आंशिक अवकल समीकरण — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. अचरों के विलोपन द्वारा PDE के निर्माण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक पृष्ठ-कुल (family of surfaces) एक ही सूत्र से दिए जाते हैं जिसमें कुछ समायोज्य संख्याएँ होती हैं, जैसे 'वे सभी एकक गोले जिनके केंद्र xy-तल में हैं'। हम एक ऐसा समीकरण चाहते हैं जिसे कुल का प्रत्येक सदस्य संतुष्ट करे और जिसमें कोई समायोज्य संख्या न हो।

ऐसे समीकरण में z और उसके आंशिक अवकलज होते हैं, अतः यह एक आंशिक अवकल समीकरण (partial differential equation, PDE) है। आगे PDE हल करने का अर्थ इसी प्रक्रिया को उलटा चलाना है: समीकरण से कुल को पुनः प्राप्त करना।

शब्दों में: z = f(x, y, a, b) में x और y स्वतंत्र चर हैं, z उन पर निर्भर है, और a, b स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) हैं: किसी एक पृष्ठ पर नियत, पर एक पृष्ठ से दूसरे पृष्ठ पर भिन्न।

x के सापेक्ष आंशिक अवकलन में y और a, b भी नियत रहते हैं; इससे p = ∂z/∂x मिलता है, और इसी प्रकार q = ∂z/∂y। अब हमारे पास तीन समीकरण (z, p और q के लिए) हैं जिनमें दो अज्ञात अचर हैं।

तीन समीकरणों से दो अज्ञात विलोपित करने पर ठीक एक संबंध F(x, y, z, p, q) = 0 बचता है। ध्यान दें कि यह क्या कहता है: प्रत्येक सदस्य के प्रत्येक बिंदु पर प्रवणताएँ p, q, x, y, z से एक ही प्रकार बँधी हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: गोलों (x − a)² + (y − b)² + z² = 1 का PDE बनाइए।

चरण 1: गिनती। दो अचर a, b और दो स्वतंत्र चर x, y हैं, अतः प्रथम अवकलज पर्याप्त होने चाहिए और PDE प्रथम कोटि का होना चाहिए।

चरण 2: x के सापेक्ष अवकलन करें, यह याद रखते हुए कि z, x पर निर्भर है (z² पर शृंखला नियम): 2(x − a) + 2zp = 0, अतः x − a = −zp।

चरण 3: इसी प्रकार y के सापेक्ष अवकलन करें: 2(y − b) + 2zq = 0, अतः y − b = −zq।

चरण 4: दोनों को कुल के समीकरण में रखें: z²p² + z²q² + z² = 1।

चरण 5: उत्तर z²(p² + q² + 1) = 1 है; इसे एक बार फिर पढ़कर सुनिश्चित करें कि कोई a या b शेष नहीं है।

चरण 6: एक जाँच: प्रत्येक गोले के शीर्ष पर स्पर्श तल क्षैतिज है, p = q = 0, और PDE से z² = 1 मिलता है, जो सही है क्योंकि शीर्ष ऊँचाई 1 पर है।

अ-उदाहरण (non-example): z = (a + b)x + y दो-अचर कुल जैसा दिखता है, पर केवल योग c = a + b मायने रखता है, अतः यह वास्तव में एक-अचर कुल है। तब p = c और q = 1, और गिनती टूट जाती है: q = 1 और z = px + y दोनों मान्य PDE हैं। जो प्रतिबंध विफल होता है वह अचरों की स्वतंत्रता है।

आगे बढ़ते हुए: व्यापक नियम है 'हटाए जाने वाले प्रत्येक अचर के लिए एक नया समीकरण'। दो स्वतंत्र चरों के साथ प्रथम अवकलज दो समीकरण देते हैं, अतः दो अचर प्रथम कोटि का PDE देते हैं।

तीसरा अचर r, s या t के प्रयोग को बाध्य करता है और PDE द्वितीय कोटि का हो जाता है (z = ax + by + cxy के लिए s = c और PDE z = px + qy − xys है, जैसा नीचे 'विधि का चयन' में है)।

उलटा चलाने पर यही गिनती बताती है कि प्रथम कोटि PDE के पूर्ण समाकल में ठीक दो स्वतंत्र अचर क्यों होते हैं (नीचे 'हलों के प्रकार' देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: 10 अंक के 'PDE बनाइए' प्रश्न, द्विघाती पृष्ठों के स्पर्श-तल कुल जो क्लेरो समीकरणों तक ले जाते हैं, और उलटी दिशा में, आगे के विषयों में शार्पी विधि से मिलने वाला प्रत्येक पूर्ण समाकल।

2. स्वेच्छ फलनों के विलोपन द्वारा PDE के निर्माण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: कुछ कुलों का वर्णन कुछ संख्याओं से नहीं हो सकता। 'z-अक्ष के परितः सभी परिक्रमण पृष्ठ (surfaces of revolution)' में प्रत्येक परिच्छेद वक्र के लिए एक पृष्ठ है, अतः इसके वर्णन z = f(x² + y²) में एक पूरा अज्ञात फलन f है।

हम ऐसा PDE चाहते हैं जिसे f कुछ भी हो, प्रत्येक ऐसा पृष्ठ संतुष्ट करे।

शब्दों में: z = f(u) में, जहाँ u = u(x, y) ज्ञात है, f एक स्वेच्छ अवकलनीय फलन (arbitrary function) है (यह कुछ भी हो सकता है), जबकि u, x और y का एक नियत, ज्ञात संयोजन है।

शृंखला नियम (chain rule) से p = f′(u)u_x और q = f′(u)u_y। किसी दिए बिंदु पर f′(u) एक ही अज्ञात संख्या है जो दोनों समीकरणों में आती है, अतः भाग देकर इसे विलोपित किया जा सकता है: u_yp − u_xq = 0।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: z = f(x² + y²) से f विलोपित कीजिए।

चरण 1: भीतरी संयोजन का नाम रखें: u = x² + y², अतः u_x = 2x और u_y = 2y।

चरण 2: शृंखला नियम से x के सापेक्ष अवकलन करें: p = f′(u) · 2x, जहाँ f′ का मान u पर है।

चरण 3: y के सापेक्ष अवकलन करें: q = f′(u) · 2y।

चरण 4: पहले को y से और दूसरे को x से गुणा करें: yp = 2xyf′(u) = xq।

चरण 5: अतः yp − xq = 0, जिसमें कोई f नहीं है: यही PDE है।

चरण 6: दो सदस्यों पर परखें। z = x² + y² के लिए yp − xq = 2xy − 2xy = 0; z = sin(x² + y²) के लिए p = 2x cos u और q = 2y cos u, और फिर yp − xq = 0।

चरण 7: ज्यामिति पर ध्यान दें: yp − xq = 0 कहता है कि अभिलंब (p, q, −1), z-अक्ष के परितः क्षैतिज वृत्त की दिशा (y, −x, 0) पर लंब है, अतः पृष्ठ इन वृत्तों को समाहित करता है, जैसा परिक्रमण पृष्ठ को करना ही चाहिए।

अ-उदाहरण (non-example): z = f(x) + g(y) में दो स्वेच्छ फलन हैं। प्रथम अवकलज p = f′(x), q = g′(y) दो नए अज्ञातों वाले दो समीकरण हैं, अतः प्रथम कोटि पर कुछ भी विलोपित नहीं होता; केवल द्वितीय अवकलज s = ∂²z/∂x∂y = 0 दोनों को हटाता है। 'एक फलन से प्रथम कोटि PDE' का नियम यहाँ लागू नहीं होता।

आगे बढ़ते हुए: अधिक व्यापक संबंध φ(u, v) = 0 के लिए, जहाँ u और v में z हो सकता है, x और y के सापेक्ष अवकलन करें, यह याद रखते हुए कि पृष्ठ पर ∂u/∂x = u_x + u_zp है।

दोनों समीकरण (φ_u, φ_v) में रैखिक हैं, जो (0, 0) नहीं है, अतः उनका 2 × 2 सारणिक शून्य होता है; उसका प्रसार जैकोबियन P, Q, R के साथ Pp + Qq = R देता है (नीचे 'जैकोबियन विलोपन' में विस्तार है)।

φ कुछ भी हो, परिणाम p और q में रैखिक होता है। यही अगले विषय की लग्रांज विधि का बीज है।

कहाँ प्रयोग होता है: शंकुओं, बेलनों और परिक्रमण पृष्ठों के PDE; लग्रांज विधि, जो इस गणना को उलटती है; और f(x + ct) + g(x − ct) जैसी द्वितीय कोटि की स्थितियाँ, जो तरंग समीकरण देती हैं।

3. पूर्ण, व्यापक और विचित्र समाकलों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रथम कोटि PDE के हलों का विशाल भंडार होता है। 'पूर्ण और विचित्र समाकल ज्ञात कीजिए' जैसे प्रश्नों का उत्तर देने के लिए हमें उन्हें तीन प्रकारों में बाँटना और यह जानना चाहिए कि प्रत्येक अन्य से कैसे मिलता है।

शब्दों में: पूर्ण समाकल (complete integral) z = f(x, y, a, b) दो स्वतंत्र अचरों a, b के प्रत्येक चयन के लिए एक हल है।

व्यापक समाकल (general integral) b को a से किसी स्वेच्छ संबंध b = φ(a) द्वारा बाँधकर और परिणामी एक-प्राचल कुल का अन्वालोप (envelope, वह पृष्ठ जो प्रत्येक सदस्य को स्पर्श करे) लेकर मिलता है।

विचित्र समाकल (singular integral) पूरे द्वि-प्राचल कुल का अन्वालोप है: f, f_a = 0 और f_b = 0 से a और b विलोपित करें। यह प्रत्येक सदस्य को स्पर्श करता है पर स्वयं कोई सदस्य नहीं है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: क्लेरो समीकरण z = px + qy + pq के हलों को छाँटिए।

चरण 1: अचर प्रवणताओं p = a, q = b वाले तल आजमाएँ: z = ax + by + ab। जाँच: p = a, q = b और px + qy + pq = ax + by + ab = z। यह पूर्ण समाकल है।

चरण 2: विचित्र समाकल के लिए f_a = x + b = 0 और f_b = y + a = 0 रखें, अतः a = −y और b = −x।

चरण 3: प्रतिस्थापित करें: z = (−y)x + (−x)y + (−y)(−x) = −xy।

चरण 4: PDE में जाँचें: p = −y, q = −x, और px + qy + pq = −xy − xy + xy = −xy = z। यह एक हल है।

चरण 5: ध्यान दें कि z = −xy तल नहीं है, अतः a, b का कोई चयन इसे नहीं देता: यह वास्तव में नया है।

चरण 6: एक व्यापक समाकल के लिए b = a लें: z = a(x + y) + a²; अन्वालोप प्रतिबंध x + y + 2a = 0 से a = −(x + y)/2 और z = −(x + y)²/4।

चरण 7: जाँच: p = q = −(x + y)/2, अतः px + qy + pq = −(x + y)²/2 + (x + y)²/4 = −(x + y)²/4 = z। φ का दूसरा चयन दूसरा पृष्ठ देता है।

अ-उदाहरण (non-example): p = q का पूर्ण समाकल z = a(x + y) + b है। यहाँ f_b = 1 कभी 0 नहीं हो सकता, अतः निकाय f_a = f_b = 0 का कोई हल नहीं है और कोई विचित्र समाकल नहीं है। योगात्मक रूप में आने वाला अचर कभी विचित्र समाकल नहीं देता।

आगे बढ़ते हुए: अन्वालोप हल क्यों है? अपने प्रत्येक बिंदु पर उसके z, p और q वही होते हैं जो वहाँ स्पर्श करने वाले सदस्य के, और वह सदस्य F = 0 संतुष्ट करता है (नीचे 'व्युत्पत्ति: अन्वालोप हल क्यों हैं' में सिद्ध)।

विचित्र समाकल स्वयं PDE से भी पढ़ा जा सकता है: यहाँ F = px + qy + pq − z, F_p = x + q = 0 और F_q = y + p = 0 से p = −y, q = −x, और फिर F = 0 से पुनः z = −xy।

कहाँ प्रयोग होता है: क्लेरो-प्रकार के प्रश्न, किसी द्विघाती पृष्ठ के स्पर्श तल जिनका विचित्र समाकल स्वयं वह पृष्ठ है, शार्पी विधि (जो पूर्ण समाकल देती है), और कॉशी समस्याएँ, जो एक विशेष सदस्य चुनती हैं।

4. पृष्ठ और संकेतन

संकेतन: z = z(x, y), p = ∂z/∂x, q = ∂z/∂y, r = ∂²z/∂x², s = ∂²z/∂x∂y, t = ∂²z/∂y²।

पृष्ठ F(x, y, z) = 0 की अभिलंब दिशा (F_x, F_y, F_z) है; z = z(x, y) के लिए अभिलंब दिशा (p, q, −1) है।

भाव: पृष्ठ को F = z − z(x, y) = 0 लिखने पर (F_x, F_y, F_z) = (−p, −q, 1) मिलता है, अतः p और q केवल x और y दिशाओं में पृष्ठ की प्रवणताएँ (slopes) हैं; इसलिए प्रथम कोटि PDE F(x, y, z, p, q) = 0 प्रत्येक बिंदु पर स्पर्श तल (tangent plane) पर एक प्रतिबंध है।

एक-प्राचल कुल f(x, y, z, a) = 0: इसका अन्वालोप (envelope) f = 0 और ∂f/∂a = 0 से a विलोपित करके मिलता है; यह प्रत्येक सदस्य को एक वक्र (कुल का अभिलक्षण) के अनुदिश स्पर्श करता है।

भाव: दो पड़ोसी सदस्य f(x, y, z, a) = 0 और f(x, y, z, a + δa) = 0 एक वक्र में मिलते हैं; उनके अंतर को δa से भाग देकर δa → 0 करने पर उस वक्र पर ∂f/∂a = 0 मिलता है, इसीलिए अन्वालोप (envelope) f = 0, ∂f/∂a = 0 से आता है। चित्र: z-अक्ष के अनुदिश पिरोए एकक गोले x² + y² + (z − a)² = 1; ∂f/∂a = −2(z − a) = 0 से a = z, और अन्वालोप बेलन x² + y² = 1 है, जो प्रत्येक गोले को उसकी विषुवत् रेखा के अनुदिश स्पर्श करता है।

द्वि-प्राचल कुल f(x, y, z, a, b) = 0: इसका अन्वालोप f = 0, ∂f/∂a = 0, ∂f/∂b = 0 से a, b विलोपित करके मिलता है।

भाव: द्वि-प्राचल अन्वालोप प्रत्येक सदस्य को एक वक्र के अनुदिश नहीं, एक बिंदु पर स्पर्श करता है। उदाहरण: xy-तल में केंद्र वाले एकक गोले (x − a)² + (y − b)² + z² = 1; ∂f/∂a = 0 और ∂f/∂b = 0 से a = x, b = y, अतः z² = 1 और अन्वालोप समतल-युग्म z = ±1 है, जो प्रत्येक गोले को उसके शीर्ष और तल बिंदुओं पर स्पर्श करता है।

5. स्वेच्छ अचरों का विलोपन

z = f(x, y, a, b) से p और q ज्ञात करें, फिर तीनों समीकरणों से a और b विलोपित करके F(x, y, z, p, q) = 0 प्राप्त करें।

यदि अचरों की संख्या स्वतंत्र चरों से अधिक हो, तो द्वितीय (या उच्च) अवकलज आवश्यक होते हैं और PDE उच्च कोटि का होता है।

भाव: z, p, q के तीन समीकरण ठीक दो अचर हटा सकते हैं, अतः 'दो अचर, दो स्वतंत्र चर' से प्रथम कोटि PDE मिलता है; तीसरा अचर r, s या t के प्रयोग को बाध्य करता है। चरों से कम अचर होने पर PDE अद्वितीय नहीं होता: z = ax + y से q = 1 और z = px + y दोनों मिलते हैं, और दोनों सही उत्तर हैं।

उदाहरण 1: z = (x − a)² + (y − b)²। तब p = 2(x − a), q = 2(y − b), अतः p² + q² = 4z।

उदाहरण 2: z = ax + by + ab। तब p = a, q = b, अतः z = px + qy + pq (क्लेरो रूप)।

6. स्वेच्छ फलनों का विलोपन

z = f(u), जहाँ u = u(x, y): x और y के सापेक्ष अवकलन करें और f′ विलोपित करें।

उदाहरण 3: z = f(x² + y²)। तब p = 2xf′, q = 2yf′, अतः yp − xq = 0।

φ(u, v) = 0, जहाँ u, v, x, y, z के फलन हैं: φ विलोपित करने पर Pp + Qq = R मिलता है, जहाँ P = ∂(u, v)/∂(y, z), Q = ∂(u, v)/∂(z, x), R = ∂(u, v)/∂(x, y)।

भाव: φ(u, v) = 0 केवल इतना कहता है कि पृष्ठ पर u और v फलनतः संबंधित हैं; φ कुछ भी हो, परिणामी PDE p और q में रैखिक होता है (इसकी व्युत्पत्ति नीचे खंड 8 में है)। अगले विषय की लग्रांज विधि यही गणना उलटी चलाती है: Pp + Qq = R से वह u और v पुनः प्राप्त करती है।

एक स्वेच्छ फलन के विलोपन से प्रथम कोटि का अर्ध-रैखिक (quasilinear) PDE मिलता है; दो स्वेच्छ फलनों के विलोपन से प्रायः द्वितीय कोटि का PDE मिलता है।

भाव: स्वेच्छ फलन में अचर से कहीं अधिक स्वतंत्रता होती है, अतः उसे समीकरण गिनकर नहीं हटाया जा सकता; वह इसलिए हटता है क्योंकि वह एक ज्ञात संयोजन (x² + y², x + ct, ...) के माध्यम से आता है। 'सामान्यतः' शब्द महत्त्वपूर्ण है: z = f(x) + g(y) से द्वितीय कोटि PDE s = 0 मिलता है, पर z = f(x + y) + g(x + y) वास्तव में x + y का एक ही फलन है और प्रथम कोटि p = q देता है।

उदाहरण 4: z = f(x + ct) + g(x − ct)। तब z_tt = c²(f″ + g″) और z_xx = f″ + g″, अतः z_tt = c²z_xx (एकविमीय तरंग समीकरण)।

उदाहरण 5: z = f(x + iy) + g(x − iy) से z_xx + z_yy = 0 (लाप्लास समीकरण) मिलता है, क्योंकि ∂²/∂y² से गुणनखंड i² = −1 आता है।

7. F(x, y, z, p, q) = 0 के हलों के प्रकार

पूर्ण समाकल (complete integral): दो स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों वाला हल z = f(x, y, a, b), अर्थात् आव्यूह [[f_a, f_xa, f_ya], [f_b, f_xb, f_yb]] की कोटि 2 हो।

भाव: 'स्वतंत्र' का अर्थ है कि दोनों अचरों को एक में नहीं मिलाया जा सकता। z = (a + b)x + y दो-अचर कुल जैसा दिखता है पर वास्तव में z = cx + y है; इसके आव्यूह की पंक्तियाँ (x, 1, 0) और (x, 1, 0) हैं, जिसकी कोटि (rank) 1 है, अतः यह किसी प्रथम कोटि PDE का पूर्ण समाकल नहीं है।

व्यापक समाकल (general integral): पूर्ण समाकल में b = φ(a) रखें और इस एक-प्राचल कुल का अन्वालोप लें; इसमें एक स्वेच्छ फलन होता है।

भाव: b = φ(a) चुनना पूर्ण समाकल में से एक एक-प्राचल उप-कुल चुनता है, और उसका अन्वालोप पुनः एक हल है (नीचे व्युत्पत्ति में सिद्ध)। क्लेरो समीकरण के सदस्य समतल हैं, अतः व्यापक समाकल उन समतलों से बने विकासनीय (developable) पृष्ठों से बनता है; भिन्न φ भिन्न पृष्ठ देते हैं, इसी प्रकार एक पूर्ण समाकल से अनंत हल मिलते हैं।

विचित्र समाकल (singular integral): पूरे द्वि-प्राचल कुल का अन्वालोप, जो f = 0, f_a = 0, f_b = 0 से a, b विलोपित करके मिलता है; इसे PDE में रखकर जाँचना आवश्यक है।

भाव: विचित्र समाकल (singular integral) पूर्ण समाकल के प्रत्येक सदस्य को स्पर्श करता है, अतः अपने प्रत्येक बिंदु पर वह किसी सदस्य के साथ x, y, z, p, q साझा करता है और इसलिए PDE को संतुष्ट करता है, फिर भी a, b का कोई चयन उसे नहीं देता। हर PDE का विचित्र समाकल नहीं होता: यदि अचर योगात्मक रूप में आए, z = g(x, y, a) + b, तो ∂f/∂b = 1 ≠ 0 और कोई विचित्र समाकल नहीं (उदाहरण p = q के लिए z = ax + ay + b)।

विचित्र समाकल PDE से भी F = 0, F_p = 0, F_q = 0 से p, q विलोपित करके मिल सकता है।

भाव: दोनों विलोपन अतिरिक्त गुणनखंड दे सकते हैं, जैसे उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ सदस्य निष्कोण (smooth) नहीं हैं; केवल वही गुणनखंड रखें जो वास्तव में PDE को संतुष्ट करता है, और लिखें कि आपने इसकी जाँच की।

उदाहरण 6: z = px + qy + p² + q² का पूर्ण समाकल z = ax + by + a² + b² है।

तब x + 2a = 0 और y + 2b = 0 से a = −x/2, b = −y/2, अतः विचित्र समाकल 4z = −(x² + y²) है, एक परवलयज।

लंबकोणीय पृष्ठ: f(x, y, z) = c के प्रत्येक सदस्य को समकोण पर काटने वाले पृष्ठ f_xp + f_yq = f_z को संतुष्ट करते हैं, जो एक लग्रांज समीकरण है।

यह क्यों काम करता है: पृष्ठ z = z(x, y) का अभिलंब (p, q, −1) है और सदस्य f = c का अभिलंब (f_x, f_y, f_z) है; पृष्ठ समकोण पर तब काटते हैं जब ये अभिलंब लंबवत् हों, f_xp + f_yq − f_z = 0, जो दिया गया समीकरण है।

उदाहरण 7: गोलों x² + y² + z² = c के लंबकोणीय पृष्ठ xp + yq = z को संतुष्ट करते हैं, जिसका हल φ(y/x, z/x) = 0 है (मूलबिंदु पर शीर्ष वाले शंकु)।

8. जैकोबियन विलोपन, अन्वालोप और ज्यामितीय कुल

φ(u, v) = 0 से Pp + Qq = R क्यों: x और y के सापेक्ष अवकलन से φ_u(u_x + u_zp) + φ_v(v_x + v_zp) = 0 तथा φ_u(u_y + u_zq) + φ_v(v_y + v_zq) = 0 मिलते हैं; शून्येतर (φ_u, φ_v) के लिए 2 × 2 सारणिक शून्य होना चाहिए, और उसका प्रसार जैकोबियन (Jacobian) P, Q, R के साथ Pp + Qq = R देता है।

दो स्वेच्छ फलन (arbitrary functions) z = f(u) + g(v): p, q, r, s, t निकालें; पाँच समीकरणों में f′, g′, f″, g″ हैं, और इन चारों को विलोपित करने पर एक द्वितीय कोटि PDE बचता है (पहले r, s, t का ऐसा संयोजन खोजें जो f″, g″ हटा दे)।

केंद्रीय द्विघाती पृष्ठ के स्पर्श तल (tangent planes): तल lx + my + nz = d, x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 को स्पर्श करता है यदि और केवल यदि a²l² + b²m² + c²n² = d²; तल को z = px + qy + k लिखने पर क्लेरो PDE (z − px − qy)² = a²p² + b²q² + c² मिलता है, जिसका विचित्र समाकल स्वयं वह पृष्ठ है।

मानक ज्यामितीय कुल: शीर्ष (a, b, c) वाले शंकु (cones) (x − a)p + (y − b)q = z − c को संतुष्ट करते हैं; (l, m, n) के समांतर जनक रेखाओं वाले बेलन (cylinders) lp + mq = n को; z-अक्ष के परितः परिक्रमण पृष्ठ z = f(x² + y²), yp − xq = 0 को।

द्वितीय कोटि PDE बनाने के बाद उसका प्रकार पूछा जा सकता है: A, B, C (r, s, t के गुणांक) पढ़ें और दिए क्षेत्र में B² − 4AC के चिह्न का प्रयोग करें।

9. व्युत्पत्ति: अन्वालोप हल क्यों हैं

मान लें z = f(x, y, a, b), F(x, y, z, p, q) = 0 का पूर्ण समाकल (complete integral) है, अतः सभी x, y, a, b के लिए F(x, y, f, f_x, f_y) = 0।

अन्वालोप पर a और b, f_a = 0, f_b = 0 द्वारा निर्धारित फलन a(x, y), b(x, y) बन जाते हैं, और z = f(x, y, a(x, y), b(x, y))।

शृंखला नियम (chain rule) से ∂z/∂x = f_x + f_aa_x + f_bb_x = f_x और ∂z/∂y = f_y, क्योंकि f_a = f_b = 0।

अतः प्रत्येक बिंदु पर अन्वालोप के z, p, q वही हैं जो a, b के उन मानों वाले सदस्य के हैं; वह सदस्य F = 0 संतुष्ट करता है, अतः अन्वालोप भी करता है।

b = φ(a) के साथ एक ही प्रतिबंध f_a + f_bφ′(a) = 0 होता है, और यही गणना दिखाती है कि व्यापक समाकल (general integral) भी हल है।

F = F_p = F_q = 0 से विचित्र समाकल क्यों मिलता है: F(x, y, f, f_x, f_y) = 0 का a के सापेक्ष अवकलन करने पर F_zf_a + F_pf_xa + F_qf_ya = 0 मिलता है, और इसी प्रकार b के सापेक्ष।

विचित्र समाकल पर f_a = f_b = 0, अतः F_pf_xa + F_qf_ya = 0 और F_pf_xb + F_qf_yb = 0; जब f_xaf_yb − f_yaf_xb ≠ 0, तो इससे F_p = F_q = 0 अनिवार्य होता है।

क्लेरो पर जाँच: z = px + qy + pq का पूर्ण समाकल z = ax + by + ab है; f_a = x + b = 0, f_b = y + a = 0 से a = −y, b = −x और z = −xy। तब p = −y, q = −x और px + qy + pq = −xy, अतः विचित्र समाकल z = −xy (अतिपरवलयिक परवलयज) वास्तव में PDE को संतुष्ट करता है।

10. विधि का चयन

यदि कुल में स्वतंत्र चरों जितने ही अचर हैं → p और q एक बार ज्ञात करके विलोपन करें; PDE प्रथम कोटि का है।

यदि चरों से अधिक अचर हैं → r, s, t लाएँ और ऐसा संयोजन खोजें जिसमें अचर न बचें (z = ax + by + cxy के लिए s = c और PDE z = px + qy − xys है)।

यदि z = f(u), जहाँ u = u(x, y) ज्ञात है → p = f′u_x, q = f′u_y, अतः u_yp − u_xq = 0।

यदि संबंध φ(u, v) = 0 है और u या v में z है → जैकोबियन P, Q, R सीधे ज्ञात करें और Pp + Qq = R लिखें।

यदि z = f(u) + g(v) → द्वितीय अवकलजों पर जाएँ; x ± ct जैसे रैखिक तर्कों में संयोजन तुरंत मिलता है, अन्यथा पहले p, q के समीकरणों से f′, g′ हल करें।

यदि कुल शब्दों में वर्णित है (शंकु, बेलन, स्पर्श तल, परिक्रमण पृष्ठ, लांबिक पृष्ठ) → पहले उसका समीकरण अचरों या फलन के साथ लिखें, या खंड 8 का मानक PDE उद्धृत करके एक पंक्ति में उसका औचित्य दें।

11. सामान्य गलतियाँ

कोई अचर शेष छोड़ना: अंतिम PDE में कोई a, b या f नहीं होना चाहिए; 'उत्तर' लिखने से पहले उसे दोबारा पढ़ें।

यह भूलना कि u और v में z है: φ(u, v) = 0 में ∂u/∂x का अर्थ u_x + u_zp है, केवल u_x नहीं।

बिना जाँचा विचित्र समाकल: f = f_a = f_b = 0 के विलोपक में बाह्य गुणनखंड हो सकते हैं; PDE में वापस रखकर जाँचें।

समाकलों में भ्रम: पूर्ण समाकल में दो अचर होते हैं, व्यापक समाकल में एक स्वेच्छ फलन, विचित्र समाकल में दोनों में से कोई नहीं।

लांबिकता प्रतिबंध में गलत चिह्न: अभिलंब (p, q, −1) के साथ प्रतिबंध f_xp + f_yq = f_z है, f_xp + f_yq + f_z = 0 नहीं।

शून्य हो सकने वाले गुणांक से भाग देना: समतल को z = px + qy + k लिखना मानता है कि वह xy-तल पर लंब नहीं है; इसे स्पष्ट लिखें, जैसा UPSC प्रश्न करते हैं।

संबंध: क्लेरो PDE का विचित्र समाकल क्लेरो के साधारण अवकल समीकरण y = px + f(p) (साधारण अवकल समीकरण अध्याय) के विचित्र हल का द्वि-चर रूप है, जो उसी प्रकार अन्वालोप से मिलता है।

संबंध: स्पर्शता प्रतिबंध a²l² + b²m² + c²n² = d² विश्लेषणात्मक ज्यामिति (शांकवजों के स्पर्श तल) से आता है, और z = f(x + ct) + g(x − ct) तरंग समीकरण का डी'एलेम्बर्ट हल है जिसे उलटा पढ़ा गया है (कंपित तंतु विषय)।

12. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2018, 10 अंक): दीर्घवृत्तज : x² + 4y² + 4z² = 4 के उन सभी स्पर्श-तलों के संकाय का आंशिक अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए, जो xy समतल के लम्बवत नहीं हैं।

दीर्घवृत्तज (ellipsoid) x²/4 + y²/1 + z²/1 = 1 है, अतः a² = 4, b² = 1, c² = 1।

xy-तल पर लंब न होने वाले तल में z होता है, अतः उसे z = px + qy + k, अर्थात् px + qy − z = −k लिखा जा सकता है, जहाँ p, q उसकी प्रवणताएँ ∂z/∂x, ∂z/∂y हैं।

(l, m, n) = (p, q, −1), d = −k के साथ स्पर्श प्रतिबंध a²l² + b²m² + c²n² = d² से k² = 4p² + q² + 1।

अचर k = z − px − qy विलोपित करने पर PDE मिलता है।

उत्तर: (z − px − qy)² = 4p² + q² + 1, अर्थात् z = px + qy ± √(4p² + q² + 1), एक क्लेरो समीकरण जिसका विचित्र समाकल दीर्घवृत्तज है।

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 10 अंक): x² + y² + z² = cz द्वारा दिए गए गोलों के कुल के लम्बकोणीय पृष्ठों का व्यापक समीकरण ज्ञात कीजिए।

कुल को f = (x² + y² + z²)/z = c लिखें: f_x = 2x/z, f_y = 2y/z, f_z = (z² − x² − y²)/z²।

लांबिक पृष्ठ (orthogonal surfaces) f_xp + f_yq = f_z को संतुष्ट करते हैं; z² से गुणा करने पर: 2xz p + 2yz q = z² − x² − y²।

सहायक समीकरण dx/(2xz) = dy/(2yz) = dz/(z² − x² − y²); पहले दो से dx/x = dy/y, अतः y/x = c₁।

गुणक x, y, z से हर z(x² + y² + z²) मिलता है, अतः d(x² + y² + z²)/(x² + y² + z²) = dx/x और (x² + y² + z²)/x = c₂।

उत्तर: φ(y/x, (x² + y² + z²)/x) = 0, φ स्वेच्छ।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 10 अंक): z = y f(x) + x g(y) से स्वैच्छिक फलनों f(x) व g(y) का विलोपन कर आंशिक अवकल समीकरण बनाइए तथा इसकी प्रकृति (दीर्घवृत्तीय, अतिपरवलीय या परवलीय) x > 0, y > 0 क्षेत्र में इंगित कीजिए।

p = yf′(x) + g(y), q = f(x) + xg′(y) तथा s = ∂²z/∂x∂y = f′(x) + g′(y)।

तब xp + yq = xy(f′ + g′) + (xg + yf) = xys + z, जिसमें कोई स्वेच्छ फलन नहीं है।

प्रकार: A = 0, B = xy, C = 0 (r, s, t के गुणांक), अतः x > 0, y > 0 में B² − 4AC = x²y² > 0।

उत्तर: xy ∂²z/∂x∂y − x ∂z/∂x − y ∂z/∂y + z = 0, क्षेत्र x > 0, y > 0 में अतिपरवलयिक।

उदाहरण 11 (UPSC 2022, 10 अंक): दिया गया है कि शीर्ष (a, b, c) वाले किसी शंकु का समीकरण f((x − a)/(z − c), (y − b)/(z − c)) = 0 है। शंकु का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये।

u = (x − a)/(z − c), v = (y − b)/(z − c) रखें और f(u, v) = 0 का अवकलन करें; (z − c)² से गुणा करने पर: f_u[(z − c) − (x − a)p] − f_v(y − b)p = 0 तथा −f_u(x − a)q + f_v[(z − c) − (y − b)q] = 0।

शून्येतर (f_u, f_v) के लिए सारणिक शून्य है: [(z − c) − (x − a)p][(z − c) − (y − b)q] − (x − a)(y − b)pq = 0।

प्रसार करने पर (z − c)² − (z − c)[(x − a)p + (y − b)q] = 0, और शीर्ष से दूर z ≠ c।

उत्तर: (x − a)p + (y − b)q = z − c।

उदाहरण 12 (UPSC 2023, 10 अंक): z = f(x² − y) + g(x² + y) से स्वैच्छिक फलनों f तथा g का विलोपन कर आंशिक अवकल समीकरण बनाइए।

p = 2x(f′ + g′), q = −f′ + g′, r = 2(f′ + g′) + 4x²(f″ + g″), t = f″ + g″ (f का मान x² − y पर, g का x² + y पर)।

p से f′ + g′ = p/(2x); इसे और f″ + g″ = t को r में रखने पर r = p/x + 4x²t।

उत्तर: x ∂²z/∂x² − ∂z/∂x − 4x³ ∂²z/∂y² = 0।

उदाहरण 13 (UPSC 2024, 10 अंक): दर्शाइए कि यदि f और g उनके संबंधित स्वतंत्र चरों के स्वेच्छ फलन हैं, तब u = f(x − kt + iαy) + g(x − kt − iαy),
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = (1/C²) ∂²u/∂t², जहाँ α² = 1 − k²/C² है,
का एक हल है।

