Commercial arithmetic — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

क्रय मूल्य (CP) वह है जो विक्रेता चुकाता है, जिसमें परिवहन या मरम्मत जैसे ऊपरी खर्च शामिल हैं। विक्रय मूल्य (SP) वह है जो खरीदार चुकाता है। लाभ = SP − CP जब SP > CP; हानि = CP − SP जब CP > SP।

लाभ% = लाभ × 100/CP और हानि% = हानि × 100/CP। जब तक प्रश्न 'विक्रय मूल्य पर' न कहे, ये CP पर होते हैं।

SP = CP × (100 + P%)/100 और CP = SP × 100/(100 + P%); हानि के लिए + के स्थान पर − लें। भिन्न में: 20% लाभ का अर्थ SP = CP का 6/5, 25% हानि का अर्थ SP = CP का 3/4।

यदि x वस्तुओं का CP, y वस्तुओं के SP के बराबर है, तो लाभ% = (x − y) × 100/y (यदि y > x हो तो हानि, अंश में |x − y| लें)।

दो वस्तुएं एक ही विक्रय मूल्य पर बिकें, एक पर x% लाभ और दूसरी पर x% हानि, तो कुल मिलाकर हमेशा x²/100 प्रतिशत हानि होती है।

झूठे बाट: जो विक्रेता T ग्राम का मूल्य लेकर F ग्राम देता है, वह क्रय मूल्य पर बेचने पर भी (T − F) × 100/F प्रतिशत लाभ कमाता है।

विक्रय मूल्य पर p% लाभ, क्रय मूल्य पर p × 100/(100 − p) प्रतिशत के बराबर है। उदाहरण: SP पर 20% = CP पर 25%।

बिक्री की श्रृंखला (A से B से C): गुणकों को गुणा करें। 20% लाभ के बाद 10% हानि से पहले CP का 6/5 × 9/10 = 27/25 मिलता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: तय करें कि आधार कौन सा मूल्य है (सामान्यतः CP = 100)। चरण 2: हर प्रतिशत को गुणक के रूप में लिखें। चरण 3: ज्ञात रुपये के मान को उसके हिस्से के बराबर रखकर अनुपात से बढ़ाएं।

दो विक्रय मूल्य, दो परिणाम: यदि SP1 पर p1% और SP2 पर p2% मिलता है, तो (SP2 − SP1), CP के (p2 − p1)% के बराबर है, इसलिए CP = (SP2 − SP1) × 100/(p2 − p1)। हानि को ऋणात्मक लाभ मानें।

'a वस्तुएं ₹m में खरीदें, b वस्तुएं ₹n में बेचें' के लिए प्रति इकाई विधि: एक इकाई का मूल्य तुलना करें, या a और b का LCM इकाइयों की संख्या मानें।

बताए गए लाभ या हानि के साथ झूठा बाट: लाभ गुणक = (SP गुणक) × (सही भार/झूठा भार)। 1 घटाकर प्रतिशत में बदलें।

कब विफल: x²/100 हानि का नियम बराबर विक्रय मूल्यों के लिए है। बराबर क्रय मूल्यों पर x% लाभ और x% हानि एक-दूसरे को काटकर न लाभ न हानि देते हैं।

उदाहरण 1: लाभ प्रतिशत

प्रश्न: अर्जुन ₹640 में एक पंखा खरीदकर ₹800 में बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

हल: लाभ = 800 − 640 = ₹160। लाभ% = 160 × 100/640 = 25%। SP से भाग देने पर गलत रूप से 20% आता।

उत्तर: 25%

उदाहरण 2: हानि से लाभ तक

प्रश्न: एक घड़ी ₹1,140 में बेचने पर व्यक्ति को 5% हानि होती है। 5% लाभ पाने के लिए उसे किस मूल्य पर बेचना चाहिए?

