Motion problems — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

चाल = दूरी ÷ समय। किमी/घंटा को मी/से में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें; मी/से को किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करें, क्योंकि 1 किमी/घंटा = 1000 मी ÷ 3600 से।

सापेक्ष चाल: विपरीत दिशाओं में चल रही दो वस्तुएं चालों के योग से पास आती (या दूर जाती) हैं; एक ही दिशा में, चालों के अंतर से।

खंभे, खड़े व्यक्ति या सिग्नल पोस्ट को पार करते समय ट्रेन द्वारा तय दूरी = उसकी अपनी लंबाई। प्लेटफॉर्म, पुल या सुरंग को पार करते समय = उसकी लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई।

एक-दूसरे को पार करती दो ट्रेनें सापेक्ष चाल से अपनी लंबाइयों का योग तय करती हैं: समय = (L1 + L2)/(S1 + S2) विपरीत दिशा में और (L1 + L2)/(S1 − S2) एक ही दिशा में।

चलते व्यक्ति को पार करते समय ट्रेन केवल अपनी लंबाई तय करती है, पर ट्रेन और व्यक्ति की सापेक्ष चाल से।

मिलना और पीछा करना: d दूरी पर आमने-सामने चल रही दो वस्तुएं d/(S1 + S2) समय बाद मिलती हैं; पीछा करने वाला d का अंतर d/(S1 − S2) समय में पाटता है।

औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय। u और v चालों से दो बराबर दूरियों के लिए यह 2uv/(u + v) है, (u + v)/2 कभी नहीं, जब तक u = v न हो।

यदि दो ट्रेनें एक ही समय A और B से एक-दूसरे की ओर चलें और मिलने के बाद B और A पहुंचने में t1 और t2 घंटे लें, तो पहली की चाल : दूसरी की चाल = √t2 : √t1।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: सभी चालें एक इकाई में बदलें; लंबाई मीटर में और समय सेकंड में हो तो मी/से लें।

चरण 2: तय करें कि कितनी दूरी तय होनी है (कौन-कौन सी लंबाइयां शामिल हैं) और सापेक्ष चाल क्या है (योग या अंतर)।

चरण 3: समय = दूरी ÷ सापेक्ष चाल। अज्ञात हों तो ऐसे दो समीकरण लिखें और एक को दूसरे से घटाएं।

शॉर्टकट: यदि ट्रेन खंभे को t1 सेकंड में और P लंबाई के प्लेटफॉर्म को t2 सेकंड में पार करे, तो उसकी चाल = P/(t2 − t1) और लंबाई = चाल × t1।

ये जोड़े याद रखें: 36 किमी/घंटा = 10 मी/से, 54 किमी/घंटा = 15 मी/से, 72 किमी/घंटा = 20 मी/से, 90 किमी/घंटा = 25 मी/से और 108 किमी/घंटा = 30 मी/से।

जब विकल्प किमी/घंटा में हों, गणना मी/से में करें और अंत में ही 18/5 से गुणा करके बदलें।

उदाहरण 1: खंभे को पार करती ट्रेन

प्रश्न: 180 मी लंबी एक ट्रेन 54 किमी/घंटा से चल रही है। वह एक खंभे को कितने समय में पार करेगी?

हल: 54 किमी/घंटा = 54 × 5/18 = 15 मी/से। दूरी केवल ट्रेन की लंबाई 180 मी है, अतः समय = 180 ÷ 15 = 12 सेकंड।

उत्तर: 12 सेकंड।

उदाहरण 2: प्लेटफॉर्म पार करती ट्रेन

प्रश्न: 72 किमी/घंटा से चल रही 240 मी लंबी ट्रेन 360 मी लंबे प्लेटफॉर्म को पार करती है। उसे कितना समय लगेगा?

हल: 72 किमी/घंटा = 20 मी/से। दूरी = 240 + 360 = 600 मी, अतः समय = 600 ÷ 20 = 30 सेकंड।

उत्तर: 30 सेकंड।

उदाहरण 3: दो ट्रेनें, दोनों दिशाएं

प्रश्न: 150 मी और 100 मी लंबी दो ट्रेनें समानांतर पटरियों पर 60 किमी/घंटा और 30 किमी/घंटा से चल रही हैं। विपरीत दिशाओं में चलते हुए और एक ही दिशा में चलते हुए वे एक-दूसरे को कितने समय में पार करेंगी?

