Number foundations — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

प्राकृत संख्याएं 1, 2, 3, … हैं; पूर्ण संख्याओं में 0 भी जुड़ता है; पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएं −1, −2, −3, … भी आती हैं। शून्य एक सम पूर्णांक है और न धनात्मक है न ऋणात्मक।

अभाज्य संख्या के ठीक 2 धनात्मक भाजक होते हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … । संख्या 1 न अभाज्य है न भाज्य, 2 एकमात्र सम अभाज्य है, और 100 से कम 25 अभाज्य संख्याएं हैं।

2, 5 और 10 से विभाज्यता: अंतिम अंक सम हो, 0 या 5 हो, 0 हो। 4 से: अंतिम 2 अंकों से बनी संख्या 4 का गुणज हो। 8 से: अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 का गुणज हो।

3 और 9 से: अंकों का योग 3 (या 9) का गुणज हो। यह इसलिए चलता है क्योंकि 10 को 3 और 9 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है, इसलिए हर अंक अपने अंकित मान जितना ही गिना जाता है।

11 से: दाएं से गिनने पर (विषम स्थानों के अंकों का योग) − (सम स्थानों के अंकों का योग) 0 या 11 का गुणज हो। चूंकि 1001 = 7 × 11 × 13, इसलिए दाएं से 3 अंकों वाले समूहों का एकांतर योग 7, 11 और 13 तीनों की जांच एक साथ करता है।

भाज्य भाजक: उसे सह-अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें। 72 से विभाज्य अर्थात 8 और 9 दोनों से विभाज्य; 24 से अर्थात 8 और 3 से। 24 को 4 × 6 में तोड़ना गलत है क्योंकि 4 और 6 सह-अभाज्य नहीं हैं: 12 दोनों जांच पास करता है पर 24 का गुणज नहीं है।

विभाजन एल्गोरिथ्म: भाजक d > 0 के लिए N = d × q + r, जहां 0 ≤ r < d। शेषफलों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है: a × b का शेषफल = (a के शेषफल) × (b के शेषफल) का शेषफल।

यदि N = pᵃ × qᵇ × rᶜ जहां p, q, r भिन्न अभाज्य हैं, तो धनात्मक भाजकों की संख्या (a + 1)(b + 1)(c + 1) होती है। विषम भाजक गिनते समय 2 की घात छोड़ दें; केवल पूर्ण वर्गों के भाजकों की संख्या विषम होती है।

HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल केवल 2 धनात्मक संख्याओं के लिए सत्य है। कोई भी 2 क्रमागत पूर्णांक सह-अभाज्य होते हैं, और किन्हीं 3 क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है।

घातों के इकाई अंक 2, 3, 7, 8 पर समाप्त होने वाले आधारों के लिए 4 की अवधि में दोहराते हैं (2, 4, 8, 6 / 3, 9, 7, 1 / 7, 9, 3, 1 / 8, 4, 2, 6), 4 और 9 के लिए 2 की अवधि में, और 0, 1, 5, 6 के लिए कभी नहीं बदलते।

विधि और शॉर्टकट

भाज्य भाजक वाले लुप्त अंक: हर सह-अभाज्य गुणनखंड की शर्त अलग लिखें, हर शर्त पास करने वाले 0 से 9 तक के अंक सूचीबद्ध करें, फिर केवल उभयनिष्ठ अंक रखें।

आमतौर पर पहले अंतिम अंकों वाली शर्त (8 या 4 के लिए) लगाएं क्योंकि उसमें कम विकल्प बचते हैं, फिर अंकों के योग की शर्त (9 या 3 के लिए) से बचा हुआ अंक निकालें।

बड़ी घात का शेषफल: आधार की वह छोटी घात खोजें जो उस भाजक पर शेषफल 1 दे, फिर घातांक घटाएं। उदाहरण: 2³ = 8 को 7 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए 2 की 3 के किसी भी गुणज वाली घात भी शेषफल 1 देगी।

ऋणात्मक शेषफल युक्ति: किसी भी d ≥ 2 के लिए (d − 1)ⁿ को d से भाग देने पर n सम हो तो शेषफल 1 और n विषम हो तो d − 1 बचता है, क्योंकि d − 1 का व्यवहार −1 जैसा होता है।

a, b, c से भाग देने पर समान शेषफल r छोड़ने वाली न्यूनतम संख्या LCM(a, b, c) + r होती है। यदि हर शेषफल अपने भाजक से समान k कम हो, तो न्यूनतम संख्या LCM − k होती है।

a, b, c को भाग देकर समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या अंतरों (b − a), (c − b) और (c − a) का HCF होती है, क्योंकि घटाने से समान शेषफल हट जाता है।

