सम्मिश्र विश्लेषण — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. सम्मिश्र अवकलज को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक कलन में अवकलज बताता है कि x के एक रेखा पर चलने से f(x) कितनी तेजी से बदलता है। सम्मिश्र चर z = x + iy के फलन के लिए हम यही चाहते हैं, और इसे उसी सूत्र (f(z₀ + h) − f(z₀))/h से लिखते हैं। नई बात यह है कि अब पद h एक सम्मिश्र संख्या है, अतः z₀ + h समतल में किसी भी दिशा से z₀ की ओर आ सकता है। इस पाठ का प्रश्न यह है कि यह f से क्या माँगता है।

शब्दों में: “lim_h→0 (f(z₀ + h) − f(z₀))/h = L” का अर्थ है: जब भी |h| पर्याप्त छोटा हो, h को किसी भी प्रकार चुना जाए (किसी किरण पर, किसी वक्र पर, इधर-उधर कूदते हुए), भागफल एक ही सम्मिश्र संख्या L के निकट रहता है। वही संख्या L, f′(z₀) है।

“z₀ पर विश्लेषिक (analytic)” इससे अधिक माँगता है: कोई त्रिज्या r > 0 हो जिससे चक्रिका |z − z₀| < r के प्रत्येक बिंदु z पर f′(z) विद्यमान हो। “प्रांत D में विश्लेषिक” का अर्थ है D के प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषिक, और “संपूर्ण (entire)” का अर्थ है ℂ के प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषिक।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: किसी भी बिंदु z₀ पर f(z) = z²।

(1) भागफल लिखें: ((z₀ + h)² − z₀²)/h।

(2) वर्ग का प्रसार करें: (z₀² + 2z₀h + h² − z₀²)/h = (2z₀h + h²)/h।

(3) h को काट दें, जो अनुमत है क्योंकि सीमा के अंदर h ≠ 0: भागफल 2z₀ + h के बराबर है।

(4) अब |(2z₀ + h) − 2z₀| = |h|, जो |h| छोटा होने पर छोटा है, h की दिशा कुछ भी हो। अतः सीमा विद्यमान है और f′(z₀) = 2z₀।

(5) यह प्रत्येक z₀ पर काम करता है, अतः z² संपूर्ण फलन है। ध्यान दें कि बीजगणित शब्दशः वास्तविक गणना जैसा है; h की दिशा कहीं नहीं आई।

अ-उदाहरण (non-example): f(z) = Re z = x। भागफल (Re h)/h है। वास्तविक अक्ष पर (h = t, t वास्तविक) यह t/t = 1 है; काल्पनिक अक्ष पर (h = it) यह 0/(it) = 0 है। दो दिशाओं में दो भिन्न सीमाएँ, अतः f′(z₀) किसी भी बिंदु पर विद्यमान नहीं, यद्यपि x दो वास्तविक चरों x और y का पूर्णतः चिकना फलन है। जो शर्त विफल होती है वह यह है कि सीमा प्रत्येक दिशा में समान होनी चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (i) यदि f′(z₀) विद्यमान है तो f, z₀ पर संतत है, क्योंकि f(z₀ + h) − f(z₀) = h·[भागफल] → 0·f′(z₀) = 0।

(ii) योग, गुणन, भागफल (जहाँ हर 0 न हो) और शृंखला नियम ठीक वास्तविक विश्लेषण की तरह सिद्ध होते हैं, क्योंकि उनकी उपपत्तियाँ केवल सीमाओं के बीजगणित का उपयोग करती हैं। अतः z, अचरों, +, −, ×, ÷, e^z, sin z और cos z से बना प्रत्येक व्यंजक जहाँ परिभाषित है वहाँ विश्लेषिक है।

(iii) जिन व्यंजकों में z̄, |z|, Re z या Im z हो वे संदिग्ध हैं: प्रत्येक की जाँच करनी पड़ती है। भागफल को दोनों अक्षों पर जाँचने से अगले पाठ के कॉशी-रीमान समीकरण मिलते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: यह तय करने में कि फलन कहाँ अवकलनीय या विश्लेषिक है (एक मानक 10 अंक का प्रश्न), और आगे के प्रत्येक प्रमेय की परिकल्पना के रूप में: कॉशी प्रमेय, टेलर और लॉरेंट श्रेणियाँ तथा अवशेष प्रमेय सभी विश्लेषिकता मानते हैं।

2. अवकलनीयता और विश्लेषिकता

अवकलज: f′(z₀) = lim_h→0 (f(z₀ + h) − f(z₀))/h, जहाँ h सम्मिश्र मानों से 0 की ओर जाता है, अतः सीमा प्रत्येक दिशा में समान होनी चाहिए।

विश्लेषिक (analytic, holomorphic): f, z₀ पर विश्लेषिक है यदि वह z₀ के किसी प्रतिवेश के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय हो; f संपूर्ण (entire) है यदि वह पूरे ℂ पर विश्लेषिक हो।

भाव: सम्मिश्र अवकलनीयता (complex differentiability) वास्तविक अवकलनीयता से कहीं अधिक प्रबल है: h अनंत दिशाओं से 0 की ओर जा सकता है, और अंतर-भागफल की सीमा उन सभी दिशाओं में समान होनी चाहिए। ज्यामितीय रूप से, z₀ के निकट f सम्मिश्र संख्या f′(z₀) से गुणा जैसा व्यवहार करता है: कोण arg f′(z₀) से घूर्णन तथा |f′(z₀)| गुना विस्तार, अतः जहाँ f′(z₀) ≠ 0 वहाँ प्रतिचित्रण कोणों को संरक्षित रखता है (अनुकोण, conformal)।

भाव: विश्लेषिकता पूरे प्रतिवेश में माँगी जाती है क्योंकि तभी प्रबल परिणाम मिलते हैं: सभी कोटियों के अवकलज, अभिसारी टेलर श्रेणी और कॉशी प्रमेय। किसी एक बिंदु पर या किसी रेखा पर अवकलनीयता, जैसे |z|² या x² + iy² के लिए, इनमें से कुछ भी नहीं देती।

उदाहरण: बहुपद, e^z, sin z और cos z संपूर्ण हैं; z̄ कहीं भी अवकलनीय नहीं; |z|² केवल z = 0 पर अवकलनीय है और अतः कहीं भी विश्लेषिक नहीं।

z̄ क्यों विफल है: h = |h|e^iφ के लिए z̄ का अंतर-भागफल h̄/h = e^−2iφ है, जो वास्तविक अक्ष के अनुदिश (φ = 0) 1 और काल्पनिक अक्ष के अनुदिश (φ = π/2) −1 है, अतः कोई एक सीमा विद्यमान नहीं।

3. कॉशी-रीमान समीकरणों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हर दिशा में सीमा जाँचना धीमा है। हम ऐसा परीक्षण चाहते हैं जो केवल वास्तविक भाग u(x, y), काल्पनिक भाग v(x, y) और उनके सामान्य आंशिक अवकलजों का उपयोग करे, जिन्हें हम पहले से निकालना जानते हैं।

शब्दों में: u_x = v_y कहता है कि x-दिशा में वास्तविक भाग के परिवर्तन की दर, y-दिशा में काल्पनिक भाग के परिवर्तन की दर के बराबर है; u_y = −v_x दूसरे युग्म के लिए यही बात ऋण चिह्न के साथ कहता है। “आवश्यक” का अर्थ है: यदि f′ विद्यमान है, तो ये अवश्य सत्य होंगे। “पर्याप्त” का अर्थ है: यदि ये सत्य हैं और बिंदु के निकट चारों आंशिक अवकलज संतत हैं, तो f′ विद्यमान है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(z) = e^z = e^x(cos y + i sin y)।

(1) भागों को अलग करें: u = e^x cos y और v = e^x sin y।

(2) अवकलन करें: u_x = e^x cos y, u_y = −e^x sin y, v_x = e^x sin y, v_y = e^x cos y।

(3) तुलना करें: प्रत्येक बिंदु पर u_x = v_y (दोनों e^x cos y) और u_y = −v_x (दोनों −e^x sin y)।

(4) चारों आंशिक अवकलज पूरे ℂ पर संतत हैं, अतः पर्याप्त शर्त हर जगह लागू होती है: e^z संपूर्ण फलन है।

(5) अवकलज पढ़ें: f′ = u_x + iv_x = e^x cos y + ie^x sin y = e^z। ध्यान दें कि C-R परीक्षण उप-उत्पाद के रूप में अवकलज भी दे देता है।

अ-उदाहरण (non-example): f(z) = |z|² = x² + y², अतः u = x² + y², v = 0। तब u_x = v_y का रूप 2x = 0 और u_y = −v_x का रूप 2y = 0 है। दोनों केवल मूलबिंदु पर सत्य हैं, अतः f केवल z = 0 पर अवकलनीय है और कहीं भी विश्लेषिक नहीं: एक अकेले बिंदु में कोई चक्रिका नहीं होती।

आगे बढ़ते हुए: (i) h को वास्तविक अक्ष पर 0 की ओर ले जाएँ: भागफल u_x + iv_x की ओर जाता है। (ii) h = ik को काल्पनिक अक्ष पर 0 की ओर ले जाएँ: यह v_y − iu_y की ओर जाता है। (iii) दोनों f′(z₀) हैं, अतः वास्तविक और काल्पनिक भागों को बराबर करने से दोनों समीकरण मिलते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 1)।

(iv) विलोम के लिए, आंशिक अवकलजों की सांतत्यता से माध्य मान प्रमेय द्वारा Δu = u_xΔx + u_yΔy + (लघु)·|h| मिलता है, और v के लिए भी ऐसा ही; तब C-R समीकरण Δu + iΔv को (u_x + iv_x)(Δx + iΔy) + (लघु)·|h| बना देते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 2)।

(v) अकेले बिंदु पर केवल समीकरण पर्याप्त नहीं: √|xy| उन्हें 0 पर संतुष्ट करता है पर वहाँ अवकलनीय नहीं है। आंशिक अवकलजों की सांतत्यता, या सीमा की प्रत्यक्ष जाँच, ही यह कमी पूरी करती है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक “f कहाँ अवकलनीय या विश्लेषिक है” प्रश्न में, वास्तविक और काल्पनिक भागों को प्रसंवादी सिद्ध करने में, मिल्ने-थॉमसन विधि में, और ग्रीन प्रमेय के माध्यम से कॉशी प्रमेय में।

4. कॉशी-रीमान समीकरण

आवश्यक शर्त: यदि f = u + iv, z₀ = x₀ + iy₀ पर अवकलनीय है, तो (x₀, y₀) पर u_x, u_y, v_x, v_y विद्यमान हैं और वहाँ u_x = v_y, u_y = −v_x; साथ ही f′(z₀) = u_x + iv_x = v_y − iu_y।

यह क्यों काम करता है: h को वास्तविक अक्ष के अनुदिश 0 की ओर ले जाइए (h = Δx); भागफल u_x + iv_x की ओर जाता है। h को काल्पनिक अक्ष के अनुदिश ले जाइए (h = iΔy); यह (u_y + iv_y)/i = v_y − iu_y की ओर जाता है। दोनों सीमाएँ f′(z₀) के बराबर हैं, और वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना से u_x = v_y और v_x = −u_y मिलते हैं (पूर्ण उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, खंड 1 में)।

पर्याप्त शर्त: यदि u, v के प्रथम आंशिक अवकलज (x₀, y₀) के किसी प्रतिवेश में संतत हों और वहाँ C-R समीकरण संतुष्ट हों, तो f, z₀ पर विश्लेषिक है।

भाव: आंशिक अवकलजों का सांतत्य (continuity) सुनिश्चित करता है कि u और v वास्तविक फलनों के रूप में अवकलनीय हैं, Δu ≈ u_xΔx + u_yΔy जिसमें त्रुटि |h| की तुलना में छोटी है, और v के लिए भी यही। C-R समीकरण तब इस वास्तविक रैखिक सन्निकटन को सम्मिश्र गुणन में बदल देते हैं, Δu + iΔv ≈ (u_x + iv_x)(Δx + iΔy)। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, खंड 2 में।

जैकोबियन चित्र: f′ = a + ib लेने पर C-R समीकरण कहते हैं कि (u, v) का जैकोबियन आव्यूह (Jacobian matrix) [[u_x, u_y], [v_x, v_y]] = [[a, −b], [b, a]] है, जो |f′| गुणा एक घूर्णन आव्यूह है। इसका सारणिक u_x² + v_x² = |f′(z)|² स्थानीय क्षेत्रफल आवर्धन है।

ध्रुवीय रूप: z = re^iθ के साथ u_r = (1/r)v_θ और v_r = −(1/r)u_θ, तथा f′(z) = e^−iθ(u_r + iv_r)।

सम्मिश्र रूप: C-R समीकरण ∂f/∂z̄ = 0 के तुल्य हैं, अतः विश्लेषिक फलन केवल z पर निर्भर करता है, z̄ पर नहीं।

केवल C-R पर्याप्त नहीं: f(z) = √|xy|, 0 पर C-R समीकरण संतुष्ट करता है (चारों आंशिक अवकलज 0 हैं), परंतु y = mx पर अंतर-भागफल √|m|·|x|/(x(1 + im)) है, जो m पर निर्भर है, अतः f′(0) विद्यमान नहीं।

उदाहरण 1: f(z) = x² + iy² कहाँ अवकलनीय है, और कहाँ विश्लेषिक है?

u = x², v = y²: u_x = 2x, v_y = 2y, u_y = 0 = −v_x। आंशिक अवकलज संतत हैं और C-R तभी सत्य है जब x = y, अतः f ठीक रेखा y = x पर अवकलनीय है। रेखा में कोई विवृत समुच्चय नहीं है, अतः f कहीं भी विश्लेषिक नहीं।

5. व्युत्पत्ति: C-R समीकरणों के ध्रुवीय और सम्मिश्र रूप

x = r cos θ, y = r sin θ लेने पर शृंखला नियम (chain rule) से u_r = u_x cos θ + u_y sin θ और u_θ = −ru_x sin θ + ru_y cos θ, तथा v के लिए वही सूत्र।

v_x = −u_y, v_y = u_x रखिए: v_θ = −rv_x sin θ + rv_y cos θ = r(u_y sin θ + u_x cos θ) = ru_r, अतः u_r = (1/r)v_θ।

इसी प्रकार v_r = v_x cos θ + v_y sin θ = −u_y cos θ + u_x sin θ = −(1/r)u_θ।

अवकलज: h को z से होकर जाने वाली किरण के अनुदिश 0 की ओर ले जाइए, h = e^iθΔr; तब Δf/h → (u_r + iv_r)/e^iθ, अतः f′(z) = e^−iθ(u_r + iv_r) = e^−iθ(u_r − (i/r)u_θ)।

सम्मिश्र रूप: x = (z + z̄)/2 और y = (z − z̄)/(2i) से शृंखला नियम द्वारा ∂/∂z̄ = (1/2)(∂/∂x + i∂/∂y) और ∂/∂z = (1/2)(∂/∂x − i∂/∂y)।

तब ∂f/∂z̄ = (1/2)[(u_x − v_y) + i(v_x + u_y)], जो ठीक तब शून्य है जब दोनों C-R समीकरण लागू हों, और तब ∂f/∂z = u_x + iv_x = f′(z)।

त्वरित परीक्षण: x = (z + z̄)/2, y = (z − z̄)/(2i) रखिए; यदि z̄ बचा रहे तो f विश्लेषिक नहीं है। उदाहरणार्थ x² + y² = zz̄ के लिए ∂/∂z̄ = z, जो केवल 0 पर शून्य है।

संबंध: C-R समीकरण ग्रीन प्रमेय (सदिश विश्लेषण) को अगले विषय के कॉशी प्रमेय में बदल देते हैं: उस उपपत्ति के दोनों द्विसमाकल ठीक इसलिए शून्य होते हैं क्योंकि u_x = v_y और u_y = −v_x।

6. संयुग्मी प्रसंवादी फलनों और मिल्ने-थॉमसन विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक समस्याओं में केवल एक वास्तविक फलन ज्ञात होता है, जैसे कोई ताप या विभव u(x, y)। हम दो प्रश्न पूछते हैं: क्या कोई विश्लेषिक f है जिसका Re f = u, और यदि है, तो उसे शीघ्र कैसे ज्ञात करें?

शब्दों में: u प्रसंवादी (harmonic) है यदि उसके द्वितीय आंशिक अवकलज संतत हों और u_xx + u_yy = 0। फलन v, u का संयुग्मी प्रसंवादी (harmonic conjugate) है यदि u + iv विश्लेषिक हो, अर्थात् युग्म (u, v) C-R समीकरणों को संतुष्ट करे। यहाँ “संयुग्मी” शब्द का सम्मिश्र संयुग्मी z̄ से कोई संबंध नहीं है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: u = x² − y²।

(1) जाँचें कि u प्रसंवादी है: u_xx = 2 और u_yy = −2, अतः u_xx + u_yy = 0।

(2) पहला C-R समीकरण v_y = u_x = 2x माँगता है। x को अचर मानकर y में समाकलन करें: v = 2xy + g(x), जहाँ g केवल x का कोई अज्ञात फलन है।

(3) दूसरा C-R समीकरण v_x = −u_y = 2y माँगता है। चरण (2) से v_x = 2y + g′(x)। अतः g′(x) = 0 और g = C, एक वास्तविक अचर।

(4) अतः v = 2xy + C और f = x² − y² + i(2xy + C) = (x + iy)² + iC = z² + iC।

(5) मिल्ने-थॉमसन का संक्षिप्त मार्ग यही एक पंक्ति में देता है: u_x(z, 0) = 2z और u_y(z, 0) = 0, अतः f′(z) = 2z − i·0 और f = z² + iC। ध्यान दें कि यह आंशिक समाकलन को छोड़कर सीधे z के फलन पर पहुँचता है।

अ-उदाहरण (non-example): u = x² + y² के लिए u_xx + u_yy = 4 ≠ 0। फिर भी प्रयास करें: v_y = 2x से v = 2xy + g(x), और तब v_x = −u_y = −2y के लिए 2y + g′(x) = −2y चाहिए, अर्थात् g′(x) = −4y, जो केवल x के फलन के लिए असंभव है। अप्रसंवादी u कभी किसी विश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग नहीं होता।

आगे बढ़ते हुए: (i) विश्लेषिक f ⇒ u और v प्रसंवादी, C-R समीकरणों का एक बार और अवकलन करके (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 3)। (ii) विलोमतः, सरल संबद्ध प्रांत पर अवकल −u_ydx + u_xdy ठीक तब यथातथ है जब u प्रसंवादी हो, अतः इसका समाकल एक संयुग्मी v है, जो किसी वास्तविक अचर के योग तक अद्वितीय है।

(iii) मिल्ने-थॉमसन: f′ = u_x − iu_y सभी x, y के लिए सत्य है; वास्तविक अक्ष पर z = x, और विश्लेषिक फलन किसी खंड पर अपने मानों से निर्धारित हो जाता है (तत्समक प्रमेय), अतः हम x = z, y = 0 रख सकते हैं। (iv) u दिया हो तो अचर iC है और v दिया हो तो वास्तविक C।

कहाँ प्रयोग होता है: मानक “दिखाइए कि u प्रसंवादी है और f ज्ञात कीजिए” प्रश्न में, u − v और u + v वाले रूपों में, और आगे द्वि-विमीय प्रवाह के सम्मिश्र विभव (तरल गतिकी) तथा स्थिर ताप समस्याओं (आंशिक अवकल समीकरण) में।

7. प्रसंवादी फलन और संयुग्मी

प्रसंवादी फलन (harmonic function): संतत द्वितीय आंशिक अवकलजों वाला वास्तविक फलन u जो लाप्लास समीकरण u_xx + u_yy = 0 को संतुष्ट करे।

प्रमेय: यदि f = u + iv प्रांत D में विश्लेषिक है, तो u और v, D में प्रसंवादी हैं; v को u का प्रसंवादी संयुग्मी (harmonic conjugate) कहते हैं।

यह क्यों काम करता है: u_xx = (v_y)_x और u_yy = (−v_x)_y, अतः u_xx + u_yy = v_yx − v_xy = 0। मिश्र आंशिक अवकलज बराबर हैं क्योंकि विश्लेषिक फलन के सभी कोटियों के अवकलज संतत होते हैं (मानक उपपत्तियाँ, खंड 3)।

भाव: सरलतः संबद्ध प्रांत पर प्रत्येक प्रसंवादी u का एक प्रसंवादी संयुग्मी (harmonic conjugate) होता है, जो एक योज्य वास्तविक अचर तक अद्वितीय है। छिद्र वाले प्रांत पर यह विफल हो सकता है: u = ln|z|, ℂ − {0} में प्रसंवादी है, पर इसका संयुग्मी arg z होगा, जो वहाँ एकमानी नहीं है।

क्रम महत्त्वपूर्ण है: यदि v, u का संयुग्मी है, तो v का संयुग्मी −u है, u नहीं, क्योंकि −if = v − iu विश्लेषिक है।

लंबकोणीयता: वक्र-कुल u = c₁ और v = c₂, जहाँ f′(z) ≠ 0, एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

यह क्यों काम करता है: u = c₁ और v = c₂ के अभिलंब ∇u = (u_x, u_y) और ∇v = (v_x, v_y) = (−u_y, u_x) हैं, और इनका अदिश गुणनफल −u_xu_y + u_yu_x = 0 है। द्वि-विमीय प्रवाह में ये समविभव रेखाएँ और धारा रेखाएँ हैं।

संयुग्मी ज्ञात करना: dv = v_xdx + v_ydy = −u_ydx + u_xdy से इस यथातथ अवकल का समाकलन कीजिए।

प्रसंवादिता क्यों आवश्यक है: M = −u_y, N = u_x वाला अवकल M dx + N dy यथातथ (exact) है यदि और केवल यदि ∂M/∂y = ∂N/∂x, अर्थात −u_yy = u_xx, जो लाप्लास समीकरण है। अतः संयुग्मी (स्थानीय रूप से) ठीक इसीलिए विद्यमान है क्योंकि u प्रसंवादी है।

मिल्ने-थॉमसन विधि:

1. u दिया हो तो φ₁(x, y) = u_x और φ₂(x, y) = u_y निकालिए।

2. तब f′(z) = φ₁(z, 0) − iφ₂(z, 0) (x के स्थान पर z और y के स्थान पर 0 रखिए)।

3. समाकलन कीजिए: f(z) = ∫[φ₁(z, 0) − iφ₂(z, 0)] dz + iC।

4. यदि v दिया हो, तो f′(z) = v_y(z, 0) + iv_x(z, 0) लीजिए और वास्तविक अचर C जोड़िए।

यह क्यों काम करता है: f′(z) = u_x − iu_y, x और y में सर्वसमिका के रूप में सत्य है, और वास्तविक अक्ष पर z = x, अतः f′(x) = φ₁(x, 0) − iφ₂(x, 0)। जब φ₁(z, 0) − iφ₂(z, 0) z में विश्लेषिक व्यंजक हो, तो यह वास्तविक अक्ष के एक खंड पर f′ से मेल खाता है, अतः तत्समक प्रमेय (identity theorem) से दोनों सर्वत्र बराबर हैं: x के स्थान पर z और y के स्थान पर 0 रखना वैध है।

ध्रुवीय मिल्ने-थॉमसन (u दिया): f′(z) = e^−iθ(u_r − (i/r)u_θ) में θ = 0 और r = z रखने पर f′(z) = u_r(z, 0) − (i/z)u_θ(z, 0)। जाँच: u = r² cos 2θ से f′(z) = 2z, अतः f = z² + iC।

संबंध: प्रसंवादी फलन लाप्लास समीकरण के हल हैं (आंशिक अवकल समीकरण: स्थायी ताप, स्थिरवैद्युत विभव)। तरल गतिकी में द्वि-विमीय अघूर्णी प्रवाह का सम्मिश्र विभव w = φ + iψ विश्लेषिक है: φ वेग विभव है और उसका संयुग्मी ψ धारा फलन है।

उदाहरण 2: दिखाइए कि u = e^x(x cos y − y sin y) प्रसंवादी है और विश्लेषिक f = u + iv ज्ञात कीजिए।

u_x = e^x(x cos y − y sin y + cos y) और u_y = −e^x(x sin y + sin y + y cos y)। पुनः अवकलन से u_xx = e^x(x cos y − y sin y + 2cos y) और u_yy = −e^x(x cos y + 2cos y − y sin y), अतः u_xx + u_yy = 0। मिल्ने-थॉमसन: f′(z) = e^z(z + 1) − i·0, अतः f(z) = ze^z + iC।

उदाहरण 3: u = x² − y² + x वाला विश्लेषिक फलन ज्ञात कीजिए।

u_x = 2x + 1, u_y = −2y, अतः f′(z) = 2z + 1 और f(z) = z² + z + iC; इसलिए v = 2xy + y + C।

8. सम्मिश्र लघुगणक और शाखाओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समीकरण e^w = z के प्रत्येक z ≠ 0 के लिए अनंत हल w हैं, क्योंकि e^w का आवर्त 2πi है। log z, z^a या arg z को किसी सूत्र में प्रयोग करने के लिए (जैसे log z और ln(x² + y²) वाले PYQs में) हमें तय करना होता है कि कौन-सा हल अभिप्रेत है।

शब्दों में: log z = ln|z| + i arg z, जहाँ arg z, z का कोई भी कोण है, अतः मान 2πik से भिन्न होते हैं। शाखा (branch) कोण का ऐसा चयन है जो किसी क्षेत्र पर संतत रूप से बदले; मुख्य शाखा Log z, −π < Arg z < π लेती है और अर्ध-रेखा (−∞, 0] हटाए गए समतल पर परिभाषित है, यह अर्ध-रेखा शाखा-कटान (branch cut) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: Log(−1 + i) और log(−1 + i) के सभी मान ज्ञात कीजिए।

(1) मापांक: |−1 + i| = √2, अतः ln|z| = (1/2) ln 2।

(2) कोण: बिंदु (−1, 1) द्वितीय चतुर्थांश में रेखा y = −x पर है, अतः Arg z = 3π/4 (न कि −π/4, जो केवल tan⁻¹(y/x) से प्रतीत होता)।

(3) मुख्य मान: Log(−1 + i) = (1/2) ln 2 + 3πi/4 ≈ 0.3466 + 2.3562i।

(4) सभी मान: log(−1 + i) = (1/2) ln 2 + i(3π/4 + 2kπ), k ∈ ℤ।

(5) जाँच: e^{Log z} = √2(cos 3π/4 + i sin 3π/4) = √2(−1/√2 + i/√2) = −1 + i। यही विचार iⁱ = e^{i log i} = e^{−π/2 − 2kπ} देता है, जिसका मुख्य मान e^−π/2 ≈ 0.2079 वास्तविक है।

अ-उदाहरण (non-example): वास्तविक नियम log(ab) = log a + log b मुख्य मानों के लिए विफल होता है। a = b = −1 लेने पर: Log((−1)(−1)) = Log 1 = 0, परंतु Log(−1) + Log(−1) = iπ + iπ = 2πi। दोनों कोणों का योग 2π परिसर (−π, π] से बाहर चला गया, अतः नियम केवल 2πi के किसी गुणज तक सत्य है।

आगे बढ़ते हुए: (i) कटे हुए समतल पर Log, पट्टी −π < Im w < π तक सीमित e^w का प्रतिलोम है। (ii) u = ln r, v = θ के साथ ध्रुवीय C-R समीकरण सत्य हैं, अतः Log z वहाँ विश्लेषिक है और अवकलज 1/z है (पिछले UPSC प्रश्न, उदाहरण 10)। (iii) दो शाखाएँ अचर 2πik से भिन्न होती हैं, अतः प्रत्येक शाखा का अवकलज 1/z है। (iv) घातें z^a = e^{a log z} शाखाएँ विरासत में पाती हैं: पूर्णांक a के लिए एक मान, a = 1/n के लिए n मान।

कहाँ प्रयोग होता है: ln|z| के संयुग्मी arg z = tan⁻¹(y/x) जैसे फलनों में, f = 2i log z + C जैसे उत्तरों में, और आगे कंटूर समाकलन के शाखा बिंदुओं तथा कीहोल कंटूरों में।

9. प्रारंभिक फलन

चरघातांकी: e^z = e^x(cos y + i sin y); यह संपूर्ण है, कभी शून्य नहीं होता, और आवर्त 2πi के साथ आवर्ती है।

लघुगणक: log z = ln|z| + i arg z बहुमानी है; मुख्य शाखा Log z (−π < Arg z ≤ π के साथ) ℂ में से अर्ध-रेखा (−∞, 0] हटाने पर विश्लेषिक है, और इसका अवकलज 1/z है।

त्रिकोणमितीय: sin z = (e^iz − e^−iz)/(2i) और cos z = (e^iz + e^−iz)/2 संपूर्ण हैं पर अपरिबद्ध; घात z^a = e^{a log z} से परिभाषित है।

10. विधि का चयन

यदि पूछा जाए कि खंडशः परिभाषित f (0 पर विशेष मान) किसी बिंदु पर अवकलनीय या विश्लेषिक है या नहीं → वहाँ u_x, u_y, v_x, v_y सीमा-परिभाषा से निकालिए, C-R समीकरण जाँचिए, फिर y = mx और y = x² के अनुदिश lim f(h)/h परखिए; दो भिन्न सीमाएँ सिद्ध करती हैं कि f′ विद्यमान नहीं।

यदि u और v, x और y के सुचारु सूत्र हों → पर्याप्त शर्त सर्वत्र लागू है; C-R समीकरणों को x और y के समीकरणों की तरह हल कीजिए। उनका हल-समुच्चय वह है जहाँ f अवकलनीय है, और f केवल उस समुच्चय के विवृत भाग पर विश्लेषिक है।

यदि u (या v) दिया हो और f चाहिए → मिल्ने-थॉमसन; यदि संयुग्मी स्वयं चाहिए, तो f का काल्पनिक (या वास्तविक) भाग लीजिए, या यथातथ अवकल dv = −u_ydx + u_xdy का समाकलन कीजिए।

यदि u या v, r और θ में दिया हो → ध्रुवीय C-R समीकरण या ध्रुवीय मिल्ने-थॉमसन सूत्र, फिर उत्तर z = re^iθ के पदों में लिखिए।

यदि u − v या u + v दिया हो → F = (1 + i)f या F = (1 − i)f लीजिए, जिसका वास्तविक भाग दिया गया संयोजन है।

यदि v = u², |f| = अचर या arg f = अचर जैसा संबंध दिया हो → प्रतिबंधित विश्लेषिक फलनों वाले खंड का अचर-फलन परीक्षण।

यदि छिद्र वाले प्रांत पर प्रसंवादी u दिया हो → यह भी जाँचिए कि वहाँ संयुग्मी एकमानी है या नहीं (ℂ − {0} पर ln|z| का कोई नहीं)।

11. सामान्य गलतियाँ

1. किसी बिंदु पर C-R समीकरण लागू होने से f को अवकलनीय मान लेना। आंशिक अवकलजों के सांतत्य, या सीमा की सीधी जाँच, के बिना इससे कुछ सिद्ध नहीं होता, जैसा 0 पर √|xy| दिखाता है।

2. किसी रेखा पर या विलगित बिंदु पर, जहाँ फलन केवल अवकलनीय है, उसे विश्लेषिक कहना (y = x पर x² + iy², 0 पर |z|²)। विश्लेषिकता के लिए विवृत समुच्चय चाहिए।

3. मूलबिंदु पर आंशिक अवकलज केवल z ≠ 0 के लिए मान्य सूत्र के अवकलन से निकालना। विशेष बिंदु पर सीमा-परिभाषा लीजिए, जैसे u_x(0, 0) = lim_h→0 (u(h, 0) − u(0, 0))/h।

4. मिल्ने-थॉमसन में अचर खो देना: u दिए होने पर, Re f को u से मिलाने के बाद f का अचर शुद्ध काल्पनिक (iC) है; v दिए होने पर यह वास्तविक है।

5. v का प्रसंवादी संयुग्मी u बताना; वह −u है।

6. अंतिम f को x, y या z̄ के पदों में छोड़ देना, या ध्रुवीय गणना में शर्त r > 0 और गुणक 1/r भूल जाना।

संबंध: जैकोबियन |f′(z)|² द्विसमाकल में चर-परिवर्तन का क्षेत्रफल गुणक है (कलन), और अनुकोण प्रतिचित्रण कोण इसलिए संरक्षित रखते हैं क्योंकि जैकोबियन एक मापित घूर्णन है।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: वे वास्तविक अचर a, b, c ज्ञात कीजिए जिनके लिए f(z) = x + ay + i(bx + cy) विश्लेषिक है, और f को z के पदों में व्यक्त कीजिए।

u = x + ay और v = bx + cy के आंशिक अवकलज सर्वत्र संतत हैं, अतः f विश्लेषिक है यदि और केवल यदि C-R समीकरण लागू हों।

u_x = v_y से 1 = c, और u_y = −v_x से a = −b।

तब f = x + ay + i(−ax + y) = (x + iy) − ia(x + iy) = (1 − ia)z, जहाँ a स्वेच्छ है।

उदाहरण 5: दिखाइए कि u = x³ − 3xy² + 3x² − 3y² + 1 प्रसंवादी है, और प्रसंवादी संयुग्मी v तथा विश्लेषिक फलन f = u + iv ज्ञात कीजिए।

u_x = 3x² − 3y² + 6x और u_y = −6xy − 6y, अतः u_xx = 6x + 6 और u_yy = −6x − 6। अतः u_xx + u_yy = 0 और u प्रसंवादी है।

मिल्ने-थॉमसन: f′(z) = u_x(z, 0) − iu_y(z, 0) = 3z² + 6z − i·0।

समाकलन से f(z) = z³ + 3z² + c; Re f का u से मिलान करने पर c = 1 + iC, अतः f(z) = z³ + 3z² + 1 + iC।

