ण आव्यूह D = diag(d₁, ..., d_n) को संभालना सरल है: D^k = diag(d₁^k, ..., d_n^k).

विकर्णीकरण पूछता है कि क्या निर्देशांकों के परिवर्तन से A विकर्ण बन सकता है, ताकि A के बारे में प्रत्येक प्रश्न संख्याओं का प्रश्न बन जाए।

शब्दों में: 'A विकर्णनीय (diagonalisable) है' का अर्थ है कि ऐसा व्युत्क्रमणीय P है जिससे P⁻¹AP = D विकर्ण हो।

P आधार-परिवर्तन आव्यूह है: इसके स्तंभ नए आधार सदिश हैं, और वे A के आइगेन सदिश होने चाहिए।

D, P के स्तंभों के उसी क्रम में आइगेन मान सूचीबद्ध करता है।

'व्युत्क्रमणीय P' का अर्थ है कि n आइगेन सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हों; यही एकमात्र वास्तविक प्रतिबंध है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A = [[4, 1], [2, 3]] के साथ आगे बढ़ें, आइगेन मान 5, 2, आइगेन सदिश (1, 1), (1, −2).

चरण 1: आइगेन सदिशों को स्तंभों के रूप में रखें: P = [[1, 1], [1, −2]]; det P = −3 ≠ 0, अतः P व्युत्क्रमणीय है।

चरण 2: उसी क्रम में D = diag(5, 2).

चरण 3: AP = PD को स्तंभवार जाँचें: A(1, 1) = 5(1, 1) और A(1, −2) = 2(1, −2), जो ठीक PD के स्तंभ हैं।

चरण 4: P⁻¹ = (1/3)[[2, 1], [1, −1]], और Aⁿ = PDⁿP⁻¹ = (1/3)[[2·5ⁿ + 2ⁿ, 5ⁿ − 2ⁿ], [2·5ⁿ − 2·2ⁿ, 5ⁿ + 2·2ⁿ]].

चरण 5: n = 1 पर जाँच: (1/3)[[12, 3], [6, 9]] = [[4, 1], [2, 3]] = A. अंतिम सूत्र को सदैव n = 1 पर परखें।

अ-उदाहरण (non-example): अपरूपण [[1, 1], [0, 1]] का एकमात्र आइगेन मान 1 है और केवल आइगेन सदिश k(1, 0) हैं; दो स्वतंत्र आइगेन सदिश नहीं हैं, अतः कोई व्युत्क्रमणीय P काम नहीं करता और आव्यूह विकर्णनीय नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) AP = PD को स्तंभवार पढ़ने पर AX_j = λ_jX_j मिलता है, अतः P के स्तंभ आइगेन सदिश होने चाहिए (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 10)।

(2) भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश स्वतंत्र होते हैं (प्रमेय 8), अतः n भिन्न आइगेन मान सदैव पर्याप्त हैं।

(3) पुनरावृत्त आइगेन मानों के साथ, आइगेन समष्टियों के आधार मिलकर स्वतंत्र होते हैं, अतः हमें ठीक n तब मिलते हैं जब प्रत्येक आइगेन मान के लिए GM = AM हो (और सभी आइगेन मान क्षेत्र में हों)।

कहाँ प्रयोग होता है: Aⁿ, X′ = AX के लिए e^At, मार्कोव शृंखलाएँ, और द्विघात रूपों तथा शांकवजों का मुख्य अक्षों पर समानयन।

6. विकर्णन

A विकर्णनीय (P⁻¹AP = D) है यदि और केवल यदि A के n रैखिकतः स्वतंत्र आइगेन सदिश हों, यदि और केवल यदि उसके सभी आइगेन मान F में हों (ℂ पर स्वतः) और प्रत्येक आइगेन मान के लिए GM = AM; P के स्तंभ आइगेन सदिश हैं और D में उसी क्रम में आइगेन मान हैं।

व्युत्पत्ति: यदि AX_i = λ_iX_i और P = [X₁ X₂ ... X_n] (आइगेन सदिश स्तंभों के रूप में), तो AP = [λ₁X₁ ... λ_nX_n] = PD. P ठीक तब व्युत्क्रमणीय है जब X_i स्वतंत्र हों, और तब P⁻¹AP = D; कसौटी GM = AM मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 10 में सिद्ध है।

भाव: आइगेन सदिशों के आधार में संकारक प्रत्येक निर्देशांक अक्ष को केवल उसके अपने गुणक से मापता है, इसीलिए A की घातें, व्युत्क्रम और फलन सरल हो जाते हैं।

n भिन्न आइगेन मान ⇒ विकर्णनीय (पर्याप्त, आवश्यक नहीं)। तब A^k = PD^kP⁻¹.

A^k = PD^kP⁻¹ क्यों: A = PDP⁻¹ से A^k = (PDP⁻¹)(PDP⁻¹)...(PDP⁻¹) = PD^kP⁻¹, क्योंकि प्रत्येक आंतरिक P⁻¹P कट जाता है; इसी प्रकार किसी भी बहुपद या घात श्रेणी f, जैसे e^A, के लिए f(A) = Pf(D)P⁻¹.

अल्पिष्ठ बहुपद (minimal polynomial) m(λ): न्यूनतम घात का वह एकघाती-अग्र बहुपद जिसके लिए m(A) = 0; यह p(λ) को विभाजित करता है, इसके भिन्न मूल वही हैं, और ℂ पर A विकर्णनीय है यदि और केवल यदि m(λ) के कोई पुनरावृत्त मूल न हों (ℝ पर इसके सभी मूल वास्तविक भी होने चाहिए)।

m, p को क्यों विभाजित करता है: p(λ) = q(λ)m(λ) + r(λ) लिखें जहाँ deg r < deg m; तब r(A) = p(A) − q(A)m(A) = 0, अतः m की न्यूनतमता से r = 0. प्रत्येक आइगेन मान m का मूल है, क्योंकि X ≠ 0 के साथ m(A)X = m(λ)X = 0.

उदाहरण: अपरूपण [[2, 1], [0, 2]] का m(λ) = (λ − 2)² है, जिसका मूल पुनरावृत्त है, अतः यह विकर्णनीय नहीं है, जबकि 2I का अभिलक्षणिक बहुपद वही है पर m(λ) = λ − 2.

7. कैली-हैमिल्टन प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सहखंडों से A⁻¹ या बार-बार गुणा करके A⁵⁰ निकालना लंबा है; हम A की ऊँची घातों को नीची घातों से बदलना चाहते हैं।

प्रमेय एक घात n का बहुपद समीकरण देता है जिसका A सदैव पालन करता है, और यह A की प्रत्येक घात को अधिकतम घात n − 1 तक घटाने के लिए पर्याप्त है।

शब्दों में: p(λ) = λⁿ + c₁λⁿ⁻¹ + ... + c_n लिखें; 'A, p को संतुष्ट करता है' का अर्थ है कि λ^k के स्थान पर A^k और अचर c_n के स्थान पर c_nI रखने से शून्य आव्यूह मिलता है।

I आवश्यक है क्योंकि किसी संख्या को आव्यूह में नहीं जोड़ा जा सकता।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: A = [[4, 1], [2, 3]] के लिए p(λ) = λ² − 7λ + 10.

चरण 1: A² = [[16 + 2, 4 + 3], [8 + 6, 2 + 9]] = [[18, 7], [14, 11]].

चरण 2: A² − 7A + 10I = [[18 − 28 + 10, 7 − 7], [14 − 14, 11 − 21 + 10]] = [[0, 0], [0, 0]]: प्रमेय सत्यापित हुआ।

चरण 3: इसे A(7I − A) = 10I लिखें, अतः A⁻¹ = (7I − A)/10 = (1/10)[[3, −1], [−2, 4]].

चरण 4: जाँच: A·(1/10)[[3, −1], [−2, 4]] = (1/10)[[12 − 2, −4 + 4], [6 − 6, −2 + 12]] = I.

चरण 5: घातें: A² = 7A − 10I, अतः A³ = 7A² − 10A = 7(7A − 10I) − 10A = 39A − 70I; प्रत्येक घात A और I का संयोजन है।

अ-उदाहरण (non-example): p के अतिरिक्त कोई बहुपद संतुष्ट होना आवश्यक नहीं: इसी A के लिए A² − 5A + 6I = [[4, 2], [4, 2]] ≠ 0. साथ ही 'p(A) = det(AI − A) = det 0 = 0' उपपत्ति नहीं है, क्योंकि सारणिक के अंदर λ एक संख्या है, और वहाँ आव्यूह रखने से आव्यूह-प्रविष्टियों वाला आव्यूह बनता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) विकर्णनीय A = PDP⁻¹ के लिए p(A) = Pp(D)P⁻¹ और p(D) = diag(p(λ₁), ..., p(λ_n)) = 0, अतः उस स्थिति में प्रमेय सरल है।

(2) व्यापक A के लिए (λI − A)·adj(λI − A) = p(λ)I लें, adj(λI − A) को आव्यूह गुणांकों के साथ λ की घातों में फैलाएँ, गुणांकों की तुलना करें और Aⁿ, ..., I भार देकर जोड़ें; सब कुछ दूरदर्शी रूप से p(A) = 0 बन जाता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11)।

(3) चूँकि p(A) = 0, अल्पिष्ठ बहुपद m(λ), p(λ) को विभाजित करता है, और λ^k को p(λ) से भाग देने पर A^k शेषफल के A पर मान के रूप में मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'कैली-हैमिल्टन सत्यापित करें और A⁻¹ ज्ञात करें', 'A के बहुपद को रैखिक बहुपद के रूप में व्यक्त करें', पुनरावृत्ति संबंध से ऊँची घातें A³⁰, A¹⁰⁰, और अल्पिष्ठ बहुपद।

8. कैली-हैमिल्टन प्रमेय

कथन: प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है: यदि p(λ) = det(λI − A), तो p(A) = 0.

मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11 में सिद्ध। भाव: आइगेन सदिश पर p(A)X = p(λ)X = 0 स्पष्ट है; प्रमेय कहता है कि p(A) प्रत्येक सदिश को नष्ट करता है, उन्हें भी जो आइगेन सदिश नहीं हैं, यहाँ तक कि जब A विकर्णनीय न हो।

उपयोग: (1) व्युत्क्रम: यदि Aⁿ + c₁Aⁿ⁻¹ + ... + c_nI = 0 और c_n = (−1)ⁿdet A ≠ 0, तो A⁻¹ = −(Aⁿ⁻¹ + c₁Aⁿ⁻² + ... + c_n−1I)/c_n; (2) उच्च घातें: λ^m को p(λ) से भाग देकर शेषफल का मान A पर निकालें।

व्युत्क्रम सूत्र की व्युत्पत्ति: c_nI को दाईं ओर ले जाएँ: A(Aⁿ⁻¹ + c₁Aⁿ⁻² + ... + c_n−1I) = −c_nI, और −c_n ≠ 0 से भाग दें; −c_n से विभाजित कोष्ठक A⁻¹ है।

घातों के लिए व्युत्पत्ति: λ^m = q(λ)p(λ) + r(λ), deg r ≤ n − 1, से A^m = q(A)p(A) + r(A) = r(A). r के n गुणांक प्रत्येक आइगेन मान को λ^m = r(λ) में रखकर ज्ञात होते हैं, और k बहुलता वाले आइगेन मान पर पहले k − 1 अवकलज mλ^m−1 = r′(λ), ... भी।

तर्क 'p(A) = det(AI − A) = 0' उपपत्ति नहीं है, क्योंकि सारणिक के अंदर λ एक अदिश है; मानक उपपत्ति (λI − A)·adj(λI − A) = p(λ)I का प्रयोग करती है।

पुनरावृत्ति से उच्च घातें: जब p(λ) सुविधाजनक रूप में हो, तो p(A) = 0 को A³ = (निम्न घातें) के रूप में लिखें, Aⁿ⁻³ से गुणा करें और प्राप्त पुनरावृत्ति को आगमन से सिद्ध करें; उदाहरणार्थ λ³ − λ² − λ + 1 से Aⁿ = Aⁿ⁻² + A² − I मिलता है।

9. विधि का चयन

यदि 3 × 3 आव्यूह के आइगेन मान चाहिए → λ³ − (tr A)λ² + (मुख्य 2 × 2 उपसारणिकों का योग)λ − det A = 0 लिखें और पूर्णांक प्रविष्टियों के लिए det A के पूर्णांक भाजकों को मूल के रूप में आज़माएँ।

यदि विकर्णनीयता पूछी जाए → प्रत्येक आइगेन मान की AM ज्ञात करें, प्रत्येक पुनरावृत्त आइगेन मान के लिए GM = n − ρ(A − λI) निकालें, और प्रयोग करें: विकर्णनीय ⇔ सभी आइगेन मानों के लिए GM = AM (या ⇔ m(λ) का कोई मूल पुनरावृत्त नहीं)।

यदि उच्च घात A^k पूछी जाए → जब A सरल आइगेन सदिशों के साथ विकर्णनीय हो तो PD^kP⁻¹; अन्यथा घात ≤ n − 1 वाले शेषफल r(λ) के साथ कैली-हैमिल्टन, या पुनरावृत्ति जब p(λ) का रूप सुविधाजनक हो।

यदि 'कैली-हैमिल्टन प्रमेय का प्रयोग करके' A⁻¹ या A में कोई बहुपद पूछा जाए → पहले A², A³ निकालकर p(A) = 0 सत्यापित करें (इस चरण पर अंक मिलते हैं), फिर समानीत करें।

यदि A², A⁻¹, adj A, A + kI या f(A) के आइगेन मान पूछे जाएँ → कोई सारणिक फिर से न निकालें; इस विषय की संबंधित आव्यूहों की तालिका का प्रयोग करें, आइगेन सदिश वही रहते हैं।

यदि अल्पिष्ठ बहुपद पूछा जाए → भिन्न आइगेन मानों पर ∏(λ − λ_i) से आरंभ करें और घातांक एक-एक करके बढ़ाएँ, प्रत्येक प्रत्याशी को A पर परखें, जब तक गुणनफल शून्य न हो जाए।

10. सामान्य गलतियाँ

शून्य सदिश को आइगेन सदिश बताना, या एक आइगेन सदिश देकर यह न कहना कि प्रत्येक शून्येतर गुणज (आइगेन समष्टि का प्रत्येक शून्येतर सदिश) भी आइगेन सदिश है।

n − ρ(A − λI) निकालने के स्थान पर संयोग से मिले आइगेन सदिशों की संख्या से GM तय करना।

क्रम का बेमेल: P का k-वाँ स्तंभ D की k-वीं विकर्ण प्रविष्टि का आइगेन सदिश होना चाहिए।

यह मान लेना कि पुनरावृत्त आइगेन मान विकर्णन को असंभव कर देता है; 2I का आइगेन मान 2 पुनरावृत्त है और वह पहले से विकर्ण है।

A² − 5A + 6I = 0 के स्थान पर A² − 5A + 6 = 0 लिखना, या det(λI − A) में λ = A रखकर कैली-हैमिल्टन 'सिद्ध' करना।

A + B या AB के आइगेन मानों को A और B के आइगेन मानों का योग या गुणनफल मानना; यह सामान्यतः असत्य है (यह तब सत्य है जब A और B क्रमविनिमेय हों और एक साथ विकर्णनीय हों)।

11. संबंध

संबंध: केंद्रीय शांकवज ax² + by² + cz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 1 को मुख्य अक्षों पर समानीत करने का अर्थ उसके सममित आव्यूह का विकर्णन है: आइगेन मान विहित रूप के गुणांक हैं और आइगेन सदिश मुख्य दिशाएँ देते हैं (विश्लेषणात्मक ज्यामिति)।

संबंध: निकाय X′ = AX के हल e^λtV हैं जहाँ AV = λV, अतः विकर्णनीय A के लिए व्यापक हल ∑c_ie^λ_itV_i है (साधारण अवकल समीकरण)।

संबंध: अचर-गुणांक अवकल समीकरण y″ + a y′ + b y = 0 का सहायक समीकरण उसके सहचर आव्यूह [[0, 1], [−b, −a]] का अभिलक्षणिक समीकरण λ² + aλ + b = 0 है।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: A = [[2, 2, 1], [1, 3, 1], [1, 2, 2]] के आइगेन मान और आइगेन सदिश ज्ञात करें। क्या A विकर्णनीय है?

tr A = 7, मुख्य उपसारणिकों का योग = 4 + 3 + 4 = 11, det A = 5, अतः λ³ − 7λ² + 11λ − 5 = (λ − 1)²(λ − 5) = 0 और λ = 1, 1, 5.

λ = 5: (A − 5I)X = 0 से X = k(1, 1, 1). λ = 1: A − I की प्रत्येक पंक्ति (1, 2, 1) है, कोटि 1, अतः x + 2y + z = 0, जिसके स्वतंत्र आइगेन सदिश (−2, 1, 0) और (−1, 0, 1) हैं।

GM(1) = 2 = AM(1), अतः A विकर्णनीय है, P = [[1, −2, −1], [1, 1, 0], [1, 0, 1]] और D = diag(5, 1, 1).

उदाहरण 2: A = [[1, 0, 2], [0, −1, 1], [0, 1, 0]] के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय सत्यापित करें और A⁻¹ ज्ञात करें।

det(λI − A) = (λ − 1)(λ² + λ − 1) = λ³ − 2λ + 1, अतः प्रमेय के अनुसार A³ − 2A + I = 0.

A² = [[1, 2, 2], [0, 2, −1], [0, −1, 1]] और A³ = [[1, 0, 4], [0, −3, 2], [0, 2, −1]]; तब A³ − 2A + I = 0 प्रत्येक प्रविष्टि में सत्य है।

A⁻¹ से गुणा करने पर: A² − 2I + A⁻¹ = 0, अतः A⁻¹ = 2I − A² = [[1, −2, −2], [0, 0, 1], [0, 1, 1]].

