Plane geometry — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। बहिष्कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। बड़ी भुजा सदा बड़े कोण के सामने होती है।

केन्द्रक G वह बिंदु है जहां 3 माध्यिकाएं मिलती हैं। यह हर माध्यिका को 2:1 में बांटता है, बड़ा भाग शीर्ष की ओर होता है, अतः AG = AD का 2/3 और GD = AD का 1/3।

3 माध्यिकाएं त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले 6 छोटे त्रिभुजों में बांटती हैं। अतः क्षेत्रफल(GBC) = क्षेत्रफल(GCA) = क्षेत्रफल(GAB) = क्षेत्रफल(ABC) का 1/3।

एपोलोनियस प्रमेय: यदि AD, BC पर माध्यिका है, तो AB² + AC² = 2(AD² + BD²)। समतुल्य रूप 4AD² = 2AB² + 2AC² − BC²। माध्यिकाओं के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग का 3/4 होता है।

अंतःकेंद्र I वह बिंदु है जहां आंतरिक कोण समद्विभाजक मिलते हैं; यह अंतःवृत्त का केंद्र है। ∠BIC = 90° + A/2 सदा। अंतःत्रिज्या r = क्षेत्रफल ÷ s, जहां s अर्धपरिमाप है। समकोण त्रिभुज में r = (लंब भुजाओं का योग − कर्ण)/2।

कोण समद्विभाजक प्रमेय: यदि ∠A का समद्विभाजक BC को D पर मिले, तो BD : DC = AB : AC। बाह्य समद्विभाजक BC को उसी अनुपात में बाह्य रूप से बांटता है। A के सामने वाले बहिःकेंद्र के लिए ∠BI₁C = 90° − A/2।

परिकेंद्र O वह बिंदु है जहां भुजाओं के लंब समद्विभाजक मिलते हैं; OA = OB = OC = R। R = abc ÷ (4 × क्षेत्रफल)। यदि ∠A न्यून है तो ∠BOC = 2A; यदि ∠A अधिक है तो ∠BOC = 360° − 2A। समकोण त्रिभुज में O कर्ण का मध्यबिंदु होता है, अतः R = कर्ण/2।

लंबकेंद्र H वह बिंदु है जहां शीर्षलंब मिलते हैं। यदि ∠B और ∠C दोनों न्यून हों तो ∠BHC = 180° − A (A न्यून हो या अधिक)। यदि ∠B या ∠C अधिक कोण हो तो ∠BHC = A। समकोण त्रिभुज में H समकोण वाला शीर्ष होता है।

भुजा a वाला समबाहु त्रिभुज: चारों 4 केंद्र एक ही बिंदु पर; ऊंचाई = √3a/2, क्षेत्रफल = √3a²/4, R = a/√3, r = a/(2√3), अतः R = 2r। किसी भी त्रिभुज में O, G और H ऑयलर रेखा पर होते हैं और HG : GO = 2:1।

समरूपता की कसौटियां: AA (2 कोण बराबर), SSS (सभी भुजाएं एक ही अनुपात में), SAS (2 भुजाएं एक ही अनुपात में और बीच का कोण बराबर)। शीर्ष संगत क्रम में लिखें, जैसे ΔABC ~ ΔPQR का अर्थ A↔P, B↔Q, C↔R।

यदि 2 समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात k है, तो परिमाप, माध्यिकाएं, शीर्षलंब, कोण समद्विभाजक और अंतःत्रिज्याएं सभी k अनुपात में होते हैं, पर क्षेत्रफल k² अनुपात में।

आधारभूत समानुपातिकता (थेल्स): यदि DE ∥ BC, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर, तो AD/DB = AE/EC तथा ΔADE ~ ΔABC जिसका अनुपात AD/AB है। मध्यबिंदु प्रमेय: 2 भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है।

समकोण त्रिभुज जिसमें ∠A = 90° और BC पर शीर्षलंब AD: AD² = BD × DC, AB² = BD × BC, AC² = CD × CB, तथा AD = AB × AC ÷ BC।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: प्रश्न में दिया केंद्र पहचानें (अंतःकेंद्र, परिकेंद्र, लंबकेंद्र, केन्द्रक) और संख्याओं से पहले उसका मुख्य तथ्य लिखें।

चरण 2: कोण वाले प्रश्नों में BC पर उस केंद्र का सूत्र लगाएं। परिकेंद्र के लिए देखें कि ∠A न्यून है या अधिक, और लंबकेंद्र के लिए कि ∠B या ∠C अधिक कोण तो नहीं।

चरण 3: समांतर रेखाओं वाले लंबाई या क्षेत्रफल प्रश्नों में समरूप त्रिभुजों का जोड़ा खोजें, संगत क्रम में भुजा अनुपात k लिखें, फिर क्षेत्रफल के लिए उसका वर्ग करें।

शॉर्टकट: DE ∥ BC से कटे समलंब का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल(ABC) × (1 − k²), जहां k = AD/AB। यह केवल तभी सही है जब DE, BC के समांतर हो।

शॉर्टकट: समकोण त्रिभुज में कर्ण पर माध्यिका कर्ण की आधी होती है, क्योंकि परिकेंद्र कर्ण का मध्यबिंदु है। अन्य त्रिभुजों में यह गलत है; वहां एपोलोनियस लगाएं।

