सदिश विश्लेषण — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. अदिश और सदिश क्षेत्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक भौतिक राशियाँ एकल संख्याएँ नहीं होतीं, बल्कि बिंदु-दर-बिंदु बदलती हैं: कमरे में ताप, वायुमंडल में दाब, नदी में जल का वेग।

चलने पर ऐसी राशि कैसे बदलती है, यह पूछने के लिए पहले हमें पूरी फैली हुई राशि का नाम चाहिए, केवल एक बिंदु पर उसके मान का नहीं।

वह नाम क्षेत्र (field) है: ऐसा फलन जिसका निवेश (input) समष्टि का एक बिंदु है।

शब्दों में: क्षेत्र R पर अदिश क्षेत्र (scalar field) φ एक नियम है जो R के प्रत्येक बिंदु (x, y, z) के लिए ठीक एक वास्तविक संख्या φ(x, y, z) देता है।

"क्षेत्र R पर" उन बिंदुओं के समुच्चय को बताता है जहाँ नियम परिभाषित है; "प्रत्येक बिंदु के लिए" का अर्थ है कि यह R में सर्वत्र परिभाषित हो; "ठीक एक" का अर्थ है कि यह एकमानी (single-valued) हो।

R पर सदिश क्षेत्र (vector field) F प्रत्येक बिंदु के लिए ठीक एक सदिश F(x, y, z) देता है; स्थिर आधार में यह केवल तीन अदिश क्षेत्र F₁, F₂, F₃ हैं, जिन्हें एक साथ F₁i + F₂j + F₃k लिखा जाता है।

φ का स्तर पृष्ठ (level surface) उन बिंदुओं का समुच्चय है जहाँ φ एक नियत मान c लेता है; F की क्षेत्र-रेखा (field line) वह वक्र है जो अपने प्रत्येक बिंदु पर F की स्पर्शी हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: φ(x, y, z) = x² + y² + z² लें, जो मूलबिंदु से दूरी का वर्ग है।

चरण 1: (1, 2, 2) पर क्षेत्र का मान 1 + 4 + 4 = 9 है, और मूलबिंदु पर मान 0।

चरण 2: स्तर पृष्ठ φ = 9, x² + y² + z² = 9 है, अर्थात त्रिज्या 3 का गोला; c > 0 वाला प्रत्येक स्तर पृष्ठ φ = c मूलबिंदु के परितः एक गोला है।

चरण 3: अब सदिश क्षेत्र F = −yi + xj लें; (1, 0, 0) पर यह j है, (0, 1, 0) पर −i, और (1, 1, 0) पर −i + j।

चरण 4: ध्यान दें कि F·(xi + yj) = −yx + xy = 0, अतः प्रत्येक बिंदु पर तीर उसे z-अक्ष से मिलाने वाली रेखा के लंबवत है: तीर अक्ष के चारों ओर घूमते हैं।

चरण 5: क्षेत्र-रेखाएँ dx/(−y) = dy/x को हल करती हैं, अर्थात x dx + y dy = 0, अतः x² + y² = अचर: z-अक्ष के परितः वृत्त, जैसा तीरों से लगा था।

दोनों चित्रों पर ध्यान दें: अदिश क्षेत्र उसके स्तर पृष्ठों से, और सदिश क्षेत्र उसके तीरों तथा क्षेत्र-रेखाओं से दर्शाया जाता है।

अ-उदाहरण (non-example): नियम "प्रत्येक बिंदु पर मूलबिंदु से दूर इंगित करने वाला एकक सदिश", अर्थात r/|r|, पूरी समष्टि पर सदिश क्षेत्र जैसा लगता है, पर मूलबिंदु पर ऐसी कोई दिशा नहीं है और |r| = 0 के कारण r/|r| अपरिभाषित है।

जो प्रतिबंध विफल होता है वह है "R के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित": r/|r| मूलबिंदु हटाई गई समष्टि पर सदिश क्षेत्र है, और इसके बारे में प्रत्येक प्रमेय में मूलबिंदु को क्षेत्र से बाहर रखना होगा।

आगे बढ़ते हुए: चूँकि |A − B|² घटक अंतरों के वर्गों का योग है, कोई सदिश राशि ठीक तब किसी सीमा की ओर जाती है जब उसका प्रत्येक घटक जाता है।

अतः कोई सदिश क्षेत्र ठीक तब संतत या अवकलनीय है जब उसके तीनों घटक हों, और क्षेत्रों का समस्त कलन स्थिर आधार i, j, k में तीन अदिश फलनों के कलन में बदल जाता है।

क्षेत्र-रेखा का प्रतिबंध है dr, F के समांतर, अर्थात dr × F = 0, जो घटकों में dx/F₁ = dy/F₂ = dz/F₃ है; अगला विषय संकारक grad, div और curl जोड़ता है जो मापते हैं कि क्षेत्र कैसे बदलते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: इस अध्याय का प्रत्येक आगे का विषय क्षेत्रों पर कार्य करता है: अदिश क्षेत्रों की प्रवणता, सदिश क्षेत्रों का अपसरण और कर्ल, तथा क्षेत्रों के रेखा और पृष्ठ समाकल।

तरलों के वेग क्षेत्र (अध्याय 14) और गतिकी के बल क्षेत्र (अध्याय 6) सदिश क्षेत्र हैं, और क्षेत्र-रेखा समीकरण लाग्रांज विधि के सहायक समीकरण हैं (अध्याय 12)।

2. अदिश और सदिश क्षेत्र

अदिश क्षेत्र (scalar field) किसी क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु को एक संख्या φ(x, y, z) देता है (ताप, विभव); सदिश क्षेत्र (vector field) एक सदिश F(x, y, z) = F₁i + F₂j + F₃k देता है (वेग, बल)।

भाव: क्षेत्र (field) स्थिति का फलन है, कोई एकल संख्या या सदिश नहीं: कमरे के प्रत्येक बिंदु पर ताप (अदिश क्षेत्र) और आकाश के प्रत्येक बिंदु पर पवन वेग (सदिश क्षेत्र) की कल्पना करें; संकारक grad, div और curl बताते हैं कि ये बिंदु-दर-बिंदु कैसे बदलते हैं।

अदिश क्षेत्र को उसके स्तर पृष्ठों (level surfaces) φ = c से, और सदिश क्षेत्र को dx/F₁ = dy/F₂ = dz/F₃ से प्राप्त क्षेत्र-रेखाओं से दर्शाया जाता है।

यह क्यों काम करता है: क्षेत्र-रेखा वह वक्र है जिसकी स्पर्शरेखा dr प्रत्येक बिंदु पर F के समांतर है, अतः dr × F = 0, जो dx/F₁ = dy/F₂ = dz/F₃ के समान है; F = −yi + xj के लिए इससे x dx + y dy = 0 मिलता है, अतः क्षेत्र-रेखाएँ वृत्त x² + y² = c, z = अचर हैं।

कोई क्षेत्र संतत या अवकलनीय है जब उसके घटक फलन ऐसे हों।

यह क्यों काम करता है: |A − B|² घटक अंतरों के वर्गों का योग है, अतः A(t) → A(t₀) ठीक तब होता है जब प्रत्येक घटक अभिसरित हो; अतः सदिशों की सीमा, सांतत्य (continuity) और अवकलज स्थिर आधार में घटकवार लिए जाते हैं।

3. सदिश फलन के अवकलज को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: गतिशील कण का स्थिति सदिश (position vector) r(t) समय t के साथ बदलता है।

उसका वेग हमें बताना चाहिए कि वह कितनी तेजी से और किस दिशा में चलता है, अतः वेग स्वयं एक सदिश होना चाहिए; हमें ऐसा अवकलज चाहिए जो सदिश फलन को दूसरे सदिश फलन में बदले।

शब्दों में: सदिश फलन r(t) किसी अंतराल में अदिश t के प्रत्येक मान के लिए एक सदिश देता है।

Δr = r(t + Δt) − r(t) छोटे समय Δt में विस्थापन है; Δr/Δt उस समय का औसत वेग है।

dr/dt वह सदिश L है जिसकी ओर Δr/Δt जाता है, इस अर्थ में कि Δt → 0 (किसी भी ओर से) होने पर लंबाई |Δr/Δt − L| शून्य की ओर जाती है; यदि ऐसा कोई L न हो तो r, t पर अवकलनीय नहीं है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें r(t) = ti + t²j, जिसका शीर्ष परवलय y = x² बनाता है; परिभाषा से t = 1 पर dr/dt ज्ञात करें।

चरण 1: r(1) = i + j, परवलय का बिंदु (1, 1)।

चरण 2: r(1 + Δt) = (1 + Δt)i + (1 + Δt)²j = (1 + Δt)i + (1 + 2Δt + Δt²)j।

चरण 3: घटाकर जीवा Δr = Δt i + (2Δt + Δt²)j प्राप्त करें।

चरण 4: Δt से भाग दें: Δr/Δt = i + (2 + Δt)j।

चरण 5: Δt → 0 करें: dr/dt = i + 2j; यही उत्तर घटकों के अवकलन से भी मिलता है, dx/dt = 1 और dy/dt = 2t = 2।

चरण 6: x = 1 पर y = x² की प्रवणता 2 है, और सदिश i + 2j की प्रवणता भी 2/1 = 2 है, अतः dr/dt वास्तव में स्पर्शरेखा के अनुदिश है; उसकी लंबाई √5 शीर्ष की चाल है।

चरण 7: पुनः अवकलन करने पर d²r/dt² = 2j: त्वरण अचर है और उस दिशा में है जिधर परवलय मुड़ता है।

अ-उदाहरण (non-example): r(t) = |t| i + tj, V-आकार का वक्र x = |y| बनाता है; t = 0 पर Δr/Δt = (|Δt|/Δt)i + j, Δt > 0 के लिए i + j और Δt < 0 के लिए −i + j है।

दोनों एकपक्षीय मान भिन्न हैं, अतः प्रतिबंध "दोनों ओर से समान सीमा" विफल होता है: r, t = 0 पर अवकलनीय नहीं है, और ज्यामितीय रूप से वहाँ वक्र में एक कोना है जिसकी कोई एक स्पर्शरेखा नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: चूँकि |Δr/Δt − L|² घटक अंतरों के वर्गों का योग है, सीमा ठीक तब अस्तित्व में है जब प्रत्येक घटक की सीमा हो, जिससे dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k मिलता है।

यह चरण इस तथ्य का प्रयोग करता है कि i, j, k, t के साथ नहीं बदलते; घूमते एकक सदिशों के साथ अतिरिक्त पद आते हैं (नीचे गतिशील एकक सदिशों का पाठ देखें)।

Δt → 0 होने पर जीवा Δr स्पर्शरेखा बन जाती है, अतः dr/dt वक्र की स्पर्शी है; उसकी लंबाई |dr/dt| = ds/dt चाल है, और dr/ds वह एकक स्पर्शी T है जो Curves in Space विषय में प्रयुक्त है।

कहाँ प्रयोग होता है: गतिकी में वेग और त्वरण (अध्याय 6), आकाशीय वक्र की स्पर्शी, वक्रता और ऐंठन, तथा प्रत्येक रेखा समाकल, क्योंकि ∫F·dr = ∫F·(dr/dt) dt।

4. गुणनफल नियमों, अचर लंबाई और अचर दिशा को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रश्नों में सदिश घटकों में दिए ही नहीं जाते; हमें केवल बताया जाता है, उदाहरण के लिए, कि r × dr/dt या A·dA/dt का कोई गुण है।

तब हमें ऐसे नियम चाहिए जो अज्ञात सदिश फलनों के गुणनफलों का अवकलन करें, और ऐसे परीक्षण जो अचर लंबाई या अचर दिशा वाले सदिश को पहचानें।

शब्दों में: प्रत्येक गुणनफल नियम कहता है "एक समय में एक गुणनखंड का अवकलन करें, बाकी को अपरिवर्तित और अपने स्थान पर रहने दें, और जोड़ें"।

d(A × B)/dt = A × dB/dt + dA/dt × B में दोनों पदों में A बाईं ओर रहता है; यह इसलिए आवश्यक है क्योंकि A × B = −B × A।

"|A| अचर है" का अर्थ है कि A की लंबाई t के साथ नहीं बदलती, यद्यपि उसकी दिशा बदल सकती है; "A की दिशा अचर है" का अर्थ है कि A/|A| नहीं बदलता, यद्यपि उसकी लंबाई बदल सकती है।

परीक्षण ये हैं: |A| अचर है यदि और केवल यदि A·dA/dt = 0; शून्येतर A के लिए दिशा अचर है यदि और केवल यदि A × dA/dt = 0।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मान लें A = cos t i + sin t j + tk, एक कुंडलिनी-आकार का सदिश फलन।

चरण 1: A·A = cos²t + sin²t + t² = 1 + t², अतः |A| = √(1 + t²) अचर नहीं है।

चरण 2: dA/dt = −sin t i + cos t j + k, अतः A·dA/dt = −sin t cos t + sin t cos t + t = t, जो सर्वथा शून्य नहीं है, चरण 1 से सहमत।

चरण 3: अदिश गुणनफल नियम d(A·A)/dt = 2A·dA/dt = 2t बताता है, और सीधे d(1 + t²)/dt = 2t: नियम सही बैठता है।

चरण 4: इसके विपरीत B = cos t i + sin t j के लिए B·dB/dt = −cos t sin t + sin t cos t = 0, अतः |B| अचर है (यह 1 है)।

चरण 5: A × dA/dt = (sin t − t cos t)i − (t sin t + cos t)j + k, जो कभी शून्य नहीं है (इसका k-घटक 1 है), अतः A की दिशा बदलती रहती है।

चरण 6: सदिश गुणनफल नियम d(A × dA/dt)/dt = dA/dt × dA/dt + A × d²A/dt² = A × d²A/dt² देता है; d²A/dt² = −cos t i − sin t j के साथ यह t sin t i − t cos t j है, ठीक चरण 5 के सदिश का अवकलज।

चरण 6 में ध्यान दें कि पद dA/dt × dA/dt कैसे लुप्त हुआ: यही ∫A × d²A/dt² dt = A × dA/dt + c के पीछे की युक्ति है।

अ-उदाहरण (non-example): सूत्र d(A × B)/dt = dA/dt × B + dB/dt × A गुणनफल नियम जैसा लगता है, पर इसमें दूसरा गुणनखंड गलत क्रम में है।

इसे A = i और B = tj से जाँचें: A × B = tk, जिसका अवकलज k है, पर गलत सूत्र 0 + j × i = −k देता है; जो प्रतिबंध विफल होता है वह है "प्रत्येक गुणनखंड को उसके मूल स्थान पर रखें"।

आगे बढ़ते हुए: गुणनफल नियम Δ(A × B) = ΔA × B + A × ΔB + ΔA × ΔB लिखकर और Δt → 0 करके मिलते हैं (नीचे व्युत्पत्ति: गुणनफल नियम तथा त्वरण के घटक)।

अचर लंबाई के लिए: (1) |A|² = A·A; (2) अदिश गुणनफल नियम से d(A·A)/dt = 2A·dA/dt; (3) अंतराल पर कोई फलन ठीक तब अचर है जब उसका अवकलज शून्य हो, अतः |A| ठीक तब अचर है जब A·dA/dt = 0।

अचर दिशा के लिए: (1) A = aâ लिखें, a = |A| > 0; (2) â की लंबाई अचर 1 है, अतः dâ/dt, â के लंबवत है; (3) A × dA/dt = a²(â × dâ/dt), जो ठीक तब शून्य है जब dâ/dt = 0; पूर्ण उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ (Standard Proofs), प्रमेय 6 में है।

कहाँ प्रयोग होता है: यह दिखाने में कि केंद्रीय बल के अंतर्गत कोणीय संवेग r × v अचर है (अध्याय 6), कि एकक स्पर्शी T, dT/ds के लंबवत है (सेरे-फ्रेने सूत्र), तथा A × d²A/dt² जैसे समाकल्यों को पहचानने में।

5. अदिश चर के सदिश फलन का अवकलज

परिभाषा: dr/dt = lim_Δt→0 [r(t + Δt) − r(t)]/Δt; स्थिर i, j, k के साथ r = xi + yj + zk के लिए dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k।

भाव: r(t + Δt) − r(t), r के शीर्ष द्वारा बनाए वक्र की एक जीवा है; Δt से भाग देकर Δt → 0 करने पर जीवा स्पर्शरेखा बन जाती है, अतः dr/dt वक्र के अनुदिश है और उसकी लंबाई शीर्ष के चलने की दर है।

घटक सूत्र के लिए i, j, k का अचर होना आवश्यक है; जब आधार सदिश स्वयं बदलते हैं (ध्रुवीय, बेलनाकार या गतिशील अक्ष) तो उनका भी अवकलन करना पड़ता है, जैसा नीचे गतिशील एकक सदिशों वाले खंड में।

ज्यामितीय रूप से dr/dt, r(t) द्वारा बने वक्र की स्पर्शरेखा के अनुदिश है; यदि t समय है तो dr/dt वेग और d²r/dt² त्वरण है।

नियम: d(φA)/dt = φ dA/dt + (dφ/dt)A; d(A·B)/dt = A·dB/dt + dA/dt·B; d(A × B)/dt = A × dB/dt + dA/dt × B, गुणनखंडों का क्रम बनाए रखते हुए।

भाव: प्रत्येक गुणनफल नियम का रूप अदिशों जैसा ही है, एक समय में एक गुणनखंड का अवकलन करें; एकमात्र नई बात यह है कि A × B = −B × A, अतः सदिश गुणनफल में गुणनखंड अपने मूल क्रम में ही रहने चाहिए।

अदिश त्रिक गुणनफल के लिए: d[A B C]/dt = [dA/dt B C] + [A dB/dt C] + [A B dC/dt]; सदिश त्रिक गुणनफल का अवकलन भी इसी प्रकार होता है।

अचर परिमाण: |A| अचर है यदि और केवल यदि A·dA/dt = 0, अतः अचर लंबाई का शून्येतर सदिश अपने अवकलज के लंबवत होता है।

यह क्यों काम करता है: d(A·A)/dt = 2A·dA/dt, और A·A = |A|²; अतः |A| ठीक तब अचर है जब A·dA/dt = 0; A के शीर्ष को एक गोले पर चलते हुए सोचें, जहाँ प्रत्येक वेग गोले का स्पर्शी है और इसलिए त्रिज्या A के लंबवत है।

व्यापक रूप में d|A|/dt = (A·dA/dt)/|A|, जो |dA/dt| नहीं है: A = (cos t, sin t, 0) के लिए |A| = 1 अचर है जबकि |dA/dt| = 1।

अचर दिशा: शून्येतर A की दिशा अचर है यदि और केवल यदि A × dA/dt = 0।

कारण: A = aâ लिखें, a = |A|; तब A × dA/dt = a²(â × dâ/dt), और चूँकि dâ/dt, â के लंबवत है, यह शून्य है यदि और केवल यदि dâ/dt = 0।

A(x, y, z) के आंशिक अवकलज घटकवार लिए जाते हैं, तथा dA = (∂A/∂x)dx + (∂A/∂y)dy + (∂A/∂z)dz।

ज्यामितीय उपयोग: भुजाओं a, b वाले समांतर चतुर्भुज का सदिश क्षेत्रफल (vectorial area) a × b है (त्रिभुज के लिए इसका आधा), और सहावसानी किनारों a, b, c वाले समांतर षट्फलक का आयतन [a b c] है; इनकी परिवर्तन दरें ऊपर के गुणन नियमों से मिलती हैं।

सदिश के घटक: शून्येतर u के अनुदिश a का घटक a·u/|u| है; u और v के समतल के लंबवत घटक a·(u × v)/|u × v| है।

स्पर्शीय और अभिलंब त्वरण: वेग के अनुदिश a_T = (v·a)/|v| और वक्रता केंद्र की ओर a_N = |v × a|/|v|।

भाव: a_T त्वरण का वह भाग है जो चाल बदलता है और a_N वह भाग जो पथ को मोड़ता है; a_N = v²/ρ, अतः |v × a|/|v|³ पथ की वक्रता है।

6. गतिशील एकक सदिशों और त्वरण के घटकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वृत्त या कक्षा में घूमते कण के लिए उसके वेग और त्वरण को त्रिज्या के अनुदिश और उसके आर-पार, या पथ के अनुदिश और उसके आर-पार वियोजित करना स्वाभाविक है।

पर ये दिशाएँ कण के चलने के साथ घूमती हैं, अतः हमें जानना होगा कि स्वयं बदलते एकक सदिशों का अवकलन कैसे करें।

शब्दों में: e_r = cos θ i + sin θ j मूलबिंदु से कण की ओर एकक सदिश है, और e_θ = −sin θ i + cos θ j, e_r को 90° वामावर्त घुमाने से मिलता है; यहाँ θ = θ(t) समय के साथ बदलता है।

de_r/dt = (dθ/dt)e_θ का अर्थ है: "घूमता एकक सदिश घूमने की दर से, लंबवत दिशा में बदलता है"।

स्पर्शीय त्वरण (tangential acceleration) a_T वेग के अनुदिश त्वरण का भाग है, और यह चाल बदलता है; अभिलंब त्वरण (normal acceleration) a_N वेग के लंबवत भाग है, और यह पथ को मोड़ता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एकसमान वृत्तीय गति r = a(cos ωt i + sin ωt j), जहाँ a और ω धनात्मक अचर हैं।

चरण 1: यह r = a e_r है, θ = ωt के साथ, अतः dθ/dt = ω।

चरण 2: v = a de_r/dt = aω e_θ: चाल aω है और वेग वृत्त के अनुदिश है।

चरण 3: त्वरण = aω de_θ/dt = −aω² e_r: यह केंद्र की ओर है और इसका परिमाण aω² है।

चरण 4: v·a = 0, अतः a_T = (v·a)/|v| = 0, जैसा अचर चाल होने पर होना चाहिए।

चरण 5: v और a लंबवत हैं, अतः |v × a| = aω · aω² = a²ω³ और a_N = |v × a|/|v| = aω² = (aω)²/a = v²/a।

चरण 6: a_N = v²/ρ से तुलना करने पर वक्रता त्रिज्या ρ = a मिलती है, और वक्रता |v × a|/|v|³ = a²ω³/(a³ω³) = 1/a: वृत्त सर्वत्र समान रूप से, अपनी त्रिज्या के व्युत्क्रम जितना, मुड़ता है।

अ-उदाहरण (non-example): r = a e_r में e_r को अचर सदिश मानने से v = 0 मिलता है, जो स्पष्ट रूप से चलते कण के लिए असंगत है।

जो प्रतिबंध विफल होता है वह घटक नियम के पीछे का है: केवल घटकों का अवकलन केवल स्थिर आधार में किया जा सकता है, और e_r, e_θ स्थिर नहीं हैं।

आगे बढ़ते हुए: व्यापक समतल गति r = r e_r के लिए गुणनफल नियम v = (dr/dt)e_r + r(dθ/dt)e_θ देता है।

एक बार और अवकलन करके तथा दोनों नियमों de_r/dt = (dθ/dt)e_θ, de_θ/dt = −(dθ/dt)e_r का प्रयोग करके: a = [d²r/dt² − r(dθ/dt)²]e_r + [2(dr/dt)(dθ/dt) + r d²θ/dt²]e_θ।

अनुप्रस्थ कोष्ठक (1/r) d(r² dθ/dt)/dt के बराबर है, जो केंद्रीय कक्षाओं में प्रयुक्त रूप है।

पथ के अनुदिश और आर-पार v = vT और a = (dv/dt)T + (v²/ρ)N लिखें; v से अदिश और सदिश गुणन करने पर a_T = (v·a)/|v| और a_N = |v × a|/|v| मिलते हैं (नीचे व्युत्पत्ति: गुणनफल नियम तथा त्वरण के घटक)।

कहाँ प्रयोग होता है: त्रिज्य और अनुप्रस्थ घटक केंद्रीय कक्षाओं के लिए r² dθ/dt = h देते हैं (अध्याय 6); a_T और a_N UPSC के बार-बार पूछे जाने वाले प्रश्न, वेग के अनुदिश और अभिलंब के अनुदिश त्वरण के घटक, का उत्तर देते हैं।

7. व्युत्पत्ति: गुणनफल नियम तथा त्वरण के घटक

सदिश गुणनफल: ΔA = A(t + Δt) − A(t) और इसी प्रकार ΔB लिखें; तब Δ(A × B) = ΔA × B + A × ΔB + ΔA × ΔB, प्रत्येक पद में A बाईं ओर रहता है।

Δt से भाग देकर Δt → 0 करने पर अंतिम पद (ΔA/Δt) × ΔB, (dA/dt) × 0 = 0 की ओर जाता है, और d(A × B)/dt = dA/dt × B + A × dB/dt बचता है; अदिश गुणनफल और φA के नियम इसी प्रकार मिलते हैं।

त्रिक गुणनफल: [A B C] = A·(B × C), अतः पहले अदिश नियम और फिर सदिश नियम लगाने पर तीन पदों का योग मिलता है, प्रत्येक में एक गुणनखंड अवकलित।

स्पर्शरेखीय और अभिलंब घटक: v = vT और a = (dv/dt)T + (v²/ρ)N के साथ v·a = v dv/dt और v × a = (v³/ρ)B।

अतः a_T = dv/dt = (v·a)/|v| और a_N = v²/ρ = |v × a|/|v|; संख्यात्मक प्रश्न में a_N को √(|a|² − a_T²) के रूप में भी निकाला जा सकता है।

8. विधि का चयन

यदि सदिश स्थिर i, j, k के साथ घटकों में दिए हों → प्रत्येक घटक का अवकलन करें।

यदि प्रश्न में केवल प्रतीकात्मक रूप में दिए सदिश फलनों का गुणनफल हो (A × dA/dt, [r r′ r″]) → गुणनफल नियमों और दो समान गुणनखंडों वाले त्रिक गुणनफल के शून्य होने का प्रयोग करें; घटकों में विस्तार न करें।

यदि दिखाना हो कि किसी सदिश की लंबाई या दिशा अचर है → A·dA/dt = 0 या A × dA/dt = 0 दिखाएँ।

यदि किसी दिशा d के अनुदिश वेग या त्वरण का घटक पूछा जाए → d/|d| से अदिश गुणन करें; यदि स्पर्शरेखीय और अभिलंब भाग पूछे जाएँ → (v·a)/|v| और |v × a|/|v| लें।

यदि ∫A × d²A/dt² dt या ∫(dA/dt·A) dt जैसा समाकल आए → इसे A × dA/dt या (1/2)|A|² के अवकलज के रूप में पहचानें।

9. सामान्य गलतियाँ

सदिश गुणनफल का अवकलन करते समय गुणनखंडों का क्रम उलट देना, जिससे किसी पद का चिह्न बदल जाता है।

अवकलन करते समय e_r, e_θ (या e_ρ, e_φ) को अचर मान लेना।

d|A|/dt को |dA/dt| से मिला देना; अचर लंबाई वाले सदिश का अवकलज बड़ा हो सकता है।

समाकलन का अदिश अचर लिखना; सदिश फलन के समाकलन से एक स्वेच्छ अचर सदिश c मिलता है, जो प्रारंभिक आँकड़ों से निश्चित होता है।

|d| से भाग दिए बिना d के अनुदिश घटक निकालना।

10. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: e_r, e_θ के अवकलज केंद्रीय कक्षाओं (अध्याय 6) में प्रयुक्त त्रिज्य और अनुप्रस्थ घटक देते हैं, और |v × a|/|v|³ समष्टि में वक्र विषय का वक्रता सूत्र है।

संबंध: क्षेत्र-रेखा समीकरण dx/F₁ = dy/F₂ = dz/F₃ प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरणों के लिए लैग्रांज विधि के सहायक समीकरण हैं (अध्याय 12)।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: यदि r = a cos ωt + b sin ωt, जहाँ a, b अचर सदिश हैं, तो सिद्ध कीजिए कि r × dr/dt = ω(a × b) तथा d²r/dt² = −ω²r।

dr/dt = −ωa sin ωt + ωb cos ωt, अतः r × dr/dt = ω cos²ωt (a × b) − ω sin²ωt (b × a) = ω(a × b)।

d²r/dt² = −ω²(a cos ωt + b sin ωt) = −ω²r: गति सरल आवर्त है और, जब a तथा b समांतर न हों, पथ a तथा b के समतल में एक दीर्घवृत्त है (यदि a × b = 0 हो तो यह एक रेखाखंड में सिमट जाता है)।

उदाहरण 2: r = t²i − tj + (2t + 1)k के लिए t = 1 पर दिशा i − 3j + 2k में वेग और त्वरण के घटक ज्ञात कीजिए।

t = 1 पर v = 2ti − j + 2k = (2, −1, 2) और a = 2i; एकक सदिश (i − 3j + 2k)/√14 लेने पर घटक (2 + 3 + 4)/√14 = 9/√14 तथा 2/√14 हैं।

उदाहरण 3: यदि A = t²i − tj + (2t + 1)k और B = (2t − 3)i + j − tk, तो t = 1 पर d(A·B)/dt ज्ञात कीजिए।

A·B = t²(2t − 3) − t − t(2t + 1) = 2t³ − 5t² − 2t, अतः t = 1 पर d(A·B)/dt = 6t² − 10t − 2 = −6।

गुणन नियम से जाँच: A·dB/dt + dA/dt·B = (1, −1, 3)·(2, 0, −1) + (2, −1, 2)·(−1, 1, −1) = −1 − 5 = −6।

उदाहरण 4: एक कण x = e^−t, y = 2 cos 3t, z = 2 sin 3t के अनुदिश चलता है; t = 0 पर उसके वेग और त्वरण के परिमाण ज्ञात कीजिए।

v = (−e^−t, −6 sin 3t, 6 cos 3t), जो t = 0 पर (−1, 0, 6) है, अतः |v| = √37।

a = (e^−t, −18 cos 3t, −18 sin 3t), जो t = 0 पर (1, −18, 0) है, अतः |a| = √325 = 5√13।

उदाहरण 5: सिद्ध कीजिए कि d/dt[r · (dr/dt × d²r/dt²)] = r · (dr/dt × d³r/dt³)।

r′ = dr/dt लिखने पर [r r′ r″] का अवकलज [r′ r′ r″] + [r r″ r″] + [r r′ r‴] है।

दो समान सदिशों वाला अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है, अतः पहले दो पद लुप्त हो जाते हैं और परिणाम [r r′ r‴] है।

उदाहरण 6: यदि किसी सदिश ω के लिए dA/dt = ω × A और dB/dt = ω × B, तो सिद्ध कीजिए कि d(A × B)/dt = ω × (A × B)।

d(A × B)/dt = (ω × A) × B + A × (ω × B) = [A(ω·B) − ω(A·B)] + [ω(A·B) − B(A·ω)]।

ω(A·B) वाले पद निरस्त हो जाते हैं, और A(ω·B) − B(ω·A) = ω × (A × B) शेष रहता है।

उदाहरण 7: r(t) ज्ञात कीजिए यदि d²r/dt² = 6ti − 24t²j + 4 sin t k, r(0) = 2i + j और t = 0 पर dr/dt = −i − 3k।

समाकलन से dr/dt = 3t²i − 8t³j − 4 cos t k + c, और t = 0 रखने पर c = −i + k।

पुनः समाकलन कर r(0) = 2i + j का प्रयोग करने पर: r = (t³ − t + 2)i + (1 − 2t⁴)j + (t − 4 sin t)k।

12. गतिशील एकक सदिश और समाकलन

e_r = cos θ i + sin θ j तथा e_θ = −sin θ i + cos θ j, de_r/dt = (dθ/dt)e_θ और de_θ/dt = −(dθ/dt)e_r को संतुष्ट करते हैं।

भाव: e_r और e_θ एकक सदिश हैं जो कोणीय चाल dθ/dt से घूमते हैं; एकक सदिश केवल दिशा बदल सकता है, अतः उसका अवकलज उसके लंबवत होता है, और e_r को आगे घुमाने पर e_θ मिलता है जबकि e_θ को आगे घुमाने पर −e_r।

इन नियमों से r = r e_r का दो बार अवकलन करने पर गतिकी में प्रयुक्त वेग और त्वरण के त्रिज्य और अनुप्रस्थ घटक मिलते हैं।

समाकलन: ∫A(t) dt घटकवार लिया जाता है; उदाहरणार्थ ∫(A × d²A/dt²) dt = A × dA/dt + c, क्योंकि d/dt(A × dA/dt) = A × d²A/dt²।

13. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2017, 10 अंक): समय t पर एक गतिमान बिन्दु का स्थिति सदिश r̄ = sin t î + cos 2t ĵ + (t² + 2t)k̂ है। इसके त्वरण ā के अवयव वेग-सदिश v̄ के समान्तर दिशा में तथा r̄ व v̄ के तल के लम्बवत् दिशा में समय t = 0 पर ज्ञात कीजिए।

v = dr/dt = cos t i − 2 sin 2t j + (2t + 2)k तथा a = d²r/dt² = −sin t i − 4 cos 2t j + 2k।

t = 0 पर: r = j, v = i + 2k तथा a = −4j + 2k।

v के अनुदिश घटक: a·v/|v| = (0 + 0 + 4)/√5 = 4/√5।

r और v के समतल का अभिलंब r × v = j × (i + 2k) = 2i − k है, जहाँ |r × v| = √5।

उस समतल के लंबवत घटक: a·(r × v)/|r × v| = (0 + 0 − 2)/√5 = −2/√5।

उत्तर: v के अनुदिश 4/√5, और अभिलंब 2i − k के अनुदिश −2/√5 (अर्थात −(2i − k) की दिशा में परिमाण 2/√5)।

उदाहरण 9 (UPSC 2023, 10 अंक): यदि a = sin θ î + cos θ ĵ + θ k̂, b = cos θ î − sin θ ĵ − 3k̂, c = 2î + 3ĵ − 3k̂, तो सदिश फलन a × (b × c) के θ के सापेक्ष अवकलज के मान, θ = π/2 और θ = π पर ज्ञात कीजिए।

पहले प्रसार करें: a × (b × c) = (a·c)b − (a·b)c, जहाँ a·c = 2 sin θ + 3 cos θ − 3θ तथा a·b = sin θ cos θ − sin θ cos θ − 3θ = −3θ।

अतः F(θ) = (2 sin θ + 3 cos θ − 3θ)b + 3θc और dF/dθ = (2 cos θ − 3 sin θ − 3)b + (2 sin θ + 3 cos θ − 3θ)b′ + 3c, जहाँ b′ = −sin θ i − cos θ j।

θ = π/2 पर: b = −j − 3k, b′ = −i तथा गुणांक −6 और 2 − 3π/2 हैं, अतः dF/dθ = (6j + 18k) − (2 − 3π/2)i + (6i + 9j − 9k) = (4 + 3π/2)i + 15j + 9k।

θ = π पर: b = −i − 3k, b′ = j तथा गुणांक −5 और −3 − 3π हैं, अतः dF/dθ = (5i + 15k) − (3 + 3π)j + (6i + 9j − 9k) = 11i + (6 − 3π)j + 6k।

उत्तर: θ = π/2 पर (4 + 3π/2)i + 15j + 9k और θ = π पर 11i + (6 − 3π)j + 6k।

उदाहरण 10 (UPSC 2024, 10 अंक): किसी समय t (सेकण्ड में) पर एक चर समांतर-षट्फलक की सहावसानी किनारे सदिशों
α̅ = t î + (t + 1) ĵ + (2t + 1) k̂
β̅ = 2t î + (3t − 1) ĵ + t k̂
γ̅ = î + 3t ĵ + k̂
द्वारा निरूपित हैं। समांतर-चतुर्भुज, जिसकी सहावसानी किनारे α̅ और γ̅ हैं, के सदिशीय क्षेत्रफल की परिवर्तन दर क्या है? t = 1 सेकण्ड पर समांतर-षट्फलक के आयतन की परिवर्तन दर भी ज्ञात कीजिए।

α और γ पर बने समांतर चतुर्भुज का सदिश क्षेत्रफल S = α × γ = (−6t² − 2t + 1)i + (t + 1)j + (3t² − t − 1)k है।

dS/dt = α′ × γ + α × γ′ = (1 − 6t, 1, 3t − 1) + (−6t − 3, 0, 3t) = (−12t − 2)i + j + (6t − 1)k, जो t = 1 पर −14i + j + 5k है।

आयतन V = [α β γ] = det[[t, t + 1, 2t + 1], [2t, 3t − 1, t], [1, 3t, 1]] = 9t³ + 2t² − 3t + 1 है।

dV/dt = 27t² + 4t − 3, जो t = 1 पर 28 है (जाँच: सारणिक से सीधे V(1) = 9 और V(2) = 75)।

उत्तर: dS/dt = (−12t − 2)i + j + (6t − 1)k, जो t = 1 पर −14i + j + 5k है; t = 1 पर आयतन 28 घन एकक प्रति सेकंड की दर से बदलता है।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): r = t²i + 2tj + t³k के लिए t = 1 पर dr/dt और d²r/dt² ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dr/dt = 2i + 2j + 3k तथा d²r/dt² = 2i + 6k।

अभ्यास 2 (मूल): A·dA/dt की गणना करके दिखाइए कि A = cos 2t i + sin 2t j + 3k का परिमाण अचर है।

उत्तर: dA/dt = −2 sin 2t i + 2 cos 2t j, अतः A·dA/dt = 0; वास्तव में |A| = √10।

अभ्यास 3 (मूल): वक्र r = 3 cos t i + 3 sin t j + 4tk की t = 0 पर एकक स्पर्शी सदिश ज्ञात कीजिए।

उत्तर: t = 0 पर dr/dt = 3j + 4k, लंबाई 5, अतः T = (3j + 4k)/5।

अभ्यास 4 (मानक): A = ti + t²j + k और B = i + tk के लिए t = 1 पर d(A × B)/dt, A × B का प्रसार करके तथा गुणनफल नियम से, दोनों प्रकार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A × B = t³i + (1 − t²)j − t²k, अतः t = 1 पर अवकलज 3i − 2j − 2k है; गुणनफल नियम भी यही देता है।

अभ्यास 5 (मानक): एक कण r = e^t cos t i + e^t sin t j के अनुदिश चलता है। t = 0 पर उसके त्वरण के स्पर्शीय और अभिलंब घटक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: t = 0 पर v = i + j और a = 2j, अतः a_T = 2/√2 = √2 और a_N = |v × a|/|v| = 2/√2 = √2।

अभ्यास 6 (मानक): A = t²i + t²j और B = ti + t²j (t > 0) में से किसकी दिशा अचर है? सदिश गुणनफल परीक्षण से पुष्टि कीजिए।

उत्तर: A × dA/dt = 0, अतः A की दिशा अचर (i + j)/√2 है; B × dB/dt = t²k ≠ 0, अतः B घूमता है।

अभ्यास 7 (मानक): r(t) ज्ञात कीजिए यदि d²r/dt² = 12ti − 2j + e^tk, तथा t = 0 पर dr/dt = j + k और r = i।

उत्तर: dr/dt = 6t²i + (1 − 2t)j + e^tk तथा r = (2t³ + 1)i + (t − t²)j + (e^t − 1)k।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): यदि r = a e^nt + b e^−nt, जहाँ a, b अचर सदिश और n अचर है, तो दिखाइए कि d²r/dt² − n²r = 0 तथा r × dr/dt = −2n(a × b)।

उत्तर: dr/dt = n(a e^nt − b e^−nt); r × dr/dt में a × a और b × b पद लुप्त होते हैं और मिश्र पद −n(a × b) + n(b × a) = −2n(a × b) देते हैं।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): यदि प्रत्येक t के लिए r(t) एकक सदिश है, तो सिद्ध कीजिए कि |r × dr/dt| = |dr/dt|।

उत्तर: संकेत: |r| = 1 से r·dr/dt = 0, अतः r और dr/dt के बीच कोण 90° है और |r × dr/dt| = |r||dr/dt| sin 90° = |dr/dt|।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): एक परिवर्ती समांतर षट्फलक के सहावसानी किनारे α = ti + j, β = tj + k और γ = i + tk हैं। t = 2 पर उसके आयतन की तथा α और β पर बने समांतर चतुर्भुज के सदिश क्षेत्रफल की परिवर्तन दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: V = [α β γ] = t³ + 1, अतः dV/dt = 3t² = 12; α × β = i − tj + t²k, जिसका अवकलज t = 2 पर −j + 2tk = −j + 4k है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): एक कण x = t, y = t², z = t³ के अनुदिश चलता है। t = 1 पर वेग के अनुदिश और मुख्य अभिलंब के अनुदिश उसके त्वरण के घटक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: v = i + 2j + 3k, a = 2j + 6k, अतः a_T = 22/√14 और a_N = |v × a|/|v| = |6i − 6j + 2k|/√14 = 2√19/√14 ≈ 2.33; जाँच a_T² + a_N² = 40 = |a|²।

1. प्रवणता और दिक् अवकलज को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कमरे के किसी बिंदु पर, जहाँ ताप φ(x, y, z) है, हम पूछ सकते हैं: यदि मैं किसी दी हुई दिशा में कदम रखूँ तो ताप कितनी तेजी से बदलेगा, और किस दिशा में सबसे तेजी से बढ़ेगा?