हल: CP का 95% = 1,140, इसलिए CP = 1,140 × 100/95 = ₹1,200। अभीष्ट SP = 1,200 का 105% = ₹1,260। शॉर्टकट: 1,140 × 105/95 = 1,260।

उत्तर: ₹1,260

उदाहरण 3: x का CP, y के SP के बराबर

प्रश्न: 20 पेनों का क्रय मूल्य 16 पेनों के विक्रय मूल्य के बराबर है। लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

हल: मान लें एक पेन ₹1 का है, तो 20 पेन ₹20 के हैं और 16 पेन ₹20 में बिकते हैं; एक पेन 20/16 = ₹1.25 में बिकता है। लाभ = 25%। सूत्र: (20 − 16) × 100/16 = 25%।

उत्तर: 25% लाभ

उदाहरण 4: समान SP, बराबर लाभ और हानि

प्रश्न: दो मोबाइल फोन ₹9,900 प्रत्येक में बेचे जाते हैं, एक पर 10% लाभ और दूसरे पर 10% हानि। कुल परिणाम क्या है? (a) न लाभ न हानि (b) ₹200 की हानि (c) ₹200 का लाभ (d) ₹198 की हानि

हल: CP1 = 9,900 × 100/110 = ₹9,000 और CP2 = 9,900 × 100/90 = ₹11,000। कुल CP = ₹20,000, कुल SP = ₹19,800, इसलिए हानि = ₹200, जो CP का 100/100 = 1% है, जैसा x²/100 नियम बताता है।

उत्तर: (b) ₹200 की हानि

उदाहरण 5: घोषित हानि के साथ झूठा बाट

प्रश्न: एक पंसारी 10% हानि पर चावल बेचने का दावा करता है, परंतु 1 kg के स्थान पर 800 g का बाट प्रयोग करता है। उसका वास्तविक लाभ प्रतिशत क्या है? (a) 10% (b) 15% (c) 8% (d) 12.5%

हल: मान लें 1 kg का मूल्य ₹100 है, तो 800 g का मूल्य ₹80 है। वह 1 kg के मूल्य से 10% कम, यानी ₹90 लेता है, पर ₹80 मूल्य का सामान देता है।

लाभ = 90 − 80 = ₹10, लागत ₹80 पर, इसलिए लाभ% = 10 × 100/80 = 12.5%। गुणक रूप: 0.9 × 1000/800 = 1.125।

उत्तर: (d) 12.5%

उदाहरण 6: बिक्री की श्रृंखला

प्रश्न: A एक स्कूटर B को 20% लाभ पर बेचता है, B उसे C को 10% हानि पर बेचता है, और C उसे D को 25% लाभ पर ₹6,750 में बेचता है। A ने उसके लिए कितना चुकाया था? (a) ₹5,400 (b) ₹4,500 (c) ₹5,000 (d) ₹5,200

हल: कुल गुणक = 6/5 × 9/10 × 5/4 = 270/200 = 27/20 = 1.35। इसलिए A का CP × 1.35 = 6,750।

A का CP = 6,750 ÷ 1.35 = ₹5,000। जांच: 5,000 → 6,000 (B देता है) → 5,400 (C देता है) → 6,750 (D देता है)।

उत्तर: (c) ₹5,000

सामान्य गलतियां

विक्रय मूल्य पर लाभ प्रतिशत निकालना। जब तक प्रश्न अलग न कहे, CP से भाग दें।

श्रृंखला में प्रतिशत जोड़ देना: 20% लाभ फिर 10% हानि का अर्थ 10% लाभ नहीं है; यह 6/5 × 9/10 = 1.08, यानी 8% लाभ है।

बराबर लाभ और हानि को परस्पर कटा मान लेना। बराबर SP पर हमेशा x²/100 प्रतिशत हानि होती है।

झूठे बाट के प्रश्नों में सही भार से भाग देना। लाभ (T − F)/F है: 1 kg के स्थान पर 900 g देने से 100/900 = 11.11% लाभ है, 10% नहीं।

ऊपरी खर्चों की अनदेखी करना। विक्रेता द्वारा दिए गए मरम्मत, परिवहन और कर को लाभ निकालने से पहले CP में जोड़ें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक विक्रेता ₹10 के 6 केले खरीदता है और ₹10 के 5 केले बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत क्या है? (a) 16.67% (b) 20% (c) 25% (d) 18%

Q2. एक कुर्सी ₹2,016 में बेचने पर 12% लाभ होता है। 20% लाभ के लिए उसे किस मूल्य पर बेचना चाहिए? (a) ₹2,160 (b) ₹2,180 (c) ₹2,140 (d) ₹2,200

Q3. एक व्यापारी का लाभ उसके विक्रय मूल्य का 20% है। क्रय मूल्य के प्रतिशत के रूप में उसका लाभ क्या है? (a) 20% (b) 22.5% (c) 16.67% (d) 25%