क्रमिक विभाजन: यदि N को d से भाग देने पर शेषफल r और भागफल को e से भाग देने पर शेषफल s है, तो N = d(e × k + s) + r, इसलिए N को d × e से भाग देने पर शेषफल d × s + r होगा।

उदाहरण 1: 3 से विभाज्यता के लिए न्यूनतम अंक

प्रश्न: वह न्यूनतम अंक x ज्ञात कीजिए जिसके लिए संख्या 4x82, 3 से विभाज्य हो।

हल: अंकों का योग = 4 + x + 8 + 2 = 14 + x। 14 के बाद 3 के गुणज 15, 18, 21 हैं, इसलिए x = 1, 4 या 7। न्यूनतम मान 1 है, और 4182 = 3 × 1394 इसकी पुष्टि करता है।

उत्तर: x = 1

उदाहरण 2: भाजकों की गिनती

प्रश्न: 360 के कितने धनात्मक भाजक हैं, और उनमें से कितने विषम हैं?

हल: 360 = 2³ × 3² × 5। भाजकों की संख्या = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24। विषम भाजकों में 2 नहीं हो सकता, इसलिए केवल 3² × 5 गिनें: (2 + 1)(1 + 1) = 6।

उत्तर: 24 भाजक, जिनमें से 6 विषम हैं

उदाहरण 3: बड़ी घात का शेषफल

प्रश्न: 2¹⁰⁰ को 7 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

हल: 2³ = 8 = 7 + 1 का शेषफल 1 है। 100 = 3 × 33 + 1 लिखें, तो 2¹⁰⁰ = (2³)³³ × 2। कोष्ठक का शेषफल 1 है, इसलिए पूरी संख्या का शेषफल 1 × 2 = 2 है।

उत्तर: 2

उदाहरण 4: घातों के अंतर का इकाई अंक

प्रश्न: 7⁹⁵ − 3⁵⁸ का इकाई अंक है: (a) 6 (b) 2 (c) 4 (d) 8

हल: 7 का चक्र 7, 9, 3, 1 है। 95 = 4 × 23 + 3, इसलिए 7⁹⁵ का इकाई अंक 3rd पद, यानी 3 है। 3 का चक्र 3, 9, 7, 1 है। 58 = 4 × 14 + 2, इसलिए 3⁵⁸ का इकाई अंक 9 है।

पहली संख्या बड़ी है, इसलिए 10 उधार लें: इकाई अंक = 13 − 9 = 4।

उत्तर: (c) 4

उदाहरण 5: समान शेषफल और विभाज्यता की शर्त

प्रश्न: वह न्यूनतम संख्या जो 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर शेषफल 8 छोड़ती है और स्वयं 11 से विभाज्य है: (a) 1088 (b) 1628 (c) 2168 (d) 548

हल: LCM(12, 15, 20, 54) = 2² × 3³ × 5 = 540, इसलिए संख्या 540k + 8 है, जहां k = 0, 1, 2, … ।

540 = 11 × 49 + 1 को 11 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए 540k + 8 का शेषफल k + 8 होगा। k + 8 को 11 का गुणज होना चाहिए; न्यूनतम k = 3 है।

संख्या = 540 × 3 + 8 = 1628 = 11 × 148। विकल्प (a) 1088 = 540 × 2 + 8, 11 से विभाज्य नहीं है, और (d) 548 = 540 + 8 भी नहीं।

उत्तर: (b) 1628

उदाहरण 6: 72 से विभाज्यता के लिए 2 लुप्त अंक

प्रश्न: 5 अंकों की संख्या 6x24y, 72 से विभाज्य है, जहां x और y अंक हैं। x + y का अधिकतम संभव मान है: (a) 6 (b) 12 (c) 9 (d) 15

हल: 72 = 8 × 9 और 8 तथा 9 सह-अभाज्य हैं। 8 के लिए अंतिम 3 अंक 24y, 8 का गुणज होने चाहिए: 240 = 8 × 30 और 248 = 8 × 31 चलते हैं, इसलिए y = 0 या 8।

9 के लिए अंकों का योग 6 + x + 2 + 4 + y = 12 + x + y, 9 का गुणज होना चाहिए। यदि y = 0, तो 12 + x = 18 से x = 6। यदि y = 8, तो 20 + x = 27 से x = 7।

संख्याएं 66240 और 67248 हैं, जिनसे x + y = 6 या 15। अधिकतम मान 15 है।

उत्तर: (d) 15

सामान्य गलतियां

1 को अभाज्य मानना, या भूल जाना कि 2 अभाज्य है। सही: 1 न अभाज्य है न भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य है।

24 को 4 और 6 से, या 48 को 6 और 8 से जांचना। सही: केवल सह-अभाज्य गुणनखंड लें, 24 = 8 × 3 और 48 = 16 × 3।