हल: दूरी = 150 + 100 = 250 मी। विपरीत दिशाएं: सापेक्ष चाल = 60 + 30 = 90 किमी/घंटा = 25 मी/से, अतः समय = 250 ÷ 25 = 10 सेकंड।

एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = 60 − 30 = 30 किमी/घंटा = 25/3 मी/से, अतः समय = 250 × 3/25 = 30 सेकंड।

उत्तर: विपरीत दिशाओं में 10 सेकंड; एक ही दिशा में 30 सेकंड।

उदाहरण 4: दो बार पार करने से लंबाई और चाल

प्रश्न: एक ट्रेन प्लेटफॉर्म पर खड़े व्यक्ति को 8 सेकंड में और 264 मी लंबे पूरे प्लेटफॉर्म को 20 सेकंड में पार करती है। उसकी लंबाई और चाल ज्ञात करें। (a) 176 मी, 79.2 किमी/घंटा (b) 160 मी, 72 किमी/घंटा (c) 192 मी, 79.2 किमी/घंटा (d) 176 मी, 72 किमी/घंटा

हल: अतिरिक्त 20 − 8 = 12 सेकंड केवल प्लेटफॉर्म तय करने में लगे, अतः चाल = 264 ÷ 12 = 22 मी/से = 22 × 18/5 = 79.2 किमी/घंटा।

लंबाई = 22 × 8 = 176 मी। जांच: (176 + 264) ÷ 22 = 440 ÷ 22 = 20 सेकंड।

उत्तर: (a) 176 मी, 79.2 किमी/घंटा

उदाहरण 5: मिलने के बाद का समय

प्रश्न: दो ट्रेनें एक ही समय स्टेशन A और B से एक-दूसरे की ओर चलती हैं। मिलने के बाद पहली ट्रेन B पहुंचने में 9 घंटे और दूसरी A पहुंचने में 16 घंटे लेती है। यदि पहली ट्रेन 80 किमी/घंटा से चलती है, तो दूसरी की चाल क्या है? (a) 50 किमी/घंटा (b) 45 किमी/घंटा (c) 70 किमी/घंटा (d) 60 किमी/घंटा

हल: मान लें वे t घंटे बाद मिलती हैं और दूसरी ट्रेन की चाल S है। पहली ट्रेन 9 घंटे में वह दूरी तय करती है जो दूसरी ने t घंटे में की: 80 × 9 = S × t, अतः S × t = 720।

दूसरी ट्रेन 16 घंटे में वह दूरी तय करती है जो पहली ने t घंटे में की: S × 16 = 80 × t, अतः t = S/5। तब S × S/5 = 720, S × S = 3600 और S = 60 किमी/घंटा (वे 12 घंटे बाद मिलती हैं)।

शॉर्टकट: पहली : दूसरी = √16 : √9 = 4 : 3, अतः दूसरी = 80 × 3/4 = 60 किमी/घंटा।

उत्तर: (d) 60 किमी/घंटा

उदाहरण 6: दो पैदल यात्रियों से आगे निकलती ट्रेन

प्रश्न: एक ट्रेन अपनी दिशा में 2 किमी/घंटा और 4 किमी/घंटा से चल रहे दो व्यक्तियों को क्रमशः 9 सेकंड और 10 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की लंबाई क्या है? (a) 45 मी (b) 60 मी (c) 50 मी (d) 55 मी

हल: मान लें ट्रेन की चाल v किमी/घंटा है। सापेक्ष चालें (v − 2) और (v − 4) किमी/घंटा हैं, और दोनों बार दूरी ट्रेन की अपनी लंबाई है।

अतः (v − 2) × 9 = (v − 4) × 10, जिससे 9v − 18 = 10v − 40 और v = 22 किमी/घंटा।

लंबाई = (22 − 2) × 5/18 × 9 = 50 मी। दूसरे व्यक्ति से जांच: 18 × 5/18 × 10 = 50 मी।

उत्तर: (c) 50 मी

सामान्य गलतियां

लंबाई मीटर और समय सेकंड में होने पर भी चाल किमी/घंटा में छोड़ देना। एक समीकरण में इकाइयां कभी न मिलाएं।

ट्रेन के खंभे या खड़े व्यक्ति को पार करते समय प्लेटफॉर्म की लंबाई जोड़ देना, या प्लेटफॉर्म अथवा पुल पार करते समय उसे भूल जाना।

एक ही दिशा में चल रही ट्रेनों के लिए चालों का योग लेना। एक ही दिशा का अर्थ है चालों का अंतर।

