Area and volume — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

त्रिभुज: क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊंचाई। हीरोन: क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) जहां s = (a + b + c)/2। 2 भुजाएं और बीच का कोण C हो तो: क्षेत्रफल = 1/2 × ab × sin C।

भुजा a वाला समबाहु त्रिभुज: ऊंचाई = √3a/2, क्षेत्रफल = √3a²/4, अंतःत्रिज्या = a/(2√3), परित्रिज्या = a/√3। समकोण त्रिभुज: क्षेत्रफल = 1/2 × लंब भुजाओं का गुणनफल।

आयत l × b: क्षेत्रफल = lb, परिमाप = 2(l + b), विकर्ण = √(l² + b²)। भुजा a वाला वर्ग: क्षेत्रफल = a² = d²/2, विकर्ण d = √2a।

समांतर चतुर्भुज: क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई। विकर्ण d₁, d₂ वाला समचतुर्भुज: क्षेत्रफल = d₁d₂/2, और विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, अतः भुजा² = (d₁/2)² + (d₂/2)²।

समांतर भुजाएं a, b और उनके बीच दूरी h वाला समलंब: क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h।

n भुजाओं वाला सम बहुभुज: हर अंतःकोण = (n − 2) × 180°/n, हर बहिष्कोण = 360°/n, विकर्णों की संख्या = n(n − 3)/2। भुजा a वाला सम षट्भुज = 6 समबाहु त्रिभुज, क्षेत्रफल = 3√3a²/2।

r त्रिज्या वाला वृत्त: क्षेत्रफल = πr², परिधि = 2πr। अर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r। R और r त्रिज्याओं के बीच वलय: क्षेत्रफल = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)।

θ कोण वाला त्रिज्यखंड: क्षेत्रफल = (θ/360) × πr², चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr, परिमाप = चाप + 2r। त्रिज्या 7 का गुणज हो तो π = 22/7 लें, अन्यथा 3.14 या π ही रहने दें।

पथ: l × b आयत के बाहर w चौड़े पथ का क्षेत्रफल (l + 2w)(b + 2w) − lb; अंदर हो तो lb − (l − 2w)(b − 2w)। बीच से जाने वाली w चौड़ी 2 आड़ी सड़कों का क्षेत्रफल w(l + b) − w², क्योंकि बीच का वर्ग दोहरा गिना जाता है।

पहिया हर चक्कर में 1 परिधि तय करता है: चक्कर = दूरी ÷ (2πr)। तार को एक आकृति से दूसरी में मोड़ने पर उसकी लंबाई (परिमाप) वही रहती है।

यदि किसी आकृति की हर लंबाई x% बढ़े, तो क्षेत्रफल (2x + x²/100)% बढ़ता है: x = 10 पर क्षेत्रफल 21% बढ़ता है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: एक कच्चा चित्र बनाएं और हर दी गई लंबाई अंकित करें। पहचानें कि आकृति किन मूल भागों (त्रिभुज, आयत, त्रिज्यखंड) से बनी है।

चरण 2: किसी भी क्षेत्रफल सूत्र से पहले पाइथागोरस या दिए अनुपात से छूटी लंबाइयां ज्ञात करें।

चरण 3: भागों को जोड़ें, या कटे भाग घटाएं (पथ और वलय में बाहरी घटा भीतरी)। अंत में इकाइयां बदलें: 1 m² = 10000 cm², 1 हेक्टेयर = 10000 m²।

शॉर्टकट: बाहरी पथ का क्षेत्रफल = 2w(l + b + 2w); भीतरी पथ का क्षेत्रफल = 2w(l + b − 2w)। ये गुणनफल खोलने से आते हैं, अतः सदा सही हैं।

शॉर्टकट: पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) और उनके गुणज विकर्णों और समचतुर्भुज की भुजाओं में समय बचाते हैं।

उदाहरण 1: हीरोन का सूत्र

प्रश्न: 13 cm, 14 cm और 15 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: s = (13 + 14 + 15)/2 = 21। क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 cm²।

उत्तर: 84 cm²

उदाहरण 2: विकर्णों से समचतुर्भुज

प्रश्न: एक समचतुर्भुज के विकर्ण 24 cm और 10 cm हैं। उसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल: क्षेत्रफल = 24 × 10/2 = 120 cm²। आधे विकर्ण 12 और 5 हैं, अतः भुजा = √(144 + 25) = 13 cm और परिमाप = 4 × 13 = 52 cm।

उत्तर: 120 cm², 52 cm

उदाहरण 3: बगीचे के चारों ओर पथ

प्रश्न: एक बगीचा 40 m × 30 m है। उसके बाहर चारों ओर 2.5 m चौड़ा पथ है। ₹12 प्रति m² की दर से पथ बनवाने का खर्च ज्ञात कीजिए।

हल: बाहरी आयत = 45 × 35 = 1575 m²। पथ = 1575 − 1200 = 375 m² (शॉर्टकट 2 × 2.5 × (40 + 30 + 5) = 375)। खर्च = 375 × 12 = ₹4,500।

उत्तर: ₹4,500

उदाहरण 4: सम षट्भुज

प्रश्न: 6 cm भुजा वाले सम षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 36√3 cm² (b) 54√3 cm² (c) 72√3 cm² (d) 108√3 cm²

हल: षट्भुज 6 भुजा वाले 6 समबाहु त्रिभुजों से बना है। क्षेत्रफल = 6 × √3 × 36/4 = 54√3 cm²।

उत्तर: (b) 54√3 cm²

उदाहरण 5: समबाहु त्रिभुज का अंतःवृत्त

प्रश्न: एक समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है। त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए। (a) 21√3 cm (b) 14√3 cm (c) 49√3 cm (d) 42√3 cm

हल: (22/7) × r² = 154 से r² = 49, r = 7। समबाहु त्रिभुज में r = a/(2√3), अतः a = 2√3 × 7 = 14√3 cm।

