गतिकी एवं स्थैतिकी — गणित (वैकल्पिक विषय) नोट्स

1. त्वरण को v dv/dx के रूप में समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सरल रेखा के अधिकांश प्रश्नों में बल स्थिति x के फलन के रूप में ज्ञात होता है, समय t के नहीं: किसी ग्रह का आकर्षण, डोरी का तनाव, किसी केंद्र का आकर्षण।

तब न्यूटन का नियम m d²x/dt² = F(x) सीधे t के सापेक्ष समाकलित नहीं हो सकता, क्योंकि हमें अभी x, t के फलन के रूप में ज्ञात नहीं है।

हमें पहले चाल को स्थिति के फलन के रूप में और बाद में समय ज्ञात करने की विधि चाहिए।

शब्दों में: v dv/dx वही त्वरण है, जिसे t के स्थान पर x को स्वतंत्र चर मानकर लिखा गया है।

शृंखला नियम (chain rule) से dv/dt = (dv/dx)(dx/dt), और dx/dt वेग v है; अतः त्वरण = v dv/dx कोई नया नियम नहीं बल्कि चर का परिवर्तन है।

चूँकि v dv/dx = d(v²/2)/dx, समीकरण v dv/dx = f(x) तुरंत समाकलित होता है: v²/2 = ∫f(x) dx + C।

अचर C किसी एक ज्ञात युग्म (x, v) से, प्रायः आरंभिक बिंदु से, निर्धारित होता है; परिणाम केवल चाल और स्थिति के बीच संबंध है, उसमें t नहीं होता।

फिर समय t = ∫dx/v से मिलता है, जहाँ v का चिह्न गति की दिशा से चुना जाता है: जब x घट रहा हो तो ऋणात्मक।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक कण रेखा पर त्वरण −4x (सदैव O की ओर) से चलता है और x = 3 पर विराम से आरंभ करता है; x = 1 पर उसकी चाल और वहाँ पहुँचने का समय ज्ञात कीजिए।

चरण 1: त्वरण केवल x पर निर्भर है, अतः v dv/dx = −4x लिखें।

चरण 2: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करें: v²/2 = −2x² + C।

चरण 3: आरंभ में x = 3 और v = 0, अतः 0 = −18 + C, अर्थात C = 18।

चरण 4: अतः v² = 36 − 4x² = 4(9 − x²), और x = 1 पर चाल √32 = 4√2 है।

चरण 5: ध्यान दें कि हमने समय जाने बिना ही चाल ज्ञात कर ली; v dv/dx का यही मुख्य लाभ है।

चरण 6: समय के लिए, कण O की ओर चलता है, अतः v = dx/dt = −2√(9 − x²) और dt = −dx/(2√(9 − x²))।

चरण 7: t = ∫₁³ dx/(2√(9 − x²)) = (1/2)[π/2 − sin⁻¹(1/3)] = (1/2)cos⁻¹(1/3) ≈ 0.615।

अ-उदाहरण (non-example): त्वरण g cos t के लिए v dv/dx = g cos t लिखने पर x में समाकलन करते समय दाईं ओर t रह जाता है, जो असंभव है; यहाँ विफल शर्त यह है कि दायाँ पक्ष केवल x का फलन होना चाहिए, अतः यहाँ dv/dt = g cos t सही रूप है।

केवल v पर निर्भर बल (प्रतिरोध kv) सीमांत स्थिति है: दोनों रूप चलते हैं, पर v dv/dx = −kv से v, x के फलन के रूप में और dv/dt = −kv से v, t के फलन के रूप में मिलता है, अतः जो पूछा गया हो उसके अनुरूप रूप चुनें।

आगे बढ़ते हुए: m v dv/dx = F(x) को dx से गुणा करके x₀ से x तक समाकलन करें: (1/2)mv² − (1/2)mv₀² = ∫F dx, अर्थात गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = किया गया कार्य।

F = −mμ/x² और x = a पर विराम के साथ इससे v² = 2μ(1/x − 1/a) मिलता है; फिर x = a sin²φ के साथ t = ∫dx/v से केंद्र तक का समय मिलता है (देखें "व्युत्पत्ति: केंद्र तक समय, अवमंदित तथा प्रणोदित हल")।

यही दो-चरणीय क्रम, पहले ऊर्जा और फिर वर्गमूल हटाने वाले प्रतिस्थापन से समय, उदाहरण 2, 11 और 12 को हल करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: केंद्र की ओर आकर्षण (व्युत्क्रम वर्ग, व्युत्क्रम दूरी, घात नियम), पलायन वेग और प्रतिरोधी गति के प्रत्येक प्रश्न में; व्यवरुद्ध गति और केंद्रीय कक्षाओं में यही विचार ऊर्जा समाकल के रूप में फिर आता है।

2. सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion)

सरल रेखा पर स्थिति x(t); वेग v = dx/dt; त्वरण = dv/dt = d²x/dt² = v dv/dx।

जब बल स्थिति पर निर्भर हो तो v dv/dx और जब समय या वेग पर निर्भर हो तो dv/dt का प्रयोग करें।

भाव: v dv/dx = d(v²/2)/dx, अतः m v dv/dx = F का अर्थ है कि बल, दूरी के सापेक्ष गतिज ऊर्जा (kinetic energy) के परिवर्तन की दर के बराबर है; यह अवकल रूप में कार्य-ऊर्जा सिद्धांत है, और इसी कारण स्थिति-आश्रित बल वाली स्थिति तुरंत ऊर्जा समीकरण में समाकलित हो जाती है।

यदि बल समय पर निर्भर हो तो v dv/dx में t समाकल्य के भीतर रह जाएगा, अतः dv/dt स्वाभाविक रूप है; यदि बल केवल वेग पर निर्भर हो तो दोनों रूपों में चर पृथक हो जाते हैं, dv/dt से v(t) और v dv/dx से v(x) मिलता है।

अचर त्वरण f: v = u + ft, s = ut + (1/2)ft², v² = u² + 2fs।

व्युत्क्रम वर्ग आकर्षण: d²x/dt² = −μ/x²; x = a पर विराम से आरंभ करने पर v² = 2μ(1/x − 1/a)।

भाव: x → 0 पर चाल असीमित रूप से बढ़ती है, फिर भी केंद्र तक पहुँचने का समय परिमित है, क्योंकि कण अंतिम भाग बहुत तेजी से पार करता है; प्रतिस्थापन x = a sin²φ इसलिए चुना जाता है कि यह a − x को a cos²φ बना देता है और वर्गमूल √(x/(a − x)) = tan φ को हटा देता है।

t = ∫dx/v में x = a sin²φ रखने पर केंद्र तक पहुँचने का समय (π/2)√(a³/(2μ)) है।

पृथ्वी की सतह (त्रिज्या R, g = μ/R²) से पलायन वेग (escape velocity) √(2gR) है, लगभग 11.2 km/s।

यह क्यों काम करता है: प्रति एकक द्रव्यमान ऊर्जा समाकल v²/2 − μ/x = अचर है; कण अनंत तक पलायन करता है यदि वहाँ भी v² ≥ 0 रहे, अर्थात सतह पर v²/2 − μ/R ≥ 0 हो, अतः v² ≥ 2μ/R = 2gR; g = 9.8 m/s² और R = 6.4 × 10⁶ m लेने पर यह लगभग 11.2 km/s आता है।

प्रतिरोधी गति: प्रति एकक द्रव्यमान kv या kv² प्रतिरोध के लिए dv/dt या v dv/dx लिखें, चर पृथक करें और समाकलन करें; प्रति एकक द्रव्यमान kv² प्रतिरोध के विरुद्ध गिरता पिंड सीमांत वेग √(g/k) की ओर बढ़ता है।

भाव: सीमांत वेग (terminal velocity) वह चाल है जिस पर प्रतिरोध ठीक भार को संतुलित करता है (g = kv² या g = kv), अतः वहाँ त्वरण शून्य होता है; इस चाल से कम चाल से (जैसे विराम से) आरंभ करने वाला पिंड t → ∞ पर नीचे से इसकी ओर बढ़ता है पर इसे कभी प्राप्त नहीं करता, क्योंकि v और सीमांत चाल का अंतर घटने के साथ त्वरण भी शून्य की ओर घटता है; सीमांत चाल से अधिक चाल से नीचे फेंका गया पिंड धीमा होकर उसकी ओर बढ़ता है।

प्रतिरोध सदैव वेग का विरोध करता है, अतः ऊर्ध्वाधर गति में ऊपर जाते और नीचे आते समय समीकरण भिन्न होते हैं (kv² के लिए: ऊपर d²x/dt² = −g − kv², नीचे g − kv²); दोनों चरणों को अलग-अलग हल करें।

उदाहरण 1: एक कण विराम से गुरुत्व के अधीन ऐसे माध्यम में गिरता है जिसका प्रतिरोध प्रति एकांक द्रव्यमान kv है; समय t पर उसका वेग और गिरी दूरी ज्ञात कीजिए।

dv/dt = g − kv, अतः ∫dv/(g − kv) = t से (1/k) log[g/(g − kv)] = t, अर्थात v = (g/k)(1 − e^−kt)।

t = 0 पर x = 0 लेकर पुनः समाकलन: x = (g/k)t − (g/k²)(1 − e^−kt)।

t → ∞ पर v → g/k, सीमांत वेग (terminal velocity), जिसके निकट कण पहुँचता है पर उसे कभी प्राप्त नहीं करता।

उदाहरण 2: एक कण उस बल-केंद्र से दूरी a पर विराम से चलता है जो उसे त्वरण μ/x² से आकर्षित करता है; दिखाइए कि वह बिंदु x = a/2 तक समय (π + 2)/4 × √(a³/(2μ)) में पहुँचता है।

v dv/dx = −μ/x² से v² = 2μ(a − x)/(ax), और कण भीतर की ओर चलता है अतः dt = −√(a/(2μ)) √(x/(a − x)) dx।

x = a sin²φ रखें: √(x/(a − x)) dx = 2a sin²φ dφ = a(1 − cos 2φ) dφ, तथा φ, π/2 से घटकर π/4 तक जाता है।

t = √(a/(2μ)) a[φ − (1/2) sin 2φ], π/4 से π/2 तक = √(a³/(2μ)) (π/4 + 1/2) = (π + 2)/4 × √(a³/(2μ))।

3. सरल आवर्त गति को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: स्प्रिंग पर द्रव्यमान, लोलक, नीचे दबाया गया तैरता पिंड और चिकने कटोरे में कण, सभी विराम की किसी स्थिति के परितः दोलन करते हैं।

छोटे दोलनों के लिए ये सभी एक ही समीकरण का पालन करते हैं, अतः एक ही हल इन सबके लिए आवर्तकाल, प्रत्येक बिंदु पर चाल और किन्हीं दो स्थितियों के बीच का समय दे देता है।

शब्दों में: d²x/dt² = −μx जहाँ μ > 0। यहाँ x एक स्थिर केंद्र O से विस्थापन है, एक ओर धनात्मक और दूसरी ओर ऋणात्मक।

ऋण चिह्न बताता है कि त्वरण सदैव O की ओर वापस होता है; त्वरण का परिमाण O से दूरी के समानुपाती है।

μ यह मापता है कि कण कितनी प्रबलता से वापस खींचा जाता है; इसकी इकाई 1/समय² है, अतः n = √μ रेडियन प्रति एकक समय में एक कोणीय आवृत्ति है।

आयाम a, O से अधिकतम दूरी है; आवर्तकाल T एक पूर्ण आने-जाने का समय है; प्रारंभिक कला ε यह निर्धारित करती है कि t = 0 पर कण कहाँ है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक कण d²x/dt² = −9x से चलता है और x = 2 पर विराम से आरंभ करता है।

चरण 1: −μx से तुलना करें: μ = 9, अतः n = √μ = 3 और आवर्तकाल T = 2π/3 है।

चरण 2: कण x = 2 पर विराम में है, अतः x = 2 एक चरम बिंदु है और आयाम a = 2 है।

चरण 3: अतः x = 2 cos 3t; जाँच: t = 0 पर x = 2 और dx/dt = −6 sin 0 = 0, जैसा अपेक्षित है।

चरण 4: x = 1 पर चाल: v² = μ(a² − x²) = 9(4 − 1) = 27, अतः v = 3√3।

चरण 5: अधिकतम चाल केंद्र पर a√μ = 6 है, और अधिकतम त्वरण चरम बिंदुओं पर μa = 18 है।

चरण 6: x = 2 से x = 1 तक का समय: cos 3t = 1/2 से 3t = π/3, अतः t = π/9, जो T/6 है, ठीक जैसा उदाहरण 4 बताता है।

अ-उदाहरण (non-example): d²x/dt² = −9x³ सरल आवर्त गति नहीं है: त्वरण विस्थापन के समानुपाती नहीं है, और इसका आवर्तकाल आयाम के साथ बदलता है; d²x/dt² = +9x चिह्न की शर्त पूरी नहीं करता, और कण e^3t की तरह O से दूर भागता है।

इसके विपरीत d²x/dt² = −9x + 3 सरल आवर्त गति है, O के परितः नहीं बल्कि x = 1/3 के परितः: y = x − 1/3 रखने पर d²y/dt² = −9y मिलता है; अचर बल केवल केंद्र को खिसकाता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) समीकरण को 2 dx/dt से गुणा करके समाकलन करें, v² = μ(a² − x²) मिलता है; (2) चरों को पृथक करें, x = a cos(√μ t + ε) मिलता है; (3) कोसाइन तब दोहराता है जब उसका कोणांक 2π बढ़ता है, अतः T = 2π/√μ, a कुछ भी हो।

प्रत्येक चरण "व्युत्पत्ति: SHM समीकरण का हल" में लिखा है; फिर सहायक वृत्त प्रत्येक समय-प्रश्न को कोण-प्रश्न बना देता है: समय = (वृत्त पर घूमा कोण)/√μ।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्यास्थ डोरियाँ और स्प्रिंग, सरल लोलक, समय और आयाम पर उदाहरण 7 से 10, स्थायी साम्य का ऊर्जा परीक्षण (कल्पित कार्य विषय), अवमंदित और प्रणोदित दोलन (अध्याय 5) तथा लग्रांजीय यांत्रिकी में छोटे दोलन (अध्याय 14)।

4. सरल आवर्त गति (SHM)

परिभाषा: d²x/dt² = −μx (μ > 0): त्वरण एक स्थिर बिंदु O की ओर तथा O से दूरी के समानुपाती।

भाव: सरल आवर्त गति (SHM) विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल के अधीन गति है, जैसे स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान; प्रतिबंध μ > 0 आवश्यक है, क्योंकि d²x/dt² = +μx के हल e^{±√μ t} हैं और कण दोलन करने के स्थान पर O से दूर भाग जाता है।

चित्र: x = a cos(√μ t + ε), त्रिज्या a के वृत्त (सहायक वृत्त, auxiliary circle) पर एकसमान कोणीय चाल √μ से घूमते बिंदु का व्यास पर प्रक्षेप है; कला √μ t + ε उस बिंदु का कोण है।

हल: x = a cos(√μ t + ε), जहाँ a आयाम (amplitude) और ε प्रारंभिक कला (epoch) है।

v² = μ(a² − x²); केंद्र पर अधिकतम चाल a√μ, चरम बिंदुओं x = ±a पर चाल शून्य; चरम बिंदुओं पर अधिकतम त्वरण μa।

आवर्तकाल (period) T = 2π/√μ और आवृत्ति √μ/(2π); आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता।

भाव: आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता क्योंकि समीकरण रैखिक है: a को दुगुना करने से प्रत्येक दूरी और प्रत्येक चाल दुगुनी हो जाती है, अतः प्रत्येक दोलन में उतना ही समय लगता है; यह अरैखिक बलों के लिए सत्य नहीं है, जैसे बड़े दोलनों वाला लोलक, जिसका आवर्तकाल आयाम के साथ बढ़ता है।

संरक्षी बल (conservative force) के अधीन स्थायी साम्य बिंदु के निकट गतिमान कोई भी कण छोटे विस्थापनों के लिए लगभग SHM करता है: यदि प्रति एकक द्रव्यमान स्थितिज ऊर्जा V(x) हो जिसमें V′(0) = 0 और V″(0) > 0, तो d²x/dt² = −V′(x) ≈ −V″(0)x, अतः μ = V″(0)।

उदाहरण 3: SHM में एक कण की केंद्र से दूरियों x₁, x₂ पर चालें v₁, v₂ हैं; आवर्तकाल और आयाम ज्ञात कीजिए।

v₁² = μ(a² − x₁²) तथा v₂² = μ(a² − x₂²) से μ = (v₁² − v₂²)/(x₂² − x₁²)।

अतः T = 2π√((x₂² − x₁²)/(v₁² − v₂²)) और a² = (v₁²x₂² − v₂²x₁²)/(v₁² − v₂²)।

उदाहरण 4: दिखाइए कि SHM में कण को किसी चरम स्थिति से उस चरम स्थिति और केंद्र के मध्य बिंदु तक जाने में आवर्तकाल का छठा भाग लगता है।

चरम स्थिति से t मापने पर x = a cos √μ t; x = a/2 जब cos √μ t = 1/2, अर्थात √μ t = π/3।

अतः t = π/(3√μ) = (1/6)(2π/√μ) = T/6, जबकि आयाम का शेष आधा भाग, a/2 से केंद्र तक, T/4 − T/6 = T/12 लेता है।

5. प्रत्यास्थ डोरियों और हुक के नियम को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रश्नों में कण किसी प्रत्यास्थ डोरी या स्प्रिंग से बँधा होता है; डोरी के खिंचने पर तनाव बदलता है, अतः हमें उसका सटीक नियम, वह स्थिति जहाँ कण रुक सकता है, और डोरी में संचित ऊर्जा चाहिए।

शब्दों में: T = λx/l। T तनाव है, वह बल जिससे डोरी कण को अपने स्थिर सिरे की ओर खींचती है।

l प्राकृतिक (बिना खिंची) लंबाई है; x विस्तार है, वर्तमान लंबाई में से l घटाकर; λ प्रत्यास्थता मापांक है और इसकी इकाई बल की है।

डोरी तभी तक तनी रहती है जब तक x > 0; यदि कण स्थिर सिरे से l से कम दूरी पर आ जाए, तो डोरी ढीली होती है और T = 0। स्प्रिंग x < 0 के लिए भी यही नियम मानती है, जहाँ वह धक्का देती है।

डोरी को विस्तार 0 से x तक खींचने में किया गया कार्य, और इसलिए संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा, λx²/(2l) है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 1 kg का द्रव्यमान प्राकृतिक लंबाई 1 m और मापांक 20 N वाली डोरी से लटका है (g = 10 m/s² लें)।

चरण 1: विराम में तनाव भार को संतुलित करता है: 20e/1 = 1 × 10, अतः साम्य विस्तार e = 0.5 m है।

चरण 2: इसे 0.2 m और नीचे खींचकर छोड़ें; मान लें y साम्य स्थिति से नीचे विस्थापन है, अतः विस्तार 0.5 + y है।

चरण 3: गति का समीकरण: 1 × d²y/dt² = 10 − 20(0.5 + y) = −20y; भार साम्य तनाव से निरस्त हो गया।

चरण 4: यह μ = 20 वाली सरल आवर्त गति है, जो सामान्य नियम के अनुसार g/e = 10/0.5 के बराबर है; आवर्तकाल 2π/√20 ≈ 1.40 s है।

चरण 5: आयाम 0.2 m, e = 0.5 m से कम है, अतः उच्चतम बिंदु पर भी विस्तार 0.3 m रहता है और डोरी कभी ढीली नहीं होती।

चरण 6: अधिकतम चाल, साम्य स्थिति पर, 0.2 × √20 ≈ 0.89 m/s है।

चरण 7: यदि हमने इसे 0.8 m नीचे खींचा होता, तो आयाम e से अधिक होता; डोरी y = −0.5 पर ढीली हो जाती और वहाँ से गति गुरुत्व के अधीन स्वतंत्र गति है, सरल आवर्त गति नहीं।

अ-उदाहरण (non-example): डोरी के लिए ऋणात्मक विस्तार x के साथ T = λx/l लेने से ऋणात्मक तनाव, अर्थात धक्का, मिलेगा, जो डोरी नहीं लगा सकती; शर्त x ≥ 0 विफल होती है, अतः ढीली अवस्था में केवल गुरुत्व बल है।

अवितान्य (inextensible) डोरी पर हुक का नियम लागू ही नहीं होता: उसका तनाव अज्ञात होता है और गति से (जैसे ऊर्ध्वाधर वृत्त में) ज्ञात किया जाता है, किसी सूत्र से नहीं।

आगे बढ़ते हुए: y को साम्य बिंदु से मापने पर भार mg, तनाव λe/l से निरस्त होकर d²y/dt² = −(g/e)y छोड़ता है, अतः आवर्तकाल 2π√(e/g) है; λs/l के समाकल से प्रत्यास्थ ऊर्जा λx²/(2l) मिलती है (देखें "व्युत्पत्ति: प्रत्यास्थ डोरी पर SHM तथा प्रत्यास्थ ऊर्जा")।

स्थिर सिरे से गिराए गए कण के लिए अधिकतम विस्तार हेतु ऊर्जा का प्रयोग करें (उदाहरण 6) और समय को स्वतंत्र पतन भाग तथा SHM भाग में बाँटें (उदाहरण 15 और 16)।

कहाँ प्रयोग होता है: डोरियों पर गिराए या खींचे गए कणों, नलिकाओं के भीतर स्प्रिंगों और चिकने नत समतलों पर डोरियों के बार-बार पूछे जाने वाले UPSC प्रश्नों में; प्रत्यास्थ ऊर्जा कल्पित कार्य विषय में स्थायित्व के ऊर्जा परीक्षण में भी आती है।

6. प्रत्यास्थ डोरियाँ और स्प्रिंग

हुक का नियम: तनाव T = λx/l, जहाँ l प्राकृतिक लंबाई, x विस्तार और λ प्रत्यास्थता मापांक (modulus of elasticity) है।

भाव: λ वह तनाव है जो प्राकृतिक लंबाई को दुगुना कर दे (x = l पर T = λ), और l से भाग देने पर λ प्रयुक्त डोरी की लंबाई के स्थान पर पदार्थ का गुण बन जाता है; डोरी खींच सकती है पर धकेल नहीं सकती, अतः यह केवल तनी अवस्था में बल लगाती है, जबकि स्प्रिंग संपीडित होने पर धक्का भी देती है।

प्रत्यास्थ डोरी से लटके द्रव्यमान m का साम्य विस्तार e = mgl/λ है; ऊर्ध्वाधर विस्थापित करने पर यह साम्य स्थिति के परितः μ = g/e तथा आवर्तकाल 2π√(e/g) = 2π√(ml/λ) से SHM करता है, जब तक डोरी तनी रहे।

यदि डोरी ढीली हो जाए तो कण गुरुत्व के अधीन स्वतंत्र गति करता है; गति को SHM भाग और स्वतंत्र भाग में बाँटकर समय जोड़ें।

उदाहरण 5: द्रव्यमान m का कण प्राकृतिक लंबाई l और मापांक 2mg की प्रत्यास्थ डोरी से लटका है; इसे साम्य स्थिति से l/4 नीचे खींचकर छोड़ा जाता है।

साम्य विस्तार e = mgl/(2mg) = l/2 तथा μ = g/e = 2g/l; आयाम l/4, e से कम है, अतः डोरी पूरे समय तनी रहती है।

आवर्तकाल = 2π√(l/(2g)) = π√(2l/g); अधिकतम चाल = (l/4)√(2g/l) = √(2gl)/4, साम्य स्थिति पर।

उदाहरण 6: द्रव्यमान m का कण प्राकृतिक लंबाई a और मापांक 2mg की हल्की प्रत्यास्थ डोरी के एक सिरे से बँधा है, जिसका दूसरा सिरा O पर स्थिर है; कण को O से विराम से छोड़ा जाता है। डोरी का अधिकतम प्रसार ज्ञात कीजिए।

कण a दूरी स्वतंत्र रूप से गिरता है, फिर डोरी को खींचता है; निम्नतम बिंदु पर चाल शून्य है और प्रसार x है।

ऊर्जा: स्थितिज ऊर्जा की हानि mg(a + x) = प्रत्यास्थ ऊर्जा λx²/(2a) = mgx²/a, अतः x² − ax − a² = 0।

धनात्मक मूल लेने पर अधिकतम प्रसार x = a(1 + √5)/2 ≈ 1.618a।

7. संबंधित परिणाम

लंबवत रेखाओं पर समान आवर्तकाल की दो SHM मिलकर सामान्यतः दीर्घवृत्त देती हैं, जो कलांतर 0 या π होने पर सरल रेखा बन जाता है।

यह क्यों काम करता है: x = a cos nt और y = b cos(nt + ε) से t का विलोपन करने पर x²/a² − (2xy/(ab)) cos ε + y²/b² = sin²ε मिलता है, एक शांकव जिसका विविक्तकर (cos²ε − 1)/(a²b²) ऋणात्मक है जब तक sin ε = 0 न हो, अतः यह दीर्घवृत्त है, जो ε = 0 या π पर सरल रेखा में बदल जाता है।

लंबाई l का सरल लोलक छोटे दोलनों के लिए लगभग SHM करता है, आवर्तकाल 2π√(l/g); सेकंड लोलक का आवर्तकाल 2 s है।

8. अवमंदित और प्रणोदित दोलनों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: वास्तविक दोलन वायु प्रतिरोध और घर्षण के कारण समाप्त हो जाते हैं, और अनेक तंत्र किसी आवर्ती बल से चालित होते हैं, जैसे अपने आधार को हिलाता इंजन।

हमें जानना है कि दोलन कितनी तेजी से क्षीण होता है, वह दोलन करता भी है या नहीं, और प्रणोदित अनुक्रिया कितनी बड़ी है, विशेषकर अनुनाद के निकट।

शब्दों में: d²x/dt² + 2k dx/dt + n²x = F cos pt, सब प्रति एकक द्रव्यमान।

n²x प्रत्यानयन पद है, ठीक SHM के μx की तरह, अतः n प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति है; 2k dx/dt वेग के समानुपाती प्रतिरोध है, k ≥ 0, जिसे गुणक 2 के साथ इसलिए लिखा जाता है कि मूल −k ± √(k² − n²) के रूप में आएँ।

F cos pt कोणीय आवृत्ति p वाला चालक बल है। F = 0 पर गति मुक्त है; k और n की तुलना तय करती है कि वह दोलन करेगी या नहीं: k < n हल्का, k = n क्रांतिक, k > n अति अवमंदन।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: d²x/dt² + 2 dx/dt + 5x = 0 को t = 0 पर x = 1 और dx/dt = 0 के साथ हल कीजिए।

चरण 1: 2k = 2 से k = 1 और n² = 5 से n = √5; चूँकि k < n, अवमंदन हल्का है और हम क्षीण होते दोलन की अपेक्षा करते हैं।

चरण 2: सहायक समीकरण m² + 2m + 5 = 0 के मूल m = −1 ± 2i हैं, अतः ω = √(n² − k²) = 2।

चरण 3: अतः x = e^−t(A cos 2t + B sin 2t); t = 0 पर x = 1 से A = 1।

चरण 4: dx/dt = e^−t[(2B − A) cos 2t − (B + 2A) sin 2t], जो t = 0 पर 2B − A है; इसे शून्य रखने पर B = 1/2।

चरण 5: अतः x = e^−t(cos 2t + (1/2) sin 2t)।

चरण 6: दोलन का आवर्तकाल 2π/ω = π है, जो अनवमंदित आवर्तकाल 2π/√5 ≈ 2.81 से अधिक है; अवमंदन दोलन को धीमा करता है।

चरण 7: विपरीत ओर के क्रमागत दोलन e^−kπ/ω = e^−π/2 ≈ 0.21 के अनुपात में हैं, अतः प्रत्येक दोलन पिछले का लगभग पाँचवाँ भाग है।

अ-उदाहरण (non-example): d²x/dt² + 6 dx/dt + 5x = 0 में k = 3 > n = √5; मूल −1 और −5 वास्तविक हैं, x = Ae^−t + Be^−5t अधिकतम एक बार O को पार करता है, और सूत्र 2π/√(n² − k²) अर्थहीन है क्योंकि शर्त k < n विफल है।

आगे बढ़ते हुए: परीक्षण x = e^mt से m = −k ± √(k² − n²) मिलता है; प्रणोदित समीकरण के लिए विशेष समाकल F cos pt/(n² − p²) जोड़ें, या p = n पर (Ft/(2n)) sin nt (देखें "व्युत्पत्ति: केंद्र तक समय, अवमंदित तथा प्रणोदित हल")।

पूर्ण गति मुक्त भाग (जो k > 0 होने पर समाप्त हो जाता है) और प्रणोदित भाग (जो बना रहता है) का योग है; लंबे समय बाद केवल प्रणोदित अनुक्रिया शेष रहती है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रतिरोधी दोलन के आवर्तकाल और लघुगणकीय ह्रास, अनुनाद, तथा गतिमान आधार वाली स्प्रिंग पर कण के प्रश्नों में; विधि अध्याय 5 की अचर-गुणांक अवकल समीकरण विधि है।

9. स्थितियों के बीच समय, अरैखिक, अवमंदित तथा प्रणोदित दोलन

सरल आवर्त गति में दो स्थितियों के बीच का समय: x = a cos nt (n = √μ) लेने पर चरम बिंदु x = a से बिंदु x तक का समय (1/n) cos⁻¹(x/a) है; अतः एक ही ओर, एक ही गमन में x₁ से x₂ तक का समय (1/n)|cos⁻¹(x₂/a) − cos⁻¹(x₁/a)| है।

आयाम में परिवर्तन: यदि दूरी x पर चाल अचानक v से v′ कर दी जाए (केंद्र और μ अपरिवर्तित), तो नया आयाम a′ समीकरण v′² = μ(a′² − x²) से मिलता है; आवर्तकाल नहीं बदलता।

चाल और त्वरण के आँकड़े: सरल आवर्त गति में x पर त्वरण का परिमाण f = μ|x| है, अतः (चाल, त्वरण) के दो युग्म μ और a दोनों निर्धारित कर देते हैं (उदाहरण 10)।

अरैखिक दोलन: d²x/dt² = −F(x)x के लिए, जहाँ F सम और धनात्मक है, ऊर्जा समाकल v² = 2∫_x^a F(s)s ds तथा सरल आवर्त गति से तुलना आवर्तकाल को 2π/√F_max और 2π/√F_min के बीच सीमित करती है (उदाहरण 14)।

μ/x (दूरी के व्युत्क्रम) के अधीन गति: v² = 2μ log(a/x), और प्रतिस्थापन x = ae^−y समय-समाकल को गामा फलन में बदल देता है (उदाहरण 11); घात नियम μx^−k के लिए प्रतिस्थापन x = as^m बीटा फलन देता है (उदाहरण 12)।

अवमंदित दोलन (damped oscillations): d²x/dt² + 2k dx/dt + n²x = 0 (प्रति एकांक द्रव्यमान प्रतिरोध 2k × वेग); यदि k < n, तो x = Ae^−kt cos(√(n² − k²) t + ε), आवर्तकाल 2π/√(n² − k²) का दोलन है जिसके विपरीत ओर के क्रमागत दोलन e^{−kπ/√(n2 − k2)} के अनुपात में घटते हैं।

भाव: अवमंदन (damping) दो काम करता है: यह आयाम को ह्रासमान गुणक e^−kt से गुणा करता है और दोलन को धीमा करता है, आवृत्ति n से घटकर √(n² − k²) हो जाती है; क्रमागत दोलनों के अनुपात का लघुगणक kπ/√(n² − k²) लघुगणकीय ह्रास (logarithmic decrement) कहलाता है और देखे गए दोलनों से k मापने में प्रयुक्त होता है।

यदि k = n (क्रांतिक अवमंदन) तो x = (A + Bt)e^−nt, और यदि k > n (अति अवमंदन) तो x दो क्षयशील चरघातांकी पदों का योग है; इन दोनों में कण दोलन नहीं करता।

प्रणोदित दोलन (forced oscillations): d²x/dt² + n²x = F cos pt का विशेष हल p ≠ n के लिए x = F cos pt/(n² − p²) है; p = n के लिए यह (Ft/(2n)) sin nt है, जो असीमित रूप से बढ़ता है (अनुनाद)।

भाव: पूर्ण गति मुक्त दोलन (पूरक फलन A cos(nt + ε)) और प्रणोदित अनुक्रिया का योग है; जब p, n के निकट हो तो अनुक्रिया F/(n² − p²) बड़ी होती है, और p = n पर प्रत्येक धक्का गति की कला में आता है और ऊर्जा जोड़ता है, अतः आयाम t के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है (अनुनाद, resonance); अवमंदन होने पर आयाम परिबद्ध रहता है।

10. व्युत्पत्ति: SHM समीकरण का हल

ऊर्जा समाकल से: d²x/dt² = −μx को 2 dx/dt से गुणा करके समाकलन करें: (dx/dt)² = C − μx²; चरम बिंदु x = a पर चाल शून्य है, अतः C = μa² और v² = μ(a² − x²)।

चर पृथक करने पर −dx/√(a² − x²) = √μ dt (x = a से O की ओर चलते कण के लिए), अतः cos⁻¹(x/a) = √μ t + ε, अर्थात x = a cos(√μ t + ε)।

रैखिक समीकरण के रूप में: सहायक समीकरण m² + μ = 0 के मूल ±i√μ हैं, अतः x = A cos √μ t + B sin √μ t, जो a = √(A² + B²) और tan ε = −B/A लेने पर a cos(√μ t + ε) ही है।

जब √μ t में 2π की वृद्धि होती है तो फलन उसी अवस्था में लौटता है, जिससे आवर्तकाल 2π/√μ मिलता है; चाल a√μ |sin(√μ t + ε)| तब अधिकतम होती है जब x = 0।

11. व्युत्पत्ति: प्रत्यास्थ डोरी पर SHM तथा प्रत्यास्थ ऊर्जा

मान लें डोरी साम्य विस्तार (equilibrium extension) e के साथ लटकी है, जिससे mg = λe/l; y को साम्य स्थिति से आगे का नीचे की ओर विस्थापन लें।

तनाव λ(e + y)/l है, अतः m d²y/dt² = mg − λ(e + y)/l = −λy/l, अर्थात d²y/dt² = −(λ/(ml))y = −(g/e)y, क्योंकि λ/(ml) = g/e।

अतः गुरुत्व केवल दोलन के केंद्र को प्राकृतिक लंबाई वाले बिंदु से साम्य बिंदु पर खिसका देता है; जब तक e + y ≥ 0 है, अर्थात डोरी तनी रहती है, गति आवर्तकाल 2π√(e/g) वाली SHM है।

प्रत्यास्थ ऊर्जा: विस्तार 0 से x तक खींचने में किया गया कार्य ∫₀^x (λs/l) ds = λx²/(2l) है; विस्तार x₁ और x₂ के बीच यह (λ/(2l))(x₂² − x₁²) = (x₂ − x₁) × (T₁ + T₂)/2 है।

12. व्युत्पत्ति: केंद्र तक समय, अवमंदित तथा प्रणोदित हल

व्युत्क्रम वर्ग, केंद्र तक समय: v² = 2μ(a − x)/(ax), अतः t = √(a/(2μ)) ∫₀^a √(x/(a − x)) dx; x = a sin²φ रखने पर समाकल्य 2a sin²φ dφ बनता है, और ∫₀^π/2 2a sin²φ dφ = πa/2, अतः t = (π/2)√(a³/(2μ))।

अवमंदित गति: d²x/dt² + 2k dx/dt + n²x = 0 में x = e^mt रखने पर m² + 2km + n² = 0, अतः m = −k ± √(k² − n²); k < n के लिए मूल −k ± iω हैं जहाँ ω = √(n² − k²), जिससे x = Ae^−kt cos(ωt + ε)।

वेग वहाँ शून्य होता है जहाँ tan(ωt + ε) = −k/ω, और ये क्षण π/ω के अंतर पर हैं; अतः विपरीत ओर के क्रमागत चरम विस्थापन e^−kπ/ω के अनुपात में हैं, जो कथित अनुपात है।

प्रणोदित गति: x = C cos pt, d²x/dt² + n²x = F cos pt को संतुष्ट करता है यदि (n² − p²)C = F; p = n पर यह विफल होता है, और x = t(A cos nt + B sin nt) रखने पर 2nB cos nt − 2nA sin nt = F cos nt, अतः A = 0, B = F/(2n) और x = (Ft/(2n)) sin nt।

13. विधि का चयन

यदि बल केवल स्थिति पर निर्भर हो → v dv/dx = f(x) लिखें और समाकलन करके v² को x के फलन के रूप में प्राप्त करें (ऊर्जा समीकरण); समय पूछा हो तो t = ∫dx/v।

यदि बल केवल समय पर निर्भर हो → dv/dt = f(t) का दो बार समाकलन करें, अचर प्रारंभिक स्थिति और वेग से ज्ञात करें।

यदि बल वेग पर निर्भर हो (प्रतिरोध) → समय के लिए dv/dt = f(v) और दूरी के लिए v dv/dx = f(v); ऊपर और नीचे की गति के लिए अलग समीकरण लिखें।

यदि समीकरण रैखिक हो, d²x/dt² + 2k dx/dt + n²x = F(t) → किसी भी अचर गुणांक वाले अवकल समीकरण की भाँति सहायक समीकरण और विशिष्ट समाकल का प्रयोग करें।

यदि SHM में दो स्थितियों के बीच का समय पूछा जाए → नया समाकलन न करके x = a cos(nt + ε) या सहायक वृत्त पर घूमा कोण प्रयोग करें।

यदि गति का स्वरूप बदल जाए (डोरी ढीली हो जाए, कण किसी अवरोध से टकराए, प्रतिरोध बदल जाए) → गति को चरणों में बाँटें और एक चरण के अंत की स्थिति और वेग को अगले चरण के आरंभ में ले जाएँ।

14. सामान्य गलतियाँ

लटके द्रव्यमान का SHM विस्थापन साम्य स्थिति के स्थान पर प्राकृतिक लंबाई वाले बिंदु से मापना; SHM का केंद्र वह बिंदु है जहाँ तनाव भार को संतुलित करता है।

डोरी ढीली होने के बाद भी SHM सूत्रों का प्रयोग करना; जाँचें कि आयाम साम्य विस्तार e से अधिक है या नहीं, और यदि है तो मुक्त पतन का चरण जोड़ें।

कण के मूल बिंदु की ओर चलने पर भी v के लिए धनात्मक वर्गमूल लेना, जिससे परिकलित समय ऋणात्मक आ जाता है; dx/dt का चिह्न गति की दिशा से चुनें।

आवर्तकाल 2π/√μ के स्थान पर 2π/μ लिखना, या अवमंदित आवर्तकाल 2π/√(n² − k²) के स्थान पर 2π/n लेना।

ऊपर और नीचे की गति के लिए एक ही प्रतिरोध समीकरण लेना; वेग के साथ प्रतिरोध का चिह्न बदलता है।

यह भूल जाना कि अवमंदित समीकरण में प्रतिरोध गुणांक 2k है: यदि प्रति एकक द्रव्यमान प्रतिरोध r × वेग हो, तो k = r/2।

15. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: अवमंदित और प्रणोदित समीकरण अचर गुणांक वाले द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण हैं (अध्याय 5); अनुनाद ठीक वह स्थिति है जहाँ प्रणोदक पद समघात समीकरण का हल होता है और विशिष्ट समाकल को t से गुणा करना पड़ता है।

संबंध: स्थितिज ऊर्जा के न्यूनतम बिंदु के परितः SHM, लैग्रांजीय यांत्रिकी में लघु दोलनों (अध्याय 14) और स्थायित्व के ऊर्जा परीक्षण (इसी अध्याय का कल्पित कार्य विषय) की एक-विमीय स्थिति है।

16. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 10 अंक): एक कण एक सरल आवर्त गति (S.H.M.), केन्द्र O पर कालांक (आवर्तकाल) T, आयाम a के साथ प्रस्तुत कर रहा है तथा यह एक बिन्दु P से गुज़रता है, जहाँ कि OP = b, OP की दिशा में। सिद्ध कीजिए कि गुज़रा हुआ समय जब यह P पर वापस लौटता है, (T/π) cos⁻¹(b/a) है।

n = 2π/T लें और समय t को P की ओर वाली चरम स्थिति A से मापें, ताकि x = a cos nt।

कण P से O से दूर जाते हुए गुज़रता है, अतः वह A तक जाता है, रुकता है और P पर लौटता है; सममिति से इस यात्रा के दोनों आधे भागों में बराबर समय लगता है।

A से P तक का समय: a cos nt₁ = b, अतः t₁ = (1/n) cos⁻¹(b/a)।

अभीष्ट समय = 2t₁ = (2/n) cos⁻¹(b/a) = (T/π) cos⁻¹(b/a)।

उत्तर: कण (T/π) cos⁻¹(b/a) समय बाद P पर लौटता है।

उदाहरण 8 (UPSC 2023, 10 अंक): कोई कण केन्द्र 'O' के सापेक्ष आवर्त काल T के साथ सरल आवर्त गति में गतिशील है। कण बिन्दु P से OP के अनुदिश दिशा में v वेग से गुजरता है तथा OP = p है। कण का बिन्दु P पर पुनः लौटने में लगा समय ज्ञात कीजिए। यदि लगा समय T/2 हो, तो p का मान क्या होगा?

n = 2π/T लेने पर v² = n²(a² − p²) से आयाम a = √(p² + v²T²/(4π²)) मिलता है।

उदाहरण 7 की भाँति कण चरम बिंदु तक जाकर लौटता है और इसमें t = (2/n) cos⁻¹(p/a) = (T/π) cos⁻¹(p/a) समय लगता है।

कोण cos⁻¹(p/a) की कोज्या p/a और ज्या vT/(2πa) है, अतः t = (T/π) tan⁻¹(vT/(2πp))।

t = T/2 के लिए cos⁻¹(p/a) = π/2 चाहिए, अर्थात p = 0।

उत्तर: समय (T/π) tan⁻¹(vT/(2πp)) है; यह T/2 केवल तब होता है जब p = 0, अर्थात P स्वयं केंद्र O हो।

उदाहरण 9 (UPSC 2015, 10 अंक): एक पिंड, जो सरल आवर्त गति (एस.एच.एम.) कर रहा है, उसका आयाम 'a' व आवर्तकाल 'T' है। जब माध्य स्थिति से उसकी दूरी (2/3)a हो, तब उसका वेग तिगुना कर दिया जाय, परंतु आवर्तकाल को न बदला जाए, तो उसका नया आयाम मालूम कीजिये।

n = 2π/T लेने पर x = 2a/3 पर चाल v के लिए v² = n²(a² − 4a²/9) = 5n²a²/9।

उसी बिंदु पर नई चाल 3v और वही n लेने पर 9v² = n²(A² − 4a²/9), जहाँ A नया आयाम है।

अतः 5n²a² = n²(A² − 4a²/9), अर्थात A² = 49a²/9।

उत्तर: नया आयाम 7a/3 है।

उदाहरण 10 (UPSC 2024, 15 अंक): सरल आवर्त गति में एक कण की दो स्थितियों में वेग u और v हैं तथा दो संगत त्वरण f₁ और f₂ हैं। k के किस मान/किन मानों के लिए दोनों स्थितियों के बीच की दूरी k(v² − u²) है? यह भी दर्शाइए कि गति का आयाम
[1/(f₂² − f₁²)] [(u² − v²)(u²f₂² − v²f₁²)]^1/2
है।

माना स्थितियाँ x₁, x₂ (केंद्र से, चिह्न सहित) हैं जिन पर चालें u, v हैं: u² = μ(a² − x₁²), v² = μ(a² − x₂²), तथा त्वरणों के परिमाण f₁ = μ|x₁|, f₂ = μ|x₂| हैं।

घटाने पर v² − u² = μ(x₁² − x₂²) = (f₁² − f₂²)/μ, अतः μ = (f₁² − f₂²)/(v² − u²)।

केंद्र के एक ही ओर: दूरी = |x₁| − |x₂| = (f₁ − f₂)/μ = (v² − u²)/(f₁ + f₂), अतः k = 1/(f₁ + f₂)।

विपरीत ओर: दूरी = |x₁| + |x₂| = (f₁ + f₂)/μ = (v² − u²)/(f₁ − f₂), अतः k = 1/(f₁ − f₂)।

आयाम: a² = x₁² + u²/μ = (f₁² + μu²)/μ², और μ = (f₂² − f₁²)/(u² − v²) रखने पर f₁² + μu² = (u²f₂² − v²f₁²)/(u² − v²)।

अतः a² = (u² − v²)(u²f₂² − v²f₁²)/(f₂² − f₁²)², जो दिया गया परिणाम है।

उत्तर: यदि दोनों स्थितियाँ केंद्र के एक ही ओर हैं तो k = 1/(f₁ + f₂), और विपरीत ओर हैं तो k = 1/(f₁ − f₂); a = [(u² − v²)(u²f₂² − v²f₁²)]^1/2/(f₂² − f₁²)।

उदाहरण 11 (UPSC 2015, 13 अंक): एक पिंड, बल के केंद्र से अन्तर्गत, जो दूरी के विलोमानुपाती आकर्षित करता है; 'a' दूरी से विरामअवस्था से चलना शुरू करता है। उसका केन्द्र पर आगमन का समय मालूम कीजिये।

केंद्र की ओर त्वरण μ/x है: v dv/dx = −μ/x, और x = a पर v = 0 से v² = 2μ log(a/x)।

भीतर की ओर गति में dt = −dx/√(2μ log(a/x)), अतः t = ∫₀^a dx/√(2μ log(a/x))।

log(a/x) = y रखें, अर्थात x = ae^−y, dx = −ae^−y dy; y, 0 से ∞ तक जाता है।

t = (a/√(2μ)) ∫₀^∞ e^−y y^−1/2 dy = (a/√(2μ)) Γ(1/2) = a√(π/(2μ))।

उत्तर: केंद्र तक पहुँचने का समय a√(π/(2μ)) है।

उदाहरण 12 (UPSC 2016, 15 अंक): एक कण एक सरल रेखा में गतिमान है। इसका त्वरण सरल रेखा पर एक स्थिर (fixed) बिन्दु O की तरफ निर्देशित है तथा हमेशा μ(a⁵/x²)^1/3 के बराबर है, जब यह बिन्दु O से x दूरी पर है। यदि यह बिन्दु O से a दूरी पर शून्य वेग से गतिमान होता है, तो वह समय निकालिये जब कण O पर आएगा।

v dv/dx = −μa^5/3x^−2/3; x = a पर v = 0 लेकर समाकलन करने पर v² = 6μa^5/3(a^1/3 − x^1/3)।

कण भीतर की ओर चलता है, अतः t = ∫₀^a dx/√(6μa^5/3(a^1/3 − x^1/3))।

x = as³ रखें: dx = 3as² ds और a^1/3 − x^1/3 = a^1/3(1 − s), अतः मूल के भीतर की राशि 6μa²(1 − s) हो जाती है।

t = (3/√(6μ)) ∫₀¹ s²(1 − s)^−1/2 ds = (3/√(6μ)) B(3, 1/2)।

B(3, 1/2) = Γ(3)Γ(1/2)/Γ(7/2) = 2√π/((15/8)√π) = 16/15।

उत्तर: t = 16/(5√(6μ)) = (8/15)√(6/μ), जो a पर निर्भर नहीं है।

उदाहरण 13 (UPSC 2021, 10 अंक): यदि एक ग्रह, जो सूर्य के परितः वृत्तीय कक्षा में परिभ्रमण करता है, अचानक अपनी कक्षा में रोक दिया जाता है, तो वह समय, जिसमें वह सूर्य में गिर जाएगा, ज्ञात कीजिए। इसके गिरने के समय का ग्रह के परिभ्रमण आवर्तकाल से अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

माना कक्षा की त्रिज्या a और आकर्षण μ/r² है; वृत्त में v² = μ/a, अतः आवर्तकाल T = 2πa/v = 2πa^3/2/√μ।

रोक दिए जाने पर ग्रह दूरी a से विराम से गिरता है, जहाँ v² = 2μ(1/x − 1/a)।

§1 की भाँति x = a sin²φ रखकर t = √(a/(2μ)) ∫₀^a √(x/(a − x)) dx = √(a/(2μ)) × πa/2 = (π/2)√(a³/(2μ))।

अनुपात: t/T = (π/2)(a^3/2/√(2μ)) × √μ/(2πa^3/2) = 1/(4√2) = √2/8 ≈ 0.177।

उत्तर: गिरने में (π/2)√(a³/(2μ)) समय लगता है, जो परिक्रमण आवर्तकाल का √2/8 है (पृथ्वी के लिए लगभग 65 दिन)।