काल्पनिक भाग लेने पर v = 3x²y − y³ + 6xy + C।

उदाहरण 6: मान लीजिए z ≠ 0 के लिए f(z) = (x³ − y³ + i(x³ + y³))/(x² + y²) और f(0) = 0। दिखाइए कि 0 पर C-R समीकरण लागू हैं परंतु f′(0) विद्यमान नहीं है।

u_x(0, 0) = lim (h³/h²)/h = 1, u_y(0, 0) = lim (−k³/k²)/k = −1, v_x(0, 0) = 1, v_y(0, 0) = 1। अतः 0 पर u_x = v_y और u_y = −v_x।

वास्तविक अक्ष के अनुदिश f(x)/x = (x³ + ix³)/x³ = 1 + i।

y = x के अनुदिश u = 0 और v = 2x³/(2x²) = x, अतः f(z)/z = ix/(x(1 + i)) = i/(1 + i) = (1 + i)/2।

दोनों सीमाएँ भिन्न हैं, अतः f′(0) विद्यमान नहीं है: C-R समीकरण आवश्यक हैं पर पर्याप्त नहीं (यहाँ आंशिक अवकलज 0 पर संतत नहीं हैं)।

13. ध्रुवीय रूप, लघुगणक और प्रतिबंधित विश्लेषिक फलन

ध्रुवीय मिल्ने-थॉमसन विधि: यदि v(r, θ) दिया है, तो ध्रुवीय C-R समीकरण u_r = (1/r)v_θ और u_θ = −rv_r देते हैं; du = u_r dr + u_θ dθ का समाकलन कीजिए, फिर u + iv को z = re^iθ के पदों में लिखिए।

ध्रुवीय रूप में पर्याप्त प्रतिबंध: यदि 0 को न रखने वाले प्रांत में u, v और r, θ में उनके प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं, और वहाँ u_r = (1/r)v_θ, v_r = −(1/r)u_θ सत्य हैं, तो f विश्लेषिक है और f′(z) = e^−iθ(u_r + iv_r)।

अचर-फलन परीक्षण: यदि f = u + iv प्रांत D में विश्लेषिक है और Re f, Im f, |f| या arg f अचर है, या u और v किसी अवकलनीय संबंध v = φ(u) को संतुष्ट करते हैं, तो f अचर है। विधि: संबंध को C-R समीकरणों में रखकर (1 + φ′(u)²)u_x = 0 और (1 + φ′(u)²)u_y = 0 प्राप्त कीजिए, अतः सभी प्रथम आंशिक अवकलज शून्य हैं और संबद्ध समुच्चय D पर f′ = 0।

z और z̄ में लाप्लासियन: ∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² = 4∂²/∂z∂z̄। विश्लेषिक f के लिए इससे ∇²|f|² = 4|f′(z)|² और ∇²|f|^p = p²|f|^p−2|f′(z)|² (जहाँ f ≠ 0) मिलते हैं, और जहाँ g विश्लेषिक और अशून्य है वहाँ log|g| प्रसंवादी है, क्योंकि स्थानीय रूप से log|g| = Re(log g)।

किसी संयोजन की विश्लेषिकता दिखाना: दिए गए प्रसंवादी फलनों से बने p + iq को विश्लेषिक सिद्ध करने हेतु लाप्लास समीकरण का प्रयोग करके p_x = q_y और p_y = −q_x सत्यापित कीजिए, और ध्यान दीजिए कि आंशिक अवकलज संतत हैं (प्रसंवादी फलनों के द्वितीय आंशिक अवकलज संतत होते हैं)।

जब u − v या u + v दिया हो: F = (1 + i)f = (u − v) + i(u + v) विश्लेषिक है जिसका वास्तविक भाग u − v है, और (1 − i)f का वास्तविक भाग u + v है; F पर मिल्ने-थॉमसन लगाइए और (1 + i) या (1 − i) से भाग दीजिए।

14. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 10 अंक): दर्शाइए कि फलन v(x, y) = ln(x² + y²) + x + y प्रसंवादी है। इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन u(x, y) ज्ञात कीजिए। संगत विश्लेषिक फलन f(z) = u + iv को भी z के पदों में ज्ञात कीजिए।

v_x = 2x/(x² + y²) + 1 और v_y = 2y/(x² + y²) + 1, अतः v_xx = 2(y² − x²)/(x² + y²)² और v_yy = 2(x² − y²)/(x² + y²)²। अतः (x, y) ≠ (0, 0) के लिए v_xx + v_yy = 0: v, ℂ − {0} में प्रसंवादी है।

मिल्ने-थॉमसन (v दिया है): f′(z) = v_y(z, 0) + iv_x(z, 0) = 1 + i(2/z + 1)।

समाकलन करने पर, f(z) = z + i(z + 2 log z) + C = (1 + i)z + 2i log z + C, जहाँ C वास्तविक है।

z = re^iθ लेने पर 2i log z = 2i ln r − 2θ, अतः u = Re f = x − y − 2θ + C; जाँच: Im f = x + y + 2 ln r = v।

उत्तर: u = x − y − 2 tan⁻¹(y/x) + C और f(z) = (1 + i)z + 2i log z + C (log z की किसी शाखा के लिए, 0 को न रखने वाले किसी भी सरलतः संबद्ध प्रांत में विश्लेषिक)।

उदाहरण 8 (UPSC 2020, 15 अंक): यदि v(r, θ) = (r − 1/r) sin θ, r ≠ 0, तब विश्लेषिक फलन f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) ज्ञात कीजिए।

ध्रुवीय C-R: u_r = (1/r)v_θ = (1/r)(r − 1/r)cos θ = (1 − 1/r²)cos θ, और u_θ = −rv_r = −r(1 + 1/r²)sin θ = −(r + 1/r)sin θ।

u_r का r में समाकलन: u = (r + 1/r)cos θ + g(θ); तब u_θ = −(r + 1/r)sin θ + g′(θ), अतः g′ = 0 और g = C।

अतः f = (r + 1/r)cos θ + C + i(r − 1/r)sin θ = r(cos θ + i sin θ) + (1/r)(cos θ − i sin θ) + C = z + 1/z + C।

उत्तर: f(z) = z + 1/z + C (C वास्तविक), z ≠ 0 के लिए विश्लेषिक, जहाँ u = (r + 1/r)cos θ + C।

उदाहरण 9 (UPSC 2022, 10 अंक): यदि f(z) = u + iv, z का एक विश्लेषिक फलन है, तथा u − v = (cos x + sin x − e^−y)/(2 cos x − e^y − e^−y) है, तब शर्त f(π/2) = 0 के अधीन f(z) का मान ज्ञात कीजिये।

मान लीजिए F = (1 + i)f = (u − v) + i(u + v), जो विश्लेषिक है और जिसका वास्तविक भाग U = u − v = N/D है, जहाँ N = cos x + sin x − e^−y और D = 2cos x − e^y − e^−y।

y = 0 पर: N = cos x + sin x − 1, D = 2cos x − 2, N_x = cos x − sin x, D_x = −2sin x, N_y = 1, D_y = 0।

U_x(x, 0) = (N_xD − ND_x)/D² = (2 − 2cos x)/(4(1 − cos x)²) = 1/(2(1 − cos x)), और U_y(x, 0) = (N_yD − ND_y)/D² = 1/D = −1/(2(1 − cos x))।

मिल्ने-थॉमसन: F′(z) = U_x(z, 0) − iU_y(z, 0) = (1 + i)/(2(1 − cos z)) = ((1 + i)/4)cosec²(z/2)।

समाकलन करने पर, F(z) = −((1 + i)/2)cot(z/2) + c, अतः f = F/(1 + i) = −(1/2)cot(z/2) + c′। प्रतिबंध f(π/2) = 0 से −(1/2)cot(π/4) + c′ = 0, अतः c′ = 1/2।

उत्तर: f(z) = (1/2)[1 − cot(z/2)]।

उदाहरण 10 (UPSC 2023, 10 अंक): एक फलन f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) के इसके प्रांत में विश्लेषिक होने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध लिखिए। तब दर्शाइए कि f(z) = log z अपने प्रांत में विश्लेषिक है तथा df/dz ज्ञात कीजिए।

पर्याप्त प्रतिबंध: यदि प्रांत D में u, v के प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं और D के प्रत्येक बिंदु पर u_x = v_y, u_y = −v_x (ध्रुवीय रूप में u_r = (1/r)v_θ, v_r = −(1/r)u_θ, r > 0) संतुष्ट होते हैं, तो f = u + iv, D में विश्लेषिक है।

मुख्य शाखा के लिए z = re^iθ, जहाँ r > 0, −π < θ < π, और log z = ln r + iθ, अतः u = ln r, v = θ।

वहाँ u_r = 1/r, u_θ = 0, v_r = 0, v_θ = 1 संतत हैं, और u_r = 1/r = (1/r)v_θ, v_r = 0 = −(1/r)u_θ। अतः log z, ℂ में से अर्ध-रेखा (−∞, 0] हटाने पर प्राप्त प्रांत में विश्लेषिक है; कट के आर-पार θ में 2π की छलाँग है, अतः यह शाखा वहाँ संतत भी नहीं (भिन्न कट वाली शाखा, जैसे 0 < θ < 2π, ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर विश्लेषिक है)।

df/dz = e^−iθ(u_r + iv_r) = e^−iθ/r = 1/(re^iθ) = 1/z।

उत्तर: log z, ℂ − (−∞, 0] में विश्लेषिक है और d(log z)/dz = 1/z।

उदाहरण 11 (UPSC 2019, 10 अंक): मान लीजिये ℂ में D प्रक्षेत्र पर f(z) एक विश्लेषिक फलन है और समीकरण Im f(z) = (Re f(z))², z ∈ D को संतुष्ट करता है। दर्शाइए कि D में f(z) अचर है।

f = u + iv लिखिए, जहाँ D में v = u²। C-R समीकरण u_x = v_y = 2uu_y और u_y = −v_x = −2uu_x देते हैं।

दूसरे को पहले में रखने पर: u_x = 2u(−2uu_x) = −4u²u_x, अर्थात (1 + 4u²)u_x = 0।

चूँकि 1 + 4u² ≥ 1 > 0, D में u_x = 0, और तब u_y = −2uu_x = 0।

अतः पूरे D में f′ = u_x + iv_x = u_x − iu_y = 0, और प्रांत (संबद्ध विवृत समुच्चय) पर शून्य अवकलज वाला फलन अचर होता है।

उत्तर: f, D में अचर है (इसका मान c, Im c = (Re c)² को संतुष्ट करता है)।

उदाहरण 12 (UPSC 2024, 10 अंक): यदि w = f(z), z का एक विश्लेषिक फलन है, तब दर्शाइए कि (∂²/∂x² + ∂²/∂y²) log |f′(z)| = 0 है।

मान लीजिए g = f′, जो विश्लेषिक है (विश्लेषिक फलन का अवकलज विश्लेषिक होता है)। सर्वसमिका वहाँ अभिप्रेत है जहाँ f′(z) ≠ 0, क्योंकि f′ के शून्यकों पर log|f′| परिभाषित नहीं है।

g(z₀) ≠ 0 वाला z₀ और उसके परितः एक चकती Δ लीजिए जिस पर g ≠ 0। सरलतः संबद्ध चकती पर g′/g का एक पूर्वग (primitive) h है; अचर समायोजित करने पर Δ पर e^h = g, क्योंकि (ge^−h)′ = 0।

तब |g| = e^{Re h}, अतः Δ पर log|f′(z)| = Re h(z), जो एक विश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग है।

विश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग प्रसंवादी होता है, अतः Δ पर (∂²/∂x² + ∂²/∂y²) log|f′(z)| = 0; z₀ स्वेच्छ था। (जाँच: log|g| = (h + h̄)/2, जहाँ ∂h/∂z̄ = 0 और ∂h̄/∂z = 0, अतः 4∂²(log|g|)/∂z∂z̄ = 0।)

उत्तर: प्रत्येक उस बिंदु पर जहाँ f′(z) ≠ 0, ∇² log|f′(z)| = 0।

उदाहरण 13 (UPSC 2024, 10 अंक): यदि x तथा y के फलन φ और ψ लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं, तो दर्शाइए कि f(z) = p + iq, i = √−1 एक विश्लेषिक फलन है, जहाँ p = ∂φ/∂y − ∂ψ/∂x तथा q = ∂φ/∂x + ∂ψ/∂y हैं।

φ और ψ, φ_xx + φ_yy = 0, ψ_xx + ψ_yy = 0 संतुष्ट करते हैं और उनके द्वितीय आंशिक अवकलज संतत हैं, अतः p = φ_y − ψ_x और q = φ_x + ψ_y के प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं।

p_x = φ_yx − ψ_xx और q_y = φ_xy + ψ_yy = φ_xy − ψ_xx; चूँकि φ_xy = φ_yx, p_x = q_y।

p_y = φ_yy − ψ_xy = −φ_xx − ψ_xy, और −q_x = −φ_xx − ψ_yx; चूँकि ψ_xy = ψ_yx, p_y = −q_x।

C-R समीकरण सत्य हैं और आंशिक अवकलज संतत हैं, अतः पर्याप्त प्रतिबंध से f = p + iq विश्लेषिक है।

उत्तर: जहाँ भी φ और ψ प्रसंवादी हैं, वहाँ f = p + iq विश्लेषिक है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): अवकलज की परिभाषा से दिखाइए कि f(z) = 1/z प्रत्येक z ≠ 0 पर अवकलनीय है और f′(z) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (1/(z + h) − 1/z)/h = −1/(z(z + h)) → −1/z², अतः f′(z) = −1/z²।

अभ्यास 2 (मूल): क्या f(z) = x − iy + 2 कहीं भी विश्लेषिक है?

उत्तर: नहीं। u_x = 1 परंतु v_y = −1, अतः C-R समीकरण प्रत्येक बिंदु पर विफल हैं; f = z̄ + 2 कहीं भी अवकलनीय नहीं।

अभ्यास 3 (मूल): दिखाइए कि u = x³ − 3xy² प्रसंवादी है और एक संयुग्मी प्रसंवादी फलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: u_xx + u_yy = 6x − 6x = 0; v = 3x²y − y³ + C, और f = z³ + iC।

अभ्यास 4 (मानक): वे सभी बिंदु ज्ञात कीजिए जिन पर f(z) = x³ + i(1 − y)³ अवकलनीय है। क्या यह कहीं विश्लेषिक है?

उत्तर: C-R के लिए 3x² = −3(1 − y)² चाहिए, अतः x = 0 और y = 1: f केवल z = i पर अवकलनीय है, f′(i) = 0, और कहीं विश्लेषिक नहीं।

अभ्यास 5 (मानक): वह विश्लेषिक फलन f = u + iv ज्ञात कीजिए जिसके लिए v = e^x(x sin y + y cos y)।

उत्तर: f′(z) = v_y(z, 0) + iv_x(z, 0) = (z + 1)e^z, अतः f = ze^z + C (C वास्तविक) और u = e^x(x cos y − y sin y) + C।

अभ्यास 6 (मानक): वह विश्लेषिक फलन ज्ञात कीजिए जिसका वास्तविक भाग u = ln r + r cos θ (r > 0) है।

उत्तर: ध्रुवीय मिल्ने-थॉमसन: f′(z) = u_r(z, 0) − (i/z)u_θ(z, 0) = 1/z + 1, अतः f = log z + z + iC, किसी कटे समतल जैसे ℂ − (−∞, 0] में विश्लेषिक।

अभ्यास 7 (मानक): दिखाइए कि f(z) = e^z̄ किसी भी बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।

उत्तर: u = e^x cos y, v = −e^x sin y; C-R के लिए एक साथ cos y = 0 और sin y = 0 चाहिए, जो कभी नहीं होता।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): यदि f = u + iv विश्लेषिक है और u + v = 2 sin 2x/(e^2y + e^−2y − 2 cos 2x), तो f(π/2) = 0 के अधीन f ज्ञात कीजिए।

उत्तर: F = (1 − i)f का वास्तविक भाग u + v = Re(cot z) है, अतः F = cot z + iC और शर्त से C = 0: f = ((1 + i)/2) cot z।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): सिद्ध कीजिए कि किसी प्रांत पर अचर मापांक वाला विश्लेषिक फलन अचर होता है।

उत्तर: संकेत: u² + v² = c का x और y में अवकलन करें, C-R से (u² + v²)u_x = (u² + v²)u_y = 0 प्राप्त करें, अतः f′ = 0 (स्थिति c = 0 तुच्छ है)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): मान लीजिए z ≠ 0 के लिए f(z) = xy²(x + iy)/(x² + y⁴) और f(0) = 0। दिखाइए कि 0 पर C-R समीकरण सत्य हैं परंतु f′(0) विद्यमान नहीं।

उत्तर: u और v दोनों अक्षों पर शून्य हैं, अतः 0 पर चारों आंशिक अवकलज 0 हैं। परंतु (f(z) − f(0))/z = xy²/(x² + y⁴) प्रत्येक रेखा y = mx पर 0 की ओर और x = y² पर 1/2 की ओर जाता है।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): दिखाइए कि u = e^−2xy sin(x² − y²) प्रसंवादी है और वह विश्लेषिक फलन f ज्ञात कीजिए जिसके लिए Re f = u।

उत्तर: u = Im e^iz2, अतः यह प्रसंवादी है; मिल्ने-थॉमसन से f′ = 2z cos z² + 2iz sin z², अतः f = −ie^iz2 + iC।

1. कंटूर समाकलों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सम्मिश्र फलन रेखा पर नहीं, समतल पर रहता है, अतः “a से b तक समाकलन” तब तक अर्थहीन है जब तक यह न बताया जाए कि किस पथ पर। कंटूर समाकल (contour integral) रेखा-समाकल का सम्मिश्र रूप है, और साधारण निश्चित समाकल वास्तविक अक्ष पर पथ की विशेष स्थिति हैं।

शब्दों में: कंटूर एक पथ z(t), a ≤ t ≤ b है, जो परिमित संख्या में चिकने टुकड़ों से बना है और जिसकी एक दिशा है (z(a) से z(b) की ओर)। समाकलन के लिए z के स्थान पर z(t) और dz के स्थान पर z′(t) dt रखें, और t में साधारण समाकल करें; उत्तर एक सम्मिश्र संख्या है। संवृत कंटूर वहीं समाप्त होता है जहाँ से आरंभ होता है, इसके लिए ∮ लिखा जाता है; वामावर्त धनात्मक दिशा है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∮_|z|=1 dz/z, वृत्त को एक बार वामावर्त लेते हुए।

(1) प्राचलीकरण: z = e^it, 0 ≤ t ≤ 2π; t बढ़ने पर बिंदु वृत्त का एक वामावर्त चक्कर लगाता है।

(2) अवकलन: dz = ie^it dt।

(3) प्रतिस्थापन: f(z(t))z′(t) = (1/e^it)·ie^it = i।

(4) समाकलन: ∫₀^2π i dt = 2πi।

(5) ∮_|z|=1 z dz से तुलना करें: समाकल्य ie^2it बनता है, जिसका [0, 2π] पर समाकल 0 है। ध्यान दें कि पथ के आरंभ पर लौटने पर भी 1/z का संवृत समाकल 0 नहीं: 0 के चारों ओर के वक्र पर 1/z का कोई एकमानी पूर्वग (primitive) नहीं, जबकि z का पूर्वग z²/2 है।

अ-उदाहरण (non-example): पथ-स्वतंत्रता स्वतः नहीं होती। 0 से 1 + i तक z̄ के लिए सरल रेखा 1 देती है और परवलय y = x² मान 1 + i/3 देता है (हल किए गए प्रश्न, प्रश्न 3)। दोनों पथों के सिरे समान हैं पर मान भिन्न, क्योंकि z̄ विश्लेषिक नहीं है और इसलिए उसका कोई पूर्वग नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (i) समाकल रैखिक है, पथ के टुकड़ों पर जुड़ता है, और दिशा उलटने पर चिह्न बदलता है; यह इस पर निर्भर नहीं करता कि उसी अभिविन्यस्त पथ का प्राचलीकरण कैसे किया गया।

(ii) |∫ g(t) dt| ≤ ∫ |g(t)| dt से ML-असमिका मिलती है: |∫_C f dz| ≤ (C पर |f| का अधिकतम) × (C की लंबाई)।

(iii) यदि C को समाहित करने वाले क्षेत्र पर F′ = f, तो शृंखला नियम से d/dt F(z(t)) = f(z(t))z′(t), अतः ∫_C f dz = F(अंत) − F(आरंभ), और f का प्रत्येक संवृत समाकल 0 है। अतः 1/z के लिए मान 2πi सिद्ध करता है कि ℂ − {0} पर 1/z का कोई पूर्वग नहीं।

कहाँ प्रयोग होता है: इस अध्याय का प्रत्येक समाकल यहीं से आरंभ होता है; ML-असमिका वह साधन है जो कंटूर समाकलन में बड़े चापों और छोटे वृत्तों का योगदान शून्य करती है, और मूल समाकल ∮ dz/(z − a) = 2πi कॉशी सूत्र और अवशेषों का बीज है।

2. कंटूर समाकल

परिभाषा: यदि C, z = z(t), a ≤ t ≤ b से दिया है, तो ∫_C f(z) dz = ∫_a^b f(z(t))z′(t) dt।

भाव: कंटूर समाकल (contour integral) पथ के अनुदिश योगफलों ∑f(z_k)Δz_k की सीमा है, जहाँ प्रत्येक Δz_k दिशा सहित एक छोटा सम्मिश्र कदम है। यह केवल अभिविन्यस्त पथ पर निर्भर है, चुने गए प्राचलीकरण पर नहीं; दिशा उलटने से इसका चिह्न बदल जाता है, और |∫_C f dz| ≤ ∫_C |f| |dz|।

ML-असमिका: यदि C पर |f(z)| ≤ M और C की लंबाई L है, तो |∫_C f(z) dz| ≤ ML।

भाव: यह आकलन स्थूल है, पर किसी बड़े चाप या छोटे वृत्त पर समाकल के 0 की ओर जाने को दिखाने के लिए ठीक यही चाहिए: यदि M, लंबाई L के बढ़ने से तेज़ घटे, तो ML → 0। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, खंड 4 में।

मूल समाकल: ∮_|z−a|=r (z − a)ⁿ dz = 2πi यदि n = −1, और प्रत्येक अन्य पूर्णांक n के लिए 0।

भाव: n ≠ −1 वाली प्रत्येक घात (z − a)ⁿ का एकमानी पूर्वग (primitive) (z − a)ⁿ⁺¹/(n + 1) है, अतः संवृत वक्र पर उसका समाकल 0 है। केवल 1/(z − a) बचता है, क्योंकि उसका पूर्वग log(z − a), वक्र के a के चारों ओर एक बार घूमने पर 2πi बढ़ जाता है। यही एक तथ्य कॉशी सूत्र, लॉरेंट श्रेणी और अवशेषों का आधार है।

पूर्वग (primitive): यदि C को अंतर्विष्ट करने वाले प्रांत पर f = F′, तो ∫_C f dz = F(अंतिम बिंदु) − F(प्रारंभिक बिंदु); विशेषतः किसी भी संवृत कंटूर पर समाकल 0 है।

भाव: अतः संवृत समाकल केवल तभी अशून्य हो सकता है जब क्षेत्र पर f का कोई पूर्वग न हो। कॉशी प्रमेय कहता है कि सरलतः संबद्ध प्रांत पर विश्लेषिक f का पूर्वग सदैव होता है, F(z) = ∫_z0^z f(ζ) dζ, समाकल पथ से स्वतंत्र होता है।

3. कॉशी प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: हर संवृत कंटूर का प्राचलीकरण श्रमसाध्य है, और जटिल वक्रों के लिए असंभव। हम ऐसा प्रमेय चाहते हैं जो केवल फलन और क्षेत्र को देखकर बता दे कि संवृत समाकल कब 0 है।

शब्दों में: “f सरल संबद्ध (simply connected) प्रांत D में विश्लेषिक है” का अर्थ है कि f एक ऐसे विवृत संबद्ध समुच्चय D के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है जिसमें कोई छिद्र नहीं। “D में प्रत्येक संवृत कंटूर C के लिए” का अर्थ है कि पूरा वक्र D में होना चाहिए। निष्कर्ष ∮_C f dz = 0 है, बिना किसी गणना के।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∮_|z|=2 dz/(z − 3)।

(1) समाकल्य के विचित्र बिंदु ज्ञात करें: केवल z = 3, जहाँ हर शून्य होता है।

(2) उसकी स्थिति देखें: |3| = 3 > 2, अतः z = 3 वृत्त |z| = 2 के बाहर है।

(3) प्रांत चुनें: चक्रिका D: |z| < 2.5 में कोई छिद्र नहीं, वह पूरे वृत्त को समाहित करती है और 3 को नहीं, अतः D में 1/(z − 3) विश्लेषिक है।

(4) प्रमेय लगाएँ: ∮_|z|=2 dz/(z − 3) = 0। ध्यान दें कि सारा कार्य विचित्र बिंदु की स्थिति जानने में था; शेष प्रमेय ने किया।

अ-उदाहरण (non-example): ∮_|z|=1 dz/z = 2πi। फलन 1/z वलय 0 < |z| < 2 में विश्लेषिक है, जो वृत्त को समाहित करता है, परंतु वलय में 0 पर छिद्र है। जो परिकल्पना विफल होती है वह सरल संबद्धता है (समतुल्य रूप से, f को C के अंदर प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषिक होना चाहिए, और 0 अंदर है)।

आगे बढ़ते हुए: (i) यदि f′ संतत है, तो ∮f dz को दो वास्तविक रेखा-समाकलों के रूप में लिखकर ग्रीन प्रमेय लगाएँ; द्वि-समाकल्य −v_x − u_y और u_x − v_y हैं, दोनों C-R समीकरणों से 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 5)। (ii) गूर्सा ने f′ को संतत माने बिना यही सिद्ध किया।

(iii) परिणाम: सरल संबद्ध प्रांत में दो बिंदुओं के बीच समाकल पथ पर निर्भर नहीं करता, और F(z) = ∫_z0^z f dζ एक पूर्वग है। (iv) विरूपण: संवृत कंटूर को किसी भी ऐसे क्षेत्र के पार खिसकाया जा सकता है जहाँ f विश्लेषिक हो, समाकल बदले बिना; इससे प्रत्येक संवृत समाकल विचित्र बिंदुओं के चारों ओर छोटे वृत्तों तक सिमट जाता है।

कहाँ प्रयोग होता है: समाकलों को शून्य दिखाने में, कंटूरों के विरूपण का औचित्य देने में, और कॉशी समाकल सूत्र, लॉरेंट प्रमेय तथा अवशेष प्रमेय की उपपत्तियों के पहले चरण के रूप में।

4. कॉशी प्रमेय

कॉशी–गूर्सा प्रमेय: यदि f सरलतः संबद्ध प्रांत (simply connected domain) D में विश्लेषिक है, तो D के प्रत्येक सरल संवृत कंटूर C के लिए ∮_C f(z) dz = 0।

भाव: सरलतः संबद्ध (simply connected) का अर्थ है कि प्रांत में कोई छिद्र नहीं, अतः उसका कोई भी संवृत वक्र प्रांत से बाहर गए बिना एक बिंदु तक सिकोड़ा जा सकता है। छिद्र में कोई विचित्रता छिपी हो सकती है, और तब समाकल का शून्य होना आवश्यक नहीं (नीचे की सावधानी देखें)। निष्कर्ष स्वयं को काटने वाले संवृत कंटूरों के लिए भी सत्य है, क्योंकि वे सरल पाशों में बँट जाते हैं।

ग्रीन प्रमेय से उपपत्ति (f′ संतत मानकर): ∮f dz = ∮(u dx − v dy) + i∮(v dx + u dy) = ∬(−v_x − u_y) dx dy + i∬(u_x − v_y) dx dy = 0, C-R समीकरणों से। गूर्सा ने सांतत्य की मान्यता हटा दी।

परिकल्पना क्यों: ग्रीन प्रमेय को संतत आंशिक अवकलज चाहिए, इसीलिए f′ के संतत होने की अतिरिक्त कल्पना (मानक उपपत्तियाँ, खंड 5 में सिद्ध रूप)। गूर्सा की उपपत्ति त्रिभुज को छोटे-छोटे त्रिभुजों में बाँटती है और केवल f′ के अस्तित्व का प्रयोग करती है; उससे यह निकलता है कि f′ स्वतः संतत है।

कंटूर का विरूपण: यदि C₁, C के अंदर है और f दोनों वक्रों पर तथा उनके बीच के क्षेत्र में विश्लेषिक है, तो ∮_C f dz = ∮_C1 f dz (दोनों वामावर्त)।

यह क्यों काम करता है: C को C₁ से एक अनुप्रस्थ काट (cross-cut) AB द्वारा जोड़िए। संवृत पथ C, फिर AB, फिर दक्षिणावर्त C₁, फिर BA, एक छिद्ररहित क्षेत्र को घेरता है जिस पर f विश्लेषिक है, अतः उसका समाकल 0 है। AB और BA के अनुदिश समाकल एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, और ∮_C f dz − ∮_C1 f dz = 0 बचता है।

अनेक छिद्र: इसी प्रकार, यदि C₁, ..., C_k, C के अंदर असंयुक्त कंटूर हैं और f उनके बीच के क्षेत्र में विश्लेषिक है, तो ∮_C f dz = ∑∮_Cj f dz। यही चरण अवशेष प्रमेय तक ले जाता है।

मोरेरा प्रमेय (विलोम): यदि f प्रांत D में संतत है और D के प्रत्येक संवृत कंटूर C के लिए ∮_C f dz = 0, तो f, D में विश्लेषिक है।

भाव: यदि प्रत्येक संवृत समाकल शून्य है, तो F(z) = ∫_z0^z f(ζ) dζ सुपरिभाषित है और F′ = f, अतः F विश्लेषिक है; विश्लेषिक फलन का अवकलज विश्लेषिक होता है, अतः f विश्लेषिक है (मानक उपपत्तियाँ, खंड 10)। इसका मुख्य उपयोग सीमाओं और समाकलों की विश्लेषिकता सिद्ध करना है, जैसे विश्लेषिक फलनों की एकसमान सीमा विश्लेषिक होती है।

सावधानी: सरल संबद्धता आवश्यक है: 1/z, 0 < |z| < 2 में विश्लेषिक है, परंतु ∮_|z|=1 dz/z = 2πi ≠ 0।

5. कॉशी समाकल सूत्र को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब समाकल्य का कोई विचित्र बिंदु C के अंदर हो, जो ठीक रोचक स्थिति है, तब कॉशी प्रमेय कुछ नहीं कहता। f विश्लेषिक हो और समाकल्य f(z)/(z − a) के रूप का हो, तो हम वास्तविक मान चाहते हैं।

शब्दों में: “f, C के अंदर और उस पर विश्लेषिक है” का अर्थ है कि C से घिरे संवृत क्षेत्र में स्वयं f का कोई विचित्र बिंदु नहीं; f(z)/(z − a) में एकमात्र समस्या गुणनखंड 1/(z − a) है। तब समाकल 2πi गुणा मान f(a) के बराबर है। अधिक व्यापक रूप में, हर में घात (z − a)ⁿ⁺¹ से 2πi f⁽ⁿ⁾(a)/n! प्राप्त होता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∮_|z|=3 cos πz/(z − 1) dz, और फिर (z − 1)² के साथ यही।

(1) प्रारूप f(z)/(z − a) से मिलाएँ: यहाँ a = 1 और f(z) = cos πz।

(2) परिकल्पनाएँ जाँचें: cos πz संपूर्ण है, अतः |z| = 3 के अंदर और उस पर विश्लेषिक है; और |1| < 3, अतः a अंदर है।

(3) सूत्र लगाएँ: समाकल 2πi f(1) = 2πi cos π = −2πi है।

(4) (z − 1)² = (z − 1)¹⁺¹ के साथ n = 1, अतः समाकल 2πi f′(1)/1! = 2πi(−π sin π) = 0 है।

(5) गणना का नियम देखें: (z − a) का घातांक अवकलज की कोटि से एक अधिक है, और उस कोटि का क्रमगुणित भाग देता है।

अ-उदाहरण (non-example): ∮_|z|=2 dz/((z − 1)(z + 1)) के लिए a = 1 और f(z) = 1/(z + 1) लेना आकर्षक है, जिससे 2πi·(1/2) = πi मिलता है। यह गलत है, क्योंकि f का −1 पर विचित्र बिंदु है, जो |z| = 2 के अंदर भी है। आंशिक भिन्नों में विभाजन से πi − πi = 0 मिलता है, जो सही मान है।

आगे बढ़ते हुए: (i) C को a के चारों ओर छोटे वृत्त तक सिकोड़ें (विरूपण)। (ii) उस वृत्त पर f(z), f(a) के निकट है, और मूल समाकल से ∮ f(a)/(z − a) dz = 2πi f(a)। (iii) शेष अधिकतम 2π·max|f(z) − f(a)| है, जो वृत्त सिकुड़ने पर 0 की ओर जाता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 6)। (iv) समाकल चिह्न के अंदर अवकलन से अवकलज सूत्र मिलते हैं, अतः विश्लेषिक फलन के सभी कोटियों के अवकलज होते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: कंटूर के अंदर एक या दो ध्रुवों वाले समाकलों का मान निकालने में (एक मानक 10 अंक का प्रश्न), टेलर प्रमेय सिद्ध करने में, और कॉशी असमिका के माध्यम से लिउविल प्रमेय में।

6. लिउविल प्रमेय और अधिकतम मापांक सिद्धांत को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: समाकल सूत्र विश्लेषिक फलन को इतनी कसकर नियंत्रित करता है कि प्रबल वैश्विक निष्कर्ष निकलते हैं। सामान्य प्रश्न किसी सीमा वाले संपूर्ण फलन को अचर दिखाने, या किसी संवृत चक्रिका पर |f| का अधिकतम मान ज्ञात करने को कहते हैं।