बराबर दूरियों पर औसत चाल (u + v)/2 लेना। यह 2uv/(u + v) है, जो u = v न होने पर छोटी होती है।

ट्रेन के चलते व्यक्ति को पार करने पर सापेक्ष चाल के बजाय केवल ट्रेन की चाल लेना।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक पुलिसकर्मी 200 मी आगे एक चोर को देखता है। चोर 10 किमी/घंटा से भागता है और पुलिसकर्मी 12 किमी/घंटा से पीछा करता है। पकड़े जाने तक चोर कितनी दूरी भाग चुका होगा? (a) 800 मी (b) 1000 मी (c) 1200 मी (d) 900 मी

Q2. रवि दिल्ली से आगरा 40 किमी/घंटा से जाता है और उसी सड़क से 60 किमी/घंटा से लौटता है। पूरी यात्रा की उसकी औसत चाल क्या है? (a) 50 किमी/घंटा (b) 52 किमी/घंटा (c) 45 किमी/घंटा (d) 48 किमी/घंटा

Q3. 120 मी और 180 मी लंबी दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलते हुए एक-दूसरे को 12 सेकंड में पार करती हैं, और एक ही दिशा में चलते हुए तेज ट्रेन धीमी को 60 सेकंड में पार करती है। तेज ट्रेन की चाल क्या है? (a) 54 किमी/घंटा (b) 60 किमी/घंटा (c) 45 किमी/घंटा (d) 72 किमी/घंटा

उत्तर

Q1. (b) 200 मी = 0.2 किमी का अंतर 12 − 10 = 2 किमी/घंटा से घटता है, जिसमें 0.1 घंटा लगता है। 0.1 घंटे में चोर 10 × 0.1 = 1 किमी = 1000 मी भागता है।

Q2. (d) औसत चाल = 2 × 40 × 60/(40 + 60) = 4800/100 = 48 किमी/घंटा।

Q3. (a) चालों का योग = 300/12 = 25 मी/से और अंतर = 300/60 = 5 मी/से, अतः तेज ट्रेन = (25 + 5)/2 = 15 मी/से = 54 किमी/घंटा।

त्वरित पुनरावृत्ति

किमी/घंटा × 5/18 = मी/से और मी/से × 18/5 = किमी/घंटा।

विपरीत दिशाएं: चालें जोड़ें; एक ही दिशा: उन्हें घटाएं।

दूरी = ट्रेन की लंबाई, और यदि पार की जाने वाली वस्तु की लंबाई हो तो वह भी जोड़ें।

बराबर दूरियां: औसत चाल = 2uv/(u + v)।

मिलने के बाद समय t1 और t2: S1 : S2 = √t2 : √t1।

अवधारणाएं और नियम

मान लें u = शांत जल में नाव (या तैराक) की चाल और v = धारा की चाल। धारा के अनुकूल चाल D = u + v और प्रतिकूल चाल U = u − v; नाव धारा के विरुद्ध तभी जा सकती है जब u, v से अधिक हो।

D और U से: u = (D + U)/2 और v = (D − U)/2।

d किमी जाकर लौटने का समय: d/(u + v) + d/(u − v) = 2du/(u² − v²)।

आने-जाने की औसत चाल = (u + v)(u − v)/u = (u² − v²)/u, जो धारा बहने पर सदा u से कम होती है।

यदि समान दूरी के लिए प्रतिकूल जाने में अनुकूल से k गुना समय लगे, तो u + v = k(u − v), अतः u : v = (k + 1) : (k − 1)।

तैरती हुई कोई भी वस्तु (लकड़ी, टोपी) धारा की चाल v से चलती है। जल के सापेक्ष नाव दोनों दिशाओं में u से चलती है, इसलिए ऐसे पीछा वाले प्रश्नों में धारा का प्रभाव कट जाता है।

यदि नाव जितने समय में 4 किमी अनुकूल जाती है उतने में 3 किमी प्रतिकूल, तो D : U = 4 : 3, क्योंकि समान समय में दूरियां चालों के अनुपात में होती हैं।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: हर कथन को D और U (या u और v) के समीकरण में बदलें; दूरी ÷ समय से सीधे D या U मिलता है।

चरण 2: जब दो मिश्रित यात्राएं दी हों, x = 1/U और y = 1/D रखें; हर यात्रा एक रैखिक समीकरण बनती है: समय = (प्रतिकूल दूरी) × x + (अनुकूल दूरी) × y।

