Averages — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

औसत (समांतर माध्य) = प्रेक्षणों का योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या। उलटकर, योग = औसत × संख्या। SSC का लगभग हर औसत प्रश्न वास्तव में योग का प्रश्न होता है।

औसत हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े प्रेक्षण के बीच होता है। यह आवश्यक नहीं कि औसत स्वयं कोई प्रेक्षण हो।

समांतर श्रेढ़ी की संख्याओं (क्रमागत संख्याएं, क्रमागत सम या विषम संख्याएं) के लिए, औसत = (पहला पद + अंतिम पद)/2। संख्या विषम हो तो यह बीच का पद है; सम हो तो बीच के दो पदों का माध्य।

मानक परिणाम: पहली n प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1)/2; पहली n सम संख्याओं का = n + 1; पहली n विषम संख्याओं का = n।

पहली n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत = (n + 1)(2n + 1)/6; उनके घनों का औसत = n(n + 1)²/4।

यदि हर प्रेक्षण में k जोड़ा (या घटाया) जाए तो औसत k बढ़ता (या घटता) है। हर प्रेक्षण को k से गुणा करने पर औसत k गुना होता है; हर प्रेक्षण को k (k ≠ 0) से भाग देने पर औसत भी k से भाग हो जाता है।

गलत प्रविष्टि: यदि सही मान C के स्थान पर W लिखा गया, तो संख्या नहीं बदलती, इसलिए सही औसत = गलत औसत + (C − W)/n।

आयु: किसी स्थिर समूह की औसत आयु हर वर्ष ठीक 1 वर्ष बढ़ती है, इसलिए t वर्ष बाद यह t वर्ष बढ़ जाती है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: हर दिए गए औसत को योग (औसत × संख्या) के रूप में लिखें। चरण 2: स्थिति के अनुसार योग जोड़ें या घटाएं। चरण 3: अंतिम संख्या से भाग दें।

विचलन विधि: एक सुविधाजनक कल्पित औसत लें, हर मान का उससे विचलन लिखें, फिर औसत = कल्पित मान + (विचलनों का योग)/n। यह इसलिए काम करती है क्योंकि वास्तविक औसत से विचलनों का योग 0 होता है।

एक मान जुड़ता है: यदि n मानों में x जुड़ने से औसत d बढ़ता है, तो x = नया औसत + n × d (n पुरानी संख्या है)। नया सदस्य अपने लिए नया औसत और पुराने n सदस्यों में से हर एक के लिए d लाता है।

एक मान हटता है: यदि n मानों में से x हटने पर शेष का औसत d बढ़ता है, तो x = नया औसत − n × d (यहां भी n पुरानी संख्या है)। औसत घटे तो d को ऋणात्मक लें।

प्रतिस्थापन: यदि n के समूह में एक सदस्य बदला जाए और औसत d बढ़े, तो नया सदस्य − पुराना सदस्य = n × d। संख्या नहीं बदलती।

अतिव्यापी समूह: यदि n मानों के पहले p और अंतिम q मानों में ठीक एक बीच का मान साझा हो (p + q = n + 1), तो वह मान = p × (पहला औसत) + q × (अंतिम औसत) − n × (कुल औसत), क्योंकि वह दो बार गिना गया।

उदाहरण 1: सीधा औसत

प्रश्न: 12, 18, 25, 31 और 44 का औसत ज्ञात कीजिए।

हल: योग = 12 + 18 + 25 + 31 + 44 = 130 और संख्या = 5, इसलिए औसत = 130 ÷ 5 = 26। 26 से विचलनों द्वारा जांच: −14, −8, −1, +5, +18 का योग 0 है।

उत्तर: 26

उदाहरण 2: किसी परिसर में विषम संख्याएं

प्रश्न: 20 और 60 के बीच की सभी विषम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

हल: विषम संख्याएं 21, 23, …, 59 हैं, जो एक समांतर श्रेढ़ी है। औसत = (पहला + अंतिम)/2 = (21 + 59)/2 = 80/2 = 40। संख्या (जो 20 है) की आवश्यकता ही नहीं है।