परिमाप = 3 × 14√3 = 42√3 cm। विकल्प (b) केवल 1 भुजा है।

उत्तर: (d) 42√3 cm

उदाहरण 6: अनुपात और विकर्ण के साथ भीतरी पथ

प्रश्न: एक आयताकार लॉन की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 4 : 3 है और उसका विकर्ण 25 m है। लॉन के अंदर किनारों के साथ 2 m चौड़ा पथ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 124 m² (b) 140 m² (c) 156 m² (d) 176 m²

हल: भुजाएं 4k और 3k से विकर्ण 5k = 25, अतः k = 5, लंबाई = 20 m, चौड़ाई = 15 m, क्षेत्रफल = 300 m²।

भीतरी आयत = (20 − 4) × (15 − 4) = 16 × 11 = 176 m²। पथ = 300 − 176 = 124 m² (शॉर्टकट 2 × 2 × (20 + 15 − 4) = 124)। विकल्प (d) भीतरी लॉन है, पथ नहीं।

उत्तर: (a) 124 m²

सामान्य गलतियां

भीतरी पथ के लिए हर भुजा से 2w के स्थान पर केवल w घटाना। पथ हर भुजा के दोनों सिरों से w लेता है।

पाइथागोरस में समचतुर्भुज के पूरे विकर्ण लेना। समकोण त्रिभुज की भुजाएं आधे विकर्ण होती हैं।

अर्धवृत्त या त्रिज्यखंड के परिमाप में 2 त्रिज्याएं भूल जाना; परिमाप चाप और सीधे किनारों का योग है।

आड़ी सड़कों का क्षेत्रफल w × l + w × b जोड़ना और उभयनिष्ठ वर्ग w² न घटाना।

इकाइयां मिलाना: पथ मीटर में और दर प्रति cm², या दूरी km में और त्रिज्या cm में। पहले सब एक इकाई में बदलें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. वर्ग के रूप में मोड़ा गया एक तार 484 cm² घेरता है। उसी तार को वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 484 cm² (b) 554 cm² (c) 616 cm² (d) 704 cm²

Q2. 21 cm त्रिज्या और 120° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 462 cm² (b) 231 cm² (c) 924 cm² (d) 441 cm²

Q3. 70 cm व्यास वाला पहिया 1.1 km चलता है। वह कितने चक्कर लगाता है (π = 22/7)? (a) 250 (b) 400 (c) 1000 (d) 500

उत्तर

Q1. (c) भुजा = 22, तार = 88 cm। 2 × (22/7) × r = 88 से r = 14, क्षेत्रफल = (22/7) × 196 = 616 cm²।

Q2. (a) (120/360) × (22/7) × 441 = 1/3 × 1386 = 462 cm²।

Q3. (d) परिधि = (22/7) × 70 = 220 cm; 1.1 km = 110000 cm; चक्कर = 110000 ÷ 220 = 500।

त्वरित पुनरावृत्ति

हीरोन: √(s(s − a)(s − b)(s − c)); समबाहु √3a²/4; षट्भुज 3√3a²/2।

समचतुर्भुज d₁d₂/2; समलंब (a + b)h/2; वर्ग d²/2।

त्रिज्यखंड (θ/360)πr²; चाप (θ/360)2πr; वलय π(R + r)(R − r)।

बाहरी पथ 2w(l + b + 2w); भीतरी पथ 2w(l + b − 2w); आड़ी सड़कें w(l + b) − w²।

अवधारणाएं और नियम

लंब प्रिज्म: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई; पार्श्व पृष्ठ = आधार का परिमाप × ऊंचाई; संपूर्ण पृष्ठ = पार्श्व पृष्ठ + 2 × आधार का क्षेत्रफल।

बेलन (त्रिज्या r, ऊंचाई h): आयतन = πr²h, वक्र पृष्ठ = 2πrh, संपूर्ण पृष्ठ = 2πr(r + h)। R और r त्रिज्याओं वाला खोखला बेलन: धातु का आयतन = πh(R² − r²)।

शंकु: तिर्यक ऊंचाई l = √(r² + h²); आयतन = 1/3 × πr²h; वक्र पृष्ठ = πrl; संपूर्ण पृष्ठ = πr(l + r)।

गोला: आयतन = 4/3 × πr³, पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²। गोले का वक्र और संपूर्ण पृष्ठ अलग नहीं होता; दोनों 4πr² हैं।

शंकु का छिन्नक (त्रिज्याएं R और r, ऊंचाई h): आयतन = πh/3 × (R² + r² + Rr); तिर्यक l = √(h² + (R − r)²); वक्र पृष्ठ = π(R + r)l।

समान आधार और ऊंचाई वाले बेलन और शंकु: आयतन अनुपात 3 : 1। बेलन में ठीक बैठा गोला: आयतन अनुपात गोला : बेलन = 2 : 3, और उनके वक्र पृष्ठ बराबर होते हैं।

पुनः ढलाई: एक ठोस को पिघलाकर दूसरे बनाने पर कुल आयतन वही रहता है। छोटे ठोसों की संख्या = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन। पृष्ठीय क्षेत्रफल संरक्षित नहीं रहता।

त्रिज्यखंड को मोड़कर शंकु बनाना: त्रिज्यखंड की त्रिज्या तिर्यक ऊंचाई बनती है, और चाप की लंबाई आधार की परिधि 2πr बनती है।

पैमाना: हर लंबाई k गुना हो तो पृष्ठीय क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना होते हैं। इकाइयां: 1 लीटर = 1000 cm³, 1 m³ = 1000 लीटर।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: ठोस पहचानें और r, h, l लिखें। यदि r, h, l में से 2 दिए हों, तो तीसरा l² = r² + h² से निकालें।