चरण 3: D और U के योग का आधा u और अंतर का आधा v निकालें।

शॉर्टकट: समान दूरी पर प्रतिकूल समय : अनुकूल समय = D : U, क्योंकि समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती है।

तैरती वस्तु वाले प्रश्नों में जल के सापेक्ष सोचें: वस्तु तक लौटने का समय उससे दूर जाने के समय के बराबर होता है।

उदाहरण 1: दो यात्राओं से चालें

प्रश्न: एक नाव 48 किमी अनुकूल दिशा में 3 घंटे में और 30 किमी प्रतिकूल दिशा में 3 घंटे में जाती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात करें।

हल: D = 48 ÷ 3 = 16 किमी/घंटा और U = 30 ÷ 3 = 10 किमी/घंटा। अतः u = (16 + 10)/2 = 13 किमी/घंटा और v = (16 − 10)/2 = 3 किमी/घंटा।

उत्तर: नाव 13 किमी/घंटा, धारा 3 किमी/घंटा।

उदाहरण 2: आने-जाने का समय

प्रश्न: शांत जल में 9 किमी/घंटा चाल वाली नाव 36 किमी अनुकूल दिशा में जाकर लौटती है। धारा 3 किमी/घंटा से बहती है। पूरी यात्रा में कितना समय लगेगा?

हल: D = 9 + 3 = 12 किमी/घंटा और U = 9 − 3 = 6 किमी/घंटा। समय = 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 घंटे।

उत्तर: 9 घंटे।

उदाहरण 3: प्रतिकूल यात्रा में दोगुना समय

प्रश्न: एक व्यक्ति किसी दूरी को प्रतिकूल दिशा में नाव चलाकर तय करने में, उतनी ही दूरी अनुकूल दिशा में तय करने से दोगुना समय लेता है। यदि धारा 2 किमी/घंटा से बहती है, तो शांत जल में उसकी चाल ज्ञात करें।

हल: दोगुना समय का अर्थ u + v = 2(u − v), अतः u = 3v। v = 2 किमी/घंटा से u = 6 किमी/घंटा। जांच: D = 8, U = 4, और 8 = 2 × 4।

उत्तर: 6 किमी/घंटा।

उदाहरण 4: दो मिश्रित यात्राएं

प्रश्न: एक नाव 30 किमी प्रतिकूल और 44 किमी अनुकूल दिशा में 10 घंटे में जाती है। वह 40 किमी प्रतिकूल और 55 किमी अनुकूल दिशा में 13 घंटे में भी जाती है। शांत जल में नाव की चाल क्या है? (a) 7 किमी/घंटा (b) 8 किमी/घंटा (c) 9 किमी/घंटा (d) 6 किमी/घंटा

हल: मान लें x = 1/U और y = 1/D। तब 30x + 44y = 10 और 40x + 55y = 13।

पहले को 4 से और दूसरे को 3 से गुणा करें: 120x + 176y = 40 और 120x + 165y = 39। घटाने पर 11y = 1, अतः y = 1/11 और D = 11 किमी/घंटा।

तब 30x = 10 − 44/11 = 6, अतः x = 1/5 और U = 5 किमी/घंटा। इसलिए u = (11 + 5)/2 = 8 किमी/घंटा और v = 3 किमी/घंटा।

उत्तर: (b) 8 किमी/घंटा

उदाहरण 5: दूरियों का अनुपात और कुल समय

प्रश्न: एक व्यक्ति 48 किमी दूर एक स्थान तक नाव चलाकर जाता है और 14 घंटे में लौट आता है। वह पाता है कि जितने समय में वह 4 किमी अनुकूल जाता है, उतने में 3 किमी प्रतिकूल। धारा की चाल क्या है? (a) 2 किमी/घंटा (b) 1.5 किमी/घंटा (c) 2.5 किमी/घंटा (d) 1 किमी/घंटा

हल: समान समय में दूरियां चालों के अनुपात में होती हैं, अतः D : U = 4 : 3। मान लें D = 4k और U = 3k।

48/(4k) + 48/(3k) = 14 ⇒ 12/k + 16/k = 14 ⇒ 28/k = 14 ⇒ k = 2। अतः D = 8 किमी/घंटा और U = 6 किमी/घंटा।

धारा की चाल v = (8 − 6)/2 = 1 किमी/घंटा, और शांत जल में व्यक्ति की चाल u = 7 किमी/घंटा।

