Reading numerical charts — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

बारंबारता बंटन आंकड़ों को 10–20, 20–30 जैसे वर्ग अंतरालों में बांटता है। SSC चार्टों में 10–20 का अर्थ 10 ≤ x < 20 है: 20 का मान वर्ग 20–30 में जाता है।

वर्ग चौड़ाई (आकार) = उच्च सीमा − निम्न सीमा। वर्ग चिह्न (मध्यबिंदु) = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2; 20–30 के लिए यह 25 है।

आयतचित्र: x-अक्ष पर वर्ग अंतराल, y-अक्ष पर बारंबारताएं, दंड बिना खाली स्थान के एक दूसरे से सटे। किसी दंड का क्षेत्रफल उसके वर्ग की बारंबारता के समानुपाती होता है।

असमान वर्ग चौड़ाई: समायोजित ऊंचाई = बारंबारता × (मानक चौड़ाई ÷ वर्ग चौड़ाई) अंकित करें, इसे बारंबारता घनत्व भी कहते हैं। दोगुने चौड़े वर्ग को समान बारंबारता पर आधी ऊंचाई मिलती है।

बारंबारता बहुभुज: हर वर्ग के लिए (वर्ग चिह्न, बारंबारता) अंकित करें और बिंदुओं को सीधी रेखाओं से मिलाएं। इसे बंद करने के लिए दोनों सिरों पर शून्य बारंबारता का एक वर्ग जोड़ें, पहले वर्ग से ठीक पहले और अंतिम वर्ग के ठीक बाद के वर्ग चिह्न पर।

समान वर्ग चौड़ाई पर बंद बारंबारता बहुभुज के नीचे का क्षेत्रफल आयतचित्र के कुल क्षेत्रफल के बराबर होता है।

किसी वर्ग की संचयी बारंबारता (से कम प्रकार) = उस वर्ग तक की सभी बारंबारताओं का योग। अंतिम संचयी बारंबारता कुल योग N के बराबर होती है।

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य = Σ(f × x) ÷ Σf, जहां x वर्ग चिह्न है। यह मानता है कि हर वर्ग के मान वर्ग चिह्न पर केंद्रित हैं।

माध्यिका = L + ((N/2 − cf) ÷ f) × h, जहां L = माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (पहला वर्ग जिसकी संचयी बारंबारता N/2 तक पहुंचे), cf = उससे पहले की संचयी बारंबारता, f = उसकी बारंबारता, h = उसकी चौड़ाई।

बहुलक = L + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h, जहां बहुलक वर्ग की बारंबारता सबसे अधिक f₁ है, f₀ उससे पहले वाले वर्ग की और f₂ उसके बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: चार्ट को तालिका में उतारें: वर्ग, बारंबारता, और आवश्यकता हो तो वर्ग चिह्न, f × x और संचयी बारंबारता। जांचें कि बारंबारताओं का योग दिए कुल के बराबर है।

चरण 2: प्रश्न की सीमा ध्यान से पढ़ें: 'कम से कम 40' का अर्थ 40 और उससे ऊपर के वर्ग; '30 से कम' का अर्थ 30 पर समाप्त होने वाले वर्ग।

चरण 3: प्रतिशत के लिए गिनती को N से भाग दें, वर्गों की संख्या से नहीं। अनुपात को अंत में ही सरल करें।

माध्य का शॉर्टकट: एक कल्पित माध्य A (बीच का वर्ग चिह्न) लें और माध्य = A + Σf(x − A)/Σf लगाएं। विचलन h के छोटे गुणज होते हैं, अतः गणना जल्दी होती है।

शॉर्टकट: समान चौड़ाई वाले बारंबारता बहुभुज में सबसे तीव्र चढ़ता खंड उन 2 आसन्न वर्गों के बीच होता है जिनकी बारंबारता में सबसे अधिक वृद्धि हो।

उदाहरण 1: आयतचित्र पढ़ना

उदाहरण 1 से 4 के लिए आंकड़े (आयतचित्र, 50 छात्रों के अंक): 0–10 – 4, 10–20 – 6, 20–30 – 12, 30–40 – 15, 40–50 – 8, 50–60 – 5।

प्रश्न: कितने प्रतिशत छात्रों ने 40 या अधिक अंक प्राप्त किए?