उदाहरण 3: A = [[1, 1, −2], [−1, 2, 1], [0, 1, −1]] का विकर्णन करें।

tr A = 2, मुख्य उपसारणिकों का योग = 3 − 1 − 3 = −1, det A = −2, अतः λ³ − 2λ² − λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2)(λ + 1) = 0 और λ = 1, 2, −1 (भिन्न, अतः A विकर्णनीय है)।

λ = 1: y = 2z, x = 3z, X₁ = (3, 2, 1). λ = 2: x = z, y = 3z, X₂ = (1, 3, 1). λ = −1: y = 0, x = z, X₃ = (1, 0, 1). जाँच AX₂ = (2, 6, 2).

P = [[3, 1, 1], [2, 3, 0], [1, 1, 1]] (det P = 6 ≠ 0) और P⁻¹AP = diag(1, 2, −1).

उदाहरण 4: सिद्ध करें कि A = [[2, 1, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 2]] विकर्णनीय नहीं है और इसका अल्पिष्ठ बहुपद (minimal polynomial) ज्ञात करें।

A त्रिभुजाकार है, अतः λ = 2, AM 3. A − 2I = [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]] की कोटि 2 है, अतः GM = 3 − 2 = 1 ≠ 3: विकर्णनीय नहीं।

अल्पिष्ठ बहुपद (λ − 2)^k, k ≤ 3 है; (A − 2I)² = [[0, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] ≠ 0, अतः m(λ) = (λ − 2)³, जिसका मूल पुनरावृत्त है, जो परिणाम की पुष्टि करता है।

उदाहरण 5: A = [[1, 2], [2, 1]] के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय से Aⁿ ज्ञात करें।

p(λ) = λ² − 2λ − 3, मूल 3 और −1. λⁿ = q(λ)p(λ) + aλ + b लिखें; चूँकि p(A) = 0, Aⁿ = aA + bI.

λ = 3 और λ = −1 रखने पर: 3ⁿ = 3a + b और (−1)ⁿ = −a + b, अतः a = (3ⁿ − (−1)ⁿ)/4 और b = (3ⁿ + 3(−1)ⁿ)/4.

जाँच n = 2: a = 2, b = 3, और 2A + 3I = [[5, 4], [4, 5]] = A².

उदाहरण 6: A = [[1, 4], [2, 3]] के लिए A⁵ − 4A⁴ − 7A³ + 11A² − A − 10I को A के रैखिक बहुपद के रूप में व्यक्त करें।

p(λ) = λ² − 4λ − 5, अतः A² − 4A − 5I = 0.

दीर्घ विभाजन: λ⁵ − 4λ⁴ − 7λ³ + 11λ² − λ − 10 = (λ² − 4λ − 5)(λ³ − 2λ + 3) + (λ + 5).

λ के स्थान पर A रखने पर पहला पद शून्य हो जाता है, अतः व्यंजक A + 5I = [[6, 4], [2, 8]] है।

उदाहरण 7: सिद्ध या असिद्ध करें: यदि λ, A का और μ, B का आइगेन मान है, तो λ + μ, A + B का आइगेन मान है।

असत्य। A = [[1, 0], [0, 0]] का आइगेन मान 1 और B = [[0, 0], [0, 1]] का आइगेन मान 1 है, परंतु A + B = I का केवल आइगेन मान 1 है, 2 नहीं।

कथन तब सत्य है जब λ और μ का एक उभयनिष्ठ आइगेन सदिश X हो: (A + B)X = (λ + μ)X.

13. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2023, 20 अंक): दिया गया है A = [[1, 0, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]
(i) आव्यूह A के लिये कैले-हैमिल्टन प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
(ii) दर्शाइए कि n ≥ 3 के लिये Aⁿ = Aⁿ⁻² + A² − I; जहाँ I कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है। अतएव A⁴⁰ ज्ञात कीजिए। (10+10)

(i) λI − A = [[λ − 1, 0, 0], [−1, λ, −1], [0, −1, λ]]; पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार से det(λI − A) = (λ − 1)(λ² − 1) = λ³ − λ² − λ + 1.

A² = [[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 0, 1]] और A³ = A·A² = [[1, 0, 0], [2, 0, 1], [1, 1, 0]]. प्रविष्टिवार A³ − A² − A + I = 0, जिससे प्रमेय सत्यापित होता है।

(ii) प्रमेय से A³ = A² + A − I, जो n = 3 के लिए कथन है। यदि Aⁿ = Aⁿ⁻² + A² − I, तो Aⁿ⁺¹ = Aⁿ⁻¹ + A³ − A = Aⁿ⁻¹ + (A² + A − I) − A = Aⁿ⁻¹ + A² − I; आगमन से संबंध सभी n ≥ 3 के लिए सत्य है।

सम घातों के लिए A^2k = A^2k−2 + (A² − I) = ... = A² + (k − 1)(A² − I) = kA² − (k − 1)I = [[1, 0, 0], [k, 1, 0], [k, 0, 1]].

उत्तर: A⁴⁰ = 20A² − 19I = [[1, 0, 0], [20, 1, 0], [20, 0, 1]].

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 12 अंक): यदि आव्यूह A = [[1, 0, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]] तब आव्यूह A³⁰ को ज्ञात कीजिये।

यह पिछले उदाहरण का आव्यूह है: इसका अभिलक्षणिक बहुपद λ³ − λ² − λ + 1 है, अतः केली-हैमिल्टन से A³ = A² + A − I, और आगमन से n ≥ 3 के लिए Aⁿ = Aⁿ⁻² + A² − I.

पुनरावृत्ति को A³⁰ से A² तक 14 बार लगाने पर: A³⁰ = A² + 14(A² − I) = 15A² − 14I, जहाँ A² = [[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 0, 1]].

उत्तर: A³⁰ = [[1, 0, 0], [15, 1, 0], [15, 0, 1]].

उदाहरण 10 (UPSC 2019, 15 अंक): कैले-हैमिल्टन प्रमेय का कथन लिखिए। इस प्रमेय का उपयोग करके A¹⁰⁰ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ
A = [[1, 0, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]

केली-हैमिल्टन प्रमेय: प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है; यदि det(λI − A) = λⁿ + c₁λⁿ⁻¹ + ... + c_n, तो Aⁿ + c₁Aⁿ⁻¹ + ... + c_nI = 0.

यहाँ det(λI − A) = λ³ − λ² − λ + 1, अतः A³ = A² + A − I और (Aⁿ⁻³ से गुणा कर तथा आगमन से) n ≥ 3 के लिए Aⁿ = Aⁿ⁻² + A² − I.

अतः A^2k = kA² − (k − 1)I, और k = 50 के साथ A¹⁰⁰ = 50A² − 49I.

उत्तर: A¹⁰⁰ = [[1, 0, 0], [50, 1, 0], [50, 0, 1]].

उदाहरण 11 (UPSC 2022, 15 अंक): एक रैखिक प्रतिचित्र T : ℝ² → ℝ² ज्ञात कीजिए जो कि ℝ² के प्रत्येक सदिश को θ कोण से घुमा देता है। यह भी सिद्ध कीजिए कि θ = π/2 के लिए, T का कोई भी अभिलक्षणिक मान (आइगेनमान) ℝ में नहीं है।

(x, y) = (r cos φ, r sin φ) लिखें। θ से घूर्णन इसे (r cos(φ + θ), r sin(φ + θ)) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) पर ले जाता है।

अतः T(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ); यह रैखिक है और मानक आधार में इसका आव्यूह R_θ = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] है। इसका अभिलक्षणिक समीकरण λ² − 2λ cos θ + 1 = 0 है, जिसके मूल cos θ ± i sin θ हैं।

θ = π/2 के लिए T(x, y) = (−y, x) और समीकरण λ² + 1 = 0 है, जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं। प्रत्यक्ष: T(x, y) = λ(x, y) का अर्थ −y = λx और x = λy, अतः x = −λ²x और y = −λ²y; (x, y) ≠ (0, 0) के लिए λ² = −1 चाहिए, जो वास्तविक λ के लिए असंभव है।

उत्तर: T(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ); θ = π/2 के लिए आइगेन मान ±i हैं, अतः T का कोई वास्तविक आइगेन मान नहीं (चौथाई घूर्णन में कोई शून्येतर सदिश अपनी दिशा नहीं रखता)।

उदाहरण 12 (UPSC 2024, 20 अंक): माना A = [[3, 2, 4], [2, 0, 2], [4, 2, 3]] एक 3×3 आव्यूह है। A का अभिलाक्षणिक मान तथा संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए। अतः A⁻¹⁵ का अभिलाक्षणिक मान तथा संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ A⁻¹⁵ = (A⁻¹)¹⁵ है।

tr A = 6; मुख्य उपसारणिक (0 − 4) + (9 − 16) + (0 − 4) = −15; det A = 3(0 − 4) − 2(6 − 8) + 4(4 − 0) = 8. अतः λ³ − 6λ² − 15λ − 8 = (λ − 8)(λ + 1)² = 0, और λ = 8, −1, −1.

λ = 8: A − 8I = [[−5, 2, 4], [2, −8, 2], [4, 2, −5]]; पहली दो पंक्तियों से X = k(2, 1, 2). जाँच: A(2, 1, 2) = (16, 8, 16).

λ = −1: A + I = [[4, 2, 4], [2, 1, 2], [4, 2, 4]] की कोटि 1 है, अतः आइगेन सदिश 2x + y + 2z = 0 के शून्येतर हल हैं, एक समतल जिसका आधार (1, −2, 0), (0, −2, 1) है।

यदि λ ≠ 0 के साथ AX = λX, तो X = λA⁻¹X, अतः A⁻¹X = λ⁻¹X और A⁻¹⁵X = λ⁻¹⁵X. अतः A⁻¹⁵ के वही आइगेन सदिश हैं, आइगेन मान 8⁻¹⁵ = 2⁻⁴⁵ और (−1)⁻¹⁵ = −1 (दो बार)।

उत्तर: A: λ = 8, आइगेन सदिश k(2, 1, 2); λ = −1 (दो बार), a(1, −2, 0) + b(0, −2, 1). A⁻¹⁵: λ = 2⁻⁴⁵, k(2, 1, 2); λ = −1 (दो बार), आइगेन सदिशों का वही समतल।

उदाहरण 13 (UPSC 2025, 20 अंक): (i) आव्यूह A = [[1, 2, 0], [2, 1, −6], [2, −2, 3]] के अभिलक्षणिक मान और संगत अभिलक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए। (12 अंक)
(ii) माना P_n, ℝ पर घात ≤ n के सभी बहुपदों के सदिश समष्टि को दर्शाता है। सत्यापित कीजिए कि
dim(P₄/P₂) = dim P₄ − dim P₂ (8 अंक)

(i) tr A = 5; मुख्य उपसारणिक (1 − 4) + (3 − 0) + (3 − 12) = −9; det A = 1(3 − 12) − 2(6 + 12) = −45. अतः λ³ − 5λ² − 9λ + 45 = (λ − 5)(λ² − 9) = 0, और λ = 5, 3, −3.

λ = 5: −4x + 2y = 0 और 2x − 4y − 6z = 0 से y = 2x, z = −x, X₁ = (1, 2, −1). λ = 3: −2x + 2y = 0 और 2x − 2y − 6z = 0 से y = x, z = 0, X₂ = (1, 1, 0).

λ = −3: 4x + 2y = 0 और 2x + 4y − 6z = 0 से y = −2x, z = −x, X₃ = (1, −2, −1). जाँच: AX₁ = (1 + 4, 2 + 2 + 6, 2 − 4 − 3) = (5, 10, −5) = 5X₁.

(ii) dim P₄ = 5 और dim P₂ = 3. P₄/P₂ में p + P₂ = q + P₂ ⇔ p − q ∈ P₂, अतः प्रत्येक सहसमुच्चय (a₃x³ + a₄x⁴) + P₂ = a₃(x³ + P₂) + a₄(x⁴ + P₂) है।

ये दोनों सहसमुच्चय स्वतंत्र हैं: a₃x³ + a₄x⁴ ∈ P₂ से a₃ = a₄ = 0. अतः dim(P₄/P₂) = 2 = 5 − 3 = dim P₄ − dim P₂.

उत्तर: (i) λ = 5, 3, −3, आइगेन सदिश k(1, 2, −1), k(1, 1, 0), k(1, −2, −1); (ii) आधार {x³ + P₂, x⁴ + P₂}, अतः दोनों पक्ष 2 हैं।

उदाहरण 14 (UPSC 2026, 20 अंक): माना T : P₂[x] → P₂[x] एक रैखिक रूपांतरण है, जिसे
T(a₀ + a₁x + a₂x²) = −(a₀ + 2a₁ + a₂) + (2a₀ + 3a₁)x − 2(a₀ + a₁)x²
द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ P₂[x], x में सभी बहुपदों का समुच्चय है, जिनकी घात ≤ 2 है तथा a₀, a₁, a₂ ∈ ℝ हैं। P₂[x] के मानक आधार के सापेक्ष T के आव्यूह निरूपण का उपयोग करते हुए T के अभिलाक्षणिक मान तथा संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए।

T(1) = −1 + 2x − 2x², T(x) = −2 + 3x − 2x², T(x²) = −1, अतः आधार {1, x, x²} में [T] = [[−1, −2, −1], [2, 3, 0], [−2, −2, 0]] (स्तंभ प्रतिबिंबों के निर्देशांक हैं)।

tr = 2; मुख्य उपसारणिक (−3 + 4) + (0 − 2) + 0 = −1; det = −1·det [[2, 3], [−2, −2]] = −2 (तीसरा स्तंभ)। अतः λ³ − 2λ² − λ + 2 = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 2) = 0, और λ = 1, −1, 2.

λ = 1: −2a₀ − 2a₁ − a₂ = 0 और 2a₀ + 2a₁ = 0 से a₁ = −a₀, a₂ = 0: आइगेन सदिश 1 − x.

λ = −1: −2a₁ − a₂ = 0 और 2a₀ + 4a₁ = 0 से a₂ = −2a₁, a₀ = −2a₁; a₁ = −1 लेने पर आइगेन सदिश 2 − x + 2x².

λ = 2: −3a₀ − 2a₁ − a₂ = 0 और 2a₀ + a₁ = 0 से a₁ = −2a₀, a₂ = a₀: आइगेन सदिश 1 − 2x + x². जाँच: T(1 − x) = −(1 − 2) + (2 − 3)x − 2(0)x² = 1 − x.

उत्तर: λ = 1: k(1 − x); λ = −1: k(2 − x + 2x²); λ = 2: k(1 − x)² (k ≠ 0).

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): दिखाएँ कि (1, 2), A = [[1, 2], [2, 4]] का आइगेन सदिश है और उसका आइगेन मान ज्ञात करें। द्विघात हल किए बिना दूसरा आइगेन मान ज्ञात करें।

उत्तर: A(1, 2) = (5, 10) = 5(1, 2), λ = 5; tr A = 5 से दूसरा λ = 0 (det A = 0), आइगेन सदिश (2, −1).

अभ्यास 2 (मूल): किसी सारणिक का प्रसार किए बिना [[2, 5, −1], [0, −3, 4], [0, 0, 7]] के आइगेन मान, अनुरेख और सारणिक लिखें।

उत्तर: त्रिभुजाकार है, अतः λ = 2, −3, 7; अनुरेख 6, सारणिक −42.

अभ्यास 3 (मूल): 3 × 3 आव्यूह A के आइगेन मान 1, 2, 3 हैं। det A तथा A², A⁻¹, adj A और A − 2I के आइगेन मान ज्ञात करें।

उत्तर: det A = 6; A²: 1, 4, 9; A⁻¹: 1, 1/2, 1/3; adj A: 6, 3, 2; A − 2I: −1, 0, 1.

अभ्यास 4 (मानक): [[5, 4], [1, 2]] के आइगेन मान और आइगेन सदिश ज्ञात करें।

उत्तर: λ² − 7λ + 6 = 0, λ = 6 के लिए k(4, 1) और λ = 1 के लिए k(1, −1), k ≠ 0.

अभ्यास 5 (मानक): क्या A = [[1, 1, 1], [0, 2, 1], [0, 0, 1]] विकर्णनीय है? यदि हाँ, तो P और D ज्ञात करें।

उत्तर: λ = 1, 1, 2; A − I = [[0, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 0]] की कोटि 1 है, अतः GM(1) = 2 = AM(1): विकर्णनीय। 1 के लिए आइगेन सदिश (1, 0, 0), (0, 1, −1) और 2 के लिए (1, 1, 0); P = [[1, 0, 1], [0, 1, 1], [0, −1, 0]], D = diag(1, 1, 2).

अभ्यास 6 (मानक): A = [[1, 2, 0], [2, −1, 0], [0, 0, −1]] के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय सत्यापित करें और उससे A⁻¹ ज्ञात करें।

उत्तर: p(λ) = (λ² − 5)(λ + 1) = λ³ + λ² − 5λ − 5; A² = [[5, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 1]]; A⁻¹ = (A² + A − 5I)/5 = (1/5)[[1, 2, 0], [2, −1, 0], [0, 0, −5]].

अभ्यास 7 (मानक): A = diag(2, 2, 3) और B = [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]] के अल्पिष्ठ बहुपद ज्ञात करें। इनमें से कौन विकर्णनीय है?

उत्तर: m_A = (λ − 2)(λ − 3), A विकर्णनीय; m_B = (λ − 2)²(λ − 3) क्योंकि (B − 2I)(B − 3I) ≠ 0, अतः B विकर्णनीय नहीं है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): A = [[3, −1], [−1, 3]] का विकर्णीकरण करें और उससे Aⁿ ज्ञात करें।

उत्तर: λ = 2 के लिए (1, 1), λ = 4 के लिए (1, −1); Aⁿ = (1/2)[[2ⁿ + 4ⁿ, 2ⁿ − 4ⁿ], [2ⁿ − 4ⁿ, 2ⁿ + 4ⁿ]].