आंशिक अवकलज इसका उत्तर केवल तीन अक्ष-दिशाओं के लिए देते हैं; प्रवणता (gradient) उन्हें एक सदिश में समेटती है जो प्रत्येक दिशा के लिए उत्तर देता है, और किसी पृष्ठ का अभिलंब भी देता है।

शब्दों में: ∂φ/∂x, x-अक्ष के समांतर चलने पर (y और z स्थिर रखकर) प्रति एकक दूरी φ के परिवर्तन की दर है; इसी प्रकार y और z के लिए।

grad φ = ∇φ वह सदिश है जिसके घटक ये तीन दरें हैं।

एकक सदिश â की दिशा में दिक् अवकलज (directional derivative) s → 0 पर [φ(P + sâ) − φ(P)]/s की सीमा है: â के अनुदिश प्रति एकक दूरी φ का परिवर्तन; "एकक" शब्द आवश्यक है, क्योंकि तभी s वास्तविक दूरी है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: P(1, 2, 2) पर φ = x² + y² + z² लें, जहाँ φ = 9।

चरण 1: P पर ∇φ = (2x, 2y, 2z) = (2, 4, 4), और |∇φ| = √(4 + 16 + 16) = 6।

चरण 2: दिशा â = (2i − j)/√5 में दर (4 − 4)/√5 = 0 है; ध्यान दें कि (2, −1, 0)·(1, 2, 2) = 0, अतः यह दिशा P से जाने वाले गोले φ = 9 की स्पर्शी है, और उस गोले पर φ नहीं बदलता।

चरण 3: सबसे बड़ी दर |∇φ| = 6 होनी चाहिए, ∇φ/|∇φ| = (1, 2, 2)/3 के अनुदिश, अर्थात बहिर्मुखी त्रिज्या।

चरण 4: परिभाषा से जाँचें: उस दिशा में दूरी s चलने पर बिंदु (1 + s/3)P मिलता है, जहाँ φ = 9(1 + s/3)² = 9 + 6s + s²; s = 0 पर दर 6 है।

चरण 5: अतः P पर गोले का एकक अभिलंब (1, 2, 2)/3 है और स्पर्श तल (r − P)·∇φ = 0, अर्थात x + 2y + 2z = 9 है।

अ-उदाहरण (non-example): मूलबिंदु पर φ = √(x² + y²), अर्थात शंकु का शीर्ष: किसी भी क्षैतिज एकक दिशा में दूरी s > 0 चलने पर φ ठीक s बढ़ता है, अतः प्रत्येक क्षैतिज दिशा में एकपक्षीय दर +1 है।

कोई सदिश g एक साथ g·â = +1 और g·(−â) = +1 नहीं दे सकता, अतः दर ∇φ·â नहीं है; जो प्रतिबंध विफल होता है वह उस बिंदु पर φ की अवकलनीयता है (वहाँ ∂φ/∂x का अस्तित्व भी नहीं है)।

आगे बढ़ते हुए: (1) यदि φ अवकलनीय है (संतत आंशिक अवकलज पर्याप्त हैं), तो शृंखला नियम (chain rule) d/ds φ(P + sâ) = (∂φ/∂x)a₁ + (∂φ/∂y)a₂ + (∂φ/∂z)a₃ = ∇φ·â देता है।

(2) ∇φ·â = |∇φ| cos θ, अतः दर ∇φ के अनुदिश सबसे बड़ी (|∇φ|), उसके समकोण पर शून्य और उसके विपरीत सबसे छोटी (−|∇φ|) है।

(3) स्तर पृष्ठ φ = c पर किसी भी वक्र के अनुदिश φ, c के बराबर रहता है, अतः ∇φ·dr/dt = 0: ∇φ पृष्ठ की प्रत्येक स्पर्शी के लंबवत है, अतः उसका अभिलंब है (जब ∇φ ≠ 0)।

(4) अभिलंब से स्पर्श तल, अभिलंब रेखा, दो पृष्ठों के बीच कोण (उनके अभिलंबों के बीच कोण) और लंबकोणीयता परीक्षण ∇φ₁·∇φ₂ = 0 मिलते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: शांकवजों के अभिलंब और स्पर्श तल (अध्याय 4), लाग्रांज गुणक (अध्याय 3), जहाँ ∇f = λ∇g का अर्थ है कि f का स्तर पृष्ठ प्रतिबंध पृष्ठ को स्पर्श करता है, और गतिकी में संरक्षी बल F = −∇V (अध्याय 6 और 14)।

2. प्रवणता (Gradient)

∇ = i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z; grad φ = ∇φ = (∂φ/∂x)i + (∂φ/∂y)j + (∂φ/∂z)k।

भाव: ∇ (डेल) अवकलनों का एक सदिश है; अदिश पर लगाने से सदिश (grad) मिलता है, सदिश क्षेत्र से अदिश गुणन करने पर अदिश (div), और सदिश क्षेत्र से सदिश गुणन करने पर सदिश (curl), अतः अदिश और सदिश गुणनफलों का बीजगणित बताता है कि कौन से संयोजन सार्थक हैं।

∇φ बिंदु से जाने वाले स्तर पृष्ठ φ = c के अभिलंब है; एकक अभिलंब ∇φ/|∇φ| है।

यह क्यों काम करता है: पृष्ठ φ = c पर स्थित किसी भी वक्र r(t) के लिए सभी t पर φ(r(t)) = c, अतः शृंखला नियम (chain rule) से ∇φ·dr/dt = 0; अतः ∇φ पृष्ठ की प्रत्येक स्पर्शी दिशा के लंबवत है।

प्रतिबंध ∇φ ≠ 0 आवश्यक है: φ = (x − y)² के लिए स्तर पृष्ठ φ = 0 समतल x = y है, पर उस पर ∇φ = 0 है और कोई अभिलंब नहीं देता; उस पृष्ठ को x − y = 0 के रूप में लिखें।

एकक सदिश â की दिशा में φ का दिक् अवकलज (directional derivative) ∇φ·â है; यह ∇φ की दिशा में अधिकतम होता है, अधिकतम मान |∇φ|।

यह क्यों काम करता है: r₀ से दिशा â में दूरी s चलने पर d/ds φ(r₀ + sâ) = ∇φ·â = |∇φ| cos θ, जहाँ θ, ∇φ और â के बीच का कोण है; यह θ = 0 पर अधिकतम (|∇φ|), स्तर पृष्ठ के अनुदिश शून्य और θ = π पर न्यूनतम (−|∇φ|) है।

चित्र: ऊँचाई φ(x, y) वाली पहाड़ी पर ∇φ सीधे चढ़ाई की ओर है, उसकी लंबाई सबसे तीव्र ढाल है, और समोच्च रेखाएँ उसके लंबवत हैं।

उदाहरण 1: φ = x²yz + 4xz² का बिंदु (1, −2, −1) पर दिशा 2i − j − 2k में दिक् अवकलज ज्ञात कीजिए।

बिंदु पर ∇φ = (2xyz + 4z², x²z, x²y + 8xz) = (8, −1, −10); â = (2, −1, −2)/3 लेने पर ∇φ·â = (16 + 1 + 20)/3 = 37/3।

किसी उभयनिष्ठ बिंदु पर दो पृष्ठों के बीच का कोण वहाँ उनके अभिलंबों ∇φ₁ और ∇φ₂ के बीच का कोण है।

उदाहरण 2: बिंदु (2, −1, 2) पर पृष्ठों x² + y² + z² = 9 और z = x² + y² − 3 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

अभिलंब: ∇(x² + y² + z²) = (4, −2, 4) और ∇(x² + y² − z) = (4, −2, −1), जिनकी लंबाइयाँ 6 और √21 हैं।

cos θ = (16 + 4 − 4)/(6√21) = 8/(3√21), अतः θ = cos⁻¹(8/(3√21)) ≈ 54.4°।

φ(x, y, z) = c के r₀ पर स्पर्श समतल और अभिलंब रेखा: (r − r₀)·∇φ = 0 तथा r = r₀ + λ∇φ।

लांबिक पृष्ठ (orthogonal surfaces): φ₁ = c₁ और φ₂ = c₂ किसी उभयनिष्ठ बिंदु पर लंबवत काटते हैं यदि वहाँ ∇φ₁·∇φ₂ = 0; अज्ञात अचर ज्ञात करने के लिए यह तथ्य भी प्रयोग करें कि बिंदु दोनों पृष्ठों पर है।

वक्र के अनुदिश दिक् अवकलज: t₀ पर r(t) की स्पर्श रेखा के अनुदिश â = r′(t₀)/|r′(t₀)| लें, पहले यह जाँचकर कि कौन-सा t₀ वह बिंदु देता है।

फलनिक आश्रितता: ∇u, ∇v, ∇w प्रत्येक बिंदु पर समतलीय हैं यदि और केवल यदि [∇u ∇v ∇w] = ∂(u, v, w)/∂(x, y, z) सर्वत्र शून्य हो, जो (निष्कोण u, v, w के लिए, और स्थानीय रूप से, उन बिंदुओं के निकट जहाँ सभी प्रवणताएँ समांतर न हों) u, v, w के बीच फलनिक संबंध का प्रतिबंध है।

3. अपसरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: F को किसी तरल का वेग मानें; किसी दिए बिंदु पर हम जानना चाहते हैं कि तरल उत्पन्न हो रहा है (स्रोत), अवशोषित हो रहा है (अभिगम), या केवल गुजर रहा है।

शब्दों में: div F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z, एक अदिश।

∂F₁/∂x बताता है कि x-दिशा में चलने पर x-दिशा का प्रवाह कितना तेज होता है: यदि वह तेज होता है, तो बक्से के दूर वाले फलक से निकट वाले फलक की अपेक्षा अधिक तरल निकलता है।

ऐसे तीनों पदों को जोड़ने से प्रति एकक आयतन शुद्ध बहिर्प्रवाह मिलता है; div F > 0 का अर्थ स्रोत, div F < 0 का अर्थ अभिगम, और सर्वत्र div F = 0 (परिनालिकीय) का अर्थ है कि जितना अंदर जाता है उतना बाहर आता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: F = xi लें, yz-तल से दूर जाता प्रवाह जो x के साथ तेज होता है; div F = 1।

चरण 1: एकक बक्सा 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 लें।

चरण 2: फलक x = 2 पर बहिर्मुखी अभिलंब i है और F·i = 2, अतः बहिर्प्रवाह 2 × (क्षेत्रफल 1) = 2।

चरण 3: फलक x = 1 पर बहिर्मुखी अभिलंब −i है और F·(−i) = −1, अतः बहिर्प्रवाह −1 (अर्थात 1 का अंतर्प्रवाह)।

चरण 4: शेष चार फलकों पर F का अभिलंब के अनुदिश कोई घटक नहीं है, अतः उनका योगदान 0; शुद्ध बहिर्प्रवाह 2 − 1 = 1 = (div F) × (आयतन 1)।

चरण 5: अब G = yi लें: प्रवाह फिर x के अनुदिश है, पर उसकी चाल केवल y पर निर्भर है, अतः x = 1 पर जितना (y) प्रवेश करता है उतना ही x = 2 पर निकलता है और div G = 0।

चरण 6: r = xi + yj + zk के लिए div r = 3, और एकक घन 0 ≤ x, y, z ≤ 1 प्रत्येक फलक x = 1, y = 1, z = 1 से 1 खोता है और 0 वाले फलकों से कुछ नहीं: कुल 3, जैसा अनुमान था।

अ-उदाहरण (non-example): एकक त्रिज्य क्षेत्र e_ρ = (xi + yj)/ρ, जहाँ ρ = √(x² + y²), का बेलनाकार घटक A_ρ = 1 अचर है, और कार्तीय जैसा अनुमान ∂A_ρ/∂ρ = 0 बताता है कि कोई स्रोत नहीं।

वास्तव में ∂(x/ρ)/∂x + ∂(y/ρ)/∂y = 2/ρ − (x² + y²)/ρ³ = 1/ρ, जो सही सूत्र (1/ρ)∂(ρ · 1)/∂ρ देता है; जो प्रतिबंध विफल होता है वह यह है कि सूत्र ∑∂F_i/∂x_i केवल कार्तीय घटकों पर लागू है (तीर फैलते जाते हैं, अतः प्रवाह विरल होता है)।

आगे बढ़ते हुए: ऊपर की बक्सा गणना, आयतन dx dy dz के व्यापक छोटे बक्से के लिए करने पर, शुद्ध बहिर्प्रवाह (div F) dV देती है (व्युत्पत्ति: फ्लक्स के रूप में अपसरण और परिसंचरण के रूप में कर्ल)।

अनेक छोटे बक्सों पर जोड़ने से साझा भीतरी फलकों का फ्लक्स निरस्त हो जाता है, केवल बाहरी पृष्ठ का फ्लक्स बचता है: यही समाकल-प्रमेय विषय का गाउस अपसरण प्रमेय है।

याद रखने योग्य दो नियम: div(φA) = φ div A + A·∇φ (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 16) और div curl A = 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2), अतः प्रत्येक कर्ल परिनालिकीय है।

कहाँ प्रयोग होता है: किसी क्षेत्र को परिनालिकीय बनाने वाले अचर ज्ञात करने में, असंपीड्य तरल के सांतत्य समीकरण div v = 0 में (अध्याय 14), और गाउस प्रमेय से फ्लक्स समाकलों को आयतन समाकलों में बदलने में।

4. कर्ल और संरक्षी क्षेत्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी सदिश क्षेत्र के लिए दो प्रश्न उठते हैं: क्या प्रवाह स्थानीय रूप से घूमता है (भँवर की तरह), और क्या बल क्षेत्र संरक्षी (conservative) है, ताकि उसका कार्य केवल अंत्य बिंदुओं पर निर्भर हो और विभव का अस्तित्व हो?

शब्दों में: curl F का k-घटक, ∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y, इसकी तुलना करता है कि x के अनुदिश चलने पर y-वेग कैसे बदलता है और y के अनुदिश चलने पर x-वेग कैसे बदलता है।

यह xy-तल में छोटे वामावर्त पाश के परितः परिसंचरण (circulation) ∮F·dr के, प्रति एकक घिरे क्षेत्रफल, बराबर है; अन्य दो घटक yz- और zx-तलों के लिए यही करते हैं।

F किसी क्षेत्र में अघूर्णी है यदि उसके प्रत्येक बिंदु पर curl F = 0; अदिश विभव (scalar potential) ऐसा फलन φ है जिसके लिए ∇φ = F, और तब A से B तक कार्य ∫F·dr = φ(B) − φ(A), पथ चाहे जो हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: घूर्णन v = −yi + xj की तुलना क्षेत्र F = yi + xj से करें।

चरण 1: v के लिए कर्ल का k-घटक ∂(x)/∂x − ∂(−y)/∂y = 1 + 1 = 2 है और अन्य घटक 0, अतः curl v = 2k: कोणीय वेग k वाला दृढ़ घूर्णन।

चरण 2: एकक वृत्त r = cos t i + sin t j के परितः v·dr/dt = sin²t + cos²t = 1, अतः परिसंचरण 2π = (2)(क्षेत्रफल π): पाश वाला चित्र सही बैठता है।

चरण 3: F के लिए k-घटक ∂(x)/∂x − ∂(y)/∂y = 0 है और अन्य दो भी 0, अतः F पूरी समष्टि में अघूर्णी है।

चरण 4: φ ज्ञात करें: ∂φ/∂x = y से φ = xy + g(y, z); तब ∂φ/∂y = x + ∂g/∂y को x के बराबर होना चाहिए, अतः g, y पर निर्भर नहीं; ∂φ/∂z = ∂g/∂z = 0, अतः g अचर है।

चरण 5: अतः φ = xy + c, और (0, 0, 0) से (1, 2, 0) तक कार्य किसी भी पथ के अनुदिश φ(1, 2, 0) − φ(0, 0, 0) = 2 है।

चरण 6: सीधे पथ r = t(i + 2j), 0 ≤ t ≤ 1 के अनुदिश जाँचें: F·dr/dt = (2t)(1) + (t)(2) = 4t, और ∫₀¹ 4t dt = 2।

ध्यान दें कि v का कोई विभव नहीं है: बंद पाश के परितः उसका कार्य 2π है, 0 नहीं, जबकि प्रवणता प्रत्येक बंद पाश के परितः शून्य कार्य करती है।

अ-उदाहरण (non-example): F = (−yi + xj)/(x² + y²) का z-अक्ष के बाहर प्रत्येक बिंदु पर curl F = 0 है, फिर भी एकक वृत्त के परितः उसका परिसंचरण 2π है, अतः वहाँ यह प्रवणता नहीं है।

जो प्रतिबंध विफल होता है वह "सरलतः संबद्ध (simply connected)" है: z-अक्ष हटाई गई समष्टि में एक छिद्र है, और अक्ष के परितः पाश को उसे पार किए बिना एक बिंदु तक नहीं सिकोड़ा जा सकता।

आगे बढ़ते हुए: (1) प्रत्येक प्रवणता अघूर्णी है, curl grad φ = 0, क्योंकि मिश्र आंशिक अवकलज बराबर होते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1)।

(2) विलोमतः, यदि सरलतः संबद्ध क्षेत्र में curl F = 0 हो, तो स्टोक्स प्रमेय प्रत्येक बंद वक्र के परितः ∮F·dr = 0 बनाता है, अतः ∫F·dr पथ से स्वतंत्र है।

(3) तब φ(P) को किसी स्थिर बिंदु से P तक ∫F·dr के रूप में परिभाषित करने पर ∇φ = F मिलता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11); व्यवहार में ∂φ/∂x = F₁ का समाकलन करें और शेष फलन को निर्धारित करें, जैसा चरण 4 में, या नीचे के तीन-खंड सूत्र का प्रयोग करें।

कहाँ प्रयोग होता है: गतिकी में संरक्षी बल और ऊर्जा समीकरण (अध्याय 6), विभव द्वारा रेखा समाकलों का मान (समाकल-प्रमेय विषय), अघूर्णी प्रवाह के वेग विभव (अध्याय 14), और यथातथ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0, जिनका परीक्षण ∂M/∂y = ∂N/∂x कर्ल के k-घटक का शून्य होना है (अध्याय 5)।

5. अपसरण (Divergence) और कर्ल (Curl)

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z: किसी बिंदु पर प्रति एकक आयतन कुल बहिर्मुखी फ्लक्स।

भाव: F को किसी तरल का वेग मानें: किसी बिंदु पर div F > 0 का अर्थ है कि वहाँ तरल उत्पन्न हो रहा है (स्रोत, source) और बाहर फैल रहा है, div F < 0 का अर्थ है अभिगम (sink); F = r के लिए प्रत्येक बिंदु सामर्थ्य 3 का स्रोत है (एकसमान प्रसार), जबकि दृढ़ घूर्णन का अपसरण 0 है।

curl F = ∇ × F = (∂F₃/∂y − ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z − ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y)k; दृढ़ घूर्णन v = ω × r के लिए curl v = 2ω।

भाव: कर्ल स्थानीय घूर्णन को मापता है: प्रवाह में रखा छोटा पैडल-चक्र कोणीय वेग (1/2) curl F से घूमता है; वक्र क्षेत्र-रेखाओं का अर्थ कर्ल नहीं है (प्रवाह (−yi + xj)/(x² + y²) का अक्ष के बाहर कर्ल 0 है), और सीधी क्षेत्र-रेखाएँ उसे वर्जित नहीं करतीं (अपरूपण प्रवाह yi का कर्ल −k है)।

स्मृति सहायक: curl F पंक्तियों (i, j, k), (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) और (F₁, F₂, F₃) वाला औपचारिक सारणिक है, जिसका प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार किया जाता है।

F परिनालिकीय (solenoidal) है यदि div F = 0 और अघूर्णी (irrotational) है यदि curl F = 0; सरलतः संबद्ध क्षेत्र में संततः अवकलनीय अघूर्णी क्षेत्र एक प्रवणता है, F = ∇φ, φ अदिश विभव है।

भाव: परिनालिकीय क्षेत्रों में कोई स्रोत या अभिगम नहीं होता (असंपीड्य प्रवाह, चुंबकीय क्षेत्र), अतः जो किसी क्षेत्र में आता है वह बाहर भी जाता है; अघूर्णी क्षेत्रों में कोई स्थानीय घूर्णन नहीं होता और वे प्रवणता होते हैं, अतः उनके रेखा समाकल केवल अंत्य बिंदुओं पर निर्भर करते हैं।

प्रतिबंध सरलतः संबद्ध आवश्यक है: (−yi + xj)/(x² + y²), z-अक्ष के बाहर अघूर्णी है पर अक्ष के परितः उसका परिसंचरण 2π है, अतः वहाँ यह प्रवणता नहीं है (धनात्मक परिणाम की उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11 में)।

उदाहरण 3: F = (x + 3y)i + (y − 2z)j + (x + az)k परिनालिकीय है जब div F = 1 + 1 + a = 0, अर्थात a = −2।

उदाहरण 4: सिद्ध कीजिए कि F = (2xy + z³)i + x²j + 3xz²k अघूर्णी है और इसका अदिश विभव ज्ञात कीजिए।

curl F = (0 − 0)i + (3z² − 3z²)j + (2x − 2x)k = 0; ∂φ/∂x = 2xy + z³ का समाकलन कर अन्य घटकों से मिलाने पर φ = x²y + xz³ + c।

उदाहरण 5: अचर a, b, c ज्ञात कीजिए ताकि F = (x + 2y + az)i + (bx − 3y − z)j + (4x + cy + 2z)k अघूर्णी हो, और इसका अदिश विभव ज्ञात कीजिए।

curl F = (c + 1)i + (a − 4)j + (b − 2)k = 0 से a = 4, b = 2, c = −1।

घटकों का समाकलन करने पर: φ = x²/2 − 3y²/2 + z² + 2xy + 4xz − yz + अचर; जाँच ∂φ/∂y = 2x − 3y − z और ∂φ/∂z = 4x − y + 2z।

रेखा समाकल से अदिश विभव (scalar potential): यदि ℝ³ में curl F = 0, तो अक्षों के समांतर तीन खंडों पर समाकलन से φ(x, y, z) = ∫₀^xF₁(u, 0, 0) du + ∫₀^yF₂(x, u, 0) du + ∫₀^zF₃(x, y, u) du।

यह क्यों काम करता है: ℝ³ में curl F = 0 होने से ∫F·dr पथ से स्वतंत्र हो जाता है, अतः मूल बिंदु से φ(x, y, z) = ∫F·dr सबसे सुविधाजनक पथ, अक्षों के समांतर तीन खंडों, के अनुदिश निकाला जा सकता है; तब ∇φ = F, जिसकी जाँच अवकलन से की जा सकती है।

त्रिज्य प्रवणता: ∇f(r) = f′(r) r/r, अतः समीकरण ∇f = g(r) r का हल f′(r) = r g(r) से मिलता है।

6. बेलनाकार निर्देशांकों और मापक्रम गुणकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी अक्ष के परितः सममित क्षेत्रों (लंबे तार का क्षेत्र, नली में प्रवाह, घूमता पिंड) के कार्तीय व्यंजक जटिल होते हैं, पर अक्ष से दूरी और उसके परितः कोण के रूप में सरल।

शब्दों में: ρ बिंदु की z-अक्ष से दूरी है, φ धनात्मक x-अक्ष से xy-तल पर बिंदु के प्रक्षेप तक का कोण है, और z ऊँचाई है।

एकक सदिश हैं e_ρ = cos φ i + sin φ j (अक्ष से दूर), e_φ = −sin φ i + cos φ j (अक्ष के परितः) और e_z = k।

किसी निर्देशांक u का मापक्रम गुणक (scale factor) h_u = |∂r/∂u| है: केवल u के 1 बढ़ने पर चली गई दूरी (छोटी वृद्धि के लिए प्रति एकक)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: r = ρ cos φ i + ρ sin φ j + zk से आरंभ करें।

चरण 1: ∂r/∂ρ = cos φ i + sin φ j की लंबाई 1 है, अतः h_ρ = 1 और उस दिशा का एकक सदिश e_ρ है।

चरण 2: ∂r/∂φ = −ρ sin φ i + ρ cos φ j की लंबाई ρ है, अतः h_φ = ρ और एकक सदिश e_φ है।

चरण 3: ∂r/∂z = k, अतः h_z = 1; अदिश गुणनफल e_ρ·e_φ, e_φ·e_z, e_z·e_ρ सभी 0 हैं, अतः निकाय लांबिक है।

चरण 4: आयतन अवयव h_ρh_φh_z dρ dφ dz = ρ dρ dφ dz है।

चरण 5: प्रवणता सूत्र को f = ρ² = x² + y² पर जाँचें: बेलनाकार सूत्र 2ρ e_ρ देता है, और कार्तीय प्रवणता 2xi + 2yj = 2ρ(cos φ i + sin φ j) = 2ρ e_ρ: दोनों सहमत हैं।

चरण 6: अब स्वयं f = φ: सूत्र (1/ρ)e_φ देता है; कार्तीय रूप में φ = tan⁻¹(y/x) की प्रवणता (−yi + xj)/ρ² = (1/ρ)(−sin φ i + cos φ j) है, वही।

अ-उदाहरण (non-example): 1/ρ के बिना ∇f = (∂f/∂ρ)e_ρ + (∂f/∂φ)e_φ + (∂f/∂z)e_z लिखने से ∇φ = e_φ मिलता है, जिसकी लंबाई हर त्रिज्या पर 1 है।

पर त्रिज्या ρ के वृत्त के परितः दूरी s चलने पर कोण s/ρ बदलता है, अतः वास्तविक दर 1/ρ है; जो प्रतिबंध विफल होता है वह यह है कि प्रवणता का घटक प्रति एकक दूरी दर होना चाहिए, जबकि ∂f/∂φ प्रति रेडियन दर है।

आगे बढ़ते हुए: प्रवणता dr = dρ e_ρ + ρ dφ e_φ + dz e_z और df = ∇f·dr से मिलती है; अपसरण उस वक्र बक्से के फ्लक्स से जिसके ρ और ρ + dρ वाले फलकों का क्षेत्रफल ρ dφ dz है (व्युत्पत्ति: बेलनाकार सूत्र)।

लाप्लासियन div grad है; कर्ल छोटे वक्र आयतों के परितः परिसंचरण से आता है, जिनकी भुजाओं की लंबाइयाँ h_i du_i हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC बेलनाकार निर्देशांकों में किसी क्षेत्र का अपसरण या कर्ल और कार्तीय मान से उसकी जाँच पूछता है; बेलनाकार लाप्लासियन बेलन में लाप्लास समीकरण (अध्याय 12) और अक्ष-सममित प्रवाह (अध्याय 14) का आरंभ-बिंदु है।

7. बेलनाकार निर्देशांक (Cylindrical Coordinates) (ρ, φ, z)

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z; मापक्रम गुणक h_ρ = 1, h_φ = ρ, h_z = 1; एकक सदिश e_ρ, e_φ, e_z दक्षिणावर्ती प्रसामान्य लांबिक समुच्चय बनाते हैं जो बिंदु-दर-बिंदु बदलता है।

भाव: मापन गुणक (scale factor) निर्देशांक के परिवर्तन को दूरी में बदलता है: ρ को dρ बढ़ाने पर दूरी dρ तय होती है, पर φ को dφ बढ़ाने पर वृत्त के अनुदिश दूरी ρ dφ तय होती है, अतः h_φ = ρ; नीचे के सूत्रों के सभी 1/ρ और ρ गुणक यहीं से आते हैं।

∇f = (∂f/∂ρ)e_ρ + (1/ρ)(∂f/∂φ)e_φ + (∂f/∂z)e_z।

∇·A = (1/ρ)∂(ρA_ρ)/∂ρ + (1/ρ)∂A_φ/∂φ + ∂A_z/∂z।

∇ × A = [(1/ρ)∂A_z/∂φ − ∂A_φ/∂z]e_ρ + [∂A_ρ/∂z − ∂A_z/∂ρ]e_φ + (1/ρ)[∂(ρA_φ)/∂ρ − ∂A_ρ/∂φ]e_z।

∇²f = (1/ρ)∂/∂ρ(ρ ∂f/∂ρ) + (1/ρ²)∂²f/∂φ² + ∂²f/∂z²।

मापक्रम गुणकों h_i वाले व्यापक लांबिक निर्देशांकों (u₁, u₂, u₃) में: ∇·A = [1/(h₁h₂h₃)][∂(h₂h₃A₁)/∂u₁ + ∂(h₃h₁A₂)/∂u₂ + ∂(h₁h₂A₃)/∂u₃]।

बेलनी घटकों में परिवर्तन: A_ρ = A_x cos φ + A_y sin φ, A_φ = −A_x sin φ + A_y cos φ, A_z अपरिवर्तित; अपसरण और कर्ल निर्देशांकों पर निर्भर नहीं करते, अतः बेलनी सूत्र से कार्तीय मान ही मिलना चाहिए।

गोलीय निर्देशांक (r, θ, φ): x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, मापन गुणक 1, r, r sin θ तथा आयतन अवयव r² sin θ dr dθ dφ; संकारक नीचे की तालिका में हैं।

उदाहरण 6: A = ρe_φ (z-अक्ष के परितः दृढ़ घूर्णन) के लिए ∇·A = 0 तथा ∇ × A = (1/ρ)∂(ρ²)/∂ρ e_z = 2e_z, जो कार्तीय रूप A = −yi + xj से मेल खाता है।

उदाहरण 7: बेलनाकार निर्देशांकों में A = ρ²e_ρ + ρz e_z का अपसरण ज्ञात कीजिए।

∇·A = (1/ρ)∂(ρ·ρ²)/∂ρ + 0 + ∂(ρz)/∂z = 3ρ + ρ = 4ρ।

8. उच्च कोटि के अवकलज

लाप्लासियन: div grad φ = ∇²φ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z²; φ प्रसंवादी (harmonic) है यदि ∇²φ = 0।

भाव: ∇²φ किसी बिंदु पर φ के मान की तुलना उसके चारों ओर के छोटे गोले पर उसके औसत से करता है; प्रसंवादी फलन (harmonic functions) अपने औसत के बराबर होते हैं (माध्य मान गुण), इसी कारण बिना ऊष्मा स्रोतों वाला स्थायी ताप वितरण ∇²φ = 0 को संतुष्ट करता है और, यदि वह अचर न हो, तो उसका कोई आंतरिक उच्चिष्ठ नहीं होता।

संतत द्वितीय आंशिक अवकलजों वाले फलनों के लिए curl grad φ = 0 तथा div curl A = 0।

curl curl A = grad div A − ∇²A, जहाँ ∇²A का अर्थ प्रत्येक कार्तीय घटक का लाप्लासियन है।

उदाहरण 8: r = |r| के साथ ∇²(rⁿ) = n(n − 1)rⁿ⁻² + 2nrⁿ⁻² = n(n + 1)rⁿ⁻²; अतः r ≠ 0 के लिए 1/r प्रसंवादी है।

9. व्युत्पत्ति: फ्लक्स के रूप में अपसरण तथा परिसंचरण के रूप में कर्ल

अपसरण: (x, y, z) पर भुजाओं dx, dy, dz वाला छोटा बॉक्स लें; i के लंबवत दो फलकों से कुल बहिर्मुखी फ्लक्स [F₁(x + dx, y, z) − F₁(x, y, z)] dy dz ≈ (∂F₁/∂x) dx dy dz है।

अन्य दो फलक युग्मों को जोड़ने पर बहिर्मुखी फ्लक्स (∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z) dV है, अतः div F प्रति एकक आयतन बहिर्मुखी फ्लक्स है; अनेक बॉक्सों पर योग करने से अपसरण प्रमेय मिलता है।

कर्ल: xy-समतल में dx × dy के छोटे आयत के परितः वामावर्त चलने पर नीचे और ऊपर की भुजाएँ [F₁(y) − F₁(y + dy)] dx ≈ −(∂F₁/∂y) dx dy और दोनों ऊर्ध्वाधर भुजाएँ (∂F₂/∂x) dx dy का योगदान देती हैं।

अतः परिसंचरण (∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y) dx dy = (curl F)·k dA है: curl F का प्रत्येक घटक उसके लंबवत समतल में प्रति एकक क्षेत्रफल परिसंचरण है, और अनेक आयतों पर योग करने से स्टोक्स प्रमेय मिलता है।