उदाहरण 14 (UPSC 2019, 20 अंक): y-अक्ष की दिशा में गतिमान एक कण का मूलबिंदु की ओर त्वरण Fy है, जहाँ F, y का एक धनात्मक एवं सम फलन है। जब कण y = −a तथा y = a के बीच में कंपन करता है, तब उसका आवर्तकाल T है। दर्शाइए कि
2π/√F₁ < T < 2π/√F₂
जहाँ F₁ एवं F₂ परास [−a, a] में F के अधिकतम एवं न्यूनतम मान हैं। आगे दर्शाइए कि जब लंबाई l का एक सरल लोलक ऊर्ध्वाधर रेखा के किसी भी ओर 30° तक दोलन करता है, तब T, 2π√(l/g) तथा 2π√(l/g) √(π/3) के बीच में रहता है।

यहाँ d²y/dt² = −F(y)y, जहाँ F सम और धनात्मक है, अतः गति O के परितः सममित है और T = 4 × (y = 0 से y = a तक का समय)।

ऊर्जा: 0 ≤ y ≤ a के लिए v² = 2∫_y^a F(s)s ds।

चूँकि F₂ ≤ F(s) ≤ F₁ और s ≥ 0, अतः F₂(a² − y²) ≤ v² ≤ F₁(a² − y²), और F अचर न हो तो धनात्मक लंबाई के समुच्चय पर निरपेक्ष असमिका।

अतः T = 4∫₀^a dy/v, 4∫₀^a dy/(√F₁ √(a² − y²)) = 2π/√F₁ और 4∫₀^a dy/(√F₂ √(a² − y²)) = 2π/√F₂ के बीच है।

लोलक: d²θ/dt² = −(g/l) sin θ = −F(θ)θ, जहाँ F(θ) = (g/l)(sin θ)/θ, जो [−π/6, π/6] पर सम और धनात्मक है।

|θ| बढ़ने पर (sin θ)/θ घटता है, अतः F₁ = F(0) = g/l और F₂ = F(π/6) = (g/l)(1/2)/(π/6) = 3g/(πl)।

अतः 2π√(l/g) < T < 2π√(πl/(3g)) = 2π√(l/g) √(π/3)।

उत्तर: 2π/√F₁ < T < 2π/√F₂; 30° के दोलन के लिए 2π√(l/g) < T < 2π√(l/g)√(π/3) (वास्तविक आवर्तकाल लगभग 1.017 × 2π√(l/g) है)।

उदाहरण 15 (UPSC 2025, 15 अंक): एक प्रत्यास्थ डोरी, जिसकी प्राकृतिक लंबाई a है, का एक छोर किसी बिंदु O पर स्थिर है और डोरी के दूसरे छोर पर एक भारी कण जुड़ा हुआ है। डोरी को ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर बिंदु C तक तब तक खींचा जाता है जब तक वह अपनी प्राकृतिक लंबाई से चार गुना न हो जाए तथा फिर छोड़ दिया जाता है। यदि डोरी का प्रत्यास्थता गुणांक कण के भार के बराबर है, तो दर्शाइए कि कण √(a/g) (2√3 + 4π/3) समय में उसी बिंदु C पर वापस आ जाएगा।

λ = mg, अतः साम्य विस्तार e = mga/λ = a: साम्य स्थिति E, O से 2a नीचे है, और डोरी तनी रहने तक गति E के परितः n² = g/e = g/a वाली सरल आवर्त गति है।

C, O से 4a नीचे अर्थात E से 2a नीचे है, अतः आयाम 2a है।

E से ऊपर की ओर x मापने पर x = −2a cos nt; डोरी अपनी स्वाभाविक लंबाई x = a पर ढीली होती है, जब cos nt = −1/2, अर्थात t₁ = (2π/3)√(a/g) के बाद।

वहाँ v² = n²(4a² − a²) = 3ga; इसके बाद कण गुरुत्व के अधीन स्वतंत्र गति करता है और t₂ = 2v/g = 2√(3a/g) बाद उसी चाल से उसी बिंदु पर लौटता है।

उस बिंदु के नीचे डोरी फिर तन जाती है, और सममिति से सरल आवर्त गति कण को और t₁ समय में C पर वापस ले आती है।

कुल समय = 2t₁ + t₂ = √(a/g)(4π/3 + 2√3)।

उत्तर: कण √(a/g)(2√3 + 4π/3) समय बाद C पर लौटता है।

उदाहरण 16 (UPSC 2026, 15 अंक): प्राकृतिक लंबाई l की एक हल्की प्रत्यास्थ डोरी का एक सिरा बिंदु A पर स्थिर है तथा दूसरा सिरा एक पत्थर (द्रव्यमान m) से जुड़ा है; संतुलन की स्थिति में इस पत्थर का भार डोरी को खींचकर b लंबाई तक बढ़ा देता है। दर्शाइए कि यदि पत्थर को बिंदु A से विराम अवस्था से गिराया जाए, तो वह √(2l/g) + √((b − l)/g) {π − cos⁻¹ √((b − l)/(b + l))} समय में संतुलन की स्थिति से √(b² − l²) नीचे तात्क्षणिक विराम अवस्था में आ जाएगा। यह भी सिद्ध कीजिए कि यदि A के नीचे अधिकतम गहराई l cot²(θ/2) है, तो प्रत्यास्थता गुणांक (1/2) mg tan² θ है।

साम्य विस्तार b − l है, अतः λ = mgl/(b − l); डोरी तनी रहने तक गति साम्य बिंदु E (A से b गहराई पर) के परितः n² = g/(b − l) वाली सरल आवर्त गति है।

A से l दूरी तक मुक्त पतन में √(2l/g) समय लगता है और गहराई l पर, जो E से b − l ऊपर है, चाल √(2gl) होती है।

आयाम: 2gl = n²(A² − (b − l)²) से A² = 2l(b − l) + (b − l)² = b² − l², अतः पत्थर E से √(b² − l²) नीचे क्षणिक विराम में आता है।

E से नीचे की ओर x मापकर x = −A cos ψ लिखें, जहाँ ψ = nt + अचर बढ़ता है; आरंभ x = −(b − l) (x बढ़ता हुआ) से ψ₀ = cos⁻¹((b − l)/A) = cos⁻¹√((b − l)/(b + l)), और निम्नतम बिंदु ψ = π है।

सरल आवर्त गति में समय = (π − ψ₀)/n = √((b − l)/g){π − cos⁻¹√((b − l)/(b + l))}; इसमें √(2l/g) जोड़ने पर दिया गया समय मिलता है।

दूसरा भाग: A के नीचे अधिकतम गहराई D = b + √(b² − l²) है, अतः (D − b)² = b² − l² और b = (D² + l²)/(2D)।

D = lk², k = cot(θ/2) रखने पर b − l = (D − l)²/(2D) = l(k² − 1)²/(2k²), अतः λ = mgl/(b − l) = 2mgk²/(k² − 1)²।

चूँकि tan θ = 2 tan(θ/2)/(1 − tan²(θ/2)) = 2k/(k² − 1), अतः λ = (1/2)mg tan²θ।

उत्तर: पत्थर √(2l/g) + √((b − l)/g){π − cos⁻¹√((b − l)/(b + l))} समय बाद E से √(b² − l²) नीचे विराम में होता है, और प्रत्यास्थता गुणांक λ = (1/2)mg tan²θ है।

17. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): एक कण 4 s आवर्तकाल और 3 m आयाम से सरल आवर्त गति करता है। उसकी अधिकतम चाल और अधिकतम त्वरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: n = 2π/4 = π/2; अधिकतम चाल an = 3π/2 ≈ 4.71 m/s, अधिकतम त्वरण an² = 3π²/4 ≈ 7.40 m/s²।

अभ्यास 2 (मूल): क्या d²x/dt² = −4x + 8 सरल आवर्त गति है? यदि हाँ, तो उसका केंद्र और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हाँ: y = x − 2 रखने पर यह d²y/dt² = −4y बनता है, x = 2 के परितः आवर्तकाल 2π/2 = π वाली सरल आवर्त गति।

अभ्यास 3 (मूल): 2 kg का द्रव्यमान प्राकृतिक लंबाई 0.5 m और मापांक 49 N वाली प्रत्यास्थ डोरी से लटका है (g = 9.8 m/s²)। साम्य विस्तार और छोटे ऊर्ध्वाधर दोलनों का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: e = mgl/λ = 0.2 m; आवर्तकाल 2π√(e/g) = 2π/7 ≈ 0.90 s।

अभ्यास 4 (मानक): एक कण O से दूरी a पर विराम से आरंभ करके O की ओर त्वरण μ/x³ के अधीन चलता है। दिखाइए कि वह O तक समय a²/√μ में पहुँचता है।

उत्तर: v² = μ(a² − x²)/(a²x²), अतः t = (a/√μ)∫₀^a x dx/√(a² − x²) = (a/√μ) × a = a²/√μ।

अभ्यास 5 (मानक): एक पिंड प्रति एकक द्रव्यमान kv² प्रतिरोध के विरुद्ध विराम से गिरता है; V उसका सीमांत वेग है। जब उसकी चाल V/2 हो, तब तक गिरी दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: v dv/dx = g − kv² से x = (1/(2k)) log[g/(g − kv²)]; kv² = g/4 और 1/k = V²/g के साथ x = (V²/(2g)) log(4/3)।

अभ्यास 6 (मानक): एक सरल आवर्त गति में केंद्र से दूरियों 4 और 3 पर चालें क्रमशः 3 और 4 हैं। आयाम और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 9 = μ(a² − 16) और 16 = μ(a² − 9) से μ = 1 और a = 5; आवर्तकाल 2π है।

अभ्यास 7 (मानक): एक कण d²x/dt² = −10x − 2 dx/dt के अधीन चलता है। उसके दोलन का आवर्तकाल, लघुगणकीय ह्रास और विपरीत ओर के क्रमागत दोलनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: k = 1, n² = 10, ω = 3; आवर्तकाल 2π/3, लघुगणकीय ह्रास kπ/ω = π/3, अनुपात e^−π/3 ≈ 0.35।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): द्रव्यमान m का एक कण प्राकृतिक लंबाई a और मापांक 3mg वाली हल्की प्रत्यास्थ डोरी के एक सिरे से बँधा है, जिसका दूसरा सिरा O पर स्थिर है, और उसे O से विराम से गिराया जाता है। डोरी का अधिकतम विस्तार और निम्नतम बिंदु तक पहुँचने का समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अधिकतम विस्तार a(1 + √7)/3 (3x² − 2ax − 2a² = 0 से); समय √(2a/g) + √(a/(3g)){π − cos⁻¹(1/√7)}, जहाँ SHM का केंद्र प्राकृतिक लंबाई वाले बिंदु से a/3 नीचे और आयाम a√7/3 है।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): एक कण O की ओर त्वरण μ/x² से आकर्षित है और x = a से O से सीधे दूर चाल √(μ/a) से प्रक्षेपित किया जाता है। दिखाइए कि वह x = 2a पर विराम में आता है और वहाँ पहुँचने में समय (π/2 + 1)√(a³/μ) लेता है।

उत्तर: v² = μ(2a − x)/(ax), x = 2a पर शून्य होता है; x = 2a sin²φ (φ, π/4 से π/2 तक) से समय-समाकल √(a/μ) ∫ 4a sin²φ dφ = (π/2 + 1)√(a³/μ) बनता है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): d²x/dt² + 4x = 3 cos t और d²x/dt² + 4x = 3 cos 2t, प्रत्येक को t = 0 पर x = 0 और dx/dt = 0 के साथ हल कीजिए, और दीर्घकालीन व्यवहार में अंतर समझाइए।

उत्तर: x = cos t − cos 2t, जो परिबद्ध रहता है (|x| ≤ 2); x = (3t/4) sin 2t, जिसका आयाम रैखिक रूप से बढ़ता है क्योंकि चालक आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति 2 के बराबर है (अनुनाद)।

1. त्रिज्य और अनुप्रस्थ घटकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब बल सदैव किसी स्थिर केंद्र (सूर्य, नाभिक, खूँटी) की ओर हो या पथ ध्रुवीय रूप r = f(θ) में दिया हो, तो कार्तीय घटक प्रत्येक समीकरण में दोनों निर्देशांकों को मिला देते हैं।

ध्रुवीय घटक गति के उस भाग को, जो केंद्र की ओर या उससे दूर है, उस भाग से अलग कर देते हैं जो उसके चारों ओर घूमता है, अतः प्रत्येक समीकरण में एक ही भौतिक प्रभाव रहता है।

शब्दों में: e_r, O से कण की ओर एकक सदिश है और e_θ उसके लंबवत, θ बढ़ने की दिशा में एकक सदिश है; बिंदु (dot) का अर्थ d/dt है।

v_r = ṙ, O से दूरी के बदलने की दर है; v_θ = rθ̇ घूमने के कारण चाल है, क्योंकि दूरी r पर δθ घूमने से कण चाप r δθ चलता है।

a_r = r̈ − rθ̇²: पहला पद त्रिज्य चाल का परिवर्तन है, दूसरा अभिकेंद्र भाग है, जो r अचर होने पर भी उपस्थित रहता है।

a_θ = 2ṙθ̇ + rθ̈ = (1/r) d/dt(r²θ̇): यह ठीक तभी शून्य होता है जब r²θ̇ अचर हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक कण सर्पिल r = 2θ पर अचर कोणीय वेग θ̇ = 1 से चलता है, अतः θ = t; θ = π पर उसका वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए।

चरण 1: r = 2t, अतः ṙ = 2 और r̈ = 0; साथ ही θ̇ = 1 और θ̈ = 0।

चरण 2: θ = π पर r = 2π; v_r = 2 और v_θ = rθ̇ = 2π, अतः चाल √(4 + 4π²) = 2√(1 + π²) है।

चरण 3: a_r = r̈ − rθ̇² = 0 − 2π = −2π, अर्थात 2π, O की ओर।

चरण 4: a_θ = 2ṙθ̇ + rθ̈ = 4 + 0 = 4।

चरण 5: त्वरण का परिमाण √(4π² + 16) = 2√(π² + 4) है।

चरण 6: ध्यान दें कि r̈ = 0 और θ̈ = 0, फिर भी दोनों घटक शून्येतर हैं; ये पूरी तरह e_r और e_θ के घूमने से आते हैं।

चरण 7: कार्तीय रूप में जाँच: x = 2t cos t, y = 2t sin t से t = π पर (ẍ, ÿ) = (2π, −4), और वहाँ e_r = (−1, 0), e_θ = (0, −1) के साथ a_r = −2π और a_θ = 4, जैसा पाया गया।

अ-उदाहरण (non-example): r और θ को कार्तीय निर्देशांकों की तरह मानकर a_r = r̈ और a_θ = rθ̈ लेने से ऊपर के उदाहरण में त्वरण शून्य आता, जिसे कार्तीय जाँच खंडित करती है; विफल शर्त यह है कि एकक सदिश स्थिर हों, जबकि e_r, e_θ कण के साथ घूमते हैं।

आगे बढ़ते हुए: स्थिति को r e_r लिखें और de_r/dt = θ̇ e_θ, de_θ/dt = −θ̇ e_r का प्रयोग करें; दो बार अवकलन से दोनों घटक मिलते हैं (देखें "व्युत्पत्ति: त्वरण के घटक")।

यदि बल केंद्रीय हो, तो a_θ = 0, अतः r²θ̇ = h अचर है और क्षेत्रीय वेग h/2 अचर है: यही केप्लर का द्वितीय नियम है, केंद्रीय कक्षाएँ विषय का आरंभ बिंदु।

कहाँ प्रयोग होता है: अचर कोणीय वेग से वर्णित वक्र (उदाहरण 1 और 2), केंद्रीय कक्षाएँ, घूमते तार पर मनका और कोई भी प्रश्न जो पथ को r = f(θ) के रूप में देता है।

2. स्पर्शरेखीय और अभिलंब घटकों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: जब कोई कण किसी ज्ञात वक्र पर चलता है (तार पर मनका, मुड़ी सड़क पर कार, डोरी पर गोलक), तो स्वाभाविक दिशाएँ पथ के अनुदिश और उसके आर-पार होती हैं।

केवल पथ के अनुदिश बल चाल बदलते हैं, और चिकने वक्र की प्रतिक्रिया उसके आर-पार कार्य करती है, अतः ये घटक अज्ञात प्रतिक्रिया को चाल से अलग कर देते हैं।

शब्दों में: s पथ के अनुदिश चाप-लंबाई है, v = ds/dt चाल, T गति की दिशा में एकक स्पर्शरेखा, और N वक्र के अवतल पक्ष की ओर, वक्रता केंद्र की ओर, एकक अभिलंब।

ψ स्पर्शरेखा द्वारा किसी स्थिर रेखा से बना कोण है और ρ = ds/dψ वक्रता त्रिज्या है: बड़ा ρ हल्का मोड़ और छोटा ρ तीव्र मोड़ दर्शाता है।

a_t = dv/dt = v dv/ds केवल चाल बदलता है; N के अनुदिश a_n = v²/ρ केवल दिशा बदलता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक कार 50 m त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलती है, उसकी चाल 5 s में 10 m/s से 20 m/s तक एकसमान रूप से बढ़ती है; जब चाल 15 m/s हो तब उसका त्वरण ज्ञात कीजिए।

चरण 1: चाल एकसमान रूप से बढ़ती है, अतः a_t = dv/dt = (20 − 10)/5 = 2 m/s², गति की दिशा में।

चरण 2: वृत्त के लिए वक्रता त्रिज्या उसकी त्रिज्या ही है, ρ = 50 m।

चरण 3: a_n = v²/ρ = 225/50 = 4.5 m/s², केंद्र की ओर।

चरण 4: दोनों भाग लंबवत हैं, अतः परिमाण √(2² + 4.5²) = √24.25 ≈ 4.92 m/s² है।

चरण 5: यह गति की दिशा से केंद्र की ओर tan⁻¹(4.5/2) ≈ 66° का कोण बनाता है।

चरण 6: ध्यान दें कि a_n चाल के वर्ग के साथ बढ़ता है: 20 m/s पर यह 8 m/s² हो जाता है, इसीलिए तीव्र मोड़ धीरे लिए जाते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): 'चाल अचर है, अतः त्वरण शून्य' वक्र पर असत्य है: एकसमान वृत्तीय गति में a_t = 0 पर a_n = v²/ρ ≠ 0; केवल सरल रेखा (ρ = ∞) पर a_n शून्य होता है, अतः विफल शर्त दिशा की स्थिरता है, चाल की नहीं।

आगे बढ़ते हुए: v = vT लिखकर अवकलन करें: dT/dt = (dT/dψ)(dψ/ds)(ds/dt) = (v/ρ)N, अतः a = (dv/dt)T + (v²/ρ)N (देखें "व्युत्पत्ति: त्वरण के घटक")।

चिकने वक्र पर कण के लिए दो समीकरण हैं m v dv/ds = स्पर्शरेखीय बल (जो समाकलित होकर ऊर्जा समीकरण देता है) और m v²/ρ = प्रतिक्रिया सहित अभिलंब बल (जो प्रतिक्रिया देता है); यही व्यवरुद्ध गति विषय की विधि है।

कहाँ प्रयोग होता है: ऊर्ध्वाधर वृत्त, चक्रज और खुरदरे वक्र (व्यवरुद्ध गति विषय), सड़कों का ढलान (banking), और अध्याय 7 में सेरे-फ्रेने सूत्र dT/ds = κN की समतलीय स्थिति के रूप में।

3. वेग और त्वरण के घटक

कार्तीय: वेग (dx/dt, dy/dt), त्वरण (d²x/dt², d²y/dt²)।

त्रिज्य और अनुप्रस्थ (radial and transverse): v_r = dr/dt, v_θ = r dθ/dt; a_r = d²r/dt² − r(dθ/dt)², a_θ = (1/r) d/dt(r² dθ/dt)।

भाव: पद −r(dθ/dt)² अभिकेंद्र त्वरण (centripetal acceleration) है: वृत्त r = a पर गति में a_r में केवल यही बचता है, और यह भीतर की ओर होता है; यह इसलिए आता है कि स्वयं ध्रुवांतर-सदिश (radius vector) की दिशा घूमती है।

a_θ को (1/r) d/dt(r² dθ/dt) के रूप में लिखने से तुरंत दिखता है कि जब अनुप्रस्थ बल शून्य हो, तो r² dθ/dt अचर है; केंद्रीय कक्षाओं का पूरा सिद्धांत इसी एक तथ्य पर टिका है।

स्पर्शरेखीय और अभिलंब (tangential and normal): स्पर्शरेखा के अनुदिश v = ds/dt; a_t = dv/dt = v dv/ds तथा वक्रता केंद्र की ओर a_n = v²/ρ, ρ वक्रता त्रिज्या है।

भाव: स्पर्शरेखीय भाग dv/dt केवल चाल बदलता है और अभिलंब भाग v²/ρ केवल दिशा बदलता है; एकसमान वृत्तीय गति में पहला शून्य है और पूरा त्वरण v²/a केंद्र की ओर है, जबकि सरल रेखा पर (ρ = ∞) दूसरा शून्य है।

O के परितः कोणीय वेग dθ/dt; क्षेत्रीय वेग (1/2)r² dθ/dt।

यह क्यों काम करता है: अल्प समय δt में ध्रुवांतर-सदिश आधार r और ऊँचाई r δθ (प्रथम कोटि तक) का पतला त्रिभुज बनाता है, जिसका क्षेत्रफल (1/2)r² δθ है; δt से भाग देने पर क्षेत्रीय वेग (areal velocity) मिलता है।

उदाहरण 1: एक कण अचर कोणीय वेग ω से समकोणीय सर्पिल r = ae^θ पर चलता है; उसका त्वरण ज्ञात कीजिए।

dr/dt = rω और d²r/dt² = rω², अतः a_r = rω² − rω² = 0 तथा a_θ = (1/r) d/dt(r²ω) = 2ω dr/dt = 2rω²: त्वरण 2rω² है, ध्रुवांतर-रेखा के लंबवत।

उदाहरण 2: एक कण अचर कोणीय वेग ω से हृदयाभ (cardioid) r = a(1 + cos θ) पर चलता है; अरीय और अनुप्रस्थ त्वरण तथा त्वरण का परिमाण ज्ञात कीजिए।

dr/dt = −aω sin θ तथा d²r/dt² = −aω² cos θ।

a_r = −aω² cos θ − a(1 + cos θ)ω² = −aω²(1 + 2 cos θ); a_θ = 2(dr/dt)ω = −2aω² sin θ।

परिमाण = aω²√[(1 + 2 cos θ)² + 4 sin²θ] = aω²√(5 + 4 cos θ)।

4. प्रक्षेप्य को दो स्वतंत्र गतियों के रूप में समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: फेंकी गई गेंद, गोला या पानी की धार सभी एक ही प्रश्न उठाते हैं: वह कितनी देर ऊपर रहती है, कितनी ऊँची जाती है और कहाँ गिरती है।

एकसमान गुरुत्व सबसे सरल द्विविमीय बल है, और प्रक्षेप्य वह प्रतिरूप है जिस पर समतल गति की प्रत्येक बाद की विधि परखी जाती है।

शब्दों में: u प्रक्षेपण चाल और α क्षैतिज से उन्नयन कोण है; g अचर और ऊर्ध्वाधर है, और वायु प्रतिरोध नहीं है।

क्षैतिज दिशा में कोई बल नहीं है, अतः क्षैतिज वेग u cos α कभी नहीं बदलता और x = ut cos α।

ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरण −g है, अतः y = ut sin α − gt²/2, जो चाल u sin α से सीधे ऊपर फेंकी गई गेंद की सामान्य गति है।

उड्डयन काल वह समय है जब तक y फिर शून्य न हो, अधिकतम ऊँचाई उस क्षण का y है जब ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो, और परास उड़ान के अंत में x है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक पत्थर u = 20 m/s से α = 30° पर प्रक्षेपित किया जाता है (g = 10 m/s² लें)।

चरण 1: वेग को विभाजित करें: क्षैतिज 20 cos 30° = 10√3 ≈ 17.32 m/s, ऊर्ध्वाधर 20 sin 30° = 10 m/s।

चरण 2: केवल ऊर्ध्वाधर गति: ऊर्ध्वाधर वेग 10 − 10t, t = 1 s पर शून्य है, जो पथ का शीर्ष है।

चरण 3: वहाँ ऊँचाई 10 × 1 − 5 × 1 = 5 m है, जो u² sin²α/(2g) = 400 × (1/4)/20 = 5 से मेल खाती है।

चरण 4: यह तब गिरता है जब 10t − 5t² = 0, अर्थात t = 2 s पर, शीर्ष तक के समय का दुगुना, जैसा 2u sin α/g बताता है।

चरण 5: अब ही क्षैतिज गति से मिलाएँ: परास = 10√3 × 2 = 20√3 ≈ 34.6 m, जो u² sin 2α/g है।

चरण 6: t का विलोपन करने पर पथ y = x/√3 − x²/60, एक परवलय, मिलता है; 60° पर प्रक्षेपण से वही परास मिलता है पर पत्थर 15 m तक उठता है और 2√3 ≈ 3.46 s ऊपर रहता है।

अ-उदाहरण (non-example): वेग के समानुपाती वायु प्रतिरोध होने पर क्षैतिज वेग घटता है, पथ परवलय नहीं रहता और ऊपर के सूत्र विफल हो जाते हैं; विफल शर्त है 'एकसमान गुरुत्व के अतिरिक्त कोई बल नहीं'। लंबी दूरी की मिसाइल भी इसे पूरा नहीं करती, क्योंकि पथ के साथ g का परिमाण और दिशा बदलते हैं।

आगे बढ़ते हुए: y = 0 हल करने, ऊर्ध्वाधर वेग को शून्य रखने और समय को u cos α से गुणा करने पर T, H और R मिलते हैं (देखें "व्युत्पत्ति: प्रक्षेप्य सूत्र")।

पथ को tan α में द्विघात के रूप में लिखने से 'कौन-से कोण किसी दिए बिंदु पर लगते हैं' का उत्तर मिलता है (दो, एक या कोई नहीं), और उसकी समान-मूल शर्त सुरक्षा परवलय देती है।

कहाँ प्रयोग होता है: क्षैतिज समतल के प्रश्न, शीर्ष का बिंदुपथ (उदाहरण 9), ऊँचाई से प्रक्षेपण (उदाहरण 11) और गतिमान जहाज से प्रक्षेपण (उदाहरण 12); स्वतंत्र दिशाओं में यही विभाजन किसी भी नियत दिशा वाले बल के लिए चलता है (उदाहरण 7)।

5. क्षैतिज समतल पर प्रक्षेप्य

मान्यताएँ: एकसमान गुरुत्व g, वायु प्रतिरोध नहीं; क्षैतिज से कोण α पर प्रक्षेपण चाल u।

x = ut cos α, y = ut sin α − (1/2)gt²; पथ y = x tan α − gx²/(2u² cos²α), एक परवलय।

भाव: गुरुत्व केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है, अतः क्षैतिज वेग u cos α कभी नहीं बदलता जबकि ऊर्ध्वाधर गति सामान्य एकसमान मंदित गति है; दोनों गतियाँ स्वतंत्र हैं और केवल अंत में जोड़ी जाती हैं (ऊपर का चित्र देखें)।

उड्डयन काल (time of flight) T = 2u sin α/g; अधिकतम ऊँचाई H = u² sin²α/(2g); क्षैतिज परास (range) R = u² sin 2α/g।

α = 45° पर अधिकतम परास u²/g; कोण α और 90° − α समान परास देते हैं।

यह क्यों काम करता है: R = u² sin 2α/g और sin 2α = sin(180° − 2α), अतः α और 90° − α समान परास देते हैं; अधिक खड़ा पथ अधिक ऊँचा जाता है और देर तक हवा में रहता है पर आगे धीरे बढ़ता है।

पथ का नाभिलंब = 2u² cos²α/g; नियता प्रक्षेपण बिंदु से u²/(2g) ऊँचाई पर है, और किसी बिंदु पर चाल √(2g × नियता से नीचे की गहराई) है।

अन्वालोप (सुरक्षा परवलय): स्थिर u और सभी α के लिए पथ y = u²/(2g) − gx²/(2u²) को स्पर्श करते हैं; इसके बाहर के बिंदुओं तक नहीं पहुँचा जा सकता।

भाव: इस परवलय के ठीक भीतर का प्रत्येक बिंदु दो प्रक्षेप पथों से पहुँचा जाता है, इस पर का प्रत्येक बिंदु ठीक एक से (दोनों दिशाएँ संपाती हो जाती हैं), और बाहर के बिंदु किसी से नहीं; यह उस क्षेत्र की सीमा है जिसे प्रक्षेप चाल u वाली तोप भेद सकती है।

उदाहरण 3: α ज्ञात कीजिए यदि परास अधिकतम ऊँचाई का तीन गुना है।

R/H = (2 sin α cos α)/(sin²α/2) = 4 cot α = 3, अतः tan α = 4/3 और α = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.1°।

उदाहरण 4: एक तोप 20 m/s चाल से (g = 10 m/s² लें) ऐसे लक्ष्य पर गोला दागती है जो क्षैतिजतः 20 m दूर और 10 m ऊँचा है; प्रक्षेपण के संभव कोण ज्ञात कीजिए।

पथ y = x tan α − gx²(1 + tan²α)/(2u²) है; x = 20, y = 10 पर gx²/(2u²) = 4000/800 = 5।

अतः 10 = 20 tan α − 5(1 + tan²α), अर्थात tan²α − 4 tan α + 3 = 0, जिससे tan α = 1 या 3।

कोण 45° और tan⁻¹3 ≈ 71.6° हैं; सामान्यतः लक्ष्य तभी पहुँच में है जब tan α में यह द्विघात वास्तविक मूल रखे, अर्थात बिंदु सुरक्षा परवलय के भीतर हो।

6. नत समतल पर प्रक्षेपण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: प्रक्षेप्य प्रायः किसी ढलान, पहाड़ी या रैंप पर गिरता है; गिरने का बिंदु अब y = 0 पर नहीं होता, अतः क्षैतिज समतल के सूत्र गलत समय और परास देते हैं।

हमें समतल के अनुदिश परास, सर्वोत्तम कोण, तथा समतल से समकोण पर या क्षैतिजतः टकराने की शर्तें चाहिए।

शब्दों में: β समतल का क्षैतिज से झुकाव है; α क्षैतिज से मापा गया प्रक्षेपण कोण है, अतः समतल से कोण α − β है।

एक अक्ष अधिकतम ढाल रेखा के अनुदिश ऊपर और एक समतल के लंबवत लें; तब गुरुत्व के घटक ढलान पर नीचे g sin β और समतल में g cos β हैं।

उड्डयन काल वह समय है जिसमें लंबवत विस्थापन फिर शून्य हो जाए; परास R समतल के अनुदिश गिरने के बिंदु तक की दूरी है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 30° झुकाव वाले समतल पर ऊपर की ओर एक कण u = 20 m/s से क्षैतिज से 60° पर प्रक्षेपित किया जाता है (g = 10 m/s²)।

चरण 1: समतल से कोण α − β = 30° है, अतः वेग घटक समतल के अनुदिश 20 cos 30° = 10√3 और उसके लंबवत 20 sin 30° = 10 हैं।

चरण 2: त्वरण समतल के अनुदिश −g sin 30° = −5 और उसके लंबवत −g cos 30° = −5√3 हैं।

चरण 3: लंबवत गति: 10t − (5√3/2)t² = 0 से T = 4/√3 ≈ 2.31 s, जो 2u sin(α − β)/(g cos β) का मान है।

चरण 4: उस समय में समतल के अनुदिश गति: R = 10√3 × (4/√3) − (5/2)(16/3) = 40 − 40/3 = 80/3 ≈ 26.7 m।

चरण 5: सूत्र 2u² cos α sin(α − β)/(g cos²β) = 800 × (1/2)(1/2)/(10 × 3/4) = 80/3 से जाँच करें।

चरण 6: यहाँ α = 45° + β/2, अतः यह समतल पर ऊपर का अधिकतम परास है, और सचमुच u²/(g(1 + sin β)) = 400/15 = 80/3।

चरण 7: गिरते समय समतल के अनुदिश वेग 10√3 − 5 × 4/√3 = 10/√3 > 0 है, अतः कण अभी भी ढलान पर ऊपर चल रहा है और समतल से समकोण पर नहीं टकराता।

अ-उदाहरण (non-example): यहाँ R = u² sin 2α/g = 34.6 m लेना गलत है: वह समतल भूमि पर परास है, और ऊपर उठती ढलान पथ से पहले ही मिल जाती है; विफल शर्त यह है कि गिरने की सतह प्रक्षेपण बिंदु से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा हो।

आगे बढ़ते हुए: लंबवत समीकरण T देता है, क्षैतिज दूरी (u cos α)T, R cos β के बराबर है, और सर्वसमिका 2 cos α sin(α − β) = sin(2α − β) − sin β सर्वोत्तम कोण और अधिकतम परास देती है; β के स्थान पर −β रखने से समतल पर नीचे के परिणाम मिलते हैं (देखें "व्युत्पत्ति: प्रक्षेप्य सूत्र")।

टकराने की शर्तें समय T पर वेग से आती हैं: समकोण पर का अर्थ है समतल के अनुदिश घटक शून्य (उदाहरण 5), क्षैतिजतः का अर्थ है ऊर्ध्वाधर घटक शून्य (उदाहरण 6)।

कहाँ प्रयोग होता है: नत समतल पर परास, सर्वोत्तम कोण और टकराने की शर्तों वाला मानक UPSC प्रश्न, ऊपर और नीचे के अधिकतम परासों का अनुपात, और दी गई ढलान वाली पहाड़ियाँ (उदाहरण 8)।

7. नत समतल पर प्रक्षेप्य

एक समतल क्षैतिज से β पर नत है; कण को समतल के ऊपर की ओर क्षैतिज से कोण α (α > β) पर चाल u से, अधिकतम ढाल रेखा से जाने वाले ऊर्ध्व समतल में प्रक्षेपित किया जाता है।

उड्डयन काल T = 2u sin(α − β)/(g cos β); समतल पर परास R = 2u² cos α sin(α − β)/(g cos²β)।

भाव: समतल के सापेक्ष, गुरुत्व का एक घटक g cos β कण को समतल की ओर लौटाता है और g sin β उसे ढलान पर नीचे खींचता है; अतः आनत समतल एक क्षैतिज समतल है जिस पर गुरुत्व झुका हुआ और दुर्बल है, और उड्डयन काल केवल समतल के लंबवत गति से निकलता है।

R = u²[sin(2α − β) − sin β]/(g cos²β) लिखने पर R अधिकतम है जब 2α − β = π/2, अर्थात α = π/4 + β/2: प्रक्षेपण दिशा समतल और ऊर्ध्वाधर के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।

समतल के ऊपर अधिकतम परास = u²/(g(1 + sin β)); समतल के नीचे अधिकतम परास = u²/(g(1 − sin β))।

अतः दोनों अधिकतम परासों का अनुपात (1 − sin β) : (1 + sin β) है।

उदाहरण 5: कण के समतल से समकोण पर टकराने का प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।

टक्कर के समय समतल के अनुदिश वेग घटक शून्य होना चाहिए: u cos(α − β) = g sin β × 2u sin(α − β)/(g cos β), अतः cot(α − β) = 2 tan β।

उदाहरण 6: कण समतल से क्षैतिजतः टकराता है यदि वह अपने पथ के शीर्ष पर गिरे: u sin α = gT से tan α = 2 tan β।

8. प्रक्षेप्य के अन्य परिणाम

किसी बिंदु से होकर दो दिशाएँ: (x, y) से होकर जाने वाला पथ tan α में द्विघात देता है: (gx²/(2u²)) tan²α − x tan α + (y + gx²/(2u²)) = 0; इसके मूल दो संभव दिशाएँ हैं, और उनका योग व गुणनफल सीधे पढ़े जा सकते हैं।

शीर्ष: उच्चतम बिंदु (u² sin α cos α/g, u² sin²α/(2g)) है; नियत u के लिए α का विलोपन शीर्षों का बिंदुपथ, दीर्घवृत्त x² + 4y² = 2u²y/g, देता है।

ऊँचाई h से प्रक्षेपण: −h = ut sin α − gt²/2 का धनात्मक मूल t = [u sin α + √(u²sin²α + 2gh)]/g लें; क्षैतिज परास ut cos α है।

गतिमान मंच से प्रक्षेपण: मंच के सापेक्ष प्रक्षेपण वेग में मंच का वेग जोड़ें, फिर परिणामी वेग पर सामान्य सूत्र लगाएँ।

नियत दिशा में बल: यदि बल सदैव किसी नियत रेखा (मान लें y-अक्ष) के समांतर है, तो उसके लंबवत वेग-घटक अचर रहता है और उसके अनुदिश गति एक सरल रेखीय प्रश्न है; दोनों को मिलाएँ (उदाहरण 7)।

9. व्युत्पत्ति: त्वरण के घटक

त्रिज्य और अनुप्रस्थ: r = r e_r लिखें जहाँ e_r = (cos θ, sin θ) और e_θ = (−sin θ, cos θ); तब de_r/dt = θ̇ e_θ और de_θ/dt = −θ̇ e_r, बिंदु d/dt को दर्शाता है।

अवकलन करने पर v = ṙ e_r + rθ̇ e_θ, और पुनः a = (r̈ − rθ̇²) e_r + (2ṙθ̇ + rθ̈) e_θ।

अंत में 2ṙθ̇ + rθ̈ = (1/r)(2rṙθ̇ + r²θ̈) = (1/r) d/dt(r²θ̇), जो a_θ का कथित रूप है।

स्पर्शरेखीय और अभिलंब: v = vT जहाँ T एकक स्पर्श सदिश है; dT/dt = (dT/dψ)(dψ/ds)(ds/dt) = N × (1/ρ) × v, क्योंकि dT/dψ एकक अभिलंब N है और dψ/ds = 1/ρ; अतः a = (dv/dt)T + (v²/ρ)N।

10. व्युत्पत्ति: प्रक्षेप्य सूत्र

क्षैतिज समतल: t(u sin α − gt/2) = 0 पर y पुनः 0 होता है, अतः T = 2u sin α/g; शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग u sin α − gt शून्य होता है, और ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = u² − 2gs से H = u² sin²α/(2g); R = (u cos α)T = u² sin 2α/g।

अन्वालोप (envelope): t = tan α लेने पर पथ (gx²/(2u²))t² − xt + (y + gx²/(2u²)) = 0 है; इस कुल का अन्वालोप वहाँ है जहाँ द्विघात के मूल समान हों, x² = 4(gx²/(2u²))(y + gx²/(2u²)), अर्थात y = u²/(2g) − gx²/(2u²)।

आनत समतल: समतल के अनुदिश और लंबवत अक्ष लें; प्रारंभिक वेग के घटक u cos(α − β) और u sin(α − β) हैं, तथा त्वरण −g sin β और −g cos β।

लंबवत विस्थापन u sin(α − β)t − (1/2)g cos β t² पुनः T = 2u sin(α − β)/(g cos β) पर शून्य होता है; तय की गई क्षैतिज दूरी (u cos α)T = R cos β है, जिससे R = 2u² cos α sin(α − β)/(g cos²β)।

चूँकि 2 cos α sin(α − β) = sin(2α − β) − sin β ≤ 1 − sin β, R_max = u²(1 − sin β)/(g cos²β) = u²/(g(1 + sin β)); β के स्थान पर −β रखने से समतल पर नीचे की ओर अधिकतम परास मिलता है।

11. विधि का चयन

यदि पथ ध्रुवीय रूप में दिया हो या बल किसी स्थिर बिंदु की ओर हो → त्रिज्य और अनुप्रस्थ घटकों का प्रयोग करें।

यदि कण किसी दिए वक्र पर चलने को बाध्य हो, या वक्र नैज रूप (s = f(ψ)) में दिया हो → स्पर्शरेखीय और अभिलंब घटकों का प्रयोग करें; अभिलंब समीकरण से प्रतिक्रिया मिलती है।

यदि बल की दिशा स्थिर हो (गुरुत्व, या किसी अक्ष के समांतर बल) → कार्तीय घटक लें: लंबवत वेग अचर रहता है और दूसरी गति सरल रेखीय है।

यदि आनत समतल हो → उड्डयन काल और टकराने के प्रतिबंधों के लिए समतल के अनुदिश और लंबवत वियोजन करें; परास के लिए क्षैतिज दूरी = R cos β लें।

यदि प्रक्षेप पथ को किसी दिए बिंदु से जाना हो → पथ को tan α में द्विघात के रूप में लिखें; वास्तविक, समान या कोई मूल न होने का अर्थ है दो, एक या कोई दिशा नहीं।

12. सामान्य गलतियाँ

a_r = d²r/dt² लिखना (−r(dθ/dt)² छोड़ देना) या a_θ = r d²θ/dt² लिखना (2(dr/dt)(dθ/dt) छोड़ देना); दोनों पद e_r और e_θ के घूमने से आते हैं।

आनत समतल पर क्षैतिज समतल के सूत्र T = 2u sin α/g और R = u² sin 2α/g का प्रयोग करना।

क्षैतिज से मापे गए प्रक्षेप कोण (इन सूत्रों में α) को समतल से मापे गए कोण (जो α − β है) से मिला देना।

समतल से लंबवत टकराने का अर्थ ऊर्ध्वाधर वेग शून्य समझना; सही प्रतिबंध है कि टक्कर के समय समतल के अनुदिश वेग घटक शून्य हो (क्षैतिजतः टकराने में ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है)।

ऊँचाई से प्रक्षेप में t के द्विघात का ऋणात्मक मूल रखना; समय धनात्मक होना चाहिए।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: गतिशील एकक सदिशों e_r, e_θ के अवकलज सदिश फलनों के अवकलन (अध्याय 7) की समतलीय स्थिति हैं, और dT/ds = N/ρ सेरे-फ्रेने सूत्र dT/ds = κN की समतलीय स्थिति है।

संबंध: सुरक्षा परवलय एक-प्राचल वक्र कुल का अन्वालोप है, जो अध्याय 5 में विचित्र हलों (singular solutions) के लिए प्रयुक्त विविक्तकर विधि से प्राप्त होता है।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2014, 15 अंक): एक कण पर y-अक्ष के समांतर एक बल लगा हुआ है, जिसका त्वरण (सदैव x-अक्ष की ओर) μy⁻² है तथा जब y = a है, तब x-अक्ष के समांतर वेग √(2μ/a) से प्रक्षेपित है। कण के पथ का प्राचलिक समीकरण ज्ञात कीजिए। यहाँ μ एक अचर है।

बल का कोई x-घटक नहीं है, अतः सदैव dx/dt = √(2μ/a)।

y के अनुदिश: d²y/dt² = −μ/y² तथा y = a पर dy/dt = 0, अतः (dy/dt)² = 2μ(1/y − 1/a) = 2μ(a − y)/(ay)।

y = a cos²φ रखें (आरंभ में φ = 0): (dy/dt)² = 2μ tan²φ/a और dy/dt = −2a sin φ cos φ dφ/dt, अतः dφ/dt = √(2μ/a)/(2a cos²φ)।

अतः dx/dφ = (dx/dt)/(dφ/dt) = 2a cos²φ = a(1 + cos 2φ), और आरंभ में x = 0 लेकर x = a(φ + (1/2) sin 2φ)।

ψ = 2φ लिखने पर: x = (a/2)(ψ + sin ψ), y = (a/2)(1 + cos ψ)।

उत्तर: x = (a/2)(ψ + sin ψ), y = (a/2)(1 + cos ψ): एक चक्रज (cycloid), जिसका शीर्ष प्रक्षेपण बिंदु पर और उभार-बिंदु (cusps) x-अक्ष पर हैं।

उदाहरण 8 (UPSC 2015, 13 अंक): एक कण, एक ऐसी पहाड़ी के आधार पर एक बिन्दु से, प्रक्षेपित किया जाता है, जिसकी प्रवणता एक लम्ब वृत्ताकार शंकु की है जिसकी अक्षीय रेखा ऊर्ध्वाधर है। प्रक्षेप शंकु के शीर्षबिन्दु छूते हुए व पहाड़ी के आधार पर किसी दूसरे बिन्दु से जा टकराता है। यदि शंकु का अर्धशीर्ष कोण 30° व ऊँचाई h हो, तो प्रक्षेप का प्रारंभिक वेग u व उसका प्रक्षेप कोण निर्धारित कीजिये।

पहाड़ी के आधार की त्रिज्या h tan 30° = h/√3 है; पथ शीर्ष V (क्षैतिज दूरी h/√3, ऊँचाई h) से होकर जाता है और दूरी 2h/√3 पर आधार-तल पर लौटता है।

एक ही तल के दो बिंदुओं से होकर जाने वाले परवलय का उच्चतम बिंदु उनके मध्य में होता है, अतः V पथ का उच्चतम बिंदु है: H = u² sin²α/(2g) = h तथा R = u² sin 2α/g = 2h/√3।

भाग देने पर R/H = 4 cot α = 2/√3, अतः tan α = 2√3 और sin²α = 12/13।

तब u² = 2gh/sin²α = 13gh/6।

जाँच कि पथ ढलान से ऊपर रहता है: c = h/√3 लेने पर पथ y = h(2x/c − x²/c²) है, और 0 ≤ x ≤ c के लिए y − hx/c = (hx/c)(1 − x/c) ≥ 0, अतः यह पहाड़ी को केवल शीर्ष पर छूता है।

उत्तर: u = √(13gh/6), और प्रक्षेप कोण क्षैतिज से tan⁻¹(2√3) ≈ 73.9° है।

उदाहरण 9 (UPSC 2021, 15 अंक): द्रव्यमान m का एक कण, जो की प्रक्षेपण बिन्दु से वेग u के साथ क्षैतिज दिशा के साथ θ कोण बनाने वाली दिशा में प्रक्षेपण बिन्दु से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर समतल में प्रक्षेपित किया जाता है, उसकी गति तथा पथ का वर्णन कीजिए। यदि कणों को उसी बिन्दु से उसी ऊर्ध्वाधर समतल में वेग 4√g के साथ प्रक्षेपित किया जाता है, तो उनके पथों के शीर्षों के बिन्दुपथ को भी निर्धारित कीजिए।

गति: क्षैतिज वेग u cos θ अचर है और ऊर्ध्वाधर गति में अचर मंदन g है: x = ut cos θ, y = ut sin θ − gt²/2।

पथ: y = x tan θ − gx²/(2u²cos²θ), ऊर्ध्वाधर अक्ष वाला परवलय, नाभिलंब 2u²cos²θ/g और नियता ऊँचाई u²/(2g) पर; उड्डयन काल 2u sin θ/g, परास u² sin 2θ/g (द्रव्यमान m प्रभावी नहीं)।

शीर्ष: X = u² sin θ cos θ/g = (u²/(2g)) sin 2θ तथा Y = u² sin²θ/(2g) = (u²/(4g))(1 − cos 2θ)।

u = 4√g के लिए u²/g = 16: X = 8 sin 2θ, Y = 4 − 4 cos 2θ।

θ का विलोपन: X²/64 + (Y − 4)²/16 = 1, अर्थात X² + 4Y² = 32Y।

उत्तर: शीर्ष दीर्घवृत्त x² + 4y² = 32y पर हैं, जिसका केंद्र (0, 4) और अर्ध-अक्ष 8 (क्षैतिज) तथा 4 (ऊर्ध्वाधर) हैं।

उदाहरण 10 (UPSC 2022, 10 अंक): एक प्रक्षेप्य √(2gh) वेग के साथ बिन्दु O से प्रक्षेपित किया गया तथा समतल के बिन्दु P(x, y) पर स्पर्श-रेखा से टकराता है जहाँ अक्ष OX तथा OY क्रमशः बिन्दु O से क्षैतिज तथा अधोमुखी ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं। यदि प्रक्षेपण की दो संभव दिशाएँ समकोण पर हों, तो दर्शाइए कि x² = 2hy तथा प्रक्षेपण की संभव दिशाओं में से एक, कोण POX को द्विभाजित करती है।

['बिन्दु P पर स्पर्श-रेखा से टकराता है' स्पष्टतः 'बिन्दु P से होकर जाता है' का मुद्रण-दोष है; वही रूप हल किया गया है।]

OY नीचे की ओर, u² = 2gh और उन्नयन α लेने पर पथ y = −x tan α + gx²/(2u²cos²α) = −x tan α + x²(1 + tan²α)/(4h) है।

