साधारण अवकल समीकरण — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. कोटि, घात और अवकल समीकरण के निर्माण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रकृति के अनेक नियम दरों के बारे में कथन हैं: गर्म वस्तु अपने अतिरिक्त ताप के समानुपाती दर से ठंडी होती है, और जनसंख्या अपने आकार के समानुपाती दर से बढ़ती है। ऐसा नियम किसी अज्ञात फलन और उसके अवकलजों के बीच का संबंध है, अर्थात अवकल समीकरण (differential equation)। विपरीत दिशा में, वक्रों का कोई ज्यामितीय कुल (त्रिज्या 1 के सभी वृत्त, मूलबिंदु से जाने वाली सभी रेखाएँ) अचरों वाले समीकरण से व्यक्त होता है, और अचरों को हटाने पर वह एक नियम मिलता है जिसका पालन कुल का प्रत्येक सदस्य करता है।

शब्दों में: साधारण अवकल समीकरण (ordinary differential equation, ODE) एक स्वतंत्र चर x, एक आश्रित चर y और अवकलजों dy/dx, d²y/dx², ... को जोड़ता है; "साधारण" का अर्थ है कि केवल एक स्वतंत्र चर है, अतः कोई आंशिक अवकलज नहीं आता। कोटि (order) उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि है। घात (degree) उस उच्चतम अवकलज की घात है, जब समीकरण को सभी अवकलजों में बहुपद के रूप में लिख दिया जाए।

अंतराल I पर हल (solution) वह फलन y(x) है जिसे उसके अवकलजों सहित रखने पर समीकरण I के प्रत्येक x के लिए सर्वसमिका बन जाता है। n-वीं कोटि के समीकरण के व्यापक हल (general solution) में n आवश्यक (essential) स्वेच्छ अचर होते हैं (जिन्हें कम अचरों में मिलाया नहीं जा सकता); अचरों को संख्यात्मक मान देने पर विशिष्ट हल (particular solution) मिलता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मूलबिंदु से जाने वाली सभी सरल रेखाओं y = mx (m स्वेच्छ) का अवकल समीकरण ज्ञात करें।

(1) एक अचर m है, अतः हम प्रथम कोटि के समीकरण की अपेक्षा करते हैं। (2) एक बार अवकलन करें: dy/dx = m. इसमें अभी भी m है, अतः अकेले यह केवल एक विशेष प्रवणता की रेखाओं को दर्शाता है।

(3) मूल समीकरण की सहायता से m का विलोपन करें: m = y/x. (4) प्रतिस्थापन करें: dy/dx = y/x, अर्थात x dy/dx − y = 0. (5) जाँच: प्रत्येक y = mx के लिए x·m − mx = 0. समीकरण की कोटि 1, घात 1 है और इसमें कोई अचर नहीं: यह मूलबिंदु से जाने वाली प्रत्येक रेखा का साझा नियम है।

अ-उदाहरण (non-example): y = A + B + x² में दो अचर प्रतीत होते हैं, परंतु A + B एक ही अचर C है, अतः एक अवकलन से ही y′ = 2x, प्रथम कोटि का समीकरण मिल जाता है; अचर आवश्यक नहीं थे। इसी प्रकार y″ + e^y′ = 0 की कोटि 2 है परंतु कोई घात नहीं, क्योंकि e^y′ y′ में बहुपद नहीं है; और √(y′) = x − y का घात (1) पढ़ने से पहले उसे वर्ग करके (y′) = (x − y)² बनाना होगा।

आगे बढ़ते हुए: ठीक n अवकलन ही क्यों? कुल का समीकरण F(x, y, c₁, ..., c_n) = 0 और उसके प्रथम n अवकलज कुल n + 1 समीकरण हैं; सामान्यतः इनमें से n को n अचरों के लिए हल करके परिणाम अंतिम समीकरण में रखा जा सकता है, जिससे केवल x, y, y′, ..., y⁽ⁿ⁾ के बीच संबंध बचता है। कम अवकलन करने पर कोई अचर बचा रहता है; अधिक करने पर अतिरिक्त, अवांछित हलों वाला उच्च कोटि का समीकरण मिलता है।

यह गिनती उलटी दिशा में भी कार्य करती है: n-वीं कोटि के समीकरण से एक हल चुनने के लिए n प्रारंभिक प्रतिबंध y(x₀), y′(x₀), ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) चाहिए, प्रत्येक स्वेच्छ अचर के लिए एक (इसी विषय में आगे पिकार्ड प्रमेय n = 1 के लिए इसे सटीक बनाता है)।

कहाँ प्रयोग होता है: निर्माण संबंधी प्रश्न ("सभी वृत्तों का अवकल समीकरण बनाइए", "निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्षों वाले सभी दीर्घवृत्तों का") मानक 10-अंकीय प्रश्न हैं; प्राचल का यही विलोपन प्रत्येक लंबकोणीय संछेदी प्रश्न का चरण 1 है, और कोटि तथा घात यह तय करते हैं कि कौन-सी हल विधि लागू होगी।

2. अवकल समीकरणों का निर्माण

कोटि (order) उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि है; घात (degree) उच्चतम कोटि के अवकलज की घात है, जब समीकरण को अवकलजों में करणी और भिन्न से मुक्त कर दिया जाए।

भाव: घात (degree) तभी परिभाषित है जब समीकरण अवकलजों में बहुपद हो। y′ + sin(y′) = x की कोटि (order) 1 है परंतु कोई घात नहीं; (y″)^3/2 = 1 + y′ घात 3 का है, क्योंकि वर्ग करने पर (y″)³ = (1 + y′)² मिलता है।

n स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों वाले वक्र-कुल से कोटि n का अवकल समीकरण बनता है: n बार अवकलन करें और n अचरों का विलोपन करें।

n अवकलज क्यों: वक्र का समीकरण और उसके प्रथम n अवकलज n + 1 समीकरण देते हैं, जो n अचरों का विलोपन करके x, y, y′, ..., y⁽ⁿ⁾ के बीच एक संबंध छोड़ने के लिए पर्याप्त हैं। अचर आवश्यक (essential) होने चाहिए: y = Ae^{x + B} = (Ae^B)e^x में केवल एक है, और यह प्रथम कोटि समीकरण y′ = y देता है।

उदाहरण 1: वह अवकल समीकरण बनाइए जिसका व्यापक हल y = Ae^2x + Be^−3x है।

y′ = 2Ae^2x − 3Be^−3x, y″ = 4Ae^2x + 9Be^−3x, अतः y″ + y′ − 6y = (4 + 2 − 6)Ae^2x + (9 − 3 − 6)Be^−3x = 0; समीकरण y″ + y′ − 6y = 0 है (कोटि 2, घात 1)।

3. चर-पृथक्करणीय और समघात समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रथम कोटि, प्रथम घात का समीकरण dy/dx = f(x, y) प्रत्येक बिंदु पर एक प्रवणता निर्धारित करता है, और उसे हल करने का अर्थ है उन वक्रों को खोजना जो इन प्रवणताओं का अनुसरण करते हैं। सबसे सरल स्थिति वह है जब f के x-भाग और y-भाग को अलग किया जा सके, क्योंकि तब प्रत्येक पक्ष का समाकलन सामान्य एक-चर कलन से हो जाता है।

शब्दों में: dy/dx = f(x, y) चर-पृथक्करणीय (separable) है यदि f(x, y) = g(x)h(y); तब जहाँ h(y) ≠ 0 हो वहाँ dy/h(y) = g(x) dx. फलन f(x, y) n घात का समघात (homogeneous of degree n) है यदि सभी t > 0 के लिए f(tx, ty) = tⁿf(x, y). यदि M और N समान घात के समघात हैं, तो dy/dx = M/N केवल अनुपात v = y/x पर निर्भर करता है, और प्रतिस्थापन y = vx इसे v और x में चर-पृथक्करणीय समीकरण बना देता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: dy/dx = (x + y)/x हल करें। (1) समघातता की जाँच: अंश और हर दोनों घात 1 के हैं, और x से भाग देने पर dy/dx = 1 + y/x मिलता है, जो केवल y/x का फलन है। (2) y = vx रखें; गुणन नियम से dy/dx = v + x dv/dx.

(3) प्रतिस्थापन: v + x dv/dx = 1 + v, अतः x dv/dx = 1. ध्यान दें कि पद v दोनों पक्षों से कट जाता है; ऐसा सदा होता है, और इसी से समीकरण चर-पृथक्करणीय बनता है। (4) चर पृथक करके समाकलन: dv = dx/x से v = log|x| + c.

(5) y पर लौटें: y/x = log|x| + c, अर्थात y = x log|x| + cx. (6) जाँच: y′ = log|x| + 1 + c, और (x + y)/x = 1 + log|x| + c; दोनों बराबर हैं, अतः उत्तर सही है।

अ-उदाहरण (non-example): dy/dx = (x + y + 1)/x समघात नहीं है: (x, y) के स्थान पर (tx, ty) रखने से (tx + ty + 1)/(tx) मिलता है, जो अचर 1 के कारण केवल y/x का फलन नहीं है (यह समीकरण इसके स्थान पर रैखिक है)। और dy/dx = sin(xy) चर-पृथक्करणीय नहीं है, क्योंकि sin(xy) को g(x)h(y) के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

आगे बढ़ते हुए: यदि M, N घात n के समघात हैं, तो M(x, y) = xⁿM(1, y/x) और N(x, y) = xⁿN(1, y/x), अतः M/N = M(1, v)/N(1, v) = F(v). y = vx से x dv/dx = F(v) − v मिलता है, अर्थात dv/(F(v) − v) = dx/x. यदि किसी अचर v₀ के लिए F(v₀) = v₀, तो रेखा y = v₀x स्वयं एक हल है जो भाग देने में छूट जाता है; ऐसी रेखाओं की अलग से जाँच करें।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रतिस्थापन y = vx लंबकोणीय संछेदियों (वृत्त-कुलों) में, मूलबिंदु खिसकाने के बाद समानेय रूप (ax + by + c)/(a′x + b′y + c′) में, और समाकलन गुणक के नियम 3 के पीछे फिर आता है।

4. रैखिक और बरनौली समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रतिरूप अज्ञात में रैखिक होते हैं: अंतर्वाह q(t) और मात्रा के समानुपाती बहिर्वाह वाली टंकी, dy/dt + ky = q(t), या विद्युत परिपथ L di/dt + Ri = E(t). बल-पद Q(x) आते ही चरों का पृथक्करण विफल हो जाता है, अतः हमें ऐसी विधि चाहिए जो प्रत्येक संतत P और Q के लिए कार्य करे।

शब्दों में: dy/dx + P(x)y = Q(x) रैखिक (linear) है: y और y′ केवल प्रथम घात में आते हैं और कभी आपस में गुणा नहीं होते, तथा P, Q केवल x पर निर्भर हैं। समाकलन गुणक (integrating factor) μ(x) ऐसा गुणक है जो μ(y′ + Py) को यथातथ अवकलज (μy)′ बना दे। बरनौली समीकरण (Bernoulli's equation) y′ + Py = Qyⁿ पद yⁿ के कारण रैखिक नहीं है, परंतु नए अज्ञात z = y¹⁻ⁿ में रैखिक हो जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: dy/dx + 2y = e^−x हल करें। (1) P = 2 और Q = e^−x पढ़ें; dy/dx का गुणांक पहले से 1 है। (2) IF = e^{∫2 dx} = e^2x; IF में कोई अचर आवश्यक नहीं।

(3) गुणा करें: e^2xy′ + 2e^2xy = e^x, और ध्यान दें कि गुणन नियम से बायाँ पक्ष (e^2xy)′ है। (4) समाकलन: e^2xy = e^x + c; अचर इसी चरण में आता है। (5) e^2x से भाग दें: y = e^−x + ce^−2x.

(6) उत्तर की संरचना पर ध्यान दें: ce^−2x समीकरण y′ + 2y = 0 का व्यापक हल है, और e^−x पूरे समीकरण का एक विशिष्ट हल है। "समघात भाग + एक विशिष्ट हल" का यही ढाँचा उच्च कोटि के रैखिक समीकरणों का CF + PI है।

अ-उदाहरण (non-example): y′ + y² = x न तो रैखिक है (y² के कारण) और न बरनौली (अरैखिक पद रैखिक बाएँ पक्ष के दाईं ओर Q(x)yⁿ के रूप में नहीं है); यह रिकाती (Riccati) समीकरण है और इसके लिए अन्य विधियाँ चाहिए। साथ ही x y′ + y = x² रैखिक है, परंतु P को x से भाग देने के बाद पढ़ना होगा: P = 1/x, न कि 1.

आगे बढ़ते हुए: IF को μ′ = Pμ संतुष्ट करना चाहिए (नीचे रैखिक IF के खंड में व्युत्पन्न), जिससे μ = e^{∫P dx} मिलता है। बरनौली के लिए yⁿ से भाग देने पर y⁻ⁿy′ + Py¹⁻ⁿ = Q; z = y¹⁻ⁿ के साथ z′ = (1 − n)y⁻ⁿy′, अतः z′ + (1 − n)Pz = (1 − n)Q, जो z में रैखिक समीकरण है। n > 0 के लिए y = 0 भी एक हल है और उसे अलग से लिखना चाहिए।

कहाँ प्रयोग होता है: वृद्धि, क्षय और शीतलन के प्रश्न, x में रैखिक समीकरण (dx/dy + P(y)x = Q(y)), द्वितीय कोटि वाले विषय का प्राचल-विचरण विचार, और y′ + Py = Q, y(x₀) = y₀ प्रकार की प्रत्येक प्रारंभिक मान समस्या।

5. प्रथम कोटि, प्रथम घात के मानक प्रकार

चर-पृथक्करणीय (variables separable): f(x) dx = g(y) dy; दोनों पक्षों का समाकलन करें।

भाव: पृथक्करणीय (separable) का अर्थ है कि ढाल (x का फलन) × (y का फलन) के रूप में गुणनखंडित होता है। g(y) से भाग देने पर अचर हल छूट सकते हैं: dy/dx = y में y से भाग देने पर y = ce^x मिलता है, और y = 0 केवल c = 0 से वापस आता है; dy/dx = √y के लिए हल y = 0, (x + c)²/4 के रूप का है ही नहीं।

समघात (homogeneous): dy/dx = f(x, y)/g(x, y), जहाँ f, g समान घात के समघात फलन हैं; y = vx रखें, तब dy/dx = v + x dv/dx और चर पृथक हो जाते हैं।

यह क्यों कार्य करता है: f/g के घात 0 का समघात होने का अर्थ है कि यह केवल v = y/x पर निर्भर है, अतः मूलबिंदु से होकर जाने वाली किरण के सभी बिंदुओं पर ढाल समान है। तब x dv/dx = F(v) − v पृथक्करणीय है: dv/(F(v) − v) = dx/x.

समघात में समानेय: dy/dx = (ax + by + c)/(a′x + b′y + c′); यदि a/a′ ≠ b/b′ तो x = X + h, y = Y + k द्वारा मूलबिंदु बदलकर अचर हटाएँ; यदि a/a′ = b/b′ तो z = ax + by रखें।

यह क्यों कार्य करता है: यदि a/a′ ≠ b/b′ हो तो रेखाएँ ax + by + c = 0 और a′x + b′y + c′ = 0 बिंदु (h, k) पर मिलती हैं; मूलबिंदु को वहाँ ले जाने से अचर हट जाते हैं और समघात समीकरण बचता है। यदि a/a′ = b/b′ हो, तो हर का x, y भाग ax + by का गुणज है, अतः z = ax + by समीकरण को पृथक्करणीय बना देता है।

रैखिक (linear): dy/dx + Py = Q (P, Q केवल x के फलन); IF = e^{∫P dx} तथा y·(IF) = ∫Q·(IF) dx + c।

सुझाव: समीकरण y के स्थान पर x में रैखिक हो सकता है: dx/dy + P(y)x = Q(y) का समाकलन गुणक (IF) e^{∫P dy} है और हल x·(IF) = ∫Q·(IF) dy + c. जब समीकरण y में रैखिक न हो, तब यह आज़माएँ।

बर्नूली (Bernoulli): dy/dx + Py = Qyⁿ (n ≠ 0, 1); yⁿ से भाग देकर z = y¹⁻ⁿ रखें, रैखिक समीकरण dz/dx + (1 − n)Pz = (1 − n)Q प्राप्त होता है।

यह क्यों कार्य करता है: yⁿ से भाग देने पर y⁻ⁿy′ + Py¹⁻ⁿ = Q मिलता है, और z = y¹⁻ⁿ के लिए z′ = (1 − n)y⁻ⁿy′, अतः (1/(1 − n))z′ + Pz = Q. अधिक व्यापक रूप में f′(y)y′ + Pf(y) = Q, z = f(y) रखने पर रैखिक हो जाता है।

उदाहरण 2: dy/dx + y/x = x² हल कीजिए।

IF = e^∫dx/x = x, अतः d(xy)/dx = x³ और xy = x⁴/4 + c।

6. यथातथ समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: यदि हम किसी फलन u के स्तर-वक्र u(x, y) = c के अनुदिश चलें, तो du = u_x dx + u_y dy = 0. अतः जो समीकरण M dx + N dy = 0 किसी ऐसे u से आता हो, वह तुरंत हल हो जाता है: उसके हल-वक्र स्तर-वक्र u = c हैं। हमें ऐसा परीक्षण चाहिए जो u को जाने बिना बताए कि ऐसा u विद्यमान है या नहीं।

शब्दों में: M dx + N dy फलन u का संपूर्ण अवकल (total differential) है जब M = ∂u/∂x और N = ∂u/∂y. तब मिश्रित आंशिक अवकलज बराबर होते हैं, u_xy = u_yx, जिसका अर्थ है ∂M/∂y = ∂N/∂x. यथातथता प्रमेय कहता है कि यह आवश्यक प्रतिबंध सरलतः संबद्ध (simply connected) क्षेत्र पर, अर्थात बिना छिद्र वाले क्षेत्र जैसे आयत या चकती पर, पर्याप्त भी है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (3x² + 2xy) dx + (x² + 2y) dy = 0 हल करें। (1) M = 3x² + 2xy और N = x² + 2y. (2) ∂M/∂y = 2x और ∂N/∂x = 2x बराबर हैं, अतः समीकरण यथातथ है।

(3) u_x = M से u ज्ञात करें: y को स्थिर रखकर x में समाकलन से u = x³ + x²y + φ(y), जहाँ "अचर" φ(y), y पर निर्भर हो सकता है। (4) u_y = N का प्रयोग करें: x² + φ′(y) = x² + 2y, अतः φ′(y) = 2y और φ = y²; ध्यान दें कि φ′ ठीक N का x-मुक्त पद है।

(5) हल x³ + x²y + y² = c है। (6) जाँच: d(x³ + x²y + y²) = (3x² + 2xy) dx + (x² + 2y) dy, जो दिया गया व्यंजक है।

अ-उदाहरण (non-example): y dx − x dy = 0 में ∂M/∂y = 1 और ∂N/∂x = −1, अतः यह यथातथ नहीं है। फिर भी इसके हल y = cx सरल हैं, और 1/x² से गुणा करने पर बायाँ पक्ष −d(y/x) बन जाता है। अयथातथ समीकरण उपयुक्त गुणक से गुणा करने पर यथातथ बन सकता है; यही अगले पाठ का विचार है।

आगे बढ़ते हुए: आयत R पर पर्याप्तता: R में (x₀, y₀) स्थिर करें और u(x, y) = ∫_x0^x M(t, y₀) dt + ∫_y0^y N(x, t) dt परिभाषित करें, अर्थात पहले क्षैतिज और फिर ऊर्ध्वाधर रेखाखंड के अनुदिश समाकलन। तब तुरंत u_y = N, और N_x = M_y का प्रयोग करके u_x = M(x, y₀) + ∫_y0^y N_x(x, t) dt = M(x, y₀) + ∫_y0^y M_y(x, t) dt = M(x, y).

इस रचना के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाखंडों का क्षेत्र के भीतर रहना आवश्यक है, इसीलिए प्रमेय आयत या, अधिक व्यापक रूप में, सरलतः संबद्ध क्षेत्र के लिए कहा जाता है; नीचे का "हल नियम" यही रचना नुस्खे के रूप में है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक समाकलन गुणक प्रश्न का अंत एक यथातथ समीकरण पर होता है; यथातथता संरक्षी क्षेत्र का तथा ग्रीन प्रमेय (सदिश विश्लेषण) में ∫(M dx + N dy) की पथ-स्वतंत्रता का प्रतिबंध भी है।

7. यथातथ समीकरण (Exact Equations)

M dx + N dy = 0 यथातथ है यदि इसका बायाँ पक्ष किसी फलन u(x, y) का du हो; तब हल u = c है।

भाव: u एक विभव फलन (potential function) है: हल वक्र इसके स्तर वक्र u(x, y) = c हैं, और (M, N), u की प्रवणता है।

प्रमेय: यदि M, N, ∂M/∂y, ∂N/∂x किसी सरलतः संबद्ध क्षेत्र R पर संतत हैं, तो समीकरण R में यथातथ है यदि और केवल यदि पूरे R में ∂M/∂y = ∂N/∂x।

प्रतिबंध क्यों: आवश्यकता केवल u_xy = u_yx है। क्षेत्र सरलतः संबद्ध (simply connected) होना चाहिए: (−y dx + x dy)/(x² + y²) मूलबिंदु रहित तल पर ∂M/∂y = ∂N/∂x संतुष्ट करता है, परंतु इकाई वृत्त के परितः इसका समाकल 2π ≠ 0 है, अतः यह वहाँ यथातथ (exact) नहीं है (यह केवल कटे हुए तल पर d(θ) के बराबर है)।

हल का नियम: ∫M dx (y को अचर मानकर) + ∫(N के वे पद जिनमें x नहीं है) dy = c।

नियम क्यों कार्य करता है: u_x = M से u = ∫M dx + φ(y); तब u_y = N से φ′(y) निर्धारित होता है, और φ′ ठीक N के वे पद हैं जो पहले समाकल से पहले से नहीं आए, अर्थात x से मुक्त पद।

उदाहरण 3: (2xy + 3) dx + (x² + 4y) dy = 0 हल कीजिए।

∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x, अतः समीकरण यथातथ है; हल x²y + 3x + 2y² = c है।

8. समाकलन गुणकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: व्यवहार में मिलने वाले अधिकांश समीकरण M dx + N dy = 0 यथातथ नहीं होते। समीकरण को किसी शून्येतर फलन से गुणा करने पर उसके हल-वक्र नहीं बदलते, और सही ढंग से चुना गया गुणक उसे यथातथ बना देता है, जिसके बाद पिछला पाठ काम पूरा कर देता है।

शब्दों में: μ(x, y) समाकलन गुणक (integrating factor, IF) है जब (μM)_y = (μN)_x. यह μ के लिए आंशिक अवकल समीकरण है, जो सामान्यतः मूल प्रश्न से कठिन है, अतः हम केवल विशेष आकार का μ खोजते हैं: केवल x का फलन, केवल y का, x + y का, xy का, या घात-गुणनफल x^hy^k. प्रत्येक आकार के लिए प्रतिबंध एक साधारण समीकरण बन जाता है, और IF के नियम यह जाँचते हैं कि वह समीकरण कब हल हो सकता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y dx + (2x − ye^y) dy = 0 हल करें। (1) M = y, N = 2x − ye^y, अतः M_y = 1 और N_x = 2: यथातथ नहीं। (2) नियम 1 आज़माएँ: (M_y − N_x)/N = −1/(2x − ye^y) में y है, अतः केवल x का कोई IF नहीं है।

(3) नियम 2 आज़माएँ: (N_x − M_y)/M = 1/y, जो केवल y का फलन है, अतः IF = e^∫dy/y = y. (4) गुणा करें: y² dx + (2xy − y²e^y) dy = 0, और जाँचें कि ∂(y²)/∂y = 2y = ∂(2xy − y²e^y)/∂x.

(5) हल नियम: ∫y² dx = xy²; नए N का x-मुक्त पद −y²e^y है, और ∫−y²e^y dy = −e^y(y² − 2y + 2). (6) उत्तर: xy² − e^y(y² − 2y + 2) = c; रेखा y = 0 भी मूल समीकरण को संतुष्ट करती है (यह केवल y से भाग देने पर छूटती है)।

अ-उदाहरण (non-example): चरण (2) में नियम 1 का भागफल y पर निर्भर था; उससे बलपूर्वक IF e^{∫f dx} बनाने पर ऐसा गुणक मिलता जो समीकरण को यथातथ नहीं बनाता। जो भागफल अपेक्षित एक चर का फलन न हो, वह अगला नियम आज़माने का संकेत है, आगे खींचने की चीज़ नहीं।

आगे बढ़ते हुए: एक सूत्र सामान्य नियमों को समेट लेता है। मान लें μ = μ(z), जहाँ z = z(x, y). तब (μM)_y = (μN)_x का रूप μ′(z)(z_yM − z_xN) = μ(N_x − M_y) हो जाता है, अतः μ′/μ = (N_x − M_y)/(z_yM − z_xN) केवल z का फलन होना चाहिए।

पढ़ने पर: z = x से (M_y − N_x)/N (नियम 1); z = y से (N_x − M_y)/M (नियम 2); z = x + y से (N_x − M_y)/(M − N); z = xy से (N_x − M_y)/(xM − yN). नियम 3 और 4 (समघात M, N, तथा y f₁(xy) dx + x f₂(xy) dy) विशेष संवृत-रूप उत्तर हैं जो अलग से सिद्ध किए जाते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: "h, k ज्ञात कीजिए कि x^hy^k IF हो", "दिखाइए कि 1/(x² + y²) IF है", "x + y के फलन के रूप में IF ज्ञात कीजिए" सबसे अधिक पूछे जाने वाले 10–15 अंकीय ODE प्रश्नों में हैं; यही गुणक-विचार रैखिक समीकरण का IF e^{∫P dx} देता है।

9. समाकलन गुणक (IF) के नियम

IF एक शून्येतर फलन μ(x, y) है जिससे μM dx + μN dy = 0 यथातथ हो जाए।

नियम 1: यदि (∂M/∂y − ∂N/∂x)/N = केवल f(x), तो IF = e^{∫f(x) dx}।

नियम 2: यदि (∂N/∂x − ∂M/∂y)/M = केवल g(y), तो IF = e^{∫g(y) dy}।

नियम 3: यदि M, N समान घात के समघात हैं और Mx + Ny ≠ 0, तो IF = 1/(Mx + Ny)।

नियम 4: यदि समीकरण y f₁(xy) dx + x f₂(xy) dy = 0 के रूप का है और Mx − Ny ≠ 0, तो IF = 1/(Mx − Ny)।

नियम 3 क्यों कार्य करता है: D = Mx + Ny के साथ सीधी गणना से D²[(M/D)_y − (N/D)_x] = N(xM_x + yM_y) − M(xN_x + yN_y). ऑयलर प्रमेय से दोनों कोष्ठक फलन के n गुने हैं (n उभयनिष्ठ घात), अतः दायाँ पक्ष nMN − nMN = 0 है।

नियम 5: x^ay^b(my dx + nx dy) + x^cy^d(py dx + qx dy) = 0 के लिए IF = x^hy^k लें और h, k ऐसे चुनें कि समीकरण यथातथ हो जाए।

निरीक्षण विधि: ज्ञात यथातथ अवकलों का प्रयोग करें, जैसे x dy + y dx = d(xy), (x dy − y dx)/x² = d(y/x), (x dy − y dx)/(x² + y²) = d(tan⁻¹(y/x))।

उदाहरण 4: (x² + y² + x) dx + xy dy = 0 हल कीजिए।

(∂M/∂y − ∂N/∂x)/N = (2y − y)/(xy) = 1/x, अतः IF = e^∫dx/x = x।

यथातथ समीकरण (x³ + xy² + x²) dx + x²y dy = 0 से x⁴/4 + x²y²/2 + x³/3 = c।

10. व्युत्पत्ति: रैखिक समीकरण का समाकलन गुणक

dy/dx + Py = Q को μ(x) से गुणा करें। हम चाहते हैं कि बायाँ पक्ष एक गुणनफल का अवकलज हो: μy′ + μPy = (μy)′ = μy′ + μ′y.

यह तब सत्य है जब μ′ = Pμ, अर्थात μ = e^{∫P dx}; कोई भी अचर गुणज समान रूप से कार्य करता है, अतः IF में अचर की आवश्यकता नहीं।

तब (μy)′ = μQ, और एक बार समाकलन करने पर μy = ∫μQ dx + c. अचर c यहीं, μ से भाग देने से पहले, आता है।

11. व्युत्पत्ति: समाकलन गुणक नियम 1 और 2

μ ठीक तब IF है जब (μM)_y = (μN)_x. यदि μ = μ(x) हो, तो यह μM_y = μ′N + μN_x है, अर्थात μ′/μ = (M_y − N_x)/N.

बायाँ पक्ष केवल x पर निर्भर है, अतः ऐसा μ ठीक तब विद्यमान है जब दायाँ पक्ष केवल x का फलन f(x) हो, और तब μ = e^{∫f(x) dx}: नियम 1.

μ = μ(y) के साथ यही गणना μ′/μ = (N_x − M_y)/M देती है, जो केवल y का फलन g(y) होना चाहिए: नियम 2. "समाकलन गुणक और रैखिक समीकरण: पिछले प्रश्न" खंड में μ(x + y) या μ(xy) का परीक्षण इसी समीकरण से आता है।

12. विधि का चयन

यदि चर पृथक हो जाएँ → पृथक करके समाकलन करें (भाग देने पर छूटे अचर हल रखें)।

यदि dy/dx केवल y/x का फलन हो → y = vx; यदि यह अचरों सहित रैखिक व्यंजकों का अनुपात हो → मूलबिंदु का स्थानांतरण, या रेखाएँ समांतर हों तो z = ax + by.

यदि y और y′ केवल प्रथम घात में हों → रैखिक, IF = e^{∫P dx}; यदि x और dx/dy केवल प्रथम घात में हों → x में रैखिक।

यदि समीकरण y′ + Py = Qyⁿ, या f′(y)y′ + Pf(y) = Q हो → बर्नूली प्रतिस्थापन z = y¹⁻ⁿ (या z = f(y))।

यदि M dx + N dy = 0 में M_y = N_x → यथातथ; यदि नहीं → क्रम से आज़माएँ: (M_y − N_x)/N = f(x), (N_x − M_y)/M = g(y), समघातता (नियम 3), रूप y f₁(xy) dx + x f₂(xy) dy (नियम 4), x^hy^k (नियम 5), और ज्ञात यथातथ अवकलों में समूहन।

13. सामान्य गलतियाँ

dy/dx का गुणांक 1 किए बिना P और Q पढ़ना (x dy/dx + 2y = x² के लिए P = 2/x है, 2 नहीं)।

IF से भाग देने के बाद अचर जोड़ना: y = (1/μ)∫μQ dx + c गलत है; सही रूप y = (1/μ)(∫μQ dx + c) है।

यथातथता का परीक्षण ∂M/∂y और ∂N/∂x के स्थान पर ∂M/∂x और ∂N/∂y से करना।

यथातथ समीकरणों के हल नियम में N के उन पदों का भी समाकलन करना जिनमें x है, जिससे वे दो बार गिने जाते हैं।

बर्नूली समीकरण में z के रैखिक समीकरण में P और Q दोनों पर गुणक (1 − n) भूल जाना।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: M dx + N dy सरलतः संबद्ध क्षेत्र पर ठीक तब यथातथ है जब क्षेत्र (M, N) संरक्षी हो; यह ग्रीन प्रमेय में ∮(M dx + N dy) = 0 वाला ही प्रतिबंध है (सदिश विश्लेषण)।

संबंध: रैखिक प्रथम कोटि समीकरण प्राचल-विचरण (variation of parameters) की n = 1 स्थिति है (द्वितीय कोटि समीकरण विषय), और अचर-गुणांक रैखिक प्रारंभिक मान समस्याएँ लाप्लास रूपांतर से भी हल होती हैं; पिकार्ड की पुनरावृत्तियाँ एकसमान अभिसरण का अनुप्रयोग हैं (वास्तविक विश्लेषण)।

15. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 5: dy/dx = (x + 2y − 3)/(2x + y − 3) हल कीजिए।

यहाँ a/a′ = 1/2 ≠ b/b′ = 2; रेखाएँ x + 2y = 3 और 2x + y = 3 बिंदु (1, 1) पर मिलती हैं, अतः x = X + 1, y = Y + 1 रखने पर dY/dX = (X + 2Y)/(2X + Y)।

Y = vX रखने पर: X dv/dX = (1 − v²)/(2 + v), तथा (2 + v)/(1 − v²) = (3/2)/(1 − v) + (1/2)/(1 + v)।

समाकलन से −(3/2) log|1 − v| + (1/2) log|1 + v| = log X + c, अतः (1 + v)/(1 − v)³ = CX², अर्थात X + Y = C(X − Y)³।

x, y में लौटने पर: x + y − 2 = C(x − y)³।

उदाहरण 6: x dy/dx + y = x³y⁶ हल कीजिए।

यह n = 6 वाला बर्नूली समीकरण है: xy⁶ से भाग देने पर y⁻⁶ dy/dx + y⁻⁵/x = x²।

z = y⁻⁵, dz/dx = −5y⁻⁶ dy/dx रखने पर: dz/dx − 5z/x = −5x², एक रैखिक समीकरण जिसका IF = x⁻⁵।

d(zx⁻⁵)/dx = −5x⁻³ से zx⁻⁵ = (5/2)x⁻² + c, अतः y⁻⁵ = (5/2)x³ + cx⁵।

उदाहरण 7: y(xy + 2x²y²) dx + x(xy − x²y²) dy = 0 हल कीजिए।

रूप y f₁(xy) dx + x f₂(xy) dy = 0 है और Mx − Ny = xy(3x²y²) = 3x³y³ ≠ 0, अतः नियम 4 से IF = 1/(3x³y³)।

यथातथ समीकरण [1/(3x²y) + 2/(3x)] dx + [1/(3xy²) − 1/(3y)] dy = 0 है; दोनों तिर्यक अवकलज −1/(3x²y²) के बराबर हैं।

हल-नियम से −1/(3xy) + (2/3) log x − (1/3) log y = c, अर्थात 2 log x − log y − 1/(xy) = C।

16. अस्तित्व और अद्वितीयता: पिकार्ड प्रमेय

लिप्शित्ज़ प्रतिबंध (Lipschitz condition): f, R पर y में लिप्शित्ज़ प्रतिबंध को संतुष्ट करता है यदि R के सभी (x, y₁), (x, y₂) के लिए |f(x, y₁) − f(x, y₂)| ≤ K|y₁ − y₂|; यह तब सदैव सत्य है जब संवृत आयत R पर ∂f/∂y संतत (अतः परिबद्ध) हो।

भाव: y में लिप्शित्ज़ (Lipschitz) होना y में सांतत्य से प्रबल परंतु परिबद्ध ∂f/∂y होने से दुर्बल है; उदाहरणार्थ f = |y| लिप्शित्ज़ है परंतु y = 0 पर अवकलनीय नहीं।

पिकार्ड का अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय: माना f आयत R: |x − x₀| ≤ a, |y − y₀| ≤ b पर संतत है, R पर |f| ≤ M, और f, R पर y में लिप्शित्ज़ प्रतिबंध को संतुष्ट करता है। तब dy/dx = f(x, y), y(x₀) = y₀ का |x − x₀| ≤ h पर ठीक एक हल है, जहाँ h = min(a, b/M)।

प्रतिबंध क्यों: लिप्शित्ज़ प्रतिबंध के बिना अद्वितीयता विफल हो सकती है: y′ = 3y^2/3, y(0) = 0 के दो हल y = 0 और y = x³ हैं, और f = 3y^2/3 संतत है परंतु y = 0 के निकट लिप्शित्ज़ नहीं। अंतराल h = min(a, b/M) हल को आयत के भीतर रखता है: ढाल अधिकतम M होने पर दूरी b/M में यह अधिकतम b ऊपर जा सकता है।

हल पिकार्ड पुनरावृत्तियों y_n+1(x) = y₀ + ∫_x0^x f(t, y_n(t)) dt की सीमा है। केवल f की सांतत्य से अस्तित्व मिलता है (पियानो प्रमेय), अद्वितीयता नहीं।

उदाहरण 8 (UPSC 2024, 15 अंक): आयतीय क्षेत्र R : |x − x₀| ≤ a, |y − y₀| ≤ b में प्रारम्भिक मान समस्या dy/dx = f(x, y), y(x₀) = y₀ के अद्वितीय हल के अस्तित्व के लिए अद्वितीयता प्रमेय का कथन लिखिए। एक उपयुक्त आयत R में प्रारम्भिक मान समस्या dy/dx = 2√y, y(1) = 0 के हल के अस्तित्व और अद्वितीयता का परीक्षण कीजिए। यदि एक से अधिक हल मौजूद हैं, तो सभी हलों को ज्ञात कीजिए।

कथन: ऊपर दिया गया (पिकार्ड प्रमेय)। यहाँ f(x, y) = 2√y, y ≥ 0 के लिए परिभाषित; R: |x − 1| ≤ a, 0 ≤ y ≤ b लें। f, R पर संतत है और M = 2√b, अतः |x − 1| ≤ min(a, b/(2√b)) = min(a, √b/2) पर हल विद्यमान है।

अद्वितीयता सुनिश्चित नहीं है: |f(x, y) − f(x, 0)|/|y − 0| = 2/√y → ∞ जब y → 0+, अतः y = 0 वाले बिंदुओं को समाहित करने वाले किसी भी आयत पर लिप्शित्ज़ अचर विद्यमान नहीं है।

हल करना: y ≡ 0 एक हल है। y > 0 के लिए dy/(2√y) = dx से √y = x − c, अर्थात y = (x − c)², x ≥ c.

