Statistics and probability — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

n मानों का माध्य (समांतर औसत) = मानों का योग ÷ n। योग = माध्य × n, और SSC के अधिकांश प्रश्नों में यही रूप काम आता है।

हर मान में अचर k जोड़ने पर माध्य, माध्यिका और बहुलक में k जुड़ जाता है। हर मान को k से गुणा करने पर तीनों k से गुणा हो जाते हैं।

2 समूहों का संयुक्त माध्य = (n1 × m1 + n2 × m2) ÷ (n1 + n2)। यह m1 और m2 के बीच होता है और बड़े समूह के माध्य के अधिक पास होता है।

संशोधित माध्य: यदि मान a को गलती से b लिया गया, तो सही योग = गलत योग − b + a; फिर से n से भाग दें।

माध्यिका: मानों को क्रम में रखें। यदि n विषम है, तो माध्यिका ((n + 1)/2)वां मान है; यदि n सम है, तो यह (n/2)वें और (n/2 + 1)वें मानों का औसत है।

बहुलक: वह मान जो सबसे अधिक बार आता है। किसी आंकड़े में 1 बहुलक, 1 से अधिक बहुलक, या कोई नहीं हो सकता, यदि हर मान बराबर बार आए।

वर्गीकृत आंकड़े: माध्य = Σfx ÷ Σf, जहां x हर वर्ग का वर्ग-चिह्न (मध्य-बिंदु) और f उसकी बारंबारता है।

वर्गीकृत माध्यिका = l + ((N/2 − cf) ÷ f) × h, जहां माध्यिका वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता N/2 तक पहुंचती है, l उसकी निम्न सीमा, cf उससे पहले की संचयी बारंबारता, f उसकी बारंबारता और h उसकी चौड़ाई है।

वर्गीकृत बहुलक = l + ((f1 − f0) ÷ (2f1 − f0 − f2)) × h, जहां बहुलक वर्ग की बारंबारता f1 सबसे अधिक है, और f0 तथा f2 उससे पहले और बाद के वर्गों की बारंबारताएं हैं।

आनुभविक संबंध: बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य। यह केवल लगभग सत्य है, मध्यम विषम आंकड़ों के लिए; इसे तभी लगाएं जब प्रश्न अन्य 2 से अनुमानित मान मांगे।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: मान जोड़ने, हटाने या सुधारने से पहले हर औसत को योग (माध्य × संख्या) में बदलें।

चरण 2: माध्यिका के लिए पहले हमेशा क्रम में रखें और मान गिनें; देखें कि n विषम है या सम।

चरण 3: वर्गीकृत आंकड़ों में संचयी बारंबारता का स्तंभ बनाएं; इससे माध्यिका वर्ग तुरंत मिलता है।

शॉर्टकट: कल्पित माध्य। एक सुविधाजनक मान A लें, विचलनों (x − A) का औसत निकालें और उसे A में जोड़ें। इससे संख्याएं छोटी रहती हैं।

शॉर्टकट: क्रमागत पूर्णांकों या समांतर श्रेढ़ी का माध्य पहले और अंतिम पद का औसत होता है; उसकी माध्यिका भी यही है।

उदाहरण 1: सूची का माध्य, माध्यिका और बहुलक

प्रश्न: 7, 3, 9, 12, 5, 9, 4 का माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल: योग = 49 और n = 7, इसलिए माध्य = 7। क्रम में: 3, 4, 5, 7, 9, 9, 12; 4था मान 7 है। मान 9 दो बार आता है, जो किसी भी अन्य से अधिक है।

उत्तर: माध्य 7, माध्यिका 7, बहुलक 9।

उदाहरण 2: सम संख्या में मानों की माध्यिका

प्रश्न: 12, 7, 15, 9, 20, 11 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

हल: क्रम में: 7, 9, 11, 12, 15, 20। 6 मानों में माध्यिका 3रे और 4थे का औसत है: (11 + 12)/2 = 11.5।

उत्तर: 11.5

उदाहरण 3: गलत दर्ज मान का सुधार

प्रश्न: 40 प्रेक्षणों का माध्य 52 था। बाद में पता चला कि 87 को 57 दर्ज कर दिया गया था। सही माध्य ज्ञात कीजिए।

हल: गलत योग = 40 × 52 = 2080। सही योग = 2080 − 57 + 87 = 2110। सही माध्य = 2110 ÷ 40 = 52.75।

