Interest calculations — मात्रात्मक योग्यता नोट्स

अवधारणाएं और नियम

साधारण ब्याज SI = P × R × T/100, जहां P मूलधन, R वार्षिक प्रतिशत दर और T वर्षों में समय है। मिश्रधन A = P + SI = P(1 + RT/100)।

ब्याज केवल मूल मूलधन पर लगता है, इसलिए हर वर्ष का ब्याज समान होता है: P × R/100। इसी कारण साधारण ब्याज पर मिश्रधन हर वर्ष एक निश्चित मात्रा से बढ़ता है।

समय को वर्षों में बदलें: महीने ÷ 12, दिन ÷ 365। तिथियां दी हों तो आरंभ का दिन या अंतिम दिन, दोनों में से केवल एक गिनें।

यदि साधारण ब्याज पर कोई राशि T वर्षों में n गुनी हो जाती है, तो ब्याज (n − 1)P है, इसलिए R = (n − 1) × 100/T। जो राशि T वर्षों में दोगुनी होती है, वह 2T वर्षों में 3 गुनी और 3T वर्षों में 4 गुनी होती है।

जब अलग-अलग अवधियों में दर बदलती है, तो SI = P × (R1T1 + R2T2 + R3T3)/100। दर में ΔR के परिवर्तन से ब्याज P × ΔR × T/100 बदलता है।

R1% और R2% पर उधार दिए गए दो भाग R1 और R2 के बीच एक औसत दर देते हैं; भाग (R2 − R) : (R − R1) के अनुपात में होते हैं, यही एलिगेशन नियम है।

साधारण ब्याज पर समान वार्षिक किस्तें: यदि A का ऋण n वर्ष के अंत में देय है और हर वर्ष के अंत में x चुकाया जाता है, तो हर किस्त देय तिथि तक साधारण ब्याज कमाती है, इसलिए A = n × x + x × R × n(n − 1)/200।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: P, R, T, SI और A लिखें और अज्ञात को चिह्नित करें। चरण 2: समय को वर्षों में रखें। चरण 3: SI = PRT/100 या A = P + SI से हल करें।

अलग-अलग समय के बाद दो मिश्रधन: मिश्रधनों का अंतर, समयों के अंतर का साधारण ब्याज है। 1 वर्ष का ब्याज निकालें, फिर घटाकर P तक पहुंचें।

प्रतिशत दृष्टि: T वर्षों में ब्याज P का RT% होता है। 8% पर 5 वर्षों में ब्याज P का 40% है, इसलिए मिश्रधन P का 140% है और P = मिश्रधन × 100/140।

किसी राशि को दो दरों में बांटना: औसत दर = कुल वार्षिक ब्याज × 100/P निकालें, फिर दोनों दरों पर एलिगेशन लगाएं।

कब विफल: हर वर्ष समान वृद्धि का विचार केवल साधारण ब्याज पर सही है। चक्रवृद्धि ब्याज में वार्षिक ब्याज स्वयं बढ़ता है, इसलिए वहां ये शॉर्टकट न लगाएं।

उदाहरण 1: सीधा साधारण ब्याज

प्रश्न: ₹8,000 पर 6% वार्षिक दर से 3 वर्षों का साधारण ब्याज और मिश्रधन ज्ञात कीजिए।

हल: SI = 8,000 × 6 × 3/100 = ₹1,440। मिश्रधन = 8,000 + 1,440 = ₹9,440।

उत्तर: SI ₹1,440, मिश्रधन ₹9,440

उदाहरण 2: राशि का n गुना होना

प्रश्न: साधारण ब्याज पर कोई राशि 8 वर्षों में दोगुनी हो जाती है। दर ज्ञात कीजिए, और वह समय भी जिसमें यह 4 गुनी हो जाएगी।

हल: दोगुना होने का अर्थ है 8 वर्षों में ब्याज = P, इसलिए R = 100/8 = 12.5%। 4 गुना होने के लिए ब्याज = 3P, जिसमें 3 × 8 = 24 वर्ष लगते हैं। जांच: 3 × 100/12.5 = 24।

उत्तर: 12.5% वार्षिक; 24 वर्ष

उदाहरण 3: दो मिश्रधन दिए हों

प्रश्न: साधारण ब्याज पर कोई राशि 3 वर्षों में ₹9,800 और 5 वर्षों में ₹11,000 हो जाती है। राशि और दर ज्ञात कीजिए।

हल: 2 वर्षों का SI = 11,000 − 9,800 = ₹1,200, इसलिए 1 वर्ष का SI = ₹600। 3 वर्षों का SI = ₹1,800, इसलिए P = 9,800 − 1,800 = ₹8,000। R = 600 × 100/8,000 = 7.5%।