∠BIC = 90° + A/2 क्यों: ΔIBC में B और C पर कोण B/2 और C/2 हैं, अतः ∠BIC = 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2।

उदाहरण 1: अंतःकेंद्र पर कोण

प्रश्न: ΔABC में ∠A = 70° है और I अंतःकेंद्र है। ∠BIC ज्ञात कीजिए।

हल: ∠BIC = 90° + A/2 = 90° + 35° = 125°।

उत्तर: 125°

उदाहरण 2: परिकेंद्र और लंबकेंद्र

प्रश्न: न्यूनकोण ΔABC में ∠A = 64° है। O परिकेंद्र और H लंबकेंद्र है। ∠BOC और ∠BHC ज्ञात कीजिए।

हल: ∠A न्यून है, अतः ∠BOC = 2 × 64° = 128°। सभी कोण न्यून हैं, अतः ∠BHC = 180° − 64° = 116°।

उत्तर: ∠BOC = 128°, ∠BHC = 116°

उदाहरण 3: कोण समद्विभाजक प्रमेय

प्रश्न: ΔABC में AB = 12 cm, AC = 8 cm और BC = 15 cm है। ∠A का समद्विभाजक BC को D पर मिलता है। BD और DC ज्ञात कीजिए।

हल: BD : DC = AB : AC = 12 : 8 = 3 : 2। अतः BD = 15 × 3/5 = 9 cm और DC = 15 × 2/5 = 6 cm।

उत्तर: BD = 9 cm, DC = 6 cm

उदाहरण 4: समांतर रेखा और क्षेत्रफल

प्रश्न: ΔABC में D और E क्रमशः AB और AC पर हैं तथा DE ∥ BC है। AD = 4 cm, DB = 6 cm और क्षेत्रफल(ΔADE) = 32 cm² है। समलंब DBCE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 200 cm² (b) 136 cm² (c) 168 cm² (d) 150 cm²

हल: ΔADE ~ ΔABC जिसमें k = AD/AB = 4/10 = 2/5। क्षेत्रफल अनुपात = 4/25, अतः क्षेत्रफल(ABC) = 32 × 25/4 = 200 cm²।

समलंब = 200 − 32 = 168 cm²। विकल्प (a) पूरे त्रिभुज पर रुक जाने की गलती है।

उत्तर: (c) 168 cm²

उदाहरण 5: एपोलोनियस से माध्यिका और केन्द्रक

प्रश्न: ΔABC में AB = 7 cm, BC = 8 cm और CA = 9 cm है। G केन्द्रक है। AG ज्ञात कीजिए। (a) 7 cm (b) 14/3 cm (c) 7/3 cm (d) 16/3 cm

हल: मान लें AD, BC पर माध्यिका है। 4AD² = 2AB² + 2AC² − BC² = 2 × 49 + 2 × 81 − 64 = 98 + 162 − 64 = 196, अतः AD² = 49 और AD = 7 cm।

G, AD को A से 2:1 में बांटता है, अतः AG = 2/3 × 7 = 14/3 cm। विकल्प (a) पूरी माध्यिका और (c) GD है।

उत्तर: (b) 14/3 cm

उदाहरण 6: कर्ण पर शीर्षलंब, अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या

प्रश्न: ΔABC में ∠A = 90° और AD ⊥ BC है। यदि BD = 9 cm और DC = 16 cm हो, तो r + R ज्ञात कीजिए, जहां r अंतःत्रिज्या और R परित्रिज्या है। (a) 15 cm (b) 16.5 cm (c) 18 cm (d) 17.5 cm

हल: BC = 9 + 16 = 25। AB² = BD × BC = 9 × 25 = 225, अतः AB = 15। AC² = CD × CB = 16 × 25 = 400, अतः AC = 20। (साथ ही AD² = 9 × 16 = 144, AD = 12।)

r = (15 + 20 − 25)/2 = 5 cm। R = कर्ण/2 = 25/2 = 12.5 cm। r + R = 17.5 cm।

उत्तर: (d) 17.5 cm

सामान्य गलतियां

भुजा अनुपात को ही क्षेत्रफल अनुपात मान लेना। क्षेत्रफल वर्ग में चलता है: भुजा अनुपात 2:3 का अर्थ क्षेत्रफल अनुपात 4:9।

केन्द्रक का अनुपात गलत सिरे से पढ़ना। AG : GD = 2:1, अतः भुजा की ओर वाला भाग छोटा है।

∠A अधिक कोण होने पर भी ∠BOC = 2A लिखना। तब O भुजा BC के दूसरी ओर होता है और ∠BOC = 360° − 2A।

अंतःकेंद्र और बहिःकेंद्र के सूत्र मिला देना: अंतःकेंद्र 90° + A/2, बहिःकेंद्र 90° − A/2, लंबकेंद्र 180° − A देता है।

समानुपातिकता प्रमेय में AD/AB = AE/EC लिख देना। समान को समान से रखें: AD/DB = AE/EC, या AD/AB = AE/AC = DE/BC।

मान लेना कि कोण समद्विभाजक BC को आधा करता है। ऐसा केवल AB = AC होने पर होता है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. G, ΔABC का केन्द्रक है, जिसका क्षेत्रफल 96 cm² है। ΔAGB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 32 cm² (b) 24 cm² (c) 48 cm² (d) 16 cm²