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): A = [[1, 2, 2], [2, 1, 2], [2, 2, 1]] के अभिलक्षणिक और अल्पिष्ठ बहुपद ज्ञात करें और अल्पिष्ठ बहुपद से A⁴ को aA + bI के रूप में व्यक्त करें।

उत्तर: p(λ) = (λ − 5)(λ + 1)²; A सममित है, अतः विकर्णनीय, इसलिए m(λ) = (λ − 5)(λ + 1) और A² = 4A + 5I; तब A⁴ = 104A + 105I (λ = 5 पर जाँच: 625 = 520 + 105).

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): मान लें T: P₂ → P₂, T(p) = (x + 1)p′(x). आधार {1, x, x²} में T का आव्यूह, उसके आइगेन मान और आइगेन सदिश ज्ञात करें।

उत्तर: T(1) = 0, T(x) = 1 + x, T(x²) = 2x + 2x², अतः [T] = [[0, 1, 0], [0, 1, 2], [0, 0, 2]]; λ = 0, 1, 2 तथा आइगेन सदिश 1, 1 + x, (1 + x)².

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): सिद्ध करें कि यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो AB और BA का अभिलक्षणिक बहुपद समान है, अतः आइगेन मान भी समान हैं।

उत्तर: BA = A⁻¹(AB)A, अतः BA, AB के समरूप है, और समरूप आव्यूहों का अभिलक्षणिक बहुपद समान होता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9)।

1. संयुग्मी परिवर्त और हर्मिटी आव्यूहों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक सदिश के लिए X^TX = x₁² + ... + x_n² लंबाई का वर्ग है, जो केवल X = 0 के लिए शून्य है।

सम्मिश्र सदिशों के लिए यह टूट जाता है: X = (1, i) से X^TX = 1 + i² = 0, यद्यपि X ≠ 0.

उपाय है पहले संयुग्मी लेना: X*X = |x₁|² + ... + |x_n|², जो (1, i) के लिए 1 + 1 = 2 है। हर्मिटी आव्यूह वे आव्यूह हैं जो इस नए 'परिवर्त' के साथ अच्छा व्यवहार करते हैं।

शब्दों में: A* ('A स्टार' पढ़ें) दो चरणों में मिलता है: प्रत्येक प्रविष्टि को उसके सम्मिश्र संयुग्मी से बदलें, फिर परिवर्त (transpose) लें।

A हर्मिटी (Hermitian) है जब A* = A, अर्थात् सभी i, j के लिए a_ji = conj(a_ij): विकर्ण के नीचे की प्रत्येक प्रविष्टि ऊपर की अपनी दर्पण-प्रविष्टि की संयुग्मी है।

i = j लेने पर a_ii = conj(a_ii), अतः हर्मिटी आव्यूह की विकर्ण प्रविष्टियाँ वास्तविक होती हैं।

वास्तविक आव्यूह के लिए संयुग्मन कुछ नहीं बदलता, अतः 'हर्मिटी' और 'सममित' एक ही हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें A = [[2, 3 − i], [3 + i, 5]].

चरण 1: प्रत्येक प्रविष्टि का संयुग्मी लें: Ā = [[2, 3 + i], [3 − i, 5]].

चरण 2: परिवर्त लें: A* = [[2, 3 − i], [3 + i, 5]], जो फिर A है, अतः A हर्मिटी है। विकर्ण प्रविष्टियाँ 2 और 5 वास्तविक हैं, जैसा होना चाहिए।

चरण 3: X = (1, i) लें। AX = (2 + (3 − i)i, (3 + i) + 5i) = (3 + 3i, 3 + 6i).

चरण 4: X* = (1, −i), अतः X*AX = (3 + 3i) − i(3 + 6i) = 3 + 3i − 3i + 6 = 9, एक वास्तविक संख्या, यद्यपि प्रत्येक चरण में सम्मिश्र संख्याएँ थीं।

चरण 5: आइगेन मान: tr A = 7 और det A = 10 − (3 − i)(3 + i) = 10 − 10 = 0, अतः λ² − 7λ = 0 और λ = 0, 7, दोनों वास्तविक।

अ-उदाहरण (non-example): [[1, i], [i, 1]] अपने परिवर्त के बराबर है (सममित है), पर इसका संयुग्मी परिवर्त [[1, −i], [−i, 1]] ≠ A है, अतः यह हर्मिटी नहीं है; इसके आइगेन मान 1 ± i वास्तविक नहीं हैं।

आगे बढ़ते हुए: (1) नियम (A*)* = A, (A + B)* = A* + B*, (kA)* = k̄A* और (AB)* = B*A*, परिवर्त और संयुग्मी के संगत नियमों से प्रविष्टिवार निकलते हैं।

(2) 1 × 1 आव्यूह z के लिए z* = z̄, अतः z* = z का अर्थ है z वास्तविक है; इसलिए (X*AX)* = X*A*X = X*AX दिखाता है कि हर्मिटी A के लिए X*AX वास्तविक है, जैसा चरण 4 में मिला।

(3) विषम-हर्मिटी आव्यूह (A* = −A) हर्मिटी आव्यूहों के i गुने हैं, और प्रत्येक वर्ग आव्यूह अद्वितीय रूप से (A + A*)/2 + (A − A*)/2 में विभक्त होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: वास्तविक आइगेन मान प्रमेय, हर्मिटी और द्विघात रूप, तथा ऐकिक आव्यूहों संबंधी उपपत्तियाँ सभी नियम (AB)* = B*A* पर चलती हैं।

2. लांबिक और ऐकिक आव्यूहों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: निर्देशांक अक्षों के घूर्णन या परावर्तन से लंबाइयाँ या कोण नहीं बदलने चाहिए; हम ठीक पहचानना चाहते हैं कि कौन-से आव्यूह ऐसा करते हैं।

ऐसे आव्यूहों का व्युत्क्रम भी निःशुल्क मिलता है, A⁻¹ = A^T, जो व्युत्क्रम निकालने का सारा श्रम बचाता है।

शब्दों में: A^TA की (i, j) प्रविष्टि, A के स्तंभ i और स्तंभ j का अदिश गुणनफल है।

अतः A^TA = I कहता है: प्रत्येक स्तंभ की लंबाई 1 है (विकर्ण प्रविष्टियाँ 1) और भिन्न स्तंभ लंबवत हैं (विकर्णेतर प्रविष्टियाँ 0); स्तंभ प्रसामान्य लांबिक (orthonormal) हैं।

इस गुण वाला वास्तविक आव्यूह लांबिक (orthogonal) है; संयुग्मी अदिश गुणनफल प्रयोग करते हुए A*A = I वाला सम्मिश्र आव्यूह ऐकिक (unitary) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें A = (1/5)[[3, −4], [4, 3]].

चरण 1: स्तंभ (3, 4)/5 और (−4, 3)/5 हैं; इनकी लंबाइयाँ √(9 + 16)/5 = 1 हैं।

चरण 2: इनका अदिश गुणनफल (−12 + 12)/25 = 0 है, अतः A^TA = I और A लांबिक है।

चरण 3: अतः A⁻¹ = A^T = (1/5)[[3, 4], [−4, 3]], बिना किसी सहखंड के।

चरण 4: X = (1, 2) की लंबाई परखें: AX = ((3 − 8)/5, (4 + 6)/5) = (−1, 2), और |AX| = √5 = |X|.

चरण 5: det A = (9 + 16)/25 = 1, अतः A एक घूर्णन है (कोण θ जहाँ cos θ = 3/5); इसके आइगेन मान (3 ± 4i)/5 हैं, जिनका मापांक 1 है।

अ-उदाहरण (non-example): B = [[1, 1], [1, −1]] के स्तंभ लंबवत हैं, पर प्रत्येक की लंबाई √2 है, अतः B^TB = 2I ≠ I और B लांबिक नहीं है; (1/√2)B लांबिक है। लंबवत होना पर्याप्त नहीं: स्तंभ इकाई सदिश भी होने चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (1) |AX|² = (AX)^T(AX) = X^T(A^TA)X = X^TX = |X|², अतः लंबाइयाँ सुरक्षित रहती हैं, और फिर कोण भी।

(2) वर्ग आव्यूह का बायाँ व्युत्क्रम दायाँ व्युत्क्रम भी होता है, अतः AA^T = I भी: पंक्तियाँ भी प्रसामान्य लांबिक हैं।

(3) (det A)² = det(A^TA) = 1 से det A = ±1: घूर्णनों के लिए +1, परावर्तनों और घूर्णन-परावर्तनों के लिए −1.

कहाँ प्रयोग होता है: शांकवों और शांकवजों के लिए अक्षों का घूर्णन, लांबिक विकर्णीकरण का आव्यूह P, और हाउसहोल्डर परावर्तन I − 2uu^T.

3. परिभाषाएँ

A* = (Ā)^T संयुग्मी परिवर्त (conjugate transpose) है। सममित (symmetric): A^T = A; विषम-सममित (skew-symmetric): A^T = −A; हर्मिटी (Hermitian): A* = A; विषम-हर्मिटी (skew-Hermitian): A* = −A; लांबिक (orthogonal, वास्तविक): A^TA = I; ऐकिक (unitary): A*A = I; प्रसामान्य (normal): A*A = AA*.

भाव: A* को सम्मिश्र संयुग्मी का आव्यूह रूप समझें। हर्मिटी (A* = A) ↔ वास्तविक संख्याएँ, विषम-हर्मिटी (A* = −A) ↔ शुद्ध काल्पनिक संख्याएँ, ऐकिक (A*A = I) ↔ एकक वृत्त पर की संख्याएँ; नीचे के आइगेन मान प्रमेय कहते हैं कि आइगेन मान इसी सादृश्य का पालन करते हैं।

भाव: लांबिक और ऐकिक आव्यूह लंबाई और कोण सुरक्षित रखते हैं, क्योंकि |AX|² = (AX)*(AX) = X*A*AX = X*X = |X|²; ℝ² और ℝ³ में ये घूर्णन, परावर्तन और उनके संयोजन हैं।

हर्मिटी आव्यूह की विकर्ण प्रविष्टियाँ वास्तविक होती हैं; विषम-हर्मिटी की 0 या शुद्ध काल्पनिक; विषम-सममित की 0.

प्रत्येक वर्ग आव्यूह अद्वितीय रूप से A = (A + A*)/2 + (A − A*)/2 (हर्मिटी + विषम-हर्मिटी) है, और अद्वितीय रूप से A = P + iQ जहाँ P, Q हर्मिटी हैं; वास्तविक A के लिए A = (A + A^T)/2 + (A − A^T)/2.

यह क्यों काम करता है: (A + A*)* = A* + A और (A − A*)* = A* − A = −(A − A*). अद्वितीयता के लिए, यदि A = H + S जहाँ H हर्मिटी और S विषम-हर्मिटी है, तो A* = H − S, जिससे H = (A + A*)/2 और S = (A − A*)/2 अनिवार्य हैं।

A हर्मिटी ⇔ iA विषम-हर्मिटी। विषम कोटि के वास्तविक विषम-सममित आव्यूह का सारणिक 0 होता है।

यह क्यों काम करता है: A* = A होने पर (iA)* = −iA* = −iA. विषम कोटि n के वास्तविक विषम-सममित A के लिए det A = det A^T = det(−A) = (−1)ⁿdet A = −det A, अतः det A = 0.

हाउसहोल्डर (परावर्तन) आव्यूह: एकक स्तंभ सदिश u के लिए H = I − 2uu^T सममित, लांबिक और अंतर्वलनी (H² = I) है; Hu = −u और v ⊥ u के लिए Hv = v, अतः इसके आइगेन मान −1 (एक बार) और 1 (n − 1 बार) हैं, tr H = n − 2 और det H = −1.

विशेष आव्यूहों के सारणिक: लांबिक A के लिए det A = ±1, ऐकिक U के लिए |det U| = 1, हर्मिटी A के लिए det A वास्तविक; लांबिक A, B के लिए उपयोगी सर्वसमिका: A + B = A(A^T + B^T)B.

यह क्यों काम करता है: det(A^TA) = (det A)² = det I = 1 से det A = ±1, और det(U*U) = |det U|² = 1. सर्वसमिका प्रसार से मिलती है: A(A^T + B^T)B = (AA^T)B + A(B^TB) = B + A.

4. आइगेन मानों के वास्तविक या मापांक 1 होने के कारण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक त्रिघात के सम्मिश्र मूल हो सकते हैं, अतः सामान्यतः आइगेन मान प्रश्न ℂ में ले जा सकता है।

हर्मिटी, विषम-हर्मिटी और ऐकिक आव्यूहों के लिए हम बिना कुछ हल किए पहले ही बता सकते हैं कि आइगेन मान कहाँ होंगे, और यह लगातार जाँच के रूप में प्रयुक्त होता है।

शब्दों में: एकमात्र युक्ति है AX = λX को बाईं ओर X* से गुणा करना, जो सदिश समीकरण को संख्या समीकरण X*AX = λ(X*X) में बदल देता है।

X*X एक धनात्मक वास्तविक संख्या है क्योंकि X ≠ 0; अतः λ = X*AX/X*X (रैले भागफल) की प्रकृति वही है जो X*AX की।

हर्मिटी A के लिए X*AX वास्तविक है (पिछला पाठ), अतः λ वास्तविक है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें A = [[1, 2i], [−2i, 1]]. यह हर्मिटी है: विकर्ण वास्तविक है और −2i, 2i का संयुग्मी है।

चरण 1: tr A = 2 और det A = 1 − (2i)(−2i) = 1 − 4 = −3, अतः λ² − 2λ − 3 = 0 और λ = 3, −1: वास्तविक, जैसा वादा था।

चरण 2: λ = 3: A − 3I = [[−2, 2i], [−2i, −2]], पहली पंक्ति −2x + 2iy = 0, अतः x = iy और X = (i, 1). जाँच: AX = (i + 2i, 2 + 1) = (3i, 3) = 3X.

चरण 3: रैले भागफल: X*X = |i|² + 1 = 2 और X*AX = X*(3X) = 6, अतः 6/2 = 3 = λ.

चरण 4: λ = −1: A + I = [[2, 2i], [−2i, 2]] से x = −iy, अतः Y = (−i, 1).

चरण 5: Y*X = conj(−i)·i + 1·1 = i·i + 1 = 0: दोनों आइगेन सदिश लांबिक हैं, जैसा प्रमेय 4 कहता है। ध्यान दें कि साधारण गुणनफल Y^TX = (−i)(i) + 1 = 2, 0 नहीं है; संयुग्मी आवश्यक है।

अ-उदाहरण (non-example): वास्तविक प्रविष्टियाँ आइगेन मानों को वास्तविक नहीं बनातीं: [[0, 1], [−1, 0]] वास्तविक है पर सममित नहीं, और इसके आइगेन मान ±i हैं। तथा असममित [[1, 2], [0, 3]] के आइगेन सदिश (1, 0) और (1, 1) स्वतंत्र हैं पर लांबिक नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) हर्मिटी: X*AX वास्तविक और X*X > 0 से λ वास्तविक (प्रमेय 1, मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)।

(2) विषम-हर्मिटी: iA, आइगेन मान iλ वाला हर्मिटी आव्यूह है, अतः iλ वास्तविक है और λ, 0 या शुद्ध काल्पनिक है (प्रमेय 2)।

(3) ऐकिक: A लंबाई सुरक्षित रखता है, अतः |λ||X| = |λX| = |AX| = |X|, और |λ| = 1 (प्रमेय 3)।

(4) लांबिकता: Y*AX को दो प्रकार से, λY*X और μY*X के रूप में, निकालें और घटाएँ (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 16)।

कहाँ प्रयोग होता है: गणना किए गए आइगेन मानों की जाँच, द्विघात रूपों की प्रकृति, और अगले पाठ का स्पेक्ट्रमी प्रमेय।

5. आइगेन मान प्रमेय

प्रमेय 1: हर्मिटी आव्यूह (विशेषतः वास्तविक सममित आव्यूह) के आइगेन मान (eigenvalues) वास्तविक होते हैं।

उपपत्ति: मान लें AX = λX, X ≠ 0. तब X*AX = λX*X. चूँकि (X*AX)* = X*A*X = X*AX, संख्या X*AX वास्तविक है; X*X > 0 वास्तविक है, अतः λ वास्तविक है।

भाव: X*AX, z + z̄ की भूमिका निभाता है: A हर्मिटी हो तो यह सदैव वास्तविक है, और λ = X*AX/X*X (रैले भागफल) दो वास्तविक संख्याओं का अनुपात है।

प्रमेय 2: विषम-हर्मिटी (या वास्तविक विषम-सममित) आव्यूह के आइगेन मान 0 या शुद्ध काल्पनिक होते हैं; हर्मिटी आव्यूह iA पर प्रमेय 1 लगाएँ।

प्रमेय 3: ऐकिक (या लांबिक) आव्यूह के आइगेन मानों का मापांक 1 होता है।

उपपत्ति: AX = λX से X*A* = λ̄X*, अतः X*A*AX = λ̄λX*X; चूँकि A*A = I, X*X = |λ|²X*X, और X*X > 0 से |λ| = 1.

प्रमेय 4: हर्मिटी (या वास्तविक सममित) आव्यूह के भिन्न आइगेन मानों से संबद्ध आइगेन सदिश लांबिक होते हैं; ऐकिक आव्यूहों के लिए भी यही सत्य है।

हर्मिटी स्थिति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 16 में सिद्ध है। ऐकिक स्थिति: यदि AX = λX और AY = μY, λ ≠ μ, तो Y*X = Y*A*AX = (AY)*(AX) = μ̄λY*X; चूँकि |μ| = 1, μ̄ = 1/μ, अतः (λ/μ − 1)Y*X = 0, और λ ≠ μ से Y*X = 0.