दृढ़ घूर्णन: v = ω × r = (ω₂z − ω₃y, ω₃x − ω₁z, ω₁y − ω₂x) के लिए curl v का i-घटक ∂(ω₁y − ω₂x)/∂y − ∂(ω₃x − ω₁z)/∂z = 2ω₁ है, और इसी प्रकार अन्य, अतः curl v = 2ω।

10. व्युत्पत्ति: बेलनाकार सूत्र

प्रवणता: dr = dρ e_ρ + ρ dφ e_φ + dz e_z, और प्रत्येक विस्थापन के लिए df = (∂f/∂ρ)dρ + (∂f/∂φ)dφ + (∂f/∂z)dz को ∇f·dr के बराबर होना चाहिए; गुणांकों की तुलना से ∇f = (∂f/∂ρ)e_ρ + (1/ρ)(∂f/∂φ)e_φ + (∂f/∂z)e_z।

अपसरण: आयतन अवयव ρ dρ dφ dz है; ρ और ρ + dρ पर वक्र फलकों का क्षेत्रफल ρ dφ dz है, अतः उनका कुल बहिर्मुखी फ्लक्स ∂(ρA_ρ)/∂ρ dρ dφ dz है, जबकि समतल फलक ∂A_φ/∂φ dρ dφ dz और ∂A_z/∂z ρ dρ dφ dz देते हैं।

ρ dρ dφ dz से भाग देने पर ∇·A = (1/ρ)∂(ρA_ρ)/∂ρ + (1/ρ)∂A_φ/∂φ + ∂A_z/∂z; प्रथम अवकलज के भीतर ρ इसलिए है कि ρ बढ़ने पर फलक बड़े होते जाते हैं।

लाप्लासियन: ∇²f = ∇·(∇f); अपसरण सूत्र में A_ρ = ∂f/∂ρ, A_φ = (1/ρ)∂f/∂φ, A_z = ∂f/∂z रखने पर कथित बेलनाकार लाप्लासियन मिलता है।

11. विधि का चयन

यदि अभिलंब, स्पर्श समतल या पृष्ठों के बीच कोण पूछा जाए → बिंदु पर ∇φ निकालें (पहले जाँचें कि बिंदु पृष्ठ पर है), और अभिलंबों के बीच न्यून कोण लें।

यदि किसी दिशा में या वक्र के अनुदिश परिवर्तन की दर पूछी जाए → ∇φ·â, जहाँ â एकक सदिश है (वक्र के लिए सही प्राचल मान पर एकक स्पर्शी); अधिकतम दर के लिए |∇φ| और दिशा ∇φ दें।

यदि तय करना हो कि F संरक्षी है और विभव ज्ञात करना हो → curl F निकालें; शून्य हो तो ∂φ/∂x = F₁ का समाकलन करें और (y, z) का स्वेच्छ फलन अन्य घटकों से निश्चित करें, या तीन-खंड रेखा समाकल लें।

यदि क्षेत्र केवल किसी अक्ष से दूरी पर निर्भर हो या e_ρ, e_φ रूप में हो → बेलनाकार सूत्र लें; यदि केवल r = |r| पर निर्भर हो → अगले विषय के f(r) परिणाम लें।

12. सामान्य गलतियाँ

दिशा सदिश को एकक बनाए बिना प्रयोग करना; दिक् अवकलज के लिए एकक सदिश चाहिए।

कर्ल के मध्य घटक में चिह्न त्रुटि: यह ∂F₁/∂z − ∂F₃/∂x है, उल्टा नहीं।

बेलनाकार घटकों पर कार्तीय अपसरण सूत्र लगाना, जैसे (1/ρ)∂(ρA_ρ)/∂ρ के स्थान पर ∂A_ρ/∂ρ लिखना।

तीन आंशिक समाकलनों से विभव बनाते समय किसी पद को दो बार गिनना; φ को एक बार लिखें और तीनों आंशिक अवकलज जाँचें।

ऐसे क्षेत्र में, जो सरलतः संबद्ध नहीं है, curl F = 0 से यह निष्कर्ष निकालना कि F प्रवणता है।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: अभिलंब ∇φ शांकवज (conicoid) का स्पर्श समतल xx₁/a² + yy₁/b² + zz₁/c² = 1 देता है (अध्याय 4), और [∇u ∇v ∇w] कलन (अध्याय 3) का जैकोबियन ∂(u, v, w)/∂(x, y, z) है।

संबंध: तरल वेग v के लिए div v = 0 असंपीड्य तरल का सांतत्य समीकरण है और curl v भ्रमिलता (vorticity) है, जबकि ∇²φ = 0 वेग विभव के लिए लाप्लास समीकरण है (अध्याय 12 और 14); समतल में विश्लेषिक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग प्रसंवादी होते हैं (अध्याय 10)।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 12 अंक): यदि दो पृष्ठ λx² − μyz = (λ + 2)x तथा 4x²y + z³ = 4 बिन्दु (1, −1, 2) पर लम्बवत् काटती हों, तो λ व μ का मान निकालिए।

बिंदु पहले पृष्ठ पर है: λ − μ(−1)(2) = λ + 2, अतः 2μ = 2 और μ = 1; यह दूसरे पर भी है, क्योंकि 4(1)(−1) + 8 = 4।

f = λx² − μyz − (λ + 2)x के लिए: बिंदु पर μ = 1 लेकर ∇f = (2λx − λ − 2, −μz, −μy) = (λ − 2, −2, 1)।

g = 4x²y + z³ के लिए: ∇g = (8xy, 4x², 3z²) = (−8, 4, 12)।

लांबिकता: ∇f·∇g = −8(λ − 2) − 8 + 12 = 0, अतः 8λ = 20।

उत्तर: λ = 5/2, μ = 1।

उदाहरण 10 (UPSC 2016, 10 अंक): f(r) निकालिये, इस प्रकार कि ∇f = r⃗/r⁵ तथा f(1) = 0 हो।

∇f(r) = f′(r) r/r, अतः f′(r)/r = 1/r⁵ और f′(r) = r⁻⁴।

समाकलन से f(r) = −1/(3r³) + c, और f(1) = 0 से c = 1/3।

उत्तर: f(r) = (1/3)(1 − 1/r³), r ≠ 0।

उदाहरण 11 (UPSC 2017, 10 अंक): स्थिरांकों a, b व c के किन मानों के लिए सदिश V̄ = (x + y + az)î + (bx + 2y − z)ĵ + (−x + cy + 2z)k̂ अघूर्णी है। इन मानों के साथ इस सदिश के बेलनी-निर्देशांकों में अपसारिता ज्ञात कीजिए।

curl V = (c + 1)i + (a + 1)j + (b − 1)k = 0 से a = −1, b = 1, c = −1।

तब V = (x + y − z)i + (x + 2y − z)j + (−x − y + 2z)k, और कार्तीय रूप में ∇·V = 1 + 2 + 2 = 5।

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ तथा C = cos φ, S = sin φ लेकर: V_ρ = V_xC + V_yS = ρ(C² + 2CS + 2S²) − z(C + S), V_φ = −V_xS + V_yC = ρ(C² − S² + CS) + z(S − C), V_z = −ρ(C + S) + 2z।

(1/ρ)∂(ρV_ρ)/∂ρ = 2(C² + 2CS + 2S²) − z(C + S)/ρ तथा (1/ρ)∂V_φ/∂φ = C² − S² − 4CS + z(C + S)/ρ, जबकि ∂V_z/∂z = 2।

जोड़ने पर: 3C² + 3S² + 2 = 5।

उत्तर: a = −1, b = 1, c = −1, तथा बेलनी निर्देशांकों में अपसरण 5 है, कार्तीय रूप की भाँति।

उदाहरण 12 (UPSC 2019, 10 अंक): वक्र x = t, y = t², z = t³ के बिंदु (1, 1, 1) पर स्पर्श-रेखा की दिशा में फलन xy² + yz² + zx² का दिशात्मक अवकलज ज्ञात कीजिए।

(1, 1, 1) पर ∇φ = (y² + 2zx, 2xy + z², 2yz + x²) = (3, 3, 3)।

बिंदु t = 1 है, जहाँ स्पर्शी r′ = (1, 2t, 3t²) = (1, 2, 3) की लंबाई √14 है।

दिक् अवकलज = (3, 3, 3)·(1, 2, 3)/√14 = 18/√14।

उत्तर: 18/√14 = 9√14/7 ≈ 4.81।

उदाहरण 13 (UPSC 2025, 10 अंक): यदि u = x + y + z, v = x² + y² + z² और w = xy + yz + zx है, तो दर्शाइए कि grad u, grad v और grad w समतलीय हैं।

∇u = (1, 1, 1), ∇v = 2(x, y, z) तथा ∇w = (y + z, z + x, x + y)।

[∇u ∇v ∇w] = 2 det[[1, 1, 1], [x, y, z], [y + z, z + x, x + y]]।

दूसरी पंक्ति को तीसरी में जोड़ने पर (x + y + z)(1, 1, 1) मिलता है, जो पहली पंक्ति का गुणज है, अतः प्रत्येक बिंदु पर सारणिक 0 है।

उत्तर: अदिश त्रिक गुणनफल सर्वत्र शून्य है, अतः grad u, grad v, grad w समतलीय हैं; यह फलनिक संबंध v = u² − 2w को दर्शाता है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): (1, −1, 1) पर φ = x²y + yz³ के लिए ∇φ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∇φ = (2xy, x² + z³, 3yz²) = −2i + 2j − 3k।

अभ्यास 2 (मूल): F = xyi + yzj + zxk के लिए div F और curl F ज्ञात कीजिए।

उत्तर: div F = x + y + z तथा curl F = −yi − zj − xk।

अभ्यास 3 (मूल): पृष्ठ x² + y² − z = 1 का (1, 1, 1) पर एकक अभिलंब ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∇(x² + y² − z) = (2, 2, −1), लंबाई 3, अतः n = (2i + 2j − k)/3 (या इसका ऋणात्मक)।

अभ्यास 4 (मानक): (1, 2, 3) पर बिंदु (2, 4, 5) की ओर φ = xyz का दिक् अवकलज, तथा (1, 2, 3) पर φ की अधिकतम वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∇φ = (6, 3, 2) और â = (1, 2, 2)/3, अतः दर 16/3 है; अधिकतम दर |∇φ| = 7 है, (6i + 3j + 2k)/7 के अनुदिश।

अभ्यास 5 (मानक): वह अचर a ज्ञात कीजिए जिसके लिए F = (axy − z³)i + (a − 2)x²j + (1 − a)xz²k अघूर्णी है, और फिर एक अदिश विभव ज्ञात कीजिए।

उत्तर: curl F = (a − 4)z²j + (a − 4)xk, अतः a = 4; तब φ = 2x²y − xz³ + c।

अभ्यास 6 (मानक): (1, 1, 2) पर पृष्ठों x² + y² + z² = 6 और z = x² + y² के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अभिलंब (2, 2, 4) और (2, 2, −1); cos θ = 4/(3√24) = 2/(3√6), अतः θ ≈ 74.2°।

अभ्यास 7 (मानक): बेलनाकार निर्देशांकों में A = ρ e_ρ + ρ² sin φ e_φ + z² e_z का अपसरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1/ρ)∂(ρ²)/∂ρ + (1/ρ)∂(ρ² sin φ)/∂φ + ∂(z²)/∂z = 2 + ρ cos φ + 2z।

अभ्यास 8 (मानक): बेलनाकार लाप्लासियन का प्रयोग करके दिखाइए कि ρ ≠ 0 के लिए f = ln ρ प्रसंवादी है।

उत्तर: ∂f/∂ρ = 1/ρ, अतः ρ ∂f/∂ρ = 1 और (1/ρ)∂(1)/∂ρ = 0; φ और z वाले पद 0 हैं, अतः ∇²f = 0।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): a और b ज्ञात कीजिए ताकि पृष्ठ ax² + byz = (a + 1)x, पृष्ठ x² + 2y² + 3z² = 6 को (1, 1, 1) पर लंबवत काटे।

उत्तर: बिंदु पहले पृष्ठ पर तभी है जब b = 1; अभिलंब (a − 1, 1, 1) और (2, 4, 6) हैं, और 2(a − 1) + 4 + 6 = 0 से a = −4, b = 1।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): r ≠ 0 के लिए ∇²f = 0 वाले सभी फलन f(r), r = |r|, ज्ञात कीजिए, तथा वह फलन जिसके लिए f(1) = 0 और f(2) = 1।

उत्तर: ∇²f = f″ + 2f′/r = (1/r²)(r²f′)′ = 0 से f = A − B/r; प्रतिबंधों से A = B = 2, अतः f = 2 − 2/r।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): दिखाइए कि F = (y² cos x + z²)i + 2y sin x j + (2xz + 1)k संरक्षी है, उसका विभव ज्ञात कीजिए, और कण को (0, 1, 1) से (π/2, 2, 1) तक ले जाने में F द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पूरी समष्टि में curl F = 0; φ = y² sin x + xz² + z, और कार्य φ(π/2, 2, 1) − φ(0, 1, 1) = (5 + π/2) − 1 = 4 + π/2।

1. स्थिति सदिश पर ∇ की क्रिया को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: गुरुत्व, स्थिरवैद्युतिकी और तरलों में बिंदु स्रोत ऐसे क्षेत्र देते हैं जो केवल किसी केंद्र से दूरी r पर निर्भर करते हैं, जैसे r/r³ या f(r)r।

UPSC का लगभग प्रत्येक सर्वसमिका (identity) प्रश्न r, r = |r| और फलन f(r) का प्रयोग करता है।

यदि आप जानते हैं कि ∇, r और r पर कैसे कार्य करता है, तो ऐसे अधिकांश व्यंजक नौ आंशिक अवकलजों को फैलाने के बजाय दो पंक्तियों में निकल आते हैं।

शब्दों में: r = xi + yj + zk बिंदु (x, y, z) का स्थिति सदिश (position vector) है; यह स्वयं एक सदिश क्षेत्र है, जो प्रत्येक बिंदु को मूल बिंदु O से उस बिंदु तक का तीर देता है।

r = |r| = √(x² + y² + z²) एक अदिश क्षेत्र है: O से दूरी।

f(r) का अर्थ है ऐसा अदिश क्षेत्र जिसका मान केवल उस दूरी पर निर्भर है, अतः यह O पर केंद्रित प्रत्येक गोले पर अचर है।

∇f(r) एक सदिश है, ∇·(f(r)r) एक अदिश है और ∇ × (f(r)r) एक सदिश है; ध्यान रखें कि प्रत्येक पंक्ति किस प्रकार की राशि देती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∇r ज्ञात कीजिए, फिर ∇f(r)।

चरण 1: r = (x² + y² + z²)^1/2, अतः ∂r/∂x = (1/2)(x² + y² + z²)^−1/2·2x = x/r।

चरण 2: इसी प्रकार ∂r/∂y = y/r और ∂r/∂z = z/r; कुछ नया नहीं होता क्योंकि r, x, y, z में सममित है।

चरण 3: ∇r = (x/r)i + (y/r)j + (z/r)k = r/r।

चरण 4: ध्यान दें कि इसका अर्थ क्या है: ∇r की लंबाई |r|/r = 1 है और यह O से सीधे बाहर की ओर है, वही दिशा जिसमें दूरी सबसे तेज़ बढ़ती है।

चरण 5: किसी भी अवकलनीय f के लिए शृंखला नियम से ∂f(r)/∂x = f′(r)·∂r/∂x = f′(r)x/r, अतः ∇f(r) = f′(r)∇r = f′(r) r/r।

चरण 6: f = r² से जाँचें: नियम ∇(r²) = 2r·r/r = 2r देता है, जो ∇(x² + y² + z²) = (2x, 2y, 2z) से मेल खाता है।

चरण 7: अंत में ∇·r = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1 + 1 + 1 = 3; यह 3 समष्टि की विमा है और प्रत्येक त्रिज्य क्षेत्र के अपसरण में आता है।

अ-उदाहरण (non-example): संक्षिप्त नियम ∇f(r) = f′(r) r/r तभी लागू होता है जब अदिश x, y, z पर केवल r के माध्यम से निर्भर हो।

φ = xr के लिए, जो केवल r का फलन नहीं है, ∇φ = r i + x r/r; यहाँ प्रयोग करने के लिए कोई एकचर अवकलज φ′(r) नहीं है।

ये परिणाम r = 0 पर भी विफल होते हैं: वहाँ r/r अपरिभाषित है और r स्वयं मूल बिंदु पर अवकलनीय नहीं है, इसी कारण r/r³ के प्रत्येक कथन के साथ प्रतिबंध r ≠ 0 होता है।

आगे बढ़ते हुए: ∇f(r) = f′ r/r को अगले खंड के गुणनफल नियमों से मिलाइए।

∇·(f r) = f(∇·r) + r·∇f = 3f + f′(r·r)/r = 3f + rf′, तथा ∇ × (f r) = f(∇ × r) + ∇f × r = 0, क्योंकि ∇f, r के समांतर है।

f = rⁿ लेने पर ∇·(rⁿr) = (n + 3)rⁿ; f के स्थान पर f′/r लेने पर ∇²f(r) = f″ + 2f′/r (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5)।

इस प्रकार चार छोटे तथ्य, ∇r = r/r, ∇·r = 3, ∇ × r = 0 और शृंखला नियम, नीचे के पूरे खंड 1 को जन्म देते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: "n ज्ञात कीजिए कि rⁿr परिनालिकीय (solenoidal) हो" (n = −3) या "दिखाइए कि rⁿ केवल n = 0, −1 के लिए प्रसंवादी (harmonic) है" जैसे प्रश्न; गाउस नियम में व्युत्क्रम-वर्ग क्षेत्र r/r³ (समाकल प्रमेय विषय); और अध्याय 6 के केंद्रीय बल क्षेत्र।

2. r = xi + yj + zk, r = |r| के लिए परिणाम

∇r = r/r; ∇·r = 3; ∇ × r = 0; (A·∇)r = A।

भाव: ∇r = r/r बताता है कि मूल बिंदु से दूरी सीधे बाहर की ओर सबसे तेज, एकक दर से, बढ़ती है; ∇·r = 3 एकसमान प्रसार की तीन दिशाओं को गिनता है; ∇ × r = 0 क्योंकि शुद्ध त्रिज्य क्षेत्र में कोई घूर्णन नहीं; (A·∇)r = A क्योंकि दिशा A में स्थिति के परिवर्तन की दर स्वयं A है।

∇f(r) = f′(r) r/r; ∇·(f(r)r) = 3f + rf′; ∇ × (f(r)r) = 0।

यह क्यों काम करता है: शृंखला नियम से ∂f(r)/∂x = f′(r) ∂r/∂x = f′(r) x/r, अतः ∇f(r) = f′(r)∇r = f′(r) r/r; तब ∇·(f r) = f(∇·r) + r·∇f = 3f + f′ r·r/r = 3f + rf′, और ∇ × (f r) = f(∇ × r) + ∇f × r = 0 क्योंकि ∇f, r के समांतर है।

∇²f(r) = f″(r) + (2/r)f′(r); ∇·(rⁿr) = (n + 3)rⁿ, अतः r ≠ 0 के लिए r/r³ परिनालिकीय है।

यह क्यों काम करता है: ∇²f = ∇·((f′/r) r) = 3f′/r + r d/dr(f′/r) = 3f′/r + f″ − f′/r = f″ + 2f′/r (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5); अतः त्रिज्य प्रसंवादी फलन r²f″ + 2rf′ = 0 को हल करते हैं, जिससे f = A + B/r।

अचर सदिश a के लिए: ∇(a·r) = a; ∇·(a × r) = 0; ∇ × (a × r) = 2a।

3. ∇ के गुणनफल नियमों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनुप्रयोगों में क्षेत्र प्रायः गुणनफल होते हैं: घनत्व गुणा वेग (ρv), अदिश गुणा प्रवणता (φ∇ψ), या दो क्षेत्रों का सदिश गुणनफल (E × H)।

हमें ऐसे गुणनफलों का अवकलन हर घटक फैलाए बिना करना है; गुणनफल सर्वसमिकाएँ सामान्य नियम (uv)′ = u′v + uv′ का सदिश रूप हैं।

शब्दों में: ∇ = i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z एक संकारक (operator) है, सदिश नहीं: यह किसी राशि पर कार्य करने की प्रतीक्षा करता है।

∇·(φA) में "∇·" का अर्थ है: गुणनफल φA का x, y, z के सापेक्ष अवकलन करें और i, j, k से अदिश गुणनफल लें।

चूँकि ∇ अवकलन करता है, यह एक बार φ पर (A को स्थिर रखकर) और एक बार A पर (φ को स्थिर रखकर) कार्य करता है।

चूँकि ∇ सदिश जैसा भी व्यवहार करता है, दोनों भाग सदिश बीजगणित के नियमों से जुड़ते हैं, और सदिश गुणनफल में गुणनखंडों का क्रम महत्वपूर्ण है।

(A·∇) अदिश संकारक A₁∂/∂x + A₂∂/∂y + A₃∂/∂z है: यह A की दिशा में अवकलन करता है, |A| से गुणित।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: φ = xy और A = (z, x, y) के लिए ∇·(φA) = φ(∇·A) + A·∇φ सत्यापित कीजिए।

चरण 1: φA = (xyz, x²y, xy²)।

चरण 2: ∇·(φA) = ∂(xyz)/∂x + ∂(x²y)/∂y + ∂(xy²)/∂z = yz + x² + 0।

चरण 3: ∇·A = ∂z/∂x + ∂x/∂y + ∂y/∂z = 0, अतः पद φ(∇·A) = 0।

चरण 4: ∇φ = (y, x, 0), अतः A·∇φ = zy + x·x + y·0 = yz + x²।

चरण 5: जोड़ने पर φ(∇·A) + A·∇φ = yz + x², जो चरण 2 के समान है।

ध्यान दें: φ(∇·A) वह पद है जिसमें A अवकलित है और A·∇φ वह जिसमें φ अवकलित है; कोई अन्य पद नहीं आ सकता।

अ-उदाहरण (non-example): ∇ × (φA) = φ(∇ × A) + A × ∇φ उसी ढाँचे जैसा है पर गलत है: जिस पद में φ अवकलित है उसमें ∇ सदिश गुणनफल के पहले स्थान पर रहता है, अतः वह पद ∇φ × A = −A × ∇φ है।

φ = x और A = j से जाँचें: ∇ × (xj) = k और ∇φ × A = i × j = k, जबकि A × ∇φ = j × i = −k।

इसी प्रकार ∇ × (A × B) केवल A(∇·B) − B(∇·A) नहीं है: ∇ कोई संख्या नहीं है और इसे A के पार यूँ ही नहीं खिसकाया जा सकता।

आगे बढ़ते हुए: प्रत्येक गुणनफल सर्वसमिका इन्हीं तीन चरणों में सिद्ध होती है।

(1) ∇·F = Σ i·∂F/∂x और ∇ × F = Σ i × ∂F/∂x लिखें। (2) ∂F/∂x पर सामान्य गुणनफल नियम लगाएँ। (3) a·(b × c) = [a b c] और a × (b × c) = (a·c)b − (a·b)c से पुनर्व्यवस्थित करें, और प्रत्येक योग को ∇·, ∇ × या (B·∇) के रूप में पहचानें।

यह ∇·(A × B) के लिए हल किए गए उदाहरण 1 में, ∇ × (A × B) के लिए नीचे के व्युत्पत्ति खंड तथा मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 3 में, और ∇·(φA) तथा ∇ × (φA) के लिए मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 16 में किया गया है।

कहाँ प्रयोग होता है: सर्वसमिकाएँ सिद्ध करने में (बार-बार आने वाले लघु प्रश्न), (a × r)/r³ जैसे क्षेत्रों को सरल करने में (उदाहरण 6), और ग्रीन सर्वसमिकाओं में, जो ∇·(φ∇ψ) = φ∇²ψ + ∇φ·∇ψ पर लगाया गया अपसरण प्रमेय हैं; यही नियम अध्याय 14 में तरल गतिकी का ऊर्जा समीकरण देते हैं।

4. curl grad = 0 तथा div curl = 0 को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो प्रश्न बार-बार आते हैं: क्या दिया गया क्षेत्र किसी विभव की प्रवणता (gradient) है (संरक्षी बल), और क्या वह किसी अन्य क्षेत्र का कर्ल है (जैसे चुंबकीय क्षेत्र)?

द्वितीय कोटि की सर्वसमिकाएँ शीघ्र आवश्यक परीक्षण देती हैं: प्रवणता का कर्ल शून्य होना चाहिए, और कर्ल का अपसरण (divergence) शून्य होना चाहिए।

शब्दों में: ∇ × ∇φ = 0 कहता है: किसी अदिश क्षेत्र की प्रवणता लें और फिर कर्ल; परिणाम सदैव शून्य सदिश है।

∇·(∇ × A) = 0 कहता है: किसी भी क्षेत्र के कर्ल में कोई स्रोत या अभिगम (sink) नहीं होता।

दोनों के लिए φ और A के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत होने चाहिए, ताकि मिश्र आंशिक अवकलज बराबर हों।

∇ × (∇ × A) = ∇(∇·A) − ∇²A में सदिश लाप्लासियन ∇²A का अर्थ है A के प्रत्येक कार्तीय घटक पर लगाया गया ∇²।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: φ = x²y + z³ के लिए curl grad φ = 0 जाँचिए।

चरण 1: ∇φ = (2xy, x², 3z²)।

चरण 2: कर्ल का i-घटक ∂(3z²)/∂y − ∂(x²)/∂z = 0 − 0 = 0 है।

चरण 3: j-घटक ∂(2xy)/∂z − ∂(3z²)/∂x = 0 − 0 = 0 है।

चरण 4: k-घटक ∂(x²)/∂x − ∂(2xy)/∂y = 2x − 2x = 0 है।

चरण 5: ध्यान दें कि चरण 4 ठीक ∂²φ/∂x∂y − ∂²φ/∂y∂x है; curl grad φ का प्रत्येक घटक दो बराबर मिश्र आंशिक अवकलजों का अंतर है, इसी कारण यह शून्य होता है।

अ-उदाहरण (non-example): विलोम के लिए क्षेत्र पर प्रतिबंध चाहिए। F = (−y, x, 0)/(x² + y²) का z-अक्ष के बाहर सर्वत्र ∇ × F = 0 है, फिर भी वहाँ यह किसी एकमानी φ की प्रवणता नहीं है।

इकाई वृत्त x² + y² = 1, z = 0 के परितः इसका परिसंचरण ∫₀^2π (sin²t + cos²t) dt = 2π है, जबकि प्रवणता के लिए यह 0 होता; क्षेत्र (z-अक्ष रहित समष्टि) सरलतः संबद्ध (simply connected) नहीं है, और यही प्रतिबंध विफल होता है।

आगे बढ़ते हुए: curl grad φ = 0 और div curl A = 0 घटक लिखकर और मिश्र आंशिक अवकलजों की समता से सिद्ध होते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1 और 2)।

curl curl A = grad div A − ∇²A, a = b = ∇ के साथ a × (b × c) = b(a·c) − (a·b)c के ढाँचे का अनुसरण करता है, ∇ को A के बाईं ओर रखते हुए (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 4)।

पूरे ℝ³ या सरलतः संबद्ध क्षेत्र पर विलोम के लिए मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11, φ को किसी स्थिर बिंदु से F के रेखा समाकल के रूप में बनाता है; curl F = 0 इस समाकल को पथ से स्वतंत्र बना देता है।

कहाँ प्रयोग होता है: यह दिखाने में कि बल संरक्षी है और उसका विभव ज्ञात करने में (अध्याय 6 और 14), यह दिखाने में कि ∇φ × ∇ψ परिनालिकीय है (उदाहरण 3), मैक्सवेल समीकरणों को तरंग समीकरणों में बदलने में (उदाहरण 12), और स्टोक्स प्रमेय के प्रश्नों में, जहाँ curl F = 0 रेखा समाकल को पथ-स्वतंत्र बनाता है।

5. गुणनफल सर्वसमिकाएँ (Product Identities)

∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ।

∇·(φA) = φ(∇·A) + A·∇φ।

भाव: प्रत्येक गुणनफल सर्वसमिका लाइबनिज़ का नियम है: ∇ प्रत्येक गुणनखंड पर एक बार कार्य करता है जबकि दूसरा स्थिर रखा जाता है, और सदिश बीजगणित तय करता है कि भाग कैसे मिलते हैं; इसी कारण ∇·(φA) में एक पद है जिसमें φ अवकलित है और एक जिसमें A।

∇ × (φA) = φ(∇ × A) + ∇φ × A।

∇·(A × B) = B·(∇ × A) − A·(∇ × B)।

∇ × (A × B) = A(∇·B) − B(∇·A) + (B·∇)A − (A·∇)B।

भाव: बीजीय नियम a × (b × c) = b(a·c) − c(a·b) से तुलना करें; a के स्थान पर ∇ होने से दोनों पद दो-दो में बँट जाते हैं क्योंकि ∇ को A और B दोनों का अवकलन करना है, जिससे चार पद मिलते हैं; (B·∇)A = B₁∂A/∂x + B₂∂A/∂y + B₃∂A/∂z, B की दिशा में A के परिवर्तन की दर है।

∇(A·B) = (A·∇)B + (B·∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A)।

द्वितीय कोटि: ∇ × ∇φ = 0; ∇·(∇ × A) = 0; ∇ × (∇ × A) = ∇(∇·A) − ∇²A; ∇²(φψ) = φ∇²ψ + 2∇φ·∇ψ + ψ∇²φ।

भाव: प्रवणता क्षेत्रों में कोई घूर्णन नहीं और कर्ल क्षेत्रों में कोई स्रोत नहीं; दोनों मिश्र आंशिक अवकलजों की समता से निकलते हैं, अतः फलनों के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत होने चाहिए (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1, 2 और 4)।

विलोमों के लिए संतततः अवकलनीय F और क्षेत्र पर प्रतिबंध चाहिए: ℝ³ (या किसी सरलतः संबद्ध क्षेत्र) में curl F = 0 से F = ∇φ, और ℝ³ (या किसी तारकाकार क्षेत्र) में div F = 0 से किसी सदिश विभव A के लिए F = curl A; मूल बिंदु रहित ℝ³ पर r/r³ परिनालिकीय है पर वहाँ किसी का कर्ल नहीं है, क्योंकि O के परितः गोले से इसका फ्लक्स 4π है, 0 नहीं।

उपपत्ति की तकनीक: ∇ = Σ i ∂/∂x लिखें, जिससे ∇·F = Σ i·∂F/∂x और ∇ × F = Σ i × ∂F/∂x; प्रत्येक गुणनखंड का बारी-बारी से अवकलन करें और बीजीय त्रिक गुणनफल सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।

उदाहरण 1: सिद्ध कीजिए ∇·(A × B) = B·(∇ × A) − A·(∇ × B)।

∇·(A × B) = Σ i·(∂A/∂x × B) + Σ i·(A × ∂B/∂x) = B·Σ(i × ∂A/∂x) − A·Σ(i × ∂B/∂x) = B·(∇ × A) − A·(∇ × B)।

उदाहरण 2: अचर a के लिए ∇ × (a × r) = a(∇·r) − r(∇·a) + (r·∇)a − (a·∇)r = 3a − 0 + 0 − a = 2a।

उदाहरण 3: ∇φ × ∇ψ परिनालिकीय है, क्योंकि ∇·(∇φ × ∇ψ) = ∇ψ·(∇ × ∇φ) − ∇φ·(∇ × ∇ψ) = 0।

उदाहरण 4: सिद्ध कीजिए कि ∇ × (φ∇φ) = 0।

∇ × (φ∇φ) = φ(∇ × ∇φ) + ∇φ × ∇φ = 0 + 0, क्योंकि curl grad φ = 0 और किसी सदिश का स्वयं से सदिश गुणनफल शून्य है।

उदाहरण 5: सभी f(r) ज्ञात कीजिए जिनके लिए f(r)r परिनालिकीय (solenoidal) हो।

∇·(f(r)r) = 3f + rf′ = 0, अतः f′/f = −3/r और f = c/r³; क्षेत्र cr/r³ (r ≠ 0) है, अर्थात व्युत्क्रम-वर्ग क्षेत्र।

उदाहरण 6: अचर सदिश a के लिए सिद्ध कीजिए कि ∇ × [(a × r)/r³] = −a/r³ + 3(a·r)r/r⁵।

φ = r⁻³ लेकर: ∇ × (φG) = φ(∇ × G) + ∇φ × G, जहाँ G = a × r, ∇ × G = 2a और ∇φ = −3r/r⁵।

अतः कर्ल 2a/r³ − (3/r⁵) r × (a × r) = 2a/r³ − (3/r⁵)[r²a − (r·a)r] = −a/r³ + 3(a·r)r/r⁵।

6. सदिश समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: यांत्रिकी और ज्यामिति में अज्ञात सदिश प्रायः ज्ञात सदिशों के साथ उसके गुणनफलों से वर्णित होता है: ज्ञात आघूर्ण वाला बल, किसी अक्ष के अनुदिश ज्ञात घटक वाला वेग।

ऐसे प्रतिबंध x × a = b जैसे समीकरण देते हैं, जिन्हें a से "भाग" नहीं दिया जा सकता; x को प्राप्त करने के लिए एक व्यवस्थित विधि चाहिए।

शब्दों में: x अज्ञात सदिश है; a, b दिए गए सदिश हैं; λ, p दिए गए अदिश हैं।

"x × a = b हल कीजिए" उन सभी सदिशों x को माँगता है जिनका a के साथ सदिश गुणनफल b है; "हल योग्य" का अर्थ है कम से कम एक ऐसा x विद्यमान है, और "व्यापक हल" वह सूत्र है जो प्रत्येक ऐसा x देता है।

सदिश से भाग संभव नहीं, अतः हम समीकरण को किसी ज्ञात सदिश से (अदिश या सदिश) गुणा करते हैं और त्रिक गुणनफल सर्वसमिकाओं से x को अलग करते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x × j = k हल कीजिए।

चरण 1 (हल योग्यता): x × j सदैव j के लंबवत है, अतः k का j के लंबवत होना आवश्यक है; वास्तव में j·k = 0, अतः हल हो सकते हैं।

चरण 2: बाईं ओर j से सदिश गुणन करें: j × (x × j) = (j·j)x − (j·x)j = x − (j·x)j।

चरण 3: दायाँ पक्ष j × k = i बनता है, अतः x − (j·x)j = i।

चरण 4: संख्या j·x समीकरण से निर्धारित नहीं होती; इसे λ कहें, तो x = i + λj।

चरण 5 (जाँच): प्रत्येक λ के लिए (i + λj) × j = i × j + λ(j × j) = k + 0 = k।

ध्यान दें: उत्तर सदिशों की पूरी एक रेखा है, विशेष हल (a × b)/|a|² = (j × k)/1 = i तथा a = j का कोई भी गुणज।

अ-उदाहरण (non-example): x × j = j का कोई हल नहीं, क्योंकि x × j, j के लंबवत है जबकि दायाँ पक्ष उसके समांतर है; प्रतिबंध a·b = 0 विफल है (j·j = 1)।

सूत्र को आँख मूँदकर लगाने से x = (j × j)/1 + λj = λj मिलता है, पर (λj) × j = 0 ≠ j; सदैव पहले हल योग्यता जाँचें।

आगे बढ़ते हुए: यही विचार कठिन समीकरणों को भी हल करता है।

x·a = p तथा x × a = b के लिए सदिश गुणन का चरण |a|²x − (a·x)a = a × b देता है और अदिश समीकरण a·x = p देता है, अतः x = [pa + (a × b)]/|a|² पूर्णतः निर्धारित है।

λx + x × a = b के लिए a से अदिश गुणन सदिश पद को हटा देता है और x·a = (a·b)/λ देता है; फिर a से सदिश गुणन कर प्रतिस्थापन करने पर नीचे के व्युत्पत्ति खंड में सिद्ध सूत्र मिलता है।

तीन अदिश समीकरणों x·a = p, x·b = q, x·c = r के लिए व्युत्क्रम सदिश a′, b′, c′ व्युत्क्रम आव्यूह की पंक्तियों की भाँति कार्य करते हैं और x = pa′ + qb′ + rc′ देते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: आघूर्ण से बल ज्ञात करने में, v = ω × r से कोणीय वेग प्राप्त करने में (ω केवल r के अनुदिश एक घटक तक ज्ञात होता है), रैखिक निकायों को ज्यामितीय रूप से हल करने में (अध्याय 2), और सदिश समीकरणों पर 10 अंक के लघु UPSC प्रश्नों में।

7. सदिश समीकरण (Vector Equations)

विधि: समीकरण का ज्ञात सदिशों से अदिश और सदिश गुणनफल लेकर पर्याप्त अदिश और सदिश संबंध प्राप्त करें, फिर विलोपन करें।

x × a = b (a ≠ 0): केवल a·b = 0 होने पर हल योग्य; तब x = (a × b)/|a|² + λa, λ स्वेच्छ।