Q2. न्यूनकोण ΔABC में I अंतःकेंद्र और O परिकेंद्र है। यदि ∠BIC = 118° हो, तो ∠BOC ज्ञात कीजिए। (a) 118° (b) 124° (c) 104° (d) 112°

Q3. ΔABC ~ ΔPQR और उनके क्षेत्रफल 144 cm² और 81 cm² हैं। यदि ΔABC का एक शीर्षलंब 8 cm है, तो ΔPQR का संगत शीर्षलंब है: (a) 4.5 cm (b) 6 cm (c) 5.4 cm (d) 6.4 cm

उत्तर

Q1. (a) 3 त्रिभुज GBC, GCA, GAB बराबर हैं, अतः क्षेत्रफल(AGB) = 96/3 = 32 cm²।

Q2. (d) 90° + A/2 = 118° से A/2 = 28°, A = 56°। ∠BOC = 2 × 56° = 112°।

Q3. (b) भुजा अनुपात = √(144/81) = 12/9 = 4/3। ΔPQR का शीर्षलंब = 8 × 3/4 = 6 cm।

त्वरित पुनरावृत्ति

∠BIC = 90° + A/2; ∠BOC = 2A (A न्यून); ∠BHC = 180° − A (B, C न्यून); बहिःकेंद्र ∠BI₁C = 90° − A/2।

केन्द्रक: शीर्ष से 2:1; 6 बराबर छोटे त्रिभुज; 4AD² = 2b² + 2c² − a²।

r = क्षेत्रफल/s, R = abc/(4 × क्षेत्रफल); समकोण त्रिभुज: R = कर्ण/2, r = (a + b − c)/2।

समरूप त्रिभुज: लंबाइयां k अनुपात में, क्षेत्रफल k² अनुपात में। समद्विभाजक: BD : DC = AB : AC।

अवधारणाएं और नियम

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यदि r त्रिज्या वाले वृत्त में 2L लंबी जीवा केंद्र से d दूरी पर है, तो L² + d² = r²।

बराबर जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं और केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं। लंबी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है; व्यास सबसे लंबी जीवा है।

कोई चाप केंद्र पर जो कोण बनाता है वह वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है। एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं। अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है।

यदि जीवा AB केंद्र पर ∠AOB = θ बनाती है, तो दीर्घ चाप का बिंदु AB को θ/2 पर और लघु चाप का बिंदु 180° − θ/2 पर देखता है।

चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, और बहिष्कोण अंतःसम्मुख कोण के बराबर होता है। चक्रीय समांतर चतुर्भुज अनिवार्यतः आयत होता है।

स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। केंद्र से d दूरी पर स्थित बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखा की लंबाई PT = √(d² − r²)। P से खींची गई 2 स्पर्श रेखाएं बराबर होती हैं।

यदि स्पर्श रेखाएं PA और PB वृत्त को A और B पर छूती हैं, तो ∠APB + ∠AOB = 180°, OP कोण ∠APB को समद्विभाजित करती है, और चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल 2 × (1/2) × r × PA = r × PA होता है।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय: स्पर्श बिंदु से जाने वाली जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण उस जीवा द्वारा एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।

प्रतिच्छेदी जीवाएं: यदि जीवाएं AB और CD वृत्त के अंदर P पर मिलें, तो PA × PB = PC × PD। यदि बाहरी बिंदु P से 2 छेदक रेखाएं वृत्त को A, B और C, D पर काटें, तो PA × PB = PC × PD, और स्पर्श रेखा PT के लिए PT² = PA × PB।

वृत्त के परिगत चतुर्भुज (चारों 4 भुजाएं स्पर्श रेखाएं) में AB + CD = AD + BC, क्योंकि हर शीर्ष से स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां बराबर होती हैं।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: केंद्र को आवश्यक बिंदुओं से मिलाएं: जीवा के सिरों से, स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु से। इसके बाद अधिकतर वृत्त प्रश्न समकोण त्रिभुज बन जाते हैं।

चरण 2: हर समकोण (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा, अर्धवृत्त का कोण, केंद्र ⊥ जीवा) और बराबर लंबाइयों के हर जोड़े (त्रिज्याएं, एक बिंदु से स्पर्श रेखाएं) को चिह्नित करें।

चरण 3: कोणों के लिए देखें कि हर कोण किस चाप पर बना है; एक ही चाप पर बने कोण बराबर होते हैं और केंद्र का कोण दोगुना।

शॉर्टकट: केंद्र के विपरीत ओर की 2 समांतर जीवाओं के बीच दूरी d₁ + d₂ होती है; एक ही ओर हों तो |d₁ − d₂|। यदि प्रश्न में यह न बताया हो, तो विकल्पों में दोनों उत्तर हो सकते हैं।

शॉर्टकट: 2 स्पर्श रेखाओं के बीच कोण = 180° − स्पर्श बिंदुओं तक की त्रिज्याओं के बीच केंद्र पर कोण।

उदाहरण 1: जीवा की दूरी

प्रश्न: 10 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 16 cm लंबी जीवा खींची गई है। केंद्र से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: आधी जीवा = 8। d² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36, अतः d = 6 cm।

