Ratio and proportion — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

अनुपात a : b एक ही प्रकार और एक ही इकाई की 2 राशियों की तुलना है और भिन्न a/b के बराबर है (b ≠ 0)। दोनों पदों को समान अशून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात नहीं बदलता: 12 : 18 = 2 : 3।

पहले इकाइयां बदलें: 45 मिनट : 2 घंटे = 45 : 120 = 3 : 8, न कि 45 : 2।

अनुपातों की तुलना: a : b > c : d ठीक तब जब a × d > b × c (सभी धनात्मक)। कई अनुपात हों तो हर एक को दशमलव में बदलें।

a : b और c : d का मिश्र अनुपात (a × c) : (b × d) है। a : b का वर्गानुपात a² : b², घनानुपात a³ : b³, वर्गमूलानुपात √a : √b, और व्युत्क्रम अनुपात b : a है।

श्रृंखला जोड़ना: A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5। B को बराबर करें (3 और 4 का LCM 12): A : B = 8 : 12, B : C = 12 : 15, इसलिए A : B : C = 8 : 12 : 15।

कुल S को a : b : c में बांटना: हिस्से S × a/(a + b + c), S × b/(a + b + c) और S × c/(a + b + c) हैं।

समान गुणज वाली शर्तें: यदि A/2 = B/3 = C/4, तो A : B : C = 2 : 3 : 4। यदि 2A = 3B = 4C, तो A : B : C = 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6 : 4 : 3 (LCM 12 से गुणा करें)।

दोनों पदों में समान धनात्मक संख्या जोड़ने से अनुपात 1 : 1 की ओर जाता है। छोटी से बड़ी संख्या का अनुपात बढ़ता है; बड़ी से छोटी संख्या का अनुपात घटता है।

सिक्के और नोट: सिक्कों की संख्या का अनुपात उनके मूल्य का अनुपात नहीं होता। मूल्य अनुपात = संख्या अनुपात × हर सिक्के का मूल्य।

विधि और शॉर्टकट

हर राशि को एक अज्ञात के गुणज में लिखें: यदि A : B = 3 : 5, तो A = 3x और B = 5x लें। एक और शर्त से x निकल आता है।

जब दोनों पदों में समान संख्या k जोड़ी या घटाई जाए, तो (3x + k)/(5x + k) = नया अनुपात लिखकर तिर्यक गुणा करें।

आय और व्यय: आय a : b, व्यय c : d और बचत दी हो तो हर व्यक्ति के लिए a × x − c × y = बचत लिखें और युग्म हल करें।

लंबी श्रृंखला A : B, B : C, C : D: पहले पदों और दूसरे पदों को गुणा करें, A : D = (a1 × b1 × c1) : (a2 × b2 × c2)।

शॉर्टकट जांच: विकल्पों में सही उत्तर अनुपात को ठीक बनाए रखता है। 3x जैसे मान को जांचें कि संगत 5x भी पूर्ण संख्या है और आंकड़ों में बैठता है।

उदाहरण 1: 2 अनुपातों की तुलना

प्रश्न: कौन बड़ा है, 3 : 7 या 5 : 11?

हल: तिर्यक गुणा: 3 × 11 = 33 और 7 × 5 = 35। चूंकि 33 < 35, इसलिए 3/7 < 5/11।

उत्तर: 5 : 11

उदाहरण 2: अनुपातों को जोड़ना

प्रश्न: यदि A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5, तो A : B : C ज्ञात कीजिए।

हल: B के 2 मानों (3 और 4) का LCM 12 है। A : B = 8 : 12 और B : C = 12 : 15।

उत्तर: 8 : 12 : 15

उदाहरण 3: भिन्नों के अनुपात में बांटना

प्रश्न: ₹7,800 को आशा, बेला और चित्रा में 1/2 : 1/3 : 1/4 के अनुपात में बांटिए।

हल: LCM 12 से गुणा करें: 6 : 4 : 3, कुल 13 भाग। 1 भाग = 7,800 ÷ 13 = ₹600। हिस्से: 6 × 600 = ₹3,600, 4 × 600 = ₹2,400, 3 × 600 = ₹1,800।

उत्तर: ₹3,600, ₹2,400 और ₹1,800

उदाहरण 4: समान गुणनफल

प्रश्न: यदि 2A = 3B = 4C, तो A : B : C है: (a) 2 : 3 : 4 (b) 4 : 3 : 2 (c) 6 : 4 : 3 (d) 3 : 4 : 6