3 संख्याओं के लिए HCF × LCM = गुणनफल लगाना। सही: यह सर्वसमिका केवल 2 संख्याओं के लिए है; 2, 4, 8 का HCF 2 और LCM 8 है, पर 2 × 8 ≠ 2 × 4 × 8।

भाजक के बराबर या उससे बड़ा शेषफल, या अंतिम उत्तर में ऋणात्मक शेषफल लिखना। सही: 0 ≤ r < d में बदलें, जैसे 7 से भाग पर −1 शेषफल वास्तव में 6 है।

इकाई अंक चक्र में घातांक का शेषफल 0 आने पर 0th पद लेना। सही: शेषफल 0 का अर्थ है चक्र का 4th पद, जैसे 7⁴⁰ का अंतिम अंक 1 है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 1305, 4665 और 6905 को भाग देकर प्रत्येक में समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या N है। N के अंकों का योग है: (a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 8

Q2. किसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेषफल 3 है, और भागफल को 7 से भाग देने पर शेषफल 4 है। उस संख्या को 35 से भाग देने पर शेषफल है: (a) 13 (b) 18 (c) 23 (d) 27

Q3. 100 से 400 तक की कितनी संख्याएं 6 और 9 दोनों से विभाज्य हैं? (a) 16 (b) 17 (c) 33 (d) 18

उत्तर

Q1. (a) अंतर: 4665 − 1305 = 3360, 6905 − 4665 = 2240, 6905 − 1305 = 5600। HCF = 1120, अंकों का योग 1 + 1 + 2 + 0 = 4।

Q2. (c) संख्या = 5(7k + 4) + 3 = 35k + 23, इसलिए शेषफल 5 × 4 + 3 = 23 है।

Q3. (b) दोनों से विभाज्य अर्थात LCM(6, 9) = 18 से विभाज्य। गुणज 108 से 396 तक हैं: (396 − 108) ÷ 18 + 1 = 17।

त्वरित पुनरावृत्ति

भाज्य भाजक ⇒ सह-अभाज्य गुणनखंड: 72 = 8 × 9, 24 = 8 × 3, 36 = 4 × 9, 88 = 8 × 11।

pᵃ × qᵇ के भाजक: (a + 1)(b + 1)। समान शेषफल r: LCM + r। समान कमी k: LCM − k।

समान शेषफल छोड़ने वाला सबसे बड़ा भाजक = अंतरों का HCF।

बड़ी घातें: वह घात खोजें जो शेषफल 1 दे; इकाई अंक हर 4 पर दोहराते हैं।

अवधारणाएं और नियम

भिन्न a/b में b ≠ 0 होता है। a < b हो तो उचित, a ≥ b हो तो अनुचित, और 2 3/4 जैसी मिश्र संख्या का अर्थ 2 + 3/4 = 11/4 है। अंश और हर को समान अशून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर बराबर भिन्न मिलती है।

धनात्मक भिन्नों की तुलना: a/b > c/d ठीक तब जब a × d > b × c। हर समान हो तो बड़ा अंश बड़ी भिन्न देता है; अंश समान हो तो छोटा हर बड़ी भिन्न देता है।

किसी धनात्मक उचित भिन्न के अंश और हर में समान धनात्मक संख्या जोड़ने पर भिन्न बढ़ती है (1 की ओर); 1 से बड़ी भिन्न में ऐसा करने पर वह घटती है (1 की ओर)।

हरों के LCM से जोड़ें या घटाएं। भाग देने के लिए व्युत्क्रम से गुणा करें: (a/b) ÷ (c/d) = (a × d)/(b × c)।

सांत नियम: न्यूनतम रूप वाली भिन्न सांत दशमलव तभी और केवल तभी देती है जब उसका हर 2ᵐ × 5ⁿ के रूप का हो। पहले हमेशा सरल करें: 21/140 = 3/20 सांत है, भले ही 140 में 7 है।

शुद्ध आवर्ती दशमलव: आवर्ती खंड को उतने 9 के ऊपर लिखें जितने उसमें अंक हैं। 0.(36), अर्थात 0.363636…, = 36/99 = 4/11, और 0.(142857) = 142857/999999 = 1/7।

मिश्रित आवर्ती दशमलव: (दशमलव के बाद के सभी अंक − अनावर्ती अंक) ÷ (हर आवर्ती अंक के लिए एक 9 और उसके बाद हर अनावर्ती अंक के लिए एक 0)। 0.1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6।

न्यूनतम रूप वाली भिन्नों के लिए: भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM; भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF।

संक्रियाओं का क्रम (VBODMAS): रेखा कोष्ठक, कोष्ठक, 'का' (of), भाग, गुणा, जोड़, घटाव। SSC सरलीकरण में 'of' को ÷ से पहले करते हैं: 48 ÷ 4 of 3 = 48 ÷ 12 = 4।