शब्दों में: लिउविल: यदि f संपूर्ण है और कोई एक संख्या M, ℂ के प्रत्येक z के लिए |f(z)| ≤ M को संतुष्ट करती है, तो f अचर है। अधिकतम मापांक: अचर-भिन्न विश्लेषिक f के प्रांत के अंदर ऐसा कोई बिंदु नहीं जहाँ |f| सबसे बड़ा हो; संवृत परिबद्ध क्षेत्र पर |f| का अधिकतम सीमा पर प्राप्त होता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: संवृत चक्रिका |z| ≤ 1 पर |e^z| का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए।

(1) e^z संपूर्ण है और अचर नहीं, अतः चक्रिका पर इसका अधिकतम मापांक वृत्त |z| = 1 पर प्राप्त होता है।

(2) |e^z| = |e^xe^iy| = e^x, और वृत्त पर x = cos θ।

(3) cos θ, θ = 0 पर सबसे बड़ा (= 1) है, अतः अधिकतम e है, z = 1 पर।

(4) e^z कभी शून्य नहीं होता, अतः न्यूनतम मापांक सिद्धांत भी लागू है: न्यूनतम भी वृत्त पर है, z = −1 पर e⁻¹। ध्यान दें कि केंद्र पर |e⁰| = 1 दोनों के बीच है।

अ-उदाहरण (non-example): sin z संपूर्ण है और वास्तविक x के लिए |sin x| ≤ 1, परंतु लिउविल लागू नहीं: |sin(iy)| = sinh|y| → ∞, अतः sin z, ℂ पर परिबद्ध नहीं। इसी प्रकार |z| ≤ 1 पर f(z) = z का न्यूनतम मापांक 0 केंद्र पर है, जो आंतरिक बिंदु है, क्योंकि वहाँ उसका शून्य है।

आगे बढ़ते हुए: (i) कॉशी असमिका |f′(z₀)| ≤ M/r प्रत्येक वृत्त पर सत्य है; r → ∞ करने पर f′ ≡ 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 7 और 8)। (ii) यदि किसी बहुपद p का कोई शून्य न हो, तो 1/p परिबद्ध और संपूर्ण होगा, अतः अचर: बीजगणित का मूलभूत प्रमेय (प्रमेय 9)।

(iii) गाउस का माध्य मान गुण कहता है कि f(z₀), z₀ के चारों ओर किसी भी वृत्त पर f का औसत है; औसत अपने सबसे बड़े मान से अधिक नहीं हो सकता जब तक सभी मान बराबर न हों, जो अधिकतम बिंदु के निकट |f| को अचर और फिर f को अचर बनाता है (प्रमेय 14)।

कहाँ प्रयोग होता है: “संपूर्ण और Re f परिबद्ध (या |f| ≤ A|z|ⁿ) तो अचर (या बहुपद)” प्रकार के प्रश्नों में, बीजगणित के मूलभूत प्रमेय में, और संवृत क्षेत्र पर |f| के अधिकतम या न्यूनतम में।

7. कॉशी समाकल सूत्र और परिणाम

समाकल सूत्र: यदि f सरल संवृत कंटूर C (वामावर्त) के अंदर और उस पर विश्लेषिक है और z₀, C के अंदर है, तो f(z₀) = (1/2πi)∮_C f(z)/(z − z₀) dz।

भाव: किसी संवृत वक्र पर विश्लेषिक फलन के मान उसके अंदर के मानों को पूर्णतः निर्धारित कर देते हैं, जिसका वास्तविक अवकलनीय फलनों में कोई समरूप नहीं। चित्र: C को z₀ के चारों ओर एक अति छोटे वृत्त तक सिकोड़िए (विरूपण), जिस पर f(z) ≈ f(z₀); तब मूल समाकल f(z₀)·2πi देता है। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, खंड 6 में।

अवकलज: इन्हीं परिकल्पनाओं में f के z₀ पर सभी कोटियों के अवकलज हैं, और f⁽ⁿ⁾(z₀) = (n!/2πi)∮_C f(z)/(z − z₀)ⁿ⁺¹ dz।

व्युत्पत्ति: समाकल सूत्र का z₀ के सापेक्ष समाकल चिह्न के अंदर अवकलन कीजिए। चूँकि d/dz₀ (z − z₀)⁻¹ = (z − z₀)⁻², और n बार अवकलन से n!(z − z₀)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ मिलता है, f⁽ⁿ⁾(z₀) का सूत्र प्राप्त होता है। यह चरण वैध है क्योंकि C, z₀ से धनात्मक दूरी पर रहता है, अतः समाकल्य के अंतर-भागफल C पर एकसमान रूप से अभिसरित होते हैं।

कार्यकारी रूप: C के अंदर a के लिए ∮_C f(z)/(z − a)ⁿ⁺¹ dz = 2πi f⁽ⁿ⁾(a)/n!। परिणाम: विश्लेषिक फलन अनंत बार अवकलनीय होता है, जबकि x|x| जैसे वास्तविक फलन का 0 पर प्रथम अवकलज है पर द्वितीय नहीं।

कॉशी असमिका: यदि f, |z − z₀| = r के अंदर और उस पर विश्लेषिक है और वहाँ |f| ≤ M, तो |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ n!M/rⁿ।

यह क्यों काम करता है: वृत्त |z − z₀| = r पर अवकलज सूत्र में ML-असमिका लगाइए: |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ (n!/2π)·(M/rⁿ⁺¹)·2πr = n!M/rⁿ (मानक उपपत्तियाँ, खंड 7)।

लिउविल प्रमेय: परिबद्ध संपूर्ण फलन अचर होता है।

भाव: यदि ℂ पर |f| ≤ M, तो n = 1 के साथ कॉशी असमिका प्रत्येक r के लिए |f′(z₀)| ≤ M/r देती है, और r → ∞ करने पर f′ ≡ 0 (मानक उपपत्तियाँ, खंड 8)। परिकल्पना पूरे ℂ पर परिबद्धता की है: sin z, ℝ पर परिबद्ध है पर ℂ पर नहीं, क्योंकि |sin iy| = sinh |y|।

व्यापकीकृत लिउविल: यदि f संपूर्ण है और |z| ≥ R₀ के लिए |f(z)| ≤ A|z|ⁿ, तो f अधिकतम घात n का बहुपद है, क्योंकि |z| = r पर कॉशी असमिका प्रत्येक k > n के लिए r → ∞ पर |f^(k)(0)| ≤ k!Arⁿ/r^k → 0 देती है।

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय: प्रत्येक अचरेतर बहुपद का ℂ में एक शून्यक होता है; अन्यथा 1/p(z) परिबद्ध संपूर्ण फलन होता, अतः अचर।

गॉस माध्य मान प्रमेय: f(z₀) = (1/2π)∫₀^2π f(z₀ + re^iθ) dθ, केंद्र पर मान वृत्त पर औसत है।

व्युत्पत्ति: समाकल सूत्र में z = z₀ + re^iθ, dz = ire^iθ dθ रखिए: f(z₀) = (1/2πi)∫₀^2π f(z₀ + re^iθ)·ire^iθ dθ/(re^iθ) = (1/2π)∫₀^2π f(z₀ + re^iθ) dθ। वास्तविक भाग लेने पर, प्रत्येक प्रसंवादी फलन में भी यह माध्य मान गुण होता है।

अधिकतम मापांक सिद्धांत (maximum modulus principle): यदि f प्रांत D में विश्लेषिक और अचरेतर है, तो |f| का D में अधिकतम नहीं होता। यदि f संवृत परिबद्ध क्षेत्र पर संतत और उसके अंदर विश्लेषिक है, तो max |f| सीमा पर प्राप्त होता है।

भाव: माध्य मान प्रमेय से, |f(z₀)| ≤ z₀ के चारों ओर प्रत्येक छोटे वृत्त पर |f| का औसत। यदि |f(z₀)| सबसे बड़ा मान होता, तो उन सभी वृत्तों पर |f| = |f(z₀)| होना पड़ता, अतः z₀ के निकट |f| अचर होता, जो f को अचर बना देता है (मानक उपपत्तियाँ, खंड 14)। चित्र: |f| के आलेख में कोई शिखर नहीं, केवल पल्याण (saddle) होते हैं।

न्यूनतम मापांक: यदि इसके अतिरिक्त D में f का कोई शून्यक नहीं, तो |f| का D में न्यूनतम नहीं होता।

यह क्यों काम करता है: 1/f पर अधिकतम मापांक सिद्धांत लगाइए, जो f ≠ 0 होने के कारण विश्लेषिक है। अतिरिक्त परिकल्पना अनिवार्य है: |z| ≤ 1 पर f(z) = z का न्यूनतम मापांक 0 केंद्र पर है।

संबंध: कॉशी प्रमेय ग्रीन प्रमेय (सदिश विश्लेषण) और C-R समीकरणों का संयोजन है, और इसकी पथ-स्वतंत्रता वहाँ के संरक्षी क्षेत्रों (curl F = 0) से मेल खाती है। माध्य मान गुण और अधिकतम सिद्धांत प्रसंवादी फलनों और लाप्लास समीकरण (आंशिक अवकल समीकरण) में पुनः आते हैं।

संबंध: लिउविल से यहाँ सिद्ध बीजगणित का मूलभूत प्रमेय ही सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक सम्मिश्र वर्ग आव्यूह का एक आइगेन मान (eigenvalue) होता है (रैखिक बीजगणित)।

8. विधि का चयन

यदि f, C के अंदर और उस पर विश्लेषिक हो → कॉशी प्रमेय से ∮_C f dz = 0; केवल यह जाँचिए कि प्रत्येक विचित्रता C के बाहर है।

यदि समाकल्य g(z)/(z − a) हो, g विश्लेषिक और a, C के अंदर → 2πi g(a); यदि यह g(z)/(z − a)ⁿ⁺¹ हो → 2πi g⁽ⁿ⁾(a)/n!।

यदि C के अंदर दो या अधिक विचित्र बिंदु हों → आंशिक भिन्नों में तोड़िए, या प्रत्येक बिंदु को एक छोटे वृत्त से घेरकर (विरूपण) प्रत्येक में समाकल सूत्र लगाइए; अगले विषय का अवशेष प्रमेय यही एक चरण में करता है।

यदि समाकल्य विश्लेषिक न हो (z̄, |z|, Re z, x² + iy) → कोई प्रमेय लागू नहीं; पथ का प्राचलीकरण कीजिए।

यदि कोई संपूर्ण फलन परिबद्ध हो, या अधिकतम |z|ⁿ की तरह बढ़े → कॉशी असमिका के माध्यम से लिउविल या व्यापकीकृत लिउविल।

यदि संवृत क्षेत्र पर |f| का अधिकतम या न्यूनतम पूछा जाए → अधिकतम (न्यूनतम) मापांक सिद्धांत: केवल सीमा पर खोजिए, और न्यूनतम के लिए पहले जाँचिए कि अंदर f का कोई शून्यक नहीं।

9. सामान्य गलतियाँ

1. C के अंदर विचित्रता होने पर भी कॉशी प्रमेय लगाना, जैसे ∮_|z|=1 dz/z = 0 लिखना। पहले सदैव C के सापेक्ष विचित्र बिंदुओं की स्थिति निर्धारित कीजिए।

2. अवकलज सूत्र में n! भूलना या गलत घात लेना: हर में (z − a)ⁿ⁺¹ के साथ f⁽ⁿ⁾(a)/n! आता है, अतः (z − a)³ से 2πi f″(a)/2 मिलता है।

3. g(z)/(z − a) में g(z) को इस प्रकार चुनना कि g की स्वयं C के अंदर विचित्रता हो। अन्य सभी विचित्र गुणनखंड या तो C के बाहर हों या पहले अलग कर दिए जाएँ।

4. अभिविन्यास की उपेक्षा: दक्षिणावर्त कंटूर वामावर्त मान का ऋणात्मक देता है।

5. केवल वास्तविक अक्ष पर परिबद्ध फलन (sin z, cos z) के लिए लिउविल, या अंदर शून्यक वाले फलन के लिए न्यूनतम मापांक सिद्धांत लगाना।

6. f के सांतत्य की जाँच किए बिना मोरेरा उद्धृत करना, या छिद्र वाले प्रांत पर कॉशी प्रमेय लगाना।

10. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: ∮_|z|=2 e^z/(z − 1) dz का मान ज्ञात कीजिए।

f(z) = e^z संपूर्ण है और z = 1, |z| = 2 के अंदर है, अतः समाकल 2πi·f(1) = 2πie है।

उदाहरण 2: ∮_|z|=3 e^2z/(z + 1)⁴ dz का मान ज्ञात कीजिए।

f(z) = e^2z और n = 3 के साथ f‴(z) = 8e^2z, अतः समाकल (2πi/3!)·f‴(−1) = (2πi/6)·8e⁻² = 8πie⁻²/3 है।

उदाहरण 3: ∮_C dz/(z² − 1) ज्ञात कीजिए, जहाँ C: |z − 1| = 1।

केवल z = 1, C के अंदर है (क्योंकि |−1 − 1| = 2 > 1)। समाकल्य को [1/(z + 1)]/(z − 1) लिखिए; समाकल सूत्र से मान 2πi·1/2 = πi है।

उदाहरण 4: दिखाइए कि सभी z के लिए |f(z)| ≤ A|z| वाला संपूर्ण फलन f, f(z) = cz के रूप का है।

|z| = R पर कॉशी असमिका से |f″(0)| ≤ 2·AR/R² → 0, और यही प्रत्येक बिंदु पर सत्य है, अतः f″ ≡ 0 और f(z) = a + cz। चूँकि |f(0)| ≤ 0, a = 0।

उदाहरण 5: ∮_C (z² − z + 1)/(z − 1) dz का मान ज्ञात कीजिए जब C (i) |z| = 1/2, (ii) |z| = 2 हो।

(i) एकमात्र विचित्रता z = 1, |z| = 1/2 के बाहर है, अतः समाकल्य C के अंदर और उस पर विश्लेषिक है और कॉशी प्रमेय से समाकल 0 है।

(ii) z = 1, |z| = 2 के अंदर है। f(z) = z² − z + 1 (संपूर्ण) के साथ कॉशी समाकल सूत्र से मान 2πi·f(1) = 2πi·1 = 2πi।

उदाहरण 6: ∮_|z|=3 (sin πz² + cos πz²)/((z − 1)(z − 2)) dz का मान ज्ञात कीजिए।

आंशिक भिन्न: 1/((z − 1)(z − 2)) = 1/(z − 2) − 1/(z − 1)। 1 और 2 दोनों |z| = 3 के अंदर हैं।

f(z) = sin πz² + cos πz² (संपूर्ण) के साथ कॉशी समाकल सूत्र से समाकल 2πi[f(2) − f(1)] है।

f(2) = sin 4π + cos 4π = 1 और f(1) = sin π + cos π = −1, अतः समाकल 2πi(1 + 1) = 4πi है।

उदाहरण 7: मान लीजिए f संपूर्ण है और सभी z के लिए Re f(z) ≤ M। दिखाइए कि f अचर है।

g(z) = e^f(z) लीजिए, जो संपूर्ण है। |g(z)| = e^{Re f(z)} ≤ e^M, अतः g परिबद्ध है।

लिउविल प्रमेय से g अचर है, अतः 0 = g′(z) = f′(z)e^f(z)।

चूँकि e^f(z) ≠ 0, ℂ पर f′ ≡ 0, और f अचर है।

11. चापों पर समाकल और परिसीमा मानों से फलन

विश्लेषिक समाकल्य: यदि चाप को रखने वाले प्रांत पर f का पूर्वग F है (बहुपदों, e^z, sin z के लिए सत्य), तो प्रत्येक पथ के लिए ∫_C f dz = F(अंत) − F(आरंभ), प्राचलीकरण की आवश्यकता नहीं।

अविश्लेषिक समाकल्य (z̄, Re z, |z|², Re(z²)): मान पथ पर निर्भर है, अतः प्राचलीकरण कीजिए: y = x² पर z = t + it², dz = (1 + 2it) dt रखिए; वृत्त पर z = re^iθ रखिए।

|z| = 1 पर परिसीमा मानों से विश्लेषिक फलन: z = e^iθ रखिए, अतः cos θ = (z + 1/z)/2, sin θ = (z − 1/z)/(2i), cos 2θ = (z² + z⁻²)/2, और दिए गए व्यंजक को z के फलन में सरल कीजिए। यदि परिणाम |z| = 1 के अंदर और उस पर विश्लेषिक है, तो वही अभीष्ट फलन है।

अद्वितीयता: यदि C के अंदर और उस पर विश्लेषिक दो फलन C पर बराबर हैं, तो उनका अंतर C पर शून्य है और अतः अधिकतम मापांक सिद्धांत से C के अंदर भी शून्य है।

उदाहरण 8 (UPSC 2020, 10 अंक): समाकल ∫_C (z² + 3z) dz का, (2, 0) से (0, 2) तक वक्र C के वामावर्त अनुगत जहाँ पर C वृत्त |z| = 2 है, मान निकालिए।

z² + 3z सर्वत्र विश्लेषिक है और इसका पूर्वग F(z) = z³/3 + 3z²/2 है, अतः समाकल पथ पर निर्भर नहीं और F(2i) − F(2) के बराबर है।

F(2i) = (2i)³/3 + 3(2i)²/2 = −8i/3 − 6 और F(2) = 8/3 + 6 = 26/3।

z = 2e^iθ, 0 ≤ θ ≤ π/2 से प्राचलीकरण करने पर भी यही मान मिलता है, जैसा कॉशी प्रमेय अपेक्षित करता है।

उत्तर: ∫_C (z² + 3z) dz = −44/3 − 8i/3।

उदाहरण 9 (UPSC 2024, 20 अंक): वह फलन ज्ञात कीजिए जो कि वृत्त C : z = e^iθ, 0 ≤ θ ≤ 2π, के अन्दर तथा उसके ऊपर विश्लेषिक है और C की परिधि पर जिसका मान [(a² − 1) cos θ + i(a² + 1) sin θ]/(a⁴ − 2a² cos 2θ + 1) है, जहाँ a² > 1 है।

C पर z = e^iθ, अतः cos θ + i sin θ = z और cos θ − i sin θ = 1/z।

अंश: (a² − 1)cos θ + i(a² + 1)sin θ = a²(cos θ + i sin θ) − (cos θ − i sin θ) = a²z − 1/z = (a²z² − 1)/z।

हर: a⁴ − 2a²cos 2θ + 1 = a⁴ − a²(z² + 1/z²) + 1 = (a² − z²)(a² − 1/z²) = (a² − z²)(a²z² − 1)/z²।

भाग देने पर (|z| = 1 पर a²z² − 1 ≠ 0, क्योंकि a² > 1), परिसीमा मान ((a²z² − 1)/z)·z²/((a² − z²)(a²z² − 1)) = z/(a² − z²) है।

f(z) = z/(a² − z²) के ध्रुव केवल z = ±a पर हैं, जहाँ |±a| > 1, अतः यह C के अंदर और उस पर विश्लेषिक है और C पर दिए गए मान लेता है; ऊपर की अद्वितीयता टिप्पणी से यही एकमात्र ऐसा फलन है।

उत्तर: f(z) = z/(a² − z²)।

12. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): 0 से 1 + i तक सरल रेखाखंड पर प्राचलीकरण द्वारा ∫_C z² dz का मान निकालिए।

उत्तर: z = t(1 + i), dz = (1 + i) dt, समाकल = (1 + i)³/3 = (−2 + 2i)/3, जो F = z³/3 के साथ F(1 + i) − F(0) के समान है।

अभ्यास 2 (मूल): ∮_|z|=1 cos z/(z − 2) dz का मान निकालिए।

उत्तर: 0, कॉशी प्रमेय से, क्योंकि z = 2, |z| = 1 के बाहर है।

अभ्यास 3 (मूल): ∮_|z|=1 e^3z/z dz का मान निकालिए।

उत्तर: 2πi·e⁰ = 2πi।

अभ्यास 4 (मानक): ∮_|z|=2 z/((z − 1)(z − 3)) dz का मान निकालिए।

उत्तर: केवल z = 1 अंदर है; f(z) = z/(z − 3) लेकर मान 2πi f(1) = 2πi(−1/2) = −πi है।

अभ्यास 5 (मानक): ∮_|z|=1 sin z/z⁴ dz का मान निकालिए।

उत्तर: n = 3: 2πi f‴(0)/3! = 2πi(−cos 0)/6 = −πi/3।

अभ्यास 6 (मानक): ∮_C dz/(z² + 1) का मान निकालिए, जहाँ C वृत्त |z − i| = 1 है।

उत्तर: z = i अंदर है और z = −i (i से दूरी 2) बाहर; f = 1/(z + i) लेकर मान 2πi/(2i) = π है।

अभ्यास 7 (मानक): संवृत चक्रिका |z| ≤ 1 पर |z² + 1| का अधिकतम और वह कहाँ प्राप्त होता है, ज्ञात कीजिए।

उत्तर: |z| = 1 पर |e^2iθ + 1| = 2|cos θ|, अतः अधिकतम 2 है, z = ±1 पर।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): कॉशी समाकल सूत्र का उपयोग करके ∮_|z|=2 e^z/(z² + 1) dz का मान निकालिए।

उत्तर: 1/(z² + 1) = (1/2i)[1/(z − i) − 1/(z + i)], दोनों बिंदु अंदर, अतः मान π(eⁱ − e⁻ⁱ) = 2πi sin 1 है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): मान लीजिए f संपूर्ण है और सभी z के लिए |f(z)| ≤ 1 + √|z|। सिद्ध कीजिए कि f अचर है।

उत्तर: संकेत: |z − z₀| = r पर कॉशी असमिका से |f′(z₀)| ≤ (1 + √(|z₀| + r))/r → 0 जब r → ∞, अतः f′ ≡ 0।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): ∮_|z|=3 e^2z/((z + 1)²(z − 2)) dz का मान निकालिए।

उत्तर: −1 और 2 को छोटे वृत्तों से घेरें। 2 पर: 2πi e⁴/9। −1 पर (n = 1, f = e^2z/(z − 2)): 2πi f′(−1) = 2πi(−7e⁻²/9)। कुल 2πi(e⁴ − 7e⁻²)/9 ≈ 37.455i।

1. अभिसरण त्रिज्या को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: बहुपद घातों का परिमित योग है; घात श्रेणी (power series) ∑a_n(z − z₀)ⁿ अनंत योग है। अनंत योग का अर्थ केवल वहीं है जहाँ वह अभिसारी हो, अतः श्रेणी का उपयोग करने से पहले हमें जानना होगा कि वह किन z के लिए अभिसरित होती है।

शब्दों में: एक संख्या R, 0 ≤ R ≤ ∞, अभिसरण त्रिज्या (radius of convergence), ऐसी है कि |z − z₀| < R होने पर श्रेणी निरपेक्षतः अभिसारी और |z − z₀| > R होने पर अपसारी है। अतः अभिसरण क्षेत्र z₀ केंद्र वाली चक्रिका है, और संभवतः उसकी सीमा-वृत्त के कुछ बिंदु। lim sup |a_n|^1/n, |a_n|^1/n के उपानुक्रमों की सबसे बड़ी सीमा है; जब lim |a_n/a_n+1| विद्यमान हो तो वह R के बराबर है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∑_n≥1 nzⁿ/3ⁿ।

(1) गुणांक पहचानें: a_n = n/3ⁿ, सभी शून्येतर, अतः अनुपात रूप आज़माया जा सकता है।

(2) अनुपात बनाएँ: a_n/a_n+1 = (n/3ⁿ)·(3ⁿ⁺¹/(n + 1)) = 3n/(n + 1)।

(3) सीमा लें: 3n/(n + 1) → 3, अतः R = 3। श्रेणी |z| < 3 के लिए निरपेक्षतः अभिसारी और |z| > 3 के लिए अपसारी है।

(4) वृत्त की अलग जाँच करें: यदि |z| = 3, तो n-वें पद का मापांक n है, जो 0 की ओर नहीं जाता, अतः श्रेणी |z| = 3 के प्रत्येक बिंदु पर अपसारी है। ध्यान दें कि R का सूत्र सीमा के बारे में कभी निर्णय नहीं करता; उसके लिए सदैव अलग तर्क चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): ∑ n!zⁿ के लिए a_n/a_n+1 = 1/(n + 1) → 0, अतः R = 0: यह केवल z = 0 पर अभिसरित होती है और कोई विश्लेषिक फलन परिभाषित नहीं करती। केवल घात श्रेणी के रूप में लिखा होना किसी चीज़ को चक्रिका पर फलन नहीं बना देता।

आगे बढ़ते हुए: (i) ∑|a_n||z − z₀|ⁿ पर मूल परीक्षण कॉशी–हैडामार्ड सूत्र देता है। (ii) एबेल प्रमेयिका (z₁ पर अभिसरण, z₀ के अधिक निकट प्रत्येक z पर निरपेक्ष अभिसरण को बाध्य करता है) बताती है कि क्षेत्र चक्रिका क्यों है। (iii) अवकलित श्रेणी ∑na_n(z − z₀)ⁿ⁻¹ की त्रिज्या वही R है, क्योंकि n^1/n → 1, और यह योग का अवकलज है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 16); दोहराने पर a_n = f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!।

कहाँ प्रयोग होता है: R पूछने वाले लघु प्रश्नों में, प्रत्येक टेलर प्रसार के वैधता क्षेत्र में, और उन वलयों में जिनमें लॉरेंट श्रेणियाँ अभिसरित होती हैं।

2. घात श्रेणी

अभिसरण त्रिज्या (कॉशी–हैडामार्ड): ∑a_n(z − z₀)ⁿ के लिए 1/R = lim sup |a_n|^1/n, या R = lim |a_n/a_n+1| जब यह सीमा विद्यमान हो।

व्युत्पत्ति: ∑|a_n||z − z₀|ⁿ पर मूल परीक्षण (root test) लगाइए: lim sup (|a_n||z − z₀|ⁿ)^1/n = |z − z₀|·lim sup |a_n|^1/n, जो ठीक तब 1 से कम है जब |z − z₀| < R। यदि यह 1 से अधिक हो, तो अनंत पदों का मापांक 1 से अधिक है, अतः पद 0 की ओर नहीं जाते और श्रेणी अपसारी है। अनुपात रूप इसी प्रकार अनुपात परीक्षण से आता है: |a_n+1(z − z₀)ⁿ⁺¹|/|a_n(z − z₀)ⁿ| → |z − z₀|/R।

सावधानी: अनुपात रूप के लिए सीमा का अस्तित्व आवश्यक है। ∑z²ⁿ/4ⁿ में हर दूसरा गुणांक 0 है, अतः w = z² रखिए: ∑(w/4)ⁿ, |w| < 4 अर्थात |z| < 2 के लिए अभिसारी है, जो मूल रूप lim sup |a_k|^1/k = 1/2 से मेल खाता है।

व्यवहार: श्रेणी |z − z₀| < R के लिए निरपेक्षतः अभिसारी, प्रत्येक संवृत चक्रिका |z − z₀| ≤ r < R पर एकसमान अभिसारी, और |z − z₀| > R के लिए अपसारी है।

चक्रिका ही क्यों (एबेल प्रमेयिका): यदि श्रेणी z₁ पर अभिसारी है, तो वहाँ उसके पद परिबद्ध हैं, |a_n(z₁ − z₀)ⁿ| ≤ K। |z − z₀| < |z₁ − z₀| के लिए ρ = |z − z₀|/|z₁ − z₀| < 1 रखिए; तब |a_n(z − z₀)ⁿ| ≤ Kρⁿ, और गुणोत्तर श्रेणी से तुलना निरपेक्ष अभिसरण देती है। अतः अभिसरण समुच्चय सदैव एक चक्रिका है, साथ में संभवतः उसके सीमा वृत्त के कुछ बिंदु।

वृत्त पर: कुछ भी हो सकता है। ∑zⁿ, |z| = 1 के प्रत्येक बिंदु पर अपसारी है, ∑zⁿ/n² प्रत्येक बिंदु पर अभिसारी है, और ∑zⁿ/n, z = 1 को छोड़कर प्रत्येक बिंदु पर अभिसारी है।

घात श्रेणी निरूपण: घात श्रेणी का योग f(z), |z − z₀| < R में विश्लेषिक है, इसका पदशः कितनी भी बार अवकलन किया जा सकता है, और a_n = f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!। अतः निरूपण अद्वितीय है।

भाव: पदशः अवकलन a_n को n से गुणा करता है, और n^1/n → 1, अतः व्युत्पन्न श्रेणी की त्रिज्या भी R है (मानक उपपत्तियाँ, खंड 16)। k बार अवकलन के बाद z = z₀ रखने पर k!a_k = f^(k)(z₀) बचता है, इसीलिए गुणांक, और अतः श्रेणी, अद्वितीय हैं।

3. टेलर श्रेणी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: मान निकालने, शून्यों का स्थान और संख्या जानने, और आगे अवशेष पढ़ने के लिए, हम किसी विश्लेषिक फलन को चुने गए बिंदु के परितः घात श्रेणी के रूप में लिखना चाहते हैं।

शब्दों में: यदि f पूरी चक्रिका |z − z₀| < R पर विश्लेषिक है, तो उस चक्रिका के प्रत्येक बिंदु पर f(z) = ∑f⁽ⁿ⁾(z₀)(z − z₀)ⁿ/n!। श्रेणी f के निकटतम विचित्र बिंदु तक काम करती है, उससे आगे नहीं, अतः त्रिज्या ठीक z₀ से निकटतम विचित्रता की दूरी है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(z) = 1/(3 − z) का z₀ = 1 के परितः प्रसार कीजिए।

(1) केंद्र खिसकाएँ: w = z − 1 रखें, अतः z = 1 + w और 3 − z = 2 − w।

(2) गुणोत्तर रूप में लाएँ: 1/(2 − w) = (1/2)·1/(1 − w/2)।

(3) प्रसार करें: |w/2| < 1 के लिए 1/(1 − w/2) = ∑(w/2)ⁿ, अतः f = ∑_n=0^∞ wⁿ/2ⁿ⁺¹।

(4) z पर लौटें: 1/(3 − z) = ∑(z − 1)ⁿ/2ⁿ⁺¹, |z − 1| < 2 के लिए वैध।

(5) दो प्रकार से जाँचें: एकमात्र विचित्रता z = 3 केंद्र से दूरी 2 पर है, जो त्रिज्या से मेल खाती है; और a₁ को f′(1) = 1/(3 − 1)² = 1/4 होना चाहिए, जो 1/2² है। ध्यान दें कि श्रेणी पाने के लिए कोई अवकलज नहीं निकाला गया; अद्वितीयता गारंटी देती है कि यही टेलर श्रेणी है।

अ-उदाहरण (non-example): Log z की z₀ = 0 के परितः कोई टेलर श्रेणी नहीं: यह 0 पर विश्लेषिक नहीं (वहाँ परिभाषित भी नहीं)। z₀ = 1 के परितः है: |z − 1| < 1 के लिए Log z = ∑_n≥1 (−1)ⁿ⁺¹(z − 1)ⁿ/n। 0 पर जो शर्त विफल होती है वह केंद्र पर विश्लेषिकता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) चक्रिका के अंदर किसी वृत्त पर कॉशी सूत्र लिखें और 1/(ζ − z) को (z − z₀)/(ζ − z₀) में गुणोत्तर श्रेणी के रूप में फैलाएँ; एकसमान अभिसरण पद-दर-पद समाकलन की अनुमति देता है, और गुणांक f⁽ⁿ⁾(z₀)/n! निकलते हैं (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11)।

(ii) कोटि m का शून्य अर्थात् f = (z − z₀)^mg जहाँ g(z₀) ≠ 0; g की सांतत्यता शून्य को विलगित बनाती है। (iii) अतः दो विश्लेषिक फलन जो प्रांत में सीमा-बिंदु वाले किसी समुच्चय पर बराबर हों, सर्वत्र बराबर होते हैं (तत्समक प्रमेय)।

कहाँ प्रयोग होता है: दिए गए क्षेत्र वाले श्रेणी प्रश्नों में, शून्यों और ध्रुवों की कोटि ज्ञात करने में, श्रेणी से अवशेषों में, तत्समक प्रमेय वाले प्रश्नों में, और मिल्ने-थॉमसन के औचित्य में।

4. टेलर श्रेणी

टेलर प्रमेय: यदि f, |z − z₀| < R में विश्लेषिक है, तो उस चक्रिका के प्रत्येक z के लिए f(z) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(z₀)(z − z₀)ⁿ/n!। अभिसरण त्रिज्या कम से कम z₀ से f की निकटतम विचित्रता तक की दूरी है।

भाव: उपपत्ति (मानक उपपत्तियाँ, खंड 11) गुणोत्तर श्रेणी 1/(ζ − z) = ∑(z − z₀)ⁿ/(ζ − z₀)ⁿ⁺¹ को कॉशी समाकल सूत्र में रखती है। यह प्रांत के अंदर किसी भी वृत्त |ζ − z₀| = ρ पर काम करती है, अतः श्रेणी निकटतम विचित्रता तक अभिसरित होती है। इससे एक वास्तविक पहेली सुलझती है: 1/(1 + x²) पूरे ℝ पर सुचारु है, फिर भी इसकी मैक्लॉरिन श्रेणी 1 − x² + x⁴ − ... की त्रिज्या 1 है, ±i पर ध्रुवों के कारण।

वास्तविक विश्लेषण से तुलना: e^−1/x2 (0 पर मान 0) के x = 0 पर सभी अवकलज 0 हैं, अतः इसकी मैक्लॉरिन श्रेणी सर्वथा 0 है और फलन को निरूपित नहीं करती। सम्मिश्र तल में ऐसा नहीं हो सकता: विश्लेषिक फलन प्रत्येक बिंदु के निकट सदैव अपनी टेलर श्रेणी के बराबर होता है।