अतः t = tan α समीकरण (x²/(4h))t² − xt + (x²/(4h) − y) = 0 को संतुष्ट करता है।

लंबवत दिशाओं का अर्थ t₁t₂ = −1: (x²/(4h) − y)/(x²/(4h)) = −1, अर्थात x² = 2hy।

तब समीकरण t² − (4h/x)t − 1 = 0 है; β = कोण POX (P, OX के नीचे) लेने पर tan β = y/x = x/(2h), अतः 4h/x = 2 cot β।

मूल: t = cot β ± cosec β, अर्थात t = cot(β/2) या t = (cos β − 1)/sin β = −tan(β/2)।

मूल −tan(β/2), OX से β/2 नीचे की दिशा है, जो कोण POX को समद्विभाजित करती है; दूसरा मूल, उन्नयन 90° − β/2, इसके लंबवत है।

उत्तर: x² = 2hy, और प्रक्षेपण की एक दिशा कोण POX को समद्विभाजित करती है।

उदाहरण 11 (UPSC 2023, 15 अंक): एक कण को समुद्र तल पर बिन्दु O₁ से वेग v तथा क्षैतिज से प्रक्षेप कोण θ पर ऊर्ध्वाधर तल में प्रक्षेपित किया जाता है तो क्षैतिज परास R₁ है। यदि इसको पुनः बिन्दु O₂, जो उसी ऊर्ध्वाधर तल में O₁ के ऊर्ध्वाधरतः h ऊँचाई पर है, से उसी वेग v तथा क्षैतिज से समान कोण θ पर प्रक्षेपित किया जाता है तो क्षैतिज परास R₂ है। सिद्ध कीजिए R₂ > R₁ तथा (R₂ − R₁) : R₁ = (1/2){√(1 + 2gh/(v² sin² θ)) − 1} : 1

O₁ से: R₁ = v² sin 2θ/g = 2v² sin θ cos θ/g।

O₂ से कण तब गिरता है जब उसकी ऊँचाई −h हो: −h = vt sin θ − gt²/2, जिसका धनात्मक मूल t = [v sin θ + √(v²sin²θ + 2gh)]/g है।

R₂ = vt cos θ = (v² sin θ cos θ/g)[1 + √(1 + 2gh/(v²sin²θ))]।

अतः R₂/R₁ = (1/2)[1 + √(1 + 2gh/(v²sin²θ))] > 1, क्योंकि h > 0, अर्थात R₂ > R₁।

1 घटाने पर: (R₂ − R₁)/R₁ = (1/2)[√(1 + 2gh/(v²sin²θ)) − 1]।

उत्तर: R₂ > R₁ तथा (R₂ − R₁) : R₁ = (1/2){√(1 + 2gh/(v²sin²θ)) − 1} : 1।

उदाहरण 12 (UPSC 2026, 10 अंक): (i) एक जंगी जहाज u वेग से आगे बढ़ रहा है। जहाज पर एक बन्दूक इस तरह लगाई गई है कि उसका मुँह ठीक पीछे की ओर है तथा उसे उन्नयन कोण α पर रखा गया है। यदि बन्दूक के सापेक्ष प्रक्षेपण (प्रोजेक्शन) का वेग v हो, तो दर्शाइए कि परास (2v/g) sin α (v cos α − u) है तथा अधिकतम परास के लिए कोण cos⁻¹((u + √(u² + 8v²))/(4v)) है, जहाँ g गुरुत्वीय त्वरण को दर्शाता है।

बंदूक के सापेक्ष गोला v cos α पीछे की ओर और v sin α ऊपर की ओर निकलता है; जहाज़ का आगे की ओर वेग u जोड़ने पर वास्तविक वेग (v cos α − u) पीछे की ओर और v sin α ऊपर की ओर है।

उड्डयन काल 2v sin α/g है, अतः परास (दागने के बिंदु से समुद्र पर मापा गया) R = (2v/g) sin α (v cos α − u) है।

R(α) = (v/g)(v sin 2α − 2u sin α), और dR/dα = (2v/g)(v cos 2α − u cos α) = 0।

c = cos α लेने पर: v(2c² − 1) − uc = 0, अर्थात 2vc² − uc − v = 0, जिसका धनात्मक मूल c = (u + √(u² + 8v²))/(4v) है।

वहाँ d²R/dα² = (2v/g)(−2v sin 2α + u sin α) = (2v/g) sin α (u − 4vc) = −(2v/g) sin α √(u² + 8v²) < 0, अतः यह अधिकतम है।

उत्तर: R = (2v/g) sin α (v cos α − u), जो α = cos⁻¹((u + √(u² + 8v²))/(4v)) पर अधिकतम है।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): एक कण वृत्त r = a पर अचर कोणीय वेग ω से चलता है। उसके त्रिज्य और अनुप्रस्थ त्वरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a_r = −aω² (केंद्र की ओर), a_θ = 0।

अभ्यास 2 (मूल): एक गेंद 30 m/s की चाल से क्षैतिज से 45° पर प्रक्षेपित की जाती है (g = 10 m/s²)। उड्डयन काल, अधिकतम ऊँचाई और परास ज्ञात कीजिए।

उत्तर: T = 3√2 ≈ 4.24 s, H = 22.5 m, R = 90 m।

अभ्यास 3 (मूल): एक कार 36 m त्रिज्या के मोड़ पर अचर 12 m/s से चलती है। उसके त्वरण का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a_t = 0 और a_n = 144/36 = 4 m/s², वक्रता केंद्र की ओर।

अभ्यास 4 (मानक): एक कण रेखा x = a के अनुदिश इस प्रकार चलता है कि O से उसका ध्रुवांतर-सदिश अचर कोणीय वेग ω से घूमता है। उसके त्रिज्य और अनुप्रस्थ त्वरण ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि परिणामी 2aω² sec²θ tan θ है, रेखा के समांतर।

उत्तर: r = a sec θ से a_r = 2aω² sec θ tan²θ और a_θ = 2aω² sec θ tan θ; परिणामी 2aω² sec θ tan θ √(tan²θ + 1) = 2aω² sec²θ tan θ है, जो रेखा के अनुदिश d²(a tan ωt)/dt² है।

अभ्यास 5 (मानक): u = 25 m/s और g = 10 m/s² के साथ, उन प्रक्षेपण कोणों को ज्ञात कीजिए जो क्षैतिजतः 40 m दूर और प्रक्षेपण बिंदु से 10 m ऊँचे बिंदु पर लगें।

उत्तर: 12.8 tan²α − 40 tan α + 22.8 = 0 से tan α = 0.75 या 2.375, अर्थात α ≈ 36.9° या 67.2°।

अभ्यास 6 (मानक): 30° पर नत समतल के लिए, प्रक्षेपण चाल u पर समतल पर ऊपर और नीचे के अधिकतम परास और उनका अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ऊपर: u²/(g(1 + 1/2)) = 2u²/(3g); नीचे: u²/(g(1 − 1/2)) = 2u²/g; अनुपात 1 : 3।

अभ्यास 7 (मानक): झुकाव β वाले समतल के एक बिंदु से एक कण चाल u से समतल के लंबवत दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। उड्डयन काल और समतल पर नीचे की ओर वह दूरी ज्ञात कीजिए जहाँ वह गिरता है।

उत्तर: T = 2u/(g cos β); समतल के अनुदिश यह विराम से g sin β नीचे की ओर त्वरण के साथ आरंभ करता है, अतः दूरी (1/2)g sin β T² = 2u² sin β/(g cos²β) है।

अभ्यास 8 (मानक): एक कण परवलय y² = 4ax के अनुदिश अचर चाल v से चलता है। शीर्ष पर और बिंदु (a, 2a) पर उसका त्वरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चाल अचर है, अतः अभिलंब के अनुदिश a = v²/ρ; बिंदु (at², 2at) पर ρ = 2a(1 + t²)^3/2, अतः शीर्ष पर a = v²/(2a) और (a, 2a) पर v²/(4√2 a)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): ऊँचाई h वाली चट्टान के शीर्ष से एक पत्थर चाल u से फेंका जाता है। दिखाइए कि नीचे की समतल भूमि पर उसका अधिकतम क्षैतिज परास (u/g)√(u² + 2gh) है, जो उन्नयन α पर मिलता है जहाँ tan α = u/√(u² + 2gh)।

उत्तर: संकेत: गिरने का बिंदु (R, −h) पथ पर तभी है जब (gR²/(2u²)) tan²α − R tan α + (gR²/(2u²) − h) = 0 का वास्तविक मूल हो; विविक्तकर (discriminant) की शर्त से R² ≤ u²(u² + 2gh)/g², और समता द्विक मूल tan α = u²/(gR) = u/√(u² + 2gh) पर होती है।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): 30° पर नत समतल पर ऊपर की ओर चाल u से प्रक्षेपित कण समतल से समकोण पर टकराता है। समतल से प्रक्षेपण कोण ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि समतल पर परास 4u²/(7g) है।

उत्तर: cot(α − β) = 2 tan β = 2/√3, अतः tan(α − β) = √3/2, sin(α − β) = √(3/7), cos α = √3/(2√7); तब R = 2u² cos α sin(α − β)/(g cos²β) = 4u²/(7g)।

अभ्यास 11 (UPSC स्तर): एक कण x-अक्ष के समांतर अचर वेग U से चलता है और उसका त्वरण x-अक्ष की ओर ky है (k > 0)। वह मूल बिंदु से y-अक्ष के अनुदिश वेग-घटक V के साथ आरंभ करता है। उसका पथ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: x = Ut और d²y/dt² = −ky से y = (V/√k) sin(√k t), अतः पथ ज्या वक्र y = (V/√k) sin(√k x/U) है।

1. कार्य और संरक्षी बल को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: न्यूटन का द्वितीय नियम त्वरण देता है, परंतु प्रायः प्रश्न केवल किसी बाद की स्थिति पर चाल पूछता है, समय के साथ पूरी गति नहीं।

m dv/dt = F का सीधा समाकलन करने के लिए स्थिति को समय के फलन के रूप में जानना होगा, जो प्रायः ज्ञात नहीं होता।

कार्य (work) पथ के अनुदिश बल को समय का कोई उल्लेख किए बिना चाल के परिवर्तन में बदल देता है।

संरक्षी बल (conservative force) एक कदम आगे जाता है: उसका कार्य केवल आरंभ और अंत पर निर्भर करता है, अतः एक अदिश फलन, स्थितिज ऊर्जा (potential energy), बल की सारी जानकारी रखता है।

शब्दों में: W = ∫_C F·dr का अर्थ है: पथ C को सूक्ष्म विस्थापनों dr में काटें, और प्रत्येक के लिए F·dr = |F||dr| cos(F और dr के बीच का कोण) लें।

अतः F·dr गति के अनुदिश F का घटक गुणा चली गई सूक्ष्म दूरी है; इन सबका योग W देता है।

धनात्मक W का अर्थ है बल ने गति में सहायता की; ऋणात्मक W का अर्थ है उसने विरोध किया; सदैव गति के लंबवत रहने वाले बल के लिए W = 0।

संरक्षी का अर्थ है: किन्हीं दो बिंदुओं A और B के लिए A से B तक का प्रत्येक पथ एक ही W देता है।

F = −∇V का अर्थ है कि एक अदिश फलन V है जिसकी A से B तक की कमी कार्य के बराबर है: W = V(A) − V(B); ऋण चिह्न बताता है कि बल V में ढलान की ओर इंगित करता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एकसमान गुरुत्व F = −mg k (k ऊपर की ओर) लें और एक कण को किसी भी पथ से ऊँचाई 0 से ऊँचाई h तक ले जाएँ।

चरण 1: dr = dx i + dy j + dz k लिखें, अतः F·dr = −mg dz; क्षैतिज विस्थापन कुछ नहीं जोड़ते क्योंकि F का कोई क्षैतिज घटक नहीं है।

चरण 2: समाकलन करें: W = ∫ −mg dz, z = 0 से z = h तक, जो −mgh है, पथ का आकार कुछ भी हो।

चरण 3: अतः गुरुत्व संरक्षी है और V = mgz; जाँच: −∇(mgz) = −mg k = F।

चरण 4: चिकने वक्र पर चाल u से ऊपर भेजे गए कण पर कार्य-ऊर्जा सिद्धांत लगाएँ: (1/2)mv² − (1/2)mu² = −mgh, अतः ऊँचाई h पर v² = u² − 2gh।

चरण 5: ध्यान दें कि वक्र का आकार कहीं नहीं आया; इसी कारण चिकनी फिसलपट्टी, चिकना कटोरा और लोलक सभी एक ही ऊँचाई पर एक ही चाल देते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): समतल में F = y i निर्दोष लगता है, परंतु (0, 0) से (1, 1) तक y = x के अनुदिश इसका कार्य ∫₀¹ x dx = 1/2 है, जबकि x-अक्ष के अनुदिश (1, 0) तक और फिर सीधे ऊपर (1, 1) तक यह 0 + 0 = 0 है।

समान अंत्य बिंदुओं वाले दो पथ भिन्न कार्य देते हैं, अतः F संरक्षी नहीं है; विफल होने वाला प्रतिबंध curl F = 0 है, क्योंकि यहाँ curl F = (∂N/∂x − ∂M/∂y)k = −k।

आगे बढ़ते हुए: (1) m dv/dt = F का v से अदिश गुणन करके d/dt((1/2)mv²) = F·v पाएँ; (2) समय में समाकलन करके कार्य-ऊर्जा सिद्धांत पाएँ (नीचे की 'यह क्यों काम करता है' पंक्ति)।

(3) यदि F = −∇V तो F·dr = −dV, अतः A से B तक कार्य V(A) − V(B) है; (4) दोनों को जोड़ने पर (1/2)mv² + V अचर रहता है, जो 'व्युत्पत्ति: ऊर्जा संरक्षण और ऊर्ध्व वृत्त' की व्युत्पत्ति है।

curl परीक्षण बताता है कि चरण (3) कब संभव है: सरलतः संबद्ध क्षेत्र में curl F = 0 वाले सतत अवकलनीय F के लिए ऐसा V सदैव होता है।

कहाँ प्रयोग होता है: इस विषय की प्रत्येक चाल (ऊर्ध्व वृत्त, गोला, चक्रज, हृदयाभ तार) इसी ऊर्जा समीकरण से आती है, और किसी क्षेत्र का संरक्षी होना जाँचना तथा V ज्ञात करना अपने आप में 5 से 10 अंक का प्रश्न है, जो अध्याय 7 से जुड़ा है।

2. कार्य, ऊर्जा और शक्ति

पथ C के अनुदिश बल F द्वारा कार्य (work): W = ∫_C F·dr; शक्ति (power) = F·v।

भाव: केवल गति की दिशा के अनुदिश बल का घटक कार्य करता है; पथ के लंबवत बल (चिकनी प्रतिक्रिया, उस डोरी का तनाव जिसका सिरा स्थिर सिरे के परितः वृत्त पर चलता है) कोई कार्य नहीं करता, और शक्ति (power) F·v कार्य किए जाने की दर है।

कार्य-ऊर्जा सिद्धांत: सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा (1/2)mv² में परिवर्तन के बराबर है।

यह क्यों काम करता है: गति समीकरण m dv/dt = F का v से अदिश गुणन करें: m v·dv/dt = d/dt((1/2)mv²) = F·v; t₁ से t₂ तक समाकलन करने पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तन = ∫F·v dt = ∫F·dr।

बल-क्षेत्र संरक्षी (conservative) है यदि उसका कार्य पथ पर निर्भर न हो; तुल्य रूप से किसी विभव V के लिए F = −∇V, और सतत अवकलनीय (continuously differentiable) F के लिए सरलतः संबद्ध क्षेत्र में यह तभी और केवल तभी है जब curl F = 0।

भाव: संरक्षी बल (conservative force) मिले हुए कार्य को संचित करके लौटा देता है, अतः कार्य केवल अंत्य बिंदुओं पर निर्भर करता है; प्रतिबंध सरलतः संबद्ध (simply connected) आवश्यक है: F = (−yi + xj)/(x² + y²) के लिए z-अक्ष के बाहर curl F = 0 है, फिर भी अक्ष के परितः एक चक्कर में इसका कार्य 2π है, अतः वहाँ यह संरक्षी नहीं है।

घर्षण और वायु प्रतिरोध कभी संरक्षी नहीं होते: वे सदैव गति का विरोध करते हैं, अतः प्रत्येक बंद पथ पर ऋणात्मक कार्य करते हैं।

ऊर्जा संरक्षण: संरक्षी बलों के अधीन गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा = अचर।

मानक स्थितिज ऊर्जाएँ: एकसमान गुरुत्व mgh; व्युत्क्रम वर्ग आकर्षण −mμ/r; x से खिंची प्रत्यास्थ डोरी λx²/(2l)।

भाव: स्थितिज ऊर्जा केवल एक योज्य अचर तक निश्चित होती है, अतः सुविधाजनक शून्य चुनें (निम्नतम बिंदु, प्राकृतिक लंबाई, अनंत); व्युत्क्रम वर्ग स्थितिज −mμ/r ऋणात्मक है और अनंत पर बढ़कर 0 हो जाता है, इसी कारण बद्ध कक्षा की कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है।

प्रत्यास्थ डोरी को विस्तार x₁ से x₂ तक खींचने में कार्य = (λ/(2l))(x₂² − x₁²) = (विस्तार में वृद्धि) × (प्रारंभिक और अंतिम तनावों का माध्य)।

उदाहरण 1: वृत्त x² + y² = a² के परितः एक बार वामावर्त कण को ले जाने में F = (2x − y)i + (x + y)j द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए; क्या F संरक्षी है?

x = a cos t, y = a sin t लेने पर: F·dr = [(2a cos t − a sin t)(−a sin t) + (a cos t + a sin t)(a cos t)] dt = a²[1 − sin t cos t] dt।

0 से 2π तक समाकलन करने पर W = 2πa², जो ग्रीन प्रमेय से ∬(∂N/∂x − ∂M/∂y) dx dy = ∬2 dx dy के बराबर भी है।

बंद पथ पर कार्य शून्य नहीं है (curl F = 2k ≠ 0), अतः F संरक्षी नहीं है।

3. व्यवरुद्ध गति को समझना: पहले ऊर्जा, फिर अभिलंब समीकरण

इसकी आवश्यकता क्यों: तार पर मनका, गोले पर कण और डोरी पर लटका गोलक, सभी एक ज्ञात वक्र पर चलने को बाध्य हैं।

व्यवरोध (constraint) एक प्रतिक्रिया (reaction) R से धक्का (या खिंचाव) देता है जो हमें पहले से ज्ञात नहीं है।

हमें R जाने बिना चाल ज्ञात करने का तरीका चाहिए, और फिर स्वयं R ज्ञात करना है, क्योंकि R बताता है कि कण वक्र पर रहेगा या नहीं।

शब्दों में: प्रत्येक बिंदु पर गति समीकरण को दो दिशाओं में वियोजित करें: स्पर्शरेखा के अनुदिश और वक्रता केंद्र की ओर अभिलंब (normal) के अनुदिश।

स्पर्शरेखीय समीकरण m dv/dt = (स्पर्शरेखा के अनुदिश बल घटकों का योग) है; चिकनी प्रतिक्रिया वक्र के लंबवत होती है, अतः R इसमें नहीं आता।

अभिलंब समीकरण mv²/ρ = (वक्रता केंद्र की ओर बल घटकों का योग) है, जहाँ ρ वक्रता त्रिज्या (radius of curvature) है; v²/ρ पथ को मोड़ने के लिए आवश्यक त्वरण है, और यहाँ R आता है।

स्पर्शरेखीय समीकरण को v से गुणा करके और v = ds/dt लिखकर यह ऊर्जा समीकरण बन जाता है, अतः व्यवहार में स्पर्शरेखीय समीकरण के स्थान पर ऊर्जा का प्रयोग करते हैं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: ऊर्ध्व समतल में त्रिज्या a के चिकने वृत्ताकार तार के बिंदु A से, जो केंद्र के स्तर पर है, एक मनका विराम से फिसलता है; निम्नतम बिंदु पर प्रतिक्रिया ज्ञात कीजिए।

चरण 1: A से निम्नतम बिंदु तक मनका ऊँचाई a से गिरता है।

चरण 2: प्रतिक्रिया कोई कार्य नहीं करती, अतः ऊर्जा से निम्नतम बिंदु पर v² = 2ga।

चरण 3: निम्नतम बिंदु पर वक्रता केंद्र ठीक ऊपर है; उसकी ओर बल R (ऊपर) और भार mg (नीचे, अतः −mg गिना जाता है) हैं।

चरण 4: अभिलंब समीकरण R − mg = mv²/a = m(2ga)/a = 2mg है।

चरण 5: अतः R = 3mg: तार भार के तीन गुने बल से ऊपर धकेलता है, त्रिज्या कुछ भी हो।

चरण 6: क्रम पर ध्यान दें: पहले ऊर्जा से v², फिर अभिलंब समीकरण से R; पहले R ज्ञात करने का प्रयास v² को अज्ञात छोड़ देगा।

अ-उदाहरण (non-example): खुरदरे तार पर विधि चरण 2 पर टूट जाती है: घर्षण μR ऋणात्मक कार्य करता है, और वह कार्य R पर निर्भर है, जो v² पर निर्भर है; ऊर्जा संरक्षित नहीं है, अतः दोनों समीकरण साथ-साथ हल करने होते हैं (उदाहरण 2 परिणामी समीकरण दिखाता है)।

आगे बढ़ते हुए: (1) वक्र के अनुदिश वेग (ds/dt)T और त्वरण (d²s/dt²)T + (v²/ρ)N है, जहाँ T इकाई स्पर्शरेखा और N वक्रता केंद्र की ओर इकाई अभिलंब है (पिछला विषय, समतल में गति)।

(2) F + R = m × त्वरण को T और N के अनुदिश वियोजित करें; (3) चिकने व्यवरोध के लिए R·T = 0, जिससे R रहित स्पर्शरेखीय समीकरण मिलता है; (4) v से गुणा करके ऊर्जा पाएँ।

(5) खुरदरे वक्र के लिए −μ|R|T जोड़ें, R का विलोपन करें और 'व्युत्पत्ति: खुरदरे वक्र तथा चक्रज पर समीकरण' का v² में रैखिक समीकरण पाएँ।

कहाँ प्रयोग होता है: ऊर्ध्व वृत्त, गोले या कैटेनरी को छोड़ते कण, और हृदयाभ तथा चक्रज पर मनके, सभी पहले ऊर्जा, फिर अभिलंब समीकरण से हल होते हैं; यही विभाजन अध्याय 14 में घूमते वक्रों पर गति के लिए फिर आता है।

4. व्यवरुद्ध गति (Constrained Motion): समीकरण

चिकने वक्र पर अभिलंब प्रतिक्रिया कोई कार्य नहीं करती; स्पर्शरेखीय समीकरण m dv/dt = आरोपित बल का स्पर्शरेखीय घटक (या ऊर्जा समीकरण) तथा अभिलंब समीकरण mv²/ρ = वक्रता केंद्र की ओर कुल बल का प्रयोग करें।

भाव: ऊर्जा समीकरण प्रतिक्रिया जाने बिना चाल दे देता है, क्योंकि प्रतिक्रिया कोई कार्य नहीं करती; v² ज्ञात होने के बाद ही अभिलंब समीकरण प्रतिक्रिया देता है, अतः सदैव पहले ऊर्जा, फिर अभिलंब समीकरण लें।

खुरदरे वक्र पर स्पर्शरेखा के अनुदिश गति का विरोध करता घर्षण बल μR जोड़ें; तब ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती।

भाव: खुरदरे वक्र पर घर्षण μR, R पर निर्भर है, और R अभिलंब समीकरण द्वारा v² पर निर्भर है, अतः दोनों समीकरण युग्मित हैं; R का विलोपन करने पर s या ψ के फलन के रूप में v² में प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण मिलता है।

उदाहरण 2: एक कण चिकनी क्षैतिज मेज पर त्रिज्या a की स्थिर खुरदरी वृत्ताकार दीवार (rim) के भीतरी ओर दबा हुआ चलता है (भार चिकनी मेज से संतुलित है, अतः घर्षण केवल दीवार से आता है), घर्षण गुणांक μ; इसे दीवार के अनुदिश चाल u से प्रक्षेपित किया जाता है। एक चक्कर के बाद उसकी चाल ज्ञात कीजिए।

अभिलंब समीकरण: R = mv²/a; स्पर्शीय समीकरण: m v dv/ds = −μR = −μmv²/a।

अतः dv/v = −(μ/a) ds और v = ue^−μs/a; एक चक्कर के बाद s = 2πa और v = ue^−2πμ।

5. ऊर्ध्व वृत्त को समझना: डोरी कब ढीली होती है?

इसकी आवश्यकता क्यों: ऊर्ध्व समतल में डोरी से घुमाया गया पत्थर पूरा चक्कर लगा सकता है, लोलक की भाँति आगे-पीछे झूल सकता है, या केंद्र से ऊपर उठकर, ढीला होकर वृत्त के भीतर गिर सकता है।

परीक्षा के प्रश्न पूछते हैं कि निम्नतम बिंदु पर दी गई चाल u के लिए इनमें से क्या होता है, और कहाँ।

शब्दों में: दो राशियाँ सब कुछ तय करती हैं: ऊर्जा से v², और अभिलंब समीकरण से तनाव T (या प्रतिक्रिया R); θ निम्नतम बिंदु से घूमा कोण है।

डोरी खींच सकती है पर धकेल नहीं सकती, अतः कण वृत्त पर तभी तक रहता है जब तक T ≥ 0; जहाँ v² = 0 वहाँ वह क्षण भर रुकता है।

यदि T के धनात्मक रहते v² शून्य हो जाए तो कण दोलन करता है; यदि v² के धनात्मक रहते T शून्य हो जाए तो वह वृत्त छोड़ देता है; यदि कोई भी शून्य न हो तो वह पूरा चक्कर लगाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: लंबाई a की डोरी पर बँधे गोलक को निम्नतम बिंदु से u² = 4ga से प्रक्षेपित किया जाता है।

चरण 1: ऊर्जा: v² = 4ga − 2ga(1 − cos θ) = 2ga(1 + cos θ)।

चरण 2: तनाव: T = (m/a)(u² − 2ga + 3ga cos θ) = mg(2 + 3 cos θ)।

चरण 3: T = 0 जब cos θ = −2/3, अर्थात θ ≈ 131.8°, जो केंद्र के स्तर से ऊपर का बिंदु है।

चरण 4: वहाँ v² = 2ga(1 − 2/3) = 2ga/3, जो धनात्मक है, अतः डोरी ढीली होते समय गोलक अभी गतिमान है।

चरण 5: अतः गोलक θ ≈ 131.8° पर वृत्त छोड़ देता है और तब से मुक्त प्रक्षेप्य (projectile) की भाँति चलता है।

चरण 6: इस विषय की तालिका से तुलना करें: 2ga < 4ga < 5ga मध्य स्थिति है, जैसा पाया गया।

चरण 7: यदि गोलक हल्की छड़ पर होता, तो T ऋणात्मक (धक्का) हो सकता था और गोलक धीरे-धीरे शीर्ष तक पहुँचता, जैसा उदाहरण 8 में है।

अ-उदाहरण (non-example): डोरी पर u² = 4ga के साथ केवल ऊर्जा कहती है कि ठीक शीर्ष पर v = 0, जिससे विद्यार्थी कहने को प्रेरित होते हैं कि गोलक ठीक शीर्ष तक पहुँचता है; ऐसा नहीं है, क्योंकि cos θ = −2/3 पर T पहले ही शून्य हो चुका है।

विफल होने वाला प्रतिबंध T ≥ 0 है: केवल ऊर्जा कभी तय नहीं कर सकती कि कण वृत्त पर रहेगा या नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) ऊर्जा से v²(θ) मिलता है; (2) अभिलंब समीकरण से T(θ) = (m/a)(u² − 2ga + 3ga cos θ) मिलता है, जो θ के 0 से π तक जाने पर घटता है।

(3) इसका न्यूनतम मान शीर्ष पर है, अतः पूरे चक्कर में T ≥ 0 ठीक तब जब u² ≥ 5ga; (4) v² = 0, cos θ = 1 − u²/(2ga) पर, जो ठीक तब निचले आधे भाग में है जब u² ≤ 2ga, और वहाँ T = mg cos θ ≥ 0।

(5) बीच की स्थिति में T पहले शून्य होता है, cos θ = −(u² − 2ga)/(3ga) पर; पूरा बीजगणित 'व्युत्पत्ति: ऊर्जा संरक्षण और ऊर्ध्व वृत्त' में है।

कहाँ प्रयोग होता है: डोरी, छड़, नली और गोले के प्रश्न (उदाहरण 3, 4, 8, 11, 13 और 14); डोरी ढीली होने के बाद पिछले विषय के प्रक्षेप्य सूत्र प्राप्त अधिकतम ऊँचाई देते हैं।

6. चिकने ऊर्ध्व वृत्त में गति

एक कण त्रिज्या a के चिकने वृत्त के भीतर (या हल्की डोरी पर) चलता है, निम्नतम बिंदु पर चाल u; θ निम्नतम बिंदु से घूमा कोण है।

ऊर्जा: v² = u² − 2ga(1 − cos θ)।

अभिलंब समीकरण: R − mg cos θ = mv²/a, अतः R = (m/a)(u² − 2ga + 3ga cos θ)।

पूर्ण वृत्त यदि शीर्ष (θ = π) पर R ≥ 0: u² ≥ 5ga।

भाव: शीर्ष पर भार केंद्र की ओर कार्य करता है, अतः डोरी तभी तनी रह सकती है जब वहाँ mv²/a ≥ mg हो, अर्थात शीर्ष पर v² ≥ ga, और तब ऊर्जा से u² ≥ ga + 4ga = 5ga।

हल्की छड़ या चिकनी नली धक्का भी दे सकती है, अतः वहाँ कण को केवल धनात्मक चाल से शीर्ष तक पहुँचना है: प्रतिबंध u² > 4ga हो जाता है।

वृत्त छोड़े बिना दोलन यदि v केंद्र के स्तर पर या उससे नीचे शून्य हो जाए: u² ≤ 2ga।

यह क्यों काम करता है: केंद्र के स्तर से नीचे (cos θ ≥ 0) प्रतिक्रिया R = m(v²/a + g cos θ) धनात्मक है, अतः वहाँ डोरी ढीली नहीं हो सकती; ऊपरी अर्धभाग में भार स्वयं केंद्र की ओर खींचता है, और जैसे ही v²/a, g|cos θ| से कम होता है, प्रतिक्रिया को ऋणात्मक होना पड़ेगा, अतः डोरी ढीली हो जाती है।

यदि 2ga < u² < 5ga, तो कण वहाँ वृत्त छोड़ता है जहाँ R = 0, अर्थात cos θ = −(u² − 2ga)/(3ga), और फिर प्रक्षेप्य की तरह चलता है।

उदाहरण 3: एक कण त्रिज्या a के चिकने स्थिर गोले के शीर्ष से विराम से फिसलता है; वह सतह कहाँ छोड़ता है?

θ शीर्ष से मापने पर: v² = 2ga(1 − cos θ) तथा mg cos θ − R = mv²/a, अतः R = mg(3 cos θ − 2)।

cos θ = 2/3 पर R = 0: कण केंद्र से 2a/3 ऊँचाई पर v² = 2ga/3 के साथ सतह छोड़ता है।

उदाहरण 4: लंबाई a की डोरी से बँधा कण निम्नतम बिंदु से u² = 3ga से प्रक्षेपित है; डोरी कहाँ ढीली होती है और वहाँ चाल क्या है?

यहाँ 2ga < u² < 5ga, अतः डोरी वहाँ ढीली होती है जहाँ T = 0: cos θ = −(u² − 2ga)/(3ga) = −1/3।

यह बिंदु केंद्र से a/3 ऊपर है (निम्नतम बिंदु से 4a/3 ऊपर); v² = 3ga − 2ga(1 + 1/3) = ga/3।

इसके बाद कण प्रक्षेप्य की भाँति स्वतंत्र चलता है जब तक डोरी पुनः तन न जाए।

7. चक्रज पर समकालिक गति को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सरल लोलक का आवर्तकाल उसके आयाम पर थोड़ा निर्भर करता है, क्योंकि sin θ ≈ θ केवल छोटे दोलनों के लिए है।

क्या कोई ऐसा वक्र है जिस पर मनका आयाम कुछ भी हो, ठीक एक ही आवर्तकाल से दोलन करे? यह टॉटोक्रोन (tautochrone) प्रश्न है, और इसका उत्तर चक्रज (cycloid) है।

शब्दों में: ऊर्ध्व समतल में चिकने वक्र पर s निम्नतम बिंदु से चाप-लंबाई (arc length) और ψ स्पर्शरेखा द्वारा क्षैतिज से बना कोण हो।

भार का प्रति एकक द्रव्यमान स्पर्शरेखा के अनुदिश नीचे घटक g sin ψ है, अतः स्पर्शरेखीय समीकरण d²s/dt² = −g sin ψ है।

यह ठीक सरल आवर्त गति (SHM) d²s/dt² = −n²s है यदि और केवल यदि sin ψ, s के समानुपाती हो; नैज समीकरण (intrinsic equation) s = 4a sin ψ ठीक यही कहता है, n² = g/(4a) के साथ।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: चिकने चक्रज s = 4a sin ψ (शीर्ष नीचे, अक्ष ऊर्ध्व) के शीर्ष से चाप-दूरी s₀ = 2a पर एक मनका विराम से छोड़ा जाता है।

चरण 1: स्पर्शरेखीय समीकरण d²s/dt² = −g sin ψ = −(g/(4a))s है।

चरण 2: यह n = √(g/(4a)) वाली SHM है, अतः आवर्तकाल 2π/n = 4π√(a/g)।

चरण 3: s₀ पर विराम से आरंभ करने पर हल s = 2a cos nt है।

चरण 4: शीर्ष (s = 0) पर nt = π/2 पर पहुँचता है, अर्थात t = π√(a/g), वही समय जो उभयाग्र (cusp, s₀ = 4a) से लगता है।

चरण 5: शीर्ष पर चाल n s₀ = 2a√(g/(4a)) = √(ga) है।

चरण 6: ऊर्जा से जाँच: शीर्ष से ऊँचाई y = s²/(8a) है, अतः मनका 4a²/(8a) = a/2 गिरता है और v² = 2g(a/2) = ga।

चरण 7: ध्यान दें: आरंभिक चाप को दुगुना करने से शीर्ष पर चाल दुगुनी होती है पर समय नहीं बदलता।

अ-उदाहरण (non-example): त्रिज्या a के वृत्त (सरल लोलक) पर s = aψ, अतः sin ψ = sin(s/a), s के समानुपाती नहीं है।

समीकरण d²s/dt² = −g sin(s/a) केवल छोटे s/a के लिए लगभग SHM है, और आवर्तकाल आयाम के साथ बढ़ता है: क्षैतिज (90°) से छोड़े गए लोलक का आवर्तकाल 2π√(a/g) से लगभग 18% अधिक होता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) चक्रज को x = a(θ + sin θ), y = a(1 − cos θ) लिखें, शीर्ष मूलबिंदु पर; (2) tan ψ = dy/dx = tan(θ/2) ज्ञात करें, अतः ψ = θ/2।

(3) ds = 2a cos(θ/2) dθ निकालें और समाकलन करके s = 4a sin ψ पाएँ; (4) इसे स्पर्शरेखीय समीकरण में रखें; चारों चरण 'व्युत्पत्ति: खुरदरे वक्र तथा चक्रज पर समीकरण' में हैं।

(5) ऊँचाई का सूत्र y = s²/(8a), dy/ds = sin ψ = s/(4a) से निकलता है।

कहाँ प्रयोग होता है: चक्रज पर उतरने के समय, चाल और आवर्तकाल के प्रश्न; हाइगेन्स का चक्रजीय लोलक; और वक्रों की ज्यामिति में चक्रज का केंद्रज (evolute) एक बराबर चक्रज होता है, इसी कारण चक्रजीय गाल (cheeks) डोरी-लोलक को चक्रज पर चलाते हैं।

8. चिकने चक्रज (Cycloid) पर गति

शीर्ष नीचे और अक्ष ऊर्ध्वाधर वाले चक्रज का नैज समीकरण s = 4a sin ψ है, s शीर्ष से मापा गया।

वक्र के अनुदिश d²s/dt² = −g sin ψ = −(g/(4a))s: आवर्तकाल 4π√(a/g) की SHM, आयाम से स्वतंत्र।

यह समकालिक (isochronous) गुण चक्रज के लिए यथार्थ है, जबकि सरल लोलक केवल छोटे दोलनों के लिए समकालिक है।

भाव: किसी भी चिकने वक्र पर स्पर्शरेखीय त्वरण −g sin ψ है; यह चाप लंबाई s के ठीक समानुपाती तभी है जब sin ψ ∝ s, और s = 4a sin ψ वाला वक्र चक्रज (cycloid) है, अतः चक्रज लोलक की सन्निकट SHM को यथार्थ SHM बना देता है।

उदाहरण 5: एक मनका चिकने चक्रज s = 4a sin ψ (शीर्ष नीचे) पर कहीं से भी विराम से चलता है; शीर्ष तक पहुँचने का समय चौथाई आवर्तकाल π√(a/g) है, आरंभ बिंदु चाहे जो हो।

उदाहरण 6: एक कण चिकने चक्रज s = 4a sin ψ (शीर्ष नीचे, अक्ष ऊर्ध्व) के उभयाग्र (cusp) से विराम से चलता है; शीर्ष पर उसकी चाल ज्ञात कीजिए।

गति SHM s = 4a cos(√(g/(4a)) t) है जिसका आयाम 4a है, अतः अधिकतम चाल (शीर्ष पर) 4a√(g/(4a)) = 2√(ga)।

ऊर्जा से जाँच: dy/ds = sin ψ = s/(4a) से y = s²/(8a), अतः उभयाग्र शीर्ष से 2a ऊपर है और v² = 2g(2a) = 4ga।

9. किसी भी चिकने वक्र पर गति; घर्षण और परिवर्ती बलों के विरुद्ध कार्य

ऊर्ध्वाधर तल में चिकना वक्र: स्पर्शरेखा का झुकाव ψ और वक्रता त्रिज्या ρ लेने पर ऊर्जा से v² = u² − 2g × (ऊँचाई में वृद्धि), और अभिलंब समीकरण mv²/ρ = (भार का आंतरिक अभिलंब के अनुदिश घटक) ± R है।

वक्र के बाहरी (उत्तल) पक्ष पर चलता कण उसे वहाँ छोड़ता है जहाँ R = 0, अर्थात जहाँ v² = gρ cos ψ; नैज समीकरण s = f(ψ) वाले वक्र के लिए ρ = ds/dψ।

ध्रुवीय वक्र: तार r = f(θ) पर छल्ले की गतिज ऊर्जा (1/2)m(ṙ² + r²θ̇²) है, और ध्रुव से बँधी प्रत्यास्थ डोरी में ऊर्जा λ(r − l)²/(2l) केवल तब संचित होती है जब r > l।

घर्षण के विरुद्ध कार्य: झुकाव θ के रुक्ष समतल पर भार w को धीरे-धीरे दूरी b खींचने में ऊपर की ओर wb(sin θ + μ cos θ) और नीचे की ओर wb(μ cos θ − sin θ) कार्य लगता है (जब μ > tan θ); घर्षण सदैव ऋणात्मक कार्य करता है, अतः आने-जाने में 2μwb cos θ कार्य लगता है।

परिवर्ती बल: कण के r₁ से भीतर r₂ तक आने में पृथ्वी के आकर्षण mgR²/r² द्वारा किया गया कार्य mgR²(1/r₂ − 1/r₁) है।

द्रव सहित निकाय: जब कोई पिंड द्रव में से उठाया जाता है तो द्रव की स्थितिज ऊर्जा भी बदलती है; इसे पहले और बाद में (द्रव का भार) × (उसके गुरुत्व केंद्र की ऊँचाई) के रूप में निकालें, यह मानकर कि द्रव पिंड द्वारा खाली किए स्थान को भर देता है।

10. व्युत्पत्ति: ऊर्जा संरक्षण और ऊर्ध्वाधर वृत्त

ऊर्जा संरक्षण: यदि F = −∇V, तो किसी भी पथ पर F·dr = −dV, अतः कार्य-ऊर्जा सिद्धांत से (1/2)mv² − (1/2)mu² = −(V − V₀), अर्थात गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा अचर है।

ऊर्ध्वाधर वृत्त: निम्नतम बिंदु से θ घूमने के बाद कण a(1 − cos θ) ऊपर उठ जाता है, अतः v² = u² − 2ga(1 − cos θ)।

भीतरी अभिलंब के अनुदिश बल R (केंद्र की ओर) और भार का घटक mg cos θ (केंद्र से दूर) हैं, अतः R − mg cos θ = mv²/a।

प्रतिस्थापन से R = (m/a)(u² − 2ga + 3ga cos θ); शीर्ष θ = π पर यह (m/a)(u² − 5ga) है, जो पूर्ण वृत्त का प्रतिबंध देता है, और R = 0 छोड़ने का बिंदु देता है।

v² = 0, cos θ = 1 − u²/(2ga) पर होता है; यह ठीक तब केंद्र के स्तर पर या उससे नीचे (cos θ ≥ 0) है जब u² ≤ 2ga, जो दोलन का प्रतिबंध है।

11. व्युत्पत्ति: खुरदरे वक्र तथा चक्रज पर समीकरण

खुरदरा वक्र: स्पर्शरेखीय दिशा में m v dv/ds = (स्पर्शरेखा के अनुदिश लगाया गया बल) − μR, और अवतल ओर दबे कण के लिए अभिलंब दिशा में mv²/ρ = (भीतरी अभिलंब के अनुदिश लगाया गया बल) + R।

R का विलोपन करने पर d(v²)/ds + 2μv²/ρ = (ज्ञात पद), v² में एक रैखिक समीकरण, जो समाकलन गुणक (integrating factor) से हल होता है; बिना अन्य बल के क्षैतिज वृत्त पर यही उदाहरण 2 है।

चक्रज: x = a(θ + sin θ), y = a(1 − cos θ) (शीर्ष मूल बिंदु पर, नीचे की ओर) के लिए dy/dx = tan(θ/2), अतः ψ = θ/2 और ds = 2a cos(θ/2) dθ; शीर्ष से समाकलन करने पर s = 4a sin(θ/2) = 4a sin ψ।

स्पर्शरेखीय समीकरण d²s/dt² = −g sin ψ = −(g/(4a))s, n² = g/(4a) वाली SHM है, अतः आवर्तकाल आयाम कुछ भी हो 2π√(4a/g) = 4π√(a/g) है, बशर्ते कण वक्र पर बना रहे।

12. विधि का चयन

यदि केवल किसी बिंदु पर चाल पूछी जाए और बंधन चिकना हो → ऊर्जा समीकरण लें; घर्षण हो तो कार्य-ऊर्जा लें और घर्षण का (ऋणात्मक) कार्य सम्मिलित करें।

यदि प्रतिक्रिया या तनाव पूछा जाए → पहले v² ज्ञात करें, फिर अभिलंब समीकरण mv²/ρ = कुल भीतरी बल लें।

यदि पूछा जाए कि कण वक्र को कहाँ छोड़ता है या डोरी कहाँ ढीली होती है → अभिलंब समीकरण में R = 0 (या T = 0) रखें और जाँचें कि वह बिंदु वास्तव में पहुँचा जाता है (वहाँ v² > 0)।

यदि समय पूछा जाए → स्पर्शरेखीय समीकरण (चक्रज पर SHM) या t = ∫ds/v लें।

यदि पूछा जाए कि बल क्षेत्र संरक्षी है या नहीं → सरलतः संबद्ध क्षेत्र में curl F निकालें; शून्य हो तो घटकों के समाकलन से V ज्ञात करें, अन्यथा शून्येतर कार्य वाला एक बंद पथ दिखाएँ।

13. सामान्य गलतियाँ

खुरदरे वक्र पर या प्रतिरोधी माध्यम में ऊर्जा संरक्षण लगाना।

अभिलंब समीकरण में भार घटक का चिह्न गलत लेना: वृत्त के भीतर R − mg cos θ = mv²/a (θ निम्नतम बिंदु से), गोले के बाहर mg cos θ − R = mv²/a (θ शीर्ष से)।

छड़ या नली के लिए u² ≥ 5ga लेना, जहाँ u² > 4ga पर्याप्त है, या डोरी के लिए इसका उल्टा।

डोरी ढीली होने के बाद भी वृत्त के समीकरणों का प्रयोग करते रहना; तब कण मुक्त प्रक्षेप्य की भाँति चलता है।

वक्र पर घर्षण को μ × भार लेना; यह μR है, और R में mv²/ρ पद सम्मिलित है।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: कार्य एक रेखा समाकल है, और curl F = 0 परीक्षण तथा बंद पथ वाला प्रति-उदाहरण सदिश विश्लेषण का वह प्रमेय है कि सरलतः संबद्ध क्षेत्र में अघूर्णी क्षेत्र प्रवणता होता है (अध्याय 7, मानक उपपत्तियाँ, प्रमेय 11); यहाँ उदाहरण 1 ग्रीन प्रमेय का प्रयोग है।

संबंध: बाधित गति को अध्याय 14 में व्यापक रूप से व्यापीकृत निर्देशांकों और लैग्रांज समीकरणों से हल किया जाता है, जहाँ कार्यहीन बंधन ठीक वैसे ही हट जाते हैं जैसे यहाँ चिकनी प्रतिक्रिया।

15. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2017, 10 अंक): एक तार, कार्डिऑइड r = a(1 + cos θ), जिसकी प्रारम्भिक रेखा अधोगत ऊर्ध्वाधर है, के आकार में स्थिर है। m द्रव्यमान का एक छोटा छल्ला तार पर फिसल सकता है तथा कार्डिऑइड के बिन्दु r = 0 से स्वाभाविक लम्बाई a की प्रत्यास्थ (elastic) डोरी से, जिसका प्रत्यास्थता गुणांक 4mg है, बंधा है। छल्ले को विरामावस्था से, जबकि डोरी क्षैतिज है, छोड़ा जाता है। ऊर्जा-संरक्षण के नियमों का प्रयोग कर दर्शाइये कि aθ̇²(1 + cos θ) − g cos θ (1 − cos θ) = 0, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

ध्रुव O को मूल बिंदु लें और θ को अधोमुखी ऊर्ध्वाधर से मापें; आरंभ में θ = π/2 और r = a, अतः डोरी स्वाभाविक लंबाई में है और छल्ला विराम में है।

चाल: ṙ = −a sin θ θ̇, अतः v² = ṙ² + r²θ̇² = a²θ̇²[sin²θ + (1 + cos θ)²] = 2a²θ̇²(1 + cos θ)।

छल्ला O से r cos θ = a(1 + cos θ) cos θ गहराई पर है, अतः उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा −mga(1 + cos θ) cos θ है।

θ < π/2 के लिए विस्तार r − a = a cos θ है, अतः प्रत्यास्थ ऊर्जा λx²/(2a) = 4mga²cos²θ/(2a) = 2mga cos²θ है।

आरंभ में तीनों ऊर्जाएँ शून्य हैं, अतः ma²θ̇²(1 + cos θ) − mga(1 + cos θ) cos θ + 2mga cos²θ = 0।

ma से भाग देने पर: aθ̇²(1 + cos θ) − g cos θ − g cos²θ + 2g cos²θ = 0, अर्थात aθ̇²(1 + cos θ) − g cos θ (1 − cos θ) = 0।

उत्तर: ऊर्जा संरक्षण से aθ̇²(1 + cos θ) − g cos θ (1 − cos θ) = 0 प्राप्त होता है, जैसा अपेक्षित था।

उदाहरण 8 (UPSC 2017, 17 अंक): एक कण त्रिज्या a के चिकनी ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार तार पर चलने में स्वतंत्र है। प्रारम्भिक समय t = 0 पर इसे वृत्त के निम्नतम बिन्दु A से ऐसे वेग से, वृत्त के अनुदिश फेंका जाता है जो इसे मात्र उच्चतम बिन्दु B तक ले जाने में ही सक्षम है। समय T को ज्ञात कीजिए जिस पर कण व तार के बीच प्रतिक्रिया शून्य हो।

कण तार पर है, अतः प्रतिक्रिया किसी भी ओर हो सकती है; 'B तक मात्र पहुँचने योग्य' का अर्थ B पर v = 0, अतः u² = 4ga।

A से θ मापने पर: v² = 4ga − 2ga(1 − cos θ) = 2ga(1 + cos θ) = 4ga cos²(θ/2)।

अभिलंब समीकरण (R केंद्र की ओर): R − mg cos θ = mv²/a, अतः R = mg(2 + 3 cos θ), जो cos θ = −2/3 पर शून्य होता है।