माना ξ = x − kt + iαy और η = x − kt − iαy, जहाँ f″ = f″(ξ), g″ = g″(η)।

u_xx = f″ + g″, u_yy = (iα)²f″ + (−iα)²g″ = −α²(f″ + g″), u_tt = (−k)²(f″ + g″) = k²(f″ + g″)।

अतः α² = 1 − k²/C² से u_xx + u_yy = (1 − α²)(f″ + g″) = (k²/C²)(f″ + g″) = (1/C²)u_tt।

उत्तर: सभी द्वि-अवकलनीय f, g के लिए u समीकरण ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = (1/C²) ∂²u/∂t² को संतुष्ट करता है। अतः सिद्ध हुआ।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): कुल z = ax + by का PDE बनाइए।

उत्तर: p = a, q = b, अतः z = px + qy।

अभ्यास 2 (मूल): z = f(y/x) से स्वेच्छ फलन f विलोपित कीजिए।

उत्तर: p = −(y/x²)f′, q = (1/x)f′, अतः xp + yq = 0।

अभ्यास 3 (मूल): क्या z = ax + by + a² + b², z = px + qy + p² + q² का पूर्ण समाकल है? कोटि परीक्षण से पुष्टि कीजिए।

उत्तर: हाँ: यह PDE को संतुष्ट करता है, और पंक्तियों (f_a, f_xa, f_ya) = (x + 2a, 1, 0) और (f_b, f_xb, f_yb) = (y + 2b, 0, 1) की कोटि 2 है।

अभ्यास 4 (मानक): z = (x² + a)(y² + b) से a और b विलोपित करके PDE बनाइए।

उत्तर: p = 2x(y² + b), q = 2y(x² + a), अतः pq = 4xyz।

अभ्यास 5 (मानक): z = e^yf(x − y) से f विलोपित कीजिए।

उत्तर: p = e^yf′ और q = e^yf − e^yf′ = z − p, अतः p + q = z।

अभ्यास 6 (मानक): φ(x + y + z, x² + y² − z²) = 0 से φ विलोपित कीजिए।

उत्तर: जैकोबियन से P = −2(y + z), Q = 2(x + z), R = 2(y − x), अतः (y + z)p − (x + z)q = x − y।

अभ्यास 7 (मानक): z = px + qy + log(pq) का एक पूर्ण समाकल और विचित्र समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पूर्ण समाकल z = ax + by + log(ab) (ab > 0); x + 1/a = 0, y + 1/b = 0 से विचित्र समाकल z = −2 − log(xy), जहाँ xy > 0।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): उन सभी परिक्रमण पृष्ठों का PDE ज्ञात कीजिए जिनका अक्ष रेखा x = y = z है।

उत्तर: ऐसे पृष्ठ φ(x + y + z, x² + y² + z²) = 0 हैं (अक्ष पर लंब तलों में, अक्ष पर केंद्रित वृत्त); φ विलोपित करने पर (z − y)p + (x − z)q = y − x।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): z = f(xy) + g(x/y) से स्वेच्छ फलन विलोपित कीजिए।

उत्तर: u = xy, v = x/y लेने पर xp = uf′ + vg′ और yq = uf′ − vg′; द्वितीय अवकलजों तक जाकर f′, g′, f″, g″ विलोपित करने पर x²r − y²t + xp − yq = 0।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): z = px + qy + p² + q² के पूर्ण समाकल z = ax + by + a² + b² में b = a रखकर व्यापक समाकल का संगत पृष्ठ ज्ञात कीजिए; सत्यापित कीजिए कि यह PDE को संतुष्ट करता है।

उत्तर: z = a(x + y) + 2a² और x + y + 4a = 0 से z = −(x + y)²/8; तब p = q = −(x + y)/4 और px + qy + p² + q² = −(x + y)²/4 + (x + y)²/8 = z।

1. सहायक समीकरणों और अभिलक्षणिक वक्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: Pp + Qq = R एक अज्ञात पृष्ठ z = z(x, y) के लिए एक ही समीकरण है, और हम इसे सीधे समाकलित नहीं कर सकते। हम इसे साधारण अवकल समीकरणों से बदलना चाहते हैं, जिन्हें समाकलित करना हम जानते हैं।

शब्दों में: P, Q, R, x, y, z के दिए हुए फलन हैं, अतः समष्टि के प्रत्येक बिंदु पर वे एक तीर (P, Q, R) परिभाषित करते हैं। पृष्ठ z = z(x, y) का अभिलंब (normal) (p, q, −1) है।

Pp + Qq − R = 0 इन दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल है, अतः PDE ठीक यही कहता है: तीर (P, Q, R) प्रत्येक बिंदु पर पृष्ठ के स्पर्श तल (tangent plane) में स्थित है।

तीरों का अनुसरण करने वाले वक्र के लिए dx : dy : dz = P : Q : R, जिसे dx/P = dy/Q = dz/R लिखा जाता है (सहायक समीकरण, auxiliary equations)। ये वक्र अभिलक्षणिक वक्र (characteristic curves) हैं।

सहायक समीकरण दो ODE हैं, अतः उनका हल दो संबंध u(x, y, z) = c₁, v(x, y, z) = c₂ है; प्रत्येक युग्म (c₁, c₂) एक अभिलक्षण को अंकित करता है। अभिलक्षणों से बना पृष्ठ इन अंकों के बीच एक संबंध φ(u, v) = 0 है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: yzp + xzq = xy हल कीजिए।

चरण 1: P = yz, Q = xz, R = xy पढ़ें और dx/(yz) = dy/(xz) = dz/(xy) लिखें।

चरण 2: पहली दो भिन्नें लें और वज्र-गुणन करें: xz dx = yz dy; z (z ≠ 0) काटकर x dx = y dy पाएँ।

चरण 3: समाकलन करें: x² − y² = c₁। जाँचें कि यह अभिलक्षणों के अनुदिश अचर है: Pu_x + Qu_y + Ru_z = yz(2x) + xz(−2y) + 0 = 0।

चरण 4: पहली और तीसरी भिन्न लें: xy dx = yz dz, अतः x dx = z dz और x² − z² = c₂।

चरण 5: दोनों समाकल स्वतंत्र हैं: पहले में y है और z नहीं, दूसरे में z है और y नहीं, अतः कोई भी दूसरे का फलन नहीं है।

चरण 6: व्यापक हल φ(x² − y², x² − z²) = 0, या x² − z² = f(x² − y²)।

चरण 7: एक सदस्य परखें: f = 0 से z = x, अतः p = 1, q = 0 और yzp + xzq = yz = xy, जैसा अपेक्षित है।

अ-उदाहरण (non-example): p² + q = z, Pp + Qq = R के रूप का नहीं है, क्योंकि p का वर्ग आता है। अब PDE स्पर्श तल में कोई एक दिशा (P, Q, R) नियत नहीं करता, अतः लग्रांज प्रकार के सहायक समीकरण नहीं बनते; ऐसे समीकरणों के लिए शार्पी विधि (अगला विषय) चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: अभिलक्षण के अनुदिश u अचर रहता है, अतः Pu_x + Qu_y + Ru_z = 0, और इसी प्रकार v के लिए। इन दोनों समीकरणों को हल करने पर P : Q : R, u, v के जैकोबियन के अनुपात में मिलते हैं, और पिछले विषय का जैकोबियन विलोपन दिखाता है कि प्रत्येक φ(u, v) = 0, Pp + Qq = R को संतुष्ट करता है।

विलोमतः, प्रत्येक हल-पृष्ठ अपने स्पर्श तल में तीर (P, Q, R) रखता है, अतः उस पर आरंभ होने वाला अभिलक्षण उसी पर रहता है; पृष्ठ अभिलक्षणों का संघ है। पूर्ण तर्क नीचे 'व्युत्पत्ति: लग्रांज प्रमेय की उपपत्ति' में है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'Pp + Qq = R का व्यापक हल ज्ञात कीजिए' वाला प्रत्येक प्रश्न, किसी दिए कुल के लंबकोणीय पृष्ठ, और अगले विषय में कॉशी समस्याओं के लिए अभिलक्षण विधि।

2. सहायक समीकरणों के लिए गुणकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रायः केवल एक युग्म भिन्नें दो चरों में पृथक होती हैं, या कोई नहीं होती। तब दूसरा समाकल तीनों भिन्नों को संयोजित करके बनाना पड़ता है।

शब्दों में: भिन्नों का उभयनिष्ठ मान k कहें, अतः dx = kP, dy = kQ, dz = kR। किन्हीं भी गुणकों (multipliers) l, m, n (संख्याएँ या फलन) के लिए l dx + m dy + n dz = k(lP + mQ + nR)।

अतः यदि हम l, m, n ऐसे चुनें कि lP + mQ + nR = 0, तो प्रत्येक अभिलक्षण के अनुदिश l dx + m dy + n dz = 0। यदि बायाँ पक्ष यथातथ अवकल (exact differential) dw हो, तो w = अचर एक समाकल है।

गुणकों का अनुमान P, Q, R की आकृति से लगाया जाता है: ऐसे पद खोजें जो तीनों गुणनफल जोड़ने पर कट जाएँ।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: z(x + y)p + z(x − y)q = x² + y² हल कीजिए।

चरण 1: सहायक समीकरण dx/(z(x + y)) = dy/(z(x − y)) = dz/(x² + y²) हैं; कोई युग्म सीधे पृथक नहीं होता।

चरण 2: R, x, y में द्विघाती है, जबकि P, Q, z गुणा रैखिक पद हैं; dx, dy को x, y से और dz को z से गुणा करने पर प्रत्येक गुणनफल z × (द्विघाती) रूप का होता है। l, m, n = x, −y, −z आजमाएँ।

चरण 3: जाँच: xz(x + y) − yz(x − y) − z(x² + y²) = z(x² + xy − xy + y² − x² − y²) = 0।

चरण 4: अतः x dx − y dy − z dz = 0, जो यथातथ है: यह (1/2)d(x² − y² − z²) है। अतः x² − y² − z² = c₁।

चरण 5: दूसरे समाकल के लिए y, x, −z आजमाएँ: yz(x + y) + xz(x − y) − z(x² + y²) = z(xy + y² + x² − xy − x² − y²) = 0।

चरण 6: अतः y dx + x dy − z dz = 0, अर्थात् d(xy − z²/2) = 0, और 2xy − z² = c₂।

चरण 7: समाकल स्वतंत्र हैं (एक में xy है, दूसरे में x² − y²), अतः व्यापक हल φ(x² − y² − z², 2xy − z²) = 0 है।

अ-उदाहरण (non-example): dx/1 = dy/1 = dz/1 के लिए गुणक y, −y, 0, lP + mQ + nR = y − y = 0 संतुष्ट करते हैं, पर y dx − y dy यथातथ अवकल नहीं है (∂(y)/∂y = 1 जबकि ∂(−y)/∂x = 0)। विफल होने वाला प्रतिबंध यथातथता है; समाकलन गुणक y से भाग देने पर यह ठीक होता है और d(x − y) = 0 मिलता है।

आगे बढ़ते हुए: यही सर्वसमिका अनुपात नियम देती है: प्रत्येक भिन्न (l dx + m dy + n dz)/(lP + mQ + nR) के बराबर है, तब भी जब हर शून्य न हो।

अंश को हर का अवकल, या किसी विद्यमान भिन्न का गुणज चुनने पर लघुगणकीय समाकल मिलता है, जैसा नीचे उदाहरण 5 में है; सारणी 'उपयोगी गुणक' मानक प्रतिरूप सूचीबद्ध करती है।

कहाँ प्रयोग होता है: UPSC प्रश्नपत्रों के लगभग प्रत्येक लग्रांज प्रश्न में (चक्रीय निकाय, x, y, z गुणनखंडों वाले निकाय), और अगले विषय में शार्पी के सहायक निकाय के समाकलन में।

3. दिए गए वक्र से होकर जाने वाले समाकल पृष्ठ को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: व्यापक हल φ(u, v) = 0 में एक स्वेच्छ फलन है, अतः यह अनंत पृष्ठों का वर्णन करता है। 'पृष्ठ इस वक्र से होकर जाता है' जैसे आँकड़े उनमें से एक को चुनते हैं।

शब्दों में: दिए वक्र के प्रत्येक बिंदु से ठीक एक अभिलक्षण गुजरता है, जिसके अंक c₁ = u और c₂ = v उस बिंदु पर मूल्यांकित होते हैं।

जैसे-जैसे बिंदु वक्र के अनुदिश चलता है (प्राचल t), अंक c₁ और c₂ के बीच एक संबंध बनाते हैं; t विलोपित करने पर F(c₁, c₂) = 0 मिलता है। अभीष्ट पृष्ठ ठीक इन्हीं अभिलक्षणों से बना है, अतः यह F(u, v) = 0 है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: yzp + xzq = xy (ऊपर का पहला पाठ) का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए जो रेखा x = 0, z = 2y से होकर जाता है।

चरण 1: समाकल x² − y² = c₁ और x² − z² = c₂ हैं।

चरण 2: रेखा को प्राचलित करें: x = 0, y = t, z = 2t।

चरण 3: उस पर अंकों का मान निकालें: c₁ = −t² और c₂ = −4t²।

चरण 4: t विलोपित करें: c₂ = 4c₁।

चरण 5: अंकों के स्थान पर फलन रखें: x² − z² = 4(x² − y²), अर्थात् 3x² − 4y² + z² = 0।

चरण 6: वक्र की जाँच: 0 − 4t² + 4t² = 0। PDE की जाँच: अस्पष्ट अवकलन से p = −3x/z और q = 4y/z, अतः yzp + xzq = −3xy + 4xy = xy।

चरण 7: अनुप्रस्थता (transversality) की जाँच: रेखा पर (P, Q) = (yz, xz) = (2t², 0), जबकि प्रक्षिप्त रेखा की दिशा (x′, y′) = (0, 1) है; t ≠ 0 के लिए x′Q − y′P = −2t² ≠ 0, अतः रेखा के निकट (मूलबिंदु से दूर) पृष्ठ अद्वितीय है।

अ-उदाहरण (non-example): इसी PDE के लिए वक्र x² − y² = 1, x² − z² = 1 लें। उस पर प्रत्येक बिंदु के लिए c₁ = 1 और c₂ = 1, अतः विलोपन से कोई संबंध नहीं मिलता: वक्र स्वयं एक अभिलक्षण है, और φ(1, 1) = 0 वाला प्रत्येक पृष्ठ φ(u, v) = 0 उसे समाहित करता है। विफल होने वाला प्रतिबंध अनुप्रस्थता है।

आगे बढ़ते हुए: यह विधि लग्रांज की भाषा में कॉशी समस्या है: वक्र t के प्रत्येक मान के लिए एक अभिलक्षण देता है, और ये मिलकर एक पृष्ठ बनाते हैं। जब प्रक्षिप्त वक्र प्रक्षिप्त अभिलक्षणों को काटता है (x′Q − y′P ≠ 0), तो प्रत्येक अभिलक्षण वक्र से एक बार मिलता है और पृष्ठ अद्वितीय होता है; जब वक्र स्वयं अभिलक्षण हो, अद्वितीयता नष्ट हो जाती है (नीचे 'वक्र जो अभिलक्षण है' देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: 15 अंक के 'वक्र से होकर समाकल पृष्ठ' प्रश्न (नीचे उदाहरण 9, 10 और 11) और अगले विषय में कॉशी की अभिलक्षण विधि।

4. लग्रांज प्रमेय

प्रथम कोटि अर्ध-रैखिक PDE: P(x, y, z)p + Q(x, y, z)q = R(x, y, z), जो p और q में रैखिक है; यह लग्रांज का रैखिक समीकरण है।

भाव: 'अर्ध-रैखिक (quasilinear)' का अर्थ है कि अवकलज p, q केवल प्रथम घात में आते हैं, यद्यपि P, Q, R स्वयं z पर निर्भर हो सकते हैं; समीकरण कठोर अर्थ में 'रैखिक' तभी है जब P, Q में z न हो और R, z में रैखिक हो। लग्रांज विधि दोनों को हल करती है, पर p² + q² = 1 जैसे समीकरणों को नहीं (इनके लिए शार्पी विधि चाहिए, अगला विषय)।

प्रमेय: यदि u(x, y, z) = c₁ और v(x, y, z) = c₂ सहायक समीकरणों (auxiliary equations) dx/P = dy/Q = dz/R के दो स्वतंत्र हल हैं, तो φ(u, v) = 0, जहाँ φ स्वेच्छ अवकलनीय फलन है, व्यापक हल है।

भाव: dx/P = dy/Q = dz/R समष्टि में दो साधारण अवकल समीकरणों का निकाय है, अतः इसके हल-वक्र (c₁, c₂) से अंकित एक द्वि-प्राचल कुल बनाते हैं। समाकल पृष्ठ इन वक्रों का एक एक-प्राचल कुल है, और युग्मों (c₁, c₂) का एक-प्राचल कुल चुनना ठीक एक संबंध φ(c₁, c₂) = 0 है। स्वतंत्रता आवश्यक है: यदि v, u का फलन हो, तो φ(u, v) = 0 केवल विशेष पृष्ठ u = अचर देगा।

ज्यामितीय अर्थ: समाकल पृष्ठ का अभिलंब (p, q, −1), (P, Q, R) पर लंब है, अतः पृष्ठ प्रत्येक बिंदु पर दिशा (P, Q, R) को समाहित करता है और अभिलक्षणिक वक्रों (characteristic curves) u = c₁, v = c₂ से जनित होता है।

भाव: (P, Q, R) को एक वेग क्षेत्र मानें; अभिलक्षणिक वक्र इसकी धारा-रेखाएँ हैं, और समाकल पृष्ठ पूरी धारा-रेखाओं से बुना कोई भी पृष्ठ है। जो अभिलक्षणिक वक्र किसी समाकल पृष्ठ को एक बिंदु पर छूता है, वह पूरा उसी पर स्थित होता है।

n चर: P₁p₁ + ... + P_np_n = R के सहायक समीकरण dx₁/P₁ = ... = dx_n/P_n = dz/R हैं और व्यापक हल φ(u₁, ..., u_n) = 0 है।

5. सहायक समीकरणों का हल

समूहन: केवल दो चरों वाली दो भिन्नें चुनें और सीधे समाकलन करें।

ज्ञात समाकल का प्रयोग: u = c₁ से भिन्नों के दूसरे युग्म में से एक चर विलोपित करें।

गुणक: l, m, n (x, y, z के फलन) ऐसे चुनें कि lP + mQ + nR = 0; तब l dx + m dy + n dz = 0, जो यथातथ होने पर एक समाकल देता है।

यह क्यों काम करता है: यदि lP + mQ + nR = 0 और भिन्न परिमित हैं, तो संयुक्त भिन्न (l dx + m dy + n dz)/(lP + mQ + nR) तभी परिमित रह सकता है जब उसका अंश शून्य हो, अतः प्रत्येक अभिलक्षणिक वक्र के अनुदिश l dx + m dy + n dz = 0।

अनुपात नियम: प्रत्येक भिन्न (l dx + m dy + n dz)/(lP + mQ + nR) के बराबर है; अंश को हर का अवकल चुनने पर लघुगणकीय समाकल मिलता है।

यह क्यों काम करता है: यदि dx/P = dy/Q = dz/R = k, तो dx = kP, dy = kQ, dz = kR, अतः l dx + m dy + n dz = k(lP + mQ + nR); भाग देने पर वही k मिलता है। यह परिचित नियम a/b = c/d = (la + mc)/(lb + md) है।

6. व्युत्पत्ति: लग्रांज प्रमेय की उपपत्ति

चूँकि प्रत्येक अभिलक्षणिक वक्र के अनुदिश u = c₁, du = u_xdx + u_ydy + u_zdz = 0, जहाँ dx : dy : dz = P : Q : R, अतः Pu_x + Qu_y + Ru_z = 0; इसी प्रकार Pv_x + Qv_y + Rv_z = 0।

इन दो रैखिक समीकरणों को P : Q : R के लिए (वज्र-गुणन से) हल करने पर P : Q : R = ∂(u, v)/∂(y, z) : ∂(u, v)/∂(z, x) : ∂(u, v)/∂(x, y) मिलता है।

पिछले विषय के जैकोबियन विलोपन से φ(u, v) = 0, ∂(u, v)/∂(y, z) p + ∂(u, v)/∂(z, x) q = ∂(u, v)/∂(x, y) को संतुष्ट करता है, जो Pp + Qq = R का एक शून्येतर गुणज है। अतः प्रत्येक φ(u, v) = 0 एक हल है।

विलोमतः, समाकल पृष्ठ z = z(x, y) पर U = u(x, y, z(x, y)), V = v(x, y, z(x, y)) लें; प्रसार करने पर ∂(U, V)/∂(x, y) = ∂(u, v)/∂(x, y) − p ∂(u, v)/∂(y, z) − q ∂(u, v)/∂(z, x), जो R − Pp − Qq = 0 के समानुपाती है।

शून्य जैकोबियन का अर्थ है कि पृष्ठ पर U और V फलनतः आश्रित हैं, अर्थात् किसी φ के लिए φ(u, v) = 0; अतः φ(u, v) = 0 में प्रत्येक हल समाहित है, जो 'व्यापक' शब्द को उचित ठहराता है।

7. विधि का चयन

यदि दो भिन्नों में केवल उनके अपने दो चर हैं (जैसे dx/P = dy/Q, जहाँ P, Q में z नहीं) → उस युग्म को सीधे समाकलित करें; सबसे पहले यही खोजें।

यदि एक समाकल u = c₁ ज्ञात है पर शेष प्रत्येक युग्म में तीन चर हैं → u = c₁ से एक चर हटाएँ, c₁ को अचर रखकर समाकलित करें, और उसके बाद ही c₁ के स्थान पर u(x, y, z) रखें।

यदि P, Q, R चक्रीय हैं, जैसे (y − z, z − x, x − y) या (mz − ny, nx − lz, ly − mx) → गुणक 1, 1, 1 (या l, m, n) और x, y, z।

यदि P, Q, R में x, y, z गुणनखंड हैं → 1/x, 1/y, 1/z (जिससे log xyz) या x, y, z (जिससे x² + y² + z²) आज़माएँ।

यदि P + Q या P − Q सरलता से गुणनखंडित हो → d(x + y)/(P + Q) और d(x − y)/(P − Q) का प्रयोग करें।

यदि कोई संयोजन lP + mQ + nR आपके पास पहले से उपलब्ध हर का सरल गुणज हो → अनुपात नियम से लघुगणकीय समाकल प्राप्त करें, जैसा उदाहरण 5 में।

8. सामान्य गलतियाँ

दो समाकलों पर रुक जाना: u = c₁, v = c₂ वक्रों का कुल है, हल नहीं; उत्तर φ(u, v) = 0 (या v = f(u)) है।

c₁ को चर मानना: u = c₁ प्रतिस्थापित करने के बाद समाकलन के दौरान c₁ अचर है; u को बहुत पहले वापस रखने से समाकलन गलत हो जाता है।

अयथातथ गुणक: lP + mQ + nR = 0 से l dx + m dy + n dz = 0 मिलता है, पर इससे समाकल तभी मिलता है जब बायाँ पक्ष पूर्ण अवकल हो; इसकी जाँच करें।

आश्रित समाकल: y/x = c₁ और (x + y)/x = c₂ स्वतंत्र नहीं हैं (दूसरा 1 + c₁ है); वास्तव में नया संयोजन खोजें।

लघुगणक अचर: dx/x = dy/y से y = c₁x मिलता है, y = x + c₁ नहीं।

वक्र से जाने वाला समाकल पृष्ठ: वक्र का प्रयोग दोनों में से केवल एक समाकल में करना; x, y, z का विलोपन करने से पहले u = c₁ और v = c₂ दोनों का मान वक्र पर लेना आवश्यक है।

संबंध: अभिलक्षणिक वक्र सदिश विश्लेषण के सदिश क्षेत्र (P, Q, R) की क्षेत्र-रेखाएँ हैं, और यही समीकरण dx/u = dy/v = dz/w तरल गतिकी में धारा-रेखाएँ देते हैं।

संबंध: कॉशी की अभिलक्षण विधि (अगला विषय) आरंभ से ही आँकड़ा-वक्र को सम्मिलित करने वाली लग्रांज विधि है; पिछले विषय की लांबिक पृष्ठ समस्याएँ सदैव लग्रांज समीकरण पर समाप्त होती हैं।

9. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: xp + yq = z। dx/x = dy/y = dz/z से: y/x = c₁, z/x = c₂; व्यापक हल φ(y/x, z/x) = 0।

उदाहरण 2: p + q = z। dx = dy से: x − y = c₁; dx = dz/z से: log z − x = c₂; अतः z = e^xf(x − y)।

जाँच: p = e^xf + e^xf′, q = −e^xf′, अतः p + q = e^xf = z।

उदाहरण 3: (y − z)p + (z − x)q = x − y। गुणक 1, 1, 1 से dx + dy + dz = 0, अतः x + y + z = c₁।

गुणक x, y, z से x dx + y dy + z dz = 0, अतः x² + y² + z² = c₂।

व्यापक हल: φ(x + y + z, x² + y² + z²) = 0, रेखा x = y = z के परितः परिक्रमण पृष्ठ।

उदाहरण 4: x(y − z)p + y(z − x)q = z(x − y) को हल कीजिए।

गुणक 1, 1, 1: P + Q + R = xy − xz + yz − xy + xz − yz = 0, अतः dx + dy + dz = 0 और x + y + z = c₁।

गुणक 1/x, 1/y, 1/z: (y − z) + (z − x) + (x − y) = 0, अतः dx/x + dy/y + dz/z = 0 और xyz = c₂।

व्यापक हल: φ(x + y + z, xyz) = 0।

उदाहरण 5: (x² − y² − z²)p + 2xyq = 2xz को हल कीजिए।

dy/(2xy) = dz/(2xz) से: dy/y = dz/z, अतः y/z = c₁।

गुणक x, y, z: xP + yQ + zR = x(x² − y² − z²) + 2xy² + 2xz² = x(x² + y² + z²)।

अतः (x dx + y dy + z dz)/(x(x² + y² + z²)) = dz/(2xz), अर्थात् d(x² + y² + z²)/(x² + y² + z²) = dz/z, जिससे (x² + y² + z²)/z = c₂।

व्यापक हल: φ(y/z, (x² + y² + z²)/z) = 0।

10. दिए गए वक्र से गुजरने वाला समाकल पृष्ठ

चरण 1: दो स्वतंत्र समाकल u = c₁, v = c₂ ज्ञात करें।

चरण 2: इन्हें दिए गए वक्र के समीकरणों के साथ मिलाकर x, y, z विलोपित करें और संबंध F(c₁, c₂) = 0 प्राप्त करें।

चरण 3: c₁ के स्थान पर u और c₂ के स्थान पर v रखें: F(u, v) = 0 अभीष्ट पृष्ठ है।

उदाहरण 6: वक्र x + y = 1, z = 1 से गुजरने वाला xp + yq = z का समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

यहाँ y = c₁x, z = c₂x; z = 1 से x = 1/c₂, y = c₁/c₂, और x + y = 1 से 1 + c₁ = c₂।

अतः 1 + y/x = z/x, अर्थात् z = x + y (जाँच: p = q = 1 और xp + yq = x + y = z)।

अद्वितीयता टिप्पणी: यदि दिए गए वक्र का xy-तल पर प्रक्षेप (x(t), y(t)) कहीं भी प्रक्षिप्त अभिलक्षणिक दिशा (P, Q) का स्पर्शी न हो, अर्थात् उसके अनुदिश x′(t)Q − y′(t)P ≠ 0, तो वक्र के निकट उसे समाहित करने वाला अद्वितीय समाकल पृष्ठ होता है; यदि वक्र स्वयं अभिलक्षण हो, तो उसे समाहित करने वाले अनंत समाकल पृष्ठ होते हैं।

11. सहायक समीकरणों के लिए और युक्तियाँ

योग और अंतर: जब P + Q और P − Q के अच्छे गुणनखंड हों, तो dz/R के साथ d(x + y)/(P + Q) और d(x − y)/(P − Q) लें; जब P, Q में x + y हो (या P = xz − y, Q = yz − x जैसे युग्म हों) तब यही मानक मार्ग है।

यथातथ अवकल गुणक: यदि lP + mQ + nR = 0 और किसी w के लिए l dx + m dy + n dz = dw, तो w = c एक समाकल है; अनुमानित w (जैसे x/y² + y/x², xy + z, x² + y² − z²) के आंशिक अवकलजों को l, m, n मानकर देखें।

प्राचलिक रूप में दिया वक्र (x = x(t), y = y(t), z = z(t)): u = c₁, v = c₂ में रखें, t विलोपित कर F(c₁, c₂) = 0 पाएँ, फिर c₁ = u, c₂ = v रखें और जाँचें कि वक्र पृष्ठ पर स्थित है।

अभिलक्षणिक वक्र (characteristic curve): यदि दिए वक्र के अनुदिश u और v दोनों अचर हों, तो कोई संबंध F(c₁, c₂) = 0 बाध्य नहीं होता; φ(c₁, c₂) = 0 वाला प्रत्येक पृष्ठ φ(u, v) = 0 उसे समाहित करता है, अतः समाकल पृष्ठ अद्वितीय नहीं है।

12. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 15 अंक): p cos(x + y) + q sin(x + y) = z, जहाँ p = ∂z/∂x तथा q = ∂z/∂y, को व्यापक हल के लिए हल कीजिए।

सहायक समीकरण dx/cos(x + y) = dy/sin(x + y) = dz/z; पहले दो को जोड़ने और घटाने पर d(x + y)/(cos(x + y) + sin(x + y)) = d(x − y)/(cos(x + y) − sin(x + y))।

w = x + y लेकर: d(x − y) = [(cos w − sin w)/(cos w + sin w)] dw, जिसका दायाँ पक्ष d log(cos w + sin w) है; अतः x − y − log(cos w + sin w) = अचर, अर्थात् e^{y − x}[cos(x + y) + sin(x + y)] = c₁।

साथ ही dz/z = dw/(cos w + sin w) = dw/(√2 sin(w + π/4)), अतः log z = (1/√2) log tan(w/2 + π/8) + अचर।

अतः z[tan((x + y)/2 + π/8)]^−1/√2 = c₂।

उत्तर: z = [tan((x + y)/2 + π/8)]^1/√2 f(e^{y − x}[cos(x + y) + sin(x + y)]), f स्वेच्छ (प्रतिस्थापन से जाँचा गया)।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 10 अंक): आंशिक अवकल समीकरण
(y + zx)p − (x + yz)q = x² − y²
का व्यापक समाकल ज्ञात कीजिए।

सहायक समीकरण dx/(y + zx) = dy/(−(x + yz)) = dz/(x² − y²)।

गुणक x, y, −z: x(y + zx) − y(x + yz) − z(x² − y²) = 0, अतः x dx + y dy − z dz = 0 और x² + y² − z² = c₁।

गुणक y, x, 1: y(y + zx) − x(x + yz) + (x² − y²) = 0, अतः y dx + x dy + dz = 0 और xy + z = c₂।

उत्तर: φ(x² + y² − z², xy + z) = 0।

उदाहरण 9 (UPSC 2018, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण :
(y³x − 2x⁴)p + (2y⁴ − x³y)q = 9z(x³ − y³), का,
जहाँ p = ∂z/∂x, q = ∂z/∂y है, का व्यापक हल ज्ञात कीजिए, तथा इसके, वक्र : x = t, y = t², z = 1 में से गुजरने वाले समाकल पृष्ठ को भी ज्ञात कीजिए।

सहायक समीकरण dx/(x(y³ − 2x³)) = dy/(y(2y³ − x³)) = dz/(9z(x³ − y³))।

गुणक 1/x, 1/y, 1/(3z): (y³ − 2x³) + (2y³ − x³) + 3(x³ − y³) = 0, अतः d log x + d log y + (1/3)d log z = 0 और x³y³z = c₁।

गुणक 1/y² − 2y/x³, 1/x² − 2x/y³, 0 (x/y² + y/x² के आंशिक अवकलज): योग lP + mQ का प्रसार xy − 2x⁴/y² − 2y⁴/x² + 4xy + 2y⁴/x² − xy − 4xy + 2x⁴/y² = 0 है, अतः (x³ + y³)/(x²y²) = c₂।

व्यापक हल φ(x³y³z, (x³ + y³)/(x²y²)) = 0।

x = t, y = t², z = 1 पर: c₁ = t⁹ और c₂ = (t³ + t⁶)/t⁶ = 1 + t⁻³, अतः c₁(c₂ − 1)³ = 1।

प्रतिस्थापन से: x³y³z[(x³ + y³ − x²y²)/(x²y²)]³ = 1।

उत्तर: व्यापक हल φ(x³y³z, (x³ + y³)/(x²y²)) = 0; अभीष्ट पृष्ठ z(x³ + y³ − x²y²)³ = x³y³ (वक्र पर x³ + y³ − x²y² = t³, जिससे z = 1)।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण : (x − y)y² ∂z/∂x + (y − x)x² ∂z/∂y = (x² + y²)z के वक्र : xz = a³, y = 0 को अपने ऊपर समाहित करने वाले समाकल पृष्ठ को ज्ञात कीजिए।

सहायक समीकरण dx/((x − y)y²) = dy/(−(x − y)x²) = dz/((x² + y²)z); पहले दो से x²dx + y²dy = 0, अतः x³ + y³ = c₁।

(dx − dy)/((x − y)(y² + x²)) = dz/((x² + y²)z) से d(x − y)/(x − y) = dz/z, अतः z/(x − y) = c₂।

y = 0, xz = a³ पर: c₁ = x³ और c₂ = z/x = a³/x², अतः c₂³c₁² = a⁹।

उत्तर: z³(x³ + y³)² = a⁹(x − y)³ (y = 0 पर यह x³z³ = a⁹, अर्थात् xz = a³ हो जाता है)।