उत्तर: 40

उदाहरण 3: नया सदस्य जुड़ता है

प्रश्न: 24 विद्यार्थियों की औसत आयु 15 वर्ष है। शिक्षक की आयु शामिल करने पर औसत 1 वर्ष बढ़ जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।

हल: नया औसत = 16। शॉर्टकट: शिक्षक = नया औसत + n × d = 16 + 24 × 1 = 40 वर्ष। योग से जांच: 25 × 16 − 24 × 15 = 400 − 360 = 40।

उत्तर: 40 वर्ष

उदाहरण 4: अतिव्यापी समूह

प्रश्न: 11 परिणामों का औसत 60 है। पहले 6 का औसत 58 और अंतिम 6 का औसत 63 है। 6वां परिणाम ज्ञात कीजिए। (a) 64 (b) 62 (c) 68 (d) 66

हल: पहले 6 का योग = 6 × 58 = 348; अंतिम 6 का योग = 6 × 63 = 378; सभी 11 का योग = 11 × 60 = 660। 6वां परिणाम दोनों समूहों में है, इसलिए 6वां = 348 + 378 − 660 = 66।

उत्तर: (d) 66

उदाहरण 5: सुधार और एक मान हटाना

प्रश्न: 40 संख्याओं का औसत 52 है। बाद में पता चला कि 63 और 37 को 36 और 73 लिख दिया गया था, तथा एक संख्या 82 गलती से शामिल हो गई थी। शेष 39 संख्याओं का सही औसत ज्ञात कीजिए। (a) 52 (b) 51.5 (c) 51 (d) 50.5

हल: दर्ज योग = 40 × 52 = 2080। गलत प्रतियां हटाकर सही मान जोड़ें: 2080 − (36 + 73) + (63 + 37) = 2080 − 109 + 100 = 2071।

अब 82 हटाएं: 2071 − 82 = 1989, और संख्या 39 है। सही औसत = 1989 ÷ 39 = 51।

उत्तर: (c) 51

उदाहरण 6: दो पारियों के बाद बल्लेबाज

प्रश्न: कुछ पारियों के बाद एक बल्लेबाज का औसत 36 है। अगली पारी में वह 90 और उसके बाद वाली पारी में 22 रन बनाता है, और उसका औसत 37 हो जाता है। अब तक उसने कुल कितनी पारियां खेली हैं? (a) 38 (b) 40 (c) 42 (d) 36

हल: मान लें पहली n पारियों का योग 36n है। 2 और पारियों के बाद योग 36n + 90 + 22 = 36n + 112 है जो n + 2 पारियों का है, इसलिए 36n + 112 = 37(n + 2) = 37n + 74।

अतः n = 112 − 74 = 38 और अब तक खेली गई पारियां = 38 + 2 = 40। शॉर्टकट दृष्टि: 2 नए स्कोर 112 लाते हैं, जिन्हें अपने लिए प्रत्येक 37 (74) और हर पुरानी पारी के लिए +1 देना है, इसलिए n = 38।

उत्तर: (b) 40

सामान्य गलतियां

किसी के जुड़ने के बाद पुरानी संख्या से भाग देना। जब शिक्षक 24 विद्यार्थियों में जुड़ता है, तो नए योग को 25 से भाग दें, 24 से नहीं।

प्रतिस्थापन प्रश्नों में n के स्थान पर n − 1 लेना। पूरा n का समूह परिवर्तन बांटता है, इसलिए अंतर n × d है।

भूल जाना कि अतिव्यापी समूहों में बीच का मान दो बार गिना जाता है। उदाहरण 4 की तरह कुल योग एक बार घटाएं।

समूहों का आकार भिन्न होने पर भी दो समूह-औसतों का सीधा माध्य लेना। यह केवल बराबर समूहों के लिए सही है; अन्यथा भारित औसत लें।

