Trigonometry — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

न्यून कोण θ वाले समकोण त्रिभुज में: sinθ = लंब/कर्ण, cosθ = आधार/कर्ण और tanθ = लंब/आधार। cosecθ = 1/sinθ, secθ = 1/cosθ, cotθ = 1/tanθ, और tanθ = sinθ/cosθ।

मानक मान: sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1, और cos के मान इन्हीं का उल्टा क्रम हैं।

tan 0°, 30°, 45°, 60° = 0, 1/√3, 1, √3, और tan 90° परिभाषित नहीं है (cos 90° = 0)।

पाइथागोरस सर्वसमिकाएं: sin²θ + cos²θ = 1, sec²θ − tan²θ = 1 और cosec²θ − cot²θ = 1। अतः (secθ + tanθ)(secθ − tanθ) = 1 और (cosecθ + cotθ)(cosecθ − cotθ) = 1।

पूरक कोण: sin(90° − θ) = cosθ, cos(90° − θ) = sinθ, tan(90° − θ) = cotθ और sec(90° − θ) = cosecθ। अतः यदि A + B = 90°, तो sinA = cosB, tanA × tanB = 1 और sin²A + sin²B = 1।

परिसर: sinθ और cosθ सदा −1 से 1 के बीच रहते हैं; secθ और cosecθ कभी भी −1 और 1 के बीच नहीं होते। न्यून θ के लिए छहों अनुपात धनात्मक होते हैं।

अधिकतम और न्यूनतम: a sinθ + b cosθ, −√(a² + b²) से √(a² + b²) के बीच रहता है। न्यून θ और a, b > 0 के लिए AM ≥ GM से a tan²θ + b cot²θ ≥ 2√(ab), और समानता तब जब tan²θ = √(b/a)।

गुणनफल नियम: tan 1° × tan 2° × … × tan 89° = 1, क्योंकि tanθ × tan(90° − θ) = 1 से गुणनखंड जोड़ियों में कट जाते हैं और tan 45° = 1।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: यदि एक अनुपात दिया हो (जैसे sinθ = 3/5), समकोण त्रिभुज बनाएं, पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालें, और कोई भी दूसरा अनुपात पढ़ लें।

चरण 2: tanθ ज्ञात हो तो व्यंजक का मान निकालने के लिए अंश और हर को cosθ (या cos²θ) से भाग दें ताकि केवल tanθ बचे।

चरण 3: पूरक जोड़ियों में एक कोण बदलें: sin 37° = cos 53°, tan 70° = cot 20°, फिर काटें।

शॉर्टकट: यदि secθ + tanθ = k, तो secθ − tanθ = 1/k; जोड़ने पर secθ = (k + 1/k)/2 और घटाने पर tanθ = (k − 1/k)/2।

सर्वसमिका वाले प्रश्नों का शॉर्टकट: व्यंजक और हर विकल्प में θ = 45° (या 30°) रखें। यह तभी मान्य है जब परिणाम हर θ के लिए सत्य होना चाहिए; यदि दो विकल्प समान मान दें, तो दूसरा कोण जांचें।

उदाहरण 1: एक अनुपात दिया हो

प्रश्न: यदि sinθ = 3/5 और θ न्यून है, तो secθ + tanθ ज्ञात करें।

हल: लंब = 3 और कर्ण = 5, अतः आधार = √(25 − 9) = 4। तब secθ = 5/4 और tanθ = 3/4।

secθ + tanθ = 5/4 + 3/4 = 8/4 = 2।

उत्तर: 2

उदाहरण 2: मानक मान

प्रश्न: sin²30° + cos²60° + tan²45° ज्ञात करें।

हल: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2 और tan 45° = 1, अतः मान 1/4 + 1/4 + 1 = 3/2 है।

उत्तर: 3/2

उदाहरण 3: पूरक कोण

प्रश्न: sin 37°/cos 53° + tan 20° × tan 70° ज्ञात करें।

हल: 37° + 53° = 90°, अतः sin 37° = cos 53° और भिन्न 1 है। साथ ही tan 70° = cot 20°, अतः tan 20° × tan 70° = 1।