उदाहरण 11 (UPSC 2024, 15 अंक): निम्नलिखित रैखिक-कल्प समीकरण
(y − φ) ∂φ/∂x + (φ − x) ∂φ/∂y = x − y,
का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए, जो कि वक्र φ = 0, xy = 1 और वृत्त x + y + φ = 0, x² + y² + φ² = a² से होकर गुज़रता है।

φ के स्थान पर z लिखें: dx/(y − z) = dy/(z − x) = dz/(x − y), उदाहरण 3 जैसा ही निकाय, अतः x + y + z = c₁ और x² + y² + z² = c₂।

(i) z = 0, xy = 1 पर: c₁ = x + y और c₂ = (x + y)² − 2xy = c₁² − 2; अतः x² + y² + z² = (x + y + z)² − 2, अर्थात् xy + yz + zx = 1।

(ii) वृत्त x + y + z = 0, x² + y² + z² = a² पर दोनों समाकल अचर हैं (c₁ = 0, c₂ = a²): वृत्त स्वयं एक अभिलक्षणिक वक्र है।

अतः φ(0, a²) = 0 वाला प्रत्येक पृष्ठ φ(x + y + z, x² + y² + z²) = 0 इससे गुजरता है, जैसे गोला x² + y² + z² = a², तल x + y + z = 0, या x² + y² + z² − a² = k(x + y + z)।

उत्तर: φ = 0, xy = 1 से गुजरने वाला पृष्ठ xy + yφ + φx = 1 (अद्वितीय) है; वृत्त से अनंत समाकल पृष्ठ गुजरते हैं, जिनका एक कुल किसी भी अचर k के लिए x² + y² + φ² − a² = k(x + y + φ) है।

उदाहरण 12 (UPSC 2026, 10 अंक): समीकरणों dx/(xz − y) = dy/(yz − x) = dz/(1 − z²) का समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

पहले दो को जोड़ने पर: d(x + y)/((x + y)(z − 1)) = dz/(1 − z²), अतः d(x + y)/(x + y) = −dz/(1 + z) और (x + y)(1 + z) = c₁।

घटाने पर: d(x − y)/((x − y)(z + 1)) = dz/((1 − z)(1 + z)), अतः d(x − y)/(x − y) = dz/(1 − z) और (x − y)(1 − z) = c₂।

दोनों समाकल स्वतंत्र हैं, और यह निकाय (xz − y)p + (yz − x)q = 1 − z² का सहायक निकाय है।

उत्तर: φ((x + y)(1 + z), (x − y)(1 − z)) = 0, φ स्वेच्छ।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): x²p + y²q = z² के सहायक समीकरण लिखिए और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dx/x² = dy/y² = dz/z²; समाकल 1/x − 1/y = c₁, 1/x − 1/z = c₂; φ(1/x − 1/y, 1/x − 1/z) = 0।

अभ्यास 2 (मूल): दिखाइए कि u = xy और v = z/x, dx/x = dy/(−y) = dz/z के समाकल हैं, और वह PDE लिखिए जिसका व्यापक हल φ(xy, z/x) = 0 है।

उत्तर: x(y) + (−y)(x) = 0 और x(−z/x²) + z(1/x) = 0; PDE xp − yq = z है।

अभ्यास 3 (मूल): p + q = 1 हल कीजिए।

उत्तर: dx = dy = dz से x − y = c₁, z − x = c₂, अतः z = x + f(x − y)।

अभ्यास 4 (मानक): xp + yq = 3z हल कीजिए।

उत्तर: y/x = c₁ और z/x³ = c₂, अतः z = x³f(y/x) (घात 3 के समघात पृष्ठ)।

अभ्यास 5 (मानक): x²(y − z)p + y²(z − x)q = z²(x − y) हल कीजिए।

उत्तर: गुणक 1/x², 1/y², 1/z² से 1/x + 1/y + 1/z = c₁; गुणक 1/x, 1/y, 1/z से xyz = c₂; φ(1/x + 1/y + 1/z, xyz) = 0।

अभ्यास 6 (मानक): (x² − yz)p + (y² − zx)q = z² − xy हल कीजिए।

उत्तर: P − Q = (x − y)(x + y + z) और Q − R = (y − z)(x + y + z) से (x − y)/(y − z) = c₁; गुणक x, y, z और 1, 1, 1 से xy + yz + zx = c₂; φ((x − y)/(y − z), xy + yz + zx) = 0।

अभ्यास 7 (मानक): xp + yq = 2z का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए जो वक्र x = 1, z = y² से होकर जाता है।

उत्तर: y/x = c₁, z/x² = c₂; वक्र पर c₂ = c₁², अतः z = y² (जाँच: yq = 2y² = 2z)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): (y + z)p + (z + x)q = x + y का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: d(x − y)/(y − x) = d(y − z)/(z − y) = d(x + y + z)/(2(x + y + z)) से (x − y)/(y − z) = c₁ और (x + y + z)(x − y)² = c₂; φ((x − y)/(y − z), (x + y + z)(x − y)²) = 0।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): x(y² + z)p − y(x² + z)q = (x² − y²)z का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए जो रेखा x + y = 0, z = 1 को समाहित करता है।

उत्तर: गुणक 1/x, 1/y, 1/z से xyz = c₁; गुणक x, y, −1 से x² + y² − 2z = c₂; x = t, y = −t, z = 1 पर c₂ = −2c₁ − 2, अतः x² + y² + 2xyz − 2z + 2 = 0।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): दिखाइए कि रेखा x = t, y = 2t, z = 3t, xp + yq = z का अभिलक्षणिक वक्र है, और उसे समाहित करने वाले दो भिन्न समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: रेखा पर y/x = 2 और z/x = 3 दोनों अचर हैं, अतः यह अभिलक्षण है; φ(2, 3) = 0 वाला कोई भी φ(y/x, z/x) = 0 इसे समाहित करता है, उदाहरणार्थ z = 3x और z = x + y।

1. कॉशी समस्या के लिए अभिलक्षण विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनुप्रयोगों में हमें 'सभी' हल शायद ही चाहिए; हमें वह एक हल चाहिए जो किसी दिए वक्र पर दिए मान ले, जैसे समय 0 पर u(x, 0) = f(x)। अभिलक्षण विधि (method of characteristics) पहले व्यापक हल ज्ञात किए बिना सीधे वही हल बनाती है।

शब्दों में: a u_x + b u_y वह दर है जिससे u बदलता है जब बिंदु (x, y) वेग (a, b) से चलता है। अतः समीकरण a u_x + b u_y = c कहता है: 'वेग (a, b) से चलते हुए u, दर c से बदलता है'।

आँकड़ा-वक्र Γ का वर्णन एक प्राचल s (वक्र का कौन-सा बिंदु) से और यात्रा का वर्णन प्राचल t (अभिलक्षण के अनुदिश कितनी दूर) से होता है। t = 0 पर हम Γ पर हैं, जहाँ x, y और u ज्ञात हैं।

dx/dt = a, dy/dt = b, du/dt = c हल करने पर x, y, u, (s, t) के फलन के रूप में मिलते हैं। अंतिम चरण व्युत्क्रमण है: s और t को x और y के पदों में व्यक्त करें, और u में प्रतिस्थापित करें।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: x u_x + u_y = 0, u(x, 0) = x² हल कीजिए।

चरण 1: यहाँ a = x, b = 1, c = 0। आँकड़ों को प्राचलित करें: t = 0 पर x = s, y = 0, u = s²।

चरण 2: अनुप्रस्थता की जाँच: J = x₀′(s)b − y₀′(s)a = 1 · 1 − 0 · s = 1 ≠ 0, अतः x-अक्ष के निकट अद्वितीय हल है।

चरण 3: ODE हल करें: dx/dt = x से x = se^t; dy/dt = 1 से y = t; du/dt = 0 से u = s² (u अपरिवर्तित आगे ले जाया जाता है)।

चरण 4: व्युत्क्रमण: t = y और s = xe^−t = xe^−y।

चरण 5: प्रतिस्थापन: u = s² = x²e^−2y।

चरण 6: जाँच: x u_x = 2x²e^−2y और u_y = −2x²e^−2y का योग 0 है, और u(x, 0) = x²।

चरण 7: चित्र पर ध्यान दें: अभिलक्षण x = se^y, x-अक्ष से पंखे की तरह फैलते हैं, और प्रत्येक के अनुदिश u अचर है।

अ-उदाहरण (non-example): इसी समीकरण के आँकड़े वक्र x = e^y (x = e^s, y = s) पर रखें। तब J = e^s · 1 − 1 · e^s = 0: वक्र स्वयं एक अभिलक्षण है। उसके अनुदिश u अचर होना चाहिए, अतः u = s जैसे आँकड़ों का कोई हल नहीं, और अचर आँकड़ों के अनंत हल हैं। विफल प्रतिबंध अनुप्रस्थता है।

आगे बढ़ते हुए: dx/dt = a, dy/dt = b वाले किसी भी वक्र के अनुदिश शृंखला नियम du/dt = a u_x + b u_y = c देता है, अतः हल का आलेख इन्हीं वक्रों से बुना है।

Γ के निकट व्युत्क्रमण (s, t) → (x, y) तब संभव है जब उसका जैकोबियन शून्येतर हो, और t = 0 पर वह जैकोबियन ठीक J है; यही अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय है (नीचे 'व्युत्पत्ति: अभिलक्षणिक ODE PDE को क्यों हल करते हैं' देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: 'अभिलक्षण विधि से हल कीजिए' वाले प्रश्न (नीचे उदाहरण 9), u_y + uu_x = 0 जैसे यातायात और गैस-गतिकी समीकरण जहाँ अभिलक्षण एक-दूसरे को काट सकते हैं, और तीसरे पाठ की अरैखिक पट्टियाँ।

2. शार्पी विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: pq = xy या p² + q² = x + y जैसे समीकरण p और q में रैखिक नहीं हैं, अतः कोई एक दिशा (P, Q, R) नहीं है और लग्रांज विधि विफल होती है। फिर भी हमें पूर्ण समाकल, हलों का एक दो-अचर कुल, चाहिए।

शब्दों में: F(x, y, z, p, q) = 0 दो अज्ञातों p और q के बीच एक समीकरण है। यदि हमारे पास एक अचर a वाला दूसरा समीकरण G(x, y, z, p, q, a) = 0 हो, तो दोनों से p और q हल करके dz = p dx + q dy का समाकलन किया जा सकता है।

हर G काम नहीं करता: dz = p dx + q dy समाकलनीय (integrable) होना चाहिए। शार्पी ने दिखाया कि यह ठीक तब होता है जब G सहायक निकाय dx/F_p = dy/F_q = dz/(pF_p + qF_q) = −dp/(F_x + pF_z) = −dq/(F_y + qF_z) का समाकल हो।

अतः विधि यह है: F के पाँच आंशिक अवकलज निकालें, भिन्नें लिखें, और वह सबसे सरल युग्म खोजें जिसका समाकलन p या q वाला संबंध दे।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: pq = xy का एक पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

चरण 1: F = pq − xy, अतः F_x = −y, F_y = −x, F_z = 0, F_p = q, F_q = p।

चरण 2: शार्पी भिन्नें dx/q = dy/p = dz/(2pq) = dp/y = dq/x बनती हैं (दोनों ऋण चिह्न F_x, F_y के ऋण चिह्नों को काटते हैं)।

चरण 3: dx/q को dp/y के साथ लें, और PDE से q के स्थान पर xy/p रखें: p dx/(xy) = dp/y।

चरण 4: y काटें और पृथक करें: dp/p = dx/x, अतः p = ax, जहाँ a नया अचर है।

चरण 5: अब PDE से q = xy/p = y/a।

चरण 6: dz = ax dx + (y/a) dy का समाकलन करें, जो यथातथ है: z = ax²/2 + y²/(2a) + b।

चरण 7: जाँच: p = ax, q = y/a और pq = xy। दोनों अचर a, b स्वतंत्र हैं, अतः यह पूर्ण समाकल है।

अ-उदाहरण (non-example): इसी PDE के लिए 'दूसरा संबंध' p = q आजमाएँ, जो शार्पी निकाय का समाकल नहीं है। तब p = q = √(xy) और dz = √(xy)(dx + dy); पर ∂(√(xy))/∂y = √x/(2√y), ∂(√(xy))/∂x = √y/(2√x) से भिन्न है जब तक x = y न हो, अतः यह dz यथातथ नहीं है और कोई पृष्ठ नहीं बनता। विफल प्रतिबंध संगतता (compatibility) है।

आगे बढ़ते हुए: dz = p dx + q dy की समाकलनीयता का प्रतिबंध p_y + qp_z = q_x + pq_z है। F = 0, G = 0 से p और q रखने पर यह [F, G] = 0 बन जाता है, जो पाँच चरों में G के लिए एक रैखिक प्रथम कोटि PDE है।

इसके लग्रांज सहायक समीकरण ठीक शार्पी भिन्नें हैं (नीचे 'व्युत्पत्ति: शार्पी समीकरण')। सारणी के मानक रूप वे स्थितियाँ हैं जिनमें भिन्नें तुरंत समाकलित हो जाती हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: 15 अंक के 'शार्पी विधि से पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए' प्रश्न, मानक रूप f(p, q) = 0, क्लेरो और पृथक्करणीय समीकरण, और अभिलक्षणिक पट्टियों के माध्यम से अरैखिक कॉशी समस्या।

3. अरैखिक कॉशी समस्याओं के लिए अभिलक्षणिक पट्टियों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अरैखिक F के लिए प्रश्न प्रायः किसी दिए वक्र से होकर समाकल पृष्ठ माँगते हैं ('परवलय ... से होकर z = p² − q² का पृष्ठ ज्ञात कीजिए')। शार्पी पूर्ण समाकल देता है, पर उसे वक्र पर बैठाना कठिन है; कॉशी की पट्टियाँ सीधे अभीष्ट पृष्ठ बनाती हैं।

शब्दों में: अरैखिक F के लिए सूचना जिस दिशा में चलती है, (F_p, F_q), वह स्वयं प्रवणताओं p, q पर निर्भर करती है। अतः हमें बिंदु के साथ प्रवणताएँ भी ले जानी होती हैं: पट्टी (strip) एक वक्र है जिसके प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श तल है, जिसका वर्णन x, y, z, p, q से होता है।

पाँच ODE हैं dx/dt = F_p, dy/dt = F_q, dz/dt = pF_p + qF_q, dp/dt = −(F_x + pF_z), dq/dt = −(F_y + qF_z)।

t = 0 पर पट्टी आँकड़ा-वक्र x₀(s), y₀(s), z₀(s) पर आरंभ होती है; आरंभिक प्रवणताएँ p₀, q₀ दो प्रतिबंधों से नियत होती हैं: F(x₀, y₀, z₀, p₀, q₀) = 0 (तल PDE द्वारा अनुमत है) और z₀′ = p₀x₀′ + q₀y₀′ (तल वक्र को समाहित करता है)।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: परवलय y = 0, z = x² से होकर pq = z का समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

चरण 1: F = pq − z, अतः F_p = q, F_q = p, F_x = F_y = 0, F_z = −1। आँकड़ों को प्राचलित करें: x₀ = s, y₀ = 0, z₀ = s²।

चरण 2: पट्टी प्रतिबंध 2s = p₀ · 1 + q₀ · 0 से p₀ = 2s; फिर F = 0 से 2s · q₀ = s², अतः q₀ = s/2।

चरण 3: प्रवणता समीकरण dp/dt = p और dq/dt = q हैं, अतः p = 2se^t और q = (s/2)e^t।

चरण 4: dx/dt = q और dy/dt = p से x = s + (s/2)(e^t − 1) और y = 2s(e^t − 1); dz/dt = 2pq = 2s²e^2t से z = s²e^2t।

चरण 5: व्युत्क्रमण: s(e^t − 1) = y/2, अतः x = s + y/4, अर्थात् s = x − y/4, और se^t = s + y/2 = x + y/4।

चरण 6: अतः z = (se^t)² = (x + y/4)²।

चरण 7: जाँच: p = 2(x + y/4), q = (x + y/4)/2, अतः pq = (x + y/4)² = z; और y = 0 पर z = x²।

अ-उदाहरण (non-example): p² + q² = 1 के लिए y = 0 पर आँकड़े z = 2x हों, तो पट्टी प्रतिबंध से p₀ = 2, और फिर q₀² = 1 − 4 < 0: कोई वास्तविक आरंभिक पट्टी नहीं, अतः कोई वास्तविक समाकल पृष्ठ नहीं। आँकड़ा-वक्र उतना ढलवाँ है जितना |∇z| = 1 वाला कोई पृष्ठ नहीं हो सकता; विफल प्रतिबंध पट्टी प्रतिबंध के साथ F = 0 की हल-योग्यता है।

आगे बढ़ते हुए: dx/dt = F_p, dy/dt = F_q वाले वक्र के अनुदिश F = 0 का अवकलन करके और p_y = q_x का प्रयोग करके दिखता है कि p और q ठीक वैसे ही बदलते हैं जैसा अंतिम दो ODE कहते हैं; अतः प्रत्येक हल-पृष्ठ पट्टियों का संघ है।

जब F, p और q में रैखिक हो, पहले तीन ODE में p, q नहीं रहते और वे लग्रांज के dx/P = dy/Q = dz/R बन जाते हैं। जब F के कई मूल (p₀, q₀) हों, प्रत्येक मूल अपना पृष्ठ देता है, जैसा नीचे उदाहरण 7 और 10 में है।

कहाँ प्रयोग होता है: 'F = 0 के अभिलक्षण और ... से होकर समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए' रूप के UPSC प्रश्न, और, जब F में z न हो, यांत्रिकी के हैमिल्टन विहित समीकरण।

4. अर्ध-रैखिक समीकरणों के लिए कॉशी समस्या

समीकरण: a(x, y, u)u_x + b(x, y, u)u_y = c(x, y, u), जहाँ a, b, c संतत अवकलनीय हैं।

भाव: a u_x + b u_y, (x, y) के वेग (a, b) से चलने पर u के परिवर्तन की दर है, अतः समीकरण कहता है 'इस दिशा में u दर c से बढ़ता है'। ऐसे पथ के एक बिंदु पर u ज्ञात होने से वह पूरे पथ पर निर्धारित हो जाता है, और PDE एक साधारण अवकल समीकरण (ODE) में बदल जाता है।

कॉशी आँकड़े: u प्रारंभिक वक्र Γ: x = x₀(s), y = y₀(s), u = u₀(s) पर निर्धारित है।

अभिलक्षणिक समीकरण (characteristic equations): dx/dt = a, dy/dt = b, du/dt = c, जहाँ t = 0 पर x = x₀(s), y = y₀(s), u = u₀(s)।

हल करने पर x(s, t), y(s, t), u(s, t) मिलते हैं; पहले दो को उलटकर s, t को x, y के पदों में लिखें और u में रखें।

प्रमेय (स्थानीय अस्तित्व और अद्वितीयता): यदि x₀, y₀, u₀ संतत अवकलनीय हों और Γ के अनुदिश J = x₀′(s) b − y₀′(s) a ≠ 0 (a, b आँकड़ों पर मूल्यांकित), तो Γ के किसी प्रतिवेश में अद्वितीय हल होता है।

भाव: J उस आव्यूह का सारणिक है जिसकी पंक्तियाँ (x₀′, y₀′) और (a, b) हैं; J ≠ 0 कहता है कि Γ अभिलक्षणिक दिशाओं के अनुदिश न चलकर उन्हें काटता है, अतः प्रत्येक अभिलक्षणिक वक्र Γ से एक बार मिलता है और ठीक एक आँकड़ा-मान आगे ले जाता है। अभिलक्षणों को समांतर धागे और Γ को उनके आर-पार एक कटान मानें।

यदि Γ के अनुदिश J = 0, तो या तो कोई हल नहीं या अनंत हल होते हैं; अनंत हल तब जब Γ स्वयं अभिलक्षणिक वक्र हो।

भाव: उदाहरण: u_x + u_y = 0 के हल u = F(x − y) हैं, जो प्रत्येक रेखा y = x + k पर अचर हैं। y = x पर आँकड़े हों तो J = 1 · 1 − 1 · 1 = 0: आँकड़ा u(x, x) = h(x) के लिए कोई हल नहीं जब तक h अचर न हो, और तब F(0) = h वाला प्रत्येक F एक हल देता है।

5. व्युत्पत्ति: अभिलक्षणिक ODE से PDE क्यों हल होता है

dx/dt = a, dy/dt = b वाले वक्र के अनुदिश शृंखला नियम से du/dt = u_x(dx/dt) + u_y(dy/dt) = a u_x + b u_y, जो PDE के अनुसार c के बराबर है।

अतः किसी भी हल का आलेख dx/dt = a, dy/dt = b, du/dt = c को हल करने वाले वक्रों का सम्मिलन है; Γ के प्रत्येक बिंदु (प्राचल s) से एक ऐसा वक्र आरंभ करने पर हल-पृष्ठ x(s, t), y(s, t), u(s, t) बनता है।

u को x, y के फलन के रूप में लिखने के लिए (s, t) → (x, y) का प्रतिलोम लेना होगा; प्रतिलोम फलन प्रमेय से t = 0 के निकट यह तब संभव है जब ∂(x, y)/∂(s, t) = x_sy_t − x_ty_s ≠ 0।

t = 0 पर x_s = x₀′, y_s = y₀′, x_t = a, y_t = b, अतः जैकोबियन x₀′b − y₀′a = J है: अनुप्रस्थता प्रतिबंध (transversality condition) ठीक प्रतिलोमनीयता का प्रतिबंध है।

Γ से दूर प्रतिलोमन विफल हो सकता है: उदाहरण 2 में अभिलक्षण x = s(1 + y) सभी (0, −1) से गुज़रते हैं, अतः हल u = x/(1 + y) को y = −1 तक नहीं बढ़ाया जा सकता।

6. चरण और उदाहरण

चरण 1: प्रारंभिक आँकड़ों को s से प्राचलीकृत करें।

चरण 2: इन प्रारंभिक मानों के साथ t में अभिलक्षणिक साधारण अवकल समीकरण हल करें।

चरण 3: J ≠ 0 जाँचें, s और t विलोपित करें, और PDE तथा आँकड़े दोनों सत्यापित करें।

उदाहरण 1: u_x + u_y = 2, u(x, 0) = x²। Γ: x = s, y = 0, u = s²; J = 1 · 1 − 0 · 1 = 1 ≠ 0।

dx/dt = 1, dy/dt = 1, du/dt = 2 से x = s + t, y = t, u = s² + 2t।

अतः t = y, s = x − y और u = (x − y)² + 2y (जाँच: u_x + u_y = 2(x − y) − 2(x − y) + 2 = 2)।

उदाहरण 2: u_y + uu_x = 0, u(x, 0) = x। Γ: x = s, y = 0, u = s; J = 1 ≠ 0।

dx/dt = u, dy/dt = 1, du/dt = 0 से u = s, y = t, x = s + st, अतः s = x/(1 + y)।

हल u = x/(1 + y), y > −1 के लिए (जाँच: u_y + uu_x = −x/(1 + y)² + x/(1 + y)² = 0)।

उदाहरण 3: वृत्त x² + y² = 1 पर u = 1 के साथ xu_x + yu_y = 2u को हल कीजिए।

Γ: x = cos s, y = sin s, u = 1; J = (−sin s)(sin s) − (cos s)(cos s) = −1 ≠ 0, अतः Γ के निकट हल अद्वितीय है।

dx/dt = x, dy/dt = y, du/dt = 2u से x = e^tcos s, y = e^tsin s, u = e^2t।

चूँकि x² + y² = e^2t, अतः u = x² + y² (जाँच: x(2x) + y(2y) = 2u)।

7. प्रथम कोटि के अरैखिक समीकरण

F(x, y, z, p, q) = 0 के लिए शार्पी विधि (Charpit's method): dx/F_p = dy/F_q = dz/(pF_p + qF_q) = −dp/(F_x + pF_z) = −dq/(F_y + qF_z) से p या q और एक अचर a युक्त दूसरा संबंध ज्ञात करें।

भाव: एक समीकरण F = 0 से p और q दोनों निर्धारित नहीं हो सकते; शार्पी एक दूसरा समीकरण G(x, y, z, p, q, a) = 0 खोजते हैं जो F के साथ संगत (compatible) हो, ताकि p और q हल किए जा सकें और dz = p dx + q dy यथातथ बने। शार्पी भिन्न केवल उस प्रतिबंध के लग्रांज सहायक समीकरण हैं जिसे G को संतुष्ट करना है (नीचे व्युत्पन्न)।

दोनों संबंधों से p और q हल करें, और dz = p dx + q dy का समाकलन करके पूर्ण समाकल प्राप्त करें।

कॉशी की अभिलक्षणिक पट्टियाँ: प्राचल t के साथ वही निकाय, dx/dt = F_p, dy/dt = F_q, dz/dt = pF_p + qF_q, dp/dt = −(F_x + pF_z), dq/dt = −(F_y + qF_z)।

इसकी प्रारंभिक पट्टी को F(x₀, y₀, z₀, p₀, q₀) = 0 तथा पट्टी प्रतिबंध z₀′(s) = p₀x₀′(s) + q₀y₀′(s) संतुष्ट करना चाहिए।

भाव: पट्टी (strip) एक वक्र है जिसके प्रत्येक बिंदु पर एक छोटा स्पर्श तल होता है; पट्टी प्रतिबंध कहता है कि तल वास्तव में वक्र को समाहित करता है (उसके अनुदिश dz = p dx + q dy), और F = 0 कहता है कि तल PDE द्वारा अनुमत है। अरैखिक F के लिए इन दो समीकरणों के कई मूल (p₀, q₀) हो सकते हैं, और प्रत्येक मूल अपना अलग हल-पृष्ठ देता है।

उदाहरण 4 (शार्पी): (p² + q²)y = qz। यहाँ dp/(pq) = dq/(−p²), अतः p dp + q dq = 0 और p² + q² = a²।

तब q = a²y/z और p = (a/z)√(z² − a²y²); dz = p dx + q dy से d(√(z² − a²y²)) = a dx।

पूर्ण समाकल: z² = a²y² + (ax + b)²।

उदाहरण 5 (मानक रूप f(p, q) = 0): pq = 1 का पूर्ण समाकल z = ax + y/a + c है।

उदाहरण 6 (शार्पी): p²x + q²y = z का एक पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

F = p²x + q²y − z से dx/dt = 2px, dp/dt = −(F_x + pF_z) = p − p², अतः d(p²x)/dt = 2px(p − p²) + p²(2px) = 2p²x; इसी प्रकार d(q²y)/dt = 2q²y।

अतः p²x और q²y एक ही अनुपात में बढ़ते हैं, जिससे दूसरा संबंध p²x = aq²y मिलता है।

PDE के साथ: q²y = z/(1 + a), p²x = az/(1 + a), अतः √(1 + a) dz/√z = √a dx/√x + dy/√y।

पूर्ण समाकल: √((1 + a)z) = √(ax) + √y + b।

8. अरैखिक समीकरणों के लिए कॉशी विधि: कार्य-चरण

चरण 1: प्रारंभिक वक्र x₀(s), y₀(s), z₀(s) को प्राचलीकृत करें।

चरण 2: F(x₀, y₀, z₀, p₀, q₀) = 0 और पट्टी प्रतिबंध (strip condition) z₀′ = p₀x₀′ + q₀y₀′ से p₀(s), q₀(s) निकालें; प्रत्येक स्वीकार्य मूल एक अलग समाकल पृष्ठ देता है।

चरण 3: पाँच अभिलक्षणिक साधारण अवकल समीकरण हल करें; पहले ऐसे संयोजन खोजें जिनका अवकलज शून्य हो (जैसे d(p − x)/dt = 0) या जो रैखिक हों।

चरण 4: x, y, z के बीच s और t विलोपित करें; PDE और आँकड़े जाँचें।

समानेय रूप (reducible forms): F(x^mp, yⁿq) = 0, X = x^1−m/(1 − m), Y = y¹⁻ⁿ/(1 − n) (m = 1, n = 1 पर log x, log y) से f(P, Q) = 0 बनता है; F(z^kp, z^kq, x, y) = 0, Z = z^k+1/(k + 1) (k = −1 पर log z) से P = Z_x, Q = Z_y वाला समीकरण बनता है।

संगतता (compatibility): शार्पी का सहायक संबंध G(x, y, z, p, q, a) = 0 ठीक वही G है जो F से संगत हो, अर्थात् [F, G] = 0; शार्पी भिन्नों का कोई भी समाकलनीय संयोजन (जैसे dy/F_q के साथ dq/(F_y + qF_z)) प्रयोग किया जा सकता है।

9. व्युत्पत्ति: शार्पी समीकरण

मान लें F = 0 और G(x, y, z, p, q) = 0 को p = p(x, y, z), q = q(x, y, z) के लिए हल किया गया है। फ़ैफ़ियन dz = p dx + q dy समाकलनीय है यदि और केवल यदि (p, q, −1) · curl(p, q, −1) = 0, अर्थात् p_y + qp_z = q_x + pq_z।

F = 0 का x और z के सापेक्ष अवकलन करके संयोजित करने पर: (F_x + pF_z) + F_p(p_x + pp_z) + F_q(q_x + pq_z) = 0; यही G के साथ, और x के स्थान पर y वाला समरूप युग्म।

इन्हें क्रेमर नियम से q_x + pq_z और p_y + qp_z के लिए हल करके बराबर रखने पर संगतता प्रतिबंध [F, G] = F_p(G_x + pG_z) + F_q(G_y + qG_z) − G_p(F_x + pF_z) − G_q(F_y + qF_z) = 0 मिलता है।

पाँच चरों x, y, z, p, q के अज्ञात G के समीकरण के रूप में पढ़ने पर यह रैखिक है: F_pG_x + F_qG_y + (pF_p + qF_q)G_z − (F_x + pF_z)G_p − (F_y + qF_z)G_q = 0।

इसके लग्रांज सहायक समीकरण dx/F_p = dy/F_q = dz/(pF_p + qF_q) = −dp/(F_x + pF_z) = −dq/(F_y + qF_z) हैं, जो शार्पी निकाय है; इसका p या q युक्त कोई भी समाकल G का काम करता है।

10. विधि का चयन

यदि समीकरण रैखिक या अर्ध-रैखिक है और आँकड़े किसी वक्र पर दिए हैं → कॉशी अभिलक्षण (या लग्रांज का व्यापक हल, फिर वक्र से मिलान); पहले J ≠ 0 जाँचें।

यदि F अरैखिक है और किसी मानक रूप (नीचे तालिका) से मेल खाता है → उसका परीक्षण हल प्रयोग करें; यह शार्पी से तेज़ है और परीक्षक इसे स्वीकार करते हैं।

यदि F में x^mp, yⁿq या z^kp, z^kq हैं → मानक रूप तक पहुँचने के लिए प्रतिस्थापन करें (खंड 8)।

यदि कोई मानक रूप लागू न हो → शार्पी; ऐसे हर की खोज करें जो शून्य हो (तब dp = 0 या dq = 0, अतः p = a या q = a) या ऐसा युग्म जो तुरंत समाकलित हो।

यदि अरैखिक समीकरण के साथ प्रारंभिक वक्र दिया है और प्रश्न कॉशी विधि का नाम लेता है → अभिलक्षणिक पट्टियाँ (खंड 8 के चरण), पहले p₀, q₀ ज्ञात करें।

11. सामान्य गलतियाँ

अनुप्रस्थता जाँच छोड़ देना, या J को केवल एक बिंदु पर जाँचना; इसे पूरे आँकड़ा-वक्र के अनुदिश शून्येतर होना चाहिए।

वैधता क्षेत्र की उपेक्षा: x(s, t), y(s, t) का प्रतिलोमन समतल के केवल एक भाग में मान्य हो सकता है (उदाहरण 2 में y > −1); इसे लिखें।

शार्पी में चिह्न की भूल: p और q भिन्नों में ऋण चिह्न हैं, −dp/(F_x + pF_z) और −dq/(F_y + qF_z); इन्हें छोड़ने पर दूसरा संबंध गलत आता है।

p और q पर रुक जाना: पूर्ण समाकल के लिए dz = p dx + q dy का अंतिम समाकलन और दूसरा अचर b आवश्यक है।

एक शाखा खो देना: जब p₀, q₀ किसी द्विघात से आते हैं, तो दोनों मूलों का अनुसरण करना चाहिए, या आँकड़ों से उनमें से किसी को छोड़ने का औचित्य देना चाहिए।

संबंध: जब F में z नहीं होता, तो पट्टी समीकरण dx/dt = F_p, dp/dt = −F_x (और y, q के लिए भी वैसे ही) यांत्रिकी के हैमिल्टन विहित समीकरण हैं, जिनमें F हैमिल्टनी है; यही हैमिल्टन–जैकोबी संबंध है।

संबंध: u_y + uu_x = 0 में अभिलक्षणों का प्रतिच्छेदन ही गैस गतिकी में आघात तरंगों (shock waves) के बनने का कारण है, और J ≠ 0, (s, t) → (x, y) पर लागू कलन का प्रतिलोम फलन प्रमेय है।

12. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2016, 15 अंक): समीकरण z = p² − q² के अभिलक्षण निर्धारित कीजिए, तथा परवलय 4z + x² = 0, y = 0 से गुज़रने वाला समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

F = p² − q² − z: dx/dt = 2p, dy/dt = −2q, dz/dt = 2p² − 2q² = 2z, dp/dt = −(F_x + pF_z) = p, dq/dt = q।

प्रारंभिक वक्र x₀ = s, y₀ = 0, z₀ = −s²/4; पट्टी प्रतिबंध से p₀ = −s/2, और F = 0 से s²/4 − q₀² = −s²/4, अतः q₀ = ±s/√2।

अभिलक्षणिक पट्टियाँ (characteristic strips): p = −(s/2)e^t, q = q₀e^t, z = −(s²/4)e^2t, x = s(2 − e^t), y = −2q₀(e^t − 1)।

q₀ = s/√2 के लिए: s(e^t − 1) = −y/√2 और x = s − s(e^t − 1), अतः s = x − y/√2 और se^t = x − √2y; तब z = −(se^t)²/4।