चरण 2: तय करें क्या पूछा है: आयतन (धारिता, पिघलाना, भरना), वक्र पृष्ठ (बगल की पुताई, लेबल, कैनवास) या संपूर्ण पृष्ठ (बंद ठोस)।

चरण 3: पुनः ढलाई में पहले का आयतन = बाद का आयतन लिखें और गुणा करने से पहले π और उभयनिष्ठ गुणनखंड काट दें।

शॉर्टकट: प्रतिशत परिवर्तन के प्रश्न अनुपात के प्रश्न हैं। त्रिज्या × 1.5 का अर्थ पृष्ठ × 2.25 (125% अधिक) और आयतन × 3.375 (237.5% अधिक)।

शॉर्टकट: ठोस से खींचा गया तार एक लंबा बेलन है: लंबाई = आयतन ÷ (π × तार की त्रिज्या²)।

उदाहरण 1: बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठ

प्रश्न: एक बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊंचाई 10 cm है। उसका आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।

हल: आयतन = (22/7) × 49 × 10 = 1540 cm³। वक्र पृष्ठ = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm²।

उत्तर: 1540 cm³, 440 cm²

उदाहरण 2: त्रिज्या और ऊंचाई से शंकु

प्रश्न: एक शंकु की त्रिज्या 6 cm और ऊंचाई 8 cm है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन π के रूप में ज्ञात कीजिए।

हल: l = √(36 + 64) = 10। वक्र पृष्ठ = π × 6 × 10 = 60π cm²। आयतन = 1/3 × π × 36 × 8 = 96π cm³।

उत्तर: 60π cm², 96π cm³

उदाहरण 3: गोले को शंकु में ढालना

प्रश्न: 6 cm त्रिज्या वाले धातु के गोले को पिघलाकर 6 cm आधार त्रिज्या वाला शंकु बनाया जाता है। शंकु की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: 4/3 × π × 216 = 1/3 × π × 36 × h। π/3 काटें: 4 × 216 = 36h, अतः h = 24 cm।

उत्तर: 24 cm

उदाहरण 4: गोले से तार खींचना

प्रश्न: 9 cm त्रिज्या वाले तांबे के गोले से 0.3 cm त्रिज्या वाला तार खींचा जाता है। तार की लंबाई ज्ञात कीजिए। (a) 54 m (b) 72 m (c) 108 m (d) 216 m

हल: 4/3 × π × 729 = π × 0.09 × L। अतः L = 972 ÷ 0.09 = 10800 cm = 108 m।

उत्तर: (c) 108 m

उदाहरण 5: छिन्नक के आकार की बाल्टी

प्रश्न: एक बाल्टी छिन्नक के आकार की है जिसकी ऊपरी त्रिज्या 28 cm, निचली त्रिज्या 7 cm और ऊंचाई 45 cm है। उसकी धारिता ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 48.51 लीटर (b) 32.34 लीटर (c) 145.53 लीटर (d) 16.17 लीटर

हल: R² + r² + Rr = 784 + 49 + 196 = 1029। आयतन = (22/7) × (45/3) × 1029 = 22 × 15 × 147 = 48510 cm³।

48510 cm³ ÷ 1000 = 48.51 लीटर। विकल्प (c) में छिन्नक सूत्र का 1/3 छूट गया है।

उत्तर: (a) 48.51 लीटर

उदाहरण 6: त्रिज्यखंड को मोड़कर शंकु

प्रश्न: 21 cm त्रिज्या और 120° कोण वाले त्रिज्यखंड को मोड़कर शंकु बनाया जाता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 1078√2/3 cm³ (b) 2156/3 cm³ (c) 1078√2 cm³ (d) 2156√2/3 cm³

हल: चाप = (120/360) × 2π × 21 = 14π = 2πr, अतः r = 7 cm। तिर्यक l = 21 cm, ऊंचाई h = √(441 − 49) = √392 = 14√2 cm।

आयतन = 1/3 × (22/7) × 49 × 14√2 = 1/3 × 22 × 7 × 14√2 = 2156√2/3 cm³ (लगभग 1016 cm³)।

उत्तर: (d) 2156√2/3 cm³

सामान्य गलतियां

शंकु के आयतन में तिर्यक ऊंचाई लेना। आयतन के लिए ऊर्ध्व ऊंचाई h चाहिए; तिर्यक l केवल वक्र पृष्ठ के लिए है।

व्यास को त्रिज्या मान लेना। शब्द जांचें: 14 cm व्यास का अर्थ r = 7।

पुनः ढलाई के बाद पृष्ठीय क्षेत्रफल समान मानना। केवल आयतन संरक्षित है; कई छोटे गोलों का कुल पृष्ठ 1 बड़े गोले से अधिक होता है।

त्रिज्या के प्रतिशत परिवर्तन को आयतन का भी उतना ही परिवर्तन मानना। त्रिज्या 50% बढ़ने पर आयतन 237.5% बढ़ता है, 50% या 150% नहीं।

इकाई परिवर्तन भूलना: cm³ से लीटर में 1000 से भाग, m³ से लीटर में 1000 से गुणा।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक बेलन और एक शंकु की त्रिज्या और ऊंचाई समान है। बेलन का आयतन 924 cm³ है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए। (a) 462 cm³ (b) 616 cm³ (c) 308 cm³ (d) 231 cm³

Q2. एक गोले की त्रिज्या 50% बढ़ाई जाती है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ता है? (a) 125% (b) 150% (c) 237.5% (d) 225%

Q3. 14 cm लंबे धातु के पाइप की बाहरी त्रिज्या 5 cm और भीतरी त्रिज्या 4 cm है। धातु का आयतन ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 352 cm³ (b) 440 cm³ (c) 418 cm³ (d) 396 cm³

उत्तर

Q1. (c) शंकु = बेलन का 1/3 = 924 ÷ 3 = 308 cm³।

Q2. (a) पृष्ठ ∝ r²: 1.5² = 2.25, अतः वृद्धि 125% है। (237.5% आयतन की वृद्धि है।)