मानक श्रेणियाँ: e^z = ∑zⁿ/n!, sin z = z − z³/3! + z⁵/5! − ..., cos z = 1 − z²/2! + z⁴/4! − ... (सभी z के लिए); |z| < 1 के लिए 1/(1 − z) = ∑zⁿ और Log(1 + z) = z − z²/2 + z³/3 − ...।

विधि: f⁽ⁿ⁾ की सीधी गणना लगभग कभी न कीजिए। मानक श्रेणियों से प्रतिस्थापन, गुणन, विभाजन, अवकलन या समाकलन द्वारा श्रेणी बनाइए; अद्वितीयता सुनिश्चित करती है कि जो भी घात श्रेणी मिले वही टेलर श्रेणी है। उदाहरणार्थ 1/(1 − z)² = d/dz (1/(1 − z)) = ∑(n + 1)zⁿ, और Log(1 + z) = ∫₀^z dζ/(1 + ζ)।

शून्यक (zeros): z₀ कोटि m का शून्यक है यदि f(z₀) = ... = f^(m−1)(z₀) = 0 और f^(m)(z₀) ≠ 0; तब f(z) = (z − z₀)^mg(z), जहाँ g विश्लेषिक और g(z₀) ≠ 0। अशून्य विश्लेषिक फलन के शून्यक विलगित होते हैं।

शून्यक विलगित क्यों हैं: g संतत है और g(z₀) ≠ 0, अतः z₀ के चारों ओर किसी चक्रिका पर g ≠ 0, और वहाँ f = (z − z₀)^mg केवल z₀ पर शून्य है। एकमात्र विकल्प यह है कि z₀ पर प्रत्येक अवकलज शून्य हो, और तब टेलर श्रेणी 0 है तथा z₀ के निकट f ≡ 0।

तत्समक प्रमेय (identity theorem): यदि f और g प्रांत D में विश्लेषिक हैं और D में सीमा बिंदु वाले समुच्चय पर f = g, तो D में f ≡ g।

भाव: विश्लेषिक फलन दृढ़ (rigid) है: किसी छोटे चाप पर, या बिंदुओं के किसी अभिसारी अनुक्रम पर, उसके मान उसे पूरे प्रांत में निर्धारित कर देते हैं। सीमा बिंदु D में होना चाहिए: sin(1/z) बिंदुओं 1/(nπ) → 0 पर शून्य है फिर भी सर्वथा 0 नहीं, क्योंकि 0 उसके विश्लेषिकता प्रांत में नहीं है।

उदाहरण 1: f(z) = 1/((z − 1)(z − 2)) को z = 0 के परितः टेलर श्रेणी में प्रसारित कीजिए।

f = 1/(z − 2) − 1/(z − 1) = 1/(1 − z) − (1/2)·1/(1 − z/2)। |z| < 1 के लिए f(z) = ∑_n=0^∞ (1 − 1/2ⁿ⁺¹)zⁿ; त्रिज्या 1 है, जो विचित्रता z = 1 तक की दूरी है।

5. लॉरेंट श्रेणी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: किसी विचित्र बिंदु के निकट, जैसे 1/z या e^1/z के लिए 0, कोई टेलर श्रेणी नहीं होती, फिर भी हम उस बिंदु के निकट f का वर्णन करने वाली श्रेणी चाहते हैं। उत्तर उस विचित्र बिंदु को घेरने वाले वलय में वैध श्रेणी है।

शब्दों में: यदि f वलय r < |z − z₀| < R में विश्लेषिक है (बिंदु z₀ स्वयं खराब हो सकता है), तो वहाँ f = ∑_n=−∞^∞ a_n(z − z₀)ⁿ, धनात्मक और ऋणात्मक दोनों घातों के साथ। ऋणात्मक घातें मुख्य भाग (principal part) बनाती हैं। किसी दिए वलय के लिए श्रेणी अद्वितीय है, परंतु उसी केंद्र के भिन्न वलय की श्रेणी भिन्न होती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(z) = 1/(z(1 − z)) का z₀ = 0 के परितः, 0 < |z| < 1 में और |z| > 1 में।

(1) आंशिक भिन्न: 1/(z(1 − z)) = 1/z + 1/(1 − z)।

(2) 0 < |z| < 1 में |z| < 1, अतः 1/(1 − z) = 1 + z + z² + ..., और f = 1/z + 1 + z + z² + ...।

(3) |z| > 1 में वह श्रेणी अपसारी है, अतः 1/(1 − z) = −(1/z)·1/(1 − 1/z) = −(1/z + 1/z² + 1/z³ + ...) लिखें, जो वैध है क्योंकि |1/z| < 1।

(4) जोड़ें: |z| > 1 के लिए f = 1/z − 1/z − 1/z² − ... = −1/z² − 1/z³ − ...।

(5) 1/z के गुणांकों की तुलना करें: छिद्रित चक्रिका में यह 1 है, जो 0 पर अवशेष है, और |z| > 1 में 0 है, जो 0 और 1 पर अवशेषों का योग (1 + (−1)) है। ध्यान दें कि दोनों श्रेणियाँ सही हैं, प्रत्येक अपने वलय में।

अ-उदाहरण (non-example): Log z की 0 < |z| < 1 में कोई लॉरेंट श्रेणी नहीं। छिद्रित चक्रिका 0 को घेरती है, और लघुगणक की कोई शाखा 0 के चारों ओर पूरे वृत्त पर विश्लेषिक (संतत भी) नहीं, क्योंकि उसका काल्पनिक भाग 2π बढ़ना पड़ेगा। जो परिकल्पना विफल होती है वह पूरे वलय पर विश्लेषिकता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) वलय के दो वृत्तों के बीच के क्षेत्र पर कॉशी सूत्र लगाएँ; बाहरी वृत्त धनात्मक घातें और आंतरिक वृत्त ऋणात्मक घातें देता है (नीचे व्युत्पत्ति वाला खंड)। (ii) वृत्त पर श्रेणी का पद-दर-पद समाकलन दिखाता है कि प्रत्येक गुणांक एक निश्चित समाकल है, अतः श्रेणी अद्वितीय है और कोई भी विधि (आंशिक भिन्न, प्रतिस्थापन) उसे देती है। (iii) विशेषतः वलय में किसी वृत्त पर ∮ f dz = 2πia₋₁।

कहाँ प्रयोग होता है: बार-बार पूछे जाने वाले “क्षेत्रों ... में प्रसार कीजिए” प्रश्न में, मुख्य भाग से विलगित विचित्रताओं के वर्गीकरण में, और अनिवार्य विचित्रताओं पर अवशेषों में।

6. लॉरेंट श्रेणी

लॉरेंट प्रमेय: यदि f वलयाकार क्षेत्र (annulus) r < |z − z₀| < R में विश्लेषिक है, तो वहाँ f(z) = ∑_n=−∞^∞ a_n(z − z₀)ⁿ, जहाँ r < ρ < R वाले किसी भी वृत्त C: |ζ − z₀| = ρ के लिए a_n = (1/2πi)∮_C f(ζ)/(ζ − z₀)ⁿ⁺¹ dζ। प्रसार अद्वितीय है।

भाव: वलयाकार क्षेत्र में एक छिद्र होता है जिसमें विचित्रताएँ हो सकती हैं, और केवल धनात्मक घातें छिद्र के अंदर अनंत की ओर जाने वाले फलन का वर्णन नहीं कर सकतीं; ऋणात्मक घातें चाहिए। धनात्मक घातें बाहरी सीमा वृत्त से और ऋणात्मक घातें भीतरी वृत्त से आती हैं, जैसा नीचे की व्युत्पत्ति दिखाती है। ऊपर का चित्र देखें: 1/((z − 1)(z − 2)) की प्रत्येक क्षेत्र |z| < 1, 1 < |z| < 2 और |z| > 2 में भिन्न लॉरेंट श्रेणी है।

भाग: ∑_n≥0 a_n(z − z₀)ⁿ नियमित (विश्लेषिक) भाग है और ∑_n≥1 a_−n(z − z₀)⁻ⁿ मुख्य भाग (principal part) है।

भाव: जब वलय एक छिद्रित चक्रिका 0 < |z − z₀| < R हो, तो मुख्य भाग z₀ पर f के समस्त विचित्र व्यवहार को धारण करता है, और विचित्रता का प्रकार उसी से पढ़ा जाता है (अगला विषय)।

अवशेष से संबंध: a₋₁ = (1/2πi)∮_C f(z) dz, अतः ∮_C f dz = 2πia₋₁।

सावधानी: 1 < |z| < 2 जैसे वलय में गुणांक a₋₁ उस वलय के किसी वृत्त पर ∮ f dz देता है, जो वृत्त के अंदर के अवशेषों के योग का 2πi गुना है। यह z₀ पर अवशेष केवल तब है जब वलय z₀ के परितः छिद्रित चक्रिका हो।

विधि:

1. f को आंशिक भिन्नों में विभाजित कीजिए।

2. प्रत्येक पद 1/(z − a) को, क्षेत्र में |z| < |a| हो तो z/a में, और |z| > |a| हो तो a/z में गुणोत्तर श्रेणी के रूप में लिखिए।

यह क्यों काम करता है: 1/(z − a) = −(1/a)·1/(1 − z/a) = −∑_n=0^∞ zⁿ/aⁿ⁺¹, जो |z/a| < 1 पर मान्य है; और 1/(z − a) = (1/z)·1/(1 − a/z) = ∑_n=0^∞ aⁿ/zⁿ⁺¹, जो |a/z| < 1 पर मान्य है। प्रत्येक पद उस अनुपात में प्रसारित किया जाता है जिसका मापांक पूरे क्षेत्र में 1 से कम हो।

3. z₀ ≠ 0 के परितः प्रसार के लिए पहले w = z − z₀ रखिए।

4. श्रेणियों को मिलाइए और वैधता का क्षेत्र लिखिए।

उदाहरण 2: f(z) = 1/((z − 1)(z − 2)) को (i) 1 < |z| < 2, (ii) |z| > 2, (iii) 0 < |z − 1| < 1 में प्रसारित कीजिए।

(i) −1/(z − 1) = −(1/z)·1/(1 − 1/z) = −∑_n=1^∞ z⁻ⁿ और 1/(z − 2) = −∑_n=0^∞ zⁿ/2ⁿ⁺¹, अतः f = −∑_n=1^∞ z⁻ⁿ − ∑_n=0^∞ zⁿ/2ⁿ⁺¹।

(ii) 1/(z − 2) = ∑_n=1^∞ 2ⁿ⁻¹/zⁿ और −1/(z − 1) = −∑_n=1^∞ 1/zⁿ, अतः f = ∑_n=2^∞ (2ⁿ⁻¹ − 1)/zⁿ।

(iii) w = z − 1 के साथ f = 1/(w(w − 1)) = −(1/w)(1 + w + w² + ...) = −1/(z − 1) − 1 − (z − 1) − (z − 1)² − ...। z = 1 पर अवशेष −1 है।

उदाहरण 3: |z| > 0 के लिए e^1/z = 1 + 1/z + 1/(2!z²) + 1/(3!z³) + ...; मुख्य भाग अनंत है और 0 पर अवशेष 1 है।

7. व्युत्पत्ति: कॉशी समाकल सूत्र से लॉरेंट श्रेणी

मान लीजिए r < r₁ < |z − z₀| < r₂ < R, और C₁, C₂, z₀ के परितः त्रिज्याओं r₁, r₂ के वृत्त हैं, दोनों वामावर्त।

उनके बीच के क्षेत्र के लिए कॉशी समाकल सूत्र (अनुप्रस्थ काट तर्क) देता है f(z) = (1/2πi)∮_C2 f(ζ)/(ζ − z) dζ − (1/2πi)∮_C1 f(ζ)/(ζ − z) dζ।

C₂ पर |z − z₀| < |ζ − z₀|, अतः 1/(ζ − z) = ∑_n≥0 (z − z₀)ⁿ/(ζ − z₀)ⁿ⁺¹; पदशः समाकलन से अऋणात्मक घातें मिलती हैं, a_n = (1/2πi)∮_C2 f(ζ)/(ζ − z₀)ⁿ⁺¹ dζ।

C₁ पर |ζ − z₀| < |z − z₀|, अतः −1/(ζ − z) = 1/((z − z₀) − (ζ − z₀)) = ∑_n≥1 (ζ − z₀)ⁿ⁻¹/(z − z₀)ⁿ; इससे ऋणात्मक घातें मिलती हैं, a_−n = (1/2πi)∮_C1 f(ζ)(ζ − z₀)ⁿ⁻¹ dζ।

समाकल्य वलय में विश्लेषिक हैं, अतः विरूपण से दोनों गुणांक समाकल किसी एक वृत्त |ζ − z₀| = ρ, r < ρ < R, पर लिए जा सकते हैं; तब दोनों सूत्र सभी पूर्णांकों n के लिए एक ही सूत्र a_n = (1/2πi)∮ f(ζ)/(ζ − z₀)ⁿ⁺¹ dζ हैं। गुणोत्तर श्रेणियाँ वृत्तों पर एकसमान रूप से अभिसरित होती हैं, जो पदशः समाकलन को उचित ठहराता है।

अद्वितीयता: यदि वलय में f = ∑b_n(z − z₀)ⁿ, तो (z − z₀)^−k−1 से गुणा कर |z − z₀| = ρ पर समाकलन कीजिए; मूल समाकल से केवल n = k बचता है, जिससे b_k = a_k। अतः इस रूप की श्रेणी देने वाली कोई भी विधि, जैसे आंशिक भिन्न, लॉरेंट श्रेणी ही देती है।

8. विधि का चयन

यदि f, z₀ पर विश्लेषिक हो और z − z₀ की घातों में श्रेणी पूछी जाए → मानक श्रेणियों से टेलर श्रेणी; त्रिज्या z₀ से निकटतम विचित्रता की दूरी है।

यदि f परिमेय हो और वलय निर्दिष्ट हो → आंशिक भिन्न, फिर क्षेत्र के अनुसार प्रत्येक पद को z/a या a/z में प्रसारित कीजिए (ऊपर 'यह क्यों काम करता है' देखें)।

यदि प्रसार z₀ ≠ 0 के परितः हो → w = z − z₀ रखिए और प्रत्येक गुणनखंड z − a = w − (a − z₀) लिखिए; तब क्षेत्र |w| की |a − z₀| से तुलना द्वारा तय होते हैं।

यदि f, e^1/z, sin(1/z), z^ke^1/z या ऐसा हो → मानक श्रेणी में सीधे 1/z रखिए; प्रसार |z| > 0 के लिए मान्य है।

यदि f, 0 के निकट 1/(z² sin z) या cot z जैसा भागफल हो → प्रथम कुछ पदों के लिए श्रेणी विभाजन (या अनिर्धारित गुणांक)।

यदि कोई क्षेत्र न दिया हो → z₀ से विचित्रताओं की दूरियाँ सूचीबद्ध कीजिए; वे तल को उन चक्रिकाओं और वलयों में बाँटती हैं जिनमें अलग-अलग प्रसार होते हैं, और प्रत्येक दीजिए।

9. सामान्य गलतियाँ

1. लुप्त घातों वाली श्रेणी (∑z²ⁿ, ∑z^n!) के लिए R = lim |a_n/a_n+1| का प्रयोग; मूल रूप लीजिए या w = z² रखिए।

2. जहाँ |z| > |a| हो उस क्षेत्र में 1/(z − a) को z/a की घातों में प्रसारित करना, जहाँ वह श्रेणी अपसारी है। जाँचिए कि पूरे क्षेत्र में प्रत्येक अनुपात का मापांक 1 से कम हो।

3. मान्यता क्षेत्र न बताना; एक ही फलन की भिन्न वलयों में भिन्न श्रेणियाँ होती हैं, और क्षेत्र के बिना उत्तर अपूर्ण है।

4. 1 < |z| < 2 में मान्य श्रेणी के a₋₁ को 0 पर अवशेष कहना; हो सकता है f, 0 पर विश्लेषिक ही हो।

5. z₀ के परितः प्रसार करके अंतिम उत्तर z − z₀ के स्थान पर z की घातों में लिखना।

6. टेलर श्रेणी की त्रिज्या f की सम्मिश्र विचित्रताओं के स्थान पर उसके वास्तविक व्यवहार से लेना (1/(1 + x²) के लिए R = 1)।

संबंध: अभिसरण त्रिज्या, एकसमान अभिसरण और वायरस्ट्रास M-परीक्षण वही उपकरण हैं जो वास्तविक घात श्रेणियों और फलन श्रेणियों में हैं (वास्तविक विश्लेषण)।

संबंध: इकाई वृत्त पर लॉरेंट गुणांक a_n = (1/2π)∫₀^2π f(e^iθ)e^−inθ dθ ठीक f(e^iθ) के सम्मिश्र फूरिये गुणांक हैं, वही फूरिये श्रेणी जो परिसीमा मान समस्याओं में प्रयुक्त होती है (आंशिक अवकल समीकरण)।

10. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 4: ∑(n!/nⁿ)zⁿ की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

a_n = n!/nⁿ के साथ a_n/a_n+1 = (n!/nⁿ)·((n + 1)ⁿ⁺¹/(n + 1)!) = (n + 1)ⁿ/nⁿ = (1 + 1/n)ⁿ।

यह e की ओर जाता है, अतः R = lim |a_n/a_n+1| = e।

श्रेणी |z| < e के लिए निरपेक्षतः अभिसारी और |z| > e के लिए अपसारी है।

उदाहरण 5: f(z) = 1/z को z = 2 के परितः टेलर श्रेणी में प्रसारित कीजिए और वैधता का क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

1/z = 1/(2 + (z − 2)) = (1/2)·1/(1 + (z − 2)/2) लिखिए।

|z − 2| < 2 के लिए गुणोत्तर श्रेणी से 1/z = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(z − 2)ⁿ/2ⁿ⁺¹।

त्रिज्या 2 है, जो 2 से एकमात्र विचित्रता z = 0 की दूरी है, जैसा टेलर प्रमेय बताता है।

उदाहरण 6: f(z) = e^z/(z − 1)² की z = 1 के परितः लॉरेंट श्रेणी और वहाँ अवशेष ज्ञात कीजिए।

w = z − 1 रखिए, अतः e^z = e·e^w = e(1 + w + w²/2! + w³/3! + ...)।

तब f = e(1/w² + 1/w + 1/2 + w/6 + ...), अर्थात f(z) = e/(z − 1)² + e/(z − 1) + e/2 + e(z − 1)/6 + ..., जो 0 < |z − 1| < ∞ के लिए वैध है।

मुख्य भाग में दो पद हैं, अतः z = 1 कोटि 2 का ध्रुव है, और अवशेष (1/(z − 1) का गुणांक) e है।

11. पुनरावृत्त और द्विघाती गुणनखंड, गुणांक समाकल, तत्समक प्रमेय

पुनरावृत्त गुणनखंड: |w| < 1 के लिए 1/(1 + w)² = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(n + 1)wⁿ और 1/(1 − w)² = ∑_n=0^∞ (n + 1)wⁿ (गुणोत्तर श्रेणी का अवकलन कीजिए)।

द्विघाती गुणनखंड: |z| < 1 के लिए 1/(1 + z²) = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿz²ⁿ और |z| > 1 के लिए ∑_n=0^∞ (−1)ⁿz⁻²ⁿ⁻²; आंशिक भिन्नों में ±i पर तोड़ने के बजाय पद को (Bz + C)/(z² + 1) रखिए।

समाकल के रूप में गुणांक: जब इकाई वृत्त वलय में स्थित हो, तो लॉरेंट गुणांक सूत्र a_n = (1/2π)∫₀^2π f(e^iθ)e^−inθ dθ बन जाता है। इससे e^{(c/2)(z − 1/z)} = ∑_n=−∞^∞ J_n(c)zⁿ जैसे प्रसार सिद्ध होते हैं, जहाँ J_n(c) = (1/2π)∫₀^2π cos(nθ − c sin θ) dθ (बेसेल गुणांक)।

सममित फलन: यदि f(1/z) = f(z), तो a_−n = a_n, और प्रसार को a₀ + ∑_n=1^∞ a_n(zⁿ + z⁻ⁿ) लिखा जा सकता है।

तत्समक प्रमेय का प्रयोग: यदि कोई विश्लेषिक फलन भिन्न बिंदुओं z_k → z₀ पर शून्य है, जहाँ z₀ प्रांत में है (उदाहरणतः 1/k → 0 पर), तो वह सर्वत्र शून्य है।

बहुपद परीक्षण: सर्वत्र विश्लेषिक f अधिकतम n − 1 घात का बहुपद है यदि और केवल यदि f⁽ⁿ⁾ ≡ 0, क्योंकि 0 के परितः इसकी टेलर श्रेणी पूरे ℂ पर अभिसरित होती है और k ≥ n के लिए a_k = f^(k)(0)/k! = 0।

12. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): फलन f(z) = 1/[z²(z − 1)] का z = 0 तथा z = 1 के इर्द-गिर्द लौराँ श्रेणी में प्रसार कीजिए।

z = 0 के परितः, 0 < |z| < 1 के लिए: 1/(z − 1) = −(1 + z + z² + ...), अतः f = −1/z² − 1/z − 1 − z − z² − ...; 0 पर अवशेष −1 है।

z = 0 के परितः, |z| > 1 के लिए: 1/(z − 1) = (1/z)∑_n=0^∞ z⁻ⁿ, अतः f = ∑_n=3^∞ 1/zⁿ = 1/z³ + 1/z⁴ + ...।

z = 1 के परितः w = z − 1 रखिए, अतः f = 1/(w(1 + w)²)। 0 < |w| < 1 के लिए: f = (1/w)∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(n + 1)wⁿ = 1/(z − 1) − 2 + 3(z − 1) − 4(z − 1)² + ...; 1 पर अवशेष 1 है।

z = 1 के परितः, |w| > 1 के लिए: 1/(1 + w)² = (1/w²)(1 + 1/w)⁻², अतः f = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(n + 1)/(z − 1)ⁿ⁺³ = 1/(z − 1)³ − 2/(z − 1)⁴ + 3/(z − 1)⁵ − ...।

उत्तर: 0 < |z| < 1: −∑_n=−2^∞ zⁿ; |z| > 1: ∑_n=3^∞ z⁻ⁿ; 0 < |z − 1| < 1: ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(n + 1)(z − 1)ⁿ⁻¹; |z − 1| > 1: ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(n + 1)(z − 1)⁻ⁿ⁻³।

उदाहरण 8 (UPSC 2018, 15 अंक): फलन 1/((1 + z²)(z + 2)) को निरूपित करने वाली लॉरेन्ज श्रेणी ज्ञात कीजिए जब
(i) |z| < 1
(ii) 1 < |z| < 2
(iii) |z| > 2

आंशिक भिन्न: 1/((1 + z²)(z + 2)) = (1/5)[1/(z + 2) + (2 − z)/(1 + z²)] (z = 0 पर जाँच: (1/5)(1/2 + 2) = 1/2)।

खंड: |z| < 2 के लिए 1/(z + 2) = ∑ (−1)ⁿzⁿ/2ⁿ⁺¹ और |z| > 2 के लिए ∑ (−1)ⁿ2ⁿ/zⁿ⁺¹; |z| < 1 के लिए 1/(1 + z²) = ∑ (−1)ⁿz²ⁿ और |z| > 1 के लिए ∑ (−1)ⁿ/z²ⁿ⁺² (सभी योग n = 0 से)।

(i) |z| < 1: f = (1/5)[∑ (−1)ⁿzⁿ/2ⁿ⁺¹ + (2 − z)∑ (−1)ⁿz²ⁿ] = 1/2 − z/4 − 3z²/8 + ..., एक टेलर श्रेणी।

(ii) 1 < |z| < 2: f = (1/5)[∑ (−1)ⁿzⁿ/2ⁿ⁺¹ + (2 − z)∑ (−1)ⁿ/z²ⁿ⁺²] = (1/5)[... + 1/z³ + 2/z² − 1/z + 1/2 − z/4 + z²/8 − ...]।

(iii) |z| > 2: f = (1/5)[∑ (−1)ⁿ2ⁿ/zⁿ⁺¹ + (2 − z)∑ (−1)ⁿ/z²ⁿ⁺²]; 1/z और 1/z² के पद कट जाते हैं, और f = 1/z³ − 2/z⁴ + ... बचता है।

उत्तर: ऊपर की तीन श्रेणियाँ, f = (1/5)[A(z) + (2 − z)B(z)], जहाँ A, B दिए गए क्षेत्र में मान्य 1/(z + 2) और 1/(1 + z²) के प्रसार हैं।

उदाहरण 9 (UPSC 2022, 10 अंक): f(z) = 1/((z − 1)²(z − 3)) का क्षेत्रों (i) 0 < |z − 1| < 2 एवं (ii) 0 < |z − 3| < 2 के लिये वैध लौराँ श्रेणी में विस्तार कीजिये।

(i) w = z − 1, 0 < |w| < 2: z − 3 = w − 2, अतः f = 1/(w²(w − 2)) = −(1/(2w²))·1/(1 − w/2) = −∑_n=0^∞ wⁿ⁻²/2ⁿ⁺¹।

अतः f = −1/(2(z − 1)²) − 1/(4(z − 1)) − 1/8 − (z − 1)/16 − ...; z = 1 कोटि 2 का ध्रुव है जिसका अवशेष −1/4 है।

(ii) t = z − 3, 0 < |t| < 2: z − 1 = t + 2, अतः f = 1/(t(t + 2)²) = (1/(4t))(1 + t/2)⁻² = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(n + 1)tⁿ⁻¹/2ⁿ⁺²।

अतः f = 1/(4(z − 3)) − 1/4 + 3(z − 3)/16 − (z − 3)²/8 + ...; z = 3 सरल ध्रुव है जिसका अवशेष 1/4 है।

उत्तर: (i) f = −∑_n=0^∞ (z − 1)ⁿ⁻²/2ⁿ⁺¹; (ii) f = ∑_n=0^∞ (−1)ⁿ(n + 1)(z − 3)ⁿ⁻¹/2ⁿ⁺²।

उदाहरण 10 (UPSC 2026, 15 अंक): सिद्ध कीजिए कि cosh(z + 1/z) = a₀ + ∑_n=1^∞ a_n(zⁿ + 1/zⁿ) है, जहाँ n = 0, 1, 2, … के लिए a_n = (1/(2π)) ∫₀^2π cos nθ cosh(2 cos θ) dθ है।

g(z) = cosh(z + 1/z), 0 < |z| < ∞ में विश्लेषिक है, अतः वहाँ इसकी लॉरेंट श्रेणी ∑_n=−∞^∞ a_nzⁿ है, जहाँ a_n = (1/2πi)∮_|z|=1 g(z)/zⁿ⁺¹ dz।

|z| = 1 पर z = e^iθ रखिए: z + 1/z = 2cos θ और dz = ie^iθ dθ, अतः a_n = (1/2π)∫₀^2π cosh(2cos θ)(cos nθ − i sin nθ) dθ।

θ → 2π − θ से cosh(2cos θ) अपरिवर्तित रहता है और sin nθ का चिह्न बदलता है, अतः ∫₀^2π cosh(2cos θ) sin nθ dθ = 0 और a_n = (1/2π)∫₀^2π cos nθ cosh(2cos θ) dθ।

cos(−nθ) = cos nθ से a_−n = a_n (समतुल्यतः g(1/z) = g(z)); n और −n के पदों को मिलाने पर cosh(z + 1/z) = a₀ + ∑_n=1^∞ a_n(zⁿ + 1/zⁿ)।

उत्तर: प्रसार सभी z ≠ 0 के लिए मान्य है, जहाँ a_n = (1/(2π))∫₀^2π cos nθ cosh(2cos θ) dθ, n = 0, 1, 2, ...।

उदाहरण 11 (UPSC 2017, 15 अंक): फलन f : ℂ → ℂ एवं n ≥ 1 के लिए, मान लीजिए कि f⁽ⁿ⁾ फलन f का n^वाँ अवकलज दर्शाता है और f⁽⁰⁾ = f है। मान लीजिए कि f एक ऐसा सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है जिसके लिए किसी n ≥ 1 के लिए, f⁽ⁿ⁾(1/k) = 0, सभी k = 1, 2, 3, ..., के लिए। दर्शाइए कि f एक बहुपद है।

g = f⁽ⁿ⁾ सर्वत्र विश्लेषिक है और k = 1, 2, 3, ... के लिए g(1/k) = 0; शून्यक 1/k भिन्न हैं और प्रांत ℂ के बिंदु 0 की ओर अभिसरित होते हैं।

अशून्य विश्लेषिक फलन के शून्यक विलगित होते हैं, अतः तत्समक प्रमेय से ℂ पर g ≡ 0।

टेलर श्रेणी f(z) = ∑ a_kz^k, a_k = f^(k)(0)/k!, पूरे ℂ पर अभिसरित होती है; k ≥ n के लिए f^(k) = g^(k−n) ≡ 0, अतः a_k = 0।

उत्तर: f(z) = a₀ + a₁z + ... + a_n−1zⁿ⁻¹, अधिकतम n − 1 घात का बहुपद।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ∑_n≥1 zⁿ/(n2ⁿ) की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a_n/a_n+1 = 2(n + 1)/n → 2, अतः R = 2।

अभ्यास 2 (मूल): ∑(n!)²zⁿ/(2n)! की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a_n/a_n+1 = (2n + 1)(2n + 2)/(n + 1)² → 4, अतः R = 4।

अभ्यास 3 (मूल): ze^z2 की मैक्लॉरिन श्रेणी के पहले तीन शून्येतर पद और उसका वैधता क्षेत्र लिखिए।

उत्तर: z + z³ + z⁵/2 + ..., सभी z के लिए वैध।

अभ्यास 4 (मानक): 1/z² का z = 1 के परितः टेलर श्रेणी में प्रसार कीजिए और क्षेत्र बताइए।

उत्तर: w = z − 1 के साथ 1/(1 + w)² से ∑_n≥0 (−1)ⁿ(n + 1)(z − 1)ⁿ, |z − 1| < 1 के लिए।

अभ्यास 5 (मानक): sin z का z = π/4 के परितः टेलर श्रेणी में प्रसार कीजिए।

उत्तर: sin(π/4 + w) = (cos w + sin w)/√2, अतः sin z = (1/√2)[1 + (z − π/4) − (z − π/4)²/2! − (z − π/4)³/3! + (z − π/4)⁴/4! + ...], सभी z के लिए वैध।

अभ्यास 6 (मानक): f(z) = z/((z − 1)(z − 3)) का 1 < |z| < 3 में वैध लॉरेंट श्रेणी में प्रसार कीजिए।

उत्तर: f = −(1/2)/(z − 1) + (3/2)/(z − 3) = −(1/2)∑_n≥1 z⁻ⁿ − (1/2)∑_n≥0 zⁿ/3ⁿ।

अभ्यास 7 (मानक): 0 के परितः sin z/z³ की लॉरेंट श्रेणी, विचित्रता की प्रकृति और अवशेष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: z ≠ 0 के लिए 1/z² − 1/6 + z²/120 − ...: कोटि 2 का ध्रुव, अवशेष 0।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): f(z) = 1/(z(z − 1)(z − 2)) का (i) 0 < |z| < 1, (ii) 1 < |z| < 2, (iii) |z| > 2 में वैध लॉरेंट श्रेणियों में प्रसार कीजिए।

उत्तर: f = 1/(2z) − 1/(z − 1) + 1/(2(z − 2))। (i) 1/(2z) + ∑_n≥0 (1 − 1/2ⁿ⁺²)zⁿ; (ii) −1/(2z) − ∑_n≥2 z⁻ⁿ − ∑_n≥0 zⁿ/2ⁿ⁺²; (iii) ∑_n≥3 (2ⁿ⁻² − 1)z⁻ⁿ = 1/z³ + 3/z⁴ + 7/z⁵ + ...।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): z = 1 के परितः e^2z/(z − 1)³ की लॉरेंट श्रेणी (पहले चार पद) और z = 1 पर अवशेष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: w = z − 1 के साथ e²e^2w/w³ = e²[1/w³ + 2/w² + 2/w + 4/3 + ...]; कोटि 3 का ध्रुव, अवशेष 2e²।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि |z| < 1 में विश्लेषिक कोई भी फलन f, n = 2, 3, 4, ... के लिए f(1/n) = (−1)ⁿ/n को संतुष्ट नहीं करता।

उत्तर: संकेत: बिंदुओं 1/(2k) → 0 पर f, z के बराबर है, अतः तत्समक प्रमेय से f(z) = z; परंतु तब f(1/3) = 1/3, न कि −1/3।

1. विलगित विचित्रताओं को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: संवृत समाकल केवल इस पर निर्भर करता है कि कंटूर के अंदर के विचित्र बिंदुओं के निकट f कैसा व्यवहार करता है। कुछ भी गणना करने से पहले हमें शीघ्र और सही पहचानना होगा कि प्रत्येक खराब बिंदु किस प्रकार का है।

शब्दों में: z₀ विलगित विचित्रता (isolated singularity) है यदि f किसी छिद्रित चक्रिका 0 < |z − z₀| < r में विश्लेषिक हो परंतु z₀ पर नहीं। तब वहाँ f की लॉरेंट श्रेणी होती है, और मुख्य भाग प्रकार तय करता है: कोई ऋणात्मक घात नहीं तो अपनेय (removable, छिद्र भरा जा सकता है), परिमित संख्या में तो ध्रुव (pole, f, 1/(z − z₀)^m की तरह अनंत होता है), अनंत संख्या में तो अनिवार्य (essential, उच्छृंखल व्यवहार)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(z) = sin z/(z²(z − π)) के विचित्र बिंदुओं का वर्गीकरण कीजिए।