गलत प्रविष्टि में संख्या बदल देना। गलत लिखी गई संख्या केवल योग बदलती है; संख्या n ही रहती है।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 7 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 36 है। उनमें सबसे बड़ी संख्या क्या है? (a) 40 (b) 42 (c) 44 (d) 38

Q2. 8 व्यक्तियों का औसत भार 2.5 kg बढ़ जाता है जब 65 kg भार वाले एक व्यक्ति के स्थान पर एक नया व्यक्ति आता है। नए व्यक्ति का भार क्या है? (a) 80 kg (b) 75 kg (c) 85 kg (d) 90 kg

Q3. पहली 25 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत क्या है? (a) 221 (b) 225 (c) 210 (d) 231

उत्तर

Q1. (b) बीच की (4थी) संख्या 36 है; सबसे बड़ी उससे 2 के 3 कदम ऊपर है: 36 + 6 = 42।

Q2. (c) नया − पुराना = n × d = 8 × 2.5 = 20, इसलिए नया व्यक्ति = 65 + 20 = 85 kg।

Q3. (a) (n + 1)(2n + 1)/6 = 26 × 51 ÷ 6 = 1326 ÷ 6 = 221।

त्वरित पुनरावृत्ति

योग = औसत × संख्या; योगों में काम करें, भाग अंत में दें।

समांतर श्रेढ़ी: औसत = (पहला + अंतिम)/2 = बीच का पद।

जुड़ना: x = नया औसत + n × d; हटना: x = नया औसत − n × d; प्रतिस्थापन: नया − पुराना = n × d (n = पुरानी संख्या)।

गलत प्रविष्टि: सही औसत = गलत औसत + (C − W)/n।

अतिव्यापन: बीच का मान = p × A1 + q × A2 − n × A।

अवधारणाएं और नियम

भारित औसत = (w1x1 + w2x2 + …)/(w1 + w2 + …), जहां हर मान x को उसके भार w (व्यक्तियों की संख्या, किलोग्राम, घंटे) से गुणा किया जाता है। साधारण औसत वह विशेष स्थिति है जिसमें सभी भार बराबर हों।

दो समूहों का संयुक्त औसत: A = (n1A1 + n2A2)/(n1 + n2)। यह हमेशा A1 और A2 के बीच होता है और बड़े समूह के औसत के अधिक निकट होता है।

आकार-अनुपात नियम: n1 : n2 = (A2 − A) : (A − A1)। हर समूह का आकार दूसरे समूह की संयुक्त औसत से दूरी के अनुपाती होता है। यही एलिगेशन नियम का दूसरा रूप है।

सीधा माध्य (A1 + A2)/2 केवल तब सही है जब n1 = n2 हो। अन्यथा उत्तर गलत आता है।

उप-समूह हटाना: यदि N के समूह का औसत A है और n का एक भाग जिसका औसत a है, हट जाए, तो शेष का औसत (NA − na)/(N − n) है।

औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय। यह चालों का भारित औसत है जिसमें भार समय है, इसलिए बराबर समय के लिए यह (x + y)/2 है।

दो बराबर दूरियां x और y चाल से तय हों तो औसत चाल = 2xy/(x + y); तीन बराबर दूरियां x, y, z चाल से हों तो 3xyz/(xy + yz + zx)। जब तक चालें बराबर न हों, ये हमेशा सीधे माध्य से कम होती हैं।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: हर मान का भार पहचानें (कितने विद्यार्थी, कितने घंटे, कितने किलोग्राम)। चरण 2: हर औसत को उसके भार से गुणा कर योग बनाएं। चरण 3: कुल योग ÷ कुल भार।

दो समूहों के लिए दूरी शॉर्टकट: A1, A, A2 को एक रेखा पर लिखें; अंतर (A − A1) और (A2 − A) तिरछे क्रम में आकार का अनुपात देते हैं। जब संयुक्त औसत ज्ञात हो और संख्या पूछी जाए, इसका प्रयोग करें।