उत्तर: ₹8,000, 7.5% वार्षिक दर पर

उदाहरण 4: अधिक दर का प्रभाव

प्रश्न: यदि कोई राशि 3% अधिक दर पर उधार दी जाती, तो 4 वर्षों में ₹360 अधिक ब्याज मिलता। राशि ज्ञात कीजिए। (a) ₹3,600 (b) ₹2,500 (c) ₹3,000 (d) ₹4,000

हल: अतिरिक्त ब्याज केवल अतिरिक्त दर से आता है: P × 3 × 4/100 = 360, इसलिए P = 360 × 100/12 = ₹3,000। मूल दर की आवश्यकता नहीं है।

उत्तर: (c) ₹3,000

उदाहरण 5: राशि को दो दरों में बांटना

प्रश्न: मीना ₹12,000 को दो भागों में उधार देती है, एक 8% पर और दूसरा 12% साधारण ब्याज पर। 3 वर्षों के बाद कुल ब्याज ₹3,420 है। उसने 12% पर कितनी राशि दी? (a) ₹4,500 (b) ₹7,500 (c) ₹5,000 (d) ₹4,000

हल: वार्षिक ब्याज = 3,420 ÷ 3 = ₹1,140, इसलिए औसत दर = 1,140 × 100/12,000 = 9.5%।

एलिगेशन: (8% वाला भाग) : (12% वाला भाग) = (12 − 9.5) : (9.5 − 8) = 2.5 : 1.5 = 5 : 3। 12% वाला भाग = 3/8 × 12,000 = ₹4,500। जांच: 7,500 × 8% + 4,500 × 12% = 600 + 540 = 1,140 प्रति वर्ष।

उत्तर: (a) ₹4,500

उदाहरण 6: साधारण ब्याज पर समान वार्षिक किस्तें

प्रश्न: 4 वर्ष के अंत में देय ₹6,450 का ऋण 5% साधारण ब्याज पर किस समान वार्षिक किस्त से चुकेगा? (a) ₹1,600 (b) ₹1,550 (c) ₹1,450 (d) ₹1,500

हल: वर्ष 1, 2, 3 और 4 के अंत में दी गई किस्तें देय तिथि तक 3, 2, 1 और 0 वर्ष का ब्याज कमाती हैं। देय तिथि पर उनका कुल मूल्य x × [4 + 5 × (3 + 2 + 1 + 0)/100] = x × (4 + 0.3) = 4.3x है।

इसलिए 4.3x = 6,450 और x = ₹1,500। जांच: 1,500 × (1.15 + 1.10 + 1.05 + 1) = 1,500 × 4.3 = 6,450।

उत्तर: (d) ₹1,500

सामान्य गलतियां

समय को महीनों में छोड़ देना। 9 महीने = 9/12 = 0.75 वर्ष है, 9 नहीं।

'3 गुना हो जाता है' को ब्याज = 3P मान लेना। ब्याज (3 − 1)P = 2P है क्योंकि मूलधन मिश्रधन का हिस्सा है।

किस्त वाले ऋण को सीधे n से भाग देना। हर किस्त देय तिथि तक ब्याज कमाती है, इसलिए भाजक n + R × n(n − 1)/200 है, n नहीं।

भाग असमान होने पर दोनों दरों का सीधा माध्य लेना। हर दर को उसके भाग से भारित करें, या एलिगेशन लगाएं।

तिथियों के रूप में समय दिया हो तो आरंभ और अंतिम दोनों तिथियां गिन लेना।

अभ्यास प्रश्न

Q1. किस वार्षिक प्रतिशत साधारण ब्याज दर पर ₹2,500, 4 वर्षों में ₹3,400 हो जाएंगे? (a) 8% (b) 9% (c) 10% (d) 9.5%

Q2. साधारण ब्याज पर कोई राशि 6 वर्षों में अपनी 7/4 हो जाती है। ब्याज दर क्या है? (a) 12% (b) 15% (c) 12.5% (d) 10.5%

Q3. रमेश ने ₹15,000 साधारण ब्याज पर उधार लिए: पहले 2 वर्ष 8%, अगले 3 वर्ष 10% और उसके बाद 12%। 7 वर्षों में वह कुल कितना ब्याज देगा? (a) ₹10,500 (b) ₹9,900 (c) ₹11,100 (d) ₹10,800

उत्तर

Q1. (b) SI = 3,400 − 2,500 = 900; R = 900 × 100/(2,500 × 4) = 9%।

Q2. (c) 6 वर्षों में ब्याज = P का 7/4 − 1 = 3/4, इसलिए R = 75/6 = 12.5%।

Q3. (a) दर-वर्ष = 8 × 2 + 10 × 3 + 12 × 2 = 16 + 30 + 24 = 70, इसलिए SI = 15,000 × 70/100 = ₹10,500।