दोनों को सुचारु रूप से जोड़ना: प्रत्येक c ≥ 1 के लिए, x ≤ c पर y = 0 और x > c पर y = (x − c)² अवकलनीय है, y′ = 2√y और y(1) = 0 को संतुष्ट करता है। (x < c वाली शाखा (x − c)² स्वीकार्य नहीं, क्योंकि वहाँ y′ < 0 जबकि 2√y > 0।)

उत्तर: हल विद्यमान हैं पर अद्वितीय नहीं: y ≡ 0 तथा प्रत्येक c ≥ 1 के लिए y = 0 (x ≤ c), y = (x − c)² (x > c); विशेषतः x ≥ 1 के लिए y = (x − 1)²।

17. ज्यामितीय, वृद्धि और निर्माण संबंधी प्रश्न

स्पर्शरेखा और अभिलंब की लंबाइयाँ: (x, y) पर स्पर्शरेखा Y − y = p(X − x) है; यह अक्षों से (x − y/p, 0) और (0, y − px) पर मिलती है। अधःस्पर्शी = y/p, अधोलंब = yp, अभिलंब की लंबाई = y√(1 + p²)।

भाव: ऐसी प्रत्येक समस्या "ज्यामितीय कथन को x, y और p के बीच संबंध में बदलें, फिर अवकल समीकरण हल करें" है। पहले स्पर्श रेखा या अभिलंब को चल निर्देशांकों (X, Y) में लिखें, फिर अंतःखंड पढ़ें।

वृद्धि और क्षय: dN/dt = kN से N = N₀e^kt; द्विगुणन काल T = (log 2)/k। न्यूटन का शीतलन नियम: dθ/dt = −k(θ − θ_s) से θ − θ_s = (θ₀ − θ_s)e^−kt।

n अचरों वाले कुल: सभी वृत्तों (x − a)² + (y − b)² = r² के लिए 3 बार अवकलन चाहिए; निर्देशांक अक्षों पर अक्षों वाले सभी शांकवों Ax² + By² = 1 के लिए 2।

उदाहरण 9 (UPSC 2014, 10 अंक): वह वक्र ज्ञात कीजिए जिसके लिए कि स्पर्शी का भाग जो अक्षों द्वारा काटा हुआ है, स्पर्शी बिन्दु पर द्विभाजित हो।

P(x, y) पर स्पर्शरेखा अक्षों से A(x − y/p, 0) और B(0, y − px) पर मिलती है। P, AB का मध्यबिंदु है, अतः (x − y/p)/2 = x और (y − px)/2 = y।

दोनों में से कोई भी प्रतिबंध p = −y/x देता है, अर्थात dy/y + dx/x = 0, अतः log xy = log c।

उत्तर: xy = c, अक्षों को अनंतस्पर्शी मानने वाले आयतीय अतिपरवलयों का कुल।

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 10 अंक): x-y समतल में सभी वृत्तों को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

वृत्त (x − a)² + (y − b)² = r² है, तीन स्वेच्छ अचरों के साथ। इसकी वक्रता त्रिज्या अचर r है: (1 + y′²)^3/2/y″ = ±r।

x के सापेक्ष अवकलन करने पर: [3y′y″²(1 + y′²)^1/2 − (1 + y′²)^3/2y‴]/y″² = 0।

(सीधे: तीन बार अवकलन करने पर 1 + y′² + (y − b)y″ = 0 और 3y′y″ + (y − b)y‴ = 0; y − b का विलोपन वही समीकरण देता है।)

उत्तर: (1 + y′²)y‴ − 3y′y″² = 0, कोटि 3 और घात 1 का समीकरण।

उदाहरण 11 (UPSC 2025, 10 अंक): सभी दीर्घवृत्तों, जिनके अक्ष निर्देशांक अक्षों के संपाती हैं, का अवकल समीकरण बनाइए।

दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 हैं (दो अचर)। अवकलन: x/a² + yy′/b² = 0, अतः yy′/x = −b²/a², एक अचर।

पुनः अवकलन: [x(y′² + yy″) − yy′]/x² = 0।

उत्तर: xyy″ + xy′² − yy′ = 0।

उदाहरण 12 (UPSC 2017, 8 अंक): (ii) यदि किसी भी समय t पर बैक्टीरिया संख्या की वृद्धि दर उस समय विद्यमान संख्या के समानुपाती है तथा संख्या एक सप्ताह में दो गुणी हो जाती है तब 4 सप्ताह के बाद बैक्टीरिया की कितनी संख्या अपेक्षित है?

माना समय t (सप्ताह) पर संख्या N(t) है: dN/dt = kN, अतः N = N₀e^kt।

एक सप्ताह में दोगुनी: 2N₀ = N₀e^k, अतः k = log 2 और N = N₀2^t।

उत्तर: 4 सप्ताह बाद N = 2⁴N₀ = 16N₀, प्रारंभिक संख्या का सोलह गुना।

18. समाकलन गुणक और रैखिक समीकरण: पिछले प्रश्न

z = x + y का फलन IF: μ(x + y), M dx + N dy = 0 का IF है यदि और केवल यदि (N_x − M_y)/(M − N) = φ(x + y); तब μ = e^{∫φ(z) dz}। इसी प्रकार μ(xy) तब काम करता है जब (N_x − M_y)/(xM − yN) = φ(xy)।

प्रस्तावित IF μ की जाँच: μ ठीक तब IF है जब (μM)_y = (μN)_x, अर्थात μ_yM − μ_xN = μ(N_x − M_y)। μ = x^hy^k या (x + y)^a के लिए घातांक ज्ञात करने हेतु गुणांकों की तुलना करें।

dy/dx + Py = Q के लिए प्राचल-विचरण: y_h = e^{−∫P dx} समघात समीकरण का हल है; y = u y_h रखने पर u′ = Q/y_h।

उदाहरण 13 (UPSC 2014, 10 अंक): उचित ठहराइए कि [y + x f(x² + y²)] dx + [y f(x² + y²) − x] dy = 0 की भांति अवकल समीकरण जहाँ कि f(x² + y²), (x² + y²) का एक स्वेच्छ फलन है, एक यथातथ अवकल समीकरण नहीं है तथा इसका 1/(x² + y²) एक समाकलन गुणक है। अतएव इस अवकल समीकरण को f(x² + y²) = (x² + y²)² के लिए हल कीजिए।

r² = x² + y², f = f(r²) लिखें। M = y + xf, N = yf − x: M_y = 1 + 2xyf′, N_x = 2xyf′ − 1, अतः M_y − N_x = 2 ≠ 0 और समीकरण यथातथ नहीं है।

पुनर्समूहन: (y dx − x dy) + f(r²)(x dx + y dy) = 0। r² से भाग देने पर: −d(tan⁻¹(y/x)) + [f(r²)/r²]·(1/2)d(r²) = 0, प्रत्येक पद यथातथ अवकल है, अतः 1/(x² + y²) एक IF है।

f = (x² + y²)² के लिए: −d(tan⁻¹(y/x)) + (1/2)r² d(r²) = 0, अतः −tan⁻¹(y/x) + r⁴/4 = c।

उत्तर: (x² + y²)² = 4 tan⁻¹(y/x) + C।

उदाहरण 14 (UPSC 2014, 15 अंक): अवकल समीकरण M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 के लिए पर्याप्त शर्त ज्ञात कीजिए ताकि उसका समाकलन गुणक, (x + y) का फलन हो। उस दशा में समाकलन गुणक क्या होगा? अतएव अवकल समीकरण (x² + xy) dx + (y² + xy) dy = 0 का समाकलन गुणक ज्ञात कीजिए तथा हल कीजिए।

माना μ = μ(z), z = x + y, अतः μ_x = μ_y = μ′। μM dx + μN dy की यथातथता: μ′M + μM_y = μ′N + μN_x, अर्थात μ′/μ = (N_x − M_y)/(M − N)।

पर्याप्त प्रतिबंध: (N_x − M_y)/(M − N) = φ(x + y), केवल x + y का फलन; तब IF = e^{∫φ(z) dz}।

यहाँ M = x² + xy, N = y² + xy: N_x − M_y = y − x और M − N = (x − y)(x + y), अतः φ = −1/(x + y) और IF = e^{−log z} = 1/(x + y)।

गुणा करने पर: x dx + y dy = 0, जो यथातथ है।

उत्तर: IF = 1/(x + y); हल x² + y² = c है।

उदाहरण 15 (UPSC 2015, 12 अंक): यदि (x + y)^a, निम्न अवकल समीकरण (4x² + 2xy + 6y)dx + (2x² + 9y + 3x)dy = 0 का समाकलन गुणांक है तो 'a' का मान मालूम कीजिये। तत्पश्चात् अवकल समीकरण का हल निकालिए।

M = 4x² + 2xy + 6y, N = 2x² + 9y + 3x। μ = (x + y)^a के लिए: (μM)_y = (μN)_x बनता है a(M − N) = (x + y)(N_x − M_y)।

M − N = 2x² + 2xy − 3x − 3y = (x + y)(2x − 3) और N_x − M_y = (4x + 3) − (2x + 6) = 2x − 3, अतः a = 1।

यथातथ समीकरण: (4x³ + 6x²y + 2xy² + 6xy + 6y²) dx + (2x³ + 2x²y + 3x² + 12xy + 9y²) dy = 0।

∫M dx = x⁴ + 2x³y + x²y² + 3x²y + 6xy²; N का x-मुक्त पद 9y² है, जिससे 3y³ मिलता है।

उत्तर: a = 1; x⁴ + 2x³y + x²y² + 3x²y + 6xy² + 3y³ = c, अर्थात (x + y)²(x² + 3y) = c।

उदाहरण 16 (UPSC 2018, 12 अंक): α और β को, जिसके लिये x^αy^β समीकरण (4y² + 3xy) dx − (3xy + 2x²) dy = 0 का एक समाकलन गुणक है, ज्ञात कीजिये और समीकरण हल कीजिये।

μ = x^αy^β से: μM = 4x^αy^β+2 + 3x^α+1y^β+1 और μN = −3x^α+1y^β+1 − 2x^α+2y^β।

(μM)_y = (μN)_x: x^αy^β+1 पदों की तुलना से 4(β + 2) = −3(α + 1); x^α+1y^β पदों की तुलना से 3(β + 1) = −2(α + 2)।

अर्थात 3α + 4β = −11 और 2α + 3β = −7, अतः α = −5, β = 1।

यथातथ समीकरण (4y³/x⁵ + 3y²/x⁴) dx − (3y²/x⁴ + 2y/x³) dy = 0 में ∫M dx = −y³/x⁴ − y²/x³, और N में कोई x-मुक्त पद नहीं है।

उत्तर: α = −5, β = 1; हल y³/x⁴ + y²/x³ = c है, अर्थात y²(x + y) = cx⁴।

उदाहरण 17 (UPSC 2020, 10 अंक): निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिए : x cos(y/x)(y dx + x dy) = y sin(y/x)(x dy − y dx)

यहाँ M = xy cos(y/x) + y² sin(y/x) और N = x² cos(y/x) − xy sin(y/x) घात 2 के समघात हैं, और Mx + Ny = 2x²y cos(y/x) ≠ 0, अतः 1/(2x²y cos(y/x)) एक IF है (नियम 3)।

निरीक्षण से शीघ्र: d(xy cos(y/x)) = (y dx + x dy) cos(y/x) − (y/x) sin(y/x)(x dy − y dx)।

अतः समीकरण x·d(xy cos(y/x)) = 0 है।

उत्तर: xy cos(y/x) = c।

उदाहरण 18 (UPSC 2026, 10 अंक): (i) दर्शाइए कि (2x − y − 1)y dx + (2y − x − 1)x dy = 0 का एक समाकलन गुणक (x + y + 1)⁻⁴ है। अतः इसे हल कीजिए।

M = (2x − y − 1)y, N = (2y − x − 1)x, s = x + y + 1। μ = s⁻⁴ एक IF है यदि (μM)_y = (μN)_x, अर्थात s(M_y − N_x) = 4(M − N)।

M_y − N_x = (2x − 2y − 1) − (2y − 2x − 1) = 4(x − y), और M − N = x² − y² + x − y = (x − y)s। दोनों पक्ष 4(x − y)s के बराबर हैं, अतः s⁻⁴ एक IF है।

माना F = xy/s³: F_x = (ys − 3xy)/s⁴ = −(2xy − y² − y)/s⁴ = −M/s⁴, और सममिति से F_y = −N/s⁴। अतः यथातथ समीकरण −dF = 0 है।

उत्तर: xy = c(x + y + 1)³।

उदाहरण 19 (UPSC 2014, 10 अंक): प्राचलों के विचरण की विधि के द्वारा हल कीजिए: dy/dx − 5y = sin x

समघात समीकरण y′ − 5y = 0 का y_h = e^5x है। y = u(x)e^5x रखें: u′e^5x = sin x, अतः u = ∫e^−5x sin x dx।

∫e^−5x sin x dx = e^−5x(−5 sin x − cos x)/26 + c।

उत्तर: y = ce^5x − (5 sin x + cos x)/26।

उदाहरण 20 (UPSC 2022, 10 अंक): दर्शाइए कि अवकल समीकरण dy/dx + Py = Q का व्यापक हल y = Q/P − e^{−∫P dx} {C + ∫ e^{∫P dx} d(Q/P)} के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ P, Q, x के शून्येतर फलन हैं तथा C एक स्वेच्छ अचर है।

I = e^{∫P dx} के साथ dI = PI dx, और रैखिक समीकरण का हल yI = ∫QI dx + C′ है।

QI dx = (Q/P)·PI dx = (Q/P) dI लिखें और खंडशः समाकलन करें: ∫(Q/P) dI = (Q/P)I − ∫I d(Q/P)।

अतः yI = (Q/P)I − ∫I d(Q/P) + C′; I से भाग देकर और C = −C′ लिखकर: y = Q/P − e^{−∫P dx}{C + ∫e^{∫P dx} d(Q/P)}।

उत्तर: अतः सिद्ध हुआ (P से भाग देने के लिए P ≠ 0 आवश्यक है)।

उदाहरण 21 (UPSC 2023, 10 अंक): प्रारम्भिक-मान समस्या: dy/dx − 2xy = 2, y(0) = 1 का हल y = e^x2[1 + √π erf(x)] के रूप में प्राप्त कीजिए।

IF = e^{∫−2x dx} = e^−x2, अतः d(ye^−x2)/dx = 2e^−x2।

0 से x तक समाकलन कर y(0) = 1 का प्रयोग करें: ye^−x2 − 1 = 2∫₀^x e^−t2 dt = √π erf(x), क्योंकि erf(x) = (2/√π)∫₀^x e^−t2 dt।

उत्तर: y = e^x2[1 + √π erf(x)]।

उदाहरण 22 (UPSC 2026, 10 अंक): यदि y₁ और y₂, dy/dx + P(x)y = Q(x) के दो हल हैं तथा y₂ = y₁u है, तो दर्शाइए कि u = 1 + a e^{−∫(Q/y₁) dx} है, जहाँ a एक शून्येतर अचर है।

w = y₂ − y₁ समघात समीकरण का हल है: w′ + Pw = 0। साथ ही y₁′ + Py₁ = Q से P = (Q − y₁′)/y₁।

y₂ = y₁u से w = y₁(u − 1)। तब y₁′(u − 1) + y₁u′ + (Q − y₁′)(u − 1) = 0, अर्थात y₁u′ + Q(u − 1) = 0।

चर पृथक करने पर: du/(u − 1) = −(Q/y₁) dx, अतः u − 1 = a e^{−∫(Q/y₁) dx}; a ≠ 0 क्योंकि y₂ ≠ y₁।

उत्तर: u = 1 + a e^{−∫(Q/y₁) dx}; अतः सिद्ध हुआ।

19. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): [1 + (dy/dx)²]^3/2 = 4 d²y/dx² की कोटि और घात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग करने पर (1 + y′²)³ = 16(y″)², अतः कोटि 2 और घात 2 है।

अभ्यास 2 (मूल): दिखाइए कि (x² + y) dx + (x + e^y) dy = 0 यथातथ है और इसे हल कीजिए।

उत्तर: M_y = 1 = N_x; हल x³/3 + xy + e^y = c है।

अभ्यास 3 (मूल): वह अवकल समीकरण बनाइए जिसका व्यापक हल y = A cos 2x + B sin 2x है।

उत्तर: दो अचर, दो अवकलन: y″ = −4y, अर्थात y″ + 4y = 0 (कोटि 2, घात 1)।

अभ्यास 4 (मानक): (x² + y²) dx − 2xy dy = 0 हल कीजिए।

उत्तर: समघात; y = vx से 2v dv/(1 − v²) = dx/x, अतः x(1 − v²) = C, अर्थात x² − y² = Cx.

अभ्यास 5 (मानक): dy/dx + y tan x = sec x हल कीजिए।

उत्तर: IF = e^{∫tan x dx} = sec x; y sec x = tan x + c, अर्थात y = sin x + c cos x.

अभ्यास 6 (मानक): dy/dx + y = xy³ हल कीजिए।

उत्तर: n = 3 वाला बरनौली; z = y⁻² से z′ − 2z = −2x, अतः z = x + 1/2 + ce^2x: 1/y² = x + 1/2 + ce^2x (तथा y = 0)।

अभ्यास 7 (मानक): (xy² − e^1/x3) dx − x²y dy = 0 हल कीजिए।

उत्तर: (M_y − N_x)/N = 4xy/(−x²y) = −4/x, अतः IF = x⁻⁴; हल e^1/x3/3 − y²/(2x²) = c है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): (xy³ + y) dx + 2(x²y² + x + y⁴) dy = 0 हल कीजिए।

उत्तर: (N_x − M_y)/M = (xy² + 1)/(y(xy² + 1)) = 1/y, अतः IF = y; हल 3x²y⁴ + 6xy² + 2y⁶ = c है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): dy/dx = (x + y + 1)/(2x + 2y + 3) हल कीजिए।

उत्तर: रेखाएँ समांतर हैं, अतः z = x + y रखें: (2z + 3) dz/(3z + 4) = dx; हल 6y − 3x + log|3x + 3y + 4| = c है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): y(2xy + 1) dx + x(1 + 2xy − x³y³) dy = 0 हल कीजिए।

उत्तर: नियम 4: Mx − Ny = x⁴y⁴, IF = 1/(x⁴y⁴); हल log y + 1/(x²y²) + 1/(3x³y³) = c है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): y′ = x + y, y(0) = 1 के लिए y₀ = 1 से आरंभ करके पिकार्ड पुनरावृत्त y₁, y₂ ज्ञात कीजिए और उनकी तुलना यथार्थ हल से कीजिए।

उत्तर: y₁ = 1 + x + x²/2, y₂ = 1 + x + x² + x³/6; यथार्थ हल y = 2e^x − x − 1 = 1 + x + x² + x³/3 + ... , y₂ से x² तक मेल खाता है।

1. लंबकोणीय संछेदियों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समतल विद्युत क्षेत्र में समविभव रेखाएँ और बल-रेखाएँ सदा समकोण पर काटती हैं, और स्थायी प्रवाह में धारारेखाएँ समविभव रेखाओं को समकोण पर काटती हैं। दोनों में से एक कुल दिया हो, तो भौतिकी दूसरा कुल माँगती है। अधिक व्यापक रूप में, वक्रों का एक कुल दिया हो, तो हम वे वक्र चाहते हैं जो प्रत्येक सदस्य से एक निर्धारित कोण पर मिलें।

शब्दों में: एक-प्राचल कुल (one-parameter family) वक्रों f(x, y, c) = 0 का संग्रह है, प्राचल c के प्रत्येक मान के लिए एक वक्र। दो वक्र किसी उभयनिष्ठ बिंदु पर कोण θ पर काटते हैं यदि वहाँ उनकी स्पर्श रेखाएँ कोण θ बनाती हैं। लंबकोणीय संछेदी (orthogonal trajectory) वह वक्र है जो प्रत्येक मिलने वाले सदस्य पर, प्रत्येक मिलन-बिंदु पर, लंबवत हो।

सामान्यतः क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु से ठीक एक सदस्य और एक संछेदी गुजरता है, अतः संछेदी स्वयं एक नए अचर k वाला नया एक-प्राचल कुल बनाते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: मूलबिंदु से जाने वाली रेखाओं y = cx के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात करें। अपेक्षित चित्र: मूलबिंदु पर केंद्र वाले वृत्त प्रत्येक त्रिज्या को समकोण पर काटते हैं।

(1) कुल की प्रवणता: dy/dx = c, और c = y/x, अतः बिंदु (x, y) पर उससे गुजरने वाले सदस्य की प्रवणता y/x है। (2) उसी बिंदु से गुजरने वाले संछेदी की प्रवणता m_T ऐसी होनी चाहिए कि m_T·(y/x) = −1, अतः m_T = −x/y.

(3) dy/dx = −x/y हल करें: y dy = −x dx, अतः x² + y² = k. (4) जाँच: (x, y) पर त्रिज्या की दिशा (x, y) और वृत्त की स्पर्श रेखा की दिशा (−y, x) है; इनका अदिश गुणनफल −xy + yx = 0, अतः वे लंबवत हैं, जैसा अपेक्षित था।

अ-उदाहरण (non-example): रेखाएँ y = x + c वृत्तों x² + y² = k से मिलती हैं, परंतु प्रवणताओं का गुणनफल 1·(−x/y) = −x/y है, जो केवल रेखा y = x के बिंदुओं पर −1 होता है। वे केवल कुछ मिलन-बिंदुओं पर लंबवत हैं, अतः लंबकोणीय संछेदी नहीं हैं: समकोण प्रत्येक प्रतिच्छेद बिंदु पर आवश्यक है।

आगे बढ़ते हुए: कुल का अवकल समीकरण F(x, y, p) = 0 प्रत्येक बिंदु पर वहाँ के सदस्य की प्रवणता p देता है। संछेदी की प्रवणता p_T संबंध p·p_T = −1, अर्थात p = −1/p_T, को संतुष्ट करती है। प्रतिस्थापन से F(x, y, −1/p_T) = 0 संछेदियों का अवकल समीकरण है, और इसका व्यापक हल नया अचर k लाता है जो उन्हें नामांकित करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: स्थिरवैद्युतिकी (क्षेत्र रेखाएँ और समविभव), आदर्श तरल प्रवाह (धारारेखाएँ ψ = c और समविभव φ = c), ऊष्मा प्रवाह (प्रवाह रेखाएँ और समताप रेखाएँ), तथा सम्मिश्र विश्लेषण का प्रसंवादी संयुग्मी (harmonic conjugate)।

2. परिभाषा

वह वक्र जो दिए गए एक-प्राचल कुल f(x, y, c) = 0 के प्रत्येक वक्र को समकोण पर काटता है, उस कुल का लंबकोणीय संछेदी (orthogonal trajectory) कहलाता है।

भौतिक उपयोग: स्थिरविद्युत में बल-रेखाएँ और समविभव वक्र, तरल प्रवाह में धारा-रेखाएँ और समविभव रेखाएँ, ऊष्मा-प्रवाह रेखाएँ और समताप रेखाएँ।

भाव: ऊपर का चित्र देखें: परवलय y² = 4ax और दीर्घवृत्त 2x² + y² = k (उदाहरण 1) जहाँ भी मिलते हैं, समकोण पर काटते हैं। संछेदी (trajectories) एक अन्य एक-प्राचल कुल बनाते हैं, अतः उत्तर में सदा एक नया स्वेच्छ अचर होता है।

समतलीय स्थिरविद्युत क्षेत्र में समविभव वक्र φ = c और बल रेखाएँ लंबकोणीय कुल हैं; आदर्श तरल के स्थायी समतलीय प्रवाह में समविभव रेखाओं और धारा रेखाओं ψ = c के लिए भी यही सत्य है। एक कुल से दूसरा कुल ज्ञात करना ठीक इस विषय की समस्या है।

3. किसी कुल के अवकल समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: लंबवतता का प्रतिबंध बिंदु-दर-बिंदु लागू करना है, परंतु कुल एक प्राचल c से व्यक्त है जो सदस्य-दर-सदस्य बदलता है। किसी दिए बिंदु पर हमें उस बिंदु से गुजरने वाले सदस्य की प्रवणता केवल बिंदु के पदों में जाननी चाहिए।

शब्दों में: कुल का अवकल समीकरण वह संबंध F(x, y, p) = 0 है जो f(x, y, c) = 0 और उसके अवकलज f_x + f_yp = 0 के बीच c का विलोपन करके मिलता है। यह प्रत्येक बिंदु (x, y) को उससे गुजरने वाले सदस्य की प्रवणता देता है, अतः यह बिना प्राचल का "प्रवणता क्षेत्र" है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: परवलय y = cx². (1) अवकलन: p = 2cx. (2) कुल से c = y/x². (3) प्रतिस्थापन: p = 2y/x; सदस्य y = 3x² पर (1, 3) पर जाँचें: इसकी प्रवणता 6 है, और 2·3/1 = 6.

(4) संछेदियों के लिए p के स्थान पर −1/p रखें: −1/p = 2y/x, अतः dy/dx = −x/(2y) और 2y dy = −x dx. (5) समाकलन: x² + 2y² = k, दीर्घवृत्तों का कुल। ध्यान दें कि प्रवणता उलटने से पहले ही चरण (3) में प्राचल c लुप्त हो गया।

अ-उदाहरण (non-example): विलोपन से पहले उलटना: p = 2cx से −1/p = 2cx लिखें, अतः dy/dx = −1/(2cx) और y = −(1/(2c)) log x + k. इसमें अभी भी c है; यह प्रत्येक परवलय के लिए अलग वक्र देता है, और ये वक्र सभी परवलयों को समकोण पर नहीं काटते। यह संछेदी कुल नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: यदि कुल u(x, y) = c के रूप में लिखा हो, तो अस्पष्ट अवकलन सीधे सदस्य की प्रवणता −u_x/u_y देता है, जिसमें c पहले ही हट चुका है। तब संछेदी dy/dx = u_y/u_x को संतुष्ट करते हैं: वे प्रवणता सदिश ∇u के अनुदिश चलते हैं, जो u के स्तर-वक्रों पर लंब है। y = cx² के लिए u = y/x² से dy/dx = (1/x²)/(−2y/x³) = −x/(2y), जैसा ऊपर।

कहाँ प्रयोग होता है: यह प्रत्येक कार्तीय और ध्रुवीय संछेदी प्रश्न का, प्रत्येक स्व-लंबकोणीयता उपपत्ति का, और पहले विषय के निर्माण संबंधी प्रश्नों का चरण 1 है।

4. कार्तीय निर्देशांकों में विधि

चरण 1: f(x, y, c) = 0 का अवकलन कर c का विलोपन करें, कुल का समीकरण F(x, y, dy/dx) = 0 प्राप्त होगा।

c का विलोपन क्यों: कुल की ढाल को किसी बिंदु पर केवल उस बिंदु के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है, क्योंकि संछेदी भिन्न बिंदुओं पर भिन्न सदस्यों से मिलता है। अवकल समीकरण F(x, y, y′) = 0 प्रत्येक बिंदु पर उस बिंदु से जाने वाले सदस्य की ढाल देता है।

चरण 2: dy/dx के स्थान पर −dx/dy रखें (लंब प्रवणताओं के लिए m₁m₂ = −1)।

यह क्यों कार्य करता है: उभयनिष्ठ बिंदु पर यदि सदस्य की ढाल p और संछेदी की ढाल p_T हो, तो p p_T = −1, अतः p = −1/p_T. −1/(dy/dx) के स्थान पर −dx/dy लिखने से वे बिंदु भी शामिल हो जाते हैं जहाँ संछेदी ऊर्ध्वाधर है।

चरण 3: नया समीकरण हल करें; इसका व्यापक हल लंबकोणीय संछेदियों का कुल है।

उदाहरण 1: परवलयों y² = 4ax के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

अवकलन से 2yy′ = 4a = y²/x, अतः कुल का समीकरण y = 2x dy/dx है।

dy/dx के स्थान पर −dx/dy रखने पर: y dy = −2x dx, अतः y²/2 + x² = c, अर्थात 2x² + y² = k, दीर्घवृत्तों का कुल।

5. ध्रुवीय कोण ψ को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हृदयाभ (cardioid) r = a(1 + cos θ), लेम्निस्केट और सर्पिल x और y में असुविधाजनक हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों में प्रवणता dy/dx जटिल है, परंतु त्रिज्या सदिश और स्पर्श रेखा के बीच के कोण का सूत्र बहुत सरल है, और उससे वक्रों के बीच समकोण की जाँच की जा सकती है।

शब्दों में: r = r(θ) के बिंदु P पर ψ त्रिज्या सदिश OP से P पर स्पर्श रेखा तक का कोण है, जो θ बढ़ने की दिशा में मापा जाता है, और tan ψ = r dθ/dr. P से गुजरने वाले दो वक्रों की स्पर्श दिशाएँ θ + ψ₁ और θ + ψ₂ हैं, अतः उनके बीच का कोण ψ₁ − ψ₂ है; वे ठीक तब लंबकोणीय हैं जब tan ψ₁ tan ψ₂ = −1.

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ψ के दो त्वरित मान, फिर एक संछेदी। (1) वृत्त r = a के लिए dr/dθ = 0, अतः tan ψ अनंत है और ψ = 90°: त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब है, जैसा होना चाहिए। (2) सर्पिल r = e^θ के लिए dr/dθ = r, अतः प्रत्येक बिंदु पर tan ψ = 1 और ψ = 45°.

(3) वृत्तों r = a के संछेदी: लघुगणक लें, log r = log a, और θ के सापेक्ष अवकलन करें: (1/r) dr/dθ = 0. (4) (1/r) dr/dθ के स्थान पर −r dθ/dr रखें: −r dθ/dr = 0, अतः dθ/dr = 0 और θ = k. (5) संछेदी ध्रुव से निकलने वाली किरणें हैं, पहले पाठ जैसा ही उत्तर, केवल दोनों कुलों की भूमिकाएँ बदली हुई।

अ-उदाहरण (non-example): dr/dθ के स्थान पर −dθ/dr रखना (गुणक r² छोड़ देना) लंबकोणीयता का नियम नहीं है। सही नियम tan ψ_T = −1/tan ψ से आता है, अर्थात r dθ/dr → −(1/r) dr/dθ, जिसमें दोनों ओर r है; गलत प्रतिस्थापन कोण-प्रतिबंध बदल देता है और ऐसे वक्र देता है जो कुल पर लंब नहीं हैं।

आगे बढ़ते हुए: स्थिति सदिश r e_r है, और इसका θ-अवकलज, अर्थात स्पर्श सदिश, (dr/dθ)e_r + r e_θ है (नीचे ध्रुवीय सूत्र के खंड में व्युत्पन्न)। त्रिज्या के अनुदिश और उसके आर-पार इसके घटक dr/dθ और r हैं, अतः tan ψ = r/(dr/dθ). अवकलन से पहले कुल का लघुगणक लेने पर, log r = log a + log g(θ), हमें (1/r) dr/dθ = g′(θ)/g(θ) मिलता है जिसमें अचर a पहले ही हट चुका है।

कहाँ प्रयोग होता है: हृदयाभों, rⁿ = aⁿ cos nθ और ध्रुव से जाने वाले वृत्तों के संछेदी मानक 10–12 अंकीय प्रश्न हैं; यही कोण ψ कलन में ध्रुवीय चाप-लंबाई और वक्रता में तथा गतिकी में केंद्रीय कक्षाओं में आता है।

6. ध्रुवीय निर्देशांकों में विधि

ध्रुवांतर-रेखा और स्पर्शरेखा के बीच का कोण ψ, tan ψ = r dθ/dr से प्राप्त होता है।

लंबकोणीय वक्रों के लिए tan ψ₁ tan ψ₂ = −1, अतः r dθ/dr के स्थान पर −(1/r) dr/dθ रखें, अर्थात dr/dθ के स्थान पर −r² dθ/dr।

भाव: ψ ध्रुवांतर सदिश (radius vector) से स्पर्श रेखा तक का कोण है (व्युत्पत्ति नीचे)। उभयनिष्ठ बिंदु पर दो वक्रों के बीच का कोण ψ₁ − ψ₂ है, और यह ठीक तब 90° है जब 1 + tan ψ₁ tan ψ₂ = 0.

ध्रुवीय रूप कब प्रयोग करें: जब कुल में r और θ स्वाभाविक रूप से हों (कार्डियोइड, rⁿ = aⁿ cos nθ, सर्पिल), या जब कार्तीय समीकरण में x² + y² और y/x आएँ। अवकलन से पहले लघुगणक लेने से प्रायः अचर तुरंत हट जाता है।

उदाहरण 2: हृदयाभों (cardioids) r = a(1 + cos θ) के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

लघुगणक लेकर अवकलन: (1/r) dr/dθ = −sin θ/(1 + cos θ) = −tan(θ/2)।

(1/r) dr/dθ के स्थान पर −r dθ/dr रखने पर: r dθ/dr = tan(θ/2), अतः dr/r = cot(θ/2) dθ।

समाकलन से log r = 2 log sin(θ/2) + log c, अतः r = c sin²(θ/2) = b(1 − cos θ), जहाँ b = c/2: हृदयाभों का एक अन्य कुल।

7. तिर्यक संछेदियों और स्व-लंबकोणीय कुलों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कभी अपेक्षित कोण 90° नहीं होता (ऐसा सर्पिल जो प्रत्येक त्रिज्या को 45° पर काटे), और कभी कोई कुल स्वयं अपना लंबकोणीय कुल निकलता है (संनाभि शांकव), जिसे परीक्षक "दिखाइए कि" प्रश्न के रूप में पूछना पसंद करते हैं।

शब्दों में: कोण α पर तिर्यक संछेदी (oblique trajectory) प्रत्येक सदस्य को अचर कोण α पर काटता है। यदि संछेदी की स्पर्श रेखा x-अक्ष से कोण φ बनाती है, तो सदस्य की स्पर्श रेखा φ − α (दूसरी दिशा के लिए φ + α) बनाती है, अतः सदस्य की प्रवणता tan(φ − α) = (p − tan α)/(1 + p tan α) है, जहाँ p = tan φ संछेदी की प्रवणता है।

कोई कुल स्व-लंबकोणीय (self-orthogonal) है जब p → −1/p से उसका अवकल समीकरण नहीं बदलता। तब संछेदी वही समीकरण संतुष्ट करते हैं जो कुल करता है, अतः प्रत्येक संछेदी स्वयं एक सदस्य है: प्रत्येक बिंदु से दो सदस्य गुजरते हैं, और वे समकोण पर काटते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: समांतर रेखाओं y = x + c को 45° पर काटने वाले वक्र ज्ञात करें। (1) कुल का अवकल समीकरण p = 1 है। (2) p के स्थान पर (p − 1)/(1 + p) रखें: (p − 1)/(1 + p) = 1 से p − 1 = 1 + p, अर्थात −1 = 1, अतः कोई परिमित प्रवणता कार्य नहीं करती; संछेदी ऊर्ध्वाधर होना चाहिए, x = k.