हल: वर्ग 40–50 और 50–60: 8 + 5 = 13 छात्र। प्रतिशत = 13/50 × 100 = 26%।

उत्तर: 26%

उदाहरण 2: वर्ग चिह्नों से माध्य

प्रश्न: 50 छात्रों के माध्य अंक ज्ञात कीजिए।

हल: वर्ग चिह्न 5, 15, 25, 35, 45, 55। Σfx = 4 × 5 + 6 × 15 + 12 × 25 + 15 × 35 + 8 × 45 + 5 × 55 = 20 + 90 + 300 + 525 + 360 + 275 = 1570।

माध्य = 1570 ÷ 50 = 31.4 अंक।

उत्तर: 31.4

उदाहरण 3: बारंबारता बहुभुज के बिंदु

प्रश्न: बंद बारंबारता बहुभुज के बिंदु लिखिए और सबसे तीव्र चढ़ाव वाला खंड बताइए।

हल: बिंदु: (−5, 0), (5, 4), (15, 6), (25, 12), (35, 15), (45, 8), (55, 5), (65, 0)। सिरों के बिंदु काल्पनिक वर्गों −10–0 और 60–70 से आते हैं जिनकी बारंबारता 0 है।

चढ़ाव: 4, 2, 6, 3, फिर गिरावट। सबसे तीव्र चढ़ाव (6) बिंदु (15, 6) से (25, 12) तक है।

उत्तर: (15, 6) से (25, 12) तक

उदाहरण 4: माध्यिका वर्ग और माध्यिका

प्रश्न: माध्यिका अंक ज्ञात कीजिए। (a) 31.4 (b) 35 (c) 32 (d) 30

हल: N/2 = 25। संचयी बारंबारताएं: 4, 10, 22, 37, 45, 50। 25 तक पहुंचने वाली पहली 37 है, अतः माध्यिका वर्ग 30–40 है, उससे पहले cf = 22 और f = 15।

माध्यिका = 30 + (25 − 22)/15 × 10 = 30 + 2 = 32। विकल्प (a) माध्य है, माध्यिका नहीं।

उत्तर: (c) 32

उदाहरण 5: असमान वर्गों वाला आयतचित्र

प्रश्न: 60 मजदूरों की दैनिक मजदूरी (₹): 100–150 – 10, 150–200 – 15, 200–300 – 20, 300–500 – 10, 500–600 – 5। ₹50 को मानक चौड़ाई मानकर वर्ग 300–500 के दंड की समायोजित ऊंचाई क्या है? (a) 2.5 (b) 5 (c) 10 (d) 20

हल: 300–500 की चौड़ाई 200 = 4 मानक चौड़ाइयां। समायोजित ऊंचाई = 10 × 50/200 = 2.5।

सभी समायोजित ऊंचाइयां: 10, 15, 10, 2.5, 5। अतः सबसे ऊंचा दंड 150–200 है, भले ही सबसे बड़ी बारंबारता 20 वर्ग 200–300 की है। विकल्प (c) बिना समायोजन की बारंबारता है।

उत्तर: (a) 2.5

उदाहरण 6: माध्य से लुप्त बारंबारता

प्रश्न: बंटन 0–10 – 5, 10–20 – x, 20–30 – 10, 30–40 – 6, 40–50 – 4 का माध्य 25 है। x ज्ञात कीजिए। (a) 6 (b) 5 (c) 8 (d) 4

हल: Σf = 25 + x। Σfx = 5 × 5 + 15x + 10 × 25 + 6 × 35 + 4 × 45 = 25 + 15x + 250 + 210 + 180 = 665 + 15x।

(665 + 15x)/(25 + x) = 25 से 665 + 15x = 625 + 25x, अतः 10x = 40 और x = 4। जांच: 725 ÷ 29 = 25।