ये याद रखें: 1/8 = 0.125, 3/8 = 0.375, 1/6 = 0.1(6), 1/7 = 0.(142857), 1/9 = 0.(1), 1/11 = 0.(09), 1/12 = 0.08(3), 1/16 = 0.0625।

विधि और शॉर्टकट

कई भिन्नों को क्रम में लगाने के लिए हर एक को 3 दशमलव स्थानों तक बदलें, या जोड़ियों में तिर्यक गुणा करें। 1 के निकट की भिन्नों के लिए अंतर 1 − a/b की तुलना करें।

लंबे व्यंजक को सरल करने के लिए पहले हर दशमलव और आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलें, फिर समान स्तर पर बाएं से दाएं VBODMAS सख्ती से लगाएं।

सतत भिन्न: सबसे भीतरी स्तर से शुरू करके एक-एक स्तर बाहर आएं: 1 + 1/(1 + 1/2) = 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3।

'b/a के स्थान पर a/b से गुणा' वाले प्रश्न: त्रुटि = x × (b/a − a/b), इसलिए x = त्रुटि ÷ (b/a − a/b)।

शॉर्टकट की सीमा: 9 वाला नियम तभी लगता है जब आवर्तन ठीक दशमलव के बाद से शुरू हो; यदि पहले अनावर्ती अंक हैं, तो 0 वाला मिश्रित नियम लगाएं।

उदाहरण 1: आवर्ती दशमलव से भिन्न

प्रश्न: 0.(45), अर्थात 0.454545…, को न्यूनतम रूप की भिन्न में लिखिए।

हल: खंड 45 में 2 अंक हैं, इसलिए 0.(45) = 45/99। अंश और हर को 9 से भाग देने पर 5/11 मिलता है।

उत्तर: 5/11

उदाहरण 2: भिन्नों को क्रम में लगाना

प्रश्न: 3/5, 5/8 और 7/11 को आरोही क्रम में लगाइए।

हल: 3/5 = 0.600, 5/8 = 0.625, 7/11 = 0.636… । जांच: 5/8 और 7/11 में 5 × 11 = 55 < 8 × 7 = 56, इसलिए 5/8 < 7/11।

उत्तर: 3/5 < 5/8 < 7/11

उदाहरण 3: 'of' सहित VBODMAS

प्रश्न: 48 ÷ 4 of 3 + 2 × 5 − 6 को सरल कीजिए।

हल: पहले 'of': 4 of 3 = 12। फिर भाग: 48 ÷ 12 = 4। फिर गुणा: 2 × 5 = 10। अंत में 4 + 10 − 6 = 8।

उत्तर: 8

उदाहरण 4: आवर्ती दशमलवों का योग

प्रश्न: 0.(3) + 0.(4) + 0.1(6) बराबर है: (a) 8/9 (b) 17/18 (c) 5/6 (d) 19/18

हल: 0.(3) = 3/9 = 1/3, 0.(4) = 4/9, 0.1(6) = (16 − 1)/90 = 1/6। LCM 18 लेकर: 6/18 + 8/18 + 3/18 = 17/18।

उत्तर: (b) 17/18

उदाहरण 5: सांत दशमलवों की गिनती

प्रश्न: 7/80, 11/96, 13/125, 21/140 और 9/75 में से कितनी भिन्नों का दशमलव प्रसार सांत है? (a) 2 (b) 3 (c) 5 (d) 4

हल: पहले हर भिन्न को सरल करें। 7/80: 80 = 2⁴ × 5, सांत। 11/96: 96 = 2⁵ × 3, सांत नहीं। 13/125: 125 = 5³, सांत।

21/140 = 3/20 और 20 = 2² × 5, सांत। 9/75 = 3/25 और 25 = 5², सांत। इसलिए 4 भिन्न सांत हैं; केवल 11/96 आवर्ती है।

उत्तर: (d) 4

उदाहरण 6: भिन्नों का LCM

प्रश्न: 2/3, 4/9 और 8/15 का LCM है: (a) 2/45 (b) 8/45 (c) 8/3 (d) 16/3

हल: सभी भिन्न पहले से न्यूनतम रूप में हैं। अंशों 2, 4, 8 का LCM = 8; हरों 3, 9, 15 का HCF = 3। LCM = 8/3।

जांचें कि यह हर भिन्न का पूर्ण गुणज है: (8/3) ÷ (2/3) = 4, (8/3) ÷ (4/9) = 6, (8/3) ÷ (8/15) = 5। विकल्प (a) 2/45 HCF है, जो एक आम जाल है।

उत्तर: (c) 8/3

सामान्य गलतियां

भिन्न को सरल किए बिना सांत होने का निर्णय लेना। सही: पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें; 9/75 में 3 होने से यह आवर्ती लगती है, पर यह 3/25 के बराबर है।