(3) घूर्णन की दूसरी दिशा (p + 1)/(1 − p) = 1 लेती है, जिससे p = 0: क्षैतिज रेखाएँ y = k. (4) जाँच: प्रवणता 1 की रेखा दोनों अक्षों से 45° बनाती है। ध्यान दें कि दोनों दिशाएँ दो भिन्न कुल देती हैं, अतः जब तक दिशा निर्दिष्ट न हो, दोनों लिखें।

p में द्विघात के लिए स्व-लंबकोणीयता परीक्षण: यदि अवकल समीकरण Ap² + Bp + C = 0 है, तो p के स्थान पर −1/p रखकर p² से गुणा करने पर Cp² − Bp + A = 0 मिलता है। यह ठीक तब वही समीकरण है (गुणक −1 तक) जब C = −A, अर्थात जब दोनों मूलों का गुणनफल C/A = −1 हो: किसी बिंदु से गुजरने वाले दो सदस्यों की प्रवणताएँ लंबवत हैं।

अ-उदाहरण (non-example): वृत्त x² + y² = 2cx का अवकल समीकरण 2xyp = y² − x² है, जो p में रैखिक है। p के स्थान पर −1/p रखने पर (y² − x²)p + 2xy = 0, एक भिन्न समीकरण मिलता है, अतः कुल स्व-लंबकोणीय नहीं है; इसके संछेदी भिन्न वृत्त x² + y² = 2ky हैं (उदाहरण 4)। प्रत्येक बिंदु से केवल एक सदस्य गुजरता है, अतः लंब होने के लिए कोई दूसरा सदस्य नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: संनाभि शांकवों x²/(a² + λ) + y²/(b² + λ) = 1 के लिए अवकल समीकरण (x + yp)(x − y/p) = a² − b² (उदाहरण 8) गुणा करने पर xyp² + (x² − y² − a² + b²)p − xy = 0 बनता है। p² और p⁰ के गुणांक xy और −xy हैं, अतः ऊपर का परीक्षण तुरंत दिखाता है कि कुल स्व-लंबकोणीय है।

कहाँ प्रयोग होता है: समकोणिक सर्पिल (सभी त्रिज्याओं से अचर कोण बनाने वाले वक्र), संनाभि शांकवों और परवलयों y² = 4a(x + a) के लिए "दिखाइए कि कुल स्व-लंबकोणीय है", तथा ध्रुवीय तिर्यक नियम tan(ψ − α).

8. स्व-लंबकोणीय कुल तथा तिर्यक संछेदी

कोई कुल स्व-लंबकोणीय (self-orthogonal) है यदि dy/dx के स्थान पर −dx/dy रखने पर उसका समीकरण अपरिवर्तित रहे।

भाव: स्व-लंबकोणीय (self-orthogonal) कुल के तल के प्रत्येक बिंदु से दो सदस्य जाते हैं, और वे समकोण पर काटते हैं (संनाभि शांकवों के लिए, एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय)। कुल का अवकल समीकरण प्रायः p में द्विघाती होता है जिसके मूलों का गुणनफल −1 होता है।

मानक उदाहरण: संनाभि शांकव x²/(a² + λ) + y²/(b² + λ) = 1 तथा संनाभि परवलय y² = 4a(x + a)।

तिर्यक संछेदी (oblique trajectories) प्रत्येक वक्र को अचर कोण α पर काटते हैं: dy/dx = p के स्थान पर (p − tan α)/(1 + p tan α) रखें।

यह क्यों कार्य करता है: मान लें संछेदी x-अक्ष से कोण φ बनाता है, अतः p = tan φ, और यह सदस्य से α कोण घूमा हुआ है, जिसकी ढाल तब tan(φ − α) = (p − tan α)/(1 + p tan α) है। घूर्णन की दूसरी दिशा के लिए (p + tan α)/(1 − p tan α). α → 90° होने पर दोनों −1/p की ओर जाते हैं, जो लंबकोणीय नियम है।

ध्रुवीय तिर्यक संछेदी: tan ψ = r dθ/dr के स्थान पर tan(ψ − α) = (r dθ/dr − tan α)/(1 + tan α · r dθ/dr) रखें।

उदाहरण 3: सिद्ध कीजिए कि कुल y² = 4a(x + a) स्व-लंबकोणीय है।

अवकलन से yp = 2a, जहाँ p = y′, अतः y² = 2yp(x + yp/2), अर्थात y = 2xp + yp²।

p के स्थान पर −1/p रखने पर y = −2x/p + y/p²; p² से गुणा करने पर yp² = −2xp + y, जो वही समीकरण है, अतः कुल स्व-लंबकोणीय है।

उदाहरण 4: वृत्तों x² + y² = 2cx के लिए c का विलोपन करने पर dy/dx = (y² − x²)/(2xy)।

संछेदी dy/dx = 2xy/(x² − y²) को संतुष्ट करते हैं, यह समघात समीकरण है जिसका हल x² + y² = 2ky है: मूलबिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्त।

9. व्युत्पत्ति: ध्रुवीय सूत्र tan ψ = r dθ/dr

वक्र r = r(θ) का एक बिंदु r(cos θ, sin θ) है। मान लें e_r = (cos θ, sin θ) और e_θ = (−sin θ, cos θ) अरीय और अनुप्रस्थ इकाई सदिश हैं।

θ के सापेक्ष अवकलन करने पर स्पर्श सदिश (dr/dθ)e_r + r e_θ है।

e_r और e_θ के अनुदिश इसके घटक dr/dθ और r हैं, अतः ध्रुवांतर सदिश से स्पर्श रेखा तक का कोण ψ, tan ψ = r/(dr/dθ) = r dθ/dr को संतुष्ट करता है।

लंबकोणीय वक्रों के लिए tan ψ_T = −1/tan ψ, अतः कुल के समीकरण में r dθ/dr के स्थान पर −1/(r dθ/dr) = −(1/r) dr/dθ रखा जाता है, जो ऊपर बताया गया नियम है।

10. व्युत्पत्ति: दो संक्षिप्त विधियाँ

अचर के लिए हल किया गया कुल: यदि कुल u(x, y) = c हो, तो इसकी ढाल −u_x/u_y है, अतः संछेदी dy/dx = u_y/u_x को संतुष्ट करते हैं: वे प्रवणता ∇u के अनुदिश चलते हैं। y²/x = 4a के लिए इससे dy/dx = (2y/x)/(−y²/x²) = −2x/y, अतः 2x² + y² = k, जैसा उदाहरण 1 में है।

प्रसंवादी कुल: यदि f(z) = u + iv विश्लेषिक (analytic) हो, तो कोशी-रीमान समीकरण u_x = v_y, u_y = −v_x से ∇u · ∇v = u_xv_x + u_yv_y = 0. अतः जहाँ भी f′(z) ≠ 0 हो, वक्र u = c और v = c लंबकोणीय हैं।

उदाहरणार्थ z² = (x² − y²) + 2ixy से पता चलता है कि अतिपरवलय x² − y² = c और xy = k लंबकोणीय हैं, और e^z से पता चलता है कि e^x cos y = c और e^x sin y = k लंबकोणीय हैं।

11. विधि का चयन

यदि कुल को आसानी से u(x, y) = c लिखा जा सके → सीधे dy/dx = u_y/u_x.

यदि कुल ध्रुवीय रूप में दिया हो, या उसमें x² + y² और y/x हों → ध्रुवीय विधि: लघुगणक लें, θ के सापेक्ष अवकलन करें, (1/r) dr/dθ के स्थान पर −r dθ/dr रखें।

यदि u किसी परिचित विश्लेषिक फलन का वास्तविक या काल्पनिक भाग हो → संछेदी उसके प्रसंवादी संयुग्मी (harmonic conjugate) के स्तर वक्र हैं।

यदि वक्रों को अचर कोण α ≠ 90° पर काटना हो → तिर्यक नियम; यदि स्व-लंबकोणीयता दिखानी हो → अवकल समीकरण निकालें, p के स्थान पर −1/p रखें और दिखाएँ कि यह अपरिवर्तित है।

फिर संछेदी के अवकल समीकरण को प्रथम कोटि विधियों से हल करें: यह प्रायः पृथक्करणीय, समघात (उदाहरण 4) या रैखिक होता है।

12. सामान्य गलतियाँ

प्राचल का विलोपन करने से पहले p बदल देना; परिणामी समीकरण में पुराना अचर बना रहता है और उसका हल संछेदी कुल नहीं होता।

dy/dx के स्थान पर −dx/dy के बजाय dx/dy या −dy/dx रखना।

ध्रुवीय रूप में dr/dθ के स्थान पर −r² dθ/dr के बजाय −dθ/dr रखना।

उत्तर में वही अक्षर लिखना जो दिए गए कुल के अचर का है, जिससे लगता है कि संछेदी दिए गए वक्र ही हैं; नया अचर प्रयोग करें, और स्व-लंबकोणीय कुल के लिए यह स्पष्ट लिखें।

x या y से भाग देकर अक्ष के अनुदिश स्थित संछेदियों को छोड़ देना (वृत्तों x² + y² = a² के लिए मूलबिंदु से होकर जाने वाली प्रत्येक रेखा, y-अक्ष सहित, संछेदी है)।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: प्रसंवादी संयुग्मी और कोशी-रीमान समीकरण (सम्मिश्र विश्लेषण) तुरंत लंबकोणीय कुल देते हैं; तरल गतिकी में समतलीय अघूर्णी प्रवाह का वेग विभव φ और धारा फलन ψ ऐसा ही युग्म है।

संबंध: u की प्रवणता उसके स्तर वक्रों पर अभिलंब है (सदिश विश्लेषण), इसीलिए u = c के लंबकोणीय संछेदी u के तीव्रतम आरोहण की रेखाएँ हैं।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 5: घन परवलयों के कुल y = ax³ के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

अवकलन से dy/dx = 3ax² = 3y/x, जो कुल का अवकल समीकरण है।

dy/dx के स्थान पर −dx/dy रखने पर: −dx/dy = 3y/x, अतः x dx + 3y dy = 0 और x² + 3y² = c: समरूप दीर्घवृत्तों का कुल।

उदाहरण 6: सिद्ध कीजिए कि rⁿ = aⁿ cos nθ के लंबकोणीय संछेदी वक्र rⁿ = bⁿ sin nθ हैं।

लघुगणक लेने पर n log r = n log a + log cos nθ; θ के सापेक्ष अवकलन से (1/r) dr/dθ = −tan nθ।

(1/r) dr/dθ के स्थान पर −r dθ/dr रखने पर: r dθ/dr = tan nθ, अतः dr/r = cot nθ dθ।

समाकलन से log r = (1/n) log sin nθ + log b, अतः rⁿ = bⁿ sin nθ (n = 2 के लिए ये लेम्निस्केटों के दो लंबकोणीय कुल हैं)।

उदाहरण 7: वे वक्र ज्ञात कीजिए जो मूलबिंदु से जाने वाली प्रत्येक रेखा को अचर कोण 45° पर काटते हैं।

कुल y = cx का अवकल समीकरण p = y/x है; तिर्यक संछेदियों (oblique trajectories) के लिए p के स्थान पर (p − tan 45°)/(1 + p tan 45°) = (p − 1)/(1 + p) रखें।

(p − 1)/(1 + p) = y/x से dy/dx = (x + y)/(x − y), एक समघात समीकरण; ध्रुवीय रूप में यह r dθ/dr = 1 है।

अतः log r = θ + c, अर्थात r = Ce^θ (समतुल्य रूप log √(x² + y²) = tan⁻¹(y/x) + c): समकोणिक सर्पिल (equiangular spirals)।

15. संनाभि शांकव

x²/(a² + λ) + y²/(b² + λ) = 1 के लिए दीर्घवृत्तों (λ > −b²) और अतिपरवलयों (−a² < λ < −b²) की नाभियाँ (±√(a² − b²), 0) समान हैं; अक्षों से बाहर के प्रत्येक बिंदु से कुल का एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय जाता है, और वे समकोण पर काटते हैं।

भाव: λ के −b² से गुजरने पर वक्र दीर्घवृत्त से अतिपरवलय में बदल जाता है, जबकि नाभियाँ स्थिर रहती हैं क्योंकि (a² + λ) − (b² + λ) = a² − b², λ पर निर्भर नहीं। लंबकोणीयता परावर्तन गुण है: दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा नाभीय त्रिज्याओं के बीच के बाह्य कोण को समद्विभाजित करती है, अतिपरवलय की स्पर्श रेखा आंतरिक कोण को, और ये समद्विभाजक लंब हैं।

उदाहरण 8 (UPSC 2021, 10 अंक): (i) संनाभि शांकव कुल x²/(a² + λ) + y²/(b² + λ) = 1; a > b > 0 अचर हैं तथा λ एक प्राचल है, के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि दिया गया वक्र-कुल स्वलांबिक है।

माना A = a² + λ, B = b² + λ, अतः A − B = a² − b²। अवकलन: x/A + yp/B = 0, अतः B = −ypA/x।

तब A(1 + yp/x) = a² − b², जिससे A = (a² − b²)x/(x + yp) और B = −(a² − b²)yp/(x + yp)।

x²/A + y²/B = 1 में रखने पर: (x + yp)(x − y/p) = a² − b², कुल का अवकल समीकरण।

p के स्थान पर −1/p रखें: (x − y/p)(x + yp) = a² − b², वही समीकरण। अतः लंबकोणीय संछेदी स्वयं यही कुल है।

उत्तर: लंबकोणीय संछेदी x²/(a² + μ) + y²/(b² + μ) = 1 हैं; कुल स्वलांबिक है।

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): समकोणीय अतिपरवलयों xy = c के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुल का समीकरण p = −y/x; संछेदी dy/dx = x/y, अर्थात x² − y² = k.

अभ्यास 2 (मूल): y = ce^x के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुल का समीकरण p = y; संछेदी −dx/dy = y, अतः y² + 2x = k (परवलय)।

अभ्यास 3 (मूल): यह जाँचकर कि प्रत्येक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रवणताओं का गुणनफल −1 है, दिखाइए कि वृत्त x² + y² = k रेखाओं y = cx के लंबकोणीय संछेदी हैं।

उत्तर: (x, y) पर रेखा की प्रवणता y/x और वृत्त की −x/y है; गुणनफल −1 है (अक्षों पर एक प्रवणता 0 और दूसरी अनंत है)।

अभ्यास 4 (मानक): अर्ध-घन परवलयों y² = cx³ के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुल का समीकरण p = 3y/(2x); संछेदी 2x dx + 3y dy = 0, अर्थात 2x² + 3y² = k.

अभ्यास 5 (मानक): ध्रुव से जाने वाले वृत्तों r = 2a cos θ के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1/r) dr/dθ = −tan θ; प्रतिस्थापन से dr/r = cot θ dθ, अतः r = b sin θ: ध्रुव पर प्रारंभिक रेखा को स्पर्श करने वाले वृत्त।

अभ्यास 6 (मानक): संनाभि परवलयों r = a/(1 + cos θ) के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1/r) dr/dθ = tan(θ/2); प्रतिस्थापन से dr/r = −cot(θ/2) dθ, अतः r = b/(1 − cos θ): विपरीत दिशा में खुलने वाले समाक्ष परवलय।

अभ्यास 7 (मानक): u = e^x cos y का प्रयोग करके e^x cos y = c के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dy/dx = u_y/u_x = −tan y से cot y dy = −dx, अतः e^x sin y = k (u का प्रसंवादी संयुग्मी)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): वे वक्र ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक वृत्त x² + y² = a² (a प्राचल) को 45° के कोण पर काटते हैं।

उत्तर: p = −x/y में p के स्थान पर (p ∓ 1)/(1 ± p) रखने से dy/dx = (y − x)/(y + x) या (x + y)/(x − y); ध्रुवीय रूप में r = Ce^−θ और r = Ce^θ, समकोणिक सर्पिल।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): दिखाइए कि परवलय-कुल x² = 4a(y + a) स्व-लंबकोणीय है।

उत्तर: a = x/(2p) से अवकल समीकरण xp² − 2yp − x = 0; p² और p⁰ के गुणांक x और −x हैं, अतः p → −1/p से यह अपरिवर्तित रहता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): rⁿ sin nθ = aⁿ के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1/r) dr/dθ = −cot nθ; प्रतिस्थापन से dr/r = tan nθ dθ, अतः rⁿ cos nθ = bⁿ (zⁿ के वास्तविक और काल्पनिक भाग)।

1. p में उच्च घात के समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ज्यामितीय प्रतिबंध प्रायः ऐसे समीकरण देते हैं जिनमें प्रवणता p = dy/dx वर्ग या घन में आती है, उदाहरणार्थ "स्पर्श रेखा मूलबिंदु से इकाई दूरी पर है"। ऐसे समीकरण को dy/dx = f(x, y) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अतः पिछले विषयों की प्रथम कोटि विधियाँ सीधे लागू नहीं होतीं।

शब्दों में: घात n का प्रथम कोटि समीकरण F(x, y, p) = 0 है, जहाँ F, p में घात n का बहुपद है। किसी बिंदु (x, y) पर यह p के लिए बीजीय समीकरण है, जिसके अधिकतम n वास्तविक मूल हैं, अतः बिंदु से भिन्न प्रवणताओं के साथ अधिकतम n हल-वक्र गुजरते हैं। तीन मानक मार्ग हैं: समीकरण को p के लिए हल करना (गुणनखंड), y के लिए हल करना, या x के लिए हल करना।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: p² − (x + y)p + xy = 0 हल करें। (1) इसे p में द्विघात मानकर गुणनखंड करें: (p − x)(p − y) = 0. (2) गुणनखंड p = x से y = x²/2 + c, अर्थात (अचर का नाम बदलकर) 2y − x² − c = 0.

(3) गुणनखंड p = y से y = ce^x, अर्थात y − ce^x = 0. (4) व्यापक हल दोनों कुलों का संघ है, जिसे एक अचर से लिखते हैं: (2y − x² − c)(y − ce^x) = 0. (5) इसका अर्थ समझें: बिंदु (1, 1) से एक परवलय (प्रवणता 1) और एक घातांकी वक्र (प्रवणता 1) गुजरते हैं, और (2, 1) से प्रवणताएँ 2 और 1.

(1, 1) पर दोनों प्रवणताएँ संपाती हैं; ऐसे बिंदु, जहाँ p के दो मूल बराबर हो जाते हैं, ठीक वहीं हैं जहाँ द्विघात का विविक्तकर (x + y)² − 4xy = (x − y)² शून्य होता है। नीचे विचित्र हलों के पाठों के लिए इसे याद रखें।

अ-उदाहरण (non-example): xp² − 2yp + 4x = 0 (उदाहरण 6) सरल गुणांकों वाले p में रैखिक गुणनखंडों में नहीं टूटता, अतः "p के लिए हल योग्य" मार्ग वर्गमूल √(y² − 4x²) देता है जिनका समाकलन कठिन है। इसके स्थान पर यह y के लिए हल योग्य है: y = xp/2 + 2x/p. किस चर को अलग करना है, यह पहचानना मुख्य कौशल है।

आगे बढ़ते हुए: जब y = f(x, p), तो x के सापेक्ष अवकलन से p = f_x + f_p dp/dx मिलता है, जो केवल x और p में प्रथम कोटि का समीकरण है, क्योंकि y लुप्त हो गया है। इसे φ(x, p, c) = 0 के रूप में हल करें और y = f(x, p) से p का विलोपन करें, या p को प्राचल रखें। जब x = f(y, p), तो y के सापेक्ष अवकलन करें और इसी प्रकार dx/dy = 1/p का प्रयोग करें।

कहाँ प्रयोग होता है: ये तीन मार्ग पाठ्यक्रम के प्रत्येक उच्च घात प्रश्न को समेटते हैं; "y के लिए हल योग्य" में क्लेरो और लाग्रांज समीकरण विशेष स्थितियों के रूप में आते हैं।

2. प्रथम कोटि और उच्च घात के समीकरण

p = dy/dx लेकर व्यापक रूप pⁿ + P₁pⁿ⁻¹ + ... + P_n = 0 है, जहाँ P_i x और y के फलन हैं।

भाव: p में घात n का समीकरण प्रत्येक बिंदु पर अधिकतम n ढालें निर्धारित करता है, अतः किसी बिंदु से एक के स्थान पर अधिकतम n समाकल वक्र (integral curves) जाते हैं। जहाँ इनमें से दो ढालें संपाती होती हैं, वहाँ वक्र स्पर्श कर सकते हैं, और विचित्र हल (singular solutions) वहीं होते हैं।

p के लिए हल योग्य: (p − f₁)(p − f₂)...(p − f_n) = 0 के रूप में गुणनखंड करें, प्रत्येक से φ_i(x, y, c) = 0 प्राप्त करें और हल φ₁φ₂...φ_n = 0 एक ही अचर c के साथ लिखें।

एक अचर क्यों: प्रत्येक गुणनखंड एक एक-प्राचल कुल देता है, और व्यापक हल इन कुलों का संघ है; अलग-अलग c₁, c₂, ... प्रयोग करने से कुछ नया नहीं मिलता, क्योंकि प्रत्येक गुणनखंड अपने वक्रों पर संतुष्ट होता है। परिपाटी है कि गुणनफल एक ही c के साथ लिखा जाए।

y के लिए हल योग्य: y = f(x, p); x के सापेक्ष अवकलन से p = F(x, p, dp/dx), इसे p के लिए हल करें और p का विलोपन करें।

यह क्यों कार्य करता है: y = f(x, p) का अवकलन y को हटा देता है और केवल x तथा p में प्रथम कोटि समीकरण छोड़ता है। इसका हल φ(x, p, c) = 0, y = f(x, p) के साथ, व्यापक हल है; जब p का विलोपन सरलता से न हो, तो उत्तर को p को प्राचल मानकर प्राचलिक रूप में छोड़ा जा सकता है।

x के लिए हल योग्य: x = f(y, p); dx/dy = 1/p लेकर y के सापेक्ष अवकलन करें, हल करें और p का विलोपन करें।

उदाहरण 1: p² − 5p + 6 = 0 हल कीजिए।

(p − 2)(p − 3) = 0 से y = 2x + c तथा y = 3x + c, अतः हल (y − 2x − c)(y − 3x − c) = 0 है।

3. क्लेरो समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक ज्यामितीय प्रश्न सरल रेखाओं के कुलों के बारे में होते हैं (किसी वक्र की स्पर्श रेखाएँ, ऐसी रेखाएँ जिनके अंतःखंड किसी प्रतिबंध को संतुष्ट करें)। उनके अवकल समीकरणों का विशेष आकार y = px + f(p) होता है, और इस आकार के लिए व्यापक हल बिना किसी समाकलन के लिखा जा सकता है, जबकि एक दूसरा, वक्रीय हल प्रकट होता है जो कुल में नहीं है।

शब्दों में: क्लेरो समीकरण (Clairaut's equation) y = px + f(p) है: y बराबर है x गुणा प्रवणता और केवल प्रवणता के एक फलन के योग के। सरल रेखा y = cx + f(c) की प्रवणता अचर p = c है, अतः वह समीकरण को संतुष्ट करती है; ये रेखाएँ व्यापक हल बनाती हैं। जो वक्र इन सभी रेखाओं को स्पर्श करता है (उनका अन्वालोप, envelope) वह भी समीकरण को संतुष्ट करता है, क्योंकि उसके प्रत्येक बिंदु पर उसके x, y और p किसी एक रेखा के बराबर हैं; यही विचित्र हल (singular solution) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y = px − p² हल करें। (1) यह f(p) = −p² वाला क्लेरो रूप है। (2) व्यापक हल: p के स्थान पर c लिखें, y = cx − c², रेखाओं का कुल।

(3) विचित्र हल: अवकलन के बाद दूसरा गुणनखंड x + f′(p) = x − 2p = 0 है, अतः p = x/2. (4) समीकरण में रखें: y = (x/2)x − x²/4 = x²/4, अर्थात x² = 4y, एक परवलय।

(5) चित्र की जाँच: x² = 4y की (2t, t²) पर स्पर्श रेखा y = tx − t² है, जो सदस्य c = t है। अतः व्यापक हल परवलय की सभी स्पर्श रेखाओं का समुच्चय है, और परवलय स्वयं विचित्र हल है; यह रेखा नहीं है, अतः c का कोई मान इसे नहीं देता।

अ-उदाहरण (non-example): y = 2px + p² (उदाहरण 4) समान दिखता है, परंतु x का गुणांक 2p है, p नहीं। p = c लिखने पर y = 2cx + c² मिलता है, जिसकी प्रवणता 2c है, c नहीं, अतः यह हल नहीं है। यह लाग्रांज समीकरण है और इसे अवकलित करके x(p) में रैखिक समीकरण की तरह हल करना होगा।

आगे बढ़ते हुए: y = px + f(p) का अवकलन p = p + [x + f′(p)] dp/dx देता है, अतः [x + f′(p)] dp/dx = 0 (इसी खंड में व्युत्पन्न)। या तो dp/dx = 0, जो रेखाएँ देता है, या x + f′(p) = 0, जो समीकरण के साथ अन्वालोप को प्राचलिक रूप x = −f′(p), y = f(p) − pf′(p) में देता है।

अनेक समीकरण चरों u(x, y), v(x, y) के परिवर्तन के बाद ही क्लेरो रूप में आते हैं: नई प्रवणता P = dv/du = (v_x + v_yp)/(u_x + u_yp) है, और लक्ष्य समीकरण को v = Pu + f(P) के रूप में लाना है। इस विषय में आगे मानक प्रतिस्थापनों की सूची सामान्य विकल्प देती है।

कहाँ प्रयोग होता है: क्लेरो प्रश्न (सीधे या X = x², Y = y² के बाद) लगभग प्रत्येक वर्ष आते हैं; अन्वालोप का विचार विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समतलों के अन्वालोप से और क्लेरो के आंशिक अवकल समीकरण z = px + qy + f(p, q) के पूर्ण और विचित्र समाकलों से जुड़ता है।

4. क्लेरो समीकरण (Clairaut's Equation)

रूप: y = px + f(p)।

भाव: व्यापक हल y = cx + f(c) सरल रेखाओं का कुल है, और विचित्र हल वह वक्र है जिसे वे सभी स्पर्श करती हैं (ऊपर का चित्र देखें: रेखाएँ y = cx + a/c और उनका अन्वालोप, उदाहरण 2 का परवलय y² = 4ax)।

x के सापेक्ष अवकलन: p = p + x dp/dx + f′(p) dp/dx, अतः (x + f′(p)) dp/dx = 0।

dp/dx = 0 से p = c और व्यापक हल (general solution) y = cx + f(c), जो केवल p के स्थान पर c लिखने से मिलता है।

x + f′(p) = 0 तथा y = px + f(p) से p का विलोपन करने पर विचित्र हल (singular solution) मिलता है, जो रेखाओं y = cx + f(c) का अन्वालोप (envelope) है।

यह अन्वालोप क्यों है: φ(x, y, c) = y − cx − f(c) के लिए c-विविक्तकर समीकरण φ = 0 और ∂φ/∂c = −x − f′(c) = 0 हैं, जो p = c के साथ y = px + f(p) और x + f′(p) = 0 के समान हैं। क्लेरो समीकरण के लिए p- और c-विविक्तकर संपाती होते हैं।

उदाहरण 2: y = px + a/p हल कीजिए।

व्यापक हल: y = cx + a/c।

x − a/p² = 0 से p = √(a/x); तब y = x√(a/x) + a√(x/a) = 2√(ax), अतः विचित्र हल y² = 4ax है।

क्लेरो रूप में समानयन: X = x², Y = y², P = dY/dX = yp/x लेने पर (px − y)(py + x) = a²p, Y = PX − a²P/(P + 1) बन जाता है; अन्य समीकरण X = e^x, Y = e^y जैसे प्रतिस्थापनों से समानीत होते हैं।

लाग्रांज समीकरण: y = xφ(p) + ψ(p), जहाँ φ(p) ≠ p; x के सापेक्ष अवकलन से, p को स्वतंत्र चर मानने पर, x में रैखिक समीकरण मिलता है।

5. अन्वालोप और विचित्र हलों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: एक अचर वाला व्यापक हल सामान्यतः सभी हल देता है, परंतु सदा नहीं। जो वक्र कुल के प्रत्येक सदस्य को स्पर्श करता है, वह स्वयं एक ऐसा हल है जिसे c का कोई मान नहीं देता, और जो उत्तर इसे छोड़ देता है वह अधूरा है। हमें ऐसे वक्र खोजने और यह तय करने की विधि चाहिए कि वे वास्तव में हल हैं या नहीं।

शब्दों में: कुल φ(x, y, c) = 0 का अन्वालोप (envelope) वह वक्र है जो अपने प्रत्येक बिंदु पर कुल के किसी सदस्य को स्पर्श करता है। इसे φ = 0 और ∂φ/∂c = 0 के बीच c का विलोपन करके प्राप्त करते हैं: दूसरा समीकरण कहता है कि c के निकटवर्ती मानों वाले दो सदस्य उस बिंदु से गुजरते हैं। विचित्र हल अवकल समीकरण का वह हल है जो व्यापक हल में सम्मिलित नहीं है; ज्यामितीय रूप में यह अन्वालोप है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x-अक्ष पर केंद्र वाले त्रिज्या 1 के वृत्त (x − c)² + y² = 1. (1) इनका अवकल समीकरण: अवकलन से (x − c) + yp = 0, अतः x − c = −yp; प्रतिस्थापन से y²p² + y² = 1, अर्थात y²(1 + p²) = 1.

(2) अन्वालोप: ∂φ/∂c = −2(x − c) = 0 से c = x, और तब y² = 1, अतः y = 1 और y = −1. (3) अवकल समीकरण में परीक्षण: y = 1 पर p = 0 और y²(1 + p²) = 1, सत्य; y = −1 के लिए भी यही।

(4) क्या y = 1 कोई सदस्य है? कोई भी सदस्य सरल रेखा नहीं है, अतः c का कोई मान इसे नहीं देता। (5) निष्कर्ष: y = ±1 विचित्र हल हैं, वे दो रेखाएँ जिन्हें प्रत्येक वृत्त अपने शीर्ष और निम्नतम बिंदुओं पर स्पर्श करता है। ध्यान दें कि (0, 1) से प्रवणता 0 वाले दो हल गुजरते हैं: रेखा y = 1 और c = 0 वाला वृत्त, अतः अन्वालोप पर अद्वितीयता विफल होती है।

अ-उदाहरण (non-example): x-अक्ष y = 0 प्रत्येक वृत्त के केंद्र से गुजरता है और प्रत्येक को समकोण पर काटता है; यह किसी को स्पर्श नहीं करता और उस पर अवकल समीकरण 0 = 1 हो जाता है, अतः यह हल नहीं है। इसी प्रकार p² + y² = 1 के व्यापक हल y = sin(x + c) में भी किसी c के लिए y = 0 नहीं आता, परंतु y = 0 समीकरण को संतुष्ट नहीं करता (p = 0 से 0 = 1), अतः केवल "कुल में न होना" किसी वक्र को विचित्र हल नहीं बनाता: उसे समीकरण भी संतुष्ट करना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: अन्वालोप अवकल समीकरण को क्यों संतुष्ट करता है, यह नीचे व्युत्पत्ति खंड में सिद्ध है: अन्वालोप के अनुदिश φ_c = 0, अतः उसकी प्रवणता वही संबंध φ_x + φ_yy′ = 0 संतुष्ट करती है जो उसके द्वारा स्पर्शित सदस्य करता है। अतः प्रत्येक बिंदु पर उसके x, y और p उस सदस्य के समान हैं, और उसके अनुदिश F(x, y, p) = 0 सत्य है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक क्लेरो प्रश्न, प्रत्येक "विचित्र हल ज्ञात कीजिए" प्रश्न, और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्वालोप प्रश्न c के इसी विलोपन का प्रयोग करते हैं।

6. p- और c-विविक्तकरों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: c (या p) का विलोपन एक वक्र देता है, परंतु उस वक्र में ऐसे भाग हो सकते हैं जो हल हैं ही नहीं: वे स्थान जहाँ सदस्य एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, स्वयं को काटते हैं या जिनमें उभार (cusp) हैं। सही उत्तर के लिए हमें विविक्तकरों के गुणनखंडों को छाँटकर केवल वास्तविक अन्वालोप रखना होगा।

शब्दों में: p-विविक्तकर (p-discriminant) F(x, y, p) = 0 और ∂F/∂p = 0 से p का विलोपन करके मिलता है; यह वह बिंदुपथ है जहाँ किसी बिंदु पर दो प्रवणताएँ संपाती होती हैं। c-विविक्तकर (c-discriminant) φ(x, y, c) = 0 और ∂φ/∂c = 0 से c का विलोपन करके मिलता है; यह वह बिंदुपथ है जहाँ दो निकटवर्ती सदस्य मिलते हैं। अन्वालोप E दोनों में एक बार आता है; स्पर्श-बिंदुपथ T (दो अ-निकटवर्ती सदस्यों का स्पर्श) केवल p-विविक्तकर में वर्ग रूप में; नोड-बिंदुपथ N केवल c-विविक्तकर में वर्ग रूप में; उभार-बिंदुपथ C, p-विविक्तकर में एक बार और c-विविक्तकर में घन रूप में आता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y²(1 + p²) = 1, अर्थात y²p² + (y² − 1) = 0 के साथ आगे बढ़ें। (1) द्विघात Ap² + Bp + C के रूप में, A = y², B = 0, C = y² − 1, p-विविक्तकर B² − 4AC = −4y²(y² − 1) = 0 है, जो गुणनखंड y² (वर्ग) और y² − 1 (एक बार) देता है।

(2) c-विविक्तकर (पिछला पाठ) केवल y² − 1 = 0 है। (3) छँटाई: y² − 1 दोनों में एक बार आता है, अतः y = ±1 अन्वालोप है; y = 0, p-विविक्तकर में वर्ग रूप में है और c-विविक्तकर में नहीं, अतः यह स्पर्श-बिंदुपथ है।

(4) ज्यामिति की जाँच: केंद्र c और c + 2 वाले वृत्त x-अक्ष पर (c + 1, 0) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, और वे निकटवर्ती नहीं हैं। (5) अंतिम उत्तर: विचित्र हल केवल y = ±1; y = 0 स्पर्श-बिंदुपथ है और अवकल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता।

अ-उदाहरण (non-example): (x − c)² = y²(3 − y) (उदाहरण 12) के c-विविक्तकर में y² है, परंतु y = 0 नोड-बिंदुपथ है (वहाँ प्रत्येक सदस्य स्वयं को काटता है) और समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। विविक्तकर का गुणनखंड केवल एक संभावित उम्मीदवार है; बहुलता का ढाँचा और अवकल समीकरण में प्रतिस्थापन निर्णय करते हैं।

आगे बढ़ते हुए: p-विविक्तकर पर ∂F/∂p = 0, अतः अस्पष्ट फलन प्रमेय वहाँ F = 0 को p के लिए सुचारु रूप से हल नहीं कर सकता; यहीं अनेक हल-वक्र एक प्रवणता साझा कर सकते हैं, या तो इसलिए कि वे किसी अन्वालोप (E) को स्पर्श करते हैं या इसलिए कि दो अलग सदस्य परस्पर स्पर्श करते हैं (T)। विविक्तकर-गुणनखंडों की तालिका की बहुलताएँ प्रत्येक प्रकार के बिंदुपथ के निकट F और φ के स्थानीय प्रसार से आती हैं; परीक्षा के लिए इन्हें उद्धृत करना और सदा प्रतिस्थापन से सत्यापन करना पर्याप्त है।

कहाँ प्रयोग होता है: "व्यापक और विचित्र हल ज्ञात कीजिए और उनकी ज्यामितीय व्याख्या कीजिए" प्रकार के 10–15 अंकीय प्रश्न; यही ∂/∂c = 0 विलोपन विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समतलों और गोलों के अन्वालोप देता है।

7. विचित्र हल (Singular Solution)

विचित्र हल अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है परंतु c के किसी भी मान के लिए व्यापक हल से प्राप्त नहीं होता; ज्यामितीय रूप से यह समाकल वक्रों के कुल का अन्वालोप है।

भाव: अन्वालोप (envelope) अपने प्रत्येक बिंदु पर कुल के किसी सदस्य को स्पर्श करता है, अतः उसके x, y और p उस सदस्य के समान हैं और इसलिए यह अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है; परंतु यह स्वयं सदस्य नहीं है। ऐसे बिंदु से समान ढाल वाले दो हल वक्र जाते हैं, अतः वहाँ अद्वितीयता विफल होती है।

p-विविक्तकर (p-discriminant): F(x, y, p) = 0 और ∂F/∂p = 0 से p का विलोपन करें।

भाव: F = 0 और ∂F/∂p = 0 का साथ होना यह दर्शाता है कि p, F(x, y, p) = 0 का पुनरावृत्त मूल है: p-विविक्तकर उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जहाँ n ढालों में से दो संपाती होती हैं। द्विघात Ap² + Bp + C = 0 के लिए यह केवल B² − 4AC = 0 है।

c-विविक्तकर (c-discriminant): φ(x, y, c) = 0 और ∂φ/∂c = 0 से c का विलोपन करें।

भाव: इसी प्रकार c-विविक्तकर उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जहाँ c के निकटवर्ती मानों वाले कुल के दो सदस्य मिलते हैं।

सामान्यतः p-विविक्तकर में E T² C तथा c-विविक्तकर में E N² C³ होते हैं, जहाँ E = अन्वालोप, T = स्पर्श-बिंदुपथ (tac-locus), N = नोड-बिंदुपथ, C = उभयाग्र-बिंदुपथ (cusp locus)।

बिंदुपथों का अर्थ: स्पर्श-बिंदुपथ (tac-locus) T वह है जहाँ दो अनिकटवर्ती सदस्य स्पर्श करते हैं (समान ढाल, अतः यह p-विविक्तकर में आता है, परंतु अन्वालोप नहीं है); नोडीय बिंदुपथ N वह है जहाँ सदस्य स्वयं को काटते हैं; उभय-बिंदुपथ (cusp locus) C वह है जहाँ सदस्यों में उभयाग्र होते हैं। व्यापक रूप में केवल E हल है।

विचित्र हल वह गुणनखंड है जो दोनों विविक्तकरों में प्रथम घात में आता है और समीकरण को संतुष्ट करता है; सदैव प्रतिस्थापन से जाँच करें।

उदाहरण 3: p² + y² = 1 के विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

चर पृथक करने पर dy/√(1 − y²) = ±dx, और व्यापक हल y = sin(x + c) है।

p-विविक्तकर: 2p = 0 से y² − 1 = 0; c-विविक्तकर: cos(x + c) = 0 से y = ±1।

y = ±1 दोनों में एक बार आता है और समीकरण को संतुष्ट करता है (p = 0, 0 + 1 = 1), अतः y = 1 और y = −1 विचित्र हल हैं: ज्या-वक्रों के अन्वालोप।

8. व्युत्पत्ति: अन्वालोप अवकल समीकरण को क्यों संतुष्ट करता है

मान लें व्यापक हल φ(x, y, c) = 0 है। अन्वालोप E पर c एक फलन c(x, y) है जो φ = 0 और φ_c = 0 से निर्धारित होता है।

E के अनुदिश φ(x, y, c(x, y)) = 0 का अवकलन करें: φ_x + φ_yy′ + φ_c(dc/dx) = 0. चूँकि E पर φ_c = 0, यह φ_x + φ_yy′ = 0 रह जाता है।

यह उसी बिंदु पर c के उस मान वाले सदस्य का ढाल संबंध है। अतः E के प्रत्येक बिंदु पर उसके (x, y, p) किसी सदस्य के समान हैं, और इसलिए यह F(x, y, p) = 0 को संतुष्ट करता है।

9. व्युत्पत्ति: लाग्रांज (डी'अलम्बर्ट) समीकरण y = x g(p) + f(p)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर: p = g(p) + [x g′(p) + f′(p)] dp/dx, अतः (p − g(p)) dx/dp = x g′(p) + f′(p).