उत्तर: (d) 4

सामान्य गलतियां

वर्ग चौड़ाई अलग होने पर भी दंड की ऊंचाई को बारंबारता पढ़ना। असमान चौड़ाई में बारंबारता = ऊंचाई × (वर्ग चौड़ाई ÷ मानक चौड़ाई)।

बारंबारता बहुभुज को वर्ग चिह्नों के स्थान पर वर्ग सीमाओं पर अंकित करना।

सीमा वाले मान को निचले वर्ग में रखना: 10–20, 20–30 में 20 अंक वर्ग 20–30 में आता है।

सबसे अधिक संचयी बारंबारता वाले वर्ग को माध्यिका वर्ग मानना। माध्यिका वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता N/2 तक पहुंचे।

माध्य निकालते समय Σfx को Σf के स्थान पर वर्गों की संख्या से भाग देना।

अभ्यास प्रश्न

Q1. उदाहरण 1 से 4 के अंकों के आंकड़ों के लिए बहुलक ज्ञात कीजिए। (a) 35 (b) 33 (c) 32 (d) 31.4

Q2. 40 लोगों की आयु (वर्ष): 20–30 – 6, 30–40 – 10, 40–50 – 14, 50–60 – 7, 60–70 – 3। उनमें से कितने प्रतिशत 40 वर्ष से कम आयु के हैं? (a) 40% (b) 25% (c) 35% (d) 60%

Q3. Q2 के आंकड़ों के लिए बहुलक वर्ग के लोगों की संख्या और 50 वर्ष या अधिक आयु वालों की संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए। (a) 7 : 3 (b) 2 : 1 (c) 5 : 7 (d) 7 : 5

उत्तर

Q1. (b) बहुलक वर्ग 30–40, f₁ = 15, f₀ = 12, f₂ = 8। बहुलक = 30 + (15 − 12)/(30 − 12 − 8) × 10 = 30 + 3 = 33।

Q2. (a) 40 से कम: 6 + 10 = 16। 16/40 × 100 = 40%।

Q3. (d) बहुलक वर्ग 40–50 में 14; 50 या अधिक आयु = 7 + 3 = 10। अनुपात 14 : 10 = 7 : 5।

त्वरित पुनरावृत्ति

वर्ग चिह्न = (निम्न + उच्च)/2; आयतचित्र के दंड सटे होते हैं; क्षेत्रफल ∝ बारंबारता।

असमान चौड़ाई: समायोजित ऊंचाई = f × मानक चौड़ाई ÷ वर्ग चौड़ाई।

बहुभुज: (वर्ग चिह्न, f) को जोड़ें; दोनों सिरों पर शून्य बारंबारता वाले वर्गों से बंद करें।

माध्य Σfx/Σf; माध्यिका L + ((N/2 − cf)/f)h; बहुलक L + ((f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂))h।

अवधारणाएं और नियम

साधारण दंड आरेख 1 राशि को श्रेणियों या वर्षों में दिखाता है; बहु (समूहित) दंड आरेख 2 या अधिक राशियां साथ-साथ दिखाता है; स्टैक्ड दंड 1 दंड में कुल के भाग दिखाता है।

प्रतिशत परिवर्तन = (नया − पुराना) ÷ पुराना × 100। सदा पहले (आधार) मान से भाग दें। 50 से 40 पर गिरावट −20% है, पर 40 से 50 पर वृद्धि +25%।

n वर्षों का औसत = योग ÷ n। 'X, Y का कितना प्रतिशत है' = X ÷ Y × 100। 'X, Y से कितने प्रतिशत अधिक है' = (X − Y) ÷ Y × 100।

लाभ = आय (बिक्री) − व्यय। लाभ प्रतिशत = लाभ ÷ व्यय × 100, जब तक प्रश्न इसे बिक्री पर परिभाषित न करे।

पाई चार्ट: पूरा वृत्त 360° = 100% है। त्रिज्यखंड का कोण = मान ÷ कुल × 360°। प्रतिशत = कोण ÷ 3.6। मान = कुल × कोण ÷ 360।

उपयोगी जोड़े: 10% = 36°, 25% = 90°, 30% = 108°, 15% = 54°, 20% = 72°, 12.5% = 45°।