उत्तर: 1 + 1 = 2

उदाहरण 4: sec θ + tan θ का उपयोग

प्रश्न: यदि secθ + tanθ = 3, तो sinθ ज्ञात करें। (a) 3/5 (b) 5/3 (c) 4/5 (d) 3/4

हल: secθ − tanθ = 1/3। जोड़ने पर 2secθ = 10/3, अतः secθ = 5/3; घटाने पर 2tanθ = 8/3, अतः tanθ = 4/3।

sinθ = tanθ/secθ = (4/3)/(5/3) = 4/5। जांच: 5/3 + 4/3 = 3।

उत्तर: (c) 4/5

उदाहरण 5: AM ≥ GM से न्यूनतम मान

प्रश्न: न्यून θ के लिए 9tan²θ + 4cot²θ का न्यूनतम मान क्या है? (a) 13 (b) 12 (c) 6 (d) 10

हल: गुणनफल 9tan²θ × 4cot²θ = 36 अचर है, अतः AM ≥ GM से 9tan²θ + 4cot²θ ≥ 2√36 = 12।

समानता के लिए 9tan²θ = 4cot²θ चाहिए, अर्थात tan⁴θ = 4/9 और tan²θ = 2/3, जो न्यून θ के लिए संभव है, अतः 12 वास्तव में प्राप्त होता है।

विकल्प 13, θ = 45° रखने से आता है, जिससे 9 + 4 = 13 मिलता है; यह व्यंजक का एक मान है, न्यूनतम नहीं।

उत्तर: (b) 12

उदाहरण 6: शर्त cos θ + cos²θ = 1

प्रश्न: यदि cosθ + cos²θ = 1, तो sin¹²θ + 3sin¹⁰θ + 3sin⁸θ + sin⁶θ − 1 ज्ञात करें। (a) 1 (b) −1 (c) 2 (d) 0

हल: शर्त से sin²θ = 1 − cos²θ = cosθ।

अतः sin⁴θ + sin²θ = cos²θ + cosθ = 1।

पहले चार पद (sin⁴θ)³ + 3(sin⁴θ)²(sin²θ) + 3(sin⁴θ)(sin²θ)² + (sin²θ)³ हैं, जो घन (sin⁴θ + sin²θ)³ = 1 है।

अतः मान 1 − 1 = 0 है।

उत्तर: (d) 0

सामान्य गलतियां

sin²θ + cos²θ = 1 को sinθ + cosθ = 1 बना देना। सर्वसमिका केवल वर्गों के लिए है।

sin 30° और sin 60° को आपस में बदल देना। sin 30° = 1/2 और sin 60° = √3/2; 0° से 90° तक sin बढ़ता है जबकि cos घटता है।

secθ − tanθ को 1 − (secθ + tanθ) मानना। यह व्युत्क्रम है: (secθ + tanθ)(secθ − tanθ) = 1।

अधिकतम या न्यूनतम निकालने के लिए θ = 45° रखना। विशेष कोण व्यंजक का एक मान देता है, आवश्यक नहीं कि चरम मान हो; AM ≥ GM या √(a² + b²) का उपयोग करें।

जिन कोणों का योग 90° नहीं है उन पर पूरक नियम लगाना, जैसे tan 20° × tan 60° को 1 मान लेना।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 4sin²60° + 3tan²30° − 8sin 45° cos 45° ज्ञात करें। (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) −1

Q2. यदि 3tanθ = 4 और θ न्यून है, तो (5sinθ − 3cosθ)/(5sinθ + 2cosθ) ज्ञात करें। (a) 11/20 (b) 1/2 (c) 11/26 (d) 9/26

Q3. (cos²20° + cos²70°)/(sin²31° + sin²59°) + tan 10° × tan 80° ज्ञात करें। (a) 1 (b) 0 (c) 3 (d) 2

उत्तर

Q1. (a) 4 × 3/4 + 3 × 1/3 − 8 × 1/√2 × 1/√2 = 3 + 1 − 4 = 0।

Q2. (c) cosθ से भाग दें: (5tanθ − 3)/(5tanθ + 2) में tanθ = 4/3 रखने पर (20/3 − 3)/(20/3 + 2) = (11/3)/(26/3) = 11/26।

Q3. (d) cos 70° = sin 20° और sin 59° = cos 31°, अतः भिन्न 1/1 = 1; tan 80° = cot 10°, अतः गुणनफल 1। कुल = 2।