भाव: वास्तविक सममित आव्यूह के लिए संबद्ध दीर्घवृत्त या दीर्घवृत्तज के मुख्य अक्ष परस्पर लंब होते हैं, इसीलिए अक्षों का एक ही घूर्णन द्विघाती समघात के सभी वज्र पद (cross terms) हटा देता है।

परिणाम: ऐकिक U के लिए |det U| = 1 और लांबिक P के लिए det P = ±1; लांबिक आव्यूह के संभावित वास्तविक आइगेन मान केवल ±1 हैं; यदि λ लांबिक आव्यूह का आइगेन मान है तो 1/λ भी है।

भाव: वास्तविक लांबिक आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद वास्तविक है, अतः उसके अवास्तविक आइगेन मान संयुग्मी युग्मों e^±iθ में आते हैं। 3 × 3 घूर्णन (det = 1) के आइगेन मान 1, e^iθ, e^−iθ हैं: 1 का आइगेन सदिश घूर्णन अक्ष है और tr A = 1 + 2 cos θ कोण देता है।

6. लांबिक विकर्णीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: साधारण विकर्णीकरण P⁻¹AP = D में P⁻¹ चाहिए, और इसके नए अक्ष तिरछे हो सकते हैं।

वास्तविक सममित A के लिए हम P को लांबिक चुन सकते हैं, अतः P⁻¹ = P^T और नए अक्ष लंबवत हैं: अक्षों का ऐसा घूर्णन जो द्विघात रूप के प्रत्येक मिश्र पद को हटा देता है।

शब्दों में: 'लांबिकतः विकर्णनीय' का अर्थ है लांबिक P के साथ P^TAP = D.

P के स्तंभ आइगेन सदिश होने चाहिए (किसी भी विकर्णीकरण की तरह) और प्रसामान्य लांबिक भी (किसी भी लांबिक आव्यूह की तरह)।

स्पेक्ट्रमी प्रमेय कहता है कि वास्तविक सममित आव्यूहों के लिए यह सदैव संभव है, और हर्मिटी आव्यूहों के लिए ऐकिक U के साथ U*AU = D का संगत कथन सत्य है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें A = [[3, 1], [1, 3]], द्विघात रूप 3x² + 2xy + 3y² का आव्यूह।

चरण 1: tr A = 6, det A = 8, अतः λ² − 6λ + 8 = 0 और λ = 4, 2.

चरण 2: 4 के लिए आइगेन सदिश (1, 1) और 2 के लिए (1, −1); इनका अदिश गुणनफल 0 है, जैसा सिद्धांत बताता है।

चरण 3: प्रसामान्यीकरण: प्रत्येक को √2 से भाग दें। तब P = (1/√2)[[1, 1], [1, −1]] और P^TAP = diag(4, 2).

चरण 4: नए निर्देशांकों (x, y) = P(X, Y) में, अर्थात् x = (X + Y)/√2 और y = (X − Y)/√2: 3(x² + y²) = 3(X² + Y²) और 2xy = X² − Y².

चरण 5: अतः रूप 4X² + 2Y² बन जाता है, कोई XY पद नहीं; गुणांक ठीक आइगेन मान हैं, और दोनों धनात्मक हैं, अतः रूप धनात्मक निश्चित है।

अ-उदाहरण (non-example): [[1, 1], [0, 2]] विकर्णनीय है (आइगेन मान 1, 2) पर इसके आइगेन सदिश (1, 0) और (1, 1) लंबवत नहीं हैं, अतः कोई लांबिक P नहीं है। वास्तव में यदि लांबिक P के साथ P^TAP = D, तो A = PDP^T सममित है; अतः केवल सममित वास्तविक आव्यूह लांबिकतः विकर्णनीय होते हैं।

आगे बढ़ते हुए: (1) सभी आइगेन मान वास्तविक हैं (पिछला पाठ), अतः वास्तविक आइगेन सदिश विद्यमान हैं।

(2) एक इकाई आइगेन सदिश u₁ लें, उसे प्रसामान्य लांबिक आधार तक बढ़ाएँ और Q के स्तंभ इन्हें बनाएँ; तब Q^TAQ सममित है और उसका पहला स्तंभ (λ₁, 0, ..., 0) है, अतः वह खंड रूप [[λ₁, 0], [0, A₁]] का है, जहाँ A₁ कोटि n − 1 का सममित आव्यूह है।

(3) A₁ पर दोहराएँ (n पर आगमन); प्रयुक्त लांबिक आव्यूहों का गुणनफल अभीष्ट P है। विशेषतः सममित आव्यूह के प्रत्येक आइगेन मान के लिए GM = AM.

(4) व्यवहार में: भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश स्वतः लांबिक होते हैं, और पुनरावृत्त आइगेन समष्टि के अंदर ग्राम-श्मिट (या ℝ³ में सदिश गुणनफल) उन्हें लांबिक बना देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: द्विघात रूपों और केंद्रीय शांकवजों का विहित रूप में समानयन, हेसियन की निश्चितता तय करना, और f(A) = Pf(D)P^T की गणना।

7. स्पेक्ट्रमी प्रमेय और संबंधित परिणाम

स्पेक्ट्रमी प्रमेय (spectral theorem): वास्तविक सममित आव्यूह A के लिए ऐसा लांबिक P है कि P^TAP विकर्ण हो; हर्मिटी (व्यापकतः प्रसामान्य) आव्यूह के लिए ऐसा ऐकिक U है कि U*AU विकर्ण हो।

भाव: प्रत्येक वास्तविक सममित आव्यूह कुछ परस्पर लंब अक्षों के अनुदिश शुद्ध खिंचाव है; A = PDP^T को पढ़ें 'उन अक्षों पर घुमाएँ, खींचें, वापस घुमाएँ'। सममिति के बिना यह विफल हो सकता है: [[1, 1], [0, 1]] बिल्कुल विकर्णनीय नहीं है, और [[1, 1], [0, 2]] विकर्णनीय है पर उसके आइगेन सदिश (1, 0) और (1, 1) लांबिक नहीं हैं।

विधि (लांबिक विकर्णन): (1) आइगेन मान ज्ञात करें; (2) आइगेन सदिश ज्ञात करें, किसी पुनरावृत्त आइगेन समष्टि में ग्राम-श्मिट लगाएँ; (3) उन्हें प्रसामान्यीकृत करें; (4) उन्हें P के स्तंभ बनाएँ।

लांबिक (ऐकिक) आव्यूहों के गुणनफल और व्युत्क्रम लांबिक (ऐकिक) होते हैं; लांबिक आव्यूह की पंक्तियाँ, और स्तंभ भी, प्रसामान्य-लांबिक समुच्चय बनाते हैं।

कैली रूपांतरण: यदि S विषम-हर्मिटी है, तो I + S व्युत्क्रमणीय है और (I − S)(I + S)⁻¹ ऐकिक है; वास्तविक विषम-सममित S के लिए यह लांबिक है।

व्युत्पत्ति: I + S व्युत्क्रमणीय है क्योंकि S के आइगेन मान 0 या शुद्ध काल्पनिक हैं, अतः −1 उनमें नहीं है। मान लें U = (I − S)(I + S)⁻¹; चूँकि S* = −S, U* = ((I + S)*)⁻¹(I − S)* = (I − S)⁻¹(I + S).

I − S और I + S क्रमविनिमेय हैं (दोनों S में बहुपद हैं), अतः U*U = (I − S)⁻¹(I + S)(I − S)(I + S)⁻¹ = (I − S)⁻¹(I − S)(I + S)(I + S)⁻¹ = I, और U ऐकिक है।

वास्तविक सममित आव्यूह धनात्मक निश्चित है ⇔ उसके सभी आइगेन मान धनात्मक हैं ⇔ उसके सभी अग्र मुख्य उपसारणिक धनात्मक हैं।

व्युत्पत्ति: लांबिक P, P^TAP = diag(λ₁, ..., λ_n) और X = PY के साथ X^TAX = Y^T(P^TAP)Y = λ₁y₁² + ... + λ_ny_n², और X ≠ 0 ⇔ Y ≠ 0. अतः सभी X ≠ 0 के लिए X^TAX > 0 ठीक तब जब प्रत्येक λ_i > 0; सभी λ_i ≥ 0 से धनात्मक अर्ध-निश्चित, और दोनों चिह्नों के आइगेन मानों से अनिश्चित समघात मिलता है।

ग्राम-श्मिट प्रक्रम: स्वतंत्र v₁, ..., v_k से u₁ = v₁ और u_j = v_j − ∑_{i < j} (⟨v_j, u_i⟩/⟨u_i, u_i⟩)u_i लें; u_j लांबिक हैं और वही उपसमष्टि विस्तृत करते हैं, तथा उनकी लंबाइयों से भाग देने पर प्रसामान्य लांबिक समुच्चय मिलता है।

यह क्यों काम करता है: गुणांक ⟨v_j, u_i⟩/⟨u_i, u_i⟩ इस प्रकार चुना जाता है कि ⟨u_j, u_i⟩ = 0: u_j का u_i (i < j) से आंतर गुणनफल लेने और पहले के u की लांबिकता का प्रयोग करने पर ⟨v_j, u_i⟩ − (⟨v_j, u_i⟩/⟨u_i, u_i⟩)⟨u_i, u_i⟩ = 0 बचता है। ज्यामितीय रूप से, u_j = v_j − (v₁, ..., v_j−1 की विस्तृति पर उसका प्रक्षेप)।

8. विधि का चयन

यदि आव्यूह वास्तविक सममित या हर्मिटी हो → आइगेन मान वास्तविक हैं और प्रसामान्य-लांबिक आइगेन आधार विद्यमान है; लांबिक P (ऐकिक U) के साथ P^TAP = D (या U*AU = D) का लक्ष्य रखें।

यदि सममित 3 × 3 आव्यूह का कोई आइगेन मान पुनरावृत्त हो → पुनरावृत्त मान का कोई आइगेन सदिश लें, और तीसरा पहले से प्राप्त दो आइगेन सदिशों के सदिश गुणनफल से लें, या पुनरावृत्त आइगेन समष्टि के अंदर ग्राम-श्मिट लगाएँ।

यदि द्विघाती समघात की प्रकृति पूछी जाए → अग्र मुख्य उपसारणिक (संख्यात्मक आव्यूहों के लिए तेज़) या आइगेन मानों के चिह्न; जब विहित रूप, कोटि और चिह्नक भी पूछे जाएँ तो सर्वांगसमता समानयन।

यदि किसी आव्यूह को लांबिक या ऐकिक सिद्ध करना हो → A^TA (या A*A) निकालकर दिखाएँ कि वह I है; केवल यह दिखाना कि प्रत्येक स्तंभ एकक सदिश है, पर्याप्त नहीं है।

यदि आव्यूह दूसरों से बना हो (A*A, iA, (I − S)(I + S)⁻¹, P^TAP) → प्रविष्टियाँ निकालने के स्थान पर नियम (AB)* = B*A* और (A*)* = A का प्रयोग करें।

9. सामान्य गलतियाँ

सम्मिश्र आव्यूहों के लिए संयुग्मी परिवर्त के स्थान पर परिवर्त लेना: [[1, i], [i, 1]] सममित है पर हर्मिटी नहीं, और इसके आइगेन मान 1 ± i वास्तविक नहीं हैं।

आइगेन सदिशों को प्रसामान्यीकृत करना भूल जाना, जिससे P लांबिक नहीं रहता और P^T ≠ P⁻¹.

पुनरावृत्त आइगेन मान के दो आइगेन सदिश उन्हें लांबिक बनाए बिना लेना; वे स्वतंत्र हैं पर प्रायः लांबिक नहीं।

यह कहना कि लांबिक आव्यूह के आइगेन मान ±1 हैं; उनका मापांक 1 है, और ±1 केवल संभावित वास्तविक मान हैं।

असममित आव्यूह पर अग्र-उपसारणिक परीक्षण लगाना, या 'सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ धनात्मक' को धनात्मक निश्चितता का परीक्षण मानना।

यह मान लेना कि असममित आव्यूह के भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लांबिक हैं; वे केवल स्वतंत्र होते हैं।

10. संबंध

संबंध: शांकवों और शांकवजों का मुख्य-अक्ष प्रमेय द्वितीय घात पदों के 2 × 2 या 3 × 3 सममित आव्यूह पर लगाया गया स्पेक्ट्रमी प्रमेय है (विश्लेषणात्मक ज्यामिति)।

संबंध: f(x, y, z) के चरम मानों का द्वितीय-अवकलज परीक्षण पूछता है कि सममित हेसियन आव्यूह धनात्मक या ऋणात्मक निश्चित है, जो उसके अग्र मुख्य उपसारणिकों से तय होता है (कलन, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ)।

संबंध: ऐकिक आव्यूह |z| = 1 के आव्यूह सादृश्य हैं, और कैली रूपांतरण (I − S)(I + S)⁻¹ मोबियस प्रतिचित्रण z ↦ (1 − z)/(1 + z) का प्रतिबिंब है, जो काल्पनिक अक्ष को एकक वृत्त पर भेजता है (सम्मिश्र विश्लेषण)।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: हर्मिटी आव्यूह A = [[2, 1 + i], [1 − i, 3]] के आइगेन मान ज्ञात करें।

tr A = 5 और det A = 6 − (1 + i)(1 − i) = 6 − 2 = 4, अतः λ² − 5λ + 4 = 0 और λ = 1, 4, दोनों वास्तविक, जैसा प्रमेय 1 कहता है।

उदाहरण 2: सिद्ध करें कि A = (1/3)[[1, 2, 2], [2, 1, −2], [2, −2, 1]] लांबिक है और इसके आइगेन मान ज्ञात करें।

[[1, 2, 2], [2, 1, −2], [2, −2, 1]] की प्रत्येक पंक्ति की लंबाई 3 है और पंक्तियाँ परस्पर लांबिक हैं (उदाहरणार्थ 2 + 2 − 4 = 0), अतः A^TA = I.

A सममित भी है, अतः इसके आइगेन मान वास्तविक और मापांक 1 वाले, अर्थात ±1 हैं। चूँकि tr A = 1 और det A = −27/27 = −1, आइगेन मान 1, 1, −1 हैं।

उदाहरण 3: वास्तविक विषम-सममित आव्यूह [[0, −2], [2, 0]] का अभिलक्षणिक समीकरण λ² + 4 = 0 है, अतः λ = ±2i, शुद्ध काल्पनिक, जैसा प्रमेय 2 कहता है।

उदाहरण 4: A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]] के लिए एक लांबिक आव्यूह P ज्ञात करें जिससे P^TAP विकर्ण हो।

λ³ − 6λ² + 9λ − 4 = (λ − 1)²(λ − 4) = 0, अतः λ = 4, 1, 1. λ = 4: (1, 1, 1). λ = 1: समतल x + y + z = 0.

उस समतल में लांबिक सदिश (1, −1, 0) और (1, 1, −2) चुनें (बिंदु गुणनफल 0)। दोनों (1, 1, 1) के लांबिक हैं, जैसा स्पेक्ट्रमी प्रमेय सुनिश्चित करता है।

प्रसामान्यीकरण से P के स्तंभ (1, 1, 1)/√3, (1, −1, 0)/√2, (1, 1, −2)/√6 हैं, और P^TAP = diag(4, 1, 1).

उदाहरण 5: सिद्ध करें कि A = (1/√2)[[1, i], [i, 1]] ऐकिक है और सत्यापित करें कि इसके आइगेन मानों का मापांक 1 है।

A* = (1/√2)[[1, −i], [−i, 1]], और AA* = (1/2)[[1 + 1, −i + i], [i − i, 1 + 1]] = I, अतः A ऐकिक है।

[[1, i], [i, 1]] के लिए (1 − μ)² = i² = −1, अतः μ = 1 ± i; A के आइगेन मान (1 ± i)/√2 हैं, और |(1 ± i)/√2| = √2/√2 = 1.

उदाहरण 6: यदि A विषम-हर्मिटी है, तो सिद्ध करें कि I − A और I + A व्युत्क्रमणीय हैं तथा U = (I + A)(I − A)⁻¹ ऐकिक है।

A के आइगेन मान शुद्ध काल्पनिक या 0 हैं, अतः 1 और −1 आइगेन मान नहीं हैं; इसलिए det(I − A) ≠ 0 और det(I + A) ≠ 0.

A* = −A से: U* = ((I − A)⁻¹)*(I + A)* = ((I − A)*)⁻¹(I − A) = (I + A)⁻¹(I − A).

I − A और I + A क्रमविनिमेय हैं, अतः U*U = (I + A)⁻¹(I − A)(I + A)(I − A)⁻¹ = (I + A)⁻¹(I + A)(I − A)(I − A)⁻¹ = I. अतः U ऐकिक है (कैली रूपांतरण)।

12. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2019, 15 अंक): माना कि A और B समान कोटि के दो लांबिक आव्यूह हैं तथा det A + det B = 0. दर्शाइए कि A + B एक अव्युत्क्रमणीय (सिंगुलर) आव्यूह है।

लांबिक आव्यूह के लिए AA^T = A^TA = I, अतः (det A)² = 1 और det A = ±1; इसी प्रकार det B = ±1. det A + det B = 0 होने से एक 1 और दूसरा −1 है, अतः det A · det B = −1.

A(A^T + B^T)B = (AA^T)B + A(B^TB) = B + A, और A^T + B^T = (A + B)^T.

सारणिक लेने पर: det(A + B) = det A · det(A + B)^T · det B = (det A · det B) det(A + B) = −det(A + B).

अतः 2 det(A + B) = 0, अर्थात det(A + B) = 0.

उत्तर: det(A + B) = 0, अतः A + B अव्युत्क्रमणीय है।

उदाहरण 8 (UPSC 2020, 20 अंक): एक n × n आव्यूह A को परिभाषित कीजिए, जबकि A = I − 2u·u^T, जहाँ u एक इकाई स्तंभ सदिश है।
(i) परीक्षण कीजिए कि A सममित है।
(ii) परीक्षण कीजिए कि A लांबिक है।
(iii) दिखाइए कि आव्यूह A का अनुरेख (n − 2) है।
(iv) आव्यूह A_3×3 निकालिए, जबकि u = [1/3, 2/3, 2/3]^T है।

(i) A^T = I − 2(uu^T)^T = I − 2(u^T)^Tu^T = I − 2uu^T = A, अतः A सममित है।

(ii) u^Tu = 1 का प्रयोग कर A^TA = A² = I − 4uu^T + 4u(u^Tu)u^T = I − 4uu^T + 4uu^T = I. अतः A लांबिक है (और A² = I)।

(iii) tr(uu^T) = ∑u_i² = u^Tu = 1, अतः tr A = tr I − 2 tr(uu^T) = n − 2.

