Work rates — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

पूरे काम को 1 इकाई मानें। यदि कोई व्यक्ति उसे अकेले T दिनों में पूरा करता है, तो उसकी दर प्रतिदिन काम का 1/T है, और t दिनों में वह काम का t/T भाग करता है।

दरें जुड़ती हैं, समय नहीं। यदि A अकेला a दिन और B अकेला b दिन लेता है, तो दोनों मिलकर ab/(a+b) दिन लेते हैं; तीन व्यक्तियों के लिए समय abc/(ab+bc+ca) दिन है।

दक्षता का अर्थ है दर। एक ही काम के लिए समय दक्षता के व्युत्क्रमानुपाती होता है: यदि A, B से 50% अधिक दक्ष है, तो दरों का अनुपात A:B = 3:2 और समयों का अनुपात A:B = 2:3 होगा।

यदि A अकेला a दिन लेता है और A तथा B मिलकर c दिन लेते हैं, तो B अकेला ac/(a−c) दिन लेगा, क्योंकि 1/c − 1/a = (a−c)/ac।

जोड़ी नियम: यदि A+B, B+C और C+A काम को x, y और z दिनों में पूरा करते हैं, तो A+B+C की दर = 1/2 × (1/x + 1/y + 1/z), क्योंकि तीनों जोड़ियों में हर व्यक्ति दो बार गिना जाता है।

मानव-दिवस नियम: M1 × D1 × H1 / W1 = M2 × D2 × H2 / W2 (पुरुष, दिन, प्रतिदिन घंटे, काम की मात्रा)। यह तभी लागू होता है जब सभी की दक्षता समान हो; अन्यथा पहले बदलें, जैसे 1 पुरुष = 2 लड़के।

मजदूरी किए गए काम (दर × काम के दिन) के अनुपात में बंटती है। यदि सभी समान दिन काम करें, तो यह केवल उनकी दरों का अनुपात है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: कुल काम = दिए गए समयों का LCM लें। हर व्यक्ति की दर = कुल काम ÷ उसका समय, प्रतिदिन पूर्ण इकाइयों में। इससे गणना में भिन्न नहीं आते।

चरण 2: समय-रेखा को चरणों में लिखें (कौन काम कर रहा है और कितने दिन)। किसी चरण का काम = उपस्थित लोगों की संयुक्त दर × दिनों की संख्या।

चरण 3: कुल काम − किया जा चुका काम = शेष काम; शेष काम ÷ उसे पूरा करने वाले की दर = आवश्यक दिन।

छोड़ने का शॉर्टकट: यदि A और B साथ शुरू करें और A काम पूरा होने से x दिन पहले छोड़ दे, तो कुल समय T मानें; तब A ने T − x दिन और B ने T दिन काम किया, अतः A × (T − x) + B × T = कुल काम।

एकांतर दिन: एक चक्र (हर व्यक्ति का एक दिन) में हुआ काम निकालें, जितने पूरे चक्र समाएं उतने लें, फिर बारी के अनुसार अगला व्यक्ति शेष काम पूरा करे। अंतिम चक्र अक्सर अधूरा होता है, इसलिए कुल काम को प्रति चक्र काम से सीधे कभी न बांटें।

यदि समय 15/2 दिन जैसी भिन्न हो, तो दर प्रतिदिन काम का 2/15 है; कुल काम को 15 का गुणज लें, इकाइयां पूर्ण रहेंगी।

उदाहरण 1: दो व्यक्ति एक साथ

प्रश्न: A एक काम 12 दिनों में और B 18 दिनों में पूरा कर सकता है। दोनों मिलकर इसे कितने दिनों में पूरा करेंगे?

हल: कुल काम = LCM(12, 18) = 36 इकाई। A की दर = 36 ÷ 12 = 3 इकाई/दिन और B की दर = 36 ÷ 18 = 2 इकाई/दिन। मिलकर = 5 इकाई/दिन, अतः समय = 36 ÷ 5 = 36/5 दिन।

सूत्र से जांच: ab/(a+b) = 12 × 18/30 = 216/30 = 36/5 दिन।

उत्तर: 36/5 दिन = 7 1/5 दिन।

उदाहरण 2: तीन व्यक्ति एक साथ

प्रश्न: A, B और C अकेले एक काम क्रमशः 10, 15 और 30 दिनों में कर सकते हैं। तीनों मिलकर कितना समय लेंगे?