उत्तर

Q1. (b) 30 केले लें: CP = ₹50, SP = ₹60, लाभ = 10 × 100/50 = 20%।

Q2. (a) CP = 2,016 × 100/112 = ₹1,800; SP = 1,800 × 120/100 = ₹2,160।

Q3. (d) मान लें SP = 100: लाभ 20, CP 80, लाभ% = 20 × 100/80 = 25%।

त्वरित पुनरावृत्ति

लाभ% और हानि% CP पर होते हैं; SP = CP × (100 ± P%)/100।

x का CP = y का SP ⇒ लाभ% = (x − y) × 100/y।

समान SP, x% लाभ और x% हानि ⇒ x²/100 प्रतिशत हानि।

झूठा बाट: लाभ% = (T − F) × 100/F; घोषित लाभ या हानि हो तो गुणकों को गुणा करें।

बिक्री की श्रृंखला: गुणकों को गुणा करें, प्रतिशत कभी न जोड़ें।

अवधारणाएं और नियम

अंकित मूल्य (MP), जिसे सूची मूल्य भी कहते हैं, वस्तु पर छपा मूल्य है। छूट MP पर दी गई कमी है, इसलिए SP = MP − छूट।

छूट% = छूट × 100/MP, और SP = MP × (100 − d)/100। छूट MP पर है; लाभ CP पर है। दोनों आधारों को कभी न मिलाएं।

a% और b% की क्रमागत छूटें (a + b − ab/100)% की एकल छूट के बराबर हैं। छूटों का क्रम मायने नहीं रखता। तीन छूटों के लिए गुणकों (100 − a)(100 − b)(100 − c) को गुणा करें।

यदि MP, CP से m% अधिक है और d% छूट दी जाती है, तो लाभ% = m − d − md/100 (ऋणात्मक का अर्थ हानि)।

मुख्य संबंध: CP × (100 + p)/100 = MP × (100 − d)/100, इसलिए MP : CP = (100 + p) : (100 − d)। लगभग हर छूट प्रश्न इसी एक समीकरण पर आ जाता है।

'x खरीदें, y मुफ्त पाएं' का अर्थ है आप x का भुगतान करते हैं पर x + y वस्तुएं पाते हैं, इसलिए प्रभावी छूट y × 100/(x + y) प्रतिशत है।

खरीदार के लिए 20% की एकल छूट, 10% और 10% की क्रमागत छूटों (जो 19% के बराबर हैं) से बेहतर है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: श्रृंखला CP → MP → SP लिखें। चरण 2: CP = 100 (या MP = 100) रखें और अंकन तथा छूट के गुणक लगाएं। चरण 3: दिए गए रुपये के मान को श्रृंखला में उसके स्थान से मिलाएं।

अनुपात शॉर्टकट: MP/CP = (100 + p)/(100 − d)। 20% छूट के बाद 12% लाभ हो तो MP/CP = 112/80 = 7/5, यानी MP, CP से 40% अधिक है।

क्रमागत छूटें: दो-दो को a + b − ab/100 से मिलाएं। उदाहरण: 20% और 10% से 30 − 2 = 28%।

मुफ्त वस्तुएं: इन्हें कुल मात्रा पर छूट मानें, फिर वही MP–CP संबंध लगाएं।

कब विफल: a + b − ab/100 केवल छूटों को मिलाता है। अंकन के बाद छूट के लिए m − d − md/100 लगाएं (दूसरे पद पर ऋण चिह्न है)।

उदाहरण 1: साधारण छूट

प्रश्न: एक कमीज पर ₹1,250 अंकित है और 12% छूट पर बेची जाती है। विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: छूट = 1,250 का 12% = ₹150, इसलिए SP = 1,250 − 150 = ₹1,100। सीधे: 1,250 × 88/100 = 1,100।

उत्तर: ₹1,100

उदाहरण 2: क्रमागत छूटें

प्रश्न: ₹2,500 अंकित एक जैकेट 20% और 10% की क्रमागत छूटों के बाद बेची जाती है। विक्रय मूल्य और समतुल्य एकल छूट ज्ञात कीजिए।

हल: SP = 2,500 × 80/100 × 90/100 = ₹1,800। एकल छूट = 20 + 10 − 200/100 = 28%; जांच: 2,500 का 28% = 700 = 2,500 − 1,800।

उत्तर: ₹1,800; 28%

उदाहरण 3: 4 खरीदें 1 मुफ्त

प्रश्न: एक दुकान साबुन पर '4 खरीदें, 1 मुफ्त पाएं' का प्रस्ताव देती है। प्रभावी छूट प्रतिशत क्या है?