(iv) uu^T = (1/9)[[1, 2, 2], [2, 4, 4], [2, 4, 4]], अतः A = I − (2/9)[[1, 2, 2], [2, 4, 4], [2, 4, 4]] = (1/9)[[7, −4, −4], [−4, 1, −8], [−4, −8, 1]].

जाँच: tr A = (7 + 1 + 1)/9 = 1 = 3 − 2; [[7, −4, −4], [−4, 1, −8], [−4, −8, 1]] की प्रत्येक पंक्ति की लंबाई 9 है और पंक्तियाँ 1 व 2 लांबिक हैं (−28 − 4 + 32 = 0)।

उत्तर: A सममित और लांबिक है, tr A = n − 2, और दिए गए u के लिए A = (1/9)[[7, −4, −4], [−4, 1, −8], [−4, −8, 1]].

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 15 अंक): (i) सिद्ध कीजिए कि एक वास्तविक सममित आव्यूह के दो भिन्न अभिलक्षणिक मानों के संगत अभिलक्षणिक सदिश, लांबिक हैं। (8 अंक)
(ii) दो वर्ग आव्यूह A तथा B जिनकी कोटि, 2 है के लिए दर्शाइए कि अनुरेख (AB) = अनुरेख (BA)। अतैव दर्शाइए कि AB − BA ≠ I₂ जहाँ I₂ एक 2-कोटि का तत्समक आव्यूह है। (7 अंक)

(i) मान लें A वास्तविक सममित है, AX = λX, AY = μY, X, Y ≠ 0, λ ≠ μ (प्रमेय 1 से दोनों वास्तविक)। तब λX^TY = (AX)^TY = X^TA^TY = X^TAY = μX^TY.

अतः (λ − μ)X^TY = 0, और λ ≠ μ से X^TY = 0: X और Y लांबिक हैं।

(ii) कोटि 2 के A = [a_ij], B = [b_ij] के लिए tr(AB) = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂, और tr(BA) = b₁₁a₁₁ + b₁₂a₂₁ + b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂ वही योग है।

अतः tr(AB − BA) = tr(AB) − tr(BA) = 0, जबकि tr I₂ = 2; अतः AB − BA = I₂ असंभव है।

उत्तर: वास्तविक सममित आव्यूह के भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लांबिक हैं; AB − BA ≠ I₂ क्योंकि उनके अनुरेख 0 और 2 हैं।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): [[1, i], [−i, 2]], [[i, 1], [1, i]] और [[0, 1 + i], [1 + i, 0]] में से कौन हर्मिटी हैं?

उत्तर: केवल पहला। दूसरे की विकर्ण प्रविष्टियाँ अवास्तविक हैं; तीसरा सममित है, पर a₂₁ = 1 + i ≠ conj(a₁₂) = 1 − i.

अभ्यास 2 (मूल): दिखाएँ कि A = (1/√2)[[1, 1], [−1, 1]] लांबिक है और A⁻¹ तथा det A लिखें।

उत्तर: स्तंभ (1, −1)/√2 और (1, 1)/√2 प्रसामान्य लांबिक हैं; A⁻¹ = A^T = (1/√2)[[1, −1], [1, 1]]; det A = 1 (−45° का घूर्णन)।

अभ्यास 3 (मूल): a, b, c ज्ञात करें जिनके लिए [[0, a, 3], [2, 0, b], [c, −1, 0]] विषम-सममित हो, और गणना किए बिना उसका सारणिक बताएँ।

उत्तर: a = −2, b = 1, c = −3; सारणिक 0 है (विषम कोटि का वास्तविक विषम-सममित)।

अभ्यास 4 (मानक): हर्मिटी आव्यूह [[3, 1 − i], [1 + i, 2]] के आइगेन मान और आइगेन सदिशों का प्रसामान्य लांबिक समुच्चय ज्ञात करें।

उत्तर: λ² − 5λ + 4 = 0, λ = 4, 1; 4 के लिए आइगेन सदिश (1 − i, 1)/√3 और 1 के लिए (1, −1 − i)/√3 (इनका संयुग्मी आंतर गुणनफल 0 है)।

अभ्यास 5 (मानक): A = [[2, 0, 1], [0, 3, 0], [1, 0, 2]] के लिए ऐसा लांबिक P ज्ञात करें कि P^TAP विकर्ण हो।

उत्तर: λ = 1, 3, 3; P के स्तंभ (1, 0, −1)/√2, (1, 0, 1)/√2, (0, 1, 0) हैं, और P^TAP = diag(1, 3, 3).

अभ्यास 6 (मानक): 5x² + 4xy + 2y² को मुख्य अक्षों पर समानीत करें और उसकी प्रकृति बताएँ।

उत्तर: A = [[5, 2], [2, 2]], λ = 6, 1 तथा इकाई आइगेन सदिश (2, 1)/√5, (1, −2)/√5; रूप 6X² + Y² बनता है, धनात्मक निश्चित।

अभ्यास 7 (मानक): सिद्ध करें कि A² = 0 वाला वास्तविक सममित आव्यूह A शून्य ही होगा।

उत्तर: tr(A²) = tr(A^TA) = ∑a_ij² = 0, अतः प्रत्येक प्रविष्टि 0 है। (या: A = PDP^T और D² = 0 से D = 0.)

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाएँ कि A = (1/3)[[2, −1, 2], [2, 2, −1], [−1, 2, 2]] लांबिक है और det A = 1, तथा इससे निरूपित घूर्णन का अक्ष और कोण ज्ञात करें।

उत्तर: पंक्तियों की लंबाई 1 है और वे परस्पर लांबिक हैं; det A = 1. A(1, 1, 1) = (1, 1, 1), अतः अक्ष (1, 1, 1) के अनुदिश है; tr A = 2 = 1 + 2 cos θ से θ = 60° (आइगेन मान 1, e^±iπ/3)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): S = [[0, 1], [−1, 0]] के लिए केली रूपांतर U = (I − S)(I + S)⁻¹ की गणना करें और सत्यापित करें कि U लांबिक है।

उत्तर: (I + S)⁻¹ = (1/2)[[1, −1], [1, 1]], U = [[0, −1], [1, 0]] (90° का घूर्णन), और U^TU = I.

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): सिद्ध करें कि किसी भी सम्मिश्र वर्ग आव्यूह A के लिए A*A के आइगेन मान वास्तविक और अऋणात्मक हैं।

उत्तर: (A*A)* = A*A, अतः यह हर्मिटी है और λ वास्तविक है; यदि A*AX = λX, तो λX*X = X*A*AX = |AX|² ≥ 0, और X*X > 0 से λ ≥ 0.

1. उपसमष्टियों का सर्वनिष्ठ और सम्मिलन

कथन: मान लें W₁, W₂ क्षेत्र F पर सदिश समष्टि V की उपसमष्टियाँ हैं। तब W₁ ∩ W₂ उपसमष्टि है, और W₁ ∪ W₂ उपसमष्टि है यदि और केवल यदि W₁ ⊆ W₂ या W₂ ⊆ W₁.

उपपत्ति: 0 ∈ W₁ और 0 ∈ W₂, अतः W₁ ∩ W₂ अरिक्त है। यदि u, v ∈ W₁ ∩ W₂ और a, b ∈ F, तो au + bv, W₁ में और W₂ में है (प्रत्येक उपसमष्टि है), अतः W₁ ∩ W₂ में है।

यदि W₁ ⊆ W₂, तो W₁ ∪ W₂ = W₂, एक उपसमष्टि; इसी प्रकार यदि W₂ ⊆ W₁.

विलोमतः, मान लें W₁ ∪ W₂ उपसमष्टि है और कोई दूसरे में समाहित नहीं है। u ∈ W₁, u ∉ W₂ और v ∈ W₂, v ∉ W₁ चुनें। तब u + v ∈ W₁ ∪ W₂.

यदि u + v ∈ W₁, तो v = (u + v) − u ∈ W₁, विरोधाभास; यदि u + v ∈ W₂, तो u = (u + v) − v ∈ W₂, विरोधाभास। अतः एक उपसमष्टि दूसरी को समाहित करती है।

अतः सिद्ध हुआ।

2. प्रतिस्थापन प्रमेय और विमा की अचरता

कथन: यदि सदिश समष्टि V, m सदिशों द्वारा विस्तृत है, तो V के कोई भी n सदिश, जहाँ n > m, रैखिकतः आश्रित हैं। फलतः किसी परिमित-विमीय समष्टि के किन्हीं दो आधारों में अवयवों की संख्या समान होती है।

उपपत्ति: मान लें V = L{w₁, ..., w_m} और v₁, ..., v_n ∈ V, n > m. v_j = ∑_i a_ijw_i (j = 1, ..., n) लिखें।

अदिशों c₁, ..., c_n के लिए: ∑_j c_jv_j = ∑_i (∑_j a_ijc_j) w_i.

समघात निकाय ∑_j a_ijc_j = 0 (i = 1, ..., m) में n अज्ञातों में m समीकरण हैं; गुणांक कोटि अधिकतम m < n है, अतः n − कोटि ≥ 1 मुक्त अज्ञात हैं और इसलिए एक अतुच्छ हल (c₁, ..., c_n) है।

इस हल के लिए प्रत्येक w_i का गुणांक शून्य है, अतः ∑ c_jv_j = 0 जबकि सभी c_j शून्य नहीं: v_j आश्रित हैं।

यदि B₁ (m अवयव) और B₂ (n अवयव) आधार हैं, तो B₁ विस्तृत करता है और B₂ स्वतंत्र है, अतः n ≤ m; भूमिकाएँ बदलने पर m ≤ n. अतः m = n.

अतः सिद्ध हुआ।

3. उपसमष्टियों के योग की विमा

कथन: यदि W₁, W₂ परिमित-विमीय समष्टि V की उपसमष्टियाँ हैं, तो dim(W₁ + W₂) = dim W₁ + dim W₂ − dim(W₁ ∩ W₂).

उपपत्ति: मान लें {u₁, ..., u_k}, W₁ ∩ W₂ का आधार है। इसे W₁ के आधार {u₁, ..., u_k, v₁, ..., v_m} और W₂ के आधार {u₁, ..., u_k, w₁, ..., w_n} तक विस्तारित करें।

S = {u_i, v_j, w_l}, W₁ + W₂ को विस्तृत करता है, क्योंकि प्रत्येक x₁ + x₂ (x₁ ∈ W₁, x₂ ∈ W₂) इन सदिशों का संचय है।

स्वतंत्रता: मान लें ∑a_iu_i + ∑b_jv_j + ∑c_lw_l = 0. तब x = ∑c_lw_l = −∑a_iu_i − ∑b_jv_j, W₂ में और W₁ में है, अतः किन्हीं अदिशों d_i के लिए x = ∑d_iu_i.

तब ∑c_lw_l − ∑d_iu_i = 0, और W₂ का आधार स्वतंत्र है, अतः सभी c_l = 0. पहला संबंध ∑a_iu_i + ∑b_jv_j = 0 बनता है, अतः सभी a_i = b_j = 0 (W₁ का आधार)।

अतः S आधार है और dim(W₁ + W₂) = k + m + n = (k + m) + (k + n) − k.

अतः सिद्ध हुआ।

4. कोटि-शून्यता प्रमेय

कथन: मान लें T: V → W एक रैखिक रूपांतरण है और V परिमित-विमीय है। तब कोटि T + शून्यता T = dim V, जहाँ कोटि T = dim R(T) और शून्यता T = dim N(T).

उपपत्ति: मान लें dim V = n और {u₁, ..., u_k}, उपसमष्टि N(T) का आधार है। इसे V के आधार {u₁, ..., u_k, v₁, ..., v_r} तक विस्तारित करें, अतः n = k + r.

विस्तृति: कोई भी v ∈ V, ∑a_iu_i + ∑b_jv_j है, अतः Tv = ∑a_iTu_i + ∑b_jTv_j = ∑b_jTv_j, क्योंकि Tu_i = 0. अतः R(T) = L{Tv₁, ..., Tv_r}.

स्वतंत्रता: यदि ∑c_jTv_j = 0, तो T(∑c_jv_j) = 0, अतः ∑c_jv_j ∈ N(T) और किन्हीं d_i के लिए ∑c_jv_j = ∑d_iu_i.

चूँकि {u_i, v_j} स्वतंत्र है, सभी c_j = 0 (और d_i = 0)। अतः {Tv₁, ..., Tv_r}, R(T) का आधार है, कोटि T = r = n − k = dim V − शून्यता T.

अतः सिद्ध हुआ।

5. एकैकी यदि और केवल यदि आच्छादक

कथन: मान लें V परिमित-विमीय है और T: V → V रैखिक है। तब T एकैकी है यदि और केवल यदि T आच्छादक है (और तब T व्युत्क्रमणीय है)।

उपपत्ति: Tu = Tv ⇔ T(u − v) = 0, अतः T एकैकी ⇔ N(T) = {0} ⇔ शून्यता T = 0.

कोटि-शून्यता प्रमेय से शून्यता T = 0 ⇔ कोटि T = dim V = n.

R(T), V की उपसमष्टि है; n-विमीय समष्टि में n विमा की उपसमष्टि पूरी समष्टि होती है (उसका आधार n स्वतंत्र सदिश हैं, अतः V का आधार)। अतः कोटि T = n ⇔ R(T) = V ⇔ T आच्छादक है।

परिमित विमा आवश्यक है: सभी बहुपदों की समष्टि पर p(x) ↦ xp(x) एकैकी है परंतु आच्छादक नहीं।

अतः सिद्ध हुआ।

6. गुणनफल की कोटि

कथन: यदि A, m × n और B, n × p है, तो ρ(AB) ≤ min(ρ(A), ρ(B)).

उपपत्ति: AB का j-वाँ स्तंभ A·(B का j-वाँ स्तंभ) = ∑_k b_kj·(A का k-वाँ स्तंभ) है, जो A के स्तंभों का रैखिक संचय है।

अतः AB की स्तंभ समष्टि, A की स्तंभ समष्टि में समाहित है, और ρ(AB) = dim C(AB) ≤ dim C(A) = ρ(A).

चूँकि आव्यूह और उसके परिवर्त की कोटि समान होती है (पंक्ति कोटि = स्तंभ कोटि), पहले भाग को B^TA^T पर लगाने से ρ(AB) = ρ((AB)^T) = ρ(B^TA^T) ≤ ρ(B^T) = ρ(B).

उपप्रमेय: यदि P, Q व्युत्क्रमणीय हैं, तो ρ(PAQ) = ρ(A), क्योंकि ρ(A) = ρ(P⁻¹(PAQ)Q⁻¹) ≤ ρ(PAQ) ≤ ρ(A).

अतः सिद्ध हुआ।

7. संगतता प्रमेय (रूशे-कैपेली)

कथन: निकाय AX = B (A एक m × n आव्यूह) संगत है यदि और केवल यदि ρ(A) = ρ([A | B]). संगत होने पर, उभयनिष्ठ कोटि r हो तो r = n पर हल अद्वितीय है, और r < n पर हल X₀ + N(A) हैं, n − r मुक्त प्राचलों वाला कुल।

उपपत्ति: मान लें C₁, ..., C_n, A के स्तंभ हैं। तब AX = x₁C₁ + ... + x_nC_n, अतः AX = B हल योग्य है ⇔ B ∈ L{C₁, ..., C_n} = C(A).

सदैव C(A) ⊆ C([A | B]). यदि B ∈ C(A), तो दोनों समष्टियाँ बराबर हैं और कोटियाँ समान। यदि B ∉ C(A), तो C(A) का आधार B के साथ स्वतंत्र है, अतः ρ([A | B]) = ρ(A) + 1 > ρ(A). इससे पहला भाग सिद्ध होता है।

यदि AX₀ = B, तो AX = B ⇔ A(X − X₀) = 0 ⇔ X ∈ X₀ + N(A).

Fⁿ पर X ↦ AX पर कोटि-शून्यता लगाने से dim N(A) = n − r: r = n पर हल अद्वितीय है और r < n पर n − r मुक्त प्राचल हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

8. भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश स्वतंत्र होते हैं

कथन: यदि X₁, ..., X_k, A के भिन्न आइगेन मानों λ₁, ..., λ_k के आइगेन सदिश हैं, तो X₁, ..., X_k रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

उपपत्ति: k पर आगमन। k = 1 के लिए X₁ ≠ 0 स्वतंत्र है। k − 1 सदिशों के लिए परिणाम मान लें।

मान लें c₁X₁ + ... + c_kX_k = 0 (1). A लगाने पर: c₁λ₁X₁ + ... + c_kλ_kX_k = 0 (2).

(2) − λ_k·(1): c₁(λ₁ − λ_k)X₁ + ... + c_k−1(λ_k−1 − λ_k)X_k−1 = 0.

आगमन परिकल्पना से प्रत्येक c_i(λ_i − λ_k) = 0, और λ_i ≠ λ_k, अतः i ≤ k − 1 के लिए c_i = 0. तब (1) से c_kX_k = 0 और, चूँकि X_k ≠ 0, c_k = 0.

अतः सिद्ध हुआ।

9. समरूप आव्यूहों का अभिलक्षणिक बहुपद समान होता है

कथन: यदि किसी व्युत्क्रमणीय P के लिए B = P⁻¹AP, तो det(λI − B) = det(λI − A); अतः A और B के आइगेन मान (बीजीय बहुलताओं सहित), अनुरेख और सारणिक समान हैं।

उपपत्ति: λI − B = λP⁻¹P − P⁻¹AP = P⁻¹(λI − A)P.

सारणिकों के गुणन नियम से det(λI − B) = det(P⁻¹)·det(λI − A)·det P = det(λI − A), क्योंकि det(P⁻¹)·det P = det(P⁻¹P) = 1.