त्वरित पुनरावृत्ति

sin: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के लिए 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1; cos इसका उल्टा।

sin²θ + cos²θ = 1; sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1।

secθ + tanθ = k ⇒ secθ − tanθ = 1/k।

A + B = 90°: sinA = cosB, tanA × tanB = 1।

चरम मान: a sinθ + b cosθ अधिकतम √(a² + b²); a tan²θ + b cot²θ कम से कम 2√(ab)।

अवधारणाएं और नियम

एक पूरा चक्कर 360° है। 1° = 60′ (मिनट) और 1′ = 60″ (सेकंड)।

रेडियन वह कोण है जो त्रिज्या के बराबर लंबाई का चाप वृत्त के केंद्र पर बनाता है। π रेडियन = 180°, अतः 1 रेडियन = 180/π डिग्री ≈ 57.3°, और 1° = π/180 रेडियन ≈ 0.01745 रेडियन।

डिग्री से रेडियन: π/180 से गुणा करें। रेडियन से डिग्री: 180/π से गुणा करें। π = 22/7 लेने पर 1 रेडियन ≈ 57°16′।

मानक जोड़े: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 135° = 3π/4, 150° = 5π/6, 180° = π और 270° = 3π/2।

चाप की लंबाई l = rθ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 1/2 × r² × θ = 1/2 × l × r, जहां θ केवल रेडियन में हो।

n भुजाओं वाले सम बहुभुज का अंतःकोण = (n − 2) × 180°/n = (n − 2)π/n रेडियन; हर बाह्य कोण = 360°/n = 2π/n।

घड़ी की सुइयां: मिनट की सुई प्रति मिनट 6° और घंटे की सुई प्रति मिनट 0.5° (प्रति घंटा 30°) घूमती है। h घंटे m मिनट पर उनके बीच का कोण |30h − 5.5m| है; यदि यह 180° से अधिक हो, तो छोटा कोण 360° में से इसे घटाकर मिलता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: l = rθ या त्रिज्यखंड का कोई सूत्र लगाने से पहले कोण को रेडियन में बदलें।

चरण 2: मिनट सहित डिग्री में पहले मिनट को डिग्री की भिन्न में लिखें: 40°20′ = 40 + 20/60 = 121/3 डिग्री।

चरण 3: रेडियन से डिग्री और मिनट में बदलते समय डिग्री के दशमलव भाग को मिनट में बदलें: 0.5° = 30′ और 0.25° = 15′।

शॉर्टकट: विकल्पों में π हो तो उत्तर में π रहने दें; अन्यथा π = 22/7 लें, जब तक प्रश्न कोई दूसरा मान न दे।

त्रिभुज के कोणों को रेडियन में निकालने के लिए कोणों का योग π (अर्थात 180°) और दिया गया अनुपात या श्रेढ़ी उपयोग करें।

उदाहरण 1: डिग्री से रेडियन

प्रश्न: 75° को रेडियन में व्यक्त करें।

हल: 75 × π/180 = 75π/180 = 5π/12।

उत्तर: 5π/12 रेडियन।

उदाहरण 2: रेडियन से डिग्री

प्रश्न: 3π/5 रेडियन को डिग्री में व्यक्त करें।

हल: 3π/5 × 180/π = 3 × 36 = 108°।

उत्तर: 108°

उदाहरण 3: डिग्री और मिनट

प्रश्न: 40°20′ को रेडियन में व्यक्त करें।

हल: 40°20′ = 40 + 20/60 = 121/3 डिग्री। रेडियन में: 121/3 × π/180 = 121π/540।

उत्तर: 121π/540 रेडियन।

उदाहरण 4: चाप से कोण

प्रश्न: 22 सेमी लंबा चाप 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर एक कोण बनाता है। π = 22/7 लेकर कोण डिग्री में क्या है? (a) 60° (b) 45° (c) 90° (d) 120°

हल: θ = l/r = 22/14 = 11/7 रेडियन।

डिग्री में: 11/7 × 180/π = 11/7 × 180 × 7/22 = 90°।

उत्तर: (c) 90°

उदाहरण 5: समांतर श्रेढ़ी में त्रिभुज के कोण

प्रश्न: एक त्रिभुज के कोण समांतर श्रेढ़ी में हैं और सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे का 3 गुना है। सबसे बड़ा कोण रेडियन में क्या है? (a) π/3 (b) 2π/3 (c) 5π/12 (d) π/2