उत्तर: 52.75

उदाहरण 4: 2 वर्गों का संयुक्त माध्य

प्रश्न: वर्ग A में 30 छात्रों के औसत अंक 64 हैं और वर्ग B में 45 छात्रों के औसत अंक 54 हैं। सभी 75 छात्रों का औसत क्या है? (a) 59 (b) 58 (c) 60 (d) 57

हल: योग = 30 × 64 + 45 × 54 = 1920 + 2430 = 4350, और 4350 ÷ 75 = 58। 64 और 54 का साधारण औसत 59 है, जो B के बड़े आकार को अनदेखा करता है।

उत्तर: (b) 58

उदाहरण 5: वर्गीकृत आंकड़ों की माध्यिका

प्रश्न: वर्ग और बारंबारताएं: 0–10: 5, 10–20: 8, 20–30: 12, 30–40: 10, 40–50: 5। माध्यिका ज्ञात कीजिए। (a) 24.17 (b) 25 (c) 25.83 (d) 26.5

हल: N = 40, इसलिए N/2 = 20। संचयी बारंबारताएं: 5, 13, 25, 35, 40। 20 तक पहुंचने वाली पहली 25 है, इसलिए माध्यिका वर्ग 20–30 है, जिसमें l = 20, cf = 13, f = 12, h = 10।

माध्यिका = 20 + ((20 − 13) ÷ 12) × 10 = 20 + 70/12 = 20 + 5.83 = 25.83।

उत्तर: (c) 25.83

उदाहरण 6: वर्गीकृत बहुलक बनाम आनुभविक सूत्र

प्रश्न: उदाहरण 5 के आंकड़ों के लिए वर्गीकृत आंकड़ों के सूत्र से बहुलक ज्ञात कीजिए। (a) 26.5 (b) 25.5 (c) 27.5 (d) 26.67

हल: बहुलक वर्ग 20–30 है (बारंबारता 12), जिसमें f0 = 8 और f2 = 10। बहुलक = 20 + ((12 − 8) ÷ (24 − 8 − 10)) × 10 = 20 + (4/6) × 10 = 26.67।

तुलना: माध्य Σfx ÷ Σf = (25 + 120 + 300 + 350 + 225) ÷ 40 = 1020 ÷ 40 = 25.5 है, और 3 × 25.83 − 2 × 25.5 = 26.5। आनुभविक मान 26.5 पास है पर सूत्र वाला उत्तर नहीं है।

उत्तर: (d) 26.67

सामान्य गलतियां

क्रम में रखे बिना माध्यिका निकालना। लिखी हुई सूची का बीच वाला मान माध्यिका नहीं है।

समूहों के आकार अलग होने पर 2 समूह-माध्यों का साधारण औसत लेना। हर माध्य को उसके समूह के आकार से भारित करें।

वर्गीकृत माध्यिका में माध्यिका वर्ग की अपनी संचयी बारंबारता को cf ले लेना। cf उस वर्ग से पहले का योग है।

वर्गीकृत आंकड़े दिए होने पर बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य को सटीक सूत्र मानना। वर्ग सूत्र लगाएं; यह संबंध अनुमानित है।

त्रुटि को योग के बजाय माध्य में जोड़ देना। त्रुटि योग बदलती है; माध्य त्रुटि ÷ n से बदलता है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 5 संख्याओं का माध्य 18 है। एक संख्या हटाने पर शेष संख्याओं का माध्य 16 हो जाता है। कौन-सी संख्या हटाई गई? (a) 24 (b) 26 (c) 28 (d) 2

Q2. पहली 10 अभाज्य संख्याओं की माध्यिका क्या है? (a) 11 (b) 13 (c) 12 (d) 12.9

Q3. एक मध्यम विषम बंटन में माध्य 24 और माध्यिका 26 है। बहुलक लगभग कितना है? (a) 28 (b) 25 (c) 32 (d) 30

उत्तर

Q1. (b) 5 का योग = 90 और 4 का योग = 64, इसलिए हटाई गई संख्या 90 − 64 = 26 है।

Q2. (c) अभाज्य संख्याएं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 हैं; माध्यिका = (11 + 13)/2 = 12। विकल्प (d) 12.9 उनका माध्य है।

Q3. (d) बहुलक ≈ 3 × 26 − 2 × 24 = 78 − 48 = 30।

त्वरित पुनरावृत्ति

योग = माध्य × n; संयुक्त माध्य = (n1m1 + n2m2) ÷ (n1 + n2); सही योग = योग − गलत + सही।