Q3. (d) (22/7) × 14 × (25 − 16) = 44 × 9 = 396 cm³।

त्वरित पुनरावृत्ति

बेलन πr²h, 2πrh; शंकु 1/3 πr²h, πrl; गोला 4/3 πr³, 4πr²।

छिन्नक πh/3 (R² + r² + Rr); तिर्यक √(h² + (R − r)²)।

समान आधार और ऊंचाई: बेलन : शंकु = 3 : 1; बेलन में गोला = 2 : 3।

पुनः ढलाई में केवल आयतन संरक्षित; लंबाइयां × k ⇒ क्षेत्रफल × k², आयतन × k³।

अवधारणाएं और नियम

अर्धगोला गोले का आधा भाग है। आयतन = 1/2 × 4/3 πr³ = 2/3 πr³।

वक्र पृष्ठ = 4πr² का आधा = 2πr²। ठोस अर्धगोले का एक समतल वृत्ताकार फलक πr² भी होता है, अतः संपूर्ण पृष्ठ = 3πr²।

पतले खोखले कटोरे (खुले अर्धगोले) का केवल वक्र पृष्ठ 2πr² होता है। उसकी धारिता भीतरी त्रिज्या से 2/3 πr³ है।

बाहरी त्रिज्या R और भीतरी त्रिज्या r वाला मोटा अर्धगोलीय खोल: पदार्थ का आयतन = 2/3 π(R³ − r³); संपूर्ण पृष्ठ = बाहरी 2πR² + भीतरी 2πr² + किनारे का वलय π(R² − r²)।

गोले को 2 अर्धगोलों में काटने पर आयतन वही रहता है पर 2 समतल फलक जुड़ जाते हैं: कुल पृष्ठ 4πr² से 6πr² हो जाता है, अर्थात 2πr² की वृद्धि, जो 50% है।

समान त्रिज्या r और ऊंचाई r वाले अर्धगोला, शंकु और बेलन: आयतन 2/3 πr³ : 1/3 πr³ : πr³ = 2 : 1 : 3।

संयुक्त ठोस: भागों के आयतन जोड़ें। पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए केवल बाहर खुले पृष्ठ जोड़ें; जुड़ा हुआ फलक छिप जाता है और गिना नहीं जाता।

अर्धगोले पर शंकु (खिलौना, समान त्रिज्या): आयतन = 1/3 πr²h + 2/3 πr³; पृष्ठ = πrl + 2πr²। दोनों सिरों पर अर्धगोले वाला बेलन (कैप्सूल): आयतन = πr²h + 4/3 πr³; पृष्ठ = 2πrh + 4πr², जहां h केवल बेलन भाग की ऊंचाई है।

भुजा a वाले घन से काटे गए सबसे बड़े अर्धगोले की त्रिज्या a/2 होती है; r त्रिज्या वाले बेलन पर रखे सबसे बड़े अर्धगोले की त्रिज्या r होती है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: पढ़ें कि अर्धगोला ठोस है (3πr²), खुला कटोरा है (2πr²) या मोटा खोल (बाहरी + भीतरी + किनारा)।

चरण 2: संयुक्त ठोसों में हर भाग उसकी अपनी ऊंचाई के साथ लिखें। खिलौने की कुल ऊंचाई = शंकु की ऊंचाई + अर्धगोले की त्रिज्या।

चरण 3: गुणा से पहले πr² उभयनिष्ठ लें: जैसे कैप्सूल का आयतन = πr²(h + 4r/3)। इससे संख्याएं छोटी रहती हैं।

शॉर्टकट: π = 22/7 और r = 7 पर πr² = 154, 2πr² = 308, 3πr² = 462, 2/3 πr³ = 2156/3। r = 21 पर 2/3 πr³ = 19404 और 2πr² = 2772।

शॉर्टकट: भरने वाले प्रश्नों में बर्तनों की संख्या = स्रोत का आयतन ÷ 1 बर्तन का आयतन; यदि पूरे भरे बर्तन पूछे हों तो पूर्णांक भाग लें।

उदाहरण 1: अर्धगोले का आयतन और पृष्ठ

प्रश्न: 21 cm त्रिज्या वाले ठोस अर्धगोले का आयतन, वक्र पृष्ठ और संपूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।

हल: आयतन = 2/3 × (22/7) × 9261 = 19404 cm³। वक्र = 2 × (22/7) × 441 = 2772 cm²। संपूर्ण = 3 × (22/7) × 441 = 4158 cm²।

उत्तर: 19404 cm³, 2772 cm², 4158 cm²

उदाहरण 2: संपूर्ण पृष्ठ से त्रिज्या

प्रश्न: एक ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 cm² है। उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।

हल: 3 × (22/7) × r² = 462 से r² = 462 × 7/66 = 49, अतः r = 7 cm।

उत्तर: 7 cm

उदाहरण 3: गोले को काटना

प्रश्न: 7 cm त्रिज्या वाले गोले को 2 अर्धगोलों में काटा जाता है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना और कितने प्रतिशत बढ़ता है?

