Algebra — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² और a² − b² = (a + b)(a − b)। साथ ही (a + b)² − (a − b)² = 4ab और (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)।

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) और (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)।

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) और a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)।

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)।

a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca), तथा a² + b² + c² − ab − bc − ca = 1/2 × [(a − b)² + (b − c)² + (c − a)²]।

परिणाम: यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc। वास्तविक संख्याओं के लिए यदि a³ + b³ + c³ = 3abc, तो या तो a + b + c = 0 या a = b = c।

व्युत्क्रम रूप: यदि x + 1/x = k, तो x² + 1/x² = k² − 2 और x³ + 1/x³ = k³ − 3k। यदि x − 1/x = k, तो x² + 1/x² = k² + 2 और x³ − 1/x³ = k³ + 3k।

वास्तविक x > 0 के लिए x + 1/x ≥ 2, और समानता केवल x = 1 पर; x < 0 के लिए x + 1/x ≤ −2। वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग तभी 0 होता है जब हर संख्या 0 हो।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: देखें कि क्या दिया है (योग, गुणनफल, x + 1/x) और वह सर्वसमिका चुनें जो उसे पूछे गए व्यंजक से जोड़ती है।

चरण 2: घातें क्रम से बनाएं: a + b और ab से a² + b², फिर a³ + b³; x + 1/x से x² + 1/x², फिर x⁴ + 1/x⁴ = (x² + 1/x²)² − 2।

चरण 3: संख्यात्मक व्यंजकों में ढांचा पहचानें: (a³ + b³)/(a² − ab + b²) = a + b और (a³ − b³)/(a² + ab + b²) = a − b।

शॉर्टकट: जब a + b + c = 0 हो, a³ + b³ + c³ के स्थान पर तुरंत 3abc लिखें। सममित व्यंजकों में शर्त मानने वाले सरल मान (जैसे a = 1, b = 1, c = −2) रखकर विकल्प जांचें।

मान रखने की विधि तब असफल होती है जब शर्त मानने वाले अलग-अलग मान अलग परिणाम दें; भरोसा करने से पहले मानों के दो अलग समूह जांचें।

किसी आधार के पास के वर्ग और गुणनफल: (100 + a)² = 10000 + 200a + a² और (100 + a)(100 − a) = 10000 − a²।

उदाहरण 1: योग और गुणनफल दिए हों

प्रश्न: यदि a + b = 10 और ab = 21, तो a² + b² और a³ + b³ ज्ञात करें।

हल: a² + b² = (a + b)² − 2ab = 100 − 42 = 58। a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 1000 − 3 × 21 × 10 = 1000 − 630 = 370।

जांच: a और b, 3 और 7 हैं, तथा 9 + 49 = 58, 27 + 343 = 370।

उत्तर: a² + b² = 58 और a³ + b³ = 370।

उदाहरण 2: x + 1/x दिया हो

प्रश्न: यदि x + 1/x = 5, तो x² + 1/x² और x³ + 1/x³ ज्ञात करें।

हल: x² + 1/x² = 5² − 2 = 25 − 2 = 23। x³ + 1/x³ = 5³ − 3 × 5 = 125 − 15 = 110।

उत्तर: 23 और 110।

उदाहरण 3: तेज वर्ग और गुणनफल

प्रश्न: लंबा गुणा किए बिना 997² और 103 × 97 ज्ञात करें।

हल: 997² = (1000 − 3)² = 1000000 − 6000 + 9 = 994009। 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991।

उत्तर: 994009 और 9991।

उदाहरण 4: तीन चर

प्रश्न: यदि a + b + c = 12 और a² + b² + c² = 50, तो a³ + b³ + c³ − 3abc ज्ञात करें। (a) 72 (b) 36 (c) 48 (d) 24

हल: 144 = 50 + 2(ab + bc + ca), अतः ab + bc + ca = 47।

a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) = 12 × (50 − 47) = 36।

जांच: a = 3, b = 4, c = 5 दोनों शर्तें मानते हैं: 27 + 64 + 125 − 3 × 60 = 216 − 180 = 36।