0.1(6) को 16/99 लिखना। सही: 1 आवर्ती नहीं है, इसलिए यह (16 − 1)/90 = 1/6 है।

'of' से पहले ÷ करना। सही: 48 ÷ 4 of 3 = 48 ÷ 12 = 4 है, न कि 12 × 3 = 36।

भिन्नों के HCF और LCM नियम आपस में बदल देना। सही: भिन्नों के LCM में ऊपर LCM और नीचे HCF लेते हैं, इसलिए यह हर भिन्न से कम नहीं होता।

हर अलग होने पर केवल अंशों से तुलना करना। सही: तिर्यक गुणा करें, a/b > c/d जब a × d > b × c।

अभ्यास प्रश्न

Q1. एक छात्र ने किसी संख्या को 5/3 के स्थान पर 3/5 से गुणा किया और सही उत्तर से 32 कम पाया। संख्या है: (a) 45 (b) 30 (c) 25 (d) 60

Q2. 0.2(3), अर्थात 0.2333…, भिन्न के रूप में है: (a) 7/30 (b) 23/90 (c) 23/99 (d) 2/9

Q3. 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2)) का मान है: (a) 5/3 (b) 13/8 (c) 3/2 (d) 8/5

उत्तर

Q1. (b) x × (5/3 − 3/5) = 32, x × 16/15 = 32, x = 30।

Q2. (a) (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30।

Q3. (d) 1 + 1/2 = 3/2; 1 + 2/3 = 5/3; 1 + 3/5 = 8/5।

त्वरित पुनरावृत्ति

सांत ⇔ सरल किया हुआ हर 2ᵐ × 5ⁿ हो।

0.(ab) = ab/99; 0.a(b) = (ab − a)/90।

भिन्नों का LCM = LCM(अंश)/HCF(हर); भिन्नों का HCF = HCF(अंश)/LCM(हर)।

VBODMAS: ÷ से पहले 'of'; सतत भिन्न भीतर से बाहर की ओर।

अवधारणाएं और नियम

करणी किसी परिमेय संख्या का अपरिमेय मूल है, जैसे √2, √5 या ∛7। √9 = 3 करणी नहीं है। चिह्न √ हमेशा अऋणात्मक मूल दर्शाता है, इसलिए √25 = 5 है, −5 नहीं।

a, b ≥ 0 के लिए: √(a × b) = √a × √b और √(a/b) = √a/√b (b > 0)। पर √(a + b) बराबर √a + √b नहीं है: √(9 + 16) = 5 जबकि √9 + √16 = 7।

सरलतम रूप: सबसे बड़ा वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें, √72 = √(36 × 2) = 6√2। केवल सजातीय करणियां (समान मूल भाग) जुड़ती हैं: 3√2 + 5√2 = 8√2, पर √2 + √3 वैसे ही रहता है।

संयुग्मी: (√a + √b)(√a − √b) = a − b और (p + √q)(p − √q) = p² − q। इसलिए 1/(√a + √b) = (√a − √b)/(a − b), जिसका हर परिमेय है।

a + 2√b का वर्गमूल: ऐसे x और y खोजें कि x + y = a और x × y = b; तब √(a + 2√b) = √x + √y और √(a − 2√b) = √x − √y (x > y लेकर)।

यदि x = p + √q और p² − q = 1, तो 1/x = p − √q, इसलिए x + 1/x = 2p और x² + 1/x² = (2p)² − 2।

भिन्न कोटि के मूलों की तुलना: सबको कोटियों के LCM वाली घात तक उठाएं। √3 और ∛5: 6th घातें 3³ = 27 और 5² = 25 हैं, इसलिए √3 > ∛5।

√(n + 1) − √n = 1/(√(n + 1) + √n), इसलिए n बढ़ने पर यह अंतर घटता है: √10 − √9 > √11 − √10 > √12 − √11।

पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 होता है, कभी 2, 3, 7 या 8 नहीं। विषम संख्या में शून्यों पर समाप्त होने वाली संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती।

विधि और शॉर्टकट

पहले हर करणी को सरल करें, फिर सजातीय करणियों को एक साथ रखें, फिर उनके गुणांक जोड़ें या घटाएं।

परिमेयकरण के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें; हर वर्गों का अंतर बन जाता है।

√(a + 2√b) में यदि भीतरी करणी के आगे 2 नहीं है तो बनाएं: √(5 + √24) = √(5 + 2√6) = √3 + √2।

दूरबीनी योग: हर पद 1/(√k + √(k + 1)) = √(k + 1) − √k, इसलिए ऐसे पदों की श्रृंखला (अंतिम मूल − पहला मूल) में सिमट जाती है।

शॉर्टकट की सीमा: x + 1/x = 2p युक्ति के लिए p² − q = 1 चाहिए। x = 2 + √5 में p² − q = −1, इसलिए 1/x = √5 − 2 और तब x − 1/x = 4 होता है।