यह क्यों काम करता है: x × a सदैव a के लंबवत है, अतः a·b = 0 आवश्यक है; a से सदिश गुणन करने पर a × (x × a) = |a|²x − (a·x)a = a × b से x = (a × b)/|a|² + ((a·x)/|a|²)a मिलता है, और a के अनुदिश x का घटक निर्धारित नहीं होता क्योंकि a × a = 0।

x·a = p तथा x × a = b (a·b = 0): x = [pa + (a × b)]/|a|²।

λx + x × a = b (λ ≠ 0): a से अदिश गुणनफल लेने पर x·a = (a·b)/λ, फिर a से सदिश गुणनफल लेने पर x = [λ²b + (a·b)a + λ(a × b)]/[λ(λ² + |a|²)]।

व्युत्क्रम निकाय (reciprocal system): असमतलीय a, b, c के लिए सदिश a′ = (b × c)/[a b c], b′ = (c × a)/[a b c], c′ = (a × b)/[a b c], a·a′ = b·b′ = c·c′ = 1 तथा a·b′ = a·c′ = ... = 0 को संतुष्ट करते हैं; प्रत्येक x = (x·a′)a + (x·b′)b + (x·c′)c।

यह क्यों काम करता है: x = αa + βb + γc लिखें (संभव है क्योंकि a, b, c असमतलीय हैं) और a′ से अदिश गुणन करें: चूँकि a·a′ = 1 और b·a′ = c·a′ = 0, α = x·a′, और इसी प्रकार β = x·b′, γ = x·c′; व्युत्क्रम सदिश गुणांकों को अलग कर देते हैं, जैसे व्युत्क्रम आव्यूह की पंक्तियाँ करती हैं।

उदाहरण 7: असमतलीय a, b, c के साथ x·a = p, x·b = q, x·c = r हल कीजिए।

x = pa′ + qb′ + rc′ = [p(b × c) + q(c × a) + r(a × b)]/[a b c]; a, b, c से अदिश गुणनफल लेकर प्रत्येक समीकरण की पुष्टि होती है।

उदाहरण 8: x + x × k = i हल कीजिए (λ = 1, a = k, b = i): x = [i + 0 + (k × i)]/2 = (i + j)/2, और वास्तव में (i + j)/2 + (i + j)/2 × k = (i + j)/2 + (i − j)/2 = i।

8. सदिश बीजगणित के उपकरण

तीन असमांतर सदिश a, b, c किसी त्रिभुज की भुजाएँ बनाते हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक शेष दो का योग हो, या a + b + c = 0 हो, संभवतः किसी एक की दिशा उलटने के बाद।

यदि AB = b और BC = c, तो A से BC के मध्यबिंदु तक की माध्यिका b + c/2 है, और इसी प्रकार अन्य; माध्यिकाओं के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग का (3/4) है (एपोलोनियस)।

a × (b × c) = (a·c)b − (a·b)c; (a × b)·(c × d) = (a·c)(b·d) − (a·d)(b·c) (लाग्रांज सर्वसमिका); a, b, c समतलीय हैं यदि और केवल यदि [a b c] = 0।

त्रिज्य क्षेत्र का अपसरण: ∇·(g(r) r) = 3g + rg′; g = f(r)/r लेने पर ∇·((f(r)/r) r) = f′(r) + 2f(r)/r।

मुक्त आकाश में मैक्सवेल समीकरण (प्रकाश की चाल 1 वाले एकक): ∇·E = 0, ∇·H = 0, ∇ × E = −∂H/∂t, ∇ × H = ∂E/∂t; कर्ल लेकर और curl curl = grad div − ∇² का प्रयोग कर E और H के लिए तरंग समीकरण मिलते हैं।

9. व्युत्पत्ति: सदिश गुणनफल का कर्ल तथा λx + x × a = b

∇ × F = Σ i × ∂F/∂x लिखें (x, y, z पर i, j, k के साथ योग); तब ∇ × (A × B) = Σ i × (∂A/∂x × B) + Σ i × (A × ∂B/∂x)।

a × (b × c) = (a·c)b − (a·b)c से i × (∂A/∂x × B) = (i·B)∂A/∂x − (i·∂A/∂x)B; योग करने पर Σ(i·B)∂A/∂x = (B·∇)A और Σ(i·∂A/∂x) = ∇·A, अतः प्रथम योग (B·∇)A − B(∇·A) है।

इसी प्रकार i × (A × ∂B/∂x) = (i·∂B/∂x)A − (i·A)∂B/∂x का योग A(∇·B) − (A·∇)B है; दोनों को जोड़ने पर सर्वसमिका मिलती है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 3 भी)।

λx + x × a = b का हल: a से अदिश गुणन करने पर λ(x·a) = a·b; दाईं ओर a से सदिश गुणन करने पर λ(x × a) + (x·a)a − |a|²x = b × a।

x × a = b − λx और x·a = (a·b)/λ रखने पर: λb − λ²x + (a·b)a/λ − |a|²x = b × a, अतः x = [λ²b + (a·b)a + λ(a × b)]/[λ(λ² + |a|²)], जैसा कथित है।

10. विधि का चयन

यदि स्वेच्छ क्षेत्रों A, B, φ वाली व्यापक सर्वसमिका सिद्ध करनी हो → ∇ = Σ i ∂/∂x और बीजीय त्रिक गुणनफल नियमों का प्रयोग करें, या केवल x-घटक लेकर अन्य के लिए सममिति का उल्लेख करें।

यदि व्यंजक में r, r = |r|, f(r) और अचर सदिश हों → खंड 1 के परिणामों और गुणनफल सर्वसमिकाओं से सरल करें; घटकों की आवश्यकता कम ही होती है।

यदि किसी गुण (परिनालिकीय, प्रसंवादी) वाला f(r) पूछा जाए → गुण को r में अवकल समीकरण (3f + rf′ = 0, f″ + 2f′/r = 0) के रूप में लिखें और हल करें।

यदि अज्ञात सदिश x रैखिक रूप में आए → समीकरण का ज्ञात सदिशों से अदिश और सदिश गुणन करें; तीन अदिश प्रतिबंधों x·a = p, x·b = q, x·c = r के लिए → व्युत्क्रम निकाय लें।

11. सामान्य गलतियाँ

∇ को सामान्य सदिश मानकर ∇ × (A × B) = A(∇·B) − B(∇·A) लिखना, दोनों दिक् अवकलज पदों को छोड़ देना।

(A·∇)B, जो B के अवकलन से प्राप्त सदिश है, को A(∇·B) से मिला देना।

∇ × (φA) = φ(∇ × A) + A × ∇φ लिखना; सही क्रम ∇φ × A है, और उलटने पर चिह्न बदल जाता है।

r/r³ को परिनालिकीय या 1/r को प्रसंवादी कहते समय r = 0 को अपवर्जित करना भूल जाना।

x × a = b में स्वेच्छ गुणज λa या हल-योग्यता प्रतिबंध a·b = 0 छोड़ देना।

12. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: यदि आव्यूह M के स्तंभ a, b, c हों, तो व्युत्क्रम सदिश a′, b′, c′, M⁻¹ की पंक्तियाँ हैं, अतः x·a = p, x·b = q, x·c = r को हल करना व्युत्क्रम आव्यूह से रैखिक निकाय हल करना है (अध्याय 2)।

संबंध: curl curl = grad div − ∇² मैक्सवेल समीकरणों को अध्याय 12 के तरंग समीकरण में बदलता है, और r ≠ 0 के लिए ∇·(r/r³) = 0 गाउस नियम (समाकल प्रमेय विषय) का मुख्य चरण है।

13. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 10 अंक): सिद्ध कीजिये कि सदिश a⃗ = 3î + ĵ − 2k̂, b⃗ = −î + 3ĵ + 4k̂, c⃗ = 4î − 2ĵ − 6k̂ एक त्रिभुज की भुजाएँ बना सकते हैं। इस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाई निकालिये।

b + c = (−1 + 4, 3 − 2, 4 − 6) = (3, 1, −2) = a, और a, b, c में से कोई दो समांतर नहीं हैं (उनके घटक समानुपाती नहीं हैं)।

अतः AB = b और BC = c लेने पर AC = a: ये सदिश त्रिभुज ABC की भुजाएँ हैं, जहाँ |a| = √14, |b| = √26, |c| = √56।

A से माध्यिका: b + c/2 = (1, 2, 1), लंबाई √6।

B से माध्यिका: −b + a/2 = (5/2, −5/2, −5), लंबाई √(75/2) = 5√6/2।

C से माध्यिका: −a + b/2 = (−7/2, 1/2, 4), लंबाई √(57/2) = √114/2।

जाँच (एपोलोनियस): 6 + 75/2 + 57/2 = 72 = (3/4)(14 + 26 + 56)।

उत्तर: माध्यिकाओं की लंबाइयाँ √6, 5√6/2 और √114/2 हैं।

उदाहरण 10 (UPSC 2021, 10 अंक): दर्शाइए कि ∇²[∇ · (r/r)] = 2/r⁴, जहाँ r = xî + yĵ + zk̂ है।

[छपे रूप में परिणाम असत्य है: ∇·(r/r) = 2/r और r ≠ 0 के लिए ∇²(2/r) = 0; अभीष्ट क्षेत्र r/r² है, जिसे नीचे हल किया गया है।]

∇·(rⁿr) = (n + 3)rⁿ में n = −2 रखने पर: ∇·(r/r²) = 1/r²।

∇²rⁿ = n(n + 1)rⁿ⁻² में n = −2 रखने पर: ∇²(r⁻²) = (−2)(−1)r⁻⁴ = 2/r⁴।

उत्तर: ∇²[∇·(r/r²)] = 2/r⁴, जबकि ∇²[∇·(r/r)] = 0 (r ≠ 0)।

उदाहरण 11 (UPSC 2023, 15 अंक): एक अदिश बिन्दु फलन φ और सदिश बिन्दु फलन f के लिये निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए ∇ · (φf) = ∇φ · f + φ(∇ · f). ∇ · ((f(r)/r) r) का मान भी ज्ञात कीजिए और तब उल्लेखित सर्वसमिका का सत्यापन कीजिए।

उपपत्ति: f = (f₁, f₂, f₃) लेकर ∇·(φf) = Σ ∂(φf₁)/∂x = Σ(φ ∂f₁/∂x + f₁ ∂φ/∂x) = φ(∇·f) + f·∇φ, जहाँ योग तीनों निर्देशांकों पर है।

φ = f(r)/r और क्षेत्र r लें: ∇φ = φ′(r) r/r, जहाँ φ′ = f′/r − f/r², तथा ∇·r = 3।

सर्वसमिका से: ∇·((f/r) r) = 3f/r + (f′/r − f/r²)(r·r)/r = 3f/r + f′ − f/r = f′ + 2f/r।

सीधे: ∂r/∂x = x/r से ∂(fx/r)/∂x = f/r + x²(f′/r² − f/r³); ऐसे तीनों पदों को जोड़ने पर 3f/r + r²(f′/r² − f/r³) = f′ + 2f/r।

उत्तर: दोनों विधियों से ∇·((f(r)/r) r) = f′(r) + 2f(r)/r, जिससे सर्वसमिका सत्यापित होती है।

उदाहरण 12 (UPSC 2025, 20 अंक): (i) φ(x, y, z) = x²y²z² का बिन्दु (1, 1, −1) पर, वक्र x = e^t, y = 2 sin t + 1, z = t − cos t, के बिन्दु t = 0 पर स्पर्श-रेखा की दिशा में दिक्-अवकलज का निरपेक्ष मान ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(ii) यदि ∇ · E = 0, ∇ · H = 0, ∇ × E = −∂H/∂t और ∇ × H = ∂E/∂t हैं, तो दर्शाइए कि ∇²H = ∂²H/∂t² और ∇²E = ∂²E/∂t² हैं। (10 अंक)

(i) (1, 1, −1) पर ∇φ = (2xy²z², 2x²yz², 2x²y²z) = (2, 2, −2)।

t = 0 पर वक्र (1, 1, −1) पर है, और r′ = (e^t, 2 cos t, 1 + sin t) = (1, 2, 1), जिसकी लंबाई √6 है।

दिक् अवकलज = (2 + 4 − 2)/√6 = 4/√6 = 2√6/3।

(ii) ∇ × H = ∂E/∂t का कर्ल लें: ∇ × (∇ × H) = ∂(∇ × E)/∂t = −∂²H/∂t², क्योंकि निष्कोण क्षेत्रों के लिए दिक् और काल अवकलज क्रमविनिमेय हैं।

बायाँ पक्ष ∇(∇·H) − ∇²H = −∇²H है, क्योंकि ∇·H = 0; अतः ∇²H = ∂²H/∂t²।

इसी प्रकार ∇ × (∇ × E) = −∂(∇ × H)/∂t = −∂²E/∂t², और ∇·E = 0 होने से बायाँ पक्ष −∇²E है, अतः ∇²E = ∂²E/∂t²।

उत्तर: (i) 2√6/3; (ii) E और H दोनों तरंग समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण 13 (UPSC 2026, 20 अंक): (i) एक अदिश बिंदु फलन φ तथा एक सदिश बिंदु फलन F के लिए सिद्ध कीजिए कि ∇ × (φF) = (∇φ) × F + φ(∇ × F)। यदि r = x î + y ĵ + z k̂ तथा r = |r| हैं, तो φ = 1/r तथा F = r के लिए उपर्युक्त सर्वसमिका (आइडेन्टिटी) को सत्यापित कीजिए। (10)
(ii) यदि r = a cos t î + a sin t ĵ + bt k̂ है, तो दर्शाइए कि |r′ × r″|² = a²(a² + b²) और [r′ r″ r‴] = a²b। (10)

(i) उपपत्ति: ∇ × (φF) = Σ i × ∂(φF)/∂x = Σ i × [(∂φ/∂x)F + φ ∂F/∂x] = (Σ i ∂φ/∂x) × F + φ Σ i × ∂F/∂x = (∇φ) × F + φ(∇ × F)।

φ = 1/r, F = r के लिए: ∇(1/r) = −r/r³ और ∇ × r = 0, अतः दायाँ पक्ष (−r/r³) × r + 0 = 0 है।

सीधे, ∇ × (r/r) का i-घटक ∂(z/r)/∂y − ∂(y/r)/∂z = −yz/r³ + yz/r³ = 0 है, और j, k के लिए भी यही, अतः दोनों पक्ष 0 हैं।

(ii) r′ = (−a sin t, a cos t, b), r″ = (−a cos t, −a sin t, 0), r‴ = (a sin t, −a cos t, 0), तथा r′ × r″ = (ab sin t, −ab cos t, a²)।

|r′ × r″|² = a²b² + a⁴ = a²(a² + b²) तथा [r′ r″ r‴] = (r′ × r″)·r‴ = a²b sin²t + a²b cos²t = a²b।

उत्तर: सर्वसमिका सत्य है (φ = 1/r, F = r के लिए दोनों पक्ष 0); |r′ × r″|² = a²(a² + b²) तथा [r′ r″ r‴] = a²b।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ∇(r²) तथा ∇·(r²r) ज्ञात कीजिए, जहाँ r = xi + yj + zk।

उत्तर: ∇(r²) = 2r; ∇·(r²r) = 3r² + r·2r = 5r²।

अभ्यास 2 (मूल): अचर सदिश a के लिए ∇(a·r) तथा ∇·[(a·r)r] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ∇(a·r) = a; ∇·[(a·r)r] = (a·r)(∇·r) + r·a = 4(a·r)।

अभ्यास 3 (मूल): दिखाइए कि F = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k अघूर्णी (irrotational) है और ऐसा अदिश विभव φ ज्ञात कीजिए कि F = ∇φ।

उत्तर: ∇ × F का प्रत्येक घटक 1 − 1 = 0 है; φ = xy + yz + zx + अचर।

अभ्यास 4 (मानक): वे सभी n ज्ञात कीजिए जिनके लिए क्षेत्र r > 0 में rⁿ प्रसंवादी है।

उत्तर: ∇²rⁿ = n(n + 1)rⁿ⁻² = 0 से n = 0 या n = −1।

अभ्यास 5 (मानक): अचर सदिशों a और b के लिए सिद्ध कीजिए कि ∇[(a·r)(b·r)] = (b·r)a + (a·r)b।

उत्तर: φ = a·r, ψ = b·r तथा ∇(a·r) = a, ∇(b·r) = b के साथ ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ का प्रयोग करें।

अभ्यास 6 (मानक): r > 0 के लिए ∇²(r ln r) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: f = r ln r के साथ f′ = ln r + 1 और f″ = 1/r, अतः ∇²f = f″ + 2f′/r = (3 + 2 ln r)/r।

अभ्यास 7 (मानक): दिखाइए कि x × (i + j) = i − j हल योग्य है और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (i + j)·(i − j) = 0, अतः हल योग्य है; x = [(i + j) × (i − j)]/2 + λ(i + j) = −k + λ(i + j), λ स्वेच्छ।

अभ्यास 8 (मानक): 2x + x × (i + k) = 3j हल कीजिए।

उत्तर: यहाँ λ = 2, a = i + k, b = 3j, a·b = 0 और a × b = −3i + 3k, अतः x = [4b + 2(a × b)]/[2(4 + 2)] = −(1/2)i + j + (1/2)k।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): r > 0 के लिए ∇²f(r) = 6 वाला व्यापक फलन f(r) ज्ञात कीजिए, तथा वह जो r = 0 पर परिमित रहे और f(0) = 1 हो।

उत्तर: f″ + 2f′/r = 6 का अर्थ (r²f′)′ = 6r² है, अतः r²f′ = 2r³ + C और f = r² − C/r + D; परिमितता से C = 0, अतः f = r² + 1।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि ∇ × (φ∇ψ) = ∇φ × ∇ψ, निष्कर्ष निकालिए कि ∇φ × ∇ψ परिनालिकीय है, और φ = x², ψ = yz के लिए दोनों सत्यापित कीजिए।

उत्तर: ∇ × (φ∇ψ) = φ(∇ × ∇ψ) + ∇φ × ∇ψ = ∇φ × ∇ψ, और कर्ल का अपसरण शून्य होता है; यहाँ ∇φ × ∇ψ = (2x, 0, 0) × (0, z, y) = (0, −2xy, 2xz), जिसका अपसरण −2x + 2x = 0 है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): व्युत्क्रम निकाय का प्रयोग कर x·(i + j) = 2, x·(j + k) = 3, x·(k + i) = 5 हल कीजिए।

उत्तर: [a b c] = 2 और x = [2(b × c) + 3(c × a) + 5(a × b)]/2 = 2i + 3k (जाँच: 2 + 0 = 2, 0 + 3 = 3, 3 + 2 = 5)।

1. चाप-लंबाई और एकक स्पर्शी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी वक्र को अनेक प्रकार से अनुरेखित किया जा सकता है: तेज़ या धीमे, आगे या पीछे।

ज्यामितीय गुण, जैसे वक्र कितनी तीव्रता से मुड़ता है, इस चयन पर निर्भर नहीं होने चाहिए।

चाप-लंबाई (arc length) s वह एकमात्र प्राचल है जो स्वयं वक्र से निश्चित होता है, अतः प्रति एकक s मापी गई राशियाँ शुद्ध ज्यामितीय होती हैं।

शब्दों में: समष्टि वक्र एक सदिश फलन r(t) = (x(t), y(t), z(t)) है जिसमें t किसी अंतराल में है; यह नियमित (regular) है यदि प्रत्येक t के लिए r′(t) ≠ 0, ताकि इसकी हर जगह एक निश्चित दिशा हो।

t = t₀ से मापी गई चाप-लंबाई s(t) = ∫_t0^t |r′(u)| du है, अतः ds/dt = |r′(t)|, अर्थात चाल।

एकक स्पर्शी (unit tangent) T = dr/ds = r′/|r′| है: वेग को चाल से भाग देने पर।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: वृत्त r = (a cos t, a sin t, 0), a > 0।

चरण 1: r′ = (−a sin t, a cos t, 0)।

चरण 2: |r′| = √(a²sin²t + a²cos²t) = a, अतः ds/dt = a।

चरण 3: t = 0 से मापने पर s = at, अतः t = s/a।

चरण 4: s के पदों में r = (a cos(s/a), a sin(s/a), 0)।

चरण 5: T = dr/ds = (−sin(s/a), cos(s/a), 0), और जैसा अपेक्षित था |T| = 1।

चरण 6: यही T, s ज्ञात किए बिना r′/|r′| = (−a sin t, a cos t, 0)/a के रूप में मिलता है; जब s बंद रूप में न मिल सके तब यही व्यावहारिक मार्ग है।

अ-उदाहरण (non-example): r(t) = (t², t³, 0), अर्धघन परवलय, t = 0 पर नियमित नहीं है, क्योंकि r′(0) = 0।

वहाँ T = r′/|r′| = 0/0 है, वक्र का मूल बिंदु पर उभयाग्र (cusp) है, और उस बिंदु पर ढाँचे की कोई भी राशि T, N, B, κ, τ विद्यमान नहीं।

आगे बढ़ते हुए: चूँकि प्रत्येक s के लिए |T| = 1, T·T = 1 का अवकलन 2T·dT/ds = 0 देता है, अतः dT/ds, T के लंबवत है।

यही एक तथ्य पूरे सिद्धांत का आरंभ है: dT/ds केवल दिशा का परिवर्तन मापता है, लंबाई का कभी नहीं, और इसका परिमाण तथा दिशा अगले पाठ में वक्रता और मुख्य अभिलंब को परिभाषित करते हैं।

शृंखला नियम d/ds = (1/|r′|) d/dt प्रत्येक t-अवकलज को s-अवकलज में बदलता है; इसका प्रयोग खंड 3 के प्रत्येक सूत्र में होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: कुंडलिनियों और चक्रजों के चापों की लंबाई में, स्पर्श रेखाओं और स्पर्शी तथा किसी स्थिर रेखा के बीच कोण में (उदाहरण 10), और अध्याय 6 में वेग के स्पर्शरेखीय घटक में।

2. वक्रता और मुख्य अभिलंब को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सरल रेखा और त्रिज्या 1 के वृत्त दोनों के एकक स्पर्शी होते हैं, पर एक अपनी दिशा बनाए रखती है जबकि दूसरा निरंतर घूमता है।

हमें एक संख्या चाहिए जो बताए कि प्रति एकक लंबाई दिशा कितनी तेज़ घूमती है, और एक सदिश जो बताए कि वह किस ओर घूमती है।

शब्दों में: κ = |dT/ds| वक्रता (curvature) है, प्रति एकक लंबाई रेडियन में स्पर्शी के घूमने की दर, और ρ = 1/κ वक्रता त्रिज्या है।

जहाँ κ ≠ 0, वहाँ N = (1/κ) dT/ds एकक मुख्य अभिलंब (principal normal) है: यह T के लंबवत है और मोड़ के भीतर की ओर इंगित करता है।

B = T × N, द्विअभिलंब (binormal), तीन परस्पर लंबवत एकक सदिशों का दक्षिणावर्ती समुच्चय पूरा करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: वृत्त r = (a cos(s/a), a sin(s/a), 0) के साथ आगे बढ़ें।

चरण 1: T = (−sin(s/a), cos(s/a), 0)।

चरण 2: शृंखला नियम से dT/ds = (−(1/a) cos(s/a), −(1/a) sin(s/a), 0)।

चरण 3: κ = |dT/ds| = 1/a: छोटा वृत्त तीव्रता से मुड़ता है, बड़ा धीरे।

चरण 4: N = a dT/ds = (−cos(s/a), −sin(s/a), 0) = −r/a, बिंदु से केंद्र की ओर एकक सदिश।

चरण 5: B = T × N = (0, 0, sin²(s/a) + cos²(s/a)) = k, वृत्त के समतल के लंबवत।

चरण 6: ρ = a, स्वयं त्रिज्या; वृत्त का आश्लेषी वृत्त (osculating circle) वही वृत्त है।

अ-उदाहरण (non-example): रेखा r = (1 + s, 2, 3) का T = i अचर है, अतः dT/ds = 0 और κ = 0; N = (1/κ) dT/ds, 0/0 होगा, क्योंकि रेखा किसी ओर नहीं मुड़ती, अतः N, B और τ अपरिभाषित हैं।

साथ ही, जब t चाप-लंबाई न हो तो |r″| वक्रता नहीं है: r = (t², 0, 0), t > 0, के रूप में अनुरेखित रेखा का r″ = (2, 0, 0) ≠ 0 है जबकि κ = 0।

आगे बढ़ते हुए: κ = |dT/ds| के लिए चाप-लंबाई चाहिए, पर शृंखला नियम dT/ds = (dT/dt)/|r′| देता है।

r′ = vT लिखें, जहाँ v = |r′|; अवकलन से r″ = v′T + v(dT/ds)(ds/dt) = v′T + κv²N, जो त्वरण का स्पर्शरेखीय-अभिलंब वियोजन है।

तब r′ × r″ = vT × (v′T + κv²N) = κv³B, जिससे κ = |r′ × r″|/|r′|³ और B = (r′ × r″)/|r′ × r″| मिलते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8)।

कहाँ प्रयोग होता है: कार्तीय, ध्रुवीय और पदिक रूपों में समतल वक्रों की वक्रता त्रिज्या में (अध्याय 3 और उदाहरण 8), वक्रों पर गति में अभिलंब त्वरण v²/ρ में (अध्याय 6), आश्लेषी समतल और वृत्त में, और UPSC प्रश्नों की प्रत्येक κ गणना में।

3. समष्टि वक्र और गतिशील त्रिफलक

वक्र r = r(s), जहाँ s चाप-लंबाई है, का एकक स्पर्शी (unit tangent) T = dr/ds है।

भाव: चाप-लंबाई को प्राचल लेने पर वक्र एकक चाल से अनुरेखित होता है, क्योंकि |dr| = ds; अतः dr/ds की लंबाई स्वतः 1 है, और s के सापेक्ष परिवर्तन की प्रत्येक दर शुद्ध ज्यामितीय राशि है, जो इस पर निर्भर नहीं कि वक्र कितनी तेजी से चला जाता है।

वक्रता (curvature) κ = |dT/ds|; मुख्य अभिलंब (principal normal) N = (1/κ) dT/ds, जहाँ κ ≠ 0; द्विअभिलंब (binormal) B = T × N।

भाव: κ प्रति एकक लंबाई स्पर्शी के घूमने की दर है: सरल रेखा का κ = 0 है और त्रिज्या a के वृत्त का प्रत्येक बिंदु पर κ = 1/a; dT/ds, T के लंबवत है (T की लंबाई अचर है) और उस ओर इंगित करता है जिधर वक्र मुड़ता है, यही N को परिभाषित करता है।

प्रतिबंध κ ≠ 0 आवश्यक है: सीधे भाग पर dT/ds = 0 है और N, B तथा τ परिभाषित नहीं होते।

T, N, B दक्षिणावर्ती प्रसामान्य लांबिक त्रयी बनाते हैं: आश्लेषी समतल (osculating plane) में T और N हैं (अभिलंब B), अभिलंब समतल में N और B हैं (अभिलंब T), और ऋजुकारी समतल (rectifying plane) में T और B हैं (अभिलंब N)।

भाव: त्रयी T, N, B वक्र के साथ चलने वाले अक्षों का एक छोटा समुच्चय है (ऊपर का चित्र देखें); आश्लेषी समतल वह समतल है जिसमें वक्र उस क्षण मुड़ रहा है, अर्थात बिंदु के निकट वक्र से सबसे अच्छा मेल खाने वाला समतल।

ऐंठन (torsion) τ, dB/ds = −τN से परिभाषित है और मापती है कि आश्लेषी समतल कितनी तेज़ी से घूमता है; ρ = 1/κ वक्रता त्रिज्या और σ = 1/τ ऐंठन त्रिज्या है।

भाव: वक्रता आश्लेषी समतल के भीतर मुड़ने को और ऐंठन उससे बाहर मरोड़ को मापती है; समतल वक्र का आश्लेषी समतल वही रहता है, अतः B अचर है और τ = 0; परिपाटी dB/ds = −τN के साथ दक्षिणावर्ती कुंडलिनी (सामान्य पेच की चूड़ी जैसी) का τ > 0 होता है।

4. ऐंठन और सेरे-फ्रेने सूत्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: केवल वक्रता से समान κ वाले वृत्त और कुंडलिनी (helix) में भेद नहीं किया जा सकता: दोनों अचर दर से मुड़ते हैं, पर कुंडलिनी प्रत्येक आश्लेषी समतल से बाहर भी चढ़ती है।

इस मरोड़ के लिए हमें एक दूसरी संख्या चाहिए, और इस बात का संक्षिप्त वर्णन कि पूरा ढाँचा T, N, B वक्र के अनुदिश कैसे चलता है।

शब्दों में: B आश्लेषी समतल के लंबवत है, अतः B के घूमने की दर मापती है कि आश्लेषी समतल कितनी तेज़ी से मरोड़ता है।

यह दिखाया जा सकता है (नीचे) कि dB/ds सदैव N के अनुदिश होता है; ऐंठन (torsion) τ वह संख्या है जिसके लिए dB/ds = −τN।

ऋण चिह्न एक परिपाटी है, इस प्रकार चुना गया कि दक्षिणावर्ती कुंडलिनी का τ > 0 हो; कुछ पुस्तकें विपरीत चिह्न लेती हैं, अतः अपनी परिपाटी लिखें।

सेरे-फ्रेने सूत्र dT/ds = κN, dN/ds = τB − κT, dB/ds = −τN ढाँचे के प्रत्येक सदिश के अवकलज को स्वयं ढाँचे के पदों में व्यक्त करते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: कुंडलिनी r = (a cos t, a sin t, bt), जहाँ a > 0, b > 0 और c = √(a² + b²)।

चरण 1: |r′| = c, अतः s = ct और d/ds = (1/c) d/dt।

चरण 2: हल किए गए उदाहरण 4 से N = (−cos t, −sin t, 0) और B = (b sin t, −b cos t, a)/c।

चरण 3: dB/ds = (1/c)·(b cos t, b sin t, 0)/c = (b/c²)(cos t, sin t, 0)।

चरण 4: N से तुलना करें: (cos t, sin t, 0) = −N, अतः dB/ds = −(b/c²)N।

चरण 5: अतः τ = b/c² = b/(a² + b²), जो इस दक्षिणावर्ती कुंडलिनी के लिए धनात्मक है।

चरण 6: ध्यान दें कि b → 0 पर क्या होता है: कुंडलिनी चपटी होकर वृत्त बन जाती है और τ → 0, जैसा समतल वक्र के लिए होना चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): शून्य ऐंठन वक्र को वृत्त नहीं बनाती: परवलय y = x² का τ = 0 है पर κ = 2/(1 + 4x²)^3/2 बदलता है (हल किया गया उदाहरण 6); τ = 0 केवल इतना कहता है कि आश्लेषी समतल नहीं घूमता।

साथ ही, जिस बिंदु पर κ = 0 हो वहाँ ऐंठन परिभाषित ही नहीं है, क्योंकि B = T × N के लिए N चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (1) dB/ds ⊥ B, क्योंकि |B| = 1। (2) B·T = 0 का अवकलन करें: (dB/ds)·T + B·κN = 0, और B·N = 0, अतः (dB/ds)·T = 0।

(3) B और T दोनों के लंबवत होने से dB/ds, N का गुणज है; इसे −τN कहें। (4) N = B × T, अतः dN/ds = (dB/ds) × T + B × (dT/ds) = −τN × T + κB × N = τB − κT।

पूर्ण उपपत्ति, गुणांक आव्यूह की विषम-सममिति सहित, मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7 में है।

कहाँ प्रयोग होता है: यह सिद्ध करने में कि τ = 0 समतल वक्रों का अभिलक्षण है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9), कुंडलिनियों पर लांक्रे प्रमेय में (प्रमेय 10), T′·B′ = −κτ जैसी सर्वसमिकाओं में, क्रमागत मुख्य अभिलंबों में (उदाहरण 12(ii)), और मरोड़े हुए वक्र पर कण की गतिकी में।

5. सेरे-फ्रेने सूत्र (Serret-Frenet Formulae)

dT/ds = κN; dN/ds = τB − κT; dB/ds = −τN।

भाव: ये सूत्र गतिशील ढाँचे के अवकलजों को स्वयं ढाँचे के पदों में व्यक्त करते हैं; गुणांक आव्यूह विषम सममित (skew-symmetric) होना चाहिए क्योंकि ढाँचा प्रसामान्य लांबिक बना रहता है (T·N = 0 का अवकलन करके T′·N = −T·N′, इत्यादि); उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7 में है।

आव्यूह रूप में स्तंभ (T, N, B) का s के सापेक्ष अवकलज [[0, κ, 0], [−κ, 0, τ], [0, −τ, 0]] गुणा (T, N, B) है; गुणांक आव्यूह विषम-सममित है।

डार्बू सदिश (Darboux vector) ω = τT + κB: dT/ds = ω × T, dN/ds = ω × N, dB/ds = ω × B।

भाव: बिंदु के वक्र पर चलने के साथ त्रयी एक दृढ़ पिंड की भाँति प्रति एकक चाप-लंबाई कोणीय वेग ω से घूमती है: B के परितः दर κ से (मुड़ना) और T के परितः दर τ से (मरोड़)।

मध्य सूत्र की उपपत्ति: N = B × T, अतः dN/ds = dB/ds × T + B × dT/ds = −τ(N × T) + κ(B × N) = τB − κT।

dB/ds, N के समांतर क्यों है: dB/ds, B के लंबवत है (B की लंबाई अचर है) और T के भी (B·T = 0 का अवकलन कर dT/ds = κN का प्रयोग करें), अतः यह N का गुणज है।

मूल प्रमेय: संतत फलन κ(s) > 0 और τ(s) दिए होने पर एक वक्र विद्यमान है, जो दृढ़ गति तक अद्वितीय है, जिसकी वक्रता और ऐंठन ये हैं; κ = κ(s), τ = τ(s) उसके नैज समीकरण (intrinsic equations) हैं।

भाव: κ और τ ढाँचे के लिए एक अवकल समीकरण के गुणांकों की भूमिका निभाते हैं; इन्हें तथा आरंभिक बिंदु और ढाँचे को निश्चित करने पर वक्र निर्धारित हो जाता है; κ और τ दोनों अचर शून्येतर हों तो वृत्तीय कुंडलिनी मिलती है, κ अचर और τ = 0 हो तो वृत्त।

6. किसी भी प्राचल के सूत्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: परीक्षा प्रश्नों के अधिकांश वक्र ऐसे प्राचल t के साथ आते हैं जो चाप-लंबाई नहीं है, जैसे (t, t², t³), और s = ∫|r′| dt का प्रायः कोई बंद रूप नहीं होता।

हमें κ और τ के ऐसे सूत्र चाहिए जो केवल t के सापेक्ष लिए गए r′, r″ और r‴ का प्रयोग करें।

शब्दों में: r′ वेग है, r″ त्वरण और r‴ त्वरण के परिवर्तन की दर, सभी t के सापेक्ष।

r′ × r″ आश्लेषी समतल के लंबवत है, और |r′ × r″|, r′ और r″ पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

[r′ r″ r‴] = r′·(r″ × r‴) अदिश त्रिक गुणनफल है, तीनों सदिशों पर बने घनाभ का आयतन; यह ठीक तब शून्येतर है जब r‴ आश्लेषी समतल से बाहर जाता है।

तब κ = |r′ × r″|/|r′|³ और τ = [r′ r″ r‴]/|r′ × r″|²।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: त्रिघाती वक्र (twisted cubic) r = (t, t², t³), t = 1 पर।

चरण 1: r′ = (1, 2t, 3t²) = (1, 2, 3), r″ = (0, 2, 6t) = (0, 2, 6) और r‴ = (0, 0, 6)।

चरण 2: r′ × r″ = (2·6 − 3·2, 3·0 − 1·6, 1·2 − 2·0) = (6, −6, 2)।

चरण 3: |r′ × r″| = √(36 + 36 + 4) = √76 = 2√19, और |r′| = √(1 + 4 + 9) = √14।

चरण 4: κ = 2√19/(√14)³ = 2√19/(14√14) = √19/(7√14) ≈ 0.166।

चरण 5: [r′ r″ r‴] = (r′ × r″)·r‴ = 2·6 = 12।

चरण 6: τ = 12/76 = 3/19, जो t = 1 पर हल किए गए उदाहरण 3 के व्यापक सूत्र 3/(9t⁴ + 9t² + 1) से मेल खाता है।

अ-उदाहरण (non-example): चाप-लंबाई वाला सूत्र κ = |r″| यहाँ गलत उत्तर देता है: |r″(1)| = √40 ≈ 6.32, जबकि वास्तविक κ ≈ 0.166।

t-अवकलज r″ में बदलती चाल से आया एक स्पर्शरेखीय भाग है, और r′ के साथ सदिश गुणनफल ही उसे हटाता है; इसी प्रकार τ = [r′ r″ r‴]/κ² केवल s के सापेक्ष अवकलजों के लिए सही है।