हल: मान लें 2A = 3B = 4C = 12k। तब A = 6k, B = 4k, C = 3k। जांच: 2 × 6 = 3 × 4 = 4 × 3 = 12।

विकल्प (a) गुणांकों की नकल है; राशियां गुणांकों के व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं।

उत्तर: (c) 6 : 4 : 3

उदाहरण 5: आय, व्यय और समान बचत

प्रश्न: मोहन और सोहन की आय 5 : 4 के अनुपात में और उनके व्यय 3 : 2 के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक ₹1,600 बचाता है, तो मोहन की आय है: (a) ₹4,000 (b) ₹3,200 (c) ₹4,800 (d) ₹5,000

हल: आय 5x और 4x, व्यय 3y और 2y। तब 5x − 3y = 1,600 और 4x − 2y = 1,600।

दूसरे समीकरण को 3 से और पहले को 2 से गुणा करें: 12x − 6y = 4,800 और 10x − 6y = 3,200। घटाने पर 2x = 1,600, इसलिए x = 800 और y = 800।

मोहन की आय = 5 × 800 = ₹4,000। जांच: मोहन ₹2,400 खर्च करता है और सोहन ₹3,200 कमाकर ₹1,600 खर्च करता है; दोनों ₹1,600 बचाते हैं।

उत्तर: (a) ₹4,000

उदाहरण 6: दोनों में से घटाने के बाद अनुपात

प्रश्न: दो संख्याएं 3 : 5 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में से 9 घटाने पर अनुपात 12 : 23 हो जाता है। छोटी संख्या है: (a) 27 (b) 55 (c) 30 (d) 33

हल: (3x − 9)/(5x − 9) = 12/23। तिर्यक गुणा: 69x − 207 = 60x − 108, इसलिए 9x = 99 और x = 11।

संख्याएं 33 और 55 हैं। जांच: 24 : 46 = 12 : 23। विकल्प (b) 55 बड़ी संख्या है।

उत्तर: (d) 33

सामान्य गलतियां

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 को B बराबर किए बिना 2 : 3 : 5 लिखना। सही: 8 : 12 : 15।

2A = 3B = 4C को A : B : C = 2 : 3 : 4 पढ़ना। सही: व्युत्क्रम लें, जिससे 6 : 4 : 3 मिलता है।

भिन्न इकाइयों की राशियों, जैसे 45 मिनट और 2 घंटे, की तुलना बिना बदले करना।

सिक्कों की संख्या के अनुपात को मूल्य का अनुपात मानना। सही: मूल्य जोड़ने से पहले हर संख्या को सिक्के के मूल्य से गुणा करें।

परिवर्तन को राशियों के बजाय अनुपात के पदों पर लगाना: यदि 3x और 5x में से 9 घटाया जाए तो 3x − 9 और 5x − 9 लिखें, 3 − 9 और 5 − 9 नहीं।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के संख्या में 5 : 6 : 8 के अनुपात में हैं, जिनका कुल मूल्य ₹210 है। 50 पैसे के सिक्कों की संख्या है: (a) 105 (b) 126 (c) 168 (d) 120

Q2. यदि A : B = 3 : 4, B : C = 6 : 7 और C : D = 14 : 15, तो A : D है: (a) 3 : 5 (b) 9 : 14 (c) 1 : 2 (d) 4 : 5

Q3. दो संख्याएं 4 : 7 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में 6 जोड़ने पर अनुपात 5 : 8 हो जाता है। संख्याओं का योग है: (a) 55 (b) 77 (c) 66 (d) 88

उत्तर

Q1. (b) मूल्य अनुपात = 5 × 1 : 6 × 0.5 : 8 × 0.25 = 5 : 3 : 2, इसलिए 19 सिक्कों के 1 समूह का मूल्य ₹10; 210 ÷ 10 = 21 समूह; 50 पैसे के सिक्के = 6 × 21 = 126।

Q2. (a) A : D = (3 × 6 × 14) : (4 × 7 × 15) = 252 : 420 = 3 : 5।

Q3. (c) 8(4x + 6) = 5(7x + 6) से 32x + 48 = 35x + 30, x = 6; संख्याएं 24 और 42, योग 66।