जब p ≠ g(p) हो, तो यह p के फलन के रूप में x में रैखिक है: dx/dp − [g′(p)/(p − g(p))]x = f′(p)/(p − g(p)). इसे समाकलन गुणक से हल करें और y = x g(p) + f(p) के साथ मिलाकर प्राचलिक रूप में हल प्राप्त करें।

क्लेरो समीकरण विशेष स्थिति g(p) = p है, जहाँ p − g(p) ≡ 0 और समीकरण dp/dx = 0 (व्यापक हल) और x + f′(p) = 0 (विचित्र हल) में टूट जाता है। उदाहरण 4 (y = 2px + p²) g(p) = 2p वाला लाग्रांज प्रकार है।

10. विधि का चयन

यदि F(x, y, p), p में रैखिक गुणनखंडों में टूट जाए → p के लिए हल करने योग्य: प्रत्येक गुणनखंड हल करें और एक अचर के साथ जोड़ें।

यदि y स्पष्ट रूप से y = f(x, p) दिया हो → x के सापेक्ष अवकलन करें; y = x g(p) + f(p) के लिए परिणाम x(p) में रैखिक है।

यदि x स्पष्ट रूप से x = f(y, p) दिया हो → dx/dy = 1/p का प्रयोग करते हुए y के सापेक्ष अवकलन करें।

यदि समीकरण y = px + f(p) हो → क्लेरो: p के स्थान पर c लिखें; यदि इसमें px − y, x + yp या y/p संयोजन हों → क्लेरो रूप पाने के लिए नीचे का कोई प्रतिस्थापन।

यदि विचित्र हल पूछा जाए → व्यापक हल और उसका c-विविक्तकर ज्ञात करें, p-विविक्तकर से तुलना करें, एक बहुलता वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड रखें और अवकल समीकरण में उसका सत्यापन करें।

11. सामान्य गलतियाँ

ऐसे समीकरण में p = c लिखना जो क्लेरो रूप में नहीं है; यह संक्षिप्त विधि केवल y = px + f(p) के लिए (या प्रतिस्थापन से उस रूप में लाने के बाद) मान्य है।

अवकलन के बाद गुणनखंड dp/dx, या गुणनखंड x + f′(p), को काट देना; प्रत्येक गुणनखंड उत्तर का एक भाग देता है।

किसी विविक्तकर गुणनखंड को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित किए बिना विचित्र हल बताना।

X = x², Y = y² जैसे प्रतिस्थापन के बाद व्यापक या विचित्र हल को x, y में वापस बदलने के स्थान पर X, Y में छोड़ देना।

12. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: अन्वालोप नियम (f = 0 और ∂f/∂c = 0 के बीच प्राचल का विलोपन) वही है जो कलन और शांकवज विषय में है; p-विविक्तकर पर ∂F/∂p = 0, अतः अस्पष्ट फलन प्रमेय वहाँ F = 0 को p के लिए सुचारु रूप से हल नहीं कर सकता, और वहीं पिकार्ड की अद्वितीयता टूटती है।

संबंध: क्लेरो के आंशिक अवकल समीकरण z = px + qy + f(p, q) का पूर्ण समाकल z = ax + by + f(a, b) है, जो y = cx + f(c) का ठीक समरूप है (आंशिक अवकल समीकरण)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: y = 2px + p² हल कीजिए।

y के लिए हल योग्य: x के सापेक्ष अवकलन से p = 2p + 2x dp/dx + 2p dp/dx, अतः −p = 2(x + p) dp/dx।

p को स्वतंत्र चर लेने पर: dx/dp + 2x/p = −2, x में रैखिक, IF = p²; अतः xp² = −2p³/3 + c।

प्राचलिक रूप में हल x = c/p² − 2p/3, y = 2px + p² = 2c/p − p²/3 है।

उदाहरण 5: sin px cos y = cos px sin y + p हल कीजिए और इसका विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

समीकरण sin(px − y) = p है, अर्थात y = px − sin⁻¹p: f(p) = −sin⁻¹p वाला क्लेरो रूप।

व्यापक हल: y = cx − sin⁻¹c।

विचित्र हल: x − 1/√(1 − p²) = 0 से p = √(x² − 1)/x (धनात्मक मूल), और तब x ≥ 1 के लिए y = √(x² − 1) − sin⁻¹(√(x² − 1)/x) = √(x² − 1) − sec⁻¹x।

उदाहरण 6: xp² − 2yp + 4x = 0 के व्यापक और विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

y के लिए हल योग्य: y = xp/2 + 2x/p; अवकलन से p = p/2 + 2/p + (x/2 − 2x/p²) dp/dx, अतः (p² − 4)/(2p) = [x(p² − 4)/(2p²)] dp/dx।

p² − 4 को निरसित करने पर: (x/p) dp/dx = 1, अतः p = cx; प्रतिस्थापन से व्यापक हल c²x² − 2cy + 4 = 0 है।

p-विविक्तकर (p में द्विघात): 4y² − 16x² = 0; c-विविक्तकर (c में द्विघात): 4y² − 16x² = 0; दोनों से y = ±2x।

y = 2x के लिए p = 2 और 4x − 8x + 4x = 0, अतः यह समीकरण को संतुष्ट करता है; इसी प्रकार y = −2x। अतः y = ±2x विचित्र हल हैं।

उदाहरण 7: (px − y)(py + x) = a²p को क्लेरो रूप में बदलकर हल कीजिए।

X = x², Y = y² रखें; तब P = dY/dX = yp/x, अतः p = Px/y, px − y = (PX − Y)/y और py + x = x(P + 1)।

समीकरण (PX − Y)(P + 1) = a²P, अर्थात Y = PX − a²P/(P + 1) बन जाता है।

P के स्थान पर c लिखने पर: y² = cx² − a²c/(c + 1) व्यापक हल है।

14. मानक प्रतिस्थापन और पिछले प्रश्न

क्लेरो रूप देने वाले प्रतिस्थापन (P नया अवकलज है): u = x², v = y² (P = yp/x); u = y, v = xy (P = x + y/p); v = log y (P = p/y); X = x + y, Y = x − y (P = (1 − p)/(1 + p)); u = e^x, v = e^y (P = e^{y − x}p)।

प्रतिस्थापन क्यों कार्य करता है: नए चरों u(x, y), v(x, y) के साथ नया अवकलज P = dv/du = (v_x + v_yp)/(u_x + u_yp) है। u = x², v = y² के लिए: P = 2yp/(2x) = yp/x. उद्देश्य समीकरण को v = Pu + f(P) के रूप में लाना है।

व्यावहारिक नियम: समीकरण में आने वाले संयोजनों (px − y, py + x, x + yp, y/p) को देखें और वह प्रतिस्थापन चुनें जो उन्हें PX − Y में बदल दे।

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 13 अंक): अवकल समीकरण x = py − p² का हल निकालिए, जहाँ p = dy/dx.

x के लिए हल योग्य। y के सापेक्ष अवकलन (dx/dy = 1/p): 1/p = p + (y − 2p) dp/dy, अतः dy/dp − py/(1 − p²) = −2p²/(1 − p²), y में रैखिक।

IF = e^{∫−p/(1 − p2) dp} = √(1 − p²), अतः d(y√(1 − p²))/dp = −2p²/√(1 − p²)।

∫p²/√(1 − p²) dp = (sin⁻¹p − p√(1 − p²))/2 का प्रयोग कर: y√(1 − p²) = p√(1 − p²) − sin⁻¹p + c।

उत्तर: प्राचलिक रूप में y = p + (c − sin⁻¹p)/√(1 − p²), x = py − p²।

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 10 अंक): (i) अवकल समीकरण : xyp² − (x² + y² − 1)p + xy = 0, जहाँ पर p = dy/dx है, पर विचार कीजिए। u = x² तथा v = y² द्वारा प्रतिस्थापन कर क्लेराउट्स रूप (Clairaut's form) में u, v तथा p′ = dv/du में व्यक्त कीजिए। अतएव या अन्यथा समीकरण को हल कीजिए।

u = x², v = y² से: p′ = dv/du = yp/x, अतः p = xp′/y। प्रतिस्थापित कर y/x से गुणा करने पर: x²p′² − (x² + y² − 1)p′ + y² = 0, अर्थात up′² − (u + v − 1)p′ + v = 0।

पुनर्व्यवस्थित करने पर: v(1 − p′) = up′(1 − p′) − p′, अर्थात v = up′ − p′/(1 − p′), क्लेरो रूप।

व्यापक हल: v = cu − c/(1 − c), अर्थात y² = cx² − c/(1 − c)।

विचित्र हल: u − 1/(1 − p′)² = 0 से 1 − p′ = ±1/√u और तब v = (√u ∓ 1)², अर्थात y² = (x ∓ 1)²।

उत्तर: y² = cx² − c/(1 − c); विचित्र हल चार रेखाएँ x ± y = ±1 (जाँच y = x − 1, p = 1: 2xy − x² − y² + 1 = 1 − (x − y)² = 0)।

उदाहरण 10 (UPSC 2018, 13 अंक): हल कीजिये : (dy/dx)² y + 2(dy/dx) x − y = 0

Y = y² रखें: P = dY/dx = 2yp, अतः p = P/(2y)। तब P²/(4y) + xP/y − y = 0, अर्थात P² + 4xP − 4Y = 0।

अतः Y = xP + P²/4, क्लेरो रूप, जिसका व्यापक हल Y = cx + c²/4 है।

अन्वालोप: x + P/2 = 0 से Y = −x², अर्थात x² + y² = 0, जिसमें मूलबिंदु के अतिरिक्त कोई वास्तविक बिंदु नहीं है, अतः कोई वास्तविक विचित्र हल नहीं है।

उत्तर: y² = cx + c²/4 (समतुल्यतः y² = 2kx + k²), मूलबिंदु पर नाभि वाले संनाभि परवलयों का कुल।

उदाहरण 11 (UPSC 2019, 15 अंक): अवकल समीकरण
(dy/dx)² (y/x)² cot²α − 2(dy/dx)(y/x) + (y/x)² cosec²α = 1
का विचित्र हल प्राप्त कीजिए। दिए हुए अवकल समीकरण का पूर्ण पूर्वग भी ज्ञात कीजिए। पूर्ण पूर्वग तथा विचित्र हल की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

x² से गुणा करें: p²y² cot²α − 2pxy + y² cosec²α = x²। X = x², Y = y², P = dY/dX = yp/x रखें: X(P² cot²α − 2P − 1) + Y cosec²α = 0, अर्थात Y = X g(P), जहाँ g(P) = sin²α(1 + 2P − P² cot²α)।

X के सापेक्ष अवकलन: P − g(P) = Xg′(P) dP/dX, जहाँ P − g(P) = cos²α(P − tan²α)(P + 1) और g′(P) = −2cos²α(P − tan²α)।

या तो P = tan²α, जिससे Y = X tan²α, या dX/X = −2 dP/(P + 1), जिससे P + 1 = c/√X = c/x।

दूसरी स्थिति में Y = X g(c/x − 1) सरल होकर y² = c² sin²α − (x − c)² बनता है: पूर्ण पूर्वग (complete primitive) (x − c)² + y² = c² sin²α है।

c-विविक्तकर: −2(x − c) = 2c sin²α से c = x sec²α, और तब y² = x² tan²α, जो पहली शाखा ही है; यह समीकरण को संतुष्ट करता है और कुल का सदस्य नहीं है।

उत्तर: पूर्ण पूर्वग (x − c)² + y² = c² sin²α: x-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त जिनकी त्रिज्या केंद्र की O से दूरी का sin α गुना है; विचित्र हल y = ±x tan α, O से होकर x-अक्ष से α पर झुकी रेखाओं का युग्म, जिसे प्रत्येक वृत्त स्पर्श करता है (उनका अन्वालोप)।

उदाहरण 12 (UPSC 2020, 10 अंक): (ii) अवकल समीकरण 9p²(2 − y)² = 4(3 − y) के व्यापक व विचित्र हल निकालिए, जहाँ p = dy/dx.

p = ±2√(3 − y)/(3(2 − y)), अतः (2 − y) dy/√(3 − y) = ±(2/3) dx। u = 3 − y से: ∫(u − 1)u^−1/2 du = (2/3)u^3/2 − 2u^1/2।

इससे √u(u − 3) = ∓(x − c), अर्थात −y√(3 − y) = ∓(x − c); वर्ग करने पर व्यापक हल (x − c)² = y²(3 − y) है।

p-विविक्तकर (p का पद नहीं): (2 − y)²(3 − y) = 0। c-विविक्तकर: x − c = 0, अतः y²(3 − y) = 0।

3 − y दोनों में एक बार आता है और y = 3 (p = 0) समीकरण को संतुष्ट करता है: यह विचित्र हल है। y = 2 (केवल p-विविक्तकर में वर्गित) स्पर्श-बिंदुपथ है और y = 0 (केवल c-विविक्तकर में वर्गित) नोडल बिंदुपथ है; दोनों में से कोई समीकरण को संतुष्ट नहीं करता।

उत्तर: व्यापक हल (x − c)² = y²(3 − y); विचित्र हल y = 3।

उदाहरण 13 (UPSC 2021, 15 अंक): अवकल समीकरण : y² log y = xy dy/dx + (dy/dx)² के सभी सम्भव हल ज्ञात कीजिए।

y² से भाग दें: log y = x(p/y) + (p/y)²। v = log y रखें, अतः P = dv/dx = p/y: v = xP + P², क्लेरो रूप।

व्यापक हल: log y = cx + c²।

विचित्र हल: x + 2P = 0 से P = −x/2 और v = −x²/2 + x²/4 = −x²/4।

उत्तर: y = e^{cx + c2} (व्यापक) और y = e^−x2/4 (विचित्र, अन्वालोप)।

उदाहरण 14 (UPSC 2022, 10 अंक): (i) अवकल समीकरण: (x² − a²) p² − 2xyp + y² + a² = 0, जहाँ p = dy/dx, के व्यापक व विचित्र हलों को ज्ञात कीजिए। व्यापक व विचित्र हलों के बीच ज्यामितीय संबंध को भी दीजिए।

पुनर्व्यवस्थित करने पर: (y − px)² = a²p² − a², अतः y = px ± a√(p² − 1), क्लेरो रूप।

व्यापक हल: (y − cx)² = a²(c² − 1), अर्थात (x² − a²)c² − 2xyc + y² + a² = 0।

c-विविक्तकर: x²y² − (x² − a²)(y² + a²) = 0, अर्थात a²(y² − x² + a²) = 0; p-विविक्तकर भी यही व्यंजक है।

उत्तर: व्यापक हल (y − cx)² = a²(c² − 1), सरल रेखाओं का कुल; विचित्र हल x² − y² = a², वह आयतीय अतिपरवलय जिसे कुल की प्रत्येक रेखा स्पर्श करती है (अन्वालोप)।

उदाहरण 15 (UPSC 2023, 10 अंक): (ii) समीकरण x²p² + y(2x + y)p + y² = 0 का प्रतिस्थापन y = u और xy = v द्वारा क्लेरो रूप में समानयन कीजिए। अतः समीकरण का हल निकालिए और दर्शाइए कि y + 4x = 0 अवकल समीकरण का एक विचित्र हल है।

u = y, v = xy से: P = dv/du = (y dx + x dy)/dy = y/p + x, अतः p = y/(P − x)।

प्रतिस्थापित कर (P − x)²/y² से गुणा करने पर: x² + (2x + y)(P − x) + (P − x)² = 0, जो सरल होकर yP − xy + P² = 0 बनता है।

अतः v = uP + P² (क्लेरो), व्यापक हल xy = cy + c²।

विचित्र हल: u + 2P = 0, अतः v = −u²/4: xy = −y²/4, अर्थात y(y + 4x) = 0। गुणनखंड y = 0 कुल का विशेष हल c = 0 है, अतः विचित्र हल y + 4x = 0 है।

उत्तर: xy = cy + c²; y + 4x = 0 एक विचित्र हल है (जाँच: y = −4x, p = −4 से 16x² − 32x² + 16x² = 0)।

उदाहरण 16 (UPSC 2025, 10 अंक): (1 − y² + y⁴/x²)(dy/dx)² − 2(y/x)(dy/dx) + y²/x² = 0 को हल कीजिए।

x² से गुणा कर पुनर्समूहन करें: (xp − y)² = p²y²(x² − y²)। y = vx रखें, अतः p = v + xv′ और xp − y = x²v′; समीकरण v′ = ±v√(1 − v²)·p बनता है।

v को स्वतंत्र चर मानकर: dx/dv + x/v = ±1/(v²√(1 − v²)), IF v वाला रैखिक समीकरण; अतः d(xv)/dv = ±1/(v√(1 − v²))।

चूँकि xv = y और ∫dv/(v√(1 − v²)) = −sech⁻¹v: 0 < y/x ≤ 1 के लिए y − c = ∓sech⁻¹(y/x), अर्थात y/x = sech(y − c); चूँकि x → −x से समीकरण अपरिवर्तित रहता है, y/x < 0 वाले वक्र दर्पण-प्रतिबिंब हैं, और कुल मिलाकर |y/x| = sech(y − c)।

p-विविक्तकर: (y/x)² − (1 − y² + y⁴/x²)(y²/x²) = (y⁴/x⁴)(x² − y²) = 0। रेखाएँ y = ±x (p = ±1) समीकरण को संतुष्ट करती हैं, और प्रत्येक वक्र x = ±y cosh(y − c) उनमें से एक को y = c पर स्पर्श करता है (जहाँ dx/dy = ±1), अतः वे विचित्र हल हैं; y = 0 भी समीकरण को तुच्छ रूप से संतुष्ट करता है।

उत्तर: व्यापक हल x² = y² cosh²(y − c), अर्थात x = ±y cosh(y − c); विचित्र हल y = ±x।

उदाहरण 17 (UPSC 2025, 10 अंक): (i) अवकल समीकरण (1 + dy/dx)³ = (27/8a)(x + y)(1 − dy/dx)³ के व्यापक हल और विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

X = x + y, Y = x − y रखें: P = dY/dX = (1 − p)/(1 + p)। समीकरण 1/P³ = (27/(8a))X बनता है, अतः P = (2/3)a^1/3X^−1/3।

समाकलन: Y − c = a^1/3X^2/3, अतः (Y − c)³ = aX²।

c-विविक्तकर: 3(Y − c)² = 0 से X² = 0, अर्थात x + y = 0। x + y = 0 पर p = −1 और समीकरण के दोनों पक्ष 0 हैं, अतः यह हल है; प्रत्येक वक्र (अर्ध-घन परवलय) इससे अपने उभयाग्र (cusp) पर इसी दिशा में स्पर्शरेखा के साथ मिलता है, और यह कुल का सदस्य नहीं है।

उत्तर: व्यापक हल (x − y − c)³ = a(x + y)²; विचित्र हल x + y = 0।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): p² − 7p + 12 = 0 हल कीजिए।

उत्तर: (p − 3)(p − 4) = 0, अतः (y − 3x − c)(y − 4x − c) = 0.

अभ्यास 2 (मूल): y = px + p³ के व्यापक और विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: व्यापक y = cx + c³; x + 3p² = 0 से विचित्र हल 27y² + 4x³ = 0 (x ≤ 0 के लिए वास्तविक)।

अभ्यास 3 (मूल): दिखाइए कि y = 0, (dy/dx)² = y का विचित्र हल है।

उत्तर: व्यापक हल 4y = (x + c)²; दोनों विविक्तकर y = 0 एक बार देते हैं, यह समीकरण को संतुष्ट करता है (p = 0) और परवलयों का अन्वालोप है, परंतु कोई c इसे नहीं देता।

अभ्यास 4 (मानक): p² + 2py cot x = y² हल कीजिए।

उत्तर: p = y tan(x/2) या p = −y cot(x/2); हल [y(1 + cos x) − c][y(1 − cos x) − c] = 0 है।

अभ्यास 5 (मानक): y = xp² + p हल कीजिए।

उत्तर: लाग्रांज रूप: dx/dp − 2x/(1 − p) = 1/(p(1 − p)), IF (1 − p)²; अतः x = (log p − p + c)/(1 − p)², y = xp² + p (प्राचलिक)।

अभ्यास 6 (मानक): (y − px)(p − 1) = p के व्यापक और विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: क्लेरो y = px + p/(p − 1): व्यापक y = cx + c/(c − 1); x = 1/(p − 1)² से विचित्र हल y = (√x ± 1)², अर्थात (y − x − 1)² = 4x.

अभ्यास 7 (मानक): X = x², Y = y² का प्रयोग करके (px − y)(x − py) = 2p हल कीजिए।

उत्तर: P = yp/x के साथ समीकरण Y = PX − 2P/(1 − P) बनता है, अतः y² = cx² − 2c/(1 − c).

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): y = 2px + y²p³ हल कीजिए और इसका विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Y = y² लेकर (या x के लिए हल करके) व्यापक हल y² = 2cx + c³ है; c-विविक्तकर 2x + 3c² = 0 से विचित्र हल 27y⁴ + 32x³ = 0 मिलता है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): p³ − 4xyp + 8y² = 0 के व्यापक और विचित्र हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: व्यापक हल y = c(x − c)²; c-विविक्तकर (x − c)(x − 3c) = 0 से y = 0 (सदस्य c = 0) और 27y = 4x³ मिलते हैं; दूसरा समीकरण को संतुष्ट करता है और विचित्र हल है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): u = e^x, v = e^y का प्रयोग करके e^3x(p − 1) + p³e^2y = 0 को क्लेरो रूप में बदलिए और हल कीजिए।

उत्तर: P = e^{y − x}p से v = Pu + P³, अतः e^y = ce^x + c³; अन्वालोप के लिए u = −3P² ≤ 0 चाहिए, जो u = e^x के लिए असंभव है, अतः कोई वास्तविक विचित्र हल नहीं है।

1. संकारक D और रैखिकता को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: स्प्रिंग, छोटे दोलन वाले लोलक और विद्युत परिपथ सभी ay″ + by′ + cy = X(x) जैसे समीकरण देते हैं, जहाँ a, b, c अचर हैं। अवकलज को संकारक (operator) D = d/dx के रूप में लिखने पर बायाँ पक्ष y पर कार्य करने वाला "D में बहुपद" बन जाता है, और बहुपदों का गुणनखंड, गुणा और भाग किया जा सकता है; यही पूरे सिद्धांत को यांत्रिक बनाता है।

शब्दों में: Dy = y′, D²y = y″, और f(D) = a₀Dⁿ + ... + a_n का अर्थ है "अवकलज लें और इन अचरों से उन्हें मिलाएँ"। संकारक रैखिक है: f(D)(c₁y₁ + c₂y₂) = c₁f(D)y₁ + c₂f(D)y₂. इसके दो परिणाम हैं: f(D)y = 0 के हलों के योग भी हल हैं (अध्यारोपण, superposition), और f(D)y = X के दो हलों का अंतर f(D)y = 0 को संतुष्ट करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y″ − y′ − 2y = 0, अर्थात (D² − D − 2)y = 0 लें। (1) गुणनखंड: D² − D − 2 = (D − 2)(D + 1); प्रसार से जाँचें (D − 2)(D + 1)y = (D − 2)(y′ + y) = y″ + y′ − 2y′ − 2y = y″ − y′ − 2y.

(2) (D − 2)y = 0 का अर्थ y′ = 2y है, अतः y = e^2x एक हल है; क्योंकि गुणनखंड क्रमविनिमेय हैं, (D + 1)y = 0, अर्थात y = e^−x, भी हल है। (3) रैखिकता से y = c₁e^2x + c₂e^−x सभी अचरों के लिए हल है, और इसमें वे दो अचर हैं जो द्वितीय कोटि समीकरण के लिए चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): y″ + y² = 0 रैखिक नहीं है। y = −6/x² इसका हल है (y″ = −36/x⁴, y² = 36/x⁴), परंतु 2y = −12/x² से y″ + y² = −72/x⁴ + 144/x⁴ ≠ 0. अध्यारोपण विफल होता है, और उसके साथ CF + PI संरचना तथा इस विषय के सभी संकारक नियम भी।

आगे बढ़ते हुए: रैखिक समीकरणों के अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय से y(x₀), y′(x₀), ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) का प्रत्येक चयन f(D)y = 0 का ठीक एक हल देता है। अतः हल-समुच्चय n विमा की सदिश समष्टि है, और n स्वतंत्र हल (शून्येतर रॉन्स्कियन) एक आधार बनाते हैं; इसीलिए CF में ठीक n अचर होते हैं। फिर f(D)y = X का एक विशिष्ट हल जोड़ने पर प्रत्येक हल मिल जाता है (नीचे "y = CF + PI क्यों" देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: इस विषय और लाप्लास रूपांतर का प्रत्येक समीकरण; ऑयलर-कोशी समीकरण इसी में बदल जाते हैं; गतिकी में यह मुक्त, अवमंदित और प्रणोदित दोलनों का वर्णन करता है।

2. हल की संरचना

समीकरण को f(D)y = X लिखें, जहाँ D = d/dx और f(D) = a₀Dⁿ + a₁Dⁿ⁻¹ + ... + a_n, a_i अचर, a₀ ≠ 0।

भाव: D एक संकारक (operator) है, और अचर गुणांकों के साथ f(D) को साधारण बहुपद की तरह गुणनखंडित किया जा सकता है और गुणनखंडों का क्रम बदला जा सकता है: (D − a)(D − b) = (D − b)(D − a). चर गुणांकों के साथ यह विफल होता है, उदाहरणार्थ D(xy) = xDy + y, अतः (D − x)D ≠ D(D − x).

व्यापक हल: y = CF + PI, जहाँ पूरक फलन (complementary function) (CF) n स्वेच्छ अचरों सहित f(D)y = 0 का व्यापक हल है और विशेष समाकल (particular integral) (PI) f(D)y = X का कोई एक हल है।

y = CF + PI क्यों: f(D) रैखिक है। यदि y_p, f(D)y = X का एक हल है और y कोई अन्य हल, तो f(D)(y − y_p) = X − X = 0, अतः y − y_p पूरक फलन (CF) में है। विलोमतः CF + y_p सदा हल है। अतः प्रत्येक हल प्राप्त होता है, और विशेष समाकल (PI) का चुनाव मायने नहीं रखता।

f(D)y = 0 के हल n-विमीय सदिश समष्टि बनाते हैं; n हल आधार बनाते हैं यदि और केवल यदि उनका रॉन्स्कियन (Wronskian) शून्येतर हो।

भाव: n स्वेच्छ अचर n प्रारंभिक प्रतिबंधों y(x₀), y′(x₀), ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) से मेल खाते हैं; शून्येतर रॉन्स्कियन (Wronskian) ही इन प्रतिबंधों को अद्वितीय रूप से पूरा करने देता है।

3. सहायक समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: CF लिखने के लिए हमें f(D)y = 0 के n स्वतंत्र हल चाहिए। उन्हें एक-एक करके अनुमान से खोजना असंभव है; घातांकी परीक्षण y = e^mx अवकल समीकरण को m के बीजीय समीकरण में बदल देता है।

शब्दों में: क्योंकि D e^mx = m e^mx, अतः f(D)e^mx = f(m)e^mx, इसलिए e^mx ठीक तब हल है जब f(m) = 0: यही सहायक (अभिलक्षणिक) समीकरण (auxiliary equation) है। प्रत्येक वास्तविक सरल मूल m से e^mx; k बार पुनरावृत्त मूल से e^mx, xe^mx, ..., x^k−1e^mx; सम्मिश्र युग्म α ± iβ से दो वास्तविक हल e^αx cos βx और e^αx sin βx मिलते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y″ + 4y′ + 13y = 0 हल करें। (1) परीक्षण y = e^mx: (m² + 4m + 13)e^mx = 0, और e^mx ≠ 0, अतः m² + 4m + 13 = 0. (2) विविक्तकर 16 − 52 = −36 है, अतः m = (−4 ± 6i)/2 = −2 ± 3i; यहाँ α = −2 और β = 3.

(3) सम्मिश्र हल e^{(−2 + 3i)x} = e^−2x(cos 3x + i sin 3x) का वास्तविक भाग e^−2x cos 3x और काल्पनिक भाग e^−2x sin 3x है, और दोनों वास्तविक हल हैं। (4) CF: y = e^−2x(c₁ cos 3x + c₂ sin 3x), कोणीय आवृत्ति 3 वाला क्षयमान दोलन।

(5) पुनरावृत्त मूल: y″ − 6y′ + 9y = 0 में m = 3 दो बार है। जाँचें कि xe^3x कार्य करता है: y′ = e^3x(1 + 3x), y″ = e^3x(6 + 9x), और y″ − 6y′ + 9y = e^3x(6 + 9x − 6 − 18x + 9x) = 0. अतः CF = (c₁ + c₂x)e^3x.

अ-उदाहरण (non-example): द्विक मूल m = 3 के लिए c₁e^3x + c₂e^3x लिखना गलत है: यह (c₁ + c₂)e^3x है, जिसमें केवल एक आवश्यक अचर है और जो y(0) = 0, y′(0) = 1 जैसे दो प्रारंभिक प्रतिबंध पूरे नहीं कर सकता (सही उत्तर xe^3x छूट जाता है)।

आगे बढ़ते हुए: तीनों नियम नीचे इसी खंड में सिद्ध हैं: e^mx, D का आइगेन फलन है; बहुलता k के मूल के लिए विस्थापन नियम से j के k से कम होने पर (D − m)^k(x^je^mx) = e^mxD^kx^j = 0; और क्योंकि f के गुणांक वास्तविक हैं, सम्मिश्र हल के वास्तविक और काल्पनिक भाग वास्तविक हल हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक अचर-गुणांक समीकरण का CF, x = e^z के बाद ऑयलर-कोशी समीकरण, लाप्लास रूपांतर में Y(s) के ध्रुव, और दोलनों का वर्गीकरण (अति-अवमंदित: वास्तविक भिन्न मूल, क्रांतिक अवमंदित: द्विक मूल, अल्प-अवमंदित: सम्मिश्र मूल)।

4. सहायक समीकरण f(m) = 0 से पूरक फलन

वास्तविक भिन्न मूल m₁, ..., m_n: CF = c₁e^m₁x + ... + c_ne^m_nx।

यह क्यों कार्य करता है: D e^mx = m e^mx, अतः f(D)e^mx = f(m)e^mx: e^mx, D का "आइगेन फलन" है, और यह f(D)y = 0 को ठीक तब हल करता है जब f(m) = 0. भिन्न m वाले घातांकी फलन रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

k बार पुनरावृत्त मूल m: योगदान (c₁ + c₂x + ... + c_kx^k−1)e^mx।

यह क्यों कार्य करता है: नीचे के विस्थापन नियम से j = 0, 1, ..., k − 1 के लिए (D − m)^k(x^je^mx) = e^mxD^kx^j = 0, अतः बहुलता k वाला मूल k स्वतंत्र हल e^mx, xe^mx, ..., x^k−1e^mx देता है।

सम्मिश्र युग्म α ± iβ: e^αx(c₁ cos βx + c₂ sin βx); युग्म पुनरावृत्त हो तो: e^αx[(c₁ + c₂x) cos βx + (c₃ + c₄x) sin βx]।

यह क्यों कार्य करता है: e^{(α + iβ)x} = e^αx(cos βx + i sin βx). चूँकि f के गुणांक वास्तविक हैं, सम्मिश्र हल के वास्तविक और काल्पनिक भाग वास्तविक हल हैं, और संयुग्मी मूल α − iβ कुछ नया नहीं देता।

5. व्युत्क्रम संकारक 1/f(D) को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: CF के बाद भी हमें f(D)y = X का एक विशिष्ट हल चाहिए। y = [1/f(D)]X लिखकर 1/f(D) को भिन्न की तरह संभालने से सामान्य दाएँ पक्षों (घातांकी, ज्या, बहुपद) के लिए संक्षिप्त नियम मिलते हैं, बिना किसी समाकलन के।

शब्दों में: [1/f(D)]X ऐसे किसी एक फलन y को दर्शाता है जिसके लिए f(D)y = X. विशेष रूप से 1/D का अर्थ समाकलन है (बिना अचर), और [1/(D − a)]X = e^ax∫e^−axX dx, जो रैखिक समीकरण y′ − ay = X का हल है। D में आंशिक भिन्न स्वीकार्य हैं, और बहुपद X के लिए 1/f(D) का D की घातों में श्रेणी-प्रसार प्रयोग किया जा सकता है, क्योंकि केवल परिमित पद ही अशून्य प्रभाव डालते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (D² + 3D + 2)y = e^2x का PI. (1) नियम: D के स्थान पर 2 रखें, क्योंकि f(D)e^2x = f(2)e^2x; f(2) = 4 + 6 + 2 = 12 ≠ 0, अतः PI = e^2x/12. (2) जाँच: y = e^2x/12 से y″ + 3y′ + 2y = (4 + 6 + 2)e^2x/12 = e^2x.