उत्तर: 6 cm

उदाहरण 2: दो समांतर जीवाएं

प्रश्न: 13 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 10 cm और 24 cm लंबी 2 समांतर जीवाएं केंद्र के विपरीत ओर हैं। उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: 10 cm के लिए: d₁ = √(169 − 25) = 12। 24 cm के लिए: d₂ = √(169 − 144) = 5। विपरीत ओर हैं, अतः दूरी = 12 + 5 = 17 cm (एक ही ओर होने पर 7 cm होती)।

उत्तर: 17 cm

उदाहरण 3: केंद्र का कोण और दोनों चाप

प्रश्न: O केंद्र है और ∠AOB = 130° है। C दीर्घ चाप पर और D लघु चाप पर है। ∠ACB और ∠ADB ज्ञात कीजिए।

हल: ∠ACB = 130°/2 = 65°। ACBD चक्रीय है, अतः ∠ADB = 180° − 65° = 115°।

उत्तर: ∠ACB = 65°, ∠ADB = 115°

उदाहरण 4: स्पर्श रेखाएं और चतुर्भुज का क्षेत्रफल

प्रश्न: 8 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र O से 17 cm दूर बिंदु P से स्पर्श रेखाएं PA और PB खींची गई हैं। चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 60 cm² (b) 136 cm² (c) 240 cm² (d) 120 cm²

हल: PA = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 cm। ΔOAP, A पर समकोण है, क्षेत्रफल = (1/2) × 8 × 15 = 60।

OAPB ऐसे 2 त्रिभुजों से बना है: 2 × 60 = 120 cm²। विकल्प (a) केवल 1 त्रिभुज गिनता है।

उत्तर: (d) 120 cm²

उदाहरण 5: स्पर्श रेखा–छेदक और जीवा की दूरी

प्रश्न: बाहरी बिंदु P से 13 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा PT = 12 cm खींची गई है, और छेदक PAB वृत्त को A और B पर काटता है, जहां PA = 8 cm है। जीवा AB की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए। (a) 12 cm (b) 5 cm (c) 10 cm (d) 13 cm

हल: PT² = PA × PB से 144 = 8 × PB, अतः PB = 18 और AB = 18 − 8 = 10 cm।

आधी जीवा = 5, अतः दूरी = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm। विकल्प (c) स्वयं जीवा की लंबाई है।

उत्तर: (a) 12 cm

उदाहरण 6: 2 स्पर्श रेखाओं के साथ एकांतर वृत्तखंड

प्रश्न: PA और PB, बिंदु P से O केंद्र वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएं हैं। C दीर्घ चाप AB पर एक बिंदु है और ∠ACB = 58° है। ∠APB ज्ञात कीजिए। (a) 58° (b) 122° (c) 64° (d) 32°

हल: केंद्र का कोण ∠AOB = 2 × 58° = 116°। चतुर्भुज OAPB में A और B पर कोण 90° हैं, अतः ∠APB = 360° − 90° − 90° − 116° = 64°।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से जांच: ∠PAB = ∠ACB = 58° और PA = PB, अतः ∠PBA = 58° और ∠APB = 180° − 116° = 64°।

उत्तर: (c) 64°

सामान्य गलतियां

L² + d² = r² में आधी जीवा के स्थान पर पूरी जीवा लेना। समकोण त्रिभुज आधी जीवा से बनता है।

बिंदु लघु चाप पर होने पर भी अंतर्निहित कोण θ/2 मानना। वहां यह 180° − θ/2 होता है।

समांतर जीवाएं केंद्र के एक ही ओर होने पर भी d₁ + d₂ उत्तर देना; तब दूरी |d₁ − d₂| होती है।

PT² = PA × PB में PB के स्थान पर AB लेना। दोनों लंबाइयां P से मापी जाती हैं: निकट बिंदु A और दूर बिंदु B।

भूल जाना कि त्रिज्या स्पर्श रेखा से 90° पर मिलती है; इस समकोण के बिना पाइथागोरस नहीं लगा सकते।

अभ्यास प्रश्न

Q1. वृत्त की जीवाएं AB और CD वृत्त के अंदर P पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि PA = 6 cm, PB = 4 cm और PC = 3 cm है, तो PD ज्ञात कीजिए। (a) 6 cm (b) 8 cm (c) 4.5 cm (d) 2 cm

Q2. चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के परिगत है। AB = 7 cm, BC = 9 cm और CD = 8 cm है। AD ज्ञात कीजिए। (a) 8 cm (b) 7 cm (c) 5 cm (d) 6 cm

Q3. वृत्त के केंद्र से 8 cm दूरी पर 30 cm लंबी जीवा है। केंद्र से 15 cm दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए। (a) 16 cm (b) 18 cm (c) 12 cm (d) 20 cm

उत्तर

Q1. (b) PA × PB = PC × PD से 6 × 4 = 3 × PD, अतः PD = 8 cm।

Q2. (d) AB + CD = AD + BC से 7 + 8 = AD + 9, अतः AD = 6 cm।

Q3. (a) r² = 15² + 8² = 289, r = 17। आधी जीवा = √(289 − 225) = 8, जीवा = 16 cm।

त्वरित पुनरावृत्ति

आधी जीवा² + दूरी² = r²; स्पर्श रेखा² = d² − r²; स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या।

केंद्र का कोण = 2 × दीर्घ चाप का कोण; लघु चाप का कोण = 180° − केंद्र कोण का आधा; अर्धवृत्त का कोण = 90°।

चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोणों का योग 180°। परिगत चतुर्भुज: AB + CD = AD + BC।

जीवाओं और छेदकों के लिए PA × PB = PC × PD; स्पर्श रेखा और छेदक के लिए PT² = PA × PB।

अवधारणाएं और नियम

2 त्रिभुज तब सर्वांगसम होते हैं जब एक दूसरे पर ठीक बैठ जाए: तीनों 3 भुजाएं और तीनों 3 कोण मेल खाएं। शीर्ष संगत क्रम में लिखें: ΔABC ≅ ΔPQR का अर्थ AB = PQ, BC = QR, CA = RP तथा ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R।

SSS: एक की 3 भुजाएं दूसरे की 3 भुजाओं के बराबर।

SAS: 2 भुजाएं और उनके बीच का कोण बराबर। कोण उन 2 भुजाओं के बीच ही होना चाहिए।

ASA: 2 कोण और उनके बीच की भुजा बराबर। AAS: 2 कोण और एक गैर-अंतर्गत भुजा बराबर (यह ASA में बदल जाता है, क्योंकि तीसरा कोण भी बराबर हो जाता है)।

RHS: समकोण त्रिभुजों में कर्ण और 1 अन्य भुजा बराबर। यही एकमात्र स्थिति है जहां 2 भुजाएं और गैर-अंतर्गत कोण पर्याप्त हैं।

AAA सर्वांगसमता की कसौटी नहीं है: बराबर कोणों से केवल समरूप त्रिभुज मिलते हैं जिनका आकार अलग हो सकता है। SSA (2 भुजाएं और गैर-अंतर्गत कोण) भी कसौटी नहीं है, क्योंकि आंकड़ों पर 2 अलग त्रिभुज बन सकते हैं।

CPCT: सर्वांगसमता सिद्ध होने पर संगत भागों का हर जोड़ा बराबर होता है, संगत भुजाओं पर खींची माध्यिकाएं, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक भी।

समद्विबाहु त्रिभुज (AB = AC): ∠B = ∠C, और इसका विलोम भी सत्य है। A से माध्यिका, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक एक ही रेखा हैं, और वह BC का लंब समद्विभाजक है।

किसी रेखाखंड के लंब समद्विभाजक का हर बिंदु उसके सिरों से समदूरस्थ होता है। किसी कोण के समद्विभाजक का हर बिंदु उसकी भुजाओं से (लंब दूरी से) समदूरस्थ होता है। दोनों सर्वांगसमता से सिद्ध होते हैं।

त्रिभुज असमिका: हर भुजा अन्य 2 के योग से छोटी और अंतर से बड़ी होती है। भुजाएं a और b हों तो तीसरी भुजा c के लिए |a − b| < c < a + b।

समान 3 भुजा लंबाइयों वाले त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (SSS), अतः असर्वांगसम त्रिभुज गिनने का अर्थ है अलग भुजा त्रिकों a ≤ b ≤ c को गिनना जिनमें a + b > c।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: जो बराबर दिया है और जो उभयनिष्ठ है (साझी भुजा, शीर्षाभिमुख कोण, समांतर रेखाओं के बीच कोण) उसे चिह्नित करें।

चरण 2: 3 तथ्यों को SSS, SAS, ASA, AAS या RHS से मिलाएं। यदि कोण 2 भुजाओं के बीच नहीं है और त्रिभुज समकोण नहीं हैं, तो कोई कसौटी लागू नहीं होती।

चरण 3: CPCT से कोई लंबाई या कोण स्थानांतरित करें, फिर पाइथागोरस, कोण योग या समद्विबाहु गुण से हल पूरा करें।

शॉर्टकट: कोण समद्विभाजक के किसी बिंदु से भुजाओं पर डाले 2 लंब बराबर होते हैं, और उनके पाद शीर्ष से समान दूरी पर होते हैं (AAS)। इससे कई समद्विभाजक प्रश्न साधारण घटाव बन जाते हैं।

पूर्णांक तीसरी भुजाएं गिनने का शॉर्टकट: संख्या = (a + b − 1) − (|a − b| + 1) + 1 = 2 × min(a, b) − 1।

उदाहरण 1: कसौटी पहचानना

प्रश्न: ΔABC और ΔPQR में AB = PQ, BC = QR और ∠B = ∠Q है। कौन सी कसौटी सर्वांगसमता सिद्ध करती है?

हल: ∠B भुजाओं AB और BC के बीच है, और ∠Q भुजाओं PQ और QR के बीच। 2 भुजाएं और बीच का कोण: SAS।

उत्तर: SAS

उदाहरण 2: समद्विबाहु के कोण

प्रश्न: ΔABC में AB = AC और ∠A = 40° है। ∠B ज्ञात कीजिए।

हल: ∠B = ∠C, अतः 2∠B = 180° − 40° = 140° और ∠B = 70°।

उत्तर: 70°

उदाहरण 3: संभव तीसरी भुजाएं

प्रश्न: एक त्रिभुज की 2 भुजाएं 5 cm और 9 cm हैं। तीसरी भुजा कितने पूर्णांक मान ले सकती है?