एक ही पाई के 2 त्रिज्यखंडों का अनुपात = उनके कोणों (या प्रतिशतों) का अनुपात; कुल की आवश्यकता नहीं।

अलग कुल वाले 2 पाई चार्टों में बड़ा कोण बड़ा मान नहीं दर्शाता। पहले हर एक को उसके वास्तविक मान में बदलें।

सबसे बड़ा प्रतिशत परिवर्तन और सबसे बड़ा निरपेक्ष परिवर्तन अलग वर्षों में हो सकते हैं, क्योंकि आधार बदलता रहता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: चार्ट के मान इकाइयों (₹ करोड़, हजार, अंश) सहित एक छोटी तालिका में लिखें। जांचें कि पाई के कोणों का योग 360° है।

चरण 2: हर तुलना वाले शब्द में आधार पहचानें: 'पिछले वर्ष की तुलना में', 'बिक्री का', 'व्यय से'।

चरण 3: केवल वही निकालें जो विकल्पों के लिए चाहिए। विकल्प दूर-दूर हों तो सन्निकटन करें; निकट हों तो ठीक-ठीक गणना करें।

शॉर्टकट: वर्षों में लाभ/व्यय जैसे अनुपातों की तुलना के लिए 1 + लाभ/व्यय = बिक्री/व्यय की तुलना करें; क्रम वही रहता है।

शॉर्टकट: 2 त्रिज्यखंडों के मान का अंतर = कुल × (कोणों का अंतर) ÷ 360, अतः केवल 1 गुणा चाहिए।

उदाहरण 1: दंड आरेख से प्रतिशत परिवर्तन

उदाहरण 1, 2, 4 और 6 के लिए आंकड़े (बहु दंड आरेख, ₹ करोड़): बिक्री: 2019 – 40, 2020 – 56, 2021 – 50, 2022 – 65, 2023 – 85। व्यय: 2019 – 30, 2020 – 40, 2021 – 45, 2022 – 50, 2023 – 60।

प्रश्न: 2021 से 2022 तक बिक्री में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।

हल: (65 − 50) ÷ 50 × 100 = 15 ÷ 50 × 100 = 30%।

उत्तर: 30%

उदाहरण 2: औसत और उससे ऊपर के वर्ष

प्रश्न: औसत वार्षिक बिक्री और वे वर्ष ज्ञात कीजिए जिनमें बिक्री इस औसत से अधिक थी।

हल: योग = 40 + 56 + 50 + 65 + 85 = 296। औसत = 296 ÷ 5 = ₹59.2 करोड़। औसत से ऊपर: 2022 (65) और 2023 (85)।

उत्तर: ₹59.2 करोड़; 2022 और 2023

उदाहरण 3: पाई चार्ट पढ़ना

आंकड़े (पाई चार्ट, एक परिवार का मासिक खर्च, कुल ₹60,000): भोजन – 108°, किराया – 72°, शिक्षा – 54°, यातायात – 36°, बचत – 90°।

प्रश्न: शिक्षा पर कितना खर्च होता है, और कुल का कितना प्रतिशत भोजन पर जाता है?

हल: शिक्षा = 60000 × 54/360 = ₹9,000। भोजन = 108 ÷ 3.6 = 30%। जांच: 108 + 72 + 54 + 36 + 90 = 360°।

उत्तर: ₹9,000; 30%

उदाहरण 4: सबसे अधिक लाभ प्रतिशत

प्रश्न: किस वर्ष लाभ प्रतिशत (लाभ ÷ व्यय × 100) सबसे अधिक था? (a) 2020 (b) 2022 (c) 2019 (d) 2023

हल: लाभ: 10, 16, 5, 15, 25। लाभ प्रतिशत: 2019 – 33.3%, 2020 – 40%, 2021 – 11.1%, 2022 – 30%, 2023 – 41.7%।

2023 सबसे अधिक है, 2020 से थोड़ा ऊपर। शॉर्टकट: बिक्री/व्यय 85/60 = 1.417 है जबकि 56/40 = 1.4।