समय: a dθ/dt = 2√(ga) cos(θ/2), अतः dt = (1/2)√(a/g) sec(θ/2) dθ और t = √(a/g) log[sec(θ/2) + tan(θ/2)]।

cos θ = −2/3 पर cos²(θ/2) = (1 + cos θ)/2 = 1/6, अतः sec(θ/2) = √6 और tan(θ/2) = √5।

उत्तर: T = √(a/g) log(√6 + √5) ≈ 1.54√(a/g) (कण स्वयं B तक केवल t → ∞ पर पहुँचता है)।

उदाहरण 9 (UPSC 2017, 16 अंक): W ग्राम भार व r त्रिज्या का एक गोला R से.मी. त्रिज्या की बेलनाकार बाल्टी की तली पर स्थित है। बाल्टी में h से.मी. (h > 2r) की गहराई तक पानी भरा हुआ है। दर्शाइये कि गोले को पानी की सतह के ठीक ऊपर लाने में किया गया न्यूनतम कार्य [W(h − 4r³/(3R²)) + W′(r − h + 2r³/(3R²))] से.मी. ग्राम होना चाहिए। W′ ग्राम गोले द्वारा विस्थापित पानी का भार है।

माना ρ पानी का प्रति एकांक आयतन भार है, अतः W′ = (4/3)πr³ρ; ऊँचाइयाँ बाल्टी की तली से मापी गई हैं।

जब गोला पानी से बाहर आता है तो तल (4/3)πr³/(πR²) = 4r³/(3R²) गिरकर h′ = h − 4r³/(3R²) हो जाता है।

गोला: उसका केंद्र ऊँचाई r से h′ + r (नए तल के ठीक ऊपर) तक उठता है, अतः उसके भार के विरुद्ध कार्य Wh′ = W(h − 4r³/(3R²)) है।

आरंभ में पानी गोले को छोड़कर गहराई h का बेलन भरता है, अतः उसकी स्थितिज ऊर्जा ρπR²h²/2 − W′r है; अंत में यह ρπR²h′²/2 है।

परिवर्तन = (ρπR²/2)(h′ − h)(h′ + h) + W′r = −(W′/2)(2h − 4r³/(3R²)) + W′r, क्योंकि ρπR² × 4r³/(3R²) = W′।

अतः पानी की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन W′(r − h + 2r³/(3R²)) है, जो h > 2r के कारण कमी है; न्यूनतम कार्य, जो धीरे-धीरे किया जाए ताकि गतिज ऊर्जा न दी जाए, स्थितिज ऊर्जा की कुल वृद्धि है।

उत्तर: न्यूनतम कार्य = W(h − 4r³/(3R²)) + W′(r − h + 2r³/(3R²)) से.मी. ग्राम।

उदाहरण 10 (UPSC 2019, 10 अंक): एक कण का पृथ्वी द्वारा आकर्षण बल उस कण के पृथ्वी के केन्द्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। एक कण, जिसका भार पृथ्वी की सतह पर W है, सतह से 3h ऊँचाई से पृथ्वी की सतह पर गिरता है। दर्शाइए कि पृथ्वी के आकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण (3/4)hW है, जहाँ h पृथ्वी की त्रिज्या है।

केंद्र से दूरी x पर आकर्षण Wh²/x² है, क्योंकि सतह x = h पर यह W के बराबर है।

कण x = h + 3h = 4h से x = h तक गिरता है, और बल गति की दिशा में है।

कार्य = ∫_h^4h Wh²/x² dx = Wh²(1/h − 1/(4h)) = (3/4)Wh।

उत्तर: पृथ्वी के आकर्षण द्वारा किया गया कार्य (3/4)hW है (गुरुत्व एकसमान होता तो यह 3hW होता)।

उदाहरण 11 (UPSC 2021, 15 अंक): एक भारी कण a लम्बाई की अवितान्य डोरी से एक स्थिर बिन्दु से टँगा है तथा √(2gh) वेग से क्षैतिज दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। यदि 5a/2 > h > a है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रक्षेपण बिन्दु से (1/3)(a + 2h) ऊँचाई पहुँचने पर कण की वृत्तीय गति समाप्त हो जाती है। यह भी सिद्ध कीजिए कि उस कण द्वारा प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर प्राप्य अधिकतम ऊँचाई (4a − h)(a + 2h)²/(27a²) है।

निम्नतम बिंदु से θ मापने पर v² = 2gh − 2ga(1 − cos θ), और अभिलंब समीकरण T − mg cos θ = mv²/a दर्शाता है कि T = 0 जब v² = −ga cos θ।

अतः 2gh − 2ga + 2ga cos θ = −ga cos θ, cos θ = −2(h − a)/(3a); चूँकि a < h < 5a/2, अतः −1 < cos θ < 0 और डोरी केंद्र के स्तर से ऊपर ढीली होती है।

प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचाई: a(1 − cos θ) = a + 2(h − a)/3 = (a + 2h)/3।

वहाँ v² = −ga cos θ = 2g(h − a)/3, और वेग स्पर्शरेखा के अनुदिश है, जो क्षैतिज से α = π − θ पर झुका है, जहाँ cos α = 2(h − a)/(3a)।

प्रक्षेप्य के रूप में यह और v²sin²α/(2g) = ((h − a)/3)(1 − 4(h − a)²/(9a²)) = (h − a)(5a − 2h)(a + 2h)/(27a²) ऊपर उठता है।

अधिकतम ऊँचाई = (a + 2h)/3 + (h − a)(5a − 2h)(a + 2h)/(27a²) = (a + 2h)(4a² + 7ah − 2h²)/(27a²), और 4a² + 7ah − 2h² = (4a − h)(a + 2h)।

उत्तर: वृत्तीय गति ऊँचाई (a + 2h)/3 पर समाप्त होती है, और प्राप्त अधिकतम ऊँचाई (4a − h)(a + 2h)²/(27a²) है।

उदाहरण 12 (UPSC 2022, 10 अंक): w भार का एक पिंड, θ कोण से झुके हुए एक रूक्ष समतल पर स्थित है, घर्षण गुणांक μ, tan θ से अधिक है। पिंड को समतल पर ऊपर की तरफ 'b' दूरी तक धीरे-धीरे खींचने तथा वापस आरम्भिक बिन्दु तक खींचने में किए गए कार्य को ज्ञात कीजिए, जहाँ लगाया गया बल प्रत्येक दशा में समतल के समान्तर है।

चूँकि μ > tan θ, पिंड स्वयं नहीं फिसलता, और 'धीरे-धीरे' का अर्थ है कि लगाया गया बल शेष बलों को ठीक संतुलित करता है, अतः कोई गतिज ऊर्जा उत्पन्न नहीं होती।

ऊपर की ओर: बल = w sin θ + μw cos θ, कार्य = wb(sin θ + μ cos θ)।

नीचे की ओर: घर्षण μw cos θ अब ऊपर की ओर है और w sin θ से अधिक है, अतः नीचे की ओर μw cos θ − w sin θ बल चाहिए; कार्य = wb(μ cos θ − sin θ)।

कुल = 2μwb cos θ: आने-जाने में गुरुत्व के विरुद्ध कार्य निरस्त हो जाता है और केवल घर्षण के विरुद्ध कार्य बचता है।

उत्तर: किया गया कुल कार्य 2μwb cos θ है।

उदाहरण 13 (UPSC 2024, 15 अंक): लम्बाई l की एक हल्की अवितान्य डोरी द्वारा एक नियत बिन्दु से ऊर्ध्वाधर लटका हुआ एक भारी कण प्रारम्भिक वेग u के साथ एक वृत्त में घूमना शुरू करता है ताकि एक ऊर्ध्वाधर समतल में एक पूर्ण परिक्रमण कर सके। दर्शाइए कि किसी भी व्यास के सिरों पर तनावों का योग अचर है।

निम्नतम बिंदु से θ मापने पर v² = u² − 2gl(1 − cos θ), और T − mg cos θ = mv²/l से T(θ) = (m/l)(u² − 2gl + 3gl cos θ)।

पूर्ण परिक्रमण के लिए u² ≥ 5gl चाहिए, अतः डोरी तनी रहती है और यह सूत्र प्रत्येक θ के लिए मान्य है।

किसी व्यास के सिरे θ और θ + π पर हैं, तथा T(θ + π) = (m/l)(u² − 2gl − 3gl cos θ)।

T(θ) + T(θ + π) = 2m(u² − 2gl)/l, जो θ पर निर्भर नहीं है।

उत्तर: किसी भी व्यास के सिरों पर तनावों का योग अचर 2m(u² − 2gl)/l है।

उदाहरण 14 (UPSC 2025, 20 अंक): एक कण को ऊर्ध्वाधर तल में वृत्ताकार अनुप्रस्थ-परिच्छेद वाले स्थिर चिकने बेलन के अन्दर प्रारम्भिक क्षैतिज वेग u के साथ सबसे निचले बिंदु से प्रक्षेपित किया जाता है। दर्शाइए कि
(i) (u² ≤ 2ag) के लिए; कण निचले आधे भाग में माध्य स्थिति के आसपास (about) दोलन करता है,
(ii) (u² ≥ 5ag) के लिए; कण पूर्णतः वृत्तीय गति करता है, और
(iii) (2ag < u² < 5ag) के लिए; कण, वक्र को एक स्पर्शी की दिशा में, जो क्षैतिज के साथ कोण α बनाती है, छोड़ देगा, जबकि cos α = (u² − 2ag)/3ag है।

निम्नतम बिंदु से θ मापने पर: v² = u² − 2ga(1 − cos θ) तथा R = (m/a)(u² − 2ga + 3ga cos θ)।

(i) यदि u² ≤ 2ga, तो v = 0 वहाँ होता है जहाँ cos θ = 1 − u²/(2ga) ≥ 0, अर्थात केंद्र के स्तर पर या नीचे, और वहाँ R = mg cos θ ≥ 0; अतः कण सतह कभी नहीं छोड़ता और निचले आधे भाग में दोलन करता है।

(ii) R शीर्ष (θ = π) पर न्यूनतम है, जहाँ u² ≥ 5ga होने पर R = (m/a)(u² − 5ga) ≥ 0; तब शीर्ष पर v² ≥ ga > 0 और पूर्ण वृत्त बनता है।

(iii) यदि 2ga < u² < 5ga, तो R केंद्र से ऊपर cos θ = −(u² − 2ga)/(3ga) पर शून्य होता है, जहाँ v² = −ga cos θ > 0; इसके आगे R ऋणात्मक हो जाता, अतः कण वहीं सतह छोड़ देता है।

यह स्पर्शरेखा के अनुदिश छोड़ता है, जो क्षैतिज से α = π − θ पर झुकी है, अतः cos α = −cos θ = (u² − 2ga)/(3ga)।

उत्तर: तीनों स्थितियाँ v² और R के चिह्नों से निकलती हैं; स्थिति (iii) में कण क्षैतिज से α पर स्पर्शीय दिशा में छोड़ता है, जहाँ cos α = (u² − 2ag)/(3ag)।

उदाहरण 15 (UPSC 2026, 10 अंक): एक कण, एक उल्टी कैटेनरी के शीर्ष से विराम अवस्था से नीचे गिरता है। सिद्ध कीजिए कि कण वक्र को तब छोड़ेगा, जब कण द्वारा तय किया गया पथ उस ऊर्ध्वाधर दूरी का √3 गुना हो, जितनी दूरी तक कण नीचे गिरा है।

उल्टी कैटिनरी s = c tan ψ (शीर्ष ऊपर) के लिए वक्रता त्रिज्या ρ = ds/dψ = c sec²ψ और नियता से ऊँचाई y = c sec ψ है।

शीर्ष (y = c) से विराम से चलकर ऊर्ध्वाधर पतन z = c sec ψ − c के बाद चाल v² = 2gc(sec ψ − 1) से मिलती है।

उत्तल पक्ष पर mg cos ψ − R = mv²/ρ, अतः R = mg cos ψ (2 cos ψ − 1), जो cos ψ = 1/2, ψ = 60° पर शून्य होता है।

वहाँ s = c tan 60° = √3c और z = c(sec 60° − 1) = c।

उत्तर: कण ψ = 60° पर वक्र छोड़ता है, जहाँ तय किया गया चाप √3c, ऊर्ध्वाधर पतन c का √3 गुना है।

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): अचर बल F = 3i + 4j न्यूटन का कार्य ज्ञात कीजिए जब उसका प्रयोग बिंदु किसी भी पथ से (0, 0) से (2, 1) मीटर तक जाता है।

उत्तर: W = F·(2i + j) = 6 + 4 = 10 J; अचर बल संरक्षी होता है, अतः पथ से कोई अंतर नहीं पड़ता।

अभ्यास 2 (मूल): दिखाइए कि F = (y² + 2x)i + 2xy j संरक्षी है और ऐसा विभव V ज्ञात कीजिए कि F = −∇V।

उत्तर: ∂(2xy)/∂x = 2y = ∂(y² + 2x)/∂y, अतः पूरे समतल में curl F = 0; V = −(x² + xy²) + अचर।

अभ्यास 3 (मूल): एक कण त्रिज्या 1 m के चिकने ऊर्ध्व वृत्त के भीतर निम्नतम बिंदु पर 6 m/s की चाल से चलता है (g = 9.8 m/s²)। क्या वह पूरा वृत्त बनाता है? यदि नहीं, तो वह वृत्त कहाँ छोड़ता है?

उत्तर: u² = 36, 2ga = 19.6 और 5ga = 49 के बीच है, अतः वह वहाँ वृत्त छोड़ता है जहाँ cos θ = −(36 − 19.6)/29.4 ≈ −0.558, θ ≈ 123.9°, निम्नतम बिंदु से लगभग 1.56 m ऊपर।

अभ्यास 4 (मानक): त्रिज्या a के चिकने स्थिर गोले के शीर्ष से एक कण को चाल √(ga/2) से क्षैतिजतः प्रक्षेपित किया जाता है। ज्ञात कीजिए कि वह पृष्ठ को कहाँ छोड़ता है।

उत्तर: v² = ga/2 + 2ga(1 − cos θ) तथा R = 0 जब g cos θ = v²/a, जिससे cos θ = 5/6: यह केंद्र से 5a/6 ऊँचाई पर पृष्ठ छोड़ता है।

अभ्यास 5 (मानक): लंबाई a की डोरी से लटके कण को निम्नतम बिंदु से u² = 7ga/2 से क्षैतिजतः प्रक्षेपित किया जाता है। ज्ञात कीजिए कि डोरी कहाँ ढीली होती है और उसके बाद निम्नतम बिंदु से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या है।

उत्तर: T = 0, cos θ = −1/2 (θ = 120°) पर, ऊँचाई 3a/2, जहाँ क्षैतिज से 60° पर v² = ga/2; यह 3a/16 और ऊपर उठता है, अतः अधिकतम ऊँचाई 27a/16 है।

अभ्यास 6 (मानक): एक कण लंबाई a की डोरी पर पूर्ण ऊर्ध्व वृत्त बनाता है। दिखाइए कि निम्नतम बिंदु पर तनाव, उच्चतम बिंदु पर तनाव से 6mg अधिक है, चाल कुछ भी हो।

उत्तर: T(θ) = (m/a)(u² − 2ga + 3ga cos θ), अतः T(0) − T(π) = (m/a)(6ga) = 6mg।

अभ्यास 7 (मानक): एक मनका a = 0.5 m वाले चिकने चक्रज s = 4a sin ψ (शीर्ष नीचे) पर दोलन करता है (g = 9.8 m/s²)। आवर्तकाल तथा उभयाग्र से शीर्ष तक का समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक आयाम के लिए आवर्तकाल 4π√(a/g) ≈ 2.84 s; उभयाग्र से शीर्ष तक चौथाई आवर्तकाल, π√(a/g) ≈ 0.71 s।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): चिकनी क्षैतिज मेज पर एक कण को त्रिज्या a की स्थिर खुरदरी वृत्ताकार दीवार के भीतरी ओर चाल u से प्रक्षेपित किया जाता है, घर्षण गुणांक μ। वह समय और दूरी ज्ञात कीजिए जिसमें उसकी चाल आधी हो जाती है।

उत्तर: dv/dt = −μv²/a से 1/v = 1/u + μt/a, अतः समय a/(μu); v = ue^−μs/a से दूरी (a/μ) log 2।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): एक कण ऊर्ध्व अक्ष और नीचे शीर्ष वाले चिकने चक्रज s = 4a sin ψ के उभयाग्र से विराम से चलता है। सिद्ध कीजिए कि समय (π/2)√(a/g) में, जो शीर्ष तक के समय का आधा है, वह शीर्ष तक की ऊर्ध्व ऊँचाई का आधा गिर चुका होता है।

उत्तर: s = 4a cos nt, n² = g/(4a) तथा ऊँचाई y = s²/(8a); y = a से s = 2√2a, cos nt = 1/√2, nt = π/4, t = (π/2)√(a/g)।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): त्रिज्या a का चिकना गोला क्षैतिज समतल पर स्थिर रखा है। एक कण उसके उच्चतम बिंदु से विराम से फिसलता है। दिखाइए कि वह गोले और समतल के स्पर्श बिंदु से (5√5 + 20√2)a/27 ≈ 1.46a दूरी पर समतल से टकराता है।

उत्तर: यह cos θ = 2/3 पर v² = 2ga/3 के साथ, क्षैतिज दूरी √5a/3 और ऊँचाई 5a/3 पर छोड़ता है; फिर प्रक्षेप्य समय (10 − √10)√(a/(27g)) लेता है और क्षैतिजतः (2√2/27)(10 − √10)a और चलता है।

1. केंद्रीय बल और अचर कोणीय संवेग को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: ग्रह, धूमकेतु और उपग्रह एक ही बिंदु, सूर्य या पृथ्वी के केंद्र, की ओर एक ही खिंचाव के अधीन चलते हैं।

हम समय में पूरी गति हल किए बिना पथ का पूर्वानुमान चाहते हैं, और इसकी कुंजी एक ऐसी राशि है जो पथ पर कभी नहीं बदलती: कोणीय संवेग (angular momentum)।

शब्दों में: केंद्रीय बल (central force) का अर्थ है कि प्रत्येक क्षण कण P पर बल उसे स्थिर बिंदु O से मिलाने वाली रेखा OP के अनुदिश लगता है (आकर्षण में O की ओर)।

प्रति एकक द्रव्यमान P(r) का अर्थ है कि O की ओर त्वरण का परिमाण P है, जो केवल दूरी r = OP पर निर्भर करता है।

O के परितः ध्रुवीय निर्देशांकों (r, θ) में त्वरण का त्रिज्य भाग r̈ − rθ̇² और अनुप्रस्थ भाग (1/r) d(r²θ̇)/dt है।

केंद्रीय बल का कोई अनुप्रस्थ भाग नहीं होता, अतः d(r²θ̇)/dt = 0: संख्या h = r²θ̇ अचर रहती है; h प्रति एकक द्रव्यमान कोणीय संवेग है और h/2 प्रति एकक समय OP द्वारा बहा गया क्षेत्रफल है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: केंद्रीय बल के अधीन एक कण r = 2 m पर है और उसका वेग त्रिज्य सदिश से 30° पर 5 m/s है। वहाँ h और θ̇, तथा r = 4 m पर θ̇ और अनुप्रस्थ चाल ज्ञात कीजिए।

चरण 1: वेग का अनुप्रस्थ घटक rθ̇ = v sin 30° = 2.5 m/s है।

चरण 2: अतः θ̇ = 2.5/2 = 1.25 rad/s और h = r²θ̇ = 4 × 1.25 = 5 m²/s।

चरण 3: वही संख्या h = rv sin β = 2 × 5 × 1/2 = 5 से आती है, जहाँ β वेग और त्रिज्य सदिश के बीच का कोण है।

चरण 4: r = 4 m पर θ̇ = h/r² = 5/16 = 0.3125 rad/s।

चरण 5: तब अनुप्रस्थ चाल rθ̇ = h/r = 1.25 m/s है: r को दुगुना करने से अनुप्रस्थ चाल आधी हो जाती है।

चरण 6: पथ के प्रत्येक बिंदु पर प्रति सेकंड बहा गया क्षेत्रफल h/2 = 2.5 m² है।

अ-उदाहरण (non-example): एकसमान गुरुत्व के अधीन प्रक्षेप्य, O को प्रक्षेप बिंदु पर लेने पर, केंद्रीय गति नहीं है: बल mg ऊर्ध्व है, OP के अनुदिश नहीं, अतः उसका अनुप्रस्थ भाग है।

वास्तव में x = ut, y = −gt²/2 के लिए r²θ̇ = xẏ − yẋ = −ugt²/2 मिलता है, जो समय के साथ बदलता है; विफल होने वाला प्रतिबंध यह है कि बल OP के अनुदिश होना चाहिए।

आगे बढ़ते हुए: (1) त्वरण को ध्रुवीय घटकों में लिखें (पिछला विषय, वेग और त्वरण के घटक); (2) अनुप्रस्थ घटक को शून्य रखें और समाकलन करके h पाएँ।

(3) u = 1/r के साथ θ̇ = hu² का प्रयोग करके त्रिज्य समीकरण से समय हटाएँ: इससे u-समीकरण d²u/dθ² + u = P/(h²u²) मिलता है ('व्युत्पत्ति: कक्षा समीकरण, चाल और पदिक रूप')।

(4) सदिश रूप में r × v अचर है, अतः पूरी गति O से जाने वाले उसके लंबवत स्थिर समतल में होती है।

कहाँ प्रयोग होता है: प्रत्येक केंद्रीय कक्षा प्रश्न प्रारंभिक आँकड़ों से h = RV sin β से आरंभ होता है; h से ही केप्लर का द्वितीय नियम, चाल v = h/p और किसी भी चाप पर लगा समय मिलता है।

2. केंद्रीय बल और मूल समीकरण

केंद्रीय बल सदैव एक स्थिर बिंदु O की ओर (या उससे दूर) होता है, जिसका प्रति एकक द्रव्यमान परिमाण P(r) केवल दूरी r पर निर्भर करता है।

भाव: केंद्रीय बल (central force) का कोई अनुप्रस्थ घटक नहीं होता, अतः यह O से कण की दूरी बदल सकता है पर O के परितः उसके घूमने को तेज या धीमा नहीं कर सकता; सूर्य की ओर गुरुत्व और O पर स्थिर स्प्रिंग का खिंचाव मानक उदाहरण हैं।

गति के समीकरण: d²r/dt² − r(dθ/dt)² = −P तथा (1/r) d/dt(r² dθ/dt) = 0।

अतः r² dθ/dt = h (अचर): प्रति एकक द्रव्यमान कोणीय संवेग संरक्षित है, कक्षा O से जाने वाले समतल में है, और क्षेत्रीय वेग h/2 है।

भाव: सदिश रूप में d(r × v)/dt = v × v + r × F/m = 0 क्योंकि F, r के समांतर है, अतः r × v एक अचर सदिश है; r सदैव O से जाने वाले उसके लंबवत समतल में रहता है, और उसका परिमाण h बहे गए क्षेत्रफल की दर का दुगुना है (ऊपर का चित्र देखें)।

कक्षा का अवकल समीकरण (u = 1/r): d²u/dθ² + u = P/(h²u²)।

भाव: h द्वारा t का विलोपन करके और r के स्थान पर u = 1/r लेकर त्रिज्य समीकरण θ के फलन u के लिए द्वितीय कोटि का समीकरण बन जाता है; व्युत्क्रम वर्ग नियम के लिए यह रैखिक समीकरण u″ + u = अचर बनता है, जिसका हल एक शांकव है, इसी कारण u सदैव सही चर है।

पदिक रूप (pedal form): (h²/p³) dp/dr = P, जहाँ p, O से स्पर्शरेखा पर लंब है।

भाव: चूँकि h = pv, चाल O से स्पर्शरेखा पर लंब के व्युत्क्रमानुपाती है: कण वहाँ सबसे तेज चलता है जहाँ स्पर्शरेखा O के सबसे निकट से गुजरती है; जब कक्षा का p-r समीकरण सरलता से मिले तब पदिक रूप सबसे तीव्र है।

चाल: v² = h²[u² + (du/dθ)²] तथा v = h/p।

एप्स (apse): वह बिंदु जहाँ ध्रुवांतर-रेखा स्पर्शरेखा के लंबवत हो (du/dθ = 0); एप्स दूरियाँ r के चरम मान हैं।

भाव: एप्स पर वेग त्रिज्या के लंबवत होता है, अतः वहाँ h = rv; एप्स दूरियाँ v² = h²u² (du/dθ = 0 वाला ऊर्जा समीकरण) के मूल हैं, और कक्षा प्रारंभिक दूरी को घेरने वाले दो क्रमागत मूलों के बीच दोलन करती है (केवल दो धनात्मक मूल होने पर, निकटतम और दूरतम दूरियों के बीच)।

उदाहरण 1: कक्षा rⁿ = aⁿ cos nθ के लिए ध्रुव की ओर बल का नियम ज्ञात कीजिए।

लघुगणकीय अवकलन: (n/r) dr/dθ = −n tan nθ, अतः cot φ = (1/r) dr/dθ = −tan nθ और φ = π/2 + nθ।

p = r sin φ = r cos nθ = rⁿ⁺¹/aⁿ, यह पादिक (pedal) समीकरण है।

P = (h²/p³) dp/dr = h²(a³ⁿ/r³ⁿ⁺³)(n + 1)rⁿ/aⁿ = (n + 1)h²a²ⁿ/r²ⁿ⁺³।

विशेष स्थितियाँ: n = 1 (ध्रुव से जाने वाला वृत्त) से 1/r⁵; n = 2 (लेम्निस्केट) से 1/r⁷; n = −1 (सरल रेखा) से P = 0।

3. व्युत्क्रम वर्ग नियम से शांकव क्यों मिलते हैं, इसे समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: केप्लर ने दीर्घवृत्त देखे; न्यूटन को दिखाना था कि आकर्षण μ/r² ठीक शांकव (conic) ही उत्पन्न करता है, और प्रक्षेप की चाल से तय करना था कि कौन-सा शांकव बनेगा।

शब्दों में: d²u/dθ² + u = P/(h²u²) में P = μu² रखें; दायाँ पक्ष अचर μ/h² बन जाता है।

यह अचर बाह्य पद वाले दोलक का समीकरण है: इसका व्यापक हल विशेष हल μ/h² तथा पूरक फलन A cos(θ − α) का योग है।

रूप l/r = 1 + e cos(θ − α) में: l = h²/μ अर्ध-नाभिलंब (semi-latus rectum) है, e = Ah²/μ उत्केंद्रता (eccentricity) है, और θ = α निकटतर एप्स (apse, स्तब्धिका) की दिशा है।

प्रति एकक द्रव्यमान ऊर्जा E = v²/2 − μ/r प्रकार तय करती है: E ऋणात्मक हो तो दीर्घवृत्त, शून्य हो तो परवलय, धनात्मक हो तो अतिपरवलय।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: μ/r² के अधीन दूरी R पर एक कण को त्रिज्य सदिश के लंबवत चाल V = √(μ/R) से प्रक्षेपित किया जाता है। उसकी कक्षा ज्ञात कीजिए।

चरण 1: V² = μ/R की 2μ/R से तुलना करें: यह कम है, अतः कक्षा दीर्घवृत्त है।

चरण 2: r = R पर v² = μ(2/r − 1/a) से μ/R = μ(2/R − 1/a), अतः 1/a = 1/R और a = R।

चरण 3: लंबवत प्रक्षेप R को एप्स दूरी बनाता है; एप्स दूरियाँ a(1 − e) और a(1 + e) हैं, और R = a, अतः e = 0।

चरण 4: अतः कक्षा वृत्त r = R है; √(μ/R) वृत्तीय गति की चाल है।

चरण 5: u-समीकरण से जाँच: h = RV = √(μR), अतः l = h²/μ = R, और l = a(1 − e²) फिर e = 0 देता है।

चरण 6: उसी बिंदु पर V को √(2μ/R) करने पर परवलय मिलता है: पलायन चाल (escape speed) वृत्तीय चाल की √2 गुनी है।

अ-उदाहरण (non-example): P = μ/r³ के लिए वही प्रतिस्थापन u″ + (1 − μ/h²)u = 0 देता है, जिसमें कोई अचर पद नहीं है।

इसके हल 1 से भिन्न आवृत्ति वाले कोसाइन, चरघातांकी, या θ के रैखिक फलन हैं, और वे शांकव नहीं बल्कि सर्पिल देते हैं: शांकव आकार के लिए अचर दायाँ पक्ष और ठीक 1 आवृत्ति चाहिए, जो केवल व्युत्क्रम वर्ग नियम देता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) P = μu² के साथ u-समीकरण u″ + u = μ/h² है; (2) इसका हल u = μ/h² + A cos(θ − α) है; (3) l और e पढ़ लें।

(4) v² = h²(u² + u′²) निकालकर e² = 1 + (h²/μ²)(V² − 2μ/R) पाएँ; (5) V² − 2μ/R का चिह्न तय करता है कि e, 1 से कम, बराबर या अधिक है।

चरण 4 और 5 'ऊर्जा समाकल, शांकव प्रतिबंध, स्तब्धिका कोण तथा कक्षा में समय' और 'व्युत्पत्ति: चाल सूत्र और एप्स कोण' में लिखे हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: बिना समाकलन के R, V और β से कक्षा का वर्गीकरण; उपग्रह और धूमकेतु के प्रश्न; तथा पलायन चाल √(2μ/R) = √(2gR), पृथ्वी के लिए लगभग 11.2 km/s।

4. व्युत्क्रम वर्ग नियम और शांकव कक्षाएँ

P = μ/r² = μu² के लिए: d²u/dθ² + u = μ/h², अतः l/r = 1 + e cos(θ − α), अर्धनाभिलंब l = h²/μ।

कक्षा O पर नाभि वाला शांकव है: e < 1 पर दीर्घवृत्त, e = 1 पर परवलय, e > 1 पर अतिपरवलय।

चाल: अर्ध-दीर्घ अक्ष a वाले दीर्घवृत्त के लिए v² = μ(2/r − 1/a), परवलय के लिए v² = 2μ/r, अतिपरवलय के लिए v² = μ(2/r + 1/a)।

अतः दूरी r पर चाल v वाला कण दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय बनाता है, जैसे v², 2μ/r से कम, बराबर या अधिक हो; √(2μ/r) पलायन चाल है।

भाव: निर्णायक राशि प्रति एकक द्रव्यमान ऊर्जा E = v²/2 − μ/r है: E ऋणात्मक का अर्थ है कि कण अनंत तक नहीं पहुँच सकता और कक्षा बंद (दीर्घवृत्त) है, E = 0 सीमांत परवलय है और E धनात्मक खुला अतिपरवलय; प्रक्षेप की दिशा केवल आकृति (e) को प्रभावित करती है, प्रकार को नहीं।

दीर्घवृत्त में आवर्तकाल: T = 2πa^3/2/√μ।

उदाहरण 2: μ/r² के अधीन चलता कण दूरी R से, त्रिज्य सदिश के लंबवत, चाल √(3μ/(2R)) से प्रक्षेपित है; कक्षा और उसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

v² = 3μ/(2R) < 2μ/R, अतः कक्षा दीर्घवृत्त है; v² = μ(2/R − 1/a) से 1/a = 2/R − 3/(2R) = 1/(2R), अतः a = 2R।

त्रिज्य के लंबवत प्रक्षेपण का अर्थ है कि R एक एप्सीय दूरी है; R < a, अतः यह निकटतर एप्स है: R = a(1 − e) से e = 1/2।

जाँच: l = h²/μ = R²(3μ/(2R))/μ = 3R/2 = a(1 − e²) = 2R(3/4)। आवर्तकाल T = 2π(2R)^3/2/√μ = 4π√2 R^3/2/√μ।

5. केप्लर के नियमों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: केप्लर के तीनों नियम न्यूटन से पहले प्रेक्षण से मिले थे, और परीक्षा के प्रश्न दोनों दिशाओं में जाते हैं: व्युत्क्रम वर्ग आकर्षण से नियम व्युत्पन्न करना, या नियमों से बल का नियम निकालना।

कौन-सा नियम कौन-सा तथ्य देता है, यह जानने से दोनों दिशाएँ छोटी हो जाती हैं।

शब्दों में: प्रथम नियम: कक्षा दीर्घवृत्त है और सूर्य एक नाभि (focus) पर है, केंद्र पर नहीं।

द्वितीय नियम: समय t में सूर्य से ग्रह तक की रेखा द्वारा बहा गया क्षेत्रफल (h/2)t है; समान समय में समान क्षेत्रफल वही कथन है जो h का अचर होना।

तृतीय नियम: T² = (4π²/μ)a³, जहाँ a अर्ध-दीर्घ अक्ष (सबसे लंबे व्यास का आधा) है और μ = GM केवल सूर्य पर निर्भर है, अतः T²/a³ प्रत्येक ग्रह के लिए समान है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: किसी ग्रह की सूर्य से न्यूनतम और अधिकतम दूरियाँ 1 AU और 3 AU हैं। a, e और उसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए, जबकि पृथ्वी के लिए a = 1 AU और T = 1 वर्ष है।

चरण 1: दीर्घ अक्ष दोनों एप्स दूरियों का योग है: 2a = 1 + 3, अतः a = 2 AU।

चरण 2: a(1 − e) = 1 से e = 1/2; जाँच: a(1 + e) = 3।

चरण 3: तृतीय नियम से T²/a³ वही है जो पृथ्वी के लिए, इन इकाइयों में 1।

चरण 4: T² = 2³ = 8, अतः T = 2√2 ≈ 2.83 वर्ष।

चरण 5: द्वितीय नियम से यह उपसौर (perihelion) पर सबसे तेज चलता है; v_p/v_a = (1 + e)/(1 − e) = 3।

चरण 6: ध्यान दें कि आवर्तकाल में e नहीं आया: केवल अर्ध-दीर्घ अक्ष आता है।

अ-उदाहरण (non-example): P = μr (O की ओर खींचती स्प्रिंग) के अधीन कक्षाएँ भी दीर्घवृत्त हैं, परंतु O केंद्र पर है, नाभि पर नहीं, और आवर्तकाल 2π/√μ सभी आकारों के लिए समान है।

अतः केवल दीर्घवृत्तीय कक्षा व्युत्क्रम वर्ग नियम सिद्ध नहीं करती: प्रथम नियम का नाभि प्रतिबंध आवश्यक है, और यहाँ तृतीय नियम विफल है, क्योंकि T, a के साथ नहीं बढ़ता।

आगे बढ़ते हुए: (1) द्वितीय नियम ⇔ h अचर ⇔ अनुप्रस्थ त्वरण (1/r) d(r²θ̇)/dt शून्य, अर्थात बल केंद्रीय है।

(2) प्रथम नियम: दीर्घवृत्त u = (1 + e cos θ)/l को P = h²u²(u″ + u) में रखें; चूँकि u″ + u = 1/l, P = (h²/l)/r², एक व्युत्क्रम वर्ग आकर्षण।

(3) तृतीय नियम: T = πab/(h/2), जहाँ h² = μl और l = b²/a, जैसा इस खंड में दिखाया गया है; (4) चूँकि T²/a³ = 4π²/μ सभी ग्रहों के लिए समान है, एक ही अचर μ पूरे सौरमंडल को नियंत्रित करता है।

कहाँ प्रयोग होता है: न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम की व्युत्पत्ति; बहे गए क्षेत्रफलों से कक्षा में समय (उदाहरण 11); μ = gR² के साथ उपग्रहों के आवर्तकाल।

6. केप्लर के नियम

प्रथम नियम: प्रत्येक ग्रह दीर्घवृत्त में चलता है जिसकी एक नाभि पर सूर्य है।

द्वितीय नियम: सूर्य से ग्रह की ध्रुवांतर-रेखा समान समय में समान क्षेत्रफल तय करती है (dA/dt = h/2)।

तृतीय नियम: आवर्तकालों के वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्षों के घनों के समानुपाती हैं: T² = (4π²/μ)a³।

निष्कर्ष: द्वितीय नियम दिखाता है कि बल केंद्रीय है; प्रथम नियम (नाभि पर सूर्य) दिखाता है कि यह 1/r² के अनुसार बदलता है; तृतीय नियम दिखाता है कि μ सभी ग्रहों के लिए समान है।

तृतीय नियम की उपपत्ति: T = (क्षेत्रफल πab)/(h/2), h² = μl और l = b²/a लेने पर T = 2πa^3/2/√μ।

ग्रह का द्रव्यमान m सम्मिलित करने पर μ = G(M + m), अतः T²/a³ सभी ग्रहों के लिए केवल लगभग समान है।

उदाहरण 3: दिखाइए कि सूर्य-समीपक (perihelion) और सूर्य-दूरक (aphelion) पर ग्रह की चालों का अनुपात (1 + e) : (1 − e) है, और e = 1/3 पर यह अनुपात ज्ञात कीजिए।

एप्स पर वेग त्रिज्य सदिश के लंबवत होता है, अतः वहाँ h = r v।

अतः v_pa(1 − e) = v_aa(1 + e), अतः v_p/v_a = (1 + e)/(1 − e)।

e = 1/3 के लिए अनुपात (4/3)/(2/3) = 2 है: ग्रह सूर्य-समीपक पर सूर्य-दूरक की तुलना में दुगुनी चाल से चलता है।

7. कक्षा से बल का नियम पढ़ने को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: केंद्रीय कक्षा के आधे प्रश्न एक वक्र देकर पूछते हैं: O की ओर किस केंद्रीय बल के अधीन यह वक्र बनाया जा सकता है?

उलटा पढ़ा गया u-समीकरण इसका उत्तर केवल अवकलन से देता है; किसी समाकलन की आवश्यकता नहीं।

शब्दों में: P = h²u²(d²u/dθ² + u) कहता है: कक्षा को θ के पदों में u = 1/r लिखें, दो बार अवकलन करें, u जोड़ें, h²u² से गुणा करें।

फिर परिणाम को कक्षा के समीकरण से θ हटाकर केवल r (या u) में व्यक्त करना होता है; तभी वह बल का नियम है।

विकल्पतः, यदि O से स्पर्शरेखा पर लंब p सरल हो, तो P = (h²/p³) dp/dr का प्रयोग करें, जिसके लिए पदिक समीकरण (pedal equation), p और r का संबंध, चाहिए।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: परवलय l/r = 1 + cos θ के लिए नाभि O की ओर बल का नियम ज्ञात कीजिए।

चरण 1: u = (1 + cos θ)/l।

चरण 2: du/dθ = −sin θ/l और d²u/dθ² = −cos θ/l।

चरण 3: d²u/dθ² + u = (−cos θ + 1 + cos θ)/l = 1/l; θ पहले ही लुप्त हो गया।

चरण 4: P = h²u²(1/l) = (h²/l)/r²।

चरण 5: अतः बल दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती आकर्षण है, जहाँ μ = h²/l।

चरण 6: पदिक विधि से: l = 2c लिखने पर नाभि O वाले परवलय के लिए p² = cr, अतः 2p dp/dr = c और P = h²c/(2p⁴) = h²/(2cr²) = (h²/l)/r², वही उत्तर।

अ-उदाहरण (non-example): सर्पिल r = aθ के लिए u″ + u = 2/(aθ³) + 1/(aθ) मिलता है; P = h²u²(2/(aθ³) + 1/(aθ)) लिखना अभी बल का नियम नहीं है, क्योंकि θ अभी भी उपस्थित है।

केंद्रीय बल का नियम केवल r पर निर्भर होना चाहिए; θ = 1/(au) रखना वह चरण है जो इसे नियम बनाता है, जिससे P = h²(u³ + 2a²u⁵) मिलता है।

आगे बढ़ते हुए: (1) 'व्युत्पत्ति: कक्षा समीकरण, चाल और पदिक रूप' का u-समीकरण, P के सूत्र के रूप में पढ़ा गया; (2) पदिक सूत्र, v = h/p और ऊर्जा समीकरण से (वही व्युत्पत्ति)।

(3) p ज्ञात करने के लिए p = r sin φ, जहाँ tan φ = r dθ/dr, या 1/p² = u² + (du/dθ)² का प्रयोग करें; (4) उदाहरण 1, 4, 5 और 6 क्रम से प्रत्येक विधि लगाते हैं।

कहाँ प्रयोग होता है: बल का नियम ज्ञात करने वाले प्रश्न (5 से 15 अंक), और उलटे, पदिक समीकरणों की तुलना करके यह जाँचना कि दावा किया गया वक्र ही कक्षा है (उदाहरण 9)।

8. कक्षा से बल का नियम ज्ञात करना

उदाहरण 4: कक्षा r = a cos θ (बल-केंद्र से जाने वाला वृत्त) के लिए बल का नियम ज्ञात कीजिए।

u = sec θ/a तथा d²u/dθ² = (2 sec³θ − sec θ)/a, अतः d²u/dθ² + u = 2 sec³θ/a = 2a²u³।

अतः P = h²u² × 2a²u³ = 2h²a²/r⁵: बल दूरी की पाँचवीं घात के व्युत्क्रमानुपाती है।

उदाहरण 5: समकोणीय सर्पिल r = ae^{θ cot α} के लिए d²u/dθ² = u cot²α, अतः P = h²u³ cosec²α, जो 1/r³ के अनुसार बदलता है।

विलोम: यदि P = μ/r³, तो कक्षा समीकरण d²u/dθ² + (1 − μ/h²)u = 0 है; h² = μ होने पर u = Aθ + B, एक व्युत्क्रम सर्पिल (या A = 0 पर वृत्त)।

दिए गए P और प्रारंभिक आँकड़ों के लिए विधि: आरंभ की चाल से अचर निकालते हुए कक्षा समीकरण का एक बार समाकलन करें, फिर प्रारंभिक दिशा के साथ पुनः समाकलन करें।

उदाहरण 6: वह बल-नियम (ध्रुव की ओर) ज्ञात कीजिए जिसके अधीन कण हृदयाभ r = a(1 + cos θ) पर चलता है।

tan φ = r dθ/dr = −(1 + cos θ)/sin θ = −cot(θ/2), अतः φ = π/2 + θ/2 और p = r cos(θ/2)।

चूँकि cos²(θ/2) = r/(2a), पादिक समीकरण p² = r³/(2a) है।

अवकलन से 2p dp/dr = 3r²/(2a), अतः P = (h²/p³) dp/dr = 3h²r²/(4ap⁴) = 3h²r²(4a²)/(4ar⁶) = 3ah²/r⁴।

बल दूरी की चतुर्थ घात के व्युत्क्रमानुपाती है।

9. ऊर्जा समाकल, शांकव प्रतिबंध, स्तब्धिका कोण तथा कक्षा में समय

ऊर्जा समाकल: कक्षा समीकरण को 2 du/dθ से गुणा कर समाकलन करने पर v² = h²[u² + (du/dθ)²] = C − 2∫P dr; अचर C प्रक्षेपण की चाल से मिलता है।

प्रारंभिक आँकड़े: यदि कण दूरी R से चाल V के साथ त्रिज्य सदिश से कोण β पर प्रक्षेपित है, तो h = RV sin β; स्तब्धिका (apse) पर β = 90° और h = RV।

कक्षा के शांकव होने की उपपत्ति, प्रतिबंधों सहित: P = μu² के लिए कक्षा समीकरण से u = μ/h² + A cos(θ − α), अर्थात l/r = 1 + e cos(θ − α), जहाँ l = h²/μ और e = Ah²/μ; यह केंद्र पर नाभि वाला शांकव है।

तब v² = h²[u² + (du/dθ)²] = μ²/h² + 2μA cos(θ − α) + A²h² = 2μ/r + (μ²/h²)(e² − 1), अतः किसी भी बिंदु पर e² = 1 + (h²/μ²)(V² − 2μ/R)।

अतः पथ दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय है, इस अनुसार कि V², 2μ/R से कम, बराबर या अधिक है।

दूरी के समानुपाती बल (P = μr): कक्षा एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र (नाभि नहीं) बल-केंद्र पर है, और प्रत्येक कक्षा का आवर्तकाल 2π/√μ है (उदाहरण 7)।

स्तब्धिका कोण (apsidal angle): P(r) के अधीन लगभग वृत्तीय त्रिज्या a की कक्षा में क्रमागत स्तब्धिकाओं के बीच का कोण π/√(3 + aP′(a)/P(a)) है; P ∝ rⁿ के लिए यह π/√(n + 3) है, जो n = −2 के लिए π और n = 1 के लिए π/2 है।

भाव: π का एप्स कोण (apsidal angle) होने का अर्थ है कि निकटतम और दूरतम बिंदु आमने-सामने हैं और कक्षा एक चक्कर के बाद बंद हो जाती है; अन्य बल नियमों में एप्स आगे खिसकते हैं और कक्षा गुलाब जैसी (rosette) बनती है, इसी कारण बंद दीर्घवृत्तीय कक्षा व्युत्क्रम वर्ग नियम की ओर संकेत करती है।

कक्षा में समय: dt = r² dθ/h = dθ/(hu²), या केप्लर के द्वितीय नियम से समय = 2 × (प्रसर्पित क्षेत्रफल)/h; दीर्घवृत्त में नाभि से प्रसर्पित क्षेत्रफल अर्ध-दीर्घवृत्तों, त्रिज्यखंडों और त्रिभुजों से निकाला जाता है।

अनंत से आना: केंद्र से लंब दूरी p वाली रेखा के अनुदिश बहुत दूर से चाल V से चलने वाले कण के लिए h = pV, और μ/r² के अधीन v² = V² + 2μ/r।

10. व्युत्पत्ति: कक्षा समीकरण, चाल तथा पदिक रूप

r = 1/u और dθ/dt = hu² लेने पर: dr/dt = −(1/u²)(du/dθ)(dθ/dt) = −h du/dθ, और d²r/dt² = −h (d²u/dθ²)(dθ/dt) = −h²u² d²u/dθ²।

साथ ही r(dθ/dt)² = (1/u)h²u⁴ = h²u³, अतः त्रिज्य समीकरण −h²u²(d²u/dθ² + u) = −P बनता है, अर्थात d²u/dθ² + u = P/(h²u²)।

चाल: v² = (dr/dt)² + r²(dθ/dt)² = h²(du/dθ)² + h²u²।

पदिक रूप: h = |r × v| = rv sin φ = pv, अतः v = h/p; ऊर्जा समीकरण v² = C − 2∫P dr से d(v²)/dr = −2P, और d(h²/p²)/dr = −(2h²/p³) dp/dr, अतः P = (h²/p³) dp/dr।

11. व्युत्पत्ति: चाल सूत्र तथा एप्स कोण

v² = μ(2/r − 1/a): कक्षा के शांकव होने की उपपत्ति (खंड 5) दिखाती है कि v² − 2μ/r = (μ²/h²)(e² − 1); दीर्घवृत्त के लिए h² = μl = μa(1 − e²), अतः दायाँ पक्ष −μ/a है, जो कक्षा पर अचर है।

अतिपरवलय के लिए l = a(e² − 1) और यही चरण +μ/a देता है; परवलय के लिए e = 1 और अचर 0 है।

एप्स कोण: कक्षा समीकरण को u″ = f(u) − u लिखें जहाँ f(u) = P(1/u)/(h²u²); वृत्तीय कक्षा u = c = 1/a के लिए f(c) = c चाहिए, अर्थात h² = a³P(a)।

u = c + ξ रखें जहाँ ξ लघु है: ξ″ + (1 − f′(c))ξ = 0, और h² = a³P(a) के साथ f का अवकलन करने पर f′(c) = −2 − aP′(a)/P(a)।

अतः ξ ∝ cos(√(3 + aP′/P) θ + ε); u के एक उच्चिष्ठ से अगले निम्निष्ठ तक θ में π/√(3 + aP′(a)/P(a)) की वृद्धि होती है, यही एप्स कोण है; वास्तविक दोलन (स्थायी वृत्तीय कक्षा) के लिए 3 + aP′/P > 0 चाहिए, जिसका P ∝ rⁿ के लिए अर्थ है n > −3।

12. विधि का चयन

यदि कक्षा r = f(θ) के रूप में दी हो और बल नियम पूछा जाए → u = 1/r रखें और P = h²u²(d²u/dθ² + u) लें।

यदि त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच का कोण φ सरल हो (rⁿ = aⁿ cos nθ, हृदयाभ, सर्पिल) → पदिक समीकरण p = r sin φ ज्ञात करें और P = (h²/p³) dp/dr लें।

यदि बल नियम और प्रारंभिक आँकड़े दिए हों और कक्षा पूछी जाए → कक्षा समीकरण को 2 du/dθ से गुणा करके एक बार समाकलित करें (ऊर्जा), प्रारंभिक चाल से अचर ज्ञात करें, फिर प्रारंभिक दिशा का प्रयोग करके dθ = du/√(...) का समाकलन करें।

यदि नियम व्युत्क्रम वर्ग हो और R, V, β दिए हों → a के लिए v² = μ(2/r − 1/a), तथा e के लिए h = RV sin β और l = h²/μ = a(1 − e²) लें; किसी समाकलन की आवश्यकता नहीं।

यदि कक्षा में समय पूछा जाए → समय = 2 × (बहा गया क्षेत्रफल)/h लें, या क्षेत्रफल कठिन हो तो t = ∫dθ/(hu²)।

13. सामान्य गलतियाँ

गुणक h² छोड़ देना: नियम P = h²u²(u″ + u) है, u²(u″ + u) नहीं; उत्तर में h² या उसके समतुल्य अचर होना चाहिए।

जब प्रक्षेप ध्रुवांतर-सदिश के लंबवत न हो तब भी h = RV लेना; व्यापक रूप में h = RV sin β।

अर्ध-दीर्घ अक्ष a को एप्स दूरी से मिला देना; एप्स दूरियाँ a(1 − e) और a(1 + e) हैं।

नियम P = μr के लिए बल केंद्र को नाभि पर रखना; वहाँ दीर्घवृत्त का केंद्र बल केंद्र पर होता है और आवर्तकाल 2π/√μ कक्षा के आकार पर निर्भर नहीं करता।

प्रतिकर्षी बल के लिए आकर्षी चिह्न लेना: प्रतिकर्षण में u″ + u = P/(h²u²) में P ऋणात्मक होता है।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: व्युत्क्रम वर्ग नियम का कक्षा समीकरण अचर गुणांक वाला अवकल समीकरण u″ + u = μ/h² है (अध्याय 5), और पदिक संबंध p = r sin φ तथा ρ = r dr/dp समतल वक्रों की ज्यामिति (अध्याय 7, समष्टि में वक्र) से आते हैं।

संबंध: h का संरक्षण यह कथन है कि θ लैग्रांजीय (1/2)(ṙ² + r²θ̇²) − V(r) का चक्रीय निर्देशांक (cyclic coordinate) है, अतः उसका संवेग r²θ̇ अचर है (अध्याय 14, हैमिल्टन के समीकरण)।

15. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 13 अंक): एक कण, एक बल के अधीन, एक नियत केन्द्र की ओर जो दूरी के समानुपाती है, पर चलता है। यदि कण के मार्ग के दो एपसाइडल दूरियाँ a, b हैं (a > b), तब मार्ग का समीकरण ज्ञात करो।

यहाँ P = μr, और पदिक समीकरण (h²/p³) dp/dr = μr का समाकलन h²/p² = C − μr² देता है।

स्तब्धिका पर p = r, अतः h²/r² = C − μr², अर्थात μr⁴ − Cr² + h² = 0, जिसके मूल r² = a² और b² हैं।

अतः a² + b² = C/μ और a²b² = h²/μ, और पथ a²b²/p² = a² + b² − r² है।

यह अपने केंद्र के सापेक्ष दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 का पदिक समीकरण है।

कार्तीय रूप में जाँच: ẍ = −μx और ÿ = −μy से, t = 0 को दूरस्थ स्तब्धिका पर लेने पर, x = a cos √μ t, y = b sin √μ t मिलता है।

उत्तर: पथ दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 है, जिसका केंद्र बल-केंद्र पर और अक्ष स्तब्धिका रेखाओं के अनुदिश हैं (तथा h = ab√μ)।

उदाहरण 8 (UPSC 2020, 20 अंक): (ii) एक कण वेग V से लंबी दूरी तय करने के लिए चलना शुरू करता है। एक तारे के केंद्र से कण के प्रारंभिक पथ की स्पर्श-रेखा पर लंबवत् दूरी p है। दिखाइए कि कण की तारे के केंद्र से न्यूनतम दूरी λ है, जहाँ V²λ = √(μ² + p²V⁴) − μ. यहाँ μ एक अचर है।

आरंभ में कण केंद्र से लंब दूरी p वाली रेखा के अनुदिश चाल V से चलता है, अतः h = pV।

आकर्षण μ/r² के अधीन ऊर्जा से v² = V² + 2μ/r (बहुत दूर स्थितिज ऊर्जा −μ/r शून्य है)।

न्यूनतम दूरी λ पर कण स्तब्धिका पर है, अतः v = h/λ = pV/λ।

अतः p²V²/λ² = V² + 2μ/λ, अर्थात V²λ² + 2μλ − p²V² = 0।

इसका धनात्मक मूल λ = [−μ + √(μ² + p²V⁴)]/V² है।

उत्तर: V²λ = √(μ² + p²V⁴) − μ।

उदाहरण 9 (UPSC 2023, 20 अंक): एक कण, बल-केन्द्र से √c दूरी पर स्थित एक स्तब्धिका से √((2λ/3)c³) वेग से प्रक्षेपित किया जाता है और यह केन्द्रीय त्वरण λ(r⁵ − c²r) से गतिशील है। इस कण की गति का पथ ज्ञात कीजिए। क्या यह वक्र x⁴ + y⁴ = c² होगा?