हल: 2 नए समतल फलक: 2 × (22/7) × 49 = 308 cm²। मूल पृष्ठ = 4 × 154 = 616 cm², अतः वृद्धि 308/616 = 50% है।

उत्तर: 308 cm², 50%

उदाहरण 4: अर्धगोले पर रखा शंकु

प्रश्न: एक खिलौना 7 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले पर उसी त्रिज्या का शंकु रखकर बना है। खिलौने की कुल ऊंचाई 31 cm है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 770 cm² (b) 858 cm² (c) 1012 cm² (d) 616 cm²

हल: शंकु की ऊंचाई = 31 − 7 = 24, तिर्यक = √(49 + 576) = 25। शंकु का पृष्ठ = (22/7) × 7 × 25 = 550; अर्धगोले का वक्र पृष्ठ = 2 × 154 = 308।

कुल = 550 + 308 = 858 cm²। जुड़ा हुआ वृत्त छिपा है, अतः उसे नहीं जोड़ते।

उत्तर: (b) 858 cm²

उदाहरण 5: मोटा अर्धगोलीय खोल

प्रश्न: 14 cm त्रिज्या वाले ठोस अर्धगोले में से 7 cm त्रिज्या वाला अर्धगोला निकाला जाता है, दोनों का केंद्र और समतल फलक एक ही है। खोल का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 1540 cm² (b) 2156 cm² (c) 1848 cm² (d) 2002 cm²

हल: बाहरी वक्र = 2π × 196 = 392π; भीतरी वक्र = 2π × 49 = 98π; किनारे का वलय = π(196 − 49) = 147π।

कुल = (392 + 98 + 147)π = 637π = 637 × 22/7 = 2002 cm²। विकल्प (b) में वलय के स्थान पर पूरा समतल वृत्त 196π गलती से जोड़ा गया है।

उत्तर: (d) 2002 cm²

उदाहरण 6: कैप्सूल को पिघलाकर गोले

प्रश्न: एक ठोस 7 cm त्रिज्या और 14 cm ऊंचाई वाले बेलन से बना है जिसके दोनों सिरों पर 7 cm त्रिज्या का एक-एक अर्धगोला लगा है। इसे पिघलाकर 3.5 cm त्रिज्या वाले गोले बनाए जाते हैं। कितने गोले बनेंगे? (a) 16 (b) 18 (c) 20 (d) 24

हल: आयतन = π × 49 × 14 + 4/3 × π × 343 = π(686 + 1372/3) = 3430π/3। 1 छोटा गोला = 4/3 × π × 42.875 = 171.5π/3।

संख्या = 3430 ÷ 171.5 = 20। 2 अर्धगोले मिलकर 7 त्रिज्या का 1 पूरा गोला बनाते हैं।

उत्तर: (c) 20

सामान्य गलतियां

खुले कटोरे के लिए 3πr² लेना। कटोरे का समतल ऊपरी फलक नहीं होता, अतः उसका पृष्ठ 2πr² (बाहरी या भीतरी) है।

संयुक्त ठोस में जुड़े वृत्ताकार फलक को जोड़ना। चिपके हुए फलक बाहर नहीं होते।

खिलौने की कुल ऊंचाई को ही शंकु की ऊंचाई मान लेना। पहले अर्धगोले की त्रिज्या घटाएं।

मोटे खोल के लिए 2/3 π(R³ − r³) के स्थान पर 2/3 π(R − r)³ निकालना।

अर्धगोले का आयतन 1/3 πr³ (यह h = r वाला शंकु है) या 4/3 πr³ (यह पूरा गोला है) लिखना।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1232 cm² है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)। (a) 1848 cm² (b) 2464 cm² (c) 1232 cm² (d) 1386 cm²

Q2. एक अर्धगोला, एक शंकु और एक बेलन की त्रिज्याएं बराबर हैं, और शंकु तथा बेलन की ऊंचाई उसी त्रिज्या के बराबर है। उनके आयतनों का अनुपात है: (a) 1 : 2 : 3 (b) 3 : 1 : 2 (c) 2 : 1 : 3 (d) 2 : 3 : 1

Q3. 21 cm भीतरी त्रिज्या वाला अर्धगोलीय कटोरा तेल से भरा है। तेल को 3.5 cm त्रिज्या और 6 cm ऊंचाई वाली बेलनाकार बोतलों में डाला जाता है। कितनी बोतलें भरेंगी? (a) 72 (b) 96 (c) 63 (d) 84

उत्तर

Q1. (a) 2πr² = 1232 से πr² = 616, अतः संपूर्ण = 3πr² = 1848 cm²।

Q2. (c) 2/3 πr³ : 1/3 πr³ : πr³ = 2 : 1 : 3।

Q3. (d) कटोरा = 2/3 × (22/7) × 9261 = 19404 cm³। बोतल = (22/7) × 12.25 × 6 = 231 cm³। 19404 ÷ 231 = 84।

त्वरित पुनरावृत्ति

अर्धगोला: आयतन 2/3 πr³, वक्र 2πr², ठोस का संपूर्ण 3πr²।

खोल: आयतन 2/3 π(R³ − r³); पृष्ठ 2πR² + 2πr² + π(R² − r²)।

गोला 2 भागों में कटे: पृष्ठ 2πr² (50%) बढ़ता है; अर्धगोला : शंकु : बेलन (h = r) = 2 : 1 : 3।

संयुक्त ठोस: आयतन जोड़ें; केवल खुले पृष्ठ जोड़ें।

अवधारणाएं और नियम

लंबाई l, चौड़ाई b, ऊंचाई h वाला घनाभ: आयतन = lbh; संपूर्ण पृष्ठ = 2(lb + bh + hl); पार्श्व पृष्ठ (4 दीवारें) = 2h(l + b); विकर्ण = √(l² + b² + h²)।

भुजा a वाला घन: आयतन = a³, संपूर्ण पृष्ठ = 6a², पार्श्व पृष्ठ = 4a², मुख्य विकर्ण = √3a, फलक विकर्ण = √2a।

सर्वसमिका: (l + b + h)² = l² + b² + h² + 2(lb + bh + hl), अर्थात (किनारों का योग/4)² = विकर्ण² + संपूर्ण पृष्ठ। सभी 12 किनारों का योग 4(l + b + h) है।

यदि 3 आसन्न फलकों के क्षेत्रफल x, y, z हैं, तो xyz = (lb)(bh)(hl) = (lbh)², अतः आयतन = √(xyz)।