आगे बढ़ते हुए: v = |r′| के साथ शृंखला नियम और सेरे-फ्रेने सूत्र r′ = vT, r″ = v′T + κv²N और r‴ = (…)T + (…)N + κτv³B देते हैं, B-भाग κv²(dN/ds)v से आता है।

सदिश गुणनफल में केवल T × N बचता है, अतः r′ × r″ = κv³B और |r′ × r″| = κv³।

त्रिक गुणनफल में r‴ का केवल B-भाग बचता है: [r′ r″ r‴] = (κv³B)·(κτv³B) = κ²τv⁶ = τ|r′ × r″|²; इनसे दोनों सूत्र मिलते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8)।

कहाँ प्रयोग होता है: κ, τ के प्रत्येक संख्यात्मक प्रश्न में (कुंडलिनी के रूप, त्रिघाती वक्र, उदाहरण 11 का चक्रजीय वक्र), यह परखने में कि वक्र समतल है ([r′ r″ r‴] ≡ 0) या व्यापक कुंडलिनी (κ/τ अचर), और अध्याय 3 के समतल-वक्र वक्रता सूत्रों में।

7. किसी भी प्राचल t के लिए सूत्र

r′ = dr/dt आदि के साथ: κ = |r′ × r″|/|r′|³ तथा τ = [r′ r″ r‴]/|r′ × r″|²।

भाव: r″ में एक स्पर्शरेखीय भाग (चाल का परिवर्तन) है जिसका मुड़ने से कोई संबंध नहीं; सदिश गुणनफल r′ × r″ उसे हटा देता है, और |r′|³ से भाग देने पर प्रति एकक t की दर प्रति एकक लंबाई की दर में बदल जाती है; κ के सूत्र के लिए केवल r′ ≠ 0 चाहिए, जबकि τ, N और B के लिए r′ × r″ ≠ 0, अर्थात κ ≠ 0, चाहिए (उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 8 में)।

T = r′/|r′|, B = (r′ × r″)/|r′ × r″|, N = B × T।

κ ≠ 0 वाला वक्र समतल वक्र है यदि और केवल यदि प्रत्येक बिंदु पर τ = 0।

भाव: τ = 0 का अर्थ है B अचर है, अतः (r − r₀)·B का अवकलज T·B = 0 है और वक्र r₀ से जाने वाले B के अभिलंब समतल में रहता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 9); प्रतिबंध κ ≠ 0 आवश्यक है, क्योंकि भिन्न समतलों के दो समतल चाप, जो κ = 0 वाले बिंदु पर निष्कोण रूप से जुड़े हों, ऐसा वक्र देते हैं जिसका जहाँ भी परिभाषित हो τ = 0 है पर जो समतल नहीं है।

कोई वक्र व्यापक कुंडलिनी (general helix) है (उसकी स्पर्शरेखा एक स्थिर दिशा से अचर कोण बनाती है) यदि और केवल यदि κ/τ अचर हो (लांक्रे प्रमेय)।

भाव: व्यापक कुंडलिनी (general helix) किसी बेलन पर अचर ढाल से लिपटती है; स्थिर दिशा डार्बू सदिश τT + κB की है, जो ठीक तब अचर है जब κ/τ अचर हो (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 10)।

वक्रता सदिश (curvature vector): dT/ds = κN = [|r′|²r″ − (r′·r″)r′]/|r′|⁴; इसकी लंबाई κ है और यह वक्रता केंद्र r + ρN की ओर इंगित करता है, तथा आश्लेषी समतल में उस केंद्र के परितः त्रिज्या ρ का वृत्त आश्लेषी वृत्त (osculating circle) है।

r(t) पर स्पर्श रेखा और आश्लेषी समतल: R = r + λr′ तथा (R − r)·(r′ × r″) = 0; स्पर्श रेखा और दिशा d वाली रेखा के बीच का कोण cos⁻¹(|r′·d|/(|r′||d|)) है।

समतल वक्र: r = (f(t), g(t), 0) के लिए κ = |f′g″ − g′f″|/(f′² + g′²)^3/2 तथा τ = 0; y = y(x) के लिए κ = |y″|/(1 + y′²)^3/2।

ध्रुवीय वक्र r = r(θ): r₁ = dr/dθ और r₂ = d²r/dθ² लेकर वक्रता त्रिज्या ρ = (r² + r₁²)^3/2/|r² + 2r₁² − rr₂| है; पदिक (pedal) रूप में ρ = r dr/dp।

केंद्रज (evolute) और अंतर्वलज (involute): किसी समतल वक्र के वक्रता केंद्रों का बिंदुपथ उसका केंद्रज है; वक्र के अभिलंब केंद्रज की स्पर्श रेखाएँ हैं, और वक्र अपने केंद्रज का अंतर्वलज है।

8. व्युत्पत्ति: बिंदु के निकट वक्र (विहित रूप)

टेलर प्रमेय से s = 0 के परितः r(s) का प्रसार करें: r(s) = r₀ + s r′ + (s²/2) r″ + (s³/6) r‴ + ..., यहाँ डैश d/ds को दर्शाते हैं।

सेरे-फ्रेने सूत्रों से r′ = T, r″ = κN और r‴ = κ′N + κ(τB − κT) = −κ²T + κ′N + κτB।

अतः बिंदु पर T, N, B के अनुदिश निर्देशांकों में वक्र x ≈ s, y ≈ κs²/2, z ≈ κτs³/6 है।

अतः वक्र अपनी स्पर्श रेखा से κ द्वारा निर्धारित दर से, N की ओर मुड़ते हुए, हटता है, और अपने आश्लेषी समतल (z = 0) से केवल तृतीय कोटि पर, κτ द्वारा निर्धारित दर से, हटता है; τ का चिह्न बताता है कि वक्र आश्लेषी समतल के किस ओर उठता है।

9. व्युत्पत्ति: डार्बू सदिश तथा समतल वक्र की वक्रता

डार्बू सदिश: ω = τT + κB के साथ ω × T = κ(B × T) = κN, ω × N = τ(T × N) + κ(B × N) = τB − κT और ω × B = τ(T × B) = −τN, जो तीनों सेरे-फ्रेने सूत्र हैं।

समतल वक्र: r = (f(t), g(t), 0) के लिए r′ × r″ = (0, 0, f′g″ − g′f″) और |r′| = √(f′² + g′²), अतः κ = |f′g″ − g′f″|/(f′² + g′²)^3/2; r‴ भी समतल में है, अतः [r′ r″ r‴] = 0 और τ = 0।

t = x, f = x और g = y(x) लेने पर f′ = 1, f″ = 0 और κ = |y″|/(1 + y′²)^3/2।

वक्रता केंद्र: आश्लेषी वृत्त की बिंदु पर वक्र जैसी ही स्पर्शरेखा और वक्रता है, अतः उसका केंद्र N के अनुदिश दूरी ρ = 1/κ पर, r + ρN पर है।

10. विधि का चयन

यदि वक्र चाप-लंबाई s के साथ दिया हो (या |r′| अचर हो) → सीधे T = r′, κ = |T′|, N = T′/κ, B = T × N लें।

यदि प्राचल व्यापक हो → r′, r″, r‴, फिर r′ × r″ और [r′ r″ r‴] निकालें, और κ = |r′ × r″|/|r′|³, τ = [r′ r″ r‴]/|r′ × r″|², B ∥ r′ × r″ लें।

यदि दिखाना हो कि वक्र समतल है → [r′ r″ r‴] = 0 सर्वथा दिखाएँ (r′ × r″ ≠ 0 के साथ), फिर एक बिंदु पर B से समतल ज्ञात करें।

यदि दिखाना हो कि वक्र कुंडलिनी है → दिखाएँ कि κ/τ अचर है, या ऐसा स्थिर एकक सदिश a दिखाएँ जिसके लिए T·a अचर हो।

यदि प्रश्न T, N, B के अवकलजों या दिए वक्र से परिभाषित वक्रों (वक्रता केंद्रों का बिंदुपथ, बर्ट्रांड वक्र) के बारे में हो → s के सापेक्ष अवकलन करें और प्रत्येक चरण पर सेरे-फ्रेने सूत्र रखें।

11. सामान्य गलतियाँ

जब t चाप-लंबाई न हो तब κ = |r″| या N = r″/|r″| लेना; तब r″ में स्पर्शरेखीय घटक होता है।

ऐंठन के हर को |r′|⁶ या |r′ × r″| लिखना; यह |r′ × r″|² है।

B = N × T लेना, जिससे B और τ का चिह्न उलट जाता है; त्रयी T, N, B है जहाँ B = T × N।

यह निष्कर्ष निकालना कि τ = 0 का अर्थ वृत्त है; इसका अर्थ केवल समतल वक्र है, और वृत्त के लिए κ का भी अचर होना चाहिए (हल किया गया उदाहरण 6)।

अंतिम उत्तर में ऐंठन त्रिज्या σ = 1/τ को τ से, या वक्रता त्रिज्या ρ = 1/κ को κ से मिला देना।

12. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: गतिशील कण के लिए a = (dv/dt)T + (v²/ρ)N अध्याय 6 का स्पर्शरेखीय-अभिलंब वियोजन है, और ρ के समतल-वक्र सूत्र (कार्तीय, ध्रुवीय, पदिक) वहाँ वक्रों पर गति और केंद्रीय कक्षाओं में प्रयुक्त होते हैं।

संबंध: फ्रेने आव्यूह विषम सममित है क्योंकि ढाँचा एक लांबिक आव्यूह Q(s) है और किसी भी अवकलनीय लांबिक Q के लिए Q′Q^T विषम सममित होता है (अध्याय 2); वृत्तीय कुंडलिनी एक लंब वृत्तीय बेलन पर स्थित होती है (अध्याय 4)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: वृत्तीय कुंडलिनी r = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, के लिए κ और τ ज्ञात कीजिए।

r′ = (−a sin t, a cos t, b), r″ = (−a cos t, −a sin t, 0), r‴ = (a sin t, −a cos t, 0); r′ × r″ = (ab sin t, −ab cos t, a²)।

|r′| = √(a² + b²), |r′ × r″| = a√(a² + b²) तथा [r′ r″ r‴] = a²b।

अतः κ = a/(a² + b²) और τ = b/(a² + b²), दोनों अचर।

उदाहरण 2: x = 3t − t³, y = 3t², z = 3t + t³ के लिए सिद्ध कीजिए कि κ = τ = 1/[3(1 + t²)²]।

r′ = (3 − 3t², 6t, 3 + 3t²), |r′| = 3√2(1 + t²); r″ = (−6t, 6, 6t); r′ × r″ = 18(t² − 1, −2t, 1 + t²), जिसकी लंबाई 18√2(1 + t²) है।

κ = 18√2(1 + t²)/[54√2(1 + t²)³] = 1/[3(1 + t²)²]।

r‴ = (−6, 0, 6), अतः [r′ r″ r‴] = 18(−6t² + 6 + 6 + 6t²) = 216 और τ = 216/[648(1 + t²)²] = 1/[3(1 + t²)²]।

चूँकि κ/τ = 1 अचर है, यह वक्र एक व्यापक कुंडलिनी है।

उदाहरण 3: मुड़े घन वक्र r = (t, t², t³) की मूलबिंदु पर वक्रता और ऐंठन ज्ञात कीजिए।

r′ = (1, 2t, 3t²), r″ = (0, 2, 6t), r‴ = (0, 0, 6) तथा r′ × r″ = (6t², −6t, 2), [r′ r″ r‴] = 12।

व्यापक रूप में κ = 2√(9t⁴ + 9t² + 1)/(1 + 4t² + 9t⁴)^3/2 और τ = 3/(9t⁴ + 9t² + 1); t = 0 पर κ = 2 और τ = 3।

उदाहरण 4: वृत्तीय कुंडलिनी r = (a cos t, a sin t, bt) के लिए T, N, B ज्ञात कीजिए, जहाँ c = √(a² + b²)।

T = r′/|r′| = (−a sin t, a cos t, b)/c; dT/dt = (−a cos t, −a sin t, 0)/c, अतः N = (−cos t, −sin t, 0), जो क्षैतिजतः अक्ष की ओर है।

B = T × N = (b sin t, −b cos t, a)/c, जो z-अक्ष से अचर कोण cos⁻¹(a/c) बनाता है।

उदाहरण 5: सिद्ध कीजिए कि r = (1 + 3t + 2t², 2 − 2t + 5t², 1 − t²) एक समतल वक्र है और उसका समतल ज्ञात कीजिए।

r‴ = 0, अतः [r′ r″ r‴] = 0 और जहाँ κ ≠ 0 वहाँ τ = 0; यहाँ r′ × r″ ≠ 0, अतः वक्र समतल है।

t = 0 पर r′ = (3, −2, 0), r″ = (4, 10, −2) और r′ × r″ = (4, 6, 38) ∥ (2, 3, 19); r(0) = (1, 2, 1) से जाने वाला समतल 2x + 3y + 19z = 27 है (जाँच: r(1) = (6, 5, 0) से 27)।

उदाहरण 6: सिद्ध या असिद्ध कीजिए: सर्वत्र शून्य ऐंठन वाला वक्र वृत्त होता है।

असत्य। परवलय r = (t, t², 0) के लिए r‴ = 0, अतः τ = 0, परंतु κ = 2/(1 + 4t²)^3/2 अचर नहीं है, अतः यह वृत्त नहीं है।

τ = 0 केवल वक्र को समतल बनाता है; वह वृत्त तभी है जब κ भी शून्येतर अचर हो।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): वक्र r̄(t) = t cos t î + t sin t ĵ, 0 ≤ t ≤ 2π के किसी भी बिन्दु पर वक्रता सदिश ज्ञात कीजिए। उसका परिमाण भी बताइए।

r′ = (cos t − t sin t, sin t + t cos t, 0), जहाँ |r′|² = 1 + t², तथा r″ = (−2 sin t − t cos t, 2 cos t − t sin t, 0)।

r′·r″ = t तथा r′ × r″ = (2 + t²)k।

वक्रता सदिश κN = [(1 + t²)r″ − t r′]/(1 + t²)²।

कोष्ठक का x-घटक (1 + t²)(−2 sin t − t cos t) − t(cos t − t sin t) = −(2 + t²)(sin t + t cos t) और y-घटक (1 + t²)(2 cos t − t sin t) − t(sin t + t cos t) = (2 + t²)(cos t − t sin t) है।

अतः κN = [(2 + t²)/(1 + t²)²][−(sin t + t cos t)i + (cos t − t sin t)j]।

अंतिम सदिश की लंबाई √(1 + t²) है, अतः κ = (2 + t²)/(1 + t²)^3/2, जो |r′ × r″|/|r′|³ से मेल खाता है।

उत्तर: κN = [(2 + t²)/(1 + t²)²][−(sin t + t cos t)i + (cos t − t sin t)j], परिमाण (2 + t²)/(1 + t²)^3/2।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 15 अंक): दर्शाइये कि कार्डिऑइड (cardioid) r = a(1 + cos θ) के किसी बिन्दु (r, θ) पर वक्रता-त्रिज्या (radius of curvature) का वर्ग r के समानुपाती है। θ = 0, π/4, π/2 पर वक्रता-त्रिज्या भी ज्ञात कीजिये।

r = a(1 + cos θ), r₁ = −a sin θ, r₂ = −a cos θ।

r² + r₁² = a²(2 + 2 cos θ) = 2ar।

r² + 2r₁² − rr₂ = a²[(1 + cos θ)² + 2 sin²θ + cos θ(1 + cos θ)] = 3a²(1 + cos θ) = 3ar।

ρ = (2ar)^3/2/(3ar) = (2√2/3)√(ar), अतः ρ² = (8a/9)r, जो r के समानुपाती है।

चूँकि r = 2a cos²(θ/2), −π < θ < π के लिए ρ = (4a/3) cos(θ/2)।

उत्तर: θ = 0 पर ρ = 4a/3; θ = π/4 पर ρ = (4a/3) cos(π/8) = (2a/3)√(2 + √2) ≈ 1.232a; θ = π/2 पर ρ = 2√2a/3 ≈ 0.943a।

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 16 अंक): वक्र r̄ = (a cos θ, a sin θ, aθ) के किसी भी बिन्दु r̄ = (θ) पर वक्रता-सदिश व इसका परिमाण निकालिए। दर्शाइये कि मूल बिन्दु से स्पर्श रेखा पर डाले गये लम्बपाद का बिन्दु-पथ एक वक्र है जो पूर्णरूप से अतिपरवलयज x² + y² − z² = a² पर स्थित है।

यह b = a वाली उदाहरण 1 की कुंडलिनी है: |r′| = √2a, अतः ds = √2a dθ और T = (−sin θ, cos θ, 1)/√2।

dT/ds = (1/(√2a)) dT/dθ = −(cos θ, sin θ, 0)/(2a): यही वक्रता सदिश है, जिसका परिमाण κ = 1/(2a) है और जो क्षैतिजतः अक्ष की ओर है।

O से P पर की स्पर्श रेखा पर लंब का पाद F = r − (r·T)T है, और r·T = (−a cos θ sin θ + a sin θ cos θ + aθ)/√2 = aθ/√2।

अतः F = r − (aθ/2)(−sin θ, cos θ, 1) = (a cos θ + (aθ/2) sin θ, a sin θ − (aθ/2) cos θ, aθ/2)।

तब x² + y² = a² + a²θ²/4 (मिश्र पद कट जाते हैं) तथा z² = a²θ²/4।

उत्तर: वक्रता सदिश −(cos θ i + sin θ j)/(2a), परिमाण 1/(2a); प्रत्येक θ के लिए x² + y² − z² = a², अतः F का बिंदुपथ अतिपरवलयज पर है।

उदाहरण 10 (UPSC 2018, 10 अंक): x = 3t, y = 3t², z = 3t³ समीकरणों वाले वक्र के एक आम बिन्दु पर स्पर्श-रेखा और रेखा y = z − x = 0 के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।

r′ = (3, 6t, 9t²), जो (1, 2t, 3t²) के समांतर है।

रेखा y = 0, z = x की दिशा (1, 0, 1) है।

cos θ = (1 + 3t²)/(√2 √(1 + 4t² + 9t⁴))।

उत्तर: θ = cos⁻¹[(1 + 3t²)/√(2(1 + 4t² + 9t⁴))]; उदाहरणार्थ t = 0 पर θ = 45°।

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 12 अंक): वक्र r = a(u − sin u)i + a(1 − cos u)j + buk की वक्रता और विमोटन ज्ञात कीजिये।

r′ = (a(1 − cos u), a sin u, b), r″ = (a sin u, a cos u, 0), r‴ = (a cos u, −a sin u, 0)।

|r′|² = 2a²(1 − cos u) + b² = 4a² sin²(u/2) + b²।

r′ × r″ = (−ab cos u, ab sin u, −a²(1 − cos u)), अतः |r′ × r″|² = a²b² + 4a⁴ sin⁴(u/2)।

[r′ r″ r‴] = −a²b cos²u − a²b sin²u = −a²b।

उत्तर: κ = a√(b² + 4a² sin⁴(u/2))/(b² + 4a² sin²(u/2))^3/2 तथा τ = −a²b/(a²b² + 4a⁴ sin⁴(u/2)) = −b/(b² + 4a² sin⁴(u/2))।

उदाहरण 12 (UPSC 2024, 10 अंक): (i) माना C एक समतल वक्र r̅(t) = f(t) î + g(t) ĵ है, जहाँ f और g के द्वितीय कोटि के अवकलज हैं। दर्शाइए कि वक्र के किसी बिन्दु पर वक्रता
κ = |f′(t) g″(t) − g′(t) f″(t)| / ([f′(t)]² + [g′(t)]²)^3/2
है। इस वक्र के किसी बिन्दु पर ऐंठन (टॉर्शन) τ का मान क्या है? (5 अंक)
(ii) दर्शाइए कि किसी वक्र के दो क्रमागत बिन्दुओं पर मुख्य अभिलम्ब प्रतिच्छेद नहीं करते जब तक कि ऐंठन (टॉर्शन) τ शून्य न हो। (5 अंक)

(i) r′ = (f′, g′, 0) और r″ = (f″, g″, 0), अतः r′ × r″ = (f′g″ − g′f″)k तथा κ = |r′ × r″|/|r′|³ = |f′g″ − g′f″|/(f′² + g′²)^3/2।

r‴ = (f‴, g‴, 0) भी xy-समतल में है, अतः [r′ r″ r‴] = 0 और जहाँ κ ≠ 0 वहाँ प्रत्येक बिंदु पर τ = 0 (τ परिभाषित होने के लिए तृतीय अवकलज चाहिए)।

(ii) P(s) और Q(s + δs) पर मुख्य अभिलंब रेखाएँ R = r + λN और R = r + δr + μ(N + δN) हैं; ये तभी मिलती हैं जब δr, N, N + δN समतलीय हों, अर्थात [δr N δN] = 0।

टेलर प्रमेय और सेरे-फ्रेने से δr = Tδs + (1/2)κNδs² + O(δs³) तथा δN = (τB − κT)δs + O(δs²)।

अतः [δr N δN] = τ[T N B]δs² + O(δs³) = τδs² + O(δs³), जो सभी छोटे δs के लिए तभी शून्य हो सकता है जब τ = 0।

उत्तर: (i) κ कथित सूत्र के अनुसार तथा τ = 0; (ii) क्रमागत मुख्य अभिलंब तभी प्रतिच्छेद करते हैं जब τ = 0 (मानक उपपत्तियाँ देखें)।

उदाहरण 13 (UPSC 2026, 15 अंक): परवलय y² = 4ax के लिए T̂, N̂, B̂, κ और τ निर्धारित कीजिए, जहाँ a एक अचर है। यहाँ T̂, N̂, B̂, κ तथा τ क्रमशः एकक स्पर्शी सदिश, एकक मुख्य अभिलम्ब सदिश, एकक उपाभिलम्ब सदिश, वक्रता तथा मरोड़ को निरूपित करते हैं।

y² = 4ax को r = (at², 2at, 0) से प्राचलित करें: r′ = 2a(t, 1, 0), |r′| = 2a√(1 + t²), r″ = (2a, 0, 0) तथा r′ × r″ = (0, 0, −4a²)।

T = (ti + j)/√(1 + t²) तथा B = (r′ × r″)/|r′ × r″| = −k।

N = B × T = (i − tj)/√(1 + t²), जो अवतल पक्ष की ओर है (शीर्ष पर N = i)।

κ = 4a²/[8a³(1 + t²)^3/2] = 1/[2a(1 + t²)^3/2]; चूँकि 1 + t² = (a + x)/a, κ = √a/[2(a + x)^3/2]।

r‴ = 0, अतः [r′ r″ r‴] = 0 और τ = 0, जैसा प्रत्येक समतल वक्र के लिए।

उत्तर: T = (ti + j)/√(1 + t²), N = (i − tj)/√(1 + t²), B = −k (y बढ़ने की दिशा के लिए), κ = 1/[2a(1 + t²)^3/2] = √a/[2(a + x)^3/2], τ = 0।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): वृत्त r = (3 cos t, 3 sin t, 0) की वक्रता और ऐंठन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: κ = 1/3 (त्रिज्या का व्युत्क्रम) और τ = 0, क्योंकि वक्र समतल है।

अभ्यास 2 (मूल): दिखाइए कि r = (t, 2t, 3t) का सर्वत्र κ = 0 है और समझाइए कि N परिभाषित क्यों नहीं है।

उत्तर: r″ = 0, अतः r′ × r″ = 0 और κ = 0; वक्र एक सरल रेखा है, T अचर है, और N = (1/κ) dT/ds, 0/0 होगा।

अभ्यास 3 (मूल): जाँचिए कि r(s) = (cos(s/√2), sin(s/√2), s/√2) चाप-लंबाई से प्राचलित है और κ तथा τ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: |dr/ds|² = 1/2 + 1/2 = 1; यह a = b = 1 वाली कुंडलिनी है, अतः κ = τ = 1/2।

अभ्यास 4 (मानक): r = (cosh t, sinh t, t) के लिए κ और τ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: |r′| = √2 cosh t, r′ × r″ = (−sinh t, cosh t, −1) जिसकी लंबाई √2 cosh t है, और [r′ r″ r‴] = 1, अतः κ = τ = 1/(2 cosh²t)।

अभ्यास 5 (मानक): मूल बिंदु पर r = (t, t², t³) के T, N, B और आश्लेषी समतल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: r′(0) = (1, 0, 0), r″(0) = (0, 2, 0), अतः T = i, B = k, N = B × T = j, और आश्लेषी समतल z = 0 है।

अभ्यास 6 (मानक): दिखाइए कि x = t, y = (1 + t)/t, z = (1 − t²)/t (t ≠ 0) एक समतल वक्र है और उसका समतल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: y − 1 = 1/t और z = 1/t − t, अतः प्रत्येक t के लिए z = (y − 1) − x: वक्र समतल x − y + z + 1 = 0 में है (समतुल्यतः [r′ r″ r‴] ≡ 0)।

अभ्यास 7 (मानक): शंक्वाकार कुंडलिनी r = (e^t cos t, e^t sin t, e^t) के लिए κ और τ ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि यह व्यापक कुंडलिनी है।

उत्तर: κ = √2/(3e^t) और τ = 1/(3e^t), अतः κ/τ = √2 अचर है और वक्र व्यापक कुंडलिनी है (लांक्रे)।

अभ्यास 8 (मानक): (1, 1) पर y = x³ की वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: y′ = 3, y″ = 6, अतः ρ = (1 + 9)^3/2/6 = 5√10/3 ≈ 5.27।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): κ, τ ≠ 0 वाले वक्र के लिए सिद्ध कीजिए कि [B′ B″ B‴] = τ⁵ d(κ/τ)/ds, जहाँ डैश d/ds दर्शाते हैं।

उत्तर: B′ = −τN, B″ = κτT − τ′N − τ²B, और B‴ का T-घटक κ′τ + 2κτ′ तथा B-घटक −3ττ′ है; आधार T, N, B में सारणिक का प्रसार τ(κ′τ³ − κτ²τ′) = τ⁵(κ/τ)′ देता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): r = (2t, t², t³/3) के लिए κ और τ ज्ञात कीजिए, दिखाइए कि वक्र व्यापक कुंडलिनी है, और स्थिर दिशा तथा अचर कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: |r′| = t² + 2 और κ = τ = 2/(t² + 2)²; प्रत्येक t के लिए T + B = (1, 0, 1), अतः स्थिर दिशा (i + k)/√2 है और T इससे अचर कोण 45° बनाता है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि यदि κ ≠ 0 वाले वक्र के सभी आश्लेषी समतल एक स्थिर बिंदु से गुजरें, तो वक्र समतल है।

उत्तर: (c − r)·B = 0 का अवकलन τ(c − r)·N = 0 देता है; यदि किसी अंतराल पर τ ≠ 0 हो तो c − r = λT, और अवकलन से −T = λ′T + λκN, अतः λ = 0 और λ′ = −1, जो विरोधाभास है; अतः τ ≡ 0।

1. रेखा समाकल और फ्लक्स को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक बल F किसी कण को वक्र पथ C के अनुदिश धकेलता है, और F बिंदु-दर-बिंदु बदलता है, अतः किया गया कार्य केवल बल × दूरी नहीं है।

हमें पूरे पथ के अनुदिश F के उस भाग को जोड़ने की विधि चाहिए जो गति की दिशा में कार्य करता है; यही साधन किसी पाश (loop) के परितः तरल के परिसंचरण (circulation) को भी मापता है।

इसी प्रकार, जब कोई तरल एक वक्र पटल S से होकर बहता है, तो हमें प्रति सेकंड उसे पार करने वाला आयतन चाहिए, जो F के उस भाग को जोड़ता है जो S को पार करता है; यही फ्लक्स (flux) है।

शब्दों में: ∫_C F·dr में प्रतीक C एक अभिविन्यस्त वक्र (oriented curve) है, अर्थात् आरंभ बिंदु A से अंत बिंदु B तक चलने की चुनी हुई दिशा सहित एक वक्र।

dr, C के अनुदिश एक सूक्ष्म कदम है, एक सदिश जो चलने की दिशा में इंगित करता है; F·dr उस कदम के अनुदिश F का घटक गुणा उसकी लंबाई है, अर्थात् उस कदम पर किया गया कार्य।

समाकल चिह्न A से B तक के सभी कदमों के इन योगदानों को जोड़ता है; यदि C बंद हो (B = A) तो हम ∮ लिखते हैं और परिणाम को C के परितः F का परिसंचरण कहते हैं।

इसकी गणना के लिए C को r(t) = (x(t), y(t), z(t)), a ≤ t ≤ b से व्यक्त करें, जहाँ t चलने की दिशा में बढ़ता है; तब dr = r′(t) dt और ∫_C F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r′(t) dt, जो t में एक सामान्य समाकल है।

∬_S F·n dS में n, S का एकक अभिलंब (unit normal) है (दो संभव अभिलंबों में से एक, जो एक बार चुनकर बनाए रखा जाता है), dS एक सूक्ष्म खंड का क्षेत्रफल है, और F·n dS प्रति एकक समय उस खंड को पार करने वाला आयतन है।

प्राचलिक पृष्ठ (parametrised surface) r(u, v) के लिए सदिश (r_u × r_v) du dv स्वयं n dS है, अतः ∬_S F·n dS = ∬ F(r(u, v))·(r_u × r_v) du dv; सदैव जाँचें कि r_u × r_v वांछित पक्ष की ओर इंगित करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: F = −y i + x j द्वारा किसी कण को चतुर्थांश वृत्त x² + y² = 1 के अनुदिश A(1, 0) से B(0, 1) तक ले जाने में किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

चरण 1, प्राचलन: r(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π/2; t = 0 पर हम A पर हैं और t = π/2 पर B पर, अतः t चलने की दिशा में बढ़ता है।

चरण 2, अवकलन: r′(t) = (−sin t, cos t)।

चरण 3, वक्र को क्षेत्र में रखें: C पर x = cos t और y = sin t, अतः F(r(t)) = (−sin t, cos t)।

चरण 4, अदिश गुणनफल लें: F·r′ = sin²t + cos²t = 1; ध्यान दें कि F वृत्त का स्पर्शी है, अतः पूरा F कार्य करता है।

चरण 5, समाकलन: ∫₀^π/2 1 dt = π/2।

अब A से B तक सरल रेखाखंड r(t) = (1 − t, t), 0 ≤ t ≤ 1 के अनुदिश चलें: r′ = (−1, 1), F(r(t)) = (−t, 1 − t), F·r′ = t + 1 − t = 1, और कार्य 1 है।

ध्यान दें: वही अंत बिंदु, दो पथ, दो उत्तर (π/2 और 1); इस क्षेत्र के लिए रेखा समाकल पथ पर निर्भर करता है।

अ-उदाहरण (non-example): F = −y i + x j सरल दिखता है पर संरक्षी (conservative) नहीं है; विफल होने वाला प्रतिबंध curl F = 0 है, क्योंकि curl F = (∂x/∂x − ∂(−y)/∂y)k = 2k।

तुलना करें G = y i + x j: पूरे समतल में curl G = (1 − 1)k = 0, G = ∇(xy), और ऊपर के दोनों पथ 0 देते हैं, जो B पर xy का मान घटा A पर उसका मान है; G के लिए पथ का कोई महत्त्व नहीं।

दूसरा जाल: ∫_C |F| ds कार्य नहीं है; केवल स्पर्शरेखीय घटक F·T, जहाँ T एकक स्पर्शी है, कार्य करता है, और ∫F·dr = ∫F·T ds।

आगे बढ़ते हुए: (1) यदि F = ∇φ, तो किसी भी r(t) के अनुदिश शृंखला नियम से F(r(t))·r′(t) = dφ(r(t))/dt, अतः ∫_C F·dr = φ(B) − φ(A): समाकल केवल अंत बिंदुओं पर निर्भर करता है।

(2) अतः प्रवणता क्षेत्र (gradient field) का प्रत्येक बंद वक्र के परितः परिसंचरण शून्य है, और उसका कर्ल शून्य है क्योंकि curl grad φ = 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1)।

(3) विलोमतः, यदि किसी सरलतः संबद्ध क्षेत्र में curl F = 0 हो, तो स्टोक्स प्रमेय प्रत्येक परिसंचरण को शून्य कर देता है, और एक नियत बिंदु P₀ से P तक φ(P) = ∫F·dr एक विभव (potential) है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11)।

(4) फ्लक्स के लिए, भुजाओं r_u du और r_v dv वाला खंड लगभग एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका क्षेत्र-सदिश (r_u × r_v) du dv है; अगले उप-खंड के प्रत्येक पृष्ठ-अवयव सूत्र का यही स्रोत है।

कहाँ प्रयोग होता है: गतिकी में कार्य और स्थितिज ऊर्जा (अध्याय 6), तरल गति में परिसंचरण और फ्लक्स (अध्याय 14), तथा नीचे के ग्रीन, गाउस और स्टोक्स प्रमेयों के दोनों पक्षों के रूप में।

2. रेखा और पृष्ठ समाकल

रेखा समाकल (line integral): ∫_C F·dr = ∫_C(F₁ dx + F₂ dy + F₃ dz); यह C के अनुदिश F द्वारा किया गया कार्य है।

भाव: रेखा समाकल पथ के अनुदिश F के घटक को चरण-दर-चरण जोड़ता है; यह C के अभिविन्यास (orientation) पर निर्भर करता है (पथ उलटने से चिह्न बदलता है) और व्यापक रूप से स्वयं पथ पर भी, इसी कारण C को r(t) के रूप में प्राचलित करके ∫F(r(t))·r′(t) dt लिखना मूल विधि है।

विवृत (open), संबद्ध और सरलतः संबद्ध क्षेत्र में संतत अवकलनीय F के लिए निम्न तुल्य हैं: ∫F·dr पथ से स्वतंत्र है; प्रत्येक बंद वक्र के लिए ∮F·dr = 0; F = ∇φ; curl F = 0।

यह क्यों काम करता है: P से Q तक के दो पथ मिलकर एक बंद वक्र बनाते हैं, अतः पथ-स्वतंत्रता और शून्य परिसंचरण एक ही हैं; पथ-स्वतंत्रता होने पर स्थिर बिंदु P₀ से P तक φ(P) = ∫ F·dr सुपरिभाषित है और ∇φ = F; तथा curl F = 0 से, वक्र पर तने पृष्ठ पर स्टोक्स प्रमेय लगाकर, शून्य परिसंचरण मिलता है, और ऐसा पृष्ठ इसलिए विद्यमान है कि क्षेत्र सरलतः संबद्ध है।

पृष्ठ समाकल (surface integral) (फ्लक्स): ∬_S F·n dS; यदि S, xy-समतल के क्षेत्र R पर एकैकी प्रक्षेपित हो, तो dS = dx dy/|n·k|।

भाव: यदि F किसी तरल का वेग हो, तो फ्लक्स प्रति एकक समय S को पार करने वाला आयतन है; केवल अभिलंब घटक F·n तरल को पार ले जाता है, और दूसरा एकक अभिलंब चुनने पर उत्तर का चिह्न बदल जाता है, अतः अभिविन्यास सदैव बताना चाहिए।

पथ-निर्भरता: पहले ∇ × F ज्ञात करें; यदि यह शून्य नहीं है, तो दो बिंदुओं के बीच रेखा समाकल सामान्यतः पथ पर निर्भर करता है, और प्रत्येक पथ को अलग से प्राचलित करना होता है।

संकेतन: ∬(F₁ dy dz + F₂ dz dx + F₃ dx dy) का अर्थ F = (F₁, F₂, F₃) का फ्लक्स ∬F·n dS है।

मानक पृष्ठ अवयव: त्रिज्या a का गोला: n = r/a, dS = a² sin θ dθ dφ; बेलन x² + y² = a²: n = (xi + yj)/a, dS = a dφ dz; पृष्ठ z = f(x, y): n dS = (−f_x, −f_y, 1) dx dy (ऊर्ध्वमुखी); प्राचलिक पृष्ठ r(u, v): n dS = (r_u × r_v) du dv।

3. ग्रीन प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी बंद समतल वक्र के परितः ∮_C(M dx + N dy) की गणना का अर्थ है C के प्रत्येक भाग को अलग से प्राचलित करना, जो C के कई चापों से बने होने पर धीमा है।

ग्रीन प्रमेय पूरे बंद रेखा समाकल को भीतर के क्षेत्र पर एक द्वि-समाकल (double integral) से बदल देता है, और केवल परिसीमा के आँकड़ों से क्षेत्रफल भी देता है।

शब्दों में: C एक सरल बंद वक्र (simple closed curve) है: यह वहीं समाप्त होता है जहाँ से आरंभ होता है और स्वयं को नहीं काटता; खंडशः निष्कोण (piecewise smooth) का अर्थ है कि यह परिमित संख्या के निष्कोण चापों से बना है, जैसे त्रिभुज की भुजाएँ।