(3) आंशिक भिन्नों से वही: 1/((D + 1)(D + 2)) = 1/(D + 1) − 1/(D + 2); [1/(D + 1)]e^2x = e^−x∫e^3x dx = e^2x/3 और [1/(D + 2)]e^2x = e^2x/4, अतः PI = e^2x/3 − e^2x/4 = e^2x/12, धीमे परंतु सदा मान्य मार्ग से वही उत्तर।

(4) बहुपद दायाँ पक्ष: [1/(D² + 1)]x² = (1 − D² + D⁴ − ...)x² = x² − 2, श्रेणी D² पर रुकती है क्योंकि D⁴x² = 0. जाँच: (x² − 2)″ + (x² − 2) = 2 + x² − 2 = x².

अ-उदाहरण (non-example): [1/(D² + 3D + 2)] sin x में D² के स्थान पर −1 रखा जा सकता है, परंतु D के स्थान पर i नहीं। सही रूप: 1/(1 + 3D) = (1 − 3D)/(1 − 9D²), और D² = −1 से यह (1 − 3D)/10 है, अतः PI = (sin x − 3 cos x)/10 (जाँच: y″ + 3y′ + 2y = sin x)। इसके स्थान पर D = i रखने से सम्मिश्र संख्या 1/(1 + 3i) मिलती है, जो sin x पर संकारक नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: e^ax नियम, D² = −a² नियम और घातांकी विस्थापन [1/f(D)](e^axV) = e^ax[1/f(D + a)]V सभी f(D)(e^axV) = e^axf(D + a)V से आते हैं (नीचे व्युत्पन्न)। श्रेणी नियम इसलिए कार्य करता है कि f(D)·(खंडित श्रेणी) और 1 का अंतर केवल D में m से ऊँची कोटि के पदों का है, जो x^m को शून्य कर देते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: इस विषय का लगभग प्रत्येक "हल कीजिए" प्रश्न; यही संकारक बीजगणित θ में ऑयलर-कोशी समीकरणों और इस विषय में आगे दिए युगपत समीकरणों को हल करता है।

6. विफलता (अनुनाद) स्थिति को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: संक्षिप्त नियम f(a) या φ(−a²) से भाग देते हैं। जब दायाँ पक्ष स्वयं समघात समीकरण का हल हो, तो वह संख्या शून्य होती है और नियम टूट जाता है। भौतिक रूप से यह अनुनाद (resonance) है: एक स्प्रिंग को ठीक उसकी प्राकृतिक आवृत्ति पर धकेलना।

शब्दों में: यदि a, f का बहुलता k वाला मूल है, तो e^ax का PI x^ke^ax/f^(k)(a) है: एक अतिरिक्त गुणक x^k आता है। f(D) = D² + a² के साथ sin ax या cos ax के लिए PI −(x/(2a)) cos ax या (x/(2a)) sin ax है। प्रत्येक स्थिति में उत्तर x के साथ बढ़ता है, क्योंकि बल प्राकृतिक गति के साथ कदम मिलाकर ऊर्जा जोड़ता रहता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (D² + 1)y = cos x का PI. (1) D² = −1 रखने पर हर −1 + 1 = 0: विफलता की स्थिति। (2) e^ix के साथ कार्य करें, जिसका वास्तविक भाग cos x है: i, m² + 1 का सरल मूल है, जहाँ अवकलज 2i है, अतः [1/(D² + 1)]e^ix = xe^ix/(2i).

(3) xe^ix/(2i) = (x/2)(sin x − i cos x), जिसका वास्तविक भाग (x/2) sin x है। (4) जाँच: y = (x/2) sin x से y′ = (1/2) sin x + (x/2) cos x और y″ = cos x − (x/2) sin x, अतः y″ + y = cos x. ध्यान दें कि आयाम x/2 असीमित रूप से बढ़ता है।

(5) घातांकी रूप: (D − 2)²y = e^2x में a = 2 द्विक मूल है और f″(2) = 2, अतः PI = x²e^2x/2.

अ-उदाहरण (non-example): (D² + 1)y = cos 2x विफलता की स्थिति नहीं है: D² = −4 से हर −3 ≠ 0, और PI = −(cos 2x)/3. यहाँ x से गुणा करना गलत होगा; अतिरिक्त x केवल तब आता है जब बल की आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति (f का मूल) के बराबर हो।

आगे बढ़ते हुए: विलोपक (annihilator) दृष्टि x की व्याख्या करती है: cos x को D² + 1 शून्य कर देता है, अतः (D² + 1)y = cos x का प्रत्येक हल (D² + 1)²y = 0 को भी संतुष्ट करता है, जिसके मूल ±i द्विक हैं। इससे आने वाले नए हल x cos x और x sin x ही PI के एकमात्र उम्मीदवार हैं; f^(k)(a) वाला e^ax सूत्र नीचे f(D) = (D − a)^kg(D) से व्युत्पन्न है।

कहाँ प्रयोग होता है: परीक्षा के बहुत से प्रश्न ऐसे बनाए जाते हैं कि दाएँ पक्ष का कोई पद CF से टकराए; इसे पहले पहचान लेना पूरा प्रश्न बचा लेता है। गतिकी में यह प्रणोदित दोलनों का अनुनाद है।

7. विशेष समाकल की संक्षिप्त विधियाँ

X = e^ax: यदि f(a) ≠ 0 तो PI = e^ax/f(a); यदि a बहुलता k का मूल है तो PI = x^ke^ax/f^(k)(a)।

X = sin ax या cos ax: D² = −a² रखें; यदि हर में D का रैखिक गुणनखंड बचे तो उसके संयुग्मी से गुणा कर हर में D² लाएँ, फिर पुनः D² = −a² रखें।

विफलता की स्थिति: 1/(D² + a²) sin ax = −(x/(2a)) cos ax तथा 1/(D² + a²) cos ax = (x/(2a)) sin ax।

X = x^m: 1/f(D) को (कोई अचर या D की घात बाहर निकालकर) [1 ± φ(D)]⁻¹ लिखें, D की आरोही घातों में D^m तक प्रसार करें और x^m पर संक्रिया करें।

X = e^axV: PI = e^ax[1/f(D + a)]V (चरघातांकी विस्थापन)।

X = xV: PI = x[1/f(D)]V − [f′(D)/(f(D))²]V।

व्यापक विधि: 1/(D − a) X = e^ax∫X e^−ax dx; 1/f(D) को आंशिक भिन्नों में तोड़कर प्रत्येक पद पर यह लागू करें।

8. व्युत्पत्ति: घातांकी विस्थापन और e^ax नियम

D(e^axV) = e^ax(DV + aV) = e^ax(D + a)V. दोहराने पर Dⁿ(e^axV) = e^ax(D + a)ⁿV, और रैखिकता से f(D)(e^axV) = e^axf(D + a)V. दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर [1/f(D)](e^axV) = e^ax[1/f(D + a)]V.

V = 1 के साथ: f(D)e^ax = f(a)e^ax, अतः f(a) ≠ 0 होने पर e^ax/f(a) एक PI है।

यदि a बहुलता k का मूल हो, तो f(D) = (D − a)^kg(D) लिखें जहाँ g(a) ≠ 0. तब [1/f(D)]e^ax = (1/g(a)) e^ax(1/D^k)(1) = x^ke^ax/(k! g(a)), और चूँकि f^(k)(a) = k! g(a), यह x^ke^ax/f^(k)(a) है।

9. व्युत्पत्ति: त्रिकोणमितीय दायाँ पक्ष और विफलता की स्थिति

D² sin ax = −a² sin ax, अतः φ(D²) sin ax = φ(−a²) sin ax और φ(−a²) ≠ 0 होने पर [1/φ(D²)] sin ax = sin ax/φ(−a²); cos ax के लिए भी यही सत्य है। इसीलिए D² के स्थान पर −a² रखा जा सकता है, परंतु स्वयं D के स्थान पर नहीं।

विफलता की स्थिति: ia, D² + a² का सरल मूल है, जहाँ अवकलज 2ia है, अतः [1/(D² + a²)]e^iax = xe^iax/(2ia) = (x/(2a))(sin ax − i cos ax).

वास्तविक और काल्पनिक भाग लेने पर: [1/(D² + a²)] cos ax = (x/(2a)) sin ax और [1/(D² + a²)] sin ax = −(x/(2a)) cos ax, जो ऊपर बताए गए सूत्र हैं।

व्यापक नियम: (D − a)y = X, समाकलन गुणक e^−ax वाला रैखिक प्रथम कोटि समीकरण है, जिससे [1/(D − a)]X = e^ax∫Xe^−ax dx मिलता है; आंशिक भिन्नों के साथ यह किसी भी X को संभालता है, एक समाकलन की कीमत पर।

10. विधि का चयन

यदि X = e^ax → e^ax/f(a); यदि f(a) = 0 → x^k से गुणा करें और f^(k)(a) से भाग दें।

यदि X = sin ax या cos ax → D² = −a², बचे हुए रैखिक गुणनखंड का परिमेयीकरण करते हुए; यदि हर शून्य हो जाए → विफलता-स्थिति सूत्र, या e^iax के साथ कार्य करके वास्तविक या काल्पनिक भाग लें।

यदि X बहुपद हो → D की न्यूनतम घात बाहर निकालें, [1 ± φ(D)]⁻¹ का प्रसार केवल बहुपद की घात तक करें।

यदि X = e^ax × (बहुपद या त्रिकोणमितीय) → घातांकी विस्थापन; यदि X = x^m sin ax → इसे x^me^iax का काल्पनिक भाग लिखकर विस्थापन करें।

यदि X, sec ax, tan ax, cosec ax, log x, 1/x या ऐसा हो → संक्षिप्त विधियाँ लागू नहीं होतीं: e^ax∫Xe^−ax dx के साथ आंशिक भिन्न, या प्राचल-विचरण प्रयोग करें।

यदि प्रारंभिक प्रतिबंध दिए हों और प्रश्न में "लाप्लास रूपांतर द्वारा" लिखा हो → अगले विषय की लाप्लास विधि प्रयोग करें।

11. सामान्य गलतियाँ

यह भूल जाना कि बल पद (forcing term) समघात समीकरण का हल हो सकता है: हर शून्य होने पर x से गुणा करने के बजाय e^ax/f(a) या D² = −a² लगाना।

सम्मिश्र मूल α ± iβ: e^αx(c₁ cos iβx + ...) लिखना या β = (विविक्तकर)/2 लेना, जबकि सही β = √|विविक्तकर|/(2a₀) है।

X त्रिकोणमितीय होने पर बची हुई D की विषम घात में D = ia (या D = a) रख देना; पहले हर का परिमेयीकरण करना आवश्यक है ताकि केवल D² बचे जिसके स्थान पर −a² रखा जाए।

अनिर्धारित गुणांक विधि में अधूरे परीक्षण फलन का प्रयोग (जब sin bx और cos bx दोनों चाहिए तब केवल sin bx, या अधूरा बहुपद)।

युगपत समीकरणों में पहले अज्ञात से दूसरा ज्ञात करते समय नए अचर लाना, जिससे संकारक सारणिक की घात से अधिक अचर हो जाते हैं।

12. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: f(D)y = 0 का हल समष्टि एक रैखिक संकारक का शून्य समष्टि है, जिसकी विमा n है (रैखिक बीजगणित); लाप्लास रूपांतर इन्हीं समीकरणों को प्रारंभिक प्रतिबंधों सहित हल करते हैं, और सहायक समीकरण के मूल रूपांतरित हल के ध्रुव हैं।

संबंध: विफलता की स्थिति गतिकी में अनुनाद (resonance) है: x″ + ω²x = F cos ωt का PI (Ft/(2ω)) sin ωt है, जिसका आयाम समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है (सरल आवर्त गति और प्रणोदित दोलन)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: (D² − 3D + 2)y = e^3x हल कीजिए।

m² − 3m + 2 = 0 से m = 1, 2; PI = e^3x/(9 − 9 + 2) = e^3x/2; y = c₁e^x + c₂e^2x + e^3x/2।

उदाहरण 2: (D² + 4)y = sin 2x हल कीजिए।

CF = c₁ cos 2x + c₂ sin 2x; D² = −4 से हर शून्य होता है, अतः PI = −(x/4) cos 2x।

उदाहरण 3: (D² + D)y = x² + 2x + 4 हल कीजिए।

CF = c₁ + c₂e^−x; PI = (1/D)(1 + D)⁻¹(x² + 2x + 4) = (1/D)[(x² + 2x + 4) − (2x + 2) + 2] = (1/D)(x² + 4) = x³/3 + 4x।

उदाहरण 4: (D − 1)²y = xe^x हल कीजिए।

CF = (c₁ + c₂x)e^x; PI = e^x(1/D²)x = x³e^x/6।

उदाहरण 5 (तृतीय कोटि): (D³ − 1)y = 0 हल कीजिए।

m³ = 1 से m = 1, (−1 ± i√3)/2, अतः y = c₁e^x + e^−x/2[c₂ cos(√3x/2) + c₃ sin(√3x/2)]।

उदाहरण 6: (D² − 2D + 5)y = e^x cos 2x हल कीजिए।

m² − 2m + 5 = 0 से m = 1 ± 2i, अतः CF = e^x(c₁ cos 2x + c₂ sin 2x)।

घातांकी विस्थापन: PI = e^x[1/((D + 1)² − 2(D + 1) + 5)] cos 2x = e^x[1/(D² + 4)] cos 2x = e^x(x/4) sin 2x (विफलता स्थिति)।

अतः y = e^x(c₁ cos 2x + c₂ sin 2x) + (x/4)e^x sin 2x।

उदाहरण 7: (D³ − D² − D + 1)y = cosh x हल कीजिए।

f(m) = (m − 1)²(m + 1), अतः CF = (c₁ + c₂x)e^x + c₃e^−x; cosh x = (e^x + e^−x)/2 लिखें।

a = 1 द्विक मूल है और f″(1) = 6 − 2 = 4, अतः (1/2)[1/f(D)]e^x = x²e^x/8; a = −1 सरल मूल है और f′(−1) = 3 + 2 − 1 = 4, अतः (1/2)[1/f(D)]e^−x = xe^−x/8।

अतः y = (c₁ + c₂x)e^x + c₃e^−x + (x²e^x + xe^−x)/8।

प्रारंभिक प्रतिबंध पूर्ण हल y = CF + PI पर लगाए जाते हैं, केवल CF पर कभी नहीं।

14. युगपत समीकरण, अनिर्धारित गुणांक और प्रारंभिक मान

युगपत रैखिक समीकरण f₁(D)x + g₁(D)y = X₁, f₂(D)x + g₂(D)y = X₂: g₂(D) और g₁(D) से संक्रिया कर घटाते हुए y का विलोपन करें (D अचरों के साथ क्रमविनिमेय है), x ज्ञात करें, फिर बिना नए अचर जोड़े किसी एक समीकरण से y ज्ञात करें। स्वेच्छ अचरों की संख्या f₁g₂ − f₂g₁ की D में घात के बराबर है।

अनिर्धारित गुणांक: X के बहुपद, e^ax, sin bx, cos bx या इनके गुणनफल होने पर उसी रूप का संयोजन आजमाएँ (यदि परीक्षण रूप f(D)y = 0 को हल करता हो तो x^k से गुणा करें) और गुणांकों की तुलना करें।

अनिर्धारित गुणांक विधि क्यों कार्य करती है: प्रत्येक स्वीकार्य X स्वयं किसी अचर-गुणांक समीकरण g(D)X = 0 का हल है (इसका विलोपक (annihilator), जैसे sin bx के लिए D² + b²)। तब g(D)f(D)y = 0, अतः PI, g(D)f(D)y = 0 के उन हलों का संयोजन है जो पहले से CF में नहीं हैं; गुणक x^k तब आता है जब g और f का कोई मूल उभयनिष्ठ हो।

उदाहरण 8 (UPSC 2017, 8 अंक): (i) निम्नलिखित युगपत रेखीय अवकल समीकरणों को हल कीजिए :
(D + 1)y = z + e^x व (D + 1)z = y + e^x, जहाँ y व z स्वतंत्र चर x के फलन हैं तथा D ≡ d/dx।

समीकरणों को घटाने पर: (D + 1)(y − z) = z − y, अर्थात (D + 2)(y − z) = 0, अतः y − z = Ae^−2x।

जोड़ने पर: (D + 1)(y + z) = (y + z) + 2e^x, अर्थात D(y + z) = 2e^x, अतः y + z = 2e^x + B।

उत्तर: y = e^x + B/2 + (A/2)e^−2x, z = e^x + B/2 − (A/2)e^−2x (दो स्वेच्छ अचर, क्योंकि सारणिक (D + 1)² − 1 की घात 2 है)।

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 7 अंक): (ii) निम्नलिखित प्रारम्भिक-मान अवकल समीकरणों को हल कीजिए :
20y″ + 4y′ + y = 0, y(0) = 3·2 व y′(0) = 0।

सहायक समीकरण 20m² + 4m + 1 = 0: m = (−4 ± √(16 − 80))/40 = −1/10 ± i/5, अतः y = e^−x/10(A cos(x/5) + B sin(x/5))।

y(0) = A = 3.2 (प्रश्नपत्र में 3·2 लिखा है) और y′(0) = −A/10 + B/5 = 0, अतः B = 1.6।

उत्तर: y = e^−0.1x(3.2 cos 0.2x + 1.6 sin 0.2x)।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): y″ − 5y′ + 6y = 0 हल कीजिए।

उत्तर: m = 2, 3; y = c₁e^2x + c₂e^3x.

अभ्यास 2 (मूल): y″ + 2y′ + 5y = 0 हल कीजिए।

उत्तर: m = −1 ± 2i; y = e^−x(c₁ cos 2x + c₂ sin 2x).

अभ्यास 3 (मूल): (D³ − 3D² + 3D − 1)y = 0 हल कीजिए।

उत्तर: (m − 1)³ = 0, त्रिक मूल; y = (c₁ + c₂x + c₃x²)e^x.

अभ्यास 4 (मानक): (D² + 4D + 4)y = e^−2x हल कीजिए।

उत्तर: −2 द्विक मूल है और f″ = 2, अतः y = (c₁ + c₂x)e^−2x + x²e^−2x/2.

अभ्यास 5 (मानक): (D² + 9)y = cos 3x + sin x हल कीजिए।

उत्तर: y = c₁ cos 3x + c₂ sin 3x + (x/6) sin 3x + (sin x)/8 (पहला पद विफलता की स्थिति है)।

अभ्यास 6 (मानक): (D² − D − 2)y = x² का एक विशेष समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: PI = −(1/2)[1 + (D − D²)/2]⁻¹x² = −x²/2 + x/2 − 3/4.

अभ्यास 7 (मानक): (D² + 2D + 2)y = e^−x sin x का एक विशेष समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: विस्थापन D → D − 1 से e^−x[1/(D² + 1)] sin x, अतः PI = −(x/2)e^−x cos x.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): (D² + 1)y = x sin x हल कीजिए।

उत्तर: [1/(D² + 1)](xe^ix) = e^ix[1/(D² + 2iD)]x का काल्पनिक भाग लें; y = c₁ cos x + c₂ sin x + (x sin x − x² cos x)/4.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): y″ + 4y = 8 cos 2x, y(0) = 0, y′(0) = 2 हल कीजिए।

उत्तर: y = c₁ cos 2x + c₂ sin 2x + 2x sin 2x; प्रतिबंधों से c₁ = 0, c₂ = 1, अतः y = (1 + 2x) sin 2x (अनुनाद: आयाम रैखिक रूप से बढ़ता है)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): dx/dt + y = sin t, dy/dt + x = cos t को x(0) = 2, y(0) = 0 के साथ हल कीजिए।

उत्तर: y का विलोपन करने पर (D² − 1)x = 0, अतः x = Ae^t + Be^−t और y = sin t − Ae^t + Be^−t; प्रतिबंधों से A = B = 1: x = 2 cosh t, y = sin t − 2 sinh t.

1. ऑयलर-कोशी प्रतिस्थापन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब गुणांक x पर निर्भर होते हैं, तो परीक्षण e^mx कार्य नहीं करता, और कोई व्यापक नुस्खा नहीं है। फिर भी एक महत्वपूर्ण कुल सरल है: वे समीकरण जिनमें प्रत्येक अवकलज y^(k) किसी अचर गुणा x^k से गुणित है। ये तब आते हैं जब लाप्लास समीकरण को ध्रुवीय या गोलीय निर्देशांकों में पृथक किया जाता है।

शब्दों में: x²y″ + axy′ + by = X में गुणक x^k, k-वें अवकलज से "मेल" खाता है, अतः x को λx में बदलने पर समीकरण नहीं बदलता। प्रतिस्थापन x = e^z स्केलिंग को विस्थापन में बदल देता है (log λx = log λ + z), और विस्थापन-निश्चर समीकरण ठीक वही हैं जिनके गुणांक अचर हैं। नए चर में xD, θ = d/dz बन जाता है और x²D², θ(θ − 1).

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x > 0 के लिए x²y″ − 2xy′ + 2y = 0 हल करें। (1) परीक्षण y = x^m: y′ = mx^m−1, y″ = m(m − 1)x^m−2, अतः x²y″ = m(m − 1)x^m और xy′ = mx^m. (2) प्रतिस्थापन: [m(m − 1) − 2m + 2]x^m = 0, अर्थात m² − 3m + 2 = 0, अतः m = 1, 2.

(3) व्यापक हल y = c₁x + c₂x² है। (4) y = x² की जाँच: 2x² − 4x² + 2x² = 0. (5) x = e^z से वही परिणाम: [θ(θ − 1) − 2θ + 2]y = (θ − 1)(θ − 2)y = 0 से y = c₁e^z + c₂e^2z = c₁x + c₂x²; m में सूचक बहुपद ही θ में सहायक बहुपद है।

अ-उदाहरण (non-example): x²y″ + y′ + y = 0 ऑयलर-कोशी प्रकार का नहीं है, क्योंकि y′ का गुणांक 1 है, अचर गुणा x नहीं। x = e^z से यह θ(θ − 1)y + e^−zθy + y = 0 बनता है, जिसमें अभी भी चर गुणांक e^−z है, अतः विधि कुछ नहीं देती।

आगे बढ़ते हुए: dy/dx = (1/x) dy/dz से xD = θ मिलता है; एक बार और अवकलन करने पर x²D² = θ² − θ = θ(θ − 1), और आगमन से x^kD^k = θ(θ − 1)...(θ − k + 1) (इस खंड में दिखाया गया)। दाएँ पक्ष X(x) को भी z में लिखना होगा; तब अचर-गुणांक विषय का प्रत्येक PI नियम θ में लागू होता है। लेजेंड्र समीकरण (ax + b)^ky^(k) इसी प्रकार ax + b = e^z से हल होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 10–15 अंकीय ऑयलर-कोशी या लेजेंड्र प्रकार का प्रश्न लगभग प्रत्येक वर्ष आता है; यही समीकरण r²R″ + rR′ − n²R = 0 चकती में लाप्लास समीकरण का त्रिज्य भाग देता है।

2. ऑयलर-कोशी (समघात रैखिक) समीकरण

रूप: xⁿy⁽ⁿ⁾ + a₁xⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a_ny = X(x), जहाँ a_i अचर हैं, x > 0 के लिए।

x = e^z (z = log x) और θ = d/dz रखें: xD = θ, x²D² = θ(θ − 1), x³D³ = θ(θ − 1)(θ − 2)।

यह क्यों कार्य करता है: x = e^z के साथ dy/dx = (dy/dz)(dz/dx) = (1/x) dy/dz, अतः x dy/dx = θy. पुनः अवकलन करने पर x² d²y/dx² = d²y/dz² − dy/dz = θ(θ − 1)y, और व्यापक रूप में x^kD^k = θ(θ − 1)...(θ − k + 1).

समीकरण z में अचर गुणांकों वाला रैखिक बन जाता है; इसे हल कर z = log x वापस रखें।

भाव: x^m वही भूमिका निभाता है जो अचर गुणांकों के लिए e^mx: (xD)x^m = m x^m. अतः समघात समीकरण x²y″ + axy′ + by = 0 के लिए परीक्षण y = x^m सीधे m(m − 1) + am + b = 0 देता है; दोहरा मूल m, x^m और x^m log x देता है, और सम्मिश्र मूल α ± iβ, x^α[c₁ cos(β log x) + c₂ sin(β log x)] देते हैं। x < 0 के लिए x = −e^z लें, अर्थात x के स्थान पर |x| रखें।

लेजेंड्र का रैखिक समीकरण (ax + b)ⁿy⁽ⁿ⁾ + ... = X: ax + b = e^z रखें; तब (ax + b)D = aθ, (ax + b)²D² = a²θ(θ − 1)।

उदाहरण 1: x²y″ − 2xy′ − 4y = x⁴ हल कीजिए।

x = e^z से: [θ(θ − 1) − 2θ − 4]y = e^4z, अर्थात (θ − 4)(θ + 1)y = e^4z।

CF = c₁e^4z + c₂e^−z; चूँकि 4, f(θ) = θ² − 3θ − 4 का सरल मूल है, PI = ze^4z/f′(4) = ze^4z/5।

अतः y = c₁x⁴ + c₂/x + (x⁴ log x)/5।

3. कोटि-समानयन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सामान्य द्वितीय कोटि रैखिक समीकरण का CF सहायक समीकरण से नहीं मिलता। परंतु प्रायः एक हल पहचाना जा सकता है (y = x, y = e^x, y = x^m), और एक ज्ञात हल शेष सब कुछ ज्ञात करने के लिए पर्याप्त है।

शब्दों में: यदि y₁, y″ + Py′ + Qy = 0 का हल है, तो अन्य हल y = v(x)y₁(x) के रूप में खोजें, अर्थात "अचर" गुणक को बदलने दें। क्योंकि y₁ पहले से समीकरण का हल है, स्वयं v वाले सभी पद कट जाते हैं, केवल v′ और v″ बचते हैं: w = v′ के लिए प्रथम कोटि रैखिक समीकरण। इसीलिए कोटि "घटती" है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: −1 < x < 1 पर (1 − x²)y″ − 2xy′ + 2y = 0. (1) मानक रूप: P = −2x/(1 − x²), Q = 2/(1 − x²). (2) y = x का परीक्षण: P + Qx = −2x/(1 − x²) + 2x/(1 − x²) = 0, अतः y₁ = x.

(3) ∫P dx = log(1 − x²), अतः e^{−∫P dx} = 1/(1 − x²). (4) y₂ = y₁∫e^{−∫P dx}/y₁² dx = x∫dx/(x²(1 − x²)) = x∫[1/x² + 1/(1 − x²)] dx.

(5) समाकलन से y₂ = x[−1/x + (1/2) log((1 + x)/(1 − x))] = (x/2) log((1 + x)/(1 − x)) − 1. (6) व्यापक हल c₁x + c₂[(x/2) log((1 + x)/(1 − x)) − 1] है; यह घात 1 का लेजेंड्र समीकरण है, और y₂ वह फलन है जिसे सामान्यतः Q₁(x) कहते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): इसी समीकरण के लिए e^x का नियम 1 + P + Q = 0 विफल है: 1 + (2 − 2x)/(1 − x²) = 1 + 2/(1 + x) ≠ 0. अतः e^x हल नहीं है, और y = ve^x रखने से v-पद नहीं हटेंगे। निरीक्षण नियमों की जाँच करनी चाहिए, उन्हें मान नहीं लेना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: y = vy₁ के साथ v-पद v(y₁″ + Py₁′ + Qy₁) = 0 में एकत्र होते हैं, और y₁v″ + (2y₁′ + Py₁)v′ = R बचता है। इसका IF y₁²e^{∫P dx} है, जो R = 0 पर सूत्र y₂ = y₁∫e^{−∫P dx}/y₁² dx देता है और R ≠ 0 पर CF और PI दोनों एक साथ (दोनों इस खंड में व्युत्पन्न)।

कहाँ प्रयोग होता है: "दिया है कि y = x (या e^x) एक हल है, हल कीजिए ..." और "दूसरा हल ज्ञात कीजिए" प्रकार के प्रश्न; यह प्राचल विचरण से पहले आवश्यक y₂ भी देता है।

4. एक हल ज्ञात होने पर पूर्ण हल

मानक रूप: y″ + P(x)y′ + Q(x)y = R(x) (y″ का गुणांक 1)।

यदि y₁, y″ + Py′ + Qy = 0 का ज्ञात शून्येतर हल है, तो y = vy₁ रखें; तब v″ + (P + 2y₁′/y₁)v′ = R/y₁, जो v′ में प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।

यह क्यों कार्य करता है: y = vy₁ के साथ y′ = v′y₁ + vy₁′ और y″ = v″y₁ + 2v′y₁′ + vy₁″. प्रतिस्थापन करने पर v वाले पद v(y₁″ + Py₁′ + Qy₁) = 0 में एकत्र होते हैं, और v″y₁ + v′(2y₁′ + Py₁) = R बचता है; y₁ से भाग दें। चूँकि v स्वयं लुप्त हो गया है, w = v′ एक प्रथम कोटि समीकरण को संतुष्ट करता है: कोटि घट जाती है।

समघात समीकरण का दूसरा स्वतंत्र हल: y₂ = y₁∫[e^{−∫P dx}/y₁²] dx।

यह क्यों कार्य करता है: R = 0 के साथ w′ + (P + 2y₁′/y₁)w = 0 का समाकलन गुणक y₁²e^{∫P dx} है, अतः w = e^{−∫P dx}/y₁² और v = ∫w dx.

निरीक्षण से y₁ ज्ञात करना: 1 + P + Q = 0 ⇒ e^x; 1 − P + Q = 0 ⇒ e^−x; a² + aP + Q = 0 ⇒ e^ax; P + Qx = 0 ⇒ x; 2 + 2Px + Qx² = 0 ⇒ x²; m(m − 1) + Pmx + Qx² = 0 ⇒ x^m।

नियम क्यों कार्य करते हैं: परीक्षण फलन को y″ + Py′ + Qy = 0 में रखें। y = e^ax के लिए: (a² + aP + Q)e^ax = 0. y = x के लिए: P + Qx = 0. y = x^m के लिए: m(m − 1)x^m−2 + Pmx^m−1 + Qx^m = 0, जो x^{2 − m} से गुणा करने पर बताया गया प्रतिबंध है। अनुमानित y₁ का दिए समीकरण में सदा सत्यापन करें।

उदाहरण 2: x²y″ − (x² + 2x)y′ + (x + 2)y = x³e^x हल कीजिए।

मानक रूप: P = −(1 + 2/x), Q = (x + 2)/x², R = xe^x; P + Qx = 0, अतः y₁ = x।

y = vx से: v″ + (P + 2/x)v′ = e^x, अर्थात v″ − v′ = e^x; तब v′ = (x + c₁)e^x और v = (x − 1)e^x + c₁e^x + c₂।

अतः y = c₁xe^x + c₂x + x(x − 1)e^x, जिसे y = Axe^x + Bx + x²e^x लिखा जा सकता है।

5. रॉन्स्कियन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: CF के लिए दो ऐसे हल चाहिए जो वास्तव में भिन्न हों, एक-दूसरे के गुणज नहीं। दो फलनों के लिए यह देखना सरल है, परंतु हमें ऐसा परीक्षण चाहिए जो n फलनों के लिए भी कार्य करे और यांत्रिक रूप से गणना योग्य हो।

शब्दों में: y₁, y₂ किसी अंतराल पर रैखिकतः आश्रित हैं यदि वहाँ ऐसे अचरों के लिए, जो दोनों शून्य न हों, c₁y₁ + c₂y₂ = 0. इनका रॉन्स्कियन (Wronskian) W = y₁y₂′ − y₂y₁′ है, अर्थात [[y₁, y₂], [y₁′, y₂′]] का सारणिक। यदि फलन आश्रित हैं तो W ≡ 0. संतत P, Q वाले y″ + Py′ + Qy = 0 के दो हलों के लिए विलोम भी सत्य है, और W या तो कभी शून्य नहीं होता या सर्वत्र शून्य है (एबेल सूत्र)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y″ + y = 0 के हल y₁ = cos x, y₂ = sin x. (1) y₁′ = −sin x, y₂′ = cos x. (2) W = cos x·cos x − sin x·(−sin x) = 1. (3) W ≠ 0, अतः वे स्वतंत्र हैं और y = c₁ cos x + c₂ sin x व्यापक हल है। (4) एबेल सूत्र सहमत है: यहाँ P = 0, अतः W = Ce⁰ अचर है।

अ-उदाहरण (non-example): (−1, 1) पर x² और x|x| स्वतंत्र हैं (0 के दोनों ओर एक ही अचर अनुपात कार्य नहीं करता), फिर भी इनका रॉन्स्कियन सर्वत्र शून्य है। यह प्रमेय का खंडन नहीं करता: ये दोनों (−1, 1) पर संतत P, Q वाले किसी एक समीकरण y″ + Py′ + Qy = 0 के हल नहीं हो सकते। "W ≡ 0 से आश्रितता" केवल ऐसे समीकरण के हलों के लिए सत्य है।

आगे बढ़ते हुए: यदि W(x₀) = 0, तो निकाय c₁y₁(x₀) + c₂y₂(x₀) = 0, c₁y₁′(x₀) + c₂y₂′(x₀) = 0 का शून्येतर हल है; तब c₁y₁ + c₂y₂ शून्य प्रारंभिक आँकड़ों वाला हल है, अतः अद्वितीयता से सर्वत्र शून्य है। एबेल सूत्र W = Ce^{−∫P dx} (नीचे रॉन्स्कियन वाले खंड में सिद्ध) दिखाता है कि W एक बिंदु पर शून्य होकर सर्वत्र शून्य हुए बिना नहीं रह सकता।

कहाँ प्रयोग होता है: W प्राचल-विचरण सूत्र का हर है, हलों के मूल समुच्चय का परीक्षण है, और नीचे की व्युत्पत्ति में क्रेमर नियम के पीछे का सारणिक है; रैखिक बीजगणित में यह फलन-समष्टि में रैखिक स्वतंत्रता का परीक्षण है।

6. प्राचल विचरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: संक्षिप्त संकारक विधियाँ केवल विशेष दाएँ पक्षों (e^ax, sin ax, बहुपद) और केवल अचर गुणांकों के लिए कार्य करती हैं। R(x) = sec x, tan x, e^x/x या चर गुणांकों के लिए हमें ऐसी विधि चाहिए जो CF ज्ञात होने पर किसी भी संतत R का PI दे।

शब्दों में: CF = c₁y₁ + c₂y₂. हम अचरों को बदलने देते हैं, y = u₁(x)y₁ + u₂(x)y₂, और u₁, u₂ ऐसे चुनते हैं कि समीकरण संतुष्ट हो। दो अज्ञात फलनों के लिए दो प्रतिबंध चाहिए: स्वयं समीकरण, और सुविधाजनक अतिरिक्त प्रतिबंध u₁′y₁ + u₂′y₂ = 0. हल करने पर u₁′ = −y₂R/W और u₂′ = y₁R/W, जहाँ R मानक रूप से पढ़ा जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: विधि को y″ + y = x पर परखें, जिसका PI x ज्ञात है। (1) y₁ = cos x, y₂ = sin x, W = 1, R = x. (2) u₁ = −∫x sin x dx = x cos x − sin x. (3) u₂ = ∫x cos x dx = x sin x + cos x.