हल: खरीदार 4 साबुन का भुगतान करता है और 5 पाता है, इसलिए छूट 5 में से 1 साबुन का मूल्य है: 1 × 100/5 = 20%। यह 25% नहीं है, क्योंकि छूट प्राप्त सभी 5 साबुनों के MP पर मापी जाती है।

उत्तर: 20%

उदाहरण 4: अंकन और छूट

प्रश्न: एक दुकानदार अपने माल पर क्रय मूल्य से 40% अधिक अंकित करता है और 15% छूट देता है। उसका लाभ प्रतिशत क्या है? (a) 25% (b) 21% (c) 19% (d) 17%

हल: CP = 100, MP = 140, SP = 140 × 85/100 = 119, इसलिए लाभ = 19%। सूत्र: 40 − 15 − 600/100 = 19%।

उत्तर: (c) 19%

उदाहरण 5: लक्ष्य लाभ के लिए अंकन

प्रश्न: एक व्यापारी ₹1,900 में एक कूलर खरीदता है। वह 10% और 5% की क्रमागत छूटें देने के बाद 8% लाभ चाहता है। उसे कितना मूल्य अंकित करना चाहिए? (a) ₹2,400 (b) ₹2,350 (c) ₹2,280 (d) ₹2,500

हल: अभीष्ट SP = 1,900 × 108/100 = ₹2,052। छूटों के बाद MP का 90/100 × 95/100 = 0.855 भाग बचता है।

इसलिए MP × 0.855 = 2,052 और MP = 2,052 ÷ 0.855 = ₹2,400। जांच: 2,400 → 2,160 → 2,052।

उत्तर: (a) ₹2,400

उदाहरण 6: MP और CP का अंतर

प्रश्न: 20% छूट देने के बाद भी एक विक्रेता 12% लाभ कमाता है। यदि अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से ₹1,200 अधिक है, तो क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए। (a) ₹2,800 (b) ₹3,200 (c) ₹3,600 (d) ₹3,000

हल: MP : CP = (100 + 12) : (100 − 20) = 112 : 80 = 7 : 5। 7 − 5 = 2 भागों का अंतर ₹1,200 के बराबर है, इसलिए 1 भाग = ₹600।

CP = 5 भाग = ₹3,000 और MP = ₹4,200। जांच: 4,200 × 80/100 = 3,360 = 3,000 × 112/100।

उत्तर: (d) ₹3,000

सामान्य गलतियां

क्रमागत छूटों को जोड़ देना: 20% और 10% मिलकर 28% है, 30% नहीं।

छूट को CP पर या लाभ को MP पर लेना। छूट MP पर है, लाभ CP पर।

'4 खरीदें 1 मुफ्त' को 25% छूट मानना। आधार प्राप्त 5 वस्तुएं हैं, इसलिए यह 20% है।

लाभ = अंकन − छूट लिखना। 40% अंकन और 15% छूट से 19% मिलता है, 25% नहीं, क्योंकि छूट बड़े MP पर है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 25%, 20% और 10% की क्रमागत छूटों के समतुल्य एकल छूट क्या है? (a) 55% (b) 45% (c) 50% (d) 46%

Q2. ₹800 अंकित एक बैग 15% छूट पर बेचा जाता है, और विक्रेता फिर भी 25% लाभ कमाता है। बैग का क्रय मूल्य क्या है? (a) ₹560 (b) ₹520 (c) ₹544 (d) ₹576

Q3. एक दुकानदार '3 खरीदें, 2 मुफ्त पाएं' देता है और फिर भी 20% लाभ कमाता है। उसका अंकित मूल्य क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक है? (a) 80% (b) 100% (c) 120% (d) 60%

उत्तर

Q1. (d) शेष = MP का 75/100 × 80/100 × 90/100 = 0.54, इसलिए छूट = 100 − 54 = 46%।

Q2. (c) SP = 800 × 85/100 = ₹680; CP = 680 × 100/125 = ₹544।

Q3. (b) 5 वस्तुओं के लिए उसे 3 का MP मिलता है: 3 × MP = 5 × CP × 120/100 = 6 × CP, इसलिए MP = 2 × CP, जो CP से 100% अधिक है।

त्वरित पुनरावृत्ति

SP = MP × (100 − d)/100; छूट MP पर, लाभ CP पर।

क्रमागत छूटें: a + b − ab/100; अंकन फिर छूट: m − d − md/100।

MP : CP = (100 + p) : (100 − d)।

x खरीदें y मुफ्त: छूट = y × 100/(x + y) प्रतिशत।