हल: मान लें कोण a − d, a और a + d हैं। उनका योग 3a = 180°, अतः a = 60°।

a + d = 3(a − d) से 60 + d = 180 − 3d, अतः d = 30° और कोण 30°, 60° और 90° हैं।

सबसे बड़ा कोण = 90° = π/2 रेडियन।

उत्तर: (d) π/2

उदाहरण 6: घड़ी की सुई और चाप की लंबाई

प्रश्न: एक घड़ी की घंटे की सुई 6 सेमी लंबी है। 2:00 से 5:20 तक उसकी नोक कितनी दूरी तय करती है? (a) 10π/3 सेमी (b) 5π/3 सेमी (c) 20π/9 सेमी (d) 5π/9 सेमी

हल: 2:00 से 5:20 तक 3 घंटे 20 मिनट = 200 मिनट हैं। घंटे की सुई प्रति मिनट 0.5° घूमती है, अतः वह 200 × 0.5 = 100° घूमती है।

100° = 100 × π/180 = 5π/9 रेडियन।

नोक द्वारा तय दूरी = rθ = 6 × 5π/9 = 10π/3 सेमी, π = 22/7 लेने पर लगभग 10.48 सेमी।

उत्तर: (a) 10π/3 सेमी

सामान्य गलतियां

θ को डिग्री में रखकर l = rθ लगाना। सूत्र में θ रेडियन में चाहिए।

40°20′ को 40.20° पढ़ना। 20′ डिग्री का 20/60 है, अतः 40°20′ = 40 1/3 डिग्री।

1 रेडियन = 1° लिखना, या π को संख्या 180 मानना। π रेडियन = 180°, जबकि π स्वयं लगभग 3.14 है।

घड़ी के प्रश्नों में भूल जाना कि मिनटों के दौरान घंटे की सुई भी चलती है: 4:20 पर वह 4 से 10° आगे है, ठीक उस पर नहीं।

छोटा कोण पूछे जाने पर वृहत कोण बता देना: यदि |30h − 5.5m|, 180° से अधिक हो, तो उसे 360° में से घटाएं।

अभ्यास प्रश्न

Q1. सम अष्टभुज का प्रत्येक अंतःकोण रेडियन में क्या है? (a) 2π/3 (b) 3π/4 (c) 5π/6 (d) 3π/5

Q2. 5π/8 रेडियन को डिग्री और मिनट में व्यक्त करें। (a) 112°30′ (b) 112°50′ (c) 115° (d) 108°30′

Q3. एक ट्रेन 1.5 किमी त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर 66 किमी/घंटा से चलती है। 10 सेकंड में वह कितने कोण से घूमती है? (π = 22/7 लें।) (a) 6° (b) 8° (c) 9° (d) 7°

उत्तर

Q1. (b) (8 − 2) × 180°/8 = 135° = 135 × π/180 = 3π/4।

Q2. (a) 5π/8 × 180/π = 900/8 = 112.5° = 112°30′।

Q3. (d) 10 सेकंड में ट्रेन 66 × 1000/3600 × 10 = 550/3 मी चलती है। θ = (550/3)/1500 = 11/90 रेडियन = 11/90 × 180 × 7/22 = 7°।

त्वरित पुनरावृत्ति

π रेडियन = 180°; रेडियन के लिए × π/180, डिग्री के लिए × 180/π।

1° = 60′, 1′ = 60″; 1 रेडियन ≈ 57°16′।

l = rθ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 1/2 × r² × θ, θ रेडियन में।

सम n-भुज: अंतःकोण (n − 2)π/n।

घड़ी: मिनट की सुई 6° प्रति मिनट, घंटे की सुई 0.5° प्रति मिनट; कोण |30h − 5.5m|।

अवधारणाएं और नियम

उन्नयन कोण, प्रेक्षक की आंख से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा और ऊपर स्थित वस्तु की दृष्टि रेखा के बीच का कोण है; अवनमन कोण क्षैतिज से नीचे स्थित वस्तु तक नीचे की ओर मापा जाता है।

B से देखा गया A का उन्नयन कोण, A से देखे गए B के अवनमन कोण के बराबर होता है, क्योंकि दोनों क्षैतिज रेखाएं समांतर हैं (एकांतर कोण)।

बने हुए समकोण त्रिभुज में tanθ = ऊंचाई ÷ क्षैतिज दूरी, sinθ = ऊंचाई ÷ दृष्टि रेखा और cosθ = क्षैतिज दूरी ÷ दृष्टि रेखा।