(4) PI = u₁y₁ + u₂y₂ = x cos²x − sin x cos x + x sin²x + sin x cos x = x. (5) विधि ज्ञात उत्तर पुनः देती है; R = sec x के लिए यही चरण PI cos x log|cos x| + x sin x देते हैं (उदाहरण 3), जहाँ कोई संक्षिप्त विधि नहीं है।

अ-उदाहरण (non-example): x²y″ − 2xy′ + 2y = x³, जहाँ y₁ = x, y₂ = x², W = x². R = x³ लेने पर (x² से भाग दिए बिना) u₁ = −x⁴/4, u₂ = x²/2 और "PI" −x⁵/4 + x⁴/2 मिलता है, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। सही R = x के साथ u₁ = −x²/2, u₂ = x, और PI = x³/2, जो संतुष्ट करता है।

आगे बढ़ते हुए: अतिरिक्त प्रतिबंध y′ = u₁y₁′ + u₂y₂′ को u′ से मुक्त कर देता है, अतः y″ में u₁, u₂ के केवल प्रथम अवकलज आते हैं; प्रतिस्थापन से CF वाले भाग कट जाते हैं और u₁′y₁′ + u₂′y₂′ = R बचता है। 2 × 2 निकाय का सारणिक W ≠ 0 है, और क्रेमर नियम सूत्र देता है (पूरी व्युत्पत्ति नीचे)। u₁, u₂ में समाकलन अचर केवल CF को पुनः उत्पन्न करते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: "प्राचल विचरण विधि से" कहने वाले प्रश्न (15–20 अंक, बहुत बार), sec x, cosec x, tan x, e^x/x जैसे दाएँ पक्ष, और पहले विषय की प्रथम कोटि स्थिति y′ + Py = Q.

7. प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters)

मान लें y₁, y₂, y″ + Py′ + Qy = 0 के स्वतंत्र हल हैं जिनका रॉन्स्कियन W = y₁y₂′ − y₂y₁′ ≠ 0।

y = u₁y₁ + u₂y₂ लें, जहाँ u₁′y₁ + u₂′y₂ = 0 और u₁′y₁′ + u₂′y₂′ = R।

अतिरिक्त प्रतिबंध क्यों: एक समीकरण दो अज्ञात फलनों u₁, u₂ को निर्धारित नहीं कर सकता, अतः हम एक और प्रतिबंध लगाने के लिए स्वतंत्र हैं। u₁′y₁ + u₂′y₂ = 0 चुनने से y′ = u₁y₁′ + u₂y₂′, u′ से मुक्त हो जाता है, जिससे y″ में u₁, u₂ के केवल प्रथम अवकलज आते हैं।

हल करने पर: u₁ = −∫(y₂R/W) dx, u₂ = ∫(y₁R/W) dx, अतः PI = −y₁∫(y₂R/W) dx + y₂∫(y₁R/W) dx।

विधि के लिए मानक रूप आवश्यक है और यह किसी भी संतत R(x) के लिए काम करती है, जिसमें sec x, tan x, cosec x भी हैं जहाँ संक्षिप्त विधियाँ विफल होती हैं।

उदाहरण 3: प्राचल विचरण से y″ + y = sec x हल कीजिए।

y₁ = cos x, y₂ = sin x, W = 1; u₁ = −∫sin x sec x dx = log|cos x|, u₂ = ∫cos x sec x dx = x।

अतः y = c₁ cos x + c₂ sin x + cos x log|cos x| + x sin x।

8. प्रसामान्य रूप को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रथम अवकलज पद Py′ ही अनेक समीकरणों को सरल u″ + ku = 0 जैसा दिखने से रोकता है। आश्रित चर का चतुर परिवर्तन इसे हटा सकता है, और यदि शेष का गुणांक अचर हो तो समीकरण तुरंत हल हो जाता है।

शब्दों में: y = uv रखें, जहाँ v = e^{−(1/2)∫P dx}. तब y″ + Py′ + Qy = R, u″ + Iu = R/v बन जाता है, जो प्रसामान्य रूप (normal form) है, जहाँ निश्चर I = Q − P²/4 − P′/2. विधि तब लाभदायक है जब I अचर हो (या c/x², जो ऑयलर-कोशी समीकरण देता है)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y″ + (2/x)y′ + y = 0. (1) P = 2/x, अतः v = e^−∫dx/x = 1/x. (2) I = Q − P²/4 − P′/2 = 1 − 1/x² + 1/x² = 1. (3) u″ + u = 0 से u = c₁ cos x + c₂ sin x. (4) y = uv = (c₁ cos x + c₂ sin x)/x; चाहें तो y = (sin x)/x की सीधी जाँच करें।

अ-उदाहरण (non-example): y″ + xy′ + y = 0 के लिए I = 1 − x²/4 − 1/2 = 1/2 − x²/4 अचर नहीं है, अतः प्रसामान्य रूप u″ + (1/2 − x²/4)u = 0 सरल नहीं है। (यह समीकरण इसके स्थान पर यथातथ है: P₀″ − P₁′ + P₂ = 0 − 1 + 1 = 0.) विधि अपनाने से पहले सदा I की गणना करें।

आगे बढ़ते हुए: y = uv के साथ u′ का गुणांक 2v′ + Pv है, जो v = e^{−(1/2)∫P dx} के लिए शून्य होता है; u का शेष गुणांक v″ + Pv′ + Qv = Iv है (इस खंड में व्युत्पन्न)। सहयोगी युक्ति, स्वतंत्र चर को z में बदलना जहाँ (z′)², Q के समानुपाती हो, Q₁ को अचर बनाती है और तब कार्य करती है जब P₁ = (z″ + Pz′)/(z′)² भी अचर निकले।

कहाँ प्रयोग होता है: "प्रसामान्य रूप में बदलकर हल कीजिए" प्रश्न, y″ + (2/x)y′ + y = 0 जैसे बेसेल-प्रकार के समीकरण, और यह जाँचना कि स्वतंत्र चर का परिवर्तन कार्य करेगा या नहीं।

9. संबंधित समानयन

प्रसामान्य रूप (normal form): y = uv, v = e^{−(1/2)∫P dx} लेने पर प्रथम अवकलज हट जाता है और u″ + Iu = R/v मिलता है, जहाँ I = Q − P²/4 − P′/2।

यह क्यों कार्य करता है: y = uv के साथ y″ + Py′ + Qy में u′ का गुणांक 2v′ + Pv है; यह v = e^{−(1/2)∫P dx} के लिए शून्य होता है। तब v′ = −Pv/2 और v″ = (P²/4 − P′/2)v, और u का गुणांक v″ + Pv′ + Qv = (Q − P²/4 − P′/2)v = Iv बन जाता है। यह विधि तब सहायक है जब I अचर हो या अचर को x² से भाग देने पर मिले।

स्वतंत्र चर का परिवर्तन z = z(x): समीकरण d²y/dz² + P₁dy/dz + Q₁y = R₁ बनता है, जहाँ P₁ = (z″ + Pz′)/(z′)², Q₁ = Q/(z′)², R₁ = R/(z′)²; z ऐसा चुनें कि Q₁ अचर हो और जाँचें कि तब P₁ भी अचर है।

यह क्यों कार्य करता है: dy/dx = z′ dy/dz और d²y/dx² = (z′)² d²y/dz² + z″ dy/dz; प्रतिस्थापन करके (z′)² से भाग देने पर P₁, Q₁, R₁ मिलते हैं। Q₁ को अचर बनाने का अर्थ है (z′)² ∝ Q, अर्थात z = ∫√|Q| dx (एक अचर गुणक तक); xy″ − y′ + 4x³y = x⁵ के लिए इससे z = x² मिलता है।

10. व्युत्पत्ति: प्राचल-विचरण सूत्र

y = u₁y₁ + u₂y₂ खोजें जहाँ u₁′y₁ + u₂′y₂ = 0. तब y′ = u₁y₁′ + u₂y₂′ और y″ = u₁y₁″ + u₂y₂″ + u₁′y₁′ + u₂′y₂′.

y″ + Py′ + Qy = R में प्रतिस्थापन करने पर पद u₁(y₁″ + Py₁′ + Qy₁) और u₂(y₂″ + Py₂′ + Qy₂) शून्य हो जाते हैं, और u₁′y₁′ + u₂′y₂′ = R बचता है।

दोनों समीकरण निकाय [[y₁, y₂], [y₁′, y₂′]](u₁′, u₂′)^T = (0, R)^T बनाते हैं, जिसका सारणिक रॉन्स्कियन W ≠ 0 है।

क्रेमर नियम से u₁′ = −y₂R/W और u₂′ = y₁R/W. समाकलन से सूत्र मिलता है; समाकलन के अचर CF को पुनः उत्पन्न करते हैं, अतः उन्हें लिखने से एक ही चरण में पूर्ण हल मिल जाता है।

11. विधि का चयन

यदि प्रत्येक y^(k) किसी अचर × x^k से गुणित हो → ऑयलर-कोशी, x = e^z (या समघात भाग के लिए y = x^m); यदि (ax + b)^k से → लेजेंड्र, ax + b = e^z.

यदि निरीक्षण नियमों में से कोई y₁ दे → कोटि-ह्रास y = vy₁, जो CF और PI दोनों साथ देता है।

यदि दो स्वतंत्र हल ज्ञात हों और R स्वेच्छ हो (sec x, tan x, e^x/x, log x), या प्रश्न में "प्राचल-विचरण द्वारा" लिखा हो → प्राचल-विचरण।

यदि I = Q − P²/4 − P′/2 अचर (या c/x²) हो → प्रसामान्य रूप; यदि Q/(z′)² को अचर बनाया जा सके और P₁ भी अचर हो → स्वतंत्र चर का परिवर्तन।

यदि P₀″ − P₁′ + P₂ = 0 → यथातथ: प्रथम समाकल लिखें। यदि y अनुपस्थित हो → p = y′; यदि x अनुपस्थित हो → p = y′ और y″ = p dp/dy.

12. सामान्य गलतियाँ

ऑयलर-कोशी समानयन में θ(θ − 1) के स्थान पर x²D² = θ² लिखना।

x = e^z रखने के बाद दाएँ पक्ष को x में छोड़ देना; किसी भी संकारक विधि से पहले इसे भी z में लिखना आवश्यक है (log x = z, xⁿ = e^nz)।

ऐसे y₁ का प्रयोग जो समीकरण के केवल एक भाग को हल करता है, या जो y″ के गुणांक से भाग देने से पहले पढ़े गए P, Q के साथ नियमों से मिला हो।

u₁ = −∫y₂R/W dx में ऋण चिह्न छोड़ देना, या W से भाग देना भूल जाना।

प्रसामान्य रूप में u के लिए हल करके अंत में v से गुणा करना भूल जाना: उत्तर y = uv है।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: ऑयलर-कोशी समीकरण r²R″ + rR′ − n²R = 0 तब आता है जब लाप्लास समीकरण को ध्रुवीय निर्देशांकों में पृथक किया जाता है (आंशिक अवकल समीकरण), और विषय 1 का प्रथम कोटि प्राचल-विचरण यहाँ व्युत्पन्न सूत्र की n = 1 स्थिति है।

संबंध: रॉन्स्कियन फलनों की रैखिक स्वतंत्रता का परीक्षण करता है (रैखिक बीजगणित); निकाय Y′ = AY के लिए इसका समरूप लिउविल सूत्र W = Ce^{∫tr A dx} है, जिसकी स्थिति A = [[0, 1], [−Q, −P]] आबेल सूत्र है।

14. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: x²y″ − xy′ + y = log x हल कीजिए।

x = e^z रखने पर: [θ(θ − 1) − θ + 1]y = z, अर्थात (θ − 1)²y = z; CF = (c₁ + c₂z)e^z।

PI = (1 − θ)⁻²z = (1 + 2θ + 3θ² + ...)z = z + 2।

अतः y = (c₁ + c₂ log x)x + log x + 2।

उदाहरण 5: प्राचल विचरण विधि से y″ − 2y′ + y = e^x/x हल कीजिए।

y₁ = e^x, y₂ = xe^x, W = e^2x, R = e^x/x।

u₁ = −∫xe^x(e^x/x)/e^2x dx = −x तथा u₂ = ∫e^x(e^x/x)/e^2x dx = log x।

PI = −xe^x + xe^x log x; −xe^x को CF में सम्मिलित करने पर y = (c₁ + c₂x)e^x + xe^x log x (x > 0)।

उदाहरण 6: प्रसामान्य रूप में बदलकर y″ − 4xy′ + (4x² − 1)y = −3e^x2 sin 2x हल कीजिए।

P = −4x, अतः v = e^{−(1/2)∫P dx} = e^x2 और I = Q − P²/4 − P′/2 = (4x² − 1) − 4x² + 2 = 1।

y = ue^x2 रखने पर: u″ + u = R/v = −3 sin 2x, अतः u = c₁ cos x + c₂ sin x − 3 sin 2x/(1 − 4) = c₁ cos x + c₂ sin x + sin 2x।

अतः y = e^x2(c₁ cos x + c₂ sin x + sin 2x)।

उदाहरण 7: स्वतंत्र चर बदलकर xy″ − y′ + 4x³y = x⁵ हल कीजिए।

मानक रूप: y″ − y′/x + 4x²y = x⁴, अतः P = −1/x, Q = 4x², R = x⁴; (z′)² = Q/4 = x² लें, अर्थात z = x²।

तब P₁ = (z″ + Pz′)/(z′)² = (2 − 2)/(4x²) = 0, Q₁ = 4x²/(4x²) = 1 और R₁ = x⁴/(4x²) = z/4।

d²y/dz² + y = z/4 से y = c₁ cos z + c₂ sin z + z/4, अर्थात y = c₁ cos x² + c₂ sin x² + x²/4।

15. रॉन्स्कियन, यथातथ समीकरण और ऑयलर-कोशी के पिछले प्रश्न

रॉन्स्कियन और एबेल सूत्र: उस अंतराल पर जहाँ P, Q संतत हैं, y″ + Py′ + Qy = 0 के हलों y₁, y₂ के लिए W = y₁y₂′ − y₂y₁′ = Ce^{−∫P dx}; अतः W या तो सर्वत्र 0 है (आश्रित हल) या कहीं भी 0 नहीं (स्वतंत्र)।

आबेल सूत्र क्यों सत्य है: W′ = y₁y₂″ − y₂y₁″ = y₁(−Py₂′ − Qy₂) − y₂(−Py₁′ − Qy₁) = −PW, एक पृथक्करणीय समीकरण जिसका हल W = Ce^{−∫P dx} है। चूँकि घातांकी फलन कभी शून्य नहीं होता, W या तो सर्वत्र शून्य (C = 0) है या कहीं नहीं।

यथातथ समीकरण P₀y″ + P₁y′ + P₂y = R यथातथ है यदि P₀″ − P₁′ + P₂ = 0; इसका प्रथम समाकल P₀y′ + (P₁ − P₀′)y = ∫R dx + c है।

यथातथता प्रतिबंध क्यों: d/dx[P₀y′ + (P₁ − P₀′)y] = P₀y″ + P₁y′ + (P₁′ − P₀″)y. यह समीकरण के बाएँ पक्ष के ठीक तब बराबर है जब P₂ = P₁′ − P₀″, अर्थात P₀″ − P₁′ + P₂ = 0.

y-मुक्त समीकरण: यदि y स्वयं अनुपस्थित हो, तो p = dy/dx रखकर कोटि एक कम करें।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 15 अंक): समीकरण x² d³y/dx³ − 4x d²y/dx² + 6 dy/dx = 4 का व्यापक हल (general solution) निकालिये।

y उपस्थित नहीं है, अतः p = y′ रखें: x²p″ − 4xp′ + 6p = 4, p में ऑयलर-कोशी समीकरण।

x = e^z से: [θ(θ − 1) − 4θ + 6]p = (θ − 2)(θ − 3)p = 4, अतः p = c₁x² + c₂x³ + 4/6।

उत्तर: y = Ax³ + Bx⁴ + 2x/3 + C (A = c₁/3, B = c₂/4)।

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 13 अंक): हल कीजिये : (1 + x)² y″ + (1 + x) y′ + y = 4 cos(log(1 + x))

लेजेंड्र समीकरण: 1 + x = e^z रखें, अतः (1 + x)D = θ और (1 + x)²D² = θ(θ − 1)। तब [θ(θ − 1) + θ + 1]y = (θ² + 1)y = 4 cos z।

CF = c₁ cos z + c₂ sin z; असफलता की स्थिति में PI = 4·(z/2) sin z = 2z sin z।

उत्तर: y = c₁ cos log(1 + x) + c₂ sin log(1 + x) + 2 log(1 + x) sin log(1 + x)।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 10 अंक): (i) निम्न अवकल समीकरण हल कीजिए : (x + 1)²y″ − 4(x + 1)y′ + 6y = 6(x + 1)² + sin log(x + 1)

x + 1 = e^z रखें: [θ(θ − 1) − 4θ + 6]y = (θ − 2)(θ − 3)y = 6e^2z + sin z; CF = c₁(x + 1)² + c₂(x + 1)³।

θ = 2, f(θ) = θ² − 5θ + 6 का सरल मूल है, f′(2) = −1, अतः PI₁ = 6ze^2z/(−1) = −6ze^2z।

PI₂ = [1/(5 − 5θ)] sin z = (1/5)(1 + θ) sin z/(1 − θ²) = (sin z + cos z)/10।

उत्तर: y = c₁(x + 1)² + c₂(x + 1)³ − 6(x + 1)² log(x + 1) + [sin log(x + 1) + cos log(x + 1)]/10।

उदाहरण 11 (UPSC 2022, 10 अंक): (ii) निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए: (3x + 2)² d²y/dx² + 5(3x + 2) dy/dx − 3y = x² + x + 1

3x + 2 = e^z रखें: (3x + 2)D = 3θ, (3x + 2)²D² = 9θ(θ − 1)। संकारक 9θ(θ − 1) + 15θ − 3 = 3(3θ − 1)(θ + 1) है, अतः CF = c₁(3x + 2)^1/3 + c₂(3x + 2)⁻¹।

x = (e^z − 2)/3 से: x² + x + 1 = (e^2z − e^z + 7)/9। f(θ) = 9θ² + 6θ − 3 के लिए: f(2) = 45, f(1) = 12, f(0) = −3।

PI = (1/9)[e^2z/45 − e^z/12 + 7/(−3)] = e^2z/405 − e^z/108 − 7/27।

उत्तर: y = c₁(3x + 2)^1/3 + c₂(3x + 2)⁻¹ + (3x + 2)²/405 − (3x + 2)/108 − 7/27।

उदाहरण 12 (UPSC 2025, 10 अंक): (ii) x³ d³y/dx³ + 3x² d²y/dx² + x dy/dx + y = x log x का पूर्ण हल ज्ञात कीजिए।

x = e^z से संकारक θ³ + 1 है (हल किए गए प्रश्नों के प्रश्न 9 की तरह), अतः CF = c₁/x + √x[c₂ cos((√3/2) log x) + c₃ sin((√3/2) log x)]।

PI = [1/(θ³ + 1)] ze^z = e^z[1/((θ + 1)³ + 1)] z = e^z[1/(2 + 3θ + 3θ² + θ³)] z = (e^z/2)(1 − 3θ/2)z = (e^z/2)(z − 3/2)।

उत्तर: y = c₁/x + √x[c₂ cos((√3/2) log x) + c₃ sin((√3/2) log x)] + (x/2)(log x − 3/2)।

उदाहरण 13 (UPSC 2026, 15 अंक): x² d²y/dx² − 3x dy/dx + y = ((sin(log x) + 1)/x) log x को हल कीजिए।

x = e^z से: (θ² − 4θ + 1)y = e^−zz(sin z + 1)। मूल θ = 2 ± √3, अतः CF = c₁x^{2 + √3} + c₂x^{2 − √3}।

चरघातांकी विस्थापन: PI = e^−z[1/f(θ)](z sin z + z), जहाँ f(θ) = (θ − 1)² − 4(θ − 1) + 1 = θ² − 6θ + 6।

[1/f(θ)]z = (1/6)(1 + θ + ...)z = (z + 1)/6।

z sin z के लिए [1/f]zV = z[1/f]V − [f′/f²]V का प्रयोग करें, V = sin z। θ² = −1 से f = 5 − 6θ, अतः [1/f] sin z = (5 + 6θ) sin z/61 = (5 sin z + 6 cos z)/61।

पुनः 1/f लगाने पर: [1/f²] sin z = (5 + 6θ)(5 sin z + 6 cos z)/3721 = (60 cos z − 11 sin z)/3721; तब f′ = 2θ − 6 से [f′/f²] sin z = −(54 sin z + 382 cos z)/3721।

अतः [1/f](z sin z) = z(5 sin z + 6 cos z)/61 + (54 sin z + 382 cos z)/3721।

उत्तर: y = c₁x^{2 + √3} + c₂x^{2 − √3} + (1/x)[(log x + 1)/6 + log x (5 sin log x + 6 cos log x)/61 + (54 sin log x + 382 cos log x)/3721] (प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित)।

उदाहरण 14 (UPSC 2019, 10 अंक): (i) अवकल समीकरण
d²y/dx² + (3 sin x − cot x) dy/dx + 2y sin²x = e^{−cos x} sin²x
को हल कीजिए।

स्वतंत्र चर को z में बदलें, जहाँ (z′)² = sin²x, अर्थात z = −cos x: z′ = sin x, z″ = cos x।

P₁ = (z″ + Pz′)/(z′)² = (cos x + 3 sin²x − cos x)/sin²x = 3, Q₁ = 2 sin²x/sin²x = 2, R₁ = e^{−cos x} = e^z।

d²y/dz² + 3dy/dz + 2y = e^z: CF = c₁e^−z + c₂e^−2z, PI = e^z/6।

उत्तर: y = c₁e^{cos x} + c₂e^{2 cos x} + e^{−cos x}/6।

16. कोटि-समानयन और प्राचल-विचरण: पिछले प्रश्न

'प्राचल-विचरण से हल करें' के लिए कार्य-क्रम: (1) समीकरण को मानक रूप में रखकर R पढ़ें; (2) निरीक्षण से y₁ और y₂ = y₁∫e^{−∫P dx}/y₁² dx (या निरीक्षण से दूसरा हल) ज्ञात करें; (3) W परिकलित करें; (4) u₁′ = −y₂R/W और u₂′ = y₁R/W का समाकलन करें।

उदाहरण 15 (UPSC 2017, 8 अंक): (ii) निम्नलिखित अवकल समीकरण को प्राचल-विचरण विधि के द्वारा हल कीजिए :
d²y/dx² − dy/dx − 2y = 44 − 76x − 48x²।

m² − m − 2 = 0 से y₁ = e^2x, y₂ = e^−x, और W = y₁y₂′ − y₂y₁′ = −3e^x; R = 44 − 76x − 48x²।

u₁ = −∫y₂R/W dx = (1/3)∫e^−2xR dx = (1/3)e^−2x(24x² + 62x + 9), ∫e^kxR dx = e^kx(R/k − R′/k² + R″/k³) का प्रयोग कर।

u₂ = ∫y₁R/W dx = −(1/3)∫e^xR dx = −(1/3)e^x(−48x² + 20x + 24)।

PI = u₁y₁ + u₂y₂ = (1/3)(24x² + 62x + 9 + 48x² − 20x − 24) = 24x² + 14x − 5 (जाँच: 48 − (48x + 14) − 2(24x² + 14x − 5) = 44 − 76x − 48x²)।

उत्तर: y = c₁e^2x + c₂e^−x + 24x² + 14x − 5।

उदाहरण 16 (UPSC 2019, 15 अंक; 2024 में भी पूछा गया): समीकरण x²y″ − 2xy′ + 2y = x³ sin x के संगत समांगी अवकल समीकरण का रेखीय स्वतंत्र हल निकालिए और तब दिए गए समीकरण का प्राचल-विचरण विधि द्वारा सामान्य हल निकालिए।

समघात समीकरण ऑयलर-कोशी है: θ(θ − 1) − 2θ + 2 = (θ − 1)(θ − 2), अतः y₁ = x, y₂ = x², W = x·2x − x²·1 = x²।

मानक रूप: R = x³ sin x/x² = x sin x।

u₁ = −∫x²·x sin x/x² dx = −∫x sin x dx = x cos x − sin x; u₂ = ∫x·x sin x/x² dx = −cos x।

PI = x(x cos x − sin x) − x² cos x = −x sin x।

उत्तर: y = c₁x + c₂x² − x sin x।

उदाहरण 17 (UPSC 2024, 10 अंक): (i) एक हल के रूप में u(x) = −e^−x का उपयोग करते हुए अवकल समीकरण xy″ + (x − 1)y′ − y = 0 का दूसरा हल ज्ञात कीजिए।

मानक रूप: P = (x − 1)/x = 1 − 1/x, अतः e^{−∫P dx} = xe^−x। y₁ = −e^−x से: y₂ = y₁∫xe^−x/e^−2x dx = −e^−x∫xe^x dx = −e^−x(x − 1)e^x = −(x − 1)।

जाँच: y = x − 1 से x·0 + (x − 1)·1 − (x − 1) = 0।

उत्तर: दूसरा हल x − 1 है, और y = c₁e^−x + c₂(x − 1)।

उदाहरण 18 (UPSC 2020, 20 अंक): प्राचल विचरण विधि का प्रयोग करके, निम्न अवकल समीकरण का हल निकालिए, यदि y = e^−x, पूरक फलन (CF) का एक हल है : y″ + (1 − cot x)y′ − y cot x = sin² x

P = 1 − cot x, अतः e^{−∫P dx} = e^−x sin x और y₂ = e^−x∫e^−x sin x/e^−2x dx = e^−x·e^x(sin x − cos x)/2; y₂ = sin x − cos x लें (जाँच: y″ + (1 − cot x)y′ − y cot x = 2 cos x − 2 cot x sin x = 0)।

W = y₁y₂′ − y₂y₁′ = e^−x(cos x + sin x) + e^−x(sin x − cos x) = 2e^−x sin x, और R = sin²x।

u₂ = ∫y₁R/W dx = (1/2)∫sin x dx = −(cos x)/2।

u₁ = −(1/2)∫e^x(sin²x − sin x cos x) dx = −(1/2)∫e^x[1/2 − (cos 2x)/2 − (sin 2x)/2] dx = −e^x/4 + e^x(3 sin 2x − cos 2x)/20।

PI = u₁e^−x + u₂(sin x − cos x) = −1/4 + (3 sin 2x − cos 2x)/20 − (sin 2x)/4 + (1 + cos 2x)/4 = (2 cos 2x − sin 2x)/10।

उत्तर: y = c₁e^−x + c₂(sin x − cos x) + (2 cos 2x − sin 2x)/10।

उदाहरण 19 (UPSC 2021, 10 अंक): (ii) अवकल समीकरण : x² d²y/dx² − 2x(1 + x) dy/dx + 2(1 + x)y = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। अतः अवकल समीकरण : x² d²y/dx² − 2x(1 + x) dy/dx + 2(1 + x)y = x³ को प्राचल विचरण विधि द्वारा हल कीजिए।

मानक रूप: P = −2(1 + x)/x, Q = 2(1 + x)/x²; P + Qx = 0, अतः y₁ = x। तब e^{−∫P dx} = x²e^2x और y₂ = x∫e^2x dx, अतः y₂ = xe^2x लें; समघात समीकरण का व्यापक हल c₁x + c₂xe^2x है।

दाएँ पक्ष x³ के लिए: R = x और W = x(e^2x + 2xe^2x) − xe^2x = 2x²e^2x।

u₁ = −∫xe^2x·x/(2x²e^2x) dx = −x/2; u₂ = ∫x·x/(2x²e^2x) dx = −e^−2x/4।

PI = −x²/2 − x/4; पद −x/4, CF में सम्मिलित है।

उत्तर: समघात समीकरण के लिए y = c₁x + c₂xe^2x, और दिए गए समीकरण के लिए y = c₁x + c₂xe^2x − x²/2।

उदाहरण 20 (UPSC 2022, 15 अंक): प्राचल-विचरण विधि का उपयोग करके, निम्नलिखित अवकल समीकरण: (x² − 1) d²y/dx² − 2x dy/dx + 2y = (x² − 1)² को हल कीजिए, जहाँ समानीत समीकरण का एक हल y = x दिया गया है।

मानक रूप: P = −2x/(x² − 1), R = x² − 1; e^{−∫P dx} = x² − 1, अतः y₂ = x∫(x² − 1)/x² dx = x(x + 1/x) = x² + 1।

W = x·2x − (x² + 1) = x² − 1।

u₁ = −∫(x² + 1) dx = −x³/3 − x; u₂ = ∫x dx = x²/2।

PI = x(−x³/3 − x) + (x² + 1)x²/2 = x⁴/6 − x²/2।

उत्तर: y = c₁x + c₂(x² + 1) + x⁴/6 − x²/2।

उदाहरण 21 (UPSC 2025, 15 अंक): अवकल समीकरण (x + 2) d²y/dx² − (2x + 5) dy/dx + 2y = (1 + x) e^x को प्राचल विचरण विधि द्वारा हल कीजिए।

निरीक्षण से: y = e^2x से 4(x + 2) − 2(2x + 5) + 2 = 0, और y = 2x + 5 से −2(2x + 5) + 2(2x + 5) = 0। अतः y₁ = e^2x, y₂ = 2x + 5।

W = 2e^2x − 2(2x + 5)e^2x = −4(x + 2)e^2x; मानक रूप में R = (1 + x)e^x/(x + 2)।

u₁ = (1/4)∫e^−x(2x + 5)(x + 1)/(x + 2)² dx = (1/4)∫e^−x[2 − 1/(x + 2) − 1/(x + 2)²] dx = (1/4)[−2e^−x + e^−x/(x + 2)]।

u₂ = −(1/4)∫e^x(x + 1)/(x + 2)² dx = −(1/4)∫e^x[1/(x + 2) − 1/(x + 2)²] dx = −(1/4)e^x/(x + 2)।

PI = u₁e^2x + u₂(2x + 5) = (e^x/4)[−2 + (1 − 2x − 5)/(x + 2)] = −e^x।

उत्तर: y = c₁e^2x + c₂(2x + 5) − e^x (जाँच: e^x[−(x + 2) + (2x + 5) − 2] = (1 + x)e^x)।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): x²y″ − 3xy′ + 4y = 0 (x > 0) हल कीजिए।

उत्तर: m² − 4m + 4 = 0, द्विक मूल m = 2; y = (c₁ + c₂ log x)x².

अभ्यास 2 (मूल): e^2x और e^3x का रॉन्स्कियन ज्ञात कीजिए और बताइए कि वे स्वतंत्र हैं या नहीं।

उत्तर: W = e^2x·3e^3x − e^3x·2e^2x = e^5x ≠ 0, अतः वे स्वतंत्र हैं।

अभ्यास 3 (मूल): सत्यापित कीजिए कि e^x और x, (x − 1)y″ − xy′ + y = 0 के हल हैं और व्यापक हल लिखिए।

उत्तर: P = −x/(x − 1), Q = 1/(x − 1) के साथ 1 + P + Q = 0 और P + Qx = 0; y = c₁e^x + c₂x.

अभ्यास 4 (मानक): x²y″ + xy′ − y = x² हल कीजिए।

उत्तर: (θ² − 1)y = e^2z; y = c₁x + c₂/x + x²/3.

अभ्यास 5 (मानक): प्राचल विचरण से y″ + y = cosec x हल कीजिए।

उत्तर: u₁ = −x, u₂ = log|sin x|; y = c₁ cos x + c₂ sin x − x cos x + sin x log|sin x|.

अभ्यास 6 (मानक): दिया है कि y = x एक हल है, x²y″ − x(x + 2)y′ + (x + 2)y = 0 हल कीजिए।

उत्तर: e^{−∫P dx} = x²e^x, अतः y₂ = x∫e^x dx = xe^x; y = c₁x + c₂xe^x.

अभ्यास 7 (मानक): y″ − 2 tan x y′ + 5y = 0 को प्रसामान्य रूप में बदलकर हल कीजिए।

उत्तर: v = sec x और I = 5 − tan²x + sec²x = 6; y = sec x (c₁ cos √6 x + c₂ sin √6 x).

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): प्राचल विचरण से y″ − 2y′ + 2y = e^x tan x हल कीजिए।

उत्तर: y₁ = e^x cos x, y₂ = e^x sin x, W = e^2x; y = e^x(c₁ cos x + c₂ sin x) − e^x cos x log|sec x + tan x|.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): स्वतंत्र चर बदलकर xy″ − y′ − 4x³y = 8x³ sin x² हल कीजिए।

उत्तर: z = x² से P₁ = 0, Q₁ = −1, R₁ = 2 sin z; y = c₁e^x2 + c₂e^−x2 − sin x².

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि (1 + x²)y″ + 4xy′ + 2y = sec²x यथातथ है और इसे हल कीजिए।

उत्तर: P₀″ − P₁′ + P₂ = 2 − 4 + 2 = 0; प्रथम समाकल (1 + x²)y′ + 2xy = tan x + c₁ है, अतः (1 + x²)y = log|sec x| + c₁x + c₂.