स्तब्धिका r = √c पर h = √c × √(2λc³/3) = c²√(2λ/3), अतः h² = 2λc⁴/3।

ऊर्जा समाकल: v² = C − 2∫λ(r⁵ − c²r) dr = C − λr⁶/3 + λc²r²; r² = c पर v² = 2λc³/3 से C = 0।

v = h/p से: 2λc⁴/(3p²) = λr²(3c² − r⁴)/3, अतः पथ का पदिक समीकरण 1/p² = r²(3c² − r⁴)/(2c⁴) है।

वक्र x⁴ + y⁴ = c² के लिए: ध्रुवीय रूप में c²u⁴ = f(θ) = cos⁴θ + sin⁴θ = (3 + cos 4θ)/4, अतः u = f^1/4/√c और du/dθ = −f^−3/4 sin 4θ/(4√c)।

तब 1/p² = u² + (du/dθ)² = f^−3/2[f² + sin²4θ/16]/c = f^−3/2(3f − 1)/(2c), क्योंकि f² + sin²4θ/16 = (5 + 3 cos 4θ)/8 = (3f − 1)/2।

f = c²/r⁴ रखने पर 1/p² = r²(3c² − r⁴)/(2c⁴), वही पदिक समीकरण, और पथ की भाँति वक्र की θ = 0 पर r = √c वाली स्तब्धिका है।

ऊर्जा समाकल को संतुष्ट करने वाला वक्र जहाँ du/dθ ≠ 0 है वहाँ कक्षा समीकरण को संतुष्ट करता है (समाकल का अवकलन करें), अतः सांतत्य से सर्वत्र; समान प्रारंभिक स्तब्धिका वाले हल की अद्वितीयता से पथ यही वक्र है।

उत्तर: हाँ; प्रक्षेपण बिंदु से होकर प्रारंभिक रेखा लेने पर पथ x⁴ + y⁴ = c² है, जिसका पदिक समीकरण 2c⁴ = p²r²(3c² − r⁴) है।

उदाहरण 10 (UPSC 2024, 20 अंक): d दूरी से एक कण को समान दूरी पर स्थित एक वृत्त में उसके वेग के बराबर वेग से 45° के कोण पर प्रक्षेपित करने पर वह केन्द्रीय त्वरण μ(3/r³ + d²/r⁵) के साथ गति करता है। सिद्ध कीजिए कि बल के केन्द्र तक इसके पहुँचने का समय (d²/√(2μ))(2 − π/2) है।

त्रिज्या d के वृत्त में चाल: v² = dP(d) = μ(3/d² + 1/d²) = 4μ/d²; त्रिज्य सदिश से 45° पर प्रक्षेपण से h = dv sin 45° = √(2μ), अतः h² = 2μ।

ऊर्जा समाकल: v² = C − 2∫P dr = C + μ(3/r² + d²/(2r⁴)); r = d पर 4μ/d² = C + 7μ/(2d²), अतः C = μ/(2d²)।

v² = 2μ[u² + (du/dθ)²] से: (du/dθ)² = 1/(4d²) + u²/2 + d²u⁴/4 = (1 + d²u²)²/(4d²)।

कण भीतर की ओर प्रक्षेपित है, अतः u बढ़ता है: dθ = 2d du/(1 + d²u²), और θ के 2(π/2 − π/4) = π/2 बढ़ने के बाद u → ∞ (केंद्र)।

समय: dt = dθ/(hu²) = (2d/h) du/(u²(1 + d²u²)) = (2d/h)[1/u² − d²/(1 + d²u²)] du।

t = (2d/h)[−1/u − d tan⁻¹(du)], u = 1/d से ∞ तक, = (2d/h)(−dπ/2 + d + dπ/4) = (2d²/h)(1 − π/4)।

उत्तर: h = √(2μ) रखने पर t = (2d²/√(2μ))(1 − π/4) = (d²/√(2μ))(2 − π/2)।

उदाहरण 11 (UPSC 2025, 10 अंक): सिद्ध कीजिए कि पृथ्वी को अपनी कक्षा के आधे भाग, जो कि लघु अक्ष द्वारा अलग किया गया है और सूर्य से सुदूर है, जब सूर्य दीर्घवृत्तीय कक्षा की नाभि (फोकस) पर है, की यात्रा करने में लगने वाला समय आधे वर्ष से दो दिन अधिक है। कक्षा की उत्केन्द्रता 1/60 ली गई है।

माना दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष a, b और उत्केंद्रता e है, सूर्य नाभि S पर है जो केंद्र से ae दूरी पर है; BB′ लघु अक्ष है।

सूर्य से दूर वाला आधा भाग B से अपसौर (aphelion) होते हुए B′ तक का चाप है; इसे तय करते समय S से त्रिज्य सदिश BB′ के पार वाले अर्ध-दीर्घवृत्त तथा त्रिभुज SBB′ को प्रसर्पित करता है।

प्रसर्पित क्षेत्रफल = πab/2 + (1/2)(2b)(ae) = πab/2 + abe।

केप्लर के द्वितीय नियम से समय क्षेत्रफल के समानुपाती है, अतः समय T(πab/2 + abe)/(πab) = T/2 + Te/π, जहाँ T एक वर्ष है।

e = 1/60 और T = 365.25 दिन लेने पर Te/π = 365.25/(60π) ≈ 1.94 दिन।

उत्तर: यह समय आधे वर्ष से Te/π ≈ 2 दिन अधिक है।

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): एक कण केंद्रीय बल के अधीन चलता है। r = 2 पर उसका कोणीय वेग θ̇ = 3 है। r = 3 पर θ̇ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: h = r²θ̇ = 12, अतः θ̇ = 12/9 = 4/3।

अभ्यास 2 (मूल): आकर्षण μ/r² के अधीन दूरी R पर एक कण की चाल √(3μ/R) है। उसकी कक्षा का नाम बताइए और अर्ध-अक्ष a ज्ञात कीजिए।

उत्तर: V² = 3μ/R > 2μ/R, अतिपरवलय; μ(2/R + 1/a) = 3μ/R से a = R, प्रक्षेप की दिशा कुछ भी हो।

अभ्यास 3 (मूल): किसी ग्रह की कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष 4 AU है। वर्षों में उसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: T² = 4³ = 64, T = 8 वर्ष।

अभ्यास 4 (मानक): ध्रुव की ओर बल का वह नियम ज्ञात कीजिए जिसके अधीन वक्र r = aθ² बनाया जा सकता है।

उत्तर: u = 1/(aθ²), u″ + u = 6/(aθ⁴) + 1/(aθ²) = 6au² + u, अतः P = h²(u³ + 6au⁴) = h²(1/r³ + 6a/r⁴)।

अभ्यास 5 (मानक): μ/r² के अधीन दूरी R से एक कण को चाल √(μ/R) से त्रिज्य सदिश से 30° बनाती दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। कक्षा के a, e और l ज्ञात कीजिए।

उत्तर: a = R; h = R√(μ/R) sin 30°, अतः l = h²/μ = R/4 = a(1 − e²) और e = √3/2; एप्स दूरियाँ R(1 ± √3/2) हैं।

अभ्यास 6 (मानक): आकर्षण P = μ/r² + ν/r³ (ν > 0, h² > ν) के लिए दिखाइए कि एप्स कोण ठीक π/√(1 − ν/h²) है, और त्रिज्या a की लगभग वृत्तीय कक्षा के लिए यह π√(1 + ν/(μa)) है।

उत्तर: u-समीकरण u″ + (1 − ν/h²)u = μ/h² है, अतः u, θ में आवृत्ति √(1 − ν/h²) से दोलन करता है; वृत्त के लिए h² = a³P(a) = μa + ν, जिससे π√((μa + ν)/(μa))।

अभ्यास 7 (मानक): μ/r² के अधीन दीर्घवृत्तीय कक्षा में दिखाइए कि लघु अक्ष के सिरे पर चाल √(μ/a) है और यह उपसौर तथा अपसौर पर चालों का गुणोत्तर माध्य है।

उत्तर: लघु अक्ष का सिरा नाभि से दूरी a पर है, अतः v² = μ(2/a − 1/a) = μ/a; v_p²v_a² = [μ(1 + e)/(a(1 − e))][μ(1 − e)/(a(1 + e))] = μ²/a²।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): आकर्षण μ/r³ के अधीन चलता एक कण दूरी a पर स्थित एप्स से चाल V से प्रक्षेपित किया जाता है, जहाँ a²V² < μ। दिखाइए कि पथ r cosh kθ = a है, k² = μ/(a²V²) − 1, और कि वह समय a²/√(μ − a²V²) के बाद केंद्र पर पहुँचता है।

उत्तर: h = aV तथा θ = 0 पर u′ = 0, u = 1/a के साथ u″ − k²u = 0 से u = cosh(kθ)/a; ऊर्जा से ṙ² = (μ − a²V²)(a² − r²)/(a²r²), और प्रतिस्थापन r = a sin φ से ∫₀^a dr/|ṙ| = a²/√(μ − a²V²)।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): एक धूमकेतु सूर्य (आकर्षण μ/r²) के परितः उपसौर दूरी q वाले परवलय में चलता है। दिखाइए कि उपसौर से नाभिलंब के सिरे तक जाने में वह समय (4√2/3)q^3/2/√μ लेता है।

उत्तर: l = 2q, h = √(2μq); बहा गया क्षेत्रफल ∫₀^π/2 (1/2)r² dθ, r = 2q/(1 + cos θ), जो 4q²/3 के बराबर है (t = tan(θ/2) रखें), और समय = 2 × क्षेत्रफल/h।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): एक कण आकर्षण μ/r⁵ के अधीन चलता है और दूरी a पर स्थित एप्स से उस चाल से प्रक्षेपित किया जाता है जो उसे अनंत से विराम से गिरने पर मिलती। सिद्ध कीजिए कि वह बल-केंद्र से जाने वाला वृत्त r = a cos θ बनाता है और समय π√2 a³/(4√μ) के बाद केंद्र पर पहुँचता है।

उत्तर: v² = μ/(2r⁴), अतः h = √(μ/2)/a और h²(u² + u′²) = μu⁴/2 से u′² = u²(a²u² − 1), जिसका हल u = sec θ/a है; समय = ∫₀^π/2 dθ/(hu²) = πa²/(4h)।

1. साम्यावस्था के प्रतिबंधों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: दो तारों से लटका लैंप, दीवार से टिकी सीढ़ी और दो आलंबों पर रखा दंड, सभी विराम में हैं, और हमें उन पर लगे अज्ञात बल (तनाव, प्रतिक्रियाएँ, घर्षण) चाहिए।

विराम में स्थित पिंड का त्वरण शून्य है, अतः न्यूटन के द्वितीय नियम से उस पर लगे बल संतुलित होने चाहिए।

दृढ़ पिंड (rigid body) के लिए इतना पर्याप्त नहीं है: संतुलित बल भी पिंड को घुमा सकते हैं, अतः घूर्णन रोकने का प्रतिबंध भी चाहिए।

शब्दों में: ΣX = 0 का अर्थ है: प्रत्येक बल का चुनी गई क्षैतिज दिशा में घटक चिह्न सहित (+ दाएँ, − बाएँ) लेकर जोड़ें; योग शून्य होना चाहिए।

ΣY = 0 यही बात ऊर्ध्वाधर घटकों के लिए कहता है; दोनों मिलकर कहते हैं कि परिणामी बल शून्य है, अतः पिंड किसी दिशा में खिसकना आरंभ नहीं करता।

किसी बिंदु O के परितः बल का आघूर्ण (moment) उसके परिमाण और O से उसकी क्रिया-रेखा की लंबवत दूरी का गुणनफल है, जो वामावर्त घुमाने पर + और दक्षिणावर्त घुमाने पर − गिना जाता है।

ΣM_O = 0 कहता है कि घुमाने के प्रभाव निरस्त हो जाते हैं; "किसी एक बिंदु के परितः" का अर्थ है कि O स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और सबसे अच्छा चुनाव वह बिंदु है जिससे अज्ञात बल गुजरते हैं, क्योंकि वहाँ उनके आघूर्ण शून्य हैं।

लामी प्रमेय (Lami's theorem) केवल एक विशेष स्थिति का संक्षिप्त मार्ग है: एक बिंदु से गुजरते ठीक तीन बल; प्रत्येक बल को शेष दो बलों के बीच के कोण की ज्या (sine) से भाग दिया जाता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 4 m लंबा और 100 N भार का एकसमान दंड AB, A पर और C पर रखे आलंबों पर क्षैतिज टिका है, जहाँ AC = 3 m; दोनों प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।

चरण 1 (बलों की सूची): A पर ऊपर की ओर R_A, C पर ऊपर की ओर R_C, और मध्य-बिंदु G पर नीचे की ओर भार 100 N, जहाँ AG = 2 m (दंड एकसमान है)।

चरण 2: किसी बल का क्षैतिज घटक नहीं है, अतः ΣX = 0 स्वतः सत्य है।

चरण 3 (ऊर्ध्वाधर वियोजन): R_A + R_C = 100; इस एक समीकरण में दो अज्ञात हैं, अतः आघूर्ण समीकरण चाहिए।

चरण 4 (A के परितः आघूर्ण, ताकि R_A हट जाए): R_C × 3 − 100 × 2 = 0, अतः R_C = 200/3 ≈ 66.7 N।

चरण 5: चरण 3 से, R_A = 100 − 200/3 = 100/3 ≈ 33.3 N।

चरण 6 (C के परितः जाँच): R_A × 3 = 100 N m और C के परितः भार का आघूर्ण 100 × 1 = 100 N m विपरीत दिशा में है, अतः वे निरस्त होते हैं।

अ-उदाहरण (non-example): 2 m लंबी छड़ के सिरों पर उसके लंबवत और विपरीत दिशाओं में 10 N के दो बल लगते हैं; तब ΣX = ΣY = 0, पर केंद्र के परितः आघूर्ण 10 × 1 + 10 × 1 = 20 N m है, अतः छड़ घूमती है: आघूर्ण प्रतिबंध विफल है, और केवल शून्य परिणामी बल साम्यावस्था नहीं है।

इसी प्रकार चार बलों वाले दंड पर, या तीन समांतर बलों पर, लामी प्रमेय प्रयुक्त नहीं हो सकता, क्योंकि उसकी परिकल्पना (तीन संगामी बल) विफल है।

आगे बढ़ते हुए: (1) यदि परिणामी बल शून्य है, तो नए बिंदु O′ के परितः आघूर्ण, O के परितः आघूर्ण में से O पर रखे परिणामी के आघूर्ण को घटाने के बराबर है, जो शून्य है, अतः एक आघूर्ण बिंदु पर्याप्त है।

(2) तीन में से दो बलों के मिलन बिंदु के परितः आघूर्ण लेने से पता चलता है कि तीसरा बल भी उस बिंदु से जाता है, अतः साम्य में तीन असमांतर बल संगामी होते हैं।

(3) साम्य में तीन संगामी बल एक बंद त्रिभुज बनाते हैं, और उस त्रिभुज का ज्या-नियम ही लामी प्रमेय है।

(4) समतल में प्रत्येक दृढ़ पिंड तीन स्वतंत्र समीकरण देता है, अतः प्रश्न केवल स्थैतिकी से तभी हल होता है जब अज्ञात बल प्रति पिंड अधिकतम तीन हों; जुड़े पिंडों के लिए पहले पूरे निकाय (आंतरिक बल निरस्त) और फिर एक भाग के समीकरण लिखें।

कहाँ प्रयोग होता है: इस अध्याय का प्रत्येक स्थैतिकी प्रश्न (कब्ज़ेदार छड़ें, सीढ़ियाँ, दंड, उदाहरण 7 से 16) इन्हीं तीन समीकरणों से आरंभ होता है, और अगले विषय में कल्पित कार्य से मिले उत्तरों की जाँच भी इन्हीं से होती है।

2. कणों और दृढ़ पिंडों की साम्यावस्था

बलों F₁, ..., F_n के अधीन कण साम्यावस्था में है यदि और केवल यदि ΣF_i = 0, अर्थात ΣX = 0, ΣY = 0, ΣZ = 0।

लामी प्रमेय: यदि तीन संगामी बल P, Q, R किसी कण को साम्यावस्था में रखते हैं, तो P/sin α = Q/sin β = R/sin γ, जहाँ α, β, γ प्रत्येक स्थिति में शेष दो बलों के बीच के कोण हैं।

यह क्यों काम करता है: तीनों बल एक बंद त्रिभुज बनाते हैं (बलों का त्रिभुज); उस त्रिभुज का प्रत्येक कोण दो बलों के बीच के कोण का संपूरक है, और sin(π − A) = sin A, अतः त्रिभुज का ज्या नियम लामी प्रमेय (Lami's theorem) बन जाता है; यह केवल ठीक तीन संगामी बलों पर लागू होता है।

बल-त्रिभुज: साम्यावस्था में तीन बल परिमाण और दिशा में क्रम से लिए गए त्रिभुज की भुजाओं द्वारा निरूपित किए जा सकते हैं।

समतलीय बलों के अधीन दृढ़ पिंड साम्यावस्था में है यदि और केवल यदि ΣX = 0, ΣY = 0 तथा किसी एक बिंदु के परितः आघूर्णों का योग शून्य हो।

भाव: दोनों वियोजन समीकरण पिंड को खिसकने से रोकते हैं, और आघूर्ण समीकरण उसे घूमने से रोकता है; एक बिंदु पर्याप्त है क्योंकि परिणामी बल शून्य होने पर कुल आघूर्ण प्रत्येक बिंदु के परितः समान होता है।

प्रतिबंधों के समतुल्य समुच्चय हैं: तीन असंरेख बिंदुओं के परितः आघूर्ण शून्य, या दो बिंदुओं A, B के परितः आघूर्ण शून्य तथा AB के अलंब किसी दिशा में वियोजन; वे बिंदु चुनें जहाँ अज्ञात बल मिलते हैं, ताकि वे हट जाएँ।

साम्यावस्था में तीन अ-समांतर समतलीय बल संगामी होने चाहिए; इससे प्रायः कोई अज्ञात दिशा निश्चित होती है।

यह क्यों काम करता है: उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ दो क्रिया-रेखाएँ मिलती हैं; उन दो बलों का आघूर्ण शून्य है, अतः तीसरे का आघूर्ण भी उस बिंदु के परितः शून्य होना चाहिए, अर्थात उसकी रेखा उससे गुजरती है; तीन समांतर बल इसका अपवाद हैं।

कणों के निकाय में आंतरिक बल युग्मों में निरस्त हो जाते हैं (न्यूटन का तृतीय नियम), अतः पूरे निकाय के लिए केवल बाह्य बल साम्य प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हैं, और प्रत्येक कण अलग से भी साम्यावस्था में है।

उदाहरण 1: एक भार W दो डोरियों से लटका है जो ऊर्ध्वाधर से 30° और 60° के कोण बनाती हैं; तनाव ज्ञात कीजिए।

डोरियों के बीच कोण 90° है; T₁ (30° पर) और भार के बीच कोण 150° तथा T₂ (60° पर) और भार के बीच कोण 120° है।

लामी: T₁/sin 120° = T₂/sin 150° = W/sin 90°, अतः T₁ = (√3/2)W और T₂ = W/2।

जाँच: क्षैतिज घटक T₁ sin 30° = T₂ sin 60° = √3W/4, तथा ऊर्ध्व घटक (3/4)W + (1/4)W = W।

3. घर्षण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: पूर्णतः चिकने फर्श पर सीढ़ी दीवार से नहीं टिक सकती, क्योंकि उसके पाद को बाहर खिसकने से कुछ नहीं रोकता; वास्तविक सतहें पकड़ती हैं, और हमें यह नियम चाहिए कि कोई सतह कितनी पकड़ दे सकती है।

शब्दों में: संपर्क पर सतह पिंड को उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लंबवत अभिलंब प्रतिक्रिया (normal reaction) R से और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के अनुदिश घर्षण बल F से धकेलती है।

F ≤ μR का अर्थ है कि घर्षण शून्य से लेकर ऊपरी सीमा μR तक कुछ भी हो सकता है; घर्षण गुणांक (coefficient of friction) μ एक शुद्ध संख्या है जो दोनों पदार्थों से निश्चित होती है (उदाहरणतः लकड़ी पर लकड़ी के लिए लगभग 0.4)।

"सीमांत साम्य" का अर्थ है कि पिंड फिसलने की ठीक कगार पर है; केवल तभी F = μR।

घर्षण कोण (angle of friction) λ, tan λ = μ से परिभाषित है: यह वह अधिकतम कोण है जो कुल प्रतिक्रिया S = √(R² + F²) अभिलंब से बना सकती है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: 50 N भार का गुटका μ = 0.4 वाले खुरदरे क्षैतिज फर्श पर रखा है, और उस पर क्षैतिज खिंचाव P लगाया जाता है।

चरण 1 (ऊर्ध्वाधर संतुलन): ऊर्ध्वाधर दिशा में और कुछ नहीं लगता, अतः R = 50 N।

चरण 2 (ऊपरी सीमा): उपलब्ध अधिकतम घर्षण μR = 0.4 × 50 = 20 N है।

चरण 3 (P = 12 N): साम्य के लिए F = 12 N चाहिए, और 12 ≤ 20, अतः गुटका विराम में रहता है और घर्षण 12 N है, 20 N नहीं।

चरण 4 (P = 20 N): अब आवश्यक घर्षण ऊपरी सीमा के बराबर है, F = μR, अतः गुटका सीमांत साम्य में है।

चरण 5 (P = 25 N): घर्षण 20 N से अधिक नहीं हो सकता, अतः कम से कम 5 N का असंतुलित बल रहता है और गुटका चलता है; यह गतिकी का प्रश्न है, स्थैतिकी का नहीं।

चरण 6 (कोण): चरण 4 में कुल प्रतिक्रिया ऊर्ध्वाधर अभिलंब से tan⁻¹(20/50) = tan⁻¹0.4 ≈ 21.8° का कोण बनाती है, जो ठीक λ है।

अ-उदाहरण (non-example): चरण 3 में F = μR = 20 N लिखने पर 20 − 12 = 8 N का शुद्ध बल गुटके को पीछे धकेलता, जबकि उसे उस ओर कोई नहीं खींच रहा, जो असंगत है; घर्षण μR के बराबर केवल तभी होता है जब फिसलन होने ही वाली हो।

आगे बढ़ते हुए: (1) नति α वाले समतल पर केवल भार लगने पर R = W cos α और आवश्यक घर्षण W sin α है; यह उपलब्ध है यदि W sin α ≤ μW cos α, अर्थात tan α ≤ μ, या α ≤ λ।

(2) R और F को अभिलंब से λ कोण पर एक प्रतिक्रिया S से बदलने पर घर्षण प्रश्न तीन-बल प्रश्न बन जाता है, और इसी से न्यूनतम बल W sin(α + λ) तथा उदाहरण 3 का परास W tan(α − λ) ≤ P ≤ W tan(α + λ) प्राप्त होते हैं।

(3) सीढ़ी पर चार अज्ञात संपर्क बल हैं पर केवल तीन समीकरण, अतः सामान्य स्थिति में केवल स्थैतिकी उन्हें निश्चित नहीं कर सकती; सीमांत साम्य में दोनों सिरे एक साथ फिसलते हैं, अतः F = μR और F′ = μ′S दोनों सत्य हैं और प्रश्न हल हो जाता है (उदाहरण 2)।

कहाँ प्रयोग होता है: सीढ़ियाँ, खुरदरी रेलिंग पर छड़ें और खुरदरे तार पर छल्ले, खुरदरी मेज़ पर आंशिक रूप से रखी शृंखलाएँ (§5 और उदाहरण 21), अगले विषय के स्थायित्व परीक्षणों में लुढ़कने (बिना फिसलन) की मान्यता, और गतिकी विषयों में खुरदरे वक्रों पर गति।

4. घर्षण (Friction)

घर्षण के नियम: घर्षण फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध करता है और केवल उतना होता है जितना साम्य के लिए आवश्यक हो, सीमांत मान F = μR तक, जहाँ R अभिलंब प्रतिक्रिया और μ घर्षण गुणांक है, जो पदार्थों पर निर्भर है, संपर्क क्षेत्रफल पर नहीं।

भाव: घर्षण स्व-समायोजी बल है: यह 0 ≤ F ≤ μR में से वह मान लेता है जो पिंड को विराम में रखे, और केवल सीमांत साम्य (limiting equilibrium, फिसलने की स्थिति) में F = μR होता है; अतः असीमांत स्थिति में घर्षण एक अज्ञात है जिसे ज्ञात करना है, μR नहीं।

घर्षण कोण λ = tan⁻¹μ: सीमांत साम्य में परिणामी प्रतिक्रिया अभिलंब से कोण λ बनाती है; घर्षण शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण λ है।

भाव: अभिलंब प्रतिक्रिया R और घर्षण F को एक परिणामी प्रतिक्रिया S में मिलाएँ, जो अभिलंब से tan⁻¹(F/R) कोण बनाती है; चूँकि F ≤ μR, S घर्षण शंकु के भीतर रहती है, अतः पिंड तभी साम्य में है जब अन्य बलों का परिणामी इस शंकु के भीतर निर्देशित हो।

नति α वाले खुरदरे समतल पर पिंड केवल अपने भार के अधीन विराम में रहता है यदि और केवल यदि α ≤ λ, अर्थात tan α ≤ μ।

नति α वाले खुरदरे समतल पर भार W को ऊपर खींचने के लिए न्यूनतम बल W sin(α + λ) है, जो समतल से कोण λ पर लगाया जाए; क्षैतिज समतल पर यह W sin λ है, क्षैतिज से कोण λ पर।

यह क्यों काम करता है: सीमांत साम्य में W, P और S (अभिलंब से λ कोण पर) एक त्रिभुज बनाते हैं; भुजा W और S की दिशा स्थिर हैं, अतः P तब न्यूनतम है जब वह S के लंबवत हो, जिससे P = W sin(α + λ), समतल से λ कोण बनाती दिशा में।

उदाहरण 2 (सीढ़ी): एकसमान सीढ़ी का पाद खुरदरे फ़र्श (गुणांक μ) पर और शीर्ष खुरदरी ऊर्ध्व दीवार (गुणांक μ′) पर टिका है; फिसलने की स्थिति में ऊर्ध्वाधर से उसका झुकाव θ ज्ञात कीजिए।

वियोजन: R + μ′S = W और S = μR; पाद के परितः आघूर्ण (सीढ़ी की लंबाई 2a): Wa sin θ = 2aS cos θ + 2aμ′S sin θ।

R और S का विलोपन करने पर tan θ = 2μ/(1 − μμ′); चिकनी दीवार (μ′ = 0) के लिए tan θ = 2μ।

उदाहरण 3: भार W का पिंड नति α > λ (λ घर्षण कोण) वाले खुरदरे समतल पर क्षैतिज बल P के अधीन टिका है; दिखाइए कि W tan(α − λ) ≤ P ≤ W tan(α + λ)।

पिंड पर W, P तथा परिणामी प्रतिक्रिया S कार्य करते हैं, जो अभिलंब से किसी भी ओर λ तक का कोण बना सकती है।

नीचे फिसलने को तत्पर होने पर S ऊर्ध्वाधर से α − λ कोण बनाती है, अतः P = W tan(α − λ); ऊपर फिसलने को तत्पर होने पर S ऊर्ध्वाधर से α + λ कोण बनाती है, अतः P = W tan(α + λ)।

इन सीमांत मानों के बीच प्रत्येक P के लिए साम्य संभव है।

5. साधारण कैटिनरी को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: बिजली के तार, खंभों के बीच की जंजीरें और रज्जुमार्ग के केबल एक वक्र में लटकते हैं; अभियंता को उसकी आकृति (कितना झोल) और आधारों पर तनाव (बंधन कितने मज़बूत हों) चाहिए।

शब्दों में: "एकसमान" का अर्थ है कि प्रति एकक लंबाई भार w सर्वत्र समान है; "पूर्णतः नम्य" का अर्थ है कि जंजीर मुड़ने का प्रतिरोध नहीं करती, अतः प्रत्येक बिंदु पर तनाव स्पर्शरेखा के अनुदिश है; "अवितान्य" का अर्थ है कि लंबाई नहीं बदलती।

s निम्नतम बिंदु A से मापी गई चाप लंबाई है, ψ स्पर्शरेखा का क्षैतिज से कोण है, और c, A पर तनाव से परिभाषित है: T₀ = wc, अतः c जंजीर की उस लंबाई के बराबर है जिसका भार क्षैतिज खिंचाव के बराबर है।

नियता (directrix) A से c दूरी नीचे की क्षैतिज रेखा है; y = c cosh(x/c) में y नियता से ऊँचाई है, निम्नतम बिंदु से नहीं।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: w = 20 N/m वाली जंजीर प्राचल c = 10 m के साथ लटकी है; x = 10 m वाले बिंदु पर ऊँचाई, चाप लंबाई, ढाल और तनाव ज्ञात करें।

चरण 1: निम्नतम बिंदु x = 0, y = c = 10 m पर है।

चरण 2 (ऊँचाई): y = 10 cosh 1 = 15.431 m, अतः बिंदु निम्नतम बिंदु से 5.431 m ऊपर है।

चरण 3 (चाप): A और इस बिंदु के बीच s = 10 sinh 1 = 11.752 m जंजीर है।

चरण 4 (जाँच): y² = 238.11 और c² + s² = 100 + 138.11 = 238.11, जैसा y² = c² + s² माँगता है।

चरण 5 (ढाल): tan ψ = s/c = 1.1752, अतः ψ ≈ 49.6°।

चरण 6 (तनाव): T = wy = 20 × 15.431 ≈ 308.6 N; इसका क्षैतिज भाग wc = 200 N (A के समान) और ऊर्ध्व भाग ws ≈ 235.0 N है, जो नीचे के चाप का भार है; वास्तव में √(200² + 235.0²) ≈ 308.6।

अ-उदाहरण (non-example): झूला पुल का केबल ऐसे डेक को उठाता है जिसका भार प्रति एकक क्षैतिज लंबाई एकसमान है, प्रति एकक चाप लंबाई नहीं, अतः वह परवलय में लटकता है, कैटिनरी में नहीं (§5); खिंचने वाली प्रत्यास्थ डोरी का प्रति एकक लंबाई भार उसके अनुदिश बदलता है, अतः वह भी साधारण कैटिनरी नहीं है।

आगे बढ़ते हुए: (1) A से बिंदु P तक का टुकड़ा अलग करें: यह A पर क्षैतिज तनाव wc, P पर स्पर्शरेखीय तनाव T और अपने भार ws से संतुलित है।

(2) वियोजन से T cos ψ = wc और T sin ψ = ws, अतः tan ψ = s/c, यह नैज समीकरण (intrinsic equation) है।

(3) चूँकि tan ψ = dy/dx, एक समाकलन से s = c sinh(x/c) और दूसरे से y = c cosh(x/c) मिलता है, जब नियता को A से c नीचे रखा जाए (व्युत्पत्ति: कैटिनरी का कार्तीय समीकरण)।

(4) तब T = wc sec ψ = wy, और सूत्र-तालिका की प्रत्येक पंक्ति इन्हीं चार चरणों से निकलती है।

कहाँ प्रयोग होता है: झोल, विस्तृति और तनाव के प्रश्न, खूँटियों और घिरनियों पर शृंखलाएँ, खुरदरी मेज़ पर आंशिक रूप से रखी शृंखलाएँ और कसी शृंखला का सन्निकटन; इसमें कलन का चाप-लंबाई सूत्र और अतिपरवलयिक फलन भी प्रयुक्त होते हैं।

6. साधारण कैटिनरी (Common Catenary)

प्रति एकक लंबाई भार w वाली एकसमान, पूर्णतः लचीली, अवितान्य जंजीर दो बिंदुओं के बीच स्वतंत्र लटकने पर साधारण कैटिनरी का आकार लेती है।

भाव: पूर्णतः नम्य का अर्थ है कि जंजीर मुड़ने का प्रतिरोध नहीं कर सकती, अतः प्रत्येक बिंदु पर तनाव स्पर्शरेखा के अनुदिश कार्य करता है; तब आकृति किसी भी टुकड़े के दोनों सिरों के तनाव को उस टुकड़े के भार से संतुलित करके निश्चित होती है (ऊपर का चित्र देखें)।

निम्नतम बिंदु A से s मापने और A पर तनाव T₀ = wc लेने पर: T cos ψ = wc तथा T sin ψ = ws, अतः नैज समीकरण s = c tan ψ है।

यह क्यों काम करता है: A से बिंदु P तक का चाप A पर क्षैतिज तनाव wc, P पर स्पर्शरेखा के अनुदिश तनाव T और अपने भार ws के अधीन साम्य में है; क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वियोजन से दोनों समीकरण मिलते हैं, और भाग देने पर tan ψ = s/c।

प्राचल c एक लंबाई है: क्षैतिज तनाव जंजीर की c लंबाई के भार के बराबर है, और कसी जंजीर (बड़ा तनाव) का c बड़ा और वक्र चपटा होता है।

कार्तीय समीकरण (नियता x-अक्ष, y-अक्ष A से होकर): y = c cosh(x/c); साथ ही s = c sinh(x/c), y² = c² + s² तथा x = c log[(s + √(s² + c²))/c]।

तनाव: T = wy (नियता से ऊँचाई के समानुपाती), क्षैतिज घटक wc और ऊर्ध्व घटक ws।

भाव: तनाव निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम (wc) और ऊँचे आधार पर अधिकतम होता है; नियता (directrix) वह स्तर है जिस पर तनाव शून्य होगा, अतः चिकनी खूँटी पर लटकी जंजीर का मुक्त सिरा ठीक नियता तक पहुँचता है।

उदाहरण 4: लंबाई 2l की जंजीर समान स्तर के दो बिंदुओं से लटकी है, मध्य में झोल h है; c, विस्तृति और सिरों पर तनाव ज्ञात कीजिए।

सिरे पर y = c + h और s = l, अतः (c + h)² = c² + l², जिससे c = (l² − h²)/(2h)।

विस्तृति (span) = 2c log[(l + c + h)/c], क्योंकि √(l² + c²) = c + h।

प्रत्येक सिरे पर तनाव = w(c + h) = w(l² + h²)/(2h)।

उदाहरण 5: एकसमान जंजीर समान स्तर के दो बिंदुओं से लटकी है और सिरों पर स्पर्शरेखाएँ क्षैतिज से 60° बनाती हैं; प्राचल c के पदों में लंबाई, विस्तृति, झोल और सिरों पर तनाव ज्ञात कीजिए।

सिरे पर ψ = 60°: s = c tan 60° = √3c, अतः लंबाई 2√3c है।

x = c log(sec ψ + tan ψ) = c log(2 + √3), अतः विस्तृति 2c log(2 + √3) ≈ 2.634c है।

y = c sec ψ = 2c, अतः झोल y − c = c है, और सिरे पर तनाव wy = 2wc, निम्नतम बिंदु के तनाव का दुगुना।

उदाहरण 6: लंबाई l की एकसमान जंजीर समान स्तर के दो बिंदुओं के बीच लटकी है और प्रत्येक आधार पर तनाव पूरी जंजीर के भार के बराबर है; विस्तृति ज्ञात कीजिए।

आधार पर s = l/2 और T = wy = wl, अतः y = l; तब c² = y² − s² = 3l²/4 और c = √3l/2।

x = c log[(s + y)/c] = (√3l/2) log[(3l/2)/(√3l/2)] = (√3l/2) log √3।

विस्तृति = 2x = √3 l log √3 = (√3/2) l log 3 ≈ 0.951l।

7. गुरुत्व केंद्र और तीन-बल प्रश्नों को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: गुरुत्व पिंड के प्रत्येक कण को खींचता है, पर आघूर्ण लेने के लिए हम इन सभी छोटे खिंचावों को एक बल, कुल भार, से बदलना चाहते हैं जो एक बिंदु पर लगे।

शब्दों में: x̄ = Σw_ix_i/Σw_i स्थितियों का भारित माध्य है, जिसमें प्रत्येक स्थिति वहाँ स्थित भार के अनुपात में गिनी जाती है; सतत पिंड के लिए योग समाकल बन जाते हैं।

गुरुत्व केंद्र (centre of gravity) G वह बिंदु है जहाँ किसी भी बिंदु के परितः आघूर्णों के लिए कुल भार को लगा हुआ माना जा सकता है।

एक बिंदु से लटके पिंड पर केवल दो बल लगते हैं, G पर उसका भार और निलंबन बिंदु पर खिंचाव; दो बल तभी संतुलित होते हैं जब वे बराबर, विपरीत और एक ही रेखा में हों, अतः G निलंबन बिंदु के ठीक नीचे होता है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: एक ही पदार्थ की दो एकसमान छड़ें O पर समकोण पर जुड़ी हैं: x-अक्ष के अनुदिश लंबाई 2 की OA, और y-अक्ष के अनुदिश लंबाई 4 की OB; पिंड O से स्वतंत्र रूप से लटका है।

चरण 1: प्रति एकक लंबाई भार 1 लें; OA का भार 2 है जो उसके मध्य-बिंदु (1, 0) पर लगता है।

चरण 2: OB का भार 4 है जो उसके मध्य-बिंदु (0, 2) पर है।

चरण 3: x̄ = (2 × 1 + 4 × 0)/6 = 1/3 तथा ȳ = (2 × 0 + 4 × 2)/6 = 4/3।

चरण 4: O से लटकने पर रेखा OG ऊर्ध्वाधर है, अतः OB और ऊर्ध्वाधर के बीच के कोण की स्पर्शज्या x̄/ȳ = 1/4 है, लगभग 14.0°।

अ-उदाहरण (non-example): गुरुत्व केंद्र का पदार्थ में होना आवश्यक नहीं, और यह केवल सिरों का मध्य नहीं है: त्रिज्या a के पतले अर्धवृत्ताकार तार के लिए G सममित अक्ष पर केंद्र से 2a/π ≈ 0.64a दूरी पर है (चाप सूत्र a sin α/α, α = π/2), सिरों को जोड़ने वाली जीवा के मध्य पर नहीं।

आगे बढ़ते हुए: (1) जब पिंड तीन बलों के अधीन टिका हो, जिनमें से दो की दिशाएँ ज्ञात हों, तो वे दो रेखाएँ खींचें; वे बिंदु K पर मिलती हैं, और तीसरा बल (प्रायः G से होकर भार) K से होकर जाना चाहिए।

(2) m-n प्रमेय इस ज्यामिति को समीकरण में बदलता है: यदि G छड़ AB को m : n में विभाजित करे और A तथा B से आने वाली रेखाएँ G के ऊपर K पर मिलें, तो (m + n) cot θ = n cot α − m cot β ऊर्ध्वाधर से छड़ का कोण θ देता है (व्युत्पत्ति: m-n प्रमेय तथा चिकने वक्रों पर शृंखलाएँ)।

(3) दो आलंबों पर रखे दंड के लिए एक आलंब के परितः "झुकने वाला" का अर्थ है कि दूसरे आलंब की प्रतिक्रिया अभी शून्य हुई है, जिससे एक अज्ञात हट जाता है (उदाहरण 11)।

कहाँ प्रयोग होता है: निलंबित और कब्ज़ेदार पिंड (उदाहरण 9 से 14), झुकने की कगार पर दंड, और अगले विषय के स्थायित्व परीक्षण, जहाँ G की ऊँचाई ही स्थितिज ऊर्जा है।

8. गुरुत्व केंद्र, निलंबित पिंड तथा m-n प्रमेय

गुरुत्व केंद्र (centre of gravity): बिंदुओं (x_i, y_i) पर भारों w_i के लिए x̄ = Σw_ix_i/Σw_i और ȳ = Σw_iy_i/Σw_i; मानक स्थितियाँ दूसरी तालिका में हैं।

निलंबित पिंड: किसी बिंदु से स्वतंत्र रूप से लटका पिंड इस प्रकार विराम में रहता है कि उसका गुरुत्व केंद्र निलंबन बिंदु के ठीक नीचे हो।

कब्ज़े (hinge) की प्रतिक्रिया: अन्य बल ज्ञात करने के लिए कब्ज़े के परितः आघूर्ण लें, फिर कब्ज़े की प्रतिक्रिया के दोनों घटकों के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वियोजन करें।

m-n प्रमेय: यदि त्रिभुज OAB की भुजा AB पर D ऐसा है कि AD : DB = m : n, ∠OAB = α, ∠OBA = β और θ = ∠ODB, तो (m + n) cot θ = n cot α − m cot β।

तीन-बल प्रश्न: जब कोई पिंड तीन असमांतर बलों के अधीन साम्य में हो, तो जिन दो बलों की दिशाएँ ज्ञात हैं उनकी क्रिया-रेखाएँ खींचें; तीसरा बल उनके प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाना चाहिए (उदाहरण 13 और 14)।

आलंबों पर दंड: एक आलंब के परितः झुकने की स्थिति में दूसरे आलंब पर प्रतिक्रिया शून्य होती है।

9. डोरियों और शृंखलाओं के अन्य परिणाम

कोई भी भारी डोरी (आवश्यक नहीं कि एकसमान): तनाव का क्षैतिज घटक T cos ψ प्रत्येक बिंदु पर समान है, और दो बिंदुओं के बीच के भाग का भार वहाँ के ऊर्ध्वाधर घटकों T sin ψ के अंतर के बराबर है।

जीवा सर्वसमिका: सामान्य कैटिनरी y = c cosh(x/c) के किसी भी चाप के लिए, जिसका क्षैतिज विस्तार a, लंबाई l और स्तरों का अंतर d है, l² − d² = 2c²[cosh(a/c) − 1] = 4c²sinh²(a/(2c))।

तनी शृंखला: जब झोल h अर्ध-लंबाई l की तुलना में छोटा हो, तो c ≈ l²/(2h) बड़ा है और sinh⁻¹z ≈ z − z³/6 से विस्तार लगभग 2l(1 − 2h²/(3l²)) है।

चिकनी खूँटी या घिरनी पर शृंखला: चिकने वक्र पर भारी शृंखला के लिए T − wy शृंखला के अनुदिश अचर है, अतः वक्र पर और उससे बाहर तनाव w × (नियता से ऊँचाई) है; चिकनी खूँटी पर लटकी शृंखला का मुक्त सिरा नियता पर होता है।

आंशिक रूप से रुक्ष मेज़ पर शृंखला: लटका भाग अपनी कैटिनरी के निम्नतम बिंदु पर मेज़ को स्पर्शीय रूप से छोड़ता है, जहाँ तनाव wc मेज़ पर पड़े भाग के घर्षण से संतुलित होता है; सीमांत साम्य में wc = μw × (मेज़ पर लंबाई)।

झूला पुल (suspension bridge): यदि भार प्रति एकांक क्षैतिज लंबाई एकसमान हो (शृंखला का अपना भार नगण्य), तो शृंखला परवलय के आकार में लटकती है; T cos ψ फिर भी अचर रहता है।

10. व्युत्पत्ति: कैटिनरी का कार्तीय समीकरण

tan ψ = s/c से: dy/dx = s/c और ds/dx = √(1 + (dy/dx)²) = √(c² + s²)/c।

अतः dx = c ds/√(c² + s²) और, s = 0 पर x = 0 लेकर, x = c sinh⁻¹(s/c), अर्थात s = c sinh(x/c)।

तब dy/dx = sinh(x/c), और x-अक्ष (नियता) ऐसे चुनने पर कि निम्नतम बिंदु पर y = c, y = c cosh(x/c); cosh² − sinh² = 1 से y² = c² + s²।

तनाव: T = wc sec ψ और sec ψ = √(1 + sinh²(x/c)) = cosh(x/c) = y/c, अतः T = wy; साथ ही y = c sec ψ और वक्रता त्रिज्या ρ = ds/dψ = c sec²ψ।