त्वरित पुनरावृत्ति

उभयनिष्ठ पद को LCM से बराबर करके अनुपात जोड़ें।

pA = qB = rC ⇒ A : B : C = 1/p : 1/q : 1/r।

हिस्सा = कुल × भाग ÷ भागों का योग।

A = 3x, B = 5x लें और अतिरिक्त शर्त से x निकालें।

अवधारणाएं और नियम

समानुपात a : b :: c : d का अर्थ है a/b = c/d। तब a × d = b × c (बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल)।

a, b, c का चतुर्थानुपाती d = b × c/a है। a और b का तृतीयानुपाती c = b²/a है। a और b का मध्यानुपाती √(a × b) है।

प्रत्यक्ष समानुपात: y = k × x, इसलिए y1/x1 = y2/x2। x दोगुना होने पर y दोगुना होता है (लागत और मात्रा, निश्चित माइलेज पर दूरी और पेट्रोल)।

व्युत्क्रम समानुपात: x × y = k, इसलिए x1 × y1 = x2 × y2। x दोगुना होने पर y आधा होता है (निश्चित कार्य के लिए श्रमिक और दिन, निश्चित दूरी के लिए चाल और समय)।

मिश्र समानुपात (श्रृंखला नियम): (M1 × D1 × H1)/W1 = (M2 × D2 × H2)/W2, जहां M = व्यक्ति, D = दिन, H = प्रतिदिन घंटे, W = कार्य। दक्षता दी हो तो वह M से गुणा होती है।

संयुक्त विचरण: यदि x, y के अनुक्रमानुपाती और z के व्युत्क्रमानुपाती है, तो x = k × y/z। दिए मानों से k निकालें, फिर नए मान रखें।

योगांतरानुपात: यदि a/b = c/d (और a ≠ b), तो (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d)। यह उल्टी दिशा में भी लागू होता है।

यदि a/b = c/d = e/f = k, तो (a + c + e)/(b + d + f) = k भी होता है, बशर्ते हरों का योग 0 न हो।

विधि और शॉर्टकट

पहले प्रकार तय करें: पूछें 'यदि एक राशि दोगुनी हो, तो दूसरी दोगुनी होती है (प्रत्यक्ष) या आधी (व्युत्क्रम)?'

श्रृंखला नियम की व्यवस्था: अज्ञात को एक ओर रखें; हर अन्य कारक के लिए वह अनुपात गुणा करें जो सामान्य समझ के अनुसार उत्तर को बड़ा या छोटा करे।

भोजन और सैनिक वाले प्रश्न: भोजन को व्यक्ति-दिनों में गिनें। t दिन बाद बचा भोजन = व्यक्ति × (कुल दिन − t); नई संख्या से भाग दें।

4 संख्याओं को समानुपाती बनाने के लिए जोड़ी जाने वाली संख्या: (a + x)(d + x) = (b + x)(c + x) हल करें; x² पद कट जाते हैं और रैखिक समीकरण बचता है।

शॉर्टकट की सीमा: a = b होने पर योगांतरानुपात नहीं चलता (0 से भाग); जांचें कि मूल अनुपात 1 नहीं है।

उदाहरण 1: चतुर्थानुपाती

प्रश्न: 4, 9 और 12 का चतुर्थानुपाती ज्ञात कीजिए।

हल: 4 : 9 :: 12 : d से 4 × d = 9 × 12 = 108, इसलिए d = 27।

उत्तर: 27

उदाहरण 2: मध्यानुपाती और तृतीयानुपाती

प्रश्न: 9 और 16 का मध्यानुपाती, तथा 9 और 12 का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।

हल: मध्यानुपाती = √(9 × 16) = √144 = 12। तृतीयानुपाती = 12²/9 = 144/9 = 16। जांच: 9 : 12 :: 12 : 16।

उत्तर: 12 और 16

उदाहरण 3: व्युत्क्रम समानुपात

प्रश्न: 12 राजमिस्त्री एक दीवार 10 दिनों में बनाते हैं। वही दीवार 15 राजमिस्त्री कितने दिनों में बनाएंगे?