वामावर्त (धनात्मक) अभिविन्यास का अर्थ है कि C के अनुदिश चलते समय क्षेत्र R सदैव आपके बाईं ओर रहता है।

M और N समतल क्षेत्र F = M i + N j के x- और y-घटक हैं; ये तथा आंशिक अवकलज ∂M/∂y और ∂N/∂x, R और C के प्रत्येक बिंदु पर संतत होने चाहिए, भीतर कोई अपवाद बिंदु नहीं।

समाकल्य ∂N/∂x − ∂M/∂y, curl F का k-घटक है; यह मापता है कि F किसी बिंदु के परितः प्रति एकक क्षेत्रफल कितना घूमता है, अतः प्रमेय कहता है: किनारे के परितः कुल परिसंचरण = भीतर का कुल घूर्णन।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एकक वर्ग 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 की वामावर्त ली गई परिसीमा पर M = xy, N = x² के लिए ग्रीन प्रमेय सत्यापित कीजिए।

रेखा समाकल, भुजा-दर-भुजा, वर्ग को बाईं ओर रखते हुए: निचली भुजा y = 0, x का मान 0 से 1: dy = 0 और M = 0, अतः योगदान 0 है।

दाईं भुजा x = 1, y का मान 0 से 1: dx = 0 और N dy = 1·dy, योगदान 1।

ऊपरी भुजा y = 1, x का मान 1 से घटकर 0: dy = 0 और M dx = x dx, योगदान ∫₁⁰ x dx = −1/2; सीमाएँ 1 से 0 तक हैं क्योंकि हम बाईं ओर चलते हैं।

बाईं भुजा x = 0, y का मान 1 से 0: N = 0 और dx = 0, योगदान 0; कुल ∮ = 0 + 1 − 1/2 + 0 = 1/2।

द्वि-समाकल: ∂N/∂x − ∂M/∂y = 2x − x = x, और ∫₀¹∫₀¹ x dy dx = 1/2।

दोनों पक्ष बराबर हैं; ध्यान दें कि द्वि-समाकल में एक पंक्ति लगी, जबकि रेखा समाकल में चार।

अ-उदाहरण (non-example): आठ की आकृति वाला वक्र x = sin t, y = sin t cos t, 0 ≤ t ≤ 2π, मूलबिंदु पर स्वयं को काटता है, अतः यह सरल बंद वक्र नहीं है।

प्रत्येक पाश का क्षेत्रफल 2/3 है, अतः घिरा क्षेत्रफल 4/3 है, फिर भी (1/2)∮(x dy − y dx) = 0, क्योंकि वक्र एक पाश के परितः वामावर्त और दूसरे के परितः दक्षिणावर्त चलता है और दोनों क्षेत्रफल निरस्त हो जाते हैं; विफल होने वाला प्रतिबंध यह है कि C सरल होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (1) प्रकार I का R लें, a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x); पहले y में ∂M/∂y का समाकलन करने और निचले चाप पर बाएँ से दाएँ तथा ऊपरी चाप पर दाएँ से बाएँ चलने से ∮M dx = −∬∂M/∂y dx dy मिलता है।

(2) इसी प्रकार प्रकार II का R लेने पर ∮N dy = ∬∂N/∂x dx dy मिलता है; (1) और (2) को जोड़ने से प्रमेय सिद्ध होता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)।

(3) व्यापक क्षेत्र को इन प्रकारों के टुकड़ों में काटा जाता है; प्रत्येक कटान पर दो बार विपरीत दिशाओं में चला जाता है, अतः कटान निरस्त हो जाते हैं और केवल बाहरी परिसीमा बचती है।

(4) M = −y/2, N = x/2 चुनने पर समाकल्य 1 हो जाता है, जिससे क्षेत्रफल सूत्र (1/2)∮(x dy − y dx) मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: बंद समतल रेखा समाकल और क्षेत्रफल (एक मानक 10–15 अंक का प्रश्न), सम्मिश्र विश्लेषण में कोशी प्रमेय की उपपत्ति (अध्याय 10), तथा स्टोक्स प्रमेय की समतल स्थिति के रूप में।

4. समतल में ग्रीन प्रमेय

कथन: मान लें C एक खंडशः निष्कोण सरल बंद वक्र है जो क्षेत्र R को घेरता है और वामावर्त चला जाता है, तथा M, N, ∂M/∂y, ∂N/∂x, R ∪ C पर संतत हैं; तब ∮_C(M dx + N dy) = ∬_R(∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy।

भाव: R को सूक्ष्म वर्गों में काटें; प्रत्येक वर्ग के परितः परिसंचरण (∂N/∂x − ∂M/∂y) × क्षेत्रफल है, और इन्हें जोड़ने पर साझा भीतरी भुजाएँ दो बार विपरीत दिशाओं में चली जाती हैं और निरस्त हो जाती हैं, केवल बाहरी सीमा C बचती है।

संतता का प्रतिबंध आवश्यक है: M = −y/(x² + y²), N = x/(x² + y²) और C एकक वृत्त के लिए बायाँ पक्ष 2π है जबकि मूल बिंदु से दूर ∂N/∂x − ∂M/∂y = 0; प्रमेय विफल होता है क्योंकि आंशिक अवकलज मूल बिंदु पर संतत नहीं हैं, जो R के भीतर है।

R का क्षेत्रफल = (1/2)∮_C(x dy − y dx)।

यह क्यों काम करता है: M = −y/2 और N = x/2 के साथ ∂N/∂x − ∂M/∂y = 1/2 + 1/2 = 1, अतः ग्रीन प्रमेय ∬1 dx dy को रेखा समाकल में बदल देता है; ∮x dy और −∮y dx भी अलग-अलग क्षेत्रफल देते हैं।

उदाहरण 1: ∮_C[(xy + y²) dx + x² dy] का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C, y = x और y = x² के बीच के क्षेत्र को घेरता है।

∂N/∂x − ∂M/∂y = 2x − (x + 2y) = x − 2y, अतः समाकल = ∫01∫x2x(x − 2y) dy dx = ∫01(x4 − x3) dx = −1/20।

उदाहरण 2: ग्रीन प्रमेय से दीर्घवृत्त x = a cos t, y = b sin t का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

क्षेत्रफल = (1/2)∮(x dy − y dx) = (1/2)∫₀^2π(ab cos²t + ab sin²t) dt = πab।

बहुसंबद्ध क्षेत्र (multiply connected regions): यदि R में छिद्र हों, तो ग्रीन प्रमेय तब लागू है जब पूरी परिसीमा पर R को बाईं ओर रखकर चला जाए (बाहरी वक्र वामावर्त, भीतरी वक्र दक्षिणावर्त)।

मानक स्थिति: F = (−yi + xj)/(x² + y²) के लिए मूलबिंदु से दूर ∂N/∂x = ∂M/∂y, फिर भी मूलबिंदु को घेरने वाले प्रत्येक वामावर्त सरल बंद वक्र पर ∮F·dr = 2π; curl F = 0 होने से F छिद्रित समतल में संरक्षी नहीं हो जाता, क्योंकि वह सरलतः संबद्ध नहीं है।

5. फ्लक्स और अपसरण प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी बंद पृष्ठ, जैसे घन के छह फलक या बेलन का वक्र पृष्ठ और दो सिरे, से बहिर्मुखी फ्लक्स के लिए प्रत्येक फलक पर अपने अभिलंब सहित एक अलग पृष्ठ समाकल चाहिए।

अपसरण प्रमेय (divergence theorem) इन सभी को एक ही अदिश div F के एक आयतन समाकल से बदल देता है, जो प्रायः कहीं सरल फलन होता है।

शब्दों में: V एक परिबद्ध ठोस है, और उसकी परिसीमा S एक बंद पृष्ठ है: यह V को पूरी तरह घेरती है, बिना किसी छिद्र या खुले किनारे के।

खंडशः निष्कोण का अर्थ है कि S परिमित संख्या के निष्कोण टुकड़ों (फलक, वक्र पार्श्व) से बना है; अभिविन्यसनीय (orientable) का अर्थ है कि S का एक भीतरी और एक बाहरी पक्ष है, और n प्रत्येक बिंदु पर V से बाहर की ओर इंगित करने वाला एकक अभिलंब है।

div F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z किसी बिंदु पर प्रति एकक आयतन शुद्ध बहिर्प्रवाह मापता है: स्रोत (source) पर धनात्मक, अभिगम (sink) पर ऋणात्मक।

V को समाविष्ट करने वाले क्षेत्र पर F के प्रथम आंशिक अवकलज संतत होने चाहिए, अतः V के भीतर या S पर F का कोई विचित्र बिंदु नहीं हो सकता।

अतः प्रमेय कहता है: आवरण S से कुल बहिर्प्रवाह = V के भीतर के स्रोतों की कुल सामर्थ्य।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एकक घन 0 ≤ x, y, z ≤ 1 पर F = x² i + y² j + z² k के लिए प्रमेय सत्यापित कीजिए।

आयतन पक्ष: div F = 2x + 2y + 2z; घन पर ∭x dV = 1/2, और इसी प्रकार y तथा z के लिए, अतः ∭div F dV = 2(1/2 + 1/2 + 1/2) = 3।

पृष्ठ पक्ष, एक बार में फलकों का एक युग्म: x = 1 पर बहिर्मुखी अभिलंब i है, F·n = x² = 1 और फलक का क्षेत्रफल 1 है, अतः फ्लक्स 1 है।

x = 0 पर बहिर्मुखी अभिलंब −i है, अतः F·n = −x² = 0 और फ्लक्स 0 है; ध्यान दें कि इस फलक पर बहिर्मुखी अभिलंब ऋणात्मक x-दिशा में इंगित करता है।

सममिति से फलक y = 1 और z = 1 प्रत्येक 1 देते हैं, और फलक y = 0 तथा z = 0 शून्य देते हैं, अतः कुल बहिर्मुखी फ्लक्स 3 है।

दोनों पक्ष 3 के बराबर हैं, जैसा प्रमेय कहता है।

अ-उदाहरण (non-example): ऊपरी अर्धगोला x² + y² + z² = 1, z ≥ 0, बंद पृष्ठ नहीं है, अतः प्रमेय उस पर सीधे नहीं लगाया जा सकता।

अचर क्षेत्र F = k के लिए div F = 0 है, फिर भी अर्धगोले से ऊर्ध्वमुखी फ्लक्स π है (उसकी छाया, एकक चकती, का क्षेत्रफल); विफल होने वाला प्रतिबंध यह है कि S को किसी ठोस को घेरना चाहिए।

इसे आधार चकती z = 0 से बंद करें, जहाँ बहिर्मुखी अभिलंब −k है और फ्लक्स −π है: अब कुल π − π = 0 है, जो वास्तव में ∭0 dV के बराबर है।

आगे बढ़ते हुए: (1) दो पृष्ठों z = z₁(x, y) और z = z₂(x, y) के बीच स्थित ठोस पर एक घटक F₃k के लिए सिद्ध करें: z में ∂F₃/∂z का समाकलन ऊपरी मान घटा निचला मान देता है, जो ठीक ऊपर और नीचे से फ्लक्स है (नीचे का व्युत्पत्ति उप-खंड)।

(2) यही F₁i और F₂j के लिए करें और तीनों परिणाम जोड़ें।

(3) व्यापक ठोस को ऐसे टुकड़ों में काटा जाता है; प्रत्येक भीतरी कटान पर दोनों बहिर्मुखी अभिलंब विपरीत हैं, अतः वे फ्लक्स निरस्त हो जाते हैं और केवल बाहरी पृष्ठ S बचता है।

(4) अचर सदिश a के साथ φa पर प्रमेय लगाने से ∭∇φ dV = ∬φn dS मिलता है, और r पर लगाने से आयतन = (1/3)∬r·n dS (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 13)।

(5) F = φ∇ψ पर लगाने से ग्रीन सर्वसमिकाएँ (नीचे का उप-खंड) मिलती हैं, और इनसे लाप्लास समीकरण के हल की अद्वितीयता मिलती है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15)।

कहाँ प्रयोग होता है: 'गाउस प्रमेय सत्यापित कीजिए' वाले प्रश्न, खुले पृष्ठों को बंद करके उनसे फ्लक्स, स्थिरवैद्युतिकी का गाउस नियम, तथा तरल गतिकी में सांतत्य समीकरण (अध्याय 14)।

6. गाउस अपसरण प्रमेय (Gauss Divergence Theorem)

कथन: मान लें V एक परिबद्ध क्षेत्र है जिसकी परिसीमा S बहिर्मुखी एकक अभिलंब n वाला बंद, खंडशः निष्कोण, अभिविन्यसनीय पृष्ठ है, और V को समाविष्ट करने वाले क्षेत्र में F के प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं; तब ∭_V ∇·F dV = ∬_S F·n dS।

भाव: बंद पृष्ठ से कुल बहिर्प्रवाह भीतर के स्रोतों की कुल सामर्थ्य के बराबर है, क्योंकि div F स्रोत घनत्व है; पृष्ठ बंद होना चाहिए, अतः अर्धगोले जैसे खुले पृष्ठ के लिए पहले समतल आधार जोड़ना पड़ता है (ऊपर का चित्र देखें)।

निष्कोणता का प्रतिबंध आवश्यक है: F = r/r³ के लिए r ≠ 0 पर div F = 0 है, फिर भी मूल बिंदु के परितः गोले से उसका फ्लक्स 4π है, क्योंकि F, V के भीतर मूल बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।

उदाहरण 3: F = xi + yj + zk और गोले x² + y² + z² = a² के लिए ∬F·n dS = ∭3 dV = 4πa³।

उदाहरण 4: घन 0 ≤ x, y, z ≤ 1 पर F = 4xz i − y² j + yz k के लिए ∇·F = 4z − 2y + y = 4z − y, अतः बहिर्मुखी फ्लक्स = ∭(4z − y) dV = 2 − 1/2 = 3/2।

उपप्रमेय: ∭∇φ dV = ∬φn dS तथा ∭∇ × F dV = ∬n × F dS।

उदाहरण 5: अपसरण प्रमेय से बंद बेलन x² + y² ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3 से F = 4xi − 2y²j + z²k का बहिर्मुखी फ्लक्स ज्ञात कीजिए।

∇·F = 4 − 4y + 2z; आयतन 12π है, सममिति से ∭y dV = 0 और ∭z dV = 4π∫₀³ z dz = 18π।

फ्लक्स = 4(12π) − 0 + 2(18π) = 84π।

गाउस नियम: यदि मूलबिंदु बंद पृष्ठ S के भीतर हो तो ∬_S r·n/r³ dS = 4π और बाहर हो तो 0, क्योंकि r ≠ 0 के लिए ∇·(r/r³) = 0 (उपपत्ति मानक उपपत्तियों में)।

सत्यापन प्रश्न: ∭∇·F dV तथा अलग से S के प्रत्येक फलक (समतल सिरों और आधारों सहित) से फ्लक्स ज्ञात करें, और दिखाएँ कि योग बराबर हैं।

7. स्टोक्स प्रमेय और अभिविन्यास को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समष्टि के किसी वक्र, जैसे समतल द्वारा गोले से काटा गया वृत्त, के परितः F का परिसंचरण प्राचलित करना कठिन है, और ग्रीन प्रमेय केवल xy-समतल के समतल वक्रों पर लागू होता है।

स्टोक्स प्रमेय ऐसे परिसंचरण को वक्र पर तने किसी भी पृष्ठ से curl F के फ्लक्स में बदल देता है, और हम सबसे सरल ऐसा पृष्ठ चुन सकते हैं, प्रायः एक समतल चकती।

शब्दों में: S एक खुला पृष्ठ है: इसका एक किनारा है, जैसे कटोरे या चकती का, और वह किनारा एक अकेला सरल बंद वक्र C है।

S अभिविन्यसनीय (दो-पक्षीय) होना चाहिए, ताकि पूरे S पर एकक अभिलंब n संतत रूप से चुना जा सके; मोबियस पट्टी (Möbius strip) स्वीकार्य नहीं है।

C की दिशा और n का चयन दक्षिण-हस्त नियम (right-hand rule) से जुड़े हैं: दाहिने हाथ की उँगलियों को C पर चलने की दिशा में मोड़ें तो अँगूठा n की दिशा में होता है; समतुल्य रूप से, सिर n की दिशा में रखकर C के अनुदिश चलने पर पृष्ठ आपके बाईं ओर रहता है।

(curl F)·n अक्ष n के परितः प्रति एकक क्षेत्रफल F का परिसंचरण है, अतः प्रमेय कहता है: किनारे के परितः परिसंचरण = ढक्कन से होकर F का कुल घूर्णन।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: F = −y i + x j + z k के लिए प्रमेय सत्यापित कीजिए, जहाँ C एकक वृत्त x² + y² = 1, z = 0 है, जो ऊपर से देखने पर वामावर्त लिया गया है।

रेखा समाकल: C पर r(t) = (cos t, sin t, 0), r′ = (−sin t, cos t, 0) और F = (−sin t, cos t, 0), अतः F·r′ = 1 और ∮F·dr = 2π।

कर्ल: curl F = (∂z/∂y − ∂x/∂z, ∂(−y)/∂z − ∂z/∂x, ∂x/∂x − ∂(−y)/∂y) = (0, 0, 2)।

अभिविन्यास: ऊपर से देखने पर वामावर्त होने का अर्थ है, दक्षिण-हस्त नियम से, कि n ऊपर की ओर इंगित करे।

पृष्ठ 1, समतल चकती z = 0: n = k और (curl F)·n = 2, अतः फ्लक्स 2 × (क्षेत्रफल π) = 2π।

पृष्ठ 2, ऊपरी अर्धगोला: n = r (बहिर्मुखी, अतः ऊर्ध्वमुखी), (curl F)·n = 2z = 2 cos θ और dS = sin θ dθ dφ, तथा 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π पर ∬2 cos θ sin θ dθ dφ = 2π।

तीनों संख्याएँ बराबर हैं; ध्यान दें कि समान किनारे वाला प्रत्येक ढक्कन curl F का समान फ्लक्स देता है, अतः चकती सरल विकल्प थी।

अ-उदाहरण (non-example): सिरों के बिना खुला बेलन x² + y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1, की परिसीमा दो वृत्तों से बनी है, एक सरल बंद वक्र से नहीं।

F = −y i + x j के लिए curl F = 2k वक्र पार्श्व के समांतर है, अतः पार्श्व से इसका फ्लक्स 0 है, फिर भी केवल ऊपरी वृत्त के परितः परिसंचरण 2π है; केवल एक परिसीमा वक्र लेने पर प्रमेय विफल होता है।

दोनों वृत्तों को गिनने पर, जो बहिर्मुखी अभिलंब के साथ दक्षिण-हस्त नियम से अभिविन्यस्त हैं (ऊपर से देखने पर ऊपरी वृत्त दक्षिणावर्त और निचला वामावर्त), परिसंचरण −2π और 2π हैं, कुल 0, और प्रमेय फिर से सत्य है।

आगे बढ़ते हुए: (1) ग्रीन प्रमेय, n = k वाले समतल क्षेत्र के लिए स्टोक्स प्रमेय है (नीचे का व्युत्पत्ति उप-खंड)।

(2) वक्र S को छोटे, लगभग समतल खंडों में काटें; प्रत्येक खंड पर उसके किनारे के परितः परिसंचरण, खंड के समतल में ग्रीन प्रमेय से, लगभग (curl F)·n गुणा उसका क्षेत्रफल है।

(3) सभी खंडों पर जोड़ने से प्रत्येक भीतरी किनारा दो बार विपरीत दिशाओं में चला जाता है और निरस्त हो जाता है, बाहरी किनारे C के परितः परिसंचरण बचता है; सीमा में योग ∬(curl F)·n dS बन जाता है।

(4) पृष्ठ z = f(x, y) के लिए इसे यथार्थ बनाया जा सकता है: curl F का फ्लक्स प्रक्षेप R पर एक द्वि-समाकल में बदल जाता है, और R पर ग्रीन प्रमेय उपपत्ति पूरी करता है।

(5) परिणाम: सरलतः संबद्ध क्षेत्र में शून्य कर्ल से विभव मिलता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11), और φa पर प्रमेय लगाने से ∮φ dr = ∬n × ∇φ dS मिलता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 14)।

कहाँ प्रयोग होता है: समष्टि वक्रों के परितः रेखा समाकल, ढक्कनों से कर्ल का फ्लक्स (ढक्कन को चकती से बदलें), संरक्षी क्षेत्रों के परीक्षण, तथा तरल गतिकी में परिसंचरण और भ्रमिलता (vorticity) (अध्याय 14)।

8. स्टोक्स प्रमेय (Stokes' Theorem)

कथन: मान लें S एक खंडशः निष्कोण अभिविन्यसनीय खुला पृष्ठ है जो खंडशः निष्कोण सरल बंद वक्र C से परिबद्ध है, C को अभिलंब n की ओर से देखने पर वामावर्त चला जाता है (दाएँ हाथ का नियम), और S को समाविष्ट करने वाले क्षेत्र में F के प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं; तब ∬_S(∇ × F)·n dS = ∮_C F·dr।

भाव: किनारे के परितः परिसंचरण उस पर तने किसी भी ढक्कन से curl F के कुल फ्लक्स के बराबर है; ग्रीन प्रमेय की भाँति S के सूक्ष्म खंडों के परितः परिसंचरण साझा भुजाओं पर निरस्त हो जाते हैं, और दाएँ हाथ का नियम C की दिशा को n के चयन से जोड़ता है।

ग्रीन प्रमेय, n = k वाले समतल क्षेत्र के लिए स्टोक्स प्रमेय की विशेष स्थिति है।

उदाहरण 6: ऊपरी अर्धगोले x² + y² + z² = 1, z ≥ 0 पर F = (2x − y)i − yz²j − y²zk के लिए स्टोक्स प्रमेय सत्यापित कीजिए।

∇ × F = k, अतः ∬(∇ × F)·n dS = ∬k·n dS = प्रक्षेप (एकक चकती) का क्षेत्रफल = π।

C पर (x = cos t, y = sin t, z = 0), ∮F·dr = ∫₀^2π(2 cos t − sin t)(−sin t) dt = ∫₀^2π sin²t dt = π, जिससे प्रमेय सत्यापित होता है।

उदाहरण 7: ∮_C(y dx + z dy + x dz) का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C वृत्त x² + y² + z² = a², x + y + z = 0 है, जिसे n = (i + j + k)/√3 की ओर से देखने पर वामावर्त चला जाता है।

F = (y, z, x) के लिए ∇ × F = (−1, −1, −1); S को समतल से कटी त्रिज्या a की चकती लें (समतल केंद्र से जाता है)।

स्टोक्स प्रमेय से समाकल ∬(∇ × F)·n dS = (−3/√3)(πa²) = −√3πa² है।

पृष्ठ का चयन: समान परिसीमा और अभिविन्यास वाला कोई भी पृष्ठ ∬(∇ × F)·n dS का समान मान देता है, अतः टोपी को समतल चकती से, या पूरे समाकल को परिसीमा पर रेखा समाकल से बदला जा सकता है।

वर्णन से अभिविन्यास: (वक्र के केंद्र से त्रिज्य सदिश) × (गति की प्रारंभिक दिशा) उस n की दिशा में होता है जो C की दी गई दिशा के संगत है।

9. ग्रीन सर्वसमिकाएँ (Green's Identities)

मान लें φ, ψ के द्वितीय आंशिक अवकलज गाउस प्रमेय की भाँति बंद पृष्ठ S से परिबद्ध क्षेत्र V में संतत हैं, और ∂ψ/∂n = ∇ψ·n लिखें।

प्रथम सर्वसमिका: ∭_V(φ∇²ψ + ∇φ·∇ψ) dV = ∬_S φ ∂ψ/∂n dS।

भाव: ग्रीन की प्रथम सर्वसमिका तीन विमाओं में खंडशः समाकलन है: ∇ को एक गुणनखंड से दूसरे पर एक सीमा पद की कीमत पर ले जाया जाता है, ठीक वैसे ही जैसे ∫_a^b φψ″ dx = [φψ′]_a^b − ∫_a^b φ′ψ′ dx।

द्वितीय (सममित) सर्वसमिका: ∭_V(φ∇²ψ − ψ∇²φ) dV = ∬_S(φ ∂ψ/∂n − ψ ∂φ/∂n) dS।

उपपत्ति: ∇·(φ∇ψ) = φ∇²ψ + ∇φ·∇ψ का प्रयोग कर F = φ∇ψ पर अपसरण प्रमेय लगाएँ; φ और ψ को परस्पर बदलकर वही सर्वसमिका घटाने पर द्वितीय मिलती है।

अनुप्रयोग: φ = ψ प्रसंवादी लेने पर ∭|∇ψ|² dV = ∬ψ ∂ψ/∂n dS; अतः S पर शून्य होने वाला प्रसंवादी फलन पूरे V में शून्य है, जिससे डिरिक्ले समस्या के हल की अद्वितीयता सिद्ध होती है।

10. व्युत्पत्ति: एक घटक के लिए अपसरण प्रमेय

V = {(x, y, z): (x, y) ∈ R, z₁(x, y) ≤ z ≤ z₂(x, y)} और घटक F = F₃k लें; व्यापक स्थिति ऐसे तीन भागों को जोड़ती है।

पहले z में समाकलन करने पर, कलन के मूल प्रमेय से ∭_V ∂F₃/∂z dV = ∬_R[F₃(x, y, z₂) − F₃(x, y, z₁)] dx dy।

ऊपरी पृष्ठ पर k·n dS = dx dy, निचले पर k·n dS = −dx dy (बहिर्मुखी अभिलंब नीचे की ओर), और किसी भी ऊर्ध्वाधर पार्श्व पर k·n = 0।

अतः दायाँ पक्ष ठीक ∬_S F₃k·n dS है, जो F₃k के लिए अपसरण प्रमेय है; समतल में ग्रीन प्रमेय इसी प्रकार सिद्ध होता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)।

11. व्युत्पत्ति: पृष्ठ अवयव तथा स्टोक्स की स्थिति के रूप में ग्रीन

प्राचलिक पृष्ठ: भुजाओं r_u du और r_v dv वाला छोटा खंड लगभग समांतर चतुर्भुज है, अतः n dS = (r_u × r_v) du dv और dS = |r_u × r_v| du dv।

z = f(x, y) के लिए r = (x, y, f) से r_x × r_y = (1, 0, f_x) × (0, 1, f_y) = (−f_x, −f_y, 1), ऊपर की ओर n dS; इसका k-घटक दिखाता है कि xy-समतल पर dS का प्रक्षेप |n·k| dS = dx dy है।

स्टोक्स से ग्रीन: S को n = k वाला समतल क्षेत्र R और F = Mi + Nj लें; तब (∇ × F)·k = ∂N/∂x − ∂M/∂y और F·dr = M dx + N dy, और C की वामावर्त दिशा वही है जो k के परितः दाएँ हाथ का नियम देता है।

12. विधि का चयन

यदि किसी बंद समतल वक्र के परितः रेखा समाकल पूछा जाए → ग्रीन प्रमेय, यह जाँचने के बाद कि M, N भीतर निष्कोण हैं; यदि भीतर कोई विचित्र बिंदु हो, तो उसे छोटे वृत्त से काटकर अलग करें।

यदि खुले पथ के अनुदिश रेखा समाकल पूछा जाए → curl F निकालें; शून्य हो तो विभव लें (अंत का मान घटा आरंभ का मान), अन्यथा प्राचलित करें, या पथ को एक सरल खंड से बंद करके ग्रीन या स्टोक्स लगाएँ और खंड का योगदान घटाएँ।

यदि बंद पृष्ठ से फ्लक्स पूछा जाए → अपसरण प्रमेय; खुले पृष्ठ से → उसे बंद करें (जैसे अर्धगोला अपनी आधार चकती के साथ), अपसरण प्रमेय लगाएँ और जोड़े गए भाग का फ्लक्स घटाएँ, या किसी निर्देशांक समतल पर प्रक्षेप करें।

यदि किसी समष्टि वक्र (समतल द्वारा गोले से काटा गया वृत्त) के परितः रेखा समाकल या किसी ढक्कन से कर्ल का फ्लक्स पूछा जाए → स्टोक्स प्रमेय, वक्र से परिबद्ध समतल चकती को पृष्ठ लेकर।

यदि क्षेत्र r/r³ या भीतर किसी बिंदु पर विचित्र कोई अन्य क्षेत्र हो → उस बिंदु के परितः छोटा गोला हटाएँ और गाउस नियम लगाएँ।

13. सामान्य गलतियाँ

लुप्त भाग को जोड़े और घटाए बिना खुले पृष्ठ पर अपसरण प्रमेय लगाना।

क्षेत्र के भीतर क्षेत्र की विचित्रता की उपेक्षा करना, जैसे (−yi + xj)/(x² + y²) या r/r³ के साथ।

अभिविन्यास गलत लेना: दक्षिणावर्त वक्र, वलयाकार क्षेत्र की भीतरी सीमा, या C की ऐसी दिशा जो दाएँ हाथ के नियम से चुने गए n से मेल न खाए, प्रत्येक चिह्न बदल देता है।

वक्र पृष्ठ पर dx dy/|n·k| के स्थान पर dS = dx dy लेना, या dS के साथ ऐसा अभिलंब लेना जो एकक सदिश न हो।

सत्यापन प्रश्न में किसी समतल फलक (बेलन के सिरे, अर्धगोले या शंकु का आधार) को छोड़ देना।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: विश्लेषिक f = u + iv के लिए ∮f dz = ∮(u dx − v dy) + i∮(v dx + u dy), और कॉशी-रीमान समीकरणों के साथ ग्रीन प्रमेय दोनों समाकलों को शून्य बना देता है, यही कॉशी प्रमेय है (अध्याय 10); ग्रीन, स्टोक्स और गाउस दो और तीन विमाओं में एक ही विचार हैं।

संबंध: तरल के किसी स्थिर आयतन पर अपसरण प्रमेय लगाने से सांतत्य समीकरण ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0 मिलता है (अध्याय 14), और ग्रीन सर्वसमिकाएँ लाप्लास समीकरण के हल की अद्वितीयता सिद्ध करती हैं (अध्याय 12; मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15); बल के रेखा समाकल अध्याय 6 का कार्य हैं।

15. हल किए गए UPSC प्रश्न: रेखा समाकल और ग्रीन प्रमेय

उदाहरण 8 (UPSC 2020, 15 अंक): दिए गए सदिश फलन A, जहाँ A = (3x² + 6y)î − 14yzĵ + 20xz²k̂, के लिए ∫_C A · dr का मान निकालिए, जहाँ C बिंदु (0, 0, 0) से (1, 1, 1) तक निम्न पथों से निर्देशित है :
(i) x = t, y = t², z = t³
(ii) सरल रेखा (0, 0, 0) से (1, 0, 0) तक जोड़ने पर, फिर (1, 1, 0) तक तथा फिर (1, 1, 1) तक
(iii) सरल रेखा (0, 0, 0) से (1, 1, 1) तक जोड़ने पर
क्या सभी स्थितियों में परिणाम समान हैं? कारण की व्याख्या कीजिए।

(i) x = t, y = t², z = t³ लेकर: A·dr = [(3t² + 6t²) − 14t⁵(2t) + 20t⁷(3t²)] dt = (9t² − 28t⁶ + 60t⁹) dt, और ∫₀¹ = 3 − 4 + 6 = 5।

(ii) (0, 0, 0) → (1, 0, 0) पर: y = z = 0 और ∫₀¹3x² dx = 1; (1, 0, 0) → (1, 1, 0) पर: z = 0, अतः A·dr = −14yz dy = 0; (1, 1, 0) → (1, 1, 1) पर: A·dr = 20z² dz, जिससे 20/3; योग 23/3।

(iii) x = y = z = t लेकर: A·dr = (3t² + 6t − 14t² + 20t³) dt, और ∫₀¹ = 1 + 3 − 14/3 + 5 = 13/3।

कारण: ∇ × A = 14y i − 20z² j − 6k ≠ 0, अतः A प्रवणता क्षेत्र नहीं है और उसका रेखा समाकल पथ पर निर्भर करता है।

उत्तर: 5, 23/3 तथा 13/3; परिणाम भिन्न हैं क्योंकि A संरक्षी नहीं है।

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 12 अंक): निम्नलिखित का मान निकालिए ∫_C e^−x(sin y dx + cos y dy) जहाँ C एक आयत है, जिसके (0, 0), (π, 0), (π, π/2), (0, π/2) शीर्ष हैं।

M = e^−x sin y, N = e^−x cos y; दिए गए क्रम में शीर्ष वामावर्त चलते हैं।

∂N/∂x − ∂M/∂y = −e^−x cos y − e^−x cos y = −2e^−x cos y।

ग्रीन प्रमेय से समाकल = −2∫₀^πe^−x dx ∫₀^π/2cos y dy = −2(1 − e^−π)(1)।

उत्तर: 2(e^−π − 1) ≈ −1.914।

उदाहरण 10 (UPSC 2018, 13 अंक): मान लीजिये कि F = xy²i + (y + x)j है। ग्रीन के प्रमेय का इस्तेमाल करते हुये प्रथम चतुर्थांश में वक्रों y = x² और y = x द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर (∇ × F)·k का समाकलन कीजिये।

M = xy², N = y + x लेकर: (∇ × F)·k = ∂N/∂x − ∂M/∂y = 1 − 2xy, और ग्रीन प्रमेय ∬(∇ × F)·k dA को ∮(xy² dx + (x + y) dy) में बदलता है।

x² ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1 पर द्विसमाकल: ∫₀¹[(x − x²) − x(x² − x⁴)] dx = 1/2 − 1/3 − 1/4 + 1/6 = 1/12।

रेखा जाँच: y = x² पर (x: 0 → 1), ∫[x⁵ + (x + x²)2x] dx = 4/3; y = x पर (x: 1 → 0), ∫(x³ + 2x) dx = −5/4; योग 1/12।

उत्तर: 1/12।

उदाहरण 11 (UPSC 2019, 15 अंक): वक्र C के चारों तरफ F का परिसंचरण ज्ञात कीजिए, जहाँ F = (2x + y²)i + (3y − 4x)j और C, बिंदु (0, 0) से बिंदु (1, 1) तक वक्र y = x² के द्वारा तथा बिंदु (1, 1) से बिंदु (0, 0) तक वक्र y² = x के द्वारा परिभाषित है।

C, y = x² के अनुदिश जाता है और y² = x के अनुदिश लौटता है, अतः क्षेत्र x² ≤ y ≤ √x बाईं ओर है: C वामावर्त है।

∂N/∂x − ∂M/∂y = −4 − 2y, अतः परिसंचरण = ∫₀¹[−4(√x − x²) − (x − x⁴)] dx = −4/3 − 3/10 = −49/30।

सीधी जाँच: y = x² पर F·dr = (2x + x⁴ + 6x³ − 8x²) dx, समाकल 1/30; x = y² पर (y: 1 → 0), F·dr = (6y³ − 4y² + 3y) dy, समाकल −5/3; योग −49/30।

उत्तर: −49/30।

उदाहरण 12 (UPSC 2021, 15 अंक): ∫_C F · dr का मान निकालिए, जहाँ C, xy-समतल में एक स्वैच्छिक संवृत वक्र है तथा F = (−yî + xĵ)/(x² + y²) है।

M = −y/(x² + y²), N = x/(x² + y²); (x, y) ≠ (0, 0) के लिए ∂N/∂x = (y² − x²)/(x² + y²)² = ∂M/∂y।

मूलबिंदु C के बाहर: F, C और उसके अंतःभाग पर निष्कोण है, अतः ग्रीन प्रमेय से ∮F·dr = ∬0 dA = 0।

मूलबिंदु C के भीतर (C वामावर्त): C के भीतर एक छोटा वृत्त C_ε: x = ε cos t, y = ε sin t लें; उनके बीच के वलय पर ग्रीन प्रमेय से ∮_C = ∮_Cε, दोनों वामावर्त।

C_ε पर F·dr = (ε² sin²t + ε² cos²t)/ε² dt = dt, अतः समाकल 2π है।

यदि C मूलबिंदु से होकर जाता है, तो वहाँ F अपरिभाषित है और समाकल साधारण समाकल के रूप में विद्यमान नहीं है।

उत्तर: मूलबिंदु C के बाहर हो तो 0, भीतर हो तो 2π (दक्षिणावर्त C के लिए −2π); व्यापक रूप में 2π गुणा C द्वारा मूलबिंदु के चारों ओर लगाए गए चक्करों की संख्या।