जाँच: z = −(x − √2y)²/4 से p = −(x − √2y)/2, q = (x − √2y)/√2 और p² − q² = −(x − √2y)²/4 = z; y = 0 पर 4z + x² = 0।

उत्तर: अभिलक्षण x = s(2 − e^t), y = ∓√2 s(e^t − 1), z = −(s²/4)e^2t; समाकल पृष्ठ 4z + (x − √2y)² = 0 तथा 4z + (x + √2y)² = 0।

उदाहरण 8 (UPSC 2017, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण
2(pq + yp + qx) + x² + y² = 0
का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

F = 2pq + 2yp + 2qx + x² + y²: F_x = 2(q + x), F_y = 2(p + y), F_z = 0, F_p = 2(q + y), F_q = 2(p + x)।

शार्पी: dx/(2(q + y)) = dy/(2(p + x)) = dp/(−2(q + x)) = dq/(−2(p + y)); तब d(p + x) का हर 2(y − x) और d(q + y) का 2(x − y) है, अतः d(p + x) = −d(q + y) और (p + x) + (q + y) = a।

PDE 2(p + x)(q + y) = 2xy − x² − y² है, अतः P = p + x और Q = q + y, P + Q = a, PQ = −(x − y)²/2 को संतुष्ट करते हैं, जिससे P, Q = [a ± √(a² + 2(x − y)²)]/2।

v = x − y लेकर dz = (P − x)dx + (Q − y)dy = (a/2)d(x + y) + (1/2)√(a² + 2v²) dv − x dx − y dy।

∫√(a² + 2v²) dv = (v/2)√(a² + 2v²) + (a²/(2√2)) log(√2v + √(a² + 2v²))।

उत्तर: z = a(x + y)/2 − (x² + y²)/2 + ((x − y)/4)√(a² + 2(x − y)²) + (a²/(4√2)) log[√2(x − y) + √(a² + 2(x − y)²)] + b (संख्यात्मक रूप से सत्यापित)।

उदाहरण 9 (UPSC 2019, 15 अंक): प्रथम कोटि रैखिककल्प आंशिक अवकल समीकरण
x ∂u/∂x + (u − x − y) ∂u/∂y = x + 2y में x > 0, −∞ < y < ∞ को u = 1 + y के साथ x = 1 पर अभिलाक्षणिक विधि के द्वारा हल करें।

अभिलक्षणिक समीकरण dx/dt = x, dy/dt = u − x − y, du/dt = x + 2y, t = 0 पर x = 1, y = s, u = 1 + s; J = 0 · b − 1 · a = −1 ≠ 0, अतः हल अद्वितीय है।

x = e^t; अंतिम दो को जोड़ने पर d(u + y)/dt = u + y, अतः u + y = (1 + 2s)e^t।

तब dy/dt = (u + y) − x − 2y = 2se^t − 2y, और y(0) = s से y = (s/3)(2e^t + e^−2t)।

e^t = x से: s = 3x²y/(2x³ + 1) और u = (1 + 2s)x − y = x + y(4x³ − 1)/(2x³ + 1)।

उत्तर: x > 0 के लिए u = x + y(4x³ − 1)/(2x³ + 1) (x = 1 पर 1 + y; प्रतिस्थापन से x + 2y मिलता है)।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण : z = (1/2)(p² + q²) + (p − x)(q − y); p ≡ ∂z/∂x, q ≡ ∂z/∂y का हल ज्ञात कीजिये जो कि x-अक्ष से गुजरता हो।

F = (p² + q²)/2 + (p − x)(q − y) − z: F_p = p + q − y, F_q = p + q − x, F_x = −(q − y), F_y = −(p − x), F_z = −1।

dx/dt = p + q − y = dp/dt और dy/dt = p + q − x = dq/dt, अतः प्रत्येक पट्टी पर p − x और q − y अचर हैं।

x-अक्ष: x₀ = s, y₀ = z₀ = 0; पट्टी प्रतिबंध से p₀ = 0 और F = 0 से q₀²/2 − sq₀ = 0, अतः q₀ = 2s या q₀ = 0।

q₀ = 2s: p − x = −s, q − y = 2s; dx/dt = x + s, dy/dt = y + s से x + s = 2se^t, y + s = se^t, अतः s = x − 2y, p = 2y, q = 2x − 3y और dz = 2y dx + (2x − 3y)dy, z = 2xy − 3y²/2।

q₀ = 0: p − x = −s, q = y और dx/dt = 0, अतः x = s, p = 0, q = y और z = y²/2।

जाँच: z = y(4x − 3y)/2 के लिए (4y² + (2x − 3y)²)/2 + (2y − x)(2x − 4y) = 2xy − 3y²/2 = z; z = y²/2 के लिए y²/2 + (−x)(0) = z।

उत्तर: z = y(4x − 3y)/2 (मूल q₀ = 2s); दूसरा मूल q₀ = 0, x-अक्ष से गुजरने वाला दूसरा पृष्ठ 2z = y² देता है।

उदाहरण 11 (UPSC 2021, 15 अंक): चार्पिट विधि का उपयोग करके आंशिक अवकल समीकरण p = (z + qy)² का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

F = (z + qy)² − p: F_y = 2q(z + qy), F_z = 2(z + qy), F_p = −1, F_q = 2y(z + qy)।

शार्पी: dy/F_q = −dq/(F_y + qF_z) से dy/(2y(z + qy)) = −dq/(4q(z + qy)), अतः dy/y = −dq/(2q) और qy² अचर है; q = −a/y² लिखें।

तब z + qy = z − a/y और p = (z − a/y)²; w = z − a/y लेकर dw = dz + (a/y²)dy = p dx = w² dx।

अतः −1/w = x + b, अर्थात् z − a/y = −1/(x + b)।

उत्तर: पूर्ण समाकल z = a/y − 1/(x + b) (जाँच: z + qy = −1/(x + b), जिसका वर्ग p है)।

उदाहरण 12 (UPSC 2025, 15 अंक): z(p² − q²) = x − y; p ≡ ∂z/∂x, q ≡ ∂z/∂y का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

समीकरण को (√z p)² − (√z q)² = x − y लिखें और Z = (2/3)z^3/2 रखें, जिससे P = Z_x = √z p और Q = Z_y = √z q।

तब P² − x = Q² − y = a (पृथक्करणीय रूप), P = √(x + a), Q = √(y + a)।

dZ = √(x + a) dx + √(y + a) dy, अतः Z = (2/3)(x + a)^3/2 + (2/3)(y + a)^3/2 + (2/3)b।

उत्तर: z^3/2 = (x + a)^3/2 + (y + a)^3/2 + b।

उदाहरण 13 (UPSC 2025, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण
p² + q² = 2; p ≡ ∂z/∂x, q ≡ ∂z/∂y
के अभिलक्षण (कैरेक्टरिस्टिक्स) ज्ञात कीजिए और x = 0, z = y से होकर जाने वाला समाकल पृष्ठ (सरफेस) प्राप्त कीजिए।

F = p² + q² − 2: dx/dt = 2p, dy/dt = 2q, dz/dt = 2(p² + q²) = 4, dp/dt = dq/dt = 0; प्रत्येक पट्टी पर p, q अचर हैं, अतः अभिलक्षण सरल रेखाएँ हैं।

प्रारंभिक वक्र x₀ = 0, y₀ = s, z₀ = s: पट्टी प्रतिबंध से q₀ = 1 और F = 0 से p₀ = ±1।

x = 2p₀t, y = s + 2t, z = s + 4t, अतः z − y = 2t = x/p₀।

उत्तर: अभिलक्षण x = ±2t, y = s + 2t, z = s + 4t (p = ±1, q = 1 सहित); समाकल पृष्ठ z = y + x तथा z = y − x।

13. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): अभिलक्षण विधि से 3u_x + 2u_y = 0, u(x, 0) = sin x हल कीजिए।

उत्तर: x = s + 3t, y = 2t, u = sin s, अतः u = sin(x − 3y/2)।

अभ्यास 2 (मूल): u_x − u_y = 0, u(x, x) = h(x) के लिए J निकालिए और u ज्ञात कीजिए।

उत्तर: J = 1 · (−1) − 1 · 1 = −2 ≠ 0; u = F(x + y) जहाँ F(2x) = h(x), अतः u = h((x + y)/2)।

अभ्यास 3 (मूल): p + q = pq का एक पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मानक रूप f(p, q) = 0: p = a, q = a/(a − 1), अतः z = ax + ay/(a − 1) + b (a ≠ 1)।

अभ्यास 4 (मानक): x u_x + y u_y = u हल कीजिए, जहाँ रेखा x = 1 पर u = 1 + y।

उत्तर: x = e^t, y = se^t, u = (1 + s)e^t (J = 1 ≠ 0), अतः u = x + y।

अभ्यास 5 (मानक): u_x + u_y = u², u(x, 0) = 1 हल कीजिए, और बताइए कि हल कहाँ विद्यमान है।

उत्तर: du/dt = u², u(0) = 1 से u = 1/(1 − t) और t = y, अतः u = 1/(1 − y), जो y < 1 के लिए मान्य है (y → 1 पर यह अनंत हो जाता है)।

अभ्यास 6 (मानक): शार्पी विधि से p² + q² = x + y का एक पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: dx/(2p) = dp से p² = x + a, अतः q² = y − a; z = (2/3)(x + a)^3/2 + (2/3)(y − a)^3/2 + b।

अभ्यास 7 (मानक): शार्पी विधि से 2xz − px² − 2qxy + pq = 0 का एक पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: F_y + qF_z = −2qx + 2qx = 0, अतः dq = 0 और q = a; तब p = 2x(z − ay)/(x² − a), और d(z − ay)/(z − ay) = 2x dx/(x² − a) से z = ay + b(x² − a)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): z² = pqxy का एक पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: X = log x, Y = log y, Z = log z रखने पर समीकरण PQ = 1 बनता है, अतः Z = aX + Y/a + log b और z = bx^ay^1/a।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): अभिलक्षणिक पट्टियों से pq = z का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए जो रेखा x = 0, z = y से होकर जाता है।

उत्तर: q₀ = 1, p₀ = s; p = se^t, q = e^t, x = e^t − 1, y = se^t, z = se^2t; अतः z = y(x + 1)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): y > 0 में (y + u)u_x + yu_y = x − y हल कीजिए, जहाँ y = 1 पर u = 1 + x।

उत्तर: y = e^t, x + u = (1 + 2s)e^t और x − u = e^t − 2e^−t (J = 1 ≠ 0), जिनसे u = x − y + 2/y।

1. समघात समीकरण के पूरक फलन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: रैखिक ODE की भाँति, F(D, D′)z = f(x, y) का व्यापक हल 'F(D, D′)z = 0 के सभी हल' और एक विशेष हल का योग है। अतः पहले हमें शून्य दाएँ पक्ष वाले समीकरण के सभी हल चाहिए।

शब्दों में: D = ∂/∂x और D′ = ∂/∂y संकारक (operators) हैं: वे एक फलन लेकर उसका आंशिक अवकलज लौटाते हैं। 'समघात' (homogeneous) का अर्थ है कि F के प्रत्येक पद की कुल कोटि समान है, जैसे D² − 3DD′ + 2D′² में।

मुख्य तथ्य यह है कि D − mD′, y + mx के प्रत्येक फलन को शून्य कर देता है: z = φ(y + mx) के लिए Dz = mφ′ और mD′z = mφ′। अतः F के रैखिक गुणनखंड हो जाने पर प्रत्येक गुणनखंड एक स्वेच्छ फलन देता है।

गुणनखंड पाने के लिए D = m और D′ = 1 रखें; m में परिणामी बहुपद सहायक समीकरण (auxiliary equation) है, और प्रत्येक मूल m गुणनखंड D − mD′ देता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (D² − 3DD′ + 2D′²)z = 0 का पूरक फलन (complementary function, CF) ज्ञात कीजिए।

चरण 1: सहायक समीकरण m² − 3m + 2 = 0 है, जिसके मूल m = 1 और m = 2 हैं।

चरण 2: अतः F = (D − D′)(D − 2D′); प्रसार करने पर D² − 2DD′ − DD′ + 2D′² मिलता है, जो सही है।

चरण 3: D − D′, φ₁(y + x) को शून्य करता है, और क्योंकि अचर-गुणांक संकारक क्रमविनिमेय हैं, F = (D − 2D′)(D − D′) भी उसे शून्य करता है।

चरण 4: इसी प्रकार D − 2D′, φ₂(y + 2x) को शून्य करता है।

चरण 5: रैखिकता से CF = φ₁(y + x) + φ₂(y + 2x): कोटि 2 के समीकरण के लिए दो स्वेच्छ फलन।

चरण 6: एक सदस्य परखें: z = (y + x)² के लिए z_xx = z_xy = z_yy = 2, और 2 − 3(2) + 2(2) = 0।

अ-उदाहरण (non-example): ऊष्मा संकारक D² − D′ समघात नहीं है। z = φ(y + mx) आजमाने पर m²φ″ − φ′ मिलता है, जो प्रत्येक φ के लिए शून्य नहीं हो सकता। अतः इसका CF, y + mx के स्वेच्छ फलनों से नहीं बनता; यह चरघातांकों Ae^{hx + h2y} का योग है। विफल प्रतिबंध समघातता है।

आगे बढ़ते हुए: z = φ(y + mx) के लिए कोटि n का प्रत्येक पद D^rD′^s, m^rφ⁽ⁿ⁾ देता है, अतः F(D, D′)z = F(m, 1)φ⁽ⁿ⁾, जो सभी φ के लिए ठीक तब शून्य है जब m एक मूल हो।

दोहरा मूल m इस प्रकार केवल एक फलन देता है; दूसरा xφ₂(y + mx) है, क्योंकि (D − mD′)[xφ(y + mx)] = φ(y + mx), जिसे एक और गुणनखंड D − mD′ शून्य कर देता है (नीचे पूरक फलन के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है' देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: 'F(D, D′)z = f हल कीजिए' वाले प्रत्येक प्रश्न का CF भाग, और तरंग संकारक D² − c²D′² = (D − cD′)(D + cD′), जिसका CF डी'एलेम्बर्ट का f(y + cx) + g(y − cx) है।

2. असमघात संकारकों और गुणनखंड D − mD′ − c को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: D² − D′² + D − D′ जैसे संकारकों में भिन्न कोटियों के पद हैं। अब केवल y + mx के फलन उन्हें हल नहीं करते, और हमें प्रत्येक गुणनखंड के लिए सही मूल खंड चाहिए।

शब्दों में: (D − mD′ − c)z = 0 लग्रांज समीकरण p − mq = cz है। इसके सहायक समीकरण dx/1 = dy/(−m) = dz/(cz) से y + mx = c₁ और ze^−cx = c₂, अतः z = e^cxφ(y + mx)।

अतः ठीक D − mD′ − c आकृति में लिखा प्रत्येक रैखिक गुणनखंड e^cx गुणा y + mx का एक स्वेच्छ फलन देता है। m और c उनके चिह्नों सहित उसी आकृति से पढ़ें।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (D² − D′² + D − D′)z = 0 का CF ज्ञात कीजिए।

चरण 1: पदों का समूहन करें: D² − D′² = (D − D′)(D + D′), और D − D′ उभयनिष्ठ है, अतः F = (D − D′)(D + D′ + 1)।

चरण 2: गुणनखंड D − D′ में m = 1, c = 0 है और यह φ₁(y + x) देता है।

चरण 3: दूसरे गुणनखंड को मानक आकृति में लिखें: D + D′ + 1 = D − (−1)D′ − (−1), अतः m = −1 और c = −1।

चरण 4: यह e^−xφ₂(y − x) देता है।

चरण 5: सीधे अवकलन से सत्यापित करें: z = e^−xφ(y − x) के लिए Dz = −e^−xφ − e^−xφ′ और D′z = e^−xφ′, अतः (D + D′ + 1)z = 0।

चरण 6: CF = φ₁(y + x) + e^−xφ₂(y − x)।

अ-उदाहरण (non-example): D² − D′ को अचर m, c वाले गुणनखंडों D − mD′ − c के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता। ऐसे अखंडनीय संकारक के लिए कोई स्वेच्छ फलन नहीं होता; z = Ae^{hx + ky} लिया जाता है जहाँ F(h, k) = 0, यहाँ k = h²। विफल प्रतिबंध रैखिक गुणनखंडों में विभाजन है।

आगे बढ़ते हुए: पुनरावृत्त गुणनखंड (D − mD′ − c)², e^cx[φ₁(y + mx) + xφ₂(y + mx)] देता है, उसी कारण से जो पहले पाठ के पुनरावृत्त मूल का था।

D-रहित गुणनखंड, जैसे βD′ − γ, समीकरण βq = γz है और e^γy/βφ(x) देता है। इन तीन नियमों से रैखिक गुणनखंडों में टूटने वाले किसी भी संकारक का CF तुरंत लिखा जा सकता है।

कहाँ प्रयोग होता है: (D² − D′² − 3D + 3D′)z = xy + e^{x + 2y} जैसे प्रश्न (नीचे उदाहरण 13), और अवमंदित या टेलीग्राफ-प्रकार के समीकरण, जिनके निम्न कोटि पद चरघातांकी गुणनखंड उत्पन्न करते हैं।

3. विशिष्ट समाकल: लघु नियमों और विफल स्थिति को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: CF ज्ञात होने के बाद भी हमें एक फलन z_p चाहिए जिसके लिए F(D, D′)z_p = f(x, y), अर्थात् विशिष्ट समाकल (particular integral, PI)। सामान्य दाएँ पक्षों (चरघातांक, ज्या, बहुपद) के लिए लघु नियम हैं, और हमें ठीक-ठीक पता होना चाहिए कि वे कब विफल होते हैं।

शब्दों में: e^{ax + by} पर D, a से गुणन की तरह और D′, b से गुणन की तरह कार्य करता है। अतः F(D, D′), संख्या F(a, b) से गुणन की तरह कार्य करता है, और उस संख्या से भाग देने पर PI e^{ax + by}/F(a, b) मिलता है।

यदि F(a, b) = 0 हो, तो चरघातांक पहले से CF में है ('विफल स्थिति')। तब शून्य होने वाला गुणनखंड D − mD′ अलग करें, और (D − mD′)⁻¹φ(y + mx) = xφ(y + mx) का प्रयोग करें।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (D² − 3DD′ + 2D′²)z = e^{x + 3y} + e^{2x + y} का एक PI ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दोनों पदों को अलग-अलग लें और अंत में परिणाम जोड़ें (संकारक रैखिक है)।

चरण 2: e^{x + 3y} के लिए a = 1, b = 3 और F(1, 3) = 1 − 9 + 18 = 10 ≠ 0, अतः PI₁ = e^{x + 3y}/10।

चरण 3: e^{2x + y} के लिए F(2, 1) = 4 − 6 + 2 = 0: विफल स्थिति। वास्तव में e^{2x + y}, y + 2x का फलन है, जो CF में है।

चरण 4: F = (D − D′)(D − 2D′) गुणनखंड करें और पहले निर्दोष गुणनखंड का व्युत्क्रम लें: (D − D′)⁻¹e^{2x + y} = e^{2x + y}/(2 − 1) = e^{2x + y}।

चरण 5: शून्य होने वाले गुणनखंड का व्युत्क्रम विफल-स्थिति नियम से लें: (D − 2D′)⁻¹e^{2x + y} = xe^{2x + y}, अतः PI₂ = xe^{2x + y}।

चरण 6: PI₂ की जाँच: E = e^{2x + y} लेकर z_xx = (4 + 4x)E, z_xy = (1 + 2x)E, z_yy = xE, और (4 + 4x) − 3(1 + 2x) + 2x = 1, अतः F(D, D′)z = E।

चरण 7: PI = e^{x + 3y}/10 + xe^{2x + y}।

अ-उदाहरण (non-example): (D² + D)z = sin(x + y) के लिए संकारक समघात नहीं है। D² के स्थान पर −1 रखने पर (D − 1)⁻¹sin(x + y) बचता है, और D के स्थान पर कोई संख्या नहीं रखी जा सकती, क्योंकि D ज्या को कोज्या बना देता है। इसके बजाय परिमेयकरण करें: (D + 1)/(D² − 1) से −(D + 1)sin(x + y)/2 = −[cos(x + y) + sin(x + y)]/2। विफल प्रतिबंध घात 2 की समघातता है।

आगे बढ़ते हुए: ज्या नियम घात 2 के समघात F के लिए काम करता है क्योंकि D², DD′, D′² में से प्रत्येक उसी ज्या का अचर गुणज लौटाता है। स्थानांतरण नियम F(D, D′)(e^{ax + by}V) = e^{ax + by}F(D + a, D′ + b)V चरघातांक गुणा किसी भी फलन को सँभालता है।

बहुपद दाएँ पक्ष के लिए [F(D, D′)]⁻¹ का प्रसार कुछ पदों के बाद रुक जाता है; विफल-स्थिति नियम स्वयं अगले पाठ की व्यापक विधि से निकलता है (नीचे 'व्युत्पत्ति: व्यापक विधि और विफल स्थिति')।

कहाँ प्रयोग होता है: 5 sin(2x + y) + 24(y − x) + e^{3x + 4y} जैसे मिश्रित दाएँ पक्ष (नीचे उदाहरण 11), जहाँ प्रत्येक पद को अपना नियम चाहिए और उनमें से एक विफल होता है।

4. विशिष्ट समाकल की व्यापक विधि को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: y cos x, x²sin(x + y) या tan(x + y) जैसे दाएँ पक्ष किसी लघु नियम में नहीं बैठते। जब F रैखिक गुणनखंडों में टूटता हो, एक विधि सदा काम करती है।

शब्दों में: (D − mD′)z = f लग्रांज समीकरण p − mq = f है। इसके अभिलक्षण रेखाएँ y + mx = c हैं, और ऐसी रेखा के अनुदिश z, x के साथ दर f(x, c − mx) से बदलता है।

अतः: y के स्थान पर c − mx रखें, c को नियत रखकर x के सापेक्ष समाकलन करें, और अंत में c = y + mx रखें। कई गुणनखंडों के लिए एक-एक गुणनखंड पर यह दोहराएँ।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: (D² − DD′ − 2D′²)z = (y − 1)e^x का एक PI ज्ञात कीजिए।

चरण 1: गुणनखंड: m² − m − 2 = (m − 2)(m + 1), अतः F = (D − 2D′)(D + D′)।

चरण 2: पहले D + D′ (m = −1) का व्युत्क्रम लें: y के स्थान पर c + x रखें, अतः समाकल्य (c + x − 1)e^x है।

चरण 3: c नियत रखकर खंडशः समाकलन करें: ∫(c + x − 1)e^x dx = (c + x − 1)e^x − e^x = (c + x − 2)e^x।

चरण 4: c = y − x वापस रखें: (y − 2)e^x।

चरण 5: अब D − 2D′ (m = 2) का व्युत्क्रम लें: y के स्थान पर c − 2x रखें और समाकलन करें: ∫(c − 2x − 2)e^x dx = (c − 2x − 2)e^x + 2e^x = (c − 2x)e^x।

चरण 6: c = y + 2x रखें: PI = ye^x।

चरण 7: जाँच: z = ye^x के लिए z_xx = ye^x, z_xy = e^x, z_yy = 0, अतः z_xx − z_xy − 2z_yy = (y − 1)e^x।

अ-उदाहरण (non-example): चरण 2 में (y − 1)e^x का 'y नियत रखकर' समाकलन (y − 1)e^x देता है, पर (D + D′)[(y − 1)e^x] = (y − 1)e^x + e^x, जो गलत है। अभिलक्षण के अनुदिश y अचर नहीं है (यह c + x के बराबर है); विफल चरण समाकलन से पहले y = c − mx का प्रतिस्थापन है।

आगे बढ़ते हुए: सहायक समीकरण dx/1 = dy/(−m) = dz/f से y + mx = c और dz = f(x, c − mx) dx मिलते हैं, जो यही नियम है (नीचे 'व्युत्पत्ति: व्यापक विधि और विफल स्थिति')।

जब f = φ(y + mx) हो, समाकल्य f(x, c − mx) = φ(c), x पर निर्भर नहीं करता, समाकल xφ(c) है, और पिछले पाठ का विफल-स्थिति नियम अपने-आप प्रकट होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: y cos x, y sin x या x²sin(x + y) जैसे दाएँ पक्षों वाले प्रश्न (नीचे उदाहरण 4, 14 और 16), और जब भी किसी लघु नियम पर संदेह हो, एक सुरक्षित विकल्प के रूप में।

5. संकेतन और संरचना

D = ∂/∂x, D′ = ∂/∂y; समीकरण F(D, D′)z = f(x, y) है और इसका व्यापक हल z = CF + PI है।

समघात (homogeneous): F के प्रत्येक पद की कुल कोटि समान हो, जैसे (a₀D² + a₁DD′ + a₂D′²)z = f(x, y)।

भाव: 'समघात (homogeneous)' संकारक का वर्णन करता है (सभी पदों की कुल कोटि समान), दाएँ पक्ष का नहीं। ऊष्मा संकारक D² − D′, f = 0 होने पर भी असमघात है, और इससे पूरक फलन (CF) का रूप बदल जाता है।

n कोटि के समीकरण के CF में n स्वेच्छ फलन होते हैं।

भाव: यह कोटि n के साधारण अवकल समीकरण में n स्वेच्छ अचरों के समान है; z = CF + PI इसलिए है क्योंकि संकारक रैखिक है, अतः दो हलों का अंतर f = 0 वाले समीकरण का हल है।

6. पूरक फलन (समघात F)

D = m, D′ = 1 रखकर सहायक समीकरण a₀m² + a₁m + a₂ = 0 प्राप्त करें, जिसके मूल m₁, m₂ हैं।

भिन्न मूल: CF = φ₁(y + m₁x) + φ₂(y + m₂x)।

पुनरावृत्त मूल m: CF = φ₁(y + mx) + xφ₂(y + mx)।

कारण: (D − mD′)φ(y + mx) = mφ′ − mφ′ = 0।

यह क्यों काम करता है: z = φ(y + mx) के लिए D^rD′^sz = m^rφ^(r+s), अतः (a₀D² + a₁DD′ + a₂D′²)z = (a₀m² + a₁m + a₂)φ″, जो प्रत्येक φ के लिए ठीक तब शून्य है जब m एक मूल हो। पुनरावृत्त मूल के लिए (D − mD′)[xφ(y + mx)] = φ, जिसे (D − mD′) फिर शून्य कर देता है, अतः xφ₂(y + mx) दूसरा हल है।

7. पूरक फलन (असमघात F)

यदि F रैखिक गुणनखंडों में टूटे, तो गुणनखंड (D − mD′ − c) से e^cxφ(y + mx) मिलता है; पुनरावृत्त गुणनखंड से e^cx[φ₁(y + mx) + xφ₂(y + mx)]।

D रहित गुणनखंड (βD′ − γ) से e^γy/βφ(x) मिलता है।

यदि F के गुणनखंड न हों, तो F(h, k) = 0 के साथ z = Ae^{hx + ky} लें, जिससे CF = ∑A e^{hx + ky}।

भाव: अखंडनीय गुणनखंड स्वेच्छ फलन नहीं देता, केवल ऐसे चरघातांकों का कुल देता है जिनके घातांक वक्र F(h, k) = 0 पर हों। ऊष्मा संकारक D² − D′ के लिए k = h² और CF = ∑A e^{hx + h2y}; h = iω लेने पर ऊष्मा समीकरण विषय में प्रयुक्त क्षयी विधाएँ e^−ω2ycos ωx मिलती हैं।

8. विशिष्ट समाकल

f = e^{ax + by}: PI = e^{ax + by}/F(a, b), यदि F(a, b) ≠ 0।

यह क्यों काम करता है: D e^{ax + by} = a e^{ax + by} और D′ e^{ax + by} = b e^{ax + by}, अतः F(D, D′)e^{ax + by} = F(a, b)e^{ax + by}; संख्या F(a, b) से भाग देने पर ऐसा फलन मिलता है जिसे F(D, D′), e^{ax + by} में बदल देता है।

विफल स्थिति: 1/(D − mD′)^r φ(y + mx) = (x^r/r!) φ(y + mx)।

f = sin(ax + by) या cos(ax + by), F घात 2 का समघात: D² के स्थान पर −a², DD′ के स्थान पर −ab, D′² के स्थान पर −b² रखें, यदि परिणाम शून्येतर हो।

यह क्यों काम करता है: D², DD′, D′² में से प्रत्येक sin(ax + by) पर लगकर उसी ज्या का −a², −ab, −b² गुना देता है, अतः घात 2 का समघात F उसे एक अचर से गुणा करता है। अकेला D या D′ ज्या को कोज्या में बदल देता है, इसीलिए नियम के लिए F में केवल द्वितीय कोटि के पद होने चाहिए।

f = x^myⁿ: PI = [F(D, D′)]⁻¹x^myⁿ, D′/D (या D/D′) की आरोही घातों में प्रसार करके।

f = e^{ax + by}V(x, y): PI = e^{ax + by}[F(D + a, D′ + b)]⁻¹V।

व्यापक विधि: (D − mD′)⁻¹f(x, y) = ∫f(x, c − mx) dx, जिसके बाद c के स्थान पर y + mx रखें।

9. व्युत्पत्ति: व्यापक विधि और विफल स्थिति

(D − mD′)z = f(x, y) लग्रांज समीकरण p − mq = f है, जिसके सहायक समीकरण dx/1 = dy/(−m) = dz/f हैं।

पहले युग्म से y + mx = c, अतः अभिलक्षण के अनुदिश y = c − mx और dz = f(x, c − mx) dx।

अतः z = ∫f(x, c − mx) dx + φ(c); c के स्थान पर y + mx रखने पर समाकल एक विशिष्ट समाकल (PI) है और φ(y + mx) इस गुणनखंड का CF है। गुणनखंड-दर-गुणनखंड दोहराने से रैखिक गुणनखंडों में टूटने वाला कोई भी F प्रतिलोमित होता है।

विफल स्थिति: यदि f = φ(y + mx), तो f(x, c − mx) = φ(c), x में अचर है और समाकल xφ(c) = xφ(y + mx) है; इसे r बार लागू करने पर (D − mD′)^−rφ(y + mx) = (x^r/r!)φ(y + mx)।

विस्थापन नियम: D(e^{ax + by}V) = e^{ax + by}(D + a)V और D′(e^{ax + by}V) = e^{ax + by}(D′ + b)V, अतः F(D, D′)(e^{ax + by}V) = e^{ax + by}F(D + a, D′ + b)V; प्रतिलोम लेने पर नियम PI = e^{ax + by}[F(D + a, D′ + b)]⁻¹V मिलता है।

बहुपद दायाँ पक्ष: f = x^myⁿ के लिए n से अधिक घात वाले D′/D, yⁿ को शून्य कर देते हैं, अतः [F(D, D′)]⁻¹ का श्रेणी प्रसार परिमित पदों के बाद रुक जाता है और यथार्थ बहुपद PI देता है।

10. विधि का चयन

यदि F समघात है → a₀m² + a₁m + a₂ = 0 के मूलों से CF; यदि F असमघात है पर रैखिक गुणनखंडों में टूटता है → प्रत्येक गुणनखंड के लिए e^cxφ(y + mx); यदि गुणनखंड नहीं होते → F(h, k) = 0 वाले चरघातांकी पद।

यदि f = e^{ax + by} → e^{ax + by}/F(a, b); यदि F(a, b) = 0 → शून्य होने वाले गुणनखंड के लिए x^r/r! नियम, या व्यापक विधि।

यदि f = sin या cos(ax + by) और F घात 2 का समघात है → प्रतिस्थापन नियम; यदि F समघात नहीं है → द्वितीय कोटि पदों का प्रतिस्थापन करें, फिर शेष प्रथम कोटि संकारक का परिमेयकरण करें या A sin + B cos आज़माएँ।

यदि f बहुपद है → [F]⁻¹ को D′/D (या D/D′) की घातों में प्रसारित करें; यदि f = e^{ax + by}V → विस्थापन नियम; यदि f = φ(ax + by) और F समघात → खंड 13 का बार-बार समाकलन नियम।

यदि कुछ और लागू न हो (y cos x, x e^y, tan(x + y), ...) → F के गुणनखंड करें और एक-एक गुणनखंड पर ∫f(x, c − mx) dx लागू करें।

11. सामान्य गलतियाँ

तर्क में गलत चिह्न: गुणनखंड (D − mD′) से φ(y + mx) मिलता है; D² − D′² के लिए m = ±1 और CF φ₁(y + x) + φ₂(y − x)।

x गुणनखंड के बिना पुनरावृत्त मूल: (D − D′)²z = 0 का CF φ₁(y + x) + xφ₂(y + x) है, φ₁(y + x) + φ₂(y + x) नहीं, जो केवल एक फलन है।

शून्य से भाग: F(a, b) = 0 होने पर e^{ax + by}/F(a, b) का प्रयोग; सदैव पहले F(a, b) की गणना करें और उसे दिखाएँ।

c को वापस न रखना: ∫f(x, c − mx) dx में समाकलन के दौरान c अचर है और अंत में उसके स्थान पर y + mx रखना अनिवार्य है।

असमघात F पर ज्या नियम: (D² − D′)z = sin(x + y) के लिए D² → −1 से −(1 + D′)⁻¹sin(x + y) = −(1 − D′)(1 − D′²)⁻¹sin(x + y) = −[sin(x + y) − cos(x + y)]/2 बचता है; D′ को सीधे किसी संख्या से नहीं बदला जा सकता।

CF भूल जाना: 'व्यापक हल' का अर्थ CF + PI है; केवल PI से अंकों का एक भाग ही मिलता है।

संबंध: प्रत्येक चरण अचर गुणांक वाले रैखिक साधारण अवकल समीकरणों (साधारण अवकल समीकरण अध्याय) की नकल है: सहायक समीकरण, CF + PI, 1/f(D) लघु नियम और विफल स्थिति; स्वेच्छ अचरों का स्थान y + mx के स्वेच्छ फलन लेते हैं।

संबंध: सहायक समीकरण का विविक्तकर a₁² − 4a₀a₂ अगले विषय का B² − 4AC है: दो वास्तविक मूल अर्थात् अतिपरवलयिक (D² − c²D′² = (D − cD′)(D + cD′) से डी'एलेम्बर्ट हल), द्विक मूल परवलयिक, सम्मिश्र मूल दीर्घवृत्तीय।

12. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: (D² − 5DD′ + 6D′²)z = e^{x + y}। सहायक समीकरण m² − 5m + 6 = 0 से m = 2, 3, और F(1, 1) = 2।

z = φ₁(y + 2x) + φ₂(y + 3x) + (1/2)e^{x + y}।

उदाहरण 2: (D² − D′²)z = sin(x + 2y)। PI = sin(x + 2y)/(−1 + 4); z = φ₁(y + x) + φ₂(y − x) + (1/3)sin(x + 2y)।

उदाहरण 3: (D − D′)²z = e^{x + y}। F(1, 1) = 0 और e^{x + y}, y + x का फलन है, अतः PI = (x²/2)e^{x + y}; z = φ₁(y + x) + xφ₂(y + x) + (x²/2)e^{x + y}।

उदाहरण 4: (D² + DD′ − 6D′²)z = y cos x। सहायक समीकरण m² + m − 6 = 0 से m = 2, −3, अतः F = (D − 2D′)(D + 3D′)।

(D + 3D′)⁻¹y cos x = ∫(c + 3x)cos x dx = (c + 3x)sin x + 3cos x = y sin x + 3cos x।

(D − 2D′)⁻¹(y sin x + 3cos x) = ∫[(c − 2x)sin x + 3cos x] dx = −(c − 2x)cos x + sin x = sin x − y cos x।

अतः z = φ₁(y + 2x) + φ₂(y − 3x) + sin x − y cos x।

उदाहरण 5: (D² − 2DD′ + D′²)z = 12xy को हल कीजिए।

सहायक समीकरण (m − 1)² = 0, अतः CF = φ₁(y + x) + xφ₂(y + x)।

PI = (1/D²)(1 − D′/D)⁻²12xy = (1/D²)(1 + 2D′/D + ...)12xy = (1/D²)(12xy + 12x²) = 2x³y + x⁴।

जाँच: z_xx − 2z_xy + z_yy = (12xy + 12x²) − 12x² + 0 = 12xy; अतः z = φ₁(y + x) + xφ₂(y + x) + 2x³y + x⁴।

उदाहरण 6: (D² − DD′ + D′ − 1)z = cos(x + 2y) + e^y को हल कीजिए।

F = (D − 1)(D − D′ + 1), अतः CF = e^xφ₁(y) + e^−xφ₂(y + x)।

cos(x + 2y) के लिए D² = −1, DD′ = −2 रखें: F = −1 + 2 + D′ − 1 = D′ हो जाता है, अतः PI₁ = (1/D′)cos(x + 2y) = (1/2)sin(x + 2y)।

e^y के लिए F(0, 1) = 0, क्योंकि गुणनखंड D − D′ + 1 शून्य हो जाता है; (D − 1)⁻¹e^y = −e^y, और (D − D′ + 1)z = −e^y में z = Axe^y रखने पर A = −1, अतः PI₂ = −xe^y।

z = e^xφ₁(y) + e^−xφ₂(y + x) + (1/2)sin(x + 2y) − xe^y।

13. विशिष्ट समाकल के और नियम, उच्च कोटि और आँकड़ों से मिलान

φ(ax + by) का नियम: यदि F(D, D′) घात n का समघात है और F(a, b) ≠ 0, तो [F(D, D′)]⁻¹φ(ax + by) = (1/F(a, b)) ∫∫...∫ φ(v) dv ... dv (n बार), जहाँ v = ax + by।

विफल स्थिति: यदि F में गुणनखंड (bD − aD′)^r हो, तो (bD − aD′)^−rφ(ax + by) = (x^r/(b^r r!))φ(ax + by); पहले शेष गुणनखंडों को (ऊपर के नियम से) उलटें और इस गुणनखंड को अंत में।

कोटि n का समघात: सहायक समीकरण के n मूल होते हैं; k बहुलता वाला मूल m, φ₁(y + mx) + xφ₂(y + mx) + ... + x^k−1φ_k(y + mx) देता है; त्रिघात के गुणनखंड m = ±1, ±2 आज़माकर करें।

घात 3 के साथ sin या cos: जहाँ भी आएँ D² → −a², DD′ → −ab, D′² → −b² रखें (D³ = D · D² → −a²D), जिससे प्रथम घात का संकारक बचता है; उसे परीक्षण A cos(ax + by) या परिमेयीकरण से उलटें।

x^m गुणा sin, cos या e^{ax + by}: F के गुणनखंड करें और (D − mD′)⁻¹f = ∫f(x, c − mx) dx दो बार, खंडशः समाकलन से लगाएँ; या e^{ax + by}[F(D + a, D′ + b)]⁻¹V का प्रयोग करें।

आँकड़ों से मिलान: दिए वक्रों से गुजरने वाला पृष्ठ पाने के लिए प्रत्येक वक्र को व्यापक हल में रखें और प्राप्त फलनीय समीकरणों से φ₁, φ₂ निकालें।

ऑयलर–कॉशी प्रकार (अचर गुणांकों सहित x²r, xys, y²t, xp, yq): x = e^X, y = e^Y रखें; तब xD = D_X, x²D² = D_X(D_X − 1), xyDD′ = D_XD_Y, और समीकरण अचर गुणांक वाला हो जाता है।

14. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): आंशिक अवकल समीकरण (2D² − 5DD′ + 2D′²)z = 24(y − x) को हल कीजिए।

सहायक समीकरण 2m² − 5m + 2 = 0 से m = 2, 1/2, अतः पूरक फलन (CF) = φ₁(y + 2x) + φ₂(2y + x)।

24(y − x) = 24v जहाँ v = −x + y, अतः a = −1, b = 1 और F(a, b) = 2 + 5 + 2 = 9 ≠ 0।

विशिष्ट समाकल (PI) = (1/9)∫∫24v dv dv = (1/9)(4v³) = (4/9)(y − x)³; जाँच: z_xx = z_yy = (8/3)v, z_xy = −(8/3)v से (2 + 5 + 2)(8/3)v = 24v।

उत्तर: z = φ₁(y + 2x) + φ₂(2y + x) + (4/9)(y − x)³।

उदाहरण 8 (UPSC 2026, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण (2D² − 5DD′ + 2D′²) z = 24(y − x) + sin(y − x) को हल कीजिए, जहाँ D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y, z = z(x, y) हैं।

पूरक फलन और 24(y − x) का विशिष्ट समाकल पिछले उदाहरण जैसे हैं।

sin(y − x) के लिए: a = −1, b = 1, अतः D² → −1, DD′ → −ab = 1, D′² → −1 और F → −2 − 5 − 2 = −9; PI = −(1/9)sin(y − x)।

उत्तर: z = φ₁(y + 2x) + φ₂(2y + x) + (4/9)(y − x)³ − (1/9)sin(y − x)।

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण
∂³z/∂x³ − 2 ∂³z/∂x²∂y − ∂³z/∂x∂y² + 2 ∂³z/∂y³ = e^x+y
को हल कीजिए।

सहायक समीकरण m³ − 2m² − m + 2 = (m − 1)(m + 1)(m − 2) = 0, अतः CF = φ₁(y + x) + φ₂(y − x) + φ₃(y + 2x)।

F(1, 1) = 1 − 2 − 1 + 2 = 0, गुणनखंड D − D′ के कारण विफल स्थिति।

[(D + D′)(D − 2D′)]⁻¹e^{x + y} = e^{x + y}/(2 · (−1)), और (D − D′)⁻¹e^{x + y} = xe^{x + y} क्योंकि e^{x + y}, y + x का फलन है।

उत्तर: z = φ₁(y + x) + φ₂(y − x) + φ₃(y + 2x) − (x/2)e^{x + y}।

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 10 अंक): (D² − 2DD′ + D′²)z = e^x+2y + x³ + sin 2x को हल कीजिए,
जहाँ D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y, D² ≡ ∂²/∂x², D′² ≡ ∂²/∂y² हैं।

सहायक समीकरण (m − 1)² = 0, अतः CF = φ₁(y + x) + xφ₂(y + x)।

e^{x + 2y}: F(1, 2) = (1 − 2)² = 1, PI₁ = e^{x + 2y}; x³: PI₂ = (1/D²)(1 − D′/D)⁻²x³ = (1/D²)x³ = x⁵/20 क्योंकि D′x³ = 0।

sin 2x: a = 2, b = 0, अतः D² → −4, DD′ → 0, D′² → 0 और PI₃ = −(1/4)sin 2x।

उत्तर: z = φ₁(y + x) + xφ₂(y + x) + e^{x + 2y} + x⁵/20 − (1/4)sin 2x।

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण :
(2D² − 5DD′ + 2D′²)z = 5 sin(2x + y) + 24(y − x) + e^{3x + 4y} को हल कीजिए
जहाँ D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y.

F = (2D − D′)(D − 2D′), CF = φ₁(y + 2x) + φ₂(2y + x)।

5 sin(2x + y): D² → −4, DD′ → −2, D′² → −1 से −8 + 10 − 2 = 0, विफल स्थिति, क्योंकि sin(2x + y), y + 2x का फलन है।

(2D − D′)cos(2x + y) = −3 sin(2x + y), अतः (2D − D′)⁻¹5 sin(2x + y) = −(5/3)cos(2x + y); फिर (D − 2D′)⁻¹ x से गुणा करता है: PI₁ = −(5x/3)cos(2x + y)।

PI₂ = (4/9)(y − x)³ (UPSC 2014 जैसा); e^{3x + 4y}: F(3, 4) = 18 − 60 + 32 = −10, PI₃ = −(1/10)e^{3x + 4y}।

उत्तर: z = φ₁(y + 2x) + φ₂(2y + x) − (5x/3)cos(2x + y) + (4/9)(y − x)³ − (1/10)e^{3x + 4y}।

उदाहरण 12 (UPSC 2020, 10 अंक): आंशिक अवकल समीकरण : (D³ − 2D²D′ − DD′² + 2D′³)z = e^2x+y + sin(x − 2y); D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y को हल कीजिए।

UPSC 2016 की भाँति F = (D − D′)(D + D′)(D − 2D′), अतः CF = φ₁(y + x) + φ₂(y − x) + φ₃(y + 2x)।

e^{2x + y}: D − 2D′ के कारण F(2, 1) = 8 − 8 − 2 + 2 = 0; [(D − D′)(D + D′)]⁻¹e^{2x + y} = e^{2x + y}/3, फिर (D − 2D′)⁻¹ से PI₁ = (x/3)e^{2x + y}।

sin(x − 2y): a = 1, b = −2 से D³ → −D, D²D′ → −D′, DD′² → −4D, D′³ → −4D′, अतः F → −D + 2D′ + 4D − 8D′ = 3(D − 2D′)।

(D − 2D′)cos(x − 2y) = −sin(x − 2y) − 4 sin(x − 2y) = −5 sin(x − 2y), अतः PI₂ = (1/3)(−1/5)cos(x − 2y) = −(1/15)cos(x − 2y)।

उत्तर: z = φ₁(y + x) + φ₂(y − x) + φ₃(y + 2x) + (x/3)e^{2x + y} − (1/15)cos(x − 2y)।

उदाहरण 13 (UPSC 2021, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण (D² − D′² − 3D + 3D′)z = xy + e^x+2y का व्यापक हल ज्ञात कीजिए, जहाँ D ≡ ∂/∂x तथा D′ ≡ ∂/∂y हैं।

F = (D − D′)(D + D′) − 3(D − D′) = (D − D′)(D + D′ − 3), अतः CF = φ₁(y + x) + e^3xφ₂(y − x)।

xy: (D + D′ − 3)⁻¹xy = −(1/3)[1 + (D + D′)/3 + (D + D′)²/9]xy = −(1/3)[xy + (x + y)/3 + 2/9]।

(D − D′)⁻¹ = (1/D)(1 + D′/D + ...) को xy + (x + y)/3 + 2/9 पर लगाने से x²y/2 + x³/6 + x²/3 + xy/3 + 2x/9, अतः PI₁ = −(1/54)(9x²y + 3x³ + 6x² + 6xy + 4x)।

e^{x + 2y}: D + D′ − 3 → 0 होने से F(1, 2) = 0; (D + D′ − 3)⁻¹e^{x + 2y} = e^{x + 2y}(D + D′)⁻¹1 = xe^{x + 2y}, फिर (D − D′)⁻¹(xe^{x + 2y}) = e^{x + 2y}(D − D′ − 1)⁻¹x = −(x + 1)e^{x + 2y}।

भाग −e^{x + 2y} = −e^3xe^{2(y − x)} पूरक फलन में है, अतः PI₂ = −xe^{x + 2y}।

उत्तर: z = φ₁(y + x) + e^3xφ₂(y − x) − (1/54)(9x²y + 3x³ + 6x² + 6xy + 4x) − xe^{x + 2y}।

उदाहरण 14 (UPSC 2022, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण (D² + DD′ − 6D′²) z = x² sin(x + y) जहाँ D ≡ ∂/∂x तथा D′ ≡ ∂/∂y, का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।

F = (D − 2D′)(D + 3D′), अतः CF = φ₁(y + 2x) + φ₂(y − 3x)।

(D + 3D′)⁻¹x²sin(x + y) = ∫x²sin(4x + c) dx, जहाँ c = y − 3x, जिससे g = −(x²/4)cos(x + y) + (x/8)sin(x + y) + (1/32)cos(x + y)।

(D − 2D′)⁻¹g = ∫g(x, c − 2x) dx, जहाँ c = y + 2x और x + y, c − x बन जाता है।

∫x²cos(c − x) dx = −x²sin(c − x) + 2x cos(c − x) + 2 sin(c − x) और ∫x sin(c − x) dx = x cos(c − x) + sin(c − x) से समाकल (x²/4)sin(c − x) − (3x/8)cos(c − x) − (13/32)sin(c − x) है।

उत्तर: z = φ₁(y + 2x) + φ₂(y − 3x) + (x²/4)sin(x + y) − (3x/8)cos(x + y) − (13/32)sin(x + y) (प्रतिस्थापन से सत्यापित)।

उदाहरण 15 (UPSC 2023, 15 अंक): दो रेखाओं z = x = 0 तथा z − 1 = x − y = 0 से होकर जाने वाला और आंशिक अवकल समीकरण ∂²z/∂x² − 4 ∂²z/∂x∂y + 4 ∂²z/∂y² = 0 को संतुष्ट करने वाला पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

समीकरण (D − 2D′)²z = 0 है; सहायक समीकरण (m − 2)² = 0, अतः z = φ₁(y + 2x) + xφ₂(y + 2x)।

रेखा z = x = 0 (y-अक्ष): प्रत्येक y के लिए 0 = φ₁(y), अतः φ₁ ≡ 0।

रेखा x = y, z = 1: 1 = xφ₂(3x), अतः φ₂(s) = 3/s।

उत्तर: z = 3x/(y + 2x), अर्थात् z(2x + y) = 3x (x = 0 पर z = 0; x = y पर z = 1)।

उदाहरण 16 (UPSC 2025, 10 अंक): समीकरण (D² + DD′ − 2D²) z = y sin x, जहाँ D ≡ ∂/∂x और D′ ≡ ∂/∂y हैं, का हल ज्ञात कीजिए।

[प्रश्नपत्र में (D² + DD′ − 2D²) छपा है; अभिप्रेत संकारक D² + DD′ − 2D′² है।]

m² + m − 2 = 0 से m = 1, −2: CF = φ₁(y + x) + φ₂(y − 2x), F = (D − D′)(D + 2D′)।

(D + 2D′)⁻¹y sin x = ∫(c + 2x)sin x dx (c = y − 2x) = −(c + 2x)cos x + 2 sin x = −y cos x + 2 sin x।

(D − D′)⁻¹(−y cos x + 2 sin x) = ∫[−(c − x)cos x + 2 sin x] dx (c = y + x) = −c sin x + x sin x − cos x = −y sin x − cos x।

उत्तर: z = φ₁(y + x) + φ₂(y − 2x) − y sin x − cos x (जाँच: z_xx + z_xy − 2z_yy = y sin x + cos x − cos x = y sin x)।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): (D² − 4D′²)z = 0 का CF लिखिए।

उत्तर: m = ±2, अतः CF = φ₁(y + 2x) + φ₂(y − 2x)।

अभ्यास 2 (मूल): (D² + 2DD′ + D′²)z = 0 का CF लिखिए।

उत्तर: (m + 1)² = 0, दोहरा मूल m = −1, अतः CF = φ₁(y − x) + xφ₂(y − x)।

अभ्यास 3 (मूल): (D² − D′²)z = e^{x + 2y} का एक PI ज्ञात कीजिए।

उत्तर: F(1, 2) = 1 − 4 = −3, अतः PI = −e^{x + 2y}/3।

अभ्यास 4 (मानक): (D² + 3DD′ + 2D′²)z = x + y हल कीजिए।

उत्तर: m = −1, −2; v = x + y लेकर F(1, 1) = 6 और PI = (1/6)∫∫v dv dv = (x + y)³/36; z = φ₁(y − x) + φ₂(y − 2x) + (x + y)³/36।

अभ्यास 5 (मानक): (D² − DD′)z = cos(x + 2y) हल कीजिए।

उत्तर: m = 0, 1; D² → −1, DD′ → −2 से F → 1, अतः z = φ₁(y) + φ₂(y + x) + cos(x + 2y)।

अभ्यास 6 (मानक): (D² − 4DD′ + 4D′²)z = e^{2x + y} हल कीजिए।

उत्तर: F = (D − 2D′)² और e^{2x + y}, y + 2x का फलन है, अतः PI = (x²/2)e^{2x + y}; z = φ₁(y + 2x) + xφ₂(y + 2x) + (x²/2)e^{2x + y}।

अभ्यास 7 (मानक): (D² − 2DD′)z = e^2x + x³y हल कीजिए।

उत्तर: CF = φ₁(y) + φ₂(y + 2x); PI = e^2x/4 + (1/D²)(1 + 2D′/D)x³y = e^2x/4 + x⁵y/20 + x⁶/60।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): (D² + 2DD′ + D′²)z = 2 cos y − x sin y हल कीजिए।

उत्तर: व्यापक विधि से (गुणनखंड D + D′ दो बार) PI = x sin y; z = φ₁(y − x) + xφ₂(y − x) + x sin y।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): (D² − DD′ − 2D′² + 2D + 2D′)z = sin(2x + y) हल कीजिए।

उत्तर: F = (D + D′)(D − 2D′ + 2), CF = φ₁(y − x) + e^−2xφ₂(y + 2x); द्वितीय कोटि भाग −4 + 2 + 2 = 0 देता है, अतः PI = [2(D + D′)]⁻¹sin(2x + y) = −cos(2x + y)/6।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): ∂²z/∂x² = 6x + 2 को संतुष्ट करने वाला वह पृष्ठ ज्ञात कीजिए जो z = x³ + y³ को तल x + y + 1 = 0 द्वारा उसके परिच्छेद के अनुदिश स्पर्श करता है।

उत्तर: z = x³ + x² + xf(y) + g(y); x = −1 − y पर समान मान और समान x-प्रवणता से f(y) = 2(1 + y), g(y) = y³ + (1 + y)², अतः z = x³ + y³ + (x + y + 1)²।

1. द्वितीय कोटि समीकरण के प्रकार को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: द्वितीय कोटि समीकरण तीन बहुत भिन्न प्रकार से व्यवहार करते हैं: तरंगें चलती हैं (अतिपरवलयिक), ऊष्मा फैलती और समतल करती है (परवलयिक), और स्थायी अवस्थाएँ स्थिर होती हैं (दीर्घवृत्तीय)। प्रत्येक प्रकार का अपना विहित रूप और अपनी तरह के परिसीमा आँकड़े होते हैं, अतः ऐसे किसी भी समीकरण के बारे में पहला प्रश्न है 'कौन-सा प्रकार?'।

शब्दों में: प्रकार केवल द्वितीय कोटि भाग A u_xx + B u_xy + C u_yy तय करता है; प्रथम कोटि पद, स्वयं u और दायाँ पक्ष कभी मायने नहीं रखते। A, B, C लिखे अनुसार पूर्ण गुणांक हैं (B आधा नहीं किया जाता)।

विविक्तकर (discriminant) B² − 4AC प्रत्येक बिंदु पर निकाला जाता है: धनात्मक का अर्थ अतिपरवलयिक (hyperbolic), शून्य परवलयिक (parabolic), ऋणात्मक दीर्घवृत्तीय (elliptic)। जब A, B, C, x और y पर निर्भर हों, तो चिह्न, और अतः प्रकार, एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में बदल सकता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: पूरे तल में u_xx + 2yu_xy + xu_yy = 0 का वर्गीकरण कीजिए।

चरण 1: गुणांक पढ़ें: A = 1 (u_xx का), B = 2y (u_xy का), C = x (u_yy का)।

चरण 2: B² − 4AC = 4y² − 4x = 4(y² − x)।

चरण 3: देखें कि यह कहाँ शून्य है: परवलय x = y² पर, जो तल को दो क्षेत्रों में बाँटता है।

चरण 4: प्रत्येक ओर एक बिंदु परखें: (0, 1) पर मान 4 > 0 है, और (1, 0) पर −4 < 0।

चरण 5: निष्कर्ष: जहाँ x < y² वहाँ अतिपरवलयिक, x = y² पर परवलयिक, जहाँ x > y² (परवलय के भीतर) वहाँ दीर्घवृत्तीय।

चरण 6: ध्यान दें कि 5u_x − u जैसे पद जोड़ने से इसमें कुछ नहीं बदलता।

अ-उदाहरण (non-example): uu_xx + u_yy = 0 में गुणांक A = u अज्ञात हल पर निर्भर है, अतः B² − 4AC = −4u का मान केवल समीकरण से नहीं निकाला जा सकता: प्रकार तभी ज्ञात होता है जब u ज्ञात हो (जहाँ u > 0 वहाँ दीर्घवृत्तीय, जहाँ u < 0 वहाँ अतिपरवलयिक)। बताए अनुसार परीक्षण के लिए A, B, C केवल x और y के फलन होने चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: प्रकार निर्देशांकों पर निर्भर नहीं करता: जैकोबियन J ≠ 0 वाले ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) के अंतर्गत नया विविक्तकर J²(B² − 4AC) है, और J² > 0 (नीचे वर्गीकरण के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है' देखें)।

इसीलिए नाम शांकवों से आते हैं: AX² + BXY + CY² = 1 उसी चिह्न से अतिपरवलय, परवलय या दीर्घवृत्त है, और अक्षों का परिवर्तन एक प्रकार के शांकव को दूसरे में नहीं बदल सकता।

कहाँ प्रयोग होता है: 'विभिन्न क्षेत्रों में समीकरण का वर्गीकरण कीजिए' प्रश्न, विलोपन से अभी बने PDE का प्रकार (पहले विषय का उदाहरण 10), और अगले दो पाठों में विहित रूप का चयन।

2. द्वितीय कोटि समीकरण के अभिलक्षणिक वक्रों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: A u_xx + B u_xy + C u_yy को सरल करने के लिए हम नए चरों ξ, η में बदलते हैं। सर्वोत्तम चयन u_ξξ (और यदि संभव हो u_ηη) का गुणांक शून्य करता है, और ऐसा करने वाले वक्र ξ = अचर अभिलक्षण (characteristics) हैं।

शब्दों में: u_ξξ का नया गुणांक A′ = Aξ_x² + Bξ_xξ_y + Cξ_y² है। स्तर वक्र ξ = c पर प्रवणता dy/dx = −ξ_x/ξ_y है, अतः A′ = 0, A(dy/dx)² − B(dy/dx) + C = 0 बन जाता है।

अतः: इस द्विघात को प्रवणता λ = dy/dx के लिए हल करें, प्रत्येक ODE dy/dx = λ का समाकलन करें, और परिणाम ξ(x, y) = अचर के रूप में लिखें। दो वास्तविक प्रवणताएँ दो कुल देती हैं, एक दोहरी प्रवणता एक कुल, और सम्मिश्र प्रवणताएँ सम्मिश्र अभिलक्षण।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 3u_xx + 10u_xy + 3u_yy = 0 के अभिलक्षण ज्ञात कीजिए।

चरण 1: A = 3, B = 10, C = 3 और B² − 4AC = 100 − 36 = 64 > 0: अतिपरवलयिक, अतः दो वास्तविक कुलों की अपेक्षा करें।

चरण 2: अभिलक्षणिक समीकरण 3λ² − 10λ + 3 = 0 है, अर्थात् (3λ − 1)(λ − 3) = 0, अतः λ = 3 या λ = 1/3।

चरण 3: dy/dx = 3 का समाकलन y − 3x = c देता है, अतः ξ = y − 3x।

चरण 4: dy/dx = 1/3 का समाकलन 3y − x = c देता है, अतः η = 3y − x।

चरण 5: ξ के लिए A′ की जाँच: ξ_x = −3, ξ_y = 1 से 3(9) + 10(−3)(1) + 3(1) = 27 − 30 + 3 = 0।

चरण 6: η के लिए जाँच: η_x = −1, η_y = 3 से 3(1) + 10(−1)(3) + 3(9) = 0। दोनों कुल अभिलक्षणिक हैं।

चरण 7: जैकोबियन ξ_xη_y − ξ_yη_x = (−3)(3) − (1)(−1) = −8 ≠ 0, अतः (ξ, η) वास्तविक चर-परिवर्तन है।

अ-उदाहरण (non-example): गलत चिह्न के साथ 3λ² + 10λ + 3 = 0 से λ = −3, −1/3 और ξ = y + 3x। तब A′ = 3(9) + 10(3)(1) + 3(1) = 60 ≠ 0, अतः u_ξξ बचा रहता है। विफल प्रतिबंध A(dy/dx)² − B(dy/dx) + C = 0 में ऋण चिह्न है।

आगे बढ़ते हुए: ξ के स्थान पर η लेकर वही गणना C′ देती है, अतः अतिपरवलयिक समीकरण के लिए दोनों मूलों से ξ और η लेने पर A′ और C′ दोनों शून्य होते हैं; परवलयिक के लिए केवल एक कुल होता है; दीर्घवृत्तीय के लिए मूल सम्मिश्र संयुग्मी होते हैं (अगला पाठ)।

तरंग समीकरण u_tt = c²u_xx के अभिलक्षण x ± ct = अचर हैं, वे पथ जिनके अनुदिश संकेत चलते हैं (चिह्न की व्युत्पत्ति के लिए नीचे वर्गीकरण के अंतर्गत 'ऋण चिह्न क्यों' देखें)।

कहाँ प्रयोग होता है: विहित रूप में प्रत्येक समानयन, तरंग समीकरण का डी'एलेम्बर्ट हल, और अतिपरवलयिक समस्याओं का निर्भरता-प्रांत।

3. विहित रूप में समानयन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सही चरों में अतिपरवलयिक समीकरण u_ξη = (निम्न कोटि पद), परवलयिक u_ηη = (...), और दीर्घवृत्तीय u_αα + u_ββ = (...) बन जाता है। ये विहित रूप (canonical forms) पहचानने में सरल और प्रायः समाकलनीय होते हैं, इसीलिए UPSC 'विहित रूप में लाइए और अतः हल कीजिए' पूछता है।

शब्दों में: u(x, y) = U(ξ, η) लिखें। शृंखला नियम से u_x = ξ_xU_ξ + η_xU_η और u_y = ξ_yU_ξ + η_yU_η; पुनः अवकलन से u_xx, u_xy, u_yy मिलते हैं। प्रतिस्थापित करें, U_ξξ, U_ξη, U_ηη के गुणांक एकत्र करें, और बचे हुए गुणांक से भाग दें।

अचर गुणांकों के साथ ξ, η के द्वितीय अवकलज शून्य होते हैं, अतः कोई प्रथम कोटि पद नहीं आता; चर गुणांकों के साथ ξ_xxU_ξ जैसे पद बचते हैं और दायाँ पक्ष बनाते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ξ = y − 3x, η = 3y − x (पिछला पाठ) लेकर 3u_xx + 10u_xy + 3u_yy = 0 का समानयन कीजिए और इसे हल कीजिए।

चरण 1: प्रथम अवकलज: u_x = −3U_ξ − U_η और u_y = U_ξ + 3U_η।

चरण 2: u_xx = 9U_ξξ + 6U_ξη + U_ηη (u_x पर ∂/∂x = −3∂/∂ξ − ∂/∂η लगाएँ)।

चरण 3: u_xy = −3U_ξξ − 10U_ξη − 3U_ηη (u_x पर ∂/∂y = ∂/∂ξ + 3∂/∂η लगाएँ), और u_yy = U_ξξ + 6U_ξη + 9U_ηη।

चरण 4: एकत्र करें: U_ξξ का गुणांक 27 − 30 + 3 = 0, U_ηη का 3 − 30 + 27 = 0, और U_ξη का 18 − 100 + 18 = −64।

चरण 5: अतः −64U_ξη = 0, और विहित रूप U_ξη = 0 है। (जाँच: B′² = 64², J²(B² − 4AC) = 64 × 64 के बराबर है।)

चरण 6: η में समाकलन: U_ξ = F′(ξ); फिर ξ में: U = F(ξ) + G(η)।

चरण 7: x, y पर लौटें: u = F(y − 3x) + G(3y − x), जहाँ F, G स्वेच्छ हैं।

अ-उदाहरण (non-example): ξ = y − 3x रखकर η = 2y − 6x लेना अनुमत नहीं है: η = 2ξ, जैकोबियन 0 है, और u केवल एक चर के माध्यम से व्यक्त होगा, अतः u_ξ और u_η में भेद नहीं किया जा सकता। विफल प्रतिबंध J ≠ 0 है।

आगे बढ़ते हुए: आव्यूह रूप में गुणांक M′ = J_mMJ_m^T के अनुसार बदलते हैं (नीचे 'व्युत्पत्ति: गुणांक कैसे रूपांतरित होते हैं')। परवलयिक समीकरण के लिए एकमात्र कुल से ξ और J ≠ 0 वाला कोई भी η (प्रायः η = x) लें; तब A′ = B′ = 0 और केवल U_ηη बचता है।

सम्मिश्र अभिलक्षण ξ = α + iβ वाले दीर्घवृत्तीय समीकरण के लिए वास्तविक चर α और β लें; तब U_αα और U_ββ के गुणांक बराबर हो जाते हैं और U_αβ लुप्त हो जाता है, जिससे लाप्लासियन मिलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: 15–20 अंक के 'विहित रूप में लाइए और अतः हल कीजिए' प्रश्न (नीचे उदाहरण 7 से 12), और डी'एलेम्बर्ट हल, जो तरंग समीकरण के लिए ठीक U_ξη = 0 है।

4. वर्गीकरण

व्यापक रूप: A u_xx + B u_xy + C u_yy + F(x, y, u, u_x, u_y) = 0, जहाँ A, B, C, x, y के फलन हैं, सभी शून्य नहीं।

किसी बिंदु पर: B² − 4AC > 0 अतिपरवलयिक (hyperbolic), B² − 4AC = 0 परवलयिक (parabolic), B² − 4AC < 0 दीर्घवृत्तीय (elliptic)।

भाव: नाम शांकवों से आए हैं: u_xx, u_xy, u_yy के स्थान पर X², XY, Y² रखने पर AX² + BXY + CY² मिलता है, जो उसी विविक्तकर से अतिपरवलय, परवलय या दीर्घवृत्त है। प्रकार व्यवहार भी बताता है: अतिपरवलयिक समीकरण अभिलक्षणों के अनुदिश परिमित वेग से तरंगें ले जाते हैं, परवलयिक समीकरण विसरित और चिकना करते हैं, और दीर्घवृत्तीय समीकरण ऐसे साम्य का वर्णन करते हैं जिसमें सीमा का प्रत्येक बिंदु प्रत्येक आंतरिक बिंदु को प्रभावित करता है।

जैकोबियन J = ξ_xη_y − ξ_yη_x ≠ 0 वाले ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) के अंतर्गत नए गुणांक B′² − 4A′C′ = J²(B² − 4AC) संतुष्ट करते हैं, अतः प्रकार अपरिवर्तित रहता है।

यह क्यों काम करता है: मुख्य भाग को आव्यूह M = [[A, B/2], [B/2, C]] के रूप में लिखें, अतः B² − 4AC = −4 det M। शृंखला नियम (खंड 6) दिखाता है कि M′ = J_mMJ_m^T, जहाँ J_m = [[ξ_x, ξ_y], [η_x, η_y]], अतः det M′ = J² det M; चूँकि J² > 0, चिह्न और इसलिए प्रकार नहीं बदल सकता।

नए गुणांक: A′ = Aξ_x² + Bξ_xξ_y + Cξ_y², B′ = 2Aξ_xη_x + B(ξ_xη_y + ξ_yη_x) + 2Cξ_yη_y, C′ = Aη_x² + Bη_xη_y + Cη_y²।

अभिलक्षणिक समीकरण (characteristic equation): A(dy)² − B dx dy + C(dx)² = 0, अर्थात् A(dy/dx)² − B(dy/dx) + C = 0।

अभिलक्षण के अनुदिश ξ = अचर चुनने से A′ = 0 होता है, जो समानयन का आधार है।

ऋण चिह्न क्यों: A′ = Aξ_x² + Bξ_xξ_y + Cξ_y² = 0; ξ_y² से भाग दें और स्तर-वक्र ξ = c की प्रवणता dy/dx = −ξ_x/ξ_y का प्रयोग करें। तब ξ_x/ξ_y = −dy/dx और A(dy/dx)² − B(dy/dx) + C = 0, जो अभिलक्षणिक समीकरण है।

5. विहित रूप में समानयन

अतिपरवलयिक: अभिलक्षणों के दो वास्तविक कुल ξ(x, y) = c₁, η(x, y) = c₂; विहित रूप (canonical form) u_ξη = φ(ξ, η, u, u_ξ, u_η), या α = ξ + η, β = ξ − η लेकर u_αα − u_ββ = ψ।

परवलयिक: एक कुल ξ(x, y) = c; η कोई ऐसा फलन लें कि ∂(ξ, η)/∂(x, y) ≠ 0 (प्रायः η = x या y); विहित रूप u_ηη = φ(ξ, η, u, u_ξ, u_η)।

यह क्यों काम करता है: निश्चरता से B′² − 4A′C′ = 0, और A′ = 0 होने पर B′ = 0 भी अनिवार्य है; द्वितीय अवकलजों में केवल C′u_ηη बचता है, और जैकोबियन शून्येतर होने से C′ ≠ 0।