हल: अधिक राजमिस्त्री, कम दिन, इसलिए व्युत्क्रम: 12 × 10 = 15 × D, D = 120 ÷ 15 = 8।

उत्तर: 8 दिन

उदाहरण 4: संख्याओं को समानुपाती बनाना

प्रश्न: 6, 14, 18 और 38 में से प्रत्येक में कौन सी संख्या जोड़ी जाए कि वे समानुपाती हो जाएं? (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1

हल: (6 + x)(38 + x) = (14 + x)(18 + x) से 228 + 44x + x² = 252 + 32x + x², इसलिए 12x = 24 और x = 2।

जांच: 8 : 16 :: 20 : 40, क्योंकि 8 × 40 = 16 × 20 = 320।

उत्तर: (b) 2

उदाहरण 5: बड़े कार्य के साथ श्रृंखला नियम

प्रश्न: 16 व्यक्ति प्रतिदिन 7 घंटे काम करके एक कार्य 15 दिनों में पूरा करते हैं। 21 व्यक्ति प्रतिदिन 8 घंटे काम करके दोगुना बड़ा कार्य कितने दिनों में पूरा करेंगे? (a) 18 (b) 24 (c) 20 (d) 16

हल: (16 × 15 × 7)/1 = (21 × D × 8)/2, इसलिए 1,680 = 84 × D और D = 20।

सामान्य समझ से जांच: अधिक व्यक्ति और अधिक घंटे दिन घटाते हैं, दोगुना कार्य दिन बढ़ाता है; 15 × 16/21 × 7/8 × 2 = 20।

उत्तर: (c) 20

उदाहरण 6: संयुक्त विचरण

प्रश्न: x, y² के अनुक्रमानुपाती और z के व्युत्क्रमानुपाती है। जब y = 4 और z = 8, तब x = 6। y = 6 और z = 9 होने पर x ज्ञात कीजिए। (a) 9 (b) 13.5 (c) 16 (d) 12

हल: x = k × y²/z। आंकड़ों से 6 = k × 16/8 = 2k, इसलिए k = 3।

नया x = 3 × 36/9 = 12। विकल्प (b) 13.5, z को छोड़ देने (6 × 36/16) से आता है, जो एक आम चूक है।

उत्तर: (d) 12

सामान्य गलतियां

श्रमिकों और दिनों के लिए प्रत्यक्ष समानुपात लगाना। सही: अधिक श्रमिक का अर्थ कम दिन, इसलिए गुणनफल स्थिर रहता है।

तृतीयानुपाती और चतुर्थानुपाती में भ्रम। a, b का तृतीयानुपाती a : b :: b : c से, और a, b, c का चतुर्थानुपाती a : b :: c : d से।

सैनिक वाले प्रश्नों में पूरे भोजन को नई संख्या से भाग देना। सही: पहले बीते दिनों का भोजन घटाएं।

कार्य का आकार बदलने पर श्रृंखला नियम में कार्य वाला पद भूल जाना। दोगुना बड़ा कार्य W2 को दोगुना करता है।

विचरण में गलत चरण पर वर्ग या वर्गमूल लेना: यदि x, y² के अनुसार बदलता है, तो k निकालने और नया मान रखने दोनों में y² लें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. यदि (√(a + 1) + √(a − 1))/(√(a + 1) − √(a − 1)) = 3, तो a है: (a) 4/3 (b) 5/3 (c) 3/2 (d) 2

Q2. एक कार 150 km के लिए 12 लीटर पेट्रोल लेती है। इसी दर से 400 km के लिए आवश्यक पेट्रोल है: (a) 30 लीटर (b) 36 लीटर (c) 32 लीटर (d) 28 लीटर

Q3. 1,200 सैनिकों वाले एक किले में 30 दिनों का भोजन है। 6 दिन बाद 400 और सैनिक आ जाते हैं। बचा हुआ भोजन चलेगा: (a) 20 दिन (b) 16 दिन (c) 24 दिन (d) 18 दिन

उत्तर

Q1. (b) योगांतरानुपात: √(a + 1)/√(a − 1) = (3 + 1)/(3 − 1) = 2, इसलिए (a + 1)/(a − 1) = 4 और 3a = 5, a = 5/3।

Q2. (c) प्रत्यक्ष: 12 × 400/150 = 32 लीटर।

Q3. (d) बचा भोजन = 1,200 × 24 = 28,800 सैनिक-दिन; 28,800 ÷ 1,600 = 18 दिन।

त्वरित पुनरावृत्ति

a : b :: c : d ⇒ a × d = b × c।

चतुर्थ = b × c/a; तृतीय = b²/a; मध्य = √(a × b)।

प्रत्यक्ष: अनुपात स्थिर; व्युत्क्रम: गुणनफल स्थिर; श्रृंखला नियम: M × D × H/W स्थिर।

विचरण: पहले आंकड़ों से k निकालें, फिर मान रखें।