माध्यिका: पहले क्रम में रखें; विषम n में बीच का मान, सम n में बीच के 2 का औसत।

वर्गीकृत माध्यिका l + ((N/2 − cf)/f)h; वर्गीकृत बहुलक l + ((f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2))h।

बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य अनुमानित है; k जोड़ने से सभी 3 माप k से खिसकते हैं।

अवधारणाएं और नियम

प्रकीर्णन के माप बताते हैं कि मान कितने फैले हुए हैं। 2 आंकड़ों का माध्य समान होते हुए भी उनका फैलाव बहुत अलग हो सकता है।

परिसर = सबसे बड़ा मान − सबसे छोटा मान। परिसर गुणांक = (सबसे बड़ा − सबसे छोटा) ÷ (सबसे बड़ा + सबसे छोटा), जो फैलाव की तुलना के लिए एक शुद्ध संख्या है।

माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = Σ|x − माध्य| ÷ n, यानी चिह्नों को छोड़कर मानों की माध्य से औसत दूरी।

प्रसरण σ² = Σ(x − माध्य)² ÷ n = (Σx² ÷ n) − माध्य²। मानक विचलन σ = √प्रसरण, आंकड़ों की ही इकाई में।

ये नोट्स n से भाग देते हैं (समष्टि प्रसरण), जैसा विद्यालयी पुस्तकों और SSC प्रश्नों में होता है। कुछ पुस्तकें प्रतिदर्श के लिए n − 1 से भाग देती हैं; उसे तभी लें जब प्रश्न कहे।

हर मान में अचर जोड़ने से माध्य बदलता है पर परिसर, माध्य विचलन, प्रसरण या मानक विचलन नहीं। हर मान को k से गुणा करने पर परिसर और मानक विचलन |k| गुना और प्रसरण k² गुना हो जाता है।

विचरण गुणांक CV = σ ÷ माध्य × 100। जिस आंकड़े का CV छोटा है वह अधिक सुसंगत है (अपने माध्य के सापेक्ष कम परिवर्तनशील)।

उपयोगी परिणाम: 2 मानों a और b का मानक विचलन = |a − b|/2। पहली n प्राकृत संख्याओं का प्रसरण = (n² − 1)/12। यदि सभी मान बराबर हों, तो मानक विचलन = 0।

2 समूहों का संयुक्त प्रसरण: σ² = [n1(σ1² + d1²) + n2(σ2² + d2²)] ÷ (n1 + n2), जहां d1 और d2 हर समूह-माध्य और संयुक्त माध्य के अंतर हैं।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: पहले माध्य निकालें। फिर हर विचलन (x − माध्य) एक पंक्ति में लिखें; इनका योग 0 होना चाहिए, जिससे माध्य की जांच होती है।

चरण 2: विचलनों का वर्ग करें, जोड़ें और प्रसरण के लिए n से भाग दें; मानक विचलन के लिए वर्गमूल लें।

चरण 3: जब माध्य पूर्ण संख्या न हो, तो विचलनों के बजाय प्रसरण = Σx²/n − माध्य² लें।

शॉर्टकट: मूल और पैमाने के परिवर्तन y = ax + b में y का मानक विचलन = |a| × x का मानक विचलन; b को पूरी तरह छोड़ दें।

शॉर्टकट: जब माध्य अलग हों, तो सुसंगतता की तुलना के लिए मानक विचलन नहीं, CV की तुलना करें।

उदाहरण 1: परिसर और उसका गुणांक

प्रश्न: 23, 41, 17, 35, 29 का परिसर और परिसर गुणांक ज्ञात कीजिए।

हल: सबसे बड़ा = 41, सबसे छोटा = 17। परिसर = 41 − 17 = 24। गुणांक = 24 ÷ (41 + 17) = 24/58 = 12/29, लगभग 0.41।

उत्तर: परिसर 24; गुणांक 12/29।

उदाहरण 2: माध्य विचलन

प्रश्न: 4, 7, 8, 9, 12 का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

हल: माध्य = 40 ÷ 5 = 8। 8 से दूरियां: 4, 1, 0, 1, 4, जिनका योग 10 है। माध्य विचलन = 10 ÷ 5 = 2।

उत्तर: 2

उदाहरण 3: प्रसरण और मानक विचलन

प्रश्न: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

हल: माध्य = 40 ÷ 8 = 5। विचलनों के वर्ग: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, जिनका योग 32 है। प्रसरण = 32 ÷ 8 = 4, इसलिए मानक विचलन = 2।