उत्तर: (b) 36

उदाहरण 5: x का करणी मान

प्रश्न: यदि x = 2 + √3, तो x³ + 1/x³ ज्ञात करें। (a) 56 (b) 64 (c) 48 (d) 52

हल: 1/x = 1/(2 + √3) = (2 − √3)/[(2 + √3)(2 − √3)] = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3।

अतः x + 1/x = 4, और x³ + 1/x³ = 4³ − 3 × 4 = 64 − 12 = 52। विकल्प 64, − 3k पद भूलने का जाल है।

उत्तर: (d) 52

उदाहरण 6: चौथी घात से नीचे आना

प्रश्न: यदि x⁴ + 1/x⁴ = 119 और x > 1, तो x³ − 1/x³ ज्ञात करें। (a) 36 (b) 27 (c) 33 (d) 39

हल: (x² + 1/x²)² = x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 121, अतः x² + 1/x² = 11, धनात्मक मूल लेकर क्योंकि यह वर्गों का योग है।

(x − 1/x)² = x² + 1/x² − 2 = 9, अतः x − 1/x = 3; यह धनात्मक है क्योंकि x > 1 होने से x, 1/x से बड़ा है।

x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x) = 27 + 9 = 36।

उत्तर: (a) 36

सामान्य गलतियां

(a + b)² = a² + b² लिखना। बीच का पद 2ab छूट गया; वह तभी शून्य होता है जब a या b, 0 हो।

x + 1/x = k होने पर x² + 1/x² = k² + 2 लेना। योग के लिए यह k² − 2 और अंतर के लिए k² + 2 है।

चिह्न जांचे बिना वर्गमूल लेना: (x − 1/x)² = 9 से x − 1/x, 3 या −3 हो सकता है। चुनने के लिए दी गई शर्त (जैसे x > 1) का उपयोग करें।

पहले यह जांचे बिना कि a + b + c = 0 है, a³ + b³ + c³ = 3abc लगा देना।

लापरवाही से परिमेयकरण: 1/(2 + √3) = 2 − √3 केवल इसलिए क्योंकि (2 + √3)(2 − √3) = 1; 1/(3 + √5) में हर 9 − 5 = 4 बनता है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. यदि a − b = 4 और ab = 45, तो a³ − b³ ज्ञात करें। (a) 540 (b) 604 (c) 476 (d) 644

Q2. यदि a + b + c = 0, a = 3 और b = −5, तो a³ + b³ + c³ ज्ञात करें। (a) 90 (b) −30 (c) −90 (d) 30

Q3. सरल करें: (0.73³ + 0.27³)/(0.73² − 0.73 × 0.27 + 0.27²)। (a) 0.46 (b) 0.27 (c) 0.73 (d) 1

उत्तर

Q1. (b) a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) = 64 + 3 × 45 × 4 = 64 + 540 = 604। जांच: a = 9, b = 5 से 729 − 125 = 604।

Q2. (c) c = 2 और योग 0 है, अतः a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 3 × (−5) × 2 = −90। जांच: 27 − 125 + 8 = −90।

Q3. (d) रूप (a³ + b³)/(a² − ab + b²) = a + b = 0.73 + 0.27 = 1 है।

त्वरित पुनरावृत्ति

a² + b² = (a + b)² − 2ab; a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b); a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b)।

x + 1/x = k: वर्ग k² − 2, घन k³ − 3k। x − 1/x = k: वर्ग k² + 2, घन k³ + 3k।

a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc।

a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)।

कोई भी वर्गमूल लेने के बाद दी गई शर्त से चिह्न तय करें।

अवधारणाएं और नियम

समीकरण ax + by + c = 0, जिसमें a और b दोनों 0 न हों, दो चरों का रैखिक समीकरण है। इसका ग्राफ एक सरल रेखा है, और रेखा का हर बिंदु एक हल है।