विचलन शॉर्टकट: संयुक्त औसत = A1 + n2(A2 − A1)/(n1 + n2)। केवल अंतर A2 − A1 को बांटना होता है, जिससे संख्याएं छोटी रहती हैं।

यात्रा के प्रश्नों में औसत लेने से पहले हर भाग का समय (दूरी ÷ चाल) निकालें। यदि समय दिए हों, तो पहले दूरियां (चाल × समय) निकालें।

कब विफल: आकार-अनुपात नियम ठीक दो समूहों के लिए है। तीन समूह हों तो उन्हें योग में बदलें या पहले उनमें से दो को मिला लें।

उदाहरण 1: दो वर्गों का संयुक्त औसत

प्रश्न: वर्ग A में 30 विद्यार्थियों के औसत अंक 60 और वर्ग B में 20 विद्यार्थियों के औसत अंक 75 हैं। सभी विद्यार्थियों का औसत ज्ञात कीजिए।

हल: कुल अंक = 30 × 60 + 20 × 75 = 1800 + 1500 = 3300, जो 50 विद्यार्थियों के हैं, इसलिए औसत = 3300 ÷ 50 = 66। शॉर्टकट: 60 + 20 × 15 ÷ 50 = 60 + 6 = 66।

उत्तर: 66

उदाहरण 2: बराबर दूरियों पर औसत चाल

प्रश्न: एक कार दिल्ली से आगरा तक 120 km, 40 km/h से जाती है और 60 km/h से लौटती है। पूरी यात्रा के लिए औसत चाल ज्ञात कीजिए।

हल: समय = 120/40 + 120/60 = 3 + 2 = 5 घंटे, दूरी 240 km, इसलिए औसत चाल = 240 ÷ 5 = 48 km/h। सूत्र से जांच: 2 × 40 × 60/(40 + 60) = 4800/100 = 48।

उत्तर: 48 km/h

उदाहरण 3: समूहों का आकार ज्ञात करना

प्रश्न: एक कारखाने में सभी कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ₹12,000 है। अधिकारियों का औसत ₹30,000 और श्रमिकों का औसत ₹10,000 है। यदि 15 अधिकारी हैं, तो कुल कितने कर्मचारी हैं?

हल: अधिकारी : श्रमिक = (12,000 − 10,000) : (30,000 − 12,000) = 2,000 : 18,000 = 1 : 9। 15 अधिकारी हों तो श्रमिक = 135 और कुल = 150। जांच: (15 × 30,000 + 135 × 10,000)/150 = 18,00,000/150 = 12,000।

उत्तर: 150

उदाहरण 4: कक्षा में लड़के और लड़कियां

प्रश्न: 40 विद्यार्थियों की एक कक्षा का औसत अंक 54 है। लड़कों का औसत 60 और लड़कियों का औसत 50 है। कक्षा में कितनी लड़कियां हैं? (a) 24 (b) 16 (c) 20 (d) 18

हल: लड़के : लड़कियां = (54 − 50) : (60 − 54) = 4 : 6 = 2 : 3। लड़कियां = 3/5 × 40 = 24। जांच: (16 × 60 + 24 × 50)/40 = (960 + 1200)/40 = 54।

उत्तर: (a) 24

उदाहरण 5: तीन वर्ग और स्थानांतरण

प्रश्न: वर्ग A, B और C में 30, 40 और 50 विद्यार्थी हैं जिनके औसत अंक 62, x और 70 हैं, और कुल औसत 66 है। फिर C के 10 विद्यार्थी, जिनका औसत 82 है, B में चले जाते हैं। B का नया औसत क्या है? (a) 67.6 (b) 66.4 (c) 68.2 (d) 65.8

हल: कुल = 120 × 66 = 7920। A का योग = 30 × 62 = 1860 और C का योग = 50 × 70 = 3500, इसलिए B का योग = 7920 − 1860 − 3500 = 2560 और x = 2560 ÷ 40 = 64।