उत्तर: प्रसरण 4, मानक विचलन 2।

उदाहरण 4: पैमाने और मूल का परिवर्तन

प्रश्न: एक आंकड़े का मानक विचलन 3 है। हर मान को 4 से गुणा करके फिर 5 जोड़ा जाता है। नया प्रसरण क्या है? (a) 12 (b) 17 (c) 144 (d) 149

हल: 5 जोड़ने का कोई प्रभाव नहीं। 4 से गुणा करने पर मानक विचलन 4 × 3 = 12 हो जाता है, इसलिए प्रसरण 12² = 144 है। विकल्प (a) नया मानक विचलन है, प्रसरण नहीं।

उत्तर: (c) 144

उदाहरण 5: कौन-सा खिलाड़ी अधिक सुसंगत है

प्रश्न: बल्लेबाज A का माध्य स्कोर 48 और मानक विचलन 12 है। बल्लेबाज B ने 4 पारियों में 30, 42, 30, 42 बनाए। कौन अधिक सुसंगत है, और उस बल्लेबाज का CV क्या है? (a) A, CV 25% (b) B, CV 16.67% (c) A, CV 16.67% (d) B, CV 25%

हल: B का माध्य = 144 ÷ 4 = 36; हर स्कोर 36 से 6 दूर है, इसलिए B का प्रसरण = 36 और मानक विचलन = 6।

A का CV = 12 ÷ 48 × 100 = 25%; B का CV = 6 ÷ 36 × 100 = 16.67%। B का CV छोटा है, इसलिए B अधिक सुसंगत है।

उत्तर: (b) B, CV 16.67%

उदाहरण 6: संयुक्त प्रसरण

प्रश्न: समूह 1 में 20 मान हैं जिनका माध्य 50 और मानक विचलन 4 है; समूह 2 में 30 मान हैं जिनका माध्य 60 और मानक विचलन 6 है। सभी 50 मानों का एक साथ प्रसरण क्या है? (a) 40 (b) 26 (c) 49 (d) 52

हल: संयुक्त माध्य = (20 × 50 + 30 × 60) ÷ 50 = 2800 ÷ 50 = 56, इसलिए d1 = 50 − 56 = −6 और d2 = 60 − 56 = 4।

प्रसरण = [20(16 + 36) + 30(36 + 16)] ÷ 50 = (1040 + 1560) ÷ 50 = 2600 ÷ 50 = 52।

2 प्रसरणों (16 और 36, भारित औसत 28) का औसत लेना समूह-माध्यों के अंतर को अनदेखा करता है; वही अंतर d² वाले पद जोड़ता है।

उत्तर: (d) 52

सामान्य गलतियां

प्रसरण पूछे जाने पर मानक विचलन बताना, या उलटा। प्रसरण वर्ग इकाइयों में है; मानक विचलन मूल इकाइयों में।

यह सोचना कि अचर जोड़ने से मानक विचलन बढ़ता है। खिसकाने से हर मान बराबर हटता है, इसलिए फैलाव नहीं बदलता।

माध्य विचलन के लिए चिह्न सहित विचलन जोड़ना; उनका योग हमेशा 0 होता है। निरपेक्ष मान लें।

जब प्रश्न n चाहता है तब n − 1 से भाग देना, जिससे 1 से 10 का प्रसरण 8.25 के बजाय लगभग 9.17 हो जाता है।

माध्य अलग होने पर केवल मानक विचलन से सुसंगतता की तुलना करना। CV लें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. पहली 10 प्राकृत संख्याओं का प्रसरण क्या है? (a) 8.25 (b) 9.17 (c) 5.5 (d) 2.87

Q2. 2 मानों 6 और 14 का मानक विचलन क्या है? (a) 8 (b) 2 (c) 4 (d) 16

Q3. एक आंकड़े का माध्य 40 और विचरण गुणांक 15% है। इसका प्रसरण क्या है? (a) 6 (b) 36 (c) 2.25 (d) 60

उत्तर

Q1. (a) n = 10 के साथ (n² − 1)/12 से 99/12 = 8.25।

Q2. (c) माध्य = 10 और हर मान 4 दूर है, इसलिए मानक विचलन = |14 − 6|/2 = 4।

Q3. (b) मानक विचलन = 40 का 15% = 6, इसलिए प्रसरण = 36।

त्वरित पुनरावृत्ति

परिसर = अधिकतम − न्यूनतम; गुणांक = (अधिकतम − न्यूनतम)/(अधिकतम + न्यूनतम); माध्य विचलन = Σ|x − माध्य|/n।