11. व्युत्पत्ति: m-n प्रमेय तथा चिकने वक्रों पर जंजीर

m-n प्रमेय: त्रिभुज OAD में ∠ODA = π − θ, अतः ∠AOD = θ − α; त्रिभुज OBD में ∠BOD = π − β − θ।

ज्या नियम से AD = OD sin(θ − α)/sin α और BD = OD sin(θ + β)/sin β, अतः m sin α sin(θ + β) = n sin β sin(θ − α)।

विस्तार करके sin α sin β sin θ से भाग देने पर: m(cot β + cot θ) = n(cot α − cot θ), अर्थात (m + n) cot θ = n cot α − m cot β।

चिकने वक्र पर जंजीर: अवयव ds के लिए चिकनी प्रतिक्रिया अभिलंब है, अतः स्पर्शरेखा के अनुदिश वियोजन से dT = w ds sin ψ = w dy; अतः T − wy वक्र पर और उसके बाहर, पूरी जंजीर में अचर है।

झूला पुल: प्रति एकक क्षैतिज लंबाई भार w′ होने पर, निम्नतम बिंदु से टुकड़े के लिए T cos ψ = T₀ और T sin ψ = w′x, अतः dy/dx = w′x/T₀ और y = w′x²/(2T₀), एक परवलय।

12. विधि का चयन

यदि ठीक तीन बल कार्य करें → लामी प्रमेय, बलों का त्रिभुज, या किसी अज्ञात दिशा को निश्चित करने के लिए संगामिता का प्रयोग करें।

यदि दृढ़ पिंड पर अधिक बल हों → दो दिशाओं में वियोजन करें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अधिकतम अज्ञात बल मिलते हैं।

यदि घर्षण हो → तय करें कि गति किस दिशा में होने वाली है, फिसलने वाले प्रत्येक संपर्क पर F = μR रखें, और अन्यत्र F ≤ μR; जब किसी बल का परिसर पूछा जाए तो दोनों सीमांत स्थितियाँ ज्ञात करें।

यदि कैटिनरी प्रश्न में लंबाई और झोल दिए हों → y² = c² + s² लें; यदि सिरों के कोण दिए हों → s = c tan ψ और y = c sec ψ लें; यदि विस्तार दिया हो → s = c sinh(x/c) लें, जिससे प्रायः c के लिए एक अबीजीय समीकरण बचता है।

यदि आधार भिन्न स्तरों पर हों → दोनों सिरों को एक ही कैटिनरी पर x = −x₁ और x = x₂ पर रखें, और जीवा सर्वसमिका l² − d² = 4c²sinh²(a/(2c)) का प्रयोग करें।

यदि जुड़े पिंडों के निकाय की एक स्वातंत्र्य कोटि हो और आंतरिक बल पूछा जाए → कल्पित कार्य (अगला विषय) प्रायः प्रत्येक पिंड के वियोजन से छोटा होता है।

13. सामान्य गलतियाँ

असीमांत स्थिति में F = μR लिखना; घर्षण μR के बराबर केवल तब होता है जब फिसलन होने वाली हो।

घर्षण को गलत दिशा में दिखाना: यह उस गति का विरोध करता है जो उसके बिना होती, अतः फिसलने वाली सीढ़ी के लिए पाद पर घर्षण दीवार की ओर और दीवार पर ऊपर की ओर होता है।

लामी प्रमेय में प्रत्येक बल को अन्य दो बलों के बीच के कोण के स्थान पर किसी अन्य बल के साथ उसके अपने कोण की ज्या से भाग देना।

कैटिनरी में y को निम्नतम बिंदु से मापना; y नियता से मापा जाता है, जो निम्नतम बिंदु से c नीचे है, अतः झोल y − c है।

भिन्न स्तरों वाले आधारों के बीच निम्नतम बिंदु को मध्य में मान लेना।

14. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: कैटिनरी कलन (अध्याय 3) के चाप-लंबाई सूत्र ds = √(1 + y′²) dx और अतिपरवलयिक सर्वसमिकाओं का प्रयोग करती है, और उसकी वक्रता त्रिज्या c sec²ψ अध्याय 7 के वक्रता सूत्रों की समतलीय स्थिति है।

संबंध: समतलीय प्रतिबंध ΣX = ΣY = 0, ΣM = 0, त्रिविमीय बलों के लिए R = 0, G = 0 (अगला विषय) की समतलीय स्थिति हैं, और साम्य का ऊर्जा दृष्टिकोण कल्पित कार्य और स्थायित्व की ओर ले जाता है।

15. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 7 (UPSC 2015, 10 अंक): 8 kg भार की एक छड़, ऊर्ध्वाधर तल में एक सिरे पर लगे कब्जे पर चलायमान है। उसके दूसरे सिरे पर लम्बाई l की एक रस्सी के द्वारा कब्जे से b ऊँचाई पर, ऊर्ध्व दिशा में छड़ के आधे के बराबर भार बाँधा गया है। रस्सी में तनाव ज्ञात कीजिये।

माना कब्ज़ा A, मुक्त सिरा B (जिस पर 4 kg भार है), C वह बिंदु जिससे डोरी बँधी है, जो A से b ऊँचाई पर ठीक ऊपर है, और x, AC से B की क्षैतिज दूरी है।

A के परितः आघूर्ण कब्ज़े की प्रतिक्रिया को हटा देते हैं: छड़ का 8 kg भार क्षैतिज दूरी x/2 पर और 4 kg भार x पर है, कुल आघूर्ण 8x।

तनाव T, BC के अनुदिश है, और A के परितः इसका आघूर्ण T × (A से BC पर लंब) = T × 2(त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल)/BC = T × bx/l है।

आघूर्णों को बराबर रखने पर Tbx/l = 8x।

उत्तर: T = 8l/b kg भार, छड़ की लंबाई चाहे जो हो।

उदाहरण 8 (UPSC 2016, 15 अंक): 2a लम्बाई की एकसमान एक छड़ (rod) AB, A पर हिन्ज (hinge) के परितः चलायमान (movable) है, जिसका दूसरा छोर एक चिकनी ऊर्ध्व दीवार पर स्थित है। यदि छड़ का ऊर्ध्वाधर से झुकाव α हो, तो सिद्ध कीजिये कि हिन्ज (hinge) पर प्रतिक्रिया (reaction) का परिमाण (1/2) W √(4 + tan²α) है, जहाँ W छड़ का भार है।

दीवार चिकनी है, अतः B पर उसकी प्रतिक्रिया S क्षैतिज है; A पर कब्ज़े की प्रतिक्रिया के घटक X (क्षैतिज) और Y (ऊर्ध्वाधर) हैं।

A के परितः आघूर्ण: S × 2a cos α = W × a sin α, अतः S = (W/2) tan α।

वियोजन से: X = S = (W/2) tan α और Y = W।

प्रतिक्रिया = √(X² + Y²) = W√(1 + tan²α/4) = (1/2)W√(4 + tan²α)।

उत्तर: कब्ज़े की प्रतिक्रिया (1/2)W√(4 + tan²α) है, जो ऊर्ध्वाधर से tan⁻¹((1/2) tan α) पर झुकी है।

उदाहरण 9 (UPSC 2016, 15 अंक): दो भार P तथा Q एक स्थिर (fixed) बिन्दु O से धागे (strings) OA एवं OB से लटके हैं तथा एक हल्के छड़ (rod) AB द्वारा एक-दूसरे से अलग किये गये हैं। यदि धागे OA एवं OB छड़ (rod) AB से क्रमशः α तथा β कोण बनाते हों, तो सिद्ध कीजिये कि छड़ (rod) ऊर्ध्व दिशा से θ कोण बनाती है, जहाँ
tan θ = (P + Q)/(P cot α − Q cot β)

छड़ AB और दोनों भारों को एक पिंड मानें; बाह्य बल A पर P, B पर Q और दो तनाव हैं, जो AO और BO के अनुदिश हैं और O पर मिलते हैं।

P और Q का ऊर्ध्वाधर परिणामी P + Q, AB के उस बिंदु G से होकर है जहाँ AG : GB = Q : P; साम्य के लिए यह O से होकर जाना चाहिए, अतः OG ऊर्ध्वाधर है और θ, GO और GB के बीच का कोण है।

माना N, O से AB पर लंब का पाद है और ON = d; तब AN = d cot α, BN = d cot β और GN = d cot θ, जहाँ N, G और B के बीच है (मान लें)।

AG = AN − GN = d(cot α − cot θ) और GB = BN + GN = d(cot β + cot θ)।

AG : GB = Q : P से P(cot α − cot θ) = Q(cot β + cot θ), अर्थात (P + Q) cot θ = P cot α − Q cot β।

उत्तर: tan θ = (P + Q)/(P cot α − Q cot β); यह त्रिभुज OAB पर §4 का m-n प्रमेय है।

उदाहरण 10 (UPSC 2020, 10 अंक): एक एकसमान छड़, जो ऊर्ध्वाधर दशा में है, अपने एक सिरे पर स्वतंत्र रूप से वर्तन कर सकती है तथा दूसरे सिरे पर लगाए गए एक क्षैतिज बल, जिसका मान छड़ के भार का आधा है, द्वारा ऊर्ध्वाधर से एक तरफ खींची जाती है। बताइए कि ऊर्ध्वाधर से किस कोण पर छड़ विश्राम करेगी।

माना छड़ की लंबाई 2a और भार W है, वह O पर कब्ज़े से जुड़ी है, मुक्त सिरे पर क्षैतिज बल W/2 है, और θ ऊर्ध्वाधर से उसका झुकाव है।

O के परितः आघूर्ण: (W/2) × 2a cos θ = W × a sin θ।

अतः tan θ = 1।

उत्तर: छड़ ऊर्ध्वाधर से 45° पर विराम करती है।

उदाहरण 11 (UPSC 2020, 15 अंक): एक दंड AD दो आलंब B एवं C पर विश्राम करता है, जबकि AB = BC = CD. यह पाया गया कि दंड झुक जाएगा यदि एक भार p kg, बिंदु A से लटकाया जाए या एक भार q kg, बिंदु D से लटकाया जाए। दंड का भार बताइए।

माना AB = BC = CD = d, दंड का भार w है, और उसका गुरुत्व केंद्र G, B और C के बीच B से दूरी x पर है (दंड का एकसमान होना आवश्यक नहीं; होता तो p = q होना पड़ता)।

A पर p लटकाने पर दंड B के परितः झुकने को है, अतः C पर प्रतिक्रिया शून्य है; B के परितः आघूर्ण: pd = wx।

D पर q लटकाने पर यह C के परितः झुकने को है: qd = w(d − x)।

जोड़ने पर (p + q)d = wd।

उत्तर: दंड का भार p + q kg है, और उसका गुरुत्व केंद्र BC को p : q के अनुपात में विभाजित करता है।

उदाहरण 12 (UPSC 2021, 10 अंक): दो छड़े LM व MN बिन्दु M पर दृढ़ता से इस प्रकार जुड़ी हैं कि (LM)² + (MN)² = (LN)² तथा वे स्वतन्त्र रूप से साम्यावस्था में स्थिर बिन्दु L पर टँगी हैं। माना कि दोनों एकसमान छड़ों का प्रति एकांक लम्बाई, भार ω है। छड़ LM का ऊर्ध्वाधर दिशा के साथ बने कोण को छड़ों की लम्बाई के रूप में ज्ञात कीजिए।

माना LM = a और MN = b, जहाँ ∠LMN = 90° (क्योंकि LM² + MN² = LN²); भार ωa और ωb, LM और MN के मध्य बिंदुओं पर हैं।

L पर LM के अनुदिश (एकक सदिश e₁) और उसके लंबवत N की ओर (e₂) अक्ष लें; मध्य बिंदु (a/2)e₁ और ae₁ + (b/2)e₂ हैं।

गुरुत्व केंद्र G = [(a²/2 + ab)e₁ + (b²/2)e₂]/(a + b) है।

L से स्वतंत्र रूप से लटकने पर LG ऊर्ध्वाधर है, अतः LM और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण θ, tan θ = (b²/2)/(a²/2 + ab) को संतुष्ट करता है।

उत्तर: tan θ = MN²/(LM² + 2 LM·MN), जहाँ LM ऊर्ध्वाधर के उस ओर है जो N से दूर है।

उदाहरण 13 (UPSC 2023, 10 अंक): अर्द्धव्यास 'a' का एक बेलन (सिलिंडर) एक जनक रेखा के अनुदिश एक ऊर्ध्वाधर दीवार को स्पर्श किया हुआ है। बेलन का अक्ष क्षैतिजतः स्थिर है। लम्बाई 'l' तथा भार 'W' का एक एक समान समतल दंड ऊर्ध्वाधर से 45° का कोण बनाते हुए अपने सिरों को दीवार के सहारे तथा बेलन पर टिकाए हैं। अगर घर्षण बल नगण्य हैं, तब दर्शाइए कि a/l = (√5 + 5)/(4√2). दीवार और बेलन की प्रतिक्रियायें भी ज्ञात कीजिए।

दीवार को x = 0 और बेलन के अक्ष को C(a, 0) पर लें; ऊपरी सिरे A पर चिकनी दीवार की प्रतिक्रिया S क्षैतिज है, और निचले सिरे B पर बेलन की प्रतिक्रिया R अभिलंब CB के अनुदिश है।

दंड के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपों के लिए L = l/√2 लिखें; B = (a − a cos φ, a sin φ) दीवार से क्षैतिज दूरी L पर है, अतः a(1 − cos φ) = L।

तीनों बल संगामी हैं: S (रेखा y = y_B + L) और W (रेखा x = L/2) बिंदु K(L/2, y_B + L) पर मिलते हैं, जो CB अर्थात रेखा y = (a − x) tan φ पर होना चाहिए।

अतः (a − L/2) tan φ = a sin φ + L; k = L/a और cos φ = 1 − k लेने पर (k/2)/(1 − k) = k/sin φ, अतः sin φ = 2(1 − k) = 2 cos φ।

तब cos²φ = 1/5, k = 1 − 1/√5 और a/L = √5/(√5 − 1) = (5 + √5)/4, अतः a/l = (5 + √5)/(4√2)।

वियोजन: R sin φ = W और S = R cos φ, जहाँ sin φ = 2/√5 और cos φ = 1/√5।

उत्तर: a/l = (√5 + 5)/(4√2); बेलन की प्रतिक्रिया अभिलंब के अनुदिश (√5/2)W और दीवार की प्रतिक्रिया W/2 है।

उदाहरण 14 (UPSC 2023, 15 अंक): एक ठोस अर्द्ध-गोलक एक डोरी द्वारा, जिसका एक सिरा एक चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार पर एक बिन्दु से और दूसरा सिरा अर्द्धगोलक के किनारे (रिम) पर स्थित एक बिन्दु से बंधा है, ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिका है। ठोस अर्द्धगोलक का वक्रित पृष्ठ दीवार को स्पर्श करता है। अगर ऊर्ध्वाधर के साथ डोरी का आनति कोण θ है और अर्द्धगोलक के समतल आधार (बेस) का आनति कोण φ है तो (tan φ − tan θ) का मान ज्ञात कीजिए।

माना O समतल आधार का केंद्र, a त्रिज्या और G गुरुत्व केंद्र है, जो अक्ष पर OG = 3a/8 पर है।

दीवार चिकनी है और उसकी प्रतिक्रिया स्पर्श बिंदु पर गोले के अभिलंब के अनुदिश है, अतः यह O से होकर क्षैतिज रेखा है।

तीनों बल संगामी हैं, अतः डोरी की रेखा K से होकर जाती है, जो O के स्तर पर G के ठीक ऊपर का बिंदु है; OG क्षैतिज से कोण φ बनाता है (आधार ऊर्ध्वाधर से φ पर है), अतः K, O से दीवार की ओर (3a/8) cos φ पर है।

डोरी ऊपरी किनारे के बिंदु R पर बँधी है, जो O की अपेक्षा दीवार से a sin φ निकट और उससे a cos φ ऊपर है।

डोरी के अनुदिश K से R तक ऊर्ध्व वृद्धि a cos φ और क्षैतिज विस्थापन a sin φ − (3a/8) cos φ है, अतः tan θ = tan φ − 3/8।

उत्तर: tan φ − tan θ = 3/8।

उदाहरण 15 (UPSC 2015, 13 अंक): दो बराबर भार की सीढ़ियां, जिसमें प्रत्येक का भार 4 kg है, बिंदु A पर एक दूसरे के साथ झुकाकर रखी गई हैं। उनके दूसरे सिरे एक खुरदुरे फर्श पर हैं, जिसका घर्षण गुणांक μ है। दोनों सीढ़ी के बीच 60° का कोण है। कितना भार उस शीर्ष बिंदु A पर रखा जाए कि वह सीढ़ियों के फिसल जाने का कारण बन जाय।

माना प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई 2a और भार W = 4 kg है, तथा अतिरिक्त भार W′ जोड़ A पर है; प्रत्येक सीढ़ी ऊर्ध्वाधर से 30° बनाती है।

सममिति से प्रत्येक पाद पर अभिलंब प्रतिक्रिया R = W + W′/2 और भीतर की ओर घर्षण F है।

एक सीढ़ी के लिए A के परितः आघूर्ण (जोड़ का बल और W′, A पर हैं): पाद A से क्षैतिज a और ऊर्ध्वाधर √3a दूर है तथा मध्य बिंदु क्षैतिज a/2 दूर, अतः Ra = W(a/2) + F√3a।

अतः F = (R − W/2)/√3; फिसलना तब आरंभ होता है जब F = μR, अर्थात R(1 − √3μ) = W/2।

तब W′ = 2R − 2W = W/(1 − √3μ) − 2W = W(2√3μ − 1)/(1 − √3μ)।

उत्तर: W′ = 4(2√3μ − 1)/(1 − √3μ) kg भार; इसके लिए 1/(2√3) < μ < 1/√3 चाहिए (छोटे μ पर सीढ़ियाँ बिना भार के फिसलती हैं, और μ ≥ 1/√3 पर कोई भार उन्हें नहीं फिसलाता)।

उदाहरण 16 (UPSC 2019, 10 अंक): एक भारी एकसमान छड़ AB का एक सिरा एक रूक्ष क्षैतिज छड़ AC, जिसके साथ वह वलय (रिंग) के द्वारा जुड़ी हुई है, पर सरक सकती है। B एवं C एक रस्सी से जुड़े हैं। जब छड़ सर्पण बिंदु पर है, तब AC² − AB² = BC² है। यदि क्षैतिज रेखा व AB के बीच का कोण θ है, तो सिद्ध कीजिए कि घर्षण गुणांक cot θ/(2 + cot²θ) है।

AC² = AB² + BC² का अर्थ ∠ABC = 90°, अतः डोरी BC छड़ के लंबवत है।

माना AB = 2a और उसका भार W है; A पर अभिलंब प्रतिक्रिया R (ऊर्ध्वाधर) और घर्षण F (AC के अनुदिश) हैं, तथा B पर BC के अनुदिश T है।

A के परितः आघूर्ण: T × 2a = W × a cos θ, अतः T = (W/2) cos θ।

T, AB के लंबवत है, अतः ऊर्ध्वाधर से कोण θ बनाता है: वियोजन से F = T sin θ = (W/2) sin θ cos θ और R = W − T cos θ = W(1 − (1/2)cos²θ)।

μ = F/R = sin θ cos θ/(2 − cos²θ); अंश और हर को sin²θ से भाग देने पर μ = cot θ/(2 cosec²θ − cot²θ) = cot θ/(2 + cot²θ)।

उत्तर: μ = cot θ/(2 + cot²θ)।

उदाहरण 17 (UPSC 2015, 12 अंक): उस अंतहीन शृंखला की लम्बाई ज्ञात कीजिये, जो एक 'a' त्रिज्य वाली वृत्तीय घिरनी पर इस तरह से टंगी है, कि वह उस घिरनी के दो-तिहाई परिधि के स्पर्श में रहे।

शृंखला घिरनी के ऊपरी दो-तिहाई भाग (चाप 4πa/3) को छूती है और दो बिंदुओं P, P′ पर उसे छोड़ती है जिनकी त्रिज्याएँ अधोमुखी ऊर्ध्वाधर से 60° बनाती हैं, अतः वहाँ स्पर्शरेखाएँ क्षैतिज से 60° बनाती हैं।

मुक्त भाग P, P′ सिरों वाली सामान्य कैटिनरी में लटकता है, अतः P पर ψ = 60°।

निम्नतम बिंदु से P की क्षैतिज दूरी: x = c log(sec ψ + tan ψ) = c log(2 + √3); यह a sin 60° = √3a/2 के भी बराबर है, अतः c = √3a/(2 log(2 + √3))।

कैटिनरी की लंबाई = 2c tan 60° = 2√3c = 3a/log(2 + √3)।

चिकनी घिरनी पर T − wy अचर है, अतः तनाव w × (नियता से ऊँचाई) बना रहता है और घिरनी पर का भाग इस कैटिनरी से संगत है।

उत्तर: लंबाई = 4πa/3 + 3a/log(2 + √3) ≈ 6.47a।

उदाहरण 18 (UPSC 2021, 20 अंक): एक भारी डोरी, जिसका घनत्व एक समान नहीं है, दो बिन्दुओं से टँगी हुई है। माना कि T₁, T₂, T₃ क्रमशः कैटिनरी के बीच के बिन्दुओं A, B, C पर तनाव हैं, जिन पर इसके क्षैतिज के साथ आनति कोण, सार्व अंतर β के साथ समांतर श्रेढ़ी में हैं। माना कि डोरी के AB तथा BC भागों के भार क्रमशः ω₁ तथा ω₂ हैं। सिद्ध कीजिए
(i) T₁, T₂ तथा T₃ का हरात्मक माध्य = 3T₂/(1 + 2 cos β)
(ii) T₁/T₃ = ω₁/ω₂

किसी भी भारी डोरी के लिए क्षैतिज तनाव T₀ = T cos ψ अचर है; माना A, B, C पर झुकाव ψ − β, ψ, ψ + β हैं।

(i) 1/T₁ + 1/T₂ + 1/T₃ = [cos(ψ − β) + cos ψ + cos(ψ + β)]/T₀ = cos ψ(1 + 2 cos β)/T₀ = (1 + 2 cos β)/T₂।

अतः हरात्मक माध्य 3/(1/T₁ + 1/T₂ + 1/T₃) = 3T₂/(1 + 2 cos β)।

(ii) भाग AB के लिए ऊर्ध्वाधर वियोजन से ω₁ = T₀[tan ψ − tan(ψ − β)] = T₀ sin β/(cos(ψ − β) cos ψ)।

इसी प्रकार ω₂ = T₀ sin β/(cos ψ cos(ψ + β))।

अतः ω₁/ω₂ = cos(ψ + β)/cos(ψ − β) = (T₀/T₃)/(T₀/T₁) = T₁/T₃।

उत्तर: दोनों परिणाम क्षैतिज तनाव की अचरता से निकलते हैं; एकसमान घनत्व का कहीं प्रयोग नहीं हुआ।

उदाहरण 19 (UPSC 2022, 20 अंक): 2l लम्बाई का एक तार (केबिल) जिसका भार w प्रति इकाई (यूनिट) लम्बाई है, एक क्षैतिज रेखा के दो बिन्दुओं P तथा Q से लटकी हुई है। दर्शाइए कि तार की विस्तृति (स्पैन) 2l(1 − 2h²/(3l²)) है, जहाँ h तार के कसकर खींची हुई स्थिति में मध्य का झोल है।

अर्ध-लंबाई l और झोल h के लिए उदाहरण 4 से c = (l² − h²)/(2h); कसे हुए तार में h, l की तुलना में छोटा है, अतः c ≈ l²/(2h) और l/c ≈ 2h/l छोटा है।

सिरे पर s = l = c sinh(x/c), अतः अर्ध-विस्तार x = c sinh⁻¹(l/c) है।

sinh⁻¹z = z − z³/6 + ... से इस कोटि तक x = l − l³/(6c²)।

c² ≈ l⁴/(4h²) से l³/(6c²) ≈ 2h²/(3l), छोड़े गए पद h⁴/l³ की कोटि के हैं।

अतः विस्तार 2x ≈ 2l − 4h²/(3l)।

उत्तर: विस्तार ≈ 2l(1 − 2h²/(3l²)); उदाहरणार्थ l = 10, h = 0.5 के लिए यथार्थ मान 19.96665 और सूत्र से 19.96667।

उदाहरण 20 (UPSC 2025, 10 अंक): दिया गया है कि A और B एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित दो बिंदु हैं, जिनके बीच की दूरी 2a है। AO और BO दो समान भारी डोरी हैं जो O पर एक साथ बँधी हैं और जिनका भार O पर है। यदि प्रत्येक डोरी की लंबाई l है तथा d, AB से नीचे O की गहराई है, तो दर्शाइए कि इस कैटिनरी, जिसमें डोरी लटकी है, का प्राचल c
l² − d² = 2c²[cosh(a/c) − 1]
द्वारा दिया गया है।

[O पर भार लटका हो या नहीं, सममिति से प्रत्येक डोरी समान प्राचल c वाली कैटिनरी का चाप है, और नीचे की सर्वसमिका केवल इसी का प्रयोग करती है।]

OA के लिए माना O और A के भुज y = c cosh(x/c) पर x₁, x₂ हैं, जहाँ सममिति से x₂ − x₁ = a।

लंबाई l = c[sinh(x₂/c) − sinh(x₁/c)] और गहराई d = c[cosh(x₂/c) − cosh(x₁/c)]।

l² − d² = c²[(sinh² − cosh²)(x₁/c) + (sinh² − cosh²)(x₂/c) + 2 cosh(x₁/c)cosh(x₂/c) − 2 sinh(x₁/c)sinh(x₂/c)]।

यह c²[−2 + 2 cosh((x₂ − x₁)/c)] = 2c²[cosh(a/c) − 1] के बराबर है।

उत्तर: l² − d² = 2c²[cosh(a/c) − 1]।

उदाहरण 21 (UPSC 2026, 10 अंक): (ii) एक एकसमान जंजीर (चेन), जिसकी लंबाई l है, का एक सिरा एक खुरदरी मेज से h ऊँचाई पर स्थिर है और यह एक ऊर्ध्वाधर तल में इस प्रकार रखी है कि इसका एक हिस्सा मेज पर एक सीधी रेखा में है। सिद्ध कीजिए कि यदि चेन फिसलने की कगार पर है, तो मेज पर उसकी लंबाई (l + μh) − √((μ² + 1)h² + 2μlh) है, जहाँ μ घर्षण गुणांक है।

माना x मेज़ पर की लंबाई है; शेष l − x कैटिनरी में लटकता है जो अपने निम्नतम बिंदु पर मेज़ को छूती है, जहाँ तनाव क्षैतिज और wc के बराबर है।

मेज़ पर का भाग इस खिंचाव और घर्षण μwx के अधीन सीमांत साम्य में है, अतः c = μx।

लटके भाग के लिए, उसके निम्नतम बिंदु से, s = l − x और स्थिर सिरा h ऊपर है: (c + h)² = c² + s², अर्थात (l − x)² = h² + 2μhx।

अतः x² − 2(l + μh)x + (l² − h²) = 0, जिससे x = (l + μh) ± √((l + μh)² − l² + h²)।

चूँकि x < l, ऋण चिह्न लिया जाता है, और (l + μh)² − l² + h² = (μ² + 1)h² + 2μlh।

उत्तर: मेज़ पर लंबाई (l + μh) − √((μ² + 1)h² + 2μlh) है।

16. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): 3 N, 4 N और 5 N के तीन बल एक कण को साम्य में रखते हैं; 3 N और 4 N बलों के बीच का कोण ज्ञात करें।

उत्तर: 90°: 3 N और 4 N बलों का परिणामी 5 N होना चाहिए, और 3² + 4² = 5² से वे लंबवत होने चाहिए।

अभ्यास 2 (मूल): μ = 0.5 वाले खुरदरे तख्ते पर एक बक्सा रखा है; तख्ते को धीरे-धीरे झुकाया जाता है। किस नति पर बक्सा फिसलना आरंभ करता है?

उत्तर: जब tan α = μ, अर्थात α = tan⁻¹0.5 ≈ 26.6°, जो घर्षण कोण है।

अभ्यास 3 (मूल): 2 N प्रति मीटर भार वाली एकसमान जंजीर दो खंभों के बीच लटकी है; उसके निम्नतम बिंदु पर तनाव 30 N है। c और निम्नतम बिंदु से 5 m ऊपर के बिंदु पर तनाव ज्ञात करें।

उत्तर: c = 30/2 = 15 m; बिंदु नियता से y = 20 m ऊपर है, अतः T = wy = 40 N।

अभ्यास 4 (मानक): 6 m लंबा और 300 N भार का एकसमान दंड AB, A पर और C पर आलंबों पर टिका है, जहाँ AC = 4 m, और B पर 100 N का भार लटका है। प्रतिक्रियाएँ, तथा B पर वह अधिकतम भार ज्ञात करें जिस पर दंड नहीं झुकता।

उत्तर: A के परितः आघूर्णों से R_C = (900 + 600)/4 = 375 N और R_A = 25 N; C के परितः झुकाव तब आरंभ होता है जब R_A = 0, अर्थात 300 × 1/2 = 150 N भार पर।

अभ्यास 5 (मानक): 100 N भार का पिंड 30° पर झुके μ = 0.2 वाले खुरदरे समतल पर, महत्तम ढाल की रेखा के अनुदिश ऊपर की ओर लगे बल P के अधीन टिका है। साम्य के लिए P का परास ज्ञात करें।

उत्तर: W(sin α − μ cos α) ≤ P ≤ W(sin α + μ cos α), अर्थात 32.68 N ≤ P ≤ 67.32 N।

अभ्यास 6 (मानक): लंबाई l की एकसमान जंजीर भिन्न स्तरों पर स्थित दो आधारों के बीच लटकी है, सिरों पर स्पर्शरेखाएँ क्षैतिज से α और β कोण बनाती हैं, और निम्नतम बिंदु आधारों के बीच है। c तथा आधारों के स्तरों का अंतर ज्ञात करें।

उत्तर: दोनों चाप c tan α और c tan β हैं, अतः c = l/(tan α + tan β); ऊँचाइयाँ c sec α और c sec β हैं, अतः अंतर c(sec α − sec β) है, और विस्तृति c[log(sec α + tan α) + log(sec β + tan β)] है।

अभ्यास 7 (मानक): 30 m लंबी एकसमान जंजीर समान स्तर पर 20 m दूर स्थित दो बिंदुओं के बीच लटकी है। c (तीन दशमलव तक) और झोल ज्ञात करें।

उत्तर: c sinh(10/c) = 15; न्यूटन विधि से c ≈ 6.165 m; झोल √(c² + 225) − c ≈ 10.05 m है, और सिरे पर तनाव लगभग 16.22w है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): लंबाई 2a की एकसमान छड़ अपने निचले सिरे से चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार से टिकी है और दीवार से क्षैतिज दूरी b (b < a) पर स्थित चिकनी खूँटी पर से गुजरती है। सिद्ध करें कि साम्य में ऊर्ध्वाधर से छड़ की नति θ, sin³θ = b/a को संतुष्ट करती है।

उत्तर: संकेत: दीवार की प्रतिक्रिया (सिरे A से क्षैतिज) और भार (G से ऊर्ध्वाधर) K पर मिलते हैं, जहाँ AK = a sin θ; खूँटी की प्रतिक्रिया छड़ के लंबवत है और K से जाती है, अतः खूँटी K से डाले गए लंब का पाद है: a sin²θ = b/sin θ।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): लंबाई 2a की एकसमान छड़ अपने निचले सिरे से खुरदरे क्षैतिज फर्श पर टिकी है और ऊँचाई h (h < 2a sin θ) पर स्थित चिकनी क्षैतिज रेलिंग को छूती है, θ क्षैतिज से उसकी नति है। सिद्ध करें कि फिसलने की कगार पर μ = a sin²θ cos θ/(h − a sin θ cos²θ)।

उत्तर: संकेत: रेलिंग की प्रतिक्रिया S छड़ के लंबवत है और पाद से h/sin θ दूरी पर लगती है; पाद के परितः आघूर्णों से S = Wa sin θ cos θ/h; वियोजन से F = S sin θ और R = W − S cos θ, तथा μ = F/R।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): एकसमान जंजीर समान स्तर पर 2a दूरी पर स्थित दो चिकनी खूँटियों पर लटकी है, और उसके दोनों सिरे स्वतंत्र लटके हैं। सिद्ध करें कि साम्य तभी संभव है जब जंजीर की कुल लंबाई कम से कम 2ae हो।

उत्तर: संकेत: मुक्त सिरे नियता पर समाप्त होते हैं, अतः प्रत्येक की लटकी लंबाई c cosh(a/c) है; मध्य चाप की लंबाई 2c sinh(a/c) है; कुल 2c e^a/c है, जिसका c > 0 पर न्यूनतम मान c = a पर 2ae है।

1. कल्पित कार्य को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: चार जुड़ी छड़ों के समचतुर्भुज में बलों के वियोजन के लिए प्रत्येक जोड़ की प्रतिक्रिया चाहिए, अर्थात बहुत से अज्ञात और बहुत से समीकरण, भले ही हमें केवल एक तनाव या एक कोण चाहिए।

कल्पित कार्य (virtual work) प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटि के लिए एक समीकरण देता है जिसमें सभी कार्यहीन प्रतिक्रियाएँ आरंभ से ही अनुपस्थित होती हैं।

शब्दों में: कल्पित विस्थापन (virtual displacement) विन्यास का एक छोटा परिवर्तन है जिसकी हम समय रोककर कल्पना करते हैं, और जिसे बंधन अनुमति देते हैं: छड़ें अपनी लंबाई रखती हैं, जोड़ जुड़े रहते हैं, संपर्क में पिंड संपर्क में रहते हैं।

कल्पित कार्य Σ F·δr है, अर्थात बलों पर योग, प्रत्येक बल गुणा उसके बिंदु का बल की दिशा में छोटा विस्थापन, केवल प्रथम कोटि के पद रखते हुए।

"कार्यहीन" बंधन बल वे हैं जिनका कुल कल्पित कार्य प्रत्येक अनुमत विस्थापन के लिए शून्य है, जैसे चिकनी प्रतिक्रियाएँ और अवितान्य डोरियाँ।

यदि विन्यास एक निर्देशांक θ से निश्चित हो, तो प्रत्येक δr, δθ का गुणज है, अतः कल्पित कार्य किसी व्यंजक Q के लिए Q δθ है, और "प्रत्येक δθ के लिए शून्य" का अर्थ Q = 0 है: एक समीकरण।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: लंबाई 2a और भार W की एकसमान छड़ AB, A पर ऊर्ध्वाधर दीवार से चिकने कब्ज़े द्वारा जुड़ी है और B पर दीवार की ओर धकेलते क्षैतिज बल P से क्षैतिज से θ कोण ऊपर रोकी गई है; P ज्ञात करें।

चरण 1 (निर्देशांक): कोण θ स्थिति निश्चित करता है, अतः निकाय की एक स्वातंत्र्य कोटि है।

चरण 2 (कौन से बल कार्य करते हैं): केंद्र G पर W और B पर P; कब्ज़े की प्रतिक्रिया A पर लगती है, जो नहीं हिलता, अतः वह कोई कार्य नहीं करती और छोड़ दी जाती है।

चरण 3 (θ में स्थितियाँ): G की ऊँचाई a sin θ है, और B दीवार से क्षैतिज दूरी x_B = 2a cos θ पर है।

चरण 4 (θ में परिवर्तन): भार का कार्य −W δ(a sin θ) = −Wa cos θ δθ है; P दीवार की ओर है, अतः उसका कार्य −P δx_B = 2aP sin θ δθ है।

चरण 5 (योग शून्य करें): प्रत्येक δθ के लिए (2aP sin θ − Wa cos θ) δθ = 0, अतः P = (W/2) cot θ।

चरण 6 (जाँच): A के परितः आघूर्ण P × 2a sin θ = W × a cos θ देते हैं, वही उत्तर; ध्यान दें कि कब्ज़े की प्रतिक्रिया कभी ज्ञात नहीं करनी पड़ी।

अ-उदाहरण (non-example): खुरदरे फर्श पर फिसलने की कगार वाली सीढ़ी: जिस विस्थापन में पाद फिसलता है उसमें घर्षण −F δx कार्य करता है और छोड़ा नहीं जा सकता, क्योंकि वह संपर्क कार्यहीन नहीं है।

इसी प्रकार प्रत्यास्थ डोरी खिंचने पर −T δl कार्य करती है, अतः उसका तनाव समीकरण में रहना चाहिए, और बंधन तोड़ने वाला विस्थापन (दृढ़ छड़ को खींचना) कल्पित नहीं है जब तक हम जानबूझकर छड़ को उसके तनाव से न बदलें।

आगे बढ़ते हुए: (1) कण के लिए, सभी δr पर ΣF·δr = 0 होने से, δr को क्रमशः i, j, k के अनुदिश लेकर, ΣF = 0 मिलता है।

(2) दृढ़ पिंड का छोटा विस्थापन δr = δa + δθ × r है, अतः कल्पित कार्य R·δa + G·δθ है, जो सभी δa, δθ के लिए ठीक तब शून्य है जब R = 0 और G = 0 (व्युत्पत्ति: कल्पित कार्य से साम्य क्यों मिलता है)।

(3) पिंडों के निकाय के लिए ये समीकरण जोड़ें: कार्यहीन प्रतिक्रियाएँ निरस्त हो जाती हैं, और केवल आरोपित बलों का कल्पित कार्य बचता है।

(4) आंतरिक बल ज्ञात करने के लिए छड़ या डोरी की लंबाई बदलने दें, उसके तनाव या प्रणोद को कार्यकारी बल के रूप में सम्मिलित करें, और एक समीकरण से उसे पढ़ लें।

कहाँ प्रयोग होता है: समचतुर्भुज, वर्ग और बहुभुज ढाँचे, छल्लों और खूँटियों वाली डोरियाँ, चतुष्फलक और सतहों पर प्रत्यास्थ डोरियाँ (उदाहरण 1 से 3 और 8 से 14); विपरीत प्रभावी बल जोड़ने पर यह डी'एलम्बर्ट सिद्धांत और लाग्रांज समीकरण बन जाता है (अध्याय 14)।

2. कल्पित कार्य का सिद्धांत (Principle of Virtual Work)

कल्पित विस्थापन (virtual displacement) किसी निश्चित क्षण पर बंधनों के अनुरूप निकाय का एक काल्पनिक लघु विस्थापन है।

भाव: कल्पित (virtual) का अर्थ है समय को रोककर कल्पना करना: निकाय को वास्तव में नहीं हिलाया जाता, केवल यह पूछा जाता है कि यदि उसे बंधनों द्वारा अनुमत रूप में थोड़ा हिलाया जाए तो बल कितना कार्य करेंगे; विस्थापन में केवल प्रथम कोटि के पद रखे जाते हैं।

सिद्धांत: कार्यहीन बंधनों वाला निकाय साम्यावस्था में है यदि और केवल यदि प्रत्येक कल्पित विस्थापन के लिए आरोपित बलों का कुल कल्पित कार्य प्रथम कोटि तक शून्य हो: Σ(X δx + Y δy + Z δz) = 0।

भाव: इस विधि की शक्ति यह है कि कार्यहीन प्रतिक्रियाएँ हट जाती हैं, अतः प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटि (degree of freedom) के लिए एक समीकरण बिना किसी प्रतिक्रिया को ज्ञात किए उत्तर देता है; प्रतिबंध कार्यहीन आवश्यक है, क्योंकि फिसलने वाले संपर्क पर घर्षण कार्य करता है और उसे सम्मिलित करना पड़ता है।

छोड़े जा सकने वाले बल: चिकनी सतहों की प्रतिक्रियाएँ, अवितान्य डोरियों के तनाव, चिकने जोड़ों की प्रतिक्रियाएँ, दृढ़ पिंड के पारस्परिक आंतरिक बल, और लुढ़कने वाले संपर्क बिंदु की प्रतिक्रियाएँ।

यह क्यों काम करता है: चिकनी प्रतिक्रिया अपने बिंदु के प्रत्येक अनुमत विस्थापन के लंबवत होती है; अवितान्य डोरी के दोनों सिरों पर तनाव बराबर और विपरीत कार्य करते हैं; और लुढ़कने वाले संपर्क (rolling contact) के बिंदु पर सतह को छूता पिंड का बिंदु क्षणिक रूप से विराम में होता है, अतः वहाँ प्रतिक्रिया और घर्षण कोई कार्य नहीं करते।

किसी आंतरिक बल (तनाव या प्रणोद) को ज्ञात करने के लिए डोरी या छड़ को दो बराबर और विपरीत बलों से बदलें और ऐसा विस्थापन लें जिससे उसकी लंबाई बदले; तब वह बल समीकरण में आता है।

विधि: (1) विन्यास को एक निर्देशांक θ से व्यक्त करें; (2) बलों के क्रिया-बिंदुओं की ऊँचाइयाँ और लंबाइयाँ θ में लिखें; (3) θ में δθ परिवर्तन देकर Σ(बल × उसकी अपनी दिशा में दूरी का परिवर्तन) = 0 लिखें; (4) δθ निरस्त करें।

भार W का कल्पित कार्य −W δz है, जहाँ z उसके क्रिया-बिंदु की ऊँचाई है; लंबाई l की डोरी में तनाव T का कार्य −T δl है।

उदाहरण 1: दो समान एकसमान छड़ें AB, AC, प्रत्येक की लंबाई 2a और भार W, A पर चिकने जोड़ से जुड़ी हैं और ऊर्ध्व समतल में B, C चिकनी मेज़ पर रखकर हल्की डोरी BC से थमी हैं; तनाव ज्ञात कीजिए।

θ को प्रत्येक छड़ का ऊर्ध्वाधर से कोण लेने पर छड़ों के केंद्र a cos θ ऊँचाई पर हैं और BC = 4a sin θ।

कल्पित कार्य: −2W δ(a cos θ) − T δ(4a sin θ) = 0, अर्थात 2Wa sin θ δθ − 4aT cos θ δθ = 0, अतः T = (W/2) tan θ।

उदाहरण 2: लंबाई 2a और भार W की एकसमान छड़ का निचला सिरा चिकने फ़र्श पर और ऊपरी सिरा चिकनी ऊर्ध्व दीवार पर टिका है, ऊर्ध्वाधर से कोण θ पर, और निचले सिरे को दीवार के पाद से जोड़ने वाली क्षैतिज डोरी से रोकी गई है; तनाव ज्ञात कीजिए।

छड़ का केंद्र ऊँचाई a cos θ पर है और डोरी की लंबाई 2a sin θ है; चिकने फ़र्श और दीवार की प्रतिक्रियाएँ कार्य नहीं करतीं।

कल्पित कार्य: −W δ(a cos θ) − T δ(2a sin θ) = 0, अर्थात Wa sin θ − 2aT cos θ = 0, अतः T = (W/2) tan θ।

उदाहरण 3: लंबाई 2a और भार W की चार समान एकसमान छड़ें स्वतंत्र रूप से जुड़कर समचतुर्भुज ABCD बनाती हैं, जो A से लटका है और हल्की छड़ BD से आकार में रखा गया है, कोण BAD = 2θ; BD में प्रणोद (thrust) ज्ञात कीजिए।

A से नीचे गहराइयाँ: AB, AD के केंद्र a cos θ पर तथा BC, CD के केंद्र 3a cos θ पर, कुल 8a cos θ; BD = 4a sin θ।

प्रणोद T, BD को बढ़ाने की प्रवृत्ति रखता है, अतः उसका कल्पित कार्य +T δ(BD) है; भार +W δ(गहराई) कार्य करते हैं।

W δ(8a cos θ) + T δ(4a sin θ) = 0 से −8Wa sin θ + 4aT cos θ = 0, अतः T = 2W tan θ।

3. स्थितिज ऊर्जा और स्थायित्व को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: सिद्धांततः पेंसिल अपनी नोक पर संतुलित हो सकती है, फिर भी व्यवहार में वहाँ कभी नहीं टिकती, जबकि लोलक सदा सीधे नीचे लटकने की स्थिति में लौट आता है; दोनों साम्य स्थितियाँ हैं, और हमें उन्हें अलग पहचानने वाला परीक्षण चाहिए।

शब्दों में: भारों के अधीन निकाय की स्थितिज ऊर्जा (potential energy) V(θ) = ΣWz है, प्रत्येक भार गुणा उसके बिंदु की ऊँचाई; संरक्षी बलों के लिए कल्पित कार्य −δV के बराबर है।

अतः साम्य स्थितियाँ ठीक वे बिंदु हैं जहाँ V′(θ) = 0।

स्थायी (stable) का अर्थ है: छोटे विक्षोभ के बाद निकाय उस स्थिति के निकट रहता है (उसके परितः दोलन करता है); अस्थायी का अर्थ है कि वह दूर चला जाता है; ये क्रमशः तब होते हैं जब V का निश्चित स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम हो।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: लंबाई 2a और भार W की एकसमान छड़ एक सिरे A पर चिकने कब्ज़े के परितः ऊर्ध्वाधर समतल में स्वतंत्र घूमती है; θ नीचे की ऊर्ध्वाधर से उसका कोण है।

चरण 1: केंद्र G की A के सापेक्ष ऊँचाई z = −a cos θ है, अतः V = −Wa cos θ।

चरण 2: V′ = Wa sin θ = 0 से θ = 0 (नीचे लटकी) और θ = π (ऊपर खड़ी) मिलते हैं।

चरण 3: V″ = Wa cos θ।

चरण 4: θ = 0 पर V″ = Wa > 0, न्यूनतम: स्थायी।

चरण 5: θ = π पर V″ = −Wa < 0, अधिकतम: अस्थायी।

चरण 6: स्थायी स्थिति के परितः छड़ 2π√(I/V″) आवर्तकाल की सरल आवर्त गति करती है, जहाँ A के परितः जड़त्व आघूर्ण I = (4/3)(W/g)a², जिससे 2π√(4a/(3g)) मिलता है, जो लंबाई 2a के छड़-लोलक का आवर्तकाल है।

अ-उदाहरण (non-example): V″ = 0 का अर्थ उदासीन साम्य नहीं है: V = θ⁴ में V″(0) = 0 पर 0 पर न्यूनतम है (स्थायी), जबकि V = θ³ में V′(0) = V″(0) = 0 है और न न्यूनतम न अधिकतम (अस्थायी); केवल स्थिति के निकट अचर V ही उदासीन है।

आगे बढ़ते हुए: (1) θ₀ के निकट V ≈ V(θ₀) + (1/2)V″(θ₀)(θ − θ₀)², क्योंकि V′(θ₀) = 0।

(2) गतिज ऊर्जा (1/2)Iθ̇² के साथ ऊर्जा संरक्षण से Iθ̈ = −V″(θ₀)(θ − θ₀) मिलता है: V″ > 0 हो तो सरल आवर्त गति, V″ < 0 हो तो चरघातांकी वृद्धि (व्युत्पत्ति: ऊर्जा परीक्षण और पिच)।

(3) जब केवल गुरुत्व कार्य करता है, V = W z_G, अतः परीक्षण कहता है: जहाँ गुरुत्व केंद्र स्थानीय निम्नतम बिंदु पर हो वहाँ स्थायी।

कहाँ प्रयोग होता है: खूँटियों पर से जाती डोरियों और भारों वाली छड़ें, प्रत्यास्थ डोरियाँ, उदाहरण 19, और नीचे का दोलनशील-पिंड परीक्षण; अनेक निर्देशांकों के साथ यह अध्याय 3 का धनात्मक-निश्चित हेसियन परीक्षण और अध्याय 14 का लघु-दोलन सिद्धांत बन जाता है।

4. वक्र सतह पर दोलनशील पिंड के परीक्षण को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अनेक प्रश्न अर्धगोले, घन या बेलन को किसी अन्य वक्र पिंड के ऊपर (या भीतर) रखकर पूछते हैं कि क्या वह संतुलित रहेगा; हर बार लुढ़कते पिंड के लिए V लिखना धीमा है, और परीक्षण 1/h > 1/ρ₁ + 1/ρ₂ इसे एक पंक्ति में हल करता है, बशर्ते आप ठीक-ठीक जानें कि प्रत्येक प्रतीक का अर्थ क्या है।

शब्दों में: ρ₁ संपर्क बिंदु पर ऊपरी (दोलनशील) पिंड की वक्रता त्रिज्या (radius of curvature) है, ρ₂ वहाँ स्थिर निचले पिंड की, और h साम्य स्थिति में संपर्क बिंदु से ऊपरी पिंड के गुरुत्व केंद्र की ऊँचाई है।

संपर्क खुरदरा है, अतः ऊपरी पिंड बिना फिसले लुढ़कता है; समतल फलक के लिए ρ = ∞, अतः उसका पद 1/ρ = 0; यदि निचली सतह अवतल हो (पिंड कटोरे के भीतर हो), तो उसका पद −1/ρ₂ है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: त्रिज्या 4 cm का एकसमान ठोस अर्धगोला वक्र सतह नीचे करके तीन भिन्न स्थानों पर रखा है; प्रत्येक का परीक्षण करें।

चरण 1 (h): G समतल फलक के केंद्र से 3r/8 = 1.5 cm पर है, और संपर्क उस केंद्र से r = 4 cm नीचे है, अतः h = 4 − 1.5 = 2.5 cm और 1/h = 0.4।

चरण 2 (क्षैतिज समतल पर): ρ₁ = 4 और ρ₂ = ∞, अतः दायाँ पक्ष 0.25 है; चूँकि 0.4 > 0.25, यह स्थायी है।

चरण 3 (त्रिज्या 6 cm के स्थिर गोले के शीर्ष पर): दायाँ पक्ष 1/4 + 1/6 ≈ 0.417 > 0.4, अतः यह अस्थायी है; इसके लिए 5r/3 ≈ 6.67 cm से बड़ी त्रिज्या का गोला चाहिए (उदाहरण 4)।

चरण 4 (त्रिज्या 12 cm के स्थिर गोलीय कटोरे के भीतर): दायाँ पक्ष 1/4 − 1/12 ≈ 0.167 < 0.4, अतः यह स्थायी है।

ध्यान दें: वही पिंड नीचे की सतह के अधिक तीव्र उत्तल होने पर संतुलित करना कठिन हो जाता है, और कटोरे के भीतर आसान।

अ-उदाहरण (non-example): संपर्क बिंदु से ऊँचाई के स्थान पर अर्धगोले के केंद्र से G की दूरी 1.5 cm को h लेने पर 1/h ≈ 0.667 मिलता है और चरण 3 में गलत रूप से स्थायित्व का अनुमान होता है; और चिकनी सतह पर पिंड लुढ़कने के साथ फिसल भी सकता है, अतः लुढ़कने का परीक्षण जैसा कहा गया है वैसा लागू नहीं होता।

आगे बढ़ते हुए: (1) माना दोनों वक्रता केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा छोटे कोण φ से घूमती है; लुढ़कने का अर्थ है बराबर चाप, ρ₂φ = ρ₁ψ, अतः ऊपरी पिंड χ = φ(ρ₁ + ρ₂)/ρ₁ से घूमता है।

(2) निचले केंद्र से G की ऊँचाई z = (ρ₁ + ρ₂) cos φ − (ρ₁ − h) cos χ है; φ² कोटि तक प्रसार करके φ = 0 पर न्यूनतम माँगने से h < ρ₁ρ₂/(ρ₁ + ρ₂) मिलता है, जो परीक्षण है (उपपत्ति §4, "लोटन प्रतिबंध की उपपत्ति" में)।

(3) अतः यह परीक्षण केवल पिछले पाठ का ऊर्जा परीक्षण है, जिसमें V = W z_G।

कहाँ प्रयोग होता है: उदाहरण 4, 5 और 15 से 18 तथा हल किए गए प्रश्नों में गोले पर घन; संयुक्त पिंड (अर्धगोले पर शंकु या बेलन) G ज्ञात करके h की ρ₁ से तुलना में बदल जाते हैं।

5. कार्य, स्थितिज ऊर्जा और स्थायित्व

संरक्षी बलों के लिए कल्पित कार्य −δV है, अतः साम्य स्थितियाँ स्थितिज ऊर्जा (potential energy) V(θ) के स्तब्ध बिंदु dV/dθ = 0 हैं।

स्थायित्व (stability): साम्य स्थायी है यदि V न्यूनतम हो (d²V/dθ² > 0) और अस्थायी है यदि V अधिकतम हो (d²V/dθ² < 0); यदि d²V/dθ² = 0 तो उच्च अवकलज देखें।

भाव: कटोरे में रखी गेंद (V न्यूनतम: हल्का धक्का V बढ़ाता है, गेंद धीमी होकर लौट आती है) और गुंबद के शीर्ष पर रखी गेंद (V अधिकतम: हल्का धक्का V घटाता है, गेंद तेज होकर भाग जाती है) की कल्पना करें; शीर्ष पर खड़ा शंकु और समतल पर गोला अस्थायी और उदासीन साम्य दिखाते हैं।

जब केवल गुरुत्व कार्य करता है, V = Wz, अतः स्थायी साम्य का अर्थ है गुरुत्व केंद्र का निम्नतम स्थिति में होना।

खुरदरी स्थिर सतह पर टिका पिंड: जिस पिंड की सतह की संपर्क बिंदु पर वक्रता त्रिज्या ρ₁ है, वह त्रिज्या ρ₂ वाली स्थिर सतह पर टिका है, उसका गुरुत्व केंद्र उभयनिष्ठ अभिलंब पर संपर्क बिंदु से h ऊँचाई पर है।

दोनों सतहें उत्तल: साम्य स्थायी है यदि 1/h > 1/ρ₁ + 1/ρ₂ और अस्थायी है यदि 1/h < 1/ρ₁ + 1/ρ₂; स्थिर समतल (ρ₂ = ∞) पर प्रतिबंध h < ρ₁ है।

भाव: यह परीक्षण h की तुलना संयुक्त त्रिज्या ρ₁ρ₂/(ρ₁ + ρ₂) से करता है: नीचा गुरुत्व केंद्र स्थायी होता है, और अधिक तीव्र वक्रित निचली सतह (छोटा ρ₂) संतुलन को कठिन बनाती है; समतल पर यह इस शर्त में बदलता है कि G डोलती सतह के वक्रता केंद्र से नीचे हो।

यदि ऊपरी पिंड स्थिर अवतल सतह के भीतर टिका हो, तो 1/ρ₂ के स्थान पर −1/ρ₂ रखें।

उदाहरण 4: त्रिज्या r का एकसमान ठोस अर्धगोला अपनी वक्र सतह के बल त्रिज्या R के स्थिर खुरदरे गोले के शीर्ष पर टिका है; साम्य कब स्थायी है?