दीर्घवृत्तीय: सम्मिश्र संयुग्मी अभिलक्षण ξ = α + iβ; α = Re ξ, β = Im ξ लें; विहित रूप u_αα + u_ββ = φ(α, β, u, u_α, u_β)।

यह क्यों काम करता है: Q(X, Y) = AX² + BXY + CY² लेकर, ξ = α + iβ के लिए प्रतिबंध Q(∇ξ) = 0 वास्तविक और काल्पनिक भागों में टूटता है: Q(∇α) = Q(∇β) और मिश्र पद शून्य। ये ठीक 'u_αα का गुणांक = u_ββ का गुणांक' और 'कोई u_αβ पद नहीं' हैं।

अचर गुणांक: यदि λ₁, λ₂, Aλ² − Bλ + C = 0 के मूल हैं, तो अभिलक्षण सरल रेखाएँ y − λ₁x = c₁, y − λ₂x = c₂ हैं।

भाव: तरंग समीकरण u_tt = c²u_xx के अभिलक्षण x ± ct = अचर हैं; बिंदु (x₀, t₀) से जाने वाले दोनों अभिलक्षण प्रारंभिक रेखा को x₀ ± ct₀ पर काटते हैं और उसके आश्रितता प्रांत (domain of dependence) को सीमित करते हैं (ऊपर का चित्र देखें)। उस अंतराल के बाहर के आँकड़े u(x₀, t₀) को प्रभावित नहीं कर सकते।

6. व्युत्पत्ति: गुणांक कैसे रूपांतरित होते हैं

u_x = ξ_xu_ξ + η_xu_η और u_y = ξ_yu_ξ + η_yu_η के साथ द्वितीय कोटि भाग हैं u_xx ~ ξ_x²u_ξξ + 2ξ_xη_xu_ξη + η_x²u_ηη, u_xy ~ ξ_xξ_yu_ξξ + (ξ_xη_y + ξ_yη_x)u_ξη + η_xη_yu_ηη, u_yy ~ ξ_y²u_ξξ + 2ξ_yη_yu_ξη + η_y²u_ηη (~ का अर्थ 'प्रथम कोटि पदों के अतिरिक्त')।

A, B, C से गुणा करके u_ξξ, u_ξη, u_ηη एकत्र करने पर ठीक खंड 4 के A′, B′, C′ मिलते हैं; आव्यूह रूप में M′ = J_mMJ_m^T।

अतिपरवलयिक लघुकरण: अभिलक्षणिक समीकरण के दो वास्तविक मूलों से ξ और η लें; तब A′ = C′ = 0, और B′ ≠ 0 क्योंकि B′² = J²(B² − 4AC) > 0। रूपांतरित समीकरण को B′ से भाग देने पर u_ξη = φ बचता है।

दूसरा रूप α = ξ + η, β = ξ − η से आता है, क्योंकि तब u_ξη = u_αα − u_ββ।

7. विधि का चयन

यदि A, B, C अचर हैं → Aλ² − Bλ + C = 0 हल करें; अभिलक्षण y − λx = अचर हैं, और सम्मिश्र λ = p ± iq के लिए α = y − px, β = qx लें।

यदि गुणांक परिवर्ती हैं पर अभिलक्षणिक समीकरण पृथक्करणीय है (जैसे y²dy² = x²dx²) → वर्गमूल लेकर प्रत्येक गुणनखंड को अलग से समाकलित करें।

यदि A = 0 → x = अचर एक कुल है; यदि C = 0 → y = अचर एक कुल है।

यदि समीकरण परवलयिक है → द्विक मूल से ξ, η = x या y (जो J ≠ 0 रखे)।

यदि प्रश्न 'विभिन्न क्षेत्रों में' प्रकार पूछता है → B² − 4AC के गुणनखंड करें, वह वक्र ज्ञात करें जहाँ यह शून्य है (वही परवलयिक समुच्चय है) और प्रत्येक ओर के एक बिंदु पर परीक्षण करें।

8. सामान्य गलतियाँ

अभिलक्षणिक समीकरण में धन चिह्न: यह A(dy/dx)² − B(dy/dx) + C = 0 है, जैसा ऊपर व्युत्पन्न किया; धन चिह्न प्रत्येक प्रवणता λ को −λ से बदल देता है, अतः B ≠ 0 होने पर दोनों कुल गलत आते हैं।

परिपाटियों का मिश्रण: कुछ पुस्तकें 2B u_xy लिखकर B² − AC जाँचती हैं; उनके B के साथ B² − 4AC प्रयोग करने पर u_xx + 2u_xy + u_yy = 0 का गलत वर्गीकरण होता है (B = 1 से −3, 'दीर्घवृत्तीय', जबकि समीकरण परवलयिक है)।

केवल एक बिंदु पर प्रकार: परिवर्ती गुणांकों के साथ प्रत्येक क्षेत्र में प्रकार बताएँ, विभाजक वक्र सहित, जो परवलयिक है।

अव्युत्क्रमणीय चर-परिवर्तन: ξ = x + y के साथ η = 2x + 2y का J = 0 है और यह अनुमत नहीं; सदैव J ≠ 0 दिखाएँ।

प्रथम कोटि पद छोड़ देना: परिवर्ती ξ, η के साथ ξ_xxu_ξ, η_yyu_η जैसे पद बचे रहते हैं और विहित रूप का दायाँ पक्ष देते हैं (उदाहरण 2)।

संबंध: यह परीक्षण शांकव AX² + BXY + CY² का वर्गीकरण है (विश्लेषणात्मक ज्यामिति); n चरों में प्रकार गुणांक आव्यूह के आइगेन मानों के चिह्नों से पढ़ा जाता है, ठीक शांकवजों के लघुकरण की तरह (रैखिक बीजगणित)।

संबंध: तरंग समीकरण के अभिलक्षण x ± ct = अचर डी'एलेम्बर्ट की चलती तरंगों f(x − ct), g(x + ct) के पथ हैं (कंपित तंतु विषय); प्रारंभिक आँकड़ों में कोई मोड़ इनके अनुदिश चलता है और कभी चिकना नहीं होता, ऊष्मा समीकरण के विपरीत।

9. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (परवलयिक): u_xx + 2u_xy + u_yy = 0। B² − 4AC = 4 − 4 = 0; dy/dx = 1, अतः ξ = y − x; η = x लें।

तब u_x = −u_ξ + u_η, u_y = u_ξ, और u_xx + 2u_xy + u_yy = u_ηη = 0।

अतः u = f(ξ) + ηg(ξ) = f(y − x) + xg(y − x)।

उदाहरण 2 (अतिपरवलयिक): u_xx − x²u_yy = 0, x ≠ 0। B² − 4AC = 4x² > 0।

(dy/dx)² = x² से ξ = y + x²/2, η = y − x²/2।

तब u_x = x(u_ξ − u_η), u_xx = (u_ξ − u_η) + x²(u_ξξ − 2u_ξη + u_ηη), u_yy = u_ξξ + 2u_ξη + u_ηη।

अतः (u_ξ − u_η) − 4x²u_ξη = 0; x² = ξ − η से विहित रूप u_ξη = (u_ξ − u_η)/(4(ξ − η)) है।

उदाहरण 3 (दीर्घवृत्तीय): u_xx + x²u_yy = 0, x ≠ 0। (dy/dx)² = −x² से y ± ix²/2 = c, अतः α = y, β = x²/2।

तब u_x = xu_β, u_xx = u_β + x²u_ββ, u_yy = u_αα, अतः x²(u_αα + u_ββ) + u_β = 0 और u_αα + u_ββ = −u_β/(2β)।

उदाहरण 4 (अतिपरवलयिक, चर गुणांक): y²u_xx − x²u_yy = 0 (x, y > 0) को विहित रूप में लाइए।

B² − 4AC = 4x²y² > 0; y²(dy/dx)² = x² से y dy = ±x dx, अतः ξ = y² − x², η = y² + x²।

u_x = 2x(u_η − u_ξ), u_y = 2y(u_ξ + u_η); प्रतिस्थापन से y²u_xx − x²u_yy = −16x²y²u_ξη + 2ξu_η − 2ηu_ξ।

चूँकि 4x²y² = η² − ξ², विहित रूप u_ξη = (ξu_η − ηu_ξ)/(2(η² − ξ²)) है।

उदाहरण 5 (दीर्घवृत्तीय, अचर गुणांक): u_xx + 4u_xy + 5u_yy = 0 को विहित रूप में लाइए।

B² − 4AC = 16 − 20 = −4 < 0; λ² − 4λ + 5 = 0 से λ = 2 ± i, अतः अभिलक्षण y − (2 ± i)x = c हैं; α = y − 2x, β = x लें।

u_x = −2u_α + u_β, u_y = u_α; u_xx = 4u_αα − 4u_αβ + u_ββ, u_xy = −2u_αα + u_αβ, u_yy = u_αα।

योग: (4 − 8 + 5)u_αα + (−4 + 4)u_αβ + u_ββ = 0, अतः विहित रूप u_αα + u_ββ = 0 है।

मिश्र प्रकार: ट्राइकोमी समीकरण yu_xx + u_yy = 0, y > 0 के लिए दीर्घवृत्तीय, y = 0 पर परवलयिक और y < 0 के लिए अतिपरवलयिक है।

मानक प्रकार: तरंग समीकरण u_tt = c²u_xx अतिपरवलयिक, ऊष्मा समीकरण u_t = ku_xx परवलयिक, और लाप्लास समीकरण u_xx + u_yy = 0 दीर्घवृत्तीय है।

उदाहरण 6 (सभी क्षेत्र ज्ञात कीजिए): तल के प्रत्येक बिंदु पर (1 − x²)u_xx − 2xyu_xy + (1 − y²)u_yy = 0 का वर्गीकरण कीजिए।

B² − 4AC = 4x²y² − 4(1 − x²)(1 − y²) = 4(x² + y² − 1)।

अतः समीकरण इकाई वृत्त के भीतर x² + y² < 1 में दीर्घवृत्तीय, x² + y² = 1 पर परवलयिक और उसके बाहर अतिपरवलयिक है।

10. η का चयन और विहित रूप का समाकलन

परवलयिक: एकमात्र अभिलक्षण से ξ लेने के बाद η = x या η = y लें, जो भी J = ξ_xη_y − ξ_yη_x ≠ 0 बनाए; शेष गुणांकों को ξ, η में लिखें।

गुणांक A = 0: तब अभिलक्षणिक समीकरण A dy² − B dx dy + C dx² = 0 में गुणनखंड dx होता है, अतः x = अचर अभिलक्षणों का एक कुल है।

पूर्ण शृंखला नियम: u_xx = ξ_x²u_ξξ + 2ξ_xη_xu_ξη + η_x²u_ηη + ξ_xxu_ξ + η_xxu_η (इसी प्रकार u_xy, u_yy); पद ξ_xxu_ξ, η_xxu_η विहित रूप का प्रथम कोटि भाग बनाते हैं।

विहित रूप का हल: u_ηη = g(η) का η में दो बार समाकलन करें, 'अचर' f(ξ), g(ξ) होंगे; ηu_ηη + u_η = 0, ∂(ηu_η)/∂η = 0 है; u_ξη + u_η/ξ = 0, ∂(ξu_η)/∂ξ = 0 है; (∂_y + α)(∂_x + β)u = 0 रूप का समीकरण w = u_x + βu रखकर हल होता है।

11. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 15 अंक): द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरण x² ∂²u/∂x² − 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² + x ∂u/∂x + y ∂u/∂y = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिए तथा इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

A = x², B = −2xy, C = y²: B² − 4AC = 0, परवलयिक; अभिलक्षणिक समीकरण (x dy/dx + y)² = 0 है, अतः ξ = xy; η = x लें (J = −x ≠ 0)।

u_x = yu_ξ + u_η, u_y = xu_ξ, u_xx = y²u_ξξ + 2yu_ξη + u_ηη, u_xy = u_ξ + xyu_ξξ + xu_ξη, u_yy = x²u_ξξ।

द्वितीय कोटि भाग = x²u_ηη − 2xyu_ξ; प्रथम कोटि भाग xu_x + yu_y = 2xyu_ξ + xu_η; योग x²u_ηη + xu_η = 0 है।

विहित रूप ηu_ηη + u_η = 0, अर्थात् ∂(ηu_η)/∂η = 0, अतः ηu_η = f(ξ) और u = f(ξ)log η + g(ξ)।

उत्तर: ξ = xy, η = x के साथ विहित रूप u_ηη = −(1/η)u_η; व्यापक हल u = f(xy)log x + g(xy)।

उदाहरण 8 (UPSC 2017, 15 अंक): समीकरण
y² ∂²z/∂x² − 2xy ∂²z/∂x∂y + x² ∂²z/∂y² = (y²/x) ∂z/∂x + (x²/y) ∂z/∂y
को विहित रूप में समानीत कीजिए और अतएव इसका हल ज्ञात कीजिए।

A = y², B = −2xy, C = x²: B² − 4AC = 0, परवलयिक; (y dy/dx + x)² = 0 से ξ = x² + y²; η = x लें।

z_x = 2xz_ξ + z_η, z_y = 2yz_ξ, z_xx = 2z_ξ + 4x²z_ξξ + 4xz_ξη + z_ηη, z_xy = 4xyz_ξξ + 2yz_ξη, z_yy = 2z_ξ + 4y²z_ξξ।

बायाँ पक्ष = 2(x² + y²)z_ξ + y²z_ηη (z_ξξ, z_ξη पद कट जाते हैं); दायाँ पक्ष = (y²/x)(2xz_ξ + z_η) + (x²/y)(2yz_ξ) = 2(x² + y²)z_ξ + (y²/x)z_η।

अतः z_ηη = z_η/η (η = x² लेने पर यह z_ηη = 0 बनता है); तब ∂(z_η/η)/∂η = 0, z_η = ηf(ξ) और z = (η²/2)f(ξ) + g(ξ)।

उत्तर: विहित रूप z_ηη = (1/η)z_η (ξ = x² + y², η = x); हल z = x²f(x² + y²) + g(x² + y²)।

उदाहरण 9 (UPSC 2019, 20 अंक): निम्नलिखित द्वितीय कोटि के आंशिक अवकलन समीकरण को विहित रूप में समानीत करें और सामान्य हल ज्ञात करें :
∂²u/∂x² − 2x ∂²u/∂x∂y + x² ∂²u/∂y² = ∂u/∂y + 12x।

A = 1, B = −2x, C = x²: B² − 4AC = 0, परवलयिक; (dy/dx + x)² = 0 से ξ = y + x²/2; η = x लें।

u_x = xu_ξ + u_η, u_y = u_ξ, u_xx = u_ξ + x²u_ξξ + 2xu_ξη + u_ηη, u_xy = xu_ξξ + u_ξη, u_yy = u_ξξ।

बायाँ पक्ष = u_ξ + u_ηη, अतः u_ξ + u_ηη = u_ξ + 12x: विहित रूप u_ηη = 12η।

η में दो बार समाकलन: u = 2η³ + ηf(ξ) + g(ξ)।

उत्तर: u = 2x³ + xf(y + x²/2) + g(y + x²/2)।

उदाहरण 10 (UPSC 2022, 15 अंक): निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण yu_xx + (x + y)u_xy + xu_yy = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिये और अतएव इसको हल कीजिये।

A = y, B = x + y, C = x: x ≠ y के लिए B² − 4AC = (x − y)² > 0, अतिपरवलयिक; y(dy/dx)² − (x + y)dy/dx + x = (y dy/dx − x)(dy/dx − 1) = 0 से ξ = y − x, η = y² − x²।

u_x = −u_ξ − 2xu_η, u_y = u_ξ + 2yu_η; u_xx = u_ξξ + 4xu_ξη + 4x²u_ηη − 2u_η, u_xy = −u_ξξ − 2(x + y)u_ξη − 4xyu_ηη, u_yy = u_ξξ + 4yu_ξη + 4y²u_ηη + 2u_η।

प्रतिस्थापन पर u_ξξ और u_ηη के गुणांक शून्य होते हैं, u_ξη का गुणांक 8xy − 2(x + y)² = −2(x − y)² और u_η का 2(x − y) होता है।

x − y = −ξ से: विहित रूप u_ξη + (1/ξ)u_η = 0, अर्थात् ∂(ξu_η)/∂ξ = 0, अतः ξu_η = F′(η) और u = F(η)/ξ + G(ξ)।

उत्तर: u_ξη = −u_η/ξ (ξ = y − x, η = y² − x²); u = F(y² − x²)/(y − x) + G(y − x)। UPSC 2026 (Q6a) में यही समीकरण पूछा गया।

उदाहरण 11 (UPSC 2023, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण ∂²z/∂y² − ∂²z/∂x∂y + ∂z/∂x − (∂z/∂y)(1 + 1/x) + z/x = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिए।

गुणांक: A = 0 (z_xx), B = −1 (z_xy), C = 1 (z_yy), अतः B² − 4AC = 1 > 0, सर्वत्र अतिपरवलयिक।

अभिलक्षण: A dy² − B dx dy + C dx² = dx(dy + dx) = 0, अतः ξ = x, η = x + y।

z_x = z_ξ + z_η, z_y = z_η, z_xy = z_ξη + z_ηη, z_yy = z_ηη; प्रतिस्थापन से z_ηη − z_ξη − z_ηη + z_ξ + z_η − z_η(1 + 1/ξ) + z/ξ = 0।

अतः z_ξη = z_ξ − (1/ξ)(z_η − z); इसके गुणनखंड (∂/∂ξ + 1/ξ)(z_η − z) = 0 हैं, जिससे z = e^{x + y}G(x) + H(x + y)/x।

उत्तर: ξ = x, η = x + y के साथ विहित रूप ∂²z/∂ξ∂η = ∂z/∂ξ − (1/ξ)(∂z/∂η − z); व्यापक हल z = e^{x + y}G(x) + H(x + y)/x।

उदाहरण 12 (UPSC 2024, 15 अंक): आंशिक अवकल समीकरण
∂/∂y (∂φ/∂x + φ) + 2x²y (∂φ/∂x + φ) = 0
को विहित रूप में रूपांतरित करके हल कीजिए।

विस्तार: φ_xy + φ_y + 2x²yφ_x + 2x²yφ = 0; A = C = 0, B = 1, अतः B² − 4AC = 1 > 0 (अतिपरवलयिक) और अभिलक्षण x = अचर, y = अचर हैं।

ξ = x, η = y लेने पर समीकरण पहले से विहित है: φ_ξη = −φ_η − 2ξ²η(φ_ξ + φ)।

w = φ_x + φ रखें: w_y + 2x²yw = 0, अतः w = f(x)e^−x2y2।

तब ∂(e^xφ)/∂x = e^xf(x)e^−x2y2; किसी स्थिर x₀ से x तक समाकलन करें।

उत्तर: φ(x, y) = e^−x[g(y) + ∫_x0^x f(s)e^{s − s2y2} ds], f और g स्वेच्छ।

12. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): u_xx + 4u_xy + 4u_yy = 0 का वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: B² − 4AC = 16 − 16 = 0: सर्वत्र परवलयिक।

अभ्यास 2 (मूल): u_xx + u_xy + u_yy = 0 का वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: B² − 4AC = 1 − 4 = −3 < 0: सर्वत्र दीर्घवृत्तीय।

अभ्यास 3 (मूल): u_xx − yu_yy = 0 का वर्गीकरण कीजिए।

उत्तर: B² − 4AC = 4y: y > 0 के लिए अतिपरवलयिक, y = 0 पर परवलयिक, y < 0 के लिए दीर्घवृत्तीय।

अभ्यास 4 (मानक): x²u_xx − y²u_yy = 0 (x, y > 0) को विहित रूप में लाइए।

उत्तर: x²λ² = y² से ξ = xy, η = y/x; विहित रूप u_ξη = u_η/(2ξ) है।

अभ्यास 5 (मानक): u_xx + 2u_xy + 5u_yy = 0 को विहित रूप में लाइए।

उत्तर: λ² − 2λ + 5 = 0 से λ = 1 ± 2i; α = y − x, β = 2x लेने पर समीकरण 4(u_αα + u_ββ) = 0, अर्थात् u_αα + u_ββ = 0 बनता है।

अभ्यास 6 (मानक): u_xx − 2u_xy + u_yy = 0 को विहित रूप में लाइए और इसे हल कीजिए।

उत्तर: परवलयिक, λ = −1 (दोहरा): ξ = x + y, η = x से u_ηη = 0, अतः u = f(x + y) + xg(x + y)।

अभ्यास 7 (मानक): u_xx + 5u_xy + 6u_yy = 0 को विहित रूप में लाइए और इसे हल कीजिए।

उत्तर: λ = 2, 3: ξ = y − 2x, η = y − 3x से u_ξη = 0, अतः u = f(y − 2x) + g(y − 3x)।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): y²u_xx + x²u_yy = 0 (x, y > 0) को विहित रूप में लाइए।

उत्तर: दीर्घवृत्तीय; y dy = ±ix dx से α = y², β = x², और विहित रूप u_αα + u_ββ = −u_α/(2α) − u_β/(2β) है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): u_xx − 2 sin x u_xy − cos²x u_yy − cos x u_y = 0 को विहित रूप में लाइए और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: B² − 4AC = 4 > 0; λ = −sin x ± 1 से ξ = y + x − cos x, η = y − x − cos x; प्रथम कोटि पद कट जाते हैं और u_ξη = 0, अतः u = f(y + x − cos x) + g(y − x − cos x)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): 4u_xx + 12u_xy + 9u_yy = 9 को विहित रूप में लाइए और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: परवलयिक, λ = 3/2 (दोहरा): ξ = 2y − 3x, η = x से 4u_ηη = 9, अतः u = 9x²/8 + xf(2y − 3x) + g(2y − 3x)।

1. चरों के पृथक्करण और आइगेन मान समस्या को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: परिबद्ध अंतराल पर ऊष्मा, तरंग और लाप्लास समीकरणों के साथ 'सिरे 0 पर रखे गए हैं' जैसे परिसीमा प्रतिबंध (boundary conditions) आते हैं। वहाँ स्वेच्छ फलनों वाले व्यापक हल कम सहायक हैं; हमें ऐसी विधि चाहिए जो परिसीमा प्रतिबंधों को आरंभ से ही शामिल करे।

शब्दों में: एक गुणनफल u = X(x)T(t) आजमाएँ, प्रत्येक चर के लिए एक गुणनखंड। u_t = ku_xx के लिए इससे XT′ = kX″T मिलता है, और kXT से भाग देने पर T′/(kT) = X″/X।

बायाँ पक्ष केवल t पर और दायाँ पक्ष केवल x पर निर्भर है; वे सभी x और t के लिए तभी बराबर हो सकते हैं जब दोनों एक ही अचर के बराबर हों, जिसे −λ लिखा जाता है (पृथक्करण अचर, separation constant)।

परिसीमा प्रतिबंध u(0, t) = u(L, t) = 0, X(0) = X(L) = 0 बन जाते हैं। इन अंत्य मानों के साथ समस्या X″ + λX = 0 के शून्येतर हल केवल विशेष λ, अर्थात् आइगेन मानों (eigenvalues), के लिए होते हैं, और ये हल आइगेन फलन (eigenfunctions) हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: u_t = 2u_xx, 0 < x < 1, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = 5 sin 3πx हल कीजिए।

चरण 1: u = X(x)T(t) से: T′/(2T) = X″/X = −λ, अतः X″ + λX = 0 और T′ = −2λT।

चरण 2: सिरों से X(0) = X(1) = 0 (अन्यथा T ≡ 0 और u ≡ 0)।

चरण 3: λ ≤ 0 से केवल X = 0 मिलता है (स्थिति-विश्लेषण नीचे 'चरों का पृथक्करण' के अंतर्गत 'यह क्यों काम करता है' में है)। λ = k² > 0 के लिए X = A cos kx + B sin kx; X(0) = 0 से A = 0, और X(1) = 0 से sin k = 0, अतः k = nπ।

चरण 4: अतः आइगेन मान λ_n = n²π² और आइगेन फलन sin nπx हैं, n = 1, 2, 3, ...

चरण 5: समय गुणनखंड T = e^−2n2π2t है, अतः प्रत्येक विधा e^−2n2π2tsin nπx है।

चरण 6: आरंभिक आँकड़ा पहले से ही एक विधा है, n = 3 और गुणांक 5, अतः u = 5e^−18π2tsin 3πx।

चरण 7: जाँच: u_t = −18π²u और 2u_xx = 2(−9π²)u = −18π²u; दोनों सिरों पर 0, और t = 0 पर 5 sin 3πx।

अ-उदाहरण (non-example): यदि एक सिरा u(0, t) = 1 पर रखा जाए, तो गुणनफल को सभी t के लिए X(0)T(t) = 1 चाहिए, जो T को अचर होने पर बाध्य करता है और समय-निर्भरता नष्ट कर देता है। पृथक्करण के लिए समघात परिसीमा प्रतिबंध चाहिए; शून्येतर अंत्य मानों के साथ पहले स्थायी अवस्था घटाएँ (नीचे 'नियत शून्येतर तापों पर सिरे' देखें)।

आगे बढ़ते हुए: u_tt = c²u_xx के लिए यही पृथक्करण T″ + c²λT = 0 देता है, अतः विधाएँ cos(nπct/L) और sin(nπct/L) के रूप में दोलन करती हैं; लाप्लास समीकरण के लिए दूसरा गुणनखंड sinh या cosh बन जाता है। व्यापक आरंभिक आँकड़े विधाओं को जोड़कर सँभाले जाते हैं, जो अगले पाठ का विषय है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक कंपित-तंतु, ऊष्मा-चालन और स्थायी-पट्टिका प्रश्न में, और आइगेन मान विचार के माध्यम से वास्तविक विश्लेषण की फूरिये श्रेणी और रैखिक बीजगणित के आइगेन सदिशों में।

2. फूरिये श्रेणी द्वारा आरंभिक आँकड़ों के समंजन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक आरंभिक आँकड़े, जैसे अचर ताप या खींची गई आकृति, एक ही ज्या नहीं होते। हमें उन्हें आइगेन फलनों के योग के रूप में लिखना होता है ताकि प्रत्येक भाग को अलग से आगे बढ़ाया जा सके।

शब्दों में: क्योंकि PDE और परिसीमा प्रतिबंध रैखिक और समघात हैं, विधाओं का कोई भी योग u = ∑b_ne^{−kn2π2t/L2}sin(nπx/L) फिर से एक हल है (अध्यारोपण, superposition)।

t = 0 पर यह f(x) के बराबर होना चाहिए: f(x) = ∑b_nsin(nπx/L), एक फूरिये ज्या श्रेणी। गुणांक लंबकोणीयता (orthogonality) से निकलते हैं: ∫₀^L sin(mπx/L)sin(nπx/L) dx, m ≠ n के लिए 0 और m = n के लिए L/2 है।

अतः दोनों पक्षों को sin(mπx/L) से गुणा करके समाकलन करने पर एक को छोड़कर सभी पद शून्य हो जाते हैं, और b_m = (2/L)∫₀^L f(x)sin(mπx/L) dx।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: u_t = u_xx, 0 < x < π, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = π − x हल कीजिए।

चरण 1: यहाँ L = π और k = 1, अतः विधाएँ e^−n2tsin nx हैं और u = ∑b_ne^−n2tsin nx।

चरण 2: t = 0 पर 0 < x < π में π − x = ∑b_nsin nx चाहिए, अतः b_n = (2/π)∫₀^π(π − x)sin nx dx।

चरण 3: π − x का अवकलन और sin nx का समाकलन करते हुए खंडशः समाकलन करें: समाकल [−(π − x)cos nx/n]₀^π − ∫₀^π cos nx/n dx है।

चरण 4: कोष्ठक का मान 0 − (−π/n) = π/n है, और अंतिम समाकल 0 से π तक sin nx/n² है, जो 0 है। अतः समाकल π/n है।

चरण 5: अतः प्रत्येक n के लिए b_n = (2/π)(π/n) = 2/n।

चरण 6: u(x, t) = 2∑_n=1^∞ (1/n)e^−n2tsin nx।

चरण 7: ध्यान दें कि सूत्र क्या कहता है: उच्च विधाएँ सबसे तेज़ी से समाप्त होती हैं, अतः बड़े t के लिए u ≈ 2e^−tsin x, एक अकेला चाप जो 0 तक सिकुड़ता है। (x = 0 पर श्रेणी 0 देती है, π नहीं: वहाँ आँकड़ों में कूद है, और श्रेणी विषम विस्तार के अंत्य मानों का माध्य लेती है।)

अ-उदाहरण (non-example): π − x को इसके बजाय कोज्या श्रेणी में प्रसारित करने पर cos nx पद मिलेंगे, जो x = 0 और x = π पर शून्य नहीं हैं, अतः परिसीमा प्रतिबंध u(0, t) = u(π, t) = 0 विफल होंगे। आइगेन फलन परिसीमा प्रतिबंधों वाले ही होने चाहिए: नियत सिरों के लिए ज्या, ऊष्मारोधी सिरों के लिए कोज्या (अचर पद सहित)।

आगे बढ़ते हुए: तरंग समीकरण के लिए दो आँकड़े हैं, u(x, 0) = f और u_t(x, 0) = g; f समय में कोज्या वाले गुणांक A_n नियत करता है, और g अतिरिक्त गुणनखंड L/(nπc) के साथ B_n नियत करता है (नीचे 'B_n में गुणनखंड 1/(nπc) क्यों' देखें)।

श्रेणी जहाँ f चिकना है वहाँ f की ओर, और कूद पर एकपक्षीय सीमाओं के माध्य की ओर अभिसरित होती है; नीचे दिए 'उपयोगी समाकल' परीक्षा में समय बचाते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: x, x(L − x), अचर या त्रिभुज जैसे आँकड़ों वाले 15–20 अंक के छड़ और तंतु प्रश्न (नीचे उदाहरण 5, 8, 9, 12 और 13)।

3. तरंग समीकरण के डी'एलेम्बर्ट हल को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: बहुत लंबे तंतु (पूरी रेखा) पर कोई सिरा और कोई आइगेन मान नहीं होता। डी'एलेम्बर्ट सूत्र हल को बंद रूप में देता है और दिखाता है कि तरंग समीकरण वास्तव में क्या करता है: यह आकृतियों को चलाता है।

शब्दों में: u_tt = c²u_xx के अभिलक्षण x + ct = अचर और x − ct = अचर हैं, और व्यापक हल F(x + ct) + G(x − ct) है: एक आकृति बाईं ओर और एक दाईं ओर चलती है, दोनों चाल c से और रूप बदले बिना।

आरंभिक विस्थापन f और वेग g पर बैठाने से u = [f(x + ct) + f(x − ct)]/2 + (1/(2c))∫_{x − ct}^{x + ct} g(s) ds मिलता है। (x, t) पर मान केवल [x − ct, x + ct] के आँकड़ों पर निर्भर है, जो निर्भरता-प्रांत (domain of dependence) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: −∞ < x < ∞ पर u_tt = u_xx हल कीजिए, जहाँ u(x, 0) = 1/(1 + x²) और u_t(x, 0) = 0।

चरण 1: पहचानें c = 1, f(x) = 1/(1 + x²) (x = 0 पर ऊँचाई 1 का एक उभार) और g = 0 (विराम से छोड़ा गया)।

चरण 2: चूँकि g = 0, समाकल पद शून्य हो जाता है, अतः u = [f(x + t) + f(x − t)]/2।

चरण 3: प्रतिस्थापित करें: u = (1/2)[1/(1 + (x + t)²) + 1/(1 + (x − t)²)]।

चरण 4: t = 0 की जाँच: u = (1/2)(2f(x)) = f(x)। t = 0 पर u_t की जाँच: यह [f′(x) − f′(x)]/2 = 0 है।

चरण 5: व्याख्या: उभार ऊँचाई 1/2 के दो उभारों में बँट जाता है; t = 3 पर उनके केंद्र x = 3 और x = −3 पर हैं।

चरण 6: एक नमूना मान: u(0, 1) = (1/2)(1/2 + 1/2) = 1/2।

चरण 7: शून्येतर वेग के साथ, उदाहरणार्थ g(x) = cos x और c = 1, अतिरिक्त पद (1/2)∫_{x − t}^{x + t} cos s ds = (1/2)[sin(x + t) − sin(x − t)] = cos x sin t है।

अ-उदाहरण (non-example): नियत सिरों वाले परिमित तंतु 0 < x < L पर सूत्र को ज्यों-का-त्यों प्रयोग नहीं किया जा सकता, क्योंकि x ± ct शीघ्र ही (0, L) से बाहर चला जाता है जहाँ f और g दिए हैं। विफल प्रतिबंध यह है कि प्रांत पूरी रेखा हो; उपाय f और g को विषम, 2L-आवर्ती फलनों के रूप में विस्तारित करना है, जिससे फूरिये श्रेणी हल पुनः प्राप्त होता है।

आगे बढ़ते हुए: अभिलक्षणिक चरों ξ = x + ct, η = x − ct में समीकरण u_ξη = 0 बनता है, अतः u = F(ξ) + G(η); दोनों आँकड़े फिर F और G को एक अचर तक नियत करते हैं जो कट जाता है (नीचे 'व्युत्पत्ति: तीनों समीकरण और डी'एलेम्बर्ट सूत्र')।

कहाँ प्रयोग होता है: अनंत-तंतु प्रश्न, पृथक्कृत हलों की जाँच (sin x sin ct = [cos(x − ct) − cos(x + ct)]/2 चलती तरंगों का एक युग्म है), और प्रसार की परिमित चाल जो तरंगों को ऊष्मा से अलग करती है।

4. आयत और चक्रिका पर लाप्लास समीकरण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: लंबे समय के बाद गर्म पट्टिका स्थायी अवस्था u_t = 0 में पहुँचती है, और उसका ताप पूरी परिसीमा पर दिए मानों के साथ u_xx + u_yy = 0 को संतुष्ट करता है। कोई समय चर नहीं है, अतः समय की भूमिका दूसरा स्थान चर लेता है।

शब्दों में: u = X(x)Y(y) पृथक करके X″/X = −Y″/Y = अचर पाएँ। चिह्न ऐसा चुनें कि जिस दिशा में दोनों परिसीमा मान शून्य हैं उसमें गुणनखंड दोलन करे (sin); दूसरा गुणनखंड तब sinh या cosh है, जिसे शेष शून्य भुजा पर शून्य होने के लिए चुना जाता है।