त्वरित पुनरावृत्ति

SI = PRT/100; A = P + SI; वार्षिक ब्याज स्थिर रहता है।

T वर्षों में n गुना ⇒ R = (n − 1) × 100/T।

दो मिश्रधनों का अंतर = समयों के अंतर का साधारण ब्याज।

साधारण ब्याज पर किस्तें: A = n × x + x × R × n(n − 1)/200।

अवधारणाएं और नियम

चक्रवृद्धि ब्याज में हर अवधि का ब्याज मूलधन में जुड़ता है। R% वार्षिक चक्रवृद्धि पर n वर्षों के लिए मिश्रधन A = P(1 + R/100)ⁿ, और CI = A − P।

अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि: प्रति अवधि दर R/2 और 2n अवधियां लें। त्रैमासिक: दर R/4 और 4n अवधियां।

अलग-अलग वर्षों में अलग दरें: A = P(1 + R1/100)(1 + R2/100)(1 + R3/100)। दरों का क्रम अंतिम मिश्रधन नहीं बदलता।

वर्ष का भाग (SSC की सामान्य परिपाटी): 2 वर्ष 4 महीने के लिए A = P(1 + R/100)² × (1 + (R/3)/100), क्योंकि 4 महीने वर्ष का 1/3 है और उस भाग पर R/3 % मिलता है।

वार्षिक चक्रवृद्धि में 1 वर्ष के लिए CI = SI। 2 वर्षों के लिए CI − SI = P(R/100)²। 3 वर्षों के लिए CI − SI = P(R/100)² × (3 + R/100)।

क्रमागत वर्षों के अंत के मिश्रधन (1 + R/100) अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी बनाते हैं। इसलिए क्रमागत वर्षों के लिए R% = (बाद का मिश्रधन − पहले का मिश्रधन) × 100/पहले का मिश्रधन।

यदि चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि n वर्षों में k गुनी होती है, तो 2n वर्षों में k² गुनी और 3n वर्षों में k³ गुनी होती है।

यही सूत्र जनसंख्या वृद्धि P(1 + R/100)ⁿ और मशीन के मूल्यह्रास P(1 − R/100)ⁿ के लिए भी है।

विधि और शॉर्टकट

चरण 1: प्रति अवधि दर और अवधियों की संख्या तय करें। चरण 2: गुणक को भिन्न के रूप में लिखें, जैसे 10% का 11/10 और 5% का 21/20। चरण 3: हर अवधि के लिए P को गुणक से एक बार गुणा करें।

R% पर 2 वर्षों की प्रभावी दर: 2R + R²/100 प्रतिशत। 10% पर यह 21% है; 20% पर 44% है। फिर CI = P × प्रभावी दर/100।

वर्षवार दृष्टि: वर्ष 2 का ब्याज वर्ष 1 के ब्याज से, वर्ष 1 के ब्याज के R% अधिक होता है। इसी से 2 वर्षों के लिए CI − SI = P(R/100)² समझ में आता है।

चक्रवृद्धि ब्याज पर समान वार्षिक किस्तें: मूलधन, किस्तों के वर्तमान मूल्यों के योग के बराबर है, P = x/(1 + R/100) + x/(1 + R/100)² + … हर किस्त x के लिए।

कब विफल: 2R + R²/100 शॉर्टकट ठीक 2 अवधियों और समान दर के लिए है। 3 अवधियों या बदलती दरों में गुणकों को गुणा करें।

उदाहरण 1: मूल चक्रवृद्धि ब्याज

प्रश्न: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) ज्ञात कीजिए।

हल: A = 10,000 × 11/10 × 11/10 = ₹12,100, इसलिए CI = ₹2,100। शॉर्टकट: प्रभावी दर = 2 × 10 + 100/100 = 21%, और 10,000 का 21% = 2,100।

उत्तर: ₹2,100

उदाहरण 2: अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि

प्रश्न: ₹16,000 पर 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जब ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो।

हल: प्रति छमाही दर = 5% और 2 अवधियां हैं। A = 16,000 × 21/20 × 21/20 = ₹17,640, इसलिए CI = ₹1,640। वार्षिक संयोजन से केवल ₹1,600 मिलते।

उत्तर: ₹1,640

उदाहरण 3: 2 वर्षों के लिए CI और SI का अंतर

प्रश्न: किसी राशि पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्षों के चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर ₹25 है। राशि ज्ञात कीजिए।

हल: CI − SI = P(R/100)² = P × 1/400 = 25, इसलिए P = 25 × 400 = ₹10,000। जांच: CI = 10,000 × (1.1025 − 1) = 1,025 और SI = 1,000; अंतर 25।

उत्तर: ₹10,000

उदाहरण 4: घातों से वृद्धि

प्रश्न: चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 5 वर्षों में दोगुनी हो जाती है। कितने वर्षों में यह 8 गुनी हो जाएगी? (a) 20 वर्ष (b) 10 वर्ष (c) 25 वर्ष (d) 15 वर्ष