गुरुत्व केंद्र समतल फलक के केंद्र से 3r/8 पर है, अतः h = r − 3r/8 = 5r/8; स्थायित्व के लिए 8/(5r) > 1/r + 1/R, अर्थात R > 5r/3।

उदाहरण 5: एक ठोस ऊँचाई H के लंब वृत्तीय शंकु और समान त्रिज्या r के अर्धगोले से बना है जो उभयनिष्ठ आधार पर जुड़े हैं; यह अर्धगोले के बल क्षैतिज समतल पर टिका है। सीधी स्थिति में स्थायी साम्य का प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।

समतल पर स्थायित्व के लिए गुरुत्व केंद्र G का अर्धगोले के वक्रता केंद्र, अर्थात उभयनिष्ठ आधार के केंद्र O, से नीचे होना आवश्यक है (h < ρ₁ = r)।

O के परितः आघूर्ण: अर्धगोले (द्रव्यमान ∝ (2/3)r³) का केंद्र O से 3r/8 नीचे, और शंकु (द्रव्यमान ∝ (1/3)r²H) का केंद्र O से H/4 ऊपर है।

G, O से नीचे है यदि (2/3)r³(3r/8) > (1/3)r²H(H/4), अर्थात r²/4 > H²/12, अतः साम्य स्थायी है यदि H < √3 r।

6. त्रिविमीय बलों के समानयन को समझना

इसकी आवश्यकता क्यों: अंतरिक्ष में पिंड पर लगे बल प्रायः न एक बिंदु पर मिलते हैं न एक समतल में होते हैं; साम्य की जाँच और उनके कुल प्रभाव के वर्णन के लिए हम उन्हें सबसे सरल तुल्य निकाय से बदलते हैं।

शब्दों में: आधार बिंदु O चुनें; R = ΣF_i बलों का सदिश योग है और G = Σr_i × F_i = (L, M, N) O के परितः उनके आघूर्णों का योग, जहाँ r_i उस बिंदु की स्थिति है जहाँ F_i लगता है।

किसी बल को उसका प्रभाव बदले बिना O पर ले जाने के लिए O के परितः उसके आघूर्ण के बराबर अतिरिक्त बलयुग्म (couple) चाहिए; इसीलिए निकाय "O पर R तथा बलयुग्म G" बन जाता है।

R·R और R·G निश्चर (invariants) हैं: कोई भी आधार बिंदु चुनें, वे समान आते हैं; पिच p = R·G/R·R प्रति एकक धक्के पर मरोड़ मापता है, और केंद्रीय अक्ष वह रेखा है जिस पर बलयुग्म R के समांतर है।

पहला उदाहरण, धीरे-धीरे: बिंदु (1, 0, 0) पर बल (0, 0, 2) और मूल बिंदु पर बल (0, 3, 0) लगता है; निकाय को रिंच (wrench) में समानीत करें।

चरण 1: R = (0, 0, 2) + (0, 3, 0) = (0, 3, 2), अतः R·R = 13।

चरण 2: दूसरा बल O पर लगता है और उसका आघूर्ण नहीं है; पहला (1, 0, 0) × (0, 0, 2) = (0, −2, 0) देता है, अतः G = (0, −2, 0)।

चरण 3: R·G = −6 ≠ 0, अतः निकाय वास्तविक रिंच है (एकल बल नहीं), जिसका पिच p = −6/13 है।

चरण 4: केंद्रीय अक्ष G − r × R = pR को हल करता है, जहाँ r = (x, y, z); यहाँ r × R = (2y − 3z, −2x, 3x), अतः समीकरण 3z − 2y = 0, 2x − 2 = −18/13 और −3x = −12/13 हैं।

चरण 5: अंतिम दोनों से x = 4/13 मिलता है (उन्हें सहमत होना ही चाहिए, यह एक जाँच है), और पहले से y/3 = z/2; अक्ष रेखा x = 4/13, y/3 = z/2 है, जो जैसा होना चाहिए R के समांतर है।

चरण 6: दोनों विषमतलीय बल इस रेखा के अनुदिश √13 बल तथा उसके परितः 6/√13 = |p|√13 आघूर्ण के बलयुग्म के तुल्य हैं, p < 0 होने से वामावर्ती अर्थ में।

अ-उदाहरण (non-example): (0, 1, 0) पर बल (1, 0, 0) और (2, 0, 0) पर बल (0, 1, 0) समतल z = 0 में हैं; तब G = (0, 0, 1), R = (1, 1, 0) के लंबवत है, अतः R·G = 0 और निकाय एकल बल है, रिंच नहीं: समतलीय बल कभी वास्तविक रिंच नहीं बनाते।

आगे बढ़ते हुए: (1) आधार बिंदु को a से बदलने पर G′ = G − a × R, और a × R, R के लंबवत है, अतः R·G′ = R·G: ये निश्चर हैं।

(2) ऐसा आधार बिंदु माँगने पर जहाँ G′ = pR, और R से अदिश गुणन करने पर p = R·G/R·R मिलता है; G − r × R = pR के घटक केंद्रीय अक्ष के समीकरण हैं (व्युत्पत्ति: ऊर्जा परीक्षण और पिच)।

(3) साम्यावस्था वह स्थिति है जब R = 0 और G = 0, जो कल्पित कार्य की व्युत्पत्ति से भी मिलती है।

कहाँ प्रयोग होता है: ऐसे प्रश्न जो दिए गए बलों को रिंच में समानीत करने, पिच और केंद्रीय अक्ष का समीकरण, या बलों के एकल परिणामी का प्रतिबंध पूछते हैं; इसमें अध्याय 7 का सदिश गुणन और अध्याय 4 का रेखा का सममित रूप प्रयुक्त होता है।

7. त्रिविमीय बलों की साम्यावस्था

दृढ़ पिंड पर कोई भी बल-निकाय चुने गए आधार बिंदु O पर एक बल R = (X, Y, Z) और एक बलयुग्म G = (L, M, N) में समानीत होता है।

साम्य के प्रतिबंध: X = Y = Z = 0 तथा L = M = N = 0।

निश्चर (invariants): X² + Y² + Z² तथा LX + MY + NZ आधार बिंदु पर निर्भर नहीं करते।

यह क्यों काम करता है: आधार बिंदु को O से O′ पर ले जाने पर, जहाँ OO′ = a, R अपरिवर्तित रहता है और बलयुग्म G′ = G − a × R हो जाता है; चूँकि (a × R)·R = 0, G′·R = G·R, अतः |R|² और G·R दोनों प्रत्येक आधार बिंदु के लिए समान हैं।

रिंच (wrench): निकाय एक रेखा के अनुदिश बल R और उसी रेखा के परितः बलयुग्म के तुल्य है, जिसका पिच p = (LX + MY + NZ)/(X² + Y² + Z²) है।

भाव: बलों का प्रत्येक निकाय पेचकस की भाँति कार्य करता है: एक अक्ष के अनुदिश धक्का और उसी अक्ष के परितः मरोड़; पिच (pitch) p मरोड़/धक्का का अनुपात है, और p = 0 का अर्थ है एकल बल, जबकि R = 0 पर केवल बलयुग्म बचता है।

यह रेखा, पॉइनसो का केंद्रीय अक्ष (central axis), (L − yZ + zY)/X = (M − zX + xZ)/Y = (N − xY + yX)/Z है, उभयनिष्ठ मान p है।

निकाय एक बल में समानीत होता है यदि और केवल यदि R ≠ 0 के साथ LX + MY + NZ = 0, और R = 0 होने पर एक बलयुग्म में।

उदाहरण 6: O पर R = (1, 2, 2) और G = (3, 0, 0) से p = 3/9 = 1/3, और केंद्रीय अक्ष रेखा x/1 = (y − 2/3)/2 = (z + 2/3)/2 है।

उदाहरण 7: एक बल P, x-अक्ष के अनुदिश और समान बल P, y-अक्ष के समांतर रेखा x = 0, z = c के अनुदिश कार्य करता है; निकाय को रिंच (wrench) में समानीत कीजिए।

O पर: R = (P, P, 0); (0, 0, c) पर दूसरे बल का आघूर्ण (0, 0, c) × (0, P, 0) = (−cP, 0, 0), अतः G = (−cP, 0, 0)।

अंतराल (pitch) p = (LX + MY + NZ)/(X² + Y² + Z²) = −cP²/(2P²) = −c/2।

केंद्रीय अक्ष: r = (x, y, z) लेकर G − r × R = pR से (zP − cP, −zP, (y − x)P) = (−c/2)(P, P, 0), अतः x = y, z = c/2।

रिंच रेखा x = y, z = c/2 के अनुदिश बल P√2 और उसके परितः आघूर्ण (c/2)P√2 का बलयुग्म है, जो p ऋणात्मक होने से वामावर्ती अर्थ में है।

8. ढाँचे, डोरियाँ तथा लोटन प्रतिबंध की उपपत्ति

ढाँचे (frameworks): किसी जोड़ से लटके सममित ढाँचे के लिए किसी छड़ का ऊर्ध्वाधर से कोण θ निर्देशांक लें, सभी गुरुत्व केंद्रों की गहराई और हल्की छड़ की लंबाई θ में व्यक्त करें, और δ(Σ W × गहराई) ± T δ(लंबाई) = 0 का प्रयोग करें (प्रणोद के लिए +, तनाव के लिए −)।

यदि जुड़ी छड़ों के बहुभुज की एक से अधिक स्वातंत्र्य कोटि हो, तो संवरण प्रतिबंध (जैसे नियत लंबाई की क्षैतिज भुजा) लिखें और उससे कोणों के परिवर्तनों को संबंधित करें (उदाहरण 9)।

खूँटियों और छल्लों पर डोरियाँ: चिकनी खूँटियों पर से या चिकने छल्ले में से जाती डोरी में तनाव सर्वत्र समान है; ऐसी डोरी पर लटके भार W के छल्ले के लिए W δ(छल्ले की गहराई) = T δ(डोरी की लंबाई)।

प्रत्यास्थ डोरियाँ: तनाव T = λ(L − L₀)/L₀ कल्पित कार्य −T δL करता है; समतुल्य रूप से स्थितिज ऊर्जा में प्रत्यास्थ ऊर्जा λ(L − L₀)²/(2L₀) जोड़ें।

लोटन प्रतिबंध की उपपत्ति: माना ऊपरी पिंड (स्पर्श पर वक्रता त्रिज्या ρ) स्थिर निचले पिंड (त्रिज्या ρ′) पर बिना फिसले लुढ़कता है; यदि वक्रता केंद्रों की रेखा φ घूमे, तो समान चाप ρ′φ = ρψ से ऊपरी पिंड का कुल घूर्णन χ = φ + ψ = φ(ρ + ρ′)/ρ होता है।

निचले वक्रता केंद्र से G की ऊँचाई z = (ρ + ρ′) cos φ − (ρ − h) cos χ ≈ (ρ′ + h) − (ρ + ρ′)φ²/2 + (ρ − h)(ρ + ρ′)²φ²/(2ρ²) है।

z का φ = 0 पर न्यूनतम है यदि (ρ − h)(ρ + ρ′) > ρ², अर्थात h < ρρ′/(ρ + ρ′), समतुल्य रूप से 1/h > 1/ρ + 1/ρ′ (उदाहरण 16)।

रुक्ष आनत समतल पर पिंड: स्पर्श में त्रिज्या a के गोलीय पृष्ठ वाला पिंड तभी विराम में रहता है जब उसका गुरुत्व केंद्र स्पर्श बिंदु के ठीक ऊपर हो (और घर्षण उसे थाम सके, अर्थात μ ≥ tan(झुकाव)); उस पृष्ठ के केंद्र से G की दूरी d हो तो इसके लिए sin(झुकाव) ≤ d/a चाहिए।

9. व्युत्पत्ति: कल्पित कार्य से साम्य क्यों मिलता है

कण: यदि ΣF = 0 तो प्रत्येक δr के लिए ΣF·δr = 0; विलोमतः, δr को क्रमशः i, j, k के अनुदिश लेने पर ΣX = ΣY = ΣZ = 0।

दृढ़ पिंड: दृढ़ पिंड का लघु विस्थापन एक स्थानांतरण δa और एक लघु घूर्णन δθ का योग है, अतः r पर स्थित बिंदु δr = δa + δθ × r खिसकता है।

तब ΣF·δr = (ΣF)·δa + Σ F·(δθ × r) = R·δa + δθ·Σ(r × F) = R·δa + G·δθ।

यह सभी δa और δθ के लिए शून्य है यदि और केवल यदि R = 0 और G = 0, जो ठीक साम्य के प्रतिबंध हैं; आंतरिक बल युग्मों में निरस्त हो जाते हैं क्योंकि दृढ़ पिंड के दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलती।

10. व्युत्पत्ति: ऊर्जा परीक्षण तथा पिच

ऊर्जा परीक्षण: साम्य θ₀ के निकट V(θ) ≈ V(θ₀) + (1/2)V″(θ₀)(θ − θ₀)², और गतिज ऊर्जा (1/2)Iθ̇² के साथ गति समीकरण Iθ̈ = −V″(θ₀)(θ − θ₀) है।

यदि V″(θ₀) > 0 तो यह θ₀ के परितः SHM है (स्थायी), आवर्तकाल 2π√(I/V″(θ₀)); यदि V″(θ₀) < 0 तो हल चरघातांकी रूप से बढ़ते हैं (अस्थायी)।

पिच और केंद्रीय अक्ष: ऐसा आधार बिंदु r खोजें जहाँ बलयुग्म G − r × R, R के समांतर हो, मान लें pR के बराबर; R से अदिश गुणन करने पर r × R हट जाता है और p = G·R/|R|² मिलता है।

G − r × R = pR को घटकों में लिखने पर L − (yZ − zY) = pX इत्यादि, जो केंद्रीय अक्ष का समीकरण है; यह R के समांतर एक सरल रेखा है, और इसके परितः बलयुग्म का परिमाण न्यूनतम |G·R|/|R| होता है।

11. विधि का चयन

यदि चिकने जोड़ वाली छड़ों, डोरियों या ढाँचों के निकाय की एक स्वातंत्र्य कोटि हो और तनाव, प्रणोद या साम्य स्थिति पूछी जाए → एक निर्देशांक θ के साथ कल्पित कार्य।

यदि किसी चिकने संपर्क या जोड़ पर प्रतिक्रिया पूछी जाए → वियोजन और आघूर्ण अधिक सीधे हैं, क्योंकि कल्पित कार्य का सिद्धांत ठीक इन्हीं बलों को छिपाता है (या बंधन तोड़ें ताकि प्रतिक्रिया कार्य करे)।

यदि साम्य की प्रकृति पूछी जाए → V(θ) लिखें, V′ = 0 हल करें, और V″ का चिह्न जाँचें; वक्र सतह पर डोलते पिंड के लिए सीधे 1/h परीक्षण लें।

यदि बल समष्टि में दी गई रेखाओं के अनुदिश कार्य करें → उन्हें मूल बिंदु पर R और G में समानीत करें, फिर p = G·R/|R|² और केंद्रीय अक्ष ज्ञात करें; निकाय ठीक तब एकल बल है जब R ≠ 0 के साथ G·R = 0।

12. सामान्य गलतियाँ

भार के कल्पित कार्य का चिह्न गलत लेना: ऊपर की ओर मापे z के साथ यह −W δz है, या नीचे की ओर मापी गहराई के साथ +W δ(गहराई); एक ही समीकरण में दोनों परिपाटियाँ मिलाना सबसे सामान्य त्रुटि है।

आंतरिक बल का चिह्न गलत लेना: लंबाई l की डोरी में तनाव T का योगदान −T δl है, छड़ में प्रणोद का +T δl।

किसी राशि को θ के पदों में व्यक्त किए बिना उसका विचरण करना, या विस्थापन से बदलने वाली लंबाई को अचर मानना।

V″ = 0 से उदासीन साम्य निष्कर्षित करना; उच्च अवकलज देखें (स्थायित्व के लिए प्रथम शून्येतर अवकलज सम कोटि का और धनात्मक होना चाहिए)।

डोलते पिंड के परीक्षण में h को संपर्क बिंदु के स्थान पर वक्र सतह के केंद्र से मापना, या ρ के लिए व्यास लेना।

13. अन्य अध्यायों से संबंध

संबंध: कल्पित कार्य में विपरीत प्रभावी बल −m d²r/dt² जोड़ने पर डी'एलम्बर्ट सिद्धांत मिलता है, जिससे लैग्रांज समीकरण व्युत्पन्न होते हैं (अध्याय 14)।

संबंध: ऊर्जा परीक्षण न्यूनतम के लिए द्वितीय अवकलज परीक्षण है (अध्याय 3); अनेक निर्देशांकों के साथ यह इस प्रतिबंध में बदल जाता है कि V का हेसियन धनात्मक निश्चित हो, जो रैखिक बीजगणित (अध्याय 2) का द्विघात रूप प्रश्न है।

संबंध: केंद्रीय अक्ष सममित रूप में लिखी समष्टि की एक सरल रेखा है, जैसा अध्याय 4 में।

14. हल किए गए UPSC प्रश्न

उदाहरण 8 (UPSC 2014, 10 अंक): दो बराबर एकसमान दंड AB तथा AC, प्रत्येक l लंबे, A पर मुक्त रूप से जुड़े हैं तथा त्रिज्या r के चिकने नियत ऊर्ध्वाधर वृत्त पर टिके हैं। यदि दंडों के बीच कोण 2θ है, तो कल्पित कार्य सिद्धांत के प्रयोग से l, r तथा θ में संबंध ज्ञात कीजिए।

माना O वृत्त का केंद्र है; सममिति से A, O के ठीक ऊपर है और प्रत्येक दंड वृत्त को स्पर्श करता है तथा ऊर्ध्वाधर से कोण θ बनाता है।

O से प्रत्येक दंड की दूरी r है, अतः OA = r cosec θ, और प्रत्येक दंड का मध्य बिंदु A से (l/2) cos θ नीचे है।

O से गुरुत्व केंद्रों की ऊँचाई: z = r cosec θ − (l/2) cos θ।

चिकने वृत्त की और जोड़ पर की प्रतिक्रियाएँ कार्य नहीं करतीं, अतः कल्पित कार्य −2W δz = 0 से dz/dθ = −r cos θ/sin²θ + (l/2) sin θ = 0।

उत्तर: l sin³θ = 2r cos θ।

उदाहरण 9 (UPSC 2014, 20 अंक): एक सम पंचभुज (रेग्यूलर पैंटागन) ABCDE बराबर भारी एकसमान छड़ों को जोड़कर बनाया हुआ है, जोड़ A से लटक रहा है तथा BC एवं DE के मध्य बिन्दुओं को जोड़ते हुए एक हल्की छड़ के द्वारा वह अपने रूप में अनुरक्षित है। इस छड़ में प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

माना प्रत्येक छड़ की लंबाई 2a और भार W है; सममिति से AB, AE ऊर्ध्वाधर से कोण θ, BC, ED कोण φ बनाती हैं और CD क्षैतिज है; सम पंचभुज के लिए θ = 54° और φ = 18°।

संवरण: C पर अर्ध-चौड़ाई a है, अतः 2a sin θ − 2a sin φ = a, जिससे cos θ δθ = cos φ δφ।

A से गहराइयाँ: AB, AE की a cos θ; BC, ED की 2a cos θ + a cos φ; CD की 2a cos θ + 2a cos φ; कुल z = 8a cos θ + 4a cos φ।

हल्की छड़ BC और DE के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है, अतः उसकी लंबाई L = 2(2a sin θ − a sin φ), और δL = 4a cos θ δθ − 2a cos φ δφ = 2a cos θ δθ।

छड़ में प्रणोद T लेने पर W δz + T δL = 0: −W(8a sin θ + 4a sin φ cos θ/cos φ)δθ + 2aT cos θ δθ = 0।

अतः T = W(4 tan θ + 2 tan φ) = 2W(2 tan 54° + tan 18°) = 2W cot 18°, जहाँ cot x − tan x = 2 cot 2x का प्रयोग हुआ।

उत्तर: छड़ संपीडन में है, प्रणोद 2W cot 18° ≈ 6.16W, जहाँ W एक छड़ का भार है।

उदाहरण 10 (UPSC 2016, 20 अंक): एक वर्ग ABCD, जिसके प्रत्येक भुजा की लम्बाई a है, को एक ऊर्ध्व तल (vertical plane) में स्थिर (fixed) किया जाता है, जिसकी दो भुजाएँ क्षैतिज हैं। एक अन्तहीन धागा (endless string), जिसकी लंबाई l (> 4a) है, बोर्ड के कोणों पर स्थित चार खूँटियों के ऊपर से एक रिंग (ring) के द्वारा गुजरता है। रिंग का भार W है और यह ऊर्ध्व दिशा में लटक रहा है। दर्शाइये कि धागे का तनाव W(l − 3a)/(2√(l² − 6la + 8a²)) है।

डोरी ऊपर की खूँटियों A, B पर से, ऊर्ध्वाधर भुजाओं के साथ D, C तक, और निचली खूँटियों से छल्ले तक जाती है; अतः DC के नीचे लंबाई l − 3a है और प्रत्येक तिरछे भाग की लंबाई s = (l − 3a)/2 है।

माना छल्ला DC से x गहराई पर है; तब s² = x² + a²/4।

डोरी को खिंचने देकर कल्पित कार्य: W δx − T δ(2s) = 0, और δs = (x/s) δx, अतः T = Ws/(2x)।

यहाँ x = √(s² − a²/4) = (1/2)√((l − 3a)² − a²) = (1/2)√(l² − 6la + 8a²)।

उत्तर: T = W(l − 3a)/(2√(l² − 6la + 8a²)); छल्ले पर ऊर्ध्वाधर वियोजन 2T(x/s) = W इसकी पुष्टि करता है।

उदाहरण 11 (UPSC 2020, 20 अंक): (i) चार एकसमान भारी छड़, जो समान भार W की हैं, एक वर्ग के रूप में ढाँचा बनाते हुए जुड़ी हैं। यह एक कोने से टँगा हुआ है। भार W तीनों नीचे वाले हरेक कोने से लटकाए हैं। वर्ग का आकार एक हल्की छड़, जो क्षैतिज विकर्ण के अनुदिश है, द्वारा रक्षित किया गया है। उस हल्की छड़ पर प्रणोद निकालिए।

माना प्रत्येक छड़ की लंबाई 2a और भार W है, वर्ग A से लटका है जहाँ ∠BAD = 2θ और BD क्षैतिज है, तथा B, C और D पर भार W लटके हैं।

A से गहराइयाँ: AB, AD के मध्य बिंदु a cos θ पर और BC, CD के 3a cos θ पर; B और D, 2a cos θ पर; C, 4a cos θ पर।

(भार × गहराई) का योग = W(2a + 6a) cos θ + W(4a + 4a) cos θ = 16Wa cos θ, और BD = 4a sin θ।

BD में प्रणोद T लेने पर: δ(16Wa cos θ) + T δ(4a sin θ) = 0, अर्थात −16Wa sin θ + 4aT cos θ = 0, अतः T = 4W tan θ।

उत्तर: वर्ग के लिए θ = 45°, अतः हल्की छड़ में प्रणोद 4W है।

उदाहरण 12 (UPSC 2022, 15 अंक): n बराबर एकसमान छड़ों की एक शृंखला एक-दूसरे के साथ चिकने रूप से जुड़ी हुई है तथा इसके एक सिरे A₁ से लटकी हुई है। एक क्षैतिज बल P शृंखला के दूसरे सिरे A_n+1 पर लगाया गया है। साम्य विन्यास में अधोमुखी ऊर्ध्वाधर रेखा से छड़ों के झुकाव ज्ञात कीजिए।

माना प्रत्येक छड़ की लंबाई 2a और भार W है, तथा r-वीं छड़ A_rA_r+1 अधोमुखी ऊर्ध्वाधर से कोण θ_r बनाती है।

A₁ से छड़ r के मध्य बिंदु की गहराई: 2a(cos θ₁ + ... + cos θ_r−1) + a cos θ_r; A₁ से A_n+1 की क्षैतिज दूरी: x = 2a Σ sin θ_r।

कल्पित कार्य: W δ(गहराइयों का योग) + P δx = 0, और कोण θ_r स्वतंत्र रूप से बदले जा सकते हैं।

cos θ_r छड़ r की गहराई में (गुणांक a) और उसके नीचे की n − r छड़ों की गहराई में (प्रत्येक 2a) आता है, अतः δθ_r का गुणांक −Wa(2n − 2r + 1) sin θ_r + 2aP cos θ_r = 0 देता है।

उत्तर: r = 1, 2, ..., n के लिए tan θ_r = 2P/((2n − 2r + 1)W), अतः tan θ₁ : tan θ₂ : ... : tan θ_n = 1/(2n − 1) : 1/(2n − 3) : ... : 1/1।

उदाहरण 13 (UPSC 2024, 15 अंक): लम्बाई l की छः हल्की छड़ों द्वारा निर्मित एक सम चतुष्फलक एक चिकने क्षैतिज समतल पर रखा है। W भार तथा r त्रिज्या का एक छल्ला तिर्यक् भुजाओं द्वारा आलम्बित है। कल्पित कार्य सिद्धान्त का उपयोग करते हुए किसी भी एक क्षैतिज भुजा में प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

माना क्षैतिज भुजाओं की लंबाई x है (कल्पित विस्थापन में ये खिंच सकती हैं, अतः प्रत्येक को उसके तनाव T से बदलें), तिरछी भुजाएँ लंबाई l रखती हैं, और R = x/√3 ऊर्ध्वाधर अक्ष से आधार-शीर्षों की दूरी है।

शीर्ष ऊँचाई H = √(l² − R²) पर है, और शीर्ष से D गहराई पर तिरछी भुजा का बिंदु अक्ष से RD/H दूरी पर है।

छल्ला तीनों तिरछी भुजाओं के चारों ओर उस स्तर पर टिकता है जहाँ यह दूरी r हो, अर्थात D = rH/R, अतः उसकी ऊँचाई z = H(1 − r/R) है।

कल्पित कार्य: −W δz − 3T δx = 0, अतः T = −(W/3) dz/dx = −(W/(3√3)) dz/dR।

dz/dR = −(R − r)/H + rH/R²; सम चतुष्फलक के लिए R = l/√3 और H = l√(2/3), अतः dz/dR = −(l − √3r)/(√2l) + √6r/l = −(l − 3√3r)/(√2l)।

अतः T = W(l − 3√3r)/(3√6 l)।

उत्तर: प्रत्येक क्षैतिज भुजा में तनाव W(l − 3√3r)/(3√6 l) है; यदि r > l/(3√3) तो यह प्रणोद है।

उदाहरण 14 (UPSC 2026, 10 अंक): परिक्रमण का एक चिकना परवलयज इस प्रकार स्थित है कि उसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है तथा शीर्ष ऊपर की ओर है; इस पर 2πb अतानित लंबाई की एक भारी प्रत्यास्थ डोरी रखी है। जब डोरी संतुलन में हो, तो कल्पित कार्य का सिद्धांत (नियम) लागू करके यह दर्शाइए कि यह 4πabλ/(4πaλ − Wb) त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में है, जहाँ W डोरी का भार है, λ प्रत्यास्थता गुणांक है तथा 4a जनक परवलय का नाभिलंब है।

माना डोरी त्रिज्या x के क्षैतिज वृत्त के रूप में टिकी है; जनक परवलय (शीर्ष ऊपर, नाभिलंब 4a) x² = 4ad है, जहाँ d शीर्ष से गहराई है, अतः डोरी ऊँचाई −x²/(4a) पर है।

इसकी खिंची लंबाई 2πx है, अतः तनाव T = λ(2πx − 2πb)/(2πb) = λ(x − b)/b है।

परिवर्तन δx के लिए कल्पित कार्य (चिकना पृष्ठ कार्य नहीं करता): −W δ(−x²/(4a)) − T δ(2πx) = 0, अर्थात Wx/(2a) = 2πλ(x − b)/b।

अतः 4πaλ(x − b) = Wbx, अर्थात x(4πaλ − Wb) = 4πabλ।

उत्तर: त्रिज्या x = 4πabλ/(4πaλ − Wb) है, जिसके लिए 4πaλ > Wb चाहिए।

उदाहरण 15 (UPSC 2017, 17 अंक): एक एकसमान अर्धगोला, क्षैतिज से φ कोण पर झुके हुए रुक्ष समतल पर अपने वक्रीय पृष्ठ को समतल से स्पर्श करते हुए रखा है। सन्तुलन के लिए φ का अधिकतम ग्राह्य मान निकालिए। यदि φ का मान इससे कम है तब क्या यह साम्यावस्था स्थिर है?

माना O केंद्र और a त्रिज्या है; G अक्ष पर OG = 3a/8 पर है, और स्पर्श बिंदु P, O से समतल पर अभिलंब का पाद है, अतः OP ऊर्ध्वाधर से कोण φ बनाता है।

केवल भार और P पर प्रतिक्रिया कार्य करते हैं, अतः G, P के ठीक ऊपर होना चाहिए: P से O का क्षैतिज विस्थापन a sin φ, OG द्वारा निरस्त होना चाहिए, अतः (3a/8) sin β = a sin φ, जहाँ β, OG का ऊर्ध्वाधर से कोण है।

इसके लिए sin φ ≤ 3/8 चाहिए, अतः अधिकतम झुकाव sin⁻¹(3/8) ≈ 22° है, बशर्ते घर्षण पिंड को रोक सके (μ ≥ tan φ, जो सीमा पर μ ≥ 3/√55 है)।

स्थायित्व: यदि पिंड समतल पर नीचे की ओर छोटे कोण χ से लुढ़के, तो O समतल के समांतर aχ चलता है, और G की ऊँचाई z(χ) = अचर − aχ sin φ − (3a/8) cos(β + χ) है।

χ = 0 पर dz/dχ = 0 पुनः sin β = (8/3) sin φ देता है, और d²z/dχ² = (3a/8) cos β > 0, क्योंकि G, O के नीचे है (β न्यून कोण)।

उत्तर: अधिकतम झुकाव sin⁻¹(3/8) है; φ इससे कम हो तो साम्यावस्था स्थायी है।

उदाहरण 16 (UPSC 2022, 15 अंक): माना किसी भी अनुप्रस्थ-काट का एक बेलन दूसरे स्थिर बेलन पर संतुलित है, जहाँ वक्रीय पृष्ठों का संस्पर्श रूक्ष है तथा उभयनिष्ठ स्पर्श-रेखा क्षैतिज है। माना दोनों बेलनों के स्पर्श बिन्दु पर उनकी वक्रता त्रिज्याएँ ρ तथा ρ′ हैं और संस्पर्श बिन्दु से ऊपरी बेलन के गुरुत्व केन्द्र की ऊँचाई h है। दर्शाइए कि स्थायी साम्य में ऊपरी बेलन संतुलित है यदि h < ρρ′/(ρ + ρ′)।

माना O′ निचले बेलन (त्रिज्या ρ′) का स्थिर वक्रता केंद्र और O ऊपरी (त्रिज्या ρ) का है; आरंभ में O, G, स्पर्श बिंदु और O′ एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर हैं, और G स्पर्श से h ऊँचाई पर है।

माना ऊपरी बेलन (रुक्ष स्पर्श, बिना फिसले) तब तक लुढ़कता है जब तक O′O ऊर्ध्वाधर से छोटा कोण φ न बनाए; समान चाप ρ′φ = ρψ का अर्थ है कि ऊपरी पिंड χ = φ + ψ = φ(ρ + ρ′)/ρ घूम गया।

G, O से होकर पिंड की रेखा पर O से ρ − h दूरी पर है, और वह रेखा χ घूम चुकी है, अतः O′ से G की ऊँचाई z = (ρ + ρ′) cos φ − (ρ − h) cos χ है।

छोटे φ के लिए: z ≈ (ρ′ + h) − [(ρ + ρ′) − (ρ − h)(ρ + ρ′)²/ρ²]φ²/2।

साम्य स्थायी है यदि φ = 0 पर z न्यूनतम हो, अर्थात (ρ − h)(ρ + ρ′) > ρ², जो सरल होकर ρρ′ > h(ρ + ρ′) है।

उत्तर: ऊपरी बेलन स्थायी साम्य में है यदि h < ρρ′/(ρ + ρ′), और अस्थायी यदि h > ρρ′/(ρ + ρ′)।

उदाहरण 17 (UPSC 2024, 10 अंक): एक ठोस गोले के ऊपर समान त्रिज्या का एक ठोस गोलार्ध साम्यावस्था में रखा है। दो स्थितियों में — (i) जब गोलार्ध का वक्रीय पृष्ठ तथा (ii) जब गोलार्ध का समतलीय पृष्ठ गोले पर स्थित है, साम्यावस्था का स्थायित्व ज्ञात कीजिए।

माना उभयनिष्ठ त्रिज्या r है और §2 का नियम लें: स्थायी यदि 1/h > 1/ρ₁ + 1/ρ₂, जहाँ h स्पर्श बिंदु से G की ऊँचाई है (रुक्ष स्पर्श मानकर)।

(i) वक्र पृष्ठ नीचे: ρ₁ = ρ₂ = r और h = r − 3r/8 = 5r/8, अतः 1/h = 8/(5r) = 1.6/r, जो 2/r से कम है: अस्थायी।

(ii) समतल पृष्ठ नीचे: ρ₁ = ∞, ρ₂ = r और h = 3r/8, अतः 1/h = 8/(3r) > 1/r: स्थायी।

उत्तर: (i) अस्थायी; (ii) स्थायी।

उदाहरण 18 (UPSC 2025, 15 अंक): एक ठोस गोला अपनी त्रिज्या से दुगुनी त्रिज्या के स्थिर रूक्ष अर्धगोलीय कटोरे में रखा हुआ है। यदि एक बड़ा भार, कितना भी हो, गोले के सबसे ऊँचे बिंदु पर जुड़ा है, तो दर्शाइए कि संतुलन स्थिर है।

माना गोले की त्रिज्या a और भार W है, कटोरे की त्रिज्या 2a और केंद्र O है, और गोले के उच्चतम बिंदु P पर भार W′ जुड़ा है।

गोले के लुढ़कने पर उसका केंद्र C, O के परितः त्रिज्या a के वृत्त पर चलता है; माना OC अधोमुखी ऊर्ध्वाधर से कोण φ बनाता है, अतः ऊर्ध्वाधर तल में C = O + a(sin φ, −cos φ)।

कटोरे के भीतर बिना फिसले लुढ़कना गोले को विपरीत दिशा में (2a − a)φ/a = φ घुमाता है, अतः त्रिज्या CP, जो आरंभ में ऊर्ध्वाधर थी, a(sin φ, cos φ) हो जाती है और P = O + (2a sin φ, 0)।

अतः प्रत्येक φ के लिए P, O के स्तर पर रहता है (वह कटोरे के एक क्षैतिज व्यास के अनुदिश चलता है), और स्थितिज ऊर्जा V = −Wa cos φ + W′ × 0 है।

W′ चाहे जो हो, V का φ = 0 पर न्यूनतम है, अतः W′ कितना भी बड़ा हो साम्य स्थायी है।

अवतल पृष्ठ के भीतर पिंड के नियम से जाँच: 1/h > 1/ρ₁ − 1/ρ₂ = 1/(2a) के लिए h < 2a चाहिए, और h = (Wa + 2aW′)/(W + W′) सदैव 2a से कम है।

उत्तर: किसी भी जुड़े भार के लिए साम्य स्थायी है।

उदाहरण 19 (UPSC 2026, 15 अंक): l लंबाई तथा W भार की एक एकसमान छड़ AB है, जो अपनी लंबाई में बिंदु A से l/3 दूरी पर स्थित एक निश्चित बिंदु के परितः स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। AC तथा BC दो हल्की डोरियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई (5/6)l है और जो w भार के एक कण C से जुड़ी है। सिद्ध कीजिए कि यदि W, 2w से कम है, तो स्थायी संतुलन की स्थिति होगी, जिसमें AB क्षैतिज से tan⁻¹((W + w)/(4w)) कोण पर झुकी होगी।

माना O स्थिर बिंदु है (OA = l/3, OB = 2l/3) और AB क्षैतिज से कोण θ बनाती है, θ > 0 पर B ऊँचा है; छड़ का मध्य बिंदु G, O से B की ओर l/6 पर है।

त्रिभुज ACB में AC = BC = 5l/6 और AB = l, अतः C, G से √(25l²/36 − l²/4) = 2l/3 दूरी पर AB के लंब पर उसके नीचे है।

दोनों डोरियाँ तनी रहने तक निकाय दृढ़ है; O से ऊँचाइयाँ: z_G = (l/6) sin θ और z_C = (l/6) sin θ − (2l/3) cos θ।

V = (W + w)(l/6) sin θ − (2l/3)w cos θ, और dV/dθ = (W + w)(l/6) cos θ + (2l/3)w sin θ = 0 से tan θ = −(W + w)/(4w): AB, α = tan⁻¹((W + w)/(4w)) पर झुकी है, B नीचे।

θ = −α पर d²V/dθ² = (W + w)(l/6) sin α + (2l/3)w cos α > 0, अतः यह साम्य स्थायी है।

दोनों डोरियाँ तभी तनी रहती हैं जब C से ऊर्ध्वाधर रेखा AB को A और B के बीच काटे; C, O से क्षैतिज दूरी (l/6) cos α − (2l/3) sin α पर है, और यह −(l/3) cos α पर स्थित A से आगे नहीं है केवल यदि tan α ≤ 3/4।

tan α = (W + w)/(4w) < 3/4 ठीक W < 2w है।

उत्तर: यदि W < 2w, तो स्थायी स्थिति में AB क्षैतिज से tan⁻¹((W + w)/(4w)) पर झुकी है; यदि W > 2w तो एक डोरी ढीली हो जाएगी।

15. अभ्यास प्रश्न

अभ्यास 1 (मूल): किसी निकाय की स्थितिज ऊर्जा V(θ) = θ³ − 3θ है। उसकी साम्य स्थितियाँ और उनकी प्रकृति ज्ञात करें।

उत्तर: V′ = 3θ² − 3 = 0 से θ = ±1; V″ = 6θ, अतः θ = 1 स्थायी और θ = −1 अस्थायी है।

अभ्यास 2 (मूल): कोई बल-निकाय मूल बिंदु पर R = (2, 1, 2) और G = (1, 0, 1) में समानीत होता है। पिच ज्ञात करें और बताएँ कि क्या निकाय का एकल परिणामी है।

उत्तर: p = R·G/R·R = 4/9 ≠ 0, अतः यह वास्तविक रिंच है और इसका एकल परिणामी नहीं है।

अभ्यास 3 (मूल): समतल आधार वाला पिंड त्रिज्या 20 cm के स्थिर खुरदरे गोले के शीर्ष पर टिका है, उसका गुरुत्व केंद्र संपर्क बिंदु से 15 cm ऊपर है। क्या साम्य स्थायी है?