(1) हर के शून्य: z = 0 (z² से कोटि 2) और z = π (कोटि 1)। यही एकमात्र संभावित बिंदु हैं।

(2) उन बिंदुओं पर अंश के शून्य: sin z का 0 पर सरल शून्य है (sin z = z − z³/6 + ...) और π पर सरल शून्य (उसका अवकलज cos π = −1 ≠ 0)।

(3) 0 पर: हर की कोटि 2 घटा अंश की कोटि 1 = 1, अतः सरल ध्रुव। वास्तव में sin z/z² = 1/z − z/6 + ... और 1/(z − π) → −1/π, अतः मुख्य भाग −1/(πz) है।

(4) π पर: 1 − 1 = 0, अतः अपनेय: sin z/(z − π) → cos π = −1, अतः f(z) → −1/π², एक परिमित सीमा।

(5) विधि पर ध्यान दें: टेलर श्रेणी से प्राप्त अंश और हर के शून्यों की कोटियों की तुलना करें, केवल दिखाई देने वाले गुणनखंडों की नहीं।

अ-उदाहरण (non-example): 0, 1/sin(1/z) का विचित्र बिंदु है परंतु विलगित नहीं, क्योंकि ध्रुव 1/(nπ), 0 के चारों ओर की प्रत्येक चक्रिका में भर जाते हैं; और 0, Log z का शाखा बिंदु है, जो 0 के चारों ओर किसी छिद्रित चक्रिका में विश्लेषिक नहीं। किसी की भी 0 के परितः लॉरेंट श्रेणी नहीं, अतः कोई भी अपनेय, ध्रुव या अनिवार्य नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (i) रीमान: यदि z₀ के निकट f परिबद्ध है, तो मुख्य भाग का प्रत्येक गुणांक प्रत्येक छोटे ρ के लिए अधिकतम Mρⁿ है, अतः 0, इसलिए विचित्रता अपनेय है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 12)। (ii) कोटि m का ध्रुव वही है जो f = φ/(z − z₀)^m, जहाँ φ विश्लेषिक और φ(z₀) ≠ 0 (प्रमेय 17); इसी कारण शून्यों की कोटियाँ सीधे घटाई जा सकती हैं। (iii) यदि दोनों में से कुछ न हो तो विचित्रता अनिवार्य है, और कैसोराटी–वायरस्ट्रास कहता है कि उसके निकट f प्रत्येक मान के मनचाहे निकट आता है।

कहाँ प्रयोग होता है: लघु प्रश्न “सभी विचित्रताएँ ज्ञात कर उनका वर्गीकरण कीजिए” में, सही अवशेष सूत्र चुनने में, और यह तय करने में कि कंटूर समाकल में किन बिंदुओं का हिसाब रखना है।

2. विचित्रताओं का वर्गीकरण

विचित्र बिंदु (singular point): z₀, f का विचित्र बिंदु है यदि f, z₀ पर विश्लेषिक नहीं पर z₀ के प्रत्येक प्रतिवेश में ऐसे बिंदु हों जहाँ f विश्लेषिक है। यह विलगित (isolated) है यदि f किसी छिद्रित चक्रिका 0 < |z − z₀| < r में विश्लेषिक हो।

भाव: विलगित का अर्थ है कि छोटी छिद्रित चक्रिका में z₀ ही एकमात्र समस्या-बिंदु है, अतः 0 < |z − z₀| < r में लॉरेंट श्रेणी विद्यमान है। वही लॉरेंट श्रेणी, विशेषतः उसका मुख्य भाग, विचित्रता का वर्गीकरण करती है।

अपनेय विचित्रता (removable singularity): मुख्य भाग शून्य है; समतुल्य रूप से lim_z→z0 f(z) परिमित रूप में विद्यमान है (रीमान: z₀ के निकट f का परिबद्ध होना पर्याप्त है)। उदाहरण: 0 पर (sin z)/z।

भाव: छिद्र को सीधे भरा जा सकता है: f(z₀) = lim f(z) परिभाषित करने से f, z₀ पर विश्लेषिक हो जाता है। रीमान प्रमेय (मानक उपपत्तियाँ, खंड 12) को केवल z₀ के निकट परिबद्धता चाहिए, या केवल (z − z₀)f(z) → 0।

कोटि m का ध्रुव (pole): मुख्य भाग में परिमित पद हैं, a_−m ≠ 0 और n > m के लिए a_−n = 0; समतुल्य रूप से lim (z − z₀)^mf(z) परिमित और अशून्य है। तब z → z₀ पर |f(z)| → ∞। कोटि 1 का ध्रुव सरल ध्रुव (simple pole) है।

भाव: ध्रुव के निकट f, a_−m/(z − z₀)^m जैसा व्यवहार करता है: यह एक निश्चित दर से अनंत की ओर जाता है। कोटि वह अद्वितीय m है जिसके लिए (z − z₀)^mf(z) की सीमा परिमित और अशून्य हो; छोटी घात से सीमा अनंत रहती है, बड़ी घात से 0 हो जाती है (मानक उपपत्तियाँ, खंड 17)।

अनिवार्य विचित्रता (essential singularity): मुख्य भाग में अनंत पद हैं; lim f(z) न परिमित है न अनंत। उदाहरण: 0 पर e^1/z।

भाव: व्यवहार अनियंत्रित है और निकट आने की दिशा पर निर्भर है। e^1/z के लिए: धनात्मक वास्तविक अक्ष के अनुदिश यह ∞ की ओर, ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के अनुदिश 0 की ओर जाता है, और काल्पनिक अक्ष z = it पर इसका मापांक |e^−i/t| = 1 है।

कैसोराती–वायरस्ट्रास प्रमेय: अनिवार्य विचित्रता के प्रत्येक प्रतिवेश में f प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के यथेष्ट निकट आता है। पिकार्ड प्रमेय इसे सुदृढ़ करता है: f अधिकतम एक अपवाद को छोड़कर प्रत्येक सम्मिश्र मान अनंत बार लेता है।

यह क्यों काम करता है: यदि z₀ के निकट f किसी w₀ से कम से कम δ दूरी पर रहता, तो g = 1/(f − w₀) परिबद्ध होता (|g| ≤ 1/δ), अतः रीमान प्रमेय से g की विचित्रता अपनेय होती। तब f = w₀ + 1/g का z₀ पर अधिकतम एक ध्रुव होता, जो अनिवार्यता के विपरीत है। पिकार्ड का उदाहरण: e^1/z, 0 के निकट 0 को छोड़कर प्रत्येक मान अनंत बार लेता है।

शून्यक और ध्रुव: यदि f का z₀ पर कोटि m का शून्यक है, तो वहाँ 1/f का कोटि m का ध्रुव है; यदि f = g/h, g(z₀) ≠ 0 और h का कोटि m का शून्यक है, तो f का कोटि m का ध्रुव है।

कोटि नियम: यदि z₀ पर g का कोटि k का और h का कोटि m का शून्यक है, तो m > k होने पर g/h का कोटि m − k का ध्रुव है, और m ≤ k होने पर अपनेय विचित्रता। कोटियाँ टेलर श्रेणी से गिनिए, सूत्र के रूप से नहीं: 1 − cos z = z²/2 − ..., अतः (1 − cos z)/z⁴ का 0 पर कोटि 2 का ध्रुव है, 4 का नहीं।

अविलगित विचित्रताएँ: 1/sin(1/z) के लिए z = 0 ध्रुवों 1/(nπ) का सीमा बिंदु है; z = 0, log z और √z का शाखा बिंदु (branch point) है।

अनंत पर बिंदु: w = 0 पर g(w) = f(1/w) का अध्ययन कीजिए। घात n के बहुपद का ∞ पर कोटि n का ध्रुव होता है, और e^z, sin z की ∞ पर अनिवार्य विचित्रता होती है। ध्रुवों को छोड़कर विश्लेषिक फलन मेरोमॉर्फिक (meromorphic) कहलाता है।

3. अवशेषों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: छोटे वृत्त पर लॉरेंट श्रेणी का समाकलन a₋₁/(z − z₀) को छोड़कर प्रत्येक पद को समाप्त कर देता है। अतः प्रत्येक विचित्र बिंदु से हमें केवल वही एक गुणांक, अवशेष (residue), चाहिए, और हम पूरी श्रेणी लिखे बिना उसे पाने की शीघ्र विधियाँ चाहते हैं।

शब्दों में: Res(f, z₀), z₀ के चारों ओर छिद्रित चक्रिका में वैध लॉरेंट श्रेणी में 1/(z − z₀) का गुणांक है। सरल ध्रुव पर यह lim (z − z₀)f(z) है; कोटि m के ध्रुव पर (z − z₀)^m से गुणा करके विश्लेषिक φ प्राप्त करें, और अवशेष φ का (m − 1)-वाँ टेलर गुणांक है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: f(z) = z/((z − 1)(z + 1)²) के अवशेष।

(1) वर्गीकरण: z = 1 सरल ध्रुव है और z = −1 कोटि 2 का ध्रुव (अंश किसी भी बिंदु पर 0 नहीं)।

(2) 1 पर: (z − 1)f = z/(z + 1)² → 1/4, अतः Res(f, 1) = 1/4।

(3) −1 पर: φ(z) = (z + 1)²f = z/(z − 1), जो −1 पर विश्लेषिक है।

(4) एक बार अवकलन (m − 1 = 1): φ′(z) = ((z − 1) − z)/(z − 1)² = −1/(z − 1)², अतः Res(f, −1) = φ′(−1) = −1/4।

(5) जाँच: अवशेषों का योग 0 है, जैसा होना चाहिए, क्योंकि हर की घात अंश से 2 अधिक है, अतः Res(f, ∞) = 0। ध्यान दें कि यह जाँच अंकगणितीय भूलों को मुफ़्त में पकड़ लेती है।

अ-उदाहरण (non-example): f = 1/(z²(z − 1)) के लिए z = 0 पर, q = z²(z − 1) के साथ सरल-ध्रुव नियम p/q′ विफल है: q′(0) = 0, क्योंकि 0, q का द्विक शून्य है। श्रेणी −1/z² − 1/z − 1 − ... से सही अवशेष −1 है। जो शर्त विफल होती है वह q′(z₀) ≠ 0 है, अर्थात् ध्रुव सरल होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (i) कोटि-m सूत्र φ के लिए टेलर सूत्र है, क्योंकि φ = a_−m + ... + a₋₁(z − z₀)^m−1 + ...। (ii) p/q′, सीमा (z − z₀)p/q को p बटा q के अंतर-भागफल के रूप में लिखना है। (iii) अनिवार्य विचित्रता पर कोई सूत्र नहीं; प्रसार करें। (iv) z = 1/w रखने से बड़े |z| का व्यवहार w = 0 पर व्यवहार में बदल जाता है और Res(f, ∞) परिभाषित होता है, इस नियम के साथ कि सभी अवशेषों का योग 0 है।

कहाँ प्रयोग होता है: अवशेष प्रमेय के प्रत्येक अनुप्रयोग में, विशेषतः वास्तविक समाकलों के कंटूर समाकलन में; tan z या 1/(z sin πz) जैसे त्रिकोणमितीय भागफलों के अवशेष स्वतंत्र रूप से भी पूछे जाते हैं।

4. अवशेष की गणना

परिभाषा: Res(f, z₀) = a₋₁, z₀ के परितः लॉरेंट श्रेणी में 1/(z − z₀) का गुणांक।

भाव: मूल समाकल से, लॉरेंट श्रेणी का छोटे वृत्त पर समाकलन a₋₁/(z − z₀) को छोड़कर प्रत्येक पद को समाप्त कर देता है, जो 2πia₋₁ देता है। अवशेष (residue) शाब्दिक रूप से वही है जो समाकलन के बाद बचता है।

सरल ध्रुव: Res = lim_z→z0 (z − z₀)f(z)। यदि f = p/q, p(z₀) ≠ 0, q(z₀) = 0, q′(z₀) ≠ 0, तो Res = p(z₀)/q′(z₀)।

p/q′ की व्युत्पत्ति: चूँकि q(z₀) = 0, z → z₀ पर (z − z₀)p(z)/q(z) = p(z)/[(q(z) − q(z₀))/(z − z₀)] → p(z₀)/q′(z₀)। परिकल्पना q′(z₀) ≠ 0 कहती है कि q का शून्यक सरल है; q के द्विक शून्यक पर सूत्र अर्थहीन है।

कोटि m का ध्रुव: Res = (1/(m − 1)!)·lim_z→z0 d^m−1/dz^m−1 [(z − z₀)^mf(z)]।

यह क्यों काम करता है: φ(z) = (z − z₀)^mf(z) = a_−m + a_−m+1(z − z₀) + ... + a₋₁(z − z₀)^m−1 + ..., z₀ पर विश्लेषिक है, और a₋₁ इसका (z − z₀)^m−1 वाला टेलर गुणांक है, अर्थात φ^(m−1)(z₀)/(m − 1)!।

उपयोगी परिणाम: m के स्थान पर कोई बड़ा पूर्णांक M लेने पर भी सूत्र सही अवशेष देता है, क्योंकि (z − z₀)^Mf तब भी विश्लेषिक है और उसका (z − z₀)^M−1 वाला गुणांक तब भी a₋₁ है। m बहुत छोटा लेना गलत है।

अनिवार्य विचित्रता या कठिन ध्रुव: लॉरेंट श्रेणी में प्रसारित कर a₋₁ पढ़िए।

अनंत पर अवशेष: Res(f, ∞) = −(बड़े |z| के प्रसार में 1/z का गुणांक); ∞ सहित सभी अवशेषों का योग 0 है।

व्युत्पत्ति: परिभाषा से Res(f, ∞) = −(1/2πi)∮_|z|=R f dz, जहाँ R इतना बड़ा है कि सभी परिमित विचित्रताएँ अंदर हों (∞ से देखने पर वृत्त दक्षिणावर्त है)। z = 1/w लेने पर dz = −dw/w², और वृत्त उलटी दिशा वाला |w| = 1/R बन जाता है, अतः Res(f, ∞) = −Res(f(1/w)/w², 0)। तब |z| = R पर अवशेष प्रमेय देता है कि ∞ सहित सभी अवशेषों का योग 0 है।

उपयोग: यदि सभी परिमित विचित्रताएँ C के अंदर हों, तो ∮_C f dz = −2πi Res(f, ∞), अनेक के स्थान पर एक गणना। परिमेय f के लिए, यदि हर की घात अंश की घात + 2 से कम न हो, तो Res(f, ∞) = 0, अतः उसके परिमित अवशेषों का योग 0 है।

5. अवशेष प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कॉशी सूत्र सरल आकार के एक या दो ध्रुवों को संभालता है। हम ऐसा एक नियम चाहते हैं जो संवृत समाकल का मान निकाले, अंदर कैसी भी विचित्रताएँ हों, बशर्ते वे परिमित संख्या में हों।

शब्दों में: एक सरल संवृत कंटूर C वामावर्त लें; f को C पर, और C के अंदर परिमित संख्या में विलगित विचित्र बिंदुओं z₁, ..., z_n को छोड़कर, विश्लेषिक होना चाहिए, और इनमें से कोई C पर न हो। तब ∮_C f dz = 2πi × (C के अंदर z_k पर अवशेषों का योग)। C के बाहर के बिंदु कुछ योगदान नहीं देते।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∮_|z|=2 (3z + 1)/(z(z − 1)) dz।

(1) विचित्र बिंदु: z = 0 और z = 1, दोनों सरल ध्रुव।

(2) अंदर या बाहर: |0| = 0 < 2 और |1| = 1 < 2, अतः दोनों अंदर हैं।

(3) 0 पर अवशेष: z = 0 पर (3z + 1)/(z − 1) = −1। 1 पर अवशेष: z = 1 पर (3z + 1)/z = 4।

(4) जोड़ें और गुणा करें: ∮ = 2πi(−1 + 4) = 6πi।

(5) जाँच: बड़े |z| के लिए f ≈ 3/z, अतः Res(f, ∞) = −3 और परिमित अवशेषों का योग +3 होना चाहिए, जो है। ध्यान दें कि केवल ∞ पर अवशेष ही पूरा समाकल देता है: −2πi(−3) = 6πi।

अ-उदाहरण (non-example): ∮_|z|=1 dz/(z − 1): ध्रुव z = 1 स्वयं कंटूर पर है। प्रमेय लागू नहीं होता, और समाकल साधारण समाकल के रूप में विद्यमान भी नहीं, क्योंकि पथ पर समाकल्य 1/(z − 1) की तरह व्यवहार करता है। जो परिकल्पना विफल होती है वह है “C पर कोई विचित्र बिंदु नहीं”।

आगे बढ़ते हुए: (i) प्रत्येक z_k को छोटे वृत्त से घेरें; C और वृत्तों के बीच के क्षेत्र के लिए कॉशी प्रमेय से ∮_C = ∑∮_Ck। (ii) प्रत्येक छोटे वृत्त पर लॉरेंट श्रेणी का पद-दर-पद समाकलन 2πia₋₁ देता है (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 13)। (iii) f′/f पर लगाने पर, जिसके अवशेष शून्यों की कोटियाँ (धनात्मक) और ध्रुवों की कोटियाँ (ऋणात्मक) हैं, प्रमेय कोणांक सिद्धांत (argument principle) बन जाता है।

कहाँ प्रयोग होता है: लगभग हर प्रश्नपत्र में संवृत कंटूर समाकलों में, कंटूर समाकलन द्वारा वास्तविक समाकलों में (अगला विषय), कई बार चक्कर लगाने वाले वक्रों में (वेष्टन संख्या से गुणा करें), और प्रतिलोम लाप्लास रूपांतर में।

6. रूशे प्रमेय को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: घात 5 या 7 के बहुपद के शून्य सूत्र से नहीं निकाले जा सकते, परंतु प्रश्न पूछते हैं कि किसी चक्रिका या वलय में कितने हैं। रूशे प्रमेय वृत्त पर आकारों की तुलना करके इसका उत्तर देता है।

शब्दों में: यदि f और g, C के अंदर और उस पर विश्लेषिक हैं और C के प्रत्येक बिंदु पर |g(z)| < |f(z)| (निरपेक्ष असमिका, पूरे C पर), तो C के अंदर f + g के शून्यों की संख्या f के शून्यों जितनी है, बहुकता सहित। व्यवहार में f उस वृत्त पर बहुपद का एक प्रभावी पद होता है, जिसके शून्य स्पष्ट हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: p(z) = z⁵ + 3z + 1 के शून्यों का स्थान ज्ञात कीजिए।

(1) |z| = 1 पर f = 3z, g = z⁵ + 1 आज़माएँ: |g| ≤ 1 + 1 = 2 < 3 = |f|। अतः |z| < 1 में p के उतने ही शून्य हैं जितने 3z के, अर्थात् एक।

(2) |z| = 2 पर f = z⁵, g = 3z + 1 आज़माएँ: |g| ≤ 7 < 32 = |f|। अतः पाँचों शून्य |z| < 2 में हैं।

(3) |z| = 1 पर कोई शून्य नहीं, क्योंकि वहाँ |p| ≥ |3z| − |z⁵ + 1| ≥ 3 − 2 > 0।

(4) अतः |z| < 1 में एक शून्य और 1 < |z| < 2 में चार। ध्यान दें कि प्रत्येक वृत्त पर भिन्न पद प्रभावी है; उसे चुनना ही एकमात्र वास्तविक निर्णय है।

अ-उदाहरण (non-example): |z| = 1 पर p(z) = (z − 1)² = z² − 2z + 1, f = −2z, g = z² + 1 के साथ: |g| ≤ 2 = |f|, निरपेक्षतः छोटा नहीं, और z = 1 पर समता है। रूशे का उपयोग नहीं हो सकता, और वास्तव में द्विक शून्य z = 1 स्वयं वृत्त पर है।

आगे बढ़ते हुए: (i) कोणांक सिद्धांत से C के अंदर शून्यों की संख्या, प्रतिबिंब वक्र द्वारा 0 के चारों ओर लगाए चक्करों की संख्या है। (ii) f + g = f(1 + g/f) लिखें; C पर |g/f| < 1, अतः 1 + g/f, 1 केंद्र वाली त्रिज्या 1 की चक्रिका में रहता है और 0 के चारों ओर कभी नहीं घूमता। (iii) अतः C के चारों ओर arg(f + g) और arg f समान मात्रा में बदलते हैं, और शून्यों की गिनती मेल खाती है।

कहाँ प्रयोग होता है: “दिखाइए कि सभी शून्य वलय ... में हैं” प्रकार के प्रश्नों में, और इस बात की दूसरी उपपत्ति में कि घात n के बहुपद के ठीक n शून्य होते हैं।

7. कॉशी अवशेष प्रमेय

कथन: मान लीजिए C वामावर्त लिया गया सरल संवृत कंटूर है, और f, C के अंदर और उस पर, C के अंदर परिमित विलगित विचित्र बिंदुओं z₁, ..., z_n को छोड़कर, विश्लेषिक है। तब ∮_C f(z) dz = 2πi ∑_k=1ⁿ Res(f, z_k)।

भाव: कंटूर समाकल केवल C द्वारा घिरी विचित्रताओं को देखता है, और प्रत्येक ठीक अपने अवशेष का 2πi गुना योगदान देती है; जो कुछ विश्लेषिक है उसका कोई योगदान नहीं। उपपत्ति मानक उपपत्तियाँ, खंड 13 में; उपपत्ति का विचार आगे है।

उपपत्ति का विचार: प्रत्येक z_k को छोटे वृत्त C_k से घेरिए; विरूपण प्रमेय से ∮_C f = ∑∮_Ck f, और लॉरेंट श्रेणी से ∮_Ck f = 2πia₋₁।

कोणांक सिद्धांत (argument principle): यदि f, C के अंदर और उस पर मेरोमॉर्फिक है और C पर कोई शून्यक या ध्रुव नहीं, तो (1/2πi)∮_C f′(z)/f(z) dz = N − P, अर्थात C के अंदर शून्यकों की संख्या घटा ध्रुवों की संख्या, बहुलता सहित।

व्युत्पत्ति: कोटि m के शून्यक a के निकट f = (z − a)^mg, g(a) ≠ 0, अतः f′/f = m/(z − a) + g′/g और Res(f′/f, a) = m। कोटि p के ध्रुव b के निकट f = (z − b)^−ph, h(b) ≠ 0, अतः Res(f′/f, b) = −p। अवशेष प्रमेय से योग करने पर N − P मिलता है।

भाव: चूँकि f′/f = d/dz log f, समाकल z के C का एक चक्कर लगाने पर arg f(z) में परिवर्तन मापता है: N − P = (1/2π)Δ_C arg f, अर्थात प्रतिबिंब वक्र f(C) के 0 के चारों ओर लपेटने की संख्या।

रूशे प्रमेय: यदि f और g, C के अंदर और उस पर विश्लेषिक हैं और C पर |g(z)| < |f(z)|, तो C के अंदर f और f + g के शून्यकों की संख्या समान है।

भाव: C पर |(f + g) − f| < |f|, अतः f + g के अंतर्गत C का प्रतिबिंब f(C) के इतना निकट रहता है कि वह 0 को पार नहीं कर सकता, और दोनों प्रतिबिंब वक्र 0 के चारों ओर समान बार लपेटते हैं (छोटे पट्टे वाला कुत्ता पेड़ के चारों ओर उतनी ही बार घूमता है जितना उसका मालिक)। विधि: दिए गए वृत्त पर प्रभावी पद को f लीजिए।

उदाहरणार्थ: p(z) = z⁷ − 5z³ + 12 के लिए, |z| = 1 पर अचर प्रभावी है (|z⁷ − 5z³| ≤ 6 < 12), अतः |z| < 1 में कोई शून्यक नहीं; |z| = 2 पर |z⁷| = 128 > |−5z³ + 12| ≤ 52, अतः सभी 7 शून्यक |z| < 2 में हैं; चूँकि |z| = 1 पर |p(z)| ≥ 12 − 6 > 0, सभी 1 < |z| < 2 में हैं।

8. विधि का चयन

यदि विचित्रता का वर्गीकरण करना हो → अंश और हर के शून्यकों की कोटियाँ उनकी टेलर श्रेणियों से निकालिए; यदि बिंदु अन्य विचित्रताओं की सीमा हो तो वह विलगित नहीं, और यदि f में e^{1/(z − z₀)}, sin(1/(z − z₀)) आदि हों तो वह प्रायः अनिवार्य है (लॉरेंट श्रेणी से पुष्टि कीजिए)।

यदि ध्रुव सरल हो और f = p/q → Res = p(z₀)/q′(z₀); यदि सरल हो पर उस रूप में नहीं → lim (z − z₀)f(z)।

यदि ध्रुव की कोटि 2 या 3 हो और (z − z₀)^mf का अवकलन सरल हो → अवकलज सूत्र।

यदि कोटि ऊँची हो, f में ऊँची कोटि के शून्यकों वाले त्रिकोणमितीय या चरघातांकी गुणनखंड हों (जैसे 1/(z³ sin z)), या विचित्रता अनिवार्य हो → लॉरेंट श्रेणी में प्रसारित कर a₋₁ पढ़िए।

यदि C के अंदर अनेक विचित्रताएँ हों और संभवतः ∞ के अतिरिक्त बाहर कोई न हो → एक बार Res(f, ∞) का प्रयोग कीजिए।

यदि किसी क्षेत्र में शून्यकों की संख्या पूछी जाए → रूशे (सीमा पर प्रभावी पद से तुलना) या कोणांक सिद्धांत।

9. सामान्य गलतियाँ

1. सूत्र के रूप से वर्गीकरण करना: (sin z)/z की विचित्रता अपनेय है, ध्रुव नहीं, और (e^z − 1)/z² का सरल ध्रुव है, द्विक नहीं।

2. कोटि 2 के ध्रुव पर (जहाँ q′(z₀) = 0) सरल-ध्रुव सूत्र p/q′, या बहुल ध्रुव पर सूत्र lim (z − z₀)f का प्रयोग।

3. अवकलज सूत्र में कोटि m को कम आँकना; अधिक आँकना हानिरहित है, कम आँकना गलत उत्तर देता है।

4. C के बाहर की विचित्रताओं को सम्मिलित करना, या C पर की विचित्रता की उपेक्षा करना (तब समाकल अनुचित है और प्रमेय यथाकथित लागू नहीं होता)।

5. किसी अविलगित विचित्रता, जैसे 1/sin(1/z) के लिए 0 या log z का शाखा बिंदु, को ध्रुव मानना; अवशेष प्रमेय को विलगित विचित्रताएँ चाहिए।

6. ∞ पर अवशेष में चिह्न की भूल: यह बड़े |z| के प्रसार में 1/z के गुणांक का ऋणात्मक है।

संबंध: अवशेष प्रमेय कंटूर समाकलन (अगला विषय) और व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर का इंजन है, जिसका ब्रोमविच समाकल अवशेषों के योग से निकाला जाता है; यह प्रारंभिक मान समस्याओं के हल (साधारण अवकल समीकरण) से जुड़ता है।

संबंध: बड़े वृत्त पर zⁿ + (निम्न पद) पर रूशे लगाने से एक और उपपत्ति मिलती है कि घात n के बहुपद के ठीक n शून्यक होते हैं (रैखिक बीजगणित इसका प्रयोग n × n आव्यूह के n आइगेन मानों के लिए करता है)।

10. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: f(z) = (1 − cos z)/z³ की 0 पर विचित्रता का वर्गीकरण कीजिए और अवशेष ज्ञात कीजिए।

(1 − cos z)/z³ = (z²/2! − z⁴/4! + ...)/z³ = 1/(2z) − z/24 + ...। अतः z = 0 सरल ध्रुव है और अवशेष 1/2 है।

उदाहरण 2: ∮_|z|=3 e^z/(z(z − 1)²) dz का मान ज्ञात कीजिए।

दोनों ध्रुव 0 और 1 अंदर हैं। 0 पर अवशेष (सरल) = e⁰/(0 − 1)² = 1। 1 पर अवशेष (कोटि 2) = z = 1 पर d/dz [e^z/z] = z = 1 पर e^z(z − 1)/z² = 0। समाकल 2πi(1 + 0) = 2πi है।

उदाहरण 3: ∮_|z|=1 z²e^1/z dz का मान ज्ञात कीजिए।

z²e^1/z = z² + z + 1/2! + 1/(3!z) + 1/(4!z²) + ..., अतः अनिवार्य विचित्रता 0 पर अवशेष 1/6 है, और समाकल 2πi/6 = πi/3 है।

उदाहरण 4: दिखाइए कि z⁷ − 5z³ + 12 के सभी शून्यक 1 < |z| < 2 में हैं।

|z| = 1 पर f = 12, g = z⁷ − 5z³ लीजिए: |g| ≤ 6 < 12, अतः |z| ≤ 1 में कोई शून्यक नहीं (वृत्त पर भी नहीं, क्योंकि |f + g| ≥ 12 − 6 > 0)। |z| = 2 पर f = z⁷, g = −5z³ + 12 लीजिए: |g| ≤ 40 + 12 = 52 < 128 = |f|, अतः सभी 7 शून्यक |z| < 2 में हैं।

उदाहरण 5: z = 0 पर f(z) = 1/(z² sin z) का अवशेष ज्ञात कीजिए।

sin z = z(1 − z²/6 + z⁴/120 − ...), अतः f = 1/(z³(1 − z²/6 + ...)) और z = 0 कोटि 3 का ध्रुव है।

u = z²/6 − ... के साथ 1/(1 − u) = 1 + u + ..., अतः f = (1/z³)(1 + z²/6 + ...) = 1/z³ + 1/(6z) + ...।

अतः Res(f, 0) = 1/6। (कोटि-m सूत्र में द्वितीय अवकलज लेना पड़ता; श्रेणी अधिक शीघ्र है।)

उदाहरण 6: ∮_|z|=2 tan z dz का मान ज्ञात कीजिए।

tan z = sin z/cos z के cos z के शून्यकों z = (2k + 1)π/2 पर सरल ध्रुव हैं। |z| = 2 के अंदर केवल ±π/2 हैं (क्योंकि π/2 ≈ 1.57 और 3π/2 ≈ 4.71)।

p/q′ से: Res(tan z, π/2) = sin(π/2)/(−sin(π/2)) = −1, और Res(tan z, −π/2) = sin(−π/2)/(−sin(−π/2)) = −1।

अवशेष प्रमेय से समाकल 2πi(−1 − 1) = −4πi है।

उदाहरण 7: p(z) = z⁴ + 6z + 3 के |z| < 1 में और 1 < |z| < 2 में शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

|z| = 1 पर f = 6z और g = z⁴ + 3 लीजिए: |g| ≤ 1 + 3 = 4 < 6 = |f|। रूशे से p = f + g के |z| < 1 में उतने ही शून्यक हैं जितने 6z के, अर्थात एक। साथ ही |z| = 1 पर p का कोई शून्यक नहीं, क्योंकि वहाँ |p| ≥ 6 − 4 > 0।

|z| = 2 पर f = z⁴ और g = 6z + 3 लीजिए: |g| ≤ 12 + 3 = 15 < 16 = |f|। अतः |z| < 2 में p के 4 शून्यक हैं।

अतः 1 < |z| < 2 में p के 4 − 1 = 3 शून्यक हैं।

11. कुंडलन संख्या, अनंत पर व्यवहार और त्रिकोणमितीय ध्रुव

कुंडलन संख्या (winding number): a से न गुजरने वाले संवृत वक्र γ के लिए n(γ, a) = (1/2πi)∮_γ dz/(z − a) एक पूर्णांक है, जो बताता है कि γ, a के चारों ओर कितनी बार वामावर्त घूमता है। वक्र γ(t) = e^2πikt, 0 ≤ t ≤ 1, इकाई वृत्त को k बार अनुरेखित करता है, अतः |a| < 1 के लिए n(γ, a) = k और |a| > 1 के लिए 0।

व्यापक अवशेष प्रमेय: यदि f सरलतः संबद्ध प्रांत D में विलगित विचित्रताओं z₁, ..., z_n को छोड़कर विश्लेषिक है, और γ, D में उनसे बचता हुआ संवृत कंटूर है, तो ∮_γ f dz = 2πi ∑ n(γ, z_k) Res(f, z_k)।

अनंत पर सर्वत्र विश्लेषिक फलन: मान लीजिए f सर्वत्र विश्लेषिक है और g(w) = f(1/w)। तब w = 0, g की अपनेय विचित्रता है यदि और केवल यदि f अचर है (f परिबद्ध है, अतः लिउविल लागू होता है); कोटि m का ध्रुव है यदि और केवल यदि f घात m का बहुपद है; अनिवार्य विचित्रता है यदि और केवल यदि f अबीजीय है (इसकी टेलर श्रेणी में अनंत अशून्य पद हैं)।

त्रिकोणमितीय भागफलों के ध्रुव: sin πz के पूर्णांकों n पर सरल शून्यक हैं, जहाँ अवकलज π cos nπ = (−1)ⁿπ है, अतः 1/sin πz के पूर्णांकों पर सरल ध्रुव हैं जिनका अवशेष (−1)ⁿ/π है। जब गुणनखंडों का शून्यक साझा हो तो कोटियाँ जुड़ती हैं: z sin πz का 0 पर कोटि 2 का शून्यक है।

श्रेणी-विभाजन से मुख्य भाग: यदि h का z₀ पर कोटि m का शून्यक है, तो h = (z − z₀)^m(c₀ + c₁(z − z₀) + ...), c₀ ≠ 0, लिखिए और श्रेणियों का भाग देकर g/h के प्रथम m गुणांक निकालिए; उनमें से अंतिम अवशेष है।

12. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 15 अंक): मान लीजिए
γ : [0, 1] → ℂ वक्र
γ(t) = e^2πit, 0 ≤ t ≤ 1
है। औचित्य बताते हुए परिरेखीय (कन्टूर) समाकल
∫_γ dz/(4z² − 1)
का मान ज्ञात कीजिए।