किसी कमरे में आने वाली सबसे लंबी छड़ उसका विकर्ण है। कमरे की 4 दीवारें = 2h(l + b); छत भी हो तो lb जोड़ें। कहा गया हो तो दरवाजे और खिड़कियां घटाएं।

n इकाई भुजा वाले रंगे घन को n³ इकाई घनों में काटने पर (n ≥ 2): 3 फलक रंगे = 8 (कोने); 2 फलक = 12(n − 2) (किनारे); 1 फलक = 6(n − 2)² (फलकों के बीच); कोई फलक नहीं = (n − 2)³ (अंदर)।

L × B की चादर के हर कोने से x भुजा के वर्ग काटकर बना खुला डिब्बा: डिब्बा = (L − 2x) × (B − 2x) × x।

पानी के प्रश्न: वर्षा का आयतन = क्षेत्रफल × वर्षा की गहराई; नहर में प्रति घंटा बहता पानी = अनुप्रस्थ काट × चाल। 1 m³ = 1000 लीटर, 1 लीटर = 1000 cm³।

दीवार में ईंटें = दीवार का आयतन ÷ ईंट का आयतन (समान इकाई में)। घनाभ से काटे गए सबसे बड़े बराबर घनों की भुजा = HCF(l, b, h)।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: l, b, h एक ही इकाई में लिखें। तय करें कि प्रश्न में आयतन (भरना, ईंटें, पानी), पार्श्व पृष्ठ (दीवारें) या संपूर्ण पृष्ठ (बंद डिब्बा, सभी फलक रंगना) चाहिए।

चरण 2: यदि केवल योग, विकर्ण या फलक क्षेत्रफल दिए हों, तो l, b, h अलग-अलग निकालने के बजाय ऊपर की सर्वसमिकाएं लगाएं।

चरण 3: खर्च के लिए क्षेत्रफल या आयतन को दर की इकाई में बदलने के बाद ही दर से गुणा करें।

शॉर्टकट: रंगे घनों के लिए जांचें कि 8 + 12(n − 2) + 6(n − 2)² + (n − 2)³ = n³। n = 4 पर: 8 + 24 + 24 + 8 = 64।

शॉर्टकट: यदि घन का हर किनारा x% बढ़े, तो पृष्ठ (2x + x²/100)% और आयतन ((1 + x/100)³ − 1) × 100% बढ़ता है।

उदाहरण 1: विकर्ण, आयतन और पृष्ठ

प्रश्न: एक घनाभ 12 cm × 4 cm × 3 cm का है। उसका विकर्ण, आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: विकर्ण = √(144 + 16 + 9) = √169 = 13 cm। आयतन = 12 × 4 × 3 = 144 cm³। पृष्ठ = 2(48 + 12 + 36) = 192 cm²।

उत्तर: 13 cm, 144 cm³, 192 cm²

उदाहरण 2: फलक क्षेत्रफलों से आयतन

प्रश्न: एक घनाभ के 3 आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 12 cm², 20 cm² और 15 cm² हैं। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

हल: आयतन = √(12 × 20 × 15) = √3600 = 60 cm³। (भुजाएं 3, 4 और 5 cm हैं।)

उत्तर: 60 cm³

उदाहरण 3: रंगा हुआ घन

प्रश्न: 5 cm भुजा वाले घन के सभी फलक रंगे गए और उसे 1 cm के घनों में काटा गया। कितने छोटे घनों के ठीक 2 फलक रंगे हैं, और कितनों का कोई फलक नहीं रंगा?

हल: n = 5। 2 फलक: 12 × (5 − 2) = 36। कोई फलक नहीं: (5 − 2)³ = 27। जांच: 8 + 36 + 54 + 27 = 125।

उत्तर: 36 और 27

उदाहरण 4: कमरे की दीवारों की पुताई

प्रश्न: एक कमरा 10 m लंबा, 8 m चौड़ा और 4 m ऊंचा है। ₹25 प्रति m² की दर से उसकी 4 दीवारों की पुताई का खर्च ज्ञात कीजिए। (a) ₹3,600 (b) ₹5,600 (c) ₹7,200 (d) ₹4,800

हल: दीवारें = 2 × 4 × (10 + 8) = 144 m²। खर्च = 144 × 25 = ₹3,600। विकल्प (b) में छत के 80 m² भी जोड़े गए हैं।

उत्तर: (a) ₹3,600

उदाहरण 5: किनारों के योग और विकर्ण से पृष्ठ

प्रश्न: एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का योग 19 cm है और उसका विकर्ण 11 cm है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 120 cm² (b) 361 cm² (c) 240 cm² (d) 260 cm²

हल: (l + b + h)² = विकर्ण² + संपूर्ण पृष्ठ, अतः 361 = 121 + पृष्ठ, जिससे पृष्ठ = 240 cm²।

विकल्प (a) lb + bh + hl है, जो संपूर्ण पृष्ठ का केवल आधा है।

उत्तर: (c) 240 cm²

उदाहरण 6: छत से टंकी में वर्षा का पानी

प्रश्न: 22 m × 20 m की समतल छत पर 5 cm वर्षा होती है। सारा पानी 2 m व्यास वाली बेलनाकार टंकी में जाता है। टंकी में पानी का स्तर कितना बढ़ेगा (π = 22/7)? (a) 3.5 m (b) 7 m (c) 14 m (d) 5 m

हल: वर्षा का आयतन = 22 × 20 × 0.05 = 22 m³। टंकी की त्रिज्या = 1 m, अतः (22/7) × 1 × h = 22।

h = 7 m। विकल्प (a) में व्यास 2 m को त्रिज्या मान लिया गया है।

उत्तर: (b) 7 m

सामान्य गलतियां

कमरे की दीवारों के लिए संपूर्ण पृष्ठ लेना। 4 दीवारें = 2h(l + b); फर्श और छत अलग हैं।

m² क्षेत्रफल से गुणा करने से पहले cm में दी वर्षा को मीटर में न बदलना (5 cm = 0.05 m)।