मुख्य मान: tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3; √3 ≈ 1.732 और √2 ≈ 1.414।

छाया: जब सूर्य का उन्नतांश θ हो, तो h ऊंचाई की वस्तु की छाया की लंबाई h × cotθ होती है। सूर्य के ऊपर चढ़ने (θ बढ़ने) पर छाया छोटी होती है।

मीनार की सीध में d दूरी पर स्थित दो बिंदु, जिनके उन्नयन कोण α < β हैं: यदि वे एक ही ओर हों तो h = d/(cotα − cotβ); यदि विपरीत ओर हों तो h = d/(cotα + cotβ)।

यदि मीनार के पाद से a और b दूरी पर, एक ही रेखा और एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं से शिखर के उन्नयन कोण पूरक हों, तो h = √(ab)।

यदि प्रेक्षक की आंख e ऊंचाई पर है, तो त्रिभुज की ऊर्ध्वाधर भुजा (वस्तु की ऊंचाई − e) है; अंत में e वापस जोड़ें।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: एक कच्चा चित्र बनाएं: मीनार को ऊर्ध्वाधर रेखा, भूमि को क्षैतिज रेखा, और हर दिया गया कोण तथा लंबाई अंकित करें।

चरण 2: वह समकोण त्रिभुज चुनें जिसमें अज्ञात और एक ज्ञात भुजा हो; अधिकतर प्रश्नों में tan, और जब तिरछी लंबाई (सीढ़ी, डोरी, दृष्टि रेखा) हो तब sin या cos लें।

चरण 3: दो कोण हों तो क्षैतिज दूरी दो बार (h cotα और h cotβ) लिखें और दूरियों का दिया गया अंतर या योग उपयोग करें।

एक ही ओर d दूरी पर 30° और 60° का शॉर्टकट: h = d × √3/2, और निकट वाला बिंदु पाद से d/2 दूरी पर है।

गणना में √3 बनाए रखें और विकल्प दशमलव में हों तो अंत में ही 1.732 रखें।

उदाहरण 1: कोण ज्ञात करना

प्रश्न: एक मीनार 30 मी ऊंची है। उसके पाद से 30√3 मी दूर स्थित बिंदु से उसके शिखर का उन्नयन कोण ज्ञात करें।

हल: tanθ = 30/(30√3) = 1/√3, अतः θ = 30°।

उत्तर: 30°

उदाहरण 2: छाया की लंबाई

प्रश्न: जब सूर्य का उन्नतांश 60° हो, तब 15 मी ऊंचे खंभे की छाया की लंबाई ज्ञात करें।

हल: छाया = 15 × cot 60° = 15/√3 = 5√3 मी ≈ 8.66 मी।

उत्तर: 5√3 मी

उदाहरण 3: अवनमन कोण

प्रश्न: 60 मी ऊंचे भवन के शिखर से सड़क पर खड़ी एक कार का अवनमन कोण 30° है। कार भवन के पाद से कितनी दूर है?

हल: कार से शिखर का उन्नयन कोण भी 30° है, अतः दूरी = 60 × cot 30° = 60√3 मी ≈ 103.92 मी।

उत्तर: 60√3 मी

उदाहरण 4: एक ही ओर दो बिंदु

प्रश्न: मीनार के पाद की सीध में एक ही ओर 40 मी की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से उसके शिखर के उन्नयन कोण 30° और 60° हैं। मीनार की ऊंचाई क्या है? (a) 20 मी (b) 20√3 मी (c) 40√3 मी (d) 10√3 मी

हल: मान लें ऊंचाई h है और निकट वाला बिंदु पाद से x दूर है। tan 60° = h/x से x = h/√3; tan 30° = h/(x + 40) से x + 40 = h√3।

घटाने पर: h√3 − h/√3 = 40, अतः h × 2/√3 = 40 और h = 20√3 मी ≈ 34.64 मी।

उत्तर: (b) 20√3 मी

उदाहरण 5: विपरीत ओर के बिंदु

प्रश्न: मीनार के पाद की सीध में उसकी विपरीत ओर स्थित दो बिंदु 100 मी की दूरी पर हैं। उनसे शिखर के उन्नयन कोण 30° और 45° हैं। मीनार की ऊंचाई क्या है? (a) 50(√3 + 1) मी (b) 100(√3 − 1) मी (c) 50(√3 − 1) मी (d) 50√3 मी