प्रसरण = Σ(x − माध्य)²/n = Σx²/n − माध्य²; मानक विचलन = √प्रसरण।

y = ax + b: मानक विचलन |a| गुना, प्रसरण a² गुना, b का कोई प्रभाव नहीं।

CV = मानक विचलन/माध्य × 100; छोटा CV अधिक सुसंगत।

अवधारणाएं और नियम

किसी प्रयोग के सभी संभव परिणामों के समुच्चय को प्रतिदर्श समष्टि कहते हैं। यदि सभी परिणाम समसंभाव्य हों, तो P(E) = E के परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या।

0 ≤ P(E) ≤ 1। असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है। P(E नहीं) = 1 − P(E)।

सिक्के: n सिक्के (या 1 सिक्का n बार उछालने पर) 2ⁿ समसंभाव्य परिणाम देते हैं। पासे: 1 पासा 6 परिणाम देता है, 2 पासे 6 × 6 = 36 क्रमित परिणाम देते हैं।

ताश: एक गड्डी में 52 पत्ते होते हैं, 13 पत्तों के 4 सूट (हुकुम और चिड़ी काले, पान और ईंट लाल), इसलिए 26 लाल और 26 काले। इसमें 4 इक्के और 12 फेस कार्ड (हर सूट के गुलाम, बेगम, बादशाह) होते हैं।

योग नियम: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)। यदि A और B एक साथ नहीं हो सकते (परस्पर अपवर्जी), तो P(A या B) = P(A) + P(B)।

स्वतंत्र घटनाएं: एक दूसरी को प्रभावित नहीं करती, और P(A और B) = P(A) × P(B)। वापस रखकर निकालने पर निकासियां स्वतंत्र रहती हैं; बिना वापस रखे नहीं।

कम से कम एक: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। प्रायिकताओं p1, p2, p3 वाली स्वतंत्र घटनाओं में P(कम से कम एक घटे) = 1 − (1 − p1)(1 − p2)(1 − p3)।

चयन: n वस्तुओं में से r चुनने के तरीकों की संख्या C(n, r) = n!/(r!(n − r)!) है। उदाहरण के लिए C(5, 2) = 10 और C(12, 2) = 66।

E के पक्ष में संयोगानुपात a : b का अर्थ है P(E) = a/(a + b); E के विपक्ष में संयोगानुपात b : a है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: कुल समसंभाव्य परिणामों की संख्या लिखें (2ⁿ, 36, 52, C(n, r))।

चरण 2: अनुकूल परिणाम कम हों तो उन्हें सूचीबद्ध करके गिनें (2 पासों के योग), या चयन में C(n, r) से।

चरण 3: 'कम से कम', 'नहीं' या 'कोई नहीं' वाले प्रश्नों में पूरक प्रायः छोटा होता है: जो नहीं चाहिए उसे गिनें और 1 से घटाएं।

चरण 4: 'या' में जोड़ने से पहले साझा भाग जांचें; 'और' में गुणा करने से पहले स्वतंत्रता जांचें।

2 पासों का शॉर्टकट: योग s पाने के तरीकों की संख्या s = 2 से 7 तक s − 1 और s = 7 से 12 तक 13 − s है।

उदाहरण 1: 2 सिक्के

प्रश्न: 2 सिक्के उछाले जाते हैं। कम से कम 1 चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: परिणाम HH, HT, TH, TT; केवल TT में कोई चित नहीं। P = 1 − 1/4 = 3/4।

उत्तर: 3/4

उदाहरण 2: 2 पासों का योग

प्रश्न: 2 पासे फेंके जाते हैं। योग 8 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: अनुकूल: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), अर्थात 36 में से 5 परिणाम। शॉर्टकट: 13 − 8 = 5।

उत्तर: 5/36

उदाहरण 3: बादशाह या पान

प्रश्न: अच्छी तरह फेंटी गई 52 पत्तों की गड्डी से 1 पत्ता निकाला जाता है। उसके बादशाह या पान होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: बादशाह 4, पान 13, और पान का बादशाह दोनों में गिना गया है। P = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13।

उत्तर: 4/13

उदाहरण 4: बिना वापस रखे 2 गेंदें

प्रश्न: एक थैले में 5 लाल, 4 नीली और 3 हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से 2 गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता क्या है? (a) 25/144 (b) 5/33 (c) 5/12 (d) 10/33

हल: कुल तरीके = C(12, 2) = 66; 2 लाल चुनने के तरीके = C(5, 2) = 10। P = 10/66 = 5/33। क्रमशः जांच: 5/12 × 4/11 = 20/132 = 5/33।