(x1, y1) और (x2, y2) से जाने वाली रेखा का ढाल (y2 − y1)/(x2 − x1) है। ax + by + c = 0 में b ≠ 0 हो तो ढाल = −a/b और y-अंतःखंड = −c/b; a ≠ 0 हो तो x-अंतःखंड = −c/a।

y = mx + c का ढाल m और y-अंतःखंड c है। दो रेखाएं समांतर होती हैं जब उनके ढाल बराबर हों, और लंबवत जब ढालों का गुणनफल −1 हो (कोई रेखा ऊर्ध्वाधर न हो)।

x = k एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, y-अक्ष के समांतर; y = k एक क्षैतिज रेखा है, x-अक्ष के समांतर। x-अक्ष स्वयं y = 0 है और y-अक्ष x = 0 है।

a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2 के लिए (a2, b2, c2 शून्येतर): यदि a1/a2 ≠ b1/b2 तो ठीक एक हल (रेखाएं काटती हैं); यदि a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 तो कोई हल नहीं (समांतर रेखाएं); यदि a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 तो अनंत हल (एक ही रेखा)।

रेखा ax + by = c, जिसमें a, b, c सभी शून्येतर हों, अक्षों को (c/a, 0) और (0, c/b) पर काटती है, और अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल c²/(2|ab|) है।

शीर्षों (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × |x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: समीकरण-युग्म को विलोपन से हल करें: एक चर के गुणांक बराबर करें, फिर समीकरणों को जोड़ें या घटाएं।

चरण 2: रेखाओं से बने त्रिभुज के लिए पहले हर शीर्ष निकालें (जहां रेखाएं आपस में और अक्षों से मिलती हैं), फिर आधार × ऊंचाई/2 या शीर्ष सूत्र लगाएं।

चरण 3: संगतता वाले प्रश्नों में तीनों अनुपात a1/a2, b1/b2 और c1/c2 लिखें, जिन दो अनुपातों का बराबर होना जरूरी है उनसे k निकालें, फिर तीसरा अनुपात जांचें।

वज्रगुणन: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2 के लिए x = (c1b2 − c2b1)/(a1b2 − a2b1) और y = (a1c2 − a2c1)/(a1b2 − a2b1), बशर्ते a1b2 − a2b1 ≠ 0।

शॉर्टकट: किसी विकल्प को जांचने के लिए बिंदु को दोनों समीकरणों में रखें; जो विकल्प एक भी समीकरण में असफल हो, वह बाहर।

उदाहरण 1: युग्म को हल करना

प्रश्न: 3x + 2y = 12 और x − y = −1 को हल करें।

हल: दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें: 2x − 2y = −2। इसे पहले में जोड़ने पर 5x = 10, अतः x = 2, और फिर y = x + 1 = 3।

जांच: 3 × 2 + 2 × 3 = 12 और 2 − 3 = −1।

उत्तर: x = 2, y = 3।

उदाहरण 2: अक्षों के साथ त्रिभुज

प्रश्न: रेखा 4x + 3y = 24 और निर्देशांक अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल: y = 0 रखने पर (6, 0) और x = 0 रखने पर (0, 8)। क्षेत्रफल = 1/2 × 6 × 8 = 24। सूत्र से जांच: 24²/(2 × 4 × 3) = 576/24 = 24।

उत्तर: 24 वर्ग इकाई।

उदाहरण 3: कोई हल नहीं

प्रश्न: k के किस मान के लिए kx + 6y = 9 और 2x + 3y = 5 का कोई हल नहीं होगा?

हल: आवश्यक है k/2 = 6/3 ≠ 9/5। k/2 = 2 से k = 4; और 9/5, 2 के बराबर नहीं है, अतः रेखाएं समांतर हैं, एक ही रेखा नहीं।

उत्तर: k = 4।

उदाहरण 4: अनंत हल

प्रश्न: k के किस मान के लिए 2x + 3y = 7 और (k − 1)x + (k + 2)y = 3k के अनंत हल होंगे? (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8

हल: आवश्यक है 2/(k − 1) = 3/(k + 2) = 7/(3k)। पहले दो से 2(k + 2) = 3(k − 1), अतः 2k + 4 = 3k − 3 और k = 7।

तीसरा अनुपात जांचें: 3/(k + 2) = 3/9 = 1/3 और 7/(3k) = 7/21 = 1/3। तीनों अनुपात बराबर हैं, अतः दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं।