हल: क्षैतिज दूरियां h cot 30° = h√3 और h cot 45° = h हैं, और विपरीत ओर होने से वे जुड़ती हैं: h√3 + h = 100।

h = 100/(√3 + 1) = 100(√3 − 1)/(3 − 1) = 50(√3 − 1) मी ≈ 36.6 मी।

उत्तर: (c) 50(√3 − 1) मी

उदाहरण 6: मीनार की ओर आती कार

प्रश्न: 75 मी ऊंची मीनार के शिखर पर खड़ा एक व्यक्ति समान चाल से सीधे मीनार की ओर आती एक कार को देखता है। कार का अवनमन कोण 12 सेकंड में 30° से 60° हो जाता है। कार को मीनार के पाद तक पहुंचने में और कितने सेकंड लगेंगे? (a) 12 (b) 8 (c) 4 (d) 6

हल: पाद से कार की दूरी पहले 75 cot 30° = 75√3 मी और बाद में 75 cot 60° = 75/√3 = 25√3 मी है।

वह 12 सेकंड में 75√3 − 25√3 = 50√3 मी चलती है, अतः शेष 25√3 मी में 25√3 × 12/(50√3) = 6 सेकंड लगेंगे।

शॉर्टकट: दूरियां 75√3 और 25√3 का अनुपात 3 : 1 है, अतः कार ने 2 भाग 12 सेकंड में तय किए और अंतिम भाग के लिए 6 सेकंड चाहिए।

उत्तर: (d) 6

सामान्य गलतियां

ऊंचाई और क्षैतिज दूरी होने पर sin लगाना। ऊंचाई और क्षैतिज दूरी tan से जुड़ी हैं; sin और cos के लिए तिरछी लंबाई चाहिए।

अवनमन कोण को क्षैतिज के बजाय ऊर्ध्वाधर से मापना।

प्रेक्षक की आंख की ऊंचाई भूल जाना: त्रिभुज केवल आंख के स्तर से ऊपर का भाग देता है, इसलिए अंत में आंख की ऊंचाई जोड़ें।

दोनों बिंदु एक ही ओर होने पर क्षैतिज दूरियां जोड़ना (उन्हें घटाएं), या विपरीत ओर होने पर उन्हें घटाना (उन्हें जोड़ें)।

√3 को बहुत पहले पूर्णांकित करना, जिससे दो निकट विकल्प समान लग सकते हैं; अंतिम चरण तक करणी बनाए रखें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 20 मी लंबी एक सीढ़ी दीवार से टिकी है और भूमि से 60° का कोण बनाती है। वह दीवार पर कितनी ऊंचाई तक पहुंचती है? (a) 10 मी (b) 10√3 मी (c) 20√3 मी (d) 10√2 मी

Q2. मीनार के पाद से एक ही ओर उसकी सीध में 4 मी और 16 मी दूर स्थित दो बिंदुओं से उसके शिखर के उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊंचाई क्या है? (a) 6 मी (b) 10 मी (c) 8 मी (d) 12 मी

Q3. 1.5 मी लंबा एक व्यक्ति एक चिमनी से 28.5 मी दूर खड़ा है और उसके शिखर को 45° के उन्नयन कोण पर देखता है। चिमनी कितनी ऊंची है? (a) 30√3 मी (b) 28.5 मी (c) 27 मी (d) 30 मी

उत्तर

Q1. (b) ऊंचाई = 20 × sin 60° = 20 × √3/2 = 10√3 मी।

Q2. (c) tanθ = h/4 और tan(90° − θ) = cotθ = h/16; गुणा करने पर 1 = h²/64, अतः h = 8 मी।

Q3. (d) tan 45° = (H − 1.5)/28.5 = 1, अतः H − 1.5 = 28.5 और H = 30 मी।

त्वरित पुनरावृत्ति

tanθ = ऊंचाई ÷ क्षैतिज दूरी; B से उन्नयन = A से अवनमन।

एक ही ओर: h = d/(cotα − cotβ); विपरीत ओर: h = d/(cotα + cotβ)।

एक ही ओर d दूरी पर 30° और 60°: h = d√3/2।

a और b से पूरक उन्नयन कोण: h = √(ab)।

छाया = h cotθ; अंत में प्रेक्षक की आंख की ऊंचाई जोड़ें।