γ(t) = e^2πit, 0 ≤ t ≤ 1, इकाई वृत्त है जो एक बार वामावर्त अनुरेखित होता है।

4z² − 1 = (2z − 1)(2z + 1), z = ±1/2 पर शून्य होता है, दोनों |z| = 1 के अंदर; ये f = 1/(4z² − 1) के सरल ध्रुव हैं।

p/q′ नियम से, Res(f, 1/2) = 1/(8·(1/2)) = 1/4 और Res(f, −1/2) = 1/(8·(−1/2)) = −1/4।

अवशेष प्रमेय से समाकल 2πi(1/4 − 1/4) = 0 है। (साथ ही ∞ पर f, 1/(4z²) की भाँति व्यवहार करता है, अतः Res(f, ∞) = 0 और परिमित अवशेषों का योग 0 है।)

उत्तर: ∫_γ dz/(4z² − 1) = 0।

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 10 अंक): मान लीजिए कि c : [0, 1] → ℂ, c(t) = e^4πit, 0 ≤ t ≤ 1 के द्वारा परिभाषित एक वक्र है। कन्टूर समाकल ∫_c dz/(2z² − 5z + 2) का मान निकालिए।

c(t) = e^4πit, 0 ≤ t ≤ 1, इकाई वृत्त का दो बार वामावर्त चक्कर लगाता है (इसका कोणांक 4πt, 0 से 4π तक जाता है), अतः |z| = 1 के अंदर प्रत्येक बिंदु के परितः इसकी कुंडलन संख्या 2 है।

2z² − 5z + 2 = (2z − 1)(z − 2): z = 1/2 (अंदर) और z = 2 (बाहर) पर सरल ध्रुव।

1/2 पर अवशेष = z = 1/2 पर 1/(4z − 5) = −1/3।

∫_c = 2πi·n(c, 1/2)·Res = 2πi·2·(−1/3) = −4πi/3। एक सामान्य त्रुटि −2πi/3 है, जो दूसरे चक्कर को छोड़ देती है।

उत्तर: ∫_c dz/(2z² − 5z + 2) = −4πi/3।

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 10 अंक): वे सभी सर्वत्र वैश्लेषिक फलनें f(z) ज्ञात कीजिए जिनके लिए 0 फलन f(1/z) की अपनेय विचित्रता है।

0, f(1/z) की अपनेय विचित्रता है, अतः lim_z→0 f(1/z) विद्यमान है और किसी 0 < |z| < δ पर f(1/z) परिबद्ध है; अर्थात |w| > 1/δ के लिए |f(w)| ≤ M₁।

संहत चकती |w| ≤ 1/δ पर संतत फलन f परिबद्ध है, मान लीजिए M₂ से।

अतः f एक परिबद्ध सर्वत्र विश्लेषिक फलन है और लिउविल प्रमेय से अचर है। विलोमतः, यदि f अचर है तो f(1/z) अचर है और 0 अपनेय है।

उत्तर: ठीक अचर फलन f(z) = c।

उदाहरण 11 (UPSC 2021, 15 अंक): मान लीजिए कि f एक सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है जिसके केन्द्र z = 0 पर टेलर श्रेणी प्रसार में अपरिमित रूप से अनेक पद हैं। दर्शाइए कि f(1/z) की z = 0 एक अनिवार्य विचित्रता है।

f सर्वत्र विश्लेषिक है, अतः प्रत्येक z ∈ ℂ के लिए f(z) = ∑_n=0^∞ a_nzⁿ, जहाँ अनंत a_n ≠ 0।

प्रत्येक z ≠ 0 के लिए f(1/z) = a₀ + a₁/z + a₂/z² + ..., जो z की घातों में वलय 0 < |z| < ∞ में अभिसारी श्रेणी है, अतः z = 0, f(1/z) की विलगित विचित्रता है।

लॉरेंट प्रसारों की अद्वितीयता से यही 0 के परितः f(1/z) की लॉरेंट श्रेणी है, और इसके मुख्य भाग ∑_n≥1 a_nz⁻ⁿ में अनंत अशून्य पद हैं।

उत्तर: अनंत पदों वाले मुख्य भाग का अर्थ है कि z = 0, f(1/z) की अनिवार्य विचित्रता है (उदाहरणतः f = e^z से e^1/z)।

उदाहरण 12 (UPSC 2024, 15 अंक): फलन f(z) = 1/[z (sin πz)(z + 1/2)] के अनंतक तथा उनकी घात (ऑर्डर) का पता लगाइए। इन अनंतकों पर f(z) के अवशेष भी ज्ञात कीजिए।

हर z(sin πz)(z + 1/2), z = 0, z = n (n ∈ ℤ, n ≠ 0) और z = −1/2 पर शून्य होता है।

0 पर: z sin πz = πz²(1 − π²z²/6 + ...) का कोटि 2 का शून्यक है और z + 1/2 ≠ 0, अतः 0 कोटि 2 का ध्रुव है। n ≠ 0 पर: sin πz का सरल शून्यक है और z(z + 1/2) ≠ 0, अतः सरल ध्रुव। −1/2 पर: z + 1/2 का सरल शून्यक है और z sin πz = 1/2 ≠ 0, अतः सरल ध्रुव।

n ≠ 0 पर अवशेष = 1/(n(n + 1/2)·π cos nπ) = 2(−1)ⁿ/(πn(2n + 1)); −1/2 पर अवशेष = z = −1/2 पर 1/(z sin πz) = 1/((−1/2)(−1)) = 2।

0 पर अवशेष: f = (1/(πz²))(1 − π²z²/6 + ...)⁻¹·2(1 + 2z)⁻¹ = (2/(πz²))(1 − 2z + ...), अतः 1/z का गुणांक −4/π है।

उत्तर: 0 पर द्विक ध्रुव, अवशेष −4/π; −1/2 पर सरल ध्रुव, अवशेष 2; n = ±1, ±2, ... पर सरल ध्रुव, अवशेष 2(−1)ⁿ/(πn(2n + 1))।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): (1 − e^z)/z की 0 पर किस प्रकार की विचित्रता है?

उत्तर: अपनेय: (1 − e^z)/z = −1 − z/2 − ..., सीमा −1।

अभ्यास 2 (मूल): 1/(z³ − z⁵) की विचित्रताएँ ज्ञात कर उनका वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: 1/(z³(1 − z)(1 + z)): 0 पर कोटि 3 का ध्रुव और ±1 पर सरल ध्रुव।

अभ्यास 3 (मूल): z = 2 पर e^z/(z − 2) का अवशेष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: e²।

अभ्यास 4 (मानक): 1/(z(z + 2)³) के ध्रुवों पर उसके अवशेष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 0 पर: 1/8; −2 पर (कोटि 3): −2 पर (1/2!)·d²/dz²(1/z) = 1/(−2)³ = −1/8। इनका योग 0 है, जैसा होना चाहिए।

अभ्यास 5 (मानक): z = nπ, n ∈ ℤ पर cot z का अवशेष ज्ञात कीजिए।

उत्तर: p = cos z, q = sin z के साथ p/q′: cos nπ/cos nπ = 1।

अभ्यास 6 (मानक): ∮_|z|=3 dz/((z − 1)(z − 2)(z − 4)) का मान निकालिए।

उत्तर: 4 बाहर है; 1 पर अवशेष 1/3 और 2 पर −1/2; समाकल 2πi(−1/6) = −πi/3 है।

अभ्यास 7 (मानक): ∮_|z|=1 z³e^1/z dz का मान निकालिए।

उत्तर: 1/z वाला पद 1/(4!z⁴) से आता है, अतः अवशेष 1/24 और समाकल πi/12 है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): दिखाइए कि ∮_|z|=1 e^1/z sin(1/z) dz = 2πi।

उत्तर: w = 1/z के साथ e^w sin w = w + w² + w³/3 − ...; 1/z का गुणांक 1 है, अतः 0 पर अनिवार्य विचित्रता का अवशेष 1 है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): दिखाइए कि 2z⁵ − 6z² + z + 1 के दो शून्य |z| < 1 में और तीन 1 < |z| < 2 में हैं।

उत्तर: |z| = 1 पर |2z⁵ + z + 1| ≤ 4 < 6 = |−6z²|: दो शून्य; |z| = 2 पर |−6z² + z + 1| ≤ 27 < 64 = |2z⁵|: पाँच शून्य; |z| = 1 पर कोई नहीं।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): f(z) = z²/((z − 1)²(z + 2)) के अवशेष ज्ञात कीजिए और ∮_|z|=3 f dz का मान निकालिए।

उत्तर: Res(−2) = 4/9; Res(1) = 1 पर d/dz[z²/(z + 2)] = 5/9; समाकल 2πi है (जाँच: ∞ पर f ≈ 1/z)।

1. इकाई-वृत्त प्रतिस्थापन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ∫₀^2π dθ/(2 + cos θ) जैसे समाकल वास्तविक विधियों (प्रतिस्थापन t = tan(θ/2)) से हो सकते हैं, परंतु बीजगणित भारी है और वर्गित हर या cos 3θ जैसे अंश के लिए कठिन हो जाता है। उन्हें संवृत कंटूर समाकलों में बदलने से वे अवशेष-गणना बन जाते हैं।

शब्दों में: θ के 0 से 2π तक चलने पर बिंदु z = e^iθ इकाई वृत्त का एक वामावर्त चक्कर लगाता है। प्रत्येक cos θ, sin θ और dθ को z में लिखा जा सकता है: cos θ = (z + 1/z)/2, sin θ = (z − 1/z)/(2i), dθ = dz/(iz)। पूरे आवर्त पर वास्तविक समाकल z के परिमेय फलन का ∮_|z|=1 बन जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: I = ∫₀^2π dθ/(2 + cos θ)।

(1) प्रतिस्थापन: 2 + cos θ = 2 + (z + 1/z)/2 = (z² + 4z + 1)/(2z)।

(2) समाकल्य जोड़ें: (2z/(z² + 4z + 1))·(1/(iz)) dz = (2/i) dz/(z² + 4z + 1)।

(3) ध्रुव ज्ञात करें: z² + 4z + 1 = 0 से α = −2 + √3 ≈ −0.268 और β = −2 − √3 ≈ −3.732। इनका गुणनफल 1 है, अतः ठीक एक अंदर है: α।

(4) सरल ध्रुव α पर अवशेष: 1/(α − β) = 1/(2√3)।

(5) अवशेष प्रमेय: I = (2/i)·2πi·1/(2√3) = 2π/√3 ≈ 3.628।

(6) मानक परिणाम 2π/√(a² − b²) से a = 2, b = 1 के लिए जाँच: 2π/√3। ध्यान दें कि उत्तर वास्तविक और धनात्मक है, जैसा धनात्मक फलन के समाकल का होना चाहिए; काल्पनिक उत्तर किसी छूटे गुणक i का संकेत है।

अ-उदाहरण (non-example): ∫₀^2π dθ/(1 + cos θ)। यहाँ a = b = 1, अतः शर्त a > |b| विफल है: हर θ = π पर शून्य होता है, रूपांतरित समाकल्य का इकाई वृत्त पर z = −1 पर ध्रुव है, और वास्तविक समाकल अपसारी है (θ = π के निकट समाकल्य 2/(θ − π)² की तरह व्यवहार करता है)।

आगे बढ़ते हुए: (i) प्रतिस्थापन के लिए पूरा आवर्त चाहिए; cos θ के फलन के ∫₀^π के लिए पहले सममिति से परिसर दुगुना करें। (ii) केवल |z| = 1 के निरपेक्षतः अंदर के ध्रुव गिने जाते हैं; व्युत्क्रम युग्म के लिए αβ = 1 का उपयोग कर |α| < 1 जाँचें। (iii) cos nθ वाले अंशों के लिए 0 पर उच्च कोटि के ध्रुव से बचने हेतु Re zⁿ का उपयोग करें।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रकार I के प्रश्नों में, प्रायः 15–20 अंक, जिनमें ∫ dθ/(a + b cos θ)² और ∫ sin²θ/(a + b cos θ) dθ शामिल हैं।

2. प्रकार I: ∫₀^2π F(cos θ, sin θ) dθ

प्रतिस्थापन: z = e^iθ, अतः cos θ = (z + 1/z)/2, sin θ = (z − 1/z)/(2i), dθ = dz/(iz), और θ के 0 से 2π तक जाने पर |z| = 1 एक बार वामावर्त अनुरेखित होता है।

यह क्यों काम करता है: dz = ie^iθ dθ = iz dθ, और cos θ = (e^iθ + e^−iθ)/2 = (z + z⁻¹)/2; व्यापक रूप से cos nθ = (zⁿ + z⁻ⁿ)/2 और sin nθ = (zⁿ − z⁻ⁿ)/(2i)। एक आवर्त पर वास्तविक समाकल z के परिमेय फलन का संवृत कंटूर समाकल बन जाता है (ऊपर के चित्र का दायाँ भाग देखें)।

शर्त: F वृत्त पर संतत होना चाहिए, अर्थात वास्तविक θ के लिए उसका हर शून्य न हो; a + b cos θ के लिए इसका अर्थ a > |b| है। अन्यथा |z| = 1 पर एक ध्रुव होता है और वास्तविक समाकल अपसारी है।

परिणाम: समाकल = 2πi × (|z| = 1 के अंदर रूपांतरित परिमेय फलन के अवशेषों का योग)।

मानक परिणाम की व्युत्पत्ति: a > |b| > 0 के लिए ∫₀^2π dθ/(a + b cos θ) = ∮_|z|=1 dz/(iz(a + b(z + 1/z)/2)) = ∮_|z|=1 2 dz/(i(bz² + 2az + b))।

मूल α = (−a + √(a² − b²))/b और β = (−a − √(a² − b²))/b वास्तविक हैं, αβ = 1 और |α| = (a − √(a² − b²))/|b| < 1, अतः केवल α वृत्त के अंदर है।

α पर Res = 2/(ib(α − β)) = 2/(i·2√(a² − b²)), क्योंकि α − β = 2√(a² − b²)/b। अतः समाकल 2πi/(i√(a² − b²)) = 2π/√(a² − b²) है; b = 0 के लिए यह केवल 2π/a है।

भाव: इस प्रकार के हरों के मूल व्युत्क्रम युग्मों (गुणनफल 1) में होते हैं, अतः प्रत्येक युग्म का ठीक एक मूल इकाई वृत्त के अंदर होता है; αβ = 1 के साथ |α| < 1 जाँचने से दोनों मापांकों की गणना बचती है।

उदाहरण 1: ∫₀^2π dθ/(5 + 4cos θ) का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल ∮_|z|=1 dz/(iz(5 + 2z + 2/z)) = ∮ dz/(i(2z² + 5z + 2)) = ∮ dz/(i(2z + 1)(z + 2)) बनता है। केवल z = −1/2 अंदर है, जिसका अवशेष 1/(i·2·(−1/2 + 2)) = 1/(3i) है। समाकल 2πi/(3i) = 2π/3 है।

व्यापक परिणाम: a > |b| के लिए ∫₀^2π dθ/(a + b cos θ) = 2π/√(a² − b²)।

3. अर्धवृत्त कंटूर को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: पूरी वास्तविक रेखा पर समाकल, जैसे ∫_−∞^∞ dx/(x² + 4), किसी संवृत वक्र पर नहीं है, अतः अवशेष प्रमेय सीधे नहीं लगाया जा सकता। हम पथ को एक चाप से बंद करते हैं जिस पर समाकल नगण्य हो जाता है।

शब्दों में: बड़े R के लिए खंड [−R, R] और उसके बाद ऊपरी अर्धवृत्त Γ_R: |z| = R, Im z ≥ 0, एक संवृत वामावर्त कंटूर है। यह ऊपरी अर्ध-तल के ठीक उन ध्रुवों को घेरता है जिनका मापांक R से कम है। R → ∞ पर खंड-समाकल वास्तविक समाकल की ओर जाता है, और चाप-समाकल 0 की ओर जाता है जब हर की घात अंश की घात से कम से कम 2 अधिक हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∫_−∞^∞ dx/(x² + 4)।

(1) f(z) = 1/(z² + 4) के ध्रुव: z = ±2i। केवल 2i ऊपरी अर्ध-तल में है।

(2) 2i पर अवशेष: z = 2i पर 1/(2z), अर्थात् 1/(4i)।

(3) R > 2 के लिए: ∫_−R^R f dx + ∫_ΓR f dz = 2πi/(4i) = π/2।

(4) चाप का आकलन: |z| = R पर |z² + 4| ≥ R² − 4, और चाप की लंबाई πR है, अतः |∫_ΓR f dz| ≤ πR/(R² − 4) → 0।

(5) R → ∞ करें: ∫_−∞^∞ dx/(x² + 4) = π/2। वास्तविक कलन से जाँच: −∞ से ∞ तक [(1/2) tan⁻¹(x/2)] = π/2। ध्यान दें कि चरण (4) का आकलन वह भाग है जिस पर परीक्षक अंक देते हैं; इसे हर बार लिखें।

अ-उदाहरण (non-example): ∫_−∞^∞ x dx/(x² + 1): घातों में केवल 1 का अंतर है। चाप पर f ≈ 1/z, और ∫_ΓR dz/z = πi, 0 की ओर नहीं जाता; तदनुसार वास्तविक समाकल अपसारी है (इसका प्रतिअवकलज (1/2) ln(x² + 1) अपरिबद्ध है), और केवल मुख्य मान 0 विद्यमान है।

आगे बढ़ते हुए: (i) deg Q ≥ deg P + 2 से चाप पर |f| ≤ K/R², अतः ML सीमा πK/R → 0। (ii) निचले अर्ध-तल में बंद करने पर −2πi और निचले ध्रुवों के साथ वही मान मिलता है। (iii) सम समाकल्य के लिए ∫₀^∞, ∫_−∞^∞ का आधा है; जो सम न हो उसके लिए त्रिज्यखंड कंटूर का उपयोग किया जा सकता है।

कहाँ प्रयोग होता है: ∫ dx/(x² + a²)² और ∫ x² dx/((x² + 1)(x² + 4)) जैसे प्रकार II के समाकलों में; यही कंटूर, जॉर्डन प्रमेयिका के साथ, फूरियर-प्रकार के समाकलों को संभालता है।

4. प्रकार II: ∫_−∞^∞ P(x)/Q(x) dx

शर्तें: P, Q बहुपद, deg Q ≥ deg P + 2, और Q का कोई वास्तविक शून्यक नहीं।

भाव: deg Q ≥ deg P + 2 से चाप पर |f(z)| ≤ K/R², जबकि चाप की लंबाई केवल πR है, अतः चाप का योगदान अधिकतम πK/R → 0; यही शर्त वास्तविक समाकल को निरपेक्षतः अभिसारी बनाती है। deg Q = deg P + 1 होने पर, जैसे x/(x² + 1) के लिए, अनुचित समाकल अपसारी है और केवल मुख्य मान विद्यमान है। Q का वास्तविक शून्यक पथ पर एक असमाकलनीय विचित्रता रख देता है।

कंटूर: खंड [−R, R] और ऊपरी अर्धवृत्त Γ_R: |z| = R, Im z ≥ 0। चूँकि |z| → ∞ पर |zf(z)| → 0, ML-असमिका से |∫_ΓR f dz| ≤ πR·max|f| → 0।

परिणाम: ∫_−∞^∞ P(x)/Q(x) dx = 2πi × (ऊपरी अर्धतल में P/Q के अवशेषों का योग)।

केवल ऊपरी अर्धतल क्यों: संवृत कंटूर (ऊपर के चित्र का बायाँ भाग) ठीक Im z > 0 वाले ध्रुवों को घेरता है। इसके स्थान पर निचले अर्धतल में भी बंद किया जा सकता है; वह कंटूर दक्षिणावर्त है, जो −2πi × (निचले अवशेषों का योग) देता है, वही मान। सम समाकल्य के लिए ∫₀^∞ = (1/2)∫_−∞^∞।

उदाहरण 2: ∫_−∞^∞ dx/(x² + 1)² का मान ज्ञात कीजिए।

ऊपरी अर्धतल में एकमात्र ध्रुव z = i है, कोटि 2 का। अवशेष = z = i पर d/dz [(z + i)⁻²] = −2/(2i)³ = −2/(−8i) = 1/(4i)। समाकल 2πi·1/(4i) = π/2 है।

उदाहरण 3: ∫₀^∞ dx/(x⁴ + 1) का मान ज्ञात कीजिए।

ऊपरी अर्धतल में ध्रुव z₁ = e^iπ/4 और z₂ = e^3iπ/4 हैं, जिनके अवशेष 1/(4z_k³) = −z_k/4 हैं (क्योंकि z_k⁴ = −1)। इनका योग −(z₁ + z₂)/4 = −i√2/4 है, अतः ∫_−∞^∞ = 2πi(−i√2/4) = π/√2 और ∫₀^∞ = π/(2√2)।

5. जॉर्डन प्रमेयिका और गुणक e^imz को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: cos mx या sin mx वाले समाकलों, जैसे ∫ x sin x/(x² + 1) dx, में घातों का अंतर प्रायः केवल 1 होता है, अतः साधारण ML आकलन विफल होता है। और cos mz स्वयं वास्तविक अक्ष से हटकर चरघातांकी रूप से बढ़ता है। हमें बेहतर गुणक और बेहतर आकलन चाहिए।

शब्दों में: z = x + iy के लिए |e^imz| = e^−my, जो m > 0 होने पर ऊपरी अर्ध-तल में अधिकतम 1 है और ऊँचाई पर बहुत छोटा। जॉर्डन प्रमेयिका: यदि चाप Γ_R पर |f| का अधिकतम 0 की ओर जाए, तो ∫_ΓR e^imzf(z) dz → 0। अतः f को केवल 0 की ओर जाना है, 1/R² की तरह नहीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ∫_−∞^∞ cos 2x/(x² + 2x + 2) dx और संगत ज्या समाकल।

(1) f(z) = e^2iz/(z² + 2z + 2) चुनें; वास्तविक अक्ष पर इसका वास्तविक भाग कोज्या समाकल्य और काल्पनिक भाग ज्या समाकल्य है।

(2) ध्रुव: z² + 2z + 2 = 0 से z = −1 ± i; केवल −1 + i ऊपरी अर्ध-तल में है।

(3) अवशेष: z = −1 + i पर e^2iz/(2z + 2) = e^2i(−1+i)/(2i) = e⁻²e⁻²ⁱ/(2i)।

(4) चाप का योगदान 0 की ओर जाता है (यहाँ ML भी पर्याप्त है, क्योंकि घातों में 2 का अंतर है और |e^2iz| ≤ 1)।

(5) अतः ∫_−∞^∞ e^2ix/(x² + 2x + 2) dx = 2πi·e⁻²e⁻²ⁱ/(2i) = πe⁻²(cos 2 − i sin 2)।

(6) भागों को बराबर करें: कोज्या समाकल πe⁻² cos 2 ≈ −0.177 और ज्या समाकल −πe⁻² sin 2 ≈ −0.387 है। ध्यान दें कि यहाँ ज्या समाकल 0 नहीं क्योंकि समाकल्य विषम नहीं: ध्रुव काल्पनिक अक्ष के प्रति सममित नहीं हैं।

अ-उदाहरण (non-example): इसके स्थान पर f(z) = cos 2z/(z² + 2z + 2) लेना। चाप के शीर्ष z = iR पर cos(2iR) = cosh 2R, जो e^2R/2 की तरह बढ़ता है, अतः चाप-समाकल 0 की ओर नहीं जाता और विधि ढह जाती है। जो शर्त विफल होती है वह ऊपरी अर्ध-तल में दोलनी गुणक की परिबद्धता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) चाप पर |e^imz| = e^{−mR sin θ}। (ii) [0, π/2] पर जॉर्डन असमिका sin θ ≥ 2θ/π से ∫₀^π e^{−mR sin θ} dθ < π/(mR)। (iii) अतः |∫_ΓR e^imzf dz| < (π/m)·max|f| → 0 (मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 15)। (iv) m < 0 के लिए निचले अर्ध-तल में बंद करें, या −m से पुनर्लेखन करें।

कहाँ प्रयोग होता है: ∫ cos mx/(x² + a²) dx, ∫ x sin mx/(x² + a²) dx और ऐसे ही फूरियर-प्रकार के समाकलों में, और दंतुरण के साथ ∫ sin x/x dx के लिए।

6. प्रकार III: फूरिये-प्रकार के समाकल और जॉर्डन प्रमेयिका

जॉर्डन असमिका: 0 ≤ θ ≤ π/2 के लिए 2θ/π ≤ sin θ ≤ θ।

यह क्यों काम करता है: sin θ, [0, π/2] पर अवतल है, अतः उसका आलेख (0, 0) और (π/2, 1) को जोड़ने वाली जीवा, अर्थात रेखा 2θ/π, के ऊपर है; और sin θ ≤ θ क्योंकि अवकलज cos θ ≤ 1।

जॉर्डन प्रमेयिका (Jordan's lemma): यदि ऊपरी अर्धतल में |z| → ∞ पर f(z) → 0 एकसमान रूप से और m > 0, तो R → ∞ पर ∫_ΓR e^imzf(z) dz → 0।

भाव: चाप z = Re^iθ पर |e^imz| = e^{−mR sin θ}, जो θ = 0 और θ = π के निकट को छोड़कर अति छोटा है। जॉर्डन असमिका से ∫₀^π e^{−mR sin θ} dθ < π/(mR), अतः |∫_ΓR e^imzf dz| < (π/m)·max_ΓR|f| → 0 (मानक उपपत्तियाँ, खंड 15)। इसीलिए यहाँ f → 0 पर्याप्त है, जबकि साधारण ML-असमिका को |f| ≤ K/R² चाहिए।

यदि m < 0: e^imz ऊपरी अर्धतल में बढ़ता है, अतः कंटूर निचले अर्धतल में (दक्षिणावर्त) बंद कीजिए, या cos(−mx) = cos mx और sin(−mx) = −sin mx से m को धनात्मक बनाइए।

विधि: f = P/Q, deg Q ≥ deg P + 1 और कोई वास्तविक ध्रुव न होने पर ∫_−∞^∞ f(x) cos mx dx या ∫ f(x) sin mx dx के लिए अर्धवृत्त कंटूर पर e^imzf(z) का समाकलन कर वास्तविक या काल्पनिक भाग लीजिए। cos mz का सीधा प्रयोग कभी न कीजिए, क्योंकि यह e^m|y| की तरह बढ़ता है।

e^imz क्यों: वास्तविक x के लिए cos mx = Re e^imx और sin mx = Im e^imx (जब f, ℝ पर वास्तविक हो), जबकि y ≥ 0 के लिए |e^imz| = e^−my ≤ 1। इसके विपरीत cos mz = (e^imz + e^−imz)/2 में e^−imz है, जिसका मापांक e^my ऊपरी अर्धतल में अनंत की ओर जाता है।

उदाहरण 4: m ≥ 0, a > 0 के लिए दिखाइए कि ∫₀^∞ cos mx/(x² + a²) dx = (π/(2a))e^−ma।

f(z) = e^imz/(z² + a²) लीजिए। ध्रुव ia अंदर है, अवशेष e^−ma/(2ia)। अतः ∫_−∞^∞ e^imx/(x² + a²) dx = 2πi·e^−ma/(2ia) = πe^−ma/a। वास्तविक भाग लेकर और समता का प्रयोग कर परिणाम मिलता है।

7. दंतुरण और मुख्य मानों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ∫ sin x/x dx के लिए स्वाभाविक चयन e^iz/z का 0 पर, अर्थात् समाकलन पथ पर, ध्रुव है। अवशेष प्रमेय कंटूर पर ध्रुवों की अनुमति नहीं देता, अतः हमें ध्रुव के चारों ओर से निकलना होगा और यह हिसाब रखना होगा कि यह चक्कर क्या योगदान देता है।

शब्दों में: मुख्य मान (principal value) PV∫_−∞^∞ f dx, वास्तविक रेखा पर एक छोटा सममित अंतराल (x₀ − ε, x₀ + ε) हटाकर लिए गए समाकल की ε → 0 पर सीमा है। अंतराल को त्रिज्या ε के छोटे ऊपरी अर्धवृत्त से जोड़ा जाता है, जिसे दक्षिणावर्त लिया जाता है; सरल ध्रुव के लिए इसका योगदान वहाँ के अवशेष के −πi गुना की ओर जाता है, पूरे वृत्त का आधा।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: PV∫_−∞^∞ dx/((x − 1)(x² + 1))।

(1) f(z) = 1/((z − 1)(z² + 1)) के ध्रुव: वास्तविक अक्ष पर z = 1 (सरल), ऊपर z = i, नीचे z = −i।

(2) 1 पर अवशेष: 1/(1 + 1) = 1/2। i पर अवशेष: 1/((i − 1)(2i)) = 1/(−2 − 2i) = −(1 − i)/4।

(3) कंटूर: [−R, 1 − ε], 1 के चारों ओर छोटा दक्षिणावर्त अर्धवृत्त, [1 + ε, R], और बड़ा चाप (जिसका योगदान सीमा में 0 है क्योंकि घातों में 3 का अंतर है)।

(4) कंटूर केवल i को घेरता है, अतः PV∫ − πi·(1/2) = 2πi·(−(1 − i)/4)।

(5) हल करें: PV∫ = −πi(1 − i)/2 + πi/2 = −πi/2 − π/2 + πi/2 = −π/2। ध्यान दें कि काल्पनिक भाग कट जाते हैं, जैसा वास्तविक समाकल्य के लिए होना चाहिए; PV नियम 2πi∑Res(ऊपरी) + πi∑Res(वास्तविक अक्ष) ठीक चरण (4) और (5) है।

अ-उदाहरण (non-example): PV∫₋₁¹ dx/x² विद्यमान नहीं: 0 के निकट दोनों ओर से +1/ε आता है, जो असीमित बढ़ता है, और द्विक ध्रुव के चारों ओर छोटा अर्धवृत्त −2c/ε योगदान देता है, जो भी अनंत होता है। दंतुरण केवल सरल ध्रुवों के लिए काम करता है।

आगे बढ़ते हुए: (i) सरल ध्रुव x₀ के निकट f = c/(z − x₀) + g, जहाँ g विश्लेषिक है। (ii) अर्धवृत्त z = x₀ + εe^iθ पर, θ के π से 0 तक, c-पद ठीक −πic देता है, और g-पद अधिकतम πε·max|g| → 0 है। (iii) यदि वास्तविक समाकल्य x₀ पर परिमित है (जैसे sin x/x, 0 पर), तो मुख्य मान साधारण समाकल है और अंत में PV लेबल हटाया जा सकता है।

कहाँ प्रयोग होता है: ∫₀^∞ sin x/x dx = π/2, ∫ sin x/(x(x² + a²)) dx और ऐसे अन्य समाकलों में जिनके सम्मिश्र रूप का वास्तविक अक्ष पर सरल ध्रुव हो।

8. वास्तविक अक्ष पर ध्रुव और शाखा बिंदु

दंतुरण (indentation): यदि f का वास्तविक बिंदु x₀ पर सरल ध्रुव है, तो त्रिज्या ε के छोटे ऊपरी अर्धवृत्त γ_ε से उससे बचिए; ε → 0 पर, γ_ε को दक्षिणावर्त लेने पर ∫_γε f dz → −πi·Res(f, x₀)।

व्युत्पत्ति: x₀ के निकट f(z) = c/(z − x₀) + g(z), जहाँ c = Res(f, x₀) और g विश्लेषिक। γ_ε पर z = x₀ + εe^iθ रखिए, θ, π से 0 तक (दक्षिणावर्त, जैसा ऊपर के चित्र के मध्य भाग में): ∫ c·iεe^iθ dθ/(εe^iθ) = ic(0 − π) = −πic। भाग ∫_γε g dz → 0, क्योंकि g परिबद्ध है और लंबाई πε → 0।

केवल सरल ध्रुव: पद c₂/(z − x₀)² छोटे अर्धवृत्त पर −2c₂/ε का योगदान देता है, जो अनंत की ओर जाता है; तदनुरूप वास्तविक समाकल मुख्य मान के रूप में भी विद्यमान नहीं।

मुख्य मान परिणाम: PV∫_−∞^∞ f dx = 2πi∑Res(ऊपरी अर्धतल) + πi∑Res(वास्तविक अक्ष पर सरल ध्रुव)।

भाव: वास्तविक अक्ष पर सरल ध्रुव आधा गिना जाता है: छोटा अर्धवृत्त ध्रुव के चारों ओर पूर्ण वृत्त का आधा है, अतः वह 2πi Res का आधा ग्रहण करता है।

उदाहरण 5: दिखाइए कि ∫₀^∞ (sin x)/x dx = π/2।

f(z) = e^iz/z लीजिए, जिसका कंटूर पर 0 पर सरल ध्रुव है और ऊपर कोई ध्रुव नहीं। 0 पर दंतुरण कर और बड़े चाप पर जॉर्डन प्रमेयिका से PV∫_−∞^∞ e^ix/x dx = πi·Res(f, 0) = πi। काल्पनिक भाग से ∫_−∞^∞ (sin x)/x dx = π, और समता से ∫₀^∞ = π/2।

शाखा बिंदु (कुंजीछिद्र कंटूर, keyhole contour): ∫₀^∞ x^a−1/(1 + x) dx (0 < a < 1) जैसे समाकलों के लिए धनात्मक वास्तविक अक्ष पर शाखा कट के चारों ओर जाने वाला कंटूर लीजिए; परिणाम π/sin(aπ) है।

प्रस्तुति के चरण:

1. f(z) और कंटूर चुनिए, और उसे बनाइए।

2. विचित्रताएँ ज्ञात कर तय कीजिए कि कौन-सी अंदर हैं।

3. अवशेष निकालिए।

4. दिखाइए कि बड़े चाप (ML या जॉर्डन) और छोटे दंतुरणों पर समाकल अपेक्षित व्यवहार करते हैं।