अनुरेख और सारणिक, चिह्न तक, इस बहुपद में λⁿ⁻¹ और λ⁰ के गुणांक हैं, अतः वे भी समान हैं। (विलोम असत्य है: [[1, 1], [0, 1]] और I का अभिलक्षणिक बहुपद समान है परंतु वे समरूप नहीं हैं।)

अतः सिद्ध हुआ।

10. विकर्णनीयता की कसौटी

कथन: एक n × n आव्यूह A किसी विकर्ण आव्यूह के समरूप है यदि और केवल यदि A के n रैखिकतः स्वतंत्र आइगेन सदिश हैं। उस स्थिति में P⁻¹AP = D, जहाँ P के स्तंभ वे आइगेन सदिश हैं और D में संगत आइगेन मान हैं।

उपपत्ति: मान लें P⁻¹AP = D = diag(d₁, ..., d_n), P = [P₁ ... P_n]. तब AP = PD, और j-वें स्तंभों की तुलना से AP_j = d_jP_j.

P व्युत्क्रमणीय है, अतः इसके स्तंभ रैखिकतः स्वतंत्र और विशेषतः शून्येतर हैं; इसलिए P₁, ..., P_n, n स्वतंत्र आइगेन सदिश हैं।

विलोमतः, मान लें AX_j = λ_jX_j, X₁, ..., X_n स्वतंत्र, और P = [X₁ ... X_n]. तब ρ(P) = n, अतः P व्युत्क्रमणीय है।

AP = [λ₁X₁ ... λ_nX_n] = P·diag(λ₁, ..., λ_n), अतः P⁻¹AP = diag(λ₁, ..., λ_n). प्रमेय 8 से, n भिन्न आइगेन मान पर्याप्त हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

11. कैली-हैमिल्टन प्रमेय

कथन: मान लें A क्षेत्र F पर एक n × n आव्यूह है और p(λ) = det(λI − A) = λⁿ + c₁λⁿ⁻¹ + ... + c_n. तब p(A) = Aⁿ + c₁Aⁿ⁻¹ + ... + c_nI = 0.

उपपत्ति: adj(λI − A) की प्रत्येक प्रविष्टि n − 1 कोटि का सहखंड है, λ में अधिकतम n − 1 घात का बहुपद। अतः adj(λI − A) = B₀λⁿ⁻¹ + B₁λⁿ⁻² + ... + B_n−1, जहाँ B_k अचर आव्यूह हैं।

M = λI − A के साथ M·adj M = (det M)I से: सभी λ के लिए (λI − A)(B₀λⁿ⁻¹ + ... + B_n−1) = (λⁿ + c₁λⁿ⁻¹ + ... + c_n)I.

λ की घातों के गुणांकों की तुलना से: B₀ = I; 1 ≤ k ≤ n − 1 के लिए B_k − AB_k−1 = c_kI; −AB_n−1 = c_nI.

इन समीकरणों को क्रमशः Aⁿ, Aⁿ⁻¹, ..., A, I से पूर्वगुणित करें: AⁿB₀ = Aⁿ; A^n−kB_k − A^n−k+1B_k−1 = c_kA^n−k; −AB_n−1 = c_nI.

सभी को जोड़ने पर बायाँ पक्ष संकुचित होकर 0 हो जाता है और दायाँ पक्ष Aⁿ + c₁Aⁿ⁻¹ + ... + c_nI = p(A) है। अतः p(A) = 0.

अतः सिद्ध हुआ।

12. हर्मिटी आव्यूह के आइगेन मान

कथन: यदि A हर्मिटी (A* = A) है, तो A का प्रत्येक आइगेन मान वास्तविक है, और भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लांबिक हैं। विशेषतः यह वास्तविक सममित आव्यूहों के लिए सत्य है।

उपपत्ति: मान लें AX = λX, X ≠ 0. तब X*AX = λX*X. अदिश X*AX के लिए (X*AX)* = X*A*X = X*AX, अतः यह अपने संयुग्मी के बराबर है और वास्तविक है।

X*X = |x₁|² + ... + |x_n|² > 0 वास्तविक है, अतः λ = X*AX / X*X वास्तविक है।

अब मान लें AX₁ = λ₁X₁, AX₂ = λ₂X₂, λ₁ ≠ λ₂. तब X₂*AX₁ = λ₁X₂*X₁, और साथ ही A* = A और λ₂ वास्तविक होने से X₂*AX₁ = (AX₂)*X₁ = (λ₂X₂)*X₁ = λ₂X₂*X₁.

घटाने पर (λ₁ − λ₂)X₂*X₁ = 0, और λ₁ ≠ λ₂ से X₂*X₁ = 0: आइगेन सदिश लांबिक हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

13. विषम-हर्मिटी आव्यूह के आइगेन मान

कथन: यदि A विषम-हर्मिटी (A* = −A) है, तो A का प्रत्येक आइगेन मान शुद्ध काल्पनिक या शून्य है। विशेषतः यह वास्तविक विषम-सममित आव्यूहों के लिए सत्य है।

उपपत्ति: मान लें B = iA. तब B* = (−i)A* = (−i)(−A) = iA = B (i का संयुग्मी −i है), अतः B हर्मिटी है।

यदि AX = λX, X ≠ 0, तो BX = iλX, अतः iλ हर्मिटी आव्यूह B का आइगेन मान है और प्रमेय 12 से वास्तविक है।

iλ = t ∈ ℝ से λ = −it, जो शुद्ध काल्पनिक है (या t = 0 पर 0)।

अतः सिद्ध हुआ।

14. ऐकिक आव्यूह के आइगेन मान

कथन: यदि A ऐकिक (A*A = I) है, तो A का प्रत्येक आइगेन मान λ, |λ| = 1 संतुष्ट करता है। विशेषतः वास्तविक लांबिक आव्यूह के आइगेन मानों का मापांक 1 है, और इसके वास्तविक आइगेन मान ±1 हैं।

उपपत्ति: मान लें AX = λX, X ≠ 0. संयुग्मी परिवर्त लेने पर X*A* = λ̄X*.

गुणा करने पर X*A*AX = λ̄λX*X, अर्थात X*X = |λ|²X*X, क्योंकि A*A = I.

X ≠ 0 होने से X*X > 0, अतः |λ|² = 1 और |λ| = 1. ऐकिक आव्यूह लंबाई भी संरक्षित करता है: ‖AX‖² = X*A*AX = ‖X‖².

अतः सिद्ध हुआ।

15. n-विमीय समष्टि में n स्वतंत्र सदिश आधार बनाते हैं

कथन: मान लें dim V = n. V के n सदिशों का कोई भी रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय S = {v₁, ..., v_n}, V का आधार है; इसी प्रकार V को विस्तृत करने वाले कोई भी n सदिश आधार बनाते हैं।

उपपत्ति: यह दिखाना पर्याप्त है कि S, V को विस्तृत करता है। मान लें v ∈ V. n + 1 सदिश v₁, ..., v_n, v, V में हैं, जो n सदिशों के आधार द्वारा विस्तृत है, अतः प्रतिस्थापन प्रमेय (प्रमेय 2) से वे निर्भर हैं: a₁v₁ + ... + a_nv_n + bv = 0, जहाँ सभी गुणांक शून्य नहीं।

यदि b = 0, तो किसी a_i ≠ 0 के साथ a₁v₁ + ... + a_nv_n = 0, जो S की स्वतंत्रता के विरुद्ध है। अतः b ≠ 0 और v = −(a₁/b)v₁ − ... − (a_n/b)v_n ∈ L(S).

अतः S स्वतंत्र है और V को विस्तृत करता है, इसलिए S आधार है।

विस्तृति रूप: यदि n सदिश V को विस्तृत करें पर निर्भर हों, तो उनमें से एक शेष का संचय होगा, और शेष n − 1 सदिश भी V को विस्तृत करेंगे; तब प्रमेय 2 से V के आधार के n सदिश निर्भर होंगे, जो विरोधाभास है।

अतः सिद्ध हुआ।

16. हर्मिटी आव्यूह के आइगेन सदिशों की लांबिकता

कथन: मान लें A हर्मिटी है (विशेषतः वास्तविक सममित)। यदि X, Y ≠ 0 और λ ≠ μ के साथ AX = λX और AY = μY, तो X*Y = 0 (वास्तविक सममित A के लिए X^TY = 0)।

उपपत्ति: λ और μ वास्तविक हैं (प्रमेय 12)। AX = λX का संयुग्मी परिवर्त लेने पर X*A* = λ̄X* = λX*, और A* = A, अतः X*A = λX*.

दाईं ओर Y से गुणा करने पर: X*AY = λX*Y. परंतु AY = μY से X*AY = μX*Y.

घटाने पर (λ − μ)X*Y = 0, और λ ≠ μ से X*Y = 0.

अतः सिद्ध हुआ।

17. समरूप आव्यूहों के निश्चर

कथन: यदि किसी व्युत्क्रमणीय P के लिए B = P⁻¹AP, तो A और B के अभिलक्षणिक बहुपद, आइगेन मान, सारणिक, अनुरेख और कोटि समान हैं।

उपपत्ति: B − λI = P⁻¹AP − λP⁻¹P = P⁻¹(A − λI)P, अतः det(B − λI) = det P⁻¹ det(A − λI) det P = det(A − λI), क्योंकि det P⁻¹ det P = 1. समान अभिलक्षणिक बहुपदों से समान आइगेन मान मिलते हैं, और λ = 0 से det B = det A.

अनुरेख: कोटि n के किन्हीं X, Y के लिए tr(XY) = ∑_i∑_k x_iky_ki = tr(YX). अतः tr B = tr(P⁻¹(AP)) = tr((AP)P⁻¹) = tr A.

कोटि: ρ(XY) ≤ min{ρ(X), ρ(Y)}. अतः ρ(B) = ρ(P⁻¹AP) ≤ ρ(A), और A = PBP⁻¹ से ρ(A) ≤ ρ(B); अतः ρ(A) = ρ(B).

अतः सिद्ध हुआ।

18. विभाग समष्टि की विमा

कथन: यदि W परिमित-विमीय सदिश समष्टि V की उपसमष्टि है, तो dim(V/W) = dim V − dim W.

उपपत्ति: मान लें {w₁, ..., w_k}, W का आधार है; इसे V के आधार {w₁, ..., w_k, v₁, ..., v_r} तक विस्तारित करें, अतः dim V = k + r. हम दिखाते हैं कि {v₁ + W, ..., v_r + W}, V/W का आधार है।

विस्तृति: कोई भी v ∈ V, ∑a_iw_i + ∑b_jv_j है; चूँकि ∑a_iw_i ∈ W, v + W = ∑b_jv_j + W = ∑b_j(v_j + W).

स्वतंत्रता: यदि ∑c_j(v_j + W) = W (V/W का शून्य), तो ∑c_jv_j ∈ W, अतः किन्हीं d_i के लिए ∑c_jv_j = ∑d_iw_i; V के आधार की स्वतंत्रता से प्रत्येक c_j = 0.

अतः dim(V/W) = r = (k + r) − k = dim V − dim W.

अतः सिद्ध हुआ।

1. सदिश समष्टि और रैखिक रूपांतरण

प्रश्न 1 (10): सिद्ध करें कि W = {(x, y, z, w) ∈ ℝ⁴: x − y + z = 0, y + w = 0}, ℝ⁴ की उपसमष्टि है। W का आधार ज्ञात करें और उसे ℝ⁴ के आधार तक विस्तारित करें।

W एक समघात निकाय का हल समुच्चय है, अर्थात रैखिक प्रतिचित्रण (x, y, z, w) ↦ (x − y + z, y + w) की अष्टि; अष्टि सदैव उपसमष्टि होती है।

दोनों समीकरण स्वतंत्र हैं, अतः dim W = 4 − 2 = 2. z, w मुक्त लें: y = −w, x = y − z = −z − w.

अतः (x, y, z, w) = z(−1, 0, 1, 0) + w(−1, −1, 0, 1), और u₁ = (−1, 0, 1, 0), u₂ = (−1, −1, 0, 1), W का आधार हैं।

e₁ = (1, 0, 0, 0) और e₂ = (0, 1, 0, 0) जोड़ें। पंक्तियों u₁, u₂, e₁, e₂ वाले आव्यूह का सारणिक 1 ≠ 0 है (e₁ और e₂ के अनुदिश प्रसार करने पर अंतिम दो निर्देशांकों से [[1, 0], [0, 1]] बचता है), अतः चारों सदिश स्वतंत्र हैं।

उत्तर: dim W = 2, आधार {(−1, 0, 1, 0), (−1, −1, 0, 1)}; (1, 0, 0, 0) और (0, 1, 0, 0) जोड़ने से ℝ⁴ का आधार मिलता है।

प्रश्न 2 (15): V = M₂(ℝ) में W₁ सममित आव्यूह और W₂ शून्य अनुरेख वाले आव्यूह हैं। dim W₁, dim W₂, dim(W₁ ∩ W₂) और dim(W₁ + W₂) ज्ञात करें। क्या V = W₁ ⊕ W₂?

मान लें E_ij इकाई आव्यूह हैं। W₁ = {[[a, b], [b, d]]} का आधार E₁₁, E₂₂, E₁₂ + E₂₁ है, अतः dim W₁ = 3.

W₂ = {[[a, b], [c, −a]]} का आधार E₁₁ − E₂₂, E₁₂, E₂₁ है, अतः dim W₂ = 3 (यह आच्छादक प्रतिचित्रण अनुरेख: V → ℝ की अष्टि है, शून्यता 4 − 1)।

W₁ ∩ W₂ = {[[a, b], [b, −a]]}, आधार E₁₁ − E₂₂, E₁₂ + E₂₁, अतः इसकी विमा 2 है।

विमा सूत्र से dim(W₁ + W₂) = 3 + 3 − 2 = 4 = dim V, अतः W₁ + W₂ = V. योग प्रत्यक्ष नहीं है, क्योंकि W₁ ∩ W₂ ≠ {0}.

उत्तर: 3, 3, 2, 4; V = W₁ + W₂, परंतु W₁ ⊕ W₂ नहीं।

प्रश्न 3 (15): T: ℝ³ → ℝ³, T(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x). B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} के सापेक्ष T का आव्यूह ज्ञात करें, सत्यापित करें कि इसका अनुरेख और सारणिक मानक आव्यूह के समान है, और निर्णय करें कि T व्युत्क्रमणीय है या नहीं।

सदिश (p, q, r) = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1), जहाँ c = r, b = q − r, a = p − q.

T(1, 0, 0) = (1, 0, 1) → निर्देशांक (1, −1, 1); T(1, 1, 0) = (2, 1, 1) → (1, 0, 1); T(1, 1, 1) = (2, 2, 2) → (0, 0, 2).

इन्हें स्तंभों के रूप में लिखने पर [T]_B = [[1, 1, 0], [−1, 0, 0], [1, 1, 2]].

मानक आव्यूह A = [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1]], tr A = 3 और det A = 1(1) − 1(0 − 1) = 2. [T]_B के लिए: अनुरेख 1 + 0 + 2 = 3, और दूसरी पंक्ति के अनुदिश प्रसार से det = −(−1)·det [[1, 0], [1, 2]] = 2. ये समान हैं, जैसा समरूप आव्यूहों के लिए अनिवार्य है।

उत्तर: [T]_B = [[1, 1, 0], [−1, 0, 0], [1, 1, 2]]; दोनों आधारों में अनुरेख 3 और सारणिक 2; det ≠ 0, अतः T व्युत्क्रमणीय है।

प्रश्न 4 (10): मान लें T: V → V, n-विमीय समष्टि पर रैखिक है और T² = 0. सिद्ध करें कि R(T) ⊆ N(T) और निष्कर्ष निकालें कि कोटि T ≤ n/2. समता का एक उदाहरण दें।

यदि w ∈ R(T), तो किसी v के लिए w = Tv, और Tw = T²v = 0, अतः w ∈ N(T). इसलिए R(T) ⊆ N(T) और कोटि T ≤ शून्यता T.

कोटि-शून्यता से शून्यता T = n − कोटि T, अतः कोटि T ≤ n − कोटि T, अर्थात 2 कोटि T ≤ n.

उदाहरण: ℝ² पर T(x, y) = (y, 0), आव्यूह [[0, 1], [0, 0]]; T² = 0 और कोटि T = 1 = n/2.

उत्तर: R(T) ⊆ N(T), अतः कोटि T ≤ n/2; ℝ² पर T(x, y) = (y, 0) के लिए समता है।

प्रश्न 5 (15): T: ℝ⁴ → ℝ³, T(x, y, z, w) = (x − y + z + w, x + 2z − w, x + y + 3z − 3w). T के परिसर और अष्टि के आधार ज्ञात करें और कोटि-शून्यता प्रमेय सत्यापित करें।

आव्यूह A = [[1, −1, 1, 1], [1, 0, 2, −1], [1, 1, 3, −3]] है। R₂ − R₁ = (0, 1, 1, −2) और R₃ − R₁ = (0, 2, 2, −4), जो पिछली पंक्ति का दुगुना है।

सोपानक रूप [[1, −1, 1, 1], [0, 1, 1, −2], [0, 0, 0, 0]]: कोटि 2, कीलक स्तंभ 1 और 2 में।

परिसर: A के कीलक स्तंभ (1, 1, 1) और (−1, 0, 1), R(T) का आधार हैं।

अष्टि: y = −z + 2w और x = y − z − w = −2z + w, अतः (x, y, z, w) = z(−2, −1, 1, 0) + w(1, 2, 0, 1); दोनों सदिश तीनों समीकरण संतुष्ट करते हैं (उदाहरणार्थ −2 + 1 + 1 = 0)।

उत्तर: R(T) = L{(1, 1, 1), (−1, 0, 1)}, N(T) = L{(−2, −1, 1, 0), (1, 2, 0, 1)}; कोटि 2 + शून्यता 2 = 4 = dim ℝ⁴.

2. आव्यूह, कोटि और रैखिक निकाय

प्रश्न 6 (10): प्रत्येक वास्तविक k के लिए A = [[k, 1, 1], [1, k, 1], [1, 1, k]] की कोटि ज्ञात करें।

det A = k(k² − 1) − (k − 1) + (1 − k) = k³ − 3k + 2 = (k − 1)²(k + 2).