उत्तर: (d) 1 किमी/घंटा

उदाहरण 6: तैरती टोपी

प्रश्न: प्रतिकूल दिशा में नाव चला रहे एक व्यक्ति की टोपी एक पुल के नीचे गिर जाती है। 20 मिनट बाद उसे पता चलता है, वह तुरंत लौटता है और पुल से 2 किमी अनुकूल दिशा में टोपी उठा लेता है। यदि शांत जल में उसकी चाल नहीं बदलती, तो धारा की चाल क्या है? (a) 2 किमी/घंटा (b) 4 किमी/घंटा (c) 3 किमी/घंटा (d) 6 किमी/घंटा

हल: जल के सापेक्ष टोपी स्थिर है, और व्यक्ति 20 मिनट तक u चाल से उससे दूर जाता है; उसी सापेक्ष चाल u से उसे टोपी तक लौटने में और 20 मिनट लगते हैं।

अतः टोपी 20 + 20 = 40 मिनट = 2/3 घंटा तैरती है और धारा के साथ 2 किमी जाती है।

धारा की चाल = 2 ÷ 2/3 = 3 किमी/घंटा। नाव की चाल u की आवश्यकता नहीं; धारा से अधिक हर u के लिए उत्तर यही है।

उत्तर: (c) 3 किमी/घंटा

सामान्य गलतियां

आने-जाने की औसत चाल u या (D + U)/2 लेना। औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय = (u² − v²)/u।

दोनों सूत्रों को मिलाना: (D + U)/2 नाव की चाल है और (D − U)/2 धारा की चाल।

ऐसा उत्तर मान लेना जिसमें v, u के बराबर या उससे अधिक हो; तब नाव प्रतिकूल दिशा में चल ही नहीं सकती, इसलिए गणना दोबारा जांचें।

दो यात्राओं वाले प्रश्नों में सीधे U और D में समीकरण लिखना, जिससे हर में अज्ञात आ जाते हैं। समीकरण रैखिक बनाने के लिए x = 1/U और y = 1/D रखें।

तैरती वस्तु वाले प्रश्नों में टोपी को नाव की चाल दे देना। टोपी केवल धारा के साथ चलती है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. शांत जल में 15 किमी/घंटा चाल वाली नाव 54 किमी अनुकूल दिशा में जाकर लौटती है। धारा 3 किमी/घंटा से बहती है। आने-जाने में कितने घंटे लगेंगे? (a) 7 (b) 7.5 (c) 7.2 (d) 8

Q2. शांत जल में एक नाव की चाल 10 किमी/घंटा है और धारा 4 किमी/घंटा से बहती है। किसी स्थान तक जाकर लौटने की यात्रा में उसकी औसत चाल क्या है? (a) 10 किमी/घंटा (b) 8 किमी/घंटा (c) 8.4 किमी/घंटा (d) 9.6 किमी/घंटा

Q3. शांत जल में एक नाव की चाल 12 किमी/घंटा है। किसी दूरी को प्रतिकूल दिशा में तय करने में उसे उतनी ही दूरी अनुकूल दिशा में तय करने से 3 गुना समय लगता है। धारा की चाल क्या है? (a) 4 किमी/घंटा (b) 5 किमी/घंटा (c) 3 किमी/घंटा (d) 6 किमी/घंटा

उत्तर

Q1. (b) D = 18 और U = 12 किमी/घंटा, अतः समय = 54/18 + 54/12 = 3 + 4.5 = 7.5 घंटे।

Q2. (c) (100 − 16)/10 = 84/10 = 8.4 किमी/घंटा। हर ओर 21 किमी लेकर जांच: 21/14 + 21/6 = 1.5 + 3.5 = 5 घंटे में 42 किमी, यानी 8.4 किमी/घंटा।

Q3. (d) u : v = (3 + 1) : (3 − 1) = 2 : 1, अतः v = 12/2 = 6 किमी/घंटा। जांच: D = 18, U = 6 और 18 = 3 × 6।

त्वरित पुनरावृत्ति

D = u + v, U = u − v; u = (D + U)/2, v = (D − U)/2।

हर ओर d की आने-जाने की यात्रा: समय = 2du/(u² − v²); औसत चाल = (u² − v²)/u।

प्रतिकूल में k गुना समय: u : v = (k + 1) : (k − 1)।

दो मिश्रित यात्राएं: x = 1/U और y = 1/D रखें, फिर विलोपन करें।

तैरती वस्तुएं धारा के साथ चलती हैं; जल के सापेक्ष धारा का प्रभाव कट जाता है।