उदाहरण 1: करणियों का योग

प्रश्न: √50 + √18 − √8 को सरल कीजिए।

हल: √50 = 5√2, √18 = 3√2, √8 = 2√2। कुल = (5 + 3 − 2)√2 = 6√2।

उत्तर: 6√2

उदाहरण 2: हर का परिमेयकरण

प्रश्न: 1/(√7 − √5) का परिमेयकरण कीजिए।

हल: अंश और हर को √7 + √5 से गुणा करें। हर = 7 − 5 = 2, इसलिए मान (√7 + √5)/2 है।

उत्तर: (√7 + √5)/2

उदाहरण 3: a + 2√b का वर्गमूल

प्रश्न: √(8 + 2√15) ज्ञात कीजिए।

हल: x + y = 8 और x × y = 15 चाहिए, इसलिए x = 5 और y = 3। जांच: (√5 + √3)² = 5 + 3 + 2√15 = 8 + 2√15।

उत्तर: √5 + √3

उदाहरण 4: करणी से x² + 1/x²

प्रश्न: यदि x = 3 + 2√2, तो x² + 1/x² बराबर है: (a) 36 (b) 32 (c) 34 (d) 38

हल: (3 + 2√2)(3 − 2√2) = 9 − 8 = 1, इसलिए 1/x = 3 − 2√2 और x + 1/x = 6।

x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 36 − 2 = 34। विकल्प (a) 36 में 2 घटाना भूल गए हैं।

उत्तर: (c) 34

उदाहरण 5: भिन्न कोटि के मूलों की तुलना

प्रश्न: √3, ∛4 और 6 के 4th मूल में सबसे छोटा है: (a) √3 (b) ∛4 (c) 6 का 4th मूल (d) सभी बराबर हैं

हल: कोटियां 2, 3 और 4 हैं, जिनका LCM 12 है। हर एक को 12th घात तक उठाएं: √3 से 3⁶ = 729, ∛4 से 4⁴ = 256, 6 के 4th मूल से 6³ = 216।

चूंकि 216 < 256 < 729, इसलिए 6 का 4th मूल सबसे छोटा और √3 सबसे बड़ा है।

उत्तर: (c) 6 का 4th मूल

उदाहरण 6: करणियों का दूरबीनी योग

प्रश्न: 1/(√9 + √10) + 1/(√10 + √11) + … + 1/(√80 + √81) का मान है: (a) 9 (b) 6 (c) 3 (d) 5

हल: सामान्य पद का परिमेयकरण: 1/(√k + √(k + 1)) = (√(k + 1) − √k)/((k + 1) − k) = √(k + 1) − √k।

योग (√10 − √9) + (√11 − √10) + … + (√81 − √80) बन जाता है। बीच के सभी मूल कट जाते हैं, बचता है √81 − √9 = 9 − 3 = 6।

उत्तर: (b) 6

सामान्य गलतियां

योग पर मूल को तोड़ना: √(16 + 9) = 5 है, 4 + 3 = 7 नहीं। मूल केवल × और ÷ पर टूटता है।

करणियों को गलत ढंग से जोड़ना: √2 + √8 बराबर √10 नहीं। सही: √8 = 2√2, इसलिए योग 3√2 है।

x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 में 2 भूलना, या जहां (x − 1/x)² + 2 चाहिए वहां − 2 लगाना। मान रखने से पहले सर्वसमिका लिखें।

√3 और ∛5 की तुलना केवल मूलाधार (3 < 5) से करना। सही: पहले दोनों को समान कोटि में लाएं; √3 बड़ा है।

गलत चिह्न से परिमेयकरण: 1/(√7 − √5) के लिए √7 + √5 से गुणा करें, √7 − √5 से नहीं।

अभ्यास प्रश्न

Q1. सबसे बड़ा कौन है? (a) √11 − √10 (b) √12 − √11 (c) √10 − √9 (d) √13 − √12

Q2. यदि x = √5 + 2, तो x² + 1/x² बराबर है: (a) 18 (b) 20 (c) 16 (d) 22

Q3. (3√2 − 2√3)/(3√2 + 2√3) बराबर है: (a) 5 + 2√6 (b) 5 − 2√6 (c) 2 − √6 (d) 5 − √6

उत्तर

Q1. (c) √(n + 1) − √n = 1/(√(n + 1) + √n) तब सबसे बड़ा है जब हर सबसे छोटा हो, अर्थात √10 − √9 के लिए।