हल: कुल काम = LCM(10, 15, 30) = 30 इकाई। दरें: A = 3, B = 2, C = 1 इकाई/दिन। मिलकर = 6 इकाई/दिन, अतः समय = 30 ÷ 6 = 5 दिन।

उत्तर: 5 दिन।

उदाहरण 3: जोड़ियों की दरें

प्रश्न: A और B मिलकर एक काम 12 दिनों में, B और C 15 दिनों में, तथा C और A 20 दिनों में कर सकते हैं। तीनों मिलकर इसे कितने दिनों में और C अकेला कितने दिनों में पूरा करेगा?

हल: कुल काम = LCM(12, 15, 20) = 60 इकाई। A+B = 5, B+C = 4, C+A = 3 इकाई/दिन। जोड़ने पर 2(A+B+C) = 12, अतः A+B+C = 6 इकाई/दिन और तीनों 60 ÷ 6 = 10 दिन लेंगे।

C = (A+B+C) − (A+B) = 6 − 5 = 1 इकाई/दिन, अतः C अकेला 60 ÷ 1 = 60 दिन लेगा।

उत्तर: मिलकर 10 दिन; C अकेला 60 दिन।

उदाहरण 4: घंटों सहित मानव-दिवस

प्रश्न: 12 पुरुष प्रतिदिन 8 घंटे काम करके एक काम 15 दिनों में पूरा करते हैं। 18 पुरुष प्रतिदिन 10 घंटे काम करके दोगुना बड़ा काम कितने दिनों में पूरा करेंगे? (a) 12 (b) 15 (c) 16 (d) 20

हल: M1 × D1 × H1 / W1 = M2 × D2 × H2 / W2 में W1 = 1 और W2 = 2 रखें: 12 × 15 × 8 / 1 = 18 × D2 × 10 / 2।

अतः 1440 = 90 × D2, जिससे D2 = 16 दिन।

उत्तर: (c) 16

उदाहरण 5: बीच में काम छोड़ना

प्रश्न: A, B और C अकेले एक काम क्रमशः 20, 30 और 60 दिनों में कर सकते हैं। तीनों साथ शुरू करते हैं; A 4 दिन बाद छोड़ देता है और B काम पूरा होने से 3 दिन पहले छोड़ देता है। काम कितने दिनों में पूरा होगा? (a) 16 (b) 18 (c) 20 (d) 22

हल: कुल काम = LCM(20, 30, 60) = 60 इकाई। दरें: A = 3, B = 2, C = 1 इकाई/दिन। मान लें काम T दिनों में पूरा होता है।

A ने 4 दिन, B ने T − 3 दिन और C ने पूरे T दिन काम किया, अतः 3 × 4 + 2 × (T − 3) + 1 × T = 60।

12 + 2T − 6 + T = 60 ⇒ 3T = 54 ⇒ T = 18 दिन। जांच: A ने 12, B ने 2 × 15 = 30 और C ने 18 इकाई काम किया; कुल 60।

उत्तर: (b) 18

उदाहरण 6: दक्षता की कड़ी और मजदूरी

प्रश्न: A, B से दोगुना दक्ष है और B, C से 50% अधिक दक्ष है। A, B और C मिलकर एक काम 12 दिनों में पूरा करते हैं और उन्हें ₹8,800 मिलते हैं। C अकेला काम कितने दिनों में पूरा करेगा और C का हिस्सा क्या है? (a) 66 दिन, ₹1,600 (b) 72 दिन, ₹1,600 (c) 66 दिन, ₹2,400 (d) 60 दिन, ₹1,800

हल: C की दर = 2 इकाई/दिन लें। तब B = 1.5 × 2 = 3 और A = 2 × 3 = 6 इकाई/दिन। मिलकर = 11 इकाई/दिन।

कुल काम = 11 × 12 = 132 इकाई, अतः C अकेले को 132 ÷ 2 = 66 दिन लगेंगे।

तीनों ने समान 12 दिन काम किया, इसलिए मजदूरी दरों के अनुपात 6 : 3 : 2 में बंटेगी। C का हिस्सा = 8,800 × 2/11 = ₹1,600।

उत्तर: (a) 66 दिन, ₹1,600

सामान्य गलतियां

दरों के बजाय दिन जोड़ना: A के 12 दिन और B के 18 दिन होने पर वे मिलकर 30 या 15 दिन नहीं लेते। दरें 1/12 + 1/18 = 5/36 जोड़ें और उलटकर 36/5 दिन पाएं।

50% अधिक दक्ष को 50% अधिक समय समझना। अधिक दक्षता का अर्थ कम समय है: A, B के समय का 2/3 लेता है, यानी 33 1/3% कम समय, 50% कम नहीं।