5. R → ∞ और ε → 0 लेकर वास्तविक या काल्पनिक भागों की तुलना कीजिए।

9. कंटूर का चयन

यदि समाकल्य पूर्ण आवर्त पर cos θ और sin θ का परिमेय फलन हो → इकाई वृत्त; [0, π] पर, पहले जाँचिए कि समाकल्य θ में सम है (केवल cos θ का फलन) और परिसर दुगुना कीजिए।

यदि ∫_−∞^∞ P/Q dx हो, deg Q − deg P ≥ 2 और Q का कोई वास्तविक शून्यक न हो → बड़ा अर्धवृत्त, चाप ML-असमिका से शून्य।

यदि cos mx या sin mx गुणनखंड हो और deg Q − deg P = 1 → e^imz और जॉर्डन प्रमेयिका; deg Q − deg P ≥ 2 होने पर ML-असमिका भी पर्याप्त है, क्योंकि |e^imz| ≤ 1।

यदि वास्तविक समाकल्य किसी बिंदु x₀ पर परिमित हो पर e^imzf(z) का वहाँ सरल ध्रुव हो (जैसे (sin x)/x के लिए) → दंतुरित अर्धवृत्त और πi Res नियम।

यदि किसी असम परिमेय फलन का ∫₀^∞ हो, जैसे 1/(1 + x³) → कोण 2π/3 का त्रिज्यखंड कंटूर: किरण z = re^2πi/3 पर z³ = r³, अतः (1 − e^2πi/3)I = 2πi Res(e^iπ/3) = 2πi/(3e^2πi/3), जिससे I = 2π/(3√3)।

यदि x^a−1 (0 < a < 1) या log x आए → धनात्मक वास्तविक अक्ष के अनुदिश शाखा-कट के चारों ओर कुंजी-छिद्र (keyhole) कंटूर, कट के दोनों किनारों पर arg z के मान का ध्यान रखते हुए।

यदि प्राचल हों (a > 0, m > 0, |b| < a) → उनसे तय कीजिए कि कौन से ध्रुव अंदर हैं, और उत्तर में उन्हें लिखिए।

10. सामान्य गलतियाँ

1. अर्धवृत्त पर e^imz के स्थान पर cos mz या sin mz का समाकलन; वे e^m|y| की तरह बढ़ते हैं और चाप समाकल शून्य नहीं होता।

2. गलत ध्रुव लेना: प्रकार II में निचले अर्धतल के ध्रुव, या प्रकार I में व्युत्क्रम युग्म के दोनों मूल।

3. dθ = dz/(iz) से आने वाला गुणक 1/(iz), या sin θ = (z − 1/z)/(2i) में 2i भूलना।

4. बिना किसी सीमा के कहना कि चाप समाकल 0 की ओर जाता है; ML आकलन (या जॉर्डन प्रमेयिका) स्पष्ट लिखिए, क्योंकि परीक्षक इसके अंक देते हैं।

5. वास्तविक अक्ष पर सरल ध्रुव के लिए πi Res के स्थान पर 2πi Res लेना, या द्विक ध्रुव के चारों ओर दंतुरण करना।

6. सम फलन का ∫₀^∞, ∫_−∞^∞ से निकालते समय आधा करना भूलना, या वास्तविक अक्ष पर f के वास्तविक न होने पर भी वास्तविक भाग लेना।

संबंध: प्रकार III के समाकल फूरिये रूपांतर हैं, और व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर उसी अवशेष तकनीक से एक ऊर्ध्वाधर रेखा को बड़े चाप से बंद करके निकाला जाता है (साधारण अवकल समीकरण, लाप्लास रूपांतर)।

संबंध: ∫₀^∞ (sin x)/x dx = π/2 वास्तविक विश्लेषण में ∫₀^∞ e^−ax(sin x)/x dx का प्राचल a के सापेक्ष अवकलन करके भी मिलता है; कंटूर विधि सीमाओं के विनिमय को उचित ठहराने से बचाती है।

11. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 6: ∫₀^2π cos 2θ/(5 − 4 cos θ) dθ का मान ज्ञात कीजिए।

I = ∫₀^2π e^2iθ/(5 − 4 cos θ) dθ लीजिए; अभीष्ट समाकल Re I है। z = e^iθ के साथ 5 − 4 cos θ = 5 − 2(z + 1/z) = −(2z − 1)(z − 2)/z।

अतः I = ∮_|z|=1 z²·(−z/((2z − 1)(z − 2)))·dz/(iz) = i∮_|z|=1 z²/((2z − 1)(z − 2)) dz।

केवल z = 1/2 अंदर है, जिसका अवशेष (1/4)/(2(1/2 − 2)) = −1/12 है।

I = i·2πi·(−1/12) = π/6, जो वास्तविक है। अतः ∫₀^2π cos 2θ/(5 − 4 cos θ) dθ = π/6 (और संगत sine समाकल 0 है)।

उदाहरण 7: ∫_−∞^∞ x²/((x² + 1)(x² + 4)) dx का मान ज्ञात कीजिए।

deg Q − deg P = 2 और Q के कोई वास्तविक शून्यक नहीं, अतः समाकल = 2πi × (ऊपरी अर्धतल में अवशेषों का योग), जहाँ ध्रुव i और 2i (दोनों सरल) हैं।

i पर अवशेष: z = i पर z²/((z + i)(z² + 4)) = −1/(2i·3) = −1/(6i)।

2i पर अवशेष: z = 2i पर z²/((z² + 1)(z + 2i)) = −4/((−3)(4i)) = 1/(3i)।

समाकल 2πi(−1/(6i) + 1/(3i)) = 2π/6 = π/3 है।

12. प्रकार I के परिष्करण: अर्ध परिसर, वर्गित हर, प्राचल

अर्ध परिसर: यदि समाकल्य θ पर केवल cos θ के माध्यम से निर्भर है, तो ∫₀^π = (1/2)∫₀^2π (θ → 2π − θ रखिए), और पूर्ण परिसर का समाकल z = e^iθ से निकालिए।

मानक परिणाम (a > |b|): ∫₀^2π dθ/(a + b cos θ) = ∫₀^2π dθ/(a + b sin θ) = 2π/√(a² − b²), और ∫₀^2π dθ/(a + b cos θ)² = 2πa/(a² − b²)^3/2।

वर्गित हर: रूपांतरित समाकल्य का |z| = 1 के अंदर वाले मूल α पर द्विक ध्रुव होता है; कोटि-2 सूत्र d/dz[(z − α)²F(z)] (z = α पर) लगाइए, और व्युत्क्रम मूल-युग्म के लिए αβ = 1 से सरल कीजिए।

अंश sin²θ, cos nθ: या तो sin²θ = −(z − 1/z)²/4 लिखिए, जिससे z = 0 पर ध्रुव बनता है जिसे सम्मिलित करना आवश्यक है, या cos nθ = Re e^inθ = Re zⁿ का प्रयोग कीजिए, जो उस ध्रुव से बचाता है।

सम्मिश्र ध्रुवों के साथ वास्तविक ध्रुव: ∫ R(x) sin mx dx के लिए, जहाँ R(z)e^imz का x = 0 पर सरल ध्रुव है, PV∫ = 2πi∑Res(ऊपरी अर्ध-तल) + πi Res(0) लीजिए और काल्पनिक भागों की तुलना कीजिए।

13. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 20 अंक): अवशेषों का इस्तेमाल करते हुए समाकल ∫₀^π dθ/(1 + (1/2) cos θ)² का मान निकालिए।

(1 + (1/2)cos θ)² = (2 + cos θ)²/4 और समाकल्य केवल cos θ पर निर्भर है, अतः I = 4∫₀^π dθ/(2 + cos θ)² = 2∫₀^2π dθ/(2 + cos θ)²।

z = e^iθ से: 2 + cos θ = (z² + 4z + 1)/(2z) और dθ = dz/(iz), अतः ∫₀^2π dθ/(2 + cos θ)² = ∮_|z|=1 4z²/(z² + 4z + 1)²·dz/(iz) = (4/i)∮ z dz/(z² + 4z + 1)²।

z² + 4z + 1 = (z − α)(z − β), जहाँ α = −2 + √3 (|α| ≈ 0.27, अंदर) और β = −2 − √3 (बाहर); α द्विक ध्रुव है।

α पर अवशेष = z = α पर d/dz[z/(z − β)²] = −(α + β)/(α − β)³ = 4/(2√3)³ = 1/(6√3)।

अतः ∫₀^2π dθ/(2 + cos θ)² = (4/i)·2πi/(6√3) = 4π/(3√3), जो a = 2, b = 1 के लिए 2πa/(a² − b²)^3/2 से मेल खाता है; अतः I = 8π/(3√3)।

उत्तर: ∫₀^π dθ/(1 + (1/2)cos θ)² = 8π/(3√3) = 8√3π/9 ≈ 4.837।

उदाहरण 9 (UPSC 2026, 20 अंक): कन्टूर समाकलन विधि के उपयोग से सिद्ध कीजिए कि यदि a > b > 0 है, तो ∫₀^2π sin²θ/(a + b cos θ) dθ = (2π/b²){a − √(a² − b²)} है।

z = e^iθ से: sin²θ = −(z² − 1)²/(4z²), a + b cos θ = (bz² + 2az + b)/(2z), dθ = dz/(iz)।

अतः I = −(1/(2ib))∮_|z|=1 (z² − 1)²/(z²(z − α)(z − β)) dz, जहाँ α, β = (−a ± √(a² − b²))/b, bz² + 2az + b के मूल हैं।

αβ = 1 और |α| = (a − √(a² − b²))/b = b/(a + √(a² − b²)) < 1, अतः α अंदर और β बाहर है; z = 0 अंदर द्विक ध्रुव है।

0 पर अवशेष: (z² − 1)²/(z² + (2a/b)z + 1) = (1 − 2z² + ...)(1 − (2a/b)z + ...), जिसका z-गुणांक −2a/b अवशेष है। α पर अवशेष: (α² − 1)²/(α²(α − β)); चूँकि α² − 1 = α² − αβ = α(α − β), यह α − β = 2√(a² − b²)/b के बराबर है।

I = −(1/(2ib))·2πi·(−2a/b + 2√(a² − b²)/b) = (2π/b²)(a − √(a² − b²))।

उत्तर: ∫₀^2π sin²θ/(a + b cos θ) dθ = (2π/b²){a − √(a² − b²)}, जैसा अपेक्षित था।

उदाहरण 10 (UPSC 2021, 20 अंक): कन्टूर समाकलन का उपयोग कर समाकल ∫_−∞^∞ sin x dx/(x(x² + a²)), a > 0 का मान ज्ञात कीजिए।

f(z) = e^iz/(z(z² + a²)) लीजिए, जिसका वास्तविक अक्ष पर काल्पनिक भाग समाकल्य है। ध्रुव: 0 (वास्तविक अक्ष पर, सरल), ia (ऊपरी अर्ध-तल), −ia।

कंटूर: [−R, −ε], छोटा ऊपरी अर्धवृत्त γ_ε (दक्षिणावर्त), [ε, R] और बड़ा अर्धवृत्त Γ_R। Γ_R पर |1/(z(z² + a²))| ≤ 1/(R(R² − a²)) → 0, अतः जॉर्डन प्रमेयिका से ∫_ΓR f dz → 0, जबकि ∫_γε f dz → −πi·Res(f, 0)।

Res(f, 0) = 1/a² और Res(f, ia) = e^−a/(ia·2ia) = −e^−a/(2a²)।

ε → 0, R → ∞ करने पर: PV∫_−∞^∞ e^ix dx/(x(x² + a²)) = 2πi(−e^−a/(2a²)) + πi/a² = πi(1 − e^−a)/a²।

काल्पनिक भागों की तुलना कीजिए; sin x/(x(x² + a²)), 0 पर संतत है, अतः इसके लिए मुख्य मान की आवश्यकता नहीं।

उत्तर: ∫_−∞^∞ sin x dx/(x(x² + a²)) = π(1 − e^−a)/a²।

14. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): ∫₀^2π dθ/(5 + 3 cos θ) का मान निकालिए।

उत्तर: 2π/√(25 − 9) = π/2।

अभ्यास 2 (मूल): अवशेषों द्वारा ∫_−∞^∞ dx/(x² + 9) का मान निकालिए।

उत्तर: 2πi·1/(6i) = π/3।

अभ्यास 3 (मूल): ∫₀^2π dθ/(3 − 2 sin θ) का मान निकालिए।

उत्तर: 2π/√(9 − 4) = 2π/√5।

अभ्यास 4 (मानक): ∫_−∞^∞ dx/((x² + 1)(x² + 9)) का मान निकालिए।

उत्तर: i पर अवशेष 1/(16i) और 3i पर −1/(48i); 2πi·1/(24i) = π/12।

अभ्यास 5 (मानक): ∫₀^∞ dx/(x² + 1)³ का मान निकालिए।

उत्तर: i पर कोटि 3 का ध्रुव, अवशेष i पर (1/2)·d²/dz²(z + i)⁻³ = 3/(16i); पूरी रेखा पर समाकल 3π/8, अतः उत्तर 3π/16।

अभ्यास 6 (मानक): ∫₀^∞ cos 3x/(x² + 4) dx का मान निकालिए।

उत्तर: e^3iz/(z² + 4) के साथ 2i पर अवशेष e⁻⁶/(4i); पूरी रेखा पर समाकल πe⁻⁶/2, अतः उत्तर (π/4)e⁻⁶।

अभ्यास 7 (मानक): ∫₀^2π cos 3θ/(5 − 4 cos θ) dθ का मान निकालिए।

उत्तर: ∮ z³·(−z/((2z − 1)(z − 2)))·dz/(iz) का Re लें; अंदर एकमात्र ध्रुव 1/2 है, जिससे π/12 मिलता है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): चाप-समाकल के शून्य होने का औचित्य देते हुए ∫_−∞^∞ cos x/(x² + 1)² dx का मान निकालिए।

उत्तर: f = e^iz/(z² + 1)², i पर द्विक ध्रुव, अवशेष i पर d/dz[e^iz/(z + i)²] = −i/(2e); समाकल 2πi(−i/(2e)) = π/e। चाप की सीमा πR/(R² − 1)² → 0।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): ∫₀^∞ dx/(1 + x⁶) का मान निकालिए।

उत्तर: ऊपरी ध्रुव e^iπ/6, i, e^5iπ/6, प्रत्येक का अवशेष −z_k/6; इनका योग −2i/6 है, अतः पूरी रेखा पर समाकल 2πi(−i/3) = 2π/3 और उत्तर π/3।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि ∫_−∞^∞ x sin πx/(x² + 2x + 5) dx = −πe^−2π।

उत्तर: f = ze^iπz/(z² + 2z + 5), ऊपरी ध्रुव −1 + 2i, अवशेष (1 − 2i)e^−2π/(4i); जॉर्डन प्रमेयिका (घातों में 1 का अंतर) से पूरा समाकल (π/2)(1 − 2i)e^−2π, जिसका काल्पनिक भाग −πe^−2π है (और कोज्या समाकल (π/2)e^−2π)।

1. कॉशी-रीमान समीकरण: आवश्यक प्रतिबंध

कथन: मान लीजिए f = u + iv, z₀ = x₀ + iy₀ के किसी प्रतिवेश में परिभाषित है और z₀ पर अवकलनीय है। तब (x₀, y₀) पर u_x, u_y, v_x, v_y विद्यमान हैं, वहाँ u_x = v_y और u_y = −v_x, और f′(z₀) = u_x + iv_x।

उपपत्ति: f′(z₀) = lim_h→0 (f(z₀ + h) − f(z₀))/h विद्यमान है, अतः h → 0 के प्रत्येक पथ पर सीमा समान है।

h वास्तविक लीजिए: भागफल [u(x₀ + h, y₀) − u(x₀, y₀)]/h + i[v(x₀ + h, y₀) − v(x₀, y₀)]/h है। सम्मिश्र सीमा तभी विद्यमान है जब वास्तविक और काल्पनिक भाग अभिसरित हों, अतः u_x, v_x विद्यमान हैं और f′(z₀) = u_x + iv_x।

h = ik, k वास्तविक, लीजिए: भागफल [u(x₀, y₀ + k) − u(x₀, y₀)]/(ik) + [v(x₀, y₀ + k) − v(x₀, y₀)]/k है, अतः u_y, v_y विद्यमान हैं और f′(z₀) = v_y − iu_y।

f′(z₀) के दोनों व्यंजकों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: u_x = v_y और v_x = −u_y।

अतः सिद्ध हुआ।

2. कॉशी-रीमान समीकरण: पर्याप्त प्रतिबंध

कथन: मान लीजिए u, v के प्रथम आंशिक अवकलज (x₀, y₀) के किसी प्रतिवेश में संतत हैं और (x₀, y₀) पर u_x = v_y, u_y = −v_x को संतुष्ट करते हैं। तब f = u + iv, z₀ पर अवकलनीय है और f′(z₀) = u_x + iv_x। यदि ये प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर लागू हों, तो f वहाँ विश्लेषिक है।

उपपत्ति: मान लीजिए h = Δx + iΔy छोटा है और Δu = u(x₀ + Δx, y₀ + Δy) − u(x₀, y₀) = [u(x₀ + Δx, y₀ + Δy) − u(x₀, y₀ + Δy)] + [u(x₀, y₀ + Δy) − u(x₀, y₀)] लिखिए।

माध्य मान प्रमेय से यह u_x(x₀ + θ₁Δx, y₀ + Δy)Δx + u_y(x₀, y₀ + θ₂Δy)Δy के बराबर है, जहाँ 0 < θ₁, θ₂ < 1।

आंशिक अवकलजों के सांतत्य से Δu = u_xΔx + u_yΔy + η₁Δx + η₂Δy, जहाँ h → 0 पर η₁, η₂ → 0 (अब आंशिक अवकलज (x₀, y₀) पर हैं)। इसी प्रकार Δv = v_xΔx + v_yΔy + η₃Δx + η₄Δy।

अतः Δf = (u_x + iv_x)Δx + (u_y + iv_y)Δy + E, जहाँ |E| ≤ (|η₁| + |η₂| + |η₃| + |η₄|)|h|।

C-R से u_y + iv_y = −v_x + iu_x = i(u_x + iv_x), अतः Δf = (u_x + iv_x)(Δx + iΔy) + E = (u_x + iv_x)h + E।

अतः |Δf/h − (u_x + iv_x)| = |E|/|h| → 0, अर्थात f′(z₀) = u_x + iv_x।

अतः सिद्ध हुआ।

3. विश्लेषिक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग प्रसंवादी होते हैं

कथन: यदि f = u + iv प्रांत D में विश्लेषिक है, तो u और v, D में प्रसंवादी हैं।

उपपत्ति: विश्लेषिक फलन का अवकलज विश्लेषिक होता है (अवकलजों के लिए कॉशी समाकल सूत्र), अतः f के सभी कोटियों के अवकलज हैं, और D में u, v के सभी कोटियों के संतत आंशिक अवकलज हैं।

C-R समीकरण u_x = v_y और u_y = −v_x का अवकलन कीजिए: u_xx = v_yx और u_yy = −v_xy।

v के मिश्र आंशिक अवकलज संतत हैं, अतः v_xy = v_yx (श्वार्ज़), और u_xx + u_yy = 0।

इसी प्रकार v_xx = −u_yx और v_yy = u_xy, अतः v_xx + v_yy = 0। अतः u और v प्रसंवादी हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

4. मूल समाकल और ML-असमिका

कथन: (i) यदि लंबाई L के कंटूर C पर |f| ≤ M, तो |∫_C f(z) dz| ≤ ML। (ii) प्रत्येक पूर्णांक n के लिए ∮_|z−a|=r (z − a)ⁿ dz = 2πi यदि n = −1, और अन्यथा 0।

उपपत्ति: (i) C: z = z(t), a ≤ t ≤ b के साथ |∫_C f dz| = |∫_a^b f(z(t))z′(t) dt| ≤ ∫_a^b |f(z(t))||z′(t)| dt ≤ M∫_a^b |z′(t)| dt = ML।

(ii) वृत्त का प्राचलीकरण z = a + re^iθ, 0 ≤ θ ≤ 2π कीजिए, अतः dz = ire^iθ dθ।

तब ∮(z − a)ⁿ dz = ∫₀^2π rⁿe^inθ·ire^iθ dθ = irⁿ⁺¹∫₀^2π e^i(n+1)θ dθ।

यदि n = −1 तो समाकल्य 1 है, जिससे i·2π = 2πi। यदि n ≠ −1, तो ∫₀^2π e^i(n+1)θ dθ = [e^i(n+1)θ/(i(n + 1))]₀^2π = 0।

अतः सिद्ध हुआ।

5. कॉशी प्रमेय (संतत अवकलज सहित)

कथन: मान लीजिए f सरल संवृत कंटूर C के अंदर और उस पर विश्लेषिक है, और f′ संतत है। तब ∮_C f(z) dz = 0। (गुर्सा ने दिखाया कि f′ का सांतत्य मानना आवश्यक नहीं है।)

उपपत्ति: f = u + iv और dz = dx + i dy लिखिए। तब ∮_C f dz = ∮_C (u dx − v dy) + i∮_C (v dx + u dy)।

चूँकि f′ = u_x + iv_x = v_y − iu_y संतत है, C से घिरे संवृत क्षेत्र R पर u और v के प्रथम आंशिक अवकलज संतत हैं, अतः ग्रीन प्रमेय ∮(P dx + Q dy) = ∬_R(Q_x − P_y) dx dy लागू है।

पहला समाकल (P = u, Q = −v): ∬_R(−v_x − u_y) dx dy = 0, क्योंकि u_y = −v_x।

दूसरा समाकल (P = v, Q = u): ∬_R(u_x − v_y) dx dy = 0, क्योंकि u_x = v_y।

अतः ∮_C f(z) dz = 0।

अतः सिद्ध हुआ।

6. कॉशी समाकल सूत्र

कथन: मान लीजिए f वामावर्त सरल संवृत कंटूर C के अंदर और उस पर विश्लेषिक है, और z₀, C के अंदर कोई बिंदु है। तब f(z₀) = (1/2πi)∮_C f(z)/(z − z₀) dz।

उपपत्ति: C_ρ को वृत्त |z − z₀| = ρ लीजिए, जहाँ ρ इतना छोटा है कि C_ρ, C के अंदर है। फलन g(z) = f(z)/(z − z₀), C और C_ρ पर तथा उनके बीच विश्लेषिक है।

विरूपण प्रमेय से प्रत्येक ऐसे ρ के लिए ∮_C g dz = ∮_Cρ g dz।

मूल समाकल का प्रयोग कर ∮_Cρ g dz = f(z₀)∮_Cρ dz/(z − z₀) + ∮_Cρ (f(z) − f(z₀))/(z − z₀) dz = 2πif(z₀) + I_ρ लिखिए।

मान लीजिए ε > 0। z₀ पर f के सांतत्य से कोई δ > 0 है जिससे |z − z₀| < δ पर |f(z) − f(z₀)| < ε। ρ < δ के लिए ML-असमिका से |I_ρ| ≤ (ε/ρ)·2πρ = 2πε।

अतः |∮_C g dz − 2πif(z₀)| ≤ 2πε। बायाँ पक्ष ε पर निर्भर नहीं है, अतः यह 0 है, और f(z₀) = (1/2πi)∮_C f(z)/(z − z₀) dz।

अतः सिद्ध हुआ।

7. कॉशी असमिका (Cauchy's inequality)

कथन: मान लीजिए f वृत्त C: |z − z₀| = r के अंदर और उस पर विश्लेषिक है, और C पर |f(z)| ≤ M। तब n = 0, 1, 2, ... के लिए |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ n!M/rⁿ।

उपपत्ति: अवकलजों के लिए कॉशी समाकल सूत्र से f⁽ⁿ⁾(z₀) = (n!/2πi)∮_C f(z)/(z − z₀)ⁿ⁺¹ dz।

C पर |z − z₀| = r, अतः |f(z)/(z − z₀)ⁿ⁺¹| ≤ M/rⁿ⁺¹; C की लंबाई 2πr है।

ML-असमिका से |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ (n!/2π)·(M/rⁿ⁺¹)·2πr = n!M/rⁿ।

अतः सिद्ध हुआ।

8. लिउविल प्रमेय (Liouville's theorem)

कथन: परिबद्ध संपूर्ण फलन अचर होता है: यदि f पूरे ℂ पर विश्लेषिक है और प्रत्येक z के लिए |f(z)| ≤ M, तो f अचर है।

उपपत्ति: z₀ ∈ ℂ स्थिर कीजिए। f संपूर्ण है, अतः प्रत्येक R > 0 के लिए |z − z₀| = R के अंदर और उस पर विश्लेषिक है, और वहाँ |f| ≤ M।

n = 1 के साथ कॉशी असमिका से प्रत्येक R > 0 के लिए |f′(z₀)| ≤ M/R।

R → ∞ करने पर f′(z₀) = 0। z₀ स्वेच्छ था, अतः ℂ पर f′ ≡ 0।

तब सर्वत्र u_x = u_y = v_x = v_y = 0 (f′ = u_x + iv_x = v_y − iu_y), अतः संबद्ध समुच्चय ℂ पर u और v अचर हैं, और f अचर है।

अतः सिद्ध हुआ।

9. बीजगणित का मूलभूत प्रमेय

कथन: सम्मिश्र गुणांकों वाले घात n ≥ 1 के प्रत्येक बहुपद p(z) = a_nzⁿ + ... + a₀ का ℂ में एक शून्यक होता है; फलतः बहुकता सहित गिनने पर इसके ठीक n शून्यक होते हैं।

उपपत्ति: मान लीजिए प्रत्येक z के लिए p(z) ≠ 0। तब g = 1/p संपूर्ण है।

p(z) = a_nzⁿ(1 + a_n−1/(a_nz) + ... + a₀/(a_nzⁿ)), और |z| → ∞ पर कोष्ठक 1 की ओर जाता है। अतः कोई R है जिससे |z| ≥ R के लिए |p(z)| ≥ |a_n||z|ⁿ/2 ≥ |a_n|Rⁿ/2।

इस प्रकार |z| ≥ R के लिए |g| ≤ 2/(|a_n|Rⁿ), और संहत चकती |z| ≤ R पर g संतत होने से परिबद्ध है। अतः g परिबद्ध संपूर्ण फलन है।

लिउविल प्रमेय से g, और इसलिए p, अचर है, जो n ≥ 1 का खंडन है। अतः किसी z₁ के लिए p(z₁) = 0।

भाग देने पर p(z) = (z − z₁)q(z), जहाँ deg q = n − 1; तर्क दोहराने (n पर आगमन) से बहुकता सहित ठीक n शून्यक मिलते हैं।

अतः सिद्ध हुआ।

10. मोरेरा प्रमेय (Morera's theorem)

कथन: मान लीजिए f प्रांत D में संतत है, और D के प्रत्येक संवृत कंटूर C के लिए ∮_C f(z) dz = 0। तब f, D में विश्लेषिक है।

उपपत्ति: विश्लेषिकता स्थानीय गुण है, अतः केंद्र z₀ वाली विवृत चकती Δ ⊆ D स्थिर कीजिए। z ∈ Δ के लिए रेखाखंड के अनुदिश F(z) = ∫_{[z0, z]} f(ζ) dζ परिभाषित कीजिए, जो Δ में है।

z, z + h ∈ Δ के लिए त्रिभुज z₀ → z → z + h → z₀, Δ में संवृत कंटूर है, अतः उसका समाकल 0 है, जिससे F(z + h) − F(z) = ∫_{[z, z+h]} f(ζ) dζ।

चूँकि ∫_{[z, z+h]} dζ = h, (F(z + h) − F(z))/h − f(z) = (1/h)∫_{[z, z+h]} (f(ζ) − f(z)) dζ।

ML-असमिका से इसका मापांक अधिकतम max{|f(ζ) − f(z)| : ζ ∈ [z, z + h]} है, जो f के सांतत्य से h → 0 पर 0 की ओर जाता है। अतः Δ पर F′(z) = f(z), और F, Δ में विश्लेषिक है।

विश्लेषिक फलन का अवकलज विश्लेषिक होता है (अवकलजों के लिए कॉशी सूत्र), अतः f = F′, Δ में विश्लेषिक है। Δ स्वेच्छ था, अतः f, D में विश्लेषिक है।

अतः सिद्ध हुआ।

11. टेलर प्रमेय (Taylor's theorem)

कथन: यदि f चकती |z − z₀| < R में विश्लेषिक है, तो चकती के प्रत्येक z के लिए f(z) = ∑_n=0^∞ a_n(z − z₀)ⁿ, जहाँ a_n = f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!।

उपपत्ति: |z − z₀| < R वाला z स्थिर कीजिए और r ऐसा चुनिए कि |z − z₀| < r < R। C को वृत्त |ζ − z₀| = r लीजिए। कॉशी सूत्र से f(z) = (1/2πi)∮_C f(ζ)/(ζ − z) dζ।

C पर ζ के लिए 1/(ζ − z) = (1/(ζ − z₀))·1/(1 − w), जहाँ w = (z − z₀)/(ζ − z₀) और |w| = |z − z₀|/r = q < 1।

अतः 1/(ζ − z) = ∑_n=0^∞ (z − z₀)ⁿ/(ζ − z₀)ⁿ⁺¹, और M = max_C |f| के साथ C पर f(ζ)/(ζ − z) का n-वाँ पद Mqⁿ/r से परिबद्ध है।

∑Mqⁿ/r अभिसारी है, अतः M-परीक्षण से श्रेणी C पर एकसमान अभिसारी है और उसका पदशः समाकलन किया जा सकता है।

इससे f(z) = ∑_n=0^∞ (z − z₀)ⁿ·(1/2πi)∮_C f(ζ)/(ζ − z₀)ⁿ⁺¹ dζ = ∑ f⁽ⁿ⁾(z₀)(z − z₀)ⁿ/n!, अवकलजों के लिए कॉशी सूत्र से।

अतः सिद्ध हुआ।

12. अपनेय विचित्रताओं पर रीमान प्रमेय

कथन: मान लीजिए f, 0 < |z − z₀| < r में विश्लेषिक और वहाँ परिबद्ध है। तब z₀ अपनेय विचित्रता है: lim_z→z0 f(z) विद्यमान है, और f(z₀) को यह सीमा परिभाषित करने पर f, z₀ पर विश्लेषिक हो जाता है।

उपपत्ति: लॉरेंट प्रमेय से छिद्रित चकती में f(z) = ∑_n=−∞^∞ a_n(z − z₀)ⁿ, जहाँ किसी भी 0 < ρ < r और n ≥ 1 के लिए a_−n = (1/2πi)∮_|z−z0|=ρ f(z)(z − z₀)ⁿ⁻¹ dz।

मान लीजिए |f| ≤ M। वृत्त पर |(z − z₀)ⁿ⁻¹| = ρⁿ⁻¹ और लंबाई 2πρ है, अतः ML-असमिका से |a_−n| ≤ (1/2π)·Mρⁿ⁻¹·2πρ = Mρⁿ।

यह (0, r) के प्रत्येक ρ के लिए सत्य है; ρ → 0 करने पर सभी n ≥ 1 के लिए a_−n = 0।

अतः मुख्य भाग लुप्त है और 0 < |z − z₀| < r के लिए f(z) = ∑_n≥0 a_n(z − z₀)ⁿ, एक घात श्रेणी। f(z₀) = a₀ = lim_z→z0 f(z) रखने पर f, z₀ पर विश्लेषिक हो जाता है।

अतः सिद्ध हुआ।

13. कॉशी अवशेष प्रमेय

कथन: मान लीजिए C वामावर्त सरल संवृत कंटूर है, और f, C के अंदर स्थित परिमित पृथक विचित्र बिंदुओं z₁, ..., z_n को छोड़कर C के अंदर और उस पर विश्लेषिक है। तब ∮_C f(z) dz = 2πi ∑_k=1ⁿ Res(f, z_k)।

उपपत्ति: प्रत्येक z_k के चारों ओर वृत्त C_k: |z − z_k| = ρ_k इतना छोटा खींचिए कि वृत्त C के अंदर हों, परस्पर न मिलें, और f, 0 < |z − z_k| ≤ ρ_k में विश्लेषिक हो।

f बाहर से C और अंदर से C₁, ..., C_n द्वारा घिरे संवृत क्षेत्र पर विश्लेषिक है। बहुसंबद्ध क्षेत्रों के लिए कॉशी प्रमेय से ∮_C f dz = ∑_k∮_Ck f dz, सभी वृत्त वामावर्त।

C_k पर f(z) = ∑_m=−∞^∞ a_m^(k)(z − z_k)^m (लॉरेंट श्रेणी), जो वृत्त पर एकसमान अभिसारी है, अतः उसका पदशः समाकलन किया जा सकता है।

मूल समाकल से केवल m = −1 वाला पद बचता है: ∮_Ck f dz = 2πia₋₁^(k) = 2πi Res(f, z_k)।

k पर योग करने से ∮_C f dz = 2πi ∑ Res(f, z_k)।

अतः सिद्ध हुआ।

14. अधिकतम मापांक सिद्धांत (maximum modulus principle)

कथन: मान लीजिए f प्रांत D में विश्लेषिक है। यदि |f| अपना अधिकतम किसी बिंदु z₀ ∈ D पर प्राप्त करता है, तो f, D में अचर है।

उपपत्ति: M = |f(z₀)| लीजिए और ρ ऐसा चुनिए कि संवृत चकती |z − z₀| ≤ ρ, D में हो। 0 < r ≤ ρ के लिए |z − z₀| = r पर कॉशी सूत्र (z = z₀ + re^iθ रखकर) से गाउस माध्य मान f(z₀) = (1/2π)∫₀^2π f(z₀ + re^iθ) dθ मिलता है।