यदि k ≠ 1 और k ≠ −2, तो det A ≠ 0 और ρ(A) = 3.

यदि k = 1, तो प्रत्येक पंक्ति (1, 1, 1) है, अतः ρ(A) = 1. यदि k = −2, तो det A = 0 परंतु उपसारणिक det [[−2, 1], [1, −2]] = 3 ≠ 0, अतः ρ(A) = 2.

उत्तर: k = 1 पर ρ(A) = 1, k = −2 पर ρ(A) = 2, अन्यथा ρ(A) = 3.

प्रश्न 7 (15): प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं से A = [[0, 1, 2], [1, 2, 3], [3, 1, 1]] का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

[A | I] से आरंभ करें। R₁ ↔ R₂: पंक्तियाँ (1, 2, 3 | 0, 1, 0), (0, 1, 2 | 1, 0, 0), (3, 1, 1 | 0, 0, 1). फिर R₃ → R₃ − 3R₁: (0, −5, −8 | 0, −3, 1).

R₁ → R₁ − 2R₂: (1, 0, −1 | −2, 1, 0); R₃ → R₃ + 5R₂: (0, 0, 2 | 5, −3, 1); R₃ → R₃/2: (0, 0, 1 | 5/2, −3/2, 1/2).

R₁ → R₁ + R₃: (1, 0, 0 | 1/2, −1/2, 1/2); R₂ → R₂ − 2R₃: (0, 1, 0 | −4, 3, −1).

जाँच: det A = 0(2 − 3) − 1(1 − 9) + 2(1 − 6) = −2, और A की पहली पंक्ति गुणा परिणाम का पहला स्तंभ = 0(1/2) + 1(−4) + 2(5/2) = 1.

उत्तर: A⁻¹ = (1/2)[[1, −1, 1], [−8, 6, −2], [5, −3, 1]].

प्रश्न 8 (15): सिद्ध करें कि निकाय x + y + z = a, 3x + 4y + 5z = b, 2x + 3y + 4z = c का कोई हल नहीं है जब तक b = a + c न हो, और b = a + c होने पर इसे हल करें।

गुणांक पंक्तियाँ R₂ = R₁ + R₃ संतुष्ट करती हैं, और R₁, R₃ स्वतंत्र हैं, अतः ρ(A) = 2.

R₂ → R₂ − R₁ − R₃ से संवर्धित आव्यूह की दूसरी पंक्ति (0, 0, 0 | b − a − c) बनती है। अतः ρ([A | B]) = ρ(A) = 2 ठीक तब जब b = a + c; अन्यथा निकाय असंगत है।

b = a + c होने पर पहले और तीसरे समीकरण लें। R₃ − 2R₁: y + 2z = c − 2a. z = t लेने पर: y = c − 2a − 2t और x = a − y − z = 3a − c + t.

तीसरे समीकरण में जाँच: 2(3a − c + t) + 3(c − 2a − 2t) + 4t = c.

उत्तर: केवल b = a + c पर संगत; तब (x, y, z) = (3a − c + t, c − 2a − 2t, t), t ∈ ℝ (अनंत हल)।

3. आइगेन मान और कैली-हैमिल्टन प्रमेय

प्रश्न 9 (15): A = [[−2, 2, −3], [2, 1, −6], [−1, −2, 0]] के आइगेन मान और आइगेन सदिश ज्ञात करें। क्या A विकर्णनीय है?

tr A = −1; मुख्य उपसारणिक −6, −3, −12, योग −21; det A = 45. अतः λ³ + λ² − 21λ − 45 = (λ − 5)(λ + 3)² = 0 और λ = 5, −3, −3.

λ = 5: A − 5I = [[−7, 2, −3], [2, −4, −6], [−1, −2, −5]] से X = (1, 2, −1); जाँच A(1, 2, −1) = (5, 10, −5).

λ = −3: A + 3I = [[1, 2, −3], [2, 4, −6], [−1, −2, 3]] की कोटि 1 है, अतः x + 2y − 3z = 0 और GM = 2, आइगेन सदिश (−2, 1, 0) और (3, 0, 1).

दोनों आइगेन मानों के लिए GM = AM, अतः A विकर्णनीय है, P = [[1, −2, 3], [2, 1, 0], [−1, 0, 1]] और P⁻¹AP = diag(5, −3, −3).

उत्तर: λ = 5, आइगेन सदिश (1, 2, −1); λ = −3 (दो बार), आइगेन सदिश (−2, 1, 0), (3, 0, 1); A विकर्णनीय है।

प्रश्न 10 (15): A = [[5, −6, −6], [−1, 4, 2], [3, −6, −4]] के अभिलक्षणिक और अल्पिष्ठ बहुपद ज्ञात करें और निर्णय करें कि A विकर्णनीय है या नहीं।

tr A = 5; मुख्य उपसारणिक 14, −2, −4, योग 8; det A = 4. अतः p(λ) = λ³ − 5λ² + 8λ − 4 = (λ − 1)(λ − 2)².

अल्पिष्ठ बहुपद p(λ) को विभाजित करता है और उसके मूल 1 और 2 हैं, अतः यह (λ − 1)(λ − 2) या (λ − 1)(λ − 2)² है।

A − I = [[4, −6, −6], [−1, 3, 2], [3, −6, −5]] और A − 2I = [[3, −6, −6], [−1, 2, 2], [3, −6, −6]]; गुणा करने पर (A − I)(A − 2I) = 0 (उदाहरणार्थ (1, 1) प्रविष्टि 12 + 6 − 18 = 0)।

अतः m(λ) = (λ − 1)(λ − 2) के मूल भिन्न हैं और A विकर्णनीय है; समतुल्यतः A − 2I की कोटि 1 है, अतः GM(2) = 2 = AM(2).

उत्तर: p(λ) = (λ − 1)(λ − 2)², m(λ) = (λ − 1)(λ − 2); A विकर्णनीय है, diag(1, 2, 2) के समरूप।

प्रश्न 11 (10): A = [[2, −1, 1], [−1, 2, −1], [1, −1, 2]] के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय सत्यापित करें और इससे A⁻¹ ज्ञात करें।

tr A = 6, मुख्य उपसारणिक 3, 3, 3, योग 9, det A = 4, अतः p(λ) = λ³ − 6λ² + 9λ − 4.

A² = [[6, −5, 5], [−5, 6, −5], [5, −5, 6]] और A³ = [[22, −21, 21], [−21, 22, −21], [21, −21, 22]]; तब A³ − 6A² + 9A − 4I = 0 (विकर्ण: 22 − 36 + 18 − 4 = 0; अविकर्ण: −21 + 30 − 9 = 0 और 21 − 30 + 9 = 0)।

A⁻¹ से गुणा करने पर: A² − 6A + 9I = 4A⁻¹.

उत्तर: A⁻¹ = (1/4)(A² − 6A + 9I) = (1/4)[[3, 1, −1], [1, 3, 1], [−1, 1, 3]].

प्रश्न 12 (10): वर्ग आव्यूह A शून्यभावी है, किसी k ≥ 1 के लिए A^k = 0. सिद्ध करें कि इसका एकमात्र आइगेन मान 0 है और I − A व्युत्क्रमणीय है, (I − A)⁻¹ = I + A + ... + A^k−1.

यदि AX = λX, X ≠ 0, तो A^kX = λ^kX; परंतु A^kX = 0, अतः λ^kX = 0, λ^k = 0 और λ = 0. (ℂ पर आइगेन मान अवश्य होता है, अतः स्पेक्ट्रम ठीक {0} है।)

(I − A)(I + A + ... + A^k−1) = (I + A + ... + A^k−1) − (A + A² + ... + A^k) = I − A^k = I, योग संकुचित होता है।

गुणनखंडों के दूसरे क्रम में यही गणना भी I देती है, अतः द्वि-पक्षीय व्युत्क्रम विद्यमान है। वैकल्पिक रूप से, 1, A का आइगेन मान नहीं है, अतः det(I − A) ≠ 0.

उत्तर: स्पेक्ट्रम {0}; (I − A)⁻¹ = I + A + A² + ... + A^k−1.

4. हर्मिटी, ऐकिक आव्यूह और द्विघाती समघात

प्रश्न 13 (15): एक लांबिक आव्यूह P ज्ञात करें जिससे P^TAP विकर्ण हो, जहाँ A = [[6, −2, 2], [−2, 3, −1], [2, −1, 3]].

tr A = 12, मुख्य उपसारणिक 14, 14, 8, योग 36, det A = 32, अतः λ³ − 12λ² + 36λ − 32 = (λ − 8)(λ − 2)² = 0 और λ = 8, 2, 2.

λ = 8: X₁ = (2, −1, 1); जाँच A X₁ = (16, −8, 8).

λ = 2: A − 2I = [[4, −2, 2], [−2, 1, −1], [2, −1, 1]] की कोटि 1 है, जिससे समतल 2x − y + z = 0 मिलता है। इसमें X₂ = (1, 2, 0) चुनें और X₃ = X₁ × X₂ = (−2, 1, 5), जो समतल में है और X₂ के लांबिक है।

प्रसामान्यीकरण: लंबाइयाँ √6, √5, √30.

उत्तर: P के स्तंभ (2, −1, 1)/√6, (1, 2, 0)/√5, (−2, 1, 5)/√30 हैं, और P^TAP = diag(8, 2, 2).

प्रश्न 14 (10): सिद्ध करें कि A = [[0, 1 + 2i], [−1 + 2i, 0]] विषम-हर्मिटी है और इसके आइगेन मान ज्ञात करें।

संयुग्मी और परिवर्त लेने पर A* = [[0, −1 − 2i], [1 − 2i, 0]] = −A, अतः A विषम-हर्मिटी है।

det(λI − A) = λ² − (1 + 2i)(−1 + 2i) = λ² − (−1 − 4) = λ² + 5.

अतः λ = ±i√5: शुद्ध काल्पनिक, जैसा विषम-हर्मिटी आव्यूहों की प्रमेय कहती है।

उत्तर: A* = −A; आइगेन मान ±i√5.

प्रश्न 15 (20): Q = 3x² + 5y² + 3z² − 2xy − 2yz + 2zx को लांबिक रूपांतरण द्वारा विहित रूप में समानीत करें, रूपांतरण दें, और Q की कोटि, सूचकांक, चिह्नक और प्रकृति बताएँ।

Q का आव्यूह A = [[3, −1, 1], [−1, 5, −1], [1, −1, 3]] है (अविकर्ण पर प्रत्येक मिश्र गुणांक का आधा)।

tr A = 11, मुख्य उपसारणिक 14, 8, 14, योग 36, det A = 36, अतः λ³ − 11λ² + 36λ − 36 = (λ − 2)(λ − 3)(λ − 6) = 0.

λ = 2: x − y + z = 0 और −x + 3y − z = 0 से y = 0, z = −x, सदिश (1, 0, −1). λ = 3: y = z और x = y, सदिश (1, 1, 1). λ = 6: सदिश (1, −2, 1); जाँच A(1, −2, 1) = (6, −12, 6).

ये परस्पर लांबिक हैं (सममित आव्यूह के भिन्न आइगेन मान)। P = [(1, 0, −1)/√2, (1, 1, 1)/√3, (1, −2, 1)/√6] को स्तंभ लेकर और (x, y, z)^T = P(X, Y, Z)^T से Q = 2X² + 3Y² + 6Z².

सभी आइगेन मान धनात्मक हैं, अतः Q धनात्मक निश्चित है; यह केवल मूलबिंदु पर शून्य होता है।

उत्तर: उपर्युक्त लांबिक P के अंतर्गत Q = 2X² + 3Y² + 6Z²; कोटि 3, सूचकांक 3, चिह्नक 3; धनात्मक निश्चित।

1. सदिश समष्टि, उपसमष्टि, आधार और विमा

2026 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 15 अंक: क्षेत्र ℝ पर एक सदिश समष्टि के रूप में P₃[x] = {a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ | a₀, a₁, a₂, a₃ ∈ ℝ} दिया गया है।
(i) माना H = {p(x) ∈ P₃[x] | ∫₋₁¹ p(x) dx = 0} है। सिद्ध कीजिए कि H, P₃[x] की एक उपसमष्टि है तथा H का एक आधार ज्ञात कीजिए।
(ii) P₃[x] की एक उपसमष्टि K ज्ञात कीजिए, जिसके लिए P₃[x] = H ⊕ K है। (8 + 7 = 15)

2025 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: क्या समुच्चय {(0, 0, 0, 3), (1, 1, 0, 0), (0, 1, −1, 0)} को सदिश समष्टि ℝ⁴ का एक आधार बनाने के लिए विस्तारित किया जा सकता है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: माना H, ℝ⁴ की एक उपसमष्टि है, जो कि सदिशों v₁ = (1, −2, 5, −3), v₂ = (2, 3, 1, −4), v₃ = (3, 8, −3, −5) द्वारा जनित है। तब H का एक आधार एवं विमा ज्ञात कीजिए तथा H के इस आधार को ℝ⁴ के एक आधार तक विस्तृत कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए V₁ = (2, −1, 3, 2), V₂ = (−1, 1, 1, −3), V₃ = (1, 1, 9, −5) समष्टि ℝ⁴ के तीन सदिश हैं। क्या (3, −1, 0, −1) ∈ विस्तृति {V₁, V₂, V₃}? अपने उत्तर को तर्कसहित सिद्ध कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि n विमीय सदिश समष्टि V के लिए n रैखिकतः स्वतंत्र सदिशों का कोई भी समुच्चय V के लिए एक आधार बनाता है।

2022 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 20 अंक: माना समुच्चय P = { [[x], [y], [z]] | x − y − z = 0 तथा 2x − y + z = 0 } सदिश समष्टि ℝ³(ℝ) के सदिशों का एक समूह है। तब
(i) सिद्ध कीजिए कि P, ℝ³ की एक उपसमष्टि है।
(ii) P का एक आधार तथा विमा ज्ञात कीजिए। (10+10)

2021 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 15 अंक: दर्शाइए कि S = {(x, 2y, 3x) : x, y वास्तविक संख्याएँ हैं} R³(R) का एक उपसमष्टि है। S के दो आधार ज्ञात कीजिए। S की विमा भी ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: माना समुच्चय V में सभी n × n के वास्तविक मैजिक वर्ग हैं। दिखाइए कि समुच्चय V, R पर एक सदिश समष्टि है। दो भिन्न-भिन्न 2 × 2 मैजिक वर्ग के उदाहरण दीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: आधार सदिशों e₁ = (1, 0) और e₂ = (0, 1) को α₁ = (2, −1) एवं α₂ = (1, 3) के रैखिक संयोग के रूप में व्यक्त कीजिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q2(d), 10 अंक: मान लीजिए कि U व W सदिश समष्टि V के चार सुस्पष्ट विमीय उप-आकाश जहाँ पर विमा V = 6। उप-आकाश (U ∩ W) की सम्भावित विमाएँ ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: दिए गए सदिश V₁ = (1, 1, 2, 4), V₂ = (2, −1, −5, 2), V₃ = (1, −1, −4, 0) तथा V₄ = (2, 1, 1, 6) रैखिकत: स्वतंत्र हैं। क्या यह सत्य है? अपने उत्तर के पक्ष में तर्क दीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 12 अंक: ℝ⁴ की उस उपसमष्टि की विमा ज्ञात कीजिये जो समुच्चय {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 1), (0, 0, 0, 1)} द्वारा विस्तारित है। तत्पश्चात् उसका आधार निकालिए।

2014 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: एक सदिश R³ में ज्ञात कीजिए, जो कि V तथा W के प्रतिच्छेद का जनक है, जहाँ कि V एक xy समतल है तथा W सदिश (1, 2, 3) तथा सदिश (1, −1, 1) के द्वारा जनित किया गया आकाश (स्पेस) है।

2014 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: मान लीजिए कि V और W निम्न उपसमष्टियाँ हैं R⁴ की:
V = {(a, b, c, d) : b − 2c + d = 0} और
W = {(a, b, c, d) : a = d, b = 2c}.
(i) V, (ii) W, (iii) V ∩ W का एक आधार और विस्तार ज्ञात कीजिए।

2. रैखिक रूपांतरण, कोटि-शून्यता और आव्यूह निरूपण

2026 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 15 अंक: माना F सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है तथा T, F³ से F³ तक रैखिक रूपांतरण है, जिसे
T(x, y, z) = (x − y + 2z, 2x + y, −x − 2y + 2z)
द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि F³ में (a, b, c) एक सदिश है, तो निम्नलिखित के उत्तर दीजिए:
(i) a, b, c पर वह शर्त ज्ञात कीजिए, जिसके लिए सदिश (a, b, c), T की शून्य समष्टि में हो। T की शून्यता क्या है?
(ii) a, b, c पर वह शर्त ज्ञात कीजिए, जिसके लिए सदिश (a, b, c), T के परिसर (रेंज) में हो। T की कोटि (रैंक) क्या है? (8 + 7 = 15)