उदाहरण 13 (UPSC 2022, 15 अंक): समतल में ग्रीन के प्रमेय को ∮_C (3x² − 8y²) dx + (4y − 6xy) dy के लिए सत्यापित कीजिए, जहाँ C, x = 0, y = 0, x + y = 1 द्वारा परिभाषित क्षेत्र का सीमा वक्र है।

द्विसमाकल: ∂N/∂x − ∂M/∂y = −6y + 16y = 10y, और ∬10y dA = 10∫₀¹∫₀^1−xy dy dx = 5∫₀¹(1 − x)² dx = 5/3।

OA (y = 0, x: 0 → 1): ∫3x² dx = 1।

AB (x = 1 − t, y = t, t: 0 → 1): M dx + N dy = (−3 + 4t + 11t²) dt, समाकल −3 + 2 + 11/3 = 8/3।

BO (x = 0, y: 1 → 0): ∫4y dy = −2।

उत्तर: रेखा समाकल 1 + 8/3 − 2 = 5/3 है, जो द्विसमाकल के बराबर है; इससे ग्रीन प्रमेय सत्यापित होता है।

उदाहरण 14 (UPSC 2025, 15 अंक): ∮_C [(xy + y²) dx + x² dy], जहाँ C, वक्रों y = x और y = x² द्वारा परिबद्ध क्षेत्र की परिसीमा है, के लिए समतल में ग्रीन का प्रमेय सत्यापित कीजिए।

द्विसमाकल (उदाहरण 1): ∬(x − 2y) dA = −1/20।

y = x² पर (0, 0) से (1, 1) तक: M dx + N dy = (x³ + x⁴) dx + x²(2x dx), समाकल ∫₀¹(3x³ + x⁴) dx = 19/20।

y = x पर (1, 1) से (0, 0) तक: M dx + N dy = 3x² dx, समाकल −1।

उत्तर: रेखा समाकल 19/20 − 1 = −1/20 है, जो द्विसमाकल के बराबर है।

16. हल किए गए UPSC प्रश्न: गाउस अपसरण प्रमेय

उदाहरण 15 (UPSC 2017, 17 अंक): (i) समाकलन ∬_S F̄ · n̂ ds का अभिसरण प्रमेय से हल कीजिए :
जहाँ पर F̄ = 3xy² î + (yx² − y³)ĵ + 3zx² k̂ तथा S बेलन y² + z² ≤ 4, −3 ≤ x ≤ 3 का पृष्ठ है। (9 अंक)
(ii) ग्रीन्स प्रमेय का प्रयोग कर ∫_C F(r̄) · dr̄ का वामावर्ती दिशा में मूल्यांकन कीजिए :
जहाँ पर F(r̄) = (x² + y²)î + (x² − y²)ĵ तथा dr̄ = dx î + dy ĵ और वक्र C, क्षेत्र R = {(x, y) | 1 ≤ y ≤ 2 − x²} की परिधि है। (8 अंक)

(i) ∇·F = 3y² + (x² − 3y²) + 3x² = 4x²; ठोस x-अक्ष के अनुदिश बेलन है जिसका अनुप्रस्थ काट y² + z² ≤ 4, क्षेत्रफल 4π है।

∬F·n dS = ∭4x² dV = 4π∫₋₃³4x² dx = 4π × 72 = 288π।

(ii) M = x² + y², N = x² − y²; R, y = 1 और y = 2 − x² के बीच है, जो x = ±1 पर मिलते हैं, तथा ∂N/∂x − ∂M/∂y = 2x − 2y।

2x पद x में विषम है और 0 देता है; शेष −2∫₋₁¹∫₁^2−x2y dy dx = −∫₋₁¹(3 − 4x² + x⁴) dx = −(6 − 8/3 + 2/5) = −56/15।

उत्तर: (i) 288π; (ii) −56/15।

उदाहरण 16 (UPSC 2019, 20 अंक): (i) गाउस के अपसरण प्रमेय का कथन लिखिए। इस प्रमेय को F = 4xi − 2y²j + z²k के लिए x² + y² = 4, z = 0 और z = 3 से घिरे हुए क्षेत्र में सत्यापित कीजिए। (15 अंक)
(ii) स्टोक्स प्रमेय के द्वारा ∮_C e^x dx + 2y dy − dz का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C, वक्र x² + y² = 4, z = 2 है। (5 अंक)

(i) कथन: उपखंड 3 के अनुसार। आयतन पक्ष (उदाहरण 5): ∭(4 − 4y + 2z) dV = 84π।

आधार z = 0: n = −k तथा F·n = −z² = 0, फ्लक्स 0; शीर्ष z = 3: n = k तथा F·n = 9, फ्लक्स 9 × 4π = 36π।

वक्र पृष्ठ x = 2 cos φ, y = 2 sin φ: n = (cos φ, sin φ, 0), dS = 2 dφ dz तथा F·n = 8 cos²φ − 8 sin³φ, अतः फ्लक्स ∫₀³∫₀^2π(16 cos²φ − 16 sin³φ) dφ dz = 3 × 16π = 48π।

कुल फ्लक्स 0 + 36π + 48π = 84π, जो आयतन समाकल के बराबर है।

(ii) F = (e^x, 2y, −1) के लिए ∇ × F = 0 (प्रत्येक घटक केवल अपने चर पर निर्भर है), अतः चकती x² + y² ≤ 4, z = 2 पर स्टोक्स प्रमेय से समाकल 0 है।

उत्तर: (i) दोनों पक्ष 84π; (ii) 0।

उदाहरण 17 (UPSC 2021, 20 अंक): प्रथम अष्टांशक में y² + z² = 9 तथा x = 2 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर F = 2x²yî − y²ĵ + 4xz²k̂ के लिए गाउस अपसरण प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

∇·F = 4xy − 2y + 8xz; क्षेत्र चतुर्थांश चकती y, z ≥ 0, y² + z² ≤ 9 पर 0 ≤ x ≤ 2 है, जिसके लिए ∬y dA = ∬z dA = 9।

आयतन समाकल: ∫₀²x dx = 2 से 4(2)(9) − 2(2)(9) + 8(2)(9) = 72 − 36 + 144 = 180।

फलक x = 0, y = 0, z = 0: F·n क्रमशः −2x²y, y² तथा −4xz² है, जो वहाँ शून्य हैं।

फलक x = 2: n = i, F·n = 8y, फ्लक्स ∬8y dy dz = 72।

वक्र फलक y = 3 cos θ, z = 3 sin θ (0 ≤ θ ≤ π/2): n = (0, cos θ, sin θ), dS = 3 dθ dx, F·n = −9 cos³θ + 36x sin³θ, फ्लक्स ∫₀²∫₀^π/2(−27 cos³θ + 108x sin³θ) dθ dx = −36 + 144 = 108।

उत्तर: कुल फ्लक्स 72 + 108 = 180 = ∭∇·F dV, जिससे प्रमेय सत्यापित होता है।

उदाहरण 18 (UPSC 2023, 20 अंक): समाकल ∬_S (3y²z² î + 4z²x² ĵ + z²y² k̂) · n̂ dS का मान ज्ञात कीजिए; जहाँ S समतल z = 0 के ऊपर पृष्ठ 4x² + 4y² + 4z² = 1 का ऊपरी भाग है और xy-समतल द्वारा परिबद्ध है। अतैव गॉस-अपसरण प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

S त्रिज्या R = 1/2 का ऊपरी अर्धगोला है: n = r/R तथा dS = R² sin θ dθ dφ।

F·n = (3xy²z² + 4x²yz² + y²z³)/R; पहले दो पद क्रमशः x और y में विषम हैं और 0 देते हैं।

∬y²z³/R dS = R⁶∫₀^2πsin²φ dφ ∫₀^π/2cos³θ sin³θ dθ = R⁶π/12 = π/768।

S को चकती z = 0 से बंद करें, जहाँ F = 0 (प्रत्येक घटक में z² है), अतः चकती से कोई फ्लक्स नहीं जुड़ता।

∇·F = 2y²z, तथा ∭2y²z dV = 2∫₀^Rr⁵ dr ∫₀^π/2cos θ sin³θ dθ ∫₀^2πsin²φ dφ = 2(R⁶/6)(1/4)π = π/768।

उत्तर: पृष्ठ समाकल π/768 है, जो आयतन समाकल के बराबर है; इससे प्रमेय सत्यापित होता है।

उदाहरण 19 (UPSC 2024, 15 अंक): गाऊस के अपसरण प्रमेय का उपयोग करते हुए बेलन x² + y² = 16 तथा समतलों z = 1 और z = 5 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर समाकल
∬_S (y² î + xz³ ĵ + (z − 1)² k̂) · n̂ dS
का मान निकालिए।

∇·F = 0 + 0 + 2(z − 1)।

∭2(z − 1) dV = (अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 16π) × ∫₁⁵2(z − 1) dz = 16π × 16।

उत्तर: 256π।

उदाहरण 20 (UPSC 2025, 15 अंक): समकोणिक समांतरषट्फलक 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c पर F = [(x² − yz) î + (y² − zx) ĵ + (z² − xy) k̂] के लिए गाउस अपसरण प्रमेय सत्यापित कीजिए।

∇·F = 2(x + y + z), अतः ∭∇·F dV = 2[(a²/2)bc + (b²/2)ca + (c²/2)ab] = abc(a + b + c)।

फलक x = a (n = i): ∬(a² − yz) dy dz = a²bc − b²c²/4; फलक x = 0 (n = −i): ∬yz dy dz = b²c²/4; दोनों मिलाकर a²bc।

इसी प्रकार फलक y = b, y = 0 से b²ca और फलक z = c, z = 0 से c²ab मिलता है।

उत्तर: दोनों पक्ष abc(a + b + c) हैं।

उदाहरण 21 (UPSC 2026, 15 अंक): यदि F = 4xz î − y² ĵ + yz k̂ है, तो ∬_S F · n̂ dS का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ S एक इकाई घन का पृष्ठ है जिसके दो विपरीत कोने क्रमशः (0, 0, 0) तथा (1, 1, 1) पर हैं। अतः अपसरण (डाइवर्जेंस) प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

x = 1: F·n = 4z, फ्लक्स 2; x = 0: F·n = −4xz = 0।

y = 1: F·n = −y² = −1, फ्लक्स −1; y = 0: F·n = y² = 0।

z = 1: F·n = yz = y, फ्लक्स 1/2; z = 0: F·n = −yz = 0।

उत्तर: ∬F·n dS = 2 − 1 + 1/2 = 3/2, जो ∭(4z − y) dV = 3/2 (उदाहरण 4) के बराबर है; इससे प्रमेय सत्यापित होता है।

17. हल किए गए UPSC प्रश्न: स्टोक्स प्रमेय

उदाहरण 22 (UPSC 2014, 20 अंक): स्टोक्स के प्रमेय के द्वारा मूल्यांकन कीजिए: ∫_Γ (y dx + z dy + x dz) जहाँ Γ वक्र है x² + y² + z² − 2ax − 2ay = 0, x + y = 2a, जो कि (2a, 0, 0) से शुरू होता है और फिर z-समतल के नीचे से होकर जाता है।

गोला (x − a)² + (y − a)² + z² = 2a² है; इसका केंद्र (a, a, 0) समतल x + y = 2a पर है, अतः Γ, (a, a, 0) के परितः त्रिज्या √2a का बृहत् वृत्त है।

F = (y, z, x) के लिए ∇ × F = −(i + j + k)।

प्रारंभ (2a, 0, 0) पर केंद्र से त्रिज्या (a, −a, 0) है और गति −k की दिशा में है (xy-समतल के नीचे), अतः n ∥ (1, −1, 0) × (0, 0, −1) = (1, 1, 0) तथा n = (i + j)/√2।

S को Γ से घिरी समतल चकती लेने पर: ∬(∇ × F)·n dS = (−2/√2)(π · 2a²) = −2√2πa²।

जाँच: r = (a + a cos t, a − a cos t, −√2a sin t), 0 ≤ t ≤ 2π, जो (2a, 0, 0) से समतल के नीचे जाता है: रेखा समाकल भी −2√2πa² है।

उत्तर: −2√2πa² (विपरीत दिशा में +2√2πa²)।

उदाहरण 23 (UPSC 2018, 13 अंक): स्टोक्स प्रमेय का इस्तेमाल करते हुये रेखा समाकल ∫_C −y³ dx + x³ dy + z³ dz का मान निकालिये। यहाँ सिलिन्डर x² + y² = 1 और समतल x + y + z = 1 का प्रतिच्छेद C है। C पर अभिविन्यास xy-समतल में वामावर्त गति के संगत है।

F = (−y³, x³, z³) के लिए ∇ × F = (0, 0, 3x² + 3y²)।

S को बेलन के भीतर समतल z = 1 − x − y का भाग लें, वामावर्त दिशा के संगत ऊर्ध्वमुखी: n dS = (1, 1, 1) dx dy।

∬(∇ × F)·n dS = ∬_x²+y²≤13(x² + y²) dx dy = 3∫₀^2π∫₀¹ρ³ dρ dφ = 3π/2।

जाँच: x = cos t, y = sin t लेकर ∮(−y³ dx + x³ dy) = ∫₀^2π(sin⁴t + cos⁴t) dt = 3π/2, तथा ∮z³ dz = 0।

उत्तर: 3π/2।

उदाहरण 24 (UPSC 2020, 20 अंक; repeated in 2024): स्टोक्स प्रमेय को सत्यापित कीजिए, जबकि सदिश क्षेत्र F = xyî + yzĵ + xzk̂ एक सतह S पर है जो कि एक बेलन z = 1 − x², 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 का हिस्सा है, जहाँ S उपरिमुखी अभिविन्यस्त है।

(स्टोक्स प्रमेय का कथन: उपखंड 4।) F = (xy, yz, zx) के लिए ∇ × F = (−y, −z, −x)।

z = 1 − x² पर ऊर्ध्वमुखी n dS = (2x, 0, 1) dx dy, अतः (∇ × F)·n dS = (−2xy − x) dx dy, तथा ∫₀¹∫₋₂²(−2xy − x) dy dx = ∫₀¹(−4x) dx = −2।

परिसीमा (ऊपर से देखने पर वामावर्त): C₁: y = −2, z = 1 − x², x: 0 → 1; C₂: x = 1, z = 0, y: −2 → 2; C₃: y = 2, z = 1 − x², x: 1 → 0; C₄: x = 0, z = 1, y: 2 → −2।

F·dr = xy dx + yz dy + zx dz, जहाँ C₁, C₃ पर dz = −2x dx: C₁ से ∫₀¹(−2x − 2x² + 2x⁴) dx = −19/15 और C₃ से ∫₁⁰(2x − 2x² + 2x⁴) dx = −11/15।

C₂ पर z = 0 तथा dx = dz = 0, अतः F·dr = 0; C₄ पर F·dr = y dy, जिसका 2 से −2 तक समाकल 0 है।

उत्तर: ∮F·dr = −19/15 − 11/15 = −2 = ∬(∇ × F)·n dS, जिससे स्टोक्स प्रमेय सत्यापित होता है।

उदाहरण 25 (UPSC 2020, 15 अंक): पृष्ठ समाकल ∬_S ∇ × F · n̂ dS का मान निकालिए, जहाँ F = yî + (x − 2xz)ĵ − xyk̂ तथा S गोले x² + y² + z² = a² की सतह है, जो xy-तल के ऊपर है।

स्टोक्स प्रमेय से समाकल x = a cos t, y = a sin t, z = 0 पर ∮F·dr के बराबर है, ऊपर से देखने पर वामावर्त (ऊपरी अर्धगोले पर बहिर्मुखी अभिलंब)।

इस वृत्त पर z = 0, अतः F·dr = y dx + x dy = d(xy), एक यथातथ अवकल, और ∮ = 0।

सीधी जाँच: ∇ × F = (x, y, −2z) तथा n = r/a, अतः ∬ = ∬(x² + y² − 2z²)/a dS = 2πa³∫₀^π/2(sin²θ − 2 cos²θ) sin θ dθ = 2πa³(2/3 − 2/3) = 0।

उत्तर: 0।

उदाहरण 26 (UPSC 2022, 20 अंक): स्टोक्स प्रमेय को F = x î + z² ĵ + y² k̂ के लिए प्रथम अष्टांशक में स्थित समतल पृष्ठ: x + y + z = 1 पर सत्यापित कीजिए।

∇ × F = (2y − 2z, 0, 0); x + y + z = 1 पर n = (1, 1, 1)/√3 तथा त्रिभुज T: x, y ≥ 0, x + y ≤ 1 पर dS = √3 dx dy।

∬(∇ × F)·n dS = ∬_T(2y − 2z) dx dy = ∬_T(2x + 4y − 2) dx dy = 2(1/6) + 4(1/6) − 2(1/2) = 0।

परिसीमा A(1, 0, 0) → B(0, 1, 0) → C(0, 0, 1) → A, जहाँ F·dr = x dx + z² dy + y² dz।

AB (z = 0): ∫₁⁰x dx = −1/2; BC (x = 0, y = 1 − t, z = t): ∫₀¹[−t² + (1 − t)²] dt = 0; CA (y = 0): ∫₀¹x dx = 1/2।

उत्तर: दोनों पक्ष 0 हैं, जिससे स्टोक्स प्रमेय सत्यापित होता है।

उदाहरण 27 (UPSC 2026, 10 अंक): दिया गया है कि F = (2x + 3y) î − 4z ĵ − 5x k̂ है तथा S सतह 2x + 4y + 4z = 5 है, जो x = 0, x = 2, y = 0 और y = 3 द्वारा परिबद्ध है। ∬_S (∇ × F) · n̂ dS का मान ज्ञात कीजिए।

F = (2x + 3y, −4z, −5x) के लिए: ∇ × F = (0 + 4)i + (0 + 5)j + (0 − 3)k = 4i + 5j − 3k।

2x + 4y + 4z = 5 पर ऊर्ध्वमुखी एकक अभिलंब n = (1, 2, 2)/3 है, अतः (∇ × F)·n = (4 + 10 − 6)/3 = 8/3।

प्रक्षेप 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 (क्षेत्रफल 6) पर dS = dx dy/|n·k| = (3/2) dx dy।

∬(∇ × F)·n dS = (8/3)(3/2)(6) = 24; समतल के इस टुकड़े के चारों किनारों पर रेखा समाकल भी 24 देता है।

उत्तर: ऊर्ध्वमुखी अभिलंब के साथ 24 (अधोमुखी अभिलंब के साथ −24)।

18. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): दिखाइए कि F = 3x² i + 2yz j + y² k संरक्षी है और किसी भी पथ के अनुदिश (0, 0, 0) से (1, 2, 3) तक F द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: curl F = 0 और F = ∇φ, जहाँ φ = x³ + y²z, अतः कार्य φ(1, 2, 3) − φ(0, 0, 0) = 13।

अभ्यास 2 (मूल): ग्रीन प्रमेय से ऐस्ट्रॉइड (astroid) x = cos³t, y = sin³t, 0 ≤ t ≤ 2π द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x dy − y dx = 3 sin²t cos²t dt, अतः क्षेत्रफल (3/2)∫₀^2π sin²t cos²t dt = 3π/8।

अभ्यास 3 (मूल): ∬_S (r·n/r³) dS ज्ञात कीजिए जब S (a) दीर्घवृत्तज (ellipsoid) x²/4 + y²/9 + z² = 1 हो; (b) गोला (x − 3)² + y² + z² = 1 हो।

उत्तर: गाउस नियम से, (a) 4π, क्योंकि मूलबिंदु भीतर है; (b) 0, क्योंकि मूलबिंदु केंद्र से 3 की दूरी पर, त्रिज्या 1 के गोले के बाहर है।

अभ्यास 4 (मानक): ग्रीन प्रमेय से ∮_C(−x²y dx + xy² dy) का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C चतुर्थांश चकती x² + y² ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 की वामावर्त ली गई परिसीमा है।

उत्तर: ∂N/∂x − ∂M/∂y = y² + x²; ध्रुवीय निर्देशांकों में ∫₀^π/2∫₀² ρ³ dρ dφ = 2π।

अभ्यास 5 (मानक): अपसरण प्रमेय से बंद बेलन x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2 (वक्र पार्श्व और दोनों सिरे) से F = x³ i + y³ j + z² k का बहिर्मुखी फ्लक्स ज्ञात कीजिए।

उत्तर: div F = 3ρ² + 2z, और ∫₀²∫₀^2π∫₀¹(3ρ² + 2z)ρ dρ dφ dz = 3π + 4π = 7π।

अभ्यास 6 (मानक): पृष्ठ को चकती z = 0 से बंद करके परवलयज (paraboloid) z = 4 − x² − y², z ≥ 0 से F = y i − x j + z k का ऊर्ध्वमुखी फ्लक्स ज्ञात कीजिए।

उत्तर: div F = 1, अतः बंद पृष्ठ आयतन ∫₀^2π∫₀²(4 − ρ²)ρ dρ dφ = 8π देता है; चकती पर F·(−k) = −z = 0, अतः परवलयज से फ्लक्स 8π है।

अभ्यास 7 (मानक): स्टोक्स प्रमेय से ∮_C(2y dx + 3z dy − x dz) का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C बेलन x² + y² = 4 और समतल x + z = 3 का प्रतिच्छेद है, जो ऊपर से देखने पर वामावर्त लिया गया है।

उत्तर: curl F = (−3, 1, −2); z = 3 − x पर ऊर्ध्वमुखी n dS = (1, 0, 1) dx dy, अतः क्षेत्रफल 4π की चकती पर (curl F)·n dS = −5 dx dy, जिससे −20π मिलता है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): परवलयज z = 1 − x² − y² के z ≥ 0 वाले भाग पर, अभिलंब ऊपर की ओर लेकर, F = z i + x j + y k के लिए स्टोक्स प्रमेय सत्यापित कीजिए।

उत्तर: curl F = (1, 1, 1) और n dS = (2x, 2y, 1) dx dy, अतः पृष्ठ पक्ष एकक चकती पर ∬(2x + 2y + 1) dx dy = π; वृत्त x = cos t, y = sin t, z = 0 पर F·dr = cos²t dt, जिसका 0 ≤ t ≤ 2π पर समाकल भी π है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): ∮_C[(x − y) dx + (x + y) dy]/(x² + y²) का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C वामावर्त लिया गया वर्ग |x| + |y| = 1 है, और समझाइए कि ग्रीन प्रमेय सीधे वर्ग पर क्यों नहीं लगाया जा सकता।

उत्तर: समाकल्य मूलबिंदु पर विचित्र है, जो C के भीतर है; इसे (x dx + y dy)/r² + (−y dx + x dy)/r² लिखें, जहाँ पहला भाग d(ln r) है और उसका समाकल 0 है, तथा दूसरा एक छोटा वृत्त काटकर अलग करने पर 2π देता है, अतः मान 2π है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): अपसरण प्रमेय से गोले (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 4 पर ∬_S(x² dy dz + y² dz dx + z² dx dy) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: div F = 2(x + y + z), और ∭x dV केंद्र के x-निर्देशांक गुणा आयतन के बराबर है, अतः समाकल 2(1 + 2 + 3)(32π/3) = 128π है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): मान लें V बंद परिसीमा S वाला एक परिबद्ध संबद्ध क्षेत्र है, और φ के V में संतत द्वितीय अवकलज तथा V ∪ S पर संतत प्रथम अवकलज हैं, जहाँ V में ∇²φ = 0 और S पर ∂φ/∂n = 0। सिद्ध कीजिए कि φ अचर है, और बताइए कि नॉयमान समस्या (Neumann problem) की अद्वितीयता के लिए इसका क्या अर्थ है।

उत्तर: ψ = φ लेकर ग्रीन की प्रथम सर्वसमिका से ∭|∇φ|² dV = ∬φ ∂φ/∂n dS = 0, अतः ∇φ = 0 और संबद्ध क्षेत्र V पर φ अचर है; अतः नॉयमान समस्या का हल केवल एक जोड़े गए अचर तक अद्वितीय है।

1. curl grad φ = 0

कथन: यदि किसी क्षेत्र में φ(x, y, z) के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत हैं, तो वहाँ ∇ × ∇φ = 0।

उपपत्ति: ∇φ = (φ_x, φ_y, φ_z), अतः ∇ × ∇φ का i-घटक ∂(φ_z)/∂y − ∂(φ_y)/∂z = φ_zy − φ_yz है।

द्वितीय आंशिक अवकलज संतत होने से श्वार्ज़ प्रमेय द्वारा φ_zy = φ_yz, अतः यह घटक 0 है।

इसी प्रकार j- और k-घटक φ_xz − φ_zx = 0 तथा φ_yx − φ_xy = 0 हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

2. div curl A = 0

कथन: यदि A = A₁i + A₂j + A₃k के घटकों के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत हैं, तो ∇·(∇ × A) = 0।

उपपत्ति: ∇ × A = (∂A₃/∂y − ∂A₂/∂z, ∂A₁/∂z − ∂A₃/∂x, ∂A₂/∂x − ∂A₁/∂y)।

इसका अपसरण (A_3yx − A_2zx) + (A_1zy − A_3xy) + (A_2xz − A_1yz) है, जहाँ A_3yx का अर्थ ∂²A₃/∂x∂y आदि है।

मिश्रित आंशिक अवकलजों की सांतत्यता से A_3yx = A_3xy, A_2zx = A_2xz, A_1zy = A_1yz, और छह पद युग्मों में निरस्त हो जाते हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

3. सदिश गुणनफल का कर्ल

कथन: अवकलनीय सदिश क्षेत्रों A, B के लिए: ∇ × (A × B) = A(∇·B) − B(∇·A) + (B·∇)A − (A·∇)B।

उपपत्ति: ∇ × F = Σ i × ∂F/∂x लिखें, जहाँ योग (x, i), (y, j), (z, k) पर है।

तब ∇ × (A × B) = Σ i × (∂A/∂x × B) + Σ i × (A × ∂B/∂x)।

a × (b × c) = (a·c)b − (a·b)c से: i × (∂A/∂x × B) = (i·B)∂A/∂x − (i·∂A/∂x)B = B₁∂A/∂x − (∂A₁/∂x)B।

तीनों अक्षों पर योग करने पर Σ i × (∂A/∂x × B) = (B·∇)A − B(∇·A)।

इसी प्रकार i × (A × ∂B/∂x) = (∂B₁/∂x)A − A₁∂B/∂x, जिसका योग A(∇·B) − (A·∇)B है।

दोनों योगों को जोड़ने पर दी गई सर्वसमिका मिलती है।

अतः सिद्ध हुआ।

4. curl curl A = grad div A − ∇²A

कथन: यदि A के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत हैं, तो ∇ × (∇ × A) = ∇(∇·A) − ∇²A, जहाँ ∇²A = (∇²A₁, ∇²A₂, ∇²A₃)।

उपपत्ति: मान लें C = ∇ × A = (A_3y − A_2z, A_1z − A_3x, A_2x − A_1y)।

∇ × C का x-घटक ∂C₃/∂y − ∂C₂/∂z = A_2xy − A_1yy − A_1zz + A_3xz है।

A_1xx जोड़कर घटाएँ: मिश्रित अवकलजों की समानता से यह ∂/∂x(A_1x + A_2y + A_3z) − (A_1xx + A_1yy + A_1zz) के बराबर है।

यही ∇(∇·A) − ∇²A का x-घटक है; y- और z-घटक x, y, z के चक्रीय परिवर्तन से मिलते हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

5. f(r) का लाप्लासियन

कथन: यदि f दो बार अवकलनीय है और r = |r| ≠ 0, तो ∇²f(r) = f″(r) + (2/r)f′(r); विशेषतः ∇²rⁿ = n(n + 1)rⁿ⁻², और r ≠ 0 के लिए 1/r प्रसंवादी (harmonic) है।

उपपत्ति: r² = x² + y² + z² से ∂r/∂x = x/r, अतः ∇f(r) = f′(r)(x/r, y/r, z/r) = (f′(r)/r) r।

g(r) = f′(r)/r लेने पर ∇²f = ∇·(g r) = g(∇·r) + r·∇g = 3g + r·(g′(r) r/r) = 3g + rg′।

g′ = f″/r − f′/r², अतः 3g + rg′ = 3f′/r + f″ − f′/r = f″ + (2/r)f′।

f = rⁿ के लिए: n(n − 1)rⁿ⁻² + 2nrⁿ⁻² = n(n + 1)rⁿ⁻², जो n = −1 पर शून्य है।

अतः सिद्ध हुआ।

6. अचर परिमाण और अचर दिशा वाले सदिश

कथन: मान लें A(t) किसी अंतराल पर अवकलनीय शून्येतर सदिश फलन है। (a) |A| अचर है यदि और केवल यदि A·dA/dt = 0। (b) A की दिशा अचर है यदि और केवल यदि A × dA/dt = 0।

उपपत्ति: (a) d(A·A)/dt = 2A·dA/dt, अतः अंतराल पर |A|² = A·A अचर है यदि और केवल यदि A·dA/dt = 0।

(b) A = aâ लिखें, जहाँ a = |A| > 0 और â एकक सदिश है; a = √(A·A) और â = A/a होने से दोनों अवकलनीय हैं।

तब dA/dt = (da/dt)â + a dâ/dt और A × dA/dt = a²(â × dâ/dt), क्योंकि â × â = 0।

यदि दिशा अचर है तो dâ/dt = 0 और A × dA/dt = 0।

विलोमतः, यदि A × dA/dt = 0 तो â × dâ/dt = 0; (a) से dâ/dt, â के लंबवत है, और एकक सदिश â के समांतर तथा लंबवत दोनों होने वाला सदिश शून्य है, अतः dâ/dt = 0 और â अचर है।

अतः सिद्ध हुआ।

7. सेरे-फ्रेने सूत्र

कथन: चाप-लंबाई s से प्राचलित, संतत तृतीय अवकलज वाले वक्र r(s) के लिए, जहाँ κ = |dT/ds| > 0, N = (1/κ)dT/ds और B = T × N: dT/ds = κN, किसी अदिश τ के लिए dB/ds = −τN, तथा dN/ds = τB − κT।

उपपत्ति: dT/ds = κN, N की परिभाषा है। |T| = 1 होने से T·dT/ds = 0, अतः N ⊥ T और T, N, B एक दक्षिणावर्ती प्रसामान्य-लांबिक त्रयी है।

|B| = 1 से B·dB/ds = 0। B·T = 0 का अवकलन करने पर: dB/ds·T = −B·dT/ds = −κB·N = 0।

अतः dB/ds, B और T दोनों के लंबवत है, अतः N के समांतर; dB/ds = −τN लिखें, जिससे τ परिभाषित होता है।

अंततः N = B × T, अतः dN/ds = dB/ds × T + B × dT/ds = −τ(N × T) + κ(B × N) = τB − κT, क्योंकि N × T = −B और B × N = −T।

अतः सिद्ध हुआ।

8. स्वेच्छ प्राचल के लिए वक्रता और ऐंठन

कथन: संतत तृतीय अवकलज वाले नियमित वक्र r(t) (r′ ≠ 0) के लिए, जहाँ κ > 0: κ = |r′ × r″|/|r′|³ और τ = [r′ r″ r‴]/|r′ × r″|²।

उपपत्ति: मान लें ṡ = ds/dt = |r′| > 0। शृंखला नियम और सेरे-फ्रेने से r′ = ṡT तथा r″ = s̈T + ṡ²κN।

अतः r′ × r″ = ṡ³κ(T × N) = ṡ³κB, अतः |r′ × r″| = ṡ³κ और κ = |r′ × r″|/|r′|³।

r″ का पुनः अवकलन करने पर B-घटक वाला एकमात्र पद ṡ²κ dN/dt = ṡ³κ(τB − κT) है, अतः r‴ = (...)T + (...)N + ṡ³κτB।

अतः [r′ r″ r‴] = (r′ × r″)·r‴ = ṡ³κ · ṡ³κτ = |r′ × r″|²τ, जिससे τ का सूत्र मिलता है।

अतः सिद्ध हुआ।

9. वक्र समतल है यदि और केवल यदि τ = 0

कथन: मान लें किसी अंतराल पर r(s) संतत तृतीय अवकलज वाला वक्र है और κ > 0। वक्र किसी समतल में स्थित है यदि और केवल यदि प्रत्येक बिंदु पर τ = 0।

उपपत्ति: यदि τ = 0, तो dB/ds = −τN = 0, अतः B = B₀ अचर सदिश है।

तब d(r·B₀)/ds = T·B₀ = 0, अतः r·B₀ = अचर: वक्र अभिलंब B₀ वाले समतल में स्थित है।

विलोमतः, मान लें किसी अचर एकक सदिश a के लिए r·a = p। दो बार अवकलन से T·a = 0 और κN·a = 0, अतः κ > 0 होने से N·a = 0।

अतः a, T और N के लंबवत है, अतः B = ±a; B संतत है और चिह्न अचानक नहीं बदल सकता, अतः B अचर है और τN = −dB/ds = 0, जिससे τ = 0।

अतः सिद्ध हुआ।

10. कुंडलिनियों पर लांक्रे प्रमेय

कथन: मान लें किसी वक्र के तृतीय अवकलज संतत हैं, κ > 0 और τ ≠ 0। उसकी स्पर्शी किसी स्थिर दिशा से अचर कोण बनाती है (व्यापक कुंडलिनी) यदि और केवल यदि κ/τ अचर है।

उपपत्ति: मान लें किसी स्थिर एकक सदिश a और अचर α के लिए T·a = cos α। अवकलन से κN·a = 0, अतः N·a = 0।

तब a, T और B के समतल में है: a = cos α T + sin α B (α को इसी चिह्न सहित लेकर)।

अचर सदिश a का अवकलन करने पर: 0 = cos α κN − sin α τN, अतः κ cos α = τ sin α और κ/τ = tan α, एक अचर।

विलोमतः, यदि κ/τ = tan α अचर है, तो a = cos α T + sin α B रखें; तब da/ds = (κ cos α − τ sin α)N = 0।

अतः a एक स्थिर एकक सदिश है और T·a = cos α अचर है।

अतः सिद्ध हुआ।

11. अघूर्णी क्षेत्र एक प्रवणता है

कथन: मान लें खुले सरलतः संबद्ध क्षेत्र D में F के प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं, जिससे D का प्रत्येक बंद वक्र D में किसी खंडशः निष्कोण पृष्ठ को परिबद्ध करता है। यदि D में ∇ × F = 0, तो किसी φ के लिए F = ∇φ, और ∫F·dr पथ से स्वतंत्र है।

उपपत्ति: D में किसी पृष्ठ S को परिबद्ध करने वाले बंद वक्र C के लिए स्टोक्स प्रमेय से ∮_CF·dr = ∬_S(∇ × F)·n dS = 0।

यदि C₁, C₂ बिंदु P₀ से P तक दो पथ हैं, तो C₁ के बाद उलटा C₂ एक बंद वक्र है, अतः ∫_C1F·dr = ∫_C2F·dr।

P₀ को स्थिर कर φ(x, y, z) = ∫F·dr परिभाषित करें, जो D में P₀ से (x, y, z) तक किसी भी पथ के अनुदिश है।

(x, y, z) से होकर और फिर x-अक्ष के समांतर खंड से (x + h, y, z) तक पहुँचने पर: φ(x + h, y, z) − φ(x, y, z) = ∫_x^x+h F₁(u, y, z) du।

h से भाग देकर h → 0 करने पर F₁ की सांतत्यता से ∂φ/∂x = F₁; इसी प्रकार ∂φ/∂y = F₂, ∂φ/∂z = F₃, अतः F = ∇φ।

अतः सिद्ध हुआ।

12. समतल में ग्रीन प्रमेय

कथन: मान लें R ऐसा क्षेत्र है जो प्रकार I, {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}, तथा प्रकार II, {c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}, दोनों का है, जिसकी खंडशः निष्कोण सीमा C वामावर्त चली जाती है, और R ∪ C पर M, N, ∂M/∂y, ∂N/∂x संतत हैं। तब ∮_C(M dx + N dy) = ∬_R(∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy।

उपपत्ति: प्रकार I और कलन की मूल प्रमेय से: ∬_R ∂M/∂y dy dx = ∫_a^b[M(x, g₂(x)) − M(x, g₁(x))] dx।

C पर निचला चाप y = g₁(x), x = a से b तक तथा ऊपरी चाप y = g₂(x), x = b से a तक जाता है; ऊर्ध्वाधर खंडों पर dx = 0।

अतः ∮_CM dx = ∫_a^bM(x, g₁(x)) dx − ∫_a^bM(x, g₂(x)) dx = −∬_R ∂M/∂y dx dy।

इसी प्रकार प्रकार II से (दायाँ चाप x = h₂(y) ऊपर की ओर, बायाँ चाप नीचे की ओर), ∮_CN dy = ∬_R ∂N/∂x dx dy।