छोड़ने वाले प्रश्नों में छोड़ने वाले को पूरे T दिन दे देना। जो अंत से x दिन पहले छोड़ता है वह केवल T − x दिन काम करता है; जो k दिन बाद छोड़ता है वह केवल k दिन काम करता है।

मजदूरी केवल काम के दिनों के अनुपात में बांटना। हिस्सा = दर × दिन, इसलिए समान दिनों में तेज व्यक्ति अधिक कमाता है।

पुरुष और लड़के (या पुरुष और महिलाएं) मिले हों तब भी M1D1 = M2D2 लगाना। पहले सभी को दक्षता की एक इकाई में बदलें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. A अकेला एक काम 15 दिनों में कर सकता है, और A तथा B मिलकर उसे 6 दिनों में कर सकते हैं। B अकेला उसे कितने दिनों में करेगा? (a) 9 (b) 10 (c) 12 (d) 8

Q2. 2 पुरुष और 3 लड़के एक काम 10 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 पुरुष और 2 लड़के उसे 8 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 2 पुरुष और 1 लड़का उसे कितने दिनों में पूरा करेंगे? (a) 12.5 (b) 12 (c) 15 (d) 10

Q3. A एक काम 12 दिनों में और B 18 दिनों में कर सकता है। वे एकांतर दिनों में काम करते हैं और पहले दिन A काम करता है। काम कितने दिनों में पूरा होगा? (a) 14 1/2 (b) 15 (c) 14 (d) 14 1/3

उत्तर

Q1. (b) B की दर = 1/6 − 1/15 = (5 − 2)/30 = प्रतिदिन काम का 1/10, अतः B अकेला 10 दिन लेगा।

Q2. (a) मान लें 1 पुरुष प्रतिदिन m और 1 लड़का b काम करता है: 2m + 3b = 1/10 और 3m + 2b = 1/8। जोड़ने पर m + b = 9/200; घटाने पर m − b = 1/40 = 5/200। अतः m = 7/200, b = 1/100 और 2m + b = 16/200 = 2/25, जिससे 25/2 = 12.5 दिन।

Q3. (d) कुल = 36 इकाई; A = 3 और B = 2 इकाई/दिन, अतः 2 दिनों में 5 इकाई। 7 चक्र = 14 दिनों में 35 इकाई; शेष 1 इकाई A दिन 15 को 1/3 दिन में करता है। कुल = 14 1/3 दिन।

त्वरित पुनरावृत्ति

कुल काम = समयों का LCM; दर = काम ÷ समय; दरें जोड़ें, दिन कभी नहीं।

दो व्यक्ति: ab/(a+b)। A और A+B से B अकेला: ac/(a−c)। तीन जोड़ियां: जोड़ियों की दरें जोड़कर आधा करें।

दक्षता का अनुपात समय के अनुपात का व्युत्क्रम है; मजदूरी किए गए काम के अनुसार बंटती है।

M1D1H1/W1 = M2D2H2/W2 केवल समान दक्षता वाले कामगारों के लिए।

छोड़ने और एकांतर दिन वाले प्रश्न: चरण लिखें, और काम पूरा होते ही रुक जाएं।

अवधारणाएं और नियम

जो भरने वाला नल टंकी को अकेले a घंटे में भरता है, वह प्रति घंटे टंकी का 1/a भाग भरता है। जो निकास नल या रिसाव पूरी टंकी को b घंटे में खाली करता है, वह प्रति घंटे 1/b भाग निकालता है, इसलिए उसकी दर ऋणात्मक ली जाती है।

शुद्ध दर = भरने वाले नलों की दरों का योग − खाली करने वालों की दरों का योग। शुद्ध दर धनात्मक हो तो टंकी भरती है; ऋणात्मक हो तो भरी टंकी खाली होती है; शून्य हो तो स्तर नहीं बदलता।

a और b घंटे लेने वाले दो भरने वाले नल मिलकर टंकी को ab/(a+b) घंटे में भरते हैं। a घंटे वाला भरने वाला नल और b घंटे वाला निकास नल (b > a) मिलकर टंकी को ab/(b − a) घंटे में भरते हैं।

रिसाव नियम: यदि कोई नल सामान्यतः टंकी को a घंटे में भरता है पर रिसाव के कारण b घंटे लेता है, तो रिसाव अकेले भरी टंकी को ab/(b − a) घंटे में खाली करेगा।

केवल खाली भाग को भरना होता है: यदि टंकी पहले से 1/3 भरी है, तो समय = (2/3) ÷ शुद्ध दर। इसी प्रकार केवल भरे भाग को खाली करना होता है।