हल: 9 − 5 < c < 9 + 5, अतः 4 < c < 14 और c = 5, 6, …, 13। यह 13 − 5 + 1 = 9 मान हैं (शॉर्टकट 2 × 5 − 1 = 9)।

उत्तर: 9

उदाहरण 4: समद्विबाहु त्रिभुज के अंदर सर्वांगसमता

प्रश्न: ΔABC में AB = AC = 17 cm और BC = 16 cm है। D, BC का मध्यबिंदु है। ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 136 cm² (b) 120 cm² (c) 240 cm² (d) 128 cm²

हल: ΔABD ≅ ΔACD, SSS से (AB = AC, BD = DC, AD उभयनिष्ठ), अतः ∠ADB = ∠ADC; दोनों मिलकर 180° बनाते हैं, अतः प्रत्येक 90° है।

AD = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = 15। क्षेत्रफल = (1/2) × 16 × 15 = 120 cm²।

उत्तर: (b) 120 cm²

उदाहरण 5: कोण समद्विभाजक और बराबर लंब

प्रश्न: ΔABC में ∠B = 90°, AB = 6 cm और BC = 8 cm है। ∠A का समद्विभाजक BC को D पर मिलता है, और DE ⊥ AC है। DE ज्ञात कीजिए। (a) 4 cm (b) 2.4 cm (c) 3 cm (d) 3.6 cm

हल: AC = √(36 + 64) = 10। ΔABD ≅ ΔAED, AAS से (A पर बराबर कोण, B और E पर समकोण, AD उभयनिष्ठ), अतः DB = DE = x और AE = AB = 6, जिससे EC = 4।

समकोण ΔDEC में: DC = 8 − x, अतः (8 − x)² = x² + 4², अर्थात 64 − 16x = 16, x = 3 cm। समद्विभाजक प्रमेय से जांच: BD : DC = 6 : 10, BD = 8 × 6/16 = 3।

उत्तर: (c) 3 cm

उदाहरण 6: असर्वांगसम त्रिभुजों की गिनती

प्रश्न: पूर्णांक भुजाओं वाले कितने असर्वांगसम त्रिभुजों का परिमाप 15 cm है? (a) 5 (b) 6 (c) 8 (d) 7

हल: a ≤ b ≤ c लें जहां a + b + c = 15। a + b > c का अर्थ c < 7.5, अतः c ≤ 7; और c ≥ 5 क्योंकि c सबसे बड़ी है।

c = 7: (1, 7, 7), (2, 6, 7), (3, 5, 7), (4, 4, 7)। c = 6: (3, 6, 6), (4, 5, 6)। c = 5: (5, 5, 5)। कुल 4 + 2 + 1 = 7।

उत्तर: (d) 7

सामान्य गलतियां

AAA को सर्वांगसमता मान लेना। 50°, 60°, 70° कोणों वाले त्रिभुज किसी भी आकार के हो सकते हैं; AAA केवल समरूपता देता है।

2 भुजाएं और कोई भी कोण SAS कह देना। यदि कोण 2 भुजाओं के बीच नहीं है तो यह SSA है, जो तब तक कुछ सिद्ध नहीं करता जब तक त्रिभुज समकोण न हों (RHS)।

शीर्ष गलत क्रम में मिलाना और फिर CPCT से गलत भुजाएं बराबर करना। ΔABC ≅ ΔPQR तभी लिखें जब जांच लें कि कौन सा शीर्ष किससे मेल खाता है।

त्रिभुज असमिका में ≤ लेना। अन्य 2 के योग के बराबर भुजा से सीधी रेखा बनती है, त्रिभुज नहीं।

(2, 6, 7) और (6, 2, 7) को अलग त्रिभुज गिनना। क्रम महत्वपूर्ण नहीं; भुजाएं a ≤ b ≤ c रूप में लिखें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. निम्न में से कौन त्रिभुजों की सर्वांगसमता की कसौटी नहीं है? (a) SSS (b) SAS (c) AAA (d) RHS

Q2. ΔABC में AB = AC और ∠B = 2∠A है। ∠B ज्ञात कीजिए। (a) 36° (b) 54° (c) 72° (d) 108°

Q3. एक त्रिभुज की 2 भुजाएं 4 cm और 10 cm हैं। तीसरी भुजा की कितनी पूर्णांक लंबाइयां संभव हैं? (a) 7 (b) 8 (c) 6 (d) 9

उत्तर

Q1. (c) बराबर कोण केवल आकृति तय करते हैं, आकार नहीं; एक त्रिभुज और उसके बड़े रूप के कोण समान होते हैं।

Q2. (c) मान लें ∠A = x। तब ∠B = ∠C = 2x, अतः x + 2x + 2x = 180°, x = 36° और ∠B = 72°।

Q3. (a) 6 < c < 14 से c = 7 से 13, यानी 7 मान (2 × 4 − 1 = 7)।

त्वरित पुनरावृत्ति

मान्य कसौटियां: SSS, SAS (बीच का कोण), ASA, AAS, RHS। अमान्य: AAA, SSA।

समद्विबाहु: बराबर भुजाएं ⇔ बराबर आधार कोण; शीर्ष की माध्यिका ही शीर्षलंब और समद्विभाजक भी है।

कोण समद्विभाजक का बिंदु दोनों भुजाओं से समदूरस्थ; लंब समद्विभाजक का बिंदु दोनों सिरों से समदूरस्थ।