दोनों परिणामों को जोड़ने पर प्रमेय मिलता है।

अतः सिद्ध हुआ।

13. अपसरण प्रमेय के परिणाम

कथन: बंद सीमा S और बहिर्मुखी अभिलंब n वाले क्षेत्र V के लिए गाउस प्रमेय की परिकल्पनाओं के अंतर्गत, तथा V ∪ S पर संततः अवकलनीय φ के लिए: (a) ∭_V∇φ dV = ∬_Sφn dS; (b) ∬_Sn dS = 0; (c) V का आयतन (1/3)∬_Sr·n dS है।

उपपत्ति: (a) मान लें a कोई अचर सदिश है और F = φa पर अपसरण प्रमेय लगाएँ: ∇·(φa) = a·∇φ और F·n = a·(φn)।

अतः प्रत्येक a के लिए a·∭∇φ dV = a·∬φn dS; a = i, j, k लेने पर तीनों घटकों की समानता मिलती है।

(b) (a) में φ = 1 रखें: ∇φ = 0, अतः ∬n dS = 0।

(c) F = r पर अपसरण प्रमेय लगाएँ: ∇·r = 3, अतः ∬r·n dS = ∭3 dV = 3V।

अतः सिद्ध हुआ।

14. स्टोक्स प्रमेय का परिणाम: ∮φ dr = ∬n × ∇φ dS

कथन: मान लें S और उसकी सीमा C स्टोक्स प्रमेय की परिकल्पनाएँ संतुष्ट करते हैं और S को समाविष्ट करने वाले क्षेत्र में φ संततः अवकलनीय है। तब ∮_Cφ dr = ∬_S(n × ∇φ) dS।

उपपत्ति: मान लें a अचर सदिश है और F = φa पर स्टोक्स प्रमेय लगाएँ: ∮_Cφa·dr = ∬_S[∇ × (φa)]·n dS।

∇ × (φa) = φ(∇ × a) + ∇φ × a = ∇φ × a, और अदिश त्रिक गुणनफल के चक्रीय गुण से (∇φ × a)·n = a·(n × ∇φ)।

अतः प्रत्येक अचर a के लिए a·∮φ dr = a·∬(n × ∇φ) dS, और a = i, j, k लेने पर सदिश सर्वसमिका मिलती है।

अतः सिद्ध हुआ।

15. डिरिक्ले समस्या के हल की अद्वितीयता

कथन: मान लें V बंद सीमा S वाला परिबद्ध संबद्ध क्षेत्र है जो गाउस प्रमेय की परिकल्पनाएँ संतुष्ट करता है। यदि u₁, u₂ के V में द्वितीय अवकलज तथा V ∪ S पर प्रथम अवकलज संतत हैं, V में ∇²u = 0 और S पर u = f, तो u₁ = u₂।

उपपत्ति: मान लें w = u₁ − u₂; तब V में ∇²w = 0 और S पर w = 0।

φ = ψ = w लेकर ग्रीन की प्रथम सर्वसमिका: ∭_V(w∇²w + |∇w|²) dV = ∬_Sw ∂w/∂n dS।

बाएँ पक्ष का पहला पद और दायाँ पक्ष शून्य हैं, अतः ∭_V|∇w|² dV = 0।

|∇w|² संतत और अऋणात्मक है, अतः पूरे V में ∇w = 0, और संबद्ध क्षेत्र V पर w अचर है।

S तक सांतत्य से, जहाँ w = 0, वह अचर 0 है, अतः u₁ = u₂।

अतः सिद्ध हुआ।

16. φA का अपसरण और कर्ल

कथन: यदि किसी क्षेत्र पर φ अवकलनीय अदिश क्षेत्र और A = (A₁, A₂, A₃) अवकलनीय सदिश क्षेत्र हैं, तो ∇·(φA) = φ(∇·A) + A·∇φ तथा ∇ × (φA) = φ(∇ × A) + ∇φ × A।

उपपत्ति: गुणन नियम से ∂(φA₁)/∂x = φ ∂A₁/∂x + A₁ ∂φ/∂x, और इसी प्रकार y तथा z के लिए।

जोड़ने पर: ∇·(φA) = φ(∂A₁/∂x + ∂A₂/∂y + ∂A₃/∂z) + (A₁φ_x + A₂φ_y + A₃φ_z) = φ(∇·A) + A·∇φ।

∇ × (φA) का i-घटक ∂(φA₃)/∂y − ∂(φA₂)/∂z = φ(∂A₃/∂y − ∂A₂/∂z) + (φ_yA₃ − φ_zA₂) है।

पहला कोष्ठक ∇ × A का i-घटक है और दूसरा ∇φ × A का i-घटक; j- और k-घटक x, y, z के चक्रीय परिवर्तन से मिलते हैं।

अतः ∇ × (φA) = φ(∇ × A) + ∇φ × A।

अतः सिद्ध हुआ।

17. क्रमागत मुख्य अभिलंब तभी मिलते हैं जब τ = 0

कथन: मान लें r(s) के तृतीय अवकलज संतत हैं और κ > 0। s और s + δs पर मुख्य अभिलंब, δs की निम्नतम कोटि तक, तभी प्रतिच्छेद करते हैं जब s पर τ = 0; विलोमतः, यदि सर्वत्र τ = 0, तो कोई भी दो असमांतर मुख्य अभिलंब प्रतिच्छेद करते हैं।

उपपत्ति: अभिलंब, r से होकर दिशा N वाली और r + δr से होकर दिशा N + δN वाली रेखाएँ हैं।

बिंदुओं P, Q से होकर दिशाओं u, v वाली दो रेखाएँ समतलीय हैं (मिलती हैं या समांतर हैं) यदि और केवल यदि [PQ u v] = 0; यहाँ यह [δr N N + δN] = [δr N δN] = 0 है।

टेलर प्रमेय और सेरे-फ्रेने से δr = Tδs + (1/2)κNδs² + O(δs³) तथा δN = (τB − κT)δs + O(δs²)।

प्रतिस्थापित कर, [T N B] = 1 तथा दोहराए गए सदिश वाले त्रिक गुणनफल के 0 होने का प्रयोग करने पर [δr N δN] = τδs² + O(δs³)।

δs² से भाग देकर δs → 0 करने पर प्रतिबंध से τ = 0 मिलता है।

विलोमतः, यदि τ = 0 तो वक्र एक समतल में है (प्रमेय 9); उसके सभी मुख्य अभिलंब उसी समतल में हैं, और समतल की दो असमांतर रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

18. गाउस नियम: r/r³ का फ्लक्स

कथन: मान लें S अपसरण प्रमेय की परिकल्पनाओं को संतुष्ट करने वाला बंद पृष्ठ है जो मूलबिंदु O से होकर नहीं जाता। तब यदि O, S के बाहर हो तो ∬_S(r·n/r³) dS = 0 और भीतर हो तो 4π।

उपपत्ति: F = r/r³ लें। r ≠ 0 के लिए ∇·(rⁿr) = (n + 3)rⁿ से ∇·F = ∇·(r⁻³r) = (−3 + 3)r⁻³ = 0।

यदि O, S के बाहर है, तो S से घिरे क्षेत्र V पर F निष्कोण है, और अपसरण प्रमेय से ∬_SF·n dS = ∭_V0 dV = 0।

यदि O, S के भीतर है, तो V के भीतर O के परितः त्रिज्या ε की छोटी गेंद हटा दें; शेष क्षेत्र V′ पर F निष्कोण है और ∇·F = 0, अतः V′ से कुल बहिर्मुखी फ्लक्स 0 है।

V′ की परिसीमा S तथा छोटा गोला Σ है, जिस पर V′ से बाहर की ओर अभिलंब −r/ε है; अतः ∬_SF·n dS = ∬_Σ(r/ε³)·(r/ε) dS = (1/ε²)(4πε²) = 4π।

अतः सिद्ध हुआ।

1. सदिश अवकलन

प्रश्न 1 (10 अंक): यदि r = cos nt i + sin nt j, जहाँ n अचर है, तो सिद्ध कीजिए कि r × dr/dt = nk और r·dr/dt = 0, तथा परिणामों की व्याख्या कीजिए।

dr/dt = −n sin nt i + n cos nt j।

r × dr/dt = (cos nt · n cos nt − sin nt · (−n sin nt))k = n(cos²nt + sin²nt)k = nk।

r·dr/dt = −n sin nt cos nt + n sin nt cos nt = 0, जो |r| = 1 अचर होने से अपेक्षित है।

उत्तर: कण एकक वृत्त पर अचर कोणीय वेग n से चलता है; वेग स्पर्शीय है और प्रति एकांक द्रव्यमान कोणीय संवेग nk है।

प्रश्न 2 (10 अंक): एक कण x = 2t², y = t² − 4t, z = 3t − 5 के अनुदिश चलता है। t = 1 पर दिशा i − 3j + 2k में उसके वेग और त्वरण के घटक ज्ञात कीजिए।

t = 1 पर v = (4t, 2t − 4, 3) = (4, −2, 3) और a = (4, 2, 0)।

एकक सदिश (1, −3, 2)/√14 है।

v·(1, −3, 2)/√14 = (4 + 6 + 6)/√14 = 16/√14 और a·(1, −3, 2)/√14 = (4 − 6 + 0)/√14 = −2/√14।

उत्तर: वेग घटक 16/√14 = 8√14/7; त्वरण घटक −2/√14 = −√14/7।

2. प्रवणता, अपसरण और कर्ल

प्रश्न 3 (15 अंक): बिंदु (2, −1, 2) पर दिशा 2i − 3j + 6k में φ = 4xz³ − 3x²y²z का दिक्-अवकलज तथा उस बिंदु पर φ के परिवर्तन की अधिकतम दर ज्ञात कीजिए।

∇φ = (4z³ − 6xy²z, −6x²yz, 12xz² − 3x²y²)।

(2, −1, 2) पर: ∇φ = (32 − 24, 48, 96 − 12) = (8, 48, 84)।

â = (2, −3, 6)/7 लेकर: ∇φ·â = (16 − 144 + 504)/7 = 376/7।

अधिकतम दर |∇φ| = √(64 + 2304 + 7056) = √9424 = 4√589 है, ∇φ की दिशा में।

उत्तर: 376/7; अधिकतम दर 4√589 ≈ 97.1।

प्रश्न 4 (15 अंक): सिद्ध कीजिए कि F = (y² cos x + z³)i + (2y sin x − 4)j + (3xz² + 2)k संरक्षी है, इसका अदिश विभव ज्ञात कीजिए, तथा कण को (0, 1, −1) से (π/2, −1, 2) तक ले जाने में किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

curl F: i-घटक 0 − 0 = 0; j-घटक 3z² − 3z² = 0; k-घटक 2y cos x − 2y cos x = 0। F पूरे ℝ³ पर निष्कोण है, अतः संरक्षी है।

∂φ/∂x = y² cos x + z³ से φ = y² sin x + xz³ + g(y, z); अन्य घटकों से मिलाने पर g = −4y + 2z।

कार्य = φ(π/2, −1, 2) − φ(0, 1, −1) = (1 + 4π + 4 + 4) − (−4 − 2) = 15 + 4π।

उत्तर: φ = y² sin x + xz³ − 4y + 2z + c; किया गया कार्य = 15 + 4π।

प्रश्न 5 (10 अंक): n ज्ञात कीजिए जिसके लिए rⁿr परिनालिकीय हो, तथा सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक n के लिए rⁿr अघूर्णी है।

∇·(rⁿr) = rⁿ(∇·r) + r·∇rⁿ = 3rⁿ + r·(nrⁿ⁻²r) = (n + 3)rⁿ, जो r ≠ 0 के लिए केवल n = −3 पर शून्य है।

∇ × (rⁿr) = rⁿ(∇ × r) + ∇rⁿ × r = 0 + nrⁿ⁻²(r × r) = 0।

उत्तर: n = −3; सभी n के लिए rⁿr अघूर्णी है (r ≠ 0)।

प्रश्न 6 (10 अंक): बेलनाकार निर्देशांकों का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए कि f = ρ² cos 2φ प्रसंवादी है, और कार्तीय रूप में सत्यापित कीजिए।

(1/ρ)∂/∂ρ(ρ ∂f/∂ρ) = (1/ρ)∂/∂ρ(2ρ² cos 2φ) = 4 cos 2φ।

(1/ρ²)∂²f/∂φ² = (1/ρ²)(−4ρ² cos 2φ) = −4 cos 2φ, और ∂²f/∂z² = 0; योग 0 है।

कार्तीय रूप में f = ρ²(cos²φ − sin²φ) = x² − y², और ∇²f = 2 − 2 = 0।

उत्तर: दोनों निर्देशांक पद्धतियों में ∇²f = 0, अतः f प्रसंवादी है।

3. सदिश सर्वसमिकाएँ और समीकरण

प्रश्न 7 (10 अंक): अचर सदिश a के लिए ∇ × [(a·r)r] और ∇·[(a·r)r] ज्ञात कीजिए।

मान लें φ = a·r, अतः ∇φ = a।

∇ × (φr) = φ(∇ × r) + ∇φ × r = 0 + a × r।

∇·(φr) = φ(∇·r) + r·∇φ = 3(a·r) + r·a = 4(a·r)।

उत्तर: ∇ × [(a·r)r] = a × r और ∇·[(a·r)r] = 4(a·r)।

प्रश्न 8 (15 अंक): सिद्ध कीजिए कि ∇²[∇·(r/r²)] = 2/r⁴।

∇·(rⁿr) = (n + 3)rⁿ में n = −2 रखने पर: ∇·(r/r²) = 1/r²।

∇²rⁿ = n(n + 1)rⁿ⁻² में n = −2 रखने पर: ∇²(r⁻²) = (−2)(−1)r⁻⁴ = 2/r⁴।

उत्तर: ∇²[∇·(r/r²)] = 2/r⁴ (r ≠ 0)।

प्रश्न 9 (10 अंक): सदिश समीकरण x + (x·a)b = c हल कीजिए, दिया है a·b ≠ −1।

a से अदिश गुणा करने पर: x·a + (x·a)(a·b) = c·a, अतः x·a = (c·a)/(1 + a·b)।

वापस रखने पर: x = c − (x·a)b।

जाँच: x·a = c·a − (c·a)(a·b)/(1 + a·b) = (c·a)/(1 + a·b), जैसा अपेक्षित है।

उत्तर: x = c − [(c·a)/(1 + a·b)]b।

4. समष्टि में वक्र

प्रश्न 10 (15 अंक): शंक्वाकार कुंडलिनी r = (e^t cos t, e^t sin t, e^t) के लिए κ और τ ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि यह व्यापक कुंडलिनी है।

r′ = e^t(cos t − sin t, sin t + cos t, 1), |r′| = √3e^t; r″ = e^t(−2 sin t, 2 cos t, 1)।

r′ × r″ = e^2t(sin t − cos t, −sin t − cos t, 2), जिसकी लंबाई √6e^2t है, अतः κ = √6e^2t/(3√3e^3t) = √2/(3e^t)।

r‴ = e^t(−2 sin t − 2 cos t, 2 cos t − 2 sin t, 1), और [r′ r″ r‴] = e^3t[−2(sin²t − cos²t) − 2(cos²t − sin²t) + 2] = 2e^3t।

τ = 2e^3t/(6e^4t) = 1/(3e^t), अतः κ/τ = √2 अचर है और लांक्रे प्रमेय से वक्र व्यापक कुंडलिनी है।

उत्तर: κ = √2e^−t/3, τ = e^−t/3, κ/τ = √2।

प्रश्न 11 (15 अंक): चाप-लंबाई s से प्राचलित वक्र r(s) के लिए, जहाँ κ > 0, सिद्ध कीजिए कि [r″ r‴ r⁗] = κ⁵ d(τ/κ)/ds, जहाँ डैश d/ds को दर्शाते हैं।

सेरे-फ्रेने से: r″ = κN और r‴ = −κ²T + κ′N + κτB।

पुनः अवकलन से: r⁗ = −3κκ′T + (κ″ − κ³ − κτ²)N + (2κ′τ + κτ′)B।

प्रसामान्य-लांबिक आधार T, N, B में त्रिक गुणनफल पंक्तियों (0, κ, 0), (−κ², κ′, κτ), (−3κκ′, κ″ − κ³ − κτ², 2κ′τ + κτ′) वाला सारणिक है।

प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार से: −κ[−κ²(2κ′τ + κτ′) + 3κ²κ′τ] = κ³(κτ′ − κ′τ) = κ⁵(κτ′ − κ′τ)/κ²।

उत्तर: चूँकि d(τ/κ)/ds = (κτ′ − κ′τ)/κ², अतः [r″ r‴ r⁗] = κ⁵ d(τ/κ)/ds।

5. समाकल प्रमेय

प्रश्न 12 (15 अंक): ग्रीन प्रमेय से ∮_C[(x² − 2xy) dx + (x²y + 3) dy] का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C, y² = 8x और x = 2 से घिरे क्षेत्र की वामावर्त सीमा है।

∂N/∂x − ∂M/∂y = 2xy − (−2x) = 2xy + 2x।

क्षेत्र 0 ≤ x ≤ 2, −√(8x) ≤ y ≤ √(8x) है; पद 2xy, y में विषम है और उसका समाकल 0 है।

∬2x dA = ∫₀² 2x · 2√(8x) dx = 8√2∫₀² x^3/2 dx = 8√2 · (2/5) · 4√2 = 128/5।

उत्तर: 128/5।

प्रश्न 13 (15 अंक): अपसरण प्रमेय से ∬_S(x³ dy dz + x²y dz dx + x²z dx dy) का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ S बेलन x² + y² = a², 0 ≤ z ≤ b का बंद पृष्ठ है।

समाकल F = (x³, x²y, x²z) का बहिर्मुखी फ्लक्स है, और ∇·F = 3x² + x² + x² = 5x²।

∭5x² dV = 5b∬_{x² + y² ≤ a²} x² dx dy = 5b∫₀^2π∫₀^a ρ³ cos²φ dρ dφ = 5b(a⁴/4)π।

उत्तर: 5πa⁴b/4।

प्रश्न 14 (15 अंक): F = (x² + y − 4)i + 3xy j + (2xz + z²)k के लिए ∬_S(∇ × F)·n dS का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ S अर्धगोला x² + y² + z² = 16, z ≥ 0 है और n बहिर्मुखी है।

स्टोक्स प्रमेय से समाकल ∮_CF·dr के बराबर है, जहाँ C वृत्त x = 4 cos t, y = 4 sin t, z = 0 है, जो (ऊपर से देखने पर) वामावर्त चला जाता है।

C पर: F·dr = (16 cos²t + 4 sin t − 4)(−4 sin t) dt + 48 cos t sin t (4 cos t) dt।

0 ≤ t ≤ 2π पर cos²t sin t और sin t वाले पदों का समाकल 0 है, शेष −16∫₀^2π sin²t dt = −16π।

उत्तर: −16π।

प्रश्न 15 (10 अंक): गोले |r| = a पर ∬_S r·n dS = 4πa³ सीधे तथा अपसरण प्रमेय दोनों से सिद्ध कीजिए।

सीधे: गोले पर n = r/a, अतः r·n = a²/a = a, और समाकल a × 4πa² = 4πa³ है।

गाउस से: ∇·r = 3, अतः समाकल 3 × (4/3)πa³ = 4πa³ है।

उत्तर: दोनों विधियों से 4πa³।

1. अदिश और सदिश क्षेत्र; सदिश फलनों का अवकलन

2024 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: किसी समय t (सेकण्ड में) पर एक चर समांतर-षट्फलक की सहावसानी किनारे सदिशों
α̅ = t î + (t + 1) ĵ + (2t + 1) k̂
β̅ = 2t î + (3t − 1) ĵ + t k̂
γ̅ = î + 3t ĵ + k̂
द्वारा निरूपित हैं। समांतर-चतुर्भुज, जिसकी सहावसानी किनारे α̅ और γ̅ हैं, के सदिशीय क्षेत्रफल की परिवर्तन दर क्या है? t = 1 सेकण्ड पर समांतर-षट्फलक के आयतन की परिवर्तन दर भी ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: यदि a = sin θ î + cos θ ĵ + θ k̂, b = cos θ î − sin θ ĵ − 3k̂, c = 2î + 3ĵ − 3k̂, तो सदिश फलन a × (b × c) के θ के सापेक्ष अवकलज के मान, θ = π/2 और θ = π पर ज्ञात कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: समय t पर एक गतिमान बिन्दु का स्थिति सदिश r̄ = sin t î + cos 2t ĵ + (t² + 2t)k̂ है। इसके त्वरण ā के अवयव वेग-सदिश v̄ के समान्तर दिशा में तथा r̄ व v̄ के तल के लम्बवत् दिशा में समय t = 0 पर ज्ञात कीजिए।

2. कार्तीय और बेलनाकार निर्देशांकों में प्रवणता, अपसरण और कर्ल

2025 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: यदि u = x + y + z, v = x² + y² + z² और w = xy + yz + zx है, तो दर्शाइए कि grad u, grad v और grad w समतलीय हैं।

2022 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: दर्शाइए कि A = (6xy + z³) î + (3x² − z) ĵ + (3xz² − y) k̂ अघूर्णी है। φ को भी ज्ञात कीजिए जबकि A = ∇φ.

2020 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: a, b, c के किस मान के लिए सदिश क्षेत्र V = (−4x − 3y + az)î + (bx + 3y + 5z)ĵ + (4x + cy + 3z)k̂ अघूर्णी है? तब V को अदिश फलन φ की प्रवणता के रूप में व्यक्त कीजिए। φ को ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: वक्र x = t, y = t², z = t³ के बिंदु (1, 1, 1) पर स्पर्श-रेखा की दिशा में फलन xy² + yz² + zx² का दिशात्मक अवकलज ज्ञात कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: स्थिरांकों a, b व c के किन मानों के लिए सदिश V̄ = (x + y + az)î + (bx + 2y − z)ĵ + (−x + cy + 2z)k̂ अघूर्णी है। इन मानों के साथ इस सदिश के बेलनी-निर्देशांकों में अपसारिता ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 10 अंक: f(r) निकालिये, इस प्रकार कि ∇f = r⃗/r⁵ तथा f(1) = 0 हो।

2015 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: निम्न दो सतहों x² + y² + z² − 9 = 0 तथा z = x² + y² − 3 के बीच बिन्दु (2, −1, 2) पर कोण ज्ञात कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 12 अंक: यदि दो पृष्ठ λx² − μyz = (λ + 2)x तथा 4x²y + z³ = 4 बिन्दु (1, −1, 2) पर लम्बवत् काटती हों, तो λ व μ का मान निकालिए।

2015 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 12 अंक: एक सदिश क्षेत्र F̄ = (x² + xy²)î + (y² + x²y)ĵ के दिया गया है। सत्यापित कीजिए कि यह क्षेत्र F̄ अघूर्णी है या नहीं। अत: अदिश विभव ज्ञात कीजिये।

3. सदिश सर्वसमिकाएँ तथा सदिश समीकरण

2026 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 20 अंक: (i) एक अदिश बिंदु फलन φ तथा एक सदिश बिंदु फलन F के लिए सिद्ध कीजिए कि ∇ × (φF) = (∇φ) × F + φ(∇ × F)। यदि r = x î + y ĵ + z k̂ तथा r = |r| हैं, तो φ = 1/r तथा F = r के लिए उपर्युक्त सर्वसमिका (आइडेन्टिटी) को सत्यापित कीजिए। (10)
(ii) यदि r = a cos t î + a sin t ĵ + bt k̂ है, तो दर्शाइए कि |r′ × r″|² = a²(a² + b²) और [r′ r″ r‴] = a²b। (10)

2025 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 20 अंक: (i) φ(x, y, z) = x²y²z² का बिन्दु (1, 1, −1) पर, वक्र x = e^t, y = 2 sin t + 1, z = t − cos t, के बिन्दु t = 0 पर स्पर्श-रेखा की दिशा में दिक्-अवकलज का निरपेक्ष मान ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(ii) यदि ∇ · E = 0, ∇ · H = 0, ∇ × E = −∂H/∂t और ∇ × H = ∂E/∂t हैं, तो दर्शाइए कि ∇²H = ∂²H/∂t² और ∇²E = ∂²E/∂t² हैं। (10 अंक)

2023 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 15 अंक: एक अदिश बिन्दु फलन φ और सदिश बिन्दु फलन f के लिये निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए ∇ · (φf) = ∇φ · f + φ(∇ · f). ∇ · ((f(r)/r) r) का मान भी ज्ञात कीजिए और तब उल्लेखित सर्वसमिका का सत्यापन कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: दर्शाइए कि ∇²[∇ · (r/r)] = 2/r⁴, जहाँ r = xî + yĵ + zk̂ है।

2018 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 12 अंक: मान लीजिये कि v = v₁i + v₂j + v₃k है। दर्शाइये कि curl (curl v) = grad (div v) − ∇²v।

2016 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: सिद्ध कीजिये कि सदिश a⃗ = 3î + ĵ − 2k̂, b⃗ = −î + 3ĵ + 4k̂, c⃗ = 4î − 2ĵ − 6k̂ एक त्रिभुज की भुजाएँ बना सकते हैं। इस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाई निकालिये।

4. समष्टि में वक्र: वक्रता, ऐंठन तथा सेरे-फ्रेने सूत्र

2026 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 15 अंक: परवलय y² = 4ax के लिए T̂, N̂, B̂, κ और τ निर्धारित कीजिए, जहाँ a एक अचर है। यहाँ T̂, N̂, B̂, κ तथा τ क्रमशः एकक स्पर्शी सदिश, एकक मुख्य अभिलम्ब सदिश, एकक उपाभिलम्ब सदिश, वक्रता तथा मरोड़ को निरूपित करते हैं।

2024 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: (i) माना C एक समतल वक्र r̅(t) = f(t) î + g(t) ĵ है, जहाँ f और g के द्वितीय कोटि के अवकलज हैं। दर्शाइए कि वक्र के किसी बिन्दु पर वक्रता
κ = |f′(t) g″(t) − g′(t) f″(t)| / ([f′(t)]² + [g′(t)]²)^3/2
है। इस वक्र के किसी बिन्दु पर ऐंठन (टॉर्शन) τ का मान क्या है? (5 अंक)
(ii) दर्शाइए कि किसी वक्र के दो क्रमागत बिन्दुओं पर मुख्य अभिलम्ब प्रतिच्छेद नहीं करते जब तक कि ऐंठन (टॉर्शन) τ शून्य न हो। (5 अंक)

2023 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 15 अंक: अगर एक वक्र की स्पर्श रेखा एक नियत रेखा के साथ एक स्थिर कोण θ बनाती है तो सिद्ध कीजिए कि वक्रता की त्रिज्या के साथ व्यावर्तन त्रिज्या का अनुपात tan θ के समानुपाती है। और आगे सिद्ध कीजिए कि अगर यह अनुपात एक स्थिरांक है, तो स्पर्श रेखा एक नियत दिशा के साथ एक स्थिर कोण बनाती है।

2019 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: कुंडलिनी x = a cos u, y = a sin u, z = au tan α के लिए वक्रता की त्रिज्या तथा विमोटन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: x = 3t, y = 3t², z = 3t³ समीकरणों वाले वक्र के एक आम बिन्दु पर स्पर्श-रेखा और रेखा y = z − x = 0 के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।

2018 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 12 अंक: वक्र r = a(u − sin u)i + a(1 − cos u)j + buk की वक्रता और विमोटन ज्ञात कीजिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 16 अंक: वक्र r̄ = (a cos θ, a sin θ, aθ) के किसी भी बिन्दु r̄ = (θ) पर वक्रता-सदिश व इसका परिमाण निकालिए। दर्शाइये कि मूल बिन्दु से स्पर्श रेखा पर डाले गये लम्बपाद का बिन्दु-पथ एक वक्र है जो पूर्णरूप से अतिपरवलयज x² + y² − z² = a² पर स्थित है।

2016 प्रश्नपत्र I, Q8(d), 15 अंक: दर्शाइये कि कार्डिऑइड (cardioid) r = a(1 + cos θ) के किसी बिन्दु (r, θ) पर वक्रता-त्रिज्या (radius of curvature) का वर्ग r के समानुपाती है। θ = 0, π/4, π/2 पर वक्रता-त्रिज्या भी ज्ञात कीजिये।

2014 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: वक्र r̄(t) = t cos t î + t sin t ĵ, 0 ≤ t ≤ 2π के किसी भी बिन्दु पर वक्रता सदिश ज्ञात कीजिए। उसका परिमाण भी बताइए।

5. गाउस और स्टोक्स प्रमेय तथा ग्रीन सर्वसमिकाएँ

2026 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: दिया गया है कि F = (2x + 3y) î − 4z ĵ − 5x k̂ है तथा S सतह 2x + 4y + 4z = 5 है, जो x = 0, x = 2, y = 0 और y = 3 द्वारा परिबद्ध है। ∬_S (∇ × F) · n̂ dS का मान ज्ञात कीजिए।

2026 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: यदि F = 4xz î − y² ĵ + yz k̂ है, तो ∬_S F · n̂ dS का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ S एक इकाई घन का पृष्ठ है जिसके दो विपरीत कोने क्रमशः (0, 0, 0) तथा (1, 1, 1) पर हैं। अतः अपसरण (डाइवर्जेंस) प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: ∮_C [(xy + y²) dx + x² dy], जहाँ C, वक्रों y = x और y = x² द्वारा परिबद्ध क्षेत्र की परिसीमा है, के लिए समतल में ग्रीन का प्रमेय सत्यापित कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: समकोणिक समांतरषट्फलक 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c पर F = [(x² − yz) î + (y² − zx) ĵ + (z² − xy) k̂] के लिए गाउस अपसरण प्रमेय सत्यापित कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 20 अंक: स्टोक्स प्रमेय का कथन लिखिए तथा इसको सदिश क्षेत्र F = xy î + yz ĵ + zx k̂ के लिए, पृष्ठ S पर जो कि बेलन z = 1 − x²; 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 का उपरिमुखी अभिविन्यस्त भाग है, सत्यापित कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: गाऊस के अपसरण प्रमेय का उपयोग करते हुए बेलन x² + y² = 16 तथा समतलों z = 1 और z = 5 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर समाकल
∬_S (y² î + xz³ ĵ + (z − 1)² k̂) · n̂ dS
का मान निकालिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 20 अंक: समाकल ∬_S (3y²z² î + 4z²x² ĵ + z²y² k̂) · n̂ dS का मान ज्ञात कीजिए; जहाँ S समतल z = 0 के ऊपर पृष्ठ 4x² + 4y² + 4z² = 1 का ऊपरी भाग है और xy-समतल द्वारा परिबद्ध है। अतैव गॉस-अपसरण प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 15 अंक: समतल में ग्रीन के प्रमेय को ∮_C (3x² − 8y²) dx + (4y − 6xy) dy के लिए सत्यापित कीजिए, जहाँ C, x = 0, y = 0, x + y = 1 द्वारा परिभाषित क्षेत्र का सीमा वक्र है।

2022 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 20 अंक: स्टोक्स प्रमेय को F = x î + z² ĵ + y² k̂ के लिए प्रथम अष्टांशक में स्थित समतल पृष्ठ: x + y + z = 1 पर सत्यापित कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 15 अंक: गाउस के अपसरण प्रमेय का उपयोग करके ∬_S F · n dS का मान निकालिए, जहाँ F = x î − y ĵ + (z² − 1) k̂ तथा S, पृष्ठों z = 0, z = 1, x² + y² = 4 द्वारा बना हुआ बेलन है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 15 अंक: ∫_C F · dr का मान निकालिए, जहाँ C, xy-समतल में एक स्वैच्छिक संवृत वक्र है तथा F = (−yî + xĵ)/(x² + y²) है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 20 अंक: प्रथम अष्टांशक में y² + z² = 9 तथा x = 2 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर F = 2x²yî − y²ĵ + 4xz²k̂ के लिए गाउस अपसरण प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 15 अंक: स्टोक्स प्रमेय का उपयोग करते हुए ∬_S (∇ × F) · n̂ dS का मान निकालिए, जहाँ पर F = (x² + y − 4)î + 3xyĵ + (2xy + z²)k̂ तथा S, परवलयज z = 4 − (x² + y²) का xy-समतल से ऊपर का पृष्ठ है। यहाँ n̂, S पर एकक बहिर्मुखी अभिलंब सदिश है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: दिए गए सदिश फलन A, जहाँ A = (3x² + 6y)î − 14yzĵ + 20xz²k̂, के लिए ∫_C A · dr का मान निकालिए, जहाँ C बिंदु (0, 0, 0) से (1, 1, 1) तक निम्न पथों से निर्देशित है :
(i) x = t, y = t², z = t³
(ii) सरल रेखा (0, 0, 0) से (1, 0, 0) तक जोड़ने पर, फिर (1, 1, 0) तक तथा फिर (1, 1, 1) तक
(iii) सरल रेखा (0, 0, 0) से (1, 1, 1) तक जोड़ने पर
क्या सभी स्थितियों में परिणाम समान हैं? कारण की व्याख्या कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 20 अंक: स्टोक्स प्रमेय को सत्यापित कीजिए, जबकि सदिश क्षेत्र F = xyî + yzĵ + xzk̂ एक सतह S पर है जो कि एक बेलन z = 1 − x², 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 का हिस्सा है, जहाँ S उपरिमुखी अभिविन्यस्त है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: पृष्ठ समाकल ∬_S ∇ × F · n̂ dS का मान निकालिए, जहाँ F = yî + (x − 2xz)ĵ − xyk̂ तथा S गोले x² + y² + z² = a² की सतह है, जो xy-तल के ऊपर है।

2019 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: वक्र C के चारों तरफ F का परिसंचरण ज्ञात कीजिए, जहाँ F = (2x + y²)i + (3y − 4x)j और C, बिंदु (0, 0) से बिंदु (1, 1) तक वक्र y = x² के द्वारा तथा बिंदु (1, 1) से बिंदु (0, 0) तक वक्र y² = x के द्वारा परिभाषित है।

2019 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 20 अंक: (i) गाउस के अपसरण प्रमेय का कथन लिखिए। इस प्रमेय को F = 4xi − 2y²j + z²k के लिए x² + y² = 4, z = 0 और z = 3 से घिरे हुए क्षेत्र में सत्यापित कीजिए। (15 अंक)
(ii) स्टोक्स प्रमेय के द्वारा ∮_C e^x dx + 2y dy − dz का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C, वक्र x² + y² = 4, z = 2 है। (5 अंक)

2018 प्रश्नपत्र I, Q6(d), 12 अंक: अगर गोलक x² + y² + z² = a² का पृष्ठ S है, तो गाउस के अपसरण प्रमेय का इस्तेमाल करते हुये ∬_S [(x + z) dydz + (y + z) dzdx + (x + y) dxdy] का मान निकालिये।

2018 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 13 अंक: स्टोक्स प्रमेय का इस्तेमाल करते हुये रेखा समाकल ∫_C −y³ dx + x³ dy + z³ dz का मान निकालिये। यहाँ सिलिन्डर x² + y² = 1 और समतल x + y + z = 1 का प्रतिच्छेद C है। C पर अभिविन्यास xy-समतल में वामावर्त गति के संगत है।

2018 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 13 अंक: मान लीजिये कि F = xy²i + (y + x)j है। ग्रीन के प्रमेय का इस्तेमाल करते हुये प्रथम चतुर्थांश में वक्रों y = x² और y = x द्वारा परिबद्ध क्षेत्र पर (∇ × F)·k का समाकलन कीजिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 17 अंक: (i) समाकलन ∬_S F̄ · n̂ ds का अभिसरण प्रमेय से हल कीजिए :
जहाँ पर F̄ = 3xy² î + (yx² − y³)ĵ + 3zx² k̂ तथा S बेलन y² + z² ≤ 4, −3 ≤ x ≤ 3 का पृष्ठ है। (9 अंक)
(ii) ग्रीन्स प्रमेय का प्रयोग कर ∫_C F(r̄) · dr̄ का वामावर्ती दिशा में मूल्यांकन कीजिए :
जहाँ पर F(r̄) = (x² + y²)î + (x² − y²)ĵ तथा dr̄ = dx î + dy ĵ और वक्र C, क्षेत्र R = {(x, y) | 1 ≤ y ≤ 2 − x²} की परिधि है। (8 अंक)

2016 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 10 अंक: सिद्ध कीजिये कि
∮_C f dr⃗ = ∬_S dS⃗ × ∇f

2015 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 12 अंक: निम्नलिखित का मान निकालिए ∫_C e^−x(sin y dx + cos y dy) जहाँ C एक आयत है, जिसके (0, 0), (π, 0), (π, π/2), (0, π/2) शीर्ष हैं।

2014 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 20 अंक: स्टोक्स के प्रमेय के द्वारा मूल्यांकन कीजिए: ∫_Γ (y dx + z dy + x dz) जहाँ Γ वक्र है x² + y² + z² − 2ax − 2ay = 0, x + y = 2a, जो कि (2a, 0, 0) से शुरू होता है और फिर z-समतल के नीचे से होकर जाता है।