लीटर में क्षमता = प्रति मिनट लीटर में प्रवाह × मिनट। यदि कोई नल टंकी को a मिनट में भरता है, तो उसका प्रवाह क्षमता/a लीटर प्रति मिनट है।

टंकी भरते ही भरना रुक जाता है: उस क्षण के बाद चलने वाला निकास नल नहीं गिना जाता। एकांतर नल वाले प्रश्नों में यही उत्तर तय करता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: क्षमता = सभी समयों का LCM इकाइयों में लें। हर भरने वाले नल को धनात्मक और हर निकास नल को ऋणात्मक दर (इकाई प्रति घंटा) दें।

चरण 2: जब भी कोई नल खुले या बंद हो, समय को चरणों में बांटें और हर चरण के अंत में टंकी की मात्रा निकालें।

चरण 3: शेष क्षमता ÷ अंतिम चरण की शुद्ध दर = अभी लगने वाला समय।

एक भरने वाले (a घंटे) और एक निकास नल (b घंटे) का शॉर्टकट: समय = ab/(b − a)। यही व्यंजक रिसाव नियम में रिसाव का खाली करने का समय देता है।

एकांतर नल: प्रति चक्र शुद्ध वृद्धि निकालें, पर पहले वह मात्रा निकालें जिस पर भरने वाला नल अपनी ही बारी में टंकी भर सके। पूरे चक्र केवल वहीं तक गिनें।

उदाहरण 1: दो भरने वाले नल

प्रश्न: नल A एक टंकी को 10 घंटे में और नल B 15 घंटे में भरता है। दोनों मिलकर कितना समय लेंगे?

हल: क्षमता = LCM(10, 15) = 30 इकाई। A = 3 और B = 2 इकाई/घंटा, मिलकर 5 इकाई/घंटा, अतः समय = 30 ÷ 5 = 6 घंटे। सूत्र: 10 × 15/25 = 6।

उत्तर: 6 घंटे।

उदाहरण 2: भरने वाला नल और निकास नल

प्रश्न: नल A एक टंकी को 8 घंटे में भरता है और नल B भरी टंकी को 12 घंटे में खाली करता है। खाली टंकी में दोनों खोले जाएं तो वह कब भरेगी?

हल: क्षमता = LCM(8, 12) = 24 इकाई। A = +3, B = −2, शुद्ध = +1 इकाई/घंटा, अतः समय = 24 घंटे। सूत्र: 8 × 12/(12 − 8) = 24।

उत्तर: 24 घंटे।

उदाहरण 3: रिसाव नियम

प्रश्न: एक नल टंकी को 6 घंटे में भर सकता है, पर तल में रिसाव के कारण उसे 8 घंटे लगते हैं। रिसाव अकेले भरी टंकी को कितने घंटे में खाली करेगा?

हल: क्षमता = LCM(6, 8) = 24 इकाई। नल = 4 इकाई/घंटा; रिसाव सहित नल = 3 इकाई/घंटा, अतः रिसाव 1 इकाई/घंटा निकालता है और 24 इकाई 24 घंटे में खाली करता है। सूत्र: 6 × 8/(8 − 6) = 24।

उत्तर: 24 घंटे।

उदाहरण 4: तीन नल एक साथ

प्रश्न: नल A और B एक टंकी को 12 घंटे और 15 घंटे में भर सकते हैं, और नल C उसे 20 घंटे में खाली कर सकता है। खाली टंकी में तीनों एक साथ खोले जाएं तो वह कितने घंटे में भरेगी? (a) 8 (b) 9 (c) 12 (d) 10

हल: क्षमता = LCM(12, 15, 20) = 60 इकाई। A = +5, B = +4, C = −3, अतः शुद्ध दर = 6 इकाई/घंटा।

समय = 60 ÷ 6 = 10 घंटे।

उत्तर: (d) 10

उदाहरण 5: बाद में खोला गया नल

प्रश्न: नल A और B एक टंकी को 20 मिनट और 30 मिनट में भरते हैं, और नल C उसे 15 मिनट में खाली करता है। खाली टंकी में A और B एक साथ खोले जाते हैं, और C को 6 मिनट बाद खोला जाता है। C खुलने के बाद टंकी भरने में और कितने मिनट लगेंगे? (a) 24 (b) 36 (c) 30 (d) 20