हल: हर 5 वर्षों में मिश्रधन 2 से गुणा होता है। चूंकि 8 = 2 × 2 × 2, इसलिए ऐसे 3 खंड चाहिए: 3 × 5 = 15 वर्ष। साधारण ब्याज वाला तर्क (7 × 5 = 35 वर्ष) यहां लागू नहीं होता।

उत्तर: (d) 15 वर्ष

उदाहरण 5: चक्रवृद्धि ब्याज पर दो समान किस्तें

प्रश्न: ₹4,200 का ऋण 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 समान वार्षिक किस्तों में चुकाना है। प्रत्येक किस्त ज्ञात कीजिए। (a) ₹2,310 (b) ₹2,420 (c) ₹2,520 (d) ₹2,400

हल: वर्तमान मूल्य: x × 10/11 + x × 100/121 = x × (110 + 100)/121 = 210x/121। 210x/121 = 4,200 रखने पर x = 4,200 × 121/210 = ₹2,420।

वर्षवार जांच: वर्ष 1 के बाद ऋण 4,620 है; 2,420 देने पर 2,200 बचता है; वर्ष 2 के बाद यह 2,420 होता है, जो दूसरी किस्त से चुक जाता है।

उत्तर: (b) ₹2,420

उदाहरण 6: दो मिश्रधनों से साधारण ब्याज तक

प्रश्न: चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई राशि 2 वर्षों में ₹6,050 और 3 वर्षों में ₹6,655 हो जाती है। उसी राशि पर उसी दर से 4 वर्षों का साधारण ब्याज क्या है? (a) ₹2,200 (b) ₹1,800 (c) ₹2,000 (d) ₹2,400

हल: वर्ष 3 का ब्याज = 6,655 − 6,050 = 605, जो 6,050 पर मिला, इसलिए R = 605 × 100/6,050 = 10%। मूलधन = 6,050 ÷ (11/10)² = 6,050 × 100/121 = ₹5,000।

4 वर्षों का SI = 5,000 × 10 × 4/100 = ₹2,000।

उत्तर: (c) ₹2,000

सामान्य गलतियां

अर्धवार्षिक संयोजन में दर आधी और अवधियां दोगुनी करना भूल जाना।

CI पूछा जाए तब मिश्रधन बता देना। CI = A − P; अंत में मूलधन घटाएं।

3 वर्षों के लिए 2 वर्ष वाला अंतर-सूत्र P(R/100)² लगाना। 3 वर्षों के लिए (3 + R/100) से भी गुणा करें।

यह सोचना कि जो राशि 5 वर्षों में दोगुनी होती है, वह साधारण ब्याज पर भी 10 वर्षों में 4 गुनी होगी। यह केवल CI पर सही है; SI पर 10 वर्षों में वह 3 गुनी होती है।

चक्रवृद्धि किस्त-ऋण को ऐसे बांटना मानो हर किस्त P/n और ब्याज हो। वर्तमान मूल्य या वर्षवार तालिका का प्रयोग करें।

अभ्यास प्रश्न

Q1. ₹12,500 पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) क्या है? (a) ₹2,000 (b) ₹2,080 (c) ₹2,160 (d) ₹2,040

Q2. किसी राशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्षों के चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर ₹93 है। राशि क्या है? (a) ₹3,000 (b) ₹3,100 (c) ₹2,700 (d) ₹3,300

Q3. एक नगर की जनसंख्या 1,25,000 है। पहले वर्ष में यह 8% बढ़ती है और दूसरे वर्ष में 10% घटती है। 2 वर्ष बाद जनसंख्या क्या है? (a) 1,22,500 (b) 1,23,000 (c) 1,21,000 (d) 1,21,500

उत्तर

Q1. (b) प्रभावी दर = 2 × 8 + 64/100 = 16.64%; CI = 12,500 × 16.64/100 = ₹2,080।

Q2. (a) P × (10/100)² × (3 + 10/100) = P × 0.031 = 93, इसलिए P = ₹3,000।

Q3. (d) 1,25,000 × 108/100 × 90/100 = 1,35,000 × 0.9 = 1,21,500।

त्वरित पुनरावृत्ति

A = P(1 + R/100)ⁿ; CI = A − P; अर्धवार्षिक में R/2 और 2n अवधियां।

2 वर्ष: प्रभावी दर 2R + R²/100; CI − SI = P(R/100)²।

3 वर्ष: CI − SI = P(R/100)² × (3 + R/100)।

क्रमागत मिश्रधन: R% = अंतर × 100/पहला मिश्रधन।

चक्रवृद्धि पर किस्तें: मूलधन = किस्तों के वर्तमान मूल्यों का योग।