Q2. (a) 1/x = √5 − 2, इसलिए x − 1/x = 4 और x² + 1/x² = 4² + 2 = 18।

Q3. (b) संयुग्मी से गुणा: (3√2 − 2√3)²/(18 − 12) = (30 − 12√6)/6 = 5 − 2√6।

त्वरित पुनरावृत्ति

(√a + √b)(√a − √b) = a − b; संयुग्मी से परिमेयकरण करें।

√(a + 2√b) = √x + √y, जहां x + y = a और x × y = b।

भिन्न कोटियां: तुलना से पहले LCM घात तक उठाएं।

1/(√k + √(k + 1)) = √(k + 1) − √k; योग अंतिम − पहला बनता है।

अवधारणाएं और नियम

दहाई अंक a और इकाई अंक b वाली 2 अंकों की संख्या 10a + b है (a, 1 से 9 तक)। उल्टी संख्या 10b + a है। योग = 11(a + b); अंतर = 9(a − b)। 3 अंकों की संख्या abc = 100a + 10b + c।

क्रमागत पूर्णांक: n, n + 1, n + 2; क्रमागत सम या विषम संख्याएं: n, n + 2, n + 4। क्रमागत पदों की संख्या विषम हो तो बीच का पद = योग ÷ पदों की संख्या।

मानक योग: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6; 1³ + … + n³ = (n(n + 1)/2)²; पहली n विषम संख्याओं का योग n² है।

a से l तक अंतर d वाली समांतर सूची में: पदों की संख्या = (l − a)/d + 1, योग = पदों की संख्या × (a + l)/2।

यदि 2 संख्याओं का HCF h है, तो उन्हें h × a और h × b लिखें जहां a और b सह-अभाज्य हैं। तब LCM = h × a × b और संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM।

गुणजों की गिनती: 1 से N तक k के ⌊N/k⌋ गुणज हैं (⌊ ⌋ का अर्थ पूर्णांक भाग है)। k या m के गुणज: ⌊N/k⌋ + ⌊N/m⌋ − ⌊N/LCM(k, m)⌋ (समावेशन–अपवर्जन)।

n! के अंत में शून्यों की संख्या = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …, क्योंकि हर शून्य के लिए 5 का गुणनखंड चाहिए और 2 के गुणनखंड हमेशा अधिक होते हैं।

घातों की तुलना: उन्हें समान घातांक या समान आधार पर लाएं। 2³⁰ = 8¹⁰ और 3²⁰ = 9¹⁰, इसलिए 3²⁰ > 2³⁰।

किसी भी धनात्मक x के लिए x + 1/x ≥ 2, और समता केवल x = 1 पर। योग निश्चित हो तो 2 धनात्मक संख्याओं का गुणनफल तब अधिकतम होता है जब वे बराबर हों।

विधि और शॉर्टकट

अज्ञात राशियों के नाम रखें (अंक a, b या सबसे छोटी संख्या n), प्रश्न के हर वाक्य के लिए एक समीकरण लिखें, हल करें, फिर अंकों की सीमा जांचें (0 से 9, पहला अंक 0 नहीं)।

क्रमागत संख्याओं के योग में बीच वाली संख्या को n लें (n − 2, n, n + 2), ताकि अतिरिक्त पद तुरंत कट जाएं।

उल्टे अंक का शॉर्टकट: यदि 2 अंकों की कोई संख्या अपने उल्टे से D अधिक है, तो a − b = D ÷ 9। यदि D, 9 का गुणज नहीं है, तो ऐसी कोई संख्या नहीं होती।

HCF और योग (या गुणनफल) दिए हों: HCF से भाग दें, घटी हुई शर्त पूरी करने वाले सह-अभाज्य जोड़े सूचीबद्ध करें और गिनें।

अक्सर विकल्पों से उल्टा हल किया जा सकता है: हर विकल्प को प्रश्न की हर शर्त पर जांचें, केवल पहली शर्त पर नहीं।

उदाहरण 1: क्रमागत सम संख्याएं

प्रश्न: 3 क्रमागत सम संख्याओं का योग 78 है। उनमें सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: संख्याएं n − 2, n, n + 2 लें। योग = 3n = 78, इसलिए n = 26। संख्याएं 24, 26, 28 हैं।

उत्तर: 28

उदाहरण 2: उल्टे अंक

प्रश्न: 2 अंकों की एक संख्या अपने अंकों को उलटने से बनी संख्या से 27 अधिक है, और उसके अंकों का योग 9 है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: 9(a − b) = 27 से a − b = 3। a + b = 9 के साथ जोड़ने पर 2a = 12, इसलिए a = 6 और b = 3। जांच: 63 − 36 = 27।

उत्तर: 63

उदाहरण 3: दिए गए HCF और योग वाले जोड़े

प्रश्न: धनात्मक संख्याओं के कितने जोड़ों का HCF 12 और योग 96 है?