हल: क्षमता = LCM(20, 30, 15) = 60 इकाई। A = +3, B = +2, C = −4 इकाई/मिनट।

चरण 1 (A और B, 6 मिनट): 5 × 6 = 30 इकाई भरी। चरण 2 (तीनों): शुद्ध = 3 + 2 − 4 = 1 इकाई/मिनट।

शेष 60 − 30 = 30 इकाई 1 इकाई/मिनट से 30 मिनट और लेंगी (कुल 36 मिनट, जो जाल वाला विकल्प है)।

उत्तर: (c) 30

उदाहरण 6: एकांतर घंटे

प्रश्न: नल A एक टंकी को 4 घंटे में भरता है और नल B भरी टंकी को 6 घंटे में खाली करता है। खाली टंकी से शुरू करके उन्हें बारी-बारी से हर बार 1 घंटे के लिए खोला जाता है, पहले A। टंकी पहली बार कितने घंटे बाद भरेगी? (a) 19 (b) 24 (c) 20 (d) 18

हल: क्षमता = LCM(4, 6) = 12 इकाई। A = +3, B = −2, अतः हर 2 घंटे के चक्र में 1 इकाई की वृद्धि।

जब मात्रा कम से कम 12 − 3 = 9 इकाई हो जाए, तब A अपने ही घंटे में टंकी भर सकता है। 9 चक्रों (18 घंटे) के बाद मात्रा 9 इकाई है।

घंटा 19 में A 3 इकाई जोड़ता है और टंकी भर जाती है, इसलिए B फिर नहीं चलता। 12 को 1 से भाग देकर 24 घंटे लेना जाल है।

उत्तर: (a) 19

सामान्य गलतियां

खाली करने वाले नल की दर जोड़ देना। निकास नल की दर ऋणात्मक है; उसे भरने वालों में से घटाएं।

एकांतर नल वाले प्रश्नों में क्षमता को प्रति चक्र वृद्धि से भाग देना। चक्र पूरा होने से पहले भरने की बारी में टंकी भर सकती है।

रिसाव नियम में भ्रम: ab/(b − a) रिसाव द्वारा भरी टंकी खाली करने का समय है, रिसाव सहित भरने का समय नहीं (वह b है)।

टंकी में पहले से भरे पानी को अनदेखा करना। यदि टंकी 2/5 भरी है, तो केवल 3/5 भरना है।

मिनट और घंटे मिलाना, या जब प्रश्न किसी नल के खुलने या बंद होने के बाद का समय पूछे तब कुल समय बता देना।

अभ्यास प्रश्न

Q1. नल A एक टंकी को 18 मिनट में और नल B 36 मिनट में भरता है। दोनों मिलकर कितने मिनट लेंगे? (a) 12 (b) 15 (c) 10 (d) 27

Q2. एक टंकी 2/5 भरी है। नल A पूरी टंकी को 10 घंटे में भर सकता है और नल B भरी टंकी को 15 घंटे में खाली कर सकता है। दोनों खोल दिए जाएं तो टंकी कितने घंटे में भरेगी? (a) 12 (b) 15 (c) 18 (d) 30

Q3. एक नल खाली टंकी को 20 मिनट में भर सकता है और एक रिसाव भरी टंकी को 30 मिनट में खाली कर सकता है। दोनों 10 मिनट खुले रहते हैं, फिर रिसाव बंद कर दिया जाता है। नल को टंकी भरने में और कितने मिनट लगेंगे? (a) 15 (b) 16 2/3 (c) 18 (d) 20

उत्तर

Q1. (a) क्षमता = 36 इकाई; A = 2 और B = 1 इकाई/मिनट, अतः 36 ÷ 3 = 12 मिनट।

Q2. (c) शुद्ध दर = 1/10 − 1/15 = 1/30 प्रति घंटा; खाली भाग 3/5 है, अतः समय = 3/5 × 30 = 18 घंटे।

Q3. (b) क्षमता = 60 इकाई; नल = 3, रिसाव = −2। 10 मिनट में मात्रा 10 इकाई; शेष 50 इकाई 3 इकाई/मिनट से 50/3 = 16 2/3 मिनट लेंगी।

त्वरित पुनरावृत्ति

क्षमता = समयों का LCM; भरने वाले नल की दर धनात्मक, निकास और रिसाव की दर ऋणात्मक।

दो भरने वाले: ab/(a+b)। भरने वाला a और निकास b: ab/(b − a)। a और b से रिसाव: ab/(b − a)।

केवल खाली भाग भरें; जब भी कोई नल बदले, समय को चरणों में बांटें।

एकांतर नल: जब अगली भरने की बारी टंकी पूरी कर सके, तब चक्र गिनना बंद करें।