उत्तर: (c) 7

उदाहरण 5: दो रेखाओं और y-अक्ष से त्रिभुज

प्रश्न: रेखाओं 2x + y = 8, x − y = 1 और y-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (a) 12 (b) 13.5 (c) 27 (d) 9

हल: समीकरण जोड़ने पर 3x = 9, अतः रेखाएं (3, 2) पर मिलती हैं। y-अक्ष (x = 0) पर पहली रेखा से y = 8 और दूसरी से y = −1।

y-अक्ष पर आधार −1 से 8 तक है, लंबाई 9; ऊंचाई (3, 2) की y-अक्ष से दूरी है, जो 3 है।

क्षेत्रफल = 1/2 × 9 × 3 = 13.5 वर्ग इकाई।

उत्तर: (b) 13.5

उदाहरण 6: तीन शर्तों से शीर्ष

प्रश्न: रेखा 3x − 4y = 12, x-अक्ष को A पर और y-अक्ष को B पर काटती है। B से x-अक्ष के समांतर रेखा, रेखा x + y = 10 को C पर काटती है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (a) 19.5 (b) 39 (c) 18 (d) 21

हल: y = 0 से A(4, 0); x = 0 से y = −3, अतः B(0, −3)।

B से x-अक्ष के समांतर रेखा y = −3 है; x + y = 10 के साथ इससे x = 13, अतः C(13, −3)।

BC रेखा y = −3 पर है और उसकी लंबाई 13 है; A से इस रेखा तक ऊंचाई 0 − (−3) = 3 है। क्षेत्रफल = 1/2 × 13 × 3 = 19.5 वर्ग इकाई।

उत्तर: (a) 19.5

सामान्य गलतियां

ढाल का चिह्न गलत लेना: ax + by + c = 0 के लिए ढाल −a/b है, a/b नहीं।

यह समझना कि केवल a1/a2 = b1/b2 से अनंत हल होते हैं। तीसरा अनुपात तय करता है कि कोई हल नहीं या अनंत हल।

k निकालने के बाद तीसरा अनुपात न जांचना। कोई-हल-नहीं वाले प्रश्न में यदि वह भी मिल जाए, तो वह k एक ही रेखा देता है, समांतर रेखाएं नहीं।

ऋणात्मक अंतःखंड को ऋणात्मक लंबाई मान लेना। लंबाई और क्षेत्रफल में निरपेक्ष मान लिए जाते हैं।

x = 3 को x-अक्ष के समांतर कहना। x = 3 ऊर्ध्वाधर है और y-अक्ष के समांतर है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. (2, 3) और (6, 11) से जाने वाली रेखा का ढाल क्या है? (a) 1/2 (b) 2 (c) −2 (d) 4

Q2. k के किस मान के लिए 3x + ky = 6 और 6x + 8y = 12 के अनंत हल होंगे? (a) 2 (b) 6 (c) 8 (d) 4

Q3. एक दो अंकों की संख्या और उसके अंकों को उलटने से बनी संख्या का योग 121 है, और दहाई का अंक इकाई के अंक से 3 अधिक है। संख्या क्या है? (a) 47 (b) 83 (c) 74 (d) 65

उत्तर

Q1. (b) ढाल = (11 − 3)/(6 − 2) = 8/4 = 2।

Q2. (d) 3/6 = k/8 = 6/12 = 1/2, अतः k = 4।

Q3. (c) मान लें दहाई का अंक a और इकाई का अंक b है। (10a + b) + (10b + a) = 121 से a + b = 11; a − b = 3 के साथ a = 7 और b = 4, अतः संख्या 74 है।

त्वरित पुनरावृत्ति

ढाल = (y2 − y1)/(x2 − x1) = −a/b; समांतर रेखाओं के ढाल बराबर, लंबवत रेखाओं के ढालों का गुणनफल −1।

अनुपात: a1/a2 ≠ b1/b2 एक हल; a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 कोई नहीं; तीनों बराबर अनंत हल।

ax + by = c का अक्षों के साथ त्रिभुज: c²/(2|ab|)।

क्षेत्रफल से पहले हर शीर्ष निकालें; x = k ऊर्ध्वाधर और y = k क्षैतिज है।