2025 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: रैखिक रूपांतरण T : ℝ⁴ → ℝ³, जो T(x, y, z, w) = (x − w, y + z, z − w) द्वारा दिया गया है, का परिसर (रेन्ज), कोटि (रैंक), अष्टि (कर्नेल) और शून्यता ज्ञात कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: माना T : ℝ³ → ℝ² एक ऐसा रैखिक रूपांतरण है कि T(1, 1, −1) = (1, 0), T(4, 1, 1) = (0, 1) तथा T(1, −1, 2) = (1, 1) है। T ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: माना T : ℝ³ → ℝ³ एक रैखिक संकारक है तथा ℝ पर ℝ³ का एक आधार B = {v₁, v₂, v₃} है। माना कि Tv₁ = (1, 1, 0), Tv₂ = (1, 0, −1), Tv₃ = (2, 1, −1) हैं। T की परिसर समष्टि तथा शून्य समष्टि के लिए एक आधार ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: माना ℝ के ऊपर ℝ³ पर एक रैखिक संकारक T, T(x, y, z) = (2x, 4x − y, 2x + 3y − z) द्वारा परिभाषित है। क्या T व्युत्क्रमणीय है? यदि हाँ, तो अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए तथा T⁻¹ ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 15 अंक: माना V = M_2×2(ℝ) वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि दर्शाता है। M_2×2(ℝ) के मानक आधार के सन्दर्भ में φ(v) = [[1, 2], [3, −1]] v द्वारा दिए गए रैखिक प्रतिचित्रण φ : V → V का आव्यूह ज्ञात कीजिए और तब φ की कोटि (रैंक) ज्ञात कीजिए। क्या φ व्युत्क्रमणीय है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: T(x, y, z) = (x + z, x + y + 2z, 2x + y + 3z) द्वारा दिए गए रैखिक रूपांतरण: T : ℝ³ → ℝ³ की कोटि तथा शून्यता ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: यदि आधार {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} के सापेक्ष रैखिक रूपांतरण T : ℝ³ → ℝ³ का आव्यूह [[1, 1, 2], [−1, 2, 1], [0, 1, 3]] है, तब आधार {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} के सापेक्ष T का आव्यूह ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: माना T : ℝ² → ℝ³ एक रैखिक रूपांतरण, ऐसा है कि T[[1], [0]] = [[1], [2], [3]] तथा T[[1], [1]] = [[−3], [2], [8]] है। T[[2], [4]] को ज्ञात कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: क्रमित आधारक B = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} के सापेक्ष V₃(R) पर परिभाषित रैखिक संकारक : T(a, b, c) = (a + b, a − b, 2c) से संबन्धित आव्यूह ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: माना M₂(R) सभी 2 × 2 वास्तविक आव्यूहों का सदिश समष्टि है। माना B = [[1, −1], [−4, 4]]. माना T : M₂(R) → M₂(R) एक रैखिक रूपांतरण है, जो T(A) = BA द्वारा परिभाषित है। T की कोटि (रैंक) व शून्यता (नलिटि) ज्ञात कीजिए। आव्यूह A ज्ञात कीजिए, जो शून्य आव्यूह को प्रतिचित्रित करता है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 15 अंक: माना F सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है व T : F³ → F³ एक ऐसा फलन है, जो निम्न रूप से परिभाषित है : T(x₁, x₂, x₃) = (x₁ + x₂ + 3x₃, 2x₁ − x₂, −3x₁ + x₂ − x₃). a, b, c पर क्या शर्तें हैं कि (a, b, c), T के शून्य समष्टि में है? T की शून्यता निकालिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q1(c), 10 अंक: माना कि T : ℝ² → ℝ² एक रैखिक प्रतिचित्र है, जैसा कि T(2, 1) = (5, 7) एवं T(1, 2) = (3, 3). अगर A मानक आधारों e₁, e₂ के सापेक्ष T के संगत आव्यूह है, तो A की कोटि ज्ञात कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 15 अंक: विचारिए आव्यूह-प्रतिरूपण A : R⁴ → R³ है, जहाँ पर A = [[1, 2, 3, 1], [1, 3, 5, −2], [3, 8, 13, −3]]। A की प्रतिछाया की विमा व एक आधार तथा कर्नल A की विमा व एक आधार भी ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 16 अंक: (i) यदि M₂(R), 2 × 2 कोटि (order) के वास्तविक आव्यूहों की समष्टि (space) तथा P₂(x), वास्तविक बहुपदों (polynomials), जिनकी अधिकतम घात (degree) 2 है, की समष्टि (space) हो, तो T : M₂(R) → P₂(x), जहाँ T([[a, b], [c, d]]) = a + c + (a − d)x + (b + c)x², का M₂(R) एवं P₂(x) के मानक आधारों (standard bases) के सापेक्ष आव्यूह निरूपित कीजिये। इसके अलावा T का शून्य समष्टि (null space) प्राप्त कीजिये। (10 अंक)
(ii) यदि T : P₂(x) → P₃(x) इस प्रकार है कि T(f(x)) = f(x) + 5∫₀^x f(t) dt, तो {1, 1 + x, 1 − x²} एवं {1, x, x², x³} को क्रमशः P₂(x) एवं P₃(x) का आधार (bases) लेते हुए T का आव्यूह निकालिये। (6 अंक)

2016 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 18 अंक: यदि आधारों (bases) {1 − x, x(1 − x), x(1 + x)} एवं {1, 1 + x, 1 + x²} के सापेक्ष रैखिक रूपांतरण (linear transformation) T : P₂(x) → P₂(x) के तहत आव्यूह निरूपण A = [[1, −1, 2], [−2, 1, −1], [1, 2, 3]] हो, तो T प्राप्त कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 12 अंक: यदि V = ℝ³ तथा T ∈ A(V) जहाँ सभी a_i, A(V) के सदस्य हैं। यदि T(a₁, a₂, a₃) = (2a₁ + 5a₂ + a₃, −3a₁ + a₂ − a₃, −a₁ + 2a₂ + 3a₃) के द्वारा परिभाषित हैं। तब आधार V₁ = (1, 0, 1), V₂ = (−1, 2, 1), V₃ = (3, −1, 1) के सापेक्ष आव्यूह T ज्ञात कीजिये।

3. आव्यूहों का बीजगणित, सोपानक रूप, कोटि, व्युत्क्रम, सर्वांगसमता और समरूपता

2026 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: यदि A और B समरूप आव्यूह हैं, तो दर्शाइए कि A और B की कोटि (रैंक), अनुरेख (ट्रेस), अभिलाक्षणिक बहुपद और अभिलाक्षणिक मान समान होते हैं।

2025 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 15 अंक: निम्नलिखित आव्यूह को सोपानक (एशेलॉन) रूप में समानीत कीजिए:
A = [[2, −2, 2, 1], [−3, 6, 0, −1], [1, −7, 10, 2]]

2023 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 15 अंक: आव्यूह A = [[1, 2, −1, 0], [−1, 3, 0, −4], [2, 1, 3, −2], [1, 1, 1, −1]] का पंक्ति समानीत सोपानक रूप में समानयन करके उसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 20 अंक: (i) निम्नलिखित आव्यूह का पंक्ति-समानीत सोपानक रूप में समानयन कीजिए एवं अतैव इसकी कोटि भी ज्ञात कीजिए : A = [[1, 3, 2, 4, 1], [0, 0, 2, 2, 0], [2, 6, 2, 6, 2], [3, 9, 1, 10, 6]] (10 अंक)
(ii) सम्मिश्र संख्या क्षेत्र पर आव्यूह A = [[0, −i], [i, 0]] के अभिलक्षणिक मान तथा संगत अभिलक्षणिक सदिशों को ज्ञात कीजिए। (10 अंक)

2019 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 20 अंक: माना कि
A = [[5, 7, 2, 1], [1, 1, −8, 1], [2, 3, 5, 0], [3, 4, −3, 1]]
(i) आव्यूह A की कोटि ज्ञात कीजिए।
(ii) उपसमष्टि
V = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ ℝ⁴ | A[[x₁], [x₂], [x₃], [x₄]] = 0}
की विमा ज्ञात कीजिए। (15 + 5 = 20 अंक)

2018 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिये कि A एक 3 × 2 आव्यूह है और B एक 2 × 3 आव्यूह है। दर्शाइये कि C = A·B एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है।

2017 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: दर्शाइए कि समरूप आव्यूहों के समान अभिलक्षणिक बहुपद होते हैं।

2016 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: (i) यदि A = [[1, 2, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 1]] है, तो प्रारम्भिक पंक्ति संक्रिया (elementary row operation) के प्रयोग से A⁻¹ निकालिये। (6 अंक)
(ii) यदि A = [[1, 1, 3], [5, 2, 6], [−2, −1, −3]] है, तो A¹⁴ + 3A − 2I का मान निकालिये। (4 अंक)

2015 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: निम्नलिखित आव्यूह को पंक्ति सोपानक रूप में समानीत कीजिये और तत्पश्चात् इसकी कोटि निकालिए: [[1, 2, 3, 4], [2, 1, 4, 5], [1, 5, 5, 7], [8, 1, 14, 17]].

2014 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: प्रारंभिक पंक्ति या स्तंभ संक्रियाओं का प्रयोग करके, आव्यूह (मैट्रिक्स) [[0, 1, −3, −1], [0, 0, 1, 1], [3, 1, 0, 2], [1, 1, −2, 0]] की कोटि ज्ञात कीजिए।

4. रैखिक समीकरण निकाय

2026 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: a के वे सभी मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए समघातीय समीकरणों के निकाय
ax + y + z = 0
x + y − z = 0
x + y − az = 0
के अतुच्छ हल हैं, और अतः a के प्रत्येक मान के लिए सभी हल निर्धारित कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 15 अंक: निम्नलिखित समीकरण निकाय के सभी हलों को पंक्ति-समानीत विधि से ज्ञात कीजिए:
x₁ + 2x₂ − x₃ = 2
2x₁ + 3x₂ + 5x₃ = 5
−x₁ − 3x₂ + 8x₃ = −1

2020 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 15 अंक: माना A = [[1, 0, 2], [2, −1, 3], [4, 1, 8]] और B = [[−11, 2, 2], [−4, 0, 1], [6, −1, −1]]
(i) AB ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिक (A) व सारणिक (B) ज्ञात कीजिए।
(iii) निम्न रैखिक समीकरणों के निकाय का हल निकालिए : x + 2z = 3, 2x − y + 3z = 3, 4x + y + 8z = 14

2019 प्रश्नपत्र I, Q1(d), 10 अंक: अगर
A = [[1, 2, 1], [1, −4, 1], [3, 0, −3]] और B = [[2, 1, 1], [1, −1, 0], [2, 1, −1]]
है, तो दर्शाइए कि AB = 6I₃. इस परिणाम का उपयोग करते हुए निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए :
2x + y + z = 5
x − y = 0
2x + y − z = 1

2018 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 13 अंक: रैखिक समीकरण निकाय
x + 3y − 2z = −1
5y + 3z = −8
x − 2y − 5z = 7
के लिये निर्धारित कीजिये कि निम्नलिखित कथनों में से कौन-से सही हैं और कौन-से गलत :
(i) समीकरण निकाय का कोई भी हल नहीं है।
(ii) समीकरण निकाय का सिर्फ एक ही हल है।
(iii) समीकरण निकाय के असीम मात्रा में अनेक हल हैं।

2017 प्रश्नपत्र I, Q4(b), 15 अंक: x, y, z में समीकरणों के निम्नलिखित निकाय को विचारिए :
x + 2y + 2z = 1
x + ay + 3z = 3
x + 11y + az = b
(i) a के किन मानों के लिए निकाय का एकल-हल है?
(ii) युग्म जोड़ों (a, b) के किन मानों के लिए समुदाय के एक से अधिक हल हैं?

2016 प्रश्नपत्र I, Q1(b), 10 अंक: (i) प्रारम्भिक पंक्ति संक्रिया (elementary row operation) के प्रयोग से वह शर्त निकालिये, जिससे कि प्रथम-घातीय समीकरणों (linear equations)
x − 2y + z = a
2x + 7y − 3z = b
3x + 5y − 2z = c
का एक हल हो। (7 अंक)
(ii) यदि
W₁ = {(x, y, z) | x + y − z = 0}
W₂ = {(x, y, z) | 3x + y − 2z = 0}
W₃ = {(x, y, z) | x − 7y + 3z = 0}
तो dim(W₁ ∩ W₂ ∩ W₃) तथा dim(W₁ + W₂) का मान निकालिये। (3 अंक)

2014 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 20 अंक: (i) λ तथा μ के मान जाँच कीजिए ताकि समीकरण x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 10, x + 2y + λz = μ का (1) कोई हल नहीं है, (2) एक अद्वितीय हल है, (3) अपरिमित हल हैं। (10)
(ii) आव्यूह A = [[1, 4], [2, 3]] के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय सत्यापित कीजिए और अतएव इसका व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। साथ ही, A⁵ − 4A⁴ − 7A³ + 11A² − A − 10I के द्वारा निरूपित आव्यूह भी ज्ञात कीजिए। (10)

5. आइगेन मान, आइगेन सदिश और कैली-हैमिल्टन प्रमेय

2026 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 20 अंक: माना T : P₂[x] → P₂[x] एक रैखिक रूपांतरण है, जिसे
T(a₀ + a₁x + a₂x²) = −(a₀ + 2a₁ + a₂) + (2a₀ + 3a₁)x − 2(a₀ + a₁)x²
द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ P₂[x], x में सभी बहुपदों का समुच्चय है, जिनकी घात ≤ 2 है तथा a₀, a₁, a₂ ∈ ℝ हैं। P₂[x] के मानक आधार के सापेक्ष T के आव्यूह निरूपण का उपयोग करते हुए T के अभिलाक्षणिक मान तथा संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q4(c), 20 अंक: (i) आव्यूह A = [[1, 2, 0], [2, 1, −6], [2, −2, 3]] के अभिलक्षणिक मान और संगत अभिलक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए। (12 अंक)
(ii) माना P_n, ℝ पर घात ≤ n के सभी बहुपदों के सदिश समष्टि को दर्शाता है। सत्यापित कीजिए कि
dim(P₄/P₂) = dim P₄ − dim P₂ (8 अंक)

2024 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 20 अंक: माना A = [[3, 2, 4], [2, 0, 2], [4, 2, 3]] एक 3×3 आव्यूह है। A का अभिलाक्षणिक मान तथा संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए। अतः A⁻¹⁵ का अभिलाक्षणिक मान तथा संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ A⁻¹⁵ = (A⁻¹)¹⁵ है।

2023 प्रश्नपत्र I, Q3(a), 20 अंक: दिया गया है A = [[1, 0, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]
(i) आव्यूह A के लिये कैले-हैमिल्टन प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
(ii) दर्शाइए कि n ≥ 3 के लिये Aⁿ = Aⁿ⁻² + A² − I; जहाँ I कोटि 3 का तत्समक आव्यूह है। अतएव A⁴⁰ ज्ञात कीजिए। (10+10)

2022 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 15 अंक: एक रैखिक प्रतिचित्र T : ℝ² → ℝ² ज्ञात कीजिए जो कि ℝ² के प्रत्येक सदिश को θ कोण से घुमा देता है। यह भी सिद्ध कीजिए कि θ = π/2 के लिए, T का कोई भी अभिलक्षणिक मान (आइगेनमान) ℝ में नहीं है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: यदि A = [[1, −1, 1], [2, −1, 0], [1, 0, 0]] है, तो A⁻¹ को ज्ञात किए बिना दर्शाइए कि A² = A⁻¹

2019 प्रश्नपत्र I, Q4(a), 15 अंक: कैले-हैमिल्टन प्रमेय का कथन लिखिए। इस प्रमेय का उपयोग करके A¹⁰⁰ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ
A = [[1, 0, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]

2018 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 12 अंक: अगर A और B समरूप n × n आव्यूह हैं, तो दर्शाइये कि उनके आइगेन मान एक ही हैं।

2017 प्रश्नपत्र I, Q1(a), 10 अंक: मान लीजिए A = [[2, 2], [1, 3]]। एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह P ज्ञात कीजिए ताकि P⁻¹AP एक विकर्ण-आव्यूह हो।

2017 प्रश्नपत्र I, Q3(b), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि आव्यूह के विभिन्न अशून्य-अभिलक्षणिक सदिश रैखिक स्वतंत्र होते हैं।

2015 प्रश्नपत्र I, Q2(a), 12 अंक: यदि आव्यूह A = [[1, 0, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]] तब आव्यूह A³⁰ को ज्ञात कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q2(c), 12 अंक: निम्नलिखित आव्यूह के आइगन मानों एवं आइगन सदिशों को ज्ञात कीजिए: [[1, 1, 3], [1, 5, 1], [3, 1, 1]].

2014 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: (i) मान लीजिए कि A = [[−2, 2, −3], [2, 1, −6], [−1, −2, 0]]. A के आइगेन मानों और संगत आइगेन सदिशों को ज्ञात कीजिए। (8)
(ii) सिद्ध कीजिए कि ऐकिक आव्यूह के आइगेन मानों का निरपेक्ष मान 1 होता है। (7)

6. सममित, हर्मिटी, लांबिक और ऐकिक आव्यूह तथा उनके आइगेन मान

2021 प्रश्नपत्र I, Q3(c), 15 अंक: (i) सिद्ध कीजिए कि एक वास्तविक सममित आव्यूह के दो भिन्न अभिलक्षणिक मानों के संगत अभिलक्षणिक सदिश, लांबिक हैं। (8 अंक)
(ii) दो वर्ग आव्यूह A तथा B जिनकी कोटि, 2 है के लिए दर्शाइए कि अनुरेख (AB) = अनुरेख (BA)। अतैव दर्शाइए कि AB − BA ≠ I₂ जहाँ I₂ एक 2-कोटि का तत्समक आव्यूह है। (7 अंक)

2020 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 20 अंक: एक n × n आव्यूह A को परिभाषित कीजिए, जबकि A = I − 2u·u^T, जहाँ u एक इकाई स्तंभ सदिश है।
(i) परीक्षण कीजिए कि A सममित है।
(ii) परीक्षण कीजिए कि A लांबिक है।
(iii) दिखाइए कि आव्यूह A का अनुरेख (n − 2) है।
(iv) आव्यूह A_3×3 निकालिए, जबकि u = [1/3, 2/3, 2/3]^T है।

2019 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 15 अंक: माना कि A और B समान कोटि के दो लांबिक आव्यूह हैं तथा det A + det B = 0. दर्शाइए कि A + B एक अव्युत्क्रमणीय (सिंगुलर) आव्यूह है।

2016 प्रश्नपत्र I, Q2(b), 16 अंक: (i) यदि A = [[1, 1, 0], [1, 1, 0], [0, 0, 1]] है, तो A के अभिलक्षणिक मान (eigenvalues) तथा अभिलक्षणिक सदिशों (eigenvectors) को निकालिये। (8 अंक)
(ii) सिद्ध कीजिये कि हर्मिटी (Hermitian) आव्यूह के सभी अभिलक्षणिक मान वास्तविक हैं। (8 अंक)