तीसरी भुजा: |a − b| < c < a + b; पूर्णांक संख्या = 2 × min(a, b) − 1।

अवधारणाएं और नियम

मान लें 2 वृत्तों की त्रिज्याएं r₁ ≥ r₂ हैं और उनके केंद्रों के बीच दूरी d है। उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा दोनों वृत्तों को छूती है।

अनुस्पर्श (बाह्य/प्रत्यक्ष) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा: दोनों वृत्त इसके एक ही ओर होते हैं। 2 स्पर्श बिंदुओं के बीच लंबाई = √(d² − (r₁ − r₂)²)।

अनुप्रस्थ (आंतरिक) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा: यह वृत्तों के बीच से जाती है। स्पर्श बिंदुओं के बीच लंबाई = √(d² − (r₁ + r₂)²)। यह केवल तभी होती है जब d > r₁ + r₂।

क्यों: स्पर्श रेखा को अपने समांतर छोटे वृत्त के केंद्र से खिसकाएं। एक समकोण त्रिभुज मिलता है जिसका कर्ण d और एक भुजा r₁ − r₂ (अनुस्पर्श) या r₁ + r₂ (अनुप्रस्थ) है; दूसरी भुजा स्पर्श रेखा की लंबाई है।

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या: d > r₁ + r₂ (अलग) पर 4; d = r₁ + r₂ (बाह्य स्पर्श) पर 3; r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ (2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद) पर 2; d = r₁ − r₂ तथा d > 0 (आंतरिक स्पर्श) पर 1; d < r₁ − r₂ (एक दूसरे के अंदर, संकेंद्रीय सहित) पर 0।

यदि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करें, तो d = r₁ + r₂ और अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = √((r₁ + r₂)² − (r₁ − r₂)²) = 2√(r₁r₂)।

2 अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (असमान वृत्तों के लिए) केंद्र रेखा पर उस बिंदु P पर मिलती हैं जो केंद्र रेखा को r₁ : r₂ में बाह्य रूप से बांटता है, अर्थात PO₁ : PO₂ = r₁ : r₂। 2 अनुप्रस्थ स्पर्श रेखाएं उस बिंदु पर मिलती हैं जो O₁O₂ को r₁ : r₂ में आंतरिक रूप से बांटता है।

बराबर वृत्तों की अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं समांतर होती हैं, हर एक की लंबाई d, अतः वे कभी नहीं मिलतीं।

a, b, c त्रिज्या वाले 3 वृत्त जो परस्पर बाह्य स्पर्श करते हैं, उनके केंद्र a + b, b + c, c + a भुजाओं वाला त्रिभुज बनाते हैं।

यदि a और b त्रिज्या वाले 2 वृत्त परस्पर बाह्य स्पर्श करें और दोनों एक सीधी रेखा को छुएं, तो उनके बीच के रिक्त स्थान में दोनों को और उसी रेखा को छूने वाले तीसरे वृत्त की त्रिज्या r के लिए 1/√r = 1/√a + 1/√b।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: r₁, r₂ और d लिखें। वृत्तों की स्थिति जानने के लिए d की तुलना r₁ + r₂ और r₁ − r₂ से करें।

चरण 2: तय करें कौन सी स्पर्श रेखा पूछी है: अनुस्पर्श में त्रिज्याओं का अंतर, अनुप्रस्थ में योग। याद रखने का तरीका: अनुप्रस्थ वृत्तों के बीच से गुजरती है, अतः त्रिज्याएं जुड़ती हैं।

चरण 3: उलटे प्रश्नों (d या त्रिज्या ज्ञात करनी हो) में सूत्र का वर्ग करें: d² = स्पर्श रेखा² + (r₁ ∓ r₂)²।

शॉर्टकट: बाह्य स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए अनुस्पर्श स्पर्श रेखा 2√(r₁r₂) होती है और अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा खंड की लंबाई 0 होती है।

शॉर्टकट: अनुस्पर्श स्पर्श रेखाओं के मिलन बिंदु P के लिए छोटे वृत्त के आगे PO₂ = d × r₂/(r₁ − r₂); अनुप्रस्थ स्पर्श रेखाओं का बिंदु O₁ से d × r₁/(r₁ + r₂) पर है।

उदाहरण 1: अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा

प्रश्न: 8 cm और 3 cm त्रिज्या वाले 2 वृत्तों के केंद्र 13 cm दूर हैं। अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: √(13² − (8 − 3)²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm।

उत्तर: 12 cm

उदाहरण 2: अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा

प्रश्न: 10 cm और 5 cm त्रिज्या वाले 2 वृत्तों के केंद्र 17 cm दूर हैं। अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: 17 > 10 + 5, अतः यह संभव है। √(17² − 15²) = √(289 − 225) = √64 = 8 cm।

उत्तर: 8 cm

उदाहरण 3: उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या

प्रश्न: 7 cm और 4 cm त्रिज्या वाले वृत्तों के केंद्र 11 cm दूर हैं। कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं?