खुले डिब्बे के लिए चादर की हर भुजा से 2x के स्थान पर x घटाना।

lb + bh + hl को संपूर्ण पृष्ठ मानना; संपूर्ण पृष्ठ इसका दोगुना है।

घन में सबसे लंबी छड़ के लिए फलक विकर्ण √2a लेना; सबसे लंबी छड़ मुख्य विकर्ण √3a है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 48 cm × 36 cm की चादर के हर कोने से 8 cm भुजा का वर्ग काटकर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। डिब्बे की धारिता ज्ञात कीजिए। (a) 4.8 लीटर (b) 6.4 लीटर (c) 5.12 लीटर (d) 5.6 लीटर

Q2. एक घन का विकर्ण 6√3 cm है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 216 cm² (b) 108 cm² (c) 144 cm² (d) 324 cm²

Q3. 8 m लंबी, 6 m ऊंची और 22.5 cm मोटी दीवार 25 cm × 11.25 cm × 6 cm की ईंटों से बनाई जाती है। कितनी ईंटें लगेंगी? (a) 5600 (b) 6000 (c) 7200 (d) 6400

उत्तर

Q1. (c) डिब्बा = (48 − 16) × (36 − 16) × 8 = 32 × 20 × 8 = 5120 cm³ = 5.12 लीटर।

Q2. (a) √3a = 6√3 से a = 6; पृष्ठ = 6 × 36 = 216 cm²।

Q3. (d) दीवार = 800 × 600 × 22.5 = 10800000 cm³; ईंट = 25 × 11.25 × 6 = 1687.5 cm³; ईंटें = 10800000 ÷ 1687.5 = 6400।

त्वरित पुनरावृत्ति

घनाभ: lbh; 2(lb + bh + hl); दीवारें 2h(l + b); विकर्ण √(l² + b² + h²)।

घन: a³; 6a²; मुख्य विकर्ण √3a; फलक विकर्ण √2a।

(l + b + h)² = विकर्ण² + संपूर्ण पृष्ठ; आयतन = √(3 फलक क्षेत्रफलों का गुणनफल)।

रंगा घन: 8, 12(n − 2), 6(n − 2)², (n − 2)³।

अवधारणाएं और नियम

लंब पिरामिड का शीर्ष ठीक उसके आधार के केंद्र के ऊपर होता है। ऊंचाई h = शीर्ष से आधार केंद्र तक; तिर्यक ऊंचाई l = शीर्ष से आधार के किनारे के मध्यबिंदु तक; पार्श्व किनारा e = शीर्ष से आधार के शीर्ष तक।

किसी भी पिरामिड का आयतन = 1/3 × आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई। पार्श्व पृष्ठ (सम आधार) = 1/2 × आधार का परिमाप × तिर्यक ऊंचाई। संपूर्ण पृष्ठ = पार्श्व पृष्ठ + आधार का क्षेत्रफल।

3 लंबाइयां समकोण त्रिभुज बनाती हैं: l² = h² + ρ², जहां ρ = आधार की अंतःत्रिज्या (केंद्र से किनारे के मध्यबिंदु तक); e² = h² + R², जहां R = आधार की परित्रिज्या (केंद्र से शीर्ष तक)। साथ ही e² = l² + (भुजा/2)²।

a भुजा वाला वर्ग आधार: ρ = a/2, R = a/√2, आधार का क्षेत्रफल = a², परिमाप = 4a। अतः l = √(h² + a²/4) और e = √(h² + a²/2)।

a भुजा वाला समबाहु त्रिभुज आधार: ρ = a/(2√3), R = a/√3, आधार का क्षेत्रफल = √3a²/4, परिमाप = 3a। अतः l = √(h² + a²/12) और e = √(h² + a²/3)।

सम चतुष्फलक (सभी 6 किनारे = a, सभी 4 फलक समबाहु): ऊंचाई = a√(2/3), आयतन = a³/(6√2), संपूर्ण पृष्ठ = √3a²।

गिनती: n भुजाओं वाले आधार पर पिरामिड के n + 1 फलक, n + 1 शीर्ष और 2n किनारे होते हैं। n भुजाओं वाले आधार पर प्रिज्म के n + 2 फलक, 2n शीर्ष और 3n किनारे होते हैं। ऑयलर: फलक + शीर्ष − किनारे = 2।

समान आधार और ऊंचाई वाले पिरामिड और प्रिज्म: आयतन अनुपात 1 : 3, जैसे शंकु और बेलन का।

यदि आधार सम नहीं है (जैसे समकोण त्रिभुज), तो आयतन सूत्र फिर भी लागू है, पर पार्श्व फलकों की तिर्यक ऊंचाइयां अलग हो सकती हैं, अतः हर फलक अलग निकालें।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: देखें कौन सी लंबाई दी है: ऊंचाई, तिर्यक ऊंचाई या पार्श्व किनारा। इन्हें आपस में न मिलाएं।

चरण 2: छूटी लंबाई निकालने के लिए आधार आकृति का समकोण त्रिभुज h–ρ–l या h–R–e लगाएं।

चरण 3: आयतन के लिए h चाहिए; पार्श्व पृष्ठ के लिए l। संपूर्ण पृष्ठ के लिए ही आधार जोड़ें।

शॉर्टकट: वर्ग आधार में त्रिभुज (h, a/2, l) प्रायः त्रिक होता है: a = 10, h = 12 से l = 13; a = 12, h = 8 से l = 10; a = 6, h = 4 से l = 5।

शॉर्टकट: सम पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ S से, तिर्यक ऊंचाई = 2S ÷ आधार का परिमाप।

उदाहरण 1: वर्ग पिरामिड

प्रश्न: एक लंब पिरामिड का आधार 10 cm भुजा का वर्ग है और ऊंचाई 12 cm है। उसकी तिर्यक ऊंचाई, पार्श्व पृष्ठ, संपूर्ण पृष्ठ और आयतन ज्ञात कीजिए।

हल: l = √(144 + 25) = 13 cm। पार्श्व = 1/2 × 40 × 13 = 260 cm²। संपूर्ण = 260 + 100 = 360 cm²। आयतन = 1/3 × 100 × 12 = 400 cm³।

उत्तर: 13 cm, 260 cm², 360 cm², 400 cm³

उदाहरण 2: फलक, किनारे और शीर्ष

प्रश्न: पंचभुज आधार वाले पिरामिड के कितने फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं?