1. लाप्लास समाकल को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: CF + PI द्वारा प्रारंभिक मान समस्या हल करने का अर्थ है पहले व्यापक हल ज्ञात करना और बाद में अचर बैठाना, और असंतत निवेश (t = 2 पर चालू किया गया स्विच, हथौड़े का प्रहार) असुविधाजनक होते हैं। समाकल रूपांतर अज्ञात फलन y(t) को नए फलन Y(s) में बदल देता है जिसमें अवकलन s से गुणा बन जाता है, अतः अवकल समीकरण बीजगणित बन जाता है।

शब्दों में: L{f}(s) = ∫₀^∞ e^−stf(t) dt एक अनंत समाकल है, जिसे T → ∞ पर ∫₀^T की सीमा के रूप में परिभाषित करते हैं, और यह नए चर s का फलन है। केवल t ≥ 0 के लिए f के मान महत्वपूर्ण हैं। s बड़ा होने पर भार e^−st तेज़ी से घटता है, अतः जब f अधिकतम e^at की तरह बढ़ता है, तो किसी भुज a से आगे सभी s के लिए समाकल अभिसारी है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: L{t} ज्ञात करें। (1) ∫₀^T te^−st dt लिखें और u = t, dv = e^−st dt लेकर खंडशः समाकलन करें, अतः v = −e^−st/s. (2) इससे [−te^−st/s]₀^T + (1/s)∫₀^T e^−st dt = −Te^−sT/s + (1 − e^−sT)/s² मिलता है।

(3) T → ∞ करें: s > 0 के लिए Te^−sT और e^−sT दोनों 0 की ओर जाते हैं, अतः L{t} = 1/s². (4) s ≤ 0 के लिए समाकल्य te^−st, 0 की ओर नहीं जाता और समाकल अपसारी है; अतः उत्तर के साथ प्रतिबंध s > 0 होना चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): f(t) = 1/t का कोई रूपांतर नहीं है: t = 0 के निकट e^−st/t, 1/t की तरह व्यवहार करता है और ∫₀¹ dt/t अपसारी है, s चाहे जो हो। यहाँ समस्या आरंभ में है, अनंत पर नहीं; f(t) = e^t2 इसके विपरीत अनंत पर विफल होता है (उदाहरण 8)।

आगे बढ़ते हुए: प्रत्येक [0, T] पर खंडशः सांतत्य से [0, T] पर समाकल विद्यमान होता है, और चरघातांकी कोटि |f| ≤ Me^at से |e^−stf| ≤ Me^{−(s − a)t} मिलता है, जो s > a के लिए समाकलनीय है, अतः नीचे का अस्तित्व प्रमेय तुलना से प्राप्त होता है। मुख्य नियम L{f′} = sF − f(0), जो गुणधर्म खंड में व्युत्पन्न है, फिर से एक खंडशः समाकलन है।

कहाँ प्रयोग होता है: तालिका का प्रत्येक रूपांतर, ∫₀^∞ te^−2t sin t dt जैसे समाकलों का मान (s = 2 पर L{t sin t} के रूप में), और 10-अंकीय प्रश्नों के रूप में पूछी जाने वाली गुणधर्मों की उपपत्तियाँ।

2. परिभाषा और अस्तित्व

परिभाषा: L{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ e^−stf(t) dt, s के उन मानों के लिए जिन पर समाकल अभिसारी है।

भाव: भार e^−st बड़े t के लिए f को अवमंदित करता है ताकि समाकल अभिसारी हो सके। रूपांतर का मूल लाभ यह है कि t में अवकलन s से गुणन बन जाता है (प्रारंभिक मानों सहित), अतः अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण F(s) के लिए बीजीय समीकरण बन जाता है।

अस्तित्व प्रमेय: यदि f प्रत्येक परिमित अंतराल [0, T] पर खंडशः संतत है और चरघातांकी कोटि का है (सभी t ≥ t₀ के लिए |f(t)| ≤ Me^at), तो s > a के लिए L{f} का अस्तित्व है।

प्रतिबंध क्यों: चरघातांकी कोटि (exponential order) का अर्थ है कि f किसी e^at से तेज़ नहीं बढ़ता, अतः s > a के लिए गुणक e^−st प्रबल रहता है: |e^−stf(t)| ≤ Me^{−(s − a)t}, जो समाकलनीय है। इसके बिना रूपांतर विफल हो सकता है: e^t2 प्रत्येक e^st से तेज़ बढ़ता है (उदाहरण 8)। t = 0 के निकट खंडशः सांतत्य आवश्यक है: L{1/t} विद्यमान नहीं क्योंकि ∫₀¹ dt/t अपसारी है।

ये प्रतिबंध पर्याप्त हैं, आवश्यक नहीं: L{t^−1/2} = √(π/s) का अस्तित्व है, यद्यपि t^−1/2 शून्य के निकट अपरिबद्ध है।

प्रतिलोम रूपांतर (inverse transform) L⁻¹{F(s)} = f(t) संतत फलनों में अद्वितीय है (लर्च प्रमेय); खंडशः संतत प्रतिलोम केवल असांतत्य बिंदुओं पर भिन्न हो सकते हैं।

3. प्रारंभिक फलनों के रूपांतर

L{1} = 1/s; L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹ (n = 0, 1, 2, ...); L{t^a} = Γ(a + 1)/s^a+1 (a > −1); सभी s > 0 के लिए।

क्यों: u = st रखने पर ∫₀^∞ e^−stt^a dt = (1/s^a+1)∫₀^∞ e^−uu^a du = Γ(a + 1)/s^a+1; a = n के लिए Γ(n + 1) = n!, और a = −1/2 के लिए Γ(1/2) = √π से √(π/s) मिलता है।

L{e^at} = 1/(s − a), s > a के लिए।

L{sin at} = a/(s² + a²) तथा L{cos at} = s/(s² + a²), s > 0 के लिए।

क्यों: s > a के लिए L{e^at} = ∫₀^∞ e^{−(s − a)t} dt = 1/(s − a). a = iω रखने पर L{e^iωt} = 1/(s − iω) = (s + iω)/(s² + ω²), जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग L{cos ωt} और L{sin ωt} देते हैं।

L{sinh at} = a/(s² − a²) तथा L{cosh at} = s/(s² − a²), s > |a| के लिए।

एकक सोपान फलन u(t − a): L = e^−as/s; डिरैक डेल्टा δ(t − a): L = e^−as (a ≥ 0)।

4. विस्थापन प्रमेयों और सोपान फलनों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक निवेश प्रायः अवमंदित (e^−t sin t) होते हैं या निर्धारित समयों पर चालू और बंद किए जाते हैं। ऐसे प्रत्येक फलन का आरंभ से समाकलन करने के स्थान पर, दो विस्थापन नियम मूल तालिका को इन सभी रूपों के रूपांतरों में बदल देते हैं।

शब्दों में: प्रथम विस्थापन प्रमेय: f(t) को e^at से गुणा करने पर F में s के स्थान पर s − a आ जाता है। एकक सोपान फलन (unit step) u(t − a), t < a के लिए 0 और t > a के लिए 1 है; यह t = a पर "चालू" होता है। द्वितीय विस्थापन प्रमेय: f को a से विलंबित करना, अर्थात f(t) के स्थान पर f(t − a)u(t − a) रखना, F को e^−as से गुणा कर देता है। प्रमेय लगाने से पहले विलंबित फलन को t − a के पदों में लिखना आवश्यक है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (1) L{e^3tt²}: L{t²} = 2/s³ से आरंभ करें और s के स्थान पर s − 3 रखें, जिससे s > 3 के लिए 2/(s − 3)³ मिलता है। (2) ढलान फलन f = 0 (t < 2), f = t − 2 (t > 2) ठीक (t − 2)u(t − 2) है, अर्थात 2 से विलंबित फलन t, अतः L{f} = e^−2sL{t} = e^−2s/s².

(3) t = π पर sin t चालू करना: sin t·u(t − π). sin t को t − π के पदों में लिखें: sin t = −sin(t − π). (4) अतः sin t·u(t − π) = −sin(t − π)u(t − π), और इसका रूपांतर −e^−πs/(s² + 1) है।

अ-उदाहरण (non-example): L{sin t·u(t − π)} = e^−πs/(s² + 1) लिखना गलत है: यह sin(t − π)u(t − π) का रूपांतर है, जो भिन्न फलन है (t > π के प्रत्येक मान पर दोनों में चिह्न का अंतर है)। द्वितीय विस्थापन f(t − a)u(t − a) पर लागू होता है, f(t)u(t − a) पर नहीं।

आगे बढ़ते हुए: प्रथम विस्थापन: e^ate^−st = e^{−(s − a)t}. द्वितीय विस्थापन: t < a के लिए समाकल्य शून्य है, और τ = t − a से e^−as∫₀^∞ e^−sτf(τ) dτ मिलता है (दोनों इस खंड में व्युत्पन्न)। खंडशः फलन, (0, a) पर g₁ और t > a पर g₂, g₁ + (g₂ − g₁)u(t − a) है, और फिर प्रत्येक पद t − a में पुनः लिखा जाता है।

कहाँ प्रयोग होता है: खंडशः बल वाली प्रारंभिक मान समस्याएँ ((0, π) पर r(x) = 8 sin x वाला 17-अंकीय प्रश्न विशिष्ट है), आवेग δ(t − a), और e^−as वाले व्युत्क्रम रूपांतर, जिनके उत्तर में सदा u(t − a) आता है।

5. संवलन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: गुणनफल का रूपांतर रूपांतरों का गुणनफल नहीं होता, परंतु प्रायः हमें गुणनफल F(s)G(s) का व्युत्क्रम निकालना पड़ता है, उदाहरणार्थ R(s)/(s² + 4) जब बल r(t) निर्दिष्ट न हो। संवलन (convolution) t में वह संक्रिया है जो s में गुणा के संगत है।

शब्दों में: (f * g)(t) = ∫₀^t f(u)g(t − u) du: प्रत्येक समय t के लिए, प्रत्येक पूर्ववर्ती समय u पर निवेश f को, बीते समय t − u पर g के मान से भारित करके जोड़ें। संवलन प्रमेय कहता है L{f * g} = F(s)G(s). प्रारंभिक मान समस्या में g एकक आवेग की अनुक्रिया है, और सामान्य निवेश के लिए हल उस अनुक्रिया के साथ निवेश का संवलन है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: L⁻¹{1/(s(s − 1))} ज्ञात करें। (1) इसे (1/s)·(1/(s − 1)) = L{1}·L{e^t} लिखें। (2) प्रमेय से व्युत्क्रम 1 * e^t = ∫₀^t 1·e^{t − u} du है। (3) w = t − u रखें: ∫₀^t e^w dw = e^t − 1.

(4) आंशिक भिन्नों से जाँच: 1/(s(s − 1)) = 1/(s − 1) − 1/s, जिसका व्युत्क्रम e^t − 1 है, वही। (5) ध्यान दें कि 1/s से गुणा करना 0 से t तक समाकलन के संगत है; यही समाकल नियम L{∫₀^t f du} = F/s संवलन की एक विशेष स्थिति के रूप में है।

अ-उदाहरण (non-example): L{t·t} = L{t²} = 2/s³, जबकि L{t}·L{t} = 1/s⁴ = L{t³/6}. अतः साधारण गुणनफल tt, 2/s³ के संगत है, और 1/s⁴ संवलन t * t = ∫₀^t u(t − u) du = t³/6 के संगत है, t² के नहीं।

आगे बढ़ते हुए: L{f * g} कोण-क्षेत्र 0 ≤ u ≤ t पर द्वि-समाकल है; समाकलन का क्रम बदलकर और t − u = w रखकर यह F(s)G(s) में अलग हो जाता है (उदाहरण 9 में पूर्ण उपपत्ति)। संवलन क्रमविनिमेय है, अतः किसी भी गुणनखंड को समाकल के भीतर विस्थापित तर्क पर रखा जा सकता है; वह चुनें जिससे समाकल सरल हो।

कहाँ प्रयोग होता है: 1/(s² + a²)² का व्युत्क्रम, अनिर्दिष्ट बल f(t) वाली प्रारंभिक मान समस्या का हल लिखना, और वोल्टेरा समाकल समीकरण y = g + k * y.

6. गुणधर्म

रैखिकता: L{af + bg} = aF + bG।

प्रथम विस्थापन प्रमेय: L{e^atf(t)} = F(s − a)।

क्यों: e^ate^−st = e^{−(s − a)t}, अतः f को e^at से गुणा करने पर F में केवल s के स्थान पर s − a आ जाता है।

द्वितीय विस्थापन प्रमेय: a ≥ 0 के लिए L{f(t − a)u(t − a)} = e^−asF(s)।

क्यों: t < a के लिए समाकल्य शून्य है; शेष में τ = t − a रखने पर ∫₀^∞ e^{−s(τ + a)}f(τ) dτ = e^−asF(s) मिलता है। भाव: समय में a की देरी गुणक e^−as बन जाती है।

मापक्रम परिवर्तन: a > 0 के लिए L{f(at)} = (1/a)F(s/a)।

अवकलज: L{f′} = sF − f(0) तथा L{f″} = s²F − sf(0) − f′(0), जब f, f′ संतत और चरघातांकी कोटि के हों तथा f″ खंडशः संतत हो।

व्युत्पत्ति: खंडशः समाकलन से ∫₀^∞ e^−stf′(t) dt = [e^−stf(t)]₀^∞ + s∫₀^∞ e^−stf(t) dt = sF(s) − f(0); ∞ पर पद शून्य होता है क्योंकि f चरघातांकी कोटि का है और s पर्याप्त बड़ा है। इसे f′ पर लागू करने से L{f″} = s(sF − f(0)) − f′(0), और व्यापक रूप में L{f⁽ⁿ⁾} = sⁿF − sⁿ⁻¹f(0) − ... − f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).

यदि f में t = a पर उछाल (jump) हो, तो खंडशः समाकलन से एक अतिरिक्त पद आता है: L{f′} = sF − f(0) − e^−as[f(a+) − f(a−)]. इसीलिए सरल सूत्र के लिए f का संतत होना आवश्यक है।

समाकल: L{∫₀^t f(u) du} = F(s)/s।

क्यों: g(t) = ∫₀^t f(u) du के लिए g′ = f और g(0) = 0, अतः अवकलज नियम से sG(s) = F(s).

t से गुणन: L{tⁿf(t)} = (−1)ⁿ dⁿF/dsⁿ; t से भाग: L{f(t)/t} = ∫_s^∞ F(u) du, यदि lim_t→0+ f(t)/t का अस्तित्व हो।

क्यों: F(s) = ∫₀^∞ e^−stf(t) dt का समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन करने पर F′(s) = ∫₀^∞ e^−st(−t)f(t) dt = −L{tf}; n बार दोहराएँ। विभाजन नियम इसका उलटा चरण है (नीचे उदाहरण 10 में सिद्ध); इसके लिए lim_t→0+ f(t)/t का विद्यमान होना आवश्यक है, जो cos t/t के लिए विफल है।

आवर्ती f, आवर्तकाल T: L{f} = [1/(1 − e^−sT)]∫₀^T e^−stf(t) dt।

व्युत्पत्ति: [0, ∞) को आवर्तों [nT, (n + 1)T] में बाँटें और n-वें भाग में t = τ + nT रखें: L{f} = Σ_n≥0 e^−nsT∫₀^T e^−sτf(τ) dτ. गुणोत्तर श्रेणी Σ e^−nsT = 1/(1 − e^−sT) से सूत्र मिलता है।

संवलन प्रमेय (convolution theorem): L{f * g} = F(s)G(s), जहाँ (f * g)(t) = ∫₀^t f(u)g(t − u) du।

भाव: संवलन (convolution) (f * g)(t) एक "स्मृति" समाकल है: समय t पर प्रतिक्रिया प्रत्येक पूर्व समय u पर निवेश f को g(t − u) से भारित करके जोड़ती है। प्रमेय क्षेत्र 0 ≤ u ≤ t पर समाकलन का क्रम बदलकर सिद्ध होता है (नीचे उदाहरण 9)। यह क्रमविनिमेय है: f * g = g * f.

प्रारंभिक और अंतिम मान प्रमेय: lim_t→0+ f(t) = lim_s→∞ sF(s); lim_t→∞ f(t) = lim_s→0 sF(s), यदि lim_t→∞ f(t) का अस्तित्व हो।

सावधानी: अंतिम मान प्रमेय के लिए lim_t→∞ f(t) का विद्यमान होना आवश्यक है। f = sin t के लिए s → 0 पर sF(s) = s/(s² + 1) → 0, फिर भी sin t की कोई सीमा नहीं; f = e^t के लिए sF = s/(s − 1) → 0 जबकि f → ∞.

उदाहरण 1: L{t sin at} = −d/ds[a/(s² + a²)] = 2as/(s² + a²)²।

उदाहरण 2: L⁻¹{1/(s² + 2s + 5)} = L⁻¹{1/((s + 1)² + 4)} = (1/2)e^−t sin 2t।

उदाहरण 3: L{(sin t)/t} = ∫_s^∞ du/(u² + 1) = π/2 − tan⁻¹s = cot⁻¹s; s → 0 लेने पर ∫₀^∞ (sin t)/t dt = π/2।

7. व्युत्क्रम रूपांतरों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: रूपांतर विधि Y(s) पर समाप्त होती है, और उत्तर y(t) है। क्योंकि संतत फलनों पर रूपांतर एकैकी है (लर्च प्रमेय), Y(s) को तालिका की प्रविष्टियों के संयोजन के रूप में पहचानना पर्याप्त है; कार्य Y(s) पर बीजगणित है, समाकलन नहीं।

शब्दों में: परिमेय Y(s) = P(s)/Q(s) के लिए, जहाँ deg P, deg Q से कम है, आंशिक भिन्नों में तोड़ें: सरल वास्तविक गुणनखंड s − a से A/(s − a) ↔ Ae^at; पुनरावृत्त गुणनखंड (s − a)^k से A/(s − a)^k तक के पद ↔ At^k−1e^at/(k − 1)!; अखंडनीय द्विघात को (s − α)² + β² के रूप में, और उसके अंश को A(s − α) + Bβ के रूप में लिखें, जिसका व्युत्क्रम e^αt(A cos βt + B sin βt) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: L⁻¹{(2s + 3)/(s² + 2s + 5)} ज्ञात करें। (1) विविक्तकर 4 − 20 ऋणात्मक है, अतः वर्ग पूरा करें: s² + 2s + 5 = (s + 1)² + 4, जहाँ α = −1, β = 2. (2) अंश को s + 1 के पदों में लिखें: 2s + 3 = 2(s + 1) + 1.

(3) अतः फलन 2(s + 1)/((s + 1)² + 4) + (1/2)·2/((s + 1)² + 4) है। (4) प्रथम विस्थापन प्रमेय से व्युत्क्रम e^−t(2 cos 2t + (1/2) sin 2t) है। (5) t = 0 पर जाँच: मान 2 है, और प्रारंभिक मान प्रमेय lim_s→∞ s(2s + 3)/(s² + 2s + 5) = 2 देता है।

अ-उदाहरण (non-example): 1/(s² − 2s + 5) = 1/((s − 1)² + 4) के लिए विस्थापन s → s − 1 है, अतः व्युत्क्रम (1/2)e^t sin 2t है, e^+t के साथ। हर पिछले जैसा "दिखने" के कारण e^−t लिखना सबसे सामान्य चिह्न-त्रुटि है; α को (s − α)² से पढ़ें, अतः यहाँ α = +1.

आगे बढ़ते हुए: आंशिक भिन्न इसलिए कार्य करते हैं कि Y अपने ध्रुवों, अर्थात Q(s) के मूलों, से निर्धारित होता है; प्रारंभिक मान समस्या में ये सहायक बहुपद के मूल (जो CF देते हैं) और R(s) के ध्रुव (जो PI देते हैं) हैं। जो गुणनफल इस प्रकार नहीं टूटते वे संवलन से, लघुगणक और व्युत्क्रम स्पर्शज्या L⁻¹{F} = −(1/t)L⁻¹{F′} से, और e^−as गुणक द्वितीय विस्थापन से हल होते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक लाप्लास प्रारंभिक मान समस्या का अंतिम चरण, और छोटे 5–6 अंकीय "व्युत्क्रम रूपांतर ज्ञात कीजिए" प्रश्न।

8. रूपांतर प्रारंभिक मान समस्या को कैसे हल करता है, यह समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: पूरा विषय ay″ + by′ + cy = r(t), y(0) = y₀, y′(0) = y₁ जैसी समस्याओं को एक बार में हल करने के लिए है, प्रारंभिक मानों को अंतर्निहित करके और r को उछाल या आवेग होने की अनुमति देकर।

शब्दों में: रैखिकता और L{y′} = sY − y(0), L{y″} = s²Y − sy(0) − y′(0) का प्रयोग करके दोनों पक्षों का रूपांतर लें। परिणाम एक रैखिक बीजीय समीकरण (as² + bs + c)Y = R(s) + (प्रारंभिक-मान पद) है। इसे Y के लिए हल करें और व्युत्क्रम लें; प्राप्त y(t) पहले से प्रारंभिक प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है, अतः अंत में कुछ बैठाना नहीं पड़ता।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: y″ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 हल करें। (1) L{y″} = s²Y − s और L{y′} = sY − 1. (2) समीकरण s²Y − s + 3sY − 3 + 2Y = 0 बनता है, अतः (s² + 3s + 2)Y = s + 3.

(3) Y = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)); आवरण नियम (cover-up rule) से s = −1 पर A = (−1 + 3)/(−1 + 2) = 2 और s = −2 पर B = (−2 + 3)/(−2 + 1) = −1. (4) अतः Y = 2/(s + 1) − 1/(s + 2) और y = 2e^−t − e^−2t. (5) जाँच: y(0) = 2 − 1 = 1 और y′(0) = −2 + 2 = 0.

अ-उदाहरण (non-example): L{y′} = sY लिखने पर (y(0) छोड़कर) यही समस्या (s² + 3s + 2)Y = 0 बन जाती है, अतः Y = 0 और y ≡ 0, जो y(0) = 1 का उल्लंघन है। साथ ही, y″ + ty = 0 जैसा चर गुणांक वाला समीकरण बीजीय नहीं बनता: L{ty} = −Y′(s), अतः रूपांतर s में एक नया अवकल समीकरण देता है।

आगे बढ़ते हुए: ay″ + by′ + cy = r के लिए Y = [R(s) + a(sy(0) + y′(0)) + by(0)]/(as² + bs + c) (इस खंड में "यह क्यों कार्य करता है" देखें)। R वाला भाग PI में (आवेग अनुक्रिया के साथ r का संवलन) और प्रारंभिक मानों वाला भाग पहले से निश्चित अचरों वाले CF में बदलता है। x′ = ..., y′ = ... प्रकार के निकाय X, Y में रैखिक बीजीय निकायों में बदलते हैं, जिन्हें क्रेमर नियम से हल करते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: "लाप्लास रूपांतर से हल कीजिए" प्रारंभिक मान समस्याएँ (15–20 अंक), प्रथम कोटि समीकरणों के निकाय, आवेग-प्रणोदित दोलक δ(t − a), और संवलन प्रकार के समाकल समीकरण।

9. प्रारंभिक मान समस्याओं का हल

चरण 1: ay″ + by′ + cy = r(t) का रूपांतर लें, दिए गए y(0), y′(0) सहित L{y′} और L{y″} लिखें।

चरण 2: प्राप्त बीजीय समीकरण को Y(s) = L{y} के लिए हल करें।

चरण 3: Y(s) को आंशिक भिन्नों में तोड़ें (या विस्थापन या संवलन का प्रयोग करें) और प्रतिलोम लेकर y(t) प्राप्त करें।

यह क्यों कार्य करता है: ay″ + by′ + cy = r(t) के लिए रूपांतर से (as² + bs + c)Y = R(s) + a(sy(0) + y′(0)) + by(0) मिलता है। गुणक as² + bs + c सहायक बहुपद है, अतः इसके मूल, जो Y के ध्रुव हैं, CF देते हैं, जबकि R(s)/(as² + bs + c), PI देता है। प्रारंभिक प्रतिबंध पहले से शामिल हैं, अतः अंत में कोई अचर ज्ञात नहीं करने पड़ते।

उदाहरण 4: y″ + y = t, y(0) = 1, y′(0) = −2 हल कीजिए।

s²Y − s + 2 + Y = 1/s², अतः Y = (s − 2)/(s² + 1) + 1/(s²(s² + 1)) = s/(s² + 1) − 3/(s² + 1) + 1/s²।

प्रतिलोम से y = cos t − 3 sin t + t; जाँच: y″ + y = t, y(0) = 1, y′(0) = −3 + 1 = −2।

विधि का लाभ: प्रारंभिक प्रतिबंध आरंभ में ही आ जाते हैं, अतः बाद में अचर नहीं निकालने पड़ते, और u(t − a) या δ(t − a) जैसे असंतत या आवेगी बल सीधे संभाले जाते हैं।

10. विधि का चयन

यदि F(s) परिमेय हो और हर में रैखिक गुणनखंड हों → आंशिक भिन्न (सरल गुणनखंडों के लिए ढकने का नियम)।

यदि हर में अखंडनीय द्विघात हो → वर्ग पूरा करें और प्रथम विस्थापन प्रयोग करें।

यदि F में e^−as हो → शेष का व्युत्क्रम g(t) ज्ञात करें, तब उत्तर g(t − a)u(t − a) है (द्वितीय विस्थापन)।

यदि F दो ज्ञात रूपांतरों का गुणनफल हो, या उसमें (s² + a²)² जैसा पुनरावृत्त द्विघात गुणनखंड हो → संवलन।

यदि F लघुगणक या प्रतिलोम स्पर्शज्या हो → अवकलन करें: L⁻¹{F} = −(1/t)L⁻¹{F′(s)}. यदि F = G(s)/s → L⁻¹{F} = ∫₀^t g(u) du.

यदि प्रारंभिक मान समस्या में अचर गुणांक हों → सीधे रूपांतर लें; यदि उसमें ty″ जैसे पद हों → t से गुणन Y(s) के लिए प्रथम कोटि अवकल समीकरण देता है; यदि यह k(t − u) अष्टि (kernel) वाला समाकल समीकरण हो → संवलन।

11. सामान्य गलतियाँ

f को पहले t − a के फलन के रूप में लिखे बिना f(t)u(t − a) पर द्वितीय विस्थापन लगाना: L{t u(t − 1)} = L{[(t − 1) + 1]u(t − 1)} = e^−s(1/s² + 1/s), न कि e^−s/s².

दोनों विस्थापनों को मिला देना: t में गुणक e^at, s को s − a में बदलता है, जबकि s में गुणक e^−as, t को t − a में बदलता है।

e^−as वाले प्रतिलोम रूपांतर के अंतिम उत्तर में गुणक u(t − a) छोड़ देना।

आवश्यक सीमा विद्यमान न होने पर भी t से विभाजन नियम या अंतिम मान प्रमेय का प्रयोग करना।

पुनरावृत्त गुणनखंडों के लिए आंशिक भिन्नों में पद छोड़ देना: 1/(s(s + 1)²) के लिए A/s + B/(s + 1) + C/(s + 1)² चाहिए।

12. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: प्रतिलोम रूपांतर ब्रॉमविच समाकल (1/(2πi))∫ e^stF(s) ds है, जिसका मान F के ध्रुवों पर अवशेषों से निकलता है (सम्मिश्र विश्लेषण); इसीलिए आंशिक भिन्न, जो ध्रुवों को अलग करते हैं, परिमेय F के लिए सदा कार्य करते हैं।

संबंध: गामा फलन अनुचित समाकलों से आता है (वास्तविक विश्लेषण), और संवलन प्रमेय द्विसमाकल में क्रम-परिवर्तन है (कलन); t में यही रूपांतर ऊष्मा और तरंग समीकरणों को x में साधारण अवकल समीकरणों में बदल देता है (आंशिक अवकल समीकरण)।

13. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 5: लाप्लास रूपांतर की सहायता से ∫₀^∞ te^−2t sin t dt का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल s = 2 पर L{t sin t} है, और L{t sin t} = −d/ds[1/(s² + 1)] = 2s/(s² + 1)²।

s = 2 पर मान 4/25 है।

उदाहरण 6: संवलन प्रमेय (convolution theorem) से L⁻¹{1/(s² + a²)²} ज्ञात कीजिए।

1/(s² + a²) = L{(sin at)/a}, अतः प्रतिलोम (1/a²)∫₀^t sin au sin a(t − u) du है।

2 sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B) से: (1/(2a²))∫₀^t[cos a(2u − t) − cos at] du = (1/(2a²))[(sin at)/a − t cos at]।

अतः L⁻¹{1/(s² + a²)²} = (sin at − at cos at)/(2a³)।

उदाहरण 7: y″ + y = u(t − 1), y(0) = y′(0) = 0 हल कीजिए, जहाँ u एकक सोपान फलन (unit step function) है।

रूपांतर लेने पर (s² + 1)Y = e^−s/s, अतः Y = e^−s[1/s − s/(s² + 1)]।

द्वितीय विस्थापन प्रमेय से y = [1 − cos(t − 1)]u(t − 1): t ≤ 1 के लिए y = 0 और t > 1 के लिए y = 1 − cos(t − 1); t = 1 पर y और y′ संतत हैं।

उदाहरण 8: सिद्ध कीजिए कि L{e^t2} का अस्तित्व नहीं है।

किसी भी वास्तविक s के लिए समाकल्य e^{t2 − st} = e^{t(t − s)} सभी t ≥ max(s, 0) के लिए ≥ 1 है।

अतः प्रत्येक s के लिए T → ∞ पर ∫₀^T e^−ste^t2 dt → ∞; e^t2 चरघातांकी कोटि का नहीं है, और इसका रूपांतर अस्तित्व में नहीं है।

14. उपपत्तियाँ, समाकल समीकरण और पिछले प्रश्न

खंडशः फलन: (0, a) पर f = g₁, t > a पर g₂ को f = g₁ + (g₂ − g₁)u(t − a) लिखा जा सकता है; द्वितीय विस्थापन प्रमेय लगाने से पहले प्रत्येक पद को t − a के फलन के रूप में लिखें।

चर गुणांक: L{ty′} = −d(sY − y(0))/ds और L{ty″} = −d(s²Y − sy(0) − y′(0))/ds, ty″ + ... को Y(s) के लिए प्रथम कोटि अवकल समीकरण में बदल देते हैं।

वोल्टेरा समाकल समीकरण y(t) = g(t) + ∫₀^t k(t − u)y(u) du संवलन प्रमेय से Y = G + KY बन जाते हैं, अतः Y = G/(1 − K)।

उदाहरण 9 (UPSC 2025, 15 अंक): यदि f(t) और g(t) के लाप्लास रूपान्तर क्रमशः F(s) और G(s) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि 𝓛(∫₀^t f(x) g(t − x) dx) = F(s) G(s) है। इस परिणाम का प्रयोग करते हुए, समीकरण y(t) = t + ∫₀^t y(x) sin(t − x) dx को हल कीजिए।

उपपत्ति: L{f * g} = ∫₀^∞ e^−st∫₀^t f(x)g(t − x) dx dt, क्षेत्र 0 ≤ x ≤ t < ∞ पर।

समाकलन का क्रम बदलें (जब f, g चरघातांकी कोटि के हों तो पर्याप्त बड़े s के लिए निरपेक्ष अभिसरण से उचित): = ∫₀^∞ f(x)[∫_x^∞ e^−stg(t − x) dt] dx।

आंतरिक समाकल में t − x = u रखें: ∫₀^∞ e^{−s(x + u)}g(u) du = e^−sxG(s)। अतः L{f * g} = G(s)∫₀^∞ e^−sxf(x) dx = F(s)G(s)।

अनुप्रयोग: Y = 1/s² + Y/(s² + 1), अतः Y = (s² + 1)/s⁴ = 1/s² + 1/s⁴।

उत्तर: y(t) = t + t³/6।

उदाहरण 10 (UPSC 2026, 10 अंक): (ii) यदि L{f(t)} = f̄(s) है, तो दर्शाइए कि L{f(t)/t} = ∫_s^∞ f̄(u) du है। अतः L{(cos at − cos bt)/t} का मान ज्ञात कीजिए।

उपपत्ति: ∫_s^∞ f̄(u) du = ∫_s^∞∫₀^∞ e^−utf(t) dt du = ∫₀^∞ f(t)[∫_s^∞ e^−ut du] dt = ∫₀^∞ e^−st(f(t)/t) dt = L{f(t)/t} (निरपेक्ष अभिसरण के अंतर्गत क्रम बदला; lim_t→0+ f(t)/t विद्यमान होनी चाहिए)।

f = cos at − cos bt के लिए t → 0 पर f(t)/t → 0, और L{(cos at − cos bt)/t} = ∫_s^∞[u/(u² + a²) − u/(u² + b²)] du = [(1/2) log((u² + a²)/(u² + b²))]_s^∞।

उत्तर: L{(cos at − cos bt)/t} = (1/2) log((s² + b²)/(s² + a²))।

उदाहरण 11 (UPSC 2023, 10 अंक): दिया गया है L{f(t); p} = F(p). दर्शाइए कि ∫₀^∞ (f(t)/t) dt = ∫₀^∞ F(x) dx. अतः समाकल ∫₀^∞ (e^−t − e^−3t)/t dt का मान ज्ञात कीजिए।

पिछले परिणाम से L{f(t)/t; p} = ∫_p^∞ F(x) dx। p → 0+ लें: ∫₀^∞ (f(t)/t) dt = ∫₀^∞ F(x) dx, जब भी दोनों समाकल अभिसारी हों।

f = e^−t − e^−3t के लिए: F(x) = 1/(x + 1) − 1/(x + 3), अतः समाकल [log((x + 1)/(x + 3))]₀^∞ = 0 − log(1/3) है।

उत्तर: ∫₀^∞ (e^−t − e^−3t)/t dt = log 3।

उदाहरण 12 (UPSC 2019, 10 अंक): (ii) t^−1/2 तथा t^1/2 का लाप्लास रूपांतर ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि t^{n + 1/2} का लाप्लास रूपांतर
Γ(n + 1 + 1/2)/s^{n + 1 + 1/2}
होता है, जहाँ n ∈ ℕ.

a > −1 के लिए: L{t^a} = ∫₀^∞ e^−stt^a dt; st = x (s > 0) रखने पर यह (1/s^a+1)∫₀^∞ e^−xx^a dx = Γ(a + 1)/s^a+1 है।

a = −1/2: L{t^−1/2} = Γ(1/2)/s^1/2 = √(π/s)। a = 1/2: L{t^1/2} = Γ(3/2)/s^3/2 = √π/(2s^3/2)।

a = n + 1/2 (n ∈ ℕ): L{t^{n + 1/2}} = Γ(n + 1 + 1/2)/s^{n + 1 + 1/2}। (आगमन से भी: L{t·t^{n − 1/2}} = −d/ds[Γ(n + 1/2)s^{−(n + 1/2)}] = (n + 1/2)Γ(n + 1/2)s^{−(n + 3/2)}, और (n + 1/2)Γ(n + 1/2) = Γ(n + 3/2)।)

उत्तर: √(π/s), √π/(2s^3/2), और Γ(n + 3/2)/s^{n + 3/2}, जैसा अपेक्षित था।

उदाहरण 13 (UPSC 2015, 6 अंक): (i) निम्नलिखित का लाप्लास विलोम रूपांतर प्राप्त कीजिये: {ln(1 + 1/s²) + [s/(s² + 25)] e^−πs}.