स्थानांतरण के बाद B में 50 विद्यार्थी हैं जिनका योग 2560 + 10 × 82 = 2560 + 820 = 3380 है, इसलिए नया औसत = 3380 ÷ 50 = 67.6।

उत्तर: (a) 67.6

उदाहरण 6: मिश्रित यात्रा

प्रश्न: रवि पहले 2 घंटे 45 km/h से, अगले 180 km 60 km/h से और शेष 150 km 50 km/h से गाड़ी चलाता है। पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल क्या है? (a) 51 km/h (b) 55 km/h (c) 52.5 km/h (d) 53.75 km/h

हल: भाग 1: दूरी = 45 × 2 = 90 km, समय 2 h। भाग 2: समय = 180 ÷ 60 = 3 h। भाग 3: समय = 150 ÷ 50 = 3 h।

कुल दूरी = 90 + 180 + 150 = 420 km; कुल समय = 2 + 3 + 3 = 8 h; औसत चाल = 420 ÷ 8 = 52.5 km/h। 45, 60 और 50 का सीधा माध्य (51.67) गलत है क्योंकि समय अलग-अलग हैं।

उत्तर: (c) 52.5 km/h

सामान्य गलतियां

दो समूह-औसतों का सीधा औसत लेना। उदाहरण 1 में (60 + 75)/2 = 67.5 गलत है; बड़ा वर्ग उत्तर को 66 की ओर खींचता है।

आकार-अनुपात उलट देना। जिस समूह का औसत संयुक्त औसत से अधिक दूर है, वही छोटा समूह है।

औसत चाल को चालों का माध्य मानना। बराबर दूरियों पर 2xy/(x + y) लें; सामान्यतः हमेशा कुल दूरी ÷ कुल समय लें।

समूहों के बीच सदस्यों के स्थानांतरण के बाद हर समूह का योग और संख्या दोनों बदलना भूल जाना।

समूहों के प्रतिशत को संख्या मान लेना। दो विद्यालयों के उत्तीर्ण प्रतिशत उनके विद्यार्थियों की संख्या को भार मानकर मिलते हैं।

अभ्यास प्रश्न

Q1. 60 विद्यार्थियों के औसत अंक 48 हैं। उत्तीर्ण विद्यार्थियों का औसत 55 और अनुत्तीर्ण का औसत 34 है। कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए? (a) 36 (b) 40 (c) 42 (d) 45

Q2. 25 लड़कों का औसत भार 48 kg और 15 लड़कियों का 40 kg है। सभी 40 बच्चों का औसत भार क्या है? (a) 44 kg (b) 46 kg (c) 44.5 kg (d) 45 kg

Q3. एक साइकिल चालक पहाड़ी पर 24 km/h से चढ़ता है और उसी रास्ते से 36 km/h से उतरता है। उसकी औसत चाल क्या है? (a) 28.8 km/h (b) 30 km/h (c) 29.6 km/h (d) 28 km/h

उत्तर

Q1. (b) उत्तीर्ण : अनुत्तीर्ण = (48 − 34) : (55 − 48) = 14 : 7 = 2 : 1, इसलिए उत्तीर्ण = 2/3 × 60 = 40।

Q2. (d) (25 × 48 + 15 × 40)/40 = (1200 + 600)/40 = 1800/40 = 45 kg।

Q3. (a) बराबर दूरियां: 2 × 24 × 36/(24 + 36) = 1728/60 = 28.8 km/h।

त्वरित पुनरावृत्ति

संयुक्त औसत = (n1A1 + n2A2)/(n1 + n2); यह A1 और A2 के बीच, बड़े समूह के निकट होता है।

n1 : n2 = (A2 − A) : (A − A1); आकार दूरियों के तिरछे क्रम में।

औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय; बराबर दूरियां 2xy/(x + y); बराबर समय (x + y)/2।

औसतों का सीधा माध्य केवल बराबर भारों पर सही है।