हल: n = 5: फलक = 6, किनारे = 10, शीर्ष = 6। ऑयलर जांच: 6 + 6 − 10 = 2।

उत्तर: 6 फलक, 10 किनारे, 6 शीर्ष

उदाहरण 3: समकोण त्रिभुज आधार पर पिरामिड

प्रश्न: एक पिरामिड का आधार 3 cm, 4 cm और 5 cm भुजाओं वाला त्रिभुज है और ऊंचाई 10 cm है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

हल: 3² + 4² = 5², अतः आधार समकोण त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल 1/2 × 3 × 4 = 6 cm²। आयतन = 1/3 × 6 × 10 = 20 cm³।

उत्तर: 20 cm³

उदाहरण 4: तिर्यक ऊंचाई से ऊंचाई

प्रश्न: एक लंब पिरामिड का आधार 8 cm भुजा का वर्ग है और तिर्यक ऊंचाई 5 cm है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए। (a) 64 cm³ (b) 192 cm³ (c) 80 cm³ (d) 128 cm³

हल: h = √(25 − 16) = 3 cm। आयतन = 1/3 × 64 × 3 = 64 cm³। विकल्प (b) में 1/3 छूट गया है, और (c) में h के स्थान पर तिर्यक ऊंचाई 5 ली गई है।

उत्तर: (a) 64 cm³

उदाहरण 5: समबाहु त्रिभुज आधार

प्रश्न: एक लंब पिरामिड का आधार 6√3 cm भुजा का समबाहु त्रिभुज है और ऊंचाई 4 cm है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (a) 45√3 cm² (b) 27√3 cm² (c) 36√3 cm² (d) 72√3 cm²

हल: आधार की अंतःत्रिज्या = 6√3/(2√3) = 3, अतः तिर्यक l = √(16 + 9) = 5 cm। पार्श्व = 1/2 × 18√3 × 5 = 45√3 cm²।

आधार = √3/4 × 108 = 27√3 cm²। संपूर्ण = 45√3 + 27√3 = 72√3 cm²। विकल्प (c) आयतन का मान 1/3 × 27√3 × 4 = 36√3 cm³ में है।

उत्तर: (d) 72√3 cm²

उदाहरण 6: पार्श्व किनारे से आयतन

प्रश्न: एक लंब पिरामिड का आधार 8 cm भुजा का वर्ग है, और हर पार्श्व किनारा 9 cm है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए। (a) 448 cm³ (b) 448/3 cm³ (c) 512/3 cm³ (d) 224/3 cm³

हल: केंद्र से शीर्ष R = विकर्ण का आधा = 8√2/2 = 4√2, अतः R² = 32। h² = 81 − 32 = 49, h = 7 cm।

आयतन = 1/3 × 64 × 7 = 448/3 cm³। R के स्थान पर a/2 = 4 लेने से h = √65 आता, जो एक सामान्य जाल है।

उत्तर: (b) 448/3 cm³

सामान्य गलतियां

आयतन सूत्र में तिर्यक ऊंचाई लेना। आयतन में सदा ऊर्ध्व ऊंचाई h लगती है।

तिर्यक ऊंचाई और पार्श्व किनारे को मिलाना। तिर्यक ऊंचाई आधार किनारे के मध्यबिंदु तक जाती है (ρ लगता है); पार्श्व किनारा कोने तक जाता है (R लगता है)।

आयतन में 1/3 भूल जाना, जिससे प्रिज्म का आयतन आ जाता है।

केवल पार्श्व (तिरछा) पृष्ठ पूछे जाने पर भी आधार जोड़ देना।

त्रिभुज आधार के लिए केंद्र से किनारे की दूरी a/2 लेना। समबाहु त्रिभुज में यह a/(2√3) है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 6 cm किनारे वाले सम चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए। (a) 36√2 cm³ (b) 18√2 cm³ (c) 9√2 cm³ (d) 72 cm³

Q2. 12 cm भुजा वाले वर्ग आधार पर बने लंब पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 240 cm² है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए। (a) 480 cm³ (b) 1152 cm³ (c) 384 cm³ (d) 288 cm³

Q3. एक पिरामिड के 12 किनारे हैं। उसके कितने फलक हैं? (a) 6 (b) 8 (c) 12 (d) 7

उत्तर

Q1. (b) a³/(6√2) = 216/(6√2) = 36/√2 = 18√2 cm³।

Q2. (c) 1/2 × 48 × l = 240 से l = 10; h = √(100 − 36) = 8; आयतन = 1/3 × 144 × 8 = 384 cm³।

Q3. (d) 2n = 12 से n = 6 (षट्भुज आधार), अतः फलक = 6 + 1 = 7।

त्वरित पुनरावृत्ति

आयतन = 1/3 × आधार × h; पार्श्व = 1/2 × परिमाप × l; संपूर्ण = पार्श्व + आधार।

l² = h² + ρ²; e² = h² + R²। वर्ग: ρ = a/2, R = a/√2। समबाहु: ρ = a/(2√3), R = a/√3।

चतुष्फलक: आयतन a³/(6√2), पृष्ठ √3a²।

n-भुज पिरामिड: n + 1 फलक, 2n किनारे, n + 1 शीर्ष; प्रिज्म: n + 2 फलक, 3n किनारे, 2n शीर्ष।