चक्रिका के लिए ध्रुवीय निर्देशांक लें: कोणीय गुणनखंड 2π-आवर्ती (cos nθ, sin nθ) होना चाहिए, और त्रिज्य गुणनखंड rⁿ रखा जाता है जबकि r⁻ⁿ और log r छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि केंद्र पर u परिमित रहना चाहिए।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: वर्ग 0 < x < π, 0 < y < π में u_xx + u_yy = 0 हल कीजिए, जहाँ x = 0, x = π और y = π पर u = 0, और u(x, 0) = sin 2x।

चरण 1: दो शून्य भुजाएँ x = 0 और x = π आमने-सामने हैं, अतः X को दोलन करना चाहिए: X(0) = X(π) = 0 के साथ X″ + n²X = 0 से X = sin nx।

चरण 2: तब Y″ = n²Y, और Y को तीसरी शून्य भुजा y = π पर शून्य होना चाहिए; ऐसा करने वाला संयोजन Y = sinh(n(π − y)) है।

चरण 3: अतः u = ∑c_nsin nx sinh(n(π − y)); y = 0 पर यह ∑c_nsinh(nπ)sin nx है, जो sin 2x के बराबर होना चाहिए।

चरण 4: केवल n = 2 बचता है, जहाँ c₂sinh 2π = 1।

चरण 5: u = sin 2x sinh(2(π − y))/sinh 2π।

चरण 6: जाँच: u_xx = −4u और u_yy = 4u का योग 0 है; x = 0 और x = π पर 0, y = π पर sinh 0 = 0, और y = 0 पर sin 2x।

चरण 7: ध्यान दें कि ताप गर्म भुजा y = 0 से दूर जाते हुए लगभग e^−2y की तरह घटता है।

अ-उदाहरण (non-example): दूसरे चिह्न के साथ X″ = k²X से X = A cosh kx + B sinh kx, और X(0) = 0, X(π) = 0, A = 0 और B sinh kπ = 0 को बाध्य करते हैं, अतः X ≡ 0। विफल प्रतिबंध यह है कि दोलन करने वाला गुणनखंड वही होना चाहिए जिसके दो शून्य परिसीमा मान हों।

आगे बढ़ते हुए: यदि कई भुजाओं पर शून्येतर आँकड़े हों, तो प्रत्येक भुजा के लिए एक समस्या हल करें और जोड़ें (रैखिकता)। चक्रिका में यही पृथक्करण (r/a)ⁿ(a_ncos nθ + b_nsin nθ) देता है, जहाँ a_n, b_n परिसीमा आँकड़ों के फूरिये गुणांक हैं।

तब केंद्र का मान a₀/2 है, जो परिसीमा मानों का माध्य है, और उच्चिष्ठ सिद्धांत दिखाता है कि हल अद्वितीय है (नीचे 'उच्चिष्ठ सिद्धांत')।

कहाँ प्रयोग होता है: पट्टिकाओं और चकतियों में स्थायी ताप, UPSC 2018 का वलय प्रश्न (नीचे उदाहरण 11), और तरल गतिकी तथा सम्मिश्र विश्लेषण की विभव समस्याएँ, जहाँ प्रसंवादी फलन विश्लेषिक फलनों के वास्तविक भाग हैं।

5. चर पृथक्करण

u = X(x)T(t) मानें, प्रतिस्थापित करें, XT से भाग दें और दोनों पक्षों को पृथक्करण अचर −λ के बराबर रखें।

भाव: भाग देने के बाद एक पक्ष केवल x पर और दूसरा केवल t पर निर्भर है; x का फलन सभी x और t के लिए t के फलन के बराबर तभी हो सकता है जब दोनों एक ही अचर हों। विधि के लिए x-सीमाओं पर रैखिक समघात सीमा प्रतिबंध चाहिए, ताकि प्रत्येक गुणनफल पद उन्हें अलग-अलग संतुष्ट करे।

X(0) = X(L) = 0 के साथ समस्या X″ + λX = 0 के आइगेन मान (eigenvalues) λ_n = n²π²/L² और आइगेन फलन sin(nπx/L), n = 1, 2, 3, ... हैं; λ ≤ 0 से केवल X = 0 मिलता है।

यह क्यों काम करता है: λ = 0 के लिए X = A + Bx और X(0) = X(L) = 0 से A = B = 0; λ = −k² < 0 के लिए X = A cosh kx + B sinh kx, X(0) = 0 से A = 0 और B sinh kL = 0 से B = 0। λ = k² > 0 के लिए X = A cos kx + B sin kx, अतः A = 0 और sin kL = 0, अर्थात् k = nπ/L।

गुणनफल हलों का अध्यारोपण करें और प्रारंभिक आँकड़ों से फूरिए ज्या (या कोज्या) श्रेणी द्वारा गुणांक ज्ञात करें।

भाव: अध्यारोपण (superposition) की अनुमति है क्योंकि PDE और सीमा प्रतिबंध रैखिक और समघात हैं। गुणांक लांबिकता (orthogonality) से अलग होते हैं: m ≠ n के लिए ∫₀^L sin(mπx/L) sin(nπx/L) dx = 0 और m = n के लिए L/2, अतः श्रेणी को sin(mπx/L) से गुणा करके समाकलित करने पर एक गुणांक अलग हो जाता है।

6. कंपित तंतु (तरंग समीकरण)

u_tt = c²u_xx, 0 < x < L, जहाँ c² = T/ρ (तनाव / प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान); u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = f(x), u_t(x, 0) = g(x)।

हल: u = ∑_n=1^∞ [A_ncos(nπct/L) + B_nsin(nπct/L)] sin(nπx/L)।

A_n = (2/L)∫₀^L f(x) sin(nπx/L) dx, B_n = (2/(nπc))∫₀^L g(x) sin(nπx/L) dx।

n-वीं सामान्य विधा की आवृत्ति nc/(2L) है; मूल आवृत्ति c/(2L) है।

भाव: n-वीं विधा sin(nπx/L) के n − 1 आंतरिक निस्पंद (nodes) होते हैं और यह मूल आवृत्ति की n गुनी आवृत्ति पर कंपन करती है (ऊपर का चित्र देखें); इसीलिए तंतु संनादियों (harmonics) सहित स्वर देता है। विधा n के निस्पंद पर खींचने से वह विधा अनुपस्थित रहती है (खंड 9)।

डी'एलेम्बर्ट हल (अनंत तंतु): u = [f(x + ct) + f(x − ct)]/2 + (1/(2c))∫_{x − ct}^{x + ct} g(s) ds।

उदाहरण 1: u_tt = u_xx, 0 < x < π, स्थिर सिरे, u(x, 0) = 0, u_t(x, 0) = sin 2x। केवल B₂ ≠ 0 और 2B₂ = 1, अतः u = (1/2)sin 2t sin 2x।

उदाहरण 2: f(x) = kx(L − x) से विरामावस्था से छोड़ा गया तंतु: विषम n के लिए A_n = 8kL²/(n³π³) और सम n के लिए 0, B_n = 0।

उदाहरण 3: u_tt = c²u_xx, −∞ < x < ∞, u(x, 0) = x², u_t(x, 0) = sin x को हल कीजिए।

डी'एलेम्बर्ट से: u = [(x + ct)² + (x − ct)²]/2 + (1/(2c))∫_{x − ct}^{x + ct} sin s ds = x² + c²t² + (1/(2c))[cos(x − ct) − cos(x + ct)]।

अतः u = x² + c²t² + (1/c)sin x sin ct (जाँच: u_tt = 2c² − c sin x sin ct = c²u_xx)।

7. ऊष्मा समीकरण

u_t = ku_xx (k विसरणशीलता), 0 < x < L, u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = f(x)।

भाव: विधा n, e^{−kn2π2t/L2} की तरह क्षयित होती है, अतः ऊँची विधाएँ, जो f के तीखे कोने वहन करती हैं, पहले समाप्त होती हैं; ताप-परिच्छेदिका शीघ्र चिकनी हो जाती है और जल्दी ही शून्य की ओर सिकुड़ते एकल चाप sin(πx/L) जैसी दिखती है (ऊपर का चित्र देखें)। तरंग समीकरण के विपरीत, समय को उलटा नहीं चलाया जा सकता।

हल: u = ∑ b_n e^{−kn2π2t/L2} sin(nπx/L), जहाँ b_n = (2/L)∫₀^L f(x) sin(nπx/L) dx।

ऊष्मारोधी सिरे (x = 0, L पर u_x = 0): u = a₀/2 + ∑ a_n e^{−kn2π2t/L2} cos(nπx/L), a_n = (2/L)∫₀^L f(x) cos(nπx/L) dx; u माध्य प्रारंभिक ताप a₀/2 की ओर अग्रसर होता है।

स्थिर शून्येतर ताप वाले सिरे u(0, t) = T₁, u(L, t) = T₂: u = T₁ + (T₂ − T₁)x/L + v लिखें, जहाँ v शून्य सिरा-मानों वाली समस्या का हल है।

यह क्यों काम करता है: w(x) = T₁ + (T₂ − T₁)x/L, w″ = 0 और अंत्य प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है, अतः यह स्थायी अवस्था है; तब v = u − w के अंत्य मान शून्य हैं और प्रारंभिक आँकड़ा f(x) − w(x) है, जिसे ज्या श्रेणी में प्रसारित करना होगा।

उदाहरण 4: u_t = u_xx, 0 < x < π, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = 3 sin x + 2 sin 3x। तब u = 3e^−tsin x + 2e^−9tsin 3x।

उदाहरण 5: छड़ 0 ≤ x ≤ L का प्रारंभिक ताप सर्वत्र 100 है और t > 0 के लिए दोनों सिरे 0 पर रखे जाते हैं; u_t = ku_xx के लिए u(x, t) ज्ञात कीजिए।

b_n = (2/L)∫₀^L 100 sin(nπx/L) dx = (200/(nπ))(1 − cos nπ), जो विषम n के लिए 400/(nπ) और सम n के लिए 0 है।

u = (400/π)∑_{n विषम} (1/n)e^{−kn2π2t/L2} sin(nπx/L), जो t → ∞ पर 0 की ओर जाता है।

8. लाप्लास समीकरण

u_xx + u_yy = 0 स्थायी ताप और विभव को व्यक्त करता है; इसके हल प्रसंवादी (harmonic) फलन हैं।

भाव: प्रसंवादी फलन (harmonic function) किसी बिंदु पर केंद्रित किसी भी वृत्त पर अपने मानों के औसत के बराबर होता है (माध्य मान गुण), अतः इसमें कोई आंतरिक शिखर या गर्त नहीं हो सकता; यह तार के ढाँचे पर स्थिर साबुन की झिल्ली या तनी हुई झिल्ली का आकार है।

आयत 0 < x < a, 0 < y < b, जहाँ x = 0, x = a, y = 0 पर u = 0 और u(x, b) = f(x): u = ∑ c_n sin(nπx/a) sinh(nπy/a), जहाँ c_n sinh(nπb/a) = (2/a)∫₀^a f(x) sin(nπx/a) dx।

भाव: पृथक्करण अचर का चिह्न ऐसे चुनें कि दो शून्य सीमा प्रतिबंधों वाली दिशा में गुणनखंड दोलन (sin) करे; तब दूसरा गुणनखंड sinh या cosh होता है, और sinh(nπy/a) वह है जो y = 0 पर शून्य है। यदि शून्येतर आँकड़े y = 0 पर हों, तो sinh(nπ(b − y)/a) का प्रयोग करें।

उदाहरण 6: f(x) = sin(πx/a) से u = sin(πx/a) sinh(πy/a)/sinh(πb/a)।

ध्रुवीय रूप u_rr + u_r/r + u_θθ/r² = 0 में चक्रिका r < R, u(R, θ) = f(θ) के साथ: u = a₀/2 + ∑ (r/R)ⁿ(a_ncos nθ + b_nsin nθ), जहाँ a_n, b_n, f के फूरिए गुणांक हैं।

चक्रिका के भीतर r⁻ⁿ और log r पद छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि r = 0 पर u परिबद्ध रहना चाहिए।

उदाहरण 7: r < 1 में u(1, θ) = cos²θ के साथ u_rr + u_r/r + u_θθ/r² = 0 को हल कीजिए।

cos²θ = 1/2 + (1/2)cos 2θ, अतः a₀/2 = 1/2, a₂ = 1/2 और शेष सभी गुणांक शून्य हैं।

u = 1/2 + (r²/2)cos 2θ = (1 + x² − y²)/2; केंद्र पर मान 1/2 परिसीमा मानों का माध्य है।

उच्चिष्ठ सिद्धांत: परिबद्ध प्रांत में प्रसंवादी और उसके संवरक (closure) पर संतत फलन अपना उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ परिसीमा पर प्राप्त करता है, और अचरेतर होने पर केवल वहीं; अतः डिरिक्ले समस्या का अधिकतम एक हल होता है।

यह क्यों काम करता है: यदि u₁, u₂ एक ही डिरिक्ले समस्या के हल हैं, तो w = u₁ − u₂ प्रसंवादी है और सीमा पर शून्य है; इसका उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ दोनों 0 हैं, अतः w ≡ 0।

9. खींची गई डोरी, क्षय पद और उपयोगी समाकल

x = a पर ऊँचाई h तक खींचकर विराम से छोड़ी गई डोरी: A_n = 2hL²sin(nπa/L)/(n²π²a(L − a)), B_n = 0; जिन विधाओं (modes) में sin(nπa/L) = 0, वे अनुपस्थित हैं।

क्षय पद: u = e^−γtv रखने पर u_t = ku_xx − γu, उन्हीं सीमा और प्रारंभिक आँकड़ों के साथ v के लिए ऊष्मा समीकरण बन जाता है।

0 से L तक उपयोगी समाकल: ∫x sin(nπx/L) dx = (−1)ⁿ⁺¹L²/(nπ); ∫sin(nπx/L) dx = L(1 − (−1)ⁿ)/(nπ); ∫x(L − x)sin(nπx/L) dx = 2L³(1 − (−1)ⁿ)/(n³π³); तथा ∫₀¹ x²sin nπx dx = (−1)ⁿ⁺¹/(nπ) + 2((−1)ⁿ − 1)/(nπ)³।

सिरों पर शून्य न होने वाले आँकड़े (जैसे u(x, 0) = x): सूत्र वही रहते हैं; ज्या श्रेणी 0 < x < L में आँकड़ों में अभिसरित होती है पर x = L पर नहीं, और इसकी टिप्पणी अंक दिलाती है।

10. ध्रुवीय निर्देशांकों में लाप्लास समीकरण: चक्रिका और वलयाकार क्षेत्र

पृथक्करण: V = R(r)Θ(θ) से Θ″ + n²Θ = 0 और r²R″ + rR′ − n²R = 0 (ऑयलर समीकरण); θ में 2π-आवर्तिता से n = 0, 1, 2, ...।

n ≥ 1 के लिए R = A_nrⁿ + B_nr⁻ⁿ और n = 0 के लिए A₀ + B₀log r; Θ = cos nθ, sin nθ (या e^±inθ)।

चक्रिका r ≤ a: r⁻ⁿ और log r हटाएँ (r = 0 पर परिबद्धता); बाह्य क्षेत्र r ≥ a: rⁿ और log r हटाएँ (∞ पर परिबद्धता)।

वलयाकार क्षेत्र (annulus) a ≤ r ≤ b: दोनों घात और log r रखें, दोनों सीमा फलनों को फूरिए श्रेणी में प्रसारित करें, और प्रत्येक n के लिए 2 × 2 निकाय हल करें; u(a, θ) = 0 होने पर त्रिज्य गुणनखंड (r/a)ⁿ − (a/r)ⁿ है।

11. अनंत प्रांत और अद्वितीयता

फूरिए रूपांतर (Fourier transform): F(k) = ∫_−∞^∞ f(x)e^−ikx dx, f(x) = (1/(2π))∫_−∞^∞ F(k)e^ikx dk; ±∞ पर f, f′ → 0 हो तो f″ का रूपांतर −k²F है, और संवलन (convolution) ∫f(ξ)g(x − ξ) dξ का रूपांतर F(k)G(k) है।

ग्रीन की प्रथम सर्वसमिका: ∬_S (w∇²w + |∇w|²) dx dy = ∮_Γ w ∂w/∂n ds; यह डिरिक्ले समस्या (Γ पर w = 0) के लिए अद्वितीयता और न्यूमान समस्या (Γ पर ∂w/∂n = 0) के लिए एक अचर तक अद्वितीयता सिद्ध करती है।

12. व्युत्पत्ति: तीनों समीकरण और डी'एलेम्बर्ट सूत्र

तरंग समीकरण: तनाव T के अंतर्गत x और x + δx के बीच तंतु का टुकड़ा लें, जिसकी प्रवणता u_x छोटी है। कुल ऊर्ध्वाधर बल T[u_x(x + δx, t) − u_x(x, t)] ≈ Tu_xxδx है, और न्यूटन का नियम ρδx u_tt = Tu_xxδx देता है, अतः u_tt = c²u_xx, जहाँ c² = T/ρ।

ऊष्मा समीकरण: फूरिये नियम से ऊष्मा अभिवाह (heat flux) −κu_x है; चौड़ाई δx की पट्टी द्वारा प्रति इकाई समय प्राप्त ऊष्मा κ[u_x(x + δx) − u_x(x)] ≈ κu_xxδx है, और यह cρδx u_t के बराबर है (c विशिष्ट ऊष्मा, ρ घनत्व), अतः u_t = ku_xx, जहाँ k = κ/(cρ)।

स्थायी अवस्था में u_t = 0, और दो विमाओं में यही संतुलन u_xx + u_yy = 0 देता है: लाप्लास समीकरण समय-निरपेक्ष ऊष्मा समीकरण है।

डी'एलेम्बर्ट सूत्र: ξ = x + ct, η = x − ct के साथ तरंग समीकरण u_ξη = 0 बनता है (पिछला विषय), अतः u = F(x + ct) + G(x − ct)।

आँकड़ों से F(x) + G(x) = f(x) और c[F′(x) − G′(x)] = g(x), अतः F(x) − G(x) = (1/c)∫₀^x g(s) ds + K।

अतः F = f/2 + (1/(2c))∫₀^x g + K/2 और G = f/2 − (1/(2c))∫₀^x g − K/2; F(x + ct) और G(x − ct) जोड़ने पर K कट जाता है और दोनों समाकल मिलकर (1/(2c))∫_{x − ct}^{x + ct} g(s) ds बनते हैं, जो खंड 6 का सूत्र है।

B_n में 1/(nπc) गुणनखंड क्यों: u_t(x, 0) = ∑B_n(nπc/L) sin(nπx/L) = g(x), अतः B_n(nπc/L) = (2/L)∫g sin(nπx/L) dx, जिससे B_n = (2/(nπc))∫₀^L g(x) sin(nπx/L) dx।

13. विधि का चयन

यदि प्रांत पूरी रेखा है → तरंग समीकरण के लिए डी'एलेम्बर्ट, ऊष्मा समीकरण के लिए फूरिये रूपांतर; यदि यह परिमित अंतराल है → चरों का पृथक्करण।

यदि सिरे शून्य पर रखे हैं → ज्या श्रेणी; यदि सिरे ऊष्मारोधी हैं → अचर पद सहित कोज्या श्रेणी; यदि सिरे शून्येतर अचरों पर हैं → पहले स्थायी अवस्था घटाएँ।

यदि आयत की एक से अधिक भुजाओं पर शून्येतर आँकड़े हैं → प्रत्येक भुजा के लिए एक समस्या बनाएँ और हलों को जोड़ें।

यदि क्षेत्र एक चकती, वलय या वृत्त का बाहरी भाग है → rⁿ, r⁻ⁿ और log r सहित ध्रुवीय निर्देशांक, केवल परिबद्ध पद रखें।

यदि समीकरण में अतिरिक्त पद −γu है → पहले u = e^−γtv रखें; यदि आँकड़े पहले से ज्याओं का परिमित योग हैं → बिना समाकलन के गुणांक पढ़ लें।

14. सामान्य गलतियाँ

शून्येतर अंत्य ताप: स्वयं f को ज्या श्रेणी में प्रसारित करना; प्रसारित f − w (प्रारंभिक आँकड़ा घटा स्थायी अवस्था) को करना है।

ऊष्मारोधी सिरे: a₀/2 भूल जाना, जो छड़ का अंतिम ताप है।

गलत sinh गुणनखंड: y = 0 पर आँकड़े और y = b पर u = 0 होने पर गुणनखंड को y = b पर शून्य होना चाहिए, अतः यह sinh(nπ(b − y)/a) है, sinh(nπy/a) नहीं।

समता की भूल: 1 − cos nπ = 1 − (−1)ⁿ विषम n के लिए 2 और सम n के लिए 0 है; सभी n के लिए 2 लिखने से श्रेणी गलत हो जाती है।

डी'एलेम्बर्ट में गलत सीमाएँ: g का समाकल x − ct से x + ct तक है, 0 से x + ct तक नहीं।

अपरिबद्ध पद रखना: चकती के भीतर r⁻ⁿ और log r, या उसके बाहर rⁿ।

संबंध: गुणांक फूरिये श्रेणी के गुणांक हैं (वास्तविक विश्लेषण), और समस्या X″ + λX = 0, X(0) = X(L) = 0 रैखिक बीजगणित के Ax = λx जैसी आइगेन मान समस्या है, जिसमें लांबिक आइगेन सदिशों के स्थान पर लांबिक आइगेन फलन हैं।

संबंध: प्रसंवादी फलन विश्लेषिक फलनों के वास्तविक भाग हैं (सम्मिश्र विश्लेषण): उदाहरण 7 का उत्तर (1 + x² − y²)/2, Re((1 + z²)/2) है; अघूर्णी असंपीड्य प्रवाह का वेग विभव भी ∇²φ = 0 संतुष्ट करता है (तरल गतिकी)।

15. हल किए गए UPSC के पिछले प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 15 अंक): हल कीजिए ∂²u/∂t² = ∂²u/∂x², 0 < x < 1, t > 0, दिया है कि
(i) u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
(ii) ∂u/∂t (x, 0) = x², 0 ≤ x ≤ 1
(iii) u(0, t) = u(1, t) = 0, सभी t के लिए

यहाँ c = 1, L = 1, u(x, 0) = 0, अतः A_n = 0 और u = ∑B_nsin nπt sin nπx, जहाँ nπB_n = 2∫₀¹ x²sin nπx dx।

∫₀¹ x²sin nπx dx = (−1)ⁿ⁺¹/(nπ) + 2((−1)ⁿ − 1)/(nπ)³ (दो बार खंडशः समाकलन)।

अतः B_n = (2/(n²π²))[(−1)ⁿ⁺¹ + 2((−1)ⁿ − 1)/(n²π²)]: विषम n के लिए 2/(n²π²) − 8/(n⁴π⁴) और सम n के लिए −2/(n²π²)।

उत्तर: u(x, t) = ∑_n=1^∞ (2/(n²π²))[(−1)ⁿ⁺¹ + 2((−1)ⁿ − 1)/(n²π²)] sin nπx sin nπt।

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 15 अंक): प्रारंभिक-परिसीमा मान समस्या
u_t − u_xx + u = 0, 0 < x < l, t > 0
u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = x(l − x), 0 < x < l
का हल ज्ञात कीजिए।

u = e^−tv रखें: u_t − u_xx + u = e^−t(v_t − v_xx), अतः v_t = v_xx, v(0, t) = v(l, t) = 0, v(x, 0) = x(l − x)।

v = ∑b_ne^−n2π2t/l2sin(nπx/l), जहाँ b_n = (2/l)∫₀^l x(l − x)sin(nπx/l) dx = 4l²(1 − (−1)ⁿ)/(n³π³)।

अतः विषम n के लिए b_n = 8l²/(n³π³) और सम n के लिए 0।

उत्तर: u(x, t) = (8l²/π³)∑_{n विषम} (1/n³)e^{−(1 + n2π2/l2)t}sin(nπx/l)।

उदाहरण 10 (UPSC 2017, 10 अंक): माना xy-समतल में Γ एक संवृत वक्र है तथा S उसके वक्र Γ द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र को निर्दिष्ट करता है। माना कि
∂²w/∂x² + ∂²w/∂y² = f(x, y) ∀ (x, y) ∈ S है।
यदि S के प्रत्येक बिन्दु (x, y) पर f निर्धारित है तथा S की सीमा Γ पर w निर्धारित है, तो सिद्ध कीजिए कि इन शर्तों को पूरा करने वाला कोई भी हल w = w(x, y) एकमात्र हल है।

माना w₁, w₂ दो हल हैं और w = w₁ − w₂; तब S में ∇²w = f − f = 0 और Γ पर w = 0।

ग्रीन की प्रथम सर्वसमिका (w∇w के लिए अपसरण प्रमेय): ∬_S (w∇²w + w_x² + w_y²) dx dy = ∮_Γ w ∂w/∂n ds।

S में ∇²w = 0 और Γ पर w = 0, अतः ∬_S (w_x² + w_y²) dx dy = 0।

समाकल्य संतत और अऋणात्मक है, अतः S में w_x = w_y = 0; w अचर है, और Γ तक सांतत्य, जहाँ w = 0, से w ≡ 0 (वैकल्पिक रूप से, प्रसंवादी w पर अधिकतम सिद्धांत लगाएँ)।

उत्तर: पूरे S में w₁ = w₂, अतः हल अद्वितीय है। अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 11 (UPSC 2018, 20 अंक): एक पतली वलयिका (एनुलस) क्षेत्र 0 < a ≤ r ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π को घेरती है। इसके तल ताप-अवरोधी हैं। आन्तरिक किनारे के साथ-साथ ताप 0° पर स्थिर रखा जाता है जबकि बाह्य किनारे का ताप T = K cos(θ/2) पर बनाए रखा जाता है, जहाँ K एक स्थिरांक है। वलयिका में ताप-वितरण का निर्धारण कीजिए।

स्थायी अवस्था: a ≤ r ≤ b में u_rr + u_r/r + u_θθ/r² = 0, जहाँ u(a, θ) = 0 और u(b, θ) = K cos(θ/2), 0 ≤ θ ≤ 2π।

(0, 2π) पर cos(θ/2) के फूरिए गुणांक: सभी n ≥ 0 के लिए (1/π)∫₀^2π cos(θ/2)cos nθ dθ = 0, और (1/π)∫₀^2π cos(θ/2)sin nθ dθ = 8n/(π(4n² − 1))।

अतः 0 < θ < 2π के लिए K cos(θ/2) = (8K/π)∑_n=1^∞ n sin nθ/(4n² − 1), और केवल ज्या पद चाहिए (कोई अचर या log r पद नहीं)।

पृथक्कृत हल (A_nrⁿ + B_nr⁻ⁿ)sin nθ, A_naⁿ + B_na⁻ⁿ = 0 के साथ, त्रिज्य गुणनखंड (r/a)ⁿ − (a/r)ⁿ देते हैं; r = b पर इसके मान से भाग देकर बाहरी किनारा मिलाया जाता है।

उत्तर: u(r, θ) = (8K/π)∑_n=1^∞ [n/(4n² − 1)] · [(r/a)ⁿ − (a/r)ⁿ]/[(b/a)ⁿ − (a/b)ⁿ] · sin nθ (θ = 0 के आर-पार सीमा मान −K और K के बीच उछलता है, और श्रेणी वहाँ माध्य 0 देती है)।

उदाहरण 12 (UPSC 2020, 20 अंक): लम्बाई l की कसकर खींची गई लचीली-पतली डोरी का एक सिरा मूल बिन्दु पर तथा दूसरा x = l पर बंधा है। आरंभिक अवस्था में इसे x = l/3 बिन्दु से ऐसे खींचकर छोड़ा जाता है ताकि यह x-y तल में h ऊँचाई के त्रिभुज का आकार लेता है। किसी भी दूरी x तथा समय t, डोरी को विरामावस्था से छोड़ने के बाद, पर विस्थापन y को ज्ञात कीजिए। डोरी में (क्षैतिज तनाव)/(डोरी की इकाई लम्बाई की संहति) = c² लीजिए।

प्रारंभिक आकृति 0 ≤ x ≤ l/3 के लिए y(x, 0) = 3hx/l और l/3 ≤ x ≤ l के लिए 3h(l − x)/(2l); डोरी विराम से छूटती है, अतः B_n = 0 और y = ∑A_nsin(nπx/l)cos(nπct/l)।

प्रत्येक खंड पर खंडशः समाकलन से x = l/3 वाले पद कट जाते हैं और केवल प्रवणता का उछाल (3h/l + 3h/(2l) = 9h/(2l)) बचता है: A_n = (2/l)(l/(nπ))²(9h/(2l))sin(nπ/3)।

अतः A_n = (9h/(n²π²))sin(nπ/3), a = l/3 के साथ खींची डोरी का सूत्र।

उत्तर: y(x, t) = (9h/π²)∑_n=1^∞ (1/n²)sin(nπ/3)sin(nπx/l)cos(nπct/l); विधाएँ n = 3, 6, 9, ... अनुपस्थित हैं।

उदाहरण 13 (UPSC 2023, 20 अंक): आंशिक अवकल समीकरण a² ∂²u/∂x² = ∂²u/∂t², 0 < x < L, t > 0 का शर्तों
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x, (∂u/∂t)_t=0 = 1, 0 < x < L
से प्रतिबंधित हल ज्ञात कीजिए।

u = ∑[A_ncos(nπat/L) + B_nsin(nπat/L)]sin(nπx/L), जहाँ A_n = (2/L)∫₀^L x sin(nπx/L) dx = 2L(−1)ⁿ⁺¹/(nπ)।

(nπa/L)B_n = (2/L)∫₀^L sin(nπx/L) dx = 2(1 − (−1)ⁿ)/(nπ), अतः विषम n के लिए B_n = 4L/(n²π²a) और सम n के लिए 0।

[आँकड़े u(x, 0) = x और u_t(x, 0) = 1, x = L पर शून्य नहीं हैं, अतः श्रेणी उन्हें केवल 0 < x < L में निरूपित करती है।]

उत्तर: u(x, t) = (2L/π)∑_n=1^∞ ((−1)ⁿ⁺¹/n)cos(nπat/L)sin(nπx/L) + (4L/(π²a))∑_{n विषम} (1/n²)sin(nπat/L)sin(nπx/L)।

उदाहरण 14 (UPSC 2024, 20 अंक): दर्शाइए कि द्विविम लाप्लास समीकरण
∂²φ(x, y)/∂x² + ∂²φ(x, y)/∂y² = 0, x ∈ (−∞, ∞), y ≥ 0
का हल, परिसीमा प्रतिबन्ध
φ(x, 0) = f(x), x ∈ (−∞, ∞) के अधीन तथा φ(x, y) → 0 जब |x| → ∞ और y → ∞,
φ(x, y) = (y/π) ∫_−∞^∞ f(ξ) dξ/[y² + (x − ξ)²]
के रूप में लिखा जा सकता है।

x में फूरिए रूपांतर लें: Φ(k, y) = ∫_−∞^∞ φ(x, y)e^−ikx dx; |x| → ∞ पर φ, φ_x → 0 होने से φ_xx का रूपांतर −k²Φ है और PDE, Φ_yy − k²Φ = 0 बन जाता है।

Φ = A(k)e^−|k|y + B(k)e^|k|y; y → ∞ पर φ → 0 से B = 0, और y = 0 से A = F(k), f का रूपांतर।

e^−|k|y का प्रतिलोम g(x, y) = (1/(2π))∫e^−|k|ye^ikx dk = (1/(2π))[1/(y − ix) + 1/(y + ix)] = y/(π(x² + y²)) है।

चूँकि Φ = F(k) · e^−|k|y, संवलन प्रमेय से φ(x, y) = ∫f(ξ)g(x − ξ, y) dξ।

उत्तर: φ(x, y) = (y/π)∫_−∞^∞ f(ξ) dξ/[y² + (x − ξ)²], अर्ध-तल के लिए प्वासों समाकल। अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण 15 (UPSC 2026, 15 अंक): समतलीय ध्रुवीय निर्देशांकों (r, θ) में द्विविमीय प्रसंवादी (हार्मोनिक) समीकरण निम्न रूप लेता है:
∂²V/∂r² + (1/r) ∂V/∂r + (1/r²) ∂²V/∂θ² = 0
निगमन कीजिए कि इसके हल का रूप (Arⁿ + Br⁻ⁿ) e^±inθ है, जहाँ A, B, n अचर हैं। V ज्ञात कीजिए यदि यह क्षेत्र 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π में द्विविमीय प्रसंवादी समीकरण को संतुष्ट करता है और शर्तों:
(i) r → 0 पर V परिमित रहता है,
(ii) r = a पर V = ∑_n c_n cos(nθ) है
को संतुष्ट करता है।

V = R(r)Θ(θ) रखें और r²/(RΘ) से गुणा करें: (r²R″ + rR′)/R = −Θ″/Θ = n² (पृथक्करण अचर)।

Θ″ + n²Θ = 0 से Θ = e^±inθ; r²R″ + rR′ − n²R = 0 ऑयलर समीकरण है, और R = r^m से m² = n², अतः R = Arⁿ + Br⁻ⁿ।

अतः V = (Arⁿ + Br⁻ⁿ)e^±inθ; एकमानता से n पूर्णांक है (n = 0 पर A + B log r)।

0 ≤ r ≤ a में r = 0 पर परिमितता से B = 0 और log r हट जाता है, अतः V = ∑ rⁿ(A_ncos nθ + B_n′sin nθ); r = a पर A_naⁿ = c_n और B_n′ = 0।

उत्तर: V(r, θ) = ∑_n c_n(r/a)ⁿcos nθ।

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): X″ + λX = 0, X(0) = 0, X′(L) = 0 के आइगेन मान और आइगेन फलन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: λ_n = ((2n − 1)π/(2L))² और X_n = sin((2n − 1)πx/(2L)), n = 1, 2, 3, ... (λ ≤ 0 से केवल X = 0)।

अभ्यास 2 (मूल): u_t = u_xx, 0 < x < π, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = 4 sin 2x − sin 5x हल कीजिए।