हल: d = 11 = 7 + 4, अतः वृत्त बाह्य स्पर्श करते हैं: 2 अनुस्पर्श स्पर्श रेखाएं और स्पर्श बिंदु पर 1 स्पर्श रेखा, कुल 3।

उत्तर: 3

उदाहरण 4: स्पर्श करते वृत्त

प्रश्न: 9 cm और 4 cm त्रिज्या वाले 2 वृत्त परस्पर बाह्य स्पर्श करते हैं। उनकी अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए। (a) 13 cm (b) 12 cm (c) 6 cm (d) 10 cm

हल: d = 9 + 4 = 13। लंबाई = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm, जो 2√(9 × 4) = 2 × 6 = 12 cm के बराबर है। विकल्प (a) स्वयं d है और (c) में गुणक 2 छूट गया है।

उत्तर: (b) 12 cm

उदाहरण 5: अनुस्पर्श स्पर्श रेखाओं का मिलन बिंदु

प्रश्न: O₁ और O₂ केंद्र वाले वृत्तों की त्रिज्याएं 6 cm और 2 cm हैं, तथा O₁O₂ = 12 cm है। उनकी अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं P पर मिलती हैं। P से बड़े वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए। (a) 12√2 cm (b) 18 cm (c) 6√2 cm (d) 16 cm

हल: P, O₂ के आगे है और PO₁ : PO₂ = 6 : 2 = 3 : 1। मान लें PO₂ = x; तब PO₁ = x + 12 = 3x, अतः x = 6 और PO₁ = 18 cm।

बड़े वृत्त पर स्पर्श रेखा = √(18² − 6²) = √(324 − 36) = √288 = 12√2 cm। जांच: छोटे वृत्त पर स्पर्श रेखा = √(36 − 4) = 4√2, और अंतर 8√2 अनुस्पर्श स्पर्श रेखा √(144 − 16) = √128 के बराबर है।

उत्तर: (a) 12√2 cm

उदाहरण 6: रिक्त स्थान में वृत्त

प्रश्न: 9 cm और 4 cm त्रिज्या वाले 2 वृत्त परस्पर बाह्य स्पर्श करते हैं और दोनों एक सीधी रेखा को छूते हैं। एक छोटा वृत्त दोनों वृत्तों और उसी रेखा को छूता है। उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (a) 1.5 cm (b) 1.2 cm (c) 1.44 cm (d) 2.25 cm

हल: स्पर्श करते वृत्तों के रेखा पर स्पर्श बिंदु 2√(ab) दूर होते हैं। 3 जोड़ों के लिए: 2√(9 × 4) = 2√(9r) + 2√(4r), अर्थात 6 = 3√r + 2√r = 5√r।

अतः √r = 6/5 और r = 36/25 = 1.44 cm (1/√r = 1/3 + 1/2 = 5/6 के समान)।

उत्तर: (c) 1.44 cm

सामान्य गलतियां

सूत्र आपस में बदल देना। अनुस्पर्श में (r₁ − r₂), अनुप्रस्थ में (r₁ + r₂); अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा सदा छोटी होती है।

d ≤ r₁ + r₂ होने पर भी अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा निकालना। वृत्त स्पर्श करें या प्रतिच्छेद करें तो धनात्मक लंबाई का अनुप्रस्थ खंड नहीं होता।

स्पर्श करते वृत्तों के लिए 4 स्पर्श रेखाएं गिनना। बाह्य स्पर्श पर 3, आंतरिक स्पर्श पर 1।

d को वृत्तों के बीच का खाली अंतर (किनारे से किनारे) मान लेना। d सदा केंद्र से केंद्र है; अंतर = d − r₁ − r₂।

उलटे प्रश्नों में भूल जाना कि r₁ − r₂ = k होने पर, जब r₂ छोटी त्रिज्या हो, r₁ = r₂ + k होता है, r₂ − k नहीं।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 11 cm और 5 cm त्रिज्या वाले 2 वृत्तों के केंद्र 10 cm दूर हैं। उनकी कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं हैं? (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1

Q2. 5 cm और 3 cm त्रिज्या वाले 2 वृत्तों की अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा 15 cm लंबी है। उनके केंद्रों के बीच दूरी ज्ञात कीजिए। (a) 15 cm (b) 16 cm (c) 17 cm (d) 18 cm

Q3. 2 वृत्तों के केंद्र 25 cm दूर हैं और उनकी अनुस्पर्श उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा 24 cm है। छोटे वृत्त की त्रिज्या 3 cm है। बड़े वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (a) 7 cm (b) 13 cm (c) 12 cm (d) 10 cm

उत्तर

Q1. (b) 11 − 5 = 6 < 10 < 16 = 11 + 5, अतः वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं और उनकी 2 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं हैं।

Q2. (c) d² = 15² + (5 + 3)² = 225 + 64 = 289, d = 17 cm।

Q3. (d) (r₁ − 3)² = 25² − 24² = 49, अतः r₁ − 3 = 7 और r₁ = 10 cm।

त्वरित पुनरावृत्ति

अनुस्पर्श: √(d² − (r₁ − r₂)²)। अनुप्रस्थ: √(d² − (r₁ + r₂)²)।

स्पर्श रेखा संख्या: अलग 4, बाह्य स्पर्श 3, प्रतिच्छेदी 2, आंतरिक स्पर्श 1, एक के अंदर दूसरा 0।

बाह्य स्पर्श: अनुस्पर्श स्पर्श रेखा = 2√(r₁r₂)।

अनुस्पर्श स्पर्श रेखाएं वहां मिलती हैं जहां PO₁ : PO₂ = r₁ : r₂ (बाह्य विभाजन); रिक्त स्थान का वृत्त: 1/√r = 1/√a + 1/√b।