हल: संख्याएं 12a और 12b लिखें जहां a, b सह-अभाज्य हैं। 12(a + b) = 96 से a + b = 8। सह-अभाज्य जोड़े: (1, 7) और (3, 5); (2, 6) और (4, 4) नहीं चलते।

इसलिए जोड़े (12, 84) और (36, 60) हैं।

उत्तर: 2 जोड़े

उदाहरण 4: समावेशन–अपवर्जन से गिनती

प्रश्न: 1 से 300 तक कितनी संख्याएं 4 या 6 से विभाज्य हैं? (a) 125 (b) 100 (c) 105 (d) 75

हल: 4 के गुणज: 300 ÷ 4 = 75। 6 के गुणज: 300 ÷ 6 = 50। दोनों से अर्थात LCM 12 के गुणज: 300 ÷ 12 = 25।

कुल = 75 + 50 − 25 = 100। विकल्प (a) 125 उभयनिष्ठ गुणजों को दोहरा गिनता है।

उत्तर: (b) 100

उदाहरण 5: बड़ी घातों की तुलना

प्रश्न: 2¹⁵⁰, 3¹⁰⁰, 5⁵⁰ और 6⁷⁵ में सबसे बड़ी है: (a) 6⁷⁵ (b) 3¹⁰⁰ (c) 2¹⁵⁰ (d) 5⁵⁰

हल: घातांक 150, 100, 50, 75 में 25 उभयनिष्ठ गुणनखंड है। हर एक को 25th घात में लिखें: 2¹⁵⁰ = (2⁶)²⁵ = 64²⁵, 3¹⁰⁰ = (3⁴)²⁵ = 81²⁵।

5⁵⁰ = (5²)²⁵ = 25²⁵ और 6⁷⁵ = (6³)²⁵ = 216²⁵। आधारों 64, 81, 25, 216 की तुलना में सबसे बड़ा 216 है, इसलिए 6⁷⁵ सबसे बड़ी है।

उत्तर: (a) 6⁷⁵

उदाहरण 6: दिए गए शेषफल वाली संख्याओं का योग

प्रश्न: 7 से भाग देने पर शेषफल 3 छोड़ने वाली सभी 2 अंकों की संख्याओं का योग है: (a) 672 (b) 680 (c) 702 (d) 676

हल: ऐसी संख्याएं 7k + 3 हैं। सबसे छोटी 2 अंकों वाली 10 (7 × 1 + 3) और सबसे बड़ी 94 (7 × 13 + 3) है, क्योंकि अगली संख्या 101 में 3 अंक हैं।

पदों की संख्या = (94 − 10) ÷ 7 + 1 = 13। योग = 13 × (10 + 94) ÷ 2 = 13 × 52 = 676।

उत्तर: (d) 676

सामान्य गलतियां

अंक समीकरण हल करते समय दहाई अंक 0 या 9 से बड़ा मान लेना। हमेशा 1 ≤ a ≤ 9 और 0 ≤ b ≤ 9 जांचें।

दिए गए HCF वाले जोड़े गिनते समय सह-अभाज्य जांच छोड़ देना: (24, 72) का योग 96 है पर HCF 24 है, 12 नहीं।

4 और 6 के गुणजों को जोड़ते समय 12 के गुणज न घटाना। 'या' वाले प्रश्नों में उभयनिष्ठ भाग एक बार घटाएं।

अंत के शून्य केवल ⌊n/5⌋ से गिनना। 125! में 25 + 5 + 1 = 31 शून्य हैं, 25 नहीं।

केवल घातांक देखकर घातों की तुलना करना: 5⁵⁰ का घातांक 3¹⁰⁰ से छोटा है पर आधार भी मायने रखता है; दोनों को एक घातांक पर लाएं।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 2 अंकों की एक संख्या अपने अंकों के योग की 4 गुनी है। उसमें 27 जोड़ने पर अंक उलट जाते हैं। संख्या है: (a) 63 (b) 36 (c) 24 (d) 48

Q2. 125! के अंत में शून्यों की संख्या है: (a) 25 (b) 30 (c) 31 (d) 28

Q3. 1² + 2² + 3² + … + 20² बराबर है: (a) 2870 (b) 2780 (c) 3080 (d) 2470

उत्तर

Q1. (b) 10a + b = 4(a + b) से b = 2a; 9(b − a) = 27 से b − a = 3; इसलिए a = 3, b = 6, संख्या 36।

Q2. (c) ⌊125/5⌋ + ⌊125/25⌋ + ⌊125/125⌋ = 25 + 5 + 1 = 31।

Q3. (a) 20 × 21 × 41 ÷ 6 = 2870।

त्वरित पुनरावृत्ति

10a + b और 10b + a: योग 11(a + b), अंतर 9(a − b)।

Σn = n(n + 1)/2, Σn² = n(n + 1)(2n + 1)/6, Σn³ = (n(n + 1)/2)²।

HCF h: संख्याएं h × a, h × b, जहां a, b सह-अभाज्य।

k या m: N/k + N/m − N/LCM (पूर्णांक भाग)। n! में शून्य: n/5 + n/25 + … (पूर्णांक भाग)।