उत्तर: (d) 2023

उदाहरण 5: 2 पाई चार्टों की तुलना

प्रश्न: छात्रों द्वारा चुने गए खेल। विद्यालय X (1200 छात्र): क्रिकेट – 120°, फुटबॉल – 90°, हॉकी – 60°, अन्य – 90°। विद्यालय Y (1500 छात्र): क्रिकेट – 108°, फुटबॉल – 72°, हॉकी – 72°, अन्य – 108°। Y में क्रिकेट खिलाड़ियों की संख्या X से कितनी अधिक है? (a) 40 (b) 50 (c) 0 (d) 60

हल: X क्रिकेट = 1200 × 120/360 = 400। Y क्रिकेट = 1500 × 108/360 = 450। अंतर = 50, यद्यपि Y का कोण छोटा है।

इसी प्रकार फुटबॉल: X = 1200 × 90/360 = 300 और Y = 1500 × 72/360 = 300, कोण अलग होने पर भी बराबर।

उत्तर: (b) 50

उदाहरण 6: प्रतिशत परिवर्तन बनाम निरपेक्ष परिवर्तन

प्रश्न: किस वर्ष बिक्री में पिछले वर्ष की तुलना में प्रतिशत वृद्धि सबसे अधिक थी? (a) 2023 (b) 2022 (c) 2020 (d) 2021

हल: परिवर्तन: 2020: 40 पर +16 = 40%; 2021: 56 पर −6 = −10.7%; 2022: 50 पर +15 = 30%; 2023: 65 पर +20 = 30.8%।

सबसे बड़ी निरपेक्ष वृद्धि (+20) 2023 में है, पर सबसे बड़ी प्रतिशत वृद्धि (40%) 2020 में है क्योंकि उसका आधार 40 सबसे छोटा है।

उत्तर: (c) 2020

सामान्य गलतियां

प्रतिशत परिवर्तन में नए मान से भाग देना। आधार सदा पहले वाला मान होता है।

अलग कुल वाले 2 पाई चार्टों के कोणों की तुलना करना। पहले वास्तविक मानों में बदलें।

सबसे बड़ी निरपेक्ष वृद्धि को सबसे बड़ी प्रतिशत वृद्धि मान लेना।

'का कितना प्रतिशत' और 'से कितना प्रतिशत अधिक' को मिलाना: 60, 40 का 150% है पर 40 से 50% अधिक है।

चार्ट शीर्षक की इकाइयों जैसे ₹ करोड़ या हजार की अनदेखी, जिससे अंतिम उत्तर बहुत बदल जाता है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. उदाहरण 3 के परिवार वाले पाई चार्ट में यातायात पर खर्च से कितना अधिक बचाया जाता है? (a) ₹6,000 (b) ₹12,000 (c) ₹9,000 (d) ₹15,000

Q2. उदाहरण 1 के दंड आरेख से, 2021 का व्यय 2021 की बिक्री का कितना प्रतिशत है? (a) 90% (b) 85% (c) 111.1% (d) 80%

Q3. उदाहरण 3 के परिवार वाले पाई चार्ट में कुल का कितना प्रतिशत भोजन और शिक्षा पर मिलाकर खर्च होता है? (a) 40% (b) 50% (c) 54% (d) 45%

उत्तर

Q1. (c) 60000 × (90 − 36)/360 = 60000 × 54/360 = ₹9,000।

Q2. (a) 45 ÷ 50 × 100 = 90%। (111.1% व्यय के प्रतिशत के रूप में बिक्री है।)

Q3. (d) (108 + 54) ÷ 3.6 = 162 ÷ 3.6 = 45%।

त्वरित पुनरावृत्ति

प्रतिशत परिवर्तन = (नया − पुराना)/पुराना × 100; आधार = पहले का मान।

पाई: 360° = 100%, 1% = 3.6°, मान = कुल × कोण/360।

एक ही पाई: कोणों का अनुपात = मानों का अनुपात। अलग पाई: पहले मानों में बदलें।

लाभ प्रतिशत व्यय पर; वर्षों का क्रम जल्दी जानने के लिए बिक्री/व्यय की तुलना करें।