उत्तर: u = 4e^−4tsin 2x − e^−25tsin 5x।

अभ्यास 3 (मूल): डी'एलेम्बर्ट सूत्र से पूरी रेखा पर u_tt = 4u_xx हल कीजिए, जहाँ u(x, 0) = 0, u_t(x, 0) = 2x।

उत्तर: c = 2: u = (1/4)∫_{x − 2t}^{x + 2t} 2s ds = (1/4)[(x + 2t)² − (x − 2t)²] = 2xt।

अभ्यास 4 (मानक): u_t = 3u_xx वाली एक छड़ 0 ≤ x ≤ 2 के सिरे 0 पर रखे गए हैं और आरंभिक ताप 5 है। u(x, t) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: b_n = ∫₀² 5 sin(nπx/2) dx = 10(1 − (−1)ⁿ)/(nπ), अतः u = (20/π)∑_{n विषम} (1/n)e^−3n2π2t/4sin(nπx/2)।

अभ्यास 5 (मानक): u_t = u_xx, 0 < x < π, ऊष्मारोधी सिरों u_x(0, t) = u_x(π, t) = 0 और u(x, 0) = cos²x के साथ हल कीजिए।

उत्तर: cos²x = 1/2 + (1/2)cos 2x, अतः u = 1/2 + (1/2)e^−4tcos 2x, जो माध्य 1/2 की ओर जाता है।

अभ्यास 6 (मानक): c = 2 और नियत सिरों वाला एक तंतु 0 < x < π, u(x, 0) = 0 से वेग u_t(x, 0) = sin x + 3 sin 2x के साथ आरंभ होता है। u ज्ञात कीजिए।

उत्तर: u = ∑B_nsin 2nt sin nx, जहाँ 2nB_n आँकड़ों के गुणांकों के बराबर है: u = (1/2)sin 2t sin x + (3/4)sin 4t sin 2x।

अभ्यास 7 (मानक): u_t = u_xx, 0 < x < 1, u(0, t) = 0, u(1, t) = 10, u(x, 0) = 10x + 3 sin 2πx हल कीजिए।

उत्तर: स्थायी अवस्था 10x है और v = u − 10x, 3 sin 2πx से आरंभ होता है, अतः u = 10x + 3e^−4π2tsin 2πx।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): आयत 0 < x < a, 0 < y < b में u_xx + u_yy = 0 हल कीजिए, जहाँ x = 0, y = 0 और y = b पर u = 0, और u(a, y) = y(b − y)।

उत्तर: u = ∑c_nsinh(nπx/b)sin(nπy/b), जहाँ c_nsinh(nπa/b) = 4b²(1 − (−1)ⁿ)/(n³π³); अतः u = (8b²/π³)∑_{n विषम} sinh(nπx/b)sin(nπy/b)/(n³sinh(nπa/b))।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): वलय 1 ≤ r ≤ 2 में स्थायी ताप ज्ञात कीजिए जब u(1, θ) = 0 और u(2, θ) = sin θ।

उत्तर: u = (Ar + B/r)sin θ आजमाएँ: A + B = 0 और 2A + B/2 = 1 से A = 2/3, B = −2/3, अतः u = (2/3)(r − 1/r)sin θ।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): नियत सिरों वाला L लंबाई का एक तंतु आकृति u(x, 0) = μ sin³(πx/L) में विराम से छोड़ा जाता है। विस्थापन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: sin³θ = (3 sin θ − sin 3θ)/4, अतः u = (μ/4)[3 sin(πx/L)cos(πct/L) − sin(3πx/L)cos(3πct/L)]।

1. PDE का निर्माण और लग्रांज विधि

प्रश्न 1 (10 अंक): φ(x² + y² + z², z² − 2xy) = 0 से स्वेच्छ फलन φ का विलोपन करके आंशिक अवकल समीकरण बनाइए।

मान लें u = x² + y² + z², v = z² − 2xy; विलोपन से Pp + Qq = R मिलता है, जहाँ P = ∂(u, v)/∂(y, z), Q = ∂(u, v)/∂(z, x), R = ∂(u, v)/∂(x, y)।

P = u_yv_z − u_zv_y = (2y)(2z) − (2z)(−2x) = 4z(x + y)।

Q = u_zv_x − u_xv_z = (2z)(−2y) − (2x)(2z) = −4z(x + y)।

R = u_xv_y − u_yv_x = (2x)(−2x) − (2y)(−2y) = 4(y² − x²)।

4z(x + y)p − 4z(x + y)q = 4(y − x)(y + x) को 4(x + y) से भाग देने पर समीकरण मिलता है।

उत्तर: z(p − q) = y − x।

प्रश्न 2 (15 अंक): (2xy − 1)p + (z − 2x²)q = 2(x − yz) का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए जो रेखा x = 1, z = 0 से गुजरता है।

गुणक x, y, 1/2: x(2xy − 1) + y(z − 2x²) + (x − yz) = 0, अतः x dx + y dy + dz/2 = 0 और x² + y² + z = c₁।

गुणक z, 1, x: z(2xy − 1) + (z − 2x²) + 2x(x − yz) = 0, अतः z dx + dy + x dz = 0 और xz + y = c₂।

रेखा x = 1, z = 0, y = t पर: c₁ = 1 + t² और c₂ = t, अतः c₁ = 1 + c₂²।

c₁, c₂ को प्रतिस्थापित करने पर: x² + y² + z = 1 + (xz + y)², जो सरल होकर x² + z − 1 = x²z² + 2xyz बनता है।

जाँच: x = 1, z = 0 पर प्रत्येक y के लिए दोनों पक्ष 0 हैं, अतः पूरी रेखा पृष्ठ पर स्थित है।

उत्तर: x² + y² + z = 1 + (xz + y)², अर्थात् x²(1 − z²) − 2xyz + z − 1 = 0।

2. प्रथम कोटि के अरैखिक समीकरण और कॉशी समस्या

प्रश्न 3 (15 अंक): शार्पी विधि से px + qy = pq का एक पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

F = px + qy − pq: F_x = p, F_y = q, F_z = 0, F_p = x − q, F_q = y − p।

शार्पी समीकरणों में −dp/(F_x + pF_z) = −dq/(F_y + qF_z) है, अर्थात् dp/p = dq/q, अतः p = aq।

प्रतिस्थापन से: aqx + qy = aq², अतः q = (ax + y)/a और p = ax + y।

dz = (ax + y)dx + ((ax + y)/a)dy = (1/a)(ax + y)d(ax + y), अतः z = (ax + y)²/(2a) + b।

जाँच: px + qy = (ax + y)(x + y/a) = (ax + y)²/a = pq।

उत्तर: z = (ax + y)²/(2a) + b।

प्रश्न 4 (10 अंक): z = px + qy + √(1 + p² + q²) के पूर्ण और विचित्र समाकल ज्ञात कीजिए।

यह क्लेरो रूप है, अतः पूर्ण समाकल z = ax + by + √(1 + a² + b²) है।

मान लें S = √(1 + a² + b²); a और b के सापेक्ष अवकलन से: x + a/S = 0 और y + b/S = 0।

अतः a = −xS, b = −yS, और x² + y² = (a² + b²)/S² = 1 − 1/S²।

तब z = −S(x² + y²) + S = S(1 − x² − y²) = 1/S = √(1 − x² − y²), जो PDE को संतुष्ट करता है (p = −x/z, q = −y/z)।

उत्तर: पूर्ण समाकल z = ax + by + √(1 + a² + b²); विचित्र समाकल x² + y² + z² = 1 (z > 0 के साथ)।

प्रश्न 5 (15 अंक): रेखा x = y = s पर u = s/2 के साथ कॉशी समस्या uu_x + u_y = 1 को हल कीजिए, और बताइए कि हल कहाँ विफल होता है।

अभिलक्षणिक समीकरण: dx/dt = u, dy/dt = 1, du/dt = 1, जहाँ t = 0 पर x = y = s और u = s/2।

J = x₀′b − y₀′a = 1 · 1 − 1 · (s/2) = 1 − s/2, जो s ≠ 2 के लिए शून्येतर है।

हल करने पर: u = s/2 + t, y = s + t, x = s + st/2 + t²/2।

t = y − s रखने पर: x = s − sy/2 + y²/2, अतः s = (2x − y²)/(2 − y)।

u = s/2 + t = y − s/2 = (4y − y² − 2x)/(2(2 − y)); x = y = s पर यह (2s − s²)/(2(2 − s)) = s/2 देता है, जैसा अपेक्षित है।

उत्तर: u = (4y − y² − 2x)/(2(2 − y)), y ≠ 2 के लिए मान्य; आँकड़ा रेखा के बिंदु s = 2 पर J = 0 है (रेखा एक अभिलक्षण प्रक्षेप को स्पर्श करती है), और y = 2 पर सूत्र विफल हो जाता है।

3. अचर गुणांकों वाले रैखिक समीकरण

प्रश्न 6 (10 अंक): (D² + DD′ − 6D′²)z = cos(2x + y) को हल कीजिए।

सहायक समीकरण m² + m − 6 = 0 से m = 2, −3: CF = φ₁(y + 2x) + φ₂(y − 3x)।

सामान्य नियम विफल है: D² → −4, DD′ → −2, D′² → −1 से −4 − 2 + 6 = 0, क्योंकि y + 2x, CF का एक कोणांक (argument) है।

PI = (D − 2D′)⁻¹(D + 3D′)⁻¹cos(2x + y); चूँकि (D + 3D′)sin(2x + y) = 5cos(2x + y), अतः (D + 3D′)⁻¹cos(2x + y) = (1/5)sin(2x + y)।

विफल स्थिति नियम से (D − 2D′)⁻¹(1/5)sin(y + 2x) = (x/5)sin(y + 2x)।

w = 2x + y लेकर जाँच: z_xx + z_xy − 6z_yy = [(4cos w − 4x sin w) + (cos w − 2x sin w) + 6x sin w]/5 = cos w।

उत्तर: z = φ₁(y + 2x) + φ₂(y − 3x) + (x/5)sin(2x + y)।

प्रश्न 7 (15 अंक): (D − D′ − 1)(D − D′ − 2)z = e^{2x − y} + x को हल कीजिए।

प्रत्येक गुणनखंड D − mD′ − c रूप का है जहाँ m = 1 (c = 1 और c = 2), अतः CF = e^xφ₁(y + x) + e^2xφ₂(y + x)।

e^{2x − y} के लिए: D → 2, D′ → −1 से (2 + 1 − 1)(2 + 1 − 2) = 2, अतः PI₁ = (1/2)e^{2x − y}।

x के लिए E = D − D′ लिखें: 1/((E − 1)(E − 2)) = (1/2)(1 − E)⁻¹(1 − E/2)⁻¹ = (1/2)(1 + (3/2)E + ...)।

चूँकि Ex = 1 और E²x = 0, अतः PI₂ = (1/2)(x + 3/2) = x/2 + 3/4।

जाँच: (E² − 3E + 2)(x/2 + 3/4) = 0 − 3/2 + x + 3/2 = x।

उत्तर: z = e^xφ₁(y + x) + e^2xφ₂(y + x) + (1/2)e^{2x − y} + x/2 + 3/4।

4. वर्गीकरण और विहित रूप

प्रश्न 8 (15 अंक): u_xx − 2u_xy − 3u_yy = 0 को विहित रूप में लाइए, और u(x, 0) = 3x², u_y(x, 0) = 0 के साथ हल कीजिए।

B² − 4AC = 4 + 12 = 16 > 0, अतः समीकरण अतिपरवलयिक है; λ² + 2λ − 3 = 0 से λ = 1, −3, अतः ξ = y − x, η = y + 3x।

u_x = −u_ξ + 3u_η, u_y = u_ξ + u_η; तब u_xx − 2u_xy − 3u_yy = −16u_ξη, अतः u_ξη = 0 और u = f(y − x) + g(y + 3x)।

आँकड़े: f(−x) + g(3x) = 3x² और f′(−x) + g′(3x) = 0; पहले का अवकलन करने पर −f′(−x) + 3g′(3x) = 6x।

जोड़ने पर: 4g′(3x) = 6x, अतः g′(s) = s/2 और g(s) = s²/4 + C; तब f′(r) = 3r/2 और f(r) = 3r²/4 − C।

u = (3/4)(y − x)² + (1/4)(y + 3x)² = 3x² + y²; जाँच: 6 − 0 − 3(2) = 0, u(x, 0) = 3x², u_y(x, 0) = 0।

उत्तर: विहित रूप u_ξη = 0, जहाँ ξ = y − x, η = y + 3x; u = 3x² + y²।

प्रश्न 9 (10 अंक): दिखाइए कि x²u_xx + 2xyu_xy + y²u_yy = 0 परवलयिक है, x ≠ 0 के लिए इसे विहित रूप में लाइए, और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक बिंदु पर B² − 4AC = 4x²y² − 4x²y² = 0, अतः समीकरण सर्वत्र परवलयिक है।

अभिलक्षणिक समीकरण x²(dy/dx)² − 2xy(dy/dx) + y² = 0, अर्थात् (x dy/dx − y)² = 0, से ξ = y/x; η = x लें।

u_x = −(y/x²)u_ξ + u_η, u_y = u_ξ/x, अतः ऑयलर संकारक E = x∂/∂x + y∂/∂y, η∂/∂η बन जाता है।

दिया गया संकारक E² − E = η²∂²/∂η² + η∂/∂η − η∂/∂η = η²∂²/∂η² के बराबर है, अतः समीकरण η²u_ηη = 0 बनता है।

η में दो बार समाकलन करने पर: u = f(ξ) + ηg(ξ)।

उत्तर: विहित रूप u_ηη = 0, जहाँ ξ = y/x, η = x; व्यापक हल u = f(y/x) + xg(y/x)।

5. तरंग, ऊष्मा और लाप्लास समीकरण

प्रश्न 10 (15 अंक): स्थिर सिरों वाले लंबाई L के तंतु को उसके मध्यबिंदु पर ऊँचाई h तक खींचकर विरामावस्था से छोड़ा जाता है। विस्थापन u(x, t) ज्ञात कीजिए।

प्रारंभिक आकृति 0 ≤ x ≤ L/2 के लिए f(x) = 2hx/L और L/2 ≤ x ≤ L के लिए f(x) = 2h(L − x)/L; g(x) = 0, अतः B_n = 0।

A_n = (2/L)[∫₀^L/2 (2hx/L)sin(nπx/L) dx + ∫_L/2^L (2h(L − x)/L)sin(nπx/L) dx]।

खंडशः समाकलन से cos(nπ/2) वाले पद निरस्त हो जाते हैं और कोष्ठक (4hL/(n²π²))sin(nπ/2) के बराबर है, अतः A_n = (8h/(n²π²))sin(nπ/2)।

u = (8h/π²)∑_n=1^∞ (sin(nπ/2)/n²)sin(nπx/L)cos(nπct/L); केवल विषम n आते हैं, एकांतर चिह्नों के साथ।

उत्तर: u(x, t) = (8h/π²)[sin(πx/L)cos(πct/L) − (1/9)sin(3πx/L)cos(3πct/L) + (1/25)sin(5πx/L)cos(5πct/L) − ...]।

प्रश्न 11 (15 अंक): ऊष्मारोधी सिरों u_x(0, t) = u_x(π, t) = 0 और u(x, 0) = x के साथ u_t = u_xx, 0 < x < π, t > 0 को हल कीजिए।

X′(0) = X′(π) = 0 के साथ पृथक्करण से X = cos nx, n = 0, 1, 2, ..., और T = e^−n2t।

a₀ = (2/π)∫₀^π x dx = π।

a_n = (2/π)∫₀^π x cos nx dx = (2/π)(cos nπ − 1)/n², जो विषम n के लिए −4/(πn²) और सम n ≥ 2 के लिए 0 है।

अतः u = π/2 − (4/π)∑_{n विषम} e^−n2tcos nx/n²।

उत्तर: u(x, t) = π/2 − (4/π)[e^−tcos x + e^−9tcos 3x/9 + e^−25tcos 5x/25 + ...], जो t → ∞ पर माध्य ताप π/2 की ओर जाता है।

प्रश्न 12 (15 अंक): वर्ग 0 < x < π, 0 < y < π में u_xx + u_yy = 0 को हल कीजिए, जहाँ x = 0, x = π और y = 0 पर u = 0, तथा u(x, π) = x(π − x)।

X(0) = X(π) = 0 के साथ पृथक्करण से X = sin nx और Y″ = n²Y; Y(0) = 0 से Y = sinh ny, अतः u = ∑ c_n sin nx sinh ny।

y = π पर: c_n sinh nπ = (2/π)∫₀^π x(π − x)sin nx dx = 4(1 − cos nπ)/(πn³)।

अतः विषम n के लिए c_n = 8/(πn³ sinh nπ) और सम n के लिए c_n = 0।

उत्तर: u(x, y) = (8/π)∑_{n विषम} sin nx sinh ny/(n³ sinh nπ)।

प्रश्न 13 (10 अंक): जब u(a, θ) = sin³θ हो, तब चक्रिका r < a में स्थायी ताप u(r, θ) और केंद्र पर ताप ज्ञात कीजिए।

sin³θ = (3 sin θ − sin 3θ)/4, अतः b₁ = 3/4, b₃ = −1/4 और शेष सभी फूरिए गुणांक 0 हैं।

परिसीमा का प्रत्येक पद sin nθ चक्रिका के भीतर परिबद्ध प्रसंवादी फलन (r/a)ⁿsin nθ में विस्तारित होता है।

r = 0 पर हल 0 है, जो एक आवर्त पर sin³θ के माध्य के बराबर है (माध्य मान गुण)।

उत्तर: u(r, θ) = (3r/(4a))sin θ − (r³/(4a³))sin 3θ; केंद्र पर u = 0।

प्रश्न 14 (10 अंक): u_tt = c²u_xx, 0 < x < L, u(0, t) = u(L, t) = 0 के लिए दिखाइए कि E(t) = (1/2)∫₀^L (u_t² + c²u_x²) dx अचर है, और निष्कर्ष निकालिए कि प्रारंभिक-परिसीमा मान समस्या का अधिकतम एक निष्कोण हल है।

dE/dt = ∫₀^L (u_tu_tt + c²u_xu_xt) dx = c²∫₀^L (u_tu_xx + u_xu_xt) dx = c²∫₀^L ∂(u_tu_x)/∂x dx।

यह c²[u_tu_x]₀^L = 0 के बराबर है, क्योंकि सभी t के लिए दोनों सिरों पर u = 0 होने से u_t(0, t) = u_t(L, t) = 0।

यदि u₁, u₂ समान आँकड़ों वाले दो हल हैं, तो w = u₁ − u₂ शून्य आँकड़ों वाली समस्या का हल है, अतः E_w(t) = E_w(0) = 0।

समाकल्य संतत और ऋणेतर है, अतः w_t = w_x = 0; w अचर है और w(0, t) = 0 से w ≡ 0।

उत्तर: dE/dt = 0, अतः ऊर्जा संरक्षित है, और हल अद्वितीय है।

1. पृष्ठ-कुल और आंशिक अवकल समीकरणों का निर्माण

2024 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: दर्शाइए कि यदि f और g उनके संबंधित स्वतंत्र चरों के स्वेच्छ फलन हैं, तब u = f(x − kt + iαy) + g(x − kt − iαy),
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = (1/C²) ∂²u/∂t², जहाँ α² = 1 − k²/C² है,
का एक हल है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: z = f(x² − y) + g(x² + y) से स्वैच्छिक फलनों f तथा g का विलोपन कर आंशिक अवकल समीकरण बनाइए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: दिया गया है कि शीर्ष (a, b, c) वाले किसी शंकु का समीकरण f((x − a)/(z − c), (y − b)/(z − c)) = 0 है। शंकु का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: समीकरण f(x + y + z, x² + y² + z²) = 0 से स्वैच्छिक फलन f का विलोपन कर आंशिक अवकल समीकरण को प्राप्त कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: z = y f(x) + x g(y) से स्वैच्छिक फलनों f(x) व g(y) का विलोपन कर आंशिक अवकल समीकरण बनाइए तथा इसकी प्रकृति (दीर्घवृत्तीय, अतिपरवलीय या परवलीय) x > 0, y > 0 क्षेत्र में इंगित कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: निम्नलिखित व्यंजक :
ψ(x² + y² + 2z², y² − 2zx) = 0
के द्वारा दिए गए पृष्ठ कुल का एक आंशिक अवकल समीकरण बनायें।

2018 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: दीर्घवृत्तज : x² + 4y² + 4z² = 4 के उन सभी स्पर्श-तलों के संकाय का आंशिक अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए, जो xy समतल के लम्बवत नहीं हैं।

2. प्रथम कोटि के अर्ध-रैखिक PDE के लिए लग्रांज विधि

2026 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: समीकरणों dx/(xz − y) = dy/(yz − x) = dz/(1 − z²) का समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: निम्नलिखित रैखिक-कल्प समीकरण
(y − φ) ∂φ/∂x + (φ − x) ∂φ/∂y = x − y,
का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए, जो कि वक्र φ = 0, xy = 1 और वृत्त x + y + φ = 0, x² + y² + φ² = a² से होकर गुज़रता है।

2020 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण : (x − y)y² ∂z/∂x + (y − x)x² ∂z/∂y = (x² + y²)z के वक्र : xz = a³, y = 0 को अपने ऊपर समाहित करने वाले समाकल पृष्ठ को ज्ञात कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण :
(y³x − 2x⁴)p + (2y⁴ − x³y)q = 9z(x³ − y³), का,
जहाँ p = ∂z/∂x, q = ∂z/∂y है, का व्यापक हल ज्ञात कीजिए, तथा इसके, वक्र : x = t, y = t², z = 1 में से गुजरने वाले समाकल पृष्ठ को भी ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: x² + y² + z² = cz द्वारा दिए गए गोलों के कुल के लम्बकोणीय पृष्ठों का व्यापक समीकरण ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q5(e), 10 अंक: आंशिक अवकल समीकरण
(y + zx)p − (x + yz)q = x² − y²
का व्यापक समाकल ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: आंशिक अवकल समीकरण (y² + z² − x²)p − 2xyq + 2xz = 0 जहाँ p = ∂z/∂x तथा q = ∂z/∂y, को हल कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: p cos(x + y) + q sin(x + y) = z, जहाँ p = ∂z/∂x तथा q = ∂z/∂y, को व्यापक हल के लिए हल कीजिए।

3. कॉशी की अभिलक्षण विधि और प्रथम कोटि के अरैखिक PDE

2025 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: z(p² − q²) = x − y; p ≡ ∂z/∂x, q ≡ ∂z/∂y का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

2025 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण
p² + q² = 2; p ≡ ∂z/∂x, q ≡ ∂z/∂y
के अभिलक्षण (कैरेक्टरिस्टिक्स) ज्ञात कीजिए और x = 0, z = y से होकर जाने वाला समाकल पृष्ठ (सरफेस) प्राप्त कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: चार्पिट विधि का उपयोग करके आंशिक अवकल समीकरण p = (z + qy)² का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण : z = (1/2)(p² + q²) + (p − x)(q − y); p ≡ ∂z/∂x, q ≡ ∂z/∂y का हल ज्ञात कीजिये जो कि x-अक्ष से गुजरता हो।

2019 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: प्रथम कोटि रैखिककल्प आंशिक अवकल समीकरण
x ∂u/∂x + (u − x − y) ∂u/∂y = x + 2y में x > 0, −∞ < y < ∞ को u = 1 + y के साथ x = 1 पर अभिलाक्षणिक विधि के द्वारा हल करें।

2017 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण
2(pq + yp + qx) + x² + y² = 0
का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: समीकरण z = p² − q² के अभिलक्षण निर्धारित कीजिए, तथा परवलय 4z + x² = 0, y = 0 से गुज़रने वाला समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

4. अचर गुणांकों वाले द्वितीय कोटि के रैखिक PDE

2026 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण (2D² − 5DD′ + 2D′²) z = 24(y − x) + sin(y − x) को हल कीजिए, जहाँ D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y, z = z(x, y) हैं।

2025 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: समीकरण (D² + DD′ − 2D²) z = y sin x, जहाँ D ≡ ∂/∂x और D′ ≡ ∂/∂y हैं, का हल ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: दो रेखाओं z = x = 0 तथा z − 1 = x − y = 0 से होकर जाने वाला और आंशिक अवकल समीकरण ∂²z/∂x² − 4 ∂²z/∂x∂y + 4 ∂²z/∂y² = 0 को संतुष्ट करने वाला पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण (D² + DD′ − 6D′²) z = x² sin(x + y) जहाँ D ≡ ∂/∂x तथा D′ ≡ ∂/∂y, का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण (D² − D′² − 3D + 3D′)z = xy + e^x+2y का व्यापक हल ज्ञात कीजिए, जहाँ D ≡ ∂/∂x तथा D′ ≡ ∂/∂y हैं।

2020 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: आंशिक अवकल समीकरण : (D³ − 2D²D′ − DD′² + 2D′³)z = e^2x+y + sin(x − 2y); D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y को हल कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण :
(2D² − 5DD′ + 2D′²)z = 5 sin(2x + y) + 24(y − x) + e^{3x + 4y} को हल कीजिए
जहाँ D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y.

2017 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: (D² − 2DD′ + D′²)z = e^x+2y + x³ + sin 2x को हल कीजिए,
जहाँ D ≡ ∂/∂x, D′ ≡ ∂/∂y, D² ≡ ∂²/∂x², D′² ≡ ∂²/∂y² हैं।

2016 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण
∂³z/∂x³ − 2 ∂³z/∂x²∂y − ∂³z/∂x∂y² + 2 ∂³z/∂y³ = e^x+y
को हल कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q5(b), 10 अंक: (D² + DD′ − 2D′²)u = e^x+y को हल कीजिए, जहाँ D = ∂/∂x तथा D′ = ∂/∂y.

2014 प्रश्नपत्र II, Q5(a), 10 अंक: आंशिक अवकल समीकरण (2D² − 5DD′ + 2D′²)z = 24(y − x) को हल कीजिए।

5. द्वितीय कोटि के PDE का वर्गीकरण और विहित रूप

2026 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 20 अंक: आंशिक अवकल समीकरण y ∂²z/∂x² + (x + y) ∂²z/∂x∂y + x ∂²z/∂y² = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिए और तब इसे हल कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण
∂/∂y (∂φ/∂x + φ) + 2x²y (∂φ/∂x + φ) = 0
को विहित रूप में रूपांतरित करके हल कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: आंशिक अवकल समीकरण ∂²z/∂y² − ∂²z/∂x∂y + ∂z/∂x − (∂z/∂y)(1 + 1/x) + z/x = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण yu_xx + (x + y)u_xy + xu_yy = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिये और अतएव इसको हल कीजिये।

2019 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: निम्नलिखित द्वितीय कोटि के आंशिक अवकलन समीकरण को विहित रूप में समानीत करें और सामान्य हल ज्ञात करें :
∂²u/∂x² − 2x ∂²u/∂x∂y + x² ∂²u/∂y² = ∂u/∂y + 12x।

2017 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: समीकरण
y² ∂²z/∂x² − 2xy ∂²z/∂x∂y + x² ∂²z/∂y² = (y²/x) ∂z/∂x + (x²/y) ∂z/∂y
को विहित रूप में समानीत कीजिए और अतएव इसका हल ज्ञात कीजिए।

2015 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरण x² ∂²u/∂x² − 2xy ∂²u/∂x∂y + y² ∂²u/∂y² + x ∂u/∂x + y ∂u/∂y = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिए तथा इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 15 अंक: समीकरण ∂²z/∂x² = x² ∂²z/∂y² को विहित रूप में समानीत कीजिए।

6. कंपित तंतु, ऊष्मा समीकरण और लाप्लास समीकरण

2026 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: समतलीय ध्रुवीय निर्देशांकों (r, θ) में द्विविमीय प्रसंवादी (हार्मोनिक) समीकरण निम्न रूप लेता है:
∂²V/∂r² + (1/r) ∂V/∂r + (1/r²) ∂²V/∂θ² = 0
निगमन कीजिए कि इसके हल का रूप (Arⁿ + Br⁻ⁿ) e^±inθ है, जहाँ A, B, n अचर हैं। V ज्ञात कीजिए यदि यह क्षेत्र 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π में द्विविमीय प्रसंवादी समीकरण को संतुष्ट करता है और शर्तों:
(i) r → 0 पर V परिमित रहता है,
(ii) r = a पर V = ∑_n c_n cos(nθ) है
को संतुष्ट करता है।

2025 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 20 अंक: एक आयताकार प्लेट के लिए ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 को परिसीमा प्रतिबन्धों
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0
u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x)
के अधीन हल कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 20 अंक: दर्शाइए कि द्विविम लाप्लास समीकरण
∂²φ(x, y)/∂x² + ∂²φ(x, y)/∂y² = 0, x ∈ (−∞, ∞), y ≥ 0
का हल, परिसीमा प्रतिबन्ध
φ(x, 0) = f(x), x ∈ (−∞, ∞) के अधीन तथा φ(x, y) → 0 जब |x| → ∞ और y → ∞,
φ(x, y) = (y/π) ∫_−∞^∞ f(ξ) dξ/[y² + (x − ξ)²]
के रूप में लिखा जा सकता है।

2023 प्रश्नपत्र II, Q7(c), 20 अंक: आंशिक अवकल समीकरण a² ∂²u/∂x² = ∂²u/∂t², 0 < x < L, t > 0 का शर्तों
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x, (∂u/∂t)_t=0 = 1, 0 < x < L
से प्रतिबंधित हल ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 20 अंक: ऊष्मा समीकरण ∂u/∂t = ∂²u/∂x², 0 < x < l, t > 0 का शर्तों
u(0, t) = u(l, t) = 0
u(x, 0) = x(l − x), 0 ≤ x ≤ l
से प्रतिबन्धित हल ज्ञात कीजिये।

2021 प्रश्नपत्र II, Q6(a), 20 अंक: तरंग समीकरण a² ∂²u/∂x² = ∂²u/∂t², 0 < x < L, t > 0 का शर्तों u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, u(x, 0) = (1/4)x(L − x), ∂u/∂t|_t=0 = 0 से प्रतिबन्धित हल ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 20 अंक: लम्बाई l की कसकर खींची गई लचीली-पतली डोरी का एक सिरा मूल बिन्दु पर तथा दूसरा x = l पर बंधा है। आरंभिक अवस्था में इसे x = l/3 बिन्दु से ऐसे खींचकर छोड़ा जाता है ताकि यह x-y तल में h ऊँचाई के त्रिभुज का आकार लेता है। किसी भी दूरी x तथा समय t, डोरी को विरामावस्था से छोड़ने के बाद, पर विस्थापन y को ज्ञात कीजिए। डोरी में (क्षैतिज तनाव)/(डोरी की इकाई लम्बाई की संहति) = c² लीजिए।

2018 प्रश्नपत्र II, Q8(c), 20 अंक: एक पतली वलयिका (एनुलस) क्षेत्र 0 < a ≤ r ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π को घेरती है। इसके तल ताप-अवरोधी हैं। आन्तरिक किनारे के साथ-साथ ताप 0° पर स्थिर रखा जाता है जबकि बाह्य किनारे का ताप T = K cos(θ/2) पर बनाए रखा जाता है, जहाँ K एक स्थिरांक है। वलयिका में ताप-वितरण का निर्धारण कीजिए।

2017 प्रश्नपत्र II, Q5(d), 10 अंक: माना xy-समतल में Γ एक संवृत वक्र है तथा S उसके वक्र Γ द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र को निर्दिष्ट करता है। माना कि
∂²w/∂x² + ∂²w/∂y² = f(x, y) ∀ (x, y) ∈ S है।
यदि S के प्रत्येक बिन्दु (x, y) पर f निर्धारित है तथा S की सीमा Γ पर w निर्धारित है, तो सिद्ध कीजिए कि इन शर्तों को पूरा करने वाला कोई भी हल w = w(x, y) एकमात्र हल है।

2017 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 20 अंक: दिया हुआ है एकविमीय तरंग समीकरण,
∂²y/∂t² = c² ∂²y/∂x²; t > 0,
जहाँ c² = T/m, T तार में अपरिवर्ती तनाव है तथा m तार का प्रति इकाई लम्बाई द्रव्यमान है।
(i) उपर्युक्त तरंग समीकरण का यथोचित हल ज्ञात कीजिए।
(ii) प्रतिबन्धों
y(0, t) = 0, y(l, t) = 0 सभी t के लिए
तथा [∂y/∂t]_t=0 = 0, y(x, 0) = a sin(πx/l), 0 < x < l, a > 0
के साथ भी हल निकालिए।

2016 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 20 अंक: लम्बाई 10 cm तथा अचर अनुप्रस्थ-परिच्छेद का क्षेत्रफल 1 cm² की चाँदी की एक छड़ में तापमान u(x, t) ज्ञात कीजिए। मान लीजिए घनत्व ρ = 10·6 g/cm³, ऊष्मा चालकता K = 1·04 cal/(cm sec °C) तथा विशिष्ट ऊष्मा σ = 0·056 cal/g °C. छड़ पूर्णतः पार्श्विक वियुक्त (perfectly isolated laterally) है, सिरों को 0°C पर रखा गया है तथा प्रारम्भिक तापमान f(x) = sin(0·1πx) °C है। ध्यान रखिए कि u(x, t) तापीय समीकरण u_t = c²u_xx का अनुगमन करता है, जहाँ c² = K/(ρσ) है।

2015 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: प्रारंभिक-परिसीमा मान समस्या
u_t − u_xx + u = 0, 0 < x < l, t > 0
u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = x(l − x), 0 < x < l
का हल ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र II, Q7(a), 15 अंक: एक कंपमान डोरी (लम्बाई = π, स्थिर सिरे, ∂²u/∂t² = ∂²u/∂x²) का विक्षेप ज्ञात कीजिए, यदि प्रारंभिक वेग शून्य हो और प्रारंभिक विक्षेप f(x) = k(sin x − sin 2x) हो।

2014 प्रश्नपत्र II, Q8(a), 15 अंक: हल कीजिए ∂²u/∂t² = ∂²u/∂x², 0 < x < 1, t > 0, दिया है कि
(i) u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
(ii) ∂u/∂t (x, 0) = x², 0 ≤ x ≤ 1
(iii) u(0, t) = u(1, t) = 0, सभी t के लिए