विकल्प (a) 25/144 वापस रखकर निकालने का उत्तर होता; एक साथ निकालने का अर्थ है बिना वापस रखे।

उत्तर: (b) 5/33

उदाहरण 5: 2 पासों पर साझा घटनाएं

प्रश्न: 2 पासे फेंके जाते हैं। संख्याओं का गुणनफल सम या उनका योग 7 होने की प्रायिकता क्या है? (a) 11/12 (b) 2/3 (c) 3/4 (d) 5/6

हल: गुणनफल विषम तभी है जब दोनों संख्याएं विषम हों: 3 × 3 = 9 परिणाम। इसलिए P(गुणनफल सम) = 1 − 9/36 = 27/36।

योग 7 में हमेशा एक विषम और एक सम संख्या होती है, इसलिए उन सभी 6 परिणामों में गुणनफल पहले से सम है। साझा भाग पूरी घटना है।

P = 27/36 + 6/36 − 6/36 = 27/36 = 3/4। साझा भाग घटाए बिना जोड़ने पर 33/36 = 11/12 आता है, जो विकल्प (a) का जाल है।

उत्तर: (c) 3/4

उदाहरण 6: 3 में से कम से कम एक हल करे

प्रश्न: A, B और C एक प्रश्न स्वतंत्र रूप से हल करने का प्रयास करते हैं। उनके हल करने की संभावनाएं 1/3, 1/4 और 1/5 हैं। प्रश्न के हल होने की प्रायिकता क्या है? (a) 3/5 (b) 47/60 (c) 2/5 (d) 1/60

हल: प्रश्न तभी हल नहीं होगा जब सभी 3 असफल हों: (2/3) × (3/4) × (4/5) = 24/60 = 2/5।

इसलिए P(हल) = 1 − 2/5 = 3/5। 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60 जोड़ने से वे स्थितियां एक से अधिक बार गिनी जाती हैं जिनमें 2 या 3 सफल हों; विकल्प (c) असफलता की प्रायिकता है।

उत्तर: (a) 3/5

सामान्य गलतियां

(2, 6) और (6, 2) को एक परिणाम गिनना। 2 पासों में 36 क्रमित परिणाम होते हैं, और दोनों क्रम गिने जाते हैं।

साझा भाग वाली घटनाओं की प्रायिकताएं सीधे जोड़ना। P(A और B) घटाएं, जब तक घटनाएं एक साथ असंभव न हों।

आश्रित निकासियों की प्रायिकताओं को स्वतंत्र मानकर गुणा करना: बिना वापस रखे दूसरी निकासी में 1 गेंद कम होती है।

भूल जाना कि गड्डी में 12 फेस कार्ड हैं, 16 नहीं; इक्के फेस कार्ड नहीं होते।

1 से अधिक या ऋणात्मक प्रायिकता उत्तर में देना। ऐसा कोई भी परिणाम गिनती में त्रुटि दर्शाता है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 3 सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। ठीक 2 चित आने की प्रायिकता क्या है? (a) 1/2 (b) 3/8 (c) 1/4 (d) 7/8

Q2. 1 से 50 तक में से एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। उसके 4 या 6 से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है? (a) 2/5 (b) 7/25 (c) 9/25 (d) 8/25

Q3. 52 पत्तों की गड्डी से 2 पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं। दोनों के इक्के होने की प्रायिकता क्या है? (a) 1/221 (b) 1/169 (c) 2/221 (d) 1/13

उत्तर

Q1. (b) 8 परिणाम; ठीक 2 चित: HHT, HTH, THH, इसलिए 3/8।

Q2. (d) 4 के गुणज: 12, 6 के: 8, दोनों के (12 के): 4। अनुकूल = 12 + 8 − 4 = 16, इसलिए 16/50 = 8/25।

Q3. (a) C(4, 2)/C(52, 2) = 6/1326 = 1/221।

त्वरित पुनरावृत्ति

P = अनुकूल ÷ कुल; P(E नहीं) = 1 − P(E); कम से कम एक = 1 − P(कोई नहीं)।

P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B); स्वतंत्र: P(A और B) = P(A)P(B)।

2 पासे: 36 परिणाम; योग s के 7 तक s − 1 और 7 के बाद 13 − s तरीके।

ताश: 52, 13 के 4 सूट, 26 लाल, 4 इक्के, 12 फेस कार्ड; 'एक साथ' का अर्थ बिना वापस रखे।