उत्तर: हाँ: ρ₁ = ∞, अतः परीक्षण 1/15 > 1/20 है, जो सत्य है (समतुल्य रूप से h < ρ₂)।

अभ्यास 4 (मानक): भार W और लंबाई 2a की चार समान एकसमान छड़ें चिकने जोड़ों से समचतुर्भुज ABCD बनाती हैं, जो A से लटका है और हल्की डोरी AC से आकार में रखा गया है। डोरी में तनाव ज्ञात करें।

उत्तर: ∠BAC = θ लेने पर केंद्रों की कुल गहराई 8a cos θ और AC = 4a cos θ है; W δ(8a cos θ) − T δ(4a cos θ) = 0 से T = 2W, कोण कुछ भी हो।

अभ्यास 5 (मानक): भार W का चिकना छल्ला लंबाई 2l की हल्की अवितान्य डोरी पर फिसलता है, जिसके सिरे समान स्तर पर 2a दूर स्थित दो बिंदुओं पर बँधे हैं। कल्पित कार्य से तनाव ज्ञात करें।

उत्तर: माना प्रत्येक अर्ध की लंबाई s है, तो छल्ले की गहराई z = √(s² − a²); W δz − T δ(2s) = 0 से T = Ws/(2z) = Wl/(2√(l² − a²))।

अभ्यास 6 (मानक): लंबाई 2a और भार W की एकसमान छड़ AB, A पर चिकने कब्ज़े के परितः घूमती है; B से बँधी हल्की डोरी A के ठीक ऊपर स्थित चिकनी खूँटी C पर से जाती है, जहाँ AC = 2a, और एक लटका भार P < W उठाती है। θ = ∠BAC लेकर साम्य स्थितियाँ और उनका स्थायित्व ज्ञात करें।

उत्तर: BC = 4a sin(θ/2), अतः V = Wa cos θ + 4Pa sin(θ/2); V′ = 0 से θ = π, जो स्थायी है (V″ = (W − P)a > 0), और sin(θ/2) = P/W, जो अस्थायी है (V″ = −a(W² − P²)/W < 0)।

अभ्यास 7 (मानक): बल F, x-अक्ष के अनुदिश और समान बल F, (0, a, 0) से होकर z-अक्ष के समांतर रेखा के अनुदिश लगता है। निकाय का पिच और केंद्रीय अक्ष ज्ञात करें।

उत्तर: R = (F, 0, F) और G = (aF, 0, 0), अतः p = aF²/(2F²) = a/2; केंद्रीय अक्ष x = z, y = a/2 है, और रिंच उसके अनुदिश F√2 बल तथा (a/2)F√2 बलयुग्म है।

अभ्यास 8 (UPSC स्तर): भार W और लंबाई 2a की तीन समान एकसमान छड़ें AB, BC, CD, B और C पर चिकने जोड़ों से जुड़ी हैं और ऊर्ध्वाधर समतल में खड़ी हैं, A और D चिकनी क्षैतिज मेज़ पर, BC क्षैतिज और AB, DC प्रत्येक ऊर्ध्वाधर से θ पर बाहर की ओर झुकी; A और D एक हल्की डोरी से जुड़े हैं। कल्पित कार्य से उसका तनाव ज्ञात करें।

उत्तर: केंद्रों की ऊँचाइयों का योग 4a cos θ है (दो बार a cos θ और एक बार 2a cos θ) और AD = 2a + 4a sin θ; −W δ(4a cos θ) − T δ(4a sin θ) = 0 से T = W tan θ।

अभ्यास 9 (UPSC स्तर): एक खिलौना त्रिज्या r और लंबाई L के एकसमान ठोस बेलन तथा उसी त्रिज्या और पदार्थ के एकसमान ठोस अर्धगोले को उनके उभयनिष्ठ वृत्तीय फलक पर जोड़कर बना है; यह अर्धगोले के बल खुरदरे क्षैतिज समतल पर टिका है। वह अधिकतम L ज्ञात करें जिसके लिए सीधी स्थिति स्थायी हो।

उत्तर: G उभयनिष्ठ फलक के केंद्र O के नीचे होना चाहिए: (2/3)r³(3r/8) > r²L(L/2), अर्थात L < r/√2।

अभ्यास 10 (UPSC स्तर): अभ्यास 4 में डोरी AC को प्राकृतिक लंबाई 2a और प्रत्यास्थता मापांक λ वाली प्रत्यास्थ डोरी से बदला जाता है। साम्य में कोण ∠BAC और ऐसी स्थिति के अस्तित्व के लिए λ पर प्रतिबंध ज्ञात करें।

उत्तर: तनाव अब भी 2W होना चाहिए, अतः λ(4a cos θ − 2a)/(2a) = 2W, जिससे cos θ = (λ + 2W)/(2λ); इसके लिए λ > 2W आवश्यक है।

1. सरल रेखीय गति, SHM और प्रत्यास्थ डोरियाँ

प्रश्न 1 (10 अंक): SHM में चलते कण की केंद्र से 3 cm और 4 cm दूरियों पर चालें 8 cm/s और 6 cm/s हैं। आयाम, आवर्तकाल और अधिकतम चाल ज्ञात कीजिए।

v² = μ(a² − x²) से 64 = μ(a² − 9) और 36 = μ(a² − 16)।

घटाने पर 28 = 7μ, अतः μ = 4; तब a² − 9 = 16 और a = 5 cm।

आवर्तकाल T = 2π/√μ = π s; अधिकतम चाल a√μ = 10 cm/s, केंद्र पर।

उत्तर: आयाम 5 cm, आवर्तकाल π s ≈ 3.14 s, अधिकतम चाल 10 cm/s।

प्रश्न 2 (15 अंक): एक कण चाल u से ऊर्ध्वाधर ऊपर ऐसे माध्यम में प्रक्षेपित है जिसका प्रतिरोध प्रति एकांक द्रव्यमान kv² है। प्राप्त अधिकतम ऊँचाई और उस तक पहुँचने का समय ज्ञात कीजिए।

ऊपर जाते समय गुरुत्व और प्रतिरोध दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं: v dv/dx = −(g + kv²)।

समाकलन से x = (1/(2k)) log[(g + ku²)/(g + kv²)]; शीर्ष पर v = 0, अतः H = (1/(2k)) log(1 + ku²/g)।

समय के लिए dv/dt = −(g + kv²), अतः t = ∫₀^u dv/(g + kv²) = (1/√(gk)) tan⁻¹(u√(k/g))।

जाँच: k → 0 पर H → u²/(2g) और t → u/g, जो प्रतिरोध-रहित परिणाम हैं।

उत्तर: H = (1/(2k)) log(1 + ku²/g) और t = (1/√(gk)) tan⁻¹(u√(k/g))।

प्रश्न 3 (15 अंक): द्रव्यमान m का कण स्थिर बिंदु O से प्राकृतिक लंबाई a और मापांक mg की हल्की प्रत्यास्थ डोरी द्वारा विराम में लटका है। इसे 2a और नीचे खींचकर छोड़ा जाता है। O से ऊपर वह कितनी ऊँचाई तक उठता है और उसमें कितना समय लगता है, ज्ञात कीजिए।

साम्य प्रसार e = mga/(mg) = a, अतः साम्य स्थिति O से 2a नीचे है, और डोरी तनी रहने तक गति SHM है जिसमें μ = g/a और आयाम 2a।

डोरी अपनी प्राकृतिक लंबाई पर, साम्य स्थिति से a ऊपर, ढीली होती है; वहाँ v² = μ(4a² − a²) = 3ga।

SHM में समय: साम्य से ऊपर की ओर मापे गए x = −2a cos √μ t से x = a जब cos √μ t = −1/2, अतः t₁ = (2π/3)√(a/g)।

फिर यह स्वतंत्र रूप से v²/(2g) = 3a/2 उठता है, समय t₂ = v/g = √(3a/g) में, और O से 3a/2 − a = a/2 ऊपर पहुँचता है।

उत्तर: यह O से a/2 ऊपर तक, समय (2π/3 + √3)√(a/g) में उठता है।

2. समतल में गति और प्रक्षेप्य

प्रश्न 4 (10 अंक): एक कण के अरीय और अनुप्रस्थ वेग λr और μθ हैं, जहाँ λ, μ अचर हैं। उसके अरीय और अनुप्रस्थ त्वरण ज्ञात कीजिए।

dr/dt = λr और r dθ/dt = μθ, अतः dθ/dt = μθ/r और d²r/dt² = λ dr/dt = λ²r।

अरीय: a_r = d²r/dt² − r(dθ/dt)² = λ²r − μ²θ²/r।

अनुप्रस्थ: a_θ = (1/r) d/dt(r² dθ/dt) = (1/r) d/dt(μrθ) = (μ/r)(λrθ + μθ)।

उत्तर: a_r = λ²r − μ²θ²/r और a_θ = μθ(λ + μ/r)।

प्रश्न 5 (15 अंक): 30° झुके समतल के एक बिंदु से, महत्तम ढाल रेखा से जाने वाले ऊर्ध्व समतल में, एक कण 30 m/s चाल से प्रक्षेपित है (g = 10 m/s² लें)। समतल पर ऊपर की ओर अधिकतम परास के लिए प्रक्षेपण कोण, वह परास और उड़ान काल ज्ञात कीजिए।

समतल पर ऊपर की ओर परास अधिकतम है जब क्षैतिज से α = π/4 + β/2 = 45° + 15° = 60°।

R_max = u²/(g(1 + sin β)) = 900/(10 × 1.5) = 60 m।

R = 2u² cos α sin(α − β)/(g cos²β) = 2 × 900 × (1/2)(1/2)/(10 × 3/4) = 60 m से जाँच।

उड़ान काल T = 2u sin(α − β)/(g cos β) = 2 × 30 × (1/2)/(10 × √3/2) = 2√3 s।

उत्तर: क्षैतिज से α = 60°, अधिकतम परास 60 m, उड़ान काल 2√3 ≈ 3.46 s।

प्रश्न 6 (10 अंक): समतल भूमि के एक बिंदु से कोण α पर प्रक्षेपित गेंद क्षैतिज दूरी a पर स्थित ऊँचाई h की दीवार को ठीक पार करती है और दीवार के आगे दूरी b पर गिरती है। दिखाइए कि tan α = h(a + b)/(ab)।

परास R = a + b के साथ, पथ y = x tan α − gx²/(2u² cos²α) को y = x tan α (1 − x/R) लिखा जा सकता है, क्योंकि x = R पर y = 0।

दीवार का शीर्ष (a, h) पथ पर है: h = a tan α × b/(a + b)।

उत्तर: tan α = h(a + b)/(ab)।

3. व्यवरुद्ध गति, कार्य और ऊर्जा

प्रश्न 7 (10 अंक): लंबाई a की डोरी पर द्रव्यमान m का कण निम्नतम बिंदु से क्षैतिजतः चाल √(6ga) से प्रक्षेपित होकर ऊर्ध्व वृत्त में घूमता है। निम्नतम बिंदु, केंद्र के स्तर और उच्चतम बिंदु पर तनाव ज्ञात कीजिए।

निम्नतम बिंदु से मापे θ के साथ T = (m/a)(u² − 2ga + 3ga cos θ), और u² = 6ga > 5ga, अतः वृत्त पूरा होता है।

θ = 0: T = (m/a)(7ga) = 7mg; θ = π/2: T = (m/a)(4ga) = 4mg; θ = π: T = (m/a)(ga) = mg।

उत्तर: 7mg, 4mg और mg; वृत्त पूरा होने पर निम्नतम और उच्चतम तनावों का अंतर सदा 6mg होता है।

प्रश्न 8 (10 अंक): प्राकृतिक लंबाई a की हल्की प्रत्यास्थ डोरी का एक सिरा O पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर द्रव्यमान m का कण बँधा है। कण O से छोड़ा जाता है और पहली बार O से 3a गहराई पर विराम में आता है। डोरी का मापांक और अधिकतम तनाव ज्ञात कीजिए।

O से निम्नतम बिंदु तक कार्य-ऊर्जा (दोनों चालें शून्य): mg(3a) = λ(2a)²/(2a) = 2λa।

अतः λ = 3mg/2, और अधिकतम तनाव, प्रसार 2a पर, λ(2a)/a = 3mg।

उत्तर: मापांक 3mg/2, अधिकतम तनाव 3mg।

4. केंद्रीय कक्षाएँ

प्रश्न 9 (15 अंक): आकर्षण μ/r² के अधीन चलता कण दूरी R से चाल √(μ/R) से ऐसी दिशा में प्रक्षेपित है जो त्रिज्य सदिश से 30° बनाती है। दीर्घ अक्ष, उत्केंद्रता, एप्सीय दूरियाँ और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

v² = μ/R < 2μ/R, अतः कक्षा दीर्घवृत्त है; μ/R = μ(2/R − 1/a) से a = R, दीर्घ अक्ष 2R।

h = Rv sin 30° = (1/2)√(μR), अतः अर्ध-नाभिलंब l = h²/μ = R/4।

l = a(1 − e²) से 1 − e² = 1/4, अतः e = √3/2; एप्सीय दूरियाँ a(1 ± e) = R(1 ± √3/2)।

आवर्तकाल T = 2πa^3/2/√μ = 2πR^3/2/√μ।

उत्तर: दीर्घ अक्ष 2R, e = √3/2, एप्सीय दूरियाँ R(2 ± √3)/2, आवर्तकाल 2π√(R³/μ)।

प्रश्न 10 (15 अंक): एक कण प्रति एकांक द्रव्यमान केंद्रीय आकर्षण μ/r³ के अधीन चलता है। इसे दूरी a पर स्थित एप्स से चाल √(2μ)/a से प्रक्षेपित किया जाता है। पथ ज्ञात कीजिए।

एप्स पर वेग त्रिज्य के लंबवत है, अतः h = a × √(2μ)/a = √(2μ) और h² = 2μ।

P = μu³ से d²u/dθ² + u = μu³/(h²u²) = u/2, अतः d²u/dθ² + u/2 = 0।

u = A cos(θ/√2) + B sin(θ/√2); एप्स पर θ = 0 लेने पर u = 1/a और du/dθ = 0, अतः A = 1/a और B = 0।

अतः u = (1/a) cos(θ/√2); θ → π/√2 पर r → ∞, अतः कण अनंत की ओर चला जाता है।

उत्तर: r cos(θ/√2) = a।

प्रश्न 11 (10 अंक): एक उपग्रह पृथ्वी (आकर्षण μ/r²) के परितः त्रिज्या r के वृत्त में चलता है। उसकी चाल, दिशा बदले बिना, अचानक k गुना कर दी जाती है। k ज्ञात कीजिए ताकि नई कक्षा की अधिकतम दूरी 3r हो, तथा पलायन के लिए k का मान।

नई चाल k√(μ/r) है, जो अब भी त्रिज्य के लंबवत है, अतः r एक एप्स है (k > 1 पर निकटतम)।

अधिकतम दूरी 3r के लिए दीर्घ अक्ष 4r, अतः a = 2r; k²μ/r = μ(2/r − 1/(2r)) से k² = 3/2।

पलायन के लिए v² ≥ 2μ/r, अर्थात k ≥ √2 (k = √2 पर परवलय)।

उत्तर: k = √(3/2) ≈ 1.225; पलायन k ≥ √2 पर।

5. स्थैतिकी: घर्षण, कैटिनरी, कल्पित कार्य और स्थायित्व

प्रश्न 12 (15 अंक): लंबाई 2a और भार W की एकसमान सीढ़ी चिकनी ऊर्ध्व दीवार के सहारे 45° पर टिकी है और उसका पाद खुरदरे फ़र्श (μ = 0.6) पर है। भार W का एक व्यक्ति उस पर चढ़ता है। सीढ़ी फिसलने से पहले वह कितनी दूर तक चढ़ सकता है?

मान लें व्यक्ति पाद से दूरी x पर है; दीवार की प्रतिक्रिया S क्षैतिज है, फ़र्श R और दीवार की ओर घर्षण F देता है।

वियोजन: R = 2W और F = S। पाद के परितः आघूर्ण (ऊर्ध्वाधर से θ = 45°): S × 2a cos θ = W a sin θ + W x sin θ, अतः S = W(a + x)/(2a)।

न फिसलने के लिए F ≤ μR: W(a + x)/(2a) ≤ 0.6 × 2W, अतः a + x ≤ 2.4a और x ≤ 1.4a।

उत्तर: वह 1.4a दूरी, अर्थात सीढ़ी की लंबाई का 70%, चढ़ सकता है।

प्रश्न 13 (15 अंक): 100 m लंबी, w प्रति मीटर भार की एकसमान जंजीर समान स्तर के दो बिंदुओं के बीच लटकी है और मध्य में झोल 10 m है। प्राचल c, विस्तृति और आधारों पर तनाव ज्ञात कीजिए।

अर्ध-लंबाई l = 50 m, झोल h = 10 m; आधार पर y = c + h और s = l, अतः (c + h)² = c² + l²।

c = (l² − h²)/(2h) = (2500 − 100)/20 = 120 m।

अर्ध-विस्तृति x = c log[(s + y)/c] = 120 log(180/120) = 120 log 1.5 ≈ 48.66 m, अतः विस्तृति ≈ 97.31 m।

आधार पर तनाव T = wy = w(c + h) = 130w।

उत्तर: c = 120 m, विस्तृति = 240 log 1.5 ≈ 97.3 m, सिरों पर तनाव 130w (130 m जंजीर का भार)।

प्रश्न 14 (15 अंक): लंबाई 2a की एकसमान छड़ क्षैतिज किनारे वाले त्रिज्या r के चिकने अर्धगोलीय कटोरे में आंशिक रूप से टिकी है, निचला सिरा भीतरी सतह पर और छड़ किनारे पर टिकी है। कल्पित कार्य से दिखाइए कि साम्य में 2r cos 2θ = a cos θ, जहाँ θ क्षैतिज से छड़ का झुकाव है।

मान लें A निचला सिरा और C किनारे का बिंदु है; दोनों छड़ के ऊर्ध्व समतल के बृहत् वृत्त पर हैं, अतः जीवा AC = 2r cos θ।

A किनारे से AC sin θ = r sin 2θ नीचे है, और केंद्र G (A से दूरी a) A से a sin θ ऊपर है, अतः किनारे से G की गहराई z = r sin 2θ − a sin θ।

A और C पर चिकनी प्रतिक्रियाएँ कार्य नहीं करतीं, अतः कल्पित कार्य W δz = 0 से dz/dθ = 2r cos 2θ − a cos θ = 0।

4r cos²θ − a cos θ − 2r = 0 हल करने पर cos θ = [a + √(a² + 32r²)]/(8r)।

उत्तर: 2r cos 2θ = a cos θ, अतः cos θ = [a + √(a² + 32r²)]/(8r)।

प्रश्न 15 (10 अंक): किनारा 2b का एकसमान घन त्रिज्या r के स्थिर खुरदरे गोले के शीर्ष पर साम्य में टिका है, एक फलक का केंद्र गोले को स्पर्श करता है। स्थायित्व का प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।

ऊपरी पिंड का फलक समतल है, अतः ρ₁ = ∞; निचली सतह का ρ₂ = r; गुरुत्व केंद्र स्पर्श बिंदु से ऊँचाई h = b पर है।

स्थायित्व के लिए 1/h > 1/ρ₁ + 1/ρ₂, अर्थात 1/b > 1/r।

उत्तर: स्थायी यदि r > b (गोले की त्रिज्या किनारे के आधे से अधिक), अस्थायी यदि r < b।

1. सरल रेखीय गति तथा सरल आवर्त गति

2026 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 15 अंक: प्राकृतिक लंबाई l की एक हल्की प्रत्यास्थ डोरी का एक सिरा बिंदु A पर स्थिर है तथा दूसरा सिरा एक पत्थर (द्रव्यमान m) से जुड़ा है; संतुलन की स्थिति में इस पत्थर का भार डोरी को खींचकर b लंबाई तक बढ़ा देता है। दर्शाइए कि यदि पत्थर को बिंदु A से विराम अवस्था से गिराया जाए, तो वह √(2l/g) + √((b − l)/g) {π − cos⁻¹ √((b − l)/(b + l))} समय में संतुलन की स्थिति से √(b² − l²) नीचे तात्क्षणिक विराम अवस्था में आ जाएगा। यह भी सिद्ध कीजिए कि यदि A के नीचे अधिकतम गहराई l cot²(θ/2) है, तो प्रत्यास्थता गुणांक (1/2) mg tan² θ है।

2025 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: एक प्रत्यास्थ डोरी, जिसकी प्राकृतिक लंबाई a है, का एक छोर किसी बिंदु O पर स्थिर है और डोरी के दूसरे छोर पर एक भारी कण जुड़ा हुआ है। डोरी को ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर बिंदु C तक तब तक खींचा जाता है जब तक वह अपनी प्राकृतिक लंबाई से चार गुना न हो जाए तथा फिर छोड़ दिया जाता है। यदि डोरी का प्रत्यास्थता गुणांक कण के भार के बराबर है, तो दर्शाइए कि कण √(a/g) (2√3 + 4π/3) समय में उसी बिंदु C पर वापस आ जाएगा।

2024 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: सरल आवर्त गति में एक कण की दो स्थितियों में वेग u और v हैं तथा दो संगत त्वरण f₁ और f₂ हैं। k के किस मान/किन मानों के लिए दोनों स्थितियों के बीच की दूरी k(v² − u²) है? यह भी दर्शाइए कि गति का आयाम
[1/(f₂² − f₁²)] [(u² − v²)(u²f₂² − v²f₁²)]^1/2
है।

2023 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: कोई कण केन्द्र 'O' के सापेक्ष आवर्त काल T के साथ सरल आवर्त गति में गतिशील है। कण बिन्दु P से OP के अनुदिश दिशा में v वेग से गुजरता है तथा OP = p है। कण का बिन्दु P पर पुनः लौटने में लगा समय ज्ञात कीजिए। यदि लगा समय T/2 हो, तो p का मान क्या होगा?

2021 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: यदि एक ग्रह, जो सूर्य के परितः वृत्तीय कक्षा में परिभ्रमण करता है, अचानक अपनी कक्षा में रोक दिया जाता है, तो वह समय, जिसमें वह सूर्य में गिर जाएगा, ज्ञात कीजिए। इसके गिरने के समय का ग्रह के परिभ्रमण आवर्तकाल से अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 20 अंक: y-अक्ष की दिशा में गतिमान एक कण का मूलबिंदु की ओर त्वरण Fy है, जहाँ F, y का एक धनात्मक एवं सम फलन है। जब कण y = −a तथा y = a के बीच में कंपन करता है, तब उसका आवर्तकाल T है। दर्शाइए कि
2π/√F₁ < T < 2π/√F₂
जहाँ F₁ एवं F₂ परास [−a, a] में F के अधिकतम एवं न्यूनतम मान हैं। आगे दर्शाइए कि जब लंबाई l का एक सरल लोलक ऊर्ध्वाधर रेखा के किसी भी ओर 30° तक दोलन करता है, तब T, 2π√(l/g) तथा 2π√(l/g) √(π/3) के बीच में रहता है।

2018 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 12 अंक: एक कण, जो एक सरल रेखा में सरल आवर्त गति से चल रहा है, के पथ के केन्द्र से x₁ और x₂ की दूरी पर वेग क्रमशः v₁ और v₂ हैं। उसकी गति का आवर्तकाल ज्ञात कीजिये।

2016 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 15 अंक: एक कण एक सरल रेखा में गतिमान है। इसका त्वरण सरल रेखा पर एक स्थिर (fixed) बिन्दु O की तरफ निर्देशित है तथा हमेशा μ(a⁵/x²)^1/3 के बराबर है, जब यह बिन्दु O से x दूरी पर है। यदि यह बिन्दु O से a दूरी पर शून्य वेग से गतिमान होता है, तो वह समय निकालिये जब कण O पर आएगा।

2015 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: एक पिंड, जो सरल आवर्त गति (एस.एच.एम.) कर रहा है, उसका आयाम 'a' व आवर्तकाल 'T' है। जब माध्य स्थिति से उसकी दूरी (2/3)a हो, तब उसका वेग तिगुना कर दिया जाय, परंतु आवर्तकाल को न बदला जाए, तो उसका नया आयाम मालूम कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q6(d), 13 अंक: एक पिंड, बल के केंद्र से अन्तर्गत, जो दूरी के विलोमानुपाती आकर्षित करता है; 'a' दूरी से विरामअवस्था से चलना शुरू करता है। उसका केन्द्र पर आगमन का समय मालूम कीजिये।

2014 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: एक कण एक सरल आवर्त गति (S.H.M.), केन्द्र O पर कालांक (आवर्तकाल) T, आयाम a के साथ प्रस्तुत कर रहा है तथा यह एक बिन्दु P से गुज़रता है, जहाँ कि OP = b, OP की दिशा में। सिद्ध कीजिए कि गुज़रा हुआ समय जब यह P पर वापस लौटता है, (T/π) cos⁻¹(b/a) है।

2. समतल में गति तथा प्रक्षेप्य

2026 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 20 अंक: (i) एक जंगी जहाज u वेग से आगे बढ़ रहा है। जहाज पर एक बन्दूक इस तरह लगाई गई है कि उसका मुँह ठीक पीछे की ओर है तथा उसे उन्नयन कोण α पर रखा गया है। यदि बन्दूक के सापेक्ष प्रक्षेपण (प्रोजेक्शन) का वेग v हो, तो दर्शाइए कि परास (2v/g) sin α (v cos α − u) है तथा अधिकतम परास के लिए कोण cos⁻¹((u + √(u² + 8v²))/(4v)) है, जहाँ g गुरुत्वीय त्वरण को दर्शाता है। (10)
(ii) एक एकसमान जंजीर (चेन), जिसकी लंबाई l है, का एक सिरा एक खुरदरी मेज से h ऊँचाई पर स्थिर है और यह एक ऊर्ध्वाधर तल में इस प्रकार रखी है कि इसका एक हिस्सा मेज पर एक सीधी रेखा में है। सिद्ध कीजिए कि यदि चेन फिसलने की कगार पर है, तो मेज पर उसकी लंबाई (l + μh) − √((μ² + 1)h² + 2μlh) है, जहाँ μ घर्षण गुणांक है। (10)

2023 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 15 अंक: एक कण को समुद्र तल पर बिन्दु O₁ से वेग v तथा क्षैतिज से प्रक्षेप कोण θ पर ऊर्ध्वाधर तल में प्रक्षेपित किया जाता है तो क्षैतिज परास R₁ है। यदि इसको पुनः बिन्दु O₂, जो उसी ऊर्ध्वाधर तल में O₁ के ऊर्ध्वाधरतः h ऊँचाई पर है, से उसी वेग v तथा क्षैतिज से समान कोण θ पर प्रक्षेपित किया जाता है तो क्षैतिज परास R₂ है। सिद्ध कीजिए R₂ > R₁ तथा (R₂ − R₁) : R₁ = (1/2){√(1 + 2gh/(v² sin² θ)) − 1} : 1

2022 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: एक प्रक्षेप्य √(2gh) वेग के साथ बिन्दु O से प्रक्षेपित किया गया तथा समतल के बिन्दु P(x, y) पर स्पर्श-रेखा से टकराता है जहाँ अक्ष OX तथा OY क्रमशः बिन्दु O से क्षैतिज तथा अधोमुखी ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं। यदि प्रक्षेपण की दो संभव दिशाएँ समकोण पर हों, तो दर्शाइए कि x² = 2hy तथा प्रक्षेपण की संभव दिशाओं में से एक, कोण POX को द्विभाजित करती है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: द्रव्यमान m का एक कण, जो की प्रक्षेपण बिन्दु से वेग u के साथ क्षैतिज दिशा के साथ θ कोण बनाने वाली दिशा में प्रक्षेपण बिन्दु से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर समतल में प्रक्षेपित किया जाता है, उसकी गति तथा पथ का वर्णन कीजिए। यदि कणों को उसी बिन्दु से उसी ऊर्ध्वाधर समतल में वेग 4√g के साथ प्रक्षेपित किया जाता है, तो उनके पथों के शीर्षों के बिन्दुपथ को भी निर्धारित कीजिए।

2018 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: एक कण को धरती के एक बिन्दु से प्रक्षेपित करने पर वह एक दीवार, जो प्रक्षेपण बिन्दु से d दूरी पर है और जिसकी ऊँचाई h है, को छूते हुये पार करता है। अगर यह कण ऊर्ध्वाधर तल पर गतिमान है और इसकी क्षैतिज पहुँच R है, तो प्रक्षेपण की उच्चता ज्ञात कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 13 अंक: एक कण, एक ऐसी पहाड़ी के आधार पर एक बिन्दु से, प्रक्षेपित किया जाता है, जिसकी प्रवणता एक लम्ब वृत्ताकार शंकु की है जिसकी अक्षीय रेखा ऊर्ध्वाधर है। प्रक्षेप शंकु के शीर्षबिन्दु छूते हुए व पहाड़ी के आधार पर किसी दूसरे बिन्दु से जा टकराता है। यदि शंकु का अर्धशीर्ष कोण 30° व ऊँचाई h हो, तो प्रक्षेप का प्रारंभिक वेग u व उसका प्रक्षेप कोण निर्धारित कीजिये।

2014 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: एक कण पर y-अक्ष के समांतर एक बल लगा हुआ है, जिसका त्वरण (सदैव x-अक्ष की ओर) μy⁻² है तथा जब y = a है, तब x-अक्ष के समांतर वेग √(2μ/a) से प्रक्षेपित है। कण के पथ का प्राचलिक समीकरण ज्ञात कीजिए। यहाँ μ एक अचर है।

3. व्यवरुद्ध गति, कार्य और ऊर्जा

2026 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: एक कण, एक उल्टी कैटेनरी के शीर्ष से विराम अवस्था से नीचे गिरता है। सिद्ध कीजिए कि कण वक्र को तब छोड़ेगा, जब कण द्वारा तय किया गया पथ उस ऊर्ध्वाधर दूरी का √3 गुना हो, जितनी दूरी तक कण नीचे गिरा है।

2025 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 20 अंक: एक कण को ऊर्ध्वाधर तल में वृत्ताकार अनुप्रस्थ-परिच्छेद वाले स्थिर चिकने बेलन के अन्दर प्रारम्भिक क्षैतिज वेग u के साथ सबसे निचले बिंदु से प्रक्षेपित किया जाता है। दर्शाइए कि
(i) (u² ≤ 2ag) के लिए; कण निचले आधे भाग में माध्य स्थिति के आसपास (about) दोलन करता है,
(ii) (u² ≥ 5ag) के लिए; कण पूर्णतः वृत्तीय गति करता है, और
(iii) (2ag < u² < 5ag) के लिए; कण, वक्र को एक स्पर्शी की दिशा में, जो क्षैतिज के साथ कोण α बनाती है, छोड़ देगा, जबकि cos α = (u² − 2ag)/3ag है।

2024 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: लम्बाई l की एक हल्की अवितान्य डोरी द्वारा एक नियत बिन्दु से ऊर्ध्वाधर लटका हुआ एक भारी कण प्रारम्भिक वेग u के साथ एक वृत्त में घूमना शुरू करता है ताकि एक ऊर्ध्वाधर समतल में एक पूर्ण परिक्रमण कर सके। दर्शाइए कि किसी भी व्यास के सिरों पर तनावों का योग अचर है।

2022 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: w भार का एक पिंड, θ कोण से झुके हुए एक रूक्ष समतल पर स्थित है, घर्षण गुणांक μ, tan θ से अधिक है। पिंड को समतल पर ऊपर की तरफ 'b' दूरी तक धीरे-धीरे खींचने तथा वापस आरम्भिक बिन्दु तक खींचने में किए गए कार्य को ज्ञात कीजिए, जहाँ लगाया गया बल प्रत्येक दशा में समतल के समान्तर है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 15 अंक: एक भारी कण a लम्बाई की अवितान्य डोरी से एक स्थिर बिन्दु से टँगा है तथा √(2gh) वेग से क्षैतिज दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। यदि 5a/2 > h > a है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रक्षेपण बिन्दु से (1/3)(a + 2h) ऊँचाई पहुँचने पर कण की वृत्तीय गति समाप्त हो जाती है। यह भी सिद्ध कीजिए कि उस कण द्वारा प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर प्राप्य अधिकतम ऊँचाई (4a − h)(a + 2h)²/(27a²) है।

2019 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: एक कण का पृथ्वी द्वारा आकर्षण बल उस कण के पृथ्वी के केन्द्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। एक कण, जिसका भार पृथ्वी की सतह पर W है, सतह से 3h ऊँचाई से पृथ्वी की सतह पर गिरता है। दर्शाइए कि पृथ्वी के आकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण (3/4)hW है, जहाँ h पृथ्वी की त्रिज्या है।

2017 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: एक तार, कार्डिऑइड r = a(1 + cos θ), जिसकी प्रारम्भिक रेखा अधोगत ऊर्ध्वाधर है, के आकार में स्थिर है। m द्रव्यमान का एक छोटा छल्ला तार पर फिसल सकता है तथा कार्डिऑइड के बिन्दु r = 0 से स्वाभाविक लम्बाई a की प्रत्यास्थ (elastic) डोरी से, जिसका प्रत्यास्थता गुणांक 4mg है, बंधा है। छल्ले को विरामावस्था से, जबकि डोरी क्षैतिज है, छोड़ा जाता है। ऊर्जा-संरक्षण के नियमों का प्रयोग कर दर्शाइये कि aθ̇²(1 + cos θ) − g cos θ (1 − cos θ) = 0, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

2017 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 17 अंक: एक कण त्रिज्या a के चिकनी ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार तार पर चलने में स्वतंत्र है। प्रारम्भिक समय t = 0 पर इसे वृत्त के निम्नतम बिन्दु A से ऐसे वेग से, वृत्त के अनुदिश फेंका जाता है जो इसे मात्र उच्चतम बिन्दु B तक ले जाने में ही सक्षम है। समय T को ज्ञात कीजिए जिस पर कण व तार के बीच प्रतिक्रिया शून्य हो।

2017 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 16 अंक: W ग्राम भार व r त्रिज्या का एक गोला R से.मी. त्रिज्या की बेलनाकार बाल्टी की तली पर स्थित है। बाल्टी में h से.मी. (h > 2r) की गहराई तक पानी भरा हुआ है। दर्शाइये कि गोले को पानी की सतह के ठीक ऊपर लाने में किया गया न्यूनतम कार्य [W(h − 4r³/(3R²)) + W′(r − h + 2r³/(3R²))] से.मी. ग्राम होना चाहिए। W′ ग्राम गोले द्वारा विस्थापित पानी का भार है।

2014 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: द्रव्यमान m का एक कण जो ऊर्ध्वाधर में एक स्थिर बिन्दु से एक हल्की अवितान्य (न खिंचने वाली) l लंबाई की डोरी से लटका हुआ है, को एक क्षैतिज आघात दिया जाता है जो कि उसको वेग 2√(gl) प्रदान करता है। कण का वेग तथा जब डोरी शैथिल्य हो जाए तब प्रारंभिक स्थान के स्तर से उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

4. केंद्रीय कक्षाएँ तथा केप्लर के नियम

2025 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: सिद्ध कीजिए कि पृथ्वी को अपनी कक्षा के आधे भाग, जो कि लघु अक्ष द्वारा अलग किया गया है और सूर्य से सुदूर है, जब सूर्य दीर्घवृत्तीय कक्षा की नाभि (फोकस) पर है, की यात्रा करने में लगने वाला समय आधे वर्ष से दो दिन अधिक है। कक्षा की उत्केन्द्रता 1/60 ली गई है।

2024 प्रश्नपत्र I, Q8(c), 20 अंक: d दूरी से एक कण को समान दूरी पर स्थित एक वृत्त में उसके वेग के बराबर वेग से 45° के कोण पर प्रक्षेपित करने पर वह केन्द्रीय त्वरण μ(3/r³ + d²/r⁵) के साथ गति करता है। सिद्ध कीजिए कि बल के केन्द्र तक इसके पहुँचने का समय (d²/√(2μ))(2 − π/2) है।

2023 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 20 अंक: एक कण, बल-केन्द्र से √c दूरी पर स्थित एक स्तब्धिका से √((2λ/3)c³) वेग से प्रक्षेपित किया जाता है और यह केन्द्रीय त्वरण λ(r⁵ − c²r) से गतिशील है। इस कण की गति का पथ ज्ञात कीजिए। क्या यह वक्र x⁴ + y⁴ = c² होगा?

2019 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: एक गतिमान ग्रह का त्वरण μ/(दूरी)² के बराबर है और त्वरण की दिशा हमेशा एक स्थिर बिंदु (तारा) की ओर है। सिद्ध कीजिए कि उस ग्रह का पथ एक शंकु-परिच्छेद है। वे प्रतिबंध ज्ञात कीजिए, जिनके अन्तर्गत पथ (i) दीर्घवृत्त, (ii) परवलय और (iii) अतिपरवलय बन जाता है।

2016 प्रश्नपत्र I, Q5(e), 10 अंक: एक कण केन्द्रीय त्वरण (central acceleration), जो दूरी के त्रिघात के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) है, के तहत चलायमान है। यदि इसे मूलबिन्दु (origin) से दूरी a पर एक स्तब्धिका (apse) से उस वेग से प्रक्षेपित किया जाता है, जो कि a त्रिज्या के वृत्त के वेग का √2 गुना है, तो पथ का समीकरण निकालिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 13 अंक: एक कण, एक बल के अधीन, एक नियत केन्द्र की ओर जो दूरी के समानुपाती है, पर चलता है। यदि कण के मार्ग के दो एपसाइडल दूरियाँ a, b हैं (a > b), तब मार्ग का समीकरण ज्ञात करो।

5. साम्यावस्था, घर्षण तथा साधारण कैटिनरी

2025 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: दिया गया है कि A और B एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित दो बिंदु हैं, जिनके बीच की दूरी 2a है। AO और BO दो समान भारी डोरी हैं जो O पर एक साथ बँधी हैं और जिनका भार O पर है। यदि प्रत्येक डोरी की लंबाई l है तथा d, AB से नीचे O की गहराई है, तो दर्शाइए कि इस कैटिनरी, जिसमें डोरी लटकी है, का प्राचल c
l² − d² = 2c²[cosh(a/c) − 1]
द्वारा दिया गया है।

2023 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: अर्द्धव्यास 'a' का एक बेलन (सिलिंडर) एक जनक रेखा के अनुदिश एक ऊर्ध्वाधर दीवार को स्पर्श किया हुआ है। बेलन का अक्ष क्षैतिजतः स्थिर है। लम्बाई 'l' तथा भार 'W' का एक एक समान समतल दंड ऊर्ध्वाधर से 45° का कोण बनाते हुए अपने सिरों को दीवार के सहारे तथा बेलन पर टिकाए हैं। अगर घर्षण बल नगण्य हैं, तब दर्शाइए कि a/l = (√5 + 5)/(4√2). दीवार और बेलन की प्रतिक्रियायें भी ज्ञात कीजिए।

2023 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: एक ठोस अर्द्ध-गोलक एक डोरी द्वारा, जिसका एक सिरा एक चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार पर एक बिन्दु से और दूसरा सिरा अर्द्धगोलक के किनारे (रिम) पर स्थित एक बिन्दु से बंधा है, ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिका है। ठोस अर्द्धगोलक का वक्रित पृष्ठ दीवार को स्पर्श करता है। अगर ऊर्ध्वाधर के साथ डोरी का आनति कोण θ है और अर्द्धगोलक के समतल आधार (बेस) का आनति कोण φ है तो (tan φ − tan θ) का मान ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 20 अंक: 2l लम्बाई का एक तार (केबिल) जिसका भार w प्रति इकाई (यूनिट) लम्बाई है, एक क्षैतिज रेखा के दो बिन्दुओं P तथा Q से लटकी हुई है। दर्शाइए कि तार की विस्तृति (स्पैन) 2l(1 − 2h²/(3l²)) है, जहाँ h तार के कसकर खींची हुई स्थिति में मध्य का झोल है।

2021 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: दो छड़े LM व MN बिन्दु M पर दृढ़ता से इस प्रकार जुड़ी हैं कि (LM)² + (MN)² = (LN)² तथा वे स्वतन्त्र रूप से साम्यावस्था में स्थिर बिन्दु L पर टँगी हैं। माना कि दोनों एकसमान छड़ों का प्रति एकांक लम्बाई, भार ω है। छड़ LM का ऊर्ध्वाधर दिशा के साथ बने कोण को छड़ों की लम्बाई के रूप में ज्ञात कीजिए।

2021 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 20 अंक: एक भारी डोरी, जिसका घनत्व एक समान नहीं है, दो बिन्दुओं से टँगी हुई है। माना कि T₁, T₂, T₃ क्रमशः कैटिनरी के बीच के बिन्दुओं A, B, C पर तनाव हैं, जिन पर इसके क्षैतिज के साथ आनति कोण, सार्व अंतर β के साथ समांतर श्रेढ़ी में हैं। माना कि डोरी के AB तथा BC भागों के भार क्रमशः ω₁ तथा ω₂ हैं। सिद्ध कीजिए
(i) T₁, T₂ तथा T₃ का हरात्मक माध्य = 3T₂/(1 + 2 cos β)
(ii) T₁/T₃ = ω₁/ω₂

2020 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: एक एकसमान छड़, जो ऊर्ध्वाधर दशा में है, अपने एक सिरे पर स्वतंत्र रूप से वर्तन कर सकती है तथा दूसरे सिरे पर लगाए गए एक क्षैतिज बल, जिसका मान छड़ के भार का आधा है, द्वारा ऊर्ध्वाधर से एक तरफ खींची जाती है। बताइए कि ऊर्ध्वाधर से किस कोण पर छड़ विश्राम करेगी।

2020 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 15 अंक: एक दंड AD दो आलंब B एवं C पर विश्राम करता है, जबकि AB = BC = CD. यह पाया गया कि दंड झुक जाएगा यदि एक भार p kg, बिंदु A से लटकाया जाए या एक भार q kg, बिंदु D से लटकाया जाए। दंड का भार बताइए।

2019 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: एक भारी एकसमान छड़ AB का एक सिरा एक रूक्ष क्षैतिज छड़ AC, जिसके साथ वह वलय (रिंग) के द्वारा जुड़ी हुई है, पर सरक सकती है। B एवं C एक रस्सी से जुड़े हैं। जब छड़ सर्पण बिंदु पर है, तब AC² − AB² = BC² है। यदि क्षैतिज रेखा व AB के बीच का कोण θ है, तो सिद्ध कीजिए कि घर्षण गुणांक cot θ/(2 + cot²θ) है।

2016 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 15 अंक: 2a लम्बाई की एकसमान एक छड़ (rod) AB, A पर हिन्ज (hinge) के परितः चलायमान (movable) है, जिसका दूसरा छोर एक चिकनी ऊर्ध्व दीवार पर स्थित है। यदि छड़ का ऊर्ध्वाधर से झुकाव α हो, तो सिद्ध कीजिये कि हिन्ज (hinge) पर प्रतिक्रिया (reaction) का परिमाण (1/2) W √(4 + tan²α) है, जहाँ W छड़ का भार है।

2016 प्रश्नपत्र I, Q7(b), 15 अंक: दो भार P तथा Q एक स्थिर (fixed) बिन्दु O से धागे (strings) OA एवं OB से लटके हैं तथा एक हल्के छड़ (rod) AB द्वारा एक-दूसरे से अलग किये गये हैं। यदि धागे OA एवं OB छड़ (rod) AB से क्रमशः α तथा β कोण बनाते हों, तो सिद्ध कीजिये कि छड़ (rod) ऊर्ध्व दिशा से θ कोण बनाती है, जहाँ
tan θ = (P + Q)/(P cot α − Q cot β)

2015 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: 8 kg भार की एक छड़, ऊर्ध्वाधर तल में एक सिरे पर लगे कब्जे पर चलायमान है। उसके दूसरे सिरे पर लम्बाई l की एक रस्सी के द्वारा कब्जे से b ऊँचाई पर, ऊर्ध्व दिशा में छड़ के आधे के बराबर भार बाँधा गया है। रस्सी में तनाव ज्ञात कीजिये।

2015 प्रश्नपत्र I, Q6(b), 13 अंक: दो बराबर भार की सीढ़ियां, जिसमें प्रत्येक का भार 4 kg है, बिंदु A पर एक दूसरे के साथ झुकाकर रखी गई हैं। उनके दूसरे सिरे एक खुरदुरे फर्श पर हैं, जिसका घर्षण गुणांक μ है। दोनों सीढ़ी के बीच 60° का कोण है। कितना भार उस शीर्ष बिंदु A पर रखा जाए कि वह सीढ़ियों के फिसल जाने का कारण बन जाय।

2015 प्रश्नपत्र I, Q8(a), 12 अंक: उस अंतहीन शृंखला की लम्बाई ज्ञात कीजिये, जो एक 'a' त्रिज्य वाली वृत्तीय घिरनी पर इस तरह से टंगी है, कि वह उस घिरनी के दो-तिहाई परिधि के स्पर्श में रहे।

6. कल्पित कार्य, साम्यावस्था का स्थायित्व तथा त्रिविमीय बल

2026 प्रश्नपत्र I, Q5(c), 10 अंक: परिक्रमण का एक चिकना परवलयज इस प्रकार स्थित है कि उसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है तथा शीर्ष ऊपर की ओर है; इस पर 2πb अतानित लंबाई की एक भारी प्रत्यास्थ डोरी रखी है। जब डोरी संतुलन में हो, तो कल्पित कार्य का सिद्धांत (नियम) लागू करके यह दर्शाइए कि यह 4πabλ/(4πaλ − Wb) त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में है, जहाँ W डोरी का भार है, λ प्रत्यास्थता गुणांक है तथा 4a जनक परवलय का नाभिलंब है।

2026 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: l लंबाई तथा W भार की एक एकसमान छड़ AB है, जो अपनी लंबाई में बिंदु A से l/3 दूरी पर स्थित एक निश्चित बिंदु के परितः स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। AC तथा BC दो हल्की डोरियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई (5/6)l है और जो w भार के एक कण C से जुड़ी है। सिद्ध कीजिए कि यदि W, 2w से कम है, तो स्थायी संतुलन की स्थिति होगी, जिसमें AB क्षैतिज से tan⁻¹((W + w)/(4w)) कोण पर झुकी होगी।

2025 प्रश्नपत्र I, Q7(a), 15 अंक: एक ठोस गोला अपनी त्रिज्या से दुगुनी त्रिज्या के स्थिर रूक्ष अर्धगोलीय कटोरे में रखा हुआ है। यदि एक बड़ा भार, कितना भी हो, गोले के सबसे ऊँचे बिंदु पर जुड़ा है, तो दर्शाइए कि संतुलन स्थिर है।

2024 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: एक ठोस गोले के ऊपर समान त्रिज्या का एक ठोस गोलार्ध साम्यावस्था में रखा है। दो स्थितियों में — (i) जब गोलार्ध का वक्रीय पृष्ठ तथा (ii) जब गोलार्ध का समतलीय पृष्ठ गोले पर स्थित है, साम्यावस्था का स्थायित्व ज्ञात कीजिए।

2024 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 15 अंक: लम्बाई l की छः हल्की छड़ों द्वारा निर्मित एक सम चतुष्फलक एक चिकने क्षैतिज समतल पर रखा है। W भार तथा r त्रिज्या का एक छल्ला तिर्यक् भुजाओं द्वारा आलम्बित है। कल्पित कार्य सिद्धान्त का उपयोग करते हुए किसी भी एक क्षैतिज भुजा में प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

2022 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 15 अंक: माना किसी भी अनुप्रस्थ-काट का एक बेलन दूसरे स्थिर बेलन पर संतुलित है, जहाँ वक्रीय पृष्ठों का संस्पर्श रूक्ष है तथा उभयनिष्ठ स्पर्श-रेखा क्षैतिज है। माना दोनों बेलनों के स्पर्श बिन्दु पर उनकी वक्रता त्रिज्याएँ ρ तथा ρ′ हैं और संस्पर्श बिन्दु से ऊपरी बेलन के गुरुत्व केन्द्र की ऊँचाई h है। दर्शाइए कि स्थायी साम्य में ऊपरी बेलन संतुलित है यदि h < ρρ′/(ρ + ρ′)।

2022 प्रश्नपत्र I, Q8(b), 15 अंक: n बराबर एकसमान छड़ों की एक श्रृंखला एक-दूसरे के साथ चिकने रूप से जुड़ी हुई है तथा इसके एक सिरे A₁ से लटकी हुई है। एक क्षैतिज बल P श्रृंखला के दूसरे सिरे A_n+1 पर लगाया गया है। साम्य विन्यास में अधोमुखी ऊर्ध्वाधर रेखा से छड़ों के झुकाव ज्ञात कीजिए।

2020 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 20 अंक: (i) चार एकसमान भारी छड़, जो समान भार W की हैं, एक वर्ग के रूप में ढाँचा बनाते हुए जुड़ी हैं। यह एक कोने से टँगा हुआ है। भार W तीनों नीचे वाले हरेक कोने से लटकाए हैं। वर्ग का आकार एक हल्की छड़, जो क्षैतिज विकर्ण के अनुदिश है, द्वारा रक्षित किया गया है। उस हल्की छड़ पर प्रणोद निकालिए।
(ii) एक कण वेग V से लंबी दूरी तय करने के लिए चलना शुरू करता है। एक तारे के केंद्र से कण के प्रारंभिक पथ की स्पर्श-रेखा पर लंबवत् दूरी p है। दिखाइए कि कण की तारे के केंद्र से न्यूनतम दूरी λ है, जहाँ V²λ = √(μ² + p²V⁴) − μ. यहाँ μ एक अचर है।

2019 प्रश्नपत्र I, Q6(a), 15 अंक: एक पिण्ड एक शंकु और उसके नीचे अर्धगोले से बना है। शंकु के आधार तथा अर्धगोले के शिखर का अर्धव्यास a है। पूरा पिण्ड एक रूक्ष क्षैतिज मेज पर रखा है, जिसका अर्धगोला मेज को स्पर्श करता है। दर्शाइए कि शंकु की अधिकतम ऊँचाई, जिससे कि साम्यावस्था स्थिर बनी रहे, √3 a है।

2017 प्रश्नपत्र I, Q6(c), 17 अंक: एक एकसमान अर्धगोला, क्षैतिज से φ कोण पर झुके हुए रुक्ष समतल पर अपने वक्रीय पृष्ठ को समतल से स्पर्श करते हुए रखा है। सन्तुलन के लिए φ का अधिकतम ग्राह्य मान निकालिए। यदि φ का मान इससे कम है तब क्या यह साम्यावस्था स्थिर है?

2016 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 20 अंक: एक वर्ग ABCD, जिसके प्रत्येक भुजा की लम्बाई a है, को एक ऊर्ध्व तल (vertical plane) में स्थिर (fixed) किया जाता है, जिसकी दो भुजाएँ क्षैतिज हैं। एक अन्तहीन धागा (endless string), जिसकी लंबाई l (> 4a) है, बोर्ड के कोणों पर स्थित चार खूँटियों के ऊपर से एक रिंग (ring) के द्वारा गुजरता है। रिंग का भार W है और यह ऊर्ध्व दिशा में लटक रहा है। दर्शाइये कि धागे का तनाव W(l − 3a)/(2√(l² − 6la + 8a²)) है।

2014 प्रश्नपत्र I, Q5(d), 10 अंक: दो बराबर एकसमान दंड AB तथा AC, प्रत्येक l लंबे, A पर मुक्त रूप से जुड़े हैं तथा त्रिज्या r के चिकने नियत ऊर्ध्वाधर वृत्त पर टिके हैं। यदि दंडों के बीच कोण 2θ है, तो कल्पित कार्य सिद्धांत के प्रयोग से l, r तथा θ में संबंध ज्ञात कीजिए।

2014 प्रश्नपत्र I, Q7(c), 20 अंक: एक सम पंचभुज (रेग्यूलर पैंटागन) ABCDE बराबर भारी एकसमान छड़ों को जोड़कर बनाया हुआ है, जोड़ A से लटक रहा है तथा BC एवं DE के मध्य बिन्दुओं को जोड़ते हुए एक हल्की छड़ के द्वारा वह अपने रूप में अनुरक्षित है। इस छड़ में प्रतिबल ज्ञात कीजिए।