माना F(s) = log(1 + 1/s²) = log(s² + 1) − 2 log s। तब F′(s) = 2s/(s² + 1) − 2/s, जिसका प्रतिलोम 2 cos t − 2 है।

चूँकि L{tf(t)} = −F′(s): tf(t) = 2 − 2 cos t, अतः f(t) = 2(1 − cos t)/t।

द्वितीय विस्थापन: L⁻¹{se^−πs/(s² + 25)} = cos 5(t − π)u(t − π) = −cos 5t·u(t − π)।

उत्तर: 2(1 − cos t)/t − cos 5t·u(t − π)। (भाग (ii) इस विषय का उदाहरण 4 है: y = cos t − 3 sin t + t।)

उदाहरण 14 (UPSC 2017, 17 अंक): निम्नलिखित प्रारम्भिक-मान समस्या को लैपलास रूपान्तरण के द्वारा हल कीजिए :
d²y/dx² + 9y = r(x), y(0) = 0, y′(0) = 4
जहाँ पर r(x) = 8 sin x यदि 0 < x < π; r(x) = 0 यदि x ≥ π।

r(x) = 8 sin x − 8 sin x·u(x − π) = 8 sin x + 8 sin(x − π)u(x − π), अतः L{r} = 8(1 + e^−πs)/(s² + 1)।

(s² + 9)Y − 4 = L{r}, अतः Y = 4/(s² + 9) + 8(1 + e^−πs)/((s² + 1)(s² + 9)), जहाँ 8/((s² + 1)(s² + 9)) = 1/(s² + 1) − 1/(s² + 9)।

प्रतिलोम: y = (4/3) sin 3x + sin x − (1/3) sin 3x + [sin(x − π) − (1/3) sin 3(x − π)]u(x − π) = sin x + sin 3x + [−sin x + (1/3) sin 3x]u(x − π)।

उत्तर: 0 ≤ x ≤ π पर y = sin x + sin 3x और x ≥ π पर y = (4/3) sin 3x (π पर y और y′ संतत हैं: दोनों खंड 0 और −4 देते हैं)।

उदाहरण 15 (UPSC 2020, 10 अंक): लाप्लास रूपांतरण का प्रयोग करके प्रारंभिक मान समस्या ty″ + 2ty′ + 2y = 2; y(0) = 1 तथा y′(0) स्वेच्छ है, को हल कीजिए। क्या इस प्रश्न का हल अद्वितीय है?

y(0) = 1 और अज्ञात y′(0) = k के साथ: L{ty″} = −d(s²Y − s − k)/ds = −s²Y′ − 2sY + 1 और L{ty′} = −d(sY − 1)/ds = −sY′ − Y।

रूपांतर: −(s² + 2s)Y′ − 2sY + 1 = 2/s, अर्थात (s + 2)Y′ + 2Y = (s − 2)/s²; s + 2 से गुणा करने पर d[(s + 2)²Y]/ds = 1 − 4/s²।

अतः (s + 2)²Y = s + 4/s + C और Y = (s² + Cs + 4)/(s(s + 2)²) = 1/s + (C − 4)/(s + 2)²।

अतः y = 1 + Ate^−2t, जहाँ A = C − 4 स्वेच्छ है; प्रत्येक A के लिए y(0) = 1 और y′(0) = A। y″ का गुणांक t, t = 0 पर शून्य होता है, अतः वहाँ अस्तित्व-अद्वितीयता प्रमेय लागू नहीं होता।

उत्तर: y = 1 + Ate^−2t, A स्वेच्छ; हल अद्वितीय नहीं है (y′(0) निर्दिष्ट होने पर ही निश्चित होता है)।

उदाहरण 16 (UPSC 2023, 15 अंक): लाप्लास रूपान्तर प्रविधि का उपयोग कर निम्नलिखित प्रारम्भिक मान समस्या को हल कीजिए। d²y/dt² − 4 dy/dt + 3y(t) = f(t), y(0) = 1, y′(0) = 0 और f(t), t का एक दिया गया फलन है।

y(0) = 1, y′(0) = 0 के साथ रूपांतर: (s² − 4s + 3)Y − s + 4 = F(s), अतः Y = (s − 4)/((s − 1)(s − 3)) + F(s)/((s − 1)(s − 3))।

(s − 4)/((s − 1)(s − 3)) = (3/2)/(s − 1) − (1/2)/(s − 3), और 1/((s − 1)(s − 3)) = L{(e^3t − e^t)/2}।

संवलन प्रमेय से दूसरे पद का प्रतिलोम (1/2)∫₀^t f(u)[e^{3(t − u)} − e^{t − u}] du है।

उत्तर: y(t) = (3/2)e^t − (1/2)e^3t + (1/2)∫₀^t f(u)[e^{3(t − u)} − e^{t − u}] du।

उदाहरण 17 (UPSC 2024, 15 अंक): लाप्लास रूपान्तर का उपयोग करके प्रारम्भिक मान समस्या
y″ + 2y′ + 5y = δ(t − 2), y(0) = 0, y′(0) = 0
को हल कीजिए, जहाँ δ(t − 2) डिरैक डेल्टा फलन को दर्शाता है।

L{δ(t − 2)} = e^−2s, अतः (s² + 2s + 5)Y = e^−2s और Y = e^−2s/((s + 1)² + 4)।

L⁻¹{1/((s + 1)² + 4)} = (1/2)e^−t sin 2t; द्वितीय विस्थापन प्रमेय से y = (1/2)e^{−(t − 2)} sin 2(t − 2)·u(t − 2)।

उत्तर: t < 2 पर y = 0 और t > 2 पर y = (1/2)e^{−(t − 2)} sin 2(t − 2); t = 2 पर y संतत है, जबकि y′ में 1 का उछाल है (आवेग)।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): L{3t² − 2e^−t + sin 2t} ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 6/s³ − 2/(s + 1) + 2/(s² + 4), s > 0 के लिए।

अभ्यास 2 (मूल): L{e^2t cos 3t} ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (s − 2)/((s − 2)² + 9), s > 2 के लिए (प्रथम विस्थापन)।

अभ्यास 3 (मूल): L⁻¹{1/(s(s + 1))} ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1/s − 1/(s + 1) का व्युत्क्रम 1 − e^−t है।

अभ्यास 4 (मानक): L⁻¹{(s + 3)/(s² + 4s + 13)} ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ((s + 2) + 1)/((s + 2)² + 9) का व्युत्क्रम e^−2t(cos 3t + (1/3) sin 3t) है।

अभ्यास 5 (मानक): f(t) = 0 (0 < t < 2) और f(t) = (t − 2)² (t > 2) का रूपांतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: f = (t − 2)²u(t − 2), अतः L{f} = 2e^−2s/s³.

अभ्यास 6 (मानक): लाप्लास रूपांतर से y′ + 2y = e^−t, y(0) = 3 हल कीजिए।

उत्तर: (s + 2)Y = 3 + 1/(s + 1), Y = 2/(s + 2) + 1/(s + 1), अतः y = 2e^−2t + e^−t.

अभ्यास 7 (मानक): संवलन (या आंशिक भिन्नों) से L⁻¹{1/(s²(s² + 1))} ज्ञात कीजिए।

उत्तर: t * sin t = ∫₀^t (t − u) sin u du = t − sin t.

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): लाप्लास रूपांतर से y″ − 3y′ + 2y = 4e^3t, y(0) = −3, y′(0) = 5 हल कीजिए।

उत्तर: (s − 1)(s − 2)Y = 4/(s − 3) + 14 − 3s, Y = −9/(s − 1) + 4/(s − 2) + 2/(s − 3), अतः y = −9e^t + 4e^2t + 2e^3t.

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): y″ + 4y = u(t − 2), y(0) = 0, y′(0) = 1 हल कीजिए।

उत्तर: Y = 1/(s² + 4) + e^−2s(1/4)[1/s − s/(s² + 4)], अतः y = (1/2) sin 2t + (1/4)[1 − cos 2(t − 2)]u(t − 2).

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): समाकल समीकरण y(t) = 1 + ∫₀^t e^{t − u}y(u) du हल कीजिए।

उत्तर: Y = 1/s + Y/(s − 1), अतः Y = (s − 1)/(s(s − 2)) = (1/2)/s + (1/2)/(s − 2) और y = (1 + e^2t)/2.

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): L{t³ sin t} का प्रयोग करके दिखाइए कि ∫₀^∞ t³e^−t sin t dt = 0.

उत्तर: L{t³ sin t} = −d³/ds³[1/(s² + 1)] = 24s(s² − 1)/(s² + 1)⁴, जो s = 1 पर 0 है।

1. प्रथम कोटि के समीकरण तथा संछेदी

प्रश्न 1 (10 अंक): x dy/dx = y + x tan(y/x) हल कीजिए।

समीकरण समघात है: dy/dx = y/x + tan(y/x); y = vx रखें, अतः v + x dv/dx = v + tan v।

चर पृथक करने पर cot v dv = dx/x, अतः log sin v = log x + log c।

उत्तर: sin(y/x) = cx।

प्रश्न 2 (10 अंक): (1 + y²) dx = (tan⁻¹y − x) dy हल कीजिए।

x को आश्रित चर मानें: dx/dy + x/(1 + y²) = tan⁻¹y/(1 + y²), जो x में रैखिक है।

IF = e^tan−1y; t = tan⁻¹y रखने पर xe^t = ∫te^t dt = (t − 1)e^t + c।

उत्तर: x = tan⁻¹y − 1 + ce^−tan−1y।

प्रश्न 3 (15 अंक): (y⁴ + 2y) dx + (xy³ + 2y⁴ − 4x) dy = 0 हल कीजिए।

M_y = 4y³ + 2 और N_x = y³ − 4, अतः समीकरण यथातथ नहीं है।

(N_x − M_y)/M = (−3y³ − 6)/(y(y³ + 2)) = −3/y, केवल y का फलन, अतः IF = e^{∫−3/y dy} = y⁻³।

यथातथ समीकरण (y + 2/y²) dx + (x + 2y − 4x/y³) dy = 0 है, दोनों तिर्यक अवकलज 1 − 4/y³ हैं।

∫M dx = xy + 2x/y²; N का x-रहित पद केवल 2y है, जिसका समाकल y² है।

उत्तर: xy + 2x/y² + y² = c।

प्रश्न 4 (15 अंक): सिद्ध कीजिए कि वृत्तों x² + y² + 2gx + c = 0 (g प्राचल, c स्थिर) के लंबकोणीय संछेदी वृत्त x² + y² + 2fy − c = 0 हैं।

अवकलन से x + yp + g = 0; g का विलोपन करने पर y² − x² − 2xyp + c = 0।

p के स्थान पर −1/p रखकर p से गुणा करें: (y² − x² + c)p + 2xy = 0, अर्थात 2xy dx + (y² − x² + c) dy = 0।

y² से भाग देने पर: [(2x/y) dx − (x²/y²) dy] + dy + (c/y²) dy = 0, अर्थात d(x²/y) + dy + c dy/y² = 0।

समाकलन से x²/y + y − c/y = −2f, और y से गुणा करने पर परिणाम मिलता है।

उत्तर: x² + y² + 2fy − c = 0, f स्वेच्छ।

प्रश्न 5 (15 अंक): y = px + √(a²p² + b²) के व्यापक और विचित्र हल ज्ञात कीजिए तथा विचित्र हल की व्याख्या कीजिए।

यह क्लेरो समीकरण है, अतः व्यापक हल y = cx + √(a²c² + b²) है।

विचित्र हल के लिए x + a²p/√(a²p² + b²) = 0, अतः x = −a²p/√(a²p² + b²)।

तब y = px + √(a²p² + b²) = b²/√(a²p² + b²)।

अतः x²/a² + y²/b² = (a²p² + b²)/(a²p² + b²) = 1।

उत्तर: व्यापक हल y = cx + √(a²c² + b²); विचित्र हल x²/a² + y²/b² = 1, वह दीर्घवृत्त जिसकी कुल की सभी रेखाएँ स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6 (10 अंक): सिद्ध या असिद्ध कीजिए: प्रारंभिक मान समस्या dy/dx = 2√y, y(0) = 0 का हल अद्वितीय है।

y ≡ 0 एक हल है। x ≥ 0 के लिए y = x² और x ≤ 0 के लिए y = 0 भी हल है, क्योंकि तब x ≥ 0 के लिए dy/dx = 2x = 2√y।

अधिक व्यापक रूप में प्रत्येक a ≥ 0 के लिए x ≥ a पर y = (x − a)² और x ≤ a पर y = 0 एक हल है।

अद्वितीयता विफल होती है क्योंकि f(x, y) = 2√y, y = 0 के निकट लिप्शित्स प्रतिबंध (Lipschitz condition) संतुष्ट नहीं करता: वहाँ ∂f/∂y = 1/√y अपरिबद्ध है।

उत्तर: असिद्ध: समस्या के अनंत हल हैं।

2. उच्च कोटि के रैखिक समीकरण

प्रश्न 7 (10 अंक): (D² + 1)y = sin x sin 2x हल कीजिए।

CF = c₁ cos x + c₂ sin x; sin x sin 2x = (cos x − cos 3x)/2 लिखें।

(1/2)[1/(D² + 1)] cos x = (1/2)(x/2) sin x (विफलता स्थिति) तथा −(1/2)[1/(D² + 1)] cos 3x = −(1/2) cos 3x/(1 − 9) = cos 3x/16।

उत्तर: y = c₁ cos x + c₂ sin x + (x/4) sin x + (1/16) cos 3x।

प्रश्न 8 (15 अंक): (D² − 4D + 4)y = 8x²e^2x sin 2x हल कीजिए।

CF = (c₁ + c₂x)e^2x; घातांकी विस्थापन से PI = e^2x(1/D²)(8x² sin 2x)।

प्रथम समाकलन (खंडशः): ∫x² sin 2x dx = −(x²/2) cos 2x + (x/2) sin 2x + (1/4) cos 2x।

द्वितीय समाकलन: −(x²/4) sin 2x − (x/2) cos 2x + (3/8) sin 2x; 8 से गुणा करने पर (3 − 2x²) sin 2x − 4x cos 2x।

उत्तर: y = (c₁ + c₂x)e^2x + e^2x[(3 − 2x²) sin 2x − 4x cos 2x]।

प्रश्न 9 (15 अंक): x³y‴ + 3x²y″ + xy′ + y = x + log x हल कीजिए।

x = e^z रखें: θ(θ − 1)(θ − 2) + 3θ(θ − 1) + θ + 1 = θ³ + 1, अतः (θ³ + 1)y = e^z + z।

m³ + 1 = 0 के मूल: m = −1, (1 ± i√3)/2; CF = c₁e^−z + e^z/2[c₂ cos(√3z/2) + c₃ sin(√3z/2)]।

PI = e^z/(1 + 1) + (1 + θ³)⁻¹z = e^z/2 + z।

उत्तर: y = c₁/x + √x[c₂ cos((√3/2) log x) + c₃ sin((√3/2) log x)] + x/2 + log x।

प्रश्न 10 (15 अंक): प्राचल विचरण विधि से y″ + 4y = tan 2x हल कीजिए।

y₁ = cos 2x, y₂ = sin 2x, W = 2।

u₁ = −(1/2)∫sin 2x tan 2x dx = −(1/2)∫(sec 2x − cos 2x) dx = −(1/4) log|sec 2x + tan 2x| + (1/4) sin 2x।

u₂ = (1/2)∫cos 2x tan 2x dx = (1/2)∫sin 2x dx = −(1/4) cos 2x।

PI = u₁ cos 2x + u₂ sin 2x; पद (1/4) sin 2x cos 2x निरस्त हो जाते हैं।

उत्तर: y = c₁ cos 2x + c₂ sin 2x − (1/4) cos 2x log|sec 2x + tan 2x|।

प्रश्न 11 (15 अंक): दिया है कि y = x समघात भाग का एक हल है; |x| < 1 के लिए (1 − x²)y″ + xy′ − y = x(1 − x²)^3/2 हल कीजिए।

मानक रूप: P = x/(1 − x²), Q = −1/(1 − x²), R = x√(1 − x²); P + Qx = 0 से y₁ = x की पुष्टि होती है।

y = vx रखें: v″ + [x/(1 − x²) + 2/x]v′ = √(1 − x²); v′ के लिए IF = x²/√(1 − x²)।

अतः v′x²/√(1 − x²) = x³/3 + c₁, अर्थात v′ = (x/3)√(1 − x²) + c₁√(1 − x²)/x²।

∫√(1 − x²)/x² dx = −√(1 − x²)/x − sin⁻¹x लेकर समाकलन से: v = −(1/9)(1 − x²)^3/2 − c₁[√(1 − x²)/x + sin⁻¹x] + c₂।

उत्तर: y = Ax + B[√(1 − x²) + x sin⁻¹x] − (x/9)(1 − x²)^3/2।

3. लाप्लास रूपांतर

प्रश्न 12 (15 अंक): लाप्लास रूपांतर से y″ + 2y′ + 5y = e^−t sin t, y(0) = 0, y′(0) = 1 हल कीजिए।

रूपांतर लेने पर: (s² + 2s + 5)Y − 1 = 1/((s + 1)² + 1)।

S = s + 1 रखने पर: Y = 1/(S² + 4) + 1/((S² + 1)(S² + 4)) = 1/(S² + 4) + (1/3)[1/(S² + 1) − 1/(S² + 4)]।

अतः Y = (2/3)/(S² + 4) + (1/3)/(S² + 1), और प्रथम विस्थापन प्रमेय से y = e^−t[(1/3) sin 2t + (1/3) sin t]।

जाँच: y(0) = 0 और y′(0) = (2 + 1)/3 = 1।

उत्तर: y = (e^−t/3)(sin t + sin 2t)।

प्रश्न 13 (10 अंक): आवर्ती फलन f(t) = t, 0 < t < 1, f(t + 1) = f(t) का लाप्लास रूपांतर ज्ञात कीजिए।

आवर्तकाल T = 1 के साथ L{f} = [1/(1 − e^−s)]∫₀¹ te^−st dt।

खंडशः समाकलन से ∫₀¹ te^−st dt = −e^−s/s + (1 − e^−s)/s²।

उत्तर: L{f} = 1/s² − e^−s/(s(1 − e^−s)), s > 0।

प्रश्न 14 (15 अंक): निकाय x′ − y = e^t, y′ + x = sin t, x(0) = 1, y(0) = 0 हल कीजिए।

रूपांतर लेने पर: sX − 1 − Y = 1/(s − 1) और sY + X = 1/(s² + 1)।

Y का विलोपन करने पर: (s² + 1)X = s + s/(s − 1) + 1/(s² + 1)।

आंशिक भिन्न: s/((s − 1)(s² + 1)) = (1/2)/(s − 1) + (1 − s)/(2(s² + 1)), अतः X = (1/2)s/(s² + 1) + (1/2)/(s − 1) + (1/2)/(s² + 1) + 1/(s² + 1)²।

L⁻¹{1/(s² + 1)²} = (sin t − t cos t)/2 लेकर प्रतिलोम से: x = (1/2)(e^t + cos t + 2 sin t − t cos t); तब y = x′ − e^t।

उत्तर: x = (1/2)(e^t + cos t + 2 sin t − t cos t), y = (1/2)(−e^t + cos t − sin t + t sin t)।

प्रश्न 15 (10 अंक): समाकल समीकरण y(t) = t + ∫₀^t sin(t − u) y(u) du हल कीजिए।

समाकल संवलन sin t * y है, अतः संवलन प्रमेय से Y = 1/s² + Y/(s² + 1)।

अतः Y·s²/(s² + 1) = 1/s², अतः Y = (s² + 1)/s⁴ = 1/s² + 1/s⁴।

उत्तर: y = t + t³/6।

1. अवकल समीकरणों का निर्माण तथा प्रथम कोटि, प्रथम घात के समीकरण

2026 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: यदि y₁ और y₂, dy/dx + P(x)y = Q(x) के दो हल हैं तथा y₂ = y₁u है, तो दर्शाइए कि u = 1 + a e^{−∫(Q/y₁) dx} है, जहाँ a एक शून्येतर अचर है।

2026 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 20 अंक: (i) दर्शाइए कि (2x − y − 1)y dx + (2y − x − 1)x dy = 0 का एक समाकलन गुणक (x + y + 1)⁻⁴ है। अतः इसे हल कीजिए। (10)
(ii) यदि L{f(t)} = f̄(s) है, तो दर्शाइए कि L{f(t)/t} = ∫_s^∞ f̄(u) du है। अतः L{(cos at − cos bt)/t} का मान ज्ञात कीजिए। (10)

2025 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: सभी दीर्घवृत्तों, जिनके अक्ष निर्देशांक अक्षों के संपाती हैं, का अवकल समीकरण बनाइए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 15 अंक: आयतीय क्षेत्र R : |x − x₀| ≤ a, |y − y₀| ≤ b में प्रारम्भिक मान समस्या dy/dx = f(x, y), y(x₀) = y₀ के अद्वितीय हल के अस्तित्व के लिए अद्वितीयता प्रमेय का कथन लिखिए। एक उपयुक्त आयत R में प्रारम्भिक मान समस्या dy/dx = 2√y, y(1) = 0 के हल के अस्तित्व और अद्वितीयता का परीक्षण कीजिए। यदि एक से अधिक हल मौजूद हैं, तो सभी हलों को ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: प्रारम्भिक-मान समस्या: dy/dx − 2xy = 2, y(0) = 1 का हल y = e^x2[1 + √π erf(x)] के रूप में प्राप्त कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: दर्शाइए कि अवकल समीकरण dy/dx + Py = Q का व्यापक हल y = Q/P − e^{−∫P dx} {C + ∫ e^{∫P dx} d(Q/P)} के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ P, Q, x के शून्येतर फलन हैं तथा C एक स्वेच्छ अचर है।

2020 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिए : x cos(y/x)(y dx + x dy) = y sin(y/x)(x dy − y dx)

2019 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: अवकल समीकरण
(2y sin x + 3y⁴ sin x cos x) dx − (4y³ cos²x + cos x) dy = 0
को हल कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q7(d), 12 अंक: α और β को, जिसके लिये x^αy^β समीकरण (4y² + 3xy) dx − (3xy + 2x²) dy = 0 का एक समाकलन गुणक है, ज्ञात कीजिये और समीकरण हल कीजिये।

2018 प्रश्नपत्र I, Q8(d), 12 अंक: f(y), जिसके लिये समीकरण (2xe^y + 3y²) dy + (3x² + f(y)) dx = 0 यथातथ्य है, ज्ञात कीजिये और हल निकालिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: x-y समतल में सभी वृत्तों को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: हल कीजिये :
dy/dx = (1/(1 + x²))(e^tan−1x − y)

2016 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 10 अंक: हल कीजिये :
{y(1 − x tan x) + x² cos x} dx − x dy = 0

2015 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिये: x cos x dy/dx + y(x sin x + cos x) = 1.

2015 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: निम्नलिखित अवकल समीकरण का हल निकालिये: (2xy⁴e^y + 2xy³ + y)dx + (x²y⁴e^y − x²y² − 3x)dy = 0.

2015 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 12 अंक: यदि (x + y)^a, निम्न अवकल समीकरण (4x² + 2xy + 6y)dx + (2x² + 9y + 3x)dy = 0 का समाकलन गुणांक है तो 'a' का मान मालूम कीजिये। तत्पश्चात् अवकल समीकरण का हल निकालिए।

2014 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: उचित ठहराइए कि [y + x f(x² + y²)] dx + [y f(x² + y²) − x] dy = 0 की भांति अवकल समीकरण जहाँ कि f(x² + y²), (x² + y²) का एक स्वेच्छ फलन है, एक यथातथ अवकल समीकरण नहीं है तथा इसका 1/(x² + y²) एक समाकलन गुणक है। अतएव इस अवकल समीकरण को f(x² + y²) = (x² + y²)² के लिए हल कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: वह वक्र ज्ञात कीजिए जिसके लिए कि स्पर्शी का भाग जो अक्षों द्वारा काटा हुआ है, स्पर्शी बिन्दु पर द्विभाजित हो।

2014 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 15 अंक: अवकल समीकरण M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 के लिए पर्याप्त शर्त ज्ञात कीजिए ताकि उसका समाकलन गुणक, (x + y) का फलन हो। उस दशा में समाकलन गुणक क्या होगा? अतएव अवकल समीकरण (x² + xy) dx + (y² + xy) dy = 0 का समाकलन गुणक ज्ञात कीजिए तथा हल कीजिए।

2. लंबकोणीय संछेदी (Orthogonal Trajectories)

2024 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: वक्र-कुल r = c(sec θ + tan θ) के लम्बकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए, जहाँ c एक प्राचल है।

2022 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: दर्शाइए कि परवलयों के निकाय: x² = 4a(y + a) के लंबकोणीय संछेदी, उसी निकाय में स्थित होते हैं।

2021 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 20 अंक: (i) संनाभि शांकव कुल x²/(a² + λ) + y²/(b² + λ) = 1; a > b > 0 अचर हैं तथा λ एक प्राचल है, के लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि दिया गया वक्र-कुल स्वलांबिक है। (10 अंक)
(ii) अवकल समीकरण : x² d²y/dx² − 2x(1 + x) dy/dx + 2(1 + x)y = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। अतः अवकल समीकरण : x² d²y/dx² − 2x(1 + x) dy/dx + 2(1 + x)y = x³ को प्राचल विचरण विधि द्वारा हल कीजिए। (10 अंक)

2020 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: वृत्त-कुल, जो बिंदु (0, 2) एवं (0, −2) से गुजरता है, का लंबकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: मान लीजिए किसी द्रव्य-प्रवाह की धारा-रेखाएं, वक्र समुदाय xy = c के द्वारा प्रदर्शित हैं। सम-विभव रेखाओं, अर्थात् धारा-रेखाओं को प्रदर्शित करने वाले वक्र-समुदाय के लंबकोणीय संवेदियों को ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: दर्शाइये कि परवलय-कुल y² = 4cx + 4c² स्वलांबिक (self-orthogonal) है।

3. प्रथम कोटि उच्च घात के समीकरण, क्लेरो समीकरण तथा विचित्र हल

2025 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: (1 − y² + y⁴/x²)(dy/dx)² − 2(y/x)(dy/dx) + y²/x² = 0 को हल कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 20 अंक: (i) अवकल समीकरण (1 + dy/dx)³ = (27/8a)(x + y)(1 − dy/dx)³ के व्यापक हल और विचित्र हल ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(ii) x³ d³y/dx³ + 3x² d²y/dx² + x dy/dx + y = x log x का पूर्ण हल ज्ञात कीजिए। (10 अंक)

2023 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 20 अंक: (i) अवकल समीकरण: dy/dx = −(2xy³ + 2)/(3x²y² + 8e^4y) का हल ज्ञात कीजिए। (10)
(ii) समीकरण x²p² + y(2x + y)p + y² = 0 का प्रतिस्थापन y = u और xy = v द्वारा क्लेरो रूप में समानयन कीजिए। अतः समीकरण का हल निकालिए और दर्शाइए कि y + 4x = 0 अवकल समीकरण का एक विचित्र हल है। (10)

2022 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 20 अंक: (i) अवकल समीकरण: (x² − a²) p² − 2xyp + y² + a² = 0, जहाँ p = dy/dx, के व्यापक व विचित्र हलों को ज्ञात कीजिए। व्यापक व विचित्र हलों के बीच ज्यामितीय संबंध को भी दीजिए। (10)
(ii) निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए: (3x + 2)² d²y/dx² + 5(3x + 2) dy/dx − 3y = x² + x + 1 (10)

2021 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: अवकल समीकरण : y² log y = xy dy/dx + (dy/dx)² के सभी सम्भव हल ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 15 अंक: अवकल समीकरण
(dy/dx)² (y/x)² cot²α − 2(dy/dx)(y/x) + (y/x)² cosec²α = 1
का विचित्र हल प्राप्त कीजिए। दिए हुए अवकल समीकरण का पूर्ण पूर्वग भी ज्ञात कीजिए। पूर्ण पूर्वग तथा विचित्र हल की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 13 अंक: हल कीजिये : (dy/dx)² y + 2(dy/dx) x − y = 0

2017 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 17 अंक: (i) अवकल समीकरण : xyp² − (x² + y² − 1)p + xy = 0, जहाँ पर p = dy/dx है, पर विचार कीजिए। u = x² तथा v = y² द्वारा प्रतिस्थापन कर क्लेराउट्स रूप (Clairaut's form) में u, v तथा p′ = dv/du में व्यक्त कीजिए। अतएव या अन्यथा समीकरण को हल कीजिए। (10 अंक)
(ii) निम्नलिखित प्रारम्भिक-मान अवकल समीकरणों को हल कीजिए :
20y″ + 4y′ + y = 0, y(0) = 3·2 व y′(0) = 0। (7 अंक)

2015 प्रश्नपत्र I, Q7(d), 13 अंक: अवकल समीकरण x = py − p² का हल निकालिए, जहाँ p = dy/dx.

4. अचर गुणांकों वाले रैखिक समीकरण

2023 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 15 अंक: अवकल समीकरण: d³y/dx³ − 3 d²y/dx² + 4 dy/dx − 2y = e^x + cos x का हल कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: अवकल समीकरण : d²y/dx² + 2y = x²e^3x + e^x cos 2x को हल कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: अवकल समीकरण
d²y/dx² − 4 dy/dx + 4y = 3x²e^2x sin 2x
का पूर्ण हल ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: हल कीजिये : y″ − y = x²e^2x

2018 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: हल कीजिये : y‴ − 6y″ + 12y′ − 8y = 12e^2x + 27e^−x

2017 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 16 अंक: (i) निम्नलिखित युगपत रेखीय अवकल समीकरणों को हल कीजिए :
(D + 1)y = z + e^x व (D + 1)z = y + e^x, जहाँ y व z स्वतंत्र चर x के फलन हैं तथा D ≡ d/dx। (8 अंक)
(ii) यदि किसी भी समय t पर बैक्टीरिया संख्या की वृद्धि दर उस समय विद्यमान संख्या के समानुपाती है तथा संख्या एक सप्ताह में दो गुणी हो जाती है तब 4 सप्ताह के बाद बैक्टीरिया की कितनी संख्या अपेक्षित है? (8 अंक)

2016 प्रश्नपत्र I, Q5(a), 10 अंक: d²y/dx² + y = e^x/2 sin(x√3/2) का विशेष समाकल (particular integral) निकालिये।

5. चर गुणांकों वाले द्वितीय कोटि के रैखिक समीकरण

2026 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 15 अंक: x² d²y/dx² − 3x dy/dx + y = ((sin(log x) + 1)/x) log x को हल कीजिए।

2026 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 15 अंक: प्राचल-विचरण विधि द्वारा d²y/dx² + a²y = sec ax को हल कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 15 अंक: अवकल समीकरण (x + 2) d²y/dx² − (2x + 5) dy/dx + 2y = (1 + x) e^x को प्राचल विचरण विधि द्वारा हल कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 20 अंक: (i) एक हल के रूप में u(x) = −e^−x का उपयोग करते हुए अवकल समीकरण xy″ + (x − 1)y′ − y = 0 का दूसरा हल ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(ii) प्राचल-विचरण विधि का उपयोग कर अवकल समीकरण x²y″ − 2xy′ + 2y = x³ sin x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (10 अंक)

2022 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: प्राचल-विचरण विधि का उपयोग करके, निम्नलिखित अवकल समीकरण: (x² − 1) d²y/dx² − 2x dy/dx + 2y = (x² − 1)² को हल कीजिए, जहाँ समानीत समीकरण का एक हल y = x दिया गया है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: सभी अन्तर्ग्रस्त (शामिल) चरणों को दर्शाते हुए समीकरण : d²y/dx² + (tan x − 3 cos x) dy/dx + 2y cos²x = cos⁴x को पूर्ण रूप से हल कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 20 अंक: प्राचल विचरण विधि का प्रयोग करके, निम्न अवकल समीकरण का हल निकालिए, यदि y = e^−x, पूरक फलन (CF) का एक हल है : y″ + (1 − cot x)y′ − y cot x = sin² x

2020 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 20 अंक: (i) निम्न अवकल समीकरण हल कीजिए : (x + 1)²y″ − 4(x + 1)y′ + 6y = 6(x + 1)² + sin log(x + 1)
(ii) अवकल समीकरण 9p²(2 − y)² = 4(3 − y) के व्यापक व विचित्र हल निकालिए, जहाँ p = dy/dx.

2019 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 20 अंक: (i) अवकल समीकरण
d²y/dx² + (3 sin x − cot x) dy/dx + 2y sin²x = e^{−cos x} sin²x
को हल कीजिए। (10 अंक)
(ii) t^−1/2 तथा t^1/2 का लाप्लास रूपांतर ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि t^{n + 1/2} का लाप्लास रूपांतर
Γ(n + 1 + 1/2)/s^{n + 1 + 1/2}
होता है, जहाँ n ∈ ℕ. (10 अंक)

2019 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 15 अंक: समीकरण x²y″ − 2xy′ + 2y = x³ sin x के संगत समांगी अवकल समीकरण का रेखीय स्वतंत्र हल निकालिए और तब दिए गए समीकरण का प्राचल-विचरण विधि द्वारा सामान्य हल निकालिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 13 अंक: हल कीजिये : y″ + 16y = 32 sec 2x

2018 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 13 अंक: हल कीजिये : (1 + x)² y″ + (1 + x) y′ + y = 4 cos(log(1 + x))

2017 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 17 अंक: (i) निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए :
x d²y/dx² − dy/dx − 4x³y = 8x³ sin(x²)। (9 अंक)
(ii) निम्नलिखित अवकल समीकरण को प्राचल-विचरण विधि के द्वारा हल कीजिए :
d²y/dx² − dy/dx − 2y = 44 − 76x − 48x²। (8 अंक)

2016 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: अवकल समीकरण (differential equation)
(D² + 2D + 1)y = e^−x log(x), [D ≡ d/dx]
को प्राचल-विचरण (variation of parameters) विधि से हल कीजिये।

2016 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 15 अंक: समीकरण x² d³y/dx³ − 4x d²y/dx² + 6 dy/dx = 4 का व्यापक हल (general solution) निकालिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q8(d), 13 अंक: निम्न अवकल समीकरण को हल करें: x⁴ d⁴y/dx⁴ + 6x³ d³y/dx³ + 4x² d²y/dx² − 2x dy/dx − 4y = x² + 2 cos(log_e x).

2014 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 10 अंक: प्राचलों के विचरण की विधि के द्वारा हल कीजिए: dy/dx − 5y = sin x

2014 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 20 अंक: अवकल समीकरण हल कीजिए: x³ d³y/dx³ + 3x² d²y/dx² + x dy/dx + 8y = 65 cos(log_e x)

2014 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 15 अंक: निम्नलिखित अवकल समीकरण हल कीजिए: x d²y/dx² − 2(x + 1) dy/dx + (x + 2)y = (x − 2)e^2x जबकि e^x इसके संगत समघात अवकल समीकरण का एक हल है।

6. लाप्लास रूपांतर तथा प्रारंभिक मान समस्याएँ

2026 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: शर्तों y(0) = 3, y′(0) = 1 के अधीन, लाप्लास रूपांतरण लागू करके (D² + D) y(t) = 2, D ≡ d/dt को हल कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 15 अंक: यदि f(t) और g(t) के लाप्लास रूपान्तर क्रमशः F(s) और G(s) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि 𝓛(∫₀^t f(x) g(t − x) dx) = F(s) G(s) है। इस परिणाम का प्रयोग करते हुए, समीकरण y(t) = t + ∫₀^t y(x) sin(t − x) dx को हल कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: लाप्लास रूपान्तर का प्रयोग करते हुए समाकलन समीकरण y(t) = cos t + ∫₀^t y(x) cos(t − x) dx को हल कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 15 अंक: लाप्लास रूपान्तर का उपयोग करके प्रारम्भिक मान समस्या
y″ + 2y′ + 5y = δ(t − 2), y(0) = 0, y′(0) = 0
को हल कीजिए, जहाँ δ(t − 2) डिरैक डेल्टा फलन को दर्शाता है।

2023 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: दिया गया है L{f(t); p} = F(p). दर्शाइए कि ∫₀^∞ (f(t)/t) dt = ∫₀^∞ F(x) dx. अतः समाकल ∫₀^∞ (e^−t − e^−3t)/t dt का मान ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 15 अंक: लाप्लास रूपान्तर प्रविधि का उपयोग कर निम्नलिखित प्रारम्भिक मान समस्या को हल कीजिए। d²y/dt² − 4 dy/dt + 3y(t) = f(t), y(0) = 1, y′(0) = 0 और f(t), t का एक दिया गया फलन है।

2022 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके निम्नलिखित प्रारंभिक मान समस्या: d²y/dt² − 3 dy/dt + 2y = h(t), जहाँ h(t) = 2, 0 < t < 4 के लिए, तथा h(t) = 0, t > 4 के लिए; y(0) = 0, y′(0) = 0 को हल कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q5(b), 10 अंक: लाप्लास रूपान्तर विधि का उपयोग करते हुए प्रारम्भिक मान समस्या : d²y/dx² + 4y = e^−2x sin 2x; y(0) = y′(0) = 0 को हल कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 10 अंक: लाप्लास रूपांतरण का प्रयोग करके प्रारंभिक मान समस्या ty″ + 2ty′ + 2y = 2; y(0) = 1 तथा y′(0) स्वेच्छ है, को हल कीजिए। क्या इस प्रश्न का हल अद्वितीय है?

2018 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: (i) f(t) = 1/√t का लाप्लास रूपान्तर ज्ञात कीजिये।
(ii) (5s² + 3s − 16)/((s − 1)(s − 2)(s + 3)) का विलोम लाप्लास रूपान्तर ज्ञात कीजिये।

2018 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 13 अंक: प्रारंभिक मान समस्या
y″ − 5y′ + 4y = e^2t
y(0) = 19/12, y′(0) = 8/3
को हल कीजिये।

2017 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 17 अंक: निम्नलिखित प्रारम्भिक-मान समस्या को लैपलास रूपान्तरण के द्वारा हल कीजिए :
d²y/dx² + 9y = r(x), y(0) = 0, y′(0) = 4
जहाँ पर r(x) = 8 sin x यदि 0 < x < π; r(x) = 0 यदि x ≥ π।

2016 प्रश्नपत्र I, Q6(d), 10 अंक: लाप्लास रूपांतरण (Laplace transformation) की मदद से निम्न का हल निकालिये :
y″ − 2y′ − 8y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 6

2015 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 12 अंक: (i) निम्नलिखित का लाप्लास विलोम रूपांतर प्राप्त कीजिये: {ln(1 + 1/s²) + [s/(s² + 25)] e^−πs}.
(ii) लाप्लास रूपांतर का प्रयोग करके, निम्नलिखित y″ + y = t, y(0) = 1, y′(0) = −2 का हल निकालिए। (6 + 6 = 12)

2014 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 20 अंक: प्रारंभिक मान समस्या d²y/dt² + y = 8e^−2t sin t, y(0) = 0, y′(0) = 0 को लाप्लास-रूपांतर के प्रयोग से हल कीजिए।