अतः M ≤ (1/2π)∫₀^2π |f(z₀ + re^iθ)| dθ ≤ M, इसलिए ∫₀^2π (M − |f(z₀ + re^iθ)|) dθ = 0।

समाकल्य संतत और अऋणात्मक है, अतः सर्वथा शून्य है: प्रत्येक वृत्त |z − z₀| = r ≤ ρ पर, अर्थात पूरी चकती Δ पर, |f| = M।

यदि M = 0, तो Δ पर f = 0। अन्यथा u² + v² = M² का अवकलन कीजिए: uu_x + vv_x = 0 और uu_y + vv_y = 0; C-R से ये uu_x − vu_y = 0 और vu_x + uu_y = 0 बनते हैं।

हल करने पर (u² + v²)u_x = 0 और (u² + v²)u_y = 0, अतः u_x = u_y = 0, इसलिए v_x = v_y = 0, और Δ पर f अचर है।

विवृत चकती Δ पर f एक अचर के बराबर है, अतः तत्समक प्रमेय से पूरे प्रांत D में f वही अचर है।

अतः सिद्ध हुआ।

15. जॉर्डन प्रमेयिका (Jordan's lemma)

कथन: मान लीजिए Γ_R ऊपरी अर्धवृत्त |z| = R, Im z ≥ 0 है, f सभी बड़े R के लिए Γ_R पर संतत है और R → ∞ पर M(R) = max_ΓR |f| → 0, तथा m > 0। तब R → ∞ पर ∫_ΓR e^imzf(z) dz → 0।

उपपत्ति: Γ_R पर z = Re^iθ (0 ≤ θ ≤ π), dz = iRe^iθ dθ और |e^imz| = |e^{imR(cos θ + i sin θ)}| = e^{−mR sin θ}।

अतः sin(π − θ) = sin θ का प्रयोग कर |∫_ΓR e^imzf dz| ≤ M(R)R∫₀^π e^{−mR sin θ} dθ = 2M(R)R∫₀^π/2 e^{−mR sin θ} dθ।

जॉर्डन असमिका: [0, π/2] पर sin θ ≥ 2θ/π, क्योंकि वहाँ sin अवतल है और जीवा (0, 0) को (π/2, 1) से जोड़ती है।

अतः परिबंध अधिकतम 2M(R)R∫₀^π/2 e^−2mRθ/π dθ = 2M(R)R·(π/(2mR))(1 − e^−mR) < πM(R)/m है।

चूँकि M(R) → 0, R → ∞ पर समाकल 0 की ओर जाता है।

अतः सिद्ध हुआ।

16. घात श्रेणी अपने अभिसरण वृत्त के अंदर विश्लेषिक होती है

कथन: मान लीजिए f(z) = ∑_n=0^∞ a_nzⁿ की अभिसरण त्रिज्या R > 0 है। तब f, |z| < R में विश्लेषिक है और वहाँ f′(z) = ∑_n=1^∞ na_nzⁿ⁻¹; दोहराने पर, f के सभी कोटियों के अवकलज हैं और a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n!।

उपपत्ति: चूँकि lim n^1/n = 1, श्रेणियों ∑na_nzⁿ⁻¹ और ∑n(n − 1)a_nzⁿ⁻² की त्रिज्या भी R है (कॉशी–हैडामार्ड)। मान लीजिए g(z) = ∑na_nzⁿ⁻¹।

|z| < R वाला z स्थिर कीजिए और |z| < r < R वाला r चुनिए। 0 < |h| < r − |z| के लिए: (f(z + h) − f(z))/h − g(z) = ∑_n≥2 a_n[((z + h)ⁿ − zⁿ)/h − nzⁿ⁻¹]।

द्विपद प्रमेय से कोष्ठक ∑_k=2ⁿ C(n, k)z^n−kh^k−1 है, अतः इसका मापांक अधिकतम |h|∑_k=2ⁿ C(n, k)|z|^n−k|h|^k−2 है।

चूँकि 2 ≤ k ≤ n के लिए C(n, k) ≤ C(n, 2)C(n − 2, k − 2) (इनका अनुपात k(k − 1)/2 ≥ 1 है), यह अधिकतम |h|(n(n − 1)/2)(|z| + |h|)ⁿ⁻² ≤ |h|(n(n − 1)/2)rⁿ⁻² है।

अतः |(f(z + h) − f(z))/h − g(z)| ≤ (|h|/2)∑_n≥2 n(n − 1)|a_n|rⁿ⁻², और यह श्रेणी अभिसारी है क्योंकि r < R (त्रिज्या के अंदर निरपेक्ष अभिसरण)।

h → 0 करने पर दायाँ पक्ष 0 की ओर जाता है, अतः f′(z) = g(z); f, |z| < R के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, अर्थात वहाँ विश्लेषिक है।

परिणाम को g पर बार-बार लगाने से f^(k)(z) = ∑_n≥k n(n − 1)...(n − k + 1)a_nz^n−k, और z = 0 रखने पर f^(k)(0) = k!a_k।

अतः सिद्ध हुआ।

17. कोटि m के ध्रुव: अभिलक्षण और अवशेष सूत्र

कथन: मान लीजिए z₀, f का विलगित विचित्र बिंदु है। तब z₀ कोटि m (m ≥ 1) का ध्रुव है यदि और केवल यदि z₀ के निकट f(z) = φ(z)/(z − z₀)^m, जहाँ φ, z₀ पर विश्लेषिक है और φ(z₀) ≠ 0। इस स्थिति में Res(f, z₀) = φ^(m−1)(z₀)/(m − 1)!।

उपपत्ति: f किसी 0 < |z − z₀| < r में विश्लेषिक है, अतः वहाँ f(z) = ∑_n=−∞^∞ a_n(z − z₀)ⁿ (लॉरेंट प्रमेय)।

(⇒) कोटि m के ध्रुव का अर्थ है a_−m ≠ 0 और n < −m के लिए a_n = 0। तब 0 < |z − z₀| < r के लिए (z − z₀)^mf(z) = ∑_k=0^∞ a_k−m(z − z₀)^k।

यह घात श्रेणी छिद्रित चकती में अभिसारी है, अतः पूरी चकती |z − z₀| < r में भी; इसका योग φ वहाँ विश्लेषिक है (उपपत्ति 16), φ(z₀) = a_−m ≠ 0, और f = φ/(z − z₀)^m।

(⇐) यदि f = φ/(z − z₀)^m, जहाँ φ विश्लेषिक और φ(z₀) ≠ 0, तो φ(z) = ∑_k=0^∞ b_k(z − z₀)^k (टेलर) का प्रसार कीजिए, b₀ = φ(z₀) ≠ 0।

तब f(z) = ∑_k=0^∞ b_k(z − z₀)^k−m, जो अद्वितीयता से f की लॉरेंट श्रेणी है; इसका मुख्य भाग b₀/(z − z₀)^m + ... + b_m−1/(z − z₀) है, जहाँ b₀ ≠ 0, अतः z₀ कोटि m का ध्रुव है।

अवशेष (z − z₀)⁻¹ का गुणांक है, अर्थात b_m−1 (पद k = m − 1), और टेलर प्रमेय से b_m−1 = φ^(m−1)(z₀)/(m − 1)!।

अतः सिद्ध हुआ।

1. विश्लेषिक फलन और कॉशी प्रमेय

प्रश्न 1 (10 अंक): दिखाइए कि v = e^−x(x cos y + y sin y) प्रसंवादी है, और f(0) = 1 वाला विश्लेषिक फलन f = u + iv ज्ञात कीजिए।

v_x = e^−x(−x cos y − y sin y + cos y) और v_y = e^−x(−x sin y + sin y + y cos y)।

v_xx = e^−x(x cos y + y sin y − 2cos y) और v_yy = e^−x(−x cos y + 2cos y − y sin y), अतः v_xx + v_yy = 0: v प्रसंवादी है।

दिए गए v के लिए मिल्ने-थॉमसन: f′(z) = v_y(z, 0) + iv_x(z, 0) = 0 + ie^−z(1 − z)।

∫(1 − z)e^−z dz = ze^−z (जाँच: d/dz(ze^−z) = (1 − z)e^−z), अतः f(z) = ize^−z + C, C वास्तविक।

f(0) = C = 1। तब u = Re f = e^−x(x sin y − y cos y) + 1।

उत्तर: f(z) = ize^−z + 1, जहाँ u = e^−x(x sin y − y cos y) + 1।

प्रश्न 2 (15 अंक): यदि f = u + iv विश्लेषिक है और u − v = (x − y)(x² + 4xy + y²), तो f को z के पदों में ज्ञात कीजिए।

F = (1 + i)f = (u − v) + i(u + v) लीजिए, जो विश्लेषिक है और जिसका वास्तविक भाग U = u − v है।

विस्तार करने पर U = x³ + 3x²y − 3xy² − y³, अतः U_x = 3x² + 6xy − 3y² और U_y = 3x² − 6xy − 3y²।

मिल्ने-थॉमसन: F′(z) = U_x(z, 0) − iU_y(z, 0) = 3z² − 3iz² = 3(1 − i)z², अतः F = (1 − i)z³ + c।

तब f = F/(1 + i) = ((1 − i)/(1 + i))z³ + c′ = −iz³ + c′।

जाँच: −iz³ = (3x²y − y³) + i(3xy² − x³), और u − v = x³ + 3x²y − 3xy² − y³, जैसा अपेक्षित है।

उत्तर: f(z) = −iz³ + c′, जहाँ c′ ऐसा सम्मिश्र अचर है कि Re c′ = Im c′ (जिससे u − v अपरिवर्तित रहे)।

प्रश्न 3 (10 अंक): 0 से 1 + i तक ∫_C z̄ dz का मान (i) रेखा y = x, (ii) परवलय y = x² के अनुदिश ज्ञात कीजिए। आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

(i) z = t(1 + i), 0 ≤ t ≤ 1, z̄ = t(1 − i), dz = (1 + i) dt। समाकल ∫₀¹ t(1 − i)(1 + i) dt = ∫₀¹ 2t dt = 1 है।

(ii) z = t + it², z̄ = t − it², dz = (1 + 2it) dt, और (t − it²)(1 + 2it) = t + it² + 2t³।

अतः समाकल ∫₀¹ (t + 2t³) dt + i∫₀¹ t² dt = 1/2 + 1/2 + i/3 = 1 + i/3 है।

मान भिन्न हैं, अतः समाकल पथ पर निर्भर है; यह z̄ के विश्लेषिक न होने से संगत है (C-R विफल: u_x = 1 ≠ −1 = v_y)।

उत्तर: (i) 1, (ii) 1 + i/3; अविश्लेषिक फलन z̄ का समाकल पथ पर निर्भर है।

प्रश्न 4 (15 अंक): ∮_C (z + 1)/(z³ − 2z²) dz का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ C (i) |z| = 1, (ii) |z − 2 − i| = 2, (iii) |z − 1 − 2i| = 2 है, प्रत्येक वामावर्त।

समाकल्य (z + 1)/(z²(z − 2)) है, जो z = 0 और z = 2 पर विचित्र है।

(i) केवल z = 0 अंदर है। g(z) = (z + 1)/(z − 2) के साथ अवकलज सूत्र से ∮ g(z)/z² dz = 2πig′(0)। g′(z) = −3/(z − 2)², g′(0) = −3/4, अतः मान −3πi/2 है।

(ii) |2 − (2 + i)| = 1 < 2, अतः z = 2 अंदर है; |0 − (2 + i)| = √5 > 2, अतः z = 0 बाहर है। h(z) = (z + 1)/z² के साथ मान 2πih(2) = 2πi·3/4 = 3πi/2 है।

(iii) |0 − (1 + 2i)| = √5 > 2 और |2 − (1 + 2i)| = √5 > 2, अतः दोनों बिंदु बाहर हैं; समाकल्य C के अंदर और उस पर विश्लेषिक है, और कॉशी प्रमेय से समाकल 0 है।

उत्तर: (i) −3πi/2, (ii) 3πi/2, (iii) 0।

2. श्रेणी और विचित्रताएँ

प्रश्न 5 (15 अंक): f(z) = (7z − 2)/(z(z + 1)(z − 2)) को 1 < |z + 1| < 3 में वैध लॉरेंट श्रेणी में प्रसारित कीजिए।

आंशिक भिन्न: f = A/z + B/(z + 1) + C/(z − 2), जहाँ A = (−2)/((1)(−2)) = 1, B = (−9)/((−1)(−3)) = −3, C = 12/(2·3) = 2।

w = z + 1 रखिए, अतः 1 < |w| < 3 और f = 1/(w − 1) − 3/w + 2/(w − 3)।

चूँकि |w| > 1: 1/(w − 1) = (1/w)·1/(1 − 1/w) = ∑_n=1^∞ w⁻ⁿ।

चूँकि |w| < 3: 2/(w − 3) = −(2/3)·1/(1 − w/3) = −∑_n=0^∞ 2wⁿ/3ⁿ⁺¹।

मिलाने पर f = −2/w + ∑_n=2^∞ w⁻ⁿ − ∑_n=0^∞ 2wⁿ/3ⁿ⁺¹।

उत्तर: f(z) = ... + 1/(z + 1)³ + 1/(z + 1)² − 2/(z + 1) − 2/3 − 2(z + 1)/9 − 2(z + 1)²/27 − ..., जो 1 < |z + 1| < 3 के लिए वैध है।

प्रश्न 6 (10 अंक): z = 0 के परितः tan z की टेलर श्रेणी के प्रथम तीन अशून्य पद और उसकी अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

tan z विषम है, अतः tan z = a₁z + a₃z³ + a₅z⁵ + ... लिखिए और sin z = tan z·cos z का प्रयोग कीजिए।

z − z³/6 + z⁵/120 − ... = (a₁z + a₃z³ + a₅z⁵)(1 − z²/2 + z⁴/24 − ...)।

गुणांकों की तुलना: z: a₁ = 1; z³: a₃ − 1/2 = −1/6, अतः a₃ = 1/3; z⁵: a₅ − a₃/2 + 1/24 = 1/120, अतः a₅ = 1/120 + 1/6 − 1/24 = 2/15।

0 के निकटतम tan z की विचित्रताएँ ध्रुव ±π/2 हैं, अतः अभिसरण त्रिज्या π/2 है।

उत्तर: tan z = z + z³/3 + 2z⁵/15 + ..., अभिसरण त्रिज्या π/2।

प्रश्न 7 (15 अंक): (i) (e^z − 1)/z, (ii) ze^1/z, (iii) 1/(z(e^z − 1)) की विचित्रताओं की प्रकृति और अवशेष ज्ञात कीजिए।

(i) (e^z − 1)/z = 1 + z/2! + z²/3! + ... में कोई ऋणात्मक घात नहीं: z = 0 अपनेय विचित्रता है (सीमा 1), अवशेष 0।

(ii) ze^1/z = z(1 + 1/z + 1/(2!z²) + 1/(3!z³) + ...) = z + 1 + 1/(2z) + 1/(6z²) + ...: अनंत ऋणात्मक घातें, अतः z = 0 अनिवार्य विचित्रता है, अवशेष 1/2।

(iii) e^z − 1 = z(1 + z/2 + z²/6 + ...), अतः 0 के निकट f = (1/z²)(1 + z/2 + z²/6 + ...)⁻¹ = (1/z²)(1 − z/2 + z²/12 − ...)। अतः z = 0 कोटि 2 का ध्रुव है, अवशेष −1/2।

साथ ही z = 2nπi (n ≠ 0) पर e^z = 1, जहाँ e^z − 1 के सरल शून्यक हैं (अवकलज e^z = 1 ≠ 0)। ये सरल ध्रुव हैं, z = 2nπi पर अवशेष 1/(z·e^z), अर्थात 1/(2nπi)।

उत्तर: (i) 0 पर अपनेय, अवशेष 0; (ii) 0 पर अनिवार्य, अवशेष 1/2; (iii) 0 पर कोटि 2 का ध्रुव, अवशेष −1/2, तथा 2nπi (n ≠ 0) पर सरल ध्रुव, अवशेष 1/(2nπi)।

प्रश्न 8 (10 अंक): ∮_|z|=2 dz/(z⁵ − 1) का मान ज्ञात कीजिए।

ध्रुव इकाई के पंचम मूल z_k = e^2πik/5, k = 0, ..., 4 हैं, सभी सरल और सभी |z| = 2 के अंदर।

Res(f, z_k) = 1/(5z_k⁴) = z_k/(5z_k⁵) = z_k/5, क्योंकि z_k⁵ = 1।

इकाई के पंचम मूलों का योग 0 है (वे z⁵ − 1 के मूल हैं, जिसमें z⁴ का गुणांक 0 है), अतः अवशेषों का योग 0 है।

समतुल्य रूप से, बड़े |z| के लिए f = z⁻⁵(1 − z⁻⁵)⁻¹ में 1/z पद नहीं है, अतः Res(f, ∞) = 0 और परिमित अवशेषों का योग 0 है।

उत्तर: समाकल 0 है।

3. अवशेष और कंटूर समाकलन

प्रश्न 9 (15 अंक): 0 < p < 1 के लिए दिखाइए कि ∫₀^2π dθ/(1 − 2p cos θ + p²) = 2π/(1 − p²)।

z = e^iθ, cos θ = (z + 1/z)/2, dθ = dz/(iz) रखिए। तब 1 − 2p cos θ + p² = (−pz² + (1 + p²)z − p)/z = (1 − pz)(z − p)/z।

समाकल ∮_|z|=1 dz/(i(1 − pz)(z − p)) बन जाता है।

ध्रुव z = p (अंदर, क्योंकि 0 < p < 1) और z = 1/p (बाहर) हैं।

z = p पर अवशेष = 1/(i(1 − p²))। अवशेष प्रमेय से समाकल 2πi/(i(1 − p²)) = 2π/(1 − p²) है।

उत्तर: ∫₀^2π dθ/(1 − 2p cos θ + p²) = 2π/(1 − p²) (और p > 1 पर 2π/(p² − 1), जहाँ केवल z = 1/p अंदर है)।

प्रश्न 10 (15 अंक): कंटूर समाकलन से दिखाइए कि a > 0 के लिए ∫_−∞^∞ x sin x/(x² + a²) dx = πe^−a।

कंटूर [−R, R] और ऊपरी अर्धवृत्त Γ_R पर f(z) = ze^iz/(z² + a²) लीजिए। sin z का सीधे प्रयोग कभी मत कीजिए, क्योंकि यह ऊपरी अर्धतल में बढ़ता है।

Γ_R पर |z/(z² + a²)| ≤ R/(R² − a²) → 0, अतः जॉर्डन प्रमेयिका (m = 1) से ∫_ΓR f dz → 0।

ऊपरी अर्धतल में एकमात्र ध्रुव z = ia (सरल) है, जिसका अवशेष iae^−a/(2ia) = e^−a/2 है।

R → ∞ करने पर ∫_−∞^∞ xe^ix/(x² + a²) dx = 2πi·e^−a/2 = πie^−a।

काल्पनिक भागों की तुलना से परिणाम मिलता है (वास्तविक भाग ∫ x cos x/(x² + a²) dx = 0, जैसा विषम समाकल्य से अपेक्षित है)।

उत्तर: ∫_−∞^∞ x sin x/(x² + a²) dx = πe^−a।

प्रश्न 11 (15 अंक): उपयुक्त त्रिज्यखंड पर समाकलन करके ∫₀^∞ dx/(1 + x³) का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल को I और f(z) = 1/(1 + z³) लीजिए। त्रिज्यखंड 0 ≤ arg z ≤ 2π/3, |z| ≤ R का प्रयोग कीजिए: खंड [0, R], चाप |z| = R, और किरण z = re^2πi/3 से वापस 0 तक।

किरण पर z³ = r³ और dz = e^2πi/3 dr, अतः उस भुजा का योगदान −e^2πi/3∫₀^R dr/(1 + r³) है। चाप पर |f| ≤ 1/(R³ − 1) और लंबाई 2πR/3, अतः ML से वह समाकल → 0।

अंदर एकमात्र ध्रुव z₀ = e^iπ/3 है, जिसका अवशेष 1/(3z₀²) = e^−2πi/3/3 है।

R → ∞ करने पर: (1 − e^2πi/3)I = 2πie^−2πi/3/3, अर्थात (e^2πi/3 − e^4πi/3)I = 2πi/3।

e^2πi/3 − e^4πi/3 = 2i sin(2π/3) = i√3, अतः I = 2π/(3√3)।

उत्तर: ∫₀^∞ dx/(1 + x³) = 2π/(3√3) ≈ 1.2092।

प्रश्न 12 (10 अंक): दिखाइए कि z⁵ + 15z + 1 के सभी पाँच शून्यक |z| < 2 में हैं, और उनमें से ठीक एक |z| < 3/2 में है।

|z| = 2 पर f = z⁵, g = 15z + 1 लीजिए: |g| ≤ 31 < 32 = |f|। रूशे से z⁵ + 15z + 1 के |z| < 2 में 5 शून्यक हैं, जितने z⁵ के।

|z| = 3/2 पर f = 15z, g = z⁵ + 1 लीजिए: |g| ≤ (3/2)⁵ + 1 = 243/32 + 1 ≈ 8.59 < 22.5 = |f|। अतः |z| < 3/2 में ठीक एक शून्यक है।

|z| = 3/2 पर कोई शून्यक नहीं है (वहाँ |p| ≥ 22.5 − 8.59 > 0), अतः शेष चार 3/2 < |z| < 2 में हैं।

उत्तर: सभी 5 शून्यक |z| < 2 में हैं: एक |z| < 3/2 में और चार 3/2 < |z| < 2 में।

प्रश्न 13 (15 अंक): ∫_−∞^∞ cos x/((x² + 1)(x² + 4)) dx का मान ज्ञात कीजिए।

ऊपरी अर्धवृत्तीय कंटूर पर f(z) = e^iz/((z² + 1)(z² + 4)) लीजिए। चाप पर |f| ≤ 1/((R² − 1)(R² − 4)), क्योंकि Im z ≥ 0 के लिए |e^iz| ≤ 1, अतः ML से चाप समाकल → 0।

i पर अवशेष: e⁻¹/((2i)(3)) = e⁻¹/(6i)।

2i पर अवशेष: e⁻²/((−3)(4i)) = −e⁻²/(12i)।

∫_−∞^∞ e^ix/((x² + 1)(x² + 4)) dx = 2πi(e⁻¹/(6i) − e⁻²/(12i)) = π(2e⁻¹ − e⁻²)/6।

यह वास्तविक है, अतः cosine समाकल के बराबर है (विषमता से sine समाकल 0 है)।

उत्तर: ∫_−∞^∞ cos x/((x² + 1)(x² + 4)) dx = (π/6)(2/e − 1/e²) ≈ 0.3144।

1. विश्लेषिक फलन और कॉशी-रीमान समीकरण

2026 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: दर्शाइए कि फलन f(z) = √|xy| मूल-बिंदु पर विश्लेषिक नहीं है, जबकि इस बिंदु पर कौशी-रीमान समीकरण संतुष्ट होते हैं।

2024 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: यदि w = f(z), z का एक विश्लेषिक फलन है, तब दर्शाइए कि (∂²/∂x² + ∂²/∂y²) log |f′(z)| = 0 है।

2024 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: यदि x तथा y के फलन φ और ψ लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं, तो दर्शाइए कि f(z) = p + iq, i = √−1 एक विश्लेषिक फलन है, जहाँ p = ∂φ/∂y − ∂ψ/∂x तथा q = ∂φ/∂x + ∂ψ/∂y हैं।

2023 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: एक फलन f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) के इसके प्रांत में विश्लेषिक होने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध लिखिए। तब दर्शाइए कि f(z) = log z अपने प्रांत में विश्लेषिक है तथा df/dz ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि u(x, y) = e^x(x cos y − y sin y) प्रसंवादी है। इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन v(x, y) ज्ञात कीजिए तथा संगत विश्लेषिक फलन f(z) को z के पदों में व्यक्त कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q1(b), 10 अंक: यदि f(z) = u + iv, z का एक विश्लेषिक फलन है, तथा u − v = (cos x + sin x − e^−y)/(2 cos x − e^y − e^−y) है, तब शर्त f(π/2) = 0 के अधीन f(z) का मान ज्ञात कीजिये।

2020 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: यदि v(r, θ) = (r − 1/r) sin θ, r ≠ 0, तब विश्लेषिक फलन f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: मान लीजिये ℂ में D प्रक्षेत्र पर f(z) एक विश्लेषिक फलन है और समीकरण Im f(z) = (Re f(z))², z ∈ D को संतुष्ट करता है। दर्शाइए कि D में f(z) अचर है।

2018 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि फलन : u(x, y) = (x − 1)³ − 3xy² + 3y² प्रसंवादी है और इसके प्रसंवादी संयुग्मी को और संगत विश्लेषिक फलन f(z) को, z के रूप में ज्ञात कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: मान लीजिए कि f = u + iv एकक डिस्क D = {z ∈ ℂ : |z| < 1} पर एक विश्लेषिक फलन है। दर्शाइए कि D के सभी बिन्दुओं पर
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²
है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: क्या v(x, y) = x³ − 3xy² + 2y एक प्रसंवादी फलन है? अपने दावे को सिद्ध कीजिए। यदि हाँ, तो इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन u(x, y) ज्ञात कीजिए तथा इससे विश्लेषिक फलन प्राप्त कीजिए जिसके वास्तविक तथा काल्पनिक भाग क्रमशः u तथा v हैं।

2015 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: दर्शाइए कि फलन v(x, y) = ln(x² + y²) + x + y प्रसंवादी है। इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन u(x, y) ज्ञात कीजिए। संगत विश्लेषिक फलन f(z) = u + iv को भी z के पदों में ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q1(c), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि फलन f(z) = u + iv, जहाँ f(z) = [x³(1 + i) − y³(1 − i)]/(x² + y²), z ≠ 0; f(0) = 0 मूलबिन्दु पर कौशी-रीमान समीकरणों को सन्तुष्ट करता है, परन्तु z = 0 पर f के अवकलज का अस्तित्व नहीं है।

2. कॉशी प्रमेय और कॉशी समाकल सूत्र

2024 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: वह फलन ज्ञात कीजिए जो कि वृत्त C : z = e^iθ, 0 ≤ θ ≤ 2π, के अन्दर तथा उसके ऊपर विश्लेषिक है और C की परिधि पर जिसका मान [(a² − 1) cos θ + i(a² + 1) sin θ]/(a⁴ − 2a² cos 2θ + 1) है, जहाँ a² > 1 है।

2022 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: ∫_C (z + 4)/(z² + 2z + 5) dz का मान निकालिये, जहाँ C, |z + 1 − i| = 2 है।

2020 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: समाकल ∫_C (z² + 3z) dz का, (2, 0) से (0, 2) तक वक्र C के वामावर्त अनुगत जहाँ पर C वृत्त |z| = 2 है, मान निकालिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 10 अंक: समाकल ∫_C Re(z²) dz का मूल्यांकन वक्र C के साथ-साथ 0 से 2 + 4i तक करें, जहाँ C एक परवलय y = x² है।

3. घात श्रेणी, टेलर श्रेणी और लॉरेंट श्रेणी

2026 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: सिद्ध कीजिए कि cosh(z + 1/z) = a₀ + ∑_n=1^∞ a_n(zⁿ + 1/zⁿ) है, जहाँ n = 0, 1, 2, … के लिए a_n = (1/(2π)) ∫₀^2π cos nθ cosh(2 cos θ) dθ है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: 1 < |z| < 3 के लिए f(z) = 1/[(z + 1)(z + 3)] का एक लौराँ श्रेणी में प्रसार कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: f(z) = 1/((z − 1)²(z − 3)) का क्षेत्रों (i) 0 < |z − 1| < 2 एवं (ii) 0 < |z − 3| < 2 के लिये वैध लौराँ श्रेणी में विस्तार कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: क्षेत्र |z + 1| > 3 में f(z) = (z² − z + 1)/(z(z² − 3z + 2)) का लौराँ श्रेणी प्रसार, (z + 1) की घातों में ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 10 अंक: फलन f(z) = 1/(e^z − 1) के बिन्दु z = 0 के इर्दगिर्द लॉरेंट श्रेणी विस्तार के, प्रथम तीन पद प्राप्त करें, जो कि क्षेत्र 0 < |z| < 2π में वैध है।

2018 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: फलन 1/((1 + z²)(z + 2)) को निरूपित करने वाली लॉरेन्ज श्रेणी ज्ञात कीजिए जब
(i) |z| < 1
(ii) 1 < |z| < 2
(iii) |z| > 2

2017 प्रश्नपत्र II, Q4(a), 15 अंक: फलन f : ℂ → ℂ एवं n ≥ 1 के लिए, मान लीजिए कि f⁽ⁿ⁾ फलन f का n^वाँ अवकलज दर्शाता है और f⁽⁰⁾ = f है। मान लीजिए कि f एक ऐसा सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है जिसके लिए किसी n ≥ 1 के लिए, f⁽ⁿ⁾(1/k) = 0, सभी k = 1, 2, 3, ..., के लिए। दर्शाइए कि f एक बहुपद है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q4(c), 20 अंक: सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक घात श्रेणी इसके अभिसरण वृत्त के अन्दर एक विश्लेषिक फलन को निरूपित करती है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: फलन f(z) = (2z − 3)/(z² − 3z + 2) के बिन्दु z = 0 के इर्द-गिर्द सभी संभव टेलर तथा लौराँ श्रेणियों में प्रसारों को ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: फलन f(z) = 1/[z²(z − 1)] का z = 0 तथा z = 1 के इर्द-गिर्द लौराँ श्रेणी में प्रसार कीजिए।

4. विचित्रताएँ और कॉशी अवशेष प्रमेय

2025 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: समाकल ∮_C e^z/[z²(z + 1)³] dz, C : |z| = 2 का मान ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: फलन f(z) = 1/[z (sin πz)(z + 1/2)] के अनंतक तथा उनकी घात (ऑर्डर) का पता लगाइए। इन अनंतकों पर f(z) के अवशेष भी ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 15 अंक: फलन f(z) = e^z/(z − sin z) के विचित्र बिंदु z = 0 का वर्गीकरण कीजिए तथा इसके लौराँ श्रेणी प्रसार का मुख्य भाग ज्ञात कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: मान लीजिए कि c : [0, 1] → ℂ, c(t) = e^4πit, 0 ≤ t ≤ 1 के द्वारा परिभाषित एक वक्र है। कन्टूर समाकल ∫_c dz/(2z² − 5z + 2) का मान निकालिए।

2021 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: मान लीजिए कि f एक सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है जिसके केन्द्र z = 0 पर टेलर श्रेणी प्रसार में अपरिमित रूप से अनेक पद हैं। दर्शाइए कि f(1/z) की z = 0 एक अनिवार्य विचित्रता है।

2019 प्रश्नपत्र II, Q2(d), 15 अंक: दर्शाइए कि वियुक्त विचित्र बिन्दु z₀, फलन f(z) का m कोटि का पोल होगा यदि और केवल यदि f(z) को f(z) = φ(z)/(z − z₀)^m के रूप में लिखा जा सके, जहाँ φ(z) विश्लेषिक है और z₀ पर शून्येतर है।
इसके अलावा Res_{z = z0} f(z) = φ^(m−1)(z₀)/(m − 1)! यदि m ≥ 1।

2017 प्रश्नपत्र II, Q1(d), 10 अंक: वे सभी सर्वत्र वैश्लेषिक फलनें f(z) ज्ञात कीजिए जिनके लिए 0 फलन f(1/z) की अपनेय विचित्रता है।

2016 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 15 अंक: मान लीजिए
γ : [0, 1] → ℂ वक्र
γ(t) = e^2πit, 0 ≤ t ≤ 1
है। औचित्य बताते हुए परिरेखीय (कन्टूर) समाकल
∫_γ dz/(4z² − 1)
का मान ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q3(a), 15 अंक: कौशी अवशेष प्रमेय का कथन लिखिए। इसका इस्तेमाल करते हुए समाकल ∫_C (e^z + 1)/[z(z + 1)(z − i)²] dz; C : |z| = 2 का मान निकालिए।

5. कंटूर समाकलन: वास्तविक समाकलों का मान

2026 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: कन्टूर समाकलन विधि के उपयोग से सिद्ध कीजिए कि यदि a > b > 0 है, तो ∫₀^2π sin²θ/(a + b cos θ) dθ = (2π/b²){a − √(a² − b²)} है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: कन्टूर समाकलन की विधि से सिद्ध कीजिए कि ∫_−∞^∞ (x² − x + 2)/(x⁴ + 10x² + 9) dx = 5π/12 है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: कन्टूर समाकलन का उपयोग कर ∫₀^2π cos 2θ/(5 + 4 cos θ) dθ का मान ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: ∫_−∞^∞ cos x dx/((x² + a²)(x² + b²)), a > b > 0 के मान निकालने के लिये अवशेष-कलन का उपयोग कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q4(b), 20 अंक: कन्टूर समाकलन का उपयोग कर समाकल ∫_−∞^∞ sin x dx/(x(x² + a²)), a > 0 का मान ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q2(c), 20 अंक: कन्टूर समाकलन का उपयोग कर, समाकल ∫₀^2π 1/(3 + 2 sin θ) dθ का मान ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q3(b), 15 अंक: अवशेष प्रमेय के अनुप्रयोग के द्वारा दर्शाइए कि ∫₀^∞ dx/(x² + a²)² = π/(4a³), a > 0.

2017 प्रश्नपत्र II, Q2(b), 15 अंक: परिरेखा (कन्टूर) समाकल विधि के इस्तेमाल के द्वारा सिद्ध कीजिए कि
∫₀^∞ x sin mx/(a² + x²) dx = (π/2) e^−ma।

2014 प्रश्नपत्र II, Q3(c), 20 अंक: अवशेषों का इस्तेमाल करते हुए समाकल ∫₀^π dθ/(1 + (1/2) cos θ)² का मान निकालिए।